Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    1/74

    Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

    Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu

    Zvonimir Kolumbić, [email protected] 

    Dražan Kozak, [email protected] 

     – podloge za studij strojarstva –

    Slavonski Brod, 2010.

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    2/74

    Udžbenici Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

    Recenzenti:

    Područ je Fizika: dr. sc. Bratislav S. Tošić, redoviti profesor,

    dopisni član Vojvođanske akademije nauka i umetnosti,

    Prirodno matematički fakultet Univerziteta u Novom Sadu

    Područ je Strojarstvo: dr. sc. Pero Raos, redoviti profesor,

    Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu Sveučilišta J. J.Strossmayera u Osijeku

    Nakladnik:

    Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu

    za nakladnika: prof. dr. sc. Dražan Kozak, dekan 

    Odluka Senata:

    Daje se suglasnost za izdavanje udžbenika pod nazivom "Fizika - podloge za studij strojarstva"

    prof. dr. sc Zvonimira Kolumbića, prof. dr. sc Dražana Kozaka na Strojarskom fakultetu uSlavonskom Brodu.

    Broj: 22/10 od 17. svibnja 2010.

    Sveučilišni udžbenik

    Lektor:

    dr. sc. Jasna Ažman

    Obrada crteža i teksta:

    prof. dr. sc. Zvonimir Kolumbić 

    ISBN:

    978-953-6048-59-5

     ©

    Sadržaj udžbenika je slobodan za korištenje

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    3/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  01. Uvod – 1 

    1.1 Materija, fizika, matematika i strojarstvo

    Materijom se naziva sve što formira objektivnu stvarnost prirode, koja istinski postoji, neovisno o ljudskoj spoznaji. Posebni oblici pojavlji-vanja materije (sustavi) imaju brojna različita svojstva, a zajedničko im je svojstvo stalnost različitih oblika gibanja ( procesi). Materija i nje-na gibanja se ne izučavaju kao jedinstvena cjelina. Pojedine znanosti (fizika, kemija, fizikalna kemija, strojarstvo, biologija, medicina), suk-adno postavljenom cilju i zadacima, razvile su parcijalne pristupe izučavanju posebnih oblika pojavljivanja materije i njihovih gibanja.

    Supstancije i tvari su nazivi skupina čestica (atoma). Korištenje termina nije jedinstveno – u pravilu se naglašava značaj:1.  supstancija – jedinstvenost kemijskog sastava skupine čestica (“Željezni(III)-oksid, Fe2O3 , sadrži 40 mol % Fe.”),2.  tvar – jedinstvenost svojstava skupine čestica (“Ruda hematit, Fe3O4 + prateće supstancije, sirovina je za dobivanje željeza.”).

    Fizika je temeljna prirodna znanost. Istražuje i opisuje zakonitosti najjednostavnijih oblika: (a) pojavljivanja materije (fizički sustavi) i (b)gibanja materije (fizički procesi – mikro/makro pristup). Eksperimentalna istraživanja se provode na prirodnim i/ili umjetnim fizičkim susta-vima (laboratorijski pokusi). Formira temelje za analizu svih drugih složenijih sustava i oblika gibanja materije u prirodi (kemija, biologija) iemelje za razvoj tehničkih znanosti (strojarstvo, elektrotehnika, građevinarstvo, kemijske tehnologije).

    Matematika je teorijska znanost koja proučava brojčane odnose (aritmetika, algebra, infinitezimalni račun) i prostorne oblike (geometrija).Nerazrješivo je srasla s fizikom – teško se može utemeljiti mimo/bez fizičkih sustava, a fizički se zakoni najsažetije iskazuju matematičkimformulama – matematičkim modelima. Pri formiranju matematičkih modela fizičkih sustava i procesa (opisi ne i objašnjenja), zbog složenos-i prirodnih i tehničkih sustava i procesa (X = f(t)) mora se u analizama razlučiti bitno i nebitno, usredotočiti na bitno, zanemariti nebitno.

    Strojarstvo  je grana tehnike koja doprinosi razvoju društva konstruiranjem, proizvodnjom, ugradnjom i održavanjem strojarskih dijelova(greda, vijak i navrtka, zupčanik, spremnik ), te projektiranjem, izgradnjom i pogonom strojarskih sustava ( pumpa, motor s unutarnjim izga-ranjem, vozilo, kotlovnica). Dominantnu ulogu u strojarstvu imaju zakonitosti fizike, prije svega mehanike i topline (ekologija i ekonomija).

    Bez razumijevanja fizičkih zakona nemogu se obavljati čak ni najjednostavni-

     ji strojarsko-inženjerski poslovi (manu-alni rad, filozofija i kompjutori).

    1.2 Fizičke veličine, mjerenja i pokusiFizičke veličine su pokazatelji kojima se opisuju stanja (svojstva) fizičkih sustava i procesi (gibanja) koji se u njima odvijaju.

    Vrijednost fizičke veličine se: (a) nalazi u literaturi ( priručnici, monografije, članci) ili (b) izračunava, ako se ne može se naći u literaturi ilic) izmjeri ako za izračunavanja nedostaju potrebni podaci ili je postupak izračunavanja nepoznat ili previše složen/opsežan.

    Mjerenje je neposredno ili posredno određivanje brojčanih iznosa koji pokazuju koliko puta mjerena veličina sadrži u sebi istovrsnu jedinič-nu veličinu, dogovorom utvr đenu kao mjernu jedinicu (metar, sekunda, kilogram, njutn…). Na primjer, 3,2 m znači da je izmjerena duljina3,2 puta veća od duljine međunarodnog standarda za 1 metar. Provedba brojnih mjerenja je detaljno opisana u odgovarajućim normama.

    Mjerna pogreška (± ε ) – odstupanje rezultata mjerenja od istinite vrijednosti veličine ovisi o korištenoj mjernoj opremi i provedenom pos-

    upku mjerenja (norme).Č

    esto se u fizici navodi u skraćenom zapisu – u zagradi, zajedno s broj

    čanim iznosom, npr. univerzalna molskojkonstanta idealnih plinova R = 8,314510(70) JoKomol –1 = 8,314510 ± 0,000070 JoKomol –1. Bez posebne se napomene podrazumijeva

    odstupanje posljednje znamenke aktualnoga brojčanog iznosa za ± 0,5 (1 km = 0,5 ÷1,5 km; 1000 m = 999,5 ÷1000,5 m).

    ⇒  podrazumijeva se:

    ε  = ± 0,5 cm4,5 ≤ L 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    4/74

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    5/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  01. Uvod – 3 

    1.5 Opisivanje i geometrijsko zbrajanje vektora

    Vektorske veličine se mogu dovoljno detaljno opisati geometrijskom skicom ili algebarskim umnoškom intenziteta vektora i orta.

    F = ⏐F⏐oF0  (kratak algebarski opis – debele kose oznake vektorskih veličina) 

    gdje je: ⏐F⏐  – intenzitet (uvijek pozitivna skalarna veličina), koji obuhvaća brojčani iznos i mjernu jedinicu,F0  – jedinični vektor – ort (vektorska veličina), koji određuje pravac i pozitivan smjer ( bez jedinice).Rezultanta (vektorska veličina) opisuje zajednički učinak djelovanje dva ili više “komponentna vektora”. Rezultanta se dobiva zbrajanjemkomponentnih vektora (iste jedinice!): geometrijskim ( po zbrajanju se komponentni vektori prekriže) ili algebarskim (vektorska algebra).

    Geometrijski se vektori zbrajaju (a) prema pravilu paralelograma  ili (b) postupkom “rep na vrh”. Kod postupka rep na vrh redoslijedzbrajanja nije bitan, a rezultanta zatvara poligon i ima suprotan smjer (spojeni su: rep rezultante i rep prvog vektora, te vrh rezultante i vrhposljednjeg vektora). Rezultanta zamjenjuje zbrojene komponentne vektore, te je treba prekrižiti, zbog smanjenja vjerojatnosti pojave grubihpogrešaka (djeluje ili rezultanta ili komponentni vektori, ne rezultanta i komponentni vektori).

    Geometrijski se mogu zbrojiti i tri ili više vektora, pri čemu dolazi do izražaja prednost postupka rep na vrh.

    Jednostavno se geometrijski zbrajaju vektori ako im se poklapaju “ishodišta” ili se odgovarajućim pomacima (samo translacija, bez rotacije) njihova ishodišta mogu poklopiti. (Zbrajanje vektora: “paljenje” automobila na guranje, jedrilica na rijeci, rezanje metala tokarskim nožem) 

    1.6 Razlaganje vektora, komponente vektora i algebarsko zbrajanje vektora

    Vektori se mogu razložiti na komponente vektora, ovisno o potrebama, na više načina. U pravokutnom koordinatnom sustavu, u pravilu, vek-ori se razlažu na komponente vektora u pravcima paralelnim s osima koordinatnog sustava (Fx , Fy , Fz). Intenziteti komponentih vektora s

    predznacima za označavanje smjera nazivaju se “skalarne komponente” ili samo “komponente” (Fx , Fy , Fz).

    Zbroj komponentnih vektora (vektorske veličine):F = Fx + Fy  (F ≠ Fx + Fy) 

    Komponente (skalarne veličine):Fx = ⏐F⏐ocos α  Fy = ⏐F⏐osin α 

    α  – kut opisan od + x osi do vrha vektora 

    Intenzitet i kut vektora:

    ⏐F⏐ =22

    x y+F F  =2 2

    x yF F+  

    tan α = yxF

    F  Oprez! tan α = tan (180 + α)

    a) Najsažetiji je zapis zbrajanja: FR = F1 + F2  ( podrazumijeva se: ⏐FR⏐ ≠ ⏐F1⏐ + ⏐F2⏐, FR  ≠ F1 + F2 ) 

    b) Detaljniji je s ortovima: FR = (F1xoi + F1yo j + F1zok) + (F2xoi + F2yo j + F2zok) gdje su i, j, k ortovi osi x, y, z 

    FR = (F1x + F2x)oi + (F1y + F2y)o j + (F1z + F2z)ok = FRxoi + FRyo j + FRzok 

    cos α2 2+ - 2 o o oF F F F⏐FR⏐ = 1 2 1 2c) U strojarstvu se u rutinskom radu ( proračuni) vektori razlože na komponente u smjeru postavljenih osi, potom se sve komponente zbroje,

    te izračuna kut pravaca rezultante i x osi. Ovisno o postavljenom koordinatnom sustavu rješenje može biti jednostavno ili komplicirano.

    gdje je α kut između vektora (smjer rezultante ostaje neodređen – obavezna skica) 

    F1x = ⏐F1⏐o cos α F1y = ⏐F1⏐o sin α 

    + F2x = ⏐F2⏐o cos β F2x = ⏐F2⏐o sin β 

    ⇒ FRx = Σ Fix  FRy = Σ Fiy 

    ⏐FR⏐ = F F+2 2Rx Ry   tan γ =F

    F

    Ry

    Rx

      Smjer na temelju skice

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    6/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  01. Uvod – 4 

    1.7 Trokut i trigonometrija u ravnini

    Opseg:O = a + b + c 

    Ploština:

    P =c hc

    2

    o

     = a

    2

    a ho = b

    2

    b ho 

    Ploština:

    P = ( ) ( ) ( )s s a s b s c− − −o o o  

    gdje je: s = 2

    cba   ++ 

    Trigonometrijske funkcije: sinus ξ (sin ξ), kosinus ξ (cos ξ), tangens ξ (tan ξ, tg ξ) i kotangens ξ (cot ξ, ctg ξ):

    Pitagorin poučak: c2 = a2 + b2 

    Identitet (Pitagorin poučak + trigonometrijski krug):sin 2 α + cos 2 α  = 1 

    a

    c  = sin α = cos β =h

    b

    c

     

    b

    c = cos α = sin β =

    h

    a

    c  

    a

    b  = tan α = cot β 

    b

    a = cot α = tan β 

    visina hc = ao sin β = bo sin α sinusni poučak /sina   α  = b /sinβ  = c /sin γ  kosinusni poučak c2 = a2 + b2 – 2oaobo cos γ 

     projekcijski poučak c = bo cos α + ao cos β 

    1.8 Brojčani iznosi i načini zapisaBrojčani iznosi vrijednosti veličina mogu biti:

    Brzina svjetlosti (konvencija):2,99792458o10

    8 m/s

    Broj jedinki u molu:6,0221367(36)o10

    23 

    Potpuni (točni) brojčani iznosi – poznate su sve znamenke ( brzina je svjetlosti, prema međunarodnoj konvenciji, temelj za definiciju jediniceduljine – metra, te je po toj logici njena vrijednost točna). Nepotpuni ( približni) brojčani iznosi – poznat je samo dio znamenaka.

