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Formulario matematico - webalice.it · Iperbole x2 a2 ¡ y2 b2 = 1 Iperbole equilatera x2 ¡y2 = a2 Parabola y = ax2 +bx+c Oggetto del piano Valori notevoli Retta m = ¡a b q = ¡c

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Formulario matematico

di Simone Camosso

1

Formulario matematico (di Simone Camosso)

0.1 Costanti matematiche

costante valore approssimatoe 2.7182818285 3.1415926536 log10(2) 0.3010299957 log10(e) 0.4342944819 loge(2) 0.6931471806 loge() 0.1.1447298858 loge(10) 2.3025850930

2 1.4142135624 e 1.6487212707 3 1.7320508076 1.7724538509 5 2.2360679775 10 3.1622776602

1 0.0174532925 radianti1 radiante 571744.806

0.2 Algebra

Regola dei segni

+ + + +

Operazioni con le frazioni

x

y zw

=x zy w

x

y z

w=

w x y zy w

x

y:

t

w=

xytw

=x

y w

t

(x

y

) zt

=x

zt

yzt

condizioni di esistenzax x 0

log x x > 01

P (x) P (x) polinomio P (x) 6= 0arcsinx 1 x 1arccosx 1 x 1

Potenzea0 = 1

(a)n ={

an n pari(an) n dispari

10 = 1

Definizione di modulo

|x| ={

x x 0x x < 0

Proprieta valore assoluto|x + y| |x| + |y| |x y| ||x| |y|| |x| y y x yxy

= |x||y| |x y| = |x| |y| |x| = 0 se x = 0

Potenze Logaritmi Radicaliam an = an+m loga(a) = 1 n

xm = ( n

x)m = x

mn

am

an = amn logb(a) =

1loga(b)

n

m

x = nm

x

(am)n = amn logb(x y) = logb(x) + logb(y) n

xy =

nxn

y

(a b)n = an bn logb(

xy

)= logb(x) logb(y)

xy =

x+

x2+y2

x

x2+y2(

ab

)n = anbn logb (xy) = y logb(x) n

x y = nx ny

Teoremi sui logaritmiloga(b) = logan (bn), loga(b) =

logc(b)logc(a)

, loga(

n

b)

= 1n loga(b), log x2 = 2 log |x|.

Prodotti notevoli Prodotti notevoli(x + y)2 = x2 + 2x y + y2 (x + y + z) (x + y z) = x2 + y2 z2 + 2x y(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x y + 2x z + 2y z(x y)2 = x2 2x y + y2 (x + y) (x2 x y + y2) = x3 + y3(x y)3 = x3 3x2 y + 3x y2 y3 (x y) (x2 + x y + y2) = x3 y3(x + y) (x y) = x2 y2 (x + y + z) (x y z) = x2 (y + z)2

2

Formula del binomio di Newton

(x + y)n =n

k=0

(nk

)xnkyk

Formula risolutiva per equazioni di secondo grado ax2 + bx + c = 0

x1,2 =bb2 4ac

2aDeterminante di una matrice (2, 2)

det A =

x yz w

= x w y z

Determinante di una generica matrice A = (aij)

det A =n

j=1

(1)i+jaij det Aij

con Aij minore dellelemento aij .Inversa di una matrice ASe il determinante di A non e nullo allora esiste la matrice inversa e indicando

con ij = (1)i+j det Aij il cofattore dellelemento aij si ha che

A1 =1

det A(ji)

Teorema di Binet

detA B = det A det B

Disposizioni Formulacon ripetizione Rn,k = nk

Disposizioni semplici Dn,k = n (n 1) (n k + 1)Permutazioni Dn,n = n!

Combinazioni Cn,k =Dn,k

k! =n!

k!(nk)! =(

nk

)

proprieta di i =1

i2 = 1 i4k = 1 i4k+1 = ii4k+2 = 1 i4k+3 = i x = ix

z complessoz = a + i b,a, b R z = (cos + i sin ) e = a2 + b2, = arctan ( ba

)z = ei

3

0.3 Geometria

Formula per la distanza tra due punti P1(x1, y1), P2(x2, y2)

d(P1, P2) =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2Similitudine

La similitudine e una particolare trasformazione geometrica, contenuta nel piano onello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. Questo vuol dire che, per ognisimilitudine f , esiste un numero reale positivo k tale che

d(f(A), f(B)) = kd(A,B)

per ogni coppia di punti (A,B).

