FUERZAS DE INERCIA - vviana.esvviana.es/doc/Las_inexistentes_fuerzas_de_Inercia.pdf · Fuerzas de inercia Vicente Viana Martínez Pág 3 Al acelerar el autobús, el muelle se estira,

Fuerzas de inercia

Vicente Viana Martínez Pág 1

FUERZAS DE INERCIA

Para estudiar las fuerzas de inercia nos valdremos de un ejemplo. Sea un camión con una

plataforma diáfana y un suelo totalmente liso (rozamiento nulo).

En el interior del camión está el conductor, sentado en su asiento y un niño permanece de

pie, sobre la plataforma. Para visualizar mejor la situación de ausencia de rozamientos se ha co-

locado al niño encima de un monopatín.

Fuera del camión, en la acera, hay una observadora a la misma altura del niño.

Si el autobús arranca hacia la izquierda con una aceleración a, podemos preguntarnos; ¿se

ha movido el niño?.

La pregunta es un tanto ambigua porque tal como sabemos de Cinemática, para analizar el

movimiento debemos elegir previamente un sistema de referencia.

El vehículo arranca con una aceleración a, hacia la izquierda.

a

(IV)

Niño sobre monopatín B

Conductor C

Inicialmente el vehículo está en reposo y la observadora A ve al niño a su altura

Observadora A

Fuerzas de inercia


Así, para el conductor del camión el niño se ha movido hacia la parte trasera cuando ha

arrancado. Sin embargo, para la observadora situada en la acera, el niño no se ha movido del si-

tio, quien se ha movido ha sido el camión de derecha a izquierda por debajo de los pies del niño.

Ahora podemos preguntarnos: ¿ha actuado alguna fuerza sobre el niño?.

Según el principio de la Inercia, el inicio del movimiento presupone la acción de una

fuerza sobre el niño. Si, de acuerdo con lo expuesto en el párrafo anterior, el niño se mueve con

relación al conductor y está en reposo con relación a la observadora, deducimos que no actúa

ninguna fuerza al analizar el movimiento respecto de un sistema de referencia fijo (inercial), pero

sí “actúa” una "fuerza" al analizar el movimiento con relación a un sistema de referencia no iner-

cial (sometido a aceleración), en este caso el conductor del camión.

Esa "fuerza" que “empuja” al niño hacia la parte trasera del camión desde el punto de vista

del conductor, no es pues una fuerza real sino una fuerza virtual a la que llamaremos FUERZA

DE INERCIA porque la causa del movimiento del niño no es ninguna fuerza sino la inercia del

pasajero a continuar con su estado de movimiento o de reposo según afirma el Primer Principio

de la Dinámica. A pesar de que las fuerzas de inercia no son fuerzas reales, los efectos observa-

dos asociados a ellas sí que lo son (fijaros el castañazo que se va a pegar el niño al caer del ca-

mión) y tienen una gran importancia en Ingeniería y en el diseño mecánico.

Las fuerzas de inercia pueden visualizarse fácilmente si en el ejemplo del camión, unimos

la cabina con la cintura del niño mediante un muelle, tal como se indica en la figura.

a

vo = 0

Fi El alargamiento del muelle lo podemos achacar a la existencia de una fuerza de inercia Fi

Fuerzas de inercia


Al acelerar el autobús, el muelle se estira, (ver figura), debido a la inercia del pasajero a

permanecer en reposo. Intentemos ahora cuantificar el valor de esa fuerza de inercia. A partir de

la Segunda ley de Newton.

F = m·a

F - m·a = 0

Mediante este artificio matemático transformamos el problema dinámico en un problema

estático. El término - m·a, que tiene dimensiones de fuerza, es a lo que nosotros llamamos

“fuerza de inercia”.

F + Fi = 0

Siendo;

Donde:

m es la masa del objeto móvil (niño)

a es la aceleración del sistema (camión)

Las fuerzas de inercia según se observa en el signo de la expresión anterior, llevan siem-

pre sentido contrario a la aceleración. Por eso, cuando un autobús acelera nos vemos impelidos

hacia su parte trasera y cuando frena (aceleración negativa) nos vemos desplazados hacia la parte

delantera del autobús (vídeo desde el interior del coche).

