Funciones Compuestas Implicitas e Inversas

1TEMA 3

FUNCIONES COMPUESTAS

FUNCIONES IMPLCITAS

FUNCIONES INVERSAS

2Funciones compuestas pgmfn

pmn zzyyxx ,,,,,, 111 fgh

: Variables independientes nxx ,,1 : Variables dependientes intermedias myy ,,1

nmm

n

xxfy

xxfy

,,

,,

1

111

: Variables dependientes finales pzz ,,1

mpp

m

yygz

yygz

,,

,,

1

111

Si se considera la funcin g

npp

n

xxhz

xxhz

,,

,,

1

111

Si se considera la funcin h

rbol de dependencia de la composicin

1z1y

my

1x

nx1x

nx

pz1y

my

1x

nx

1x

nx

3Solucin

Ejemplo

2 ,1, 2 yxxyxf Se consideran las funciones 3 ,, 2 vvuvug y la funcin compuesta . Hallar el rbol de dependenciade la composicin.

fgh

Ejercicio

,, 22 vuvuvuf Se consideran las funciones ,3, yxyxyxg y la funcin compuesta . Hallar el rbol de dependenciade la composicin.

gfh

4Regla de la cadena Sea diferenciable en y diferenciable en . Entonces es diferenciable en y se verifica

mnf : a af a aDfafDgaDh

pmg :pnfgh :

Se considera la funcin . Seauna funcin diferenciable tal que la matriz jacobiana de en el punto

Solucin

Ejemplo (Problema 1, Hoja 3A) 2222 ,, yxyxyxf

es . Hallar la matriz jacobiana de la funcin en el punto . fgh

22: gg 0 ,2

3211 1 ,1

Ejercicio (Problema 1, Hoja 3B)Se considera la funcin . Seauna funcin diferenciable tal que la matriz jacobiana de en el punto

4224 ,, yxyxyxf es . Hallar la matriz jacobiana de la funcin en el punto . fgh

22: gg 0 ,2

2415 1 ,1

5Clculo de las derivadas parciales de las funciones componentes de fgh

pgmfn pmn zzyyxx ,,,,,, 111 fgh

Por la regla de la cadena lo cual implica DfDgDh

n

mm

n

m

pp

m

n

pp

n

xf

xf

xf

xf

yg

yg

yg

yg

xh

xh

xh

xh

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Entonces

j

m

m

i

j

i

j

m

j

m

ii

j

i

xf

yg

xf

yg

xf

xf

yg

yg

xh

11

1

1

,,

6Solucin

Ejemplo (Problema 2, Apartado a), Hoja 3A)

2 ,1, 2 yxxyxf Se consideran las funciones 3 ,, 2 vvuvug y la funcin compuesta . Hallar la matriz jacobiana de .fgh h

Ejercicio (Problema 2, Apartado a), Hoja 3B)

,, 22 vuvuvuf Se consideran las funciones ,3, yxyxyxg y la funcin compuesta . Hallar la matriz jacobiana de .gfh h

tal que su gradiente es contante en y . Sabiendo que el plano

Ejercicio (Problema 3, Hoja 3B)

,12, 423

2

yxye

yxyxfSea , una funcin diferenciable 2:g

tangente a la grfica de en el punto es ,fgh 2

h 1 ,2, 00 yx 22 zyxhallar la derivada direccional mxima de la funcin en el punto g 4 ,13

7Calculo de las derivadas parciales de las funciones componentes de mediante los rboles de dependencia fgh

pgmfn pmn zzyyxx ,,,,,, 111 fgh

1z1y

my

1x

nx1x

nx

pz1y

my

1x

nx

1x

nx


Para calcular buscamos todos los caminos para k

i

xz

ir desde hasta . Cada camino nos da un iz kx

sumando de . Por ejemplo, si uno de los caminos k

i

xz

para llegar desde hasta es a travs iz kx jy

kji xyz entonces uno de los sumandos ser

k

j

j

i

xy

yz

NotaAl calcular las derivadas parciales anteriores , derivaremos las funciones que relacionan a dichas variables.

8Solucin

Ejemplo (Problema 2, Apartado b), Hoja 3A)

2 ,1, 2 yxxyxf Se consideran las funciones 3 ,, 2 vvuvug y la funcin compuesta . Hallar las derivadas parciales de las funciones componentes de utilizando el rbol de dependencia de lacomposicin.

fgh h

y la funcin compuesta . Hallar las derivadas parciales de las funciones componentes de utilizando el rbol de dependencia de lacomposicin.