Criteri di congruenza per triangoli1)Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e langolo compresotra essi equivalente.2)Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e i due angoli a essoadiacenti (ALA).3)Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamentecongruenti (LLL).Criteri di similitudine per triangoli1)Se un triangolo ha gli angoli congruenti agli angoli di un altro triangolo,allora i lati di del primo sono in proporzione con i lati del secondo.2)Se un triangolo ha un angolo congruente ad un angolo di un secondo triangoloe i due lati di questo triangolo proporzionali ai lati corrispondenti del secondo triangolo,allora i triangoli sono simili.3)Se un triangolo ha i lati in proporzione con i lati di un secondo triangolo, allora itriangoli sono simili.

Oggetto SuperficieParallelogramma S = b hTriangolo S = bh2Cerchio S = r2Trapezio S = (a+b)h2Parallelepipedo rettangolare S = 2(a b + b c + a c)Sfera S = 4 r2Cilindro retto S = 2 r (r + h)Cono retto S = r (r +h2 + r2)Piramide retta S = Sbase +

ap2

Tronco di Cono S = a (r + r) + r2 + r2

4

Oggetto VolumeParallelepipedo rettangolare V = a b cSfera V = 43 r3Cilindro retto V = r2 hCono retto S = 13 r2 hPiramide retta V = 13 Sbase hTronco di Cono V = 13 h (r2 + r2 + r r)

Formula di Erone per larea di un triangolo con semiperimetro p

S =

p (p a) (p b) (p c)Teorema di Euclide per un triangolo rettangolo con cateti a, b, ipotenusa c e al-

tezza h

Afferma che laltezza del triangolo e media proporzionale alle proiezioni dei due catetisullipotenusa. Cioe indicando con n e m le proiezioni dei cateti sullipotenusa si ha

m : h = h : n

Teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c

c2 = a2 + b2

Formula di Eulero

Dato un poliedro convesso con f facce, v vertici e a spigoli si ha

f + v a = 2Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolor = Sp r =

abc4S =

abc4

p(pa)(pb)(pc)Area di un triangolo di vertici P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3)

A = 12

x3 x1 y3 y1x2 x1 y2 y1

Formula di Brahmagupta per larea di un quadrilatero convesso di lati a, b, c, d e

semiperimetro p

A =

(p a)(p b)(p c)(p d)Definizione di modulo per un vettore ~x = (x1, , xn)

|~x| =

n

i=1

x2i

5

Prodotto scalare~x ~y = |~x| |~y| cos ~x ~y = 0 se x, y perpendicolari|~x| =

~x ~x (a~x + b~y) ~z = a~x ~z + b~y ~z

~x ~y = ~y ~x~x ~x 0

Prodotto vettoriale|~x ~y| = |~x| |~y| | sin | ~x ~y = ~0 per x, y paralleli

|~x ~y|2 = |~x|2 |~y|2 (~x ~y)2 ~x ~y = det

~i ~j ~kx1 x2 x3y1 y2 y3

~x ~y = ~y ~x ~x (~y ~z) = (~x ~y)~y (~x ~y)~z~x (a~y + b~z) = a~x ~y + b~x ~z ~x (~y ~z) + ~y (~z ~x) + ~z (~x ~y) = ~0

Oggetto del piano EquazioneRetta ax + by + c = 0 y = mx + qCirconferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0

Ellisse x2

a2+ y

2

b2= 1

Iperbole x2

a2 y2

b2= 1

Iperbole equilatera x2 y2 = a2Parabola y = ax2 + bx + c

Oggetto del piano Valori notevoliRetta m = ab q =

cb

Circonferenza C =(a2 , b2

)e r =

a2

4 +b2

4 cEllisse C = (0, 0), F1 = (c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = a2 b2Iperbole C = (0, 0), F1 = (c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = a2 + b2, asintoti y = baxIperbole equilatera C = (0, 0), F1 = (c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = 2a2Parabola V =

