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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA ESCUELA DE MATEMÁTICA “FRACCIONES CONTINUADAS” POR: ELSIE STHEPANIE MORENO GONZÁLEZ PANAMÁ, REPÚBLICA DE PANAMÁ 2009 MONOGRAFÍA PRESENTADA COMO UN REQUISITO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE LICENCIATURA EN

Fracciones Continuadas

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Page 1: Fracciones Continuadas

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA

ESCUELA DE MATEMÁTICA

“FRACCIONES CONTINUADAS”

POR:

ELSIE STHEPANIE MORENO GONZÁLEZ

PANAMÁ, REPÚBLICA DE PANAMÁ

2009

MONOGRAFÍA PRESENTADA COMO UN

REQUISITO PARA OPTAR POR EL TÍTULO

DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA

Page 2: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Índice General

Dedicatoria 3

Agradecimiento 4

Introducción 6-7

Sección 1.

Motivación Histórica 9-12

Sección 2.

Fracciones continuadas Simples Finitas 14-25

Algoritmo del desarrollo en fracción Continuada

Definición de Fracción Continuada Fracciones Continuadas Convergentes

Sección 3.

Fracciones Continuadas Infinitas 27-41

Representación de un Número Irracional utilizando Fracción Continuada

Fracción Continuada Periódicas

Sección 4.

Aproximación de Números Reales 43-52

Fracciones Continuadas y Ecuaciones Diofantinas Lineales

Método para Resolver la Ecuación de Pell utilizando Fracciones Continuadas

Algunos Desarrollos Notables

Conclusiones 53

Recomendaciones 54

2 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Bibliografía 55

Dedicatoria

Con todo mi amor dedico este trabajo a las personas más sacrificadas en este

largo y duro camino, a mi mamá quien es fuente de inspiración en el continuo

esfuerzo de cada día.

3 Teoría de Números

A Dios mi sacrificio y a la Universidad mis

recuerdos y a mi mamá Aida el triunfo que

orgullosamente obtengo.

Page 4: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Agradecimiento

En primer lugar a Dios por darme la fuerza y el conocimiento necesario para

culminar con éxitos uno de mis mayores anhelos.

Al Dr. Jaime Gutiérrez del Departamento de Matemática por su efectivo

asesoramiento, por brindarme sugerencias, gracias a estas correcciones y aportes

este trabajo de graduación ha alcanzado los objetivos trazados.

De igual forma quiero agradecer a todas esas personas que de una u otra forma

contribuyeron y me incentivaron en la realización de este trabajo.

A Todos Mil Gracias

4 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Introducción

Hemos elaborado el siguiente trabajo como un requisito necesario para optar el

grado de Licenciatura en Matemática de la Universidad de Panamá, el cual está

basado en una serie de investigaciones.

La escogencia de nuestro tema “Fracciones Continuadas” se debe a que el

Algoritmo de las Fracciones Continuadas es un tema del Algebra pocas veces

contemplada en la enseñanza y constituye además una de las perfectas

sistematizaciones de los matemáticos de los siglos XVII y XVIII entre los que

podemos mencionar están:

Euler (1780)

Huygens (1680)

Lagrange (1774) y otros.

Este trabajo se ha presentado con la mayor formalidad posible, el cual consiste en

resaltar problemas con Fracciones Continuadas basándose en definiciones,

teoremas, métodos de resolución y ejemplos que ayuden a la comprensión de los

temas expuestos.

De ahí la importancia de presentar un trabajo que muestre de manera clara y

sencilla la aplicación de este tema, y de esta forma lograr el objetivo que se basa

en que el lector no vea las fracciones continuadas como un tema fuera de su

5 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

alcance más bien que comprenda su sencillez y su importancia como instrumento

de aproximación de números reales.

En este trabajo no se pretende solo adquirir la experiencia sino también la

importancia que tienen la Fracciones Continuadas como la Teoría de Números en

la disciplina matemática.

Solo nos resta esperar que el esfuerzo que hemos realizado, alcance los objetivos

trazados y que las naturales lagunas de este trabajo sean objeto de estudio de

futuros investigadores y manifestamos nuestro interés por todas las sugerencias

constructivas posteriores así como informaciones y observaciones de errores, las

cuales serán bien recibidas.

