Formulas de Angulo Múltiple

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  • Formulas de Angulo Mltiple Julio Castieira Merino

    jcastine@boj.cnice.mecd.es

    A la memoria de mis padres: Julio y ngeles

    Este trabajo explica algunas de las propiedades de las frmulas de ngulo mltiple. En primer lugar expresaremos de forma concisa las frmulas de ngulo mltiple de las funciones trigonomtricas e hiperblicas. Posteriormente utilizaremos estas frmulas en algunas temas de trigonometra, lgebra y en geometra.

    Para la funcin coseno, las frmulas de ngulo mltiple se pueden expresar usando los polinomios de Chebyshev [1], [6]. Estos polinomios estn definidos por la relacin de recurrencia

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ===

    221

    21

    10n,xTxTxxT

    xxT,xT

    nnn . Los ocho primeros polinomios con sus correspondientes frmulas de ngulo mltiple son:

    Polinomio Frmula

    ( ) 10 =xT 10 = acos ( ) xxT =1 acosacos =1 ( ) 12 22 = xxT 122 2 = cosacos ( ) xxxT 34 33 = acosacosacos 343 3 = ( ) 188 244 += xxxT 184 24 += acosacosacos ( ) xxxxT 52016 355 += acosacosacosacos 520165 35 += ( ) 1184832 2466 += xxxxT 11848326

    246 += acosacosacosacos ( ) xxxxxT 75611264 3577 += acosacosacosacosacos 756112647 357 +=

    Observamos que los polinomios de Chebyshev cumplen la propiedad

    ( )acosTnacos n= . Demostracin Por induccin sobre n. Para los valores iniciales y 0=n 1=n tenemos:

    ( )( )acosTacosacos

    ,acosTacos

    1

    0

    110

    ====

    Supongamos que la frmula es cierta para todo valor de k < n, Aplicando la frmula de la diferencia de cosenos

    ( ) ( ) acosancosancosnacos = 122 es decir

    ( ) ( )ancosancosacosnacos 212 = por hiptesis de induccin sabemos que

    ( ) ( ) ( ) ( )acosTancosyacosTancos nn 21 21 == Luego

    ( ) ( )acosTacosTacosnacos nn 212 =

    1

    mailto:jcastine@boj.cnice.mecd.es

  • Sustituyendo en la frmula de recurrencia acosx = ( ) ( ) xTxTxx nnn 212 ( )T = tenemos que

    ( ) ( ) ( )acosTacosTacosacosT nnn 212 = , por tanto

    ( )acosTnacos n= . Observemos que la frmula anterior tambin se verifica para valores complejos del argumento, puesto que la frmula de la diferencia de cosenos es cierta para argumento complejo. Una consecuencia de este hecho es que la frmula de argumento mltiple para el coseno hiperblico es

    ( )aChTnaCh n= En efecto

    ( ) ( )aChTiacosTinacosnaCh nn === . Una propiedad que ser utilizada posteriormente es

    ( ) ( )( )

    ( )

    =

    parnnacosimparnnasenasenT n

    nn 2

    21

    11

    Demostracin En efecto

    ( )

    =

    =

    = nancosancosacosTasenT nn 222

    ,

    como

    ( )( )( )

    =+=

    parn,nacosimparn,nasennasennsennacosncosnancos n

    n

    2

    21

    11

    222

    ,

    la igualdad queda demostrada. Ejercicios 1. Demostrar que el polinomio de Chebyshev tiene grado n y tiene n races simples. 2. Demostrar que el polinomio de Chebyshev de grado n es una funcin par si n es par y es una funcin impar si n es impar. 3.-Demostrar la propiedad transitiva de los polinomios de Chebyshev

    ( )( ) ( )xTxTT mnmn = .

    Frmulas para la funcin seno Derivando la formula ( )acosTna ncos = podemos obtener una frmula de ngulo mltiple para la funcin seno. En efecto

    ( ) ( )asenacosTnasenn 'n = Es decir

    ( )n

    acosTasennasen

    'n=

    Al polinomio ( ) ( )1

    1+

    = +n

    xTx

    'nU n , se le llama polinomio de Chebyshev de segunda clase

    de grado n [6]. Usando estos polinomios la frmula de ngulo mltiple de la funcin seno se expresa

    ( )acosUasennasen n 1= . Anlogamente para el seno hiperblico tenemos la frmula

    ( )aChUaShnaSh n 1= que se deduce derivando la frmula de argumento mltiple para el coseno hiperblico.

    2

  • Los siete primeros polinomios de Chebyshev de segunda clase con sus correspondientes frmulas de ngulo mltiple son:

    Polinomio Frmula

    ( ) 10 =xU senaasen =1 ( ) xxU 21 = acosasenasen = 22 ( ) 14 22 = xxU ( )143 2 = acosasenasen ( ) xxxU 48 33 = ( )acosacosasenasen 484 3 = ( ) 11216 244 += xxxU ( )112165 24 += acosacosasenasen ( ) xxxxU 63232 355 += ( )acosacosacosasenasen 632326 35 += ( ) 1248064 2466 += xxxxU ( )12480646 246 += acosacosacosasenasen

    Ejercicio 4. Demostrar que el polinomio de Chebyshev de segunda clase de grado n es una funcin par si n es par y es una funcin impar si n es impar. Una frmula que expresa en funcin de nasen asen es

    ( )( ) ( )( ) ( )

    =

    parn,asenUacosimparn,asenTnasen

    nn

    nn

    112

    21

    11

    Demostracin Si n es impar basta despejar el seno en la formula ( ) ( )( ) nasenasen nn =T 211 .. Si n par es par tenemos que

    ( ) ( ) nacosasenT nn = 21 , derivando

    ( ) ( ) ( ) nnasenacosasenT n'n = 21 , Despejando el seno del ngulo mltiple

    ( ) ( ) ( ) ( )asenUacosn

    asenTacosnasen n

    n'nn

    11212 11

    == .