    Zapisivanje rezultata: na sumarnom kilometar-satu vozila (ε = ± 0,5 km) očitani su brojčani iznos i jedinica 40000 km: decimalni zapis inženjerski zapis znanstveni zapis

    s = 40000 km s = 40000 km ⇒ 40o106om (40 Mm?) s = 40000 km ⇒ 4,0000o107 m

    Decimalni je zapis originalan, inženjerski praktičan, a znanstveni precizan (obuhvaća sve značajne znamenke).

    množenje s 10n – zarez se pomiče n mjesta udesno množenje s 10 –n (dijeljenje s 10n) – zarez se pomiče n mjesta ulijevo

    4,00o105 = 4,00000, = 400000 400000o10

     –5 = 4,00000, = 4,00000

    Formule koje se koriste pri promjenama eksponentnog faktora: (eksponent 1 se ne zapisuje i podrazumijeva se: 10001 = 1000) 

    Formula Primjeri Formula Primjeri

    a0 = 1  (za a ≠ 0)  80 = 1 10000 = 1

    nma =

    m na   (za a > 0) 2

    38 =3 28

    32100 =0

    2 31000

    an

    oam = a

    n+m  8

    3o8

    2 = 8

    5  1000

    3o1000

     –2 = 1000

    a –n

     = 8 –2

     =28

    1  1000

     –3 =

    n

    1

    a31000

    (an)m = a

    nom  (83)2 = 8

    6  (1000

    3) –2

     = 1000 –6

     

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    7/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  01. Uvod – 5 

    1.9 Značajne znamenke i zaokruživanje

    Značajne su one znamenke brojčanih iznosa (nepotpuni – približni brojčani iznosi) koje imaju fizički (tehnički) smisao, odnosno, one su re-zultat mjerenja s opremom određene točnosti i/ili izračunavanja temeljenih na brojčanim iznosima poznate točnosti. Često se može procijeni-i još jedna dodatna znamenka (npr. kazaljka između dvije crtice), ali se na taj način nameće utisak da je korištena oprema veće točnosti.

    ⇒ duljina: L = 52 mm

     podrazumijeva se: ε = ± 0,5 mm51,5 ≤ L 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    8/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  01. Uvod – 6 

    1.11 Dimenzije i dimenzijska analiza

    Dimenzije su u fizici jedan od način opisa prirode fizičkih veličina.

    zbor osnovnih dimenzija u svakom područ ju fizike mora biti dovoljan za razradu svih ostalih izvedenih dimenzija.

    Neovisno mjeri li se duljina u milimetrima, metrima ili kilometrima, dimenzija joj je L.

    zvedene dimenzije slijede iz definicija veličina. Na primjer, za srednju putnu brzinu izme

    đu to

    čaka 1 i 2 (vs,1/2), te potrebnu silu (F) za ubr-zanje (a) tijela mase (m):

    vs,1/2 ≡  1/ 21/ 2

    s

    t  ⇒  dim v =

    L

    T  ⇒  dim v = LoT –1  gdje je: dim s = L – dimenzija za duljine ( put),

    dim t = T  – dimenzija za vrijeme.

    F ≡ moa  ⇒  dim F = MoLoT –2  gdje je: M  – dimenzija za masu.Dimenzijska analiza se često podcjenjuje, čak osporava, ali, neosporno je korisna u:

    (a)   prisjećanju na zaboravljene formule (na temelju postavke da svaka formula mora biti dimenzijski homogena:) te(b)   planiranju pokusa i uopćavanju dobivenih rezultata (smanjenje broja promjenljivih veličina – varijabli).

    Primjer P-1.4: Odrediti ubrzanje a točke koja se giba jednoliko brzinom v duž kružnice polumjera r . prisjeća se: a = f(v,r ) dim a = LoT –2  dim v = LoT –1  dim r  = L  pretpostavlja se: a = kovmor n  ( postupak dimenzijske analize) 

    na temelju prisjećanja i pretpostavke slijedi: LoT –2 = LmoT –moLn  (izostavljena je konstanta k ) 

     postupak dimenzijske analize: za L: 1 = m + n  za T: –2 = – m  ⇒  m = 2, n = –1⇒  a = ko

    2v

    r  

    Primjer P-1.5: Priprema se eksperimentalno određivanje ovisnosti pada tlaka o brzini fluida koji struji kroz cijev. (Δp = ξo[v2/(2og)]) 

    Na temelju kvalitativne analize procesa strujanja fluida kroz cijev, pretpostavlja se: ξ = f(L,D,e, ρ ,μ ,v,g)Prema tome, eksperimentalne su varijable:  L, D, e  – duljina, promjer i hrapavost cijevi,  ρ , μ  ,v – gustoća, dinamička viskoznost i brzinastrujanja fluida, te g – ubrzanje Zemljine teže. Za 5 nivoa i 6 promjenljivih potrebno je 56 = 15 625 pokusa (g je konstantne vrijednosti).

    Dimenzijskom se analizom (Buckinghamov postupak ) utvr đuje formula s tri bezdimenzijske promjenljive, ϕ1 , ϕ2 , ϕ3:

    Δp = f 1 ( ϕ =1L

    D ,

     ρ 

    μ ϕ =

      o o

    2

    v D , ϕ =3

    e

    D) o 

    2

    2

    v

    go  Za 5 nivoa i 3 promjenljive potrebno je 53 = 125 pokusa.

    1.12 Rješavanje numeričkih/računskih primjera (zadataka)

    U pravilu se zadaci rješavaju koračnim postupkom koji treba strogo poštovati sve do stjecanja potpune sigurnosti u izračunavanjima:

    Analiza zadatka – analizom treba formirati jasnu predodžbu o zadatku (uživjeti se u fizički problem, ne razmišljajući o postupku rješavanja,e ako je moguće procijeniti traženi rezultat), te uredno zapisati što je zadato i što se traži. U ovom koraku nacrtati skicu ili shemu koja nam

    pomaže u jasnijoj predodžbi fizičkog problema. Po potrebi, zadatak pročitati više puta, jer ako se prerano prijeđe na sljedeće korake rješava-nja (zadatak još uvijek nije potpuno jasan), za dobivanje traženih rezultata je potrebno imati i dosta sreće.

    Prikupljanje podataka – ako u zadatku nisu navedeni svi potrebni podaci, prikupljaju se (a) iz literature (u kojoj se objavljuju kao pojedi-načne informacije, u tablicama i dijagramima), te (b) mjerenjima. Prepisuju se uvijek izvorni brojčani iznosi i jedinice.

    U tablicama/dijagramima je čest prilagođeni zapis vrijednosti veličina: X/[X] = {X}, na primjer, promjene gustoće vode s temperaturom pri 1atm: ( podaci su nađeni kao takvi u literaturi i prepisuju se – ne preračunava se p = 1 atm u Pa) 

    t/°C 0 (led)  0 (tekućina)  5 10 100 (tekućina)  100 ( para) 

     ρ /(kgom –3

    ) 917 999,8395 999,9638 999,6996 958,3637 0,590

    Očitava se za tekuću vodu pri: 0 °C, 1 atm3mkg   −o

     ρ = 999,8395 ⇒   ρ  = 999,8395 kgom –3 = 999,8395 kg/m3 

    Zapisati sve veličinske jednadžbe potrebne za rješenje zadatka. Plan rješavanja obuhvaća sve potrebne veličinske jednadžbe i vrijednostikonstante, te okvire, strjelice i opaske kojima se utvr đuje slijed postupka izračunavanja.

    Izračunavanje i međurezultati – sve do stjecanja potpune sigurnosti treba u veličinske jednadžbe uvrštavati brojčane iznose i jedinice fi-zičkih veličina (imati na umu ili pisati znak množenja između brojčanog iznosa i jedinice). Ako se u veličinske jednadžbe uvrste vrijednostifizičkih veličina izražene samo u SI jedinicama (nije obavezno) dobivaju se u SI jedinicama međurezultati i konačni rezultati. Brojčani iznosimeđurezultata mogu sadržati jednu do dvije znamenke više od broja značajnih znamenki.

    Primjer P-1.3: Pri 0 °C, 1 atm je gustoća tekuće vode  ρ  = 999,8395 kg/m3 (iz tablice). Kolika je masa 1,5 L vode? (1 L = 1 dm3) 

    m =  ρ oV = 999,8395okgom –3

    o1,5odm3 = 1499,75925okgom

     –3o

    3m

    10

    ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

     = 1499,8okgom –3

    om3

    o

    1

    1000 ⇒ 1,5 kg

    Pogreška je zadatog obujma: ε = ± 0,05 L 1,45 L < V < 1,55 L, te je rezultat s preko dvije značajne znamenke pretočan.Konačni rezultat – ( po eventualnom preračunavanju) prikazuje se u obliku (X = [X] {X}) koji daje najjasniju predodžbu o izračunatoj vrije-dnosti veličine. Konačni rezultat treba: (a) sadržati korektan broj značajnih znamenki, (b) obuhvaćati samo Zakonom dopuštene jedinice.Obavezna je provjera – usporedba dobivenog rezultata s procjenom u prvom koraku rješavanja zadatka.

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    9/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  01. Uvod – 7 

    1.13 Preračunavanje podataka/rezultata izračunavanja

    Potrebni podatak  o vrijednosti veličine (literatura, rezultat mjerenja) prepiše se u izvornom obliku, na primjer, specifična toplina aktualnogamaterijala: c = 4,2 Btu/(lbo°F), te potom preračunava u vrijednost veličine izraženu s SI jedinicom.

    Konačni rezultat treba izraziti u najjasnijem obliku, ali, obavezno s SI jedinicom, na primjer, dopušteno naprezanje aktualnoga čelika je:σ dop = 248 N/mm

    2 (teret mase 25 kg visi na žici presjeka 1 mm2), što je jasnije od σ dop = 248o106 N/m

    2 ili od σ dop = 248 MPa.

    Osnovna ideja preračunavanja je: vrijednosti fizičke veličine se izražava s dvije različite jedinice, te formira i rješava jednadžba:

    Primjer P-1.6: Izraziti duljinu od 1450 metara u kilometrima.

    L = 1450 mL = ? km

    1okm = 1o1000om

    L = 1450 m = 1450o1000

    1000om =

    1450

    1000o1000om = 1,450okm = 1,450 km (ili 1,45 km ?) 

    Nepažnja pri preračunavanju može imati za posljedicu grube pogreške (u strojarstvu, od beznačajnih šteta do gubitaka ljudskih života). Prim-er je ispravnog/pogrešnog korištenja usporednih tablica iz strojarskog priručnika pri preračunavanju tlaka:

    Primjer P-1.7: Koliki je tlak od p = 0,25 MPa izražen u barima?

    Prijepis dijela tablice iz strojarskog priručnika: p = 0,25 MPa = 0,25o106oPa = 0,25o106o10 –5obar =0,25o10obarp = 2,5 bar

    Provjera uz pogrešno očitan podatak iz tablice:p = 2,5 bar = 2,5o10

     –5oPa = 25 μPa 

    Zbog greške je dobivena 1010 puta manja vrijednost od izvorne

    U fizici i strojarstvu se često preračunavaju mjere za kutove radijan/stupanj (uobičajeno se nakon π ne piše i podrazumijeva jedinica rad):Opseg punog kruga:

    O = 2or o π 

    (α = 360°) 

    Duljina luka punoga kruga:

    L = αor  = O = 2or oπ (α u radijanima) 

    α = 2oπ rad = 2oπ = 360°

    1.14 Vrste zadataka

    Procjene – procijenjene vrijednosti veličina mogu biti višestruko (dvostruko, trostruko, …) veće ili manje od stvarnih vrijednosti veličina(nedostatak podataka i/ili presložen proračun). U procjenama se često koristi i red veličine kada se brojčani iznos izražava u obliku potencije10

    n. Eksponentu se dodaje jedinica (10n+1) ako je vrijednost decimalnog faktora > 3,16227766 ( ).10

    Primjer P-1.8: Kada će brzina imati veći brojčani iznos ako se izrazi u m/s ili u km/h? ( primjer kvalitativnog zadatka) 

    v = a m/sv = b km/h

    a > ili < b ?

    1okm = 1000om1oh = 3600os 

    v = a mos –1

     = ao1000

    km1oo

    1

    3600

    h1 

    o

     = ao3600

    1000okmoh

     –1 = ao3,6okmoh

     –1 = ao3,6 km/h = b km/h ⇒ {v} m/s = {v}o3,6 km/h

    Veći se brojčani iznos dobiva ako se brzina izrazi u km/h nego u m/s. (za lakše pamćenje: veća jedinica – veći brojčani iznos) 

    Primjer P-1.9: Koliko ljudi može stati na postolje dimenzija 8 × 12 m? ( primjer procjene) a = 8 mb = 12 mn = ?

    P = aob = 8o12 m = 96 m2 

     procjena: n1 = 8 ljudi/m2  ⇒  na 1 m2 može stati osmero ljudi (0,5 × 0,25 m) 

    n = Pon1 = 96om2

    o8oljudiom –2

     = 768 ljudi = 750 ljudi

    Primjer P-1.10: Polumjer ekvatora Zemlje, 6380 km, izraziti u m, inženjerskim i znanstvenim zapisom, te kao red veličina u km?

