FIZYKA 2

wykład 3wykład 3

Janusz Andrzejewski

Prąd elektryczny

Prąd elektryczny to uporządkowany ruch swobodnych ładunków.

Ruchowi chaotycznemu nie towarzyszy przepływ prądu.

Strzałki szare - to nieuporządkowany(chaotyczny) ruch cieplny

Strzałki czerwone – uporządkowany ruch elektronów w polu

elektrostatycznym2Janusz Andrzejewski

Prąd elektryczny

Prąd elektryczny – wypadkowy przepływ ładunków.

Natężenie prądu w przewodniku jest to ładunek q przechodzący przez powierzchnię przekroju przechodzący przez powierzchnię przekroju przewodnika w czasie t.

I = dq/dt

Jeżeli szybkość przepływu ładunku nie jest stała, prąd zmienia się w czasie i jest dany jako:

I = q/t

Jednostką natężenia prądu jest amper. 1A = 1 C/s

3Janusz Andrzejewski

Kierunek prądu elektrycznego

Kierunek przepływu prądu elektrycznego oznaczamy jako kierunek, w którym poruszałyby się dodatnio naładowane nośniki, nawet jeśli rzeczywiste nośniki są ujemne i poruszają się w przeciwnych kierunkach.

Półprzewodniki – nośnikami są elektrony i dziury (nośniki dodatnie)

Ciecze i gazy - elektrony oraz jony dodatnie (kationy) i jony ujemne (aniony).

4Janusz Andrzejewski

Gęstość prądu elektrycznego

Do zmiennego przekroju przewodnika możemy zastosować pojęcie gęstości prądu elektrycznego.

Gęstość prądu elektrycznego definiowana jest

jako natężenie prądu na jednostkę

powierzchni przekroju poprzecznego

przewodnika

j = I/S

j – gęstość prądu

I – natężenie prądu

S – pole powierzchni

Gęstość prądu można przedstawić w postaci linii prądu.

przewodnika

Gęstość prądu jest wektorem. Jego

długość określa powyższy wzór, a kierunek

i zwrot są zgodne z wektorem prędkości

ładunków dodatnich. 5Janusz Andrzejewski

Prędkość unoszenia

Gdy przez przewodnik płynie prąd elektryczny, elektrony poruszają się przypadkowo z prędkością vel, a jednocześnie przemieszczają się z prędkością dryfu (lub prędkością unoszenia) vd, w kierunku przeciwnym do pola elektrycznego.

Janusz Andrzejewski 6

vel = 106 m/s

vd = 10-5 m/s

Prędkość unoszenia

Jeżeli n jest koncentracją elektronów to ilość ładunku Q jaka przepływa

przez przewodnik o długości l i przekroju poprzecznym S w czasie

t = l/vd wynosi:

nlSeQ

nlSeQ =

Janusz Andrzejewski 7

d

d

nSev

v

lnlSe

t

QI ===

dd vnevS

Ij ρ=== ρ - gęstość ładunku w

przewodniku

Prawo Ohma

Stosunek napięcia przyłożonego do przewodnika do natężenia prądu

przepływającego przez ten przewodnik jest stały i nie zależy ani od

napięcia ani od natężenia prądu.

R = U/I (definicja oporu)

Janusz Andrzejewski 8

R = U/I (definicja oporu)

U = IR

I = U/R

Jednostką oporu jest om. 1Ω = 1 V/A

Opór mówi nam, jak bardzo dane ciało przeciwstawia się ruchowi elektronów.

Opór właściwy

ρ = E/j (definicja oporu

Opór elektryczny jest własnością ciała, opór elektryczny właściwy jest własnością materiału.

Janusz Andrzejewski 9

(definicja oporu właściwego)

Opór i opór właściwy

Szukamy oporu jednorodnego przewodnika o długości L, stałym przekroju poprzecznym S i oporności właściwej ρ:

Ε= U/L (Vkonc – Vpocz= -Ed)

j = I/S (gęstość prądu)

Janusz Andrzejewski 10

j = I/S (gęstość prądu)

ρ = E/J (oporność właściwa)

ρ = E/J = (U/L )/(I/S) = (U/I)/(L/S) = R/(L/S)

R = ρρρρ(L/S)