Ejercicio (Problema 2, Apartado b), Hoja 3B)

,, 22 vuvuvuf Se consideran las funciones ,3, yxyxyxg gfh

h

222 gf tzvuyx ,,,

fgh

12 xuyxv 2

vuz 2vt 3


z t

u

vv

x

x

y

x

y

9Sea una funcin suficientemente derivable y

Solucin

Ejemplo (Problema 3, Hoja 3A)

:f yxfz 3Calcular , , y .xz yz xxz xyz

Sea una funcin suficientemente diferenciable y

Solucin

Ejemplo (Problema 4, Hoja 3A)2:f

ttfth 2 ,13 . Calcular y . th th

10

Sea una funcin suficientemente diferenciable y

Solucin

Ejemplo (Problema 5, Hoja 3A)2:f yxyxfyxg ,, 2 . Calcular , y .xg yg xxg

Hallar la derivada de la funcin en el punto .

Se consideran las funciones y

Solucin

Ejemplo (Problema 6, Hoja 3A) zyx u duezyxg 2 2,, tfgth 1t

32 , , ttttf

11

dxdu

la funcin con y funciones suficientemente

Sea una funcin suficientemente derivable y

Sea una funcin suficientemente diferenciable. Se considera

:f 23 xyfxz Calcular , , , y .xz yz xxz xyz

3:f xxxfxu ,,


yyz

Sea la funcin , siendo una funcin derivable. Se pide probar

xyfz

0xque , para 0 yx yzxz


f

Sean y funciones reales de variable real suficientemente derivables. fSe considera la funcin . Demostrar que ygxfyxu ,Ejercicio (Problema 6, Hoja 3B)

xxyxyx uuuu g

Sean las funciones , e . xyxyxf 2, 2 Calcular , siendo . tytxfth ,Ejercicio (Problema 7, Hoja 3B)

3 ttx 52 tty th


derivables. Hallar y .

2

2

dxud

12

Hallar el plano tangente a la superficie en el punto

son suficientemente derivables. Se pide hallar , y en funcin de

Se considera la funcin , siendo una2:f

yxgu ,funcin suficientemente diferenciable. Calcular , , , y .xz yz xxz xyz


yyz

Sea con y , donde las funciones y vufz ,Ejercicio (Problema 10, Hoja 3B)

gf ,


Sea una funcin suficientemente diferenciable en que verifica

Se considera la funcin . Se pide:

33 ,1 fEjercicio (Problema 12, Hoja 3B)

2

xyyxfyxG 2,, 2

xyyxfyxz ,, 2

yxhv , hxz

yxz

2yz

las derivadas parciales de y . gf , h

Se consideran las funciones y 222 2 ,, zyx u duezyxg tfgth Hallar la derivada de la funcin en el punto .2t ttsenttf cos , ,

2:f

El gradiente de en el punto es . . f 3 ,1 2,13,1 f yxGz , 1,2 ,1 ,2 G

Hallar la derivada direccional mxima de en el punto G 1 ,2Calcular yyG

13

Funciones definidas de forma implcita

NotaLa ecuacin representa una curva en el plano (curva dadaen forma implcita) que, en general, no es la grfica de una funcin. Dichacurva puede ser la grfica de varias funciones, todas ellas definidas implcitamente por la ecuacin . Para obtener dichas funciones en forma explicita, habr que despejar en funcin de , en el caso de que se pueda

0, yxF

0, yxFy x

Funciones definidas de forma implcita. Caso I

Funcin definida de forma explicita(la variable dependiente aparece despejada enfuncin de la variable independiente )

y xfy

xFuncin definida de forma implcita(la variable dependiente no aparece despejada)

0, yxFy

14

Condiciones de existencia de funciones implcitas

Consideramos la ecuacin y el punto Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones

200, yx 0, yxFes un punto de la curva 0, 00 yxF 00, yx

y son continuas en un entorno de xF yF 00, yx 0, 00 yxFy

Entonces existe una funcin definida implcitamente en un entorno de tal que V

xyy 0x

00 yxy La funcin est definida implcitamente por la ecuacin

VxxyxF , 0, xy 0, yxF xy es derivable en V

15

Clculo de la derivada de una funcin definida en forma implcita xyPrimer procedimientoSea una funcin definida implcitamente por Entonces

xyy 0, yxF 0, xyxF

Los pasos a seguir para calcular son xyDerivar la igualdad anterior respecto de , teniendo en cuenta que

x xyy Despejar xy

Segundo procedimientoSea una funcin definida implcitamente por Entonces

xyy 0, yxF

y

x

FFxy

16

NotaSi tenemos la ecuacin implcita y , entonces la ecuacin define implcitamente una funcin en un entorno

de y su derivada es

0, yxF 0, 00 yxFx yxx W 0y

x

y

FF

yx

Recta tangente a una curva dada en forma implcita Sea una curva dada en forma implcita y unpunto de la misma. Entonces la recta tangente a la curva en es

0, yxF 00, yxPP

0,, 000000 yyyxFxxyxF yxNotaEl vector perpendicular a la recta tangente a la curva enel punto es

0, yxF 00, yxP 000000 ,,,, yxFyxFyxF yx

17


Tiene la funcin un extremo relativo en ? Razonar la respuesta.

entorno del punto una funcin Probar que la ecuacin define implcitamente en un12 32 yyx xyy 1 ,0, 00 yxHallar la recta tangente a la curva en el punto 1 ,0

xy 0x12 32 yyx

Hallar el polinomio de Taylor de grado 2 de la funcin en el punto

entorno del punto una funcin Probar que la ecuacin define implcitamente en un

Solucin

Ejemplo (Problema 7, Hoja 3A)0322 yxyx xyy 1 ,1, 00 yx

Hallar la recta tangente a la curva en el punto 0322 yxyx xy 1 ,1 10 x

18

Funciones definidas de forma implcita. Caso II

Funcin definida de forma explicita(la variable dependiente aparece despejada enfuncin de las variables independientes )

nxxfy ,,1 nxx ,,1

y

Funcin definida de forma implcita(la variable dependiente no aparece despejada)

0,,,1 yxxF ny

NotaLa ecuacin representa una superficie en el espacio (superficie dadaen forma implcita) que, en general, no es la grfica de una funcin . Dicha superficie puede ser la grfica de varias funciones, todas ellas definidas implcitamente por la ecuacin . Para obtener dichas funciones en forma explicita, habr que despejar en funcin de e , en el caso de que se pueda

0,, zyxF

0,, zyxFz x

yxfz ,

y


Probar que la ecuacin define implcitamente Sea una funcin dos veces derivable tal que . 111 FF 02 yFxFxyF:F

en un entorno del punto una funcin . xyy 1 ,1, 00 yxHallar la recta tangente a la grfica de dicha funcin en el punto 1 ,1

19

Condiciones de existencia de funciones implcitasConsideramos la ecuacin y el punto Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones

1 0001 ,,, nn yxxP 0,,,1 yxxF n 0,,, 0001 yxxF n

son continuas en un entorno de yxx FFF n ,,,1 P

0,,, 0001 yxxF ny

La funcin est definida implcitamente por la ecuacin

VxxxxyxxF nnn ,, , 0,,,,, 111 nxxy ,,1 0,,,1 yxxF n nxxy ,,1 es diferenciable en V

Entonces existe una funcin definida implcitamente en unentorno de tal que V

nxxyy ,,1 001 ,, nxx 0001 ,, yxxy n

20

Clculo de las derivadas parciales de una funcin definida en forma implcita

nxxy ,,1 Primer procedimiento

Los pasos a seguir para calcular son

Sea una funcin definida implcitamente por Entonces

nxxyy ,,1 0,,,1 yxxF n 0,,,,, 11 nn xxyxxF

kxy

Derivar la igualdad anterior respecto de , teniendo en cuenta que es funcin de

kx nxxyy ,,1 kxDespejar

kxy

Segundo procedimientoSea una funcin definida implcitamente por Entonces

nxxyy ,,1 0,,,1 yxxF n

y

x

k FF

xy k

nk ,,1

21

Plano tangente a una superficie dada en forma implcita Sea una superficie dada en forma implcita y unpunto de la misma. Entonces el plano tangente a la superficie en es

0,, zyxF 000 ,, zyxPP

0,,,,,, 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxNotaEl vector caracterstico del plano tangente a la superficie enel punto es

0,, zyxF 000 ,, zyxP 000000000000 ,,,,,,,,,, zyxFzyxFzyxFzyxF zyx

22

Calcular

entorno del punto una funcin . Probar que la ecuacin define implcitamente en un

Solucin

Ejemplo (Problema 8, Hoja 3A)03 yzxz yxzz , 2 ,1, 00 yx

Hallar el gradiente de la funcin en el punto .

