fondazioni superficiali

7/29/2019 fondazioni superficiali

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Calcolo dei cedimenti delle fondazioni

superficiali

Claudio Tamagnini*

* Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale

Universit di PerugiaVia G. Duranti, 93

06125 Perugia, Italy

[email protected]

1. Introduzione

La corretta progettazione delle fondazioni superficiali siano esse a pianta rac-

colta (plinti isolati), travi rovesce o a platea richiede che, sotto lazione dei carichidi esercizio, le fondazioni non subiscano movimenti verticali od orizzontali tali da

pregiudicare la funzionalit della struttura (stato limite di esercizio).

Data la importanza prevalente che i movimenti verticali rivestono nella maggior

parte delle applicazioni, su questi ultimi, comunemente definiti cedimenti nella pra-

tica geotecnica corrente, si principalmente concentrata la attenzione dei ricercatori

che hanno proposto, nel corso degli anni, varie possibili metodologie per la loro valu-

tazione quantitativa.

Le cause dei cedimenti delle fondazioni superficiali sono molteplici, ma possono

essere sempre ricondotte ad una variazione dello stato tensionale efficace nel terreno di

fondazione. Tale variazione nella maggior parte dei casi dovuta ai carichi di esercizio

agenti sulle fondazioni stesse, ma pu talvolta essere provocata da fattori esterni, quali,

ad es., la variazione del regime delle pressioni interstiziali indotta da un processo didrenaggio.

Da un punto di vista progettuale, limportanza di una corretta valutazione dei ce-

dimenti pu variare da caso a caso. In alcune circostanze, pu essere sufficiente la

sola valutazione del comportamento delle opere in esercizio ; in altre, la necessit di

provvedere ad un adeguato controllo dei cedimenti pu condizionare in maniera de-

terminante il progetto dellopera di fondazione.

C. Tamagnini Dispense Corsi di Recupero. Volume 4/Mar. 2003, pag. 1 31


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2 C. Tamagnini Dispense Corsi di Recupero. Volume 4/Mar. 2003

In linea di principio, la previsione dei cedimenti delle fondazioni di un edificio

per una assegnata condizione di carico, si configura come un classico problema di

meccanica dei continui deformabili. Noti :

i) la distribuzione dei carichi in corrispondenza della fondazione ;

ii) il profilo stratigrafico del sottosuolo ; e,

iii) le caratteristiche meccaniche ed idrauliche dei terreni,

il campo di spostamenti, u(x) allinterno del terreno pu essere ottenuto risolvendoper le assegnate condizioni al contorno le equazioni differenziali derivanti dalla ap-

plicazione dei principi di conservazione della massa (equazione di continuit) e della

quantit di moto (equazioni indefinite di equilibrio). Un tale approccio presenta en-

ormi difficolt dal punto di vista matematico, che, allo stato attuale possono essere

aggirate almeno in parte solo facendo ricorso a metodi numerici quali, ad es., ilmetodo degli elementi finiti. Tuttavia, per il grado di incertezza tipicamente associato

alla corretta definizione delle sollecitazioni effettivamente trasmesse dalla fondazione

al terreno e, soprattutto, alla descrizione delle caratteristiche di deformabilit dei ter-

reni presenti nel sottosuolo, metodi numerici di questo tipo non sono normalmente

impiegati per la previsione dei movimenti delle fondazioni dirette.

Nella pratica professionale corrente si preferisce piuttosto fare ricorso a metodi di

calcolo tradizionali, a carattere semiempirico, sviluppati quando i mezzi di calcolo

disponibili non consentivano limpiego di approcci pi rigorosi da un punto di vista

meccanico. Il loro impiego confortato dalla esperienza pluridecennale accumulata

nella progettazione di strutture di fondazione nelle condizioni pi diverse per caratte-

ristiche strutturali e propriet meccaniche dei terreni interessati. Nel seguito verranno

discussi alcuni tra i metodi di calcolo convenzionali tra quelli che hanno trovato mag-giore diffusione nella pratica professionale corrente.

2. Metodologie tradizionali per il calcolo dei cedimenti

2.1. Fasi dellanalisi

In generale, il processo logico seguito per il calcolo dei cedimenti negli approcci

di tipo tradizionale pu riassumersi nelle fasi seguenti.