Finalmente presentaremos las conclusiones, recomendaciones y bibliografías.

6 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Sección 1.

Motivación Histórica de Las Fracciones

Continuadas

En un inicio el hombre tenía la necesidad de saber cuánto poseía, cuanto tenía, lo

cual dio comienzo al estudio, desarrollo y establecimientos de nuevos

procedimientos para dar respuesta a estas y otras tantas interrogantes.

Desde hace 5000 años las mayorías de las civilizaciones han contado como lo

hacemos hoy, sin duda la forma de escribir los números ha sido muy diversa y

variada.

Recordemos que durante el imperio romano se utilizaban los números romanos,

los hindúes contaban con el sistema de numeración en base diez, los babilonios,

chinos y egipcios tenían su propio sistema de numeración.

El estudio de las fracciones continuadas aparecen desde la creación del Algoritmo

de Euclides y comienzan a utilizarse en las primeras civilizaciones entre ellas

mencionaremos:

Civilización China: sus conocimientos están basados en una obra llamada

“Nueve Capítulos en el Arte Matemático”, el cual fue elaborado 200 A.C. a 200

7 Teoría de Números

Page 8: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

D.C. Lo más interesante que constituye esta obra para la realización de nuestro

trabajo está basado en las reglas de simplificación de fracciones.

Civilización Babilónica: Las principales fuentes que nos revelan los

conocimientos son “Las tablillas de barro con Escritura Cuneiforme”.

Tenemos que existe la mitad de una tablilla de barro marcada como La Plimpton

322, en donde aparece una lista de ternas pitagóricas, lo cual demuestra el

conocimiento por parte de los babilónicos sobre este tema, ya que esta es una

forma indirecta del algoritmo de Euclides.

Civilización Griega: Euclides uno de los sabios de primera línea logró reunir los

principales conocimientos matemáticos de su época en su obra “Los Elementos”.

Los elementos es un texto introductorio que cubre toda la matemática elemental,

es decir:

La Aritmética

La Geometría Sintética

El Álgebra

Todo lo relacionado con la aritmética lo expresó en los libros VII, VIII, IX, X.

El libro VII comienza con dos proposiciones que juntas constituyen una famosa

regla de La Teoría de Números que conocemos hoy en día como El Algoritmo de

Euclides.

De esta manera podemos notar que el Algoritmo de Euclides aplicado a las

fracciones comunes y a irracionales cuadrática aparece en los libros VII y X de Los

Elementos de Euclides, constituyéndose esto en el fundamento del Algoritmo de

las Fracciones Continuadas.

8 Teoría de Números

Page 9: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Por lo tanto, debido a su relación con las fracciones continuadas, la creación del

Algoritmo de Euclides significa el desarrollo inicial de las Fracciones Continuadas.

Civilización Hindú: El estudio más antiguo conocido de las denominadas

Ecuaciones Diofánticas de la forma:

ax + c = by

Es encontrado en el Tratado Aryabhatiya del famoso astrónomo hindú Aryabhata.

El matemático Aryabhata (476-550), utilizó una fracción continuada lineal para

resolver la ecuación indeterminada y también las usó para resolver ecuaciones

diofánticas así como para dar aproximaciones precisas de números racionales.

Brahmagupta (598-668), se dedicó más en el estudio de las ecuaciones de Pell.

Investigó la resolución de la ecuación x2 - 61y2 = 1 encontrando la menor solución:

X= 1 176 319 049

Y= 226 153 980

Bhaskara en el siglo XII mejoro el método; un algoritmo similar a las fracciones

continuadas, permitió resolver un caso general.

Tenemos referencias de que los griegos obtuvieron soluciones para ecuaciones

diofánticas de la forma:

X2 = DY2 + 1

Esta es la llamada ecuación de Pell, nombre dado por Euler, quien resolvió

ecuaciones de este tipo por medio de fracciones continuadas.

Los métodos de Euler y Lagrange para resolver la Ecuación de Pell están basados

en el desarrollo de √D en fracción continuada.

9 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Ahora veamos otros personajes que aportaron y trabajaron en el desarrollo de las

Fracciones Continuadas:

Rafael Bombelli (1562-1572), calculó aproximaciones de la raíz cuadrada de 13,

mediante un antecesor de las fracciones continuadas.

Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), se dio cuenta de que el método de Bombelli

valía para todas las raíces cuadradas, lo utilizó para la raíz cuadrada de 18.

William Brouncker (1620-1684), utilizó una fracción continuada para construir

una sucesión que convergía a 4 / π, y aproximó π con 10 decimales significativos.

Christian Huygens (1629-1695), matemático y astrónomo holandés, fue el

primero en demostrar una aplicación práctica de las fracciones continuadas y

descubrió además que las fracciones continuadas son la herramienta ideal para

determinar el número de dientes.

El campo de las fracciones continuadas empezó a florecer cuando Leonard Euler

(1707-1783), Johan Heinrich Lambert (1728-1777) y Joseph Louis Lagrange

(1736-1813) adoptaron el tema.

Leonard Euler (1707-1783), demostró que si un número tiene una fracción

continuada periódica entonces es solución de una ecuación de segundo grado con

coeficientes enteros.

Manifestó que cada racional se puede expresar como una fracción continuada

simple, dio una expresión electrónica en forma de fracción continuada, la cual ha

utilizado para demostrar que e y e2 son irracionales y demostró también como

pasar de una serie a una fracción continuada y viceversa.

10 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Lagrange (1774), notó que su método de 1767 es esencialmente el mismo que el

de Bachet, sin embargo lo más interesante que encontramos es que utiliza las

fracciones continuadas para encontrar el valor irracional de las raíces.

También se demostró que una verdadera base de un cuadrático es una fracción

continuada periódica.

Probablemente en el siglo XIX puede ser escrita como la edad de oro de las

fracciones continuadas.

A principios del siglo XX, las fracciones han hecho sus apariciones en otros

ámbitos.

De esta manera podemos observar que el Algoritmo de Euclides aplicado a

fracciones comunes y a irracionales cuadrática aparecen en los libros VII y X de

los Elementos y constituyen el fundamento del Algoritmo de las Fracciones

Continuadas.

11 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Sección 2.

Fracciones Continuadas Simples Finitas

Es importante presentar un repaso del desarrollo de Las Fracciones Continuadas

simple finita y su representación, y como también sobre las fracciones continuadas

convergentes su definición y como calcular dichas fracciones lo cual veremos a

continuación:

Algoritmo del Desarrollo en Fracción Continuada

Este algoritmo forma parte del algoritmo de Euclides, el cual está compuesto de

varios pasos:

Se separa la parte entera del número.

Se resta la parte entera al número real de ser cero se concluye.

En caso contrario se busca el inverso de la diferencia y se repite.

Este proceso culminara siempre y cuando el número real sea racional.

12 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Podemos observar dos tipos de fracciones:

Cuando tenemos una fracción propia al emplearle la fracción continuada tenemos

que la parte entera será cero y los demás cocientes serán las divisiones sucesivas

realizadas en el algoritmo de Euclides.

En cambio cuando presentamos una fracción impropia su parte entera será

cualquier número distinto de cero y sus cocientes serán las divisiones sucesivas

realizadas en el algoritmo de Euclides.

Por lo tanto podemos concluir que un número real en fracción continuada es un

caso particular del algoritmo de Euclides el cual está comprendido por la

alternación de los pasos mencionados al principio.

Definición de Fracción Continuada

La fracción continuada es una expresión de la siguiente forma:

Donde a0 es la parte entera (a0 puede ser cero) y los ai y bi pueden ser números

reales positivos cualesquiera, pero si cada bi es igual a uno y cada ai ≠ 0,

para i> 0, entonces la fracción se denomina fracción continuada simple.

La cual se representara de la siguiente manera:

13 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

En donde los ai para i >0 son denominados cocientes incompletos de la fracción

continuada.

Si los elementos de una fracción continuada o cocientes incompletos es finito

entonces nos estamos refiriendo a una fracción continuada simple finita; pero si

los cocientes incompletos son infinitos entonces nos referimos a una fracción

continuada simple infinita.

Por lo tanto podemos expresar como fracción continuada simple a todos los

números racionales e irracionales.