Las fuerzas de inercia son pues unas “fuerzas” percibidas por un observador vinculado a un

sistema no inercial, pero no por un observador situado en un sistema en reposo. Para un observa-

dor no inercial (conductor del camión), las fuerzas de inercia actúan

sobre las partes móviles de los sistemas acelerados y su valor es el pro-

ducto de la masa del objeto móvil (el niño sobre el monopatín) por la

aceleración del sistema.

En el mando de la consola Wii, hay unos acelerómetros, capaces de

“sentir” estas fuerzas de inercia y convertirlas en señales electrónicas.

Fi = - m·a

Fuerzas de inercia


La fuerza de inercia, sólo actúa cuando el sistema acelera. Cuando mantiene una velocidad

constante y dirección rectilínea, a = 0 y por tanto Fi = 0. De esa forma, en el “Maglev” por ejem-

plo, Rafa Nadal puede jugar al tenis en el pasillo del tren a 430 km/h sin que ninguna fuerza de

inercia altere el movimiento de la pelota. (Ejemplo real)

Hay que señalar que la introducción del concepto de fuerza de inercia es un recurso artifi-

cioso, pero muy eficaz, que nos permite resolver multitud de problemas de Dinámica, planteando

los problemas como si fueran problemas de Estática.

Ejemplo 2: Un cuerpo cuelga de un hilo, estando ambos en reposo. Si tiro del hilo brusca-

mente hacia arriba con una aceleración a, éste puede

llegar a romperse como consecuencia de la fuerza de

inercia que se suma al peso del cuerpo.

Ejemplo 3: Un hombre está situado de pie sobre una báscula de baño en el interior de un

ascensor. Cuando el ascensor arranca hacia arriba, la aguja se mueve marcando un peso superior

al inicial y al comenzar a descender el ascensor, la báscula marca menos del peso inicial, como

consecuencia de la fuerza de inercia que en el primer caso se suma al peso y en el segundo lleva

sentido contrario al peso.

m

P

m

P

a

Fi

Si, P + Fi > T (tensión de rotura del cable) el cable se rompe

Fi = m·a en sentido contrario a la aceleración

m

Báscula de baño Marca: P

(1) En reposo

m

Báscula de baño Marca: P + Fi

(2) Arranca

P

a

P Fi

Fi = m·a en sentido contrario a la aceleración

m

(3) Frena

a

P Fi

Báscula de baño Marca: P - Fi

Fuerzas de inercia


(cinturón de seguridad)

En la novela de Julio Verne “De la Tierra a la Luna” el autor imagina un cañón de 250 m

de longitud. El proyectil-cabina que aloja a los viajeros alcanza los 16 km/seg a la salida.

Eso supondría una aceleración de.

16.0002 – 0 = 2·a·250

a = 512.000 m/seg2

a = 52.244 g

Los pasajeros estarían sometidos a una fuerza de inercia equivalente a 52.000 veces su

propio peso. Por ejemplo, si el pasajero llevara un sombrero de apenas 250 gr de masa sobre su

cabeza, ello le provocaría un peso adicional sobre la cabeza de.

Fi = 0,25 · 512.000 = 128.000 N = 13,06 Toneladas

Con lo cual, a la Luna llegaría …. una papilla de pasajeros suicidas o simplemente muertos

por su ignorancia sobre las Fuerzas de Inercia.

LA INNOMBRABLE FUERZA CENTRIFUGA

Al estudiar el movimiento circular, demostrábamos que aunque la velocidad del vehículo

fuera constante, el cambio en la dirección del vector velocidad provoca la aparición de una acele-

ración, denominada aceleración normal.

m

(4) Se rompe el cable

g

P Fi = m·g

Báscula de baño Marca: P - Fi = 0

Un caso límite, es cuando se rompe el cable del ascensor. De una forma un tanto artificiosa, justificamos lo que ya conocemos, el pasajero del ascensor se encuentra en estado de ingravidez, en caída libre y lógicamente la báscula marca 0. Es la misma situación de un paracaidista que se lanzara desde un avión con una báscula de baño bajo sus pies. En este caso hemos usado de la fuerza de inercia para justificar ese valor.

Fuerzas de inercia


Su sentido es radial, dirigida hacia el centro de curvatura y su módulo puede expresarse

como:

rv

a2

n =

r·a 2n ω=

Imaginemos el vehículo de la figura, al cual observamos desde arriba, a vista de pájaro.

