1

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL,ARQUITETURA E URBANISMO

Departamento de Estruturas

FLAMBAGEM DE BARRAS

PROF DR. NILSON TADEU MASCIA

CAMPINAS, 2001 (REVISÃO 2017)

2

Índice 1. Introdução ........................................................................................................................... 3 2. Conceito de Estabilidade Elástica ...................................................................................... 4 3. Aplicação do conceito de estabilidade na compressão axial .............................................. 4 4. Classificação, quanto aos conceitos de cálculo, do desenvolvimento teórico de um problema em teoria de estrutura ............................................................................................. 6 4.1. Teoria de 1ª ordem ........................................................................................................... 6 4.2. Teoria de 2ª ordem ........................................................................................................... 7 4.3. Teoria de 3ª ordem ........................................................................................................... 7 4.4. Gráfico de F por v(x) com a utilização destes conceitos ................................................. 7 5. Determinação de Fcrit – Método do Equilíbrio.................................................................... 9 6. Carga de Flambagem para Barras Bi-articuladas ............................................................. 10 7. Outros tipos de vinculações .............................................................................................. 13 7.1. Barra engastada livre ..................................................................................................... 13 7.2. Barra engastada e articulada .......................................................................................... 13 7.3. Barra engastada – engastada .......................................................................................... 14 7.4. Relação entre as cargas de flambagem .......................................................................... 14 8. Tensão de Flambagem no Regime Elástico ...................................................................... 14 8.1. Raio de Giração de uma seção transversal .................................................................... 14 8.2. Índice de Esbeltez de uma barra .................................................................................... 15 8.3. Transformação da carga de flambagem em tensão de flambagem ............................... 15 9. Exercício nº 1 .................................................................................................................... 15 10. Flambagem Elástica e Plástica ....................................................................................... 17 11. Cálculo Prático da Flambagem ....................................................................................... 18 11.1. Barra de Aço e de Ferro Fundido ................................................................................ 18 11.1.1. Fórmulas de Tet Majer no regime plástico .............................................................. 18 11.2. Barras de Madeira ........................................................................................................ 20 11.3. Barras de Concreto ..................................................................................................... 21 12. Influência da força cortante e da deformação axial ........................................................ 21 12.1. Força cortante ............................................................................................................. 21 12.2. Deformação axial ........................................................................................................ 22 13. Exercícios ....................................................................................................................... 23 13.1. Exercício 01 ................................................................................................................. 23 13.2. Exercício 02 ................................................................................................................. 25 13.3. Exercício 03 ................................................................................................................. 27 14. Bibliografia ..................................................................................................................... 28 ANEXO .......................................................................................................................................................... 29

3

1. Introdução

Em todas as construções, as peças componentes da estrutura devem ter geometria adequada e definida para resistirem às ações (forças existentes e peso próprio ou prováveis, como a ação do vento) impostas sobre elas. Desta maneira, as paredes de um reservatório de pressão têm resistência apropriada para suportar a pressão interna; um pilar de um edifício tem resistência para suportar as cargas das vigas; uma asa de avião deve suportar com segurança as cargas aerodinâmicas que aparecem durante o voo ou a decolagem. Se o material não resistir às ações, atingirá um Estado Limite Último por Ruptura.

Da mesma forma, um piso de edifício deve ser rígido para evitar uma flecha excessiva, o que em alguns casos pode provocar fissuras no teto, tornando-se inadequado em seu aspecto funcional (Estado Limite de Utilização). Finalmente, uma peça pode ser tão delgada que submetida a uma ação compressiva atingirá o colapso por perda de estabilidade (flambagem), isto é, um Estado Limite Último. Em engenharia, todos os requisitos acima devem ser preenchidos com a máxima habilidade e o menor custo. Neste sentido a seleção dos elementos estruturais de uma construção se baseia nas três seguintes características:

• Resistência; • Rigidez; • Estabilidade.