Para representar de forma abreviada una fracción continuada se utiliza un

paréntesis cuadrado, en donde su primer elemento será el resultado de la división

directa, la cual estará separada por un punto y coma y los siguientes elementos

son el resultado de la división del inverso del residuo y el divisor, los cuales

estarán separados por coma.

Por lo tanto, una fracción continuada simple finita de un número racional p / q la

podemos expresar en forma abreviada como:

Donde a0 representará un número entero positivo o el cero y los a i con i >0

representaran números naturales.

14 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Ejemplo 1:

Expresar como una fracción continuada simple finita.

Esta fracción se puede representar en forma abreviada como:

La expresión obtenida es llamada fracción continuada de:

Teorema 1. Todo número racional puede ser expresado como una fracción

continuada.

Prueba.

Sea p/q cualquier número racional con q ≠ 0, luego por la afirmación de la

posibilidad de la división inexacta o entera, existen números enteros ai y ri tales que:

15 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Tenemos que r0, r1, ….., rs-1 es una sucesión decreciente de enteros positivos,

puesto que solo existe un número finito de enteros positivos menores que q, este

proceso debe culminar como se indico; esto es, solo existe un número infinito de

enteros positivos ri que satisfacen las ecuaciones dadas.

Por lo tanto, sustituyendo y utilizando los pasos del procedimiento anterior

obtenemos lo siguiente:

16 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Luego podemos deducir que solo un número finito de términos son usados; por lo

tanto, el número racional es representado de forma abreviada por una fracción

continuada simple finita, es decir:

[a0; a1, a2, a3,……, as].

Fracciones Continuadas Convergentes

Definición 1.

Se puede interrumpir una fracción continuada simple finita en determinado

elemento, por ejemplo [a0; a1, a2, a3,……, as] y eliminar los siguientes elementos,

17 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

como lo son [as+1, as+2]. El número que obtenemos de esta forma es llamada n-

ésima fracción convergente y se designa .

En particular para n=0 se tiene la fracción convergente .

Este concepto es introducido en las fracciones continuadas finitas en donde existe

la última fracción convergente que coincide con la misma fracción continuada finita

y también es introducido en las infinitas.

Ejemplo 2.

Encontrar las fracciones convergentes de .

18 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Formación de una Fracción Continuada Convergente

Para encontrar la n-ésima continuada convergente no hay necesidad de copiar

una fracción continuada de realizar un proceso voluminoso de contracción

sucesiva.

Existen fórmulas recurrentes bastantes simples para el cálculo de .

Evidentemente:

A fin de pasar de a , es necesario sustituir a a1 por , una vez

realizadas ciertas transformaciones poco complicadas obtenemos:

Si examinamos esta fórmula podemos observar la siguiente estructura:

19 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Podemos observar escribiendo separadamente, el numerador y el denominador de

la n-ésima fracción continuada convergente obtenemos:

Para n >2.

Determinación de una Fracción Continuada Convergente

En esta sección vamos a considerar las fracciones continuadas convergentes de

los órdenes nulos y primero; las fracciones respectivamente para las cuales

tenemos que:

Consideremos entonces las fracciones continuadas convergentes de los órdenes

2, 3,…, s.

Como podemos observar en el Ejemplo 2, la fracción convergente de segundo

orden para la fracción la expresamos de diferentes maneras, donde todas estas

expresiones constituyen un mismo número escrito mediante distintos

procedimientos.

20 Teoría de Números

Page 21: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Por lo tanto, el número tendrá como fracción continuada convergente de

segundo orden el valor de .

Luego observamos entonces que el numerador y el denominador de cada fracción

continuada convergente están exactamente definidos.

Todo esto se desprende de la siguiente demostración del teorema.

Teorema 2.

Si , donde es la n-ésima fracción convergente de la fracción continuada

simple , entonces

Prueba.

Las expresiones para pueden obtenerse según la definición de

fracción convergente.

21 Teoría de Números

Page 22: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Para y donde n>2, se demuestra por inducción matemática. Como ya hemos

observado que las relaciones son verdaderas para n=2.

Luego, asumimos que también son válidas para todo entero desde 3 hasta un

valor fijo k. Entonces:

Donde;

(**)

Entonces;

Por lo tanto, podemos observar que para pasar de a hace falta sustituir

por en las fórmulas (**)

Entonces,

22 Teoría de Números

Page 23: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Sustituyendo los paréntesis por su valor en (**), se tiene lo siguiente:

Por lo tanto, hemos obtenido las fórmulas (**) con la sustitución de k por k+1.

