18
Föreläsning 1 18 jan 2010

Föreläsning 1

  • Upload
    melia

  • View
    40

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Föreläsning 1. 18 jan 2010. Linjära s ystem. Ex. ( mass-spring-damper-system ). Ett system sägs vara. minneslöst om värdet på utdata vid varje tidpunkt endast beror på indata vid motsvarande tidpunkt. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Föreläsning 1

Föreläsning 1

18 jan 2010

Page 2: Föreläsning 1

Linjära system

Page 3: Föreläsning 1

Ex. (mass-spring-damper-system)

)(tx )(tySystem

indata utdata

mk

c

)( tx )( ty)()(')()('' tkytcytxtmy

)( tx

)( ty

][xTy

T

00 ttty ,)(00 tttx ,)(

Page 4: Föreläsning 1

Ett system sägs vara

• minneslöst om värdet på utdata vid varje tidpunkt endast beror på indata vid motsvarande tidpunkt. I annat fall säger vi att systemet är dynamiskt

T

)(ty

)(txt

mk

c

)( tx

)( ty

)( tx )( tyT

)()(')()('' tkytcytxtmy

Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är dynamiskt

Page 5: Föreläsning 1

Ett system sägs vara

• kausalt om utdata vid varje tidpunkt endast beror på indata fram t.o.m. motsvarande tidpunkt dvs. om endast beror på

T

)(ty t)(tx)( 0ty 0tttx ,)(

mk

c

)( tx

)( ty

)( tx )( tyT

)()(')()('' tkytcytxtmy

Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är kausalt

Page 6: Föreläsning 1

Ett system sägs vara

• Inverterbart om det råder ett 1-1 förhållande mellan indata och utdata dvs. om två olika indata aldrig ger samma utdata.

T

mk

c

)( tx

)( ty

)( tx )( tyT

)()(')()('' tkytcytxtmy

Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är inverterbart

Page 7: Föreläsning 1

Ett system sägs vara

• stabilt om begränsad indata ger begränsad utdata dvs. om

T

21 MtyMtx |)(||)(|

k c

mk

c

)( tx

)( ty

)( tx )( tyT

)()(')()('' tkytcytxtmy

Ex. stabiliteten i massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan beror på konstanterna och

Page 8: Föreläsning 1

• linjärt om

)()()( 2121 xTxTxxT

kk

kk

kk tytxTtxTtxTty )()]([])()]([)(

k

k txtx )()(

Ett system sägs vara T

Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är linjärt

speciellt följer det då att

vilket kallas superpositionsprincipen

Page 9: Föreläsning 1

• tidsinvariant om systemet inte förändras med tiden så att

Ett system sägs vara T

)()()()( 00 ttyttxtytx T T

mk

c

)( tx

)( ty

)( tx )( tyT

)()(')()('' tkytcytxtmy

Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är tidsinvariant

Page 10: Föreläsning 1

Stegfunktioner och

Impulsfunktioner

Page 11: Föreläsning 1

Heavisides stegfunktion

Observera att

)(tH

0,0

0,1)(

tdå

tdåtH

y

t

)(tHy

y

t

)(tfy

y

t

)()( tHtfy

y

t

)()( atHtfy

a

y

t

)()( atHatfy

Page 12: Föreläsning 1

Ex.

y

t

)(tfy

y

t

)()()( btHatHtfy

1,1

11,

1,

)( 2

tdå

tdåt

tdåe

tg

ty

t

)(tgy

)1(1))1()1(())1(1()( 2 tHtHtHttHetg t

)1()1()1()( 22 tHttHete tt

Page 13: Föreläsning 1

Impulsfunktionen

Observera att för alla så det är

rimligt att föreställa sig att

)(t

)(ty y

t

/1

")()(lim"0

tt

0,0

0,)(

t

tty

t0

1)(

dtt 0

1)(

dtt

)(t

0t

1 svarar mot att impulsen tillförs momentant vid tiden , en sorts idealiserad puls.

Page 14: Föreläsning 1

Eftersom är 0 för så är det rimligt att anta att

)(t 0t)()0()()( tfttf

)()()()()()()(

))(*(

tfdttfdttfdtf

tfskrives

1

)(t

speciellt följer det att

existerar ju inte som funktion i vanlig mening men man kan ge mening åt och ovanstående kalkyler inom teorin för generaliserade funktioner (distributioner)

Page 15: Föreläsning 1

Om är ett linjärt och tidsinvariant system (LTI-system) så följer det att

dtxTdtxTtxT )()()()()]([

principenpositionssuper

dtTxdtTx )()()()(

invarianstids

T

][*]*[][ TxxTxTy

][T)(tx

)(tydvs utsignalen kan fås genom ”faltning” av insignalen med ”impulssvaret”

Page 16: Föreläsning 1

Samband mellan och

Eftersom och för så är

och vi får att

Naturligtvis är inte deriverbar för i vanlig mening men man kan ge mening åt dessa identiteter om man även tolkar som en generaliserad funktion

)(t)(tH

1)(

dtt 0)( t 0t

t

dtH )()( )()(' ttH

)(tH 0t

)(tH

Page 17: Föreläsning 1

Mer allmänt kan man visa att om och ärkontinuerliga funktioner för alla och

så gäller att

dvs ett språng (uppåt eller nedåt) med enheter i en punkt ger ett bidrag med i derivatan.

atdåth

atdåtgtf

,)(

,)()(

)())()((,)('

,)(')(' atagah

atdåth

atdåtgtf

c

)(tg )(th

t

c

)( atc at

y

t

)()( agahc

språng

)(th)(tg

a

Page 18: Föreläsning 1

alt.

Ex.

1,1

11,

1,

)( 2

tdå

tdåt

tdåe

tg

ty

t

)(tgy

)1()1()1()()( 22 tHttHetetg tt

)1()1(

1,0

11,2

1,

)(' 1

te

tdå

tdåt

tdåe

tg

t

)1()1()1(2)1()()1()2()(' 22 ttttHtettHetetg ttt

)1(2)1()1()1()2()(' 1 ttHtetHetetg tt