A análise de resistência e rigidez já foram apresentadas anteriormente. Neste momento a atenção se direciona ao estudo da estabilidade dos sistemas estruturais. O nosso estudo começa pela análise de uma barra de diâmetro d, submetida a uma força axial de compressão. Se esta barra, submetida à força F tiver um comprimento, l, nenhuma questão de estabilidade apareceria, e uma força considerável poderia ser suportada por esse membro de comprimento l. Entretanto, se a mesma barra tivesse comprimento igual a várias vezes o diâmetro quando submetida aquela força F (ou menor), poder-se-ia tornar lateralmente instável e entrar em colapso1 (Figura 1) da resistência do material não é suficiente para se prever o comportamento de tal membro.

Nós próximos itens serão explanados alguns conceitos necessários para o prosseguimento de nosso estudo.

Figura 1 - Flambagem de Barras

1 Obs: Colapso = a barra muda sua configuração linear, passa a ter uma outra configuração não linear e rompe por flexão, isto é, em Estado Limite Último.

4

2. Conceito de Estabilidade Elástica

Qualifica-se como estabilidade a propriedade do sistema (estrutura) de manter o seu estado inicial de equilíbrio nas condições de aplicação de ações. Se um sistema não tem esta propriedade, ele é qualificado de instável.

Definem-se dois estados de equilíbrio: a) Equilíbrio estável: Se um sistema sofre uma pequena perturbação, depois de

eliminarmos as causas desta perturbação, o sistema volta ao seu estado inicial de equilíbrio. Este é considerado estável.

b) Equilíbrio instável – Se um sistema sofre uma pequena perturbação, depois de eliminarmos as causas desta perturbação, o sistema não volta ao seu estado inicial. Este é considerado instável.

Figura 2 – Equilíbrio estável (a) e instável (c)2

Assim, alcançamos o seguinte estágio: o que acontece se o sistema passa do estado inicial de equilíbrio (estável) para outro? É caracterizado assim a perda de estabilidade do sistema.

3. Aplicação do conceito de estabilidade na compressão axial

Para peças de comprimento l, da mesma ordem de seu diâmetro d ou lado b, sujeito à compressão axial, não está correto o fenômeno de perda de estabilidade. Se pensássemos em

termos de resistência, esta seria f=F

A e num ponto A qualquer seria σ=

F

A.

Figura 3 – Gráfico tensão x deformação3

2 Obs: Esta análise de estabilidade está voltada para regime elástico-linear dos materiais. 3 Obs: A carga F é aplicada de O → f. Portanto pode-se analisar o gráfico da Figura 3 de O → f.

5

Para peças com comprimento várias vezes maior que o diâmetro d ou lado b, sujeita a compressão axial, que fenômeno ocorreria?

Inicialmente a barra está num estado de equilíbrio estável. Para pequenos valores de F, aumentados gradualmente, a coluna permanece num estado de equilíbrio estável.

Figura 4 – Barra com carga F

Durante este estágio, se retirarmos a força ou ação F, a barra ou coluna volta à sua forma inicial de equilíbrio (equivalente à esfera da figura 2a). Se aumentarmos ainda mais a ação F, haveria uma passagem de um estado de equilíbrio para outro.

Por definição: carga crítica Fcr ou carga de Euler ou carga de flambagem é o valor da carga F que provoca o fenômeno da mudança do estado de equilíbrio estável para o instável.

Figura 5 – Flambagem da barra

Colocando-se num gráfico de F por v(x), tem-se:

6

Figura 6 - Mudança de equilíbrio

Chegamos assim, ao nosso objetivo: determinar Fcr. Para completar nosso conjunto de conceitos básicos sobre o fenômeno da Estabilidade, temos que classificar quanto aos conceitos de cálculo o nosso problema em Teoria de 1ª ordem, 2ª ordem e 3ª ordem.

4. Classificação, quanto aos conceitos de cálculo, do desenvolvimento teórico de um problema em teoria de estrutura

4.1. Teoria de 1ª ordem Esta teoria não leva em conta os deslocamentos no estudo do equilíbrio da estrutura

e admite ainda certas simplificações, como por exemplo, a substituição da curvatura K=1

r da

linha elástica pela 2ª ordem derivada da sua equação. Mo=Fa

v''(x)=-Mo

EI=

-Fa

EI

Figura 7 – Estrutura em teoria de 1ª ordem

7

4.2. Teoria de 2ª ordem Esta teoria leva em conta os deslocamentos no estudo do equilíbrio da estrutura e

considera a curvatura K=1

r da linha elástica pela 2ª ordem derivada da sua equação.