    RZ = 6380 kmRZ = ? u m, ing, sci, r.v.

    RZ,m = 6380 km = 6380o1000om = 6380000 m

    RZ,ing = 6380 km = 6380o10 –3

    o103

    o103

    om = 6,380o106

    om = 6,380 Mm

    RZ,sci = 6,380o106 m

    RZ,r.v. = 6380 km = 6380o10 –4

    o104

    okm = 0,6380o104

    okm ⇒  104 km (0,6380

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    10/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  01. Uvod – 8 

    1.15 Učenje fizike

    Bez kvalitativnog osjećaja za fizičke veličine, odnosno pojave (stanja/procesi: sila ⇒ deformacija/gibanje), nije moguće ozbiljnije bavljenjeniti jednom granom tehnike (strojarstvo, elektrotehnika, građevinarstvo), te niti jednom tehničkom disciplinom (materijali, obrada metala).

    Kako pri razmjeni informacija ne bi dolazilo do nesporazuma (diskusije/zadaci iz pojedinih dijelova fizike, ali i iz drugih strojarskih pred-meta), posebnu pažnju treba posvetiti razumijevanju definicija termina (temperatura/toplina), koje nisu generalno usvojene ( brzina/ubrzanje) 

    razumijevanju korištenih formula (vs,1/2 = s1/2/t1/2, v1 = dx/dt). S izgrađenim kvalitativnim osjećajem, nesporazumi se lako rješavaju.Rutinska izračunavanja (zadaci) obuhvaćaju provjeru temeljnih postavki dijelova gradiva iz Fizike – podloge za studij strojarstva.

    Brzina savladavanja gradiva ovisi o znanju stečenom u srednjoj školi i stupnju zainteresiranosti (sport i znanost). Za utvr đivanje najučinkovi-ijeg načina savladavanja gradiva (sposobnost studenta, način učenja i količina uloženog rada) potrebno je odgovoriti na sljedeća pitanja:

      Umijem li koristiti temeljne postupke matematike (algebra, geometrija, trigonometrija)? Za uspješno studiranje strojarstvamoraju se nedostaci što je prije moguće otkloniti. Dio potrebnih znanja iz matematike je obrađen u Fizici.

      U kojem ću se dijelu Fizike sresti s najvećim poteškoćama? Za dijelove koji nisu savladani u srednjoj školi treba dobavitisrednjoškolsku literaturu.

      Jesam li spreman utrošiti bar po oko dva sata učenja po jednom satu predavanja (stimulirajući startni uspjeh)? Po pola sata prije predavanja ( priprema pitanja unaprijed) i po sat i pol sata poslije predavanja ( priprema pitanja unatrag).

      Kada ću učiti Fiziku prije i poslije predavanja (tjedni/dnevni raspored)? Odluku treba dosljedno provoditi, i kontinuiranoučenje prihvatiti kao obvezni dio studija. (mora li se ići na predavanja?) 

       Na kojem ću mjestu učiti Fiziku? Na urednom, tihom i prijatnom mjestu se lakše i brže savladava gradivo.  Hoću li Fiziku učiti sam ili u grupi? Članovi grupa s jasno određenim ciljem i zadacima lakše i brže savladavaju gradivo.  Što ako mene Fizika uopće ne interesira? Kako je obuhvaćeno gradivo iz Fizike temelj strojarstva nameće se logičan zak-

    ljučak da me ne interesira ni strojarstvo, bez čega studij strojarstva nije moguće učinkovito završiti.

    Kada se naiđe na poteškoće bitno je razlučiti uzroke:(a)  nerazumijevanje prirode stanja ili procesa (odsustvo osjećaja) ili(b)   poteškoće u opisivanju stanja/procesa (razmjena informacija).

    Svakako konzultirati nastavnika (ne postoje glupa pitanja) na početku/kraju predavanja ( pokazani interes je nagrada nastavniku).

    Ako je odluka kontinuirani rad, zadaci, kolokviji i ispit su samo formalnosti, osigurava se dobra ocjena iz predmeta, te se formiraju kvalitetnepodloge za sve lakše i brže savladavanje niza tehničkih disciplina s kojima se sreće tijekom studija strojarstva.

    1.16 Korištenje kompjutora (računala)Za tridesetak godina (oko 2040.) današnji studenti strojarstva biti će oko vrhunca karijere, duboko u dobu primjene IT tehnologije. ( prije tri-desetak godina – 1980.) Inženjerima danas suvremeni stolni kompjutor pruža dragocjenu pomoć u:

    (c)  oslobađanju od pamćenja nebitnog – na jedan DVD stanu milijuni informacija (definicije, formule, vrijednosti veličina),(d)   brzini obavljanja poslova – obimni (složeni, zamorni) proračuni traju nekoliko djelića sekundi ( proračun parnog kotla),(e)  sigurnosti – s malo pažnje se u potpunosti izbjegavaju pogreške u tekstovima i složenim proračunima (grube greške).

    Rad na kompjutoru, koji ne povećava brzinu dobivanja i/ili kvalitetu rezultata, u biti je učenje i/ili igra (odvojiti vrijeme za učenje).

    Hardver – cijene komponenata rastu s kapacitetom i kvalitetom, a realne potrebe je teško procijeniti. (sastavljanje vozila iz dijelova) 

    1  kutija sa: napajanjem, matič-nom pločom, procesorom,memorijom i tvrdim diskom

    2  tipkovnica3  miš4  monitor

    5  štampač 6  zvučnici7  disketna jedinica

    8  CD ili DVD jedinica9  modem

    Dvije osnovne komponente hardvera su procesor ( processor ) i memorija (memory). Brzina rada procesora se iskazuje u hercima (Hz, kHz,MHz, GHz), a kapacitet memorije u bajtima (B, kB, MB, GB). Procesor i memorija su postavljeni na matičnoj ploči (motherboard) koja senalazi u kućištu. Preko ulaznih komponenata [tipkovnica (keyboard), miš (mouse)] unose se informacije u kompjutor i izdaju naredbe zaobavljanje operacije, a preko izlaznih komponenata [monitor, štampač  ( printer )] kompjutor izdaje potrebne informacije. Osnovne su ulaz-no/izlazne komponente: (a) disketna jedinica (floppy disk ), (b) tvrdi disk (hard disk ), (c) CD/DVD jedinica i (d) USB memorijski stick, ačesto se sreću i (e) eternet kartica za povezivanje s lokalnom mrežom te (f) modem za povezivanje s globalnom mrežom – Internetom.

    Softver  ( programi, ne može se dodirnuti) – Cijene legalnog opće korištenog softvera su usporedive s cijenama uobičajenih komponenatahardvera, dok su cijene specijaliziranoga softvera često i višestruko veće. Posebno treba spomenuti:MS WINDOWS – učinkovito korištenje komponenata kompjutora bez upuštanja u njihovu strukturu, svojstva i uzajamne veze.MS OFFICE – zbirka nespecijaliziranih programa koji se često koriste u obavljanju različitih poslova. Najčešće se koristi WORD za pisanje

    eksta, rjeđe EXCEL za tablična izračunavanja i POWER POINT za prezentacije, te rijetko ACCESS za rad s bazama podataka.COREL DRAW – nespecijalizirani je program za crtanje, a AutoCAD – specijalizirani program za izradu tehničkih nacrta.MATLAB – relativno jednostavno rješavanje čak i vrlo složenih matematskih problema. (SCIENTIFIC WORKPLACE) STATISTICA – relativno jednostavan način rješavanja čak i vrlo složenih problema statističke obrade podataka. (SPPS) 

    Internet – skupina kompjutorskih mreža na koju se osobni kompjutori najčešće povezuju telefonskom linijom. Preko Interneta se uspostavljaučinkovita komunikacija udaljenih korisnika i može se doći do brojnih korisnih informacija iz fizike (http://www.fizika.org/ , http://eskola.hfd.hr/ ,http://nippur.irb.hr/hrv/fizika/fizika.html , http://www.physlink.com/ , http://www.stanford.edu/dept/physics/ , http://www.physics.cornell.edu/).

    http://www.fizika.org/http://eskola.hfd.hr/http://nippur.irb.hr/hrv/fizika/fizika.htmlhttp://www.physlink.com/http://www.stanford.edu/dept/physics/http://www.physics.cornell.edu/http://www.physics.cornell.edu/http://www.stanford.edu/dept/physics/http://www.physlink.com/http://nippur.irb.hr/hrv/fizika/fizika.htmlhttp://eskola.hfd.hr/http://www.fizika.org/

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    11/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  02. Kinematika – 1 

    2.1 Položaj, gibanje i jednadžba gibanja tijela

    Kinematika je dio mehanike koji proučava i opisuje gibanja tijela, ne obazirući se na uzroke gibanja (dinamika).

    Gibanje tijela – promjena položaja tijela u prostoru tijekom vremena (oblika pojavljivanja gibanja materije). Opis može biti:

      tablični (aritmetika) ⇒ u pravilu su prikazani rezultati mjerenja s «točnim» vrijednostima u mjernim točkama,  grafički (geometrija) ⇒ dijagram s krivuljom daje jasnu vizualnu predodžbu o prirodi gibanja i  veličinska jednadžba (algebra) ⇒ izvedena formula koja je najpodesnija za rad uz korištenje kompjutora.

    Gibanja su u praksi najčešće nepravilna i ne mogu se vjerno opisati jednostavnim veličinskim jednadžbama (vozilo SB ÷ Zg).

    Materijalna točka, skraćeno točka, tijelo je zanemarivih dimenzija, mase m (masa je izvan okvira kinematičke, u okvirima statičke i dina-mičke analize). Kada su dimenzije gibanja zanemarive u usporedbi s geometrijom položaja/gibanja, opis položaja/gibanja točke je dovoljan iza opis položaja/gibanja tijela (vlak SB ÷ Zg). Dalje se bez posebne napomene kako se giba podrazumijeva gibanje točke.

    Položaji i gibanja u prostoru se najčešće analiziraju u referentnom pravokutnom koordinatnom sustavu, definiranom s ishodištem 0 i koordi-natnim osima x,y,z. Kod gibanja u ravnini se koristi koordinatni sustav 0,x,y, a kod pravocrtnog gibanja 0,x (vrijeme t ?).

    Dijagrami u koordinatnim sustavima 0,x,y,z; 0,x,y; 0,x su geometrijskog karaktera (autokarta SB ÷ Zg), dok su dijagrami u koordinatnimsustavima 0,x,t; 0,y,t i 0,z,t kinematičkog karaktera (0,x,y,z,t ?).

    Položaj točke (P) – određen je vektorom položaja r P (radijus vektorom), koji spaja ishodište i točku P, ili s odgovarajućim brojem kompo-

    nentnih vektora. Jednadžba gibanja – matematički opis gibanja (promjene položaja u prostoru ⇒ brzine i ubrzanja), u vektorskom obliku: r  = f(t) (što se može opisati tim oblikom, bez razlaganja na ravnine ?) ili s odgovarajućim brojem skalarnih jednadžbi.

    u prostoru u ravnini na pravoj crti

     položaj točke x, y, z  x, y  x

     jednadžba gibanja x = f 1(t), y = f 2(t), z = f 3(t) x = f 1(t), y = f 2(t) x = f 1(t)

    2.2 Putanja, razmak i put

    Putanja ili staza (slika ili crtež) – niz svih položaja kroz koje prođe točka (tijelo) između dva položaja. ( putanja SB ÷ Os) 

    f(x,y) = 0 ili y = f(x) y = f(t) ⇒  f(x,y) = 0 ⇒  x = f(t)Razmak  (Δr 1/2 ili Δx1/2, Δy1/2, Δz1/2) – vektorska veličina kojom se opisuje najkraća moguća putanja ( prava crta) između dva položaja (1 i2). Simbolom Δr 1/2 se označava razlika konačnog ( položaj 2) i početnog ( položaj 1) vektora položaja: Δr 1/2 = r 2 – r 1 (vektori).Put (s1/2, m) – skalarna duljina putanje. Ne smije se miješati s razmakom koji je između dva položaja jedinstvene vrijednosti, dok to put nije

    (put i razmak SB ÷ Os) Ako putanja nije pravocrtna ili kružna, u pravilu se put s teško izračunava i mora se izmjeriti. (kilometar-sat) Prijeđeni razmak između dva položaja naziva se pomakom (razmak/pomak SB ÷ Os).Opis gibanja (matematika i/ili statistika) je vjerniji što je vremenski interval (Δt1/2) određivanja (mjerenja) kraći.Kod pravocrtnog gibanja su za opis gibanja dovoljne komponente na pravcu gibanja – skalarne veličine (osi: x ili y ili z).

      g  e  o  m  e

       t  r   i   j  a

        k   i  n  e  m  a   t   i   k  a

     

    Opis krivocrtnoga gibanja u ravnini je bitno složeniji od opisa pravocrtnoga zbog uključivanja drugoga stupnja slobode gibanja – prelazi sena opis s vektorskim veličinama (izračunavanja sa skalarnim veličinama – po dvije komponente). Opis krivocrtnoga gibanja u prostoru nijebitno složeniji od opisa krivocrtnoga gibanja u ravnini ( problem je grafički prikaz putanje u tri dimenzije) – uključuje se treći stupanj slobodegibanja u opis s vektorskim veličinama (izračunavanja sa skalarnim veličinama – po tri komponente).

