100 Stereometrija

Resenje: а* Sa Slike 2 vidimo da је po1uprecnik opisane kruznice г= ~h, gde је sa h ozna­cena visina jednakostranicnog troug1a. Ako sa а oznacinю osnovnu ivicu prizme (stranicu jednakostranicnog troug1a), onda је

г= ~h = ~ · af = Јз '* а= г.ЈЗ = 2.ЈЗ · Povrsina osnove је В= a

2f = 4"34v'З = з.ЈЗ.

а

а

S1ika 1 А

с

Е S1ika 2

в

Ь) Zapremina kocke, koja ujedno predstavlja i zapreminu prizme, је V = ai = 23 = 8. Iz formule za zapreminu prizme пalazimo

V=B·H {=} 8=З.f3·Н '* Н= 3~=Ч1. Povrsina prave praYilne trostrane prizme se sastoji iz dve baze (dva jednakostrani­cna trougla) i omotaca М koji cine tri pravougaonika sa stranicama а i Н. Dakle, Р= 28 +М= 2· З.јј +З ·а·Н = 6.f3 +З· 2.f3· 3~ = 6.f3+ 16.

3. Visina pravilne prave cetvorostrane prizme је Н = 2, а osnovna ivica а = 4. а* Izracunati povrsinu i zapreminu posmatrane prizme. Ь) Izracunati povrSinu i zapreminu lopte opisane oko prizme.

а а

Slika З S1ika 4 Re~enje:

а* Prava pravi1na cetvorostrana prizma za osnovu ima kvadrat stranice а, а omotac јој se sastoji od cetiri pravougaonika sa stranicama а i Н. Na osnovu toga vidimo da је njena povrsina

Р= 2В+М = 2а2 +4·а·Н = 2·16+4·4·2 = 64. Zapremina је V = В ·Н = а2 ·Н = 16 · 2 = З2 .

Prizma, va1jak i sfera 101

Ь) Precnik lopte opisane oko posmatrane prizme је jednak dijagonali prizme, tj. 2R = D. Sa Slike З vidimo da dijagonala prizme predstavlja hipotenuzu pravouglog troug1a sa katetama Н i d, gde је d dijagonala osnove (kvadrata stranice а). Na ovaj nacin dobljamo

2R = v'~H~2+-d~2 = јн2 + (a.fi)2 = Ј4+ 16·2 = vГзб = 6. Dakle, poluprecnik lopte је R = З. Povrsina i zapremina lopte su

Р= 4R21t = 4 · 97t = З61t i V = 4R;п = 4·~?п = З61t .

4. Osnovna ivica pravilne prave sestostrane prizme је а = З, а dijagonala bocne strane d = 6. Izracunati

а* povrsinu i zapreminu prizme,

Ь) povrsinu i zapreminu valjka opisanog oko prizme.

Resenje: а* Osnova pravilne prave sestostrane prizme је pravilan sestougao, а bocne strane su p1avougaonici sa stranicama а i Н. Sa S1ike 4, koja predstav1ja jednu Ьocnu stranu prizme, vidimo da је

н= Ј d2- aZ = ЈЗ6- 9 =т= з .;з. Povrsina date prizme је

Р= 2В+М = 2·6· ауз +6·а·Н = З·9.f3+6·З · З.јј = 81.f3,

а zapremina v =в. н = 6. ауз. н =з. 9f . з .;з= 2i3 •

Ь) Precnik valjka opisanog oko date prizme је jednak duzoj dijagonali sestoug1a (dijagona1i koja spaja dva naspramna temena sestoug1a), sto znaci da је poluprecnik valjka г = а = З. Visina valjka је jednaka visini prizme Н = З vГз раје

v =в. н= г27tlf = 97t. з .;з= 27.f37t i Р= 28 +М= 2r27t+ 2r1tH = 2 · 97t + 61t · з.ЈЗ = 187t(1 + .ЈЗ).

5. Osnova kose prizme је jednakostranicaп trougao straпice а = 4. Jed.na Ьоспа strana је normalna па ravan osnove i ima oЬlik romba kod koga је kraca dijagonala d2 = 6. Izracunati zapreminu prizme. Resenje: Potrebno је odrediti visinu prizme. Na S1ici 5 је prikazan izgled zadate prizme, pri cemu је Ьосnа strana АВВ1А 1 romb normalan na ravan osnove. То znaci da је visina prizme u isto vreme i visina ovog romba. Ako po1ovine dijagonala romba oznacimo sa l = !d2 =З i k = !d1, onda iz pravouglog troug1a ВОВ1 (S1ika 6) imamo daje

k=Ja2-[2=J16-9=,fi '* d1 =2,fi. Povrsina posmatranog romba је Р= tJJf = 2"1_·6 = 6,fi. Kako se povrsina romba moze izracunati i kao р = а . н' to је

102 Stereometrija

а· Н = 6~ <=} 4 ·Н = 6У7 => Н = 'J:{l . Zapremina prizme је V =В· Н = а2.(3 ·Н = 16.(3 . 3f = 6v'21.

СЈ

А а в А а в

Slika 5 Slika б

6. Osnova prave prizme је jednakokraki trapez sa osnovicama а = 21, Ь = 11 ј krakom с= 13. PovrSina djjagonalnog presekaje Pd = 180. Izracunatj

а) povrsjлu ј zapreтjлu prizme,

Ь* povrSin11 preseka kojj prolazj kroz vec11 osnovic11 с: donje baze ј manj11 osno­vjcu Ь gomje baze.

Resenje:

а) Posmatrajmo prvo jednakokraki trapez ABCD koji predstavlja osnovu prizme. Da Ьismo izracunali dijagonalu osnove d, moramo prvo odrediti visinu trapeza.

А' В' А а-! Е l В

н

А в

D ь с D с

Slika 7

Duzina du.Zi ВЕ је l = ~ = 21;

11 = 5, ра iz pravoug1og trougla ВЕС nalazimo

h = .Јё'Г=72 = v169- 25 = v"l44 = 12. Iz pravouglog trougla АЕС se doblja d = у'(а -!)2 + h2 = у'(21- 5)2 + 122 = v256 + 144 = У4ОО = 20.

Dijagona1ni presek prizme је pravougaonik АСС' А' sa stranicama d = 20 i Н (Н predstavlja visinu prizme). Iz formu1e za povrsinu pravougaonika imamo Pd = d ·Н <=} 180 = 2ОН =>Н = 9. Povrsina prizme је

Р= 2В +М= 2 · а!ь · h +аН+ ЬН + 2 ·еН =

Prizma, valjak i sfera 103

= h(a+b) +Н(а+Ь+2с) = 12(21 + 11) +9(21 + 11 +2·13) = 384+522 = 906. Zapremina prizme је V =В ·Н= а!ь ·h ·Н= 21! 11 ·12 · 9 = 1728.

Ь* Presek koji prolazi kroz vecu osnovicu а donje baze i manju osnovicu Ь gomje baze је jednakokraki trapez АВС'D'. Osnovice ovog trapeza su а= 21 i Ь = 11, а krak е cemo izracunati iz pravouglog troug1a ADD' Cije katete su с= 13 i Н = 9.

А' а В' D' D' Ь С'

па н

А в

А с D А aEzB D ь с Slika 8

Hipotenuza ovog troug1a је е = ..; с2 + Н2 = ../169 + 81 = Y25Q = 5 VIO. Sada

mozemo izracunati visinu h1 posmatranog trapeza. Vidimo da ona predstavlja jednu katetu pravouglog trougla ВС'Е cija druga kateta је l = 5, а hipotenuza е= 5VW раје hr = ve2 -z2 = v25o- 25 = v'225 = 15. Povrsina Р, posmatranog preseka је

Р1 = а!Ь ·h1 = 21! 11 ·15 = 16·15 = 240.