Mo=F(a+v(x))

v''(x)=-Mo

EI

Figura 8 – Estrutura em teoria de 2ª ordem

4.3. Teoria de 3ª ordem A teoria de 3ª ordem leva em conta os deslocamentos sem simplificações, sendo

geralmente complicada para uso prático. A equação da curvatura:

K=d2v/dx2�1+�dv

dx�2�32

É usada no regime supercrítico.

4.4. Gráfico de F por v(x) com a utilização destes conceitos

8

Figura 9 – Gráfico de configuração de equilíbrio

Contemplando este estudo teórico é conveniente ressaltar que o fenômeno da

flambagem não é um problema de resistência, mas sim de estabilidade. Se o material que compõe a estrutura seguisse indefinidamente a Lei de Hooke a carga poderia crescer sensivelmente acima de Fcr sem que o equilíbrio perdesse seu caráter estável. Exemplo: Barras de acrílico e celulóide (materiais plásticos):

Figura 10 – Gráfico tensão-deformação

Observa-se que a teoria de 2ª ordem fornece Fcr, ou seja, os problemas de Flambagem já são testados por esta teoria em Resistência dos Materiais.

d2v

dx2 =-M

EI ���se a=0→M=0→σ=F

A

se a≠0→d2v

dx2 +Fv

EI=0

9

Figura 11 – Elástica da barra comprimida

5. Determinação de Fcrit – Método do Equilíbrio Uma coluna perfeitamente reta (Figura 12), apoiada em sua extremidade, pode ser considerada em equilíbrio estável. Se aplicarmos uma carga F, a coluna pode sofrer uma rotação, mas não pode fletir. Na forma hachurada, tem uma posição de equilíbrio tal que, em A, o momento de tombamento e o restaurador são:

Flsenθ=Mt cθ=M�

Figura 12 – Modelo para flambagem

Para θ pequeno sen θ ≅ θ, ficando assim 3 condições:

10

1) F� θ < c θ → sistema estável

2) F� θ = c θ → ponto de bifurcação do equilíbrio

3) F� θ > c θ → sistema instável

Figura 13 – Barra em equilíbrio

De 2) tem-se que:

Flθ=cθ

F=c

l

Sendo F = Fcr a carga crítica de flambagem.

6. Carga de Flambagem para Barras Bi-articuladas

Seja a barra de seção constante inicialmente reta, mantida na sua posição deformada por uma carga axial F. A direção das ordenadas v da elástica evidentemente será a direção da menor rigidez contra flexão, quer dizer, o eixo central com Imin (w) da seção da barra será perpendicular ao plano do desenho da figura.

Figura 14 – Esquema para determinação da carga crítica

Procuramos a carga F necessária para manter a elástica.

11

Da resistência dos materiais, sabe-se que: d2v

dx2 =- M

EI

O momento M vale:

M=Fv

Figura 15 – Cálculo do momento

Substituindo na equação procedente tem-se:

d2v

dx2 +Fv

EI=0 (1)

Portanto, temos a solução geral da equação diferencial que rege o problema de flambagem: v=C1senKx+C2senKx (2)

E com as condições de contorno:

Em A:�x=0v=0

C2 = 0 → v=C1senKx (3) Para se determinar o parâmetro K, derivamos 2 vezes a equação:

v=C1senKx dv

dx=KC1cosKx

d2v

dx2 =-K2C1senKx (4)

Substituindo (4) em (1): d2v

dx2 +Fv

EI=-K2C1senKx+

Fv

EI=0

-K2v+Fv

EI=0

K2 = F

EI

12

Em B:�x=lv=0

Temos em (3):

v=0=C1senKx Esta condição é satisfeita quando:

C1≠0 e senKl=0 ou Kl=nπ, n=1,2,3,4… (se n =0, não existe F)

K=nπl→K2=

n2π2

l2

Portanto a carga crítica vale:

F

EI=

n2π2

l2→Fcr=

n2π2

l2EI

Chamando lcr de comprimento de flambagem e sendo lcr= 1 n⁄ , podemos montar a seguinte tabela:

Caso K Fcrit Equação da elástica a:

n = 1 πl

π2�l2

v=C1senπlx

b: n = 2

2πl

4π2�

l2 v=C1sen

2πl

x

c: n = 3

3πl

9π2�

l2 v=C1sen

3πl

x

E as seguintes elásticas (sendo de interesse prático apenas o tipo a).

