FIZIKA

Marko Munih

Interaktivna fizikaProgramsko orodje za gradnjo fizikalnih simulacij v okolju WINDOWS verzija 2.5

Zavod Republike Slovenije za šolstvo

Modeli poučevanja in učenjaFIZIKA

Marko MunihInteraktivna fizika Programsko orodje za gradnjo fizikalnih simulacij v okolju WINDOWS verzija 2.5

Sodelovali so:Simon Dražič, OŠ Šmarje pri Kopru, Šmarje,Danilo Fermo, SE Pier Paolo Vergerio il Vecchio, Koper,Đeni Plešnik, OŠ Janka Premrla - Vojka, Koper

Strokovni in jezikovni pregled: mag. Seta Oblak

2

Predgovor

Če primerjamo program Interactive Physics z drugimi programi, ki so na voljo učiteljem fizike, ugotovimo, da lahko Animirano skico le prikažemo, medtem ko v Albertovih simulacijah spreminjamo posamezne lastnosti elementov, ne moremo pa spreminjati geometrije poskusa. Z programom Interactive Physics pa sami zgradimo simulacijo v celoti. Na delovno površino zložimo različne gradnike, določimo njihove lastnosti, jih povežemo z vrvmi, vzmetmi... Vklapljamo lahko gravitacijo, zračni upor, električno silo... Na voljo so tudi merilniki za različne fizikalne količine.• Program omogoča gradnjo fizikalnih simulacij, ne da bi pisali programsko kodo. • "Izmerjene" vrednosti fizikalnih količin lahko zapišemo v tekstovno datoteko. Podatke

obdelamo s kakim drugim programom, npr. z Excelom, ali pa jih primerjamo z resničnimi meritvami.

• Primerjavo lahko izvedemo tudi tako, da program prebere dejansko meritev. Na zaslonu prikažemo gibanje resničnega telesa in ga primerjamo s teoretično napovedjo.

• Verzija 3.0 zna simulacijo prevesti v animacijo (avi), kar je bilo pri varianti 2.5 privilegij uporabnikov Macintosha (QuickTime).

Program v vseh svojih verzijah je svetovna uspešnica. Veliko učbenikov ga navaja kot standardni pripomoček za delo dijakov in študentov ali pa je program celo vgrajen v vsebino učbenika. Naj omenim le dva: Douglas C. Giancoli: PHYSICS, Prentice Hall International Editions, 1995, in Raymond A. Serway: PHYSICS, Saunders College Publishing, 1996.

Program je primeren za uporabo v osnovni (fizika, tehnični pouk) in srednji šoli (fizika, mehanika...) za demonstracijo in za samostojno delo učencev oziroma dijakov. Program je uporaben tudi izven šolstva za simulacijo delovanja različnih naprav…

Priročnik je sestavljen iz dveh delov. V prvem je povzetek dokaj obsežnih originalnih navodil (User's Manual - 358 strani). V drugem delu je razložena gradnja posameznih simulacij na tak način, da se pri vsakem primeru naučimo kake nove prvine programa. Primeri so prirejeni verziji 2.5, ki je skromnejša in zato primerna za prve korake.

Če bi radi preizkusili program, lahko preko svetovnega spleta dobite preizkusno verzijo programa. V preizkusni varianti delujejo vsi elementi programa, onemogočeno je le shranjevanje izdelanih simulacij in poganjanje simulacij, ki niso del demo distribucije.

3

Kazalo

PRIROČNIK............................................................................................................ 7

1 Prvi koraki............................................................................................................. 8.1.1 Pogled na zaslon.............................................................................................. 8.1.2 Primer: poženi že izdelan primer..................................................................... 9.1.3 Primer: Poševni met.........................................................................................9

2 Menuji.................................................................................................................. 10.2.1 File 10.2.2 Edit 11.2.3 World ............................................................................................................11.2.4 View.............................................................................................................. 12.2.5 Object............................................................................................................ 13.2.6 Define............................................................................................................ 14.2.7 Measure......................................................................................................... 14.2.8 Window......................................................................................................... 15.2.9 Help............................................................................................................... 15

3 Telesa....................................................................................................................15.3.1 Risanje teles...................................................................................................15.3.2 Lastnosti teles................................................................................................ 16.3.3 Izgled teles..................................................................................................... 17

4 Sila in navor......................................................................................................... 18

5 Spoji, vodila in prenosi........................................................................................18.5.1 Spoji.............................................................................................................. 18.5.2 Vodila............................................................................................................ 19.5.3 Prenosi...........................................................................................................19

6 Delovno okolje..................................................................................................... 21.6.1 Urejanje delovnega okolja..............................................................................21.6.2 Pogled...........................................................................................................21.6.3 Polje sil.......................................................................................................... 21

4

.6.4 Merilniki........................................................................................................ 22

.6.5 Vektorji..........................................................................................................24

.6.6 Napisi (Text)................................................................................................ 24

.6.7 Slike...............................................................................................................25

7 Predvajanje simulacij.......................................................................................... 25.7.1 Spreminjanje parametrov simulacije..............................................................25.7.2 Menujski gumbi............................................................................................. 26.7.3 Shranjevanje simulacij..................................................................................26

PRIMERI................................................................................................................29

1 Prosti pad 1.......................................................................................................... 30

2 Prosti pad 2.......................................................................................................... 32

3 Poševni met.......................................................................................................... 34

4 Lovec in opica...................................................................................................... 36

5 Štiri žoge...............................................................................................................38

6 Komponente vektorja..........................................................................................40

7 Seštevanje vektorjev ...........................................................................................42

8 Ulična svetilka......................................................................................................44

9 Svetila na zidu...................................................................................................... 46

10 Seštevanje sil...................................................................................................... 48

11 Kozarec na mizi................................................................................................. 50

12 Težišče................................................................................................................ 52

13 Newtonov zakon.................................................................................................54

14 Opazovalni sistemi.............................................................................................56

15 Raketa.................................................................................................................58

16 Gibanje po klancu 1..........................................................................................60

17 Gibanje po klancu 2..........................................................................................62

LITERATURA.......................................................................................................64

5

http://www.krev.com/products/ip.html

6

PRIROČNIK

Namestitev programaPrvi korakiMenujiTelesaSila in navorSpoji, vodila in prenosiDelovno okoljePredvajanje simulacij

7

Namestitev programaNamestitev programa je običajna za okolje Windows:1. Poženi Windows 3.1 na boljšem računalniku (minimalno PC 486, 8 MB RAM).2. Vstavi disketo z napisom “Disk 1/Install” v pogon A.3. V Program managerju izberi File/Run.4. Odtipkaj A:Setup5. Določi imenik za IPjeve datoteke ( C:\IP25). Namestitvena procedura bo

raztegnila datoteke in jih namestila na trdi disk.6. Zamenjaj disketo, ko bo program to zahteval.7. Po koncu namestitvene procedure bo v Program managerju novo programsko

okno z posebno ikono.

1 Prvi koraki

.1.1Pogled na zaslonZaslon je podoben Corelovemu. Zgoraj je napis Interactive Physics 2.5 in naslov simulacije (Untitled #1, če je še nismo poimenovali). Pod napisom je tipični okenski menu. Na levi strani zaslona so orodja, s katerimi poganjamo in gradimo simulacije.

8

Sproži simulacijo

Vrne simulacijo v začetni položaj

Kasetofonski gumbi in drsnik za poganjanje simulacije

Orodja

Trak za sporočila

Drsnik

.1.2Primer: poženi že izdelan primerŽe izdelano simulacijo odpreš z izbiro File/Open. Tako naložiš simulacijo OSCILATR.IP, ki jo najdeš v imeniku IP25/DEMOS. Simulacijo poženeš s pritiskom na gumb RUN na levi strani zaslona. Enakovredna izbira je World/Run z bližnjico +R.Simulacijo poženemo s pritiskom na gumb RUN v stolpcu z orodji. Napis na gumbu se spremeni v STOP. Tudi oblika miškinega kazalca se spremeni v obliko STOP znaka - ob pritisku miške se izvajanje simulacije preneha. Drsnik na spodnji strani okna kaže zaporedje slik - fotogramov.

Oblika miškinega kazalca se tudi spremeni, ko je le-ta nad drsnikom za spreminjanje koeficienta vzmeti. S pritiskom na levi gumb miške "primi" drsnik in spremeni vrednosti fizikalne količine.Ustavi simulacijo. S kasetofonskimi gumbi na spodnji strani okna lahko izbereš posamezen fotogram, sprožiš izvajanje v obratni smeri (vrtiš film nazaj) itd.

.1.3Primer: Poševni metEnostavno simulacijo izdelaš v nekaj korakih:• Poženi program Interaktivna fizika oziroma odpri novo okno za simulacijo

(File/New). • Dvojni klik po napisu poveča okno čez cel zaslon.• Izberi orodje za risanje krogov in nariši krog v spodnjem levem delu zaslona.

9

• Iz sredine kroga potegni začetno hitrost krogle.• Poženi simulacijo.

2 Menuji

.2.1FileNew (Nov) odpre novo simulacijo. Pri tem upošteva tekoče nastavitve.Open (Odpri) odpre obstoječo simulacijo. Hkrati imaš lahko odprtih več simulacij.Close (Zapri) zapre tekočo simulacijo. Program te opozori, če nisi shranil zadnje spremembe.Save (Shrani) shrani tekočo simulacijo na disk. Prejšnja verzija dokumenta je izgubljena.Save As (Shrani kot) shrani kopijo tekoče simulacije pod novim imenom. Izvirni dokument ostane nespremenjen.Print (Tiskaj) odpre pogovorno okno, kjer definiraš parametre izpisa.

