Izdava HINUS

Zagreb, Miramarska 13 B tel. (01) 615 41 96, 6687382, 611 55 18

fax (01) 611 55 18 e-mail hinus@zg.htnet.hr

Urednik Mr. sc. Hrvoje Zrni

Recenzenti Prof. dr. sc. Ivica Picek Prof. Anela Gojevi

ISBN 978-953-6904-28-0

Copyright Hrvoje Zrni

Knjigu moete besplatno preuzeti samo za osobnu upotrebu, a ne smijete je stavljati na druge mrene stranice, umoavati ili je koristiti za bilo koju

komercijalnu svrhu.

Josipa maguc

za pripremu razredbenih ispita na fakultetima

SADRAJ PREDGOVOR ..................................................................................................................7 VANIJE FIZIKALNE KONSTANTE ................................................................8 MEHANIKA......................................................................................................................9 JEDINICE ZA MJERENJE ....................................................................................................9 GIBANJA DU PRAVCA ...................................................................................................10 OSNOVNI ZAKONI GIBANJA ..........................................................................................14 IMPULS SILE I KOLIINE GIBANJA ..............................................................................15 SLAGANJE I RASTAVLJANJE SILE ................................................................................16 RAD, ENERGIJA, SNAGA..................................................................................................19 SLOENA GIBANJA...........................................................................................................22 JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUNICI.............................................................................25 INERCIJALNI I AKCELERIRANI SUSTAVI....................................................................26 OPI ZAKON GRAVITACIJE............................................................................................27 STATIKA KRUTOG TIJELA..............................................................................................28 ROTACIJA KRUTOG TIJELA............................................................................................30 HIDROMEHANIKA I AEROMEHANIKA ........................................................................32 PRIMJERI .............................................................................................................................34 HARMONIKO TITRANJE I VALOVI ...........................................................42 MEHANIKO TITRANJE...................................................................................................42 MEHANIKI VALOVI........................................................................................................44 PRIMJERI .............................................................................................................................47 TOPLINA.....................................................................................................49 MOLEKULSKI SASTAV TVARI .......................................................................................49 PROMJENA UNUTRANJE ENERGIJE ...........................................................................50 TOPLINSKO RASTEZANJE VRSTIH TVARI ...............................................................52 PROMJENE STANJA PLINA..............................................................................................53 MEHANIKI RAD I UNUTARNJA ENERGIJA ...............................................................56 PRIMJERI .............................................................................................................................57

ELEKTRICITET ..........................................................................................................60 COULOMBOV ZAKON ......................................................................................................60 ELEKTRINO POLJE I POTENCIJAL ..............................................................................60 ELEKTRINI KAPACITET I KONDENZATORI .............................................................62 OHMOV ZAKON I ZAKON ELEKTRINOG OTPORA .................................................64 KIRCHOFFOVA PRAVILA, SPAJANJE OTPORA I IZVORA........................................66 RAD I SNAGA ELEKTRINE STRUJE ............................................................................68 ELEKTRINA STRUJA U ELEKTROLITIMA, PLINOVIMA I VAKUUMU ................69 MAGNETSKO POLJE .........................................................................................................70 ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA .............................................................................74 IZMJENINA STRUJA .......................................................................................................75 PRIMJERI .............................................................................................................................78 OPTIKA ............................................................................................................................83 GEOMETRIJSKA OPTIKA.................................................................................................83 FIZIKALNA OPTIKA..........................................................................................................89 PRIMJERI .............................................................................................................................91 OSNOVE ATOMSKE I NUKLEARNE FIZIKE ............................................93 DUALNA PRIRODA SVJETLOSTI....................................................................................93 BOHROV MODEL ATOMA ...............................................................................................94 ZRAENJE CRNOG TIJELA..............................................................................................95 EKVIVALENTNOST MASE I ENERGIJE.........................................................................95 OSNOVE NUKLEARNE FIZIKE........................................................................................96 RADIOAKTIVNI RASPAD.................................................................................................97 PRIMJERI .............................................................................................................................99 ZADACI ..........................................................................................................................103

PREDGOVOR Ovaj e prirunik prije svega korisno posluiti svakom tko se eli pripremiti za polaganje razredbenog ispita na bilo kojem od fakulteta na kojem se polae fizika. Uporaba ovog prirunika i kolskih udbenika iz fizike za opu gimnaziju propisanih od fakulteta kao obavezna literatura u potpunosti je dovoljna da bi se uspjeno poloio svaki razredbeni ispit iz fizike. Prirunik je sastavljen tako da omoguuje brzo i kvalitetno savlada-vanje gradiva. U prvom je dijelu prirunika saet i obraen teoretski dio gradiva redom po podrujima. Na kraju svakog podruja dani su paljivo odabrani primjereni zadaci. U drugom dijelu prirunika prikazani su zadaci zajedno s pripadajuim rjeenjima koji su se pojavljivali na prethodnim razredbenim ispitima. Iza svakog zadatka odnosno rjeenja slijedi i prikaz kompletnog postupka s neophodnim pojanjenjima kako se dolazi do rjee-nja. Ono to je vano naglasiti je to da svi zadaci i iz prvog i iz drugog dijela prirunika potjeu s razredbenih ispita proteklih godina. Gradivo je prikazano tako da se njegovom proradom steknu iskustva koja se inae stjeu na samim razredbenim ispitima. Stoga, na primjer, zadaci u drugom dijelu prirunika nisu svrstani po nastavnim cjelinama odnosno podrujima ve su svrstani onako kako su dolazili na proteklim ispitima. Dakle, cilj je pruiti mogunost onima koji to ele da to bre i kva-litetnije ovladaju gradivom iz fizike za opu gimnaziju te steknu iskustveni osjeaj kojime smanjuju strah od nepoznatog, tj. od razredbenog ispita.

VANIJE FIZIKALNE KONSTANTE

NAZIV KONSTANTE SIMBOL VRIJEDNOST KONSTANTE Brzina svjetlosti u vakuumu c 2,9979108 ms-1 3108 ms-1 Permeobilnost vakuuma 0 410-7 Nm-1 Permitivnost vakuuma 0 8,85410

-12 C2N-1 m-2 Elementarni elektrini naboj e 1,60210-19 C Planckova konstanta h 6,62610-34 Js Gravitacijska konstanta G 6,6710-11 Nm2kg-2 Avogadrov broj NA 6,0210

23 mol-1 Masa elektrona me 9,1110

-31 kg Masa protona mp 1,672610

-27 kg Masa neutrona mn 1,67510

-27 kg = 1 u Plinska konstanta R 8,314 JK-1 mol-1 Rydbergova konstanta R 1,097107 mol-1 Faradayeova konstanta F 9,65104 Cmol-1 Stefan - Boltzmanova konstanta 5,6710-8 Wm-2 K-4 Akceleracija sile tee g 9,80665 ms-2 9,81ms-2 Srednji polumjer Zemlje 6,37106 m Polumjer zemlje na ekvatoru 6,378106 m Polumjer zemlje na polu 6,357106 m Masa Zemlje 5,961024 kg Polumjer Sunca 6,95108 m Masa Sunca 1,981030 kg Polumjer Mjeseca 1,74106 m Masa Mjeseca 7,331022 kg

9

MEHANIKA JEDINICE ZA MJERENJE Svakoj fizikalnoj veliini pridruena je jedinica kojom se ta veliina mjeri. Osnovne jedinice Meunarodnog sistema mjernih jedinica - SI (System International) pokazuje slijedea tablica: Osnovne jedinice SI

FIZIKALNA VELIINA ZNAK VELIINE

SI JEDINICA

ZNAK JEDINICE

Vrijeme t sekunda s Duljina l metar m Masa m kilogram kg Jakost elektrine struje I amper A Termodinamika temperatura T kelvin K Jakost izvora svjetlosti J kandela cd Koliina tvari n mol mol

Osim osnovnih jedinica upotrebljavaju se i vee i manje jedinice od osnovnih. Predmeci pomou kojih se dobije ime manje odnosno vee jedinice od osnovne pokazuje slijedea tablica: SI predmeci za tvorbu decimalnih jedinica

PREDMETAK ZNAK IZNOS

PREDMETAK ZNAK IZNOS

Deka da 101 deci d 10-1 Hekto h 102 centi c 10-2 Kilo k 103 mili m 10-3 Mega M 106 mikro 10-6 Giga G 109 nano n 10-9 Tera T 1012 piko p 10-12 Peta P 1015 femto f 10-15 Eksa E 1018 ato a 10-18 Zeta Z 1021 zepto z 10-21 Jota Y 1024 jokto y 10-24

10

GIBANJA DU PRAVCA Srednja brzina v u vremenskom intervalu t je kvocijent dijela puta s , to ga tijelo prijee za to vrijeme i vremenskog intervala t:

vs

t=

Da bismo dobili trenutnu brzinu u nekoj toki moramo vremenski interval t uiniti to je mogue manjim (neizmjerno malenim):

v vs

tt t= =

lim lim

0 0

Jedinica za brzinu je m

sms= 1 .

Jednoliko gibanje du pravca To je takvo gibanje gdje je na svakom beskrajno malom dijelu puta kvocijent s/t kon-stantan, tj. to je takvo gibanje gdje je srednja brzina jednaka trenutnoj du cijelog puta i konstantna:

v v konst= = .

s

t

s

tv konst1

1

2

2

= = = .

Brzina je tada jednaka:

vs

t=

a put (s) raste linearno s vremenom (t):

s v t=

11

Jednoliko ubrzano i jednoliko usporeno gibanje du pravca Kad gibanje nije jednoliko, brzina je u svakom trenutku drukija. Promijenu brzine odreujemo srednjom akceleracijom ( a ). Srednja akceleracija je omjer razlike brzine v u nekom vremenskom intervalu t i tog vremenskog intervala:

av

t

v v

t t= =

2 1

2 1

Jedinica za akceleraciju je (m/s2=ms-2). Jednoliko ubrzano gibanje du pravca je takvo gibanje pri kojem je kvocijent v/t konstantan za svaki v i odgovarajui t, du cijelog puta, tj. to je takvo gibanje gdje je akceleracija konstantna, a brzina jednoliko raste s vremenom:

a a konst= = .

12

Za takvo gibanje vrijedi:

av

t=

Tada je brzina (v) jednaka: v a t=

a put (s) raste s kvadratom vremena:

sa t=

2

2

Jednoliko usporeno gibanje du pravca je takvo gibanje gdje je akceleracija konstantna, ali negativna, brzina se jednoliko smanjuje, a oblik putanje je pravac. Sve zakonitosti koje vrijede za jednoliko ubrzano gibanje vrijede i za jednoliko usporeno. Slobodni pad Slobodni pad je jednoliko ubrzano gibanje kod kojeg tijelo pada s odreene visine akceleracijom zemljine sile tee (a = g = 9,81 ms-2).

13

To gibanje uzrokuje privlana gravitacijska sila Zemlje. Brzina kod slobodnog pada iznosi:

v gs= 2 a put ili visina s koje tijelo pada je jednaka:

sv

g=

2

2, s

g t= 2

2

Gibanje uz poetnu brzinu Ako je tijelo imalo poetnu brzinu (v0), pa poelo ubrzavati, nakon vremena t njegova brzina iznosi:

v v at= +0 odnosno

v v as2

02 2= +

Put to e ga tijelo prijei u vremenu t tada je jednak:

s v ta t= + 0

2

2

Ako se tijelo gibalo brzinom (v0) i poelo usporavati akceleracijom (a), brzina e nakon vremena t iznositi:

v v a t= 0 odnosno

v v as2

02 2=

a put to e ga tijelo prijei u vremenu t tada je jednak:

s v ta t= 0

2

2

Nejednoliko gibanje Gibanje kod kojeg se brzina nepravilno mijenja zove se nejednoliko gibanje. Funkcionalne veze a-t, v-t i s-t tog gibanja nisu pravilne linije.