Figura 16 – Algumas elásticas

13

É interessante, novamente, salientar que as ordenadas v não podem ser determinadas por este equacionamento matemático, necessitando-se para isto da equação exata da curvatura K.

7. Outros tipos de vinculações

7.1. Barra engastada livre

Figura 17 – Barra engastada livre

lcr=2l ��� = π2�

4l2

7.2. Barra engastada e articulada

Figura 18 – Barra articulada-engastada

14

Tem-se:

lcr=l√2

��� = 4,4542�l2

= 2π2�l2

7.3. Barra engastada – engastada

Segue-se:

lcr=l

2 ��� = 4π2�l2

Figura 19 – Barra engastada-engastada

7.4. Relação entre as cargas de flambagem Tem-se: 1

4� : 1 : 2 : 4 Eng.-Livre Art.-Art. Art.-Eng. Eng.-Eng.

Ressalta-se que todas as fórmulas acima podem se assemelhar ao acaso fundamental, desde que no comprimento real esteja o comprimento de flambagem lef . Este comprimento vem a ser a distância entre os pontos de inflexão das elásticas.

8. Tensão de Flambagem no Regime Elástico

8.1. Raio de Giração de uma seção transversal

Chama-se raio de giração a seguinte relação:

15

i=� I

A

Onde:

I = Momento de inércia da seção transversal; A = Área da seção transversal.

Ou:

i2=I

A

8.2. Índice de Esbeltez de uma barra Índice de Esbeltez de uma barra é a seguinte relação:

λ=lcr

i

∴ λ2=lcr

2

i2

8.3. Transformação da carga de flambagem em tensão de flambagem

Seja a tensão de flambagem igual a:

σcr=Fcr

A

∴ σcr=π2�lcr

2A

∴ σcr=π2E

lcr2 i2

σcr=π2E

λ2

9. Exercício nº 1

Qual a relação h/b da seção transversal para que o pilar da figura ofereça a mesma segurança contra a flambagem nas direções x e y?

16

Figura 20 – Vista e seção transversal da estrutura

Solução:

Em relação ao eixo x (em torno de x) a vinculação é engastada – livre. Portanto:

lcr,x=2l

Em relação ao eixo y (em torno de y) a vinculação é engastada-articulada. Portanto:

lcr,y=l√2

Para se ter a mesma segurança em relação a x e a y temos:

Pcr,x=Pcr,y Pcr,x

A=

Pcr,y

A

σcr,x=σcr,y π2E

λx2 =

π2E

λy2

λx2=λy

2→λx=λy

�����λx=lcr,x

ix

λy=lcr,y

iy

(I)

Com Esbeltez:

i=� I

A

17

ix=�IxA ; Ix=

bh312

A=bh � ix=� bh312bh =

h√12

iy=�IyA ; Iy=

hb312

A=bh � iy=� hb312bh =

b√12

Finalmente em (I):

λx=2lh √12λy= l√2√12b � λx=λy→

hb=2√2

10. Flambagem Elástica e Plástica Até agora estudamos a carga crítica partindo da equação da elástica:

d2vdx2 =-MEI

Que é consequência da Lei de Hooke (σ=Eε�.Também foram introduzidos os

conceitos sobre peças curtas, esbeltas e suas relações com a resistência/estabilidade (Teorias: 1a, 2a, ordem). Vamos agora estudar, via conceito de esbeltez, o fenômeno de flambagem.

Assim, para barras curtas, não haverá flambagem e sua carga de ruptura dependerá apenas da resistência f do material, no caso de um material com limite de escoamento fy, este valor condiciona a capacidade resistente.

Considerando-se barras mais longas, o valor fy deverá ser substituído por σcr < fy, que condiciona o fenômeno flambagem.

Desta forma índice de esbeltez λ determinará se a barra é curta ou longa, e indicará o comportamento da barra a uma força axial de compressão.

