Fizika IV: Toplina i osnove statisticke fizike

1. kolokvij - GRUPA A

25.5.2018.

1. Cilindar s pomicnim klipom napunjen je s 22,4 l plina pri temperaturi 25 ◦C itlaku 1 atm. U takvom stanju klip spojimo s elasticnom zavojnicom koeficijenta2000 Nm−1 prema slici.

(a) Za koliko ce se podignuti klip ako povisimo temperaturu na 125 ◦C? Povrsinaklipa iznosi 0,01 m2 i ima zanemarivu masu. (2 boda)

(b) Koliki je omjer srednjih slobodnih putova molekula nakon pomaka klipa i prijepomaka klipa, ako se u cilindru nalazi vodik (H2) koji se ponasa kao idealniplin. (2 boda)

(c) Koliki je prirast unutrasnje energije? (1,5 bod)

(d) Koji uvjet mora vrijediti za rad koji se obavi nad plinom u cilindru kako bibilo moguce pomicanje klipa? (0,5 boda)

2. Cijev primarnog rashladnog kruga reaktora duljine 5 m izradena je od celika(λ1 = 40 Wm−1K−1) debljine 2 cm i unutarnjeg promjera 1 m. S vanjske stranecijev je izolirana materijalom debljine 4 cm (λ2 = 0,02 Wm−1K−1). Temperaturarashladnog sredstva iznosi 350 ◦C, a temperatura okoline 26,85 ◦C. Koliki je toplinskitok ako se pretpostavi da se unutarnja i vanjska strana cijevi odrzavaju na timtemperaturama? (5 bodova)

3. Mol zraka se zagrijava od 200 K do 800 K. Ovisnost molnog toplinskog kapacitetapri konstantnom volumenu dana je izrazom Cm,V = (15 + 0,05T ) J mol−1 K−1.

(a) Kolika je promjena entropije ako je zagrijavanje izobarno? (2 boda)

(b) Kolika je promjena entropije ako je zagrijavanje izohorno? (1 bod)

4. Za 1 mol plina koji zadovoljava jednadzbu stanja(p+

n2

V 2

)V = nRT

odredite koeficijente:

α =1

V

(∂V

∂T

)p

(1 bod)

β =1

p

(∂p

∂T

)V

(1 bod)

i razliku Cp − CV (1 bod). Ako se stanje takvog plina mijenja od A(4 K, 5 m3) doB(4 K, 2 m3) izracunajte promjenu unutrasnje i (Helmholzove) slobodne energije.(3 boda).

Fizika IV: Toplina i osnove statisticke fizike

1. kolokvij - GRUPA B

25.5.2018.

1. Za 1 mol plina koji zadovoljava jednadzbu stanja(p+

n2

V 2

)V = nRT

odredite koeficijente:

α =1

V

(∂V

∂T

)p

(1 bod)

β =1

p

(∂p

∂T

)V

(1 bod)

i razliku Cp − CV (1 bod). Ako se stanje takvog plina mijenja od A(4 K, 3 m3) doB(4 K, 1 m3) izracunajte promjenu unutrasnje i (Helmholzove) slobodne energije.(3 boda)

2. Mol zraka se zagrijava od 133 K do 331 K. Ovisnost molnog toplinskog kapacitetapri konstantnom volumenu dana je izrazom Cm,V = (17 + 0,03T ) J mol−1 K−1.

(a) Kolika je promjena entropije ako je zagrijavanje izobarno? (2 boda)

(b) Kolika je promjena entropije ako je zagrijavanje izohorno? (1 bod)

3. Cijev primarnog rashladnog kruga reaktora duljine 7 m izradena je od celika(λ1 = 40 Wm−1K−1) debljine 8 cm i unutarnjeg promjera 80 cm. S vanjske stranecijev je izolirana materijalom debljine 10 cm (λ2 = 0,03 Wm−1K−1). Temperaturarashladnog sredstva iznosi 400 ◦C, a temperatura okoline 16,85 ◦C. Koliki je toplinskitok ako se pretpostavi da se unutarnja i vanjska strana cijevi odrzavaju na timtemperaturama? (5 bodova)

4. Cilindar s pomicnim klipom napunjen je s 67,2 l plina pri temperaturi 25 ◦C itlaku 1 atm. U takvom stanju klip spojimo s elasticnom zavojnicom koeficijenta3000 Nm−1 prema slici.

