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Formulario matematico (di Simone Camosso)
0.1 Costanti matematiche
costante valore approssimatoe 2.7182818285 · · ·π 3.1415926536 · · ·log10(2) 0.3010299957 · · ·log10(e) 0.4342944819 · · ·loge(2) 0.6931471806 · · ·loge(π) 0.1.1447298858 · · ·loge(10) 2.3025850930 · · ·√
2 1.4142135624 · · ·√e 1.6487212707 · · ·√3 1.7320508076 · · ·√π 1.7724538509 · · ·√5 2.2360679775 · · ·√10 3.1622776602 · · ·
1 0.0174532925 · · · radianti1 radiante 5717′44′′.806 · · ·
0.2 Algebra
Regola dei segni
· + −+ + −− − +
Operazioni con le frazioni
x
y· z
w=
x · zy · w
x
y± z
w=
w · x± y · zy · w
x
y:
t
w=
xytw
=x
y· w
t
(x
y
) zt
=x
zt
yzt
condizioni di esistenza√x x ≥ 0
log x x > 01
P (x) P (x) polinomio P (x) 6= 0arcsinx −1 ≤ x ≤ 1arccosx −1 ≤ x ≤ 1
Potenzea0 = 1
(−a)n =
an n pari−(an) n dispari
10 = 1
Definizione di modulo
|x| =
x x ≥ 0−x x < 0
Proprieta valore assoluto|x + y| ≤ |x| + |y| |x− y| ≥ ||x| − |y|| |x| ≤ y ⇔ −y ≤ x ≤ y∣∣∣xy
∣∣∣ = |x||y| |x · y| = |x| · |y| |x| = 0 se x = 0
Potenze Logaritmi Radicaliam · an = an+m loga(a) = 1 n
√xm = ( n
√x)m = x
mn
am
an = am−n logb(a) = 1loga(b)
n√
m√
x = n·m√x
(am)n = am·n logb(x · y) = logb(x) + logb(y) n
√xy =
n√xn√
y
(a · b)n = an · bn logb
(xy
)= logb(x)− logb(y)
√x±√y =
√x+√
x2+y2 ±
√x−√
x2+y2(
ab
)n = an
bn logb (xy) = y logb(x) n√
x · y = n√
x · n√
y
Teoremi sui logaritmiloga(b) = logan (bn), loga(b) = logc(b)
logc(a) , loga
(n√
b)
= 1n loga(b), log x2 = 2 log |x|.
Prodotti notevoli Prodotti notevoli(x + y)2 = x2 + 2x · y + y2 (x + y + z) · (x + y − z) = x2 + y2 − z2 + 2x · y(x + y)3 = x3 + 3x2 · y + 3x · y2 + y3 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x · y + 2x · z + 2y · z(x − y)2 = x2 − 2x · y + y2 (x + y) · (x2 − x · y + y2) = x3 + y3
(x− y)3 = x3 − 3x2 · y + 3x · y2 − y3 (x− y) · (x2 + x · y + y2) = x3 − y3
(x + y) · (x − y) = x2 − y2 (x + y + z) · (x− y − z) = x2 − (y + z)2
2
Formula del binomio di Newton
(x + y)n =n∑
k=0
(nk
)xn−kyk
Formula risolutiva per equazioni di secondo grado ax2 + bx + c = 0
x1,2 =−b±√b2 − 4ac
2a
Determinante di una matrice (2, 2)
det A =∣∣∣∣
x yz w
∣∣∣∣ = x · w − y · z
Determinante di una generica matrice A = (aij)
det A =n∑
j=1
(−1)i+jaij det Aij
con Aij minore dell’elemento aij .Inversa di una matrice ASe il determinante di A non e nullo allora esiste la matrice inversa e indicando
con ∆ij = (−1)i+j det Aij il cofattore dell’elemento aij si ha che
A−1 =1
det A(∆ji)
Teorema di Binet
detA ·B = det A · det B
Disposizioni Formulacon ripetizione Rn,k = nk
Disposizioni semplici Dn,k = n · (n− 1) · · · (n− k + 1)Permutazioni Dn,n = n!
Combinazioni Cn,k = Dn,k
k! = n!k!(n−k)! =
(nk
)
proprieta di i =√−1
i2 = −1 i4k = 1 i4k+1 = i
i4k+2 = −1 i4k+3 = −i√−x = i
√x
z complessoz = a + i · b,a, b ∈ R z = ρ · (cos θ + i · sin θ) e ρ =
√a2 + b2, θ = arctan
(ba
)z = ρ · eiθ
3
0.3 Geometria
Formula per la distanza tra due punti P1(x1, y1), P2(x2, y2)
d(P1, P2) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
SimilitudineLa similitudine e una particolare trasformazione geometrica, contenuta nel piano onello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. Questo vuol dire che, per ognisimilitudine f , esiste un numero reale positivo k tale che
d(f(A), f(B)) = kd(A,B)
per ogni coppia di punti (A,B).
