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Formulario matematico di Simone Camosso 1

Formulario matematico - webalice.it · Iperbole x2 a2 ¡ y2 b2 = 1 Iperbole equilatera x2 ¡y2 = a2 Parabola y = ax2 +bx+c Oggetto del piano Valori notevoli Retta m = ¡a b q = ¡c

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Formulario matematico

di Simone Camosso

1

Formulario matematico (di Simone Camosso)

0.1 Costanti matematiche

costante valore approssimatoe 2.7182818285 · · ·π 3.1415926536 · · ·log10(2) 0.3010299957 · · ·log10(e) 0.4342944819 · · ·loge(2) 0.6931471806 · · ·loge(π) 0.1.1447298858 · · ·loge(10) 2.3025850930 · · ·√

2 1.4142135624 · · ·√e 1.6487212707 · · ·√3 1.7320508076 · · ·√π 1.7724538509 · · ·√5 2.2360679775 · · ·√10 3.1622776602 · · ·

1 0.0174532925 · · · radianti1 radiante 5717′44′′.806 · · ·

0.2 Algebra

Regola dei segni

· + −+ + −− − +

Operazioni con le frazioni

x

y· z

w=

x · zy · w

x

y± z

w=

w · x± y · zy · w

x

y:

t

w=

xytw

=x

y· w

t

(x

y

) zt

=x

zt

yzt

condizioni di esistenza√x x ≥ 0

log x x > 01

P (x) P (x) polinomio P (x) 6= 0arcsinx −1 ≤ x ≤ 1arccosx −1 ≤ x ≤ 1

Potenzea0 = 1

(−a)n =

an n pari−(an) n dispari

10 = 1

Definizione di modulo

|x| =

x x ≥ 0−x x < 0

Proprieta valore assoluto|x + y| ≤ |x| + |y| |x− y| ≥ ||x| − |y|| |x| ≤ y ⇔ −y ≤ x ≤ y∣∣∣xy

∣∣∣ = |x||y| |x · y| = |x| · |y| |x| = 0 se x = 0

Potenze Logaritmi Radicaliam · an = an+m loga(a) = 1 n

√xm = ( n

√x)m = x

mn

am

an = am−n logb(a) = 1loga(b)

n√

m√

x = n·m√x

(am)n = am·n logb(x · y) = logb(x) + logb(y) n

√xy =

n√xn√

y

(a · b)n = an · bn logb

(xy

)= logb(x)− logb(y)

√x±√y =

√x+√

x2+y2 ±

√x−√

x2+y2(

ab

)n = an

bn logb (xy) = y logb(x) n√

x · y = n√

x · n√

y

Teoremi sui logaritmiloga(b) = logan (bn), loga(b) = logc(b)

logc(a) , loga

(n√

b)

= 1n loga(b), log x2 = 2 log |x|.

Prodotti notevoli Prodotti notevoli(x + y)2 = x2 + 2x · y + y2 (x + y + z) · (x + y − z) = x2 + y2 − z2 + 2x · y(x + y)3 = x3 + 3x2 · y + 3x · y2 + y3 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x · y + 2x · z + 2y · z(x − y)2 = x2 − 2x · y + y2 (x + y) · (x2 − x · y + y2) = x3 + y3

(x− y)3 = x3 − 3x2 · y + 3x · y2 − y3 (x− y) · (x2 + x · y + y2) = x3 − y3

(x + y) · (x − y) = x2 − y2 (x + y + z) · (x− y − z) = x2 − (y + z)2

2

Formula del binomio di Newton

(x + y)n =n∑

k=0

(nk

)xn−kyk

Formula risolutiva per equazioni di secondo grado ax2 + bx + c = 0

x1,2 =−b±√b2 − 4ac

2a

Determinante di una matrice (2, 2)

det A =∣∣∣∣

x yz w

∣∣∣∣ = x · w − y · z

Determinante di una generica matrice A = (aij)

det A =n∑

j=1

(−1)i+jaij det Aij

con Aij minore dell’elemento aij .Inversa di una matrice ASe il determinante di A non e nullo allora esiste la matrice inversa e indicando

con ∆ij = (−1)i+j det Aij il cofattore dell’elemento aij si ha che

A−1 =1

det A(∆ji)

Teorema di Binet

detA ·B = det A · det B

Disposizioni Formulacon ripetizione Rn,k = nk

Disposizioni semplici Dn,k = n · (n− 1) · · · (n− k + 1)Permutazioni Dn,n = n!

Combinazioni Cn,k = Dn,k

k! = n!k!(n−k)! =

(nk

)

proprieta di i =√−1

i2 = −1 i4k = 1 i4k+1 = i

i4k+2 = −1 i4k+3 = −i√−x = i

√x

z complessoz = a + i · b,a, b ∈ R z = ρ · (cos θ + i · sin θ) e ρ =

√a2 + b2, θ = arctan

(ba

)z = ρ · eiθ

3

0.3 Geometria

Formula per la distanza tra due punti P1(x1, y1), P2(x2, y2)

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

SimilitudineLa similitudine e una particolare trasformazione geometrica, contenuta nel piano onello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. Questo vuol dire che, per ognisimilitudine f , esiste un numero reale positivo k tale che

d(f(A), f(B)) = kd(A,B)

per ogni coppia di punti (A,B).

