Functii Elementare Gimnaziu Liceu

FUNCȚII ELEMENTARE ÎN MATEMATICA

DE GIMNAZIU ȘI LICEU

prof.ADRIAN VALERIU SUCIU

ZALĂU 2008

- Cuprins -Capitolul I Noţiuni generale despre funcţii

1.1. Introducere în noţiunea de funcţie sau formarea conceptului de funcţie

1.1.1. Graful

1.1.2. Tabloul de valori

1.1.3. Exprimarea prin text

1.1.4. Diagrama

1.1.5. Diagrama cu săgeţi

1.1.6. Noţiunea de formulă

1.1.7. Relaţii de recurenţă

1.2. Noţiuni generale despre mulţimi şi operaţii cu mulţimi.

1.3. Relaţii binare între mulţimi.

1.4. Noţiunea de funcţie.

1.5. Moduri generale de definire

1.6. Graficul unei funcţii.

Capitolul II Proprietăţi ale funcţiilor

2.1. Funcţii pare, impare

2.2. Funcţii monotone

2.3. Valori extreme ale unei funcţii.

2.4. Funcţii mărginite.

2.5. Funcşii injective.

2.6. Funcţii surjective.

2.7. Funcţii bijective.

2.8. Funcţii inversabile

2.9. Funcţii convexe, concave.

2.10 Funcţii periodice.

Capitolul III Operaţii cu funcţii

3.1. Operaţii algebrice elementare cu funcţii.

3.2. Compunerea a două funcţii

Capitolul IV Teoreme de caracterizare

4.1. Monotonia

4.2. Injectivitatea

4.3. Monotonia şi injectivitatea unei funcţii.

4.4. Surjectivitatea.

4.5. Bijectivitatea

4.6. Compunerea funcţiilor injective, surjective, bijective.

Capitolul V Proprietăţi ale funcţiilor elementare

2

5.1. Funcţii polinomiale

5.1.1.Funcţia de gradul I.

5.1.2. Funcţia de gradul II.

5.1.3. Funcţia putere cu exponent natural.

5.2. Funcţia putere cu exponent număr întreg negativ

5.3. Funcţia radical de ordinal n

5.4. Funcţia putere cu exponent raţional

5.5. Funcţia exponenţială

5.6. Funcţia logaritmică

5.7. Funcţii trigonometrice directe

5.7.1. Funcţia sinus

5.7.2. Funcţia cosinus

5.7.3. Funcţia tangentă

5.7.4. Funcţia cotangentă

5.8. Funcţii trigonometrice inverse

5.8.1. Funcţia arcsinus

5.8.2. Funcţia arccosinus

5.8.3. Funcţia arctangentă

5.8.4. Funcţia arccotangentă

5.9. Funcţii speciale

5.9.1. Funcţia valoare absolută

5.9.2. Funcţia caracteristică a unei mulţimi

5.9.3. Funcţia parte întreagă

5.9.4. Funcţia parte fracţionară

5.9.5. Funcţia signum

Capitolul I

Noţiuni generale despre funcţii şi modul lor de definire

1.1. Introducere în noţiunea de funcţie

Într-o expunere făcută de L.Euler1 în anul 1749 se menţionează de mai

multe ori noţiunea de funcţie ca fiind o mărime variabilă ce depinde de o

1 LEONHARD EULER ( BASEL, 15.04.1707- PETESBURG, 18.09.1783 ) matematician , mecanician , astronom şi fizician elveţian.

3

a

b

c

altă mărime variabilă. Pentru unele scopuri, o astfel de definiţie este

suficientă. Însă în dezvoltarea ulterioară a matematicii s-a impus necesitatea

de a se da noţiunii de funcţie un conţinut mai general şi mai abstract. Nu

dependenţa variabilelor ( prin care de obicei se înţeleg numere care pot fi

comparate în ceea ce priveşte mărimea) este esenţială în conţinutul noţiunii de

funcţie, ci corespondenţa prin care anumitor obiecte li se asociază alte

obiecte. În felul acesta, noţiunea de funcţie se fundamentează pe noţiuni ale

teoriei mulţimilor. O bară metalică prin încălzire îşi modifică dimensiunile, de

exemplu o bară de cupru de lungime 200 cm la 00 C, va avea la la o

temperatură de to C lungimea de l= 200(l0 +0,000016 *t). Această formulă

pune în corespondenţă fiecărei temperaturi t0 C cuprinsă între 00 C şi 1000 C o

anumită lungime l cuprinsă între 200 cm şi 200,32 cm. În mod analog fiecărei

cantităţi dintr-o anumită marfă îi corespunde o anumită sumă de bani, preţul

de vânzare.

În felul acesta, pot fi puse în corespondenţă nu numai mulţimi de numere

ci şi mulţimi generale astfel încât elementelor a A le corespund elemente b

B. Astfel corespondenţa este determinată de o relaţie între elemente din

mulţimea A şi elemente din mulţimea B.

Pentru a descrie o funcţie trebuie stabilite domeniul de definiţie,

domeniul valorilor şi corespondenţa dintre acestea.

1.1.1 Graful. O funcţie poate fi reprezentată grafic printr-un graf în

care domeniul de definiţie şi domeniul valorilor sunt reprezentate prin desene

iar corespondenţa se indică prin săgeţi.

1.1.2 Tabloul de valori. În loc de

graf se poate folosi pentru

reprezentarea unei funcţii un tabel de valori, pe rândul de sus se trec

elementele domeniului de definiţie iar pe rândul de jos se trec elementele

domeniului valorilor.

Domeni

ul de

definiţie

1

2 3

4 5

6 7

4

A

B

1 2 4

1

3

│uB│=1

│uA│=1

Domeni

ul

valorilor

1.1.3.Exprimarea prin text. Există situaţii în care domeniul de

definiţie şi domeniul de valori nu pot fi reprezentate printr-un graf sau

printr-o tabelă de valori. În acest sens un exemplu funcţia lui L. Euler ce

asociază oricărui număr raţional valoarea 1, iar oricărui număr iraţional

valoarea 0. Sau utilizând simboluri matematice:

f(x)=

1.1.4.Diagrama. O funcţie mai poate fi reprezentată printr-o

diagramă considerându-se axa orizontală ca domeniu de definiţie, axa

verticală - domeniul valorilor, iar punctele de pe curba ca definind

corespondenţa. Curba sau punctele rezultante trebuie să fie însă astfel încât

fiecărui punct al axei orizontale să-i corespundă cel mult un punct al curbei. Din

acest motiv nu orice curbă reprezentată într-un sistem ortogonal de axe poate

fi privită ca reprezentarea grafică a unei funcţii.

1.1.5.Diagramele cu săgeţi. Este una din modalităţile frecvent

utilizate pentru înţelegerea conceptului de corespondenţă ce reprezintă

funcţie. Domeniul de definiţie, respectiv codomeniul funcţiei sunt reprezentate

grafic prin figuri geometrice cum ar fi cerc, pătrat, dreptunghi, oval, curbe

închise etc., elementele mulţimilor fiind precizate în interiorul acestora, iar

legea de corespondenţă este dată prin săgeţi.

5

a

b c

1

2

3

f

A B

Sau

1.1.6.Noţiunea de formulă. Cea mai frecventă formă de reprezentare

a unei funcţii în matematică este printr-o formulă. În acest caz elementele

domeniului de definiţie şi a domeniului de valori nu pot fi decât numere sau

„obiecte matematice” pentru care s-au introdus reguli de calcul. De exemplu y

= x + 2 sau y = sin x .

Forma explicită. Forma y = F(x) a unei egalităţi funcţionale, în care F(x)

este o expresie oarecare ce depinde doar de variabila x, se numeşte formă

explicită.

Forma implicită. Spre deosebire de forma explicită în forma implicită

variabilele nu sunt izolate. Când o egalitate funcţională se dă sub forma

implicită atunci o variabilă se consideră dependentă iar cealaltă independentă.

Este de remarcat faptul că nu întotdeauna o exprimare implicită poate fi adusă

la forma explicită . De exemplu ecuaţia cercului cu centrul în origine şi rază 2

data de F(x,y): x2 +y2 = 4. Exprimarea lui y în funcţie de x ar fi următoarea:

. Ar fi însă o greşeală să se considere ca această exprimare

reprezentarea unei funcţii, deoarece nu este univocă.

1.1.7. Relaţii de recurenţă(funcţională).

1. Este cazul particular al şirurilor de numere reale în care un termen se

exprimă în funcţie de unul sau mai mulţi termeni din şir în ipoteza că se cunosc

unul sau mai mulţi termeni ai şirului. Relaţiile de recurenţă se pot împărţi în trei

categorii:

a. relaţii de recurenţă liniare de ordinul I. Relaţia

pentru α=1 şi β=r fixat număr real atunci şirul definit prin

relaţia de recurenţă devine n ≥1 ; a1=a fixat, l-am

numit progresie aritmetică cu primul termen a şi raţie r.

6

1 *2 *3 *

* a * b * c

f

b. relaţii de recurenţă liniare de ordinul II. Relaţia

cu n ≥0. Dacă a0= a1=1 şi α=β=1 se obţine şirul:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… numit şirul lui Fibonacci.

2. Relaţii de recurenţă de tipul implicit: sau

Corespondenţe de tip funcţie ce sunt obţinute pe cale

experimentală, prin studierea unui fenomen: electrocardiograma, cursul de

schimb valutar, etc.

În concluzie există două moduri de definire a funcţiilor sintetic – când

corespondenţa poate fi precizată element cu element şi analitic – când

corespondenţa este precizată prin enunţul unei formule sau

proprietăţi comune.

