Fizyczne Podstawy Elektrotechniki · pola wprowadził do fizyki genialny fizyk angielski Michael Faraday. Dla rozwoju fizyki wprowadzenie tego pojęcia miało bardzo duże znaczenie

.

. .

.

.

.

.

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki

M a r e k P i l a w s k i Strona 2

.

Marek Pilawski

.

.

.

.

Fizyczne

Podstawy

Elektrotechniki .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Warszawa — 2010

.

.



. Recenzenci: doc. dr hab. Antoni Adamczyk

dr inż. Michał Nadachowski dr inż. Grzegorz Płoszajski

Okładkę projektował: Jan Sarnecki

Redaktor merytoryczny: inż. Hanna Stattler

Opracowanie edytorsko-dydaktyczne: inż. Hanna Stattler

Redaktor techniczny: Teresa Chruścikowska

Korektorzy: Małgorzata Lenk, Ewa Wrońska-Kłossowska . . Książka przedstawia problemy współczesnej techniki w ujęciu dostępnym dla

średnio zaawansowanego Czytelnika, najczęściej na przykładach znanych z

życia, prasy i telewizji. Celem takiej formy przekazu jest zainteresowanie ucznia

problematyką współczesnej techniki przy jednoczesnym pokazaniu jej powiązań

ze zjawiskami fizycznymi. Mamy nadzieję, że takie interesujące przedstawienie

niełatwych zagadnień, poparte wieloma (140) przykładami, pomoże w

skuteczniejszym przygotowaniu uczniów do przedmiotów specjalistycznych.

Uzupełnieniem książki będą zbiory zadań, z których już dwa zeszyty są

wydrukowane.

. Książka zawiera całość materiału wymaganego programem przedmiotu podstawy

elektrotechniki, w zmienionej formie, rozszerzonej o tematykę aktualnych

zagadnień.

. Książka jest przeznaczona dla wszystkich techników. Zdaniem redakcji przyczyni

się ona do gruntownego poznania i zrozumienia elektrotechniki. Zaleca, się ją

szerokim kręgom Czytelników wszystkich grup zainteresowań.

.

.

. ISBN 83-02-02530-5 . . © Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1982; © Aktualnie Copyright by Marek Pilawski, Warszawa 2010 . . .



Spis treści .

1. Podstawowe wielkości i pojęcia fizyczne

1.1. Wektory i skalary

1.2. Pola

1.3. Materia

1.4. Matematyczny opis właściwości pól elektrycznych i magnetycznych

1.4.1. Wektor indukcji pola elektrycznego i pola magnetycznego

1.4.2. Źródłowość pola elektrycznego

1.4.3. Bezźródłowość pola magnetycznego

1.4.4. Bezwirowość pola elektrostatycznego

1.4.5. Wirowość pola magnetycznego

1.4 6. Gęstość energii pola elektrycznego

1.4.7. Gęstość energii pola magnetycznego

1.4.8. Równania Maxwella .

2. Budowa i właściwości atomu

2.1. Modele atomu

2.2. Struktura elektronu

2.3. Budowa i właściwości jądra atomowego

2.4. Antycząstki, antyatomy, antymateria, antygrawitacja .

3. Ruch ładunków elektrycznych w polach elektrycznych i

magnetycznych

3.1. Ruch ładunków elektrycznych w polu elektrycznym

3.2. Ruch ładunków elektrycznych w polu magnetycznym

3.3. Akceleratory cząstek elementarnych .

4. Promieniowanie energii

4.1. Właściwości promieniowania

4.1.1. Odbicie fal

4.1.2. Załamanie fal

4.1.3. Interferencja fal

4.1.4. Dyfrakcja fal

4.1.5. Rozpraszanie fal

4.1.6. Pochłanianie



4.1.7. Zjawisko Dopplera

4.1.8. Polaryzacja

4.2. Rodzaje promieniowania

4.3. Dualizm korpuskularno-falowy

4.4. Lasery

4.4.1. Wiadomości podstawowe

4.4.2. Zasada działania lasera

4.4.3. Zastosowania laserów

4.5. Termiczne źródła promieniowania

4.6. Jarzeniowe i fluorescencyjne źródła promieniowania

4.7. Elektroniczne źródła promieniowania

4.8. Obwody elektryczne jako źródło promieniowania elektromagnetycznego .

5. Budowa i właściwości ciał

5.1. Wiadomości ogólne

5.1.1. Dielektryki

5.1.2. Przewodniki

5.1.3. Półprzewodniki

5.2. Wpływ pola elektrycznego na gazy

5.3. Wpływ pola elektrycznego na ciecze

5.4. Wpływ pola elektrycznego na ciała stałe

5.4.1. Wpływ pola elektrycznego na dielektryki

5.4.2. Wpływ pola elektrycznego na przewodniki. Zjawisko prądu

elektrycznego

5.4.3. Wpływ pola elektrycznego na półprzewodniki

5.5. Wpływ pola magnetycznego na gazy i ciecze

5.6. Wpływ pola magnetycznego na ciała stałe

5.6.1. Diamagnetyki i paramagnetyki

5.6.2. Ferromagnetyki

5.6.3. Wpływ pola magnetycznego na półprzewodniki z prądem

5.6.4. Wpływ pola magnetycznego na przewodniki oraz przewodniki z

prądem

5.7. Zjawisko nadprzewodnictwa

5.7.1. Wprowadzenie

5.7.2. Właściwości obwodów elektrycznych w stanie nadprzewodnictwa



5.7.3. Matematyczny opis stanu nadprzewodnictwa

5.7.4. Istota nadprzewodnictwa

5.7.5. Nadprzewodniki drugiego rodzaju

5.7.6. Nadzieje zastosowań nadprzewodników .

6. Elementy układów elektrycznych


6.2. Elementy rezystancyjne

6.2.1. Budowa i przeznaczenie rezystorów

6.2.2. Rezystor jako element grzejny

6.2.3. Rezystor jako element układów regulacji prądu

6.2.4. Rezystor jako element układów regulacji napięcia

6.2.5. Rezystor jako element układów pomiarowych. Rezystor wzorcowy

6.2.6. Rezystancja przejścia

6.2.7. Rezystory nieliniowe

6.3. Elementy pojemnościowe

6.3.1. Budowa i przeznaczenie kondensatorów. Pojemność różnych

układów elektrod

6.3.2. Kondensator idealny a kondensator rzeczywisty

6.3.3. Stany nieustalone w obwodach RC przy wymuszeniu stałym

6.3.4. Stany nieustalone w obwodach RC przy wymuszeniu sinusoidalnym

6.4. Elementy indukcyjne

6.4.1. Budowa i przeznaczenie cewek indukcyjnych. Sprzężenie

magnetyczne

6.4.2. Cewka idealna a cewka rzeczywista

6.4.3. Stany nieustalone w obwodach RL przy wymuszeniu stałym

6.4.4. Stany nieustalone w obwodach RL przy wymuszeniu sinusoidalnym

6.5. Obwody rezonansowe

6.5.1. Szeregowy obwód rezonansowy RLC

6.5.2. Równoległy obwód rezonansowy RLC

6.5.3. Stany nieustalone w obwodach szeregowych RLC przy wymuszeniu

stałym

6.5.4. Transformator powietrzny

6.6. Elementy magnetyczne rdzeniowe. Dławik

6.7. Elementy półprzewodnikowe



6.8. Wybrane układy elektryczne

6.8.1. Wiadomości ogólne

6.8.2. Filtry elektryczne

6.8.3. Przesuwniki fazowe

6.8.4. Układy formowania sygnałów elektrycznych

6.8.5. Układy prostownikowe

6.8.6. Układy mostkowe prądu stałego

6.8.7. Układy mostkowe prądu przemiennego

6.8.8. Elementy magnetyczne rdzeniowe ze sprzężeniem. Transformator

6.8.9. Układy ze sprzężeniem optycznym .

7. Analiza obwodów elektrycznych

7.1. Struktura obwodów elektrycznych

7.2. Podstawowe prawa fizyczne dotyczące obwodów elektrycznych

7.3. Metody analizy liniowych obwodów elektrycznych

7.4. Analiza obwodów nieliniowych

7.5. Obliczanie obwodów prądu zmiennego

7.6. Obliczanie obwodów trójfazowych

7.7. Analiza obwodów o odkształconych przebiegach prądu i napięcia

7.8. Łączenie źródeł napięcia .

8. Wytwarzanie i przetwarzanie energii elektrycznej


8.2. Źródła prądu stałego

8.3. Elektrownie konwencjonalne

8.4. Problemy pracy elektrowni

8.5. Elektrownie jądrowe

8.6. Przyszłościowe źródła energii elektrycznej.

8.7. Elektroniczne źródła energii elektrycznej .

9. Transport energii elektrycznej


9.2. Linia długa

9.3. Antena nadawcza — fala — antena odbiorcza

9.4. Falowody

9.5. Światłowody



.

Dodatki .

A. Liczby zespolone

A.1. Postać algebraiczna liczby zespolonej

A.2. Sumowanie liczb zespolonych

A.3. Mnożenie liczb zespolonych

A.4. Dzielenie liczb zespolonych

A.5. Impedancja jako wielkość zespolona

A.6. Prąd jako wielkość zespolona

A.7. Trójkąt mocy

A.8. Postać trygonometryczna liczby zespolonej

A.9. Postać wykładnicza liczby zespolonej .

B. Wykresy wektorowe .

C. Mnożenie wektorów

C.1. Iloczyn skalarny wektorów

C.2. Iloczyn wektorowy wektorów .

D. Operacje różniczkowe na skalarach i wektorach. Równania Maxwella

D.1. Gradient

D.2. Dywergencja

D.3. Rotacja

.

E. Całka nieoznaczona. Równania różniczkowe

.

F. Całka oznaczona

.

G. Całka krzywoliniowa

.

H. Całka powierzchniowa

.

Podstawowe wielkości fizyczne

.

.

.



.

.

1. Podstawowe wielkości i pojęcia fizyczne . 1.1 Wektory i skalary . Wszystkie wielkości fizyczne dzielimy na wektory i skalary.

.

Skalar jest wielkością fizyczną, którą można jednoznacznie opisać za pomocą

liczby i odpowiedniej jednostki.

.

Przykłady skalarów (wielkości skalarnych): temperatura, masa, gęstość,

wymiary liniowe, ładunek, praca, energia, ciepło, potencjał, lepkość, cechy

elementów obwodów elektrycznych - R, L, C, itd.

.

W wyniku operacji matematycznych przeprowadzonych na skalarach otrzymuje

się zawsze skalar:

skalarskalarskalar =⋅

na przykład: ciepło = masa ⋅ ciepło właściwe ⋅ różnica temperatur;

skalarskalar

skalar=

na przykład: masa : objętość = masa właściwa (gęstość).

.

Oprócz skalarów do zbioru wielkość fizycznych wchodzą również wektory.

.

Wektor jest wielkością fizyczną, mającą określony punkt przyłożenia, kierunek

działania, zwrot oraz wartość wyrażoną liczbą i odpowiednią jednostką.

.

Wektor można odwzorować geometrycznie za pomocą odcinka skierowanego o

zwrocie zgodnym z kierunkiem działania wektora i długości odpowiadającej jego

wartości. Przykłady wektorów: siła, ciśnienie, prędkość, przyspieszenie, moment

siły, pęd, moment pędu, natężenie pola (elektrycznego, magnetycznego,

grawitacyjnego), ciężar, ciężar właściwy, indukcja magnetyczna, indukcja

elektryczna itd. W wyniku operacji matematycznych przeprowadzonych na

wektorach otrzymuje się wektory bądź skalary, zgodnie z regułami:

wektorskalarwektor =⋅

na przykład: siła = masa ⋅ przyspieszenie,



wektorskalar

wektor=

na przykład: ciężar : objętość = ciężar właściwy,

skalarwektorwektor =⋅

na przykład: siła ⋅ przesunięcie = praca, gdzie przesunięcie traktuje się jako

odcinek skierowany, czyli wektor. Znak mnożenia • oznacza operację mnożenia

skalarnego, zwanego też iloczynem skalarnym,

wektorwektorwektor =×

na przykład: siła x ramię = moment siły, gdzie ramię działania siły jest również

odcinkiem skierowanym, czyli również wektorem. Znak mnożenia x oznacza

operację mnożenia wektorowego, zwanego też iloczynem wektorowym.

.

1.2 Pola . Pojęcia pola jest jednym z najważniejszych pojęć w fizyce współczesnej. Pojęcie

pola wprowadził do fizyki genialny fizyk angielski Michael Faraday. Dla rozwoju

fizyki wprowadzenie tego pojęcia miało bardzo duże znaczenie.

.

W naukach fizycznych, jeszcze przed Faradayem, wprowadzono pojęcie pewnej

substancji, za pomocą której próbowano wyjaśnić niektóre znane zjawiska

fizyczne, np. zjawisko przenoszenia ciepła. Tu i ówdzie błąkały się więc w

świadomości uczonych pojęcia „cieplików” i „fluidów”. „Cieplikami” i „fluidami”

nazywano pewne nieważkie, niewidzialne substancje, które wypełniały wszystkie

ciała. Ciało, które miało ją w nadmiarze, było cieplejsze od otoczenia.

Przenoszenie ciepła odbywało się na drodze wymiany owych „cieplików”.

.

Teoria „cieplika" nie utrzymała się długo. Przyjęcie, że istnieje coś, co jest

nieważkie i niewidzialne, czego nie można wykryć przyrządami, nie wytrzymało

krytyki. Fizyka nie mogła przyjąć, że istnieje coś, czego istnienia nie można

dowieść ani empirycznie, ani teoretycznie. Jednak obserwowane zjawiska

oddziaływania ciał na odległość (elektryzacja ciał przez indukcję, oddziaływania

w postaci sił między oddalonymi ładunkami elektrycznymi, magnesami i masami,

przenoszenie ciepła) nie dawało fizykom spokoju. Istniała pilna potrzeba

wprowadzenia wielkości fizycznej, która byłaby odpowiedzialna za oddziaływanie

między oddalonymi obiektami. W zbiorze pojęć i wielkości fizycznych w owych

czasach istniała więc luka. Lukę tę zapełnił właśnie Faraday wprowadzając



pojęcie pola. Pole okazało się bardzo płodnym pojęciem fizycznym i stworzyło

logiczny pomost między materią, a energią. Obecnie bez tego pojęcia nie

potrafimy już wyjaśnić wielu zjawisk fizycznych i fizyka nie może się już bez

niego obejść.

.

Pole fizyczne jest to przestrzeń fizyczna (obszar) odpowiedzialna za

oddziaływanie między obiektami wprowadzonymi do tej przestrzeni lub w niej

przebywającymi.

.

Opis pól fizycznych polega na podaniu, w każdej chwili i w określonym punkcie

przestrzeni zajmowanej przez to pole, jednej lub więcej wielkości fizycznych cha-

rakteryzujących pole, to jest na określeniu funkcji pola.

Pola fizyczne są wytwarzane zarówno przez obiekty nieruchome w przestrzeni,

jak i przez obiekty poruszające się z określoną prędkością. W szczególności

obiektami tymi mogą być cząstki elementarne, które mogą poruszać się z

prędkością bliską prędkości światła. Gdy źródła pola poruszają się z prędkością

bliską prędkości światła, to zmiana stanu jednej cząstki, związana ze zmianą jej

energii i pędu, powoduje dopiero po pewnym czasie pojawienie się siły

działającej na drugą cząstkę. Energia i pęd, oddane przez pierwszą cząstkę, a

jeszcze nie pobrane przez drugą, są na ten czas przekazane przenoszącemu je

polu.

Pole w sensie fizycznym nie jest więc jakąś hipotezą, teorią lub jakąś konstrukcją

myślową. Jest to coś, co istnieje realnie, co można opisać za pomocą symboli

matematycznych, co ma pewne właściwości fizyczne i w końcu coś, co przenosi

oddziaływanie między ciałami wprowadzonymi do tego pola.

Polu można przypisać pęd i energię. Energii można przyporządkować

równoważną jej masę — patrz wzór (1.18). Można zatem powiedzieć, że pole

jest nośnikiem masy rozłożonej w tym polu z odpowiednią gęstością

objętościową.

W przyrodzie występuje bardzo wiele różnych pól. Ogólnie dzielą się one na

skalarne i wektorowe.

.

Pole skalarne jest to takie pole, którego każdy punkt można scharakteryzować

za pomocą wielkości skalarnej.

.

Przykłady pól skalarnych: pole temperatur, pole energii, pole potencjałów. Pole



temperatur można na przykład scharakteryzować przez podanie temperatury w

każdym punkcie tego pola.

Wyobraźmy sobie obszar rozciągnięty nad Europą. Warstwa powietrza nad tym

kontynentem niech będzie naszym polem temperatury. W wielu punktach tego

pola (np. we wszystkich miastach) mierzymy temperaturę. Zbiór liczb

oznaczających temperaturę w miejscach pomiaru daje nam pewien obraz pola.

Obraz ten jest jednak bardzo nieczytelny i nieprzejrzysty. Połączmy liniami

wszystkie punkty, w których temperatury są jednakowe (patrz rys. D.1a). W ten

sposób powstaje zbiór linii nazywanych izotermami*. Izotermy, które w istocie

rzeczy są liniami pola temperatur, dobrze „oddają" obraz pola. Ten

geometryczny model pola pozwala na szybką ocenę właściwości i na śledzenie

zmian tego pola**.

.

Jeśli w ustalonych punktach pola temperatur będziemy mierzyli temperaturę w

pewnych ustalonych odstępach czasu, to otrzymamy szereg „obrazów pola”,

które w całości złożą się na „dynamiczny obraz pola”. Model geometryczny pola i

jego zachowanie się w czasie dają nam już pełną informację o polu. Z kształtu

linii pola, gęstości ich ułożenia i zmian w czasie można sądzić o spadku lub

wzroście temperatury na jednostkę odległości w różnych obszarach pola, o

rozmieszczeniu obszarów, gdzie temperatura osiąga wartości największe lub

najmniejsze, o zmianie temperatur w czasie i przesuwaniu się wymienionych

obszarów w przestrzeni (prędkości tych zmian i przemieszczeń).

.

Pole wektorowe jest to takie pole, którego każdy punkt można

scharakteryzować za pomocą wielkości wektorowej.

.

Przykłady pól wektorowych: pole prędkości, pole przyspieszeń, pole ciśnień, pole

sił (pole grawitacyjne, pole elektryczne, pole magnetyczne).

.

Pole ciśnień można na przykład scharakteryzować przez podanie wartości

ciśnienia w każdym punkcie tego pola. Niech naszym modelowym polem ciśnień

będzie, podobnie jak w poprzednim przypadku, warstwa atmosfery nad

kontynentem europejskim. W wielu punktach tego pola (np. we wszystkich

stacjach meteorologicznych) mierzymy ciśnienie. Wyniki pomiarów nanosimy na

mapę i liniami łączymy punkty, w których są jednakowe ciśnienia. W ten sposób

powstają izobary***.



Linie izobaryczne pola ciśnień dają nam zbiór informacji o właściwości tego pola i

„obrazują" nam te właściwości.

W podobny sposób można wyobrazić sobie pole prędkości, pędów lub

przyspieszeń. Największe znaczenie w fizyce, spośród wszystkich pól

wektorowych, mają jednak pola sił.

.

Pole sił jest to takie pole wektorowe, w którym na obiekt wprowadzony do tego

pola działa siła.

.

Pola sił, z którymi spotykamy się w kursie fizyki, to: pole grawitacyjne, pole

elektrostatyczne, pole magnetyczne, pole elektromagnetyczne i pole sił

jądrowych.

.

Pole elektryczne wytwarzane przez ładunek punktowy jest to takie pole, w

którym na ładunek elektryczny**** wprowadzony do tego pola działa siła

2

04 r

QqF

rεπε=

(1.1) * Izotermy bardzo często spotyka się na mapach pogody. ** W przekładzie omówiono pole dwuwymiarowe. Reprezentantem takiego pola jest

pewna umowna powierzchnia płaska. Na ogół rozpatrywane pola są trójwymiarowe, wypełniające całą rozpatrywaną przestrzeń. Można wyobrazić sobie również pole jednowymiarowe np. w postaci zbioru punktów położonych na powierzchni długiego i nieskończenie cienkiego drutu ogrzewanego w jednym końcu (patrz rys. D.1b).

*** Izobary (podobnie jak izotermy) rysuje się często na mapach pogody. **** Ładunkiem elektrycznym nazwano to „coś", co mają niektóre cząstki elementarne

oddziałujące ze sobą siłą różną od siły grawitacji. Nazwa „ładunek" jest nazwą umowną, jak na przykład nazwy kwiatów.

.

przy czym: Q - ładunek elektryczny wytwarzający pole elektryczne, q - ładunek

elektryczny wprowadzony do tego pola, ε0 = 8,86⋅10-12 F⋅m-1 - przenikalność

elektryczna próżni (lub w przybliżeniu powietrza), εr - przenikalność elektryczna

względna ośrodka, r - odległość między ładunkami Q i q. Wielkość ε0

charakteryzuje właściwości elektryczne próżni, a wielkość εrε0 - właściwości

elektryczne ośrodka. Dla próżni εr = 1, dla innych ośrodków εr > 1.

Wzór (1.1), zwany wzorem Coulomba, określa wartość siły (długość wektora

siły). Kierunek wektora siły zależy od wzajemnego położenia ładunków Q i q, a

jego zwrot — od znaku (polaryzacji) tych ładunków. Wyrażając wartość

ładunków w kulombach (C), odległość w metrach (m), przenikalność ε0 w

faradach na metr (F ⋅ m-1) otrzymamy siłę w niutonach (N) (przenikalność

elektryczna względna εr jest wielkością bezwymiarową).



.

Siła działająca na ładunek elektryczny powoduje ruch tego ładunku z

przyspieszeniem zależnym od jego masy. Tor ruchu ładunku wyznacza linię sił

pola.

.

Linie sił pola elektrycznego są to linie, po których poruszają się ładunki

elektryczne wprowadzone do tego pola.

.

Przez każdy punkt pola przechodzi linia sił. Wektor siły w każdym punkcie jest

zawsze styczny do linii sił pola przechodzącej przez ten punkt.

Rys. 1.1 Linie sił pola elektrostatycznego wytworzonego przez ładunek punktowy Q. Zaznaczono ładunek q oraz dwie linie kołowe ekwipotencjalne przechodzące przez punkty pola, w których występują odpowiednio natężenia E1 i E2 i które mają potencjały V1 i V2 .

Linie sił pola są to takie linie, które w każdym punkcie są styczne do kierunków

sił działających w danych punktach.

.

Linie sił „obrazują" nam pole sił. Uwidaczniają nam one jego właściwości.

.

Nie zawsze obraz pola sił jest tak prosty, jak na rys. 1.1. Dla układu wielu

ładunków jest on już bardzo złożony, a linie sił nie są półprostymi, lecz liniami o

bardziej skomplikowanym przebiegu (rys. 1.2). Niezależnie jednak od kształtu

pola (wyznaczonego graficznie przez układ linii sił) linie sił pola

elektrostatycznego są zawsze liniami „otwartymi” (w przeciwieństwie do linii

„zamkniętych”), tzn. zaczynają się na powierzchni danego ładunku w

przypadku pola ładunku punktowego lub kończą się na innych ładunkach w

przypadku pola wytwarzanego przez układ ładunków. Taką właściwość mają

tylko pola źródłowe. „Otwarte” linie sił są więc cechą pól źródłowych. Źródłem

linii sił pola elektrostatycznego są nieruchome ładunki elektryczne wytwarzające

pola rozciągające się w nieskończoność.

Pola elektrostatyczne i elektryczne są obiektem analizy elektrotechniki i



elektroniki. Do celów analizy pól nie jest jednak dogodne używanie siły

działającej na ładunki wprowadzone do tego pola, gdyż siła ta zależy

jednocześnie od wartości Q i q. Dlatego też wprowadza się pojęcie natężenia

pola elektrycznego.

.

Natężenie E pola elektrycznego w danym jego punkcie jest to wielkość

określająca wartość i kierunek siły F działającej na ładunek jednostkowy q

wprowadzony do tego punktu pola

.

q

FE = (1.2)

.

Natężenie pola elektrycznego jest wielkością wektorową i charakteryzuje dany

punkt pola niezależnie od wartości ładunku q wprowadzonego do tego pola.

Jednostką natężenia pola elektrycznego jest wolt na metr (V • m-1).

Podstawiając wartość siły w niutonach (N) i ładunku w kulombach (C) otrzymuje

się natężenie pola w woltach na metr. Uwzględniając wzór (1.1) otrzymuje się

zależność

2

04 r

QE

rεπε= (1.3)

Rys. 1.2 Linie sił pola elektrostatycznego i linie ekwipotencjalne układu dwóch ładunków: a) różnoimiennych; b) jednoimiennych Natężenie pola elektrycznego można wyrazić w sposób „geometryczny" gęstością



linii sił pola przechodzących przez jednostkę powierzchni. Istotną cechą

źródłowych pól sił (pół grawitacyjnych i elektrostatycznych) jest to, że natężenia

pól pochodzących od źródeł punktowych są odwrotnie proporcjonalne do

kwadratu odległości od obiektu wytwarzającego pole (rys. 1.3).

.

Z ruchem ładunków elektrycznych w polu elektrycznym związana jest praca.

Pracę tę wykonują ładunki poruszające się swobodnie w polu elektrycznym, albo

praca ta jest wykonywana przez siły zewnętrzne działające przeciwko siłom pola.

Z podstawowego kursu fizyki znany jest wzór na pracę .

FrW = (1.4)

wykonaną przez siłę F działającą na drodze r. Wzór ten ma ograniczone

zastosowanie i jest słuszny tylko wtedy, gdy siła F ma wartość stałą na całej

drodze działania i jest skierowana wzdłuż tej drogi. W naszym przypadku wzoru

tego do obliczenia pracy przesunięcia ładunku w polu elektrycznym stosować nie

można, gdyż siła F nie ma wartości stałej na całej drodze r = r1 - r2 — patrz wzór

(1.1). Można jednak cały odcinek r podzielić na tak małe odcinki ∆r, iż będzie

można przyjąć, że siła na drodze ∆r ma wartość stałą. Stosując zatem wzór (1.4)

w odniesieniu do odcinka ∆r obliczymy pracę ∆W wykonaną przez siłę F na tym

odcinku

rFW ∆=∆ (1.5)

Wyrażając siłę F wzorem Coulomba

rr

QqW

r

∆=∆2

04 επε (1.6)

Pracę na całym odcinku r oblicza się sumując prace wykonane na wszystkich od-

cinkach (całkując - patrz dodatek F).

Ostatecznie

−=

21

2

0

11

4 rrr

QqW

rεπε

(1.7)

Wprowadzając do wzoru (1.7) oznaczenie

r

QV

r 04 επε= (1.8)

otrzyma się postać uproszczoną .

( )21 VVqW −= (1.9)



Wyrażenie (1.8) określa tzw. potencjał elektryczny.

Rys. 1.3 Linie sił pola przenikają przez dwie powierzchnie S1 i S2 odległe odpowiednio o r1 i r2 od źródła pola. Powierzchnie są widziane z ładunku punktowego Q pod tym samym kątem bryłowym i obejmują tę samą liczbę linii sił. Przykładowo przy r2 = 2 r1 powierzchnia S2 jest czterokrotnie większa od powierzchni S1. Przez jednostkę powierzchni S2 odległą o r2 od ładunku punktowego przenika czterokrotnie mniej linii sił, niż przenikałoby przez tę samą powierzchnię, gdyby została umieszczona w odległości r1= r2/2 od tego ładunku .

Potencjał elektryczny jest to właściwość poła elektrycznego w pewnym

punkcie określająca zdolność tego pola do wykonania pracy.

.

Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt (V). Wyrażając potencjał w woltach

i ładunek w kulombach (C) otrzymuje się pracę w dżulach (J).

Potencjał elektryczny w każdym punkcie pola zależy od odległości r

rozpatrywanego punktu pola od ładunku. Nie zależy on od wartości ładunku

wprowadzonego do pola, a jedynie od wartości ładunku wytwarzającego to pole

— przy założeniu, że ładunek wprowadzany do pola jest pomijalnie mały w

porównaniu z ładunkiem wytwarzającym pole.

.

W każdym polu elektrycznym można znaleźć zbiory takich punktów pola, które

mają ten sam potencjał. Zbiory takich punktów tworzą powierzchnię

ekwipotencjalną.

.

Powierzchnia ekwipotencjalna jest zbiorem wszystkich punktów pola

mających ten sam potencjał.

.

Dla ładunku punktowego powierzchnia ekwipotencjalna jest powierzchnią kulistą,

a dla ładunku punktowego na płaszczyźnie (rys. 1.1) redukuje się ona do

okręgu. Powierzchnie i linie ekwipotencjalne mają dwie zasadnicze właściwości

charakterystyczne również i dla innych źródłowych pól i sił:

— powierzchnie (i linie) ekwipotencjalne są zawsze powierzchniami (i liniami)

zamkniętymi;



— powierzchnie (i linie) ekwipotencjalne w każdym punkcie pola są prostopadłe

do siły działającej w tym punkcie (rys. 1.1 i 1.2).

Ładunek q (rys. 1.1) przemierzający drogę r = r1 - r2 ulega działaniu różnicy po-

tencjałów, czyli napięcia

21 VVU −= (1.10)

Wykonuje on zatem pracę — patrz wzór (1.9)

qUW = (1.11)

Jak widać, praca ta nie zależy od drogi, którą przebywa ładunek, a jedynie od

wartości ładunku wprowadzonego i różnicy potencjałów.

Z pojęciem potencjału związane jest pojęcie energii potencjalnej. Podobnie jak

masa w polu grawitacyjnym, tak i ładunek w polu elektrycznym może zmieniać

swoją energię potencjalną i przemieniać ją w energię kinetyczną lub zwiększać

kosztem energii kinetycznej. Energię potencjalną ładunku q umieszczonego w

polu elektrycznym w odległości r1 od ładunku Q można wyrazić wzorem

21 qVqVWp −= (1.12)

w którym V2 jest przyjętym umownie potencjałem odniesienia. Energia

potencjalna może przemieniać się więc w energię kinetyczną

2

2mv

Wk = (1.13)

bez straty energii pola elektrycznego (m — masa, v — prędkość ładunku). Pole

elektryczne wytworzone przez ładunki źródłowe nie „wyczerpuje się”, jeśli

porusza ono ładunek wprowadzony do tego pola. W polu tym następuje jedynie

przemiana energii potencjalnej ładunków w kinetyczną lub odwrotnie. Pole

elektryczne jest więc tylko ośrodkiem, w którym taka przemiana jest możliwa.

Podobną właściwość mają pola magnetyczne i grawitacyjne. W polu

grawitacyjnym np. energia potencjalna spadającego ciała przemienia się w

energię kinetyczną i energia pola grawitacyjnego przy tym nie „wyczerpuje się”.

Umożliwia ono tylko przemianę energii.

Fakt, że energię potencjalną pola elektrycznego i magnetycznego można

przetworzyć na energię kinetyczną (mechaniczną) w tych polach i odwrotnie, jest

faktem o doniosłym znaczeniu dla naszego życia. Jest on podstawą działania

wielu urządzeń elektrycznych siłowych, elektromagnetycznych,

elektromechanicznych, akustycznych, prądotwórczych, wielu przetworników i

czujników.



Omawiając właściwości znanych nam pól sił na pewno zwróciliśmy już uwagę na

to, że w procesie przemian energii uczestniczą one na zasadzie katalizatora. Są

potrzebne, aby przemiana energii w ogóle była możliwa, ale nic „z siebie” nie

dają i zachowują energię całkowitą obiektu wprowadzonego do tego pola. O

takich polach mówimy, że mają charakter zachowawczy.

.

Zachowawczy charakter pola sił jest to właściwość powodująca zachowanie

energii całkowitej obiektu wprowadzonego do tego pola.

Obiekt może przemieniać w polu swoją energię potencjalną w kinetyczną lub

odwrotnie, ale bez zmiany swej energii całkowitej.

Na koniec rozważań o polach elektrycznych powróćmy jeszcze na chwilę do

potencjału i energii potencjalnej. Otóż mówiąc o energii potencjalnej ładunku w

polu elektrycznym operowaliśmy nie potencjałem, lecz różnicą potencjałów —

wzór (1.12). Jak tę pozorną sprzeczność wytłumaczyć? — Bardzo prosto. Po

prostu potencjału bezwzględnego nie ma. Możemy mówić o potencjale jakiegoś

punktu pola, ale tylko w odniesieniu (względem) do innego punktu pola, co do

którego można się umówić, że jest równy np. zero.

Rozpatrując np. ruch masy w polu grawitacyjnym zakładamy (nie obliczamy!), że

jej potencjał i energia potencjalna na powierzchni Ziemi jest równa zeru. Po-

wierzchnia Ziemi jest więc dla rozpatrywania ruchu masy umowną powierzchnią

odniesienia. Gdzie leży zatem umowna powierzchnia ekwipotencjalna w polu

elektrycznym, o której można powiedzieć, że jej potencjał jest równy zeru? —

Powierzchnia ta leży w nieskończoności (r = ∞) — patrz wzór (1.8). Przyjmując

zatem qV2 = 0 we wzorze (1.12) można napisać, że Wp = qV1, pamiętając

jednak, że jest to obliczona energia potencjalna ładunku q w danym punkcie pola

względem energii, jaką posiadałby ten ładunek w nieskończoności.

Przykład 1.1 W dwóch wierzchołkach A i B trójkąta równoramiennego prostokątnego umieszczono dwa ładunki elektryczne QA = 1C i QB = -1C. W wierzchołku C kąta prostego (rys. 1.4) umieszczono ładunek próbny q = +0,01 C. Długości ramion trójkąta są równe d = AC = BC = 0,1 m. Układ ładunków jest zanurzony w ośrodku o przenikalności elektrycznej względnej εr = 9,1. Przenikalność elektryczna próżni ε0 = 8,86⋅10-12 A⋅s⋅V-1⋅m-1. Należy wyznaczyć: a) siłę działającą na ładunek q, b) natężenie pola elektrycznego EC w punkcie C,



Rys. 1.4 Układ ładunków elektrycznych c) potencjał pola VC w punkcie C, d) pracę przeniesienia WBC ładunku QB do punktu C i do nieskończoności. .

a. Na ładunek q umieszczony w punkcie C działają dwie siły:

siła →

AF pochodząca od ładunku QA i siła →

BF pochodząca od ładunku QB

2

04 d

qQF

r

AA

επε=

→

2

04 d

qQF

r

BB

επε=

→

Ponieważ siły te są równe co do wartości, a ich kierunki tworzą kąt prosty, to siła

wypadkowa działająca na ładunek q

2

042

d

QqF

r

Cεπε

=→

przy czym BA QQQ ==

Po podstawieniu danych liczbowych 710139 ⋅=→

CF N.

b. Natężenie pola elektrycznego →

CE w punkcie C jest sumą geometryczną

natężeń w tym punkcie od ładunku QA i od ładunku QD

2

04 d

QE

r

AA

επε=

→

2

04 d

QE

r

BB

επε=

→

Ostatecznie

2

042

d

QE

r

Cεπε

=→

przy czym BA QQQ ==

Po podstawieniu danych liczbowych 910139 ⋅=→

CE V ⋅ m-1.

c. Potencjał pola elektrycznego w punkcie C jest równy sumie potencjałów

wytworzonych w tym punkcie przez ładunki QA i QB. W tym przypadku potencjały

sumuje się algebraicznie, gdyż potencjał jest skalarem i nie ma określonego

kierunku działania. Podobnie jak poprzednio obliczamy zatem

.



d

QV

r

AA

04 επε=

d

QV

r

BB

04 επε=

Potencjał wypadkowy w punkcie C

BAC VVV +=

Po podstawieniu danych liczbowych Vc = 0

(VA ≈ +9,87⋅109 V VB ≈ -9,87⋅109 V)

.

d. Pracę przeniesienia ładunku QB (przy założeniu, że ładunku q nie ma) z

punktu B do punktu C obliczamy ze wzoru

BCBBC UQW =

gdzie UBC jest różnicą potencjałów w punkcie B i C pola

BCBC VVU −=

Ponieważ

24 0d

QV

r

AB

επε=

d

QV

r

AC

04 επε=

−=

2

11

4 0d

QU

r

ABC

επε

Ostatecznie

−=

2

11

4 0d

QQW

r

BABC

επε

Po podstawieniu danych liczbowych WBC = +2,89 • 109 J. (Znak „+" oznacza że

ładunek może sam wykonać pracę bez udziału sił zewnętrznych).

Praca potrzebna do odrzucenia ładunku QB z punktu B pola wytworzonego przez

ładunek QA do nieskończoności — patrz wzór (1.7)

24 0d

QQW

r

BAB

επε=

a po uwzględnieniu wartości liczbowych WB = - 6,89⋅109 J. (Znak „-" oznacza, że

to siły zewnętrzne muszą odrzucić ładunek QB z danego punktu pola do

nieskończoności).

Przykład 1.2 Dwie kulki o promieniach r1 = 6 cm i r2 = 4 cm skupiają na swoich powierzchniach taki ładunek, że mają one potencjały odpowiednio V1 = 4000 V i V2 = 6000 V. Należy obliczyć potencjał kulek po ich połączeniu się.



Kulkę o promieniu r z rozłożonym równomiernie na jej powierzchni ładunkiem

elektrycznym można traktować jako ładunek punktowy zgromadzony w środku

geometrycznym owej kulki. Na powierzchni kulki jest taki sam potencjał, jak w

odległości r od tego ładunku punktowego. Na kulkach zgromadzony jest ładunek

Q = Q1 + Q2

gdzie - patrz wzór (1.8) :

1101 4 VrQ rεπε= ; 2202 4 VrQ rεπε=

Po połączeniu kulek nastąpi przepływ ładunków od kulki o potencjale wyższym

do kulki o potencjale niższym. Ruch ładunków będzie trwał dopóty, dopóki

potencjały nie wyróżniają się. Całkowity ładunek kulek nie ulegnie jednak

zmianie

21 QQQ ′=′=

gdzie:

VrQ r 101 4 επε=′ VrQ r 202 4 επε=′

a V jest ustalonym potencjałem na powierzchni połączonych kulek.

Z równania

VrVrVrVr rrrr 2010220110 4444 επεεπεεπεεπε +=+

otrzymujemy

21

2211

rr

VrVrV

+

+=

Po uwzględnieniu danych liczbowych (promienie r1 i r2 wyrazić w metrach) V =

4800 V.

.

Do tej pory zajmowaliśmy się tylko takimi polami elektrycznymi, które były stałe

(niezmienne) w czasie i przestrzeni, czyli polami elektrostatycznymi. Oprócz tego

były to takie pola, których linie sił były liniami otwartymi, tzn. zaczynały się na

powierzchni ładunków, a kończyły w nieskończoności, czyli były to pola źródłowe.

.

Obecnie zajmijmy się polami wytworzonymi przez ładunki zmieniające się w

czasie, ale nieruchome w przestrzeni lub przez ładunki stałe, ale poruszające się

w przestrzeni z pewną prędkością. W obu przypadkach mamy do czynienia ze

zmiennym polem elektrycznym i takie właśnie pole będzie przedmiotem naszego

zainteresowania.

.



Rozważmy ruch ładunku q po prostej, na której zaznaczono punkty A i B (rys.

1.5). W punktach tych będzie występowało pole elektryczne o zmiennym

natężeniu E~. Zmienne natężenie pola elektrycznego będzie rejestrował również

obserwator 2, nieruchomy względem prostej i punktów A i B.

Rys. 1.5 Pole elektryczne ładunku poruszającego się w sposób okresowy widziane przez dwóch obserwatorów: 1 — związanego z ładunkiem, 2 — nieruchomego

1. — Zmienne pole elektryczne wytwarza zawsze zmienne pole magnetyczne o

zamkniętych liniach sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola

elektrycznego.

Obserwator 2 będzie więc rejestrował nie tylko zmienne pole elektryczne, lecz

również zmienne pole magnetyczne. Jeżeli ładunek q będzie wykonywał ruchy

okresowe od punktu A do B i z powrotem, to okresowo zmiennemu polu

elektrycznemu będzie towarzyszyło okresowo zmienne pole magnetyczne.

Ponieważ pole elektryczne ładunku q rozciąga się w nieskończoność, to w

każdym punkcie tego pola, oprócz zmiennego pola elektrycznego, będzie

występowało zmienne pole magnetyczne. Obserwator 2 jest „świadkiem”

promieniowania fali elektromagnetycznej emitowanego przez poruszający się

ładunek. Zjawiska takiego, polegającego w istocie na wzajemnym indukowaniu

pól, nie zaobserwuje obserwator 1. Jest on nieruchomo związany z ładunkiem i

może wykryć jedynie pole elektrostatyczne.

Uprośćmy teraz ruch ładunku i załóżmy, że porusza się on od punktu A do B

ruchem jednostajnym.

2. — Jednostajny ruch ładunków elektrycznych wzbudza stałe pole magnetyczne



o zamkniętych liniach sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku ruchu

ładunków.

A więc teraz możemy powiedzieć, że zawsze ruchowi ładunków elektrycznych

towarzyszy pole magnetyczne. Pola elektryczne i magnetyczne są zatem

nierozdzielne. Dlatego często mówi się o polu elektromagnetycznym. Pole

magnetyczne, wytworzone przez zmienne lub stałe pole elektryczne, ma jednak

inne właściwości niż to pole elektryczne. Różnica, od razu rzucająca się w oczy

przy obserwacji obrazów pól, polega na różnym kształcie linii sił. Linie sił pola

magnetycznego, w odróżnieniu od linii sił pola elektrycznego, są liniami

zamkniętymi. Właściwość taką mają bezźródłowe wirowe pola sił.

Bezźródłowe wirowe pole sił jest to takie pole, którego linie sił są liniami

zamkniętymi o określonym zwrocie.

Zwrot linii sil pola wirowego wyznacza się zgodnie z umowną regułą, w tym przy-

padku zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Nazwa „pole wirowe” trafia do wyobraźni ze względu na sposób przebiegu linii sił

takiego pola. Ale dlaczego pola wirowe są polami bezźródłowymi? Otóż dlatego,

że nie istnieje jakiś „ładunek magnetyczny”, który wytwarzałby takie pole. Pole

wirowe magnetyczne zostaje wzbudzone tylko przez ruch ładunków

elektrycznych, które same są źródłem pola elektrycznego. Linie sił pola

magnetycznego nie mogą się więc gdzieś zaczynać i gdzieś kończyć. Muszą to

być zatem linie zamknięte.

Interesujące jest porównanie przebiegu linii sił pola magnetycznego

wytwarzanego przez ruch ładunków elektrycznych z liniami sił pola

magnetycznego wytwarzanego przez magnesy trwałe i elektromagnesy (patrz p.

5.6.2).

Skoro ruchowi jednostajnemu i zmiennemu ładunków elektrycznych, czyli

stałemu i zmiennemu polu elektrycznemu, towarzyszy stałe lub zmienne pole

magnetyczne, powstaje pytanie, czy istnieje również zjawisko odwrotne, czy pole

magnetyczne może wzbudzić w pewnych warunkach pole elektryczne.

Odpowiedź jest twierdząca, ale... I tutaj pojawiają się zastrzeżenia.

.



Rys. 1.6 Ilustracja wytwarzania zmiennego pola magnetycznego przez zmienne pole elektryczne (a) i zmiennego pola elektrycznego przez zmienne pole magnetyczne (b)

Zacznijmy od zmiennych pól magnetycznych pomijając przyczynę powstawania

tych pól (rys. 1.6).

3. — Zmienne pole magnetyczne wytwarza zawsze zmienne pole elektryczne o

zamkniętych liniach sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do linii sil pola

magnetycznego.

W przypadku pól zmiennych istnieje więc całkowita symetria i wzajemność

zjawisk*. W przypadku stałych pól magnetycznych sprawa wygląda inaczej.

4. — Stale pole magnetyczne nie wytwarza żadnego pola elektrycznego dla

obserwatora nieruchomego względem tego pola.

Nie jest możliwe wytwarzanie stałego pola elektrycznego przez stałe pole

magnetyczne. Wynika to z zasady zachowania energii.

Przypomnijmy sobie doświadczenie Faradaya, odkrywcy zjawiska indukcji

elektromagnetycznej, czyli zjawiska wzajemnego indukowania pól elektrycznych

przez pola magnetyczne i odwrotnie. Otóż umieścił on wewnątrz cewki magnes

trwały i oczekiwał pojawienia się prądu (a więc i pola elektrycznego) w

uzwojeniach cewki. Doświadczenie zakończyło się niepowodzeniem. Prąd nie

płynął. Teraz wiadomo, że gdyby płynął, byłoby to zaprzeczeniem zasady

zachowania energii. Kosztem jakiej energii miałaby się pojawić energia prądu

elektrycznego? Dopiero gdy Faraday zaczął poruszać magnesem, a więc gdy

wytworzył zmienne pole magnetyczne, pojawił się prąd elektryczny.

Był to jednak prąd elektryczny zmienny.

* Jak widać, pole elektryczne może występować w postaci pola źródłowego i pola bezźródłowego wirowego. Bezźródłowe wirowe pole elektryczne może być jednak tylko polem zmiennym. Pole magnetyczne natomiast, zarówno stałe jak i zmienne, może występować tylko w postaci pola wirowego bezźródłowego.

Energia prądu zmiennego powstała kosztem energii kinetycznej ruchu magnesu.



Prąd elektryczny zmienny płynął pod wpływem wzbudzonego zmiennego pola

elektrycznego wytworzonego przez zmienne pole magnetyczne.

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest powszechnie wykorzystywane w

elektrotechnice. Wiele urządzeń wykorzystuje je w swej pracy (transformatory,

induktory, dzwonki elektryczne, generatory elektryczne, czyli prądnice, silniki

elektryczne, niektóre przyrządy pomiarowe). Wiele innych zjawisk, znanych z

kursu fizyki, polega w istocie na zjawisku indukcji elektromagnetycznej

(samoindukcja, indukcja wzajemna, prądy wirowe).

Posuńmy teraz nasze rozważania o zmiennych polach elektrycznych i

magnetycznych nieco dalej, dalej w czasie i przestrzeni. Skoro zmienne pole

elektryczne indukuje zmienne pole magnetyczne, a te z kolei zmienne pole

elektryczne, które indukuje. .. itd., to powstaje w ten sposób „łańcuch”

zmiennych pól elektrycznych i magnetycznych (rys. 1.7). „Łańcuch” ten

„rozciąga” się w przestrzeni z prędkością światła. Jednym słowem powstaje fala

elektromagnetyczna. A więc poruszające się ruchem przyspieszonym ładunki

elektryczne są źródłem fali elektromagnetycznej.

5. — Ładunki elektryczne biorące udział w zmiennym ruchu okresowym

wypromieniowują część swej energii w postaci fali elektromagnetycznej.

Energia fali elektromagnetycznej zależy od przyspieszenia ruchu elektronów*.

Mamy więc przykład bezpośredniej przemiany części energii kinetycznej

ładunków elektrycznych w energię promieniowania elektromagnetycznego.

Łatwość, z jaką można zamienić jeden rodzaj energii na drugi, świadczy o

spójności i jedności energii jako wielkości fizycznej.

Fala elektromagnetyczna, jak już o tym wspomniano wcześniej, jest formą

występowania energii, która przenosi się w danym ośrodku z pewną skończoną,

choć dla nas bardzo wielką, prędkością. Składa się ona ze zmiennych i

wzajemnie sprzężonych pól elektrycznych i magnetycznych. Cechą

charakterystyczną tych fal jest to, że wartości maksymalne natężenia pól E i

H** występują jednocześnie.

Rozważania na temat pól elektrycznych i magnetycznych doprowadziły nas do

sformułowania ogólnych praw elektromagnetyzmu. Z praw tych wynikają

właściwości obwodów elektrycznych, które są przedmiotem analizy



elektrotechniki. Jednocześnie podane prawa elektromagnetyzmu należą do

fundamentalnych praw Przyrody.

* Ruch jednostajny po okręgu charakteryzuje się również przyspieszeniem — przyspieszeniem dośrodkowym. A więc drgający lub obiegający jednostajnie okrąg elektron jest oscylatorem harmonicznym. ** H oznacza natężenie pola magnetycznego, wielkość analogiczną do natężenia pola elektrycznego E, wyrażoną w amperach na metr (A ⋅ m-1).

Rys. 1.7 „Łańcuch” wzajemnie wzbudzających się pól E ~ i H ~, a) rozchodząca się w próżni z maksymalną prędkością jaka występuje w przyrodzie, z prędkością c. Powstaje w ten sposób fala elektromagnetyczna, w której wzajemnie prostopadłe wektory Emax i Hmax występują jednocześnie i są prostopadłe do wektora prędkości c, b) zmienne pole elektryczne (lub magnetyczne) jest źródłem promieniowania elektromagnetycznego rozchodzącego się we wszystkich kierunkach z prędkością c

1.3 Materia Materia jest pojęciem dosyć często potocznie używanym. Ale czymże jest w

istocie materia? Czym jest materia w sensie fizycznym?

W sensie potocznym rozumie się przez nią zorganizowany lub niezorganizowany

zbiór elementów korpuskularnych. Czy takie pojmowanie materii w fizyce jest

wystarczające? Odpowiedź na to pytanie dają nam studia o istocie

elektryczności. Wymieńmy teraz niektóre fakty, zjawiska fizyczne, które rzucą



pewne światło na istotę materii korpuskularnej. Zjawiska te podlegają prawom,

które należą do fundamentalnych praw Przyrody.

1. Elektrony rozpędzone do dużej prędkości w polu elektrycznym uderzają w

lampie rentgenowskiej w antykatodę*. Na skutek zderzeń z antykatodą tracą

one część swojej energii kinetycznej

eUmv

=2

2

(1.14)

która przemienia się w energię promieniowania elektromagnetycznego, zwanego

promieniowaniem X lub promieniowaniem Roentgena (rentgenowskim)

* Elektroda, na której ogniskowany jest strumień elektronów wysyłanych przez katodę (elektrodę ujemną).

xhveU = (1.15)

h — stała Plancka, vx — częstotliwość promieniowania.

2. Cząstki i antycząstki* elementarne w zderzeniach ze sobą ulegają anihilacji

(unicestwieniu), oczywiście anihilacji w sensie korpuskularnym, a nie

energetycznym. W czasie zderzenia elektronu z antyelektronem (czyli

pozytonem lub pozytronem) cząstki elementarne ulegają unicestwieniu, w

miejsce nich pojawia się energia promieniowania elektromagnetycznego,

promieniowania ɣ

γhvee 2→+ +− (1.16)

Jak widać, materia w sensie korpuskularnym równoważna jest energii

promieniowania elektromagnetycznego o odpowiedniej długości fali. Znane jest

również zjawisko odwrotne zwane kreacją par elektronowo-pozytronowych.

Polega ono na wytwarzaniu, w pewnych warunkach, elektronu i antyelektronu z

kwantów promieniowania elektromagnetycznego - promieniowania ɣ

+− +→ eehvγ2 (1.17)

3. Bezpośredni związek między energią i masą podał Albert Einstein 2

0cmE = (1.18)

m0 — masa spoczynkowa cząstki (masa w bezruchu), c — prędkość światła.

Zgodnie z wzorem (1.18), ciału o nawet bardzo małej masie odpowiadają

olbrzymie ilości energii. Energia ta uwalnia się np. w procesie syntezy jądrowej,

kiedy to cały deficyt masy zostaje wypromieniowany (patrz p. 2.3).



4. L. H. Germer i C. J. Davisson przepuszczając strumień elektronów przez

cienką płytkę złota zauważyli na ekranie obraz dyfrakcyjny, czyli obraz typowy

dla fal. Doświadczenie ich było bardzo ciekawe. Nie ulegało bowiem wątpliwości,

że mieli oni do czynienia z jakimś promieniowaniem, które w jednym

doświadczeniu objawiało swoje właściwości zarówno korpuskularne, jak i falowe.

Ruchowi cząstek elementarnych towarzyszy więc promieniowanie falowe.

5. Model atomu Bohra złożony z protonu i krążącego wokół niego elektronu,

rozumianego jako cząstka korpuskularna, nie utrzymał się długo. Elektron tracąc

swą energię na promieniowanie elektromagnetyczne powinien spaść na jądro.

Bohr przyjął więc, że elektron jest reprezentowany przez falę o określonej

długości, która na skutek interferencji nakłada się na siebie w zgodnej fazie. Z

poprzednich rozważań wiemy, że przyjęcie takie jest uzasadnione.

6. Nie tylko promieniowanie korpuskularne ma właściwości promieniowania

falowego, lecz również promieniowanie falowe ma właściwości promieniowania

korpuskularnego — przykład — zjawisko fotoelektryczne. Kwanty

promieniowania elektromagnetycznego wybijają z płytki fotoczułej elektrony.

Zgodnie z zasadą zachowania energii można napisać, że (wzór Einsteina)

2

2mv

Ahv += (1.19)

hv — energia kwantu promieniowania, A — praca wyjścia (oswobodzenia)

elektronu, mv2 — energia kinetyczna wybitego elektronu.

7. Doświadczenia przedstawione skrótowo w punktach 4, 5 i 6 świadczą o

dualizmie (dwoistości) korpuskularno-falowym materii. Zgodnie z zasadą de

Broglie'a (1924 r.) każdej fali można przyporządkować pęd * Patrz p. 2.4.

c

hvp = (1.20)

c — prędkość światła

oraz każdemu ciału o masie m poruszającemu się z prędkością v można

przyporządkować falę o długości

mv

h=λ (1.21)

W niniejszym rozdziale mieliśmy mówić o materii, a tak się złożyło, że mówiliśmy

głównie o masie i o energii. Teraz już wiemy, że masa i energia to jedno i to



samo. Energię — „promieniowanie elektromagnetyczne” i pole fizyczne można

więc nazwać materią w sensie fizycznym.

Materia zatem to jest wszystko to, co nas otacza, wszystko to, co wypełnia

przestrzeń, wszystko, co oddziałuje na nasz organizm.

Przykład 1.3 Elektron porusza się w polu elektrycznym pod wpływem różnicy potencjałów U = 4V. Przyjmując, że prędkość początkowa elektronu jest równa zeru, należy obliczyć energię kinetyczną (w elektronowoltach i dżulach), jaką on uzyskuje w tym polu, oraz jego prędkość końcową. Obliczyć też długość fali promieniowania elektromagnetycznego powstającego przy jego zahamowaniu. Do obliczeń przyjąć : masę elektronu m = 9,1⋅10-31 kg, ładunek elektronu e = 1,602⋅10-19C, stałą Plancka h = 6,625⋅10-34 J⋅s.

Elektron przyspieszony w polu o różnicy potencjałów U uzyskuje energię

eUW =

równą 4 eV.

1 eV jest energią, jaką uzyskuje elektron w polu elektrycznym pod wpływem

różnicy potencjałów 1V. Ponieważ e = 1,602⋅10-19C, a 1C ⋅ 1 V = 1 J, to energii 1

eV odpowiada energia 1,602⋅10-19 J. W naszym przykładzie energia elektronu

(wyrażona w dżulach)

1910408,6

−⋅=W J

Energię elektronu można wyrazić również wzorem

2

2mv

W =

gdzie v jest prędkością końcową uzyskaną przez elektron.

Zatem ze związku

eUmv

=2

2

można wyznaczyć prędkość

m

eUv

2=

Po podstawieniu danych liczbowych v ≈ 1,19⋅106 m⋅s-1.

Jeśli energia kinetyczna elektronu przy jego zahamowaniu zmienia się całkowicie

w energię promieniowania elektromagnetycznego, to

eUhv =

a stąd



h

eUv =

Ponieważ v

c=λ , więc ostatecznie

eU

hc=λ

Obliczenia wykazują, że λ = 0,30525 µm, co odpowiada składowej fioletowej

widma światła białego.

Przykład 1.4 Obliczyć wartość energii, jaką reprezentuje elektron w spoczynku oraz długość fali promieniowania elektromagnetycznego powstającego przy jego anihilacji. Przyjąć: masę spoczynkową elektronu m0=9,1⋅10-31 kg, prędkość światła c = 3⋅108 m⋅s-1, stałą Plancka h = 6,625⋅10-34 J⋅s.

Zgodnie ze wzorem Einsteina z masą m0 związana jest energia 2

0cmE =

dla elektronu równa 81,9⋅10-15 J.

Odpowiednia długość fali (wyznaczona z zależności m0c2 = hv)

vm

h

0

=λ

Po obliczeniu λ = 0,0242⋅10-10 m.

Przykład 1.5 Obliczyć graniczną długość fali λg zjawiska fotoelektrycznego w przypadku wykorzystania płytki cezowej, dla której praca wyjścia elektronów A = 1,9 eV. Obliczyć prędkość maksymalną v elektronów wybijanych z tej płytki przez kwanty promieniowania o długości fali λ = 0,49 µm. W przypadku oświetlenia płytki promieniowaniem o długości granicznej elektrony

uzyskują energię równą pracy wyjścia A elektronów. Elektrony uwalniają się z

wiązań łączących je z pozostałymi atomami, płytki jednak nie opuszczają.

Z zależności

Ahv g =

otrzymuje się

h

Avg =

A

hcg =λ

Po obliczeniu: λg = 0,656 µm. Ta długość fali odpowiada barwie czerwonej. Przy

większych długościach fal zjawisko fotoelektryczne w płytce cezowej nie

występuje.



Dla kwantów promieniowania o długości fali λ = 0,49 µm słuszna jest zależność

(1.19)

2

2mv

Ahv +=

z której

( )

−=−= A

hc

mAhv

mv

λ

22

Podstawiając wartości liczbowe (długość fali λ należy wyrazić w metrach) v =

47⋅103 m⋅s-1.

Przykład 1.6 Obliczyć długość fal materii towarzyszących ruchowi elektronu z prędkością v = 47⋅104 m⋅s-1 oraz ruchowi samochodu o masie ms = 1000 kg poruszającego się z prędkością vs = 10 m⋅s-1.

Długość fali de Broglie'a przyporządkowanej ciału o masie m poruszającemu się

z prędkością v wyrażona wzorem

mv

h=λ

dla elektronu (przy pominięciu efektów relatywistycznych) jest równa 1,5⋅10-9 m,

natomiast dla samochodu : 6,62⋅10-38 m.

Materia wypełnia przestrzeń i znajduje się w ciągłym ruchu. Ruch materii jest

podstawą trwałości układów materialnych. Na przykład siła odśrodkowa

działająca na elektron poruszający się po orbicie jest zrównoważona siłą

elektrostatycznego przyciągania z jądrem atomu, dzięki czemu elektron nie

spada na jądro. Ruch elektronu jest więc podstawą trwałości takiego układu

materialnego, jakim jest atom. Podobnie wyjaśnia się trwałość układów

planetarnych.

Większość z obserwowanych ruchów w układach materialnych to ruchy

okresowe. Dzięki takim ruchom można wprowadzić skalę czasu i określać

następstwo zdarzeń.

Wprowadzenie pojęcia czasu pozwala mówić o czasoprzestrzeni jako o

przestrzeni, w której upływa czas. Czas ten jednak upływa różnie dla różnych

ciał (patrz teoria względności Einsteina i wzór 1.25). Materia wyznacza



przestrzeń i czas (czasoprzestrzeń). Ale nie tylko. Materia wyznacza również

właściwości geometryczne czasoprzestrzeni. Jedną z właściwości przestrzeni

wyznaczonej przez materię jest zakrzywienie. Przestrzeń jest zakrzywiona (rys.

1.8a).

Rys. 1.8 Kierunek propagacji (rozchodzenia się) promieniowania elektromagnetycznego przechodząc w przestrzeni kosmicznej przez silne pola grawitacyjne ulega zakrzywieniu (a). Suma kątów trójkąta w przestrzeni zakrzywionej nie musi być równa 180°. Może być ona większa (b) lub mniejsza (c) niż 180° Przestrzeń można penetrować po liniach wyznaczonych kierunkiem rozchodzenia

się promieniowania elektromagnetycznego (np. światła). Uważamy na ogół, że

fale elektromagnetyczne rozchodzą się po liniach prostych. Ale jest to wniosek z

naszych ziemskich doświadczeń. Gdy zaczynamy obserwować Kosmos, to

okazuje się, że fale elektromagnetyczne przechodząc przez silne pola

grawitacyjne ulegają zakrzywieniu. My możemy obserwować przestrzeń tylko po

liniach wyznaczonych kierunkiem rozchodzenia się fal elektromagnetycznych.

Przestrzeń jest więc zakrzywiona.

W przestrzeni takiej obowiązuje inna geometria, niż geometria euklidesowa,

którą znamy ze szkoły.

Geometria euklidesowa słuszna jest tylko dla takiej przestrzeni, w której można

poprowadzić płaszczyznę płaską i proste. Odnosi się ona zatem tylko do tak

małych obszarów przestrzennych, że zakrzywienie przestrzeni można pominąć i

traktować ją jako przestrzeń niezakrzywioną. Na powierzchni kuli ziemskiej na

przykład rozległe obszary powierzchni z dużą dokładnością można traktować jako

płaskie. Figury geometryczne narysowane na takiej powierzchni spełniają



twierdzenia geometrii płaskiej (euklidesowej). Im większe są jednak te obszary,

tym mniejsza dokładność. Jednym z podstawowych twierdzeń geometrii

euklidesowej jest twierdzenie mówiące, że sumą kątów w dowolnym trójkącie

jest zawsze równa 180°. Twierdzenie to nie obowiązuje w geometrii

nieeuklidesowej (rys. 1.8 b, c). Jeśli wyobrazimy sobie powierzchnię w

przestrzeni nieeuklidesowej jako powierzchnię kuli, co jest wielkim

uproszczeniem, to okazuje się, że suma kątów dowolnego trójkąta na takiej

powierzchni może być większa (rys. 1.8b) lub mniejsza (rys. 1.8c) niż 180°. Jak

widać więc, w skali kosmicznej obowiązuje geometria nieeuklidesowa. Geometria

euklidesowa jest jedynie szczególnym przypadkiem lub przybliżeniem geometrii

nieeuklidesowej i to tym lepszym, im z mniejszym obszarem przestrzennym

mamy do czynienia.

Z dotychczasowych rozważań wynika, że materia wyznacza takie właściwości

czasoprzestrzeni, jak przestrzeń, czas i zakrzywienie. Ale to nie wszystkie

właściwości czasoprzestrzeni. Inne właściwości czasoprzestrzeni wynikają z

faktu, że prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w niej jest stała,

równa 300 000 km⋅s-1 i niezależna od sposobu poruszania się obserwatora. Dla

obserwatora w spoczynku i dla obserwatora w ruchu prędkość rozchodzenia się

promieniowania elektromagnetycznego jest zawsze stała i skończona. Ma to

swoje konsekwencje ujęte w formuły matematyczne wyprowadzone z teorii

względności podanej przez A. Einsteina:

jeśli v1 jest prędkością jednego obiektu względem układu odniesienia, a v2 —

prędkością drugiego obiektu względem pierwszego, to prędkość v drugiego

obiektu względem układu odniesienia, przy ruchu jednokierunkowym obu

obiektów

2

21

21

1c

vv

vvv

+

+= (1.22)

a więc suma prędkości nie może być nigdy większa niż prędkość światła c;

2

2

0

1c

v

mm

−

= (1.23)

masa ciała poruszającego się z prędkością v jest większa od masy m0 tego ciała

w spoczynku;



2

2

0 1c

vll −= (1.24)

wymiary l ciała w ruchu są mniejsze od wymiarów l0 tego ciała w spoczynku;

2

2

0

1c

v

tt

−

= (1.25)

czas t na obiektach poruszających się upływa wolniej, niż czas t0 na obiektach

pozostających w spoczynku.

Teoria względności uświadomiła nam, że prędkość, masa, wymiary i czas są

wielkościami względnymi, zależnymi od prędkości. Ponieważ dla różnych

obserwatorów, którzy mogą poruszać się względem siebie, prędkość danego

obiektu jest różna, każdy z obserwatorów może obserwować dany obiekt jako

ciało o innej masie i innych wymiarach. Również czas trwania jakiegoś zjawiska

na rozpatrywanym obiekcie dla każdego z obserwatorów będzie różny.

Oczywiście efekty relatywistyczne (efekty wynikające z teorii względności) są

widoczne dopiero przy prędkościach zbliżonych do prędkości światła. Wyobraźmy

sobie np. pociąg o długości równej długości peronu. Niech pociąg mija peron z

bardzo dużą prędkością, bliską prędkości światła. Obserwatorzy z pociągu widzą

peron jako krótszy od pociągu, gdyż to on porusza się względem nich, natomiast

obserwatorzy na peronie widzą, że przejeżdżający pociąg jest krótszy niż peron.

I jedni i drudzy obserwatorzy widzą rzeczywistość obiektywnie.

Efekty relatywistyczne występują również przy prędkościach znacznie mniejszych

od prędkości światła. Występują również przy prędkościach spotykanych na

Ziemi, są jednak niezauważalne. Można powiedzieć, że dla prędkości małych w

porównaniu z prędkością światła słuszna jest mechanika Newtona, mechanika w

której masa ciał jest stała, czas dla wszystkich ciał upływa jednakowo szybko, a

prędkości sumują się zgodnie ze wzorem (porównaj ze wzorem 1.22)

2121 vvvvrrrr

+≡+

Przy prędkościach porównywalnych z prędkością światła mechanika Newtona

przestaje obowiązywać. Zaczyna natomiast obowiązywać mechanika

relatywistyczna, mechanika Einsteina, w której wymiary, czas i masa są

wielkościami względnymi. Można powiedzieć, że mechanika Newtona dla małych

prędkości jest takim przybliżeniem ogólnej mechaniki Einsteina, jakim



przybliżeniem ogólnej geometrii przestrzeni zakrzywionej jest, dla małych

obszarów, geometria euklidesowa.

Do tej pory mówiliśmy o wielkościach znanych nam z naszego ziemskiego i

kosmicznego doświadczenia. A jakie są bariery i warunki poznania rzeczywistości

mikroświata, świata cząstek elementarnych? — Zasięg poznania mikroświata

określony jest zasadą nieoznaczoności Heisenberga

hxp ≥∆∆ (1.26)

∆p — niepewność pędu, ∆x — niepewność położenia cząstki, h — stała Plancka.

Zasada nieoznaczoności mówi nam, że nigdy nie będziemy w stanie określić

jednocześnie dokładnie położenia i pędu cząstki. Jeśli uda się nam w jakiś sposób

dokładnie wyznaczyć pęd cząstki (∆p minimalne), to praktycznie niewiele

będziemy wiedzieli o jej położeniu (∆x maksymalne). Jeśli natomiast uda nam

się dokładnie wyznaczyć położenie cząstki (∆x minimalne), to z kolei pomiar

pędu będzie obarczony bardzo dużym błędem (∆p maksymalne).

Zależność (1.26) równoważna jest wyrażeniu

htE ≥∆∆ (1.27)

∆E, ∆t — niepewność energii i czasu dla danej cząstki.

Iloczyn ∆E∆t (energia⋅czas) określa wielkość fizyczną zwaną działaniem. Można

zatem powiedzieć, że h jest najmniejszym kwantem działania występującym w

Przyrodzie. Wyznacza on granice poznania czasoprzestrzeni od strony wymiarów

najmniejszych.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga słuszna jest również dla makroświata, ale

ze względu na bardzo małą wartość stałej Plancka (h = 6,62491⋅10-34 J⋅s) można

w tym przypadku stosunkowo dokładnie wyznaczyć pęd i położenie ciał. Mierząc

pęd cząstek elementarnych najdokładniejszymi znanymi obecnie metodami

otrzymujemy niepewność położenia cząstki ∆x rzędu średnicy atomu.

1.4 Matematyczny opis właściwości pól elektrycznych i magnetycznych

Wszelkie pola rozciągają się w ośrodkach, które zmieniają swoje właściwości pod

wpływem tego pola. Ośrodki, ze względu na swą strukturę, można podzielić na

jednorodne i niejednorodne, a ze względu na właściwości kierunkowe - na



izotropowe i anizotropowe.

Ośrodki jednorodne są to takie ośrodki, które mają takie same właściwości w

każdej swej części.

Przykładem ośrodków jednorodnych może być powietrze, woda, piasek itp.

Ośrodki izotropowe są to takie ośrodki, które mają jednakowe właściwości

fizyczne we wszystkich kierunkach.

Przykładem ośrodka izotropowego może być również woda, szkło itp. Niektóre

materiały, takie jak np. kryształy, drewno, guma, mogą tworzyć ośrodki

jednorodne anizotropowe. Na przykład współczynnik załamania światła kryształu

zależy od kierunku padania wiązki światła, pasek gumy łatwiej rozciąga się

„wzdłuż” niż „wszerz”, drewno — ze względu na strukturę włóknistą — ma inną

wytrzymałość mechaniczną w kierunki wzdłużnym i poprzecznym włókien.

Na początku powiedzieliśmy, że ośrodki zmieniają swoje właściwości pod

wpływem pola. Otóż ze względu na sposób zmian tych właściwości ośrodki

dzielimy na liniowe i nieliniowe.

Ośrodki liniowe są to takie ośrodki, których stałe materiałowe nie zależą od

natężenia pola (w przyjętych granicach zmian tego pola).

Przedmiotem naszych dalszych rozważań będzie próżnia, która jest ośrodkiem

jednorodnym izotropowym i liniowym. W tym ośrodku występować będą pola

wektorowe: elektryczne i magnetyczne. Oczywiście należy pamiętać, że próżnia

wypełniona polami nie jest już próżnią w sensie fizycznym.

1.4.1 Wektor indukcji pola elektrycznego i pola magnetycznego

Pole elektryczne wytwarza siłę działającą na ładunki elektryczne umieszczone w

tym polu — wzór (1.2). Pod wpływem tej siły ładunki elektryczne mogą się

poruszać, jeśli są swobodne (niezwiązane) lub mogą tylko zmienić swoje

położenie, jeśli są związane (cząsteczki, atomy). Zmiana położenia ładunków jest

przyczyną powstania nowego pola elektrycznego pochodzącego od tych

ładunków. Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji elektrycznej. Obserwuje się ją

w każdym ośrodku, również i w próżni. Polaryzację wyrażamy liczbowo przez



indukcję elektryczną i oznaczamy przez D, Indukcja elektryczna zależy od

natężenia pola elektrycznego zgodnie ze wzorem

D = ε0E (1.28)

Jednostką indukcji elektrycznej jest kulomb na metr kwadratowy (C⋅m-2).

Wartość indukcji elektrycznej można geometrycznie zobrazować gęstością linii sił

pola elektrycznego. Wektor D określa więc liczbę umownych linii sił pola

przechodzących przez jednostkę powierzchni.

We wzorze (1.28) ε0 jest wielkością charakteryzującą próżnię i nosi nazwę

przenikalności elektrycznej próżni. Przenikalność ε0 jest niezależna od

natężenia pola elektrycznego (ośrodek liniowy), jednakowa we wszystkich

kierunkach (ośrodek izotropowy) i jednakowa w każdym miejscu próżni (ośrodek

jednorodny). W równaniu (1.28) wielkość ta występuje jako współczynnik

liniowej zależności między D i E.

Podobne działanie na ośrodek wywiera pole magnetyczne. Ośrodek poddany

działaniu pola magnetycznego ulega namagnesowaniu (polaryzacji

magnetycznej). Polaryzacji ulega i próżnia. Polaryzację magnetyczną

wyrażamy liczbowo przez indukcję magnetyczną i oznaczamy przez B.

Indukcja magnetyczna zależy od natężenia pola magnetycznego zgodnie ze

wzorem

B = µ0H (1.29)

Jednostką indukcji magnetycznej jest tesla (T).

Wartość indukcji magnetycznej można geometrycznie zobrazować gęstością linii

sił pola magnetycznego. Wektor B określa więc liczbę umownych linii sił pola

magnetycznego przechodzących przez powierzchnię jednostkową.

We wzorze (1.29) µ0 Jest wielkością charakteryzującą właściwości magnetyczne

próżni i nosi nazwę przenikalności magnetycznej próżni.

Przenikalność µ0 jest niezależna od natężenia pola magnetycznego, jednakowa

we wszystkich kierunkach i jednakowa w każdym miejscu próżni. W równaniu

(1.29) występuje ona jako współczynnik liniowej zależności między wielkościami

B i H.

Przenikalności ε0 i µ0 w pełni charakteryzują właściwości elektromagnetyczne

próżni.



W układzie jednostek SI

17

0

112

0

104

1086,8

−−

−−

⋅⋅=

⋅⋅=

mH

mF

πµ

ε

Stałe ε0 i µ0 należą do tzw. stałych uniwersalnych (podstawowych).

Przy obliczeniach dogodnie jest pamiętać, że 1 F = 1 (A⋅s) • V-1,

a 1 H = 1 (V⋅s) ⋅A-1.

Znając wartości D i B można już obliczyć strumień elektryczny z

odpowiedniego iloczynu skalarnego (patrz dodatek C)

Ψe = D⋅S (1.30)

i strumień magnetyczny

Ψm = B⋅S (1.31)

Jednostką strumienia elektrycznego jest kulomb (C), a magnetycznego - weber

(Wb);1 Wb = 1 V⋅l s = 1 T⋅1 m2.

Wartość strumienia magnetycznego można określić mierząc całkowitą liczbę linii

sił przenikających daną powierzchnię S w kierunku do niej prostopadłym.

1.4.2 Źródłowość pola elektrycznego Źródłowość pola elektrycznego wyrażana jest twierdzeniem Gaussa.

Strumień indukcji elektrycznej przenikający dowolną powierzchnię zamkniętą

mierzy się wartością ładunku znajdującego się w obszarze ograniczonym

rozpatrywaną powierzchnią

Q=Ψ (1.32)

Twierdzenie to udowodnimy dla szczególnego przypadku pola elektrycznego ła-

dunku punktowego Q zamkniętego w powierzchni kulistej o promieniu r.

Strumień elektryczny wychodzący z powierzchni kulistej (rys. 1.9)

ESDS 0ε==Ψ (1.33)

Ponieważ powierzchnia kuli o promieniu r

24 rS π=

2

0 4 rE πε=Ψ

Uwzględniając, że w odległości r od ładunku punktowego natężenie pola

elektrycznego

2

04 r

QE

πε=



otrzymujemy Q=Ψ , co kończy dowód.

W przytoczonym twierdzeniu i dowodzie należy zwrócić uwagę na to, że równość

Q=Ψ jest niezależna od wyboru kształtu powierzchni S. Stawia się jej tylko

jeden warunek — musi całkowicie obejmować ładunek. W naszym przypadku dla

prostoty dowodu jako powierzchnię zamkniętą obejmującą ładunek punktowy Q

wybrano powierzchnię kulistą. Jeśli wewnątrz rozpatrywanej powierzchni

znajduje się wiele ładunków, to

∑=

=Ψn

k

kQ1

(1.34)

n — liczba ładunków.

Rys. 1.9 Ładunek punktowy Q otoczony powierzchnią sferyczną zamkniętą Cechę opisaną równaniem (1.32) mają tylko pola źródłowe. Twierdzenie Gaussa

znajduje zastosowanie do obliczania pól elektrycznych.

Przykład 1.7

Na przewodzie liniowym o długości l zgromadzony jest ładunek Q. Ładunek rozłożony jest na przewodzie z gęstością liniową τ = Q/l. Korzystając z twierdzenia Gaussa wyznaczyć wzór na natężenie pola elektrycznego w otoczeniu naładowanego przewodu (rys. 1.10).

Przewód na długości l otaczamy powierzchnią walcową o promieniu podstawy r.

Przez powierzchnię boczną walca o polu

rlS π2=

przenika strumień elektryczny

DS=Ψ

Strumień ten można zatem wyrazić wzorem

rlE πε 20=Ψ

Zgodnie z twierdzeniem Gaussa Q=Ψ , a więc



lrlE τπε =20

skąd otrzymujemy

02 επ

τ

rE =

Wartość natężenia E jest odwrotnie proporcjonalna do odległości r od przewodu

liniowego i mimo jego nieograniczonej długości ma wartość skończoną. (Skoń-

czoną długość l przewodu przyjęto w celu ułatwienia obliczeń).

Rys. 1.10 Przewód liniowy naładowany ładunkiem o gęstości liniowej τ oraz zależność natężenia pola elektrycznego E od odległości r od powierzchni tego przewodnika

Przykład 1.8

Na powierzchni czaszy kulistej o promieniu R rozłożony jest ładunek elektryczny z

gęstością powierzchniową 24 R

Q

πσ = . Korzystając z twierdzenia Gaussa wyznaczyć wzór

na natężenie pola elektrycznego w otoczeniu naładowanej czaszy (rys. 1.11).

Naładowaną powierzchnię kulistą otaczamy umyśloną koncentryczną

powierzchnią kulistą o promieniu r i polu powierzchni

24 rS π=

przez którą przenika strumień elektryczny

DS=Ψ

Ponieważ

ED 0ε= oraz 24 rS π=

to

2

0 4 rE πε=Ψ

Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Gaussa Q=Ψ , gdzie σπ 24 RQ = ,



Rys. 1. 11 Czasza kulista z równomiernie rozłożonym ładunkiem elektrycznym o gęstości powierzchniowej σ i zależność natężenia pola elektrycznego od odległości r od powierzchni naładowanej kuli

więc z równości

σππε 22

0 44 RrE =

otrzymujemy

2

04 r

QE

πε= lub

2

0

2

r

RE

ε

σ=

Jak widać, naładowana ładunkiem Q czasza kulista wytwarza na zewnątrz takie

samo pole jak ładunek punktowy Q umieszczony w środku geometrycznym

czaszy. Wewnątrz czaszy natężenie pola jest równe zeru. Tym tłumaczy się np.

zjawisko ekranowania od wpływu zewnętrznych pól elektrycznych za pomocą

osłon metalowych ciągłych lub siatkowych*.

Przykład 1.9 Korzystając z twierdzenia Gaussa wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w otoczeniu nieskończenie rozległej płaskiej płyty naładowanej ładunkiem rozłożonym z gęstością powierzchniową σ (rys. 1.12).

Obliczenia ograniczamy do skończonej powierzchni S płyty, którą otaczamy

umyśloną powierzchnią w kształcie prostopadłościanu. Powierzchnie boczne

prostopadłościanu, przez które przenika strumień elektryczny, niech będą równe

również S. Strumień przenika przez dwie takie powierzchnie, a więc

DS2=Ψ

Ponieważ, na podstawie twierdzenia Gaussa SQ σ==Ψ , to

σε SES =02

skąd otrzymujemy



02ε

σ=E

Rys. 1.12 Pole elektryczne wytworzone przez płytę naładowaną ładunkiem elektrycznym o gęstości powierzchniowej σ

Jak widać, natężenie pola elektrycznego ma wartość stałą i niezależną od

odległości od powierzchni płyty. Takie pole, którego wartość natężenia jest stała

i niezależna od położenia rozpatrywanego punktu w tym polu, nazywa się polem

jednorodnym.

* Fakt, że w pustej wnęce wewnątrz naładowanego ciała natężenie pola elektrycznego jest równe zero, jest wynikiem tej właściwości przestrzeni, która decyduje o tym, że natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła pola. Gdyby było inaczej, natężenie wewnątrz pustej wnęki nie byłoby równe zero.

Przykład 1.10

Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego między dwiema płaskimi płytami naładowanymi różnoimiennie ładunkiem rozłożonym z gęstością powierzchniową σ (rys. 1.13).

Rys. 1.13 Pole elektryczne układu dwóch równoległych różnoimiennie naładowanych płyt płaskich

Jeśli umówimy się, że linie sił pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunki

dodatnie będą miały zwrot od ładunku, a linie sił pola wytworzone przez ładunki

ujemne będą miały zwrot do ładunku, to natężenie pola między rozpatrywanymi

płytami (rys. 1.13) będzie dwukrotnie większe, niż natężenie pola wytworzonego

przez pojedynczą płytę (rys. 1.12), a zatem bez wykonywania obliczeń możemy

napisać, że



0ε

σ=E

Pole elektryczne wytworzone przez układ dwóch płaskich elektrod

(naładowanych przewodników) zawiera się tylko między tymi dwiema

elektrodami. Pola elektryczne wytworzone na zewnątrz elektrod przez ładunki

dodatnie i ujemne wzajemnie się kompensują tak, że wypadkowe natężenie pola

w tym obszarze jest równe zeru.

Przykład 1.11

Kula dielektryczna o objętości 3

3

4RV π= naładowana ładunkiem elektrycznym Q

rozłożonym równomiernie wewnątrz kuli z gęstością objętościową 3

3

4R

Q

πρ = wytwarza

na zewnątrz pole elektryczne. Korzystając z twierdzenia Gaussa wyznaczyć wzór na natężenie pola elektrycznego (rys. 1.14).

Rys. 1.14 Pole elektryczne wytworzone przez kulę dielektryczną naładowaną ładunkiem o gęstości objętościowej ρ

Kulę otaczamy zamkniętą powierzchnią kulistą o promieniu r. Strumień

elektryczny DS=Ψ , po uwzględnieniu

24 rS π= oraz ED 0ε=

można zapisać jako 2

0 4 rE πε=Ψ .

Na podstawie twierdzenia Gaussa

QrE =2

0 4πε

stąd

2

04 r

QE

πε= lub

2

0

3

3 r

RE

ε

ρ=

Podobnie, jak w przypadku omówionym w przykładzie 1.8, kulę dielektryczną

można dla r > R zastąpić ładunkiem punktowym.



1.4.3 Bezźródłowość pola magnetycznego Bezźródłowość pola magnetycznego wyrażona jest twierdzeniem :

W polu magnetycznym strumień Ψ wektora indukcji B wypływający na

zewnątrz powierzchni zamkniętej S jest równy zeru. W przypadku pola o

jednakowej wartości indukcji w każdym punkcie pola (patrz dodatek H)

Ψ = B⋅S = 0 (1.35)

Twierdzenie to można wyrazić również inaczej (patrz dodatek C.1 i H):

W polu magnetycznym strumień Ψ wektora indukcji B przepływający przez

każdą z dwu powierzchni o wspólnej krzywej brzegowej jest taki sam (rys. 1.15)

— patrz wzór (1.31)

Ψ1 = B1⋅S1 Ψ2 = B2⋅S2

Dowód twierdzenia przeprowadzimy posługując się rys. 1.15. Powierzchnia

sferyczna została przecięta płaską powierzchnią S0. Linie sił pola magnetycznego

wnikają do zamkniętej powierzchni sferycznej przez powierzchnię S2,

ograniczoną powierzchnią S0 i w takiej samej liczbie wychodzą z niej, przez część

powierzchni oznaczonej przez S1. W przypadku granicznym powierzchnię

sferyczną S1+S2 można zredukować do płaskiej powierzchni S0 rozpiętej na linii

brzegowej. W tym przypadku S1 i S2 będą oznaczały różne strony tej

powierzchni. Liczba linii sił wnikających do powierzchni S0 jest równa liczbie linii

sił wychodzących z tej powierzchni.

Rys. 1.15 Powierzchnia zamknięta S1+S2, przez którą przechodzi pole magnetyczne o indukcji B

Linie sił pola magnetycznego są liniami zamkniętymi i jeśli strumień wnika do

danej powierzchni zamkniętej, to musi z tej powierzchni wypłynąć, przy czym

liczba linii sił pola wypływających jest równa liczbie sił wnikających. Wypadkowa

liczba linii sił pola magnetycznego wychodzących na zewnątrz powierzchni



zamkniętej S1+S2 jest równa zeru.

Linia brzegowa powierzchni S1 i S2 (linia ograniczająca powierzchnię S0) rozdziela

rozpatrywaną powierzchnię zamkniętą na powierzchnię S1 i S2. Strumień przez

każdą z tych powierzchni, zamkniętych powierzchnią S0, jest równy zeru.

Twierdzenie o bezźródłowości pola magnetycznego odnosi się do każdego

dowolnie wybranego obszaru zamkniętego tego pola.

1.4.4 Bezwirowość pola elektrostatycznego Bezwirowość pola elektrostatycznego można wyrazić twierdzeniem Stokesa:

W polu elektrostatycznym cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego E po

krzywej zamkniętej l jest równa zeru (patrz dodatek G). W przypadku, gdy

natężenie pola elektrycznego jest stałe na drodze l, twierdzenie można wyrazić

wzorem

E⋅l = 0 (1.36)

Iloczyn w równaniu (1.36) można przedstawić w postaci sumy dwu iloczynów.

Przyjmując, że l=∆lACB + ∆lBDA (rys. 1.16)

0=∆+∆ BDAACB lElE (1.37)

Suma iloczynów przyjmuje wartość równą zeru, gdyż odcinki ∆lACB i ∆lBDA

skierowane są przeciwnie. Wynika to również stąd, że iloczyny

BAACB VVlE −=∆ oraz BBBDA EVlE −=∆

a zatem suma ich jest równa 0.

Rys. 1.16 Pole elektryczne ładunku punktowego i dwie linie ekwipotencjalne VA i VB

Wyrażenie E∆l określa potencjał, a zmiana potencjału w polu elektrostatycznym

na drodze zamkniętej jest równa zeru.



Jeśli różnicę potencjałów oznaczymy przez U = ∆U, to ogólnie można napisać

UrE =∆ (1.38)

Równanie (1.38) można przedstawić również w postaci

r

UE

∆

∆−= (1.39)

co oznacza, że

Natężenie pola elektrycznego mierzy się przyrostem potencjału (lub napięcia)

względem drogi oddziaływania natężenia pola.

We wzorze (1.39) po prawej stronie równania jest znak minus, ponieważ ∆U

oznacza przyrost potencjału, a zwrot wektora natężenia E jest wybrany zgodnie

z kierunkiem spadku potencjału.

1.4.5 Wirowość pola magnetycznego Wirowość pola magnetycznego można wyrazić prawem Ampere'a zwanym też

prawem przepływu:

Cyrkulacja wektora (natężenia pola) magnetycznego H po krzywej zamkniętej l

jest równa przepływowi ϴ prądu przenikającego przez powierzchnię rozpiętą na

tej krzywej (patrz dodatek G). W przypadku, gdy natężenie pola magnetycznego

jest stałe we wszystkich punktach krzywej, to

H⋅l = ϴ (1.40

Dowód twierdzenia ograniczymy do wykazania, że prawa strona równania (1.40)

nie jest równa zeru w przypadku pola magnetycznego wzbudzonego przez prąd

I*.

Na rys. 1.17 przedstawiono jedną z linii sił pola magnetycznego wytworzonego

przez prąd I skierowany prostopadle do płaszczyzny rysunku. Wektor H jest

skierowany zgodnie z kierunkiem obrotu śruby prawoskrętnej. Również odcinki

∆l, na które można podzielić linię l = 2πr, są skierowane zgodnie. Suma

iloczynów skalarnych H∆l nie może być więc równa zeru.



Rys. 1.17 Zamknięta kołowa linia siły pola magnetycznego wytworzonego przez przepływ prostopadły do płaszczyzny rysunku

Przepływ, oznaczany przez ϴ,, oznacza całkowity prąd przenikający przez

powierzchnię rozpiętą na krzywej zamkniętej reprezentującą zbiór punktów o

jednakowym natężeniu pola magnetycznego

Iz=Θ (1.41)

I-prąd w jednym drucie lub zwoju, z — liczba drutów lub zwojów.

Można więc zapisać

IzHl ==Θ (1.42)

Cechę opisaną równaniem (1.42) mają tylko pola wirowe. Prawo Ampere'a

stosuje się do obliczania pól magnetycznych.

Przykład 1.12 Korzystając z prawa Ampere'a (prawa przepływu) wyznaczyć natężenie pola magne-tycznego wewnątrz i na zewnątrz przewodnika liniowego z prądem (rys. 1.18). Przez przekrój poprzeczny przewodnika przepływa prąd I.

Jeśli przewodnik jest jednorodny, to gęstość prądu

2

1r

IJ

π=

* Prąd jest tu rozumiany jako uporządkowany ruch elektronów - patrz p.5.4.2.

Wartość gęstości prądu jest równa wartości prądu płynącego przez jednostkę

przekroju poprzecznego przewodnika. Przez fragment tego przekroju o

powierzchni πx2 (zakreskowany obszar przekroju poprzecznego) płynie zatem

prąd

2

2

1

xr

II x π

π=

Aby móc zastosować twierdzenie Ampere'a do rozwiązania naszego problemu

musimy przyjąć pewną krzywą zamkniętą tak, aby przez powierzchnię rozpiętą

na tej krzywej przenikał interesujący nas przepływ. Krzywą zamkniętą w naszym

przypadku będzie okrąg o promieniu x, a powierzchnią rozpiętą na tej krzywej

koło o powierzchni πx2. Wówczas na podstawie prawa przepływu — wzór (1.41 i



1.42) — można napisać

2

2

1

2 xr

IxH π

ππ =

a stąd

xr

IH

2

12π=

Jak widać, natężenie pola magnetycznego wewnątrz przewodnika jest liniową

funkcją odległości od jego osi geometrycznej.

Linia sił pola magnetycznego na zewnątrz przewodnika jest okręgiem (na rys.

1.18 — okrąg o promieniu r2) o długości 2πr2. Przez powierzchnię rozpiętą na

tym okręgu przenika przepływ

I=Θ gdy 1=z

Z prawa przepływu dla tego przypadku

IrH =22π

wyznaczamy natężenie pola magnetycznego

22 r

IH

π= (1.43)

Natężenie pola magnetycznego na zewnątrz przewodnika jest więc odwrotnie

proporcjonalne do odległości rozpatrywanych punktów pola od jego osi

geometrycznej.

Rys. 1.18 Pole magnetyczne przewodnika liniowego z prądem

Przykład 1.13 Korzystając z prawa przepływu wyznaczyć natężenie pola magnetycznego wewnątrz



cewki toroidalnej (rys. 1.19).

Cewkę toroidalną tworzą zwoje drutu (przewodu elektrycznego) nawiniętego na

powierzchnię walcową zagiętą wzdłuż osi na kształt pierścienia. Cewka taka,

zawierająca z zwojów drutu, wytwarza przepływ

Iz=Θ

Linie sił pola magnetycznego przebiegają wewnątrz toroidu po okręgach. Linia o

średnim natężeniu pola magnetycznego tworzy okrąg o promieniu rśr. Na tym

okręgu rozepnijmy dowolną powierzchnię, np. powierzchnię półkulistą. Przez tę

powierzchnię przenika z zwojów, każdy z prądem I.

Z prawa przepływu wynika więc równość

IzrH śr =π2

a stąd

śrr

IzH

π2= (1.44)

Rys. 1.19 Cewka toroidalną i jej pole magnetyczne

Pole magnetyczne wytworzone przez cewkę toroidalną zamyka się głównie

wewnątrz toroidu.

Ćwiczenie 1.14 Wynotować formuły matematyczne dotyczące źródłowości i bezwirowości pola elektrycznego oraz bezźródłowości i wirowości pola magnetycznego. Omówić podobieństwa i różnice dotyczące formy odpowiednich wzorów. Wyciągnąć wnioski i uzasadnić je.

1.4.6 Gęstość energii pola elektrycznego Rozpatrzmy pole elektryczne między dwiema płaskimi płytami (elektrodami) o

powierzchni S każda, usytuowanymi równolegle względem siebie w odległości

wzajemnej d, naładowanymi ładunkami różnoimiennymi o wartości Q każdy (rys.

1.20). Jak wiadomo, ładunki w takim układzie elektrod wytwarzają jednorodne

pole elektryczne o wartości (patrz przykład 1.10)



0ε

σ=E

gdzie S

Q=σ — gęstość powierzchniowa ładunku.

Uwzględniając tę ostatnią zależność

ESQ 0ε=

Pole elektryczne o natężeniu E związane jest z potencjałem zależnością — wzór

(1.38)

UrE =∆

Ponieważ w tym przypadku E = const., a ∆r = d, to

UEd =

Rys. 1.20 Układ płaskich elektrod i równomierne pole elektryczne między nimi

Prosta zależność opisana tym wzorem jest słuszna tylko dla pól równomiernych.

Kombinacja równań daje zależność

dS

QU

0ε= (1.45)

która mówi, że napięcie elektryczne między płytami (elektrodami) jest liniową

funkcją zgromadzonego na nich ładunku. Współczynnikiem proporcjonalności

jest w tym przypadku czynnik - patrz również wzór (6.37)

d

SC 0ε

= (1.46)

określający pojemność elektryczną rozpatrywanego układu elektrod (patrz p.

6.3.1). Znajomość wartości ładunku elektrycznego Q i różnicy potencjałów U

pozwala na obliczenie pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku ∆Q w polu o tej

różnicy potencjałów — patrz wzór (1.11)

QUWe ∆=∆ (1.47)

Uwzględnienie zależności (1.45) daje równanie

S

QdQWe

0ε∆=∆ (1.48)



z którego otrzymuje się (patrz dodatek F) zależność

S

dQWe

0

2

2

1

ε= (1.49)

Ponieważ Q = ε0ES, to ostatecznie

VEWe

2

02

1ε= (1.50)

V = Sd — objętość przestrzeni między płytami, czyli objętość rozpatrywanego

pola elektrycznego.

Gęstość energii pola elektrycznego określona zależnością

V

Ww e

e =

jest równa

2

02

1Ewe ε= (1.51)

bądź też, uwzględniając że D = ε0E

EDwe2

1= (1.52)

lub

0

2

2ε

Dwe = (1.53)

Jednostką gęstości energii jest dżul na metr sześcienny (J⋅m-3).

Gęstość energii pola elektrycznego w danym punkcie tego pola jest określona

tylko wielkościami E i D działającymi w rozpatrywanym punkcie, nie zależy

natomiast od kształtu obwodu elektrycznego wytwarzającego to pole. W naszym

przypadku prosty kształt elektrod i pola elektrycznego został wybrany w celu

łatwiejszego przeprowadzenia wywodów matematycznych.

Przykład 1.14 Do elektrod, ukształtowanych jak na rys. 1.20, doprowadzono napięcie U = 1000 V. Obliczyć gęstość energii pola elektrycznego oraz całkowitą energię pola w obszarze międzyelektrodowym, jeśli S = 1000 cm2, d = 1 mm, a ε0 = 8,85⋅10-12 F⋅m-l.

Pod wpływem napięcia elektrycznego U na elektrodach gromadzi się ładunek

wytwarzający pole elektryczne (równomierne) o natężeniu



d

UE =

a zatem

2

2

02

1

d

Uwe ε=

Podstawiając dane liczbowe (d w metrach, S w metrach kwadratowych)

43,4=ew J⋅m-3

Ponieważ objętość pola V= 10-5m3, to całkowita energia pola

51043,4 −⋅=eW J

1.4.7 Gęstość energii pola magnetycznego Pracę przeniesienia ładunku ∆Q w polu elektrycznym na drodze o różnicy

potencjałów U można wyrazić wzorem

ee UW ∆Ψ=∆ (1.54)

gdyż — patrz wzór (1.47) — jak wiadomo na podstawie twierdzenia Gaussa, Q =

Ψe. Podobny wzór można napisać również dla pola magnetycznego

mm IW ∆Ψ=∆ (1.55)

∆Ψm — zmiana strumienia indukcji magnetycznej skojarzonego z obwodem, w

którym płynie prąd I.

Rozpatrzmy pole magnetyczne wytworzone przez cewkę cylindryczną (rys.

1.21), przez którą płynie prąd I wytwarzający przepływ Iz=Θ (z — liczba

zwojów cewki).

Promień nawinięcia zwojów cewki jest r, a więc pole powierzchni jej przekroju

poprzecznego

2rS π=

Prawie całe pole magnetyczne wytworzone przez cewkę zawarte jest w jej

objętości, a zatem na podstawie prawa przepływu można napisać

lzHl =

l— długość cewki. Stąd

z

HlI = (1.56)



Rys. 1.21 Cewka cylindryczna i jej pole magnetyczne

Ponieważ

BzSm ∆=∆Ψ

to

BzSz

HlWm ∆=∆

Uwzględniając, że Sl = V i ∆B = µ0∆H

HHVWm ∆=∆ 0µ (1.57)

Przechodząc do postaci całkowej powyższego wzoru (patrz dodatek F)

VHWm

2

02

1µ= (1.58)

Gęstość energii pola magnetycznego

2

02

1H

V

Ww m

m µ== (1.59)

bądź też, po uwzględnieniu B = µ0H

HBwm2

1= (1.60)

lub

0

2

2µ

Bwm = (1.61)

Gęstość energii pola magnetycznego w danym punkcie tego pola jest określona

tylko wielkościami H i B działającymi w rozpatrywanym punkcie, nie zależy

natomiast od kształtu obwodu elektrycznego wytwarzającego to pole.

Przykład 1.15

Wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego oraz całkowitą energię pola wewnątrz cewki cylindrycznej pokazanej na rys. 1.21, jeśli l = 40 cm, r = 10 cm, z = 2000, I = 10 A, a µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1.

Korzystając z prawa przepływu w odniesieniu do przedstawionej cewki można napisać



lzHl = a zatem

l

IzH =

Gęstość energii pola magnetycznego - wzór (1.59) 2

02

1

=

l

Izwm µ

Podstawiając dane liczbowe 357,1 −⋅= mJwm

Ponieważ objętość pola wewnątrz cewki 331056,12 mV −⋅= to całkowita energia pola

JWm

31072,19 −⋅=

1.4.8 Równania Maxwella Całą wiedzę dotyczącą elektromagnetyzmu zawarł C. Maxwell w czterech

równaniach zwanych obecnie równaniami Maxwelła (dodatek D). Równania te są

wynikiem pięknej, zwartej i kompletnej teorii, z której wynikają wszystkie prawa

fizyczne dotyczące pól elektrycznych i magnetycznych oraz wszystkie

właściwości tych pól. Więcej — pozwoliły one wykazać, że zmienne pola

elektryczne i magnetyczne rozchodzą się w przestrzeni w postaci fał

elektromagnetycznych z prędkością c = 3⋅1010 m⋅s-1, zanim H. R. Herz fale takie

wykrył i zmierzył ich długość i zanim fizycy wyznaczyli doświadczalnie prędkość

rozchodzenia się (propagacji) tych fal. Przy okazji okazało się, że prędkość ta

jest równa prędkości rozchodzenia się światła w próżni, która była wyznaczona

znacznie wcześniej.

Do bezpośredniego korzystania z równań Maxwella potrzebna jest znajomość

dość zaawansowanego aparatu matematycznego i w praktyce nie korzysta się z

tych równań. Warto jednak wiedzieć, że twierdzenia i wzory stosowane w

praktyce (można je wyprowadzić z równań Maxwella przy rozmaitych założeniach

upraszczających) są słuszne jedynie w ograniczonym zakresie, np. dotyczą

elementów liniowych albo elementów (układów) małych w porównaniu z

długością fali itp. Same równania przytaczane są w tym miejscu jedynie ze

względów poznawczych.

Równania Maxwella przedstawia się w postaci*



∂

∂+=

=

∂

∂−=

=

t

EErotH

divH

t

HrotE

divE

0

0

0

.4

0.3

.2

.1

εγ

µ

ε

ρ

(1.62)

lub też w postaci (patrz dodatek D)

∂

∂+=×∇

=⋅∇

∂

∂−=×∇

=⋅∇

t

EEH

H

t

HE

E

0

0

0

.4

0.3

.2

.1

εγ

µ

ε

ρ

(1.63)

gdzie: ρ — gęstość objętościowa ładunku elektrycznego, γ — konduktywność

(przewodność właściwa elektryczna) ośrodka,

γE = JR — prąd przewodzenia, t

E

∂

∂0ε = JP — prąd przesunięcia.

Dla ośrodka przewodzącego prąd przesunięcia JP można pominąć i przyjąć, że

całkowity prąd w tym ośrodku równy jest prądowi przewodzenia. Dla

dielektryków można pominąć prąd przewodzenia JR i przyjąć, że całkowity

prąd w tym ośrodku równy jest prądowi przesunięcia. Prąd przesunięcia

związany jest z ruchem ładunków w procesie polaryzacji dielektryka (patrz p.

5.4.1).

W półprzewodnikach należy brać pod uwagę oba prądy.

Równania Maxwella dane w postaci wzorów (1.62) lub (1.63) dotyczą przypadku

najbardziej ogólnego, tzn. takiego, w którym pola elektryczne i magnetyczne

zmieniają się w czasie według dowolnie przyjętej funkcji i rozciągają się w

ośrodku mającym cechy ośrodka nieprzewodzącego i przewodzącego.

Interpretację równań Maxwella poznaliśmy już w p. 1.2. Równanie (1.62-1 i

1.63-1) odnosi się do źródeł pola wektorowego i mówi ono, że pole elektryczne

jest polem źródłowym o wydajności źródła (dywergencji) ρ/ε0. Równanie (1.62-2

i 1.63-2) mówi, że zmiana w czasie, i tylko zmiana, pola magnetycznego

powoduje powstanie pola elektrycznego. Równanie (1.62-3 i 2.63-3) odnosi się



do źródeł pola magnetycznego i mówi, że pole magnetyczne jest polem

bezźródłowym, wydajność źródła pola magnetycznego jest równa zero. Wreszcie

równanie (1.62-4 i 1.63-4) mówi, że pole magnetyczne może być wytworzone

albo przez zmienne w czasie pole elektryczne

≠

∂

∂0

t

E , albo przez stałe pole

elektryczne (E ≠ 0), które w tym przypadku związane jest z przepływem prądu

przez ośrodek przewodzący, albo przez oba te pola działające jednocześnie.

* znaczenie symboli omówiono w dodatku D.

W celu lepszego wyjaśnienia równań Maxwella przyjmiemy do dalszych rozważań

przypadek stacjonarny. To znaczy, że wszystkie ładunki elektryczne są

nieruchome i niezmienne w czasie lub jeśli się poruszają to tak, że w wyniku ich

ruchu powstaje prąd stały. Wtedy składniki

00 =∂

∂

t

Hµ i 00 =

∂

∂

t

Eε

a równania Maxwella przyjmują postać

=×∇

=⋅∇

=×∇

=⋅∇

tykaMagnetostaEH

H

tykaElektrosta

E

E

γ

ε

ρ

.4

0.3

0.2

.10

(1.64)

Pierwsza para równań dotyczy pól elektrycznych, niezmiennych w czasie i w

przestrzeni, druga para równań — takich samych pól magnetycznych.

Przykład 1.16 Obliczyć wartość wielkości c określonej wzorem

00

1

µε=c i podać jej interpretację

fizyczną. Uwzględniając znane wartości liczbowe przenikalności elektrycznej i

magnetycznej próżni

18

19712

10,33,111

10

4

10

86,8

10 −⋅≈=⋅= smcπ

Uwaga:

;mV

sA

m

F

⋅

⋅=

mA

sV

m

H

⋅

⋅=



Wielkość c jest prędkością rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w próżni. Przykład 1.17 Obliczyć prędkość rozchodzenia się światła w krysztale o względnej przenikalności elektrycznej εr = 2 i względnej przenikalności magnetycznej µr = 1,125 oraz współczynnik załamania światła tego kryształu.

Wzór na prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej

εµ

1=v (1.65)

jest słuszny dla każdego ośrodka, o dowolnej przenikalności bezwzględnej

elektrycznej i magnetycznej

rεεε 0= (1.66)

rµµµ 0= (1.67)

przy czym przenikalności względne εr i µr są liczbami określającymi, ile razy

przenikalność bezwzględna danego środowiska jest większa od przenikalności

bezwzględnej próżni.

Równanie (1.65), po uwzględnieniu zależności (1.66) i (1.67), przyjmuje postać

rr

vµεµε

11

00

⋅=

z której wynika, że

rr

cv

µε=

Ponieważ prędkość rozchodzenia się światła zależy od współczynnika załamania

n według wzoru

n

cv =

to

rrn µε=

Uwzględniając wartości liczbowe otrzymuje się ostatecznie n = 1,5, v = 2⋅10-8

m⋅s-1.

Przykład 1.18

Obliczyć wartości wielkości0

00

ε

µ=fZ i podać jej interpretację fizyczną.

Uwzględniając wartości liczbowe przenikalności elektrycznej i magnetycznej

próżni



Ω=⋅

⋅=

−

−

3771086,8

10412

7

0

πfZ

Wielkość Zf0 jest impedancją falową próżni.

Impedancja falowa jest parametrem określającym właściwości elektryczne

ośrodka, wyrażającym się stosunkiem natężenia poła elektrycznego do natężenia

pola magnetycznego w danym punkcie pola elektromagnetycznego

przenikającego rozpatrywany ośrodek.

Impedancja falowa próżni (ośrodka nieprzewodzącego) jest stała i niezależna od

częstotliwości fali elektromagnetycznej.

Przykład 1.19 Obliczyć wartość impedancji falowej ośrodka przewodzącego – miedzi — dla fali elektromagnetycznej o długości λ = 1500 m, odpowiadającej falom długim z radiowego zakresu fal. Przewodnictwo właściwe miedzi γ = 5⋅107 S⋅m-1; µr ≈ 1.

Impedancja falowa próżni jest określona wartościami ε0 i µ0. Impedancja falowa

każdego innego ośrodka jest określona przenikalnością ε i µ. Odpowiedni wzór

ma postać

ε

µ=fZ (1.68)

gdzie wielkości ε i µ są określone wzorami (1.66) i (1.67).

Stała dielektryczna ośrodka przewodzącego zależy od przewodności właściwej

(konduktywności) tego ośrodka i pulsacji (częstości) fali elektromagnetycznej,

dla tego w ogólnym przypadku wzór (1.68) przyjmuje postać

22

2

2

21

µω

γ

µ

ε+=

fZ (1.69)

γ— przewodność właściwa ośrodka, ω = 2πf — pulsacja odpowiadająca

częstotliwości f.

Dla ośrodków o dużej przewodności, takiej że

µ

ε

ωµ

γ>> (1.70)

równanie (1.69) upraszcza się do postaci



γ

µπfZ f

2= (1.71)

W naszym przypadku, ponieważ fali o długości 1500 m odpowiada

częstotliwość Hzf 5102 ⋅= , a 0µµ = , to

Ω⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅= −

−5

7

75

1018105

1041022 ππfZ

2. Budowa i właściwości atomu

2.1 Modele atomu Od najdawniejszych czasów ludzie starali się odgadnąć, jak jest zbudowana

materia. Właśnie odgadnąć, a nie zbadać. Dawniej nie było możliwości badania

struktury materii. Istoty materii dociekano na drodze rozważań filozoficznych.

Już w V w. p.n.e. na drodze takich dociekań powstało pojęcie atomu. Odnosiło

się ono do najmniejszej, niepodzielnej cząstki materii. Rozumowanie, które

prowadziło do tego pojęcia, było bardzo proste. Daną bryłę materii dzielono w

myśli na coraz mniejsze kawałki. W wyniku wielokrotnego dzielenia otrzymywało

się w końcu tak mały okruch materii, który powinien być już niepodzielny. Tę

właśnie podstawową hipotetyczną cegiełkę, z której zbudowane są wszystkie

ciała, nazwano atomem. Atomy w wyobrażeniu starożytnych Greków miały różne

kształty. Tym tłumaczono sobie różnorodność ciał i ich różne właściwości.

Pierwszy model atomu (rys. 2.la), jak widać, zgodny był z ludzką intuicją. Był

bardzo prosty, ale uniwersalny. W tamtych czasach wiele wyjaśnił i model atomu

bardziej skomplikowany nie był potrzebny. Co prawda poznano później zjawiska

magnetyczne (rudy magnetyczne) i zjawiska elektryczne (naelektryzowany

bursztyn), ale nie wiązano ich absolutnie z właściwościami atomów.

Późniejsze lata nie wniosły niczego nowego do starożytnego modelu atomu.

Trzeba było czekać aż dwadzieścia cztery stulecia na zmianę naszych wyobrażeń

o atomie. Nowe odkrycia w tej dziedzinie przyniosły dopiero badania nad

elektrycznością. Stwierdzono, że atomy zawierają w sobie ładunki dodatnie i

ujemne i że mają taką strukturę, iż można z nich otrzymać jony dodatnie i



ujemne (zjawisko prądu elektrycznego, prąd w elektrolitach, promieniowanie

katodowe i kanalikowe). Wobec nowych faktów fizycznych z dziedziny

elektrotechniki należało stworzyć nowy model atomu. Pierwszy model atomu

złożony z ładunków ujemnych i dodatnich podał J. J. Thomson (który w 1896 r.

odkrył istnienie elektronów swobodnych) — rys. 2.1b. Był to model statyczny.

W masie o kształcie kulistym, naładowanej dodatnio, wetknięte są ujemne

elektrony. Całkowity ładunek atomu na zewnątrz jest równy zeru, a jon powstaje

przez odłączenie lub dołączenie elektronów.

(Oznaczenie ładunków elektrycznych przez ,, + " i ,,—" jest sprawą czysto

umowną. Oznaczenia takie wprowadzono do wygody zapisu. Nie ma jednak

żadnych przeciwwskazań ku temu, żeby ładunki oznaczać np.: „" i ,,0" lub

jeszcze inaczej).

Rys. 2.1 Rozwój wyobrażeń o atomie: a) model atomu starożytnych Greków; b) model J. J. Thomsona atomu jednowartościowego; c) model E. Rutherforda atomu wodoru; d) model N. Bohra atomu wodoru; e) model atomu wynikający z mechaniki falowej Schroedingera i zasady nieoznaczoności Heisenberga

∆≤

∆r

p

h na tle modelu Bohra π2

hh = ;

f) model atomu według obecnego stanu wiedzy. Gęstość zakropkowania jest proporcjonalna do prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym miejscu

Model Thomsona dobrze wyjaśniał znane współcześnie zjawiska fizyczne, ale

nie utrzymał się długo. W kilka lat później E. Rutherford, prowadząc badania nad

rozpraszaniem promieniowania a, zauważył, że cząstki α są odpychane przez tę

część atomu, która jest naładowana dodatnio i w której skupiona jest prawie

cała masa atomu. Tak więc model atomu Thomsona przestał być aktualny, a



Rutherford podał nowy model (1911 r.), który zachowując właściwości

poprzedniego wyjaśniał również nowe zjawiska elektryczne. Model atomu

Rutherforda był modelem dynamicznym o układzie planetarnym (rys. 1.1c).

Składał się z dodatnio naładowanego jądra, skupiającego prawie całą masę

atomu i krążących wokół niego po orbitach kołowych elektronów. Elektrony

krążyły tak szybko, że siła odśrodkowa działająca na nie równoważyła siłę

elektrostatycznego przyciągania z jądrem.

Model Rutherforda, już bardziej złożony w porównaniu z pierwszym modelem

atomu, nie był zgodny jednak z prawami elektrodynamiki*. Był to jednak

pierwszy model dynamiczny, który unaocznił, że podstawą istnienia atomów,

materii, jest ruch. Bez ruchu niemożliwe są trwałe układy materialne.

Model atomu Rutherforda zbudowany był wedle reguł mechaniki klasycznej (me-

chaniki Newtona). Cząstki elementarne (protony, elektrony) były to małe

sprężyste kuleczki, które miały swoją masę, pęd, energię kinetyczną i wszystkie

cechy obiektów korpuskularnych. Wyobrażeń z naszych codziennych

doświadczeń nie można jednak bezkarnie przenosić w świat cząstek

elementarnych. W mikroświecie obowiązują inne „reguły gry” i modele

bezpośrednio przeniesione do niego z innego „świata” mogą być fałszywe.

Sprzeczność planetarnego modelu atomu z prawami elektrodynamiki polega na

tym, że elektron w ruchu wytwarza zmienne pole elektryczne, które z kolei

wytwarza zmienne pole magnetyczne itd. Jednym słowem elektron promieniuje

falę elektromagnetyczną, a energia tego promieniowania może się wziąć tylko z

energii kinetycznej elektronu. Elektron zatem po bardzo krótkim czasie powinien

spaść na jądro, a tego rodzaju zjawiska nie obserwuje się.

Tę sprzeczność wyjaśnił dopiero N. Bohr. Wyjaśnił ją w sposób błyskotliwy i

niezwykły, tak niezwykły, że wywołał burzę dyskusji, zarzutów i zachwytów ze

strony fizyków i nawet filozofów. Ale jakie wspaniałe osiągnięcia fizyki i

matematyki miał Bohr do dyspozycji! — przede wszystkim teorię kwantów

ogłoszoną przez M. Plancka w 1905 r. Znalazła ona pełne zastosowanie dopiero

przy konstrukcji nowego modelu atomu. Bohr przy budowaniu swego modelu

atomu oparł się na modelu planetarnym Rutherforda i na następujących

postulatach :



Pierwszy postulat Bohra

Elektrony poruszają się po stałych orbitach wokół dodatniego jądra bez emisji

promieniowania elektromagnetycznego.

Drugi postulat Bohr

Elektrony mogą się poruszać tylko na pewnych orbitach dozwolonych. Dla

elektronów działanie na orbitach dozwolonych musi przyjmować stałą wartość,

równą całkowitej krotności stałej Plancka h :

nhrmv =π2 (2.1)

* Elektrodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk związanych z ruchem ładunków elektrycznych. Rozróżnia się elektrodynamikę klasyczną i kwantową.

m — masa, v — prędkość elektronu, r — promień n-tej orbity elektronu.

Trzeci postulat Bohra

Orbita, na której poruszający się elektron ma najmniejszą energię, jest orbitą

stacjonarną. Elektron po pochłonięciu pewnej porcji energii może przeskoczyć na

inną orbitę dozwoloną, bardziej odległą od jądra. Otrzymuje się wtedy atom

wzbudzony. Stan wzbudzony atomu jest nietrwały i elektron po bardzo krótkim

czasie powraca na orbitę stacjonarną (podstawową), wysyłając przy tym pobraną

porcję energii ∆E w postaci kwantu promieniowania o częstotliwości v

hvE =∆ (2.2)

Pierwszy postulat Bohra uratował model planetarny atomu. Dalej Bohr przyjął,

że elektron może być reprezentowany przez falę (rys. 2.ld). Fala ta, według

postulatu Bohra, rozchodzi się wzdłuż takiej orbity elektronu, że jej długość

równa jest całkowitej krotności długości fali. Dzięki temu fala ta może się na

siebie nakładać w fazie zgodnej. A zatem elektron to cząstka, czy fala? — I jedno

i drugie. Elektron można traktować jako cząstkę korpuskularną i jako falę. Można

wykonać wiele doświadczeń, w których elektron objawia nam swoją naturę

korpuskularną lub falową, albo jednocześnie jedną i drugą.

Tak. W świecie cząstek elementarnych zaciera się różnica między cząstką i falą.

To, co w naszym makroświecie jest od siebie wyraźnie odróżniane (ciała i fale),

to w mikroświecie zlewa się w jedno i staje się nierozróżnialne. Tak więc zasada

dualizmu korpuskularno-falowego wyjaśnia nam trwałość atomów i materii

korpuskularnej, ale poprzez fale czy pakiety fal. Niezwykłe, ale prawdziwe!



Prawdziwe, bo zasada dualizmu korpuskularno-fałowego jest zasadą

powszechną, tylko że w świecie ciał o dużej masie — makroświecie — jest

trudniejsza do wykrycia.

Według drugiego postulatu Bohra elektrony nie mogą poruszać się po dowolnych

orbitach, a tylko po orbitach dozwolonych. Orbity dozwolone są to takie orbity,

których długość równa jest całkowitej krotności długości fali reprezentującej

elektron.

Dla każdej n - tej dozwolonej orbity z warunku (2.1) można obliczyć jej promień.

Elektron nie może się znajdować między orbitami dozwolonymi. Fala na takiej

niedozwolonej orbicie nakładałaby się na siebie w fazie niezgodnej i w końcu

„wygasiłaby" się.

Genezę powstania drugiego postulatu Bohra można przedstawić również inaczej.

Jak wiadomo, Planck przyjął, że najmniejszym działaniem w przyrodzie jest

działanie określone stałą h (stała Plancka). Z drugiej strony wiadomo było, że

najmniejszym okruchem materii jest elektron. Bohr założył zatem, że to

najmniejsze działanie odnosi się do elektronu znajdującego się na pierwszej

orbicie atomu. Stąd powstał warunek określony wzorem (2.1). Jest to warunek

kwantowy. Główna liczba kwantowa n oznacza numer orbity i określa

zarazem jej promień. (Iloczyn „pęd • droga" ma wymiar działania — patrz

przykład 2.1).

Trzeci postulat określa warunki, przy spełnieniu których atom może

promieniować. Ze względu na to, że elektron w atomie może przyjmować tylko

pewne skwantowane położenia (poziomy energetyczne), może on pochłaniać

energię tylko porcjami (kwantami energii). Elektron o większej energii zajmuje

wyższą orbitę (wyższy poziom energetyczny) i powracając na swoją orbitę

podstawową wysyła energię w postaci promieniowania elektromagnetycznego o

częstotliwości określonej warunkiem (2.2). Postulaty Bohra zostały uzupełnione

o tzw. zakaz Pauliego (zasada wykluczania Pauliego — 1925 r.). Zakaz

Pauliego mówi, że na jednym orbitalu* mogą znajdować się jedynie elektrony

mające taką samą energię całkowitą, taki sam orbitalny moment pędu i taki sam

moment magnetyczny, różniące się jednak spinami**.

* Orbital jest torem, po którym mogą poruszać się dwa elektrony różniące się jedynie



spinami. ** Elektrony, oprócz ruchu po orbitach, obracają się również wokół własnej osi. Moment pędu elektronu w ruchu obrotowym wokół własnej osi nazywany jest spinem. Te elektrony mają różne spiny, które wirują w różne strony.

Model atomu Bohra był wspaniałym triumfem ludzkiej wyobraźni. Wyjaśniał

wszystkie znane zjawiska atomowe. Ugruntował teorię kwantów i zasady

dualizmu korpuskularno-falowego. Model ten nie tylko fizycznie wyjaśnił różne

procesy fizyczne (zjawisko jonizacji, reakcje chemiczne, układ okresowy

pierwiastków, świecenie ciał, widma promieniowania i inne), ale również dawał

możliwość obliczenia różnych wielkości (np. częstotliwości promieniowania, stałej

Plancka itd.). Był więc modelem nie tylko fizycznym, ale i matematycznym. Jako

model w części matematyczny bazował w większym stopniu na abstrakcji niż

modele poprzednie.

Model atomu Bohra, podobnie jak inne modele atomu, nie utrzymał się długo,

odegrał jednak w fizyce ogromną rolę. Mimo iż w tej chwili nie odgrywa już w

fizyce dużego znaczenia, wyjaśnia tylko budowę atomów wodoropodobnych i ma

znaczenie tylko historyczne, jest omawiany w odpowiednich podręcznikach na

całym świecie. Ma on bogate walory dydaktyczne i jest przykładem oraz wzorem

tworzenia śmiałych i prostych, konsekwentnych teorii, teorii, które wyjaśniają

całe bogactwo faktów fizycznych i pozwalają nawet przewidywać niektóre inne

właściwości materii.

Model atomu Bohra pojawił się w czasach (1913 r.), kiedy eksperymentatorzy

informowali o coraz to nowych zjawiskach atomowych. Nie dawało się ich już

jednak wyjaśnić za pomocą tego prostego modelu. Ulegał więc on stopniowo

komplikacji. Założono więc, że orbity atomowe nie są okręgami, po których

elektrony poruszają się ruchem jednostajnym, tylko elipsami, po których

poruszają się ze stałą prędkością polową*, podobnie jak planety. W dalszej

kolejności musiano przyjąć, że płaszczyzny tych elips ciągle zmieniają swoje

położenie, tak że elektron zakreśla bardzo skomplikowaną krzywą zwaną rozetą

(1916 r.). W sumie model atomu tak się skomplikował, że przestał być już

użyteczny. Należało więc zbudować nowy model, bardziej uniwersalny.

Nowy model atomu opracowano na drodze rozważań matematycznych

posługując się formalizmem matematycznym zwanym mechaniką falową.



Mechanika falowa opracowana została niezależnie przez E. Schrodingera i W. C.

Heisenberga (1926 r.) i jest rodzajem rachunku matematycznego pozwalającego

jednolicie traktować cząstki i fale.

Obraz atomu stworzony przez mechanikę falową jest odmienny od modelu

atomu Bohra. Przede wszystkim mechanika falowa posługuje się pojęciem

prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym obszarze wokół jądra. Mówi

ona, że nie można jednoznacznie określić położenia orbit elektronowych w

atomie. Można jedynie określić prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w

pewnej odległości od jądra. Poziomy energetyczne ulegają więc „rozmyciu”. Nie

są to już orbity, tylko obszary w kształcie pierścieni o zatartych granicach.

Wewnątrz tych obszarów jest największe prawdopodobieństwo znalezienia

elektronu. Występuje ono w miejscu dawnych orbit Bohra. Wykres zależności

prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym punkcie przestrzeni od

odległości tego punktu od jądra przedstawia „radialny rozkład gęstości

prawdopodobieństwa" (rys. 2.1e). „Radialny rozkład gęstości prawdopodo-

bieństwa” określa więc prawdopodobne położenie orbit elektronowych.

Tak to w miarę postępu wiedzy fizycznej i matematycznej nasz model atomu

staje się coraz bardziej skomplikowany. Zasada nieoznaczoności Heisenberga

dopełniła reszty. Jedynie co możemy stanowczo powiedzieć o atomie to to, że

składa się z dodatniego jądra i otaczającej go chmury elektronów. Elektrony są z

całą pewnością w ruchu. Chmura elektronowa, ze względu na ciągły rozkład

prawdopodobieństwa położenia elektronów, niekoniecznie musi być kształtu

kulistego. W 1976 r. udało się sfilmować zespoły pojedynczych atomów. Na

ruchomym obrazie filmowym przedstawiały się one jako świecące kuleczki,

których objętość i luminacja (jasność) pulsowały**.

* Prędkość polowa jest to wielkość określająca powierzchnię pola zakreślanego przez promień wodzący w jednostce czasu, wyrażająca się w m2⋅s-1. W rozpatrywanym przypadku odcinek wodzący zawarty jest między jądrem atomu, umieszczonym w ognisku eliptycznej orbity elektronu, a elektronem. Konsekwencją stałej prędkości polowej elektronu jest niejednakowa jego prędkość liniowa. ** Należy zaznaczyć, że filmowanie atomów odbywało się za pomocą mikroskopu jonowego i przebiegało w zupełnie innych warunkach niż normalne filmowanie.

Przykład 2.1 Wykazać, że pęd • droga (drugi postulat Bohra) ma wymiar działania — wymiar stałej Plancka h (dżul • sekunda).



nhrmv =π2

⋅⋅⋅=⋅

⋅=

⋅=⋅⋅ sm

s

mkgs

s

mkg

s

mkgm

s

mkg

22

22

= (masa • przyspieszenie • przesu-

nięcie • czas) = — z drugiej zasady dynamiki Newtona — (siła • przesunięcie •

czas) = (praca • czas) = (J • s)

Przykład 2.2

Obliczyć promień orbity elektronu w modelu Bohra atomu wodoru, prędkość liniową elektronu i częstotliwość jego obiegu po orbicie. Obliczyć również natężenie pola elektrycznego w miejscu, gdzie znajduje się pierwsza orbita elektronowa oraz całkowitą energię elektronu. Dane: h = 6,63⋅10-34 J⋅s; e = 1,6⋅10-19C; m = 9,1⋅10-31 kg; ε0 = 8,86⋅10-12F⋅m-1. Elektron poruszając się po orbitach kołowych o promieniu r z prędkością v ma

energię kinetyczną

2

2

1mvEk =

Przyjmując, że pęd elektronu p = mv, energię kinetyczną można wyrazić wzorem

m

pEk

2

2

=

Ponieważ, zgodnie z drugim postulatem Bohra — wzór (2.1) — nhrp =π2 , to dla

stanu podstawowego atomu (n = 1)

mr

hEk 2

2

8π=

Elektron porusza się w polu elektrycznym wytworzonym przez jądro, będzie więc

miał również energię potencjalną — patrz wzór (1.7)

r

eE p

0

2

4πε−=

Całkowita energia elektronu

r

e

mr

hEEE pk

0

2

22

2

48 πεπ−=+= (2.3)

Elektron — spośród wszystkich możliwych położeń określonych przez r (rys. 2.2)

— zajmie takie położenie, w którym jego energia całkowita jest najmniejsza,

gdyż tylko to położenie będzie odpowiadało trwałej równowadze układu jądro-

elektron. Położeniu temu będzie odpowiadało



0=dr

dE

Wykonując operację różniczkowania

044 2

0

2

32

2

=+−=r

e

mr

h

dr

dE

πεπ (2.4)

Równanie (2.4) jest słuszne tylko dla takiej wartości r = r0, dla której

2

00

2

3

0

22

2

44 r

e

rm

h

πεπ= (2.5)

Rys. 2.2 Zależność całkowitej energii elektronu od odległości od jądra

Warunek (2.5) można otrzymać także z porównania siły dośrodkowej działającej

na elektron z siłą Coulomba

2

00

2

0

2

4 r

e

r

mv

πε=

Ponieważ mv = p, to

2

00

2

0

2

4 r

e

mr

p

πε=

a uwzględniając warunek kwantowy — wzór (2.1) — n = 1

2

00

2

3

0

2

2

44 r

e

mr

h

πεπ=

Z ostatniej zależności

2

0

2

0me

hr

π

ε= (2.6)

Po podstawieniu danych liczbowych r0 ≈0,53⋅10-10 m. Prędkość liniowa elektronu

wyznaczona z warunku kwantowego

hrmv =02π

i określona wzorem



16

0

1022,22

−⋅⋅≈= smmr

hv

π

Okres jednostajnego ruchu elektronu po orbicie kołowej wyznaczony ze wzoru

v

rT 02π

=

wynosi około 1,5⋅10-16 s, zaś częstotliwość T

f1

= = około 6,66⋅l015 s-1 (częstość ω

= 2πf= 4,18⋅1016 rad⋅s-1).

Natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez jądro atomu w tym miejscu,

w którym znajduje się elektron

2

004 r

eE

πε=

Obliczenia wykazują, że E ≈ 77⋅1010 V⋅m-1.

Aby obliczyć całkowitą energię elektronu na orbicie podstawowej atomu wodoru,

należy we wzorze (2.3) uwzględnić r = r0 — wzór (2.6) i wtedy

( )2

0

2

4

08 εh

merE = (2.7)

Zależność (2.7) wykazuje, że E(r0) = -13,6eV.

Wartość ujemna oznacza, że energia elektronu związanego z atomem jest

mniejsza od energii elektronu swobodnego, którego energia jest równa zero. W

celu oswobodzenia elektronu z więzów utrzymujących elektron w atomie

potrzebna jest więc energia 13,6 eV. Jest to energia jonizacji atomu wodoru.

Przykład 2.3 Wiedząc, że masa protonu (zbliżona do masy neutronu) mcz = 1,67⋅10-27 kg i że jądro skupia całą masę atomu, obliczyć masę M jednego centymetra sześciennego materii, gdyby złożona ona była z samych jąder.

Promień cząstki elementarnej szacuje się na rcz ≈ 2 ⋅10-15 m. Objętość Vcz cząstki

obliczona ze wzoru

3

3

4czcz rV π=

jest równa około 32⋅10-45 m3. Gęstość materii cząstki wyznaczona ze wzoru

cz

czcz

V

m=ρ



wynosi około 5,25⋅1016 kg⋅m-3.

Ponieważ V = 1 cm3 = 10-6 m3, to z prostej zależności

mVM ρ=

obliczamy, że

kgM 101025,5 ⋅=

Jak widać, gęstość materii jest bardzo duża; jeden centymetr sześcienny

zagęszczonej materii ma masę ok. 52,5 miliona ton.

2.2 Struktura elektronu Tak naprawdę to o elektronie wiemy bardzo mało. A przecież ruch elektronów

wytwarza przepływ prądu i pole elektromagnetyczne. Czyż więc o polach

elektromagnetycznych i prądzie też wiemy niewiele? Tak źle nie jest! Znamy

skutki działania ładunków elektrycznych, natomiast rzeczywiście bardzo niewiele

wiemy o „strukturze” samego elektronu.

W poprzednim rozdziale bardzo często mówiliśmy o ładunku punktowym. Tym

ładunkiem był często elektron. Przez ładunek punktowy rozumieliśmy

naładowany obiekt zajmujący przestrzeń zerowymiarową (punkt) lub obiekt

rzeczywisty, bardzo mały w porównaniu z odległością do obszaru, w którym

obliczaliśmy natężenie pola elektrycznego. Trudności pojawiają się, gdy

rozpatrujemy pole elektryczne w bezpośrednim otoczeniu ciała naładowanego.

Trudności te omówimy na przykładzie elektronu - nośnika ładunku

elementarnego.

Natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy (elektron)

2

04 r

eE

πε=

Co się dzieje, gdy r → 0? Natężenie pola elektrycznego i gęstości energii tego

pola dążą do wartości nieskończenie wielkiej. Jak wiemy, żadna wielkość fizyczna

nie może mieć takiej wartości. I już choćby to narzuca skończone wymiary

elektronu. Elektron zajmuje więc przestrzeń w kształcie kuli. Promień tej kuli jest

promieniem elektronu. Elektron ma również masę, która została wyznaczona z

dużą dokładnością. A jak jest rozłożona ta masa wewnątrz elektronu? Czy



elektron swym wyglądem przypomina ziarno, czy też może masa elektronu jest

rozłożona nierównomiernie i najwięcej jest jej w środku, a na brzegach coraz

mniej, dzięki czemu jest „rozmyty” na brzegach?

Podobne pytania dotyczą ładunku elektronu:

— co to jest to, co nazywamy ładunkiem elektronu?

— jak on jest rozłożony w obrębie elektronu, czy ma strukturę „ziarnistą” czy

„rozmytą”?

— jak wyjaśnić trwałość elektronu, skoro różne jego fragmenty naładowane

jednoimiennie odpychają się?

Pytania te pozostają do dziś bez odpowiedzi. W związku z tym rodzi się

wątpliwość, czy tak sformułowanie pytania w stosunku do elektronu w ogóle

można stawiać. Czy przypadkiem prawa i zależności, które poznaliśmy

wcześniej, nie są słuszne tylko dla przestrzeni o wymiarach porównywalnych z

wymiarami atomu (10-13 m) i większych. W przestrzeniach znacznie mniejszych

być może te prawa przestają obowiązywać. A może w ogóle istnieje jakaś

najmniejsza odległość, a sama przestrzeń (pole) ma strukturę nieciągłą? A może

jest zupełnie inaczej i tak postawione pytania nie mają sensu? Może elektron ma

budowę skomplikowaną i jest wynikiem działania złożonego układu cząstek

jeszcze bardziej elementarnych?

Na niektóre z tych pytań postarano się odpowiedzieć. Na przykład fakt, że

elektron nie rozpada się, mimo działania w nim sil rozrywających, tłumaczy się

występowaniem dodatkowych sił, których natury i pochodzenia nie znamy, a

które skierowane są przeciwnie do sil elektrostatycznego odpychania. Te siły

noszą nazwę „napięć Poinearćgo'’.

Występowaniem „napięć Poincarego" tłumaczy się zjawisko oddziaływania elek-

tronu na samego siebie. Elektron oddziałuje na samego siebie w chwili, gdy

poruszając się ruchem przyspieszonym emituje fale elektromagnetyczne.

Właśnie te fale są przyczyną oddziaływania hamującego ruch elektronu (opór

promieniowania), nawet wtedy, gdy sam znajduje się we wszechświecie.

A więc odizolowany elektron w przestrzeni, jeśli tylko porusza się tak, że emituje

promieniowanie, wytwarza siłę hamującą swój ruch.

Inny sposób wyjaśnienia siły oddziaływania elektronu na samego siebie polega



na przyjęciu, że elektron za pośrednictwem fal elektromagnetycznych, oddziałuje

na wszystkie inne ładunki elektryczne w swoim otoczeniu. Ładunki te, doznając

działania, zmieniają swoje położenie wytwarzając własne fale

elektromagnetyczne, które z kolei oddziałują na elektron. Oddziaływanie to

hamuje wymuszony ruch elektronu.

Omówione oddziaływania noszą charakter sił akcji i reakcji i są „przesunięte” w

czasie ze względu na skończoną prędkość rozchodzenia się fał

elektromagnetycznych. Ta piękna koncepcja uwzględnia wewnętrzną spójność

makroświata i mikroświata.

Uwzględnia ona bardzo wielką wrażliwość elektronu na działanie wszystkich

czynników zewnętrznych.

2.3 Budowa i właściwości jądra atomowego Poznanie budowy i właściwości atomu ma dla elektryków duże znaczenie. One to

bowiem wyznaczają elektryczne i magnetyczne właściwości materii. Budowa

atomu warunkuje takie zjawiska, jak prąd elektryczny, fale elektromagnetyczne,

promieniowanie spójne (laser) oraz wiele zjawisk elektrycznych i magnetycznych

w półprzewodnikach.

Elektrotechnika zajmuje się jednak nie tylko zjawiskami, w których biorą udział

całe atomy, cząsteczki, jony lub elektrony. W obecnych czasach elektrotechnika

wykorzystuje również właściwości jąder atomowych. Reakcje i procesy jądrowe

wykorzystuje się w technice izotopowej, mającej zastosowanie w przemysłowych

elektronicznych systemach pomiarowych, układach automatycznego sterowania i

kontroli, w energetyce (elektrownie jądrowe).

Jądra atomów zbudowane są z nukleonów, w skład których wchodzą protony

i neutrony. Liczba nukleonów decyduje o masie atomowej pierwiastka, a liczba

protonów jest liczbą atomową danego pierwiastka. O właściwościach

chemicznych pierwiastka decyduje liczba protonów w jądrze. Pierwiastki, których

jądra atomowe zawierają tę samą liczbę protonów, a różną liczbę neutronów,

nazywają się izotopami. Niektóre z izotopów są izotopami promieniotwórczymi.

Jądra pierwiastków promieniotwórczych o promieniotwórczości naturalnej

ulegają samorzutnemu rozpadowi powiązanemu z emisją z tego jądra



promieniowania α, β i γ. Promieniowanie to ma zdolność jonizacji atomów

ośrodka, w którym się rozchodzi.

Rozpad α polega na wypromieniowaniu z jądra cząstki α złożonej z dwóch

protonów i dwóch neutronów. Jądro pierwiastka promieniotwórczego ulega przy

tym przemianie na jądro innego pierwiastka, np.

γα ++→ 4

2

222

86

226

88 RnRa (2.8)

Rad wypromieniowując cząstki α zmienia się na gaz radon. Rozpadowi α

towarzyszy najczęściej promieniowanie elektromagnetyczne γ.

Przemiana β polega na wypromieniowaniu z jądra cząstki β, która jest

elektronem powstałym w wyniku rozpadu neutronu

γ+++→ − vepno

0

1

1

1

1 (2.9)

Neutron jądra promieniotwórczego rozpada się na proton, elektron i neutrino

oznaczone przez v. Rozpadowi towarzyszy promieniowanie γ, które wyrównuje

bilans energetyczny przed i po reakcji.

Promieniowanie α, β i γ unosi z atomu wielkie ilości energii. Energia jednej

cząstki α jest równa na przykład 6 MeV*. Jest to energia olbrzymia. Dla

porównania: cząsteczka gazu w temperaturze kilkuset stopni Celsjusza ma

energię 0,3 eV. W procesach spalania uzyskuje się około 4 eV na cząsteczkę, a w

procesach eksplozji (gwałtownego spalania) — około 50 eV na cząsteczkę.

Jeszcze większe ilości energii można uzyskać ze sztucznych przemian jądrowych.

Na przykład bombardując jądra atomów litu 73Li protonami** 11p otrzymuje się

dwie cząstki α i znaczną ilość energii

MeVMeVLip 1715,0* 4

2

4

2

7

3

1

1 ++=++ αα (2.10)

Przedstawione procesy promieniotwórcze nie są wykorzystywane, mimo iż są

wydajne energetycznie. Na przeszkodzie temu stoi dość znaczna energia (0,15

MeV na atom), którą trzeba dysponować, aby reakcja powyższa w ogóle była

możliwa. Poza tym, nawet gdybyśmy przeprowadzili taką reakcję, to uwalniające

się ilości energii są tak duże i wydzielają się tak gwałtownie, że w konsekwencji

otrzymaliśmy ją w postaci wybuchu. Byłby to wybuch bomby wodorowej (bomby

H).

Obecnie w bombie wodorowej wykorzystuje się nieco inną reakcję, a mianowicie:

2

1

0

4

21

2

1

3

1 EnEHH ++=++ α (2.11)

Jest to reakcja syntezy polegająca na połączeniu izotopów wodoru — trytu i



deuterytu — w atom helu (cząstka α4

2jest jądrem atomu helu) z wydzieleniem

protonów i dużej ilości energii. Energia E1 udzielana izotopom wodoru jest

potrzebna do tego, aby zaszła reakcja. Omawiana reakcja syntezy jądrowej

zachodzi w temperaturze około 20 milionów stopni Celsjusza. Przy tej

temperaturze izotopy mają tak dużą energię kinetyczną, że ich jądra zbliżają się

na odpowiednio małą odległość. Zapalnikiem bomby wodorowej może być bomba

atomowa.

Reakcje syntezy termojądrowej zachodzą we wnętrzu słońca i są one źródłem

dużej energii promienistej tych ciał niebieskich.

Skąd się bierze energia jądrowa i dlaczego ona jest taka duża? Otóż energia ta

jest produktem takich przemian jądrowych, w których zachodzi bezpośrednia

zamiana masy (deficytu masy)**** na energię, zgodnie ze wzorem Einsteina E

= mc2. Zgodnie z tym wzorem masie protonu, czyli masie m = 1,67⋅10-27 kg,

odpowiada energia 1,6⋅10-10 J = 940 MeV. Energia jądrowa powstaje zatem

kosztem energii pola sił jądrowych. Pole sił jądrowych ma inne właściwości niż

wszystkie inne znane pola.

* 1 eV (jeden elektronowolt) = 1,6⋅10-19 J. ** Protony można otrzymać ze sztucznej reakcji promieniotwórczej rozwijającej się np.

po napromieniowaniu atomów azotu promieniowaniem α: pN1

1

17

8

4

2

14

7 0+→+ α

*** Stosownie do przyjętego systemu zapisu w symbolu Li7

3 górna liczba oznacza liczbę

nukleonów w jądrze danego pierwiastka (neutronów i protonów), a dolna — liczbę protonów w jądrze. Górna liczba jest więc liczbą masową, a dolna — atomową. **** Weźmy pod uwagę jądro dowolnego pierwiastka. Suma mas wszystkich nukleonów (neutronów i protonów), mierzonych pojedynczo, niech będzie równa M1. Masa M2 jądra zawierającego owe nukleony jest mniejsza od masy M1, M2 < M1. Różnica mas wszystkich nukleonów i utworzonego przez nie jądra nosi nazwę deficytu masy ∆M; ∆M = M1 —M2. Deficyt masy zgodnie ze wzorem E = ∆Mc2 spożytkowany jest na wytworzenie energii wiązań nukleonów, na wytworzenie pola (patrz rozdz. 1.2) sił jądrowych.

Działa ono tylko na małych odległościach i ma zasięg średnicy jądra atomowego.

W większych odległościach pole to zanika prawie całkowicie. Wraz ze wzrostem

odległości maleje ono znacznie szybciej niż proporcjonalnie do odwrotności

kwadratu odległości. Siły pola sił jądrowych pokonują siły elektrostatycznego

odpychania protonów w jądrze i są znacznie od nich większe.

Wyjaśnienie natury sił jądrowych podał H. Yukawa. Przyjął on, że neutrony i

protony w jądrze wymieniają między sobą cząstki o ładunku ujemnym i masie

pośredniej między masą protonu i elektronu — mezony. Istnienie mezonów



świadczy o tym, że neutron w jądrze nie jest trwały.

Neutron pozbywając się ujemnego mezonu staje się protonem. Uwolniony mezon

łącząc się z innym protonem zmienia go w neutron. W ten sposób całkowita

liczba neutronów i protonów w jądrze zostaje zachowana.

Siły jądrowe, ze względu na naturę tych sił, zostały nazwane siłami wymiany, a

mezon - kwantem pola sił jądrowych. Ciekawostką może być to, że taka natura

sił jądrowych została przewidziana przez Yukawę. Dopiero później stwierdzono

eksperymentalnie, że tak jest w istocie. Dowody doświadczalne, potwierdzające

omawianą naturę sił jądrowych, są jednocześnie dowodem na złożoną strukturę

neutronu. Neutron wytwarza własne pole magnetyczne i ma własny spin

(moment pędu ruchu obrotowego wokół własnej osi).

Reakcje termojądrowe nie znalazły zastosowania jeszcze w elektroenergetyce.

Nie potrafimy jeszcze przeprowadzać takich reakcji w sposób kontrolowany.

Na skalę przemysłową wykorzystuje się już natomiast reakcje rozszczepiania

jąder, np. w elektrowniach jądrowych. Reakcja rozszczepiania polega na

rozpadzie jądra atomu pierwiastka rozszczepialnego na kilka fragmentów z

wydzieleniem znacznej ilości energii. Najczęściej stosowanym materiałem

rozszczepialnym w reakcjach jądrowych jest uran i pluton. Reakcja

rozszczepienia jest, w pewnych warunkach, reakcją lawinową i może przebiegać

w sposób kontrolowany. Zapoczątkowana zostaje przez bombardowanie jąder

uranu lub plutonu wolnymi neutronami (patrz rozdz. 8).

2.4 Antycząstki, antyatomy, antymateria, antygrawitacja

Właściwie to nie ma żadnego „przepisu” na to, że jądro atomu musi mieć

ładunek dodatni, a elektron — ładunek ujemny. Można przecież wyobrazić sobie

taki atom, którego ładunek jądra będzie ujemny, a elektronów — dodatni. Taki

antyatom, złożony z antycząstek: antyprotonów, antyneutronów i

antyelektronów (pozytonów) również reprezentuje trwałą „organizację” energii

(materii).

Obecność antymaterii we Wszechświecie jest już w chwili obecnej faktem

stwierdzonym doświadczalnie.

A wszystko zaczęło się od antyelektronu. Istnienie tej antycząsteczki przewidział



P. Dirac. Sformułowane przez niego równanie elektrodynamiki kwantowej miało

rozwiązanie, które mogła spełniać między innymi cząstka o masie równej masie

elektronu i o ładunku dodatnim. Cząstkę tę nazwano antyelektronem

(pozytonem)*. Sam Dirac podał interpretację antyelektronu. Powiedział, że

antyelektron można traktować jako dziurę (puste miejsce) w morzu ujemnych

elektronów. Te „dziury Diraca” mają przeciwstawne, w stosunku do elektronów,

właściwości.

Odkrycie antyelektronu nastąpiło w 1932 r. Oczywiście natychmiast po tym

odkryciu zaczęto poszukiwać innych antycząstek. W 1955 r. odkryto

antyproton, a w 1956 r. — antyneutron.

* Można tu podać pewną analogię. Długość krawędzi kwadratowego stołu o powierzchni blatu 1 m2 wynosi a = 1 m lub a = - 1 m. Rozwiązania a= - 1 m odrzucamy jako fizycznie niemożliwe. A możemy przecież założyć istnienie takiej przestrzeni (takiego świata), w którym właśnie długość stołu, zapisana symbolami z naszego świata, jest równa a = - 1 m.

Antyproton ma tę samą masę co proton, lecz jego ładunek elektryczny jest

ujemny. Antyneutron natomiast ma budowę wewnętrzną „odwróconą” w

porównaniu z budową wewnętrzną neutronu. Tak więc odkryto wszystkie

antycząstki, które mogą „zorganizować się" w antyatom. Obecnie twierdzi się, że

wszystkie cząstki elementarne mają swoje antycząstki. Stwierdzenie to popierają

wyniki licznych eksperymentów i wydaje się, że w świecie cząstek elementarnych

obowiązuje prawo symetrii.

W świecie zbudowanym z atomów antycząstki w sposób trwały nie występują.