Con lo cual hemos demostrado que las fórmulas son válidas también para n≥2, lo

cual queríamos demostrar.

También observamos que los denominadores de las fracciones convergentes

crecen estrictamente, es decir, , para n= 2, 3,…

La comparación de con nos brinda: ,

de donde se observa que y puede resultar igual a .

Tenemos definitivamente que:

23 Teoría de Números

Page 24: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Estas sucesiones pueden ser finitas o infinitas en función de que sea finita o

infinita la fracción continuada dada.

Cálculo de Fracciones Convergentes

Este cálculo lo realizamos aplicando el Teorema 2.

Ejemplo 3.

Dada la fracción continuada simple finita encuentre las fracciones

continuadas convergentes.

Solución.

Aplicando el Teorema 2 tenemos:

Entonces,

24 Teoría de Números

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Fracciones Continuadas

Sección 3.

Fracciones Continuadas Infinitas

25 Teoría de Números

Page 26: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Esta sección presenta las fracciones continuadas simples infinitas como calcular

su valor numérico y la determinación de fracciones continuadas periódicas la cual

es una importante sustitución en estas fracciones.

Representación de un Número Irracional utilizando Fracción

Continuada

En primer lugar definiremos ¿Qué son los números irracionales?

Como definición tenemos que los números irracionales son aquellos que no

pueden ser expresados de la forma de m/n, en donde m y n son números enteros.

Entonces tendremos que definir una variable cualesquiera en este caso

utilizaremos β como un número irracional al cual le pertenecerá la siguiente

fracción continuada:

[a0; a1, a2, a3,……, as].

El procedimiento que se lleva a cabo para representar en fracción continuada

simple un número irracional es parecido al proceso utilizado anteriormente.

26 Teoría de Números

Page 27: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Teorema 3. Todo número irracional puede ser expresado como una fracción

continuada simple infinita única.

Prueba.

Sea β cualquier número irracional, el cual puede ser expresado de la siguiente

manera:

Donde a0 es el mayor entero menor o igual a β y

Luego, supongamos que β1 sea un número racional, entonces lo podemos

expresar como una fracción continuada simple finita; luego β lo podemos

representar como una fracción continuada simple finita y β está determinado por

un número racional.

Luego, esto es contrario a la hipótesis, por lo tanto, β1 es un número irracional.

Por lo tanto, podemos representar β1 como:

Donde a1 es un entero positivo y β2 es un número irracional.

Este procedimiento se extenderá indefinidamente. Por lo tanto, para cada β i, existe

un número irracional ai+1, tal que:

27 Teoría de Números

Page 28: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Donde tenemos que ai+1 es un entero positivo y xi+1 es un número irracional.

Por lo tanto, tenemos ahora que β= [a0; a1, a2, a3,………]

Luego, de todo lo expresado podemos concluir que la representación en fracción

continuada de un número irracional es única.

Procedimiento 1.

Indicar entre que números enteros positivos está comprendido el número

irracional.

Se indicará solo el número menor.

Ejemplo 4.

Expresar como una fracción continuada simple infinita.

Solución:

Entonces empleando este procedimiento tenemos que 2< < 3, luego el número

menor es el 2, así:

28 Teoría de Números

Page 29: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Observamos entonces que la expresión es repetida nuevamente.

Por lo tanto al expresar este desarrollo como una fracción continuada es la

siguiente:

Entonces escribiremos la fracción continuada de como:

29 Teoría de Números

Page 30: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Pero, como los elementos se repiten indefinidamente conviene escribir la fracción

continuada de la siguiente manera:

La representación de como fracción continuada simple infinita es un ejemplo de

una fracción continuada simple infinita periódica, donde la sucesión de los

términos 1 y 4 es el periodo y la longitud de periodo es dos puesto que se repiten

cada dos términos.

Teorema 4. Toda fracción continuada simple infinita representa un número

irracional.

Prueba.

Consideremos β cualquier fracción continuada simple infinita.