14

OSNOVNI ZAKONI GIBANJA Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta sila jednaka 0, tijelo miruje ili se giba jednoliko po pravcu (II Newtnov zakon). Zato kaemo da je tijelo tromo. Mjera tromosti tijela je masa tijela. Jedinica za masu u SI je kilogram. Kada na tijelo dijeluje stalna sila, tijelo se giba jednoliko ubrzano. Sila koja tijelo ubrzava akceleracijom (a) jednaka je (II Newtnov zakon):

F m a= Ta sila daje tijelu akceleraciju istog smjera kao i sila, proporcionalnu sili, a obrnuto propor-cionalnu masi:

aF

m=

Jedinica za silu je 1 N (1 njutn):

1 2N kgms= Silu kojom Zemlja privlai sva tijela nazivamo silom teom. Pod djelovanjem sile tee sva tijela padaju na Zemlju ili pritiu na njenu povrinu. Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracija slobodnog pada. Prema II Newtnovom zakonu:

G=mg Gdje je G sila tea, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istom mjestu na Zemlji jednaka. Akceleracija g mijenja se s promijenom zemljopisne irine i nadmorskom visinom. Zato se i sila tea mijenja promijenom zemljopisne irine i nadmorske visine mjesta na kojem se tijelo nalazi. Na 45 zemljopisne irine na morskoj povrini g=9,80665 ms-2 9,81 ms-2, to odgovara naim krajevima. Teina tijela (Gt) je sila kojom tijelo zbog zemljina privlaenja djeluje na horizontalnu podlogu ili na ovjes. Za sluaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, teina tijela je po veliini jednaka sili tei:

G m gt = Sila tea i teina su dvije sile razliite prirode. One djeluju na razliita tijela. Sila tea djelu-je na tijelo dok teina djeluje na podlogu na kojoj se tijelo nalazi ili rastee nit na kojoj tijelo visi.

15

Sila trenja je:

F k Ftr N= gdje je FN iznos normalne komponente sile kojom djeluje na podlogu (pritisak na podlogu) a k koeficijent trenja. IMPULS SILE I KOLIINA GIBANJA

Trei Newtonov aksiom glasi: Ako jedno tijelo djeluje na drugo nekom silom 21,Fr

, tada i

drugo tijelo djeluje na prvo silom 12,Fr

koja je po iznosu jednaka sili 21,Fr

ali suprotnog

smjera:

1221 ,, FFrr

= Koliina gibanja tijela mase m i brzine v

r

je:

vmPr

r

=

Smjer vektora Pr

isti je kao i smjer brzine. Jedinica za koliinu gibanja je kgms-1.

Ako stalna sila Fr

djeluje u vrmenskom intervalu t na neko tijelo, ona uzrokuje promjenu koliine gibanja tog tijela. Promjena koliine gibanja jednaka je impulsu sile koji je tu promjenu izazvao:

)vm(tFr

r

= ili

1212 vmvm)tt(Frr

r

= gdje su 1v

r

i 2vr

brzine to ih tijelo mase m ima u trenutku t1 i t2.

Jedinica za impuls sile je (Ns). Zatvoreni sustav je sustav tijela na koji ne djeluju nikakve vanjske sile (ili je zbroj svih vanjskih sila jednak 0). Zakon ouvanja koliine gibanja kae da je ukupna koliina gibanja zatvorenog sustava konstantna bez obzira na to kakvi se procesi dogaali u sistemu:

.konstp...pppp nu =+++=rrrrr

321

16

Za sustav od dva tijela moemo rei da je zbroj koliine gibanja obaju tijela prije njihovog meusobnog djelovanja jednak zbroju koliine gibanja tih dvaju tijela nakon njihovog meusobnog djelovanja. Dakle vrijedi:

22112211 vmvmvmvmrrrr +=+

gdje su 21 i vvrr

brzine masa m1 i m2 prije meu djelovanja (na pr. sudara) a 21 i vv rr

brzine masa m1 i m2 nakon meusobnog djelovanja. Kod malih brzina se moe uzeti da je masa konstantna, dok kod velikih brzina se masa mijenja s brzinom. Ovisnost mase o brzini je izraena formulom:

mm

v

c

=

0

2

21

gdje je m0 masa tijela u mirovanju, m masa tijela pri brzini v (relativistika masa) a c brzina svjetlosti. Drugi Newtonov zakon napisan u obliku:

m

Fa

r

r =

vrijedi za mnogo manje brzine od brzine svjetlost tj. za sluaj m m0. Relativistiki izraz za koliinu gibanja estice mase u mirovanju m0 i brzine v je:

Pm v

v

c

=

0

2

21

SLAGANJE I RASTAVLJANJE SILA Djeluje li na materijalnu toku vie sila (tzv. komponenata) njihovo djelovanje moemo zamijeniti jednom silom koju zovemo rezultanta:

=

=+++=n

iin FF...FFFR

1321

rrrrrr

Kada dvije ili vie sila djeluju na istom pravcu u istom smjeru one se mogu zamijeniti rezultantnom silom koja djeluje u istom pravcu i ima isti smjer, a po veliini je jednaka zbroju veliina svih sila:

21 FFRrrr

+=

17

Ako dvije sile djeluju na zajednikom pravcu u suprotnim smjerovima, veliina rezultante je jednaka razlici veliina komponenata i ima smjer vee sile:

21 FFRrrr

=

Kada na tijelo istovremeno djeluju u istoj toki dvije sile pod kutem, rezultantu dobijemo konstrukcijom paralelograma tako da na kraj djelovanja prve sile nanosimo smjer i veliinu druge:

Ako te dvije sile djeluju pod kutem od 90 rezultanta je i opet dijagonala dobijenog pravo-kutnika (paralelograma), a njen brojani iznos dobijemo primjenom Pitagorinog teorema za pravokutni trokut:

R F F= +12

22

18

Djeluje li u istom hvatitu vie od dvije sile, vektorski ih zbrajamo tako da najprije naemo

1Rr

dviju sila, zatim rezultantu od 1Rr

i tree sile itd:

Silu Fr

moemo rastaviti na dvije komponente 1Fr

i 2Fr

koje zajedno djeluju kao zadana

sila:

Da bi rastavljanje bilo jednoznano, potrebno je znati ili pravce nosioce obiju komponenata ili veliinu i smjer jedne od komponenata. Slaganje i rastavljanje sila moe se rjeavati raunski i grafiki. Za raunsku metodu naj-ee je potrebno znanje trigonometrije.

Kosina. Razmotrimo li gibanje na kosini, silu teu Gr

koja djeluje na tijelo rastavlajmo na

dvije komponente, silu 1Gr

paralelno s kosinom i silu 2Gr

okomitu na kosinu:

19

sin

sin

sin

cos

=

=

= =

= =

G

Gh

l

G G Gh

l

G G Ga

l

1

1

2

Uvjet ravnotee je da je vektorski zbroj svih sila koje djeluju na materijalnu toku jednak nuli:

01

21 ==++ =

n

iin FF...FFrrrr

RAD, ENERGIJA, SNAGA Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru puta, rad je jednak umnoku sile i prijeenog puta:

W F S= Ako sila ne djeluje u smjeru puta ve pod kutem prema putu, tada samo komponenta sile u smjeru puta vri rad, te je:

W F s F ss= = cos

20

Ako je 0

21

gdje je g akceleracija slobodnog pada, h visina iznad zemljine povrine. Pri tome se pretpo-stavlja da je visina h mnogo manja od polumjera zemlje, odnosno da je g=konst. i da je na povrini zemlje potencijalna energija tijela jednaka nuli. Zakon sauvanja energije kae da je ukupan zbroj energija svih vrsta uvijek konstanta, tj. da se energija ne moe izgubiti i u nita pretvoriti kao i iz niega stvoriti ve ostaje sauva-na.To vrijedi za zatvoreni sustav. U zatvorenom (izoliranom) sustavu bez trenja ukupna mehanika energija je sauvana. Zakon glasi:

E E E konstk p= + = . Ako sustav nije zatvoren, promjena ukupne mehanike energije jednaka je radu vanjskih sila koje na sustav djeluju:

E E W2 1 = Snaga je jednaka izvrenom radu u jedinici vremena:

PW

t=

Snaga se takoer moe izraziti izrazom:

P=Fv gdje je F projekcija sile u smjeru gibanja tijela, a v brzina tijela. Jedinica za snagu je wat (vat):

11

1W

J

s=

Korisnost stroja () je omjer izmeu korisnog rada Wk i uloenog rada Wu:

=W

Wk

u

odnosno izraeno pomou snage:

=P

Pk

u

se obino izraava u postocima:

= W

Wk

u

100%

22

SLOENA GIBANJA Gibanje tijela je sloeno ako tijelo istovremeno vri dva ili vie gibanja. Pri sloenom gibanju vrijedi princip nezavisnosti gibanja koji kae: Kad tijelo istodobno vri dva (ili vie) gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u toki do koje bi dolo kad bi najprije izvrilo samo jedno gibanje u odreenom vremen-skom razmaku, a zatim neovisno od tog gibanja, drugo gibanje u jednakom vremenskom razmaku. Sloena gibanja mogu biti pravocrtna (hitac prema dolje i vertikalni hitac prema gore) i krivocrtna (n. pr. horizontalni i kosi hitac). Tijelo koje izvodi gibanje sastavljeno je od dvaju jednolikih gibanja po pravcu, giba se jednoliko po dijagonali paralelograma:

21

21

sss

vvv

R

Rrrr

rrr

+=+=

Hitac prema dolje je sloeno gibanje sastavljeno od jednolikog gibanja vertikalno prema dolje i slobodnog pada. Brzina i put u trenutku t dani su izrazima:

v=v0+gt

s v tg

t= +02

2

Vertikalni hitac je sloeno gibanje sastavljeno od jednolikog gibanja prema gore brzinom v0 i slobodnog pada. Brzina i put u trenutku t dani su izrazima:

v=v0-gt

s v tg

t= 02

2

23

Najvea visina koju tijelo ispaljeno vertikalno u vis poetnom brzinom v0 moe postii zove se domet (H):

Hvg

= 02

2

Na toj najveoj visini v=0, a vrijeme potrebno da tijelo postigne tu visinu zove se vrijeme uspinjanja.

tv

gH= 0

Vrijeme padanja jednako je vremenu uspinjanja; tijelo e se vratiti brzinom koja je po izno-su jednaka v0 ali suprotnog smjera, tj. brzinom -v0. Horizontalni hitac je sloeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja u horizontalnom smjeru i slobodnog pada. Tijelo tada izvodi krivocrtno gibanje:

Put u horizontalnom smjeru:

x v t= 0 Put u vertikalnom smjeru:

yg

t=2

2

24

Staza tijela pri horizontalnom hicu je parabola opisana jednadbom:

yg

vx=

2 02

2

Iznos rezultante brzine u trenutku t jednak je vektorskom zbroju horizontalne komponente v0 i vertikalne komponente gt:

v v g t= + 02 2 2

Kosi hitac je sloeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu koji s horizontalom zatvara kut elevacije i slobodnog pada:

Tijelo tada izvodi krivocrtno gibanje opisano jednadbama:

x v t

y v tg

t

ox

oy

=

= 2

2

Jednadba parabole se moe pisati i ovako:

yv

vx

g

vx x tg

gx

v

oy

ox ox

= = 2 22

22

02

cos

Visinu hica (H) dobijamo:

Hv

gv

goy= =2

02 2

2 2

sin

25

Vrijeme uspinjanja:

tv

g

v

gHoy= = 0

sin

Domet hica (D):

Dv v

g

v

gx y=

=

2 20 0 0 sin

Vrijeme trajanja hica

t tv

g

v

gHoy

002

2 2= = =

sin

Svi ovi rauni vrijede samo uz zanemariv otpor zraka. JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUNICI To je takvo gibanje gdje je brzina konstantna po iznosu, ali stalno mijenja smjer, a oblik putanje je krunica:

Obodna ili linearna brzina jednaka je:

vR

T= 2

gdje je R polumjer krunice, a T ophodno vrijeme, tj. vrijeme potrebno da tijelo jedanput obie krunicu.