Sobre la caja de ese camión se encuentra un objeto (balón). Inicialmente el vehículo se mueve

con una velocidad constante y una dirección rectilínea.

Al tomar la curva en sentido antihorario, la velo-

cidad del camión sigue siendo la misma en módulo,

pero el vector velocidad cambia su dirección, adaptán-

dose a la geometría de la curva.

El balón, inicialmente situado en la parte iz-

quierda del vehículo, al tomar la curva, aparece ahora a

la derecha del camión. Visto desde el interior del vehí-

culo en movimiento, pareciera como si una fuerza ex-

traña lo hubiera desplazado hacia la derecha del vehículo.

Sin embargo, un observador situado a vista de pájaro, en reposo, comprueba que el balón

no cambia su trayectoria, mantiene la misma velocidad y la misma dirección iniciales. Es el ca-

mión quien se desplaza por debajo de él, provocando ese aparente cambio de posición.

La inercia del balón a mantener su estado de movimiento es la causa que hace pensar al

conductor del vehículo que el objeto se ha desplazado de la posición (1) a la (2). Es la misma si-

tuación que analizábamos al comienzo del tema con el niño sobre el monopatín.

Igualmente podríamos achacar ese desplazamiento relativo del balón, desde el punto de

vista de un observador no inercial situado en el vehículo, a la existencia de una fuerza de inercia.

Y al igual como antes.

T·2 π=ω

r

v

an O

90º

v

v

(1)=

(2)=

Fuerzas de inercia


Fi = - m·a

En el movimiento circular; r

va

2

n = . Por tanto

rv

·mF2

i = a la que llamamos “fuerza centrífuga”, Fc.

Todos hemos visto e incluso comprobado los efectos de la fuerza centrífuga; derrapes de

coches y motos, el cubo con agua que no se derrama al hacerlo girar, la lavadora-secadora que

centrifuga la ropa, las centrifugadoras de los laboratorios químicos, las norias, montañas rusas y

otras atracciones de feria, las centrifugadoras para entrenar a pilotos y astronautas, los corredores

de F-1 tomando curvas de varios g de aceleración, pilotos acrobáticos realizando “loopings”,

creación de gravedad artificial en naves espaciales, la forma como se distribuyen las estrellas en

una galaxia.

Son situaciones muy frecuentes en la vida real, que pueden analizarse geométrica y mate-

máticamente con muchísima sencillez, introduciendo el concepto de “fuerza centrífuga”, a pesar

de su virtualidad. Es un tema polémico ente los profesores de Física, quienes mayoritariamente

rechazan su uso, pero hace apenas dos generaciones, en los libros de texto, incluso universitarios,

se usaba la fuerza centrífuga sin ningún pudor, sabiendo perfectamente cuál es su naturaleza y

sus limitaciones de uso.

Insistamos, de todas formas, en que la fuerza centrifuga, como toda fuerza de inercia, no es

una fuerza real. Esto se manifiesta claramente al cortar la cuerda que une la piedra de masa m

con el centro de giro O. En ese caso la piedra, al verse libre de su ligadura sale disparada en la

dirección de la velocidad, (tangente a la trayectoria) y no en el sentido radial de la fuerza centri-

fuga.

Fc r

O

v

an

ω

De nuevo debemos insistir en la artificiosidad de las Fuerzas de Inercia. Unas fuerzas no reales, cuya introducción a la hora de plantear ciertos problemas permite resolverlos con gran sencillez . Y tampoco debemos pasar por alto que los derrapes en las curvas, los golpes contra los laterales del coche en el caso de viajeros, los desplazamientos de la carga y multitud de aplicaciones ingenieriles tienen su base en esta, ahora innombrable, “fuerza centrífuga”.

Expresándola en función de la velocidad angular ω. r··mF 2i ω=

Fuerzas de inercia


A pesar de su no consideración como fuerza real, si intercaláramos un muelle en medio de

la cuerda que sujeta la piedra, tal como se indica en la figura, observaremos que éste se alarga y

ese alargamiento aumenta al aumentar la velocidad lineal o disminuir el radio de giro, según se

desprende de la expresión matemática de la Fcentrífuga.