Zderzenie cząstki i antycząstki prowadzi do anihilacji, przy czym emitowane są

inne cząstki lub fotony, które można traktować jako kwanty pola

odpowiedzialnego za wzajemne oddziaływanie cząstek ulegających anihilacji.

W przypadku anihilacji pary elektron-pozyton powstają kwanty promieniowania

elektromagnetycznego — patrz wzór (1.17) — a w procesie anihilacji pary proton

— antyproton — mezon π.

Jak już wspomniano, obecność antycząstek sugeruje istnienie antyatomów.

Układy antyatomów tworzą substancję, którą można nazwać antymaterią. W

chwili obecnej wysuwa się przypuszczenia, że niektóre odległe galaktyki

zbudowane są z antymaterii.



Mogą więc istnieć antygwiazdy, antyplanety, antyświaty. Skoro tak, to może

istnieje antygrawitacja? Niestety, zjawiska antygrawitacji nie zaobserwowano.

Rozważmy jednak zachowanie się „dipola masowego" utworzonego z dwu mas

(rys. 2.3). Masa M1 jest obiektem grawitacyjnym, przyciągającym wszystkie

ciała, również antygrawitacyjne. Masa M2 jest obiektem antygrawitacyjnym,

odpychającym wszystkie ciała, również grawitacyjne. Siła oddziaływania FM1 ciała

M1 na ciało M2 jest przyłożona do ciała M2 i skierowana do ciała M1. Siła

oddziaływania FM2 ciała M2 na ciało M1 jest przyłożona do ciała M1 i skierowana na

zewnątrz dipola masowego. Ze względu na jednakowy zwrot sił FMl i FM2 dipol

przesuwa się w kierunku obiektu grawitacyjnego ze stałym przyspieszeniem,

odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości d między nimi.

Rys. 2.3 Dipol masowy

Pole grawitacyjne wykazuje podobieństwo do pola elektrostatycznego. Pole

grawitacyjne odosobnionej masy jest również centralnym polem sił, tak jak pole

elektrostatyczne odosobnionego ładunku. Siły w tych polach zależą od kwadratu

odległości między rozpatrywanymi obiektami. Ładunek elektryczny w ruchu jest

źródłem fal elektromagnetycznych. Prędkość rozchodzenia się tych fal jest

skończona i dlatego inne ładunki elektryczne „dowiadują” się o zmianie położenia

naszego ładunku po pewnym czasie. Czy podobnie jest w przypadku

poruszających się obiektów masowych? Czy drgający obiekt masowy może być

źródłem fal grawitacyjnych? Nie wiadomo. Z ogólnej teorii względności wynika,

że fale takie mogą powstawać. Są one jednak tak słabe, że nie udało się ich

wykryć bezpośrednio.

.

.

.

.

.

.

.

.



3. Ruch ładunków elektrycznych w polach elektrycznych i magnetycznych

3.1 Ruch ładunków elektrycznych w polu elektrycznym

W poprzednim rozdziale omówiliśmy ruch ładunków elektrycznych w polu

centralnym. Pole centralne jest to pole wytworzone przez ładunek punktowy.

Pole takie jest przykładem pola nierównomiernego. Obecnie rozważymy ruch

ładunków elektrycznych w polu równomiernym.

Pole równomierne jest to takie pole, którego natężenie w każdym punkcie jest

jednakowe. Charakteryzuje się ono równoległym przebiegiem linii sił,

równomiernie rozłożonych w całej przestrzeni.

Ładunki elektryczne mogą się poruszać w polu elektrycznym równomiernym, w

szczególnym przypadku, równolegle lub prostopadle do linii sił tego pola.

Rozważymy obecnie oba te przypadki ruchu ładunków.

Ruch ładunków elektrycznych w kierunku równoległym do linii sił

równomiernego pola elektrycznego

Ładunek elektryczny q umieszczony w równomiernym polu elektrycznym

wytworzonym między elektrodami (okładzinami) płaskiego kondensatora,

dołączonego do źródła napięcia stałego U, doznaje działania siły (rys. 3.1)

qEFe = (3.1)

E — natężenie pola elektrycznego (w woltach na metr) wyznaczone ze wzoru*

d

UE = (3.2)

d — odległość (w metrach) między okładzinami kondensatora, Fe — siła (w

niutonach).

Zatem siła działająca na elektron

d

UqFe = (3.3)



Powoduje ona ruch ładunku q o masie m z przyspieszeniem a (druga zasada

dynamiki Newtona), które można wyznaczyć ze wzoru

maFe =

A zatem

dm

qUa = (3.4)

Rys. 3.1 Ładunek elektryczny poruszający się równolegle do linii sil równomiernego pola elektrycznego * Wzór (3.2) słuszny jest tylko dla pól wytworzonych między okładzinami naładowanego kondensatora płaskiego, a więc dla pól równomiernych.

Efekt zwiększania prędkości ruchu elektronów w polu elektrycznym wykorzystuje

się w lampach oscyloskopowych, kineskopach telewizyjnych, lampach

obrazowych w kamerach telewizyjnych, lampach rentgenowskich, lampach

radiowych i wielu innych urządzeniach elektrycznych.

Ruch ładunków elektrycznych w kierunku prostopadłym do linii sił

równomiernego pole elektrycznego

Ładunek elektryczny q o masie m poruszający się w równomiernym polu

elektrycznym prostopadle do linii sił tego pola (rys. 3.2) doznaje działania siły w

kierunku pola — patrz wzór (3.3)

d

qUFe =

która jest przyczyną ruchu jednostajnie przyspieszonego o przyspieszeniu —

wzór (3.4)

dm

qUa =

Ruch jednostajnie przyspieszony ładunku w kierunku pola trwa przez cały czas

przebywania tego ładunku w tym polu



v

lt = (3.5)

l— długość okładzin kondensatora, v — prędkość jednostajnego ruchu

poziomego ładunku.

Rys. 3.2 Ładunek elektryczny poruszający się prostopadle do linii sil równomiernego pola elektrycznego

W czasie t ładunek przebywa więc w kierunku pola drogę

2

2at

x =

czyli 2

2

2dmv

qUlx =

Odchylenie toru poruszających się ładunków elektrycznych wykorzystuje się w

lampach oscyloskopowych, kineskopach telewizyjnych, lampach obrazowych i

wielu innych urządzeniach automatyki i sterowania.

3.2 Ruch ładunków elektrycznych w polu magnetycznym

Na ładunki elektryczne umieszczone w polu magnetycznym działa siła, ale działa

ona tylko na te ładunki, które są w ruchu. Na ładunki elektryczne w spoczynku

pole magnetyczne nie działa. Będziemy zatem rozważali ruch ładunków, które

wpadają do pola magnetycznego z pewną prędkością v. Na ładunki takie działa

siła Lorentza

BqvF ×= (3.7)

Dla uproszczenia rozważań załóżmy, że ładunek q wpada prostopadle do linii sił

pola magnetycznego o indukcji B (rys. 3.3). Będziemy zatem stosowali wzór

qvBF = (3.8)

pamiętając, że wektory F, v, i B są wzajemnie prostopadłe (reguła śruby

prawoskrętnej).



Z prostopadłości wektorów F* i v wynika, że torem ładunków elektrycznych w

polu magnetycznym musi być okrąg. Tylko w ruchu po okręgu siła działająca na

poruszający się obiekt jest prostopadła do toru w każdym jego punkcie.

Wyznaczymy promień tego okręgu.

Z ruchem jednostajnym z prędkością v po okręgu o promieniu r związana jest

siła dośrodkowa

r

mvF

2

=

W rozważanym przypadku równa jest ona sile Lorentza

r

mvqvB

2

= (3.9)

Rys. 3.3 Ładunek elektryczny poruszający się prostopadle do linii sił pola magnetycznego

Promień toru

qB

mvr = (3.10)

Kształtowanie toru poruszających się elektronów za pomocą pola magnetycznego

wykorzystuje się w „soczewkach magnetycznych" służących do ogniskowania

wiązki elektronów (mikroskopy elektronowe) i w układach odchylania i

sterowania wiązki ładunków elektrycznych (elektronów, jonów, cząstek

elementarnych).

*Jak wiadomo nieruchome ładunki elektryczne nie wytwarzają pola magnetycznego. Pola takie wytwarzają jedynie ładunki ruchome. Pole magnetyczne ruchomych ładunków elektrycznych oddziałuje z zewnętrznym polem magnetycznym. Wynikiem tego oddziaływania są siły.

Przykład 3.1

Ładunek elektryczny q = 10-3 C został umieszczony między pionowymi okładzinami kondensatora płaskiego dołączonymi do źródła napięcia stałego U1 = 1,0 kV tuż przy elektrodzie dodatniej (rys. 3.4). Ładunek o masie m = 1 g po przebyciu drogi d1 i



przedostaniu się przez ażurową elektrodę ujemną wpada w obszar pola elektrycznego drugiego kondensatora, prostopadle do linii sił tego pola. Przebywając w tym polu drogę l2 = 0,1 m ładunek odchyla swój tor w kierunku pionowym o wielkość x i wpada do pola magnetycznego o indukcji B = 0,1 T pod kątem α = 60° do linii sił tego pola. Wartość napięcia U2 = 100 V, a d2 = 5 cm. Obliczyć odchylenie x toru ładunku, uzyskaną energię kinetyczną Ek ładunku i promień r toru w polu magnetycznym oraz skok h spirali. Efekty relatywistyczne pominąć.

Rys. 3.4 Kształtowanie toru ruchu ładunku elektrycznego za pomocą pól elektrycznych i magnetycznych

W polu elektrycznym pierwszego kondensatora ładunek q wykonuje pracę

1qUW =

która w całości zamienia się na energię kinetyczną

2

2

1

mvqU =

Prędkość

m

qUv 12

=

jest prędkością, z jaką ładunek q wpada w obszar drugiego kondensatora.

(Oddziaływanie elektrod pierwszego kondensatora na wylatujący elektron

pomijamy).

Prędkość v można wyznaczyć również w inny sposób. Jak wiadomo — wzór (3.4)

— przyspieszenie, jakie uzyskuje ładunek q w równomiernym polu elektrycznym

pierwszego kondensatora o natężeniu U1/d1



md

qUa

1

11 =

Ruch jednostajnie przyspieszony ładunku trwa w czasie tl wyznaczonym ze wzoru

2

2

111

tad =

Opuszczając obszar pola ładunek uzyskuje więc prędkość

11tav =

na którą, po uwzględnieniu dwu powyższych zależności, otrzymuje się

ostatecznie zależność

m

qUv 12

=

W polu drugiego kondensatora ładunek porusza się w czasie t2 = l2/v ze stałą

prędkością v w kierunku poziomym oraz z narastającą prędkością w kierunku

pionowym

22tav =⊥

gdzie md

qUa

2

22 =

Ostatecznie więc

v

l

md

qUv 2

2

2=⊥

czyli

1

2

2

2

2qU

ml

md

qUv =⊥

Po uproszczeniach

12

22

2 Ud

lU

m

qv =⊥

Prędkość całkowita (wypadkowa) ładunku q opuszczającego pole drugiego

kondensatora

22vvvc += −

Po uwzględnieniu poprzednich zależności



1

2

2

2

2

2

21

2

2

Umd

lqU

m

qUvc +=

Ładunek uzyskuje więc energię kinetyczną

1

2

2

2

2

2

21

2

42 Ud

lqUqU

mvE c

k +==

Odchylenie x toru elektronu w polu drugiego kondensatora dane wzorem

2

2

2

22

4 mvd

lqUx =

po uwzględnieniu zależności na v

12

2

22

4 Ud

lUx =

Ładunek q wpadając do pola magnetycznego nie zmienia już swojej prędkości

liniowej i swojej energii, gdyż siła w tym polu działa na ładunek prostopadle do

kierunku jego ruchu. Ładunek zaczyna poruszać się w polu magnetycznym po

okręgu o promieniu wyznaczonym przez składową prędkości v_ = vc sinα

prostopadłą do linii sił pola. Promień toru kołowego ładunku — wzór (3.10)

qB

mvr c αsin

=

Czas, w jakim ładunek wykonuje jeden pełny obrót po obwodzie toru kołowego,

nazywany jest okresem i można go wyznaczyć ze wzoru

α

π

sin

2

cv

rT =

A zatem

qB

mT

π2=

Wartość skoku h spirali jest uzależniona od składowej pionowej prędkości

αcos0vv =⊥

równoległej do linii sił pola magnetycznego. Skok spirali (faktycznego toru

ładunku q w polu magnetycznym) jest drogą przebywaną przez ładunek w

kierunku linii sił pola z prędkością jednostajną v|, w czasie T

Tvh |=

Uwzględniając wcześniej uzyskane wyniki



απ

cos2

qB

mvh c=

Po podstawieniu wartości liczbowych (we właściwych jednostkach)

Ek = 1,01 J; x = 0,005 m; r = 390 m; h = 1412 m

Przykład 3.2 Na nici o długości l = 1 m w równomiernym polu elektrycznym o natężeniu E = 10 V/m jest zawieszony ładunek elektryczny q = 10-4 C o masie wynoszącej m = 1 g (rys. 3.5). Pole elektryczne skierowane jest raz przeciwnie, a raz zgodnie z polem grawitacyjnym. Przyjmując przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2 wyznaczyć okres drgań wahadła przy obu kierunkach pól elektrycznych.

Na ładunek q o masie m oprócz siły ciężkości mg działa siła pola elektrycznego Fe

= qE. Siłę wypadkową mg + qE można rozłożyć na dwie siły: siłę S naprężenia

nici i siłę F = (mg + qE) tg α. Przy małych kątach α można przyjąć, że tg α = x/l,

a więc

l

xqEmgF )( +=

Siła F jest proporcjonalna do odchylenia x, a więc powoduje ona ruch

harmoniczny ładunku. W przypadku ruchu harmonicznego słuszny jest wzór

xmF2ω=

gdzie ω jest częstością kołową (inaczej zwaną pulsacją). Można więc napisać, że

xml

xqEmg

2)( ω=+

Dzieląc obydwie strony równości przez x i przyjmując, że ω = 2π/T

m

qEg

lT

+

= π21

Po zmianie kierunku pola elektrycznego na przeciwny

m

qEg

lT

+

= π22



Rys. 3.5 Wahadło matematyczne z masą obdarzoną ładunkiem elektrycznym umieszczone w polu grawitacyjnym i elektrycznym

Po podstawieniu danych liczbowych: T1 = 1,38 s, natomiast okres T2 jest

nieokreślony. Nieokreślona wartość czasu T2 wynika stąd, że siła

elektrostatyczna równoważy siłę ciążenia grawitacyjnego i nić wahadła nie jest

naprężona.

3.3 Akceleratory cząstek elementarnych Akceleratory są to potężne urządzenia fizyki jądrowej służące do zwiększania

energii kinetycznej cząstek i cząsteczek obdarzonych ładunkiem elektrycznym

(jonów). Zanim zbudowano pierwsze akceleratory (przyspieszacze) jednym

pierwotnym źródłem naładowanych cząstek były preparaty promieniotwórcze.

Otrzymane za ich pomocą cząstki α wykorzystywane były do przeprowadzania

reakcji jądrowych. Reakcje jądrowe polegają na rozbiciu lub rozszczepieniu

jąder, bądź też na przechwyceniu i rozproszeniu cząstek przez jądra atomów

naświetlanego preparatu. W wyniku tych reakcji otrzymywano nowe atomy,

nowe cząstki elementarne, zapoczątkowywano sztuczne przemiany pro-

mieniotwórcze, wytwarzano nowe, nie znane przedtem izotopy. Otrzymywane z

naturalnych preparatów promieniotwórczych cząstki α (dwa protony i dwa

neutrony) miały jednak zbyt małą energię, aby można było przeprowadzić

bardziej złożone reakcje jądrowe. W celu wywołania niektórych reakcji jądrowych



należało dysponować cząstkami lub jonami o znacznie większej energii. Stąd się

wzięła właśnie potrzeba budowy akceleratorów. Akcelerator kołowy (cyklotron)

wykorzystuje współdziałanie pola elektrycznego i magnetycznego (rys. 3.6).

Zbudowany jest z dwóch duantów, z których każdy kształtem przypomina

połowę puszki przekrojonej poosiowo. Duanty umieszczone są w polu

magnetycznym równomiernym. Wymusza ono kołowy ruch ładunków

elektrycznych. Do duantów przyłożone jest zmienne napięcie elektryczne.

Wytwarza ono między duantami pole elektryczne zmienne. Zmiany tego pola (a

właściwie zmiany kierunku pola — zwrotu linii sił) są zsynchronizowane z

okresem obiegu przez ładunki pełnej orbity. Na skutek tej synchronizacji ładunki

w obszarze między duantami są zawsze przyspieszane, dzięki czemu zwiększają

swoją prędkość i energię kinetyczną. Wraz ze wzrostem prędkości ładunków

zwiększają one promień swej orbity — patrz wzór (3.10). Poruszają się więc w

rzeczywistości po spirali. Ruch po spirali odbywa się jednak zawsze z tym samym

okresem (patrz przykład 3.1)

Rys. 3.6 Schemat akceleratora kołowego — cyklotronu

qB

mT

π2= (3.11)

niezależnym od promienia krzywizny toru.

Fakt stałości okresu T ułatwia konstrukcję akceleratorów, gdyż wymaga budowy

generatorów napięcia zmiennego o stałej częstotliwości. Oczywiście jest to



wszystko słuszne dopóty, dopóki stała jest masa naładowanej cząstki. Jak

wiadomo jednak, masa cząstki poruszającej się nie jest stała i zależy od

prędkości. Ze wzrostem prędkości masa się zwiększa. Zwiększenie masy przy

dużych energiach rozpędzonych cząstek może być znaczne*. Powoduje to

zwiększenie okresu ruchu cząstek po torze spiralnym. Wiąże się to z

koniecznością budowy generatorów o zmiennej częstotliwości, malejącej wraz ze

wzrostem prędkości cząstek. Akceleratory wyposażone w takie przestrajane

generatory noszą nazwę synchrofazotronów. Synchrofazotrony są więc

akceleratorami, w których uwzględnia się efekt relatywistycznego wzrostu masy

cząstek.

Oprócz akceleratorów kołowych budowane są także akceleratory liniowe,

niejednokrotnie o długości kilku kilometrów, wykorzystujące do przyspieszania

cząstek tylko pola elektryczne.

* Obecnie udaje się np. rozpędzić elektrony do prędkości 0,98c, co powoduje

pięciokrotny wzrost ich masy.

4. Promieniowanie energii

4.1 Właściwości promieniowania Promieniowanie jest formą przenoszenia energii. W poprzednich rozdziałach

poznaliśmy jeden z najważniejszych rodzajów promieniowania — promieniowanie

elektromagnetyczne. Promieniowanie elektromagnetyczne to drgające pola

elektryczne i magnetyczne rozchodzące się w próżni z prędkością 300000 km⋅s-1.

Natężenia tych pól opisane są zależnościami :

tHH

tEE

m

m

ω

ω

sin

sin

=

= (4.1)

Em i Hm — wartości maksymalne pól (amplitudy), ω — częstość fali.

Zależność wartości chwilowej E i H proporcjonalna do funkcji sin ωt jest

zależnością słuszną nie tylko dla fal elektromagnetycznych. Funkcja sin ωt (lub

cos ωt) występuje przy matematycznym opisie wszystkich znanych ruchów

okresowych w przyrodzie.

Promieniowanie jest szczególnym przypadkiem przenoszenia energii ciała



będącego w ruchu drgającym. Jest ono mianowicie przykładem ruchu falowego.

W związku z tym mówi się o falach. Wszystkie znane rodzaje fal można podzielić

na fale podłużne i fale poprzeczne.

Fala podłużna jest to taka fala, której kierunek rozchodzenia pokrywa się z

kierunkiem powstawania zaburzeń ośrodka, w którym się ona rozchodzi.

Fale podłużne mogą rozchodzić się tylko w ośrodkach sprężystych, a ich

prędkość zależy od właściwości ośrodka.

Przykładem fali podłużnej jest fala akustyczna (dźwiękowa) (rys. 4.1). Kropki na

rys. 4.1 oznaczają cząsteczki ośrodka. Jak widać, fala podłużna jest utworzona

przez rozłożone na przemian obszary zagęszczenia i rozrzedzenia cząsteczek.

Obszary (zaburzenia ośrodka) przemieszczają się w kierunku rozchodzenia się

fali. Fala taka może się rozchodzić tylko w ośrodkach sprężystych, a więc nie

może rozchodzić się w próżni. Na rys. 4.1 przedstawiono falę kolistą; w

przestrzeni byłaby to fala kulista. Prędkość dźwięku w ciele stałym

ρ

Ev = (4.2)

E — moduł Younga (sprężystości) ciała, ρ — gęstość ciała.

Prędkość dźwięku w cieczy

ρα

1=v (4.3)

ρ - gęstość cieczy, α - współczynnik ściśliwości cieczy.

Rys. 4.1 Geometryczny obraz fali akustycznej jako przykład fali podłużnej

W gazach natomiast prędkość dźwięku dana jest wzorem



ρ

χpv = (4.4)

χ = cp /cv — stosunek ciepła właściwego gazu przy stałym ciśnieniu do ciepła

właściwego przy stałej objętości, p — ciśnienie gazu, ρ — gęstość.

Fala poprzeczna jest to taka fala, której kierunek rozchodzenia jest

prostopadły do kierunku, w którym powstają zaburzenia ośrodka.

Fala taka powstaje np. przy potrząsaniu jednego końca długiej linki, której drugi

koniec jest unieruchomiony (rys. 4.2). Cząsteczki linki drgają (na rysunku) w

górę i w dół. Zaburzenia ośrodka powstają więc w kierunku pionowym.

Zaburzenia te przenoszą się na sąsiednie cząsteczki. Fala rozchodzi się zatem w

kierunku poziomym (na rysunku).

Fale poprzeczne można zaobserwować również na powierzchni zaburzonej wody.

Lekki przedmiot na powierzchni falującej wody drga w górę i w dół. Sama fala

porusza się jednak w kierunku od miejsca wytworzenia zaburzeń, czyli od źródła

fal, po powierzchni wody w kierunku poziomym.

Fala taka nie „porywa" za sobą obserwowanego przedmiotu na powierzchni

wody. Może natomiast wprawić w ruch drgający inny przedmiot pływający po

powierzchni wody w pewnej odległości od źródła fal lub od przedmiotu

pierwszego. Ruch falowy, a więc promieniowanie, przenosi energię.

Rys. 4.2 Geometryczny obraz fali poprzecznej Sinusoidalny ,,wąż” będzie odwzorowywał również falę podłużną, jeśli tylko oś rzędnych będzie wyskalowana — np. w stopniach gęstości cząsteczek

Początkowo sądzono, że fale poprzeczne — podobnie jak fale podłużne — mogą

rozchodzić się tylko w ośrodkach sprężystych — patrz wzory (4.2)...(4.4). Ale z

czasem nauczono się wytwarzać fale elektromagnetyczne, które są również

falami poprzecznymi (patrz rys. 1.7b), ale które znakomicie rozchodzą się w

próżni. Postawiono zatem tezę, że „próżnia to nie jest próżnia”, tylko że jest to



obszar pozbawiony cząsteczek, ale wypełniony sprężystą nieważką substancją.

Substancję tę nazwano eterem. Eter, ta hipotetyczna sprężysta substancja

wypełniająca wszechświat, miał być ośrodkiem, w którym rozchodzi się

promieniowanie elektromagnetyczne.

Hipoteza eteru utrzymywała się w fizyce i elektrotechnice dosyć długo. Ze

względu na jego naturę bardzo trudno było go wykryć, jak i doświadczalnie

sprawdzić, że go nie ma. Dopiero w 1887 r. A. A. Michelson* i E. Morley

wykonali doświadczenie stwierdzające, że eteru nie ma. Fale

elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni z prędkością (patrz przykład 1.16)

00

1

µε=c (4.5)

ε0 — przenikalność elektryczna próżni, µ0 — przenikalność magnetyczna próżni.

Jak już wcześniej wspomniano, ruch falowy można opisać funkcją sinus. W

związku z tym wprowadza się szereg parametrów określających cechy i

właściwości promieniowania (zarówno podłużnego, jak i poprzecznego): długość

fali λ, częstotliwość f, częstość ω, okres T.

Długość fali jest to odcinek w przestrzeni pomiędzy dwoma najbliższymi

punktami ośrodka drgającymi w tych samych fazach. Długość fali jest

odległością, jaką przebywa zaburzenie falowe w czasie jednego pełnego

drgnienia.

Częstotliwość promieniowania jest to liczba okresowych zaburzeń ośrodka, w

którym rozchodzą się fale, w czasie jednej sekundy.

Ruch drgający okresowy jest matematycznie związany z ruchem obrotowym.

Jednemu pełnemu drgnieniu można przyporządkować jeden pełny obrót

promienia pewnego okręgu, którego długość jest proporcjonalna do amplitudy

drgań (patrz dodatek B). W czasie jednego obrotu zostaje zakreślony kąt 2π

radianów. A zatem

fπω 2= (4.6)

Częstość promieniowania (częstotliwość kątowa) jest to prędkość kątowa

umyślonego promienia, o długości proporcjonalnej do amplitudy drgań,

wykonującego ruch obrotowy z częstotliwością promieniowania.

Energia ciała w ruchu falowym jest równa sumie jego energii kinetycznej i



potencjalnej

22

2

1AmE ω=

A — amplituda.

Okres jest to czas, w którym fala przebywa odcinek drogi równy długości fali.

Między okresem i częstotliwością istnieje zależność

fT

1= (4.7)

Wszystkie parametry promieniowania związane są ze sobą zależnością

vT=λ (4.8)

v — prędkość rozchodzenia się fal.

*A. A. Michelson był fizykiem amerykańskim polskiego pochodzenia. Urodził się w Polsce. Promieniowanie falowe jest zjawiskiem dość dobrze już poznanym. Stosuje się

do niego wiele praw fizycznych. Niektóre z nich omówimy poniżej.

Zasada Huygensa

Każdy punkt ośrodka, do którego dotarła fala, staje się źródłem nowej fali

kulistej.

Konsekwencją zasady Huygensa jest między innymi to, że dwóch rozmówców,

zwróconych w różne strony, może się doskonale słyszeć. (Zasada Huygensa jest

wyczerpująco omówiona w podręcznikach fizyki). Jeśli chodzi o fale

elektromagnetyczne, to zasadę Huygensa „widać” w zjawisku dyfrakcji (patrz

dyfrakcja fal).

4.1.1 Odbicie fal Promieniowanie padając na granicę ośrodka o innych właściwościach niż ośrodek,

w którym się rozchodzi, ulega odbiciu (rys. 4.3). Odbicie fal następuje zgodnie z

prawem odbicia, które mówi, że przy odbiciu fal kąt podania jest równy kątowi

odbicia.

Zjawisko to jest znane w odniesieniu do światła widzialnego, a więc

promieniowania elektromagnetycznego o długości fali w zakresie od 0,4 do



0,7µm. Taki, a nie inny, przebieg zjawiska odbicia promieniowania (fal) jest

wynikiem bardzo ogólnego prawa przyrodniczego zwanego zasadą

najmniejszego działania.

W myśl tej zasady każde zjawisko fizyczne przebiega w taki sposób, że czas jego

trwania jest najkrótszy z możliwych. Zgodnie z tą zasadą światło między dwoma

punktami, położonymi w ośrodku jednorodnym, rozchodzi się prostoliniowo, gdyż

tylko poruszając się po takiej linii przemierza drogę między tymi punktami w

najkrótszym czasie. Wychodząc z zasady najmniejszego działania można również

wykazać słuszność prawa odbicia.

Rys. 4.3 Ilustracja zjawiska odbicia fali; 1 — fala padająca, 2 — lala odbita, 3 — normalna wystawiona w punkcie padania i odbicia (normalna jest zawsze prostopadła do rozpatrywanej powierzchni), α1 — kąt padania, α2 — kat odbicia Załóżmy, że na wysokości h nad powierzchnią odbijającą mamy dwa punkty A i

B (rys. 4.4). Z punktu A do B chcemy skierować wiązkę promieniowania

falowego, ale z wykorzystaniem odbicia. Nie wiedząc jeszcze jak naprawdę

będzie przebiegał promień — rysujemy dowolny jego przebieg, jeden z wielu

możliwych. Promień padający i odbity w punkcie O tworzą z normalną kąty: kąt

padania α1 i kąt odbicia α2. Promień przebiega więc drogę l = AO+OB. Ponieważ

1cosα

hAO = oraz

2cosα

hOB =

to

+=

21 cos

1

cos

1

ααhl

Rys. 4.4 Ilustracja zjawiska odbicia fali Promieniowanie rozchodzi się ze stałą prędkością v — cały czas przebiega w tym

samym ośrodku — zatem czas przebiegu wiązki od punktu A do B z odbiciem w



punkcie O ma wartość

+=

21 cos

1

cos

1

ααv

ht

Czas t jest funkcją dwu zmiennych: α1 i α2. Po obliczeniu pochodnej*

( )

+−=

2

2

2

1

2

1'

,cos

sin

cos

sin21 α

α

α

ααα

v

ht ( ) 0

'

, 21=ααt

można obliczyć wartość ekstremalną czasu przebiegu wiązki promieniowania

(wartość ta występuje przy ( ) 0'

, 21=ααt i jest wartością minimalną). W naszym

więc przypadku musi być słuszna równość

2

2

2

1

2

1

cos

sin

cos

sin

α

α

α

α−=

Jak widać, będzie ona słuszna tylko w jednym, jedynym przypadku, mianowicie

wtedy, kiedy : α1 = -α2. **. Ostatnia zależność jest matematycznym wyrażeniem

prawa odbicia promieniowania falowego.

Prawo odbicia jest słuszne również dla promieniowania korpuskularnego, o ile

jest ono reprezentowane przez cząstki doskonale sprężyste.

4.1.2 Załamanie fal Promieniowanie padające na granicę dwóch ośrodków ulega załamaniu, przy

czym stosunek sinusów kątów podania i załamania jest równy stosunkowi

prędkości rozchodzenia się światła w rozpatrywanych ośrodkach (rys. 4.5).

Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania nazywany jest

współczynnikiem załamania

2

1

sin

sin

v

vn ==

β

α (4.9)

Jeżeli ośrodkiem 7 (rys. 4.5) jest powietrze lub próżnia, to prędkość fali

elektromagnetycznej w ośrodku 2 jest równa (patrz przykład 1.17)

n

cv =2 (4.10) *

Pochodną funkcji dwóch zmiennych oblicza się w taki sposób, że oblicza się pochodną funkcji względem jednej zmiennej, przyjmując, że druga jest stała, a następnie do tak obliczonej pochodnej dodaje się pochodną funkcji obliczoną względem drugiej zmiennej, przy założeniu, że pierwsza zmienna jest stała.



** Kąt α1 jest dodatni, a kąt α2 —ujemny, gdyż zgodnie z regułą matematyczną za dodatnie uważa się te kąty, które odmierzane są od danej półprostej w kierunku dodatnim, czyli zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Rys. 4.5 Ilustracja zjawiska załamania fali

Również prawo załamania fal można wyprowadzić z zasady najmniejszego

działania. Zgodnie z tą zasadą fala przebiega różne ośrodki, w których rozchodzi

się z różnymi prędkościami, po takiej drodze, że czas jej przebiegu między

wyróżnionymi punktami jest najkrótszy. W każdym z ośrodków jednorodnych

promieniowanie rozchodzi się oczywiście prostoliniowo.

W rzeczywistości zjawisko odbicia i załamania światła występuje jednocześnie,

tzn. część promieniowania ulega odbiciu, a część załamaniu. W zależności od

rodzaju ośrodka granicznego dominuje jedno z tych zjawisk.

4.1.3 Interferencja fal Interferencja jest to zjawisko nakładania się fal o jednakowej długości (rys. 4.6).

W wyniku interferencji światła otrzymuje się obraz interferencyjny, złożony z

naprzemian rozłożonych prążków jasnych i ciemnych*. Prążki jasne układają się

na ekranie w tym miejscu, gdzie interferują ze sobą fale przesunięte względem

siebie o całkowitą krotność długości fali, dzięki czemu fala ulega wzmocnieniu.

Prążki ciemne wypadają w tych obszarach, gdzie fale ulegają wygaszeniu, a więc

tam gdzie nakładają się przesunięte o (2n+1)λ; λ jest długością fali, a (2n+l) —

liczbą nieparzystą.

Promieniowanie przenosi energię. Można się o tym przekonać wykonując proste

doświadczenie. Uwiążmy linę jednym końcem do klamki. Potrząsając drugim

końcem wytwórzmy falę poprzeczną (patrz rys. 4.2). Przy silnym potrząsaniu

zwiększa się amplituda fali i jej częstotliwość, a więc energia. W pewnych

warunkach można nawet wyrwać klamkę.



Nie zawsze chodzi nam o energię przenoszoną przez fale. W wielu przypadkach

wykorzystujemy informację zakodowaną w amplitudzie, długości lub fazie fal

(patrz rozdz. 9).

* Prążki interferencyjne mogą mieć, w zależności od doświadczenia, różny kształt, mogą to być prążki liniowe, w kształcie okręgów lub czasami w dowolnym innym kształcie.

Rys. 4.6 Interferencja fal: a) nakładające się fale różnią się fazą o π (przesunięte są względem siebie o λ/2). W wyniku interferencji otrzymuje się falę osłabioną ; b) nakładające się fale są w fazach zgodnych (przesunięte są względem siebie o λ). W wyniku interferencji otrzymuje się falę wzmocnioną: c) ilustracja zasady Huygensa. Płaska fala pada na szczelinę. W punktach P1 i P2 tej szczeliny powstają fale kuliste (na płaskim rysunku — koliste linie pogrubione. Odległości między liniami odwzorowują długość fali). Fale te interferują ze sobą (nakładają się na siebie). Nakładające się na siebie fale przesunięte o λ, 2λ, 3λ itd., a więc o całkowitą krotność długości fali, dają falę wzmocnioną, ale rozchodzącą się w innym kierunku niż fala padająca. W ten sposób na ekranie, oprócz obrazu szczeliny położonego na wprost tej szczeliny, będzie się obserwować obrazy szczeliny I rzędu, II rzędu itd. Ugięcie fali jest obserwowane przy rozmiarach szczeliny porównywalnych z długością fali promieniowania



Interferencję można zaobserwować np. przy oświetleniu płytki

płaskorównoległościennej (rys. 4.7). Fale padające na powierzchnię płytki

ulegają częściowo odbiciu (tworząc fale 1’ i 2’) i częściowo załamaniu. Fale

załamane odbijają się od dolnej powierzchni płytki i po powtórnym załamaniu

wychodzą na zewnątrz przebiegając równoległe do fal odbitych od górnej

powierzchni płytki (fale 1" i 2"). Fale odbite od górnej powierzchni płytki

interferują z falami odbitymi od dolnej powierzchni. Jeśli np. odcinek OB (na rys.

4.7) będzie równy 2nλ (n jest liczbą naturalną), to w wyniku interferencji na

ekranie zaobserwuje się obszar jasny. Jeśli natomiast OB = (2n+1)λ, to na

ekranie zaobserwuje się w tym miejscu obszar ciemny. To, czy w danym miejscu

ekranu wystąpi obszar jasny czy ciemny, zależy od odległości fali i od kąta

padania.

Rys. 4.7 Przykład zjawiska interferencji 1,2 — fale padające 1', 2' — fale odbite 1", 2" — fale załamane i odbite. Na rysunku interferują ze sobą fale 1" i 2'

4.1.4 Dyfrakcja fal Dyfrakcja fal jest to zjawisko uginania się fal na krawędzi przeszkody ustawionej

na ich drodze.

Dzięki temu ruch falowy przenika w obręb cienia geometrycznego przeszkody

„rozmywając” jej krawędzie (rys. 4.8).

Dyfrakcję wyjaśnia się na podstawie zasady Huygensa, zgodnie z którą wszystkie

punkty na krawędzi przeszkody stają się źródłem fal kulistych. Fale te, jako fale

wtórne, ulegają interferencji z falą padającą. W wyniku interferencji tych

wtórnych fal elementarnych i fali padającej obserwuje się na ekranie łagodne

przejście między półcieniem i cieniem.

Dyfrakcja fal występuje tym wyraźniej, im rozmiary przeszkód są bardziej

zbliżone do długości fali.

Dyfrakcję obserwuje się również przy rozchodzeniu się fal elektromagnetycznych



wykorzystywanych w radiotechnice (fale radiowe). Dzięki temu fale te mają

znacznie większy zasięg niżby to wynikało z ich prostoliniowego rozchodzenia się

(patrz rozdz. 9.3).

Rys. 4.8 Ilustracja zjawiska dyfrakcji 1 — promienie padające, 2 — promienie ugięte

4.1.5 Rozpraszanie fal Rozpraszanie fali jest to zjawisko zachodzące przy odbiciu fal od niegładkiej

powierzchni.

Każda powierzchnia charakteryzuje się pewną chropowatością. Wiązka fal

padając na taką powierzchnię odbija się od niej zgodnie z prawem odbicia. Prawo

to spełnione jest lokalnie, w miejscu padania wiązki. Jeśli przekrój wiązki

padającej równolegle jest większy od nierówności powierzchni, to będzie się ona

odbijać we wszystkich prawie kierunkach, czyli ulegnie rozproszeniu. Dzięki

zjawisku rozpraszania (rys. 4.9) można ze wszystkich stron obserwować obiekty

oświetlane tylko z jednego kierunku. Rozpraszanie jest tym silniejsze, im

rozmiary nierówności powierzchni odbijającej są mniejsze, bardziej zbliżone do

długości fali świetlnej.

Rys. 4.9 Ilustracja zjawiska rozpraszania Rozpraszanie fal występuje nie tylko przy odbiciu, lecz również przy

przechodzeniu fal przez ośrodki niejednorodne. W ośrodkach niejednorodnych



współczynnik załamania może być różny w różnych częściach danego ośrodka.

Przykładem takiego ośrodka jest atmosfera ziemska. Współczynnik załamania

powietrza zależy od jego gęstości. Ponieważ w atmosferze ziemskiej obserwuje

się fluktuacje gęstości cząsteczek powietrza — atmosfera rozprasza.

Najsilniejszemu rozpraszaniu ulegają fale krótkie — nieboskłon widzimy więc w

odcieniu niebieskim.

Silnie rozpraszającymi ośrodkami są również wszelkiego rodzaju zawiesiny i inne

ośrodki mętne.

4.1.6 Pochłanianie Pochłanianie jest to zjawisko występujące przy przechodzeniu promieniowania

przez ośrodki materialne.

Część energii promieniowania padającego zostaje pochłonięta przez

napromieniowane ciała (rys. 4.10). W związku z tym natężenie promieniowania

wychodzącego z danego ośrodka jest mniejsze od natężenia promieniowania

padającego, zgodnie z prawem Beera

xeII

α−= 0 (4.11)

I0 — natężenie promieniowania padającego, I — natężenie promieniowania, α —

współczynnik pochłaniania, Il — natężenie promieniowania po przejściu przez

ciało o grubości l.

Rys. 4.10 Ilustracja zjawiska pochłaniania promieniowania

4.1.7 Zjawisko Dopplera Zjawisko Dopplera jest to zjawisko pozornej zmiany częstotliwości

promieniowania rejestrowanego przez odbiornik znajdujący się w ruchu



względem źródła promieniowania.

Rys. 4.11 Ilustracja zjawiska Dopplera

Wyobraźmy sobie nieruchome źródło fal promieniujące fale o stałej częstotliwości

fN o długości λ, rozchodzące się z prędkością c (rys. 4.11). Niech odbiornik fal

porusza się w kierunku źródła z prędkością v. Odbiornik będzie rejestrował fale o

tej samej długości λ*, ale o większej częstotliwości f0 i gdyż teraz w ciągu

sekundy dotrze do niego więcej zaburzeń ośrodka.

Przy nieruchomym odbiorniku zostają więc zarejestrowane fale o długości

Nf

c=λ

i fale o tej samej długości zostaną zarejestrowane w ruchomym odbiorniku

0f

vc +=λ

Z równości

0f

vc

f

c

N

+=

można wyznaczyć częstotliwość dopplerowską

+=

c

vff N 10 (4.12)

Jeśli odbiornik oddala się od źródła fal z prędkością v, to wtedy słuszny jest wzór

−=

c

vff N 10 (4.13)

Wynika z niego, że odbiornik odbiera fale o częstotliwości mniejszej od

częstotliwości fal emitowanych f0 < fN.

Zjawisko Dopplera obserwuje się przy rozchodzeniu się fal zarówno

akustycznych jak i elektromagnetycznych. Jest ono wykorzystywane w

niektórych typach urządzeń radarowych i urządzeniach przeznaczonych do

pomiaru prędkości.



Radar zawiera antenę emitującą impulsy fal elektromagnetycznych wielkiej

częstotliwości. Antena odbiera jednocześnie impulsy odbite, np. od samolotu.

Jeśli samolot przybliża się do radaru, to odbite impulsy powracają do anteny z

częstotliwością większą niż impulsy wysłane. Różnica częstotliwości jest w tym

przypadku miarą prędkości zbliżania się samolotu.

* Wyobraźmy sobie parkan sztachetowy zbudowany z równomiernie rozstawionych desek. Przesuwając patykiem po takim parkanie słyszymy dźwięk wydawany przez uderzany patyk. Biegnąc wzdłuż parkanu z większą prędkością słyszymy dźwięk wyższy, a więc o większej częstotliwości, mimo że odległość między deskami (λ) jest stała.

Zjawisko Dopplera występuje również wtedy, kiedy źródło fal porusza się

względem odbiornika. Wzory (4.12) i (4.13) są w takim przypadku zależnościami

przybliżonymi.

Przykład 4.1 Z jaką prędkością v musiałby kierowca prowadzić samochód, aby na skrzyżowaniu widzieć światło czerwone o długości λc = 0,6 µm jako światło zielone o długości λz = 0,5 µm. Prędkość światła c = 3⋅105 km⋅s-1.

Częstotliwość promieniowania wyraża się zależnością

λ

cv =

zatem wzór (4.12) przyjmie postać

+=

c

vcc

z

1λλ

z której łatwo już wyznaczyć prędkość

z

zccvλ

λλ −=

Po wykonaniu obliczeń (1 µm = 10-6 m) v = 0,2 c = 60 000 km⋅s-1.

4.1.8 Polaryzacja Wszystkie omówione zjawiska i prawa fizyczne dotyczą promieniowania

falowego, zarówno poprzecznego, jak i podłużnego. Jest to jednak jeszcze jedno

zjawisko, które odnosi się tylko do fal poprzecznych. Tym zjawiskiem jest

polaryzacja. Zanim wyjaśnione zostanie zjawisko polaryzacji, powiemy jakie fale

są spolaryzowane, a jakie nie. Wyjaśnijmy to na przykładzie fal

elektromagnetycznych.

Źródła fal elektromagnetycznych (np. źródła światła) emitują najczęściej fale



„nieuporządkowane” (rys. 4.12a), tzn. takie fale, których płaszczyzny wektorów

natężenia pola elektrycznego E tworzą różne kierunki. Podobnie różne kąty

tworzą między sobą wektory natężenia pola magnetycznego H, jednakże w

każdej z par „fal stowarzyszonych” wektory E i H są do siebie prostopadłe.

W niektórych przypadkach udaje się otrzymać taką wiązkę promieniowania, w

której fale mają „uporządkowany” rozkład płaszczyzn, w których leżą wektory E i

H (rys. 4.12b). Fale takie nazywamy falami spolaryzowanymi. W

szczególności jeśli płaszczyzny drgań wszystkich wektorów E, wszystkich „fal

składowych” są równoległe, to mówimy o falach liniowo spolaryzowanych.

Z równoległości płaszczyzn, w których leżą wektory E, wynika równoległość

wszystkich płaszczyzn, w których leżą wektory H fal elektromagnetycznych.

Płaszczyznę równoległą do płaszczyzny, w której leżą wektory H, nazywamy

płaszczyzną polaryzacji.

Polaryzacja fal jest to zjawisko, w którym z promieniowania

nieuporządkowanego (niespolaryzowanego) otrzymuje się promieniowanie

spolaryzowane.

Istnieją w przyrodzie trzy metody otrzymywania promieniowania

spolaryzowanego z nieuporządkowanego:

— polaryzacja przez odbicie,

— polaryzacja w kryształach dwójłomnych,

— polaryzacja za pomocą polaryzatorów.



Rys. 4.12 Przekrój poprzeczny kołowej wiązki promieniowania elektromagnetycznego: a) niespolaryzowanego; b) spolaryzowanego; (Promieniowanie rozchodzi się w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku)

Polaryzacja fal przez odbicie

Promień świetlny padający na granicę dwóch ośrodków o różnych właściwościach

optycznych ulega częściowo odbiciu, częściowo załamaniu (rys. 4.13). Przy

różnych kątach padania promień odbity i załamany tworzą ze sobą na ogół różne

kąty. Istnieje jednak taki kąt padania, przy którym promień odbity tworzy z

promieniem załamanym kąt prosty. Taki kąt padania nosi nazwę kąta

Brewstera αB. Charakterystyczne dla promieni — załamanego i odbitego —

powstałych z wiązki padającej pod kątem Brewstera jest to, że są one utworzone

przez fale liniowo spolaryzowane w płaszczyznach wzajemnie do siebie

prostopadłych.

Wartość kąta Brewstera wyznacza się z zależności Btgn α= (4.14)

Rys. 4.13 Polaryzacja promieniowania przez odbicie. Symbole × i oznaczają kierunki wzajemnie prostopadłych płaszczyzn polaryzacji wiązki odbitej i załamanej



Polaryzacja fal w kryształach dwójłomnych

Bardzo wiele kryształów występujących w przyrodzie (między innymi kwarc i

kalcyt) należy do grupy kryształów dwójłomnych (rys. 4.14). Kryształy

dwójłomne są to takie kryształy, w których padająca wiązka fal świetlnych

ulega załamaniu, z jednoczesnym rozdzieleniem na dwie wiązki, przy czym

wiązki te utworzone są przez fale liniowo spolaryzowane w płaszczyznach

wzajemnie prostopadłych.

Współczynniki załamania dla wiązek załamanych w kryształach dwójłomnych są

różne, a same wiązki noszą nazwę promienia zwyczajnego (ordinary) i

nadzwyczajnego (extraordinary). Różnica współczynników załamania dla tych

dwu promieni jest miarą dwójłomności

ennn −=∆ 0 (4.15)

;sin

sin

0

0α

α=n

e

enα

α

sin

sin=

Rys. 4.1 Polaryzacja światła w kryształach dwójłomnych

W niektórych kryształach dwójłomność optyczna może być sterowana polem

elektrycznym i naprężeniami mechanicznymi (dwójłomność wymuszona — patrz

p. 5.4).

Polaryzacja za pomocą polaroidów

Bierne elementy optyczne, w których następuje polaryzacja, noszą nazwę

polaroidów* (rys. 4.15). Doskonały polaroid (polaroid siatkowy) można sobie

wyobrazić jako zbiór równoległych przewodzących pręcików, między którymi

odległości są rzędu długości polaryzowanej fali świetlnej.

Zmienne pole elektryczne o natężeniu Eśw istniejące w wiązce promieniowania

docierającego do polaroidu indukuje w pręcikach ładunki elektryczne. Ładunki te

wytwarzają w ośrodku dielektrycznym między pręcikami zmienne pola elektrycz-



ne o natężeniu E o liniach sił leżących w płaszczyźnie prostopadłej do zbioru

pręcików. Jak wiadomo, zmiennemu polu elektrycznemu towarzyszy zawsze

zmienne pole magnetyczne. Linie sił pola magnetycznego związanego ze

zmiennym polem elektrycznym wytworzonym przez pręciki leżą w płaszczyźnie

zawierającej promień padający i równoległej do osi długiej pręcików. Jest to

płaszczyzna polaryzacji.

Najsilniejsze pole elektryczne między pręcikami wytwarzają te fale, których pole

elektryczne skierowane jest w poprzek pręcików. Fale o innym kierunku pola

elektrycznego wytwarzają odpowiednio słabsze pole elektryczne między

pręcikami. Fale o kierunku wektora Eśw równoległym do pręcików wytwarzają w

nich przepływ prądu elektrycznego. Wskutek tego energia pół przemienia się w

energię elektryczną. Ta z kolei przemienia się w energię cieplną. Tak więc

wszystkie fale o kierunku wektora Eśw równoległym do pręcików zostają

wytłumione.

Doskonały polaryzator wykonany z bardzo cienkich i bardzo blisko siebie

położonych złotych drucików przepuszcza 50% padających promieni świetlnych

jako promieniowanie spolaryzowane. Częściej spotykane polaroidy foliowe

wykorzystują (jako te pręciki) bardzo długie i prawie równoległe do siebie

ustawione cząsteczki niektórych substancji organicznych, np. celuloidu, między

którymi znajdują się wydłużone cząsteczki niektórych barwników, tzw.

barwników dichroicznych.

* Polaroid, odpowiednio zabezpieczony mechanicznie i będący elementem układu optycznego, nosi nazwę palaryzatora.

Rys. 4.15 Polaryzacja światła w polaroidzie



Dichroizm jest to zjawisko polegające na różnym pochłanianiu promieni

świetlnych przez substancję (barwniki pleochroiczne) w zależności od kierunku

wektora natężenia pola elektrycznego fali świetlnej względem osi wzdłużnej

wydłużonych cząsteczek substancji (anizotropia absorpcji). Aby polaryzacja w

tym przypadku była możliwa, cząsteczki barwnika dichroicznego muszą być

ułożone równolegle. Równoległość ułożenia cząsteczek barwnika jest w

polaroidach foliowych zapewniona przez umieszczenie ich, dzięki odpowiedniemu

procesowi technologicznemu, między wydłużonymi i równoległymi cząsteczkami

substancji, z której wykonana jest folia nośna. Polaroidy foliowe zawierające

barwniki dichroiczne noszą nazwę polaroidów dichroicznych.

Polaryzatory wykonane na bazie polaroidów znajdują zastosowanie głównie w

układach optycznych. Mogą one znaleźć jednak zastosowanie również w życiu

codziennym. Między innymi wykonuje się na przykład okulary polaryzacyjne jako

okulary przeciwsłoneczne. Interesująca jest również możliwość zastosowania

polaryzatorów w motoryzacji. Gdyby na przykład wszystkie samochody miały

reflektory wyposażone w polaryzatory, o płaszczyźnie polaryzacji nachylonej pod

kątem 45°, np. w prawo, przednie szyby wyposażone również w polaryzatory o

takiej samej płaszczyźnie polaryzacji, to jadąc z naprzeciwka kierowcy nie

oślepialiby się wzajemnie. Każdy z nich natomiast widziałby przed sobą

oświetloną drogę i oświetlony mijany samochód.

Przykład 4.2 Maksymalne natężenie (amplituda) pola elektrycznego fali elektromagnetycznej w zakresie długości promieniowania widzialnego Em = 10

6... 1010 V⋅m-1. Przyjmując natężenie Em = 10

8 V⋅m-1 obliczyć maksymalne natężenie pola magnetycznego tej fali.

Amplitudy natężeń pól: elektrycznego i magnetycznego w fali

elektromagnetycznej są związane ze sobą zależnością — patrz wzór (1.68)

f

m

mZ

EH = (4.16)

Gdy fala elektromagnetyczna rozchodzi się w próżni, to

0f

m

mZ

EH = (4.17)

Pamiętając, że Zf0 = 377 Ω (impedancja falowa próżni — patrz przykład 1.18)

Ω=

377

mm

EH

Podstawiając dane liczbowe Hm ≈ 2,66⋅105 A⋅m-1.



Przykład 4.3 Wykazać, że fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni, niesie tyle samo energii w postaci pola elektrycznego co magnetycznego.

Rozważmy stosunek gęstości energii pola magnetycznego i elektrycznego w fali

elektromagnetycznej — patrz wzór (1.51) i (1.59)

2

0

2

0

2

12

1

E

H

w

w

e

m

ε

µ=

Po uwzględnieniu zależności (4.17)

2

0

2

0

2

0

E

Z

E

w

w f

e

m

ε

µ

=

Po uproszczeniu

2

00

0 1

fe

m

Zw

w

ε

µ=

a po uwzględnieniu zależności (1.68)

1=e

m

w

w (4.18)

co oznacza, że pola elektryczne i magnetyczne fali elektromagnetycznej niosą

połowę całkowitej energii przenoszonej przez tę falę.

Przykład 4.4 Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni (lub powietrzu) pada na: a) bakelit, b) miedź. Wyznaczyć część energii odbitej od granicy dwóch ośrodków i tę część energii, która do tego ośrodka przenika. Częstotliwość fali f = 100 Hz.

Na granicy dwóch ośrodków załamaniu i odbiciu ulega zarówno fala elektryczna

jak i magnetyczna. Współczynniki odbicia i załamania są zależne od impedancji

falowej ośrodków — patrz przykład 1.19 i określone wzorami:

współczynnik odbicia fali elektrycznej

12

12

1

ff

ff

ZZ

ZZA

+

−= (4.19)

współczynnik załamania fali elektrycznej*

12

2

2

2

ff

f

ZZ

ZA

+= (4.20)



współczynnik odbicia fali magnetycznej

12

12

1

ff

ff

ZZ

ZZB

+

−−= (4.21)

współczynnik załamania fali magnetycznej

12

1

2

2

ff

f

ZZ

ZB

+= (4.22)

gdzie w ogólnym przypadku

0

0

εε

µµ

r

rfZ =

a. Dla bakelitu µr = 1 i εr = 4. Zatem impedancje falowe próżni i bakelitu

Zf1 = 377 Ω; Zf2=l88,5 Ω

Obliczenia wykazują, że A1 = -0,33, A2 = 0,67, B1= 0,33, B2 = 1,33.

Znajomość parametrów A1, A2, B1, B2 pozwala na wyznaczenie wartości wielkości

E1 i E2 oraz H1 i H2 dla fali odpowiednio odbitej i załamanej w stosunku do

wielkości E i H fali padającej: fala odbita

HBH

EAE

11

11

=

= (4.23)

fala załamana

HBH

EAE

22

22

=

= (4.24)

Jeżeli przez P = EH oznaczymy moc całkowitą promieniowania padającego, to

moc fali odbitej

111 HEP = (4.25)

moc fali załamanej

222 HEP = (4.26)

Uwzględniając zależności (4.23) i (4.24)

EHBAP 111 = EHBAP 222 = (4.27)

a po podstawieniu danych liczbowych

PP 11,01 = PP 89,02 =

* Identyczne wzory otrzymuje się przy rozpatrywaniu zjawiska odbicia fali prądowej i

napięciowej od końca linii długiej — patrz np. wyprowadzenie wzoru (9.51).



Otrzymany wynik interpretuje się następująco :

Na granicy dielektryk-dielektryk fala elektromagnetyczna odbija się w

nieznacznym stopniu, prawie w całości przenikając do nowego ośrodka.

b. Miedź jest dla fali elektromagnetycznej ośrodkiem przewodzącym.

Impedancja falowa takiego ośrodka zależna jest od jego przewodnictwa i

częstotliwości fali i wyraża się wzorem — patrz przykład 1.19

422

2

2

21

µω

γ

µ

ε+=

fZ (4.28)

Jeśli cechy przewodnictwa przeważają nad cechami dielektrycznymi, toµ

ε

ωµ

γ>> i

ostatecznie

γ

µµπ 02 rf

fZ =

W naszym przypadku impedancja falowa miedzi Zf2 = 2,8⋅10-6 Ω. Widać więc że

Zf0 >> Zfmiedzi.

Współczynniki, obliczone ze wzorów (4.19)... (4.22), są w tym przypadku

następujące :

A1 ≈ -1, A2 ≈ 0, B1 ≈ 1, B2 ≈ 2

Otrzymane wyniki interpretuje się następująco :

1. Fala elektryczna odbija się prawie w całości od powierzchni metali.

2. Fala magnetyczna przenika do przewodników z prawie podwojoną amplitudą.

3. Prawie cała energia fali elektromagnetycznej przenikająca do przewodników

ma postać energii pola magnetycznego.

Stwierdzenia te są słuszne wtedy, kiedy częstość fali elektromagnetycznej nie

jest zbyt duża. Dla częstości bardzo dużych (ω → ∞) wzór (4.28) upraszcza się

do postaci

µ

ε=

fZ

1

co oznacza, że dla tych częstości metal zachowuje się tak, jak dielektryk.



4.2 Rodzaje promieniowania Promieniowanie falowe nie jest jedynym rodzajem promieniowania

występującym w przyrodzie, tzn. nie jest ono jedyną formą przenoszenia energii.

Oprócz promieniowania falowego występuje w przyrodzie promieniowanie

korpuskularne. Energia promieniowania korpuskularnego jest równa sumie

energii kinetycznych rozpędzonych cząstek, atomów lub cząsteczek.

Promieniowanie korpuskularne nie będzie dokładnie omawiane w tej książce.

Rodzaje i właściwości promieniowania korpuskularnego zostały przedstawione w

tab. 4.1. Natomiast w tab. 4.2 zebrano podstawowe wiadomości na temat

promieniowania falowego.

Tabela 4.1 Promieniowanie korpuskularne Nazwa pro-mieniowania

Rodzaj pro-mieniowania

Źródło promieniowania

Cechy charakterystyczne i właściwości promieniowania

1 2 3 4

Promienio-wanie α

Strumień rozpędzonych cząstek α

Cząstki α złożone z dwóch pro-tonów i dwóch neutronów po-wstają w procesie jądrowych przemian promieniotwórczych.

Ulega odchyleniu w polu elek-trycznym i magnetycznym. Zasięg w powietrzu wynosi kilkadziesiąt centymetrów. Silnie jonizuje gaz.

Promienio-wanie β

Strumień rozpędzonych elektronów

Promieniowanie β powstaje w procesach jądrowych przemian promieniotwórczych. W czasie takich reakcji jądrowych neutron rozpada się na proton i elektron

γ++→ −epn

1

0

1

1

0

1

Przemianie jądrowej towarzyszy promieniowanie γ.

Ulega odchyleniu w polu elek-trycznym i magnetycznym. Zasięg w powietrzu wynosi kilka metrów. Może jonizować cząsteczki gazu.

Promienio – wanie katodowe

Strumień rozpędzonych elektronów

Lampa elektronowa. Elektrony emitowane przez rozżarzoną katodę są przyspieszone w polu elektrycznym wytworzonym przez elektrodę dodatnią (anodę) i elektrodę ujemną (katodę).

Jeśli na drodze między anodą i katodą umieszczona jest elektroda siatkowa, to zmieniając jej potencjał można wpływać na gęstość strumienia elektronów docierającego do anody (lampy elektronowe).

Promienio – wanie kanalikowe

Strumień rozpędzonych jonów dodatnich

Lampa elektronowa. Źródłem promieni kanalikowych jest anoda, z której wysokoenerge-tyczne elektrony wybijają jony.

Strumień jonów dodatnich jest przyspieszany w polu elektrycz-nym wytworzonym przez anodę i katodę i wydostaje się na zewnątrz tej ostatniej, jeśli ma ona kanaliki. Promienie kana-likowe nie są wykorzystywane.

Promienio-wanie neu-tronowe

Strumień rozpędzonych neutronów

Promieniowanie neutronowe jest wynikiem niektórych sztucznych przemian jądrowych.

Słabo jonizuje gaz. Wykorzystuje się do inicjowania innych sztu-cznych przemian jądrowych, reakcji jądrowych itp.



Promienio-wanie ko-smiczne

Strumień rozpędzonych cząstek elementar-nych

Kosmos (przestrzeń kosmiczna).

Promieniowanie kosmiczne za-wiera rozpędzone neutrony, pro-tony, elektrony, mezony i inne cząstki elementarne. W skład wchodzi także promieniowanie falowe (fale elektromagnetyczne) o długości często mniejszej niż długość fali promieniowania γ. Niezwykle przenikliwe. Szkodliwe dla zdrowia.

Tabela 4.2 Promieniowanie falowe

Nazwa pro-mieniowania Nazwa fal

Rodzaje fal Źródło fal Cechy charakterystyczne i właściwości fal

1 2 3 4

Fale radiowe Fale elektro-magnetyczne

Rezonansowe obwody elek-tryczne.

Prędkość rozchodzenia się w pró-żni c = 300 00 km⋅s-1; zakres długości: od fal rzędu metrów (UKF) do fal rzędu kilometrów (fale długie), odbijają się od płaszczyzn przewodzących.

Fale radiowe do komuni-kacji specjal-nej

Fale elektro-magnetyczne

Rezonansowe obwody elek-tryczne, masery.

Zakres długości: od fal rzędu metrów do fal rzędu milimetrów. Zastosowanie: telewizja, łączność krótkofalarska, radar, łączność kosmiczna itp. Fale odbijają się od płaszczyzn przewodzących.

Promienio-wanie pod-czerwone

Fale ele-ktromag-netyczne

Ciała podgrzane, laser pod-czerwieni.

Długość fali λ > 0,7 µm. Fale są pochłaniane przez ciała.

Promienio-wanie świe-tlne

Fale elek-tromagne-tyczne

Ciała stałe i gazy rozgrzane do świecenia, gazy pobudzone do świecenia, wyładowania elektryczne w gazach, ciała stałe i ciecze pobudzone do świecenia (fluorescencja, fosforescencia), laser.

Długość fali 0,4 µm ≤ λ ≤ 0,7 µm Promieniowanie przenika przez ciała optycznie przezroczyste, a przez ciała nie przezroczyste i mętne jest częściowo odbijane oraz częściowo pochłaniane.

Promienio-wanie ultra-fioletowe


Źródła światła białego, lampy ultrafioletowe.

Długość fali λ < 0,4 µm.

Promienio-wanie X (promienie Roentgena)


Lampa rentgenowska. Roz-pędzone elektrony bombardują antykatodę i ulegają gwał-townemu zahamowaniu. Ich energia kinetyczna

eUmv

=2

2

przemienia się

w energię promieniowania elektromagnetycznego (i cieplną) eU = hv

Długość fali eU

hc=γ

(10-2 ... 10-5) µm, e — ładunek elektronu, U — różnica potencja-łów pola przyspieszającego, h — stała Plancka, c — prędkość rozchodzenia się fali elektro-magnetycznej. Promieniowanie przenikające przez miękkie tkanki.



Promienio-wanie γ


Towarzyszy rozpadom jąder promieniotwórczych. Powstaje w czasie reakcji jądrowych, powstaje w wyniku anihilacji cząstek elementarnych. Jest składnikiem promieniowania kosmicznego.

Długość fali λ < 10-5 µm, prze-nikliwe, przenika przez grube osłony metalowe i betonowe, szkodliwe dla zdrowia.

Fale pod-akustyczne

Fale podłużne Ciała wprawione w ruch drgający.

Fale podłużne rozchodzą się tylko w ośrodkach sprężystych. Częstotliwość drgań 0 < f < 16 Hz; 16 Hz — próg słyszalności.

Fale aku-styczne (dźwiękowe)

Fale podłużne Cząsteczki ośrodka, w którym rozchodzi się fala, wprawione w ruch drgający, pośrednio — ciała wprawione w ruch drgający.

Częstotliwość drgań 16 Hz < f < 20 kHz, fala akustyczna rozchodzi się w powietrzu z prędkością 340 m⋅s-1, w wodzie 1000 m⋅s-1, w metalach 3000 ... 8000 m⋅s-1.

Fale ultra-dźwiękowe

Fale podłużne Ciała, wprawione w ruch drgający (zjawisko elektrostrykcji i magnetostrykcji).

Częstotliwość drgań f > 20 kHz, w technice wykorzystuje się fale ultradźwiękowe o częstotliwości rzędu setek megaherców, a nawet gigaherców.

4.3 Dualizm korpuskularno-falowy Zjawisko promieniowania można omówić według schematu:

Dualizm korpuskularno-falowy (patrz też p. 1.3) został opracowany najpierw na

drodze teoretycznej przez L. V. de Broglie'a (1924 r.). Zgodnie z jego teorią

każdej cząstce o masie m poruszającej się z prędkością v towarzyszy fala płaska

o długości

mv

h=λ (4.29)

h — stała Plancka.

Hipoteza de Broglie'a została doświadczalnie potwierdzona przez C. J. Davissona

i L. H. Germera dopiero w 1927 r. W swoim doświadczeniu wykazali oni istnienie

zjawiska dyfrakcji elektronów. Odbijając elektrony od powierzchni kryształu

niklu otrzymali oni obraz dyfrakcyjny, czyli obraz typowy dla promieniowania

falowego. A więc promieniowanie korpuskularne ulega dyfrakcji !



Okazuje się, że dyfrakcja promieniowania korpuskularnego występuje

zawsze, o ile tylko odległość między rozpraszającymi centrami jest zbliżona do

długości fali de Broglie'a (fali materii). Rolę centrów rozpraszających

spełniają najczęściej (ze względu na długość fal materii) atomy lub jądra

atomów ciał stałych, cieczy i gazów.

Po doświadczeniu Davissona i Germera wykonano jeszcze wiele różnych

doświadczeń wskazujących na dyfrakcję elektronów. Obecnie wykorzystuje się

również zjawisko dyfrakcji promieniowania neutronowego. Za pomocą dyfrakcji

neutronów bada się rozkład położenia atomów wodoru w sieciach krystalicznych

ciał stałych.

Doświadczenia z dyfrakcją strumienia cząstek elementarnych były

potwierdzeniem teorii o falowym charakterze tych cząstek i zarazem rzuciły

nowe światło na istotę materii.

4.4 Lasery 4.4.1 Wiadomości podstawowe Laser jest kwantowym generatorem światła, a jego nazwa pochodzi od

zestawienia pierwszych liter pełnej angielskiej nazwy tego urządzenia*. Laser

emituje promieniowanie monochromatyczne (o jednej długości fali),

spolaryzowane (o uzgodnionych kierunkach wektorów natężenia pola

magnetycznego H i natężenia pola elektrycznego E) oraz o uzgodnionych fazach

fal elektromagnetycznych. Promieniowanie mające te wszystkie cechy nosi

nazwę promieniowania spójnego.

W celu omówienia zasady działania laserów, które zdobywają coraz większe

zastosowanie w różnych dziedzinach techniki, omówione zostaną właściwości

atomów, przy czym odwołamy się najpierw do rzeczy już poznanych, a więc do

modelu planetarnego atomu, a następnie zostaną podane pewne wiadomości z

zakresu elektrodynamiki kwantowej. Jest to konieczne, gdyż u podstaw

fizycznych działania laserów leżą właśnie zjawiska atomowe.

Atom o strukturze planetarnej zawiera elektrony krążące po orbitach

zamkniętych. Energia elektronu



r

emvE

0

22

42 πε−= (4.30)

składa się z energii kinetycznej i energii potencjalnej. * Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — wzmacnianie światła

przez wymuszoną emisję promieniowania.

Elektron, tak jak każdy inny ładunek elektryczny znajdujący się w ruchu, musi

promieniować fale elektromagnetyczne. Energia promieniowania powstaje

kosztem energii mechanicznej elektronu, a więc jego ruch będzie tłumiony.

Zjawisko to nosi nazwę „oporu promieniowania". W wyniku tłumienia energia

elektronu będzie się zmniejszała w czasie.

Prędkość zmian energii elektronudt

dE jest proporcjonalna do wartości energii

promieniowanej

Edt

dEβ−= (4.31)

β — współczynnik tłumienia.

Rozwiązanie równania różniczkowego (4.31) ma postać (patrz dodatek E) teEE β−= 0 (4.32)

E0 — energia przy t = 0, e = 2,71 — podstawa logarytmów naturalnych.

Przebieg funkcji opisanej wzorem (4.32) przedstawiono na rys. 4.16.

Odwrotność współczynnika tłumienia

βτ

1= (4.33)

można rozumieć jako czas, po którym energia elektronu zmniejsza się, na

skutek promieniowania, e razy.

Rys. 4.16 Zmiany w czasie energii ładunku drgającego bez uwzględnienia pola zrównoważonego promieniowania elektromagnetycznego Wartość współczynnika tłumienia można obliczyć ze wzoru

2

2

0

2

3

2

mc

e ωβ = (4.34)

Podstawiając odpowiednie wartości liczbowe otrzymuje się τ = 10-8s. A zatem w



wyniku emisji promieniowania elektromagnetycznego energia ładunku

oscylującego zostaje w czasie kilkudziesięciu nanosekund przemieniona w

energię promieniowania.

Po tym czasie elektron powinien spaść na jądro. Ponieważ atom jest jednak

tworem trwałym, elektron w atomie nie może być źródłem promieniowania, a

model planetarny atomu jest tylko modelem przybliżonym.

Trudność polega na tym, że model planetarny nie wyjaśnia istnienia ruchu

stacjonarnego, to znaczy ruchu elektronu ze stałą energią różną od zera w

długim przedziale czasu.

W celu usunięcia tej sprzeczności należy przyjąć, że elektron w stanie

stacjonarnym (t ∞) nie ma energii równej zeru, jak to wynika z równania

(4.32), lecz pewną energię różną od zera*

kTE =′ (4.35)

k — stała Boltzmanna, T—temperatura w skali bezwzględnej.

Równanie (4.31) przyjmuje wówczas postać

)( kTEdt

dE−−= β (4.36)

Rozwiązanie tego równania (patrz dodatek E)

kTekTEE t +−= −β)( 0 (4.37)

można przedstawić w postaci uproszczonej

tEkTEE β)( 00 −+= (4.38)

Rys. 4.17 Zmiany w czasie energii ładunku drgającego z uwzględnieniem pola zrównoważonego promieniowania elektromagnetycznego dla przypadków, gdy energia początkowa ładunku jest większa lub mniejsza od energii kT

Z równania (4.37) widać, że energia elektronu przy t → ∞ dąży do wartości kT,

zarówno gdy energia początkowa E0 > kT, jak i gdy E0 < kT (rys. 4.17).

Energia E = kT jest wynikiem działania na elektron pola zrównoważonego

promieniowania elektromagnetycznego. Pod wpływem tego pola elektron

wykonuje ruch (którego odpowiednikiem są chaotyczne ruchy Browna cząsteczek



nie naładowanych) o energii

2

2

02

0 xmE

ω= (4.39)

x0 — amplituda drgań, 0x — wartość średnia amplitudy drgań.

* Można się tu posłużyć pewną analogią. Wahadło pozostające w spoczynku w istocie wykonuje pewne bardzo małe drgania, będące wynikiem zderzeń obciążnika z cząsteczkami powietrza. Ruch ten jest chaotyczny i przypadkowy i średnie odchylenie wahadła jest równe zero. Energia tych drgań nie jest jednak równa zero i wzrasta liniowo ze wzrostem temperatury tak, jak energia kinetyczna ruchu cieplnego cząsteczek. Jeśli w pewnej chwili energia wahadła będzie mniejsza niż kT, to cząsteczki w czasie zderzeń oddadzą tyle energii, że energia wahadła pozostanie na poziomie kT. Gdy natomiast wahadło będzie miało energię większą niż kT, to będzie oddawało energię otoczeniu, aż jego energia zmniejszy się do poziomu kT (rys. 4.17).

Z równania

2

2

02

0 xmkT

ω= (4.40)

można wyznaczyć

k

xmT

2

2

02

0ω= (4.41)

Uwzględniając, że w atomie: m = 9,1⋅10-31 kg, ω0 = 4,18⋅1016s-1 (przykład 2.2),

x0 = 10-10 m, k = 1,4⋅10-23 J⋅K-1, otrzymuje się T ≈ 104K.

Otrzymany wynik jest sprzeczny z rzeczywistością, ponieważ w warunkach

normalnych temperatura promieniowania jest równa temperaturze otaczających

ciał i równa około 300 K.

Ruchy Browna elektronu w polu zrównoważonego promieniowania

elektromagnetycznego nie wyjaśniają faktu trwałości atomu.

Przeprowadzone do tej pory rozważania dowodzą, że pewnych zagadnień ze

„świata atomów" nie da się rozwiązać na gruncie mechaniki klasycznej. Należy tu

uwzględnić kwantowy charakter oddziaływania atomów z zewnętrznym

promieniowaniem i z innymi atomami. Podstawowy wzór uwzględniający

kwantowy charakter zjawisk atomowych podał w 1900 r. M. Planck. Dotyczy on

gęstości energii w niesionej przez promieniowanie elektromagnetyczne o

częstości ω



−

=

122

3

kTec

wω

π

ωh

h (4.42)

Wzór (4.42) sprawdzono eksperymentalnie i stwierdzono jego poprawność. Do

wyprowadzenia tego wzoru konieczne stało się przyjęcie założenia, że atom

może emitować energię promieniowania lub ją pochłaniać kwantami (porcjami),

przy czym energia każdego kwantu

hvE == ωh (4.43)

π2

h=h

Konsekwencją kwantowej struktury promieniowania jest taki model atomu, w

którym elektrony mogą znajdować się tylko na orbitach dozwolonych przez

warunki kwantowe (patrz p. 2.1). Przejścia między tymi orbitami mogą odbywać

się tylko w sposób skokowy i są związane z pochłanianiem lub emisją

promieniowania o częstości

h

pw EE −=ω (4.44)

Ew — energia atomu w stanie wzbudzonym, Ep — energia atomu w stanie

podstawowym (rys. 4.18).

Rys. 4.18 Graficzne przedstawienie zjawisk kwantowych w atomie

Atomy dowolnego ośrodka materialnego mogą znajdować się w stanie

podstawowym lub wzbudzonym. W ustalonych warunkach termodynamicznych w

ośrodku zawsze znajduje się pewna liczba atomów w jednym i drugim stanie.

Stan podstawowy jest najbardziej prawdopodobny i najwięcej atomów znajduje

się w tym stanie. Atomy i jony ośrodka (np. gazu) są w ciągłym chaotycznym

ruchu. Ulegają one ze sobą zderzeniom sprężystym i niesprężystym. W czasie

zderzeń sprężystych energia kinetyczna oddziałujących obiektów pozostaje stała.

W czasie zderzeń niesprężystych energia kinetyczna atomów po zderzeniu jest

mniejsza niż przed zderzeniem. Zaabsorbowana energia powoduje przejście

atomów do stanu wzbudzonego.

W ciele stałym atomy i jony nie mają możliwości ruchu postępowego. Pewną



liczbę atomów w stanie wzbudzonym można w nim wytworzyć naświetlając je

promieniowaniem o określonej częstości. Jeśli częstość ω kwantów

promieniowania jest równa częstości przejścia — wzór (4.44) — to wszystkie

kwanty promieniowania zostaną pochłonięte. Takie pochłanianie nazywa się

pochłanianiem rezonansowym.

Liczność atomów w stanie podstawowym i wzbudzonym zależy od warunków

fizycznych, w jakich znajduje się rozpatrywany ośrodek (temperatura, skład,

pola zewnętrzne). W warunkach ustalonych mamy do czynienia z równowagą

dynamiczną. W odpowiednio długim okresie czasu liczba atomów przechodzących

ze stanu podstawowego do wzbudzonego jest taka sama, jak atomów

zmieniających swój stan energetyczny w kierunku przeciwnym.

Wzajemna proporcja liczności atomów w poszczególnych stanach jest bardzo

ważna z punktu widzenia działania lasera. Problem ten będzie omówiony

dokładniej.

Jeśli N jest całkowitą liczbą atomów ośrodka, to liczba atomów w stanie

podstawowym

kT

Ep

p NeN−

= (4.45)

a w stanie wzbudzonym

kT

Ew

w NeN−

= (4.46)

Stosunek liczby atomów w obu stanach

kT

EpEw

p

w eN

N−

−

= (4.47)

Jak widać, dla Ew > Ep stosunek Nw/Np jest mniejszy od jedności. Znaczy to, że

im większa jest energia stanu wzbudzonego atomu, tym mniej atomów znajduje

się w tym stanie.

Stan wzbudzony atomów jest stanem nietrwałym. Po upływie czasu rzędu 10-8 s

— wzór (4.33) — atomy przechodzą do stanu podstawowego emitując przy tym

kwant promieniowania o częstości określonej wzorem (4.44). Zjawisko to nosi

nazwę zjawiska emisji spontanicznej. Przejścia atomów ze stanów wzbudzonych

do stanu podstawowego mogą następować również pod wpływem zewnętrznego



pola elektromagnetycznego. Przejścia takie związane są z emisją wymuszoną

(stymulowaną) kwantów. Emisja wymuszona ma charakter rezonansowy, to

znaczy może być ona wywołana jedynie takim polem, którego częstość równa

jest częstości określonej wzorem (4.44).

W ogólności w ośrodku poddanym działaniu promieniowania

elektromagnetycznego występują trzy zjawiska :

1) absorpcja rezonansowa,

2) emisja spontaniczna,

3) emisja wymuszona.

Absorpcja rezonansowa związana jest z pochłanianiem kwantów

promieniowania elektromagnetycznego o częstości ω — wzór (4.44).

Pochłonięcie jednego kwantu zwiększa liczbę atomów wzbudzonych o jeden.

Szybkość zwiększania się liczby atomów wzbudzonych jest proporcjonalna do

liczby Np atomów niewzbudzonych, do gęstości w energii pola

elektromagnetycznego o częstości ω i do prawdopodobieństwa Pa absorpcji

apw PwN

dt

dN= (4.48)

Emisja spontaniczna związana jest z samorzutnym przechodzeniem atomów

ze stanów wzbudzonych do stanu podstawowego, bez udziału jakichkolwiek

czynników zewnętrznych. Szybkość zmniejszania się liczby atomów w stanie

wzbudzonym jest proporcjonalna do liczby Nw atomów w stanie wzbudzonym i do

prawdopodobieństwa Pes emisji spontanicznej

esww PN

dt

dN−= (4.49)

Emisja wymuszona związana jest z przejściami atomów ze stanu wzbudzonego

do podstawowego pod wpływem działania czynników zewnętrznych. Emisja

wymuszona ma charakter rezonansowy i może być wywołana jedynie takim

promieniowaniem, którego częstość jest zgodna z częstością przejścia między

rozpatrywanymi stanami.

Szybkość zmniejszania się liczby atomów w stanie wzbudzonym jest

proporcjonalna do gęstości w energii promieniowania elektromagnetycznego

wywołującego przejścia, do liczby Nw atomów w stanie wzbudzonym i do

prawdopodobieństwa Pew emisji wymuszonej



esww PwN

dt

dN−= (4.50)

Uwzględniając wszystkie trzy omawiane procesy otrzymuje się równanie

opisujące zmianę liczby atomów wzbudzonych

( )eswapesw

w PNPNPNwdt

dN−−−= (4.51)

W warunkach równowagi termodynamicznej Np i Nw są wielkościami stałymi w

czasie, ich pochodne względem czasu są zatem równe zeru i dlatego

( ) 0=+− eswapesw PNPNPNw (4.52)

Uwzględniając wzory (4.44) i (4.47) można również napisać

ewkT

a

es

PeP

Pw

−

=ωh

(4.53)

Wzór (4.53) opisuje gęstość energii promieniowania elektromagnetycznego o

częstości ω w warunkach równowagi termodynamicznej.

4.4.2 Zasada działania lasera Zasada działania lasera opiera się na zjawiskach związanych z przechodzeniem

promieniowania elektromagnetycznego przez ośrodek, w którym liczność Nw

atomów w stanie wzbudzonym jest większa niż liczność Np atomów w stanie

podstawowym. Stan, w którym Nw > Np, nazywa się inwersją obsadzeń. Jest

to stan mało prawdopodobny i może być wytworzony przy współudziale

czynników zewnętrznych. Proces, który prowadzi do inwersji obsadzeń, jest

nazywany (w pewnych szczególnych przypadkach) pompowaniem optycznym.

Pompowanie optyczne i inwersja obsadzeń są warunkiem wystąpienia akcji

laserowej w ośrodku.

Pompowanie optyczne jest możliwe tylko wtedy, kiedy poziomy (stany)

energetyczne mają pewną szerokość (rys. 4.19). Takie „rozmycie” poziomów

energetycznych występuje we wszystkich układach rzeczywistych. Jeżeli

szerokość poziomu podstawowego będzie ∆Ep, a szerokość poziomu

wzbudzonego ∆Ew = ∆Ep = ∆E, to oddziaływanie promieniowania zewnętrznego z

atomami ośrodka będzie zachodziło nie tylko przy częstości tego promieniowania

ω — wzór (4.44) — lecz również przy promieniowaniu o częstości



hhhh

EEEEEE pwpw ∆+

−≤≤

∆−

−ω (4.54)

gdzie ħ związane jest ze stałą Plancka wzoremπ2

h=h

Rys. 4.19 Graficzne przedstawienie poziomów energetycznych atomów domieszkowych rubinu

Jeśli przyjmie się, że ω∆=∆

h

E to można napisać, że

ωωωωω ∆+≤′≤∆−

Tak więc uwzględniając skończoną szerokość poziomów energetycznych okazuje

się, że możliwe są przejścia rezonansowe (absorpcja rezonansowa) nie tylko

przy jednej, ściśle określonej częstości promieniowania, lecz dla całego

przedziału częstości. Jeśli ten przedział częstości leży w obszarze widmowym

promieniowania widzialnego, to znaczy, że za pomocą promieni widzialnych

(świetlnych) można wytworzyć w ośrodku inwersję obsadzeń, gdyż, jak

wiadomo, pochłaniane kwanty promieniowania powodują przechodzenie atomów

do stanu wzbudzonego. Pompowanie optyczne można więc zrealizować za

pomocą światła rozproszonego o dość dużym paśmie częstości. Gdyby poziomy

energetyczne byłyby nieskończenie wąskie (∆E = 0), to pompowanie optyczne

byłoby możliwe jedynie za pomocą światła monochromatycznego.

Promieniowanie prawie monochromatyczne można uzyskać wybierając z widma

światła białego bardzo wąską jego część. Moc takiego promieniowania jest

jednak zbyt mała, by wywołać odpowiednio dużą inwersję obsadzeń.

Przechodzenie wiązki świetlnej przez ośrodek wywołuje dwa zjawiska: absorpcję

rezonansową i emisję wymuszoną. Oba te zjawiska powodują zmianę natężenia

promieniowania wiązki padającej (rys. 4.20).

Na skutek absorpcji natężenie wiązki świetlnej zmniejsza się wraz z długością

drogi przebytej w ośrodku zgodnie ze wzorem



a

pPw

N

d

dIω

ωπψh

∆−=

2 (4.56)

natomiast emisja wymuszona powoduje wzrost natężenia promieniowania

eww Pwx

N

dx

dIω

ωπ∆=

2 (4.57)

Rys. 4.20 Przechodzenie światła przez ośrodek materialny (a) i różne możliwe zmiany natężenia w czasie przechodzenia wiązki przez ten ośrodek (b)

W wyniku uwzględnienia obu zjawisk i przyjęcia, że Pa = Pew = P oraz że I = cw,

otrzymujemy

( )INNc

P

dx

dIwp −

∆−=

ωπ

ωh2 (4.58)

Wielkość

( )wp NN

c

P−

∆=

ωπ

ωα

h2 (4.59)

nosi nazwę współczynnika absorpcji i jest zależna od częstości. Rozwiązaniem

równania różniczkowego

Idx

dIα−= (4.60)

jest funkcja

xeII

α−= 0 (4.61)

Przebieg tej funkcji może być różny w zależności od znaku i wartości

współczynnika absorpcji (rys. 4.20 b).

Przy Np ≤ Nw, tzn. w stanie równowagi termodynamicznej, α > 0 i natężenie

promieniowania przechodzącego przez ośrodek ulega zmniejszeniu. Przy Np = Nw

współczynnik absorpcji jest równy zero, co oznacza, że zmniejszenie natężenia



promieniowania jest kompensowane przez wzrost natężenia wywołany emisją

wymuszoną. Natężenie promieniowania przechodzącego przez ośrodek nie ulega

zmianie. Jeśli natomiast Nw > Np, to współczynnik absorpcji staje się ujemny,

wzrost natężenia wywołany emisją wymuszoną jest większy niż zmniejszanie się

natężenia wywołane absorpcją i natężenie promieniowania będzie ulegać

zwiększeniu. Światło będzie więc wzmacniane.

Rozmiary liniowe ośrodka, w którym rozchodzi się światło, są skończone. Jeśli w

takim ośrodku wiązka promieniowania przebędzie drogę 2l, to na podstawie

wzoru (4.61)

leII

α2

0

−= (4.62)

W takim przypadku nierówność Nw > Np można określić dokładniej

ω

ωπ

hlP

RcNN pw

4

ln∆=− (4.63)

gdzie R jest współczynnikiem określającym straty energii przy odbiciach.

(Wielkość R wyraża się stosunkiem energii odbitej do padającej).

Inwersja obsadzeń jest wynikiem pompowania optycznego, ale nie tylko. Stopień

obsadzenia przez atomy stanów energetycznych zależny jest również od czasu

„życia” atomu wzbudzonego. Poprzednio mówiliśmy — wzory (4.33) i (4.34) —

że czas ten jest rzędu 10-8 s. Po tym czasie atomy spontanicznie przechodzą do

stanu podstawowego. W niektórych ośrodkach materialnych są jednak takie

układy atomów, których stan wzbudzony może trwać nawet 10-3 s, a więc może

być około 105 razy dłuższy*. Oczywiście w takich ośrodkach znacznie łatwiej jest

utworzyć odpowiednią inwersję obsadzeń — wzór (4.63) — potrzebną do

rozwinięcia akcji laserowej w tym ośrodku.

Ośrodek aktywny lasera umieszczony jest między dwoma zwierciadłami, z

których jedno całkowicie odbija promieniowanie, a drugie jest półprzepuszczalne

(rys. 4.21). Promieniowanie wymuszone rozchodzi się w obszarze między

zwierciadłami, powodując dalsze przejścia wymuszone innych atomów. Odległość

między zwierciadłami stanowiącymi rezonator optyczny jest tak dobrana, że

mieści się w niej całkowita krotność długości emitowanej fali. Dzięki temu ulega

ona wzmocnieniu na skutek interferencji.

Proces wzmacniania promieniowania ma charakter lawinowy i trwa kilkaset

mikrosekund. Lawina fotonów** opuszczająca ośrodek czynny lasera stanowi

wiązkę użyteczną. Wszystkie one poruszają się w tym samym kierunku, mają te



same częstości i fazę.

Rys. 4.21 Budowa lasera

Duża prędkość rozwoju akcji laserowej uwarunkowana jest dużą prędkością

rozchodzenia się światła. Kierunek rozwoju akcji laserowej i kierunek

rozchodzenia się promieniowania wymuszonego wyznaczony jest położeniem

zwierciadeł rezonatora optycznego. Akcja laserowa we wszystkich innych

kierunkach zostaje wygaszona. W rezonatorze optycznym mogą ulegać

wzmocnieniu fale nie tylko o jednej długości, lecz także fale o innych

długościach, które mieszczą się całkowitą liczbę razy na długości l rezonatora. W

ten sposób powstają tak zwane mody. Laser jest na ogół źródłem wielu modów.

Ze względu na rodzaj ośrodka aktywnego, w którym rozwija się akcja laserowa,

lasery dzielą się na: krystaliczne, szklane, gazowe, półprzewodnikowe, cieczowe.

* Dla porównania można podać, że okres 274 lat jest około 105 razy dłuższy od doby. ** Foton jest to kwant promieniowania elektromagnetycznego o częstości z zakresu optycznego.

Jednym z pierwszych laserów krystalicznych był laser rubinowy. Rubin jest to

tlenek aluminium Al2O3 zwany korundem lub leukoszafirem, którego

charakterystyczne mocno czerwone zabarwienie związane jest z domieszkami

jonów chromu Cr3+.

Rys. 4.22 Graficzne przedstawienie poziomów energetycznych atomów domieszkowych rubinu Jony chromu silnie pochłaniają światło zielono-żółte o długości λp = 560 nm.

Atomy chromu pochłaniające energię promieniowania świetlnego przechodzą w

stan wzbudzony Ewl (rys. 4.22). Powrót atomu do stanu podstawowego odbywa



się w dwu kolejnych etapach. Najpierw atom przechodzi do stanu

energetycznego Ew2 < Ewl, który jest również stanem nietrwałym. Nosi on nazwę

stanu metastabilnego. Przejścia atomów ze stanu wzbudzonego Ewl do

metastabilnego są przejściami bezpromienistymi, tzn. nie towarzyszy im emisja

promieniowania. Energia jest przekazywana bezpośrednio atomom

umieszczonym w węzłach sieci krystalicznej rubinu. Powoduje to nagrzewanie się

kryształu.

Stan metastabilny jest, jak już wspomniano, stanem nietrwałym, ale atom trwa

w nim przez czas około sto tysięcy razy dłuższy niż w stanie wzbudzonym. Dzięki

temu obsadzenie tego stanu jest liczniejsze niż stanu o energii Ewl. Przejściom

atomów do stanu podstawowego towarzyszy emisja promieniowania spójnego o

długości λi = 694,3 nm. Jest to światło czerwone. Laser rubinowy przetwarza

więc energię promieniowania rozproszonego lampy (pompy optycznej) o długości

λp w promieniowanie spójne o długości λi.

Kryształ rubinu stosowany w laserach ma postać walca o średnicy ok. 0,5 cm i

długości od kilku do ok. 30 cm. Powierzchnie kołowe walca są dokładnie

wypolerowane i posrebrzone, tak że tworzą dwa równoległe zwierciadła. Jedno

ze zwierciadeł jest półprzeźroczyste. Kryształ umieszcza się blisko lampy (pompy

optycznej). Pompa optyczna i cały laser pracują impulsowo.

Za pomocą lasera rubinowego można osiągnąć moc w impulsie rzędu 109 W.

Czas trwania impulsu może wynosić od ułamków milisekund do 10-13 s.

Rozbieżność wiązki nie przekracza 1 mrad (miliradiana).

Laser szklany w charakterze ośrodka aktywnego zawiera pręt wykonany ze szkła

optycznego domieszkowanego jonami neodymu Nd3+. Pręt szklany ma zazwyczaj

średnicę ok. 30 mm i długość dochodzącą do 180 cm. (Moc lasera jest tym

większa, im większe są wymiary liniowe ośrodka aktywnego). Oświetla się go

lampą ksenonową, którą zapala się przez rozładowanie połączonych z nią

naładowanych kondensatorów.

Lasery szklane mogą pracować w sposób ciągły i impulsowy. Są to obecnie jedne

z najbardziej wydajnych laserów. Przy pracy impulsowej moc w impulsie

dochodzi do 5⋅1010 W przy czasie trwania impulsu ok. 3 ms. Gęstość osiąganej

mocy jest również bardzo duża, rzędu 2⋅1021 W⋅m-2⋅sr-1 (luminacja



energetyczna). Długość fali promieniowania leży w zakresie bliskim podczerwieni

i wynosi 1,06 µm.

Ze względu na dużą moc promieniowania laserów szklanych wykorzystuje się je

m. in. do spawania, obróbki materiałów, inicjowania kontrolowanej syntezy

termojądrowej itp.

Lasery gazowe jako ośrodek aktywny wykorzystują gaz umieszczony w wąskiej

długiej rurze. Do wzbudzania atomów gazu używa się nie światła, lecz

wyładowań elektrycznych. Rura szklana nosi nazwę rury wyładowczej (rys.

4.23). Na końcach rury, której długość może wynosić od kilkudziesięciu

centymetrów do kilku metrów, zatopione są ażurowe elektrody, do których

doprowadza się stałe napięcie elektryczne. W laserach gazowych większej mocy

napięcie to wynosi około 10 kV. Wymusza ono przepływ prądu, którego wartość

może dochodzić do 100 mA. Po obu stronach rury wyładowczej zamocowane są

zwierciadła. Jedno ze zwierciadeł jest całkowicie odbijające, a drugie —

półprzeźroczyste.

Rys. 4.23 Budowa lasera gazowego

Do wypełnienia rury wyładowczej laserów gazowych stosuje się najczęściej

mieszaniny gazów: CO2—N2—He i He—Ne. Pierwsza z nich jest źródłem światła

spójnego o długości 1,06 µm i o dużej mocy. W laserach tego typu można przy

pracy ciągłej osiągnąć moc 9 kW. Jest to jedna z największych wartości mocy

osiąganych w laserach o pracy ciągłej. Dlatego też znajdują one zastosowanie w

przemyśle. Lasery helowo-neonowe (lasery He—Ne) emitują wiązkę o długości

fali 0,6334 µm, a więc w zakresie widzialnym. Moc ich jest mniejsza niż laserów

CO2—N2—He, toteż znajdują one zastosowanie w miernictwie i wielu innych

dziedzinach techniki, w których nie jest wymagana duża moc wiązki.



Rys. 4.24 Budowa lasera półprzewodnikowego

Lasery półprzewodnikowe wykonane są z odpowiednio przygotowanego

monokryształu arsenku galu (GaAs), w którym wytworzono tzw. złącze p-n*.

Cały monokryształ przytwierdzony jest do podstawy wykonanej z płytki

molibdenowej pokrytej stopem złota (Au) i cyny (Sn) (rys. 4.24). Po

doprowadzeniu napięcia elektrycznego złącze p-n staje się źródłem

promieniowania (patrz również p. 4.7). Aby promieniowanie to wywołało akcję

laserową, część jego musi „wrócić” z powrotem do ośrodka aktywnego. W tym

celu równoległe ścianki monokryształu szlifuje się tak, aby jedna z nich odbijała

promienie całkowicie, a druga była półprzeźroczysta.

Sprawność laserów półprzewodnikowych jest bardzo duża, dochodzi do 50%, a

nawet i 100%. (Sprawność laserów innych typów jest o rząd wielkości mniejsza).

Lasery półprzewodnikowe generują promieniowanie w zakresie bliskim

podczerwieni, λ = 0,84 µm. Moc produkowanych obecnie laserów

półprzewodnikowych nie przekracza 10 W.

* Właściwości złącza p-n omówione są w p. 6.7. Przykład 4.5 Porównać gęstości mocy promieniowania słonecznego z gęstością mocy promieniowania laserowego.

Moc promieniowania lasera o pracy impulsowej jest duża ze względu na krótki

czas trwania tego promieniowania. Laser pompowany optycznie jest swego

rodzaju przetwornikiem rozproszonego promieniowania pompy optycznej na

spójne promieniowanie laserowe. W niektórych laserach jest osiągana moc o

gęstości 1010 W⋅m-2. Przypada ona na bardzo wąski zakres widma, rzędu 10-11 m.

Słońce - źródło termiczne o największej mocy — emituje z każdego centymetra

kwadratowego swej powierzchni promieniowanie o mocy 7⋅103 W.

Promieniowanie to obejmuje jednak bardzo szeroki obszar długości fal, rzędu 0,3



µm. W zakresie widma 10-11 m gęstość mocy promieniowania słońca wynosi

tylko 2300 W⋅m-2.

4.4.3 Zastosowania laserów Wraz z pojawieniem się laserów w początkach lat sześćdziesiątych

przepowiadano nastąpienie nowej ery w nauce i technice. Nastąpiło jednak

rozczarowanie. Lasery początkowo nie spełniły pokładanej w nich nadziei. Z

laserami wiązano możliwość dokładnej obróbki materiałów, wykonywania

otworów w twardych przedmiotach, cięcia arkuszy blach itp. Produkowane wtedy

lasery miały jednak za małą moc, aby mogły być stosowane w przemyśle. Na

przykład pierwszy laser gazowy, helowo-neonowy, zapewnił średnią moc

wyjściową wiązki świetlnej mniejszą niż 1 mW i nie dopuszczał myśli o

wykorzystaniu jej jako narzędzia skrawającego. Nadzieje te odżyły dopiero

niedawno, kiedy udało się skonstruować lasery krystaliczne o mocy w impulsie

1013 W i mocy przy pracy ciągłej ponad 1 kW oraz lasery gazowe o mocy 60 kW

przy pracy ciągłej. Lasery o pracy ciągłej i lasery pracujące impulsowo konkurują

już obecnie z tradycyjnymi obrabiarkami i znajdują coraz szersze zastosowanie

w wielu różnorodnych i wyspecjalizowanych operacjach technologicznych.

Zjawiska fizyczne obserwowane przy obróbce materiałów i spawaniu za pomocą

wiązki promieniowania laserowego związane są głównie z procesami cieplnymi.

Znaczna liczba tych procesów była znana i wykorzystywana od dawna. Jednak

niezwykłe właściwości lasera jako źródła promieniowania cieplnego odróżniają

technologię laserową od innych rodzajów technologii. Odmienność jej polega na

osiąganej obecnie dużej mocy w impulsie, małym przekroju poprzecznym wiązki

promieniowania i dokładności, z jaką można kontrolować i sterować jej

natężenie, położenie i czas oddziaływania z materią. Rozszerza się przy tym ilość

materiałów, które można poddać obróbce.

Jednym z często występujących procesów technologicznych w przemyśle jest

cięcie blach. Do realizacji tego procesu wykorzystuje się bardzo wydajny laser

gazowy — CO2, generujący promieniowanie podczerwone o długości fali λ — 1,06

µm. Wiązkę promieniowania odbitą od zwierciadła i skupioną przez soczewkę

kieruje się na powierzchnię obrabianego materiału (np. arkusza blachy). Proces

cięcia powstaje przy przesuwaniu detalu względem nieruchomej wiązki. Pod



wpływem promieniowania w materiałach o małej przewodności cieplnej może

powstać temperatura wyższa od temperatury topnienia tych materiałów. W

miejscu stopnienia następuje rozdzielenie fragmentów ciętego detalu. W

praktycznych urządzeniach laserowych uzyskuje się prędkości cięcia od ok. 6

mm⋅s-1 dla stali nierdzewnej, do ok. 40 mm⋅s-1 dla tytanu. Za pomocą lasera CO2

o mocy 135 W można ciąć np. blachy tytanowe o grubości 0,5 mm z prędkością

do 250 mm⋅s-1.

Jak już wspomniano, laserowej metodzie cięcia poddaje się tylko materiały o

małej przewodności cieplnej. Takie metale jak np. miedź czy aluminium mają

dużą przewodność cieplną, o rząd wielkości większą niż tytan, i nie udaje się ich

ciąć wiązką laserową, bowiem energia cieplna wydzielana w miejscu padania i

ogniskowania wiązki jest szybko odprowadzana, co powoduje ochładzanie

miejsca napromieniowanego.

Jedną z częstych operacji technologicznych stosowanych w przemyśle jest

również wiercenie. I tu też z powodzeniem można wykorzystać laser. Laser

przeznaczony do wywiercania (a raczej wypalania) otworów powinien

charakteryzować się dużą gęstością wypromieniowanej mocy, rzędu 1011 W⋅ m-2.

Przy tak dużej gęstości mocy, jej straty uwarunkowane przewodnością cieplną

materiału można pominąć. Wiązka promieni padająca na powierzchnię ulega

pochłanianiu w cienkiej warstwie materiału i powoduje szybkie wyparowanie tej

warstwy. Grubość warstwy pochłaniającej energię dla wiązki elektronów wynosi

około 100 µm, a dla wiązki laserowej — około 1 µm. Jeśli pary substancji są

szybko odprowadzane z powierzchni materiału, to prędkość wiercenia otworu

jest wprost proporcjonalna do gęstości mocy w wiązce. Wiązką laserową o

gęstości mocy 3⋅1011 W⋅cm-2 można uzyskać prędkość wiercenia rzędu 100 m⋅s-1.

Odpowiada to czasom wiercenia rzędu ułamków milisekund. Rzeczywiste czasy

wykonywania otworów wiązką laserową są jednak dłuższe. Jest to wynikiem

osłaniania (ekranowania) dalszych warstw materiału przed działaniem

promieniowania przez niezbyt szybko odprowadzane pary materiału.

Silnemu promieniowaniu laserowemu nie ostają się nawet skały — tak można

powiedzieć przystępując do opisu następnego przemysłowego zastosowania

laserów. Jak wiadomo, wiele minerałów i substancji syntetycznych kruszeje lub

pęka przy szybkich zmianach temperatury. Tak zachowuje się np. szkło bardzo



silnie ogrzane w krótkim czasie. (Znamy to z własnego doświadczenia na

przykładzie szklanek pękających pod wpływem wrzątku). Wiązkę promieniowania

podczerwonego lasera CO2 można wykorzystać do kontrolowanego kruszenia i

rozłupywania różnych materiałów. Wykorzystuje się tu fakt, że energia rozchodzi

się liniowo, wzdłuż kierunku promieniowania lasera i że kierunek ten można

dowolnie zmieniać. Przy kontrolowanym kruszeniu materiałów nie występuje

problem usuwania z pola działania wiązki materiału stopionego lub

doprowadzonego do stanu gazowego (pary).

Obróbce przez kruszenie poddają się materiały o małym przewodnictwie

cieplnym, o dużej rozszerzalności cieplnej i małej wytrzymałości na rozrywanie.

Przewiduje się, że w przyszłości możliwe będzie kruszenie skał i drążenie tuneli.

Dodatkową zaletą takiej metody drążenia będzie jednoczesne wytyczanie

kierunku drążonego szybu. Oczywiście, żeby wszystko było jasne, należy jeszcze

wyjaśnić, dlaczego niektóre materiały pękają w miejscu silnego nagrzania. Otóż,

jak wiadomo, wiele materiałów drewnopodobnych oraz minerałów zawiera wodę

związaną lub wprost wodę krystaliczną. Intensywne ogrzewanie zrywa wiązania

molekularne i prowadzi do wyparowania wody i innych bardziej istotnych

składników. Pary odparowanych substancji wytwarzają wewnątrz materiałów

duże ciśnienie, które prowadzi do mikropęknięć i pojawiania się drobnych

szczelin.

Jeśli w przemysłowych zastosowaniach lasera wykorzystuje się energię cieplną

wypromieniowanej przez niego wiązki, to łatwo domyślić się, że znajduje ona

zastosowanie również do zgrzewania, lutowania i spajania różnych detali. W

niektórych szczególnych przypadkach nawet zastosowanie innych technologii niż

laserowej jest niemożliwe. Dla przykładu zlutowanie lub zgrzanie elementów

zatopionych w szklanej bańce, np. lampie elektronowej, przypadkowo

rozłączonych na skutek uszkodzenia, może się odbyć tylko przy użyciu lasera.

Wiązkę promieniowania laserowego kieruje się przy tym na uszkodzone

elementy, doprowadzając do ich trwałego połączenia. Obudowa szklana lampy

nie stanowi przeszkody, gdyż jest przezroczysta i nie pochłania energii wiązki

laserowej.

Wraz z upowszechnieniem laserów w technice zwiększa się liczba zastosowań



tych urządzeń w innych dziedzinach, w tym również i w medycynie.

Jednym ze schorzeń jest odklejanie się siatkówki od dna oka. Wiązkę laserową

można użyć do jej sklejania, i tu laser okazuje się niezastąpiony. Laser

nakierowuje się dokładnie na określony punkt gałki ocznej i wysyła się krótki

impuls światła. Za pomocą soczewki skupia się go w miejscu sklejenia. Operacja

sklejenia siatkówki jest bezbolesna, gdyż ze względu na krótki czas trwania

impulsu promieniowania nie zachodzą jeszcze reakcje odruchowe.

Laser okazuje się także pomocny w walce z rakiem. W tym przypadku również

wykorzystuje się dużą gęstość mocy i małe rozmiary wiązki promieniowania

laserowego. Można nakierować ją na chore komórki i zniszczyć je, nie naruszając

przy tym zdrowych tkanek.

Laser znajduje zastosowanie również w systemach łączności i komunikacji (p.

9.7). Pierwsze zastosowanie lasera w łączności polegało na wysłaniu w kierunku

Księżyca bardzo silnego impulsu laserowego. Wiązka po odbiciu od powierzchni

Księżyca powróciła na Ziemię i tu została zarejestrowana. Stworzyło to

możliwości badania powierzchni planet w laboratoriach ziemskich. Z obliczeń

wynika, że promieniowanie laserowego źródła światła w postaci ciągów impulsów

o energii 104 J i czasie trwania 1 ns o rozbieżności wiązki 1 µrad (mikroradian)

może być odebrane na Ziemi z odległości 10 lat świetlnych. Antena stacji

odbiorczej (reflektor optyczny) powinna mieć przy tym 30 m średnicy.

W ogólności systemy łączności laserowej, ze względu na zasięg i warunki pracy,

dzielą się na cztery grupy :

1) naziemne krótkie linie łączności z wiązką rozchodzącą się w atmosferze

ziemskiej,

2) międzynarodowe systemy łączności z wiązką rozchodzącą się w

światłowodach,

3) kosmiczne retransmisyjne systemy łączności bliskiego zasięgu,

4) międzyplanetarne systemy łączności.

Zasięg naziemnej laserowej stacji łączności ograniczony jest rozpraszaniem

energii wiązki promieniowania w atmosferze i krzywizną Ziemi. Z tych względów

nie przekracza on na ogół 200 km. W przestrzeni kosmicznej zasięg „widzenia"



laserowych stacji łączności jest większy i może wynosić miliardy kilometrów.

Systemy łączności laserowej są rozbudowywane nie ze względu na prostotę

konstrukcji stacji nadawczych i odbiorczych i możliwości kierunkowego

przesyłania informacji, ale głównie ze względu na bardzo dużą ilość informacji,

które można przesłać za ich pośrednictwem. Okazuje się, że za pomocą jednej

wiązki świetlnej można przekazywać 10 milionów rozmów telefonicznych lub 1

milion programów telewizyjnych jednocześnie, bez ich wzajemnego nakładania

się na siebie. Możliwość jednoczesnego przesyłania tak dużej ilości informacji

wynika z wielkiej częstotliwości światła. Wynosi ona ok. 1014 Hz.

Wiązkę promieniowania laserowego można wykorzystać także w radiolokacji, a

właściwie optolokacji. Optolokacja polega na odbieraniu odbitego od przedmiotu

impulsu optycznego i obróbce uzyskanego sygnału. Mierząc czas od chwili

wysłania impulsu do chwili jego odebrania — można określić odległość

przedmiotu, a przy dokładnych pomiarach — nawet jego kształt. Jeśli

naświetlany przedmiot jest w ruchu, to wykorzystując efekt Dopplera można

wyznaczyć również jego prędkość. Z urządzeń optolokacyjnych budowane są już

obecnie niwelatory i dalmierze. Dalmierze laserowe umożliwiają pomiar

odległości lub wymiarów obiektu z dokładnością do długości fali świetlnej.

Lasery znajdują także zastosowanie w bardzo wielu dziedzinach, pozornie nie

związanych z elektrotechniką, a każdy nowy dzień przynosi dalsze informacje na

ten temat. Nie wdając się w szczegóły, wymieńmy przykłady ciekawszych

zastosowań tych niezwykłych źródeł promieniowania elektromagnetycznego,

pozostawiając opis ich realizacji wyobraźni technicznej Czytelnika. Otóż

wykorzystując właściwości promieniowania spójnego stosuje się jeszcze lasery

do :

— wywoływania różnorodnych reakcji chemicznych,

— kontroli zanieczyszczeń atmosfery,

— pomiarów prędkości przepływów cieczy,

— automatycznego sterowania i kontroli,

— miejscowego domieszkowania półprzewodników,

— obróbki materiałów ceramicznych i szklistych,

— przeprowadzania kontrolowanych reakcji termojądrowych,



— rozdzielania izotopów,

— zapisywania lub odczytywania stanu elektrooptycznych komórek

pamięciowych,

— pomiarów małych drgań o amplitudzie rzędu 10-14 m,

— pomiarów wielkości elektrycznych (p. 5.4.1 i 5.6.1).

Na tym oczywiście lista zastosowań laserów nie kończy się. Wydaje się, że jest

ona ograniczona jedynie ludzką wyobraźnią i pomysłowością, a nowe

perspektywy w tym zakresie stwarza holografia.

4.5 Termiczne źródła promieniowania Źródła termiczne emitują promieniowanie ciał rozgrzanych do temperatury

wyższej od temperatury otoczenia. Źródłem tego promieniowania jest energia

kinetyczna atomów rozgrzanego ciała. Powstające promieniowanie ma charakter

nieuporządkowany i - podobnie jak światło białe - obejmuje szeroki zakres

widmowy. Energia promieniowania związana jest z energią ruchu cieplnego

atomów, a więc z temperaturą ośrodka. Ze wzrostem temperatury zwiększa się

również energia promieniowania. Ponieważ energia promieniowania zależna jest

nie tylko od natężenia fali (promieniowania), ale również od jej częstości, to

wzrost temperatury ciała, czyli wzrost energii kinetycznej jego cząsteczek,

zmienia nie tylko natężenie tego promieniowania, lecz także jego rozkład

widmowy.

Zagadnienia promieniowania termicznego rozpatruje się na przykładzie ciała

doskonale czarnego.

Ciało doskonale czarne jest to takie ciało, które całkowicie pochłania padające

na nie promieniowanie, niezależnie od składu jego widma i od temperatury ciała.

Promieniowanie ciała doskonale czarnego jest określone tylko przez temperaturę

i nie zależy od rodzaju ciała.

Natężenie promieniowania i skład widmowy mogą być obliczone teoretycznie.

Służą do tego wzory podane przez M. Plancka i określające prawo

promieniowania ciała doskonale czarnego. Jeśli przez εv,T oznaczy się

zdolność emisji promieniowania o częstotliwości v w temperaturze T, to



1

22

2

,

−

=kT

hvTv

e

hv

c

vπε (4.64)

Wzór (4.64) wyrażający zdolność emisji w zależności od długości fali ma postać

1

25

2

,

−

=kT

hvT

e

hc

λ

πε λ

(4.65)

Zdolność emisji promieniowania jest to wielkość charakteryzująca emisję

promieniowania cieplnego ciała określona wzorem

dv

dMT =,λε

w którym M — gęstość strumienia energii promieniowania elektromagnetycznego

(emitancja energetyczna) wysyłanego w jednostce czasu przez jednostkę pola

powierzchni ciała w przedziale częstotliwości od v do v+dv. Zdolność emisji jest

zależna od częstotliwości promieniowania (długości fali), temperatury, składu

chemicznego, kształtu i stanu powierzchni ciała.

Prawo Plancka określa rozkład widmowy gęstości mocy promieniowania. Między

wielkościami εv,T i ελ,T zachodzi związek

TvT

c,2, ε

λε λ = (4.66)

Zależność opisana wzorem (4.65) przedstawiona jest graficznie na rys. 4.25a.

Jak widać, ze wzrostem temperatury ciała maksimum zdolności emisyjnej

przesuwa się w stronę fal krótszych i przy odpowiednio wysokiej temperaturze

może leżą w zakresie promieniowania widzialnego (λ = 0,4 .. 0,7 µm). Na ogół

jednak w tempera turach technicznie dostępnych rozgrzane ciała znacznie więcej

energii wypromieniowują w postaci promieniowania cieplnego (podczerwonego)

niż promieniowania w zakresie widzialnym. Na przykład żarówka przy

temperaturze włókna około 3000 K tylko 3% dostarczonej energii za mienia na

energię świetlną. Pozostała część oddawana jest do otoczenia w postaci ciepła.

Żarówki, mimo małej sprawności, chętnie wykorzystywane są jako źródło

światła, gdyż skład widmowy ich promieniowania jest zbliżony do widma

słonecznego.

Znając zdolność emisji promieniowania dla wszystkich fal o danych

częstotliwościach — wzór (4.64) — można obliczyć drogą sumowania



(całkowania) całkowitą zdolność emisji promieniowania ciała doskonale czarnego

w danej temperaturze

dvTv∫∞

=0

,εε (4.67)

po obliczeniu

4Tσε = (4.68)

Wzór (4.68) wyraża prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna, a σ = 5,7⋅10-8

W⋅m-2⋅K-4 jest stałą Stefana-Boltzmanna.

W elektrotechnice ogrzewa się ciała do żądanej temperatury najczęściej

przepuszczając przez nie prąd elektryczny (topienie metali, żarówka).

Temperatura, jaka się przy tym ustala, jest wynikiem równowagi dynamicznej

między energią dostarczaną, a oddawaną do otoczenia. W przypadku

przewodników z prądem równowagę tą opisuje prawo ostygania

)( 0

2TTkSRI −= (4.69)

R — rezystancja, I — prąd płynący przez przewodnik, S — powierzchnia

przewodnika (chłodzenia), T — T0 — przyrost temperatury przewodnika ponad

temperaturę otoczenia, k — współczynnik zależny od rodzaju ośrodka i jego

stanu określający przewodność cieplną.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Rys. 4.25 Zdolność emisji promieniowania ciała doskonale czarnego w różnych temperaturach (a) oraz gęstość strumienia energii świetlnej emitowanego przez słońce w zależności od długości fali (b) (odpowiadająca promieniowaniu ciała doskonale czarnego w temperaturze 6000 K)

Ponieważ temperatura grzejników elektrycznych (do których można zaliczyć

również żarówki) jest proporcjonalna do kwadratu prądu, to ich całkowita

zdolność emisji jest proporcjonalna do ósmej potęgi przepływającego przez nie

prądu.

Elektrotermiczne źródła promieniowania znaczną część energii przekazują

otoczeniu również przez konwekcję (unoszenie), np. niektóre typy ogrzewaczy

wnętrzowych (piece akumulacyjne).

.

.

.

.



4.6 Jarzeniowe i fluorescencyjne źródła promieniowania

Żarówki należą do mało wydajnych źródeł elektrycznych światła, a poza tym są

one mało trwałe. Znacznie wydajniejsze i trwalsze źródła elektryczne

promieniowania widzialnego wykorzystują zjawisko luminescencji.

Luminescencja jest to zjawisko emisji promieniowania elektromagnetycznego o

natężeniu większym od natężenia promieniowania cieplnego w danej

temperaturze, związane z przejściami atomów ze stanu wzbudzonego do stanu

podstawowego.

W zależności od sposobów wzbudzania promieniowania rozróżnia się chemo-,

foto-, elektro-, radio- termo-, lub tryboluminescencję. W naszym przypadku

interesujące dla nas będzie zjawisko elektroluminescencji.

Elektroluminescencja obserwowana jest najczęściej w gazach i ciałach stałych.

Zjawiska elektroluminescencji w gazach wykorzystywane jest w lampach

jarzeniowych. Związane jest ono z wyładowaniami elektrycznymi w tych

ośrodkach. Dlatego też często lampy jarzeniowe nazywa się lampami

wyładowczymi.

Lampy jarzeniowe wykonane są najczęściej w postaci długiej rury, z

zatopionymi na końcu elektrodami, wypełnionej gazem szlachetnym lub parami

metali (np. rtęci). W normalnych warunkach gaz jest bardzo dobrym izolatorem i

nie przewodzi prądu elektrycznego. Związane jest to z małą koncentracją

nośników ładunków elektrycznych (jonów i elektronów). Z chwilą wystąpienia

pola elektrycznego między elektrodami na nośniki ładunków elektrycznych*

zaczyna działać siła zmuszająca je do ukierunkowanego ruchu. Jony i elektrony

w gazie poddanym działaniu pola elektrycznego uczestniczą zatem w dwóch

ruchach: w chaotycznym ruchu cieplnym i w ukierunkowanym ruchu pod

wpływem pola elektrycznego. Jeśli ciśnienie gazu jest odpowiednio małe, to

droga swobodna jonów, między kolejnymi zderzeniami, jest długa. Na tej drodze

nośniki ładunków mogą uzyskiwać tak duże energie, że zdolne są, w czasie

zderzeń z innymi atomami, do jonizacji i wzbudzania tych atomów.

W danej objętości gazu, umieszczonego w rurze wyładowczej, zachodzą zatem

następujące procesy :



— jonizacja cząsteczek gazu,

— wzbudzanie cząsteczek gazu,

— wypromieniowanie kwantów promieniowania elektromagnetycznego

związanych z przechodzeniem cząsteczek do stanu podstawowego,

— wypromieniowanie kwantów promieniowania elektromagnetycznego

związanych z rekombinacją** jonów.

Dwa ostatnie zjawiska związane są z emisją promieniowania w zakresie

widzialnym, a ich intensywność zależy od: ciśnienia gazu, od którego z kolei

zależy długość średniej drogi swobodnej cząsteczek i od napięcia elektrycznego

na elektrodach lampy.

W lampach jarzeniowych stosuje się niewielkie ciśnienia gazów, od 1 Pa do kilku

kilopaskali. Barwa świecenia zależy od rodzaju gazu. Neon pobudzony do

świecenia emituje światło czerwone, hel — białe, ksenon — fioletowe, argon z

domieszką par rtęci — niebieskie. Inne barwy światła uzyskuje się przez

stosowanie mieszanin gazów oraz rur ze szkła barwionego.

Napięcia, jakie potrzebne są do zapłonu lampy, są rzędu setek woltów. Aby takie

napięcie uzyskać, wykorzystuje się zjawisko indukowania siły elektromotorycznej

na zaciskach cewki (dławika) połączonej w tym celu szeregowo z lampą. Po

zapłonie proces wyładowań jarzeniowych w gazie utrzymuje się przy napięciu

niższym od napięcia zapłonu i niższym od napięcia sieciowego — do

podtrzymania procesu jarzenia wystarczy napięcie około 100 V. W czasie

normalnej pracy na dławiku odkłada się więc część napięcia sieciowego. Dławik

zabezpiecza również lampę przed zniszczeniem w chwili jej włączenia. Jak widać

z rys. 4.26, rezystancja lampy zmniejsza się ze zwiększaniem prądu. Bez-

pośrednie włączenie jej do sieci grozi zatem przepaleniem.

Światło emitowane przez lampy wyładowcze znacznie różni się od światła

białego. Z tego względu nie znalazły one zastosowania do oświetlania wnętrz.

Stosuje się je głównie w celach reklamowych.

Pewną odmianą lamp jarzeniowych są lampy fluorescencyjne, tzw. świetlówki,

w których rura wyładowcza pokryta jest od wewnątrz równomierną warstwą

luminoforu. Luminofor jest to substancja, która ma zdolność świecenia pod

wpływem promieniowania elektromagnetycznego. Zjawisko świecenia ciał pod



wpływem napromieniowania elektromagnetycznego nosi nazwę fluorescencji

(stąd nazwa lampy). Długość fali promieniowania fluorescencyjnego jest zawsze

większa od długości fali napromieniowującej luminofor. Zmieniając skład

chemiczny luminoforu można wpływać na zabarwienie wysyłanego przez lampę

światła.

* W normalnych warunkach w danej objętości gazu zawsze znajduje się pewna liczba jonów i elektronów swobodnych. Jonizacja może powstać na skutek zderzeń cząsteczek w ich chaotycznym ruchu, fotojonizacji i innych zewnętrznych czynników. ** Rekombinacja jonów jest procesem przeciwnym do procesu jonizacji atomów lub cząsteczek. W czasie rekombinacji jony łączą się w cząsteczki lub atomy.

Rys. 4.26 Charakterystyka prądowo-napięciowa lampy jarzeniowej

Lampa fluorescencyjna jest wypełniona argonem oraz parami rtęci. Gazy te,

pobudzone do świecenia, emitują promieniowanie ultrafioletowe, niewidzialne dla

oka, które padając na luminofor wywołuje emisję promieniowania

elektromagnetycznego w zakresie widzialnym.

Lampy fluorescencyjne, podobnie jak jarzeniowe, zapalają się i gasną 100 razy w

ciągu jednej sekundy, podczas gdy żarówka, na skutek znacznej bezwładności

cieplnej, wykazuje ledwo zauważalne tętnienia świecenia. Tętnienia światła

żarówek i migotanie światła świetlówek (lamp fluorescencyjnych) nie są

dostrzegalne okiem ludzkim, gdyż oko nie jest zdolne do rejestrowania tak

szybkich zmian.

Migocące światło lamp fluorescencyjnych może jednak wywołać zjawisko

stroboskopowe, co może być niebezpieczne przy pracy z urządzeniami

zawierającymi części ruchome, szczególnie wirujące.

Zjawisko stroboskopowe jest to zespół wrażeń wzrokowych wywołanych

oglądaniem przedmiotów znajdujących się w ruchu okresowym i oświetlonych

światłem błyskowym. Jeśli częstotliwość błysków świetlnych jest równa



częstotliwości ruchu okresowego przedmiotu, to powstaje wrażenie, że przedmiot

jest nieruchomy. Wrażenie to jest wynikiem tego, że przedmiot oglądamy tylko

okresowo, jednak zawsze w tym samym jego położeniu. Jeśli np. szlifierz obrabia

przedmiot wirujący z częstotliwością 100 Hz, a jego miejsce pracy jest

oświetlone świetlówką, to przedmiot obrabiany wydaje się być nieruchomy. Przy

małej różnicy częstotliwości wydaje się, że przedmiot wykonuje powolny ruch. W

zależności od znaku tej różnicy przedmiot może nawet sprawiać wrażenie, iż

porusza się w kierunku przeciwnym do rzeczywistego.

Lampy fluorescencyjne są trzykrotnie wydajniejsze od żarówek. Obecnie, oprócz

żarówek, jarzeniówek i świetlówek do celów oświetleniowych wykorzystuje się

lampy rtęciowe wypełnione parami rtęci oraz lampy sodowe wypełnione parami

sodu. Myśli się już o wykorzystaniu do tych celów również plazmy.

4.7 Elektroniczne źródła promieniowania Elektroniczne źródła promieniowania elektromagnetycznego wykorzystują

najczęściej zjawisko elektroluminescencji.

Luminescencja jest to zjawisko polegające na emitowaniu przez ciało

promieniowania w zakresie widzialnym, po uprzednim zaabsorbowaniu energii.

Elementy elektroluminescencyjne absorbują energię przepływającego przez nie

prądu.

Elektroniczne elementy elektroluminescencyjne, tzw. diody

elektroluminescencyjne, wykonuje się najczęściej z półprzewodników: ZnS,

SiC, InAs, GaP i InSb. Obszarem świecącym jest obszar złącza p-n diody (patrz

p. 5.1 i 6.7).

Diody elektroluminescencyjne (rys. 4.27) emitują światło niespolaryzowane lub

częściowo spolaryzowane. Są one wykorzystywane jako elementy sygnalizacyjne

lub wskaźniki. Stosowane są także jako źródło promieniowania w układach

optycznych. Strumień emitowanego promieniowania jest najczęściej

proporcjonalny do przepływającego przez diodę prądu (rys. 4.28). Obszar widma

światła zależy przy tym od rodzaju półprzewodnika i obejmuje prawie cały zakres

promieniowania widzialnego.



Rys. 4.27 Budowa diody luminescencyjnej

Rys. 4.28 Przykładowa charakterystyka diody elektroluminescencyjnej

Diody elektroluminescencyjne noszą nazwę elementów LED*. Najbardziej

wydajnymi elementami typu LED są diody podczerwieni wykorzystywane w

układach automatyki i kontroli. Częstotliwościowy zakres ich pracy wynosi

kilkaset kiloherców.

Diody elektroluminescencyjne są podstawą budowy wskaźników cyfrowych.

Takie wskaźniki cyfrowe są stosowane między innymi w cyfrowych przyrządach

pomiarowych, kalkulatorach i zegarkach elektronicznych. W zegarkach

elektronicznych stosuje się także wskaźniki cyfrowe wykorzystujące tzw. ciekłe

kryształy (patrz p. 5.1). Wskaźniki te, w przeciwieństwie do wskaźników

wykonanych z wykorzystaniem diod elektroluminescencyjnych, praktycznie nie

pobierają prądu ze źródła i nie świecą, w związku z czym nie są one widoczne w

ciemności.

4.8 Obwody elektryczne jako źródła

promieniowania elektromagnetycznego

Każdy obwód elektryczny wiodący prąd zmienny jest źródłem promieniowania

elektromagnetycznego. Takim źródłem może być nawet odcinek przewodu. Jak

wiadomo, przewód z prądem zmiennym wytwarza w otaczającej przestrzeni



zmienne pole magnetyczne, które wytwarza zmienne pole elektryczne itd. Te

zmienne pola rozchodzą się w próżni z prędkością 300 000 km⋅s-1, tworząc

promieniowanie elektromagnetyczne. Warunkiem wytworzenia więc

promieniowania jest wytworzenie w obwodzie drgań elektrycznych.

Drgania elektryczne najłatwiej jest wytworzyć w elektrycznych obwodach

rezonansowych LC (rys. 4.29). Obwody rezonansowe (patrz p. 6.5)

charakteryzują się częstotliwością drgań własnych (częstotliwością

rezonansową), przy której moc drgań jest największa. Dla obwodów

przedstawionych na rys. 4.29 słuszne są wzory :

* LED — Light Emitting Diodę.

Rys. 4.29 Obwód RLC, w którym źródłem promieniowania elektromagnetycznego jest : a) kondensator: b) cewka indukcyjna

LC

1=ω

LCf

π2

1= (4.70)

L — indukcyjność, C — pojemność.

W obwodach o tzw. elementach skupionych (małych w porównaniu z długością

fali) promieniowanie powstaje głównie w obszarze kondensatora (rys. 4.29a) i

cewki indukcyjnej (rys. 4.29b).

Rozpatrzmy obwód RLC, w którym kondensator jest naładowany. W pewnej

chwili zamykamy obwód łącznikiem. Kondensator ulega rozładowaniu. Natężenie

pola elektrycznego E między okładzinami zmniejsza się, a przepływający prąd

magazynuje energię w postaci pola magnetycznego cewki. Z chwilą rozładowania

kondensatora prąd w obwodzie „chciałby" przestać płynąć, ale zniknęłaby

energia. „Stara się” więc maleć, ale to wywołuje siłę elektromotoryczną między

zaciskami cewki, która znowu wymusza przepływ prądu, tylko że w przeciwnym

kierunku. Przepływ prądu związany jest z ruchem ładunków elektrycznych, które



ładują kondensator ponownie.

Pole elektryczne między okładzinami kondensatora jest wówczas skierowane

przeciwnie, a pole magnetyczne wewnątrz cewki zanika. Od tej chwili rozpoczyna

się ponowne rozładowanie kondensatora i cały proces powtarza się.

Jak widać, proces rozładowania kondensatora w obwodzie LC ma charakter

oscylacyjny. Oscylacje powstają również wtedy, kiedy obwód jest wzbudzony

impulsem (zamknięcie łącznika). Są one związane z ciągłą zmianą postaci energii

zmagazynowanej w obwodzie.

Oscylacje w obwodach RLC mają postać drgań sinusoidalnych (rys. 4.30). W

obwodach rzeczywistych (R ≠ 0) obserwuje się drgania zanikające, zwane

gasnącymi. Drgania w obwodzie idealnym (R = 0) są drganiami nie

zanikającymi, gdyż nie ma strat energii na ciepło Joule'a-Lenza RI2. (W

rzeczywistości będą jednak straty energii związane z wypromieniowaniem fal

elektromagnetycznych — patrz p. 6.5 oraz 8.7). Obwody przeznaczone

specjalnie do emisji promieniowania mają inny kształt niż obwody przedstawione

na rys. 4.29. Noszą one wtedy nazwę nadajników (rys. 4.31). W nadajniku

okładziny kondensatora są rozchylone i ustawione tak, by zmienne pole

elektryczne nie było między nimi zamknięte, a było wypromieniowane na

zewnątrz. (W układach rzeczywistych nadajników radiowych jedną z okładzin

stanowi Ziemia). W celu wytworzenia drgań nie zanikających obwód jest

pobudzany okresowo przez inny obwód, o takiej samej częstości drgań

LCCL

11

00

= (4.71)

Rys. 4.30 Ilustracja graficzna drgań: a) niegasnących (nietłumionych); b) gasnących (tłumionych)



Rys. 4.31 Obwód RLC jako nadajnik fal elektromagnetycznych

Energia z obwodu wzbudzającego jest pobierana za pośrednictwem pola

magnetycznego wytwarzanego przez cewkę o indukcyjności L0. Pole to,

przenikając przez cewkę o indukcyjności L, warunkuje sprzężenie obu obwodów.

Obwody, w których powstają drgania elektryczne, noszą nazwę generatorów.

Zasadę działania generatorów omówimy na przykładzie generatorów

elektronicznych.

Generator elektroniczny jest to urządzenie służące do wytwarzania i

dostarczania do zewnętrznego obwodu elektrycznego sygnału zmiennego o

określonym kształcie, amplitudzie i częstotliwości. W generatorach zachodzi na

ogól przetworzenie energii elektrycznej prądu stałego w energię elektryczną

prądu zmiennego.

Drgania elektryczne wytworzone w generatorze mają częstotliwość rezonansową

określoną parametrami układu rezonansowego i są drganiami tłumionymi.

Zanikanie drgań spowodowane jest stratami energii elektrycznej na nagrzewanie

i promieniowanie elektromagnetyczne. Jeśli do generatora będzie się jednak

doprowadzać energię elektryczną w sposób ciągły, uzupełniający straty

występujące w procesie generacji, to na wyjściu generatorów otrzyma się

drgania niegasnące. Ze względu na sposób uzupełniania strat energii

elektrycznej generatory dzielą się na:

— generatory pracujące w układzie wzmacniaczy rezonansowych z dodatnim

sprzężeniem zwrotnym (generatory przebiegów sinusoidalnych),

— generatory wykorzystujące elementy nieliniowe o ujemnym nachyleniu



charakterystyki prądowo-napięciowej w ograniczonym zakresie napięć i prądów

(generatory przebiegów niesinusoidalnych) (patrz rys. 4.34 i 4.36)

W pierwszej grupie generatorów straty energii występujące podczas generacji

uzupełniane są ze źródła napięcia stałego za pośrednictwem lampy lub

tranzystora.

Schemat blokowy generatora ze sprzężeniem zwrotnym przedstawiono na

rys. 4.32.

Część energii z wyjścia wzmacniacza o wzmocnieniu K, zostaje doprowadzona za

pośrednictwem pętli sprzężenia zwrotnego (blok β) do węzła sumacyjnego S.

W węźle tym sumuje się sygnał wejściowy i sygnał wyjściowy bloku β. (W

prostym przypadku jest to część sygnału wyjściowego generatora, np. 0,1).

Wzrost sygnału wyjściowego generatora powoduje wzrost sygnału wyjściowego

otrzymywanego z pętli sprzężenia, co spowoduje dalszy wzrost sygnału

wyjściowego generatora itd. (tzw. dodatnie sprzężenie zwrotne). Proces

narastania sygnału trwa do chwili, gdy ustali się równowaga między energią

traconą w układzie i dostarczaną.

Rys. 4.32 Zasada sprzężenia zwrotnego

Rys. 4.33 Schemat generatora ze sprzężeniem zwrotnym: a) napięciowym; b) prądowym



Sprzężenie zwrotne można podzielić ze względu na sposób pobierania sygnału do

toru sprzężenia na napięciowe (rys. 4.33a) lub prądowe (rys. 4.33b). Przy

sprzężeniu napięciowym sygnał wprowadzony do pętli sprzężenia zwrotnego jest

proporcjonalny do napięcia wyjściowego. W drugim przypadku jest on

proporcjonalny do prądu wyjściowego. Uwzględniając jeszcze sposób

wprowadzania sygnału do węzła sumacyjnego sprzężenia zwrotne można

podzielić na: napięciowe-równoległe, napięciowe-szeregowe, prądowe-

równoległe i prądowe-szeregowe.

Właściwości złożonych układów elektrycznych można określić znając właściwości

bloków, z których się one składają. Funkcją określającą najważniejsze

właściwości układu elektrycznego, z punktu widzenia jego pracy, jest funkcja

przejścia, powszechnie zwana transmitancją.

Funkcja przejścia układu, przy ustalonych amplitudach i częstościach sygnałów,

jest funkcją określającą stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do

wejściowego. W przypadku przedstawionym na rys. 4.32 określa ona

wzmocnienie wzmacniacza napięcia

we

wy

U

UK = (4.72)

Funkcja przejścia K jest określona dla układu wzmacniacza bez pętli sprzężenia

zwrotnego. Podobnie wyrażenie

wyU

U ββ = (4.73)

określa funkcję przejścia (wzmocnienia) bloku umieszczonego w pętli sprzężenia

zwrotnego.

Funkcja przejścia całego układu ze sprzężeniem zwrotnym

βUU

UG

we

wy

−= (4.74)

po uwzględnieniu zależności (4.72) i (4.73)

K

KG

β−=

1 (4.75)

Dla podtrzymania drgań w generatorach ze sprzężeniem muszą być spełnione

dwa warunki: warunek fazy i warunek amplitudy. Dodatnie sprzężenie

zwrotne wymaga, by sygnał docierający do węzła sumacyjnego układu z pętli



sprzężenia zwrotnego był w fazie z sygnałem wejściowym. Jeżeli wzmacniacz

odwraca fazę o 180°, blok β musi ją odwrócić o dalsze 180°. Dzięki temu

sumowane są amplitudy sygnałów zgodnych w fazie i realizowane dodatnie

sprzężenie zwrotne.

Oprócz warunku fazy generator musi spełniać warunek amplitudy. Jak już

wspomniano, dla podtrzymania drgań wymagane jest doprowadzenie do węzła S

układu, za pośrednictwem bloku β, określonej energii pokrywającej straty w

obwodzie wyjściowym. Aby otrzymać drgania niegasnące sinusoidalne, iloczyn

wzmocnienia wzmacniacza i członu w pętli sprzężenia zwrotnego musi być równy

jedności

1=βK (4.76)

Wzór (4.76) nosi nazwę warunku amplitudy. Ponieważ K jest zwykle większe

od jedności, β musi być mniejsze od jedności. Blok β jest więc dzielnikiem

napięcia. Generatory LC ze sprzężeniem zwrotnym, ze względu na konstrukcję,

dzieli się na: generatory z dzielnikiem transformatorowym (generatory w

układzie Meissnera), generatory z dzielnikiem pojemnościowym (generatory w

układzie Colpittsa i Clappa), generatory z dzielnikiem indukcyjnym (generatory w

układzie Hartleya).

W drugiej grupie generatorów wykorzystuje się zjawisko dostarczania do obwodu

elektrycznego energii przez element nieliniowy pracujący na ujemnie

nachylonym odcinku swej charakterystyki prądowo-napięciowej. Element

pracujący na odcinku charakterystyki prądowo-napięciowej o nachyleniu

ujemnym charakteryzuje się ujemną rezystancją dynamiczną — patrz wzór

(4.77) oraz p. 6.2.7. Jeśli element ten połączymy z obwodem o dodatniej

rezystancji i tak dobierzemy warunki pracy, by rezystancja ta była równa

rezystancji dynamicznej, to powstanie obwód elektryczny, w którym nie ma

rozproszeń energii. W takim bezstratnym obwodzie elektrycznym pobudzonym

do drgań występują drgania niegasnące.

Generatory pracujące z elementem nieliniowym o ujemnym nachyleniu

charakterystyki prądowo-napięciowej noszą nazwę generatorów relaksacyjnych.

Generatory relaksacyjne wytwarzają drgania niesinusoidalne.

Jako elementy nieliniowe wykazujące w pewnym zakresie napięć ujemną

rezystancję dynamiczną wykorzystuje się lampy: tyratrony i neonówki, oraz



elementy półprzewodnikowe: tyrystory i diody tunelowe (p. 6.7).

Charakterystykę prądowo-napięciową diody tunelowej przedstawiono na rys.

4.34. Ze wzrostem napięcia w zakresie od 0 do Umin prąd płynący przez diodę

zwiększa się od 0 do Imax. Dalszy wzrost napięcia w zakresie od Umin do Umax

powoduje zmniejszanie się prądu. Wartość prądu od Imax maleje do wartości Imin.

W tym zakresie napięć i prądów nachylenie charakterystyki diody tunelowej jest

ujemne. Ujemnemu nachyleniu charakterystyki prądowo-napięciowej odpowiada

ujemna rezystancja dynamiczna elementu

i

urd

∆

∆≈ (4.77)

Rys. 4.34 Charakterystyka prądowo-napięciowa diody tunelowej .

Rys. 4.35 Schemat układu generatora z diodą tunelową

Przykładowy układ generatora drgań prostokątnych z diodą tunelową

przedstawiono na rys. 4.35. Generator zasilany jest napięciem stałym U,

napięcie przemienne występuje na okładzinach kondensatora C. W układzie tym

wystąpią drgania elektryczne, jeśli zostanie spełniony warunek

Rrd ≥

przy czym

i

u

II

UUrd

∆

∆≈

−

−=

maxmin

minmax (4.78)

jest średnią rezystancją dynamiczną diody w rozpatrywanym zakresie zmian

napięcia i prądu.



Do budowy generatorów drgań niesinusoidalnych można wykorzystać także

lampę neonową.

Lampa neonowa jest lampą dwuelektrodową wypełnioną rozrzedzonym gazem —

neonem. Elektrody są pokryte metalicznym barem łatwo emitującym elektrony.

Lampa neonowa przy małym napięciu stanowi rezystor o bardzo dużej wartości

rezystancji. Dopiero po przekroczeniu napięcia Uz zwanego napięciem zapłonu,

przez lampę zaczyna płynąć prąd (rys. 4.36). Przepływ prądu związany jest z

jonizacją lawinową gazu (patrz p. 5.2). Lampa po zapłonie utrzymuje prawie

stałą wartość napięcia Ug na swoich elektrodach (z tego względu

wykorzystywana jest również w układach stabilizatorów napięcia). Napięcie Ug

utrzymuje się na lampie dopóty, dopóki przepływający prąd nie zmniejszy się

poniżej wartości zwanej progową. Do pracy w układach generatorów

elektrycznych drgań relaksacyjnych (rys. 4.37) wykorzystuje się opadający

odcinek charakterystyki prądowo-napięciowej, czyli zakres, w którym rezystancja

dynamiczna lampy jest ujemna.

Rys. 4.36 Charakterystyka prądowo-napięciowa neonówki

Kondensator C pod wpływem stałego napięcia U ładuje się przez rezystor R. Na

jego okładzinach i jednocześnie na elektrodach lampy neonowej narasta napięcie

zgodnie ze wzorem

−=

−RC

t

eUu 1 (4.79)

Po czasie t = T1 (rys. 4.38) napięcie osiąga wartość napięcia zapłonu, czyli u =

Uz

−=

−RC

T

z eUU1

1 (4.80)

Z chwilą zapłonu lampy jej rezystancja gwałtownie zmniejsza się i kondensator

rozładowuje się przez lampę. Rezystancja R jest na tyle duża, że napięcie, które



wystąpiłoby na zaciskach lampy po rozładowaniu kondensatora, byłoby mniejsze

od wartości Ug. Po czasie T2 napięcie na elektrodach lampy obniża się do

wartości Ug, przy której lampa gaśnie. Od tej chwili rozpoczyna się od nowa

proces ładowania kondensatora.

Okres drgań napięcia na kondensatorze jest sumą czasów T1 i T2 i wyraża się

wzorem przybliżonym

z

g

UU

UURCT

−

−≈ ln (4.81)

Rys. 4.37 Schemat układu generatora drgań relaksacyjnych

Rys. 4.38 Drgania relaksacyjne

5. Budowa i właściwości ciał 5 .1 Wiadomości ogólne W elektrotechnice wykorzystuje się właściwości wszystkich znanych rodzajów

materiałów. Ich wielka różnorodność umożliwia budowę wielu różnych urządzeń

elektrycznych. Wszystkie ciała, jak wiadomo, zbudowane są z atomów, a te — z

cząstek elementarnych obdarzonych ładunkiem elektrycznym oraz obojętnych

elektrycznie neutronów. Obecność tych naładowanych najmniejszych elementów

materii decyduje o właściwościach elektrycznych i magnetycznych materii.

Właściwości elektryczne i magnetyczne ciał są wyznaczone również wzajemnym

układem atomów, ich budową i wzajemnym oddziaływaniem.



Wszystkie ciała, ze względu na stan skupienia, dzielą się na ciała stałe, ciekłe i

gazowe.

Substancje gazowe zbudowane są z cząsteczek, które znajdują się w ciągłym,

chaotycznym ruchu cieplnym, na skutek czego są pokonywane siły przyciągania

między cząsteczkami i gaz wypełnia całą objętość naczynia, w którym się

znajduje. W normalnych warunkach gaz jest dielektrykiem (izolatorem), tzn. nie

przewodzi prądu elektrycznego (np. powietrze). W pewnych jednak warunkach

gaz może być przewodnikiem — gdy jest zjonizowany.

Jonizacja gazu może nastąpić pod wpływem ciepła i promieniowania oraz na

skutek zderzeń atomów. Przepływ prądu elektrycznego przez ośrodek gazowy

wykorzystuje się np. w lampach jarzeniowych (neonówkach), lampach z parami

rtęci i sodu (wyładowania w gazach rozrzedzonych), w licznikach Geigera-Mullera

(lawinowa jonizacja gazu). Z przepływem prądu przez ośrodek gazowy mamy do

czynienia również w czasie elektrycznych wyładowań atmosferycznych (piorun).

Prąd elektryczny w gazach związany jest najczęściej z jednoczesnym ruchem

jonów dodatnich i ujemnych (p. 5.2).

Nieuporządkowanym ułożeniem cząstek charakteryzują się również ciecze.

Odległości między cząsteczkami cieczy są jednak dużo mniejsze niż w gazie i

cząsteczki nie mają możliwości swobodnego poruszania się. Mogą się one jedynie

zamieniać miejscami między sobą. Ciecze mogą być zarówno dielektrykami, jak i

przewodnikami. Ciecze nieprzewodzące nazywa się cieczami dielektrycznymi,

a ciecze przewodzące — elektrolitami. Elektrolity zawierają jony, które

powstają w czasie dysocjacji elektrolitycznej. Do najbardziej znanych

elektrolitów należą roztwory soli, kwasów i zasad w wodzie.

Przepływ prądu elektrycznego przez ośrodek ciekły wykorzystuje się np. w

ogniwach elektrolitycznych (akumulatorach) (p. 8.2) i wannach elektrolitycznych

(galwanostegia) (p. 5.3). Prąd elektryczny w cieczach związany jest z

jednoczesnym ruchem jonów dodatnich i ujemnych. Towarzyszy mu więc ruch

masy.

Największe zastosowanie praktyczne w elektrotechnice i elektronice znalazły



jednak ciała stale. Ciało stałe charakteryzuje się regularnym okresowym

ułożeniem atomów (lub jonów). Okresowość ułożenia atomów występuje we

wszystkich trzech kierunkach. Atomy w ciele stałym tworzą sieć krystaliczną,

gdyż ze względu na duże wzajemne siły przyciągania wynikające z wiązań

jonowych lub atomowych nie mają one możliwości ruchu względem siebie.

Dopuszczalny jest jedynie cieplny ruch drgający atomów wokół położeń

równowagi. Cieplny ruch drgający atomów oraz siły wzajemnego oddziaływania

między nimi osłabiają wiązania między elektronami zewnętrznych powłok

(elektronami walencyjnymi), a resztą atomu. W pewnych przypadkach, np. w

metalach, prowadzi to do oderwania tych elektronów z ich powłok. Wytwarzają

się w ten sposób elektrony swobodne, które są wspólne dla wszystkich atomów.

Elektrony swobodne, tworzące tzw. gaz elektronowy, mają możliwość

poruszania się wewnątrz kryształu pod wpływem działającego na nie pola

elektrycznego.

Liczba oraz ruchliwość elektronów swobodnych wewnątrz materiału decyduje o

jego przewodnictwie. Na przewodnictwo materiałów ma wpływ temperatura. Ze

wzrostem temperatury zwiększa się energia drgań jonów umieszczonych w

węzłach sieci krystalicznej, a to z jednej strony utrudnia ruch elektronów

swobodnych (przewodnictwo materiału maleje, a jego rezystancja zwiększa się),

a z drugiej strony ułatwia odrywanie się elektronów walencyjnych, co prowadzi

do zwiększenia przewodnictwa materiału. Zwiększenie przewodnictwa ze

wzrostem temperatury jest charakterystyczne dla półprzewodników, natomiast

zmniejszanie się przewodnictwa — dla metali.

Właściwości elektryczne ciał stałych tłumaczy się za pomocą teorii pasmowej.

Teoria pasmowa jest rozszerzeniem teorii budowy atomu podanej przez Nielsa

Bohra. Atomy mogą znajdować się tylko w określonych stanach energetycznych.