1) Definizione, a partire dalle informazioni ottenute in sede di indagine geotecnica,

del modello geotecnico del sottosuolo, costituito dallinsieme di :

a) un profilo stratigrafico semplificato nel quale la effettiva stratigrafia determi-nata dai sondaggi sostituita da una successione di unit stratigrafiche (strati nella

terminologia geotecnica) omogenee da un punto di vista meccanico e idraulico (in

termini di permeabilit e coefficiente di consolidazione) ;

b) le relazioni costitutive adottate per rappresentare, da un punto di vista mate-

matico, il comportamento meccanico dei terreni presenti nel sottosuolo sotto lazione

dei carichi applicati (es. : legge di Hooke per mezzo elastico lineare, curve di com-


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che, nella definizione del modello geotecnico del sottosuolo, lestensione in profon-

dit del volume significativo di terreno definito come il volume di terreno allinterno

del quale si osserva una influenza non trascurabile delle perturbazioni (meccaniche

od idrauliche) provocate dalla costruzione dellopera di ingegneria tipicamente

dellordine delle dimensioni complessive dellopera (es., larghezza globale della strut-

tura), piuttosto che delle dimensioni della singola opera di fondazione.

Nel definire la risposta del terreno alle sollecitazioni applicate inoltre utile distin-

guere i casi in cui nel sottosuolo siano presenti in prevalenza strati di terreno coesivo, a

grana fine, e quelli in cui il profilo stratigrafico sia composto essenzialmente da terreni

a grana grossa, non coesivi, in virt delle differenti caratteristiche di compressibilit

e, soprattutto, di permeabilit di tali classi di materiali.

2.2. Terreni a grana fine

Nel calcolo dei cedimenti in presenza di terreni coesivi si distinguono normal-

mente tre distinte componenti del cedimento totale, indotto a lungo termine dai carichi

applicati :

cedimento immediato, dovuto alle eventuali distorsioni a volume costante che il

terreno pu subire a breve termine, in condizioni non drenate, a seguito delle varia-

zioni dello stato tensionale totale ;

cedimento di consolidazione, dovuto alle variazioni di tensione efficace che si

sviluppano, nel tempo, per effetto della progressiva dissipazione delle sovrapressioni

interstiziali indotte dalla applicazione dei carichi in condizioni non drenate (processo

di consolidazione, da cui deriva la denominazione di tale componente dello sposta-mento) ;

cedimento secondario o di creep, dovuto alle deformazioni viscose che si svilup-

pano nello scheletro solido in condizioni drenate, a stato tensionale efficace costante.

Indicando con w la componente verticale dello spostamento totale di un genericopunto in corrispondenza del piano di posa delle fondazioni, si ha dunque :

w = wi + wc + ws (1)

nella quale wi il cedimento immediato, wc il cedimento di consolidazione, e ws ilcedimento secondario.

Le tre componenti del cedimento totale possono avere importanza relativa diffe-

rente, a seconda delle caratteristiche dei terreni presenti nel sottosuolo. I cedimenti

immediati sono normalmente modesti, rispetto ai cedimenti di consolidazione, ma la

loro importanza relativa tende ad aumentare al crescere del grado di sovraconsoli-

dazione del terreno. I cedimenti secondari sono invece normalmente molto modesti

in depositi sovraconsolidati, ma possono diventare rilevanti in terreni teneri, normal-

mente consolidati, specialmente in presenza di una forte componente organica nella

fase solida del terreno.


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Cedimenti delle fondazioni superficiali 5

2.3. Terreni a grana grossa

Rispetto ai terreni coesivi a grana fine, il comportamento meccanico dei terreni a

grana grossa presenta due caratteristiche di grande importanza nella valutazione dei

cedimenti. Innanzitutto, tali materiali sono tipicamente caratterizzati da una rigidezza

molto maggiore di quella dei depositi argillosi, anche se consistenti e fortemente so-

vraconsolidati. Ne deriva che, se nel profilo del sottosuolo presente una alternanza

di strati di terreni a grana fine ed a grana grossa, il contributo fornito al cedimento to-

tale in superficie dalle deformazioni accumulate in questi ultimi strati generalmente

molto modesto rispetto a quello relativo alle deformazioni negli strati argillosi.

Inoltre, data lelevata permeabilit e la grande rigidezza di tali materiali, le de-

formazioni prodotte dalla applicazione dei carichi si sviluppano sempre in condizioni

drenate. Tutte le variazioni dello stato tensionale totale nel terreno si trasferiscono

immediatamente allo scheletro solido sotto forma di variazione dello stato tensionale

efficace, mentre le pressioni interstiziali rimangono costanti :

= u = 0

Le deformazioni prodotte dai carichi applicati in tali terreni contribuiscono dunque

solo al cedimento immediato wi.

Una ultima, ma non meno importante, considerazione riguardo alla valutazione

delle deformazioni negli strati di terreno a grana grossa riguarda la valutazione delle

loro caratteristiche meccaniche. Dal momento che in tali terreni non possibile proce-

dere al prelievo di campioni indisturbati dai quali ricavare le informazioni necessarie

circa le caratteristiche di deformabilit del terreno, la caratterizzazione di tali depo-siti tipicamente basata sulla interpretazione di prove in sito, quali, ad es., le prove

penetrometriche statiche (CPT) o dinamiche (SPT). Ci costituisce una limitazione,

in quanto tali prove non consentono normalmente una caratterizzazione molto accu-

rata. Peraltro, ci in parte compensato dal fatto che, per la loro elevata rigidezza,

le deformazioni tipicamente accumulate in tali materiali danno origine a movimenti

relativamente modesti.