10

Export Data (Izpiši podatke) odpre pogovorno okno za izpis podatkov. Program izpiše podatke v tekstovno datoteko. Podatkovna polja so ločena s tabulatorji.Exit (Zapusti) zapusti program.

.2.2EditUndo (Prekliči) prekliče zadnji ukaz. Če ukaz ni dosegljiv, dobimo sporočilo Can't Undo - ne morem preklicati spremembe.Cut (Izreži) izreže izbrani element in ga prenese na odložišče.Copy (Kopiraj) prenese kopijo izbranega elementa na odložišče.Paste (Prilepi) prenese in prilepi element z odložišča.Clear (Odstrani) odstrani izbrani element, ne da bi ga prenesel na odložišče.Select All (Izberi vse) izbere vse elemente simulacije.Duplicate (Podvoji) naredi kopijo izbranega elementa v tekoči simulaciji.Reshape (Preoblikuj) omogoča spreminjanje oblike poligonov in krivih vodil.Player Mode (Predvajanje simulacij) preklopi v način, ki omogoča omejeno spreminjanje scenarija.

.2.3World Gravity (Gravitacija) odpre pogovorno okno, kjer izbiramo med breztežnim stanjem, homogenim in centralnim (planetarnim) gravitacijskim poljem. Tu določimo tudi gravitacijski pospešek.Air Resistance (Upor zraka) odpre pogovorno okno, kjer izbiramo med brezzračnim prostorom, linearnim zakonom upora in kvadratnim zakonom upora. Tu določimo tudi koeficient zračnega upora.Electrostatics (Elektrostatika) vklopimo oziroma izklopimo električno silo in določimo "influenčno konstanto".

11

Force Field (Polje sile) tu uporabnik določi svoje polje. Na voljo imamo več polj poleg že naštetih: magnetno polje, veter... V predvidena okna lahko vpišemo programske ukaze za posebne vrste sil. Več o tem prebereš v originalni dokumentaciji.Run (Run) sproži izvajanje tekoče simulacije. Izbira je enakovredna pritisku na gumb RUN.Reset (Reset) ustavi simulacijo in jo vrne v izhodiščno stanje (fotogram 0).Start Here (Prični tu) tekoči položaj (tekoči fotogram) postane nov izhodiščni položaj. Skip Frames (Preskoči fotograme) pri predvajanju simulacije lahko program preskakuje izbrane fotograme, tako teče hitreje.Tracking (Sled) vklopimo lahko sled teles, ki se gibljejo v simulaciji. Tudi sledenje lahko izvajamo v različnih intervalih.AutoErase Track (Avtomatsko brisanje sledi) če je ta opcija vklopljena, se bo sled izbrisala ob resetiranju.Erase Track (Zbriši sled) ročno brisanje sledi.Retain Meter Values (Ohrani izmerjene vrednosti) če je ta opcija vklopljena, se merilniki (grafi) ne izbrišejo pri ponovnem proženju aplikacije.Erase Meter Values (Zbriši meritve) ročno zbrišemo grafe.Accuracy (Natančnost) natančnost računanja.Pause Control (Programiran stop) postavimo pogoj za stop simulacije.Preferences (Nastavitve) shranimo tekoče nastavitve.

.2.4View

Workspace (Delovna površina) odpre dodatni roletni menu, kjer vklapljaš in izklapljaš posamezne elemente na delovne površine: Rulers (ravnila), Grid Lines (pomožne črte), X-Y Axes (merilo na oseh), Coordinates (položaja kurzorja), Tool Palette (stolpec z orodji), Help Ribbon (vrstica s pojasnili), Scroll Bars (drsniki), Tape Player Controls (kasetofonski gumbi na dnu zaslona za nadzor izvajanja), Workspace (dodatno pogovorno okno, kjer lahko nadzoruješ več elementov hkrati).

12

Grid Snap (Risanje po pomožnih črtah) pri risanju je vklopljen diskretni korak.System Center of Mass (Prikaži težišče) pokaže masno središče teles, ki nastopajo v simulaciji.Lock Points (Zakleni točke - tečaje, ležaje) točk, moznikov, vodil ne moreš premikati.Lock Controls (Zakleni ukazne gumbe) ukaznih gumbov in drsnikov na delovni površini ne moreš premikati.Numbers and Units (Števila in enote) v tem pogovornem oknu definiraš merski sistem.View Size (Merilo)Background Color (Barva ozadja)New Reference Frame (Nov koordinatni sistem) Na vsako telo lahko pripnemo koordinatni sistem. Dogajanje lahko opazujemo iz katerega koli definiranega koordinatnega sistema.Delete Reference Frame (Zbriše koordinatni sistem) Izbrišeš lahko kateri koli koordinatni sistem, le osnovnega (Home) ne.List of reference frames (Seznam koordinatnih sistemov) na koncu roletnega menuja je seznam vseh koordinatnih sistemov (seznam vsebuje vsaj Home).

.2.5ObjectElasticity (Elastičnost) odpre pogovorno okno, kjer definiraš ta parameter. Elastičnost 0 pomeni, da se telo ne bo odbilo; idealno elastično telo ima elastičnost 1. Friction (Trenje) odpre pogovorno okno, kjer definiramo koeficient lepenja (static friction) in trenja (kinetic friction).Move To Front (Prenesi v ospredje) prenese izbrane elemente v ospredje.Send To Back (Prenesi v ozadje) prenese izbrane elemente v ozadje.Collide (Omogoči trke) izbrani elementi se bodo gibali po isti plasti, tako da so trki mogoči.Do Not Collide (Onemogoči trke) izbrani elementi se bodo gibali po različnih plasteh, tako da so trki med njimi onemogočeni.Font (Pisave) odpre pogovorno okno, kjer izberemo tipografijo.

13

Attach Picture (Pripni sliko) izbranemu telesu pripneš sliko. Telesu s pripeto sliko lahko sliko tudi snameš (Detach Picture).

.2.6DefineVectors (Vektorji) odpre roletni menu, kjer izbereš, katere fizikalne količine bodo

prikazane z vektorji.No Vectors (Brez vektorjev) izklopi prikaz vseh vektorjev.Vector Display (Način prikaza vektorjev) določiš obliko prikaza za vse vektorje. Vector Lengths (Dolžina vektorjev) pogovorno okno določa dolžino puščic.New Menu Button (Nov ukazni gumb) odpre pogovorno okno, ki ustvari gumb z izbranim menujskim ukazom.

New Control (nov gradnik) ustvari drsnik za spremembo lastnosti izbranega elementa. Vrsto gradnika (drsnik, gumb, tekstovno okno) lahko spremeniš kasneje.

.2.7MeasureV tej izbiri določiš merilnike za lastnosti izbranega telesa. Time (Čas) prikliče uro.Seznam količin vsebuje: Position (Položaj), Velocity (Hitrost), Acceleration (Pospešek), P-V-A (Kombinirani merilnik za vse tri naštete količine), Momentum (Gibalna količina), Angular Momentum (Vrtilna količina), Total Force (Vsota sil na izbrano telo), Total Torque (Vsota navorov na izbrano telo), Gravity Force (Gravitacijska sila), Electrostatic Force (Električna sila), Air Force (Upor zraka), Force Field (Sila je gradient znanega polja), Kinetic Energy (Kinetična energija) in Gravity Potential (Gravitacijski potencial).Če sta izbrani dve telesi, se ta menu spremeni. Meriš lahko sile med izbranima telesoma: trenje ...

14

.2.8WindowProperties (Lastnosti) odpre pogovorno okno, kjer izbranemu elementu določimo lastnosti: položaj, začetno hitrost, maso, gostoto, koeficient trenja, elastičnost, naboj...Appearance (Izgled) odpre pogovorno okno, kjer izbranemu elementu določimo ime, barvo...Cascade uredi okna odprtih simulacij.Tile uredi okna odprtih simulacij drugo poleg drugega.Arrange Icons uredi ikone odprtih simulacij.

Pod črto najdemo Seznam odprtih simulacij. Izbrana simulacija postane aktivna in splava na površino.

.2.9HelpContents odpre vsebinsko kazalo celotne pomoči.Tutorial odpre vsebinsko kazalo kratkega pregleda pomoči.Keyboard seznam bližnjic, ki so dostopne s tipkovnice.Search for help on… pomoč za izbrano temo.Using help splošna pomoč za okolje Windows.About Interactive Physics... podatki o avtorju in lastniku licence.

3 Telesa

.3.1Risanje telesTelesa so krogi, pravokotniki, kvadrati, mnogokotniki. Privzeta gostota (ploskovna) teles je 1kg/m2, kar lahko spremeniš v izbiri Window/Properties.

15

Risanje pravilnih likov : izberi lik, nato ga z vlečenjem (drži pritisnjen levi gumb na miški) povečaš do željene velikosti. Če z velikostjo nisi zadovoljen, lahko primeš za ročke (temne kvadratke), ki omejujejo lik, in spremeniš velikost z vlečenjem.

Risanje večkotnikov (poligonov ): Rišeš jih od oglišča do oglišča. Lik zaključiš z dvojnim klikom. Mnogokotnik povečaš z vlečenjem ročk. Mnogokotnike lahko preko izbire Edit/Reshape preoblikuješ. Z miško (kurzor je sedaj posebne oblike) primeš oglišče in ga premakneš. Novo oglišče dodaš z dvojnim klikom po robu izbranega poligona. Izbrano oglišče zbrišeš s pritiskom na tipko .