Podemos agora relacionar o gráfico tensão-deformação com o gráfico tensão-índice de esbeltez.

Figura 21 – Gráficos tensão versus deformação ou esbeltez

18

Vemos à relação do comportamento da barra nos dois gráficos: σ - ε σcrit - λ

O → A: Regime Elástico T → S : Carga Crítica de Euler ou de Flambagem

A → C: Regime Plástico S → R: Flambagem Plástica C → : Escoamento R → Q: Não há Flambagem

Escoamento O diagrama σ por ε é determinado a partir de ensaios em laboratório.

Observações a respeito dos gráficos σ por ε e σcr por λ É de extrema importância que os gráficos σ por ε e σcr por λ não sejam de uma única

barra, mas sim de um número mínimo de barras de diferentes comprimentos. Assim no ponto S haverá uma coluna A que será a de menor comprimento (de um certo material) que flambará elasticamente. Uma outra com λ menor não flambará no regime de proporcionalidade do material.

Então, uma coluna flambada com uma tensão de flambagem que não excede fo, será uma flambagem é elástica. Se σcr > fo a flambagem será plástica ou não ocorrerá flambagem (σcr = fy).

Uma importante observação diz respeito ao trecho AC���� no ponto B, onde à vista de inúmeros resultados de ensaios em laboratório e de ajustes de curvas pode-se utilizar a seguinte expressão para fórmula de flambagem:

σcr=π2Et

λ2

Onde Et é o módulo de elasticidade tangente, a nova rigidez da barra à flexão (EI),

passa para Et I e o nível de tensão aumenta. Para informações complementares pode-se consultar a teoria módulo duplo no livro de Popov, p. 502).

11. Cálculo Prático da Flambagem Neste item são apresentadas algumas aplicações com o objetivo de uma revisão de caráter histórico de flambagem.

11.1. Barra de Aço e de Ferro Fundido

11.1.1. Fórmulas de Tet Majer no regime plástico

• Para Aço 37 (Aço de Baixa Resistência) segue a DIN 17100 ST 37: 0<λ → resistência ao escoamento

60≤λ≤100 → σcr=2891-8,175λ (kgf/cm2) λ>100 → fórmula de Euler

• Para Aço 52: (Aço de Alta Resistência) segue a DIN 17100 ST 52:

0<λ → resistência ao escoamento: fy 60≤λ≤100 → σcr=5891-38,17λ (kgf/cm2)

19

• Ferro fundido:

0≤λ≤80 → σcr=770-120 λ+0,53 λ2 0>80 →Fórmula de Euler (kgf/cm2)

Em algumas normas de Engenharia, como a norma de estruturas metálicas (NB 14/68 até 1986) e a de estruturas de madeira (NB 11/NBR 7190) é utilizada a tensão admissível para se dimensionarem as peças. Denomina-se tensão admissível a σcr���� na flambagem, a tensão σcr dividida por um coeficiente de segurança γ. Assim:

σcr����= σcrγ

A NB 14/68 fixa a tensão admissível de flambagem como sendo:

λ≤105 → σcr����=1200-0,023λ2 (kgf/cm2) Para λ>105:

σcr����= 10,363×10-3λ2

A comparação entre as equações de Euler e a acima para λ > 105 (regime elástico):

γ= σcrσcr����= π2Eλ2

10,363×10-3λ2

=2

Sendo E = 2,1x106 kgf/cm2=2,1x104 kN/cm2. No regime plástico, não podemos tirar conclusões apenas para λ=0 e σcr����=1200 kgf/cm2 (12 kN/cm2). Como o aço CA-24 (hoje é utilizado o CA - 25) tem limite de escoamento igual a 2400 kgf/cm2 (ou 2500 kgf/cm2=25 kN/cm2), o coeficiente de segurança é 2 ou próximo. Na figura 22a é apresentado o gráfico de σcrit por λ de uma CA-25. Entre os tipos de aço fabricados no Brasil, aponta-se: ASMT A 36 (fy = 25 kgf/mm2) AR 35-CORTEN C (fy = 42 kgf/mm2)

Figura 22 - Gráfico de tensão por esbeltez

20

11.2. Barras de Madeira A NB 11 (NBR 7190), para o cálculo de estruturas de madeira, fixa as seguintes recomendações:

• Ponto A: λ≤40 → σcr����=σc� (peças curtas)

• Ponto B:

40<λ≤λ0 → σcr����=σc� 1- 13 × λ-40λ0-40 (peças intermediárias)

• Ponto C:

λ≥λ0 → σcr����=23 σc� �λ0λ �2 (peças longas) Ressalta-se que λmax=140.