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    12/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  02. Kinematika – 2 

    2.3 Brzina

    Skalarna putna brzina, vs (speed) 

     – put u jediničnome vremenu:1[ ]  [ ] m s

    [ ]s s

    s s

    t tv v   −≡ ⇒ = =   o   Vektorska brzina pomaka, v (velocity) 

     – pomak u jediničnome vremenu: t

    Δ≡

    Δr 

    v  

    vs  m/s km/h1/ 21/2

    1/ 2

     =t

    ΔΔ

    r v  

     pješak 1,0 3,6

    zvuk 340 12001 2,1 22 1

     =s

    s

    t t

    ⇒⇒ −

    v  t

    33

    3

    d =

    dr 

    v  svjetlost 299792458 (točno)  ≈ 1o109 

    Samo je za pravocrtno gibanje: vs,1⇒2 = |v1/2|.

    tanx x x

    t t t

    Δ −= = =

    Δ −1/2 2 1

    x,1/2 1/2

    1/2 2 1

    α   v tan/

    /

    x x xv

    t t t

    Δ −= = =

    Δ −3 4 4 3

    x,3/4 3/4

    3 4 4 3

    α  tanx

    t= =7

    x,7 7

    7

    d

    dα   v

    2.4 Ubrzanje (akceleracija)

    Ubrzanje (a) – vektorska veličina kojom se opisuje promjena brzine u jediničnom vremenu (ubrzanje/usporenje – akceleracija/deceleracija).

    Srednje ubrzanje: a1/2 ≡ t

    ΔΔ

    1/2

    1/2

    v =

    −t t−2 1

    2 1

    v v  (između točaka 1 i 2) 

    [|a|] =[ ]t

    ⎡ ⎤⎣ ⎦v =

    −1m s

    s

    o = mos

     –2  Trenutačno ubrzanje: a3 ≡  lim

    t t t→  =

     Δ 0

     Δ d

     Δ d

    v v  (u točki 3) 

    Sa smanjivanjem vremenskog intervala raste kvaliteta opisa gibanja, ali raste i broj podataka ( beskonačno mali – beskonačno velik ).

    ax,1/2 =v

    t

    x,1/2

    1/2

     Δ

     Δ =

    v v

    t t

    −−

    x,2 x,1

    2 1

     = tan α1/2  ax,3/4 =v

    t

    x,3/4

    3/4

     Δ

     Δ =

    v v

    t t

    −−

    x,4 x,3

    4 3

     = tan α3/4  ax,7 =v

    t

    x,7

    7

    d

    d = tan α7 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    13/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  02. Kinematika – 3 

    2.5 Diferencijalni račun

    Diferencijalni račun – dio infinitezimalnoga računa (s beskonačno malim vrijednostima veličina) koji se u fizici koristi za opisivanje stanja

    promjena fizičkih veličina. ( poznata ovisnost x = f 1(t) i y = f 2(t) + diferenciranje ⇒ vx = f 3(t) i vy = f 4(t)) Derivacija skalarne veličine (npr. funkcija y = f(x)):

    Geometrija (derivacija po duljini)  Kinematika (derivacije po vremenu) 

    limx

    y yy x

    x x→′ ′= = =

     Δ 0

     Δ df ( )

     Δ d  lim

    t

    y yy t y

    t t→′ ′= = = = =y

     Δ 0

     Δ df ( ) ( )

     Δ d&v t  

    v y ya t y t y

    t t t t′′ ′′= = = = = =

    2y

    y 2

    d d d df ( ) ( )

    d d d d&&  

    Derivacije često sretanih elementarnih funkcija i osnovna pravila deriviranja:

    y = C  (konstanta)  xn  sin x  cos x  a

    x  e

    x  ln x 

    y' = 0 noxn–1

      cos x  – sin x  ax

    oln a ex  1/x 

    1. y = u ± v  ⇒  y' = u' ± v'  2. y = uov  ⇒  y' = u'ov + vou' 

    3. y =u

    v  ⇒  y' =

    2

    u v

    v

    ′ ′−o ov u  4. y = f [v(x)]  ⇒  y' =

    d

    d

    y

    vo

    d

    d

    v

    Primjer P-2.1: y = tan x y = tan x =

    sin

    cos

    x

    x  ⇒  y' =

    cos cos sin sin

    cos

    x x x

    x

    +2

    o ox = 1 + tan

    2 x

    Derivacija vektorske veličine: (npr. funkcija a = f(v, t))

    v i  v v v= + +x y zo o o j k 0d

    d

    d

    d

    d

    d===

    ttt

    k ji  (derivacija konstanti) 

    2 2 2

    2 2 2

    vv v x y zi j k i j k x y z

    t t t t t t t= = + + = + + = + +yx x

    dd dd d d d

    d d d d d d d&& && &&o o o o o o o o o

    va i   j k

    2.6 Integralni račun

    Integralni račun – dio infinitezimalnog računa koji se u fizici često koristi za opisivanje stanja i promjena fizičkih veličina. ( poznata ovis-

    nost vx = f 1(t) i vy = f 2(t) + integraljenje ⇒ x = f 3(t) i y = f 4(t)). Integriranje – matematička operacija suprotna deriviranju.

    f( ) f ( ) dx x′= ∫   o   [ ]b b

    10

    aa

    f( ) d lim f( )x

    x x x x xΔ →

    = Δ∑∫   o o  

    Geometrija (integriranje po duljini) Kinematika (integriranje po vremenu)

    ( )2 2

    i i 1/211   Δx 0d lim   Δy x y x A

    →⎡ ⎤= =⎣ ⎦∑∫   o o   ( )

    2 2

    i i 1/211   Δt 0d lim   Δv t v t y

    →⎡ ⎤= =⎣ ⎦∑∫   o o   ( )

    2 2

    i i 1/211   Δt 0d lim   Δa t a t v

    →⎡ ⎤= =⎣ ⎦∑∫   o o

    Neodređeni integrali:  f 1(x) =d

    d

    y  dy = f 1(x)odx  ∫ dy = y = ∫ f 1(x)odx = f 2(x) + C  y = f 2(x) + C 

    x

    f 1(x) =d

    d

    y

    x =

    ( )d f C

    d

    x

    x

    ⎡ ⎤+⎣ ⎦         ( ) +

    dC

    dx =

    ( )2df d

    x

    dC

    dx = 0=

    2df 

    d

    x

    x b

    1 a

    f ( ) dOdređeni integrali: x x∫   o  = xb

    2 af ( )  = f 2(b) + C – (f 2(a) + C) = f 2(b) – f 2(a) (ne sadrži konstantu C) 

    ntegrali često korištenih elementarnih funkcija:f 1(x) = 1 x

    n  sin x  cos x  a

    x ,  za 0 < a ≠  1  1/x  e

    ∫ f 1(x) = x xn+1

    /(n+1)  – cos x  sin x  ax/ln a ln x  e

    Primjer P-2.2: y' = 12ox2  y = 4ox

    3 + C  (C se određuju iz uvjeta definiranih u konkretnim problemima) 

    Osnovna pravila integriranja: ∫ kof 1(x)odx = ko∫ f 1(x)odx  ∫ [u(x) + v(x)]odx = ∫ u(x)odx + ∫ v(x)odx 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    14/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  02. Kinematika – 4 

    2.7 Jednoliko pravocrtno gibanje

    Jednoliko pravocrtno gibanje – putanja je pravocrtna ( pravocrtno gibanje), a brzina gibanja konstantna ( jednoliko gibanje), pa se u jedna-kim vremenskim intervalima duž pravca prelaze jednaki putovi.

    |v| = C

    v ≠ C

    |v| ≠ C

    v ≠ C

    Jednoliko pravocrtno gibanje rijetko se susreće u prirodi i tehnici. Gibanje se opisuje skalarnim veličinama (komponente) – pravci svih rele-vantnih vektora ( položaji, razmaci, brzine, ubrzanja) se poklapaju s pravcem putanje: x1 = r x,1 = |Δr x,1|ocos α; Δx1/2 = r x,1/2 = |Δr x,1/2|ocos α; v1 = vx,1 = |vx,1|ocos α; Δv1/2 = Δvx,1/2 = |Δvx,1/2|ocos α = 0; a1 = ax,1 = |ax,1|ocos α = 0.

    Svojstva su jednolikoga pravocrtnog gibanja: (kada nisu moguće zabune koriste se jednostavne oznake. s, v, a) 

    (a) prijeđeni put jednak je intenzitetu pomaka: s = s1⇒2 = |Δx1/2| ≠ Cs (mijenja se tijekom vremena), s > 0 (uvijek ), 

    (b) putna brzina je jednaka intenzitetu brzine pomaka (trenutne/srednje): v = vs,1 = vs,1⇒2 = |v1| = |v1/2| = s tΔ

    Δ  =s

    td

    d = Cv,

    (c) trenutačno i srednje ubrzanje su jednaki nuli: a = a1 = a1/2 = |a1| = |a1/2| = v tΔ

    Δ  =v

    td

    d = Ca = 0.

    s = ∫ ds = ∫ vodt = vo∫ dt = vot + Cs = vot + s0  ( pri t = 0: vot = 0 ⇒  Cs = st=0 = s0)  ( ploština na dijagramu v = f(t)) v = ∫ dv = ∫ aodt = ao∫ dt = aot + Cv = v0  ( pri t = 0: aot = 0: Cv = vt=0 = v0)  ( ploština na dijagramu a = f(t) a = 0) 

    a = vt

    dd

     = vdC

    dt = 0 

    2.8 Pravocrtno gibanje – primjeri

    Primjer P-2.3: Za koje bi vrijeme tane brzine 800 m/s prešlo put od Zemlje do Mjeseca?v = 800 m/s

    s = 3,824o105 km

    t = ?

     put = razmak , v = Cv  ⇒   jednoliko pravocrtno gibanjes = vot + s0 , s0 = 0 ⇒  s = vot Iz literature, razmak Zemlje i Mjeseca je 3,824o10

    5 km

    t =v

    s =

    1

    5

    sm800

    km103,824−

    oo

    oo =

    m800

    m1000103,824 5

    o

    oooos =

    8

    10824,3 6oos = 0,478o10

    6os = 0,478o10

    6o

    3600

    t =63

    4780

    ,

    ,o10

    3oh = 0,1328o10

    3oh = 0,1328o10

    3o

    24

    d =

    24

    8132,od = 5,53od = 5od + 0,53o24oh = 5 d + 12,7oh

    t = 5 d 12 h + 0,7o60omin = 5 d 12 h 42omin = 5 dana 12 sati 40 minuta (diskusija rezultata – konstantna brzina) 

    Primjer P-2.4: Ekspresni vlak (v = 120 km/h) Zagreb – Slavonski Brod (Zg ÷ SB = 190 km) polazi iz Zagreba u 11 h i 30 min. Brzivlak (v = 100 km/h) iz SB-a za Zg polazi u 12 h i 30 min. Odrediti mjesto susreta vlakova grafički i računski.

    vs,e = 120 km/hvs,b = 100 km/hsZg/SB = 190 kmtZg = 11.30 h.mtSB = 12.30 h.m

    sZg/M = ? km grafički, računski 

     put = razmak , v = Cv  ⇒   jednoliko pravocrtno gibanje; vs,1⇒2 = s1⇒2/(t2 – t1)

    sZg/SB = sZg/M + sSB/M 

    tZg/M = tM – tZg  tSB/M = tM – tSB  tM = tZg/M + tZg = tSB/M + tSB  tZg/M = tSB/M + tSB – tZg 

    tSB – tZg = 12.30 – 11.30 = 1 h vs,e/vs,b = 120/100 = 1,2

    Oprez, preklopljena su dva dijagrama: Zg i SB

    Zg/M

    s,e

    s

    v = SB/M

    s

    vs,b + tSB – tZg  ⇒  sZg/M =

    s,ev

    vs,bosSB/M + vs,eo(tSB – tZg)

    sZg/M = 1,2osSB/M + 120o1 = 1,2o(sZg/SB – sZg/M) + 120

    sZg/M = 1,2osZg/SB – 1,2osZg/M + 120

    sZg/M + 1,2osZg/M = 1,2o190 + 120 = 348 ⇒  2,2osZg/M = 348

    sZg/M =,

    348

    2 2 = 158,18 km = 158 km (diskusija– korištenje oznaka) 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    15/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  02. Kinematika – 5 

    2.9 Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje

    Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje – putanja je pravocrtna, a ubrzanje gibanja konstantno ( jednoliko ubrzano gibanje).

    |a| = C 

    a ≠ C

    |a| ≠ C 

    a ≠ C

    Gibanje je pravocrtno i opisuje se skalarnim komponentama (oprezno s predznacima!). Često se sreće u prirodi i tehnici.