Dozwolone stany (poziomy) energetyczne oddzielone są strefami (pasmami)

zabronionymi (przerwa energetyczna). Atom (elektron) może zmieniać swoją

energię tylko w sposób skokowy. Wiąże się to z pobraniem lub oddaniem przez

atom energii określonej przerwą energetyczną (pasmo zabronione) rozdzielającą

poziomy dozwolone (rys. 5.1a).

Sieć krystaliczna składa się z okresowo przestrzennie rozłożonych identycznych



atomów, zakłada się zatem, że elektrony walencyjne poszczególnych atomów są

nierozróżnialne, a cały kryształ traktuje się jako jedną dużą cząsteczkę. Atomy

należące do tej „cząsteczki” mogą również znajdować się tylko w ściśle

określonych stanach energetycznych, które w tym przypadku obejmują pewne

przedziały energii zwane pasmami energetycznymi lub krótko — pasmami

(rys. 5.1b).

Właściwości elektryczne ciał stałych można wyjaśnić przyjmując istnienie dwóch

pasm :

— dolnego — pasma podstawowego,

— górnego — pasma przewodnictwa.

Między tymi pasmami występuje pasmo zabronione (przerwa energetyczna).

Przeniesienie elektronu z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa

(zjawisko odpowiadające wzbudzeniu atomu) powoduje zwiększenie

przewodnictwa materiału. Liczba i ruchliwość elektronów w paśmie

przewodnictwa decyduje o jego przewodności.

Rys. 5.1 Model energetyczny: a) atomu; b) ciała stałego Ep — energia atomu w stanie podstawowym Ew — energia atomu w stanie wzbudzonym ∆E = Ew—Ep — pasmo zabronione (przerwa energetyczna)

Pasmo podstawowe i pasmo przewodnictwa obsadzone są tylko przez elektrony

walencyjne. W zależności od wzajemnego położenia tych pasm i ich obsadzania

przez elektrony ciało stałe może mieć właściwości dielektryka, przewodnika lub

półprzewodnika.



Jak widać, w przedstawionym modelu energetycznym atomu istotną rolę

odgrywają elektrony walencyjne. Jak już wspomniano, elektrony walencyjne są

to elektrony z ostatniej powłoki elektronowej atomu. Są one najsłabiej związane

z jądrem, a odrywając się od niego, nie zmieniają atomów danego pierwiastka.

Pozostałe elektrony zapełniają powłoki elektronowe całkowicie, przy czym za

całkowicie zapełnioną uważa się taką, na której jest 2n2 elektronów, gdzie n jest

kolejnym numerem powłoki (orbity). Elektrony te są silnie związane z jądrem, a

ich odłączenie jest równoznaczne ze zniszczeniem atomu.

5.1.1 Dielektryki Dielektryki są to materiały, które stawiają bardzo duży opór przepływowi prądu.

Ich konduktywność (przewodność właściwa) jest bardzo mała, rzędu 10-15...10-12

S⋅m-1 (simens na metr).

Pasmo podstawowe (rys. 5.2) dielektryka jest całkowicie obsadzone przez

elektrony. Oznacza to, że wszystkie elektrony biorą udział w wytwarzaniu wiązań

między atomami umieszczonymi w węzłach sieci krystalicznej i że brak jest

elektronów swobodnych. Ponieważ brak jest elektronów swobodnych, pasmo

przewodnictwa nie jest obsadzone i materiał ma bardzo dużą rezystancję. Pasmo

podstawowe i pasmo przewodnictwa są podzielone pasmem zabronionym

(przerwą energetyczną) o szerokości ok. 10 eV (∆E ≈ 10 eV; 1 eV = 1,6⋅10-19 J).

Tak duże pasmo zabronione utrudnia elektronom walencyjnym przejście do

pasma przewodnictwa pod wpływem promieniowania, temperatury i innych

czynników zewnętrznych. Również pod wpływem napięcia elektrycznego

przejścia takie na ogół są niemożliwe. Jeśli jednak, przy odpowiednio wysokim

napięciu, nastąpi przepływ prądu przez dielektryk, to związane jest to z tzw.

przebiciem dielektryka, co jest równoznaczne z jego zniszczeniem.

Materiały dielektryczne służą do wykonywania nieprzewodzących elementów

konstrukcyjnych i elementów nośnych układów przewodników — pełnią rolę

izolatorów. Stosuje się je także do wypełniania przestrzeni między okładzinami

kondensatorów.



Rys. 5.2 Układ pasm energetycznych dielektryka (obszar zakreskowany oznacza pasmo obsadzane przez elektrony)

5.1.2 Przewodniki Przewodniki są to materiały przewodzące prąd elektryczny.

Do wywołania w nich przepływu prądu wystarczy doprowadzenie do końców

przewodnika napięcia elektrycznego. Całkowicie zapełnione pasmo podstawowe

zachodzi na pasmo przewodnictwa (rys. 5.3). W związku z tym w paśmie

przewodnictwa znajduje się duża liczba elektronów, które mogą swobodnie

poruszać się pod wpływem przyłożonego napięcia. Rezystywność przewodników

jest mała, natomiast ich konduktywność jest duża, rzędu 106…109 S⋅m-1. W

paśmie przewodnictwa znajduje się mniej więcej tyle elektronów, ile atomów

znajduje się w sieci krystalicznej, tzn. ok. 1023 w centymetrze sześciennym.

Rys. 5.3 Układ pasm energetycznych przewodnika

Najlepszymi przewodnikami są metale. Metale można traktować jako ciała stałe

o budowie krystalicznej zawierające elektrony swobodne. Elektrony swobodne

znajdują się w paśmie przewodnictwa i tworzą w metalach tzw. gaz elektronowy.

Gaz elektronowy kompensuje dodatni ładunek elektryczny sieci krystalicznej tak,

że ładunek wypadkowy jest równy zeru.

Doprowadzenie do końców metalicznego przewodnika napięcia elektrycznego

powoduje ruch elektronów. Ruch ładunków elektrycznych jednego znaku,

właśnie elektronów, tworzy w przewodnikach prąd elektryczny. Jony dodatnie,

umieszczone w węzłach sieci krystalicznej, są silnie związane i nieruchome.



Napięcie przyłożone do końców przewodnika wywołuje w nim pole elektryczne o

natężeniu E zależnym od wartości tego napięcia. Pole elektryczne w przewodniku

rozchodzi się z prędkością światła, a więc niema! jednocześnie na wszystkie

elektrony działa siła

eEF = (5.1)

e — ładunek elektronu.

Pod wpływem napięcia wszystkie zatem elektrony, praktycznie równocześnie,

zostają wprawione w ruch. Tym tłumaczy się np. fakt, że żarówka umieszczona

na końcach bardzo długiego przewodu zaświeca się natychmiast po jej

załączeniu. Natomiast prędkość ruchu poszczególnych elektronów w przewodniku

nie jest duża i, dla praktycznie stosowanych napięć, wynosi kilka milimetrów na

sekundę.

Wszystkie dobre przewodniki energii elektrycznej są zarazem dobrymi

przewodnikami energii cieplnej (ciepła). Pręt metalowy ogrzany silnie na jednym

końcu bardzo szybko osiąga wysoką temperaturę na drugim końcu. Za duże

przewodnictwo cieplne metali odpowiedzialne są również elektrony swobodne.

One to na skutek zderzeń przekazują energię kinetyczną z jednego miejsca

przewodnika do drugiego.

Rezystancja przewodników metalicznych zależy od temperatury. Ze wzrostem

temperatury rezystancja ta zwiększa się w sposób, w przybliżeniu, liniowy.

Przyczyną występowania rezystancji są głównie zderzenia elektronów z

drgającymi jonami w węzłach sieci krystalicznej. W wyższej temperaturze

zderzenia te są częstsze, co prowadzi do zwiększenia rezystancji. Ze

zmniejszeniem temperatury rezystancja przewodników metalicznych maleje. W

niektórych przypadkach prowadzi to do nadprzewodnictwa (patrz p. 5.7).

5.1.3 Półprzewodniki Półprzewodniki są to ciała krystaliczne, które mają właściwości elektryczne

pośrednie między dielektrykami a przewodnikami.

Ich konduktywność jest rzędu 10-8 ... 10-4 S⋅m-1 Układ pasm energetycznych

półprzewodnika przedstawiono na rys. 5.4.



Rys. 5.4 Układ pasm energetycznych półprzewodnika

W temperaturze zera bezwzględnego (—273,15°C) pasmo podstawowe jest

całkowicie zapełnione elektronami walencyjnymi (półprzewodnik jest w tej

temperaturze doskonałym izolatorem). Pasmo przewodnictwa oddzielone jest od

pasma podstawowego przerwą energetyczną o wartości, która wynosi dla

różnych półprzewodników 0,1 ... 2 eV. W temperaturze pokojowej pojawiają się

więc już elektrony, które nie są związane z siecią krystaliczną. Elektrony te

wypełniają pasmo przewodnictwa i zmniejszają tym samym rezystancję

półprzewodnika. Rezystancja półprzewodników ze wzrostem temperatury

zmniejsza się, a więc przeciwnie niż w metalach.

Ze względu na małą wartość pasma zabronionego (przerwy energetycznej)

między pasmami, łatwo jest przenieść część elektronów z pasma podstawowego

do pasma przewodnictwa. Wzbudzenie atomów może nastąpić pod wpływem

ciepła, promieniowania, pola elektrycznego, magnetycznego i innych czynników

zewnętrznych. Półprzewodniki są więc czułe na działanie tych czynników

(zjawiska fotoelektryczne, fotowoltaiczne).

Przejściom elektronów do pasma przewodnictwa towarzyszy pojawianie się w

paśmie podstawowym nie obsadzonych stanów energetycznych. Wolny stan

energetyczny w paśmie podstawowym, powstały przy przeniesieniu elektronu do

pasma przewodnictwa, jest tzw. dziurą. Dziura jest to więc miejsce w paśmie

podstawowym, w którym brak elektronu i można ją traktować umownie jak

ładunek dodatni. Pod wpływem przyłożonego napięcia w paśmie podstawowym

powstaje ruch dziur, tworząc tzw, prąd dziurowy. Dziury nie mają możliwości

swobodnego ruchu, tak jak elektrony w paśmie przewodnictwa. Przesuwają się

one jednak w kierunku elektrody ujemnej, przy czym każde poprzednie

położenie dziury zostaje zastąpione przez elektron pasma podstawowego.

Ruchliwość dziur jest więc znacznie mniejsza niż elektronów, W ogólności zatem



prąd elektryczny w półprzewodnikach przenoszony jest przez elektrony w paśmie

przewodnictwa i przez dziury w paśmie podstawowym.

O przewodności półprzewodnika decyduje liczba elektronów swobodnych oraz

dziur. Nośniki ładunku elektrycznego, które głównie decydują o prądzie w

półprzewodniku, noszą nazwę nośników większościowych. Nośniki, które

mają mniejszy wkład w przewodnictwo półprzewodników, nazywają się

nośnikami mniejszościowymi. Nośnikami większościowymi, w zależności od

technologii wykonania półprzewodników, mogą być elektrony lub dziury.

Półprzewodniki dzielą się na samoistne i domieszkowane (niesamoistne).

Półprzewodnikami samoistnymi są kryształy pierwiastków IV grupy układu

okresowego pierwiastków: węgiel, krzem, german, niektóre związki chemiczne,

takie jak: GaSb, GaAs, InSb, HgTe, CdTe oraz niektóre substancje organiczne.

Największe znaczenie praktyczne mają jednak półprzewodniki

domieszkowane, których właściwości zależne są od rodzaju i koncentracji

domieszek.

Wprowadzenie domieszki do danego materiału półprzewodnikowego powoduje

zakłócenia atomowe jego sieci krystalicznej, polegające na zastąpieniu atomu

półprzewodnika atomem domieszki. W przypadku gdy domieszkę stanowi

pierwiastek pięciowartościowy (domieszka donorowa), piąty elektron nie

uczestniczący w wiązaniu atomu domieszki w sieci zostaje łatwo oddany na

skutek pobudzenia czynnikiem zewnętrznym i przechodzi do pasma

przewodnictwa. Gdy domieszkę stanowi pierwiastek trójwartościowy (domieszka

akceptorowa), to do nasycenia wiązania atomu domieszki z siecią krystaliczną

półprzewodnika brakuje jednego elektronu. Brak ten łatwo uzupełniają elektrony

pasma podstawowego, pobudzane czynnikiem zewnętrznym, co powoduje

pojawienie się w paśmie podstawowym dziur. Wprowadzenie atomów domieszki

oznacza pojawienie się w paśmie zabronionym poziomów energetycznych,

położonych albo blisko pasma przewodnictwa, albo podstawowego.

Półprzewodnik domieszkowany akceptorowo zwany jest półprzewodnikiem

typu p, nośnikami większościowymi są w nim dziury. W przypadku domieszek

donorowych nośnikami większościowymi są elektrony, a półprzewodnik nazywa

się półprzewodnikiem typu n*. Półprzewodniki domieszkowane mają większą



konduktywność (w temperaturze pokojowej) niż samoistne i one właśnie są w

elektronice wykorzystywane do wytwarzania elementów elektronowych (diody,

tranzystory, fotoelementy, lasery itp.).

Podział ciał — ze względu na stan skupienia materii — na trzy grupy, obejmuje

wszystkie ciała. Możliwe są jednak jeszcze takie stany strukturalne ciał stałych,

cieczy i gazów, których nie omówiono dotychczas. Ten szczególny rodzaj

występowania materii tworzą ciała szkliste, ciekłe kryształy oraz plazma.

Ciała szkliste są to takie ciała, które cechami zewnętrznymi przypominają ciała

stałe (szczególnie twardością), natomiast, podobnie jak ciecze, charakteryzują

się chaotycznym ułożeniem cząsteczek nie tworzących struktur regularnych

(krystalicznych).

Z tego też względu ciała szkliste nazywa się często cieczami przechłodzonymi.

Typowym przedstawicielem ciała o takiej budowie jest zwykłe szkło.

Mieszaniny różnych pierwiastków tworzących ciała szkliste (amorficzne**),

próbuje się wykorzystać do budowy elementów elektronicznych o szczególnych

właściwościach elektrycznych — półprzewodników amorficznych. Znane

półprzewodniki amorficzne bazują na mieszaninie telluru (Te), germanu (Ge) i

selenu (Se) i tworzą półprzewodniki sterowane napięciem elektrycznym,

wykazujące dwa stany: dużej i małej rezystancji.

Ciała szkliste łączą w sobie cechy ciał stałych i cieczy. Podobnie jest z ciekłymi

kryształami.

Ciała ciekłokrystaliczne są to takie ciała, które cechami zewnętrznymi

przypominają ciecze (szczególnie lepkością), natomiast — podobnie jak ciała

stałe — charakteryzują się uporządkowanym i regularnym ułożeniem cząsteczek.

Związki ciekłokrystaliczne utworzone są z bardzo wydłużonych cząsteczek, które,

np. w przypadku ciekłych kryształów typu nematycznego, ustawiają się

względem siebie tak jak wykałaczki w pudełku. Sposób ułożenia tych cząsteczek

jest przyczyną, anizotropii*** ciekłych kryształów. Na przykład prędkość

rozchodzenia się światła (współczynnik załamania) jest inny dla kierunku



wzdłużnego i poprzecznego względem osi długiej cząsteczek (rys. 5.5).

Ciekłe kryształy wykazują wiele interesujących zjawisk elektrooptycznych. Pod

tym względem wyróżniają się związki cholesterolowe. Ciekły kryształ

cholesterolowy ma właściwość odbijania fali świetlnej tylko o określonej długości:

światło o innej długości jest przepuszczane. Na długość odbijanej fali można

wpływać polem termicznym, elektrycznym, magnetycznym itp. W omawianych

substancjach obserwuje się inne interesujące zjawiska elektro-, magneto-,

termo-, mechanooptyczne i inne (patrz p. 5.3)

* W literaturze często typy półprzewodników są oznaczane wielkimi literami P (positive)

oraz N (negative).

** bezpostaciowe.

*** Anizotropia jest cechą takich ośrodków, które mają różne właściwości fizyczne w

różnych kierunkach.

Wszystkie omówione stany skupienia materii występują w przyrodzie tylko w

warunkach ziemskich. W laboratoriach udaje się uzyskać materię również w

postaci plazmy.

Plazma jest to taki stan skupienia materii, w którym wszystkie jądra atomów i

jony są uwolnione od elektronów i tworzą razem z nimi mieszaninę „gazu

jonowego” i „gazu elektronowego”.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Rys. 5.5 Przykładowa struktura cieczy ciekłokrystalicznej typu: a) nematycznego; b) cholesterolowego; c) smektycznego

Do utrzymania plazmy potrzebna jest wysoka temperatura i bardzo silne pola

magnetyczne. Wysoka temperatura umożliwia jonizację atomów, niekiedy „aż do

ostatniego elektronu”, a silne pole magnetyczne utrzymuje plazmę w określonej

objętości.

Utworzenie plazmy wymaga temperatury około 20 milionów kelwinów. W tej

temperaturze energia kinetyczna atomów jest już tak duża, że jonizacja

zachodząca na skutek zderzeń jest dostatecznie intensywna. Zadaniem

zewnętrznego pola magnetycznego jest również „zamknięcie” plazmy w

określonej objętości w przestrzeni, gdyż nie ma dotychczas materiałów, które



byłyby odporne na działanie tak wysokich temperatur.

Materia w postaci plazmy występuje we wnętrzu gwiazd. W warunkach ziemskich

plazmę najłatwiej jest otrzymać z wodoru i jego izotopów.

5.2 Wpływ pola elektrycznego na gazy

Największym zbiornikiem gazu na Ziemi jest atmosfera ziemska. W atmosferze

ziemskiej zachodzi wiele procesów klimatycznych, optycznych,

termodynamicznych (cieplnych), chemicznych, ale również i elektrycznych.

Właściwości elektryczne atmosfery są bardzo interesujące. Uwzględnia się je w

wielu urządzeniach technicznych i dlatego będą omówione dokładniej.

Kulę ziemską, z punktu widzenia jej właściwości elektrycznych, można uważać za

kulę naładowaną ładunkiem ujemnym. Wytwarza ona w powietrzu pionowe pole

elektryczne o natężeniu E = 100 V⋅m-1 przy powierzchni, zmniejszające się wraz

ze zwiększaniem odległości od powierzchni Ziemi (patrz przykład 6.19). W

przybliżeniu możemy powiedzieć, że między dwoma punktami, oddalonymi od

siebie w kierunku pionowym o 1 cm, istnieje różnica potencjałów 1 V. Nie

oznacza to jednak wcale, że między czubkiem naszej głowy i stopami, gdy

stoimy na Ziemi, występuje napięcie kilkudziesięciu czy kilkuset woltów.

Człowiek, w porównaniu z dielektrycznymi właściwościami powietrza, jest dość

dobrym przewodnikiem (patrz p. 5.3) i deformuje pole tak, że napięcie to jest

równe zeru. Dlatego nie odczuwamy na sobie działania pola elektrycznego.

Pole elektryczne ziemskie rozciąga się na wysokość do ok. 50 km. Ze względu na

wspomniane zmniejszanie się natężenia pola wraz ze wzrostem odległości od

Ziemi całkowita różnica potencjałów (napięcie elektryczne) między górnymi

warstwami atmosfery i powierzchnią Ziemi wynosi ok. 400 000 V (0,4 MV). Na

wysokości ok. 50 km rozciąga się silnie przewodząca warstwa atmosfery, która

wraz z powierzchnią naładowanej kuli ziemskiej tworzy jakby gigantyczny

kondensator kulisty (patrz przykład 6.19). Kondensator ten wypełniony jest

dielektrykiem — powietrzem — i jest on ciągle naładowany, wytwarzając pole

elektryczne przy powierzchni Ziemi o natężeniu 100 V⋅m-1.



Powietrze atmosferyczne jest szczególnym dielektrykiem, gdyż jest to dielektryk

z przewodzeniem. Przewodnictwo elektryczne powietrza wynika z obecności w

nim jonów swobodnych. Jony te powstają pod wpływem promieniowania

radioaktywnego. Początkowo sądzono, że źródłem tego jonizującego

promieniowania są rudy pierwiastków promieniotwórczych zalegające w skorupie

ziemskiej. Przygotowano odpowiednie eksperymenty, polegające na pomiarach

koncentracji nośników ładunków elektrycznych na różnych wysokościach nad

powierzchnią Ziemi. Spodziewano się, że ze wzrostem wysokości będzie ona

coraz mniejsza. Tymczasem okazało się, wbrew pierwotnym oczekiwaniom, że w

miarę oddalania się od powierzchni Ziemi jest ona coraz większa. Źródło

promieniowania jonizującego nie mogło więc leżeć we wnętrzu Ziemi, mógł być

nim tylko Kosmos. W taki oto sposób odkryto promieniowanie kosmiczne.

Jonizujące działanie promieniowania kosmicznego jest największe w górnych

warstwach atmosfery i ono właśnie wytwarza górną, dobrze przewodzącą

elektrodę owego gigantycznego kondensatora.

Swobodne nośniki ładunku elektrycznego występujące w przestrzeni między

dwiema elektrodami muszą dawać zjawisko prądu. Prąd płynie więc także przez

atmosferę ziemską. Skierowany jest on od górnej zjonizowanej warstwy

atmosfery (elektrody dodatniej) do Ziemi (elektrody ujemnej). Wartość

ustalonego, ciągłego prądu atmosferycznego, jest niewielka. Przez każdy metr

kwadratowy powierzchni przenika prąd ok. 10 pA (10⋅10-12 A). Do całej kuli

ziemskiej spływa więc prąd ok. 1800 A. Prąd ten płynąc przez atmosferę pod

napięciem 400 000 V wydziela moc 7200 MW! Duży prąd elektryczny

przepływając przez atmosferę zobojętnia ładunek ujemny Ziemi. Biorąc pod

uwagę dużą wartość tego prądu, ładunek ziemski powinien zostać zobojętniony

w ciągu pół godziny. Tak się jednak nie dzieje. Muszą więc istnieć jeszcze jakieś

inne mechanizmy „pompujące” Ziemię ładunkiem ujemnym, a atmosferę —

dodatnim. Te mechanizmy wyzwalają się w zjawiskach burz atmosferycznych.

Burza atmosferyczna jest rodzajem wyładowania elektrycznego w powietrzu,

w czasie którego Ziemia ładuje się ładunkiem ujemnym, a powietrze —

dodatnim.



Rys. 5.6 Rozkład ładunków elektrycznych w chmurze burzowej i schemat wyładowania atmosferycznego (a) oraz widok wyładowania atmosferycznego (b) (fot. E. Musiał)

Dziennie na Ziemi występuje ok. 300 burz. Największa aktywność burzowa na

całej Ziemi przypada na godzinę 19 czasu Greenwich. Warunkiem wystąpienia

burzy są chmury burzowe (rys. 5.6) zawierające ładunki elektryczne. Ładunki te

są częściowo odseparowane od siebie. W górnych warstwach chmury,

położonych na wysokości ok. 7 km, gdzie temperatura wynosi ok. —20°C,

istnieje przewaga ładunków dodatnich, natomiast w dolnych warstwach,

rozciągających się na wysokości ok. 4 km, gdzie występuje temperatura ok. —

10°C, istnieje przewaga ładunków ujemnych. Ładunek na dnie chmury jest tak

duży, że wytwarza między chmurą a Ziemią różnicę potencjałów nawet do ok.

100 MV. Jest to napięcie znacznie większe niż napięcie 0,4 MV występujące

między skrajnymi obszarami atmosfery ziemskiej w pogodny dzień.

Duża różnica potencjałów, występująca między dnem chmury burzowej a

powierzchnią Ziemi, wytwarza pole elektryczne, którego natężenie lokalnie może

przekraczać wytrzymałość elektryczną powietrza. Występują więc przebicia

elektryczne przez powietrze, związane z przepływem ładunków elektrycznych,

efektami świetlnymi (błyskawica) i akustycznymi (grzmot). Prąd elektryczny

wyładowania burzowego płynie od powierzchni Ziemi (dodatniej względem dna



chmury) do chmury. W tym czasie ładunek elektryczny ujemny z dna chmury

spływa do Ziemi i ładuje ją ujemnie.

Wyładowanie elektryczne atmosferyczne jest zjawiskiem bardzo złożonym. Jest

ono inicjowane wyładowaniami pilotującymi (prekursor). Grupa ładunków

ujemnych odrywa się od chmury i z prędkością ok. 50 000 km⋅s-1 przebywa

drogę kilkudziesięciu metrów, po czym zatrzymuje się na okres ok. 5 µs i znów

posuwa się dalej. W ten sposób, jakby skokowo, wyładowanie pilotujące tworzy

kanał przewodzący łączący chmurę z Ziemią. Kanał ten jest drogą dla ładunków

ujemnych chmury, które już bez większych przeszkód wnikają w kanał

przewodzący i docierają do Ziemi. Od tej chwili rozwija się główne

wyładowanie piorunowe polegające na raptownym rozładowaniu kanału

wyładowania wstępnego przez ładunki przeciwnego znaku spływające z Ziemi w

kierunku ku chmurze. Właśnie to uderzenie główne, tzw. powrotne, widziane jest

jako główne wyładowanie atmosferyczne (piorun). Towarzyszy mu świecenie

gazu i wydzielanie się ciepła, które powoduje szybkie rozprężenie, a potem

gwałtowne sprężenie powietrza wywołując grzmot.

Rys. 5.7 Przebieg typowego prądu udarowego (wyładowania atmosferycznego)

Prąd pojedynczego głównego wyładowania atmosferycznego osiąga wartość

maksymalną ok. 20 kA (rys. 5.7). Jego przebieg w czasie jest typowy dla prądów

wyładowań udarowych. Jednorazowo przenosi on ładunek ok. 20 C.

Po czasie kilku setnych sekundy po uderzeniu powrotnym biegnie od Ziemi do

chmury nowe wyładowanie pilotujące, tzw. ciemne. Najczęściej wyładowanie to

rozwija się w tym samym kanale, w którym rozwijało się pierwsze wyładowanie

pilotujące. „Pilot” biegnie do Ziemi tym razem bez przerw, jednym skokiem, po

czym znowu następuje uderzenie powrotne do góry.

Całe zjawisko powtarza się kilkakrotnie w jednym kanale. Zjawisko pioruna,

obserwowane przez nas w czasie burz, jest więc w istocie zjawiskiem złożonym i

koniecznym do utrzymania „równowagi elektrycznej” atmosfery ziemskiej.



Właściwości elektryczne powietrza były bardzo dokładnie badane, gdyż jest ono

najpowszechniej stosowanym izolatorem w układach elektrycznych, szczególnie

układach wysokiego napięcia. Wytrzymałość elektryczna powietrza w normalnych

warunkach wynosi 33⋅105 V⋅m-1 i zależy od temperatury, ciśnienia, wilgotności i

innych czynników atmosferycznych.

W układach elektrycznych bardzo często istotnym parametrem jest nie

wytrzymałość elektryczna dielektryka, a napięcie, przy którym następuje

przeskok iskry elektrycznej między dwoma wyróżnionymi elektrodami układu,

tzw. napięcie przeskoku Up.

Wartość napięcia przeskoku zależy od kształtu elektrod (rys. 5.8) i odległości

między nimi. Jest ona najmniejsza dla układu ostrzowego elektrod, gdyż w

pobliżu płaszczyzn o dużych krzywiznach pole elektryczne osiąga wartość

największą. Na napięcie przeskoku ma wpływ nie tylko kształt elektrod, lecz

również ich wymiary liniowe (rys. 5.9). Jak już wspomniano, na napięcie

przeskoku ma wpływ ciśnienie gazu. Okazuje się, że zależność napięcia Up od

ciśnienia jest zależnością liniową, tzn. Up zwiększa się, w pewnym zakresie

proporcjonalnie do ciśnienia p. Taki sam wpływ na napięcie przeskoku ma

odległość a między elektrodami. Ogólnie, napięcie przeskoku Up jest liniową

funkcją iloczynu ap, co można zapisać

apUU pp 0= (5.2)

Up0 — napięcie przeskoku w warunkach normalnych.

Rys. 5.8 Rozkład pola elektrycznego między różnymi układami elektrod: a) płaskim; b) kulowym; c) ostrzowym



Rys. 5.9 Zależność napięcia przeskoku od odległości między elektrodami iskiernika kulowego dla kul o różnych średnicach

Zależność (5.2) jest znana pod nazwą Prawa Paschena. Graficznym obrazem

prawa Paschena jest rys. 5.10. Zespół procesów fizycznych związanych z

wyładowaniem elektrycznym w powietrzu nosi nazwę łuku elektrycznego. Łuk

elektryczny jest źródłem silnego promieniowania świetlnego i termicznego i

zależnie od okoliczności, w jakich powstaje, może być zjawiskiem pożądanym lub

szkodliwym.

Rys. 5.10 Napięcie przeskoku w układzie płaskim elektrod w temperaturze 20 0C dla różnych gazów

Napięcie potrzebne do podtrzymania łuku jest mniejsze od napięcia wymaganego

do zapłonu łuku. Spowodowane jest to występującymi podczas palenia się łuku

procesami wyzwalającymi jony uczestniczące w wyładowaniu: jonizacją gazu w

przestrzeni międzyelektrodowej przez promieniowanie świetlne łuku

(fotojonizacja) i promieniowaniem termicznym (jonizacja cieplna).



Zjawisko promieniowania świetlnego łuku wykorzystuje się w lampach łukowych,

w których stosuje się głównie elektrody węglowe. Natomiast promieniowanie

termiczne wykorzystuje się m. in. w spawalnictwie łukowym i w hutnictwie (piece

łukowe).

Łuk elektryczny powstaje również przy rozwieraniu lub zwieraniu styków

łączników energetycznych umieszczonych na końcach odcinków linii

przesyłowych wysokiego napięcia. Jest on wtedy zjawiskiem niepożądanym, gdyż

niszczy te zestyki. W celu uniknięcia tego szkodliwego zjawiska stosuje się różne

metody gaszenia łuku. Między innymi zestyki umieszcza się w oleju (wyłączniki

olejowe), w strudze zimnego powietrza (wyłączniki gazowydmuchowe) lub też

stosuje się gaszenie elektromagnetyczne (rys. 5.11). Pole magnetyczne

elektromagnesu oddziałuje na ładunki rozmieszczone w kanale przewodzącym

między elektrodami i zwiększa długość łuku. Prowadzi to do liczebnej przewagi w

jednostce czasu aktów rekombinacji* jonów nad procesami jonizacyjnymi i łuk

gaśnie.

Rys. 5.11 Elektromagnetyczne gaszenie łuku elektrycznego

5.3 Wpływ pola elektrycznego na ciecze Ciecze, podobnie jak ciała stałe, można podzielić na nieprzewodzące i

przewodzące. Ciecze nieprzewodzące (dielektryczne) zachowują się w polu

elektrycznym tak jak dielektryki (izolatory). Właściwości tych ciał zostaną

omówione w p. 5.4.1. Ciecze przewodzące nazywa się elektrolitami. Proces

przepływu prądu elektrycznego przez elektrolit i związane z tym zjawiska noszą

nazwę elektrolizy.



Zdolność przewodzenia prądu przez elektrolity uwarunkowana jest obecnością w

nim jonów dodatnich — kationów i jonów ujemnych — anionów. Jeśli w

elektrolicie jest wytworzone przy użyciu dwu elektrod: elektrody dodatniej —

anody i elektrody ujemnej — katody, pole elektryczne, to kationy będą się

poruszały w kierunku do katody, a aniony — w kierunku do anody. Prąd w

elektrolitach polega zatem na jednoczesnym ruchu cząstek naładowanych

dodatnio i ujemnie. Z ruchem ładunków związany jest zatem ruch masy między

elektrodami.

Obecność jonów w elektrolitach jest wynikiem zjawiska dysocjacji, to jest

zjawiska rozpadu cząsteczek na jony pod wpływem rozpuszczalnika. Bardzo

dobrym rozpuszczalnikiem jest woda, toteż większość elektrolitów stanowią

wodne roztwory kwasów, zasad i soli. Na przykład cząsteczka soli kuchennej

NaCl w wodzie występuje w postaci dwóch jonów: kationu Na+ i anionu Cl-.

Przepływ prądu przez elektrolity nie powoduje zniszczenia elektrolitu. Dla

przykładu rozpatrzmy zjawiska związane z przepływem prądu przez wodny

roztwór kwasu siarkowego.

Na skutek dysocjacji otrzymujemy jony zgodnie z reakcją

442 242 SOHSOH +→ +

Kationy wodoru wędrują do katody, gdzie oddając ładunek dodatni przechodzą

do postaci wodoru cząsteczkowego 2H2, który z kolei wydziela się w postaci

pęcherzyków gazu.

* Rekombinacja jest procesem odwrotnym do jonizacji i polega na łączeniu się jonów w obojętne elektrycznie atomy. W procesie rekombinacji wyzwala się energia w postaci promieniowania elektromagnetycznego z zakresu optycznego. Stąd świecenie gazu. Rekombinacja towarzyszy stale procesom jonizacyjnym i jak one podlega prawom statystycznym.

Dwuwartościowe aniony reszty kwasowej zobojętniają się na anodzie, po czym

reagują z wodą według schematu

24224 222 OSOHOHSO +→+

Tlen cząsteczkowy O2 wydziela się na anodzie w postaci pęcherzyków gazu.

Zjawisko wydzielania substancji na elektrodach jest wykorzystywane w

komórkach (wannach) elektrolitycznych (rys. 5.12). Dobierając różny skład



substancji ulegającej dysocjacji w wodzie, można osadzać na żądanej elektrodzie

również metale. W ten sposób wykonuje się np. złocenie, srebrzenie,

kadmowanie, niklowanie itp. W elektrolitycznym metalizowaniu przedmiotów

przedmiot musi być jedną z elektrod obwodu elektrycznego.

Elektrolizę wykorzystuje się też w hutnictwie miedzi i aluminium.

Dział techniki wykorzystujący zjawiska elektrochemiczne nosi nazwę

galwanostegii. Prawidłowości występujące przy przepływie prądu przez ciecze

przewodzące ujęte są w prawach elektrolizy Faradaya.

Rys. 5.12 Komórka (wanna) elektrolityczna

Pierwsze prawo elektrolizy Faradaya

Masa m ciała wydzielającego się na elektrodzie podczas przepływu prądu I przez

elektrolit jest proporcjonalna do wartości tego prądu i czasu t jego przepływu

kItm = (5.3)

Współczynnik proporcjonalności k ma wartość stałą, zależną od rodzaju

substancji. Nosi on nazwę równoważnika elektrochemicznego.

Ponieważ iloczyn It określa ładunek elektryczny tylko dla prądu stałego, to

równoważnik elektrochemiczny liczbowo równy jest masie wydzielonej na

elektrodzie pod wpływem przepływu ładunku 1 C.

Drugie prawo elektrolizy Faradaya

Masy różnych substancji wydzielanych na elektrodach w procesie elektrolizy

wskutek przepływu takiej samej wartości ładunku elektrycznego są

proporcjonalne do ich równoważników chemicznych i równe równoważnikom

gramowym.



Równoważnik gramowy R jest to wielkość wyrażona w gramach, równa

stosunkowi ciężaru cząsteczkowego M do wartościowości w jonu

w

MR = (5.4)

Jeśli ładunek, którego przepływ powoduje wydzielenie się równoważnika

gramowego, oznaczymy przez F, to pierwsze prawo elektrolizy dla tego

przypadku będzie miało postać

kFR = (5.5)

Okazuje się, że ładunek F powodujący wydzielenie się masy o wartości

równoważnika gramowego substancji R, jest wielkością stałą i niezależną od

rodzaju wydzielanej substancji. Nosi on nazwę stałej Faradaya i ma wartość F

= 96 500 C. Z układu równań napisanych dla dwóch różnych elektrolitów

FkR

FkR

22

11

=

= (5.6)

wynika treść drugiego prawa elektrolizy Faradaya

2

1

2

1

k

k

R

R= (5.7)

Zjawiska elektrolizy i prawa Faradaya są dowodem słuszności teorii elektronowej

budowy ciał.

Przykład 5.1

Równoważnik elektrochemiczny k jednowartościowego (w = 1) srebra, o masie cząsteczkowej M = 108 g jest równy 1,12 mg⋅C-1. Obliczyć wartość stałej Faradaya.

Z równań (5.4) i (5.5) wynika, że

wk

MF =

Uwzględniając dane liczbowe

CF 9650012,1

108000==

Przykład 5.2 Wiedząc, że stała Avogadro NA = 6,022⋅1023, obliczyć ładunek jednowartościowego jonu srebra.

Stała Avogadro określa liczbę atomów w gramocząsteczce (w molu). Ponieważ w

naszym przypadku równoważnik gramowy jednowartościowego jonu srebra jest



równy jego gramocząsteczce, zatem przepływ ładunku F oznacza wydzielenie

gramocząsteczki. Na jeden jon srebra przypada więc ładunek

A

Fq =

Po wykonaniu obliczeń

19

23106,1

1003,6

96500 −⋅=⋅

=C

q

co odpowiada ładunkowi elektronu.

Prąd elektryczny przepływa również przez tkanki organizmów żywych. Wszystkie

tkanki z wyjątkiem tkanek skórnych można traktować jako elektrolit.

Fizjologiczne działanie prądu uwidacznia się w oparzeniach i zmianach

chemicznych w tkankach. Oparzenia powstają na skutek wydzielającego się

ciepła związanego z przepływem prądu. Pojawiają się one na skórze, są bardzo

bolesne i trudno się goją. Czasami mogą występować w tkankach wewnętrznych

i wtedy objawiają się wyparowaniem tkanek, zwęgleniem kości, rozsadzaniem

naczyń krwionośnych, zmianą struktury tkanek (białko ulega koagulacji czyli

ścinaniu, w temperaturze 46 0C) itp.

Działanie chemiczne prądu narusza proces przemiany materii w ustrojach

żywych. Na przykład uszkodzone prądem tkanki mięśniowe wydzielają

mioglobinę, związek powodujący chemiczne i mechaniczne uszkodzenie nerek.

Skutki rażenia prądem nie są jednakowe u wszystkich osób — zależą od stanu

naskórka (suchy, mokry), od drogi obiegu prądu, czasu trwania rażenia i od

skłonności indywidualnej. Między innymi stwierdzono również, że także stan

emocjonalny osoby ma wpływ na skutki fizjologiczne działania prądu

elektrycznego.

Napięcie bezpieczne dla życia, w normalnych warunkach, wynosi ok. 65 V.

Uwzględniając niekorzystny wpływ czynników zewnętrznych, za napięcie

bezpieczne przyjmuje się napięcie o wartości 24 V. Najgroźniejsze dla życia

ludzkiego są napięcia stałe i napięcia o małej częstotliwości, takiej np. jak

sieciowa (50 Hz). Przy napięciach przemiennych o większej częstotliwości

rezystancja elektrolitu, na skutek bezwładności jonów i lepkości cieczy, zwiększa

się. Skutek działania takiego napięcia jest więc mniejszy. Napięcie o



częstotliwości 10 kHz i większej praktycznie nie wywołuje już działania

fizjologicznego.

Zjawisko odporności tkanki ludzkiej na działanie prądów wielkiej częstotliwości

jest wykorzystywane w medycynie. Dział medycyny zajmujący się leczeniem

prądem wielkiej częstotliwości i wysokiego napięcia nazywa się diatermią.

Diatermia polega na ogrzewaniu wewnętrznych tkanek chorego. Aparat

diatermiczny, będący generatorem drgań elektrycznych o częstotliwości ok. 1

MHz, wyposażony jest w dwie elektrody. Elektrody umieszcza się na ciele

chorego w dwóch przeciwległych miejscach. Prąd wielkiej częstotliwości

przepływając między elektrodami ogrzewa wewnętrzne tkanki i wywiera tym

samym działanie lecznicze. Niekiedy źródła wysokich napięć i wielkiej

częstotliwości są wykorzystywane do efektownych pokazów cyrkowych. W

pokazach tych między elektrodą kulową i wyciągniętą ręką cyrkowca przeskakuje

iskra elektryczna nie czyniąc mu szkody.

Rys. 5.13 Układ pracy (a) i schemat (b) tetrody solinowej 1— wejście (input), S — ekran (shield), — wyjście (readout) — elektroda pomiarowa, C — elektroda wspólna (common) p— naturalny (trwały) moment dipolowy cząsteczki, pin. — moment dipolowy indukowany

Soliony

Zjawiska elektrochemiczne w dalszym ciągu są przedmiotem badań.

Współcześnie opracowuje się wiele nowych urządzeń elektrochemicznych —

chemotronów, służących do budowy różnych przetworników. Najbardziej znane

z nich to integratory gazowe, memistory, chromistory, ovitrony, przetworniki

elektrokapilarne, przetworniki kinetyczne i przetworniki typu Solion (soliony).

Soliony (rys. 5.13) są to elementy elektronowe w postaci bańki wypełnionej

elektrolitem, w którym zachodzą reakcje chemiczne typu utlenianie - redukcja.



W układach pracy solionów wyróżnia się obwód wejściowy i obwód wyjściowy.

Najczęściej spotyka się diody solionowe detekcyjne i integracyjne oraz tetrody

integracyjne (całkujące).

Elektrody lampy solionowej wykonuje się z platyny, obojętnej wobec

elektrolitów. Typowym elektrolitem lampy jest slaby roztwór jodu w wodnym

roztworze jodku potasu KJ. Jodek potasu dysocjuje w wodzie

−+ +→ JKKJ

Jony potasu K+ nie biorą udziału w dalszych reakcjach chemicznych, natomiast

jony jodu J- tworzą z cząsteczkami jodu J2 jony trójjodku

−− →+ 32 JJJ

Jony potasu nie ulegają dejonizacji, gdyż do tego potrzebne jest napięcie 1,86 V,

natomiast napięcie między dowolnymi elektrodami solionu nie przekracza nigdy

wartości 0,9 V. Pod wpływem napięcia elektrycznego aniony J- dążą do anody

przekazując jej ładunek ujemny. Zachodzi więc anodowa reakcja utleniania

−− →+ 323 JEJ (5.8)

Rys. 5.14 Charakterystyka tetrody solionowej

Przepływ prądu przez elektrolit powoduje więc wzrost koncentracji jonów

trójjodku i zmniejszanie się koncentracji jonów jodu, co prowadzi do wzrostu

rezystancji elektrolitu. Na skutek dyfuzji część jonów trójjodku −3J dociera do

katody pobierając z niej ładunek ujemny. Zachodzi więc reakcja redukcji

−− →+ JEJ 323 (5.9)

Reakcje opisane wzorami (5.8) i (5.9) w warunkach ustalonych zachodzą z tą

samą intensywnością, tak że suma stężeń jonów −J i −

3J jest stała.



Szczególną właściwością tetrod solionowych są ich możliwości integracyjne, a

dokładnie zdolność całkowania ładunku elektrycznego. Ładunek elektryczny

wnoszony do solionu niesiony jest przez prąd i płynący w obwodzie wejściowym.

Obwód wyjściowy zasilany jest z osobnego źródła napięcia, a prąd wyjściowy I

jest proporcjonalny do zgromadzonego ładunku (rys. 5.14). Wartość prądu I jest

niezależna od sposobu, w jaki ładunek wpływa do przetwornika; może on być

dostarczany w postaci prądu ciągłego lub impulsów prądowych.

Tetrody solionowe wykorzystywane są w wielu różnych układach pomiarowych,

układach automatyki i sterowania. Stosuje się je również jako czujniki

temperatury.

5.4 Wpływ pola elektrycznego na ciała stałe 5.4.1 Wpływ pola elektrycznego na dielektryki Dielektryki, zwane nieraz izolatorami, są to materiały, które przepływowi prądu

stawiają bardzo duży opór. Bardzo często wykorzystywane są one jako ośrodek

wypełniający przestrzeń między elektrodami kondensatora.

W dielektryku liczba swobodnych ładunków elektrycznych jest bardzo mała, a o

jego konduktywności (przewodności) i innych właściwościach elektrycznych

decydują ładunki związane.

Przewodnictwo dielektryków może mieć charakter przewodnictwa jonowego

lub przewodnictwa elektronowego.

W normalnych warunkach w dielektrykach przeważa przewodnictwo jonowe.

Przyczyną tego jest fakt, że mniej energii potrzeba do oswobodzenia jonu niż do

przeniesienia elektronu do pasma przewodnictwa (p. 5.1). Oswobodzenie jonu

wymaga kilku elektronowoltów energii. Przeniesienie elektronu wymaga

natomiast pola elektrycznego o natężeniu E > 108 V⋅m-1, bądź ogrzania

dielektryka do temperatury T ≈ 600 K, bądź też naświetlenia go

promieniowaniem X lub promieniowaniem o mniejszej długości fali. We

wszystkich przypadkach może nastąpić zniszczenie dielektryka przed uzyskaniem

stanu zwiększonego przewodnictwa.



Tabela 5.1 Właściwości niektórych materiałów dielektrycznych

Dielektryk Przenikalność elektryczna względna εr

Rezystywność Ω⋅m Wytrzymałość elektryczna na przebicie V⋅m-1

Szkło 3,5 ... 10 1013 ... 1017 20⋅106

Olej 2...3 1014... 1015 15⋅106

Mika 6...8 1017 60⋅106

Porcelana 6...7 1014 ... 1015 35⋅105

Uwaga: 1 kV⋅cm-1 = 105 V⋅m-1

Między atomami dielektryka mogą występować różne typy wiązań. W

szczególności mogą to być wiązania kowalencyjne (atomowe) lub jonowe.

W przypadku wiązań atomowych powstają najczęściej cząsteczki symetryczne

elektrycznie. W cząsteczkach takich środek ładunków dodatnich pokrywa się ze

środkiem ładunków ujemnych; na zewnątrz cząsteczki takie nie wytwarzają pola

elektrycznego. O dielektrykach tak zbudowanych mówimy, że są dielektrykami

niepolarnymi.

W przypadku wiązań jonowych cząsteczki tworzą dipole elektryczne. Dielektryk o

strukturze dipolowej nazywa się dielektrykiem polarnym.

Dipol elektryczny (rys. 5.15) jest to układ dwóch różnoimiennych ładunków

elektrycznych, które są utrzymywane w pewnej odległości od siebie na skutek

działania sił zewnętrznych. Dipol charakteryzuje się momentem dipolowym

p = ql (5.1)

q — ładunek umieszczony w biegunie dipola, l — odległość między ładunkami

jako odcinek wektorowy.

Wektor momentu dipolowego ma zwrot od ładunku dodatniego do ujemnego.

Dipole elektryczne dielektryków polarnych są wynikiem rozsunięcia środków

ładunków elektrycznych dodatnich i ujemnych cząsteczki na pewną odległość. Z

tego też względu cząsteczkę polarną możemy rozpatrywać jako dipol

elektryczny.



Rys. 5.15 Budowa dipola elektrycznego Moment dipolowy cząsteczek bywa nieraz znaczny. Na przykład moment

dipolowy cząsteczki NaCl wynosi 3,44⋅10-30 C⋅m. Moment dipolowy cząsteczki H20

równy 6,14⋅10-30 C⋅m jest wynikiem niesymetrycznego ułożenia atomów wodoru

względem atomu tlenu.

Dielektryk umieszczony w polu elektrycznym ulega polaryzacji.

Polaryzacja dielektryka jest wynikiem ruchu ładunków związanych.

Stabilizowanie się położenia ładunków elektrycznych w nowych warunkach,

wymuszonych warunkami zewnętrznymi, nosi nazwę relaksacji. Czas ustalania

się polaryzacji lub jej zaniku nosi nazwę czasu relaksacji.

Istnieją cztery rodzaje polaryzacji :

— elektronowa,

— atomowa,

— dipolowa,

— makroskopowa (polaryzacja jonowego ładunku przestrzennego).

Polaryzacja elektronowa jest to zjawisko powstawania elektrycznego

momentu dipolowego dielektryka na skutek sprężystego odkształcenia chmur

elektronowych atomów względem jądra pod wpływem zewnętrznego pola

elektrycznego.

Atom z odkształconą chmurą zachowuje się jak dipol. Odkształcenie to jest

sprężyste, gdyż po zaniku zewnętrznego pola elektrycznego atom powraca do

swego poprzedniego kształtu. Czas relaksacji polaryzacji elektronowej jest rzędu

10-15 s, co odpowiada częstotliwości promieniowania z zakresu fal



ultrafioletowych. Z tego względu polaryzację elektronową nazywa się niekiedy

polaryzacją optyczną.

Polaryzacja elektronowa występuje we wszystkich dielektrykach.

Rys. 5.16 Schemat polaryzacji dielektryków: a) budowa dielektryka niepolarnego; b) schemat polaryzacji dielektryka niepolarnego; c) budowa dielektryka polarnego; d) schemat polaryzacji dielektryka polarnego p — naturalny (trwały) moment dipolowy cząsteczki, pin. — moment dipolowy indukowany

Polaryzacja atomowa (lub jonowa) jest to zjawisko powstawania

elektrycznego momentu dipolowego dielektryka niepolarnego na skutek

wytworzenia w nim dipoli indukowanych. Dipole indukowane są wynikiem

przesunięcia atomów, jonów lub grup polarnych wchodzących w skład cząsteczki

pod wpływem zewnętrznego poła elektrycznego (rys. 5.16 a, b). W wyniku

polaryzacji atomowej ulega również odkształceniu sprężystemu chmura

elektronowa cząsteczki.



Indukowane momenty dipolowe są ok. 104 razy mniejsze od naturalnych

momentów dipolowych (trwałych). Czasy ich relaksacji są rzędu 10-12 s, co

odpowiada częstotliwości promieniowania z zakresu fal podczerwonych.

Polaryzacja dipolowa jest to zjawisko powstawania elektrycznego momentu

dipolowego dielektryka polarnego na skutek częściowego uporządkowania dipoli

pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego.

Cząsteczki dielektryka polarnego w stanie swobodnym, obdarzone naturalnym

momentem dipolowym, nie wytwarzają na zewnątrz pola elektrycznego, gdyż są

zorientowane w sposób chaotyczny i przypadkowy (rys. 5.16c). Dopiero

zewnętrzne pole elektryczne ustawia (obraca) momenty dipolowe cząsteczek

tak, że istnieje wypadkowy moment dipolowy całego dielektryka zgodny z

kierunkiem tego pola (rys. 5.16d).

Czas relaksacji polaryzacji dipolowej zależy od rozmiarów cząsteczek i waha się

w granicach od 10-11 do 10-3 s, najczęściej zaś zawiera się w przedziale od

10-10do 10-6 s.

Polaryzacja makroskopowa (strukturalna) jest to zjawisko powstawania

elektrycznego momentu dipolowego dielektryka na skutek ruchu swobodnych

nośników ładunków elektrycznych (zanieczyszczenia jonowe), które pod

wpływem zewnętrznego pola elektrycznego grupują się na granicy dielektryka z

elektrodami.

Zewnętrzne pole elektryczne, w którym umieszcza się badany dielektryk,

wytwarza się najczęściej za pomocą układu płaskich elektrod (rys. 5.17). Układ

ten stosowany jest bardzo często, gdyż wytwarza pole elektryczne równomierne,

tzn. takie, które w całym obszarze między elektrodami charakteryzuje się

jednakowym natężeniem.

W dielektryku spolaryzowanym (rys. 5.17) dipole elektryczne wytwarzają własne

pole elektryczne, skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego.

Jeżeli w jednostce objętości jest N atomów, to moment dipolowy przypadający

na jednostkę objętości będzie reprezentowany przez wektor polaryzacji*



P = Nql (5.11)

q — ładunek pojedynczego atomu, l — odległość między ładunkami znajdującymi

się na przeciwległych powierzchniach dielektryka (l jest wektorem)

Obecność polaryzacji P w dielektryku wynika ze specyficznego rozkładu

ładunków polaryzacyjnych (ładunków związanych), rozłożonych na

powierzchniach przeciwległych z gęstością σp. Gęstość σp ładunków jest

proporcjonalna — dla dielektryków liniowych — do gęstości σs ładunków

swobodnych rozmieszczonych na elektrodach (rys. 5.17).

Gęstość ładunków polaryzacyjnych można obliczyć ze wzoru

S

Qp

p =σ (5.12)

Qp — całkowity ładunek polaryzacyjny, S — pole powierzchni płytki.

Ponieważ ładunek Qp zawarty jest w elemencie dielektryka o objętości Sl, to

SlNqQp = (5.13)

Nq — ładunek zgromadzony w jednostce objętości.

Rys. 5.17 Dielektryk w równomiernym polu elektrycznym

Z zależności (5.12) i (5.13) wynika, że

* Termin polaryzacja ma dwa znaczenia. Jedno znaczenie już poznaliśmy (p. 1.4.1). Odnosi się ono do zjawiska, w wyniku którego zmienia się stan dielektryka. Drugie znaczenie odnosi się do wielkości fizycznej, która jest analogiczna do namagnesowania (magnetyzacji) (patrz p. 5.6

Nqlp =σ (5.14)

Okazuje się więc, że — patrz wzór (5.11)

pP σ= (5.15)

Polaryzację mierzy się gęstością ładunku polaryzacyjnego. Gęstość

powierzchniowa ładunku na powierzchni dielektryka jest równa polaryzacji w



jego wnętrzu. Ładunek polaryzacyjny na powierzchniach dielektryka istnieje

dzięki ładunkowi swobodnemu zgromadzonemu na okładzinach kondensatora. Po

usunięciu ładunku qs zanika również ładunek qp cofając się do wnętrza na skutek

relaksacji polaryzacji wewnątrz materiału.

Jak już wspomniano, wartość polaryzacji dla dielektryków liniowych jest

proporcjonalna do wartości natężenia zewnętrznego pola elektrycznego

EP 0χε= (5.16)

gdzie χ jest współczynnikiem podatności elektrycznej lub po prostu

podatnością elektryczną. Indukcja elektryczna jest w tym przypadku równa

sumie polaryzacji próżni — patrz p. 1.5, wzór (1.28) — oraz polaryzacji ośrodka

PDD += 0 (5.17)

Ponieważ D0 = ε0E i P = χε0E, to

EED 00 χεε += (5.18)

Uwzględniając w zależności (5.18)

1+= χε r (5.19)

można napisać

ED rεε 0= (5.20)

Wielkość εr nosi nazwę przenikalności elektrycznej względnej ośrodka.

Wielkość ε = ε0εr nosi nazwę przenikalności elektrycznej bezwzględnej

ośrodka.

Przykład 5.3 Między dwie płaskie powierzchnie o polu powierzchni S, odległe od siebie od d (patrz przykład 1.10), wprowadzono dielektryk o przenikalności względnej εr. Porównać pojemność utworzonego w ten sposób kondensatora z pojemnością kondensatora powietrznego (lub próżniowego) o takich samych wymiarach.

W przypadku braku dielektryka powierzchnie naładowane ładunkiem o gęstości

powierzchniowej σs (rys. 5.17) wytwarzają pole elektryczne o natężeniu

0

0ε

σ sE = (5.21)

W dielektryku natężenie pola elektrycznego jest mniejsze i równe

0ε

σσ psE

−= (5.22a)



Ponieważ EPp 0χεσ == to

0

0

ε

χεσ EE s −

= (5.22b)

a stąd

( )χε

σ

+=

10

sE (5.22c)

Uwzględniając zależność (5.19)

r

sEεε

σ

0

= (5.23)

Napięcie na okładzinach kondensatora płaskiego

EdU = (5.24a)

a zatem

r

sdUεε

σ

0

= (5.24b)

Pojemność kondensatora oblicza się ze stosunku

U

QC = (5.25)

gdzie SQ sσ= jest ładunkiem zgromadzonym na okładzinach kondensatora.

Ostatecznie więc

d

SC rεε 0= (5.26)

Oznacza to, że pojemność kondensatora wypełnionego dielektrykiem jest εr razy

większa od pojemności kondensatora próżniowego o tych samych wymiarach.

Jeżeli dielektryk o przenikalności elektrycznej względnej εr wsunie się między

okładziny kondensatora, między którymi jest utrzymywane stałe napięcie, to

zgromadzony ładunek zwiększy się εr razy. Jeśli natomiast kondensator jest

odłączony od źródła energii (Q = const), to dielektryk zmniejsza napięcie między

okładzinami εr razy.

Przykład 5.4 Wyznaczyć wartość przenikalności elektrycznej względnej wodoru przyjmując mechanizm polaryzacji elektronowej takiego dielektryka.

Gdy atom znajduje się w oscylującym z częstością ω0 polu elektrycznym, to na



środek ładunków elektrycznych elektronów działa siła

eExm =2

0ω (5.27)

x — przesunięcie środka ładunku elektrycznego atomu względem środka

geometrycznego, e — ładunek elektronu

Moment dipolowy pojedynczego atomu p = ex można opisać, uwzględniając

zależność (5.27), wzorem

2

0

2

ωm

Eep = (5.28)

Moment dipolowy atomu jest proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego

Ep 0αε= (5.29)

gdzie α jest polaryzowalnością — jest to miara łatwości, z jaką pole elektryczne

indukuje moment dipolowy w atomie.

Porównując wyrażenia (5.28) i (5.29) otrzymuje się zależność

2

00

2

ωεα

m

e= (5.30)

Jeśli w jednostce objętości jest N atomów, to moment dipolowy przypadający na

jednostkę objętości, czyli polaryzacja

ENNpP 0αε== (5.31)

Widać stąd, że podatność elektryczna — patrz wzór (5.22)

αχ N= (5.32)

a przenikalność elektryczna względna — patrz wzór (5.25)

αε Nr +=1 (5.33)

Po uwzględnieniu zależności (5.30)

0

2

0

2

1εω

εm

Ner += (5.34)

Częstość ω0 jest częstością absorpcji optycznej.

W celu obliczenia przybliżonej wartości ω0 przyjmujemy, że jest ona równa

częstości promieniowania o energii równej energii jonizacji atomu wodoru.

Energia jonizacji atomu wodoru (patrz przykład 2.2)

2

0

2

4

8 εh

meE j = (5.35)



Porównując ją z energią ћω0

2

0

3

4

08

2

ε

πω

h

me= (5.36)

Uwzględniając wyznaczoną wartość ω0 w równaniu (5.34) wykonując

odpowiednie obliczenia otrzymuje się εr = 1,00020.

Wartość stałej elektrycznej względnej wodoru wyznaczona doświadczalnie jest

równa 1,00026. (Do obliczeń przyjęto N = 3⋅1019 atomów na centymetr

sześcienny).

Dotychczasowe rozważania dotyczyły dielektryków liniowych. Istnieje jednak

pewna grupa dielektryków, w których zależność między natężeniem

zewnętrznego pola elektrycznego, a polaryzacją, jest nieliniowa. Są to

dielektryki ferroelektryczne, czyli ferroelektryki. Obrazem graficznym tej

nieliniowej zależności jest pętla histerezy elektrycznej, którą można

zaobserwować w układzie przedstawionym na rys. 5.18.

Zjawisko ferroelektryczności jest wynikiem istnienia spontanicznej

polaryzacji (bez udziału zewnętrznego pola elektrycznego) występującej w

niewielkich obszarach kryształu zwanych domenami (patrz ferromagnetyzm — p.

5.6.2). Zewnętrzne pole elektryczne działające na kryształ powoduje zgodne

ustawienie różnych kierunków spontanicznej polaryzacji poszczególnych domen.

Zgodne ustawienie zbiorów dipoli tworzących domeny prowadzi w tym przypadku

do polaryzacji całego kryształu (rys. 5.19).

Z kształtu pętli histerezy elektrycznej można określić polaryzację nasycenia

Ps, remanencję (polaryzację szczątkową, pozostałość magnetyczną) Pr oraz

pole koercji Ec. Ferroelektryki spolaryzowane, podobnie jak ferromagnetyki, po

zaniknięciu zewnętrznego pola zachowują przez pewien czas stan nabytej

polaryzacji (polaryzacja Pr) i mogą dzięki temu wytwarzać na zewnątrz pole

elektryczne.



Rys. 5.18 Układ do obserwacji pętli histerezy elektrycznej (a) oraz pętla histerezy elektrycznej ferroelektryków (b)

Rys. 5.19 Ferroelektryk: a) w stanie swobodnym ; b) spolaryzowany w zewnętrznym polu elektrycznym

W układzie przedstawionym na rys. 5.18 napięcie Ux na kondensatorze z

dielektrykiem badanym jest proporcjonalne do natężenia pola elektrycznego E

wytwarzanego przez źródło napięcia. Napięcie U0 na wzorcowym kondensatorze

powietrznym C0 jest proporcjonalne do ładunku Q0 zgromadzonego na jego

okładzinach



0

00

C

QU =

Ponieważ kondensatory są połączone szeregowo, to Q0 = Qx i U0 ~ Qx. Wartość

ładunku Qx jest proporcjonalna do gęstości powierzchniowej σx tego ładunku, a

ta zaś — do polaryzacji dielektryka. Ostatecznie U0 ~ P.

W dielektrykach, w czasie procesu polaryzacji, obserwuje się przepływ prądu

polaryzacyjnego (prądu przesunięcia). Jest on wynikiem relaksacyjnego*

ruchu ładunków związanych i po spolaryzowaniu dielektryka zanika. Przebieg

prądów polaryzacyjnych dielektryka obserwuje się w układzie przedstawionym

na rys. 5.20. Napięcie Ux na kondensatorze z dielektrykiem badanym jest

proporcjonalne do natężenia pola elektrycznego E. Napięcie U0 na rezystorze

wzorcowym R0 jest proporcjonalne do prądu i płynącego przez badany

dielektryk. W przypadku ferroelektryków zależność prądu polaryzacyjnego od

natężenia zewnętrznego pola elektrycznego nosi nazwę prądowej pętli

histerezy ferroelektrycznej.

Zjawisko ferroelektryczności wykazują tylko kryształy nie wykazujące środka

symetrii i mające wyróżniony kierunek, tzw. osi ferroelektrycznej (biegunowej).

Spontaniczna polaryzacja jest spowodowana istnieniem wewnątrz kryształów

bardzo silnego pola elektrycznego powstałego wskutek oddziaływania między

jonami sieci krystalicznej.

* Relaksacja — zjawisko powrotu do stanu równowagi.

Rys. 5.20 Układ do obserwacji prądowej pętli histerezy ferroelektrycznej (a) i prądowa pętla histerezy ferroelektrycznej (b)



Do najlepiej poznanych ferroelektryków należy sól Seignette'a i tytanian baru.

Współcześnie opracowano szereg innych materiałów o silnych właściwościach

ferroelektrycznych.

Faza ferroelektryczna niektórych kryształów, np. soli Seignette'a, występuje w

ściśle określonym przedziale temperatury, ograniczonym górną i dolną granicą

temperatury Curie θc. Większość kryształów wykazuje tylko jedną wartość

temperatury Curie — górną.

Tabela 5.2 Właściwości niektórych materiałów ferroelektrycznych

Nazwa Wzór chemiczny

Tempe-ratura Curie θc

0C

Polaryzacja spontaniczna × l 0-4 C⋅m-1

E0 × l 0-4 V⋅m-1

εr max

Sól Seignette'a NaKC4H4O64H2O —18 + 24 0,27 2 9⋅103

Dwuwodorofosforan potasu KH2PO4 —150 5,3 — 105

Tytanin baru BaTiO3 + 118 26 5 104

Siarczan amonowo- -kadmowy

(NH4)2Cd2(SO4)3 —186 0,3 150 10

W temperaturze powyżej górnej temperatury Curie ruchy termiczne jonów

niszczą uporządkowanie charakterystyczne dla fazy ferroelektrycznej. Poniżej

dolnej temperatury Curie kryształy przechodzą do innej fazy krystalicznej, nie

posiadającej struktury domenowej.

Jak widać z rys. 5.21 i 5.22, przenikalność elektryczna ferroelektryków silnie

zależy od temperatury i innych czynników zewnętrznych. Między innymi

obserwuje się zależność przenikalności elektrycznej od natężenia stałego pola

polaryzującego (rys. 5.22).

Rys. 5.21 Zależność przenikalności elektrycznej względnej od temperatury dla tytanianu baru BaTiO3



Rys. 5.22 Zależność przenikalności elektrycznej względnej tytanianu baru BaTiO3 od natężenia pola elektrycznego

Ferroelektryki stosuje się na ogół w postaci spieków ceramicznych, głównie w

produkcji kondensatorów ceramicznych. Wszystkie ferroelektryki są zarazem

dobrymi piezoelektrykami (patrz dalej).

Szczególnym rodzajem dielektryków są elektrety.

Płytka elektretowa jest elementem wytwarzającym w otaczającej go przestrzeni

trwałe pole elektryczne. Istnienie elektretów przewidział już w 1896 r. fizyk

angielski O. Heaviside. Przypuszczał on, że w przyrodzie powinny istnieć trwale

spolaryzowane dielektryki, tak jak istnieją trwale magnesowane materiały

magnetyczne. Rozpatrywał również teoretycznie niektóre właściwości elektretów.

Pierwsze elektrety wykonano dopiero w latach dwudziestych obecnego stulecia.

Zostały one wytworzone przez japońskiego fizyka Eguchi z mieszaniny żywicy

karnauba, kalafonii i wosku pszczelego (wosk karnauba jest to żywica zbierana z

palm rosnących w Ameryce Południowej).

Mieszanina wosku karnauba, kalafonii i wosku pszczelego jest dielektrykiem o

niskiej temperaturze topnienia. Jest to fakt bardzo ważny, gdyż ułatwia on

wykonanie elektretu. Elektrety trzeba bowiem wytwarzać, nie występują one w

przyrodzie samorzutnie, tak jak niektóre magnesy trwałe. Elektrety powstają

przez nagrzewanie podanej mieszaniny do temperatury topnienia i powolne jej

studzenie w silnym polu elektrycznym. Urządzenie do wytwarzania elektretów

przypomina więc duży kondensator, wewnątrz którego znajduje się roztopiona

mieszanina. Do okładzin kondensatora doprowadzone jest wysokie napięcie

stałe.

Dielektryk w silnym polu elektrycznym ulega polaryzacji. Polaryzacja dielektryka



związana jest z orientacją momentów dipolowych w kierunku działającego

zewnętrznego pola elektrycznego. Oczywiście mowa jest o cząsteczkach, które

mają własny moment dipolowy. Obroty dipolowych cząsteczek dielektryka są

ułatwione, jeśli znajduje się on w stanie płynnym. Przy krzepnięciu dielektryka

cząsteczki zachowują swoją orientację, jeśli w dalszym ciągu działa na nie

zewnętrzne pole elektryczne. Całkowite skrzepnięcie dielektryka „elektretowego”

zamraża jakby dipole. W dielektryku stałym nie mają one możliwości obrotu i

pozostają w swym położeniu nawet po odłączeniu zewnętrznego pola

elektrycznego. Wymuszona polem elektrycznym orientacja dipolowych

cząsteczek dielektryka jest więc zjawiskiem trwałym. Dielektryk po ostudzeniu i

wyjęciu z obszaru działania pola elektrycznego jest zatem elektretem, gdyż teraz

sam wytwarza na zewnątrz pole elektryczne (rys. 5.23).

Rys. 5.23 Linie sił pola elektrycznego (a) i podstawowy układ pracy elektretu (b)

Pierwsi twórcy elektretów starali się wyjaśnić naturę tego zjawiska. Pierwsze

pytanie, jakie się nasunęło, dotyczyło rozkładu ładunków elektrycznych. Zaczęto

sprawdzać, czy przypadkiem pole elektryczne elektretu nie jest wynikiem

istnienia na jego powierzchni ładunku powierzchniowego — okazało się, że nie.

Po naświetleniu powierzchni dielektryka promieniowaniem rentgenowskim,

nagrzaniu w płomieniu, przemyciu wodą i alkoholem pole elektretu zmniejszało

się, ale po jakimś czasie znowu odtwarzało się. Sam Eguchi wykonał następujące

doświadczenie. Uziemionym nożem zeskrobał on wierzchnią warstwę wosku.

Elektret pozbawiony warstwy wierzchniej zawsze jednak wytwarzał pole

elektryczne. Wynika z tego, że ładunki elektretu rozmieszczone są w całej

objętości dielektryka.



Natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez elektrety może być duże — do

ok. 33⋅105 V⋅m-1. Większe już być nie może, gdyż nastąpiłoby przebicie

powietrza.

Badania właściwości elektretów doprowadziły do powstania, w końcu lat

trzydziestych, fotoelektretów. Fotoelektrety powstają przez naświetlenie silnym

strumieniem świetlnym fotoprzewodzącej siarki umieszczonej w polu

elektrycznym. Po usunięciu pola elektrycznego i usunięciu strumienia świetlnego

powstawał elektret, który tracił swoje ładunki przy naświetlaniu. W ciemności

natomiast ładunek utrzymywał się przez okres kilku miesięcy.

Elektrety mogą powstawać także bez pomocy pola elektrycznego. Noszą wtedy

nazwę pseudoelektretów. Pseudoelektrety powstają przez napromieniowanie

powierzchni szkła borowo-krzemianowego wiązką promieniowania jądrowego

(promieniowanie α, β, γ). Warunkiem powstania tego typu elektretów jest

odpowiednio duża grubość dielektryka, która musi być większa niż maksymalny

zasięg elektronów w danym ciele. Elektrony, np. o energii 2 MeV, wnikają do

szkła borowo-krzemianowego na głębokość 4 mm i w tym przypowierzchniowym

obszarze zostają w sposób trwały związane. Po przerwaniu naświetlania

otrzymuje się elektret, którego trwałość jest zadowalająco długa.

Elektrety wytwarza się z różnych materiałów. Oprócz wspomnianych wosków,

również z polimetakrylanu metylu, nylonu, pleksiglasu, naftalenu, siarki, ebonitu,

kalafonii, różnego rodzaju ciał organicznych — polimerów, oraz materiałów

ceramicznych, szczególnie tytanianu wapnia, bizmutu, strontu, magnezu i cynku.

W podstawowym układzie pracy elektret umieszcza się między dwiema

metalowymi płytami (rys. 5.236). Jedna z płyt przylega do jego powierzchni, a

druga jest umieszczona w odległości x od przeciwległej powierzchni. Jeśli na

powierzchni dielektryka występuje ładunek o gęstości σ, to w płycie odległej o x

indukuje się ładunek o gęstości

1+

=

l

xr

ind εσ

σ (5.37)

zależnej od odległości elektrody od powierzchni elektretu. Zjawisko to

wykorzystuje się w wielu urządzeniach.



Elektrety znajdują zastosowanie w wielu różnych dziedzinach techniki. Są one

bardzo chętnie stosowane, gdyż znakomicie upraszczają konstrukcję różnych

urządzeń. Poza tym urządzenia z elektretami nie wymagają na ogół zasilania. Są

jednak pewne trudności hamujące ich rozpowszechnianie się jako taniego i

prostego źródła pola elektrycznego. Trudność ta polega głównie na konieczności

stosowania specjalnych materiałów na elementy konstrukcyjne urządzeń

elektretowych. Materiały stosowane na elektrety mają konduktywność rzędu 10-

13...10-17 S⋅m-1, a więc bardzo małą. Jest to konduktywność, jaką mają bardzo

dobre dielektryki. Elementy konstrukcyjne urządzeń elektretowych powinny być

wykonane z jeszcze lepszych dielektryków, o konduktywności co najmniej 104

razy mniejszej. Trudno jest znaleźć w przyrodzie takie izolatory. Niemniej

jednak, bazując na elektretach, zbudowano między innymi układy do odchylania

toru wiązki elektronów, filtry oczyszczające gaz z zanieczyszczeń jonowych,

słuchawki i mikrofony, elektrometry, silniki, elementy pamięciowe, mierniki

parametrów drgań i inne urządzenia (patrz p. 8.6)

Niektóre dielektryki zmieniają swoje właściwości optyczne w obecności pola

elektrycznego. Dotyczy to zwłaszcza kryształów elektrooptycznych

przepuszczających promienie widzialne (światło). W dziedzinie elektrooptyki

wykorzystuje się najczęściej dwa zjawiska: podłużny efekt elektrooptyczny

(efekt Pockelsa) i poprzeczny efekt elektrooptyczny (efekt Kerra). W obu

przypadkach wykorzystuje się zjawisko sterowanej dwójłomności.

Efekt Pockelsa obserwuje się w krysztale, na który naniesione są dwie

przezroczyste elektrody (rys. 5.24). Światło spolaryzowane liniowo przechodząc

przez te elektrody przenika przez kryształ w kierunku równoległym do linii sił

pola elektrycznego wytworzonego przez te elektrody. W stanie beznapięciowym

do fotodetektora nie dociera strumień świetlny, gdyż jest on wytłumiony w

analizatorze „skrzyżowanym" z polaryzatorem. Dzieje się tak dlatego, że

analizator przepuszcza światło spolaryzowane, ale w innej płaszczyźnie niż

światło uformowane przez polaryzator. Po przyłożeniu napięcia kryształ staje się

dwójłomny. Wiązka padająca, spolaryzowana liniowo, rozdziela się na dwie

wiązki spolaryzowane liniowo, lecz w płaszczyznach wzajemnie do siebie

prostopadłych (patrz p. 4.1). Wiązka o płaszczyźnie polaryzacji równoległej do

płaszczyzny polaryzacji analizatora przechodzi przez analizator i w obwodzie



pomiarowym niskiego napięcia daje odpowiedni sygnał elektryczny. Natężenie

tej wiązki jest zależne od przyłożonego napięcia według wzoru

UcII pm

2sin= (5.38)

Im — natężenie maksymalne wiązki promieniowania, cp — stała zależna od

rodzaju użytego kryształu, U — napięcie przyłożone do komórki Pockelsa.

Rys. 5.24 Elektrooptyczny przekładnik napięciowy z komórką Pockelsa

Funkcja opisana wzorem (5.38) jest funkcją okresową względem napięcia.

Wielkość I = Im jest wartością maksymalną funkcji osiąganą przy napięciu U

równym tzw. napięciu półfali

pcU

22/

πλ =

Wartość napięcia półfali jest bardzo ważnym parametrem charakteryzującym

właściwości elektrooptyczne kryształów. Dla najczęściej stosowanych kryształów

wynosi ona kilka kilowoltów, np. dla dwuwodorofosforanu potasu KH2PO4

napięcie półfali Uλ/2 = 7,5 kV, a dla dwuwodorofosforanu amonu NH4H2PO4

napięcie półfali Uλ/2 = 8,6 kV, przy długości fali λ = 0,547 µm.

Efekt Pockelsa wykorzystuje się w komórkach Pockelsa, które z kolei

wykorzystuje się do budowy amplitudowych modulatorów światła. Ze

względu na dużą wartość napięcia półfali modulatory te stosuje się w

elektrooptycznych przekładnikach napięciowych*. Zaletą tych przekładników

jest:

— rozdzielenie galwaniczne obwodu wysokiego napięcia od obwodu niskiego

napięcia,

— możliwość dowolnego przestrzennego rozmieszczania strony pierwotnej i

wtórnej przekładnika poprzez zastosowanie światłowodów (patrz p. 9.7),

— możliwość pracy przy napięciu stałym i przemiennym,



— duża szybkość działania (do dziesiątków gigaherców).

Do wad należy nieliniowa charakterystyka przetwarzania.

Efekt Pockelsa, zwany również liniowym zjawiskiem elektrooptycznym,

występuje tylko w kryształach, a natężenie przechodzącej wiązki nie zależy od

rozmiarów kryształu.

Zjawisko sterowanej dwójłomności występuje również w przypadku, gdy światło

rozchodzi się w krysztale w kierunku prostopadłym do linii sił pola elektrycznego

(efekt Kerra).

Rys. 5.25 Elektrooptyczny przekładnik napięciowy z komórką Kerna

Efekt Kerra jest podstawą działania komórek Kerra, które również

wykorzystuje się do budowy amplitudowych modulatorów światła (rys. 5.25).

Charakterystyka przetwarzania w tym przypadku jest opisana zależnością

* Porównaj z magnetooptycznym przekładnikiem prądowym — p. 5.5.

=

2

22

0 sind

UBlII π (5.40)

B — stała Kerra, l — długość drogi optycznej, d — grubość kryształu.

Efekt Kerra, zwany również kwadratowym efektem elektrooptycznym

występuje nie tylko w kryształach, lecz również w cieczach, np. w nitrobenzenie.

Natężenie przechodzącej wiązki zależy od rozmiarów ośrodka.

Ciekłe kryształy, należące do grupy cieczy dielektrycznych również zmieniają

swoje właściwości optyczne w obecności pola elektrycznego. Najczęściej

wykorzystuje się w nich efekt sterowanej dwójłomności, dynamicznego

rozpraszania światła (rys. 5.26), skręcanie płaszczyzny polaryzacji, pamięci



optycznej oraz efekt sterowanego selektywnego odbicia. Na przykład w

ciekłokrystalicznych wskaźnikach cyfrowych używanych w kalkulatorach i

zegarkach ręcznych wykorzystuje się zjawisko skręcania płaszczyzny polaryzacji.

Rys. 5.26 Elektrooptyczna komórka ciekłokrystaliczna

Przy omawianiu ferroelektryków wspomniano, że występuje w nich zjawisko

piezoelektryczne (patrz też p. 8.7). Zjawisko piezoelektryczne polega na

powstawaniu ładunku elektrycznego na ściankach kryształu poddanego

naprężeniom mechanicznym. Wartość ładunku jest przy tym proporcjonalna do

odkształcenia ∆l kryształu. W piezoelektrykach obserwuje się również zjawisko

odwrotne, zwane zjawiskiem elektrostrykcji (rys. 5.27). Polega ono na

zmianie wymiarów liniowych kryształu, w którym za pomocą elektrod i

doprowadzonego do nich napięcia wytworzono pole elektryczne.

Rys. 5.27 Ilustracja zjawiska elektrostrykcji w piezoelektrykach

Odkształcenia kryształu piezoelektrycznego w polu elektrycznym są sprężyste,

tzn. po zaniku pola kryształ powraca do swego poprzedniego kształtu. W polu

elektrycznym zmiennym piezoelektryk wykonuje drgania, przy czym amplituda

tych drgań jest największa wtedy, kiedy częstość zmian pola jest zgodna z

częstością drgań własnych (częstością rezonansową) mechanicznych.

Zjawisko elektrostrykcji wykorzystuje się w elektronice do stabilizacji drgań w

obwodach elektrycznych, w elektroakustyce — do wytwarzania fal akustycznych

w słuchawkach i in.

.

.



5.4.2 Wpływ pola elektrycznego na przewodniki. Zjawisko prądu elektrycznego Wynikiem oddziaływania pola elektrycznego na przewodniki jest zjawisko prądu

elektrycznego. W dalszych rozważaniach będziemy rozróżniali dwa znaczenia

pojęcia prąd elektryczny: prąd elektryczny jako wielkość mierzalna i prąd

elektryczny jako pewne zjawisko elektryczne.

Najlepszymi przewodnikami prądu elektrycznego są metale. Właściwości ich

dobrego przewodnictwa wyjaśnia teoria elektronowa budowy metali. Według tej

teorii metale charakteryzują się budową krystaliczną. W węzłach sieci

krystalicznej umieszczone są atomy (jony), zaś elektrony walencyjne mają

możliwość swobodnego poruszania się wewnątrz kryształu. Średnio przyjmuje

się, że jeden taki swobodny elektron przypada na jeden do czterech atomów.

Ładunek ujemny swobodnych elektronów kompensuje dodatni ładunek sieci i

metal jako całość jest elektrycznie obojętny.

Elektrony swobodne metalu mają łatwość ruchu pod działaniem sił

zewnętrznych, gdyż oprócz zderzeń z atomami umieszczonymi w węzłach sieci

krystalicznej nie działają na nie żadne siły hamujące.

Zachowanie się przewodnika w zewnętrznym polu elektrycznym ilustruje rys.

5.28. Dwie płyty naładowane różnoimiennie ładunkiem elektrycznym rozłożonym

z gęstością powierzchniową σ wytwarzają pole elektryczne o natężeniu E. Na

powierzchniach przewodnika umieszczonego w tym polu indukuje się ładunek o

gęstości powierzchniowej σind. Ładunek ten jest wytworzony przez elektrony

swobodne metalu, zatem σ = σind. Ładunek indukowany wytwarza własne pole

elektryczne o natężeniu Eind skierowane przeciwnie niż pole zewnętrzne.

Wypadkowe pole elektryczne wewnętrzne przewodnika jest więc bardzo małe,

bliskie zeru. Przewodnika zatem nie da się spolaryzować (porównaj z natężeniem

pola magnetycznego wewnątrz rdzenia ferromagnetycznego, przykład 5.11). Siła

wywierana na elektrony przez tak małe pola jest niewielka. Również i prędkości

uzyskiwane przez elektrony w przewodniku są małe, rzędu ułamków milimetra

na sekundę. Duża gęstość prądu uzyskiwana w przewodnikach tłumaczy się dużą

koncentracją elektronów swobodnych, zawierającą się dla różnych metali w

granicach od 0,25⋅1029/m3 do 1029/m3. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz



przewodnika zależy od jego konduktancji. W celu znalezienia tej zależności

rozpatrzmy właściwości makroskopowe odcinka przewodu elektrycznego o

długości l powierzchni przekroju S, wiodącego prąd I (rys. 5.29). Dla

przewodników stosuje się prawo Ohma zapisywane matematycznie jako

RIU = (5.41)

U — napięcie na końcach przewodnika (rezystora), R — rezystancja, I—prąd w

przewodniku.

Rys. 5.28 Przewodnik w polu elektrycznym

Rys. 5.29 Element przewodnika przewodzący prąd elektrycznych o gęstości J

Zgodnie z prawem Ohma, zależność między prądem i napięciem jest dla

przewodników zależnością liniową. Współczynnik proporcjonalności między

prądem i napięciem nazwano rezystancją (oporem elektrycznym).

Rezystancja zależy od wymiarów geometrycznych obwodu, zgodnie z wzorem

S

lR ρ= (5.42)

ρ — rezystywność (opór elektryczny właściwy) zależna od rodzaju przewodnika.

Rezystywność metali jest niewielka, dla miedzi np. ρ = 2⋅10-8 Ω⋅m. Oprócz

rezystywności do opisu właściwości elektrycznych metali wprowadza się pojęcie

konduktywności (przewodności elektrycznej właściwej). Konduktywność jest

odwrotnością rezystywności

ργ

1= (5.43)



Dla miedzi wynosi ona γ = 5⋅107 S⋅m-1.

Zależność (5.42), wykorzystując konduktywność, ma więc postać

S

lR

γ= (5.44)

Prawo Ohma można zatem zapisać w postaci

S

lIU

γ= (5.45)

We wzorze (5.45)

JS

I= (5.46)

ElU = (5.47)

to ostatecznie

γ

JE = (5.48)

Wzory (5.46) i (5.48) wyrażają bardzo ważne związki między wielkościami

opisującymi cechy przewodników i będą wykorzystywane dalej.

Do tej pory używaliśmy terminu — prąd elektryczny — nie podając jego definicji.

Obecnie omówimy dokładniej zjawisko prądu. Rozpocznijmy od obiegowej

definicji :

Prąd elektryczny jest to zjawisko ukierunkowanego (uporządkowanego) ruchu

ładunków elektrycznych i związane z tym ruchem ładunków elektrycznych pole

magnetyczne.

Rozpatrzmy tak rozumiane zjawisko prądu elektrycznego na przykładzie

przewodników metalicznych, a więc ukierunkowany ruch elektronów.

Przykład 5.5 Wyznaczyć wartość mocy energii kinetycznej uporządkowanego ruchu elektronów w przewodniku miedzianym o konduktywności (przewodności właściwej) γ = 50⋅106 S⋅m-1, długości l = 1 m, powierzchni przekroju poprzecznego S = 1 mm2 (10-6 m2) wiodącego prąd I = 5 A. Porównać otrzymaną energię z mocą traconą w tym przewodniku. Do obliczeń przyjąć ładunek elektronu e = 1,6⋅10-19C.

Natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika — wzór (5.48)

S

IE

γ=



jest przyczyną siły działającej na elektron

eEFe =

Natężenie pola jest niewielkie, E = 0,1 V⋅m-1. Elektrony pod wpływem tego pola

poruszają się z prędkością średnią rzędu 1 m⋅s-1 (jednego milimetra na

sekundę). Do naszych obliczeń przyjmijmy więc dalej, że v = 10-3 m⋅s-1.

Przyjmijmy również wstępnie, że średnia koncentracja elektronów w

przewodniku wynosi ok. n ≈ 5⋅1028 elektronów na metr sześcienny. Na elektrony

zawarte w 1 m3 działa więc siła

neEFne =

Na elektrony zawarte w całym przewodniku działa siła

neEVF =

gdzie V jest objętością przewodnika wyrażoną w m3. W naszym przypadku V =

10-6 m3.

Moc uporządkowanego ruchu elektronów

VvS

IneneEVvPe

γ==

Wykonując obliczenia

WPe 8,01010101050

5106,1105 36

66

1928 =⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= −−

−

−

Moc traconą w przewodniku wyraża się wzorem P = RI2, gdzie rezystancja prze-

wodnika

S

lR

γ=

a zatem

S

lIP

γ

2

=

Obliczając wartość wyrażenia

WPe 5,0101050

5166

2

=⋅⋅

⋅=

−

Na „pierwszy rzut oka” wydaje się, że otrzymane wyniki nie są zgodne. Jednak

wobec poczynionych założeń i przybliżeń dotyczących prędkości ruchu

elektronów i ich koncentracji, otrzymane wartości mocy P i Pe można uznać za

zgodne. Oznacza to, że energia kinetyczna ruchu elektronów jest w całości

tracona na ciepło Joule'a-Lenza. Z rozważań tych wynika, że prąd elektryczny,



rozumiany jedynie jako ruch elektronów, nie może wykonywać pracy, gdyż

energia dostarczona elektronom w całości zamienia się na ciepło. A przecież

układy przewodników z prądem zdolne są do wykonania dużej pracy

mechanicznej (silniki elektryczne). Skąd się bierze ta energia?

Źródłem tej energii jest pole elektromagnetyczne wytwarzane przez

przewodnik z prądem. W przewodnikach jednak prawie cała energia elektryczna

przenoszona jest w postaci pola magnetycznego, a w przypadku prądu stałego —

tylko w postaci pola magnetycznego.

Wykażemy to rozwiązując problem przedstawiony w przykładzie 5.6.

Przykład 5.6 Wyznaczyć wartość stosunku gęstości energii pola magnetycznego do gęstości energii pola elektrycznego dla pól wytwarzanych przez przewodnik z prądem.

Ponieważ gęstość energii pola elektrycznego — patrz wzór (1.51)

2

2

1Ewe ε=

a gęstość energii pola magnetycznego — patrz wzór (1.59)

2

2

1Hwm µ=

to

2

2

E

H

w

w

e

m

ε

µ=

Ponieważ — patrz wzór (4.16)

fZ

EH =

to ostatecznie

2

1

fe

m

Zw

w

ε

µ=

Zf — impedancja falowa ośrodka.

Zgodnie z wzorem (1.69)

22

2

2

2

µω

γ

µ

ε

ε

µ+=

e

m

w

w

ω — częstość prądu przepływającego przez ośrodek o konduktywności γ.



Powyższy wzór można zapisać również w postaci

22

2

1εω

γ+=

e

m

w

w (5.49)

Dla ośrodków o dużej konduktywności

1>>=ωε

γ

e

m

w

w

W przypadku przewodników prawie cała energia prądu elektrycznego jest

przenoszona w postaci pola magnetycznego, zaś energia prądu stałego (ω = 0)

istnieje już wyłącznie w postaci pola magnetycznego.

Powyższe rozważania są słuszne dla częstości niezbyt dużych, takich, jakie

zwykle stosuje się w technice.

Jak widać, za energetyczne działanie prądu elektrycznego jest odpowiedzialne

pole magnetyczne. Rozprzestrzenia się ono wzdłuż przewodów z prędkością

światła, wzbudzając ruch elektronów niemalże jednocześnie we wszystkich

częściach obwodu. Pole elektromagnetyczne (lub magnetyczne) rozciąga się przy

tym tuż przy po wierzchni przewodnika, a sam przewodnik trasuje jakby drogę

do przepływu energii elektrycznej, sam nie biorąc w tym procesie przepływu

udziału. A zatem można następująco określić prąd elektryczny.

Prąd elektryczny jest to zjawisko transportu energii elektrycznej przy użyciu

przewodników elektryczności.

Do tak rozumianego zjawiska prądu należą wszystkie zjawiska towarzyszące, a

więc i ruch elektronów, i nagrzewanie się przewodników, i wzbudzane pole

magnetyczne, itd.

Problem przewodności materiałów i przewodników prądu można rozpatrywać

tylko w określonym przedziale częstotliwości prądów. Przy częstotliwościach

dużych materiały tracą swoje właściwości przewodzące (patrz p. 5.4.3), a same

przewodniki są coraz mniej potrzebne w procesie transportu energii. Przy

odpowiednio dużych częstotliwościach energię elektryczną przesyła się tak jak

fale, a więc w falowodach (p. 9.6), światłowodach (p. 9.7) lub bezpośrednio w

przestrzeni (p. 9.5).



Pozostając w dziedzinie techniki, jaką jest elektrotechnika, należy uwzględnić

pole magnetyczne przewodników z prądem. Do obliczania natężenia tego pola

posługujemy się prawem Biota-Savarta, którego matematyczna postać jest

następująca (rys. 5.30)

2

sin

4 r

dlIdH

α

π= (5.50)

przy czym: r — odległość elementu dl obwodu od rozpatrywanego punktu pola; α

— kąt, jaki tworzy kierunek odcinka dl obwodu z kierunkiem odcinka r; l — prąd

płynący przez rozpatrywany obwód; dH — natężenie pola magnetycznego

wytworzone przez element dl.

Rys. 5.30 Ilustracja prawa Biota-Savarta

Obliczenie natężenia pola magnetycznego od całego obwodu wymaga dodawania

natężeń dH pochodzących od wszystkich odcinków dl na jakie można podzielić

kontur, czyli operacji całkowania po konturze tego obwodu.

Przykład 5.7

Korzystając z prawa Biota-Savarta obliczyć natężenie pola magnetycznego w punkcie odległym o a = 5 cm od nieskończenie długiego przewodnika (rys. 5.31) wiodącego prąd I = 628 A (patrz przykład 1.12).

Zgodnie z prawem Biota-Savarta

2

sin

4 r

dlIdH

α

π=

Ponieważ βαβ

α+°== 90;

cosr i βα cossin = , to

2

2

4

cos

a

dlIdH

π

β=

Z zależności trygonometrycznych wynika również, że l = a tg β

ββ

da

dl2cos

=

a zatem



ββπ

da

IdH cos

4=

Aby uwzględnić natężenie pola pochodzącego od całej długości przewodnika,

całkowanie należy przeprowadzić w granicach od -90° do +90°

∫°+

°−

=90

90

cos4

ββπ

da

IH

Po wykonaniu operacji całkowania (patrz dodatek F)

a

IH

π2=


1200005,02

628 −⋅=⋅

= mAHπ

Rys. 5.31 Odcinek liniowego przewodnika elektryczności

Przykład 5.8

Korzystając z prawa Biota-Savarta obliczyć natężenie pola magnetycznego w

środku przewodnika kołowego o promieniu r = 0,5 m wiodącego prąd I = 100 A

(rys. 5.32).


2

sin

4 r

dlIdH

α

π=

Ponieważ α = 90° i sin α = 1, to

dlr

IdH

24π=

Po wykonaniu operacji całkowania



∫=r

dlr

IH

π

π

2

0

24

uzyskuje się

r

IH

2=

Obliczenia wykazują, że H = 100 A⋅m-1

Rys. 5.32 Ilustracja przykładu 5.8

Przykład 5.9 Korzystając z prawa Biota-Savarta obliczyć natężenie pola magnetycznego w punkcie położonym na osi symetrii w odległości a = 0,5 m od środka przewodnika kołowego o promieniu R = 0,5 wiodącego prąd I = 100 A (rys. 5.33).


2

sin

4 r

dlIdH

α

π=

Ponieważ 1sin;90 =°= αα i 222

aRr += , to

224 aR

dlIdH

+=

π

Składowa normalna Hn natężenia pola magnetycznego H jest równa zeru.

Natężenie pola w rozpatrywanym punkcie jest równe składowej poziomej Hh

natężenia pola H.

W naszym więc przypadku

βcosdHdH h =

a ponieważr

R=βcos gdzie 22

aRr += , to

dlaRr

RIdH h

224 +=

π



Ostatecznie więc

( )dl

aR

IRdH h

3224 +=

π

Całkowanie przeprowadza się w granicach od 0 do 2πR,a zatem

( )R

aR

IRH h π

π

2

4 2

322 +

=

i ostatecznie

( )2

3222 aR

IRH

+

=

Po wykonaniu obliczeń otrzymuje się H = 36 A⋅m-1.

Rys. 5.33 Ilustracja przykładu 5.8

5.4.3 Wpływ pola elektrycznego na półprzewodniki Półprzewodniki stanowią grupę materiałów o właściwościach elektrycznych

pośrednich między dielektrykami i przewodnikami. Półprzewodniki w

temperaturze zera bezwzględnego są doskonałymi dielektrykami, w

temperaturze pokojowej natomiast ich pasmo przewodzenia jest częściowo

obsadzone. Zajmują je nośniki ładunków o energii zwiększonej w temperaturze

pokojowej. Ponadto na skutek małej przerwy energetycznej łatwo jest zmusić

nośniki, za pomocą pola termicznego lub elektrycznego bądź magnetycznego, do

przejścia z pasma podstawowego do pasma przewodnictwa.

W półprzewodnikach na ogół nakładają się na siebie zjawiska elektryczne i

zjawiska cieplne wywołane przepływem prądu. W zależności od rodzaju i

przeznaczenia półprzewodnika wykorzystuje się efekt cieplny lub elektryczny

przepływu prądu.

Ze względu na wrażliwość półprzewodników na działanie czynników



zewnętrznych i złożoność zachodzących w nich zjawisk, elementy

półprzewodnikowe mogą mieć charakterystyki o różnorodnych i

skomplikowanych kształtach.

Za pomocą odpowiednich zabiegów technologicznych można łatwo modyfikować

właściwości elementów półprzewodnikowych i miniaturyzować urządzenia z nich

zbudowane. Dlatego też elementy te stosuje się obecnie głównie tam, gdzie nie

występują duże moce, prądy i napięcia. Wyjątek mogą tu stanowić tyrystory

(patrz p. 6.7).

Półprzewodniki, z fizycznego punktu widzenia, wykazują jednakowe właściwości

elektryczne i dielektryczne, tzn. że prąd przewodzenia i prąd przesunięcia oraz

związane z nimi energie: magnetyczna i elektryczna są sobie w przybliżeniu

równe. Jak pamiętamy — patrz przykład 5.6 — wzór na stosunek energii

magnetycznej i elektrycznej ma postać

22

2

2

2

µω

γ

µ

ε

ε

µ+=

e

m

w

w

W idealnym dielektryku, kiedy konduktywność γ = 0, energie niesione przez falę

elektryczną i magnetyczną w fali elektromagnetycznej są sobie dokładnie równe

— patrz wzór (5.49)

1=e

m

w

w

w idealnym przewodniku natomiast, kiedy γ → +∞

ωε

γ=

e

m

w

w

Dla półprzewodników obydwa składniki po prawej stronie równania są sobie rów

1=ωε

γ (5.51)

Z zależności (5.51) wyznacza się częstość graniczną prądu w materiale.

Przyjmuje się, że poniżej tej wartości materiał ma właściwości przewodnika, a

powyżej — właściwości dielektryka

ε

γω =gr (5.52)



Dla tej częstości

2=e

m

w

w (5.53)

Dla przykładu można podać, że częstotliwość graniczna fgr == ωgr/2π,

wyznaczona z wzoru (5.52) dla miedzi wynosi ok. 105 MHz, wody morskiej ok.

103 MHz, piasku suchego ok. 3 MHz, kwarcu ok. 10-4 Hz.

5.5 Wpływ pola magnetycznego na gazy i ciecze Pole magnetyczne, podobnie jak pole elektryczne, oddziałuje z materią. Ciała

umieszczone w polu magnetycznym zmieniają swoje właściwości. Również wiele

zjawisk fizycznych przebiega inaczej w obecności pola magnetycznego niż bez

tego pola. Różnorodność oddziaływań pól z materią, w tym przypadku, jest

bardzo duża. Dla przykładu wymieńmy takie zjawiska jak: magnetokaloryczne,

magnetoindukcyjne, magnetowoltaiczne, magnetorezystancyjne,

magnetooptyczne, magnetostrykcyjne itd. Dla nas największe znaczenie mają te

zjawiska, w wyniku których ulegają zmianie właściwości elektryczne ciał. Będą

one jednak omówione w dalszych rozdziałach i dotyczą szczególnie ciał stałych.

Gazy i ciecze słabo oddziałują z polem magnetycznym. Są one najczęściej

dielektrykami, w których wszystkie ładunki elektryczne są mocno związane.

Wytwarzane obecnie pola magnetyczne nie są w stanie naruszyć tych wiązań.

Pole magnetyczne oddziałuje z umieszczonym w nim dielektrykiem pośrednio,

poprzez pole elektryczne, które zawsze towarzyszy polu magnetycznemu. To

wzbudzone pole elektryczne charakteryzuje się kołowym przebiegiem linii sił.

Wzdłuż tych linii sił dielektryk będzie polaryzowany (patrz p. 5.4.1), a właściwie

przepolaryzowany. Polaryzacja dielektryka związana jest z przesunięciem

momentów dipolowych molekuł, a to z kolei jest związane z prądem przesunięcia

(patrz p. 1.4 — równania Maxwella). Prąd przesunięcia jest jedynym prądem,

jaki może płynąć przez dielektryk idealny (brak ładunków swobodnych). Prąd ten

jest stosunkowo słaby i nie towarzyszą mu straty energii na ciepło Joule'a.

Pole magnetyczne może również zmieniać właściwości optyczne niektórych

dielektryków i przezroczystych ferromagnetyków. Ciała te pod wpływem pola

magnetycznego nabywają zdolność skręcania płaszczyzny polaryzacji światła.

Zjawisko skręcania płaszczyzny polaryzacji światła odkrył M. Faraday i dlatego



też nosi ono nazwę zjawiska Faradaya. Zjawisko to można zaobserwować w

układzie przedstawionym na rys. 5.34.

Polaryzator polaryzuje liniowo wiązkę świetlną padającą na ośrodek magneto-

optyczny, w którym wytworzone jest pole magnetyczne o natężeniu H,

wzbudzone za pomocą cewki z prądem I. Cewka obejmująca ośrodek

magnetooptyczny nosi nazwę komórki Faradaya. Wiązka świetlna, po

opuszczeniu komórki Faradaya, przechodzi przez analizator, który normalnie jest

skrzyżowany* z polaryzatorem. Przy braku prądu, w nieobecności pola

magnetycznego, na skutek skrzyżowania polaryzatora z analizatorem, do

fotoelementu nie dociera strumień świetlny. Jeśli przez cewkę przepływa prąd,

wzbudzając pole magnetyczne, ośrodek skręca płaszczyznę polaryzacji wiązki

padającej o kąt

VHl=ϕ (5.54)

V — stała Verdeta, H — natężenie pola magnetycznego w ośrodku, l — długość

ce

Rys. 5.34 Schemat przekładnika prądowego wykorzystującego zjawisko Faradaya

Dla cewki długiej można w przybliżeniu napisać

l

IzH = (5.55)

z — liczba zwojów cewki

a zatem

VIz=ϕ

Ponieważ natężenie wiązki świetlnej opuszczającej analizator

ϕ2

0 sinEE = (5.56)

E0 — natężenie wiązki za analizatorem przy I = 0, to

( )VIzEE2

0 sin= (5.57)

W układzie przedstawionym na rys. 5.34 można mierzyć prąd I drogą pośrednią,

przez pomiar prądu fotoelektrycznego. Układ stanowi więc jakby przekładnik

prądowy, w którym informacja o wartości prądu zawarta jest w wiązce świetlnej.



Przekładnik działa zarówno przy prądzie stałym, jak i zmiennym. W przypadku

prądu przemiennego o amplitudzie I0

( )tzVIEE ωsinsin 0

2

0= (5.58)

Zjawisko Faradaya służy do celów bardzo szybkiej modulacji światła, bowiem

ośrodek nabywa właściwości magnetooptycznych w czasie krótszym niż czas

przechodzenia wiązki świetlnej przez ten ośrodek. Istotną rzeczą w tym

zjawisku jest to, że światło rozchodzi się równoległe do linii sił pola

magnetycznego.

Zjawisko Faradaya jest wykorzystywane w technice pomiarowej do pomiaru

prądów i przesyłania informacji pomiarowych.

* „Skrzyżowanie” oznacza wzajemnie prostopadłe usytuowanie kierunków polaryzacji

polaryzatora i analizatora.

5.6 Wpływ pola magnetycznego na ciała stałe 5.6.1 Diamagnetyki i paramagnetyki W punkcie 5.5 omówiliśmy niektóre właściwości ciał wynikające z faktu

umieszczenia ich w polu magnetycznym. Nie były one związane jednak ze

zjawiskami magnetycznymi zachodzącymi w samych ciałach. Obecnie omówimy

właściwości magnetyczne ciał.

Ze względu na sposób oddziaływania ciał z zewnętrznym polem magnetycznym

dzielimy je na: diamagnetyczne, paramagnetyczne i ferromagnetyczne.

Paramagnetykami i diamagnetykami mogą być ciecze, gazy i ciała stale,

natomiast grupę ferromagnetyków tworzą jedynie niektóre metale i tlenki metali.

Właściwości magnetyczne materii, a szczególnie ferromagnetyzm i

paramagnetyzm, są wynikiem właściwości magnetycznych: atomów, elektronów

i protonów. Cząstki te w atomie są w stanie ciągłego ruchu. Protony i elektrony

obracają się wokół własnej osi, a ponadto elektron obiega jądro atomowe po

orbitach w przybliżeniu kołowych. Każdy ruch naładowanych cząstek

elementarnych można umownie traktować jako przepływ prądu, który jest

źródłem pola magnetycznego. Atom można więc umownie traktować jak

najmniejszy w przyrodzie tzw. magnes elementarny. Oddziaływanie pól

magnetycznych tych właśnie magnesów elementarnych z zewnętrznym polem

magnetycznym warunkuje właściwości magnetyczne bryły materii.



Przykład 5.10 Obliczyć indukcję magnetyczną B0 w środku orbity kołowej elektronu atomu wodoru wywołaną ruchem elektronu po tej orbicie. Do obliczeń przyjąć promień orbity r0 = 0,53⋅10-10 m (patrz przykład 2.2) i µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1.

Prąd wynikający z ruchu elektronu po orbicie kołowej można wyrazić zależnością

T

ei =

e = 1,6⋅10-19 C — ładunek elektronu, T = 1,5⋅10-16 s -— czas obiegu orbity.

Przewodnik kołowy za jaki możemy uważać krążący elektron jest źródłem pola

magnetycznego o indukcji (patrz przykład 5.8)

r

iB

2

0µ=

w tym przypadku

0

00

2Tr

eB

µ=

Po wykonaniu obliczeń B0 = 12,3 T.

W atomach płaszczyzny orbit elektronowych ustawione są pod różnymi kątami.

W obecności zewnętrznego pola magnetycznego orbity mogą przyjmować jednak

tylko ściśle określone położenia względem linii sił tego pola. Wynika to z

pewnych reguł kwantowych.

Rozpatrzmy zachowanie się atomu, w którym elektron krąży po orbicie kołowej.

Prostopadle do płaszczyzny tej orbity jest przykładane pole magnetyczne. Pole to

oddziałuje z polem magnetycznym wytworzonym przez poruszający się elektron i

na skutek zjawiska indukcji elektromagnetycznej po tej orbicie popłynie

dodatkowy prąd, przeciwdziałający zmianie pola zewnętrznego (reguła Lenza!).

Ten dodatkowy prąd objawił się opóźnieniem lub przyspieszeniem ruchu

elektronu. Pole magnetyczne tego prądu będzie skierowane przeciwnie do

kierunku pola zewnętrznego. Wypadkowe natężenie pola magnetycznego

wewnątrz ciała będzie zatem mniejsze niż natężenie poła zewnętrznego. Ta

cecha charakteryzuje wszystkie substancje diamagnetyczne.

Jeżeli płaszczyzna orbity elektronu tworzy pewien kąt z wyróżnionym

kierunkiem, to z chwilą przyłożenia pola magnetycznego w tym kierunku

płaszczyzna orbity elektronu zacznie się wokół tego kierunku obracać z

prędkością precesji



ωω

2

eBprec = (5.59)

e — ładunek elektronu, B — indukcja zewnętrznego pola magnetycznego, ω —

częstość ruchu kołowego elektrono po orbicie.

Ruch obrotowy płaszczyzny orbity zwany jest precesją. Precesja orbity

elektronowej powoduje jakby powstanie dodatkowego prądu płynącego w

płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola magnetycznego. Oczywiście zwrot tego

prądu jest taki, że pole magnetyczne, wytworzone przez ten prąd, skierowane

jest przeciwnie do pola zewnętrznego. Również i w tym przypadku wypadkowe

natężenie pola magnetycznego w obszarze ciała jest mniejsze od natężenia pola

zewnętrznego o natężenie pola wytworzonego przez atomy ośrodka. Można

zatem powiedzieć, że diamagnetyzm jest właściwością magnetyczną wszystkich

ciał umieszczonych w polu magnetycznym, polegająca na magnesowaniu się tych

ciał przeciwnie do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. Natężenie pola

magnetycznego wytworzonego przez atomy ośrodka nazywamy

namagnesowaniem (magnetyzacją) J.

W diamagnetykach namagnesowanie jest nieznaczne i jest ono liniową funkcją

natężenia pola zewnętrznego

HJ χ= (5.60)

χ— współczynnik podatności magnetycznej. W tym przypadku jest on

ujemny, a jego wartość np. dla wody wynosi —9⋅10-6, a dla miedzi: —10⋅10-6.

Indukcja magnetyczna wewnątrz diamagnetyka jest zawsze mniejsza od indukcji

próżni i opisuje się ją wzorem

)(0 HJB += µ (5.61)

a po uwzględnieniu zależności (5.60)

HB )1(0 χµ += (5.62a)

HB rµµ0= (5.62b)

Współczynnik χ + l = µr nazywa się względną przenikalnością magnetyczną

ośrodka. Dla diamagnetyków zawsze µr < 1.

Wpływ diamagnetyka na rozkład linii sił pola magnetycznego przedstawiono na

rys. 5.35.

Diamagnetyzm jest cechą wszystkich ciał, niezależną od budowy atomów.



Występuje niezależnie od ruchu cieplnego atomów i dlatego też współczynnik

podatności magnetycznej jest w tym przypadku niezależny od temperatury.

Rys. 5.35 Diamagnetyk w polu magnetycznym: a) przebieg linii sił pola magnetycznego zewnętrznego H i namagnesowanie J w diamagnetyku; b) rozkład linii sił wypadkowego pola magnetycznego w otoczeniu diamagnetyka

Zjawiska diamagnetyzmu, mimo powszechności jego występowania, nie

można wykryć w niektórych ciałach. Jest to spowodowane tym, że jest ono

„przysłonięte" innymi silniejszymi zjawiskami: paramagnetyzmem i

ferromagnetyzmem.

Nie wszystkie atomy można traktować jak elementarne magnesy. Niektóre

atomy nie wytwarzają na zewnątrz pola magnetycznego. Tak zachowują się na

przykład atomy gazów szlachetnych, których orbity elektronowe są całkowicie

zapełnione. Pola magnetyczne pochodzące od spinów elektronowych w tym

przypadku wzajemnie kompensują się. W takich substancjach oczywiście będzie

obserwować się tylko zjawiska diamagnetyczne. Większość atomów nie ma

całkowicie zapełnionej ostatniej orbity i wtedy nieskompensowana część pola

magnetycznego pochodzącego od ładunków elektrycznych będzie stanowić o

polu magnetycznym całego atomu.

Atomy znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym i dlatego pole

magnetyczne wytwarzane przez bryłę materii w stanie swobodnym jest równe

zeru. Po umieszczeniu bryły w polu magnetycznym na chaotyczny ruch cieplny

atomów nakłada się porządkujące działanie tego pola. Elementarne magnesy

(atomy) ustawiają się tak, że ich pola magnetyczne mają kierunek zgodny z

kierunkiem zewnętrznego pola magnetycznego. Zjawisko orientacji pól

magnetycznych atomów w kierunku zgodnym z kierunkiem zewnętrznego pola

magnetycznego, wymuszającego tę orientację, nosi nazwę zjawiska



paramagnetyzmu (rys. 5.36).

Rys. 5.36 Paramagnetyk w polu magnetycznym: a) przebieg linii sił pola magnetycznego zewnętrznego H i namagnesowania J w paramagnetyku; b) rozkład linii sił wypadkowego pola magnetycznego w otoczeniu paramagnetyka

Gdyby nie ruch cieplny atomów ośrodka, ośrodek ten magnesowałby się do

stanu nasycenia już przy słabych polach zewnętrznych. W rzeczywistości jednak

nasycenie można osiągnąć tylko wtedy, gdy energia magnetyczna „magnesów"

zrówna się z energią ruchu cieplnego. Dla znanych paramagnetyków natężenie

pola nasycenia leży znacznie powyżej wartości dostępnych obecnie w technice.

Paramagnetyzm powoduje powstanie własnego pola magnetycznego

(namagnesowania) skierowanego zgodnie z polem zewnętrznym. W zakresie

technicznie dostępnych temperatur i pól magnetycznych można napisać

HJ χ= (5.63)

Dla paramagnetyków współczynnik podatności magnetycznej jest większy od

zera.

Substancje paramagnetyczne tworzy wiele znanych gazów, cieczy i metali.

Paramagnetykiem jest np. tlen (χ = +1,81⋅10-6), aluminium (χ = +19,6⋅106)

oraz platyna (χ = +270⋅10-6). Dla paramagnetyków słuszny jest również wzór

HB )1(0 χµ += (5.64a)

HB rµµ0= (5.64b)

Względna przenikalność magnetyczna paramagnetyków µr ≥ 1.



Rys. 5.37 Zależność namagnesowania (a) i indukcji magnetycznej (b) ciał od zewnętrznego pola magnetycznego 1 — ciało magnetyczne obojętne, 2 — diamagnetyk, 3 — paramagnetyk

Istotę zjawiska diamagnetyzmu i paramagnetyzmu (rys. 5.37) można wyjaśnić

jedynie przy założeniu, że atomy ośrodka nie oddziałują ze sobą i że każdy z

nich z osobna oddziałuje z zewnętrznym polem magnetycznym.

Zjawiska diamagnetyczne i paramagnetyczne należą do grupy zjawisk liniowych,

to znaczy takich, w których wielkość wymuszona jest liniową funkcją wielkości

wymuszającej. W tym przypadku namagnesowanie i indukcja są liniową funkcją

natężenia zewnętrznego pola magnetycznego (rys. 5.37). Współczynnikiem

proporcjonalności są odpowiednio: współczynnik podatności magnetycznej i

współczynnik przenikalności magnetycznej. Jednocześnie, w przypadku

paramagnetyków, zastrzeżono, że ta liniowość jest ograniczona do przypadku

natężeń pól technicznie dostępnych. W polach silniejszych, przy jednoczesnym

obniżeniu temperatury, można wejść w zakres nieliniowy paramagnetyka i

zaobserwować jego nasycenie.

5.6.2 Ferromagnetyki Nie wszystkie ciała zbudowane są tak, że można pominąć oddziaływania

wzajemne między atomami tego ciała. W niektórych substancjach oddziaływania

między sąsiednimi atomami są tak silne, że przezwyciężają one destrukcyjne

działanie chaotycznych ruchów cieplnych i powodują uporządkowanie orientacji

pól magnetycznych atomów. Uporządkowanie obejmuje swym zasięgiem obszar

zawierający około 106 atomów. Obszar taki nazywany jest domeną



magnetyczną. Ciała charakteryzujące się strukturą domenową tworzą grupę

ferromagnetyków Równoległe ustawienie kierunków pól magnetycznych

elementarnych magnesów w obszarze domeny zachodzi samorzutnie, bez

udziału zewnętrznego pola magnetycznego i nazywa się namagnesowaniem

spontanicznym.

Rys. 5.38 Ferromagnetyk w polu magnetycznym: a) struktura domenowa ferromagnetyka, H = 0; b) przebieg linii sił pola magnetycznego zewnętrznego H i namagnesowanie J; c) rozkład linii sił pola magnetycznego w otoczeniu ferromagnetyka (Linie sił pola magnetycznego wnikają prawie prostopadłe do powierzchni próbki)

Domeny ciała ferromagnetycznego w stanie swobodnym (rys. 5.38) są

zorientowane w sposób chaotyczny i przypadkowy tak, że pole magnetyczne

wytwarzane przez ferromagnetyk jest równe zeru. Zewnętrzne pole

magnetyczne ustawia kierunki pól magnetycznych domen w kierunku linii sił

tego pola. Powstające namagnesowanie (magnetyzacja — pole magnetyczne

pochodzące od domen) zwiększa natężenie pola magnetycznego wewnątrz, a

zmniejsza na zewnątrz ferromagnetyka.

Zgodna orientacja pól magnetycznych atomów, tworzących domenę

ferromagnetyka, jest możliwa wtedy, gdy energia wzajemnego oddziaływania

między atomami jest większa od energii drgań cieplnych atomów umieszczonych

w węzłach sieci krystalicznej. Energia wzajemnego oddziaływania, będąca

wynikiem oddziaływania chmur elektronowych sąsiadujących atomów, nie zależy

od temperatury, natomiast energia ruchów cieplnych wzrasta wraz z

temperaturą. Temperatura, przy której następuje zrównanie tych energii, nosi



nazwę temperatury Curie (punktu Curie). W temperaturze Curie znika,

charakterystyczne dla ferromagnetyka, spontaniczne namagnesowanie, traci on

swoje właściwości ferromagnetyczne i staje się zwykłym paramagnetykiem.

Ferromagnetykami są metale: żelazo Fe, kobalt Co i nikiel Ni oraz stopy tych

pierwiastków i ich tlenki. Wykazują one przenikalność magnetyczną µr ≈ 104, a

ich temperatury Curie leżą w przedziale temperatur od 631 K dla niklu,

do 1043 K dla żelaza.

Istotną cechą ferromagnetyków jest również nieliniowa i niejednoznaczna

zależność między natężeniem pola magnetycznego H, a namagnesowaniem J lub

indukcją magnetyczną B. Zależności B = f(H) dla ferromagnetyków nie zapisuje

się w postaci analitycznej, tylko przedstawia się ją na wykresie w układzie

współrzędnych B i H. Wykres omawianej zależności tworzy krzywa zamknięta

zwana pętlą histerezy magnetycznej (rys. 5.39), w której można wyróżnić

trzy gałęzie. Gałąź pierwsza 1 na rys. 5.39 — krzywa magnesowania

pierwotnego — obrazuje wzrost indukcji ze wzrostem zewnętrznego pola

magnetycznego, aż do nasycenia. Stanowi nasycenia próbki ferromagnetyka

odpowiada równoległe ustawienie wszystkich domen magnetycznych. Dalszy

wzrost natężenia pola magnetycznego nie zwiększa już namagnesowania próbki.

Zmniejszenie pola magnetycznego (gałąź 2) powoduje zmniejszenie się indukcji,

ale przy H = 0 część domen ferromagnetyka zachowuje nadal swoją poprzednią

orientację. Domeny te, a więc i ferromagnetyk, wytwarzają na zewnątrz pole

magnetyczne o indukcji Br, zwanej remanencją magnetyczną (pozostałością

magnetyczną). Ferromagnetyk w tym stanie jest magnesem. Aby zniszczyć

remanencję magnetyczną (rozmagnesować magnes), należy z zewnątrz

przyłożyć pole magnetyczne skierowane przeciwnie o wartości Hk odpowiadającej

natężeniu koercji (powściągliwości magnetycznej). Dalszy wzrost pola

magnetycznego w tym samym kierunku magnesuje próbkę aż do nasycenia (—

Bnas). Odwrócenie kierunku zmian pola magnetycznego (gałąź 3) wywołuje

omówione już zjawiska.

Pętla histerezy magnetycznej zostaje wyznaczona przy okresowo-przemiennym

polu magnetycznym. W polu magnetycznym szybkozmiennym pętla histerezy

staje się szersza, gdyż uwzględnia ona prądy wirowe (patrz p. 5.6.4).



Rys. 5.39 Pętla histerezy magnetycznej 1 — krzywa magnesowania pierwotnego z uwzględnieniem szumów Barkhausena, 2, 3 — gałęzie pętli odpowiadające przemagnesowaniu próbki

Krzywą magnesowania pierwotnego rysuje się najczęściej jako linię ciągłą. W

rzeczywistości jednak jest to linia „schodkowa”. Świadczy to o tym, że indukcja

magnetyczna ferromagnetyka zmienia się w sposób skokowy. Jest to związane z

orientacją całych grup lub poszczególnych domen w obecności zewnętrznego

pola magnetycznego. Opisane zjawisko nosi nazwę szumów Barkhausena.

Można je wykryć doświadczalnie.

Kształt pętli histerezy magnetycznej jest różny dla różnych ferromagnetyków. W

przypadku ferromagnetyków, które magnesują się trudno, tzw.

ferromagnetyków twardych, pętla histerezy jest szeroka (rys. 5.40). Ferro-

magnetyki twarde trudno jest rozmagnesować i dlatego używa się ich do budowy

magnesów trwałych. Ferromagnetyki miękkie łatwo magnesują się w polu

magnetycznym, jednak po jego zaniku szybko rozmagnesowują się.

Wykorzystuje się je głównie do budowy elektromagnesów.

Rys. 5.40 Przykładowe pętle histerezy magnetycznej ferromagnetyków 1 — twardych, 2 — miękkich

Powierzchnia pętli histerezy magnetycznej określa wartość energii potrzebnej do

namagnesowania ferromagnetyka. Jak wiadomo — wzór (1.60) — gęstość

energii (energia w jednostce objętości) zmagazynowanej w nieskończenie



rozległym ferromagnetyku, wyraża się wzorem

∫=B

HdBw0

(5.65)

Jeśli całkowanie będziemy przeprowadzali po krzywej zamkniętej — po pętli

histerezy — to otrzymamy energię potrzebną na jednokrotne przemagnesowanie

jednostki objętości ciała

HdBwB

∫=0

(5.66)

Energia ta zamienia się na ciepło.

Straty na histerezę są proporcjonalne do częstotliwości pola (prądu)

przemagnesowującego ferromagnetyk. Ze wzrostem częstotliwości zmian pola

(prądu) magnesującego pętla histerezy poszerza się i straty mocy zwiększają

się.

Straty na histerezę są dominującym składnikiem strat mocy czynnej w

transformatorach i urządzeniach dławikowych.

Nieliniowa zależność indukcji B od pola H w ferromagnetykach jest wynikiem

zależności przenikalności magnetycznej µ tych ciał od natężenia pola

magnetycznego (rys. 5.41). Wielkość µ nie jest w tym przypadku wielkością

stałą, tylko zwiększa się w słabych polach magnetycznych, natomiast w

silniejszych — ulega zmniejszeniu. Zjawisko to wykorzystuje się w

stabilizatorach i wzmacniaczach magnetycznych, transduktorach i

przetwornikach elektromechanicznych.

Rys. 5.41 Zależność przenikalności magnetycznej statycznej µ = B/H (krzywa 1) od natężenia pola magnetycznego, wyznaczanej dla pierwotnej krzywej magnesowania, na tle pierwotnej krzywej magnesowania (krzywa 2). Graficznie wartość wielkości µ można podać jako tangens kąta αp

p

p

p

p tgH

Bαµ ==



Dotychczasowe rozważania dotyczyły ciał ferromagnetycznych nieskończenie

rozległych. Wymienione parametry odnosiły się więc raczej do materiału

ferromagnetycznego niż do samego ciała. W rzeczywistych układach

magnetycznych nie można na ogół pominąć rozmiarów i kształtu ciała, mają one

bowiem wpływ na wartość Hk, Bnas i µ.

Wyobraźmy sobie na przykład pierścień ferromagnetyczny rozcięty tak, że

została utworzona szczelina powietrzna (rys. 5.42). Pierścień ten został

namagnesowany w polu magnetycznym H wytworzonym przez przewodnik z

prądem I. Pole magnetyczne przenika przez pierścień i przez szczelinę

powietrzną. Dzięki tej szczelinie właśnie na końcach pierścienia powstają jakby

swobodne bieguny magnetyczne. Pole magnetyczne swobodnych biegunów

magnetycznych może przenikać od bieguna N do S przez pierścień

ferromagnetyczny i przez szczelinę powietrzną tworząc pole magnetyczne

odmagnesowujące H0d skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego H.

Rys. 5.42 Ilustracja otwartego obwodu magnetycznego

Natężenie pola magnetycznego odmagnesowującego jest proporcjonalne do

namagnesowania pierścienia

NJH od −= (5.67)

gdzie N jest współczynnikiem odmagnesowania zależnym od kształtu próbki.

Wypadkowe pole magnetyczne w ferromagnetyku jest więc mniejsze od pola

zewnętrznego

NJHH wd −= (5.68)

Ponieważ

( ) wrw HHJ 1−== µχ (5.69)

χ — podatność magnetyczna, µr — przenikalność magnetyczna względna,

to wypadkowe pole magnetyczne

( ) wrw HNHH 1−−= µ (5.70)



a po przekształceniu natomiast indukcja magnetyczna

( )11 −+=

r

wN

HH

µ (5.71)

( )H

NB

r

r0

11µ

µ

µ

−+= (5.72)

W równaniu (5.72) czynnik

( ) c

r

r

Nµ

µ

µ=

−+ 11 (5.73)

nosi nazwę przenikalności magnetycznej względnej ciała.

Przenikalność magnetyczna względna ciała ma wartość skończoną nawet

wówczas, gdy mamy do czynienia z idealnym ferromagnetykiem, to znaczy

takim, dla którego µr → ∞. Wartość tę można wyznaczyć obliczając granicę

( )11lim

−+=

∞→r

rk

Nr µ

µµ

µ (5.74)

Po wykonaniu obliczeń otrzymuje się

Nk

1=µ (5.75)

Wielkość µk nosi nazwę przenikalności magnetycznej względnej kształtu,

która jest równa przenikalności magnetycznej względnej ciała przy założeniu, że

µr → ∞. Przenikalność magnetyczna ciała jest więc zależna od właściwości

magnetycznych materiału i od kształtu ciała. Zależność od kształtu zawarta jest

we współczynniku odmagnesowania N, który np. dla próbki pierścieniowej (rys.

5.43)

l

lN

p= (5.76)

lp — długość linii sił pola magnetycznego w powietrzu, lFe— długość linii sił pola

magnetycznego w żelazie, l = lp + lFe — długość całkowita średniej linii sił pola

magnetycznego.



Rys. 5.43 Przykładowy obwód magnetyczny otwarty

Przykład 5.11 Obliczyć natężenie pola magnetycznego HP w szczelinie powietrznej i natężenie HFe w części stalowej rdzenia obwodu magnetycznego przedstawionego na rys. 5.43. Do obliczeń przyjąć: lP = 1 cm, lFe — 0,6 m, SP = 10 cm

2, SFe = 8 cm2, µr = 6000, µ0 =

4π⋅10-7 H⋅m-1, z = 100, I = 1 A.

Przyjmując w uproszczeniu, iż pole magnetyczne w rdzeniu i szczelinie

powietrznej jest równomierne, można napisać, że strumień magnetyczny

FeFepp SBSB ==Φ (5.77)

BP i BFe — indukcja magnetyczna w powietrzu i w rdzeniu; Sp i SFe, — pole

powierzchni przekroju poprzecznego szczeliny i rdzenia.

Z prawa przepływu — wzór (1.42) — wynika, że

FeFepp lHlHIz +==Θ (5.78)

Ponieważ FerFePp HBHB 00 ; µµµ ==

Fe

r

FepB

lB

lIz

P

00 µµµ+==Θ (5.79)


Φ

+==Θ

Fer

Fe

P

p

S

l

S

lIz

00 µµµ (5.80)

Wielkość

Fer

FeFe

P

p

PS

lR

S

lR

00

;µµµ

µµ == (5.81)

nazywa się reluktancją (oporem magnetycznym).

Uwzględniając reluktancję, można równanie (5.80) zapisać w postaci

( )Φ+==Θ FeP RRIz µµ (5.82)

które przypomina prawo Ohma zastosowane do obwodu złożonego z dwóch rezy-

storów połączonych szeregowo. Wielkość Iz (przepływ) jest przy tym wielkością



analogiczną do napięcia elektrycznego, a strumień Φ — do prądu. Reluktancja

szczeliny powietrznej rdzenia po wykonaniu obliczeń jest odpowiednio równa

16

47

0

1081010104

01,0 −

−−⋅⋅=

⋅⋅⋅== WbA

S

lR

P

p

Pπµ

µ

15

47

0

101081046000

6,0 −

−−⋅=

⋅⋅⋅⋅== WbA

S

lR

Fer

FeFe

πµµµ

Wartość strumienia magnetycznego, obliczona z przekształconego wzoru (5.82)

WbRR

Iz

FeP

6

6105,12

101,8

11000 −⋅=⋅

⋅=

+=Φ

µµ

Strumień ten wytwarza indukcję magnetyczną w powietrzu

TS

BP

P

3

4

6

105,121010

105,12 −

−

−

⋅=⋅

⋅=

Φ=

i w rdzeniu

TS

BFe

Fe

3

4

6

106,15108

105,12 −

−

−

⋅=⋅

⋅=

Φ=

Wartość natężenia pola magnetycznego w powietrzu i rdzeniu

14

7

3

0

10104

105,12 −

−

−

⋅=⋅

⋅== mA

BH

p

Pπµ

1

7

3

0

1,21046000

106,15 −

−

−

⋅≈⋅⋅

⋅== mA

BH

r

FeFe

πµµ

Obwody magnetyczne zawierające elementy ferromagnetyczne należą do grupy

obwodów nieliniowych. Obwody nieliniowe oblicza się najczęściej metodą

graficzną lub graficzno-analityczną (patrz p. 7.4). W taki sam sposób oblicza się

złożone (rozgałęzione) obwody magnetyczne. Można przy tym korzystać z

pewnych analogii między obwodami magnetycznymi i elektrycznymi :

I — prąd elektryczny

Φ — strumień magnetyczny

E — siła elektromotoryczna (napięcie źródłowe)



Θ = Iz — siła magnetomotoryczna (przepływ)

U — napięcie elektryczne

Uz — napięcie magnetyczne

S

lR ρ= — rezystancja (opór elektryczny)

S

lR

r 0µµµ = = reluktancja (opór magnetyczny)

U = RI lub I = UG — prawo Ohma dla obwodu elektrycznego

Uµ = Hl, Uµ = ΦRµ, Φ = UµΛ — odpowiednik prawa Ohma dla obwodów

magnetycznych

RG

1= — konduktancja (przewodność elektryczna)

µR

1=Λ — permeancja (przewodność magnetyczna)

( ) nn UUUIRRRE ...... 2121 ++=+++= — prawo napięciowe Kirchhoffa dla obwodów

elektrycznych

( ) nnn lHlHlHRRRIz ...... 221121 ++=Φ+++==Θ µµµ — odpowiednik prawa

napięciowego Kirchhoffa w zastosowaniu do obwodów magnetycznych

nIIII +++= ...21 — prawo prądowe Kirchhoffa dla obwodów elektrycznych

nn Φ++Φ+Φ=Φ ...21 — odpowiednik prawa prądowego Kirchhoffa w zastosowaniu

do obwodów magnetycznych

W procesie magnesowania (magnetyzacji) ferromagnetyka domeny

magnetyczne zmieniają kierunek wytwarzanego przez siebie pola

magnetycznego, zwiększają swoją objętość i przesuwają granicę między

sąsiednimi domenami. Prowadzi to do zmiany naprężeń mechanicznych między

domenami i zmiany naprężeń w całej próbce. W rezultacie cała próbka

ferromagnetyka umieszczona w polu magnetycznym zmienia swoje wymiary

liniowe. Zjawisko zmiany wymiarów liniowych ferromagnetyków w obecności

zewnętrznego pola magnetycznego nosi nazwę magnetostrykcji.



Zjawisko magnetostrykcji obserwuje się najczęściej w rdzeniach w kształcie

walca, na których nawinięta jest cewka. Ze wzrostem prądu następuje

zwiększenie lub zmniejszanie długości rdzenia, zależnie od rodzaju materiału

użytego do jego budowy. Jeśli przez cewkę przepuści się prąd zmienny, to rdzeń

będzie okresowo skurczany i rozkurczany i — podobnie jak drgająca membrana

— będzie wytwarzał fale akustyczne.

Rdzenie magnetostrykcyjne wykorzystuje się głównie do wytwarzania fal

ultradźwiękowych, zwłaszcza o dużej mocy, które znajdują wiele zastosowań w

różnych dziedzinach techniki.

5.6.3 Wpływ pola magnetycznego na półprzewodniki z prądem

Pole magnetyczne w ośrodkach przewodzących wywołuje zjawiska

galwanomagnetyczne. Są one szczególnie wyraźne w półprzewodnikach

przewodzących prąd elektryczny. Spośród wielu zjawisk galwanomagnetycznych

największe zastosowanie znalazły zjawisko Halla i zjawisko Gaussa.

Zjawisko Halla polega na powstaniu napięcia elektrycznego między

wyróżnionymi punktami półprzewodnika z prądem umieszczonego w polu

magnetycznym.

W przewodnikach prądu prędkość ukierunkowanego ruchu elektronów jest

proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego

uEv = (5.83)

u— ruchliwość elektronu.

Ruchliwość elektronu jest parametrem wyrażającym prędkość elektronu w

polu elektrycznym o natężeniu jednostkowym. W płytce Halla (hallotronie), w

nieobecności pola magnetycznego (rys. 5.44a), elektrony poruszają się z

prędkością jednostajną, tworząc prąd elektryczny I zwany prądem sterującym.

Linie prądu są w tym przypadku wzajemnie równoległe, a linie ekwipotencjalne

przebiegają równolegle do paskowych elektrod doprowadzających prąd I.

Elektrody umieszczone na krawędziach bocznych płytki znajdują się na linii o

tym samym potencjale, różnica napięć między nimi jest więc równa zeru, UH = 0.



Po przyłożeniu pola magnetycznego B, skierowanego prostopadle do powierzchni

płytki, na poruszające się elektrony będzie działała również siła Lorentza (patrz

rozdz. 3)

evBFm −= (5.84)

pod wpływem której tory elektronów zostaną zakrzywione (rys. 5.44b).

Zakrzywienie torów ruchu ładunków powoduje, że na jednej z krawędzi bocznych

płytki zaczynają gromadzić się elektrony. Elektrody umieszczone na krawędziach

bocznych znajdują się teraz na liniach o różnych potencjałach i napięcie Halla nie

jest równe zeru, UH ≠ 0.

Rys. 5.44 Ilustracja zjawiska Halla: a) hallotron w nieobecności pola magnetycznego; b) hallotron w obecności pola magnetycznego

Ładunki na krawędziach bocznych płytki gromadzą się do chwili, gdy wytworzone

przez nie pole elektryczne osiągnie wartość EH, zwaną natężeniem pola Halla. To

dodatkowe pole elektryczne (pole Halla) działa na elektrony siłą

HH eEF −= (5.85)

zwaną siłą Halla. Siła Halla działa w płaszczyźnie płytki, a więc tej samej, w

której działa siła Lorentza Fm, i jest jej równa

HeEevB −=− (5.86)


uEBEH = (5.87)

Pole Halla prostuje tory elektronów, działając przeciwnie do przyłożonego pola



magnetycznego. W płytce ustala się trwały stan, w którym między elektrodami

na krawędziach bocznych występuje napięcie Halla

HH aEU = (5.88)

Uwzględniając wymiary geometryczne płytki i rodzaj materiału, z którego została

wykonana, ostatecznie

d

IBRU HH = (5.89)

gdzie RH jest stałą Halla.

Łatwo zauważyć, że w zjawisku Halla elektrony i dziury są odchylane w tę samą

stronę. Półprzewodniki typu p i n wykazują więc w tym samym polu różną

biegunowość napięcia Halla. Efekt ten wykorzystuje się w doświadczalnych

metodach oznaczania rodzaju półprzewodników. Poza tym hallotrony znalazły

zastosowanie w miernictwie elektrycznym w układach do pomiaru pól

magnetycznych stałych i zmiennych. Zdolności mnożące hallotronów (IB) —

patrz wzór (5.89) — wykorzystano do pomiaru mocy, w watomierzach.

Zjawisko Gaussa polega na zmianie rezystancji próbki półprzewodnika w

obecności pola magnetycznego. Obserwuje się je w większości półprzewodników,

podobnie jak zjawisko Halla. Przyczyną zwiększenia rezystancji próbek

półprzewodnikowych w polach magnetycznych jest na ogół zakrzywienie i

wydłużenie torów elektronów.

W płytkach Halla, dzięki obecności pola Halla, zjawisko Gaussa nie występuje.

Dlatego też gaussotrony wykonuje się w postaci dysku (dysk Corbino — rys.

5.45), w którym dwie elektrody rozmieszczone są współśrodkowo: jedna

centralnie, w środku dysku, a druga na obwodzie. W nieobecności pola

magnetycznego linie prądu przechodzą promieniście (rys. 5.45a) od jednej

elektrody do drugiej. Po umieszczeniu płytki w polu magnetycznym o indukcji B,

skierowanym prostopadle do powierzchni płytki, linie prądu — na skutek

działania siły Lorentza — zakrzywiają się i wydłużają. Rezystancja próbki

zwiększa się. Przyrost rezystancji próbki jest w przybliżeniu wprost

proporcjonalny do kwadratu iloczynu ruchliwości elektronów i indukcji

( )2

0 uBCRR =∆ (5.90)

C — stała, R0 — rezystancja gaussotronu przy B = 0.



Zjawisko Gaussa znalazło zastosowanie głównie w czujnikach poła

magnetycznego, elementach układów automatyki i sterowania itp.

Hallotrony i gaussotrony wykonuje się najczęściej z półprzewodników typu n o

dużej ruchliwości nośników, do których należą: german Ge, krzem Si,

antymonek indu InSb, arsenek indu InAs, selenek rtęci HgSe, tellurek rtęci

HgTe.

Rys. 5.45 Ilustracja zjawiska Gaussa (dysk Corbino): a) gaussotron w nieobecności pola magnetycznego; b) gaussotron w obecności pola magnetycznego

Zjawisko magnetorezystancyjne (zmiana rezystancji pod wpływem pola

magnetycznego) obserwuje się nie tylko w półprzewodnikach, lecz również w

cienkich warstwach ferromagnetycznych. W tych ostatnich polega ono nie na

wydłużaniu linii prądu, lecz na zmianie rezystywności materiału. Rezystywność

cienkich warstw ferromagnetycznych zależy nie tylko od składu chemicznego

materiału, lecz także od stopnia uporządkowania domen magnetycznych.

Cienkie warstwy magnetyczne, ze względu na specyficzne właściwości

elektryczne, zalicza się do grupy półprzewodników.

5.6.4 Wpływ pola magnetycznego na przewodniki oraz przewodniki z prądem

Bez przesady można powiedzieć, że oddziaływanie pól magnetycznych z

przewodnikami prądu elektrycznego leży u podstaw elektrotechniki. We



wczesnym okresie badań zjawisk elektrycznych traktowano je zupełnie

niezależnie od zjawisk magnetycznych. Dopiero Oersted zauważył, że

przewodnik z prądem wytwarza w otaczającej go przestrzeni pole magnetyczne.

Czujnikiem obecności pola magnetycznego była w tym przypadku igła

magnetyczna. Pole magnetyczne wytworzone w doświadczeniu Oersteda było

polem stałym, gdyż w owych czasach znane były tylko galwaniczne źródła

napięcia elektrycznego.

Fakt, że prąd elektryczny jest źródłem pola magnetycznego, każe sądzić o

nierozłączności zjawisk elektrycznych i magnetycznych takiej, że można mówić o

zjawiskach elektromagnetycznych. Konsekwencją tej wspólnoty zjawisk powinna

być możliwość wytwarzania prądu elektrycznego za pomocą pola

magnetycznego. Tą drogą rozumowania poszedł Faraday i wykonał epokowe

doświadczenie ilustrujące zjawisko indukcji elektromagnetycznej. Zjawisko

indukcji elektromagnetycznej polega na indukowaniu prądu elektrycznego w

zamkniętym obwodzie elektrycznym obejmującym zmienne pole magnetyczne.

W doświadczeniu Faradaya zamknięty obwód elektryczny tworzyła cewka

połączona z galwanometrem wskazującym kierunek i wartość przepływającego

prądu. Pole magnetyczne zmienne było wytwarzane za pomocą magnesu

sztabkowego umieszczonego wewnątrz cewki i poruszanego ręką.

Doświadczenie Faradaya ilustrujące zjawisko indukcji elektromagnetycznej było

doświadczeniem epokowym w dziedzinie badań nad istotą elektryczności. Po raz

pierwszy wytworzono prąd przemienny, opracowano metodę wytwarzania energii

elektrycznej na skalę przemysłową, opracowano metodę przesyłania energii

elektrycznej na duże odległości (transformator). Obwody prądu przemiennego

wytwarzają fale elektromagnetyczne, które doświadczalnie wykrył i pomierzył ich

długość Hertz, zanim Maxwell podał teorię promieniowania

elektromagnetycznego. A promieniowanie elektromagnetyczne to już

radioelektronika, telekomunikacja, lasery itd., Tak oto jedno, proste w istocie

doświadczenie fizyczne, do wykonania którego potrzebne są trzy elementy:

cewka, magnes i galwanometr, zrewolucjonizowało nasze poglądy na budowę

materii i legło u podstaw nowych dziedzin techniki i wielu nowych teorii.

Dyskutując wpływ pola magnetycznego na przewodniki rozważmy trzy



przypadki:

— wpływ pola magnetycznego na obwody otwarte (rozwarte),

— wpływ pola magnetycznego na obwody zamknięte (zwarte),

— wpływ pola magnetycznego na przewodniki z prądem.

Najprostszy obwód elektryczny otwarty (rys. 5.46) umieszczony w stałym polu

magnetycznym nie doznaje żadnego działania ze strony tego pola. Działanie to

uwidacznia się dopiero wtedy, gdy pole to jest zmienne w czasie lub w

przestrzeni.

Jak wiadomo, zmienne pole magnetyczne wywołuje powstanie w przestrzeni, w

płaszczyźnie prostopadłej do linii sił tego pola, zmiennego pola elektrycznego o

kołowych liniach sił (patrz rozdz. 1).

Rys. 5.46 Otwarty obwód elektryczny w polu magnetycznym

Jeśli w polu magnetycznym umieścimy obwód elektryczny otwarty (rys. 5.46), to

na jego końcach indukuje się siła elektromotoryczna indukcji

elektromagnetycznej (napięcie indukowane)

dt

de

Ψ−= (5.91)

równa co do modułu prędkości zmian strumienia magnetycznego skojarzonego z

obwodem elektrycznym.

Strumień skojarzony z obwodem jest związany ze strumieniem Φ przenikającym

powierzchnię obejmowaną przez obwód zależnością

Φ=Ψ z

gdzie z jest liczbą zwojów obwodu. Dla obwodów jednozwojowych Φ=Ψ

Ponieważ nBS=Ψ gdzie Sn oznacza powierzchnię prostopadłą (normalną) do linii

sił pola magnetycznego, to

( )dt

BSde n−= (5.92)



Siła elektromotoryczna indukcji magnetycznej może być wynikiem zmian indukcji

przy nie zmienionej geometrii obwodu (Sn = const) i wtedy nosi ona nazwę siły

elektromotorycznej transformacji

dt

dBSe n−= (5.93)

dt

dB jest prędkością zmian indukcji magnetycznej.

Może też być ona wynikiem ruchu obwodu elektrycznego w stałym polu

magnetycznym (B = const) lub też zmiany konfiguracji obwodu, i wtedy nosi

nazwę siły elektromotorycznej rotacji

dt

dSe nB−= (5.94)

dt

dSn jest prędkością zmian powierzchni obejmowanej przez obwód.

Przykład 5.12

Indukcja magnetyczna strumienia przenikającego przez kołowy jednozwojowy rozwarty obwód elektryczny (rys. 5.46) zmienia się w czasie zgodnie z zależnością B = bt, gdzie b jest prędkością zmian indukcji: b = 1 T⋅s-1. Obliczyć napięcie indukowane przez strumień, jeśli promień zwoju r = 0,1 m. W naszym przypadku Sn = πr2 = const, a więc siła elektromotoryczna indukcji

elektromagnetycznej — patrz wzór (5.93)

dt

btdre

)(2π−=

Wykonując obliczenia otrzymuje się e = -πr2b; w konsekwencji uzyskuje się e =

-0,0314 V.

Przykład 5.13 Pręt o długości l = 2 m porusza się z prędkością v = 10 m⋅s-1 w polu magnetycznym o indukcji B = 1 T w kierunku prostopadłym do linii sił tego pola. Obliczyć siłę elektromotoryczną indukowaną na końcach pręta (rys. 5.47).

Pręt o długości l, poruszający się z prędkością v w kierunku poziomym, przebywa

drogę x = vt zakreślając pole o powierzchni Sn = lvt. Ponieważ w tym przypadku

B = const, to — patrz wzór (5.94)

( )dt

lvtde B−=

Wykonując obliczenia otrzymuje się e = —Blv, a podstawiając dane liczbowe :

e = 20 V.



Rys. 5.47 Pręt poruszający się w kierunku prostopadłym do linii sił pola magnetycznego

Wyobraźmy sobie teraz, że w miejscu pręta jest umieszczona ramka prostokątna

o bokach l i a. (Bok a jest równoległy do kierunku prędkości v — rys. 5.47).

Niech ramka ta porusza się w swej płaszczyźnie, prostopadłej do linii sił pola

magnetycznego, z prędkością v. Łatwo wykazać, że w ramce tej zostanie

wzbudzona siła elektromotoryczna taka sama jak poprzednio, tzn. e = — Blv.

Jak widać, siła elektromotoryczna rotacji powstaje zawsze wtedy, kiedy

przewodnik przecina linie sił pola magnetycznego, gdy istnieje składowa pola

zakreślonego przez poruszający się przewodnik, prostopadła do linii sił pola

magnetycznego.

Przykład 5.14 Pręt, jak w zadaniu poprzednim, porusza się z prędkością v = 10 m⋅s-1 w polu magnetycznym o indukcji B = 1 T w kierunku tworzącym kąt α = 30° z kierunkiem prostopadłym do linii sił pola. Obliczyć siłę elektromotoryczną indukowaną na końcach pręta (rys. 5.48).

Poruszający się pręt, podobnie jak poprzednio, zakreśla pole o powierzchni

S = lvt. Nas interesuje jednak powierzchnia normalna Sn = lv't prostopadła do

linii sił pola. Ponieważ v' = v cos α, to Sn = lvt cos α. Wykonując obliczenia jak w

poprzednim zadaniu otrzymuje się: e = Blv cos α, co daje wartość e = 17,3 V.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Rys. 5.48 Pręt poruszający się w dowolnym kierunku względem linii sił pola magnetycznego

Przykład 5.15 Pręt o długości l = 1 m wiruje w płaszczyźnie poziomej z prędkością kątową ω = 2π rad⋅s-1. Przez płaszczyznę obrotu przenika, w kierunku do niej prostopadłym, strumień magnetyczny o indukcji B = 1 T. Obliczyć siłę elektromotoryczną indukowaną na końcach pręta (rys. 5.49).

W tym przypadku mamy do czynienia z siłą elektromotoryczną rotacji, a więc

dt

dSe nB−=

Ponieważ

ωπ 2l

dt

dSn = , to ωπ 2lBe −= .