Figura 23 – Gráfico σcr���� x λ para a madeira

Outra observação é que:

fo=23 σc�=σcr����

E:

π2E4λ2 -=

23 σc�→λ0= 3π2E8σc� �1 2�

Ressalta que o coeficiente de segurança (γ) para peças de madeira solicitas à

compressão é igual a 4. Alguns valores de λ0, E e σc� para madeira:

21

σc� E λ0

Pinho do Paraná 53,5 kgf/cm2

(0,535 kN/cm2) 109.300 kgf/cm2

(1093 kN/cm2) 87

Peroba Rosa 85 kgf/cm2

(0,85 kN/cm2) 94.100 kgf/cm2

(941 kN/cm2) 64

Eucalipto Citriodora 133 kgf/cm2

(1,33 kN/cm2) 165.000 kgf/cm2

(1650 kN/cm2) 68

11.3. Barras de Concreto No curso de Concreto, o estudo da flambagem terá atenção especial, dispensando-se,

neste momento, qualquer outra consideração além das aqui apresentadas.

12. Influência da força cortante e da deformação axial

12.1. Força cortante Vamos analisar agora a influência da força cortante V, no cálculo da carga de flambagem. Então:

d2y

dx2 =-1

EI�M+Mv�=-

M

EI+c

1

GA

dv

dx

Lembrando-se:

dy�dx

=γm

dy�dx

=τmG

dy�= v

AGdx

E:

dy�dx =c v

AG → d2y�dx2 =c 1

GAdvdx

Portanto:

d2y�dx2 =c

M

EI+c

1

GA

dv

dx

Com M = y×P e:

c�=c1

GA

d2y�dx2 =- P

EIy+�̅ 1

GA

Pd��

dx2

Daí:

22

EI d2y�dx2 +

P

1-c'Py=0

Que é a mesma equação de barra articulada-articulada:

Pcr

1-c'Pcr=Pcr=

π2EI

I2

Daí:

Pcr=βπ2EI

I2

Com:

β=1

1+c'π2EI

I2

=1

1+π2cEG�i

I�2

Considerando-se uma seção T: � = 2� = 8

3�� = 100����� → � � !"çã# $ é ! ≅ 0,5%

12.2. Deformação axial Vamos agora quantificar o efeito da deformação axial na carga de flambagem.

Figura 24 - Elemento ds da barra

O encurtamento da barra:

ε0=F

EA

ds(1-ε0)=Rdφ→ 1

R=

dφds(1-ε0)

AB=ds(1-ε0-ε)=(R+y)dφ Entretanto:

dφds

=εy

=M

EI

1

R=

dφds(1-ε0)

=M

EI(1-ε0)

23

Figura 25 - Flexão na barra

A equação da linha elástica fica:

d2y

dx2 =-M

EI(1-ε0)

Para o caso engastado-livre:

ε0=FcosθEA

(θ≅0°)

Daí:

Fcr=π2EI

4l21

1-ε0

Que é praticamente a fórmula sem considerações de ε0, pois se obtém na prática ε0

aproximadamente 0,001.

13. Exercícios

13.1. Exercício 01

Um certo material segue o diagrama σcr���� x λ indicado. Calcular Fcr���� para a coluna da figura abaixo. E = 13.000 kN/cm2 (1.300.000 kgf/cm2).

24

Figura 26 - Dados do exercício

Solução:

a) Cálculo das características geométricas

A=48 cm4

Ycg=�1×12×2�+2(5×2×6)

2�2×6�+(12×2)=3cm

Zcg=0cm

Momentos Principais de Inércia Seção simétrica → x, y os eixos principais de inércia.

