Fizika 1 dalis, mokomoji medziaga

7/26/2019 Fizika 1 dalis, mokomoji medziaga

1/137


2/137

LIETUVOS EMS KIO UNIVERSITETAS

Vandens kio ir emtvarkos fakultetas

Fizikos katedra

Juozas Navickas

FIZIKAI dalis

MOKOMOJI KNYGA

KAUNAS, ARDIVA

2008


3/137

Juozas Navickas

FIZIKA, I dalisMokomoji knyga

Recenzavo:doc. Vitalis Kasperinas (LUFizikos katedra)doc. dr. Liudas Kinius (LUMelioracijos katedra)

Aprobuota:

Fizikos katedros posdyje 2007 04 05, protokolo Nr. 6FMSI Metodins komisijos posdyje 2007 04 12, protokolo Nr. 3.VF Metodins komisijos posdyje 2007 04 13, protokolo Nr. 13

Kalbredagavo MarytidonienMaketavo Laurynas ArminasVirelio dailininkas Dainius Radeckas

UDK53(075.8) Na295

ISBN978-9955-896-48-7 Juozas Navickas, 2008 Lietuvos ems kio universitetas, 2008


4/137

3

TURINYS

PRATARM........................................................................................................................6VADAS ..............................................................................................................................71. KLASIKINS MECHANIKOS FIZIKINIAI PAGRINDAI ..........................................8

KINEMATIKOS ELEMENTAI ..........................................................................................81.1. Atskaitos sistemos ...................................................................................................81.2. Tako greitis ir pagreitis ..........................................................................................91.3. Kampinis greitis ir pagreitis .................................................................................12

MATERIALIOJO TAKO IR KIETOJO KNO SLENKAMOJO JUDJIMODINAMIKA ......................................................................................................................14

1.4. Pirmas, antras ir treias Niutono dsniai ..............................................................141.5. Trinties jgos .........................................................................................................161.6. Impulso tverms dsnis, sistemos mass centras ..................................................171.7. Energija, darbas ir galia ........................................................................................20

1.8. Kinetinenergija ir jos ryys su darbu ..................................................................211.9. Potencinenergija .................................................................................................231.10. Mechanins energijos tverms dsnis .................................................................241.11. Absoliuiai tampriir netampriknsmgiai..................................................25

TRAUKA. LAUKO TEORIJOS ELEMENTAI ...............................................................271.12. Visuotinis traukos dsnis ....................................................................................271.13. Kno svoris ir sunkis ..........................................................................................271.14. Kosminiai greiiai ...............................................................................................28

KIETOJO KNO MECHANIKA ....................................................................................30

1.15. Kietojo kno sukamasis judjimas. Jgos momentas .........................................301.16. Besisukanio kno kinetinenergija. Inercijos momentas. Pilnutinenergija ...311.17. Pagrindinsukamojo judjimo dinamikos lygtis ................................................311.18. Judesio kiekio momento tverms dsnis .............................................................321.19. Darbas ir galia esant sukamajam judjimui ........................................................331.20. Laisvosios ays. Giroskopas ...............................................................................341.21. Kndeformacija ...............................................................................................35

HIDRODINAMIKA .........................................................................................................381.22. Slgis dujose ir skysiuose .................................................................................381.23. Srovs tolydumo ir Bernulio lygtys ....................................................................38

1.24. Klampa ................................................................................................................421.25. Skysitekjimo laminarinis ir turbulentinis reimai .......................................441.26. Knjudjimas skysiuose ir dujose ..................................................................45

SPECIALIOSIOS RELIATYVUMO TEORIJOS ELEMENTAI .....................................471.27. Galiljaus transformacijos. Mechaninis (Galiljaus ) reliatyvumo principas .....471.28. Specialiosios reliatyvumo teorijos postulatai .....................................................481.29. Lorenco transformacijos .....................................................................................491.30. Ilgiir laikotarpireliatyvumas .........................................................................501.31. Reliatyvistinis greiisudties dsnis ................................................................511.32. Reliatyvistinis judesio kiekis (impulsas), masir energija .................................52

2. MOLEKULINS FIZIKOS IR TERMODINAMIKOS PAGRINDAI ........................53


5/137

4

IDEALIOSIOS DUJOS ....................................................................................................532.1. Statistinis ir termodinaminis tyrimo metodas .......................................................532.2. Idealijdujbsenos lygtis ................................................................................542.3. Idealijdujkinetins teorijos pagrindinlygtis ................................................562.4. Maksvelo idealijdujmolekuligreiipasiskirstymo dsnis ........................57

2.5. Tolygaus energijos pasiskirstymo molekuls laisvs laipsniais dsnis .................582.6. Barometrinformul.............................................................................................592.7. Molekulipasiskirstymas ioriniame potencialiniame lauke ...............................602.8. Molekulividutinis susidrimskaiius ir vidutinis laisvasis lkis ....................612.9. Perneimo reikiniai ..............................................................................................62

TERMODINAMIKOS PAGRINDAI ...............................................................................642.10. Dujmoliniluma .............................................................................................642.11. Pirmasis termodinamikos principas ....................................................................652.12. Pirmojo termodinamikos principo taikymas izoprocesams ir adiabatiniam procesui ...662.13. Grtamieji ir negrtamieji procesai ..................................................................682.14. Antrasis termodinamikos principas .....................................................................702.15. Entropija .............................................................................................................712.16. Antrojo termodinamikos principo statistinis aikinimas .....................................71

REALIOSIOS DUJOS IR GARAI ...................................................................................732.17. Nuokrypiai nuo idealijdujdsni.................................................................732.18. Van der Valso lygtis ............................................................................................742.19. Van der Valso izotermos......................................................................................752.20 Pirmos ir antros ries faziniai virsmai................................................................762.21. Realijdujvidinenergija ..............................................................................77

2.22. Kietosios ir skystosios mediagos bsenos ypatumai ........................................772.23. Skysio paviriaus tempimas ............................................................................782.24. Drkinimas .........................................................................................................792.25. Slgis po kreivuoju skysio paviriumi .............................................................802.26. Kapiliariniai reikiniai .......................................................................................812.27. Kietieji knai. Kristalai ir polikristalai ..............................................................82

3. ELEKTROSTATIKA ....................................................................................................833.1. Elektros krvio tverms dsnis .............................................................................833.2. Kulono dsnis .......................................................................................................833.3. Elektrinis laukas ir jo stipris .................................................................................843.4. Elektrostatinilauksuperpozicijos principas .....................................................853.5. Gauso teorema elektrostatiniam laukui vakuume skaiiuoti ................................873.6. Gauso teoremos taikymas elektriniam laukui skaiiuoti .....................................883.7. Elektrostatinio lauko potencialas ..........................................................................903.8. Lauko stipris kaip potencialo gradientas ..............................................................913.9. Dielektriktipai. Jpoliarizacija ..........................................................................923.10. Poliarizuotumas. Elektrinio lauko stipris dielektrike ..........................................923.11. Elektrinslinktis. Gauso teoremos taikymas elektriniam laukui dielektrike ......943.12. Segnetoelektrikai ................................................................................................95

3.13. Laidininkai elektrostatiniame lauke ....................................................................963.14. Pavienio laidininko elektrintalpa .....................................................................97


6/137

5

3.15. Kondensatoriai ....................................................................................................973.16. Nejudamtakinikrvisistemos energija ......................................................993.17. krauto kondensatoriaus energija ........................................................................993.18. Elektrostatinio lauko energija ...........................................................................100

4. NUOLATINELEKTROS SROV..........................................................................101

4.1. Elektros srov, jos stipris ir tankis ......................................................................1014.2. Metalelektroninio laidumo klasikinteorija ....................................................1014.3. Potencialskirtumas, elektrovaros jga ir tampa ..............................................1034.4. Bendrasis Omo dsnis. Kirchhofo taisykls .......................................................1044.5. Elektronilaisvinimo i metaldarbas .............................................................1064.6. Termoelektroninemisija....................................................................................1064.7. Dujjonizacija ....................................................................................................1074.8. Plazma ir jos savybs ..........................................................................................109