(a) Za koliko ce se podignuti klip ako povisimo temperaturu na 125 ◦C? Povrsinaklipa iznosi 0,02 m2 i ima zanemarivu masu. (2 boda)

(b) Koliki je omjer srednjih slobodnih putova molekula nakon pomaka klipa i prijepomaka klipa, ako se u cilindru nalazi dusik (N2) koji se ponasa kao idealniplin. (2 boda)

(c) Koliki je prirast unutrasnje energije? (1,5 bod)

(d) Koji uvjet mora vrijediti za rad koji se obavi nad plinom u cilindru kako bibilo moguce pomicanje klipa? (0,5 boda)

Fizika IV: Toplina i osnove statisticke fizike

2. kolokvij - GRUPA A

17.6.2018.

1. Zadana je funkcija raspodjele f(x) = C x e−b4x2duz pozitivnog smjera osi x. Odred-

ite srednju vrijednost koordinate i standardnu devijaciju σ(x). (5 bodova)

2. Zadan je hamiltonijan jednodimenzionalnog sustava:

H =p2

2m+ Ax2, 0 ≤ x <∞

Kolika je prosjecna energija sustava? Ako je zadana temperatura 300 K i kolicinatvari od jednog mola, koliko iznose unutrasnja energija U i toplinski kapacitet prikonstantnom volumenu CV? (5 bodova)

3. Zadana je gustoca stanja fermionskog plina

g (E) = CV E3 E ≥ 0

(a) odredite vjerojatnost da je energija fermiona na apsolutnoj nuli veca od prosjecneenergije, (3 boda)

(b) odredite fluktuaciju energije cestice ∆E i relativnu flukutaciju energije cestice∆E/E. (3 boda)

4. Kolika je vjerojatnost da je iznos x -komponente translacijske brzine izmedu najv-jerojatnije brzine i prosjecne brzine? (4 boda)

Fizika IV: Toplina i osnove statisticke fizike

2. kolokvij - GRUPA B

17.6.2018.

1. Kolika je vjerojatnost da je iznos x -komponente translacijske brzine izmedu najv-jerojatnije brzine i srednje kvadratne brzine? (4 boda)

2. Zadan je hamiltonijan jednodimenzionalnog sustava:

H =p2

2m+ Ax2, 0 ≤ x <∞

Kolika je prosjecna energija sustava? Ako je zadana temperatura 150 K i kolicinatvari od dva mola, koliko iznose unutrasnja energija U i toplinski kapacitet prikonstantnom volumenu CV? (5 bodova)

3. Zadana je funkcija raspodjele f(z) = C z e−b4z2 duz pozitivnog smjera osi z. Odred-ite srednju vrijednost koordinate i standardnu devijaciju σ(z). (5 bodova)

4. Zadana je gustoca stanja fermionskog plina

g (E) = CV E3 E ≥ 0

(a) odredite vjerojatnost da je energija fermiona na apsolutnoj nuli veca od prosjecneenergije, (3 boda)

(b) odredite fluktuaciju energije cestice ∆E i relativnu flukutaciju energije cestice∆E/E. (3 boda)

t tbtohif r;_,_r::; ~~ 21_ 1~~

@'1e (9/40

Zo.Jo._V'O : V, I 11 I 'PI I k_

Cl} ( 1- I S X -?

- ? 7

r~ v~ _ ~ · ~ --

1 1 ll

- ttip f:l( FX' "I C(;, pr(" 'tV'(:\ 5 G(e; : v 2 / v1 -=) f 2_ 7 f '1

V 2 == V1~ S·x <"'

p2_~'PI ~ ~

®~ x.1- 0( i312nn 0

~~ X,= c01 ·lt?cGml 1

0

2- nocin ~

.r\ = ll 'lo V

?V::;N~Tjvr_f

li~-P-v k_(

c) 6U4i=?

~ = 5 ( ducxdorm nm rYVtJe~c (0..)

U ==4_ N rT =f n Nflk.T fV\rr ~ ~ ~

(\-=- (

bU~2 ~, r~ -\ ~2. ?.:.. '<l0 ~ \ { 2- l1 )

~VS: n- <7)-

f-11._ -

LlUIZ = [ f?,~~~ Cl z_ --l,) fft- L\tJn={~(I'L--11)

@n, t.l\2-=4 '30\ 10 J @~ Al/4l--5=to~~39J

----

1. nacw1-.

~-i n'KJJI~ '-T rV"nK'T(d

d(pVJ~ntdT

!l(pv)- nC.6-T

( p2V2 p,V~)- n1: (lz 1~)

L\U12-= -f ( p1-V,_-p~V~J 3_ netoi(l:

,__________ JU I C..,.,,v = ~ dT . VldT

dU =- V)c ,v JT IS ~ clU ::: ~ rt ~,v d , ·

uU-= n Cm~v A/ I

/ ~---

C~11 -c 1v- r /: C~,v

cc[- ~ := itv ( ?r) C v- rr_

tt-1

d) COW:::?

iiW 12=-? v9_-v, >O

~>0

~;:, \ ,,2 > 0 iJ _ SW>-cJ ~

-======~~-----------

,./\ - ,.. -t X - .cil Yz. 04 '1 2..