Criteri di congruenza per triangoli1)Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo compresotra essi equivalente.2)Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e i due angoli a essoadiacenti (ALA).3)Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamentecongruenti (LLL).Criteri di similitudine per triangoli1)Se un triangolo ha gli angoli congruenti agli angoli di un altro triangolo,allora i lati di del primo sono in proporzione con i lati del secondo.2)Se un triangolo ha un angolo congruente ad un angolo di un secondo triangoloe i due lati di questo triangolo proporzionali ai lati corrispondenti del secondo triangolo,allora i triangoli sono simili.3)Se un triangolo ha i lati in proporzione con i lati di un secondo triangolo, allora itriangoli sono simili.

Oggetto SuperficieParallelogramma S = b · hTriangolo S = b·h

2Cerchio S = π · r2

Trapezio S = (a+b)·h2

Parallelepipedo rettangolare S = 2(a · b + b · c + a · c)Sfera S = 4 · π · r2

Cilindro retto S = 2 · π · r · (r + h)Cono retto S = π · r · (r +

√h2 + r2)

Piramide retta S = Sbase + a·p2

Tronco di Cono S = π · a · (r + r′) + π · r2 + π · r′2

4

Oggetto VolumeParallelepipedo rettangolare V = a · b · cSfera V = 4

3 · π · r3

Cilindro retto V = π · r2 · hCono retto S = 1

3 · π · r2 · hPiramide retta V = 1

3 · Sbase · hTronco di Cono V = 1

3 · π · h · (r2 + r′2 + r · r′)Formula di Erone per l’area di un triangolo con semiperimetro p

S =√

p · (p− a) · (p− b) · (p− c)

Teorema di Euclide per un triangolo rettangolo con cateti a, b, ipotenusa c e al-tezza h

Afferma che l’altezza del triangolo e media proporzionale alle proiezioni dei due catetisull’ipotenusa. Cioe indicando con n e m le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa si ha

m : h = h : n

Teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c

c2 = a2 + b2

Formula di Eulero

Dato un poliedro convesso con f facce, v vertici e a spigoli si ha

f + v − a = 2

Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolor = S

p r = a·b·c4·S = a·b·c

4√

p·(p−a)·(p−b)·(p−c)

Area di un triangolo di vertici P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3)

A = ±12

∣∣∣∣x3 − x1 y3 − y1

x2 − x1 y2 − y1

∣∣∣∣Formula di Brahmagupta per l’area di un quadrilatero convesso di lati a, b, c, d e

semiperimetro p

A =√

(p− a)(p− b)(p− c)(p− d)

Definizione di modulo per un vettore ~x = (x1, · · · , xn)

|~x| =√√√√

n∑

i=1

x2i

5

Prodotto scalare~x · ~y = |~x| · |~y| · cos θ ~x · ~y = 0 se x, y perpendicolari|~x| =

√~x · ~x (a~x + b~y) · ~z = a~x · ~z + b~y · ~z

~x · ~y = ~y · ~x~x · ~x ≥ 0

Prodotto vettoriale|~x ∧ ~y| = |~x| · |~y| · | sin θ| ~x ∧ ~y = ~0 per x, y paralleli

|~x ∧ ~y|2 = |~x|2 · |~y|2 − (~x · ~y)2 ~x ∧ ~y = det

~i ~j ~kx1 x2 x3

y1 y2 y3

~x ∧ ~y = −~y ∧ ~x ~x ∧ (~y ∧ ~z) = (~x · ~y)~y − (~x · ~y)~z~x ∧ (a~y + b~z) = a~x ∧ ~y + b~x ∧ ~z ~x ∧ (~y ∧ ~z) + ~y ∧ (~z ∧ ~x) + ~z ∧ (~x ∧ ~y) = ~0

Oggetto del piano EquazioneRetta ax + by + c = 0 ∨ y = mx + qCirconferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0

Ellisse x2

a2 + y2

b2= 1

Iperbole x2

a2 − y2

b2= 1

Iperbole equilatera x2 − y2 = a2

Parabola y = ax2 + bx + c

Oggetto del piano Valori notevoliRetta m = −a

b q = −cb

Circonferenza C =(−a

2 ,− b2

)e r =

√a2

4 + b2

4 − c

Ellisse C = (0, 0), F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = a2 − b2

Iperbole C = (0, 0), F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = a2 + b2, asintoti y = ± bax

Iperbole equilatera C = (0, 0), F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = 2a2