(b2a ,4a

), F

(b2a ,

14a 4a

), d : y = 14a 4a

6

0.4 Trigonometria

Radianti Gradi sin cos tan0 0 0 1 06 30

12

3

2

3

34 45

2

2

2

2 13 60

3

212

3

2 90 1 0 non definita23 120

3

2 12

334 135

2

2

22 1

56 150

12

3

2

33

180 0 1 076 210 12

3

2

3

354 225

2

2

22 1

43 240

3

2 12

332 270 1 0 non definita53 300

3

212

3

74 315

2

2

2

2 1116 330 12

3

2

33

2 360 0 1 0

Identita Relazioni tra angoli Relazioni tra angoli Funzioni iperbolichecsc = 1sin cos

(2

)= sin cos () = cos sinh = ee2

sec = 1cos sin(

2

)= cos tan () = tan cosh = e+e2

cot = 1tan tan(

2

)= cot cot () = cot tanh = sinh cosh

tan = sin cos cot(

2

)= tan sec () = sec coth = cosh sinh

cot = cos sin sin () = sin csc () = csc

Relazioni di Pitagora Formule di duplicazione Formule di bisezionecos2() + sin2() = 1 sin (2) = 2 sin cos cos2

(2

)= 1+cos 2

cosh2() sinh2() = 1 cos (2) = cos2() sin2() sin2 (2)

= 1cos 21 + tan2() = sec2() tan (2) = 2 tan

1tan2() tan2(

2

)= 1cos 1+cos

1 + cot2() = csc2()

7

Formule di addizione Formule di Wernersin ( ) = sin cos sin cos sin cos = 12 [sin ( + ) + sin ( )cos ( ) = cos cos sin sin cos sin = 12 [sin ( + ) sin ( )tan ( ) = tan tan 1tan tan cos cos = 12 [cos ( + ) + cos ( )

sin cos = 12 [cos ( ) cos ( + )

Formule di prostaferesi Formule di Eulerosin + sin = 2 sin

(12( + )

)cos

(12( )

)ei = cos + i sin

sin sin = 2 cos (12( + ))sin

(12( )

)ei = cos i sin

cos + cos = 2 cos(

12( + )

)cos

(12( )

)cos = e

i+ei2

cos cos = 2 sin (12( + ))sin

(12( )

)sin = e

iei2i

Teorema sei seni Teorema del cosenosin

a =sin

b =sin

c c2 = a2 + b2 2ab cos

Formule di triplicazione Area di un triangolo qualunquesin 3 = 3 sin 4 sin3 S = 12ab sin cos 3 = 4 cos3 3 cos S = 12bc sintan 3 = 3 tan tan

3 13 tan2 S =

12ac sin

(In un triangolo qualunque si indichi i lati a, b, c, gli angoli angoli opposti rispet-tivamente , , )

8

0.5 Analisi matematica

f f

k 0xn nxn1

|x| |x|xlog x 1xex ex

sinx cosxcosx sinxax ax log atanx 1

cos2 x= 1 + tan2 x

cotx 1sin2 x

sinhx coshxcoshx sinhxtanhx 1

cosh2 x

cothx 1sinh2 x

arcsinx 11x2

arccosx 11x2

arctanx 11+x2

log | sinx| cotxlog | cosx| tanx

Regole di derivazione

D(f(x) g(x)) = Df(x) Dg(x)

D(f(x)g(x)) = [Df(x)] g(x) + [Dg(x)] f(x)

D

(f(x)g(x)

)=

[Df(x)] g(x) [Dg(x)] f(x)g(x)2

D(f(x) g(x)) = D(f(g(x))) = Df(g(x))Dg(x)

Def(x) = ef(x)Df(x)

D log |f(x)| = Df(x)f(x)

Df(x)g(x) = f(x)g(x){

Dg(x) log f(x) +g(x)Df(x)

f(x)

}

9

f

fdx

k kx + cxn x

n+1

n+1 + c

|x| x|x|2 + clog x log |x|+ cex ex + csinx cosx + ccosx sinx + cax a

x

log a + c1

cos2 xtanx + c

1sin2 x

cotx + csinhx coshx + ccoshx sinhx + c

11x2 arcsinx + c

11x2 arccosx + c

11+x2

arctanx + c1

cosh2 xtanhx + c

11+x2

log (x +

x2 + 1) + c1

x21 log (x +

x2 1) + c1

1x212 log

x+11x + c x (1, 1)