26

Promjenu smjera brzine uzrokuje centripetalna sila koja ima smjer prema sreditu krunice:

Fmv

Rcp=

2

ili

Fm R

Tcp =

4 2

2

a ona tijelu daje centripetalnu akceleraciju:

av

Rc=

2

ili

aR

Tc =

4 2

2

Umjesto vremena ophoda moe se upotrebljavati i podatak koji govori koliko okretaja tijelo uini u jedinici vremena. To je frekvencija (f):

fT

= 1

Vrijeme ophoda (T) se mjeri u sekundama (s) a frekvencija (f) u hertzima (herc) - oznaka Hz:

11 1Hzs

s= =

Hertz je frekvencija periodine pojeve kojoj period traje 1 s. INERCIJALNI I AKCELERIRANI SUSTAVI Osnovni zakoni mehanike vrijede s obzirom na koordinantni sustav koji miruje ili se giba jednoliko po pravcu. Takvi sustavi u kojima vrijede Newtonovi zakoni zovu se inercijalni sustavi.

27

Sustavi koji su akcelerirani s obzirom na inercijalni sustav neinercijalni su i u njima se jav-ljaju inercijalne sile. Tako u sustavu koji se giba akceleracijom 0a

r

tijelo mase m se ponaa

kao da na njega djeluje sila:

0amFir

r

= koja nije uzrokovana djelovanjem drugih tijela ve je posljedica neinercijalnosti sustava. Smjer te sile je obrnut od smjera 0a

r

kojom se giba neinercijalni sustav.

U inercijalnim sustavima teina tijela je jednaka sili tei:

gmGr

r

= Ako se tijelo nalazi u akceleriranom sustavu, teina mu vie nije jednaka mg ve:

0amgmGrr

r

= Tako na pr. ako je 0a

r

u smjeru vektora gr

, tj. vertikalno prema dolje, teina se smanjuje:

= G mg ma 0

a ako je 0a

r

vertikalno prema gore teina se poveaje:

= +G mg ma 0

Ako je 0a

r

= gr

, teina tijela jednaka nuli i tijelo je u bezteinskom stanju.

Poseban akcelerirani sustav je sustav koji se jednoliko vrti. U njemu se opaa inercijalna sila koju nazivamo centrifugalna sila:

Fmv

Rcf=

2

ona ima smjer od sredita vrtnje prema van. OPI ZAKON GRAVITACIJE Newtonov zakon gravitacije kae: Gravitacijska sila izmeu dviju materijalnih toaka mase m1 i m2 i udaljenih za R je dana izrazom:

F FG m m

R1 2 2 1

1 22, ,

= =

28

gdje je G univerzalna gravitacijska konstanta i ima vrijednost G=6,6710-11 m3 kg-1 s-2, a R je udaljenost izmeu materijalnih toaka. Taj zakon se jo zove Opi zakon gravitacije. Na tijelo koje se nalazi u blizini Zemljine povrine djeluje vertikalno prema dolje sila tea G=m g

r

koja je rezultanta gravitacijske i centrifugalne sile zbog vrtnje Zemlje oko svoje

osi. U veini rauna moe se zanemariti utjecaj centrifugalne sile i uzeti da je sila tea jednaka gravitacijskoj sili. Tada je g jednak:

g GM

RmsZ

Z

= 2

29 81,

Do razliitih vrijednosti veliine g dolazi zbog spljotenosti Zemlje i vrtnje oko vlastite osi. Na polovima je g=9,83 ms-2, na ekvatoru g=9,78 ms-2, a na 45 zemljopisne irine g=9,81 ms-2. Ako se tijelo mase m nalazi na visini h iznad povrine planeta polumjera R i mase M, gravitacijska sila je tada jadnaka:

F Gm M

R h=

+( )2

a akceleracija slobodnog pada:

g GM

R hh =

+( )2

STATIKA KRUTOG TIJELA Kruto tijelo je takvo tijelo koje pod djelovanjem sila ne mijenja svoj oblik. Hvatite sile se moe mijenjati du pravca djelovanja sile, a da se pri tome uinak te sile ne promijeni.

Moment Mr

sile Fr

s obzirom na os rotacije O (os je okomita na ravninu vrtnje i prolazi kroz toku 0)

definiran je izrazom:

29

M=Fd gdje je d udaljenost pravca djelovanja sile od osi rotacije, tzv. krak sile. Jedinica za moment sile je Nm. Kruto tijelo je u ravnotei ako je vektorski zbroj svih sila i zbroj momenta sile na to tijelo jednak nuli:

=

=

ii

ii

M

F

0

0

r

r

Iz toga proizlazi da je, na primjer, dvostrana poluga:

u ravnotei kad je F1d1=F2d2, a jednostrana poluga:

je u ravnotei kad je F3d3=F4d4. Ako na slobodno kruto tijelo djeluju dvije sile koje su paralelne i u istom smjeru ali imaju razliita hvatita:

moemo ih zamijeniti njihovom rezultantom koja ima ova svojstva:

30

a) po veliini je jednaka zbroju komponenata i istog smjera;

R = F1+F2 b) hvatite rezultante je u onoj toki na spojnici hvatita komponenata koje dijeli spojnicu u obrnutom omjeru veliina komponenata:

F

F

d

d1

2

2

1=

ili

F1d1 = F2d2 ROTACIJA KRUTOG TIJELA Kad kruto tijelo rotira oko vrste osi, sve se njegove estice gibaju po koncentrinim kru-nicama. Ako je to gibanje jednoliko, govorimo o jednolikoj rotaciji. Linearne brzine v1, v2, v3... estica m1, m2, m3... na krunicama r1, r2, r3... nisu jednake ve zavise od veliine polumjera. Meutim, kut to ga sve te estice opiu za neko vrijeme t je jednak za sve estice. To znai da je i omjer /t, tj. kutna brzina konstantna

t

konst= = .

Jedinica za kutnu brzinu je rad/s ili s-1.

31

Veza izmeu obodne (linearne) i kutne brzine:

v r= Ako tijelo rotira nejednoliko, uvodi se pojam kutne akceleracije :

= t

Za jednoliko promjenljivu rotaciju vrijede analogni izrazi izrazima za jednoliko promjenljivo gibanje po pravcu:

a = r gdje je:

= =t

konst.

a za opisani kut vrijedi:

=

= 2

2t

t

Ako na tijelo djeluje stalan moment M, koji se jo naziva zakretni moment, tijelo e rotirati jednoliko ubrzano. Osnovni zakon rotacije piemo:

M=I ili

= MI

tj. kutna akceleracija rotacije je proporcionalna s momentom sile koja tijelo zakree, a obr-nuto je proporcionalna s momentom tromosti I tijela s obzirom na os rotacije. Moment tro-mosti I je definiran izrazom:

I m r m r m r m rn n= + + + +1 12

2 22

3 32 2...

Jedinica za moment tromosti je kgm2.

32

Momenti tromosti nekih tijela:

I=mr2

I mr= 12

2

moment tromosti materijalne toke m u udaljenosti r od osi rotacije moment tromosti krune ploe polumjera r s obzirom na os koja prolazi okomito na plou kroz njeno sredite

I mr= 25

2

I ml= 112

2

moment tromosti kugle polumjera r s obzirom na os koja prolazi kroz sredite moment tromosti tapa duljine l s obzirom na os koja prolazi kroz njegovu sredinu i okomita je na njegovu duinu

Kinetika energija tijela koje rotira kutnom brzinom je:

EI

k = 2

2

Rad pri konstantnom zakretnom momentu je:

W = M Snaga pri rotaciji krutog tijela je:

P = M HIDROMEHANIKA I AEROMEHANIKA Tlak je kvocijent sile i povrine na koju je ta sila okomito i jednoliko rasporeena:

pF

S=

SI - jedinica za tlak je pascal (1 Pa=1 Nm-2).Tlak se jo moe izraziti jedinicom bar:

1 bar=105 Pa Hidrauliki tlak je vanjski tlak i on se prema Pascalovu zakonu iri na sve strane jedna-ko.To se primjenjuje kod hidraulike pree i dizalice:ako na manji klip povrine S1 djeluje- mo silom F1, na drugom kraju pree, na veem klipu povrine S2 djelovat e sila pritiska F2:

33

F FS

S2 12

1

=

ili F F S S1 2 1 2: :=

Hidrostatiki tlak nastaje zbog teine fluida (tekuine ili plina). On djeluje na sve strane jednako, a ovisi o visini stupca h tekuine iznad mjesta na kojem mjerimo tlak i o gustoi tekuine :

p = gh Djeluje li izvana na fluid tlak p0 (npr. atmosferski), ukupni tlak na dubini h je:

p = p0+gh Atmosferski tlak nastaje zbog teine zemljinog zranog plata. Ona opada s visinom. Normirani atmosferski tlak je 101325 Pa. Na tjielo uronjeno u tekuinu djeluje uzgon, a on je prema Arhimedovom zakonu jedak teini tijelom istisnute tekuine:

U = Vuronjenog dijela tijelatekg Idealni fluidi su nestlaivi i bez trenja. Za takve fluide vrijede slijedee zakonitosti:

I = Sv

Jakost struje I (protok) fluida je volumen fluida koji proe kroz neki presjek povrine S u jedinici vremena. Strujanje fluida je stacionarno ako kroz bilo koji popreni presjek cijevi za jednak vremenski interval proe jednaki volumen fluida. U stacionarnom strujanju je tlak konstanta i vrijedi jednadba kontinuiteta:

I = S1v1 = S2v2 = konst to jest,

S1 : S2 = v2 : v1 Za stacionarno strujanje u horizontalnoj cijevi vrijedi Bernoullijeva jednadba:

pv

pv

112

222

2 2+ = +

34

Ona kae da je zbroj statikog tlaka p i dinaminog tlaka v2/2 konstantan. Taj zbroj zovemo hidrodinamikim tlakom. Taj zakon se moe pisati i ovako:

( )p p Vm v m v

1 222

12

2 2 =

tj. rad to ga izvri razlika tlakova pri gibanju tekuine utroi se na promjenu kinetike energije. Ako cijev nije horiziontalna Bernoullijeva jednadba glasi:

pv

gh pv

gh112

1 222

22 2+ + = + +

gdje su h1 i h2 visine promatranih presjeka u odnosu na neki referentni nivo. Ako idealni fluid istjee iz posude kroz otvor koji se nalazi za visinu h ispod najvieg nivoa tekuine, brzina istjecanja je:

v gh= 2

RIJEENI PRIMJERI IZ PODRUJA MEHANIKA 1. Duljina vala helijeve plave spektarne linije iznosi 4,47110-4 mm. Izrazi taj podatak u centimetrima i metrima. =4,47110-4 mm =? cm =? m

=4,47110-4 mm =4,47110-410-1 cm =4,47110-5 cm

=4,47110-4 mm =4,47110-410-3 m =4,47110-7 m

2. Koliko je sekundi optereen most dugaak 80 m ako preko njega prolazi vlak dugaak 80 m brzinom 80 kmh-1? d1=80 m d2=80 m v=80 kmh-1=22,22 ms-1 t=?

ts

v

d d

v

m m

mss= =

+= + =

1 2

1

80 80

22 227 2

,,

Most je optereen od trenutka kad lokomotiva stupi na most pa do trenutka kada ga zadnji vagon ne napusti pa je s=d1+d2.

35

3. Automobil je preao 4/10 puta brzinom 72 km/h, a ostali dio puta brzinom 54 km/h. Odredi srednju brzinu automobila. s1=4/10 s v1=72 kmh

-1 s2=6/10 s v2=54 km/h

-1 v =?

ts

v

s

kmh

s

kmh

ts

v

s

kmh

s

kmh

vs

t

s

t t

ss

kmh

s

kmh

kmhu

11

11 1

22

21 1

1 21 1

1

4

10 72 180

6

10 54

2

180

180

2

180

60

= =

=

= =

=

= =+

=+

=

4. Vlak mase 4000 t vozi brzinom 36 km/h. Prije stanice zapoinje jednoliko koiti. Sila koenja je 2105 N. Koliki put prijee vlak za vrijeme prve minute koenja? m=4000 t v0=36 kmh

-1=10 ms-1 F=2105 N t=1 minuta=60 s s=?