În cele ce urmează voi sintetiza câteva rezultate teoretice ce sunt utile în

formarea conceptului de funcţie bazându-mă pe elemente de teoria mulţimilor.

1.2. Noţiuni generale despre mulţimi, operaţii cu mulţimi

Noţiunea de mulţime este adoptată în sensul comun al termenului;

termeni sinonimi fiind: colecţie, grupare de obiecte. O mulţime este

descrisă fie prin indicarea sau enumerarea obiectelor sale fie printr-o

proprietate comună a acestora. Mulţimile se notează în general cu litere

mari: A, B, …, N, …R,...X, Z, etc. Un obiect generic al mulţimii îl vom numi

în mod uzual element al mulţimii. Elementele unei mulţimi sunt notate în

general prin litere mici: a, b, c,…….x, y, z, etc. sau alte simboluri cărora li s-a

acordat un sens sau semnificaţie. De exemplu: 0, 1, 2, …9 –cifre.

Dacă o mulţime este descrisă prin enumerarea elementelor sale atunci

ea se notează cu literă mare urmată de enumerarea elementelor sale între

acolade, astfel

A = { x, y, z }

Dacă o mulţime este descrisă printr-o proprietate comună a

elementelor sale atunci ea se notează cu literă mare urmată de enunţul

proprietăţii comune, astfel

B = { x │ x are proprietatea P }

Simbolul „ ” desemnează relaţia de apartenenţă a unui element la o

mulţime. Elementul x A dacă şi numai dacă x este un element al mulţimii

A. Relaţia duală este „ ” şi enunţul z B semnifică faptul că elementul z nu

aparţine mulţimii B.

7

BA

A BAB

A BAB

Definiţie: Mulţimea fără nici un element o vom numi mulţimea vidă şi o vom

nota cu simbolul Ø.

Definiţie: Despre două mulţimi A, B spunem că coincid sau sunt egale

dacă orice element al mulţimii A aparţine mulţimii B şi reciproc. Altfel

spus mulţimile A, B sunt constituite exact din aceleaşi elemente.

Notaţie: A = B şi

Definiţie: Despre mulţimea A spunem că este parte sau submulţime a

mulţimii B dacă orice element din A se găseşte în B.

Notaţie: A B Observaţie: Devine evident faptul că relaţia A = B A B şi B A

Definiţie: Fiind date mulţimile A, B prin intersecţia acestora înţelegem

mulţimea formată doar din elementele comune. Aceasta mulţime se

notează cu:

A B = { }

Utilizând o diagramă Venn Euler intersecţia a două mulţimi poate fi

reprezentată astfel:

Definiţie: Fiind date mulţimile

A, B prin reuniunea sau reunirea acestora înţelegem mulţimea formată din

elementele necomune şi comune, cele comune fiind luate o singură dată.

Aceasta mulţime se notează cu:

A B = { }

Utilizând o diagramă Venn Euler reuniunea a două mulţimi poate fi


A B

Definiţie: Fiind date mulţimile A, B prin mulţimea diferenţa A – B

înţelegem mulţimea formată doar din elementele mulţimii A necomune

mulţimii B.

Aceasta mulţime se notează cu: A - B = { } .

În mod asemănător se defineşte şi mulţimea B - A = { }

8

A-B B-AAB

2

1

3

4

1 2 3 4

(1,2)

(1,4)

(3,2)

(3,4)

(2,1)

(2,3)

(4,1)

(4,1)

Y

O X

Utilizând o diagramă Venn Euler diferenţa mulţimilor A – B şi B - A poate fi


A B

A

B

Devin evidente relaţiile : A B= (A-B) ( A B) (B-A)= A (B-A)=B (A-B)

Sau: A = (A-B) ( A B) şi B = ( A B) (B-A)

Definiţie: Fiind date mulţimile A şi B înţelegem prin mulţimea produs cartezian

A B mulţimea tuturor perechilor ordonate (x,y) cu x A şi y B.

Astfel: A B = { (x,y) │ } .

Observaţie: A B B A

Exemplu: Dacă A= {1,3} ; B={2,4 } atunci: A B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)}

şi B A = {(2,1), (2,3),(4,1), (4,3)}Într-un sistem cartezian de axe diferenţa

devine evidentă:

1.3. Relaţii binare

între

mulţimi.

Definiţie: Fie A şi B două mulţimi şi ρ o submulţime a produsului cartezian A

B. Spunem că elementele x A şi elementele y B sunt în relaţie ρ şi notăm

x ρ y dacă şi numai dacă (x,y) ρ. Mulţimea X : x X A astfel încât y Y

B şi x ρ y se numeşte domeniu de definiţie al relaţiei ρ (domeniu -

mulţime de plecare), iar mulţimea Y se numeşte domeniul valorilor

relaţiei ρ (codomeniu - mulţime de sosire).

9

1

2

3

2

4

Exemplu 1.: Dacă A= {1,3} ; B={2,4 } atunci: A B = {(1,2), (1,4), (3,2),

(3,4)} şi ρ = {(1,2), (3,4)} A B atunci X= A= {1,3} ; Y= B = {2,4 }

Exemplu 2.: Dacă A= {1,2,3} ; B={2,4 } atunci:

A B = {(1,2), (1,4),(2,2), (2,4) (3,2), (3,4)} şi ρ = {(1,2),(1,4) (3,4)} A B

atunci X= {1,3} A ; Y= B = {2,4 } . Realizăm astfel că 1 ρ 2 , 1 ρ 4, 3 ρ 4

altfel spus relaţia ρ asociază elementului 1 două elemente pe 2 respectiv 4,

respectiv elementului 3 pe 4.

X= {1,3} A ρ Y= B = {2,4 } .

ρ = {(1,2),(1,4) (3,4)} A B

În cele ce urmează voi prezenta doar acele relaţii ce asociază oricărui

element din mulţimea de definiţie un singur element în mulţimea codomeniu

numite relaţii univoce.

1.4. Noţiunea de funcţie.

Definiţie: Fie A şi B două mulţimi nevide. Spunem că am definit o funcţie pe

mulţimea A cu valori în B dacă printr-un procedeu oarecare (relaţie) facem

ca fiecărui element x A să-i corespundă un singur element y B.

Notaţie: O funcţie definită pe A cu valori în B se notează f : A B (citim “f

definită pe A cu valori în B”). Uneori o funcţie se notează simbolic A B, x

y = f(x) (citim: “f de x”), unde y este imaginea elementului x din A prin

funcţia f sau valoarea funcţiei f în x. Elementul x se numeşte argument al

funcţiei sau variabilă independentă.

Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie a funcţiei f iar B se numeşte

mulţimea în care funcţia ia valori sau codomeniul funcţiei f.

Dacă f este o funcţie de la A la B, atunci se mai spune că f este o aplicaţie

de la A la B.

De obicei funcţiile se notează cu litere mici f, g, h, … iar mulţimea tuturor

funcţiilor definite pe mulţimea A cu valori în mulţimea B se notează cu F(A,

B).

În concluzie o corectă definire a unei funcţii presupune existenţa a trei

elemente:

A= domeniul de definiţie al funcţiei

10

B= codomeniul funcţiei

f= legea de corespondenţă ce leagă cele două mulţimi.

1.5. Moduri de definire a unei funcţii.

După cum am văzut în capitolul introductiv, indiferent de modul în care este

definită o funcţie trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizează:

domeniul de definiţie, codomeniul şi legea de corespondenţă.

Există în principal două moduri fundamentale de definire a funcţiilor:

sintetic şi respectiv analitic.

În cele ce urmează voi exemplifica cele două moduri de definire în sens

general dar şi particular pentru funcţiile elementare studiate.

a. Funcţii definite sintetic corespund acelor funcţii f : A B pentru care se

indică fiecărui element x din A elementul y = f (x) din B sau altfel spus

corespondenţa este precizată “element cu element”

Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu săgeţi, fie cu ajutorul

tabelului de valori sau printr-un tablou.

Acest mod de a defini o funcţie se utilizează când A=domeniul de definiţie

este o mulţime finită.

Exemplu: Fie f : {1, 2, 3} {a,b,c} definită prin f (1) = a f (2) = b, f

(3) = c.

În diagrama cu săgeţi sunt reprezentate mulţimile prin diagrame, iar legea

de corespondenţă prin săgeţi. Faptul că fiecărui element x din A îi

corespunde un unic

element y = f (x) din B înseamnă pentru diagrama cu săgeţi că din fiecare

element din A pleacă o singură săgeată.

Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigenţă

înseamnă că într-un astfel de element pot ajunge una, mai multe săgeţi sau

chiar niciuna.

Un contraexemplu de lege de corespondenţă ce nu reprezintă o funcţie (ci

doar o relaţie) este reprezentat în diagrama de mai jos:11

a

b c

1

2

3

f

A B

a

b c

1

2

3

g

C D

Elementului 2 A nu-i corespunde nici un element din B sau din 2 nu porneşte

nici o săgeată înspre un element din B.

Contraexemplul de mai sus specifică o altă situaţie în care elementului 2 A

nu-i corespunde nici un element din B sau din 2 nu porneşte nici o săgeată

înspre un element din B şi elementului 1 A îi corespund două elemente din

B, f(1)=a şi f(1)=b.