11x2

12 log

x+1x1 + c x > 1 x < 1

f Sviluppoex 1 + x + x

2

2! + ... +xn

n! + o(xn)

sinx x x33! + x5

5! + ... + (1)n x2n+1

(2n+1)! + o(x2n+1)

cosx 1 x22 + x4

4! + ... + (1)n x2n

(2n)! + o(x2n)

sinhx x + x3

3! +x5

5! + ... +x2n+1

(2n+1)! + o(x2n+1)

coshx 1 + x2

2 +x4

4! + ... +x2n

(2n)! + o(x2n)

log (x + 1) x x22 + x3

3 + ... + (1)n xn+1

n+1 + o(xn+1)

(1 + x) 1 + x + (1)2 x2 + ... + (1)(2)....(n+1)n! x

n + o(xn)1

1+x 1 x + x2 x3 + x4 x5 + ... + (1)nxn + o(xn)arctanx x x33 + + (1)n x

2n+1

2n+1 + o(x2n+1)

Formula di Taylor

f(x) =

n=0

f (n)(x0)n!

(x x0)n

10

Operazioni in R = R {}+ + = + = (+) (+) = + () () = +(+) () = () (+) = x + = ++ x = + con x R

x+ = 0

x = 0 se x > 0 ho x (+) = + e x () =

per ogni x R, x > 0 ho x0 = + per ogni x < 0 ho x0 =

Forme indeterminate+ + 0 (+)00 01 00log0(0) log(0)log1(1) log()

Limiti fondamentalilimx0 sin xx = 1 limx0

tan xx = 1

limx0 1cos xx2 =12 limx+

[1 + 1x

]x = elimx0 [1 + x]

1x = e limx0

loge (1+x)x = 1

limx0 ax1x = loge a limx0

arcsin xx = 1

limx0 arctan xx = 1 limx01cos x

x = 0limx+ x

x = 1 limx+

log xx

= 0 con > 0, > 0, 6= 1limx+ x

ax = 0 se a > 1 e R limx+ x!xx = 0

Sostituzione per integrali trigonometrici

t = tanx

2cosx =

1 t21 + t2

sinx =2t

1 + t2

x = 2arctan t dx =2

1 + t2dt

Formula di integrazione per parti

fDgdx = fg

Dfgdx

Regole di derivazione per vettori

Dt(~x(t)) =n

i=1

Dtxi(t)~ei

Dt(~x(t) ~y(t)) = [Dt~x(t)] ~y(t) + [Dt~y(t)] ~x(t)

11

Dt (f(t)~x(t)) = [Dtf(t)] ~x(t) + [Dt~x(t)] f(t)

Dt(~x(t) + ~y(t)) = Dt~x(t) + Dt~y(t)

Dt(~x(t) ~y(t)) = [Dt~x(t)] ~y(t) + [Dt~y(t)] ~x(t)

Dt~x(u(t)) = Du~x(u(t))Dtu(t)

coordinate Jacobiano

polari:{

x = cos y = sin

cilindriche:

x = cos y = sin

z = z

sferiche:

x = sin cos y = sin sin

z = cos2 sin

Operatori vettoriali in R3

Gradiente grad(f) = f = fx~i + fy~j + fz~j

Divergenza div(~F ) = ~F = Fxx +Fyy +

Fzz

Laplaciano f = 2f

x2+

2fy2

+ 2f

z2

Rotore ~F =

~i ~j ~kx y zFx Fy Fz

.

Operatori vettoriali in coordinate cilindriche

Gradiente grad(f) = f = f~e + 1 f~e + fz~ez

Divergenza div(~F ) = ~F = 1(F)

+1

F +

Fzz

Laplaciano f = 1

(f

)+ 1

22f2

+ 2f

z2

Rotore ~F =

~e ~e ~ez zF F Fz

.

Operatori vettoriali in coordinate sferiche

Gradiente grad(f) = f = f~e + 1 sin f~e + 1 f~e

12

Divergenza div(~F ) = ~F = F + 2F + 1[

1sin

F +

F + cotF

]

Laplaciano f = 2f

2+ 2

f +

12

[1

(sin )22f2

+ 2f

2+ cot f

]

Rotore ~F = 12 sin

~e ~e ~e F F sinF

.