7. Nacj povrSinu ј zapreтjлu ravnostranog valjka (valjka kod koga је vjsjлa jed­naka precлjku osnove, tj. Н = 2г) ako је povrSina omotaca М = 80. Resenje:

Omotac valjka visine Н i poluprecnika osnove г је М= 2гтеН. U nasem slucaju ova formula daje М = 2rn · 2г <=} 80 = 4г2те => г2 = ~, ра је poluprecnik osnove

г = yfii = ~. PovгSina va1jka је Р= 2В+М = 2г2те+М = 2· ~·те+ 80 = 40+80 = 120,

а zapremina V =В ·Н = г2те. 2г = Ш . те. ~ = 8\!,{ . 1t y'1t 1t

8. Nacj .гapreminu kosog valjka ciji osni presek је romb stranice а= 2 i 11gla <Х=б0°. Resenje:

Posmatrajmo rombABCD koji predstav1ja osni presek va1jka.

Sa Slike 9 vidimo da ga ·kraca dijagona1a deli na dva jednakostranicna trougla stra­nice а= 2. То znaci daje poluprecnik valjkajednak polovini stranice а, tj. г= 1,

а visina va1jka је jednaka visini jednakostranicnog trougla Н = af = ЦЖ = VЗ. Zapremina posmatranog valjka је V = В ·Н = г2теН = те,Ј3 .

9. И prav valjakje upisana pravilna trostrana prizma, а и nju drugj valjak. NaCi

~1

..... 1

. '

•. 1

1

.....Ј

l 1

......1

Ј .. , Ј

l]

Ј

104 Stereometrija

а* odnos njihovih zapremina, Ь* odnos povrsina njihovih omotaca.

Resenje: а* Oznacimo poluprecnik polaznog valjka sa R, osnovnu ivicu prizme sa а, а po­luprecnik drugog (manjeg) valjka sa r. Na Slici 10 prikazan је izgled njihovih

V.d. d · R _ 2h _ 2 аvГз _ а · _ 1h _ R _ а d h osnova. 1 tmo а Је - 3 - 3 · - 2- - vГз 1 r - 3 - 2 - 27з, g е smo sa

oznacili visinu jednakostranicnog trougla. Neka Н predstavlja visinu posmatranih te1a. Zapremina polaznog valjka је

Slika 9 Slika 10

в 2 а2 Н V1 = 1·H=R 1tН= 3 ·1t .

Zapremina trostrane prizme је V2 = В2 ·Н = azf ·Н, а zapremina manjeg valjka

Vз = В з ·Н = r21tН = т; ·1tН. Ove iapremine se odnose kao 2 2r-; 2 F;

V1 : V2 : Vз = Т ·1tН : т· v ЗН : 'f2 ·1tH <=> V1 : V2 : Vз = 41t : Зv З : 1t . Ь* Povrsina omotaca polaznog valjka је

М 1 = 2R1tH = 2 · Јз ·1tН = 2~ . Povrsina omotaca pravilne trostrane prizme se sastoji od tri pravougaonika stranica а i Н раје М2 =ЗаН, а povrsina omotaca manjeg valjka је

Мз= 2r1tН = 2· 2Јз ·1tН = a:/f . Odnos povrsina omotaca је м · М · М = 2aH1t · ЗаН · аН1t ~ М М М 2 З r->з 1t 1· 2· з Тз· ·Тз .,...". 1: 2: з= 1t: У-': .

io. Ako se poluprecnik sfere poveca za 1, пјепа povrsina se poveca za 81t. Za koliko se poveca njena zapremina? Resenje: Oznacimo polupreenik polazne 1opte sa r, а novodoЬijene sa R. Prema uslovu zadatka је R = r + 1. Za povrsine Р polazne lopte i Pt novodoЬijene lopte vazi Р1 = Р+ 81t <=> 4R21t = 4r21t + 81t, tj.

(г+ 1 )2 = r2 + 2 <=> r2 + 2r + 1 = r2 + 2. DoЬili smo lineamu jednacinu 2r = 1 iz koje nalazimo r = !, раје poluprecnik novodoЬijene sfere R = ~ + 1 = ~. Zapremina polazne lopte је

Piramida i kupa

V _4 з _4 1 1t -3·r1t-3·в·1t=6,

а zapremina novodoЬijene lopte

v1 = ~ · Rз1t = ~ . fj . 1t = ~. Ove zapremine se razlikuju za

V - v = 21! - ! - 271t-1t - 261t - 1З7t 1 2 6- 6 -6- з.

8.2 Piramida i kupa т

D piramida

т

prava !шра

• Zapremina piramide baze в i visjne Н

• Povrsjna pjramjde baze в ј omotaca м

т

2r1t

V=!·B·H

Р=В+М

• Zapremjna kupe (konusa) poluprecnjka osnove r ј vjsjne Н V -! ·В ·Н- гz1tН -з - з

• Povrsjna omotaca prave kupe poluprecnjka osnove r ј jzvodnjce s м= Г1tS

• Povrsjna prave kupe poluprecnjka osnove r ј jzvodnjce s Р = В +М = r 21t + r1ts = m(r + s)

105

11. Povrsina omotaca kupe је dva puta veca od povrsine osnove. Naci ugao kru­Zпog isecka koji predstavlja omotac kupe. Resenje: Iz uslova zadatka vidimo da је М = 2/Ј <=> Г1tS = 2r21t <=> г = f. То znaci da је

povrsina omotaca М = ms = s~1t, pri cemu s predstavlja poluprecnik kruga od koga је doЬijen posmatrani kruzni isecak. Vidimo da је povrsina omotaca М jednaka po1ovini povrsine tog kruga (kome odgovara centralni ugao od 360°), sto znaci da omotac predstavlja kruzni iseeak sa centralnim uglom а= 180°.

12. Dat је jednakostranicni trougao stranice а. Odrediti povгSinu i zapreminu tela koje se doblja rotacijom (obrtaпjem) datog trougla oko

а) visine trougla, Ь* jedne stranice trougla.

106 Stereometrija

Resenje: а) Rotacijom datog troug1a oko njegove visine h doblcemo kupu cija visina је jed­naka visini troug1a Н = h, а po1uprecnik osnove је jednak po1ovini st1-anice trougla r = ~ (vidi Sliku 11). Izvodnica ove kupe је s =а. Povrsina ovako dobljene kupe је Р =В +М = r2

1t + rns = a:1t + a;1t = З~1t. Zapremina је V = l· В ·Н = l· r21th = .!. . a21t . аv'З _ a3 1tv'З З4 2-24"

Slika 11 Slika 12

Ь* Kada trougao rotira oko jedne svoje stranice, dobljamo telo koje se sastoji od dve kupe spojene duz svojih osnova. Poluprecnik osnove ovih kupa је visina jed­nakostranicnog troug1a, tj. r = h, а visina kupe је jednaka polovini stranice trougla, tj. Н= ~- Izvodnica kupe је s =а. Ako sa М oznacimo povrsinu omotaca kupe, onda је povrsina dobljenog tela

Р = 2М = 2r1ts = 2h1ta = 2 · ~ · 1ta = a21tVЗ . Zapremina dobljenog tela је jednaka dvostrukoj zapremini kupe

V _ 2. ВН _ ~ • г2-и _ ~ . h21t. g_ _ !Ш . За2 _ a31t - З - З ЈI.П - З 2 - З 4 - 4

13. NaCi povrSinu prave pravПne trostrane piramide osnovne ivice а = vГз ako је пјепа zapremina V =З.

Resenje:

D D

в Е Slika 13

h с

Prava pravilna trostrana piramida za osnovu ima jednakostranican trougao, а pod­nozje visine piramide se na1azi и tezistu osnove. Iz formule za zapreminu dobljamo

V=l·B·H=t·a2f·H <=? З=/}·Н =:. H=4V3.

Piramida i kupa 107

Da Ьismo mogli izracunati povrsinu posmatrane piramide, potrebno је da odredimo apotemu ha (visinu bocne strane).

Ako posmatramo presek piramide koji pro1azi kroz visinu osnove СЕ i vrh D (trougao ECD prikazan па Slici 13), vidimo da apotema predstavlja hipotenuzu pravoug1og trougla ЕТ D cije katete su

Т D =Н = 4V3 i ЕТ = r = .!. • h = l. !!.fl = .!. • .ih2 - .!. з з 2 з 2 -2.