3. Calcolo degli incrementi di tensione

Il primo passo per la determinazione dei cedimenti prodotti dai carichi di esercizio

sulle fondazioni consiste nel determinare la distribuzione delle variazioni di tensione

(totale, , ed efficace, ) indotte allinterno del volume significativo di terrenointeressato dallopera.

In generale, il calcolo degli incrementi di tensioni indotti rappresenta un problema

matematico di estrema complessit per i seguenti fattori :

le caratteristiche geometriche dellopera ;

la non linearit del comportamento meccanico del terreno ;


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la disomogeneit delle caratteristiche dei terreni presenti nel sottosuolo (es., pre-

senza di stratificazioni) ;

la dipendenza della distribuzione delle pressioni di contatto tra terreno e fonda-

zione dalle caratteristiche di rigidezza relativa della struttura di fondazione rispetto a

quelle del terreno (interazione terrenostruttura).

Nei metodi tradizionali, tali difficolt sono tipicamente aggirate in modo tale da po-

ter procedere ad una valutazione approssimata ricorrendo a soluzioni in forma chiusa.

Per quanto riguarda le caratteristiche geometriche dellopera, opportuno osser-

vare che, per effetto dei fenomeni di diffusione delle tensioni, a breve distanza dal

piano di posa delle fondazioni la distribuzione degli incrementi di tensione indotta

risulta largamente indipendente dalla effettiva geometria dei corpi di carico. Dunque,

se si escludono gli strati di terreno immediatamente adiacenti al piano di posa, non sihanno apprezzabili differenze tra le variazioni dello stato tensionale prodotte da ca-

richi applicati su fondazioni a pianta raccolta, su travi rovesce o su platea, a parit

di carico totale imposto. Nella maggioranza dei casi applicativi dunque sufficiente

assumere per i corpi di carico una geometria pari a quella dellarea di impronta della

struttura, generalmente semplice (es., circolare, rettangolare o nastriforme).

La disomogeneit dei terreni di fondazione e la nonlinearit della loro risposta

meccanica esercitano una grande influenza nel determinare la distribuzione degli in-

crementi di deformazione associati alla variazione dello stato tensionale efficace, ma

non hanno un grande effetto sullandamento degli incrementi di tensione, special-

mente sugli incrementi di tensione verticale, i quali sono essenzialmente controllati

dalle condizioni di equilibrio alla traslazione verticale. Per conseguenza, la scelta

operata nel valutare gli incrementi di tensione indotte consiste nellignorare tali ca-ratteristiche dei terreni di fondazione, assumendo per questi ultimi il modello di com-

portamento pi semplice possibile. Tipicamente, il sottosuolo viene assimilato ad un

semispazio omogeneo dal comportamento elastico lineare isotropo. Ci consente di

sfruttare tutti i risultati noti della teoria dellelasticit per costruire soluzioni anali-

tiche del problema per le condizioni di carico pi comuni (striscia di carico indefinita,

carico circolare, carico rettangolare, etc.). Di particolare utilit nellimpiego di tali

soluzioni il fatto che lipotesi di linearit della risposta del terreno consente di uti-

lizzare il principio di sovrapposizione degli effetti per combinare pi soluzioni note

di tipo semplice al fine di ottenere la soluzione relativa a corpi di carico di forma

geometricamente complessa.

Un punto essenziale nellutilizzo della teoria dellelasticit per il calcolo degli in-

crementi di tensione riguarda la corretta definizione delle condizioni al contorno in

corrispondenza della superficie di contatto terrenofondazione, in termini di sforzi

trasmessi al terreno da questultima. Come gi precedentemente anticipato, in gene-

rale, la distribuzione delle pressioni di contatto tra terreno e fondazione il risultato di

un complesso fenomeno di interazione terrenostruttura. Infatti, la distribuzione delle

sollecitazioni sul terreno dipende, in generale, dal modo in cui la struttura di fonda-

zione ed il terreno si deformano sotto lazione dei carichi applicati. Le deformazioni


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della struttura per, a loro volta, dipendono dalla effettiva distribuzione delle solle-

citazioni trasmesse tra terreno e fondazione. Volendo prescindere dalla analisi di tale

processo di interazione che ha interesse pratico solo per la determinazione delle ca-

ratteristiche di sollecitazione (momenti flettenti e sforzi di taglio) negli elementi strut-

turali lapproccio seguito dai metodi tradizionali consiste nellignorare lesistenza

della sovrastruttura, assumendo che le sollecitazioni trasmesse al terreno siano note

ed indipendenti dallo stato di deformazione ad esse associato. In particolare, vengono

presi in considerazione i due casi limite di :

fondazione perfettamente flessibile, e

fondazione perfettamente rigida.