F m a

aF

m

N

kgms

s v ta t

ms sms s

m

=

= =

=

= = =

2 10

4000 100 05

210 60

0 05 60

2510

5

32

0

21

2 2

,

, ( )

5. Tramvaj vozi brzinom 18 km/h. Na kojoj udaljenosti ispred semafora mora voza poeti koiti ako mu je pri toj brzini za zaustavljanje potrebno 5 s? Pretpostavite da je koenje jednoliko. v0=18 km/h=5 ms

-1 v1=0 t=5s s=?

av v

t

ms ms

sms

s v tat

ms sms s

m

=

= =

= = =

1 01 1

2

0

21

2 2

0 5

51

25 5

1 25

212 5

,

6. Automobil se kree brzinom 36 km/h. Koliki je put koenja ako je koeficijent trenja 0,3? v=36 kmh-1=10ms-1 =0,3 s=?

Ftr=Fko mg=ma a=g=0,39,821 ms-2=2,943 ms-2

sv

a

ms

msm= =

=

2 1 2

22

10

2 2 94316 98

( )

,,

36

7. Ako se neko tijelo kroz 4 sekunde ubrzava akceleracijom od 1 ms-2, a zatim usporava deceleracijom istog iznosa kroz daljnjih 4 sekunde, srednja brzina kroz 8 sekundi iznosi? t1=4s a1=1 ms

-2

a2=-1 ms-2

t2=4 s v =?

v1=a1t=1 ms-24 s=4 ms-1

av v

t

v a t v ms s ms ms

vv v ms ms

ms

22 1

2

2 2 2 12 1 1

1 21 1

1

1 4 4 0

2

4 0

22

=

= + = + =

=+

= + =

8. Koliki je najmanji polumjer zakrivljenosti to ga mora imati zavoj da bi se po horizontal-noj cesti mogao gibati automobil brzinom 36 km/h? Koeficijent trenja izmeu kotaa i ceste je 0,25. v=36 km/h=10 ms-1 =0,25 R=?

F F

mv

Rmg

Rv

g

ms

msm

c tr=

=

=

=

=

2

2 1 2

2

10

0 25 9 8140 77

( )

, ,,

9. Na tijelo mase 5 kg djeluju istodobno dvije sile: sila od 3 N usmjerena prema istoku i sila od 4 N usmjerena prema sjeveru. Akceleracija tijela je: m=5 kg F1=3 N F2=4 N a=?

R F F N N N N

R m a

aR

m

N

kgms

= + = + = =

=

= = =

12

22 2 2 2

2

9 16 25 5

5

51

10. Tijelo se iz mirovanja poinje gibati jednoliko ubrzano. Kolika je akceleracija ako u petoj sekundi od poetka gibanja prevali put od 4,5 m? s5-s4=4,5 m a=?

s s m

a s a sm

a s s m

am

sms

5 4

2 2 2 2

2 2

22

4 5

5

2

4

24 5

25

2

16

24 5

4 5 2

91

=

=

=

= =

,

,

,

,

37

11. Lift mase 10 t sputa se jednoliko ubrzano u rudnik. Ako je napetost ueta 90 KN, ubrzanje lifta je: m=10 t FN=90 KN a=?

FN=G-ma FN=mg-ma

amg F

m

kg ms N

kgmsN=

=

=

10 10 9 81 90 10

10 100 81

3 2 3

32, ,

12. Predmet mase 0,5 kg jednoliko klizi uslijed trenja niz kosinu s kutom nagiba 30. Koli-kom silom treba djelovati na tijelo u smjeru gibanja, da bi se jednoliko uspinjalo istom brzinom? m=0,5 kg =30 F=?

sin

sin sin , , ,

=

= = = =

F

G

F G mg kg ms N30 0 5 9 811

22 452o

Da bi se uz trenje tijelo jednoliko uspinjalo ukupna sila je jednaka 2F: Fu=2F=22,45N=4,9N

13. amac je upravljen prelazio preko rijeke pod kutom od 90 u odnosu na smjer njenog toka. Brzina amca prema vodi je 5 ms-1, a brzina toka rijeke je 2 m/s. Najkraa udaljenost meu obalama jest 200 m. Od jedne do druge obale amac plovi: =90 v=5 ms

-1 vr=2 ms

-1 d=200 m t=?

v v v m s m s ms

v v s d

sv d

v

ms m

msm

ts

v

m

mss

r= + = + =

=

= = =

= = =

2 2 2 2 2 2 1

1

1

1

4 25 29

29 200

540 29

40 29

2940

~

~

~

: :

14. Njihalo ima nit dugu 1m, a masu 1 kg. Kroz ravnoteni polaaj masa njihala prolazi brzinom 1 m/s. Napetost niti u tom trenutku je:

38

l=1 m=R m=1 kg v=1 ms-1 FN=?

F G F mgmv

Rkg ms

kg m s

mF N

N ef

N

= + = + = +

=

2

22 2

1 9 811 1

110 81

,

,

15. Kamen mase 0,5 kg isputen s visine od 10 m. Prilikom udara u zemlju kamen je imao brzinu 12 m/s. Koliki rad je utroen na savladavanje trenja u zraku? Uzmite g=10 ms-2. m=0,5 kg h=10 m v=12 ms-1

W=?

W E

J

p= =

= =

E mghmv

W kg ms mkg ms

k

2

21 2

2

0 5 10 100 5 12

214 0,

, ( ),

16. Tijelo mase 1 kg palo je s neke visine za vrijeme od 5 s. Njegova kinetika energija pri udaru o tlo iznosila je: m=1 kg t=5 s Ek=?

v=gt=9,81 ms-25 s=49,05 ms-1

Emv kg ms

Jk = = =

2 1 2

2

1 49 05

21202 95

( , ),

17. Kamen je baen vertikalno uvis na visinu 5 m. Do koje bi visine doao kamen da je bio izbaen dvostrukom poetnom brzinom? Otpor zraka zanemarujemo. s1=5 m v2=2v0 s2=?

sv

g

s

s

vg

vg

v

v

v

v

s s m m

=

= = = //

= = =

2

2

1

22

02

22

02

02

02

2 1

2

2

2

4

4 4 5 20

18. Dizalo se penje ubrzanjem 2 ms-2. Na podu kabine dizala nalazi se teret mase 10 kg. Kolikom silom pritie teret na pod kabine? a=2 ms-2 m=10 kg Fp=? Fp=G+ma=mg+ma=m(g+a)=10kg (9,81ms

-2+2ms-2) =118,1 N 19. lijeb je savijen u obliku kruga polumjera 1 m i lei u vertikalnoj ravnini. Kojom minimalnom brzinom treba gurnuti sitno tijelo iz poloaja ravnotee da bi napravilo puni krug? (Trenje tijela o lijeb zanemarite, za ubrzanje sile tee uzmite 9,81 ms-2)

39

R=1 m h=2R=2 m v=?

Zakon sauvanja energije: ukupna energija na najniem poloaju jednaka je zbroju energija u najviem poloaju, Ek=Ek1+Ep1

mv mvmgh

212

2 2= +

v1 - dobijemo iz uvjeta da centrifugalna sila mora biti jednaka teini

12

1

2

2 1

2 22

5 5 1 9 81 7 0

mvR

mg

v R g

mv m R gm g R

v Rg m ms ms

=

=

= +

= = = , ,

20. Granata se, letei brzinom od 15 ms-1, rasprsne na dva dijela masa m1=5 kg i m2=15 kg. Brzina veeg fragmenta je 26 ms-1 i istog je smjera kao to je bio izvorni smjer granate. Brzina manjeg fragmenta je? v=15 ms-1 m1=5 kg m2=15 kg v2=26 ms

-1 m=m1+m2=20 kg v1=?

m1v1+m2v2=mv m1v1=mv-m2v2

vmv m v

m

kg ms kg ms

kg

v ms

12 2

1

1 1

11

20 15 15 26

5

18

=

=

=

Brzina drugog fragmenta ima suprotan smjer od poetnog smjera granate.

21. Kolika je akceleracija sile tee na visini h=RZ iznad Zemljine povrine? (RZ je polumjer Zemlje) h=RZ gh=? F

G m M

R h

G m M

R R

G m M

R

G M

Rm

gG M

R

g msms

Z

Z

Z

Z Z

Z

Z

Z

hZ

=

+=

+

=

=

=

= = =

( ) ( )

,,

2 2 2 2

2

22

4 4

1

4 4

9 81

42 4525

22. Mjehuri zraka nalazi se 2 m ispod povrine vode. Ako je atmosferski tlak 105 Pa, pod kolikim je tlakom mjehuri? Pa=105 Pa h=2 m p=Pa+gh=105Pa+103kgm-39,81ms-22m=105Pa+19620 Pa p=? p=119620 Pa=1,2105 Pa

40

23. Tijelo mase 0,5 kg i gustoe 4103 kgm-3 visi na koncu tako da je uronjeno u tekuinu gustoe 1,5103 kgm-3. Napetost niti iznosi? m=0,5 kg =4103 kgm-3 t.=1,5103 kgm-3 FN=?

F G F m g V g m gm

g

F m g g

F kg mskgm

kgmms

F N

N u tij ttij

t

Nt

tij

N

N

= = =

=

=

=

0 5 9 811 5 10

4 109 81

3 07

23 3

3 32, ,

,,

,

24. Kota koji se vrti s 480 okretaja u minuti poinje se zaustavljati jednoliko usporeno. Koliki je ukupni broj okretaja kotaa ako se zaustavi u vremenu od 0,5 minuta? =480 min-1 t=0,5 min N=?

Nt t t= = = = = =

2 4 4 2

480 0 5

2120

2 1min , min

25. irim djelom vodoravno poloene cijevi struji voda brzinom 4 m/s. Razlika tlakova i-reg i suenog dijela cijevi iznosi 8103 Pa, te brzina proljevanja u uem dijelu cijevi iznosi: v1=4 ms

-1 p1-p2=810

3 Pa v2=?

Iz Bernoullijeve jednadbe proizlazi:

pv

pv

vp p

v

v p p vkgm

Pa m s

v m s ms

112

222

22

1 212

2 1 2 12

3 33 2 2

22 2 1

2 2

2 2

2 2

108 10 16

32 5 65

+ = +

= +

= + = +

= =

( )

,

26. Sa stupa visokog 20 m izbaen je horizontalno kamen poetnom brzinom 10 m/s. u kojoj e udaljenosti od stupa pasti na zemlju h=20 m v0=10 ms

-1 x=?

hg

t th

g

x v t vh

gms

m

msm

= =

= = = =

2

2

210

2 20

9 8120 2

2

0 01

2,,

41

27. Kolikom brzinom izlazi mlaz vode iz otvora cijevi ako se taj mlaz penje vertikalno do visine 4,1 m. Zanemarite gubitak zbog trenja? h=4,1 m v=?