( 3 = {, "L- d{ -\- Li(n -1 L1 (!1.)

~ ;2(,~1 ~ a1-r7) !l rL tV! (1

1?-. = 91f Al e C --r; -t ::) I /) (!>

(V) {1...-

(

~ !;_ =-62~~5 ~

P-:=:. 2_ f3 Cj O'g vJ - r

("y, 1;:._ ~?2.1 8 DK

<P=26r;>,~W

fJ

~- 25r((TcT?J) - -en( If.) + {VI (~J

~'\ . (\l~

~ - p rc b lzr--ptfq):,; h o tpov '}__ 1sS N~e v I IY'( G"~ c VVVl nptj LA I

~=1c ?;

®~f.) ; (32-

fuJQV\0: (\ I~ _LT ~ l_~_'_ ~

i) P1 '='W"' p = ;.,0'/l,L

dS= It/~ ~dS= j-¥

f<._

~s- r~ 1\')_ ) I

I ~

=r=JV p· v ~ Vl KT 1 (_~

~0-11~ --.::::--

1 ~=n(C~.uoT Ld-1) !

A~~= n [ StdT +S&dT ~ f~d; I' I 1\ f1

6 s = (\ Q~V\ 2 2 &(T -Ill) + [ c,n Iz_ 1 1\2 I 1 z.. ! \.I' I I J

DS1<=r{(a.+<()en~~ -1 H12-G) '

\!> S12-= 69_l3'2 "J;K

(f) r;, AS 12:=' 1 gr e:J'L J /1(

6) V, =V2- \[

dS= ~ /S '

-- I 1

I

uS = ( n C,.,,vdT 11- j T

,, \ l ~51~- n { aven ~: + &-hz-71)~ ®~ ~c;1?--~~ d/K

@-., A-9?1'L = 2_1//zl--J J IK

tg. ( (!7 tl.

locb.V\0 ~ (\ ::::- ~ ff'/10~

fp+ ~~) \J =l'll?T - jcdVl nt0T' (t:'Jtc rdfD-tVI· l' re;V\ l 1 )

(P -t ~)V=V1~T I d

d ( F -+~) V -t {p+ ~) dV := nTd/

(clp - 2-v~dV}V+( pdV+ ~~dV)= n7?dT

Vdp- r~~BY + \dV+ ~- nl?dT 0

Vdp-n~dT + dV(r-~) ~ 0

~ l=_i(;J~\ =7 v 'J( Jp .

~ .. dV ( f-~)- n1:Jf

#~ph~~ -(~Jf ---

(\12.-- v

Vdp- n12dT + JV ( YJ~_ V:J=o ' '

Gl) Qy _ ~ 12- "" _cp_ __ ~ ~ V2

dT - ~IT -~ 7!7 V- 2 n T7 V 2 n v v'-- v~. __

------

R(T~ I v1) ~ b(TQ_ I v2) T, =12 ~T V~ >V2._ ~

l R:o 1 C{rrr Ov Poi'VV' ~ r

J

pt'Arc. et{' !1Jf ;J~ In ~

d u = cv T-+ TT- (~) - pl dV ~oitll ~t::'PH II ttCVfl / ~o L' v J J 'Ji J:JIJf<J) ~'l36t

Y~ jedl/\- 0io c :

(p-1 T0 V nTT / V

0_ n12T _ _d. , - v v2 )

dU =I TIIY~\ ~ ()~~-+ ~ dV ~IT) v V2

Ju =(~~)Jv;s u V2.

) dU:; ~ ~dV Uo V(\ V1. ·

u~uo = n2 (-~}/ VI\

@ () 6l~ !=? - 2-- \ ~ -0 3J ,0 rt-B 1o d r

®~ :JL~r;=-~a =-qat-J

~

(;~I=-~ (~V -p .-JEDII)AreBi)

(~ U \ = V1 ~ .q:--Jmm CJV /T V

dU ~ V)?_ ____, - -d\J vl,

dU= ~JV/5 ' '

~e hio koo r\Q ~, na'tlr1

e) .t~Jfre=?