Telesa premikaš tako, da s pomočjo orodja izbereš telo in ga odvlečeš na želeni položaj.

Telo pritrdiš na ozadje, tako da ga zasidraš .

.3.2Lastnosti telesDvojni klik po elementu odpre pogovorno okno Properties, kjer spreminjaš lastnosti elementa. Do istega okna te pripelje izbira Window/Properties. V tem oknu lahko natančno določiš oziroma spremeniš lastnosti telesa, ki si jih na grobo definiral z risanjem. V zgornjem okencu je ime telesa. Nato so koordinate težišča telesa. Sledi kot zasuka glede na vodoravnico. Telesa lahko sučeš tudi s

posebnim orodjem , vendar je numerični vnos natančnejši. Enako lahko spreminjaš komponente hitrosti vx in vy ter hitrost vrtenja okoli težišča vΦ.Telo je lahko iz različnih snovi. Ob spremembi snovi program izračuna maso telesa (telesa so 1 mm visoke ploščice). Maso lahko vneseš tudi numerično, vrsta snovi je potem nedefinirana (custom).

16

Trenje (Friction). Sili lepenja (Static) in trenja (Kinetic) sta sorazmerni sili, ki pravokotno pritiska na podlago. Pri drsenju teles z različnim koeficientom trenja program vzame večjo vrednost koeficienta. Trenje lahko definiraš tudi v posebnem oknu, do katerega vodi izbira Object/Friction. Prožnost (Elasticity) je v programu definirana kot razmerje absolutnih vrednosti hitrosti pred in po trku. Popolnoma prožno telo ima prožnost - elastičnost 1, velikost hitrosti je pred in po trku enaka. Popolnoma plastično telo ima prožnost 0. Pri trku dveh različnih teles program vzame za prožnost manjšo vrednost, popolnoma prožno telo se od plastičnega ne odbije. Prožnost telesa lahko definiraš tudi v posebnem oknu, do katerega vodi izbira Object/Elasticity.

Naboj telesa je pomemben, če si v izbiri World/Electrostatics vklopil električne sile.Program izračuna vztrajnostni moment telesa. Povedati mu moraš, kako je porazdeljena masa: ploskovno (planar), po robovih (shell) ali prostorsko - rotacijsko telo (3D-sphere). V skrajnem primeru velikost vztrajnostnega momenta vpišeš eksplicitno.

.3.3Izgled teles

Prek izbire Window/Appearance odpremo pogovorno okno, kjer lahko elementom priredimo imena in jih obarvamo. Poleg tega lahko vklopimo še različne opcije:Track center of mass - za telesom bodo ostali položaji težišča.Track connect - za telesom bo ostala sled težišča, lege težišča bodo povezane z daljicami. Track outline - za telesom ostanejo obrisi telesa.Show - telo bo vidno med izvajanjem simulacije.Show name - prikaz imena.

17

Show center of mass - prikaz težišča, težišče bo označeno z majhnim križcem ×.Show charge - prikaz naboja.Show circle orientation - prikaz radija.

4 Sila in navorSilo na telo določimo tako, da izberemo

v orodjarni in narišemo silo. Silo rišemo od vrha puščice (prijemališča) proti repu. Dvojni klik po puščici odpre pogovorno okno, kjer določimo lastnosti sile:Numerična velikost komponent v kartezijski (Fx in Fy) ali polarni obliki (velikost sile F in kot Φ).

Rotate with mass smer delovanja sile bo stalna glede na telo.Active when lahko določimo pogoj, s katerim vklapljamo oziroma izklapljamo silo. Pogoje zapišemo v ustrezni obliki (glej originalno dokumentacijo).Orodje za navor izbereš tako, da postaviš kazalec miške nad ikono za silo in držiš pritisnjen levi gumb na miški dlje časa. Odpre se nov trak z orodji. Izberi Torque -

navor . Nato se postavi nad telo in klikni. Tu bo osišče, velikost navora določiš v oknu Properties, ki se prikaže po dvojnem kliku.

5Spoji, vodila in prenosi

.5.1SpojiTelesa lahko pritrdiš na ozadje ali

spajaš med seboj s togimi ali

vrtljivimi mozniki. Telesi, ki jih želiš speti, postavi tako, da se prekrivata, in ju z ustreznim orodjem

18

spni. Program postavi speta telesa vsako na svojo plast. Natančen položaj moznika lahko določimo v oknu Properties. Primer: Na delovno površino postavi disk in ga s vrtljivim moznikom pripni na ozadje izven težišča. Ko simulacijo poženeš, disk zaniha. Simulacijo sestavljata disk (Mass[1]) in moznik (Constraint[3]). Le-ta je sestavljen iz treh delov. V eni točki je vpet na disk (Point[2]) in v drugi na ozadje (Point[4]). Pri obeh točkah so v oknu Properties napisane koordinate glede na ozadje (Global Coordinates) in glede na telo.

.5.2VodilaTelesa se lahko gibljejo po ravnih ali krivih vodilih. Vodilo ima vgrajen moznik, s katerim pripneš telo. Moznik je lahko tog ali vrtljiv. Tako se lahko telo pri gibanju po vodilu prosto vrti okoli moznika ali ne. Poševno premo vodilo dobiš s sukanjem navpičnega ali vodoravnega vodila.

Krivo vodilo rišeš postopoma tako, da polagaš vozle. Že izdelanemu krivemu vodilu lahko spremeniš obliko preko izbire Edit/Reshape: premakneš vozle, dodaš vozel (dvojni klik), zbrišeš vozel (izberi vozel, nato pritisni tipko ).

.5.3PrenosiDelimo jih v dve skupini:1. Vzmeti: spiralna vzmet, amortizer, polžasta vzmet,

sučni amortizer.2. Vrvi: vrv, škripčevje, drog, distančnik, zobnik.

Vijačna vzmet Lahko je pripeta na telo in ozadje ali med dvema telesoma. Rišeš jo tako, da vlečeš z miško od prve do druge točke. Tako si določil dolžino vzmeti. Lastnosti vzmeti, ki jih lahko spreminjaš, so: •oblika sile (F=kx, F=kx2 ...), •koeficient vzmeti in •dolžina vzmeti (neobremenjene) length.

19

V oknu lastnosti vidiš tudi tekočo dolžino vzmeti (vzmet je lahko raztegnjena ali skrčena). Spreminjaš lahko tudi lastnosti krajišč. Na voljo so lokalne in globalne koordinate.

Amortizer Deluje na telesa s silo, ki je odvisna od relativnega gibanja njegovih krajišč. Rišeš ga z vlečenjem miške. Lastnosti, ki jih lahko spreminjaš, so •oblika dušenja (F=kv, F=kv2 ...), in •koeficient dušenja.

Polžasta vzmet in sučni amortizer Gradnika sta analogna linearnima elementoma, le da točki vpetja ležita ena nad drugo.

Vrv in škripci Vrv rišeš z vlečenjem miške. Vrv je neraztegljiva. Elastičnost vrvi pomeni, analogno elastičnosti teles, razmerje hitrosti privezanega telesa ob prehodu vrvi iz ohlapnega v napeto stanje in nazaj. Če pri premikanju koncev vrvi držiš pritisnjeno tipko , ostane dolžina vrvi nespremenjena. Škripce polagaš drugega za drugim s klikom in zaključiš s dvojnim klikom.

Drog Je tog. Krajišči droga sta vrtljiva moznika.

Distančnik Preprečuje dvema telesoma bližji stik.

Zobnik Zobniški par povezuje dve telesi. Privzeto prestavno razmerje je enako razmerju radijev. Če obe telesi nista okrogli, je prestavno razmerje 1. Prestavno razmerje lahko spreminjaš v oknu z lastnostmi. Tu lahko izbereš notranje ali zunanje ozobljenje oziroma simuliraš verižni mehanizem.

20

6 Delovno okolje

.6.1Urejanje delovnega okoljaPosamezne elemente delovnega okolja vklapljaš v izbiri View/Workspace. Pri natančnem risanju elementov je v pomoč mreža pomožnih črt (grid), ravnila (rulers), prikaz koordinatnih osi (X,Y Axes), prikaz koordinat (coordinates) in spreminjanje koordinat v diskretnih korakih (snap to grid). Vklop teh opcij je možen prek izbire View/Workspace.Najboljši pregled imamo v pogovornem oknu, ki ga prikličemo z izbiro View/Workspace/Workspace...

.6.2 Pogled

Skozi okno vidiš le del delovne površine. Velikost okna določiš prek izbire View/View Size. Določiš širino okna in merilo za telesa. Seveda lahko velikost okna spreminjaš z vlečenjem robov.

Če želiš le začasno spremeniti merilo, si pomagaj s povečevalnim steklom , ki ga najdeš v orodjarni. Okno premikaš s pomočjo drsnikov.

Obliko zapisa numeričnih količin in sistem enot določiš z izbiro View/Numbers and Units.

.6.3Polje silVgrajena so tri polja. Vrednost parametrov lahko spreminjaš prek izbire World/...

21

Druge oblike polja moraš posebej definirati. Več o tem prebereš v originalni dokumentaciji.

.6.4MerilnikiMerilniki numerično ali grafično prikazujejo vrednosti fizikalnih količin.

