Friedmann-Robertson-Walker-Metrik und Friedmann .Die Krümmung wird durch alle Formen von Energie,

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  • Friedmann-Robertson-Walker-Metrik undFriedmann-Gleichung

    Anja Teuber

    Mnster, 29. Oktober 2008

    Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 2

    2 Allgemeine Relativittstheorie und die Einsteinschen Feldgleichungen 22.1 Das quivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Der Riemannsche Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Skizze der Herleitung der Einsteinschen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 4

    3 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik 53.1 Die Herleitung der FRW-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Bemerkungen zur FRW-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    3.3.1 Das Horizontvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.2 Die Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.3 Das Hubble-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    4 Die Friedmann-Gleichung 94.1 Die Herleitung der Friedmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Der Urknall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Die Beziehung zwischen der Energiedichte und dem kosmischen Skalenfaktor . . . 94.4 Der Zusammenhang zwischen der Energiedichte und der Gestalt des Universums 114.5 Die Abschtzung der Energiedichte aus dem Dmpfungsparameter . . . . . . . . 114.6 Das Alter des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.7 Die Lsung der Friedmann-Gleichung und die Entwicklung des Universums . . . . 12

    5 Zusammenfassung 13

    A Literatur 14

  • Anja Teuber FRW-Metrik und Friedmann-Gleichung

    1 Einleitung

    Mithilfe der Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativittstheorie und einer ein-fachen Metrik, der Friedmann-Robertson-Walker-Metrik, knnen - basierend auf dem kosmolo-gischen Prinzip - bereits viele Zusammenhnge zwischen wichtigen kosmologischen Gren her-geleitet werden. Anhand mehrerer Beispiele soll demonstriert werden, wie aus bereits wenigenBeobachtungsgren Aussagen ber den Zustand, die Vergangenheit und die weitere Entwicklungdes Universums sowie dessen Gestalt, Energiedichte und Alter gemacht werden knnen.

    2 Allgemeine Relativittstheorie und die EinsteinschenFeldgleichungen

    Die Allgemeine Relativittstheorie (ART) wurde in den Jahren 1907 bis 1916 von Albert Ein-stein entwickelt. Die Gravitation wird hier als Krmmung der Raumzeit, also als geometrischesPhnomen, aufgefasst. Die Krmmung wird durch alle Formen von Energie, insbesondere Masse,hervorgerufen. Ein experimenteller Nachweis der ART kann z.B. ber den sog. Gravitationslinsen-Effekt erfolgen.

    2.1 Das quivalenzprinzip

    Das quivalenzprinzip bildet die Grundlage der ART.

    Abbildung 1: Verdeutlichung des quivalenz-Prinzips

    2

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    Es kann durch den Vergleich eines gleichmig beschleunigten Bezugssystems mit einem ruhen-den, in dem lediglich die Gravitationskraft wirkt, verstanden werden (vgl. Abbildung 1).

    Im gleichmig beschleunigten Bezugssystem (Abb. 1 oben) erfhrt der Ball von auen betrachtetkeine Beschleunigung. Im Koordinatensystem des Zimmers wirkt jedoch eine Scheinkraft ~FS , dieproportional zur trgen Masse mt des Balls ist

    ~FS = mt ~a (1)

    wobei ~a die Beschleunigung beschreibt.Im homogenen (statischen) Schwerefeld (Abb. 1 unten) wirkt die Gravitationskraft ~FG auf denBall, die proportional zu seiner schweren Masse ms ist:

    ~FG = ms ~g!= mt ~a (2)

    Nach dem zweiten Newtonschen Axiom ist diese Kraft gerade die trge Masse des Balls multipli-ziert mit seiner Beschleunigung ~a. Experimente liefern nun ~a = ~g und daher folgt die Gleichheitvon trger und schwerer Masse

    mt = ms (3)

    fr jeden Krper. Anders formuliert besagt das quivalenzprinzip:

    Die Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem ist quivalent zu einer Bewe-gung im homogenen (statischen) Schwerefeld.

    2.2 Der Riemannsche Raum

    In der Speziellen Relativittstheorie wird das Abstandsquadrat zweier Ereignisse in der Raumzeitmithilfe der sog. Minkowski-Metrik beschrieben

    (ds)2 = dxdx (4)

    wobei

    =

    1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

    (5)der ortsunabhngige metrische Tensor ist.

    In der ART wird ein Gravitationsfeld mit einer ortsabhngigen Metrix g (x) identifiziert, dieim Allg. nicht euklidisch und nicht notwendig quivalent zur Minkowski-Metrik ist. Daraus resul-tieren nichtlineare Koordinatenachsen, die als Krmmung des Raumes interpretiert werden. DieWinkelsumme im Dreieck ist jetzt allgemein ungleich 180 und die krzeste Verbindung zwischenzwei Punkten ist eine Geodte.Die Mathematik der ART nutzt den sog. Riemannschen Raum mit der Metrik

    (ds)2 = g (x) dxdx (6)

    Dieser stellt eine Beschreibung einer gekrmmten Hyperflche im hherdimensionalen kartesi-schen Raum dar. Im Zweidimensionalen z.B. stellt eine Kugeloberflche eine gekrmmte Hyper-flche im dreidimensionalen kartesischen Raum dar.