F= U -TS/d dF-dU lJS c

dF~dU -T(~tJv

d F = dU - T n; dV

dF~ ~cW- TfdV ('

I'?:, {':, frB - -:;CI'J, H-J @ "" 6 F f'r'f, = ·::, _ c UJ }. f\OC1V\~ I ~ F= U ')S(a

dF::-d\J 1~<::,- ~

dF ~d()-TdS

A ~1:> = uU11b-1 D- S113

b Fll~ = ~ -~'-- <£T CV1 (YJ-J

@'1 @3

10 b,~httj"

~~. 6 1048 ..

lu.do.,l'lo ~ ( x.) == C x e & \2. ------ -

~x ~? ~6{x)~? cv;>

~ X=) x~{x)dx 0

C/) (r '1 2-X :=: )xCxe- xdK

\ 8(\J : (JQrj~e-f(A c

\ ~e;J{o X-CA

0

L nor~1cac~'o_ ~troj~ivio:ib': ,,..,

)~(>e)dx~~ c

~ rer) tr)

S Cx e,- 6-~x'2dx c=.. ~ 0

C~,xe-{C)xdx-1 :> -fi,, ·1 =0 C-U)

~1 l11 -:=; 1rA ~ 2. (;'1

(/)

X- )x 2er\ e&\Jx <:>

x-=- 'l er '1 f x"-e_ -(&~x<-dx. .

~ Ll.T ~ 2-~ .(i lrtr) '° J_, J .Ti -=- flt

x -= 2 el '['If , 00-~

•---==----"1 'L

~ ~Ov -c> 2_, 0.. 9_ v ~ 9_J!r Vi 2_, ~ e;t, L, fr6

[

ii= 'lf7~~%1 - ~ X?_=-~ ~

ct) E =?

E =- Ek.+ tP-= H 1-

E;i = f;, E- A-x z p

_J_?-- A ~ ? ~ '"L ~=~p~-~ p-r;;;--1:

t -~ 2.: p b p ~ (. I

I> I

f l7-e--tdt~I2_~%;1Jc- ~ r e-t~t}I.=fi!=t

I~

C) t-QdQY\O T, () U ==? Cv=? . .

U "" N · e = n · N1t · E = n · NFJ · k · T = n 'KV ~

dU Cv"" Ti= n y ~ E"" k, T

1 U= i09S; 1~ J

1 Cv == g131ti J/K

@~ E-=~ T 1 u =2013111 J, c" =1<e,Gt~rj11z .,

Cl:) C/)

1 t...=- -h f e -f:>i; dp f e -r1iA )?dx

~~ l 17_

11 ~ f e-(~lpdp=Io= -k{[ ~f {2f~ 0

®~- ® '1.

lo.clo.n: ~{E) ==CV E":> E~ 0

a.,) T=OK

w (E> E)=?

w(E>E)= LI.;= N(~>E) <Y)

N = f ~( -"1 g< j dE 0

~ L"::> ~ ~enmione nc T 0 k::

g(e) ~ 1 o

1 E>-µ~

µ"

N = ~ C V c" ~ ~ ~utvrci~ er":J cmliCo._ 0

/Ao

N ( E >E) ==) c v~)d[ ~ 6nj cm{icu (A, E> E E

. µc E~ !..Po

i CVE?,dE ~ JJ0ti_ E1

w(E>E) =-Er CV 3 b - -_"'i"-t c=:: ~ 0

()

1~ (E>~) ==C),5~00

®,~~ E= ~,u~ 1

w(E>E)""etr~('.)li 6i tiE=?

l=ff _ ( E .

LJE= 6'(E/=~ ~- E'-

'-L(Ef (~µj2 ~µo'l

E

,A.A-o

2 f e2,gle)gCc)dE fE\;JtE'clt? _ J Esdc;

E = ~~(~_fCehJE "" .. r~Vc=?de - -rE3df

-E

~ 4. ® f1e A-;>

w ( \)"" z ~ <J-1 =?

d~x= ~( u-:)d\)~IS

WK= s~(lfK~duK

j_ ~~ -C1 Wx.==- - . e-t-JJ_ - 2=_ J -'l.d ,__ fr ~ ffe v

\__-()~ ~-

er~(~ . er{(t1)

UJ)(~ er~( 1,118) - ('rf (~)

I \IJJ(= ©,00Gb?;,0 J * U --; 36\Jf'' j e ~or~ c;Jfb.vi1~ CJO~ 1/1 lf' 1 F'- 0S

Oll\CI /Ju pr5!r1u 1 !tx ~d to CL VY).~ v lfl O 'I!'.".. ~ j 8 (Qvl/'ce'

. u =~31::..T tJe ~ .

0

-t~=~ ~-v~e=~-;~ \J~ ~-1,9-iS . ~

\Nx= ecf ( ~.ns) -er~ (1)

l ~v =-Op':l-00 <J

(E/~ IV (\,"" ~ Cx < < j <!>~ e?lr GG'°b

~ ~\) L~.,< IJ'><< ~el o:<!J,r::Y::ft-io<J