Uwzględniając wartości liczbowe: e ≈ 20 V.

Rys. 5.49 Pręt wirujący w płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola magnetycznego

Gdybyśmy stopniowo pochylali płaszczyznę wirowania pręta, to zauważylibyśmy,

że napięcie indukowane na jego końcach stawałoby się coraz mniejsze. W

skrajnym przypadku, gdy płaszczyzna wirowania będzie pionowa, równoległa do

linii sił pola magnetycznego, wzbudzana siła elektromotoryczna będzie równa



zeru. Wynika to z faktu, że w tym ostatnim przypadku pole zakreślane przez

wirujący pręt, jakie „widzi" strumień magnetyczny, jest równe zeru.

Przykład 5.16 Obwód elektryczny w kształcie ramki o długości l = 0,4 m, szerokości a = 0,1 m i liczbie zwojów z = 1000 wiruje wokół swojej osi podłużnej ruchem jednostajnym z prędkością kątową ω = 18 000 rad⋅s-1. Obliczyć wartość maksymalną siły elektromotorycznej indukcji elektromagnetycznej, jeśli ramka obraca się w polu magnetycznym o indukcji B = 0,1 T (rys. 5.50).

Powierzchnia ramki S = la jest zarazem największą powierzchnią, jaką „widzi"

strumień magnetyczny. W czasie obrotu ramki strumień „widzi" powierzchnię Sn

= la cos ωt. Strumień magnetyczny skojarzony z ramką jest zatem zmienny

tzBla ωcos=Ψ

Zgodnie z wzorem e = — dΨ/dt otrzymujemy e = = ωzBla sin ωt. Wyrażenie Em

= ωzBla określa maksymalną wartość siły elektromotorycznej indukowanej na

końcach obwodu.

W naszym przypadku, uwzględniając wartości liczbowe: Em = 72 kV.

Siła elektromotoryczna indukcji elektromagnetycznej powstaje nie tylko na

końcach obwodu otwartego, lecz także w zamkniętym obwodzie elektrycznym i w

tym przypadku powoduje ona przepływ prądu, którego wartość, zgodnie z

prawem Ohma

R

ei = (5.95)

Rys. 5.50 Cewka wirująca w stałym polu magnetycznym

Ramka wirująca w stałym polu magnetycznym — to idea, która została

zrealizowana w generatorach prądu sinusoidalnego. W generatorach



przemysłowych (turbogeneratorach) zwoje, tworzące ramki, nawinięte są na

stalowym wirującym rdzeniu. Przez zwoje te wymusza się przepływ prądu

stałego. Przeciwnie więc do przypadku rozważonego w tym przykładzie, w

turbogeneratorach wirnik jest źródłem pola magnetycznego. Linie sił tego pola w

czasie wirowania wirnika przecinają nieruchome uzwojenia rozmieszczone na

obwodzie stojana maszyny. Rozwiązanie takie ma tę zaletę, że umożliwia odbiór

energii z uzwojeń nieruchomych.

Przykład 5.17 Przez zamknięty kołowy obwód elektryczny o promieniu r = 0,1 m (rys. 5.51) i rezystancji R = 100 Ω przenika zmienne pole magnetyczne o indukcji B(t) = bt, gdzie b = 1T • s-1 jest szybkością narastania pola. Obliczyć wartość mocy wydzielanej w obwodzie.

Siła elektromotoryczna indukcji elektromagnetycznej (siła elektromotoryczna

transformacji) obliczona z wzoru

( )dt

tdBSe n−=

ma wartość e = -πr2b. Powoduje ona przepływ prądu

R

bri

2π−=

Rys. 5.51 Zamknięty obwód elektryczny w polu magnetycznym

Moc wydzielona w obwodzie, obliczona z zależności 2RiP =

1242 −= RbrP π

Wartość liczbowa mocy ( ) WP 5142 10100110 −−− =⋅⋅⋅= π .

Wyobraźmy sobie teraz, że w miejsce pojedynczego obwodu kołowego

umieszczono przewód kołowy, wykonany z tego samego drutu, zawierający

jednak z zwojów, przy czym początek pierwszego zwoju zwarty z końcem

ostatniego. Czy w tym przypadku moc wydzielona w takim obwodzie będzie



mniejsza, większa czy taka sama jak w zwoju pojedynczym? Rozwiązanie tego

problemu pozostawia się Czytelnikowi.

Przykład 5.18 Obliczyć ładunek elektryczny q przepływający przez przekrój poprzeczny zamkniętego przewodnika kołowego o promieniu r = 0,1 m i rezystancji R = 100 Ω (rys. 5.51), jeśli został on usunięty z pola magnetycznego o indukcji B0 = 0,1 T.

Siła elektromotoryczna rotacji

dt

dBSe n−=

wywołuje przepływ prądu

dt

dB

R

Si n−=

który, zgodnie z wzorem dq = idt, przenosi ładunek elektryczny

dBR

Sdq n−=

Zmiana indukcji magnetycznej, wywołana usunięciem obwodu z obszaru pola

magnetycznego, dB = ∆B = — B0, a zatem

R

BSq n 0=


( )Cq

4

2

1014,3,0100

1,01,0 −⋅=⋅

=π

Zmienne pole magnetyczne zawsze indukuje prąd w ośrodkach przewodzących

umieszczonych w zasięgu tego poła. Prąd indukowany wytwarza własne pole

magnetyczne, które deformuje pole wzbudzające ten prąd (rys. 5.52). Kierunek

przepływu prądu indukowanego określa reguła Lenza.

Kierunek przepływu prądu indukowanego jest zawsze taki, że pole magnetyczne

wytworzone przez ten prąd przeciwdziała zmianom pola zewnętrznego.

Reguła Lenza jest konsekwencją zasady zachowania energii w zjawiskach

elektromagnetycznych.



Rys. 5.52 Rozkład linii sil pola magnetycznego cewki z rdzeniem: a) swobodnej; b) umieszczonej w pobliżu metalowych przedmiotów

Wyobraźmy sobie cewkę i magnes sztabkowy w doświadczeniu Faradaya.

Wsuwanie cewki (zwiększanie strumienia pola) wywołuje przepływ prądu o takim

kierunku, że jego pole magnetyczne stara się magnes wypchnąć z obszaru

cewki. Eksperymentator wsuwając magnes musi pokonać siłę oporu, wytwarzaną

przez tenże magnes. Podobnie się dzieje przy wysuwaniu magnesu

(zmniejszaniu strumienia pola). Kierunek przepływu prądu indukowanego w tym

przypadku zmienia się i występuje siła wciągająca magnes w głąb cewki.

Eksperymentator znowu odczuwa siłę sprzeciwu. Do wytworzenia zatem energii

prądu elektrycznego zawsze potrzebna jest praca sił zewnętrznych. Gdyby było

inaczej, gdyby prąd indukowany wytwarzał pole magnetyczne o kierunku

zgodnym z kierunkiem pola zewnętrznego, to pojawiłaby się siła działająca w

kierunku zgodnym z kierunkiem działania siły zewnętrznej i w końcu magnes

„sam" zostałby wciągnięty w obszar cewki lub byłby z niej wypchnięty.

Otrzymalibyśmy pracę bez udziału sił zewnętrznych, a to przeczyłoby zasadzie

zachowania energii.

Prądy indukowane płyną zawsze po liniach kołowych, gdyż są one wzbudzane

przez kołowe, wirowe pole elektryczne wytwarzane przez zmienne pole

magnetyczne. Z tego też względu noszą one nazwę prądów wirowych. Prądy

wirowe płyną zawsze w płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola

magnetycznego.

Zjawisko prądów wirowych powoduje występowanie strat energii w wielu



urządzeniach, np. transformatorach, silnikach. Konstruuje się też urządzenia, w

których zjawisko to jest świadomie wykorzystywane.

Między innymi wykorzystuje się je w nagrzewnicach indukcyjnych, urządzeniach

wykrywających obecność przedmiotów metalowych, a także w popularnych

licznikach energii elektrycznej. Praca wykonywana przez prądy wirowe w całości

zamienia się na ciepło. Energia cieplna, dostarczana do przedmiotu metalowego,

może go rozgrzać do wysokiej temperatury umożliwiającej przeprowadzenie

dalszych zabiegów technologicznych takich jak: hartowanie, odpuszczanie,

utwardzanie powierzchniowe i inne. Wszystko to może odbywać się bez

„rozpalania pieca". Aby osiągnąć odpowiednio duże wartości prądów wirowych

stosuje się pola magnetyczne szybkozmienne.

Urządzenia do wykrywania obecności przedmiotów metalowych (np. min)

zawierają cewkę rdzeniową wytwarzającą na zewnątrz pole magnetyczne (rys.

5.52). Normalnie prąd I0 płynący przez cewkę wytwarza strumień magnetyczny

Φ0. W obecności przedmiotu metalowego znajdującego się w zasięgu pola

magnetycznego całkowity strumień przenikający przez cewkę zmniejsza się

dzięki pojawieniu się strumienia Φin od prądów wirowych. Cewka będzie zatem

wykazywała mniejszą indukcyjność L = Φ/I. Impedancja 222LRZ ω+= obwodu

cewki również zmniejszy się, a to powoduje większy pobór prądu ze źródła. W

obecności przedmiotów metalowych zatem prąd płynący przez cewkę I > I0,

gdzie I0 jest prądem płynącym przez uzwojenia cewki w nieobecności

przedmiotów przewodzących.

Czujnikiem obecności przedmiotów metalowych w tego typu urządzeniach jest

amperomierz włączony w obwód cewki. Czułość lub zasięg urządzenia zwiększa

się przez zwiększenie prądu elektromagnesu lub zwiększenie jego częstotliwości.

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej występuje w przewodnikach zawsze,

niezależnie od tego, czy płynie w nich już prąd wymuszony przez źródło prądu,

czy też nie. W ogólnym przypadku zatem w przewodniku elektryczności objętym

działaniem pola magnetycznego zmiennego płyną dwa prądy: prąd wymuszony i

prąd indukowany.

Jeśli rozpatrujemy zjawisko oddziaływania zmiennego pola magnetycznego,



wytworzonego przez przewodnik przewodzący prąd zmienny na tenże

przewodnik, to mówimy wtedy o zjawisku samoindukcji. Dla zjawiska

samoindukcji słuszne są wzory (5.91) i (5.95).

Jak już wspomniano, zjawisko indukcji elektromagnetycznej występuje we

wszystkich przewodnikach niezależnie od tego, czy przepływa już przez nie prąd

czy też nie. W przewodnikach wiodących prąd elektryczny, umieszczonych w

polu magnetycznym, pojawia się dodatkowe oddziaływanie, w wyniku którego

powstaje siła mechaniczna działająca na ten przewodnik, zwana siłą

elektrodynamiczną. Siła elektrodynamiczna ma wartość stałą, jeśli natężenie

zewnętrznego pola magnetycznego i prąd płynący przez przewodnik są stałe. Siła

elektrodynamiczna jest zmienna, jeśli jedna z tych wielkości lub obie są zmienne

w czasie.

Źródłem siły elektrodynamicznej jest siła Lorentza wywierana na elektrony

przez pole magnetyczne — patrz wzór (3.7)

eBvF =

e — ładunek elektronu, B — indukcja magnetyczna, której kierunek jest

prostopadły do kierunku prędkości v elektronu.

Siła Lorentza działa w kierunku prostopadłym do kierunku B i v.

Rys. 5.53 Przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Rozpatrzmy obwód elektryczny przedstawiony na rys. 5.53. Źródło napięcia o

sile elektromotorycznej E wymusza przepływ prądu I przez przewód liniowy o

długości l. Przewód ten jest umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B.

Wektor prędkości nośników ładunków elektrycznych jest prostopadły do linii sił

pola magnetycznego.



Przepływ prądu I związany jest z przepływem ładunku q, który jest zawsze

całkowitą wielokrotnością ładunku elektronu. Siła wypadkowa, działająca na

wszystkie elektrony, jest właściwie siłą elektrodynamiczną i można ją zapisać w

postaci

qBvFed = (5.97)

Ponieważ ,Itq = a lvt = , to ostatecznie

BIlFed = (5.98)

We wzorze (5.98) l oznacza długość tylko tej części przewodu, która jest

„zanurzona" w polu magnetycznym.

Kierunek działania siły elektrodynamicznej można określić z reguły „trzech

palców prawej dłoni" lub reguły „lewej dłoni" (rys. 5.54).

Reguła trzech palców prawej dłoni:

Jeżeli z trzech palców prawej dłoni ustawionych względem siebie pod kątem

prostym, palec środkowy wskazuje kierunek pola magnetycznego, palec

wskazujący — kierunek przepływu prądu, to kciuk wskaże kierunek działania siły.

Rys. 5.54 Ilustracja reguły „trzech palców prawej dłoni" oraz reguły „lewej dłoni" wyznaczania kierunku działania siły elektrodynamicznej

Reguła „lewej dłoni":

Jeżeli do otwartej dłoni lewej ręki wnikają linie sil pola magnetycznego, a

wyciągnięte palce wskazują kierunek przepływu prądu, to odgięty kciuk wskaże

kierunek działania siły.

Zjawisko powstawania siły elektrodynamicznej jest podstawą działania wielu

przetworników elektromechanicznych, w tym silników elektrycznych.

.

.



Przykład 5.19 Liniowy przewód elektryczny o długości l = 2 m, wiodący prąd I = 10A znajduje się w polu elektrycznym o indukcji B = 0,1 T. Przewód może się poruszać bez tarcia po bezoporowych szynach (rys. 5.53). Obliczyć początkową siłę elektrodynamiczną Fed działającą na przewód oraz jego ustaloną prędkość v poruszania się w kierunku działającej siły. Do obliczeń przyjąć E = 0,1 V.

Początkowa siła elektrodynamiczna

NBIlFed 22101,0 =⋅⋅==

Pod wpływem tej siły pręt będzie się poruszał ruchem jednostajnie

przyspieszonym z przyspieszeniem

m

Fa ed=

m — masa pręta.

Ruch będzie się odbywał zgodnie z kierunkiem działającej siły.

Ruch pręta będzie zmieniał strumień magnetyczny przenikający przez kontur

obwodu elektrycznego. Na końcach pręta będzie się więc indukowała siła

elektromotoryczna indukcji elektromagnetycznej — patrz wzór (5.94) i przykład

5.13

dt

dSe nB−=

pod wpływem której będzie płynął prąd

dt

dS

Ri nB

−=

Ponieważ lvdt

dSlvtSvtxlxS n

nn ==== ;;; , to

R

lvi

B−=

Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym v = at, to prąd indukcyjny

R

lati

B−=

będzie, z upływem czasu, zwiększał się co do modułu. Przepływ prądu

indukowanego jest związany z powstawaniem nowej siły elektrodynamicznej F'ed

skierowanej przeciwnie do siły Fed. Wypadkowa siła elektrodynamiczna

'

eded FFF +=

Wartość chwilowa przyspieszenia pręta określona jest zależnością



maFF eded =+ '

Prąd indukowany w czasie ruchu pręta będzie narastał do chwili, w której F'ed = -

Fed. Gdy siły elektrodynamiczne pochodzące od prądu wymuszonego i prądu

indukowanego zrównoważą się, to przyspieszenie a = 0 (pierwsza zasada

dynamiki Newtona) i pręt będzie się poruszał ruchem jednostajnym.

Z warunku F'ed = - Fed wynika i = I, co można przedstawić w postaci

R

E

R

lv=

B

Stąd

Bl

Ev =

Po wykonaniu obliczeń: v = 0,4 m⋅s-1.

Należy zauważyć, że energia kinetyczna ruchu pręta jest uzyskiwana kosztem

energii elektrycznej czerpanej ze źródła napięcia o sile elektromotorycznej E.

Pole magnetyczne o indukcji B jest w tym przypadku ośrodkiem, w którym

następuje przemiana energii elektrycznej w energię mechaniczną. W silnikach

elektrycznych, na skutek specjalnej konstrukcji, energia mechaniczna występuje

w postaci energii kinetycznej ruchu obrotowego.

Siła elektrodynamiczna działa na przewodnik z prądem umieszczony w polu

magnetycznym zawsze, niezależnie od rodzaju źródła pola magnetycznego. W

szczególnym przypadku pole magnetyczne może być wytworzone przez inny

przewodnik z prądem. Rozpatrzmy układ dwóch przewodów z prądem

przedstawiony na rys. 5.55. Przewód z prądem I2 umieszczony jest w polu

magnetycznym wytworzonym przez przewód z prądem I1 (i odwrotnie). Przewód

I2 znaj duje się w tym miejscu pola, w którym indukcja magnetyczna (patrz

przykład 1.12)

d

IB

π

µ

2

10=

Siła elektrodynamiczna działająca na przewód z prądem I2

d

lIIFed

π

µ

2

210= (5.99)



Rys. 5.55 Dwa przewodniki z prądem oddziałują na siebie za pośrednictwem pola magnetycznego

Taka sama siła o zwrocie przeciwnym działa na przewód wiodący prąd I1. Zwroty

sił są takie, że powodują wzajemne przyciągania przewodów wiodących prądy o

zgodnych zwrotach i odpychanie przewodów wiodących prądy o zwrotach

przeciwnych.

Mechaniczne oddziaływanie między przewodami z prądem wykorzystuje się w

wielu urządzeniach elektromechanicznych.

Przykład 5.20 Szyny zbiorcze w elektrowni, wiodące prąd I = 100 kA, odległe są od siebie o d = 1 m. Obliczyć siłę mechanicznego oddziaływania między szynami przypadającą na każdy metr długości szyn.

Ze wzoru

d

lIFed

π

µ

2

2

0= (5.100)

otrzymuje się zależność

NFed 200012

110104 107

=⋅

⋅⋅⋅=

−

π

π

Wzór (5.100) jest zależnością, na podstawie której definiuje się jednostkę prądu

elektrycznego — amper.

Prąd o wartości jednego ampera (1 A) jest to taki prąd, który płynąc w dwóch

równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o przekroju

kołowym nieskończenie małym, umieszczonych w próżni, odległych od siebie o 1

m wywołuje powstanie siły elektrodynamicznej o wartości 2⋅10-7 N działającej na

każdy metr przewodów.

Definicja ampera wiąże z sobą wielkości mechaniczne i elektryczne.



5.7 Zjawisko nadprzewodnictwa 5.7.1 Wprowadzenie W 1908 r. K. Onnes skroplił hel. Temperatura wrzenia tego gazu jest bardzo

niska i wynosi 4,2 K. W ten sposób udostępnione zostały fizykom obszary bardzo

niskich temperatur. Rzeczą naturalną było zbadanie właściwości różnych ciał w

tych temperaturach. Szczególne zainteresowanie eksperymentatorów skupiało

się na przewodnikach prądu elektrycznego — metalach.

Wiadomo, że rezystancja przewodników metalowych wraz z obniżaniem ich

temperatury maleje. Teoretycznie w temperaturze zera bezwzględnego powinna

ona osiągnąć wartość zerową. Są dwie przyczyny występowania oporu

elektrycznego w metalach: drgający ruch cieplny jonów lub atomów w węzłach

sieci krystalicznej wokół swoich położeń równowagi oraz defekty sieci

krystalicznej rozmieszczone w krysztale w sposób przypadkowy. W temperaturze

zera bezwzględnego ruch cieplny atomów i jonów ustaje prawie całkowicie i

można przyjąć, że o rezystancji przewodnika decydują zaburzenia okresowości

sieci krystalicznej, tzw. defekty sieci. Defekty sieci są wynikiem zanieczyszczeń.

Dla metali bardzo czystych można zatem przyjąć, że nie wnoszą one swego

udziału do oporu elektrycznego. Rezystancja bardzo czystych przewodników

metalicznych wraz z obniżaniem ich temperatury powinna więc zmniejszać się

liniowo do zera. Zjawisko takie rzeczywiście się obserwuje w wielu metalach,

między innymi w przewodnikach wykonanych ze złota i ze srebra. Dla wielu

innych metali zjawisko przebiega jednak inaczej. Okazuje się, że w pewnej

temperaturze, wyższej od temperatury zera bezwzględnego, charakteryzują się

one całkowitym zanikiem rezystancji (rys. 5.56). Przejścia przewodnika do

nowego, bezrezystancyjnego stanu jest bardzo gwałtowne; nowy stan nosi

nazwę stanu nadprzewodnictwa.



Rys. 5.56 Zależność rezystancji próbek metalicznych od temperatury 1 — przewodnik normalny, 2 — nadprzewodnik czysty, 3 — nadprzewodnik zanieczyszczony

Stan nadprzewodnictwa jest to taki stan przewodnika, w którym znika jego

rezystancja w temperaturze wyższej od zera bezwzględnego.

Przewodnik obdarzony zdolnością przechodzenia w stan nadprzewodnictwa nosi

nazwę nadprzewodnika. Temperatura, w której nadprzewodnik osiąga stan

nadprzewodnictwa, jest nazwana temperaturą krytyczną.

Stan nadprzewodnictwa osiągają nie tylko nadprzewodniki czyste, lecz również

zanieczyszczone. Dla nich jednak przejście do nowego stanu jest łagodniejsze.

Przewodniki nie mające zdolności przechodzenia do stanu nadprzewodnictwa

nazywają się przewodnikami normalnymi. Należy zaznaczyć, że zanik

rezystancji przewodników normalnych w temperaturze zera bezwzględnego nie

jest związany z nadprzewodnictwem.

Cechę nadprzewodnictwa wykazuje 25 znanych pierwiastków. Ich temperatury

krytyczne zawierają się w przedziale 0 ... 10 K. Na przykład dla rtęci Hg wynosi

ona ok. 4 K, dla cyny Sn 3,7 K, dla ołowiu Pb 7,2 K, a dla niobu Nb 9,3 K.

Nadprzewodnikami są również niektóre stopy. Szczególnie interesujące są stopy

nadprzewodnikowe wykonane na bazie niobu. Charakteryzują się one wysoką

temperaturą krytyczną. Dla stopu Nb3Sn wynosi ona 18 K.

Zjawisko zaniku rezystancji jest bardzo kuszącą perspektywą dla elektrotechniki.

Konsekwencją zjawiska jest przecież prąd, który teoretycznie po wzbudzeniu

może płynąć przez czas nieskończenie długi. Oczywiście podjęto próby pomiaru

czasu przepływu prądu nadprzewodnikowego. Okazało się, że rezystywność

nadprzewodników w stanie nadprzewodnictwa jest mniejsza niż 4⋅10-27 Ω⋅m, a

więc ok. 1016 razy mniejsza od rezystywności miedzi w temperaturze pokojowej.

5.7.2 Właściwości obwodów elektrycznych w stanie nadprzewodnictwa

Obwody elektryczne w stanie nadprzewodnictwa mają zupełnie odmienne właści-

wości od obwodów znajdujących się w stanie normalnym.



Rozpatrzmy nierozgałęziony obwód elektryczny, np. obwód kołowy (rys. 5.57),

wykonany z nadprzewodnika. Jeśli przez powierzchnię S, ograniczoną tym

obwodem, przenika strumień magnetyczny zewnętrzny Φz zmienny w czasie, to

indukuje on w obwodzie silę elektromotoryczną indukcji elektromagnetycznej.

Pod wpływem tej siły elektromotorycznej płynie prąd I spełniający równanie

dt

diLRi

dt

d z +=Φ

− (5.101)

L — indukcyjność, R — rezystancja obwodu.

W stanie nadprzewodnictwa R = 0, zatem

0=Φ

+dt

d

dt

diL z (5.102)

Pierwszy człon równania (5.102) oznacza zmiany strumienia Φn wytworzonego

przez prąd nadprzewodnictwa, a drugi — zmiany strumienia zewnętrznego Φz.

Jak widać, zmiany te kompensują się wzajemnie, tzn. że jeśli jeden strumień

magnetyczny zmniejsza się, to drugi ulega zwiększeniu, lub odwrotnie, ale tak,

że strumień całkowity pozostaje stały. Właściwość ta wynika również z całkowej

postaci wzoru (5.102)

constLi z =Φ+ (5.103)

W odniesieniu do obwodów elektrycznych w stanie nadprzewodnictwa można

więc sformułować następujący wniosek, będący konsekwencją zaniku

rezystancji.

Całkowity strumień magnetyczny przechodzący przez powierzchnię

ograniczoną obwodem elektrycznym w stanie nadprzewodnictwa jest

wielkością stalą, niezależną od zmian strumienia magnetycznego

zewnętrznego.

Z właściwości tej wynikają metody wzbudzenia prądu w obwodach zamkniętych

znajdujących się w stanie nadprzewodnictwa. Pierwsza metoda polega na

oziębieniu nadprzewodnika poniżej jego temperatury krytycznej. W tym stanie

(stanie nadprzewodnictwa) obwód jakby „zapamiętuje", że całkowity strumień

magnetyczny przenikający przez ograniczoną nim powierzchnię jest równy zero.

Przyłożenie zewnętrznego pola magnetycznego indukuje w nim przepływ prądu

nadprzewodnictwa o takim zwrocie i wartości, że strumień Φn wytworzony przez



ten prąd w całości kompensuje strumień zewnętrzny Φz. Całkowity strumień jest

równy zero.

Druga metoda polega na oziębianiu nadprzewodnika poniżej jego temperatury

krytycznej w obecności strumienia zewnętrznego Φz. Również i w tym przypadku

obwód „zapamiętuje" w stanie nadprzewodnictwa wartość tego strumienia.

Usunięcie pola magnetycznego po oziębieniu wzbudza przepływ prądu

nadprzewodnictwa. Strumień Φn wytworzony przez ten prąd ma taką samą

wartość i zwrot, jakie miał strumień zewnętrzny Φz. Przypadek ten

przedstawiono na rys. 5.57b.

Opisanych właściwości nie ma obwód złożony z przewodnika normalnego nie

będącego nadprzewodnikiem, nawet o rezystancji R = 0.

Rys. 5.57 Nadprzewodnik kołowy: a) umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym o strumieniu Φz, w temperaturze wyższej od temperatury krytycznej; b) w stanie nadprzewodnictwa wytworzonym przez obniżenie temperatury i usunięcie pola o strumieniu Φz

,

,



Przykład 5.21 Nadprzewodnik kołowy o promieniu r = 0,1 m (rys. 5.57) umieszczono w zewnętrznym

polu magnetycznym tak, że strumień przenikający obwód Φz = 10-8 Wb. Usuwając pole

magnetyczne po oziębieniu nadprzewodnika do temperatury niższej od jego temperatury

krytycznej, wytworzono w nim przepływ prądu nadprzewodnictwa. Obliczyć wartość

prądu.

Równanie ogólne dla nadprzewodników w stanie nadprzewodnictwa ma postać

(5.102)

dt

diL

dt

d z =Φ

−

Ponieważ pochodna dt

d zΦma znak ujemny (strumień w czasie ulega zmniejszeniu

— usunięcie pola), to

stąd

Li zΦ

=

Widać zatem, że wartość stałego prądu nadprzewodnictwa jest uzależniona od

indukcyjności obwodu. Zależność taka nie występuje w obwodach normalnych.

W celu obliczenia indukcyjności wyznaczymy wartość natężenia pola

magnetycznego wewnątrz przewodnika kołowego, korzystając ze wzoru

otrzymanego w przykładzie 5.8

r

iH

2=

Ponieważ strumień Φn = SHµ0, gdzie S = πr2 jest powierzchnią, przez którą

przenika strumień magnetyczny,

r

irn

2

2

0πµ=Φ

Uwzględniając, że zgodnie z definicją indukcyjnościi

L zΦ= otrzymujemy

(pamiętając, że nz Φ=Φ )

rL πµ02

1=

Wielkość 17

0 104 −− ⋅⋅= mHπµ , a zatem

Liz =Φ



HL7102 −⋅= π

Obliczając stosunek Φz/L otrzymujemy ostatecznie i = 50 mA.

Na podstawie analizy prostego obwodu nadprzewodnikowego można wysnuć

wniosek:

Prąd stały nadprzewodnictwa jest odwrotnie proporcjonalny do

indukcyjności toru, którym płynie.

Powyższy wniosek można rozszerzyć na obwody rozgałęzione:

Prądy stałe nadprzewodnictwa przenoszone po torach równoległych są

odwrotnie proporcjonalne (w przybliżeniu) do indukcyjności tych torów.

Przykład 5.22 Obliczyć stosunek prądów i1 do i2 w obwodzie jak na rys. 5.58, znajdującym się w stanie nadprzewodnictwa.

Przedstawiony obwód jest obwodem rozgałęzionym. Ll i L2 oznaczają

indukcyjności odpowiednich gałęzi, a M — współczynnik indukcyjności

wzajemnej. Spadek napięcia na zaciskach lewej i prawej gałęzi jest taki sam, a

zatem

dt

diM

dt

diL

dt

diM

dt

diL 12

221

1 +=+

Rys. 5.58 Rozgałęziony obwód nadprzewodnikowy

Po uporządkowaniu

( ) ( )dt

diML

dt

diML 2

21

1 −=−

a po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych

( ) ( ) 2211 iMLiML −=−

stąd



( )( )ML

ML

i

i

−

−=

1

2

2

1

Jeśli M jest bardzo małe w porównaniu z Ll i L2, to można napisać

1

2

2

1

L

L

i

i=

Do tej pory omawialiśmy zjawiska towarzyszące przepływowi prądu stałego

nadprzewodnictwa. A jak zachowuje się nadprzewodnik, gdy płynie w nim prąd

zmienny? Spróbujmy to rozważyć zakładając istnienie dwóch rodzajów

elektronów: elektronów przewodnictwa (normalne) i elektronów

nadprzewodnictwa*. W istocie są to nazwy umowne, oznaczające te same

elektrony w różnych stanach nadprzewodnictwa. W temperaturze zera

bezwzględnego wszystkie elektrony biorące udział w przewodzeniu prądu są

elektronami nadprzewodnictwa. Ze wzrostem temperatury procentowy udział

elektronów nadprzewodnictwa w ogólnej ilości elektronów uczestniczących w

przepływie prądu maleje. Wreszcie w temperaturze krytycznej wszystkie

elektrony są normalne. W nadprzewodniku zatem w ogólnym przypadku może

płynąć prąd nadprzewodnictwa i prąd normalny. Stały prąd

nadprzewodnictwa może być wytwarzany jedynie przez elektrony

nadprzewodnictwa. Związane jest to z tym, że natężenie pola elektrycznego w

nadprzewodniku, w przypadku prądu stałego, jest równe zeru. Gdyby pole to

miało inną wartość, to elektrony nadprzewodnictwa, nie doznając żadnego oporu

w swym ruchu, wytworzyłyby po pewnym czasie prąd o nieskończenie dużej

wartości. Takiego zjawiska nie obserwuje się. Jeśli w nadprzewodniku,

znajdującym się w stanie nadprzewodnictwa, zostanie wytworzone zmienne pole

elektryczne, to powstały prąd nadprzewodnictwa ze względu na bezwładność

elektronów będzie się opóźniał względem zmian tego pola. Obwód będzie więc

wykazywał cechę indukcyjności, która jest całkowicie różna od indukcyjności

wynikającej z kształtu obwodu elektrycznego. Tak więc w obwodzie

nadprzewodnikowym może płynąć zmienny prąd nadprzewodnictwa, przy czym

będzie to prąd o charakterze indukcyjnym. Obecność pola elektrycznego w

nadprzewodniku spowoduje również ruch elektronów normalnych. Będą one

tworzyły prąd normalny wydzielający moc w sposób konwencjonalny.

Rezystancja dla tego prądu nie jest równa zero.

Zmienny prąd w nadprzewodnikach zawiera dwie składowe: zmienny



prąd nadprzewodnictwa i zmienny prąd normalny. Składowa normalna

prądu daje spadek napięcia na nadprzewodniku.

* Nazwy „elektrony nadprzewodnictwa” i” elektrony normalne” nie są powszechnie

przyjęte.

Z dotychczasowych rozważań wynika, że zjawisko nadprzewodnictwa wiąże się

ściśle ze zjawiskami magnetycznymi. Omówimy to teraz dokładniej. W tym celu

będziemy rozpatrywać właściwości bryły nadprzewodnika (rys. 5.59), a nie

obwodu elektrycznego, jak poprzednio.

W bryle nadprzewodnika można wytworzyć przepływ prądu nadprzewodnictwa w

taki sam sposób, jak w obwodach elektrycznych. W tym przypadku prąd płynie

jedynie tylko po powierzchni bryły tworząc prąd powierzchniowy. Wartość tego

prądu i kierunek jego przepływu są takie, że wypadkowe pole magnetyczne w

objętości nadprzewodnika jest równe zero. Jest to bardzo ważna właściwość

materiałów nadprzewodzących (nadprzewodników), którą po raz pierwszy

zaobserwował A. Meissner. Z tego też względu zjawisko zaniku pola

magnetycznego w nadprzewodniku (rys. 5.60) nosi nazwę efektu Meissnera.

Nadprzewodnik w stanie nadprzewodnictwa zachowuje się zatem jak idealny

diamagnetyk (rys. 5.61). Podatność magnetyczna idealnego diamagnetyka χ =

— 1, co oznacza, że jego namagnesowanie J = Hz jest równe co do wartości

natężeniu pola zewnętrznego, lecz przeciwnie skierowane. W tym przypadku jest

ono wytworzone przez prądy powierzchniowe (kołowe), a nie zespół atomów, jak

w diamagnetyku normalnym.

Idealny diamagnetyzm można także opisać za pomocą jego przenikalności

magnetycznej µ = 1 + χ. Oczywiście w tym przypadku µ = 0, co oznacza, że

indukcja magnetyczna wewnątrz nadprzewodnika, wytworzona przez zewnętrzne

pole magnetyczne, jest zawsze równa zero (zakres 0 ... Hkr, rys. 5.61b).

To, że metal nadprzewodzący nie zezwala na istnienie w swym wnętrzu

strumienia magnetycznego, ma podstawowe znaczenie dla przepływu prądu

nadprzewodnictwa.



Rys. 5.59 Element nadprzewodzący w stanie nadprzewodnictwa umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji Bz

Prąd nadprzewodnictwa w bryle nadprzewodnika nie może przepływać przez

całą objętość bryły, może płynąć jedynie po jego powierzchni.

Pojęcie powierzchni, jako obszaru dla przepływu prądu, jest oczywiście pojęciem

umownym. W istocie prąd płynie w cienkiej warstwie powierzchniowej, której

grubość jest rzędu 10-7 m i jest różna dla różnych nadprzewodników. Chociaż

grubość warstwy powierzchniowej jest niewielka, odgrywa ona istotną rolę w

określaniu właściwości nadprzewodników.

Rozkład gęstości prądu w warstwie powierzchniowej nie jest równomierny.

Największa gęstość prądu występuje przy powierzchni metalu. W miarę

przesuwania się w głąb nadprzewodnika, gęstość prądu stopniowo zmniejsza się

do zera. Głębokość, na której płyną jeszcze prądy powierzchniowe, nosi nazwę

głębokości wnikania. Jest to zarazem głębokość, na którą wnika określona

część strumienia przyłożonego pola magnetycznego (rys. 5.60). Pole

magnetyczne o indukcji B0 przyłożone równolegle do powierzchni

nadprzewodnika wnika w obszar metalu, przy czym indukcja zmniejsza się

(ekspotencjalnie) zgodnie z należnością

0

0)(x

x

eBxB−

= (5.104)



Rys. 5.60 Głębokość wnikania pola magnetycznego do nadprzewodnika w stanie nadprzewodnictwa

Głębokością wnikania x0 nazwano umownie głębokość obszaru, w którym

indukcja magnetyczna zmniejsza się e razy (e ≈ 2,71).

Wnikanie strumienia magnetycznego w głąb próbki nadprzewodnika jest

niedostrzegalne wówczas, gdy rozmiary próbki są duże. W przypadku cienkich

warstw nadprzewodzących, o grubości porównywalnej z głębokością wnikania,

występuje w nich znaczna indukcja magnetyczna. Materiał traci wtedy cechy

idealnego diamagnetyka i zmienia swoje właściwości nadprzewodzące.

Jak już wspomniano wcześniej, prąd w nadprzewodniku, mimo zerowej

rezystancji nadprzewodnika, nie może osiągnąć dowolnie dużej wartości. Na

przeszkodzie temu stoi indukcyjność. Ale nie tylko indukcyjność ogranicza

wartość prądu. Również pole magnetyczne ma wpływ na właściwości

nadprzewodników. Przyglądając się już charakterystykom przedstawionym na

rys. 5.61 zauważamy, że jeśli natężenie pola magnetycznego przekroczy wartość

natężenia krytycznego Hkr„ to nadprzewodnik ze stanu nadprzewodnictwa

przechodzi w stan normalny, mimo że temperatura otoczenia może być mniejsza

od temperatury krytycznej. Z punktu widzenia nadprzewodnika obojętne jest,

czy pole magnetyczne jest przyłożone z zewnątrz, czy też jest wynikiem

przepływu prądu nadprzewodnictwa. Nadprzewodnik zatem niejako sam

wyznacza sobie maksymalną wartość prądu, który może płynąć przez niego bez

obawy zniszczenia jego właściwości nadprzewodnikowych.

Natężenie krytyczne pola nie jest wielkością stałą, lecz zależną od temperatury

(rys. 5.62). W temperaturze zera bezwzględnego wartość natężenia krytycznego



jest największa, by w temperaturze krytyczne zmniejszyć się do zera

Rys. 5.61 Zachowanie się nadprzewodników w zewnętrznym polu magnetycznym: a) zależność indukcji od natężenia zewnętrznego pola magnetycznego; b) zależność namagnesowania od natężenia zewnętrznego pola magnetycznego 1 — przewodnik normalny, 2 — nadprzewodnik czysty, 3 — nadprzewodnik zanieczyszczony

2

0 1

−=

kr

krkrT

THH (5.105)

Hkr0 — natężenie krytyczne dla T = 0.

Paraboliczna zależność między wielkościami Tkr i Hkr ma charakter empiryczny.

Opisuje ona jednak z dużym przybliżeniem zależności wyznaczone

doświadczalnie.

Rys. 5.62 Zależność natężenia krytycznego pola magnetycznego od temperatury

5.7.3 Matematyczny opis stanu nadprzewodnictwa

Zjawisko nadprzewodnictwa można wyjaśnić jedynie na gruncie elektrodynamiki



kwantowej. Zanim jednak J. Bardeen, W. Cooper i J. Schrieffer opracowali

odpowiednią teorię, zwaną w skrócie teorią BCS*, bracia F. i H. Londonowie

opracowali prostą teorię zjawiska nadprzewodnictwa, wychodząc z równań

Maxwella. Zauważyli oni, że magnetyczne właściwości metalu nadprzewodzącego

można by opisać prawidłowo, gdyby w równaniach Maxwella wielkość

t

B

∂

∂zastąpić formalnie indukcją B. Zanim do tych równań przejdziemy, określmy

najpierw wartość prądu przewodzenia w nadprzewodniku (prąd przesunięcia jest

pomijany).

Elektrony nadprzewodnictwa, znajdujące się w nadprzewodniku, nie napotykają

w czasie swego ruchu żadnego oporu. Tak więc, pod wpływem pola

elektrycznego o natężeniu E poruszają się one ruchem jednostajnie

przyspieszonym, a równanie ich ruchu ma postać

eEdt

dvm = (5.106)

m — masa, v — prędkość, e — ładunek elektronu.

Jeżeli koncentracja elektronów nadprzewodnictwa jest n, to tworzą one prąd

nadprzewodnictwa o gęstości

nevJ R = (5.107)

Szybkość zmian gęstości prądu w czasie wyraża wzór

dt

dvne

dt

dJ R = (5.108)

który po uwzględnieniu zależności (5.106) przyjmuje postać

Em

ne

dt

dJ R

2

= (5.109)

Powróćmy teraz do drugiego równania Maxwella — wzór (1.62) i (1.63), które

teraz można zapisać

* Teoria nadprzewodnictwa BCS omówiona jest w p. 5.7.4.

rotEt

B−=

∂

∂czyli E

t

B×−∇=

∂

∂ (5.110)

Ponieważ

dt

dJ

ne

mE R

2= (5.111)



to

dt

dJrot

ne

m

t

B R

2−=

∂

∂ (5.112)

Zgodnie ze spostrzeżeniem Londonów, nadprzewodnik w stanie

nadprzewodnictwa spełnia równanie (5.112), jeśli zastąpimy w nim t

B

∂

∂

wielkością B, a dt

dJ R - wielkością JR. Otrzymuje się w ten sposób równanie

RrotJne

mB

2−= (5.113)

które wraz z równaniem

Em

ne

dt

dJ R

2

= (5.114)

leży u podstaw teorii Londonów.

Równanie (5.113) opisuje idealny diamagnetyzm nadprzewodnika, natomiast

równanie (5.114) stwierdza, że dopóki w nadprzewodniku płynie prąd stały

= 0

dt

dJ R , to nie może być w metalu pola elektrycznego.

Zasługą Londonów jest to, że na podstawie ich wzorów można dojść do równania

opisującego zjawisko wnikania pola magnetycznego w obszar nadprzewodnika —

patrz równanie (5.104)

Lx

x

eBxB−

= 0)( (5.115)

w którym

2

0ne

mxL

µ=

Wielkość xL nosi nazwę londonowskiej głębokości wnikania. Uwzględniając

wartości wielkości m, µ0, e oraz uwzględniając, że typowa koncentracja nośników

swobodnych prądu w metalu (w przybliżeniu jeden elektron na atom) wynosi n =

4⋅1028 m-3 otrzymuje się xL ≈ 10-8 m, co w dużej mierze zgadza się z

doświadczeniem.

Równania Londonów nie zastępują równań Maxwella. Określają jedynie

warunki,, które dodatkowo spełniają prądy nadprzewodnikowe. Ponadto dobrze

wyjaśniają zjawisko Meissnera.



5.7.4 Istota nadprzewodnictwa Istotę zjawiska nadprzewodnictwa można wyjaśnić rozpatrując procesy

zachodzące w nadprzewodniku w skali mikroskopowej.

Otóż, jak wspomniano, przyczyną występowania oporu elektrycznego czystych

metali jest ruch drgający jonów umiejscowionych w węzłach sieci krystalicznej.

Elektrony w czasie ruchu wymieniają swą energię z drgającymi jonami. Jeśli

elektron potraktujemy jako falę, to fala ta w przewodniku jest rozpraszana.

Centrami rozpraszającymi „fale elektronowe" są właśnie drgające jony. Bardzo

często mówi się po prostu o rozpraszaniu elektronów. Rozpraszanie elektronów

jest zatem przyczyną występowania oporu elektrycznego.

Energię kinetyczną ruchu drgającego jonów można opisać w sposób kwantowy.

W tym przypadku kwant energii drgań sieci krystalicznej nosi nazwę fononu. W

normalnych warunkach energia fononów w przewodniku, z punktu widzenia

elektronu, jest duża. Wraz z obniżaniem temperatury energia fononów zmniejsza

się jednak do takiej wartości, że może być ona pochłonięta przez elektron.

Elektron, po zaabsorbowaniu fononu, na bardzo krótki czas zwiększa swoją

energię, po czym sam emituje fonon, który jest z kolei absorbowany przez inny

elektron. W ten sposób następują jak gdyby sprzęgnięcia wzajemne: elektronów

i elektronów z siecią krystaliczną. Temperatura, w której następuje jakościowa

zmiana oddziaływań elektronów z siecią krystaliczną, nosi nazwę temperatury

krytycznej. Elektrony sprzęgnięte ze sobą i z siecią za pośrednictwem fononów

tworzą zespół elektronów nadprzewodnictwa. Mogą one przemieszczać się

wewnątrz kryształu bez strat energii, czyli bez rozproszeń, są odpowiedzialne za

prąd nadprzewodnictwa. Liczba ich wraz z obniżaniem temperatury zwiększa się,

a w temperaturze zera bezwzględnego już wszystkie elektrony są elektronami

nadprzewodnictwa.

Rozpatrzmy obecnie dokładniej oddziaływania typu elektron – fonon - elektron.

Jak wynika z rachunków, przeprowadzonych w zakresie elektrodynamiki

kwantowej, oddziaływania typu elektron-fonon-elektron prowadzą do

wystąpienia sił przyciągających między elektronami. Istotę tych sił można

wyjaśnić posługując się modelem mechanicznym przedstawionym na rys. 5.63.



Dwie płyty naładowane jednoimiennie, które mogą przesuwać się swobodnie po

podłożu, umieszczone są pod dachem w kształcie trapezu. Między płytami

odbijana jest piłka. Piłka w czasie swego ruchu odbija się również od dachu.

Ciągłe odbijanie piłki od płyt powoduje, że dążą one do zbliżenia się do siebie.

Działa więc na nie siła zbliżona do siły przyciągania. W stanie równowagi siła ta

równoważy siłę odpychania między płytami. Jeżeli w naszym modelu dach zastą-

pimy sztywną siecią krystaliczną, płyty naładowane ujemnie — dwoma

elektronami, a piłkę — fononem, to otrzymamy przybliżony obraz zjawisk

występujących w metalu znajdującym się w stanie nadprzewodnictwa. W metalu

oziębionym poniżej temperatury krytycznej oddziaływanie elektron – fonon -

elektron prowadzi do powstania par elektronowych — par Coopera.

Rys. 5.63 Ilustracja oddziaływań między elektronami prowadząca do ich sprzężenia w pary Coopera

W parach Coopera sprzężone są dwa elektrony o przeciwnych spinach. Energia

ta kiego układu jest o ok. 10-4 eV mniejsza od energii dwóch elektronów

swobodnych w tej samej temperaturze. Prąd nadprzewodnictwa tworzą zatem

nie pojedyncze elektrony, a pary elektronów sprzężonych, które wykorzystują

energię drgań sieci do utrzymania sprzężenia i które dzięki temu poruszają się

nie doznając rozpraszanie (oporu).

Przykład 5.23 Przedyskutować znaczenie przerwy energetycznej (pasma zabronionego ∆E = 10-4 eV) w widmie energetycznym atomów nadprzewodnika.

Przedstawiając przerwę energetyczną ∆E za pomocą iloczynu kT, gdzie k jest

stałą Boltzmanna, otrzymujemy równanie

kTE =∆

z którego

k

ET

∆=

Po wykonaniu obliczeń T ≈ 1 K, co dobrze pasuje do przedziału temperatur, w

którym występuje zjawisko nadprzewodnictwa.



Jeżeli przerwę energetyczną ∆E przedstawimy za pomocą iloczynu hv, to z

równania

hvE =∆

można obliczyć częstotliwość promieniowania, którego energia odpowiadać

będzie przerwie energetycznej

h

Ev

∆=

Po wykonaniu obliczeń v ≈ 3⋅1011 Hz. Jest to częstotliwość z zakresu

promieniowania podczerwonego (cieplnego). Pod wpływem absorpcji energii

promieniowania tej długości fali, nadprzewodnik ze stanu nadprzewodnictwa

przechodzi do stanu przewodnictwa.

Istnienie przerwy energetycznej w widmie energetycznym elektronów wykryto

doświadczalnie. Otóż nadprzewodniki w stanie nadprzewodnictwa bardzo silnie

pochłaniają promieniowanie o częstotliwości ok. 3⋅1011 Hz. Jest to

promieniowanie z zakresu dalekiej podczerwieni. Pod wpływem tego

promieniowania nadprzewodnik przechodzi ze stanu nadprzewodnictwa do stanu

normalnego. Dzieje się tak dlatego, że elektrony nadprzewodnictwa po

zaabsorbowaniu kwantów energii o wartości ok. 10-4 eV stają się elektronami

normalnymi.

Fakt istnienia par Coopera w nadprzewodniku w stanie nadprzewodnictwa

uzasadnia teoria BCS. Z teorii tej wynika również fakt, że najlepsze przewodniki

elektryczności, takie jak miedź, srebro, złoto nie są nadprzewodnikami. W stanie

normalnym w metalach tych elektrony swobodne bardzo słabo oddziałują z siecią

krystaliczną. Obniżanie temperatury nie prowadzi w tym przypadku do istotnych

zmian jakościowych tych oddziaływań. W metalach tych nie można zatem

wytworzyć stanu nadprzewodnictwa, nawet w najniższych dostępnych

temperaturach.

5.7.5 Nadprzewodniki drugiego rodzaju Wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczyły nadprzewodników

pierwszego rodzaju i to nadprzewodników czystych (idealnych). Obecnie

omówimy zjawiska nadprzewodnictwa drugiego rodzaju, ale zanim do tego

przejdziemy, omówimy jeszcze te aspekty zjawisk nadprzewodnictwa pierwszego



rodzaju, które będą miały dla nas znaczenie w tym rozdziale.

W idealnych nadprzewodnikach stan nadprzewodnictwa rozciąga się na całą

objętość materiału. W rzeczywistości jednak, na skutek zanieczyszczeń,

lokalnych deformacji sieci krystalicznej i przewężeń przewodnika, istnieją w

stanie nadprzewodnictwa obszary normalne.

Stan nadprzewodnika, w którym oprócz obszarów nadprzewodzących istnieją

obszary normalne, nazywa się stanem pośrednim.

Stan pośredni jest zatem typowym stanem nadprzewodników rzeczywistych w

stanie nadprzewodnictwa.

Istnienie w nadprzewodnikach lokalnych obszarów normalnych ma swoje

konsekwencje w rozkładzie prądów nadprzewodnictwa.

Rozpatrzmy właściwości nadprzewodnika, który w stanie nadprzewodnictwa

otacza niewielki obszar normalny (otwór). Dla prostoty rozważań może to być

płaski pierścień (rys. 5.64), w którym wyróżnimy powierzchnię boczną

zewnętrzną i wewnętrzną. Załóżmy, że tak ukształtowany nadprzewodnik

ochładzamy poniżej jego temperatury krytycznej w nieobecności zewnętrznego

pola magnetycznego. Następnie przykładamy pole magnetyczne o indukcji Bz

(rys. 5.64a). Ponieważ ośrodek nadprzewodzący jest doskonale diamagnetyczny

i w jego wnętrzu nie może być pola magnetycznego, na powierzchni zewnętrznej

pierścienia zostaje wzbudzony przepływ prądu nadprzewodnictwa i. Prąd i

utrzymuje idealny diamagnetyzm nadprzewodnika i nie dopuszcza do istnienia

strumienia magnetycznego w metalu. Jednocześnie indukcja magnetyczna

wytworzona przez diamagnetyczne prądy ekranujące znosi również indukcję w

obszarze normalnym (otworze) pochodzącą od pola zewnętrznego. W efekcie w

obszarze normalnym strumień magnetyczny nie występuje.

Przepływ prądów nadprzewodnictwa można wytworzyć również w inny sposób. W

tym celu ochładzamy nadprzewodnik w obecności zewnętrznego pola

magnetycznego o indukcji Bz (rys. 5.646). Ponieważ nadprzewodnik poniżej swej

temperatury krytycznej jest doskonale diamagnetyczny, to również i w tym

przypadku zostanie wytworzony przepływ prądu nadprzewodnictwa i znoszącego



pole magnetyczne w objętości materiału. Pole magnetyczne w obszarze

normalnym musi jednak istnieć. Zatem oprócz powierzchniowych prądów

diamagnetycznych musi płynąć prąd paramagnetyczny i’ wytwarzający w

obszarze normalnym pole o indukcji Bz’. Prąd ten płynie w kierunku przeciwnym

do prądu ekranującego i zawsze w obszarze granicznym między obszarami

normalnymi i nadprzewodzącymi.

Rys. 5.64 Przejście nadprzewodnika z zewnętrznym obszarem normalnym w stan nadprzewodnictwa: a) w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego; b) w obecności zewnętrznego pola magnetycznego

Już w p. 5.7.1 stwierdziliśmy, że strumień magnetyczny objęty dowolnym

obwodem nadprzewodzącym w stanie nadprzewodnictwa nie może ulec zmianie

(rys. 5.57). Tak więc, jeśli w obszarze normalnym nadprzewodnika otoczonym

obszarem nadprzewodnictwa zostanie wytworzony strumień magnetyczny, to

zarówno wzbudzony prąd kołowy i' jak i ten strumień będą miały charakter

trwały. Nie znikną one nawet po zmianie lub zaniku pola zewnętrznego.

Opisana sytuacja dotyczyła przypadku, gdy lity kawałek nadprzewodnika otacza

obszar normalny. Zjawiska wyglądają jednak podobnie, gdy w litym kawałku

nadprzewodnika prąd otacza jakiś obszar, który w wyniku działania pola

magnetycznego tego prądu utrzymywany jest w stanie normalnym.

Zjawisko takie obserwuje się w nadprzewodnikach drugiego rodzaju.



Teoria Bardeena, Coopera i Schrieffera opisuje wartość strumienia

magnetycznego wytworzonego przez prąd paramagnetyczny i'

e

hn

2=Φ′ (5.117)

Strumień magnetyczny Φ' nazywa się w tym przypadku fluksoidem. Fluksoid

może przyjmować tylko ściśle określone wartości równe całkowitej krotności

wartości strumienia określonego wzorem

e

h

20 =Φ (5.118)

Wielkość Φ0 jest kwantem strumienia magnetycznego. Nosi on nazwę

fluksonu. Wartość fluksonu jest bardzo mała, Φ0 = 2,07⋅10-15 Wb, niemniej

jednak można ją wyznaczyć doświadczalnie. W tym przypadku doświadczenie

potwierdza słuszność wzoru (5.118), a obecność w nim wyrażenia 2e silnie

przemawia za udziałem par elektronowych w mechanizmie przenoszenia prądu

nadprzewodnictwa.

Kwantowy charakter zmian strumienia przenikającego przez obszary normalne

nadprzewodnika narzuca taki sam charakter zmian prądów paramagnetycznych.

W obecności zewnętrznego pola magnetycznego wokół obszarów (rdzeni)

normalnych płyną prądy o takiej wartości, że strumień przez nie wytworzony

stanowi dopełnienie do najbliższej całkowitej wielokrotności fluksonu.

Nadprzewodnik drugiego rodzaju jest to taki nadprzewodnik, w którym

przewodnictwo elektryczne polega na przenoszeniu rdzeni normalnych

rozłożonych równomiernie w objętości nadprzewodnika.

Strukturę takiego nadprzewodnika przedstawiono na rys. 5.65. Nadprzewodnik

drugiego rodzaju zawiera sieć rdzeni normalnych „zatopionych" w obszarze

nadprzewodzącym nadprzewodnika. Rdzenie te mają kształt walców, a odległość

między nimi jest rzędu 10-7 m. Na powierzchniach granicznych rdzeni płyną

prądy kołowe i' wytwarzające pole magnetyczne o natężeniu H' = Hz gdzie Hz

jest natężeniem zewnętrznego pola magnetycznego. Oprócz tego po powierzchni

próbki płynie prąd nadprzewodnictwa i diamagnetyczny ekranujący obszar

nadprzewodzący próbki przed polem magnetycznym. Przepływ prądu polega na

„przepływie” rdzeni normalnych w objętości materiału.



Opisana struktura nadprzewodnika drugiego rodzaju nosi nazwę struktury

mieszanej. O nadprzewodniku o strukturze mieszanej mówi się, że znajduje się

w stanie mieszanym.

Rys. 5.65 Stan mieszany nadprzewodnika drugiego rodzaju

Mimo pewnego podobieństwa stanu mieszanego do stanu pośredniego różni się

on od niego w sposób istotny. Stan pośredni występuje tylko w

nadprzewodnikach pierwszego rodzaju i jest wynikiem „defektów”

nadprzewodnika. Natomiast stan mieszany jest samoistną właściwością

materiałów nadprzewodzących drugiego rodzaju. Poza tym struktura stanu

pośredniego jest makroskopowa. W pewnych przypadkach można ją dostrzec

nawet gołym okiem. Struktura stanu mieszanego jest mikroskopowa.

Stan mieszany w nadprzewodnikach drugiego rodzaju może istnieć tylko w

obecności zewnętrznego pola magnetycznego o określonej wartości: nie

mniejszej niż Hkr1 i nie większej niż Hkr2.

W polach magnetycznych o natężeniu H < Hkr1 nadprzewodnik zachowuje się tak,

jak nadprzewodnik pierwszego rodzaju. W polach magnetycznych o natężeniu H

> Hkr2 nadprzewodnik drugiego rodzaju przechodzi w stan normalny. Widać więc,

że nadprzewodnik pierwszego rodzaju może istnieć w jednym z dwóch stanów:

nadprzewodnictwa lub normalnym, natomiast nadprzewodnik drugiego rodzaju

— w jednym z trzech stanów: stanie nadprzewodnictwa, normalnym lub

mieszanym.



Rys. 5.66 Charakterystyka napięciowo--prądowa nadprzewodnika drugiego rodzaju umieszczonego w poprzecznym polu magnetycznym; 1 — nadprzewodnik w stanie normalnym, 2 — czysty nadprzewodnik w stanie nadprzewodnictwa, 3 — zanieczyszczony nadprzewodnik

Jak już wspomniano, przepływ prądu przez nadprzewodnik w stanie mieszanym

polega na ruchu rdzeni normalnych. Typową charakterystykę napięciowo-

prądową nadprzewodnika drugiego rodzaju przedstawiono na rys. 5.66. W

zakresie prądów od 0 do Ikr1 spadek napięcia na próbce jest równy zero, gdyż

nadprzewodnik znajduje się w stanie nadprzewodnictwa. Przy prądach I > Ikr1

nadprzewodnik przechodzi w stan mieszany, w którym strumień magnetyczny

jest unoszony przez rdzenie normalne. Rdzenie normalne napotykają w swym

ruchu opór wywołany defektami sieci krystalicznej. Opór ten, zwany oporem

płynięcia, jest cechą charakterystyczną dla danego materiału i nie zależy od

stopnia jego czystości. Ruch rdzeni normalnych jest jednocześnie ruchem

zawartych w nich fluksonów i nosi nazwę płynięcia strumienia. Płynięcie

strumienia odbywa się całą objętością nadprzewodnika.

Nadprzewodniki drugiego rodzaju nie doczekały się jeszcze opracowania tak

zwartej teorii, jak nadprzewodniki pierwszego rodzaju, zdobywają one jednak

zastosowanie w nauce i technice ze względu na znacznie wyższe temperatury

krytyczne.

5.7.6 Nadzieje zastosowań nadprzewodników Zjawisko nadprzewodnictwa nie jest jeszcze powszechnie wykorzystywane w

technice. Na skalę laboratoryjną buduje się jednak wiele różnych urządzeń, które

wykorzystując to zjawisko osiągają bardzo korzystne parametry, znacznie

odbiegające od parametrów urządzeń powszechnie produkowanych.

Zjawisko nadprzewodnictwa najwcześniej zostało wykorzystane do budowy

elektromagnesów wytwarzających bardzo silne pola magnetyczne. W

elektromagnesach zwykłych wartość maksymalna osiąganego pola

magnetycznego ograniczona jest rozmiarami rdzenia stalowego i stratami mocy

elektrycznej w uzwojeniach cewki. Do wytwarzania pola magnetycznego o

indukcji 10 T potrzebna jest moc elektryczna rzędu kilku megawatów. W

elektromagnesach nadprzewodzących straty mocy na ciepło Joule'a-Lenza są



równe zeru. Poza tym prąd raz wzbudzony w uzwojeniu wzbudzającym może

płynąć przez czas dowolnie długi, wytwarzając pole magnetyczne o stałej

wartości. Do podtrzymania tego prądu nie jest potrzebne żadne źródło napięcia.

W niektórych krajach skonstruowano już elektromagnesy nadprzewodzące

wytwarzające pole magnetyczne o indukcji 10 T. Elektromagnesy takie są

bezrdzeniowe, a cewka wykonana jest z drutu ze stopów niobowo-cynkowych

Nb-Zn, niobowo-tytanowych Nb-Ti lub niobowo-cynowych Nb-Sn. Stopy te

charakteryzują się wysoką temperaturą krytyczną, ok. 20 K. Zbudowano też już

modele generatorów i silników elektrycznych z uzwojeniami wykonanymi z

nadprzewodników. Jedyną trudnością jest utrzymanie w częściach wirujących

maszyn niskiej temperatury, utrzymującej stan nadprzewodnictwa w zwojach

cewek.

Rozpatruje się możliwość budowy przesyłowych linii elektroenergetycznych

nadprzewodzących przekazujących energię elektryczną bez strat. Obecnie straty

mocy elektrycznej w liniach typowych dochodzą do 10%. Ochłodzenie linii

przesyłowych do temperatury 77 K (temperatura ciekłego azotu) zmniejsza

dziesięciokrotnie rezystancję przewodów miedzianych i aluminiowych, a

ochłodzenie do temperatury 20 K (temperatura ciekłego wodoru) zmniejsza

rezystancję przewodów pięćsetkrotnie. Oczywiście zmniejsza to straty energii

przy jej przesyłaniu. Koszty chłodzenia zwiększają się jednak wyraźnie wraz z

obniżaniem temperatury. Przy obecnym stosunku kosztów chłodzenia do zysków

osiąganych z bezstratnego przesyłania energii stosowanie linii nadprzewodzących

nie jest jeszcze ekonomicznie uzasadnione. Należy zaznaczyć, że korzyści

płynące z bezstratnego przesyłania energii nie są główną zaletą chłodzonej linii.

Podstawową jej zaletą jest możliwość przesyłania bardzo dużych prądów.

Możliwość utrzymania prądu elektrycznego w pierścieniu wykonanym z

nadprzewodnika przez dowolnie długi czas stwarza możliwość konstruowania

tanich, niezawodnych pamięci maszyn cyfrowych. Z istnieniem tzw. efektu złącza

Josephsona w nadprzewodnikach, podobnego do efektu złącza p-n w

półprzewodnikach, łączy się wielkie nadzieje na budowanie elementów o czasie

przełączania rzędu 10 ps i mocy wyjściowej kilku mikrowatów. Elementy takie

pozwoliłyby na konstrukcje komputerów o złożoności funkcjonalnej zbliżającej

technikę wydatnie do momentu skonstruowania sztucznego mózgu.



Zjawisko nadprzewodnictwa wykorzystuje się również w przyrządach

pomiarowych. Buduje się już galwanometry nadprzewodzące, wykrywające

napięcie rzędu 10-12 V. W przyszłości przewiduje się budowę bardzo czułych

termometrów i przyrządów przeznaczonych do bardzo dokładnych pomiarów

natężenia pola magnetycznego. Przedstawione zastosowania nie wyczerpują

wszystkich możliwości zastosowań technicznych zjawiska nadprzewodnictwa.

Należy się spodziewać, że powstaną nowe opracowania i nowe konstrukcje

przyrządów wykorzystujących to zjawisko.

6. Elementy układów elektrycznych 6.1 Wiadomości ogólne Wszystkie układy (obwody) elektryczne złożone są z elementów.

Element układu elektrycznego jest to niepodzielna pod względem

funkcjonalnym część tego układu, spełniająca określone zadanie.

Elementy tworzące układ są ze sobą połączone. Łączenie elementów umożliwiają

wyprowadzone na zewnątrz końcówki. Końcówki wielu elementów mogą być

doprowadzone do zacisków, które ułatwiają montaż obwodu. Bardzo często

zaciski znajdują się bezpośrednio na obudowie elementów, co jeszcze bardziej

ułatwia ich montaż i demontaż. Ze względu na liczbę końcówek (zacisków)

elementy dzielą się na dwójniki i wielowniki (rys. 6.1).

Dwójnik (wrotnik) jest to element obwodu elektrycznego zawierający

wyprowadzone na zewnątrz dwie końcówki.

Pod względem funkcjonalnym dwójnik stanowi najprostszy element obwodu

elektrycznego.

Rys. 6.1 Podstawowe elementy układów elektrycznych: a) dwójnik; b) wielownik o m wejściach i n wyjściach



Wielownik (wielowrotnik) jest to element obwodu elektrycznego (traktowany

jako pudełko) zawierający wiele wyprowadzonych na zewnątrz końcówek

(zacisków).

Zaciski elementów układów elektrycznych dzielą się na: zaciski wejściowe i

zaciski wyjściowe.

Zaciski wejściowe elementu są to zaciski, przez które doprowadzana jest do

niego energia elektryczna bądź sygnały elektryczne.

Zaciski wyjściowe elementu są to zaciski, przez które odbierana jest z niego

energia bądź sygnały elektryczne.

W ogólnym przypadku w wielownikach liczba zacisków wejściowych nie musi być

równa liczbie zacisków wyjściowych. Wielowniki, które zawierają jedną parę

zacisków wejściowych i jedną parę zacisków wyjściowych noszą nazwę

czwórników (dwuwrotników). Czwórniki (patrz p. 6.8) odgrywają dużą rolę w

elektrotechnice.

Podział elementów układów elektrycznych ze względu na liczbę końcówek jest

tylko jednym z możliwych sposobów ich podziału. Stosując kryterium

energetyczne można podzielić je na elementy źródłowe i elementy odbiornikowe.

Element źródłowy układu elektrycznego jest to element przetwarzający w

danym układzie inne rodzaje energii w energię elektryczną.

Element odbiornikowy układu elektrycznego jest to element przetwarzający w

danym układzie doprowadzoną do niego energię elektryczną w inny rodzaj

energii.

Należy zaznaczyć, że ten sam element w jednym układzie elektrycznym może

być elementem źródłowym, a w drugim — elementem odbiornikowym. Na

przykład maszyna prądu stałego o pracy prądnicowej jest źródłem energii

elektrycznej w obwodzie, do którego jest włączona. Ta sama maszyna

elektryczna pracująca w innym obwodzie jako silnik zużytkowuje energię

elektryczną, przetwarzając ją w energię mechaniczną.



Niekiedy element w jednym i tym samym obwodzie może spełniać rolę

odbiornika energii i źródła. Elementem takim może być silnik elektryczny prądu

stałego zainstalowany w pojazdach trakcyjnych. W czasie jazdy silnik pobiera

energię, a przy hamowaniu — w określonych warunkach — silnik pracuje jako

prądnica i oddaje energię do sieci.

Kryterium energetyczne podziału elementów elektrycznych stosuje się głównie w

elektroenergetyce. W układach elektronicznych natomiast częściej rozróżnia się

elementy aktywne i pasywne.

Element aktywny układu elektrycznego jest to element wytwarzający w danym

układzie napięcie źródłowe (siłę elektromotoryczną).

Element pasywny układu elektrycznego jest to element nie mający zdolności

do wytwarzania (generacji) siły elektromotorycznej.

Elementami aktywnymi w obwodach elektrycznych mogą być np. ogniwa

elektrochemiczne, fotoelektryczne, termoelektryczne i inne. Niektóre z nich, np.

elementy piezoelektryczne, mogą być elementami aktywnymi w układach

mechanoelektrycznych (patrz p. 8.7) bądź elementami pasywnymi w układach

elektromechanicznych (patrz p. 5.4.1).

Podstawowymi elementami pasywnymi wszystkich układów elektrycznych są

elementy rezystancyjne, pojemnościowe i indukcyjne. Będą one omówione

kolejno w dalszej części rozdziału. Spośród tych elementów pasywnych wyróżnia

się elementy rozpraszające energię i elementy magazynujące energię.

Elementy elektryczne rozpraszające energię to takie elementy, które

doprowadzoną do nich energię prądu elektrycznego natychmiast przetwarzają w

energię cieplną przekazywaną otoczeniu.

Elementami rozpraszającymi energię w układach elektrycznych są elementy

rezystancyjne (p. 6.2.2).

Elementy elektryczne magazynujące energię to takie elementy, które

doprowadzoną do nich energię prądu elektrycznego gromadzą w postaci pola

elektrycznego (elementy pojemnościowe), albo w postaci pola magnetycznego

(elementy indukcyjne).



Nagromadzoną energię prądu elektrycznego można odzyskać w tym samym

obwodzie lub przekazać ją do innego obwodu elektrycznego.

Do tej pory mówiliśmy o elementach o parametrach skupionych (dyskretnych) i

powyższe klasyfikacje dotyczyły takich właśnie elementów.

Elementy elektryczne o parametrach skupionych to takie elementy, w

których skupiona jest jedna i tylko jedna cecha, taka jak: rezystancja (rezystor),

pojemność (kondensator) albo indukcyjność (cewka). Elementy skupione tworzą

obwody o parametrach skupionych.

Oprócz elementów o parametrach skupionych rozróżnia się elementy o

parametrach rozłożonych. Określenia te dotyczą tylko elementów

umieszczonych w obwodach prądu zmiennego.

W obwodach prądu zmiennego rozpatruje się falę napięciową i falę prądową

wzbudzoną przez źródło napięcia zmiennego. Element elektryczny o

parametrach skupionych to taki element, którego rozmiary liniowe są

znikomo małe w porównaniu z długością fali prądowej lub napięciowej.

Jedynie w przypadku zachowania tego warunku kondensatorowi można przypisać

tylko cechę pojemności, cewce — tylko cechę indukcyjności, a rezystorowi lub

odcinkowi przewodu — tylko cechę rezystancji. W przypadku, kiedy rozmiary

liniowe elementu są porównywalne albo większe od długości fali prądowej lub

napięciowej (w elektroenergetyce będą to długie linie elektroenergetyczne, a w

elektronice, szczególnie w technice mikrofalowej — technice bardzo wielkich

częstotliwości — będą to odcinki przewodów i elementy o rozmiarach

porównywalnych z wymiarami ciała ludzkiego) elementy tracą swą wyłączną

cechę i wykazują jednocześnie rezystancję, pojemność i indukcyjność o wielkości

zależnej od rozmiarów elementu.

Tematem niniejszego rozdziału będą jedynie elementy o parametrach

skupionych (elementy skupione). Elementy o parametrach rozłożonych będą

przedmiotem p. 9.2.

.

.



6.2 Elementy rezystancyjne 6.2.1 Budowa i przeznaczenie rezystorów

Rezystancja (opór elektryczny czynny) jest to cecha obwodu prądu stałego

lub elementu elektrycznego, decydująca o wartości prądu elektrycznego w tym

obwodzie lub elemencie płynącego pod wpływem doprowadzonego do niego


Element skupiający w sobie cechę rezystancji (i tylko tę cechę) nazywany jest

rezystorem.

Istota rezystancji wynika z mechanizmu przepływu ładunków elektrycznych

przez przewodniki (patrz p. 5.4.2 oraz 5.7.4). W obwodach prądu stałego

rezystancja jest wielkością związaną z prądem i napięciem prawem Ohma (p. 7.2

i 7.3). Rezystancja jest również cechą obwodów prądu zmiennego. W tym

przypadku nie jest ona jednak jedyną wielkością wiążącą prąd i napięcie (patrz

p. 7.5).

Rezystory, w sensie fizycznym, są to elementy dwu-lub trójkońcówkowe,

przeznaczone głównie do nastawiania (regulacji) wartości prądu i napięcia (rys.

6.2). Zależnie od przeznaczenia i dopuszczalnej mocy obciążenia rezystory

wykonuje się jako drutowe lub masowe*.

W zakresie bardzo wielkiej częstotliwości rezystor traci swą wyłączną cechę

rezystancji i w coraz silniejszym stopniu, oprócz rezystancji, wykazuje cechę

pojemności i indukcyjności. Związane jest to ze zmianą właściwości materiału

rezystancyjnego w zakresie bardzo wielkiej częstotliwości (p. 5.4.3) oraz z

„ujawnianiem” się pojemności między zaciskami elementu i indukcyjności

doprowadzeń. Z tego względu schemat zastępczy rezystora przy bardzo wielkiej

częstotliwości zawiera elementy L i C (rys. 63d)

.

.

.

.

.

.

.

.

* Rezystory masowe wykonane są z jednolitej masy węglowej napylonej na walcowe podłoże ceramiczne.



Rys. 6.2 Widok rezystorów: a) drutowego; b) masowego; c) potencjometru obrotowego; d) rezystora wzorcowego; e) rezystora suwakowego; f) rezystora dekadowego

Omówione rezystory należą do grupy rezystorów liniowych, tzn. takich,

których rezystancja jest stała, niezależnie od wartości przepływającego przez nie

prądu i doprowadzonego do ich zacisków napięcia (oczywiście w pewnym

zakresie).

Rys. 6.3 Schemat zastępczy: a) rezystora; b) rezystora nastawnego (regulacyjnego); c) potencjometru; d) rezystora dla bardzo wielkiej częstotliwości



Oprócz rezystorów liniowych wykorzystuje się—szczególnie w układach

elektronicznych — rezystory nieliniowe. Rezystory nieliniowe (patrz p. 6.2.7 i

7.4) są utworzone w większości z elementów półprzewodnikowych.

W obwodach elektrycznych rezystory występują w różnych układach połączeń,

spośród których zawsze można wyróżnić połączenia szeregowe i równoległe.

Rezystory w układzie szeregowym są połączone w taki sposób, że koniec

uzwojenia pierwszego rezystora jest połączony z początkiem uzwojenia drugiego

rezystora, zaś koniec uzwojenia drugiego rezystora — z początkiem trzeciego

itd. (rys. 6Ad). Do zacisków skrajnych układu doprowadzone jest napięcie

elektryczne. Taki układ połączeń rezystorów można zredukować do jednego

rezystora, którego rezystancja jest równoważna rezystancji układu rezystorów.

Rys. 6.4 Schemat układu rezystorów połączonych szeregowo (a) oraz wykres spadków napięć na kolejnych rezystorach (b) 1,2,3... n-l — punkty połączeń końca uzwojenia jednego rezystora z początkiem uzwojenia drugiego rezystora, V1, V2, V3... Vn-1 — potencjały punktów 1, 2, 3... n-1, V0, Vn — potencjały punktów 0 i n — zacisków skrajnych układu, V0 —V1 = U1; Vl —V2 = U2; V2 —V3 = U1… Vn1 —Vn = Un Rs — rezystancja zastępcza układu

Przez wszystkie rezystory R1, R2, R3 ... Rn połączone szeregowo przepływa ten

sam prąd I (rys. 6Aa), dając na każdym z nich spadek napięcia odpowiednio

11 IRU = 22 IRU = 33 IRU = … nn IRU =

Suma napięć U1, U2, U3 ... Un jest równa napięciu U na skrajnych zaciskach

układu (rys. 6.46)

nUUUUU ++++= ...321

Ponieważ żądamy, aby został spełniony warunek

SIRU =

gdzie Rs jest rezystancją układu zastępczego rezystorów, to znaczy, że musi być



spełnione równanie

nS IRIRIRIRIR ++++= ...321

z którego wynika, że rezystancja układu rezystorów połączonych szeregowo jest

równa sumie rezystancji poszczególnych rezystorów

nS RRRRR ++++= ...321 (6.1)

W układzie równoległym rezystory są połączone w taki sposób, że początki

uzwojeń wszystkich rezystorów są połączone z jednym biegunem źródła

napięcia, a końce — z drugim biegunem źródła (rys. 6.5a). Taki układ

rezystorów można zredukować do jednego rezystora, którego rezystancja jest

równoważna rezystancji układu rezystorów.

Rys. 6.5 Schemat układu rezystorów połączonych równolegle (a) oraz wykres rozpływu prądów w kolejnych rezystorach (b) I1, I2, I3 … In — prądy w rezystorach, I — prąd w gałęzi głównej układu, Rr — rezystancja zastępcza układu

Na zaciskach wszystkich rezystorów R1, R2, R3 ... Rn jest jednakowe napięcie U

(rys. 6.5a) wymuszające w każdym z nich przepływ prądu odpowiednio

1

1R

UI =

2

2R

UI =

3

3R

UI = ...

n

nR

UI =

Suma prądów I1, I2, I3 ... In jest równa prądowi I płynącemu w gałęzi głównej

układu (rys. 6.5b)

nIIIII ++++= ...321

Ponieważ żądamy, aby został spełniony warunek

rR

UI =

gdzie Rr jest rezystancją układu zastępczego rezystorów, to znaczy, że musi być

spełnione równanie



nr R

U

R

U

R

U

R

U

R

U++++= ...

321

z którego wynika, że odwrotność rezystancji układu rezystorów połączonych

równolegle jest równa sumie odwrotności rezystancji poszczególnych rezystorów

nr RRRRR

1...

1111

321

++++= (6.2)

6.2.2 Rezystor jako element grzejny Jak już wspomniano, w rezystorze następuje przemiana doprowadzonej do niego

energii prądu elektrycznego w ciepło (energię cieplną). Ciepło to zostaje

przekazane otoczeniu, czyli zostaje rozpraszane. Właściwość tę wykorzystuje się

w rezystancyjnych elementach grzejnych.

Rezystancyjne elementy grzejne wykonuje się z drutu oporowego

rozgrzewającego się do wysokiej temperatury pod wpływem przepływającego

prądu. Rezystancyjne elementy grzejne są podstawą budowy elektrycznych

urządzeń grzejnych (grzejników elektrycznych). Wiele takich urządzeń

spotykamy w życiu codziennym. Na przykład kuchenka elektryczna, żelazko,

grzałka, a również i żarówka — zawierają takie właśnie elementy (drut

oporowy).

Zasady grzejnictwa oporowego (rezystancyjnego) są również podstawą

działania wielu przemysłowych urządzeń grzejnych, w tym szczególnie pieców

elektrycznych. Dział techniki zajmujący się grzejnictwem elektrycznym, m. in.

oporowym, nosi nazwę elektrotermii.

Piece elektryczne mają bardzo wiele zalet w porównaniu z innymi typami pieców.

Przede wszystkim, dzięki temu że nośnikiem energii jest w nich prąd

elektryczny, łatwe jest ich sterowanie, stabilizacja temperatury oraz

programowanie. Piece z programowanym przebiegiem temperatury w czasie

wykorzystuje się w zautomatyzowanych procesach technologicznych.

Energia cieplna wydzielona przez drut oporowy zgodnie z wzorem

tRIW2= (6.3)

jest proporcjonalna do rezystancji R odcinka tego drutu, wartości prądu I oraz



czasu t jego przepływu. Celem zwiększenia wartości wydzielonej energii

wymusza się przepływ przez drut większego prądu. Prądu nie można zwiększać

jednak w sposób nieograniczony. Dla każdego rodzaju materiału oporowego

istnieje bowiem taka gęstość prądu, która powoduje przepalenie lub stopienie

tego materiału. (Zjawisko stopienia drutu na skutek przepływu przez niego prądu

wykorzystywane jest w bezpiecznikach topikowych).

Jednym ze sposobów zwiększenia energii cieplnej wydzielonej przez drut

oporowy jest zwiększenie jego powierzchni. (Jak wiadomo, drut grzejny

wypromieniowuje energię całą swoją powierzchnią — patrz p. 4.5). Powierzchnię

drutu można zwiększyć przez zwiększenie jego przekroju poprzecznego.

Najczęściej jednak zwiększa się ją przez zwiększenie długości drutu. Aby

zwiększyć moc wydzieloną w małej objętości lub na małej powierzchni, drut

wykonuje się najczęściej w postaci spirali (rys. 6.4). Zjawisko grzania oporowego

(rezystancyjnego) wykorzystywane jest również w przetwornikach

termoelektrycznych (rys. 8.23) oraz niektórych układach półprzewodnikowych

(patrz p. 6.2.7).

Drut oporowy jest również w obwodach prądu zmiennego* przetwornikiem

energii elektrycznej w energię cieplną. W obwodach prądu zmiennego

rozpraszaniu ulega moc czynna o wartości chwilowej (patrz p. 7.5)

uip = (6.4)

Jeśli prąd i napięcie zmieniają się w sposób sinusoidalny, to

)(sin ϕωω += ttIUp mm (6.5)

Um, Im — wartości maksymalne (amplitudy) prądu i napięcia (rys. 6.6).

.

.

.

.

.

.

.

.

.

* Prąd zmienny i przemienny — patrz p. 7.5



Rys. 6.6 Sposoby wykonania grzejników elektrycznych z drutu oporowego: a) bez izolacji; b) w izolacji ceramicznej (koraliki); c) w masie izolacyjnej; d) przebieg wartości chwilowej prądu, napięcia i mocy w elemencie rezystancyjnym

W przypadku elementu czysto rezystancyjnego nie występuje przesunięcie

przebiegu prądu względem napięcia (φ = 0) i dlatego wielkości te jednocześnie

osiągają swe wartości ekstremalne oraz wartość zerową.

Zależność (6.5) można wtedy napisać w postaci

tIUp mm ω2sin=

a po uwzględnieniu zależności trygonometrycznej

tt ωω 2cos2

1

2

1sin 2 −=

w postaci

tIUp mm ω2cos2

1

2

1−=

Jeżeli uwzględni się, że wartości skuteczne napięcia i prądu (patrz p. 7.5)

2

mUU = oraz

2

mII =

to na moc chwilową otrzymuje się zależność

tUIUIp ω2cos−= (6.6)

Moc czynna P wydzielona na elemencie rezystancyjnym jest to moc wydzielana w

czasie połowy okresu zmienności prądu (moc średnia półokresowa patrz dod. F).

W naszym przypadku



0−== UIPp śr (6.7)

Uzyskany wynik jest oczywisty. Pierwszy człon prawej strony równania (6.6)

reprezentuje składową stałą mocy, natomiast drugi o częstości 2ω — składową

okresowo zmienną o okresie zmienności T/2. Wartość średnia składowej stałej

równa jest wartości tej stałej, natomiast wartość średnia okresowa przebiegu

okresowo zmiennego (drugi człon równania (6.6)) jest równa zeru. A zatem w

rezystancyjnych obwodach prądu przemiennego słuszne są równania określające

wartość rozproszonej mocy czynnej

UIP = oraz 2RIP = (6.8)

U, I — wartości skuteczne napięcia i prądu (odpowiednio w woltach i amperach).

Termiczne działanie prądu elektrycznego jest wykorzystywane w niektórych

rodzajach przetworników elektromechanicznych. Przykładem takiego

przetwornika jest bimetal. Bimetal (rys. 6.7) jest to zespół dwu płytek

metalicznych. Płytki te, wspólnie zamocowane na końcach, tworzą konstrukcyjną

całość i są wykonane z materiałów o różnych współczynnikach rozszerzalności

cieplnej. Pod wpływem prądu płytki ogrzewają się do tej samej temperatury, lecz

ulegają różnemu wydłużeniu — wyginają się. Przemieszczające się w przestrzeni

płytki bimetaliczne mogą załączać lub rozłączać zestyki innego obwodu

elektrycznego i w ten sposób sterować jego pracą.

Zjawisko wygięcia ogrzanych prądem płytek bimetalu jest zjawiskiem

odwracalnym, tzn. że po wyłączeniu prądu stygną one i po pewnym czasie

powracają do swego poprzedniego położenia.

Rys. 6.7 Bimetal: a) w stanie swobodnym; b) ogrzany prądem I A — metal o dużym współczynniku rozszerzalności cieplnej, B — metal o małym współczynniku rozszerzalności cieplnej

Czujniki bimetaliczne są elementami wykonawczymi regulatorów temperatury,

spotykanymi często w żelazkach elektrycznych oraz w tzw. migaczach

samochodowych.



Przykład 6.1 Dwie grzałki elektryczne o mocach znamionowych P1 i P2 określonych przy napięciu znamionowym U, włączono do sieci o napięciu U raz szeregowo, a raz równolegle (rys. 6.8). Obliczyć stosunek mocy wydzielonej przez grzałki w obu przypadkach połączeń, jeśli P1 = 450 W, a P2 = 700 W.

Rys. 6.8 Układ połączeń dwóch rezystorów: a) równoległy; b) szeregowy

W przypadku równoległego włączenia grzałek elektrycznych (rys. 6.8a) na

każdej z nich wydziela się moc znamionowa, gdyż obie są włączone do źródła

napięcia o wartości znamionowej, a więc

21 PPPr +=

W przypadku szeregowego włączenia grzałek (rys. 6.86) na każdej z nich

wydziela się moc mniejsza od znamionowej. Wynika to stąd, że prąd płynący

przez grzałki

21 RR

UI

+=

R1, R2 — rezystancje grzałek

jest mniejszy od prądu znamionowego każdej z nich. Prądy znamionowe I1 i I2

grzałek są odpowiednio równe

2

2

1

1 ;R

UI

R

UI ==

Na pierwszej grzałce będzie się więc wydzielała moc

2

11 IRP =′

a na drugiej

2

22 IRP =′

Moc całkowita w przypadku połączenia szeregowego

21 PPPS′+′=

po uwzględnieniu wzoru na prąd



21

2

RR

UPS

+=

Ponieważ

2

2

2

1

2

1 ;P

UR

P

UR ==

to

2

2

1

2

2

P

U

P

U

UPS

+

=

a po przekształceniu

21

21

PP

PPPS

+=

Stosunek mocy

( )

21

2

21

PP

PP

P

P

s

r +=

po uwzględnieniu wartości liczbowych jest równy 4,2.

6.2.3 Rezystor jako element układów regulacji prądu Rezystory o zmiennej wartości rezystancji mogą spełniać w układach

elektrycznych rolę regulatorów prądu. Wynika to wprost z prawa Ohma.

Rezystory nastawne (regulacyjne) prądu to głównie rezystory suwakowe i

rezystory dekadowe (rys. 6.2e,f i 6.3b)

Rezystor suwakowy zaopatrzony jest w trzy zaciski. Dwa zaciski połączone są

z początkiem i końcem rezystora drutowego (rzadziej masowego), a trzeci — ze

stykiem ruchomym. Styk ruchomy może poruszać się między stykami skrajnymi.

Wartość rezystancji występująca między stykiem ruchomym, a jednym z końców

rezystora, jest zmienna i zależy od położenia styku ruchomego.

Rezystor dekadowy występuje w układach elektrycznych jako rezystor o

znanej wartości rezystancji. Składa się on z kilku dekad. Każda dekada zawiera

zestaw dziesięciu rezystorów o jednakowej wartości rezystancji. Rezystancja

rezystorów każdej następnej dekady jest dziesięciokrotnie mniejsza od

rezystancji rezystorów wchodzących w skład dekady poprzedniej. Pozycje



pokręteł dekad opisane są w omach. Rezystancja całego rezystora dekadowego

jest sumą rezystancji nastaw poszczególnych dekad. Rezystancyjne układy

nastawiania (regulacji) prądu przedstawiono na rys. 6.9. Pierwszy z układów

(rys. 6.9a) umożliwia jednostopniowe nastawianie prądu, a drugi (rys. 6.9b) —

nastawianie dwustopniowe. W układzie nastawy dwustopniowej jeden z

rezystorów (np. rezystor R2) ma na ogół rezystancję dziesięciokrotnie większą od

rezystancji drugiego rezystora (np. rezystora R3) połączonego z nim równolegle.

W ten sposób zmiany rezystancji R2 dają około dziesięciokrotnie mniejsze zmiany

prądu I niż takie same procentowo zmiany rezystancji R3. Układ umożliwia zatem

regulację zgrubną i dokładną prądu. Z uwagi na zmienną obciążalność prądową

rezystorów regulacyjnych ważną rzeczą jest ich dobór ze względu na

dopuszczalną graniczną moc prądu regulowanego.

Rezystorowe układy regulacji prądu stosuje się w obwodach prądu stałego i

zmiennego.

Rys. 6.9 Prosty (a) i złożony (b) układ regulacji prądu

Przykład 6.2 Dla układu regulacji prądu przedstawionego na rys. 6.9a wyznaczyć zakres regulacji, obciążalność rezystora R, moc źródła napięcia oraz największą wartość mocy traconej na rezystorze regulacyjnym Rx.

Dla dowolnej wartości Rx prąd w układzie przyjmuje wartość

xRR

UI

+=

Zakres regulacji jest określony prądami

max

min

xRR

UI

+=

R

UI =max

Rezystor R powinien więc wytrzymywać obciążenie prądowe Imax i powinien być zaprojektowany na pobór mocy

xR

UP

2

=′



Moc P' jest największą mocą, jaka będzie pobierana ze źródła napięcia. Na rezystorze regulacyjnym Rx, w ogólnym przypadku, jest wydzielana moc

2IRP x=

czyli

( )2

2

x

xRR

URP

+=

W celu wyznaczenia wartości maksymalnej funkcji P(Rx) obliczamy pochodną

( )( )

( )

+

+−

+=

42

2 21

x

xx

xx RR

RRR

RRU

dR

dP

Wartość zerowa pochodnej występuje przy Rx = R i przy tej wartości rezystancji rezystora regulacyjnego wydziela się na nim największa moc

R

UP

4

2

max =

6.2.4 Rezystor jako element układów regulacji napięcia Rezystory o zmiennej wartości rezystancji mogą spełniać w układach

elektrycznych rolę regulatorów napięcia. Rezystory przeznaczone do nastawiania

napięcia noszą nazwę potencjometrów (rys. 6.10a i 6.2c).

Potencjometr zaopatrzony jest w trzy zaciski. Dwa zaciski połączone są z

początkiem i końcem rezystora, a trzeci — ze stykiem ruchomym. Styk ruchomy

może poruszać się między stykami skrajnymi. Wartość rezystancji występująca

między stykiem ruchomym i jednym z końców potencjometru jest zmienna i

zależna od położenia styku (suwaka). Jeśli przez potencjometr płynie prąd I, to

zmieniając położenie styku ruchomego można zmieniać napięcie między

rozpatrywanymi stykami. Do zacisków skrajnych potencjometru doprowadza się

napięcie źródła.

Przykład 6.3 Dla potencjometru przedstawionego na rys. 6.10a wyznaczyć obciążalność prądową i mocową oraz zakres regulacji napięcia w przypadku, gdy jest on: a) nieobciążony (Robc = ∞), b) obciążony rezystancją Robc.

a. Potencjometr wykonany na bazie rezystora R o długości l umożliwia liniową

zmianę rezystancji widzianej ze styku ruchomego i jednego ze styków stałych



potencjometru zgodnie z wzorem

xRx ρ=

x — położenie styku ruchomego, lR /=ρ — rezystancja liniowa potencjometru.

Rys. 6.10 Potencjometr jako układ regulacji napięcia: a) schemat układu; b) charakterystyka potencjometru : 1 — nie obciążonego, 2 — obciążonego

Jeżeli przez potencjometr płynie prąd stały I = U/R wymuszony przez źródło

napięcia, to napięcie regulowane Ux, wyrażone zgodnie z prawem Ohma

zależnością

IRU xx =

jest również liniową funkcją położenia styku ruchomego. Uwzględniając

powyższe zależności

l

xUU x =

Zakres regulacji napięcia jest określony zakresem zmian położenia styku

ruchomego i wynosi na ogół

UUU x ≤≤

Potencjometr powinien być odpowiednio dobrany, zależnie od wartości

regulowanego napięcia, i powinien wytrzymywać obciążenie mocą P = U2/R. Moc

taka jest pobierana ze źródła zasilającego.

b. Potencjometr o liniowej charakterystyce przetwarzania położenia styku

ruchomego na napięcie jest potencjometrem idealnym. W rzeczywistości

potencjometry są obciążone pewną rezystancją i wtedy, jako przetworniki

mechanoelektryczne, tracą swoje właściwości liniowe (rys. 6.10b).



W potencjometrze rzeczywistym prąd jest sumą dwóch prądów: prądu o wartości

Ux/Robc płynącego przez obciążenie i prądu o wartości Ux/Rx płynącego przez

zbocznikowaną część rezystora potencjometrycznego, a zatem

( )

++−

=+

obcx

obcxx

obc

x

x

x

RR

RRRR

U

R

U

R

U

przy czym R — Rx jest rezystancją części niezbocznikowanej rezystora

potencjometrycznego,

aobcx

obcx

RR

RR

+jest rezystancją rezystorów Rx i Robc połączonych równolegle.

Z powyższego

2

xobcxx

obcxx

RRRRR

RRUU

−−=

Jak widać, zakres regulacji napięcia określony przez

RRx ≤≤0

jest w tym przypadku — podobnie jak poprzednio

UU x ≤≤0

natomiast pobór mocy ze źródła zasilającego jest większy.

Potencjometr, przedstawiony schematycznie na rys. 6.10a, umożliwia

jednostopniową regulację napięcia. W wielu układach elektrycznych zależy

nam jednak na regulacji wielostopniowej, gdyż taka umożliwia regulację zgrubną

i dokładną napięcia.

Układ dwustopniowej regulacji napięcia (rys. 6.11) składa się z dwóch

potencjometrów połączonych szeregowo. Napięcie regulowane występuje między

ich stykami ruchomymi. Wartość znamionową rezystancji jednego z

potencjometrów dobiera się na ogół dziesięciokrotnie większą niż drugiego. W

ten sposób zmiany rezystancji potencjometru o większej wartości znamionowej

dają w przybliżeniu dziesięciokrotnie większe zmiany napięcia wyjściowego, niż

takie same procentowe zmiany rezystancji potencjometru o mniejszej wartości

znamionowej rezystancji. Układ umożliwia zatem regulację zgrubną i dokładną

napięcia.



Rys. 6.11 Układ do regulacji zgrubnej i dokładnej napięcia

Do regulacji dokładnej napięcia można wykorzystać także potencjometry

wielozwojowe (wieloobrotowe), tzw. helipoty. Helipoty są potencjometrami,

najczęściej dziesięcioobrotowymi, wykonanymi w wysokiej klasie dokładności.

Zaopatrzone we wskaźnik położenia umożliwiają nastawienie żądanej wartości

napięcia z dokładnością do 0,001 napięcia zasilającego.

6.2.5 Rezystor jako element układów pomiarowych. Rezystor wzorcowy

Rezystor wzorcowy jest technicznym wzorcem rezystancji. Jest on

wykonywany w wysokiej klasie dokładności (0,005%).

Rezystory wzorcowe nawija się drutem wykonanym z manganinu (86% Cu, 12%

Mn i 2% Ni). Manganin charakteryzuje się bardzo małym współczynnikiem

temperaturowym rezystywności.

Każdy rezystor wzorcowy (rys. 6.2d) zaopatrzony jest w dwie pary zacisków :

prądowe, oznaczone literą J i napięciowe oznaczone literą P. Zaciski prądowe

służą do włączenia rezystora w obwód elektryczny, a zaciski napięciowe — do

pomiaru spadku napięcia na nim. Wartości rezystancji rezystorów wzorcowych

tworzą szereg, w którym każdy następny jest dziesięciokrotnie większy od

poprzedniego: 0,01 Ω, 0,1 Ω, .... 10 000 Ω.

Rezystory wzorcowe nawija się w szczególny sposób, dzięki czemu można je

uważać za bezindukcyjne i bezpojemnościowe, i — jako elementy czysto

rezystancyjne — można je stosować również w obwodach prądu zmiennego w

zakresie częstotliwości akustycznych (20 Hz... 20 kHz) i większych.

Uzwojenia rezystorów wzorcowych są najczęściej wykonywane jako bifilarne i

plecione.



Uzwojenie bifilarne (rys. 6.12) wykonuje się na płytce izolacyjnej drutem

„złożonym na pół”. Dzięki temu płynący prąd wytwarza w połowie długości drutu

pole magnetyczne skierowane przeciwnie do pola magnetycznego wytworzonego

przez drugą połowę drutu. Uzwojenie, które nie wytwarza na zewnątrz pola

magnetycznego, można uważać za bezindukcyjne.

Rys. 6.12 Uzwojenie bifilarne rezystora wzorcowego

Rezystory wzorcowe, i inne rodzaje rezystorów o znanej wartości rezystancji,

umożliwiają budowę wielu układów elektrycznych, w tym szczególnie

elektrycznych układów pomiarowych.

Przykład 6.4 Rezystor wzorcowy, którego zaciski napięciowe są połączone z zaciskami woltomierza, tworzy układ do pomiaru wartości prądu. W układzie przedstawionym na rys. 6.13 wyznaczyć prąd I, jeśli wiadomo, że Rw = 100 Ω, a wskazanie woltomierza wynosi U= 12,583 V. Wyznaczyć także błąd pomiaru* wiedząc, że klasa dokładności rezystora wzorcowego δR = 0,05%, a dokładność pomiaru napięcia δU = 0,05%**. Przyjąć, że użyty woltomierz jest idealny, tzn. jego rezystancja wewnętrzna Rv → ∞ i nie pobiera on prądu z obwodu kontrolowanego.

W omawianym układzie pomiar prądu następuje pośrednio, przez pomiar spadku

napięcia na rezystorze wzorcowym, a prąd oblicza się z zależności

wR

UI =

Uwzględniając wartości liczbowe I = 0,12583 A. Błąd względny δ = ∆I/I

pomiaru prądu wynika z klasy dokładności użytych przyrządów

%1,0=+= Rv δδδ

Ponieważ błąd bezwzględny, określony wzorem ∆I = δI, jest równy ∆I= 0,00013

A, to ostatecznie

I = 0,12583 A ± 0,00013A

Rys. 6.13 Układ do pomiaru prądu przy użyciu rezystora wzorcowego i woltomierza



Uwzględniając błąd bezwzględny ∆U pomiaru napięcia i ∆Rw wyznaczenia

rezystancji wzorcowej można napisać

ww RR

UUII

∆+

∆+=∆+

Mnożąc licznik i mianownik wyrażenia po prawej stronie równania przez Rw+∆Rw

i pomijając (∆Rw)2 i ∆U∆R jako małe drugiego rzędu oraz uwzględniając, że U/Rw

= I, uzyskuje się

w

w

w R

RU

R

UI

∆−

∆=∆

co przy uwzględnieniu δ = ∆I/I, δv = ∆U/U i δR = ∆Rw/Rw prowadzi do podanej

już zależności δ = δv + δR

* Błąd pomiaru bezwzględny ∆W jest to różnica między wartością wskazaną W i wartością rzeczywistą Wrz, ∆W = W-Wrz. Błąd pomiaru względny δ jest określony przez stosunek

rzW

W∆=δ lub %100%

rzW

W∆=δ

Między błędem pomiaru bezwzględnym i względnym zachodzi zależność ∆W = bWrz. Klasa dokładności jest to maksymalny błąd względny, wyrażony w procentach, z jakim podaje się wartości znamionowe różnych wielkości. ** Taką dokładność pomiaru, i jeszcze większą, zapewniają woltomierze cyfrowe.

Przykład 6.5 W układzie przedstawionym na rys. 6.13 wyznaczyć prąd płynący przez rezystor wzorcowy (patrz przykład 6.4) przyjmując Rw = 100 Ω i U = 12,583 V. W obliczeniach uwzględnić rezystancję wewnętrzną woltomierza Rv = 10 kΩ*.

Przez woltomierz płynie prąd Iv, natomiast przez rezystor wzorcowy płynie prąd

I—Iv. Prądy te wytwarzają na obydwóch równolegle połączonych rezystorach

jednakowe spadki napięć (patrz prawo Ohma i prawo Kirchhoffa — p. 7.2)

)( vw

vv

IIRU

IRU

−=

=

Z bilansu napięć wynika, że

vw R

U

R

UI +=

Uwzględniając wartości liczbowe otrzymuje się I ≈ 0,12709 A.

Dokładność pomiaru prądu jest tym większa, im większa jest rezystancja

wewnętrzna woltomierza.

.

.



Przykład 6.6 Zestaw narzędzi pomiarowych: rezystor wzorcowy i woltomierz można wykorzystać do pomiaru rezystancji stosując metodę porównawczą napięciową, w układzie jak na rys. 6.14. Przyjmując: Uw = 12,36 V, U = 7,15 V, Rw = 100Ω, wyznaczyć wartość Rx, Założyć, że rezystancja wewnętrzna woltomierza jest nieskończenie duża.

Układ jest utworzony przez dwa rezystory połączone szeregowo. Woltomierz

dołączony kolejno do zacisków poszczególnych rezystorów wskazuje napięcia Uw

oraz Ux. Przez obydwa rezystory płynie ten sam prąd I. A zatem, przyjmując w

przybliżeniu, że rezystancja woltomierza jest nieskończenie duża, spełniona jest

zależność

x

x

w

w

R

U

R

U=

z której

w

xwx

U

URR =


Ω== 58,5736,12

15,7100xR

* Rezystancja wewnętrzna woltomierzy elektromechanicznych analogowych (wskazówkowych) nie jest większa niż kilkadziesiąt kiloomów. Rezystancja elektronicznych woltomierzy cyfrowych jest znacznie większa i równa 10 MΩ.

Rys. 6.14 Układ do pomiaru rezystancji metodą porównawczą napięciową

Przykład 6.7 Zestaw narzędzi pomiarowych: rezystory wzorcowe i woltomierz można wykorzystać do pomiaru rezystancji stosując metodę porównawczą prądową.

W układzie jak na rys. 6.15 U1 = 5,584 mV (przełącznik S w pozycji 1), U2 =

8,344 mV (przełącznik S w pozycji 2), Rw = 10 Ω i R2 = 10 kΩ. Wyznaczyć

wartość rezystancji R1. Rezystancję wewnętrzną woltomierza przyjąć jako

nieskończenie wielką.



Układ utworzony jest przez trzy rezystory: rezystor R1 o nieznanej wartości

rezystancji i dwa rezystory wzorcowe — rezystory R2 i Rw oraz woltomierz

cyfrowy V dołączony do zacisków rezystora Rw. Przełącznik S dołącza układ do

źródła napięcia. W pozycji 2 przełącznika przez rezystory R1 i Rw połączone

szeregowo przepływa prąd

Rys. 6.15 Układ do pomiaru rezystancji metodą porównawczą prądową

wR

UI 1

1 =

W pozycji 2 przełącznika przez rezystory R2 i Rw połączone szeregowo przepływa

prąd

wR

UI 2

2 =

Porównując obydwie zależności, po przyjęciu że Rw << R2 i Rw << R1

2211 RIRI =

a stąd

1

221

I

IRR =

Po wykonaniu obliczeń R1 = 14,943 kΩ. Należy jednak pamiętać, że jest to wynik

przybliżony.

Metoda pomiaru rezystancji przedstawiona w przykładzie 6.7 jest mało

przydatna, gdyż wymaga pomiaru bardzo małych napięć, zakłócanych przez

wiele czynników zewnętrznych.

Rezystory o znanej wartości rezystancji służą do budowy układów

rozszerzających zakresy pomiarowe mierników (przyrządów) elektrycznych.

Przyrządy pomiarowe, w tym i woltomierze, buduje się najczęściej jako

przyrządy wielozakresowe. W praktyce jednak często występuje potrzeba



pomiaru wartości napięcia wyższego niż największy zakres miernika. Dołącza się

wtedy do miernika układ rozszerzający jego zakres pomiarowy. W przypadku

woltomierza układ taki stanowi dodatkowy rezystor połączony z nim szeregowo.

Przykład 6.8 W układzie jak na rys. 6.16 należy dobrać taką wartość rezystancji rezystora dodatkowego Rd, aby zakres woltomierza o rezystancji wewnętrznej Rv = 10 kΩ uległ trzykrotnemu rozszerzeniu.

Prąd I, który płynąc w układzie powoduje maksymalne odchylenie wskazówki

przyrządu, wytwarza na rezystorze dodatkowym spadek napięcia Ud, a na

zaciskach woltomierza — napięcie Uv. Ze związku

v

v

dv R

U

RR

U=

+

otrzymuje się zależność

v

v

d UR

RU

+= 1

Rys. 6.16 Układ rozszerzający zakres pomiarowy woltomierza

Jak widać, przez zmianę stosunku v

d

R

R można napięciu Uv, odpowiadającemu

pełnemu zakresowi pomiarowemu woltomierza, przyporządkować napięcie U >

Uv.

Zakres woltomierza rozszerza się przy tym

+

v

d

R

R1 razy.

W naszym przypadku, w celu trzykrotnego rozszerzania zakresu woltomierza,

należy dobrać rezystor dodatkowy o rezystancji Rd = 20 kΩ.

Przykład 6.9

Na rys. 6.17 przedstawiono układ rozszerzający zakres pomiarowy amperomierza. W tym przypadku układ stanowi rezystor bocznikujący Rb (bocznik) przyłączony równolegle do zacisków amperomierza. Wyznaczyć wartość rezystancji bocznika, przy której zakres amperomierza ulega trzykrotnemu rozszerzeniu, jeśli rezystancja wewnętrzna amperomierza RA = 200 mΩ.



Rys. 6.17 Układ rozszerzający zakres pomiarowy amperomierza

Spadek napięcia U na zaciskach amperomierza wymusza przepływ prądu

A

AR

UI =

a przez bocznik — prądu

b

bR

UI =

Prąd w gałęzi głównej

bA

bA

RR

RR

UI

+

=

jest sumą prądów IA i Ib

Ze związku bA

bA

III

III

−=

=+

po uwzględnieniu tych zależności

A

b

A IR

RI

+= 1

Jak widać, przez zmianę stosunku rezystancji wewnętrznej amperomierza i

rezystancji bocznika można prądowi IA, odpowiadającemu pełnemu zakresowi

pomiarowemu porządku, przyporządkować prąd I > IA. Zakres amperomierza

rozszerza się przy

tym

+

b

A

R

R1 razy.

W naszym przypadku, w celu trzykrotnego rozszerzenia zakresu pomiarowego

amperomierza, należy dobrać rezystor bocznikujący Rb o rezystancji 100 mΩ.

W przykładach 6.8 i 6.9 przedstawiono metodę zwiększania zakresu

pomiarowego woltomierzy i amperomierzy. Zwiększanie zakresu pomiarowego

nie można jednak prowadzić w nieskończoność. Istnieją w tym względzie



ograniczenia. W przypadku woltomierzy elektromechanicznych (z wyjątkiem

woltomierzy o ustroju elektrostatycznym) górny zakres napięciowy nie

przekracza 1000 V. Wyższe napięcia są nie bezpieczne, ze względu na możliwość

występowania przebić. W przypadku amperomierzy — górny zakres pomiarowy

nie przekracza na ogół 50 A. Większe wartości prądów powodują wydzielanie się

zbyt dużej mocy na boczniku. Moc cieplna wydzielana w przyrządzie ma

niekorzystny wpływ na jego pracę.

Przykład 6.10 Przeanalizować działanie układu, zawierającego rezystor wzorcowy, przeznaczonego do wyznaczania parametrów impedancji (patrz p. 6.3.2, 6.4.2 oraz 6.5) metodą trzech woltomierzy (rys. 6.18).

Układ składa się z elementu Zx i rezystora Rw połączonych szeregowo i

włączonych do źródła napięcia przemiennego o wartości skutecznej U (wartość

skuteczna — patrz p. 7.5). Za pomocą trzech woltomierzy (lub jednego

woltomierza dołączonego kolejno do różnych punktów układu) mierzy się kolejno

wartość skuteczną napięcia zasilającego U, wartość skuteczną spadku napięcia

Ux na elemencie badanym Zx i spadku napięcia Uw na rezystorze wzorcowym Rw.

Podstawą obliczeń prowadzących do wyznaczenia parametrów badanej

impedancji jest wykres wektorowy napięć (patrz dodatek B). Linią bazową

wykresu jest wektor prądu I, z którym pokrywa się wektor napięcia Uw. Wektory

napięć U, Ux i Uw spełniając równanie

xw UUU +=

tworzą trójkąt. Stosując twierdzenie kosinusów do wspomnianego trójkąta

otrzymuje się równanie

)180cos(2222 ϕ−°−+= xwxw UUUUU

Rys. 6.18 Układ do pomiaru parametrów impedancji metodą trzech woltomierzy (a) i wykres wektorowy napięć (b)



gdzie φ jest kątem ostrym między wektorami napięć Ux i URx trójkąta napięć o

bokach Ux, URx i ULx. Napięcia URx i ULx są składowymi napięcia Ux i narysowane w

skali reprezentują odpowiednio spadek napięcia na rezystancji Rx impedancji Zx

oraz spadek napięcia na elemencie o indukcyjności Lx tejże impedancji (z

wykresu wektorowego wynika, że w rozpatrywanym przypadku impedancja ma

charakter indukcyjny, gdyż wektor napięcia Ux wyprzedza w fazie wektor prądu I

o kąt φ). Funkcję kąta φ, na podstawie ostatniego równania, można wyznaczyć z

zależności

xw

xw

UU

UUU

2cos

222 −−=ϕ

Poszukiwaną wartość impedancji oblicza się ze wzoru

I

UZ x

x =

w którym

w

w

R

UI =

a zatem

w

w

xx R

U

UZ =

Rezystancja Rx związana jest z impedancją zależnością

ϕcosxx ZR =

Znając parametry Rx i Zx impedancji można wyznaczyć jej reaktancję

22

xxx RZX −=

Znając częstość napięcia zasilającego układ pomiarowy można wyznaczyć

indukcyjność badanej impedancji ze wzoru

xx LX ω=

lub jej pojemność ze związku

x

CC

Xω

1=

.

.

.

.

.

.

.



Przykład 6.11

Rys. 6.19 Układ do pomiaru parametrów impedancji metodą trzech amperomierzy (a) i wykres wektorowy prądów (b)

Przeanalizować działanie układu przeznaczonego do wyznaczania parametrów

impedancji metodą trzech amperomierzy (rys. 6.19).

Układ zasilany ze źródła napięcia przemiennego składa się z elementu Zx i

rezystora wzorcowego Rw oraz trzech amperomierzy. Amperomierze są

przeznaczone do wyznaczania wartości prądów: I w gałęzi głównej, Iw płynącego

przez rezystor Rw oraz Ix w elemencie badanym. Podstawą obliczeń

prowadzących do wyznaczenia parametrów badanej impedancji jest wykres

wektorowy prądów (patrz dodatek B). Wektory prądów I, Ix i Iw spełniając

równanie

xw III +=

tworzą trójkąt. Stosując twierdzenie kosinusów do wspomnianego trójkąta


)180cos(2222 ϕ−°−+= xwxw IIIII

gdzie φ jest kątem ostrym między wektorem prądów Ix i IRx trójkąta prądów o

bokach Ix, IRx i ICx. Prądy IRx i ICx są składowymi prądu Ix i narysowane w skali

reprezentują odpowiednio prąd płynący przez część rezystancyjną Rx oraz część

pojemnościową Cx tego elementu, a składające się na jego impedancję. Z

wykresu wektorowego (dodatek B) wynika, że w rozpatrywanym przypadku

impedancja ma charakter pojemnościowy, gdyż wektor prądu Ix wyprzedza w

fazie wektor napięcia Uw o kąt φ.

Analogicznie do wzorów podanych w przykładzie 6.10 słuszne będą zależności



xw

xw

II

III

2cos

222 −−=ϕ

oraz

w

x

wx R

I

IZ =

które umożliwiają obliczenie impedancji i jej składowych.

6.2.6 Rezystancja przejścia Każdy element rezystancyjny jest zaopatrzony w dwie przewodzące elektrody,

najczęściej metalowe, między którymi jest umieszczony materiał rezystancyjny

(może nim być na przykład drut oporowy, dielektryk, elektrolit lub materiał

półprzewodnikowy). W zależności od potrzeb elektrody te mogą być wykonane w

różnym kształcie. Kształt elektrod warunkuje kształt ośrodka rezystancyjnego

wypełniającego przestrzeń międzyelektrodową. W wielu przypadkach zachodzi

konieczność obliczenia rezystancji międzyelektrodowej, czyli rezystancji przejścia

między elektrodami lub krótko — rezystancji przejścia.

Rezystancję przejścia można łatwo obliczyć w układzie symetrycznym elektrod.

Najprostszy i najczęściej stosowany układ elektrod tworzą dwie płaskie elektrody

ograniczające ośrodek w postaci graniastosłupa (rys. 6.20). Dla takiego układu

stosuje się wzór

S

lR

γ= (6.9)

w którym: l — odległość (w metrach) między elektrodami o powierzchni S (w

metrach kwadratowych), γ — konduktywność ośrodka (w simensach na metr).

Rys. 6.20 Prostopadłościenna próbka materiału rezystancyjnego



Jeżeli ośrodek stanowi materiał izolacyjny (dielektryk), to w ośrodku tym należy

wyróżnić dwa prądy: prąd skrośny IS i prąd powierzchniowy IP.

Prąd skrośny jest to prąd płynący wewnątrz materiału.

Prąd powierzchniowy jest to prąd płynący w warstewce zanieczyszczeń i

wilgoci, jaka zwykle tworzy się na powierzchni izolatorów.

Odpowiednio do prądu skrośnego i powierzchniowego rozróżnia się rezystancję

skrośną i powierzchniową.

Rezystancja skrośna jest to rezystancja wyrażająca się stosunkiem napięcia

stałego, przyłożonego do elektrod przylegających do przeciwległych powierzchni

próbki materiału, do tej części prądu elektrycznego, która przepływa na wskroś

próbki.

Rezystancja powierzchniowa jest to rezystancja wyrażająca się stosunkiem

napięcia stałego, przyłożonego do elektrod przylegających do jednej i tej samej

powierzchni próbki materiału, do prądu elektrycznego, który przepływa między

tymi elektrodami.

Rezystancja przejścia zależy od wymiarów i kształtu ośrodka (materiału)

wypełniającego przestrzeń międzyelektrodową i od konduktywności tego

ośrodka. W ogólnym przypadku, do obliczania tej rezystancji wykorzystuje się

wzory (5.46) i (5.48). Pierwszy z tych wzorów

JS

I= (6.10)

definiuje gęstość prądu J jako prąd przepływający przez jednostkę powierzchni

przekroju potrzebnego, a drugi

γ

JE = (6.11)

określa natężenie E pola elektrycznego w obszarze międzyelektrodowym w

zależności od konduktywności γ tego obszaru. Wartość natężenia pola

elektrycznego E jest podstawą do obliczenia różnicy potencjałów między

elektrodami (napięcia elektrycznego), gdyż jak wiadomo — patrz wzór (1.39)



r

UE

∆

∆−= (6.12)

gdzie ∆r jest elementem drogi mierzonej wzdłuż linii sił pola elektrycznego.

Przykład 6.12 Wyznaczyć rezystancję przejścia dla układu elektrod o symetrii walcowej (rys. 6.21)

Układ elektrod o symetrii walcowej utworzony jest przez dwie elektrody, z

których jedna, w postaci pręta o promieniu rw, umieszczona jest koncentrycznie

wewnątrz rury o długości l i promieniu wewnętrznym rz, stanowiącej drugą

elektrodę. Przepływ ładunków tworzących prąd elektryczny o gęstości J i wektory

natężenia pola elektrycznego E zgodne są z kierunkami promieni przekroju

kołowego układu. Przestrzeń międzyelektrodową wypełniona jest materiałem o

konduktywności γ. (W przypadku kabla jednożyłowego przestrzeń ta jest

wypełniona materiałem izolacyjnym).

Elektrodę wewnętrzną otaczamy powierzchnią walcową o promieniu r. Przez tę

powierzchnię

rlS π2=

przenika prąd I o gęstości — wzór (6.10)

rl

IJ

π2=

Rys. 6.21 Odcinek kabla jednożyłowego jako przykład układu o symetrii walcowej

Zgodnie ze wzorem (6.11), natężenie pola elektrycznego skierowanego zgodnie

z promieniem prostopadle do osi kabla

γπrl

IE

2=

W odróżnieniu od układu z rys. 6.20 tym razem E zmienia się wraz ze zmianą r.

Nie można zatem ominąć operacji całkowania.

Stosując równanie (6.12) w tym przypadku



drrl

IdU

γπ2−=

Napięcie na elektrodach oblicza się z całki (patrz dodatek F)

∫−=w

z

r

r

drrl

IU

γπ2

Po wykonaniu operacji całkowania*

w

z

r

r

l

IU ln

2 γπ=

Zgodnie z prawem Ohma R = U/I rezystancja przejścia przez ośrodek

w

z

r

r

lR ln

2

1

γπ= * (6.13)

Wzór (6.13) można wykorzystać także do obliczenia rezystancji elementu

elektronicznego zwanego dyskiem Corbino (patrz p. 5.6.3).

Przykład 6.13 Wyznaczyć rezystancję przejścia dla koncentrycznego układu elektrod kulistych (rys. 6.22).

Koncentryczny układ elektrod kulistych tworzy przewodząca kula o promieniu rw

umieszczona w środku geometrycznym przewodzącej czaszy kulistej o promieniu

wewnętrznym rz. Kierunki przepływu ładunków elektrycznych tworzących prąd

elektryczny o gęstości J i wektory natężenia pola elektrycznego E przebiegają

prostopadle do powierzchni kulistych. Przestrzeń międzyelektrodową jest

wypełniona materiałem o konduktywności γ.

Elektrodę wewnętrzną otaczamy powierzchnią kulistą o promieniu r. Przez tę

powierzchnię

24 rS π=

przenika prąd I o gęstości

24 r

IJ

π=

Zgodnie ze wzorem (6.11), natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie

przestrzeni międzyelektrodowej

γπ 24 r

IE =

Z zależności



γπ 24 r

I

dr

dU=−

otrzymuje się równanie określające napięcie międzyelektrodowe

drr

IU

w

z

r

r

∫−=γπ 24

którego rozwiązanie prowadzi do zależności

−=

z

w

w r

r

r

IU 1

4 γπ

−=′=

z

w

w r

r

rR

I

U1

4

1

γπ (6.14)

* Logarytm naturalny — oznaczenie ln — jest logarytmem o podstawie „e”, przy czym e = 2,71.

Z zależności (6.14) przedstawionej graficznie na rys. 6.22b widać, że napięcie U

przyjmuje zawsze wartość skończoną, nawet przy rz → ∞. Jest to zarazem

największa wartość napięcia międzyelektrodowego w tym układzie

γπ wr

IU

4max =

Jest ona podstawą do obliczenia rezystancji przejścia zdefiniowanej jako

I

UR max=

a więc ostatecznie

γπ wrR

4

1= (6.15)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Rys. 6.22 Koncentryczny układ kulisty elektrod obejmujący ośrodek elektrycznie jednorodny: a) schemat układu; b) wykres napięcia względem wewnętrznej elektrody w funkcji odległości

Otrzymana zależność jest bardzo charakterystyczna. Świadczy ona o tym, że w

tym przypadku rezystancja przejścia, czyli rezystancja ośrodka wokół elektrody

kulistej, nie zależy od rozmiarów tego ośrodka, a jedynie od wymiarów liniowych

elektrody wewnętrznej.

Omówiony układ elektrod kulistych występuje w kondensatorach kulistych, w

głęboko zakopanych uziomach sferycznych itp.

Przykład 6.14 Wyznaczyć rezystancję przejścia dla koncentrycznego układu elektrod półkulistych (rys. 6.23).

Układ elektrod półkulistych jest częścią układu elektrod kulistych (rys. 6.22). W

układzie tym powierzchnia, przez którą przepływa prąd, jest dwukrotnie

mniejsza, a przy tym samym prądzie gęstość prądu J i natężenie pola

elektrycznego E są dwukrotnie większe i odpowiednio równe

22 r

IJ

π=

γπ 22 r

IE =

Dzięki temu napięcie maksymalne

γπ wr

IU

2max =

a rezystancja przejścia ośrodka dookoła półkuli



γπ wrR

2

1= (6.16)

Rezystancja ta jest dwukrotnie większa niż rezystancja przejścia ośrodka

otaczającego elektrodę kulistą.

Omawiany układ elektrod występuje np. w urządzeniach elektrycznych (wannach

elektrolitycznych) i niektórych elementach elektronicznych (elektroda punktowa

w rozległym środowisku rezystancyjnym np. półprzewodnikowym).

Elektroda półkulista zakopana w ziemi spełnią rolę uziomu*. W przypadku

uziomu półkulistego można przyjąć, że otacza go ośrodek nieskończenie rozległy,

w którym rozkład napięcia jest zgodny z rozkładem hiperbolicznym

przedstawionym na rys. 6.22b.

Uziom prawidłowo uziemiający pracujące urządzenia elektryczne nie wytwarza

napięcia elektrycznego, gdyż znajduje się na potencjale Ziemi. Jednak w

przypadku przebicia izolacji (np. linii wysokiego napięcia zawieszonej na słupach

stalowych) pojawia się napięcie między uziomem, a dalej położonymi warstwami

Ziemi. Jeśli człowiek stoi przy takim uziomie, a odległość między jego stopami —

mierzona wzdłuż przedłużenia promienia uziomu po powierzchni Ziemi — wynosi

0,8 m (średnia długość kroku ∆r = 0,8 m), to jest on narażony na działanie

napięcia wywołanego przepływem prądu z uziomu do Ziemi

+−=∆

8,0

11

2 rr

IU kr

πγ (6.17)

Rys. 6.23 Koncentryczny układ elektrod półkulistych obejmujący ośrodek elektrycznie jednorodny

zwanego napięciem krokowym. Napięcie krokowe jest największe wtedy, gdy

człowiek znajduje się blisko uziomu (nachylenie krzywej — rys. 6.226) i jest

największe przy r ≈ rw. W przypadku uderzenia pioruna w słup linii wysokiego

napięcia napięcie to może być równe nawet kilka kilowoltów. W przypadku

przebicia elektrycznego wartość napięcia krokowego zależna jest od napięcia

znamionowego linii i może być równa kilkadziesiąt lub kilkaset woltów.



W dalszej odległości od uziomu, przy odległości między stopami 0,8 m (∆r = 0,8

m) człowiek jest narażony na działanie znacznie mniejszego napięcia (nachylenie

krzywej — rys. 6.22b — przy r >> rw jest mniejsze).

* Uziom jest to część uziemienia znajdująca się pod ziemią.

Przykład 6.15 Dla elektrod: kulistej i walcowej pionowej (rys. 6.24 a, b) zakopanych blisko powierzchni ziemi oraz dla elektrody walcowej umieszczonej w ośrodku nieskończenie rozległym (rys. 6.24c) wyznaczyć rezystancję przejścia.

a. Rezystancja przejścia ośrodka, w ogólnym przypadku zależna jest nie tylko od

kształtu i rozmiarów elektrody (lub elektrod), lecz także od jej położenia

względem powierzchni granicznej ośrodka, którego wpływ na rezystancję

przejścia jest tym większy, im znajduje się ona bliżej rozpatrywanej elektrody.

Problem rezystancji przejścia z uwzględnieniem powierzchni granicznej

występuje przy uziomach zakopywanych na nieznacznych głębokościach.

Rezystancję tę oblicza się stosując tzw. metodę zwierciadlanego odbicia. Polega

ona na uwzględnieniu oddziaływania drugiej takiej samej elektrody, położonej

symetrycznie względem powierzchni granicznej, przez którą prąd przepływa w

kierunku przeciwnym niż w pierwszej elektrodzie. (Metoda ta będzie stosowana

w dalszej części książki, bez podania uzasadnienia). Stosując zatem wzór (6.14),

w którym rz = 2h i rw = r0, gdzie r0 — promień elektrody kulowej (rys. 6.24a), h

— głębokość jej zakopania, otrzymuje się rezystancję przejścia

+=

h

r

rR

21

4

1 0

0γπ (6.18)

b. W podobny sposób oblicza się rezystancję przejścia uziomu w postaci pręta

zakopanego pionowo tuż pod powierzchnią ziemi (rys. 6.24b). W tym przypadku

stosując wzór (6.13)

0

4ln

4

1

r

l

lR

γπ= (6.19)

c. Obliczenia rezystancji przejścia elektrody walcowej, umieszczonej w ośrodku

nieskończenie rozległym (rys. 6.24c), są bardzo skomplikowane i w tym miejscu

ograniczymy się tylko do podania wzoru określającego jej wartość



0

2ln

4

1

r

l

lR

γπ= (6.19)

Rys. 6.24 Elektrody: a) kulista zakopana; blisko powierzchni ziemi; b) walcowa zakopana pionowo blisko powierzchni ziemi; c) walcowa w ośrodku nieskończenie rozległym

6.2.7 Rezystory nieliniowe Dotychczas, mówiąc o rezystancji, mieliśmy na myśli rezystancję rezystorów

liniowych.

Rezystor liniowy jest to taki rezystor, którego rezystancja jest wielkością stałą,

niezależną od wartości przepływającego przez niego prądu lub napięcia

przyłożonego do jego końcówek, a jego charakterystyka prądowo-napięciowa

(rys. 6.25) jest linią prostą.



W wielu przypadkach materiał rezystancyjny użyty do budowy rezystorów

zmienia swoje właściwości pod wpływem przepływającego przez niego prądu

elektrycznego lub pod wpływem pola elektrycznego wywołanego napięciem

doprowadzonym do zacisków. Wtedy rezystancja jest zmienna i pozostaje

funkcją prądu lub napięcia.

O takim rezystorze mówimy, że jest nieliniowy. A zatem — rezystor nieliniowy

jest to taki rezystor, którego rezystancja nie jest wielkością stałą, lecz zależną

od wartości przepływającego przez niego prądu lub napięcia przyłożonego do

jego końcówek, a jego charakterystyka prądowo-napięciowa jest linią krzywą.

W przypadku rezystora liniowego jego charakterystyka prądowo-napięciowa jest

określona kotangensem kąta α, jaki tworzy prosta I = f(U) (lub styczna do niej)

z dodatnim wzrostem osi U. Dla każdego, dowolnie przyjętego, punktu prostej

RI

Uctg ==

0

0α (6.21)

Rys. 6.25 Przykładowa charakterystyka prądowo-napięciowa elementu rezystancyjnego 1 — liniowego, 2 — nieliniowego

W przypadku rezystora nieliniowego (rys. 6.25, krzywa 2) kąt nachylenia

siecznej jest w każdym punkcie krzywej inny.

Podana definicja rezystora liniowego dotyczyła w istocie rezystora liniowego

idealnego, tzn. takiego, w którym rzeczywiście rezystancja pozostaje stała,

niezależnie od stosowanego zakresu napięć lub prądów. W rzeczywistości

rezystorów takich nie ma. Materiał zawsze ulega działaniu prądu elektrycznego,

szczególnie jego działaniu cieplnemu. W związku z tym rezystancja materiału

pozostaje stała tylko w pewnym zakresie prądów i napięć, zwanych zakresem

liniowości. W obszarze poza tym zakresem (rys. 6.26) rezystor liniowy

rzeczywisty zachowuje się tak, jak rezystor nieliniowy.



Dla rezystorów liniowych rzeczywistych należy zatem zawsze podać przedział

liniowości. Na rys. 6.25 i 6.26 jest on określany nierównościami

00 UU ≤≤ 00 II ≤≤

Typowym przykładem rezystora liniowego, który silnie wykazuje również swoje

właściwości nieliniowe, jest włókno żarówki.

Włókno żarówki wykonane jest z cienkiego drutu wolframowego, który, na

skutek przepływu przez niego prądu, ogrzewa się, przy czym wzrost jego

rezystancji jest zgodny ze wzorem

( )[ ]00 1 ϑϑα −+= RR (6.22)

Rys. 6.26 Przykładowe charakterystyki rezystancyjno-napięciowe elementu 1 — liniowego, 2 — nieliniowego

R0 — rezystancja drutu zmierzona w temperaturze 0ϑ , a — współczynnik

temperaturowy rezystancji, R — rezystancja drutu w temperaturze ϑ .

Wraz ze wzrostem napięcia wzrasta prąd płynący przez żarówkę. Ze wzrostem

prądu wzrasta również temperatura i rezystancja drutu (krzywa 2, rys. 6.26).

Zatem prąd wzrasta wolniej niż napięcie. Jednakowym przyrostom napięcia

odpowiadają coraz to mniejsze przyrosty prądu, i w związku z tym

charakterystyka prądowo-napięciowa (krzywa 2, rys. 6.25) zagina się w stronę

osi R.

Rezystory takie jak włókno żarówki, które zmieniają swoje właściwości na skutek

termicznego działania prądu, charakteryzuje bezwładność cieplna. Bezwładność

cieplna jest wynikiem stopniowego wzrostu temperatury rezystora, mimo

przepuszczenia przez niego stosunkowo dużego prądu (krzywa ϑ , rys. 6.27).

Przyrost temperatury ma charakter eksponencjalny*. Również po odłączeniu

rezystora od źródła zasilania temperatura jego zmniejsza się nie skokowo, lecz w

sposób wykładniczy. Zwiększeniu się temperatury rezystora włączonego do



źródła o stałej wartości napięcia towarzyszy, na skutek wzrostu rezystancji,

zmniejszenie się prądu (krzywa I, rys. 6.27). Przebieg temperatury i prądu

odbywa się w sposób w przybliżeniu wykładniczy ze stałą czasową zależną od

warunków wymiany ciepła z otoczeniem (powierzchnia rezystora, rodzaj

obudowy itp.).

Rezystory nieliniowe opisuje się większą liczbą parametrów, niż rezystory

liniowe. Do najważniejszych z nich należy rezystancja statyczna i rezystancja

dynamiczna.

Rys. 6.27 Ilustracja właściwości dynamicznych rezystorów

Rezystancja statyczna jest to rezystancja określona przy stałej wartości

napięcia i stałej wartości prądu.

Graficznie (rys. 6.28) rezystancję statyczną R reprezentuje kotangens kąta αR,

jaki tworzy prosta łącząca dowolny punkt P charakterystyki prądowo-napięciowej

i początek układu współrzędnych z osią U. Rezystancja statyczna

0

0

I

UR = (6.23)

jest różna dla różnych punktów P charakterystyki.

Rezystancja dynamiczna w dowolnym punkcie charakterystyki prądowo-

napięciowej jest to rezystancja określona dla przyrostów dU napięcia i

odpowiadających im przyrostów dI prądu w otoczeniu rozpatrywanego

punktu.

Graficznie (rys. 6.28) rezystancję dynamiczną r reprezentuje kotangens kąta αR,

jaki tworzy styczna do krzywej, poprowadzona w danym punkcie P tej krzywej, z

osią U



dI

dUr = (6.24)

Rezystancja dynamiczna jest różna dla różnych punktów P charakterystyki.

Rezystory nieliniowe są elementami składowymi elektrycznych układów

nieliniowych. Układy takie zasila się często napięciem zawierającym składową

stałą i składową zmienną. Dobierając wartość napięcia stałego U0 wybiera się

żądany punkt P pracy na charakterystyce prądowo-napięciowej elementu.

Położenie tego punktu określa nie tylko wartość rezystancji statycznej, ale i

wartość rezystancji dynamicznej, istotnej dla składowej zmiennej prądu. Za

pomocą prądu i napięcia stałego można zatem sterować pracą obwodów prądu

zmiennego. Zjawisko to wykorzystuje się w wielu układach sterowania i

regulacji.

Klasycznymi przykładami rezystorów nieliniowych są termistory wykorzystywane

głównie w układach elektronicznych.

* wyjaśnienie w p. 6.3.3.

Rys. 6.28 Ilustracja rezystancji statycznej i dynamicznej rezystorów

Termistory są to rezystory, których rezystancja silnie zależy od temperatury i

zależność ta jest ich dominującą cechą.

Termistory dzieli się na termistory NTC* i termistory PTC**.

Rezystancja termistorów NTC ze wzrostem temperatury silnie się zmniejsza

(krzywa 1, rys. 6.29). Jest ona w przybliżeniu opisana równaniem

T

B

eRR 0= (6.25)

R0 — rezystancja, jaką osiąga rezystor w temperaturze T → ∞,

B — stała materiałowa.



Współczynnik temperaturowy rezystancji określa względny przyrost rezystancji

termistora przy zmianie temperatury o ∆T, gdy ∆T → 0

dT

dR

R

1=α (6.26)


2T

B−=α (6.27)

* NTC — skrót od Negative Temperaturę Coefficient (ujemny współczynnik temperaturowy). ** PTC — skrót od Positive Temperaturę Coefficient (dodatni współczynnik temperaturowy).

Rys. 6.29 Charakterystyka rezystancyjno--temperaturowa 1 — termistora NTC, 2 — rezystora liniowego Jak widać, współczynnik temperaturowy termistorów NTC jest w całym

przedziale temperatur ujemny i zmniejsza się ze wzrostem temperatury.

Termistory wykorzystuje się do budowy czujników temperatury, różnego rodzaju

urządzeń sygnalizacyjnych, termometrów, a w układach elektronicznych — do

kompensacji wpływu zmian temperatury.

Charakterystyka napięciowo-prądowa termistora (krzywa 1, rys. 6.30) jest

opisana funkcją malejącą w szerokim zakresie prądów. W tym zakresie

rezystancja dynamiczna termistora przyjmuje wartości ujemne, tzn. dodatnim

przyrostom prądów odpowiadają ujemne przyrosty napięć. (Dla porównania na

rys. 6.29 i 6.30 przedstawiono również charakterystyki elementów liniowych —

krzywe 2).

Charakterystyka napięciowo-prądowa termistora, począwszy od pewnej małej

wartości prądu, ma przebieg w przybliżeniu hiperboliczny. Cechą

charakterystyczną przebiegów hiperbolicznych jest to, że iloczyn współrzędnych

dowolnego punktu krzywej ma wartość stałą. W naszym przypadku iloczyn

współrzędnych dowolnego punktu położonego na charakterystyce napięciowo-



prądowej oznacza moc wydzieloną na termistorze. Można więc powiedzieć, że na

termistorze ogrzewanym płynącym przez niego prądem wydziela się w

przybliżeniu stała moc. Moc ta zamienia się na ciepło i jest odprowadzana do

otoczenia. Stałość mocy wydzielanej w termistorze warunkuje stałą jego

temperaturę, niezależnie od wartości przepływającego prądu.

Rys. 6.30 Charakterystyka napięciowo--prądowa 1 — termistora NTC, 2 — rezystora liniowego

Innym rodzajem termistorów są termistory PTC, czyli tzw. pozystory. Pozystory mają właściwości przeciwstawne do termistorów NTC.

Rezystancja pozystorów ze wzrostem temperatury silnie zwiększa się (krzywa 1,

rys. 6.31). Opisana ona jest równaniem przybliżonym

T

B

eRR−

= 0 (6.28)

R0— parametr określający rezystancję termistora w temperaturze T → ∞,

B — stała materiałowa.

Współczynnik temperaturowy rezystancji określający względny przyrost

rezystancji pozystora

2T

B=α (6.29)

jest dodatni w całym temperaturowym przedziale pracy i zmniejsza się ze

wzrostem temperatury.

Rys. 6.31 Charakterystyka rezystancyjno--temperaturowa 1 — termistora PTC (pozystora), 2 — rezystora liniowego



Charakterystyka prądowo-napięciowa pozystora (krzywa 1, rys. 6.32) opisana

jest funkcją malejącą w szerokim zakresie napięć, podobnie jak charakterystyka

termistora NTC. W tym zakresie napięć rezystancja dynamiczna pozystora

przyjmuje wartości ujemne. Termistory PTC znalazły podobne zastosowanie w

układach elektrycznych jak termistory NTC.

Pozystory nagrzewają się pod wpływem przepływającego przez nie prądu.

Dlatego też często wykorzystuje się je jako miniaturowe źródła ciepła. W

grzejnych układach elektrycznych spełniają one jednak rolę czujnika

temperatury. Układy regulacji temperatury z pozystorami są bardzo proste. W

najprostszej postaci składają się one z uzwojenia grzejnego i połączonego z nim

pozystora umieszczonego w komorze grzejnej (rys. 6.33).

Jeżeli temperatura w komorze grzejnej przekroczy wartość dopuszczalną, to

spowoduje to zwiększenie rezystancji pozystora i zmniejszenie prądu w

uzwojeniu grzejnym. Temperatura w komorze będzie się obniżać. Jeśli

temperatura w komorze obniży się poniżej wartości dopuszczalnej, to

jednoczesne zmniejszenie rezystancji pozystora spowoduje zwiększenie prądu

płynącego przez grzejnik i zwiększenie wydzielonego ciepła. Opisane urządzenie

ma więc właściwości termostatu, czyli urządzenia utrzymującego stałą

temperaturę.

Rys. 6.32 Charakterystyka prądowo-napięciowa 1 — termistora PTC (pozystora), 2 — rezystora liniowego



Rys. 6.33 Schemat elektryczny termostatu; Rp — pozystor

Na pozystorach, podobnie jak na termistorach, wydziela się stała moc cieplna. W

termistorach pracujących jako czujniki temperatury wykorzystuje się najczęściej

liniowy odcinek ich charakterystyki napięciowo-prądowej.

Rys. 6.34 Termistorowy układ generatora drgań elektrycznych małej częstotliwości Rt — termistor NTC, RP — termistor PTC (pozystor), Ż — wskaźnik drgań — żarówka

Innym, bardzo interesującym zastosowaniem termistorów jest układ generatora

drgań elektrycznych małej częstotliwości (rys. 6.34). Generator taki składa się z

dwu termistorów: jednego — typu NTC i drugiego — typu PTC połączonych

szeregowo. Układ zasilany jest ze źródła napięcia stałego. Drgania w układzie

występują wtedy, kiedy termistory różnią się parametrami. Pod wpływem prądu

termistor NTC (Rt) ogrzewa się i jego rezystancja maleje. Powoduje to dalszy

wzrost prądu w układzie. Prąd ten powoduje również ogrzewanie się termistora

PTC (Rp) i wzrost jego rezystancji, co powoduje z kolei zmniejszanie się prądu.

Częstotliwość oscylacji prądu w układzie jest zależna od wartości przyłożonego

napięcia i stałych czasowych elementów i jest rzędu ułamka herców.

W pewnych innych układach elektronicznych wykorzystuje się inne typy

rezystorów nieliniowych — warystory. Rezystancja warystorów zależna jest od

doprowadzonego napięcia. Zależnie od technologii wykonania tych elementów

można uzyskać takie charakterystyki prądowo-napięciowe, aby zależność prądu

od napięcia miała przebieg wykładniczy, logarytmiczny lub też przebiegała

według innej założonej funkcji nieokresowej (patrz również p. 7.4).

Analiza układu półprzewodnikowego przetwornika napięcia stałego w prąd

zmienny, jakim jest termistorowy układ drgań wolnozmiennych (rys. 6.34) jest



bardzo ciekawa. Analizę tę można prowadzić wykorzystując cieplne stałe

czasowe termistorów NTC i PTC lub też można termistorowi PTC

przyporządkować schemat zastępczy typu RL, a termistorowi NTC — obwód typu

RC i dalej prowadzić analizę tak, jak dla obwodów drgających typu RLC.

Termistory wykazują pewną bezwładność cieplną, tzn. temperatura ustala się w

nich nie natychmiast po załączeniu prądu, ale po pewnym czasie. Wykorzystuje

się je do budowy linii opóźniających.

6.3 Elementy pojemnościowe 6.3.1 Budowa i przeznaczenie kondensatorów. Pojemność różnych układów elektrod Każdy przewodnik elektryczności wykazuje cechę pojemności elektrycznej.

Cechę pojemności wykazują zarówno odosobnione przewodniki jak i przewodniki

tworzące układy elektryczne. W tym sensie pojemność będą miały odcinki

przewodów, pojedyncze elektrody metalowe i układy elektrod.

Rozpatrzmy właściwości elektryczne elektrody w postaci odosobnionej kuli

przewodzącej o promieniu rw. Jak wiadomo kula taka, obdarzona ładunkiem

elektrycznym Q, wytwarza na swojej powierzchni potencjał proporcjonalny do

ładunku — wzór (1.8)

wr

QV

πε4= (6.30)

Potencjał ten jest tym większy, im większy ładunek znajduje się na kuli.

Zależność między ładunkiem i potencjałem jest proporcjonalna, tzn. że

jednakowym przyrostom wartości ładunku odpowiadają jednakowe przyrosty

wartości potencjału. Wzór (6.30) można przedstawić w postaci

wrV

Qπε4= (6.31)

Współczynnikiem proporcjonalności między wielkościami Q i V jest w tym

przypadku wielkość wrπε4 zależna od właściwości ośrodka, w którym znajduje się

rozpatrywana kula (ε — przenikalność elektryczna ośrodka) i od jej wymiarów.

Okazuje się, że stosunek ładunku do potencjału (układów elektrod) jest zawsze

wielkością stałą, zależną jedynie od konfiguracji i rozmiarów elektrod. Wielkość



tę nazwano pojemnością elektryczną. Pojemność elektryczna mówi nam, jaka

wartość ładunku gromadzi się w danym ośrodku na elektrodzie obdarzonej

potencjałem 1 V lub jaki ładunek gromadzi się na elektrodach w tym ośrodku

pod wpływem różnicy potencjałów 1 V.

Pojemność elektryczna C jest to wielkość fizyczna wyrażająca się stosunkiem

wartości ładunku elektrycznego do wytwarzanego przez ten ładunek potencjału.

U

QC = (6.32)

Wzór (6.32) jest najbardziej ogólnym wzorem określającym pojemność układu

przewodników. (Przewodnik odosobniony można traktować jako szczególny przy-

padek układu przewodników).

Zgodnie z przeprowadzoną analizą można napisać, że pojemność odosobnionej

kuli przewodzącej

wrC πε4= (6.33)

Jednostką pojemności elektrycznej jest farad (1 F)

V

CF

1

11 = (6.34)

Farad (1 F) jest to pojemność takiego układu przewodników, w którym ładunek

elektryczny jednego kulomba (Q = 1C) wytwarza różnicę potencjałów jednego

wolta (U=1V).

Pojemność 1 F jest bardzo dużą pojemnością w porównaniu z pojemnością

zwykle stosowanych w elektrotechnice i elektronice układów elektrod. Dlatego

też używa się pod wielokrotności farada: milifarad (mF), mikrofarad (uF),

nanofarad (nF) i pikofarad (pF).

Pojemność pojedynczej, odosobnionej elektrody jest na ogół niewielka, a w wielu

przypadkach zależy nam na tym, by uzyskać dużą pojemność. Stosuje się wtedy

układ dwóch elektrod. Poza tym „elektroda odosobniona" jest raczej „tworem

myślowym" i wykorzystanie jej w praktyce jest niemożliwe. W układach

rzeczywistych zawsze będziemy mieli do czynienia co najmniej z dwiema

elektrodami. Układ dwóch elektrod cechuje się dużo większą pojemnością niż

pojemność elektrody odosobnionej i wykonany specjalnie w celu uzyskania

określonej pojemności nosi nazwę kondensatora.



Kondensator jest to taki układ dwóch przewodników, który charakteryzuje się

znaczną pojemnością, przy czym pojemność ta jest cechą dominującą.

W praktyce kondensatory są utworzone z dwóch płaskich elektrod metalowych

przedzielonych warstwą dielektryka. Zależnie od rodzaju użytego dielektryka

kondensatory dzielą się na kondensatory z dielektrykiem stałym, kondensatory

powietrzne i elektrolityczne (rys. 6.35). Na obudowie kondensatorów jest

zaznaczona wartość napięcia maksymalnego, przy której mogą one pracować

bezpiecznie. Przy wyższych napięciach następuje przebicie dielektryka, a

kondensator ulega zniszczeniu. Folie metalowe tworzące okładziny

kondensatorów wykonuje się najczęściej z aluminium. W celu zajęcia przez nie

jak najmniejszej objętości, zwija się je w rulon. W kondensatorach

elektrolitycznych folie aluminiowe oddzielone są od siebie taśmą papierową

nasączoną elektrolitem.

Rys. 6.35 Kondensator: a) z dielektrykiem stałym; b) powietrzny nastawny (obrotowy); c) elektrolityczny

Kondensatory z dielektrykiem stałym budowane są jako kondensatory stałe. Do

budowy kondensatorów nastawnych (kondensatorów o zmiennej pojemności) i

kondensatorów wzorcowych wykorzystuje się najczęściej kondensatory

powietrzne. Elektrody kondensatorów nastawnych buduje się w postaci płyt.

Ponieważ przenikalność elektryczna powietrza jest mała, kondensatory

nastawne w celu zwiększenia ich pojemności, buduje się jako wielopłytowe.

Kondensatory nastawne występują w przestrajanych obwodach rezonansowych

(p. 4.8). Obwody takie umieszczone są np. w odbiornikach radiowych.

Kondensatory wzorcowe to kondensatory powietrzne o pojemności znanej z

dużą dokładnością, cechujące się dużą stałością. Stałość ta jest wynikiem stałych

w czasie właściwości powietrza utrzymywanego w niezmiennych warunkach.

Przyjmuje się, że powietrze, w przeciwieństwie do dielektryków stałych i



ciekłych, nie ulega procesom starzenia.

Kondensatory wzorcowe wykorzystuje się w elektrycznych układach

pomiarowych (p. 6.8.7).

Kondensatory znalazły także zastosowanie przemysłowe. W elektroenergetyce

wykorzystuje się ich właściwości m. in. do grzania pojemnościowego oraz do

kompensacji mocy biernej (p. 6.3.2).