Sva kinetika energija mlaza se pretvorila u potencijalnu.

mvmgh

v gh ms m ms

2

2 1

2

2 2 9 81 4 1 8 968

=

= = = , , ,

42

HARMONIKO TITRANJE I VALOVI MEHANIKO TITRANJE Titranje je gibanje materijalne toke pri kojem se ona giba naizmjenino u oba suprotna smjera oko poloaja ravnotee, uvijek po istoj putanji. Ako je to titranje periodino, tijelo nakon nekog vremena (T) u potpunosti ponavlja gibanje. Vrijeme (T) koje je potrebno da tijelo uini jedan puni titraj zove se period titranja. Broj titranja u jedinici vremena (frekvencija) je reciprona vrijednost perioda titranja:

fT

= 1

Jedinica za frekvenciju je herc (1 Hz=1 s-1). Kruna frekvencija je broj titraja u 2 sekunde:

= =2 2fT

Titranje materijalne toke objeene na opruzi

Sila koja djeluje na materijalnu toku m i pod djelovanjem koje ona harmoniki titra je jednaka:

F k xm

Tx= = 4

2

2

43

gdje je x - elongacija, a k tzv. konstanta opruge odnosno konstanta opiranja izraava se u Nm-1. Sila je proporcionalna elongaciji, ali je suprotnog smijera. Izraz za period titranja je:

Tm

k= 2

Titranje sjene materijalne toke koja se giba jednoliko po krunici

Kad se materijalna toka giba jednoliko po krunici, njena sjena titra harmoniki. Pri tome je kutna brzina toke jednaka krunoj frekvenciji titranja, a ophodno vrijeme toke jednako je periodu titranja projekcije te toke. Jednadba harmonikog titranja je:

x AT

t A t= +

= +sin sin( )

20 0

gdje je: x - elongacija A - amplituda (maksimalna elongacija) t+0 - faza titranja u trenutku t 0 - faza titranja u trenutku t=0 Brzina toke koja harmoniki titra je:

vk

mA x f A x= = ( )2 2 2 22

Akceleracija toke koja harmoniki titra je:

aT

x f x= = 4 42

22 2

44

Period harmonikog titranja je jednak:

Tm

k

mx

F= =2 2

Matematiko njihalo Matematiko njihalo se sastoji od tokaste mase objeene na nerastezljivu nit zanemarive mase. Za male amplitude to njihalo titra periodiki s periodom:

Tl

g= 2

gdje je l duljina njihala, a g akceleracija slobodnog pada. MEHANIKI VALOVI Val je irenje titraja iz izvora vala kroz neko sredstvo. Kad se energija titranja prenosi okomito na smjer irenja valova govorimo o transverzalnim valovima, a kad se energija titranja prenosi u pravcu irenja vala govorimo o longitudinalnim valovima. Valna duljina () je udaljenost izmeu dviju najbliih toaka vala koje titraju u istoj fazi, tj. to je udaljenost za koju se val proirio dok estica u izvoru napravi jedan puni titraj:

= =v T vf

Jednadba vala govori o elongaciji toke koja je udaljena za x od izvora vala, ako se val giba brzinom v i pozitivnom smjeru osi x:

y x t At

T

x( , ) sin=

2 2

gdje je A amplituda vala, a 2

x

zaostatak u fazi neke toke na udaljenosti x od izvora

vala. Razlika u fazi () dviju estica koje titraju na udaljenostima x1 i x2 od izvora vala dana je izrazom:

=

2 1 2

x x

45

Lom vala Pri prijelazu iz jednog sredstva u kojem se val iri brzinom v1, u drugo sredstvo u kojem se val tri brzinom v2, frekvencija vala ostaje ista, a valna duljina se promijeni u skladu s izrazom v=f. Pri tome vrijedi zakon loma:

sin

sin

u

l

v

vn= = =1

2

1

2

gdje je u kut upada, l kut loma, a n indeks loma. Interferencija valova Kada se dva vala jednake frekvencije i valne duljine sastanu u nekoj toki prostora dolazi do njihove interferencije. Rezultantna amplituda je maksimalna kad su valovi u fazi tj. kad je:

=

=2 22 1

x x

n

ili

x2-x1=n n=0,1,2,3,... Rezultantna amplituda je minimalna kada je:

=(2n+1) odnosno

x x n n2 1 2 1 20 1 2 3 = + =( ) , , , , ...

Zvuni valovi Zvuni valovi su longitudinalni valovi frekvencije od 16 Hz do 20 000 Hz. Brzina zvuka u zraku mijenja se s temperaturom i moemo je priblino odrediti izrazom:

v vt

t = +0 1 273

gdje je v0 brzina zvuka kod 0 C (331ms

-1) a t temperatura zraka.

46

Brzina zvuka u vrstim tijelima je:

vE=

gdje je E Youngov modul elastinosti, a gustoa sredstva. Dopplerov efekt Ako se neki izvor valova i opaa meusobno pribliavaju ini se da se frekvencija izvora poveava odnosno smanjuje kad se izvor i opaa meusobno udaljuju. To je Dopplerov efekt. Kod valova zvuka mijenja se i visina tona koji opaa uje. Visina tona ovisi o broju valnih duljina koje u 1 sekundi dopru do naeg uha. Ako je prava frekvencija izvora, ' frekvencija koju prima uho, vz brzina zvuka, a v brzi-na tijela koje se giba mogua su dva sluaja: a) opaa se giba prema mirnom izvoru zvuka i tada je frekvencija:

=

1

v

v z

gdje pozitivni predznak oznaava pribliavanje, a negativni udaljavanje od izvora b) izvor zvuka se giba u odnosu prema mirnom opaau i tada je frekvencija:

= 1

1mv

v z

I ovdje pozitivni i negativni predznak oznauju pribliavanje odnosno udaljavanje od opaaa.

47

RIJEENI PRIMJERI IZ PODRUJA HARMONIKO TITRANJE I VALOVI

1. Period titranja matematikog njihala je 3,6 s. Odredite vrijeme potrebno da se njihalo od ravnotenog poloaja udalji za pola amplitude. T=3,6 s x=A/2 t=?

x A t

AA

t

Tt

Tt

T

T

tT s

s

=

=

=

=

= = =

sin

sin

sin

,,

2

2

2 1

22

6

12

3 6

120 3

2. Na oprugu konstante elastinosti 10 Nm-1, koja slobodno visi objesimo uteg mase 0,1 kg. Kolika e biti maksimalna brzina utega? k=10 Nm-1 m=0,1 kg vmax=?

G k x

xG

k

m g

kA maksima a elongacija

vA

Tako je T

m

k

vA

m

k

A

m

k

m g

km

k

kg ms

Nmkg

Nm

v ms

=

= = =

= =

= = = =

=

ln

, ,

,

,

22

2

2

0 1 9 81

100 1

10

0 981

2

11

1

3. Duljina sekundnog njihala (tj. onog s poluperiodom 1s) iznosi na ekvatoru (g=9,72 ms-2): T/2=1 s g=9,72 ms-2 l=?

Tl

g

lT g s ms

m

=

= =

=

2

4

2 9 72

4 3140 985

2

2

2 2

2

( ) ,

,,

48

4. Valna duljina zvuka to ga u zraku emitira glazbena vilica iznosi 75 cm. Ako je brzina irenja zvuka u zraku 330 ms-1, a u vodi 1450 ms-1, valna duljina tog zvunog vala u vodi iznosi? 1=75 cm=0,75 m v1=330 ms

-1 v2=1450 ms

-1 2=?

f f

v v

vv

mms

msm

1 2

1

1

2

2

2 21

1

1

10 75

1450

3303 295

=

=

= = =

, ,

5. Koliki je period titranja matematikog njihala na Marsu (M=651022 kg, R=3420 km) koji na Zemlji njie s periodom od dvije sekunde? (Konstanta gravitacije G=6,6710-11 m3kg-1 s-2) T=2 s M=651022 kg R=3420103 m T=?

Tl

gg

G M

R

Tl R

G Ml

T g s msm

T Rl

G M

T mm

m kg s kg

T s

= =

=

= =

=

=

=

=

2

24

4 9 81

4 3140 994

2

2 314 3420 100 994

6 67 10 65 10

3 25

2

2 2

2

2 2

2

311 3 1 2 22

,

,,

,,

,

,

6. Automobil se kree brzinom 30 ms-1 prema tvornokoj sireni koja emitira zviduk frekvencije 500 Hz. Koju prividnu frekvenciju ima zviduk to ga uje voza ako je brzina zvuka 340 ms-1? v=30 ms-1 =500 Hz vz=340 ms

-1 '=?

= +

= +

=

1 500 1 30

340544 11

1

1

v

vHz

ms

msHz

z

,

49

TOPLINA MOLEKULSKI SUSTAV TVARI Sva tijela u prirodi se sastoje od atoma i molekula. Atomi su najsitnije estice neke tvari koje se kemijskim reakcijama ne mogu pojednostavniti. Molekule su skupine kemijski vezanih atoma, a imaju ista kemijska svojstva kao i sama tvar koju ine. Veliina atoma ili molekule je reda veliine 10-9 m, a masa reda veliine 10-27 kg. Osim kg za izraavanje mase atoma i molekula esto upotrebljavamo unificirane atomsku jedinicu mase (u):

1 u=1,6610-27 kg

a to je 112

mase atoma ugljika 612 C .

Relativna atomska masa (Ar) je broj koji pokazuje koliko je puta masa nekog atoma vea od atomske jedinice mase. Jednako tako relativna molekulska masa (Mr) pokazuje koliko je puta masa neke molekule vea od unificirane atomske jedinice mase. Koliina tvari se izraava jedinicom koju se naziva mol. Jedan mol je koliina tvari sustava

koji sadri toliko osnovnih estica koliko ima atoma 0,012 kg ugljika izotopa 612 C .

Molarna masa (M) je masa jednog mola neke tvari:

Mm

n=

gdje je M molarna masa, m masa tvari, a n broj molova. Broj jedinki u jednom molu zove se Avogadrov broj:

N molA = 6 023 10 23 1,

Jedan mol bilo koje tvari sadri isti broj jedinki (molekula, atoma, iona). Volumen 1 mola bilo kojeg plina pri normiranim uvijetima (273 K, 101 325 Pa) jednak je 2,2410-2 m3. Jednaki volumeni razliitih plinova izmjereni pri jednakom tlaku i temperaturi sadre isti broj molekula (Avogadrov zakon). Kada na vrsto tijelo djeluje sila mijenja se poloaj njegovih molekula, a time i oblik tijela. Za najjednostavniju deformaciju tog tijela - istezanje vrijedi Hookeov zakon:

= 1E

P

gdje je E Youngov modul elestinosti, =l/l relativno produljenje, a p=F/S sila na jedinici presjeka ili napetost.

50

Sile meu molekulama uzrokuju napetost povrine i kapilarnost. Koeficijent napetosti povrine je dan izrazom:

= W

S

gdje je W izvren rad pri poveanju povrine S. Koeficijent povrinske napetosti je jednak i omjeru sile i duljine na koju ta sila okomito djeluje:

= Fl2

PROMJENA UNUTRANJE ENERGIJE Unutranja energija tijela je zbroj kinetike energije gibanja svih molekula tijela i potenci-jalne energije njihova meudjelovanja. Temperaturtra (T) je mjera za srednju kinetiku energiju toplinskog gibanja molekula i to je kinetika energija vea, to je temperatura vea. Jedinica za temperaturu je kelvin (K). Veza izmeu apsolutne temperature T izraene Kelvinima i temperature t izraene u Celzi-jusovim stupnjevima je:

T

K

t

C= +27315,

o

Unutarnju energiju tijela ili sustava tijela moemo promijeniti na dva naina, meusobnim dodirom dvaju tijela razliitih temperatura i mehanikim radom:

U=Q+W gdje je U promjena unutranje energije, Q toplina, a W mehaniki rad. Rad W moe biti pozitivan ili negativan, ovisno o tome vrimo li rad nad tijelom ili tijelo vri rad. Ako se unutranja energija tijela mijenja samo zato to su u dodiru dva tijela razliitih temperatura (W=0) onda je W=Q. Toplina Q je dio unutranje energije tijela koja prolazi s jednog tijela na drugo zbog razlike temperatura tih tijela. Toplina i unutranja energija se mjere dulima (J). Pri zagrijavanju i hlaenju primljena odnosno predana koliina topline je:

Q=mcT gdje je c specifini toplinski kapacitet, m masa tijela a T=T2-T1 promjena temperature.

