Fonction de Lyapunov Et Stabilit

8/12/2019 Fonction de Lyapunov Et Stabilit

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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUEET POPULAIRE

UNIVERSITE ABOUBEKR BELKAID - TLEMCENFACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

MEMOIREPour lobtention du grade de

MASTER

Option : Systemes dynamiques et applications a la dynamiques de populations

Presente par :

Mr.CHEKROUN Abdennasser

Theme

Fonction de Lyapunov et stabilite globale

pour un modele de Kermack-McKendrick

avec lage dinfection

Devant le jury compose de :

Mr. K. Yadi , M.C.A. Universite de Tlemcen. President.

Mr. G. Senouci Bereksi , M.C.A. Universite de Tlemcen. Examinateur.

Mr. S. Miri , M.C.B. Universite de Tlemcen. Examinateur.

Mr. T.M. Touaoula , M.C.A. Universite de Tlemcen. Encadreur.

Mr. B.Perthame , Professeur. Universite Pierre et Marie Curie.Invite.

Annee universitaire : 2011 2012


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Remerciements

En preambule a ce memoire, jadresse ces quelques mots pour remercier notre grand

Dieu tout puissant pour exprimer ma reconnaissance envers sa grande generosite. Dieu madonne la volonte, la patience, la sante et la confiance durant toutes mes annees detudes.

Je remercie mes parents detre si patients, si genereux et tellement merveilleux, ils onttoujours ete une source de mtivation dencouragements et de beaucoup de bonheur.

je souhaite aussi adresser mes remerciements les plus sinceres aux personnes qui montapporte leur aide et qui ont contribue a lelaboration de ce memoire.

En effet, je voudrai remercier mon universite, ma famille, mon encadreur et tous ceuxqui ont participe de pres ou de loin a la realisation de mon memoire.

Je tiens a remercier sincerement Monsieur TOUAOULA, qui, en tant que mon enca-dreur, sest toujours montre a lecoute tout au long de la realisation de ce memoire, ainsique pour son aide et le temps quil a bien voulu me consacrer.

Merci a mes professeurs et enseignants davoir ete la, de nous avoir enormemnt apprispar la qualite des enseignements quils nous ont prodigues.

Jadresse mes remerciements aussi a notre chef de departement de mathematiques, MrBenmiloud MEBKHOUT.

Cest, encore, un grand plaisir pour moi, dadresser mes plus sinceres remerciements amonsieurs :K. Yadi, S. Miri, G. Senouci Bereksi, B.Perthame davoir bien voulu presidermon jury, davoir accepter de faire partie de ce jury.

Je remercie egalement mes camarades de Master II et mes amis du departement pourleurs conseils et leurs idees.

Enfin, jadresse mes plus sinceres remerciements a tous mes proches et amis, qui monttoujours soutenu et encourage au cours de la realisation de ce memoire.

Merci a tous et a toutes.


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Dedicace

Je dedie ce memoire :A mes tres chers parents.

A mon Frere : Salah Edine.A ma soeur : Soumia et son mari Mohamed.

A ma petite niece : Wissem,Meriem .A toute ma famille et specialement a mes cousins.

A tous mes amis sans exception .A mes collegues : Merwan, Oussama, Soufiane, Yassine, Rima, Kheira, Wafaa, Ikram

Zoubida , Ilhem, Awatif, Nawal , Nesrine, Ibtissem, Kamila

et les autres collegues de ma promotion et du departement .A tous qui mont apporte du soutien toute ma vie .

A tous mes enseignants.


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Table des matieres

Introduction 3

1 Preliminaires 51.1 Generalites sur les equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Stabilite des equilibres au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Rappels et complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Modelisation mathematique 102.1 Modelisation mathematique appliquee a la dynamique de populations . . . 102.2 Modelisation mathematique en epidemiologie . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Le modele de Kermack-McKendrick avec lage dinfection et interpretation 18

3 Existence et unicite des solutions pour le modele de Kermack-McKendrickstructure en age dinfection 233.1 Lequation non lineaire de renouvellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Existence des solutions du probleme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Existence des solutions du probleme non lineaire . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Comportement asymptotique des solutions 354.1 La stabilite du point dequilibre trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Fonction de Lyapunov et stabilite asymptotique globale du point dequilibre

endemique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Analyse numerique et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Bibliographie 47

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Introduction

Lepidemiologie decrit les variations de frequence des maladies dans les groupeshumains, et recherche les determinants de ces variations, et des facteurs qui pourraientles causer. Elle vise a la comprehension des causes des maladies, a lamelioration de leurstraitements et moyens de prevention. Une maladie infectieuse est une maladie provoqueepar la transmission dun micro-organisme : virus, bacterie, parasite, champignon...Parmi les maladies infectueuses les plus repandues et les plus connues, on citera a titre

dexemple : la Tuberculose, le Paludisme, et le SIDA .

Il est legitime de se poser la question : quel rapport avec les mathematiques ?On pourrait y repondre comme suit :On commence par collecter des donnees (epidemie : nombre de malades, temps de guerison,pourcentage de mortalite . . .) , autrement dit des chiffres . Il sagit de modeliser cesparametres a savoir convertir un probleme concret, issu du monde reel, en un problemede nature mathematique, puis on passe a la resolution et lanalyser du modele, cela peutpermettre de comprendre, de predire, dagir . . .

La vaccination pose encore aujourdhui des problemes nouveaux, pour les-quels la modelisation mathematique demeure indispensable. Notamment, la disparitionprogrammee des maladies amene a reflechir sur la necessite de renforcer la vaccination oude larreter . La diminution rapide de limmunite vaccinale est egalement a lorigine dequestions de sante publique que lon peut etudier par modelisation.

Le theoreme du seuil a ete reformule par la notion du ratio de reproductionde lepidemie, note R0, dont linterpretation usuelle est le nombre de cas directementinfectes par un unique infecte dans une population entierement susceptible. Lintuition,et les mathematiques, montrent que lorsque R0 est plus grand que 1, on aura lapparition

dune epidemie ; et inversement lorsque R0 est inferieur ou egal a 1 .

Dans les articles correspondant a cette etude (Kermack et al., 1927 ; Ker-mack,et al., 1932 ; Kermack et al., 1933), les auteurs decrivent ce qui est maintenantconnu sous le nom de modele SIR , le modele fondamental sous sa forme la plus simpleen EDO.

Ce modele correspond au systeme dequations suivant

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4 TABLE DES MATI ERES

S(t) = S(t)I(t) S(t),

I(t) =S(t)I(t) I(t) I(t),

R(t) =I(t) R(t).

ou S(t) represente la population des susceptibles a linstant t , I(t) celle des infectes etR(t) celle des refractaires. Plusieurs parametres sont utilises pour rendre compte de la dy-namique de cette population : constante correspond aux naissances dans la population,supposees toutes susceptibles, 1/ est la duree de vie moyenne, 1/ la duree infectieusemoyenne et correspond au taux de contact menant a une transmission effective de lamaladie.

Dans ce memoire nous etudions un modele structure en age dinfection ,ou la contagiosite et le taux denlevement peuvent dependre de lage dinfection. Si lenombre de reproduction de base R0 1, on demontre que lequilibre trivial est globa-lement asymptotiquement stable. Pour R0 > 1, une fonction de Lyapunov est utiliseepour montrer que lunique equilibre endemique est globalement asymptotiquement stable .