22

Določi element, nato preko izbire Measure izbereš količino in obliko prikaza: digitalni, stolpični in grafični. Meriš lahko skoraj vsako fizikalno količino, ki je smiselna za izbrani element. V skrajnem primeru lahko vpišeš enačbo kot lastnost merilnika. Poleg tega lahko oknu z lastnostmi poimenuješ količine in definiraš merilno območje.

Izgled merilnika spreminjaš v oknu Appearance. Glede na tip merilnika so dostopne različne opcije: okvir Frame, označbe Labels, osi Axes, viden Show, izpiši ime Show name,izpis enot Units, mreža Grid, poveži merilne točke Connect points.Program ob spremembi začetnih pogojev zbriše izmerjene vrednosti - zbriše grafe. Če želiš obdržati prikaz fizikalne količine ob spreminjanju začetnih pogojev, lahko to storiš preko izbire World/Retain meter values.

.6.4.1Izvoz meritevTekstovno datoteko s tabelo vrednosti fizikalnih količin dobiš preko izbire File/Export Data (Izvozi podatke). Če želiš le prenesti tabelo v odložišče, potem označi graf in izberi Edit/copy data.

23

.6.5Vektorji

Program podpira grafično predstavitev vektorskih količin (razen navorov). Prikaz vektorske količine za izbran element vklopiš z izbiro Define/Vector in nato izbereš fizikalno količino. Izklop dosežeš z izbiro No Vectors v istem menuju. Obliko prikaza uravnavaš v izbirah Define/Vector Display in Define/Vector Lengths.

.6.6 Napisi (Text)

Z orodjem lahko vneseš komentarje na delovno površino. Preko izbire Object/Font so dostopne črke, ki so deklarirane v okolju Windows. V resnici so s šumniki težave, tako da raje uporabi "czs standard".

24

.6.7SlikeSliko prenesi preko odložišča na delovno površino. Nato izberi telo in sliko ter jih spni - Object/Attach picture. Obratno Detach picture.

7 Predvajanje simulacij

.7.1Spreminjanje parametrov simulacijeLastnosti gradnikov oziroma parametre simulacije lahko spreminjaš pred in med samo simulacijo. Izberi gradnik, nato preko izbire Define/New control določi, katero lastnost izbranega gradnika bos spreminjal. Program postavi na delovno površino navpičen drsnik. Če primeš drsnik za njegov spodnji desni vogal, ga lahko preoblikuješ v vodoravnega. Barvo drsnika in napis spremeniš v oknu Appearance.

Drsnik lahko v oknu za lastnosti spremeniš v: • tekstovni okvir (Text box ) - vpišeš vrednost fizikalne količine, • drsnik (Slider) - vrednost fizikalne količine nastavljaš z drsnikom, • ukazni gumb (Button) - preklaplja med minimalno in maksimalno vrednostjo.

Namesto običajnega gumba dobiš opcijsko varianto, če ne obkljukaš Momentary.

• tabela (Table) - služi za branje zunanjih meritev. Podatki naj bodo urejeni v obliki tabele, stolpci ločeni s tabulatorji, oblika datoteke pa ASCII text s podaljškom DTA.

25

potegni

Spremembo oblike izvršiš v oknu Properties.

.7.2Menujski gumbiZato, da si olajšaš uporabo simulacije, lahko na delovno površino postaviš ukazne gumbe, ki so nekakšne bližnjice do različnih izbir, ki jih najdeš v roletnih menujih. Pot vodi preko izbire Define/New menu button. V spisku izberi ustrezni menu.

.7.3Shranjevanje simulacijPrivzet način shranjevanja simulacij je v razvojni obliki programa (Edit mode). Viden je stolpec z orodji in vsi menuji v menujski vrstici, elemente lahko premikaš in jim spreminjaš lastnosti.

26

Možen je še drug način shranjevanja simulacije, ko bodočemu uporabniku skriješ orodja in nekatere izbire v menujski vrstici. Možne so le spremembe, ki so dostopne preko menujskih gumbov, drsnikov … Izberi Edit/Player mode in shrani simulacijo. Obratno lahko tako simulacijo sprostiš z izbiro Edit/Edit mode.

27

28

PRIMERI

Prosti pad 1Prosti pad 2Poševni metLovec in opicaŠtiri žogeKomponente vektorjaSeštevanje vektorjevUlična svetilkaSvetila na ziduSeštevanje silKozarec na miziTežiščeNewtonov zakonOpazovalni sistemiRaketaGibanje po klancu 1Gibanje po klancu 2

29

1 Prosti pad 1V praznem prostoru padajo vsa telesa enako. O tem nas prepriča poskus s cevjo za prikaz prostega pada.Razišči vpliv zračnega upora na pot, hitrost in pospešek pri prostem padanju.

1. Poženi program IP. Vklopi prikaz koordinatnih osi z izbiro Workspace/X,Y Axes.

2. Postavi okroglo telo v koordinatno izhodišče. Izberi in nariši ploščico. Dvojni klik po ploščici odpre pogovorno okno Properties (to okno lahko odpreš tudi preko izbire Window/Properties). Tu določi koordinati x in y. Odpri pogovorno okno Window/Appearance in poimenuj telo ter mu določi barvo.

3. Poženi simulacijo . Telo prične pospešeno padati. Ustavi simulacijo

in vrni v začetni položaj .

4. Z orodjem za izbiranje izberi ploščico in preko izbire Define/Vectors vklopi prikaz sile teže (Gravitational Force) in sile zračnega upora (Air Force). Poženi simulacijo. Na zaslonu se prikaže le sila teže, saj je zračni upor izključen.

5. Vklopi zračni upor: World/Air Resistance in izberi Standard - linearni zakon upora. Poženi simulacijo. V začetku vidiš le silo teže, nato se z naraščajočo hitrostjo prikaže vedno večja sila zračnega upora.

30

6. Izklopi zračni upor: World/Air Resistance izberi None.7. Namesti merilnike za pot, hitrost in pospešek (Measure/Position/Y-Graf,

Measure/Velocity/Y-Graf, Measure/Acceleration/Y-Graf).8. Sproži simulacijo. Opazuj grafe. Pospešek je konstanten - vodoravna črta,

hitrost se enakomerno spreminja - premica, graf poti je kriva črta - parabola. Prosto padanje v brezzračnem prostoru je enakomerno pospešeno gibanje.

9. Ustavi simulacijo.10. Vklopi zračni upor: World/Air Resistance in izberi Standard - linearni zakon

upora.11. Preden poženeš simulacijo, vklopi v izbiro World/Retain Meter Values. Tako se

vsebina grafov ne bo izbrisala, grafi posameznih primerov se bodo risali drug vrh drugega. Poženi simulacijo in opazuj grafe. V začetku, ko je hitrost telesa majhna, je sila zračnega upora zanemarljiva. Hitrost se spreminja linearno, pospešek je konstanten. S naraščajočo hitrostjo postaja sila zračnega upora znatna. Pospešek se približuje ničli. Graf hitrosti ni več premica, hitrost se približuje končni vrednosti, ko se pospešek približuje ničli. Istočasno se pot začne spreminjati linearno.

12. Vklopi zračni upor : World/Air Resistance in izberi High - kvadratni zakon upora. Sproži simulacijo. Opazuj grafe. Sedaj je zgoraj opisano dogajanje še bolj izrazito.

31

2 Prosti pad 2

Primerjaj dejansko padanje kroglice s simuliranim padanjem.

1. Podatke o padanju kroglice uredi v tekstovno tabelo in jo poimenuj s končnico DTA.

t s0 00.69 -2.2481.01 -4.2691.21 -5.8141.53 -8.3091.73 -10.043

(Fizika v šoli 1 (1995) 2 stran 19)

2. IP prebere tabelo s podatki preko izbire Define/New Control/Generic control. Tako nastali gradnik (drsnik) moraš spremeniti v tabelo. To storiš z izbiro Window/Properties. Izberi tabelo, določi območje podatkov (min, max), ki naj jih program prebere, določi položaj podatkov v tabeli in končno sproži branje tabele. Program zahteva ime datoteke.

32

3. Postavi okroglo telo v koordinatno izhodišče. Izberi in nariši ploščico. Dvojni klik po ploščici odpre pogovorno okno Properties (to okno lahko odpreš tudi preko izbire Window/Properties). Tu določi koordinati x in y. Zasidraj

ploščico . Izberi ploščico in v oknu Properties vpiši za koordinato y ime tabele s podatki Input[1].

4. Poženi simulacijo . Telo se prične gibati tako, kot narekujejo podatki.

Ustavi simulacijo in jo vrni v začetni položaj .5. Nariši še eno ploščico. Le-ta bo padala tako, kot to simulira program. Odpri

pogovorno okno Window/Appearance in poimenuj telesi ter jima določi barvo.

6. Sproži simulacijo. Ker ni zračnega upora, pada zeleno telo hitreje.

7. Vklopi zračni upor : World/Air Resistance, izberi Standard - linearni zakon upora. Poženi simulacijo.

8. Ustavi simulacijo.9. Vklopi zračni upor: World/Air

Resistance, izbereš lahko Standard - linearni zakon upora ali High - kvadratni zakon upora. S spreminjanjem koeficienta k poskusi doseči enako gibanje obeh teles.

10. Za lažjo primerjavo obeh gibanj lahko namestiš še graf koordinate y obeh teles.

33

3 Poševni met

Poševni met lahko razstavimo na dvoje neodvisnih gibanj.Razišči vpliv zračnega upora na tir izstrelka.

1. Poženi program IP

2. Postavi kroglo v levi spodnji kot zaslona. Izberi in nariši ploščico. Odpri pogovorno okno Window/Appearance in mu določi barvo.