5. ELEKTROMAGNETIZMAS .....................................................................................1105.1. Magnetinis laukas ir jo charakteristikos .............................................................1105.2. Bio, Savaro ir Laplaso dsnis ir jo taikymas magnetiniam laukui skaiiuoti ..... 1115.3. Ampero dsnis. Lygiagreisrovisveika .......................................................1125.4. Magnetinio lauko poveikis judaniam krviui ...................................................1135.5. elektrintdalelijudjimas magnetiniame lauke ..............................................1145.6. Elektringjdaleligreitintuvai .........................................................................1155.7. Magnetins indukcijos vektoriaus cirkuliacija ...................................................1165.8. Magnetins indukcijos srautas. Gauso teorema ..................................................1175.9. Laidininko ir kontro, kuriais teka elektros srovjuos perneant, magnetiniamelauke atliekamas darbas .............................................................................................118

6. ELEKTROMAGNETININDUKCIJA ....................................................................1206.1. Elektromagnetins indukcijos reikinys (Faradjaus bandymai)........................1206.2. Faradjaus dsnis ir jo ivedimas i energijos tverms dsnio ...........................1206.3. Kontro induktyvumas. Saviindukcija ...............................................................1216.4. Srovs, jungiant ir ijungiant grandines.............................................................1226.5. Abipuss indukcijos reikinys .............................................................................1246.6. Magnetinio lauko energija ..................................................................................124

7. MEDIAGOS MAGNETINS SAVYBS ...............................................................1267.1. Elektronir atommagnetiniai momentai .........................................................1267.2. Diamagnetikai ir paramagnetikai ........................................................................1277.3. magnetjimas. Magnetinis laukas mediagoje ..................................................1277.4. Dviejmagnetiniaplinkribins slygos .........................................................1287.5. Feromagnetikai ir jsavybs ..............................................................................1297.6. Feromagnetizmo prigimtis ..................................................................................1307.7. Elektromagnetinio lauko Maksvelo teorijos pagrindai .......................................1317.8. Maksvelo lygitaikymas elektromagnetiniam laukui ......................................132

LITERATRA ................................................................................................................135


7/137

6

PRATARM

Mokomoji knyga skirta Lietuvos ems kio universiteto Vandens kio fakulteto,taip pat ir kitininerinispecialybistudentams.

Knyga sudaryta i dviejdali. Pirmoje dalyje yra septyni skyriai. Pirmame skyriuje

pateikti klasikins mechanikos pagrindai ir specialiosios reliatyvumo teorijos elementai. An-trame skyriuje inagrinti molekulins fizikos ir termodinamikos pagrindai. Treias skyriusskirtas elektrostatikai, ketvirtas nuolatins elektros srovei, penktas elektromagnetizmui,etas elektromagnetinei indukcijai, septintas mediagmagnetinms savybms.

Antroje dalyje yra ei skyriai. Pirmame skyriuje pateikti svyravimir bangteorijospagrindai, kartu nagrinjant mechaninius ir elektromagnetinius svyravimus. Antrame sky-riuje pateikti geometrins optikos elementai, nagrinjama viesos interferencija, difrakcija,dispersija, poliarizacija. Treiame skyriuje nagrinjama spinduliavimo kvantinprigimtis.Ketvirtas skyrius skirtas atomo fizikos ir kvantins mechanikos elementams. Penktameskyriuje idstyti kvantins statistikos ir kietojo kno fizikos elementai. etame skyriuje

pateikti atomo branduolio fizikos elementai.Autorius dkoja recenzentams doc. Vitaliui Kasperinui ir doc. dr. Liudui Kiniui u

mokomosios knygos recenzavimir pateiktas pastabas. Taip pat dkoja u geranorikaspastabas kolegoms i Fizikos katedros, Fundamentalijmokslstudijinstituto, Vandenskio ir emtvarkos ir ems kio ininerijos fakultet.

Autorius taipogi btdkingas u pastabas, kurias galima sisti adresu: [email protected].


8/137

7

VADAS

Fizika tai viena i gamtos mokslak. Fizika nagrinja bendrsias materijos savybesbei paprasiausias jos judjimo formas mechanin, ilumin, elektromagnetin, atomvidu-je vykstantjudjimir t.t. Fizika yra glaudiai susijusi su kitais gamtos mokslais: astrono-

mija, biologija, chemija, geologija ir kt. Naudojant fizikos laimjimus atsirado mokslo sritys,nagrinjanios problemas, kylanias fizikos ir kitmokslsandroje (astrofizika, agrofizika,biofizika ir kt.). Fizikos vystimosi tempus ir kryptis lemia technikos, ypakarins, poreikiai.Pvz., vystant ilumin techniksusiformavo termodinamikos pagrindai, branduolio fizikaleido sukurti branduolinir vandenilinbombir kt. Energijos altiniporeikiai skatina kurtivaldomas atombranduolisintezs reakcijas.

Pastaruoju metu yra dvi materijos rys:1) mediaga,2) laukai.Vienos ries materija gali tapti kitos ries materija, pvz., susitikelektronas ir pozitro-

nas (mediaga) gali tapti fotonu (elektromagnetinis laukas). Galimas ir atvirkias efektas.Materija vislaikjuda. Judjimas viena i materijos savybi.Fizikos dsniai yra nustatomi apibendrinus daugelio stebjimrezultatus. Daniau-

siai jie ireikiami kiekybiniais fizikinidydisryiais.Pagrindinis fizikos tyrimo metodas bandymas. Jo metu yra sukuriamos tiksliai kon-

troliuojamos slygos. Bandymo metu gali vykti reikiniai, kurie realiai nestebimi. Gautireikiniai yra aikinami hipotezmis. Hipotez tai mokslinprielaida, leidianti paaikin-ti gautfaktar reikin. Hipotez, patvirtinta eksperimentais, tampa dsniu arba teorija.

Fizikinteorija tai pagrindiniidjsistema, apibendrinanti bandymduomenis ir

atspindinti gamtos objektyvius dsningumus.Fizika skirstoma klasikinir kvantin. Klasikinfizika baigta kurti XX a. pradioje.Jos pradininku laikomas I. Niutonas. Klasikinteorija negaljo paaikinti absoliuiai juo-do kno spinduliavimo ir kt. reikini.

1897 m. buvo atrastas elektronas. Nustatyta, kad elektronai eina cheminielementatomus, taip pat atomdalumas (iki tol buvo manoma, kad atomai nedalomi). Dl to dalisfizikpradjo manyti, kad materijos nra.

XX a. pradioje isivyst atomo sandaros stebjimmetodai. 1913 m. N. Borassukrmodel, paaikinantvandenilio atomo sandar, taiau netinkamatomams, tu-rintiems du ir daugiau elektron.

L. de Broilis 1924 m. iklidj, kad alia dalels savybijos atomas turi banginisavybi. Vliau tai buvo patvirtinta eksperimentikai. E. rdingeris ir V. Heizenbergas,remdamiesi eksperimentais, sukrkvantins mechanikos teorij.

Tyrimai, atlikti XX a. viduryje, leido valdyti branduolines reakcijas. 1961 m. J. Ga-garinas pakilo kosmos, buvo sukurtos raketos, kurios, veikusios ems trauk, nufoto-grafavo antrjMnulio pus. 1969 m. amerikieiastronautai pabuvojo Mnulyje. 1975m. dvi tarybins raketos minktai nusileido Veneroje.

19 a. pabaigoje buvo manoma, kad dar liko keletas problem, ir jas isprendus fizi-kai gals ilstis. Taiau taip nevyko, ir neaiku, kiek fizika plsis. Remiantis ligioline

patirtimi galima daryti ivad, kadfi

zika niekada nepritrks tiriamproblem, ypa, kadlaikui bgant mokslo srii, su kuriomis bendradarbiauja fizika, ratas pleiasi.


9/137

8

1. KLASIKINS MECHANIKOSFIZIKINIAI PAGRINDAI

KINEMATIKOS ELEMENTAI

1.1. Atskaitos sistemos

Mechanika yra skirstoma kinematik, dinamikir statik.Kinematika tiria kno judjim, neatsivelgdama kno judjimo prieastis.Dinamika, tirdama kno judjim, atsivelgia prieastis, lemianias kno jud-

jimo pobd.Statika tiria knsistemos pusiausvyros dsnius.