Soit le modele de KERMACK-MCKENDRICK applique en epidemiologie etudie dansce memoire (on donne plus de details dans un des chapitres qui suivent :

(1)

S(t) = sS(t) S(t)

0

(a)i(t, a)da,

i(t,a)t

+ i(t,a)a

=I(a)i(t, a),

i(t, 0) =S(t)

0

(a)i(t, a)da,

S(0) =S0 0, i(0, .) =i0 L1+(0, +).


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Chapitre 1

Preliminaires

1.1 Generalites sur les equations differentielles

Definition 1.1.1

Une equation differentielle (ED) dordre n est une equation faisant intervenirune fonction y ainsi que ses derivees y(k) jusqua lordre n. Par exemple, une telleequation pourrait etre

y(t) = 2 y(t) ou y= 0.5 t2 y(t) 6t.

Lequation differentielle dordre n la plus generale peut toujours secrire sous la forme

F(t,y,y,...,yn) = 0 (ED)

ou Fest une fonction de (n+ 2) variables. Nous ne considerons que le cas ou t ety sont a valeurs dansR . Une solution a une telle equation differentielle sur lintervalleI Rest une fonction y Cn(I, R)(une fonction y: I Rqui est nfois continumentderivable) telle que pour tout t I, on ait F(t, y(t), y(t),...,yn(t)) = 0.

Remarque : On dit souvent integrer lED au lieu de trouver une solution a lED.

On considere maintenant lequation differentielle :

y =f(t, y(t)) ()

Le probleme de Cauchy :Considerons lequation differentielle () et E ouvert de Rn. Le probleme de Cauchy estle suivant : on se donne un intervalle I de R, t0 I et y0 Eet on cherche toutes lessolutions y: IEde () telles que y(t0) =y0.

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6 Preliminaires

Definition 1.1.2

On dira que lapplication f :UE est localement lipschitzienne en sa secondevariable sur U R Esi et seulement si, quelque soit (t0, z0) U R E, il existe un

voisinage ouvert U0 U de (t0, z0) dans R

E, tel quil existe une constante C0 >0verifiant :

(t, z), (t, x) U0, f(t, z) f(t, x) C0. z x.

Theoreme 1.1.1

Avec les notations de lequation differentielle (), si f est continue sur U etlocalement lipschitzienne en sa seconde variable sur U, quelque soit (t0, y0) U, il existeun intervalle ouvert I0 contenant t0 et une fonction y: I0 E, telle que :- y(t0) =y0 ,- y est une solution de () ,- pour tout intervalle J I0 contenant t0 , il nexiste quune seule solution de ()passant par y0 en t0 . Il sagit de y|J .

Soit lequation differentielle autonome :

y =f(y(t)) (1)

En generale on ne sait pas resoudre lequation differentielle (1) , alors on fait une etude

qualitative de ses solutions . Cette etude commence par la recherche des points dequilibre( points singuliers, fixes, stationnaires) cest-a-dire les points ou la vitesse sannule .

Definition 1.1.3Le point y est dit point dequilibre du systeme(1)sif(y) = 0 autrement dit y estune solution constante de lequation y =f(y(t)).

Definition 1.1.4Soient un ouvert deRn contenant0, et soitV : R une fonction de classeC1,

1. V est dite definie positive si :

(i) V(0) = 0, et(ii) V(u)> 0 pouru \ {0}.

2. V est dite definie negative, siV est definie positive.

3. V est dite semi-definie positive si :(i) V(0) = 0, et(ii) V(u) 0 pour toutu .

4. V est dite semi-definie negative siV est semi-definie positive.


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1.2 Stabilite des equilibres au sens de Lyapunov 7

1.2 Stabilite des equilibres au sens de Lyapunov

Soit lequation differentielley = f(y), (1.1)

ou f : Rn Rn est une fonction de classe C1. Soit y un point dequilibre delequation (1.1).

Definition 1.2.1Lequilibre y est dit stable si pour tout >0, il existe >0 tel que pour toute solutiony(t) de (1.1) on a

y(0) y< t 0 y(t) y< .

Definition 1.2.2Lequilibrey est dit asymptotiquement stable sil est stable, et il exister >0 tel que pourtoute solutiony(t) de (1.1) on a

y(0) y< r limt

y(t) y= 0.

Remarque :Si un point dequilibre est stable mais pas asymptotiquement stable on parle de la stabiliteneutre.

Theoreme 1.2.1 (Stabilite au sens de Lyapunov : methode directe [5] )

Soit y(t) solution de y= f(y)

et soit V une fonction de classe C1 definie positive sur un voisinage de y = 0(sans perte de generalite on prend lequilibre exactement lorigine)

(i) Si dVdt

est semi-definie negative alors y est stable.(ii) Si dV

dt est definie negative alors y est asymptotiquement stable.

Dans le cas (i) V(y) est dite fonction de Lyapunov faible, et dans le cas (ii) V(y) estdite fonction de Lyapunov stricte.

Preuve :(ii) V(x, y) Lyapunov stricte dans le cas planaire.Soit V : R tel que contient (0, 0) .Soit le cercle C de centre (0, 0) inclus dans . Sur ce cercle V admet un minimumV > M car (V(x, y)> 0 si (x, y)= (0, 0)).Soit U lensemble des points interieur a C et inferieur a M en V alors U nest pasvide car (0, 0) U et V(0, 0) = 0< MSoit (x, y) une solution telle que (x(0), y(0)) U , on a 0 V(x(t), y(t)) M.


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8 Preliminaires

On prend t= tn= n alors :V(x(tn), y(tn)) = V((n), y(n)) converge car V decroissante le long des solutions et mi-noree par 0 ,

doncV(x(n+ 1), y(n+ 1)) V(x(n), y(n))

n+0.

Dun autre cote on applique le theoreme des accroissements finis a V dans [n, n+ 1]alorssn]n, n+ 1[ tel que0

n+V(x(n+ 1), y(n+ 1)) V(x(n), y(n)) = d

dtV(x(sn), y(sn)).

(x(sn), y(sn)) se trouve dans un compact donc on peut extraire une sous suite (x(rn), y(rn))qui converge.

dVdt

limn+

(x(rn), y(rn)) = 0 dV

dt(x, y) = 0,

dela (x, y) = (0, 0) car V(x, y) = 0 alors(x, y) = (0, 0) (lyapunov stricte).

donclim

t+(x(t), y(t)) = (0, 0).

Theoreme 1.2.2 (Theoreme dinvariance de LaSalle[5])

Soit Rn y V(y) de classeC1 et definie positive

ddt V(y) 0.

Alors, pour toute condition initialey0, la solution de y= f(y) (definie pour tout tempst > 0) converge asymptotiquement vers le plus grand sous-ensemble invariant contenudans lensemble des points Rn tels que d

dtV() = 0.

1.3 Rappels et complements

Theoreme 1.3.1 (Inegalite de Jensen)

Soient f, g : R mesurables et : R R convexe, ou est ouvert deRnsupposons que :

g 0 p.p sur,

g(x)dx= 1, f g et(f)g L1(),

alors (

f(x)g(x)dx)

(f(x))g(x)dx.


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1.3 Rappels et complements 9

Soit maintenant le theoreme qui donne lexistence et lunicite dun point fixe pour unecontraction sur un espace metrique complet.

Theoreme 1.3.2 (Theoreme du Point Fixe Metrique (Picard) [10])

Soient(E, d)un espace metrique complet et : EEune application contrac-tante, i.e. Lipschitzienne de rapport k < 1 . Alors, admet un unique point fixe a Ec-a-d(a) =a. De plus, pout tout point initialx0 E, la suite iteree(xp)pN, avecx0 Equelconque etxp+1:= (xp) converge versa.