3. Določi začetno hitrost telesa: z miško potegni s sredine ploščice "hitrost".

4. Poženi simulacijo . Telo se prične gibati po paraboli. Ustavi simulacijo

in vrni v začetni položaj .

5. Z orodjem za izbiranje izberi ploščico in preko izbire Define/Vectors vklopi prikaz hitrosti (Velocity). Poženi simulacijo. Sedaj vidiš, kako se spreminja hitrost izstrelka. Ustavi simulacijo in vrni v začetni položaj.

6. Izberi ploščico in preko izbire Define/Vector Display vklopi prikaz komponent hitrosti. Poženi simulacijo. Sedaj vidiš, kako se spreminja hitrost izstrelka in kako se spreminjajo komponente hitrosti. Ustavi simulacijo. S pomočjo kasetofonskih gumbov in drsnika na spodnji strani aplikacijskega okna si lahko spreminjanje podrobneje ogledaš.

34

7. Prikaz tira izstrelka vklopiš tako, da izbereš ploščico in v oknu Window/Appearance odkljukaš Track connect.

8. Če primeš za vrh hitrosti ali komponente hitrosti (ost puščice), lahko spreminjaš smer in velikost hitrosti. Izklopi opcijo Autoerase track v izbiri World, tako se tiri ne bodo izbrisali ob vsaki spremembi začetnih pogojev. Oglej si tir izstrelka pri različnih začetnih pogojih. Če je tirov preveč, jih zbrišeš z ukazom World/Erase track. Velikosti komponent lahko numerično spreminjaš v oknu Window/Properties.

9. Zbriši tire. Poženi simulacijo. Vklopi zračni upor: World/Air Resistance, izberi Standard - linearni zakon upora. Za k izberi vrednost 0,1. Sproži simulacijo. Primerjaj tira.

10. V izbiri World/Air Resistance spreminjaj vrednost koeficienta, ki je odvisen od oblike telesa. Pri hitrem gibanju skozi zrak je sila upora sorazmerna s kvadratom hitrosti World/Air Resistance - High. Preizkusi različne okoliščine. Tir izstrelka v praznem prostoru je parabola. Tir delca z upoštevanjem zračnega upora - balistična krivulja - se v začetnem delu le malo razlikuje od parabole, kasneje pa so razlike znatne.

35

4 Lovec in opica

Lovec meri naravnost v opico na drevesu. V trenutku, ko ustreli, se opica spusti z veje. Ali lovec zadene opico?

1. Poženi program IP. V izbiri View/Workspace vklopi opcije X,Y Axes, Scroll bars, Tape player controls. S pomočjo drsnikov namesti okno tako, da bo izhodišče v spodnjem levem kotu zaslona.

2. Nariši tla "savane" - pravokotnik in ga zasidraj. Odpri pogovorno okno Window/Appearance in mu določi barvo.

3. Postavi kroglo v koordinatno izhodišče. Izberi in nariši ploščico - izstrelek. Ker je to objekt z maso in je tretji ( savana - Mass[1], sidro - Point[2]) element simulacije, dobi interno ime Mass[3]. V pogovornem oknu Window/Properties (dvojni klik po ploščici) nastavi koordinati x in y na 0. V pogovornem oknu Window/Appearance mu določi barvo in vklopi opcije: Track center of mass, Track connect.

4. V desnem zgornjem kotu zaslona nariši opico. Uporabiš lahko orodje za risanje večkotnikov ali običajen pravokotnik. Ker je to objekt z maso in je to četrti element simulacije, dobi interno ime Mass[4]. V pogovornem oknu Window/Appearance mu določi barvo in vklopi opcije: Track center of mass, Track connect.

5. Izberi izstrelek in preko izbire Define/New Control/Initial X Velocity postavi na delovno površino drsnik. Ker je to objekt za vnašanje podatkov in je peti element simulacije, je dobil interno ime Input[5]. S tem drsnikom boš spreminjal začetno hitrost izstrelka in hkrati poskrbel, da bo izstrelek vedno usmerjen proti opici.

6. Izberi izstrelek. V pogovornem oknu Window/Properties vpiši za začetno hitrost v smeri x vrednost drsnika, pomnoženo z x koordinato opice in deljeno z oddaljenostjo opice od izstrelka (to je kosinus elevacijskega kota opice): Input[5]*Mass[4].p.x/|Mass[4].p| in analogno za začetno hitrost v y smeri Input[5]*Mass[4].p.y/|Mass[4].p|.

7. Poženi simulacijo . Izstrelek se prične gibati po paraboli, opica prosto pada. Izstrelek zadene opico.

36

8. Ustavi simulacijo in vrni v začetni položaj .

9. Izberi izstrelek in preko izbire Define/Vectors vklopi prikaz hitrosti (Velocity). Stori isto še za opico. Poženi simulacijo. Sedaj vidiš, kako se spreminja hitrost izstrelka. Ustavi simulacijo in vrni v začetni položaj.

10. V izbiri World/Preferences vklopi opcijo Calculate initial conditions automaticaly. Ob premikanju opice bo sedaj vektor začetne hitrosti izstrelka vedno usmerjen proti opici. Poženi aplikacijo. Izstrelek vedno zadene opico, če je hitrost le tolikšna, da ne pade opica prej na tla.

11. Začasno izklopi opcijo Calculate initial conditions automaticaly, gradnja aplikacije je tako udobnejša. Na delovno površino postavi gumbe za sproženje in resetiranje aplikacije ter za vklapljanje sile teže (Define/New Menu Button). Če izklopiš silo teže, bo opica mirovala, izstrelek bo letel premo proti opici.

12. Na delovno površino postavi drsnika za spreminjanje mase izstrelka in opice. Izberi izstrelek in nato Define/New Control/Mass. Analogno za opico. Oglej si, kako sprememba mas vpliva na dogajanje.

13. Na delovno površino postavi še gumb za prikaz navodil. Klikni na prazno ozadje, nato na Define/New Control/Generic Control. Dobiš nov drsnik. Dvojni klik po drsniku odpre pogovorno okno Preferences. Za obliko izberi ukazni gumb button in izklopi opcijo Momentary. Tako dobiš opcijski gumb (Check box).

14. Besedilo navodila je slika, ki jo preneseš preko odložišča na delovno površino. Napišeš jo lahko z urejevalcem enačb (Equation editor), Slikarjem (Paint brush)… Direktni prenos iz urejevalca teksta ni možen. V oknu Window/Appearance vpiši kot Input[?] pogoj za obstoj slike. (? je številka opcijskega gumba, ki si ga naredil pri točki 13)

15. Kakšne so razmere, če vklopiš zračni upor? Poskusi: World/Air Resistance…

37

5 Štiri žoge

Premo gibanje žoge opišemo z enačbo 2

2

0at

tvx += , če je bila žoga v začetku v

izhodišču. Primerjaj gibanje žog pri različnih začetnih hitrostih in pospeških.

1. Poženi program IP. Izklopi silo teže - World/Gravity/None.2. Nariši žogo na levi strani zaslona. Ker je to objekt z maso in je to prvi element

simulacije, dobi interno ime Mass[1].3. Na mizo postavi drsnik za spreminjanje začetne hitrosti. Izberi žogo, nato klikni

Define/New Control/Initial X Velocity. Ker je to objekt za vnašanje podatkov in je drugi element simulacije, dobi interno ime Input[2]. Območje drsnika naj bo od -5 do 10 m/s razdeljeno na 15 korakov. Zasuči drsnik za 90 stopinj.

4. Poimenuj drsnik (Window/Appearance) in spremeni barvo žogi in drsniku.5. Izberi drsnik. Z ukazom +D narediš še en enak drsnik. Le-ta bo nadziral

pospešek žoge. Ker je to objekt za vnašanje podatkov in je tretji element simulacije, dobi interno ime Input[3]. Območje drsnika naj bo od -5 do 5 m/s2 razdeljeno na 10 korakov. Poimenuj drsnik.

38

6. Izberi žogo. V oknu za lastnosti žoge (Window/Properties) vpiši za hitrost v smeri x izraz Input[2]+Input[3]*Time, to je enačba atvv += 0 .

7. Za to, da bo žoga ubogala zgornjo enačbo, jo moraš zasidrati.

8. Poženi simulacijo . Preizkusi, če vse deluje, kot pričakuješ.

9. Izberi vse objekte. To storiš tako, da potegneš okno preko žoge in drsnikov. Z ukazom +D narediš poljubno število kopij žog in drsnikov.

10. Spremeni barve posamičnim kompletom in nastavi različne začetne pogoje.11. Poženi simulacijo.

39

6 Komponente vektorjaĐeni Plešnik, OŠ Janka Premrla - Vojka, Koper

Vektorje velikokrat razstavljamo v dve pravokotni komponenti. Za izračun uporabimo kotne funkcije.

1. Z orodjem za risanje okroglega telesa nariši krog.

2. Nastavi časovni korak aplikacije: World/Accuracy/Custom, Integration time step 8101 −⋅ s (1e-08). Pri tako majhnem koraku ti telo ne bo zbežalo z zaslona.

3. S klikom po telesu ga označi. Z ukazi Define/Vectors/Velocity vklopi prikaz vektorja hitrosti. Najlažje določiš hitrost, tako da kar iz središča kroga povlečeš vektor (modra pika v središču ploščice).