51

Specifini toplinski kapacitet je koliina topline potrebna da se masi od 1 kg neke tvari promijeni temperatura za 1 K i izraava se u Jkg-1 K-1:

cQ

m T=

Zagrijavanjem pri stalnom volumenu sva se dovedena koliina topline utroi ua poveanje unutranje energije te je:

Q=U=mcvT v=konst. pa je

cU

m Tv=

specifini toplinski kapacitet pri stalnom volumenu. Zagrijavanjem tijela pri stalnom tlaku tijelo se grije i obavlja rad, te je Q>U. Specifini toplinski kapacitet cp je tada:

cQ

m Tp konstp = =

.

Za tekuine i vrsta tijela oba specifina toplinska kapaciteta (cp i cv) su jednaka, a znatno se razlikuju za plinove. Toplinski kapacitet (C) tijela je jednak koliini topline potrebnoj da se temperatura tijela povea za 1 K:

C=mc Ako su dva tijela razliitih temperatura u meusobnom dodiru, onda je prema zakonu o ouvanju unutranje energije koliina topline koju je toplije tijelo izgubilo hlaenjem jednako koliini topline koju hladnije tijelo zagrijavanjem primi:

Q1=Q2

m1c1((t1-t)=m2c2(t-t2) gdje je t konana temperatura koju tijela postiu u toplinskoj ravnotei, t1 temperatura toplijeg tijela, a t2 temperatura hladnijeg tijela prije dodira. Toplina taljenja je toplina potrebna da se tijelo na temperaturi talita rastali (ovrsne):

Q=m gdje je m masa tijela, a je scpecifina toplina taljenja.

52

Toplina isparavanja je koliina topline koja se troi (ili oslobaa) pri isparavanju odnosno kondenzaciji:

Q=mr gdje je m masa tijela, a r specifina toplina isparavanja. Toplina izgaranja je koliina topline koja se oslobaa pri potpunom izgaranju goriva mase m i specifine topline izgaranja q:

Q=mq Korisnost grijaa (toplinskog stroja) je dana omjerom iskoritene topline Qk i ukupno ulpene topline Qu:

= Q

Qk

u

100%

TOPLINSKO RASTEZANJE VRSTIH TVARI I TEKUINA vrste tvari se zagrijavanjem rasteu, a hlaenjem steu. Koeficijent linearnog rastezanja je definiran:

=

l l

l tt 0

0

gdje je l0 duljina tijela (tapa, cijevi) pri 0 C, lt duljina tijela na t C. Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K-1. Duljina tijela nakon zagrijavanja lt je:

lt=l0(1+t) Kad su kod vrstog tijela sve dimenzije podjednako izraene govorimo o kubnom rasteza-nju. Neka tijelo kod 0 C ima volumen V. Povisimo li tijelu temperaturu za t (od 0 C do t C) njegov e se volumen poveati za:

V=tV0 - je koeficijent volumnog (kubnog) rastezanja:

=

V V

V tt 0

0

3

53

Kod temperature t tijelo e prema tome imati volumen:

Vt=V0(1+t) Ovaj izraz vrijedi i za tekuine i za uplja vrsta tijela. Gustoa tijela na temperaturi t iznosi:

t t

=+

0

1

PROMJENA STANJA PLINA Model idealnog plina predpostavlja da su molekule plina materijalne toke koje nemaju volumena i meu kojima nema meumolekularnih sila. Fiziko stanje takvog idealnog plina je opisano trima veliinama: volumenom (V), tlakom (p) i temperaturom (T). Mijenja li se jedna od tih triju veliina, promijenit e se bar jedna od preostale dvije. Tlak plina uzrokuju sudari molekula plina na stijenkama posude, pa taj tlak ovisi o broju molekula u jedinici volumena i o njihovoj kinetikoj energiji:

PN

V

m v N

VEm k= =

2

3 2

2

3

2

gdje je N broj molekula u volumenu V, mm masa molekule plina i v

2 srednja vrijednost kvadrata brzine molekula. Apsolutna temperatura T povezana je s gibanjem molekula plina relacijom:

TN

nRE

N

REk

Ak

2

3

2

3=

gdje je R plinska konstanta, n broj molova plina, a NA Avogadrov broj. Izotermna promjena stanja plina je takova promjena kod koje temperatura ostaje stalna, a promjenu tlaka i volumena opisuje Boyle - Mariotteov zakon: t=konst. p1V1=p2V2=konst.

Kod konstantne temperature uz porast tlaka, volumen plina pada i obrnuto.

54

Izobarna promjena stanja plina je takva promjena kod koje je tlak plina konstantan, a volu-men raste s porastom temperature prema Gay - Lussacovom (Gaj - Lisak) zakonu:

p=konst.

Vt=V0(1+t) Uvedemo li termodinamiku temperaturu T=(t+273,15)K dobivamo taj zakon izraen u obliku:

V

T

V

T= 0

0

to zani da uz konstantan tlak omjer V/T ostaje isti pa vrijedi:

V

T

V

T1

1

2

2

=

je toplinski koeficijent irenja plina i iznosi:

= = 1 1273150

1

TK

,

Izohorna promjena stanja plina je takova promjena stanja plina kod koje se volumen plina ne mijenja, a tlak raste s porastom temperature prema Charlesovom (are) zakonu.

V=konst.

Pt=P0(1+t) je toplinski koeficijent tlaka plina i iznosi:

= 127315

1

,K

U apsolutnoj ljestvici temperature taj zakon ima oblik:

P

T

P

Todnosno

P

T

P

T= =0

0

1

1

2

2

55

Jednadba stanja plina Povezanost sva tri parametra koji opisuju stanje plina (volumen, tlak i temperatura) moe-mo izraziti zakonom u kojem su sadrana sva tri plinska zakona. To je jednadba stanja plina:

p V

T

p V

T1 1

1

2 2

2

=

ili krae:

p V

Tkonst

= .

Promatra li se koliina plina od 1 mol, iji je volumen Vm dobija se:

p V

T

p V

Tm m = 0 0

0

p0 = 101 325 Pa Vom = 2,2410

-2 m3 T0 = 273,15 k

p V

TR JK molm0 0

0

1 18 314= = ,

Jednadba tada poprima oblik:

pVm=RT Ako promatramo koliinu od n molova plina jednadba glasi:

pV=nRT Promatramo li smjesu od nekoliko plinova, ukupni e tlak biti jednak zbroju parcijalnih tlakova pomijeanih plinova. Tlak smjese je:

p=p1+p2+p3+... gdje su p1, p2, p3 tlakovi pojedinih plinova. Parcijalni tlak plina je tlak to bi ga imala jedna od pomijeanih koliina plina kad bi sama ispunila itav prostor u kojem se nalazi smjesa.

56

MEHANIKI RAD I UNUTRANJA ENERGIJA Unutranja energija sustava se moe promijeniti dovoenjem (odvoenjem) topline kao i obavljanjem rada. Prema prvom zakonu termodinamike je:

U=Q+W gdje je U promjena unutranje energije, Q dovedena (odvedena) koliina topline, a W obavljeni rad. Plin pri irenju obavlja rad. Taj rad ovisi o vrsti procesa kojim se plin rastee. Pri izobar-nom irenju (p=konst.) pri tlaku p od volumena V1 do volumena V2 rad je jednak:

W=p(V2-V1) Pri izohornom procesu (V=konst.) plin se ne iri, te je i rad nula. Pri adijabatskom procesu (Q=0, nema izmjene topline s okolinom) pa se rad obavlja na raun smanjenja unutranje energije.

W=-U

Pri izotermnom procesu (T=konst.) nema promijene unutranje energije (U=0) te se sva dovedena toplina pretvara u rad W=Q. U p-V dijagramu rad je jednak povrini ispod krivulje. Korisnost idealnog toplinskog stroja (Carnotova) je:

= =

=W

Q

Q Q

Q

T T

T2

2 1

2

2 1

2

gdje je Q2 dovedena toplina, Q1 toplina predana hladnijem spremniku, T2 temperatura topli-jeg, a T1 temperatura hladnijeg spremnika. Kod toplinskih strojeva dio unutranje energije plinova ili para (radnog tijela) se pretvara u rad. To je mogue samo ako postoji razlika temperatura spremnika izmeu kojih krui radno tijelo. Za vrijeme jednog krunog procesa radno tijelo primi od toplijeg spremnika toplinu Q2 i preda hladnijem spremniku toplinu Q1. Promjena topline Q2-Q1 je rad to ga je radno tijelo izvrilo. Korisnost nekog toplinskog stroja govori o tome koliki je dio topline dobivene od topli-jeg spremnika preao u mehaniki rad.

57

RJEENI PRIMJERI IZ PODRUJA TOPLINA 1. Plinska boca napunjena je plinom temperature 15C pod tlakom upola manjim od tlaka pri kojem dolazi do rasprsnua boce. Pri kojoj temperaturi plina u boci dolazi do rasprsnu-a? p1=p2/2 t1=15C=288 K T2=?

p

T

p

T

Tp

pT T K K t C

2

2

1

1

22

11 12 2 288 576 303

=

= = = = = o

2. Nekom smo plinu predali toplinu od 5107 J pri stalnom tlaku, a plin je pri tom izvrio rad od 3107 J. to se dogodilo s unutranjom energijom plina? Q=5107 J p=konst.

W=3107 J U Q W J J J= = = 5 10 3 10 2 107 7 7 U=? Unutranja energija plina se poveala za 2107 J. 3. 1 kg ugljena topline izgaranja 3,3107 J/kg proizvede dovoljno pare da parni stroj radi 2 sata prosjenom snagom od 700 W. Koliki je koeficijent iskoritenja? Q=3,3107 Jkg-1=Wu t=2 h=7200 s p=700W =?

= = =

= =

W

W

P t

W

W s

Jkg

k

u u

700 7200

3 3 100 1527 15 27%

7 1,, ,

4. Da bismo ohladili 210-3 m3 vode temperature 80C na 60C dodajemo joj hladnu vodu temperature 10C. Koju koliinu hladne vode trebamo doliti? (gustoa vode je 103 kgm-3) m1=210

-3103 kg=2 kg t1=80C t=60C t2=10C m2=?

m c(t - t) = m c(t - t )

mt - t)

1 1 2 2

21=

= =

m

t t

kg K

Kkg1

2

2 20

500 8

(,

5. Koliku energiju treba utroiti da bi se 0,5 kg olova ugrijalo od temperature 15C na temperaturu talita olova 327C? (specifini toplinski kapacite olova c=126 Jkg-1 K-1) m=0,5 kg t1=15C t2=327C Q=? Q=mcT=0,5 kg126 Jkg-1 K-1(327-15)K=19 656J

58

6. U automobilskoj gumi nalazi se zrak pod tlakom 6105 Pa kod 293 K. Dok se auto giba, temperatura u gumi poraste na 308 K. Za koliko se povea tlak plina u gumi, ako je volu-men zraka konstantan? p=6105 Pa T1=293 K T2=308 K p=?

p p pp

TT p

Pa K

KPa

p Pa Pa Pa

= = =

= = =

2 11

12 1

55

5 5 4

6 10 308

2936 10

6 307 6 10 0 307 10 3 07 10( , ) , ,

7. U zatvorenoj posudi volumena 10 l nalazi se 0,5 mola vodika. Koliki e biti izvreni rad ako ga zagrijemo od 0C do 100C? V=10 l=1010-3 m3 n==0,5 mol t1=0C t2=100C W=? W=pV=0 jer nema promijene volumena. 8. Posudu koja sadri 5 litara zraka pri normalnom tlaku sjedinimo s potpuno praznom (vakuum) posudom 4,5 litara. Koliki je konani tlak zraka, ako je proces izoterman (T=konst.)? p1=101 325 Pa V1=5 l=510

-3 m3

V2=(5+4,5) l=9,510-3 m3

p2=?

p V p V

pp V

V

Pa m

mPa

1 1 2 2

21 1

2

3 3

3 3

101325 5 10

9 5 1053329

=

= =

=

,

9. Elektrinim ronilom snage 1 Kw zagrijavamo tri minute vodu mase 2 kg. Za koliko e se pri tom povisiti temperatura vode ako nema toplinskih gubitaka? Specifini toplinski kapa-citet vode iznosi 4190 Jkg-1 K-1. P=1 kW=103 W t=3 min=180 s m=2 kg T=?