    Los polinomios de Chebyshev de primera y segunda clase estn relacionados por la frmula

    ( ) ( ) ( )xxUxUxT nnn 1= En efecto

    ( ) asennacosacosnasenansen +=+1 Por tanto

    ( ) ( ) ( ) asenacosTacosacosUsenaacosUsena nnn += 1 dividiendo por asen

    ( ) ( ) ( )acosTacosacosUacosU nnn += 1 sustituyendo por x y despejando T obtenemos acos n

    ( ) ( ) ( )xxUxUxT nnn 1= . Los polinomios de Chebyshev de segunda clase satisfacen la siguiente relacin

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ===

    2221

    21

    10nxUxUxxU

    ,xxU,xU

    nnn

    Demostracin Es claro que

    3

  • ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) xxdxdxT

    dxdxU

    xTdxdxU

    21221

    21

    111

    221

    10

    ===

    ==,

    Veamos que satisfacen la relacin de recurrencia. Derivando la relacin

    ( ) ( ) ( )xTxTxxT nnn 212 = obtenemos

    ( ) ( ) ( ) ( )xTxTxxTxT 'n'nn'n 211 22 +=

    Sustituyendo ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (xUnxUnxxxUxUxnU nnnnn 32211 2122 )+=

    Operando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xUnxUnxxUn nnn 321 2222 =

    Dividiendo por obtenemos 2n ( ) ( ) ( )xUxxUx nnn 321 2 U = Por tanto

    ( ) ( ) ( )xUxxUxU nnn 212 = . Las frmulas de recurrencia anteriores son interesantes desde el punto de vista terico y permiten hallar los polinomios de Chebyshev para valores pequeos de n. Pero para valores moderados de n son completamente intiles. Por fortuna disponemos de las siguientes frmulas explicitas de los polinomios de Chebyshev de primera y de segunda clase para n mayor que cero.

    ( ) ( ) ( ) knn

    k

    kn xk

    knkn

    nxT 22

    021

    2

    =

    =

    y

    ( ) ( ) ( ) knn

    k

    kn xk

    knxU 2

    2

    021

    =

    =

    Estas frmulas se pueden demostrar por induccin. Demostraremos la frmula para los

    polinomios de Chebyshev de segunda clase y dejaremos la otra frmula al lector. Demostracin Para n = 1 y n = 2 se cumplen. En efecto

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14211

    1202

    1

    2201

    1

    22210202

    0101

    =

    +

    =

    =

    =

    xxxxU

    xxxU

    Demostremos que si se cumple para k < n entonces se cumple para n: Sabemos que

    ( ) ( ) ( )xUxxUxU nnn 212 = usando la hiptesis de induccin podemos afirmar que

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( ) knn

    k

    kknn

    k

    kn xk

    knx

    kkn

    xxU 2222

    0

    2121

    02

    212

    112

    =

    =

    = ,

    operando y renombrando el ndice del segundo sumatorio

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( ) jnn

    j

    jknn

    k

    kn xj

    jnx

    kkn

    xU 2222

    0

    1221

    02

    212

    11

    =

    +

    =

    +

    = ,

    haciendo el cambio de ndices k = j +1 en el segundo sumatorio

    4

  • ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kn

    n

    k

    kknn

    k

    kn xk

    knx

    kkn

    xU 22

    1

    221

    02

    11

    121

    1

    =

    =

    ++

    += .

    Tenemos dos casos. Si n es impar

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) knn

    k

    knn xk

    knkkn

    xxU 22

    12

    111

    12

    =

    ++

    ++= ,

    luego la propiedad de los nmeros combinatorios

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) knn

    k

    kknn

    k

    knn xk

    knx

    kkn

    xxU 22

    0

    22

    121212

    =

    =

    =

    += .

    Si n es par

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2212

    122

    111

    12 nknn

    k

    knn xxk

    knkkn

    xxU +

    ++

    ++=

    = ,

    luego tambin en este caso

    ( ) ( ) ( ) knn

    k

    kn xk

    knxU 2

    2

    021

    =

    = .

    Ejercicio 5-Demostrar las frmulas

    ( ) ( )=

    =

    2

    0

    22 12

    n

    k

    kknn xxk

    nxT

    y

    ( ) ( )=

    +

    +=

    2

    0

    22 112

    1n

    k

    kknn xxk

    nxU

    . Frmulas para la funcin tangente Es sobradamente conocida la frmula de la tangente del ngulo doble

    atanatanatan21

    22

    =

    pero est poco difundida la frmula de la tangente del ngulo mltiple a pesar de su simplicidad [4]. En efecto

    ( )( )

    ( )

    =

    =

    +

    +

    =2

    0

    2

    21

    0

    12

    21

    121

    n

    k

    kk

    n

    k

    kk

    atank

    n

    atankn

    natan

    la frmula se demuestra fcilmente por induccin usando la frmula de la tangente de una suma de ngulos. Ilustremos la sencillez de la frmula con un ejemplo, la expresin de la tan . x5En primer lugar calculamos los trminos de la quinta fila del tringulo de Tartaglia. Estos trminos son

    1, 5, 10, 10, 5, 1 despus construimos los polinomios

    42 5101 tt + y 5 5310