    Svojstva su jednolikog ubrzanog pravocrtnog gibanja:

    (a) prijeđeni put jednak je intenzitetu pomaka: s = s1⇒2 = |Δr 1/2| ≠ Cs (mijenja se tijekom vremena), s > 0 (uvijek ),

    (b) putna brzina je jednaka intenzitetu brzine pomaka (trenutne/srednje): v = vs,1 = vs,1⇒2 = |v1| = |v1/2| = s tΔ

    Δ  =s

    td

    d ≠ Cv,

    (c) trenutačno i srednje ubrzanje: a = a1 = a1/2 = |a1| = |a1/2| = v tΔ

    Δ  =v

    td

    d = Ca ≠ 0.

    v = ∫ dv = ∫ aodt = ao∫ dt = aot + Cv = aot + v0  (pri t = 0: aot = 0 ⇒  Cv = vt=0 = v0)  ( ploština na dijagramu a = f(t)) s = ∫ ds = ∫ v(t)odt = ∫ (aot + v0)odt = ∫ aotodt + ∫ v0odt = ½oaot2 + v0ot + Cs = ½oaot2 + v0ot + s0 

    ( pri t = 0: ½oaot2 + v0ot = 0 ⇒  Cs = st=0 = s0)  ( ploština na dijagramu v = f(t)) 

    1.  Ako je pri t = 0: v0 = 0 (neovisno je li pri t  = 0 i s0 = 0): v = aot 

    2.  Ako je pri t = 0: v0 = 0 i  s0 = 0: s = ½oaot2  s = ½oaot

    2 = ½ovot

     –1ot

    2 = ½ovot 

    2.10 Vertikalni hitac i slobodni pad

    Tijelo se pri slobodnom padu giba pravocrtno jednoliko ubrzano. Ubrzanje zemljine teže (g ≈ 9,8 m/s2 ∼ 10 m/s2) ovisi o aktualnom polo-žaju (za [g] = m/s

    2 , {g} = Zagreb: 9,807, Reykjavik: 9,823, Kinshasa: 9,779, polovi: 9,83, ekvator: 9,78 m).

    •   brzina tijela neovisna o njegovoj masi ?•   prvi Newtonov zakon: a = F/m •   za procjene: 10 m/s2 •  otpor zraka raste s porastom brzine gibanja•   padobranac, s velike visine (iz literature):(I) zatvoren padobran:

    v ∼ 54 m/s (∼ 194 km/h) (II) otvoren padobran:

    v ∼ 6,3 m/s (∼23 km/h).

    (a)  a = – g mos –2

      t0 = 0 (start)  v0 = 0 (start iz mirovanja)  s0 = H (start s visine H ) 

    a = dv/dt  v = ds/dt  dv = aodt  ds = vodt  ∫ dv = ∫ aodt  ∫ ds = ∫ vodt  v = ∫ aodt  s = ∫ vodt v = ∫ –godt = –go∫ dt = –got + Cv  t0 = 0: v0 = 0 –got = 0 Cv = 0 v = –got 

    s = ∫ vodt = ∫ –gotodt =–go∫ todt = –go(½ot2 + Cs) = – ½o got2 – goCs  t0 = 0: s0 = H H = 0 – goCs  Cs = H/–gs = – ½o got

    2 – goCs = – ½o got

    2 – go(H/–g) = – ½o got

    2 + H = H – ½o got

    (b)  a = g mos –2

      t0 = 0 (start)  v0 = 0 (start iz mirovanja)  s0 = 0 (start s kote 0) 

    v = got + Cv  t0 = 0: v0 = 0 got = 0 Cv = 0 v = got 

    s = ½o got2 + goCs  t0 = 0: s0 = 0 0 = 0 – goCs  Cs = 0 s = ½o got

    Primjer P-2.5: Kojom će brzinom udariti o tlo kugla nakon slobodnog pada s visine od 100 m?

    h = 100 m

    n = ? m/s, km/h

    g = 9,8 m/s2 

    s = ½ogot2  v = got  s = ½ogo(v

    2/g

    2) = ½ov

    2/g

    v = gs  oo2  =2sm8,9m1002   ooooo 22 sm1960   oo= = 44,27om◦s

     –1 = 45 m/s = 45o1000

     –3okmo3600os

     –1 

    v = 45o3,6 = 162 = 160 km/h ( pomoć pri pamćenju: „veća je jedinica veća od manje“ – množenje manje s 3,6) 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    16/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  02. Kinematika – 6 

    2.11 Gibanje u ravnini

    s = ?

    v = ?

    a = ?

    Opis s vektorskim veličinama: (kratki teorijski opis – matematika) 

    Δr 1/2 = r 2 – r 1 ≠ |r 2| – |r 1| 

    v1/2 =1/2

    1/2t

    ΔΔ

    r  = v2 – v1 ≠ |v2| – |v1|  v3 =

    3td

    d 3r   

    a1/2 =1 2

    1/2

    /

    t

    ΔΔ

    v = a2 – a1 ≠ |a2| – |a1|  a3 = 3

    3t

    d

    d

    v

    Opis s jediničnim vektorima: (detaljniji teorijski opis – fizika) 

    r 1 = r 1,xoi + r 1,yo j  r 2 = r 2,xoi + r 2,yo j  Δr 1/2 = r 2 – r 1 = (r 2,xoi + r 2,yo j) – (r 1,xoi + r 1,y o j) = (r 2,x – r 1,x)oi + (r 2,y – r 1,y)o j 

    Δv1/2 = v2 – v1 = (vx,2oi + vy,2o j) – (vx,1oi + vy,1o j) = (vx,2 – vx,1)oi + (vy,2 – vy,1)o j  v = vxoi + vyo j =t

    x

    d

    doi +

    t

    y

    d

    do j 

    Δa1/2 = a2 – a1 = (ax,2 – ax,1)o

    i + (ay,2 – ay,1)o j  a = ax

    oi + ay

    o j =

    v

    txd

    do

    i +

    v

    t

    yd

    do j = 2t

    x

    d

    d2o

    i + 2t

    y

    d

    d2o j 

    Opis s komponentama: (izračunavanja u strojarstvu – predznak je „uključen“ u vrijednosti sin α, cos α) x1 = r 1,x = |r 1|◦cos α1  y1 = r 1,y = |r 1|◦sin α1  x2 = r 2,x = |r 2|◦cos α2  y2 = r 2,y = |r 2|◦sin α2 

    t

    x

    d

    d = vx =

    t

    xd

    d = – |r |◦sin α 

    t

    y

    d

    d = vy =

    t

    yd

    d = |r |◦cos α  |v| = v v+2

    x y

    2   cos β =v

    vx  

    = ay =v

    t

    yd

    d = – |r |◦sin α  |a| = a a+2x y2

    2

    t

    x

    d

    d = ax =

    v

    t

    xd

    d = – |r |◦cos α 

    2

    2

    t

    y

    d

    d 2   cos γ =a

    a

    x  

    Opisivanje gibanja u prostoru je načelno isto kao i opisivanje gibanja u ravnini, s tim što se uvodi treća koordinata, z.

    2.12 Horizontalni i kosi hitac

    Horizontalni hitac – primjer složenog gibanja, koje slijedi iz kombinacije jednolikog pravocrtnog gibanja i slobodnog pada.

    •  t = 0: x = x0 = 0, y = y0 = H, vx = vx,0 = 30 m/s, vy = vy,0 = 0, ax = ax,0 = 0,ay = ay,0 = – g,

    •  y = 0: x = xMax = D (doseg) ax = 0 vx = vx,0  x = vxot + x0 = vx,0ot (tema 2.7) 

    ay = – g vy = – ayot + v0,y = – got  y = H – ½ogot2 (tema 2.10) 

    v = x y2 2v v+  = 2x,0

    2 2v g t+   o  

    t =( )H y

    g

    2 -o  xMax = vx,0ot = D = vx,0o

    H

    g

    2 o 

    vx = 30 m/s, H = 100 m, g = 10 m/s2  ⇒  D = 130 m, tD = 4,5 s, vD = 54 m/s

    Kosi hitac je drugi primjer složenog gibanja – koji slijedi iz kombinacije jednolikog pravocrtnog gibanja i slobodnog pada.

    •  t = 0: x = x0 = 0, y = y0 = 0, v = v0 , α = α0 ,

    vx,0 = v0ocos α0  vy,0 = v0osin α0  v = 2 2v v+x y  

    x = vx,0ot  y = – ½ogot2 + vy,0ot + y0 = vy,0ot – ½ogot

    vx = vx0  vy = vy,0 – got  v =2 2v v+

    x y 

    •  y = 0: x = xMax = D = vx,0ot 

    ½ogot2 = vy,0ot  t =

    y,02 v

    g

    o

      D = vx0ot =x,0 y,02 v v

    g

    o o

     

    •  dy/dx = y' = 0: x = H 

    y = vy,0ox

    vx0 – ½ogo

    2

    x,0

    2x

    v =

    y,0

    x,0

    v

    vox –

    2

    x,02

    g

    voox

    y' =y,0

    x,0

    v

    v –

    2

    x,0

    g

    vox = 0 ⇒  x = y,0 x,0

    v v

    g

    o

     

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    17/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  02. Kinematika – 7 

    2.13 Koordinatni sustavi

    U analizi konkretnog fizičkog problema (gibanje) koristi se naj- pogodniji koordinatni sustav (najjasniji i/ili najjednostavniji opisi/ili matematička obrada).

    Pravokutni (ravninski) koordinatni sustav: α = β = γ = 90 °. Raspored osi može biti po pravilu desne ruke i po pravilu lijeve ruke, koji se ri-etko koristi.

    Kosokutni ravninski koordinatni sustav: α i/ili β i/ili γ = 90 ° 

    Preračunavanje:

    x = r ocos α   y = r osin α   z = h 

    Preračunavanje:

    x = ρ o cos ϕ o cos λ y = ρ o cos ϕ o sin λ 

    z = ρ o sin ϕ Ovo nisu opće važećeformule za preračunavanje – ako se osi i/ ili kutovi postave/označe na druginačin slijede i druge for-mule.

    2.14 Jednoliko kružno gibanje

    Jednoliko kružno gibanje –  točka se giba konstantnom brzinom, po kružnici (najjednostavnije krivocrtno gibanje). Pri opisivanju putanje se

    umjesto koordinati x,y mogu koristiti koordinate r,ϕ te jednoliko kružno gibanje postaje usporedivo s jednolikim pravocrtnim gibanjem.

     po kružnom luku:

    |r | = r = const r  ≠ const

    L = r oϕ  [ϕ] = rad jednolikom brzinom

    |v| = const v ≠ const 

    Period, T, s: vrijeme potrebno za obilazak opsega kružnice (2oπ).

    Kutna brzina: ω1/2 =1/2tΔ

    ϕΔ 2/1  = const =T

    πo2  ω1 =

    tt ΔϕΔ

    →Δ 0lim =

    td

    dϕ = Cω = ω1/2  ω =

    t

    ϕ  [ω] =

    s

    rad 

    Često se izostavlja i podrazumijeva oznaka jedinice za kut ([ω] = 1/s), što može dovesti do zabuna. (znači li to možda: [ω] = °/s ?) 

    Frekvencija – broj događaja (obilazaka opsega kružnice: N = ϕ /2o π ) u jedinici vremena:

    ν =t

    N =

    t

    1

    2o

    o πϕ

     = ωotot

    1

    2

    1o

    o π =

    T

    πo2oto

    t

    1

    2

    1o

    o π = [ν] =

    [ ][ ]tN

     =T

    1

    s

    dogadaja 

    Često se izostavlja i podrazumijeva oznaka ponavljanog događaja {[ν] = ObilazakaOpsegaKružnice/s}. ([ω] = 1/s ≠ [ν]) 

    Kutno ubrzanje: α1/2 =1/2tΔ

    ωΔ 2/1  = 0 α =tt ΔωΔ

    →Δ 0lim =

    td

    dω = 0 α = [α] =

    [ ][ ]tω

     =t

    ω2s

    rad 

    Svojstva su jednolikog kružnog gibanja:

    (a)   put (skalarni luk L) ≠ intenzitetu pomaka (vektor, ⏐Δr 1/2⏐): L1/2 = |r |o(ϕ2 – ϕ1) ≠  ⏐Δr 1/2⏐ 

    (b)  nepromjenjivi su intenziteti i promjenjivi pravci trenutnih vektorskih brzina pomaka: |v| =td

    dr  = Cv  v ≠ const

    (c)  nepromjenjivi su intenziteti i promjenjivi pravci trenutnih vektorskih ubrzanja pomaka: |a| =td

    dv = Ca  a ≠ const 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    18/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  02. Kinematika – 8 

    2.15 Kružno i harmonijsko gibanje

    Kružno gibanje se odvija u ravnini (dva stupnja slobode), te za njegovo opisivanje treba koristiti vektore ili po dvije odgovarajuće kompo-nente. U pravilu se nula koordinatnog sustava 0,x,y postavlja u centar kružnice po kojoj se giba točka.