Primenom Pitagorine teoreтe nalazimo ha = Ј Н2 + r2 = Ј 48 + ! = lf3. Tra­zena povrsina је

Р= В+ М- а2

у} +З· !!:.!!.. - Ш+ Зv'З·v'i93 - Ш (1 + • f1М'19З - 4 2 - 4 4 - 4 v <7Ј Ј •

14. Osnova piramide је jednakokraki trapez sa osnovicama а= 5 i Ь = З i krakom

с= 7. Podnotje visine је presek dijagonala osnove. Veca bocna ivica је s = 10. Izracunati

а) zapreminu piramide, Ь* manju bocnu ivicu.

Resenje:

а) Oznacimo dati trapez sa АВСD, а vrh piramide sa L. Osnovice su АВ =а= 5, DC = Ь = З i presek dijagonala tacka Т. Tada su vece bocne ivice AL i BL. Oznacimo podnoZje visine trapeza h iz temena D sa Е, а duz АЕ sa l. Vidimo da је l = а2ь = 1. Iz trougla AED nalazimo h = Јс2 -[2 = Ј49 -1 = 4V3. Oznacimo dijagonalu osnove sa d.

L

м в

А

D N с D ь с S1ika 14

Kako је ЕВ = а- l = 5 - 1 = 4, to iz pravouglog troug1a BED dobljamo d = yl(a -1)

2 +h

2 = V16+48 = Ј64 = 8. Omacimo sredine osnovica sa М i N. Jasno је da tacka Т pripada d11Zi MN. Tacka Т deli dijagonalu BD па dva dela: ВТ = т i Т D = n. Troug1ovi BED i ВМТ su s1icni ра su im odgovarajuce strane proporcionalne

ВЕ : ВМ = BD: ВТ <=? (а -l) : ~ = d: т <=? 4: ~ = 8: т . Pos1ednja proporcija nат daje 4т = 20 =? т = 5. Sada, posmatrajuCi pravougli trougao BLT (sa pravim ug1om kod temena Т), mozemo izracunati visinu

~' ·i ,, 1

i '1 ._.1

1 • '

1

..JI 1 . 1

i --1

., '

"'\

··' 1

i •• ,

~ј 1

1 ""1 l_j

Ј

i] 1 ,..,

t:l -,

108 Stereometrija

LT =Н= vs2 -m2 = v100-25 = 5V3. Zapremina posmatrane piramide је

v = l· в. н= l· aib. h. н= l· 5!3 . 4v3. 5vГз = 80. Ь* Da Ьismo izracunali duzinu manje Ьосnе ivice е, posmatrajmo trougao LTD. Njegove katete su LT = Н = 5 vГз i DT = n = d -т = 8 - 5 = З раје

е= vH 2 +n2 = v75 +9 = vГs4 = 2vГzf.

15. Povrsina dijagonalnog preseka prave pravilne cetvorostrane piramide је jed­пaka Pd = 12, а oЬim osnove је О= 8. Izracиnati

а* povrsinи i zapreminи piramide,

Ь* povrsinи i zapreminи kире иpisane и piramidи.

Resenje: а* Osnova pravilne cetvorostrane piramide је kvadrat. Ako njegovu stranicu ozna­cimo sa а, iz formu1e za oЬim kvadrata О = 4а doЬijamo da је а = 2. Dijagonalni presek pirarnide је jednakokraki trougao sa osnovicom jednakom dijagonali kva­drata d =аЛ= 2Л i visinom koja је jednaka visini prizme Н (Slika 15).

Iz formule za povrsinu trougla doЬijamo

pd = dZH {::} 12 = 21-Н => Н= Jz = 6Л. Zapremina posmatrane piramide је

V = i·B·H = l·a2 ·H = l·4·6J2=8J2. Apotemu ha nalazimo iz pravouglog trougla EFG cije katete su Н= 6..;2 i ~ = 1 primenom Pitagoгine teoгeme ha = ..јн2 + (~) 2 = v72+ 1 = .ј73. Povrsina posmatrane pirarnide је

Р =В +М = а2 + 4 · ~ = 4 + 2 · 2 · V73 = 4( 1 + V73) .

Е

А в А а в

Slika 15 Slika 16

Ь* Poluprecnik kupe upisane u piramidu (Slika 16) је г = ~ = 1, а visina је jednaka visini piramide Н = 6Л. Zapremina kupe је

V = l· В· Н = l· г21СН = l·1t · 6Л = 21tЛ .

Piramida i kupa 109

Izvodnica kupe је jednaka apotemi, tj. s = ha = V73. Povrsina kupe је Р= В +М= г21t+г1ts = 1t +1tV73 = 1t(1 + V73).

16. И datи pravи kири polиprccnika osnovc г i visinc Н = гЛ иpisna је kocka AВCDA'B'C'D' tako da osnova ABCD Iezi и osnovi kире, а temena А', В', С' i D' pripadajи omotacи kире. Odrediti odnos zapremina kире i kocke. Resenje: Polozaj kocke u datoj kupi prikazan је na Slici 17. Ako posmatramo osni presek MTN (MN = 2г i ТО= Н), videcemo da on prolazi kroz dijagonalu osnove kocke АС = d = аЛ, gde smo sa а oznacili ivicu kocke.

Trouglovi TON i C'CN su slicni ра va:li

ТО :С' С = ON : CN {::}Н :а =г : (г- ~) {::}гЛ: а = г : (г- af} Poslednja proprcija daje г2Л- га= га {::} 2га = г2Л => а= r.{i. Prema formulama za izracunavanje zapremine kupe V1 i zapremine kocke v2 doЬi-

. ~ !·~·Н !·r;lt·rv'z ~ 4 ЈапlО V2 = а = ~ = & = Т ·

8 4

т

т

м А О С N

Slika 17

17. Osnovna ivica prave pravilne trostrane piramide је а= 10, а иgао koji bocna strana zaklapa sa osnovom је а = ЗОО. Izracиnati

а) povrsinи i zapreminи piramide, ь• dиzinи ЬоСпе ivice.

Resenje: а) Posmatrajmo zadatu piramidu АВСD prikazanu na Slici 18. Ugao izmedu boene strane ACD i osnove АВС је ugao izmedu apoteme DE i visine osnove ВЕ. Visina

osnove је h = ~ = 10f = 5.ЈЗ, а duz ЕТ= х= l. h = ~- Iz pravouglog trougla ЕТ D nalazimo

Н =х· tg а= ~ . tg ЗО0 = ~ . -јз = ~. Zapremina piramide је V = -з' ·В· Н= -з' • а24у1 ·Н = l . НЈОЈЈ . ~ - 125ЈЈ Kako Ј· е

з 4 з- 9 ·

110 Stereometrija

u pravoug1om troug1u ETD ugao naspram katete Н jednak ЗО0 , to је hipotenuza ovog troug1a, koja ustvari predstavlja apotemu ha, dva puta veca od katete Н, tj. ha=2H= .!ј.

D

D

с в ~ Е х Т У В

А

Slika 18 Povrsina pirarnide је

р= В+М = а2

р +З·~= J~fl +З· Jo;-'f = 25(v'З +2). Ь* Bocnu jyjcu s jzracunavamo jz pravouglog trougla BTD. S obzirom da su katete TD =Н= i ј ТВ= у= 2х = ,rз. to је

S - /Н2 +у2- Ј ђ_+ ЈОО- fiii- 5·/П _, - 9 з -у<г- з ·

8.3 ZaгuЬijena piгamida i zaruЬijena kupa

zarubljena piramjda zaruЬ!jena kupa

• Zapremjna zaruЬijene pjramjde сјје baze su ВЈ ј В2, а vjsjna Н V = t ·Н· (ВЈ+ .,/ВЈВ2 +В2)

• Povrsjna zaruЬijene pjramjde сјје baze su вЈ ј В2, а omotac м Р=ВЈ +В2+М

• Zapremjna zaruЬijene kupe po/uprecnjka osnova R ј г ј vjsjne Н V = t ·Н(ВЈ + .,jBJBz +Bz) = П!ј · (R2 +Rг+г2)

• Povrsjna zaruЬijene kupe po/uprecnika osnova R ј г ј jzvodnjce l Р= ВЈ +Bz +М =R2rt+г2rt+ (R +г)rtl = 1t(R2 +г2 +Rl +г!)

18. Иsina prave kupe podeljena је и odnosu 1 : 2 : З racunajuCi od vrha ravnima koje su paralelne ravni osnove. Odrediti odnos zapremine srednjeg dela i zapremi­ne polazne kupe.