Parabola V =(−b

2a ,−∆4a

), F

(−b2a , 1

4a − ∆4a

), d : y = − 1

4a − ∆4a

6

0.4 Trigonometria

Radianti Gradi sin cos tan0 0 0 1 0π6 30 1

2

√3

2

√3

3π4 45

√2

2

√2

2 1π3 60

√3

212

√3

π2 90 1 0 non definita2π3 120

√3

2 −12 −√3

3π4 135

√2

2 −√

22 −1

5π6 150 1

2 −√

32 −

√3

3π 180 0 −1 07π6 210 −1

2 −√

32

√3

35π4 225 −

√2

2 −√

22 1

4π3 240 −

√3

2 −12

√3

3π2 270 −1 0 non definita5π3 300 −

√3

212 −√3

7π4 315 −

√2

2

√2

2 −111π6 330 −1

2

√3

2 −√

33

2π 360 0 1 0

Identita Relazioni tra angoli Relazioni tra angoli Funzioni iperbolichecsc α = 1

sin α cos(

π2 − α

)= sinα cos (−α) = cosα sinhα = eα−e−α

2

sec α = 1cos α sin

(π2 − α

)= cosα tan (−α) = − tanα coshα = eα+e−α

2

cotα = 1tan α tan

(π2 − α

)= cotα cot (−α) = − cotα tanhα = sinh α

cosh α

tanα = sin αcos α cot

(π2 − α

)= tanα sec (−α) = sec α cothα = cosh α

sinh αcotα = cos α

sin α sin (−α) = − sinα csc (−α) = − cscα

Relazioni di Pitagora Formule di duplicazione Formule di bisezionecos2(α) + sin2(α) = 1 sin (2α) = 2 sinα cosα cos2

(α2

)= 1+cos α

2

cosh2(α)− sinh2(α) = 1 cos (2α) = cos2(α)− sin2(α) sin2(

α2

)= 1−cos α

21 + tan2(α) = sec2(α) tan (2α) = 2 tan α

1−tan2(α)tan2

(α2

)= 1−cos α

1+cos α

1 + cot2(α) = csc2(α)

7

Formule di addizione Formule di Wernersin (α± β) = sinα cosβ ± sinβ cosα sinα cosβ = 1

2 [sin (α + β) + sin (α− β)cos (α± β) = cos α cosβ ∓ sinα sinβ cosα sinβ = 1

2 [sin (α + β)− sin (α− β)tan (α± β) = tan α±tan β

1∓tan α tan β cosα cosβ = 12 [cos (α + β) + cos (α− β)

sinα cosβ = 12 [cos (α− β)− cos (α + β)

Formule di prostaferesi Formule di Eulerosinα + sin β = 2 sin

(12(α + β)

)cos

(12(α− β)

)eiα = cosα + i sinα

sinα − sinβ = 2 cos(

12(α + β)

)sin

(12(α− β)

)e−iα = cosα− i sinα

cosα + cosβ = 2 cos(

12(α + β)

)cos

(12(α− β)

)cosα = eiα+e−iα

2

cosα − cosβ = 2 sin(

12(α + β)

)sin

(12(α− β)

)sinα = eiα−e−iα

2i

Teorema sei seni Teorema del cosenosin α

a = sin βb = sin γ

c c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Formule di triplicazione Area di un triangolo qualunquesin 3α = 3 sinα − 4 sin3 α S = 1

2ab sin γcos 3α = 4 cos3 α− 3 cos α S = 1

2bc sinα

tan 3α = 3 tan α−tan3 α1−3 tan2 α

S = 12ac sinβ

(In un triangolo qualunque si indichi i lati a, b, c, gli angoli angoli opposti rispet-tivamente α, β, γ)

8

0.5 Analisi matematica

f f ′

k 0xn nxn−1

|x| |x|x

log x 1x

ex ex

sinx cosxcosx − sinxax ax log atanx 1

cos2 x= 1 + tan2 x

cotx − 1sin2 x

sinhx coshxcoshx sinhxtanhx 1

cosh2 x

cothx − 1sinh2 x

arcsinx 1√1−x2

arccosx − 1√1−x2

arctanx 11+x2

log | sinx| − cotxlog | cosx| tanx

Regole di derivazione

D(λf(x)± µg(x)) = λDf(x)± µDg(x)

D(f(x)g(x)) = [Df(x)] g(x) + [Dg(x)] f(x)

D

(f(x)g(x)

)=

[Df(x)] g(x)− [Dg(x)] f(x)g(x)2

D(f(x) g(x)) = D(f(g(x))) = Df(g(x))Dg(x)

Def(x) = ef(x)Df(x)

D log |f(x)| = Df(x)f(x)

Df(x)g(x) = f(x)g(x)

Dg(x) log f(x) +

g(x)Df(x)f(x)

9

f∫

fdx

k kx + c

xn xn+1

n+1 + c

|x| x|x|2 + c

log x log |x|+ cex ex + csinx − cosx + ccosx sinx + c

ax ax

log a + c1

cos2 xtanx + c

1sin2 x

− cotx + c

sinhx coshx + ccoshx sinhx + c

1√1−x2

arcsinx + c

− 1√1−x2

arccosx + c1

1+x2 arctanx + c1

cosh2 xtanhx + c

1√1+x2

log (x +√

x2 + 1) + c1√

x2−1log (x +

√x2 − 1) + c

11−x2

12 log x+1

1−x + c x ∈ (−1, 1)1

1−x212 log x+1

x−1 + c x > 1 ∨ x < −1

f Sviluppoex 1 + x + x2

2! + ... + xn

n! + o(xn)sinx x− x3

3! + x5

5! + ... + (−1)n x2n+1

(2n+1)! + o(x2n+1)

cosx 1− x2

2 + x4

4! + ... + (−1)n x2n

(2n)! + o(x2n)

sinhx x + x3

3! + x5

5! + ... + x2n+1

(2n+1)! + o(x2n+1)

coshx 1 + x2

2 + x4

4! + ... + x2n

(2n)! + o(x2n)

log (x + 1) x− x2

2 + x3

3 + ... + (−1)n xn+1

n+1 + o(xn+1)