Nel primo caso, il carico totale applicato viene considerato come distribuito uniforme-

mente sullarea di contatto tra fondazione e terreno. Se q la pressione media agentesul piano di fondazione, ci equivale ad assumere come condizione al contorno per il

problema elastico :

ijnj = qni n = qn (2)

doven la direzione della normale alla superficie di contatto (tipicamente coincidente

con la verticale). Nel secondo caso, invece, le condizioni al contorno sul piano di

fondazione sono definite in termini di spostamenti imposti. Se u(x) rappresenta ladistribuzione degli spostamenti (noti) del piano di fondazione compatibili con un

moto rigido della stessa si ha :

u(x) = u(x) (3)

Per entrambe le condizioni al contorno (2) (condizione naturale, o di Neumann) e(3) (condizione al contorno forzata, o di Dirichlet), la teoria dellelasticit applicata

al caso di semispazio elastico omogeneo isotropo consente di ottenere le soluzioni in

forma chiusa per gli incrementi di tensione indotti da corpi di carico di forma geome-

trica semplice quali striscia di carico indefinita, carico circolare, carico rettangolare

ma sufficiente a descrivere la geometria delle strutture nella stragrande maggioranza

dei casi.

A titolo di esempio, gli incrementi di tensione indotti da una striscia di carico

indefinita di larghezza B ed intensit qsono forniti dalle seguenti espressioni :

z =q

[ + sin cos( + 2)] (4)

x =q

[ sin cos( + 2)] (5)

y =2q

(6)

xz =q

sin sin( + 2) (7)

La posizione del punto nel sottosuolo al quale tali componenti si riferiscono definita

dagli angoli e , come indicato nello schema di fig. 1. E interessante notare che


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Figura 1. Striscia di carico indefinita : schema per il calcolo delle tensioni indotte.

nessuna delle componenti di dipende dal modulo di Young, E, del terreno, e chela componente verticale non dipende nemmeno dal suo coefficiente di Poisson, . Cigiustifica in qualche modo la approssimazione introdotta con le ipotesi di omogeneit

ed elasticit lineare del terreno.

In altri casi, la soluzione, analiticamente molto pi complessa, viene fornita gra-

ficamente sotto forma di abachi, oppure tabellata. Nelle fig. 2 e 3 sono riportate le

soluzioni per corpo di carico circolare o rettangolare (abaco di Newmark). Tali solu-zioni sono sempre fornite in forma adimensionale per renderle applicabili a classi di

problemi geometricamente simili.

4. Cedimenti nei terreni a grana fine

4.1. Considerazioni generali

Per una assegnato punto P, di coordinate (x, y) appartenente al piano di campagna,lo spostamento verticale totale, a lungo termine, w(x, y) dato da :

w(x, y) =L0

z (x,y,z) dz =L0

z (

(x, y, z)) dz (x, y = cost.) (8)

Nella eq. (8), z rappresenta lincremento di deformazione verticale (direzione z),dipendente dalle componenti dellincremento di tensione efficace indotto dal ca-rico applicato, a sua volta variabile con la profondit z (per x ed y assegnate), mentreL rappresenta la dimensione, misurata lungo la verticale, del volume significativo diterreno interessato dalle deformazioni (fig. 4).


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Figura 2. Incremento di tensione verticale indotto da un carico agente su un area

circolare (da Foster & Ahlvin, 1954).

La definizione di questultima quantit merita un commento ulteriore. Lo spessore

complessivo degli strati deformabili chiaramente definibile senza ambiguit quando,

a profondit dellordine della dimensione in pianta del corpo di carico, si rinvenga

nel sottosuolo un substrato roccioso o comunque uno strato di terreno molto rigido

(ad es., ghiaie o sabbie ghiaiose molto addensate), tale da poter essere considerato

virtualmente incompressibile, che si estenda oltre la profondit massima investigata

nellindagine geotecnica. In questo caso, L non altro che la profondit dal piano

campagna del tetto dello strato rigido in questione.

Se per lindagine geotecnica non consente di individuare una unit stratigrafica

con queste caratteristiche (as es., se nel sottosuolo si rinviene un unico deposito coe-

sivo di spessore molto maggiore delle dimensioni in pianta della struttura), allora il

contorno rigido va fissato artificialmente in corrispondenza della profondit alla

quale gli incrementi di tensione verticale indotti (che decrescono con z) risultano suffi-cientemente modesti da indurre incrementi di deformazione praticamente trascurabili.