ZaruЬijena piramida i zaruЬijena kupa 111

Resenje:

Posmatrajmo osni presek АВТ prikazan na SJicj 19. Tacke М i N dele visinu ТО u odnosu 1:2:З раје ТМ =х, MN == 2х, NO = Зх i ОТ =Н= бх.

т

А г О В

Slika 19

Potrebno је da odredimo poluprecnike ГЈ i г2 vece ј manje osnove zaruЬ!jene kupe koja predstavlja srednji deo polazne kupe. Iz slicr:osti trouglova АОТ i A'NT imamo 6.х: г= 3х: ГЈ {::} бхГЈ = Зхг:::} ГЈ = 5· Iz sljcnostj trouglova АОТ i А" МТ irnamo бх : г = х : г2 {::} 6.хг2 = хг :::} Гz = ~. Visjna zaruЬ!jene kupe је Н Ј = 2х ра је njena zapremina

VJ = 1·1t. НЈ И+ ГЈГz + t1) = t ·1t. 2х ( ~ + 5. ~ + ~) = t · Г21tХ ·н · Kako је zapremina polazne kupe V = 1· г2rt · Н = 1 · г2rt . 6.х, to је

V Ј __ , 13 Ј З •Г7tХ·- 1З -=Ј Ј8=-. V З. г21tХ. 6 108

19. Izracunati povrsinu omotaca prave zaruЬJjene kupe ako njena izvodnica za­klapa ugao od ЗО0 sa ravni osnove, а povrsina osnog preseka је Р = 5.

А' г ОЈ г В'

А R О г Е R-г в

Resenje: Slika 20

lzgled osnog preseka АВВ'А' је prikazan na Slici 20. То је trapez sa osnovicama а = 2R i Ь = 2г i vjsinom h = Н, gde R predstavlja poluprecnik vece osnove zaru­Ыjene kupe, а г poluprecnik manje osnove, dok је Н visina zarubljene kupe. Polazecj od formule za izracunavanje povrsine trapeza dobljamo

P='1!-·h {::} 5=2Rt_2r.н {::} (R+г)Н=5.

1 ' 1

._jl 1

i .....Ј

!Ј

!Ј

IJ IJ 1 1 1

!

112 S tereometrija

Iz pravoug1og troug1a ЕВВ' kod koga је hipotenuza ВВ' jednaka izvodnici /, s ob­zirom da је ugao L.EBB' =а= ЗО0 , zak1jucujemo da је Н= ~ раје

(R+г)Н=5 <=* (R+г)·~=5 <=* (R+г)/=10. Ako iskoristimo ovaj rezu1tat, dobicemo da је povrsina omotaca posmatrane zarub-1jene kupe jednaka М= (R + г)тtl = 10тt.

20. Dataje prava pravilna trostrana zaruЬljena piramida sa osnovicama а= 9, Ь =З i bocnom jvicom с= 5. Izracunati

а) ПJenu povrsjпu ј zapremjлu,

Ь* povrsinu ј zapreminu zaruЬljene kupe орјsпе oko nje.

Resenje: а) Povrsina zaruЬljene piramide se sastoji od dva jednakostranicna troug1a: АВС stranice а = 9 i А' В' С' stranice Ь = З i tri jednakokraka trapeza sa osnovicama а i Ь i krakom koji је jednak bocnoj ivici с= 5.

Da bismo odredi1i visinu trapeza h, podimo od duzi DC = l (S1ika 22) koju na1azimo kao l = а·:;,Ь = 9; 3 = ~ = З. Iz pravoug1og troug1a DCC' dobijamo h =

Ј с2 -[2 = v25 - 9 = 4. Povrsina zaruЬljene piramide је р= Bl +В2+М = ay'S + ь2f +З· аiь ·h =

= 8lf +~+З· 9!3 ·4 = 90f +72= 45f +72. Da Ьismo izracuna1i zapreminu zaruЬljene piramide, potrebno је da odredimo vi­

sinu Н. Podimo od visina troug1ova АВС i А'В'С' (S1ika 21) h1 = af = 2:f i

h2 = ~ = 3{3. Pomocu njih na1azimo

те - R- 2h - 2 W -З мз . Т'С'- - 2h - 2 · lfl - мз - - з 1 - з . 2 -- у .Ј 1 - г - з 2 - з 2 - у .Ј,

Posmatrajmo pravougli trougao ЕСС' sa hipotenuzom СС' = с = 5 i katetama ЕС = R- г= 2v'з i ЕС' =Н. Primenom Pitagoгine teoгeme dobijamo Н= Ј с2- (R- г)2 = v'25- 12 = ЈТЗ. Zapremina zaruЬljene piramide је

V = !(BI +JBIB2+B2)H = t ( s!p + Jslp. 9f + 9f) .ЈТЗ =

_ iU. 8Ifl+27fl+9fl _ З9у'19 - з 4 - 4 .

za vezbu 113

Ь* ZaruЬljena kupa opisana oko date zaruЬijene piramide ima za po1uprecnike osnova R = ~h1 = ЗЈЗ i г= ~h2 = ЈЗ, visina јој је jednaka visini zaruЬijene piramide Н = ЈIЗ, а izvodnica l је jednaka bocnoj ivici l = с = 5. Povrsina po­smatrane zaruЬljene kupe је

.·.· р= тr(R2 +г2 +Rl+гl) = тt (27 +3 + 15v'з +5v'з) = 10тt(З +2v'з), azapremina V = t ·тtН(R2 +Rг+г2) = t ·тtЈТ3(27+9+3) = IЗтrЈТЗ.

8.4 Zadaci za vezbu

1. Osnova prave prizme је jednakokraki trougao osnovice 30 i po1uprecnike upisane kruznice г = 1 О. Izracunati kolika је zapremina ako је visina prizme jednaka visini troug1a koja odgovara osnovici. [Н= 36, V = 19440]

2. Za ko1iko se mora povecati visina pravog va1jka ра da povrsina omotaca novodoЬijenog va1jka bude jednaka povrsini datog va1jka? Za ko1iko se pri tome poveca1a zapremina? [h1 = h +г, V1 = V + г3 тt]

З. Pravoug1i trapez osnovica а= 10 i Ь = 2 i povrsin~ Р= 90 rotira oko vece osnovice. Naci povrsinu i zapreminu nastalog te1a.

[Р= 540тt, V = 1050тt]

4. Osnovna ivica pravilne prave cetvorostrane piramide је а = 2, а ugao bocne ivice prema bazije а= 60°. Naci povrsinu i zapreminu.

[Р =4(1 +../7), V = ~]

Prav jednakoivicni para1e1opiped sa rombom и osnovi presecen је ravni koja sadrzi manju dijagona1u osnove i srediste boene ivice koja је mimoi1azna sa tom dijagona1om. Izracunati povrsinu dobijene piramide ako је osnovna ivica romba а= 2, ajedan ugao romba а= 60°. [Р= Ј3 + 4]

Odrediti duzinu prostome dijagonale D zaruЬljene pravi1ne cetvorostrane pi­

ramide ako је В 1 = 4, В2 = 1 i V = 7. [D = ~]

Prava zaruЬljena kupa ima izvodnicu s = 5 i po1uprecnike osnova R = 5 i г= 1. NaCi poluprecnik osnove pravog valjka koji ima s njom jednaku visinu i povrsinu omotaca. [R 1 = 5]

8. u dati pravi1ni tetraedar ivice а upisan је drugi tetraedar cija su temena tezi­sta strana datog tetraedra. NaCi odnos zapremina ovih tetraedara.

rv : V1 = 27 : 1.]

9. Osni presek kupe је jednakostranicni trougao. Odrediti odnos zapremine kupe i 1opte opisane oko posmatrane kupe. (Vl : v2 = 9 : 32.]

1.14 Stereometrija

10. Povrsina lopte opisane oko prave pravilne cetvorostrane prizme osnovne ivice а = 4 је Р = 3бп. Izracunati povrsinu dijagonalnog preseka.

[Pd = 8v'2.]

11. Osnova prave prizme је jednakokraki trapez ciji krak је с= 13, duza osno­vica а = 21 i visina h = 12. Ako је povrsina prizme Р = 90б, izracunati povrsinu dijagona1nog preseka. [Pd = 180.]