(1 + x)α 1 + αx + α(α−1)2 x2 + ... + α(α−1)(α−2)....(α−n+1)

n! xn + o(xn)1

1+x 1− x + x2 − x3 + x4 − x5 + ... + (−1)nxn + o(xn)arctanx x− x3

3 + · · ·+ (−1)n x2n+1

2n+1 + o(x2n+1)

Formula di Taylor

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n

10

Operazioni in R = R ∪ ±∞+∞ + ∞ = +∞ −∞−∞ = −∞(+∞) · (+∞) = +∞ (−∞) · (−∞) = +∞(+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞ x +∞ = +∞+ x = +∞ con x ∈ R

x+∞ = 0 x

−∞ = 0 se x > 0 ho x · (+∞) = +∞ e x · (−∞) = −∞per ogni x ∈ R, x > 0 ho x

0 = +∞ per ogni x < 0 ho x0 = −∞

Forme indeterminate+∞∞ −∞

∞+∞ − ∞ 0 · (+∞)00 ∞0

1±∞ 00

log0(0) log∞(0)log1(1) log∞(∞)

Limiti fondamentalilimx→0

sin xx = 1 limx→0

tan xx = 1

limx→01−cos x

x2 = 12 limx→+∞

[1 + 1

x

]x = e

limx→0 [1 + x]1x = e limx→0

loge (1+x)x = 1

limx→0ax−1

x = loge a limx→0arcsin x

x = 1limx→0

arctan xx = 1 limx→0

1−cos xx = 0

limx→+∞ x√

x = 1 limx→+∞logα x

xβ = 0 con β > 0, α > 0, α 6= 1limx→+∞ xβ

ax = 0 se a > 1 e β ∈ R limx→+∞ x!xx = 0

Sostituzione per integrali trigonometrici

t = tanx

2cosx =

1− t2

1 + t2sinx =

2t

1 + t2

x = 2arctan t dx =2

1 + t2dt

Formula di integrazione per parti∫

fDgdx = fg −∫

Dfgdx

Regole di derivazione per vettori

Dt(~x(t)) =n∑

i=1

Dtxi(t)~ei

Dt(~x(t) · ~y(t)) = [Dt~x(t)] · ~y(t) + [Dt~y(t)] · ~x(t)

11

Dt (f(t)~x(t)) = [Dtf(t)] ~x(t) + [Dt~x(t)] f(t)

Dt(~x(t) + ~y(t)) = Dt~x(t) + Dt~y(t)

Dt(~x(t) ∧ ~y(t)) = [Dt~x(t)] ∧ ~y(t) + [Dt~y(t)] ∧ ~x(t)

Dt~x(u(t)) = Du~x(u(t))Dtu(t)

coordinate Jacobiano

polari:

x = ρ cos θy = ρ sin θ

ρ

cilindriche:

x = ρ cos θy = ρ sin θ

z = zρ

sferiche:

x = ρ sinϕ cos θy = ρ sinϕ sin θ

z = ρ cosϕρ2 sinϕ

Operatori vettoriali in R3

Gradiente grad(f) = ∇f = ∂f∂x

~i + ∂f∂y

~j + ∂f∂z

~j

Divergenza div(~F ) = ∇ · ~F = ∂Fx∂x + ∂Fy

∂y + ∂Fz∂z

Laplaciano ∆f = ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2 + ∂2f∂z2

Rotore ∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂x ∂y ∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣.

Operatori vettoriali in coordinate cilindriche

Gradiente grad(f) = ∇f = ∂f∂ρ~eρ + 1

ρ∂f∂θ~eθ + ∂f

∂z~ez

Divergenza div(~F ) = ∇ · ~F = 1ρ

∂(ρFρ)∂ρ + 1

ρ∂Fθ∂θ + ∂Fz

∂z

Laplaciano ∆f = 1ρ

∂∂ρ

(ρ∂f

∂ρ

)+ 1

ρ2∂2f∂θ2 + ∂2f

∂z2

Rotore ∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣

~eρ ρ~eθ ~ez

∂ρ ∂θ ∂z

Fρ ρFθ Fz

∣∣∣∣∣∣.

Operatori vettoriali in coordinate sferiche

Gradiente grad(f) = ∇f = ∂f∂ρ~eρ + 1

ρ sin ϕ∂f∂θ~eθ + 1

ρ∂f∂ϕ~eϕ

12

Divergenza div(~F ) = ∇ · ~F = ∂Fρ

∂ρ + 2ρFρ + 1

ρ

[1

sin ϕ∂Fθ∂θ + ∂Fϕ

∂ϕ + cotϕFϕ

]

Laplaciano ∆f = ∂2f∂ρ2 + 2

ρ∂f∂ρ + 1

ρ2

[1

(sin ϕ)2∂2f∂θ2 + ∂2f

∂ϕ2 + cot ϕ ∂f∂ϕ

]

Rotore ∇× ~F = 1ρ2 sin ϕ

∣∣∣∣∣∣

~eρ ρ~eϕ ~eθ

∂ρ ∂ϕ ∂θ

Fρ ρFϕ ρ sinϕFθ

∣∣∣∣∣∣.