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    Als Ma fr die Krmmung wird der Riemannsche Krmmungstensor

    R =

    +

    (7)

    mit den Christoffel-Symbolen

    =12g (g + g g) (8)

    eingefhrt. Die Definition ist so gewhlt, dass R = 0 einer flachen Hyperflche entspricht.Desweiteren wird der Ricci-Tensor

    R = R (9)

    und der Ricci-SkalarR = gR (10)

    definiert.

    2.3 Skizze der Herleitung der Einsteinschen Feldgleichungen

    Nun soll aus einer gegebenen Energie (Masse, Strahlung, Druck usw.) das Gravitationsfeld bzw.die Raumzeitkrmmung bestimmt werden. Als Quelle des Gravitationsfeldes wird der Energie-Impuls-Tensor T verwendet, der die Energiedichte, die Energie-Strom-Dichte und den Span-nungstensor enthlt.Als Ansatz fr das Gravitationsfeld G wird

    G = T (11)

    mit einer Proportionalittskonstanten gewhlt, da G = 0 bei flacher Raumzeit (T = 0)gelten soll. Desweiteren werden verschiedene Forderungen an das Gravitationsfeld gestellt: Dader Energie-Impuls-Tensor ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe ist, soll dies auch fr dasGravitationsfeld gelten; es soll Energie- und Impulserhaltung gelten, d.h. T = 0 und somitG = 0; da das Gravitationsfeld die Beschaffenheit der Raumzeit widerspiegeln soll, wird esals Kombination aus dem metrischen Tensor uns seinen ersten und zweiten Ableitungen (alsodem Krmmungstensor) gebildet.Es folgen schlielich die Einsteinschen Feldgleichungen

    G = R 12gR =

    8Gc4

    T + g (12)

    mit der kosmologischen Konstanten

    =8Gc4

    vac (13)

    der Gravitationskonstanten G, der Lichtgeschwindigkeit c und der Vakuumenergiedichte vac.

    Die kosmologische Konstante wurde von Einstein eingefhrt, um ein statisches Universum alsLsung der Einsteinschen Feldgleichungen zuzulassen. Nach der experimentellen Entdeckung derExpansion war sie schlielich ledlich von akademischem Interesse z.B. bei der Suche nach einervereinheitlichten Theorie. Sie wurde unter anderem im Rahmen von Vakuumfluktuationen derQuantenfeldtheorien interpretiert, jedoch liegen die daraus vorhergesagten Werte um Grenord-nungen neben den Messwerten. Auerdem spielt die kosmologische Konstante eine entscheidende

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    Rolle in der Inflationstheorie: Wenn in den Einsteinschen Feldgleichungen dominiert, kommtes zu einer exponentiellen Expansion des Universums (Inflation).

    Nachdem lange als null galt, wird ihr nun ein kleiner positiver Wert zugeschrieben. Die kos-mologische Konstante wird als zeitlich konstante Energiedichte des Vakuums vac interpretiert;sie ist konstant auch bei Expansion des Universums, sodass sie die Wirkung eines negativenDrucks vac = p hat und eine Beschleunigung der Ausdehnung bewirkt. Diesen Effekt habenalle Energieformen mit < 13p, aber im Allgemeinen sind diese zeitabhngig

    1.Heute wird angenommen, dass etwa 76% der gesamten Energiedichte des Universums auf zurckgehen.

    Da die Einsteinschen Feldgleichungen viel zu kompliziert sind, um fr das Universum gelstwerden zu knnen, wird das kosmologische Prinzip verwendet:

    Das Universum ist auf groen Lngenskalen homogen und isotrop.

    Mathematisch gesehen bedeutet rumliche Homogenitt und Isotropie eine konstante Krmmungder Metrik im dreidimensionalen Unterraum.

    3 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik

    3.1 Die Herleitung der FRW-Metrik

    Zur Herleitung der Friedmann-Robertson-Walker-Metrik (FRW-Metrik) sei ein Satz von Koordi-naten (x1, x2, x3) mit einer Metrik gegeben. Um dieses Koordinatensystem als dreidimensionaleHyperflche in einen vierdimensionalen Raum einzubetten, wird eine vierte fiktive Koordinatex4 eingefhrt.Die Hyperflche mit konstanter Krmmung kann durch die Gleichung

    x21 + x22 + x

    23 + x

    24 =

    1kR2 (14)

    mit dem Krmmungsparameter k beschrieben werden. Die Metrik im vierdimensionalen euklidi-schen Raum sei zunchst

    (dl)2 = (dx1)2 + (dx2)

    2 + (dx3)2 + (dx4)

    2 (15)

    wobei nun die fiktive Koordinate mithilfe Gleichung (14) eliminiert werden kann:

    (dl)2 = (dx1)2 + (dx2)

    2 + (dx3)2 +

    (x1dx1 + x2dx2 + x3dx3)2

    1kR

    2 x21 x22 x23(16)

    Durch die Koordinatentransformation

    x1 = Rr sin cos , x2 = Rr sin sin, x3 = Rr cos (17)

    kann die Metrik in ihre sog. Eigenkoordinaten mit 0 r 1 umgeschrieben werden. R wird kos-mischer Skalenfaktor genannt. Auerdem soll nun die zeitliche Komponente hinzugefgt werden:

    (ds)2 = (dt)2 (dl)2 , R = R (t) (18)1Eine Verallgemeinerung der Betrachtung auf zeitabhngige Energiedichten fhrt auf die dunkle Energie.

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