Nagrinjama knsankaupa yra vadinama mechanine sistema. Pavieniu atveju siste-

ma gali bti sudaryta i vieno kno.Vienknpadties pasikeitimas kitknatvilgiu yra vadinamas mechaniniujudjimu. Vadinasi, tiriant kn judjim, reikia apibrti, kuriknatvilgiu is ju-djimas tiriamas. Judjimas vyksta tiek erdvje, tiek laike. Nejudaniknsankaupa,kurios atvilgiu tiriamas judjimas, ir laikrodis, kuriuo atskaitomas laikas, sudaro ats-kaitos sistem. Tas pats knas vairiatskaitos sistematvilgiu gali skirtingai judti.Pvz., mogus eina vagono koridoriumi, traukinys juda su pagreiiu. Vadinasi, mogusvagono atvilgiu juda pastoviu greiiu, o ems atvilgiu su pagreiiu.

Fizikiniudavinisprendimas visada bna apytikslis, nes udavinio slyga vi-sada bna supaprastinta. Pavyzdiui, sprsdami ems judjimo apie Saulproblem,mes laikome, kad jos matmenys yra lygs nuliui. Taiau jeigu nagrinjame kokio norskno, esanio ties ems paviriumi, ir ems sveik, tai jau nebegalime teigti, kadems matmenys yra lygs nuliui.

Knas, kurio matmenis konkreiame udavinyje galime neatsivelgti, yra vadinamitakiniu knu.

Knas, kurio deformacijkonkreiame udavinyje galime neatsivelgti, vadinamasabsoliuiai kietu knu.

Kietojo kno judjimas yra slenkamojo ir sukamojo pobdio.Slenkamasis judjimas yra toks, kai bet kokia ties, susieta su kietuoju knu, yra

lygiagreti pati sau.Esant sukamajam judjimui visi kietojo kno takai juda apskritimais, kuricentraiyra vienoje tiesje sukimosi ayje. Sukimosi ais gali bti alia kno.

Apraant kno judjimdaniausiai naudojamos staiakamps Dekarto koordinats.iuo atveju kno padtis apraoma trimis erdvs koordinatmis x, y, z ir laiku t.


10/137

9

1.1.1 pav. 1.1.2 pav.

Staiakamps Dekarto sistemos kryptys X, Y, Z yra apibdinamos trimis vienetiniaisvektoriais , ,i j k

, statmenais vienas kitam ir prasidedaniais take 0 (1.1.1 pav.). Vektorir

galima iskaidyti , ,i j k

dedamsias:

r xi yj zk = + +

. (1.1.1)

Iskaidymo koeficientai yra tako M koordinats Dekarto atskaitos sistemoje, arba ga-lima sakyti, kad tai vektoriaus r

projekcijos ais X, Y, Z. Linija, kurijuddamas erdvje

nubria takas, yra vadinama jo trajektorija. Trajektorijos bna tiesins bei kreivins.Judjimas yra plokias, jeigu jo trajektorija yra vienoje ploktumoje. Kno judjimas

yra santykinis, t.y., jo judjimo trajektorija danai priklauso nuo atskaitos sistemos parinki-mo. Bendruoju atveju kno judjimo trajektorija turi erdvinpobd. Tako M poslinkis perlaiko tarp 2 1t t t = yra apibdinamas spindulio-vektoriaus pokyiu r

(1.1.2 pav.):

2 1r r t r t = ( ) ( )

(1.1.2)

Takas, judantis erdvje, turi tris laisvs laipsnius, t.y. nepriklausomai gali judti tri-mis kryptimis.

1.2. Tako greitis ir pagreitis

Tako vidutinis greitis per laiko tarp t yra lygus to tako spindulio vektoriauspokyio r

ir to laiko tarpo t santykiui:

vid

r

t

=

arba 2 1vidr r

t

=

. (1.2.1)

Vidutinio greiio modulis:

vid st = . (1.2.2)

2r

r

0


11/137

10

Vidutinis greitis turi tpaikrypt, kaip ir spindulio vektoriaus pokytis r

. Takogreitis tai spindulio vektoriaus pirmoji ivestinpagal laik:

dr

dt =

(1.2.3)

ia irdr dt atitinkamai spindulio vektoriaus ir laiko diferencialai.Tarkim dr ds=

, ia ds kelio diferencialas. Tuomet tako greiio modulis yra

toks:

ds

dt = . (1.2.4)

Jeigu 0,d

dt

tai judesys greitjantis, o jei 0

d

dt

, judesys ltjantis. Tako M

vidutiniu pagreiiu per laiko tarptyra vadinamas tako greiio pokyio santykis sut:

vat

=

. (1.2.5)

Tako M pagreiiu yra vadinama jo greiio pirmoji ivestinarba spindulio vekto-riaus antroji ivestinpagal laik:

2

2

d d ra

dt dt

= =

. (1.2.6)

Greiio vektorius ireikiamas taip: = , ia =

greiio vienetinis vek-torius. Tuomet

dd d da

dt dt dt dt

= = = +

( )

. (1.2.7)

Pagreitis susideda i dviejdedamj: liestinio (tangentinio) a

=

ir statmenojo(normalinio) na =

.Inagrinsim idedamjsavybes. Tarkim, tako trajektorija yra vienoje ploktu-

moje. Tuomet liestinio pagreiio modulis yra lygus: a

=

, t.y. liestinis pagreitis grei-

io dydio kitimo sparta. Jeigu greitis didja, tai liestinio pa-greiio vektoriaus kryptis tokia pat, kaip ir greiio vektoriauskryptis. Jeigu greitis maja ( 0) , tai vektoriai

ir a

nukreipti prieingomis kryptimis. Kai = 0, tai 0.a=

Statmenasis pagreitis anparodo, kaip greitai kinta grei-

io kryptis. an

visada statmenas greiio vektoriui nagrin-jamame take.

Sakykim, kad takai A ir B yra arti vienas kito (1.2.1pav.). Tuomet nueitkelisgalime laikyti apskritimo, kuriospindulys R, lanku, ir greiio vienetinio vektoriaus ivestin

pagal laikyra tokia: 1.2.1 pav.

0

R

B

A

n


12/137

11

dn

dt

= , (1.2.8)

ia n

trajektorijos normal, nukreipta tpus, kuripakrypsta

. Artjant B link A,s / R , arba /R s . Kai 0 , tai .R = ds / d Rasim rytarp /d dt

ir R bei dalels greiio .

s t

R R

= .

I iat R

=

. Kai tartja link nulio gauname

d

dt R

= .

Gautiraikraome (1.2.8) nR

=

, o i statmenojo pagreiio iraik:2

na n nR R

= = =

, o modulis 2 /na R=

.

Pagreiio modulis:

2 2 2 2 2/na a a R= + = + ( ) . (1.2.9)

Esant tiesiaeigiam judjimui, =R ir statmenasis pagreitis yra lygus nuliui. na taip pat lygus nuliui visuose kreivaeigio judjimo trajektorijos takuose, ia n keiia savokrypt R= ( ) .

Judant takui apskritimu pastoviu greiiu, 0 = ir 0,a= 2 / .na R = const =

Priklausomai nuo a ir na verimaterialaus tako judjimo pobdis yra toks:a) tiesiaeigis tolyginis 0a= , 0=na ;

b) tiesiaeigis tolygiai kintantis a a const = = , 0=na ; esant iam judjimo pob-diui

2 1

2 1

a at t t

= = =

. (1.2.10).

Tarkim, pradiniu laiko momentu 01=t materialaus tako greitis yra lygus 0, o laikomomentu tt =2 yra . Tuomet galioja sryis:

0 at = + . (1.2.11).

Per laik tnueitas kelias yra toks:2

0 00 0 2

t t ats dt at dt t= = + = + ( ) ; (1.2.12)

c) tiesiaeigis judjimas su kintamu pagreiiu a f t= ( ) , 0na = ;


13/137

12

d) tolyginis judjimas apskritimu su pastoviu spinduliu 0a= , constan= ;e) kreivaeigis tolyginis judjimas 0a= , 0na ;f) kreivaeigis tolygiai kintantis judjimas a const = , 0na ;g) kreivaeigis su kintamu pagreiiu judjimas ( )a f t= , 0na .

