Funciones potencialesFunciones exponenciales

Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

Funciones potenciales y exponenciales. Alometŕıa.Funciones inversas. Escala logaŕıtmica.

Juan Ruiz Álvarez1, Marcos Marvá Ruiz1

1Unidad docente de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)

Juan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)

Funciones potencialesFunciones exponenciales

Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

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1 Funciones potenciales

2 Funciones exponenciales

3 Funciones inversas

4 Funciones logaŕıtmicas

5 Escala Logaŕıtmica

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Funciones potencialesFunciones exponenciales

Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

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1 Funciones potenciales

2 Funciones exponenciales

3 Funciones inversas

4 Funciones logaŕıtmicas

5 Escala Logaŕıtmica

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Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

¿Por qué usar funciones potenciales?

Durante el crecimiento de un organismo, es de interés determinar la variación relativa de un atributo (fisiológico, morfológico,...) con respecto a otro.

Son las llamadas relaciones alométricas.

En la práctica: ● Toma de datos (trabajo de campo).● Representar datos.● Buscar la curva que mejor los aproxima.

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Funciones potencialesFunciones exponenciales

Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

¿Por qué usar funciones potenciales? [5]

Año Miles de infectados

1981 97

1982 709

1983 2698

1984 6928

1985 15242

1986 29944

1987 52902

1988 83903

1989 120612

1990 161711

1991 206247

1992 257085

Evolución epidemia de SIDA en USA

Representar datos¿Dependencia? Parábola??

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Escala Logaŕıtmica

¿Por qué usar funciones potenciales? [5]

Año Miles de infectados

1981 97

1982 709

1983 2698

1984 6928

1985 15242

1986 29944

1987 52902

1988 83903

1989 120612

1990 161711

1991 206247

1992 257085

Evolución epidemia de SIDA en USA

Rojo, y = 82 * (x-1981)²Morado, y = 82 * (x-1981)³Naranja, y = 82 * (x-1981)4

El “mejor” ajuste:algo intermedio

Representar datos¿Dependencia? Parábola??

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Funciones potencialesFunciones exponenciales

Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

Definición de función potencial

Definición:

Una función potencial f es de la forma:

f (x) = x r ,

donde r un número real.

Si r ∈ N, son los componentes elemetales de los polinomios.Si r ∈ Z, están perfectamente definidas.Si r ∈ Q, r = mn : f (x) = x

r = xm/n = n√xm,

siempre definidas si x > 0.

Ejemplos:1 y = x−3, x ∈ R, x 6= 02 y = x1/3, x ∈ R, y = x5/2, x ≥ 0

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Alometŕıa

Definición: relaciones alométricas

Las variables x e y mantienen una relación alométrica cuando y esproporcional a una potencia de x (o rećıprocamente), es decir:

y ∝ x r

donde r es un número real distinto de 0.

La ecuación anterior se puede expresar en forma de igualdad si seintroduce una constante de proporcionalidad:

y = kx r

La búsqueda de estas relaciones es el objetivo de la alometŕıa.

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Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

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1 Funciones potenciales

2 Funciones exponenciales

3 Funciones inversas

4 Funciones logaŕıtmicas

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¿Por qué funciones exponenciales?

Un cultivo tiene inicialmente c(0) = 10 células que se dividen cada hora. Después de n horas habrá c(n) = 10 * 2n células

Divisiones perfectamente sincronizadas

La realidad es que no hay sincronía: Tiempo = variable continua, c(t) = 10 * 2t

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Escala Logaŕıtmica

Crecimiento exponencial

Definición:

Una función f se denomina función exponencial de base a si,

f (x) = ax

Siendo a una constante positiva distinta de 1. El dominio masgrande posible de f es R.

La forma de la función exponencial depende de la base a. Elcrecimiento exponencial se produce siempre que a > 1 y eldecrecimiento exponencial cuando 0 < a < 1.No hay que olvidar que a0 = 1 y que a1/k = k

√a

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Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

Propiedades de funciones exponenciales

Propiedades:

aras = ar+s

ar

as = ar−s

a−r = 1ar

(ar )s = ars

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Función de exponencial de base e

El número e se denomina base exponencial natural. Es la base delos logaritmos naturales o neperianos. Se define como el ĺımite dela sucesión:

ĺımx→∞

(1 +

1

x

)x= e = 2.71828 . . .

La función exponencial de base e, se puede expresar de dos formasequivalentes:

exp(x) = ex

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1 Funciones potenciales

2 Funciones exponenciales

3 Funciones inversas

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Funciones inversas

Definición:

Sea f : A→ B una función inyectiva con recorrido f (A). Lafunción inversa f −1 tiene como dominio f (A) y como recorrido A,y se define por

f −1(y) = x ⇔ y = f (x)

Para ∀y ∈ f (A).