Formule di Gauss in Rn

Ω dominio limitato, con frontiera regolare ∂Ω e normale esterna ~ν. ~u,~v campi vetto-riali regolari fino alla frontiera di Ω. ϕ, ψ campi scalari regolari fino alla frontiera diΩ. dσ elemento di superficie su ∂Ω.

Ω∇ · ~udx =

∂Ω~u · ~νdσ

Ω∇ϕdx =

∂Ωϕ~νdσ

Ω∆ϕdx =

∂Ω∇ϕ · ~νdσ =

∂Ω∂~νϕdσ

Integrazione per parti :

Ωψ∇ · ~Fdx =

∂Ωψ ~F · ~νdσ −

Ω∇ψ · ~Fdσ

Prima identita di Green:

Ωψ∆ϕdx =

∂Ωψ∂~νϕdσ −

Ω∇ϕ · ∇ψdx

Seconda identita di Green:

Ωψ∆ϕ− ϕ∆ψdx =

∂Ωψ∂~νϕ− ϕ∂~νψdσ

Formule di Stokes in R3

Sia S una superficie regolare, il cui bordo e una linea regolare C, ~ν il versore normalead S, ~t versore tangente a C, tali che C sia orientata positivamente rispetto a S, dsl’elemento di lunghezza su C e dσ l’elemento di superficie su S. Vale:

13

S∇× ~u · ~νdσ =

C~u · ~tds

Identita∇ · (∇× ~u) = 0∇×∇ϕ = ~0∇ · (ϕ~u) = ϕ∇ · ~u +∇ϕ · ~u∇× (ϕ~u) = ϕ∇× ~u +∇ϕ× ~u∇× (~u× ~v) = (~v · ∇)~u− (~u∇)~v + (∇ · ~v)~u− (∇ · ~u)~v∇ · (~u× ~v) = (∇× ~u) · ~v − (∇× ~v) · ~u∇(~u · ~v) = ~u× (∇× ~v) + ~v × (∇× ~u) + (~u · ∇)~v + (~v∇)~u(~u · ∇)~u = (∇× ~u)× ~u + 1

2∇|~u|2∇×∇× ~u = ∇(∇ · ~u)−∆~u

Equazione del piano tangente in R3 alla superficie z = f(x, y) in (x0, y0)

z = f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

Equazione differenziale Formula

y′(t) − a(t)y(t) = b(t) y(t) = e∫

a(t)dt∫

b(t)e−∫

a(t)dtdt + c

ax′′(t) + bx′(t) + cx(t) = 0 λ1 6= λ2, x(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t

polinomio caratteristico: (aλ2 + bλ + c = 0) λ1 = λ2, x(t) = (c1 + c2t)eλ1t

λ1,2 = α± iβ, x(t) = eαt[c1 sinβt + c2 cosβt]ax′′(t) + bx′(t) + cx(t) = f(t) metodo di variazione delle costanti

Serie Convergenza∑+∞n=0

1nα se α > 1 converge altrimenti diverge∑+∞

n=0 xn se |x| < 1 converge a 11−x∑+∞

n=0 an se limn→+∞an+1

an= l < 1 allora converge, se > 1 diverge, se = 1 caso dubbio∑+∞

n=0 an se limn→+∞ n√

an = l < 1 allora converge, se > 1 diverge, se = 1 caso dubbio

Formule per le serie∑Nn=0 xn = xN+1−1

x−1 se |x| < 1∑Nn=1 n = N(N+1)

2∑Nn=0 n2n = (N − 1)2n+1 + 2

14

Variabile casuale DistribuzioneBernoulli X(θ) PX(k) = θk(1− θ)1−k

Binomiale Yn(θ) PYn(k) =(

nk

)θk(1− θ)n−k

Poisson X(λ) PX(k) = λk

k! e−λ

Geometrica X(θ) PX(k) = θ(1− θ)k−1

Ipergeometrica X, r campione, PX(k) =

m

k

n−m

r − k

n

r

n totale popolazione e m parte di popolazione

Variabile casuale continua Densita

Uniforme X fX(x) =

1b−a a < x < b

0 altrimenti

Normale X(µ, σ2) fX(x) = 1√2πσ2

e−(x−µ)2

2σ2

Esponenziale X(θ) fX(x) =

1θe−

xθ x > 0

0 altrimenti

Gamma X(α, β) fX(x) =

1

βαΓ(α)xα−1e

− xβ x > 0

0 altrimenti

sistemi lineari a coefficienti variabili~y′(x) = A(x)~y(x) ~y(x) = W (x)~c con w(x) = detW (x)~y′(x) = A(x)~y(x) + ~f(x) sol. omogenea +W (x)

∫ xx W−1(t)f(t)dt

y(n)(x) = a1(x)y(n−1)(x) + · · ·+ an(x)y(x) + f(x) pongo ~y = (y, y′, · · · , y(n−1)),

A =

0 1 · · · 0 00 0 1 0...

......