Formule di Gauss in Rn

dominio limitato, con frontiera regolare e normale esterna ~. ~u,~v campi vetto-riali regolari fino alla frontiera di . , campi scalari regolari fino alla frontiera di. d elemento di superficie su .

~udx =

~u ~d

dx =

~d

dx =

~d =

~d

Integrazione per parti :

~Fdx =

~F ~d

~Fd

Prima identita di Green:

dx =

~d

dx

Seconda identita di Green:

dx =

~ ~d

Formule di Stokes in R3

Sia S una superficie regolare, il cui bordo e una linea regolare C, ~ il versore normalead S, ~t versore tangente a C, tali che C sia orientata positivamente rispetto a S, dslelemento di lunghezza su C e d lelemento di superficie su S. Vale:

13

S ~u ~d =

C~u ~tds

Identita ( ~u) = 0 = ~0 (~u) = ~u + ~u (~u) = ~u + ~u (~u ~v) = (~v )~u (~u)~v + ( ~v)~u ( ~u)~v (~u ~v) = ( ~u) ~v ( ~v) ~u(~u ~v) = ~u ( ~v) + ~v ( ~u) + (~u )~v + (~v)~u(~u )~u = ( ~u) ~u + 12|~u|2 ~u = ( ~u)~u

Equazione del piano tangente in R3 alla superficie z = f(x, y) in (x0, y0)

z = f(x0, y0) +f

x(x0, y0)(x x0) + f

y(x0, y0)(y y0)

Equazione differenziale Formula

y(t) a(t)y(t) = b(t) y(t) = e

a(t)dt{

b(t)e

a(t)dtdt + c}

ax(t) + bx(t) + cx(t) = 0 1 6= 2, x(t) = c1e1t + c2e2tpolinomio caratteristico: (a2 + b + c = 0) 1 = 2, x(t) = (c1 + c2t)e1t

1,2 = i, x(t) = et[c1 sint + c2 cost]ax(t) + bx(t) + cx(t) = f(t) metodo di variazione delle costanti

Serie Convergenza+n=0

1n se > 1 converge altrimenti diverge+

n=0 xn se |x| < 1 converge a 11x+

n=0 an se limn+an+1an

= l < 1 allora converge, se > 1 diverge, se = 1 caso dubbio+n=0 an se limn+ n

an = l < 1 allora converge, se > 1 diverge, se = 1 caso dubbio

Formule per le serieNn=0 x

n = xN+11x1 se |x| < 1N

n=1 n =N(N+1)

2Nn=0 n2

n = (N 1)2n+1 + 2

14

Variabile casuale DistribuzioneBernoulli X() PX(k) = k(1 )1k

Binomiale Yn() PYn(k) =(

nk

)k(1 )nk

Poisson X() PX(k) = k

k! e

Geometrica X() PX(k) = (1 )k1

Ipergeometrica X, r campione, PX(k) =

m

k

nm

r k

n

r

n totale popolazione e m parte di popolazione

Variabile casuale continua Densita

Uniforme X fX(x) ={

1ba a < x < b0 altrimenti

Normale X(, 2) fX(x) = 122

e(x)2

22

Esponenziale X() fX(x) ={

1ex

x > 00 altrimenti

Gamma X(, ) fX(x) =

{1

()x1e

x x > 0

0 altrimenti

sistemi lineari a coefficienti variabili~y(x) = A(x)~y(x) ~y(x) = W (x)~c con w(x) = detW (x)~y(x) = A(x)~y(x) + ~f(x) sol. omogenea +W (x)

xx W

1(t)f(t)dty(n)(x) = a1(x)y(n1)(x) + + an(x)y(x) + f(x) pongo ~y = (y, y, , y(n1)),

A =

0 1 0 00 0 1 0...

......