1.3. Kampinis greitis ir pagreitis

Vektorius0

d

tlim

t dt

= =

yra vadinamas kampiniu greiiu, ia t - laikas, per

kurvyksta pasisukimas . Kampinis greitis yra pseudovektorius, nes jo kryptis priklau-so nuo sukimosi krypties apie a00/ (1.3.1 pav.).

Kampinio greiio modulis

d

dt

= , rad/s, ia 1 rad.=57,3.

Jeigu yra pastovus, tai judesys tolyginis. Tuomet = / t, ia poskio kampas per laikt. Tolyginis

judesys apibdinamas apsisukimo periodu T, t.y. laikotarpu, per kurvyksta vienas visikas apsisukimas.

2 / T = , nes 2 , = arba 2 / .T=

Apsisukimskaiius per laiko vienetyra vadina-mas daniu:

1/ 2f

T= = , tuomet 2 f = .

Periodo ir danio f svoka tinka ir netolyginiam judjimui, tik iuo atveju turimosgalvoje tos T ir f reikms, kuriomis takas btapibdinamas, jeigu jis judtmomenti-niu (akimirksniniu) kampiniu greiiu . Kampinio greiio kitimas yra charakterizuojamaskampiniu pagreiiu

0lim .td

t dt

= =

taip pat yra pseudovektorius.Kiekvieno tako, besisukanio apie a00/(1.3.1 pav.), linijinis greitis:

0 0 0lim lim lim

t t t

s dR R R R

t t t dt

= = = = =

.

Tuomet

R = . (1.3.1)

1.3.1 pav.

O

O


14/137

13

Kiekvieno tako, besisukanio apie a00/(1.3.1 pav.), statmenojo pagreiio modulisyra toks:

2 2 2 2/ / ,na R R R R= = =

tad

2na R= (1.3.2)

Kiekvieno tako, besisukanio apie a00/(1.3.1 pav.), liestinio pagreiio modulisyra toks:

0 0 0lim lim limt t t

Ra R R

t t t

= = = =

( ) ,

tad

a R= (1.3.3)

Kaip matome, tako statmenasis (normalinis) ir liestinis (tangentinis) pagreiiai did-ja tiesikai didjant jatstumuiRnuo sukimosi aies.

Kai tako judesys apskritimu yra tolygiai kintamas ( const = ),

0 t = + ,2

0 2

tt

= + , (1.3.5)

ia 0 pradinis kampinis greitis.


15/137

14

MATERIALIOJO TAKO IR KIETOJO KNOSLENKAMOJO JUDJIMO DINAMIKA

1.4. Pirmas, antras ir treias Niutono dsniai

Kinematika nenagrinja kas sukljudjim, kodl toks jo pobdis. Tai atlieka dina-mika. Klasikinmechanika remiasi trimis dinamikos dsniais, suformuluotais I. Niutono1687 m. Iki XIX a. pabaigos daugelis fizikman, kad viskgalima paaikinti remiantisiais dsniais. Taiau 1905 m. A. Einteino sukurta reliatyvumo teorija parod, kad taip nra.Klasikin(Niutono) mechanika tinka tik esant maiems greiiams. XX a. mokslo laimjimai

parod, kad klasikinmechanikos teorija yra kvantins mechanikos atskira dalis.Pirmas Niutono dsnis teigia: kiekvienas knas ilaiko rimties arba tolydinio ir

tiesiaeigio judjimo bv, kol kitknpoveikis nepriveria jo bvkeisti.

iuo atveju knas juda be pagreiio. Pirmas Niutono dsnis tinka ne bet kokiai ats-kaitos sistemai. Tarkim, viena atskaitos sistema kitos sistemos atvilgiu juda su pagreiiu.Jeigu vienoje sistemoje knas juds tolygiai tiesiaeigiai, tai kitos atskaitos sistemos atvil-giu to nebus. Vadinasi, I Niutono dsnis tuo paiu metu negali tikti abiem sistemoms.

Atskaitos sistema, kuriai tinka I Niutono dsnis, yra vadinama inercine sistema. Kaikada I Niutono dsnis vadinamas inercijos dsniu. Sistema, kurioje negalioja I Niutonodsnis, yra vadinama neinercine atskaitos sistema. Bet kuri atskaitos sistema, judantiinercins sistemos atvilgiu tolygiai ir tiesiai, yra vadinama inercine sistema. Eksperi-mentikai nustatyta, kad atskaitos sistema, kurios centre yra Saul, o ays nukreiptos tam tikru bdu parinktas vaigdes, yra inercin. Ji yra vadinama heliocentrine atskaitossistema. Bet kuri atskaitos sistema, judanti ios sistemos atvilgiu tolygiai ir tiesiai, yrainercin. emir kitos planetos Sauls atvilgiu juda ne tiesiai ir tolygiai, o su tam tikru

pagreiiu. Todl jos yra neinercins atskaitos sistemos. Taiau kai kuriais atvejais gali-me skaityti, kad jos yra inercins.

Yra inomos keturios kn sveikos jgos: gravitacins, elektromagnetins, bran-duolins ir silpnjsveikjgos. Silpnoji sveika yra 1033karto stipresnu gravitacinsveik, taiau 1011kartsilpnesnu elektromagnetinsveik. i sveika lemia radio-aktyvijelementskilim, nestabilielementarijdalelisavaiminirimir t.t. Pagal

poveikio mechanizmknsveikos jgos skirstomos taip: 1) jgos, kurios atsiranda be-

tarpikai knams lieiantis; 2) jgos, veikianios per atstum.Eksperimentikai nustatyta, kad kuo didesne jga veikiame kn, tuo didesnpagreitjis gyja: a

~ F

. Taiau jeigu ta paia jga veiksime skirtingos mass knus, tai pagreiio

dydis bus atvirkiai proporcingas kno masei. Galime urayti:

,F

a km

=

SI sistemojeF

am

=

, (1.4.1)

ia k proporcingumo koeficientas. Tai antras Niutono dsnis. Jis teigia, kad ma-terialiojo tako (kietojo kno) pagreitis yra tiesiog proporcingas veikianiai jgai ir

atvirkiai proporcingas tako (kno) masei.


16/137

15

dF m a m

dt

= =

.

Klasikinje mechanikoje kno masyra pastovi, ir jgalime rayti po diferencialoenklu:

( )d mF

dt

=

.

Kno mass ir greiio sandauga yra vadinama kno impulsu. Jis ymimas raide p(p m=

)

Impulso kryptis sutampa su greiio kryptimi. Tuomet antras Niutono dsnis gaunairaik:

dpF dt=

, (1.4.2)

t.y. materialiojo tako (kno) impulso kitimo greitis yra lygus tak(kn) veikian-iai jgai.

Jgos matavimo vienetas niutonas (N). Jis savo skaitine verte lygus jgai, kuri,veikdama vieno kg mass kn, jam suteikia 1 m/s2 pagreit jgos veikimo kryptimi( 21 1 /N kg m s= ).

Treias Niutono dsnis daniausiai formuluojamas taip: du knai veikia vienas

kitlygiomis, taiau prieingkrypijgomis:

F12= F21. (1.4.3)

III N.d. teisingas, kai knai betarpikai veikia vienas kit arba kai sveikauja duknai, esantys tam tikru atstumu vienas nuo kito rimties bsenoje. is dsnis netinka, kaikno judjimo greitis artimas viesos greiiui. Pvz., turime du knus, kurimass m

1ir m

2

ir atstumas tarp jyra r.Tarp tknpasireikia gravitacintrauka:

1 2

2

m mF

r= . (1.4.4)

1.4.1. pav.


17/137

16

Pirmas knas veikia antrknjgaF12

, o antras knas pirmjF21

. Pirmas knasgreiiu, artimu viesos greiiui, i tako 1 pasislenka tak1/. Pakinta atstumas rr

1, ir

pirmas knas veikia antrknjga 12 21,F F nes 1 kno pasislinkimo padt1/sukel-tas lauko pokytis dar nepasiekkno 2. Vadinasi, tuo laikotarpiu, kol knas 1 judjo c greiiu ir tam tikrlaikpo to III Niutono d. negaliojo.