Criteri di congruenza per triangoli1)Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo compresotra essi equivalente.2)Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e i due angoli a essoadiacenti (ALA).3)Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamentecongruenti (LLL).Criteri di similitudine per triangoli1)Se un triangolo ha gli angoli congruenti agli angoli di un altro triangolo,allora i lati di del primo sono in proporzione con i lati del secondo.2)Se un triangolo ha un angolo congruente ad un angolo di un secondo triangoloe i due lati di questo triangolo proporzionali ai lati corrispondenti del secondo triangolo,allora i triangoli sono simili.3)Se un triangolo ha i lati in proporzione con i lati di un secondo triangolo, allora itriangoli sono simili.
Oggetto SuperficieParallelogramma S = b · hTriangolo S = b·h
2Cerchio S = π · r2
Trapezio S = (a+b)·h2
Parallelepipedo rettangolare S = 2(a · b + b · c + a · c)Sfera S = 4 · π · r2
Cilindro retto S = 2 · π · r · (r + h)Cono retto S = π · r · (r +
√h2 + r2)
Piramide retta S = Sbase + a·p2
Tronco di Cono S = π · a · (r + r′) + π · r2 + π · r′2
4
Oggetto VolumeParallelepipedo rettangolare V = a · b · cSfera V = 4
3 · π · r3
Cilindro retto V = π · r2 · hCono retto S = 1
3 · π · r2 · hPiramide retta V = 1
3 · Sbase · hTronco di Cono V = 1
3 · π · h · (r2 + r′2 + r · r′)Formula di Erone per l’area di un triangolo con semiperimetro p
S =√
p · (p− a) · (p− b) · (p− c)
Teorema di Euclide per un triangolo rettangolo con cateti a, b, ipotenusa c e al-tezza h
Afferma che l’altezza del triangolo e media proporzionale alle proiezioni dei due catetisull’ipotenusa. Cioe indicando con n e m le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa si ha
m : h = h : n
Teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c
c2 = a2 + b2
Formula di Eulero
Dato un poliedro convesso con f facce, v vertici e a spigoli si ha
f + v − a = 2
Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolor = S
p r = a·b·c4·S = a·b·c
4√
p·(p−a)·(p−b)·(p−c)
Area di un triangolo di vertici P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3)
A = ±12
∣∣∣∣x3 − x1 y3 − y1
x2 − x1 y2 − y1
∣∣∣∣Formula di Brahmagupta per l’area di un quadrilatero convesso di lati a, b, c, d e
semiperimetro p
A =√
(p− a)(p− b)(p− c)(p− d)
Definizione di modulo per un vettore ~x = (x1, · · · , xn)
|~x| =√√√√
n∑
i=1
x2i
5
Prodotto scalare~x · ~y = |~x| · |~y| · cos θ ~x · ~y = 0 se x, y perpendicolari|~x| =
√~x · ~x (a~x + b~y) · ~z = a~x · ~z + b~y · ~z
~x · ~y = ~y · ~x~x · ~x ≥ 0
Prodotto vettoriale|~x ∧ ~y| = |~x| · |~y| · | sin θ| ~x ∧ ~y = ~0 per x, y paralleli
|~x ∧ ~y|2 = |~x|2 · |~y|2 − (~x · ~y)2 ~x ∧ ~y = det
~i ~j ~kx1 x2 x3
y1 y2 y3
~x ∧ ~y = −~y ∧ ~x ~x ∧ (~y ∧ ~z) = (~x · ~y)~y − (~x · ~y)~z~x ∧ (a~y + b~z) = a~x ∧ ~y + b~x ∧ ~z ~x ∧ (~y ∧ ~z) + ~y ∧ (~z ∧ ~x) + ~z ∧ (~x ∧ ~y) = ~0
Oggetto del piano EquazioneRetta ax + by + c = 0 ∨ y = mx + qCirconferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0
Ellisse x2
a2 + y2
b2= 1
Iperbole x2
a2 − y2
b2= 1
Iperbole equilatera x2 − y2 = a2
Parabola y = ax2 + bx + c
Oggetto del piano Valori notevoliRetta m = −a
b q = −cb
Circonferenza C =(−a
2 ,− b2
)e r =
√a2
4 + b2
4 − c
Ellisse C = (0, 0), F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = a2 − b2
Iperbole C = (0, 0), F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = a2 + b2, asintoti y = ± bax
Iperbole equilatera C = (0, 0), F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) con c2 = 2a2
Parabola V =(−b
2a ,−∆4a
), F
(−b2a , 1
4a − ∆4a
), d : y = − 1
4a − ∆4a
6
0.4 Trigonometria