4. Vklopi še prikaz njegovih komponent v smeri x in y. Klikni po telesu in izberi ukaz: Define/Vector Display. Odkljukaj izbiro x in y. Tukaj lahko tudi določiš debelino črte, barvo vektorja in ali želiš prikaz imen vektorja in komponent. S premikanjem vektorja v se ustrezno spremenijo tudi velikosti njegovih komponent in obratno.

40

5. Vključi tudi numerični prikaz velikosti vektorja in njegovih komponent. Z enkratnim klikom izberi telo, nato ukaz Measure/Velocity/All. Prikaz meritev lahko spremeniš tako, da meritve z enkratnim klikom izbereš, nato z ukazom Window/Appearance dobiš okno, v katerem lahko določiš videz izpisa. Če odstraniš kljukico pred izbiro Frame, si odstranil okvir.

6. Da se bo numerični izpis komponet osvežil ob vsaki spremembi, vklopi opcijo World/Preferences/Calculate initial conditions automaticaly.

7. Z urejevalnikom enačb (wordov Eqnedt32.exe) izpiši enačbe in jih preko odložišča prenesi v aplikacijo.

41

7 Seštevanje vektorjev Đeni Plešnik, OŠ Janka Premrla - Vojka, Koper

Vsoto dveh vektorjev lahko določimo po paralelogramskem ali po trikotniškem pravilu.

1. Vklopi prikaz mreže in koordinatnih osi z ukazi View/Workspace/Grid lines in X,Y Axes.

2. Z orodjem za risanje kroga nariši okroglo telo. Z dvakratnim klikom po telesu se odpre menu za določanje lastnosti telesa. Telo postavi v izhodišče koordinatnega sistema (x=0 in y=0). Določi začetni hitrosti v smeri x in y.

3. Z izbiro Define/Vectors/Velocity vklopi prikaz vektorja hitrosti.4. Telo dvakrat kopiraj (+C in +V). Dobil si tri enaka telesa.

Vsakemu določi komponente hitrosti in vse tri postavi v koordinatno izhodišče.5. Telesa narediš nevidna tako, da v

oknu Window/ Appearance izključiš barve in obrobe. Poimenuj telesa: prvo telo (Mass[1]) naj bo VektorA, drugo telo (Mass[2]) naj bo VektorB, tretje telo (Mass[3]) naj bo VektorC.

6. Prilepi označbe na vektorje. Nariši novo telo (Mass[3]) z orodjem za

risanje kroga. Lego tega telesa (Window/Properties/Initial position) določiš z izrazom: 0.5*Mass[1].v.x in 0.5*Mass[1].v.y, tako da bo ležalo ravno na razpolovišču vektorja hitrosti prvega telesa . Na telo pripni oznako A

, ki jo narediš

z urejevalcem enačb in jo na delovno površino preneseš prek odložišča. Označi sliko in telo ter ju z ukazom Object/Attach picture spni.

42

7. Ponovi zgornji korak še za vektorja B in C.8. Vektor C naj predstavlja vsoto vektorjev A in B. V oknu Window/Properties za

Mass[3] vpiši za vx izraz: Mass[1].v.x+Mass[2].v.x* in Mass[1].v.y+Mass[2].v.y za vy .

9. V menuju World/Accuracy/Custom določi velikost časovnega koraka simulacije ( 8101 −⋅ s). Tako se telesa ne bodo premikala.

10. V menuju World/Preferences vklopi opcijo Calculate initial conditons automatically. Sedaj simulacija že deluje: ob spremembi (vleci špico vektorja) vektorjev A in B se vsota takoj izračuna. Če posežeš po vektorju C, se povezava med vektorji poruši.

11. Za trikotniški prikaz vsote vektorjev najprej z ukazom Define/New control/ Generic control vključi ukazni gumb, s katerim boš vklapljal to opcijo. Z dvakratnim klikom po gumbu se odpre menu, v katerem izbereš obliko gumba. Izbereš Button in Momentary izključiš. Tako dobiš opcijski gumb Input[4].

12. Popraviti moraš še koordinate drugega telesa (VektorB - Mass[2]). Za x koordinato vpišeš izraz: if(Input[4],0.1*v.x,0), za y pa enačbo: if(Input[4],0.1*Mass[2].v.y,0). (opomba: faktor, 0.1 v tem primeru, je odvisen od nastavitve v oknu Define/Vector lenghts)

13. Sedaj lahko poljubno spreminjamo smer in velikost vektorjev A in B in rezultanta C se avtomatično ažurira. Ob vklopu trikotniškega pravila se vektor B prestavi na konec vektorja A.

* Tu je Mass[1] ime objekta, v ime količine (p – položaj, v – hitrost, a – pospešek). Z x povemo za katero komponento imamo v mislih. Ločila so pike. Več o sintaksi enačb prebereš v originalni dokumentaciji.

43

8 Ulična svetilkaDanilo Fermo, SE Pier Paolo Vergerio il Vecchio, Koper

Določi sile v palicah z grafično metodo in z uporabo programa IP. Primerjaj dobljene vrednosti.

A ( 0, 0 ) B ( 6, 0 )

P1 P2 α = 45o β = 45o

m C ( 3, -3 )

m = 1 Kg

slika 1 slika 2

1. Nariši okroglo telo m, ki visi na palicah P1 in P2, glej sliko 2.2. Telesu m določi maso 1 kg in vklopi vektorski prikaz sile teže.3. Palicama P1 in P2, definiraj vektor vsote sil, ki delujejo nanju, ter merilnik sil.4. Poženi simulacijo, odčitaj in primerjaj vrednosti.5. Ustavi simulacijo in jo shrani.

44

Postopek reševanja z uporabo programa IP:a) Delovno okolje in risanje elementov:1. File/New2. View/Workspace/Grid Lines3. View/Workspace/X,Y Axes

4. Circle (krožno telo približne velikosti enega mrežnega kvadratka)

5. Z dvojnim klikom miške telesu m določi maso 1 Kg 6. Telo m postavi v točko C (3, -3)

7. Rod – začetek palice P1 postaviš v izhodiščni točki koordinatnega sistema A (0, 0), konec palice vlečeš z miško v sredino mase m v točki C (3, -3), tako dosežeš, da bo kot α = 45o

8. Za palico P2 ponoviš postopek, s tem da začneš v točki B (6, 0)

a) Definiranje vektorjev:1. Telesu m definiraš vektor sile teže: Define/Vectors/Gravitational Force2. Palici P1 definiraš vsoto nanjo delujočih sil: Define/Vectors/Total Force3. Palici P2 definiraš vsoto nanjo delujočih sil: Define/Vectors/Total Force

b) Merjenje napetosti v palicah:

1. Določiš merilnik napetosti v palici P1: Measure/Tension

2. Določiš merilnik napetosti v palici P2: Measure/Tension

d) Poženi simulacijo.

e) Shrani simulacijo.

45

F1

F2

m = 1

9 Svetila na ziduDanilo Fermo, SE Pier Paolo Vergerio il Vecchio, Koper

α = 45o A ( 0, 0 ) P1

B ( 0, -3 ) C ( 3, -3 ) P2 m

slika 1 slika 2

1. Nariši okroglo telo m, ki visi na palicah P1 in P2, kakor kaže slika 2.2. Telesu m določi maso 1 kg in definiraj vektor sile teže.3. Palicama P1 in P2, definiraj vektor vsote sil, ki delujejo nanju, ter merilnik sil.4. Poženi simulacijo, odčitaj in primerjaj vrednosti.5. Ustavi simulacijo in jo shrani.

46

Postopek reševanja z uporabo programa IP:a) Delovno okolje in risanje elementov:1. File/New2. View/Workspace/Grid Lines3. View/Workspace/X,Y Axes

4. Circle (krožno telo približne velikosti enega mrežnega kvadratka)

5. Z dvojnim klikom miške telesu m določiš maso 1 Kg 6. Telo m postaviš v točko C(3, -3)

7. Rod – začetek palice P1 postaviš v izhodiščni točki točki koordinatnega sistema A(0, 0), konec palice vlečeš z miško v sredino mase m v točki C(3, -3), tako dosežeš, da bo kot α = 45o

8. Za palico P2 ponoviš postopek, s tem da začneš v točki B(0, -3)

c) Definiranje vektorjev:1. Telesu m definiraš vektor sile teže: Define/Vectors/Gravitational Force2. Palici P1 definiraš vsoto nanjo delujočih sil: Define/Vectors/Total Force3. Palici P2 definiraš vsoto nanjo delujočih sil: Define/Vectors/Total Force

d) Merjenje napetosti v palicah:1. Določiš merilnik napetosti v palici P1: Measure/Tension

2. Določiš merilnik napetosti v palici P2: Measure/Tension

d) Poženi simulacijo.

e) Shrani simulacijo.

47

10 Seštevanje sil

Smer pospeška se ujema s smerjo vsote vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo (rezultanta sil).

1. Izključi gravitacijsko polje: World/Gravity/None

2. Z orodjem nariši kroglo.

3. Klikni po ikoni in na telesu vstavi dve sili, kot prikazuje slika. Silo rišeš (vlečeš) od prijemališča proti repu. Vklopi prikaz vektorjev vsote sil in pospeška Define/Vector/Total Force, Define/Vector/Acceleration.

4. Poženi simulacijo. Opazuj, kako se telo giblje. Ustavi simulacijo in jo vrni v začetni položaj - RESET.

5. Preko izbire World/Preferences vklopi opcijo Calculate initial conditions automaticaly. Tako bo program upošteval začetne pogoje, četudi ne bo simulacija tekla.