12. Osa kose kupe је nagnuta prema ravni osnove pod uglom а= б0°. Izracunati zapreminu kupe ako је rastojanje izmedu centra osnove i vrha kupe jednako precniku osnove 2r = 2. [V = ~-]

13. Povt·sina kupe upisane u pravu pravi1nu cetvorostranu piramidu osnovne ivice а= 2 је jednaka Р= (1 + V73)n. Izracunati povrsinu i zapreminн piramide. [Р1 = 4(1 + V73), V = 8v'2.]

14. Oko kocke povrsine Р= 32 opisanaje 1opta. Izracunati zapreminu dela 1opte iznad gomje strane kocke. [V = ~(3n- 2v'з).]

15. Osnova kose prizme је pravilan sestougao stanice а= 4. Dve para1elne Ьосnе strane su normalne na ravan osnove i imaju oЬiik romba cija duza dijagonala је d1 = 2-/7. Izracunati zapreminu prizme. [V = 3бv'21.]

1б. Zapremina kosog va1jka kod koga izvodnica zaklapa ugao а = б0° sa ravni osnove је V = 8nv'з. Odrediti po1uprecnik osnove ako se zna da је osni presek romb. [г = 2.]

17. Prava pravilna cetvorostrana piramida је podeljena na tri dela ravnima koje su para1e1na osnovi tako da је visina srednjeg de1a dva puta veca od visine gomjeg de1a, а visina donjeg de1a jednaka polovini visine polazne piramide. Odrediti odnos zapremine po1azne piramide i doЬijenog srednjeg de1a.

[V: Vt = 108 : 13.]

18. lzvodnica prave zarubljene kupe zaklapa ugao а= 30° sa ravni osnove. Ako је povrsina omotaca М= 101t, odrediti povrsinu osnog preseka. [Р= 5.]

19. (ЕО, МЕН - 02) Izracunati zapreminu 1opte upisane u pravilan oktaedar ivice а. (Pravilan oktaedar se sastoji od dve jednakoivicne prave pravi1ne ce­tvorostrane piramide koje imaju zajednicku kvadratnu osnovu, а vrhovi tih piramida su sa raz1iCitih strana te osnove. [V = a3{61tJ

20. (SO, GO- 02) Prava pravilna sestostrana piramida cija osnovna ivice је а= б а bocna ivicea s = 1 О, presecena је ravni koja prolazi kroz sredinu visine а

Zadaci za vezbu 115

para1e1na је ravni osnove. Izracunati povrsinu dobljene zaruЬijene piramide. [ ~ ( 45v'з + 9v'91)]

21. (ЕО, МЕН- 03) Izracunati zapreminu pravilnog tetraedra ako mu је rasoja-nje izmedu sredina dve naspramne ivice V2. (~]

22. (SO, GO- 03) Poprecni presek kana1a је jednakokraki trapez sa osnovicama а = 1 Om, Ь = 4m i krakom с = 5m. Kopanje kana1a је trajalo б dana i svakog danaje iskopano 100m duzine. Kolikaje zapremina iskopane zem1je i ko1iko dana Ьi traja1o kopanje daje svakog dana iskopano 120m duzine?

[V = 1б800m3 , n= 5]

23. (SO, GO - 04) Data је kocka ABCDA1B 1C 1D 1 zapremine 64. Ako је S sredina ivice A1D1 odrediti povrsinu piramide AВCDS.

[Р= 24+8VS +8v'2J

~(, \

..... 1

""\ 1

IJ

Ј

IJ Ј .,

Kako je I-I :s = I: 2, to je s = 2H. Iz r' = s' - I-/' sledi da je I' = H Ji. Iz

V=.!_r'JrH=IOOOJreIl13 sledi daje H=IOem, paje I' = IOJiem,s= 2Oem.Dakle, trazena3

povrsina kupe je P = 1'2Jr + r7lS= IOOJr(3+ 2Ji)em2.

10. Visina i izvodnica kupe odnose sa kao 1: 2, a njena zapreminaje I OOOJrem). Izracunati povrsinukupe.

jul 2(}()1.godineELEKTROTEHNIKA IRA (;UIVARSTVO, SAOBRACA.! I GRABEVINARSTVO

(prijemniispitujulu 20()1 iseptembru20()]. i2002. godineje bio isti za ove tri struke)

H =b=4cm 1V= 9Jr·4:rV = 12JrcmJr=a=3cm

Iv= S·H,:r

10. Pravougli trougao cije su katete a = 3cm b = 4cm rotira oko katete b. Naci zapreminunastalog rotacionog tela.

ELEKTROTEH1VlKA 1RACU1VARSTVO, SAOBRACA.l1 GRADEVINARSTVOseptembar 2001

1 1 a'13 t;V =-8·/-/ =-6 ·--·6= 12,,3=:>a =23 3 4

P, = 2nr/1 + 2r';r

P" = 32;r

r=£I

8. Osnova prave pravilne sestostrane piramide je upisana u osnovu valjka a njen vrh lezi u centrugomje osnove valjka. Ako je visina piramide /1=6 em, a njena zapremina V= 12JicmJ, nacipovrsinu valjka.

ELEKTROTEHNlKA 1RACUNARSTVO, MEHATROJVlKA, SAOBRACA.l1GRAfJEVINARSTVO septembar 2002

Neka je S oentar upisane lopte u oktaedar ABCDVV' ,tj. presek dijagonala AC i BD kvadrataABCD i neka je T normalna projekcija tacke S na ravan trougla Bev (kako je u pitanjupravilnui oktaedar to tacka T mora da bude bas teziste trougla BCV). Sa r oznacimopoluprecnik upisane lopte Ako je P sredina ivice BC tada iz pravouglog trougla STP sledi da je, , , , a' I aJ?, , a-J6. . v

r: = ST- =SP- - PT- = --(---)- tj. r =--. pa je zaprermna trazene lopte4 3 2 6 .

1 - f7V=-a'-.;6 n .27

10. Izracunari zapreminu lopte upisane u pravilni oktaedar ivicea.( Pravilni oktaedar se sastoji od dve jednakoivicne prave pravilne cetvorostrane piramide kojeimaju zajednicku kvadratnu osnovu, a vrhovi tih piramida su sa razlicitih strana te osnove.)

jul2002E LEKTROTEHNIKA I RACUNARSTVO; il.fEHATRONIKA

Ako sa MiN oznaeimo redom sredine ivica AB i CD tetraedra ABCD a sa a=AB to iz pravouglogtrougla AlviN sledi da je

(;)

2

+(51= (~ a.J3) 2 odnosno da je {/= 2. Sledi da je zapremina tetraedra jednaka

v=!..a2.J3.a {2=a3.J2.3 4 V3 12

10. Izracunati zapreminu pravilnog tetraedra, ako mu je mstojanje izmedu sredina dve naspramne ivice.J2. (7 bodova)

ju120()3ELEKTROTEHNlKA IRA CUNARSTVO; 111EHATRONIKA

Zakljncak: P = POI' +2POK= 727l.

I 1teje h= -a.lz ]8 =P; = h ·a= _a2 dobijamo a= 6.

2 2Povrsina P obrtnog tela sastoji se od povrsine POI' omotaca valjka visine a i poluprecnika osnove h, idye povrsine POK omotaca prave kupe sa izvodnicom (/ i poluprecnikom osnove II:

, 1 ,POI' =a(2h7l)=a-7l=367l, POK =h7la=-a-7l=187l,

2

Ako je a stranica romba i h visina romba koja je naspramna ostrom uglu, tada je !!_= sin a = _!_,a 2

Povrsina rombaje P, = 18, ajedan od njegovih uglova je a = ~. lzracunati povrsinu

ornotaca tela koje nastaje rotacijom romba oko njegove strauice.