Radianti Gradi sin cos tan0 0 0 1 0π6 30 1
2
√3
2
√3
3π4 45
√2
2
√2
2 1π3 60
√3
212
√3
π2 90 1 0 non definita2π3 120
√3
2 −12 −√3
3π4 135
√2
2 −√
22 −1
5π6 150 1
2 −√
32 −
√3
3π 180 0 −1 07π6 210 −1
2 −√
32
√3
35π4 225 −
√2
2 −√
22 1
4π3 240 −
√3
2 −12
√3
3π2 270 −1 0 non definita5π3 300 −
√3
212 −√3
7π4 315 −
√2
2
√2
2 −111π6 330 −1
2
√3
2 −√
33
2π 360 0 1 0
Identita Relazioni tra angoli Relazioni tra angoli Funzioni iperbolichecsc α = 1
sin α cos(
π2 − α
)= sinα cos (−α) = cosα sinhα = eα−e−α
2
sec α = 1cos α sin
(π2 − α
)= cosα tan (−α) = − tanα coshα = eα+e−α
2
cotα = 1tan α tan
(π2 − α
)= cotα cot (−α) = − cotα tanhα = sinh α
cosh α
tanα = sin αcos α cot
(π2 − α
)= tanα sec (−α) = sec α cothα = cosh α
sinh αcotα = cos α
sin α sin (−α) = − sinα csc (−α) = − cscα
Relazioni di Pitagora Formule di duplicazione Formule di bisezionecos2(α) + sin2(α) = 1 sin (2α) = 2 sinα cosα cos2
(α2
)= 1+cos α
2
cosh2(α)− sinh2(α) = 1 cos (2α) = cos2(α)− sin2(α) sin2(
α2
)= 1−cos α
21 + tan2(α) = sec2(α) tan (2α) = 2 tan α
1−tan2(α)tan2
(α2
)= 1−cos α
1+cos α
1 + cot2(α) = csc2(α)
7
Formule di addizione Formule di Wernersin (α± β) = sinα cosβ ± sinβ cosα sinα cosβ = 1
2 [sin (α + β) + sin (α− β)cos (α± β) = cos α cosβ ∓ sinα sinβ cosα sinβ = 1
2 [sin (α + β)− sin (α− β)tan (α± β) = tan α±tan β
1∓tan α tan β cosα cosβ = 12 [cos (α + β) + cos (α− β)
sinα cosβ = 12 [cos (α− β)− cos (α + β)
Formule di prostaferesi Formule di Eulerosinα + sin β = 2 sin
(12(α + β)
)cos
(12(α− β)
)eiα = cosα + i sinα
sinα − sinβ = 2 cos(
12(α + β)
)sin
(12(α− β)
)e−iα = cosα− i sinα
cosα + cosβ = 2 cos(
12(α + β)
)cos
(12(α− β)
)cosα = eiα+e−iα
2
cosα − cosβ = 2 sin(
12(α + β)
)sin
(12(α− β)
)sinα = eiα−e−iα
2i
Teorema sei seni Teorema del cosenosin α
a = sin βb = sin γ
c c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Formule di triplicazione Area di un triangolo qualunquesin 3α = 3 sinα − 4 sin3 α S = 1
2ab sin γcos 3α = 4 cos3 α− 3 cos α S = 1
2bc sinα
tan 3α = 3 tan α−tan3 α1−3 tan2 α
S = 12ac sinβ
(In un triangolo qualunque si indichi i lati a, b, c, gli angoli angoli opposti rispet-tivamente α, β, γ)
8
0.5 Analisi matematica
f f ′
k 0xn nxn−1
|x| |x|x
log x 1x
ex ex
sinx cosxcosx − sinxax ax log atanx 1
cos2 x= 1 + tan2 x
cotx − 1sin2 x
sinhx coshxcoshx sinhxtanhx 1
cosh2 x
cothx − 1sinh2 x
arcsinx 1√1−x2
arccosx − 1√1−x2
arctanx 11+x2
log | sinx| − cotxlog | cosx| tanx
Regole di derivazione
D(λf(x)± µg(x)) = λDf(x)± µDg(x)
D(f(x)g(x)) = [Df(x)] g(x) + [Dg(x)] f(x)
D
(f(x)g(x)
)=
[Df(x)] g(x)− [Dg(x)] f(x)g(x)2
D(f(x) g(x)) = D(f(g(x))) = Df(g(x))Dg(x)
Def(x) = ef(x)Df(x)
D log |f(x)| = Df(x)f(x)
Df(x)g(x) = f(x)g(x)
Dg(x) log f(x) +
g(x)Df(x)f(x)
9
f∫
fdx
k kx + c
xn xn+1
n+1 + c
|x| x|x|2 + c
log x log |x|+ cex ex + csinx − cosx + ccosx sinx + c
ax ax
log a + c1
cos2 xtanx + c
1sin2 x
− cotx + c
sinhx coshx + ccoshx sinhx + c
1√1−x2
arcsinx + c
− 1√1−x2
arccosx + c1
1+x2 arctanx + c1
cosh2 xtanhx + c
1√1+x2
log (x +√
x2 + 1) + c1√
x2−1log (x +
√x2 − 1) + c
11−x2
12 log x+1
1−x + c x ∈ (−1, 1)1
1−x212 log x+1
x−1 + c x > 1 ∨ x < −1
f Sviluppoex 1 + x + x2
2! + ... + xn
n! + o(xn)sinx x− x3
3! + x5
5! + ... + (−1)n x2n+1
(2n+1)! + o(x2n+1)
cosx 1− x2
2 + x4
4! + ... + (−1)n x2n
(2n)! + o(x2n)
sinhx x + x3
3! + x5
5! + ... + x2n+1
(2n+1)! + o(x2n+1)
coshx 1 + x2
2 + x4
4! + ... + x2n
(2n)! + o(x2n)
log (x + 1) x− x2
2 + x3
3 + ... + (−1)n xn+1
n+1 + o(xn+1)
(1 + x)α 1 + αx + α(α−1)2 x2 + ... + α(α−1)(α−2)....(α−n+1)
n! xn + o(xn)1
1+x 1− x + x2 − x3 + x4 − x5 + ... + (−1)nxn + o(xn)arctanx x− x3
3 + · · ·+ (−1)n x2n+1
2n+1 + o(x2n+1)
Formula di Taylor
f(x) =∞∑
n=0
f (n)(x0)n!