Stałą ρ, charakteryzującą elektryczne własności materiału, nazywamy

oporem właściwym (rezystywnością), a jej odwrotność σ = 1/ρ

przewodnością właściwą

Prawo Ohma

Ejrr

σ=Jest to inna, wektorowa lub mikroskopowa, postać prawa Ohma

ρσ /1=

Janusz Andrzejewski 11

Zależność od temperatury

Rozszerzalność cieplna:

L – L0 = αL0(T – T0)

α–współczynnik rozszerzalności liniowej

Janusz Andrzejewski 12

Opór właściwy również wykazuje zależność od temperatury:

ρ – ρ0 = α ρ 0(T – T0)

α – współczynnik temperaturowy oporu właściwegoT0 – temperatura odniesieniaρ 0 – opór właściwy w tej temperaturze

Prawo Ohma

Prawo Ohma: natężenie prądu, płynącego przez przewodnik jest zawsze proporcjonalne do różnicy potencjałów przyłożonej do przewodnika.

Uwaga: wzór R = U/I nie wyraża prawa Ohma. Jest wyłącznie definicją oporu.

Janusz Andrzejewski

13

Istotą prawa Ohma jest liniowość zależności U od I.

Moc w obwodach elektrycznych

Ładunek dq przeniesiony między a i b w przedziale czasu dt wynosi Idt.

Przejściu z a do b towarzyszy spadek potencjału, a wiec i spadek energii

Różnica potencjałów między a i b wynosi U. W obwodzie płynie prąd I.

Janusz Andrzejewski 14

potencjału, a wiec i spadek energii potencjalnej.

Zmiana energii potencjalnej:

dEp = dqU

Ilość energii przekazanej ze źródła na jednostkę czasu:

P = dEp/dt = (dq/dt)U = IU (moc)

Moc wydzielana na oporniku

Gdy w obwodzie występuje opór R, energia przekazana ze źródła do ciała wynosi:

P = I2R

Janusz Andrzejewski 15

P = U2/R

Przekazana energia ulega zamianie na energię termiczną.

SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA

Aby wytworzyć stały przepływ ładunku elektrycznego przez obwód

musimy dysponować urządzeniem, które wykonując pracę nad

nośnikami ładunku, utrzymuje stałą różnicę potencjałów. Urządzenie

takie nazywamy źródłem siły elektromotorycznej (źródłem SEM).

Siła elektromotoryczna ε określa energię elektryczną ΔW przekazywaną

Janusz Andrzejewski 16

Siła elektromotoryczna ε określa energię elektryczną ΔW przekazywaną

jednostkowemu ładunkowi Δq

q

W

∆∆=ε

Miarą SEM jest różnica potencjałów (napięcie) na biegunach źródła

prądu w warunkach, kiedy przez ogniwo nie płynie prąd (ogniwo otwarte).

Siła elektromotoryczna

Źródło SEM wykonuje prace nad ładunkami i wymusza ich ruch z bieguna o mniejszym potencjale do bieguna o większym potencjale.

W źródle SEM musi istnieć pewne źródło energii, którego kosztem jest wykonywana

Janusz Andrzejewski 17

energii, którego kosztem jest wykonywana praca.

dq

dW=ε

Definicja SEM (ponownie):

(praca na jednostkę ładunku).

Jednostką SEM jest 1 J/C = 1 Va) obwód elektryczny i b) jego grawitacyjny odpowiednik

Przykłady:

bateria elektryczna

Janusz Andrzejewski 18

bateria elektryczna prądnica

bateria słoneczna

ogniwo paliwowe

SEMNatomiast gdy czerpiemy prąd ze źródła to napięcie między jego elektrodami,

nazywane teraz napięciem zasilania Uz , maleje wraz ze wzrostem

pobieranego z niego prądu. Dzieje się tak dlatego, że każde rzeczywiste

źródło napięcia posiada opór wewnętrzny Rw . Napięcie zasilania jest mniejsze

od SEM właśnie o spadek potencjału na oporze wewnętrznym

WZ IRU −= ε

Janusz Andrzejewski 19

WZ IRU −= ε

PRAWA KIRCHHOFFAPierwsze prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia.

Algebraiczna suma natężeń prądów przepływających przez punkt

rozgałęzienia (węzeł) jest równa zeru.

01

=∑=

n

kkI

Drugie prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o obwodzie zamkniętym.

Janusz Andrzejewski 20

Drugie prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o obwodzie zamkniętym.

Algebraiczna suma sił elektromotorycznych i przyrostów napięć w

dowolnym obwodzie zamkniętym jest równa zeru (spadek napięcia

jest przyrostem ujemnym napięcia).

