・有限要素法の基礎

・有限要素法プログラム

・２次元弾性体解析

有限要素法とは

領域Ｄ

境界Ｃ

x∆

y∆

),( yxx ∆+),( yx

),( yyx ∆+

差分近似 有限要素近似

有限要素

２次元問題：三角形要素、四角形要素

３次元問題：四面体要素、六面体要素y

yxfyyxf

y

f

x

yxfyxxf

x

f

∆−∆+≈

∂∂

∆−∆+≈

∂∂ ),(),(

,),(),(

コンピュータの基礎

• ベクトルとマトリックスの積

• 掃き出し法による逆マトリックス

• 座標変換マトリックス

支配方程式

つり合い方程式

ひずみ－変位関係式応力－ひずみ関係式

0

0

0

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

zzyzzx

yyzyxy

xzxxyx

Fzyx

Fzyx

Fzyx

σττ

τστ

ττσ

x

w

z

u

z

w

z

v

y

w

y

v

y

u

x

v

x

u

zxz

yzy

xyx

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

γε

γε

γε

,

,

,

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−+−=

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

E

γγγεεε

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ννν

τττσσσ

)1(2

2100000

0)1(2

210000

00)1(2

21000

000111

0001

11

00011

1

)21)(1(

)1(

{ } [ ]{ }εσ D=

三角形要素の形状関数i

j k

yxv

yxu

321

321

αααααα

++=++=

kkk

jjj

iii

yxu

yxu

yxu

321

321

321

ααααααααα

++=++=++=

=

3

2

1

1

1

1

ααα

kk

jj

ii

k

j

i

yx

yx

yx

u

u

u

=

−

k

j

i

kk

jj

ii

u

u

u

yx

yx

yx1

3

2

1

1

1

1

ααα

=

k

j

i

kji

kji

kji

u

u

u

ccc

bbb

aaa

D2

1

3

2

1

ααα

++++++=++=

k

j

i

kkkjjjiii

u

u

u

ycxbaycxbaycxbaD

yxu ][2

1321 ααα

∑∑==

==3

1

3

1

,i

iii

ii uNvuNu

)(2

1

)(2

1

)(2

1

3

2

1

ycxbaD

N

ycxbaD

N

ycxbaD

N

kkk

jjj

iii

++=

++=

++=

マトリックス化すると

頂点の座標を代入すると

=∆

=∆

=∆

−=−=−=−=−=−=

∆=∆=∆=

jj

iik

ii

kkj

kk

jji

ijkkijjki

jikikjkji

kkjjii

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xxcxxcxxc

yybyybyyb

aaa

,,

,,

,,

,,

Ｄは三角形の面積

四角形要素の形状関数ξηηξ 4321 aaaau +++=

43211 aaaau +−−=

43212 aaaau −−+=

43213 aaaau +++=

43214 aaaau −+−=

)(4

143211 uuuua +++=

)(4

143212 uuuua −++−=

)(4

143213 uuuua ++−−=

)(4

143214 uuuua −+−=

[ ]

=

4

3

2

1

4321

u

u

u

u

NNNN

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

4

3

2

1

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

+−=

++=

−+=

−−=

N

N

N

N

{ ηξ )()()(4

1432143214321 uuuuuuuuuuuuu ++−−+−++−++++=

}ξη)( 4321 uuuu −+−+

)1)(1(4

1iiiN ηηξξ ++=

ξ

η

)1,1(1 −−=u )1,1(2 −=u

)1,1(3 =u)1,1(4 −=u

ξ

η

)1,1(1 −−=u )1,1(2 −=u

)1,1(3 =u)1,1(4 −=u

ヤコビマトリックス

∑ ∑= =

==4

1

4

1

,i i

iiii yNyxNx

局所座標系（ξ,η）と全体座標系（x,y）の間に

なる写像関係がある時、ξ,ηをx,yの関数と考えると全微分は

ηηηξξξ ∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂ y

y

Nx

x

NNy

y

Nx

x

NN iiiiii ,

[ ]

∂∂∂∂

=

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂

y

Nx

N

J

y

Nx

N

yx

yx

N

N

i

i

i

i

i

i

ηη

ξξ

η

ξ

∑ ∑ ∑= = −

∂∂

+∂∂

=∂∂

=∂∂

=4

1

4

1

4

1

,,i i i

ii

ii

xyii

yii

x uy

Nv

x

Nv

y

Nu

x

N γεε

Ｊａｃｏｂｉａｎ　マトリックス

∑∑==

==4

1

4

1

,i

iii

ii uNvuNu

Ｂマトリックス

Ｂマトリックスはヤコビアンより

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

4

4

3

3

2

2

1

1

44332211

4321

4321

0000

0000

v

u

v

u

v

u

v

u

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

Ny

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

x

N

xy

y

x

γεε

{ } { }δε ][B=

[ ]

∂∂∂∂

=

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂

y

Nx

N

J

y

Nx

N

yx

yx

N

N

i

i

i

i

i

i

ηη

ξξ

η

ξ [ ]

∂∂∂∂

=

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂

−

−

η

ξ

η

ξ

ηη

ξξi

i

i

i

i

i

N

N

JN

N

yx

yx

y

Nx

N

1

1

剛性マトリックス

{ } { } { } { } TTT BB ][][ δεδε =→= { } { } { }δεσ ]][[][ BDD ==

{ }{ } { } { }

{ } { } dVBDB

dVP

V

TT

V

T

∫∫

=

=

δδ

σεδ

]][[][*

** { } { } { } 0)][][][(* =− ∫ δδ dVBDBPV

TT

{ } { }δdVBDBPV

T ][][][∫= dVBDBKV

T∫= ][][][][

ςηξ dddJdxdydzdV ||det== ∑∑∑∫ =l m n

nmlv

fwwwdddf ),,(),,( ςηξςηξςηξ

∑∑∑∫ ∫ ===l m n

lmnT

nmlv v

TT JBDBwwwdddJBDBdVBDBK ||]][[][||]][[][]][[][][ ςηξ

仮想仕事の原理より

１つの質点に働く力がつり合っている時、仮想変位を与えてもなす仕事の和はゼロ

ガウスの数値積分

∫ ∫ ∑−=

==b

a

n

iii wJfdJfdxxf

1

11

det)(det)()( ξξξ

１次元：

[ ]∫ =−−=−=π π

00 2)1(1cossin ：厳密解xxdx

2detdet,

2,)1(

2

,10

πξ

ξπξπ

ξπξ

===+=

=−==

d

dxJddxx

xx ＝１ででガウスの数値積分では

ξξππξπξππddxdx∫ ∫ ∫− −

+=

+=

0

1

1

1

1)1(

2sin

22)1(

2sinsin

∫ ∑−=

+=

+

=1

1

4

1

)1(2

sin2

)1(2

sin2

:4

iii wd

n

ξππξξππ

652145.0)1339981.0(2

sin347855.0)1861136.0(2

sin2

+−+

+−= πππ

999985.1347855.0)1861136.0(2

sin652145.0)1339981.0(2

sin =

++

++ ππ

x

)(xf

1−==

ξax

1+==

ξbx

)1(2

,1,0,121

+=

===−=+=

ξππξξ

ξαα

x

xx

x

有限要素法の手順

• ヤング率、ポアソン比、座標、外力の入力

• 剛性マトリックスの作成

• 連立１次方程式の解

• 応力計算

• 解析結果出力

{ } [ ] { }∑∑=

=

l mlm

Tml JBDBwwK

KP

]][[][][

δ

{ } [ ] { } [ ][ ] { }δεσ BDD ==

C ---------------------------------- 要素の構成READ(1,*) NELREAD(1,*) ((IX(I,J),J=1,NEN),I=1,NEL)

C ---------------------------------- 物理定数READ(1,*) (YOUNG(L),POSN(L),H(L),L=1,NEL)

C ---------------------------------- 座標入力READ(1,*) NODREAD(1,*) ((XL(J,I),J=1,NDM),I=1,NOD)

C ---------------------------------- 固定条件READ(1,*) NBIF(NB.EQ.0) GO TO 10READ(1,*) (IB(I),(IFX(J,I),J=1,NDM),I=1,NB)

10 CONTINUE

データ入力プログラム

C ---------------------------------- 平面ひずみD1=EE*(1.0D0-PP)/((1.0D0+PP)*(1.0D0-2.0D0*PP))D2=EE*PP/((1.0D0+PP)*(1.0D0-2.0D0*PP))D3=EE*0.5D0/(1.0D0+PP)

C ---------------------------------- [D]ﾏﾄﾘｯｸｽDD(1,1)=D1DD(1,2)=D2DD(2,1)=D2DD(2,2)=D1DD(3,3)=D3

Ｄマトプログラム

DATA A1/-1.0D0,1.0D0,1.0D0,-1.0D0/DATA B1/-1.0D0,-1.0D0,1.0D0,1.0D0/ DATA GSI/0.8611363,-0.8611363,0.339981,-0.339981/DATA WEI/0.3478549,0.3478549,0.6521452,0.6521452/ ml ww ,

, ηξ

−−

−

−+2

2100

01

01

)21)(1( ννν

νν

ννE

i iξ iw 1 0 2 1 2

3/1 3/1−

1 1

1 2 3

0 5/15 5/15−

8/9 5/9

5/9

1 2 3 4

0.86113631 -0.86113631 0.33998104 -0.33998104

0.34785485 0.34785485 0.65214515 0.65214515

積分点ξiと重みwi

0)1(!2

1)( 2 =−= n

n

n

nnd

d

nP ξ

ξξ

∫ ∏−≠= −

−==

1

1,1 )(

)(,

n

jij ji

iiii NdNw

ξξξξ

ξ

ξ

η

1−=ξ 1=ξ

86113631.0− 33998104.0

ルジャンドルの多項式：

ヤコビプログラムC ----------------------------------

DO 30 K=1,NENDN1(K)=0.25*A1(K)*(1.0D0+B1(K)*GSI(M))

30 DN2(K)=0.25*B1(K)*(1.0D0+A1(K)*GSI(L))DO 40 J1=1,NDMDO 40 J2=1,NDM

40 AJ(J1,J2)=0.0D0C ---------------------------------- |J|

DO 50 K=1,NENND=IX(NE,K)AJ(1,1)=AJ(1,1)+DN1(K)*XL(1,ND)AJ(1,2)=AJ(1,2)+DN1(K)*XL(2,ND)AJ(2,1)=AJ(2,1)+DN2(K)*XL(1,ND)

50 AJ(2,2)=AJ(2,2)+DN2(K)*XL(2,ND)DO 60 I=1,NDMDO 60 J=1,NDM

60 IF(ABS(AJ(I,J)).LT.1.0D-14) AJ(I,J)=0.0D0

)1(4

1

)1(4

1

iii

iii

d

d

d

d

ξξηηη

ηηξξξ

+=

+=

)1)(1(4

1iiiN ηηξξ ++=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

= =

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

==

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

,

,

,

i ii

ii

i

ii i

ii

i

i iiiii

yNy

xNx

yNy

xNx

yNyxNx

ηηηη

ξξξξ

Ｂマトプログラム

ABSJ=AJ(1,1)*AJ(2,2)-AJ(1,2)*AJ(2,1)ABSJ=DABS(ABSJ)

C ---------------------------------- インバースヤコビT=AJ(1,1)/ABSJAJ(1,1)=AJ(2,2)/ABSJAJ(1,2)=-AJ(1,2)/ABSJAJ(2,1)=-AJ(2,1)/ABSJAJ(2,2)=T

C ----------------------------------DO 70 K=1,NENANX(K)=AJ(1,1)*DN1(K)+AJ(1,2)*DN2(K)

70 ANY(K)=AJ(2,1)*DN1(K)+AJ(2,2)*DN2(K)

−

−∆

=

−

ac

bd

dc

ba 11

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂ −

η

ξ

ηη

ξξi

i

i

i

N

N

yx

yx

y

Nx

N1

bcad −=∆

C ---------------------------------- [B]DO 80 I=1,3DO 80 J=1,IEL

80 BB(I,J)=0.0D0DO 90 K=1,NENBB(1,2*K-1)=ANX(K)BB(2,2*K)=ANY(K)BB(3,2*K)=ANX(K)

90 BB(3,2*K-1)=ANY(K)C ---------------------------------- [D][B]

DO 100 I=1,3DO 100 J=1,IELWX=0.0D0DO 110 K=1,3WX=WX+DD(I,K)*BB(K,J)

110 CONTINUE100 DB(I,J)=WX

C ---------------------------------- [B]'([D][B])DOM=ABSJ*WEI(L)*WEI(M)DO 120 I=1,IELDO 120 J=1,IELWX=0.0D0DO 130 K=1,3WX=WX+BB(K,I)*DB(K,J)

130 CONTINUE120 AK(I,J)=AK(I,J)+WX*DOM*HT

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

Ny

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

x

N

44332211

4321

4321

0000

0000

∑∑∫ ∫ ===l m

lmT

mlA A

TT JBDBwwddJBDBdABDBK ||]][[][||]][[][]][[][][ ηξ

ηξ ddJdxdydA ||det== ∑∑∫ =l m

mlA

fwwddf ),(),( ηξηξηξ

剛性マトリックスプログラム

C ---------------------------------- [B][U]DO 100 I=1,3WX=0.0D0DO 100 J=1,IELWX=WX+BB(I,J)*UU(J)

110 CONTINUE100 BU(I)=WX

C ---------------------------------- [D][B]{U}DO 120 I=1,3WX=0.0D0DO 130 J=1,3WX=WX+DD(I,J)*BU(J)

130 CONTINUE120 ST(NE,I)=WX

応力計算プログラム

{ } { } { }δεσ ]][[][ BDD ==

三角形要素の例１

薄板切欠き材の引張り 解析後の変形

固定yx,

固定x

円孔回りの応力集中 解析後の変形

三角形要素の例２

a

r

ar /

θσ1 2 3 ∞p3 p07.1p22.1 p

ar /

θσ1 2 3 ∞p3 p07.1p22.1 p

四角形要素の例

　 　初期状態　　　 　　 変形　　　　 　　σx　　　　 　　τxy

四面体要素の例

四面体Ｂマトリックス　　　　 メッシュ分割　　　　 体積ひずみ

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

=

xNzN

yNzN

xNyN

zN

yN

xN

B

ii

ii

ii

i

i

i

i

''

''

''

'

'

'

0

0

0

00

00

00

4,1=i { } { }δε ][B=

六面体要素の例

* DISPLACEMENTS *1 0.000e+00 0.000e+002 0.000e+00 0.000e+003 1.733e-03 1.486e-034 1.733e-03 -1.486e-035 6.108e-03 2.641e-036 6.108e-03 -2.641e-037 1.246e-02 3.467e-038 1.246e-02 -3.467e-039 2.014e-02 3.962e-0310 2.014e-02 -3.962e-0311 2.848e-02 4.127e-0312 2.848e-02 -4.127e-03

* DISPLACEMENTS *1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+002 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+003 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+004 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+005 1.733e-03 0.000e+00 1.486e-036 1.733e-03 0.000e+00 -1.486e-037 1.733e-03 0.000e+00 1.486e-038 1.733e-03 0.000e+00 -1.486e-039 6.108e-03 0.000e+00 2.641e-0310 6.108e-03 0.000e+00 -2.641e-0311 6.108e-03 0.000e+00 2.641e-0312 6.108e-03 0.000e+00 -2.641e-0313 1.246e-02 0.000e+00 3.467e-0314 1.246e-02 0.000e+00 -3.467e-0315 1.246e-02 0.000e+00 3.467e-0316 1.246e-02 0.000e+00 -3.467e-0317 2.014e-02 0.000e+00 3.962e-0318 2.014e-02 0.000e+00 -3.962e-0319 2.014e-02 0.000e+00 3.962e-0320 2.014e-02 0.000e+00 -3.962e-0321 2.848e-02 0.000e+00 4.127e-0322 2.848e-02 0.000e+00 -4.127e-0323 2.848e-02 0.000e+00 4.127e-0324 2.848e-02 0.000e+00 -4.127e-03

100kg×250kg×4

x

y

x

y

z

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

1 2

3 4

58

912

1316

1720

21

24

２次元解析 ３次元解析

バンドマトリックス

••••••••••••••••

••••••••••••••••

••••••••••••••••

••••••••••••••••

12

12

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

M

M

oooo

oooo

oooo

oooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

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oooooooo

oooooooo

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oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

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i

j

b

••••••••

••••••••

••••••••

••••••••

••••••••

••••••••

••••••••

••••••••

oooo

oooo

oooo

oooo

oooooooo

oooooooo

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oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

oooooooo

距離

bijk +−=

k

b

j

i

i

••••••••

••••••••

••••••••

••••••••

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oooo

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oooooooo

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oooooooo

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距離

bijk +−=

k

b

j

i

i

bijk

bB

b

+−=−×=

+−×=12

)1min#(max#2

B

課題：ＦＥＭメッシュ作成

ヒント：規則性をさがせ！

縦に４要素、横に７要素の２次元有限要素に対して要素構成および節点座標を自動計算せよ．　ただし、１要素は縦・横２ｍとする．

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

10 15 20 25 30 35 40

11 16 21 26 31 36

28

27

26

2537

38

39

282 1 6 73 2 7 84 3 8 95 4 9 107 6 11 128 7 12 139 8 13 1410 9 14 1512 11 16 1713 12 17 1814 13 18 1915 14 19 2017 16 21 2218 17 22 2319 18 23 2420 19 24 2522 21 26 2723 22 27 2824 23 28 2925 24 29 3027 26 31 3228 27 32 3329 28 33 3430 29 34 3532 31 36 3733 32 37 3834 33 38 3935 34 39 40

400.000 0.0000.000 2.0000.000 4.0000.000 6.0000.000 8.0002.000 0.0002.000 2.0002.000 4.0002.000 6.0002.000 8.0004.000 0.0004.000 2.0004.000 4.0004.000 6.0004.000 8.0006.000 0.0006.000 2.0006.000 4.0006.000 6.0006.000 8.0008.000 0.0008.000 2.0008.000 4.0008.000 6.0008.000 8.00010.000 0.00010.000 2.00010.000 4.00010.000 6.00010.000 8.00012.000 0.00012.000 2.00012.000 4.00012.000 6.00012.000 8.00014.000 0.00014.000 2.00014.000 4.00014.000 6.00014.000 8.000