Theoreme 1.3.3 (Lemme de Gronwall [10])

Soit une fonction continue sur un intervalle [0, T], on suppose quil existe k >0

et f continue sur [0, T] tels que :

(t) f(t) + k

t0

(u)du,

alors (t) f(t) + k

t0

f(u)ek(tu)du.

Corollaire 1.3.1

Soit une fonction derivable definie sur un intervalleJ deR a valeur dansRn.Soitt0 J . On suppose que pour t J, avect t0, lapplication verifie :

||(t)|| (t)||(t)|| + (t),

ouet deux fonctions continues definies surJ; la fonction est a valeurs positives ounulles.

soit definie surJ, verifiant lequation :

(t) =(t)(t) + (t),

et satisfaisant ||(t0)|| (t0)

Alors pour tout t t0 on a :||(t)|| (t).


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Chapitre 2

Modelisation mathematique

Les modeles mathematiques des phenomenes biologiques sont de plus en plus realisteset utiles dans la pratique, un reflet de leur utilisation pour aider a comprendre les proces-

sus dynamiques et faire des predictions pratiques.

La modelisation mathematique en biologie est necessaire dans de nombreuses disciplinestelles que lecologie, la dynamique des populations, la genetique, lepidemiologie, la medecineet fait intervenir la plupart des domaines des mathematiques, analyse reelle et complexe,algebre, calcul differentiel et integral, analyse numerique, probabilites et statistique,...

2.1 Modelisation mathematique appliquee a la dyna-mique de populations

Un des domaines de la biologie ou les mathematiques sont les plus representees etdepuis fort longtemps est la dynamique des populations. Ce terme doit etre entendu enun sens tres large. La dynamique des populations netudie pas seulement levolution despopulations animales, vegetales ou bacteriennes, mais concerne aussi la genomique auniveau cellulaire. La dynamique des populations consiste non seulement a decrire la taillede la population etudiee au cours du temps mais aussi a expliquer les comportementsevolutifs observes ainsi que les interactions entre les especes vivantes et leur milieu.

Dans ce qui suit, nous considerons certains modeles deterministes en guise dintroduc-tion a la dynamique de populations.

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2.1 Modelisation mathematique appliquee a la dynamique de populations 11

1-Modele de croissance exponentielle de Malthus [9]

On considere une population dont leffectif au cours du temps est represente par unefonction reelle :

N : R+ R+

En labsence dinteraction avec une autre population, on peut schematiser levolutionde Npar la loi generale :

N(t + t) N(t) = [ taux de naissances taux de deces ]N t

N(t+t)N(t)t

= [ taux de naissances taux de deces ]N

on passe a la limite t 0 :

dNdt = [ taux de naissances taux de deces ]N

On peut ecrire la loi devolution malthusienne

dNdt

= (b d) N, b, d >0

Cette approche, revient a Malthus en 1798.

La solution est donnee par : N(t) =N0 e(bd)t

Proprietes :

N(t) =N0 e(bd)t

Si b > d il y a croissance exponentielle de la population.Si b < d il y a decroissance exponentielle de la population qui tend vers une extinction.Si b= d la population reste constante.

Defaut majeur : Ne tient pas compte de la capacite du milieu a soutenir une crois-sance exponentielle et cest assez irrealiste. En effet, si lon considere les estimations de

croissance passees et les previsions pour la population mondiale totale du 17 eme au 21emesiecles, on remarque que la croissance nest pas exponentielle.


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12 Modelisation mathematique

2-Modele de croissance logistique de Verhulst [9]

Ce modele est introduit pour corriger le defaut evoque ci-dessus, bien sur il fautpresenter un certain ajustement a la croissance exponentielle . Verhulst (1838, 1845) a

propose quun processus dauto limitation devrait fonctionner quand une population de-vient trop importante. Il a suggere :

dNdt

=rN(1 NK

), N(0) =N0, r= b d >0

Si K >0 : capacite limite de lenvironnement.Si K= + on retrouve le modele de Malthus.Si r le taux intrinseque.

La solution est donnee par :

N(t) = N0K ert[K+N0(ert1)] K quand t

3-Deux populations en interaction

Soit maintenant le cas de deux populations en interaction :

x(t) : densite de la population 1.y(t) : densite de la population 2.

dxdt

=f(x) +

h(x, y)

dydt

=g(y) +

k(x, y)

ou f(x) et g(y) modelise la croissance de la population isolee et h(x, y) et k(x, y)modelise linteraction entre les deux populations

Pour le choix de h(x, y) et k(x, y) et leurs signes on a :

(, ) chaque population exerce un effet negatif sur la croissance de lautre , cestle cas des populations en competition.

(, +) ou (+, ) une population exerce un effet negatif sur la croissance de lautre ,et leffet inverse dans lautre sens est positive , cest le cas par exemple de la predation .

(+, +) chaque population favorise la croissance de lautre population par exemple le cas


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2.1 Modelisation mathematique appliquee a la dynamique de populations 13

du mutualisme.

Exemple pour le cas de predation :

Pour mieux comprendre la modelisation , prenons le cas de predation . Il est usuel desupposer que les proies et les predateurs se deplacent en exploitant leur milieu au hasard.Cela conduit a un modele de type action de masse ou le nombre moyen de rencontresentre les proies et les predateurs est proportionnel au produit des effectifs , de ce fait ondoit avoir un terme negatif dans lequation des proies parce que quil y a disparition desproies consomees par les predateurs de type h(x, y) =axy.Ici a est un parametre constant positif qui rend compte de lefficacite des predateursdans leurs attaques.h: sappelle fonction de Lotka-Voltera ou de type 1

Dans lequation des predateurs on doit sattendre a un terme de la meme forme parceque les proies tuees sont assimilees par les predateurs et leur permettent de maintenir lacroissance de leur population k(x, y) =eh(x, y) =eaxy.Ou e: rendement de conversion de biomasse proie en biomasse predateur.

Supposons que x est la densite de la proie se developpant avec une croissance logistique :

f(x) =rx(1 xK

)

y est caracterise par une mortalite naturelle :

g(y) =my

On obtient le modele suivant :

dxdt

=rx(1 xK

) axy

dydt

=my+ eaxy

4-Equation structuree en age

Soit n(t, a) la densite de population qui a lage a a linstant t ou a [0, a+] aveca+ lage maximal .

Soit

a2a1

n(t, a)da : le nombre dindividus qui ont lage a [a1, a2] a linstant t

(lintegrale somme tous les individu qui ont lage a [a1, a2] a linstant t) .


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P(t) =

0

n(t, a)da est la taille totale de notre population a linstant t.

Soit le taux de fertilite ou de naissance alors :

a2a1

n(t, a)da : le nombre des naissances produit des individus dans l age a [a1, a2]

a linstant t.

Posons B(t) =

0

n(t, a)da: le nombre total des naissances a linstant t.

Soit le taux de mortalite alors le nombre total de deces a linstant t est egal : 0

n(t, a)da

Il est logique de prendre = (a, P(t)) et = (a, P(t)) dependant de lage etde la population totale.Supposons que la population change dun temps t a un temps t+h alors t+h

t

B(s)ds: le nombre de naissances entre t et t+h.

Le nombre des individus disparus par mortalite a linstant t+s qui ont un age inferieureou egal a a + s est egal : a+s

0

n(t + s, )d,

donc le nombre des individus qui evoluent et qui meurent entre [t, t + h] est : h0

a+s0

n(t + s, )dds.

Le nombre des individus de la population qui ont un age inferieur a a est egal :

N(t, a) =

a0

n(t, s)ds.

donc N(t + h, a+ h) N(t, a) =

t+ht

B(s)ds

h0

a+s0

n(t + s, )dds

donc N(t+h,a+h)N(t,a)h

=

t+ht

B(s)ds h0

a+s0

n(t + s, )dds

h

En faisant tendre h 0 on obtient

Nt Na = B(t)

a0

n(t, )d avec Nt= N

t et Na=

Na


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2.2 Modelisation mathematique en epidemiologie 15

a0

nt(t, )d+ n(t, a) =

a0

n(t, )d

On derive et on obtient :

nt(t, a) + na(t, a) =n(t, a).

Conclusion le Modele MACKENDRICK-FOESTER est donne par :

t

n(t, a) + a

n(t, a) =n(t, a),

n(t, 0) =

0

(a, p(t))n(t, a)da,

n(0, a) =n0(a)

Remarque :On peut aussi aussi voir que la variation de la population est egale :

dn(t, a) = na

da + nt

dt= n(t, a)dt.

Puisque on avance dans lage physique comme dans le temps on a dadt

= 1 donc da= dt

Dou, apres simplification :

na

+ nt

=n(t, a).

2.2 Modelisation mathematique en epidemiologie

Soit une population saine ( constituee de susceptibles ) et supposons quunindividu infecte est introduit dans cette population , il va declencher linfection et celle-cise propage dun individu a un autre a travers un contact. Apres un certain temps lesinfectes se retablissent et deviennent immunises ou refractaire, ce qui revient a dire quela probabilite detre infecte une 2eme fois est faible .Ainsi la population est divisee en trois classes dindividus :

SUSCEPTIBLES INFECTES REFRACTAIRES

Pour pouvoir creer un modele pour cette situation nous allons suivre les 3 etapes sui-vantes :


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1- Identification des quantites qui nous interessentS :nombre des susceptibles.I:nombre des infectes

R :nombre des refractaires

2- identification des variables independantestel que le temp tlespace x, lage a,...Dans notre exemple on a S(t), I(t), R(t)

3- On quantifie les transitions et les interactions entre les classes

Definition:On appelle force dinfection la probabilite par unite de temps (le taux), pour quunsusceptible devienne infecte .

Suivant cette definition on construit notre modele.

S(t + h) S(t) =(I)S(t)h

I(t + h) I(t) =(I)S(t)h Ih

R(t + h) R(t) =I(t)h

Apres le passage a la limite h0 on a

dSdt

=(I)S(t)

dIdt

=(I)S(t) I

dRdt

=I

On suppose que la force dinfection est proportionelle au nombre dinfectes i.e : (I) =Iou est appele le taux de transmission.

Le modele devient :

dSdt

=I S

dIdt

=IS I

dRdt

=I

Ici le modele ne prend pas en compte la mortalite ni la natalite et par consequent lapopulation totale est consideree comme constante.


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2.2 Modelisation mathematique en epidemiologie 17

S(t) + I(t) + R(t) =N.

Etant donnee maintenant une maladie, une question fondamentale est de savoir

si elle peut se propager dans la population, pour cela on va introduire une nouvelle notionquon appelle le taux de reproduction de base.

Definition:On appelle taux de reproduction de base, note R0 le nombre moyen dindividus infectesproduit par un seul infecte dans une population consitituee initialement uniquement din-vidus sains, autrement dit le nombre moyen de cas secondaires par cas primaires dans unepopulation vierge.Lintuition, et les mathematiques, montrent que lorsque R0 est plus grand que 1, il y aapparition depidemie ; et tel nest pas le cas lorsque R0 est inferieur a 1 .On peut donner une formule explicite de R0 :

R0= C P Tavec* C le nombre moyen de contacts.* P la probabilite pour que le contact entre infectes et susceptibles conduit reellement aune transmission de la maladie.* T la periode moyenne dinfectiosite .Ici CP represente le contact reussi.

Lun des avantages de mesurer la croissance dans la generation de base et que pour plu-sieurs modeles nous avons une expression explicite pour R0 en fonction des parametres .

En effet en prenant en compte les hypotheses faites :

- Le contact reussi CP =N .- La periode dinfectiosite T = 1

.

doncR0 = N

1

.

On a CP = N car le contact dans la population initiale se fait avec toutela population N puisque on la supposee saine (constituee uniquement de susceptibles)multipliee par le taux de transmission.

Pour la periode dinfectiosite on va utiliser une aproche probabiliste pour prouverque T = 1

. Pour cela on suppose que les infectes deviennent immediatement conta-

gieux (il n ya pas une periode de latence ). Pour plus de details voir [11]

On pose P(t) : la probabilite detre toujours contagieux a linstant t apres linfection. Ona alors :


20/51


PI(t + h) PI(t) =PI(t)h

PI(0) = 1

dPI(t)dt =PI(t)

PI(0) = 1

PI(t) =et.

Soit X la variable aleatoire X: R+

X() : la duree de la periode dinfectiosite de lindividu

alors PI(t) =PI(X()> t) =et

La fonction de repartition F(t) =PI(X() t) = 1 et

La fonction de densite F(t) =f(t) =et donc lesperance est egale a

E(X) =

0

tf(t)dt= 1

.

dou la resultat.

2.3 Le modele de Kermack-McKendrick avec lage

dinfection et interpretationDans cette section nous considerons le modele structure en age dinfection suivant[12] :

S(t) = sS(t) S(t)

0

(a)i(t, a)da,

i(t,a)t

+ i(t,a)a

=I(a)i(t, a),

i(t, 0) =S(t)

0

(a)i(t, a)da,

dRdt

=

0

(I(a) r)i(t, a)da rR(t),

S(0) =S0 0, R(0) 0, i(0, .) =i0 L1+(0, +).

(1)

Dans le modele (1) la population est decomposee en trois classes (S(t)) des individus


21/51

2.3 Le modele de Kermack-McKendrick avec lage dinfection et interpretation 19

susceptibles, (i(t, a)) des individus infectes et des individus refractaire (R(t)) . On designepar a 0 lage ou linfection commence, par consequent i(t, a) est la densite des indivi-dus infectes a linstant t et qui ont lage dinfection a.Si on donne deux valeurs 0 a1 < a2 + alors le nombre des individus qui ont lage

dinfection entre a1 et a2 et : a2a1

i(t, a)da.

On peut avoir plusieurs interpretations de lage dinfection . Par exemple un individupeut etre expose c-a-d infecte mais pas encore contagieux de a = 0 a a = a1 et quildevient infectieux de a= a1 a a= a2 .Dans le modele > 0 est un parametre qui represente une contribution positive quientre dans S(t), et s>0 le taux de mortalite des susceptibles. La fonction (a) peutetre interpretee comme la probabilite detre infectieux (capable de transmetre la maladie)avec lage dinfection a 0 , alors la quantite :

+0

(a)i(t, a)da.

represente le nombre dindividus contagieux . La fonction (a) decrit exactement laprobabilite dinfectiosite pour la progression de la maladie dun individu infecte.

On a aussi >0 le taux de transmission de linfection dun infecte a un susceptible,I(a) est le taux de quitter les individus infectes et qui devient refractaire , de ce fait onsattend a un terme de la meme forme dans lequation des refractaires moins r le taux dedisparition par mortalite naturel des infectes. Finalement r est le taux de mortalite des

individus refractaires .