(x− x0)n
10
Operazioni in R = R ∪ ±∞+∞ + ∞ = +∞ −∞−∞ = −∞(+∞) · (+∞) = +∞ (−∞) · (−∞) = +∞(+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞ x +∞ = +∞+ x = +∞ con x ∈ R
x+∞ = 0 x
−∞ = 0 se x > 0 ho x · (+∞) = +∞ e x · (−∞) = −∞per ogni x ∈ R, x > 0 ho x
0 = +∞ per ogni x < 0 ho x0 = −∞
Forme indeterminate+∞∞ −∞
∞+∞ − ∞ 0 · (+∞)00 ∞0
1±∞ 00
log0(0) log∞(0)log1(1) log∞(∞)
Limiti fondamentalilimx→0
sin xx = 1 limx→0
tan xx = 1
limx→01−cos x
x2 = 12 limx→+∞
[1 + 1
x
]x = e
limx→0 [1 + x]1x = e limx→0
loge (1+x)x = 1
limx→0ax−1
x = loge a limx→0arcsin x
x = 1limx→0
arctan xx = 1 limx→0
1−cos xx = 0
limx→+∞ x√
x = 1 limx→+∞logα x
xβ = 0 con β > 0, α > 0, α 6= 1limx→+∞ xβ
ax = 0 se a > 1 e β ∈ R limx→+∞ x!xx = 0
Sostituzione per integrali trigonometrici
t = tanx
2cosx =
1− t2
1 + t2sinx =
2t
1 + t2
x = 2arctan t dx =2
1 + t2dt
Formula di integrazione per parti∫
fDgdx = fg −∫
Dfgdx
Regole di derivazione per vettori
Dt(~x(t)) =n∑
i=1
Dtxi(t)~ei
Dt(~x(t) · ~y(t)) = [Dt~x(t)] · ~y(t) + [Dt~y(t)] · ~x(t)
11
Dt (f(t)~x(t)) = [Dtf(t)] ~x(t) + [Dt~x(t)] f(t)
Dt(~x(t) + ~y(t)) = Dt~x(t) + Dt~y(t)
Dt(~x(t) ∧ ~y(t)) = [Dt~x(t)] ∧ ~y(t) + [Dt~y(t)] ∧ ~x(t)
Dt~x(u(t)) = Du~x(u(t))Dtu(t)
coordinate Jacobiano
polari:
x = ρ cos θy = ρ sin θ
ρ
cilindriche:
x = ρ cos θy = ρ sin θ
z = zρ
sferiche:
x = ρ sinϕ cos θy = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕρ2 sinϕ
Operatori vettoriali in R3
Gradiente grad(f) = ∇f = ∂f∂x
~i + ∂f∂y
~j + ∂f∂z
~j
Divergenza div(~F ) = ∇ · ~F = ∂Fx∂x + ∂Fy
∂y + ∂Fz∂z
Laplaciano ∆f = ∂2f∂x2 + ∂2f
∂y2 + ∂2f∂z2
Rotore ∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k∂x ∂y ∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣.
Operatori vettoriali in coordinate cilindriche
Gradiente grad(f) = ∇f = ∂f∂ρ~eρ + 1
ρ∂f∂θ~eθ + ∂f
∂z~ez
Divergenza div(~F ) = ∇ · ~F = 1ρ
∂(ρFρ)∂ρ + 1
ρ∂Fθ∂θ + ∂Fz
∂z
Laplaciano ∆f = 1ρ
∂∂ρ
(ρ∂f
∂ρ
)+ 1
ρ2∂2f∂θ2 + ∂2f
∂z2
Rotore ∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣
~eρ ρ~eθ ~ez
∂ρ ∂θ ∂z
Fρ ρFθ Fz
∣∣∣∣∣∣.
Operatori vettoriali in coordinate sferiche
Gradiente grad(f) = ∇f = ∂f∂ρ~eρ + 1
ρ sin ϕ∂f∂θ~eθ + 1
ρ∂f∂ϕ~eϕ
12
Divergenza div(~F ) = ∇ · ~F = ∂Fρ
∂ρ + 2ρFρ + 1
ρ
[1
sin ϕ∂Fθ∂θ + ∂Fϕ
∂ϕ + cotϕFϕ
]
Laplaciano ∆f = ∂2f∂ρ2 + 2
ρ∂f∂ρ + 1
ρ2
[1
(sin ϕ)2∂2f∂θ2 + ∂2f
∂ϕ2 + cot ϕ ∂f∂ϕ
]
Rotore ∇× ~F = 1ρ2 sin ϕ
∣∣∣∣∣∣
~eρ ρ~eϕ ~eθ
∂ρ ∂ϕ ∂θ
Fρ ρFϕ ρ sinϕFθ
∣∣∣∣∣∣.
Formule di Gauss in Rn
Ω dominio limitato, con frontiera regolare ∂Ω e normale esterna ~ν. ~u,~v campi vetto-riali regolari fino alla frontiera di Ω. ϕ, ψ campi scalari regolari fino alla frontiera diΩ. dσ elemento di superficie su ∂Ω.