    Kružno gibanje nije jednoliko ako je β ≠ π/2 – prisutna je tangencijalna komponenta ubrzanje.

    r  = ⏐r ⏐ x = r ocos ϕ  y = r osin ϕ  ϕ = ωot 

    x = r ocos ωot  y = r osin ωot vx = – r oωosin ω ot  vy = r oωocos ωot 

    v = r oω (izvesti izraz, znajući da je: sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1) ax = – r oω

    2ocos ωot  ay = – r oω

    2osin ωot 

    ax = – xoω2  ay = – yoω

    a = r oω2 =r 

    v 2 (izvesti izraz, koristeći Pitagorin poučak ) 

    Kod jednolikog kružnog gibanja:

    •  radij vektor, koji spaja centar kružnice i pokretnu točku, nepromjenjivog je intenziteta i promjenjivog pravca,•  trenutna brzina je okomita na radij vektor, nepromjenjivog je intenziteta i promjenjivog pravca,•  trenutna akceleracija, nepromjenjivog je intenziteta i promjenjivog pravca – istog kao i radij vektor, ali suprotnog smjera.

    Harmonijsko gibanje – gibanje koje se može opisati sinusnom (kosinusnom) funkcijom: y = r osin ωot 

    2.16 Relativno gibanje

    Ako se dva promatrača uzajamno gibaju i analiziraju gibanje nekog objekta dobiti će različite rezultate ( položaj, razmak/pomak, putanja/put,brzina pomaka / putna brzina, ubrzanje pomaka/ putno ubrzanje).

    Svaki promatrač (opremljen sa: štopericom i mjernom trakom za duljinu) formira osobni referentni sustav, a dobivene veličine gibanja senazivaju relativnim veličinama, na primjer : vP/A – relativna brzina objekta P u odnosu na promatrača A.

    xP/A = xB/A + xP/B  xP/A = xB/A + xP/B  r P/A = r B/A + r P/B zP/A = zB/A + zP/B 

    xP/A = xB/A + xP/B 

    1.   promatrač – A, objekt B:ax = 0 vx = Cv  x = vot + Cs  ay = – g vy = 0 y = 0

    2.   promatrač – B, objekt P:

    ax = – r oω2ocos ωot  vx = – r oωosin ω ot x = r ocos ωotay = – r oω

    2osin ωot vy = r oωocos ωot y = r osin ωot

    3.   promatrač – A, objekt P:

    ax = – r oω2

    ocos ωot  vx = Cv – r oωosin ω ot x = vot + Cs + r ocos ωot ay = – r oω

    2osin ωot – g  vy = r oωocos ωot y = r osin ωot 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    19/74

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    20/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  03. Statika – 2 

    3.3 Masa, težina, hvatište i normalna sila

    Masa (m) – skalarna veličina kojom se opisuje količina sadržanih supstancija (n=m/RAM), te inercija (tromost, ustrajnost) tijela (a = F/m).Jedinica je kilogram (kg). Ne mijenja se u odsustvu razmjene supstancija s okolinom (difuzija, izgaranje, korozija). (Zemlja/Mjesec). 

    Težina (G) – vektorska veličina kojom se opisuje sila djelovanja tijela na podlogu (na kojoj stoji) ili na ovjes (o kome visi). Jedinica je njutn(N). Nije svojstvo tijela jer se mijenja u ovisnosti od vanjskih utjecaja (sila teže). (Zemlja/Mjesec). Težina je u vakuumu jednaka sili teže(Fg) kojom Zemlja djeluje na tijelo ( jednakost je u atmosferi/vodi manje/više upitna zbog uzgona kojim fluid djeluje na uronjeno tijelo):

    G = Fg = mog  gdje je: g – „ubrzanje“ Zemljine teže ≈ 9,8 mos –2

      (Je li masa tijela u bestežinskoj komori jednaka nuli?)

    zraženo s komponentama: ( podrazumijeva se određen pravac/smjer ) 

    G = Fg = m g  ali, može i: Fg = –Z

    Z

    2

    mG

    ⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

    o ⎟ om = –( )

    -11 2 -2 24

    2

    6,67 10 N m kg 5,98 10 kg

    6370 km

    ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

    o o o o o o o

    o

    om = – 9,830o m (što je problem ?) 

    Zaokruživanjem na g = 10 mos –2

     unosi se u izračunavanje greška od oko 2 %. (Slavonski Brod: g = 9,807 mos –2

    Ako je pravac komponente jasno određen, uobičajeno je oznake pravca komponenti (gy , Gy , Fg,y) izostaviti i podrazumijevati (g, G , Fg).

    Normalna sila (FN) – djeluje na tijelo i okomita je na podlogu (uravnotežava djelovanje komponente težine tijela okomite na podlogu).

    Hvatište – točka tijela u kojoj djeluje sila. Hvatište sile teže je u tijelu – u težištu, dok je hvatište težine u točki ovjesa ili oslonca.

    Dinamometrom se mjeri vrijednost intenziteta sile (vektor ), na temelju promjene duljine opruge dinamometra, a vagom s dvije plitice vrije-dnost mase (skalar ) – uspoređivanjem mase tijela s poznatim masama utega. Rezultati se očitavaju po uspostavljanju stanja statičke ravnote-

    že. (Zašto se zlatu mjeri masa vagom, a ulovljenoj ribi težina dinamometrom?) 

    Kod dinamometra: G = Gy = ⏐G⏐ocos π = |G|o(–1) = – |G|  F0 = F0,y = ⏐F0⏐ocos 0 = ⏐F0⏐o1 = ⏐F0⏐ 

    3.4 Ravnoteža sila

    Točka u stanju ravnoteže sila miruje. Po uspostavljanju ravnoteže sila tijelo, npr. opruga, miruje i ne deformira se. Promjene izazvane djelo-vanjem sila s vremenom (gibanje) promatraju se u dinamici. (Gdje spada deformiranje uslijed sporih promjena svojstva materijala?) 

    Točka je u stanju ravnoteže ako je rezultanta svih sila koje na nju djeluju jednaka nuli: FR = ΣFi = 0  (Vrijedi li isto i za tijelo?)U koordinatnom sustavu 0,x,y,z, izraženo s komponentama: FR,x = ΣFi,x = 0  FR,y = ΣFi,y = 0  FR,z = ΣFi,z = 0U stanju ravnoteže moraju biti poligoni sila («rep na vrh») zatvoreni, odnosno kada je: ⏐FR⏐ = 0  ⇒  vlada stanje ravnoteže sila.

    Primjer P-3.1: Tijelo je obješeno na jednom užetu ( pravocrtni problem). Odrediti silu kojom uže a (Fa) djeluje na uteg.

    (a)  vektorski: FR = G + Fa = 0 ⇒  Fa = – G  (oznake pravca y se izostavljaju i podrazumijevaju) (b)  komponente (os y): Fa = ⏐Fa⏐o cos 0 = ⏐Fa⏐  G = ⏐G⏐o cos π = – ⏐G⏐  ⇒  FR = Fa + G = ⏐Fa⏐ – ⏐G⏐ = 0

    Primjer P-3.2: Tijelo je ovješeno na dva užeta duljina a i b, pod kutom γ = 90 ° ( problem u ravnini). Odrediti sile Fa i Fb.(a)  «sažeti teorijski pristup» – vektorski: FR = G + Fa + Fb = 0 

    (b)  «pristup u fizici»: sile se određuju matematičkom obradom trokuta (Pitagorin poučak + trigonometrija).

    (c)  «strojarski pristup»: sile se određuju analizom komponenti u koordinatnom sustavu 0,x,y:

    FR,x = Fa,x + Fb,x + Gx = 0 FR,y = Fa,y + Fb,y + Gy = 0

    FR,y = ⏐Fa⏐o cos (90° – α) + ⏐Fb⏐o cos (90° – β) + ⏐G⏐o cos 180° = ⏐Fa⏐osin α + ⏐Fb⏐osin β – ⏐G⏐ = 0

    FR,x = ⏐Fa⏐o cos (180° – α) + ⏐Fb⏐o cos β + ⏐G⏐o cos 90° = –⏐Fa⏐o cos α + ⏐Fb⏐o cos β = 0

    Rješenje (određene vrijednosti sila Fa i Fb) se dobiva rješavanjem prethodne dvije jednadžbe s dvije nepoznanice.

    Primjer P-3.3: Tijelo ovješeno na dva užeta, La = Lb , pod kutom γ = 135°. Odrediti sile Fa i Fb. (dovršiti imajući u vidu α = β):

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    21/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  03. Statika – 3 

    3.5 Dijagram sila slobodnog tijela

    Pri rješavanju problema ravnoteže tijela treba:(a)   postaviti pogodan koordinatni sustav,(b)  odrediti aktualno tijelo i(c)  formirati dijagram sila slobodnog tijela za aktualno tijelo.

    Dijagram sila slobodnog tijela – grafički prikaz tijela u kome su djelovanja okoline na tijelo zamijenjena vektorima sila.

    ravnoteža:

    FR = Fa + G = 0

    G   – težina utega, Fa  – sila kojom uže djeluje na uteg.

    Faz  – sila kojom uže vuče zid na dolje,

    Fza  – sila kojom zid vuče uže na gore,Fta  – sila kojom uteg vuče uže na dolje,Fat  – sila kojom uže vuče uteg na gore,Fg  – sila teže kojom Zemlja privlači uteg – na dolje,

     uže je zategnuto pod djelovanjem dvije sile jednakih intenziteta, pravaca, isuprotnih smjerova: Fza i Fta

     ušica je zategnuta pod djelovanjem dvije sile jednakih intenziteta, pravaca,i suprotnih smjerova: G i Fa 

    3.6 Moment sile

    Moment sile – vektorska veličina koja se koristi pri analizi ravnoteže i vrtnje tijela oko osi. Opisuje se vektorskim umnoškom:

    M = r  × F = ⏐r ⏐o⏐F⏐o M0 gdje je: r   – vektor položaja hvatišta sile u odnosu na os, u ravnini okomitoj na os, m,

    F  – zakretna sila, N.

    Vektor M je okomit na ravninu u kojoj leže vektori r  i F. Smjer se određuje pravilom desne ruke (vijka s desnom zavojnicom) ili pravilomkazaljke na satu – moment koji teži zakrenuti tijelo (ili ga vrti) u smjeru kazaljke na satu ima negativan predznak.

    ntenzitet je momenta sile:

    ⏐M⏐ = ⏐r ⏐o⏐F⏐o sin  (sin 90°= 1, sin 0°= 0)  [⏐M⏐] = [⏐r ⏐]o[⏐F⏐] = moN= Nom ( prvi je: mN i Nm) Kut α se opisuje pri zakretanju prvog vektora vektorskog umnoška do poklapanja njegovog smjera sa smjerom drugog, čime se određuje ismjer vektora momenta.

    Statička djelovanja momenata sila se izučavaju u statici i podrazumijevaju uspostavljene ravnoteže sustava (opterećenja neizbježno pratemanje ili veće deformacije), a dinamička djelovanja sila se izučavaju u dinamici i podrazumijevaju rotaciju.

    Tijelo s osi zakretanja je u stanju ravnoteže ako je rezultanta svih momenata sila:

    MR = ΣMi   – drugi uvjet ravnoteže  ( prvi je: ΣF

    i = 0) 

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    22/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  03. Statika – 4 

    3.7 Skalarni i vektorski produkt

    Vektorska veličina, (na primjer, sila, F) – određena je s intenzitetom, pravcem i smjerom (orijentacija), a opisuje se:

    (a)  vektorski – predznakom (+ ili – ), intenzitetom vektora ⏐F⏐ (uvijek je pozitivan) koji obuhvaća brojčani iznos i mjernu jedinicu,te jediničnim vektorom F0 – ortom (određuje pravac i pozitivni smjer ) ili

    (b)  komponentama – predznakom (+ ili – ), brojčanom vrijednošću i jedinicom intenziteta vektora, indeksom (određuje pravac i po-zitivni smjer ).

    F = ⏐F⏐  F0 

    Množenjem vektora skalarom, na primjer, množenjem vektora F skalarom k, dobije se vektor F1:

    intenziteta je F1 = |k|oF 

    Rezultat množenja vektora skalarom je vektor promijenjenog intenziteta (većeg ako je k > 1 i manjeg ako je k < 1) , nepromijenjenog pravcadjelovanja, te nepromijenjenog (k > 0) ili promijenjenog (k < 0) smjera ( predznak ).