......

an(x) · · · · · · · · · a1(x)

~f(x) =

0......

f(x)

Proprieta di W

1)W ′(x) = A(x)W (x).2)Condizione necessaria e sufficiente affinche y1, · · · , yn sia un sistema fondamentaledi soluzioni e che w(x) 6= 0 in un punto x0 di I.3)Sia x ∈ I, il valore del wronskiano w(x) e dato per ogni x da

w(x) = w(x)e∫ x

x tr(A)(t)dt

equazioni (ordine n) y(n)(x) = a1(x)y(n−1)(x) + · · ·+ an(x)y(x) + f(x)

15

Sef(x) = 0 utilizzo il risultato:n soluz. sono l.i. se e solo se W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣

z1(x) · · · zn(x)...

......

z(n−1)1 (x) · · · z

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣6=

0 in un punto x0 ∈ I. Quindi y(x) = c1z1(x)+ · · ·+ cnzn(x). Nel caso delle equazionilineari di ordine n il wronskiano e dato dalla formula

w(x) = w(x)e∫ x

x a1(t)dt.

Se f(x) 6= 0 allora l’integrale generale e dato dall’integrale dell’ eq. omogenea+u(x) =

∫ xx

w1n(x,t)w(t) f(t)dt con

w1n(x, t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1(t) · · · · · · zn(t)...

......

...z(n−2)1 · · · · · · z

(n−2)n (t)

z1(x) · · · · · · zn(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

sistemi lineari a coefficienti costanti~y′(t) = A(x)~y(t) ~x(t) = eAt~x0

~y′(x) = A(x)~y(x) + ~f(x) sol. omogenea +∫ t0 eA(t−s)f(s)ds

calcolo eAt

Autovalori regolari eAt = Sdiag[eλjt]S−1

Autovalori regolari (R,C) eAt = Sdiag

[eλjt, eajt

(cos bjt − sin bjtsin bjt cos bjt

)]S−1

Autovalori multipli eAt = Sdiag

[eλjt, eajt

(cos bjt − sin bjtsin bjt cos bjt

)]S−1·

·(In + Nt + · · ·+ Nk−1tk−1

(k−1)!

)

S e la matrice degli autovettori corrispondenti agli autovalori, N e nilpotente conordine ≤ n ed e legata alla relazione A = P + N con P = Sdiag[λj ]S−1. Per laricerca di autovettori generalizzati si procede con l’algoritmo:

(A− λIn)~u1 = ~u, (A− λIn)~u2 = ~u1, · · · .

Teorema

Sia ~x = A~x un sistema lineare con A matrice quadrata di ordine n. Se A non esingolare ~x = ~0 e l’unico punto di equilibrio. Siano λ1, · · · , λn gli autovalori di A,ciascuno contato in accordo alla propria molteplicita, allora1)~0 e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori hanno parte reale nega-tiva. La stabilita e globale in Rn.2)~0 e stabile (non asintoticamente) se e solo se tutti gli autovalori hanno parte reale≤ 0 e gli autovalori con parte reale nulla sono regolari.

16

3)~0 instabile per tutti gli altri casi.

Stabilita in (0, 0)x = ax + byy = cx + dy

Traiettorie dydx = cx+dy

ax+by

Equazione caratteristica λ2 − (tr(A))λ + det A = 0per gli autovalori ∆ > 0, soluzioni con stesso segno: nodo a due tangenti,

stabile se negativi, instabile se positivi.Soluzioni con segno opposto: colle.

∆ = 0, se esistono due autovettori l.i.l’origine e un nodo a stella altrimenti

un nodo a tangenti.∆ < 0, soluzioni immaginarie pure: e un centro, stabile.

Altrimenti e un fuoco .

Serie di Fourierf(t) = a0

2 +∑+∞

n=1 an cosnω0t + bn sinnω0t ω0 = 2πT , T = 2I, a0 = 1

I

∫ I−I f(t)dt

an = 1I

∫ I−I f(t) cos nω0tdt bn = 1

I

∫ I−I f(t) sin nω0tdt

f pari bn = 0 e an = 1I

∫ I0 f(t) cos nω0tdt

f dispari an = 0 e bn = 1I

∫ I0 f(t) sinnω0tdt

in forma esponenziale f(t) =∑+∞

n=−∞ cneinωt

cn = 1I

∫ I−I f(t)e−inωtdt

17

Trasformata di Fourier AntitrasformataF [f ;ω] = F [f ] =

∫ +∞−∞ f(t)e−iωtdt F−1F [f ; ω] = f(t) = 1

∫ +∞−∞ eiωξF(ω)dω

Trasformata di Laplace AntitrasformataL[f, p] = L[f ] =

∫ +∞0 e−ptf(t)dt L−1L[f, p]f(t) = 1

2πi

∫ k+i∞k−i∞ eptL[f ]dp

f Trasformata di Fourierf(t − a) e−iωaF [f ](ω)eiω0tf(t) F [f ](ω − ω0)tf(t) i d

dωF [f ](ω)f ′(t) iωF [f ](ω)

11+t2

πe−|ω|1

a2+t2πae−a|ω|

e−|t| 21+ω2

e−t2 √πe−

ω2

4

e−at2√

πae−

ω2

4a

χ[−a,a](t) 2 sin aωω

f ∗ g(t) F [f ](ω) · F [g](ω)f(t)g(t) 1

2πF [f ](ω) ∗ F [g](ω)

Spazi funzionaliLp(A) = Lp(A)