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Figura 3. Incremento di tensione verticale indotto in corrispondenza dello spigolo di

unarea di carico rettangolare (da Newmark, 1942).

Figura 4. Schema per il calcolo del cedimento w(x, y).


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Poich la rigidezza dei terreni naturali (in percorsi di carico che non portano a rottura)

aumenta con lo stato tensionale corrente, di solito un tale limite per lincremento di

tensione verticale viene fissato in percentuale allo stato tensionale litostatico. Si ritiene

cio trascurabile la deformazione prodotta, alla profondit z = L, da un incrementodi tensione z(L) tale che :

z(L)

z0(L) 0.05 (9)

vale a dire, inferiore al 5% della tensione verticale efficace litostatica, z0(L), esis-tente alla profondit z = L.

Il calcolo dellintegrale nelleq. (8) presenta due problemi fondamentali. Il primo,

di natura meccanica, consiste nel definire la relazione costitutiva in base alla qualedeterminare la variazione della deformazione verticale, z(z), al variare delle com-ponenti (note) dellincremento di tensione efficace . Tale operazione descritta indettaglio nei successivi par. 4.34.5.

Il secondo problema invece di natura analitica. In generale, la funzione inte-

granda z(z) talmente complessa che non possibile calcolare lintegrale nella (8)in forma chiusa. Per ovviare a tale inconveniente tenendo anche conto delle nume-

rose approssimazioni introdotte nelle varie fasi dellanalisi si ricorre ad una proce-

dura di integrazione numerica approssimata. Si introduce una suddivisione degli strati

compresi allinterno del volume significativo di terreno (0 z L) in un numerofinito, ma sufficientemente elevato di livelli, cos come indicato in fig. 5. Tali livelli

sono di spessore sufficientemente piccolo da poter ritenere costanti al loro interno gli

incrementi di tensione e le caratteristiche di rigidezza del terreno. Il cedimento totalea lungo termine, w in corrispondenza del piano di campagna, quindi approssimatocome :

w(x, y) =

ni=1

z,i(x, y, zi) zi (x, y = cost.) (10)

dove n il numero totale dei livelli introdotti nella discretizzazione del volume signi-ficativo, e z,i lincremento di deformazione verticale calcolato in corrispondenzadel baricentro del generico livello i [1, n], di spessore zi. Si noti che tale suddivi-sione in livelli consente di tener conto facilmente della presenza di pi strati di terreno

diversi nellambito del volume significativo di terreno. Come illustrato in fig. 5, la

suddivisione in livelli viene fatta in modo da far coincidere le superfici di contatto dei

vari strati con alcune delle superfici di separazione tra i vari livelli. Naturalmente, ognistrato pu essere suddiviso in pi livelli distinti.

Lerrore introdotto mediante lintegrazione numerica diminuisce al crescere del

numero dei livelli, ma, normalmente, non necessario utilizzare pi di una decina di

livelli per ottenere risultati largamente accettabili dal punto di vista pratico. Lo spes-

sore zi pu variare da un livello allaltro. Normalmente conviene impiegare livellidi spessore modesto in prossimit della superficie, dove maggiori possono essere le


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Figura 5. Suddivisione degli strati compressibili in livelli per la valutazione appros-

simata dellintegrale (8).

variazioni con la profondit degli incrementi di tensione e della rigidezza del terreno,

mentre a profondit elevate, per i valori modesti delle variazioni di tensione, gene-

ralmente possibile impiegare livelli di spessore pi elevato. In presenza di alternanze

di terreni coesivi e non coesivi, livelli di spessore elevato (talvolta coincidente con

lo spessore dellintero strato) possono essere impiegati per valutare gli spostamenti

accumulati negli strati di terreno non coesivo, molto meno deformabili dei terreni a

grana fine.

4.2. Cedimento immediato

Come gi discusso nel par. 2.2, il cedimento immediato, wi, che le fondazioni su-biscono, a breve termine, per le deformazioni accumulate negli strati di terreno coesivo

dovuto alle distorsioni associate alle variazioni dello stato tensionale totale.

Il calcolo delle deformazioni z che contribuiscono a definire il cedimento imme-diato viene tipicamente affrontato ricorrendo alla teoria dellelasticit, e descrivendo

la risposta meccanica del terreno alle sollecitazioni applicate in termini di tensioni


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totali. Dalla legge di Hooke scritta in termini di tensioni totali e dalla eq. (10) si ha

dunque :

wi =

nci=1

1

Eu,i

z,i

1

2(x,i + y,i)

zi (11)

dove nc n il numero totale dei livelli nei quali sono suddivisi gli strati di terrenocoesivo ; x,i, y,i e z,i sono gli incrementi di tensione totale orizzontali everticale lungo le direzioni x, y e z, calcolati in corrispondenza del baricentro delgenerico livello i [1, nc], ed Eu,i il modulo di Young non drenato del terrenonello stesso punto. Nella eq. (11) stato implicitamente assunto che, per la ipotesi di

incompressibilit, u = 1/2.