Volviendo al ejemplo de la piedra. Si la hacemos girar en un plano perpendicular al suelo,

es fácil comprobar cómo la tensión en la cuerda no es constante, sino que va variando con la

posición, desde un máximo en la posición inferior, a un mínimo en la posición superior, tal y

como se ilustra en la figura.

Una aplicación curiosa de los efectos de la fuerza centri-

fuga es la creación de gravedad artificial en las estaciones

espaciales permanentes.

Una estación espacial de forma toroidal, girando alrede-

dor del eje central provoca un peso artificial en sus ocupantes

de valor igual a la fuerza centrifuga.

Fc = - m·an r

O

v

an ω

m

El muelle se estira más, conforme aumentamos la velocidad angular ω. Pero si se rompiera el muelle, la masa m saldría disparada en la dirección de v (tangente a la trayectoria) y no en la dirección de la Fcentrífuga, como sucede al lanzar una piedra con una honda.

Fc

r

O

v

an

ω

m

En la posición (1) la tensión que soporta la cuerda vale. Fc – P (mínimo) En la posición (2), la tensión de la cuerda es. Fc + P (máximo) Dichas tensiones podrían visualizarse intercalando un muelle entre la piedra y el centro de giro. Es justamente la sensación que notamos al subir en la noria. Y en el despegue y aterrizaje de los aviones. Si la Fcentrífuga fuera suficientemente intensa podríamos llegar a sentir durante un momento, el estado de ingravidez total, si P = Fc. Fc

(1)

(2)

m

P

P v

an

Fuerzas de inercia


P = Fc

Sustituyendo cada fuerza por su valor.

m·g = m·ω2·r

Despejando la velocidad angular, obtenernos.

rg=ω

Por ejemplo, para un radio de 150 m y una velocidad angular de 2,5 vueltas por minuto, se

obtendría un peso artificial indistinguible del que notaríamos en la Tierra. Tan solo al mirar a tra-

vés de las escotillas de la estación sentiríamos el vértigo de ver girar todo el Cosmos a nuestro

alrededor dos veces y media, cada minuto.

Todo cuerpo celeste orbitando alrededor de otro se comporta como una piedra girando al-

rededor de nuestra mano donde la tensión de la cuerda ha sido sustituida por la acción de la gra-

vedad.

El radio estable de la órbita se alcanza cuando la fuerza centrifuga Fc y la fuerza de atrac-

ción gravitatoria Fg se equilibran.

Fg = Fc

Sustituyendo cada fuerza por su valor.

rv

·mr

m·M·G

2

2=

Dividiendo por m y despejando la velocidad obtenemos.

rM·G

v =

Fc = m·ω2·r

Fuerzas de inercia


Obsérvese que al disminuir el radio de la órbita,

la velocidad orbital aumenta. Los planetas más cerca-

nos al Sol son más veloces, Mercurio en la mitología

latina es el mensajero de los dioses representado con

unas alitas en los pies. Por el contrario, los planetas

exteriores son más lentos.

El efecto de las mareas provoca una disminución en la velocidad orbital de la Luna en

torno a la Tierra, alejándose al ritmo de 3 cm al año. En un futuro muy lejano no existirán eclip-

ses totales de Sol, tan solo eclipses anulares.

LAS EXTRAÑAS Y DESCONOCIDAS FUERZAS DE CORIOLIS

Imaginemos un disco que puede girar libremente en un plano horizontal alrededor de su

eje. Desde su periferia lanzamos un objeto (balón) en dirección radial hacia el centro del disco.

Suponemos nulo el rozamiento entre el objeto y la superficie del disco. El balón inicialmente

está fuera del disco.

Cuando el disco está en reposo, es evidente que el balón sigue una trayectoria radial de

(1) a (2) alcanzando el centro con normalidad.

Pero, si el disco estuviera girando con velocidad angular constante ωωωω, la cosa cambia, La

inercia del balón a mantener su velocidad, tanto en módulo como en dirección, provoca que, para

un observador solidario al disco, pareciera como el balón se desplaza hacia la derecha, según se

indica en la flecha de color rojo.

v

(1) (1)

(2) (2)

Fuerzas de inercia


El desplazamiento aparente del balón para el observador ligado a una plataforma que está

girando, lo llamamos efecto Coriolis. Podemos achacar este desplazamiento a una fuerza virtual,

una fuerza de inercia llamada “Fuerza de Coriolis”. La fuerza de Coriolis desvía al balón en sen-

tido contrario al sentido de giro. Si la plataforma gira en sentido horario, el balón se mueve en

sentido antihorario, para el observador ligado al sistema no inercial. Lo mismo sucedería si, ini-

cialmente el balón estuviera situado en el eje de giro y el lanzamiento lo efectuamos en dirección

radial, hacia la periferia de la plataforma.