∫
Ω∇ · ~udx =
∫
∂Ω~u · ~νdσ
∫
Ω∇ϕdx =
∫
∂Ωϕ~νdσ
∫
Ω∆ϕdx =
∫
∂Ω∇ϕ · ~νdσ =
∫
∂Ω∂~νϕdσ
Integrazione per parti :
∫
Ωψ∇ · ~Fdx =
∫
∂Ωψ ~F · ~νdσ −
∫
Ω∇ψ · ~Fdσ
Prima identita di Green:
∫
Ωψ∆ϕdx =
∫
∂Ωψ∂~νϕdσ −
∫
Ω∇ϕ · ∇ψdx
Seconda identita di Green:
∫
Ωψ∆ϕ− ϕ∆ψdx =
∫
∂Ωψ∂~νϕ− ϕ∂~νψdσ
Formule di Stokes in R3
Sia S una superficie regolare, il cui bordo e una linea regolare C, ~ν il versore normalead S, ~t versore tangente a C, tali che C sia orientata positivamente rispetto a S, dsl’elemento di lunghezza su C e dσ l’elemento di superficie su S. Vale:
13
∫
S∇× ~u · ~νdσ =
∫
C~u · ~tds
Identita∇ · (∇× ~u) = 0∇×∇ϕ = ~0∇ · (ϕ~u) = ϕ∇ · ~u +∇ϕ · ~u∇× (ϕ~u) = ϕ∇× ~u +∇ϕ× ~u∇× (~u× ~v) = (~v · ∇)~u− (~u∇)~v + (∇ · ~v)~u− (∇ · ~u)~v∇ · (~u× ~v) = (∇× ~u) · ~v − (∇× ~v) · ~u∇(~u · ~v) = ~u× (∇× ~v) + ~v × (∇× ~u) + (~u · ∇)~v + (~v∇)~u(~u · ∇)~u = (∇× ~u)× ~u + 1
2∇|~u|2∇×∇× ~u = ∇(∇ · ~u)−∆~u
Equazione del piano tangente in R3 alla superficie z = f(x, y) in (x0, y0)
z = f(x0, y0) +∂f
∂x(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y(x0, y0)(y − y0)
Equazione differenziale Formula
y′(t) − a(t)y(t) = b(t) y(t) = e∫
a(t)dt∫
b(t)e−∫
a(t)dtdt + c
ax′′(t) + bx′(t) + cx(t) = 0 λ1 6= λ2, x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
polinomio caratteristico: (aλ2 + bλ + c = 0) λ1 = λ2, x(t) = (c1 + c2t)eλ1t
λ1,2 = α± iβ, x(t) = eαt[c1 sinβt + c2 cosβt]ax′′(t) + bx′(t) + cx(t) = f(t) metodo di variazione delle costanti
Serie Convergenza∑+∞n=0
1nα se α > 1 converge altrimenti diverge∑+∞
n=0 xn se |x| < 1 converge a 11−x∑+∞
n=0 an se limn→+∞an+1
an= l < 1 allora converge, se > 1 diverge, se = 1 caso dubbio∑+∞
n=0 an se limn→+∞ n√
an = l < 1 allora converge, se > 1 diverge, se = 1 caso dubbio
Formule per le serie∑Nn=0 xn = xN+1−1
x−1 se |x| < 1∑Nn=1 n = N(N+1)
2∑Nn=0 n2n = (N − 1)2n+1 + 2
14
Variabile casuale DistribuzioneBernoulli X(θ) PX(k) = θk(1− θ)1−k
Binomiale Yn(θ) PYn(k) =(
nk
)θk(1− θ)n−k
Poisson X(λ) PX(k) = λk
k! e−λ
Geometrica X(θ) PX(k) = θ(1− θ)k−1
Ipergeometrica X, r campione, PX(k) =
m
k
n−m
r − k
n
r
n totale popolazione e m parte di popolazione
Variabile casuale continua Densita
Uniforme X fX(x) =
1b−a a < x < b
0 altrimenti
Normale X(µ, σ2) fX(x) = 1√2πσ2
e−(x−µ)2
2σ2
Esponenziale X(θ) fX(x) =
1θe−
xθ x > 0
0 altrimenti
Gamma X(α, β) fX(x) =
1
βαΓ(α)xα−1e
− xβ x > 0
0 altrimenti
sistemi lineari a coefficienti variabili~y′(x) = A(x)~y(x) ~y(x) = W (x)~c con w(x) = detW (x)~y′(x) = A(x)~y(x) + ~f(x) sol. omogenea +W (x)
∫ xx W−1(t)f(t)dt
y(n)(x) = a1(x)y(n−1)(x) + · · ·+ an(x)y(x) + f(x) pongo ~y = (y, y′, · · · , y(n−1)),
A =
0 1 · · · 0 00 0 1 0...
......
