Fizyka III wykład 3

dr inż. Monika Lewandowska

2

Louis de Broglie 1929

Fale materii

1924 książe L.V.R.P. de Broglie, nagroda Nobla 1929

Hipoteza: Każdej poruszającej się cząstce materialnej o pędzie p i energii E można przyporządkować falę o długości i częstotliwości

)/(/ mvhph hE /

Potwierdzenie: doświadczenie Davissona – Germera (1927)

C. Davisson i L. Germer

d = 0.091 nmEk =54 eV= 65o

= 0.165 nm

3

Równanie Schrödingera1926 Erwin Schrödinger, nagroda Nobla 1933

E. Schrödinger 1933t

txitxtxU

x

tx

m

),(

),(),(),(

2 2

22

EkEp

Gdy energia potencjalna cząstki nie zależy od czasu można rozseparować współrzędne przestrzenne i czas

)(xUU

)()(),( txtx

tiiEt exextx 2/ )()(),(

hE /E - całkowita energia cząstki - częstość fali de Broglie’a cząstki

)()()()(

2 2

22

xExxUdx

xd

m

0)(2

22

2

xUE

m

dx

d

4

Nieskończona studnia potencjału

L x x

LxxU

i 0 dla

0 dla 0)(

0)()0( L

0)(2

22

2

xUE

m

dx

d

R/H/W rys. 40.2Lx 0

02

22

2

E

m

dx

d

22 /2 mEk

022

2

k

dx

d

)sin()( kxAx

Rozwiązanie dla

0sin)0( A 0

0)sin()( kLAl nkL Lnk /

122

2

2222

22Enn

mLm

kEn

n = 1, 2, 3 ….

Lokalizacja fali w przestrzeni prowadzi do kwantyzacji energii, czyli powstania stanów o dyskretnych energiach.

5

Nieskończona studnia potencjału – poziomy energetyczne

m = 9.1 x 10-31 kg

L = 100 pm

R/H/W rys. 40.3 Schemat poziomów energetycznych elektronu zlokalizowanego w nieskończonej studni potencjału o szerokości zbliżonej do rozmiarów atomu.

eV 7.372 2

22

1 mL

E

R/H/W rys. 40.4 a) Wzbudzenie elektronu ze stanu podstawowego do trzeciego stanu wzbudzonego, b)-d) różne sposoby powrotu elektronu do stanu podstawowego.

E2=4E1=150.8 eV, E3 = 9E1=339.3 eV, itd.

pk EEEh

6

Nieskończona studnia potencjału – funkcje falowe

R/H/W rys. 40.6 Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu uwięzionego w jednowymiarowej nieskończonej studni potencjału dla czterech stanów o n = 1,2,3 i 15.

x

L

nAxn

sin)(

1)(2

dxxStałą A wyznaczamy z warunku normalizacji funkcji falowej:

12

sin)(2

0

222

LAdxx

L

nAdxx

L

n

LA /2

x

L

n

Lxn

sin2

)(

Uwaga: n=0 nie jest możliwą liczba kwantową, bo wówczas (x)=0

Nie jest możliwy stan podstawowy o zerowej energii. Układy zlokalizowane w stanie podstawowym muszą mieć pewną minimalna energię (energia drgań zerowych).

7

Skończona studnia potencjału• Model bliższy sytuacjom rzeczywistym, takim jak np. elektron w atomie, nukleon w jadrze atomowym.• Cząstka jest uwięziona (zlokalizowana) w studni, jeśli jej energia E < U0 − cząstka w stanie związanym.

L x xU

LxxU

i 0 dla

0 dla 0)(

0

0)()0(

0)(2

22

2

xUE

m

dx

d

Lx 0

02

22

2

II E

mdx

d

/2mEk 022

2

II k

dxd

)sin()( kxAxI

Rozwiązanie dla Rozwiązanie dla x > L i x < 0

02

022

2

EU

m

dx

d

02

2

dx

d /2 0 EUm

II I III

xII Bex )( x

III Cex )(

Stałe A, B, C i oraz możliwe wartości energii E stanów związanych wyznacza się z warunków ciągłości funkcji i jej pochodnej w punktach x=0 i x=L oraz z warunku normalizacji funkcji .

8

Skończona studnia potencjału – funkcje falowe

Gęstość prawdopodobieństwa dla elektronu w nieskończonej studni potencjału (R/H/W rys. 40.6)

Fala materii wnika w ściany studni, tzn. w obszar zabro-niony przez zasadę zacho-wania energii w mechanice klasycznej (zjawisko tunelo-we). Wnikanie to jest tym silniejsze im większa jest wartość liczby kwantowej n.

Długość fali de Broglie’a dla każdego stanu jest większa niż w przypadku studni nieskończonej.

Energia dla każdego stanu związanego jest mniejsza niż w przypadku studni nie-skończonej.

mE

h

p

h

2

9

Skończona studnia potencjału – energia cząstki

Schemat poziomów energetycz-nych elektronu w nieskończonej studni potencjału o szerokości 100 pm (R/H/W rys. 40.3)

=37.7eV

Energia stanów związanych jest niższa niż w przypadku studni nieskończonej.

Elektrony o energii E > U0 nie mogą zostać uwięzione w skończonej studni. Takie elektrony nie są zlokalizo-wane (elektrony swobod-ne), a ich energia może przyjmować dowolne war-tości.

10

Atom wodoru 0)(

22

rUEm

),()(),,( ,,,, mllnmln YrRr

r

erU

2

04

1)(

Funkcja falowa stanu podstawowego

Funkcje falowe zależą od trzech liczb kwantowych n, l, m - na każdą współrzędną przestrzenną przypada jedna liczba kwantowa.

Energie stanów związanych elektronu w atomie wodoru są takie same jak w modelu Bohra.

area

r /

2/30,0,1

1)(

dVrdrrP )()( 2

area

rrP /2

3

24)(

pm 9.522

02

me

ha

1)(0

drrP