48

6. Spreminjaj velikost in smer sil. Izberi silo , nato primeš njen rep in spreminjaš smer in velikost. Oglej si, kaj se dogaja z vsoto obeh sil in pospeškom.

7. Vsota sil (FT) in pospešek telesa (A) sta kolinearna. Programu lahko naročiš, naj izpiše naklonski kot pospeška. Izbereš kroglo in na delovno površino postaviš merilnik za pospešek v smeri x. Z dvema klikoma na puščico v zgornjem levem kotu merilnika, spremeni grafični merilnik v numerični merilnik. V oknu za lastnost merilnika popraviš označbo in enačbo za lastnost Y1:

360/(2*Pi)*ATan2(Mass[1].a.y,Mass[1].a.x).

8. Dodaj še tretjo silo. Poizkusi razmestiti sile tako, da bo njihova vsota enaka nič.

49

11 Kozarec na mizi

Pokrij mizo s prtom. Na mizo postavi kozarec. Sunkovito potegni prt. Kozarec se skoro ne premakne in ostane na mizi. Poskusu dodaš dramatičnost tako, da vzameš praznični prt, dragocen kristalni kozarec in v njega naliješ rdeče vino.

1. Poženi program IP.2. Nariši mizo - pravokotnik in jo zasidraj. Odpri pogovorno okno

Window/Appearance in mu določi barvo ter ime. Vklopi opcijo Show name.3. Na mizo postavi prt. Spet pravokotnik. 4. Na sredino mize daj kozarec - pravokotnik. Preko odložišča prenesi na delovno

površino sliko kozarca. Pomagaj si z zbirko popularnih sličic (clip art), ki so del marsikaterega programa. Označi sliko kozarca in pravokotnik - kozarec (pomagaj si s tipko ) in ju preko izbire Object/Attach picture spni. Pravokotnik izgine, na njegovem mestu se pojavi kozarec.

5. Z orodjem vstavi silo roke na prt. Silo rišeš od prijemališča proti repu.

6. Na delovno površino postavi še drsnik, s katerim boš spreminjal velikost sile. Izbereš silo, nato Define/New Control/X Force. Območje drsnika naj bo od 0 do 10 N razdeljeno na 20 korakov.

7. Poženi simulacijo . Če je sila roke večja od sila trenja med mizo in prtom, se le-ta začne premikati. S večkratnim poskušanjem poišči najmanjšo silo, s katero moraš vleči prt, da kozarec ne pade z mize.

8. V pogovornem oknu Properties lahko kozarcu, prtu in mizi spreminjaš lastnosti: maso, koeficient lepenja in koeficient trenja. Preskusi različne možnosti.

50

51

12 Težišče

Kolikšni masi morata imeti kladi na spodnji sliki, da padeta z mize?Odgovor: Dokler je težišče klad nad mizo, se kladi ne bosta zvrnili.

1. Poženi program IP

2. Postavi mizo v levi del zaslona. Izberi in nariši pravokotnik. Odpri pogovorno okno Window/Appearance ter mu določi barvo in vzorec. Pritrdi

mizo na ozadje - uporabi .3. Na mizo postavi zeleno klado. Zahtevaj prikaz težišča klade, v oknu -Window

/Appearance vklopi opcijo Show center of mass.4. Nariši še modro klado in prikaži njeno težišče.

5. Izberi zeleno in modro klado. Pomagaj si s tipko in v izbiri View vklopi opcijo System center of mass. Izberi težišče sistema in vklopi prikaz sledi težišča Window/Appearance/Track connect.

6. Na delovno površino namesti drsnik, s katerim boš spreminjal maso klade. Izberi zeleno klado, nato klikni Define/New Control/Mass. Barvo drsnika in napis nad njim določiš v oknu Window/Appearance. V oknu Window/Properties določi lastnosti drsnika: najmanjša vrednost (min) 1 kg, največja vrednost (max) 20 kg, število korakov med njima (Number of snaps) 19.

52

7. Na enak način namesti še drsnik za modro klado.

8. Poženi simulacijo . Prikaže se težišče sistema. Z drsnikoma spreminjaj masi klad. Težišče sistema se premika po zveznici med težiščema modre in zelene klade. Dokler je težišče sistema nad mizo, kladi mirujeta.

9. Izberi zeleno ploščico in preko izbire Define/Vectors vklopi prikaz sil na zeleno klado (Contact Force). Sile naj se prikažejo brez imen, narisane naj bodo s puščicami proti "prijemališčem" (Define/Vectors Display: Name, nose in, at point of application).

10. Poženi simulacijo. S spreminjanjem mas se spreminjajo tudi sile na klado.

53

13 Newtonov zakon

1. Poženi program IP in odpri simulacijo Cart.ip, najdeš jo v imeniku ip25\demos

2. Poženi simulacijo . Ustavi simulacijo in vrni v začetni

položaj . Aplikacija je zgrajena iz podlage, klade, vrvice in uteži. Na te elemente so pripete slike (Object/Attach Picture), tako da je prikaz atraktivnejši.

3. Vklopi prikaz stolpca z orodji View/Workspace/Tool Palete.

4. Izberi orodje za pisanje besedila .5. "Pobarvaj" originalno besedilo (pritisni levi gumb na miški in vleci) in vpiši

slovenski komentar.6. Klikni po ozadju in vpiši dodatni komentar: "Sila teže uteži (sila Zemlje na utež)

pospešuje utež in voziček."

7. Izberi ukazni gumb in ga preimenuj. Uporabi izbiro Window/Appearance.

8. Spravi simulacijo pod novim imenom (File/Save As): vozicek.ip9. Izberi voziček in preko izbire Measure/Position/X Graph (…/Velocity/…, …

/Acceleration/…) namesti grafe poti, hitrosti in pospeška na delovno površino. V pogovornem oknu Appearance spremeni imena in barve grafov.

10. Shrani simulacijo. Sproži simulacijo.

54

Program Interactive Physics omogoča prenašanje izmerkov v odložišče v obliki tekstovne tabele. Ločilo med stolpci je tabulator, tako da jo elektronske tabele pravilno interpretirajo. Težava je le v tem, da IP uporablja decimalno piko namesto decimalne vejice. Tako se nam v Excelu marsikdaj prikaže kak datum.11. Izberi graf poti in ga z izbiro Edit/Copy Data prenesi v odložišče. Odpri Word,

prenesi vsebino odložišča v nov dokument in zamenjaj pike z vejicami (Edit/Replace). Tako spremenjeno tabelo prenesi preko odložišča v Excel. Iz meritev nariši graf.

55

14 Opazovalni sistemi

1. Poženi program IP

2. Postavi na delovno površino dve kladi. Izberi in nariši dva pravokotnika. Odpri pogovorno okno Window/Appearance ter mu določi barvo.

3. Poveži obe kladi z vzmetjo .4. Desni kladi določi začetno hitrost v desno. Dvojni klik po desni kladi odpre

pogovorno okno Properties, kjer določiš vx.

5. Izklopi gravitacijo - Word/Gravity/None.

6. Poženi simulacijo . Kladi drsita v desno in nihata druga proti drugi. Takšno je dogajanje iz laboratorijskega opazovalnega sistema.

7. Izberi levo klado in preko izbire View/New Reference Frame definiraj nov koordinatni sistem. Vključi tudi prikaz osi novega kordinatnega sistema.

56

8. Poženi simulacijo . Gledano iz opazovalnega sistema, ki je vezan na levo klado, le-ta miruje. Desna klada niha sem ter tja.

9. Definiraj še opazovalni sistem, ki je vezan na desno klado, in si oglej dogajanje še iz tega zornega kota.

10. Izberi obe kladi (pomagaj si s tipko ) in zahtevaj prikaz težišča sistema View/System Center of Mass. Tudi na težišče lahko pritrdiš opazovalni sistem. Če sprožiš simulacijo, boš videl, da težišče miruje, kladi pa nihata druga proti drugi.

11. Vklopi silo teže Word/Gravity/Vertical in si oglej dogajanje v vseh prej definiranih koordinatnih sistemih. Seznam vseh koordinatnih sistemov je na dnu izbire View.

12. Za lažjo uporabo simulacije lahko preko izbire Define/New Menu Button namestiš na delovno površino ukazne gumbe za prehajanje med koordinatnimi sistemi.

57

15 Raketa

Pri raketnem motorju gorivo zgoreva v zgorevalni komori. Zgoreli plini se odrinejo od zgorevalne šobe in z veliko hitrostjo zapustijo raketo.

1. Poženi program IP2. Izklopi gravitacijo - Word/Gravity/None.

3. Na desno stran zaslona položi okroglo ploščico (gorivni element) . Dvojni klik po ploščici odpre pogovorno okno Properties, kjer določiš hitrost ploščice v smer navzdol vy= -5 m/s, maso ploščice 10 kg in njeno elastičnost 1. Z večkratnim pritiskom na tipki +D dobiš več enakih ploščic. Postavi jih drugo nad drugo v enakomernih razdaljah. Gorivne elemente premikaš z miško,

natančnejši položaj lahko določiš v povečanem merilu . V skrajnem primeru lahko vpišeš koordinati središča ploščice v okno Properties.

4. Ohišje rakete narediš z orodjem za risanje večkotnikov . Lahko je poljubne oblike. Paziti moraš le na rezervoar za gorivo. Gorivni elementi se morajo naslanjati na zadnjo steno rezervoarja. Elastičnost ohišja naj bo 0, tako da gorivo ne bo pljuskalo sem ter tja. Masa ohišja naj bo majhna v primerjavi z

58

maso goriva (0,1 kg). Ohišje rakete sestaviš tudi s tremi pravokotniki , ki

jih spojiš z oglatimi mozniki . 5. Vlogo izstopne šobe prevzame idealno prožna (prožnost 1) pravokotna plošča,

ki jo nagneš za 45o in jo z oglatim moznikom pritrdiš pod rezervoar.