......
an(x) · · · · · · · · · a1(x)
~f(x) =
0......
f(x)
Proprieta di W
1)W ′(x) = A(x)W (x).2)Condizione necessaria e sufficiente affinche y1, · · · , yn sia un sistema fondamentaledi soluzioni e che w(x) 6= 0 in un punto x0 di I.3)Sia x ∈ I, il valore del wronskiano w(x) e dato per ogni x da
w(x) = w(x)e∫ x
x tr(A)(t)dt
equazioni (ordine n) y(n)(x) = a1(x)y(n−1)(x) + · · ·+ an(x)y(x) + f(x)
15
Sef(x) = 0 utilizzo il risultato:n soluz. sono l.i. se e solo se W (x) =
∣∣∣∣∣∣∣
z1(x) · · · zn(x)...
......
z(n−1)1 (x) · · · z
(n−1)n (x)
∣∣∣∣∣∣∣6=
0 in un punto x0 ∈ I. Quindi y(x) = c1z1(x)+ · · ·+ cnzn(x). Nel caso delle equazionilineari di ordine n il wronskiano e dato dalla formula
w(x) = w(x)e∫ x
x a1(t)dt.
Se f(x) 6= 0 allora l’integrale generale e dato dall’integrale dell’ eq. omogenea+u(x) =
∫ xx
w1n(x,t)w(t) f(t)dt con
w1n(x, t) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
z1(t) · · · · · · zn(t)...
......
...z(n−2)1 · · · · · · z
(n−2)n (t)
z1(x) · · · · · · zn(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
sistemi lineari a coefficienti costanti~y′(t) = A(x)~y(t) ~x(t) = eAt~x0
~y′(x) = A(x)~y(x) + ~f(x) sol. omogenea +∫ t0 eA(t−s)f(s)ds
calcolo eAt
Autovalori regolari eAt = Sdiag[eλjt]S−1
Autovalori regolari (R,C) eAt = Sdiag
[eλjt, eajt
(cos bjt − sin bjtsin bjt cos bjt
)]S−1
Autovalori multipli eAt = Sdiag
[eλjt, eajt
(cos bjt − sin bjtsin bjt cos bjt
)]S−1·
·(In + Nt + · · ·+ Nk−1tk−1
(k−1)!
)
S e la matrice degli autovettori corrispondenti agli autovalori, N e nilpotente conordine ≤ n ed e legata alla relazione A = P + N con P = Sdiag[λj ]S−1. Per laricerca di autovettori generalizzati si procede con l’algoritmo:
(A− λIn)~u1 = ~u, (A− λIn)~u2 = ~u1, · · · .
Teorema
Sia ~x = A~x un sistema lineare con A matrice quadrata di ordine n. Se A non esingolare ~x = ~0 e l’unico punto di equilibrio. Siano λ1, · · · , λn gli autovalori di A,ciascuno contato in accordo alla propria molteplicita, allora1)~0 e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori hanno parte reale nega-tiva. La stabilita e globale in Rn.2)~0 e stabile (non asintoticamente) se e solo se tutti gli autovalori hanno parte reale≤ 0 e gli autovalori con parte reale nulla sono regolari.
16
3)~0 instabile per tutti gli altri casi.
Stabilita in (0, 0)x = ax + byy = cx + dy
Traiettorie dydx = cx+dy
ax+by
Equazione caratteristica λ2 − (tr(A))λ + det A = 0per gli autovalori ∆ > 0, soluzioni con stesso segno: nodo a due tangenti,
stabile se negativi, instabile se positivi.Soluzioni con segno opposto: colle.
∆ = 0, se esistono due autovettori l.i.l’origine e un nodo a stella altrimenti
un nodo a tangenti.∆ < 0, soluzioni immaginarie pure: e un centro, stabile.
Altrimenti e un fuoco .
Serie di Fourierf(t) = a0
2 +∑+∞
n=1 an cosnω0t + bn sinnω0t ω0 = 2πT , T = 2I, a0 = 1
I
∫ I−I f(t)dt
an = 1I
∫ I−I f(t) cos nω0tdt bn = 1
I
∫ I−I f(t) sin nω0tdt
f pari bn = 0 e an = 1I
∫ I0 f(t) cos nω0tdt
f dispari an = 0 e bn = 1I
∫ I0 f(t) sinnω0tdt
in forma esponenziale f(t) =∑+∞
n=−∞ cneinωt
cn = 1I
∫ I−I f(t)e−inωtdt
17
Trasformata di Fourier AntitrasformataF [f ;ω] = F [f ] =
∫ +∞−∞ f(t)e−iωtdt F−1F [f ; ω] = f(t) = 1
2π
∫ +∞−∞ eiωξF(ω)dω
Trasformata di Laplace AntitrasformataL[f, p] = L[f ] =
∫ +∞0 e−ptf(t)dt L−1L[f, p]f(t) = 1
2πi
∫ k+i∞k−i∞ eptL[f ]dp
f Trasformata di Fourierf(t − a) e−iωaF [f ](ω)eiω0tf(t) F [f ](ω − ω0)tf(t) i d
dωF [f ](ω)f ′(t) iωF [f ](ω)
11+t2
πe−|ω|1
a2+t2πae−a|ω|
e−|t| 21+ω2
e−t2 √πe−
ω2
4
e−at2√
πae−
ω2
4a
χ[−a,a](t) 2 sin aωω
f ∗ g(t) F [f ](ω) · F [g](ω)f(t)g(t) 1
2πF [f ](ω) ∗ F [g](ω)
Spazi funzionaliLp(A) = Lp(A)
≈con Lp =
f : A → C|f misurabile
∫A |f |pdµ < +∞
e f ≈ g ⇔ µ (x ∈ A|f(x) 6= g(x)) = 0 ⇔ f = g q.o..L1
loc(A) =f : A → C|∀K ⊂ A K compatto
∫K |f |dµ < +∞
E(Ω) = C∞(Ω) con ω ⊆ Rn.D(Ω) = f : Ω → C|f ∈ C∞ e il supporto e compatto = C∞0 .S(Rn) = f ∈ C∞(Rn)|∀α, β ∈ (Z+)n supx∈Rn |xβ∂αf(x)| < +∞D′(Ω) = u ∈ (D(Ω))∗ : ∀ϕjj∈N ⊂ D(Ω) t.c. ϕj → 0 ⇒ u(ϕj) → 0S′(Rn) = u : S(Rn) → C| lineare e continua.