Układ dwóch elektrod tworzących kondensator, do których doprowadzone jest

napięcie elektryczne, wytwarza w obszarze międzyelektrodowym pole

elektryczne.

Można zatem powiedzieć, że kondensator naładowany (kondensator ze

zgromadzonym ładunkiem elektrycznym na elektrodach) jest elementem

magazynującym energię w postaci pola elektrycznego. Jest to tak istotna

właściwość kondensatora, że również jest podstawą definicji:

Kondensator jest to taki układ dwóch przewodników, który ma zdolność

gromadzenia energii w postaci pola elektrycznego rozciągającego się w obszarze

między tymi przewodnikami.

Do obliczenia energii pola elektrycznego kondensatora posłużmy się wzorem

(1.47) określającym wartość pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku ∆Q od

jednej elektrody do drugiej, czyli pracę potrzebną do przeniesienia tego ładunku

w polu o różnicy potencjałów U

QUWe ∆=∆

PonieważC

QU = wzór (6.32)

QC

QWe

1∆=∆

Ostatecznie (patrz dodatek F)

C

QWe

2

2

= (6.35)

Uwzględniając ponownie zależność (6.32) Q = UC otrzymuje się wzór

równoważny

2

2

1CUWe = (6.36)



Wyrażając pojemność w faradach, napięcie w woltach, ładunek w kulombach,

energię otrzymuje się w dżulach.

Energię zmagazynowaną w polu elektrycznym kondensatora można odzyskać w

postaci energii prądu elektrycznego (patrz przykład 6.24).

Wartość energii pola elektrycznego zależy od pojemności kondensatora (którą

można wyznaczyć na podstawie znajomości jego wymiarów geometrycznych).

Przykład 6.16 Wyznaczyć pojemność kondensatora powietrznego płaskiego o powierzchni okładzin (elektrod) S = 0,01 m2 i odległości między nimi d = 1 cm. Do obliczeń przyjąć ε 0 = 8,86⋅10-12 F⋅m-1 (rys. 6.36).

W celu obliczenia pojemności układów elektrod należy posłużyć się metodą

obliczeniową, którą można przedstawić w trzech punktach:

1. Korzystając z twierdzenia Gaussa (p. 1.4) wyznaczyć zależność natężenia pola

elektrycznego w dielektryku od ładunku elektrycznego zgromadzonego na

okładzinach kondensatora — wzory (1.32) i (1.33).

2. Korzystając z twierdzenia Stokesa (p. 1.4) wyznaczyć zależność napięcia

elektrycznego między okładzinami kondensatora od natężenia pola elektrycznego

— wzór (1.38), a pośrednio — od zgromadzonego ładunku elektrycznego.

3. Poszukiwaną pojemność elektryczną kondensatora wyznaczyć ze wzoru

definiującego pojemność — wzór (6.32).

Rys. 6.36 Kondensator płaski

ad. 1. Jedną z okładzin kondensatora otaczamy umyśloną powierzchnią w

kształcie prostopadłościanu. Powierzchnie boczne prostopadłościanu, przez które

przenika strumień elektryczny Ψ wytworzony przez ładunek zgromadzony na tej

okładzinie, niech będą też równe S (patrz przykład 1.9 i 1.10). Strumień

przenika przez dwie takie powierzchnie, a więc

Ψ = 2DS

gdzie D = ε0E — patrz wzór (1.28). Na podstawie twierdzenia Gaussa Ψ = Q, a



zatem

ESQ 02ε=

Stąd

S

QE

02ε=

Ponieważ przez rozpatrywaną powierzchnię przenika również taki sam strumień

wytworzony przez drugą okładzinę kondensatora, to natężenie pola ele-

ktrycznego między okładzinami jest dwukrotnie większe

S

QE

0ε=

ad. 2. Wykorzystując zależność (1.38), w której ∆r = d

EdU =

otrzymaną na podstawie twierdzenia Stokesa, uzyskujemy w przypadku pola

równomiernego

S

QdU

0ε=

ad. 3. Stosując wzór definicyjny (6.32)

U

QC =

otrzymuje się ostatecznie — patrz wzór (1.46)

d

C 0ε= (6.37)

Podstawiając wartości

pFC 86,801,0

01,01086,8 12

=⋅⋅

=−

Wyznaczanie pojemności układów elektrod nie zawsze jest tak proste. Zależnie

od kształtu elektrod (np. cylindryczny, kulisty, płaski) i ich wzajemnego

usytuowania obliczenia wymagają użycia odpowiedniego aparatu

matematycznego.

Przykład 6.17 Wyznaczyć pojemność kondensatora powietrznego cylindrycznego o długości l = 0,1 m, promieniu okładziny zewnętrznej rz = 0,1 m, promieniu okładziny wewnętrznej rw = 1 cm. Do obliczeń przyjąć ε0 = 8,86⋅10-12 F⋅m-1 (rys. 6.37).



Okładzinę wewnętrzną kondensatora otaczamy umyśloną powierzchnią walcową

o polu powierzchni bocznej (patrz przykład 1.7)

xlS x π2=

Przez powierzchnię tę przenika strumień elektryczny

xDSQ ==Ψ

Rys. 6.37 Kondensator cylindryczny: a) budowa; b) rozkład natężenia pola elektrycznego w dielektryku

Ponieważ D = ε0Ex, to Q = ε0ExSx

stąd

lx

QEx

02πε=

Wykorzystując związek (patrz dodatek F)

∫= EdxU

w tym przypadku

dxlx

QU

z

w

r

r

∫=02πε

Po wykonaniu operacji całkowania uzyskuje się bezpośredni związek między

ładunkiem i napięciem elektrycznym

w

z

r

r

l

QU ln

2 0πε=

który jest podstawą do napisania wzoru na pojemność powietrznego

kondensatora cylindrycznego



w

z

r

r

lC

ln

2 0πε= (6.38)


pFC 42,210ln

1,01086,814,3212

=⋅⋅⋅⋅

=−

Przykład 6.18 Wyznaczyć wartość promienia rw elektrody wewnętrznej kondensatora cylindrycznego (rys. 6.37), przy której napięcie elektryczne między jego okładzinami ma wartość maksymalną. Wyznaczyć pojemność takiego kondensatora, jeśli l = 0,1 m, rz = 0,1 m, ε = ε0.

Przykład ten można rozwiązać korzystając z zależności otrzymanych w

poprzednim przykładzie, a mianowicie

lx

QEx

02πε=

oraz

w

z

r

r

l

QU ln

2 0πε=

Porównując ze sobą te dwie zależności widać, że

w

z

x

r

rx

UE

ln

=

Natężenie pola elektrycznego osiąga wartość minimalną na powierzchni

elektrody zewnętrznej (x = rz)

w

zz

r

rr

UE

lnmin =

a wartość maksymalną na powierzchni elektrody wewnętrznej (x = rw)

w

zw

r

rr

UE

lnmax =

Na podstawie ostatniego wzoru można napisać

w

zw

r

rrEU lnmax=

Napięcie osiąga wartość maksymalną w funkcji rw, gdy



0=wdr

dU

a zatem wtedy, gdy

0ln2max =

−+

w

z

w

zw

w

z

r

r

r

rr

r

rE

Równanie to jest równoważne warunkowi

1ln =w

z

r

r

z którego wynika, że wartość maksymalna napięcia występuje, gdy

er

r

w

z =

Uwzględniając wartości liczbowe uzyskuje się rw ≈ 3,7 cm.

Pojemność kondensatora cylindrycznego, w którym spełniony jest warunek

er

r

w

z = oblicza się (patrz wzór (6.38)) — ze wzoru

lC 02πε=

pFC 57,51,01086,814,32 12 =⋅⋅⋅⋅= −

Przykład 6.19 Wyznaczyć pojemność kondensatora powietrznego kulistego o promieniu okładziny zewnętrznej rz = 0,1 m i wewnętrznej rw = 1 cm, gdy ε = ε0 (rys. 6.38) Wyznaczyć również największą i najmniejszą wartość natężenia pola elektrycznego między okładzinami takiego kondensatora.

Okładzinę wewnętrzną kondensatora otaczamy umyśloną powierzchnią kulistą o

polu powierzchni — patrz przykład 1.8

24 xS x π=

Przez powierzchnię tę przenika strumień elektryczny 2

0 4 xEDSQ x πε===Ψ

stąd

2

04 x

QEx

πε=



Rys. 6.38 Kondensator kulisty: a) budowa; b) rozkład natężenia pola elektrycznego w dielektryku

Wykorzystując zależność

∫= EdxU

w tym przypadku

dxx

QU

z

w

r

r

∫=2

04πε

Po wykonaniu operacji całkowania uzyskuje się bezpośredni związek między

ładunkiem i napięciem elektrycznym

−=

zw rr

QU

11

4 0πε

który jest podstawą do napisania wzoru na pojemność powietrznego

kondensatora kulistego

wz

wz

rr

rrC

−= 04πε (6.39)

Podstawiając wartości wielkości

pFC 101,01,0

01,01,01086,814,34 12 =

−

⋅⋅⋅⋅⋅= −

Znajomość wartości napięcia przyłożonego do okładzin kondensatora

wz

wz

rr

rrQU

−=

04πε

oraz natężenia pola elektrycznego w obszarze dielektryka



2

04 x

QE

πε=

pozwala na wyznaczenie największej i najmniejszej wartości natężenia pola. Z

porównania ze sobą dwóch ostatnich wzorów wynika, że

( ) 2xrr

rrUE

wz

wz

−=

Natężenie pola elektrycznego osiąga wartość maksymalną przy powierzchni

elektrody wewnętrznej (x = rw)

w

z

wz r

r

rr

UE

−=max

a wartość minimalną przy powierzchni elektrody zewnętrznej (x = rz)

z

w

wz r

r

rr

UE

−=min

Wszystkie układy elektrod wykazują cechę pojemności. W podanych przykładach

wyznaczono pojemność tylko takich układów elektrod, które są typowe dla

kondensatorów stosowanych w technice. Jednocześnie każdy układ dwu elektrod

charakteryzuje rezystancja przejścia (patrz p. 6.2.6).

Rezystancja przejścia i pojemność danego układu elektrod są wielkościami

współzależnymi od siebie. Dla uwidocznienia tej współzależności przytoczymy

jeszcze raz wzory określające R i C różnych układów elektrod:

— odosobniona elektroda kulowa — wzory (6.15) i (6.33)

γπ wrR

4

1= wrC πε4=

— układ dwóch elektrod koncentrycznych kulowych — wzory (6.14) i (6.39)

−=

zw rrR

11

4

1

πγ

zw rr

C11

14

−

= πε

— układ dwóch elektrod płaskich — wzory (6.9) i (6.37)

S

lR

γ=

l

SC

ε=

— układ dwóch elektrod walcowych — wzory (6.13) i (6.38)



w

z

r

r

lR ln

2

1

πγ=

w

z

r

r

lC

ln

2πε=

Obliczając iloczyn RC dla każdego układu elektrod okazuje się, że

ρε=RC (6.40)

γρ

1= — rezystywność ośrodka.

Wzór (6.40) jest bardzo interesującą zależnością, wiążącą parametry układu

elektrod ze stałymi materiałowymi ośrodka wypełniającego przestrzeń

międzyelektrodową. Prawa strona równania jest wielkością stałą, niezależną od

rozmiarów ośrodka. Oznacza to, że jest fizyczną niemożliwością zbudowanie

takiego elementu, który jednocześnie wykazywałby dużą (lub małą) pojemność i

rezystancję. Wszystkie zabiegi konstrukcyjne, mające na celu zwiększenie

pojemności układu elektrod muszą prowadzić do jednoznacznego zmniejszenia

rezystancji przejścia i na odwrót.

Dotychczas omówione układy elektrod składały się na jeden element

pojemnościowy — kondensator. Kondensatory (podobnie jak rezystory — p. 7.3)

można łączyć ze sobą w układy. Układy połączeń kondensatorów mogą być

szeregowe, równoległe lub mieszane.

Szeregowe łączenie kondensatorów (rys. 6.39) polega na takim łączeniu, że

zacisk końcowy jednego z nich jest połączony z zaciskiem początkowym

następnego itd. Jeśli teraz do zacisków kondensatorów skrajnych doprowadzimy

napięcie U, to na kondensatorach C1, C2, C3 … Cn powstaną spadki napięć,

odpowiednio U1, U2, U3 ... Un.

Rys. 6.39 Szeregowy układ połączeń kondensatorów

Okładziny kondensatorów oznaczono znakami „+'" i „—". Okładzina oznaczona

„+" ma potencjał wyższy niż okładzina oznaczona znakiem „—". Z układu



połączeń wynika jednak, że okładziny oznaczone numerami 1’, 2, 2’ i 3 ... (n —

1)’ i n mają ten sam potencjał — i tak jest w istocie. Różne oznakowanie tych

elektrod mówi tylko o tym, że potencjał okładziny 1’ jest niższy od potencjału

okładziny 1, potencjał okładziny 2' jest niższy od potencjału okładzin 2 itd.

W stanie ustalonym (p. 6.3.3) nie obserwuje się przepływu ładunków

elektrycznych między kondensatorami, a więc na każdym z nich jest

zgromadzony taki sam ładunek Q. Można zatem napisać

nQQQQQ ===== ...321 (6.41)

Jeżeli cały układ kondensatorów zastąpimy jednym kondensatorem o pojemności

C, który pod wpływem napięcia u gromadzi taki sam ładunek jak omawiany

układ, to zgodnie ze wzorem (6.32)

nnUCUCUCUCCU ===== ...332211 (6.42)

Na podstawie tego samego wzoru można napisać

C

QU =

1

1C

QU =

2

2C

QU = …

n

nC

QU = (6.43)

Ponieważ

nUUUUU ++++= ...321

to

nCCCCC

1...

1111

321

++++= (6.44)

Wzór (6.44) określa pojemność zastępczą szeregowego układu połączeń

kondensatorów.

Równoległy układ połączeń kondensatorów (rys. 6.40) jest utworzony z

kondensatorów, których wszystkie zaciski początkowe dołączone są do jednego

punktu układu, a zaciski końcowe — do drugiego. Jeśli do zacisków układu

doprowadzone jest napięcie U, to napięcie to wystąpi na okładzinach wszystkich

kondensatorów. Ponieważ kondensatory mają różne pojemności, to

zgromadzony jest na nich różny ładunek

UCQ 11 = UCQ 22 = … UCQ nn = (6.45)

Ładunek wypadkowy Q układu jest równy sumie ładunków poszczególnych

kondensatorów

nQQQQ ...21 ++= (6.46)

co można również napisać



nnUCUCUCCU ...2211 ++= (6.47)

C — pojemność zastępcza (wypadkowa) układu.

Rys. 6.40 Równoległy układ połączeń kondensatorów

Pojemność zastępcza (wypadkowa) równoległego układu połączeń

kondensatorów wyraża się zatem wzorem

nCCCC ...21 ++= (6.48)

Pojemność zastępczą mieszanego układu połączeń kondensatorów można

obliczyć traktując go na przemian jako układ szeregowego i równoległego

połączenia tych kondensatorów.

Przykład 6.20 W mieszanym układzie połączeń kondensatorów (rys. 6.41) wyznaczyć spadek napięcia U1 na kondensatorze C1 spadek napięcia U2 na równolegle połączonych kondensatorach C2 i C3 oraz ładunki Q1, Q2 i Q3 zgromadzone na okładzinach kondensatorów, jeśli cały układ zasilany jest napięciem U = 6 V, a pojemności poszczególnych kondensatorów: C1 = 1 µF, C2 = 2 µF, C3 = 3 µF. Wyznaczyć również pojemność zastępczą układu.

Pojemność zastępcza kondensatorów C2 i C3

Rys. 6.41 Mieszany układ połączeń kondensatorów

323,2 CCC +=

Pojemność zastępcza całego układu

3,21

111

CCC+=

( )

321

321

CCC

CCCC

++

−=

Uwzględniając wartości liczbowe



FC µ6

5=

Ładunki elektryczne skupione na kondensatorach o pojemnościach C1 i C2,3 są

sobie równe (szeregowe połączenie kondensatorów), a zatem

23,211 UCUC =

jednocześnie

UUU =+ 21

Powstał więc układ równań, w którym

321

321

CCC

CCUU

++

+=

321

12

CCC

CUU

++=

Uwzględniając wartość napięcia U i wartości pojemności kondensatorów uzyskuje

się Ul = 5 V, U2 = l V. Ładunki elektryczne, obliczone ze wzorów:

111 UCQ = 222 UCQ = 333 UCQ =

są odpowiednio równe :

CQ µ51 = CQ µ22 = CQ µ33 =

6.3.2 Kondensator idealny a kondensator rzeczywisty Omawiając budowę i przeznaczenie kondensatorów przyjęliśmy założenie, że są

to kondensatory idealne, czyli takie, które cechuje jedynie pojemność.

Obecnie wiemy, że wszystkie układy dwuelektrodowe cechuje, oprócz

pojemności, także rezystancja. Związek między pojemnością i rezystancją

wykazaliśmy wyprowadzając wzór (6.40). Zanim jednak przejdziemy do

omówienia właściwości kondensatorów rzeczywistych, omówmy najpierw

zachowanie się kondensatorów idealnych włączonych w obwód elektryczny.

Jak wiadomo, na okładzinach kondensatora, do którego doprowadzono napięcie

u*, zgromadzony jest ładunek elektryczny proporcjonalny do pojemności

kondensatora

Cuq = (6.49)

Korzystając z zależności między prądem i ładunkiem elektrycznym q

dt

dCu

dt

dqi == (6.50)



dt

dCu

dt

duCi == (6.51)

dt

du— prędkość zmian napięcia,

dt

dCprędkość zmian pojemności.

Lewa strona równania oznacza prąd płynący przez kondensator. Prąd ten może

płynąć tylko wtedy, gdy do okładzin kondensatora doprowadzone jest napięcie

zmienne

≠ 0

dt

dulub też może on płynąć pod wpływem napięcia stałego, ale

wtedy pojemność kondensatora musi się zmieniać w czasie

≠ 0

dt

dCprzypadek

kondensatora obrotowego

.

Pojemność kondensatora zależy od jego rozmiarów. Wymiary geometryczne

kondensatora mogą ulegać zmianie pod wpływem sił mechanicznych. Dlatego też

prąd dt

dCu nazywa się prądem elektrycznym pochodzenia mechanicznego. W

większości układów elektrycznych wykorzystuje się jednak kondensatory stałe,

stąd też w naszych rozważaniach będziemy uwzględniali tylko prąd płynący pod

wpływem napięcia zmiennego, czyli prąd dany wyrażeniem

* Wielkości zmienne w czasie oznacza się małymi literami.

dt

duCi = (6.52)

Jest to prąd w dielektryku idealnym, czyli prąd przesunięcia (patrz p.

5.4.1). Jest on wynikiem polaryzacji dielektryka, którym może być na przykład

powietrze lub próżnia, a wartość prądu jest proporcjonalna do szybkości zmian


Napięcie zmienne, które jest najczęściej stosowane w układach elektrycznych,

jest napięciem przemiennym sinusoidalnym

tUu m ωsin= (6.53)

Um — amplituda napięcia, ω — częstość jego zmian (pulsacja).

Ponieważ

tUdt

dum ωω cos= (6.54)



to zgodnie z wzorem (6.52) wartość chwilowa prądu

tCUi m ωω cos= (6.55)

Prąd i jest prądem ładowania i rozładowania kondensatora.

Z porównania wzorów (6.53) i (6.55) wynika, że przebieg wartości chwilowej

prądu ładowania jest przesunięty w fazie o 90° względem przebiegu wartości

chwilowej napięcia na kondensatorze. Na wykresie wektorowym (rys. 6.426) fakt

ten jest zilustrowany wektorem I prostopadłym do wektora U. Przy tworzeniu

wykresów wektorowych przyjęto umownie przeciwny do ruchu wskazówek

zegara kierunek wzrostu kątów między wektorami. Wektorem, względem

którego odmierza się kąty, jest wektor prądu.

W kondensatorze idealnym, poddanym działaniu wymuszenia sinusoidalnego,

przebieg prądu wyprzedza w fazie o 90° przebieg napięcia lub też — co jest

równoznaczne — przebieg napięcia opóźnia się w fazie o 90° względem

przebiegu prądu.

Rys. 6.42 Kondensator idealny: a) schemat zastępczy; b) wykres wektorowy prądu i napięcia

Kondensator idealny można sobie wyobrazić jako kondensator próżniowy, tzn.

taki, którego okładziny ograniczają przestrzeń pozbawioną cząstek materii.

Próżnię uważa się za doskonały dielektryk. W dielektryku takim nie ma strat

energii. Jednak może się zdarzyć, że pod wpływem odpowiednio wysokiego na

pięcia elektron zostanie wyrwany z powierzchni jednej elektrody i przeskoczy na

drugą. Powstały w ten sposób „prąd strat" nie jest oczywiście wynikiem zmiany

właściwości próżni. Przesunięcie fazowe między napięciem i prądem w

kondensatorze (rys. 6.43) zależy od wielu właściwości kondensatora. Wartość

maksymalna prądu pojemnościowego jest określona zależnością



mm CUI ω= (6.56)

co wynika wprost ze wzoru (6.55). Zależność (6.56) podaje związek między

prądem i napięciem, z którego, na podstawie prawa Ohma, można wyznaczyć

„opór" elementu pojemnościowego zwany reaktancją

CI

UX

m

m

Cω

1== (6.57)

Reaktancją kondensatora jest reaktancją pojemnościową (kapacytancją).

Jest ona odwrotnie proporcjonalna do częstości wielkości wymuszającej i

pojemności kondensatora. Reaktancję pojemnościową można również

przedstawić w zależności od wartości skutecznej U napięcia na kondensatorze

przy danej wartości skutecznej I prądu ładowania

I

UX C = (6.58)

Rys. 6.43 Przebiegi wartości chwilowych w kondensatorze idealnym: a) prądu i napięcia; b) mocy; c) energii pola elektrycznego

Przepływ prądu przez kondensator pod wpływem wymuszenia sinusoidalnego

sugeruje, że pobiera on ze źródła moc. Wartość chwilowa mocy

ttIUuip mm ωω cossin== (6.59)

Po wykonaniu elementarnych przekształceń widać, że moc chwilowa

tUIp ω2sin= (6.60)

jest funkcją sinusoidalną o podwójnej częstości w stosunku do częstości prądu

lub napięcia. Przebieg wartości chwilowej mocy ukazany na rys. 6.43b jest



antysymetryczny i jego wartość średnia, liczona za okres zmienności prądu lub

napięcia, jest równa zero. Oznacza to, że kondensator idealny nie pobiera ze

źródła mocy czynnej. W okresie, gdy p = ui > 0, kondensator pobiera ze źródła

moc, lecz w następnym przedziale czasu, gdy p = ui < 0, moc tę, w równej

ilości, do źródła oddaje. Między źródłem a kondensatorem zachodzi więc proces

oscylacji (wymiany) energii, przy czym ta wymiana energii odbywa się bez strat.

Elementy, które nie pobierają ze źródła mocy czynnej nazywają się elementami

reaktancyjnymi lub elementami biernymi. W elementach reaktancyjnych

żadna część energii nie ulega przemianie w energię cieplną.

Element reaktancyjny pojemnościowy jest źródłem pola elektrycznego, którego

energia — wzór (6.36)

2

2

1)( CutWC =

przy założeniu zmian sinusoidalnych napięcia

tCUtW mC ω22 sin2

1)( = (6.61)

co można również zapisać

)2cos1(2

1)( 2 tCUtWC ω−= (6.62)

Energia pola elektrycznego nie zależy od kierunku przyłożonego napięcia i ma

zawsze wartość dodatnią (rys. 6.43c).

Wykres czasowy energii pola elektrycznego jest w tym przypadku przebiegiem o

częstości podwójnej, w stosunku do częstości zmian napięcia lub prądu, o

wartości średniej

2

2

1CUWC = (6.63)

Wartość średnia energii jest równa wartości składowej stałej energii opisanej

wzorem (6.62).

Największa wartość energii pola elektrycznego występuje w chwili, gdy napięcie

na okładzinach kondensatora osiąga swą wartość największą Um, a prąd —

wartość zerową. Wartość najmniejsza przypada w chwili, gdy u = 0, a i = Im.

Rozważając właściwości kondensatora idealnego przyjęliśmy, że jest to taki



kondensator, w którym płynie tylko prąd przesunięcia, który dalej będziemy

nazywać, nie wnikając w zjawiska fizyczne, prądem pojemnościowym lub

ogólniej — prądem biernym. O dielektryku takiego kondensatora można

powiedzieć, że jest dielektrykiem idealnym, tzn. takim, którego rezystancja jest

nieskończenie wielka. W kondensatorach rzeczywistych rezystancja

dielektryków jest bardzo duża, ma jednak zawsze wartość skończoną i dającą się

ściśle określić. W związku z tym przez kondensator rzeczywisty będą płynęły

jakby dwa prądy: prąd pojemnościowy (bierny) i prąd czynny zwany też

prądem skrośnym lub prądem upływu, płynący przez rezystancję, jaką

stanowi dielektryk. Prąd pojemnościowy ładuje lub rozładowuje kondensator, a

prąd czynny jest źródłem ciepła wydzielającego się w dielektryku.

Stosownie do zjawisk występujących w kondensatorach rzeczywistych ich

schematy zastępcze zawierają rezystor połączony równolegle z kondensatorem

idealnym (rys. 6.44), albo szeregowo (rys. 6.45). Rezystor reprezentuje straty

mocy na ciepło, a więc kondensator rzeczywisty jest kondensatorem ze

stratami.

Schemat zastępczy równoległy (rys. 6.44) uwzględnia składową czynną IR i

składową bierną IC prądu I płynącego przez kondensator (patrz dodatek A6).

Prąd IC, jak wiadomo, wyprzedza napięcie w fazie o kąt 90°, a prąd IR jest

zgodny w fazie z napięciem U (rys. 6.44b). Z wykresu wektorowego prądów i

napięć wynika, że prąd I jest określony wzorem

222

CR III += (6.64)

i wyprzedza napięcie o kąt φ < 90°. Kąt φ i związany z nim kąt δ (δ = 90° - φ)

służą do określania jakości kondensatorów rzeczywistych. Do określania jakości

kondensatorów częściej używa się jednak kąta δ. Im kąt δ jest mniejszy, tym

kondensator jest lepszy, właściwościami bardziej zbliżony do idealnego.

Z wykresu wektorowego wynika, że

C

R

I

Itg =δ

co po uwzględnieniu

r

RR

UI =



przyjmuje postać

CR

tgrω

δ1

= (6.65)

Rr — rezystancja rezystora w schemacie zastępczym równoległym kondensatora.

Rys. 6.44 Kondensator rzeczywisty: a) schemat zastępczy równoległy; b) wykres wektorowy prądów i napięć

Kąt δ nazywa się kątem strat dielektrycznych, kątem strat lub kątem

stratności, a tgδ określony wzorem (6.65) — współczynnikiem strat

dielektrycznych lub po prostu — współczynnikiem strat.

Między parametrami R i C tego samego elementu zachodzi związek — wzór

(6.40)

ρε=RC

Współczynnik strat dielektrycznych można więc przedstawić w postaci

ρεω

δ1

=tg (6.66)

zależnej nie od parametrów elementu, a jedynie od stałych materiałowych. Nosi

wtedy nazwę współczynnika stratności. Współczynnik strat i współczynnik

stratności jest określony tym samym kątem.

Schemat zastępczy szeregowy kondensatora rzeczywistego (rys. 6.45) jest

równoważny schematowi zastępczemu równoległemu. Przepływ prądu

wymuszonego I przez układ szeregowy wywołuje spadek napięcia czynnego

(składowej czynnej) UR związanego ze zjawiskiem upływu oraz spadek napięcia

CUX

UI

C

C ω==



na kondensatorze idealnym, czyli napięcie bierne (składową bierną) UC. Napięcie

czynne jest zgodne w fazie z prądem, natomiast napięcie bierne jest opóźnione

w fazie względem prądu o kąt 90° (rys. 6.45b). Z wykresu wektorowego prądów

i napięć widać, że napięcie U2 na elemencie jest określone wzorem

222

CR UUU += (6.67)

i opóźnia się względem prądu o kąt φ < 90°.

Podobnie jak poprzednio, kąt δ służy do określenia jakości kondensatora.

W tym przypadku

C

R

U

Utg =δ

co po uwzględnieniu UR = RSI

C

IIUU CC

ω==

przyjmuje postać

CRtg Sωδ = (6.68)

RS — rezystancja rezystora w schemacie zastępczym szeregowym kondensatora.

Rys. 6.45 Kondensator rzeczywisty : a) schemat zastępczy szeregowy; b) wykres wektorowy prądu i napięć

Wartości współczynnika strat dielektrycznych określone wzorami (6.65) i (6.68)

są takie same, gdyż dotyczą tego samego elementu. Wynika stąd, że przy dużej

wartości rezystancji rezystora Rr w schemacie zastępczym równoległym

kondensatora rzeczywistego, rezystancja Rs w jego schemacie zastępczym

szeregowym jest mała. Za kondensator idealny można więc uważać taki

kondensator, którego rezystancja Rr → ∞ lub rezystancja Rs → 0, zależnie od

przyjętego schematu zastępczego.



Kondensator idealny jest elementem czysto pojemnościowym, a przepływowi

prądu przemiennego stawia on „opór" wyłącznie reaktancyjny — patrz wzór

(6.57). Opór kondensatora rzeczywistego różni się od reaktancji

pojemnościowej, gdyż musi on uwzględniać rezystancję odpowiedzialną za

straty. „Opór” całkowity, który uwzględnia wartości reaktancji i rezystancji

elementów oraz ich sposób połączeń nazywa się impedancją. Kondensatory

rzeczywiste charakteryzuje więc impedancja (patrz dodatek A). W elementach

idealnych impedancja jest równa tylko reaktancji lub tylko rezystancji.

Obliczmy impedancję kondensatora (dodatek A5) wynikającą z jego schematu

zastępczego równoległego (rys. 6.44a). W tym celu wzór (6.64) przepiszemy w

postaci 222

+

=

Cr X

U

R

U

Z

U (6.69)

Z — impedancja układu równoległego RrC.

Po przekształceniu*

22

22

Cr

Cr

XR

XRZ

+= (6.70)

W podobny sposób można obliczyć impedancję kondensatora wynikającą z jego

schematu zastępczego szeregowego (rys. 6.45b). W tym celu wzór (6.67) należy

napisać w postaci

( ) ( ) ( )222

CS IXIRIZ += (6.71)

Z— impedancja układu szeregowego RSC.

* Wzór (6.70) jest słuszny również dla połączenia równoległego dwóch elementów:

rezystora i kondensatora, w którym straty można pominąć.

** Wzór (6.72) jest również słuszny dla połączenia szeregowego dwóch elementów:

rezystora i kondensatora, w którym straty można pominąć.

Po przekształceniu**

22

CS XRZ += (6.72)

W przypadku kondensatora idealnego Z = XC, gdyż albo Rr → ∞, albo RS → 0.

Jak już wykazano wcześniej, idealny element reaktancyjny pojemnościowy nie

pobiera ze źródła mocy. Rzeczywisty element reaktancyjny pojemnościowy



pobiera ze źródła pewną moc, która zamienia się na ciepło w dielektryku.

Rozpatrzmy przebiegi wartości chwilowych prądu i napięcia w kondensatorze

rzeczywistym (rys. 6.46). Prąd wyprzedza napięcie o kąt φ < 90°. Stąd też, jeśli

u = Umsin ωt, to i = Imsin(ωt+φ), a wartość chwilowa mocy (rys. 6.46b)

)sin(sin ϕωω +== ttIUuip mm (6.73)

Po wykonaniu elementarnych przekształceń trygonometrycznych

)2cos(cos ϕωϕ +−= tUIUIp (6.74)

Pierwszy składnik prawej strony równania ma wartość stałą, niezależną od czasu

oznacza wartość średnią Pśr przebiegu wartości chwilowych mocy, a zarazem —

moc czynną P pobieraną przez element

ϕcosUIPP śr == (6.75)

Moc czynna nie ma charakteru oscylacyjnego i nie ulega wymianie między

odbiornikiem i elementem, jest mocą traconą w kondensatorze wydzielaną w

postaci ciepła w dielektryku. Jest to związane z rezystancyjnymi właściwościami

kondensatora rzeczywistego.

Drugi czynnik o częstości podwojonej w stosunku do częstości napięcia i prądu

jest okresowo zmienny, a jego wartość średnia jest równa zeru.

Składowa zmienna mocy chwilowej przebiega częściowo w zakresie ujemnych

wartości p, a ze względu na jej niesymetryczny przebieg względem osi odciętych

można powiedzieć, że kondensator pobiera ze źródła więcej mocy, niż jej oddaje.

Moc czynną pobieraną przez kondensator uzależnia się często od kąta stratności

δ. Ponieważ φ = 90°— δ, można napisać

δsinUIP = (6.76)

Dla małych kątów δ (tgδ ≈ 10-4) można przyjąć, że sinδ = tgδ, a zatem

δUItgP = (6.77)

W przypadku schematu zastępczego równoległego kondensatora dla małych

kątów δ można również przyjąć, że

CUII C ω== (6.78)

a zatem ostatecznie

δω tgCUP 2= (6.79)



Rys. 6.46 Przebiegi wartości chwilowych w kondensatorze rzeczywistym: a) prądu i napięcia; b) mocy

Ten sam wzór określający straty mocy otrzymamy w przypadku schematu

zastępczego szeregowego, jeśli tylko dla małych kątów δ przyjmiemy, że

UUC ≈ i CUI ω≈

Moc czynna lub inaczej straty mocy określone wzorami (6.75) lub (6.79) musi

być oczywiście równa mocy rozproszonej na rezystorach Rr lub Rs

22

IRR

UP S

r

== (6.80)

Wartość mocy czynnej P (traconej) założy od iloczynu trzech czynników: U, I

oraz cos φ. Dla idealnego elementu biernego (φ = 90°) P = 0. Natomiast dla

idealnego elementu czynnego P = UI.

Pojęcie mocy czynnej odnosi się do elementu czynnego. Podobnie dla elementu

biernego wprowadza się pojęcie mocy biernej Q określonej wzorem

ϕsinUIQ = (6.81)

Moc bierna jest parametrem określającym właściwości energetyczne elementu

biernego idealnego. Element bierny idealny (φ = 90°) pobiera ze źródła tylko

moc bierną, przy czym Q = UI. W przypadku kondensatora idealnego φ = -90°,

dlatego też

UIQ −= (6.82)

Mówi się zatem, że kondensator idealny jest generatorem mocy biernej i wysyła

ją do źródła.

Moc bierna i moc czynna są wielkościami fizycznymi współzależnymi od siebie.



Obydwie one są określone wielkościami U i I oraz funkcją tego samego kąta. Po-

nieważ sin2 φ + cos2 φ = 1, można napisać (patrz dodatek A7)

( )222UIPQ =+ (6.83)

Wielkość UI = S nazywa się mocą pozorną. Moc pozorna jest parametrem

określającym właściwości energetyczne elementu biernego rzeczywistego.

Element bierny rzeczywisty pobiera ze źródła moc bierną i moc czynną. Ogólnie

— element bierny rzeczywisty pobiera ze źródła moc pozorną S, przy czym

222 PQS += (6.84)

Można też powiedzieć, że moc pozorna jest mocą wydzielaną na impedancji, moc

czynna — mocą wydzieloną na elemencie rezystancyjnym, a moc bierna —

elemencie reaktancyjnym. Jeśli zestawi się wzory

2ZIS = 2XIQ = 2RIP = (6.85)

to widać, że formalnie zależności (6.84) odpowiada wzór (6.72).

Moc czynną wyraża się w watach (W), natomiast moc bierną — w warach (var),

a moc pozorną — w woltoamperach (V ⋅ A).

Kondensatory znajdują zastosowanie w układach elektrycznych prądu stałego (p.

6.3.3) oraz obwodach prądu przemiennego (p. 6.5; 6.8.2; 6.8.5). W elektro-

energetyce stosuje się je głównie do kompensacji mocy biernej (p.9.1) i do

grzania pojemnościowego.

Grzanie pojemnościowe stosuje się wówczas, gdy pojawia się konieczność

nagrzania całej objętości materiałów nieprzewodzących (dielektryków). Odbywa

się ono w piecach pojemnościowych. Piec pojemnościowy (rys. 6.47) jest to

po prostu duży kondensator płaski, którego elektrody zasila się z generatora

elektronicznego dużej mocy i wielkiej częstotliwości. Nagrzewany materiał

nieprzewodzący umieszcza się między elektrodami. Do celów grzejnictwa

pojemnościowego stosuje się napięcie o częstotliwości 13,56; 27,12; 40,68

MHz. Inne częstotliwości pracy, zgodnie z międzynarodowym porozumieniem, są

zabronione i zastrzeżone dla radiowych stacji nadawczych.

Moc czynna prądu elektrycznego ogrzewającego dielektryk wyraża się wcześniej

już poznanym wzorem (6.79) P = ωCU2 tgδ.



Rys. 6.47 Schemat budowy pieca pojemnościowego

Pojemnościowe urządzenia grzejne stosuje się w przemyśle do suszenia drewna,

przyspieszania procesu sklejania sklejek, do suszenia rdzeni formierskich, wełny,

tytoniu, sterylizacji produktów żywnościowych, np. mleka itp.

Zjawisko nagrzewania pojemnościowego można wykorzystać również w

zgrzewarkach pojemnościowych. Zgrzewarki takie są przeznaczone do

zgrzewania syntetycznych materiałów termoutwardzalnych.

Napięcie zasilające piec lub zgrzewarką pojemnościową musi być niższe od

napięcia przebicia materiału obrabianego. Wydzielającą się przy tym moc można

dobierać, stosownie do potrzeb technologii, zmieniając częstotliwość napięcia.

6.3.3 Stany nieustalone w obwodach RC przy wymuszeniu stałym

Większość obwodów elektrycznych stosowanych w elektrotechnice pracuje w

stanie ustalonym, przy czym jest to ich normalny reżim pracy.

Stan ustalony jest to taki stan obwodu, w którym przebiegi wartości

chwilowych prądów i napięć odpowiadają wymuszeniu zewnętrznemu.

Na przykład — jeśli napięcie wymuszające jest stałe, to prądy i napięcia w

obwodzie, w dowolnym jego miejscu, w stanie ustalonym, są również stałe. Jeśli

natomiast wymuszenie jest sinusoidalne, to w tym stanie również napięcia i

prądy w elementach obwodu mają charakter także sinusoidalny. Stan

nieustalony występuje wtedy, gdy zmienią się warunki fizyczne pracy obwodu.

Obwód przechodzi wtedy do nowego stanu ustalonego.

Stan nieustalony jest to stan obwodu w czasie jego przejścia od jednego do

innego stanu ustalonego.

Zmiana warunków fizycznych pracy obwodu może być wywołana włączeniem lub



wyłączeniem napięcia, włączeniem lub wyłączeniem prądu, zwarciem lub

przerwaniem obwodu, a także zmianą napięcia zasilającego lub np. zmianą

parametrów elementów obwodu.

Stan nieustalony rozpoczyna się w chwili zmiany warunków fizycznych pracy

obwodu i trwa przez czas zależny od parametrów elementów obwodu i sposobu

ich połączenia. W przypadku zmiany warunków pracy obwodu obowiązują prawa

komutacji. Prawa komutacji dotyczą zjawisk łączeniowych i przełączeni owych w

obwodach elektrycznych i są omówione w p. 7.2.

W przypadku obwodów RC prawo komutacji głosi, że napięcie elektryczne i

ładunek kondensatora w chwili komutacji zachowują wartości poprzednie.

Gdyby tak nie było, to energia zmagazynowana w polu elektrycznym musiałaby

zmienić się skokowo, w jednej chwili. Wymagałoby to nieskończenie wielkiej

mocy. Badając stany nieustalone w obwodach elektrycznych przyjmuje się, że

rzeczywisty stan nieustalony jest wynikiem nałożenia się dwóch stanów: nowego

stanu ustalonego, odpowiadającego nowemu wymuszeniu i stanu

przejściowego, będącego wyrazem dopasowywania się obwodu do nowych

warunków pracy. Odpowiednio do tego, w przebiegach elektrycznych prądów i

napięć wyróżnia się przebiegi wymuszone (ustalone) oraz przebiegi

swobodne (przejściowe). Przebiegi swobodne są wynikiem „sprzeciwu”

obwodu wobec zmian warunków fizycznych i w chwili komutacji są skierowane

przeciwnie do przebiegów wymuszonych. W miarę upływu czasu „sprzeciw”

obwodu jest coraz mniejszy i ustalają się w nim przebiegi odpowiadające stanowi

ustalonemu przy danym rodzaju wymuszenia.

Stany nieustalone występują we wszystkich obwodach elektrycznych. Obecnie

omówmy stan nieustalony kondensatora rzeczywistego oraz dwójnika

szeregowego RC włączanego w obwód prądu stałego (ładowanie kondensatora)

lub dwójnika RC zwieranego (rozładowanie kondensatora).

Włączenie napięcia stałego do dwójnika szeregowego RC

W dwójniku szeregowym RC (rys. 6.48) suma spadku napięcia uC na

kondensatorze i napięciu uR na rezystorze jest równa, zgodnie z napięciowym



prawem Kirchhoffa, stałemu napięciu wymuszenia U

URiuC =+ (6.86)


dt

duCi C= (6.87)

to równanie (6.86) przybiera postać

Udt

duRCu C

C =+ (6.88)

dt

duC — szybkość zmian napięcia na kondensatorze.

Rys. 6.48 Obwód szeregowy RC włączony w obwód prądu stałego

Jeżeli w chwili komutacji (t = 0) kondensator nie był naładowany, to uC (0) = 0,

a przebieg zmienności napięcia na kondensatorze opisuje funkcja (patrz dodatek

E)

RC

t

C UeUu−

−= (6.89)

Przebieg rzeczywisty napięcia uc na kondensatorze w stanie nieustalonym składa

się; ze składowej wymuszonej i składowej swobodnej

swC uuu += (6.90)

W tym przypadku składowa wymuszona uw = U,

a składowa swobodna 0→−=−

RC

t

S Ueu (rys. 6.49a). Widać, że w chwili

początkowej uS (0) + uw (0) = 0. Składową wymuszoną ,odpowiadającą stanowi

ustalonemu, łatwo jest wyznaczyć. W układzie zasilanym ze źródła napięcia

stałego w stanie ustalonym wszystkie prądy i napięcia będą też stałe (wyjątek

stanowią układy generatorów i obwody rezonansowe). W szczególności prąd i

będzie stały, a że przez kondensator prąd stały płynąć nie może, więc prąd

ustalony będzie zerowy i = 0. Napięcie uR = 0, i całe napięcie U w stanie

ustalonym wystąpi na kondensatorze, uC = U.

Przebiegi wymuszone prądu i napięcia, odpowiadające stanowi ustalonemu,



można wyznaczyć również analitycznie korzystając z równania (6.89).

Teoretycznie stan ustalony następuje po czasie t → ∞. Z równania (6.89)

wynika, że przy t → ∞

Rys. 6.49 Ładowanie kondensatora. Przebieg wartości chwilowych: a) składowej wymuszonej uw i składowej swobodnej uS napięcia na kondensatorze; b) napięcia na kondensatorze

0→−

RC

t

Ue

a więc napięcie na kondensatorze przyjmuje wartość ustaloną uC = U równe

składowej wymuszonej napięcia.

Składowe przejściowe prądów i napięć zanikają teoretycznie po czasie t → ∞,

jednak szybkość zaniku tych składowych nie zależy od wartości działającego

wymuszenia, a jedynie od parametrów obwodu. Dlatego też składowe

przejściowe noszą często nazwę składowych swobodnych.

Przebieg rzeczywisty napięcia uC (rys. 6.496) jest bardzo charakterystyczny,

typowy dla większości stanów nieustalonych i nosi nazwę przebiegu

eksponencjalnego. Przebieg eksponencjalny napięcia na kondensatorze

charakteryzuje parametr

RC

1=β zwany współczynnikiem tłumienia oraz parametr

RC=τ (6.91)

zwany stałą czasową. Stała czasowa, mająca wymiar czasu, charakteryzuje tu

szybkość narastania napięcia. Wyrażając rezystancję w omach (Ω) i pojemność

w faradach (F) otrzymuje się stałą czasową w sekundach (s).



Prąd w stanie nieustalonym ładowania kondensatora przez rezystor R, wyznacza

się ze wzoru (6.87). W tym przypadku

RC

t

eR

Ui

−

= (6.92)

Prąd ładowania kondensatora (rys. 6.50) ma przebieg wykładniczy malejący ze

stałą czasową τ = RC.

Stałą czasową można wyznaczyć w sposób geometryczny. W tym celu należy

narysować styczną do krzywej w punkcie określonym przez t = 0 i poprowadzić

ją do punktu przecięcia z prostą odwzorowującą przebieg ustalony. W przypadku

napięcia ładowania kondensatora (rys. 6.49b) będzie to prosta uC = U, a w

przypadku prądu ładowania (rys. 6.50) — prosta iC = 0. Współrzędna t punktu

przecięcia równa jest stałej czasowej obwodu.

Stała czasowa jest dla danego obwodu wielkością stałą, zależną od konfiguracji

połączeń elementów i ich parametrów charakterystycznych, nie zależy natomiast

od wartości działającego wymuszenia (rys. 6.51). W przypadku stosowania

wymuszeń o coraz większej wartości (U2 > U1 rys. 6.51) wzrasta szybkość

narastania napięcia, ale stała czasowa pozostaje niezmieniona. Na stałą czasową

w istotny sposób ma wpływ wartość iloczynu parametrów R i C układu połączeń

szeregowego kondensatora i rezystora (rys. 6.52). Taką samą stałą czasową i w

konsekwencji takimi samymi przebiegami prądów i napięć, mogą się

charakteryzować obwody o małej rezystancji i dużej pojemności oraz obwody o

dużej rezystancji i małej pojemności.

Zwarcie w obwodzie szeregowym RC

Rozpatrywanie zjawisk zwarciowych w dwójniku szeregowym RC rozpoczynamy

od chwili, gdy kondensator jest naładowany do napięcia U, a łącznik S zwiera

obwód (rys. 6.53). W obwodzie nie ma zewnętrznego źródła napięcia, a zatem

zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa



Rys. 6.50 Przebieg wartości chwilowej prądu ładowania kondensatora

Rys. 6.51 Przebiegi wartości chwilowych napięcia na kondensatorze dołączonym do źródeł napięcia stałego o wartościach U1 i U2 (U1 < U2)

Rys. 6.52 Przebiegi wartości chwilowych napięcia na kondensatorach o różnych stałych czasowych, dołączonych do tego samego źródła napięcia stałego

Rys. 6.53 Obwód szeregowy RC rozładowania kondensatora

0=+ RC uu (6.93)

Ponieważ ,RiuR =dt

duCi C= wzór (6.87)

dt

duRCu C

C = (6.94)

Przebieg zmienności napięcia na kondensatorze, przy założeniu, że w chwili

początkowej uC (0) = U, opisuje zatem funkcja (patrz dodatek E)

RC

t

C Ueu−

= (6.95)



a na rezystorze

RC

t

CR Ueuu−

−=−= (6.96)

Przebieg prądu rozładowania kondensatora przedstawiono na rys. 6.54b, a jego

wartość oblicza się ze wzoru

RC

t

CRCR e

R

U

dt

duC

R

uiii

−

===== (6.97)

Rys. 6.54 Rozładowanie kondensatora w obwodzie szeregowym RC. Przebiegi wartości chwilowych: a) napięć; b) prądu rozładowania. Widać, że zgodnie z prawem komutacji napięcie i ładunek na kondensatorze w chwili komutacji (t = 0) zachowują swe wartości poprzednie. Prąd w układzie może zmieniać się skokowo

Energia prądu rozładowania kondensatora uchodzi do otoczenia (jest

rozpraszana) w postaci ciepła Joule'a-Lenza.

Naładowany kondensator jest w obwodach elektrycznych źródłem siły

elektromotorycznej. Stan naładowania kondensatora może utrzymywać się

długo, jeśli obwód, do którego jest włączony, jest rozwarty lub cechuje się

bardzo dużą rezystancją. Wiedzą o tym dobrze na przykład radiotechnicy, którzy

naprawiają odbiorniki radiowe, telewizory lub inny sprzęt elektroniczny.

Ponieważ napięcie na kondensatorze może być groźne dla obsługi, przed

przystąpieniem do naprawy „rozbrajają” kondensatory. Polega to na tym, że za

pomocą kawałka drutu, zamocowanego na izolacyjnym uchwycie, zwierają jego

okładziny powodując krótkotrwały przepływ prądu zwarciowego i gwałtowny

spadek napięcia na okładzinach kondensatora.



Przykład 6.21 Kondensator o pojemności C skupia na swych okładzinach ładunek elektryczny Q. Omówić zjawiska związane ze stanem nieustalonym wywołanym dołączeniem równolegle do tego kondensatora innego kondensatora, nie naładowanego, również o pojemności C (rys. 6.55).

Kondensator o pojemności C, skupiający ładunek Q, gromadzi energię

C

QW

2

2

1 =

Dołączenie do jego zacisków innego kondensatora, nie naładowanego,

spowoduje przepływ ładunku elektrycznego od kondensatora naładowanego do

nie naładowanego. Ruch ładunków jest związany ze stanem nieustalonym, który

ustanie po naładowaniu się drugiego kondensatora. Ze względu na równość

pojemności obu kondensatorów, drugi kondensator uzyska ładunek 2

1Q i taki

sam ładunek pozostanie na pierwszym kondensatorze. W nowym stanie

ustalonym, po połączeniu kondensatorów, ich energia

C

Q

C

Q

C

Q

W42

2

1

2

2

12

22

2 =

+

=

Rys. 6.55 Naładowany kondensator o pojemności C bocznikowany innym nie naładowanym kondensatorem, również o pojemności C

Widać więc, że energia układu kondensatorów zmniejszyła się dwukrotnie w

stosunku do energii kondensatora pojedynczego.

Strata energii wywołana komutacją (procesami łączeniowymi) związana jest z

krótkookresowym przepływem prądu rozładowania pierwszego kondensatora i

prądu ładowania drugiego kondensatora. Prąd ten powoduje nagrzewanie

dielektryków. Część energii zostaje wypromieniowana w postaci fali

elektromagnetycznej, gdyż omawiany obwód dla bardzo szybkich zmian prądu

(brak elementów rezystancyjnych, skrajnie mała stałą czasowa obwodu)

zachowuje się jak odcinek linii długiej (patrz p. 9.2).



Przykład 6.22 Wyznaczyć wartość napięcia na kondensatorze, ładowanym ze źródła napięcia stałego, po czasie równym stałej czasowej obwodu ładowania. Napięcie na kondensatorze ładowanym napięciem U jest funkcją czasu — wzór

(6.89)

−=

−RC

t

C eUu 1

Po czasie RCt ==τ

eU

uC 11−=

Uwzględniając, że e = 2,718 otrzymuje się =U

uC 0,63.

Po czasie równym stałej czasowej napięcie na kondensatorze ładowanym

napięciem stałym osiąga ok. 63% wartości maksymalnej.

Przykład 6.23 Wyznaczyć czas, po którym napięcie na kondensatorze ładowanym ze źródła stałego, nie będzie się różnić od napięcia ustalonego więcej niż o 1%. Do obliczeń przyjąć R = 10 kΩ, C = 1 µF.

Ponieważ

−=

−RC

t

C eUu 1

a z założenia

100

991 ≤−=

−RC

t

C eU

u

skąd

100

1≥

−RC

t

e

Ostatnią nierówność można przekształcić do postaci

100ln≥RC

t

Wynika stąd, że 7,4≥τ

t, gdzie msRC 101011010 63 =⋅⋅⋅== −τ .

W praktyce przyjmuje się, że składowa przejściowa stanu nieustalonego



(składowa swobodna), zanika po czasie ok. 5τ i że po tym czasie obwód znajduje

się w nowym stanie ustalonym.

W tym przypadku nowy stan ustalony nastąpi po czasie ok. 50 ms.

Przykład 6.24 Wykazać, że energia prądu rozładowania kondensatora jest równa energii pola elektrycznego kondensatora naładowanego.

Przyjmując schemat zastępczy obwodu rozładowania kondensatora ukazany na

rys. 6.53 można napisać — patrz wzór (6.95) i (6.97)

RC

t

R Ueu−

−= RC

t

R eR

Ui

−

−=

Wartość chwilowa mocy na elemencie rezystancyjnym

RC

t

RR eR

Uiup

22−

==

Całkowitą energię wydzielającą się na elemencie rezystancyjnym w procesie

rozładowania kondensatora oblicza się za pomocą całki

∫∞

=0

pdtWr

Granice całkowania określone są przez t = 0 i t → ∞, gdyż w istocie stan

nieustalony trwa przez czas nieskończenie długi.

Uwzględniając poprzednie zależności

∫∞

−

=0

22

dteR

UW RC

t

r

Wykonując operację całkowania

∞−

−=

0

22

2RC

t

r eRC

R

UW

Uwzględniając granice całkowania

2

2

1CUWr =

Energia prądu rozładowania kondensatora jest równa energii pola elektrycznego

kondensatora naładowanego. Energia prądu rozładowania wydziela się na

elemencie rezystancyjnym obwodu rozładowania w postaci ciepła Joule'a-Lenza.



Przykład 6.25 Obliczyć, jaką część energii traci kondensator rozładowując się w czasie t = τ — RC.

Przyjmując, że kondensator naładowany do napięcia U rozładowuje się przez

element o rezystancji R, można napisać

RC

t

R Ueu−

−= RC

t

R eR

Ui

−

−=

Wartość chwilowa mocy prądu rozładowania kondensatora

RRiup =

Prąd ten jest źródłem energii

∫=RC

r pdtW0

której wartość oblicza się z całki

∫−

=RC

RC

t

r dteR

UW

0

22

Rozwiązaniem całki jest funkcja

RC

RC

t

r eRC

R

UW

0

22

2

−

−=


−=

2

2 11

2

1

eCUWr

Ponieważ

2

2

1CUWC =

jest energią pola elektrycznego kondensatora naładowanego, więc

865,01

12

=−=eW

W

C

r

Naładowany kondensator rozładowujący się w czasie równym stałej czasowej

obwodu rozładowania traci 86,5% swej energii.

6.3.4 Stany nieustalone w obwodach RC przy wymuszeniu sinusoidalnym

Stan nieustalony obwodów elektrycznych obserwuje się nie tylko przy dołączaniu



ich (lub odłączaniu) do źródła prądu stałego, lecz także przy dołączaniu tych

obwodów do źródła prądu przemiennego. Stan nieustalony obwodów

szeregowych RC przy wymuszeniu przemiennym omówimy na przykładzie

wymuszenia sinusoidalnego

( )ψω += tUu m sin (6.98)

gdzie kąt ψ jest fazą początkową określającą wartość napięcia wymuszającego w

czasie t = 0. Na podstawie prawa napięciowego Kirchoffa można napisać — patrz

wzór (6.86)

( )ψω +=+ tURiu mC sin (6.99)

Ponieważ

dt

duCi C=

to

( )ψω +=+ tUdt

duRCu m

C

C sin (6.100)

Prąd w obwodzie RC jest sumą składowej wymuszonej iCw i składowej swobodnej

iCs, prądu

CsCw iii += (6.101)

Prąd wymuszony można wyznaczyć wprost z przebiegu napięcia wymuszającego,

jest on zgodny co do kształtu przebiegu z napięciem wymuszającym

( )ϕψω ++= tIi mCw sin (6.102)

gdzie kąt φ jest kątem przesunięcia fazowego między prądem i napięciem, a Im

jest amplitudą prądu wymuszonego, której wartość można obliczyć z prawa

Ohma

Z

UI m

m = 22

2 1

CRZ

ω+=

Prąd wymuszony wytwarza na kondensatorze napięcie wymuszone, które

zgodnie z prawem Ohma

CCwCw XIU = C

X Cω

1=

jest też opisane zależnością

−−+=

2sin

πϕψω

ωt

C

Iu m

Cw (6.103)

Składową swobodną uCs napięcia ha kondensatorze oblicza się rozwiązując



równanie (patrz dodatek E)

0=+ C

C udt

duRC (6.104)

Rys. 6.56 Przebiegi zmienności napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

Ostatecznie, przy założeniu, że w chwili początkowej kondensator nie był

naładowany, napięcie na kondensatorze

( ) ( ) RC

t

mm

C eC

It

C

Iu

−

++++−= ϕψω

ϕψωω

coscos (6.105)

gdzie

( ) RC

t

m

Cs eC

Iu

−

+= ϕψω

cos (6.106)

jest składową swobodną tego napięcia a ( )ϕψωω

++−= tC

Iu m

Cw cos jest składową

wymuszoną (rys. 6.56).

Jak już wspomniano, przebieg napięcia na kondensatorze jest sumą dwóch

przebiegów: sinusoidalnego i zanikającego. Na kondensatorze mogą więc

występować przepięcia, czyli napięcia wyższe od napięcia wymuszającego.

Przepięcie pochodzi od składowej swobodnej napięcia i z biegiem czasu zanika.

Wartość maksymalna przepięcia może wynosićm

m UC

I2

2≈

ω, lecz nie jest nigdy

osiągana, gdyż przy t = 0, uC = 0.

Przebieg prądu w obwodzie jest podobny do przebiegu napięcia. Składowa

wymuszona prądu dana jest wzorem (6.102), a składową swobodną oblicza się z

zależności

dt

duCi Cs

Cs =

Uwzględniając postać funkcji uCs(t) — wzór (6.106)



( ) RC

t

m

Cs eCR

Ii

−

+= ϕψω

cos (6.107)

Ostatecznie zatem, na podstawie wzoru (6.101)

( ) ( ) RC

t

mmC etgItIi−

+−++= ϕψϕϕψω cossin (6.108)

gdzie CR

ctgtgω

ϕδ1

== — patrz wzór (6.68).

Prąd w chwili załączenia t = 0 może osiągać wartość większą niż prąd

maksymalny Im. Z analizy ostatniej zależności wynika bowiem, że

ϕ

ψ

cos

sin)0( mC Ii = (6.109)

W chwili załączania układu RC do źródła należy więc się liczyć z przetężeniem.

Prąd przetężeniowy jest tym większy, im większy jest stosunek ϕ

ψ

cos

sin.

Stan nieustalony charakteryzuje się występowaniem składowej przejściowej

(swobodnej). W przypadku obwodu RC włączanego w obwód prądu

sinusoidalnego składowa przejściowa nie występuje, gdy 2

πϕψ =+ .

6.4 Elementy indukcyjne 6.4.1 Budowa i przeznaczenie cewek indukcyjnych. Sprzężenie magnetyczne Cechę indukcyjności wykazują wszystkie obwody elektryczne, które stanowią

zamkniętą drogę dla przepływu prądu elektrycznego. Prąd elektryczny i

wytwarza, w otaczającej przestrzeni strumień magnetyczny Ψ. Strumień ten jest

tym większy im większy jest prąd

LI=Ψ (6.110)

Zależność między strumieniem i prądem jest w obwodach liniowych

proporcjonalna, to znaczy, że jednakowym przyrostom wartości prądu

odpowiadają jednakowe wartości przyrostu strumienia.

Wzór (6.110) można przedstawić w postać

IL

Ψ= (6.111)



Współczynnikiem proporcjonalności między wielkościami Ψ i I jest w tym

przypadku stała wielkość L, zależna jedynie od kształtu obwodu elektrycznego i

od właściwości ośrodka, przez który przenika wytwarzany strumień

magnetyczny. Wielkość tę nazwano indukcyjnością. Indukcyjność mówi nam,

jaki strumień magnetyczny jest wytwarzany w danym obwodzie elektrycznym

pod wpływem przepływu prądu jednostkowego.

Wzór (6.111) jest ogólnym wzorem określającym indukcyjność obwodu.

Jednostką indukcyjności jest henr (1 H)

A

WbH

1

11 = (6.112)

Henr (1 H) jest to indukcyjność takiego obwodu, w którym prąd elektryczny o

wartości jednego ampera (I = 1A) wytwarza strumień magnetyczny Ψ o wartości

jednego webera (1 Wb).

Indukcyjność 1 H jest bardzo dużą indukcyjnością w porównaniu z

indukcyjnością stosowanych w elektronice cewek. Dlatego też często używa się

podwielokrotności jednostki: mikrohenr (µH), milihenr (mH) i innych.

Indukcyjność obwodu elektrycznego płaskiego i o nieskomplikowanym kształcie

jest mała. W celu zwiększenia indukcyjności obwodu zmienia się kształt

niektórych jego fragmentów tak, aby powstała cewka, zwana cewką indukcyjną

(rys. 6.57).

Rys. 6.57 Cewka indukcyjna z prądem wytwarzająca strumień magnetyczny

Cewka indukcyjna jest to element obwodu charakteryzujący się

indukcyjnością, przy czym indukcyjność jest cechą dominującą elementu.

Cewki indukcyjne buduje się jako powietrzne i rdzeniowe. Na rdzenie,

wypełniające obszar cewki, stosuje się na ogół materiał ferromagnetyczny (patrz

p. 5.6.2; 6.6; 6.8.7).

W obwodach, których indukcyjność musi być zmieniana, stosuje się układ wielu



cewek, które łączy się ze sobą w określony sposób. W przypadku cewek

rdzeniowych indukcyjność można zmieniać przez zmianę położenia rdzenia

wewnątrz cewki.

Cewki indukcyjne powietrzne, w specjalnym dokładnym wykonaniu, o ściśle

określonej wartości i stałości indukcyjności, wykorzystuje się jako cewki

indukcyjne wzorcowe. Stosuje się je w elektrycznych układach pomiarowych

(p. 6.8.6).

Cewki, a zwłaszcza cewki rdzeniowe, znalazły także zastosowanie przemysłowe.

W elektroenergetyce wykorzystuje się ich właściwości m. in. do grzania

indukcyjnego, dławienia prądu zwarciowego linii elektroenergetycznej,

transformacji mocy prądu przemiennego itp. (p. 6.4.2).

Cewka indukcyjna, przez którą przepływa prąd, wytwarza w swoim wnętrzu i na

zewnątrz pole magnetyczne. Można zatem powiedzieć, że cewka z prądem jest

elementem magazynującym energię w postaci pola magnetycznego. Jest to tak

istotna właściwość, że również jest podstawą definicji.

Cewka indukcyjna jest elementem mającym zdolność gromadzenia energii w

postaci pola magnetycznego.

Do obliczenia energii pola magnetycznego cewki posłużymy się wzorem (1.55)

określającym wartość pracy potrzebnej do wytworzenia strumienia

magnetycznego ∆Ψ przy danym prądzie I

∆Ψ=∆ IWm (6.113)

Ponieważ L

IΨ

= — wzór (6.110) — to

Ψ∆Ψ=∆L

W1

(6.114)

Rozwiązując równanie (6.114) (patrz dodatek F)

LWm

2

2Ψ= (6.115)

Uwzględniając jeszcze raz zależność (6.110) ( )LI=Ψ otrzymuje się wzór

równoważny



2

2

1LIWm = (6.116)

Wyrażając prąd w amperach (A) bądź strumień w weberach (Wb), indukcyjność

w henrach (H), otrzymuje się energię w dżulach (J).

Energię zmagazynowaną w polu magnetycznym cewki indukcyjnej można

odzyskać w postaci energii prądu elektrycznego (patrz przykład 6.34).

Wartość energii pola magnetycznego zależy od indukcyjności obwodu, którą

można wyznaczyć na podstawie znajomości jego kształtu i rozmiarów.

Przykład 6.26 Wyznaczyć indukcyjność przewodnika kołowego o promieniu r = 0,5 m (patrz przykład 5.8, rys. 5.32).

W celu obliczenia indukcyjności różnych cewek należy posłużyć się metodą obliczeniową, którą można przedstawić w trzech punktach :

1. Korzystając z prawa przepływu (p. 1.4) lub z prawa Biota-Savarta (p. 5.4.2) wyznaczyć zależność natężenia i indukcji pola magnetycznego w cewce od wartości płynącego przez nią prądu — wzór (5.50).

2. Korzystając z wzoru (1.42) wyznaczyć zależność strumienia magnetycznego wytwarzanego przez cewkę od wartości przepływającego przez nią prądu.

3. Poszukiwaną wartość indukcyjności wyznaczyć z wzoru definicyjnego (6.111).

ad. 1. Jeżeli zastosuje się prawo Biota-Savarta, to okazuje się, że natężenie pola

magnetycznego w środku przewodu kołowego o promieniu r z prądem I

(przykład 5.8)

r

IH

2=

Indukcja magnetyczna w tym punkcie

r

IHB

2

µµ ==

ad. 2. Przyjmujemy w uproszczeniu, że indukcja magnetyczna jest jednakowa w

każdym punkcie wewnątrz płaszczyzny ograniczonej przewodem kołowym.

Dlatego też można napisać, że strumień magnetyczny

BS=Ψ

Uwzględniając, że 2rS π=



2

Irµπ=Ψ

ad. 3. Stosując wzór definicyjny na indukcyjność (6.111), ostatecznie

2

rL

µπ= (6.117)

Po wykonaniu obliczeń, zgodnie z wzorem (6.117), po przyjęciu

HL

mH

µππ

πµµ

12

5,0104

104

7

17

0

=⋅⋅⋅

=

⋅⋅==−

−−

Przykład 6.27 Wyznaczyć indukcyjność cewki cylindrycznej powietrznej o liczbie zwojów z = 2000, długości l = 0,4 m i promieniu nawinięcia r = 0,1 m. Do obliczeń przyjąć µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1 (patrz przykład 1.16, rys. 1.21).

Korzystając z prawa przepływu w odniesieniu do przedstawionej cewki można

napisać

IzHl =

a zatem

l

IzH =

Indukcja magnetyczna we wnętrzu cewki

l

IzHB 0

0

µµ ==

a strumień magnetyczny, skojarzony z jednym zwojem cewki

BS=Φ

Strumień magnetyczny skojarzony z z zwojami cewki zΦ=Ψ , a po

uwzględnieniu, że 2rS π=

l

Irz22

0 πµ=Ψ

Ostatni wzór umożliwia wyznaczenie indukcyjności

l

rz

IL

22

0 πµ=

Ψ= (6.118)

której wartość

( )HL 4,0

4,0

1,02000104 227

=⋅⋅⋅⋅

=− ππ



Przykład 6.28 Wyznaczyć indukcyjność cewki toroidalnej powietrznej o liczbie zwojów z = 2000, promieniu nawinięcia zwojów rz = 0,1 mi średnim promieniu cewki rśr = 0,4 m. Do obliczeń przyjąć µ0 = 4π⋅10-7 H⋅m-1 (patrz przykład 1.13, rys. 1.19).

Korzystając z prawa przepływu w odniesieniu do przedstawionej cewki, można

napisać, że

śrr

IzH

π2=

a indukcja magnetyczna

śrr

IzHB

π

µµ

2

0

0 ==

Pole magnetyczne przenika przez powierzchnię przekroju poprzecznego cewki o

polu

2

zrS π=

będącego źródłem strumienia magnetycznego

śr

z

r

IrzBS

π

πµ

2

2

0==Φ

Strumień magnetyczny skojarzony z z zwojami cewki

śr

z

r

Irzz

π

πµ

2

22

0=Φ=Ψ

a indukcyjność

śr

z

r

rz

IL

2

22

0µ=

Ψ= (6.119)

Po obliczeniu

( )mHL 8,62

4,02

1,02000104 227

=⋅

⋅⋅⋅=

−π

Jak już wspomniano wcześniej, pole magnetyczne obwodów z prądem rozciąga

się w obszarze nieskończonym. Specjalnie ukształtowane odcinki obwodu (cewki

indukcyjne) zamykają pole magnetyczne głównie w swoim wnętrzu. Część

strumienia magnetycznego wydostaje się jednak na zewnątrz dając strumień

rozproszenia. (Kondensatory całkowicie zamykają pole elektryczne w swoim

wnętrzu). Strumień rozproszenia może objąć inny obwód elektryczny, wpływając

tym samym na rozpływ prądów i rozkład napięć w tym obwodzie. Z kolei obwód



ten jest też źródłem strumienia magnetycznego, które oddziałuje na obwód

pierwszy. W ten sposób realizuje się wzajemne oddziaływanie magnetyczne

obwodów elektrycznych.

Wzajemne oddziaływanie obwodów elektrycznych za pośrednictwem strumienia

magnetycznego wytworzonego przez te obwody nosi nazwę sprzężenia

magnetycznego lub sprzężenia indukcyjnego.

Zjawisko sprzężenia magnetycznego rozpatrzmy na przykładzie dwóch cewek

(rys. 6.58).

Cewka z prądem I1 o liczbie zwojów z1 jest źródłem strumienia głównego i

strumienia rozproszenia, którego część Φ12 przenika przez drugą cewkę, czyli

jest skojarzona z cewką o indukcyjności L2 i liczbie zwojów z2. Cewka z prądem

I2 o liczbie zwojów z2 jest źródłem strumienia głównego Φ2 i strumienia

rozproszenia, którego część Φ21 przenika przez pierwszą cewkę, czyli jest

skojarzona z cewką o indukcyjności L1 i liczbie zwojów z1. W odniesieniu do

strumienia głównego formułuje się pojęcie indukcyjności głównej.

Rys. 6.58 Dwie cewki o liczbie zwojów z1 i z2 sprzężone ze sobą za pośrednictwem pola magnetycznego

1

11

1

11

I

z

IL g

Φ=

Ψ= (6.120)

W odniesieniu do strumienia skojarzonego obejmującego inną cewkę wprowadza

się pojęcie indukcyjności wzajemnej

1

122

1

1212

I

z

IM

Φ=

Ψ= (6.121)

Indukcyjność wzajemna jest wielkością fizyczną określoną stosunkiem

strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej, skojarzonego z

cewką drugą, do prądu płynącego w cewce pierwszej.



Jeżeli się przyjmie, że cewka druga obejmuje cały strumień rozproszenia cewki

pierwszej to można napisać, że indukcyjność cewki pierwszej

1211 MLL g += (6.122)

W podobny sposób definiuje się indukcyjność cewki drugiej i indukcyjność

wzajemną cewki drugiej z cewką pierwszą.

Indukcyjność wzajemna cewki drugiej z cewką pierwszą

2

211

2

2121

I

z

IM

Φ=

Ψ= (6.123)

jest składnikiem indukcyjności cewki drugiej

2122 MLL g += (6.124)

Można wykazać, że oddziaływanie cewki pierwszej na cewkę drugą jest równe

oddziaływaniu cewki drugiej na cewkę pierwszą

2

211

1

122

I

z

I

z Φ=

Φ (6.125)

Równość (6.125) oznacza, że M12 = M21 = M.

Wzajemne oddziaływanie obwodów za pośrednictwem pola magnetycznego ujęte

jest zatem jednym współczynnikiem: współczynnikiem indukcyjności

wzajemnej M. Wartość współczynnika indukcyjności wzajemnej zależy od

indukcyjności sprzęgniętych cewek i sposobu ich wzajemnego usytuowania

21LLkM = (6.126)

Współczynnik k nosi nazwę współczynnika sprzężenia i może przyjmować

wartości od -1 do +1. Przy k = ±1 występuje sprzężenie doskonałe, tzn. takie, w

którym cały strumień magnetyczny wytworzony w jednej cewce przenika przez

cewkę drugą. Sprzężenie prawie doskonałe występuje np. wtedy, kiedy jedna z

cewek jest umieszczona wewnątrz drugiej, a ich osie długie pokrywają się. Przy

k = 0 sprzężenie nie występuje, a indukcyjność wzajemna równa się zeru.

Przypadek taki występuje np. przy wzajemnie prostopadłym ustawieniu osi

długich cewek cylindrycznych.

Indukcyjność wzajemna może zwiększać lub zmniejszać indukcyjność

wypadkową cewki. Zjawisko sprzężenia magnetycznego zwiększa indukcyjność



cewki (k > 0), gdy obejmuje ona strumień magnetyczny wytworzony przez inną

cewkę skierowany zgodnie ze strumieniem głównym rozpatrywanej cewki. Gdy

natomiast strumień główny jest skierowany przeciwnie do obejmowanej części

strumienia innej cewki (k < 0), to indukcyjność ulega zmniejszeniu.

Cewki indukcyjne, podobnie jak kondensatory, można ze sobą łączyć szeregowo,

bądź równolegle. Przy dowolnym rodzaju połączeń cewek należy uwzględniać

jednak indukcyjność wzajemną, jeśli cewki te są ze sobą sprzężone.

Przykład 6.29 Wyznaczyć indukcyjność układu dwóch cewek (rys. 6.59) o indukcyjności L1 i L2 połączonych szeregowo: a) posobnie, b) przeciwsobnie, jeśli one są ze sobą sprzężone.

a) Przy połączeniu posobnym cewek (rys. 6.59a) strumienie skojarzone Ψ1 -

pierwszej cewki i Ψ2 - drugiej cewki skierowane są zgodnie. Całkowity strumień

skojarzony w układzie

21 Ψ+Ψ=Ψ

Strumień skojarzony pierwszej cewki

IML )( 11 +=Ψ

a drugiej cewki

IML )( 22 +=Ψ

Zatem całkowity strumień skojarzony

IMLL )2( 21 ++=Ψ

Indukcyjność wypadkowa układu

MLLI

L 221 ++=Ψ

= (6.127)

Rys. 6.59 Układ dwóch cewek połączonych szeregowo: a) posobnie; b) przeciwsobnie

W przypadku braku sprzężenia między cewkami (M = 0) indukcyjność

szeregowego układu połączeń cewek jest równa sumie indukcyjności

poszczególnych cewek.



b) Przy połączeniu przeciwsobnym cewek (rys. 6.596) strumienie skojarzone

mają zwroty przeciwne

IML )( 11 −=Ψ IML )( 22 −=Ψ

Strumień całkowity

IMLL )2( 2121 −+=Ψ+Ψ=Ψ

a indukcyjność wypadkowa układu

MLLI

L 221 −+=Ψ

= (6.128)

W przypadku braku sprzężenia między cewkami indukcyjność układu jest równa

sumie indukcyjności cewek.

Przykład 6.30 Wyznaczyć indukcyjność układu dwóch cewek (rys. 6.60) o indukcyjnościach L1 i L2 połączonych równolegle, jeśli one są ze sobą sprzężone.

Zgodnie z prądowym prawem Kirchhoffa

21 III +=

a spadek napięcia na zaciskach układu, przy sprzężeniu dodatnim

+=

+=

22121

21211

IZIZU

IZIZU

2211 ; LZLZ ωω == i .2112 MZZ ω==

Z układu równań prądy

UZZZ

ZZI

2

1221

1221

−

−= U

ZZZ

ZZI

2

1221

1212

−

−=

Prąd całkowity

UZZZ

ZZZI

2

1221

1221 2

−

−+=

Impedancja zastępcza układu

1221

2

1221

2ZZZ

ZZZ

I

UZ

−+

−==



Uwzględniając, że Z = ωL

MLL

MLLL

221

2

21

−+

−= (6.129)

Rys. 6.60 Układ dwóch cewek połączonych równolegle i sprzężonych magnetycznie ze sobą

Przy sprzężeniu magnetycznym ujemnym cewek

MLL

MLLL

221

2

21

++

−= (6.130)

Indukcyjność dwóch cewek bezrezystancyjnych połączonych równolegle bez

sprzężenia (M = 0)

21

21

LL

LLL

+= (6.131)

Przykład 6.31 Dwie cewki indukcyjne o indukcyjnościach L1 i L2 są ze sobą sprzężone idealnie (współczynnik sprzężenia magnetycznego k = 1). Indukcyjność dwóch cewek połączonych szeregowo posobnie (k = 1) była równa L' = 90 mH, a połączonych szeregowo przeciwsobnie (k = -1) L" = 10 mH. Wyznaczyć współczynnik indukcyjności wzajemnej M oraz indukcyjność cewek.

Przy połączeniu szeregowym posobnym (k = 1)

MLLL 221 ++=′

a przy połączeniu szeregowym przeciwsobnym (k = -1)

MLLL 221 −+=′′

Z układu powyższych równań

4

LLM

′′−′=

Uwzględniając wartości liczbowe otrzymuje się M = 20 mH.

Indukcyjność dwóch cewek izolowanych połączonych szeregowo

mHMLMLLL 502221 =+′′=−′=+



Ponieważ jednocześnie

21LLM =

to z układu tych równań uzyskuje się

.10,40 21 mHLmL ==

6.4.2 Cewka idealna a cewka rzeczywista Omawiając budowę i przeznaczenie cewek indukcyjnych przyjęliśmy założenie,

że są to cewki idealne, czyli takie, które cechuje jedynie indukcyjność. Jak

wiadomo jednak, każdy obwód elektryczny, oprócz indukcyjności i pojemności,

cechuje także rezystancja. Zanim jednak omówimy właściwości cewki

rzeczywistej, zapoznajmy się najpierw z właściwościami cewki idealnej włączonej

w obwód elektryczny.

Jak wiadomo, w cewce, przez którą przepływa prąd i, jest wytwarzany strumień

magnetyczny Ψ proporcjonalny do indukcyjności cewki

Li−Ψ (6.132)

Korzystając z wzoru określającego wartość siły elektromotorycznej indukcji

elektromagnetycznej

dt

dLi

dt

due =

Ψ== (6.133)

otrzymujemy zależność

dt

dLi

dt

dLi

dt

diLu =+= (6.134)

w której dt

di - szybkość zmian prądu;

dt

dL- szybkość zmian indukcyjności.

Równanie określa napięcie indukowane na zaciskach cewki z prądem. Napięcie

to, występuje tylko wtedy, gdy przez cewkę przepływa prąd zmienny

≠ 0

dt

di

lub też wtedy, gdy prąd jest stały, ale wtedy indukcyjność cewki musi się

zmieniać w czasie

≠ 0

dt

dL.

Indukcyjność cewki zależy od jej wymiarów i od położenia rdzenia

magnetycznego. Położenie rdzenia może się zmieniać, kiedy jest on poddany

działaniu sił mechanicznych. Dlatego też napięcie indukowane o wartości



dt

dLi nazywa się napięciem elektrycznym pochodzenia mechanicznego. W

większości układów elektrycznych wykorzystuje się jednak cewki o stałej

indukcyjności, stąd też w naszych rozważaniach będziemy uwzględniali tylko

napięcie indukowane prądem zmiennym, czyli napięcie dane wyrażeniem

dt

diLu = (6.135)

Jest to napięcie na zaciskach cewki idealnej o wartości proporcjonalnej do

szybkości zmian prądu elektrycznego.

Prąd zmienny, najczęściej stosowany w układach elektrycznych, jest prądem

sinusoidalnym

tIi m ωsin= (6.136)

Im — amplituda zmian prądu, ω — częstość jego zmian.

Ponieważ

tIdt

dim ωω cos= (6.137)

to zgodnie z wzorem (6.135) wartość chwilowa napięcia

tLIu m ωω cos= (6.138)

Z porównania wzorów (6.136) i (6.138) wynika, że przebieg wartości chwilowej

napięcia jest przesunięty w fazie o 90° względem przebiegu prądu. Na wykresie

wektorowym (rys. 6.61) fakt ten zilustrowany jest wektorem U prostopadłym do

wektora I. Przyjęto odmierzać kąt przesunięcia fazowego od wektora prądu w

kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Rys. 6.61 Cewka indukcyjna idealna: a) schemat zastępczy; b) wykres wektorowy prądu i napięcia

W cewce idealnej, poddanej działaniu wymuszenia sinusoidalnego, przebieg

wartości chwilowej napięcia wyprzedza w fazie o 90° przebieg wartości chwilowej



prądu lub też (co jest równoznaczne) przebieg wartości chwilowej prądu opóźnia

się w fazie o 90° względem przebiegu wartości chwilowej napięcia, czyli

odwrotnie niż w przypadku kondensatora.

Przesunięcie fazowe między prądem i napięciem w cewce (rys. 6.62) implikuje

wiele jego właściwości.

Wartość maksymalna napięcia na końcach cewki

mm LIU ω= (6.139)

co wynika wprost ze wzoru (6.138). Zależność (6.139) podaje związek między

napięciem i prądem, z którego na podstawie prawa Ohma można wyznaczyć

„opór” elementu indukcyjnościowego zwany reaktancją

LI

UX

m

m

L ω== (6.140)

Reaktancją cewki, zwana reaktancją indukcyjną (induktancją), jest wprost

proporcjonalna do częstości wielkości wymuszającej i indukcyjności cewki.

Reaktancję indukcyjną można wyrazić również za pomocą wartości skutecznych

prądu i napięcia

I

UX L = (6.141)

Przepływ prądu przez cewkę pod wpływem wymuszenia sinusoidalnego oznacza,

że pobiera ona ze źródła moc. Wartość chwilowa mocy p = ui jest równa — patrz

wzór (6.60)

tUIttIUp mm ωωω 2sincossin == (6.142)

Przebieg wartości chwilowej mocy (rys. 6.62b) jest antysymetryczny o wartości

średniej równej zero. Oznacza to, że cewka idealna nie pobiera ze źródła mocy

czynnej. Cewka pobiera moc w czasie, gdy p = ui > 0 i oddaje ją do źródła w tej

samej ilości w czasie, gdy p = ui < 0. Oscylacje energii między cewką i źródłem

odbywają się bez strat. Cewka idealna jest elementem biernym

indukcyjnościowym, w którym energia prądu elektrycznego nie przemienia się w

ciepło, lecz przekształca się w energię pola magnetycznego

2

2

1LiWL = (6.143)



Rys. 6.62 Przebiegi wartości chwilowych w cewce idealnej: a) prądu i napięcia; b) mocy; c) energii pola magnetycznego

Przy założeniu sinusoidalnych zmian prądu

tLItW mL ω22 sin2

1)( = (6.144)


)2cos1(2

1)( 2 tLItWL ω−= (6.145)

Energia pola magnetycznego cewki (rys. 6.62c) ma składową stałą i zmienną.

Wartość średnia energii jest równa składowej stałej (patrz wzór (6.116))

2

2

1LIWL = (6.146)

Cewkę idealną charakteryzuje jedynie cecha indukcyjności. Każda cewka

wykonana jest jednak z przewodu elektrycznego (drutu), który charakteryzuje

pewna rezystancja. W przewodzie tym, podczas przepływu prądu, zgodnie z

prawem Joule'a-Lenza, wydziela się ciepło. Wartość wydzielonego ciepła jest

zależna od strat mocy

2RIP = (6.147)

R — rezystancja przewodu cewki.

Cewka indukcyjna rzeczywista jest to więc cewka ze stratami. Stosownie

do zjawisk elektrycznych, występujących w cewkach rzeczywistych, ich schematy



zastępcze zawierają więc rezystor połączony z cewką szeregowo (rys. 6.63) lub

równolegle (rys. 6.64).

Schemat zastępczy szeregowy (rys. 6.63) uwzględnia spadek napięcia UL na

cewce idealnej i spadek napięcia UR na rezystorze o rezystancji RS równej

rezystancji przewodu, z którego jest wykonana cewka. Przebieg napięcia UL —

jak wiadomo — wyprzedza w fazie przebieg prądu I o kąt 90°, a przebieg

napięcia UR jest zgodny w fazie z przebiegiem prądu I (rys. 6.63b). Z wykresu

wektorowego prądu i napięć wynika, że napięcie U na elemencie jest określone

wzorem

222

LR UUU += (6.148)

i jego przebieg wyprzedza przebieg prądu o kąt: φ < 90°. Wartość kąta φ można

określić z zależności

R

L

U

Utg =ϕ (6.149)

która po uwzględnieniu, że

LIIXUIRU LLSR ω===

przyjmuje postać

SR

Ltg

ωϕ = (6.150)

Rys. 6.63 Cewka indukcyjna rzeczywista: a) schemat zastępczy szeregowy; b) wykres wektorowy prądu i napięć

Wielkość określona wzorem (6.150) charakteryzuje straty energii w cewce i nosi

nazwę dobroci Q (Q = ωL/RS). (Patrz również dobroć układów rezonansowych p.

6.5.1). Dobroć jest wielkością bezwymiarową.



Schemat zastępczy równoległy cewki rzeczywistej (rys. 6.64) jest równoważny

schematowi zastępczemu szeregowemu. W tym przypadku jednak

L

Rtg r

ωϕ = (6.151)

Rys. 6.64 Cewka indukcyjna rzeczywista: a) schemat zastępczy równoległy; b) wykres wektorowy prądów i napięcia

Schemat zastępczy szeregowy cewki rzeczywistej bardziej odpowiada zjawiskom

zachodzącym w cewce. W schemacie tym RS jest po prostu rezystancją drutu

cewki. Schemat zastępczy równoległy cewki jest formalnie poprawny, ale trudno

znaleźć interpretację fizyczną parametru Rr. Podobnie było w przypadku

schematów zastępczych kondensatora. Tam schemat zastępczy równoległy był

bardziej zrozumiały fizycznie.

Wartości tg φ określone wzorami (6.150) i (6.151) są takie same, gdyż dotyczą

tego samego elementu. Wynika stąd, że w cewce idealnej rezystancja RS w jej

schemacie zastępczym szeregowym przyjmuje wartość zerową (RS = 0), lub

rezystancja Rr → ∞ w jej schemacie zastępczym równoległym.

Cewkę idealną charakteryzuje tylko indukcyjność, a przepływowi prądu stawia

ona „opór” zwany reaktancją indukcyjną (induktancją) — patrz wzór (6.140). W

przypadku cewki rzeczywistej „opór” ten jest impedancja, gdyż musi on

uwzględniać również rezystancję odpowiedzialną za straty.

Obliczmy impedancję cewki wynikającą z jej schematu zastępczego szeregowego

(rys. 6.63a). W tym celu wzór (6.148) przepiszemy w postaci

222

+

=

I

U

I

U

I

U LR (6.152)



Z otrzymanej zależności wynika, że impedancja cewki rzeczywistej (dodatek A5)

22

LS XRZ += (6.153)

Jest to zarazem impedancja gałęzi szeregowej RL.

W podobny sposób można obliczyć impedancję cewki wynikającą z jej schematu

równoległego. W tym celu wzór (patrz rys. 6.64b)

222

LR III += (6.154)

należy napisać w postaci (patrz dodatek A6)

222

+

=

Lr X

U

R

U

Z

U (6.155)

Po przekształceniach

22

22

Lr

Lr

XR

XRZ

+= (6.156)

Jest to zarazem impedancja gałęzi równoległej RL.

W przypadku idealnej cewki indukcyjnej Z = XL, gdyż albo RS → 0 — wzór

(6.153) — albo Rr → ∞ — wzór (6.156).

Cewka rzeczywista pobiera ze źródła, pewną moc czynną na pokrycie strat mocy.

W celu określenia wartości tej mocy rozpatrzmy przebiegi czasowe wartości

chwilowych prądu i napięcia w cewce rzeczywistej (rys. 6.65). W cewce

rzeczywistej napięcie wyprzedza prąd o kąt φ < 90°. Stąd też, jeśli I = Im sin ωt,

to u = Um sin (ωt+ φ), a wartość chwilowa mocy (rys. 6.65b)

)sin( ϕω +== tIUuip mm (6.157)

to wykonując przekształcenia, takie same jak w przypadku wyznaczania mocy

czynnej pobieranej przez kondensator rzeczywisty

ϕcosUIP = (6.158)

Moc czynna pobierana przez cewkę rzeczywistą nie ma charakteru oscylacyjnego

i przez cały czas jest tracona na elementach czynnych (rezystancyjnych) cewki.

Podobnie jak w przypadku kondensatora, tak i tutaj, wprowadza się pojęcie

mocy biernej Q = UI sin φ (p. 6.3.2). W tym przypadku moc bierna, czyli moc

pobierana przez element reaktancyjny idealny, jest dodatnia, gdyż φ > 0.



Obowiązuje również (dodatek A7) wzór S2 = Q2+P2, gdzie S jest mocą pozorną,

mocą wydzielaną na impedancji elementu reaktancyjnego rzeczywistego.

Rys. 6.65 Przebiegi wartości chwilowych w cewce rzeczywistej: a) prądu i napięcia; b) mocy

Rys. 6.66 Schemat budowy pieca indukcyjnego bezrdzeniowego

Cewki indukcyjne znajdują zastosowanie w układach elektrycznych prądu stałego

(p. 6.4.3) oraz obwodach prądu przemiennego (p. 6.5; 6.6; 6.8.2; 6.8.3; 6.8.7).

W elektroenergetyce stosuje się je między innymi do grzania indukcyjnego.

Grzanie indukcyjne stosuje się wówczas, gdy pojawia się konieczność

nagrzewania materiałów przewodzących. Odbywa się ono w piecach

indukcyjnych. Piec indukcyjny bezrdzeniowy (rys. 6.66) stanowi dużą cewkę,

wewnątrz której umieszcza się materiał nagrzewany. Cewkę tę, nawiniętą na

obudowie pieca, zasila się ze źródła napięcia przemiennego o częstotliwości 50

... 3000 Hz. Materiał ogrzewany (wsad) oddzielony jest od obudowy pieca

wykładziną z materiału ogniotrwałego. Wsad jest w takim przypadku ogrzewany

wskutek przepływu w nim indukowanych prądów wirowych. Wsady

ferromagnetyczne są nagrzewane dodatkowo na skutek występującego w nich

zjawiska histerezy magnetycznej.

Piece indukcyjne bezrdzeniowe buduje się na moc 60... 1200 kW.



W przemyśle stosuje się również piece indukcyjne rdzeniowe. Budowa tych

pieców przypomina transformator. Na rdzeniu nawinięte jest uzwojenie, przez

które przepływa prąd o częstotliwości sieciowej 50 Hz. Uzwojenie wtórne,

stanowiące jeden zwój, tworzy stopiony metal umieszczony w pierścieniowym

korytku wykonanym z materiału ogniotrwałego.

6.4.3 Stany nieustalone w obwodach RL przy wymuszeniu stałym

Obwody RL, podobnie jak obwody RC (patrz p. 6.3.3), mogą się znajdować w

stanie nieustalonym. Stany nieustalone są wywołane najczęściej włączeniem

obwodu do źródła napięcia lub prądu (przełącznik S w pozycji 1, rys. 6.67) lub

odłączeniem bądź zwarciem obwodu (przełącznik S w pozycji 2). Procesy

łączeniowe (załączanie, odłączanie, przełączanie) noszą nazwę komutacji i

podlegają prawom komutacji.

Prawo komutacji dla obwodów RL: strumień magnetyczny oraz prąd w chwili

komutacji zachowują wartości poprzednie.

Wynikiem działania prawa komutacji są przebiegi swobodne (przejściowe)

prądu i napięcia, które nakładając się na przebiegi wymuszone (ustalone)

dają wypadkowy obraz przebiegu prądu i napięcia w elemencie rzeczywistym w

stanie nieustalonym.

Stan nieustalony obwodu RL rozpatrzmy dla przypadku jego włączania do

obwodu prądu stałego i zwarcia obwodu.

Załączanie napięcia stałego do dwójnika szeregowego RL

W dwójniku szeregowym RL (rys. 6.67) suma spadków napięcia uL na cewce L i

napięciu uR na rezystorze R jest równa — zgodnie z napięciowym prawem

Kirchhoffa — wymuszającemu napięciu stałemu U

URiuL =+ (6.159)


dt

diLuL = (6.160)



to równanie (6.159) przybiera postać

Udt

diLRi =+ (6.161)

dt

di - szybkość zmian prądu w cewce.

Rys. 6.67 Schemat obwodu szeregowego RL

Rozwiązanie równania (6.161) jest sumą dwóch składowych prądu: wymuszonej

i swobodnej

sw iii += (6.162)

Uwzględniając zerowe warunki początkowe (patrz dodatek E)

tR

L

eR

U

R

Ui

−

−= (6.163)

przy czym składowa swobodna prądu (rys. 6.68a)

τ

t

s eR

Ui

−

−= (6.164)

ma charakter wykładniczy zanikający ze stałą czasową

R

L=τ (6.165)

Rys. 6.68 Załączenie obwodu szeregowego RL. Przebieg wartości chwilowych : a) składowej wymuszonej iw i składowej swobodnej is prądu; b) prądu rzeczywistego w cewce



natomiast składowa wymuszona

R

Uiw = (6.166)

Stałą czasową obwodów RL można wyznaczyć również metodą geometryczną

opisaną w p. 6.3.3.

Krzywe przedstawione na rys. 6.68, 6.69, 6.70 i 6.71 są krzywymi typu

wykładniczego. Jeśli podstawą funkcji potęgowej jest liczba e, jak w tym

przypadku, to takie krzywe (przebiegi) nazywa się eksponencjalnymi. Krzywe

eksponencjalne odwzorowują przebieg zjawisk w wielu układach fizycznych. Na

przykład wiele procesów cieplnych przebiega według krzywej wykładniczej.

Można się o tym przekonać wykonując następujące doświadczenie.

Włóżmy do nagrzanego piekarnika termometr i obserwując go przez szybę

notujmy wskazania co pewien określony czas, na przykład co 5 lub 10 s.

Następnie narysujemy krzywą obrazującą narastanie temperatury w funkcji

czasu. Okaże się, że ta krzywa ma przebieg zbliżony do krzywej

eksponencjalnej. Następnie można wyłączyć piekarnik i notować jego

temperaturę w funkcji czasu w czasie chłodzenia. Otrzymana w drugim

przypadku krzywa ma również przebieg eksponencjalny.

Rys. 6.69 Przebieg wartości chwilowej napięcia na cewce przy stałym wymuszeniu

Rys. 6.70 Przebieg wartości chwilowych prądu w cewce przyłączonej do źródła napięcia stałego o wartości U1 oraz U2, przy czym U1 > U2



Rys. 6.71 Przebieg wartości chwilowych prądu w cewkach o różnych stałych czasowych, przyłączonych do tego samego źródła napięcia stałego

Posługując się metodą graficzną wyznaczmy z obu tych przebiegów stałe

czasowe. Będą to tzw. cieplne stałe czasowe. W pierwszym przypadku będzie to

stała czasowa termometru, a właściwie rtęci w zbiorniku, a w drugim przypadku

będzie to stała czasowa piekarnika. Te stałe czasowe różnią się od siebie

znacznie. Czy możliwy jest dokładny pomiar temperatury obiektu za pomocą

termometru, którego stała czasowa jest większa niż cieplna stała czasowa

obiektu?

Oczywiście wiele innych zjawisk fizycznych przebiega według krzywej

eksponencjalnej, na przykład prawo rozpadu ciał promieniotwórczych, prawo

promieniowania ciała doskonale czarnego itd.

Napięcie na zaciskach cewki w stanie nieustalonym (rys. 6.69) wyznacza się z

wzoru (6.135). W tym przypadku

tL

R

L Ueu−

= (6.167)

Spadek napięcia na cewce ma przebieg wykładniczy malejący ze stałą czasową

R

L=τ .

Stała czasowa dla danego obwodu jest wielkością stałą, zależną jedynie od

parametrów elementów obwodu, nie zależy natomiast od wartości działającego

wymuszenia (rys. 6.70). Na wartość stałej czasowej istotny wpływ ma iloraz L/R

układu szeregowego RL (rys. 6.71). Od wartości ilorazu L/R zależy szybkość

narastania prądu w dwójniku (patrz również rys. 6.51 i 6.52).

Zwarcie w obwodzie szeregowym RL

Rozpatrywanie zjawisk zwarciowych w obwodzie szeregowym RL rozpoczynamy

od chwili, gdy przez cewkę przepływa prąd I, a przełącznik S (rys. 6.67) zwiera

obwód. W obwodzie nie ma zewnętrznego źródła napięcia, a zatem zgodnie z



napięciowym prawem Kirchhoffa.

0=+ RL uu (6.168)

dt

diLuRiu LR ==

0=+dt

diLRi (6.169)

Rys. 6.72 Przebieg wartości chwilowych prądu i napięcia podczas zwarcia w obwodzie szeregowym RL. Widać, że zgodnie z prawem komutacji prąd i strumień magnetyczny w cewce w chwili komutacji (t = 0) zachowują swe wartości poprzednie. Napięcie w układzie może zmieniać się skokowo

Rozwiązaniem ostatniego równania — przy założeniu, że w chwili początkowej t

= 0 i(0) = I — jest funkcja (patrz dodatek E)

tL

R

Iei−

= (6.170)

Przebiegowi wartości chwilowej prądu podczas zwarcia, zwanego prądem

zwarciowym — wzór (6.170) oraz rys. 6.72 — odpowiada przebieg zmienności

napięcia na rezystorze uR = Ri.

Energia prądu „rozładowania cewki" uchodzi do otoczenia (jest rozpraszana) w

postaci ciepła Joule'a-Lenza.

Rozwarcie obwodu RL

W praktyce ważny jest również przypadek rozwarcia obwodu RL w chwili, gdy

przepływa przez niego prąd. W przypadku odłączania obwodu od źródła na

zaciskach cewki indukuje się napięcie zgodnie z wzorem (6.160). Napięcie to

osiąga tym większą wartość, im krótszy jest czas odłączania obwodu. Bardzo

szybkim przerwaniem obwodu możemy zapewnić bardzo dużą wartość czynnika

dt

di — patrz wzór (6.160) — i wytworzyć na zaciskach cewki chwilowo bardzo

duże napięcie. Jeśli styki przerwanego obwodu znajdują się w niezbyt dużej od

siebie odległości, pod wpływem napięcia może przeskoczyć iskra elektryczna.



W zbliżony sposób wytwarza się iskry w świecach samochodowych, które w

ustalonych chwilach zapalają mieszankę paliwowo-powietrzną w komorach

spalania silnika. Iskry takie obserwuje się również w łącznikach domowej

instalacji elektrycznej przy wyłączaniu oświetlenia. Jest to dowodem, że sieć

elektroenergetyczna stanowi dla generatorów obciążenie indukcyjne, obciążenie

typu RL. Omawiana iskra jest również dowodem słuszności praw komutacji. W

przypadku obwodu RL prawo komutacji głosi — jak już wspomniano — że prąd i

strumień magnetyczny zachowują w chwili komutacji swe wartości poprzednie.

W chwili przebrania obwodu prąd „chce" zatem płynąć dalej, a przepływając

przez przerwę powietrzną daje zjawisko iskry, czyli łuku elektrycznego. Łuk

elektryczny zapewnia ciągłość przepływu ładunku elektrycznego w całym

obwodzie.

Przykład 6.32 Wyznaczyć wartość prądu w cewce przyłączonej do źródła napięcia stałego po czasie równym połowie stałej czasowej obwodu RL.

Prąd w cewce przyłączonej do źródła napięcia stałego jest funkcją czasu —- wzór

(6.163)

−=

− tL

R

eR

Ui 1

Po czasie R

Lt

22

1== τ

eI

i 11−=

gdzieR

UI = . Uwzględniając, że ,718,2=e otrzymuje się .4,0≈

I

i

Po czasie równym połowie stałej czasowej prąd w cewce „ładowanej” osiąga ok.

40% wartości maksymalnej.

Przykład 6.33

Wyznaczyć czas, po którym prąd w cewce „ładowanej" osiągnie połowę swej wartości maksymalnej. Do obliczeń przyjąć R = 1 kΩ, L = l mH. Ponieważ

−=

− tL

R

eIi 1



a z założenia

5,01 =−=− t

L

R

eI

i

to

,2lnτ−=t gdzie µτ 11

1=

Ω==

k

mH

R

L

Po wykonaniu obliczeń: t =0,69 τ = 0,69 µs.

Prąd w cewce indukcyjnej osiąga połowę swej wartości maksymalnej po czasie

równym ok. 69% stałej czasowej.

Przykład 6.34 Wykazać, że energia pola magnetycznego cewki indukcyjnej jest równa energii wydzielonej przez prąd zwarciowy płynący w obwodzie RL.

Przyjmując schemat zastępczy obwodu zwarciowego cewki (rys. 6.67) można napisać — patrz wzór (6.170)

tL

R

R Ieii−

==

tL

R

R RIeRiu−

==

Wartość chwilowa mocy na rezystorze R t

L

R

eRIp

2

2−

= Energię całkowitą wydzieloną przez prąd zwarciowy oblicza się z całki

∫∞

=0

pdtW

Uwzględniając poprzednie zależności

∫∞

−

=0

2

2dteRIW

tL

R

Wykonując operację całkowania (patrz dodatek F)

∞−

−=

0

2

2

2

tL

R

eL

LRIW

Uwzględniając granice całkowania ostatecznie 2

2

1LIW =



Energia prądu zwarciowego wydzielona na rezystorze obwodu RL jest równa

energii pola magnetycznego skupionego w cewce indukcyjnej. Energia ta

wydziela się w postaci ciepła Joule'a-Lenza.

Przykład 6.35 Obliczyć, jaką część energii traci cewka indukcyjna po czasie równym połowie stałej czasowej, liczonym od chwili zwarcia.

Przyjmując, że przez cewkę w chwili zwarcia płynie prąd I, można napisać

tL

R

R Ieii−

== t

L

R

R RIeRiu−

==

Prąd zwarciowy o mocy chwilowej

RRiup = jest źródłem energii

∫=R

L

pdtW2

0

Uwzględniając te zależności

∫−

=R

L

tL

R

dteRIW2

0

2

2

Rozwiązaniem jest wyrażenie

R

L

tL

R

eL

LRIW

2

0

2

2

2

−−

−=


−=

eLIW

11

2

1 2

Ponieważ 2

2

1LIWL = jest energią pola magnetycznego cewki, to

63,01

1 =−=eW

W

L

Cewka indukcyjna z prądem I ulegająca zwarciu traci po czasie równym połowie

stałej czasowej obwodu ok. 63% swej energii.

6.4.4 Stany nieustalone w obwodach RL przy wymuszeniu sinusoidalnym

Stan nieustalony obwodów szeregowych RL przy wymuszeniu przemiennym



omówimy na przykładzie wymuszenia sinusoidalnego

)sin( ψω += tUu m (6.171)

gdzie ψ jest fazą początkową określającą wartość napięcia wymuszającego w

czasie t = 0.

Na podstawie prawa napięciowego Kirchhoffa można napisać — patrz wzór

(6.161)

)sin( ψω +=+ tUdt

diLRi m

(6.172)

Prąd i w obwodzie RL jest sumą składowej wymuszonej iw i składowej swobodnej

iS prądu — patrz wzór (6.162)

SW iii += (6.173)

Prąd wymuszony można wyznaczyć wprost z przebiegu napięcia wymuszającego

)sin( ϕψω −+= tIi m (6.174)

φ — kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem; Im — amplituda

prądu wymuszonego, którego wartość można obliczyć z prawa Ohma

Z

UI m

m =

Rys. 6.73 Przebieg zmienności prądu w cewce w stanie nieustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

przy czym impedancja gałęzi szeregowej RL

222 LRZ S ω+=

Składową swobodną prądu określa równanie (patrz dodatek E)

0=+dt

diLRi (6.175)

Ostatecznie zatem, przy założeniu, że w chwili załączania (t = 0) prąd i(0) = 0

tL

R

mm eItIi−

−−−+= )sin()sin( ϕψϕψω (6.176)

gdzie składowa swobodna prądu



tL

R

mS eIi−

−−= )sin( ϕψ (6.177)

jest wyrazem „sprzeciwu" obwodu wobec zaburzenia jego dotychczasowego

stanu. „Sprzeciw” ten jest tym większy, im większa będzie różnica kątów ϕψ − ,

a największy przy °=− 90ϕψ

Jeżeli różnica ϕψ − będzie ujemna, to składowa swobodna prądu będzie się

dodawała do składowej wymuszonej i prąd w obwodzie będzie większy od

amplitudy prądu składowej wymuszonej, czyli wystąpi tzw. przetężenie.

Istnieje górna granica prądu przetężeniowego (rys. 6.73). Z zapisu wzoru

(6.176) w postaci

[ ]t

L

R

m etIi−

−−−+= )sin()sin( ϕψϕψω (6.178)

wynika, że nie może on być większy od podwójnej amplitudy składowej

wymuszonej, czyli mIi 2≤ .

6.5 Obwody rezonansowe 6.5.1 Szeregowy obwód rezonansowy RLC Szeregowy obwód RLC (rys. 6.74) ma właściwości odmienne od właściwości

obwodów omówionych dotychczas i będzie on omówiony dokładniej. Obwód taki

zawiera elementy bierne: cewkę indukcyjną i kondensator oraz element czynny,

połączone szeregowo. Reaktancja elementów biernych jest zależna od częstości

przepływającego prądu lub częstości napięcia wymuszającego — patrz wzór

(6.57) i (6.140) oraz dodatek A.

Rys. 6.74 Szeregowy obwód rezonansowy RLC

CXC ω

1−= LX L ω= (6.179)

W tym przypadku reaktancję pojemnościową kondensatora traktujemy umownie

jako ujemną. Wynika to z przesunięć fazowych prądów i napięć na elementach



biernych. Przebieg napięcia uL na cewce wyprzedza w fazie o kąt 90° przebieg

prądu, natomiast przebieg napięcia uC na kondensatorze jest opóźniony w fazie

względem przebiegu prądu o kąt 90°. W konsekwencji przebieg napięcia na

kondensatorze jest opóźniony w fazie względem przebiegu napięcia na cewce o

180°. Fakt ten ilustruje właśnie znak „—" przed wyrażeniem określającym

reaktancję pojemnościową kondensatora. Znak ten jest również konsekwencją

tego, że kondensator generuje moc bierną do źródła — wzór (6.82) — natomiast

cewka pobiera ze źródła moc bierną.

Przebieg zmienności reaktancji elementów biernych w funkcji częstości pokazano

na rys. 6.75, na którym zaznaczono również linią kreskową przebieg zmienności

reaktancji wypadkowej układu

CLXXX CL ω

ω1

−=+= (6.180)

Jak widać, istnieje taka częstość ω0 zwana częstością rezonansową, przy której

reaktancja wypadkowa obwodu szeregowego RLC jest równa zeru. Impedancja

układu

Rys. 6.75 Przebieg zmienności reaktancji cewki indukcyjnej, kondensatora i układu szeregowego LC w funkcji częstości oraz odpowiadających im napięć (patrz dodatek A5)

2

222 1

−+=+=

CLRXRZ

ωω (6.181)

przy X = 0 jest równa rezystancji obwodu, Z = R. Częstość rezonansową układu można wyznaczyć z warunku X = 0, który odpowiada równaniu

01

0

0 =−C

Lω

ω (6.182)

z którego wynika, że częstość rezonansowa

LC

10 =ω (6.183)



natomiast częstotliwość rezonansowa

LCf

π2

10 = (6.184)

Rys. 6.76 Przebieg zmienności prądu w obwodzie szeregowym RLC w funkcji częstości przy stałej amplitudzie napięcia wymuszającego i przy różnych wartościach rezystancji

Wyrażając indukcyjność w henrach (H) i pojemność w faradach (F) otrzymuje się

częstość w radianach na sekundę (rad · s-1), a częstotliwość w hercach (Hz).

Częstość rezonansowa jest również zwana częstością drgań własnych. Częstość

drgań własnych układu elektrycznego jest to częstość zmienności napięcia i

prądu w układzie pobudzonym do drgań i „pozostawionym sobie" (patrz p.

6.5.3). Obwód RLC można pobudzić do drgań przez rozładowanie kondensatora,

załączenie obwodu do źródła napięcia stałego lub odłączenie go od tego źródła.

Warunkiem wystąpienia rezonansu w obwodzie RLC jest równość częstości

napięcia wymuszającego (zasilającego) i częstości drgań własnych obwodu. W

warunkach rezonansu prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną (rys. 6.76)

R

UI m

m = (6.185)

Przy różnych wartościach R prąd maksymalny osiąga różne wartości

maksymalne, a przy R → 0 prąd teoretycznie osiąga wartość nieskończenie dużą.

Częstość rezonansowa obwodu szeregowego RLC jest to taka częstość prądu

lub napięcia, przy której reaktancja obwodu staje się równa zeru, a prąd w

obwodzie osiąga wartość maksymalną.

Obwód szeregowy RLC może mieć charakter indukcyjny (rys. 6.77a),

pojemnościowy (rys. 6.77b) lub czynny (rezonans) (rys. 6.77c). Obwód ma

charakter indukcyjny przy częstości ω > ω0. Przy tej częstości |XL| > |XC|, |uL| >

|uC|, a wektor napięcia

CLR UUUU ++= (6.186)



wyprzedza w fazie o kąt φind. wektor prądu. Przy częstości ω < ω0 obwód ma

charakter pojemnościowy. Przy tej częstości |XC| > |XL|, |uC| > |uL|, a wektor

napięcia U opóźnia się w fazie względem prądu o kąt φpoj.

W chwili rezonansu |XL| = |XC|, |uL| = |uC|, a wektor napięcia UR = U pokrywa

się z wektorem prądu. Obwód, mimo iż zawiera elementy bierne, ma charakter

czynny.

Zjawisko rezonansu w obwodach szeregowych RLC nosi nazwę rezonansu napięć.

Rys. 6.77 Wykresy wektorowe prądów i napięć w obwodzie szeregowym RLC: a) przy ω > ω0 (charakter indukcyjny obwodu); b) przy ω < ω0 (charakter pojemnościowy obwodu); c) przy ω = ω0 (charakter czynny obwodu, rezonans napięć)

Zjawisko rezonansu napięć w obwodach szeregowych RLC polega na tym, że

przy określonej częstości, zwanej częstością rezonansową lub częstością drgań

własnych ω0, spadek napięcia uL na cewce indukcyjnej jest równy co do wartości

spadkowi napięcia uC na kondensatorze, lecz ma znak przeciwny, czyli zachodzi

kompensacja napięć na elementach biernych.

W obwodzie szeregowym RLC, będącym w stanie rezonansu napięć, wartości

bezwzględne reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej są sobie równe

CL

0

0

1

ωω = (6.187)

co wynika bezpośrednio z (6.182).



Uwzględniając wyrażenie (6.183)

CL

RL

0

0

1

ωω == (6.188)

Wielkość

L

RZ f = (6.189)

nosi nazwę impedancji charakterystycznej lub impedancji falowej (patrz

przykład 1.18).

Ważnym parametrem charakteryzującym ilościowo właściwości rezonansowe

układu drgającego jest dobroć.

Dobroć układu rezonansowego określa stosunek amplitudy drgań ustalonych

wymuszonych w rezonansie do amplitudy drgań z dala od rezonansu, czyli w

obszarze tak małych częstości, że amplitudę drgań wymuszonych można

traktować jako niezależną od częstości (rys. 6.76).

Dobroć jest proporcjonalna do stosunku całkowitej nagromadzonej energii drgań

W w warunkach rezonansowych do energii W1 traconej w czasie jednego okresu

1

2W

WQ π= (6.190)

Całkowita nagromadzona energia drgań w obwodzie jest równa maksymalnej

energii pola magnetycznego cewki*

2)(2

1mILW = (6.191)

przy czymR

UI m

m =

natomiast energia tracona w czasie jednego okresu, która w ustalonych

warunkach drgań rezonansowych w całości jest zużywana na ciepło — patrz

wzory (6.4)... (6.7)

R

UT

R

UW mm

0

22

12 ω

π= (6.192)

Uwzględniając wzory (6.191) i (6.192)

R

LQ 0ω

= (6.193)



Ponieważ w chwili rezonansu C

L0

0

1

ωω = można również napisać, że

RCQ

0

1

ω= (6.194)

* Podczas drgań w obwodzie zachodzi również nieustanna pulsacja energii w

kondensatorze i w cewce. W każdej chwili całkowita energia zgromadzona w obwodzie

jest sumą energii zgromadzonej w cewce i energii zgromadzonej w kondensatorze.

Można przyjąć także, żeLC

10 =ω i wtedy

R

ZQ

f= (6.193)

gdzie Zf określone jest wzorem (6.189).

Dobroć układu rezonansowego określa jego selektywność, czyli zdolność do

tłumienia przebiegów o częstościach różnych od częstości rezonansowej tego

układu.

Dobroć obwodów rezonansowych stosowanych w radioelektronice dochodzi do

kilkudziesięciu tysięcy.

Obwody rezonansowe szeregowe występują w wielu układach elektronicznych.

Często są to obwody przestrajane, tzn. takie, w których można zmieniać

indukcyjność cewki lub pojemność kondensatora, czyli można zmieniać częstość

rezonansową obwodu (patrz p. 4.8).

Przykład 6.36 W obwodzie szeregowym RLC R = 10 Ω, L = 10 mH, C = 1 µF. Amplituda wymuszającego napięcia sinusoidalnego Um = 1 V. Wyznaczyć częstość rezonansową ω0, częstotliwość rezonansową f0, wartość maksymalną napięcia UmR na rezystorze oraz wartość maksymalną napięcia UmC na kondensatorze i napięcia UmL na cewce, jak również impedancję falową.

Częstość rezonansowa obwodu zależy jedynie od parametrów elementów

wchodzących w skład tego obwodu i sposobu ich połączeń. W przypadku obwodu

szeregowego RLC częstość rezonansowa — patrz wzór (6.183)

kHz101010

1620 =

⋅=

−−ω

Częstotliwość rezonansowa f0, zgodnie ze wzorem ω0 = 2πf0, jest równa 1,6 kHz.



Wartość maksymalną prądu w obwodzie można obliczyć z prawa Ohma

Z

UI m

m =

Wartość maksymalna prądu sinusoidalnego jest największa w czasie rezonansu,

gdyż wtedy Z = Zmin. = R

R

UI m

m =0

Po wykonaniu obliczeń Im0 = 0,1 A. W chwili rezonansu więc wartość

maksymalna napięcia UmR = Rm0 I na rezystorze jest równa amplitudzie

wymuszającego napięcia sinusoidalnego, UmR = Um = 1 V.

Impedancję falową oblicza się ze wzoru (6.189)

Ω==−

−

10010

106

2

fZ

Wartość maksymalną napięcia UmC na kondensatorze i UmL na cewce oblicza się

ze związku

0mfmLmC IZUU ==


VUU mLmC 10==

Jak widać, w obwodach rezonansowych napięcie na elementach biernych może

być większe od napięcia wymuszającego, czyli mogą występować tak zwane

przepięcia. Przepięcia są największe w czasie rezonansu i mogą grozić

uszkodzeniem elementów.

Przykład 6.37 W obwodzie szeregowym RLC indukcyjność można zmieniać w granicach ± 20%, a pojemność w granicach ±40%. Wyznaczyć wynikający stąd zakres częstości, w którym można przestrajać częstość rezonansową obwodu.

Przedział częstości, w którym będzie mogła zmieniać się częstość rezonansowa

obwodu, można zapisać za pomocą jednego wzoru

)4,01()2,01(

1

±±=

CLω

Jeśli wprowadzimy oznaczenie



LC

10 =ω

to dolna granica przedziału częstości

4,12,1

0

⋅=

ωωd

natomiast górna granica

6,08,0

0

⋅=

ωωg

Po wykonaniu obliczeń: 077,0 ωω =d 04,1 ωω =g .Można więc określić zakres częstości

000 4,177,0 ωωω <<

Przykład 6.38 Wyznaczyć rezystancję zastępczą Rz i reaktancję Xz rezystora masowego o rezystancji znamionowej R = 100 Ω, wynikającą z jego schematu zastępczego przedstawionego na rys. 6.3d oraz częstotliwość rezonansową f0, jeśli można przyjąć, iż L = 10-8 H, a C = 10-10 F.

Impedancja elementu rezystancyjnego, po uwzględnieniu jego pojemności i

indukcyjności (rys. 63d) (patrz dodatek A)

CjR

RC

j

LjZ

ω

ωω1

1

−

−+=

Po przekształceniach

+−+

+=

222

2

222 11 CR

CRLj

CR

RZ

ω

ωω

ω

Pierwszy człon powyższej zależności określa rezystancję zastępczą Rz rezystora,

a drugi — jego reaktancję Xz

222

2

22211 CR

CRLX

CR

RR zZ

ω

ωω

ω +−=

+=

Jak widać, wartości obu parametrów: Rz i Xz zależą od częstości (pulsacji) ω. W

celu wyznaczenia częstości rezonansowej należy założyć, że Xz = 0, a więc

22

0

2

0

2

1 CR

CRL

ω

ωω

+=

stąd



LCR

C

LR

2

2

2

0

−=ω

Po uwzględnieniu wartości liczbowych ω0 ≈ 109 Hz, f0 ≈ 160 MHz. Wielkość

C

Lwystępująca w ostatnim wzorze jest impedancją charakterystyczną dla

danego elementu i jest odpowiednikiem impedancji falowej linii długiej (patrz p.

9.1).

6.5.2 Równoległy obwód rezonansowy RLC Zjawisko rezonansu występuje nie tylko w obwodach szeregowych RLC, lecz

także w obwodach równoległych, złożonych z takich samych elementów. Dla

przykładu rozpatrzmy równoległy idealny obwód rezonansowy (rys. 6.78) nie

zawierający elementów czynnych i składający się tylko z idealnych elementów

biernych. Ponieważ reaktancja elementów biernych — patrz wzór (6.179)

Rys. 6.78 Równoległy idealny obwód rezonansowy: a) schemat; b) wykres wektorowy prądów i napięcia

LXC

X LC ωω

=−=1

(6.196)

zależą od częstości co napięcia wymuszającego, to istnieje taka częstość ω0,

zwana częstością rezonansową, przy której reaktancję te są sobie równe co

do wartości bezwzględnej — patrz wzór (6.187)

LC

0

0

1ω

ω= (6.197)

Stąd warunek rezonansu jest taki sam, jak dla obwodu szeregowego RLC —

patrz wzór (6.183)



LC

10 =ω (6.198)

Ze względu na równość wartości bezwzględnych reaktancji gałęzi równoległych,

wartości skuteczne prądów IC i IL w tych gałęziach są też sobie równe, jednak

przebiegi wartości chwilowych iC i iL tych prądów są przesunięte w fazie

względem siebie o kąt 180° (rys. 6.78b). Wynika to z faktu, że przebieg prądu w

idealnym kondensatorze wyprzedza w fazie przebieg napięcia o 90°, natomiast

przebieg napięcia na idealnej cewce wyprzedza przebieg prądu też o 90°. Zatem

suma wartości chwilowych prądów iC i iL jest równa zeru

0=+= LC iii

W warunkach rezonansu wytwarza się zatem taka sytuacja, w której prąd w

gałęzi doprowadzającej do układu równoległego LC jest równy zeru (I = 0),

natomiast prąd w kondensatorze IC ≠ 0 i prąd w cewce IL ≠ 0. Gałąź równoległa

LC w czasie rezonansu zachowuje się więc jak element impedancyjny o

nieskończenie wielkiej wartości impedancji. Wynika to również ze wzoru

określającego wypadkową reaktancję układu

LC XXX

111+= (6.199)

W chwili rezonansu

CL

CL

X

0

0

0

0

0 1

1

ωω

ωω

−

−

= (6.200)

Ponieważ obowiązuje zależność (6.197), to

CL

C

L

X

0

0

0 1

ωω −

−= (6.201)

Celem wyjaśnienia zachowania się obwodu równoległego w warunkach

rezonansu przyjmuje się taki model zjawisk :

Kondensator naładowany do napięcia Um rozładowuje się przez cewkę indukcyjną

i jest źródłem prądu rozładowania ic. Prąd ic jest prądem zmiennym w czasie i

unosi ze sobą energię pola elektrycznego kondensatora. Zmienny prąd ic

przepływając przez cewkę indukuje siłę elektromotoryczną indukcji



elektromagnetycznej. Energia prądu elektrycznego przemienia się w energię pola

magnetycznego cewki indukcyjnej. Napięcie na zaciskach cewki jest z kolei

źródłem napięcia ładującego kondensator i prądu ładowania kondensatora.

Zjawisko ładowania i rozładowania kondensatora, jak również zjawisko

wzbudzania i zaniku pola magnetycznego w cewce, jest zjawiskiem cyklicznym i

powtarza się z częstością określoną przez wartość indukcyjności i pojemności —

z częstotliwością rezonansową. Ponieważ omawiany obwód jest obwodem

bezstratnym (R = 0), to oscylacje w obwodzie mogą odbywać się w czasie

nieskończenie długim, nawet po odłączeniu obwodu od źródła zasilania (jeśli

pominie się straty energii na promieniowanie elektromagnetyczne, patrz p. 4.8).

Zjawisko rezonansu elektrycznego w obwodach równoległych i szeregowych jest

związane z rezonansową wymianą energii między kondensatorem i cewką, czyli z

rezonansową przemianą energii pola elektrycznego w energię pola

magnetycznego i na odwrót. Przemiana ta zachodzi w określonych warunkach

fizycznych.

Jeśli energię We pola elektrycznego i Wm pola magnetycznego opiszemy za

pomocą zależności

22

2

1

2

1LIWCUW me == (6.202)

to można z nich wyznaczyć wartości napięcia i prądu w układzie

L

WI

C

WU me 22

== (6.203)

Korzystając z prawa Ohma można wyznaczyć impedancję

L

W

C

W

I

UZ

m

e

2

2

== (6.204)

która dla warunków rezonansowych pracy obwodu (We = Wm) nosi nazwę

impedancji charakterystycznej (falowej) — patrz wzór (6.189) oraz

przykład 1.18

C

LZ f = (6.205)

Zjawisko rezonansu w obwodach równoległych RLC nosi nazwę rezonansu

prądów.



Zjawisko rezonansu prądów w obwodach RLC polega na tym, że przy

określonej częstości, zwanej częstością rezonansową lub częstością drgań

własnych ω0, prąd iL w cewce indukcyjnej jest równy co do wartości prądowi iC w

kondensatorze, lecz ma znak przeciwny, czyli zachodzi kompensacja prądów w

elementach biernych.

Obwód rezonansowy równoległy idealny (podobnie jak obwód szeregowy) można

doprowadzić do rezonansu dwoma sposobami:

— przez zmianę częstości napięcia wymuszającego przy ustalonej wartości

indukcyjności L i pojemności C;

— przez zmianę wartości indukcyjności L i pojemności C obwodu przy ustalonej

częstości napięcia wymuszającego.

W przypadku rzeczywistych obwodów rezonansowych równoległych obwód

można doprowadzić do rezonansu również zmianą rezystancji obwodu, gdyż

częstość rezonansowa jest od niej zależna. W rzeczywistym obwodzie

rezonansowym występuje rezystancja RC strat w kondensatorze i rezystancja RL

strat w cewce indukcyjnej. W przypadku przyjęcia schematu zastępczego jak na

rys. 6.79 częstość rezonansowa

Rys. 6.79 Równoległy rzeczywisty obwód rezonansowy: a) schemat; b) wykres wektorowy prądów i napięcia



2

2

0

1

C

L

RC

L

RC

L

LC −

−=ω (6.206)

W wielu układach praktycznych można przyjąć, że RC = 0 i wtedy wzór (6.206)

upraszcza się do postaci

L

R

LC

L

2

0

1−=ω (6.207)

W rzeczywistych obwodach rezonansowych równoległych prąd w gałęzi głównej

w chwili rezonansu nie osiąga wartości zerowej, tylko pewną wartość minimalną

(rys. 6.80).

Dla różnych obwodów rezonansowych krzywe rezonansowe wyglądają podobnie,

różnią się jedynie wartością prądu Imin. i rozchyleniem gałęzi. Im rozchylenie

gałęzi jest mniejsze, im krzywa rezonansowa jest bardziej stroma, tym

właściwości rezonansowe obwodu są silniejsze. O właściwościach rezonansowych

obwodów RLC decyduje parametr zwany dobrocią.

Rys. 6.80 Krzywa rezonansowa rzeczywistego obwodu równoległego RLC

6.5.3 Stany nieustalone w obwodach szeregowych RLC

przy wymuszeniu stałym Stan nieustalony w obwodach RLC rozpatrzymy na przykładzie obwodu

szeregowego (rys. 6.81), który może być załączony do źródła napięcia stałego

(przełącznik S w pozycji 1) lub zwierany (przełącznik S w pozycji 2).

Załączanie obwodu szeregowego RLC do źródła napięcia stałego

Do obwodu pokazanego na rys. 6.81 stosujemy prawo napięciowe Kirchhoffa.



Stałe napięcie wymuszające

LCR uuuU ++= (6.208)

Poszczególne napięcia można określić wzorami

∫=== idtC

udt

diuRiu CLR

1 (6.209)

Ostatni wzór wynika ze znanej zależności (6.52)

dt

duCi C= (6.210)

Równanie (6.208) można więc przedstawić w postaci

Uudt

udLC

dt

duRC C

CC =++2

2

(6.211)

które po uporządkowaniu ma postać

LC

U

LC

u

dt

du

L

R

dt

ud CCC =++2

2

(6.212)

Rys. 6.81 Schemat obwodu szeregowego RLC. Wymuszenie stałe

Badania zachowania się obwodu w stanie nieustalonym ograniczymy do zbadania

przebiegu zmienności napięcia uC na kondensatorze i prądu i w obwodzie.

Podobnie jak poprzednio, napięcie na kondensatorze będzie miało składową

wymuszoną uCw oraz składową swobodną uCs. Wartość składowej wymuszonej

zależy od działającego wymuszenia

UuCw = (6.213)

Składowa swobodna napięcia jest funkcją, będącą rozwiązaniem równania (patrz

dodatek E)

02

2

=++C

CC

u

LC

dt

du

L

R

dt

ud (6.214)

W celu rozwiązania równania tworzymy tzw. równanie charakterystyczne

012 =++

LCk

L

Rk (6.215)



Wyróżnik równania charakterystycznego

LCL

R 42

2

−=∆ (6.216)

a jego pierwiastki

LCL

R

L

Rk

LCL

R

L

Rk

1

42

1

42

2

2

2

2

2

1

−−−=

−+−=

(6.217)

W zależności od znaku i wartości pierwiastków równania charakterystycznego

otrzymuje się różne funkcje, będące rozwiązaniem równania (6.214). Decydują

one o tym, czy załączenie obwodu ma charakter aperiodyczny, aperiodyczny

krytyczny, czy też oscylacyjny (periodyczny).

Załączenie aperiodyczne obwodu szeregowego RLC

Załączenie obwodu szeregowego RLC ma charakter aperiodyczny wtedy, gdy

wyróżnik równania charakterystycznego — wzór (6.216) — jest większy od zera

(∆ > 0). Warunek ten sprowadza się do zależności

C

LR 2> (6.218)

Pierwiastki k1 i k2 równania charakterystycznego są mniejsze od zera.

Wprowadzając oznaczenia

2211 bkbk −=−= (6.219)

otrzymujemy rozwiązanie w postaci

( ) Uebebbb

Uu

tbtb

C +−−

−= −− 21

12

21

(6.220)

( )tbtbee

bb

bCUbi 21

12

21 −− −−

= (6.221)

Jak widać z rys. 6.82 prąd w obwodzie osiąga największą wartość w chwili t0, w

której napięcie uC charakteryzuje największa szybkość narastania.

Przykład 6.39 Wyznaczyć czas t0, po którym prąd w obwodzie szeregowym RLC załączonym do źródła



napięcia stałego osiągnie wartość największą, jeśli załączanie to nie miało charakteru oscylacyjnego.

Rys. 6.82 „Załączanie aperiodyczne" obwodu szeregowego RLC. Przebiegi wartości chwilowych: a) składowej wymuszonej uCw i składowej swobodnej uCs napięcia na kondensatorze; b) napięcia na kondensatorze uC = uCw+uCs; c) prądu w obwodzie

W celu wyznaczenia czasu t0 należy zbadać przebieg zmienności funkcji i = i (t)

— wzór (6.221) — i określić położenie punktu ekstremalnego tej funkcji. Punkt

ekstremalny wyznacza w tym przypadku maksimum funkcji.

Obliczamy pochodną

( )tbtbee

bb

bCUb

dt

di21

12

21 −− −−

=

Z warunku 0=dt

diwynika, że

0102

12

tbtbebeb

−− =

a stąd

012 )(

1

2 tbbe

b

b −=

Po zlogarytmowaniu stronami

1

2

12

0 ln1

b

b

bbt

−=

Czas t0 można wyznaczyć również badając przebieg zmienności napięcia uC =

uC(t), gdyż największa szybkość narastania napięcia wypada w punkcie

przegięcia krzywej, a jego położenie może być określone z warunku, że druga

pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zeru.

.

.



Załączanie aperiodyczne krytyczne obwodu szeregowego RLC

Załączanie obwodu szeregowego RLC ma charakter aperiodyczny krytyczny

wtedy, kiedy wyróżnik równania charakterystycznego — wzór (6.216) — jest

równy zeru. Warunek ten sprowadza się do zależności

C

LR 2= (6.222)

W takim przypadku pierwiastki k1 i k2 równania charakterystycznego są sobie

równe

bkk −== 21 (6.223)

a przebiegi wartości chwilowej napięcia i prądu są dane zależnościami

UebtUu bt

C ++−= −)1( (6.224)

bttUeCbi −= 2 (6.225)

Korzystając z zależności (6.217) można napisać, że

L

Rb

2= (6.226)

Można również napisać, że

LCb

12 = (6.227)

gdyż ∆ = 0 — patrz równanie (6.216).

Przebieg wartości chwilowych napięcia uC na kondensatorze i prądu i w obwodzie

jest taki sam, jak przedstawiono na rys. 6.82. Podobnie jak poprzednio, prąd w

obwodzie osiąga największą wartość po czasie t0, a więc w chwili, w której

napięcie uC charakteryzuje się największą szybkością wzrostu.

Przykład 6.40 Wyznaczyć czas t0, po którym prąd w obwodzie szeregowym RLC załączanym do źródła napięcia stałego osiągnie największą wartość oraz wartość Imax tego prądu, jeśli załączanie to miało charakter aperiodyczny krytyczny.

W celu wyznaczenia czasu t0 należy zbadać przebieg zmienności funkcji i = i(t)

— wzór (6.225) — i określić położenie punktu ekstremalnego tej funkcji. Punkt

ekstremalny wyznacza w tym przypadku maksimum funkcji.

Obliczamy pochodną

( )btbt teeUCbdt

di −− −= 2



Z warunku 0=dt

di wynika, że 1 — t0b = 0, a stąd — patrz wzór (6.226)

R

L

bt

210 == (6.228)

Wartość maksymalną Imax prądu oblicza się ze wzoru (6.225), w którym t = t0,

uwzględniając zarazem zależności (6.226) i (6.227)

1

0max

21)( −== Ue

R

L

LCCtiI

Ostatecznie zatem

R

U

R

U

eI 74,0

2max == (6.229)

Ostatni wynik jest bardzo interesujący. Wskazuje on bowiem na rolę cewki

indukcyjnej w obwodach elektrycznych. Jak wynika z przeprowadzonej analizy,

cewka łagodzi zmiany prądu i ogranicza (dławi) jego największą wartość. Gdyby

w naszym przypadku L = 0, to prąd osiągałby największą wartość natychmiast

(t0 = 0, wzór (6.228)), przy czym jego wartość maksymalna byłaby większa i

równa R

U. Dlatego też urządzenia z cewką, z reguły rdzeniową, służące do

ograniczania wartości prądów, szczególnie prądów załączeniowych lub

zwarciowych, noszą nazwę dławików (p. 6.6).

Załączanie oscylacyjne obwodu szeregowego RLC

Załączanie obwodu szeregowego RLC ma charakter oscylacyjny wtedy, gdy

wyróżnik równania charakterystycznego — wzór (6.216) —jest ujemny (∆ < 0),

co prowadzi do zależności

C

LR 2< (6.230)

W takim przypadku pierwiastki k1 i k2 równania charakterystycznego tworzą parę

liczb zespolonych sprzężonych

2

2

2

2

2

1

4

11

2

4

11

2

L

R

LCL

Rk

L

R

LCL

Rk

−−−−=

−−+−=

(6.231)

Wprowadzamy oznaczenia :



2

2

2

4

1

2ω=−=

L

R

LCb

L

R (6.232)

Pierwiastki równania charakterystycznego

ωω jbkjbk −−=+−= 21 (6.233)

j = 1− (patrz dodatek A), parametr b — współczynnik tłumienia, ω — pulsacja

(częstość) zmian napięcia i prądu w obwodzie.

W takim przypadku przebiegi wartości chwilowych napięcia i prądu są opisane

wzorami

( ) UtLC

Ueu

bt

C++−=

−

δωω

sin (6.234)

btg

ωδ =

tL

Uei

bt

ωω

sin−

= (6.235)

Jak widać z rys. 6.83 na kondensatorze powstają w takim przypadku

przepięcia, czyli napięcia wyższe od napięcia źródła U. Są one wynikiem dużej

szybkości gromadzenia energii w polu elektrycznym kondensatora, czyli

ładowania kondensatora. Przebiegi mają charakter oscylacyjny tłumiony.

Przykład 6.41 Wyznaczyć dekremet logarytmiczny tłumienia przebiegów oscylacyjnych powstałych w wyniku załączenia obwodu szeregowego RLC do źródła napięcia stałego.

Rys. 6.83 „Załączanie oscylacyjne" obwodu szeregowego RLC. Przebiegi wartości chwilowych: a) napięcia na kondensatorze; b) prądu w obwodzie

Dekrement logarytmiczny tłumienia λ jest parametrem określającym szybkość



zmniejszania się (tłumienia) wartości amplitud przebiegów oscylacyjnych.

Stosunek dwóch kolejnych amplitud napięcia

bT

ttb

bt

C

C ee

e

Ttu

tu==

+ +−

−

)()(

)(

T — okres drgań.

Dekrement logarytmiczny tłumienia

bT=λ

z definicji jest logarytmem stosunku dwóch kolejnych amplitud. Ponieważ okres

drgań

ω

π2=T

to uwzględniając zależność (6.232)

4

2R

C

L

R

−

=π

λ (6.236)

Obwody RLC można, w pewnych przypadkach, traktować jako swego rodzaju

przetworniki napięcia stałego na prąd i napięcie sinusoidalnie zmienne.

Sinusoidalny kształt prądów i napięć wynika z charakteru zjawisk zachodzących

w obwodach tego rodzaju.

W obwodach rzeczywistych otrzymuje się drgania sinusoidalnie gasnące.

Warunkiem wystąpienia drgań niegasnących w obwodzie jest, aby R = 0. Przy R

= 0 współczynnik tłumienia — wzór (6.232) — b = 0 i dekrement logarytmiczny

tłumienia — wzór (6.236) — λ = 0, natomiast tg δ → ∞ — patrz wzór (6.234).

Ostatni warunek oznacza, że δ = 90°, co świadczy o tym, że przebieg wartości

chwilowych prądu jest przesunięty w fazie o 90° względem przebiegu napięcia.

Drgania napięcia i prądu odbywają się w takim przypadku z częstością — patrz

wzór (6.232)

LC

10 == ωω (6.237)

a ich wartości chwilowe opisują zależności — patrz wzór (6.234) i (6.235)

)cos( 0tIUuC ω−= (6.238)

tL

CUi 0sinω= (6.239)



Jak widać z rys. 6.84, napięcie na kondensatorze oscyluje wokół wartości

napięcia wymuszającego, a prąd w obwodzie — wokół wartości zerowej.

Rys. 6.84 „Załączanie oscylacyjne" obwodu szeregowego RLC w przypadku braku tłumienia (R = 0). Przebieg wartości chwilowej napięcia uC na kondensatorze i prądu i w obwodzie

Zwarcie aperiodyczne obwodu szeregowego RLC

Zwarcie w obwodzie szeregowym RLC ma charakter aperiodyczny wtedy,

kiedyC

LR 2> (rys. 6.81, przełącznik S w pozycji 2). Zjawiska zwarciowe

rozpatrzymy dla przypadku, kiedy w chwili początkowej (t = 0) kondensator jest

naładowany do napięcia U0 (uC (0) = U0), a w obwodzie prąd nie płynie (I (0) =

0). Podobnie jak poprzednio, interesujące dla nas będą przebiegi napięcia UCs na

kondensatorze i prądu i w obwodzie. Ze względu na brak wymuszenia

zewnętrznego wielkości te będą miały tylko składową swobodną opisaną

równaniami

( )tbtb

C ebebbb

Uu 21

12

12

0 −− −−

= (6.24

( )tbtbeeU

bb

bCbi 21

0

12

21 −− −−

= (6.241)

gdzie wielkości b1 i b2 są określone wzorami (6.219). Prąd w obwodzie (rys.

6.85) osiąga największą wartość Im w czasie t0, w którym napięcie uC

charakteryzuje największa szybkość zmian.

Zwarcie aperiodyczne krytyczne obwodu RLC

Zwarcie krytyczne w obwodzie szeregowym RLC ma charakter aperiodyczny

krytyczny wtedy, gdy

C

LR 2= . Składowa swobodna napięcia i składowa swobodna prądu są wyrażone

w tym przypadku wzorami



Rys. 6.85 „Zwarcie aperiodyczne" w obwodzie szeregowym RLC. Przebiegi wartości chwilowych: a) napięcia na kondensatorze; b) prądu w obwodzie

bt

C ebtUu −+= )1(0 (6.242)

btteUCbi −= 0

2 (6.243)

gdzie wielkość b jest określona zależnością (6.223).

Rys. 6.86 Zwarcie oscylacyjne" w obwodzie szeregowym RLC. Przebiegi wartości chwilowych: a) napięcia na kondensatorze; b) prądu w obwodzie

Charakter zmienności napięcia na kondensatorze i prądu w obwodzie jest taki

sam, jak w przypadku zwarcia aperiodycznego (rys. 6.85). Inaczej są tylko

określone parametry charakterystyczne tych przebiegów: Im i t0.

Zwarcie oscylacyjne obwodu RLC

Zwarcie w obwodzie szeregowym RLC ma charakter oscylacyjny, gdyC

LR 2< .

Składowa swobodna napięcia odpowiada charakterem zmian składowej

swobodnej prądu, a wielkości te są wyrażone zależnościami



( )ttbeU

ubt

C ωωωω

cossin0 +=−

(6.244)

tL

eUi

bt

ωω

sin0

−

= (6.245)

gdzie wielkości b i ω są określone wzorem (6.232).

Korzystając z odpowiednich przekształceń trygonometrycznych oraz zależności

(6.232) można również napisać, że

( )δωω

+−=−

tLC

eUu

bt

Csin0 6.246)

gdzie b

tgω

δ = .

Przebiegi wartości chwilowych napięcia uC rozładowania oscylacyjnego

kondensatora oraz prądu takiego rozładowania przedstawiono na rys. 6.86. W

przypadku braku tłumienia uzyskuje się w takim przypadku przebiegi

sinusoidalne niegasnące prądu i napięcia przesunięte w fazie względem siebie o

kąt 90°.

Przebiegi przedstawione na rys. 6.82, 6.83, 6.84, 6.85, 6.86 i 6.89 obserwuje

się nie tylko w układach elektrycznych, lecz również w układach mechanicznych.

W tych ostatnich dotyczą one odchylenia części ruchomej w funkcji czasu. Ruch

części ruchomych jest możliwy w układach mechanicznych, gdy składają się one

z elementów sprężystych, tłumiących i mas bezwładnych. W takich układach

energia mechaniczna jest magazynowana w postaci energii potencjalnej

napiętych sprężyn lub w postaci energii kinetycznej elementów bezwładnych.

6.5.4 Transformator powietrzny Transformator jest to układ elektryczny dwuobwodowy, w którym energia

może się przenosić z jednego obwodu do drugiego za pośrednictwem pola

magnetycznego z wykorzystaniem zjawiska indukcji elektromagnetycznej.

Transformator powietrzny składa się z dwóch cewek sprzężonych magnetycznie

(rys. 6.87). Prąd sinusoidalnie zmienny w obwodzie pierwotnym

tIi m ωsin11 = (6.245)

indukuje na zaciskach pierwszej cewki siłę elektromotoryczną



tILdt

diLe m ωω cos11

111 −=−= (6.246)

Dzięki sprzężeniu magnetycznemu, na zaciskach drugiej cewki jest indukowana

siła elektromotoryczna

tMIdt

diMe m ωω cos1

12 −=−= (6.247)

Rys. 6.87 Układ dwóch cewek sprzężonych magnetycznie. Transformator powietrzny

Siła elektromotoryczna e2 jest napięciem źródłowym w obwodzie wtórnym, pod

wpływem której płynie w tym obwodzie prąd i2. Jeśli R2 >> ωL2, to przebieg

czasowy prądu i2 będzie przesunięty w fazie względem przebiegu prądu i1 o kąt

90°. Jeśli natomiast R2 << ωL2, to przebieg prądu i2 będzie przesunięty w fazie

względem przebiegu prądu i1 o kąt równy w przybliżeniu 180°.

Transformatory nie zawierają na ogół elementów pojemnościowych. Jeżeli

jednak rozpatruje się stan nieustalony transformatora, w jego schemacie

zastępczym należy uwzględnić pojemności obwodu pierwotnego i wtórnego (rys.

6.88). Rozpatrzmy dla przykładu stan nieustalony transformatora związany z

odłączeniem obwodu pierwotnego od źródła zasilania. Obwód pierwotny niech

będzie zamknięty przez kondensator C1 naładowany w chwili komutacji do

napięcia U0. Pole elektryczne tego kondensatora jest źródłem energii w układzie.

Dla uproszczenia rozważań przyjmijmy, że częstości rezonansowe obwodów

izolowanych są sobie równe, czyli

0

2221

11ω==

CLCL (6.248)

Częstości przebiegów w obwodach sprzężonych nie są jednakowe. W przypadku

sprzężenia

kk +=

−=

11

02

01

ωω

ωω (6.249)

k — współczynnik sprzężenia — patrz wzór (6.126).



Rys. 6.88 Obwody szeregowe RLC sprzężone magnetycznie

Uwzględniając wszystkie przyjęte uproszczenia można napisać równanie

opisujące prądy i napięcia w układzie transformatora

( )

( )

( )

( )ttUCCi

ttUCi

ttUC

Cu

ttUu

22110212

2211011

210

2

12

2101

sinsin2

1

sinsin2

1

coscos2

1

coscos2

1

ωωωω

ωωωω

ωω

ωω

−=

+=

−=

+=

(6.250)

u1, u2 — napięcia na kondensatorach C1 i C2.

Rysunek 6.89 ilustruje tak zwane zjawisko dudnienia. Dudnienia (okresowe

wahania amplitudy) i związane z nimi dudnieniowe przekazywanie energii

występują szczególnie wtedy, gdy częstości ω1 i ω2 niezbyt się od siebie różnią, a

więc wtedy, gdy obwody są słabo sprzężone (k niewiele większe od zera).

Dudnienie, będące wynikiem nakładania się dwóch przebiegów o mało różniących

się częstościach, rozpatrzymy na przykładzie przebiegu prądu

( )ttCUi 2211101 sinsin2

1ωωωω += (6.251)

Wyrażenie w nawiasie można przedstawić w postaci

( ) ( )tttttt 2121

2121

2211 sinsin2

sinsin2

sinsin ωωωω

ωωωω

ωωωω −−

+++

=+

Ponieważ ω1 — ω2 ≈ 0, to drugi człon zależności można pominąć i wtedy

( )( )ttCUi 2111101 sinsin4

1ωωωω ++= (6.252)

Można również napisać, że

( ) ( ) ( )2

sin2

cos2

1 111111101

ttCUi

ωωωωωω

+×

−+= (6.253)

Wyrażenie



( ) ( )2

cos2

1 111110

tCUI m

ωωωω

−+=′ (6.254)

można traktować jako matematyczny zapis amplitudy prądu o częstości2

11 ωω +.

Amplituda ta jest funkcją czasu i zmienia się z częstością 2

11 ωω −. Zmiany te są

znacznie wolniejsze niż zmiany wartości chwilowej prądu, 1111 ωωωω +<<− .

Rys. 6.89 Przebiegi wartości chwilowych: a) napięcia na kondensatorze C1 w obwodzie pierwotnym; b) prądu w obwodzie pierwotnym; c) napięcia na kondensatorze C2 w obwodzie wtórnym; d) prądu w obwodzie wtórnym

W obwodach bezstratnych zjawisko dudnienia może trwać nieskończenie długo.