W Q

P t mc T

Tp t

mc

W s

kg Jkg KK

= =

= =

=

10 180

2 419021 47

3

1 1,

10. U aluminijskoj ploi napravljen je kruni otvor polumjera 2,5 cm na temperaturi 20C. Koliko e iznositi polumjer otvora na temperaturi 200C? Koeficijent linearnog rastezanja aluminija je 2410-6 K-1. lt=2,5 cm t=20C=293 K t2=200C=473 K l2=?

l l t

ll

t

t

t

= +

=+

0

0

1

1

( )

59

l l t

l

tt

lcm

K KK cm

t2 0 2 2

2 6 16

11

1

2 5

1 24 10 2931 24 10 473 2 51

= + =+

+

=+

+ =

( ) ( )

,( ) ,

11. Nakon koliko e vremena iz kalorimetra ispariti 100 g vode ako je u kalorimetar uro-njen grija snage 1000 W? Poetna masa vode u kalorimetru bila je 2000 g, a njena tempe-ratura iznosila 20C. (Specifini toplinski kapacitet vode je 4190 Jkg-1K-1, a specifina toplina isparavanja vode je 2,26106 Jkg-1.) m=100 g=0,1 kg P=1000 W m1=2000 g=2 kg t1=20C c=4190 Jkg-1 K-1 r=2,26106 Jkg-1 t2=100C t=?

Grija mora prvo zagrijati svu vodu do vrenja, a tek onda e nastupiti isapravanje. W Q Q

P t m c t mr

tm c T mr

P

tkg Jkg K K kg Jkg

W

t s s

r= + = +

=+

= +

= + =

1

1

1 1 6 12 4190 80 0 1 2 26 10

1000670400 226000

1000896 4

, ,

,

60

ELEKTRICITET COULOMBOV ZAKON Elektrini naboj je jedna od osnovnih osobina elementarnih estica od kojih su izgraeni atomi. Najmanja koliina elektrinog naboja, elementarni naboj iznosi:

e=1,610-19 C Jedinica za naboj je coulomb (C). Naboj protona je +e, a naboj elektrona -e. Naboj bilo kojeg tijela moe biti samo viekratnik elementarnog naboja:

Q=ne Izmeu dvaju tokastih naboja djeluje elektrina sila koja je upravno razmjerna umnoku naboja Q1 i Q2, a obrnuto razmjerna s kvadratom njihove meusobne udaljenosti r (Cou-lombov zakon):

F kQ Q

r

Q Q

r=

=

1 22

1 22

1

4

Q1 i Q2 su naboji, r njihova meusobna udaljenost, a permitivnost (dielektrinost sred-stva) u kojem se naboji nalaze. U vakuumu =0=8,8510-12 N-1 m-2 C2, a u sredstvu =r0 gdje je r relativna permitivnost sredstva. U vakuumu konstanta k iznosi:

k C Nm= = 14

8 99 100

9 2 2

,

a tolika je praktino i u zraku. Ako su naboji istoimeni, sila meu njima je odbojna, a ako su raznoimeni, sila je privlana. ELEKTIRNO POLJE I POTENCIJAL Elektrino polje je dio prostora u kojem se osjea djelovanje elektrine sile na naboj.

Ako na naboj Q u odreenoj toki prostora djeluje elektrina sila rF , tada je jakost elektri-

nog polja rE u toj toki jednaka:

Q

FE

r

r

=

61

Jakost polja brojano je jednaka sili koja djeluje na jedinini pozitivan naboj, a smjer

vektora Er

je isti kao i smjer sile Fr

. Jedinica za jakost el. polja je N/C, odnosno ekvivalentna jedinica V/m. Jakost elektrinog polja tokastog naboja Q na udaljenosti r od naboja je:

EQ

rr= 1

4 0 2

Izraz vrijedi i za jakost polja nabijene kugle jer je jakost polja kugle upravo tolika kao da je sav naboj koncentriran u sreditu kugle. Udaljenost r je tada razmak od sredita kugle do toke u kojoj promatramo jakost polja. Potencijal neke toke elektrinog polja je jednak radu potrebnom za pomicanje jedininog pozitivnog naboja iz te toke u referentnu toku nultog potencijala:

= WQ

Jedinica za potencijal je volt:

1V=1

1

J

C

Veliina potencijalne energije odreene toke polja dana je izrazom:

E W Qp = = Potencijal tokastog naboja Q ili nabijene kugle u toki na udaljenosti r od naboja ili sredi-ta kugle je:

= 14 0 r

Q

r

Potencijal toaka na povrini nabijene kugle polumjera R je jednak:

= 14 0 r

Q

R

Razlika potencijala (1-2)se naziva napon:

UW

Q= = 1 2

62

Napon izmeu dvije toke je jednak radu to ga treba izvriti pri prenoenju naboja Q iz jedne toke u drugu. Jedinica za napon je ista kao i za potencijale 1 Volt (1V). Iz izraza W=QU izvodi se jo jedna jedinica za energiju, 1 eV (elekron volt). 1eV je energija koju dobije elektron (ili neka druga estica s nabojem e) kad prijee razliku potencijala od 1V.

1eV=1,610-19 C1 V=1,610-19 J 1KeV=1000eV=1,610-16 J 1MeV=106eV=1,610-13 J

U homogenom elektrinom polju jakosti E, kod naboja Q prelazi udaljenost d obavlja se rad jednak:

W=Fd=QEd=Qu odakle je:

EU

d=

pa tako i jedinica za jakost elektrinog polja (1

1

V

m).

ELEKTRINI KAPACITET I KONDENZATORI Elektrini kapacitet vodia je jednak omjeru naboja Q koji se nalazi na vodiu i potencijala :

CQ=

Jedinica za kapacitet je farad (F):

11

1F

C

V=

Kondenzator se sastoji od dvaju vodia izmeu kojih je izolator (dielektrik). Kapacitet kondenzatora je omjer naboja na kondenzatoru i napona izmeu ploa kondenzatora:

CQ Q

U=

=

1 2

63

Kapacitet ploastog kondenzatora upravo je razmjeran povrini S jedne ploe, a obrnuto razmjeran udaljenosti d izmeu ploa:

CQ

U

S

dr= =

0

Jakost elektrinog polja unutar ploastog kondenzatora nabijenog nabojem Q je:

EQ

Sr r= =

1

0 0

gdje je =Q/S plona gustoa naboja na ploama kondenzatora. Unutar kondenzatora polje je homogeno te je:

EU

d=

gdje je U napon izmeu ploa, a d razmak ploa. Kapacitet kugle polumjera R iznosi:

C=40rR Kondenzatore moemo spajati paralelno i serijski. Ukupni kapacitet paralelno spojenih kondenzatora je:

C=C1+C2+C3+...Cn Ukupni kapacitet serijski spojenih kondenzatora je:

1 1 1 1 1 1

1 2 3 1C C C C C Cn ii

n= + + + + =

=...

64

Energija pohranjena u nabijenom kondenzatoru je jednaka:

W Q U C U= = 12

1

22

OHMOV ZAKON I ZAKON ELEKTRINOG OTPORA Elektrina struja je svako usmjereno gibanje elektrinog naboja. Jakost struje I je definirana kao ona koliina naboja Q koja u vremenu t proe presjekom vodia:

IQ

t=

Ako je struja konstantna, onda vrijedi:

IQ

t=

Jedinica za jakost el. struje je amper (A). Gustoa struje je jakost struje po jedinici presjeka vodia:

jI

S=

a jedinica za mjerenje gustoe struje je Am-2.

Pod djelovanjem elektrine sile EeFrr

= slobodni elektroni u metalima dobivaju prirast brzine u smjeru el. sile:

v E= gdje je pokretljivost elektrona koja se mjeri u m2 s-1 V-1.

65

Za metalni vodi duljine l i povrine presjeka S Ohmov zakon glasi:

IQ

t

n e S v t

tn e S v n e

S

lU G U= = = = =

n je broj elektrona u jedinici volumena, e elementarni naboj, pokretljivost slobodnih elektrona, U napon na krajevima vodia, G vodljivost.

Elektrina vodljivost G se mjeri u siemensima (11

1S

A

V= ).

Reciprona vrijednost elektrine vodljivosti je elektrini otpor (R):

RG n e

l

S= =

1 1

Jedinica za mjerenje otpora je je ohm(11

1 = V

A)

Ohmov zakon napisan pomou otpora za dio strujnog kruga je:

IU

R=

gdje je I jakost struje to tee vodiem, U napon na krajevima vodia a R otpor vodia. Zakon elektrinog otpora Elektrini otpor R vodia duljine l i presjeka S jednak je:

Rn e

l

S

l

S=

= 1

gdje je:

= 1

n e

elektrina otpornost materijala koja se mjeri u m. Elektrini otpor vodia raste s el. otpornou materijala i duljinom vodia, a pada s povri-nom presjeka vodia. Elektrini otpor vodia mijenja se i s temperaturom prema zakonu:

R R tt = +0 1( ) gdje je R0 otpor kod 0C, Rt otpor kod temperature t, i temperaturni koeficijent otpora.

66

Ohmov zakon za zatvoreni strujni krug. Zbog procesa koji se odigravaju unutar el. izvora javlja se elektromotorna sila izvora () koja je jednaka naponu neoptereenog izvora i mjeri se u voltima, a u isto vrijeme u samom izvoru postoji i unutranji otpor Ru.

Ako se izvor elektromotorne sile i unutranjeg otpora Ru prikljui u strujni krug smanji se napon U zbog pada napona na unutranjem otporu:

U I R u= Ohmov zakon za takav zatvoreni strujni krug je:

IR Ru

=+

gdje je Ru unutranji otpor izvora, a R vanjski otpor. KIRCHHOFFOVA PRAVILA, SPAJANJE OTPORA I IZVORA 1. Prvo Kirchhoffovo pravilo Algebarski zbroj jakosti struja u nekom voritu (toki grananja) jednak je nuli:

I I I I= + + + = 1 2 3 0... Struje koje dolaze u toku grananja smatraju se pozitivnim u struje koje iz toke grananja izlaze negativnim. 2. Drugo Kirchhoffovo pravilo Algebarski zbroj svih elektromotornih sila u zatvorenom strujnom krugu jednak je zbroju svih padova napona na otporima u tom strujnom krugu:

= R I

67

Serijski spoj otpora. Ukupni otpor serijski spojenih otpora jednak je zbroju pojedinih otpora:

R=R1+R2+R3+... Pri serijskom spajanju otpora kroz sve otpore tee ista jakost struje, pa je ukupni napon jednak sumi padova napona na pojedinim vodiima:

U=U1+U2+U3=IR1+IR2+IR3 Paralelni spoj otpora. Pad napona na krajevima svih vodia spojenih u paralelu je jednak:

U=I1R1=I2R2=I3R3 Ukupni otpor paralelno spojenih vodia je:

1 1 1 1

1 2 3R R R R= + +

Jakost struje I koja je dola u toku grananja jednaka je sumi jakosti struja koje su iz toke grananja izale:

I=I1+I2+I3

68

Serijsko spajanje izvora. Pri serijskom spajanju izvora ukupna elektromotorna sila jdnaka je zbroju elektromotornih sila i pojedinih izvora. Jednako je i unutranji otpor jednak zbroju pojedinih unutranjih otpora pa Ohmov zakon u tom sluaju glasi:

IR R

ii

n

ni

n

i

=

+

=

=

1

1

Paralelni spoj izvora. Kod paralelnog spajanja vie izvora jednake elektromotorne sile, ukupna elektromotorna sila jednaka je elektromotornoj sili pojedinog izvora, a ukupni se unutranji otpor smanjuje jer su paralelno spojeni. Ohmov zakon ima slijedei oblik:

I

RR

nu

=+

RAD I SNAGA ELEKTRINE STRUJE Rad to ga izvri struja jakosti I za vrijeme t, ako je na krajevima vodia napon U jednak je:

W=UIt Snaga struje je:

P=UI Jedinica za rad je joule (J), a jedinica za snagu watt (W). Za izraavanje rada upotrebljava se jo i 1 kWh:

1kWh=103W3600 s=3,6106 J Primjenom Ohmovog zakona (U=IR) formule za rad i snagu se mogu pisati:

W I R tU

Rt

P I RU

R

= =

= =

22

22

69

Prema Jouleovom zakonu toplinski uinak elektrine struje se moe pisati:

Q U I t I R tU

Rt= = = 2

2

ELEKTRINA STRUJA U ELEKTROLITIMA, PLINOVIMA I VAKUUMU Proputanjem istosmjerne struje kroz otopine elektrolita dolazi do pojave elektrolize. Masa tvari to se izlui elektrolizom na elektrodi jednaka je ukupnoj masi svih iona prispjelih na elektrodu:

m=Nmi Ako se masa iona izrazi omjerom molarne mase M i Avogadrove konstante NA dobija se:

mM

N

mN M

N

iA

A

=

=

Ukupni naboj koji proe elektrolizom za vrijeme elektrolize jednak je naboju svih iona koji stignu na elektrodu:

Q=NZe gdje je z valencija iona. Ako se u izraz za masu uvrsti:

NQ

Z e=

e

dobija se:

mM Q

N e ZA=

Umnoak NAeZ je Faradayeva konstanta, ona je za sve tvari jednaka i iznosi 9,64910

4 Cmol-1. Plinovi su u normalnim uvjetima izolatori, a jedino u ioniziranom stanju provode struju. Energija ionizacije je energija potrebna da se od neutralne molekule otrgne elektron i stvori par ion - elektron. Energija ionizacije se najee izraava elektronvoltima. Voenje struje u vakuum primjenjuje se u elektronskim vakuumskim cijevima diodi, triodi i katodnoj cijevi. U diodi se elektroni gibaju od katode prema anodi pod utjecajem elektri-

70

nog polja proizvedenog anodnim naponom i dioda slui kao ispravlja. Katodna cijev je vakuumska elektronska cijev u kojoj uski snop elektrona putujui iz katode prolazi kroz otvor u anodi, otklanja se kroz elektronske ploice i udara u ekran. Trioda je vakuumska elektronska cijev koja osim katode i anode ima i treu elektrodu, upravljaku reetku. Trioda slui kao pojaalo. MAGNETSKO POLJE Svaki naboj u gibanju stvara u prostoru magnetsko polje. Jakost magnetskog polja H u toki A udaljenoj za r od naboja Q koji se giba brzinom v iznosi (Biot - Savart - Laplaceov zakon):

HQ v

r=

sin

4 2

gdje je kut izmeu smjera brzine v

r

i spojnice rr

naboja i promatrane toke:

Slino je jakost magnetskog polja elemenata vodia l kroz koji tee struja jakosti I jednaka:

H I lr

= sin 4 2

Jedinica za jakost magnetskog polja je Am-1. Veza izmeu magnetske indukcije (gustoe magnetskog toka) i jakosti magnetskog polja je

B=0rH gdje je 0=410-7 TmA-1 permeabilnost vakuma, r relativna permeabilnost tvari, tj. omjer magnetske indukcije u tvari i vakuumu za istu jakost polja:

rB

B=

0

71

Za zrak i veinu tvari =0 jer je r1, a za feromagnetske materijale r je veliki i ovisan o magnetskom polju. Jedinica za magnetsku indukciju je tesla (1T). Magnetsko polje ravnog vodia. Jakost magnetskog polja u udaljenosti r od ravnog vodia kojim tee struja jakosti I:

dana je izrazom:

HI

r=

2

Magnetske silnice ravnog vodia kroz kojeg tee struja su koncentrine krunice koje lee

u ravnini okomitoj na vodi, a sredite im je u osi vodia. Smijer silnica (vektora Hr

odnosno Br

) odreujemo pravilom desne ruke. Ako palac pokazuje smjer struje, savijeni prsti pokazuju smjer silnica magnetskog polja. Magnetsko polje zavojnice. Jakost magnetskog polja unutar zavojnice duljine l koja ima N zavoja kada kroz nju tee jakost struje I dana je izrazom:

HN I

l=

72

Smjer magnetskog polja zavojnice odreujemo prema pravilu desne ruke koje kae: uhvati-mo li zavojnicu desnom rukom tako da savijeni prsti pokazuju smijer struje, palac pokazuje sjeverni pol. Jakost magnetskog polja u sreditu krune petlje je:

HI

r=

2

gdje je r polumjer petlje.

Smjer magnetskog polja krune petlje odreujemo pravilom desne ruke. Obuhvatimo li petlju prstima desne ruke da nam oni pokazuju smjer struje, palac e pokazivati smjer

magnetskog polja ( Hr

odnosno Br

). Magnetska indukcija i magnetski tok. Magnetski tok kroz ravnu povrinu S:

dan je izrazom:

=BScos

gdje je kut izmeu vektora Br

i normale nr

na povrinu.

73

Ako silnice magnetskog polja prolaze okomito kroz povrinu tok se moe prikazati kao:

=BS Jedinica za magnetski tok je weber (1 Wb=Tm2). Gibanje elektriki nabijene estice u magnetskom polju - Lorentzova sila. Kada se naboj Q giba brzinom v u magnetskom polju magnetske indukcije B na njega djeluje Lorentzova sila koja je jadnaka:

F=QvBsin

gdje je kut izmeu smjera gibanja ( vr

) i smjera vektora ( Br

). U sluaju pozitivnog naboja smjer sile odreujemo pravilom desnog dlana koje kae: Ako

isprueni prsti pokazuju smjer magnetskog polja ( Br

), a palac smjer brzine estice ( vr

), pra-vac sile je okomit na dlan, a smjer te sile je od dlana:

Ako je naboj negativan sila je suprotnog smjera. Djelovanje magnetskog polja na vodi kojim tee elektrina struja - Amperova sila. Veliina sile F kojom homogeno magnetsko polje magnetske indukcije B djeluje na vodi duljine l kojim tee jakost struje I:

74

jednaka je:

F=BIlsin

gdje je kut izmeu smjera kojim tee struja i smjera vektora Br

. Smjer sile (otklona vodia) odreujemo pravilom desnog dlana. Postavimo li desni dlan tako da prsti pokazuju smjer magnetskog polja B, a palac smjer struje I, sila F e imati takav smjer da vodi nastoji udaljiti od dlana. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA Elektromagnetska indukcija je pojava da se promjenom magnetskog toka u vodiu inducira napon:

U Nti

=

Faradayev zakon elektromagnetske indukcije kae da je inducirani napon proporcionalan brzini promijene magnetskog toka. je promijena magnetskog toka, =2-1 u svakome od zavoja, a N broj zavoja. Predznak (-) kae da je inducirani napon takav da od tog napona stvorena inducirana struja svojim magnetskim uinkom nastoji ponititi uzrok koji ju je proizveo (Lenzovo pravilo). Kada se ravni vodi duljine l giba brzinom v u homogenom magnetskom polju magnetske indukcije B i pod kutem u odnosu na polje, u vodiu se inducira napon koji je jednak:

Ui = -Blvsin Magnetski tok koji je proizvela struja I koja protjee kroz neki zavoj jednak je:

=LI gdje je L koeficijent samoindukcije (induktivitet) koji ovisi o obliku i veliini zavoja te magnetskoj permeabilnosti okolnog sredstva. Jedinica za induktivitet je henri (H)

H=WbA-1=VsA-1 Promjenom jakosti struje kroz zavoj, mijenja se i magnetski tok kroz povrinu ogranienu tim zavojem te se u njemu inducira elektromotorna sila (napon) samoindukcije:

Ut

LI

tL= =

75

Kada su dvije zavojnoce induktivno povezane, promjena jakosti struje u primarnoj zavojni-ci inducirat e napon u sekundarnoj:

U LI

t2 1 21= ,

Induktivitet zavojnice koja ima povrinu presjeka S, duljinu l i jezgru permeabilnosti =0r s N zavoja iznosi:

LS N

lr=

02

Induktivitet dviju jednoslojnih zavoja s N1 i N2 namotaja, jednake duljine l, namotanih jedna na drugu na jezgri permeabilnosti =0r i presjeka S je:

L SN N

lr1 2 01 2

, =

IZMJENINA STRUJA Ako se tanka zavojnica jednoliko vrti kutnom brzinom =2f u homogenom magnetskom polju inducira se izmjenini napon:

U=U0sint gdje je U0 maksimalna vrijednost napona,a =2f kruna frekvencija (pulzacija). Frekven-cija gradske mree je f=50 Hz. Jednako tako i jakost struje mijenja se po zakonu sinusa te je:

I=I0sint Efektivna vrijednost jakosti izmjenine struje je ona jakost koju treba imati istosmjerna struja stalne jakosti da u jednakom vremenu proizvede u nekom vodiu jednaku toplinu kao i promatrana izmjenina struja. Povezanost izmeu efektivne I i maksimalne vrijednosti I0 jakosti izmjenine struje daje relacija:

II

= 02

te je isto tako i efektivna vrijednost izmjeninog napona:

UU

= 02

76

Ukupan otpor u krugu izmjenine struje - impendancija Z.

Z R R RL C= + 2 2( )

Z je impedancija ili ukupni otpor, R je radni otpor, RL=L je induktivni otpor, RCC

=1

je kapacitivni otpor. RL i RC su takozvani prazni otpori. Ohmov zakon za krug izmjenine struje glasi:

IU

Z=

Razlika faze izmeu izmjeninog napona i izmjenine struje:

dana je izrazom:

tgR R

RL C =

Srednja vrijednost snage izmjenine struje je dana izrazom:

P=IUcos

77

Elektromagnetski titraji i valovi. Elektrini titrajni krug se sastoji od zavojnice induktiviteta L i kondenzatora kapaciteta C:

Vlastita frekvencija takvog titrajnog kruga je dana Thomsonovom formulom:

fLC

= 12

Elektromagnetski valovi nastaju irenjem titraja elektrinog i magnetskog polja iz titrajnog kruga u prostor. Vektori elektrinog i magnetskog polja u valu su uvijek meusobno okomiti, a okomiti su i na smjer irenja vala. Valna duljina, frekvencija i brzina su poveza-ne identinim izrazom kao i kod mehanikih valova:

v=f Brzina irenja elektromagnetskih valova u vakumu dana je relacijom:

C = 1

0 0

gdje je 0=8,8510-12 Fm-1, a 0=410-7 Hm-1. Brzina irenja elektromagnetskih valova u bilo kojem drugom sredstvu ovisi o njegovim elektromagnetskim svojstvima i odreena je izrazom:

vc

r r

= =1

Transformator. Ureaj koji transformira izmjeninu struju jednog napona i jakosti u izmje-ninu struju drugog napona i jakosti a radi na principu elektromagnetske indukcije. Za idealni transformator bez gubitaka vrijedi:

U

U

I

I

N

N1

2

2

1

1

2

= =

gdje su U1, I1 i N1 napon, jekost i broj namotaja primarne zavojnice, a U2, I2 i N2 napon, jakost i broj namotaja sekundarne zavojnice.

78

RIJEENI PRIMJERI IZ PODRUJA ELEKTRICITET 1. Jezgra helija ima naboj +2e, a jezgra neona +10e (e=1,610-19 C). Elektrostatska sila izmeu njih, na razmaku od 510-6 m iznosi (dielektrina konstanta vakuma =8,8510-12 Fm-1): Q1=+2e=21,610

-19 C Q2=+10e=101,610

-19 C R=510-6 m F=?

Fk Q Q

R

FNm C C C

m

F N N

=

=

= =

1 22

9 2 2 19 19

6 2

17 16

9 10