6. Na raketo pritrdi še vodoravno vodilo , da se bo raketa lahko gibala le v vodoravni smeri.

7. Izberi raketo in z izbiro Measure/Velocity/X Graph namesti na delovno površino graf hitrosti rakete.

8. Poženi simulacijo . Gorivo se premika navzdol in se odbija od izpušne šobe.

Ko trči prva krogla ob izpušno ploščico, je raketa še polna goriva. Sprememba hitrosti je majhna. Raketa je s časom vedno lažja, zato so spremembe hitrosti rakete pri vsakem naslednjem udarcu krogle večje.

59

16 Gibanje po klancu 1Simon Dražič, OŠ Šmarje pri Kopru, Šmarje

Sledi navodilom in odgovore na vprašanja zapisuj v zvezek. Nariši tudi vse grafe meritev.Newtonov zakon pravi, da telo miruje ali se giblje premo enakomerno, če je vsota zunanjih sil, ki nanj delujejo, enaka nič. Telo se giblje pospešeno, če je vsota vseh sil, ki delujejo nanj, različna od nič.Odpri program Interactive Physics in sledi navodilom.

1. Približno na sredini zaslona nariši desko, ki naj bo tanka in dolga čez cel zaslon. Pripni jo s sidrom.

2. Na levo stran deske položi majhno kroglo, z miško se postavi nanjo in jo označi (enkrat stisni levi gumb miške).

Koliko sil in katere sile delujejo na kroglo? To preverimo s pomočjo računalnika tako, da nam računalnik nariše sile, ki delujejo na kroglo. Pojdi na menu Define/Vectors/Gravitational Force in še na Define/Vectors/Contact Force. Poženi simulacijo z ukazom Run v orodnem stolpcu na levi strani zaslona. Kateri dve sili nam je narisal računalnik? Katera sila ima oznako FG in katera oznako FN? Kako ju mi označujemo? Ustavi simulacijo in jo postavi na začetek z ukazom Reset v orodnem stolpcu. Pojdi na menu Define/Vectors/Total Force.

60

S tem smo računalniku ukazali, naj nam pokaže vsoto vseh sil, ki jo označi z FT. Če je vsota nič, je računalnik ne pokaže oziroma jo pokaže kot pikico med obema silama. Kolikšna je njuna vsota? Kaj se dogaja s kroglo (ali se giblje, miruje...)? Ustavi simulacijo in jo postavi na začetek. Če sta narisani sili prekratki, ju podaljšaj z naslednjim postopkom: z miško označi kroglo in pojdi na menu Define/Vector Lenghts in s tretjim drsnikom "Force" povečaj številko pod njim (na približno 0.7). Znova poženi simulacijo in preveri, če je dolžina narisanih vektorjev ustrezna. Ustavi simulacijo in nadaljuj z delom.

Dopolni: Če je vsota vseh sil, ki delujejo na telo, _______________________, tedaj telo ______________________.

Označi kroglo in pojdi na menu Window/Properties. V okence Vx vpiši vrednost 0.5. S tem smo nastavili začetno hitrost krogle na 0.5 m/s. Zapri okno Properties s pritiskom na gumb X v desnem zgornjem kotu okna. Poženi simulacijo. Kolikšna je vsota sil, ki delujejo na kroglo? Kako se giblje krogla? Ali se ji spreminja hitrost? To bomo najlažje ugotovili tako, da bomo merili hitrost. Ustavi simulacijo in jo postavi na začetek. Označi kroglo in pojdi na menu Measure/Velocity/X Graph. S tem nam bo računalnik prikazal graf spreminjanja hitrosti. Poženi simulacijo in ugotovi, ali se krogli spreminja hitrost. Za kakšno vrsto gibanja gre? Ustavi simulacijo in jo postavi na začetek.

Dopolni: Če je vsota vseh sil, ki delujejo na telo, _______________________, tedaj telo ______________________.

61

17 Gibanje po klancu 2Simon Dražič, OŠ Šmarje pri Kopru, Šmarje

Sledi navodilom in odgovore na vprašanja zapisuj v zvezek. Nariši tudi vse grafe meritev.Newtonov zakon pravi, da telo miruje ali se giblje premo enakomerno, če je vsota zunanjih sil, ki delujejo nanj, enaka nič. Telo se giblje pospešeno, če je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo nanj, različna od nič.Odpri program Interactive Physics in sledi navodilom.1. Približno na sredini zaslona nariši desko, ki naj bo tanka in dolga čez cel zaslon.

Pripni jo s sidrom.2. Računalniku ukaži, naj nariše sile, ki delujejo na kroglo. Pojdi na menu

Define/Vectors/Gravitational Force in na Define/Vectors/Contact Force ter na Define/Vectors/Total Force. S tem si računalniku ukazal, naj pokaže sile, ki delujejo na telo (z FG označi težo, z FN silo podlage), in njihovo vsoto, ki jo označi z FT. Poženi simulacijo. Če je vsota sil nič, je računalnik ne pokaže oziroma jo pokaže kot pikico med obema silama. Kolikšna je njuna vsota? Kaj se dogaja s kroglo (ali se giblje, miruje...)? Ustavi simulacijo in jo postavi na začetek. Če sta narisani sili prekratki, ju podaljšaj z naslednjim postopkom: z miško označi kroglo in pojdi na menu Define/Vector Lenghts in s tretjim drsnikom "Force" povečaj številko pod njim (na približno 0.7). Znova poženi simulacijo in preveri, če je dolžina narisanih vektorjev ustrezna. Ustavi simulacijo in nadaljuj z delom.

3. Pojdi na menu View/Numbers and Units in vklopi SI(degrees) namesto SI(radians). S tem si računalniku naročil, naj meri kote v stopinjah.

4. Merili bomo hitrost krogle. Označi kroglo in pojdi na menu Measure/Velocity/X Graph. S tem nam bo računalnik prikazal graf spreminjanja hitrosti.

5. Označi desko. Pojdi na menu Window/Properties in v okence ✲ vpiši vrednost -15 (stopinj). Zapri okno Properties. Z miško se postavi na kroglo, stisni gumb in ne da ga spustiš, premakni kroglo na vrh deske.

62

6. Poženi simulacijo. Opazuj, kako se giblje krogla, in ugotovi, ali se spreminja njena hitrost. Kolikšna je vsota vseh sil, ki delujejo na kroglo? Za kakšno vrsto gibanja gre?

Dopolni:Če je vsota vseh sil, ki delujejo na telo, __________________________, tedaj telo ________________________________.

7. Ustavi simulacijo in jo postavi na začetek. Radi bi ugotovili, ali je gibanje krogle enakomerno pospešeno. Enakomerno pospešeno gibanje je tisto, pri katerem se hitrost enakomerno spreminja oziroma pri katerem se pospešek ne spreminja. Izmerimo pospešek krogle. Označi kroglo. Pojdi na menu Measure/ Acceleration/X Graph. Poženi simulacijo in ugotovi, ali se pospešek spreminja, preden krogla pade z deske. Ali je gibanje enakomerno pospešeno?

63

Literatura• Interactive Physics User's Manual v 2.5 , Knowledge Revolution, 1994• Raymond Serway: Physics For Scientists & Engineers, Saunders college

Publishing, 1996• Douglas C. Giancoli: Physics - Principles With Application, Prentice - Hall

International INC, 1995• Tine Golež: Padanje žogice z upoštevanjem zračnega upora, Fizika v šoli 1

(1995) 2 stran 17.• Strani v svetovnem spletu:

http:/www.krev.com - domača stran proizvajalca programske opremehttp://www.s-skps.kp.edus.si/Fizika/default.htm - demo verzije 2.5 http://www2.arnes.si/~jpotoc/fizika/interactive_physics_2.htmhttp://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/IPDemos/SimsMain.html

64

http://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/IPDemos/SimsMain.html

PRIROČNIK1 Prvi koraki.1.1Pogled na zaslon.1.2Primer: poženi že izdelan primer.1.3Primer: Poševni met

2 Menuji.2.1File.2.2Edit.2.3World .2.4View.2.5Object.2.6Define.2.7Measure.2.8Window.2.9Help

3 Telesa.3.1Risanje teles.3.2Lastnosti teles.3.3Izgled teles

4 Sila in navor5Spoji, vodila in prenosi.5.1Spoji.5.2Vodila.5.3Prenosi

6 Delovno okolje.6.1Urejanje delovnega okolja.6.2 Pogled.6.3Polje sil.6.4Merilniki.6.4.1Izvoz meritev

.6.5Vektorji.6.6 Napisi (Text).6.7Slike

7 Predvajanje simulacij.7.1Spreminjanje parametrov simulacije.7.2Menujski gumbi.7.3Shranjevanje simulacij

PRIMERI1 Prosti pad 12 Prosti pad 23 Poševni met4 Lovec in opica5 Štiri žoge6 Komponente vektorja7 Seštevanje vektorjev 8 Ulična svetilka9 Svetila na zidu10 Seštevanje sil11 Kozarec na mizi12 Težišče13 Newtonov zakon14 Opazovalni sistemi15 Raketa16 Gibanje po klancu 117 Gibanje po klancu 2

Literatura