Una variación interesante de esta situación es cuando el balón, inicialmente está situado

sobre la periferia de la plataforma, girando con él y de nuevo lanzamos el balón en dirección ra-

dial hacia su eje de giro.

v

(II)

(I)

(VIII)

(VII) (V)

(IV) (IV)

Fi = - m·a

(VI)

v

(I)

(VIII)

(VII)

(VI) (IV)

(III) A

(II)

(IV) (IV)

ω ω

(V)

v

(II)

(I)

(VIII)

(VII) (V)

(III) A

(VI)

v

(I)

(VIII)

(VI) (IV)

(III) A

(II)

ω

ω

(V)

Fuerzas de inercia


En este caso el balón, además de la velocidad de lanzamiento radial v, lleva una velocidad

de arrastre v’ = ωωωω·R, en dirección tangencial. La ley de la inercia obliga al balón a mantener esa

misma velocidad, pero sobre la plataforma, conforme nos acercamos al eje de giro, su velocidad

lineal es cada vez menor, pues v = ω·r y r va cambiando desde su valor máximo (R) en la perife-

ria hasta el valor mínimo 0, en el centro.

Esto significa que el balón, por su inercia, “adelanta” al disco conforme se acerca al centro.

En consecuencia, un observador situado sobre la plataforma, vería cómo el objeto se aleja de la

dirección radial en el mismo sentido que la velocidad de giro de la plataforma.

Esta situación es la más interesante para nosotros, porque no olvide-

mos que vivimos sobre la superficie de un planeta de forma esférica, el cual

gira un ángulo de 2·π radianes cada 23h 56m. Un gigantesco tiovivo donde

cada punto dista del eje de giro una distancia indicada por la expresión.

(siendo ϕ la latitud geográfica del lugar)

v

(II)

(I)

(VIII)

(VII) (V)

(III)

(VI)

v

(I)

(VIII)

(VII)

(VI) (IV)

(III) A

(II)

ω

ω

(V)

v’ = ω·R

r = RTierra·cos ϕ

Fuerzas de inercia


Las fuerzas de Coriolis son las responsables, en Meteo-

rología, del sentido de giro de las borrascas y de los anticiclo-

nes.

Los anticiclones giran en sentido horario en el

hemisferio boreal y en sentido antihorario en el hemisferio

austral.

Las borrascas giran en sentido antihorario en el hemisferio boreal y en sentido horario en el

hemisferio austral.

En el lanzamiento de proyectiles de largo alcance,

se produce una importante desviación en su trayectoria

que debemos corregir si deseamos dar en el blanco.

En navegación aérea, cuando un avión vuela desde

el ecuador hacia los polos, a lo largo de un mismo meri-

diano, debe ir compensando la desviación en su rumbo

provocada por la fuerza de Coriolis.

De esa forma, el piloto no orienta el morro del

avión en dirección norte, sino ligeramente inclinado hacia la izquierda (hemisferio boreal), para

que la resultante vectorial del empuje de los motores y de la fuerza de Coriolis esté alineada con

el meridiano. El avión avanza ladeado hacia su destino.

Esto provoca la aparición de importantes

fuerzas de Coriolis cuando un objeto se mueve con

una cierta velocidad en el entorno de nuestro pla-

neta. El sentido de las fuerzas de Coriolis varían

de un hemisferio a otro según apreciamos en el es-

quema de la figura adjunta.

Empuje de los motores

Fuerza de Coriolis

Rumbo del avión

Fuerzas de inercia


La aceleración de Coriolis viene dada por la ex-

presión.

rel,ACoriolis v·2arrr ∧ω=

rel,Avr

representa la velocidad del punto A, me-

dida por un observador situado en B, el cual está gi-

rando con ωr

respecto de O. El valor de la aCoriolis depende de la velocidad del punto A respecto del

punto B, situado sobre la Tierra y del ángulo formado por la dirección de esa velocidad en relación al eje

de giro de la Tierra.