Si noti che nel caso di deformazione monodimensionale (condizioni edometriche),

per il quale si ha :

x = y = 0 z = v (12)

non pu svilupparsi alcun cedimento immediato, perch in condizioni non drenate

v = 0. Peraltro, tale situazione si verifica anche quando la larghezza B del corpodi carico sufficientemente maggiore dello spessore L degli strati deformabili. Soloquando B pari o inferiore a 1.5L 2L le deformazioni distorsionali diventano ap-prezzabili ed il piano di campagna pu subire cedimenti immediati significativi.

Al cedimento immediato accumulato negli strati coesivi va poi aggiunto il contri-

buto derivante dalle deformazioni indotte negli strati di terreno a grana grossa, che si

manifestano immediatamente a seguito della variazione dello stato tensionale efficace.

4.3. Cedimento di consolidazione : metodo edometrico

La dissipazione delle sovrapressioni interstiziali indotte a breve termine dai ca-

richi applicati da origine a variazioni nel tempo dello stato tensionale efficace che,

a loro volta, generano deformazioni e spostamenti crescenti nel tempo fino al rag-

giungimento delle condizioni di equilibrio, di lungo termine, nelle quali le pressioni

interstiziali sono nuovamente in equilibrio con le condizioni al contorno e tutte le

variazioni dello stato tensionale totale ed efficace risultano coincidenti :

= u = 0

A tale processo di filtrazione e deformazione accoppiata in regime non stazionario si

attribuisce il nome di processo di consolidazione. I cedimenti ad esso associati sono

dunque definiti cedimenti di consolidazione, wc.

Esistono diversi metodi approssimati per la determinazione dei cedimenti di conso-

lidazione nei terreni coesivi. Il primo, ed anche il pi diffuso di essi il cosiddetto

metodo tradizionale o edometrico, originariamente proposto da Terzaghi (1943).

Nel metodo edometrico, gli incrementi di deformazione z,i relativi al genericolivello i appartenente ad uno strato di terreno coesivo, associati alla variazione finale


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dello stato tensionale efficace sono determinati assumendo che ciascun livello si de-

formi in condizioni edometriche. Ci significa che :

a) gli incrementi di deformazione verticale coincidono con le variazioni della de-

formazione di volume del terreno :

z,i = v,i (13)

b) per il calcolo degli incrementi di deformazione di volume possibile utilizzare

le leggi di compressibilit volumetrica derivate direttamente dalla interpolazione dei

risultati di prove di compressione edometrica in laboratorio :

e = e0

Cc log z

z0

per terreni normalmente consolidati (14)

e = e0 Cs log

z

z0

per terreni sovraconsolidati (15)

nelle quali e0 e

z0 rappresentano le coordinate di un qualunque punto sulle linee di

compressione vergine (LCV) o di rigonfiamento (LR), rispettivamente, mentre Cc eCs sono i coefficienti di compressione vergine e di rigonfiamento del terreno.

Naturalmente, risulta immediatamente evidente come tanto lipotesi (a) quanto

lipotesi (b) siano in contrasto con la metodologia impiegata per il calcolo degli in-

crementi di tensione indotti. Infatti, in condizioni di deformazione effettivamente mo-

nodimensionali, si ha :

xz = yz = xz = yz = 0

dunque, dalle equazioni indefinite di equilibrio scritte per gli incrementi di tensione si

ottiene :xz

x+

yzy

+z

z=

zz

= 0

Dunque lincremento di tensione verticale deve necessariamente essere costante con

la profondit e pari al carico applicato :

z = q = cost.

Questa condizione non normalmente soddisfatta dalle distribuzioni di tensione cal-

colate con la teoria dellelasticit, le quali tengono conto della larghezza finita del

corpo di carico. Inoltre, le leggi di compressibilit (14) e (15) descrivono un mate-

riale la cui rigidezza volumetrica cresce linearmente con lo stato tensionale, dunque

dal comportamento fortemente non lineare, in contrasto con la ipotesi di linearit as-

sunta nel calcolo delle tensioni indotte. Tali considerazioni portano a concludere che

il metodo edometrico debba essere considerato non un metodo rigoroso, ma piuttosto

un approccio di natura essenzialmente empirica, che trova la sua giustificazione nei

buoni risultati ottenuti nella sua applicazione pratica in alcuni decenni di esperienza.


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Figura 6. Calcolo delle deformazioni in condizioni edometriche. Caso 1 : terreno

normalmente consolidato.