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1 Funciones potenciales

2 Funciones exponenciales

3 Funciones inversas

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Funciones logaŕıtmicas

Definición:

La inversa de f (x) = ax se denomina logaritmo en base a y seescribe como f −1(x) = loga(x)

El dominio de f (x) = ax es el conjunto de los números reales y surecorrido es el conjunto de los números positivos. Como elrecorrido de f es el dominio de f −1, se obtiene que el dominio delf −1(x) = loga(x) es el conjunto de los números positivos.

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Escala Logaŕıtmica

Relación entre las funciones exponenciales y logaŕıtmicas

Relación logaritmo-exponencial

aloga(x) = x , ∀x > 0loga(a

x) = x , ∀x ∈ R

Es importante recordar que el logaritmos sólo está definido parax > 0. El logaritmo satisface las siguientes propiedades:

Propiedades de logaritmos

loga(st) = loga(s) + loga(t)

loga(st ) = loga(s)− loga(t)

loga(sr ) = r loga(s)

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Funciones logaŕıtmicas

Cualquier función exponencial de base a se puede expresar comouna función exponencial de base e. Aśı mismo, cualquier logaritmoen base a se puede escribir en función del logaritmo natural. Lasdos igualdades siguientes indican cómo:

Relación entre logaritmos y funciones potenciales en distintasbases:

ax = exp(xln(a))

loga(x) =ln(x)ln(a)

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1 Funciones potenciales

2 Funciones exponenciales

3 Funciones inversas

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5 Escala Logaŕıtmica

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Escala Logaŕıtmica

Escala Logaŕıtmica

Existen magnitudes cuyo valor vaŕıa recorriendo varios órdenes demagnitud. En estos casos podemos usar la escala logaŕıtmica.Normalmente se usan logaritmos decimales. En este caso estamosusando una escala en la que las potencias de 10 son equidistantes.En la literatura sobre bioloǵıa se utiliza x y no log(x) paraetiquetar los números en la escala logaŕıtmica. También podemosrepresentar f (x) en escala logaŕıtmica.

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Escala lineal

f (x) = 20,1tJuan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)

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Escala Logaŕıtmica

Escala logaŕıtmica

f (x) = 20,1tJuan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)

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Escala Logaŕıtmica

Escala logaŕıtmica

f (x) = 20,1t

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Tipos de representaciones

Escala lineal.

Escala log-lineal o semilogaŕıtmica.

Escala log-log o logaŕıtmica.

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Transformación en funciones lineales

y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5xJuan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)

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Transformación en funciones lineales de funcionesexponenciales

¿ Qué tipo de relación tenemos en la anterior gráfica?

y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5x → f (x) = 101,5+0,5x = 101,5 · (100,5)x

≈ 31,62 · 3,162x

Función exponencial!!

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Transformación en funciones lineales

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Escala Logaŕıtmica

Transformación en funciones lineales de funcionesexponenciales

Si partimos de una función exponencial f (x) = b · ax en un gráficosemilogaŕıtmico, representaŕıamos:

y = log(f (x)) = log(b · ax)→ y = log(b) + log(a)x

Expresión lineal!!

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Funciones inversasFunciones logaŕıtmicas

Escala Logaŕıtmica

Transformación en funciones lineales de funcionespotenciales

Si partimos de una función potencial f (x) = b · xa en un gráficolog-log representaŕıamos:

y = log(f (x)) = log(b · xa)→ y = log(b) + a · log(x)

Luego, si y = log(f (x))Expresión lineal en representación log-log!!

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Ejemplo de Alometŕıa

Ejemplo t́ıpico de función potencial son las alometŕıas entre lostamaños de las diferentes partes del cuerpo.

Ejemplo

El tamaño de la cornamenta de un reno crece con la edad. Durantelos primeros 5 años lo hace según c(t) = 53,2e0,17t , mientras quela altura del hombro vaŕıa según h(t) = 88,5e0,1t .

t =1

0,1ln

(h

88,5

)

c = 53,2e0,170,1

ln(

h88,5

)= 53,2

(h

88,5

)0,17/0,1= 0,026h1,7

Esta relación se denomina AlometŕıaJuan Ruiz Álvarez, Marcos Marvá Ruiz Matemáticas (Grado en Bioloǵıa)

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Escala Logaŕıtmica

Joseph M Mahaffy. Calculus A Modeling Approach for the LifeSciences. Ed. Wiley 2004.

Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed.Pearson-Prentice Hall 2004.

http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/Applications/Allometry.html

http://www-rohan.sdsu.edu/̃jmahaffy/courses/f09/math636/lectures/allometric dim/allometric.html

E. K. Yeargers, R. W. Shonkwiler, and J. V. Herod, 1996, AnIntroduction to the Mathematics of Biology: with ComputerAlgebra Models, Birkhäser, Boston.

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