Al tratarse de un producto vectorial, el resultado depende, aparte de los módulos de ωr

y de vr

, de

sus respectivas orientaciones espaciales. A su vez, vr

depende del valor del vector B/Arr

. En consecuen-

cia, se trata de un problema de cálculo vectorial tridimensional cuyo resultado no es nada evidente, al

contrario de los ejemplos anteriores de fuerzas de inercia.

Por ejemplo, para una vA = 1.000 m/seg, como ωTierra = 7,29·10-5 rad/seg, la aceleración de Coriolis

máxima vale; aCoriolis = 0,145 m/seg2. Como consecuencia de ello, podemos considerar aproximadamente

que la Tierra es un sistema inercial. Sin embargo, en algunos casos, a pesar de su pequeño valor, actuando

de una forma prolongada, puede llegar a provocar importantes consecuencias dinámicas; vuelo de avio-

nes, lanzamiento de proyectiles, circulación de los vientos, etc.

FOUCAULT Y SU PÉNDULO

El péndulo de Foucault fue usado por este físico francés del siglo XIX para justificar la rotación de

la Tierra. Pesaba 28 kg y medía 67 m

de longitud, con un período de

oscilación de unos 17 seg. Lo instaló

bajo la cúpula del Panteón de París.

La ley de la inercia hace que

el péndulo, en ausencia de fuerzas

exteriores, oscile siempre en un

mismo plano. Sin embargo, para un

X

Y O

B

Brr

Arr

B/Arr

A

ωr

Z

rel,Avr

Fuerzas de inercia


observador situado sobre un sistema en movimiento (la Tierra) le parecerá que es el plano de oscilación

del péndulo quien gira alrededor de nuestra posición.

De nuevo, achacaremos ese movimiento aparente a una fuerza de inercia (fuerza de Coriolis). Ví-

deo péndulo de Foucault sobre un barco.

La velocidad angular de rotación aparente del plano de oscilación del péndulo depende de

la latitud geográfica del punto donde esté situado el péndulo.

ω’ = ω · sen ϕ

El tiempo empleado en dar una vuelta completa es.

hsen24

Tϕ

=

Y el ángulo girado por el péndulo en 1 hora es.

θ = 15 · sen ϕ

EL EXTRAÑO COMPORTAMIENTO DEL GIRÓSCOPO

El giróscopo fue diseñado por Foucault en 1.952. Se trata de un disco

con un elevado momento de

inercia, girando alrededor de su

eje central y montado a su vez,

sobre una junta Cardan.

Vídeo del Universo Mecánico.

Giróscopo profesional

Rueda de bicicleta

Fuerzas de inercia


Algunos conceptos físicos elementales

1) Momento de una fuerza respecto de un punto.

FrMrrr

∧=

2) Momento de inercia.

2ii r·mI Σ=

3) Ecuación fundamental de la dinámica de rotación.

α= rr·IM

4) Momentum (cantidad de movimiento).

v·mprr

= a·mtdvd

·mtd

)v·m(dtdpd

Fs

rrrr

====

5) Momento cinético (angular) de un punto material.

v·mrLrrr

∧= prLrrr

∧=

6) Principio de conservación del momento cinético de un sólido.

Derivando

MFra·mrtdvd

·mrtdLd rrrrr

rr

r

=∧=∧=∧=

Si, Mr

es nulo, 0tdLd =r

tetanconsL =r

tetanconsv·mr =∧ rr

Ejemplo: velocidad areolar constante (2ª Ley de Kepler)

7) Impulso angular.

Impulso lineal = dt·Fr

Impulso angular = td·Mr

td··IL α= rr ω= rr

·IL

Fuerzas de inercia


8) Momento cinético (angular) de un sólido.

MtdLd rr

= α= rr

·ItdLd

td··ILd α= rr

Integrando.

)(·ILL 1212 ω−ω=− ω= rr·IL

9) Principio de conservación del momento cinético de un sólido.

Si, Mr

es nulo, 0tdLd =r

tetanconsL =r

tetancons·I =ωr

10) Velocidad de precesión.

LMrrr

∧Ω=

L

Mr

rr

=Ω ω

=Ω r

rr

·IM

El efecto giroscópico estabiliza el lanza-

miento de proyectiles.

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