Aceleaşi funcţii definite la exemplele de mai sus le putem descrie şi utilizând

tabelele de valori, acestea fiind formate din două linii, în prima linie se trec

elementele mulţimii pe care este definită funcţia (domeniul de definiţie al

funcţiei) iar pe linia a doua valorile funcţiei în aceste elemente.

x 1 2 3 A

y = f(x)

a b cf(A) B

Definiţie: Prin mulţimea f(A) = { y B x A y=f(x) } înţelegem imaginea

mulţimii A prin intermediul funcţiei f aceasta notându-se şi Imf, aceasta fiind o

submulţime a codomeniului nu neaparat egală ca mulţime cu codomeniul.

Exemplu: În funcţia f : {-1, 0, 1, 2} {a, b, c, d, e} definită cu ajutorul

tabelului de valori de mai jos.

X -1 0 1 2 A

Y = f(x) a b A cImf=f(A) B = {a, b, c, d,

e}

Atunci Imf = {f(-1), f(0), f(1), f(2)} = {a, b, c} B.

Exemplu: Funcţia f : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} definită prin f(1) = 3, f(2) = 1,

f(3) = 4, f(4) = 2 poate fi reprezentată sub forma unui tablou unde în prima

linie avem domeniul de definiţie iar în linia a doua sunt valorile funcţiei în

punctele domeniului (3 este valoarea lui f în x = 1, 1 este valoarea lui f în x =

12

f

a

b c

1

2

3

A B

2, etc.). O astfel de funcţie se numeşte permutare de gradul patru. O astfel

de reprezentare este f=

Observaţie. Nu putem defini sintetic o funcţie al cărui domeniu de

definiţie are o infinitate de elemente.

b. Funcţii definite analitic. Funcţiile f : A B (unde A,B )definite cu

ajutorul unei (sau a unor) formule, sau a unor proprietăţi sunt funcţii definite

analitic. Corespondenţa f leagă între ele elementul arbitrar x din A de

imaginea sa y = f(x).

Exemplu:

1) Fie funcţia f : R R, f(x) = x2+1. Această funcţie asociază fiecărui număr

real x numărul x2+1.

2x - 1, dacă x este par

2) Funcţia f : Z Z, f(x)=

2x + 1, dacă x este impar,

este exemplu de funcţie definită prin două formule.

Funcţiile definite prin mai multe formule se numesc funcţii multiforme.

Observaţie. În cazul funcţiilor multiforme, fiecare formulă este valabilă pe o

anumită submulţime a lui A şi deci două formule nu pot fi folosite pentru

determinarea imaginea unuia şi aceluiaşi element.

Cea mai frecventă reprezentare a unei funcţii în matematică este printr-o

formulă. În acest caz, elementele domeniului de definiţie şi ale domeniului

valorilor nu pot fi decât numere sau “obiecte matematice” pentru care s-au

introdus reeguli de calcul corespunzătoare. De exemplu: y = f(x) = 4x – 2. f: R

R.

Observaţie: Când asupra domeniului de definiţie nu s-au făcut ipoteze

speciale, se consideră ca făcând parte din acesta toate numerele reale, cărora

din formula respectivă li se pune în corespondenţă o anumită valoare.

De exemplu în cazul funcţiei y = 4x – 2, domeniul de definiţie este alcătuit din

mulţimea numerelor reale.

Definiţie. Fie f : A B, g : C D două funcţii; f, g sunt funcţii egale (notând

f = g) dacă: A = C (funcţiile au acelaşi domeniu de definiţie)

13

a

b c

1

2

3

f

A B

b

a c

1

2

3

g

C D

1

2

3

-1

0

1

2

f

A B

f-1

B = D (funcţiile au acelaşi codomeniu)

f(x) = g(x), x A (punctual, funcţiile coincid).

Definiţie. Fie f : A B. Se numeşte imaginea reciprocă a unei părţi B’ a

lui B, notată f -1 (B’), submulţimea lui A formată din acele elemente ale căror

imagini prin f aparţin lui B’. Deci, f-1(B’) = {x A f(x) B’}.

Exemplu: Se consideră funcţia f : {-1, 0, 1, 2} {1, 2, 3} definită prin diagrama cu

săgeţi. În acest caz, f-1({1}) = {0}, deoarece f(0) = 1; f- 1({2}) = {-1, 1}

pentru că f(-1) = f(1)

= 2; f-1({1,2}) = {- 1, 0, 1}, deoarece f(-1) = 2, f(0) = 1, f(1) = 2.

14

f-1(B’) A

A

Imf=f(A)

B

B’Imf

f

f-1

a

b c

1

2

3

f

A B

1.6. Graficul unei funcţii.Definiţie: Fie o funcţie f : A B. Se numeşte graficul funcţiei f mulţimea de

cupluri Gf = {(x, f(x)) x A} = {(x, y) x A, y = f(x)}.

Exemple: 1) Fie funcţia definită de diagrama de mai jos

Atunci graficul său este mulţimea Gf

= {(x, f(x)) x A} = {(x, y) x A, y

= f(x)} = {(1,a), (2,b),(3,c)}.

2) În funcţia f : {-1, 0, 1, 2} {-2, 0, 2, 3} definită cu ajutorul tabelului de valori de mai jos.

x -1 0 1 2 A

Y = f(x) 2 3 -2 0Imf=f(A) B = {a, b, c, d,

e}

În acest caz, graficul lui f este mulţimea Gf = {(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)}.

Dacă funcţia f : A B este o funcţie numerică (A,B R), atunci la produsul

cartezian A x B R x R, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia în planul

în care se consideră un reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y)

(punctul M având coordonatele x, y, componentele cuplului). Cum mulţimea R

x R se reprezintă geometric prin planul cartezian, se poate deduce că:

graficul funcţiei numerice se reprezintă geometric printr-o anumită

submulţime a planului.

Această submulţime a planului se numeşte reprezentarea geometrică a

graficului funcţiei. Reprezentarea grafică a unei funcţii f : A B este, în

15

general, o curbă, numită curba reprezentativă a funcţiei f şi notată Cf = {M

(x, y) x A, y = f(x)}.

Prin abuz de limbaj, în loc de reprezentarea geometrică a unei funcţii

vom spune simplu graficul funcţiei f.

Exemplu: Funcţia f : {-1, 0, 1} R, f(x) = 2x are graficul Gf = {( -1, -2), (0, 0),

(1, 2)}, iar reprezentarea grafică este formată din trei puncte: A(-1, -2), O(0,

0), B(1, 2).

Exemplu: Funcţia g : R R, f(x) = 2x are graficul Gf reprezentat de o dreaptă

iar reprezentarea sa grafică trece prin cele trei puncte: A(-1, -2), O(0, 0), B(1,

2) amintite mai sus.

y=g(x)=2x

Capitolul II16

Proprietăţi ale funcţiilor2.1. Funcţii pare, impare.

Definiţie: Despre mulţimea D R spunem că se numeşte mulţime simetrică

dacă şi numai dacă : x D -x D

Definiţie: Fie f : D R, D simetrică. Despre funcţia f spunem că este:

a. funcţie pară dacă şi numai dacă: x D f(-x) = f(x)

b. funcţie impară dacă şi numai dacă: x D f(-x) = - f(x)

Observaţie: Dacă funcţia f : D R, (D simetrică) este:

a. funcţie pară atunci Gf este simetric faţă de axa Oy

b. funcţie impară atunci Gf este simetric faţă de O (originea axelor de

coordonate).

Exemple:

Y1=x2

Y2=x3

2.2. Funcţii monotone. Fie f : A R, o funcţie de variabilă reală şi I A.

Definiţie: Despre funcţia f spunem că este:

a. strict crescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) < f(x2).

b. strict descrescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) > f(x2).

17

c. crescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) f(x2).

d. descrescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) f(x2).

Observaţie: O funcţie f crescătoare pe I sau descrescătoare pe I se

numeşte monotonă pe I. Dacă f este strict monotonă (sau monotonă) pe A (pe

tot domeniul de definiţie ) spunem simplu că funcţia f este strict monotonă (sau

monotonă) fără a mai indica mulţimea. A studia monotonia unei funcţii f : A R

revine la a preciza submulţimile lui A pe care f este strict crescătoare

(crescătoare) şi submulţimile lui A pe care f este strict descrescătoare

(descrescătoare).

Pentru studiul monotoniei unei funcţii numerice f : A R, se utilizează

raportul:

cu x1, x2 A şi x1 x2 numit raportul de variaţie asociat funcţiei

f şi numerelor x1, x2. Diferenţa (x2 – x1) se numeşte variaţia argumentului,

iar diferenţa (f(x2) - f(x1)) se numeşte variaţia funcţiei. Prin urmare raportul

de variaţie asociat lui f şi numerelor x1, x2 este raportul dintre variaţia funcţiei

şi variaţia argumentului.

2.3. Valori extreme ale unei funcţii.

Definiţie: Fie funcţia numerică f : A R, I A. Dacă există x0 I astfel încât

f(x) f(x0), x I, atunci f(x0) se numeşte maximumul local al funcţiei f pe

mulţimea I şi scriem f(x0) = maxf(x).

Punctul x0 pentru care se obţine valoarea maximă a lui f pe I se numeşte

punct de maxim local pentru funcţia f pe I. Dacă există x1 I astfel încât

f(x) f(x1), x I, atunci f(x1) se numeşte minimumul local al funcţiei f pe

mulţimea I şi scriem f(x1) = minf(x). Punctul x1 pentru care se obţine valoarea

minimă a lui f pe I se numeşte punct de minim local pentru funcţia f pe I.

Valoarea maximă sau minimă a lui f pe I se numesc valoari extreme ale

funcţiei pe I.

Exemplu: f : R R f(x) = x3 – x2

18m=(x1,f(x1))minim local

M=(x0,f(x0))maxim local

Punctul x0 de maxim sau x1 de minim se numeşte punct de extrem local

pentru funcţia f pe I.