En consequence de ce qui precede on a la quantite :

II(a) = exp(

a0

I(l)dl)

qui represente exactement la probabilite detre toujours infecte.On a besoin de faire quelques suppositions pour que le probleme soit bien pose :

- La fonction a(a) est bornee et uniformement continue de [0, +) [0, +) .

- La fonction aI(a) appartient a L+ (0, +) .

Remarque :On peut remarquer que le modele est une generalisation du modele SIR . Pour le voircalculons le nombre total de tous les infectes a linstant t en integrant lequation en i(t, a)pour eliminer la variable a, cela revient a dire sommer tous les infectes a linstant t .


22/51


Pour faciliter la notation ; on suppose que I(a) =I et (a) = donc :

+

0

i(t, a)

t

da +

+

0

i(t, a)

a

da=

+

0

I(a)i(t, a)da

alors

+0

i(t, a)

t da i(t, 0) =I

+0

i(t, a)da avec i(t, +) = 0

donc t

+0

i(t, a)da i(t, 0) =I

+0

i(t, a)da

On pose I(t) =

+0

i(t, a)da ( les infectes a linstant t ) . Ainsi :

I(t) =II(t) + S(t)

0

i(t, a)da.

A propos de lequation des refractaires elle verifie ceci :

dRdt

=

0

(I(a) r)i(t, a)da rR(t)

R(0) 0

Dou le modele SIR deduit :

dSdt

= sS(t) S(t)I(t)

dIdt =II(t) + S(t)I(t)

dRdt

=

0

(I(a) r)i(t, a)da RR(t)

Revenons a notre modele (1) :

S(t) = sS(t) S(t)

0

(a)i(t, a)da

i(t,a)

t +

i(t,a)

a =

I(a

)i(

t, a)

i(t, 0) =S(t)

0

(a)i(t, a)da

S(0) =S0 0, i(0, .) =i0 L1+(0, +)

(1)


23/51

2.3 Le modele de Kermack-McKendrick avec lage dinfection et interpretation 21

Cherchons les points dequilibre du modele (1), donc la variation par rapport au tempsest nulle : [12]

sS S

0(a)i(a)da= 0 (2)

i(a)a

=I(a)i(a) (3)

i(0) =S

0

(a)i(a)da

(3) i(a) =i(0)e

a0

I(l)dl.

Dun autre cote

i(0) =S

0

(a)i(0)e

a0

I(l)dlda donc i(0) =i(0)S

0

(a)e

a0

I(l)dlda

alors i(0)(1 S

0

(a)e

a0

I(l)dlda) = 0

Donc1-soit i(0) = 0 i(a) = 0

i(a) = 0 S= s

donc (SF, iF(a)) = (s

, 0) est un point dequilibre.

2-soit S

0

(a)e

a0

I(l)dlda= 1 SE=

R0s

On aura le seul point dequilibre endemique (SE, iE(a)) .

Par lintuition mathematique on pose

R0 = s

0

(a)e

a0

I(l)dlda.

et on montre dans le chapitre 4 que lorsque R0 est plus grand que 1, on aura uneepidemie ; et lextinction lorsque R0 inferieur a 1.

Remarque :On peut faire une simplification dans notre probleme par = s suivant le changement


24/51


de variable suivant s(t) = s

S(t) alors :

s(t) = s

S(t) s

s(t) =S(t) = sS(t) S(t)

0

(a)i(t, a)da,

s(t) =s ssS(t) sS(t) 0

(a)i(t, a)da,

s(t) =s ss(t) s(t)

0

(a)i(t, a)da.


25/51

Chapitre 3

Existence et unicite des solutionspour le modele deKermack-McKendrick structure en

age dinfection

3.1 Lequation non lineaire de renouvellement

Lequation de renouvellement joue un role essentiel dans la modelisation en biologieet apparat dans divers domaines : dynamiques de populations, la proliferation cellulaire,en epidemiologie et en lecologie...

Dans ce chapitre, nous considerons le modele non lineaire structure en age qui se posedans de nombreux contextes differents. Il peut etre ecrit comme une equation aux deriveespartielles sur la fonction inconnue n(x, t) 0 qui represente la densite des individus dagex, au temps t (voir[1])

t

n(t, x) + x

n(t, x) + d(x, S(t))n(t, x) = 0, t 0, x 0

n(t, 0) =

0

B(x, S(t))n(t, x)dx,

n(0, x) =n0(x) 0

S(t) =

0

(x)n(t, x)dx.

(1)

On verra ulterieurement que, grace a ce modele general et avec un bon choix de B et

23


26/51

24

Existence et unicite des solutions pour le modele de Kermack-McKendrick structure en

age dinfection

de d, on retrouve plusieurs autres modeles extraits de celui-la . Le modele de Kermack-McKendrick avec lage dinfection est un cas particulier. Finalement on demontre lexis-tence du probleme general (1) avec lanalyse classique de lequation du transport . Re-gardons maintenant la relation entre le modele (1) et lequation de renouvellement.

- Modele de McKendrick-Foerster et lequation de renouvellement :

Soit le modele suivant :

t

n(t, a) + x

n(t, a) =(a) n(t, a)

n(t, 0) =

0

(a)n(t, a)da,

n(0, a) =(a)

On resout lequation le long des caracteristiques, fixons t0, a0 > 0 et posons n(h) =n(t0+ h, a0+ h). On aura :

dndh

=(h) n avec (h) =(a0+ h),

dou n(h) =e

h

0

()d

n(0)

donc n(t0+ h, a0+ h) =n(t0, a0)e

h0

(a0+ )d,

Si a > t alors (t0, a0) = (0, a t) et h= t.

Si t > a alors (t0, a0) = (t a, 0) et h= a.

n(t, a) =

n(t a, 0)e

a0

()d

si t > a,

(a t)e

t0

(a t + )dsi a > t.

Posons :


27/51

3.2 Existence des solutions du probleme lineaire 25

B(t) =

0

(a)n(t, a)da,

ainsi

B(t a) = 0

(a)n(t a, a)da= n(t a, 0),

alors

B(t) =

t0

(a)n(t, a)da +

t

(a)n(t, a)da.

Nous en deduisons

B(t) =

t0

(a)n(t a, 0)e

a0

()dda +

t

(a)(a t)e

t0

(a t + )dda,

B(t) = t

0 (a)B(t a)e

a0

()d

da +

t (a)(a t)e

t0

(a t + )d

da.

Alors B (t) satisfait lequation de renouvellement (equation integrale de Volterra) :

B(t) =h(t) +

t0

B(a) G(t a)da.

3.2 Existence des solutions du probleme lineaire

Dans ce paragraphe on considere S(t) une fonction localement bornee. Soit lequationde renouvellement lineaire suivante [1]:

t

n(t, x) + x

n(t, x) + d(x, S(t))n(t, x) = 0, t 0, x 0

n(t, 0) =

0


n(0, x) =n0(x) 0.

(2)

On definit tout dabord la solution faible comme suit :

Definition 3.2.1

Une fonction n L1loc(R+ R+) satisfait lequation de renouvellement lineaire

(2) au sens faible si

0

B(t, x)| n(t, x)| dx L1loc(R+) et pour toutT >0, pour toute

fonction test C1c ([0, T] [0, ]) sachant que(T, x) 0, on a :


28/51

26


age dinfection

T0

0

n(t, x){

t(t, x)+

x(t, x)d(x, S(t))(t, x)}dx dt=

0

n0(x)(0, x)dx+

T

0

(t, 0)

0

B(x, S(t))n(t, x)dx dt.