Iz=2×%2×63

12+2×6×22&+

12×23

12+2×12×22=272 cm4

Iy=2×%6×23

12+2×6×52&+

2×123

12=896 cm4

Imin=Iz=272 cm4

b) Barra articulada-articulada lcr=250 cm

c) Cálculo do coeficiente de segurança adotado

imin=�Imin

A=�272

48=2,38 cm

λmax=lcr

imin=

250

2,38≅105

Ressalta-se que este cálculo foi feito para se posicionar segundo o diagrama σcr���� x λ.

De acordo com o diagrama, para valores λ ≥ 80:

25

σcr����= π2E

γλ2

Para λ = 80:

5=π2×13000

γ×802

γ=4,0

d) Cálculo de Fcr�

Fcr����=π2EA

γλ2 =π2×13000×48

4,0×1052

Fcr����=139,6 kN

13.2. Exercício 02 Dimensionar a barra AB de seção circular, para que o sistema estrutural resista à

máxima carga F possível de ser aplicada. A barra CD tem seção 6 cm x 6 cm. Observação: Utilizar as fórmulas da NB 14. As barras AB e CD são e aço com σ�=1200kgf/cm2 (ou 12kN/cm2).

Figura 27 - Sistema Estrutural

Solução:

Para se dimensionar a barra AB é necessário se conhecer a força que atua na mesma. Desta forma valemos do seguinte esquema estático: 'Mc=N1×a-2×F×a=0 'Fv=0→N2=-4F

26

Figura 28 - Esquema Estático

a) Cálculo da carga admissível N2

I=6×63

12=108 cm4

i=� I

A=�108

36=1,73 cm

A barra CD é engastada livre, onde se apoia a viga AE, portanto:

lcr=2l=300 cm

λ=lcr

i=

300

1,73=173,2

De acordo com a NB 14:

λ > 105:

σcr���� =10363000

173,22=345,45kgf/cm2=3,46 kN/cm2

N=σcr���� ×A→N2�=3,46×36=124,56 kN

b) Dimensionamento da barra AB Sendo:

N2�=124,56 kN Logo:

N1�=62,28 kN F=31,14 kN

Como a barra AB é de aço, com seção transversal circular e submetida à força de tração, vem:

σ=N1

A→12=

62,28

πD2

4

D=2,57 cm

27

13.3. Exercício 03 O escoramento da vala esquematizada é feito com madeira da espécie Peroba Rosa. Sabendo-se que as peças disponíveis para as escoras são de 6 cm x 12 cm, escolher a mais conveniente. E (Peroba Rosa) = 942,5 kN / cm2. σc�=0,85 kN/cm2.

Figura 29 - Dados para exercício (Dimensões em cm)

Solução:

A ideia da solução do problema é determinar a carga axial e a partir desta verificar qual suporta tal carga sem romper.

a) Esforço em uma escora genérica

Figura 30 - Esquema de Cálculo

F=(2×200

2+2×300)×200×10-4=16 kN

↑ ↑ ↑ triângulo retângulo faixa ≡ planta

28

b) Análise dos perfis disponíveis

Figura 31 - Seção transversal

Para articulado-articular, segundo a NB11 (NBR 7190)

lcr=l

imin=�Imin

A=� hb3

12bh=

b√12

λmax=�3

8π2

E

σc�=�3

8π2

942,5

0,85≅64

b.1) Seção 6 cm x 12 cm

σcr����=π2E

4λ2 =π2×942,5

4×115,472=0,17kN/cm2

Fcr����=σcr����×A=0,17×6×12=12,24 kN<F Como a carga admissível é menor do que a atuante esta peça com esta seção não poderá ser utilizada.

b.2) Seção 6 cm x 12 cm λ=115,47>λ0→peça longa

σcr�=0,17kN/cm2 Fcr����=0,17×6×16=16,32 kN

Fcr����>F →OK!

Com esta peça e esta seção é possível a escora suportar tal esforço.

14. Bibliografia FEDOSIEV, V. Resistência dos Materiais. Edição Lopes da Silva. 1977 POPOV, E. P. Introdução à Mecânica dos Materiais. Ed. Edgar Blücher. 1978. SCHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. Harper & Row do Brasil. 1984. SILVA JR, J. F. S. Resistência dos Materiais. Ed. Ao Livro Técnico S.A. 1972.