Sistema, kurios neveikia iorins jgos, yra vadinama udarja sistema. Udarjsistemsudaranikntarpusavio sveikos jgos yra vadinamos vidinmis jgomis.

Iorins jgos tai jgos, kurias sukelia knai, nepriklausantys udarajai sistemai.Pvz., tarp ems ir kno gravitacins traukos jgos yra vidins, o emir knveikiantiSauls traukos jga yra iorinjga.

1.5. Trinties jgos

Knui judant horizontalia ploktuma jis sustoja. Tai vyksta dl trinties jg. Trintiesjgprigimtis yra vairi. Veikiant trinties jgoms mechaninenergija pavirsta vidine besi-lieianiknenergija. Trinties jgos bna vidins (skysiuose, dujose) ir iorins (tarp

besilieianikn). Iorintrintis susidaro tarp knlietimosi ploktumoje. Jeigu knaivienas kito atvilgiu nejuda, tai yra rimties trintis. Knams judant vienas kito atvilgiuiorintrintis bna slydimo ir riedjimo.

Vidin trintis vyksta tarp to paties kno atskir dali, pvz., tarp skysio ar dujsluoksni, judaniskirtingais greiiais. ia nepasireikia rimties trintis. Triniai suma-inti naudojami tepalai. Tuokart trintis pasireikia tepalo sluoksnelyje tarp paviri. Esantstoram tepalo sluoksniui trintis yra hidrodinamin, o kai tepalo sluoksnio storis yra 0,1mm ar plonesnis ribintrintis. Panagrinsime keletiorins trinties atvej. Turime ho-

rizontal paviri (1.5.1 pav.). Ant joyra P svorio knas. Knas, veikiamas

jgos F, prads judti, kai i jga busdidesnu trinties jgF

tr.Tarp trinties

jgos ir normaliojo (statmenojo) slgioN galioja ryys (Amontonso dsnis):

trF fN= , (1.5.1)

ia f slydimo trinties koeficientas.Jis sausiems metalams bna 0,1-0,25.Trinties koeficientrasime taip. Knasyra ant kampu pasvirusios ploktu-mos (1.5.2 pav.). Knas prads slystituomet kai tangentinsvorio jgos de-damoji bus didesnu rimties trinties

jg. Ribiniu atvejuF=Ftr, tuomet:

0 0sin cosP fN fP = = . (1.5.2)

1.5.1 pav.

tr


18/137

17

I ia

0f tg= , (1.5.3)

t.y. slydimo koeficientas savo skaitine verte yra lygus plok-tumos polinkio kampo, kai prasideda slydimas, tangentui.

Esant lygiems paviriams dar prisideda sveika tarpmolekuli, esani ties besilieianiais paviriais. Tuokartslydimo trintis apraoma taip:

0tr tikr F f N Sp= +( ) , (1.5.4)

ia 0p - molekulisveikos sukeltas papildomas slgis; S- kontaktuojaniknlietimo-si paviriaus plotas;

tikrf - tikrasis slydimo koeficientas.

Trintis bna naudinga ir nuostolinga. Antruoju atveju jstengiamasi sumainti. Nau-dojami vairs tepalai, vietoje slydimo trinties techniniai sprendiniai pakeiiami riedjimotrintimi. Riedjimo trintis nustatoma taip (Kulono dsnis):

/tr rF f N r= , (1.5.5)

iafr riedjimo trinties koeficientas, kurio matavimo vienetas SI sistemoje yra m; r

riedanio kno spindulys. Riedjimo trinties koeficientas priklauso nuo knkietumo,paviriaus kokybs ir t.t. Pagal iformulriedjimo trinties jga yra atvirkiai propor-cinga riedanio kno spinduliui.

1.6. Impulso tverms dsnis, sistemos mass centras

Kai sistemsudaro N materialitak, itakimpulssuma yra vadinama siste-mos impulsu:

1 1

N N

i i i

i i

p p m= =

= = . (1.6.1)

Udarosios sistemos impulso ivestinpagal laikyra lygi sistemveikianiiori-nijgsumai, nes vidins jgos viena kitkompensuoja:

1

N

ii

i

dpF

dt ==

. (1.6.2)

Formul (1.6.2) ireikia sistemos impulso kitimo dsn. Nesant iorini jg

0dp

dt

=

, udarosios sistemos impulsas pastovus. Atvirosios sistemos impulsas taip pat

trF

F

P

N

1.5.2 pav.


19/137

18

gali bti pastovus. Tai galioja, kai1

0i

N

ii

F=

=

. Jeigu1

0i

N

ii

F=

=

tik viena kryptimi, pvz., x

kryptimi, tai impulso tverms dsnis galioja tik ta kryptimi:

1i

N

x xi

i

dp F

dt == .

Sistemos mass centras (inercijos centras) yra takas, apraomas spindulio vektoriumi:

1 1 2 2 1 1

1 2

1

...

...

N N

i i i i

N N i ic N

Ni

i

m r m r m r m r m r

rm m m m

m

= =

=

+ + +

= = =+ + +

, (1.6.3)

o sistemos mass centro greitis

.i i i ic

c

m r mdr p

dt m m m

= = = =

(1.6.4)

I ia

cp m=

. (1.6.5)

Kai sistema udaroji:

cp m const= =

. (1.6.6)

I ia iplaukia, kad udaros sistemos mass centras arba juda tiesiai tolygiai, arbayra rimties bvio.

stat(1.6.6) (1.6.2), gauname sistemos mass centro judjimo dsn:

1i

N

c i

i

dm F

dt = =

. (1.6.7)

Vienalytje erdvje esant udarai sistemai galioja impulso tverms dsnis. Vienalyterdvtokia, kai visi erdvs takai turi tas paias savybes. Impulso tverms dsnis tinka irreliatyvistinje fizikoje. Impulso tverms dsniu pagrstas raketjudjimas.

Toliau panagrinsime kintamos mass knjudjim. Laiko momentu traketos masyra mir greitis , o prajus laiko tarpui dt, jos massumaja dydiu dmir yra m-dm, ogreitis d + . Tuomet per tlaiko tarpimpulso pokytis toks:

[ ]dp m dm d dm u m= + + + ( )( ) ( ) , (1.6.8)

ia u

duj, isiverusii raketos variklio, greitis raketos atvilgiu. Dydis dmd

yra

daug kartmaesnis u kitus formulje esanius dydius, ir i (1.6.8) gauname:


20/137

19

dp md udm= +

. (1.6.9)

Jeigu sistem, t.y. raket, veikia iorins jgos, tuomet impulso pokytis yra lygus

idp F dt =

, ir gauname:

iF dt md udm= + ,

arba padalijabi puses i dtgauname, kad:

i

d dmm F u

dt dt

=

. (1.6.10).

Dydisdm

udt

yra vadinamas reaktyvine jga rF

. Tuomet kintamos mass kno jud-

jimaprao lygtis:

i rma F F = +

. (1.6.11).

Tegul iorinijgatstojamoji yra lygi nuliui, o imetamdujgreitis yra pastovus.Tuomet i (1.6.11) gauname:

d dmm u

dt dt

=

.

I ia

lndm

u u m C m

= = +

.

Integravimo konstantrandame pagal pradines slygas: pradiniu laiko momentu ra-ketos greitis 0 =

, o raketos mas 0mm= . Tuomet 0lnC u m=

, ir raketos greitis toks:

0ln m

um

=

. (1.6.12).

I ios formuls matome, kad kuo didesnis raketos variklio imetamdujgreitis ir

kuo labiau sumaja raketos mastai tuo didesngreitpasiekia raketa.Gautos nereliatyvistins mechanikos lygtys (1.6.11) ir (1.6.12), t.y. kai raketos greitisyra daug kartmaesnis u viesos greitvakuume.