01 1

=+∑ ∑= =

n

k

m

kkkk RIε

Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest wynikiem zasady zachowania energii, a

twierdzenie o punkcie rozgałęzienia wynika z zasady zachowania ładunku.

Przykład

+

13222 RIRI +=ε

131 RI=ε

0321 =−+ III

Janusz Andrzejewski 21

+

- +

-

Amperomierz i woltomierz

Amperomierz (A) – przyrząd do pomiaru natężenia prądu. Opór wewnętrzny amperomierza powinien być mały w porównaniu z oporami w obwodzie. W przeciwnym razie obecność miernika zmieni

Janusz Andrzejewski 22

przeciwnym razie obecność miernika zmieni natężenie prądu, które mierzymy.

Woltomierz (V) – przyrząd do pomiaru różnicy potencjałów. Opór wewnętrzny woltomierza powinien być duży w porównaniu z oporami w obwodzie. W przeciwnym razie obecność miernika zmieni różnicę potencjałów, którą mierzymy.

multimetr cyfrowy

Pojemność i opór elektryczny

? ?

Janusz Andrzejewski 23

?

Kondensator

Kondensator (najczęściej) składa się z dwóch okładek wykonanych z przewodnika. Okładki mogą gromadzić ładunki.

Janusz Andrzejewski 24

Pojemność elektrycznaGdy kondensator jest naładowany, jego okładki mają ładunki +q i –q.

Okładki są powierzchniami ekwipotencjalnymi.

Różnicę potencjałów ΔV oznaczamy U (napięcie).

Ładunek q i napięcie U spełniają zależność:

Janusz Andrzejewski 25

Ładunek q i napięcie U spełniają zależność:

Kondensator płaski

q = CU

Stałą C nazywamy pojemnością kondensatora.

Jednostką pojemności jest farad (F): 1 F = 1 C/V

Pojemnością elektryczną nazywamy stosunek ładunku kondensatora do

różnicy potencjałów (napięcia) między okładkami.

U

q

V

qC =

∆=

Pojemność kondensatora płaskiego

q = ε0ES

U = Ed

q = CU

Janusz Andrzejewski 26

CU = ε0ESC Ed = ε0ES

Pojemność kondensatora płaskiego:

C = ε0S/d

KondensatoryKondensator walcowy

C = 2πε0l/ln(Rb/Ra)

Janusz Andrzejewski 27

Izolowana kula

C = 4π ε 0R

Pojemnością elektryczną przewodnika nazywamy stosunek ładunku

umieszczonego na przewodniku do potencjału jaki ma ten przewodnik w

polu elektrycznym wytworzonym przez ten ładunek.

Ładowanie kondensatora

Janusz Andrzejewski 28

Gdy obwód zostanie zamknięty, pole elektryczne wytworzone w przewodach przez źródło przesuwa elektrony w obwodzie. Elektrony z okładki h są przyciągane do dodatniego bieguna źródła i okładka ładuje się dodatnio. Na okładkę l trafia tyle samo elektronów z ujemnego bieguna źródła. Po naładowaniu, różnica potencjałów pomiędzy okładkami jest równa różnicy potencjałów pomiędzy biegunami źródła.

Obwód elektryczny zawierający baterię (B), kondensator (C) i klucz (S).

Kondensatory połączone równolegle

=Kondensatory połączone równolegle możemy zastąpić równoważnym

Janusz Andrzejewski

29

równoważnym kondensatorem o takim samym całkowitym ładunku q i takiej samej różnicy potencjałów U, jak dla kondensatorów układu.

q1 = C1U q2 = C2U q3 = C3U

q = q1+ q2 + q3 = (C1+ C2+ C3)U

Crw = q/U = C1+ C2+ C3

∑=

=n

jnrw CC

1

(n kondensatorów połączonych równolegle)

Kondensatory połączone szeregowo

=

Kondensatory połączone szeregowo możemy zastąpić równoważnym o takim samym ładunku q i takiej samej całkowitej różnicy potencjałów U, jak dla kondensatorów układu.

Janusz Andrzejewski 30

U1 = q/C1

U = U1+ U2 + U3 = q (1/C1+ 1/C2+ 1/C3)

1/Crw = U/q = 1/C1+ 1/C2+ 1/C3

∑=

=n

j nrw CC 1

11(n kondensatorów połączonych szeregowo)

U2 = q/C2 U3 = q/C3

Energia zmagazynowana w polu

elektrycznym

Kondensatory mogą służyć do magazynowania energii potencjalnej.

