FUNCIONES COMO MODELOS

MATEMÁTICOS

Ing. Ms.C. Segundo Cevallos

En las aplicaciones del Cálculo, se necesita expresar una situación del mundo real en términos de una relación funcional, denominada modelo matemático de la situación. El aplicar las matemáticas a los problemas de la vida real comprende tres etapas.

Primero se traduce el problema a términos matemáticos, entonces decimos que tenemos un modelo matemático. Después se obtiene la solución del problema matemático. Por último, se interpreta esta respuesta matemática en términos del problema original.

La facultad para describir las relaciones funcionales que aparecen en un problema es una habilidad matemática que importa desarrollar. Por esta razón se van a desarrollar algunos ejemplos.

Sugerencias para resolver este tipo problemas.

La mejor manera de desarrollar una habilidad para tratar con problemas verbales es practicar intensamente. Como los tipos de aplicaciones son muchos y muy variados, es difícil dar reglas específicas para hallar las soluciones. Los siguientes consejos son útiles en muchos casos.

1. Lea el problema cuidadosamente varias veces y fíjese en los datos y en las incógnitas que deben encontrarse.

2. Si es posible, haga un dibujo o un diagrama que incluya los datos pertinentes. Introduzca variables para denotar las incógnitas. Palabras como “que”, “encuentre”, “cuanto”, “donde” y “cuando” deben guiarle para reconocer las incógnitas.

3. Tratar de descomponer el problema en otros más pequeños. 4. Escriba una lista de hechos conocidos y relaciones entre las

variables. Una relación entre variables generalmente se escribe como una ecuación.

5. Puede ser útil encontrar el valor de la función para uno o más valores en la variable de manera que pueda generalizarse el procedimiento.

6. Si la elección de variables desemboca en una función indebidamente complicada, considérese otra alternativa.

Ejemplo 1: Un estacionamiento en la ciudad cobra $20.00 por la primera hora y $10.00 por cada hora adicional. Expresar la cuota de estacionamiento como una función del número de horas estacionadas.

Solución:

Para este problema x representa el número de horas estacionadas.

La cuota de estacionamiento F estará dada por la fórmula:

F = 20 + 10(x-1), donde x es un entero positivo.

Ejemplo 2: De una larga pieza de hoja de lata de 25 cm. de ancho se va a hacer un canalón para lluvia, doblando hacia arriba sus orillas para formar sus lados.

Expresar el área de la sección transversal del canalón para lluvia como una función de su altura.

Solución:

Si representamos por x la altura en cm. del canalón para lluvia, podemos expresar el área de la sección transversal A en cm2 por medio de la fórmula A = x(25 – 2x)

Ejemplo 3: Un lote rectangular va a cercarse en tres de sus lados. Si el área del lote es de 30 metros cuadrados, exprese la longitud de la cerca como una función de la longitud del lado no cercado.

Solución:

Es natural empezar por introducir dos variables, digamos x, y, y, para denotar las longitudes de los lados del lote. (Figura). Entonces. Longitud de la cerca = x + 2y Como queremos la longitud de la cerca expresada como una función de x solamente, debemos encontrar una forma de expresar y en términos de x; es decir, debemos encontrar una ecuación que relacione a x, y, y. El hecho de que el área sea de 30 metros cuadrados nos proporciona la ecuación. Específicamente, xy = 30 Resolviendo esto para y obtenemos: y = 30/x que reemplazamos entonces en la fórmula de la longitud de la cerca. Esto da:f(x) = x + 60/x; en donde f denota la longitud de la cerca. La función f(x) está definida para todos los valores de x excepto x = 0 y representa la longitud de la cerca si x es positiva.

Ejemplo 4: El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta y a la temperatura de 175 °C el gas ocupa 100 m³. a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen como una función de la temperatura. b) ¿Cuál es el volumen del gas a una temperatura de 140 °C?

Ejemplo 5: Un fabricante de cajas de cartón desea elaborar cajas abiertas a partir de piezas de cartón rectangulares de 10 pulg Por 17 pulg cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados. a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una función de la longitud del lado de los cuadrados que se cortaran.

Ejemplo 6: Un envase cerrado de hojalata, cuyo volumen es de 60 pulg³, tiene la forma de un cilindro circular recto. a) Determine un modelo matemático que exprese el área de la superficie total del envase como una función del radio de la base.

Ejemplo 7: Se sabe que 100 gr de granos secos de soya contiene 35 gr de proteínas y 100 gr de lentejas secas contienen 26gr de proteínas. Los hombres de talla media que viven en un clima moderado necesitan de 70 gr de proteínas en su alimentación diaria. Supongamos que un hombre quiere conseguir esos 70 gr de proteínas comiendo soya y/o lentejas. Sea x la cantidad de soya e y la cantidad de lentejas diarias (x e y medidas en gr) ¿Cuál es la relación entre x e y?

Ejemplo 8: A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16 mts. de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un instante dado:a. En función de la altura h.b. En función del radio de la base x.

Ejemplo 9: Un alambre de 100 cm. de longitud se corta a una distancia x de uno de sus extremos en dos partes, formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado (ver figura).a. Exprese el perímetro de cada figura en función de x.b. Exprese el área total de las figuras en función de x. ¿Cuáles son sus respectivos dominios?

Ejemplo 10: Un abrevadero que está lleno de agua tiene 2 mts. de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros invertidos de 60 cm. de lado (Ver fig.) . ¿Cuál es el volumen de agua en el abrevadero?

Si al abrevadero se le abre un orificio en el fondo y el agua se escapa a una razón dada. Exprese el volumen en un instante dado posterior en función:

a) De la base del triángulo. b) De la altura del triángulo.

Ejemplo 11: Se dispone de 1000 dólares para construir un tanque cilíndrico de altura y pies, rematado en sus extremos por dos semiesferas de radio x pies. (Ver fig.). El costo de material de la parte esférica es de 4 dólares por pie2 y el de la parte cilíndrica es de 2 dólares por pie2.Expresar el volumen del tanque en función del radio x.

Ejemplo 12: Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts. de ancho, tiene 4 mts. de profundidad en un extremo y 1 mts. en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua para llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo. a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función de su profundidad x en el extremo profundo.b. Calcular V(1) y V(2)

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto Xₒ, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor Xₒ. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a Xₒ.

Por ejemplo analizar el límite de la función f(x) = X² en el punto Xₒ = 2.

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha (valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4.

Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = X² es 4

OTRAS DEFINICIONES DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

TEOREMAS SOBRE LÍMITES

Los siguientes teoremas, señalan importantes propiedades de los límites de funciones y son al mismo tiempo útiles herramientas que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición.