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Phénomènes de transport
Chapitre 4
Fluides en écoulement
Mouvement de convection dans les fluides
I) Débits et lois de conservation
1) Description eulérienne d’un fluide en écoulement
Une particule de fluide est un système mésoscopique fermé de masse
δm située en M à l’instant t
Elle contient un très grand nombre de molécules de fluide
Le volume de la particule de fluide dτ peut se modifier au cours de
l’écoulement (écoulement compressible)
On définit la vitesse de la particule de fluide comme la moyenne de
vitesse des molécules qui la constituent
Statique des fluides ≠ dynamique des fluides
Description lagrangienne ≠ description eulérienne
Champ eulérien des vitesses
Masse volumique, ordres de grandeurs
Vecteur densité de courant de masse
Ligne de courant de masse
Comment observer des lignes de courants ?
Tube de courant de masse
2) Débits massique et volumique
Définis pour une surface orientée S
Définition des débits massique et volumique
Expression des débits en fonction du flux d’un vecteur à caractériser
3) Équation locale de conservation de la masse :
Cas particulier d’un écoulement unidimensionnel
Bilan de masse dans un élément de volume mésoscopique
Équation locale de conservation de la masse
Généralisation
4) Écoulements particuliers :
a) Écoulement stationnaire
Les champs eulériens sont indépendants du temps
L’allure des lignes de courant n’est pas modifié au cours du temps
Ligne de courant = trajectoire
Le vecteur densité de courant de masse est à flux conservatif
Conséquences :
- écoulement dans une canalisation : conservation du débit massique
à travers toutes les sections de la canalisation
- loi des nœuds
b) Écoulement homogène et incompressible
Fluide incompressible : la masse volumique est une constante
caractéristique du fluide étudié.
Écoulement incompressible : conservation du volume d’une particule
de fluide au cours de l’écoulement.
Écoulement homogène : mêmes propriétés en tout point de
l’écoulement
Écoulement homogène et incompressible : la masse volumique reste
constante lors de l’écoulement étudié. Le champ des vitesses est alors
à flux conservatif
Conséquences :
- écoulement dans une canalisation : conservation du débit
volumique à travers toutes les sections de la canalisation
- loi des nœuds
II) Actions de contact dans un fluide
1) Bilan des forces exercées sur une particule de fluide
2) Équivalent volumique des forces de pression
3) Éléments de statique des fluides
4) Viscosité dynamique
Expérience de mise en évidence
La viscosité du fluide impose aux particules de fluide près de la
paroi le même mouvement que celle-ci : elles adhèrent à la paroi.
La viscosité entraîne un phénomène de diffusion de quantité de
mouvement
Caractéristique de la force de viscosité
Cas particulier d’un écoulement parallèle :
- géométrie étudiée
- expression de la force de cisaillement
- ordres de grandeur de la viscosité dynamique
- temps caractéristique de diffusion de quantité de mouvement
5) Profils de vitesses de certains écoulements parallèles :
a) Écoulement de Couette plan
b) Écoulement de Poiseuille plan
III) Écoulement interne incompressible et homogène dans une
conduite cylindrique
1) Régimes d’écoulements et nombre de Reynolds
Vidéos d’écoulements dans une conduite : expérience de Reynolds
On observe 2 régimes d’écoulements :
Écoulement laminaire : faibles vitesses
Le mouvement des particules de fluide est régulier et ordonné. Les couches
de fluide glissent les unes sur les autres sans se mélanger.
Écoulement turbulent : grandes vitesses
Déplacement irrégulier des particules de fluide
Fluctuations aléatoires de la vitesse qui se superposent au mouvement
moyen du fluide.
Les couches de fluides se mélangent. L’écoulement n’est pas stationnaire.
Il y a 2 modes de transfert de quantité de mouvement :
- par diffusion grâce aux forces de viscosité
- par convection grâce à l’écoulement du fluide
Pour un écoulement laminaire, c’est le transfert par diffusion qui
prédomine
Pour un écoulement turbulent, c’est le transfert par convection qui
prédomine
Les paramètres qui influencent le régime d’écoulement sont :
- propres au fluide utilisé : viscosité et masse volumique
- propres à l’expérience : vitesse, dimension
On introduit un nombre adimensionné, le nombre de Reynolds, pour
comparer le transfert convectif et diffusif.
diffusion
e
convection
R
avec 2
diffusion
L
et convection
L
V , on obtient e
VLR
où μ est la masse volumique du fluide, V une vitesse caractéristique de
l’écoulement, L une taille caractéristique de l’écoulement et η la viscosité
du fluide.
Dans le cas d’une canalisation à section circulaire :
V est la vitesse débitante Vmoy
Soit VDV
S , vitesse moyenne sur une section
L est le diamètre d de la section
Aux faibles nombres de Reynolds, la diffusion s’établit rapidement et
prédomine la convection. L’écoulement sera laminaire.
Aux grands nombres de Reynolds, la convection s’établit rapidement et
prédomine sur la diffusion. L’écoulement sera turbulent.
Dans le cas d’une conduite à section circulaire le nombre de Reynolds
critique de passage d’un régime laminaire à turbulent est Rec = 2.103
Exemples
Exemple 1 : écoulement d’air comprimé dans une conduite industrielle
- Vitesse débitante ?
- Masse volumique ?
- Nombre de Reynolds ?
- Conclusion ?
Exemple 2 : canalisation d’eau pour chauffage
- Diamètre du tuyau ?
- Nombre de Reynolds ?
- Conclusion ?
Données :
Canalisation en acier
T = 15°C
D = 50m3/h
P = 7 bar
d = 53 mm
L = 32 m
Données :
Cuivre ou PVC
Vmax =1 m/s
D = 600L/h
L = 5 m
Exemple 3 : tuyau d’arrivée d’eau au robinet
On considère un tuyau de diamètre intérieur 10 mm. Quelle doit être la
valeur maximale de la vitesse d’écoulement pour être en régime
laminaire ? Quel sera alors la valeur du débit ?
Écoulements similaires :
Exemple :
On cherche à réaliser une maquette cherchant à reproduire en salle de TP
l’écoulement d’air autour d’un TGV. On dispose d’une soufflerie de
vitesse v = 6 m/s. Quelle doit être la taille de la maquette ? Conclusion ?
2) Chute de pression dans une conduite cylindrique horizontale :
a) Cas d’un écoulement laminaire : écoulement de Poiseuille cylindrique
Profil parabolique de la vitesse
Calcul du débit volumique
Vitesse débitante
Loi de Hagen Poiseuille
Analogie électrocinétique : résistance hydraulique
Association de résistances hydrauliques
b) Chute de pression dans une conduite cylindrique horizontale dans le cas
général
Dans le cas général, la chute de pression le long de la conduite :
- est toujours proportionnelle à la longueur de la conduite
- mais elle n’est plus proportionnelle au débit volumique
La chute de pression dépend de manière complexe du nombre de
Reynolds et aussi de la rugosité des parois de la conduite. Il faut utiliser
des courbes expérimentales (abaques) pour la calculer.
On utilise un diagramme de Moody
- définition de la rugosité :
Rugosité absolue
ε
Rugosité relative
d
Si 2 écoulements possèdent le même nombre de Reynolds alors ils sont
similaires
En abscisse :
nombre de Reynolds (attention aux notations !)
En ordonnée
coefficient de perte de charges (Friction factor) noté ici λ
Unité de λ ?
- Cas où Re < 2. 103
- Cas du régime turbulent
Exemples d’utilisation : Calcul de la chute de pression dans les
canalisations des exemples 1 et 2 précédents
IV) Écoulement externe incompressible et homogène autour d’un
obstacle
1) Bilan des forces exercées sur un obstacle :
Action du fluide sur l’obstacle : force de trainée, force de portance
La force de trainée est la résultante des forces qu’exerce le fluide sur l’objet
parallèlement à la direction de l’écoulement
Il y a 2 origines à la force de trainée :
la trainée de frottement due au cisaillement du fluide sur l’obstacle
la trainée de forme due à la différence de pression autour de l’obstacle
(sans tenir compte de l’action de la pesanteur dur la pression)
La force de portance est la résultante des forces qu’exerce le fluide sur l’objet
perpendiculairement à la direction de l’écoulement.
La poussée d’Archimède
Si on tient compte de l’action de la pesanteur, le champ de pression dépend aussi
de l’altitude. La poussée d’Archimède est la résultante des forces de pression
exercées sur l’objet quand on ne tient compte que de l’action de la pesanteur sur
les variations de pression. On la néglige souvent dans l’air.
Elle est égale à l’opposé du poids du fluide déplacé pour un fluide quasi au
repos.
2) Coefficient de trainée
Écoulement autour d’une sphère : pas de portance
Expression de la trainée ?
Surface apparente S= maitre couple = surface de l’ombre dessinée par l’objet
éclairé dans le sens de l’écoulement
On définit le Coefficient de trainée Cx (ou Cd drag)
21
2
trx
FC
v S
On trace expérimentalement Cx en fonction du nombre de Reynolds
On observe 4 zones :
À chaque zone est associé un régime d’écoulement.
3) Modèle de l’écoulement parfait
Un écoulement parfait est un modèle dans lequel tous les phénomènes diffusifs
sont négligés
Les seules actions de contact dont les forces de pression
Un écoulement parfait est adiabatique réversible et non visqueux.
Un écoulement parfait est un écoulement à haut nombre de Reynolds.
Près de l’obstacle les forces de viscosité sont non négligeables.
On définit une couche limite autour de l’obstacle ou des parois dans laquelle les
phénomènes de viscosité prédominent.
En dehors de la couche limite l’écoulement est parfait ;
Épaisseur δ :
e
L
R
Conditions aux limites pour un écoulement parfait ?
4) Trainée et portance sur une aile d’avion
Vocabulaire associé à une aile d’avion
Pour un avion la poussée d’Archimède est négligeable.
On pose S=L*Lenv
Coefficient de trainée Cx (ou Cd drag)
21
2
trx
FC
v S
Coefficient de portance Cz (ou CL lift)
21
2
por
z
F nC
v S
Le vecteur unitaire est orienté de l’intrados vers l’extrados
Évolution de Cx et Cz en fonction de l’angle d’incidence pour une aile fixée, à
vitesse fixée.
Polaire de l’aile
Finesse aérodynamique
Influence de la forme de l’aile