≈con Lp =

f : A → C|f misurabile

∫A |f |pdµ < +∞

e f ≈ g ⇔ µ (x ∈ A|f(x) 6= g(x)) = 0 ⇔ f = g q.o..L1

loc(A) =f : A → C|∀K ⊂ A K compatto

∫K |f |dµ < +∞

E(Ω) = C∞(Ω) con ω ⊆ Rn.D(Ω) = f : Ω → C|f ∈ C∞ e il supporto e compatto = C∞0 .S(Rn) = f ∈ C∞(Rn)|∀α, β ∈ (Z+)n supx∈Rn |xβ∂αf(x)| < +∞D′(Ω) = u ∈ (D(Ω))∗ : ∀ϕjj∈N ⊂ D(Ω) t.c. ϕj → 0 ⇒ u(ϕj) → 0S′(Rn) = u : S(Rn) → C| lineare e continua.

Convoluzione f, g : Rn → Cf ∗ g =

∫Rn f(x− y)g(y)dy Lp(Rn) con ∗ e commutativo, associativo e distributivo

18

Trasformata di Fourier in Rn f ∈ L1(Rn)[F(f)] (ξ) = f =

∫e−ixξf(x)dx f(x) = 1

(2π)n

∫eixξ f(ξ)dξ.

Trasformata di Fourier in L2(Rn) f ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn)fk ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn), fk → f

Proprieta f, g ∈ L2

Dαf = (iξ)αf f, g ∈ L1, (f ∗ g) = (2π)n2 f g∫

Rn fgdx =∫Rn f gdx

ConvergenzaPuntuale di funzioni ∀x ∈ I∃ limn→+∞ fn(x)Uniforme di funzioni(1) ∀ε > 0∃N = N(ε) : n > N ⇒ |fn − f(x)| < ε,∀x ∈ IUniforme di funzioni(2) limn→+∞ supx∈I |fn(x)− f(x)| = 0Puntuale di serie ∀x ∈ I∃ limn→+∞

∑nn=0 fn(x)

Uniforme di serie limm→+∞ supx∈I |∑m

n=0 fn(x)− f(x)| = 0

Integrali definiti notevoli∫ +∞−∞ e−

x2

2 dx =√

2π∫ +∞0 e−x2

dx =√

π2∫ +∞

0x

ex−1dx = π2

6

∫ +∞0

sin xx dx = π

2∫ +∞−∞

sin xx dx = π

∫ π2

0 ln cos xdx = −π2 ln 2∫ +∞

0 xz−1e−xdx = Γ(z) funzione gamma

Equazioni differenziali alle derivate parzialiLaplace ∆u = 0Calore ut −∆u = 0Onde utt −∆u = 0Schrodinger iut + ∆u = 0Trasporto ut +

∑ni=1 biuxi = 0

19

Formula di Cauchy I(γ, a)f(a) = 12πi

∫γ

f(z)z−adz

Formula di Cauchy per le derivate fn(a) = n!2πi

∫γ

f(z)(z−a)n+1 dz

Condizioni di Cauchy Riemann ∂f∂x + i∂f

∂y = 0Serie di Laurent f(z) =

∑+∞n=−∞ cn(z − z0)n

cn = 12πi

∫γ

f(z)(z−z0)n+1 dz

Residuo di f Res(f) = c−1 = 12πi

∫γ f(z)dz

Residuo all’infinito −c−1

Residuo per un polo di ordine 1 Res(z0) = limz→z0(z − z0)f(z)

Residuo per un polo di ordine n Res(z0) = 1(n−1)! limz→z0

ddz

n−1[(z − z0)f(z)]

Se f(z) = P (z)Q(z) Res(f, z0) = P (z0)

Q′(z0)

Teorema dei residui∫γ f(z)dz = 2πi

∑ni=1Res(f, zi)

n numero punti singolari in γ

DisuguaglianzeCauchy ab ≤ a2

2 + b2

2 a, b ∈ RYoung ab ≤ ap

p + bq

q a, b ∈ R con 1p + 1

q = 1.Cauchy-Schwarz |~x · ~y| ≤ |~x||~y| ~x, ~y ∈ Rn

Holder se 1 ≤ p, q ≤ ∞ 1p + 1

q = 1, u ∈ LP , v ∈ Lq ⇒ ∫U |uv|dx ≤‖ u ‖p‖ v ‖q

Minkowski 1 ≤ p ≤ ∞, u, v ∈ Lp(U) ⇒‖ u + v ‖p≤‖ u ‖p + ‖ v ‖p

Teorema di esistenza (di Peano)

Se f e continua in un aperto D ⊆ R2 e (t0, y0) ∈ D, allora esiste almeno unasoluzione al problema

y′ = f(t, y)y(t0) = y0

Teorema di esistenza e unicita locale

Se f e continua in un aperto D ⊆ R2, insieme a fy, allora per ogni punto (t0, y0) ∈D esiste un intorno I di t0, in cui e definita la soluzione di

y′ = f(t, y)y(t0) = y0

Teorema di esistenza e unicita locale in Rn

Se ~f e continua in un aperto D ⊆ Rn+1, insieme a ∂ ~f∂yi

con i = 1, · · · , n, allora lasoluzione (locale) di

~y′ = ~f(t, ~y)~y(t0) = ~y0

20

e unica.