2 ,1xxz 2 ,1 yxz ,

Hallar el plano tangente a la superficie en el punto . 1 ,2 ,103 yzxz

el punto .


Calcular , y

en un entorno del punto una funcin . Probar que la ecuacin define implcitamente03222 23 yzxzz yxzz , 1 ,1, 00 yxHallar el gradiente de la funcin en el punto .

1 ,1xxz

1 ,1 yxz ,Hallar el plano tangente a la superficie en 1 ,1 ,1 03222

23 yzxzz

1 ,1xyz 1 ,1yyz

23

Hallar el plano tangente a la superficie en el punto

Sea una funcin diferenciable en el punto tal que

Solucin

Ejemplo (Problema 9, Hoja 3A) yxf , 4 ,2 14 ,2 f 3 ,24 ,2 f 1 ,3 22 zxyxf 1 ,2 ,2


Calcular el plano tangente a la superficie definida implcitamente por Sea una funcin tal que y .

en el punto . 0 ,2 ,3

:G 03 G 42 uLuG n 0212444 zyxG

24

NotaEl sistema de ecuaciones

representa una curva en el espacio (curva dada en forma implcita) dada como interseccin de dos superficies

0,,0,,

zyxGzyxF

Funciones definidas de forma implcita. Caso III

Funciones definidas de forma explicita(las variables dependientes aparecen despejadas en funcin de lasvariables independientes )

nmm

n

xxfy

xxfy

,,

,,

1

111

nxx ,,1 myy ,,1

Funciones definidas de forma implcita(las variables dependientes no aparecen despejadas)

0,,,,,

0,,,,,

11

111

mnm

mn

yyxxF

yyxxF

myy ,,1

25

Condiciones de existencia de funciones implcitas

y el punto , donde e

Consideramos el sistema de ecuaciones implcitas

mnyxP 00,

0,,,,,

0,,,,,

11

111

mnm

mn

yyxxF

yyxxF

nx 0 0010 ,, myyy Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones

0PFi mi ,,1 Las derivadas parciales de son continuas en un entorno de paraP

iFmi ,,1

0,,

,,

1

1

1

1

1

1

PyF

yF

yF

yF

PyyFF

m

mm

m

m

m

26

000101 , , mm yxyyxy

Las funciones estn definidas implcitamente por el sistema

Vxx n ,, , 1

nmn xxyxxy ,, , , ,, 111

0,,,,,,,,,

0,,,,,,,,,

1111

11111

nmnnm

nmnn

xxyxxyxxF

xxyxxyxxF

son diferenciables en V nmn xxyxxy ,, , , ,, 111

Entonces el sistema anterior define implcitamente las funciones

en un entorno de tal que

nmm

n

xxyy

xxyy

,,

,,

1

111

V 0x

27

Clculo de las derivadas parciales de un conjunto de funcionesdefinidas en forma implcita nmn xxyxxy ,, , , ,, 111

Resolver el sistema de ecuaciones resultante y hallar

k

m

k xy

xy

,,

1

Los pasos a seguir para calcular las derivadas parciales de las funciones respecto de la variable son

Sean funciones definidas implcitamente por el sistema

nmn xxyxxy ,, , , ,, 111

0,,,,,

0,,,,,

11

111

mnm

mn

yyxxF

yyxxF

Entonces

0,,,,,,,,,

0,,,,,,,,,

1111

11111

nmnnm

nmnn

xxyxxyxxF

xxyxxyxxF

myy , , 1 kxDerivar las ecuaciones anteriores respecto de , teniendo en cuenta que son funciones de

kxkxmyy , , 1

28

Recta tangente a una curva dada en forma implcita

punto de la misma. Entonces la recta tangente a la curva en vienedada por las ecuaciones

Sea una curva dada en forma implcita y un 000 ,, zyxPP

0,,,,,,

0,,,,,,

000000000000

000000000000

zzzyxGyyzyxGxxzyxGzzzyxFyyzyxFxxzyxF

zyx

zyx

0,,0,,

zyxGzyxF

es decir, como interseccin de los planos tangentes a las superficiesy en el punto 0,, zyxF 0,, zyxG P