Pagal raytinius altinius galima teigti, kad pirmasis kintamos mass knjudjimraketoms pritaikKazimieras Simonaviius (Semenaviius), gims apie 1600 m. Raseiniapskrityje, lietuvis, artileristas. Jis studijavo Vilniaus universitete. 1650 m. Amsterdame i-leido knygDidysis artilerijos menas, 1 dalis. Pusantro imto mettai buvo pagrindinisartilerijos mokslo veikalas Europoje. Jame pirmkartpasaulyje keliama daugiapakopsraketos ir raketins artilerijos idja, pateikiami trijpakopraketos briniai, apvelgiamaraketgamybos technologija. Tarnavo epospolitos kariuomenje i pradiartilerijos

ininieriumi, vliau artilerijos vyriausiojo vado pavaduotoju.


21/137

20

Vliau ias idjas skraidaniaparatgamybai pritaikir rusmokslininkai N. Ki-baliius, K. Ciolkovskis ir kt.

1.7. Energija, darbas ir galia

Energija yra universalus vairiformmaterijos judjimo matas. Energijos formos:mechanin, vidin, elektromagnetin, branduolinir kt.

Mechanikoje knjudjimo pokytis yra apraomas darbu. Jgos F

atliktas elemen-tarus darbas yra toks:

A Fdr F dt = =

, (1.7.1)

ia r

ir

tako, kurveikia jga, atitinkamai spindulys vektorius ir judjimo greitis.

StaiakampiDekarto koordinaisistemoje:

x y z x x y y z zA F dx F dy F dz F F F dt = + + = + + ( ) , (1.7.2)

iax, y, z jgos F

veikiamo tako koordinats, o , ,x x y y z zF F F vektori

ir F

projekcijos koordinaiais X, Y, Z, arba cos ,A Fds F ds = =ia ds dr =

tako nueitas elementarus kelias, veikiant jgai F

per laikdt. kampas

tarp F

ir dr

, F - jgos projekcija poslinkio krypti-

mi (1.7.1 pav.). Kai2

, tai 0A , o kai

2

,

tai 0.A Kai sistemveikia keletas jg

iF

,i jg

atliktas darbas A per laikdtyra lygus ijgelementari darb iA , atlikt kiekvienos jgosatskirai, algebrinei sumai:

1 1 1

N N N

i i i i ii i i

A A F dr F dt= = =

= = =

, (1.7.3)

ia ,i ir

atitinkamai jgos iF

veikiamo tako spindulys vektorius ir greitis.Materialiojo tako ,i ir r = =

i r ,A Fdr F dt = =

ia F

- atstojamoji jga

(1

N

ii

F F=

=

).

Darbas, kuratlieka jga F

, veikdama taktrajektorijoje L, yra toks:

( ) 0

s

L

A Fdr F ds= =

. (1.7.4)

1.7.1 pav.

1.7.2 pav.


22/137

21

Norint apskaiiuotiA, reikia inoti F priklausomybnuos. Jeigu ji yra pastovausdydio ir nepriklauso nuo kelio s, tai atliktas darbas Ayra lygus utrichuotam plotui(1.7.2 pav.).

Jgos, kurioms veikiant atliktas darbas priklausotik nuo jveikimo takpradiniir galutinipadi(1.7.3 pav.), bet nepriklauso nuo jnueito kelio tra-

jektorijos bei judjimo dsni, yra vadinamos poten-cialinmis jgomis. Tai gravitacijos ir elektrostatinssveikos jgos.

Laukas, kuriame poveikio dydis (jga) nepriklau-so nuo koordinats bei laiko, yra vadinamas staciona-riu. Stacionarinis laukas yra potencialinis, jeigu jga,kuria laukas veikia jame esanidalel, yra potencialin.

2

1 2 1 21

a bA A Fdr= = . (1.7.5)Darbas, atliktas potencialins jgos perneant daleludaroje orbitoje, yra lygus

nuliui: . Bendruoju atveju jga priklauso nuo laiko 0F

. Nestacionarus

laukas yra potencialinis, jeigu darbas, atliktas jgos F

, akimirksniu perneant takudaroje trajektorijoje, yra lygus nuliui:

.

Galia tai santykis elementaraus darbo A ir laiko dt, per kuratliekamas is darbas:

A FdrN F F

dt dt

= = = =

. (1.7.6)

Bendruoju atveju galia gali kisti laike. Vidutingalia laike nuo tiki t t+ yra tokia:

AN

t=

. (1.7.7)

1.8. Kinetinenergija ir jos ryys su darbu

Kinetinenergija tai dalels mechaninio judjimo energija. Uraome dalels jud-jimo lygt(II Niutono dsn) ir jdauginame i nueito kelio:

m F ds dt = =

,

m dt Fds

=

, (1.8.1)

ia

.

dt d =

.

Tuomet

1.7.3 pav.


23/137

22

2 2

2 2

mm dt m d md d

= = =

,

nes tpaivektoriskaliarinsandauga yra lygi jkvadratui:

2a a a =

( )cosxy xy= ir (1.8.1) tampa:2

2

md Fds

=

. (1.8.2)

Kai sistema udara, 0F=

, t.y. vidinijgsuma lygi nuliui. Tuomet2

02

d m=

( ) , irdydis

2

2

mT

= (1.8.3)

yra kinetinenergija. i iraika gauta laikant, kad knas juda inercinje atskaitos sistemo-je. Vadinasi, priklausomai nuo pasirinktos atskaitos sistemos knas juda skirtingu greiiu,kartu skirtinga ir jo kinetinenergija.

Padauginskaitiklir vardikli m, gauname:

2 2 2

.2 2

m pT

m m

= = (1.8.4)

Tarkim 0,F

tuomet paymime Fds dA=

,ia dA jgos atliekamas darbas kelio atkarpoje ds. Sry(1.8.2) integruojame atkarpoje1-2.

2 22

1 1

.2

md Fds

=

(1.8.5)

Kairioji pus kinetins energijos pokytis, slenkant dalelei i tako 1 tak2.22 2

2 12 1

1

.2 2

m mT T Fds

= =

2

1

.A Fds=

Dalelveikianijgatliktas darbas pakeiia jos kinetinenergij. Kai mechanin

sistemsudaroNdaleli, ios sistemos kinetinenergija yra lygi visidalelikineti-nienergijsumai:2

1 2

Ni i

i

mT

=

= . (1.8.6)

Mechanins sitemos kinetins energijos pokytis yra lygus sistemveikianividiniir iorinijgatliekamdarbsumai:

vid ior dT A A= + . (1.8.7)


24/137

23

Jeigu sistema nesideformuoja, tai vidinijgatliktas darbas 0vidA = , ir sistemos

kinetins energijos pokytis yra lygus iorinijgatliktam darbui ( iordT A= ).

1.9. Potencinenergija

Energija, kurios dydis priklauso nuo sistemos dalelitarpusavio padties bei jpad-ties ioriniame potencialiniame lauke, yra vadinama potencine.

Potencins energijos pokytis yra lygus darbui, kur atlieka vidins ir iorins po-tencialins jgos, perkeldamos sistemi padties 1 2.

121 2 .p pW W A =( ) ( )

ia Wp(1), W

p(2) sistemos potencins energijos atitinkamai 1 ir 2 padtyje. ia iorins

potencialins jgos yra stacionarios. Jei sistema yra materialusis takas, ryys tarp takveikianios jgos ir jo potencins energijos toks:

pF gradW=

, ia grad i j kx y z

= + +

, (1.9.1)

Gradiento dydis ir kryptis apibdina dydio Wpdidiausikitimo greit.

Veikiant gravitacinei jgai, potencinenergija tako, esanio hatstumu nuo emspaviriaus, yra tokia:

pW mgh= . (1.9.2)

Inagrinsime potencinenergijcentrinijglauke.Tak, esantcentrinijglauke, veikia jgos, nukreiptos iilgai tiesi, einaniper

viennejudanttak jgcentr, ir priklausanios tik nuo atstumo iki jgcentro.

r

rF F r

r= ( )

,

ia Fr(r) jgos, veikianios tak, projekcija spindulio vektoriaus r

krypt, .r r=

Elementarus darbas .rA Fdr F r dr = = ( )

Materialiojo tako potencinenergija

p r p

r

W r F r dr W

= + ( ) ( ) ( ) ,

ia pW ( ) materialiojo tako potencinenergija begalybje.Paprastai 0pW =( ) . Tuomet

p r

r

W r F r dr

= ( ) ( ) . (1.9.3)

Centrinijglauko pavyzdiu gali bti gravitacinis laukas, takinio krvio elektros-

tatinis laukas ir t.t.