Luego por Teorema 1, β no puede ser un número racional, por lo tanto, β es un

número irracional.

Ejemplo 5.

Determinar el número irracional que representa la fracción continuada simple

infinita .

Solución:

Como β= , luego:

30 Teoría de Números

Page 31: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Entonces:

La representación simple infinita dentro del paréntesis es la representación simple

de β – 4.

Así que:

31 Teoría de Números

Page 32: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Entonces, la fracción continuada simple infinita representa el número

irracional

Un irracional cuadrático es un número irracional que es solución de una ecuación

cuadrática de la forma a β2 + β + c = 0, donde a, b, c son enteros distinto de cero.

Existen procedimientos sofisticados que permitir obtener una expresión en fracción

continuada para otros números irracionales.

Por ejemplo:

= [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1]

е = [2; 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8]

π= [3; 7, 15, 1, 293, 1,….].

Ejemplo 6.

32 Teoría de Números

Page 33: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

En este ejemplo ilustraremos una forma para representar el número irracional

como una fracción continuada simple infinita.

Solución:

Sea , luego

33 Teoría de Números

Page 34: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Hemos observado que los elementos se repiten indefinidamente, por lo tanto,

Fracciones Continuadas Periódicas

Una importante sustitución de una determinada fracción continuada simple infinita

es la determinación de fracciones continuadas periódicas.

Decimos que una fracción continuada es periódica si es de la forma:

Donde la secuencia de los términos que se repiten forma el periodo, es decir,

Si la fracción continuada periódica es de la forma se le denomina

fracción continuada periódica pura.

Pero debemos recordar que un irracional cuadrático es un número irracional, que

es una solución de una ecuación cuadrática a , donde, a, b y c son

enteros. Esto es que todo irracional cuadrático es un número real que es de la

34 Teoría de Números

Page 35: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

forma , donde r y son números racionales, s ≠ 0, y k es un número entero

positivo que no es un cuadrado perfecto. Las fracciones continuadas periódicas

difieren de otras fracciones continuadas en que ellas representan irracionales

cuadráticos.

Ejemplo 7.

Esta fracción continuada es un ejemplo de una fracción continuada periódica pura.

Teorema 5. Toda fracción continuada periódica representa un irracional

cuadrático.

Prueba.

Consideremos la fracción continuada periódica

Luego, sea:

(*)

Donde

35 Teoría de Números

Page 36: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Luego,

Por lo tanto,

(**)

El valor de la fracción continuada en (**) es igual a la (m + 1) n–ésima

convergente.

Sea la i-ésima convergente de la fracción continuada en (**). Entonces,

Esta fórmula liga los cocientes completos con las convergentes.

Por lo tanto de lo anterior tenemos que:

Las raíces de esta ecuación cuadrática con cocientes enteros son números

irracionales, donde “y” satisface la ecuación y “y” es representada por una

fracción continuada simple infinita. Por lo tanto, “y” es irracional cuadrático.

Sea donde r y s son números racionales, y k es un entero

positivo el cual no es un cuadrado perfecto.

36 Teoría de Números

Page 37: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

El valor de la fracción continuada en (*) es igual a la (n + 1)- ésima convergente.

Sea , la i-ésima convergente de la fracción continuada en (*). Entonces,

Reemplazando “y” por , obtenemos:

Donde A, B, C, D son números racionales. Por lo que racionalizando obtenemos lo

siguiente:

37 Teoría de Números

Page 38: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Donde son números racionales. Además y X es representada por una

fracción continuada simple infinita. Por lo tanto, X es un irracional cuadrático y

toda fracción continuada periódica representa un irracional cuadrático.

Ejemplo 8.

Dada la fracción continuada simple infinita , determine el irracional

cuadrático.

Solución.

Sea y . Entonces y sus dos primeras

convergentes son 3 y 4 respectivamente.

Por lo tanto:

Como,

Entonces,

38 Teoría de Números

Page 39: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Donde la raíz de interés es:

Entonces para tenemos que:

Por lo que sus dos primeras convergentes son: 1 y respectivamente.

Así obtenemos entonces lo siguiente:

Esto es:

39 Teoría de Números

Page 40: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Teorema 6. Todo irracional cuadrático puede ser expresado como una fracción

continuada periódica.

Prueba.