Convoluzione f, g : Rn → Cf ∗ g =
∫Rn f(x− y)g(y)dy Lp(Rn) con ∗ e commutativo, associativo e distributivo
18
Trasformata di Fourier in Rn f ∈ L1(Rn)[F(f)] (ξ) = f =
∫e−ixξf(x)dx f(x) = 1
(2π)n
∫eixξ f(ξ)dξ.
Trasformata di Fourier in L2(Rn) f ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn)fk ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn), fk → f
Proprieta f, g ∈ L2
Dαf = (iξ)αf f, g ∈ L1, (f ∗ g) = (2π)n2 f g∫
Rn fgdx =∫Rn f gdx
ConvergenzaPuntuale di funzioni ∀x ∈ I∃ limn→+∞ fn(x)Uniforme di funzioni(1) ∀ε > 0∃N = N(ε) : n > N ⇒ |fn − f(x)| < ε,∀x ∈ IUniforme di funzioni(2) limn→+∞ supx∈I |fn(x)− f(x)| = 0Puntuale di serie ∀x ∈ I∃ limn→+∞
∑nn=0 fn(x)
Uniforme di serie limm→+∞ supx∈I |∑m
n=0 fn(x)− f(x)| = 0
Integrali definiti notevoli∫ +∞−∞ e−
x2
2 dx =√
2π∫ +∞0 e−x2
dx =√
π2∫ +∞
0x
ex−1dx = π2
6
∫ +∞0
sin xx dx = π
2∫ +∞−∞
sin xx dx = π
∫ π2
0 ln cos xdx = −π2 ln 2∫ +∞
0 xz−1e−xdx = Γ(z) funzione gamma
Equazioni differenziali alle derivate parzialiLaplace ∆u = 0Calore ut −∆u = 0Onde utt −∆u = 0Schrodinger iut + ∆u = 0Trasporto ut +
∑ni=1 biuxi = 0
19
Formula di Cauchy I(γ, a)f(a) = 12πi
∫γ
f(z)z−adz
Formula di Cauchy per le derivate fn(a) = n!2πi
∫γ
f(z)(z−a)n+1 dz
Condizioni di Cauchy Riemann ∂f∂x + i∂f
∂y = 0Serie di Laurent f(z) =
∑+∞n=−∞ cn(z − z0)n
cn = 12πi
∫γ
f(z)(z−z0)n+1 dz
Residuo di f Res(f) = c−1 = 12πi
∫γ f(z)dz
Residuo all’infinito −c−1
Residuo per un polo di ordine 1 Res(z0) = limz→z0(z − z0)f(z)
Residuo per un polo di ordine n Res(z0) = 1(n−1)! limz→z0
ddz
n−1[(z − z0)f(z)]
Se f(z) = P (z)Q(z) Res(f, z0) = P (z0)
Q′(z0)
Teorema dei residui∫γ f(z)dz = 2πi
∑ni=1Res(f, zi)
n numero punti singolari in γ
DisuguaglianzeCauchy ab ≤ a2
2 + b2
2 a, b ∈ RYoung ab ≤ ap
p + bq
q a, b ∈ R con 1p + 1
q = 1.Cauchy-Schwarz |~x · ~y| ≤ |~x||~y| ~x, ~y ∈ Rn
Holder se 1 ≤ p, q ≤ ∞ 1p + 1
q = 1, u ∈ LP , v ∈ Lq ⇒ ∫U |uv|dx ≤‖ u ‖p‖ v ‖q
Minkowski 1 ≤ p ≤ ∞, u, v ∈ Lp(U) ⇒‖ u + v ‖p≤‖ u ‖p + ‖ v ‖p
Teorema di esistenza (di Peano)
Se f e continua in un aperto D ⊆ R2 e (t0, y0) ∈ D, allora esiste almeno unasoluzione al problema
y′ = f(t, y)y(t0) = y0
Teorema di esistenza e unicita locale
Se f e continua in un aperto D ⊆ R2, insieme a fy, allora per ogni punto (t0, y0) ∈D esiste un intorno I di t0, in cui e definita la soluzione di
y′ = f(t, y)y(t0) = y0
Teorema di esistenza e unicita locale in Rn
Se ~f e continua in un aperto D ⊆ Rn+1, insieme a ∂ ~f∂yi
con i = 1, · · · , n, allora lasoluzione (locale) di
~y′ = ~f(t, ~y)~y(t0) = ~y0
20
e unica.