Exemplu: Graficul de mai sus este graficul funcţiei: f : R R ; f(x)=x17-8x15

Exemplu: Funcţia f definită prin tabelul de valori are valoarea maximă egală

cu 8 şi se

atinge pentru x = -6.

x -6 -4 -1 0 1 2

y = f(x) 8 3 -1 -5 0 1

Deci maxf = f(-6)= 8. Punctul x = -6 este punct de maxim pentru funcţie.

Valoarea minimă a lui f este egală cu –5 şi se obţine pentru x = 0. Deci min f

= f(0) = -5. Punctul x= 0 este punctul de minim al funcţiei. În final, valorile

extreme ale

funcţiei sunt –5 şi 8, iar punctele de extrem sunt 0 şi respectiv –6.

2.4. Funcţii mărginite.

Definiţie: O funcţie numerica f: A R (A R) se numeste marginită dacă

există două numere reale m, M a.î. m f(x) M, xA.

Exemplu: Funcţia sinx: R [-1,1] al cărei grafic este reprezentat mai jos.

y=sinx

19

Exemplu: Funcţia cosx: R [-1,1] al cărei grafic este reprezentat mai jos.

y=cosx

Semnificaţia geometrică a unei funcţii mărgintite este aceea că graficul

funcţiei este cuprins între dreptele orizontale y = m, y = M, după cum

se observă şi din graficele celor două funcţii prezentate în exemple de funcţii

sin x şi cos x unde M = 1 şi m = -1. O definiţie echivlaentă ar fi şi

următoarea:

Definiţie: O functie numerica f: A R (A R) se numeste marginită dacă

există numărul real M a.î. |f(x)| M, xA.

2.5. Funcţii injective.

Definiţie: : O funcţie f: A → B se numeste functie injectivă ( sau simplu

injecţie) dacă: x1 , x2 A cu x1 ≠ x2 f(x1 ) ≠ f( x2)

Altfel spus: O funcţie f: A → B se numeste functie injectivă ( sau simplu

injecţie) dacă orice element din B este imaginea prin f a cel mult unui element

din A, ceea ce-i echivalent cu faptul ca pentru orice y B ecuatia f (x) = y are

cel mult o solutie x A.

20

a

b c

1

2

3

f

A B

Exemplu:

y=x5

Exemplu:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = f(x)= x5 -243 -32 -1 0 1 32 243

Utilizând un principiu al logicii formale potrivit căruia propoziţiile (p q) (

), o altă modalitate de definire a unei funcţii injective ar fi:

Definiţie: O funcţie f: A → B se numeste functie injectivă ( sau simplu

injecţie) dacă: din presupunerea f(x1 ) = f( x2) x1 = x2

Exemplu: Funcţia definită sintetic prin diagrama de mai jos este o funcţi injectivă

Un contraexemplu de funcţie ce nu este injectivă este prezent în graficul de mai jos:

21

y = x4-16x

Observăm că

orice dreaptă y || Ox dusă prin orice y -12*22/3 -19,05 (minimumul global al

funcţiei) intersectează graficul funcţiei în două puncte.

2.6. Funcţii surjective.

Definiţie: O funcţie f: A → B se numeste funcţie surjectivă ( sau simplu

surjecţie) y B, x A astfel incat f(x) = y.

Este valabilă şi următoarea definiţie echivalentă cu prima.

Definiţie:O funcţie f: A → B se numeste funcţie surjectivă ( sau simplu

surjecţie) dacă orice element din B este imaginea prin f a cel puţin unui

element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul că pentru orice y B ecuatia f (x)

= y are cel puţin o soluţie x A.

Sau f: A → B este surjectivă f (A) =B, adică Im f = B.

Pe diagrama cu săgeţi o funcţie este surjectivă dacă la fiecare element din B

ajunge cel puţin o săgeată. Graficul unei funcţii poate preciza daca funcţia este

surjectivă. Altfel spus Dacă orice paralela la Ox dusă printr-un punct al

codomeniului taie graficul in cel putin un punct atunci funcţia f este

surjectivă.

Exemplu:

Funcţia ex : R → (0, )

y=ex

22

A B

Observaţie:

O funcţie f: A → B nu este surjectivă dacă exista y B astfel încât x A, f

(x) ≠ y. Un astfel de contraexemplu poate fi definit în diagrama de mai jos.

Elementului c B nu-i corespunde nici o contraimagine din A.

2.7. Funcţii bijective

Definiţie: O funcţie f: A → B se numeste funcţie bijectivă ( sau simplu

bijecţie), dacă este atât injectivă cât şi surjectivă. Altfel spus funcţia f: A → B

este funcţie bijectivă y B, ! x A astfel încât f(x) = y. Simbolul !

înseamna “există în mod unic”.

Observaţie: Pe diagrama cu săgeti o funcţie este bijectivă dacă în fiecare

element al codomeniului ajunge exact o săgeată. Se mai spune despre

funcţia bijectivă că este o corespondenta “one to one” (“unu la unu”) sau

corespondenţă biunivocă. O funcţie numerică dată prin graficul său este

bijectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă printr-un punct al codomeniului

taie graficul în exact un punct.

23

a

b c

1

2

3

f

A B

Exemplu: Funcţia f: R→ R unde f(x) = x3 +1 este bijectivă (fiind dealtfel o

funcţie strict monotonă).

y= x3 +1

2.8. Funcţii inversabile

Dacă f: A → B este bijectivă, atunci pentru orice element y B există exact un

element x din A astfel încât f(x) = y, ceea ce inseamna ca x = f-1 (y) (adică

preimaginea sau contraimaginea elementului y este elementul x).

Definiţie: Fie f: A → B o funcţie bijectivă Se numeşte funcţie inversă a funcţiei

f, funcţia g: B → A, care asociază fiecărui element y din B elementul unic x din A

astfel încât f(x) = y.

Notaţie: Pentru funcţia g utilizăm notatia f-1 (citim “f la minus unu”). O funcţie f

care are inversă se spune ca este invesabilă.

Funcţia f se numeste funcţie directă, iar f-1 funcţie inversă (a lui f).

Exemplu: Pentru funcţia f : R → R descrisă de forma analitică f(x)=2x+1 admite

ca funcţie inversă f-1 (x)= .

Din punct de vedere grafic cele două drepte sunt simetrice faţă de dreapta de

ecuaţie

y = x (ecuaţia primei bisectoare), după cum se observă în graficul comparativ de

mai jos.

24

x

yy=2x+1

y=

y=x

2.9 Funcţii convexe, concave. Considerăm funcţia f: I R unde I – interval.

Atunci are loc următoarea:

Definiţie: a) despre funcţia f spunem că este convexă pe intervalul I dacă: x1,

x2 I , q1, q2≥0 astfel încât q1+ q2=1 avem: f(q1 x1+ q2 x2) ≤ q1 f(x1) + q2 f(x2) (1)

b) despre funcţia f spunem că este concavă pe intervalul I dacă: x1, x2 I , q1,

q2≥0 astfel încât q1+ q2=1 avem: f(q1 x1+ q2 x2) ≥ q1 f(x1) + q2 f(x2) (2)

Observaţie: Dacă în inegalităţile (1) şi (2) avem inegalitate strictă se spune că

funcţia f este strict convexă respectiv strict concavă.

Noţiunea de funcţie convexă respectiv concavă a fost introdusă J. Jensen2

care a pornit de la o relaţie mai particulară decât (1) şi(2), anume:

a) despre funcţia f spunem că este convexă pe intervalul I dacă: x1, x2

I , x1≠x2 ;

b) despre funcţia f spunem că este convcavă pe intervalul I dacă: x1,

x2 I , x1≠x2

Din punct de vedere grafic pentru o funcţie convexă avem:

2 Johan Ludwig William Valdemar Jensen, cunoscut sub numele de Johan Jensen, (Mai 8, 1859 – Martie 5, 1925), matematician şi inginer danez, celebru pentru inegalitatea ce-i poartă numele.

25

O

x1 x2(x1+x2)/2

A

B

C

A’ C’ B’O

A’’

C’’

f(x1)

f(x2)

[f(x1) + f(x2)] /2

f [(x1+x2)/2]

http://en.wikipedia.org/wiki/1925

http://en.wikipedia.org/wiki/March_5

http://en.wikipedia.org/wiki/1859

http://en.wikipedia.org/wiki/May_8

Exemplu: f: R R f(x) = x2 este o funcţie convexă

Din punct de vedere grafic pentru o funcţie concavă avem:

Exemplu: f: R R f(x) = - x2 este o funcţie concavă.

Observaţie: Funcţia de gradul II-lea de forma f(x)=ax2+bx+c unde f: R R este:

a. convexă pe R dacă a > 0

b. concavă pe R dacă a < 0

2.10. Funcţii periodice.

Definiţie: Fie T R* şi f: D R, unde D R o mulţime cu proprietatea

x D x+T D şi x -T D. Despre f: D R spunem că este periodică de

perioada T dacă f(x+T)= f(x) (1). Cel mai mic întreg pozitiv T pentru care este

îndeplinită relaţia (1) se numeşte perioada principală a lui f.

Exemple:

1. Funcţiile trigonometrice sinx, cosx sunt periodice de perioada principală 2

26

x1 x2(x1+x2)/2

A

B

C

A’ C’ B’O

A’’

C’’

f(x1)

f(x2)

[f(x1) + f(x2)] /2

f [(x1+x2)/2]

2. Funcţia lui Dirichlet3 : f(x)= este periodică având ca perioada

orice număr raţional.