Le variazioni dellindice dei vuoti fornite dalle eq. (14) e (15) sono legate alle

deformazioni di volume dello scheletro solido, dalla semplice relazione :

v = e

1 + e0(16)

dove e0 il valore iniziale dellindice dei vuoti del terreno. Dalle eq. (13)(16) si ri-cavano agevolmente gli incrementi di deformazione in condizioni edometriche z,i.In particolare, in base ai valori della tensione verticale efficace iniziale, z0, dellin-cremento di tensione z,i e della tensione di preconsolidazione,

zc,i per il generico

livello i, si possono presentare i seguenti tre casi :

Caso 1 : il terreno inizialmente normalmente consolidato e subisce un incre-

mento di tensione verticale efficace (fig. 6. In tali condizioni, il cedimento a lungo

termine fornito dal metodo edometrico, indicato con il simbolo wed, dato da :

wed =nci=1

(Cc)i1 + (e0)i

log

1 + z,i

z0,i

zi (17)

Caso 2 : il terreno inizialmente sovraconsolidato e tale rimane al termine del

processo di carico, essendo :

z,i =

z0 + z,i <

zc,i


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Figura 7. Calcolo delle deformazioni in condizioni edometriche. Caso 2 : terreno

sovraconsolidato.

vedi fig. 7. In questo caso, il cedimento edometrico risulta pari a :

wed =

nci=1

(Cs)i1 + (e0)ilog

1 + z,iz0,i

zi (18)

Caso 3 : il terreno inizialmente sovraconsolidato, ma raggiunge la linea di

consolidazione vergine durante processo di carico, essendo :

z,i =

z0 + z,i >

zc,i

vedi fig. 8. In questo caso, il cedimento edometrico deriva da due diverse componenti

di deformazione. La prima, elastica, deriva dalla variazione dellindice dei vuoti ee

prodotta dallincremento di carico (zc

z0) lungo la linea di rigonfiamento (trattoAB in fig. 8) ; la seconda, elastoplastica, deriva dalla variazione dellindice dei vuoti

eep prodotta dallincremento di carico (z

zc) lungo la linea di compressionevergine (tratto BC in fig. 8). In questo caso, il cedimento edometrico risulta dunque

pari a :

wed =

nci=1

1

1 + (e0)i

(Cs)i log

zc,iz0,i

+ (Cc)i log

z,izc,i

zi (19)

Nelle espressioni (17)(19) del cedimento edometrico wed, i coefficienti di compres-sibilit vergine, Cc, di rigonfiamento, Cs e lindice dei vuoti iniziale, e0, possono


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Figura 8. Calcolo delle deformazioni in condizioni edometriche. Caso 3 : terreno in-

izialmente sovraconsolidato, quindi nuovamente normalmente consolidato al termine

della fase di carico.

variare da un livello allaltro, ad es., nel passaggio da uno strato ad un altro adiacente

con diverse caratteristiche meccaniche, oppure per tenere conto della eventuale va-riazione dellindice dei vuoti con la profondit. A proposito di questultimo punto,

opportuno osservare che, sebbene ci si debba aspettare che e0 diminuisca con z pereffetto del crescente carico litostatico, tale effetto generalmente molto modesto, a

meno che lo strato in questione non sia di spessore molto elevato. Nella maggior parte

dei casi, dunque, risulta sufficiente definire un unico valore di e0 per ogni singolostrato, determinato come media delle misure disponibili dalle indagini in laboratorio.

In condizioni effettivamente edometriche, il cedimento immediato wi nullo, edil cedimento calcolato con il metodo edometrico in corrispondenza delle condizioni

finali di lungo termine, wed, coincide con il cedimento di consolidazione wc. Quandotuttavia le condizioni di carico consentono lo sviluppo di cedimenti immediati, si pu

ritenere specialmente per strutture realizzate su argille tenere che wed rappresenti il

cedimento totale delle fondazioni. Il cedimento di consolidazione dunque calcolabilecome :

wc = wed wi (20)

Il cedimento wc cos determinato costituisce laliquota di wed che si sviluppa progres-sivamente nel tempo con il decorso del processo di consolidazione.


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Figura 9. Consolidazione monodimensionale di uno strato di argilla.

4.4. Decorso dei cedimenti nel tempo : la teoria della consolidazione di Terzaghi

La metodologia descritta nel precedente par. 4.3 consente di calcolare il cedimento

finale totale a lungo termine della fondazione, ma non fornisce indicazioni riguardo

landamento nel tempo del processo di consolidazione e del relativo cedimento. Ci

di fondamentale importanza, in quanto, in presenza di terreni argillosi o limoargillosi,

la durata del processo di consolidazione pu risultare considerevole, talvolta dellor-

dine di diverse decine di anni.