Teorema di esistenza e unicita globale
Siano S = (a, b) × R ed f definita in S = [a, b] × R soddisfacente il teorema diesistenza e unicita locale in S. Se
1. ∃h, k tali che |f(t, y)| ≤ h + k|y| ∀(t, y) ∈ S.
2. f e limitata in S,
3. fy e limitata in S e f(t, 0) e limitata in [a, b].
Allora y′ = f(t, y) ha soluzione definita su tutto [a, b] cioe su R.
Teorema di esistenza e unicita globale in Rn
Siano S = (a, b) × Rn ed ~f definita in S soddisfacente il teorema di esistenza eunicita locale in S. Se
1. ∃h, k tali che ‖ ~f(t, ~y) ‖≤ h + k ‖ y ‖ ∀(t, ~y) ∈ S.
2. ~f e limitata in S, ∃M > 0 t.c. ‖ ~f(t, ~y) ‖≤ M ∀(t, ~y) ∈ S,
3. Tutte le ∂ ~f∂yi
sono limitate in S ed ~f(t,~0) e limitata in [a, b].
Allora per ogni (t0, y0) ∈ S la soluzione di
~y′ = ~f(t, ~y)~y(t0) = ~y0
esiste in tutto [a, b].
Teorema (prolungamento)
Se f(t, y) e continua con derivata parziale fy continua in un aperto D e se R e unqualunque rettangolo chiuso contenuto in D e che contiene il punto (t0, y0) allora lasoluzione del problema di Cauchy
y′ = f(t, y)y(t0) = y0
fornita dal teorema di esistenza ed unicita puo essere estesa ad un certo intervallochiuso [t1, t2] in modo che i punti (t1, y(t1)), (t2, y(t2)) appartengano alla frontiera delrettangolo R.
Approssimazioni successive
Nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicita, la successione definita per ricor-renza da
21
y0(t) = y0
yn+1 = y0 +∫ tt0
f(s, yn(s))ds(0.5.1)
converge uniformemente alla soluzione del problema di Cauchy, in ogni intervallochiuso e limitato contenuto nel dominio della soluzione stessa.
Teorema di Ascoli Arzela
Sia K un insieme compatto di Rn, sia C(K) l’insieme delle funzioni continue suK a valori complessi (o reali) con ‖ f ‖C(K)= supx∈K |f(x)|, un sottoinsieme Γ diC(K) e relativamente compatto in C(K) se e solo se
1. le funzioni di Γ sono uniformemente limitate.
2. Le funzioni di Γ sono uniformemente equicontinue.
Osservazione 1. Una famiglia F di funzioni e detta equicontinua su un compattoK se ∀ε > 0∀x ∈ K∃V (x)∀y ∈ V (x)∀f ∈ F :‖ f(y)− f(x) ‖≤ ε.
Proposizione (convoluzione)
1. Sia f ∈ Ck0 (Rn), g ∈ L1
loc(Rn) allora f ∗ g ∈ Ck(Rn) e ∀α ∈ Zn+, |α| ≤ k si ha
∂α(f ∗ g) = (∂αf) ∗ g.
2. Se f ∈ Cr(Rn), g ∈ Cs(Rn) ⇒ f ∗ g ∈ Cr+s(Rn) in particolare ∀α, β ∈ Z+ con|α| ≤ r, |β| ≤ s si ha ∂α+β(f ∗ g) = (∂αf) ∗ (∂βg).
Funzione di Liapunov
Sia V : D ⊆ R2 → R, V ∈ C1(D). Se esiste un intorno U di (0, 0) tale che
1. V (x, y) ≥ 0 in U e V (x, y) = 0 solo se (x, y) = (0, 0).
2. V (x, y) = Vx(x, y)f(x, y) + Vy(x, y)g(x, y) ≤ 0 in U .
allora V si dice funzione di Liapunov per il sistema
x = f(x, y)y = g(x, y)
(0.5.2)
Teorema
Sia (0, 0) un punto di equilibrio per il sistema
x = f(x, y)y = g(x, y)
(0.5.3)
se esiste una funzione di Liapunov, allora (0, 0) e stabile. Se, inoltre, V ≤ 0 per(x, y) 6= (0, 0), allora (0, 0) e asintoticamente stabile.
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Curva β(s), (param. mediante ascissa curvilinea)Campo tangente T (s) = β′(s)Campo normale N(s) = T ′(s)
‖T ′(s)‖ = 1k(s)T
′(s).Campo binormale B(s) = T (s)×N(s)Torsione τ(s) = −B′(s) ·N(s)
Superficie ϕ(u, v)Coefficienti della prima forma E = ϕu · ϕu, F = ϕu · ϕv, G = ϕv · ϕv
Campo normale N(s) = ϕu×ϕv
‖ϕu×ϕv‖ .Coefficienti seconda forma l = N · ϕuu,m = N · ϕuv, n = N · ϕvv
a11 = Gl−FmEG−F 2 , a12 = Em−Fl
EG−F 2 , a21 = Gm−FnEG−F 2 , a22 = En−Fm
EG−F 2
Curvatura Gaussiana e media K = ln−m2
EG−F 2 ,H = En−2Fm+GlEG−F 2
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