......

an(x) a1(x)

~f(x) =

0......

f(x)

Proprieta di W

1)W (x) = A(x)W (x).2)Condizione necessaria e sufficiente affinche y1, , yn sia un sistema fondamentaledi soluzioni e che w(x) 6= 0 in un punto x0 di I.3)Sia x I, il valore del wronskiano w(x) e dato per ogni x da

w(x) = w(x)e x

x tr(A)(t)dt

equazioni (ordine n) y(n)(x) = a1(x)y(n1)(x) + + an(x)y(x) + f(x)

15

Sef(x) = 0 utilizzo il risultato:n soluz. sono l.i. se e solo se W (x) =

z1(x) zn(x)...

......

z(n1)1 (x) z(n1)n (x)

6=

0 in un punto x0 I. Quindi y(x) = c1z1(x)+ + cnzn(x). Nel caso delle equazionilineari di ordine n il wronskiano e dato dalla formula

w(x) = w(x)e x

x a1(t)dt.

Se f(x) 6= 0 allora lintegrale generale e dato dallintegrale dell eq. omogenea+u(x) =

xx

w1n(x,t)w(t) f(t)dt con

w1n(x, t) =

z1(t) zn(t)...

......

...z(n2)1 z(n2)n (t)z1(x) zn(x)

sistemi lineari a coefficienti costanti~y(t) = A(x)~y(t) ~x(t) = eAt~x0

~y(x) = A(x)~y(x) + ~f(x) sol. omogenea + t0 e

A(ts)f(s)ds

calcolo eAt

Autovalori regolari eAt = Sdiag[ejt]S1

Autovalori regolari (R,C) eAt = Sdiag[ejt, eajt

(cos bjt sin bjtsin bjt cos bjt

)]S1

Autovalori multipli eAt = Sdiag[ejt, eajt

(cos bjt sin bjtsin bjt cos bjt

)]S1

(In + Nt + + Nk1tk1(k1)!

)

S e la matrice degli autovettori corrispondenti agli autovalori, N e nilpotente conordine n ed e legata alla relazione A = P + N con P = Sdiag[j ]S1. Per laricerca di autovettori generalizzati si procede con lalgoritmo:

(A In)~u1 = ~u, (A In)~u2 = ~u1, .Teorema

Sia ~x = A~x un sistema lineare con A matrice quadrata di ordine n. Se A non esingolare ~x = ~0 e lunico punto di equilibrio. Siano 1, , n gli autovalori di A,ciascuno contato in accordo alla propria molteplicita, allora1)~0 e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori hanno parte reale nega-tiva. La stabilita e globale in Rn.2)~0 e stabile (non asintoticamente) se e solo se tutti gli autovalori hanno parte reale 0 e gli autovalori con parte reale nulla sono regolari.

16

3)~0 instabile per tutti gli altri casi.

Stabilita in (0, 0){x = ax + byy = cx + dy

Traiettorie dydx =cx+dyax+by

Equazione caratteristica 2 (tr(A)) + det A = 0per gli autovalori > 0, soluzioni con stesso segno: nodo a due tangenti,

stabile se negativi, instabile se positivi.Soluzioni con segno opposto: colle.

= 0, se esistono due autovettori l.i.lorigine e un nodo a stella altrimenti

un nodo a tangenti. < 0, soluzioni immaginarie pure: e un centro, stabile.

Altrimenti e un fuoco .

Serie di Fourierf(t) = a02 +

+n=1 an cosn0t + bn sinn0t 0 =

2T , T = 2I, a0 =

1I

II f(t)dt

an = 1I II f(t) cos n0tdt bn =

1I

II f(t) sin n0tdt

f pari bn = 0 e an = 1I I0 f(t) cos n0tdt

f dispari an = 0 e bn = 1I I0 f(t) sinn0tdt

in forma esponenziale f(t) =+

n= cneint

cn = 1I II f(t)e

intdt

17

Trasformata di Fourier AntitrasformataF [f ;] = F [f ] = + f(t)eitdt F1F [f ; ] = f(t) = 12

+ e

iF()dTrasformata di Laplace AntitrasformataL[f, p] = L[f ] = +0 eptf(t)dt L1L[f, p]f(t) = 12i

k+iki e

ptL[f ]dp

f Trasformata di Fourierf(t a) eiaF [f ]()ei0tf(t) F [f ]( 0)tf(t) i ddF [f ]()f (t) iF [f ]()

11+t2

e||1

a2+t2aea||

e|t| 21+2

et2

e2

4

eat2

ae2

4a

[a,a](t) 2 sin af g(t) F [f ]() F [g]()f(t)g(t) 12F [f ]() F [g]()