Capitolul III

Operaţii cu funcţii

3.1. Operaţii algebrice cu funcţii.

Definiţie: Fie A, B R. O funcţie f: A B se numeşte funcţie numerică sau

funcţie reală de variabilă reală.

Definiţie(Operaţii cu funcţii):

a) Funcţia (f+g): A R definită prin (f+g) (x) = f (x) + g (x), x A, se numeşte

suma dintre funcţia f şi funcţia g.

b) Funcţia (f*g) : A R definită prin (f*g ) (x) = f (x) * g(x), x A, se numeşte

produsul dintre funcţia f şi funcţia g.

c) Funcţia ( ) : A – { x g (x) = 0 } R definita prin ( ) (x) = , x A, g

(x) 0 se numeşte câtul dintre funcţia f şi funcţia g.

Definiţie:

a) Se defineşte produsul dintre un număr real şi o funcţie f : A R, ca fiind

functia f : A R, (f) (x) = f(x), x A.

b) Dacă f : A R, atunci definim diferenţa dintre funcţia f şi funcţia g ca

fiind funcţia f – g : A R, (f - g ) (x) = f(x) – g (x), x A. De fapt, diferenţa f - g

este suma f + (-g), unde –g = (-1) g.

Exemplu: Fie f, g : R R, f(x) = 3x+1, g(x) = - x +3. Atunci f + g, f- g, f*g : R

R sunt definite astfel:

(f + g )(x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 – x +3 = 2x + 4.

(f - g)(x) = f(x) – g(x) = 3x+1 –x + 3 = 4x – 2.

3 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805 – 1859, matematician francez

27

(f*g)(x) = f(x)*g(x) = (3x + 1)(-x + 1) = -3x2+2x+1.

Proprietăţi ale adunării funcţiilor

Fie F (A, R) mulţimea tuturor funcţiilor definite pe A cu valori in R. Atunci are loc:

Teoremă: Pentru operaţia de adunare pe F (A, R) au loc proprietăţile:

1) (f +g) + h = f + (g + h), f, g, h F (A, R) (adunarea funcţiilor este

asociativă);

2) f + g = g + f , f, g F(A, R) (adunarea funcţiilor este comutativă);

3) exista functia 0 F (A, R), 0(x) = 0, x A astfel incat f + 0 = 0 + f = f, f

F(A, R) (0 se numeşte funcţie nulă şi este element neutru pentru

adunarea funcţiilor);

4) f F (A, R), (-f) F (A, R) astfel încât f + (-f) = (-f) + f = 0 ( orice funcţie

f are o opusa (-f)).

Proprietăţi ale înmulţirii funcţiilor.

Teoremă: Pentru operaţia de înmulţire pe F (A, R), au loc proprietăţile:

1) (f * g) * h = f * (g * h), f, g, h F (A, R) (înmulţirea funcţiilor este

asociativă);

2) f* g = g * f , f, g F (A, R) (înmulţirea funcţiilor este comutativă);

3) există functia 1 F (A, R), 1(x) = 1, x A astfel incat f * 1 = 1 * f = f

f F (A, R) (1 se numeste funcţia unitate pe mulţimea A ).

Propoziţie: Înmulţirea este distributivă în raport cu adunarea pe F(A, R),

adica:

f * (g + h) =fg + f h, f, g, h F (A, R).

3.2. Compunerea funcţiilor

O altă operaţie care se poate efectua asupra a două funcţii este cea de

compunere.

Fie f: A B, g : B C, două funcţi cu următoarea particularitate: codomeniul

lui f este egal cu domeniul lui g.

Cu ajutorul acestor funcţii se poate construi o altă funcţie h : A C. Funcţia h

astfel definită se notează gf (citim “g compus cu f”) şi reprezintă compunerea

funcţiei g cu f (în această ordine). Funcţia gof are domeniul lui f (prima funcţie

care acţionează în această compunere) şi codomeniul lui g (ultima care

acţionează în compunere).

Definiţie. Fie A, B, C mulţimi nevide şi funcţiile f : A B, g : B C. 28

Se numeşte compusa funcţiei g cu funcţia f, considerată în această ordine,

funcţia notată gof , definită astfel: gof : A C , (gof)(x) = g(f(x)), x A.

Observaţii.

a) Funcţia compusă gof a două funcţii f, g nu poate fi definită decât dacă

codomeniul lui f coincide cu domeniul de definiţie a lui g.

b) Dacă f : A B, g : B A, atunci are sens fog şi gof. Însă în general însă gof

fog.

Teoremă: Fie f,g,h F(R). Atunci au loc relaţiile:

o Asociativitatea compunerii

f g , h F avem fo(goh) = (fog)oh

o (ne)Comutativitatea

f, g F a.î. fog gof

o Element neutru

o funcţie 1A F a.î. F avem fo1A = 1Aof = f; 1A : A A; 1A(x) = x (funcţie

identică pe A)

o Elemente simetrizabile

Funcţia inversă: f : A B, g : B A; g se numeşte inversa (notaţie: g = f-1)

lui f dacă: fog = 1B şi gof = 1A

Proprietăti:

a) g = f-1 (gof)(x) = x (fog)(x) = x;

b) f-1(f(x)) = x x A şi f(f-1(x)) = x x B;

c) f inversabilă f bijecţie

Observaţie: Nu toate funcţiile admit inverse!

29

A B

C

f

g

gof

Capitolul IV

Teoreme de caracterizare a funcţiilor

4.1 Monotonia unei funcţii.

Teoremă: Fie f : A R o funcţie numerică şi I A. Atunci:

a. f este strict crescătoare (crescătoare) pe I > () 0,

() x1, x2 I x1 x2;

b. f este strict descrescătoare (desccrescătoare) pe I <

()0,

() x1, x2 I x1 x2;

Demonstraţie: Fără a restrânge generalitatea teoremei vom demonstra doar

punctul a demonstraţia de la punctul b fiind asemănătoare.

„ ” presupunem că f este strict crescătoare pe I () x1, x2 I cu x1 < x2

f(x1) < f(x2).

Atunci din x1 < x2 x2- x1> 0 (1)

Atunci din f(x1) < f( x2) f(x2)- f(x1) > 0 (2)

Atunci din (1) şi (2) prin efectuarea raportului > 0

„ ” Presupunem că pentru funcţia f : A R o funcţie numerică şi I A sunt

satisfăcute condiţiile: () x1, x2 I cu x1 < x2 şi > 0

Atunci din x1 < x2 x2- x1> 0 (1’)

Atunci din > 0 (2’)

Atunci din (1’) şi (2’) > 0 f(x1) < f( x2) funcţia este strict

crescătoare.

4.2 Injectivitatea unei funcţii

Teoremă: Pentru funcţia f: A → B unde A, B R sunt echivalente următoarele

afirmaţii:

a. funcţia f este injectivă;

b. x1 , x2 A cu x1 ≠ x2 f(x1 ) ≠ f( x2);

30

c. f(x1 ) = f( x2) x1 = x2;

d. Pentru y B, ecuaţia f(x) = y are cel mult o soluţie x A;

e. Orice paralelă la axa Ox, dusă printr-un punct al codomeniului, taie graficul

funcţiei în cel mult un punct.

4.3 Monotonia şi injectivitatea unei funcţii

Teoremă: Fie f : A R o funcţie numerică strict monotonă pe A. atunci funcţia f

este injectivă.

Demonstraţie: Considerăm o funcţie f : A R strict crescătoare (în mod

asemănător se procedează şi pentru o funcţie strict descrescătoare). Fie x1 , x2 A

cu x1 ≠ x2 .

Din x1 ≠ x2 rezultă una din situaţiile: x1 < x2 sau x1 > x2. Cum funcţia este strict

crescătoare avem:

Dacă x1 < x2 atunci f(x1 ) < f(x2) deci f(x1 ) ≠ f(x2)

Dacă x1 > x2 atunci f(x1 ) > f(x2) deci f(x1 ) ≠ f(x2)

Adică pentru orice caz avem f(x1 ) ≠ f(x2) f este injectivă.

Observaţie: Reciproca teoremei de mai sus nu este adevărată după cum se

observă în exemplul următor.

Graficul funcţiei

f(x)=1/x

Exemplu: f: R* → R descrisă de formula f(x) = este o funcţie injectivă dar nu

este strict monotonă, după cum se observă din graficul funcţiei.

Observaţie: f: R* → R descrisă de formula f(x) = este strict descrescătoare pe

( ) şi strict crescătoare pe ( )31

4.4 Surjectivitatea unei funcţii

Teoremă: Funcţia f: A → B este surjectivă dacă şi numai dacă Im f = B

Demonstraţie: „ ” este imediată

„ ” Egalitatea a două mulţimi se demonstrează prin dubla incluziune. Avem

întotdeauna f(A) B (1). Fie acum y B, cum f este surjectivă, există atunci x A,

astfel încât f(x)=y. Deci y f(A). De aici rezultă B f(A) (2). Din (1) şi (2) rezultă

f(A)= B.

Observaţie: Funcţia f: A → B nu este surjectivă dacă f(A)≠B

Teoremă: Pentru funcţia f: A → B unde A, B R sunt echivalente următoarele

afirmaţii:

a. funcţia f este surjectivă;

b. y B, x A, astfel încât f(x) = y;

c. Pentru y B, ecuaţia f(x) = y are cel puţin o soluţie x A;

d. Im f = f(A) = B;

e. Orice paralelă dusă la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul

funcţiei în cel puţin un punct.