Niech na okładce znajduje się ładunek qi. Różnica potencjałów pomiędzy okładkami wynosi Ui (= Vi2 – Vi 1). Przeniesienie

Janusz Andrzejewski 31

pomiędzy okładkami wynosi Ui (= Vi2 – Vi 1). Przeniesienie dodatkowego ładunku Dq, wymaga pracy:

ii

iii qC

qqUW ∆=∆=∆

∑=

=

∆=qqi

qiiWW

0

∫∫ ===qq

C

qdqq

CdWW

00 2''

1 2

Energia zmagazynowana w polu

elektrycznym

Praca W jest zmagazynowana w jako energia potencjalna w kondensatorze:

C

qEp 2

2

= 2

2

1CUEp =lub, zapisując inaczej

Janusz Andrzejewski 32

C2

Przykład: kondensator w defibrylatorze medycznym o pojemności 70uF jest naładowany do 5000 V. Jaka energia zmagazynowana jest w kondensatorze?

Ep = 0.5*C*U2 = 0.5* (70 *10-6 F)(5000 V)2 = 875 J

Około 200 J tej energii jest przekazywane człowiekowi podczas 2 ms impulsu. Jaka jest moc impulsu?

P = Ep/t = 200 J/(2*10-3 s) = 0.1 MW (Mega Wat)

Jest to dużo większa moc, niż moc źródła zasilającego (bateria).

Energia pola elektrycznego

C

qW

2

2

=S

qE

0ε= dSC /0ε=

Energia potencjalna Natężenie pola E Pojemność kondensatora

( )C

ESW

2

20ε= Sd

EW

2

20ε=

Zauważmy, że iloczyn Sd jest objętością kondensatora, więc gęstość

Janusz Andrzejewski 33

Zauważmy, że iloczyn Sd jest objętością kondensatora, więc gęstość

energii w (pola elektrycznego), która jest energią zawartą w

jednostce objętości wynosi

2

20E

Sd

Ww

ε==

Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o natężeniu

E to możemy uważać, że w tym punkcie jest zmagazynowana energia

w ilości ½ε0E2 na jednostkę objętości.

Kondensator z dielektrykiem

Gdy kondensator wypełnimy dielektrykiem (materiałem izolującym), jego pojemność wzrasta o czynnik er. er jest przenikalnością elektryczną względna materiału.

Janusz Andrzejewski34

C = erCpow

Kondensator z dielektrykiem

Janusz Andrzejewski 35

Gdy do dielektryka przyłożymy pole elektryczne, pole rozciąga atomy rozsuwając środki dodatniego i ujemnego ładunku. Rozsunięcie wytwarza ładunki powierzchniowe na ścianach płyty. Ładunki te wytwarzają pole E’ przeciwne do przyłożonego pola E0. Wypadkowe pole E wewnątrz dielektryka ma mniejszą wartość, niż E0.

Dielektryki

Janusz Andrzejewski 36

Gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym to pojawiają się

indukowane ładunki powierzchniowe, które wytwarzają pole

elektryczne przeciwne do zewnętrznego pola elektrycznego.

Prawo Gaussa i dielektryki

S

qqE

qqES

20

′−==>′−=

ε

Cqq

q

d

S

qq

q

Ed

q

V

qC

′−=

′−==

∆= 0'

ε

Prawo Gaussa

Pojemność kondensatora

Janusz Andrzejewski 37

qq

q

C

Cr ′−

== ε'

Wyindukowany ładunek powierzchniowy q' jest mniejszy od ładunku

swobodnego q na okładkach. Dla kondensatora bez dielektryka

q' = 0 i wtedy εr = 1.

Prawo Gaussa i dielektryki

0εqq

SdE′−=∫

rrPrawo Gaussa

qq

qr ′−

=ε Względna przenikalność dielektryczna próżni

Janusz Andrzejewski 38

Uwagi:

• strumień pola elektrycznego dotyczy wektora εrE (a nie wektora E)

• równaniu występuje tylko ładunek swobodny, a wyindukowany

ładunek powierzchniowy został uwzględniony przez wprowadzenie

stałej dielektrycznej εr.

Ogólne prawo Gaussa

0εε q

SdEr =∫rr