Spazi funzionaliLp(A) = L

p(A)

con Lp = {f : A C|f misurabile A |f |pd < +}

e f g ({x A|f(x) 6= g(x)}) = 0 f = g q.o..L1loc(A) =

{f : A C|K A K compatto K |f |d < +

}E() = C() con Rn.D() = {f : C|f C e il supporto e compatto } = C0 .S(Rn) = {f C(Rn)|, (Z+)n supxRn |xf(x)| < +}D() = {u (D()) : {j}jN D() t.c. j 0 u(j) 0}S(Rn) = {u : S(Rn) C| lineare e continua}.

Convoluzione f, g : Rn Cf g = Rn f(x y)g(y)dy Lp(Rn) con e commutativo, associativo e distributivo

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Trasformata di Fourier in Rn f L1(Rn)[F(f)] () = f = eixf(x)dx f(x) = 1(2)n

eix f()d.

Trasformata di Fourier in L2(Rn) f L1(Rn) L2(Rn)fk L1(Rn) L2(Rn), fk fProprieta f, g L2Df = (i)f f, g L1, (f g) = (2)n2 f gRn fgdx =

Rn f gdx

ConvergenzaPuntuale di funzioni x I limn+ fn(x)Uniforme di funzioni(1) > 0N = N() : n > N |fn f(x)| < ,x IUniforme di funzioni(2) limn+ supxI |fn(x) f(x)| = 0Puntuale di serie x I limn+

nn=0 fn(x)

Uniforme di serie limm+ supxI |m

n=0 fn(x) f(x)| = 0

Integrali definiti notevoli + e

x22 dx =

2

+0 e

x2dx =

2 +

0x

ex1dx =2

6

+0

sin xx dx =

2 +

sin x

x dx =

20 ln cos xdx = 2 ln 2 +

0 xz1exdx = (z) funzione gamma

Equazioni differenziali alle derivate parzialiLaplace u = 0Calore ut u = 0Onde utt u = 0Schrodinger iut + u = 0Trasporto ut +

ni=1 b

iuxi = 0

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Formula di Cauchy I(, a)f(a) = 12i

f(z)zadz

Formula di Cauchy per le derivate fn(a) = n!2i

f(z)(za)n+1 dz

Condizioni di Cauchy Riemann fx + ify = 0

Serie di Laurent f(z) =+

n= cn(z z0)ncn = 12i

f(z)(zz0)n+1 dz

Residuo di f Res(f) = c1 = 12i f(z)dz

Residuo allinfinito c1Residuo per un polo di ordine 1 Res(z0) = limzz0(z z0)f(z)Residuo per un polo di ordine n Res(z0) = 1(n1)! limzz0

ddz

n1[(z z0)f(z)]

Se f(z) = P (z)Q(z) Res(f, z0) =P (z0)Q(z0)

Teorema dei residui f(z)dz = 2i

ni=1Res(f, zi)

n numero punti singolari in

DisuguaglianzeCauchy ab a22 + b

2

2 a, b RYoung ab app + b

q

q a, b R con 1p + 1q = 1.Cauchy-Schwarz |~x ~y| |~x||~y| ~x, ~y RnHolder se 1 p, q 1p + 1q = 1, u LP , v Lq

U |uv|dx u p v q

Minkowski 1 p , u, v Lp(U) u + v p u p + v p

Teorema di esistenza (di Peano)

Se f e continua in un aperto D R2 e (t0, y0) D, allora esiste almeno unasoluzione al problema

{y = f(t, y)y(t0) = y0

Teorema di esistenza e unicita locale

Se f e continua in un aperto D R2, insieme a fy, allora per ogni punto (t0, y0) D esiste un intorno I di t0, in cui e definita la soluzione di

{y = f(t, y)y(t0) = y0

Teorema di esistenza e unicita locale in Rn

Se ~f e continua in un aperto D Rn+1, insieme a ~fyi con i = 1, , n, allora lasoluzione (locale) di

{~y = ~f(t, ~y)~y(t0) = ~y0

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e unica.