4.5 Bijectivitate unei funcţii.

Teroremă: Pentru funcţia f: A → B unde A, B R sunt echivalente următoarele

afirmaţii:

a. f este bijectivă;

b. f este injectivă şi surjectivă în acelaşi timp;

c. Pentru y B, ecuaţia f(x) = y are o unică soluţie x A;

d. Orice paralelă dusă la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul

funcţiei în exact un punct.

4.6 Compunerea funcţiilor injective, surjective, bijective.

Teoremă: Fie funcţiile f: A → B, g: B → C. Dacă:

a. f,g sunt surjective funcţia gof este surjectivă;

b. f,g sunt injective funcţia gof este injectivă;

c. f,g sunt bijective funcţia gof este injectivă;

32

d. gof este injectivă f este injectivă;

e. gof este surjectivă g este surjectivă ;

Capitolul V

Proprietăţi ale funcţiilor elementare

5.1. Funcţii polinomiale

Definiţie: Funcţia f: R → R, f(x)= anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+……+ a1x1+ a0x0 se

numeşte funcţie polinomială de gradul n de coeficienţi ai R, n N, an 0 şi

variabilă x.

În funcţie de gradul polinomul asociat, funcţia are proprietăţi de monotonie,

convexitate şi concavitate, bijectivitate şi continuitate diferite, de aceea în

prezenta lucrare, la această secţiune voi prezenta cazul funcţiiilor de gradul I , II

şi funcţia putere cu exponent natural ca şi cazuri particulare a funcţiei

polinomiale.

5.1.1 Funcţia liniară sau funcţia de gradul I.

33

Definiţie: Funcţia f: R → R, f(x)= ax+b se numeşte funcţie de gradul I de

coeficienţi a,b R. În tabelul de mai jos regăsim principalele caracteristici:

Funcţia f: R → R,

f(x) = ax+b unde a,b R a 0

Intersecţia cu axele

De coordonate Ox şi Oy

Gf Ox: f(x)=0 x= A( ,0) Ox

Gf Oy: x=0 f(0)=b B(0,b) Oy

Convexitate şi concavitate Şi convexă şi concavă în acelaşi timp.

Paritate Când b = 0 funcţia este impară, Gf fiind simetric faţă de

O(0,0), în rest nu se pune problema.

Monotonia funcţiei

a< 0x - +

f(x)=ax+b + ↓ ↓ ↓ 0 ↓ ↓ ↓ -

a >0

x - +

f(x)=ax+b - ↑ ↑ ↑ 0 ↑ ↑ ↑ +

Semnul funcţieix - +

f(x)=ax+b Semn opus a 0 acelaşi semn a

Continuitate Gf este o dreaptă continuă

Bijectivitate Da

Observaţie: În cazul a=0 funcţia este constantă, Gf fiind o dreaptă ││Ox.

5.1.2. Funcţia de gradul II.

Definiţie: Funcţia f: R → R, f(x)= ax2+bx+c se numeşte funcţie de gradul II de

coeficienţi a,b,c R. cu a≠ 0.

Funcţiaf: R → R,

f(x)= ax2+bx+c, a,b,c R. cu a≠ 0.

Calculul discriminantului

∆

∆=b2-4ac

∆ >0 ∆=0 ∆<0

Vârful

parabolei

V( )

Dacă a > 0 V – punct

de minim

Dacă a < 0 V – punct

de maxim

V( ) Ox

Dacă a > 0 V – punct de minim

Dacă a < 0 V – punct de maxim

V( )

Dacă a > 0 V – punct de minim

Dacă a < 0 V – punct de maxim

34

Intersecţia cu axele de

coordonate

Gf Ox: f(x)=0

A1(x1,0) şi A2(x2,0) Ox

Gf Oy: x=0 f(0)=c

C(0,c) Oy

Gf Ox:

A1=A2= V( )

Ox

Gf Oy: x=0 f(0)=c

C(0,c) Oy

Gf Ox=

Gf nu intersecteaza axa Ox

Gf Oy: x=0 f(0)=c

C(0,c) Oy

Monotonia

funcţiei de gradul II

x = axa de

simetrie a Gf

x = axa de

simetrie a Gf

x = axa de simetrie

a Gf

a > 0

x- -b/2a +

f(x)+ ↓ ↓ -∆/4a ↑ ↑ +

a < 0

x- -b/2a +

f(x)+ ↑ ↑ -∆/4a ↓ ↓ +

Semnul funcţiei x - x1 x2 + x - x1 = x2 + x - +

f(x) sgn(a) 0 –sgn(a) 0 sgn(a)

f(x) sgn(a) 0 sgn(a)

f(x) sgn(a) sgn(a) sgn(a)

Bijectivitate NU

Continuitate Gf este o curbă continuă numită parabolă

5.1.3 Funcţia putere cu exponent număr natural.

Definiţie: Funcţia f: R → R, f(x)=xn cu n N* se numeşte funcţie putere cu

exponent număr natural.

În tabelul de mai jos voi reda principalele atribute ce caracterizează această funcţie:

Funcţia f: R → R, f(x)=x2k,

n N*

f: R → R, f(x)=x2k+1,

n N*


de coordonate Ox şi OyO(0,0) O(0,0)

Paritate f(-x)=f(x) funcţie pară f(-x)=-f(x) funcţie impară

Simetria graficului Gf Gf simetric faţă de Oy Gf simetric faţă de O

Convexitate şi concavitate

Convexă pe R Concavă pe (- ,0)

Convexă pe [0,+ )

35

O(0,0) punct de inflexiune

Puncte remarcabile pe

graficul funcţiei(-1,1), (0,0), (1,1) (-1,-1), (0,0), (1,1)

Ordonarea puterilor pe

(0,1) şi (1, + )

Pentru 0< x < 1 xn+1 < xn

Pentru x > 1 xn+1 > xn



Monotonia funcţiei

x- -1 0 1 +

x - -1 0 1 +

x2k + ↓ 1 ↓ 0 ↑ 1 ↑ +x2k+1 + ↑ - 1 ↑ 0 ↓ 1 ↓ +

Strict descr. pe (- ,0)

Strict cresc. pe [0,+ )

(0,0) punct de minim

Strict crescătoare pe R

(0,0) punct de inflexiune

Semnul funcţiei

x - 0 + x- 0 +

x2k + + + + + 0 + + + + +

x2k+1 + - - - - 0 + + + + +

Continuitate Gf este o curbă continuă Gf este o curbă continuă

5.2. Funcţia putere cu exponent număr întreg negativ.

Definiţie: Funcţia f: R → R, f(x)=x-n cu n N* se numeşte funcţie putere cu

exponent număr întreg negativ.

Funcţiaf: R* → R*, f(x)=

n N*

f: R* → R*, f(x)= ,

n N*


de coordonate Ox şi OyNu taie axele de coordonate Nu taie axele de coordonate

Paritate f(-x)=f(x) funcţie pară f(-x)=-f(x) funcţie impară

Simetria graficului Gf Gf simetric faţă de Oy Gf simetric faţă de O

Convexitate şi concavitate Convexă pe R*

Concavă pe (- ,0)

Convexă pe [0,+ )

O(0,0) punct de inflexiune

36


graficul funcţiei(-1,1), (1,1) (-1,-1), (1,1)

Comportament asimptotic

x=0 asimptotă verticală

y=0 asimptotă orizontală

x=0 asimptotă verticală

y=0 asimptotă orizontală

Ordonarea puterilor pe

(0,1) şi (1, + )



Monotonia funcţiei

x- -1 0 1 +

x - -1 0 1 +

0 ↑ 1 ↑+ │+ ↓1 ↓ 0 0 ↓ -1 ↓- │+ ↓1 ↓ 0

Strict cresc. pe (- ,0)

Strict descresc. pe [0,+ )

Strict descrescătoare pe R*

Semnul funcţiei

x - 0 + x- 0 +

+ + + + + │ + + + + +

+ - - - - │ + + + + +

ContinuitateGf este o curbă continuă pe

(- ,0) şi pe (0,+ )

Gf este o curbă continuă pe

(- ,0) şi pe (0,+ )

Bijectivitate Nu Da

5.3. Funcţia radical de ordinul n.

Definiţie:

a) Funcţia f: R → R, f(x)= , n N*, se numeşte funcţia radical de ordin impar.

b) Funcţia f: [0,+ ) → [0,+ ), f(x)= n N*, se numeşte funcţia radical de ordin par.

Funcţia f: [0,+ ) → [0,+ ),

f(x)= n N*

f: R → R,

f(x)= , n N*


de coordonate Ox şi OyO(0,0) O(0,0)

Paritate Nu f(-x)=-f(x) funcţie impară

Simetria graficului Gf Nu Gf simetric faţă de O

Convexitate şi concavitate Concavă pe [0,+ )

Convexă pe (- ,0]

Concavă pe [0,+ )


graficul funcţiei(0,0), (1,1) (-1,-1), (0,0), (1,1)

37

Monotonia funcţiei

x - 1 + x - -1 0 1 +

0 ↑ ↑ 1 ↑ ↑ +- ↑ - 1 ↑ 0 ↑ 1 ↑ +

Strict cresc. pe [0,+ ) Strict crescătoare pe R

Semnul funcţiei

x 0 +

x - 0 +

0+ + + + + + + + +

- - - - - 0 + + + + +


Bijectivitate Da Da

Funcţia inversăf-1: [0,+ ) → [0,+ ),

f-1(x) = x2n

f: R → R,

f-1(x) = x2n+1

5.4. Funcţia putere cu exponent raţional.

Definiţie: f: (0,+ ) → R, f(x)= unde m Z, n N* cu n≥2, se numeşte

funcţia putere cu exponent raţional.