Teorema di esistenza e unicita globale

Siano S = (a, b) × R ed f definita in S = [a, b] × R soddisfacente il teorema diesistenza e unicita locale in S. Se

1. ∃h, k tali che |f(t, y)| ≤ h + k|y| ∀(t, y) ∈ S.

2. f e limitata in S,

3. fy e limitata in S e f(t, 0) e limitata in [a, b].

Allora y′ = f(t, y) ha soluzione definita su tutto [a, b] cioe su R.

Teorema di esistenza e unicita globale in Rn

Siano S = (a, b) × Rn ed ~f definita in S soddisfacente il teorema di esistenza eunicita locale in S. Se

1. ∃h, k tali che ‖ ~f(t, ~y) ‖≤ h + k ‖ y ‖ ∀(t, ~y) ∈ S.

2. ~f e limitata in S, ∃M > 0 t.c. ‖ ~f(t, ~y) ‖≤ M ∀(t, ~y) ∈ S,

3. Tutte le ∂ ~f∂yi

sono limitate in S ed ~f(t,~0) e limitata in [a, b].

Allora per ogni (t0, y0) ∈ S la soluzione di

~y′ = ~f(t, ~y)~y(t0) = ~y0

esiste in tutto [a, b].

Teorema (prolungamento)

Se f(t, y) e continua con derivata parziale fy continua in un aperto D e se R e unqualunque rettangolo chiuso contenuto in D e che contiene il punto (t0, y0) allora lasoluzione del problema di Cauchy

y′ = f(t, y)y(t0) = y0

fornita dal teorema di esistenza ed unicita puo essere estesa ad un certo intervallochiuso [t1, t2] in modo che i punti (t1, y(t1)), (t2, y(t2)) appartengano alla frontiera delrettangolo R.

Approssimazioni successive

Nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicita, la successione definita per ricor-renza da

21

y0(t) = y0

yn+1 = y0 +∫ tt0

f(s, yn(s))ds(0.5.1)

converge uniformemente alla soluzione del problema di Cauchy, in ogni intervallochiuso e limitato contenuto nel dominio della soluzione stessa.

Teorema di Ascoli Arzela

Sia K un insieme compatto di Rn, sia C(K) l’insieme delle funzioni continue suK a valori complessi (o reali) con ‖ f ‖C(K)= supx∈K |f(x)|, un sottoinsieme Γ diC(K) e relativamente compatto in C(K) se e solo se

1. le funzioni di Γ sono uniformemente limitate.

2. Le funzioni di Γ sono uniformemente equicontinue.

Osservazione 1. Una famiglia F di funzioni e detta equicontinua su un compattoK se ∀ε > 0∀x ∈ K∃V (x)∀y ∈ V (x)∀f ∈ F :‖ f(y)− f(x) ‖≤ ε.

Proposizione (convoluzione)

1. Sia f ∈ Ck0 (Rn), g ∈ L1

loc(Rn) allora f ∗ g ∈ Ck(Rn) e ∀α ∈ Zn+, |α| ≤ k si ha

∂α(f ∗ g) = (∂αf) ∗ g.

2. Se f ∈ Cr(Rn), g ∈ Cs(Rn) ⇒ f ∗ g ∈ Cr+s(Rn) in particolare ∀α, β ∈ Z+ con|α| ≤ r, |β| ≤ s si ha ∂α+β(f ∗ g) = (∂αf) ∗ (∂βg).

Funzione di Liapunov

Sia V : D ⊆ R2 → R, V ∈ C1(D). Se esiste un intorno U di (0, 0) tale che

1. V (x, y) ≥ 0 in U e V (x, y) = 0 solo se (x, y) = (0, 0).

2. V (x, y) = Vx(x, y)f(x, y) + Vy(x, y)g(x, y) ≤ 0 in U .

allora V si dice funzione di Liapunov per il sistema

x = f(x, y)y = g(x, y)

(0.5.2)

Teorema

Sia (0, 0) un punto di equilibrio per il sistema

x = f(x, y)y = g(x, y)

(0.5.3)

se esiste una funzione di Liapunov, allora (0, 0) e stabile. Se, inoltre, V ≤ 0 per(x, y) 6= (0, 0), allora (0, 0) e asintoticamente stabile.

22

Curva β(s), (param. mediante ascissa curvilinea)Campo tangente T (s) = β′(s)Campo normale N(s) = T ′(s)

‖T ′(s)‖ = 1k(s)T

′(s).Campo binormale B(s) = T (s)×N(s)Torsione τ(s) = −B′(s) ·N(s)

Superficie ϕ(u, v)Coefficienti della prima forma E = ϕu · ϕu, F = ϕu · ϕv, G = ϕv · ϕv

Campo normale N(s) = ϕu×ϕv

‖ϕu×ϕv‖ .Coefficienti seconda forma l = N · ϕuu,m = N · ϕuv, n = N · ϕvv

a11 = Gl−FmEG−F 2 , a12 = Em−Fl

EG−F 2 , a21 = Gm−FnEG−F 2 , a22 = En−Fm

EG−F 2

Curvatura Gaussiana e media K = ln−m2

EG−F 2 ,H = En−2Fm+GlEG−F 2

23