Przebiegi dudnieniowe w jednym obwodzie są przesunięte w fazie względem

analogicznych przebiegów w drugim obwodzie o kąt 90°. A więc dzięki

sprzężeniu magnetycznemu mamy zjawisko przenoszenia energii z jednego

obwodu do drugiego. W obwodach rzeczywistych proces ten jednak słabnie, co

jest związane ze stratami energii.

Dudnienia w obwodach nie występują, gdyC

LR 2≤ .



6.6 Elementy magnetyczne rdzeniowe. Dławik Dławik jest to element magnetyczny rdzeniowy charakteryzujący się dużą

indukcyjnością własną.

Składa się on z cewki i rdzenia ferromagnetycznego, na którym jest ta cewka

nawinięta (rys. 6.90). Rdzeń stalowy stanowi zamkniętą drogę dla strumienia

magnetycznego wytworzonego przez prąd magnesujący. Charakterystyka

magnesowania rdzenia jest tak zwaną „pętlą histerezy magnetycznej” (rys.

5.40), w której jednej wartości natężenia pola magnetycznego odpowiadają

różne wartości indukcji magnetycznej w rdzeniu. Indukcyjność dławika nie jest

wielkością stałą, lecz zależną od stopnia namagnesowania rdzenia (rys. 5.41). Z

tego względu dławik jest elementem nieliniowym (patrz p. 5.6.2).

Rys. 6.90 Uproszczony schemat dławika z — liczba zwojów uzwojenia magnesującego, I — prąd magnesujący, Φ — strumień magnetyczny

Kształt charakterystyki napięciowo-prądowej dławika (rys. 6.91) jest wynikiem

nieliniowej zależności między natężeniem pola magnetycznego i indukcją

magnetyczną (patrz p. 5.6.2). Analitycznie charakterystykę napięciowo-prądową

dławika można przedstawić równaniem

ILRU 222 ω+= (6.255)

w którym indukcyjność L jest funkcją prądu magnesującego.

Nieliniowość dławika wynika z nieliniowości przenikalności magnetycznej rdzenia

ferromagnetycznego w funkcji natężenia pola magnetycznego (patrz rys. 5.41).

Ze wzrostem natężenia, czyli ze zwiększaniem się prądu magnesującego w

uzwojeniu dławika, przenikalność rdzenia ferromagnetycznego maleje, i maleje

w związku z tym indukcyjność dławika. Ze wzrostem prądu maleje więc

impedancja dławika — wzór (6.255) — i jednakowym przyrostom prądu



odpowiadają coraz mniejsze przyrosty napięć na zaciskach uzwojenia

magnesującego (rys. 6.91).

Rys. 6.91 Charakterystyka napięciowo-prądowa dławika

Poczynając od wartości prądu Inas zwanego prądem nasycenia, napięcie na

zaciskach uzwojenia magnesującego zwiększa się wolniej niż prąd w tym

uzwojeniu, gdyż wzrost prądu powoduje jednocześnie zmniejszanie się

indukcyjności i impedancji dławika.

Dławik przyłączony do źródła napięcia przemiennego pobiera z tego źródła moc

czynną i bierną. Moc bierna jest zużywana na wytworzenie w rdzeniu strumienia

magnetycznego.

Moc czynna jest tracona na :

— nagrzewanie uzwojeń dławika (ciepło Joule'a-Lenza wydzielające się na

rezystancji uzwojeń),

— przemagnesowanie rdzenia (straty mocy na histerezę),

— wytworzenie prądów wirowych.

Prądy wirowe płyną w płaszczyźnie przekroju poprzecznego rdzenia stalowego i

powodują jego nagrzewanie się. Jest to zjawisko niepożądane. Dlatego też, aby

zwiększyć rezystancję dla prądów wirowych, rdzenie dławików składa się z blach

izolowanych od siebie warstwą lakieru izolacyjnego.

Ogólnie biorąc, straty mocy w dławiku dzieli się na :

— straty w miedzi (straty mocy w uzwojeniach z reguły nawiniętych drutem

miedzianym).

— straty w żelazie (straty mocy na przemagnesowanie stalowego rdzenia i prądy

wirowe).



Rys. 6.92 Dławik z pomocniczym uzwojeniem pomiarowym o liczbie zwojów zp

Rys. 6.93 Przebiegi prądów i napięć w dławiku przy wymuszeniu napięciowym sinusoidalnym: a) wymuszenie napięciowe sinusoidalne; b) krzywa magnesowania pierwotnego; c) przebieg prądu w uzwojeniu magnesującym dławika

Straty w miedzi nie zależą praktycznie od częstotliwości zmian prądu lub

napięcia, natomiast straty mocy czynnej w żelazie silnie zależą od częstotliwości

prądu magnesującego. Straty na histerezę są przy tym wprost proporcjonalne do

częstotliwości, a straty mocy na prądy wirowe — wprost proporcjonalne do

kwadratu częstotliwości zmian prądu magnesującego.

Właściwości dławika wykorzystuje się w wielu układach elektrycznych. Korzysta

się przy tym z dodatkowych uzwojeń nawiniętych na jego rdzeniu (rys. 6.92). W

szczególności wykorzystuje się cechę nieliniowości dławików.

Jeżeli do zacisków uzwojenia magnesującego dławika doprowadzi się napięcie

sinusoidalne zmienne, to wytworzy ono sinusoidalne zmiany strumienia

magnetycznego i indukcji magnetycznej w rdzeniu (rys. 6.93). Ze względu na

nieliniowość krzywej magnesowania sinusoidalnym zmianom indukcji B i

strumienia Φ będą odpowiadały niesinusoidalne (odkształcone) zmiany prądu

magnesującego I i natężenia pola magnetycznego H. Przebieg prądu

magnesującego, w przypadku wymuszenia napięciowego sinusoidalnego, będzie

„wyostrzony”. „Piki prądowe” powstają przy wchodzeniu dławika w stan

nasycenia i mogą osiągać dużą wartość.



Podobne zjawiska odkształcenia obserwuje się przy wymuszeniu prądowym

sinusoidalnym (rys. 6.94). Sinusoidalnie zmienny prąd magnesujący wytwarza w

rdzeniu pole magnetyczne zmieniające się również sinusoidalnie. Ze względu na

nieliniowość krzywej magnesowania sinusoidalnym zmianom prądu I i natężenia

pola H odpowiadają niesinusoidalne (odkształcone) zmiany indukcji B i

strumienia magnetycznego Φ. Przebieg strumienia magnetycznego, w przypadku

wymuszenia prądowego sinusoidalnego, będzie „stępiony". Płaska część krzywej

B = f (t) (rys. 6.94c) jest tym większa, im prędzej dławik wchodzi w nasycenie.

Wartość maksymalna indukcji magnetycznej nie przekracza przy tym wartości

nasycenia.

Zmienny strumień magnetyczny, o przebiegu wartości chwilowej jak na rys.

6.94c, indukuje w uzwojeniu pomiarowym o liczbie zwojów zp (patrz rys. 6.92)

siłę elektromotoryczną

dt

dze p

Φ= (6.256)

Indukowana siła elektromotoryczna przyjmuje niezerową wartość tylko w czasie

zmian strumienia i ma kształt „szpilkowy". Dławik można więc wykorzystać jako

generator impulsów szpilkowych napięcia.

Rys. 6.94 Przebiegi prądów i napięć w dławiku o wymuszeniu prądowym sinusoidalnym: a) wymuszenie prądowe sinusoidalne; b) krzywa magnesowania pierwotnego; c) przebieg indukcji i strumienia magnetycznego w rdzeniu dławika; d) przebieg wartości chwilowych siły elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniu pomiarowym dławika

Odkształcone przebiegi prądu i napięcia w obwodach elektrycznych można

traktować jako sumę przebiegów sinusoidalnych o różnych amplitudach,

częstościach i fazach, czyli sumę tzw. harmonicznych (p. 7.7). Dławik zatem, a



szczególnie dławik pracujący w stanie nasycenia, jest w obwodach elektrycznych

źródłem harmonicznych.

Zjawiska występujące w dławiku są charakterystyczne dla wszystkich elementów

złożonych z rdzenia ferromagnetycznego i nawiniętych na nim uzwojeń, a więc

transformatorów, przekaźników, elektromagnesów i innych urządzeń.

Ze względu na różnorodność zjawisk towarzyszących przepływowi prądu

magnesującego cewki z rdzeniami ferromagnetycznymi znalazły wiele

zastosowań w różnych dziedzinach techniki. Między innymi wykorzystuje sieje do

budowy magnetycznych stabilizatorów napięcia i wzmacniaczy magnetycznych,

dławików w świetlówkach, przekaźników, elektromagnesów itd.

Dławiki wykorzystywane były również jako elementy pamięciowe elektronicznych

maszyn cyfrowych. Ze względu na to, że w tym przypadku rdzeń dławika

wykonany jest z magnetycznie twardego ciała ferromagnetycznego, przechowuje

on stan namagnesowania długo po wyłączeniu prądu magnesującego, jest więc

on elementem pamięciowym.

Przykład 6.42 Wyznaczyć indukcyjność dławika z rys. 5.43 ze szczeliną powietrzną i bez szczeliny. Do obliczeń przyjąć lp = 0,01 m, lFe = 0,6 m, Sp = 10 cm

2, SFe = 8 cm2, µr=6000, µ0 =

4π·10-7 H · m-1, z = 100 (patrz przykład 5.11).

Z prawa przepływu wynika, że

FeFepp lHlHIz +==Θ

Ponieważ FerFep HBiHBp 00 µµµ ==

Fe

r

Fep

pB

lB

lIz

00 µµµ+==Θ

Uwzględniając, że prppp HBiHB µµµ 00 ==

Φ

+==Θ

Fer

Fe

p

p

S

l

S

lIz

00 µµµ

Z reguły w rdzeniu ze szczeliną powietrzną

p

p

Fer

Fe

S

l

S

l

00 µµµ<<

W naszym przypadku odpowiada to nierówności



00 µµµp

r

Fell

<<

Ponieważ zΦ=Ψ , to p

p

S

lIz

0

2

µ=

Stąd p

p

l

Sz

IL

0

2

0

µ=

Ψ=

Uwzględniając wartości liczbowe: L0 = 1,256 mH.

W przypadku dławika bez szczeliny powietrznej lp = 0 i wtedy

Ψ=Fer

Fe

S

lIz

0

2

µµ

a indukcyjność

Fe

FerFe

l

SzL 0

2 µµ=

Uwzględniając wartości liczbowe:

mHLFe 5,100=

Indukcyjność L0 dławika ze szczeliną powietrzną jest znacznie mniejsza od

indukcyjności LFe dławika bez szczeliny, jest jednak indukcyjnością liniową,

praktycznie niezależną od przenikalności magnetycznej względnej µr rdzenia,

która, jak wiadomo, zależy od stopnia nasycenia rdzenia.

Dławik ze szczeliną powietrzną jest także zwany dławikiem liniowym. Dławik

liniowy nie może przejść w nasycenie, nawet przy największych prądach, jakie

mogą płynąć przez uzwojenia magnesujące bez obawy ich zniszczenia. W

rozpatrywanym przypadku, np. prąd nasycenia dławika liniowego (dławika ze

szczeliną powietrzną) jest ok. 100 razy większy od prądu nasycenia dławika bez

szczeliny (porównaj indukcyjności dławików).

6.7 Elementy półprzewodnikowe Elementy półprzewodnikowe są wykonywane na bazie półprzewodników

domieszkowanych. Półprzewodniki samoistne i domieszkowe zostały omówione w



p. 5.1. Obecnie zostaną omówione elementy z nich zbudowane.

Najprostszym elementem półprzewodnikowym jest dioda krystaliczna Jest ona

zbudowana z dwóch warstw półprzewodnika: półprzewodnika typu p i

półprzewodnika typu n, złączonych ze sobą. Na styku obszarów o różnych

rodzajach przewodnictwa elektrycznego powstaje tzw. złącze p-n. Właściwości

elektryczne złącza p-n w sposób decydujący wpływają na właściwości elementów

półprzewodnikowych i są wykorzystywane w tranzystorach, fototranzystorach,

tyrystorach, fotodiodach i innych.

Złącze p-n w stanie swobodnym (rys. 6.95a) ma większą koncentrację

elektronów przewodnictwa w obszarze typu n niż w obszarze typu p. Z kolei w

obszarze typu p jest większa koncentracja dziur. W tych warunkach następuje

proces dyfuzji polegający na przenikaniu elektronów w obszar typu p i dziur w

obszar typu n. Dwukierunkowa dyfuzja ładunków o przeciwnych znakach

powoduje powstanie na złączu podwójnej warstwy elektrycznej. Podwójna

warstwa elektryczna jest źródłem pola elektrycznego wytwarzanego w

obszarze p-n. Kierunek tego pola jest taki, że przeciwdziała dalszej dyfuzji

ładunków przez złącze.

Rys. 6.95 Struktura diody krystalicznej (półprzewodnikowej) i bariera potencjału: a) dioda w stanie swobodnym; b) dioda spolaryzowana w kierunku wstecznym; c) dioda spolaryzowana w kierunku przewodzenia, UR — napięcie wsteczne, UF — napięcie przewodzenia, ∆V — bariera potencjału



Przez złącze p-n w stanie równowagi (bez zewnętrznego poła elektrycznego), w

ustalonych warunkach termicznych, przepływają dwa wzajemne kompensujące

się prądy. Jeden z tych prądów, zwany prądem rekombinacyjnym, tworzą

dziury przepływające z obszaru typu p do obszaru typu n, gdzie ulegają

rekombinacji, oraz elektrony przepływające z obszaru typu n do obszaru typu p,

ulegając w tym obszarze również rekombinacji.

Drugi prąd jest prądem dyfuzyjnym i wynika z generowania dziur w obszarze

typu n — na skutek fluktuacji termicznych — i ich dyfuzji do obszaru typu p. W

warunkach równowagi termicznej obydwa prądy płyną w przeciwne strony i są

równe dając prąd wypadkowy płynący przez złącze równy zero.

Podwójna warstwa elektryczna, która ustala się na złączu p-n w warunkach

równowagi, nosi nazwę warstwy zaporowej lub bariery potencjału. Z barierą

potencjału związana jest różnica energii potencjalnej nośników ładunków

elektrycznych (elektronów i dziur) po obu stronach złącza.

Wartość bariery potencjału, określoną różnicą potencjału ∆V (rys. 6.95a), można

zmieniać zewnętrznym polem elektrycznym. Jeżeli do diody krystalicznej (do

złącza) przyłoży się napięcie elektryczne tak, że elektrodę dodatnią będzie

stanowił obszar typu n, a elektrodę ujemną — obszar typu p, to bariera

potencjału ulegnie zwiększeniu (rys. 6.95b). Zwiększona bariera potencjału

utrudnia ruch nośników tworzących prąd rekombinacyjny. Jego wartość

praktycznie, w tych warunkach, zmniejsza się do zera. Pozostaje jedynie

niewielki prąd dyfuzyjny, praktycznie niezależny od przyłożonego napięcia.

Rezystancja diody dla opisanego kierunku polaryzacji złącza (diody) jest bardzo

duża, a napięcie o takim kierunku nazywa się napięciem polaryzacji

wstecznej UR. Jeśli do złącza przyłoży się napięcie elektryczne tak, że elektrodę

dodatnią będzie stanowił obszar typu p, a elektrodę ujemną — obszar typu n, to

bateria potencjału ulegnie zmniejszeniu (rys. 6.95c). Bariera potencjału ulega

przy tym zmniejszeniu dla dziur i dla elektronów. Prąd rekombinacyjny osiąga

więc dużą wartość, a prąd dyfuzyjny pozostaje bez zmiany. Rezystancja diody

dla opisanego kierunku polaryzacji złącza (diody) jest mała, a napięcie o takim

kierunku polaryzacji nazywa się napięciem przewodzenia UF.



Rys. 6.96 Symbol (a) i charakterystyka prądowo-napięciowa diody prostowniczej (b)

Jak wynika z przeprowadzonej analizy właściwości elektrycznych złącza p-n,

dioda krystaliczna charakteryzuje się różną rezystancją dla różnych kierunków

polaryzacji. Stanowi więc element nieliniowy o charakterze prądowo-napięciowej

niesymetrycznej (rys. 6.96). Z tego względu wykorzystuje się ją do

„prostowania” przebiegów prądów przemiennych.

Prostowanie to polega na jednokierunkowym przewodzeniu prądu. Dioda jest

więc podstawowym elementem układu prostownika półfalowego

(jednopołówkowego) (rys. 6.97).

Odmianą diody półprzewodnikowej jest dioda Zenera, w której wykorzystuje się

zjawisko przenikania elektronów z pasma podstawowego do pasma

przewodnictwa występującego w półprzewodniku pod wpływem dużego

natężenia pola elektrycznego (zjawisko C. Zenera). Przenikanie to zachodzi przy

pewnej progowej wartości natężenia pola elektrycznego i prowadzi do

gwałtownego wzrostu koncentracji nośników ładunków elektrycznych —

elektronów i dziur.

Dioda Zenera jest wykorzystywana w takich układach połączeń, w których złącze

p-n może pracować przy polaryzacji w kierunku wstecznym. Przy takiej

polaryzacji, przy napięciu równym napięciu Zenera, następuje lawinowy wzrost

nośników ładunków i prąd płynący przez diodę gwałtownie zwiększa się (rys.

6.98), przy czym dużym zmianom prądu w zakresie od Imin do Imax odpowiadają

niewielkie zmiany spadku napięcia ∆U na zaciskach diody. Diody Zenera

wykorzystuje się zatem do stabilizacji napięć i w układach formowania sygnałów.

W zależności od wykonania diody przeznacza się do stabilizacji napięć Ust w

zakresie od kilku do kilkuset woltów. Elementy półprzewodnikowe złączowe

wykorzystuje się nie tylko do budowy różnego rodzaju diod, lecz także do

budowy bardziej złożonych, wielokońcówkowych elementów, w tym tranzystorów

i tyrystorów.



Rys. 6.97 Układ prostownika półfalowego (a) i przebiegi napięcia wejściowego (b) i wyjściowego (c)

Rys. 6.98 Symbol (a) i charakterystyka prądowo-napięciowa (b) diody Zenera, UZ — napięcie Zenera

Tranzystor złączowy powstaje przez wytworzenie w płytce półprzewodnika

trzech stykających się obszarów o różnych typach przewodnictwa. Ze względu na

kolejność położenia tych obszarów rozróżnia się tranzystory typu p-n-p i n-p-n

(rys. 6.99).

Obszary tranzystora, w których przewodnictwo jest kolejno innego typu, noszą

nazwę obszarów: emitera, bazy i kolektora. Elektrody dołączone do tych

obszarów nazywa się odpowiednio emiterem, bazą i kolektorem.

W tranzystorze występują dwa złącza p-n. W czasie pracy tranzystora są one

odpowiednio spolaryzowane. Złącze emiter-baza jest zazwyczaj spolaryzowane w



kierunku przewodzenia, a złącze kolektor-baza — w kierunku wstecznym. Z tego

względu rezystancja REB złącza emiter-baza jest mała, a rezystancja RBC złącza

baza-kolektor jest duża.

Istotną cechą konstrukcyjno-technologiczną tranzystora, rzutującą na jego

właściwości elektryczne, jest mały obszar bazy w stosunku do obszaru emitera i

kolektora.

Obszar bazy, o grubości rzędu setnych części milimetra, stanowi tak krótką

drogę dla elektronów (lub dziur), że prawdopodobieństwo ich rekombinacji w

tym obszarze z dziurami (a dziur z elektronami) jest bardzo małe, tak że nośniki

wychodzące z emitera po przebyciu obszaru bazy wnikają prawie w tej samej

ilości w obszar kolektora. Z obszaru kolektora nie mogą one dyfundować z

powrotem ze względu na barierę potencjału na złączu baza-kolektor.

Przechodzące nośniki tworzą prąd kolektora IC, którego wartość jest w

przybliżeniu równa wartości prądu emitera IE. Prąd kolektora jest równy prądowi

emitera, pomniejszonemu o niewielki prąd w obwodzie bazy

BEc III −=

Tranzystor ma właściwości wzmacniające (rys. 6.100). Zmiana prądu w

obwodzie bazy o ∆IB powoduje zmianę prądu kolektora o ∆IC oraz zmianę prądu

w obwodzie emitera o ∆IE. Odpowiada to zmianie mocy doprowadzonej o 2

0 EE IR ∆ |

oraz zmianie mocy wydzielanej na kolektorze o 2

0 CC IR ∆ . Ponieważ w przybliżeniu

spełniony jest warunek IE = IC, to moc wyjściowa (moc w obwodzie kolektora)

jest większa od mocy wejściowej (moc w obwodzie emitera)Eo

Co

R

R razy.

Zwiększenie mocy wyjściowej odbywa się przy poborze energii ze źródła napięcia

zasilającego.



Rys. 6.99 Struktura, schemat zastępczy (symbol) i kierunki prądów tranzystora: a) n-p-n; b) p-n-p E—emitor, B—baza, C—kolektor

Rys. 6.100 Schemat prostego wzmacniacza tranzystorowego

Rozwój technologii elektronowej doprowadził do powstania wielu innych jeszcze

typów elementów półprzewodnikowych. Jednym z nich jest tyrystor, zwany też

diodą sterowaną. Tyrystor zbudowany jest z czterech warstw półprzewodnika o

układzie p-n-p-n. W tyrystorze występują zatem trzy złącza p-n. Zasada

działania tyrystorów jest podobna do zasady działania diody prostowniczej.

Elektroda połączona ze skrajnym obszarem typu p nosi nazwę anody, elektroda

połączona ze skrajnym obszarem typu n nosi nazwę katody. Elektroda połączona

z wewnętrznym obszarem typu p jest tzw. bramką (rys. 6.101). Przy prądzie

bramki IG = 0, w zakresie napięć nie przekraczających napięcia UB0 tyrystor

zachowuje się tak, jak dioda prostownicza spolaryzowana w kierunku wstecznym

— nie przewodzi. Dopiero po przekroczeniu wartości napięcia przełączającego UB0



rezystancja tyrystora gwałtownie zmniejsza się i przechodzi do stanu

przewodzenia. Tyrystor jest sterowany zmianami prądu bramki IG. Zwiększenie

prądu bramki prowadzi do zmniejszenia się napięcia przełączającego, przy

którym tyrystor przechodzi do stanu przewodzenia. Tyrystory stosuje się w

układach regulacji i sterowania, np. w układach sterowania mocą odbiorników

energii elektrycznej (żarówek, silników elektrycznych), falownikach i

przekształtnikach (prądu stałego na prąd przemienny), a ostatnio — również w

układach zapłonu silników spalinowych. Zaletą tyrystorów jest możliwość

sterowania dużych prądów anody za pomocą niewielkich prądów bramki.

Rys. 6.101 Symbol (a), struktura (b) i rodzina charakterystyk prądowo-napięciowa (c) tyrystora U (B0) — napięcie przełączające, IG — prąd bramki, A — anoda, K—katoda, G—bramka,

Elementy półprzewodnikowe z barierą potencjału na złączu p-n były podstawą

gwałtownego rozwoju elektroniki. Złącze p-n wykorzystano nie tylko do budowy

diod i tranzystorów, lecz także rezystorów i kondensatorów. W tym ostatnim

przypadku wykorzystuje się pojemność podwójnej warstwy elektrycznej złącza.

Ze względu na małą objętość elementów półprzewodnikowych, na malej

powierzchni płytki krzemowej można upakować wiele elementów

półprzewodnikowych: diod, tranzystorów, rezystorów i kondensatorów oraz

ścieżek przewodzących spełniających rolę połączeń elektrycznych. W ten sposób

powstały wielokońcówkowe elementy półprzewodnikowe, tzw. układy scalone

spełniające funkcje wzmacniaczy, generatorów, przekaźników, koderów,

dekoderów, układów pamięciowych, stabilizatorów, zasilaczy i innych. W

ostatnich latach dzięki postępowi w dziedzinie technologii, rozwinęła się technika



wielkiej skali integracji. Umożliwia ona budowę pojedynczych elementów

wykazujących zdolność wykonywania i zapamiętywania obliczeń

matematycznych, tzw. mikroprocesorów. Mikroprocesory są „sercem” np.

elektronicznych kieszonkowych kalkulatorów, a bardziej złożone mogą

wykonywać rozmaite operacje matematyczne, sterować pracą obrabiarek itp.

Jedną z dziedzin elektroniki, która również gwałtownie rozwija się w ostatnich

latach jest optoelektronika. Optoelektronika zajmuje się wykorzystaniem

wiązki promieniowania elektromagnetycznego do przesyłania informacji. Z tych

powodów obiektami jej zainteresowania są półprzewodnikowe źródła

promieniowania, modulatory promieniowania, światłowody (p. 9.5) i detektory

promieniowania. W układach optoelektronicznych stosuje się półprzewodnikowe

detektory promieniowania tworzące często ze źródłem promieniowania,

modulatorem i odcinkami światłowodów, elementy optoelektroniki

zintegrowanej (p. 6.8.9). Spośród fotodetektorów półprzewodnikowych

największe zastosowanie znalazły fotodiody, fototranzystory i fotorezystory.

Fotodetektory służą głównie do detekcji (wykrywania i rejestrowania)

promieniowania elektromagnetycznego.

Zakres długości fal, które wytwarza się w różnych urządzeniach i odbiera w

różnych czujnikach (detektorach) jest bardzo szeroki i zawiera się w granicach

od dziesiątków pikometrów (promieniowanie γ) do pojedynczych kilometrów

(fale radiowe). Naszym zmysłem wzroku odbieramy tylko bardzo wąski wycinek

długości fal, zawierający się w granicach od ok. 0,4 µm (fiolet) do 0,8 µm

(czerwień). Wrażenia zmysłowe wywołane w układzie nerwowym za

pośrednictwem wzroku dają nam obraz świata, który jest w istocie bardzo

wycinkowy, dla naszego życia jednak w zupełności wystarczający.

W wielu dziedzinach techniki zachodzi potrzeba rejestracji, wykrywania i pomiaru

natężenia promieniowania elektromagnetycznego o różnych długościach fal, w

tym i promieniowania widzialnego, bez udziału człowieka. Stosuje się wtedy

właśnie czujniki promieniowania. Czujniki przystosowane do pracy w zakresie

widzialnym widma promieniowania elektromagnetycznego nazywają się

fotoelementami. Fotoelementy (elementy optoelektroniczne) mogą być

lampowe i półprzewodnikowe. W fotoelementach lampowych (fotokomórka,



fotopowielacz) wykorzystuje się tzw. zewnętrzne zjawisko fotoelektryczne,

natomiast w półprzewodnikowych — wewnętrzne zjawiska fotoelektryczne.

Wrażliwość fotoelementów na promieniowanie o określonej długości fali wynika z

podstawowych praw fizyki kwantowej. Zgodnie z teorią kwantową budowy

atomu, atom może znajdować sic tylko w ściśle określonych stanach

energetycznych. Widmo energetyczne w półprzewodniku składa się z pasma

przewodnictwa i pasma podstawowego (walencyjnego) rozdzielonych pasmem

zabronionym (p. 5.1). Przejście atomu z jednego stanu stacjonarnego do

drugiego może zajść jedynie w wyniku absorpcji energii lub jej emisji. Zjawisko

zmiany stanu energetycznego atomu określa warunek Bohra

21 EEh −=ν (6.257)

w którym h — stała Plancka; v — częstotliwość promieniowania; E1, E2 — energia

stanów atomu.

W zjawisku fotoelektrycznym wewnętrznym elektron znajdujący się w paśmie

podstawowym otrzymuje energię w wyniku zderzenia z fotonem (kwantem

promieniowania elektromagnetycznego z widzialnego zakresu długości fal) i

pokonując barierę potencjału przechodzi do pasma przewodnictwa. W ten sposób

powstają pary nośników elektron-dziura. Liczba nośników ładunków

wyzwolonych w zjawisku fotoelektrycznym wewnętrznym jest wprost

proporcjonalna do liczby pochłanianych przez półprzewodnik kwantów światła.

Powodują one wzrost przewodnictwa materiału półprzewodnika i zmianę

przebiegu jego charakterystyki prądowo-napięciowej opisanej równaniem*

fIkT

eUII −

−= 1exp0 (6.258)

gdzie

Φ= SI f (6.259)

przy czym: I0 — prąd nasycenia złącza p-n generowany cieplnie (prąd ciemny);

If- — prąd fotoelektryczny; S — czułość fotoelektryczna; Φ — strumień

promieniowania; k — stała Boltzmanna; T — temperatura w skali bezwzględnej

(Kelvina); U — napięcie elektryczne; e — ładunek elektronu.

Zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne wykazuje pewną bezwładność, zależną od

czasu życia nośników ładunku.



Elementy optoelektroniczne półprzewodnikowe nie są jednakowo wrażliwe na

różne długości fal. Charakteryzują się one największą czułością dla

promieniowania, którego energia odpowiada szerokości przerwy energetycznej

między pasmem podstawowym i pasmem przewodnictwa. Na przykład dla

arsenku galu GaAs przerwa energetyczna między pasmami

eVEE 38,121 =− (6.260)

a zatem kwanty promieniowania o długości fali

mEE

hcµλ 9,0

21

=−

= (6.261)

* exp x = ex

są całkowicie przez ten materiał pochłaniane. Dla fal o tej długości czułość

materiału jest największa. Dla innych długości fal czułość fotoelementów jest

mniejsza. Zależność czułości od długości fali przedstawia tzw. charakterystyka

względnej czułości widmowej (rys. 6.102).

Maksimum czułości elementów półprzewodnikowych na promieniowanie nie

pokrywa się z maksimum czułości oka ludzkiego (przesunięte jest względem

niego w kierunku podczerwieni). Fakt niezgodności charakterystyk względnej

czułości widmowej oka ludzkiego i fotodetektorów jest niekiedy kłopotliwy, gdyż

fotodetektory „widzą” nieco inny obraz niż widzi go oko ludzkie. Dlatego też przy

pomiarach wielkości fotometrycznych często stosuje się specjalne filtry optyczne,

których zadaniem jest „uzgodnienie" przebiegu odpowiednich charakterystyk.

Rys. 6.102 Charakterystyka względnej czułości widmowej 1 — oka ludzkiego, 2 — fotodetektora półprzewodnikowego wykonanego z arsenku galu GaAs

Elementy optoelektroniczne półprzewodnikowe można podzielić na generacyjne i

parametryczne. Do elementów generacyjnych należą fotoogniwa (p. 8.7), a do

parametrycznych: fotorezystory, fotodiody i fototranzystory. Osobną grupę

stanowią: diody elektroluminescencyjne (świecące) (p. 4.7) i transoptory (p.

6.8.9).



Najprostszym półprzewodnikowym elementem optoelektronicznym

wykorzystującym złącze p-n jest fotodioda. Fotodioda w czasie normalnej pracy

jest spolaryzowana wstecznie. Wskutek pochłaniania przez złącze energii w

postaci strumienia świetlnego 4 zwiększa się energia elektronów. Dzięki temu

zmniejsza się rezystancja wsteczna fotodiody i prąd fotoelektryczny zwiększa się

(rys. 6.103). Charakterystyka

Rys. 6.103 Symbol i charakterystyki oświetleniowe fotodiod: germanowej i krzemowej

prądowo-napięciowa fotodiody jest zbliżona do charakterystyki zwykłej diody

spolaryzowanej w kierunku wstecznym.

Graniczna częstotliwość pracy fotodiody zależy od rozmiaru powierzchni złącza i

dla diod o małych powierzchniach dochodzi do kilkudziesięciu megaherców.

Rys. 6.104 Budowa fotodiody typu pin Au— elektrody złote, Si02 — warstwa tlenku krzemu, i — izolator (krzem Si), p, n — obszary półprzewodnika typu p oraz n, hν — kwant promieniowania

Nieco odmienną budowę, lecz podobne właściwości ma fotoczuła dioda typu pin.

W diodzie tej obszary typu p oraz n są rozdzielone cienką warstwą izolatora i

(rys. 6.104). Rolę izolatora spełnia na ogół obszar półprzewodnika samoistnego,

albo półprzewodnika o znacznie mniejszej koncentracji domieszek niż obszary p

lub n. Do doprowadzenia napięcia polaryzującego diodę w kierunku wstecznym,

służą cienkie elektrody złote. Kwanty promieniowania świetlnego przechodzące

przez półprzezroczystą warstwę o przewodności typu p pochłaniane są przez

izolator. Tam generują paty nośników elektron-dziura Nośniki te zostają

następnie w polu elektrycznym rozdzielone. Liczba ich, a więc i rezystancja



warstwy izolatora, zależą od liczby pochłanianych kwantów promieniowania.

Fotodiody typu pin charakteryzują się bardzo dużą czułością, znacznie większą

od czułości zwykłych fotodiod. W porównaniu z nimi charakteryzują się niskim

napięciem zasilania (ok. 20 V), dużą częstotliwością graniczną (fg = 50 MHz) i

małym prądem ciemnym (I0 = 0,25 µA).

Rys. 6.105 Symbol i charakterystyka oświetleniowa fototranzystorowa

Rys. 6.106 Fotorezystor: a) budowa; b) charakterystyka oświetleniowa

Właściwości złącz p-n wykorzystuje się również w fototranzystorze (rys. 6.105)

Fototranzystor złożony jest z dwóch warstw półprzewodnika typu p

przedzielonych warstwą półprzewodnika typu n. Pod wpływem strumienia

świetlnego padającego na bazę o prądzie zerowym powstają w niej elektrony i

dziury. W przypadku fototranzystora typu p-n-p prąd fotoelektryczny tworzy

ruch dziur w kierunku kolektora.

Fototranzystor łączy w sobie właściwości fotodiody i wzmacniające działanie

tranzystora.

Jednym z fotoczulych elementów półprzewodnikowych, nie wykorzystujących



jednak właściwości złącza p-n, jest fotorezystor. Fotorezystor stanowi fotoczuła

warstwa półprzewodnika umieszczona na podłożu izolacyjnym (rys. 6.106).

Między elektrodami elementu istnieje rezystancja zależna od wartości strumienia

świetlnego Φ. O wartości rezystancji decyduje ruchliwość nośników ładunków

elektrycznych, która zwiększa się w procesie pochłaniania kwantów

promieniowania. Fotorezystor charakteryzuje się nieliniową charakterystyką

prądowo-napięciowa i oświetleniową. Wadą jego jest duża bezwładność.

Graniczna częstotliwość pracy nie przekracza 10 Hz.

6.8 Wybrane układy elektryczne 6.8.1 Wiadomości ogólne Czwórnikiem (dwuwrotnikiem) nazywa się element czterokońcówkowy, w

którym wyróżnia się jedną parę zacisków wejściowych i jedną parę zacisków

wyjściowych, w którym dodatkowo spełniony jest warunek równości prądów na

wejściu i warunek równości prądów na wyjściu (rys. 6.107).

W układach elektrycznych czwórnik jest traktowany jako „pudełko” z

wyprowadzonymi na zewnątrz zaciskami, którego właściwości można opisać za

pomocą wielkości wejściowych: prądu wejściowego I1, i napięcia wejściowego U1

oraz za pomocą wielkości wyjściowych: prądu wyjściowego I2 i napięcia

wyjściowego U2. Wielkości te można ze sobą powiązać w układ równań

+=

+=

221

221

DICUI

BIAUU (6.262)

Rys. 6.107 Schemat czwórmka U1,I1 — napięcie i prąd wejściowy, U2, I2 — napięcie i prąd wyjściowy

Jest to postać łańcuchowa układu równań, gdyż umożliwia ona łatwe obliczenie

współczynników A, B, C i D układu czwórników połączonych łańcuchowo.

Połączenie łańcuchowe czwórników powstaje przez łączenie pary zacisków

wyjściowych jednego czwórnika z parą zacisków wejściowych następnego



czwórnika itd. Układ łańcuchowo połączonych czwórników (rys. 6.108) można

zastąpić jednym czwórnikiem, którego parametry A, B, C, D zależą od

parametrów A1, B1, C1, D1, pierwszego czwórnika, od parametrów A2, B2, C2, D2

drugiego czwórnika itd.

W przypadku połączenia łańcuchowego dwóch czwórników słuszne są wzory:

+=

+=

+=

+=

2112

1212

2121

2121

DDCBD

DCCAC

DBBAB

CBAAA

(6.263)

Parametry łańcuchowe czwórnika można wyznaczyć w sposób doświadczalny.

Korzysta się przy tym z twierdzenia, które mówi, że stan pracy znamionowej

czwórnika jest superpozycją (nałożeniem) stanu jałowego i stanu zwarcia.

Wyznaczając więc parametry zewnętrzne czwórnika w stanie jałowym i w stanie

zwarcia można określić właściwości czwórnika, nie wnikając w jego strukturę

wewnętrzną i wewnętrzny układ połączeń.

Rys. 6.108 Schemat układu połączenia łańcuchowego dwóch czwórników oraz czwórnik zastępczy (równoważny)

W stanie jałowym wyjścia czwórnika (I2 = 0) układ równań (6.262) redukuje się

do postaci

=

=

21

21

CUI

AUU (2.264)

z której wyznacza się impedancję wejściową jałową

C

A

I

UZ

I

==

=021

110 (6.265)

W stanie jałowym wejścia czwórnika (I1 = 0) układ równań (6.262) redukuje się

do postaci

220 DICU += (6.266)

z której wyznacza się impedancję wyjściową jałową



C

D

I

UZ

I

===02

220

1

(6.267)

W stanie zwarcia wyjścia czwórnika (U2 = 0) układ równań (6.262) redukuje się

do postaci

=

=

21

21

DII

BIU (6.268)

z której wyznacza się impedancję wejściową zwarciową

D

B

I

UZ

U

Z ===01

11

2

(6.269)

W stanie zwarcia wejścia czwórnika (U1 = 0) układ równań (6.262) redukuje się

do postaci

220 BIAU += (6.270)

z której wyznacza się impedancję wyjściową zwarciową

A

B

I

UZ

U

Z ===02

22

1

(6.271)

Po rozwiązaniu układu równań (6.265), (6.267), (6.269), (6.271) otrzymuje się

ZZ

Z

ZZ

ZZ

Z

ZZ

ZD

ZZZC

ZZ

ZZZB

ZZZ

ZZA

110

20

11020

110

2101

1102

101

)(

1

)(

−=

−=

−=

−=

(6.272)

Czwórniki, w znamionowych warunkach pracy, obciążone są impedancją

obciążenia (rys. 6.109) Zobc zmieniającą impedancję wejściową czwórników, dla

której w tym przypadku słuszny jest wzór

DCZ

BAZZ

obc

obcwe

+

+= (6.273)

Właściwości czwórników i układu ich połączeń są przedmiotem analizy

elektrotechniki teoretycznej.

Niektóre rodzaje czwórników będą omówione w dalszej części rozdziału.

Rys. 6.109 Schemat czwórnika obciążonego



6.8.2 Filtry elektryczne Przebiegi elektryczne zmienne wykorzystywane w elektrotechnice są najczęściej

przebiegami sinusoidalnymi. W układach praktycznych przebiegi sinusoidalne

nieodkształcone występują rzadko. Częściej obserwuje się przebiegi odkształcone

związane z włączaniem odbiorników nieliniowych. Każdy przebieg odkształcony

można (patrz p. 7.7) traktować jako sumę przebiegów sinusoidalnych

nieodkształconych (harmonicznych). Harmoniczne zajmują nieraz znaczny zakres

częstotliwości (pasmo). Często zachodzi potrzeba wydzielenia spośród

wszystkich przebiegów harmonicznych tylko tych o małej częstotliwości lub tylko

tych o dużej częstotliwości, albo przebiegów zawartych w określonym paśmie

częstotliwości. Stosuje się wtedy filtry elektryczne.

Filtry stosuje się również w radiotechnice do selekcji sygnałów elektrycznych.

Między innymi filtry pozwalają na wykorzystanie do łączności przewodowej

nawet sieci energetycznych. Sieć może być nośnikiem nie tylko przebiegów

energetycznych o częstotliwości 50 Hz, lecz również sygnałów o

częstotliwościach leżących w paśmie akustycznym, np. sygnałów o częstotliwości

50 ... 12 000 Hz. Na końcu linii, w miejscu odbioru sygnałów, stosuje się filtry

elektryczne, które przepuszczając np. tylko sygnały o częstotliwości akustycznej

tłumią wszystkie sygnały o częstotliwościach mniejszych. Na tej zasadzie,

korzystając z instalacji domowej sieci elektrycznej, pracują niektóre domofony.

Sieci elektroenergetyczne wykorzystuje się nie tylko do celów łączności

przewodowej, lecz także do celów sterowania pracą tej sieci. W sieci przesyła się

np. sygnały sterujące o odpowiednio dobranej częstotliwości, które uruchamiają

włączanie oświetlenia ulic, lotnisk itp. Sygnałem o innej częstotliwości można za

pośrednictwem filtrów uruchomić mechanizmy wyłączające oświetlenie.

Filtry elektryczne są to układy wydzielające z doprowadzanego napięcia

elektrycznego przebiegi, których częstotliwość leży w określonym paśmie

częstotliwości.

Filtry wykorzystują zależność reaktancji elementów indukcyjnych i pojemnościo-

wych od częstotliwości przykładanego do nich napięcia. Na przykład cewka o

indukcyjności L i reaktancji ωL stanowi dużą impedancję dla prądu o dużej



częstotliwości. Dla składowej stałej i prądu o małej częstotliwości impedancja

cewki jest mała Kondensator o pojemności C i reaktancji 1/(ωC) stanowi

natomiast dużą impedancję dla składowej stałej prądu i prądu o małej

częstotliwości. Dla prądu o dużej częstotliwości impedancja kondensatora (patrz

dodatek A) jest mała. Pasmo częstotliwości, dla których impedancja filtru jest

duża, nazywa się pasmem tłumieniowym. Pasmo częstotliwości, dla

Rys. 6.110 Filtr dolnoprzepustowy: a) typu T; b) typu Π; c) charakterystyka częstotliwościowa

Rys. 6.111 Filtr dolnoprzepustowy: a) typu T; b) typu Π; c) charakterystyka częstotliwościowa



których impedancja filtru jest mała, nazywa się pasmem przepustowym.

Pasmo przepustowe może rozciągać się od częstotliwości bardzo małych do

pewnej częstotliwości granicznej fg i wtedy mówi się, że filtr jest

dolnoprzepustowy (rys. 6.110). Przebiegi o częstotliwości f < fg zostają w

takim filtrze wytłumione. Pasmo przepustowe może rozciągać się także w

przedziale od częstotliwości granicznej fg do bardzo dużych częstotliwości. Mówi

się wtedy, że filtr jest górnoprzepustowy (rys. 6.111). Przebiegi o malej

częstotliwości f <fg zostają wytłumione.

Oprócz omówionych filtrów istnieją również filtry środkowozaporowe i filtry

środkowoprzepustowe. Pierwsze z nich (rys. 6.112) tłumią przebiegi w

zakresie częstotliwości granicznych pasma fgl <f< fg2. Dla częstotliwości f <fgl i f

> fg2 filtr jest przepustowy. Filtry środkowoprzepustowe (rys. 6.113) tłumią

wszystkie przebiegi o częstotliwościach leżących poza pasmem przepustowym

ograniczonym częstotliwościami fg1 i fg2 - Częstotliwości graniczne fgl i fg2

określone są częstotliwością rezonansową gałęzi szeregowych L1C1, i

równoległych L2C2 filtrów.

Rys. 6.112 Filtr środkowozaporowy: a) typu T; b) typu Π; c) charakterystyka częstotliwościowa



Rys. 6.113 Filtr środkowoprzepustowy: a) typu T; b) typu Π; c) charakterystyka częstotliwościowa

Filtry elektryczne, oprócz tłumienia przebiegów elektrycznych o określonych

częstotliwościach, przesuwają fazę napięcia wyjściowego względem fazy

początkowej napięcia wejściowego. Wartość tego przesunięcia fazowego zależy

od częstotliwości przyłożonego napięcia.

6.8.3 Przesuwniki fazowe Fazą nazywa się wielkość fizyczną wyrażoną w radianach lub stopniach

kątowych,, określającą stan ruchu drgającego w danej chwili. W przypadku

ruchu drgającego opisanego funkcją sinusoidalną, faza jest argumentem tej

funkcji.

W ogólnym przypadku ruch drgający opisuje się równaniem

)sin( 0ϕω += tAa (6.274)

a — wartość chwilowa funkcji (wartość w czasie t); A — amplituda drgań; ω—

częstość drgań (pulsacja); φ0 — faza początkowa.

W elektrotechnice bardzo często rozpatruje się dwa uzależnione od siebie

przebiegi okresowe napięć, prądów lub napięcia i prądu. Przy rozpatrywaniu tych

przebiegów wprowadza się pojęcie przesunięcia fazowego.



Przesunięcie fazowe jest to różnica faz przebiegów okresowych mierzona w

częściach okresu, radianach lub stopniach kątowych.

Określa się je tylko dla drgań o tej samej częstotliwości. Jeśli dwa drgania

opisane są równaniami

)sin(sin 2211 ϕωω +== tUutUu mm (6.275)

to przesunięcie fazowe tych drgań jest równe φ.

Jednym z często występujących zagadnień jest pomiar przesunięcia fazowego.

Do pomiaru tej wielkości służą przyrządy zwane fazomierzami.

Rys. 6.114 Przesuwnik fazowy typu RC ze zmienną rezystancją: a) schemat; b) wykres wektorowy

W układach elektrycznych bardzo często występują przesuwniki fazowe.

Przesuwnik fazowy jest to urządzenie elektryczne, w którym uzyskuje się

zadane przesunięcie fazowe między dwoma przebiegami elektrycznymi napięć,

prądów lub prądu i napięcia. Najbardziej rozpowszechnione są przesuwniki

zbudowane z elementów rezystancyjnych i pojemnościowych (przesuwniki typu

RC — rys. 6.114 i 6.115). Zadaną wartość przesunięcia fazowego między dwoma

przebiegami elektrycznymi uzyskuje się w nich przez nastawienie odpowiedniej

wartości rezystancji rezystora nastawnego lub pojemności kondensatora

nastawnego. Przesuwniki takie powstają przez połączenie szeregowe rezystora i

kondensatora. Przez zmianę rezystancji R lub pojemności C uzyskuje się zmianę

przesunięcia fazowego między napięciem wejściowym Uwe i napięciem

wyjściowym Uwy występującym na kondensatorze C lub rezystorze R. Wraz ze

zmianą rezystancji R zmienia się długość wektora UR (rys. 6.114), którego koniec

wędruje po półokręgu. Ponieważ zawsze UR+Uwv = Uwe, to wektor Uwy będzie

również zmieniał swoją wartość ze zmianą kąta φ, jaki tworzy z wektorem



napięcia Uwe. Wadą takiego układu przesuwnika jest to, że zmiana przesunięcia

fazowego powoduje jednocześnie zmianę amplitudy napięcia wyjściowego.

Rys. 6.115 Przesuwnik fazowy RC ze zmienną pojemnością; a) schemat; b) wykres wektorowy

Podobnie pracuje przesuwnik fazowy pokazany na rys. 6.115. Zmianę

przesunięcia fazowego między napięciem wejściowym Uwe i napięciem

wyjściowym Uwy na rezystorze R uzyskuje się przez zmianę pojemności. W

przesuwniku tym amplituda napięcia wyjściowego również zależy od wartości

uzyskanego przesunięcia fazowego φ, co widać na wykresie wektorowym.

Do budowy przesuwników fazowych wykorzystuje się również układy mostkowe,

tranzystorowe, elektromaszynowe i inne. Przesuwniki fazowe wykorzystuje się w

elektronicznych układach regulacji i sterowania.

Przesunięcie fazowe między sinusoidalnymi przebiegami prądu i napięcia

występuje we wszystkich obwodach elektrycznych zawierających bierne

elementy pojemnościowe i indukcyjne. W wielu przypadkach, w celu zmiany

właściwości obwodu, zmienia się kąt przesunięcia fazowego.

6.8.4 Układy formowania sygnałów elektrycznych Istnieje niejednokrotnie potrzeba wytwarzania przebiegów napięcia o

określonych kształtach. Stosuje się wtedy układy formowania sygnałów

elektrycznych. Układ formowania sygnałów elektrycznych jest to czwórnik,

w którym następuje pożądana zmiana kształtu doprowadzonego do niego

sygnału elektrycznego. Najczęściej stosowane układy formowania sygnałów

elektrycznych, to układy różniczkujące, całkujące i układy ograniczników

amplitudowych.



Oprócz wymienionych układów, które będą omówione dalej, stosowane są

również i inne układy kształtujące. Stosuje się je głównie w układach

elektronicznych, gdzie często zachodzi potrzeba formowania sygnałów

prądowych lub napięciowych szpilkowych, trójkątnych, prostokątnych,

schodkowych itp.

Rys. 6.116 Schemat układu różniczkującego

Układ różniczkujący (rys. 6.116) jest układem, w którym sygnał wyjściowy jest

proporcjonalny do pochodnej sygnału wejściowego względem czasu. W

najprostszej postaci składa się on z szeregowo połączonych elementów RC, przy

czym napięcie wyjściowe jest zbierane z zacisków rezystora.

Dla przedstawionego układu można napisać równanie wynikające z prawa

napięciowego Kirchhoffa

Cwe uRiu += (6.276)

Napięcie wyjściowe

Riuwy = (6.277)

gdzie dt

duCi C=

A więc

dt

duRCu C

wy = (6.278)

Ponieważ wyweC uuu −= to

dt

uudRCu

wywe

wy

)( −= (6.279)

Jeśli przyjmie się, że uwy << uwe, to ostatecznie

dt

duRCu we

wy ≈ (6.280)



Rys. 6.117 Obraz graficzny operacji różniczkowania sygnałów prostokątnych jednobiegunowych przy założeniu, że Uwy<<Uwe: a) przebieg napięcia wejściowego; b) bieg napięcia wyjściowego Operacji różniczkowania można poddawać w przedstawionym układzie sygnały o

różnych kształtach. Na rys. 6.117 przedstawiono dla przykładu operację

formowania ciągu impulsów szpilkowych z przebiegu prostokątnego napięcia przy

użyciu układu różniczkującego.

Rys. 6.118 Schemat układu całkującego

Układ całkujący (rys. 6.118) jest układem, w którym sygnał wyjściowy jest

proporcjonalny do całki napięcia wejściowego po czasie t. W najprostszej postaci

składa się on z szeregowo połączonych elementów RC, przy czym napięcie

wyjściowe jest zbierane z zacisków kondensatora.

Dla przedstawionego układu, podobnie jak poprzednio, można napisać równanie

wynikające Z prawa napięciowego Kirchhoffa

Cwe uRiu += (6.281)

Napięcie wyjściowe

Cwy uu = (6.282)

gdzie ∫=t

C idtC

u0

1

Ponieważ

R

uui

wywe−

=

to



∫ −==t

wyweCwy dtuuRC

uu0

)(1

(6.283)

Jeśli przyjmie się, że wewy uu << to ostatecznie

∫=t

wewy dtuRC

u0

1 (6.284)

Operacji całkowania można poddawać w przedstawionym układzie sygnały o

różnych kształtach. Na rys. 6.119 przedstawiono dla przykładu operację

formowania „napięcia trójkątnego” z przebiegu prostokątnego sygnału

wejściowego za pomocą układu całkującego.

Elektryczne układy całkujące znalazły zastosowanie w elektronicznych

maszynach analogowych i układach pomiarowych.

Układy ograniczające mają za zadanie ograniczenie amplitudy sygnałów

przemiennych. W układach tych wykorzystuje się często diody Zenera, np.

przedstawiony na rys. 6.120 układ ogranicznika dwustronnego. Gdyby w

układzie pracowała tylko jedna dioda Zenera, otrzymalibyśmy ogranicznik

jednostronny (od dołu — dioda Dl lub od góry dioda D2).

Rys. 6.119 Graficzny obraz operacji całkowania sygnałów prostokątnych jednobiegunowych przy założeniu, że Uwy<<Uwe: a) przebieg napięcia wejściowego; b) przebieg napięcia wyjściowego



Rys. 6.120 Ogranicznik diodowy dwustronny: a) przebieg sygnału wejściowego; b) schemat układu; c) przebieg sygnału wyjściowego

6.8.5 Układy prostownikowe Układy prostownikowe są to układy, które po przyłożeniu na ich wejście prądu

przemiennego dają na wyjściu prąd jednokierunkowy.

Układy prostownikowe zawierają elementy nieliniowe o charakterystyce

nieliniowej niesymetrycznej. Do elementów takich należą diody. Diody wraz z

innymi elementami układów elektrycznych mogą tworzyć układy prostowania

półfalowego (jednopołówkowego) i całofalowego (dwupołówkowego) ( rys.

6.121).

W praktyce stosowane są trzy rodzaje układów prostownikowych:

— układy prostowania półfalowego z jedną diodą,

— układy prostowania całofalowego z czterema diodami — układ Graetza,

— układ prostowania całofalowego z transformatorem symetrycznym.

W każdym z tych układów prąd wyprostowany płynie przez obciążenie Robc

dołączone do punktów a-b układu.

Działanie prostujące układu z rys. 6.122a wynika z właściwości diody. Działanie

prostujące układu z rys. 6.122b można wyjaśnić rozpatrując kierunek przepływu



prądu przez obciążenie Robc przy dodatniej i ujemnej półfali napięcia

doprowadzonego do zacisków wejściowych układów (rys. 6.123).

Rys. 6.121 Ilustracja przebiegów: a) sinusoidalnego; b) wyprostowanego półfalowo; c) wyprostowanego całofalowo

Rys. 6.122 Podstawowy układ prostowania: a) półfalowego; b) całofalowego — mostek Graetza; c) całofalowego z transformatorem symetrycznym



Rys. 6.123 Układ prostowania całofalowego pracującego przy: a) dodatnich półfalach napięcia; b) ujemnych półfalach napięcia

Kierunek prądu I płynącego przez rezystor Robc pod wpływem dodatniej półfali

napięcia zasilającego jest zgodny z kierunkiem prądu I płynącego przez ten

rezystor pod wpływem ujemnej półfali napięcia. Przez rezystor Robc płynie zatem

prąd wyprostowany całofalowo.

Prostowniki są podstawowym układem w zasilaczach prądu i napięcia stałego

oraz stacjach prostownikowych zasilających sieć trakcyjną prądu stałego.

6.8.6 Układy mostkowe prądu stałego Układy mostkowe są to układy, które dzięki specjalnym sposobom połączeń

elementów wykorzystywane są głównie do pomiaru różnych wielkości

elektrycznych metodą zerową.

Najprostszym układem mostka prądu stałego jest mostek Wheatstone'a (rys.

6.124). Jest on zbudowany z czterech rezystorów tworzących ramiona mostka.

W jedną przekątną układu (przekątna zasilania A-B) włączone jest źródło

napięcia stałego, a w drugą przekątną (przekątną indykacji C-D) — wskaźnik

zera, którym jest najczęściej galwanometr magnetoelektryczny G*.

Układ mostkowy może pracować w jednym z dwóch wyróżnionych stanów:

stanie równowagi lub stanie niezrównoważenia. Stan równowagi mostka jest to

taki stan, w którym na przekątnej indykacji nie występuje napięcie elektryczne



(UCD = 0, Ig = 0 — rys. 6.124). Stan niezrównoważenia mostka jest to taki

stan, w którym na przekątnej indykacji występuje napięcie elektryczne (UCD ≠ 0,

Ig ≠ 0).

Rozpatrzmy stan równowagi mostka, a więc stan, w którym UCD = 0. Prąd

płynący przez gałąź szeregową R1R2, na podstawie prawa Ohma

Rys. 6.124 Schemat układu mostka Wheatstone'a

21

1RR

UI

+= (6.285)

a prąd płynący w gałęzi szeregowej R3R4

43

2RR

UI

+= (6.286)

Prąd I1 wytwarza na rezystorze R1 różnicę potencjałów

21

11

RR

RUU

+= (6.287)

a prąd I2 wytwarza na rezystorze R3 różnicę potencjałów

43

33

RR

RUU

+= (6.288)

Ponieważ napięcie UCD = U1— U3, to

+−

+=

43

3

21

1

RR

R

RR

RUUCD (6.289)

Po przekształceniu

))(( 4321

3241

RRRR

RRRRUUCD

++

−= (6.290)

Z zależności (6.290) widać, że warunkiem uzyskania UCD = 0, jest

3241 RRRR = (6.291)



Warunek wyrażony wzorem (6.291) zwany jest warunkiem równowagi

mostka Wheatstone'a.

* Galwanometr jest bardzo czułym wskaźnikiem prądu stałego. Jest on przeznaczony

głównie nie do pomiaru wartości prądu, lecz stwierdzenia obecności prądu w gałęzi, w

którą jest włączony.

Jak widać, stan mostka zależy jedynie od parametrów elementów (w tym

przypadku od rezystancji rezystorów) tworzących ramiona mostka. Nie zależy on

od wartości napięcia zasilającego, ani od rodzaju użytego galwanometru. Jeżeli

rezystancja jednego z rezystorów jest nieznana, np. rezystora R1 to można, po

zrównoważeniu mostka (Ig = 0) za pomocą rezystorów nastawnych R2, R3, R4,

wyznaczyć ją z zależności — patrz wzór (6.291)

4

321

R

RRR = (6.292)

W układach praktycznych równoważenie odbywa się przez zmianę rezystancji

tylko jednego rezystora, np. rezystora R2, lub przez zmianę stosunku R3/R4.

Rezystory mogą być wykonane w wysokiej klasie dokładności, w szczególności

mogą to być rezystory wzorcowe. Pomiar rezystancji mostkiem Wheatstone'a

może być więc bardzo dokładny.

Ponieważ pomiar rezystancji następuje w chwili, gdy Ig = 0 (wskazówka

galwanometru nie odchyla się), mostek umożliwia zerową metodę pomiaru,

która należy do dokładniejszych metod laboratoryjnych.

Mostek Wheatstone'a przeznaczony jest do pomiarów rezystancji w zakresie 1 ...

107 Ω. Przy pomiarze rezystancji mniejszych od 1 Ω powstaje duży błąd,

związany z wpływem rezystancji przewodów łączących elementy układu na

warunek równowagi mostka. W takim przypadku do pomiarów stosuje się

mostek sześcioramienny mostek Thomsona.

Mostek Thomsona (rys. 6.125) zawiera, oprócz rezystorów nastawnych

(rezystory R3, R4, R'3, R'4) i rezystora Rx o nieznanej wartości rezystancji,

również rezystor wzorcowy Rw. Warunek równowagi mostka Thomsona określa

zależność



)''(

)''(

434

4343

4

3

rRRR

RRRRr

R

RRR wx

++

−+= (6.293)

Rys. 6.125 Schemat układu mostka Thomsona

Jak widać, równowaga mostka zależy od rezystancji r przewodu łączącego

rezystory Rx i Rw. Wartość rezystancji r nie jest znana, dlatego należy ją

wyeliminować z zależności określającej równowagę mostka. Dobierając wartości

R3, R4, R'3, R'4 tak, aby spełniały proporcję

4

4

3

3

'' R

R

R

R=

(na ogół dobiera się R3 = R'3 i R4 = R'4) otrzymuje się warunek równowagi

mostka Thomsona niezależny od rezystancji r

4

3

R

RRR wx = (6.294)

Mostek Thomsona jest przeznaczony do pomiarów rezystancji w zakresie 10-6...

1Ω.

6.8.7 Układy mostkowe prądu przemiennego Układy mostkowe realizują ideę zerowego pomiaru rezystancji. Ideę zerowej

metody pomiarów można rozszerzyć również na mostki prądu przemiennego.

Mostki takie zawierają w gałęziach elementy impedancyjne i są zasilane z

generatorów napięcia przemiennego, z reguły sinusoidalnego. Ogólny warunek

równowagi mostków prądu przemiennego można napisać posiłkując się analizą

przeprowadzoną dla mostków prądu stałego — wzory (6.285) ... (6.291), z

której wynika, że warunkiem równowagi mostka jest równość iloczynów

rezystancji rezystorów umieszczonych w gałęziach przeciwległych. W przypadku

mostków prądu przemiennego warunek ten będzie dotyczył równości iloczynów

impedancji umieszczonych w gałęziach przeciwległych. Ponieważ, w ogólnym



przypadku, impedancje są wielkościami zespolonymi (patrz dodatek A9), to (rys.

6.126)

cbda ZZZZ = (6.295)

Uwzględniając postać wykładniczą liczby zespolonej Z = Zejφ można również

napisać

cbda jj

cb

jj

da eeZZeeZZϕϕϕϕ = (6.296)

)()( cbda j

cb

j

da eZZeZZϕϕϕϕ ++ = (6.297)

Rys. 6.126 Ogólny schemat mostka prądu przemiennego

gdzie j = 1− , a φ jest kątem przesunięcia fazowego między prądem i

napięciem wnoszonym przez dany element.

Warunek wyrażony zależnością (6.297) można zapisać dwoma równaniami

cbda ZZZZ = (6.298)

cbda ϕϕϕϕ +=+ (6.299)

Pierwsze z tych równań wyraża amplitudowy warunek równowagi mostka, a

drugie, które można również napisać w postaci

dbca ϕϕϕϕ −=− (6.300)

wyraża fazowy warunek równowagi mostka.

Spełnienie amplitudowego warunku równowagi gwarantuje równość amplitud

przebiegu czasowego potencjałów punktów C i D leżących na przekątnej

indykacji mostka (rys. 6.126). Nie jest to jednak warunek wystarczający

równowagi. Jeśli przebiegi te będą przesunięte w fazie względem, siebie, to

napięcie UCD ≠ 0 i wskaźnik zera wskaże obecność prądu. Spełnienie dodatkowo

warunku fazowego równowagi mostka gwarantuje, że przesunięcia fazowe



napięć, wnoszone przez gałęzie szeregowe ZaZb i ZcZd względem napięcia

zasilającego będą jednakowe i że przebiegi czasowe potencjałów punktów C i D

będą „współbieżne”.

Warunek amplitudowy i fazowy równowagi narzuca, by wartości chwilowe

potencjałów punktów przekątnej indykacji mostka były jednakowe. Mostka prądu

przemiennego nie można, jak wynika z przytoczonej analizy, sprowadzić do

stanu równowagi za pomocą zmiany tylko jednego parametru impedancji

umieszczonej w ramieniu mostka. Mostek można sprowadzić do stanu

równowagi w co najmniej „dwóch ruchach” zmieniając wartość rezystancji i

reaktancji odpowiedniej impedancji. Równoważenie mostków prądu

przemiennego jest utrudnione faktem, że zmiana rezystancji lub reaktancji

jednocześnie wpływa na fazę i amplitudę napięcia UCD.

Mostki prądu przemiennego wykorzystuje się do pomiaru pojemności,

indukcyjności, impedancji, częstotliwości i innych wielkości elektrycznych.

Szczególnie rozpowszechnione są mostki przeznaczone do pomiaru pojemności

(mostki Wiena) i indukcyjności (mostki Maxwella).

Mostek Wiena (rys. 6.127) zawiera w jednym ramieniu kondensator badany Cx o

rezystancji strat szeregowych Rx, a w drugim ramieniu bezstratny kondensator

wzorcowy o pojemności Cw oraz rezystor nastawny R3. Pozostałe gałęzie mostka

zawierają rezystor R1 i rezystor nastawny R2. Mostek jest zasilany z generatora

napięcia sinusoidalnego. Warunek równowagi mostka, stosownie do wzoru

(6.295), jest określony zależnością

132

11R

CjRR

CjR

wx

x

+=

+

ωω (6.301)

Zależność ta wynika z ogólnego warunku równowagi

312 ZZZZx =

w którym Zx, Z1, Z2, Z3 oznaczają impedancje odpowiednich ramion mostka.

Galwanometr G zastosowany w układzie mostka musi być galwanometrem prądu

przemiennego reagującym na amplitudę i przesunięcie fazowe prądów w

gałęziach mostka.



Porównując ze sobą części rzeczywiste i części urojone równania (6.301)

otrzymuje się ostatecznie dwa warunki równowagi mostka

3

2

1 RR

RRx = (6.302)

wx CR

RC

1

2= (6.303)

z których można wyznaczyć także tangens kąta stratności kondensatora

badanego

wxxx CRCRtg 3ωωδ == (6.304)

Równowaga mostka Wiena nie zależy od częstotliwości napięcia zasilającego i

uzyskuje się ją przez kolejną zmianę rezystancji rezystora R2 i R3.

Mostek Maxwella (rys. 6.128) zawiera badaną cewkę o indukcyjności własnej

Lx i rezystancji uzwojeń Rx w jednym ramieniu i cewkę wzorcową o indukcyjności

Lw i rezystancji Rw połączoną szeregowo z rezystorem R3 w drugim ramieniu.

Pozostałe gałęzie mostka zawierają rezystor R1 i rezystor R2.

Rys. 6.127 Schemat układu mostka Rys. 6.128 Schemat układu mostka Wiena Maxwella

Mostek jest zasilany z generatora napięcia sinusoidalnego. Warunek równowagi

mostka, stosownie do wzoru (6.295), jest określony zależnością

132 )()( RLjRRRLjR wwxx ωω ++=+ (6.305)

Porównując części rzeczywiste i części urojone równania (6.305) otrzymuje się



ostatecznie dwa warunki równowagi mostka

wx LR

RL

2

1= (6.306)

)( 3

2

1 RRR

RR wx += (6.307)

W tym przypadku warunek równowagi mostka również nie zależy od

częstotliwości i wartości napięcia zasilającego. Stan równowagi uzyskuje się

przez zmianę rezystancji rezystorów R2 i R3.

Omówione układy mostkowe są tylko reprezentacją różnego rodzaju mostków

prądu zmiennego. W niektórych mostkach warunek równowagi nie zależy od

częstotliwości napięcia zasilającego jak w omówionych. W innych stan równowagi

zależy od częstotliwości. Jeśli w gałęziach mostka umieszczone są jednocześnie

elementy indukcyjnościowe i pojemnościowe — to w pewnych warunkach mogą

powstać tak zwane mostki rezonansowe. Można zbudować również takie mostki,

których, ze względu na niespełnienie przez nich warunku fazowego równowagi,

nie można doprowadzić w ogóle do stanu równowagi.

6.8.8 Elementy magnetyczne rdzeniowe ze sprzężeniem. Transformator

Transformator jest to urządzenie elektryczne statyczne (w przeciwieństwie do

maszyn wirujących) przeznaczone do przetwarzania (transformacji) napięcia i

prądu przemiennego o jednej wartości, na napięcie i prąd o innej wartości, lecz

tej samej częstotliwości.

W transformatorze wykorzystuje się zjawisko indukcji elektromagnetycznej.

Częściami zasadniczymi transformatora są: rdzeń stalowy i nawinięte na nim

dwa uzwojenia: uzwojenie górnego (wyższego) napięcia i uzwojenie dolnego

napięcia (rys. 6.129). Rdzeń jest zbudowany z cienkich blach stalowych

odizolowanych od siebie warstwą lakieru. Taka budowa rdzenia wpływa na

zmniejszenie strat wywoływanych przez prądy wirowe. Prądy wirowe są

indukowane przez zmienny strumień magnetyczny i płyną w płaszczyźnie

zwojów. Ponieważ rezystancja mierzona w kierunku poprzecznym do płaszczyzny

blach jest duża, straty mocy elektrycznej spowodowane prądami wirowymi są

małe.



Podstawowym parametrem transformatora jest przekładnia wyrażona

stosunkiem

2

1

U

U=ϑ (6.308)

Przekładnię transformatora wyznacza się w stanie jałowym (w stanie

nieobciążonym). Jest ona w przybliżeniu równa ilorazowi liczby zwojów

odpowiednich uzwojeń

2

1

z

z=ϑ (6.309)

W transformatorze wyróżnia się często uzwojenie pierwotne (o liczbie zwojów z1)

i wtórne (o liczbie zwojów z2). Uzwojeniem pierwotnym nazywa się uzwojenie

połączone ze źródłem napięcia zasilającego. Uzwojenie wtórne jest połączone

z obciążeniem. Jeśli uzwojenie pierwotne jest uzwojeniem górnego napięcia, to

transformator obniża napięcie; jeśli natomiast uzwojeniem górnego napięcia jest

uzwojenie wtórne, to transformator podwyższa napięcie.

W transformatorze idealnym moc czynna P1 doprowadzona do uzwojenia

pierwotnego jest równa mocy elektrycznej czynnej P2 odbieranej z uzwojenia

wtórnego. W rzeczywistości jednak moc P1 ze względu na straty mocy na

rezystancji uzwojeń, na prądy wirowe i histerezę magnetyczną, jest zawsze

większa od mocy P2.

Rys. 6.129 Schemat budowy jednofazowego transformatora rdzeniowego i jego symbol

Stosunek

1

1

1

2

P

PP

P

P strat∆−==η (3.610)

nazywa się sprawnością transformatora. Sprawność współcześnie budowanych

transformatorów dochodzi do 99%.



Transformatory stosuje się wszędzie tam, gdzie zachodzi potrzeba dołączenia

odbiornika energii elektrycznej do linii zasilającej o napięciu innym niż napięcie

znamionowe odbiornika. W urządzeniach domowych transformatory spotyka się

w dzwonkach elektrycznych, gongach oraz odbiornikach radiowych i

telewizyjnych. W systemie elektroenergetycznym transformatory są

zainstalowane w stacjach transformatorowych i transformatorowo-rozdzielczych.

Turbogeneratory produkują energię elektryczną o napięciu 6 kV. Energię tę

przesyła się za pomocą linii elektroenergetycznych (rozdz. 9) przy napięciu 15,

30,110 i 220 kV, a nawet 400 i 1000 kV. Turbogeneratory dołącza się do linii

energetycznych za pośrednictwem transformatorów podwyższających. W miejscu

odbioru energii elektrycznej instaluje się natomiast transformatory obniżające,

gdyż większość odbiorników wymaga do pracy napięcia niższego, równego

najczęściej 230/400 V.

6.8.9 Układy ze sprzężeniem optycznym Zdolność niektórych półprzewodników do przetwarzania energii prądu

elektrycznego w energię promieniowania elektromagnetycznego (p. 4.7) oraz

wrażliwość niektórych innych półprzewodników na to promieniowanie (p. 6.7)

umożliwi budowę układów półprzewodnikowych sprzężonych optycznie.

Podstawowym elementem tych układów jest transoptor. Transoptor jest to para

elementów optoelektronicznych sprzężonych optycznie, umieszczonych we

wspólnej obudowie. Składa się on ze źródła promieniowania (najczęściej diody

elektroluminescencyjnej - diody LED), fotodetektora (najczęściej

fototranzystora) oraz sprzęgacza optycznego (odcinka światłowodu - p.9.7).

Różne rodzaje transoptorów przedstawiono na rys. 6.130.

Za pomocą transoptorów można przetworzyć prąd wejściowy I1 na prąd

wyjściowy I2, który może występować przy dowolnym potencjale.

Najważniejszym parametrem transportów jest wzmocnienie

a = I1/I2 (6.311)

oraz częstotliwość graniczna pracy. Wartości tych parametrów zestawiono w

tabl. 6.1

Jak widać, ze wzrostem wzmocnienia maleje częstotliwość graniczna pracy.



Dużą zaletą transoptorów jest rozdzielenie galwaniczne (separacja) obwodów

wejściowego i wyjściowego. Ze względu na dużą szybkość działania nadają się

one do przenoszenia sygnałów zarówno analogowych, jak i cyfrowych. W celu

uzyskania dużej sprawności pracują one w zakresie podczerwieni.

Rys. 6.130 Transoptor jako para elementów optoelektronicznych sprzężonych optycznie: a) dioda elektroluminescencyjna — fotodioda; b) dioda elektroluminescencyjna — fototranzystor; c) dioda elektroluminescencyjna — fototranzystor z wyprowadzoną bazą; d) dioda elektroluminescencyjna — fotoogniwo; e) dioda elektroluminescencyjna —fotorezystor

Tabela 6.1 Parametry przykładowych transoptorów

Rodzaj transoptora Wzmocnienie % Częstotliwość graniczna kHz

Dioda LED — fotodioda 0,5 10 000 Dioda LED — fototranzystor o małym wzmocnieniu prądowym

30 500

Dioda LED — fototranzystor o dużym wzmocnieniu prądowym

300 50

Nowe konstrukcje transoptorów zawierają diodę laserową (laser

półprzewodnikowy) jako źródło światła, modulator promieniowania, odcinek

światłowodu i fotodetektor w postaci diody typu pin. Znajdują one zastosowanie

w układach pomiarowych, układach automatyki i sterowania.



7. Analiza obwodów elektrycznych

7.1 Struktura obwodów elektrycznych

Elementy elektryczne połączone ze sobą tworzą układy elektryczne. Układ

elektryczny, w którym jest przynajmniej jedna zamknięta ścieżka dla przepływu

prądu, nosi nazwę obwodu elektrycznego. Graficzne przedstawienie tych

obwodów (układów) nazywa się schematem. Na schemat obwodu

elektrycznego składają się symbole elementów i urządzeń elektrycznych oraz

linie odwzorowujące połączenia elektryczne między nimi. Na schematach często

zaznacza się także, za pomocą strzałek, zwrot prądu w danym miejscu obwodu i

zwrot spadków napięć na elementach obwodów lub biegunowość napięć

źródłowych (siły elektromotorycznej). Obwody elektryczne mogą być

nierozgałęzione (proste) lub rozgałęzione (złożone). W praktyce

spotykamy się najczęściej z obwodami rozgałęzionymi (złożonymi), które do

celów analizy bardzo często redukuje się jednak do obwodów prostych. Prosty

obwód elektryczny, pokazany na rys. 7.1, składa się ze źródła energii

elektrycznej o sile elektromotorycznej E i połączonego z nim szeregowo

rezystora (obciążenia) R. Źródło charakteryzuje się pewną rezystancją

wewnętrzną, co na schematach elektrycznych uwzględnia się przez narysowanie

dodatkowego elementu r połączonego szeregowo ze źródłem. Zwrot prądu I w

takim obwodzie przyjęto oznaczać zgodnie ze zwrotem siły ruchu dodatnich

ładunków elektrycznych, tzn. że prąd płynie od miejsca o wyższym potencjale

(+) do miejsca o niższym potencjale* (—). Przepływ prądu przez rezystory R i r

(rys. 7.1) powoduje pojawienie się na nich spadków napięć UR i Ur. Spadki napięć

oznacza się strzałkami zwróconymi w stronę wyższego potencjału. Grot strzałki

prądu płynącego od miejsca o wyższym potencjale do miejsca o potencjale

niższym jest więc skierowany przeciwnie niż grot strzałek napięć

odbiornikowych. Zwrot napięć odbiornikowych jest też przeciwny niż zwrot

napięcia źródłowego (siły elektromotorycznej) w tym obwodzie.

Rys. 7.1 Przykład nierozgałęzionego (prostego) obwodu elektrycznego



Prawidłowe oznaczenie zwrotów prądów i napięć w schematach obwodów

elektrycznych jest rzeczą bardzo ważną, gdyż ułatwia odczytanie schematu i

zrozumienie działania przedstawionego układu.

Przy projektowaniu układów elektrycznych niektórych urządzeń często występuje

problem dopasowania energetycznego odbiornika do źródła. W zasadzie źródła

napięcia należy obciążać takimi odbiornikami, aby moc wydzielana była

największa — źródło będzie wtedy w pełni wykorzystane. Z analizy działania

układów wynika, że źródło napięcia będzie wykorzystywane w pełni wtedy, gdy

będzie obciążone elementem o rezystancji równej rezystancji wewnętrznej

źródła.

Przykład 7.1 W układzie przedstawionym na rys. 7.1 należy wyznaczyć rezystancję R, przy której moc wydzielana na niej będzie największa. * Oznaczenie kierunku przepływu prądu jest rzeczą umowną. Kierunek przepływu prądu przyjęto zgodny z kierunkiem ruchu ładunków dodatnich. Elektrony w przewodnikach poruszają się zatem w kierunku przeciwnym do kierunku prądu.

Moc wydzielana na elemencie R 2RIP =

przy czym

rR

EI

+=

a więc 2

2)(E

rR

RP

+=

Pochodna funkcji 2

2

22

)()(' E

rR

RrRP

+

−=

Rys. 7.2 Przykład rozgałęzionego (złożonego) obwodu elektrycznego

Wartość maksymalna mocy występuje przy P'(R) = 0, a więc przy R = r. Jak już

wspomniano, częściej w praktyce spotykamy się z obwodami rozgałęzionymi.



Obwody rozgałęzione (rys. 7.2) zawierają na ogół więcej elementów niż obwody

proste i składają się z gałęzi, węzłów i oczek.

Gałąź obwodu elektrycznego jest to część obwodu złożona z połączonych

szeregowo elementów.

Gałąź ma dwa wyprowadzenia na zewnątrz, czyli dwie końcówki.

Węzeł obwodu elektrycznego jest to punkt tego obwodu, w którym połączone

są co najmniej trzy gałęzie.

Układ przedstawiony na schemacie (rys. 7.2) ma cztery węzły oznaczone literami

A, B, C i D.

Gałęzie obwodów elektrycznych połączone ze sobą w węzłach tworzą oczka.

Oczko obwodu elektrycznego jest to zbiór połączonych ze sobą gałęzi

tworzących zamkniętą drogę dla przepływu prądu.

Układ przedstawiony na schemacie (rys. 7.2) składa się z trzech oczek

oznaczonych przez I, II i III. Oczko I składa się z elementów E1, R1, R5 i R4,

oczko II — z R5, R2, R3, E2, oczko III — z R6, R1 i R2.

Sposób wzajemnych połączeń elementów obwodu elektrycznego określa

strukturę tego obwodu. Od struktury obwodu zależą jego właściwości i działania.

7.2 Podstawowe prawa fizyczne dotyczące obwodów elektrycznych

W każdym obwodzie elektrycznym rozpływ prądów i rozkład napięć podlega

określonym prawom fizycznym. Obecnie przedstawimy niektóre ważniejsze

prawa fizyczne dotyczące w szczególności obwodów prądu stałego.

Prawo Ohma

Prąd płynący przez liniowy rezystor jest wprost proporcjonalny do napięcia

elektrycznego przyłożonego do zacisków rezystora i odwrotnie proporcjonalny do

jego rezystancji.



R

UI = (7.1)

Rezystancja rezystora liniowego jest wielkością stałą, wyrażającą się stosunkiem

spadku napięcia na rezystorze do wartości przepływającego przez niego prądu

(rys. 7.3)

I

UR =

Rezystancja rezystora liniowego nie zależy od wartości przepływającego przez

niego prądu i napięcia przyłożonego do jego końców. Natomiast dla rezystorów

nieliniowych rezystancja jest wielkością zmienną, zależną od prądu lub

przyłożonego napięcia.

Rys. 7.3 Ilustracja do prawa Ohma

Prądowe prawo Kirchhoffa

Rys. 7.4 Węzeł obwodu prądu stałego

Suma prądów wpływających do węzła obwodu elektrycznego jest równa sumie

prądów wypływających z tego węzła.

Dla węzła przedstawionego na rys. 7.4 można napisać

2431 IIII =++ (7.2)

Traktując prądy wpływające do węzła jako prądy dodatnie, a prądy wypływające

jako prądy ujemne (lub na odwrót, co jest sprawą umowną) otrzymuje się

równanie

02431 =−++ IIII (7.3)

które pozwala również na inne sformułowanie prądowego prawa Kirchhoffa



Suma prądów w każdym węźle obwodu elektrycznego jest równa zeru.

Fizycznie prawo to wyraża, że liczba ładunków elektrycznych dopływających do

węzła w jednostce czasu jest równa liczbie ładunków odpływających z tego

węzła. Węzeł nie może być źródłem ładunków elektrycznych ani też punktem,

gdzie się one gromadzą.

Prawo prądowe Kirchhoffa, a właściwie odpowiednik tego prawa, można

sformułować również dla obwodów hydraulicznych i pneumatycznych. W

obwodach tych mamy do czynienia z przepływem cieczy lub gazów w

przewodach rurowych. W miejscach rozgałęzień przewodów musi być spełnione

prawo, które mówi, że ilość cieczy lub gazu dopływająca do danego punktu

obwodu musi być równa ilości substancji odpływającej z tego punktu w jednostce

czasu.

Napięciowe prawo Kirchhoffa

Suma algebraiczna napięć źródłowych (sił elektromotorycznych) występujących

w oczku obwodu elektrycznego jest równa sumie algebraicznej napięć

odbiornikowych wszystkich gałęzi danego oczka.

Rozważmy jednooczkowy obwód elektryczny przedstawiony na rys. 7.1. W

obwodzie tym napięcia odbiornikowe, czyli spadki napięć UR i Ur są skierowane

zgodnie ze sobą i przeciwnie niż napięcie źródłowe E, można zatem napisać

rR UUE += (7.4)

Jeżeli w oczku działa m napięć źródłowych i występuje n napięć odbiornikowych,

to matematyczna postać napięciowego prawa Kirchhoffa jest następująca

nm UUUEEE +++=+++ ...... 2121 (7.5)

Uwzględniając zwroty wszystkich napięć w oczku można również napisać

01 1

1 =−∑ ∑=

=

=

=

mk

k

nl

l

k UE (7.6)

co pozwala również na inne sformułowanie napięciowego prawa Kirchhoffa

Suma algebraiczna wszystkich napięć w każdym oczku obwodu elektrycznego

jest równa zeru.

.

.



Zasada superpozycji (nakładania)

Odpowiedź układu fizycznego, obwodu elektrycznego lub jego gałęzi na kilka

wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna.

Należy podkreślić, że zasada ta dotyczy jedynie układów liniowych, tzn.

zawierających tylko i wyłącznie elementy liniowe. Dla tych układów jest zasadą

ogólną. Zasadę superpozycji omówimy na przykładzie obwodu elektrycznego

przedstawionego schematycznie na rys. 7.5.

W przedstawionym układzie działają dwa wymuszenia — napięcia źródłowe E1 i

E2. Odpowiedzią układu na te wymuszenia są prądy płynące w każdej gałęzi tego

układu. Weźmy pod uwagę jedną z odpowiedzi układu — prąd I5 płynący w gałęzi

R5. Prąd ten płynie pod wpływem dwóch wymuszeń działających jednocześnie.

Rys. 7.5 Ilustracja zasady superpozycji

Jeśli działa tylko pierwsze z tych wymuszeń, to w gałęzi R5 płynie prąd I '5. Gdy

działa tylko drugie z wymuszeń — to w gałęzi tej płynie prąd I ''5. Zgodnie z

zasadą superpozycji odpowiedź układu na dwa wymuszenia jest równa sumie

odpowiedzi uzyskanych na każde wymuszenie działające z osobna, czyli zachodzi

zależność

55 III s′′+′= (7.7)

Zasada superpozycji jest słuszna tylko dla obwodów liniowych. Obwodem

liniowym jest obwód składający się z elementów liniowych. Gdy chociaż jedna

gałąź jest nieliniowa — mamy do czynienia z obwodem nieliniowym

(nielinearnym).

Twierdzenie Thevenina

Jeżeli do wybranej pary zacisków danego obwodu aktywnego liniowego

rozgałęzionego, na której występuje napięcie jałowe* (np. UAB) przyłączymy

dodatkowo gałąź liniową pasywną o rezystancji Rz, to prąd płynący przez tę gałąź



jest ilorazem napięcia UAB i sumy rezystancji RAB i Rz, przy czym RAB oznacza

rezystancję danego obwodu „widzianą" od strony wybranej pary zacisków przy

zwarciu wszystkich idealnych źródeł napięcia (rys. 7.6)

Rys. 7.6 Obwód elektryczny z gałęzią zewnętrzną Rz, w której prąd oblicza się stosując twierdzenie Thevenina

Twierdzenie Thevenina umożliwia obliczenie prądu w danej gałęzi obwodu bez

konieczności obliczania prądów w innych gałęziach. Gałąź o zaciskach AB i o

rezystancji Rz (rys. 7.6), w której prąd chcemy obliczyć — wyłączamy z obwodu.

Na rozwartych zaciskach AB pozostałej części obwodu wystąpi napięcie UAB. Jeśli

rezystancję tej pozostałej części obwodu „widzianą" od strony zacisków AB

oznaczymy przez RAB, to

zAB

AB

RR

UI

+= (7.8)

* Obwód nie jest obciążony.

Zasada wzajemności

Jeżeli w liniowym obwodzie rozgałęzionym w k-tej gałęzi tego obwodu jest

umieszczone źródło energii elektrycznej o napięciu Ek, które powoduje powstanie

prądu Il w gałęzi l-tej, to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi l-tej w gałęzi k-

tej popłynie prąd Il (rys. 7.7).

Rys. 7.7 Ilustracja zasady wzajemności



Prawa komutacji

Komutacją nazywamy procesy łączeniowe i przełączeniowe w obwodach

elektrycznych, powodujące przejście obwodu z jednego stanu ustalonego do

drugiego.

Podczas przejścia obwód znajduje się w stanie nieustalonym. Stan nieustalony

powstaje najczęściej na skutek :

— włączenia (lub wyłączenia) napięcia do obwodu,

— włączenia (lub wyłączenia) prądu,

— zwarcia lub przerwy w obwodzie,

— zmiany warunków fizycznych obwodu.

Prawo komutacji głosi, że w chwili komutacji obwód zachowuje swój poprzedni

stan energetyczny. Ponieważ w chwili komutacji działa już na obwód

wymuszenie zewnętrzne (zmiana warunków fizycznych), znaczy to, że na obwód

ten działa również inne wymuszenie, które jest wyrazem sprzeciwu obwodu na

zmianę jego warunków zewnętrznych. W chwili komutacji sprzeciw obwodu jest

równy wymuszeniu i obwód zachowuje swój stan poprzedni. Z biegiem czasu

sprzeciw obwodu, pod wpływem dalszego wymuszenia, słabnie, a prąd i napięcie

osiągają wartość graniczną wynikającą z wymuszenia. W stanie nieustalonym

zapoczątkowanym komutacją obserwuje się więc dwa przebiegi: przebiegi

wymuszone (ustalone) i przebiegi przejściowe (swobodne).

Prawa komutacji formułuje się najczęściej dla cewek i kondensatorów i brzmią

one wtedy następująco :

Strumień magnetyczny i prąd w cewce w chwili komutacji zachowują wartości

poprzednie.

Napięcie elektryczne i ładunek kondensatora w chwili komutacji zachowują

wartości poprzednie.

Prawa komutacji są konsekwencją ogólnych praw przyrody — zasady zachowania

energii i skończonej prędkości przebiegu zjawisk fizycznych.

Prąd i strumień magnetyczny cewki oraz napięcie i ładunek kondensatora, w



chwili przyłączenia tych elementów do źródła, nie mogą osiągnąć natychmiast,

tzn. w czasie ∆t = 0, wartości ustalonej, gdyż po pierwsze — jak wspomniano,

nie ma w przyrodzie prędkości równej nieskończoności, a po drugie — źródło

musiałoby dysponować mocą nieskończenie dużą, co jest fizycznie niemożliwe.

Prawa komutacji obowiązują również dla rezystorów, jednak sprawa w tym

przypadku jest nieco bardziej skomplikowana. Na podstawie dotychczasowych

sformułowań można by wysnuć wniosek, że przebiegi prądów i napięć na

rezystorach ustalają się natychmiast, w czasie nieskończenie krótkim. W wielu

przypadkach można tak rzeczywiście przyjąć, ale tylko przyjąć, gdyż

rzeczywiście czas ustalania się przebiegów elektrycznych w rezystorach jest na

ogół pomijalnie mały w porównaniu z czasem ustalania się tych przebiegów w

kondensatorach i cewkach. Rezystory przecież nie magazynują energii, tylko

doprowadzoną energię natychmiast rozpraszają. W rzeczywistości jednak

rezystor poddany działaniu bardzo szybkozmiennego wymuszenia zachowuje się

jak obwód RLC (patrz przykład 6.38 oraz p. 9.3). Ujawnianie się cech pojemności

i indukcyjności rezystorów dla przebiegów elektrycznych szybkozmiennych

decyduje o tym, że prawa komutacji stosują się również do rezystorów.

7.3 Metody analizy liniowych obwodów elektrycznych

Zadaniem analizy obwodów elektrycznych jest podanie zależności określających

prąd w danej gałęzi obwodu lub spadek napięcia na wybranym elemencie tego

obwodu. Istnieje wiele różnych metod analizy obwodów elektrycznych. Niektóre

z nich pozwalają na bardzo szybkie określenie wartości poszukiwanych wielkości,

wymagają jednak zaawansowanej matematyki.

Wszystkie metody analizy uwzględniają strukturę obwodu. W rozgałęzionych

obwodach elektrycznych prąd w danym elemencie i spadek napięcia na nim

zależą bowiem od parametrów wszystkich innych elementów danego obwodu i

sposobu ich rozmieszczenia.

Omówienie w tej książce metod analizy obwodów elektrycznych zajęłoby dużo

miejsca i nie byłoby precyzyjne. Wybrane metody analizy zostaną więc

zaprezentowane wprost na przykładach.



Przykład 7.2 Metoda oczkowa Stosując metodę oczkową wyznaczyć prąd w gałęzi R3 obwodu przedstawionego na rys. 7.8, przyjmując R1 = R2 = R3 = R4 = R =1 Ω; E = 8 V.

Przedstawiony obwód składa się z dwóch niezależnych oczek, w których

zakładamy istnienie tzw. prądów oczkowych, oznaczonych przez I' i I".

Przyjmujemy, że płyną one zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Prądy te na elementach oczek wytwarzają spadki napięć, które w myśl

napięciowego prawa Kirchhoffa porównujemy z napięciami źródłowymi w danym

oczku

=++−

=+−+

0")()'"(

')"'('

423

531

IRRIIR

EIRIIRIR

Rys. 7.8 Dwuoczkowy obwód elektryczny

W równaniach tych za zwrot dodatni w pierwszym oczku przyjmujemy zwrot

prądu oczkowego. Ponieważ przez rezystor R3 płynie jednocześnie prąd oczkowy

I", to spadek napięcia na nim jest równy R3 (I'-I"). Podobnie rozpatrując oczko

drugie, spadek napięcia na rezystorze R3 jest równy R3 (I"-I'). Po prawej stronie

równań oczkowych występują napięcia źródłowe (siły elektromotoryczne) i

przyjmuje się je jako dodatnie, jeśli są skierowane zgodnie z obiegiem prądu

oczkowego.

Układ równań oczkowych dogodnie jest przedstawić w postaci

=+++−

=−++

0")('

"')(

3423

3531

IRRRIR

EIRIRRR

Z równań tych otrzymujemy zależności

"'3

342 IR

RRRI

++=

2

3342531

3

))(("

RRRRRRR

ERI

−++++=



Uwzględniając wartości liczbowe

AIAI 1"3' ==

Założone prądy oczkowe są prądami rzeczywistymi w gałęziach zewnętrznych

oczek. W gałęziach wewnętrznych (wspólnych dla oczek) prąd rzeczywisty jest

sumą algebraiczną prądów oczkowych przepływających przez te gałęzie. Prądy te

płyną w kierunku większego z prądów oczkowych. W naszym przypadku w gałęzi

R3 rzeczywisty prąd

AIII 2"'3 =−=

płynie w kierunku prądu oczkowego I'.

Przykład 7.3. Zasada superpozycji Stosując zasadę superpozycji wyznaczyć wartość prądu w gałęzi R3 obwodu przedstawionego na rys. 7.9, przyjmując R1 = R2 = R3 = R4 = R = 1 Ω; E1 = E2 = E = 5V.

W celu wyznaczenia prądu I3 w gałęzi R3 obwodu, do którego włączone są dwa

ogniwa o siłach elektromotorycznych (napięciach źródłowych) E1 i E2, obliczamy

najpierw prąd I'3 w gałęzi R3 obwodu, w którym umieszczone jest tylko jedno

ogniwo E1 (ogniwo E2 zwarte), a potem prąd I''3 w tym samym rezystorze, ale

przy włączonym tylko ogniwie E2 (ogniwo E1 zwarte) (rys. 7.9). Prąd I3 będzie

sumą prądów I'3 i I''3. Wartość prądu obliczymy także metodą oczkową i

porównamy otrzymane wyniki.

Rys. 7.9 Schematy układów z prądem I3 wyznaczonym metodą superpozycji

W obwodzie, w którym włączone jest tylko ogniwo E1 rezystancja zastępcza

rezystorów R2 i R3

32

3223

RR

RRR

+=

Rezystor R23 jest połączony szeregowo z rezystorami R1 i R4, a zatem całkowita

rezystancja obwodu

32

3241

RR

RRRRR

+++=



Z ogniwa zatem jest pobierany prąd

R

EI 1=

Prąd ten na rezystorze R23, a więc i na rezystorze R3, wytwarza spadek napięcia

IRU 23=

Pod wpływem tego napięcia przez rezystor R3 płynie prąd

3

3R

UI =′

Uwzględniając wszystkie poprzednio otrzymane zależności

3

32

3241

32

32

13

RRR

RRRR

RR

RR

EI

+++

+=′

Po uwzględnieniu danych liczbowych : I'3 = 1 A.

W obwodzie, w którym włączone jest tylko ogniwo E2 rezystancja zastępcza

rezystorów R1 i R4

4114 RRR +=

Rezystor R3 jest połączony równolegle z rezystorem R1,4 dając razem z nim

rezystancję wypadkową

( )

341

341143

RRR

RRRR

++

+=

Całkowita rezystancja obwodu

1432 RRR +=

Płynie przez nią prąd

R

EI 2=

dając na rezystorze R143 spadek napięcia

IRU 143=

W rezystorze R3 płynie zatem prąd

3R

UI =′′

Uwzględniając wszystkie poprzednio otrzymane zależności



( )

( )3

341

3412

341

341

23

RRRR

RRRR

RRR

RRR

EI

++

++

++

+

=′′

Po uwzględnieniu danych liczbowych: I''3 = 2 A. Ponieważ | I''3| > | I'3|, to

zgodnie z zasadą superpozycji

AIII 133 =′−′′=

Wykażemy teraz, że stosując metodę oczkową do obwodu z przykładu 7.3 z

włączonymi dwoma ogniwami otrzymuje się taką samą wartość i zwrot prądu I3.

Zakładając w oczkach rozpatrywanego obwodu istnienie prądów oczkowych I' i

I", podobnie jak to zaznaczono na rys. 7.8, otrzymuje się równania oczkowe

( )( )

=−+

=−−+

232

1351

'""

'"')4(

EIIRIR

EIIRIRR

Po uporządkowaniu równań

=++−

=−++

2323

13431

")('

"')(

EIRRIR

EIRIRRR

Ponieważ wszystkie rezystancje i siły elektromotoryczne (napięcia źródłowe)

ogniw są jednakowe, to

=+−

=−

ERIRI

ERIRI

"'

"'3

Po rozwiązaniu układu równań otrzymuje się zależności

R

EIoraz

R

EI

5

4"

5

3' ==

Po uwzględnieniu danych liczbowych

AIorazAI 4"3' ==

Prąd I3 płynie więc w kierunku prądu oczkowego I" przez rezystor R3, a jego

wartość jest równa 1 A, bowiem

AIII 1'"3 =−=

Przykład 7.4 Twierdzenie Thevenina Stosując twierdzenie Thevenina wyznaczyć prąd I5 w gałęzi R5 układu mostkowego (mostka Wheatstone'a) przedstawionego na rys. 7.10, jeśli: R1 = R2 = R3 = 100 Ω; R4 = R5 = 200 Ω; E = 4,5 V.

Wyłączamy z mostka gałąź R5 i traktujemy ją jako gałąź zewnętrzną.



Otrzymujemy wtedy mostek zobrazowany na rys. 7.10b, w którym musimy

obliczyć napięcie na przekątnej AB tego mostka. Napięcie UAB jest równe różnicy

spadków napięć na rezystorach R2 i R4. Prąd w gałęzi R1+R2

21

1RR

EI

+=

a prąd w gałęzi R3+R4

43

2RR

EI

+=

Prądy te wytwarzają na rezystorach R2 i R4 spadki napięć odpowiednio

244122 IRUorazIRU RR ==

Napięcie UAB równe UR2 — UR4 jest zatem określone równaniem

ERR

R

RR

RU AB

+−

+=

43

4

21

2

W celu obliczenia rezystancji RAB układu, widzianej od strony zacisków AB,

zwieramy źródła w tym układzie. Dzięki temu układ można przedstawić w

zmodyfikowanej postaci (rys. 7.10c), z której widać, że

43

43

21

21

RR

RR

RR

RRRAB

++

+=

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Rys. 7.10 Schematy obwodów obliczanych metodą Thevenina: a) pełny; b) z wyłączoną gałęzią R5; c) układu „widzialnego" od strony zacisków AB

Zgodnie z twierdzeniem Thevenina

5

5RR

UI

AB

AB

+=

Uwzględniając wcześniej otrzymane zależności

5

43

43

21

2143

4

21

25

1

RRR

RR

RR

RRRR

R

RR

REI

++

++

+−

+=

Wykonując obliczenia I5= 2,37 mA.

Przykład 7.5. Metoda potencjałów węzłowych Stosując metodę potencjałów węzłowych obliczyć prąd w gałęzi R2 układu przedstawionego na rys. 7.11, jeśli R1 = R2=R3 =R4 = 1Ω ; E = 9 V; I0 = 8 A.

Tak jak metoda oczkowa wykorzystuje napięciowe prawo Kirchhoffa, tak metoda

potencjałów węzłowych (metoda węzłowa) wykorzystuje prądowe prawo



Kirchhoffa. W obwodzie elektrycznym wyróżnia się węzły, których potencjały

oznacza się kolejno przez V1, V2 ... itd. Jeden z węzłów przyjmuje się za węzeł

odniesienia i dla łatwości obliczeń przyjmuje jego potencjał równy zero. W

odniesieniu do wszystkich pozostałych węzłów (tzw. węzłów niezależnych)

układu pisze się równania określające równość prądów wpływających i

wypływających. W naszym przypadku do węzła o potencjale V1 wpływa prąd I0

źródła prądowego*, a wypływają prądy

( ) 2212111 GVVIiGVI −==

Zgodnie z oznaczeniami na rys. 7.11 do węzła o potencjale V2 wpływa prąd

( ) 2212 GVVI −=

Rys. 7.11 Schemat układu obliczanego metodą potencjałów węzłowych I0 — wydajność źródła prądowego

a wypływają prądy ( ) 424323 GVIiGEVI =−=

SymbolemR

G1

= oznacza się konduktancję (przewodność) gałęzi obwodu.

Dla rozpatrywanego obwodu można zatem napisać układ równań :

=−−−−

=−+

0)()(

)(

4232221

022111

GVGEVGVV

IGVVGV

Po uporządkowaniu

4432221

022211

)(

)(

EGGGGVGV

IGVGGV

=++−

=−+

Potencjał pierwszego węzła

21

2201

GG

GVIV

+

+=

gdzie

))((

)(

21432

2

2

202132

GGGGGG

GEGGEGV

+++−

−+=

* Źródło prądowe jest elementem idealnym, wymuszającym przepływ określonego prądu równego wydajności źródła — bez względu na wartość rezystancji dołączonych elementów.



Po wykonaniu odpowiednich obliczeń

VVVV 32 11 =−=

Poszukiwany prąd

AR

VVI 5

2

212 =

−=

7.4 Analiza obwodów nieliniowych Metody analizy obwodów elektrycznych opisane w rozdz. 7.3 dotyczyły obwodów

liniowych, tzn. takich które zawierały jedynie elementy liniowe. Elementy liniowe

charakteryzuje liniowa zależność między prądem i napięciem, a ich

charakterystyka prądowo - napięciowa jest linią prostą. Charakterystyka

prądowo - napięciowa elementów nieliniowych nie jest linią prostą i jednakowym

przyrostom napięcia odpowiadają niejednakowe przyrosty prądu. Z tego

względu, w analizie obwodów nieliniowych nie obowiązuje zasada superpozycji.

Metoda analityczna analizy obwodów nieliniowych wymaga znajomości funkcji

opisujących charakterystyki prądowo - napięciowe elementów i jest bardzo

uciążliwa. Dlatego też do analizy tych obwodów stosuje się często metodę

graficzną. Zostanie ona zilustrowana na przykładach prostych układów połączeń:

szeregowego i równoległego.

Rys. 7.12 Połączenie szeregowe elementów liniowego R i nieliniowego Rn

Przez dwa rezystory połączone szeregowo (rys. 7.12), z których jeden jest

liniowy, a drugi nieliniowy, przepływa prąd I wytwarzając spadki napięć U1 i U2.

Charakterystyki prądowo-napięciowe tych rezystorów (rys. 7.13a,b) narysowane

w tej samej skali, są podstawą do wyznaczenia charakterystyki prądowo -

napięciowej całego układu (rys. 7.13c).

Dowolnie przyjęta wartość prądu IA wytwarza na rezystorze liniowym R spadek

napięcia U1A (rys. 7.13a). Ten sam prąd na rezystorze nieliniowym Rn wytwarza

spadek napięcia U2A (rys. 7.13b). Suma spadków napięć U1A+U2A = UA jest



napięciem na zaciskach układu przy prądzie IA (rys. 7.13c). W taki sam sposób

znajduje się punkt charakterystyki całego układu dla dowolnie przyjętego prądu

IB. Powtarzając opisaną czynność wielokrotnie, znajduje się wiele punktów

charakterystyki prądowo - napięciowej układu, które są podstawą do

narysowania linią ciągłą poszukiwanej charakterystyki.

Rys. 7.13 Charakterystyka prądowo-napięciowa: a) elementu liniowego; b) elementu nieliniowego; c) połączenia szeregowego elementów: liniowego i nieliniowego

Można z niej odczytać wartość prądu w układzie dla dowolnego napięcia

zasilającego.

Podobny jest sposób postępowania przy wyznaczaniu charakterystyki prądowo -

napięciowej układu równoległego (rys. 7.14).

W układzie połączeń równoległym rezystora liniowego i rezystora nieliniowego

napięcie na zaciskach tych elementów jest jednakowe. Prąd w układzie równy

jest sumie prądów I1 i I2 płynących przez połączone elementy. Charakterystyki

prądowo-napięciowe elementu liniowego (rys. l.15a) i elementu nieliniowego

(rys. l.15b) narysowane w jednakowej skali są podstawą do wyznaczenia

charakterystyki prądowo - napięciowej całego układu. Przy napięciu UA przez

rezystor liniowy płynie

Rys. 7.14 Połączenie równoległe elementów: liniowego R i nieliniowego Rn



Rys. 7.15 Charakterystyka prądowo-napięciowa: a) elementu liniowego; b) elementu nieliniowego; c) połączenia równoległego elementów: liniowego i nieliniowego

prąd I1A (rys. 7.15a), a przez rezystor nieliniowy Rn — prąd I2A (rys. 7.156).

Suma prądów I1A+I2A dla napięcia UA wyznacza punkt charakterystyki prądowo -

napięciowej całego układu (rys. 7.15c). Podobnie wyznacza się kolejny punkt

charakterystyki dla napięcia UB. Powtarzając opisane czynności wielokrotnie,

wyznacza się całą charakterystykę prądowo-napięciowa układu.

7.5 Obliczanie obwodów prądu zmiennego Obwody prądu zmiennego są to obwody, w których w warunkach ustalonych

przepływa prąd zmienny. Prąd zmienny jest to prąd, który zmienia w czasie

swoją wartość. Jeśli prąd zmienny zmienia w czasie swoją wartość i zwrot w

sposób okresowy, przyjmując w jednej połowie okresu wartości dodatnie, a w

drugiej takie same wartości ujemne, to taki prąd nazywamy prądem

przemiennym. Spośród wielu rodzajów prądu przemiennego największe

znaczenie w elektrotechnice mają prądy sinusoidalne. Prąd o takim kształcie jest



wytwarzany w elektrowniach i wszystkie domowe odbiorniki energii elektrycznej

są dostosowane do takiego właśnie prądu.

Rys. 7.16 Przebieg sinusoidalny prądu i jego wartość średnia oraz skuteczna

Prąd zmienny ciągle zmienia swoją wartość chwilową i dlatego dogodnie jest

przyjąć jakieś stałe parametry, które będą charakteryzowały przebiegi zmienne i

będą użyteczne przy analizie obwodów prądu zmiennego. Tymi parametrami są:

wartość średnia prądu (i napięcia), wartość skuteczna prądu (i napięcia) oraz

współczynnik kształtu krzywej.

Wyznaczmy wartości wymienionych parametrów dla prądu przemiennego o

kształcie sinusoidalnym (rys. 7.16).

Zapis wartości chwilowej prądu sinusoidalnego

tIi m ωsin= (7.9)

ukazuje wartość maksymalną Im (amplitudę) oraz częstość (pulsację) ω. Sposób

obliczania wartości średniej prądu będzie wynikał z definicji:

Wartość średnia półfalowa prądu przemiennego jest to taka wartość prądu

stałego, który w czasie połowy okresu przenosi taki sam ładunek, jak prąd

zmienny.

Wartość średnia całofalowa prądu sinusoidalnego jest oczywiście równa zero. Dla

określenia parametru Iśr przyjmiemy więc czas T/2, a wyznaczona średnia będzie

nosiła nazwę średniej półokresowej.

Ładunek Q, jaki przenosi prąd opisany równaniem (7.9) w czasie T/2, jest

określony polem zawartym pod dodatnią połówką sinusoidy (patrz dodatek F)

π

TIQ m= (7.10)

Prąd stały o wartości Iśr w czasie T/2 przenosi taki sam ładunek



2

TIQ śr= (7.11)

a zatem

mśr IIπ

2= (7.12)

Geometrycznie Iśr oznacza wysokość prostokąta o podstawie π/2, którego

powierzchnia równa jest powierzchni zawartej pod połówką sinusoidy.

Wartość skuteczną I prądu wyznacza się porównując jego działanie energetyczne

z działaniem energetycznym prądu stałego. Odpowiednia definicja brzmi:

Wartość skuteczna prądu zmiennego jest to taka wartość prądu stałego,

który płynąc w obwodzie o rezystancji równej rezystancji obwodu prądu

zmiennego, wykonuje w tym samym czasie taką samą pracę, jak rozważany

prąd zmienny.

Wartość skuteczną prądu i napięcia oznacza się Isk, Usk lub po prostu I, U.

Moc prądu stałego wyraża się wzorem RI2, a moc chwilową prądu zmiennego Ri2.

Dla prądu sinusoidalnego moc chwilowa tRIp m ω22 sin= . Po czasie T/2 praca

wykonana w obu przypadkach, zgodnie z definicją, jest jednakowa. Po

wykonaniu obliczeń (patrz p. 6.2.2 oraz dodatek F)

mII2

1= (7.13)

Wartości skuteczne* powszechnie stosuje się do oznaczania wartości napięć i

prądów sinusoidalnych. Na przykład mówi się, że napięcie w sieci domowej

instalacji elektrycznej wynosi 230 V. Oznacza to, że wartość skuteczna tego

napięcia jest równa 230 V. Natomiast wartość maksymalna tego napięcia jest

2 razy większa i wynosi ok. 324 V.

Wartości skuteczne i średnie służą do charakteryzowania kształtu krzywej:

stosunek wartości skutecznej do średniej

śrI

Ik = (7.14)

nazywa się współczynnikiem kształtu krzywej. Dla przebiegów

sinusoidalnych jest on równy



11,122

==π

k (7.15)

Dla przebiegów napięć i prądów o innym kształcie niż sinusoidalny współczynnik

kształtu krzywej jest różny od wartości 1,11.

Przykład 7.6 Wyznaczyć wartość średnią i skuteczną napięcia o przebiegu piłokształtnym (rys. 7.17) oraz współczynnik kształtu krzywej.

Funkcję opisującą wartość chwilową napięcia piłokształtnego można przedstawić

jako

T

tUi m=

gdzie T jest okresem zmienności napięcia.

Ładunek przenoszony pod wpływem takiego napięcia w okresie T

∫=T

m dtT

tUq

0

Po wykonaniu obliczeń (patrz dodatek F)

TUq m2

1=

*Prąd wykonuje pracę niezależnie od kierunku przepływu. Dlatego też wartości skuteczne prądu i napięcia nie zależą od czasu przyjętego za podstawę ich obliczania. Można wykazać, że wartość skuteczna „całookresowa" prądu jest taka sama jak wartość prądu opisana wzorem (7.13).

Rys. 7.17 Przebieg piłokształtny prądu i jego wartość średnia oraz skuteczna

W tym samym czasie pod wpływem napięcia o wartości średniej jest

przenoszony ładunek

TUq śr=

a więc

mśr UU2

1=

Wartość skuteczną napięcia oblicza się ze wzoru



dtT

tIRdtRI m

TT

2

22

00

2

∫∫ =

Obliczenia wykazują, że

mII3

1=

Współczynnik kształtu krzywej obliczony ze wzoru (7.18)

16,13

2==k

W stosunku do obwodów prądu zmiennego słuszne są te same prawa, które

obowiązują dla obwodów prądu stałego. Prawo Ohma w tym przypadku można

zapisać wzorem

Z

UI = (7.16)

Z — moduł impedancji (patrz dodatek A) rozpatrywanego elementu lub obwodu,

I i U — wartość skuteczna prądu i napięcia.

To samo prawo obowiązuje również dla wartości maksymalnych

Z

UI m

m = (7.17)

i oczywiście dla wszystkich innych wybranych wartości prądów i napięć (patrz

rozdz. 6).

Moc czynna w obwodach elektrycznych prądu zmiennego jest wielkością zmienną

w czasie ze względu na zmienność czasową prądów i napięć. Wartość chwilowa

mocy

uip = (7.18)

Po uwzględnieniu zależności

)sin(

sin

ϕω

ω

+=

=

tIi

tUu

m

m

φ — kąt przesunięcia fazowego między przebiegiem prądu i napięcia

moc

)sin(sin ϕωω += ttIUp mm (7.19)

Ponieważ



)]2cos([cos2

1)sin(sin ϕωϕϕωω +−=+ ttt

to

)2cos(2

cos2

ϕωϕ +−= tIUIU

p mmmm


)2cos(cos ϕωϕ +−= tUIUIp (7.20)

Wyrażenie na wartość chwilową mocy zawiera dwa składniki, z których pierwszy

ma wartość stałą, niezależną od czasu, a drugi ma wartość zmienną. Wartość

średnia okresowa składowej zmiennej jest równa zero, zatem średnia moc

czynna wydzielana w obwodzie zmiennoprądowym

ϕcosUIP = (7.21)

Obwody prądu zmiennego pobierają również moc bierną

ϕsinUIQ = (7.22)

oraz moc pozorną

UIS = (7.23)

Wzory te, korzystając z prawa Ohma — wzór (7.16) — można przedstawić

również w postaci (patrz dodatek A7)

222 sincos ZISZIQZIP === ϕϕ (7.24)

lub też

22 XIQRIP == (7.25)

R — rezystancja, X — reaktancja, Z — impedancja

przy czym

222 XRZ += (7.26)

a współczynnik mocy

S

P=ϕcos (7.27)

Przykład 7.7 Silnik odkurzacza o mocy P = 400 W pobiera z sieci o napięciu U = 220 V i częstotliwości f = 50 Hz prąd I = 2 A. Należy obliczyć: moc pozorną, współczynnik mocy, moc bierną, rezystancję uzwojeń silnika i indukcyjność uzwojeń silnika.

Moc pozorna

UIS =




AVS ⋅= 440

Współczynnik mocy obliczony z zależności (7.27)

S

P=ϕcos

jest równy 0,910.

Moc bierną można obliczyć z zależności

ϕsinSQ =

Ponieważ ϕϕ 2cos1sin −=

to

Po wykonaniu obliczeń Q = 183 var.

Rezystancja uzwojeń silnika wyznaczona z zależności

2I

PR =

jest równa 100 Ω, natomiast reaktancja

2I

QX =

wynosi 45,75 Ω.

Ponieważ reaktancja ma charakter indukcyjny, to

LX ω=

Wykonując obliczenia według wzoru

f

XL

π2=

otrzymuje się indukcyjność tych uzwojeń : L = 0,145 H.

7.6 Obliczanie obwodów trójfazowych Obwody (układy) trójfazowe są szczególnym przypadkiem układów

wielofazowych.

Układ wielofazowy jest to układ elektryczny zawierający wiele pojedynczych

układów, tak zwanych układów jednofazowych, zasilanych z jednego

wielofazowego źródła energii.

ϕ2cos1−= SQ



Szczególnym przypadkiem układu wielofazowego jest układ trójfazowy,

rozpowszechniony w Polsce i innych krajach europejskich, dlatego układy te

będą omówione dokładniej.

Źródłem zasilającym układy trójfazowe jest prądnica trójfazowa. Zawiera ona

wirnik, którym może być magnes trwały lub elektromagnes, wytwarzający

wirujące pole magnetyczne. Na nieruchomym stojanie rozmieszczone są w

sposób symetryczny (co 120°) trzy nieruchome uzwojenia fazowe (fazy)

prądnicy. Strumień magnetyczny Φ wirując z prędkością kątową ω przenika

przez uzwojenia faz wzbudzając w nich siłę elektromotoryczną indukcji

elektromagnetycznej, która jest napięciem źródłowym w układzie trójfazowym.

W każdym z uzwojeń indukuje się siła elektromotoryczna o takim samym

przebiegu sinusoidalnym i o częstości ω. Osie uzwojeń fazowych prądnicy tworzą

między sobą jednakowe kąty równe 120°. Mówi się, że uzwojenia fazowe* są

przesunięte względem siebie w przestrzeni o 120°. To przesunięcie przestrzenne

jest przyczyną przesunięcia fazowego między przebiegami elektrycznymi, czyli

między przebiegami napięć źródłowych lub prądów w uzwojeniach fazowych.

Oczywiście przesunięcie fazowe między rozpatrywanymi przebiegami napięć

będzie również równe 120°. Mówimy wtedy, że przebiegi napięć lub prądów w

uzwojeniach fazowych układu trójfazowego są przesunięte względem siebie o kąt

elektryczny równy 120°. Uzwojenia fazowe oznaczymy literami A, B, C.

Przyjmując fazę A jako fazę odniesienia można zatem, dla napięć źródłowych,

napisać równania (rys. 7.18b):

°−=

°+=

=

)120sin(

)120sin(

sin

tEe

tEe

tEe

CmC

BmB

AmA

ω

ω

ω

(7.28)

EAm, EBm,ECm — amplitudy napięć źródłowych w fazach A, B, C.

Cechą charakterystyczną napięć w układach wielofazowych jest to, że są to

napięcia o takiej samej częstości i przesunięte względem siebie o stały kąt

fazowy zależny od konstrukcji prądnicy.

Na rys. 7.18a przedstawiono układ trójfazowy nieskojarzony, tzn. taki, w którym

uzwojenia fazowe były niezależne od siebie. W celu przesłania energii

elektrycznej z takiego układu do odbiornika trójfazowego należałoby zatem



poprowadzić sześć przewodów. Rozkład napięć i rozpływ prądów w układzie nie

zmieni się, jeśli jeden punkt obwodu zostanie uziemiony. W rzeczywistych

układach obwodów wielofazowych wykorzystuje się tę właściwość i końce A', B',

C’ uzwojeń fazowych łączy się ze sobą i z uziemieniem. W ten sposób powstaje

układ trójfazowy skojarzony (rys. 7.18c) o takim samym przebiegu napięć i

prądów, jak w układzie nieskojarzonym, w którym jednak do przesłania energii

wymagane są tylko trzy przewody. Czwartym przewodem jest ziemia. (Stosuje

się też inny sposób kojarzenia faz, w tzw. trójkąt — patrz dalej).

*Termin faza ma tu dwa znaczenia:

1) jedno z uzwojeń fazowych układu trójfazowego, 2) kąt przesunięcia fazowego między

napięciami lub prądami fazowymi.

Układy wielofazowe mogą być symetryczne i niesymetryczne. Pojęcie symetrii

dotyczy amplitudy napięć i prądów w uzwojeniach fazowych. Dla prądnicy

trójfazowej* symetrycznej można zatem napisać

°−=

°+=

=

)120sin(

)120sin(

sin

tEe

tEe

tEe

mC

mB

mA

ω

ω

ω

(7.29)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Rys. 7.18 Układ trójfazowy: a) nieskojarzony; b) przebiegi wartości chwilowych napięć w uzwojeniach fazowych; c) uzwojenie układu skojarzonego; d) wykres wektorowy napięć źródłowych prądnicy trójfazowej symetrycznej

Z zasady prądnice wielofazowe buduje się jako prądnice symetryczne i w

praktyce dąży się do równomiernego obciążenia wszystkich faz. Jeżeli w układzie

wielofazowym występuje niesymetria, to jest ona wynikiem niesymetrii

odbiornika wielofazowego.

Napięcia źródłowe, a również napięcia i prądy odbiornikowe układów

wielofazowych, dogodnie jest przedstawiać za pomocą wykresów wektorowych

(rys. 7.18d). Wykresy takie (patrz dodatek B) odzwierciedlają: wartości napięć

fazowych (maksymalne lub skuteczne), kąty przesunięcia fazowego między

przebiegami tych napięć oraz sposób skojarzenia faz układu.

*Zaciski uzwojeń prądnicy trójfazowej zgodnie z normą oznacza się U, V, W.



Układy trójfazowe wykorzystuje się przede wszystkim w systemach

elektroenergetycznych. Pełny układ trójfazowy (rys. 7.19a) składa się z prądnicy

trójfazowej symetrycznej, linii przesyłowej trójfazowej trójprzewodowej lub

czteroprzewodowej oraz trójfazowego odbiornika energii elektrycznej. Prądnica

trójfazowa może mieć gwiazdowy układ połączeń uzwojeń fazowych (rys.

7.1b) lub trójkątny układ połączeń uzwojeń fazowych (rys. 7.19d).

Niezależnie jednak od sposobu połączeń uzwojeń prądnicy linia trójfazowa

zawiera zawsze trzy lub cztery przewody. Przewody oznaczone literami A, B, C

nazywane są przewodami fazowymi, a przewód oznaczany literą N —

przewodem neutralnym lub zerowym (gwiazdowym). Napięcia UA, UB, UC

przewodów linii, mierzone względem potencjału przewodu zerowego

(neutralnego) lub ziemi nazywają się napięciami fazowymi Uf.

W przypadku symetrycznego układu trójfazowego

fCBA UUUU === (7.30)

W układzie symetrycznym ponadto spełniony jest warunek

0=== CBA UUU (7.31)

UA, UB, UC — wektory napięć fazowych.

Jak widać na rys. 7.18d, suma geometryczna wektorów EA, EB i EC jest równa

zero.

Wykres wektorowy napięć układu trójfazowego jest słuszny dla dowolnej chwili,

a zatem spełniony jest również warunek

0=++ CBA eee (73.2)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Rys. 7.19 Układ trójfazowy: a) schemat; b) uzwojenia fazowe prądnicy połączone w gwiazdę; c) uzwojenia fazowe odbiornika połączone w gwiazdę; d) uzwojenia fazowe prądnicy połączone w trójkąt; e) uzwojenie fazowe odbiornika połączone w trójkąt, UA, UB, UC — napięcia fazowe (Uf); UAC, UBA, UCB — napięcia międzyprzewodowe (Up); IpA, IpB IpC — prądy przewodowe (Ip); A, B, C — oznaczenia uzwojeń fazowych prądnicy trójfazowej, odbiornika trójfazowego lub przewodów łączących odpowiednie uzwojenia fazowe (fazy); N, N' — punkt neutralny (zerowy) prądnicy i odbiornika; IN — prąd w przewodzie neutralnym; ZA, ZB, ZC — impedancje uzwojeń fazowych odbiornika

trójfazowego; IA, IB, IC — prądy fazowe (If) (w układzie symetrycznym I = 3 If.)

który oznacza, że w dowolnej chwili suma wartości chwilowych napięć

źródłowych prądnicy trójfazowej jest równa zero. Ostatnią właściwość układu

napięć trójfazowych ilustruje również rys. 7.18b.

Kiedy linia trójfazowa jest linią trójprzewodową, wtedy dogodnie jest operować

napięciami międzyfazowymi lub inaczej — napięciami międzyprzewodowymi UP.

Napięcia międzyprzewodowe UAC, UBA, UCB występują między kolejnymi

przewodami fazowymi*. (Pierwsza litera w indeksie oznacza umownie miejsce

wyższego potencjału).

W układzie trójfazowym symetrycznym

pCBBAAC UUUU === (7.33)

oraz



0=== CBBAAC UUU (7.34)

UAC UBA, UCB — wektory napięć międzyprzewodowych.

Napięcia międzyprzewodowe i fazowe powiązane są ze sobą zależnościami

−=

−=

−=

BCCB

ABBA

CAAC

UUU

UUU

UUU

(7.35)

Z zależności trygonometrycznych wynikających z układu gwiazdy i trójkąta

napięć (rys. 7.18d), wynika, że

°= 30cos2

1fp UU (7.36)

a więc

fp UU 3= (7.37)

W przewodach linii trójfazowej płyną prądy przewodowe Ip. Prądy przewodowe

spełniają równanie

NpCpBpA IIII =++ (7.38)

Kiedy do sieci trójfazowej dołączony jest symetryczny odbiornik trójfazowy, to

ppCpBpA IIII === (7.39)

a suma prądów przewodowych

*Przewody fazowe w linii oznacza się L1, L2 i L3 oraz N, dawniej R, S, T, N.

0

0

=

=++

N

pCpBpA

I

III (7.40)

W odniesieniu do prądów przewodowych i fazowych można narysować również

wykres wektorowy w postaci trójkąta i gwiazdy, a wartości chwilowe prądów w

układzie symetrycznym spełniają równanie

0=++ pCpBpA iii (7.41)

Nazwy: napięcie fazowe, napięcie międzyprzewodowe, prąd przewodowy -

odnoszą się do linii trójfazowej i są niezależne od sposobu połączeń obciążenia

trójfazowego. Impedancje obciążenia trójfazowego mogą być połączone w

gwiazdę (rys. 7.19c) i wtedy dogodnie jest je oznaczać ZA, ZB, ZC, lub w trójkąt

(rys. 7.19e) i wtedy oznacza się je ZAC, ZCB, ZAB.



Przez impedancje odbiornika (fazy) przepływają prądy fazowe If. W przypadku

połączenia faz odbiornika w gwiazdę, prądy fazowe IA, IB, IC są równe

odpowiednim prądom przewodowym

CpCBpBApA IIIIII === ;;

W przypadku połączenia faz odbiornika w trójkąt prądy fazowe ICA, IBC, IAB nie są

równe prądom przewodowym, natomiast spełniona jest zależność, która w

przypadku obciążenia symetrycznego ma postać

fp II 3= (7.42)

Napięcie na fazach tak połączonego odbiornika jest równe napięciu

międzyprzewodowemu.

Odbiornik trójfazowy połączony w trójkąt pobiera z sieci inną moc, niż ten sam

odbiornik połączony w gwiazdę. W celu wyprowadzenia wzorów na moc

pobieraną przez odbiornik trójfazowy dokonajmy podsumowania

dotychczasowych rozważań, a więc

fpfp IIUU == 3 - połączenie odbiornika w gwiazdę (7.43)

fpfp IIUU 3== - połączenie odbiornika w trójkąt (7.44)

Moc czynna pobierana przez jedną fazę odbiornika trójfazowego jest określona

wzorem

2cos fIfff RIIUP == ϕ (7.45)

niezależnym od sposobu połączeń obciążenia.

Moc czynna pobierana przez cały odbiornik trójfazowy

23cos33 ffff RIIUPP === ϕ (7.46)


ϕcos3 ppIUP = (7.47)

Ten sam wzór na moc otrzymuje się, jeśli we wzorze (7.46) uwzględni się

zależnością (7.44). Wzór (7.47) można więc uznać za uniwersalny, określający

moc pobieraną przez odbiornik trójfazowy symetryczny, niezależnie od sposobu

jego włączenia do sieci. Łatwo wykazać, że odbiornik trójfazowy połączony w

trójkąt pobiera z sieci trzykrotnie większą moc, niż ten sam odbiornik połączony

w gwiazdę



(7.48)

Fakt ten wykorzystuje się przy rozruchu silników elektrycznych. Na przykład

uzwojenia silnika trójfazowego indukcyjnego łączy się najpierw w gwiazdę, dzięki

czemu silnik rusza łagodnie. Po rozruchu uzwojenia silnika przełącza się w

trójkąt, dzięki czemu osiąga on pełną moc znamionową będąc już w ruchu.

Przy omawianiu układów trójfazowych wspomniano już o prądnicach i silnikach

trójfazowych. Urządzenia te nazywa się ogólnie maszynami elektrycznymi.

Niektóre typy maszyn elektrycznych, w tym i maszyn trójfazowych, można

wykorzystać do pracy prądnicowej i pracy silnikowej. Ta sama maszyna

elektryczna, w zależności od sposobu połączenia jej z siecią, może być więc

prądnicą lub silnikiem.

Budowę prądnicy trójfazowej opisano już wcześniej. Prądnica jest zasilana od

strony wirnika (elektromagnes). Siła mechaniczna obracająca wirnik jest

przyczyną występowania wirującego pola magnetycznego. Ta sama maszyna

wykorzystana do pracy silnikowej zasilana jest trójfazowo od strony stojana.

Energia elektryczna jest doprowadzona do nieruchomych uzwojeń A-A', B-B', C-

C' (rys. 7.18). Uzwojenia te rozmieszczone są w pewien określony sposób w

przestrzeni i płyną w nich prądy przesunięte w fazie względem siebie. Dzięki

temu uzwojenia te wytwarzają wirujące pole magnetyczne. Pole to obejmuje

wirnik i na skutek oddziaływania z polem magnetycznym tego wirnika zostaje

wytwarzana siła mechaniczna styczna do wirnika.

Wirnik obraca się i jest magazynem energii kinetycznej. Prędkość kątowa

wirującego pola magnetycznego jest taka sama, jak częstość prądu zasilającego

maszynę.

Wirnik (elektromagnes lub magnes) obraca się z prędkością kątową ω, taką

samą jak pole wirujące. Ten typ maszyn elektrycznych nosi nazwę

synchronicznych. Synchronizm oznacza tu współbieżność wirnika maszyny z

wirującym polem magnetycznym.

W silnikach trójfazowych można zastąpić magnes lub elektromagnes wirnika

kawałkiem metalu o symetrii walcowej. Taki wirnik nie jest źródłem własnego

pola magnetycznego, ale indukują się w nim prądy wirowe pod wpływem



wirującego pola magnetycznego. Prądy wirowe wytwarzają własne pole

magnetyczne, które oddziałując w polu magnetycznym wirującym wprawiają

wirnik w ruch obrotowy. Prędkość kątowa wirnika jest w tym przypadku nieco

mniejsza od prędkości kątowej ω wirowania pola magnetycznego. Z tego

względu ten typ silników nosi nazwę asynchronicznych.

Z rozważań tych wynika, że warunkiem przemiany energii elektrycznej w energię

mechaniczną ruchu obrotowego w silnikach elektrycznych jest wytworzenie

wirującego pola magnetycznego. Pole takie można wytworzyć nie tylko w

układzie trójfazowym, ale w każdym innym układzie wielofazowym, na przykład

czterofazowym i dwufazowym, jeśli tylko uzwojenia fazowe są w odpowiedni

sposób rozmieszczone w przestrzeni, a prądy spełniają określone warunki

fazowe.

Przykład 7.8 Obliczyć wartości natężenia wirującego pola magnetycznego wytworzonego przez uzwojenie trójfazowe.

Zakładamy, że układ trójfazowy jest symetryczny, to znaczy taki, w którym

amplitudy natężeń pól wytwarzanych przez każde z uzwojeń fazowych są

jednakowe

mCBA HHHH ===

Niech w dowolnej chwili wektory HA, HB i HC zajmą położenie jak na rys. 7.20.

Wartości skalarne wektorów są równe

°−=

°+=

=

)120sin()(

)120sin()(

sin)(

tHtH

tHtH

tHtH

mB

mB

mA

ω

ω

ω

(7.49)

W celu obliczenia wartości skalarnej pola wypadkowego obliczmy najpierw

składowe Hx i Hy tego wektora

°−°−=

°−°=

30cos)(30cos)()()(

30cos)(30cos)()(

tHtHtHtH

tHtHtH

CBAy

CBx (7.50)

Uwzględniając zależności (7.49)

°+−°−−=

°+−°−=

)120sin(2

1)120sin(

2

1sin)(

)]120sin()120[sin(2

3)(

tttHtH

ttHtH

my

mx

ωωω

ωω

(7.51)




tHtH mx ωcos2

3)( −=

tHtH my ωsin2

3)( = (7.52a)

Wartość skalarną H pola wypadkowego oblicza się ze wzoru

22 )]([)]([)( tHtHtH yx += (7.53)

Obliczenia wykazują, że

mHHtH2

3)( == (7.54)

Rys. 7.20 Wektory natężenia pola magnetycznego wytworzonego przez prądy w uzwojeniach fazowych układu trójfazowego

Uzyskany wynik świadczy o tym, że pole magnetyczne wypadkowe ma wartość

stałą, niezmienną w czasie, i że wiruje z prędkością kątową ω — patrz również

równanie (7.52).

Przykład 7.9 Obliczyć wartość natężenia wirującego pola magnetycznego wytworzonego przez symetryczne uzwojenie czterofazowe.

Układ czterofazowy zbudowany jest z czterech uzwojeń, których osie tworzą w

przestrzeni kąty proste i w których płyną prądy przesunięte względem siebie o

kąt 900. (Dotyczy to faz kolejnych). W układzie symetrycznym zatem

)270sin()(

)180sin()(

)90sin()(

sin)(

2

2

2

1

°+=

°+=

°+=

=

tHtH

tHtH

tHtH

tHtH

m

m

m

m

ω

ω

ω

ω

Podobnie jak poprzednio obliczamy składowe Hx i Hy na dowolnie przyjętym



układzie współrzędnych (rys. 7.21)

)()()(

)()()(

31

42

tHtHtH

tHtHtH

y

x

−=

−=

Uwzględniając wcześniejsze zależności

tHtH

tHtH

my

mx

ω

ω

cos2)(

sin2)(

=

=

a zatem natężenie obliczone ze wzoru (7.53)

mHHtH 2)( ==

Jak widać, również w tym przypadku natężenie pola wypadkowego ma wartość

stałą i wiruje ono w przestrzeni z częstością zmian prądu.

Rys. 7.21 Wektory natężenia pola magnetycznego wytworzonego przez prądy w uzwojeniach fazowych układu czterofazowego Gdyby rozpatrywany układ czterofazowy był układem niesymetrycznym, w

którym |H1m| = |H3m | ≠ |H2m |= |H4m| to wypadkowe pole magnetyczne byłoby

nadal polem wirującym, lecz nie kołowym, a eliptycznym.

Przykład 7.10 Obliczyć wartość natężenia wirującego pola magnetycznego wytworzonego przez uzwojenie dwufazowe.

Rys. 7.22 Wektory natężenia pola magnetycznego wytworzonego przez prądy w uzwojeniach fazowych układu dwufazowego



Układ dwufazowy wykonany jest z dwóch uzwojeń umieszczonych tak, że ich

osie tworzą w przestrzeni kąt prosty (rys. 7.22). W uzwojeniach tych płyną

prądy przesunięte w fazie względem siebie również o kąt prosty. A zatem w

układzie symetrycznym

tHtH

tHtH

my

mx

ω

ω

cos)(

sin)(

=

=

Pole magnetyczne wypadkowe

mHHtH ==)(

ma również wartość stalą w czasie i wiruje w przestrzeni z prędkością kątową

równą częstości zmian pola.

Do wytworzenia pola wirującego potrzebne są co najmniej dwie fazy. Sieć

domowej instalacji elektrycznej jest siecią jednofazową. Silniki jednofazowe

domowych urządzeń z napędem elektrycznym (silniki mikserów, młynków,

lodówek itp.) wyposażone są zawsze w dodatkową fazę, zwaną fazą rozruchową

(rys. 7.23). Faza rozruchowa (pomocnicza) jest połączona równolegle z faza

główna i zasilana z sieci domowej instalacji elektrycznej. Faza ta jest tak

umieszczona w obudowie silnika, że strumień magnetyczny Hr wytworzony przez

nią jest skierowany prostopadle do strumienia magnetycznego Hg wytworzonego

przez fazę główną. W celu zapewnienia przesunięcia fazowego między

przebiegami prądów Ir i Ig w rozpatrywanych fazach, szeregowo z fazą

rozruchową włącza się kondensator o odpowiednio dobranej pojemności. W tych

warunkach strumienie magnetyczne przenikające wirnik silnika wytwarzają

wirujące eliptyczne pole magnetyczne. Pole to wzbudza w wirniku prądy wirowe,

których pole magnetyczne oddziałując z wirującym polem magnetycznym

wprawia wirnik w ruch obrotowy.

Rys. 7.23 Schemat budowy i połączeń fazy głównej i fazy rozruchowej silnika indukcyjnego jednofazowego



Na podobnej zasadzie działa domowy licznik energii elektrycznej. W liczniku

energii elektrycznej — jest on odmianą silnika jednofazowego — wirnik jest

zredukowany do płaskiej aluminiowej tarczy, a dwie fazy stanowią: uzwojenie

prądowe i uzwojenie napięciowe. Licznik pracuje wtedy, gdy jednocześnie

przepływa prąd przez uzwojenie prądowe i napięciowe.

Uzwojenie napięciowe licznika jest obciążane przez cały czas. Natomiast

uzwojenie prądowe jest obciążane tylko z chwilą włączenia odbiorników energii

elektrycznej do sieci.

7.7 Analiza obwodów o odkształconych przebiegach prądu i napięcia

W elektrotechnice przebiegami odkształconymi nazywa się przebiegi

niesinusoidalne. Dlaczego właśnie przebiegi sinusoidalne są przebiegami

odniesienia, do których porównuje się przebiegi o innych kształtach. Otóż

dlatego, że w większości przypadków układy fizyczne wykonują drgania

sinusoidalne. Dotyczy to układów mechanicznych o ruchu harmonicznym

(wahadło matematyczne, drgania elementów sprężystych, kamerton, układy

akustyczne) oraz układów elektrycznych (układy LC). W niektórych przypadkach

obserwuje się jednak odkształcony okresowy przebieg prądu lub napięcia. Jest

on wynikiem albo złożonych zjawisk zachodzących w obwodach nieliniowych

(rozdz. 7.4), albo efektem zamierzonych działań (np. układy prostownikowe —

p. 6.8.5).

Analiza obwodów o przebiegach odkształconych prądu i napięcia jest bardzo

skomplikowana, tym bardziej, że najczęściej nie jest znana postać funkcji

opisującej rozpatrywany przebieg. Na szczęście jednak wszystkie przebiegi

okresowe odkształcone można przedstawić jako sumę odpowiedniej liczby

składowych sinusoidalnych (harmonicznych). Na rys. 7.24a przedstawiono

przykładowy przebieg odkształcony o okresie T. Łatwo zauważyć, że jest on

równy sumie przebiegu A1(t) sinusoidalnego (rys. 7.24b) o tym samym okresie i

przebiegu A2 (t) sinusoidalnego o częstości będącej całkowitą krotnością

częstości przebiegu rozpatrywanego (rys. 7.24c). Składowe sinusoidalne lub

kosinusoidalne nazywa się krótko harmonicznymi, a pierwsza harmoniczna, o



częstości równej częstości przebiegu odkształconego, nosi nazwę harmonicznej

podstawowej.

Metoda rozkładania krzywych odkształconych na harmoniczne ma wiele zalet.

Przede wszystkim umożliwia analizę obwodów dla każdej harmonicznej

oddzielnie niezależnie. Odpowiedź układu wyznacza się metodą superpozycji (ale

tylko dla obwodów liniowych) sumując odpowiedzi od wszystkich harmonicznych.

Rys. 7.24 Przebieg odkształcony (a) i jego składowe sinusoidalne (b, c)

Analizę matematyczną obwodów elektrycznych o przebiegach odkształconych

prądu i napięcia umożliwia aparat matematyczny opracowany przez Fouriera.

Bardzo szeroką klasę funkcji f(t), których zmienną niezależną jest czas t, można

przedstawić w postaci szeregu o nieskończonej liczbie wyrazów

)sincos(2

)(1

0 tnbtnaa

tf n

n

n ωω∑∞

=

++= (7.55)

zwanego szeregiem trygonometrycznym Fouriera, w którym współczynniki stałe

(współczynniki Fouriera)

,...3,2,1cos)(2

0

== ∫ ntdtntfT

a

T

n ω (7.56)

,...3,2,1sin)(2

0

== ∫ ntdtntfT

b

T

n ω (7.57)

przy czym a0 oblicza się ze wzoru (7.55) przyjmując n = 0.

Z powyższej analizy wynika, że dowolną funkcję f(t) można przedstawić w



postaci sumy składowej stałej i składowych sinusoidalnych o częstościach

będących krotnościami częstości funkcji f (t).

Na rys. 7.25a przedstawiono często występujący przebieg odkształcony, przebieg

piłokształtny i odpowiadające mu sześć harmonicznych (rys. 7.25b). Amplitudy

wyższych harmonicznych, dla n = 2,3,4,..., najczęściej bardzo szybko maleją.

Dlatego w praktyce, z nieskończonego szeregu Fouriera, wykorzystuje się sumę

kilku jego pierwszych składowych. Otrzymuje się w ten sposób przybliżony obraz

drgań wyjściowych (wypadkowych).

W bardzo wielu przypadkach istotnym zagadnieniem jest obliczenie wartości

skutecznej prądu i napięcia odkształconego oraz mocy czynnej. W obwodzie, w

którym przepływa prąd odkształcony można umownie wydzielić n źródeł napięcia

przemiennego o częstościach kolejno ω, 2ω, 3ω … nω połączonych szeregowo.

Każde z wymuszeń napięciowych powoduje przepływ prądu sinusoidalnego o

określonej częstości — patrz wzór (7.55).

Wartość chwilowa i prądu odkształconego jest równa sumie wartości chwilowych

poszczególnych harmonicznych

niiIi +++= ...10 (7.58)

gdzie I0 — składowa stała prądu wypadkowego.

Można też napisać

tnItItIIi nmmm ωωω sin...2sinsin 210 ++++= (7.59)

gdzie I1m, I2m ...— amplitudy harmonicznych prądu.

Wykonując obliczenie wartości skutecznej prądu (patrz dodatek F) otrzymuje się

równanie określające wartość skuteczną prądu odkształconego

22

2

2

1

2

0 ... nIIIII ++++= (7.60)

gdzie I1, I2 ...— wartości skuteczne poszczególnych składowych harmonicznych

prądów, oraz wartość skuteczną napięcia odkształconego

22

2

2

1

2

0 ... nUUUUU ++++= (7.61 )

Otrzymane rezultaty można skomentować następująco :

Wartość skuteczna prądu i napięcia odkształconego jest równa pierwiastkowi

kwadratowemu z sumy kwadratów wartości skutecznych kolejnych

harmonicznych oraz składowej stałej.



2RIP =

W obwodach elektrycznych o odkształconych przebiegach prądu i napięcia

wydziela się również moc czynna, bierna i pozorna. Ponieważ, jak wiadomo,

skuteczna wartość prądu wynika z jego energetycznego działania, to wzór na

moc czynną pozostaje bez zmiany

(7.62)

gdzie I jest określone wzorem (7.60).

Wykorzystując wzory na prąd i napięcie skuteczne można również napisać, że

nnnIUIUIUIUP ϕϕϕ cos...coscos 22211100 ++++= (7.63)

Podobny wzór obowiązuje dla mocy biernej*

nnnIUIUIUIUQ ϕϕϕ sin...sinsin 22211100 ++++= (7.64)

*Wzory (7.63) i (7.64) można otrzymać ze wzoru (7.22) po przyjęciu, że wartość średnia składowych okresowych antysymetrycznych jest równa zero.

Rys. 7.25 Przebieg okresowy odkształcony piłoksztaltny (a); sześć harmonicznych przebiegu piłoksztaltnego (b); charakterystyka amplitudowo - częstotliwościowa (widmowa) (c)



Uwaga. W obwodach o odkształconym przebiegu napięcia i prądu suma kwadratu

mocy czynnej i biernej nie jest równa kwadratowi mocy pozornej.

Przykład 7.11 W sieci domowej instalacji elektrycznej jest napięcie o wartości skutecznej U = 220 V. Na ogół jest to napięcie sinusoidalne. Niekiedy jednak, na skutek włączenia różnych odbiorników, krzywa sinusoidalna odkształca się tak, że pojawia się trzecia harmoniczna o wartości skutecznej U3 = 20 V i piąta harmoniczna o wartości skutecznej U5 = 10 V. Wartość skuteczna U pozostaje jednak niezmienna. Napięcie w sieci jest mierzone woltomierzem, który reaguje tylko na pierwszą harmoniczną, czyli na napięcia o częstości podstawowej. Obliczyć błąd pomiaru wartości skutecznej napięcia sieciowego spowodowany odkształceniem jego przebiegu.

W pierwszym przypadku woltomierz mierzy wartość skuteczną U

nieodkształconego przebiegu napięcia, w drugim — wartość skuteczną U1

pierwszej harmonicznej przebiegu odkształconego. Ponieważ zgodnie z

założeniem

2

5

2

3

2

1 UUUU ++=

to

2

5

2

3

2

1 UUUU −−=

Po wykonaniu obliczeń U1 = 219 V

Błąd pomiaru

1001

U

UU −=δ

wynosi 0,455%.

Przykład 7.12 Układ szeregowy R, L, C, gdzie R = 2Ω; L = 40,5 mH; C = 10 pF jest zasilany napięciem o częstotliwości f = 50 Hz. Przebieg napięcia jest odkształcony i wartość skuteczna pierwszej harmonicznej U1 = 50 V, trzeciej harmonicznej U3 = 6 V, piątej harmonicznej U5 = 3 V. Obliczyć wartość skuteczną prądu i moc czynną przy uwzględnieniu tylko a) pierwszej i trzeciej harmonicznej b) wszystkich trzech harmonicznych

Impedancja obwodu R, L, C

2

2 1

−+=

CnLnRZ

ωω

zależna jest od częstości i w naszym przypadku dla pierwszej harmonicznej

(n = 1)



Z1=303Ω

dla trzeciej harmonicznej (n = 3)

Z3=67Ω

dla piątej harmonicznej (n = 5)

Z5=R=2Ω

gdyż przy pulsacji 5ω występuje rezonans napięć.

Wartości skuteczne prądów harmonicznych obliczone ze wzoru

n

nn

Z

UI = są odpowiednio równe: I1 = 0,165 A; I3 = 0,086 A; I5 = 1,5 A

a) Wartość skuteczna prądu, przy pominięciu piątej harmonicznej

2

3

2

13,1 III +=

Z obliczeń uzyskuje się I1,3 = 0,186 A Moc czynna

2

1,3RIP =

wynosi 0,069 W.

b) Uwzględniając wszystkie harmoniczne prądu, wartość skuteczna jest większa

2

5

2

3

2

15,3,1 IIII ++= i równa I1,3,5 = 1,5 A.

Moc czynna w tym przypadku wynosi 4,5 W.

Przykład 7.13 Przedstawić przebieg prostokątny antysymetryczny o okresie T i amplitudzie A (rys. 7.26a) w postaci sumy jego trzech harmonicznych.

Funkcję f (t) w naszym przypadku należy przedstawić w postaci

20)( 0

TtdlaAtf <<=

TtT

dlaAtf <<−=2

)( 0

Współczynniki an Fouriera obliczone ze wzoru (7.56) są równe zero dla

wszystkich n :



0...210 === naaaa

Przy obliczaniu współczynników Fouriera należy całkę oznaczoną o granicach

0 ... T zastąpić sumą całek oznaczonych o granicach 0 ... 2

T oraz

2

T ... T.