Observaţii:

1. Dacă m,n ≥2 atunci are sens x > 0, în acest caz proprietăţi

asemănătoare cu a funcţiei cu exponent natural.

2. Dacă m = 1 atunci se obţine funcţia radical de ordinul n.

3. Dacă m < 0 în acest caz funcţia manifestă proprietăţi asemănătoare cu a

funcţiei cu exponent întreg negativ.

În graficul de mai jos am efectuat un studiu comparativ al comportării funcţiilor:

x2 (albastru), x3/2(roşu), x3(verde), x-3/2(negru) .

38

Concluzii:

1. Pentru x > 1 şi m,n N* rezultă > 1

2. Pentru 0 < x < 1 şi m,n N* rezultă < 1

3. Pentru x > 1 şi r1 < r2 cu r1 ,r2 Q atunci x r1 < x r2

4. Pentru 0 < x < 1 şi r1 < r2 cu r1 ,r2 Q atunci x r1 > x r2

5.5. Funcţia exponenţială.

Definiţie: Fie a > 0, a ≠ 1. Funcţia f: R → (0,+ ),f(x) = ax, se numeşte funcţie

exponenţială de bază a.

Studiul funcţiei se face pentru două cazuri, în funcţie de baza a.

Funcţiaf: R → (0,+ ),f(x) = ax

0 < a < 1

f: R → (0,+ ),f(x) = ax

a > 1


coordonate

Gf Ox = Ø

Gf Oy = A(0,1)

Gf Ox = Ø

Gf Oy = A(0,1)

Semnul funcţiei ax > 0 x R ax > 0 x R

Convexitate şi

concavitate

Convexă Convexă

Monotonie Strict descrescătoare Strict crescătoare

39

Comportament

asimptotic

y = 0 asimptotă orizontală

la

y = 0 asimptotă orizontală

la


Bijectivitate Da Da

Funcţia inversă f-1: (0, + ) → R; 0 < a < 1

f-1 (x)= loga x

f-1: (0, + ) → R; a > 1

f-1 (x)= loga x

Exemplu: f1: R → (0,+ ), f(x) = 4x (grafic culoare albastră) şi f2: R → (0,+ ),f(x)

= 4-x (grafic culoare roşie)

5.6. Funcţia

logaritmică.

Definiţie: Fie a > 0, a≠1. Funcţia f: (0, + ) → R definită prin f(x)= loga x, se

numeşte funcţie logaritmică în baza a.

Funcţia f: (0, + ) → R; 0 < a < 1

f(x)= loga x

f: (0, + ) → R; a>1

f(x)= loga x


coordonate

Gf Ox: f(x)=0 x=1

A(1,0) Ox

Gf nu taie axa Oy

Gf Ox: f(x)=0 x=1

A(1,0) Ox

Gf nu taie axa Oy

Convexitate şi

concavitate

Convexă Concavă

Monotonie Strict descrescătoare Strict crescătoare

Semnul funcţiei x 0 1 x 0 1

40

logaritmice

loga x - 0 + + + +

loga x

+ 0 - - - -

Bijectivitate Da Da

Funcţia inversă f-1: R → (0, + )

f-1(x) = ax cu 0 < a < 1

f-1: R → (0, + )

f-1(x) = ax cu a > 1

Comportament

asimptotic

Axa Oy este asimptotă

verticală la

Axa Oy este asimptotă

verticală la

Exemplu: f1: R → (0,+ ), f1(x) = log4x (grafic culoare albastră) şi f2: R → (0,+

),f2(x) = log1/4x (grafic culoare roşie)

5.7. Funcţii trigonometrice directe.

5.7.1. Funcţia sinus.

Definiţie: Funcţia f: R → [-1;1] desrisă de forma analitică f(x)=sinx se numeşte funcţia sinus.

Proprietăţi pe [0.2Π) pe R

Intersecţia graficului cu axele de coordonate

Gf Ox: f(x)=0 x1=0 şi x2= Π

O(0,0) şi B(Π,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 O(0,0) Oy

Gf Ox: f(x)=0 x=kΠ

Bk(kΠ,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 O(0,0) Oy

Paritate Nu se pune problema Impară

Simetria graficului Nu se pune problema Gf simetric în raport cu O(0,0)

Monotonia funcţiei

↑- f.strict cresc.

x 0 Π/2 Π 3Π/2 2Π-f.strict

crescătoare.f(x) 0 ↑ 1 ↓ 0 ↓-1 ↑ 0

41

↓- f.strict descresc.-f.strict

descrescătoare.

Mărginire.

Valori extreme

Funcţie mărginită

-1≤ f(x) ≤ 1

Max f(x) =1 = f(Π/2)

Min f(x) =-1 = f(3Π/2)


-1≤ f(x) ≤ 1

Max f(x)=1=f(Π/2+2kΠ)

Min f(x)=-1= f(3Π/2+2kΠ)

Convexitate şi

Concavitate

-concavă pe [0,Π]

-convexă pe [Π,2Π]

x=Π punct de inflexiune

-concavă pe

-convexă pe

x=Π+2kΠ puncte de inflexiune

Continuitate continuă Continuă

Rezolvarea ecuaţiei x1=0 şi x2=Π x 1,k=2kΠ şi x 2,k=Π+2kΠ

Semnul funcţiei sinx >0 pentru x є (0,Π)

sinx <0 pentru x є (Π,2Π)

sinx >0 pentru x є (2kΠ,Π+2kΠ)

sinx <0 pentru x є (Π+2kΠ,2Π+2kΠ)

Bijectivitate Nu Nu

Restricţii bijective

Observaţii:

Dacă x1,x2єR, atunci are loc inegalitatea lui Jensen:

5.7.2. Funcţia cosinus.

Definiţie: Funcţia f: R → [-1;1] desrisă de forma analitică f(x)=cosx se numeşte funcţia cosinus.

Proprietăţi pe [0.2Π) pe R

42


Gf Ox: f(x)=0 x1= Π/2 şi x2= 3Π /2

B(Π/2,0)) şi D(3Π/2,0) Ox

Gf Oy: f(0)=1 A(0,1) Oy

Gf Ox: f(x)=0 x1= Π/2+2kΠ şi Bk(Π/2+2kΠ,0)

Dk(3Π/2+2kΠ,0) Ox

Gf Oy: f(0)=1 A(010) Oy

Paritate Nu se pune problema pară

Simetria graficului Nu se pune problema Gf simetric în raport cu axa Oy

Monotonia funcţiei


↓- f.strict descresc.

x 0 Π/2 Π 3Π/2 2Π -f.strict descrescătoare.

-f.strict crescătoare.

f(x) 1 ↓ 0 ↓ -1 ↑ 0 ↑ 1

Mărginire.

Valori extreme


-1≤ f(x) ≤ 1

Max f(x) =1 = f(0)

Min f(x) =-1 = f(Π)


-1≤ f(x) ≤ 1

Max f(x)=1=f(2kΠ)

Min f(x)=-1= f(Π+2kΠ)

Convexitate şi

Concavitate

-concavă pe [0,Π/2] şi [3Π/2,2Π]

-convexă pe [Π/2,3Π/2]

x=Π/2 şi x=3Π/2 puncte de inflexiune

-concavă pe

-convexă pe

Continuitate Continuă Continuă

Rezolvarea ecuaţiei x1=Π/2 şi x2=3Π/2 x 1,k=Π /2+2kΠ şi

x 2,k=3Π /2+2kΠ

Semnul funcţiei cosx >0 pentru x є (0,Π/2) şi pe (3Π/2,2Π)

cosx <0 pentru x є (Π/2,3Π/2)

cosx >0 pentru

x є

cosx <0 pentru

x є

Bijectivitate Nu Nu


43

Observaţii:

Dacă x1,x2є(-Π/2,Π/2) atunci are loc inegalitatea lui Jensen:

5.7.3. Funcţia tangentă.

Funcţia f:R- R, descrisă de f(x)= se numeşte funcţia

tangentă. Aceasta este o funcţie periodică de perioadă principală T0=Π.Prin

urmare studiul acestei funcţii se va realiza pe un interval de lungime Π. Prezint

în cele ce urmează principalele proprietăţi în tabelul de mai jos.

Graficul funcţiei f(x) = tg x

Proprietăţi pe (-Π/2.Π/2) pe D


Gf Ox: f(x)=0 x1=0 O(0,0) ş

Gf Oy: f(0)=0 O(0,0) Oy

Gf Ox: f(x)=0 x=kΠ

Bk(kΠ,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 O(0,0) Oy

Paritate Impară Impară

Simetria graficului Gf simetric în raport cu O(0,0)

Gf simetric în raport cu O(0,0)

44

Monotonia funcţiei



x -Π/2 -Π/4 0 Π/4 Π/2-f.strict

crescătoare.f(x) - ↑ -1 ↑ 0 ↑ 1 ↑

Mărginire.

Valori extreme

Funcţie nemărginită

x=-Π/2 şi x=Π/2 asimptote verticale


x= asimptote

verticale

Convexitate şi

Concavitate

-concavă pe (-Π/2,0)

-convexă pe [0,Π/2)

x=0 punct de inflexiune

-concavă pe

-convexă pe

x=kΠ puncte de inflexiune

Continuitate continuă Curbă discontinuă

Rezolvarea ecuaţiei x1=0 x k=kΠ

Semnul funcţiei tgx >0 pentru x є (-Π/2,0)

tgx <0 pentru x є (0,Π/2)

tgx >0 pentru x є

tgx <0 pentru x є

Bijectivitate Da Nu


5.7.4. Funcţia cotangentă.

Funcţia f:R- R, descrisă de f(x)= se numeşte funcţia cotangentă.