25/137

24

Veikiant kndeformuojaniai jgai F kxi=

jo potencin energija deformacijos

dka2

,2p

kxW = ia k kno tamprumo koeficientas,x deformacija.

1.10. Mechanins energijos tverms dsnis

Mechaninio judjimo bei sveikos energija vadinama pilnutine mechanine energija (su-trumpintai ji vadinama mechaninenergija). Materialijtaksistemos mechaninenergija yralygi ttaktarpusavio sveikos su ioriniais knais kinetins bei potencins energijsumai:

pW T W= + . (1.10.1)

Mechanins energijos elementarus prieauglis per laikdtyra toks:

pnp

WdW A dt t

= +

, (1.10.2)

ia npA elementaridarb, atliekamper laikdtnepotencialiniiorinibei vidi-

nijg, algebrinsuma. Narys pW

dtt

parodo potencins energijos pokyt, vykstan-

tdl iorinipotencialinijgnestacionarumo. Turime konservatyvisistem(visosjveikianios nepotencialins jgos darbo neatlieka, o iorins potencialins jgos yra

stacionarios). Tuomet 0npA ir 0.pW

t

Sistemos mechanin energija .W const=

Mechanins energijos tverms dsnis skamba taip: judant konservatyviai sistemai, josmechaninenergija nekinta.

Mechanins energijos tverms dsnis yra susijs su laiko vienalytikumu. i laikosavybpasireikia tuo, kad udaros sistemos (arba sistemos, esanios stacionariame iori-niame lauke) judjimo dsniai nepriklauso nuo laiko atskaitos pradinio tako pasirinkimo.Pvz., kno, laisvai krintanio ties ems paviriumi, greitis ir nueitas kelias priklauso nuokritimo laiko tarpo ir pradinio greiio, o ne nuo to momento, kada pradtas stebjimas.

Udarosios nekonservatyvios sistemos mechaninenergija kinta dl darbo, kuratlie-

ka visos nepotencialins vidins jgos:

npdW A= .

Giroskopins jgos yra stamenos judjimo krypiai, darbo neatlieka ir pokyio npA nedaro.

Disipacins jgos, veikdamos udaroje sistemoje, pvz., trinties jgos, sumainajos mechanin energij. Tai energijos disipacija. Sistem, kurios mechanin energijanuolatos maja, vadiname disipacine sistema. Esant energijos disipacijai, mechaninenergija virsta kita energija. Tai atitinka bendrenergijos tverms dsn. Pagal dsn,

energija gali pereiti i vienos formos kitir persiskirstyti sistemos viduje, taiau jos


26/137

25

bendrasis kiekis sistemoje pasilieka tas pats. Taip pat yra ir esant atvirai sistemai. iasistema pasidalina energijsu supania aplinka. Kiek sistema energijos gauna arba ati-duoda aplinkai, tiek aplinka jos praranda arba gauna.

Visos realios sistemos yra nekonservatyvios, nes jose yra pasiprieinimo bei trintiesjgos. Taiau kai kuriais atvejais galime sistemlaikyti konservatyvia. Tai apytiksliai gali-ma, kai jos energijos pokytis yra ymiai maesnis u visos sistemos mechaninenergij:

W W .

Sistema gali bti pusiausvyros bsenos. Tuomet jos kinetinenergija lygi nuliui. Jei-gu, esant maam jgos poveikiui, sistema praranda pusiausvyr ir vl j grta, tokia

pusiausvyra yra pastovi. Jeigu esant maam poveikiui sistema praranda pusiausvyrne-grtamai, tai bsena yra nepastovi (nestabili).

Mechanins energijos tverms dsnis apibdina konservatyvisistempusiausvyros

slygas. Stabilios pusiausvyros bsenos sistema turi potencins energijos minimum, onestabilios pusiausvyros bsenos potencins energijos maksimum.

1.11. Absoliuiai tampriir netampriknsmgiai

Smgiai, kurimetu knkinetinenergija pavirsta tik kitas mechanines energijas(pvz., potencin) yra vadinami absoliuiai tamprs. io smgio metu kno kinetinenergijatampa tamprios deformacijos potencine energija. Knams gijus pradinform, tamprios de-formacijos potencinenergija vl tampa kinetine energija. Knai lekia vienas nuo kito grei-iais ir kryptimis, nulemtomis knsistemos energijos ir judesio kiekio (impulso) tvermsdsni. Absoliuiai netampraus (plastiko) smgio metu knkinetinenergija tampa knvidine energija. Po netampraus smgio knai juda kartu arba yra rimties bvio. Absoliu-iai netampraus smgio metu tinka tik judesio kiekio (impulso) tverms dsnis. Mechaninsenergijos tverms dsnis netinka. Tinka tik visrienergijos tverms dsnis.

Panagrinsime absoliuiai netamprsmg. Tarkim, dalelimass m1ir m

2. Jgrei-

iai iki smgio 10 ir 20 .ios dalels sudaro udar sistem. Pagal impulso tvermsdsn, impulssuma prie smgturi bti lygi impulssumai po smgio:

1 10 2 20 2 1 1 2m m m m m m + = + = + ( )

arba

1 10 2 20

1 2

m m

m m

+ =

+, (1.11.1)

( 1 2 = = , nes knai po smgio juda kartu).Dabar inagrinsime absoliuiai tampr smg. Knai yra rutulio formos. Tarkim,

smgis yra centrinis (bendra normal besilieianius pavirius eina per kn inercijos(mass) centrus). Centrinis smgis yra tada, jeigu:

1) knai juda prieprieiais,


27/137

26

2) vienas rutulys pasiveja kit.Tarkime, kad: a) rutuliai sudaro udarsistem, b) jie nesisuka. Po smgio rutuli

greiiai 1 ir 2 . Paraom energijos ir impulso (judesio kiekio) tverms dsnius:2 2 2 2

1 10 2 20 1 1 2 2

2 2 2 2

m m m m

+ = +

, (1.11.2)

1 10 2 20 1 1 2 2m m m m + = +

. (1.11.3)

(1.11.2) padauginame i 2 ir narius su 1m perkeliame kairpus, o narius su 2m - deinpus:

2 2 2 21 10 1 1 2 2 2 20m m m m =

,

arba

1 10 1 10 1 2 2 20 2 20m m + = + ( )( ) ( )( ) . (1.11.4)

(1.11.3) perraom taip:

1 10 1 2 2 20m m = ( ) ( ) . (1.11.5)

Daliname (1.11.4) i (1.11.5):

10 1 2 20

+ = + . (1.11.6)

Padauginame (1.11.6) i m2, atimame (1.11.5) ir gauname 1

:

2 20 1 2 101

1 2

2m m m

m m

+ =

+( )

. (1.11.7)

Padauginame (1.11.6) i 1m ir sudjsu (1.11.5) gauname:

1 10 2 1 202

1 2

2m m m

m m

+ =

+( )

. (1.11.8)

Jeigu 1 2m m= , tai 1 20 =

ir 2 10 =

.

Jei antro rutulio mas 2m = , tuomet 1 20 102 =

, 2 20 =

, t.y. jeigu antrasrutulys prie smgjudjo greiiu 20

,tai ir po smgio jis juda greiiu 20

.