Nota

0,,0,,

zyxGzyxF

el punto es el producto vectorial de los vectores caractersticosde los planos tangentes a las superficies y en es decir

El vector director de la recta tangente a la curva en

000 ,, zyxP

000000 ,,,, zyxGzyxFV 0,, zyxF 0,, zyxG P

29

Se considera el sistema de ecuaciones implcitas

Solucin


042222

vuyxvuyx

yxuu ,Se pide:

Probar que el sistema define de forma implcita unas funciones y en un entorno del punto yxvv , 1 ,1 ,1 ,1,,, 0000 vuyx

Calcular las derivadas parciales de y en el punto 1 ,1xyu

1 ,1 yxu , yxv ,Calcular .

30

Se considera la funcin , siendo y

Solucin


0

0433 vuyx

vuyx

Calcular, para los valores , las derivadas y ,

vuFz , yxuu , yxvv ,funciones definidas de forma implcita por el sistema

1 ,1 ,1 ,1,,, 0000 vuyx xz

yz

sabiendo que y . 131 ,1 uF 131 ,1

vF

31

de y la derivada parcial de segundo orden .

define a y como funciones implcitas de e en un entorno delv

Dado el sistema , se pide:

Ejercicio (Problema 18, Hoja 3B)Demostrar que el sistema de ecuaciones implcitas

u

u

0462222

vuyxvuyx

x ypunto . Calcular en dicho punto el gradiente 0 ,1 ,2 ,1,,, 0000 vuyx

xyvEjercicio (Problema 19, Hoja 3B)Sea una funcin dos veces derivable en , tal que la recta

21

2

2

zyxzeyg x

Demostrar que el sistema anterior define dos funciones derivables 1,1 ,0,, 000 zyx

:g tangente a la grfica de en el punto tiene por ecuacin .g 1 ,2 03 yx

y en un entorno de xyy xzz Hallar la recta tangente a la grfica de la funcin en el punto xyy 1 ,0Calcular . 0z


Hallar la recta tangente a la curva en el punto

03

012

222

zyxzyx 1 ,1 ,1

32

Funciones inversas

1fnfn fD Im nn yyxx ,,,, 11 Dxxxff 1

Notas1) Para que una funcin tenga inversa, tiene que ser biyectivaf2) En general, una funcin no tiene inversa global ya que

no es biyectiva, pero en muchos casos si tiene inversa local

nnDf :

es biyectiva

Teorema de la funcin inversa

VUf :

Sea y un punto interior de tal que es diferenciable con continuidad en un entorno de . Si entonces existe un entorno de y un entorno de tales que.

a DnnDf : fa 0aJf

U a V afUVf : 1

1f es diferenciable en V 11 aDfafDf

NotaSi entonces es localmente invertible en 0aJf f a

33

Nota

1fnfn VU nn yyxx ,,,, 11 0aJf

11 aDfafDf1

1

1

1

1

1

1

1

1

axy

xy

xy

xy

afyx

yx

yx

yx

n

nn

n

n

nn

n

Se considera la funcin . Probar que es

Solucin


la funcin inversa en el punto .

zx eyxsenezyxf , ,,, localmente invertible en el punto y calcular la matriz jacobiana de 0 ,0 ,0 1 ,0 ,1

f

34

Sea una funcin diferenciable en tal que

Solucin


calcular .

Si y la matriz jacobiana de en es , calcular 1 ,0

1123

yxvyxuyxf ,,,, 22: f 2

4 ,31,0 f f 4 ,3

vx


Sean y dos funciones diferenciables tales que y

4,

,

0,00,0

yx

yx

vvuu

yxvu

10,00 uu

yxu , yxv , 80 ,0 yu

. Es posible determinar , siendo 00 , vuvx

y ? En caso afirmativo, calclese su valor. 20,00 vv

35

en un entorno del punto . Se considera la funcin

Ejercicio (Problema 21, Hoja 3B)Sea la funcin definida de forma implcita por la ecuacin

xyzyxzyxH 2 , 3 , ,,

1 ,1

yxzz ,02

xzyzy

xsen

1 ,2 ,1,, 000 zyxDemostrar que es localmente invertible en el punto 2 ,1

1HHallar la derivada direccional mxima de la primera componente

de en el punto

yxH ,

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