Aceasta este o funcţie periodică de perioadă principală T0=Π. Prin urmare

studiul acestei funcţii se va realiza pe un interval de lungime Π, acesta fiind (0,

Π ). Prezint în cele ce urmează principalele proprietăţi ale funcţiei în tabelul de mai jos.

Proprietăţi pe (0.Π) pe D


Gf Ox: f(x)=0 x= Π/2

A(Π/2,0) Ox

Gf Oy: f(x)=0 nu are soluţie, deci nu avem punct de intersecţie cu Oy

Gf Ox: f(x)=0 x= Π/2 +kΠ

Bk(Π/2 +kΠ,0) Ox

Gf Oy: Nu avem punct de intersecţie cu Oy

Paritate Nu Impară

45

Simetria graficului Nu Gf simetric în raport cu O(0,0)

Monotonia funcţiei



x 0 Π/2 Π -f.strict descrescătoare.

f(x) ↓ 0 ↓ -


Mărginire.

Valori extreme


x=0 şi x=Π asimptote verticale


x= k Π asimptote verticale

Convexitate şi

Concavitate

-convexă pe (0,Π/2]

-concavă pe [Π/2,Π)

x=Π/2 punct de inflexiune

-concavă pe

-convexă pe

x= Π/2+kΠ puncte de inflexiune

Continuitate Continuă Curbă discontinuă

Rezolvarea ecuaţiei x= Π/2 x k= Π/2+kΠ

Semnul funcţiei ctgx >0 pentru

x є (0,Π/2)

ctgx <0 pentru

x є (Π/2, Π)

ctgx >0 pentru x є

ctgx <0 pentru x є

Bijectivitate Da Nu


Observaţie: Între funcţiile tangentă şi cotangentă ale aceluiaşi argument avem

următoarea relaţie de

legătură : tgx*ctgx=1 pentru

x şi x cu k

46

Graficul funcţiei f(x) = ctg x

5.8. Funcţii trigonometrice inverse

5.8.1. Funcţia arcsinus. Funcţia sinx: este o funcţie bijectivă

deci inversabilă. Inversa acestei funcţii este funcţia arcsinx:

definită de arsiny=x dacă şi numai dacă sinx=y. Graficele funcţiilor arcsinx şi

sinx sunt simetrice faţă de prima bisectoare.

Principalele proprietăţi ale funcţiei arcsinx sunt redate în tabelul de mai jos.

Proprietăţi


Gf Ox: f(x)=0 x= 0 O(0,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 arcsin0= 0 O(0,0) Oy

Paritate impară

Simetria graficului În raport cu O(0,0)

Monotonia funcţiei



- f.strict crescătoare pe .

Mărginire.

Valori extreme


Min f(x)= Max f(x)=

Convexitate şi

Concavitate

-convexă pe [0,1]

-concavă pe [-1,0]


Continuitate Continuă

Rezolvarea ecuaţiei arcsinx= 0 x= 0

47

Semnul funcţiei arcsinx 0 pentru

arcsinx 0 pentru

Bijectivitate Da

Funcţia inversăsinx:

Graficul funcţiei f(x) = arcsin x

5.8.2. Funcţia arccosinus. Funcţia cosx: este o funcţie bijectivă

deci inversabilă. Inversa acestei funcţii este funcţia arccosx: definită

de arccosy=x dacă şi numai dacă cosx=y. Graficele funcţiilor arccosx şi cosx

sunt simetrice faţă de prima bisectoare. Principalele proprietăţi ale funcţiei

arcsinx sunt redate în tabelul de mai jos.

Proprietăţi


Gf Ox: f(x)=0 x= 1 A(1,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 arccos0= C(0, ) Oy

Paritate Nu

Simetria graficului În raport cu C(0, ) Oy

Monotonia funcţiei



- f.strict descrescătoare pe .

Mărginire.

Valori extreme


Min f(x)= 0 Max f(x)=

Convexitate şi

Concavitate

-concavă pe [0,1]

-convexă pe [-1,0]

48



Rezolvarea ecuaţiei arccosx= 0 x= 1

Semnul funcţiei arccos 0 pentru x [-1,1]

Bijectivitate Da

Funcţia inversă cosx:

Graficul funcţiei f(x) = arccos x

5.8.3. Funcţia arctangentă. Funcţia tgx: este o funcţie bijectivă

deci inversabilă. Inversa acestei funcţii este funcţia arctgx: definită

de arctgy=x dacă şi numai dacă tgx=y. Graficele funcţiilor arctgx şi tgx sunt

simetrice faţă de prima bisectoare. Principalele proprietăţi ale funcţiei arctgx

sunt redate în tabelul de mai jos.

Proprietăţi R


Gf Ox: f(x)=0 x= 0 O(0,0) Ox

Gf Oy: f(0)=0 arctg0= 0 O(0,0) Oy

Paritate Impară

Simetria graficului În raport cu O(0,0)

Monotonia funcţiei



- f.strict crescătoare pe R

Mărginire.

Valori extreme


x= asimptotă verticală la +

x=- asimptotă verticală la -

49

Convexitate şi

Concavitate

-convexă pe (- ,0]

-concavă pe [0, + )



Rezolvarea ecuaţiei arctgx= 0 x= 0

Semnul funcţiei arctgx < 0 pentru x (- ,0)arctgx > 0 pentru x (0, )

Bijectivitate Da

Funcţia inversătgx:

Graficul funcţiei f(x) = arctg x

5.8.4. Funcţia arccotangentă.Funcţia ctgx: este o funcţie bijectivă

deci inversabilă. Inversa acestei funcţii este funcţia arcctgx: definită de

arcctgy=x dacă şi numai dacă ctgx=y. Graficele funcţiilor arcctgx şi ctgx sunt

simetrice faţă de prima bisectoare. Principalele proprietăţi ale funcţiei arctgx

sunt redate în tabelul de mai jos.

Proprietăţi R


Gf Ox: Graficul nu taie axa Ox

Gf Oy: f(0)= C(0, ) Oy

Paritate Nu

Simetria graficului În raport cu C(0, ) Oy

50

Monotonia funcţiei



- f.strict descrescătoare pe R

Mărginire.

Valori extreme


y=0 asimptotă orizontală la +

y= asimptotă orizontală la -

Convexitate şi

Concavitate

-concavă pe (- ,0]

-convexă pe [0, + )



Rezolvarea ecuaţiei arcctgx= 0 nu are soluţie

Semnul funcţiei arcctgx > 0 pentru x R

Bijectivitate Da

Funcţia inversă ctgx:

Graficul funcţiei f(x) = arcctg x

5.9. Funcţii speciale. În continuare prezint o serie de funcţii a căror proprietăţi

sunt utile şi prezente în programa de gimnaziu şi liceu.

5.9.1. Funcţia valoare absolută

Definiţie: Funcţia f:R descrisă de f(x)=max(x,-x)= se

numeşte funcţie modul sau funcţie valoare absolută. Aceasta se mai notează şi astfel: f(x)=

Proprietăţi:

Teorema modulului:

51

1. ; = 0 x=0;

2. Dacă x,y R atunci ;

3. Dacă x,y R atunci ;

4. Dacă x,y R atunci pentru

Din punct de vedere grafic funcţia valoare absolută se prezintă astfel:

Proprietăţi R


Gf Ox: = 0 x=0;

Gf Oy: = 0

Paritate Pară =

Simetria graficului În raport cu Oy

Monotonia funcţiei



- f.strict descrescătoare pe (- ,0)

- f.strict crescătoare pe (0, )

Mărginire. Funcţie mărginită inferior

Convexitate şi

Concavitate

-convexă pe R


Rezolvarea ecuaţiei = 0 x=0;

Semnul funcţiei

Bijectivitate Nu

5.9.2. Funcţia caracteristică a unei mulţimi.

52

Definiţie: Funcţia f:A {0,1} descrisă de fA(x)= se numeşte funcţie

caracteristică mulţimii A.

Teoremă: Fie A,B submulţimi ale unei mulţimi E.

Atunci A=B dacă şi numai dacă fA(x)= fB(x);

Observaţie: A demonstra că două mulţimi sunt egale e echivalent cu a

demonstra că funcţiile lor caracteristice sunt egale.

Amintim aici funcţia lui Dirichlet f(x)= este periodică având ca

perioada orice număr raţional.(sau funcţia caracteristică a mulţimii Q care este o

funcţie pară, mărginită, surjectivă)

5.9.3. Funcţia parte întreagă, funcţia parte fracţionară.

Definiţie: Funcţia f: R Z dată de legea f(x)= unde reprezintă cel mai

mare întreg mai mic decât x, se numeşte funcţie parte întreagă.

Definiţie: Funcţia f: R dată de legea f(x)= x- unde reprezintă cel

mai mare întreg mai mic decât x, se numeşte funcţie parte fracţionară.

Proprietăţi ale funcţiei parte întreagă:

1. ;

2. ;

3.

4.

5.9.4. Funcţia signum.

Definiţie: Funcţia f:A {-1,0,1} descrisă de sgn x= se numeşte

funcţie signum (indicator de semn).

Proprietăţi: Funcţia signum este surjectivă dar neinjectivă, impară şi

sgn(x*y)=sgn(x)*sgn(y)

53

[email protected]

54

mailto:[email protected]

Documents

Functii Elementare Gimnaziu Liceu