El proceso que utilizamos para expresar un irracional cuadrático como una

fracción continuada periódica es básicamente igual al ilustrado en el Teorema 3.

Ejemplo 9.

Exprese como una fracción continuada periódica.

Donde como 2 es el mayor entero menor que .

Solución:

40 Teoría de Números

Page 41: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Luego, notemos que la expresión aparece nuevamente. La expansión de

dicha expresión como una fracción continuada se repite.

Por lo tanto:

Entonces:

41 Teoría de Números

Page 42: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Sección 4.

Aproximación de Números Reales

En esta sección hacemos una revisión sobre la aproximación de números reales.

El cual presenta que una aproximación se basa cuando en algunas ocasiones hay

que reemplazar cierto objeto por otra de su misma naturaleza.

Definición 2.

Llamamos aproximación cuando en distintas ocasiones nos vemos en la

necesidad de sustituir cierto objeto (número, función, etc.) por otra naturaleza,

pero de una manera más simple y suficientemente próximo al objeto dado.

Del conjunto de los números reales separamos un subconjunto de fracciones con

denominadores q, la distancia ente β y la fracción:

La aproximación de un número en forma de una fracción con denominador q

significa hallar entre todas las fracciones con el denominador q la más próxima al

número .

42 Teoría de Números

Page 43: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Si en el eje numérico están marcadas todas las fracciones con el denominador q,

entonces, el número β estará entre dos de estas:

De dichas fracciones se escoge la más próxima. Puede suceder el caso de que β

coincida con el punto medio de segmento:

En este caso el problema tiene dos soluciones, pero, por convención eligiéremos

el extremo izquierdo.

En la aproximación de β podemos utilizar fracciones con cualquier denominador.

En la aproximación de números irracionales, debemos tener presente el error de

aproximación.

En el error de aproximación de β mediante la fracción surge un error, denotado

por ∆. El error es el valor exacto menos el aproximado:

43 Teoría de Números

Page 44: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Si la aproximación es con defecto, entonces, el error es positivo. Pero si el error es

con exceso, entonces, el error es negativo.

En el error de aproximación de β mediante la fracción surge un error, denotado

por ∆. El error es el valor exacto menos el aproximado:

Si la aproximación es con defecto, entonces, el error es positivo. Pero si el error es

con exceso, entonces, el error es negativo.

Llamamos error absoluto al valor absoluto del error. Podemos observar que el

error absoluto en la aproximación no puede ser mayor que es decir:

Donde será el límite superior del error absoluto.

La sustitución aproximada del número β por una fracción es necesario si dicha

fracción, siendo el denominador pequeño, brinda una alta precisión. Es decir, si el

error absoluto es considerablemente menor que su límite superior.

Para poder caracterizar la utilidad de la aproximación hace falta comparar el error

absoluto real y el límite superior del error absoluto:

44 Teoría de Números

Page 45: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Si consideramos la mitad de esta magnitud y la denominamos error reducido.

Llamemos a este error reducido “z”.

Entonces:

Mientras más pequeño sea “z”, más conveniente será la aproximación.

Por otro lado, si designamos por al coeficiente de utilidad, este indicará cuantas

veces el error absoluto real es menor que el valor máximo posible.

Entonces cuando mayor sea , más útil será la aproximación.

Para tener una visión más clara de lo anterior examinemos una tabla de aproximaciones para el

valor π, utilizando denominadores de 1 a 10.

q Valor

Aproximado

Límite Superior

del Error

Absoluto

Z

1 0,1416 0,1416 3,5

2 0,1416 0,2832 1,8

45 Teoría de Números

Page 46: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

3 0,1416 0,4248 1,2

4 0,1084 0,4336 1,2

5 0,0584 0,2920 1,7

6 0,0251 0,1504 3,3

7 0,0013 0,0089 56,5

8 0,0166 0,1327 3,8

9 0,0303 0,2743 1,8

10 0,0416 0,4159 1,2

Podemos observar que el coeficiente de utilidad para es el mayor, por lo tanto,

el valor de π estará más cerca de que de cualquiera de los otros valores

aproximados.