29

ANEXO

Barra engastada – livre

d2y

dx2 =- M

EI (1)

M0-yF+M=0 M=yF-M0

M=yF-Fδ (2)

(2) em (1): d2y

dx2 =Fy

EI-FδEI

d2y

dx2 =-K2y+K2δ d2y

dx2 +K2y=K2δ (3)

Sendo (3) uma Equação Diferencial não homogênea.

Figura 32 - Elástica barra engastada – livre: Momento em x

Solução:

y=yh+yp

yh=C1senKx+C2cosKx (4) *yp=Ax2+Bx+C

y'p=2Ax+B

y''p=2A

Em (3):

2A+K2(Ax2+Bx+C)=K2δ

30

A=0; B=0; C=δ→yp=δ

Solução: y=C1senKx+δ (5)

Condições de Contorno:

1a +x=0y=0→0=C2+δ→C2=-δ

2a,Giro em (0) é 0x=0y=0

→y'=KC1cosKx+δKsenKx=0

C1cos0°=0C1=0

3a +x=1→y=δ

y=-δcosKx+δδ=-δcosK1+δ

δcosK1=0 δ≠0, cos K1=0

K1= π2 +nπ;n=0,1,2…

Quando n=0, que é a 1ª situação que nos interessa:

K1= π2

K=π2l→ F

EI=π2

4l2→Fcr=

π2EI

4l2

Barra engastada-articulada

d2y

dx2 =- M

EI (1)

H�-yF+M=0 M=yF-Hx (2)

Figura 33 - Elástica barra engastada-articulada: momento em x

(2) em (1)

31

d2y

dx2 =-Fy

EI+

HEI

-

Chamando:

K2=FEI

Vem:

d2y

dx2 +K2y=Hx

EI (3)

Que é uma equação diferencial não homogênea. Assim:

y=yh+yp

yh=C1senKx+C2cosKx *yp=Ax2+Bx+C

y'p=2Ax+B

y''p=2A

Em (3):

2A+K2(Ax2+Bx+C)=.� -

A=0; C=0; B= H

EIK2→yp=H

EI

x

K2

(4)

Condições de contorno:

1a + x=ly'=0→C2=0

2a�����Giro no engastex=ly'=0

→y'=KC1cosKx+

H

EIK2 =0

C1=-H

EIK3cosKl

3a +x=1→y=δ

-H

EIK3cosKlsenKl+

H

EIK2 l

tg K1=Kl (solução gráfica) daí: Kl=4,454

32

Figura 34 - Solução gráfica

K=4,454

l

Fcr=(4,454

l)2

EI≅2π2

l2EI

Com:

lcr=l√2

Barra Engastada-Engastada

Solução Prática

A barra, seu engastamento e os apoios são simétricos em relação ao eixo horizontal (1-1) que passa por (C). Esta simetria leva à condição da cortante em (C) ser nula, e as componentes horizontais também. A parte AC deve ser simétrica em relação ao ponto D, e desse modo em (D) o momento fletor é nulo. Vale também esta consideração para parte CF. Ainda sabemos que o momento fletor é nulo nas articulações de uma barra bi-articulada. Portanto a solução do problema é determinar Fcr de uma barra bi-articulada de comprimento l/2 (Figura 35c).

Assim:

Fcr=4π2EI

l2

33

Figura 35 – Esquemas da solução prática

Solução Matemática

Figura 36 - Elástica e momento

M=M0-Fv

EId2v

dx2 =-Fv+M0

d2v

dx2 +F

EIv=

M0

EI

Solução particular:

vp=M0

F

K2=F

EI

vh=A1cosKx+B1senKx → solução homogênea v=vh+vp → solução geral

34

Condições de contorno:

1a�x=0v=0

→C2=-M0

F

2a�x=0v'=0

→C1KcosKx-C2senKx=0

C1=0→v=C2cosKx+M0

F

3a� x=lv'=0

→-M0

FcosKl+

M0

F=0

M0

F(1-cosKl)=0

cosKl=1 Daí:

Kl=n2π

K2=n24π2

l2

n = 0,1, ... Para n=1:

Fcr=4π2EI

l2

4a� x=lv'=0

→M0K

FsenKl=0

senKl=0 Kl=nπ→n=2

(3a)