Coerentemente con lapproccio impiegato per il calcolo del cedimento di conso-

lidazione, lo strumento teorico impiegato per la determinazione del decorso dei ce-

dimenti nel tempo la ben nota teoria della consolidazione monodimensionale di

Terzaghi (si veda ad es., Burghignoli, 1985), la cui derivazione discussa in dettaglio

nella Appendice B.

La teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi prende in considera-

zione la situazione stratigrafica illustrata in fig. 9. Uno strato di terreno compressibile

(es., argilla) di spessore 2H, compreso tra due strati di terreno a grana grossa (es., sab-bia) praticamente rigidi ed infinitamente permeabili, soggetto ad un carico uniforme

q, infinitamente esteso, applicato istantaneamente per t = 0 e quindi mantenuto cos-tante. Lapplicazione istantanea del carico q in condizioni edometriche produce una

variazione di pressione interstiziale iniziale u(z, 0) (per t = 0) rispetto alla pres-sione interstiziale iniziale (idrostatica) u0(z), che determinabile come segue. Poichil terreno sollecitato in condizioni non drenate, la deformazione di volume (coinci-

denze con quella verticale) deve necessariamente essere nulla. Dunque :

v(z, 0) = z(z, 0) = 0 (per t = 0)


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Essendo le deformazioni verticali direttamente associate alle variazioni di tensione

efficace verticale z attraverso il legame costitutivo del terreno, se ne deduce che :

z(z, 0) = z(z, 0)u(z, 0) = 0 (21)

dalla quale si ricava, infine :

u(z, 0) = z(z, 0) = q (22)

Il nuovo campo di pressioni interstiziali per t = 0 :

u(z, 0) = u0(z) + u(z, 0)

non per in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno imposte sulle duesuperfici drenanti al contatto tra lo strato di argilla e gli strati di sabbia (vedi fig. 9) :

u(z, t) = w(z0 zw) per z = z0 (23)

u(z, t) = w(z0 + 2H zw) per z = z0 + 2H (24)

Questo innesca un moto di filtrazione monodimensionale verso i contorni drenanti,

che determina una progressiva riduzione nel tempo di u(z, t) finch il campo dipressioni interstiziali non ritorna alle sue condizioni iniziali (u(z,) = 0).

Levoluzione nello spazio e nel tempo dellincremento di pressione interstiziale

u(z, t) controllata dalla equazione di continuit della fase fluida, che, per le ipo-tesi assunte sulla cinematica del processo di deformazione e sul comportamento dello

scheletro solido assume la forma seguente :

2(u)

z2=

1

cv

(u)

t(25)

dove :

cv =kEed

w(26)

una costante del materiale, detta coefficiente di consolidazione. La derivazione della

eq. (25) a partire dalla equazione di conservazione della massa per il liquido descritta

nellAppendice A.

La soluzione dellequazione (25) richiede la definizione di opportune condizioni

iniziali ed al contorno. Le condizioni iniziali sono fornite dalla eq. (22). Per quantoriguarda le condizioni al contorno, si ha, in corrispondenza del tetto (z = z0) e delletto (z = z0 + H) dello strato :

u(z0, t) = 0 (contorno drenante) (27)

(u)

z(z0 + H, t) = 0 (contorno impermeabile) (28)


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Si noti che la condizione al contorno in corrispondenza della superficie impermeabile

a z = z0 + H deriva direttamente dalla legge di dArcy e dalla definizione del caricoidraulico :

h(z, t) = +u(z, t)

w= +

u0(z) + u(z, t)

w(29)

nella quale :

= z0 + H z

la quota geometrica nel generico punto a profondit z, misurata (arbitrariamente)a partire dalla base dello strato compressibile (vedi fig. 9), ed u0(z) = w(z zw)la pressione interstiziale idrostatica iniziale. Dal momento che, in corrispondenza di

tale superficie, la componente verticale della velocit di filtrazione deve essere nulla,

la legge di dArcy impone che :

h

z=

z

+

u0 + u

w

= 1 +1

w

w

(z zw)

z+

(u)

z

=1

w

(u)

z= 0

da cui discende immediatamente la (28).

Integrando la (25) mediante uno sviluppo in serie e tenendo conto delle condizioni

(22), (27) e (28), si ottiene :

u(z, t) = 2

m=0

q

Mexp

M2T

sin

M(z z0)

H

(30)

nella quale M = (2m + 1)/2 e :

T =cv t

H2(31)

una grandezza adimensionale, detta fattore tempo.

La eq. (30) pu essere convenientemente rappresentata in forma adimensionale

introducendo una profondit normalizzata :

Z = z z0H

(32)

ed esprimendo u(z, t) in forma adimensionale attraverso il grado di consolidazione,U(Z, T), definito come :

U(Z, T) = 1u(Z, T)

u(Z, 0)= 1

u(Z, T)

q(33)

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