    Težina tri jednaka utega:

    G = 3o Gt tri puta je veća od težine jednog utega.

    Množenje vektora vektorom 

    Skalarni produkt dva vektora je skalar:

    c = a o b = ⏐a⏐o⏐b⏐o cos α  (rad: W = FoΔr  = ⏐F⏐o⏐Δr ⏐o cos α) gdje je: – kut između vektora.Nije dobro kazati "rad je određen skalarnim produktom …" (obavljanje rada se ne odvija prema skalarnom produktu) nego "rad se opisuje

    skalarnim produktom …" (na jednostavan način, a skalarni se produkt koristi i za opisivanje drugih procesa).

    Vektorski produkt dva vektora je vektor:

    c = a × b = ⏐a⏐o⏐b⏐o sin α o c0  (moment sile: M = r  × F = ⏐r ⏐o⏐F⏐o sin αoM0) Pravac vektora c je okomit na ravninu određenu pravcima vektora a i b. Kut α se opisuje pri zaokretanju prvog vektora vektorskog umnoškado poklapanja njegovog smjera sa smjerom drugog, čime se određuje i smjer vektora momenta – pravilo desne ruke.

    Je li rezultat množenja dva vektora skalarni produkt ili vektorski produkt ovisi o prirodi opisivane pojave ili procesa, a nikako obrnuto.

    3.8 Opterećenja i deformacije

    Kao posljedica opterećenja tijela silama/momentima javljaju se u tijelima:(a)  naprezanja (= sila/moment kojim je tijelo opterećeno po jedinici površine poprečnog presjeka) (b)  deformacije (= promjena dimenzije tijela izazvana opterećenjem po jedinici izvorne dimenzije).

    vlačno naprezanje (komponenta sile):

    σv =  vF

     A  [σv] =

    [ ][ ]

    F

     A =

    2mm

    N (⇒MPa) 

    Fv  – vlačna sila, N  A  – površina presjeka okomitog na silu, mm

    postotno produženje (vlak ):

    εv = 00

    L L

    L

    −o100 [εv]=

    [ ][ ]

    L

    Lo100 = %

    L0   – duljina bez opterećenja, mm L  – duljina pod opterećenjem, mm 

    modul elastičnosti: (svojstvo materijala) 

    E = vv

    σ

    ε 

    [E] =[ ][ ]

    v

    v

    σ

    ε =

    1

    2

    mmmm

    mmN 

    o

    o

     =2mm

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    23/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  03. Statika – 5 

    3.9 Elastične i plastične deformacije

    Elastična deformacija – deformirano tijelo po prestanku opterećenja poprima prvobitni obujam i oblik. (nogometna lopta, opruga, dinamo-metar ) U područ ju elastičnosti vrijedi Hookeov zakon.

    Plastična deformacija – deformirano tijelo po prestanku opterećenja ostaje deformirano. ( plastelin, zakovica) 

    S porastom vlačne sile, pri konstantnoj površini ( poprečnog presjeka), raste vlačna napetost do:

    Re  – granice elastičnosti (do koje vrijedi Hookeov zakon),

    Rp0,2  – granice plastične deformacije εv = 0,2 % (nakon rasterećenja tijelo ostaje trajno deformirano),Rm  – čvrstoće (vlačne) materijala (slijedi spontano smanjivanje površine poprečnog presjeka, te konačno prekid),

    Veličine Re , Rp,0.2 , Rm , kao i modul elastičnosti E, svojstva su materijala ( pri vlačnom opterećenju) i određuju se u laboratorijima za ispiti-vanje materijala, sa standardiziranim uzorcima (epruvetama) na standardiziranim strojevima, po standardiziranim postupcima. Pored ovihsvojstava, u laboratorijima se određuju i brojna druga svojstva materijala u uvjetima različitih vanjskih utjecaja (temperatura).

    3.10 Toplinsko širenje/rastezanje i toplinsko naprezanje

    U pravilu, pri povećanju temperature šire se kruta tijela i tekućine ( plinovi).

    Toplinsko rastezanje (linearno), ΔL (kod promatranog problema je jedna dimenzija značajna, npr. blokada koljenastog vratila u kliznom le-žaju motora s unutarnjim izgaranjem; dolazi do izražaja kada je jedna dimenzija dominantna, npr. štapovi, cijevi, željezničke tračnice) – po-

    kusima je utvr đena razmjernost toplinskog rastezanja početnoj duljini (L0 pri početnoj temperaturi T0 i povišenju temperature ΔT):

    ΔL = αoL0oΔT  gdje je: α  – koeficijent linearnog rastezanja, °C –1

    .

    Duljina L na temperaturi t je: L = L0 + ΔL = L0 + αoL0oΔT = L0o(1 + αoΔT)  (T su u K i °C različite, ali su ΔT jednake) Toplinsko širenje (volumno), ΔV – pokusima je utvr đena razmjernost toplinskog širenja početnom volumenu (V0 , pri početnoj temperaturiT0) i povišenju temperature ΔT):

    ΔV = βoV0oΔT  gdje je: β  – koeficijent volumnog rastezanja, °C –1

    .

    Volumen L na temperaturi t je: V = V0 + ΔV = V0 + βoV0oΔt = V0o(1 + βoΔT)Toplinsko širenje vode:

    Može li se jednostavno odrediti koeficijent toplinskog širenja vode β?

    Koliko se pri dovođenju iste količine topline poveća sila uštapu ako se dva puta poveća promjer uklještenog štapa od

    istog materijala?

    Toplinsko naprezanje (ako se promjena dimenzija mehanički onemogući):

    0

    L

    L

    Δ = Eo

    0

    L

    L

    Δ = αoΔT 

    F

     A

    F

     A = σT = EoαoΔT  (toplinsko naprezanje ne ovisi o duljini) 

    gdje je: E  – modul elastičnosti, N/mm2.

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    24/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  03. Statika – 6 

    3.11 Potencijalna energija i rad

    Potencijalna energija (tijela), EP , J – pokazatelj sposobnosti tijela za obavljanje rada na temelju njegovog položaja.

    Gravitacijska potencijalna energija (stanje tijela) posljedica je djelovanja gravitacij-skih sila (u gravitacijskim poljima), a elastična potencijalna energija posljedica dje-lovanja elastično deformiranih tijela (npr. deformirana opruga).

    Mehanički rad (tijela), W , J – pokazatelj jednog od oblika razmjene energije ( proces a ne stanje) tijela s okolinom (drugim tijelom).

    W = FoΔr  = ⏐F⏐o⏐Δr ⏐o cos α  (skalarni proizvod)  W = FyoΔyocos α  (komponente)  W = (za F = f(r )

    1

    0d∫

      oF r  )  [W] = Nom = J

    Rad je pozitivan (+W) ako je kut α < 90° , maksimalan pri α = 0° (cos α = 1), a ravan nuli (W = 0) ako je α = 90° (cos α = 0).Primjer P-3.4: Koliki je rad dizanja tijela od tla (mora se uložiti rad na savladavanje sile teže).

    W1/2 = FgoΔy1/2  W1/2 = ⏐Fg⏐o⏐y2 – y1⏐o cos α = ⏐Fg⏐o⏐y2 – y1⏐o cos 180° = ⏐Fg⏐o⏐y2 – y1⏐o(–1) = – ⏐Fg⏐o⏐y2 – y1⏐ W1/2 < 0 (rad sile teže je negativan), ΔEP,1/2 = mogo(y2 – y1) > 0 (raste potencijalna energija)  W1/2 = – ΔEP,1/2 

    Primjer P-3.5: Koliki je rad spuštanja tijela k tlu (uz korištenje pogodnih naprava može se dobiti rad).

    W1/2 = FgoΔy1/2  W = ⏐Fg⏐o⏐y2 – y1⏐o cos α = ⏐Fg⏐o⏐y2 – y1⏐o cos 0° = ⏐Fg⏐o⏐y2 – y1⏐o(+1) = ⏐Fg⏐o⏐y2 – y1⏐ W1/2 > 0 (rad sile teže je pozitivan), ΔEP,1/2 = mogo(y2 – y1) < 0 (opada potencijalna energija)  W1/2 = – ΔEP,1/2 

    3.12 Trenje

    Trenje – otpor uzajamnom gibanju tijela koja se dodiruju. U pravilu je štetno zbog gubitaka energije (otpori dijelova vozila u uzajamnomgibanju povećavaju potrošnju goriva), ali može biti i korisno (vozilo se bez trenja ne bi moglo niti pokrenuti niti zaustaviti).

    Trošenje – površinski gubici materijala izazvani uzajamnim gibanjem tijela koja se dodiruju. Trošenje nije posljedica trenja, nego je kao irenje posljedica uzajamnog gibanja tijela koja se dodiruju.

    Adhezija – tijela prianjaju na mjestima kontakta uslijed djelovanja međumolekulskih sila. Površine tijela su ne-

    ravne i prvi je njihov dodir u točki, s vrlo velikim lokalnim opterećenjem, deformacijom i grijanjem. Broj lo-kalnih dodira se povećava sve do prestanka deformacija – postizanja nosivosti. (mikrododiri – mikrozavari).

    Lokalne deformacije – na mjestima kontakta dolazi do deformiranja površinskih slojeva tijela.

    Brazdanje – pri gibanju čvršće mikro neravnine razaraju mekše.

    Vučna sila, Fv , N – komponentni vektor sile kojim se vuče tijelo po podlozi, paralelan s dodirnom površinom tijelo/podloga.Suho trenje – trenje uz neposredan dodir uzajamno pokretnih tijela. ( bez sloja maziva – zavarivanje) Podmazivanje – trenje se u pravilu smanjuje ako se između uzajamno pokretnih tijela unese sloj fluida (mazivo). Pri uzajamnom gibanju se

    avlja otpor unutarnjeg trenja fluida, koji je značajno manji od otpora krutih tijela koja se neposredno uzajamno dodiruju.

    Sila trenja, FT , N – uvijek ima suprotan smjer od vučne sile (FV). (usporava/sprječava uzajamno gibanje) 

    FT = ⏐Fn⏐o

    μ  (skalarna jednadžba) gdje je: ⏐Fn⏐ – intenzitet normalne sile, N, (indeks n ukazuje na okomitost) μ  – faktor trenja (makropristup), –.

    Sila trenja ne ovisi o dodirnoj površini tijela!?

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    25/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  03. Statika – 7 

    3.13 Statičko/dinamičko trenje

    Statičko trenje (neposredno prije pokretanja tijela) je veće od dinamičkog trenja (tijelo u pokretu), a trenje klizanja (dominiraju međumo-ekulske sile – adhezija) je veće od trenja kotrljanja (dominiraju lokalne deformacije).

    Problemi trenja se u pravilu rješavaju makropristupom (zanemarujući analizu procesa u zoni lokalnih dodira) – eksperimentalnim određiva-

    njem (ili nalaženjem podataka u literaturi) faktora trenja za aktualne uvjete gibanja: μkl,st , μ kl,din , μkot,st , μ kot,din . 

    Materijali μkl,st ≡ μkl,st,Max  μ kl,din 

    drvo/drvo 0,5 0,3

    čelik/čelik, bez maziva 0,15 0,09čelik/čelik, s mazivom 0,03 0,03

    guma/beton, suho 1,0 0,7

    guma/beton, vlažno 0,30 0,25

    čelik/teflon 0,04 0,04

    U tablici su date maksimalne vrijednosti faktora statičkog trenja, naime,

    (a)  u odsustvu vučne sile: μkl,st = 0 (b)  neposredno prije pokretanja tijela: μkl,st = μkl,st,Max 

    Pod kojim uvjetima dolazi do prevrtanja tijela i kako smanjiti opasnost od prevrtanja? (guranje/povlačenje ormara) Položaj normalne sile Fn 

    se određuje iz uvjeta Σ M = 0 (kada ovaj uvjet ne bi bio ispunjen tijelo bi se počelo okretati oko horizontalne osi). Fg – gravitacijska sila.

    Ubrzanje gibanja tijela ( porast brzine u jedinici vremena) određuje rezultanta: (komponente) 

    F = FV – FT,din = moa  (⇒ dinamika) 

    3.14 Mehaničke naprave, korisnost i učinkovitost

    Korištenjem mehaničkih naprava (najjednostavniji mehanički strojevi) smanjuje se sila (moment sile) potrebna za obavljanje rada. Najčeš-će korištena mehanička naprava je poluga, koja omogućava dizanje tereta (Fter ) sa značajno manjim naporom (Fnap):

    Korisnost mehaničke naprave – u kojoj je mjeri smanjena potrebna sila:

    K =ter 

    nap

    F

    F > 1  (ako je K < 1 je li naprava beskorisna ?)  gdje je: Fter   – sila kojom teret opterećuje napravu, N,

    Fnap  – napor (sila) kojim se djeluje na napravu, N.