6.

juI2()()6. godine

juI2()04

jul2005

ELEKTROTEHNIKA IRA CUNARSTVO; MEHATR01VIKA

ELEKTROTEHNIKA I RACUNARSTVO; l11EHATRONIKA

ELEKTROTEHNIKA IRA CUNARSTVO; l11EHATRONIKA

b) Ako sada uzmemo da je osnova piramide jednakostranicni trougao stranice ..fi, tada je

. . ide i d k I (..fi)2.J3 Hid kl . H I 1.J31zapremma pirarm e je na a 3 4 . = 6' 0 a e je =.J3 =3.

a) Ako bocnu stranu piramide uzmemo za osnovu, tada je to piramida cija osnovaje pravouglitrougao cije katete sujednake I, a visina piramideje takodje I, paje zapreminajednaka

I I rn_. -·1 = - . Povrsina se sastoji od povrsine tri pravougla trougla i povrsine jednog3 2 6

jednakostranicnog trougla stranice ..fi, pa je povrsina jednaka 3."!_+ ( ..fi)2.J3 _II (3 +.J3) I.2 4 2

8. Sve boone ivice prave, pravilne, trostrane pirarnide jednake 1 i neka su i uglovi izmedu svake dve7r

bocne ivice jednaki -.2

a) Izracunati zapreminu i povrsinu pirarnide.b) Izracunati visinu piramide.

ju12007. godineELEKTROTEH1VlKA 1RA CUNARSTVO; MEHATRONlKA

lz jednacine .~ +x+ .~ = 2+ 12 sledi ciaosnovna ivica x pirarnidice je x = 12,a bocne ivice su\f l,. V.:.

joj y = ;fi= l,pa je zapremina trazenoga lela V = (2+ J2)3 - 8 . ~ . (t ),2). y = (2 + v'2j3 - 4-

Od kocke ivice 2 + ,fi odseeeno je 8 rogljeva (pirnmidlca) rako da od svake strane kocke ostane pravilan4. osmougao. Naci zapreminu takodobijenog tela.

jill 2(}(}8. godineELEKTROTEHNlKA 1RA t;UNARSTVO; MEHATR01VlKA

a) Potrehno je ndredili visinu H zadate piramide. Primenom Piragorine teoreme dobija se cia

je H = J I - (~)2 = / I - ?,x E 1-,,'2, v'2J. Zapremma posmatrane piramide je V =

tBH =~i,-?,XE (-v'2,v'2J.h) lI'(x) = ISV2(x) = ISi;( I - 4-) = 2t4 _x6. 1I"(x) = 8xJ - 6.,-\ pa je W'(x) = 0# 2.<3(4-

3,,2) = 0# (x = OVx =¥ Vx= -¥). Kakoje x ivica osnove piramidc 10mora biti.v »O.

1V"(.r)= 24.\·2- 3Ox4• P" jc IV"(¥)< 0 i funkcjja II' (x) ima maksimum U lacki .<1=¥.c) Funkcija V(x) je poziuvna, funkcijc V(x) i II' ~r) su reprekidne te II ~,.)i IV(.r) istovrcmcno rastu iopadaju 510waci da

moraju imati eksirem u istoj l:tcki. Zapremina V (x) je maksimalna 1.<1 1$IU vrednost XI =¥ i VnllJ.....= V (¥) =W.

Beene ivicc pravc pravilnc ~ctvorOSlranc piranudc SlI jednakc I.a ivica njcnc kvadratnc osnovc jednaka jc x,

4. a) Odredili zapreminu V (x) te piramide Uzavisnosri od .r.h) Odreduiza kojer, funkcija lI'(x) imamaksimum,akoje IV(.<)= 18V2(x).c) Da lije i zaprcmina V~v) maksimatna za to islll vrcdnost x,? Ako jestc izracunati I~,,,,x= V(.v,}.

ju12009. godineELEKTROTEHNlKA lRACUNARSTVO; MEHATRONIKA

Resenie: Neka]e ivica kocke (I i visina pirarnide h.Prvi nacin: Ako je T teziSle 6PQR, Iada je TE2 = EP2 - T p2 "* 1,2=02 - n (""~).;3)2 "'" I, = !(/)3. '''((=:;.Drugi nacin: Kako je zapremina piramide VEPQR jednnka seslini zapremine kocke, 10 iz I'EPQR= ~B." sledi*0" = J, (012]'.;3." Ij." = *(1)3. Trafeni odnosje t"J, =3.

• J • 'fa .J

freci nacin: Uglovi koje obrazuje dijagonala kocke iz rernena E sa ivicama EP, EQ, ER su jednaki uglovimakoje obrazuje visina piramide sa till) isrim ivicama, pa visiua pripada dijagouali. Kakoje visina piramide nonnalnana D.PQR (jer je pmvilna). 10 je i telesna dijagonaln normalna na D.PQR. Uoci,no dijagonalni presek kocke,prnvougaonik cije strauicc su (I i aJ2. Dijagonala tog pravougaonika oJ}) je rclcsna dijagonala kocke, aprojekciju stranice (Ina IU dijagonnlu je Imzena visina hIe piramide. jer je ravan trougla PQR nonualna nil telesnudijngonalu kocke. pil se projekcije taeaka P,Q,R na telesnu djjagonalu poklapaju sa tezisrem 6PQR. Katetu (I

pravouglog rrouglajc gcomerrijska srcdina njenc projckcijc It na hiporcnuzu ihipotcnuzc 0';3, pa jc a~=" .{/J3Ij. ,,= *a,j3 i ~ = 3.Cetvr!i ~acin:Projekcije neke rri ivice kocke nil telesnu dijagonalu re kocke prekrivaju celu dijagonalu, a bezkrajnjih tacaka one su medusobno disjunktne. Kako re ivice kocke obrazuju iste uglove sa relesnom dijagonalomkocke, sledi da su ie tri projekcijejednake. od kojihje jedna visin:l" piramide EPQR, pn je Irflleni 0(In05 3: .1= 3.

4. Neka su P, Q i R tri temena kocke susedna ternenu E te iste kocke. Izraeunati odnos duzina telesne dijagonalekocke i visine piramide EPQRciji vrh je tacka E.

ELEKTROTEHNIKA I RACUNARSTVO; MEHATR01VlKAjut 2010. godine

a) Odrediti zapreminu V = V(x) te kupe u zavisnosti od x.b) Odrediti maksirnum F,,,,,, funkcije F =F(x) , ako je F = !rVZ.c) Odrediti maksirnum v"u<rfunkcije V =V(x).

Resenje: V= iX21t\1l-.~ *>V2=~x4~(I_x2) *> ~V2 =x4(I_x2) =F. IzF=-i'+x4 sledi da je izvodF' = _6x5 +4x> = -2.~(3x2 - 2), pa iz F' = 0 sledi da je x = ov.; = t. Ocevidno je da maksirnurn funkcije F

(pa i funkcije V) nastupa za x = Ii· Prema [OrneF,,",X = ii i V,,",x= 92:;I'

3. Izvodnica prave kupe je I, a poluprecnik osnove je x.

ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE - ELEKTROTEHNIKA,RACUNARSTVO, ANlMACIJA U INZENJERSTVU I MEHATRONIKA, FTN NOVI SAD

29.06.2011.

a) Odrediti zapreminu V = 11(,,)te pirnmide IIznvisnosti od 3:.

b) Odrediti ruaksimum F"wz funkcije F = F(3:), nko je F = 144Vl.c) Odrediti rnaksimum 1I",.z flLnkcije II = lI(x)

ReSenje: a) V= tZ·fiJ1-(~qfif'" V= tZ·,-&J1- ~: .,,144112=_x6+ 33;' =Fb) F' = -63:" + 123;3= 0 .,. " = ± ,,'2. F"wz = F( /2) = -8 + 12= 4. c) Ocevidno je da maksirnurn funkcije F(Po.i funkcije V) nastupa za s: = /2. Prema tome V"wz = V( /2) = !;.

3. Borne ivioe prave pravilne trostrane pirrunide su jednake 1, fl. ivica osnove je x.

RESEN.JA ZADATAKA SA PRI.JEIVINOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZAELEKTROTEHNIKU,

RACUNARSTVO, ANIMACI.JU U INZEN.JERSTVU I MEHATRONIKU, FTNNOV~ SAD 03.07.2012.