Nous allons enoncer un theoreme qui sera utile par la suite :

Theoreme 3.2.1 (Derivation dun produit de composition [3] )

Soit ouvert de Rn et G C1(R) tel le que G(0) = 0 et s R|G(s)| M. Soitu W1,p(), alors

(G u) W1,p() et xi

(G u) = (G u) uxi

.

Theoreme 3.2.2

Soit M > 0 tel que B(., .), d(., .) < M , S (t) 0 , S(t) Lloc(R+) , n0

L(0, ) L1(0, ). Alors il existe une solution unique et faible n C(R+, L1(R+))duprobleme(2) , et en plusn(t, x) 0 quandn0 0, et

0

|n(t, x)| dx e(Bd)+t 0

|n0(x)| dx.

Preuve :Cherchons la solution dans lespace :

E=C([0, T], L1(R+)) T >0,

u E implique que u continue par rapport au temps etu(t, .) L1(R+),avec la norme definie comme suit :

u E = supt[0,T]

u(t, .)L1(R+) .

Soit le probleme suivant :

t

n(t, x) + x

n(t, x) + d(x, S(t))n(t, x) = 0, t 0, x 0

n(t, 0) =

0

B(x, S(t))m(t, x)dx,

n(0, x) =n0(x) 0.

(3)


29/51


30/51

28


age dinfection

On a G(n) M|n| , elle est sous lineaire. De plus G(n) 0

|n| p.p et dans

L1(R+).On multiplie (3.1) fois G

(n) donc :

G(n)t

+ G(n)x

+ d(x, S(t))G(n)n= 0,

G(n)t

+ G(n)x

+ d(x, S(t))(G(n)n G(n)) + d(x, S(t))G(n) = 0.

On a G(n) =

n

si |n|

1 si n >

1 si n

n (n 2) si n


31/51

3.2 Existence des solutions du probleme lineaire 29

|n|t+ |n|x+ d(x, S(t))|n|= 0,

|n(t, 0)|= |

0

B(x, S(t))m(t, x)dx|,

n(0, x) = 0 0.

(3.2)

En integrant lequation (3.2) on obtient :

ddt

0

|n(t, x)|dx |n(t, 0)| +

0

d(x, S(t))|n(t, x)|dx= 0,

0

|n(t, x)|dx

t0

|n(s, 0)|ds,

t0

| 0

B(x, S(t))m(s, x)dx|ds,

M T m E,

n E M T m E .

Il suffit alors de choisir T petit, de telle sorte que M T < 1 et par suite loperateur

A est contractant. Le theoreme du point fixe de Banach assure lexistence dun point fixeunique c-a-d An= n, ce qui assure lexistence et lunicite de la solution sur un intervalle[0, T] du probleme (2) .

On applique a chaque fois la meme procedure entre [kT , (k+1)T] et on change la conditioninitiale n(0, x) = n(kT,x) .A la fin on recolle toutes les solutions obtenues sur chaqueintervalle et on aura une solution globale n > 0 pour chaque m >0, dou la resultat dutheoreme.

Maintenant on demontre lestimation :

0

|n(t, x)| dx e(Bd)+t 0

|n0(x)| dx.

En integrant lequation (3.1) :

t

|n(t, x)| + x

|n(t, x)| + d(x, S(t))|n(t, x)|= 0,

on obtient


32/51

30


age dinfection

ddt

0

|n(t, x)|dx |n(t, 0)| =

0

d(x, S(t))|n(t, x)|dx

|n(x, 0)|

0d(x, S(t))|n(t, x)|dx,

0

B(x, S(t))|n(t, x)|dx

0

d(x, S(t))|n(t, x)|dx,

0

[B(x, S(t)) d(x, S(t))]|n(t, x)|dx,

0

|n(t, x)|dx avec =(B d)+,

donc 0

|n(t, x)| dx et 0

|n0(x)| dx .

3.3 Existence des solutions du probleme non lineaire

Dans ce paragraphe on sinteresse a lexistence et lunicite des solutions du probleme(voir [1]) :

t n(t, x) +

x n(t, x) + d(x, S(t))n(t, x) = 0, t 0, x 0

n(t, 0) =

0


n(0, x) =n0(x) 0,

S(t) =

0

(x)n(t, x)dx.

(1)

On suppose lexistence dun reel Ltel que pour tout x, S1, S2 0 on a :

|B(x, S1) B(x, S2)| L | S1 S2 | , |d(x, S1) d(x, S2)| L | S1 S2 |.

On peut prouver quil existe m ,M >0 tels que m S(t) M .


33/51

3.3 Existence des solutions du probleme non lineaire 31

Theoreme 3.3.1

SoitM >0 tel queB(., .), d(., .), (.)< M , n0 L

(0, ) L1

(0, ) alors ilexiste une solution faible unique n C(R+, L1(R+)) du probleme(1).

Preuve :

Pour prouver ce resultat on utilise la meme procedure que precedemment. Soit

E=C([0, T], L1(R+)) T >0,

avec la norme definie comme suit :

u E = supt[0,T] u(t, .)L1(R+).

On definit aussi E+ lespace des fonctions continues sur [0, T] non negatives et onpose =(B d)+.

Dapres le theoreme (3.2.1) et pour SC([0, T]) on an C([0, T], L1(R+)) qui verifie :

t

n(t, x) + x

n(t, x) + d(x, S(t))n(t, x) = 0, t 0, x 0

n(t, 0) =

0


n(0, x) =n0(x) 0.

On definit maintenant loperateur :

A: E+ E+

S(t)

0

(x)n(t, x)dx

Pour prouver le theoreme (3.3.1), il est suffisant de montrer que A est contractant .

Cela revient a dire que loperateur admet un point fixe alors :

S(t) =

0

(x)n(t, x)dx.

Soit n1(t, x), n2(t, x) deux solutions correspondant a S1(t) et S2(t) alors n:= n1 n2

satisfait :


34/51


36/51

34


age dinfection

Soit S(t) = (I(t)) avec I(t) =

0

(a)i(t, a)da,

et

(I(t)) = (S0+

s+

0

(a)i(t, a)da(e

s+

0

(a)i(t, a)da1))e

s

0

(a)i(t, a)da.

Donc S(t) est une fonction de I(t) et le probleme (1) devient :

i(t,a)t

+ i(t,a)a

=I(a)i(t, a),

i(t, 0) = S(t)

0

(a)i(t, a)da,

= (I(t)) 0

(a)i(t, a)da,

=

0

(I(t))(a)i(t, a)da,

=

0

B(a, I(t))i(t, a)da avec B(a, I(t)) =(I(t))(a).


37/51

Chapitre 4

Comportement asymptotique dessolutions

4.1 La stabilite du point dequilibre trivial

Soit le systeme suivant :

(1)

S(t) = sS(t) S(t)

0

(a)i(t, a)da,

i(t,a)t

+ i(t,a)a

=I(a)i(t, a),

i(t, 0) =S(t)

0(a)i(t, a)da,

S(0) =S0 0, i(0, .) =i0 L1+(0, +).

On considere maintenant lextinction de la maladie dans le cas de R0 1.

Posons R0 =

s

0

(a)ea

0 I()dda.

Soit le nombre de tous les infectes a linstant t defini comme suit :

I(t) = 0

i(t, a)da.