    Ravnoteža momenata sila:

    ⏐Fter ⏐oa = ⏐Fnap⏐ob 

    K =ter 

    nap

    F

    F =

    a

    b > 1

    Kako je iskorišteni rad za dizanje tereta približno jednak uloženom radu, slijedi:

    K =ter 

    nap

    F

    F ≈ 

    nap

    ter 

    s

    s  Prema tome, što je veća korisnost mehaničke naprave to će biti dulji put djelovanja napora u odnosu

    na put tereta. (o čemu ovisi kojom će se brzinom podići teret ?) 

    Učinkovitost mehaničke naprave je pokazatelj mjere korištenja uloženog rada: (rad = umnožak sile i puta) 

    η = iu

    W

    W =

    ter ter  

    nap nap

    s

    s

    o

    o

    F

    F < 1

    gdje je: Wi  – izvršeni rad, J,

    Wu  – uloženi rad, J. 

    Uzrok η < 1 su elastične ( plastične) deformacije mehaničkih naprava i trenje. Naime, ako se pri podizanju tereta poluga deformira, da bi teretprešao željeni put ster  mora sila napora djelovati duž puta snap,def  koji je veći od puta kada se koristi poluga koja se ne deformira snap. Trenjee u osloncu poluge u pravilu zanemarivo.

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    26/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  03. Statika – 8 

    3.15 Strma ravnina i zavojnica

    STRMA RAVNINA:

    Fter  = Fg Iz ravnoteže sila slijedi: (komponente) 

    Fnap = Fx = – ⏐Fg⏐o sin α  (ako se zanemari sila trenja) 

    K =ter 

    nap

    F

    F =

    sin

    g

    g  o

    F

    F   α  =

    sin

    1

    α > 1

    Kako na učinkovitost utječe kut α ?

    Međutim, kod strme ravnine ne može se zanemariti trenje (teret kliže po strmoj ravnini) te iz ravnoteže sila slijedi: (x komponente) 

    Σ F = Fnap – Fx – FT = Fnap – ⏐Fg⏐o sin α – ⏐Fn⏐oμ kl,st = Fnap – ⏐Fg⏐o sin α – ⏐ –Fy⏐oμ kl,st = 0Fnap = ⏐Fg⏐o sin α + ⏐⏐Fg⏐o cos α⏐oμ kl,st = ⏐Fg⏐o( sin α + cos αoμ kl,st)

    K =ter 

    nap

    F

    F =

    ( )sin cosα + αo og

    g kl,stμ

    F

    F =

    sin coskl,st

    1

    μα + α o > 1 (?) 

    = ( )

    sin cos

    sin cos

    α Δ α

    α + α Δ

    o o o

    o o

    g

    g kl,μ

    y

    ost x

    F

    F = 

    sin cos

    sin coskl,stμ

    y

    x

    Δα αα + α Δ

    o

    o

    o

     < 1 (?) η = iu

    W

    W =

    ter ter  

    nap nap

    s

    s

    o

    o

    F

    F

    ZAVOJNICA:

    sin α =π

    k

    d   o 

    Po analogiji sa strmom ravninom:

    K =ter 

    nap

    F

    F =

    sin

    1

    α =

    πd

    k

    o

     > 1

    Pri zatezanju/otpuštanju spoja zavrtanj/navrtka klizi zavojnica navrtke po zavojnici zavrtnja. Objasniti zašto se: spojevi s većim korakom za-

    vojnice (k) brže pritežu/otpuštaju, a spojevi s većim količnikom promjera i koraka (d/k) zavojnice lakše pritežu/otpuštaju.

    3.16 Vitlo i koloturi

    Opterećenje: (teret se diže odozdo) 

    Fter  = G Iz ravnoteže momenata (komponente):

    F1od – FnapoD = 0 F1 = Fter   Fter od = FnapoD 

    K =ter 

    nap

    F

    F =

    d

    D > 1

    Ima li vitlo manji ili veći η od strme ravnine ?

    KOLOTURI:

    Opterećenje: (teret se diže odozdo) Fter  = G 

    Iz ravnoteže momenata: (komponente) 

    F1oD – FnapoD = 0 F1 = Fter  

    Fter oD = FnapoD 

    K =ter 

    nap

    F

    F =

    D

    D = 1 (η = ?) 

    Za što se koristi ova naprava ?

    Opterećenje: (teret se diže odozgo) Fter  = G 

    Iz ravnoteže sila: (komponente) 

     – G + F1 = 0 – F1 + 2oF2 = 0

    Fnap = F2  (sila u užetu) 

    Fter  = 2oFnap 

    K =ter 

    nap

    F

    F = 2

    Provjeriti korisnost sustava od dva ko-lotura: (teret se diže odozdo) 

    K =ter 

    nap

    F

    F = 2 

    Uvjeti ravnoteže (komponente):

     – G + 2oF1 = 0

    F1oD – FnapoD = 0

    Provjeriti korisnost sustava od tri kolotura:(teret se diže odozdo) 

    K =ter 

    nap

    F

    F = 3

    Uvjeti ravnoteže (komponente):

     – G + 3oF1 = 0

    F1oD – FnapoD = 0

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    27/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  04. Dinamika – 1 

    4.1 Zakon inercije – prvi Newtonov zakon

    Dinamika širi kinematičke analize uzimajući u obzir mase tijela (materijalne točke). Prije svega izučava ovisnost gibanja o silama koje gazazivaju ( pokrenuti auto na guranje). Za održavanje jednolikog pravocrtnog gibanja je potrebno stalno djelovanje sile. ?

    Inercija (mirovanje – tromost, gibanje – ustrajnost) – svojstvo tijela da se odupiru promjenama stanja gibanja. (v = 0 ili v = Cv) 

    Zakon inercije ( prvi Newtonov zakon) – stanje gibanja se ne mijenja (vlada ravnoteža) ako je rezultanta sila koje djeluju na tijelo jednakanuli. (tijelo miruje ili se giba jednoliko pravocrtno) Vrijedi li pri kočenju/ubrzanju zakon inercija za putnika koji stoji u autobusu?

    FR = Fi = 0  (vektorski) U pravcu rezultante sila: (određen je aktualni pravac – komponente) 

    FR = moaR = 0 m ≠ 0 aR = 0 v = ∫ aRodt = aRo∫ dt = 0 + Cv = v0  (u trenutku t0 = 0 v = v0) (a)  tijelo miruje: v0 = 0 (b)  tijelo se giba jednoliko pravocrtno: v0 = Cv 

     Newtonovo njihalo – jedan stupanj slobode gibanja: (koliko će dugo trajati njihanje) 

    za održanje jednolikog kružnog (krivocrtnog) gibanja potrebno je stalno djelovanje sile (centripetalna sila). Kada na tijelo ne bi djelovalanikakva sila ono bi se gibalo jednoliko pravocrtno.

    Tijelo će jednoliko rotirati (vrtnja) oko osi ako je:

    MR = Mi = 0  (krak centripetalne sile jednak je nuli) 

    4.2 Sila, masa i ubrzanje – drugi Newtonov zakon

    Rezultanta sila različita od nule: FR = ΣFi ≠ 0 uzrokuje ubrzanje tijela, ako gibanje nije spriječeno. (Može li ubrzanje izazvati silu ?) Primjer P-4.1:Kakva je razlikau slučajevima:(a) m ~ m1 (b) m > m1 

    Temeljna jednadžba gibanja (na temelju koje se određuje gibanje tijela: a, v, s, pod utjecajem zadanih sila, FR = ΣFi):

    Drugi Newtonov zakon (matematički opis)  aR = RmF   (vektorski)  aR = RF

    m  (komponente, npr. u pravcu osi x) 

    Ubrzanje tijela (vektor ) izravno je razmjerno sili (rezultantni vektor ) koja djeluje na tijelo, a obrnuto je razmjerna masi tijela (skalarni poka-zatelj otpornosti tijela promjeni stanja gibanja). Pravac i smjer ubrzanja se uvijek poklapaju s pravcem i smjerom sile koja ga uzrokuje.

    FR = moaR  [⏐F⏐] = [m]o[⏐a⏐] = kgomos –2 ≡ N

    Sila, F = 1 N (njutn – jedinica za silu), daje tijelu mase m = 1 kg ubrzanje a = 1 m/s2. (a = g ≈ 10 m/s2 – ubrzanje zemljine teže) zračunavanja su složenija ako se sila koja djeluje na tijelo mijenja tijekom vremena (F = f (t)).

    Tri važne opaske:1.  umjesto vektorske jednadžbe uglavnom se koriste skalarne jednadžbe s komponentama u koordinatnom sustavu 0,x,y,z:

    FR,x = Σ Fx,i = moaR,x = 0 FR,y = Σ Fy,i = moaR,y = 0 FR,z = Σ Fz,i = moaR,z = 02.  samo vanjske sile uzrokuju ubrzanje sustava – djelovanja unutarnjih sila (između tijela koja su dijelovi aktualnog sustava) ne izazivaju

    ubrzanje (mogu li putnici pokrenuti autobus guranjem ne izlazeći iz autobusa) 

    3.  kada se usvoji definicija "inercijalni sustavi" (što nije neizbježno) Newtonovi zakoni vrijede samo u inercijalnim sustavima.Težina tijela (sila – uzajamno djelovanje tijelaizazvana gravitacijom):

    G = mog, [⏐G⏐] = N  Ne smije se brkati s masom tijela (svojstvo ti- jela koje ne ovisi o gravitaciji):

    [m] = kg.

    g – ubrzanje slobodnog pa-da, posljedica Fg .Ima li smisla ugraditi u vo-zilo mjerač ubrzanja?Što je s G  i ubrzanjem vo-zila na Mjesecu?

  • 8/19/2019 Fizika Podloge Za Studij Strojarsva

    28/74

    FIZIKA  – podloge za studij strojarstva  04. Dinamika – 2 

    4.3 Granice referentnog sustava – neinercijalni sustavi i inercijalne sile

    Inercijalni sustavi – sustavi u kojima vrijede temeljni Newtonovi zakoni gibanja. Iskustva pokazuju da takvi sustavi u odnosu na tlo miruju(pod sobe) ili se gibaju jednoliko pravocrtno ( paluba broda koji plovi po bonaci). Neinercijalni sustavi – sustavi u kojima ne vrijede osnovni(Newtonovi) zakoni gibanja. Iskustva pokazuju da su takvi sustavi ubrzani/usporeni. (Je li moguće igrati bilijar na brodu ili u vlaku?) 

    Ovisno o postavljenim granicama, neinercijalni sustavi se mogu analizirati kao neinercijalni ili kao inercijalni. Promatrano iz inercijalnog su-stava, tijelo (mase m) u ubrzanom/usporenom (neinercijalnom) sustavu teži održanju prvobitnog stanja gibanja. Sam neinercijalni sustav imaubrzanje aI. (Prodiskutirati slike – kako se pojave vide iz inercijalnog i neinercijalnog sustava.) 

    Promatrano iz neinercijalnog (ubrzanog/usporenog) sustava, na tijelo djeluje "inercijalna sila": ( praktičan nenewtonski pristup) FI = – moaI  (može li se izmjeriti neinercijalna sila) 

    nercijalna sila FI nije posljedica uzajamnog djelovanja tijela (definicija sile i trenje) – ne javlja se protusila. ( III Newtonov zakon).U okomito k tlu Zemlje ubrzavanom sustavu: G' = Fg + FI  s komponentama ⇒  G' = Fg – FI = mog – moaI = mo(g – aI) Pri slobodnom padu neinercijalnog sustava (aI = – g): (nacrtati teret u dizalu i ucrtati vektore ubrzanja i sila)  G' = mo(g – aI) = 0

    U slučaju kružnog gibanja inercijalna sila se naziva centrifugalnom silom (Fcf ), koja je u slučaju jednolikog kružnog gibanja jednakog in-

    enziteta i pravca, te različitog smjera od centripetalne sile (Fcp). Centripetalna i centrifugalna sila nemaju isto hvatište. centripetalna sila je njutnovska (ima

     protusilu)  – povlači tijelo k centruvrtnje, te se ono giba po kružnici

     centrifugalna sila je nenjutnovska –inercijalna je i nema protusilu

     centrifugalna sila zateže oprugu ? u trenutku prekida opruge obe se si-

    le gube i tijelo se nastavlja gibati je-dnoliko u pravcu tangente

    4.4 Rad i snaga

    Rad – skalarna veličina kojom se opisuje razmjena mehaničke energije između sustava i okoline:

    W = Fos  (?)  W = FoΔr  = ⏐F⏐o⏐Δr ⏐ocos α  (skalarni produkt)  dW = Fodr  = ⏐F⏐o⏐dr ⏐ocos α  W1/2 =2

     1F∫   ocos α o ds 

    W = Fosocos α  [W] = [F]o[s] = Nom ≡ J  (trigonometrijska kružnica) Rad je pozitivan ako su isti