9. U loptu poluprecnika R = I upisana je prava kupa cija je visina x. lzraziti zapreminu kupe kao funkciju njenevisine, Za koje .rje zapremina kupe najveca?Resenje: Nekaje r poluprecnik baze upisane kupe. Tadaje,2 =R2_ (x- RJ2= 1- (x- 1)2=2x-.,2. ZapreminaV kupe je V = !r21t.t = I(2t - .,2)x = I(2r2 - .,.3). Posmatrajmo funkciju J(x) = 2,2 - ..-3, za .r> O.Njen prviizvod J'(.<)= 4.<- 3.,2= .«4- 3x). Za xE (0, s) je f'(x) > 0, a za xE (~,~) je J'(x) < O.Sledi da funkcija j', pai funkcija V zapremine kupe, ima maksimumza x =~.

Ol.()7.2013.

RESENJA ZADATAKA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKEZA OBLASTI: ELEKTROTEHNIKA, RACUNARSTVO, ANIMACIJA U INZEN.JERSTVU,

BIOMEDICINSKO INZENJERSTVO I MEHATRONlKA

VA, :VA=A,B,: AB=VO, :VO=I: 2=>0., =A,B, =3AS, =5.

I=a-a, =~=>h=~S2_/2 = ,J9i.2 2 I 2

P = B+ B,+A1=6a213 +6 a~13 +6 a+a, Ii= ~(45-J3 +9,J9i).4 4 2 2

9. Prava pravilna sestostrana piramida osnovne ivice a = 6 i bocne ivice s = 10 presecena jeravni koja prolazi kroz sredinu visine a paralelna je ravni osnove. lzracunati povrsinu dobijenezarubljene piramide.

jill 2002. godineSA OBRACAJ I GRABEVINARSTVO

Oznacimo sa IIdubinu kanala ( visina jednakokrakog trapeza).

h=~ =4m; B=PABCO=a;bh=28m2; H=6·100=600m;

HZapreminaje V = BH = 28 . 600 = l6800mJ ; a trazeni broj dana 11je n = - = 5 .

120

9. Poprecni presek kanala je jednakokraki trapez sa osnovicama a=IOcm (gornji deo kanala), b=4cm(dno kanala) i krakom c=Scm. Kopanje kanala je trajalo 6 dana i svakog dana je iskopano 1(JOmduzine. Kolika je zapremina iskopane zemlje i koliko dana bi trajalo kopanje da je svakog danaiskopano 120111 duzine ?

ju12003. godineSA OBRACA.I I GRAEJEVINARSTVO

8. Data je kocka ABCDA,B, C,D, zapremine 64cm2• Ako je S sredina ivice A,D, odrediti povrsinupiramide ABCDS.

jill 2004. go dilleSA OBRACA.I I GRA:l)EVINARSTVO

B

Povrsina piramideje P = B, +B? +M = (/ + b' +4· a +b 11=13 + 5../3- 2

2H +b.J2 = a.J2 ~ H =.J2 (a -b)= .J22 2

Poprecni presek pirarnide je jednakokraki trapez PQRS cije su osnovice a i b, krak visina bocne

(a -2b)2 +H2 -_ ../323srrane 11, a visina jednaka /-l. Stoga je h =

Trougao AA;A, je jednakokrako pravougli, pa je AA; = H te iz jednakokrakog trapeza ACC,A,imarno

8. Neka su 0=3 i b=Z rcdom duzine ivica donje i gomje osnove prave pravilne cervorostrane zarubljenepiramide ABCDA,B, C,D,. Ako je a=45· ugao izmedu bocne ivices idonje osnove ABCDnaci povrsi IlU piramide.

jill 2005. godineSAOBRACA.J I GRAJ)EVINARSTVO

Neka je kocku ABCDA,B,C,D, stranice m upisana kupa cija je upisana u kvadrat ABCD, a vrhjeu sredistu kvadrata A,B,C,D, .Odrediti odnos R: r,gde je R poluprecnik sfere opisane oko tekupe, a r poluprecnik sfere upisane u kupu.Poluprecnik sfere opisane (i upisane) oko kupe odgovara poluprecniku kruznice opisane (i upsiane)oko njenog poprecnog preseka, tj. Jednokakrog trougla I1MNQ, cija je osnovica MN = m , a kraci

MO NO 2 (m)! m.j5 .su ,= ,= m -"2 =-2- (shka2).

Slika 2.Slika i.8p

n,,/,'-::- _': c,_l-~·~~..-·-,-'

A, .- . /;\'. B:: '. I.: : ..;: D: •

}~::'~'~''''';-:-'':~...Af .: ~ •.. -.i;'. \ C" \ .... ,'0 N

Q

9. Neka je kocku ABCDA,B,C,D, stranice m upisana kupa cija je upisana u kvadrat ABCD, a vrhjeu sredistu kvadrata A,B,C,D,. Odrediti odnos R: r, gde je R poluprecnik sfere opisane oko te kupe,a r poluprecnik sfere upisane u kupu.

jill 2006. godineSA OBRACA.J I GRAJJEVINARSTVO

5mR _ 8 5 5($-1)-;- m$ -1 - 2($ -I) - 8

4

m$2 5mteoreme na srranici MOl i ugao kod temena N dobijamo da je R = r: --_2v5 82-5

2$. .--, pnmenom smusne5

Kako iz pravouglog trougla DONq sledi da je sin LONOI = ')5III 52

Poluprecnik upisane kruznice dobijamo pomocu sinusne teoreme R = b , gde je b proizvoljna2 S111 j3

stranica trougla I1MNq, a j3 je ugao koji se nalazi naspram te stranice.

2Pr=-=o

Poluprecnik upisane kruznice nalazimo iz izraza

2m·m-2- m $-1 m$ -I

m$ m$ -$+1.$-I = 4m+--+--

2 2

c

~H, = t~H2 = If ~. A,B,= 6.Ji.. Iz pravouglog trouglaDCTH2 sledi da je visina bocne stranice

h = TH2 = ~S2 -( t/ = ../169-36·2 =.J97, pa je iz slicnosti

pornenutih trouglova H,H2 = t TH2 = If .Sada je: A ----__:_~B

p= BI+B2 +M = (6.Ji.)2+(12../2/ +4· 6.fi~12.fi. 'T = 360+18../i94

Tlz slicnosti trouglova fj.T~H,

10. Prva pravilna cetvorostrana piramida osnovne ivice a = 12-/2cm i bocne ivice s = l3an presecenaje ravni koja je paralelna osnovi, a koja visinu deli na dva jednaka dela. lzracunari povrsinu dobijenezarubljene pirarnide.

jill 20()7. godineSA OBRA ccn GRABEVllVARSTVO

{'

./

JII '\/

jill 2008.godine

Iz fonnule za zapreminu zarubljeue piramide mozemo izracunatinjeuu visum: 28 = tH(8 + 2 + v'8-2) ¢::> H = 6. Iz povrsinabaza dobijamo duziue ivica idijagonala osnova:0= J8= 2V2, b= V2, ell =2V2V2 =4, d2 = V2V2 =2.lz poprecnog preseka JvfNPQ racunamo visum boone straneh2 = H2 + (a2b)2 = 'i ::::},,= fii·Sada mozemo izracunati povrsinu omotaca:

1\1=40+b"=4. 3V2. \n;! =6../732 2 v2iduzinu dijagonale piramide:D2 = J{2 -+- (dJ - dJ ;d?)2 = 45 ::::}D = 3-/5.

6. Ako su BJ = 8 i82 = 2 povrsine osnova prave pravilnezarubljene cervorostrane piramide zapremineV = 28, izracunati povrsinu njenog ornotacaM iduzinu prostorne dijagouale D.

SA OBRACA.T, GRAfJEVINARSTVO I GEODEZI.lA I GEOMATIKA

Neka su temena osnove piramide A, B, C j D, neka je vrh E. Neka su temena upisane kocke na osnovipiramide A I, 8" C1, 01, a nil bocnun ivicama A2, B;uC2 i 02. Neka je b = A I BI iraienaivicaDiJagonalaOSllOV(! piramlde je AC= 5/2/2 = 10,dljagonala osnove kockeje A2C2 = b/2.Pitagorina teorema za polovinu jednakokrakog trougla AC£ daje visinu piramide H = ";"1-=-32"-_-:5"'2= 12.[z slicnosti trouglova ACE i A2C2E sledi proporcija:

12 - b = b/2 ~ '120-lOb = 12/2b ~ b = 120 = 60 = 360J2 -30012 10 12V2+ 10 6..;2+5 47

CA

-- -/- - - ';-1 _~I' __-- __..- C

. 81 C1

B

E'-/1',

//12 rb

I bl2. I 13I I

A2 C2

b

\, \\ D

..--==:---

.~ E

10. Data je prava pravilna cetvorostrana piramida kod koje je ivica osnove a = 5J2[ bocna ivica s = 13.Izracunati ivicu kocke koja je upisana u piramidu tako da se gornja temena kocke nalaze na bocnirnivicama piramide.

j1l12009. godineSA OBRACA.I, GRADEVINARSTVO I GEODEZIJA I GEOMATIKA

R = 4

H = J52 - (R - ,-)2 = ';25 - 9 = 4

1 zrV = 3nH(R2+rl~ +r2) = 3 ·4 ·(16+4 +1) =28n------.