Fracciones Continuadas y Ecuaciones Diofánticas Lineales

La teoría de las fracciones continuadas puede ser utilizada para obtener las

soluciones de una ecuación diofántica lineal

El último convergente Cn fracción continuada simple finita

46 Teoría de Números

Page 47: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Es igual a:

Luego

Como tenemos:

Multiplicando por tenemos:

Entonces una solución particular x0 y y0 de la ecuación diofántica es el par:

Nota:

(*) Si x0, y0 es una solución particular de la ecuación,

47 Teoría de Números

Page 48: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Entonces, la solución general de la ecuación diofántica está dada por:

(**) Si (a, b)=g entonces, la solución general sería:

Ejemplo 10.

Utilizar las fracciones continuadas para determinar la solución general de la

siguiente ecuación diofántica lineal:

Solución:

Dividiendo la ecuación original entre dos obtenemos:

Como (7,11)=1, existen soluciones de la ecuación diofántica lineal.

Por lo tanto la fracción continuada simple finita que representa es la siguiente:

Los convergentes son:

48 Teoría de Números

Page 49: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

k 0 1 2 3 4

0 1 1 1 2

0 1 1 2

1 1 2 3

0 1

Luego la solución particular de la ecuación diofántica dada:

Comprobando la ecuación tenemos:

Así por (*) obtenemos la solución general de la ecuación diofántica dada por:

49 Teoría de Números

Page 50: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Método utilizado para Resolver La Ecuación de Pell mediante

Fracciones Continuadas

Para determinar las soluciones de La Ecuación de Pell mediante fracciones

continuadas depende de la expansión de en fracciones continuadas.

De acuerdo a la Teoría de Lagrange:

Si tiene el siguiente desarrollo:

Y posee un periodo “t” entonces, el término es la solución más pequeña a la

ecuación de Pell, en donde .

Ejemplo 11.

Utilizar el método de las fracciones continuadas para determinar la solución de la

ecuación:

Solución:

, tiene el siguiente desarrollo en fracción continuada:

50 Teoría de Números

Page 51: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Como su periodo es entonces el término es la solución más pequeña,

entonces:

Luego se tiene que:

Verificando se tiene

Podemos observar más detalladamente el Desarrollo de la Ecuación de Pell en el

Capítulo IX.

Algunos Desarrollos Notables en Fracciones Continuadas

51 Teoría de Números

Page 52: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Número π

Número e

Número Áureo

Número

52 Teoría de Números

Page 53: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Conclusiones

Al finalizar este trabajo de investigación concluimos que:

Las fracciones Continuadas tratan de dar una expresión a los números

reales más convenientes para estudiar sus propiedades aritméticas que la

expresión en decimales.

Las Fracciones Continuadas es un tema muy interesante y de gran

importancia ya que su desarrollo se remontan desde los tiempos de

Euclides y establecemos la posibilidad de la utilización del Algoritmo de las

fracciones continuadas por parte de los matemáticos con lo cual esperamos

que sirva de motivación para muchos lectores y poder así dar un aporte

significativo al campo de las matemáticas.

53 Teoría de Números

Page 54: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Recomendaciones

Promover cursos en donde los estudiantes entren en contacto con temas

como este, el cual le sirva de motivación para seguir trabajando en el

campo de la investigación.

Resaltar la importancia que tienen las fracciones continuadas para la

solución de números racionales e irracionales.

Sugerir la incorporación del uso de software especializados para el estudio

detallado en especial en los cursos de la Licenciatura en Matemática.

Considerar este trabajo como parte de la bibliografía para los cursos en el

área de la Licenciatura en Matemática.

54 Teoría de Números

Page 55: Fracciones Continuadas

Fracciones Continuadas

Bibliografía

Douglas, Carl; 1963, Continued Fractions

Khinchin, Alexander; 1997, Continued Fractions

Vinogradov; 1977, fundamentos de la Teoría de Números, Editorial Mir,

Moscú

Weil, Andre’; 2006, Number Theory an Approach through History from

Hammurapi to Legendre

Beckmann; 1989, A History of pi

Jaen, Gloria; 1974, Introducción a las Fracciones Continuadas y a Las

Ecuaciones Diofánticas, Tesis, Universidad de Panamá

Brown, Roger; 2008, An Introduction to the Theory of Numbers; Oxford

University Press

55 Teoría de Números