Teorema di esistenza e unicita globale

Siano S = (a, b) R ed f definita in S = [a, b] R soddisfacente il teorema diesistenza e unicita locale in S. Se

1. h, k tali che |f(t, y)| h + k|y| (t, y) S.2. f e limitata in S,

3. fy e limitata in S e f(t, 0) e limitata in [a, b].

Allora y = f(t, y) ha soluzione definita su tutto [a, b] cioe su R.

Teorema di esistenza e unicita globale in Rn

Siano S = (a, b) Rn ed ~f definita in S soddisfacente il teorema di esistenza eunicita locale in S. Se

1. h, k tali che ~f(t, ~y) h + k y (t, ~y) S.2. ~f e limitata in S, M > 0 t.c. ~f(t, ~y) M (t, ~y) S,

3. Tutte le ~f

yisono limitate in S ed ~f(t,~0) e limitata in [a, b].

Allora per ogni (t0, y0) S la soluzione di{

~y = ~f(t, ~y)~y(t0) = ~y0

esiste in tutto [a, b].

Teorema (prolungamento)

Se f(t, y) e continua con derivata parziale fy continua in un aperto D e se R e unqualunque rettangolo chiuso contenuto in D e che contiene il punto (t0, y0) allora lasoluzione del problema di Cauchy

{y = f(t, y)y(t0) = y0

fornita dal teorema di esistenza ed unicita puo essere estesa ad un certo intervallochiuso [t1, t2] in modo che i punti (t1, y(t1)), (t2, y(t2)) appartengano alla frontiera delrettangolo R.

Approssimazioni successive

Nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicita, la successione definita per ricor-renza da

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{y0(t) = y0

yn+1 = y0 + tt0

f(s, yn(s))ds(0.5.1)

converge uniformemente alla soluzione del problema di Cauchy, in ogni intervallochiuso e limitato contenuto nel dominio della soluzione stessa.

Teorema di Ascoli Arzela

Sia K un insieme compatto di Rn, sia C(K) linsieme delle funzioni continue suK a valori complessi (o reali) con f C(K)= supxK |f(x)|, un sottoinsieme diC(K) e relativamente compatto in C(K) se e solo se

1. le funzioni di sono uniformemente limitate.

2. Le funzioni di sono uniformemente equicontinue.

Osservazione 1. Una famiglia F di funzioni e detta equicontinua su un compattoK se > 0x KV (x)y V (x)f F : f(y) f(x) .

Proposizione (convoluzione)

1. Sia f Ck0 (Rn), g L1loc(Rn) allora f g Ck(Rn) e Zn+, || k si ha(f g) = (f) g.

2. Se f Cr(Rn), g Cs(Rn) f g Cr+s(Rn) in particolare , Z+ con|| r, || s si ha +(f g) = (f) (g).

Funzione di Liapunov

Sia V : D R2 R, V C1(D). Se esiste un intorno U di (0, 0) tale che

1. V (x, y) 0 in U e V (x, y) = 0 solo se (x, y) = (0, 0).2. V (x, y) = Vx(x, y)f(x, y) + Vy(x, y)g(x, y) 0 in U .

allora V si dice funzione di Liapunov per il sistema{

x = f(x, y)y = g(x, y)

(0.5.2)

Teorema

Sia (0, 0) un punto di equilibrio per il sistema{

x = f(x, y)y = g(x, y)

(0.5.3)

se esiste una funzione di Liapunov, allora (0, 0) e stabile. Se, inoltre, V 0 per(x, y) 6= (0, 0), allora (0, 0) e asintoticamente stabile.

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Curva (s), (param. mediante ascissa curvilinea)Campo tangente T (s) = (s)Campo normale N(s) = T

(s)T (s) =

1k(s)T

(s).Campo binormale B(s) = T (s)N(s)Torsione (s) = B(s) N(s)

Superficie (u, v)Coefficienti della prima forma E = u u, F = u v, G = v vCampo normale N(s) = uvuv .Coefficienti seconda forma l = N uu,m = N uv, n = N vv

a11 = GlFmEGF 2 , a12 =EmFlEGF 2 , a21 =

GmFnEGF 2 , a22 =

EnFmEGF 2

Curvatura Gaussiana e media K = lnm2

EGF 2 ,H =En2Fm+Gl

EGF 2

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