$=5

P = R2n + r2n + (R + ,.)$n = [16+ r2+ (4 + r) . s]n = 42n ~

,2+ 5,. - 6 = 0 ~ r = I (odbacuiemo r = -6)H

_-:..-----

9. Dati su poluprecnik R = 4 donje osnove zarubljene kupe i izvodnica s = 5. Ako je povrsina tezarubljene kupe P = 42rr, izracunati njenu zapreminu.

GRAlJEVINARSTVO; SAOBRACA.I; GEODEZI.lA I GEOMATIKAju12010. godine

,7. U pravu pravilnu zarubljenu eetvorostranu piramidu, kod koje su ivice osnova 11 = 8 i b = 2, upisana

je sfera. lzracunati bocnu ivicu zarubljene piramide i njenu zapreminu,Poprecni presek ove zarubljene piramide je jednakokraki trapez osnovica a = 8 i b = 2 i krakova c.Ako je u piramiduupisanasfera, onda je u trapez upi­sana kruznica Ij. on je tangentni, odakle zakliucujemodajea+b =c+c '* c = (8+2): 2 =5. Visina tra­peza je ujedno i vis ina zarubljene piramide i racunamoje primenom Pitagorine teoreme

H2=c2_(~)2 '* H=-/25 9-4.Zapremina V = ~.4(82 + -/82 . 22 + 22) = 112.Bocna strana zarubljene piramide je jednakokraki tra­pez osnovica a = 8 i b = 2, visine c = 5 i krakova 5 kojiujedno predstavljaju ibocne ivice ove piramide. Stoga

52 = c2 + (";b)2 '* 5 = /25 +9- .;34.

PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATlKESao bracaj, Gra<tevinarstvo i Geodezija i geomatika

30.06.2011.

B

Iz pravouglog trougla TSQ sledi H = VTQ2 -SQ2 = JIP - (!)2 =0. Poluprecnik osnoveopisane kupe je polovina dijagonale kvadrata koji je u osnovi pirarnide, dakle r = tV20 = 2V2, teza zapreminu kupe dobijarno Vk= t,21tH = t· 8·1t· .j5= Rf1t· -

A

TNeka je ABeD kvadrat u osnovi piramide, ineka je T vrh pirarnide i opisane kupe. Nekaje H visina piramide i opisane kupe, h= 3 vi­sina bocne strane piramide, i neka je Q sredinanpr. duzi Be.Na osnovu date povrsine PI' piramide dobijamoPp= 40 =02+4h~ =02+60$} 02+60-40-0~ 0 - -6± /36tl60 -6±14'T'T'" 1~2- 2 -2-# 0 E {-10,4},odnosno o =4 (negativno resenje odbacujemo).

6. Povrsina prave pravilne cetvoroslTane piramide iznosi 40, a visina bocne strane je 3. lzracunatizapreminu kupe opisane oko piramide.

ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKESaobracaj, Gradevinarstvo, Geodezija i geomatika

6. f) zarubljenu Ikupu je upisana lopta . Ako njena lzvodnica s duiine i) zaklapn "gao 60· sa ravni osnove, naCizapremlnu lop te l zapreminu zarubljene kupe.Rclenje: Posmatrajmo popreenl presek zarubljene kupe u koji je upisann knt'l!nka polupreenlka RL, gde jeR" ""UjIL' lopte. Iz pravouglog trougla clje su stranice J/ i R - ", a hipotcnuza s (R - polupreenik velike

amove kupe, r - poluprei:nik male amove kupe, H - visina Impe), dobijnmo H '" ¥,RL '" .(f '" 5'{3.Znprernina lopte je Vi- = ~Rt\f= L:'1fl'r.$to so tire zapremine zarubljene kupe, potrebno je izracumt.i polupreCn:ike R i v-, lz posmatra,nog pravouglo,gtrougl" imamo R -,. = *. Kako je trapez koji predst avlja poprecni presek zarubljene kupe ustvnri tangentniI:t}tvorougoo, Inoiemo z:~kljllcit.ida v;lii 2R + 2,. = 2s, odakle (Iobijamo R + r = I). R,cl,wanjem si15tem.:tR,+,.= i) i R - ,. = ~, dobijamo R = 14'i r = ~. Znprernina 'l.,,"ubljene kupe je VK = ":1(R,2 +Rr + ,.2) =162.!).j3

1f 91.) •

Oblasti: Saobracaj, Gradevinarstvo, Ceodeziju i geornatika, Ciste energetske tehnologije

Resenja zadataka prijemnog ispita odrzanog 03.07.2013.

9. Osnova prave piramide je pravougaonik cija je dijagonala d = 2vl5em. i a, : b = 1 : 2, gdesu sa a i b oznacene dueine stranica pravougaonika Ako je visina piramide H = 3em,nacinjenu zapreminu.

Zapremina piramide je V = ~B.H, gde je sa B oznacena povrsina haze [pravougaonika). Iz a :b= 1 : 2dobija se b = 2a. Iz ([2 = a2 + IJ2 i b = 2a sledi 20 = 5a2, odakle je a = 2em. i b = 4 em. Kako jeB = ab= 2·4 = 8em,2, daJje je V = ~. 8·3 = 8 crn.~.

ZADACIZA PRIJEMNI ISPIT IZMATEMATIKE

01. 07. 2011.

OSNOVNE STRUKOVNE STUDIJE

J 1 J IP= iBe ·CA= iAB·IIe. oenoseo P- i5 ·12 = i13·IIe.

dobijamo lie = ';~l= ~cm.(b) Telokoje nastaje ro,.cijom je kupa sa polUpreCDiltomosnove r:AC ~

12cm i visinom H =BC =Scm. Zapreminaje V =~"'lII{=!121KS=24Oncm'.

Ato povrsinu trOU810ABC napi!emo na dva naana:

(a) Iz Pitagorine teoreme za pravougli uougac ABC imamo:

I. U pravouglom <rougluABC ",ete su CB ,. Scm iAC = 120m.

(0) IZllIwD.,i visinukoj. odgovara hipotenuzi.(b) I~unati tapremiDu lela koje nastaje rotacijom Irougla ABC oko "a­

..,eBe.

14.22 STRUK4.7.2012.

Nekaje

r = J3em. - poluprecnik osnove valjka,H = 4 em - visin a valjka,h - visina jednakostranicnog trougla koji je osnova upisane prizme,

a - stranica jednakostranicnog trougla koji je osnova upisane pr izme,

B - povrsina jednakostranicnog trougla koji je osnova upisane prizme.

T_ 2h I di b. 3 3v'3 Takod I k .. . . led'u, r = '3 s e 1 = '2r = -2- em.. U(.Ie,IZ troug a toji je osnova pnzme s •. 1

., (a)2? 3?? f4:':, /4 270.- = 2' + h-, odnosno 4'a.- = li", odnosno a = V s" = \ :;. 4" = 3 em. Zapremina

o. 3,/3' 3 r: 3prizme je V = B .H = b. . '2 . H = -2- . '2 . 4 em = 9v 3 em' .

2. U pray valjak poluprecnika osnove J3 em. i visine 4 ern, upisana je pravilna trostranaprizrna tako da osnove prizme pripadaju osnovama valjka, Izracunati zaprerninu prizme.

za upis na osnovne strukovne studije za studijske programe:

• Energetika - obnovljivi izvori elektricne energije

• Elektronika i telekomunikacije

• Softverske i informacione tehnologije - Inoija

PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

03.07.2013.Fakultet tehnickih nauka, Novi Sad