On suppose L(R+) et S(0) + I(0) s

, (1.1)

s

0

(a)ea

0 I()dda 1. (1.2)

Pour simplifier lequation des susceptibles , on utilise le changement de variable vu en

35


38/51

36 Comportement asymptotique des solutions

page 22 pour obtenir : I(a)= I=s .

On peut choisir r < I sachant que s

0

(a)erada= 1.

On pose f(r) = s

0

(a)erada 1. alors

limr+

f(r) =1.

limr

f(r) = + donc r \ f(r) = 0.

Pour prouver lextinction de linfection on introduit le probleme suivant :

(x) r(x) = s

(x),

(0) = 1.

(2)

dont la solution positive est facile a trouver .Soit le theoreme suivant :

Theoreme 4.1.1

On suppose que les hypotheses (1.1) , (1.2) sont verifiees. Alors la solutioni(t,a) du probleme verifie :

0 i(t, a)(a)da Aect

,

avec A,c des constantes positives .

Preuve :

On resout le probleme (2) en (a)

(a) r(a) = s

(a) (era(a)) = s

(a)era,

era(a) (0) = s

a0

(a)era

da,

(a) =era(1 s

a0

(a)era

da).

Multiplions le probleme par et integrons. On obtient :


39/51

4.1 La stabilite du point dequilibre trivial 37

ddt

0

i(t, a)(a)da = I

0

i(t, a)(a)da

0

ia(t, a)(a)da,

= I

0

i(t, a)(a)da +

0

i(t, a)a(a)da [i(t, a)(a)]0 ,

= I

0

i(t, a)(a)da +

0

i(t, a)(r(a)

s(a))da + i(t, 0)(0),

= I

0

i(t, a)(a)da + r

0

i(t, a)(a)da

0

i(t, a)

s(a)da,

+S(t)

0(a)i(t, a)da,

ddt

0

i(t, a)(a)da= (I r)

0

i(t, a)(a)da + (S(t)

s)

0

(a)i(t, a)da. (3)

On a aussi it(t, a) + ia(t, a) + Ii(t, a) = 0.

Integrons I(t) + II(t) =i(t, 0) =S(t)

0

(a)i(t, a)da.

On fait la somme de cette equation et lequation en S(t), dou

(I(t) + S(t)) + I(I(t) + S(t)) = ,

La solution est :

I(t) + S(t) = (S(0) + I(0) I

)eIt + I

.

Si S(0) + I(0) I

on a S(t) I

.

Alors dapres (3) on obtient

ddt

0

i(t, a)(a)da (I r) 0

i(t, a)(a)da.

Par le Lemme de Gronwall on a : 0

i(t, a)(a)da Aect.

Dou la resultat.


40/51


4.2 Fonction de Lyapunov et stabilite asymptotiqueglobale du point dequilibre endemique

Dans ce paragraphe on montre comment trouver la fonction de Lyapunov pour mon-trer la stabilite globale du point dequilibre endemique quand il existe . On suppose donc :

R0 >1

Soit le systeme :

(1)

S(t) = sS(t) S(t)

0

(a)i(t, a)da,

i(t,a)t

+ i(t,a)a

=I(a)i(t, a),

i(t, 0) =S(t) 0

(a)i(t, a)da,

S(0) =S0 0, i(0, .) =i0 L1+(0, +).

Quand R0 > 1 le comportement est plus delicat a etudier par rapport au cas trivial ;on considere :

a= sup{a 0 :(a)> 0}.On definit :

M0= {i L1+(0, +) : a0

i(a)da >0}.

SoitM0 := [0, +) M0,

etM0 := [0, +) L

1+(0, +) \ M0.

Soit le resultat suivant[12] :

Theoreme 4.2.1

Supposons que R0 > 1. Alors chaque solution du systeme (1) avec une condi-tion initiale dans M0 (respectivement dans M0) reste dans M0 ( respectivementdans M0). De plus, chaque solution avec une condition initiale dansM0 convergevers (SE, 0) et chaque solution avec une condition initiale dans M0 converge verslequilibre endemique(SE, IE). En outre, (SE, IE)est localement asymptotiquementstable.


41/51

4.2 Fonction de Lyapunov et stabilite asymptotique globale du point dequilibre

endemique 39

Preuve :On se propose de ne donner que la convergence vers lequilibre endemique.

Pour simplifier lequation en susceptibles et par un changement de variables on retrouve :

=s= I(a) =K.

On fait un changement de variable pour simplifier lequation du transport des infectes :

I(t, a) =i(t, a)eKa .

On remarque que I(t, 0) =i(t, 0).

On obtient le systeme suivant :

S(t) =K KS(t) I(t, 0),

I(t,a)t

+ I(t,a)a

= 0,

I(t, 0) =S(t)

0

(a)eKa I(t, a)da.

Soit maintenant le probleme stationnaire :

K=K S+ I(0),

I(a) =I(0) =S

0

(a)eKaI(a)da.

Donc S 0

(a)eKada= 1 ou I(0)= 0 par hypothese .

On calcule maintenant la quantite suivante :

ddt

g( S(t)S

) = g( S(t)S

) 1S

[K KS(t) I(t, 0)],

= g( S(t)S

) 1S

[KS+ I(0) KS(t) I(t, 0)],

= Kg( S(t)S

) + I(0)S

g( S(t)S

) KS(t)S

g( S(t)S

) g( S(t)S

) I(t,0)S

.

Dautre part en derivant : 0

g(I(t, a)

I(a))(a)da on obtient :

I1 = ddt

0

g(I(t, a)

I(a))

1

I(a)(

I

a)(a)da ;


42/51


Etant donner que a

( II

) = 1I

Ia

I

(a)

I2 I(t, a) =

1I

Ia

(puisque Ia

= 0 )

Donc

I1 =

0

a g(I

I)(a)da .

Maintenant en integrant par parties on obtient :

I1 = g(I(t,0)

I(0))(0) +

0

g(I(t, a)

I(a))(a)da.

Rappelons que

I2 = ddt

g( S(t)S

) =g ( S(t)S

) 1S

[K KS(t) I(t, 0)].

Introduisons une fonction htelle que :

hconvexe .h(x.y) h(x) + h(y) .g(x) =h(x) + x 1.et supposons que (a) =S(a)eKa (0).

On a

I1 = g(I(t,0)

I(0))(0) +

0

g(I(t, a)

I(a))(a)da,

I1 h(I(t,0)

I )(0)+

I(t,0)

I (0)(0)+

0 h(

I(t, a)

I )

(a)da+

0

I(t, a)

I

(a)da+

0

(a)da,

=h( SS

S(t)

0

(a)eKaI(t, 0)

Ida)(0)+

0

h(I(t, a)

I)[S(a)eKa (0)]da+

I(t, 0)

I(0)

(0)S

0

(a)eKaI(t, a)

Ida.

Par lInegalite de Jensen et par les hypotheses emises :

I1 h(S(t)

S )(0) + I(t,0)

I (0) S

S(t)I(t,0)

I (0),

I1 h(S(t)

S )(0) + (1 S

S(t)) I(t,0)

I (0).

On a aussi


43/51

4.2 Fonction de Lyapunov et stabilite asymptotique globale du point dequilibre

endemique 41

I2 = g( S(t)

S ) 1

S[kS+ I(0) KS(t) I(t, 0)],

= (h

(S(t)

S) + 1)[k+ I(0)

S KS(t)

S I(t,0)

S ],

= (h( S(t)S

) + 1)[k+ I(0)S

KS(t)S

] I(t,0)S

h( S(t)S

) 1S

I(t, 0).