Współczynniki bn oblicza się ze wzoru (7.57) i dla pierwszej harmonicznej

−= ∫∫ tdtAtdtAT

b

T

T

T

ωω sinsin2

2

0

2

0

01

Rys. 7.26 Odwzorowanie przebiegu prostokątnego za pomocą przebiegów sinusoidalnych harmonicznych: a) przebieg prostokątny o okresie T i amplitudzie A0; b) harmoniczna podstawowa (pierwsza); c) przebieg wypadkowy pierwszej i drugiej harmonicznej; d) przebieg wypadkowy pierwszej, drugiej i trzeciej harmoniczne; e) obraz trzech pierwszych harmonicznych przebiegu prostokątnego

Po obliczeniu

ωT

Ab 0

1

8=



Ponieważ T

2=ω , to ostatecznie

π0

1

4Ab =

Podobnie przeprowadzone obliczenia wykazują, że

ππ0

50

3

4

5

14

3

1 Aboraz

Ab ==

Jak widać przebieg prostokątny antysymetryczny zawiera tylko harmoniczne

nieparzyste i z pewnym przybliżeniem można go opisać funkcją

tA

tA

tA

tf ωπ

ωπ

ωπ

5sin4

5

13sin

4

3

1sin

4)( 000 ++=

Większość przebiegów okresowych (drgań) obserwowanych w przyrodzie należy

do przebiegów odkształconych. W związku z tym zawsze mamy do czynienia z

sinusoidalnym przebiegiem podstawowym i z sinusoidalnymi przebiegami

składowymi — harmonicznymi. Przebiegi (drgania) harmoniczne odgrywają dużą

rolę w akustyce i elektroakustyce. Każdy instrument muzyczny jest źródłem

drgań odkształconych. Drgania te można traktować jako sumę drgania

podstawowego i szeregu drgań harmonicznych. Częstotliwość drgania

podstawowego określa wysokość dźwięku, natomiast zawartość

harmonicznych decyduje o barwie dźwięku. Właśnie barwa dźwięku pozwala

nam odróżnić różne instrumenty od siebie, nawet jeśli jest z nich wydobywany

ten sam dźwięk. Każdy instrument bowiem jest źródłem nie tylko drgań

podstawowych, ale i określonego zestawu drgań harmonicznych,

charakterystycznych tylko dla danego instrumentu. Właśnie dzięki

harmonicznym możemy m. in. rozpoznać rozmówcę „po głosie” i odróżnić wielu

rozmówców.

Zjawiska akustyczne narzucają pewne wymagania dotyczące sprzętu

elektroakustycznego przeznaczonego do przesyłania i odtwarzania sygnałów

dźwiękowych. Wierne odtwarzanie dźwięków wymaga przesłania wszystkich

sygnałów elektrycznych, będących „kopiami” drgań harmonicznych i drgań

podstawowych. Częstotliwość tych sygnałów mieści się w pasmie 20 ... 20000

Hz, zwanym pasmem akustycznym. W praktyce nie jest możliwe przesłanie

wszystkich sygnałów bez zniekształceń i niekiedy nie jest to konieczne. Do

przesyłania rozmów telefonicznych wystarczające jest np. pasmo o zakresie

częstotliwości ok. 3,5 kHz. Okazuje się bowiem, że w tym paśmie mieści się tyle

harmonicznych, iż jesteśmy w stanie rozpoznać rozmówcę. W celu przesyłania



lub odtwarzania muzyki musimy dysponować jednak znacznie szerszym pasmem

częstotliwości. Sprawa ta jest kłopotliwa, gdyż różne elementy zestawu

elektroakustycznego (mikrofony, wzmacniacze, tory transmisyjne, głośniki)

różnie reagują na sygnały o różnych częstotliwościach. Niektóre głośniki np.

przenoszą tylko sygnały o małej częstotliwości (głośniki niskotonowe). Dlatego w

celu pełnego odtworzenia źródła dźwięku buduje się zestawy głośnikowe

(kolumny) zawierające głośniki nisko - i wysokotonowe.

Ze względu na różne ograniczenia, wnoszone przez wymienione elementy

elektroakustyczne, pasmo popularnego sprzętu elektroakustycznego nie jest

większe niż 9 ... 15 kHz i na ogół tony bardzo niskie i bardzo wysokie nie są

odtwarzane. Wierne odtwarzanie dźwięku zapewnia jedynie sprzęt Hi-Fi*, sprzęt

o wysokiej klasie jakości.

7.8 Łączenie źródeł napięcia W wielu przypadkach zachodzi konieczność odpowiedniego połączenia nie tylko

biernych elementów układów elektrycznych, lecz również czynnych — źródeł

napięcia. Problem połączeń źródeł napięcia omówimy na przykładzie połączenia

ogniw. Z układem połączeń ogniw (bateria ogniw) spotykamy się w latarkach

elektrycznych i zabawkach mechanicznych. Źródłem energii w tych urządzeniach

są ogniwa połączone szeregowo lub równolegle. Bateria płaska 4,5-woltowa jest

również układem trzech 1,5-woltowych ogniw połączonych szeregowo.

Rys. 7.27 Połączenie szeregowe źródeł napięcia

Jak już wspomniano, ogniwa można łączyć szeregowo, równolegle lub w sposób

mieszany. Przy połączeniu szeregowym ogniw (rys. 7.27) siła

elektromotoryczna (napięcie źródłowe) na zaciskach baterii jest równa sumie sił

elektromotorycznych poszczególnych ogniw

nb EEEEE ++++= ...321 (7.65)



Również rezystancje wewnętrzne ogniw są połączone szeregowo, a zatem

rezystancja wewnętrzna baterii ogniw

nb RRRRR ++++= ...321 (7.66)

W przypadku n jednakowych ogniw połączonych szeregowo słuszne są wzory

nEEb = (7.67)

nEEEE ==== ...21

nRRb = (7.68)

nRRRR ==== ...21

W tym przypadku prąd w gałęzi zewnętrznej

nRR

nEI

z == (7.69)

Połączenia szeregowe ogniw stosuje się w celu zwiększenia siły

elektromotorycznej (napięcia źródłowego) baterii.

Łączenie równolegle ogniw (rys. 7.28) wykonuje się łącząc wszystkie zaciski

jednoimienne ogniw w jednym punkcie. W taki sposób zostają utworzone dwa

zaciski baterii. Łączy się na ogół równolegle tylko jednakowe ogniwa i w takim

przypadku

EEb = (7.70)

nEEEE ==== ...21

Z omawianego sposobu połączeń ogniw wynika, że również ich rezystancje

wewnętrzne połączone są równolegle, a zatem rezystancja wewnętrzna baterii

nb RRRR

1...

111

21

++++ (7.71)

Rys. 7.28 Połączenie równolegle źródeł napięcia

* Hi-Fi — skrót od nazwy angielskiej High Fidelity (wysoka wierność).



W przypadku n jednakowych ogniw

n

RRb = (7.72)

gdzie

nRRRR ==== ...21

Prąd w gałęzi zewnętrznej dołączonej do zacisków baterii o połączeniu

równoległym ogniw

n

RR

EI

z +

= (7.73)

Połączenie równoległe ogniw stosuje się w celu zwiększenia wydajności prądowej

baterii.

Przykład 7.14 Ogniwo o sile elektromotorycznej (napięciu źródłowym) E1 = 2V i rezystancji wewnętrznej R1 = 1Ω połączono z ogniwem o sile elektromotorycznej E2 = 1V i rezystancji wewnętrznej R2 = 2Ω raz szeregowo, a raz równolegle. Obliczyć prąd płynący przez ogniwa w każdym z tych układów połączeń.

W przypadku połączenia szeregowego ogniw (rys. 7.29)

21

21

RR

EEI

+

+=

Rys. 7.29 Dwa ogniwa połączone szeregowo

Rys. 7.30 Dwa ogniwa połączone równolegle

Po wykonaniu obliczeń I = 1 A. W przypadku połączenia równoległego ogniw (rys. 7.30)



21

21

RR

EEI

+

−=

Po wykonaniu obliczeń I = 0,33 A. Przykład 7.15 Wyznaczyć wartość rezystancji Robc odbiornika, który dołączony do baterii n ogniw połączonych raz szeregowo, a raz równolegle, pobiera z niej zawsze taki sam prąd. Siła elektromotoryczna (napięcie źródłowe) każdego ogniwa jest równa E, a jego rezystancja wewnętrzna r.

Korzystając z zależności (7.70) i (7.73) można napisać

n

rR

E

nrR

nE

obcobc +

=+

Przekształcenie powyższego równania daje rozwiązane: Robc = r.

Przykład 7.16 W jaki sposób połączyć n = 36 ogniw, każde o rezystancji wewnętrznej r = 0,5 Ω, w baterię ogniw, aby prąd płynący przez rezystor zewnętrzny Rz = 2 Ω dołączony do zacisków baterii był największy (rys. 7.31)?

Rys. 7.31 Połączenie mieszane ogniw

Zakładamy, że ogniwa połączone są ze sobą w sposób mieszany. Jeśli przez x

oznaczymy liczbę ogniw połączonych szeregowo, to otrzymany w ten sposób

liczbę n/x gałęzi ogniw połączonych równolegle. Siła elektromotoryczna baterii

jest wyznaczona liczbą ogniw połączonych szeregowo

xEEb =

Rezystancja gałęzi szeregowej

xrRb =

Ponieważ jest n/x takich gałęzi połączonych równolegle, to rezystancja

wewnętrzna baterii ogniw



n

rx

x

n

xrRb

2

==

Zgodnie z prawem Ohma

bz

b

RR

EI

+=

a zatem

rxxR

nExI

z

2+=

Prąd I w gałęzi zewnętrznej jest funkcją x, a zatem ekstremum funkcji (w tym

przypadku maksimum) wyznacza się z warunku

0=dx

dI

Po wykonaniu operacji różniczkowania

( )( )22

22 2

rxnR

rExrxnRnE

dx

dI

z

z

+

−+=

Prąd maksymalny płynie gdy

( ) 02 22 =−+ rnExrxnRnE z

Stąd

r

nRx z=

Uwzględniając wartości liczbowe uzyskuje się x = 12. Oznacza to, że prąd

maksymalny w obwodzie zewnętrznym będzie płynął wtedy, gdy bateria ogniw

zostanie utworzona z 3 gałęzi połączonych równolegle, z których każda będzie

zawierała 12 ogniw połączonych szeregowo.

8. Wytwarzanie i przetwarzanie energii elektrycznej

8.1 Wiadomości ogólne Energia jest w tej chwili problemem światowym. Zapotrzebowanie na energię

ciągle się na świecie zwiększa, co jest związane z urbanizacją osiedli,

uprzemysłowieniem i rozwojem transportu w wielu krajach. Jednocześnie zapas



surowców energetycznych w świecie ciągle zmniejsza się. Prowadzi to do sytuacji

kryzysowych. Dlatego też wszystkie kraje starają się prowadzić racjonalną i

oszczędną gospodarkę własnymi zasobami energetycznymi i prowadzą badania

nad nowymi jej „źródłami". Pojęcie „źródło energii" jest oczywiście pojęciem

umownym. Źródeł energii nie ma. Istnienie takich źródeł przeczyłoby

uniwersalnej zasadzie zachowania energii. Oczywiście możemy jedynie

przetwarzać jedne rodzaje energii w inne. W tym sensie „źródło” jest

przetwornikiem, w którym zachodzi przetwarzanie energii. Takie „przetworniki”,

które przetwarzają energię na skalę przemysłową noszą nazwę elektrowni. Z

elektrowni otrzymujemy energię elektryczną. Energia elektryczna jest bardzo

dogodną postacią energii, gdyż można ją przesyłać na duże odległości przy

stosunkowo małych stratach. Niestety nie można jej magazynować i musi być

użytkowana w miejscu jej odbioru. Nie jest to jednak dużą niedogodnością, gdyż

energię elektryczną z łatwością daje się przetwarzać na inne rodzaje energii.

Elektrownie zużytkowują surowce energetyczne. Do podstawowych surowców

energetycznych należą: bieżąca woda, która jest źródłem energii kinetycznej,

paliwa stałe (węgiel), ciekłe (ropa) i gazowe, które są źródłem energii

chemicznej oraz pierwiastki rozszczepialne, które są źródłem energii cieplnej.

Paliwa energetyczne, w swej nienaruszonej postaci, są „magazynem” energii

chemicznej, która w procesie spalania zamienia się w energię cieplną.

Elektrownie jądrowe również można zaliczyć do grupy elektrowni cieplnych.

We wszystkich typach elektrowni przedostatnim stopniem przetwarzania jest

turbina, która przetwarza dostarczoną energię na energię kinetyczną ruchu

obrotowego. Tę to energię przetwarza się już bezpośrednio w energię

elektryczną. Proces ten zachodzi w prądnicach (generatorach) (p. 7.6), które za

pośrednictwem transformatorów są dołączone do systemu

elektroenergetycznego.

W chwili obecnej na świecie ponad 90% energii elektrycznej produkuje się w

elektrowniach cieplnych pracujących z wykorzystaniem paliw energetycznych.

Paliwa te (węgiel, ropa, gaz) są produktami roślinnymi i wytwarzały się w drodze

ewolucji naszej planety i życia na jej powierzchni. Świat roślinny czerpał energię

potrzebną do swego rozwoju z promieni Słońca*. Zatem przy współudziale



Słońca powstały te olbrzymie złoża surowców energetycznych zalegających

jeszcze w skorupie ziemskiej. A skąd Słońce czerpie energię, którą w postaci fal

elektromagnetycznych wypromieniowuje we wszystkie możliwe kierunki w

Kosmosie? — Źródłem tej energii są reakcje syntezy termojądrowej (patrz wzór

2.11). Reakcje te polegają na bezpośredniej przemianie energii występującej w

postaci korpuskularnej w energię promieniowania elektromagnetycznego. A więc

również w skali kosmicznej mamy do czynienia jedynie z przemianami

energetycznymi, a nie z jej kreacją. Można też powiedzieć, że obecnie na Ziemi

korzystamy z zapasów energetycznych nagromadzonych przez Kosmos. Gdy te

zapasy ulegną wyczerpaniu, trzeba będzie zapewne wyruszyć na jego podbój, by

stamtąd ją czerpać. Uważa się bowiem, że Kosmos jest dla ludzkości

niewyczerpanym źródłem energii.

* Znane są jednak gatunki roślin (np. grzyby i wodorosty porastające dna głębokich mórz, gdzie nigdy nie dociera światło), które mogą rozwijać się bez udziału światła. Energię czerpią z reakcji chemicznych zachodzących w podłożu, które porastają.

Powszechnie uważa się, że ilość energii we Wszechświecie jest stała i

niezmienna, a jego ewolucja polega na ciągłych przemianach energetycznych,

tzn. przeistaczaniu się energii z jednej postaci w inną. Przemiany energetyczne

zachodzą zgodnie z prawami fizycznymi, które w skali ziemskiej zostały już

zbadane i sprawdzone. Nie znamy jednak jeszcze wszystkich mechanizmów

przemian energetycznych w Kosmosie. Nie możemy przede wszystkim z całą

pewnością stwierdzić, czy rzeczywiście ilość energii we Wszechświecie jest stała.

Od czasu do czasu obserwuje się wybuchy gwiazd supernowych, powstawanie

kwazarów, które są źródłem gigantycznej energii powstającej w nieznany

sposób.

Czas, w którym będziemy mogli czerpać energię z Kosmosu jest jeszcze odległy i

przez wiele lat będziemy musieli korzystać jednak z zapasów „lokalnych",

ziemskich.

Problem wytwarzania energii elektrycznej łączy się nierozerwalnie z problemami

jej przesyłania. Odbiorniki energii elektrycznej rozmieszczone są zwykle w

znacznej odległości od elektrowni, które buduje się na ogół w pobliżu surowców

energetycznych. Energię elektryczną przesyła się liniami wysokiego napięcia.

Elektrownie wraz z liniami przesyłowymi i odbiornikami energii tworzą system



elektroenergetyczny (rys. 8.1). Linia wysokiego napięcia o długości l i

rezystancji R2l łączy elektrownię

Rys. 8.1 Prosty nierozgałęziony układ elektroenergetyczny

z odbiornikiem. Na przewodach linii powstaje spadek napięcia

IRU l2=∆ (8.1)

Spadek napięcia w linii jest zjawiskiem szkodliwym. Oznacza bowiem obniżenie

napięcia Uodb na zaciskach odbiornika w stosunku do napięcia UG na zaciskach

generatora

UUU Godb ∆−= (8.2)

Aby zmniejszyć spadki napięcia, należy energię elektryczną przesyłać przy

mniejszym prądzie I. Prąd, przy stałej wartości mocy, można zmniejszyć

zwiększając napięcie w linii za pomocą transformatora. Dlatego też na początku

linii znajduje się transformator podwyższający napięcie. Podwyższenie napięcia w

liniach przesyłowych jest ważne również ze względu na straty mocy czynnej

występujące w czasie przesyłania energii elektrycznej. Straty mocy czynnej 2

2 IRP l= (8.3)

są mniejsze przy mniejszym prądzie I w linii, czyli przy wyższym napięciu.

Obecnie stosuje się w sieciach przesyłowych napięcia 110 kV, 220 kV, a

eksperymentalnie buduje się linie na napięcia 400 kV i 1 MV. Górna granica

stosowanych dotychczas napięć jest ograniczona rozmiarami i wytrzymałością

elektryczną izolatorów.

Na końcu linii umieszczony jest również transformator, ale jest to transformator,

który obniża napięcie do wartości napięcia znamionowego odbiorników.

W niektórych krajach buduje się elektroenergetyczne linie przesyłowe prądu

stałego. Linie takie współpracują z przetwornikiem dużej mocy napięcia

przemiennego na napięcie stałe zainstalowanym na początku linii. Przetworniki

takie są konieczne, ponieważ w elektrowniach wytwarzana jest energia



elektryczna prądu przemiennego. Na końcu takiej linii, w miejscu odbioru

energii, instaluje się energetyczne przetworniki prądu stałego na prąd

przemienny, gdyż większość odbiorników dostosowana jest do takiego właśnie

prądu.

Przesyłanie energii elektrycznej za pomocą linii prądu stałego ma swoje zalety.

Przede wszystkim unika się dużych strat mocy na konduktancji izolacji, która w

tym przypadku nie musi być tak rozbudowana, a więc i kosztowna.

W Polsce energię elektryczną wytwarza się głównie w elektrowniach

cieplnych.

Pokrywają one ok. 97% ogólnego zapotrzebowania. Elektrownie te nie są

jednakowo obciążone w ciągu roku, miesiąca, a nawet doby. Obciążenie ich jest

zmienne i wynika ze zmianowej pracy zakładów pracy, pór dnia, pór roku itp.

Związane są z tym szczyty obciążenia systemu elektroenergetycznego (rys. 8.2).

Moc całkowita wszystkich zainstalowanych elektrowni powinna być większa od

obciążenia szczytowego.

Rys. 8.2 Przykładowy wykres dobowego obciążenia systemu elektroenergetycznego Ps— moc szczytowa, Pśr — moc średnia, Pd — moc „dolinowa"

Nierównomierny odbiór energii elektrycznej z elektrowni stwarza pewien kłopot.

Gdyby obciążenie było jednakowe, to moc elektrowni mogłaby być mniejsza i

równa mocy średniej Pśr zapotrzebowanej przez obciążenie. Wobec wahań

obciążenia, musi być ona co najmniej równa mocy szczytowej, a poza tym

należy nią odpowiednio dysponować. Produkcja energii elektrycznej o mocy

szczytowej Ps (rys. 8.2) w okresie „doliny obciążenia” byłaby jawnym

marnotrawstwem surowców energetycznych. Aby uniknąć strat, a jednocześnie

w pełni pokryć zapotrzebowanie, wyznacza się godziny pracy poszczególnych



elektrowni. Elektrownie będące do dyspozycji dzieli się na trzy grupy:

podstawowe, podszczytowe i szczytowe (rys. 8.3) i przydziela różne zadania.

Elektrownie podstawowe są przeznaczone do pracy ciągłej i dlatego są w

pełni wykorzystane. Jednocześnie są to elektrownie, które produkują energię

elektryczną najtaniej, a więc na ogół największe i najnowocześniejsze. W

okresach zwiększonego obciążenia, którego nie są w stanie pokryć elektrownie

podstawowe, włącza się do systemu elektroenergetycznego elektrownie

podszczytowe. Są to na ogół elektrownie starsze, o mniejszej sprawności, w

których — ze względu na konieczność częstych remontów — produkcja energii

elektrycznej jest kosztowniejsza.

Elektrownie szczytowe włącza się w okresie wystąpienia największego

obciążenia - w „szczycie” — zwykle na kilka tylko godzin. Są to najczęściej

elektrownie wodne. Najważniejszym powodem, dla którego właśnie elektrownie

wodne wykorzystuje się jako szczytowe, jest możliwość ich uruchomienia i

włączenia do systemu elektroenergetycznego w ciągu kilku minut.

Zautomatyzowane elektrownie wodne włączają się i wyłączają samoczynnie.

Poza tym zapas wody w zbiornikach wyrównawczych elektrowni wodnych może

być często za mały, aby pracowały one przy pełnej mocy przez cały czas. Do

pracy szczytowej nie wykorzystuje się elektrowni cieplnych, raczej tylko w

nielicznych przypadkach, ze względu na to, że rozruch ich jest długi - trwa co

najmniej kilkanaście godzin. Związany on jest bowiem z rozpaleniem pieca i

nagrzaniem pary do określonej temperatury.

Rys. 8.3 Pokrywanie zapotrzebowania na energię elektryczną przez trzy grupy elektrowni

Konieczność sterowania czasem pracy poszczególnych elektrowni wynika stąd,



że — jak wiemy — energii elektrycznej prądu przemiennego nie można

produkować m zapas. Cała wytworzona energia elektryczna jest natychmiast w

odbiornikach elektrycznych przetwarzana na inne rodzaje energii, pomijając tę

jej część, która jest tracona.

Załączenie elektrowni do sieci systemu elektroenergetycznego jest procesem

dosyć złożonym, nie tylko ze względu na skomplikowane zjawiska cieplne i

mechaniczne lecz również na zjawiska elektryczne występujące przy załączaniu.

Załączanie po winno odbyć się szybko i to w czasie, kiedy napięcia sinusoidalne

sieci i turbogeneratorów osiągają jednocześnie w okresie zmienności wartość

zerową. Cały proces poprzedzający załączenie nosi nazwę synchronizacji.

8.2 Źródła prądu stałego Powszechnie stosowanymi źródłami prądu stałego są ogniwa galwaniczne i

akumulatory.

Ogniwo jest to układ elektrochemiczny, w którym energia elektryczna powstaje

kosztem energii reakcji chemicznych.

Ogniwo jest zbudowane z dwóch elektrod, wykonanych z różnych materiałów,

zanurzonych w elektrolicie (rys.8.4).

Elektrolitem może być substancja chemicznie czynna i zdysocjowana na jony.

Elektrolitami są więc wodne roztwory kwasów, zasad i soli. Elektroda metalowa

zanurzona w roztworze ulega rozpuszczaniu. Polega to na tym, że atomy metalu,

np. cynku, przechodzą do roztworu w postaci jonów dodatnich, pozostawiając

elektrony na elektrodzie. Elektroda uzyskuje więc potencjał ujemny względem

elektrolitu. Proces rozpuszczania elektrody trwa dopóty, dopóki nie ustali się

równowaga chemiczna. Równowaga chemiczna jest stanem równowagi

dynamicznej, w której proces rozpuszczania jest hamowany przez pole

elektryczne powstałe na granicy faz: ciało stałe (elektroda) — roztwór

(elektrolit)*. Potencjał elektrody względem elektrolitu nosi nazwę potencjału

Nersta. W stałej temperaturze 25°C jest on określony wzorem



cwVV

lg

0591,00 == (8.4)

V0 — potencjał normalny elektrody, w — liczba ładunków jonu (wartościowość), c

— stężenie jonów metalu w elektrolicie.

* Na granicy fazy ciekłej i stałej powstaje tzw. elektryczna warstwa podwójna utworzona przez dwie warstwy, na których zgromadzone są ładunki przeciwnych znaków. Warstwy te oddalone są od siebie na odległość równą średnicy cząsteczek.

Rys. 8.4 Ogniwo galwaniczne Volty

Potencjał normalny elektrody jest wielkością stałą, charakterystyczną dla

danego metalu stanowiącego elektrodę. Wyznacza się go przez pomiar

potencjału elektrody metalicznej zanurzonej w roztworze własnych jonów

dodatnich o stężeniu jednego mola na litr. Potencjał elektrody zależy zatem od

rodzaju metalu i stężenia jonów tego metalu w elektrolicie. Różnym metalom

można więc przyporządkować różne potencjały i uszeregować je w tak zwany

szereg napięciowy (tab. 8.1).

Metal i jego symbol

chemiczny

Lit Li

Potas K

Glin Al

Cynk Zn

Ołów Pb

Miedź Cu

Złoto Au

Potencjał normalny V —3,01 —2,92 —1,66 —1,05 —0,126 + 0,34 + 1,7

Pojedyncza elektroda metalowa (lub węglowa) zanurzona w elektrolicie nosi

nazwę półogniwa. Pełne ogniwo powstaje przez umieszczenie dwóch różnych

elektrod w tym samym elektrolicie. Różny potencjał tych elektrod jest przyczyną

występowania między nimi napięcia elektrycznego. Napięcie to, przy rozwartych

zaciskach ogniwa (ogniwo nieobciążone), nosi nazwę siły elektromotorycznej

lub napięcia źródłowego.



Różne ogniwa mają różne wartości siły elektromotorycznej, a nazwy tych ogniw

pochodzą od nazwisk ich twórców: ogniwo Volty, Westona, Leclanche'go,

Bunsena, Clarka, Daniella i inne.

Jeśli elektrody ogniwa połączy się rezystorem, to popłynie w nim prąd. Wartość

tego prądu jest określona wartością siły elektromotorycznej oraz wartością

rezystancji wewnętrznej ogniwa i dołączonej rezystancji zewnętrznej.

Ogniwo jest magazynem ściśle określonej wartości energii

W ~ wFEV (8.5)

proporcjonalnej do w — liczby elektronów biorących udział w elementarnej

reakcji elektrodowej, F — stałej Faradaya (F = 96500 C — patrz p. 5.3), E — siły

elektromotorycznej ogniwa oraz jego objętości V. Większej energii z ogniwa

pobrać nie można, gdyż ogniwo „wyczerpuje się". Polega to na zmniejszaniu się

siły elektromotorycznej ogniwa w czasie jego pracy na skutek zużywania się

elektrolitu i polaryzacji elektrod. Przyczyną polaryzacji elektrod są jony wodoru,

które osadzając się na elektrodzie dodatniej (anodzie) neutralizują się i w postaci

wodoru atomowego tworzą gazową otoczkę izolującą elektrodę od elektrolitu.

Aby przeciwdziałać szkodliwemu zjawisku polaryzacji stosuje się depolaryzatory.

Depolaryzatory pochłaniają wodór i przedłużają czas „życia" ogniwa.

Ogniwa galwaniczne można podzielić na nieodwracalne i odwracalne. Ogniwa

nieodwracalne zużywają się bezpowrotnie na skutek nieodwracalności zjawisk

chemicznych towarzyszących ich pracy. Przykładem takiego ogniwa jest ogniwo

Leclanche’go, tak zwana popularnie bateria sucha (rys. 8.5). Dodatnią elektrodę

ogniwa stanowi pręt węglowy. Całość jest umieszczona w naczyniu cynkowym

stanowiącym biegun

Rys. 8.5 Ogniwo Leclanche'go



ujemny ogniwa. Przestrzeń międzyelektrodowa jest wypełniana stężonym

roztworem wodnym chlorku amonowego. W czasie pracy ogniwa elektroda

cynkowa rozpuszcza się w elektrolicie, a reakcje chemiczne mają przebieg

( ) 3222324 22 OMnOHClNHZnMnOClNHZn ++→++

Ogniwo odwracalne jest to takie ogniwo, w którym na skutek przepuszczenia

przez nie prądu o określonej wartości, zwrocie i w określonym czasie, można

odtwarzać pierwotną siłę elektromotoryczną. Przykładem ogniwa odwracalnego

jest ogniwo Westona. Ogniwo Westona ma bardzo duże znaczenie w

elektrotechnice, gdyż jest wzorcem podstawowej wielkości elektrycznej — wolta i

dlatego też nosi nazwę ogniwa normalnego lub wzorcowego (rys. 8.6).

Ogniwa normalne stanowią podstawowe wyposażenie elektrycznych laboratoriów

pomiarowych. Stosuje się je m. in. w kompensatorach przeznaczonych do

dokładnych pomiarów napięcia.

Ogniwo jest umieszczone w szklanym naczyniu w kształcie H. W jednym dolnym

ramieniu naczynia znajduje się rtęć, nad którą umieszczony jest siarczan rtęci.

Nad siarczanem rtęci znajdują się kryształy siarczanu kadmu utrzymujące

roztwór w stanie nasyconym. W ramię to wtopiony jest cienki drut platynowy,

który stanowi biegun dodatni ogniwa. Biegun ujemny ogniwa stanowi drut

wtopiony w to ramię ogniwa, w którym umieszczony jest amalgamat kadmu.

Nad amalgamatem kadmu znajdują się również kryształy siarczanu kadmu.

Rys. 8.6 Ogniwo normalne

Ogniwo Westona charakteryzuje się dużą stałością siły elektromotorycznej w



czasie. W ciągu roku zmienia się ona nie więcej niż o ±10-5 V. Przy zmianach

temperatury o ±10 0C w stosunku do temperatury znamionowej siła

elektromotoryczna zmienia się o ±10-4 V.

Wartość znamionowa siły elektromotorycznej ogniwa normalnego w

temperaturze 20°C wynosi 1,018650 V.

Odmianą ogniw galwanicznych są akumulatory.

Akumulatory, zwane też ogniwami wtórnymi, służą do magazynowania energii

elektrycznej w postaci energii chemicznej. Należą one do grupy ogniw typu

odwracalnego. Akumulator rozładowany można dołączyć do zewnętrznego źródła

energii elektrycznej. W czasie procesu elektrolizy, następującej pod wpływem

prądu, energia elektryczna przemienia się w nich ponownie w energię chemiczną

i akumulator staje się znowu źródłem energii elektrycznej.

Najpowszechniej stosowanym obecnie typem akumulatorów są akumulatory

ołowiowe (rys. 8.7). Akumulator ołowiowy składa się z elektrod dodatnich, w

postaci płyt wykonanych z dwutlenku ołowiu PbO2 i ujemnych, wykonanych z

ołowiu Pb zanurzonych w wodnym roztworze kwasu siarkowego H2SO4 o gęstości

ok. 1,23 g/cm3. Płyty i elektrolit umieszcza się w naczyniu z materiału

izolacyjnego. Płyty oddzielone są od siebie przekładkami izolacyjnymi

zapobiegającymi zetknięciu się płyt ze sobą. Płyty jednoimienne połączone są ze

sobą i z zaciskami za pomocą mostków ołowiowych.

Proces rozładowania akumulatora (pobieranie energii) związany jest z reakcjami

chemicznymi

OHPbSOSOHPbOPb 24422 222 +→++

Rys. 8.7 Akumulator ołowiowy



W procesie rozładowywania zatem obie elektrody ogniwa stają się jednakowe, a

wydzielająca się woda zmniejsza stężenie kwasu i jego gęstość do wartości ok.

1,18 g/cm3. Wszystko to powoduje zmniejszanie się siły elektromotorycznej

ogniwa.

W procesie ładowania występują procesy odwrotne

42224 222 SOHPbOPbOHPbSO ++→+

Proces ładowania i rozładowania można — przy prawidłowej eksploatacji —

wielokrotnie powtarzać, co sprawia, że akumulator może pracować dłuższy czas

(rys. 8.8).

Akumulator — podobnie jak wcześniej omówione ogniwa galwaniczne — może

zmagazynować tylko ściśle określoną ilość energii. Zdolności energetyczne

akumulatorów charakteryzuje wielkość zwana pojemnością

ItQ = (8.6)

Pojemność akumulatora mierzy się w amperogodzinach A·h (1 A·h — 3600 C).

Określa ona ładunek, jaki można pobrać z ogniwa aż do zmniejszenia się jego

siły elektromotorycznej do określonej dolnej wartości.

Siła elektromotoryczna znamionowa pojedynczych ogniw ołowiowych wynosi ok.

2 V. Za ogniwo wyczerpane uważa się takie, którego siła elektromotoryczna

zmniejszyła się do wartości .1,8 V.

Rys. 8.8 Przebieg napięcia ładowania 1 i rozładowania 2 prądem stałym ołowiowego akumulatora kwasowego (W praktyce stosuje się inne metody ładowania akumulatorów)

Rezystancja wewnętrzna typowych akumulatorów ołowiowych wynosi 2 ... 20

mΩ i w sposób krótkotrwały można z nich czerpać prąd rzędu kilkuset amperów

(akumulatory samochodowe).



Akumulatory są dogodnymi źródłami napięcia stałego. Pracują one ze

sprawnością dochodzącą do 100%, nieosiągalną w innych przetwornikach

energii. Niestety wadą ich jest konieczność ciągłej regeneracji lub wymiany oraz

mała moc, jaką można je obciążać.

Akumulatory są na ogół ciężkie i energia, jaką dysponują, przypadająca na

jednostkę objętości, jest niewielka. Dla przykładu — paliwa energetyczne o takiej

samej objętości jak akumulator lub o takiej samej masie dysponują kilkaset razy

większą energią. Z tego względu opracowuje się coraz to nowe typy

akumulatorów, dążąc do zamknięcia" w jak najmniejszej objętości największej

porcji energii elektrochemicznej. Do nowocześniejszych typów akumulatorów

należą akumulatory zasadowe: żelazo-niklowe, srebrowo-cynkowe, srebrowo-

kadmowe i inne.

Akumulatory znajdują obecnie zastosowanie w technice samochodowej jako

element obwodu rozruchowego silników spalinowych. W dalszej przyszłości

przewiduje się zastąpienie silników spalinowych silnikami elektrycznymi,

czerpiącymi energię wprost z akumulatorów umieszczonych na pojeździe.

Samochody elektryczne mają wiele zalet w porównaniu z samochodami

spalinowymi. Przede wszystkim charakteryzują się cichą pracą i nie

zanieczyszczają atmosfery. Niestety mała pojemność akumulatorów

uniemożliwia obecnie ich rozpowszechnienie. Niemniej jednak, mając na

względzie udoskonalenie samochodu elektrycznego, prowadzi się studia nad

opracowaniem nowych, lekkich i pojemnych elektrochemicznych źródeł prądu.

8.3 Elektrownie konwencjonalne Elektrownie są to zakłady przemysłowe „produkujące” energię elektryczną.

Energia elektryczna powstaje w nich kosztem innych rodzajów energii. W

elektrowniach następuje przetwarzanie różnych rodzajów energii w energię

elektryczną. W zależności od rodzaju energii pierwotnej rozróżnia się

elektrownie: cieplne, wodne, jądrowe, słoneczne, wiatrowe i inne. Elektrownie

cieplne i wodne zalicza się do elektrowni konwencjonalnych. Ten typ elektrowni

był najwcześniej budowany. Powstaje w nich obecnie jeszcze ponad 90% energii

elektrycznej produkowanej na świecie.



Źródłem energii pierwotnej w konwencjonalnych elektrowniach cieplnych jest

energia chemiczna uzyskana w procesie spalania paliw: stałych, płynnych lub

gazowych. Jako paliwa stałe stosuje się węgiel kamienny lub brunatny, paliwem

płynnym jest ropa naftowa, a paliwami gazowymi są gazy o wysokiej

temperaturze spalania, np. gaz ziemny. W procesie spalania paliw wydziela się

bardzo duża ilość ciepła, która w kotle (rys. 8.9) jest odbierana przez parę

wodną. Para wodna ogrzana do temperatury kilkuset stopni Celsjusza jest

kierowana do turbiny parowej. W turbinie para rozpręża się i oziębia. Energia

cieplna zmagazynowana w gorącej parze przemienia się w energię kinetyczną.

Wirnik turbiny zostaje wprowadzony w ruch wirowy. Turbina jest więc w

elektrowniach źródłem energii mechanicznej. Jej wirnik jest osadzony na

wspólnym wale z wirnikiem generatora (prądnicy). W uzwojeniach twornika*

generatora indukuje się siła elektromotoryczna, która jest napięciem źródłowym

dla sieci elektroenergetycznych. Różne turbiny dają na ogół różne napięcia. W

celu dostosowania generatora do współpracy z siecią elektryczną stosuje się

transformatory podwyższające napięcie.

Rys. 8.9 Schemat przemian energii w elektrowniach cieplnych

Jak widać, energia pierwotna w elektrowniach ulega wielu kolejnym

przetworzeniom. Każdy etap tego przetwarzania zachodzi ze sprawnością

mniejszą od jedności, tzn., że występują straty energii. Straty energii w

elektrowniach cieplnych są bardzo duże, dochodzą do 60%. Oznacza to, że z

energii pierwotnej można jej odzyskać nie więcej niż 40%. Mała sprawność

elektrowni cieplnych wynika z małej sprawności obiegów (procesów) cieplnych.

Wszystkie elektrownie cieplne można podzielić na dwie grupy. Do pierwszej

należą te, które wytwarzają tylko energię elektryczną, do drugiej zaś te, które

obok energii elektrycznej wytwarzają energię cieplną do celów ogrzewczych,

czyli elektrociepłownie. W pierwszej grupie elektrowni stosuje się turbiny

kondensacyjne (rys. 8.10a). Turbina kondensacyjna otrzymuje parę wodną o



wysokiej temperaturze i dużym ciśnieniu. Po rozprężeniu para zostaje skroplona

w skraplaczu pary. Skroplona para za pomocą pompy skroplin zostaje

przepompowana do podgrzewacza skroplin, skąd znowu zostaje skierowana do

kotła. W drugiej grupie elektrowni, czyli w elektrociepłowniach, stosuje się

turbiny przeciwprężne (rys. 8.10b), upustowo-kondensacyjne i upustowo-

przeciwprężne. W turbinie przeciwprężnej, para po wykonaniu pracy

mechanicznej, jest odprowadzana do przewodu pary odlotowej, skąd jest

rozprowadzana do zakładów przemysłowych i mieszkań. W zakładach

przemysłowych, obok celów ogrzewczych, wykorzystywana jest ona do różnych

procesów technologicznych.

Turbiny gazowe datują swój rozwój dopiero od kilkunastu lat, kiedy to ropa

naftowa i gazy zrobiły karierę jako tanie i łatwo dostępne surowce energetyczne.

Zasada pracy turbin gazowych (rys. 8.10c) polega na wykorzystaniu energii

kinetycznej gazów powstałych przy spalaniu. Gazy spalinowe powstające w

komorze spalania są doprowadzone do turbiny gazowej. Tam się rozprężają

wykonując pracę mechaniczną i, po oddaniu ciepła w wymienniku ciepła, ulatują

do komina. Turbosprężarka, osadzona na wspólnym wale z turbiną i

generatorem, spręża powietrze potrzebne do procesu spalania.

* Część prądnicy, w której uzwojeniach — pod wpływem zmian pola magnetycznego — jest wytwarzana siła elektromotoryczna.

Turbiny gazowe buduje się na niewielkie moce, do 100 MW. Sprawność ich nie

jest duża, dochodzi do 35%. Zaletą ich jednak są małe rozmiary, niewielkie

koszty inwestycyjne, brak kotłowni z uciążliwym paleniskiem itp. Niekiedy

zamiast turbin gazowych stosuje się silnik spalinowy napędzający generator.

Tego rodzaju rozwiązanie stosuje się jednak tylko w urządzeniach o niewielkich

mocach.

Rys. 8.10 Schemat turbiny: a) kondensacyjnej; b) przeciwprężnej; c) gazowej



Cechą wspólną wszystkich elektrowni cieplnych jest to, że zużywają one

surowiec energetyczny bezpowrotnie. Ciągła praca tych elektrowni wymaga

ciągłego uzupełniania paliwa. Paliwa energetyczne, których ilość na świecie jest

przecież ograniczona, ulegają zatem stopniowemu wyczerpaniu. Inaczej jest z

energią mechaniczną nagromadzoną w rzekach. Zasoby energii wód stale się

odnawiają w sposób naturalny. „Biały węgiel” jest więc najtańszym surowcem

energetycznym. Poza tym nie trzeba go wydobywać i nigdy go nie ubywa. Z tego

względu kraje o korzystnych warunkach hydrogeologicznych pobierają energię

elektryczną z elektrowni wodnych. Na przykład Szwajcaria 99% energii

elektrycznej wytwarza w elektrowniach wodnych. Elektrownie wodne

produkują najtaniej energię elektryczną, a sprawność ich, ze względu na małą

liczbę etapów przetwarzania energii, jest większa niż elektrowni cieplnych.

Schemat przemian energii w elektrowni wodnej przedstawiono na rys. 8.11.

Widać z niego, że w porównaniu ze schematem przemian energii w

elektrowniach cieplnych, nie występuje w nim jedno ogniwo, które w sposób

decydujący wpływało na małą sprawność elektrociepłowni. Straty w

elektrowniach wodnych uwarunkowane są głównie stratami energii mechanicznej

i elektrycznej.

Elektrownie wodne (hydroelektrownie) w zależności od spadku wody, dzieli się

na przepływowe i spadowe. W Polsce, gdzie występuje przewaga rzek nizinnych,

buduje się najczęściej hydroelektrownie przepływowe.

Elektrownie przepływowe buduje się w miejscu przegrodzenia rzeki zaporą.

Zapora spiętrza rzekę i uzyskuje się spad wody od kilku do kilkunastu metrów.

Woda przepływa przez turbinę połączoną sztywno z wirnikiem generatora.

Ustawienie osi turbozespołu jest na ogół pionowe. Prędkość wirowania

turbozespołu hydroelektrowni jest na ogół mała, wynosi ona ok. 10 rad/s (w

przybliżeniu 100 obr/min). Z tego względu generatory zawierają dużą liczbę par

biegunów. Ta duża liczba par biegunów wynika z konieczności uzyskania

częstotliwości napięcia generatora 50 Hz. Aby zmieścić na obwodzie twornika i

wirnika generatora wszystkie bieguny, średnice wirnika i stojana są duże.

Średnice wirników generatorów nierzadko wynoszą 10 m.



Rys. 8.11 Schemat przemian energii w elektrowniach wodnych

Przed elektrowniami wodnymi buduje się często zbiorniki wodne. Zbiorniki

wodne, usytuowane przed zaporą, gromadzą wodę, którą wykorzystuje się w

innych okresach czasu, np. w okresie obciążenia szczytowego. W rejonach

górskich i podgórskich, gdzie rzeki wykazują duże zmiany przepływu w skali

rocznej, buduje się bardzo duże zbiorniki wyrównawcze. Woda nagromadzona w

tych zbiornikach musi niekiedy wystarczyć na kilka miesięcy pracy elektrowni

wodnej.

Zbiorniki wodne mają znaczenie nie tylko energetyczne. Pozwalają one również

prowadzić racjonalną gospodarkę wodną w całym kraju (zaopatrzenie przemysłu

i rolnictwa w wodę, zapewnienie możliwości żeglugowych itp.).

8.4 Problemy pracy elektrowni Dany układ sieci elektroenergetycznej zasilany jest na ogół nie z jednej, a wielu

różnych elektrowni. Moce pobierane z sieci w sposób ciągły są duże i jedna,

nawet największa elektrownia, nie byłaby w stanie pokryć całego

zapotrzebowania na energię elektryczną. Na wspólną sieć elektroenergetyczną

pracują więc wszystkie czynne elektrownie. Jedne z nich są elektrowniami

cieplnymi, inne wodnymi, jeszcze inne jądrowymi. Każda z elektrowni ma inne

warunki pracy, inną moc — wszystkie jednak muszą wytwarzać jednakowe

napięcia.

Jednakowe napięcia (napięcia przemienne) to takie napięcia, które spełniają

następujące warunki:

— wartości skuteczne napięć są jednakowe,

— częstotliwości napięć są jednakowe,

— napięcia są skierowane zgodnie, tzn. kąt przesunięcia między fazami tych

napięć jest równy zeru,



— jeśli napięcia są trójfazowe, a z takimi napięciami mamy do czynienia w

systemach elektroenergetycznych, to kolejność następstwa faz jest taka sama,

— kształt krzywej przebiegu napięć w czasie jest jednakowy.

Rys. 8.12 Współpraca równoległa prądnic

Wszystkie wymienione warunki równości napięć można zastąpić jednym:

wartości chwilowe napięć muszą być jednakowe. Problem pracy elektrowni jest

to więc problem generacji napięcia o odpowiednim kształcie, amplitudzie,

częstotliwości itp. Tylko jednakowe napięcia uzyskiwane w różnych elektrowniach

umożliwiają ich współpracę między sobą i współpracę elektrowni ze wspólną

siecią elektroenergetyczną. Problem pracy elektrowni jest więc problemem

współpracy elektrowni za pośrednictwem sieci. Mówiąc o współpracy elektrowni,

mamy oczywiście na myśli współpracę generatorów (prądnic), o określonej

wartości impedancji wewnętrznej, które są połączone z siecią za pośrednictwem

transformatorów (rys. 8.12). Jeśli wartości chwilowe u1(t) i u2(t) napięć

generatorów (prądnic) Gl i G2 nie są jednakowe, to pod wpływem różnicy napięć

)()()( 21 tututu −=∆ (8.7)

w systemie elektroenergetycznym popłynie prąd wyrównawczy. Kierunek

przepływu tego prądu będzie zgodny z kierunkiem różnicy napięć ∆u(t) i będzie

płynął przez odbiornik oraz przez uzwojenia generatorów G2 i G1. Generator

dający wyższe napięcie będzie zatem obciążony odbiornikiem i drugim

generatorem. Prądnica generująca niższe napięcie będzie więc pobierała z sieci

energię elektryczną zamiast ją do niej oddawać. Zachowanie warunków u1(t) =

u2(t) jest —jak widać — bardzo ważne z punktu widzenia prawidłowego

funkcjonowania systemu elektroenergetycznego. Również ważnym warunkiem,

jak warunek równości napięć, jest warunek równości częstotliwości (częstości).

Gdy częstości ω1, i ω2 napięć prądnic Gl i G2 nie będą jednakowe, to między

zaciskami 1 i 2 oraz 1' i 2' wyłącznika Q (rys. 8.12) wystąpi różnica napięć

tUtUu mm 2211 sinsin ωω −=∆ (8.8)

Przy założeniu, że amplitudy napięć obu generatorów są jednakowe, można



napisać

ttUu m2

cos2

sin 2121 ωωωω −−=∆ (8.9)

Na zaciskach wyłącznika wystąpi więc napięcie kosinusoidalnie zmienne o

częstości2

21 ωω +, którego amplituda zmienia się z częstością

2

21 ωω −. Zjawisko to

jest niekorzystne dla współpracy prądnic (generatorów). Zamknięcie wyłącznika

przy niejednakowych częstościach napięć u1(t) i u2(t) spowoduje przepływ prądu

wyrównawczego. Prąd ten będzie chwilami bardzo duży, gdyż będzie odpowiadał

podwójnej wartości napięcia maksymalnego Um każdej z prądnic. Przepływa on

raz przez jedną raz przez drugą prądnicę, co powoduje że rozpatrywany przez

nas system elektroenergetyczny nie jest w równowadze.

Warunkiem równowagi systemu elektroenergetycznego jest również zapewnienie

kąta przesunięcia fazowego równego zero między napięciami tych samych faz

otrzymanych z różnych prądnic (generatorów). Gdy kąt przesunięcia będzie

różny od zera, to pojawiająca się różnica napięć

( )ϕωω +−=∆ tUtUu mm sinsin (8.10)

o przebiegu

+=∆

2cos

2sin2

ϕω

ϕttUu m

(8.11)

będzie także źródłem prądu wyrównawczego płynącego w kierunku od sieci do

jednej z prądnic. Poza tym, tylko dwukrotnie w ciągu okresu zmienności napięć

pojawi się chwila, w której u1(t) = u2(t). Utrudnia to oczywiście załączenie

generatora do wspólnej sieci.

Bardzo ważnym czynnikiem współpracy generatorów jest, wspomniany

wcześniej, kształt krzywej przebiegu napięć. Użytkownicy i producenci energii

elektrycznej nie mają jednak żadnego wpływu na kształt napięcia elektrycznego.

Mają na niego wpływ jedynie projektanci i konstruktorzy maszyn elektrycznych.

W rzeczywistości kształt napięć uzyskiwanych z różnych generatorów niewiele się

różni od sinusoidy.

Najważniejszym problemem elektrowni jest więc utrzymanie wymaganych

parametrów napięcia generatorów. Wymaga to ciągłej kontroli i bezustannych



pomiarów różnych wielkości elektrycznych. Ale nie tylko. Wiele wielkości

nieelektrycznych należy również mierzyć na bieżąco. Do najważniejszych z nich

należą: ciśnienie i temperatura pary w różnych miejscach obiegu pary, prędkość

kątowa i inne. Najważniejszym wydarzeniem w elektrowni jest załączenie

pełnosprawnego uruchomionego generatora (prądnicy) do sieci

elektroenergetycznej. Załączenie to odbywa się po sprawdzeniu, czy wartości

chwilowe napięć u1(t) i u2(t) są jednakowe. Jeśli tak, to między zaciskami 1 i 2

oraz 1' i 2' wyłącznika Q (rys. 8.12) nie występuje napięcie. Wyłącznik można

zamknąć. Z sieci można wówczas pobierać większą moc — większą o moc

znamionową nowo załączonej prądnicy. Przy niezmiennej wartości napięcia

można teraz z sieci pobierać większy prąd, tzn. dołączać do niej nowe odbiorniki

energii elektrycznej. Dalsza praca w elektrowni polega na utrzymaniu

parametrów generowanego napięcia elektrycznego przy zmieniających się

obciążeniach.

Załączenie generatora do sieci odbywa się obecnie automatycznie, w chwili gdy

jednocześnie obydwa napięcia, u1(t) i u2(t), mają wartość zerową.

Nie tylko załączanie generatora do sieci jest zautomatyzowane. Obecnie coraz

więcej procesów w elektrowniach jest zautomatyzowanych. Niektóre typy

elektrowni, jak elektrownie wodne, elektrownie z turbinami gazowymi oraz

jądrowe, buduje się już w pełni zautomatyzowane, tzn. ich rozruch i eksploatacja

odbywa się bez udziału obsługi. Trudniej jest jeszcze w pełni zautomatyzować

elektrownie cieplne. W elektrowniach cieplnych automatyzacja obejmuje między

innymi: proces wytwarzania pary w kotłach, proces wytwarzania energii

elektrycznej w generatorach, procesy rozruchowe, kontrolę pracy głównych

urządzeń i pracę urządzeń zabezpieczających przed skutkami zakłóceń w pracy.

Należy również wspomnieć, że automatyzacja ma na celu przede wszystkim

uzyskanie dużej pewności ruchu elektrowni. Wyłączenie elektrowni z systemu

elektroenergetycznego wiąże się z wyłączeniem jednego lub kilku zakładów

przemysłowych, co powoduje duże straty.

Problem niezawodności ruchu elektrowni jest problemem podstawowym. W

nowoczesnych elektrowniach problem ten pomagają rozwiązać elektroniczne

maszyny cyfrowe. Maszyny cyfrowe w elektrowniach „opiekują się"' wszystkimi



przyrządami pomiarowymi, których liczba może dochodzić do 500. Elektroniczna

maszyna cyfrowa wysyła co pewien czas sygnały sterujące załączeniem

wybranych czujników pomiarowych, które przesyłają zwrotnie informację o

aktualnej wartości wielkości mierzonej. Wartość ta jest przez elektroniczną

maszynę cyfrową zarejestrowana i porównana z zapisaną w pamięci maszyny

wartością, jaka powinna wystąpić w danym punkcie pomiarowym. Jeśli

którakolwiek z wielkości za bardzo różni się od zadanej (zaprogramowanej),

maszyna załącza odpowiednie urządzenia sygnalizacyjne sygnalizujące

jednocześnie rodzaj awarii i załącza ewentualnie urządzenia zabezpieczające.

Jeśli odstępstwo wartości danego parametru od wartości zadanej nie ma

charakteru awaryjnego, a jest wynikiem normalnej pracy elektrowni,

elektroniczna maszyna cyfrowa wysyła impulsy elektryczne (rozkazy) do

urządzeń, które nie przerywając pracy elektrowni wpływają na poprawę wartości

danego parametru. Na przykład jeżeli temperatura pary jest za wysoka,

elektroniczna maszyna cyfrowa powoduje uruchomienie silnika zmniejszającego

dopływ powietrza do pieca, w którym ta para powstaje. W wyniku tego proces

spalania w piecu jest wolniejszy i para nie przegrzewa się. W podobny sposób

następuje samoczynna kontrola i regulacja częstotliwości napięć generatorów,

ich amplitud itp.

8.5 Elektrownie jądrowe Jednym z nowszych źródeł energii, ostatnio coraz częściej stosowanym w

elektrowniach, jest reaktor jądrowy. Elektrownie przetwarzające energię

uzyskiwaną z reaktora jądrowego, w energię elektryczną nazywają się

elektrowniami jądrowymi (atomowymi). Paliwem elektrowni jądrowych jest

materiał rozszczepialny. Najczęściej stosuje się izotopy uranu: 235U i 233U, pluton i tor. Rozszczepianie jest procesem jądrowym polegającym na

podziale jąder materiału paliwowego z wydzieleniem dużej ilości energii cieplnej.

Energia ta nosi nazwę energii jądrowej. Energia cieplna uzyskiwana z procesów

jądrowych przetwarzana jest w elektrowniach jądrowych w energię elektryczną w

sposób konwencjonalny.

Reaktor jądrowy jest źródłem energii, w którym procesy rozszczepienia są

kontrolowane, sterowane i utrzymywane ciągle na tym samym poziomie. Dzięki



temu moc wydzielana w reaktorze nie narasta lawinowo i nie prowadzi do

wybuchu.

W jądrach atomowych występują dwa rodzaje sił, siły jądrowe działające między

nukleonami odpowiedzialne za trwałość jąder oraz siły elektrostatycznego

odpychania działające między protonami. Ze wzrostem liczby nukleonów siły

jądrowe są coraz mniejsze, gdyż zasięg ich jest mniejszy niż sił

elektrostatycznych. Zatem w jądrach ciężkich siła wiązania pojedynczego

nukleonu jest niewielka. Jeśli jądra takie są bombardowane niskoenergetycznymi

neutronami, to na skutek zaburzenia równowagi sił działających w jądrze podzieli

się ono na dwa (lub więcej) fragmenty z wydzieleniem dwóch, do trzech

neutronów. Fragmenty powstałe w wyniku rozszczepienia jądrowego mają dużą

energię kinetyczną, dochodzącą do 200 MeV. Pojedynczy akt rozpadu

(rozszczepienia) jest źródłem dużej energii cieplnej.

Rys. 8.13 Schemat reaktora jądrowego

Neutrony powstające w procesie rozpadu jądrowego są neutronami prędkimi

(wysokoenergetycznymi). W celu podtrzymania procesu podziału jąder, neutrony

te należy spowolnić. Spowolnione neutrony mogą wywoływać dalsze akty

rozszczepiania prowadzące do zwiększenia wydzielanej energii. Do spowolniania

neutronów stosuje się spowalniacze zwane moderatorami. Wykonuje się je

najczęściej z płyt grafitowych, berylowych, wody lub ciężkiej wody

(H2O+D2O+T2O). Elementy paliwowe układa się w reaktorze jądrowym na

przemian z moderatorem (rys. 8.13) w tzw. reflektorze. Zadaniem reflektora —

wykonanego najczęściej z berylu lub grafitu — jest odbijanie neutronów, które

opuściły obszar reakcji. W celu niedopuszczenia do nadmiernego wzrostu liczby

neutronów i niebezpiecznego zwiększenia wydzielanej energii, stosuje się pręty



silnie pochłaniające neutrony. Pręty te zanurza się w obszar reakcji na

odpowiednią głębokość regulując tym samym liczbę neutronów biorący udział w

procesie rozszczepiania jądrowego oraz wartość wydzielonej mocy. Pręty

pochłaniające są najczęściej wykonane z kadmu, boru lub indu. W elektrowniach

jądrowych położenie prętów pochłaniających w reaktorach jest sterowane

automatycznie w układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Jeśli moc

otrzymywana z reaktora jest mała, odpowiednie urządzenia wykonawcze,

sterowane miernikiem mocy, wysuwają pręty z obszaru reakcji jądrowych.

Intensywność reakcji wzmaga się, a kiedy moc wyjściowa przekroczy

dopuszczalną bezpieczną wartość, te same urządzenia wykonawcze, na sygnał

podany z miernika mocy, wsuwają pręty pochłaniające głębiej, zmniejszając tym

samym ilość energii wydzielanej.

Reaktor jądrowy jest źródłem szkodliwego dla zdrowia promieniowania

jądrowego. Dlatego też chroni go od otoczenia tzw. osłona biologiczna.

Wykonuje się ją z grubych warstw specjalnego gatunku betonu zawierającego

substancje silnie pochłaniające neutrony i promieniowanie γ.

Reaktory jądrowe stosowane w elektrowniach są wyposażone w wężownice,

przez które przepływa ogrzewana ciecz, najczęściej woda. Woda ogrzewana

bezpośrednio w reaktorze płynie w obiegu zamkniętym i nie styka się z wodą,

która w postaci pary tłoczona jest pod dużym ciśnieniem do turbiny. Woda

ogrzewana bezpośrednio jest silnie skażona i dlatego jedynie ogrzewa ona wodę

kierowaną do turbiny (rys. 8.14).

Na skutek tego wielokrotnego przekazywania energii, sprawność elektrowni

jądrowych nie jest większa niż zwykłych elektrowni cieplnych. Elektrownie

jądrowe mają jednak zalety w porównaniu ze zwykłymi elektrowniami cieplnymi.

Do najważniejszych z nich należy mała objętość paliwa. Z rozszczepienia 1 kg

uranu można uzyskać 24 mln kWh energii, co odpowiada energii uzyskanej ze

spalenia 2,5 tys. ton węgla kamiennego.



Rys. 8.14 Schemat elektrowni jądrowej

Obecnie w elektrowniach jądrowych wytwarza się kilka procent energii

produkowanej na świecie w ogóle. Z biegiem lat z pewnością udział elektrowni

jądrowych będzie wzrastał.

Elektrownie jądrowe wymagają szczególnych zabezpieczeń. Przede wszystkim

zabezpiecza się serce elektrowni — reaktor jądrowy — przed możliwością

rozwinięcia się lawinowych reakcji jądrowych. Specjalne systemy

zabezpieczające są powielane dwu-, a nawet trzykrotnie, w celu zwiększenia

niezawodności działania tych systemów. Oprócz tego stosuje się również, bardzo

rozbudowane, systemy zabezpieczeń przed skażeniem promieniotwórczym oraz

systemy sygnalizacji i ostrzegania. Problemem pracy każdej elektrowni jądrowej

są zużyte elementy paliwowe. Są one jeszcze silnie promieniotwórcze i można je

składować tylko w specjalnych warunkach, po uprzednim zabezpieczeniu

otoczenia przed promieniowaniem.

8.6 Przyszłościowe źródła energii elektrycznej Zapasy paliw energetycznych na świecie ciągle się zmieniają. Wobec

wzrastającego zapotrzebowania na energię elektryczną, takie paliwa jak węgiel

kamienny i brunatny, ropa naftowa i gaz są wydobywane w coraz większych

ilościach. Zasób ich zmniejsza się zatem w coraz szybszym tempie. Powstaje

więc konieczność szukania nowych źródeł energii, którą można z dużą

sprawnością przemienić w energię elektryczną.

Równocześnie z budową elektrowni jądrowych podejmuje się na świecie próby

uzyskania energii w warunkach przemysłowych z generatorów

magnetohydrodynamicznych. Generator magnetohydrodynamiczny

przetwarza energię cieplną gazów powstałych w czasie spalania w energię

elektryczną. Zbudowany jest z magnesu trwałego lub elektromagnesu, w polu



którego znajdują się dwie płyty metalowe (rys. 8.15).

Płaszczyzny tych płyt są równolegle do linii sił pola magnetycznego. Między płyty

wprowadza się spaliny o bardzo wysokiej temperaturze (3000... 5000 K) i dużym

ciśnieniu. Spaliny te powstają podczas spalania paliwa w specjalnej komorze, do

której doprowadza się również mocno nagrzane powietrze. Spaliny stanowią

silnie zjonizowany gaz, którego cząsteczki, w opisywanym generatorze,

poruszają się prostopadle do linii sił pola magnetycznego. Ruch jonów można

traktować jako przepływ prądu. Na poruszające się w polu magnetycznym

ładunki działa siła (siła Lorentza), której zwrot i kierunek można określić z reguły

lewej dłoni.

Rys. 8.15 Schemat generatora magnetohydrodynamicznego

Pod wpływem tej siły następuje rozdzielenie jonów dodatnich i ujemnych. Jony

dodatnie będą dążyły do jednej płyty, a jony ujemne — do drugiej. Ruch jonów

będzie się odbywał w kierunku prostopadłym do linii sił pola magnetycznego i

prostopadłym do kierunku przepływu gazu. Na kierunku ruchu jonów znajdują

się płyty metalowe, które stanowią elektrody. Na elektrodach na skutek

zgromadzonych na ich powierzchniach ładunków, pojawi się różnica potencjałów

U. Jeśli do tych elektrod dołączy się odbiornik energii elektrycznej, to popłynie w

nim prąd I. Będzie to prąd stały. W generatorach magnetohydrodynamicznych

można uzyskać również prąd przemienny, jeśli będzie się okresowo zmieniało

wartość i kierunek pola magnetycznego lub przepływu gazu.

W zbudowanych generatorach magnetohydrodynamicznych elektrody

umieszczone są w dyszy, w której następuje rozprężenie doprowadzonych

gazów. Uzyskują one dzięki temu dużą prędkość. Zwiększa się tym samym liczba



jonów (ładunków elektrycznych), które w jednostce czasu gromadzą się na

elektrodach. Moc urządzenia zwiększa się.

Generatory magnetohydrodynamiczne są bardzo wydajne. Ich sprawność

dochodzi do 60%. Jest więc ona znacznie większa niż sprawność elektrowni

cieplnych i jądrowych, które osiągają wartość 35 ... 40%. Generatory te nie są

jednak stosowane na skalę przemysłową. Związane jest to z trudnościami

technicznymi wytworzenia strumienia gorących gazów, wytworzenia odpowiednio

silnego pola magnetycznego itd.

W ostatnich latach prowadzi się badania nad nowymi, bardzo wydajnymi

źródłami energii, którymi mogą być kontrolowane procesy termojądrowe.

Procesy te nie są jeszcze opanowane, jeszcze wymykają się spod kontroli

człowieka. Opanowanie ich zabezpieczyłoby jednak ludzkość w zapasy energii na

zawsze. Procesy te przebiegają w bardzo wysokich temperaturach, rzędu

dziesiątków i setek milionów stopni Celsjusza. Stąd ich nazwa. Niekontrolowane

procesy termojądrowe są źródłem energii gwiazd, w tym również Słońca.

Zachodzą one także w bombach wodorowych.

Reakcja termojądrowa jest reakcją syntezy deuteru i trytu w hel, w czasie której

wydziela się bardzo duża ilość energii cieplnej

QnHeHH ++→+ 4

2

3

1

2

1 (8.12)

Synteza może zajść tylko wtedy, kiedy deuter i tryt będą zjonizowane. Ponieważ

izotopy te mają tylko jeden elektron, jonizacja oznaczać będzie otrzymanie

takiego stanu skupienia materii, w których elektrony wszystkich atomów będą

oderwane od swoich jąder. Taki stan skupienia materii nazywamy plazmą (patrz

p. 5.1). Oczywiście plazma nie powstaje w sposób samorzutny. Może ona

powstać tylko w bardzo wysokiej temperaturze. Temperatura nie jest jednak

jedynym warunkiem utrzymania plazmy przez określony czas. Oprócz

temperatury musi na plazmę działać jeszcze pole magnetyczne. Ono to

utrzymuje ją w określonej objętości przeciwdziałając jej rozpraszaniu. Pole

magnetyczne nie dopuszcza zarazem do zetknięcia się ścianek komory

wypełnionej deuterem i trytem z plazmą. W chwili obecnej nieznane są bowiem

materiały, które mogłyby wytrzymać tak wysoką temperaturę.



Jak wiadomo, źródłem energii termojądrowej jest deficyt masy. Dla

podtrzymania reakcji termojądrowej (reakcji zamiany deficytu masy na inną

postać istnienia energii — energii promieniowania elektromagnetycznego) trzeba

dostarczyć plazmie dużą ilość energii potrzebnej do wytwarzania pola

magnetycznego i wysokiej temperatury. W użytecznych konstrukcjach reaktorów

termojądrowych należy więc zapewnić dopływ energii pobieranej z samej reakcji,

przy czym do wykorzystania zostanie pewien nadmiar energii.

Z reakcji termojądrowych można uzyskać większą ilość energii, niż z reakcji

rozszczepienia. Z 1 g deuteru można uzyskać 105 kWh energii, a z

rozszczepienia 1 g uranu 235 uzyskuje się 104 kWh.

Pierwsze doświadczalne reaktory termojądrowe zbudowano w Stanach

Zjednoczonych, w Wielkiej Brytanii i w Związku Radzieckim. Duże osiągnięcia w

tym zakresie ma również Polska.

Do wytworzenia wysokiej temperatury, potrzebnej do wywołania reakcji

termojądrowych, stosuje się pola elektromagnetyczne wielkiej częstotliwości, a

ostatnio pracuje się nad wykorzystaniem do tego celu wiązki promieniowania

laserowego.

Równoległe z rozwojem energetyki jądrowej prowadzi się badania nad nowymi

źródłami elektrochemicznymi. Dużym osiągnięciem w tym zakresie są ogniwa

paliwowe(ogniwa spaleniowe).

Ogniwo paliwowe jest odmianą ogniwa galwanicznego, w którym energia

elektryczna powstaje kosztem energii chemicznej otrzymywanej z dostarczonego

paliwa w wyniku jego reakcji utleniania. Ogniwo zbudowane jest z dwu elektrod

zanurzonych w elektrolicie. Do jednej z elektrod doprowadza się paliwo — na

ogół wodór lub węglowodory lotne, a do drugiej — tlen lub powietrze.

Elektrolitem jest najczęściej wodny roztwór wodorotlenku potasu KOH.

W ogniwie paliwowym substancje czynne (wodór i tlen) znajdują się na zewnątrz

i dlatego, dzięki możliwości ciągłego ich dostarczania, może ono pracować przez

długi czas. Paliwo jest do ogniwa pompowane.

Niektóre z obecnie produkowanych ogniw paliwowych jako paliwo wykorzystują



sproszkowany cynk. Z ogniwem takim współpracują dwie pompy (rys. 8.16).

Jedna z nich wtłacza paliwo do każdego z ogniw przez kilka sekund, a potem, w

ciągu kilkudziesięciu sekund można pobierać z tego ogniwa energię elektryczną.

Druga pompa przepompowuje zużyty elektrolit zawierający tlenek cynku do

zbiornika, w którym następuje mieszanie paliwa z elektrolitem.

Rys. 8.16 Schemat ogniwa paliwowego cynkowo-powietrznego

Ogniwa paliwowe należą jeszcze do kosztowniejszych źródeł energii elektrycznej.

Dlatego też znajdują na razie zastosowania jednostkowe. Wykorzystuje się je

między innymi do napędu samochodów elektrycznych. W eksperymentalnych

modelach takich samochodów baterie ogniw paliwowych wytwarzają napięcie

ponad 100 V przy poborze prądu rzędu kilkudziesięciu amperów. Dysponują więc

one mocą kilkudziesięciu kilowatów. Prędkość maksymalna samochodów

wyposażonych w baterię ogniw paliwowych i napędzanych silnikiem

elektrycznym nie przekracza na ogół 200 km/h, a ich zasięg, przy połowie tej

prędkości, wynosi kilkaset kilometrów.

Krótki przegląd możliwości uzyskania nowych źródeł energii uwidacznia nam

trudności, jakie są jeszcze do pokonania. Największą trudnością jest takie

opanowanie reakcji energetycznych, aby w skali przemysłowej, z dużą

sprawnością można było uzyskać z nich energię elektryczną na drodze przemian

energii lub wprost energię elektryczną. Elektrownie konwencjonalne i opisane

współczesne źródła energii wytwarzają energię cieplną, a jak wiemy sprawność

procesów cieplnych jest bardzo mała. Wynika to z podstawowych praw

termodynamiki. Opłaci się ona tylko w tym przypadku, kiedy uzyskana jest za

darmo, np. energia słoneczna.

Słońce dysponuje olbrzymią ilością energii, lecz niestety jest to energia

rozproszona. Jednostka powierzchni oświetlana promieniowaniem słonecznym



przyjmuje niewielką energię. W celu zgromadzenia dużej ilości energii należy

zatem dysponować przetwornikami o olbrzymich powierzchniach. Niektórzy

naukowcy wyobrażają już sobie krążące po orbicie okołoziemskiej wielkie żagle

odbierające energię słoneczną i przesyłające ją w postaci fal radiowych na

Ziemię.

Niespożytym źródłem energii jest również sama przestrzeń kosmiczna. Jest ona

źródłem wysokoenergetycznego promieniowania kosmicznego. Niestety jest to

również promieniowanie bardzo rozproszone i bardzo przenikliwe i nie można go

wykorzystać.

Wobec kurczenia się zasobów „zagęszczonych” źródeł energii na Ziemi myśli się

również o wykorzystaniu innych źródeł „rozproszonych" takich jak wiatr, fale lub

przypływy i odpływy morskie.

Problem nowych źródeł energii nie jest jeszcze rozwiązany. Czeka on na

rozwiązanie przez ludzi nie tylko o dużej wiedzy technicznej, lecz i dużej

wyobraźni.

8.7 Elektroniczne źródła energii elektrycznej Spośród bardzo wielu zjawisk fizycznych obserwowanych w elementach

elektronicznych na szczególną uwagę zasługują te, które związane są z

wytwarzaniem energii elektrycznej kosztem innych rodzajów energii. Elementy

lub układy, w których występuje proces wytwarzania energii elektrycznej noszą

nazwę przetworników generacyjnych. Przykładem przetwornika

generacyjnego jest fotoogniwo.

Fotoogniwo jest elementem, w którym wykorzystuje się zjawisko

fotowoltaiczne. Zjawisko to polega na powstawaniu siły elektromotorycznej na

styku metalu i półprzewodnika lub dwu półprzewodników pod wpływem

promieniowania elektromagnetycznego z zakresu widzialnego.

Największe znaczenie praktyczne mają obecnie fotoogniwa półprzewodnikowe.

Światło padające na obszar złącza p-n generuje pary elektron-dziura. Elektrony

po zaabsorbowaniu kwantu promieniowania przechodzą z pasma podstawowego

do pasma przewodnictwa. Powstałe dziury również biorą udział w



przewodnictwie. Tak więc w obszarze złącza powstają wolne nośniki ładunków

elektrycznych, a ich koncentracja w tym obszarze jest duża. Przemieszczają się

więc one do obszarów, w których koncentracja ich jest mniejsza. Elektrony

wędrują zatem w głąb obszaru p. Opisany ruch nośników tworzy prąd wsteczny

(prąd ładunków mniejszościowych), który prowadzi do tego, że obszar typu n

ładuje się ujemnie, a obszar typu p — dodatnio. Powstałe od nagromadzonych

ładunków pole elektryczne utrudnia dalsze gromadzenie się tych ładunków. Przez

złącze p-n zaczyna płynąć prąd przewodzenia, który kompensuje przepływ

nośników mniejszościowych w kierunku wstecznym. Obydwa prądy w warunkach

równowagi dynamicznej są sobie równe. Różnica potencjałów, wytworzona na

oświetlonym złączu p-n w warunkach równowagi dynamicznej, nosi nazwę siły

fotoelektromotorycznej

+= 1ln

s

w

fI

I

e

kTE (8.13)

k — stała Boltzmana, T— temperatura w skali bezwzględnej, e — ładunek

elektronu, Is — prąd nasycenia naświetlonego złącza, Iw — prąd wsteczny

wzbudzonych światłem elektronów.

Najprostsze fotoogniwo składa się z elektrody bazowej wykonanej z aluminium,

mosiądzu lub poniklowanej blachy stalowej, na której znajduje się warstwa

półprzewodnika (rys. 8.17). Warstwa półprzewodnika jest powleczona

półprzeźroczystą dla światła, cienką powłoką złota lub platyny stanowiącą drugą

elektrodę fotoogniwa.

Siła elektromotoryczna ogniwa fotoelektrycznego jest proporcjonalna do

strumienia świetlnego, ale tylko przy małych wartościach tego strumienia

Ef ~ Φmin (8.14)

Przy większych wartościach strumienia świetlnego występuje zjawisko nasycenia

(rys. 8.18) i siła elektromotoryczna nie zwiększa się. Wartość maksymalna siły

elektromotorycznej ogniw wynosi ok. 0,5 V.

Jeśli zaciski fotoogniwa połączy się rezystorem (rys. 8.19), to w obwodzie będzie

płynął prąd fotoelektryczny. Wartość tego prądu zależy od natężenia

oświetlenia w sposób pokazany na rys. 8.20. Zależność liniowa między prądem



fotoelektrycznym a natężeniem oświetlenia występuje tylko w fotoogniwie

zwartym.

Fotoogniwa znalazły zastosowanie głównie w fotometrycznych przyrządach

pomiarowych (fotometry, luksomierze, światłomierze). Ostatnio wykorzystuje się

je jako elementy baterii słonecznych, stanowiących źródło zasilania statków

kosmicznych.

Wydajność ogniw jest niewielka. Z każdego centymetra kwadratowego

powierzchni można uzyskać moc 0,02 W.

Rys. 8.19 Podstawowy układ pracy fotoogniwa

Nie tylko energię promieniowania można przetworzyć bezpośrednio w prąd

elektryczny. Również energię cieplną i mechaniczną można przetworzyć w

podobny sposób.



Zespół zjawisk elektrycznych towarzyszących zjawiskom cieplnym nosi nazwę

zjawisk termoelektrycznych. Obserwuje się je w przewodnikach (metalach),

półprzewodnikach i dielektrykach. Polegają one na generacji napięcia

elektrycznego w układzie elektrycznym poddanym działaniu promieniowania

cieplnego.

Zjawiska termoelektryczne obserwuje się nawet w kawałku jednorodnego

przewodnika metalicznego w temperaturze pokojowej.

Rys. 8.20 Charakterystyka oświetleniowa fotoogniwa obciążonego

Jak wiadomo, elektrony swobodne przewodników znajdują się w ciągłym

chaotycznym ruchu cieplnym. Na skutek tego zdarza się, że w pewnym

momencie na jednym końcu przewodu jest ich więcej, a na drugim mniej.

Powoduje to powstanie na końcach przewodu napięcia elektrycznego, które z

kolei wpływa na ruch swobodny elektronów. Po chwili jednak sytuacja się

zmienia, ale w odpowiednio długim przedziale czasowym wartość średnia różnicy

potencjałów na końcach przewodu jest równa zero. Te przypadkowe napięcia na

końcach przewodów są źródłem szumów w układach elektrycznych.

Elektrony swobodne biorą również udział w przewodnictwie cieplnym metali. Jeśli

kawałek przewodu o temperaturze T0 ogrzejemy z jednej strony do temperatury

T1, to drugi koniec ogrzeje się do pewnej temperatury T2 (T2 < T1). Wzrost

temperatury przewodu jest częściowo wynikiem wzrostu energii kinetycznej

elektronów, przy czym mają one tendencję do poruszania się od końca

gorętszego do końca zimniejszego. Jeśli przez tak nierównomiernie ogrzany

przewód przepuści się prąd elektryczny, to w zależności od kierunku jego

przepływu będzie on wydzielał lub pobierał dodatkową ilość ciepła, zwanego



ciepłem Thomsona określonego wzorem

( )ItTTSQ 21 −= (8.15)

I— prąd elektryczny, t — czas przepływu prądu, S — współczynnik Thomsona

zależny od rodzaju przewodnika.

Będzie się ono wydzielało (lub będzie pochłaniane) niezależnie od ciepła Joule'a-

Lenza. Ciepło Thomsona będzie się wydzielało wtedy, gdy kierunek przepływu

prądu będzie zgodny z kierunkiem ruchu elektronów wymuszonych przez różnicę

temperatury. W przeciwnym przypadku wystąpi zjawisko pochłaniania ciepła

przez przewodnik.

Zespół opisanych zjawisk termoelektrycznych występujących w przewodniku

jednorodnym nosi nazwę zjawiska Thomsona. W wyniku tych zjawisk na

końcach niejednorodnie ogrzanego przewodu może powstać różnica potencjałów.

Zjawiska termoelektryczne występują również w obwodach złożonych z dwóch

przewodników (zjawisko Seebecka). Zjawisko Seebecka polega na powstaniu

siły elektromotorycznej w obszarze styku dwóch różnych przewodów

metalicznych. Warunkiem wystąpienia siły elektromotorycznej, noszącej również

nazwę siły termoelektrycznej jest różnica temperatury między punktem styku

przewodów, a ich wolnymi końcami. Układ elektryczny, przystosowany specjalnie

do celów bezpośredniej przemiany energii cieplnej w energię elektryczną, nosi

nazwę ogniwa termoelektrycznego* lub termoelementu.

Rys. 8.21 Budowa termoelementu

sϑ —temperatura spoiny, wϑ — temperatura wolnych końców, S — spoina

*Na spojeniu dwóch różnych metali obserwuje się również zjawisko odwrotne do zjawiska Seebecka, tak zwane zjawisko Peltiera. Polega ono na oziębianiu się spoiny w czasie przepływu przez nią prądu. Zjawisko to wykorzystuje się m. in. w specjalnego typu lodówkach

Termoelement (rys. 8.21) składa się z dwóch odcinków przewodów,

wykonanych z różnych materiałów, połączonych ze sobą końcami. Połączenia



można wykonać metodą spawania lub lutowania. Miejsce połączenia nosi nazwę

spoiny. Pozostałe końce termoelementu są końcami wolnymi. Przyczyną

powstania siły termoelektrycznej pod wpływem energii cieplnej jest różna

koncentracja elektronów swobodnych metali.

Wartość siły termoelektrycznej termoelementów jest w przybliżeniu

proporcjonalna do różnicy temperatury spoiny i wolnych końców

ϑ∆= cEv (8.16)

cws ,ϑϑϑ −=∆ — czułość (zdolność) termoelektryczna.

Zależność siły termoelektrycznej od temperatury spoiny (przy utrzymaniu stałej

temperatury wolnych końców) dla wybranych termoelementów przedstawiono na

rys. 8.22.

Termoelementy wykonuje się najczęściej z następujących metali i stopów: żelazo

- konstantan, nichrom (chromonikielina) - konstantan, platynorod - platyna.

Materiały na termoelementy wymienia się w takiej kolejności, że pierwszy z nich

stanowi biegun dodatni, a drugi — biegun ujemny. W tab. 8.2 podano

przykładowo czułość termoelektryczną ϑ∆= /Ec niektórych metali względem

platyny przy temperaturze wolnych końców wϑ = 0 0C.

Rys. 8.22 Charakterystyki termoelementów 1 - (80% Ni+ 20% Cu) oraz (80% Mi+ 20% Fe) 2 - (90% Ni+10% Cu) oraz (90% Ni+10% Fe) 3 - (90% Ni+10% Rh) oraz(100% Pt)

Termoelementy zbudowane z przewodników metalicznych mają sprawność 3 ...

5%. Znaczy postęp w budowie wydajnych termoelementów przyniosły

półprzewodniki. Sprawność termoelementów półprzewodnikowych dochodzi do

17%.



Obecnie podejmuje się próby wykorzystania termoelementów na skalę

techniczną. Baterię ogniw ogrzewa się, skupiając na ich spoinach za pomocą

układów soczewek promieniowanie świetlne. Do wolnych końców baterii dołącza

się obciążenie.

Tabela 8.2 Czułość termoelektryczna niektórych metali względem platyny w temperaturze 0°C Metal

Bizmut

Kon

stan

tan

Nikiel

Rtęć

Aluminium

Ołów

Rad

Srebro

Miedź

Złoto

Żelazo

Antymon

j Tellur

Selen

C(µV/0C) —72 —35 —15 0,6 3,5 4,0 6,0 6,5 18,5 47 500 900

Termoelementy znalazły głównie zastosowanie w układach elektrycznych

przeznaczonych do pomiaru temperatury. W zależności od zakresu temperatury

stosuje się różne zestawienia przewodników. Na przykład termoelement złoto-

srebro pracuje w zakresie temperatur 14 ... 460 K (—259 ... 190 0C), żelazo —

stop miedzi z niklem w zakresie 73 ... 1130 K (-200 ... 860 0C), platynorod —

platyna w zakresie 273... 1720 K(0 ... 1450 0C).

W wielu układach elektrycznych wykorzystuje się termoelement tworzący jedną

konstrukcyjną całość z grzejnikiem (odcinkiem drutu oporowego). Mówi się

wtedy o przetworniku termoelektrycznym (rys. 8.23). Przetwornik

termoelektryczny przetwarza prąd stały lub wartość skuteczną prądu

przemiennego na stałe napięcie termoelektryczne, przy czym napięcie to jest

proporcjonalne do kwadratu prądu grzejnika. Zależność taka wynika z zależności

energii cieplnej wydzielonej w grzejniku od kwadratu płynącego przez niego

prądu.

Przetworniki termoelektryczne nie zawierają elementów pojemnościowych i

indukcyjnych i dlatego mogą pracować poprawnie w zakresie częstotliwości do

100 MHz.

Rys. 8.23 Budowa przetwornika termoelektrycznego 1 — 1’ zaciski grzejnika, S — spoina



Jak już wspomniano, również dielektryki mogą w pewnych warunkach być

źródłem energii elektrycznej. Wykorzystuje się tu przede wszystkim zjawisko

piroelektryczne i piezoelektryczne.

Zjawisko piroelektryczne polega na powstawaniu ładunków elektrycznych na

powierzchniach niektórych kryształów dielektrycznych na skutek ich

równomiernego ogrzewania. Kryształy, w których występuje zjawisko

piroelektryczne, należą do grupy ferroelektryków (patrz p. 5.4.1), które

odznaczają się spontaniczną polaryzacją elektryczną. Przy ogrzewaniu

kryształów polaryzacja spontaniczna zmniejsza się, co powoduje pojawienie się

ładunków elektrycznych na powierzchni kryształu. Wartość tego ładunku jest

proporcjonalna do szybkości zmian temperatury.

Kryształy piroelektryczne znalazły głównie zastosowanie w układach do pomiaru

mocy promieniowania podczerwonego, szczególnie laserów podczerwieni.

Znacznie większe zastosowanie w technice znalazły kryształy, w których

występuje zjawisko piezoelektryczne.

Zjawisko piezoelektryczne polega na pojawieniu się ładunku elektrycznego na

powierzchniach kryształu ulegającego ściskaniu lub rozciąganiu (rys. 8.24).

Naprężenia mechaniczne deformują kryształ piezoelektryczny, przemieszczają

jony i atomy umieszczone w węzłach sieci krystalicznej i zmieniają jej wymiary*.

Wartość pojawiającego się ładunku elektrycznego zależy od deformacji ∆l

wywołanej siłą F i jest największa na ścianach prostopadłych do kierunku

działającej siły.

* Kryształy piezoelektryczne wykazują również zjawisko odwrotne zwane zjawiskiem elektrostrykcji. Polega ono na zmianie wymiarów kryształu poddanego działaniu pola elektrycznego (patrz p. 5.4.1).

Rys. 8.24 Budowa i zasada działania generatora piezoelektrycznego

Wartość powstałych ładunków powierzchniowych i ich znak zależy od wartości i



kierunku działającej siły mechanicznej

kFQ = (8.17)

k — współczynnik piezoelektryczny.

Kryształy piezoelektryczne znalazły szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach

techniki. Wykorzystuje się je szczególnie w elektroakustyce (mikrofony,

słuchawki, wkładki adapterowe) i metrologii elektrycznej (stabilne generatory,

przetworniki pomiarowe przyspieszenia, sił dynamicznych, ciśnienia, drgań

mechanicznych).

Rys. 8.25 Budowa i zasada działania elektretowej prądnicy prądu przemiennego

Przetworniki piezoelektryczne należą do grupy przetworników mechano-

elektrycznych.

Do tej samej grupy należą elektretowe prądnice prądu zmiennego. Elektrety

(patrz p. 5.4.1) pracują najczęściej w układzie połączeń przedstawionym na rys.

8.25. Elektret umieszcza się między dwiema metalowymi elektrodami, przy czym

jedna elektroda przylega do jego powierzchni, a druga umieszczona jest w

odległości x od powierzchni przeciwległej. Jeśli na powierzchni dielektryka

elektretowego występuje ładunek elektryczny o gęstości powierzchniowej σ, to

indukuje on w płytce odległej o x ładunek o gęstości powierzchniowej

L

xind εσ

σ+

=

1

(8.18)

Wartość indukowanego ładunku zależy od odległości elektrody od powierzchni

elektretu. Zmieniając okresowo odległość x można wytworzyć okresowo zmienny

ładunek na elektrodach



indind Sq σ= (8.19)

S — powierzchnia elektrod.

Jeśli elektrody połączone są przewodami elektrycznymi z rezystorem R, to w

obwodzie popłynie prąd

dt

dqi ind= (8.20)


( )2xL

dt

dx

Viε

εσ

+−= (8.21)

V = SL jest objętością elektretu.

Jak widać przy spełnianiu warunku wymiaru L >> εx i przy sinusoidalnej zmianie

prędkości dt

dx elektrody ruchomej, można w układzie wzbudzić przepływ prądu w

przybliżeniu sinusoidalnego.

Energia elektryczna prądu powstaje nie kosztem energii pola elektrycznego

elektretu, lecz kosztem energii mechanicznej drgającej elektrody. Pole

elektryczne jest w tym przypadku jedynie ośrodkiem, w którym owa przemiana

energii następuje.

9. Transport energii elektrycznej 9.1 Wiadomości ogólne Transport energii elektrycznej odbywa się z wykorzystaniem fal

elektromagnetycznych. Ośrodkiem, w którym przesyła się te fale, mogą być

elektryczne linie przesyłowe (p. 9.2), powietrze lub przestrzeń kosmiczna (p.

9.3), falowody (p. 9.4) lub też światłowody (p. 9.5). Elektryczne linie przesyłowe

wiodą prąd elektryczny i niejako trasują drogę, wzdłuż której rozchodzą się fale

elektromagnetyczne. W przypadku linii elektrycznych prądu stałego fale te

redukują się do stałego w czasie i przestrzeni pola magnetycznego.



Rys. 9.1 Schemat linii prądu stałego

Linia elektryczna prądu stałego jest zasilana na początku (x = 0 na rys, 9.1)

ze źródła napięcia stałego U1 a na końcu (x = l) jest obciążona rezystorem Robc.

Na zaciskach rezystora obciążającego występuje napięcie U2.

Rozpatrzmy najpierw właściwości linii bezstratnej (idealnej), w której można

pominąć rezystancję przewodów linii oraz konduktancję (przewodność) izolacji

między nimi. Napięcie źródłowe U1, jest równe w takiej linii napięciu

odbiornikowemu U2 (U1 = U2), prąd I w dowolnym miejscu linii jest równy

prądowi I1 wpływającemu i prądowi I2 wypływającemu (I = I1 = I2). Właściwości

linii bezstratnej ilustrują rys. 9.2 i 9.3.

Rzeczywista linia elektryczna prądu stałego charakteryzuje się rezystancją

wzdłużną przewodów i konduktancją izolacji między przewodami linii.

Rezystancja i konduktancja linii wynika z właściwości materiałów użytych do jej

budowy. Wartość tych wielkości jest wprost proporcjonalna do długości linii.

Rys. 9.2 Wykres ilustrujący rozkład wartości prądu i napięcia w linii bezstratnej w funkcji odległości od początku linii

Rys. 9.3 Wykres wektorowy prądu i napięć linii bezstratnej (idealnej) prądu stałego

Różne linie przesyłowe prądu stałego, w zależności od długości i budowy,

charakteryzują się różnymi wartościami rezystancji i konduktancji. Celem

porównania różnych linii wprowadzono parametry jednostkowe: rezystancję

jednostkową wzdłużną i konduktancję jednostkową poprzeczną (między

przewodami linii).



Rezystancja jednostkowa wzdłużna linii jest to rezystancja jednostki

długości linii.

Oznacza się ją przez R i wyraża w Ω/m. (W praktyce rezystancję jednostkową

wzdłużną linii elektroenergetycznych wyraża się na ogół w Ω /km).

Konduktancja jednostkowa poprzeczna linii jest to konduktancja izolacji

między przewodami linii przypadająca na jednostkę długości linii.

Oznacza się ją przez G i wyraża w S/m.

Znajomość parametrów jednostkowych linii umożliwia obliczenie rezystancji i

konduktancji dowolnego jej odcinka (rys. 9.4). Rezystancja linii jest przyczyną

występowania spadku napięcia wzdłuż jej przewodów (rys. 9.5 i 9.6). W linii

rzeczywistej napięcie źródłowe U1 jest większe od napięcia odbiornikowego U2 o

spadek napięcia.

Rys. 9.4 Schemat zastępczy linii prądu stałego

21 UUU −=∆ (9.1)

Konduktancja izolacji między przewodami linii jest przyczyną zmniejszenia się

prądu I2 wpływającego do odbiornika umiejscowionego na końcu linii w stosunku

do prądu I1 wpływającego do linii na początku, wydatkowanego przez źródło

napięcia. Strata prądu

21 III −=∆ (9.2)

Rys. 9.5 Wykres ilustrujący rozkład wartości prądu i napięcia w linii rzeczywistej w funkcji odległości od początku linii



Rys. 9.6 Wykres wektorowy prądu i napięć linii rzeczywistej prądu stałego

jest związana z przepływem części prądu między przewodami przez izolację, z

pominięciem odbiornika. Spadki napięcia i straty prądu w liniach są przyczyną

występowania strat mocy. W liniach rzeczywistych straty mocy są

uwarunkowane głównie spadkami napięć, jako że straty mocy pochodzące od

strat prądu są małe i można je pominąć.

Linie elektryczne, w zależności od przeznaczenia, buduje się z przewodów

aluminiowych, miedzianych i stalowych. O wyborze rodzaju przewodów decyduje

wymagana wytrzymałość i rezystancja linii.

Przykład 9.1 Obliczyć spadek napięcia ∆U i straty mocy ∆P w linii prądu stałego wiodącej prąd I = 1 A, o długości l = 1000 km i przekroju S = 2 cm2, jeśli konduktancja jednostkowa poprzeczna G = 0, a rezystancja jednostkowa wzdłużna R = 10-4 Ω/m.

Spadek napięcia jest równy spadkowi napięcia na rezystancji linii. Rezystancja

jednego przewodu linii

RlRl =

Rezystancja całej linii jest dwukrotnie większa

RlR l 22 =

i równa 200 Ω. Spadek napięcia

RlIU 2=∆

wynosi 200 V.

Straty mocy na ciepło Joule'a-Lenza 2

2 IRP l=∆

są równe ∆P = 200 W.

Omawiając właściwości linii przesyłowych prądu stałego wprowadziliśmy

parametry jednostkowe, które ją charakteryzują. Parametry jednostkowe

dotyczą jednostki długości linii i nie dają nam wyobrażenia o tym, jakie są

parametry linii w dowolnym jej punkcie. Parametry jednostkowe umożliwiają

budowę schematu zastępczego linii (rys. 9.4) złożonego z elementów o stałych



skupionych (dyskretnych). Model zastępczy linii tym lepiej odwzorowuje

właściwości i budowę linii rzeczywistej, im więcej elementów o parametrach Rdx

i Gdx użyto do jego budowy, czyli im mniejsze odcinki dx przyjęto za podstawę

podziału linii na ogniwa. Model linii przechodzi w linię rzeczywistą przy dx → 0.

Niedokładność odwzorowania linii rzeczywistej (rys. 9.1) za pomocą modelu (rys.

9.4) bierze się stąd, że linia zbudowana jest z elementów o stałych

rozłożonych, a model — z elementów o stałych skupionych.

Wartości parametrów elementów (przewodów) o stałych rozłożonych (rezystancji

i konduktancji) są funkcją współrzędnej bieżącej x (rys. 9.1).

Największe znaczenie w elektroenergetyce mają linie przesyłowe prądu

przemiennego (rys. 9.7) zasilane z jednej strony ze źródła napięcia

przemiennego o częstotliwości sieciowej 50 Hz i obciążone impedancją Zobc na

drugim końcu. W linii ze stratami napięcie U1 na początku linii nie jest równe

napięciu U2 na końcu, tzn. różni się od niego co do wartości i jest przesunięte

względem niego w fazie (rys. 9.8).

Napięcia odwzorowuje się na płaszczyźnie za pomocą wektorów. W związku z

tym można rozpatrywać różnicę algebraiczną i różnicę wektorową dwu napięć

(patrz dodatek B). Stosownie do tych różnic napięć mówi się o spadku napięcia

bądź o stracie napięcia.

Rys. 9.7 Schemat linii prądu przemiennego

Spadek napięcia jest to różnica wartości napięć na początku i końcu linii

(odcinek ∆U' na rys. 9.8)

21 UUU −=′∆ (9.3)

Strata napięcia jest to napięcie odpowiadające różnicy wektorowej między

napięciami U1 i na początku i U2 na końcu linii (odcinek ∆U na rys. 9.8)

21 UUU −=∆ (9.4)

Stratę napięcia można rozłożyć na dwie składowe: podłużną stratę napięcia

(czynną) ∆Ucz i poprzeczną stratę napięcia (bierną) ∆Ub.



Podłużna strata napięcia jest składową skalarną straty napięcia wzdłuż osi

rzeczywistej (osi U2 — rys. 9.8)

ϕcos2RIRIU czcz ==∆ (9.5)

Poprzeczna strata napięcia jest składową skalarną straty napięcia wzdłuż osi

urojonej (osi prądu biernego I - rys. 9.8)

ϕsin2RIRIU bb −==∆ (9.6)

Rys. 9.8 Wykres wektorowy prądów i napięć jednofazowej linii prądu przemiennego przy uwzględnieniu rezystancji przewodów

We wzorach (9.5) i (9.6) prąd I2 jest prądem płynącym w końcu linii, zgodnie z

napięciem ∆U, a R oznacza rezystancję całkowitą linii.

W liniach elektroenergetycznych w praktyce przyjmuje się, że spadek napięcia

jest równy podłużnej stracie napięcia

czUU =∆ (9.7)

Schemat zastępczy linii przesyłowej prądu przemiennego (rys. 9.9) jest bardziej

złożony, niż równoważny schemat linii przesyłowej prądu stałego (rys. 9.4).

Przyczyną tego jest indukcyjność i pojemność linii.

Indukcyjność jest związana z polem magnetycznym zmiennym wytworzonym

wokół przewodów. Pojemność natomiast jest związana z polem elektrycznym

zmiennym występującym w dielektryku między przewodami linii, które można

traktować jako dwie elektrody. Linię przesyłową prądu przemiennego, oprócz

rezystancji jednostkowej wzdłużnej i konduktancji jednostkowej poprzecznej

będzie więc charakteryzowała jeszcze indukcyjność jednostkowa wzdłużna i

pojemność jednostkowa poprzeczna.

Rys. 9.9 Schemat zastępczy jednofazowej linii prądu przemiennego



Indukcyjność jednostkowa wzdłużna linii jest to indukcyjność jednostki

długości linii.

Oznacza się ją przez L i wyraża w H/m.

Pojemność jednostkowa poprzeczna linii jest to pojemność jednostki

długości linii.

Oznacza się ją przez C i wyraża w F/m.

Znajomość parametrów jednostkowych linii umożliwia obliczenie indukcyjności i

pojemności dowolnego jej odcinka.

Indukcyjność i pojemność jednostkowa linii jest cechą, w tym przypadku,

elementów o stałych rozłożonych.

Parametry jednostkowe bierne są różne dla różnych typów linii: kablowych,

jednoprzewodowych, dwuprzewodowych, trójprzewodowych itd., co możemy

zaobserwować na przykładach.

Przykład 9.2 Wyznaczyć indukcyjność jednostkową linii dwuprzewodowej (rys. 9.10), jeśli przewody wykonane są z drutu o średnicy 2r, a odległość między nimi wynosi a.

Aby obliczyć indukcyjność linii należy wyznaczyć najpierw strumień magnetyczny

zawarty w obszarze między przewodami tej linii. W tym przypadku interesuje

nas strumień między osiami przewodów, a więc strumień Φw wytworzony

wewnątrz przewodów i strumień Φz — na zewnątrz tych

przewodów.

Jeżeli przez przekrój przewodnika przepływa prąd I, a przewodnik jest

jednorodny, to gęstość prądu (patrz przykład 1.12)

2r

IJ

π=

Przez fragment tego przekroju o powierzchni πx2 płynie zatem prąd

2

2

2

2

r

x

r

xI x ==

π

π



Rys. 9.10 Odcinek dwuprzewodowej linii długiej

Stosując prawo przepływu (wzór 1.42) otrzymujemy wzór określający natężenie

pola magnetycznego wewnątrz przewodnika, w odległości x od jego osi

geometrycznej

22 r

xIH x

π= h

Uwzględniając wcześniej otrzymaną zależność

4

3

2 r

xIH

π=

Stąd strumień magnetyczny przenikający wewnątrz przewodu przez prostokąt o

długości l i szerokości dx

ldxr

xId w 4

3

02π

µ=Φ

Całkując otrzymane wyrażenie w granicach od 0 do r otrzymuje się całkowity

strumień magnetyczny wewnątrz przewodu

∫=Φr

w ldxr

xI

0

4

3

02π

µ

Wykonując operację całkowania (dodatek F)

r

Ilw

πµ

80=Φ

Na zewnątrz przewodnika, w odległości x od jego osi, jeśli

axr ≤≤

istnieje pole magnetyczne

x

IH

π2=

Stąd strumień magnetyczny na zewnątrz przewodu, przenikający przez prostokąt

o długości l i szerokości dx

ldxx

Id z

πµ

20=Φ



Całkując otrzymane wyrażenie w granicach od r do a otrzymuje się całkowity

strumień magnetyczny na zewnątrz przewodu

∫=Φa

r

zx

dxIl

πµ

20


r

aIlz ln

20

πµ=Φ

Strumień całkowity wywołany prądem płynącym przez jeden przewód jest sumą

strumienia Φw i Φz

+=Φ+Φ=Φ

r

aIlzw ln25,0

20

πµ

Indukcyjność jednego przewodu, obliczona według zależności Ll = Φ/I,

+=

r

alLl ln25,0

20

πµ

a indukcyjność jednostkowa jednego przewodu linii, obliczona według

zależności* L = Ll/l

+=

r

aL ln25,0

2

0

π

µ (9.8)

Indukcyjność jednostkowa linii dwuprzewodowej jest dwukrotnie większa

+=

r

aL ln25,00

π

µ (9.9)

Dwukrotnie większa wartość indukcyjności jednostkowej linii dwuprzewodowej

wynika stąd, że strumień magnetyczny wytworzony przez drugi przewód z

prądem jest skierowany zgodnie ze strumieniem wytwarzanym przez pierwszy

przewód i jest mu równy co do wartości. Obecność drugiego przewodu zwiększa

zatem dwukrotnie strumień magnetyczny przenikający przez powierzchnię

wyznaczoną osiami przewodów.



Wzór (9.8) określa indukcyjność jednostkową linii jednoprzewodowej oraz w

przybliżeniu indukcyjność jednostkową jednego przewodu linii trójfazowej. Wzór

(9.9) dotyczy tylko linii dwuprzewodowych. Dla przykładu można podać, że

indukcyjność jednostkowa dwuprzewodowych linii napowietrznych wysokiego i

najwyższego napięcia zawiera się w granicach (1 ... 1,5)·10-6 H/m przy

rezystancji jednostkowej ok. 10-4 Ω/m.

*Przyjęto, że przewody wykonane są z dobrego przewodnika, np. miedzi, wtedy µ ≈ µ0.

Przykład 9.3 Wyznaczyć pojemność jednostkową linii dwuprzewodowej (rys. 9.11), jeśli przewody są wykonane z drutu o średnicy 2r, a odległość między nimi wynosi d.

Aby obliczyć pojemność linii należy wyznaczyć najpierw strumień ᴪ wektora

indukcji elektrycznej D

DS=Ψ

przenikający przez powierzchnię boczną S walca o promieniu podstawy x i

długości l

xlS π2=

Przyjmując, że rozpatrywana linia jest linią napowietrzną, można przyjąć, że ε =

ε0 a zatem D = ε0E.

Strumień elektryczny przenikający przez powierzchnię umyślonego walca jest

zatem równy

Exl 02 επ=Ψ

Na podstawie twierdzenia Gaussa — wzór (1.32) — strumień ten liczbowo jest

równy ładunkowi elektrycznemu Q wytwarzającemu ten strumień, a zatem

Rys. 9.11 Przekrój poprzeczny dwuprzewodowej linii długiej ExlQ 02 επ=

Potencjał dowolnego punktu P, leżącego w płaszczyźnie prostopadłej do osi

przewodów, wyznaczony ze wzoru



dx

dE

ϕ−=

wyraża się zależnością

dxxl

Qd

02 επϕ −=

Potencjał φP punktu P jest sumą potencjałów φ1P i φ2P pochodzących od obu

przewodów, na których jest zgromadzony ładunek +Q i -Q.

Wartości potencjałów składowych obliczone z zależności

∫∫ −=−=b

P

a

P dxxl

Qdx

xl

Q

0 0

2

0 0

122 επ

ϕεπ

ϕ

są odpowiednio równe

bl

Q

al

QPP

1ln

2

1ln

2 0

2

0

1επ

ϕεπ

ϕ −==

Zatem na podstawie równości

PPP 21 ϕϕϕ +=

otrzymuje się ostatecznie

a

b

l

QP ln

2 0επϕ =

W celu obliczenia potencjału φ1 na powierzchni pierwszego przewodnika (z

ładunkiem +Q) należy przyjąć, że a = r i b ≈ d

r

d

l

Qln

2 0

1επ

ϕ =

W celu obliczenia potencjału φ2 na powierzchni drugiego przewodnika,

przyjmujemy, że punkt P leży na powierzchni tego przewodnika (z ładunkiem —

Q) i wtedy a ≈ d, b = r. A zatem

d

r

l

Qln

2 0

2επ

ϕ =

Napięcie między przewodami jest równe różnicy potencjałów



21 ϕϕ −=U

a więc

r

d

l

QU ln

0επ=

Ponieważ z definicji Cl = Q/U, to ostatecznie

r

d

tCl

ln

0πε=

natomiast pojemność jednostkowa C = Cl/l jest równa

r

dC

ln

0πε= (9.10)

Wzór (9.10) określa pojemność jednostkową linii dwuprzewodowej. Dla

przykładu można podać, że pojemność jednostkowa dwuprzewodowych linii

napowietrznych wysokiego i najwyższego napięcia zawiera się w granicach

(0,008 ... 0,012)·10-9 F/m przy konduktancji jednostkowej upływności przez

izolację (40...5 00)·10-9 S/m.

Przykład 9.4 Wyznaczyć indukcyjność jednostkową i pojemność jednostkową linii jednoprzewodowej, o promieniu r przekroju kołowego przewodu, zawieszonego na wysokości h nad powierzchnią.

Rys. 9.12 Przekrój poprzeczny jednoprzewodowej linii długiej zawieszonej na wysokości h nad powierzchnią Ziemi. Na rysunku widoczne są linie sił pola elektrostatycznego prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnej, jaką jest powierzchnia Ziemi

Linia jednoprzewodowa jest to umownie taka linia, w której drugi przewód

stanowi Ziemia. Ziemia jest elementem linii jednoprzewodowej zamykającej

obwód. Przy rozpatrywaniu właściwości układu przewód - Ziemia dobrze jest

zastąpić go układem równoważnym złożonym z danego przewodu i jego

zwierciadlanego odbicia od powierzchni Ziemi. Między przewodem i jego



zwierciadlanym odbiciem powstaje pole magnetyczne i pole elektryczne

równoważne temu, jakie powstaje między przewodem a Ziemią. Do obliczenia

indukcyjności jednostkowej linii jednoprzewodowej z uwzględnieniem wpływu

Ziemi należy więc posłużyć się wzorem (9.8), w którym a = 2h

+=

r

hL

2ln25,0

2

0

π

µ (9.11)

Podobnie postępujemy w celu obliczenia pojemności jednostkowej linii

jednoprzewodowej z uwzględnieniem wpływu Ziemi. Wykorzystujemy w tym

przypadku wzór (9.10), w którym d = 2h

r

hC

2ln

0πε= (9.12)

Przykład 9.5 Wyznaczyć indukcyjność jednostkową i pojemność jednostkową linii kablowej koncentrycznej, w której promień przekroju kołowego żyły wewnętrznej jest r, a promienie: wewnętrzny i zewnętrzny płaszcza, stanowiącego drugi przewód linii, są odpowiednio równe r1 i r2 (rys. 9.13).

W celu wyznaczenia indukcyjności kabla koncentrycznego należy obliczyć

najpierw wartość strumienia magnetycznego przenikającego przez jego wnętrze.

Strumień przenika przez trzy obszary wyznaczone przez powierzchnie

przewodów. Stosownie do tego będziemy rozpatrywali strumień Φw1 przenikający

przez przekrój żyły wewnętrznej (x < r), strumień Φw2 wypełniający przestrzeń

między przewodami (r < x < r1) oraz strumień magnetyczny Φw3 przenikający

przez przekrój poprzeczny przewodu zewnętrznego (r1 < x < r2).

Strumień magnetyczny Φw1 wyznacza się w tym przypadku tak jak strumień

zawarty wewnątrz przewodu linii dwuprzewodowej (patrz przykład 9.2). Można

więc napisać, że

πµ

801

Ilw =Φ

Rys. 9.13 Przekrój poprzeczny linii długiej kablowej koncentrycznej



Również strumień magnetyczny ΦW2 na zewnątrz przewodu wewnętrznego,

wyznacza się podobnie jak strumień Φz na zewnątrz przewodu linii

dwuprzewodowej (patrz przykład 9.2). W naszym przypadku należy tylko

uwzględnić, że a = r1. Otrzymuje się zatem

r

rIlw

102 ln

8πµ=Φ

Wyznaczenie strumienia Φw3 przenikającego przez przekrój przewodu

zewnętrznego o powierzchni 2

1

2

2 rr ππ − jest nieco bardziej kłopotliwe. Strumień ten

jest bowiem wytworzony przez dwa prądy: prąd I płynący w przewodzie

wewnętrznym i prąd Ix będący częścią prądu płynącego przez przewód

zewnętrzny. Prąd Ix wyraża się wzorem

)( 2

1

2

2

1

2

2

rxrr

II x ππ

ππ−

−−=

w którym wyrażenie

2

1

2

2 rr

I

ππ −

oznacza gęstość prądu w przewodzie zewnętrznym, a 2

1

2

2 rr ππ − — powierzchnię

rozpatrywanego przekroju. Znak minus oznacza, że prąd w przewodzie

zewnętrznym płynie w kierunku przeciwnym niż prąd w przewodzie

zewnętrznym. Ogólnie zatem będziemy rozpatrywali strumień wytworzony przez

prąd I’x=I+Ix , a zatem przez prąd

2

1

2

2

22

2'

rr

xrII x

−

−=

Prąd ten, zgodnie z prawem przepływu, wytwarza w odległości x od osi

przewodów pole magnetyczne o indukcji

x

IB x

πµ

2

'0=

Uwzględniając wcześniej otrzymaną zależność na I'x uzyskuje się

2

1

2

2

22

2

02 rr

xr

x

IB

−

−=

πµ

Dla obszaru, wyznaczonego przez r2 < x < r1 można zatem napisać



Bldxrr

xrr

r

w ∫ −

−=Φ

2

1

2

1

2

2

22

2

3

Uwzględniając wyrażenie określające wartość wielkości B

dxx

xr

rr

Ilr

r

w ∫−

−=Φ

2

1

222

2

2

1

2

2

03

)(

)(2πµ

a po wykonaniu przekształceń funkcji podcałkowej

dxxxrx

r

rr

Ilr

r

w ∫

+−

−=Φ

2

32

2

4

2

22

1

2

2

03

1

2)(2π

µ


−+−−

−=Φ )(25,0)(ln

)(2

4

1

4

2

2

1

2

2

2

22

24

2

1

2

2

03 rrrrrr

rr

rr

Ilw

πµ

Strumień całkowity Φ wewnątrz obszaru kabla koncentrycznego jest równy

sumie poszczególnych strumieni składowych: 321 www Φ+Φ+Φ=Φ a zatem

indukcyjność jednostkowa, obliczona według wzoru

IlL

Φ=

−

++

−−

−++=

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

22

1

2

2

1

24

2

10

)(

ln

ln25,02 rr

rr

rr

r

rr

r

rr

r

rL

π

µ (9.13)

Pole magnetyczne wytworzone przez przewody z prądem kabla koncentrycznego

jest skupione tylko we wnętrzu kabla. Na zewnątrz pole nie istnieje, gdyż suma

prądów przenikających przez przekrój poprzeczny kabla jest równa zeru.

Przy wyznaczaniu pojemności jednostkowej kabla koncentrycznego postępuje się

podobnie jak przy wyznaczaniu pojemności kondensatora cylindrycznego (patrz

przykład 6.17). Stosując więc wzór (6.38), w którym rw = r i rz = r1



r

r

lC

1

01

ln

2πε=

zaś pojemność jednostkowa kabla koncentrycznego

1

2

0

ln

2

r

rC

πε= (9.14)

Indukcyjność i pojemność kabli koncentrycznych zależą od ich wymiarów. Dla

kabli energetycznych indukcyjność jednostkowa zawiera się w granicach (0,25 ...

0,33)·10-6 H/m. Natomiast pojemność jednostkowa przyjmuje wartości w

przedziale (0,012 ... 0,020) ·10-9 F/m. Parametry te dla kabli teletechnicznych są

odpowiednio równe L ≈ 0,8 · 10-6 H/m, C ≈ 0,03·10-9 F/m

Sieci elektroenergetyczne są najczęściej sieciami trójfazowymi. Przewody linii

trójfazowych tworzą przy tym układ płaski albo układ trójkątny (rys. 9.14).

Z różnego przestrzennego rozmieszczenia przewodów w układzie płaskim i

trójkątnym wynikają różnice we właściwościach elektrycznych linii w tych

układach przewodów. Układ płaski, ze względu na niejednakowe odległości

między przewodami, charakteryzuje się niesymetrią indukcyjności i pojemności

jednostkowej.

Rys. 9.14 Układ płaski (a) i trójkątny (b) przewodów trójfazowej linii elektroenergetycznej napowietrznej



Rys. 9.15 Przeplatanie przewodów linii wysokiego napięcia w układzie płaskim: a) pojedyncze; b) podwójne

Indukcyjność i pojemność przewodu środkowego jest inna niż indukcyjność i

pojemność przewodów skrajnych. Jest to zjawisko niekorzystne, gdyż powoduje

niesymetrię spadków napięć w linii. Niesymetrią spadków napięć jest przyczyną

niesymetrii napięć trójfazowych zasilających odbiorniki trójfazowe. W celu

wyeliminowania tego niekorzystnego zjawiska stosuje się przeplatania

przewodów (rys. 9.15). Przeplatanie przewodów polega na zmianie miejsca

prowadzenia przewodu co 1/3 długości całej linii (przeplatanie pojedyncze) lub

co 1/9 długości całej linii (przeplatanie podwójne). W wyniku tego przeplatania

każdy z przewodów jednakową część drogi przebywa jako przewód skrajny lewy,

skrajny prawy i środkowy.

W układach trójkątnych nie stosuje się przeplatania przewodów, gdyż

niesymetria indukcyjności i pojemności prawie nie występuje. (Odległości między

przewodami są w przybliżeniu jednakowe i znacznie mniejsze od odległości do

Ziemi).

Sieć elektroenergetyczna wraz z dołączonymi do niej odbiornikami energii

elektrycznej stanowi obciążenie typu indukcyjnego dla generatorów

zainstalowanych w elektrowniach. Sieci takie wiodą prąd, którego przebieg

wartości chwilowej jest opóźniony w fazie względem przebiegu wartości

chwilowej napięcia (rys. 9.8). Prąd ten (na rys. 9.8 prąd I2) jest źródłem mocy

pozornej (patrz dodatek A). Dla użytkownika ważny jest nie prąd (prąd I2), jaki

płynie w sieci, tylko prąd czynny Icz, który decyduje o wartości energii, jaką

można z tej sieci czerpać. Prąd Icz = I2 cos φ określa wartość mocy czynnej P =

U2ICZ = U2I2 cos φ, którą można przetworzyć na inne rodzaje energii. Ponieważ

Icz < I2 (rys. 9.8), użytkownik dysponuje mniejszą mocą niż ta, na którą została

zaprojektowana sieć. (Mocy biernej wydzielanej przez prąd Ib nie można

przetworzyć na pracę użytkową). W celu lepszego energetycznego wykorzystania

sieci należy zwiększyć współczynnik mocy cos φ, co wiąże się ze zmniejszeniem



kąta φ (rys. 9.8) i zmniejszeniem prądu I2 zgodnie z zależnością

ϕcos2

2U

PI = (9.15)

Daną moc czynną, jak widać, można otrzymać przy mniejszej wartości prądu V, i

większym współczynniku cos φ, co jest korzystniejsze lub, przy większej

wartości prądu I2 i mniejszym współczynniku cos φ. Przypadek drugi jest

niekorzystny, gdyż wymaga przepływu przez linię większego prądu (przy tej

samej mocy), co powoduje zwiększenie strat mocy czynnej w linii (patrz

przykład 9.1) i konieczność zainstalowania urządzeń współpracujących z linią

(transformatorów, generatorów) o większej znamionowej mocy pozornej. W celu

zlikwidowania tego szkodliwego zjawiska do sieci elektroenergetycznej, w

miejscu odbioru mocy czynnej P i biernej dodatniej Q (obciążenie typu RL),

dołącza się kondensatory o takiej pojemności, że stają się one źródłem mocy

biernej, również o wartości Q. Ze wzoru

X

UQ

2

2= (9.16)

w którymC

Xω

1= , wyznacza się pojemność takich kondensatorów

2U

QC

ω= (9.17)

Kondensatory o odpowiednio dobranej pojemności dołączone do linii kompensują

moc bierną, dzięki czemu jej wartość jest równa zeru i wtedy Icz = I2,

a cos φ = 1.

Opisane zjawiska noszą nazwę kompensacji mocy biernej. Kompensacja mocy

biernej w układach trójfazowych wymaga zainstalowania trzech zespołów

kondensatorów.

9.2 Linia długa Mówiąc dotychczas o liniach mieliśmy na myśli przesyłowe linie

elektroenergetyczne. Z obserwacji wiemy, że ciągną się one nieraz dziesiątki i

setki kilometrów. Pojęcia „krótki" lub „długi" są jednak względne. Chcąc być

ścisłym nie można powiedzieć po prostu „krótki” lub „długi”, ale: „krótki w

porównaniu z...” bądź też: „długi w porównaniu z...”. Jeśli nie precyzujemy w



porównaniu z czym dany element jest krótki lub długi, mamy podświadomie na

myśli, jako obiekt porównawczy, siebie samego. Z tego punktu widzenia

wszystkie elementy o długościach znacznie przekraczających wymiary ciała

ludzkiego będą długie, zaś o długościach znacznie mniejszych — krótkie. Dlatego

też linie elektroenergetyczne nazwać można liniami długimi. Kilkucentymetrowy

odcinek przewodu był dla nas krótki. Jednak z punktu widzenia elektrotechniki i

zjawisk fizycznych występujących w przewodnikach linia elektroenergetyczna

może być lub nie być linią długą. Podobnie kilkucentymetrowy odcinek przewodu

może być lub nie być linią długą. Po prostu inne jest kryterium podziału układów

przewodników (przewodów). O tym, czy dany układ przewodników prądu

elektrycznego jest linią długą czy też nie, decyduje stosunek długości przewodów

do długości fali elektromagnetycznej wzbudzonej przez źródło napięcia

przemiennego dołączone do linii.

Linia długa jest to taka linia, której długość jest porównywalna z długością fali

elektromagnetycznej wzbudzonej przez źródło napięcia zmiennego zasilające tę

linię.

Linie elektroenergetyczne w naszym kraju są zasilane z generatorów prądu o

częstotliwości f = 50 Hz. Przebiegi prądu i napięcia wzdłuż linii są sinusoidalne i

mają charakter falowy. Ze związku

f

c=λ (9.18)

gdzie c — prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej, można obliczyć

długość fali λ i orientacyjną długość linii długiej pracującej na danej

częstotliwości f. Dla linii elektroenergetycznej napowietrznej c = 300000 km/s i λ

= 6000 km, a więc kilkudziesięciokilometrowych odcinków takich linii, jako

znacznie krótszych niż 6000 km, nie można uważać z linie długie. Natomiast przy

częstotliwości f = 100 MHz linię długą będą stanowiły już

kilkunastocentymetrowe odcinki przewodów, gdyż dla tej częstotliwości

λ = 3 m*.

Długość linii długiej nie jest ograniczona od góry. Dolną granicę długości linii

długiej można umownie przyjąć za równą λ/100.

Na podstawie przeprowadzonych rozważań można wysnuć wniosek, że im



mniejsza długość fali, to znaczy im większa częstotliwość fali

elektromagnetycznej, tym mniejsza jest dolna granica długości linii długiej. I tak

jest w istocie, ale tylko do pewnych granic (patrz tab. 9.1). Na przykład dla fali

elektromagnetycznej o długości 0,6 µm (światło czerwone) linii długiej nie

stanowi już odcinek przewodu elektrycznego o zbliżonej długości. Dzieje się tak

dlatego, że wraz ze zmianą długości fali zmienia się charakter oddziaływania

promieniowania elektromagnetycznego z przewodnikiem (patrz tab. 9.1). Ze

wzrostem częstotliwości oddziaływanie „elektryczne” pól elektromagnetycznych z

przewodnikami jest słabsze wobec oddziaływań cieplnych, optycznych i

rozproszeniowych na strukturze wewnętrznej metali. Z tego też względu linie

długie będą tylko dotyczyły obwodów pracujących przy częstotliwości 0... 1000

GHz.

Rys. 9.16 Schemat zastępczy odcinka ∆x linii długiej

* Dla przykładu można podać, że pasmo częstotliwości zakresów telewizyjnych zawiera się w granicach 48,5 ... 860 MHz.

Rozpatrzmy odcinek ∆x linii długiej (rys. 9.16). Całą linię będziemy traktowali

jako połączenie łańcuchowe wielkiej liczby takich odcinków. Odcinek linii długiej

można traktować jako czwórnik zbudowany z elementów skupionych

podłużnych: R∆x i L∆x oraz elementów skupionych poprzecznych : G∆x i C∆x.

Przez x

u

∂

∂oznaczymy średni przyrost napięcia na jednostkę długości, a przez

x

i

∂

∂— średni przyrost prądu w linii na jednostkę długości. W związku z tym

przyrost napięcia na długości ∆x linii będzie równy xx

u∆

∂

∂, a przyrost prądu w linii

na tym odcinku będzie równy xx

i∆

∂

∂ .



Znaczenie pozostałych oznaczeń użytych na rys. 9.16 jest następujące :

u — napięcie wejściowe czwórnika,*

xx

uu ∆

∂

∂+ — napięcie wyjściowe czwórnika, gdzie przyrost napięcia x

x

u∆

∂

∂może

być dodatni lub ujemny,

i — prąd wejściowy czwórnika,

xi

xi ∆

∂

∂+ — prąd wyjściowy czwórnika, gdzie przyrost prądu x

i

x∆

∂

∂ może być

dodatni lub ujemny.

*W ogólnym przypadku, w odniesieniu do linii długiej, prądy, napięcia i impedancja wyrażają się liczbami zespolonymi. W niniejszym rozdziale nie będzie się jednak podkreślać, że są to wielkości zespolone. Dzięki temu zapis wielu wzorów będzie prostszy nie tracąc przy tym na ścisłości matematycznej. Liczby zespolone pojawiają się tylko tam, gdzie wynika to w sposób oczywisty z przekształceń matematycznych.

Tabela 9.1 Oddziaływanie przewodnika metalicznego z polem elektromagnetycznym

Zakres częstotliwości Właściwości Zastosowanie

f = 0

W przewodniku występują straty na ciepło Joule'a-Lenza. Energia jest transportowana wzdłuż przewodnika w postaci pola magnetycznego; w przewodniku płynie prąd stały

Przewody prądu elektrycz-nego, rezystory, linie elek-troenergetyczne

0 < f < 10 GHz fale kilometrowe < f < fale centymetrowe

Energia jest transportowana wzdłuż przewodnika w postaci pola magne-tycznego i elektrycznego, głównie je-dnak w postaci pola magnetycznego. W przewodniku płynie prąd prze-mienny i występują w nim straty na ciepło Joule'a-Lenza. Uwidocznia się wpływ pojemności i indukcyjności przewodów. W przewodniku wzbudzają się prądy wirowe

Przewody prądu elektrycz-nego, linie elektroenerge-tyczne, linie długie, nie-które obwody składają się z obwodów zwykłych i od-cinków linii długiej, np. anten (patrz p. 9.3)

10 GHz < f < 1000 GHz fale centymetrowe < f < fale milimetrowe

Fala elektromagnetyczna o tym zakresie częstotliwości odbija się od powierzchni metali i praktycznie nie wnika do jego wnętrza. W metalu indukują się prądy wirowe, ale tylko na jego powierzchni.

Falowody prowadzące fale elektromagnetyczne (patrz p. 9.4), linie długie



Zakres częstotliwości pro-mieniowania podczerwonego

Całkowicie zmienia się, w stosunku do poprzedniego, charakter od-działywania promieniowania ele-ktromagnetycznego z metalem. W tym zakresie częstotliwości następuje oddziaływanie promieniowania z polem elektromagnetycznym wy-tworzonym przez drgające jony umieszczone w węzłach sieci krysta-licznej. Ze względu na zgodność częstości drgań jonów z częstością drgań pola elektrycznego i magne-tycznego fali elektromagnetycznej — następuje jej rezonansowe pochła-nianie prowadzące do ogrzewania metalu

Czujniki promieniowania podczerwonego, termowizja, noktowizja, geologia satelitarna

Zakres częstotliwości fal świetlnych

Całkowicie zmienia się, w stosunku do poprzedniego, charakter od-działywania promieniowania ele-ktromagnetycznego z metalem. W tym zakresie częstotliwości metal zachowuje się jak dielektryk. Pro-mieniowanie świetlne ulega odbiciu od powierzchni metalu

Zwierciadła metaliczne, zjawisko fotoelektryczne

Zakres częstotliwości pro-mieniowania X (Roentgena)

Całkowicie zmienia się, w stosunku do poprzedniego, charakter od-działywania promieniowania ele-ktromagnetycznego z metalem. W tym zakresie częstotliwości metal przestaje być materiałem jednorodnym. Ujawnia się struktura ziarnista materii. Promieniowanie odbija się od ścian kryształów. Częściowo zostaje ono pochłaniane.

Rentgenowskie aparaty medyczne, badanie struktury kryształów

Zakres częstotliwości pro-mieniowania γ

Całkowicie zmienia się, w stosunku do poprzedniego, charakter oddziały-wania promieniowania elektromagne-tycznego z metalem. Fale elektro-magnetyczne o tym zakresie częstotli-wości „widzą” materię jako „sito”. Metal jest dla tego promieniowania prawie przezroczysty.

Badanie właściwości jąder atomowych, reakcje jądro-we

Zmiana napięcia na elemencie o długości ∆x

xx

ux

x

uuu ∆

∂

∂−=

∆

∂

∂+− (9.19a)

Zmiana prądu w elemencie o długości ∆x



xx

ix

x

iii ∆

∂

∂−=

∆

∂

∂+− (9.19b)

Zmiana napięcia jest spowodowana spadkiem napięcia R∆xi na rezystancji

czwórnika i spadkiem napięciat

ixL

∂

∂∆ — na indukcyjności tego czwórnika

t

ixLxiRx

x

u

∂

∂∆+∆=∆

∂

∂− (9.20a)

Zmiana prądu jest spowodowana prądem upływności G∆xu na konduktancji

izolacji i prądem ładowania t

uxC

∂

∂∆ kondensatora utworzonego przez przewody i

warstwę izolacji między nimi

t

uxCxuGx

x

i

∂

∂∆+∆=∆

∂

∂− (9.20b)

Dzieląc stronami równania (9.20a) i (9.20b) przez ∆x

t

iLRi

x

u

∂

∂+=

∂

∂− (9.21a)

t

uCGu

x

i

∂

∂+=

∂

∂− (9.21b)

Równania wyrażone zależnościami (9.21) noszą nazwę równań linii długiej.

Dotyczą one linii długiej rzeczywistej, linii ze stratami. Przy rozwiązywaniu wielu

zagadnień można jednak pominąć straty w linii i traktować je jako linię długą

bezstratną (R = 0, G = ∞). Równania linii długiej bezstratnej są

następujące :

t

iL

x

u

∂

∂=

∂

∂ (9.22a)

t

uC

x

i

∂

∂=

∂

∂ (9.22b)

Układ równań (9.21) można przedstawić także w postaci



RGut

uGLRC

t

uLC

x

u+

∂

∂++

∂

∂=

∂

∂)(

2

2

2

2

(9.23a)

RGit

iGLRC

t

iLC

x

i+

∂

∂++

∂

∂=

∂

∂)(

2

2

2

2

(9.23b)

Równania (9.23) noszą nazwę równań telegrafistów. Dla linii bezstratnej mają

one postać

2

2

2

2

t

uLC

x

u

∂

∂=

∂

∂ (9.24a)

2

2

2

2

t

iLC

x

i

∂

∂=

∂

∂ (9.24b)

Równania (9.24) są równaniami elektromagnetycznej fali płaskiej

rozchodzącej się w kierunku osi x z prędkością fazową

LCv

1= (9.25)

Przykład 9.6 Podać interpretację fizyczną współczynnika LC z równań (9.24).

Wielkość L i C określające indukcyjność i pojemność jednostkową linii długiej wyraża się w H · m-1 oraz F · m-1. Iloczyn tych wielkości

⋅=

2m

FHLC

Ponieważ V

sAF

⋅= 11 oraz

A

sVH

⋅= 11

to

=

⋅⋅

⋅⋅⋅=

2

2

2m

s

mAV

sVsALC

Wielkość LC wyraża więc odwrotność kwadratu prędkości. W linii długiej

LCv

1=

oznacza prędkość fazową fali elektromagnetycznej rozprzestrzeniającej się wzdłuż przewodów.



Przykład 9.7 Wyznaczyć prędkość fazową rozchodzenia się fali elektromagnetycznej wzdłuż linii długiej koncentrycznej, w której zastosowano izolację w postaci papieru nasyconego olejem o przenikalności elektrycznej εr = 4.

Parametry jednostkowe L i C linii długiej zależą od tych samych wymiarów

geometrycznych. Można wykazać, że dla linii napowietrznej, dla której µ = µ 0 i ε

= ε0 słuszna jest zależność — patrz wzór (1.65)

00

1

εµ== cv

Dla każdej innej linii

µε

1=v

Ponieważ w tym przypadku dla linii kablowej koncentrycznej rµµµ 0= ,

gdzie µr = 1, a rεεε 0= , gdzie εr = 4, to r

cv

ε=

Po wykonaniu obliczeń v = 150 000 km/s.

Jak już wspomniano wcześniej, zjawiska w linii długiej mają charakter falowy.

Wynika to z długości linii, porównywalnej lub większej od długości fali

elektromagnetycznej wzbudzonej od strony zasilania linii. W linii „krótkiej”

pomijamy czas rozchodzenia się fali elektromagnetycznej wzdłuż przewodów i

przyjmujemy, że prąd i napięcie w każdym punkcie linii są jednakowe (przy

pominięciu strat), a stan na końcu linii ustala się w chwili załączenia (przy

pominięciu stanu nieustalonego).

W linii długiej należy uwzględnić skończoną prędkość rozchodzenia się fali

elektromagnetycznej i wynikające stąd opóźnienia, jak również falowy charakter

prądów i napięć w linii (rys. 9.17)

W chwili załączenia linii, w czasie t = 0 (rys. 9.17), wzdłuż przewodów zaczyna

rozchodzić się fala napięciowa i fala prądowa. Koniec linii „dowiaduje się” o tym

dopiero po czasie tl = l/v i dopiero po tym czasie przez obciążenie Zobc zaczyna

płynąć prąd. Również napięcie na zaciskach obciążenia pojawia się po czasie tl.



Rys. 9.17 Rozkład fali napięciowej i prądowej wzdłuż linii długiej : x' — droga przebyta wzdłuż linii przez falę poruszającą się z prędkością v. Napięcia u1 u2, u3, u4, u5 w każdym miejscu x1, x2, x3, x4 x5, są inne. Do punktu x = 1 fala jeszcze nie dotarła

Z falowego charakteru zmienności prądu i napięcia w linii wynika, że w pewnych

wybranych chwilach napięcie na odbiorniku będzie wyższe niż napięcie

zasilające. Może też być skierowane w przeciwną stronę niż napięcie zasilające.

Zjawiska te są szczególnie wyraźnie widoczne przy długości linii będącej

nieparzystą krotnością 1/4 długości fali. Również prądy w różnych miejscach linii,

oddalonych od siebie o połowę długości fali (λ/2), płyną w przeciwne strony.

Przyczyną falowego rozkładu napięcia wzdłuż przewodów linii jest okresowy

przestrzenny rozkład gęstości ładunków elektrycznych w tej linii. Większej

gęstości ładunku elektrycznego w danym miejscu linii odpowiada wyższe

napięcie. Prąd elektryczny związany jest z ruchem ładunków o różnych

gęstościach.

Funkcja opisująca rozkład napięcia lub prądu wzdłuż przewodów linii jest funkcją

dwóch zmiennych: położenia x i czasu t. Charakter rozkładu tych wielkości jest

uwarunkowany postacią funkcji zmienności napięcia (lub prądu) wymuszającego.

Na przykład przy wymuszeniu sinusoidalnym rozkład napięcia i prądu w linii ma

również charakter sinusoidalny, przy czym nie zmienia się on, jeśli zmieniamy

tylko zmienną x przy t = const., lub jeśli zmieniamy tylko czas t, przy x = const.

Pierwszemu przypadkowi odpowiada sinusoidalny przestrzenny rozkład fali

napięciowej i prądowej wzdłuż przewodów (rys. 9.17) w każdej dowolnie

wybranej chwili. Drugiemu przypadkowi odpowiada sinusoidalny charakter zmian

prądu i napięcia w czasie w każdym dowolnie wybranym miejscu linii.

W celu znalezienia funkcji opisującej rozkład napięcia i prądu w linii należy

rozwiązać równania (9.23) lub (9.24). O rozwiązaniach tych równań

różniczkowych wiemy, że są funkcjami dwu zmiennych: x i t i że są to funkcje co



najmniej dwukrotnie różniczkowalne względem każdej ze zmiennych.

Rozwiązanie równań (9.23) i (9.24) przewiduje się w postaci

),(),(),( 21 txutxutxu += (9.26a)

),(),(),( 21 txitxitxi += (9.26b)

Wyrażeniu u1 (x,t) = u1 odpowiada fala bieżąca napięcia, biegnąca od

początku do końca linii, natomiast wyrażeniu u2 (x,r) = u2 — fala odbita

napięcia, biegnąca od końca linii do początku. Podobnie i1 (x,t) = i1 oznacza

falę bieżącą prądu, a wyrażenie i2 (x,t) = i2 — falę odbitą prądu.

Przykład 9.8 Wykazać, że funkcja

)(sin)(sin 21 vtxUvtxUu ++−= ββ (9.27)

opisująca rozkład fali napięciowej wzdłuż przewodów linii długiej w zależności od położenia x i czasu t spełnia równanie różniczkowe linii długiej — wzór (9.24a). (Przypadkowi temu odpowiada rozchodzenie się fali napięciowej sinusoidalnej w linii bezstratnej, nie tłumiącej przebiegów).

Aby wykazać, że funkcja spełnia dane równanie, należy obliczyć pochodne tej

funkcji: pochodne pierwszego rzędu

)(cos)(cos 21 vtxvUvtxvUt

u++−−=

∂

∂ββββ

)(cos)(cos 21 vtxUvtxUx

u−+−=

∂

∂ββββ

oraz pochodne drugiego rzędu

)(sin)(sin 2

22

1

22

2

2

vtxUvvtxUvt

u+−−−=

∂

∂ββββ

)(cos)(sin 2

2

1

2

2

2

vtxUvtxUx

u−−−−=

∂

∂ββββ

Analiza otrzymanych zależności pozwala stwierdzić, że napięcie opisane wzorem

(9.27) spełnia równanie linii długiej. Wielkość v określona jest wzorem (9.25).


xx eUeUu γγ21 += − (9.28)

opisująca rozkład fali napięciowej wzdłuż przewodów linii długiej w zależności od



położenia x i czasu t spełnia równanie różniczkowe linii długiej — wzór (9.24a). (Przypadkowi temu odpowiada rozchodzenie się fali napięciowej tłumionej w linii długiej).

Aby wykazać, że funkcja spełnia dane równanie, należy — podobnie jak

poprzednio — obliczyć pochodne tej funkcji. W tym przypadku musimy

uwzględnić zależność wielkości x od czasu, słuszna

jest bowiem zależność x = vt, z której vdt

dx= .

Pochodne pierwszego rzędu

xx evUevUt

u γγ γγ 11 +−=∂

∂ −

xx eUeUx

u γγ γγ 21 +−=∂

∂ −

pochodne drugiego rzędu

xxeUveUv

t

u γγ γγ 2

22

1

22

2

2

+=∂

∂ −

xxeUeU

x

u γγ γγ 2

2

1

2

2

2

+=∂

∂ −


(9.24a) spełnia równanie linii długiej.


xeUu ax βsin1

−= (9.29)

opisująca rozkład fali napięciowej wzdłuż przewodów linii długiej w zależności od położenia x i czasu t spełnia równanie różniczkowe linii długiej — wzór (9.24a). (Przypadkowi temu odpowiada rozchodzenie się fali napięciowej sinusoidalnej tłumionej w linii długiej).

Podobnie jak poprzednio obliczamy pochodne funkcji danej wzorem (9.29)

uwzględniając, że

vdt

dxivtx ==

Pochodne pierwszego rzędu

xeUvxeUvt

u axax βββα cossin 11

−− +−=∂

∂

xeUxeUx

u axax βββα cossin 11

−− +−=∂

∂



Pochodne drugiego rzędu

xeUvxeUvxeUvt

u axaxax βββαββα sincos2sin 1

22

1

2

1

22

2

2−−− −−=

∂

∂

xeUxeUxeUx

u axaxax βββαββα sincos2sin 1

2

11

2

2

2−−− −−=

∂

∂


(9.29) spełnia równanie linii długiej.

Omówimy teraz dalsze właściwości i parametry linii długiej. Wynikają one wprost

z równań linii długiej. Rozpatrzmy dla przykładu linię długą bezstratną opisaną

równaniami (9.22). Dzieląc stronami równanie (9.22a) przez równanie (9.22b)

C

L

i

u=

∂

∂ (9.30)

Zależność ta wyraża impedancję charakterystyczną linii długiej

bezstratnej, zwaną też impedancją falową — porównaj wzór (6.189)

C

LZ = (9.31)

Impedancją falowa linii długiej bezstratnej jest niezależna od odległości x

od początku linii, tzn. w każdym miejscu linii jest jednakowa. Ponadto wyraża się

ona tylko liczbą rzeczywistą i nie zależy od częstości ω.

Impedancją falowa linii ze stratami zależy od parametrów R i G linii i wyraża się

w sposób bardziej skomplikowany. Rozpatrzmy stan ustalony linii zasilanej ze

źródła napięcia sinusoidalnego. W stanie ustalonym wartości chwilowe napięcia u

oraz prądu i w danym punkcie linii można zastąpić wartościami skutecznymi U i I

tych wielkości. Wartości skuteczne są niezmienne w czasie i są funkcją jedynie

odległości x. A zatem w tym przypadku wielkości i będzie odpowiadała wielkość

I, a wielkości t

i

∂

∂— wielkość jωI. Podobnie w równaniach (9.21) wielkości u i

t

u

∂

∂będą zastąpione przez U i jωU (patrz dodatek A). Wielkości U i I będą w tej

sytuacji zależne od odległości x od początku linii: U = U(x), I = I(x). Równania



(9.21) przyjmą więc postać

ILjRdx

dU)( ω+=− (9.32a)

UCjGdx

dI)( ω+=− (9.32b)

Przekształcając powyższe równania, w których fZ

I

U

dI

dU==

CjG

LjRZ f ω

ω

+

+= (9.33)

Wielkość Zf wyraża impedancję falową linii ze stratami. W tym przypadku

jest ona wielkością zespoloną, niezależną od odległości x, zależną jednak w

ogólnym przypadku od częstości co fali prądowej i napięciowej.

Równania (9.32) wiążą ze sobą wartości skuteczne prądu i napięcia. Postępując

podobnie jak w przypadku równań (9.24), można je przedstawić w postaci

Udx

Ud 2

2

2

γ= (9.34a)

Idx

Id 2

2

2

γ= (9.34b)

gdzie współczynnik propagacji γ = (R+jωL) (G+jωC).

Jak widać z równań (9.34), napięcie (lub prąd) w linii musi być wyrażone taką

funkcją, która po dwukrotnym różniczkowaniu względem zmiennej niezależnej x

przechodzi w samą siebie, przy czym ulega tylko pomnożeniu przez stały czynnik

γ2. Wynika stąd, że poszukiwana funkcja napięcia (lub prądu) musi mieć

charakter wykładniczy (patrz przykład 9.9 i 9.10) lub sinusoidalny (patrz

przykład 9.8 i 9.10).

Współczynnik propagacji można przedstawić jako

βαγ j+= (9.35)

gdzie



[ ]LCRGCGLR2222222 ))((

2

1ωωωα −+++= (9.36)

[ ]LCRGCGLR2222222 ))((

2

1ωωωβ +−++= (9.37)

Wielkość α nosi nazwę współczynnika tłumienia, a wielkość β —

współczynnika przesunięcia fazy. Wartość współczynnika przesunięcia fazy

decyduje o wartości przestrzennego przesunięcia fazy βx napięcia i prądu w linii

(patrz przykład 9.8 i 9.10).

Argument funkcji sinusoidalnej opisującej falę prądową lub napięciową w linii

długiej, w ogólnym przypadku, jest równy ωt+βx+φ, gdzie φ — faza

początkowa. Wartość funkcji sinusoidalnej przy zmianie argumentu o 2π,

wynikająca z przesunięcia się na osi 0x o odcinek λ, nie zmienia się, a więc

słuszne jest równanie

πϕβωϕλβω 2)( +++=+++ xtxt (9.38)

z którego

λ

πβ

2= (9.39)

Tak określony współczynnik β nosi nazwę współczynnika długości fali.

Współczynnik β jest także pomocny przy określaniu prędkości fazowej v fali

elektromagnetycznej rozchodzącej się wzdłuż linii długiej. Jeśli będziemy się

poruszali wzdłuż osi 0x z prędkością v, to będziemy „napotykali” ciągle ten sam

argument, ciągle tę samą fazę fali. Słuszne jest więc równanie

ϕβωϕβω ++++=++ )()( dxxdttxt (9.40)

z którego, przyjmując, że v = dx/dt, otrzymuje się zależność

β

ω−=v (9.41)

Współczynnik β nosi nazwę współczynnika prędkości fazowej.

Wielkości α i β dla linii bezstratnej (R = 0, G = 0) są odpowiednio równe: α = 0,



β = ωLC. Istotną cechą linii długiej jest występowanie w niej fal wędrujących

powstających na skutek odbić fal od końca i od początku linii. Niech napięcie w

dowolnym miejscu linii będzie wyrażone wzorem (patrz przykład 9.9)

xx eUeIU γγ21 += − (9.42)

Obliczamy pochodną dU/dx, tak jak tego wymaga równanie (9.32a)

xx eUeUdx

dU γγ γγ 21 +−= − (9.43)

Z tegoż samego równania

LjR

dx

dU

Iω+

−=


)( 21

xx eUeULjR

I γγ

ω

γ−

+= −


fZLjR

1=

+ ω

γ

to

x

f

x

f

eZ

Ue

Z

UI

γγ 21 −= − (9.44)

co można również zapisać jako

xx eIeII γγ21 −= −

lub

xx

f eUeUIZγγ

21 −= − (9.45)

Jak widać ze wzorów (9.42) i (9.45), fala prądowa odbija się zawsze ze znakiem

przeciwnym niż fala napięciowa. Ponadto wzory te ujawniają współzależność

prądu i napięcia w dowolnym miejscu linii. Funkcją przejścia między tymi

wielkościami jest impedancja falowa linii.

Oznaczymy teraz wartość napięcia i prądu na końcu linii, czyli dla x = 1, przez Uk

i Ik. Dla x = 1 możemy przejąć, że

2211 '' UeUUeU ll ==− γγ

Uwzględniając obecnie, że U (x =l) = Uk i I(x = l) = Ik wzory (9.42) i (9.45)

można napisać w postaci



21 '' UUUk += (9.46)

21 '' UUIZ kf −= (9.47)

Postać wzorów (9.46) i (9.47) jest użyteczna do obliczenia współczynników

odbicia napięciowego i prądowego.

Napięciowy współczynnik odbicia jest to wielkość wyrażająca się stosunkiem

napięcia U2' fali napięciowej odbitej (wtórnej) do napięcia U1' fali napięciowej

bieżącej (pierwotnej)

1

2

'

'

U

Un = (9.48)

Zjawisko odbicia fal występuje zarówno na końcu, jak i na początku linii. Od

początku linii odbijają się fale odbite od końca linii. W związku z tym napięciowy

współczynnik odbicia jest w ogólnym przypadku liczbą zespoloną i można go

odnieść do końca i do początku linii. Napięciowy współczynnik odbicia nk na

końcu linii wyznaczamy z układu równań (9.46) i (9.47). Sumując stronami te

równania

)(2

1'1 kfk IZUU +=

natomiast odejmując stronami

)(2

1'2 kfk IZUU −=

Stosując wzór (9.48) otrzymuje się ostatecznie zależność

kfk

kfk

kIZU

IZUn

+

−= (9.49)

Podobnie wyznacza się prądowy współczynnik odbicia.

Prądowy współczynnik odbicia jest to wielkość wyrażająca się stosunkiem

prądu I'2 fali prądowej odbitej (wtórnej) do prądu I'1 fali prądowej bieżącej

(pierwotnej).

f

f

Z

U

Z

U

I

Im

1

2

1

2

'

'

'

'−

=−=

Jak łatwo zauważyć, prądowy współczynnik odbicia różni się od współczynnika

napięciowego tylko znakiem



kk nm −= (9.50)

Prąd Ik płynący w końcu linii jest zarazem prądem płynącym przez obciążenie

Zobc dołączone do jej końca, a napięcie Uk jest spadkiem napięcia na tym

obciążeniu. Można zatem napisać, że Uk = ZobcIk i w związku z tym

ZfZ

ZfZn

obc

obck

+

−= (9.51)

W ogólnym przypadku współczynnik odbicia jest wielkością zespoloną. W kilku

przypadkach jednak jest on wielkością rzeczywistą, a mianowicie: w stanie

jałowym, w stanie zwarcia i w stanie obciążenia linii długiej impedancją falową.