Si (0)I

= 1S

on a (0) = I(0)S

,

alors I1+ I2 h(S(t)

S )(0) ( 1

S(t)+ 1

Sh( S(t)

S ))I(t, 0) + (h( S(t)

S + 1)[K+ (0) KS(t)

S ].

Si h( S(t)S

) 1S

+ 1S(t)

= 0 alors h(x) = 1x

avec x= S(t)S

,

alors h(x) = ln x

I1+ I2 h( S(t)

S )K(1 S(t)

S ) + (h( S(t)

S ) + h( S(t)

S) + 1)(0) + K(1 S(t)

S ) ,

I1 + I2 k[h(S(t)

S ) + h( S(t)

S )(1 S(t)

S )] K[h( S(t)

S ) + S(t)

S 1] + (0)[h( S(t)

S ) + h( S(t)

S ) +1] ,

On a h( S(t)S

) + h( S(t)S

)(1 S(t)S

) = ln S(t)S

1S(t)S

+ 1.

Dautre part :

h(x) + x 1 = ln x+ x 1 0 si x (0, ).

h(x) + h(x) + 1 = ln x 1x

+ 1 0 si x (0, ).

donc I1+ I2 0 ddt

[

0

g(I(t, a)

I)(a)da + g(

S(t)

S)] 0.

V(S, I) =

0

g(I(t, a)

I)(a)da + g(

S(t)

S),

avec g(x) =x ln x 1 .

On remarque que V(S, I) est bien une fonction de Lyapunov avec ddt V(S, I) 0.

Traitons le cas ddt

V(S, I) = 0 et utilisant le Theoreme de Lasalle pour obtenir la sta-

bilite asymptotique de (S, I).

ddt

V(S, I) = 0 ddt

[

0

g(I(t, a)

I)(a)da + g(

S(t)

S)] = 0,

donne


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h(x) =h(x)(1 x), (1)

h(x) = 1 x, (2)

h(x) + h(x) =1, (3)

De (2) et (3) on a x = 1 et (1) est verifie,

alors S(t) =Set I(t, 0) =K KS(t) =K KS=I(0).

On a I(t, 0) =I(0) alors S(t)

0

(a)eKaI(t, a)da= S

0

(a)eKaI(a)da,

ce qui donne I(t, a) =I .

Ainsi ={(S(t), I(t, a))\V = 0)}= {(S, I)}.

Dapres le theoreme de Lyapunov et le theoreme de Lasalle, on conclut que (S, I) estglobalement attractif.

4.3 Analyse numerique et exemples

Soit notre probleme (1) :

S(t) = sS(t) S(t)

0

(a)I(t, a)da,

I(t,a)t

+ I(t,a)a

=I(a)I(t, a),

I(t, 0) =S(t)

0

(a)I(t, a)da,

S(0) =S0 0, i(0, .) =I0 L1+(0, +).

(1)

On propose dans ce paragraphe une approximation numerique de notre probleme (1).Pour calculer une solution approchee on se donne une discretisation en temps et en agedinfection. Cette derniere consiste a donner un ensemble de point (tn)n=0...N de [0, T]et un ensemble de point (ai)i=0...M de [0, A] avec A tres grand.Pour simplifier on considere un pas constant k= T

N et h= A

M


45/51

4.3 Analyse numerique et exemples 43

On pose alors tn= nk pour n= 0...N et ai= ih pour i= 0...M.

On veut chercher une solution approchee de notre probleme , plus precisement on cherche

a determiner :S(tn) Sn n= 0...N,

I(tn, ai) Ini n= 0...N i= 0...M.

Posonsf(tn, Sn) = sSn In0 avec I

n0 I(t, 0) =S(t)

0

(a)I(t, a)da.

Ces inconnus discret dune discretisation par la methode dEuler explicite en temp etshema de transport en age de Ini et par la methode Runge-Kutta dordre quatre de Snverifient le schema suivant :

In+1i In

i

k +

IniIn

i1

h =I(ai)I

ni ,

donc In+1i =kI(ai)Ini

kh

(Ini Ini1) + I

ni , (2)

i= 1...M , n= 0...N 1,

In0 =Sn

Mi=1

(ai)Inih , n= 1...N,

K1 = f(tn, Sn),

K2 = f(tn+ k2

, Sn+ k2

K1),

K3 = f(tn+ k2

, Sn+ k2

K2),

K4 = f(tn+ k, Sn+ kK3),

Sn+1= Sn+ k6

(K1+ 2K2+ 2K3+ K4) , n= 0...N 1,

S0 , I0i , i= 0...M,

Proposition 4.3.1Le schema(2) est consistant dordre1 , en plus il est stable sous la condition de Courant-Friedrichs-Levy (CFL) k h (voir [15]).


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Exemples :

1- Dans notre exemple on va donner des valeurs pour les parametres de telle sorte que

R0 < 1. Prenons : = 365 , = 0.00015 , (a) = 0.1 , I= 0.1 , s= 0.1.Alors R0 = 0.5475 , on est dans le cas ou les susceptibles convergent vers SF = s

= 3650

(Figure 4.1). Prenons i(0, a) = 50(a+2)e0.4(a+2) et deux conditions initiales S(0) = 1000et S(0) = 9000 .

Fig.4.1 Les susceptibles pour R0 < 1

PuisqueR0 1 on aura lextinction des infectes , on trace la somme de tous les infectes

dage a (Figure 4.2) .

Fig.4.2 Tout les infectes pour R0


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2-Soit Maintenant = 365 , = 0.0015 , (a) = 0.1 , I= 0.1 , s= 0.1 . On estdans le cas endemique avec R0= 5.475> 1Alors les susceptibles tendent vers SE=

R0s

= 666 (Figure 4.3)

Prenons i(0, a) = 50(a + 2)e0.4(a+2) et S(0) = 2000 .

Fig.4.3 Les susceptibles pour R0 > 1

Dans ce cas les infectes convergent vers i(a) = 298ea. La (figure 4.4) represente tousles infectes qui ont lage a = 0. On voit que i(a) = 298 .

Fig.4.4 Les infectes dage zero pour R0 >1


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De meme on a represente les infectes a linstant t qui ont lage dinfection a dans lafigure 4.5 :

Fig.4.5 Les infectes a linstant t dage a pour R0 >1

Remarque : Toute les simulations numeriques de ce memoire ont ete effectuees sous

C++ et Matlab.


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Conclusion:

Dans ce memoire on a etudie un modele epidemiologique structure en age de linfec-tion, on a demontre que le probleme est bien pose , il avait lobjectif de demontrer lastabilite globale asymptotique des equilibres cest la partie essentielle de ce travail. Aprescela on a donne des exemples numeriques pour valider les resultats theoriques obtenus.

Lepidemiologie theorique des maladies transmissibles est devenue une discipline a partentiere, distincte de la demographie theorique et de lecologie mathematique et offre unterrain dapplication immense pour les mathematiques et les statistiques.

Au-dela des resultats theoriques, cette discipline vise a fournir des bases quantitatives

pour la reflexion de sante publique autour des maladies infectieuses. Dans cette di-rection, on notera que lutilisation des modeles plus vraisemblables (et plus complexesmathematiquement) serait cependant souhaitable . Dans le futur, on prevoit detudierdes modeles plus generaux et avec une meilleure precision.


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Documents

Fonction de Lyapunov Et Stabilit