W stanie jałowym linii (linia rozwarła na końcu, Ik = 0, Zobc → ∞) nk = 1 — patrz

wzór (9.49) i (9.51). Oznacza to, że amplituda fali napięciowej odbitej jest

równa amplitudzie fali padającej, czyli następuje odbicie zupełne fali napięciowej

padającej bez zmiany fazy. Amplituda fali napięciowej wypadkowej na końcu linii

jest dwukrotnie większa od amplitudy fal padającej (rys. 9.18) Od rozwartego

końca linii ulega odbiciu również fala prądowa. W tym przypadku prądowy

współczynnik odbicia mk = -1. Oznacza to odbicie zupełne fali prądowej

padającej ze zmianą fazy. Amplituda fali prądowej wypadkowej na końcu linii

jest więc równa zeru.

W stanie zwarcia linii (linia zwarta na końcu, Uk = 0, Zobc = 0) nk = — 1 — patrz

wzór (9.49) i (9.51). Oznacza to, że amplituda fali odbitej jest równa amplitudzie

fali padającej ze zmienionym znakiem, czyli następuje odbicie zupełne fali

napięciowej padającej ze zmianą fazy (rys. 9.19). Jednocześnie ulega odbiciu

fala prądowa, dla której mk = 1, co oznacza, że na zwartym końcu linii długiej

następuje odbicie zupełne fali prądowej padającej bez zmiany fazy. Amplituda

fali prądowej wypadkowej na końcu linii jest dwukrotnie większa od amplitudy

fali padającej.

.

.

.

.

.

.

.



Rys. 9.18 Odcinek linii długiej rozwarty na końcu: a) ilustracja zjawiska odbicia fali napięciowej od końca linii; b) ilustracja zjawiska odbicia fali prądowej od końca linii

Rys. 9.19 Odcinek linii długiej zwarty na końcu: a) ilustracja zjawiska odbicia fali napięciowej od końca linii; b) ilustracja zjawiska odbicia fali prądowej od końca linii

W stanie obciążenia linii długiej impedancją falową (Zobc = Zf), czyli w stanie

dopasowania falowego nk = mk = 0 — patrz wzór (9.49) i (9.51). Oznacza to,

że nie ma w ogóle fali odbitej, ani napięciowej, ani prądowej. W tym przypadku

fala padająca napięciowa i prądowa zostaje całkowicie pochłonięta przez

impedancję obciążenia (rys. 9.20).

W linii długiej w stanie dopasowania falowego występują tylko straty energii

związane z niezerowym współczynnikiem tłumienia α ≠ 0 — wzór (9.36). Nie ma

natomiast strat związanych z kolejnymi odbiciami fal od końca linii.

Impedancją falowa jest różna dla różnych linii. Dla linii napowietrznych zawiera

się ona w granicach 250 ... 750 Ω, a dla linii kablowych koncentrycznych jest

bliska 50 Ω.



Rys. 9.20 Odcinek linii długiej obciążonej na końcu impedancją równą impedancji falowej linii: a) ilustracja zjawiska odbicia fali napięciowej od końca linii (brak odbitej fali napięciowej); b) ilustracja zjawiska odbicia fali prądowej od końca linii (brak odbitej fali prądowej)

Przykład 9.11 Linia dwuprzewodowa napowietrzna o impedancji falowej (rzeczywistej) Zf = 500 Ω jest połączona z linią kablową koncentryczną o impedancji falowej (rzeczywistej) Zf = 50 Ω. Obliczyć napięciowy i prądowy współczynnik odbicia na końcu linii napowietrznej.

Linię napowietrzną traktujemy jako linię obciążoną impedancją równą impedancji

falowej linii koncentrycznej. A zatem możemy napisać, że Zobc = Zfd. Obliczenia

wykonane zgodnie ze wzorem (9.51) dają wynik

82,050050

50050−=

+

−=kn

Analogicznie prądowy współczynnik odbicia mk = 0,82 (obydwa współczynniki

odbicia są, jak widać, liczbami rzeczywistymi).

Oznacza to, że amplituda wypadkowa fali napięciowej na końcu linii

napowietrznej jest równa 0,18 amplitudy fali napięciowej padającej, natomiast

amplituda wypadkowa fali prądowej na końcu linii jest równa 1,82 amplitudy fali

prądowej padającej.

Jeżeli przyjmiemy iloczyn U’1 I’1 za miarę mocy energii elektrycznej docierającej

do końca linii napowietrznej, to iloczyn nkU1’mkI’1 będzie miarą mocy energii

elektrycznej odbitej od końca linii. Obliczenia

1111 ''67,0'' IUImUn kk =

wykazują, że ok. 67% energii ulega odbiciu. Do odbiornika przechodzi tylko ok.



33% energii. Wartość procentową energii pobieranej przez odbiornik można

także wyznaczyć mnożąc amplitudy fali wypadkowej napięciowej i prądowej na

końcu linii, czyli na zaciskach odbiornika

1111 ''33,0'82,1'18,0 IUIU =

Również w tym przypadku uzyskaliśmy wynik świadczący o tym, że tylko 33%

energii przechodzi ze źródła do odbiornika.

Omawiając właściwości linii długiej przyjmowaliśmy dotychczas milczące

założenie, że linia ta jest zasilana napięciem sinusoidalnym, nieodkształconym, o

jednej częstości. Dla tej częstości określiliśmy takie parametry linii jak α, β, γ i

Zf. W przypadku ogólnym jednak linia może być zasilana napięciem

odkształconym. Jak wiadomo, przebieg odkształcony można traktować jako

sumę przebiegów sinusoidalnych nieodkształconych. tzw. harmonicznych (patrz

rozdz. 7) o różnych częstościach. Ponieważ parametry linii są zależne od

częstości — patrz wzór (9.33) oraz wzory (9.36) i (9.37), dla każdej

harmonicznej linia będzie miała inne właściwości. W szczególności zaś każda

harmoniczna będzie w różnym stopniu przesunięta w fazie i przestrzeni

(parametr β), będzie rozchodziła się wzdłuż linii z różną prędkością. Dla każdej

harmonicznej też linia będzie reprezentowała inną impedancję falową i inne będą

dla nich współczynniki odbicia fali prądowej i napięciowej. Obraz sygnału

wejściowego na początku takiej linii będzie więc inny niż obraz sygnału na końcu

linii. O takiej linii mówimy, że jest linią długą zniekształcającą lub linią długą

odkształcającą. Istnieją jednak takie relacje między parametrami

jednostkowymi R, L, G i C linii długiej, dla których linia długa jest nie

zniekształcająca.

Linia długa nie zniekształcająca (nieodkształcająca) jest to taka linia,

której parametry jednostkowe spełniają proporcję

C

G

L

R= (9.52)

Jak łatwo zauważyć, dla linii takiej

α = RG, β = ωLC (9.53)

Ze wzorów (9.53), wyznaczonych na podstawie zależności (9.33), (9.36) i

(9.37), wynika, że linia nieodkształcająca w jednakowym stopniu tłumi przebiegi



o różnych częstościach (α niezależne od częstości) i wprowadza przesunięcie

fazowe proporcjonalne do częstości. Przebiegi o różnych częstościach

rozprzestrzeniają się wzdłuż linii z jednakową prędkością równą RC/1 .

Impedancją falowa takiej linii jest jednakowa dla przebiegów o różnych

częstościach (Zf niezależnie od częstości) i wyraża się liczbą rzeczywistą.

Wszystko to powoduje, że obraz sygnału na końcu linii jest taki sam jak obraz

sygnału wprowadzanego. Sygnały podlegają wprawdzie tłumieniu, ale nie

zmieniają swego kształtu.

Linia długa bezstratna (R = 0, G = ∞) jest szczególnym przypadkiem linii

długiej nieodkształcającej.

9.3 Antena nadawcza — fala — antena odbiorcza Przesyłanie prądu energii elektrycznego wymaga specjalnie ukształtowanych

obwodów elektrycznych. Można przystosować obwody elektryczne do transportu

energii prądu stałego i prądu przemiennego małych i średnich częstotliwości, na

przykład częstotliwości akustycznych (obwody wyjściowe urządzeń

elektroakustycznych). Przesyłanie energii i sygnałów elektrycznych o większych

częstotliwościach przewodami jest również możliwe, ale pojawiają się nowe

problemy wynikające z ograniczeń spowodowanych występowaniem nowych

zjawisk (linia długa, zjawisko naskórkowości — patrz p. 9.4). Przy przesyłaniu

energii odcinkami linii długiej wraz ze wzrostem częstotliwości obserwuje się

zjawisko występowania coraz większych strat. Wynika to stąd, że odcinki linii

długich wypromieniowują do otaczającej przestrzeni energię w postaci

promieniowania elektromagnetycznego. Z punktu widzenia obwodów straty

energii są zjawiskiem niepożądanym. Zjawisko promieniowania fal

elektromagnetycznych można jednak wykorzystać do nawiązania łączności „na

odległość” i z tego punktu widzenia obwody o małej „stratności” będą miały

raczej właściwości niekorzystne.

Specjalnie ukształtowane elementy obwodów służące do emisji lub odbioru fal

elektromagnetycznych nazywają się odpowiednio anteną nadawczą i anteną

odbiorczą.

System telekomunikacji wykorzystujący fale elektromagnetyczne jest obecnie



bardzo rozpowszechniony (łączność radiowa, telewizyjna, krótkofalarstwo, a

nawet telefonia)*. Wykorzystuje on przede wszystkim bardzo dużą prędkość

rozchodzenia się tych fal oraz ich właściwość prostoliniowego rozchodzenia się w

ośrodku jednorodnym. Umożliwiają one dzięki temu nawiązywanie łączności

kierunkowej, a ponieważ mogą rozchodzić się w próżni, są jedynym nośnikiem

informacji energii w Kosmosie. Ze względu na pierwsze zastosowanie fal

elektromagnetycznych w dziedzinie telekomunikacji do nawiązania łączności

radiowej, fale te nazwano falami radiowymi. Przedział częstotliwości fal

radiowych zawiera się w granicach od ok. 10 kHz (fale długie) do ok. 100 GHz

(radar).

Fale radiowe są emitowane w przestrzeń za pomocą anteny nadawczej.

Zadaniem anteny nadawczej jest przetworzenie sygnału elektrycznego wielkiej

częstotliwości na fale elektromagnetyczne (radiowe) o tej samej częstotliwości.

Fale radiowe spełniają tu rolę nośnika dźwięku. Informacje dźwiękowe są

zakodowane albo w amplitudzie (modulacja amplitudowa AM), albo w

częstotliwości fal radiowych (modulacja częstotliwościowa FM — rys.

9.21)**.

*Zadaniem systemów łączności jest przesyłanie i odbiór sygnałów możliwie z najmniejszymi zniekształceniami. W przypadku telekomunikacji przesyłanie to odbywa się przy udziale fal elektromagnetycznych przenoszących energię ze źródła do odbiornika. Dlatego też zagadnienia te omówione zostały w niniejszym rozdziale. **AM — Amplitudę Modulation, FM—Frequency Modulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Rys. 9.21 Schemat systemu łączności radiowej

Generator generuje falę elektromagnetyczną nośną, np. o częstotliwości f = 1

MHz. Antena nadawcza 1 emituje falę nośną. Antena nadawcza 2 emituje falę

elektromagnetyczną zmodulowaną amplitudowo (AM — amplitude modulation).

Antena nadawcza 3 emituje falę elektromagnetyczną zmodulowaną

częstotliwościowo (FM — frequency modulation). Fale zmodulowane zawierają

informacje o częstotliwości i natężeniu sygnałów akustycznych. Do anteny

odbiorczej docierają z różnych stacji fale elektromagnetyczne o różnych

częstotliwościach. Filtr przepuszcza do dalszych stopni odbiornika sygnały

pochodzące tylko z jednej stacji (sygnały o jednej częstotliwości fali nośnej).

Sygnał taki, w przypadku modulacji amplitudowej, można rozłożyć na sygnał o

częstotliwości f fali nośnej i sygnały o częstotliwościach zawartych w pasmie f —

∆f i f + ∆f, przy czym przedział częstotliwości ∆f pokrywa przedział częstotliwości

akustycznych. W demodulatorze zostaje wytłumiony sygnał o częstotliwości fali



nośnej i odtworzony sygnał o częstotliwości akustycznej.

Antenę nadawczą stanowi, w najprostszym przypadku, pionowy lub poziomy pręt

metalowy połączony z dwubiegunowym wyjściem nadajnika radiowego (rys.

9.22). Miejsce połączenia anteny z wyjściem nadajnika nazywa się punktem

zasilania anteny. Znajduje się on zazwyczaj na jednym z dwóch wolnych końców

pręta antenowego lub w jego środku w miejscu rozcięcia. W pierwszym

przypadku antena łączy się z jednym biegunem wyjścia nadajnika, którego drugi

biegun jest uziemiony. Antena jest wtedy zasilana niesymetrycznie. Elektryczny

obwód wyjściowy nadajnika zamyka się na odcinku antena-powietrze-ziemia.

Takie rozwiązanie jest charakterystyczne dla niesymetrycznych anten

nadawczych. W przypadku rozcięcia pręta antenowego na dwie równe części

(ramiona) oba nie uziemione wyjścia nadajnika łączy się z punktem rozcięcia

anteny. Wyjście nadajnika zamyka się w obwodzie: lewe ramię anteny —

powietrze — prawe ramię anteny. W takim przypadku mamy do czynienia z

liniową symetryczną anteną nadawczą.

Rys. 9.22 Zasada działania radiowej anteny nadawczej: a) niesymetrycznej ćwierćfalowej o polaryzacji pionowej; b) symetrycznej półfalowej o polaryzacji poziomej

Działanie anteny można wyjaśnić posługując się falowym charakterem przepływu

prądów zmiennych w obwodach elektrycznych. W antenie, o długości

porównywalnej z długością λ wypromieniowanej fali elektromagnetycznej,



powstaje sinusoidalna fala prądowa również o długości λ. Fala ta porusza się

wzdłuż anteny z prędkością światła. W punkcie przerwania anteny fala prądowa

ulega odbiciu ze zmianą znaku (patrz p. 9.2) i powraca do punktu zasilania. W

wyniku strat energii elektrycznej na rezystancji i konduktancji linii długiej, jaką

jest antena, amplituda fali prądowej odbitej (powrotnej) jest mniejsza od

amplitudy fali bieżącej (wpływającej). Odbite fale prądowe nakładają się ciągle

na wpływające fale bieżące. Jeżeli długość pręta antenowego jest równa

wielokrotności lub podwielokrotności długości fal prądowych, wówczas wytwarza

się w nim stojąca fala prądowa. Fala stojąca charakteryzuje się stałym

rozkładem amplitud wzdłuż długości pręta. Stojącej fali prądowej towarzyszy

stojąca fala napięciowa przesunięta względem niej o 0,25 λ (o 90°).

Opisane zjawiska występują bardzo wyraźnie w antenach nadawczych o długości

równej 0,25 λ lub 0,5 λ, zwanych ćwierćfalowymi lub półfalowymi (rys.

9.22).

Jak widać z rozkładu stojących fal prądowych I i fal napięciowych U wzdłuż

anteny, amplitudy tych fal są zależne od wartości chwilowych prądu i napięcia

sygnału elektrycznego wpływającego do anteny. Wokół przewodu z prądem,

jakim jest antena, wytwarza się kołowe pole magnetyczne o natężeniu H

proporcjonalnym do prądu w antenie. Między anteną a Ziemią wytwarza się pole

elektryczne o natężeniu E zależnym od długości anteny. Natężenia obu pól są

maksymalne w punkcie zasilania i maleją w miarę wzrostu odległości od anteny.

Tak więc wokół anteny wytwarza się przestrzenne pole elektromagnetyczne,

które rozchodzi się w przestrzeni w postaci fal elektromagnetycznych. Energia

tego pola jest proporcjonalna do energii sygnału radiowego.

Różne anteny, w zależności od konstrukcji, cechują się różnymi

charakterystykami kierunkowymi, które opisują zależność wartości

wypromieniowanej energii od kierunku, w którym to wypromieniowanie się

odbywa. W szczególności podaje się poziomą charakterystykę

promieniowania anteny, która określa rozkład natężenia pola

elektromagnetycznego w płaszczyźnie poziomej (rys. 9.23). Łatwo zauważyć, że

anteny pionowe emitują promieniowanie dookólnie, natomiast półfalowe anteny

poziome emitują fale raczej jednokierunkowo.



Rys. 9.23 Obraz przestrzennych pól elektromagnetycznych wytworzonych wokół anten : ćwierćfalowej (a) i półfalowej (b) oraz pozioma charakterystyka promieniowania anteny ćwierć-falowej (c) i półfalowej (d)

Anteny telewizyjne nadawcze (rys. 9.24) nie różnią się budową od anten

radiowych nadawczych. Różnią się tylko od nich rozmiarami ze względu na inny

zakres częstotliwości, w którym pracują.

Często, w celu zwiększenia energii fal radiowych, emitowanych w danym

kierunku przez dipol półfalowy prosty, umieszcza się w pewnej odległości od

niego (około 1/4 długości dipola) pręt metalowy zwany reflektorem lub

dipolem biernym (rys. 9.24c). Reflektor odbija fale elektromagnetyczne w

kierunku dipola. W efekcie następuje prawie dwukrotny wzrost energii fal

elektromagnetycznych, które w tym przypadku emitowane są niemalże

jednokierunkowo. Rozbudowując reflektor do postaci dwóch ścian z siatki

metalowej, nachylonych względem siebie pod pewnym kątem, lub do postaci

metalowej czaszy (rys. 9.24d), uzyskuje się wąską skoncentrowaną wiązkę



Rys. 9.24 Telewizyjne anteny nadawcze: a) zasada pracy anteny półfalowej (dipola półfalowego prostego): b) przestrzenny obraz pola elektromagnetycznego wokół dipola półfalowego; c), d) wokół jednokierunkowych anten nadawczych; e) zestaw antenowy nadawczy do emisji dookolnej

emitowanych fal radiowych. Charakterystyki poziome takich anten są

jednokierunkowe i mają kształt szpilkowy. W takie anteny są zaopatrzone wozy

teletransmisyjne transmitujące program do studia. Zestaw wielu prostych lub

profilowanych dipoli umieszczonych jeden nad drugim (rys. 9.24e) ma dookólną

przestrzenną charakterystykę promieniowania, co umożliwia transmisję sygnału

telewizyjnego w obszarze koła, w środku którego znajduje się antena nadawcza.

Zasięg anteny nadawczej jest uzależniony od mocy sygnału elektrycznego

przetworzonego w antenie na falę elektromagnetyczną. Ale nie tylko. Zależny



jest on również od kąta emisji tych fal, częstotliwości i innych czynników.

Ze względu na częstotliwość fale radiowe podzielono na cztery podzakresy:

— fale długie, λ = 0,75 … 2 km,

f = 150 ... 400 kHz

— fale średnie, λ = 190 ... 600 m,

f = 0,52 ... 1,6 MHz

— fale krótkie, λ = 10 ... 200 m,

f = 1,5... 30 MHz

— fale ultrakrótkie, λ = 3,9 ... 4,5 m,

f = 66... 73 MHz.

W środku jednorodnym fale elektromagnetyczne rozchodzą się prostoliniowo.

Kierunek rozchodzenia się fali wyznacza linia prostopadła do jej czoła.

Antena znajdująca się nisko nad ziemią emituje fale rozchodzące się stycznie do

powierzchni Ziemi, tzw. fale powierzchniowe, oraz rozchodzące się pod

różnymi kątami fale przestrzenne. Anteny o większych wysokościach emitują

tylko fale przestrzenne. Fale przestrzenne docierają do anteny odbiorczej jako

fale bezpośrednie lub jako fale odbite (rys. 9.25). Fale powierzchniowe i

bezpośrednie noszą nazwę fal przyziemnych.

Oprócz fal przyziemnych i przestrzennych w przestrzeni rozchodzą się fale

przestrzenne odbite od poszczególnych warstw atmosfery. Warstwy te

odgrywają wielką rolę w łączności radiowej. Odpowiednio do nich rozróżnia się

fale troposferyczne i fale jonosferyczne.

Propagacji fal radiowych towarzyszy szereg zjawisk fizycznych, takich jak

rozpraszanie, tłumienie, odbicie, dyfrakcja (ugięcie), interferencja i refrakcja

(załamanie).



Rys. 9.25 Ilustracja sposobu propagacji różnych rodzajów fal radiowych AN— antena nadawcza, AO— antena odbiorcza, F1, F2, F3 — warstwy jonosfery

Zjawiska te w różnym stopniu są widoczne w procesie rozprzestrzeniania się fal o

różnych długościach.

Zjawisko refrakcji i odbicia fal radiowych jest szczególnie dobrze „widoczne" w

atmosferze ziemskiej. Atmosfera ziemska składa się z trzech głównych warstw

(stref): troposfery, rozciągającej się na wysokość do ok. 10 km, stratosfery,

rozciągającej się do wysokości ok. 60 km i jonosfery, rozciągającej się powyżej

tej wysokości. Poszczególne strefy atmosfery w różnym stopniu odbijają i

załamują przestrzenne fale radiowe o różnych częstotliwościach. Fale długie

ulegają załamaniu i odbiciu już troposferze. Dla tych fal radiowych wyższe

warstwy atmosfery są nieprzenikliwe. Fale średnie ulegają całkowitemu odbiciu

na granicy stratosfery i warstwy jonosfery. Fale krótkie o częstotliwościach

mniejszych niż 30 MHz odbijają się dopiero od górnych warstw jonosfery. Fale o

częstotliwości f > 30 MHz przenikają przez wszystkie warstwy atmosfery i

przenikają do przestrzeni kosmicznej. Są one wykorzystywane w łączności

kosmicznej. Do nawiązywania dalekosiężnej ziemskiej łączności radiowej

wykorzystuje się natomiast fale troposferyczne i, w większym stopniu, fale

jonosferyczne.

Zasięgi fali troposferycznej i przyziemnej (z wyjątkiem fal bezpośrednich) prawie

się pokrywają (rys. 9.25) i określają bezpośredni zasięg nadajnika. W czasie

jednoczesnej emisji fali jonosferycznej i przyziemnej o tej samej częstotliwości

zasięg nadajnika jest określony głównie tzw. uskokiem fali jonosferycznej (rys.



9.26) i może wynosić kilka tysięcy kilometrów. W zasięgu nadawania radiostacji

wytwarza się w tym przypadku „strefa ciszy”, w której niemożliwy jest odbiór

programu radiowego. „Strefa ciszy” obejmuje pas wyznaczony zasięgiem fali

przyziemnej i uskokiem fal jonosferycznych.

W świetle omówionych zjawisk właściwości propagacyjne fal radiowych

przedstawiają się następująco.

Rys. 9.26 Ilustracja sposobu powstawania strefy ciszy w zasięgu emisji anteny nadawczej r1—zasięg fali przyziemnej, r2 — promień uskoku, αmax — maksymalny kąt emisji

Fale długie są słabo pochłaniane. O zasięgu stacji decyduje fala przyziemna,

która odbierana jest w nocy z odległości paru tysięcy kilometrów, a w dzień — z

odległości kilkuset kilometrów.

Fale średnie rozchodzą się w dzień jako fale przyziemne, a w nocy jako fale

jonosferyczne. Zasięg fal przyziemnych zawiera się w granicach 20... 400 km.

Fale krótkie emitowane są głównie w postaci fal troposferycznych. Fale

przyziemne są silnie tłumione, a ich zasięg wynosi kilkadziesiąt kilometrów.

Większe zasięgi można osiągnąć przy emisji fal jonosferycznych. Jednak łączność

radiowa na tych falach jest dość utrudniona, gdyż wymaga zmian częstotliwości

emisji nadajników w różnych porach roku i doby.

Fale ultrakrótkie emitowane są głównie w postaci fal bezpośrednich w obszarze

optycznego „widzenia” anteny nadawczej. Zasięg tych fal zawiera się w

granicach od kilkunastu do 100 km.

Fale radiowe, za pomocą których przesyła się programy telewizyjne,

rozmieszczone są w zakresach telewizyjnych obejmujących przedział



częstotliwości 48,5 ... 860 MHz. Każdy zakres telewizyjny podzielony jest z kolei

na odpowiednią liczbę kanałów. Jeden kanał obejmuje przedział częstotliwości

ok. 6 MHz potrzebny do przesłania jednego programu telewizyjnego.

Przykład 9.12 Koncert z sali koncertowej jest transmitowany za pośrednictwem radia. Który ze słuchaczy wysłuchuje koncertu z mniejszym opóźnieniem, czy ten, który znajduje się na sali odległości d1 =17 m od orkiestry, czy ten, który słucha koncertu przez radio z odległości d2 = 1500 km. Wykonać obliczenia wiedząc, że prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu v1 = 340 m⋅s-1, a prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej c = 300 000 km⋅s-1.

Do słuchacza w sali koncertowej dźwięk dociera po czasie t1 = d1/v1, natomiast

do słuchacza przy odbiorniku po czasie t2 = d2/c. Obliczenia wykazują, że t1 =

0,05 s, natomiast t2 — 0,005 s. Wynika z tego, że słuchacz tuż przy odbiorniku

radiowym będzie słuchał koncertu z mniejszym opóźnieniem.

Odbiór informacji zakodowanych w falach radiowych odbywa się za

pośrednictwem anteny odbiorczej. Działanie anteny odbiorczej jest oparte na

zjawisku indukcji elektromagnetycznej. Antena radiowa odbiorcza, poza

mniejszymi rozmiarami, niczym się nie różni od anteny nadawczej. Najczęściej

jest wykonana w postaci metalowego pręta o długości kilku metrów.

W pręcie antenowym, poddanym działaniu zmiennych pól elektrycznych i

magnetycznych fali elektromagnetycznej, indukują się zmienne prądy i napięcia

o częstotliwości równej częstotliwości fali radiowej, a więc częstotliwości emisji

nadajnika radiowego. Wartości tych napięć i prądów są proporcjonalne do

natężenia pola elektromagnetycznego i osiągają wartości największe przy

określonej długości, równej tzw. długości skutecznej anteny odbiorczej.

Anteny radiowe odbiorcze fal ultrakrótkich wykonane są z kilku aluminiowych

rurek połączonych ze sobą teleskopowo. Taka konstrukcja umożliwia regulację

długości anteny UKF oraz jej składanie. Długości skuteczne anten UKF zawierają

się w przedziale 0,5 ... 0,7 m (0,25 λ) i są równe podwielokrotnościom długości

odbieranych fal. Anteny takie są stosowane w popularnych radioodbiornikach

turystycznych i samochodowych.

Anteny odbiorcze telewizyjne przybierają bardziej skomplikowane kształty, nie

różnią się jednak budową od anten nadawczych. Najprostszą anteną odbiorczą

jest dipol półfalowy prosty (rys. 9.27a) ułożony poziomo lub pionowo



względem powierzchni Ziemi (spolaryzowany poziomo lub pionowo) . Punkty

rozcięcia dipola są połączone z wejściem odbiornika telewizyjnego za pomocą

kabla elektrycznego zwanego fiderem. Prąd elektryczny indukowany w antenie

przez pole elektromagnetyczne zamyka się więc w obwodzie: antena-fider-

obwód wejściowy odbiornika telewizyjnego.

Rys. 9.27 Telewizyjne anteny odbiorcze: a) budowa i charakterystyki częstotliwościowe dipola półfalowego prostego; b) budowa i zasada działania dipola pędowego; c) antena odbiorcza typu Yagi; d) przykładowe instalacje antenowe; e) anteny pokojowe

Falowy charakter procesów odbioru sygnału telewizyjnego narzuca specjalne

wymagania wobec obwodu antenowego. Fale prądowe i napięciowe napotykają

na swej drodze odcinki obwodów o innej impedancji falowej i ulegają odbiciu.

Powoduje to straty energii i zakłócenia odbioru obrazu. Dlatego ważne jest, aby



antena, przewód antenowy i obwód wejściowy odbiornika były wzajemnie

dopasowane, tzn. aby miały jednakową impedancję falową. Impedancja falowa

nie zależy od długości anteny lub kabla, a jedynie od konstrukcji tych

elementów.

Impedancja falowa dipola prostego wynosi 75 Ω. Taką samą impedancję falową

ma koncentryczny (niesymetryczny) przewód antenowy. Natomiast płaski

antenowy przewód telewizyjny ma impedancję falową 280 Ω.

Innym rodzajem anteny odbiorczej jest dipol półfalowy pętlowy (rys. 9.276).

Dipol pętlowy jest połączeniem dwóch dipoli półfalowych prostych, z których

górny nie jest rozcięty. Wszystkie zjawiska elektryczne zachodzące w dipolu

pętlowym przy odbiorze fal elektromagnetycznych są takie same, jak w

przypadku dipola prostego. Z uwagi na inną budowę jego impedancja falowa jest

większa i równa 280 Ω. Pasmo przenoszenia ∆f dipola pętlowego jest

wielokrotnie szersze w porównaniu z pasmem przenoszenia dipola prostego.

Spośród innych rozwiązań konstrukcyjnych anten odbiorczych na uwagę

zasługują anteny typu Yagi. Są to właściwe zestawy antenowe zawierające dipol

półfalowy prosty lub pętlowy oraz szereg równoległych metalowych prętów (rys.

9.27c). Pręt metalowy o długości nieco większej od długości dipola prostego lub

pętlowego, zwany reflektorem, odbija wszystkie fale elektromagnetyczne

dochodzące do anteny z jednego kierunku. Krótki pręt metalowy, określany

mianem direktora, zagęszcza pole elektromagnetyczne tuż przed dipolem

wskutek odbioru i ponownej emisji (reemisji) fal radiowych. Przy ściśle

określonej odległości direktora od dipola następuje nakładanie się fali

reemitowanej przez direktor i fali pierwotnej, prowadząc do efektywnego wzrostu

natężenia pola elektromagnetycznego w pobliżu dipola odbiorczego. Opisane

zjawiska prowadzą do zwiększenia napięcia odbieranego sygnału telewizyjnego

oraz obniżają poziom zakłóceń pochodzących ze strefy poza reflektorem. Pole

odbioru anteny jest wąskie, co dodatkowo obniża poziom różnych zakłóceń,

których źródła znajdują się poza strefą jej „widzenia”.

Zastosowanie kilku następnych równoległych direktorów w polu „widzenia”

anteny powoduje dalszy wzrost amplitudy odbieranego sygnału telewizyjnego i

zawężenie strefy odbioru anteny. Łączna liczba elementów anteny może wynosić



3 ... 13, co powoduje 2... 14 - krotne zwiększenie amplitudy odbieranych

sygnałów.

Anteny typu Yagi stosuje się jako telewizyjne anteny odbiorcze w dużych

odległościach od telewizyjnej stacji nadawczej. Pracują one głównie jako

zewnętrzne anteny odbiorcze. W małej odległości natomiast od telewizyjnej

stacji nadawczej jest możliwy odbiór za pomocą anten wewnętrzowych

(pokojowych — rys. 9.27e).

Anteny odbiorcze są wystawione na działanie fal elektromagnetycznych o

różnych częstotliwościach, pochodzących od różnych stacji nadawczych. W celu

odbioru tylko jednego programu należy spośród mieszaniny różnych sygnałów

wydzielić tylko jeden, o danej częstotliwości fali nośnej. Służą do tego

przestrajane obwody rezonansowe (p. 6.5.1 i 6.5.2). W obwodzie

rezonansowym, umieszczanym w odbiorniku tuż za anteną odbiorczą, przepływa

prąd o częstotliwości równej częstotliwości rezonansowej tego obwodu. Prądy o

innych częstotliwościach indukowane w antenie są w obwodzie rezonansowym

wytłumione.

9.4 Falowody Lektura poprzednich rozdziałów pozwoliła nam już dostrzec, że omawiamy

zjawiska towarzyszące transportowi energii pola elektrycznego przemiennego o

coraz większych częstotliwościach. I tak omówiliśmy właściwości linii

przesyłowych prądu stałego, prądu przemiennego o częstotliwości sieciowej, linie

długie i obwody, w których energia (sygnały elektryczne) była przenoszona

częściowo „po drutach”, częściowo w powietrzu lub próżni pod postacią fal

elektromagnetycznych. Obecnie zajmiemy się obwodami elektrycznymi

pracującymi na częstotliwościach rzędu dziesiątek, setek i tysięcy gigaherców,

transportującymi energię w postaci fal elektromagnetycznych. Fale te noszą

nazwę fal kierowanych lub fal prowadzonych, gdyż kształt obwodu wymusza

kierunek ich propagacji.

Dział elektrotechniki zajmujący się falami kierowanymi nosi nazwę techniki

mikrofalowej. Ze względu na jakościowe różnice problemów techniki



mikrofalowej i elektrotechniki klasycznej dział ten jest wyodrębniony i tworzy

samodzielny dział techniki.

Obecnie wyjaśnijmy sobie, jak to się dzieje, że wraz ze zmianą częstotliwości

zmienia się charakter zjawisk towarzyszących przesyłaniu energii elektrycznej.

Omówmy właściwości elementów czynnych i biernych w zakresie częstotliwości

odpowiadających mikrofalom.

Czynny element obwodów elektrycznych to rezystor, a najprostsza postać

rezystora to odcinek przewodu elektrycznego (rys. 9.28). Prąd stały płynie przez

taki przewód równomiernie całym przekrojem, a więc gęstość prądu stałego jest

wielkością niezmienną, jednakową w każdym miejscu przekroju poprzecznego

tego przewodu. Linie sił pola magnetycznego tworzą w obszarze przekroju okręgi

rozłożone równomiernie. Sytuacja zmienia się, gdy przez przewód płynie prąd

zmienny. Należy wtedy uwzględnić zjawisko samoindukcji. Prąd zmienny

wytwarza wokół przewodów zmienny strumień magnetyczny, który przeciwdziała

zmianom strumienia źródłowego. Działanie to najbardziej objawia się w środku

przekroju. Strumień magnetyczny przenikający przez wewnętrzne obszary

przekroju jest najmniejszy (patrz przykład 1.12) i dlatego tam właśnie tłumienie

strumienia, na skutek zjawiska samoindukcji, jest największe. W wyniku tego

następuje wypieranie strug prądu do zewnętrznych obszarów przekroju

przewodnika. Linie sił pola magnetycznego nie są już rozłożone

równomiernie, lecz zagęszczają się przy powierzchni przewodu. Opisane

zjawisko, polegające na nierównomiernym rozkładzie gęstości prądu w przekroju

poprzecznym przewodu, nosi nazwę zjawiska naskórkowości. W przypadku

przewodu z prądem zmiennym gęstość prądu jest największa w obszarach

przypowierzchniowych przewodu, a najmniejsza w jego środku. Wnętrze

przewodu jest więc energetycznie nie wykorzystane*.

Efektem zjawiska naskórkowości jest zmniejszenie się przekroju czynnego

przewodu i wzrost jego rezystancji. Zjawisko naskórkowości jest tym silniejsze,

im większa jest częstotliwość zmian prądu i im większy jest promień przekroju

przewodów.

*Zjawisko naskórkowości jest między innymi przyczyną różnego stopnia tłumienia przebiegów o różnych częstościach w linii długiej. Dlatego na przykład odcinki czoła fali napięciowej lub prądowej o różnych nachyleniach są w różnym stopniu odkształcane przez tę linię.



Rys. 9.28 Odcinek przewodu elektrycznego. Ilustracja zjawiska naskórkowości (linie przerywane — linie sil pola magnetycznego)

Jak widać prąd zmienny, a w szczególności prąd zmienny bardzo wielkiej

częstotliwości, „nie lubi” przepływać po drutach. Drut taki można w środku

wydrążyć nie zmieniając w nim rozpływu prądu i otrzymać w ten sposób przewód

rurowy, który nosi już wszelkie cechy falowodu. Przewody takie z prądem

bardzo wielkiej częstotliwości promieniują już tyle energii, że rozchodzi się ona w

postaci fal elektromagnetycznych. Z kolei przewód, poddany działaniu fal

elektromagnetycznych z zakresu mikrofal, nie zachowuje się już jak „zwykły”

przewodnik. Odbija on promieniowanie, które przenika do niego tylko na

odległość zwaną głębokością wnikania lub grubością powierzchni

γπµ

λ

rfZd

0

0= (9.54)

λ0 — długość fali w próżni, Zf0 — impedancja falowa próżni, µr — przenikalność

magnetyczna względna metalu, γ — konduktywność metalu.

Głębokość wnikania jest to taka głębokość, na której natężenie pola

elektrycznego fali zmniejsza się e = 2,7182 ... razy.

Zależy ona od długości fali i np. dla promieniowania podczerwonego o długości λ

= 7 µm wynosi ok. 10-4 µm i jest porównywalna z rozmiarami atomu.

Biernymi elementami obwodów elektrycznych są kondensatory i cewki.

Kondensatory wykazują tylko cechę pojemności, cewki zaś wykazują tylko cechę

indukcyjności.

W obwodach elektrycznych elementy mają te właściwości elementów o

parametrach skupionych i połączone ze sobą tworzą obwody rezonansowe

(rys. 9.29). W obwodach rezonansowych LC kondensator jest źródłem pola

elektrycznego, a cewka indukcyjna — źródłem pola magnetycznego. Ponieważ



zmienne pole elektryczne kondensatora wzbudza w otaczającej przestrzeni

zmienne wirowe pole magnetyczne, a zmienne pole magnetyczne cewki wzbudza

zmienne wirowe pole elektryczne, to w obwodach takich zarówno kondensator,

jak i cewka są źródłem promieniowania elektromagnetycznego.

Spróbujmy teraz „budować” obwody rezonansowe dla prądu o coraz większej

częstotliwości. Ponieważ częstotliwość rezonansowa jest większa w przypadku

obwodów o mniejszej indukcyjności — wzór (6.183) — zmniejszajmy

indukcyjność tak, jak to tylko jest możliwe. I tak indukcyjność cewki

przedstawionej na rys. 9.29a można zmniejszyć redukując ją do cewki o jednym

zwoju (rys. 9.29b). W celu dalszego zmniejszania indukcyjności można

pojedynczy zwój zastąpić wieloma równolegle połączonymi przewodami,

łączącymi okładziny kondensatora (rys. 9.29c). Jak wiadomo, indukcyjność

przewodów połączonych równolegle jest mniejsza niż indukcyjność jednego

przewodu zastępczego (równoważnego) — patrz wzór (6.131). Dalsze

zmniejszanie indukcyjności obwodu LC można uzyskać wykonując coraz więcej

połączeń równoległych łączących kołowe okładziny kondensatora lub po prostu

połączyć je kawałkiem blachy wyciętej i zamocowanej tak, że będzie tworzyła

powierzchnię boczną walca, którego podstawami są wspomniane elektrody (rys.

9.29d). Taki obwód rezonansowy charakteryzuje się skrajnie małą

indukcyjnością i bardzo wielką częstotliwością rezonansową. Jak widać, cechy

indukcyjności i pojemności takiego obwodu rezonansowego nie występują już

rozdzielnie i nie można w nich wyróżnić obszarów, w których wytwarza się

oddzielnie pole elektryczne i oddzielnie pole magnetyczne.

W obwodzie takim mogą powstać jedynie drgające pola elektromagnetyczne i nie

można już powiedzieć, czy to zmienne pole elektryczne wytwarza zmienne pole

magnetyczne, czy na odwrót.

Obwód rezonansowy, ukazany na rys. 9.29d, ma cechy obwodu o parametrach

rozłożonych. Swoim wyglądem przypomina on puszkę. W technice mikrofalowej

obwody takie noszą nazwę rezonatorów lub wnęk rezonansowych.



Rys. 9.29 Obwody rezonansowe LC o coraz większych częstotliwościach rezonansowych: a) zwykły; b) o małej indukcyjności cewki; c) o bardzo małej indukcyjności przewodów łączących okładziny kondensatora; d) o skrajnie małej indukcyjności — rezonator

Również cewka indukcyjna, będąca elementem o parametrach skupionych w

obwodach o niewielkiej częstotliwości, w układach mikrofalowych staje się

obwodem rezonansowym, wykazującym oprócz indukcyjności również cechę

pojemności (rys. 9.30). Kondensatory elementarne są w tym przypadku

utworzone przez dwa sąsiednie zwoje cewki, między którymi powstaje różnica

potencjałów związana ze spadkiem napięcia wzdłuż przewodów.

Omówmy teraz właściwości rezonatora o symetrii walcowej (rys. 9.31). Jest to



tym bardziej konieczne, że w zakresie częstotliwości odpowiadających

mikrofalom występują w nim zjawiska, które trudno przewidzieć w sposób

intuicyjny.

Jeżeli do okładzin kondensatora przyłożymy napięcie stałe, to w obszarze między

nimi otrzymamy równomierny rozkład pola elektrycznego, z pominięciem

efektów brzegowych (rys. 9.31b). Taki sam rozkład pola elektrycznego będzie

obserwowany pod wpływem napięcia przemiennego o niewielkiej częstotliwości.

W takim przypadku obraz pola będzie dotyczył amplitud zmienności tego pola.

Wraz ze wzrostem częstotliwości przykładanego napięcia obserwuje się

zmniejszenie amplitudy pola elektrycznego na brzegach elektrod, przy czym

zjawisko to nie jest wywołane efektami brzegowymi (ryc. 9.31c). Jeszcze

większy wzrost częstotliwości wywołuje oczywiście dalszy wzrost częstotliwości

zmian pola elektrycznego i dalsze zmniejszanie się jego amplitudy na

krawędziach elektrod (rys. 9.3d). Przyczyną tego jest dodatkowe pole

elektryczne o natężeniu E1 (rys. 9.31a), o zamkniętych liniach sił. Linie sił tego

dodatkowego pola elektrycznego są skierowane zgodnie z liniami sił

wymuszonego przez napięcie pola o natężeniu E w środku przestrzeni

międzyelektrodowej. W obszarach przykrawędziowych pola te skierowane są

przeciwnie. Pole wypadkowe jest więc w tych obszarach mniejsze niż w środku.

Pole elektryczne o natężeniu E1, o zamkniętych liniach sił, jest indukowane przez

zmienne pole magnetyczne o indukcji B (rys. 9.31a). Linie sił pola

magnetycznego o indukcji B leżą w płaszczyźnie prostopadłej do linii sił pola

elektrycznego E i jest ono z kolei przez to pole indukowane (patrz p. 1.2).

Zjawisko indukowania zmiennego pola magnetycznego przez zmienne pole

elektryczne i na odwrót, czyli zjawisko wzajemnego indukowania pól, występuje

przy każdej częstotliwości zmian tych pól. Jednak efekt tych zjawisk jest

proporcjonalny do szybkości zmian pól -— patrz wzór (1.63). W zakresie

niewielkich częstotliwości można więc te zjawiska pominąć i rozpatrywać tylko

pola powstałe pod wpływem działania czynnika wymuszającego.

Zwiększając częstotliwość ponad tę, przy której obserwowano rozkład pola

elektrycznego przedstawionego na rys. 9.31d, otrzymuje się w końcu pole

elektryczne rozłożone między elektrodami nierównomiernie, tak że na



krawędziach tych elektrod pole wypadkowe jest równe zero (rys. 9.3le). W tym

to właśnie przypadku, przy tak dobranej częstotliwości zmian napięcia, można

połączyć elektrody walcowe paskiem wyciętym z blachy (rys. 9.29d). Pasek ten

tworząc puszkę, nie zmieni właściwości układu elektrod o symetrii walcowej,

gdyż zamocowany zostaje w miejscu, w którym pole elektryczne nie istnieje, a

więc nie płynie przez niego prąd.

Rys. 9.30 Cewka indukcyjna jako obwód rezonansowy w obwodach prądu o dużej częstotliwości



Rys. 9.31 Obrazy pól elektrycznych w rezonatorze przy różnych częstościach co napięcia wymuszenia z pominięciem efektów brzegowych: a) rezonator o symetrii walcowej; b) rozkład pola elektrycznego przy napięciu stałym i wolnozmiennym; c) rozkład pola elektrycznego przy dużych częstotliwościach napięcia; d) kształt pola elektrycznego w zakresie jeszcze większych częstości; e) rozkład pola elektrycznego przy pierwszej częstości rezonansowej ω01; f) rozkład pola elektrycznego przy drugiej częstości rezonansowej ω02 > ω01. Liniami cienkimi zaznaczono rozkłady pól elektrycznych przy częstościach mniejszych

Częstotliwość, przy której występuje opisane zjawisko, nosi nazwę

częstotliwości rezonansowej pierwszej. Częstotliwość rezonansowa jest

częstotliwością drgań własnych rezonatora. W rezonatorze mogą się

podtrzymywać drgania tylko o częstotliwości rezonansowej. Jeśli pasek

przewodzący, tworzący powierzchnię boczną puszki zostałby zamocowany w

innym miejscu, lub jeśli częstotliwość zmian napięcia byłaby różna od

rezonansowej, pod wpływem niezerowego pola elektrycznego w miejscu jego

zamontowania popłynąłby przez niego prąd. Prąd ten zwarłby elektrody naszego

rezonatora, a pole magnetyczne wytworzone przezeń stłumiłoby pole

magnetyczne wytworzone przez pole elektryczne, wytworzone z kolei przez

napięcie wymuszające. Drgania zostałyby wygaszone.

Jeszcze dalszy wzrost częstotliwości zmian napięcia może doprowadzić do

rozkładu amplitud pola elektrycznego wzdłuż średnicy elektrod jak na rys. 9.31f.

Przy odpowiednio dużej częstotliwości można znowu uzyskać stan, w którym

pole elektryczne na krawędzi układu walcowego będzie równe zeru. Stan ten jest

charakterystyczny dla częstotliwości rezonansowej drugiej. Interesujące jest

w tym przypadku to, że istnieją obszary rezonatora, w których pole elektryczne

jest nieobecne oraz takie obszary, w których pole elektryczne wypadkowe jest

skierowane przeciwnie niż pole w obszarach sąsiednich. Przyczyną takiego

przebiegu zjawisk jest dodatkowe pole o natężeniu E2, które wraz z polem o

natężeniu E i E1 daje obraz wypadkowy pola.

Pole elektryczne E2 jest polem zmiennym wytworzonym przez zmienne pole

magnetyczne o indukcji B1. Pole magnetyczne o indukcji B1 jest wytworzone z

kolei przez zmienne pole elektryczne E1. „Skutek” działania pola E2 ujawnia się

później, czyli przy większych częstotliwościach niż „skutek” działania pola E1.

„Łańcuch” przyczyn i skutków, wraz ze wzrostem częstotliwości, można ciągnąć



jeszcze daleko napotykając po drodze kolejne częstotliwości rezonansowe,

których rzeczywiście jest zwykle bardzo dużo. Potrafimy już sobie jednak teraz

wyobrazić rozkład pola elektrycznego wypadkowego w rezonatorze dla każdej z

jego częstotliwości rezonansowych. Należy jeszcze tylko zwrócić uwagę na to, że

rezonator ma wiele częstotliwości rezonansowych w odróżnieniu od obwodów

rezonansowych o parametrach skupionych, które mają tylko jedną taką

częstotliwość.

Rachunek matematyczny potwierdza słuszność interpretacji opisanych przez nas

zjawisk mikrofalowych i jest przy tym nieskomplikowany.

Obliczmy wartości indukcji magnetycznej B pola magnetycznego wzbudzonego

przez zmienne w czasie pole elektryczne o natężeniu E (rys. 9.31a) w układzie

walcowym.

Z prawa przepływu — wzór (1.40) — wynika, że (patrz dodatek G) dla stałego

pola magnetycznego na drodze zamkniętej l

Θ=Hl

H — natężenie pola magnetycznego, Θ — przepływ.

Przepływ obliczymy przyjmując, że droga l jest okręgiem koła o promieniu r,

przy czym r jest promieniem elektrod kołowych. Ponieważ H = const., to

rHHl π2= (9.55)

Przepływ jest wytworzony przez umowny prąd I płynący między rozpatrywanymi

elektrodami, a zatem

IrH =π2 (9.56)

Prąd I jest to prąd płynący przez dielektryk, jakim w przypadku rezonatora jest

powietrze lub próżnia. Może więc to być tylko prąd związany z prądem

przesunięcia, który na podstawie czwartego równania Maxwella — wzór (1.63) —

dany jest wzorem

t

EJ

∂

∂= 0ε (9.57)

Wielkość J określa prąd płynący przez jednostkę przekroju poprzecznego

dielektryka. Jest to więc gęstość prądu, natomiast prąd całkowity, płynący przez

powierzchnię πr2 zakreśloną przez linię siły pola magnetycznego 2rJI π= (9.58)




t

ErI

∂

∂= 2

0πε (9.59)

Prawo przepływu (9.56) przyjmuje zatem w naszym przypadku postać

t

ErrH

∂

∂= 2

02 πεπ (9.60)

Jeśli uwzględnimy w nim jeszcze, że B = µ0H, to ostatecznie

t

ErB

∂

∂=

200µε (9.61)

Warto zauważyć, że 2

00

−= cµε , gdzie c — prędkość światła — patrz wzór (1.65),

a więc

t

E

c

rB

∂

∂=

22 (9.62)

Obliczmy teraz wartość natężenia E1 pola elektrycznego wzbudzonego przez

zmienne w czasie pole magnetyczne o indukcji B (rys. 9.31a).

Zakładając, że pole elektryczne o natężeniu E1 jest polem równomiernym, można

napisać

h

UE 1

1 = (9.63)

gdzie u1 jest napięciem elektrycznym umownym, będącym źródłem pola E1, a h

jest odległością elektrod. W tym przypadku napięcie U1 jest napięciem

indukowanym przez zmienny w czasie strumień Ψ pola magnetycznego o

indukcji B (zjawisko indukcji elektromagnetycznej Faradaya — patrz p. 5.6.4)

tU

∂

Ψ∂=1 (9.64)

Ponieważ ∫=Ψ BdS , gdzie dS = h dr jest elementem powierzchni, przez którą

przenika strumień magnetyczny o indukcji B zależnej od r i danej wzorem (9.62)

∫ ∂

∂

∂

∂= hdr

t

E

c

r

tU

212

(9.65)




2

2

2

2

14 t

Eh

c

rU

∂

∂−= (9.66)

Porównując ze sobą zależności (9.63) i (9.66) ostatecznie

2

2

2

2

14 t

E

c

rE

∂

∂= (9.67)

Wzory (9.62) i (9.67) określają natężenia wzajemne indukowanych pól. Należy

pamiętać, że pole elektryczne o natężeniu E1 również wytwarza pole

magnetyczne (o indukcji B1), które z kolei wytwarza pole elektryczne (o

natężeniu E2) itd. Suma nieskończona wszystkich pól składowych składa się

dopiero na obraz pola wypadkowego. Ze wzoru (9.62) można przy tym obliczyć

indukcje B1, B2 ... Bn pól magnetycznych pochodzących kolejno od pól

elektrycznych E1, E2 ... En. Ze wzoru (9.67) można obliczyć natomiast natężenie

E2, E3 ... En+1 pól elektrycznych pochodzących od pól magnetycznych o indukcji

kolejno B1, B2 ... Bn.

Mając już aparat matematyczny możemy wykonać obliczenia na przykład dla

przypadku drgań sinusoidalnych natężenia E pola elektrycznego wymuszonego

przez źródło napięcia przemiennego.

Niech

tEE m ωsin− (9.68)

Em — amplituda, ω — częstość drgań.

Wiedząc, że tEt

EtE

t

Emm ωωωω sincos 2

2

2

−=∂

∂=

∂

∂

możemy obliczyć indukcję magnetyczną B — wzór (9.62) — pola magnetycznego

indukowanego przez pole elektryczne E — wzór (9.68).

tEc

rB m ω

ωcos

2 2= (9.69)

oraz natężenie E1 pola elektrycznego — wzór (9.67) — indukowanego przez pole

magnetyczne o indukcji B — wzór (9.69)



tEc

rE m ω

ωsin

4 2

22

1 = (9.70)

Uwzględniając obecność w rezonatorze tylko pól E i E1 pole elektryczne

wypadkowe

1EEEw +=

Wiemy jednak, że pole elektryczne El wytwarza w otaczającej przestrzeni,

podobnie jak pole o natężeniu E, zmienne w czasie pole magnetyczne, które z

kolei... itd. W istocie więc wypadkowe pole elektryczne

nw EEEEE ++++= ...21

Stosując wielokrotnie wzory (9.62) i (9.67) do obliczania składowych E2, E3...En

otrzymuje się szereg

( ) ( )tE

c

r

c

r

c

rE mw ω

ωωωsin...

2!3

1

2!2

1

!1

11

6

2

4

2

2

+

−

+

−= (9.71)

Wyrażenie w nawiasie prostokątnym jest rozwinięciem funkcji, zwanej funkcją

Bessela, na szereg potęgowy. Funkcja ta (rys. 9.32) ma wiele miejsc zerowych.

Jeśli miejsca zerowe funkcji oznaczymy przez x01, x02, x03 … x0n, to słuszne będą

wzory

n

n xc

rx

c

rx

c

r0

002

0201

01 ,..., ===ωωω

(9.72)

na podstawie których można obliczyć kolejne częstości rezonansowe ω01, ω02 …

ω0n rezonatora o symetrii walcowej. Obliczenia liczbowe w tym przypadku

ułatwia znajomość wartości miejsc zerowych funkcji Bessela x01 = 2,405, x02 =

5,520, itd. Wartości te są stabelaryzowane.

Rys. 9.32 Graficzny obraz funkcji Bessela x01, x02 — pierwsze i drugie miejsce zerowe funkcji

Przykład 9.13 Wyznaczyć średnicę d rezonatora o symetrii walcowej (rys. 9.31a), którego



częstotliwość rezonansowa pierwsza f01 = 50 Hz.

Częstość rezonansowa pierwsza ω01 = 2πf01 jest równa ω01 = 314 Hz. Ze wzoru

(9.72) wynika, że

405,201 =c

rω

stąd

01

405,2ω

cr =

Po wykonaniu obliczeń uzyskuje się wyniki: r = 2300 km, d = 2r = 4600 km.

Rezonatory wnękowe służą do wytwarzania drgań elektrycznych wielkiej

częstotliwości. W obwodach mikrofalowych może występować wiele takich

rezonatorów, toteż powstaje problem przesyłania energii między nimi. W

obwodach mikrofalowych energia elektryczna jest transportowana w postaci fal

elektromagnetycznych za pomocą falowodów.

Falowód jest to przewód rurowy wypełniony dielektrykiem, na ogól powietrzem,

o tak dobranych wymiarach, że może się w nim wzbudzić fala

elektromagnetyczna o określonej długości.

Najczęściej stosowane są falowody prostokątne (rys. 9.33a). Wzbudzone pole

elektromagnetyczne rozprzestrzenia się wzdłuż osi długiej falowodu. (Pola

elektromagnetyczne wytworzone w rezonatorach nie miały takiej możliwości ze

względu na ich ograniczenie w trzech wymiarach). W falowodzie prostokątnym

inny jest rozkład pola elektrycznego niż rozkład pola w układach o symetrii

walcowej. W tym przypadku natężenie pola elektrycznego poprzecznego opisane

jest funkcją sinusoidalną (rys. 9.33b i c).

Istotnym parametrem falowodów prostokątnych jest wymiar a określający szero-

kość wewnętrznego „okna” ich przekroju poprzecznego. Od niego bowiem zależy

długość fali, która może się rozprzestrzeniać wzdłuż osi długiej falowodu.

Warunek określający możliwe długości przesyłanych fal elektromagnetycznych

jest następujący

2

λna = (9.73)

Dla n = 1 otrzymujemy λ1 = 2a, dla n = 2 długość fali λ2 = a, itd.



Rys. 9.33 Falowód prostokątny: a) widok odcinka prowadzącego falę elektromagnetyczną; b) rozkład pola elektrycznego w przekroju poprzecznym falowodu dla przypadku λ1 = 2a; c) rozkład pola elektrycznego w przekroju poprzecznym falowodu dla przypadku λ2 = a

Warunek (9.73) odpowiada warunkom wzbudzenia drgań w rezonatorze. Fale

elektromagnetyczne o innych długościach zostają wytłumione.

Jak widać z rys. 9.33a rozkład pola elektrycznego wzdłuż falowodu jest również

sinusoidalny. Istnieją na osi długiej falowodu takie obszary, w których natężenie

pola osiąga wartość największą, dodatnią lub ujemną, oraz takie, w których jest

ono równe zeru.

W rezonatorach i falowodach można wzbudzić nie tylko takie drgania, jakie

zostały przedstawione na rys. 9.31b i 9.33c. W ogólnym przypadku mogą

powstać drgania o innej konfiguracji pól elektrycznych i magnetycznych. Mówimy

wtedy o typach drgań. Typ drgań omówiony i przedstawiony na rys. 9.33a nosi

nazwę drgań typu TE*. W drganiach tak oznaczonych wektor natężenia pola

elektrycznego jest skierowany poprzecznie w stosunku do kierunku propagacji

drgań (fali), natomiast w drganiach typu TM** wektor natężenia pola

magnetycznego jest skierowany poprzecznie do kierunku propagacji fali. W

falowodach i rezonatorach można wzbudzić inne, bardziej skomplikowane typy

drgań. Każdy typ drgań ma inne częstotliwości rezonansowe.

Omawiając falowód założyliśmy istnienie w nim fali elektromagnetycznej. A jak



się taką falę wytwarza (wzbudza)? Sposób wzbudzenia drgań elektrycznych w

falowodzie ilustruje rys. 9.34. W ścianie falowodu wykonuje się otwór, przez

który przeciąga się drut zakończony pętlą. Koniec przewodu jest przymocowany

do ściany falowodu. Prąd wielkiej częstotliwości przepływający przez ten przewód

wytwarza pole magnetyczne. Pole to z kolei wytwarza, w płaszczyźnie

prostopadłej, pole elektryczne, które znowu wzbudza pole magnetyczne itd.

Drgające pola rozprzestrzeniają się wzdłuż osi długiej falowodu z prędkością

bliską prędkości światła.

*Tranverse electric mode — sposób (propagacji) poprzeczny elektryczny. **Tranverse magnetic mode— sposób (propagacji) poprzeczny magnetyczny.

Rys. 9.34 Ilustracja sposobu wzbudzania drgań elektrycznych w falowodzie i sposobu sprawdzania typu tych drgań

Mając już falowód prowadzący falę elektromagnetyczną można również w prosty

sposób sprawdzić typ drgań. W tym celu do podłużnie ukształtowanego otworu

wprowadza się pręt (rys. 9.34). Przesuwając prętem wzdłuż otworu napotyka się

obszary, w których natężenie pola elektrycznego jest największe. W tych

obszarach wartość prądu indukowanego w pręcie będzie również największa.

Przesuwając zatem pręt na określonej długości można zmierzyć długość fali.

Jeżeli prąd w pręcie nie będzie się indukował, znaczy to, że mamy do czynienia z

innym typem drgań i do otworu należy wprowadzić pręt inaczej ukształtowany

lub wykonać otwór na innej ścianie falowodu.

Analizując działanie rezonatorów mikrofalowych i falowodów należy jeszcze

zwrócić uwagę na to, że właściwości rezonansowe rezonatorów i transmisyjne

falowodów nie są zależne od parametru h określającego odległość między

elektrodami rezonatora o symetrii walcowej (rys. 9.31a) lub odległości między

górną i dolną ścianą falowodu.

Falowody znajdują zastosowanie w urządzeniach specjalnych, pracujących z

wykorzystaniem mikrofal, zwłaszcza w radarach.



9.5 Światłowody Światłowody są tym dla promieniowania elektromagnetycznego z zakresu

świetlnego, czym są falowody dla promieniowania elektromagnetycznego z

zakresu mikrofalowego.

Światłowody są to bierne elementy optyczne, najczęściej w postaci włókien

szklanych, które służą do prowadzenia fal świetlnych.

Wykorzystuje się je najczęściej do komunikacji optycznej.

Komunikacja optyczna jest jedną z najstarszych form komunikowania się między

ludźmi. Rozwinęła się ona z prostej obserwacji, że powierzchnia spokojnej wody,

gładkie wypolerowane kamienie, itp. odbijają promieniowanie słoneczne, przy

czym promieniowanie to rozchodzi się prostoliniowo, a przy odbiciu kąt odbicia

jest równy kątowi podania. Do kierowania wiązki świetlnej z wykorzystaniem

odbicia zaczęto więc wykorzystywać zwierciadła metaliczne z gładko

wypolerowanymi powierzchniami. Przy nadawaniu informacji nadawca tak

ustawiał zwierciadło, aby odbita wiązka świetlna była dostrzeżona przez

obserwatora. Obserwator odbierał wrażenia świetlne wzrokiem, przy czym mógł

z całą pewnością rozróżnić tylko dwie elementarne informacje, dwa stany: „jest

światło” (jasno), „nie ma światła” (ciemno). Ilość informacji, jaką można było

początkowo przesłać w taki sposób, była niewielka. Dlatego komunikacja

optyczna służyła zrazu do ostrzegania, alarmowania i sygnalizowania. Z czasem

wprowadzono kod (umowny system znaków), który umożliwiał przekazywanie

bogatszych treści. Na przykład umówiono się, że trzy krótkie błyski świetlne

będą oznaczały literę „S”, a trzy dłuższe — literę „O” (alfabet Morse'a). W ten

sposób można było przesłać układ wielu liter tworzących wyrazy i zdania. Jak

łatwo zauważyć, czas przesyłania bogatszych treści jest znacznie dłuższy* od

czasu spełniania jednostki informacji* — bitu**.

W omawiany sposób można przesłać również informację o liczbach. Należy tylko

wykorzystać do tego celu system dwójkowy (zerojedynkowy), w którym oprócz

rejestracji wartości logicznej bitu (1 lub 0 czyli „jest światło”, „nie ma światła”,

lub odwrotnie) należy rejestrować pozycję bitu (kolejny numer bitu). W



omawianym systemie komunikacji optycznej światłowodem była wolna

przestrzeń powietrzna. Nie był to światłowód, ze względu na wrażliwość na

zakłócenia atmosferyczne, zbyt dogodny. Przy użyciu takiego światłowodu

jednak (przestrzeń powietrzna i zwierciadła) po raz pierwszy zrealizowano ideę

komunikacji z wykorzystaniem promieniowania elektromagnetycznego i techniki

cyfrowej (zerojedynkowej).***

Wolna przestrzeń powietrzna i zwierciadła stanowiły niejako światłowód

naturalny. Wraz z budową sterowanych źródeł światła i laserów pojawiła się

konieczność budowy światłowodów jako oddzielnych elementów układów

optycznych.

Efekt światłowodowy został po raz pierwszy zaobserwowany i opisany przez J.

Tyndalla w 1870 r. Zauważył on, że strumień wody wypływającej przez otwór w

bocznej ścianie naczynia oświetlonego od wewnątrz „prowadzi" światło wzdłuż

zakrzywionego toru tego strumienia. Podobny efekt można zaobserwować

również w strugach wody bogato podświetlonej fontanny.

Światłowody wykonuje się obecnie w postaci włókien szklanych

(dielektrycznych). Informacja jest przenoszona wzdłuż osi włókna z

wykorzystaniem odbić wiązki promieniowania świetlnego od ścianek włókna.

Przekrój osiowy światłowodu pokazano na rys. 9.35, gdzie strzałką wskazano

kierunek przesyłania informacji.

Istotnym elementem światłowodu jest włókno światłowodowe (rdzeń).

Współczynnik załamania n rdzenia jest większy niż współczynnik załamania n1

podłoża i współczynnik załamania n2 płaszcza lub otoczenia. Jeśli n1 ≠ n2 to

światłowód jest asymetryczny. Światłowód symetryczny otrzymuje się

wtedy, gdy rdzeń otoczony jest ze wszystkich stron materiałem o takim samym

współczynniku załamania (rys. 9.36).

W takim przypadku również współczynnik załamania n rdzeniowego włókna

szklanego jest większy od współczynnika załamania n2 warstwy szklanej

powlekającej, n > n2.

Istotnym problemem w technice światłowodowej jest wprowadzenie wiązki



promieniowania w obszar rdzenia. Jeśli kąt α2 padania światła na granicę

podłoże-rdzeń (rys. 9.37a) będzie mały, to światło po przejściu przez rdzeń i

granicę rdzeń-otoczenie „wycieknie” na zewnątrz. Otrzymuje się wtedy tzw.

„fale wyciekające”. Warunkiem wystąpienia fal wyciekających jest nierówność

n

n2arcsin0 α< (9.74)

która jest słuszna przy założeniu, że

21 nnn >> (9.75)

*W omawianym systemie komunikacji świetlnej jednostka informacji (bit) jest przesyłana z prędkością światła. **Bit jest to jednostka informacji. W omawianym przypadku jeden bit zawiera informację zawartą w treści rozumianej przez nadawcę i odbiorcę wyrażonej stanem „jest światło" lub — „nie ma światła". Przyporządkowuje się jej jedną z dwóch wartości logicznych 0 lub 1. ***Jak widać, nasi przodkowie stosowali do celów komunikacji technikę cyfrową. Stosowali tę technikę w sposób nieświadomy. Idea systemu stosowana jest obecnie, wzbogaciło się tylko jego „uzbrojenie techniczne".

Rys. 9.35 Odcinek światłowodu, n — współczynnik załamania światła włókna światłowodowego, n1 — współczynnik załamania światła podłoża, n2 — współczynnik załamania światła płaszcza lub otoczenia

Rys. 9.36 Przekrój poprzeczny światłowodu o strukturze symetrycznej n1 = n2 —n współczynnik załamania płaszcza

przy czym

1

2

2

1

sin

sin

sin

sin

n

n

n

n==

α

α

α

α (9.76)

Przy wzroście kąta padania α2 (rys. 9.37A) zwiększa się również kąt α. Przy

pewnych wartościach tego kąta na granicy rdzeń-otoczenie wystąpi zjawisko

całkowitego wewnętrznego odbicia i fala wróci do podłoża. Powstają w ten



sposób tzw. „fale podłożowe”.

Dalszy wzrost wartości α2 (rys. 9.37c) powoduje wystąpienie zjawiska

całkowitego wewnętrznego odbicia (patrz p. 4.1) na obu granicach.

W obrębie rdzenia światłowodu powstaje wtedy „fala prowadzona”. Warunkiem

wystąpienia fali prowadzonej jest nierówność

n

n1arcsinαα > (9.77)

Fala prowadzona unosi z sobą energię promieniowania świetlnego w obrębie

warstwy światłowodowej. Dokładna analiza wykazuje, że energia promieniowania

elektromagnetycznego jest prawie całkowicie prowadzona w obszarze o

współczynniku załamania n (w obszarze rdzenia), gdy (rys. 9.37c)

)1(2 Ann −= (9.78)

gdzie

22

4

3

=

bA

λ (9.79)

przy czym λ — długość fali promieniowania w powietrzu, b — szerokość rdzenia

światłowodu.

Dla większości światłowodów λ/b << 1 i wielkość A jest rzędu ułamków

procenta. Wynika z tego, że aby otrzymać efekt światłowodowy, wymagane są

niewielkie różnice współczynników załamania rdzenia wiodącego fale prowadzone

i ośrodka otaczającego.

W układach optoelektronicznych, szczególnie w układach optoelektroniki

zintegrowanej, światłowody są wykonywane na podłożu dielektrycznym metodą

napylania lub dyfuzji. Powstają w ten sposób światłowody paskowe

zanurzeniowe, powierzchniowe i grzbietowe (rys. 9.38). We wszystkich

tych światłowodach światło rozchodzi się po liniach zygzakowatych, a każdy z

nich charakteryzuje się innymi właściwościami przesyłania fal.



Rys. 9.37 Ilustracja powstawania w światłowodzie niesymetrycznym fal: a) „wyciekających"; b) „podłożowych"; c) „prowadzonych"

Jak już wcześniej wspomniano, warunkiem wytworzenia fal prowadzonych w

światłowodzie jest odpowiedni sposób wprowadzenia tych fal w obręb rdzenia.

Wprowadzenie „od czoła” nie zawsze jest możliwe. Stosuje się wtedy

sprzęgacze optyczne. Spośród wielu rodzajów takich sprzęgaczy najczęściej

używane są sprzęgacze pryzmatowe. Sprzęgacz optyczny pryzmatowy (rys.

9.39) to po prostu pryzmat usytuowany podstawą bardzo blisko powierzchni

światłowodu. Równoległa wiązka promieniowania świetlnego jest wprowadzana

do pryzmatu pod takim kątem, że jest całkowicie odbijana od jego podstawy. W

zjawisku tzw. całkowitego wewnętrznego odbicia zawsze część energii

odbijanych fal przedostaje się na zewnątrz. Energia fal wydostających się na

zewnątrz powierzchni granicznej maleje eksponencjalnie wraz z odległością od

tej powierzchni. Jeśli powierzchnia światłowodu będzie umieszczona bardzo

blisko podstawy pryzmatu, to przez tak utworzoną szczelinę energia przenika do

warstwy światłowodowej i tam pobudzone zostają fale świetlne. Sprzęgacze

optyczne pryzmatowe stosuje się również do wyprowadzenia światła ze

światłowodu (rys. 9.39b).



Teoretyczna sprawność sprzęgaczy pryzmatowych wynosi ok. 80%. Praktycznie

możliwe jest uzyskanie sprawności ok. 60%. Sprawności te obliczono dla

najbardziej efektywnego sprzężenia, które występuje przy szczelinie powietrznej

równej 1/8 lub 1/4 długości fali świetlnej.

Sprzęgacze optyczne działają skutecznie tylko dla jednej długości fali świetlnej.

Rys. 9.38 Struktura cienkowarstwowego dielektrycznego światłowodu paskowego: a) zanurzeniowego; b) powierzchniowego; c) grzbietowego

Rys. 9.39 Ilustracja sposobu wprowadzania (a) i wyprowadzania (b) światła w światłowodzie za pomocą pryzmatu

Innym rodzajem sprzęgaczy optycznych są sprzęgacze zbieżne (rys. 9.40)

stosowane do wyprowadzenia wiązki świetlnej ze światłowodu. W sprzęgaczu

zbieżnym wykorzystuje się zjawisko zmiany odbicia zygzakowatej wiązki od ścian

ukośnie ściętego odcinka światłowodu. Przy jednym z kolejnych odbić od ściany

kąt padania na granicę rdzeń — podłoże staje się mniejszy od kąta granicznego i

cała wiązka wchodzi do podłoża.

Sprzęgacze optyczne zbieżne mają bardzo prostą budowę. Teoretycznie osiągają

one sprawność 100%. W układach praktycznych uzyskuje się jednak sprawność

nie większą niż 40%.



Rys. 9.40 Światłowodowy optyczny sprzęgacz zbieżny Mówiąc do tej pory o światłowodach mieliśmy cały czas na myśli światłowody o

stałym profilu współczynnika załamania w rdzeniu (rys. 9.41). Światłowody takie

charakteryzują się jednakowym współczynnikiem załamania w każdym punkcie

przekroju poprzecznego rdzenia. Na granicy rdzeń — płaszcz następuje ostra

zmiana tego współczynnika. Wiązka świetlna w takim światłowodzie rozchodzi się

po linii zygzakowatej, z wykorzystaniem kolejnych odbić od granicy o dużym

gradiencie (zmianie) współczynnika załamania.

Rys. 9.41 Światłowód o stałym profilu współczynnika załamania w rdzeniu n — współczynnik załamania rdzenia, n2 — współczynnik załamania płaszcza, n0 — współczynnik załamania otoczenia . . . . . . . . . . . .



Rys. 9.42 Światłowód o kwadratowo zmiennym profilu współczynnika załamania w rdzeniu (oznaczenia jak na rys. 9.41)

Rys. 9.43 Ilustracja sposobu rozchodzenia się fal w optycznym układzie gradientowym

Niektóre technologie wytwarzania włókien optycznych nie zapewniają możliwości

otrzymania takich światłowodów. Na przykład światłowody wyciągane z masy

szklanej charakteryzują się brakiem ostrej granicy rdzeń-płaszcz. W takim

przypadku powstają tzw. światłowody gradientowe. Spośród światłowodów

gradientowych największe znaczenie praktyczne znalazły światłowody o

kwadratowo zmiennym profilu współczynnika załamania (rys. 9.42). W

światłowodach gradientowych, wskutek stopniowej zmiany współczynnika

załamania, promieniowanie rozchodzi się po torach zakrzywionych (rys. 9.43). W

zależności od kąta wejścia wiązki promieniowania do włókna obserwuje się fale

wyciekające, fale płaszczowe i fale profilowe. Fale profilowe są

odpowiednikiem fal prowadzonych w światłowodach o stałym profilu

współczynnika załamania.

Fale wyciekające wychodzą poza obręb światłowodu. Fale płaszczowe rozchodzą



się po torach zakrzywionych, lecz na granicy płaszcz-otoczenie ulegają

całkowitemu wewnętrznemu odbiciu. Fale profilowe natomiast ulegają w

obszarze, gdzie gradient współczynnika załamania jest największy, takiemu

zakrzywieniu, że promień zostaje z powrotem odchylony w kierunku osi włókna.

Światłowody gradientowe w wielu przypadkach charakteryzują się lepszymi

właściwościami transmisyjnymi niż światłowody o skokowym profilu

współczynnika załamania.

Rys. 9.44 Sprzęgacz światłowodowy

Rys. 9.45 Sprzęgacz światłowodowy optyczny sterowany polem elektrycznym

Światłowody znalazły zastosowanie nie tylko do celów transmisji sygnałów

optycznych, lecz także do budowy sprzęgaczy optycznych, modulatorów,

optoelektronicznych układów logicznych itp. Sprzęgacz światłowodowy

optyczny to dwa odcinki światłowodu ułożone bardzo blisko siebie. Jeśli

szczelina między nimi jest porównywalna z długością fali świetlnej, (rys. 9.44),

to możliwe jest wzbudzenie fal świetlnych w jednym falowodzie przez fale

prowadzone w światłowodzie sąsiednim. Sprzęgacze takie mogą być sterowane

polem elektrycznym wytworzonym przez układ elektrod (rys. 9.45). Za pomocą

pola elektrycznego można rozdzielać wiązkę (informację) i kierować ją do dwóch

torów lub kodować informację jednocześnie w dwóch torach. Wykorzystuje się

przy tym zjawisko zmiany właściwości optycznych dielektryka wypełniającego

przestrzeń szczeliny między światłowodami.



Światłowody znalazły już wiele zastosowań praktycznych. Między innymi

wykorzystuje sieje do przesyłania rozmów telefonicznych i obrazów

telewizyjnych. Ze względu na dużą częstotliwość fal świetlnych „pojemność

informacyjna” i światłowodu jest duża. Teoretycznie pojedynczym światłowodem

można przesłać jednocześnie 200 000 rozmów telefonicznych lub 80 kolorowych

stereofonicznych programów telewizyjnych.

Jedną z wad światłowodów, ograniczających ich powszechne zastosowanie, jest

jeszcze spore tłumienie sygnału optycznego. Zmniejszenie sygnału użytecznego

jest wynikiem pochłaniania światła przez materiał rdzenia i jego rozpraszanie na

niejednorodnościach struktury włókna. Niemniej jednak obecnie produkowane

włókna optyczne umożliwiają komunikację na odległość do 30 km.

.

.

.

.

.

Dodatki A. Liczby zespolone A.1 Postać algebraiczna liczby zespolonej W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieją pierwiastki kwadratowe (i pierwiastki

stopni parzystych) z liczb ujemnych. Wynika to stąd, że każda liczba rzeczywista

podniesiona do kwadratu (parzystego wykładnika potęgowego) jest dodatnia lub

równa zero. Matematycy wprowadzili jednak takie liczby, których wykładnik

potęgowy stopnia parzystego jest liczbą ujemną. Nazwano je liczbami urojonymi.

Pozwoliło to stworzyć szerszą klasę liczb złożonych z liczb rzeczywistych i

urojonych, zwanych liczbami zespolonymi. Załóżmy więc, że istnieje liczba 1−

Liczbę tę będziemy nazywali liczbą urojoną (w odróżnieniu od liczb

rzeczywistych) i oznaczali przez j, a więc 1−=j . Liczba j* jest jedną ze zbioru

liczb urojonych, liczbą jednostkową. Za jej pomocą można wyrazić każdą liczbę

ze zbioru liczb urojonych, np. 55,24 jj =−−=− itd. Ogólnie, liczbę urojoną

można zapisać jako jb, gdzie b jest liczbą rzeczywistą, dodatnią lub ujemną, lub

równą zero. Liczba urojona jest częścią składową liczby zespolonej.



Liczba zespolona jest to liczba złożona z liczby rzeczywistej i liczby urojonej

jbaZ += (A.1)

Wielkość a oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej, a = ReZ, wielkość b

oznacza natomiast część urojoną liczby zespolonej, jb = ImZ.

Pojęcie „liczba zespolona” jest pojęciem bardziej ogólnym niż pojęcie „liczba

rzeczywista” czy „liczba urojona”. Liczby rzeczywiste i liczby urojone są

szczególnym przypadkiem liczb zespolonych. Pierwsze z nich otrzymujemy z

liczby zespolonej wtedy, gdy b = 0, a drugie wtedy, kiedy a = 0.

Liczbę zespoloną można odwzorować na płaszczyźnie liczb zespolonych w postaci

wektora, często zwanego wskazem**. Płaszczyzna liczb zespolonych jest to

płaszczyzna

Rys. A.1 Ilustracja graficzna liczby zespolonej na płaszczyźnie liczb zespolonych

* W matematyce stosowane jest oznaczenie 1−=i . W elektrotechnice, dla odróżnienia

od symbolu prądu, stosuje się częściej oznaczenie 1−=j .

** Wektor na płaszczyźnie liczb zespolonych, zwany wskazem, ma cechy geometryczne wektora; nie dotyczy on jednak wielkości wektorowej.

wyznaczona przez dwie proste przecinające się pod kątem prostym, z których

jedna jest zbiorem liczb rzeczywistych, a druga — zbiorem liczb urojonych (rys.

A.1).

Liczbę zespoloną, odwzorowaną na płaszczyźnie liczb zespolonych, można

scharakteryzować za pomocą modułu (długości wektora) i fazy.

Moduł Z liczby zespolonej Z jest to liczba rzeczywista wyrażająca długość

wektora odwzorowującego tę liczbę na płaszczyźnie liczb zespolonych. Jak

wynika z rys. A.1, na podstawie twierdzenia Pitagorasa można napisać, że

22 baZZ +== (A.2)



Faza φ liczby zespolonej jest to liczba rzeczywista wyrażająca kąt, jaki tworzy

wektor tej liczby, odwzorowanej na płaszczyźnie liczb zespolonych, z dodatnim

kierunkiem osi liczb rzeczywistych

a

btg =ϕ (A.3)

Jak wynika z przeprowadzonych rozważań, każdą liczbę zespoloną można

przedstawić za pomocą pary liczb: a i jb lub Z i φ (patrz wzory A.1 oraz A.41 i

A.43).

A.2 Sumowanie liczb zespolonych

Sumowanie* liczb zespolonych podlega podobnym regułom jak sumowanie liczb

rzeczywistych. W wyniku sumowania liczb zespolonych otrzymuje się liczbę

zespoloną, której część rzeczywista jest równa sumie części rzeczywistych liczb

sumowanych, a część urojona — sumie części urojonych tych liczb. Tak więc

sumowaniu podlegają części rzeczywiste osobno i części urojone osobno. Na

przykład niech 222111 jbaZijbaZ +=+= . Obliczamy 21 ZZZ += Korzystając z

reguł sumowania

)()( 2121 bbjaaZ +++=

Operacji sumowania liczb zespolonych odpowiada sumowanie odpowiadających

im wektorów na płaszczyźnie liczb zespolonych (rys. A.2). Stosując oznaczenia

przyjęte na rys. A.2 można zatem napisać, że 21 ZZZ += .

Rys. A.2 Ilustracja graficzna sumowania liczb zespolonych Z= Z1+Z2 * Sumowanie obejmuje operacje dodawania oraz odejmowania.



W rozpatrywaniu przypadku

5,1653 21 jZjZ −−=+=

Suma tych liczb

5,33)5,15()63( jjZ +−=−+−=

co odpowiada sumie wektorów.

A.3 Mnożenie liczb zespolonych

Liczby zespolone mnoży się zgodnie z regułami mnożenia liczb rzeczywistych,

pamiętając że j2 = — 1. Iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.

Zapis liczby zespolonej w postaci algebraicznej przypomina dwumian. Liczby

zespolone zapisane w tej postaci mnoży się tak jak dwumiany. Wszystkie

składniki jednego dwumianu mnoży się przez wszystkie składniki drugiego

dwumianu. W wyniku mnożenia otrzymuje się wiele składników, z których część

stanowi część rzeczywistą, a część — część urojoną iloczynu. Niech

222111 jbaZijbaZ +=+= . Obliczamy 21ZZZ = , Korzystając z powyższego zapisu

liczb zespolonych można napisać

))(( 2211 jbajbaZ ++= (A.4)

Zgodnie z zasadami mnożenia

21

2

122121 bbjbjabjaaaZ +++=

Grupując części rzeczywiste i części urojone iloczynu osobno uwzględniając, że j2

= —1, otrzymuje się ostatecznie

)()( 12212121 babajbbaaZ ++−= (A.5)

Jeśli np. przyjmiemy, podobnie jak poprzednio, że 5,1653 21 jZijZ −−=+= , to

otrzymamy iloczyn

)5,430()5,718()5,16)(53(21 −−++−=−−+== jjjZZZ

a po uproszczeniu: 5,345,10 jZ −−=

A.4 Dzielenie liczb zespolonych

Dzielenie liczb zespolonych jest bardziej skomplikowane niż dzielenie liczb

rzeczywistych. Dzielenie liczb zespolonych wymaga użycia liczby sprzężonej.



Liczba sprzężona z daną liczbą zespoloną jest to taka liczba zespolona, która

różni się od danej liczby tylko znakiem części urojonej. Jeśli np. liczba zespolona

ma postać

jbaZ += (A.6)

to liczba z nią sprzężona

jbaZ −=* (A.7)

Liczba zespolona i liczba z nią sprzężona mają tę właściwość, że ich iloczyn

wyraża się liczbą rzeczywistą.

Obliczmy np. iloczyn Z' = ZZ*; gdzie Z i Z* dane są wzorami (A.6) i (A.7)

))((' jbajbaZ −+=

Wykonując obliczenia — patrz wzór (A.4)

bjjabjabaZ 22' −++=

Po uproszczeniu, uwzględniając, że j2 = -1, otrzymuje się ostatecznie

22' baZ += (A.8)

Liczby sprzężone i iloczyn liczb sprzężonych z daną liczbą zespoloną

wykorzystuje się w operacji dzielenia liczb zespolonych.

Dzielenie liczb zespolonych, zapisanych w postaci ułamka, polega na pomnożeniu

licznika i mianownika przez liczbę sprzężoną z mianownikiem, a następnie

wydzieleniu części rzeczywistej i urojonej ilorazu.

Przykład A.1

Liczbę zespoloną53

1

jZ

+= przedstawić w postaci algebraicznej.

Licznik i mianownik liczby mnożymy przez (3—j5)

)53)(53(

53'

jj

jZ

−+

−=


259

53'

+

−=

jZ

Wydzielając część rzeczywistą i urojoną otrzymuje się ostatecznie

34

5

34

3' jZ −=



Przykład A.2

Liczbę zespoloną5,16

53'

j

jZ

−−

+= przedstawić w postaci algebraicznej.

Licznik i mianownik liczby mnożymy przez (-6+jl,5)

)5,16)(5,16(

)5,16)(53('

jj

jjZ

+−−−

+−+=


25,236

)5,430()5,718('

+

+−+−−=

jZ

Wydzielając część rzeczywistą i urojoną otrzymuje się ostatecznie

67,067,025,38

5,25

25,38

5,25' jjZ −−−−=

A.5 Impedancja jako wielkość zespolona

Obwody elektryczne prądu przemiennego charakteryzują się impedancja.

Impedancja jest wielkością, która określa wartość prądu płynącego w obwodzie

pod wpływem zadanego wymuszenia napięciowego. Służy ona do sformułowania

prawa Ohma w zastosowaniu do obwodów prądu przemiennego.

Z

UI = (A.9)

gdzie U i I oznaczają wartości skuteczne napięcia i prądu, a Z — moduł

impedancji obwodu.

Elementy impedancyjne można łączyć ze sobą szeregowo, równolegle lub w

sposób mieszany. Układ połączeń elementów impedancyjnych można zastąpić

jedną impedancja równoważną (zastępczą), przy czym odpowiednie wzory są

analogiczne do wzorów określających rezystancję zastępczą układów połączeń

rezystorów, z tą różnicą, że impedancje traktuje się jak liczby zespolone, a nie

jak liczby rzeczywiste.

W przypadku szeregowego połączenia elementów o impedancjach Z1; Z2...

impedancja zastępcza



nZZZZ +++= ...21 (A.10)

W przypadku równoległego połączenia elementów

nZZZZ

1...

111

21

+++= (A.11)

Impedancja, jak każda wielkość zespolona, składa się z części rzeczywistej i

części urojonej. Część (składową) rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją

i oznacza przez R, składową urojoną impedancji nazywa się reaktancją i oznacza

przez X, a zatem

jXRZ += (A.12)

Moduł impedancji — patrz wzór (A.2)

22 XRZ += (A.13)

W przypadku elementów idealnych R, L, C impedancje wyraża się wzorami

CjjXZLjjXZRZ CCLLRω

ω1

−===== (A.14)

W przypadku obwodu szeregowego RC (rys. 6.45a) impedancja (rys. A.3a)

CjRZω

1−= (A.15)

natomiast moduł impedancji

22

2 1

CRZ

ω+= (A.16)

W przypadku obwodu równoległego RC (rys. 6.44a) impedancja

RCj

R

CjR

CjR

Zω

ω

ω

+=

−

−

=11

1

(A.17)

W przypadku obwodu szeregowego RL (rys. 6.63a) impedancja (rys. A.3b)

LjRZ ω+= (A.18)

natomiast moduł impedancji

222 LRZ ω+= (A.19)

W przypadku obwodu równoległego RL (rys. 6.64a) impedancja

LjR

RLjZ

ω

ω

+= (A.20)



Rys. A.3 Ilustracja graficzna impedancji jako wielkości zespolonej, na płaszczyźnie liczb zespolonych: a) obwodu RC; b) obwodu RL; c) obwodu RLC o charakterze indukcyjnym; d) obwodu RLC o charakterze pojemnościowym e) obwodu RLC o charakterze rezystancyjnym

Impedancja obwodu szeregowego RLC (rys. 6.74)

−+=

CLjRZ

ωω

1 (A.21)

o module

2

2 1

−+=

CLRZ

ωω (A.22)

może mieć charakter indukcyjny, jeśliC

Lω

ω1

> (rys. A.3c) lub charakter

pojemnościowy, jeśli C

Lω

ω1

< (rys. A.3d). W szczególnym przypadku,



kiedyC

Lω

ω1

= (rys. A.3e), obwód ma charakter rezystancyjny Z = Z = R (patrz

p. 6.5.1).

Impedancję można scharakteryzować nie tylko za pomocą pary liczb R i X, lecz

również za pomocą pary liczb Z i φ W przypadku obwodów RC i RL wielkość Z

wyraża się wzorem (A.16) i (A.19), natomiast φ (patrz wzór A.3) zależnościami

odpowiednio (6.68) i (6.150), które można ująć ogólnie

R

Xtg =ϕ (A.23)

A.6 Prąd jako wielkość zespolona

Ponieważ impedancja obwodów prądu przemiennego wyraża się liczbą

zespoloną, również prąd i napięcie w takich obwodach będą wielkościami

zespolonymi. W szczególnym przypadku, w przypadku elementów biernych

idealnych, jeżeli założymy, że wartość napięcia przedstawimy jako liczbę

rzeczywistą, prąd zespolony będzie miał tylko składową urojoną (prąd bierny).

Zgodnie z prawem Ohma — wzór (A.9) — prąd płynący przez kondensator

będzie wyrażony zależnością — patrz wzór (A. 14)

CUj

Cj

U

jX

UI

C

ω

ω

=

−

=−

=1

(A.24)

Na płaszczyźnie liczb zespolonych prąd I jest zobrazowany wektorem

prostopadłym do wektora napięcia U (patrz rys. 6.42). Przebieg wartości

chwilowej prądu wyprzedza w fazie o 90° przebieg wartości chwilowej napięcia

(patrz rys. 6.43a).

Jeżeli elementem biernym jest cewka idealna, to prąd zespolony płynący przez

taką cewkę — patrz wzór (A. 14).

L

Uj

Lj

U

jX

UI

L ωω−=== (A.25)



Na płaszczyźnie liczb zespolonych prąd ten jest zobrazowany wektorem

prostopadłym do wektora napięcia U (patrz rys. 6.61). Przebieg wartości

chwilowych prądu opóźnia się w fazie o 90° względem przebiegu wartości

chwilowej napięcia (patrz rys. 6.62a).

Podobnie oblicza się prąd zespolony w przypadku elementów biernych

rzeczywistych (cewek i kondensatorów) lub w układach połączeń tych

elementów. Dla przykładu obliczmy prąd płynący w obwodzie szeregowym RC

(rys. 6.48). Niech napięcie zasilające obwód wyraża się liczbą rzeczywistą. A

zatem

RCj

CUj

CjR

UI

ω

ω

ω+

=

−

=11

(A.26)

Celem przedstawienia prądu I w dogodniejszej postaci licznik i mianownik

wyrażenia (A.26) mnożymy przez liczbę sprzężoną

)1)(1(

)1(

RCjRCj

RCjCUjI

ωω

ωω

−−

−=

Po wykonaniu obliczeń, pamiętając, że U jest wielkością rzeczywistą, U = U

222222

22

11 CR

CUj

CR

RUCI

ω

ω

ω

ω

++

+=

Pierwszy składnik wyrażenia oznacza składową czynną prądu płynącego w

obwodzie RC, a drugi — składową bierną prądu

bcz jIII += (A.27)

Wektor napięcia U, jako wielkość rzeczywista (z założenia), pokrywa się z

wektorem prądu Icz (rys. A.4a). Przebieg prądu biernego wyprzedza w fazie

przebieg prądu czynnego o 90°, natomiast przebieg prądu całkowitego I

wyprzedza w fazie o kąt φ przebieg napięcia U (porównaj z rys. 6.44b).

Podobnie można wyznaczyć prąd w obwodzie szeregowym RL (rys. 6.63a). Jeśli

napięcie zasilające obwód wyraża się liczbą rzeczywistą, to prąd w układzie

LjR

UI

ω+= (A.28)



Celem przedstawienia prądu I w dogodniejszej postaci licznik i mianownik

wyrażenia (A.28) mnożymy przez liczbę sprzężoną

))((

)(

LjRLjR

LjRUI

ωω

ω

−+

−=


222222 LR

LUj

LR

URI

ω

ω

ω +−

+=

Podobnie jak poprzednio, pierwszy składnik wyrażenia oznacza prąd czynny, a

drugi — prąd bierny w obwodzie RL

bcz jIII −= (A.29)

Rys. A.4 Ilustracja graficzna prądu, jako wielkości zespolonej, na płaszczyźnie liczb zespolonych: a) w obwodzie szeregowym RC; b) w obwodzie szeregowym RL

Wektor napięcia U, jako wielkość rzeczywista (z założenia), pokrywa się z

wektorem prądu Icz (rys. A.46). Przebieg prądu biernego opóźnia się w fazie

względem przebiegu prądu czynnego o 90°, natomiast przebieg prądu

całkowitego I opóźnia się w fazie o kąt φ względem przebiegu napięcia U

(porównaj z rys. 6.63b).

Badanie układu prądu przemiennego z użyciem liczb zespolonych nosi nazwę

rachunku symbolicznego. Rachunek symboliczny jest bardzo dogodnym

narzędziem elektryków do analizy obwodów elektrycznych.



A.7 Trójkąt mocy

Na płaszczyźnie liczb zespolonych można przedstawić za pomocą wektorów nie

tylko impedancję, prądy i napięcia, lecz również moce. W odniesieniu do

obwodów prądu przemiennego operuje się takimi pojęciami, jak: moc czynna,

moc bierna i moc pozorna. Moc czynna jest to moc wydzielona na elementach

rezystancyjnych (czynnych), moc bierna jest to moc wydzielona na elementach

biernych, moc pozorna jest mocą wydzieloną na impedancji.

Jeżeli przez I oznaczymy wartość skuteczną prądu w obwodzie prądu

przemiennego, przy czym jest ona wyrażona zależnością 22

bcz III += to

moc czynna 2RIP = (A.30)

natomiast moc bierna 2XIQ = (A.31)

a moc pozorna 2ZIS = (A.32)

Rys. A.5 Trójkąt mocy: a) moc bierna dodatnia; b) moc bierna ujemna

Poszczególnym mocom przyporządkowuje się na płaszczyźnie liczb zespolonych

wektory, które są w określony sposób zorientowane. Wektor P pokrywa się z

wektorem R, wektor Q pokrywa się z wektorem X* a wektor S z wektorem Z

( jXRZ += ). Powstaje w ten sposób trójkąt mocy (rys. A.5).



* Wektory R i X na płaszczyźnie liczb zespolonych są traktowane jako szczególne przypadki wektora Z.

Pomiędzy wielkościami R, X i Z zachodzą zależności (patrz rys. A.3)

ϕϕ sincos ZXZR == (A.33)

można zatem napisać

222 sincos ZISZIQZIP === ϕϕ (A.34)

jak również

ϕϕ sincos SQSP == (A.35)

Na podstawie tych wzorów można podać związek — patrz wzór (6.84)

222 QPS += (A.36)

Wszystkie rodzaje mocy jako iloczyn napięcia i prądu wyraża się w jednostkach :

V · A. Dla odróżnienia tych mocy moc czynną P podaje się w watach :

1 W = 1 V · A, moc bierną Q podaje się w warach: 1 var = 1 V · A,

a moc pozorną S podaje się w wolto-amperach: 1 V · A.

Ze wzoru (A.35) wynika, że

S

P=ϕcos (A.37)

Wielkość zdefiniowana wzorem (A.37) nosi nazwę współczynnika mocy i

oznacza tę część mocy pozornej (mocy produkowanej przez źródło energii

elektrycznej), którą można przetworzyć na inne rodzaje energii w miejscu jej

odbioru. (Mocy biernej nie można odzyskać w postaci energii użytecznej).

Moc bierna wydziela się na elementach biernych: cewkach i kondensatorach.

Zgodnie z przyjętą umową oznaczania mocy na płaszczyźnie liczb zespolonych,

moc bierna wydzielana na kondensatorze jest ujemna, a na cewce — dodatnia.

Kondensator można traktować więc jak źródło mocy biernej, która w tym

przypadku przepływa od odbiornika do nadajnika — patrz wzór (6.82).

Kondensatory można zatem użyć do kompensacji mocy biernej pobieranej ze

źródła przez odbiornik o charakterze indukcyjnym (patrz p. 9.1).

.

.

.

.



A.8 Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej wynika z jej ilustracji graficznej na

płaszczyźnie liczb zespolonych (rys. A.1). W dowolnej liczbie zespolonej Z.

zapisanej w postaci algebraicznej

000 jbaZ += (A.38)

można wyróżnić część rzeczywistą

00 cosϕZa = (A.39)

oraz część urojoną o składniku

00 sinϕZb = (A.40)

Liczbę o postaci (A.38) można zatem przedstawić w postaci trygonometrycznej

)sin(cos 000 ϕϕ jZZ += (A.41)

gdzie

2

0

2

000 baZZ +== (A.42)

Postać trygonometryczna liczb zespolonych jest często wykorzystywana w

rachunku symbolicznym, gdyż np. w zapisie napięcia

)sin(cos tjtU ωω += (A.43)

uwidacznia się wartość maksymalna (a więc i wartość skuteczna) oraz częstość

zmian w czasie.

A.9 Postać wykładnicza liczby zespolonej

Liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej

ϕjZeZ = (A.44)

Z — moduł liczby zespolonej, φ — argument liczby zespolonej, e — podstawa

logarytmów naturalnych .

Czynnik ϕje symbolizuje położenie lub obrót wektora. Pomnożenie liczby

zespolonej Z przez αje , gdzie α jest dowolnym kątem, odpowiada obrotowi

wektora o kąt φ. (rys. A.6). Obrót ten odbywa się zgodnie z rachunkiem )( 00'

αϕαϕα +=== jjjj ZeeZeZeZ



Jeżeli przyjmiemy, że φ0 jest tzw. fazą początkową, α - kątem zależnym od

czasu zgodnie z zależnością α = ωt, a U — napięciem elektrycznym, to napięcie

to jako wielkość zespoloną można przedstawić w postaci )( 0ϕω += tj

UeU (A.45)

Częściej korzysta się z zapisu )( 0ϕω += tj

meUU (A.46)

Rys. A. 6 Obrót wektora liczby zespolonej na płaszczyźnie liczb zespolonych

który uwidacznia związek między napięciem sinusoidalnym, a ruchem

obrotowym wektora Um napięcia maksymalnego (amplitudy), odbywającym się z

prędkością kątową (częstością) ω (patrz dodatek B). Ruch obrotowy (lub obrót o

dany kąt) odbywa się w kierunku dodatnim (w kierunku przeciwnym do ruchu

wskazówek zegara), jeśli argument jest dodatni, i w kierunku ujemnym, jeśli

argument jest ujemny.

Postać wykładnicza liczb zespolonych jest bardzo dogodna przy wykonaniu

operacji mnożenia i dzielenia liczb (patrz p. 6.8.7). Mnożenie liczb sprowadza się

do mnożenia modułów i do dodawania argumentów, a dzielenie — do dzielenia

modułów i do odejmowania argumentów. Na przykład iloczyn Z' liczb 1

1

αjZeZ = ,

oraz 2

2

αjZeZ = wygląda następująco

)(

21212121' αααα +== jjj

eZZeeZZZ

Iloraz Z” tych samych liczb

)(

2

1

2

1 21

2

1

"αα

α

α+== j

j

j

eZ

Z

eZ

eZZ



B. Wykresy wektorowe

Rachunek symboliczny jest użyteczny w analizie obwodów liniowych prądu

przemiennego nie tylko dlatego, że upraszcza wiele operacji obliczeniowych, lecz

również dlatego, że operując wartościami zespolonymi impedancji, prądów i

napięć pozwala przedstawić te wielkości na płaszczyźnie liczb zespolonych w

postaci wektorów. W praktyce inżynierskiej odrzucamy płaszczyznę liczb

zespolonych rysując wektory poszczególnych wielkości na płaszczyźnie, na której

tylko zaznaczamy dowolnie przyjęty kierunek odniesienia. Należy jednak

pamiętać, że pojedynczy wektor, np. napięcia (rys. B.1) na takiej płaszczyźnie,

jest wektorem wirującym z określoną prędkością kątową, „uchwyconym” tylko w

wybranej chwili.

Rys. B.1 Wirujący z prędkością kątową ω wektor Um napięcia jako „reprezentant” napięcia sinusoidalnie zmiennego o częstości ω i fazie początkowej φ0. Przebieg sinusoidalny jest utworzony ze zbioru punktów, które wyznaczają rzut wektora Um na oś rzędnych

Położenie wektora daje nam informacje o fazie początkowej, a jego długość — o

wartości wielkości (w przypadku prądu i napięcia są to najczęściej wartości

skuteczne lub maksymalne). Wykresy wektorowe najczęściej rysuje się dla kilku

napięć i prądów rozpatrywanych jednocześnie. Obrazują one wtedy (rys. B.2)

wartości wielkości i zależności fazowe między nimi (patrz rys. 6.42, 6.44b,

6.45b, 6.61, 6.63b, 6.77, 6.78ab, 6.79b, 6.114b, 6.115b, 7.18d, 7.20, 7.21,

7.22).



Rys. B.2 Wektory prądu i napięcia obrócone względem siebie o kąt φ0 ilustrują stale w czasie przesunięcia fazowe między przebiegami wartości chwilowych tych wielkości

Choć wykres wektorowy prądów i napięć ilustruje sytuację w obwodzie tylko w

jednej, wybranej chwili, to jest on słuszny dla dowolnie długiego stanu

ustalonego obwodu, gdyż w tym stanie w obwodzie nie zmieniają się ani wartości

skuteczne bądź maksymalne prądów i napięć, ani przesunięcia fazowe między

przebiegami wartości chwilowych tych wielkości.

C. Mnożenie wektorów

W wyniku mnożenia dwóch wielkości wektorowych można otrzymać wielkość

skalarną lub wektorową, zależnie od tego, czy mamy do czynienia z iloczynem

skalarnym czy wektorowym dwóch wektorów.

C.1 Iloczyn skalarny wektorów

Iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b jest to wielkość skalarna s określona

wzorem

αcosabbas =⋅= (C.1)

α — kąt zawarty między wektorami a i b.

Iloczyn skalarny wektorów a i b (rys. C1a) wymaga pomnożenia przez siebie

długości wektora a przez długość ba rzutu wektora b na kierunek wektora a

αcosababs b ==

αcosbba =

lub pomnożenia długości wektora b przez długości ab rzutu wektora a na



kierunek wektora b

αcosabbas b ==

αcosaab =

Przykładem wielkości skalarnej, będącej iloczynem skalarnym dwóch wielkości

wektorowych, jest praca (rys. C.1b), praca wykonana przez siłę F na odcinku dr

traktowanym jako wektor, gdyż ma on swoją długość, punkt zaczepienia,

kierunek i zwrot

drFFdrFdrdW r=== αcos

Fcos Fr α= — rzut wektora siły F na kierunek przesunięcia dr — patrz p. 1.2, wzór

(1.5).

Rys. C.1 Ilustracja iloczynu skalarnego dwóch wektorów: a) wektorów a i b; b) praca jako iloczyn skalarny; c) strumień elektryczny (magnetyczny) jako iloczyn skalarny

Powyższy wzór na pracę stosuje się wtedy, kiedy siła F jest zmienna na drodze r.

Całą drogę r dzieli się na tak małe odcinki dr, żeby można było przyjąć, iż siła na

tym odcinku drogi jest stała. Obliczenie całej pracy, wykonanej na całym

odcinku, wymaga operacji (sumowania) całkowania (patrz dodatek F).

Przykładem wielkości skalarnej (będącej wynikiem mnożenia dwóch wielkości

wektorowych) jest również strumień Ψm wektora indukcji elektrycznej lub

magnetycznej Ψm (rys. C1c). Strumień wektora D indukcji elektrycznej przenika

przez powierzchnię S— patrz p. 1.4, wzór (1.33). Na powierzchni tej

wyodrębniono element płaski o powierzchni dS.



Element powierzchni dS jest reprezentowany przez wektor dS, o długości

proporcjonalnej do pola tej powierzchni, zaczepiony na tej powierzchni i

skierowany do niej prostopadle. Przez tę powierzchnię przenika strumień dΨe

wektora indukcji elektrycznej. Linie sił pola elektrycznego tworzą w tym

przypadku kąt α. z kierunkiem wektora dS. We wszystkich przypadkach

interesujący jest jednak strumień przenikający daną powierzchnię w kierunku do

niej prostopadłym, czyli w kierunku wektora dS, dlatego też, w tym przypadku

dSDdSDd ze =⋅=Ψ

lub też

αcosDdSd e =Ψ

ponieważ αcosDDz = .

W odniesieniu do strumienia wektora B indukcji magnetycznej można też

napisać

dSBd m ⋅=Ψ (C.2)

Obliczenie wartości całego strumienia przenikającego daną powierzchnię wymaga

operacji całkowania wyrażenia dΨm po całej powierzchni (patrz dodatek G).

C.2 Iloczyn wektorowy wektorów

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b jest to wielkość wektorowa c określona

wzorem

bac ×= (C.3)

gdzie

αsinabc = (C.4)

jest długością wektora c, a α jest kątem zawartym między wektorami a i b.

Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory a i b, a jego

zwrot jest określany umownie z reguły śruby prawoskrętnej (rys. C.2).

Reguła śruby prawoskrętnej przyporządkowuje ruchowi obrotowemu (obrót

wektora a na kierunek wektora b lub odwrotnie) ruch postępowy w kierunku

prostopadłym do płaszczyzny, w której odbywa się obrót.



Rys. C.2 Ilustracja iloczynu wektorowego dwóch wektorów: a) wektorów a i b; b) siła Lorentza jako iloczyn wektorowy; c) nieprzemienność iloczynu wektorowego

Iloczyn wektorowy jest iloczynem nieprzemiennym, to znaczy, że

cbabac −=××= (C.5)

Przykładem wielkości wektorowej, będącej iloczynem wektorowym dwóch

wielkości wektorowych, jest między innymi moment siły i siła Lorentza (rys.

C.2b,c). Na ładunek dodatni q poruszający się z prędkością v w polu

magnetycznym o indukcji B działa siła Lorentza — patrz wzór (5.96)

BqvFe ×= (C.6)

Wartość tej siły można obliczyć z wzoru

αsinqvBFe = (C.7)

gdzie α jest kątem zawartym między kierunkiem prędkości ładunku, a

kierunkiem pola magnetycznego. Gdy ładunek porusza się prostopadle do linii sil

pola magnetycznego, to α = 90°, sin α = 1 i Fe = qvB (patrz przykład 3.1). Na

ładunek elektryczny poruszający się w kierunku linii sił pola magnetycznego (α =

0, sin α = 0) nie działa siła.

.

.

.



D. Operacje różniczkowe na skalarach i

wektorach. Równania Maxwella

D.1 Gradient

Gradient jest operacją wykonywaną na wielkościach skalarnych, w wyniku której

otrzymuje się wielkości wektorowe. Gradient przyporządkowuje poszczególnym

punktom pola skalarnego (patrz p. 1.2) wektor.

Pole skalarne jest opisane funkcją położenia S = S (x,y,z). Na przykład potencjał

w danym punkcie długiego przewodu z prądem zależy od położenia tego punktu

w stosunku do umownie obranego punktu odniesienia; temperatura w różnych

obszarach atmosfery zależy od położenia tych obszarów. Gradient określa

przyrost (przyrost w przestrzeni) wielkości skalarnej

z

Sk

y

Sj

x

SiSgrad

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= (D.1)

Rys. D.1 Ilustracja graficzna gradientu: a) powierzchnia Europy jako przykład pola skalarnego temperatur. Obszar zagęszczenia izoterm jest obszarem o silnie zróżnicowanych temperaturach, a więc o dużym gradiencie; b) powierzchnia przewodu elektrycznego o niejednakowym przekroju wzdłuż długości, wiodącego prąd I, jako przykład jednowymiarowego potencjału elektrycznego φ i temperatury T w punktach P i K — początek i koniec pręta



x

S

∂

∂określa przyrost wartości wielkości skalarnej przypadający na jednostkę

długości mierzonej w kierunku osi x. Wyrażenia y

S

∂

∂ i

z

S

∂

∂określają odpowiednio

przyrosty (intensywności zmian) w kierunku osi y i z. Ponieważ wyrażenia x

S

∂

∂,

y

S

∂

∂,

z

S

∂

∂nie są w istocie wektorami, mnoży się je przez wersory, czyli tzw.

wektory jednostkowe i, j oraz k. Wersory i, j, k są to wektory o długości

jednostkowej, skierowane odpowiednio z dodatnim kierunkiem osi x, y, z.

Pomnożenie wielkości skalarnej przez wersory nie zmienia ich wartości, nadaje

im jednak kierunek zmian (rys. D.1).

Wyrażenie grad S można podać także w postaci symboli ∇S, a więc

gradSS =∇ (D.2)

Stosuje się oznaczenia

zk

yj

xi

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ (D.3)

analogiczne do symbolu pochodnej dt

d. Symbol ∇ oznacza operator różniczkowy

(operator nabla) ustalający działania, jakie należy wykonać na wyrażeniu

znajdującym się po prawej stronie symbolu ∇ . Operator różniczkowy ∇

nazywany jest operatorem Hamiltona.

W wielu przypadkach rozpatrywane przez nas pole skalarne jest polem

jednowymiarowym. Rozpatrzmy np. odcinek przewodu elektrycznego z prądem

I, o niejednakowym przekroju wzdłuż długości (rys. D.1b). Spadek potencjału φ

wzdłuż takiego przewodu nie jest linią prostą. Również rozkład temperatur na

jego powierzchni jest zobrazowany krzywą, gdyż koniec K przewodu grzeje się

bardziej niż jego początek P. Rozpatrywany odcinek przewodu jest dla nas

jednowymiarowym polem potencjału elektrycznego i temperatury. Różnym

punktom takiego pola można przyporządkować wektory

x

TigradT

xigrad

∂

∂=

∂

∂=

ϕϕ

W przypadku pola potencjału elektrycznego wielkość grad φ nazywa się



natężeniem pola elektrycznego — patrz wzór (1.39).

W wielu przypadkach, w celu uproszczenia zapisu, opuszcza się symbole

wersorów pozostawiając tylko zapis pochodnych.

Gradient jest pojęciem analogicznym do prędkości. Prędkość określa przyrost

wielkości skalarnej (drogi) w czasie, natomiast gradient — przyrost wielkości

skalarnej w przestrzeni.

D.2 Dywergencja

Dywergencja jest operacją wykonywaną na wielkościach wektorowych, w wyniku

której otrzymuje się wielkości skalarne. Dywergencja przyporządkowuje

poszczególnym punktom pola wektorowego skalar.

Operację div E wykonywaną na wektorze E zapisuje się w postaci

z

E

y

E

x

EdivE zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= (D.4)

gdzie Ex, Ey i Ez to składowe wektora E w prostokątnym układzie współrzędnych

x, y, z.

Wyrażenie div E można zapisać także w postaci symbolu ∇ ⋅ E, a więc

divEE =⋅∇ (D.5)

Symbol ∇ (operator nabla), podobnie jak poprzednio, oznacza operator

różniczkowy Hamiltona. Operator Hamiltona można traktować jako wektor

formalny — patrz wzór (D.3). Operacja dywergencji zatem — patrz wzór (D.5)

— odpowiada mnożeniu skalarnemu dwóch wektorów (patrz dodatek C.1).

Jak już wspomniano, w wyniku operacji dywergencji wykonanej na wektorze

otrzymuje się skalar. Skalar ten można traktować jako wydajność źródła pola

wektorowego.



Rozpatrzmy właściwości dwóch pól wektorowych: pola magnetycznego i pola

elektrycznego. W polach tych narysujemy krzywą zamkniętą (rys. D.2 i D.3).

Niech w polu magnetycznym krzywa zamknięta pokrywa się z wybraną linią siły

tego pola (rys. D.2a). Natężenie pola w każdym punkcie tej krzywej można

graficznie przedstawić za pomocą wektora H stycznego do krzywej w danym

punkcie. Rozetnijmy tę

Rys. D.2 Ilustracja graficzna właściwości pola magnetycznego: a) krzywa zamknięta w polu magnetycznym; b) krzywa po rozcięciu w punkcie P oraz wyprostowaniu

Rys. D.3 Ilustracja graficzna właściwości pola elektrycznego: a) krzywa zamknięta w polu elektrycznym; b) krzywa po rozcięciu w punkcie P oraz wyprostowaniu

krzywą w punkcie P (rys. D.2b) i wyprostujmy. Wszystkie wektory natężenia

pola magnetycznego H będą leżały na wyprostowanej krzywej. Żadne linie sił

pola magnetycznego nie będą poza tę krzywą wychodziły. Oznacza to, że

wydajność źródła pola magnetycznego jest równa zeru, czyli że dywergencja

wektora pola magnetycznego— równanie 3. we wzorach (1.62) i (1.63)—jest

równa zeru, div H = 0, ∇ ⋅ H = 0. Pole magnetyczne jest polem bezźródłowym.

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla pola elektrycznego. W tym



przypadku natężenie pola w każdym punkcie krzywej można graficznie

przedstawić za pomocą wektora E prostopadłego do krzywej w danym punkcie

(rys. D.3a). Po rozcięciu tej krzywej w punkcie P (rys. D.3b) i wyprostowaniu

wszystkie wektory E natężenia pola elektrycznego będą miały punkt zaczepienia

na wyprostowanej krzywej i wychodziły poza nią. Wszystkie linie sił pola

elektrycznego będą poza tę krzywą wychodziły. Oznacza to, że wydajność źródła

pola elektrycznego nie jest równa zeru, czyli że dywergencja wektora pola

elektrycznego — równanie 1 we wzorach (1.62) i (1.63) — nie jest równa zeru.

Pole elektryczne jest polem źródłowym.

D.3 Rotacja

Rotacja jest operacją wykonaną na wielkościach wektorowych, w wyniku której

otrzymuje się wielkości wektorowe. Rotacja przyporządkowuje poszczególnym

punktom pola wektorowego inny wektor.

Operację rot H wykonaną na wektorze H zapisuje się w postaci

zyx HHH

zyx

kji

rotH∂

∂

∂

∂

∂

∂= (D.6)

lub

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=

y

H

z

H

x

H

z

Hj

z

H

y

HirotH xyzxyz (D.7)

gdzie Hx Hy, Hz to składowe wektora H w prostokątnym układzie współrzędnych

x, y, z.

Wyrażenie rot H można zapisać także w postaci symbolu ∇x H, a więc

rotHxH =∇ (D.8)

Symbol ∇x, podobnie jak poprzednio, można traktować jako wektor formalny —

patrz wzór (D.3). Operacja rotacji zatem — patrz wzór (D.8) odpowiada

mnożeniu wektorowemu dwóch wektorów (patrz dodatek C.2).



Jak już wspomniano, w wyniku operacji rotacji wykonanej na wektorze

otrzymuje się wektor. Wektor ten można traktować jako wirowość pola

wektorowego.

Podobnie jak poprzednio, wirowość pól wektorowych rozpatrzmy na przykładzie

pola magnetycznego i pola elektrycznego (rys. D.2 i D.3). Operacji rotacji można

nadać interpretację geometryczną. Można ją mianowicie przedstawić jako

wielkość wyrażającą się sumą rzutów wektorów H1; H2 ... Hn na odcinek PP,

powstały po rozcięciu i rozwinięciu krzywej zamkniętej w polu magnetycznym

(rys. D.2b). Widać, że w przypadku pola magnetycznego suma rzutów wektorów

H na omawianą krzywą nigdy nie może być zerem, a więc wirowość pola

magnetycznego nie jest równa zeru — równanie 4. we wzorach (1.62) i (1.63).

Pole magnetyczne jest polem wirowym.

Inaczej przedstawia się sytuacja w przypadku pola elektrycznego wytworzonego

przez ładunek punktowy (rys. D.3). W tym przypadku wszystkie wektory E są

prostopadłe do wyprostowanej krzywej i suma ich rzutów na tę krzywą jest

równa zeru. Wirowość pola elektrycznego wytworzonego przez ładunki

nieruchome jest równa zeru — patrz równanie 2. wzór (1.64). Pole elektryczne

wytworzone przez nieruchome ładunki elektryczne jest polem bezwirowym.

Wirowe pole elektryczne może wytworzyć jedynie zmienne w czasie pole

magnetyczne — patrz równanie 2, wzory (1.62) i (1.63).

E. Całka nieoznaczona. Równania

różniczkowe

Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania. W wyniku

różniczkowania funkcji F (x) otrzymuje się funkcję f (x) zwaną różniczką funkcji

F (x). W wyniku całkowania funkcji f (x) (całka nieoznaczona) otrzymuje się

funkcję F (x), zwaną funkcją pierwotną funkcji f (x). Powyższe operacje

przedstawia się za pomocą symboli



)()(

xfdx

xdF= (E.1)

∫ += CxFxf )()( (E.2)

Po prawej stronie równania (E.2) oprócz funkcji pierwotnej występuje jeszcze

stała C, tzw. stała całkowania Występuje ona dlatego, że funkcja F (x)+C jest

również funkcją pierwotną, gdyż jej pochodna spełnia równania (E.1)

[ ])(0

)()()(xf

dx

xdF

dx

dC

dx

xdF

dx

CxFd=+=+=

+ (E.3)

Na przykład funkcja F (x) = x2 jest funkcją pierwotną funkcji f (x) = 2x, gdyż

dx

xd )( 2

= 2x. Zgodnie z powyższym funkcją pierwotną jest również funkcja

F (x) = x2+C, gdyż dx

Cxd )( 2 += 2x.

W interpretacji geometrycznej funkcja pierwotna o równaniu F (x) + C

zobrazowana jest rodziną krzywych przesuniętych względem siebie równolegle w

kierunku osi y (rys. E.1).

W szczególnym przypadku, zależnym od rodzaju zadania, może chodzić o jedną

z krzywych rodziny krzywych, np. o jedną z parabol przedstawionych na rys. E.1.

Rys. E.1 Rodzina parabol jako przykład funkcji pierwotnej F (x) = x2+C

Jeśli chodzi nam o parabolę przechodzącą przez punkt P (—3, 10), to równanie

paraboli musi być spełnione dla współrzędnych tego punktu :



C

Cxy

+−=

+=2

2

)3(10

Stąd wyznaczamy stałą C = 1 i równanie poszukiwanej paraboli y = x2 + l.

Kiedy zmienną niezależną jest czas, a warunek dotyczy chwili początkowej, to

warunek taki nazywany jest warunkiem początkowym.

Niekiedy zadania przeliczeniowe polegają na rozwiązaniu nie tylko całek, lecz

równań, w których oprócz pochodnych funkcji pierwotnej występują same

funkcje, a także zmienne. Równania, w których jednocześnie występują funkcje,

ich pochodne i zmienne, noszą nazwę równań różniczkowych.

Rozwiązać równanie różniczkowe, to znaczy znaleźć rodzinę funkcji, które wraz z

jej pochodnymi spełniają dane równanie różniczkowe.

W fizyce i elektrotechnice uwagę skupia się na równaniach różniczkowych

pierwszego i drugiego rzędu. Równania różniczkowe pierwszego rzędu zawierają

pochodne pierwszego rzędu, równania różniczkowe drugiego rzędu zawierają

pochodne drugiego i pierwszego rzędu.

Rodzina funkcji, będących rozwiązaniem równania różniczkowego, nosi nazwę

rozwiązania ogólnego (patrz p. 6.3.3, 6.3.4, 6.4.3, 6.4.4, 6.5.3). Jeśli stałe

całkowania określone są z warunków początkowych, to znajdzie się w ten sposób

rozwiązanie szczególne równania różniczkowego, odpowiadające krzywej

całkowej.

Przykład E.1 Przyspieszenie a ciała poruszającego się ruchem jednostajnie przyspieszonym wyraża się równaniem różniczkowym drugiego rzędu

adt

dx=

2

2

Wyznaczyć drogę przebytą przez ciało po czasie t, jeśli wiadomo, że w czasie t = 0 prędkość ciała była równa v0, a droga przebyta przez ciało do tego czasu była równa s0.

Całkowanie równania różniczkowego drugiego rzędu

∫ ∫ += 12

2

Cadtdtdt

xd



prowadzi do równania

1Catdt

dxv +==

gdzie C1 jest stałą całkowania, którą wyznacza się z warunków początkowych. W

tym przypadku dla t = 0, v = v0, a więc C1 = v0.

Ostatecznie więc

0vatdt

dxv +==

Całkowanie tego równania różniczkowego

Cdtvatdtdt

dxvdtx ++=== ∫∫∫ )( 0

prowadzi do równania

20

2

2Ctv

atx ++=

gdzie C2 jest stałą całkowania. W tym przypadku dla t = 0, x = s0, zatem C2 = s0

i ostatecznie

00

2

2

1stvatx ++=

Równania różniczkowe pierwszego rzędu wymagają jednokrotnego całkowania.

Rozwiązania ogólne zawierają więc jedną stałą całkowania. Równania

różniczkowe drugiego rzędu wymagają dwukrotnego całkowania, a zatem

rozwiązania ogólne tych równań zawierają dwie stałe całkowania.

W celu ułatwienia rozwiązywania całek i równań różniczkowych - funkcje

pierwotne i rozwiązania ogólne równań różniczkowych zostały stabelaryzowane

(tab. E.1 oraz E.2).

.

.

.

.

.

.

.



Tabela E.1 Często występujące całki

( )

Ctgxx

dx

Cctgxx

dx

Cxxdx

Cxxdx

Ca

adxa

Cedxe

Cedxe

Caxax

dx

Cxx

dx

mjesliCm

xdxx

Cxdx

xx

xx

xx

mm

+=

+−=

+=

+−=

+=

+−=

+=

+±=±

+=

−≠++

=

+=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−−

+

2

2

1

cos.11

sin.10

sincos.9

cossin.8

ln.7

.6

.5

ln.4

ln.3

1,1

.2

.1

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) Cxxxxdx

Cnm

xnm

nm

xnmnxdxmx

Cnm

xnm

nm

xnmnxdxmx

Cnm

xnm

nm

xnmnxdxmx

Cxx

xdx

Cxx

xdx

Cxctgxdx

Cxtgxdx

+−=

++

+−

−

−=

+−

−−

+

+−=

+−

−+

+

+=

++=

+−=

+=

+−=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

lnln.19

2

sin

2

sinsinsin.18

2

cos

2

coscossin.17

2

sin

2

sincoscos.16

4

sin

2cos.15

4

sin

2sin.14

sinln.13

cosln.12

2

2

Tabela E.2 Najczęściej występujące równania różniczkowe i ich rozwiązania ogólne

02.7

.6

.5

)(.4

.3

0.2

.1

2

02

2

2

02

2

2

2

2

=++

−=

=

=+

=+

=+

=

ydx

dyb

dx

yd

ydx

yd

yadx

yd

xfaydx

dy

baydx

dy

aydx

dy

aydx

dy

ω

ω

( )( )

( ) 22

0

2

0

2

2

0

2

21

2

0

22

0

2

21

0201

21

,,sin

0,,

,,.7

sinsin.6

.5

)(.4

.3

.2

.1

babgdyaxCey

abgdyCxCey

babgdyeCeCey

yCxCy

eCeCy

CedxCexfCey

a

bCey

Cey

Cey

bx

bx

axaxbx

axax

axaxax

ax

ax

ax

−=<+=

=>+=

−=>+=

+=

+=

+=

−=

=

=

−

−

−−

−

−−

−

−

∫

ωωϕ

ω

ωω

ωω



F. Całka oznaczona Przyjmijmy, że w układzie współrzędnych prostokątnych jest opisana funkcja f

(x) zilustrowana graficznie na rys. F.1. Interesować nas będzie pole powierzchni

zawartej w granicach od x1 do x2 między krzywą będącą obrazem przebiegu

funkcji, a osią x. W celu obliczenia przybliżonej wartości pola tej powierzchni

odcinek 21xx podzielimy na n odcinków ∆xi. Otrzymuje się w ten sposób n

prostokątów o podstawach ∆x1, ∆x2, ∆x3,... ∆xn i o wysokościach odpowiednio y1,

y2, y3 ... yn. Pole S rozpatrywanej powierzchni jest w przybliżeniu równe sumie

pól prostokątów

nn xyxyxyxyS ∆++∆+∆+∆= ...332211 (F.1)

Wzór (F.1) można zapisać również w postaci

Rys. F.1 Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

∑=

∆≈n

i

ii xyS1

(F.2)

gdzie znak ∑=

n

i 1

jest symbolem sumy n składników.

Obliczona wartość S pola powierzchni nie jest dokładna. Dokładność jednak

zwiększa się wraz ze zmniejszaniem odcinków ∆xi i zwiększeniem ich liczby. W

granicy możemy dojść do nieskończenie wielkiej liczby nieskończenie małych

odcinków dx, na które odcinek 21xx zostanie podzielony. Pole powierzchni,

zawartej między rozpatrywaną krzywą, a osią x, zawartej w przedziale od x1 do

x2 jest więc też granicą, do której dąży suma iloczynów ydx = f (x) dx. Tę

granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x) w przedziale [x1, x2] i

oznaczamy

( )∫2

1

x

x

dxxf (F.3)



Funkcję f (x) nazywamy funkcją podcałkową, wyznaczanie wartości całki

nazywamy całkowaniem, a x1 i x2 — dolną i górną granicą całkowania.

Obliczenie wartości całki oznaczonej nie wymaga obliczania granic odpowiednich

sum, lecz może być oparte na znajomości całki nieoznaczonej.

Obliczenie wartości całki oznaczonej wymaga :

— wyznaczenia funkcji F (x) będącej całką funkcji f (x) (patrz dodatek E)

— wyznaczenia wartości funkcji F (x2) dla górnej granicy całkowania

— wyznaczenia wartości funkcji F (x1) dla dolnej granicy całkowania

— obliczenia różnicy wartości F (x2) — F (x1) będącej wartością całki oznaczonej

( ) )()( 12

2

1

xFxFdxxf

x

x

−=∫ (F.4)

Należy zwrócić uwagę na to, że wartość stałej całkowania nie ma wpływu na

wynik obliczenia całki oznaczonej.

Rozwiązywanie wielu zagadnień z dziedziny elektrotechniki wymaga rozwiązania

całki oznaczonej. Zwykle funkcja podcałkowa opisuje pewną wielkość fizyczną,

np. siłę (p. 1.2) lub prąd (p. 7.5), a powierzchnia zawarta pod krzywą, będącą

obrazem graficznym danej wielkości, ma również swój sens fizyczny, np. praca

— wzór (1.7) — lub ładunek — wzór (7.10). W omawianych przypadkach

obliczanie całki oznaczonej umożliwia obliczenie pracy wykonanej przez siły

zmienne na drodze działania lub ładunek przepływający w zadanym czasie przez

przekrój poprzeczny przewodu wiodącego prąd zmienny.

Całka oznaczona umożliwia również obliczenie wartości średniej Wśr funkcji

podcałkowej w zadanym przedziale, zgodnie ze wzorem

( )

12

12

12

)()(

2

1

xx

xFxF

xx

dxxf

W

x

x

śr−

−=

−=

∫ (F.5)

Z wartości średniej funkcji podcałkowej korzysta się między innymi przy

obliczaniu wartości średniej prądu i napięcia — wzór (7.12) — i wartości

skutecznej prądu i napięcia — wzór (7.13), pracy wykonanej przez siły



elektryczne — wzór (1.5) — oraz energii pól wytworzonych przez kondensatory i

cewki — wzory (6.35) i (6.115).

Na przykład, zastępując przyrosty skończone ∆ przyrostami nieskończenie

małymi d wzór (1.5) na pracę sił elektrycznych można przedstawić w postaci

różniczkowej

FdrdW =

a wyrażając siłę F wzorem Coulomba

drr

QqdW

r

2

04 επε=

Pracę wykonaną na odcinku od r1 do r2 oblicza się ze wzoru

drr

Qqdr

r

QqW

r

rr

r

r r

∫∫ ==2

1

2

1

2

0

2

0

1

44 επεεπε

Po wykonaniu obliczeń — patrz wzór (1.7)

−=

210

11

4 rr

QqW

rεπε

W podobny sposób oblicza się energię pola elektrycznego wytworzonego między

okładzinami kondensatora. W tym celu zależność

QUWe ∆=∆

zapisujemy w postaci

UdQdWe =

Ponieważ ,C

QU = to

dQC

QdWe =

Energię pola elektrycznego oblicza się z całki oznaczonej

∫=Q

eC

QdQW

0

której obliczenie prowadzi do wzoru (6.35).



Również przy obliczeniu energii pola magnetycznego zależność (6.113)

zapisujemy w postaci

Ψ= IddWm

a ponieważL

IΨ

= to

L

ddWm

ΨΨ=

Energię pola magnetycznego oblicza się z całki oznaczonej

∫Ψ

ΨΨ=

0L

dWm

której obliczenie prowadzi do wzoru (6.115).

W przypadku obliczania wartości średniej prądu sinusoidalnego należy obliczyć

najpierw wielkość ładunku Q przenoszonego przez ten prąd w czasie połowy

okresu (w czasie T/2). Wielkość tego stosunku wyraża się wzorem

∫=2

0

T

idtQ

i jest określona przez pole powierzchni zawartej pod dodatnią połówką sinusoidy.

Jeśli i = Imsin ωt — patrz wzór (7.9), to

∫=2

0

sin

T

m tdtIQ ω

Ponieważ T

at

tdt

TT

πω

ωω

ωω

2,

2cossin

2

0

2

0

==−

=∫ , to

ostatecznie — patrz wzór (7.10)

π

TIQ m=

Podobnie postępuje się przy obliczaniu wartości skutecznej prądu. Na podstawie

definicji wartości skutecznej prądu można napisać, że

∫2

0

22

2

T

tdtRiT

RI



a ponieważ i = Imsin ωt, to

∫=2

0

222 sin2

T

m tdtRIT

RI ω

Obliczając całkę

22

1cos

2

1

2

1sin

2

0

22

0

2 Tdtttdt

TT

=

−= ∫∫ ωω


22

1

2

22 TI

TI m=

które prowadzi do zależności (7.13).

G. Całka krzywoliniowa Niech po łuku S

)porusza się punkt materialny P (rys. G.1). Niech na punkt P

działa siła nie stała (patrz dodatek C.1, rys. C1b), lecz siła zmienna F (x, y),

zmieniająca wraz z położeniem punktu P swą wartość i kierunek. Pracę W

wykonaną przez siłę F (x,y) na drodze łuku∩

PRoblicza się z całki krzywoliniowej

∫∩

=

PR

dlyxFW ),(

dl — element łuku S.

Siłę F (x,y) działająca na punkt materialny można rozłożyć na składową Fx (x,y)

działającą w kierunku osi x i składową Fy (x, y) działającą w kierunku osi y. Łuk

elementarny dl można przybliżyć cięciwą ds, która ma składowe dx i dy. Pracę

wyrażoną wzorem (G.1) można wyrazić sumą prac wykonanych przez siłę Fx

(x,y) na drodze dx i siłę Fy (x, y) na drodze dy.

A zatem

[ ]∫∫∩∩

+=

PR

yx

PR

dyyxFdxyxFdlyxF ),(),(),( (G.2)



Rys. G.1 Rysunek wyjaśniający zasadę obliczania całki krzywoliniowej

Jeśli pracę obliczamy na drodze zamkniętej o długości l, to pracę można obliczyć

ze wzoru ogólnego

∫=l

FdlW (G.3)

Symbol ∫ oznacza całkę krzywoliniową na drodze zamkniętej zwaną

cyrkulacją. W omawianym przypadku mamy do czynienia z cyrkulacją wektora

siły.

Wzory (G.1)... (G.3) wyrażają również sens wzoru (1.36), jeśli przyjmie się, że

natężenie E pola elektrycznego określa liczbową wartość siły działającej na

ładunek elektryczny jednostkowy wprowadzony do tego pola. Patrz również wzór

(1.40). W związku z tym twierdzenie Stokesa można wyrazić za pomocą wzoru

ogólnego

0=∫i

Edl (G.4)

a wzór (1.37) przyjmuje postać

∫∫∩∩

=+

BDAACB

EdlEdl 0 (G.5)

Podobnie opisuje się cechę wirowości pola magnetycznego. W ogólnym

przypadku prawo Ampere'a — patrz wzór (1.40) — można wyrazić w postaci

0=∫l

Hdl (G.6)

W przypadku gdy natężenie pola magnetycznego jest na stałe na drodze l, to

wzór (G.6) upraszcza się do postaci wzoru (1.40). Patrz również przykłady 6.12 i

6.13.



H. Całka powierzchniowa Całka krzywoliniowa i cyrkulacja, będąca szczególnym przypadkiem całki

krzywoliniowej, są określone w przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczyźnie).

Całka powierzchniowa jest odpowiednikiem całki krzywoliniowej w przestrzeni.

Funkcja określona w przestrzeni jest funkcją trzech zmiennych F (x,y,z). Całka

powierzchniowa oznacza całkowanie funkcji F (x,y,z) po powierzchni S

( )∫S

dSzyxF ,, (H.1)

Zmienne x,y,z są ze sobą związane równaniem ogólnym z = f (x,y) opisującym

powierzchnię S. Całkę powierzchniową można więc przedstawić w postaci całki

podwójnej

( ) ( )[ ]dxdyyxfyxFdSzyxFSS

∫∫ = ,,,,, (H.2)

dx, dy — pole powierzchni elementarnej.

Jeśli powierzchnia S jest powierzchnią zamkniętą, np. powierzchnią kuli, to całkę

powierzchniową przedstawia się w postaci

( )∫S

dSzyxF ,,

Całka powierzchniowa jest całką zorientowaną, podobnie jak całka

krzywoliniowa. O znaku całki powierzchniowej decyduje kierunek obiegu

powierzchni po linii brzegowej. Całka powierzchniowa jest dodatnia, jeśli

kierunek obiegu linii brzegowej powierzchni jest dodatni, tzn. przeciwny do ruchu

wskazówek zegara. Dlatego też strumień wektora indukcji elektrycznej lub

magnetycznej może mieć wartość dodatnią, gdy strumień „wychodzi" na

zewnątrz powierzchni, a ujemną, gdy wnika do powierzchni „z zewnątrz".

Całka powierzchniowa służy w szczególności do określania cechy bezźródłowości

pola magnetycznego. W przypadku, gdy wektor indukcji magnetycznej nie jest

jednakowy w każdym punkcie powierzchni, przez którą przenika, wzór (1.35)

przedstawia się w postaci

0=∫S

BdS



Jeśli powierzchnię zamkniętą S przedstawi się w postaci dwu powierzchni

otwartych S1 i S2 o wspólnej linii brzegowej, to powyższy wzór można

przedstawić — analogicznie jak wzór (1.35) — w postaci

0

21

=+ ∫∫SS

BdsBds

w której pierwszy człon reprezentuje strumień magnetyczny Ψ1 przenikający

przez powierzchnię S1, a drugi — strumień magnetyczny Ψ2 przenikający przez

powierzchnię S2.



amper (A) jest to wartość prądu elektrycznego I nie zmieniającego się, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o przekroju kołowym znikomo małym, umieszczonych w próżni w odległości jednego metra od siebie, wywołały między tymi przewodami siłę Fed równą 2 • 10

-7 niutona na każdy metr długości

d

lIFed

π

µ

2

2

0= (5.100)

l = 1 m; d =1 m; Fed = 2· 10

-7 N

amper na metr kwadratowy (A · m-2) jest to gęstość prądu elektrycznego J występująca, gdy prąd jednego ampera rozkłada się równomiernie na powierzchni jednego metra kwadratowego, prostopadłej do kierunku tej gęstości prądu elektrycznego

1 A · m-2 = 1 A · (1 m)-2

S

IJ =

(5.46), (6.10)

1) kulomb (C) jest to ładunek elektryczny Q przepływający w czasie jednej sekundy przez powierzchnię, gdy prąd elektryczny płynący przez tę powierzchnię wynosi jeden amper 2) kulomb (C) jest to strumień elektryczny Ψ (strumień indukcji elektrycznej) przez powierzchnię zamkniętą stanowiącą brzeg obszaru, w którym znajduje się swobodny ładunek elektryczny o wartości jednego kulomba

1 C = 1A · 1s Q = Jt m = kQ patrz p. 1.4.2 (5.3)

∑=

=Ψk

n

kQ1

(1.34)

kulombometr (C · m) jest to moment dipola elektrycznego p (moment dipolowy elektryczny) utworzonego przez dwa ładunki różnoimienne o wartościach jednego kulomba każdy, znajdujące się w odległości jednego metra od siebie

1 C · m = 1 C · 1 m p = ql (5.10)

1) kulomb na metr kwadratowy (C · m-3) jest to indukcja elektryczna D, przy której na powierzchni przewodnika równej jeden metr kwadratowy, prostopadłej do linii pola elektrycznego, indukuje się ładunek elektryczny jednego kulomba 2) kulomb na metr kwadratowy jest to jednostka gęstości powierzchniowej ładunku elektrycznego σp

1 C · m-2 = 1 C · (1 m)-2

E D 0ε= (1.28)

Jednostką polaryzacji P jest także kulomb na metr kwadratowy

E P 0χε= (5.16)

P pσ= (5.15)

Patrz przykład 1.8; 1.9; 1.10

S

PQ

=



wolt (V) jest to napięcie elektryczne U (siła elektromotoryczna E, potencjał elektryczny V, różnica potencjałów elektrycznych) występujące między dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi jednorodnego przewodu prostoliniowego, w którym płynie nie zmieniający się prąd jednego ampera, a moc wydzielana przez przewód między tymi powierzchniami jest równa jednemu watowi (1W)

1V= 1W · (1A)-1

QUW = (1.11)

UI P = (6.8)

wolt na metr (V · m-1) jest to równomierne pole elektryczne (natężenie pola elektrycznego E), w którym różnica potencjałów między dwiema płaszczyznami ekwipotencjalnymi odległymi od siebie o jeden metr wynosi jeden wolt

1 V · m-1 = 1 V · (1 m)-1

2

04 r

QE

rεπε= (1.3)

r

UE

∆

∆−= (1.39),

(6.12) Patrz przykład: 1.7; 1.8; 1.9; 1.10; 1.11

farad (F) jest to pojemność elektryczna C, jaką ma kondensator, w którym między elektrodami występuje napięcie elektryczne jednego wolta, gdy znajdują się na nich różnoimienne ładunki elektryczne o wartości jednego kulomba każdy

1F=1C · (1V)-1

U

QC = (6.32)

Patrz p. 6.3.1

farad na metr (F · m-1) jest to przenikalność elektryczna (bezwzględna) ε środowiska izotropowego, w którym polu elektrycznemu o wartości jednego wolta na metr odpowiada indukcja elektryczna jednego kulomba na metr kwadratowy

1 F · m-1 = 1 C · m-1 · 1 V · m-1=1C · V-

1 · m-1 = 1 A · s ·1V-1 · m-1

112

0 1086,8 −− ⋅⋅= mFε

om (Ω) jest to opór elektryczny R między dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi przewodu jednorodnego prostoliniowego, gdy niezmienne napięcie elektryczne jednego wolta występujące między tymi powierzchniami wywołuje w tym przewodzie prąd elektryczny o wartości jednego ampera

1 Ω = 1 V · (1 A)-1 Jednostkę stosuje się do wyrażenia: rezystancji R, reaktancji X i impedancji Z

I

UR = (7.1)

CX C ω

1= (6.57)

LX L ω= (6.140)

I

UZ = (7.16)

omometr (Ω·m) jest to opór elektryczny właściwy, (rezystywność), jaki ma jednorodny przewodnik, gdy wykonany z niego przewód o przekroju poprzecznym jednego metra kwadratowego i długości jednego metra ma opór elektryczny jednego oma

1 Ω · m = 1 Ω · 1 m2 · (1 m)-1

S

lR ρ= (5.42)

RC ρε= (6.40)



simens (S) jest to przewodność elektryczna G przewodu o oporze elektrycznym jednego oma

1 S = (1 Ω )-1 Jednostkę stosuje się do wyrażania: konduktancji G, susceptancji B i admitancji Y

RG

1=

Patrz przykład 7.5 Patrz rys. 9.16

simens na metr (S · m-1) jest to przewodność elektryczna właściwa (konduktywność) γ przewodnika jednorodnego o oporze elektrycznym właściwym (rezystywności) jednego omometra

1 S · m-1 = (1 Ω · m)-1

ργ

1= (5.43)

weber (Wb) jest to strumień magnetyczny Φ (strumień indukcji magnetycznej), który malejąc jednostajnie do zera w czasie jednej sekundy indukuje silę elektromotoryczną jednego wolta w obejmującym ten strumień magnetyczny obwodzie zamkniętym jednozwojowym wykonanym z przewodu o przekroju kołowym znikomo małym

1 Wb = 1 V · 1s Strumień skojarzony z obwodem o z zwojach

Φ=Ψ z

BS=Ψ (1.31)

dt

de

Ψ−= (5.91)

tesla (T) jest to indukcja magnetyczna B pola magnetycznego równomiernego, przy której na przekrój poprzeczny jednego metra kwadratowego tego pola przypada strumień magnetyczny o wartości jednego webera

1 T = 1 Wb · (1 m2)-1

SB

Ψ= (1.31)

HB 0µ= (1.29)

Patrz przykład 5.10 Patrz rys. 5.39

amper na metr (A · m-1) jest to pole magnetyczne H (natężenie pola magnetycznego), jakie występuje na powierzchni bocznej walca kołowego o obwodzie jednego metra, stycznie do po-wierzchni bocznej tego walca, prostopadle do jego tworzącej, gdy przez znajdujący się w osi tego walca przewód prostoliniowy nieskończenie długi o przekroju kołowym znikomo małym płynie nie zmieniający się prąd o wartości jednego ampera

1 A · m-1 = 1 A · (1 m)-1

r

IH

π2= Patrz przykład 1.12 oraz

5.7 Jednostkę stosuje się również do wyrażania magnetyzacji J

HJ χ= (5.60)

henr (H) jest to indukcyjność L obwodu, w którym indukuje się siła elektromotoryczna jednego wolta, gdy prąd elektryczny płynący w tym obwodzie zmienia się jednostajnie o jeden amper w czasie jednej sekundy

1 H = 1 V · [1 A · (1 s)-1= ]-1= 1 V · s · (1 A)-1 Indukcyjność wzajemna obwodów M Patrz przykłady 6.26...6.31

LLkM 21= (6.126)

IL

Ψ= (6.111)



henr na metr (H · m-1) jest to przenikalność magnetyczna (bezwzględna) µ środowiska izotropowego, w którym polu magnetycznemu o wartości jednego ampera na metr odpowiada indukcja magnetyczna jednej tesli

1 H · m-1 = 1T · (1 A · m-1)-1 = = 1 T · (1 A)-1 · 1 m µ0 = 4π · 10

-7 H · m-1

amper (A) jest to siła magnetomotoryczna Θ (przepływ) występująca wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej stanowiącej brzeg powierzchni, gdy przez tę powierzchnię przenika jeden przewód z niezmieniającym się prądem elektrycznym o wartości jednego ampera

Θ = HI (1.40) Θ = Iz (1.41)

dżul (J) jest to energia W równa pracy wykonanej przez siłę jednego niutona w kierunku jej działania, na drodze o długości jednego metra

U = 1 N · 1 m Jednostkę stosuje się do wyrażania każdej postaci energii. Jeden dżul jest równy pracy, jaką wykonuje prąd elektryczny o mocy jednego wata w czasie jednej sekundy 1 J = 1 W · 1 s

2

2

1CUWe = (6.36)

2

2

1LIWm = (6.116)

tRIWm

2= (6.1)

wat (W) jest to moc P, przy której praca jednego dżula wykonana jest w czasie jednej sekundy

1 W = 1 J · (1 s-1) Jednostkę stosuje się do wyrażania mocy różnych postaci energii. Jeden wat jest mocą, jaka zostaje wydzielona przy przepływie prądu o wartości jednego ampera pod wpływem napięcia jednego wolta 1 W = 1 A · 1 V

2RIPUIP == (6.8)

metr (m) jest to długość l równa 1 650 763,73 długości fali w próżni promieniowania odpowiadającego przejściu między poziomami 2p10 a 5d5 atomu 86K (kryptonu 86)

Patrz p. 4.1

sekunda (s) jest to czas t równy 9 192 631 770 okresów promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu 133Cs (cezu 133)

Patrz p. 4.1

radian (rad) jest to kąt płaski α zawarty między dwoma promieniami koła wycinającymi z jego okręgu łuk o długości równej promieniowi tego koła

1 rad = 1 m · (1 m)-1 = 1



herc (Hz) jest to częstotliwość f zjawiska okresowego, którego okres jest równy jednej sekundzie

1 Hz = 1 s-1

Tf

1= (4.7)

LCf

π2

1= (4.70)

radian na sekundę (rad · s-l) jest to prędkość kątowa ω, z jaką poruszający się po okręgu kola punkt zakreśla łuk odpowiadający kątowi jednego radiana w czasie jednej sekundy

1 rad · s-1 = 1 rad · (l s)-1

fπω 2= (4.6)

LC

1=ω (4.70)

kelwin (K) jest to 1/273,16 temperatury T termodynamicznej punktu potrójnego wody

Oznaczenie temperatury w skali Celsjusza: ϑ

4Tσε = (4.68)

niuton (N) jest to siła F, jaka w kierunku jej działania nadaje jednego kilograma przyspieszenie jednego metra na kwadrat sekundy

1N = 1 kg · 1 m · 1 s-2

Documents

Fizyczne Podstawy Elektrotechniki · pola wprowadził do fizyki genialny fizyk angielski Michael Faraday. Dla rozwoju fizyki wprowadzenie tego pojęcia miało bardzo duże znaczenie