28/137

27

TRAUKA. LAUKO TEORIJOS ELEMENTAI

1.12. Visuotinis traukos dsnis

Senovje buvo manoma, kad emyra visatos centras, o visos planetos ir vaig-ds sukasi apie j. Tik XVI amiaus pradioje lenkmokslininkas N. Kopernikas sukrSauls sistemos (heliocentrin) model, kurio centre buvo Saul, o visos planetos sukosiapie j. Tuo metu tai atrodnetiktinai. Tik XVII amiaus pradioje mokslininkai pradjotikti heliocentriniu modeliu. J. Kepleris apibendrino bei patikslino to meto astronominiustyrimus ir nustattris dsnius, apraanius planetjudjimapie Saul:

- planetos skrieja apie Saulelipsmis, kuriviename idinyje yra Saul;- spindulys vektorius, ivestas i Sauls planet, per vienodus laiko tarpus nubria

vienodus plotus;

- planetapsisukimo apie Saulperiodkvadratai santykiauja kaip ir jorbitdidi-jpusaikubai.ie dsniai tinka visoje visatoje.Po to I. Niutonas 1683 metais atrado visuotintraukos dsn: du materialieji takai

traukia vienas kitjga, proporcinga jmasms m1ir m

2ir atvirkiai proporcinga atstumotarp jkvadratui r2. i jga yra vadinama gravitacine, arba visuotine traukos jga:

212

m mF G

r

=

, (1.12.1)

ia G gravitacijos konstanta. Ji savo skaitine verte yra lygi jgai, kuria vienas kittrau-kia du materialieji takai, kurikiekvieno masyra lygi vienam kilogramui, o atstumastarp jyra vienas metras. Dabartiniais metodais imatuota gravitacinkonstanta yra lygi

11 2 26,6720 10 /G N m kg = . Gravitacins traukos dsnis ivestas materialiesiems ta-kams, taiau jis tinka dangaus knams, nes atstumai tarp jyra daug kartdidesni negu jmatmenys. Jeigu dsnnorime pritaikyti arti vienas kito esantiems knams, tai i pradireikia tuos knus padalyti materialiuosius takus, apskaiiuoti sveikos tarp jjgas ir,ias jgas sudjus, gauti atstojamjvisuotintraukos jg.

1.13. Kno svoris ir sunkis

Ties ems paviriumi kiekvienknveikia sunkio jga. Atskaitos sistemoje, susi-jusioje su eme, sunkio jga yra tokia:

P mg=

, (1.13.1)

ia g

laisvojo kritimo pagreitis, m kno mas. Dl ems sukimosi jos spindulys tiespoliais yra 6357 km, o ties pusiauju 6378 km. is ems spinduliskirtumas ir centrinjga keiia laisvojo kritimo pagreit. Ties poliais 9,832g= m/s2, o ties pusiauju 9,780g= m/s2. Skaiiavimams naudojama laisvojo kritimo pagreiio vert, esanti 45geografinje


29/137

28

platumoje, yra 9,81 m/s2. Didjant atstumui tarp ems paviriaus ir kno sunkio jgamaja.

Be sunkio jgos, dar yra kno svoris. Kno svoriu yra vadinama jga, kuria knas,veikiamas ems traukos, slegia atramarba pakab, sulaikanias knnuo laisvojo kri-timo. Knas yra veikiamas svorio jgos, kai jis juda su pagreiiu, nelygiu laisvojo kritimo

pagreiiui. Jeigu knveikia tik sunkio jga, tai tokia kno bsena yra vadinama nesvaru-mu. Jeigu knas juda su pagreiiu, tai tuokart :

N P ma+ =

, (1.13.2)

ia N

papildomai knveikianti jga.Kno svoris:

P N P ma mg ma m g a = = = = ( )

.

Jeigu knas yra rimties bvyje arba juda tiesiai ir tolygiai, tai tuomet 0a=

ir

P mg =

. Knui gravitaciniame lauke judant laisvai a g=

ir 0P =

, t.y. knas yra nesva-rumo bsenos. i bsena stebima kosminiuose laivuose, laisvai judaniuose kosmose.Gravitacinis laukas, susikrs tarp kn, yra materijos egzistavimo forma. Kngra-

vitaciniame lauke veikia gravitacins traukos jga:

F mg=

, (1.13.3)

ia g

gravitacinio lauko stipris. Jis nepriklauso nuo jame esanio kno mass. Gravi-tacinio lauko stipris savo skaitine verte yra lygus jgai, kuria gravitacinis laukas veikiavienetins mass takinkn, ir jo kryptis sutampa su veikianios jgos kryptimi. Gravi-tacinis laukas yra vienalytis, jeigu jo stipris visuose takuose yra vienodas.

Kita gravitacinio lauko charakteristika yra jo potencialas:

/pW m = , ( 1.13.4)

ia pW ir mtakinio kno, esanio gravitaciniame lauke, atitinkamai potencinenergija irmas. Gravitacinio lauko potencialas yra skaliaras ir savo skaitine verte yra lygus vieneti-ns mass takinio kno potencinei energijai.

Ryys tarp gravitacinio lauko stiprio ir potencialo yra toks:

g grad=

. (1.13.5)

Minuso enklas rodo, kad gravitacinio lauko stipris yra nukreiptas potencialo ma-jimo kryptimi.

1.14. Kosminiai greiiai

Greiiai, kurie yra suteikiami raketoms, kad jos nuskristkosmos, yra vadinamikosminiais. Pirmuoju kosminiu greiiu yra vadinamas toks minimalus greitis, kurgiju-si raketa skrieja aplink emapskritimine orbita. Kad raketa skrietpastovaus kreiviospinduliu, ji turi gyti statmenjpagreit 21 /r . ems gravitacintraukos jga, pagalII Niutono dsn, tokia:


30/137

29

2 21/ /GmM r m r = . (1.14.1)

Raketai esant ties ems paviriumi, jos sunkio jga lygi2

mMP G

R= , arba

P mg= . I iformuligauname, kad:

2

Mg G

R= . (1.14.2)

ra(1.14.2) (1.14.1) gauname pirmjkosmingreit:

1 7,9gR = = km/s, (1.14.3)

ia m raketos mas, M ems mas, R ems spindulys, r raketos atstumas ikiems centro, 1 pirmasis kosminis greitis.

Esant raketos greiiui didesniam u pirmjkosmingreitjos orbita i apskritimi-ns tampa elipsine. Takas, kuriame raketa yra toliausiai nuo ems, vadinamas apog-jumi, o kuriame ariausiai, perigjumi.

Antrasis kosminis greitis savo dydiu turi viryti tminimalivert, kuomet raketaveikt ems trauk ir tapt Sauls palydove, t.y. raketos orbita tapt parabole. Taivyksta, kai raketos potencinenergija ant ems paviriaus yra lygi jai suteiktai kine-tinei energijai, t.y. jos kinetinenergija turi bti lygi darbui, kurreikia atlikti nugalintems gravitacins traukos jgas raketai tampant Sauls palydove:

22

22

R

mM GmM mG dr

Rr

= =

, (1.14.4)

ia 2 antrasis kosminis greitis. I (1.14.2) ir (1.14.4) gauname:

2 2 11,2gR = = km/s. (1.14.5).

Treiuoju kosminiu greiiu vadinamas toks minimalus raketos greitis, kuomet rake-ta, veikusi Sauls trauk, palieka Sauls sistem. Jis savo skaitine verte yra lygus 16,7km/s.


31/137

30

KIETOJO KNO MECHANIKA

1.15. Kietojo kno sukamasis judjimas. Jgos momentas

Judjimas yra vadinamas sukamuoju, kai visi kno takai juda apskritimais, ku-ricentrai yra vienoje tiesje sukimosi ayje, o iapskritimploktumos yra ly-giagreios arba sutampa. Sukamajame judjime jgos analogas yra jgos (sukimo)

momentas, o mass analogas inercijosmomentas. Kai knveikia dvi lygiagre-ios, prieingkrypi, taiau viena nuokitos nutolusios atstumu jgos (1.15.1

pav.), jos yra vadinamos jgdvejetu, oatstumas - dvejeto petimi. Jgdvejeto

sukamasis veikimas apibdinamas jgosmomentu. Jis yra vektorius ir lygus jgosF

ir peties

vektorinei sandaugai:

M lF =

. (1.15.1)

Jgos momento kryptis sutampa su deininio sraigto slinkimo kryptimi, kai pas-tarasis sukasi jgos veikimo kryptimi. Jgos momento modulis yra toks (pagal dviejvektorivektorins sandaugos apibrim):

sinM Fl= , (1.15.2)

ia kampas tarp jgos F

ir peties l

vek-tori.

Sakykim, turime kn, kurio sukimo-si ais 00/tvirtinta, pvz., guoliuose (1.15.2

pav.). KntakeAveikia jga F

, statme-na spinduliui r (= 90). Tuomet ayje at-siras atoveikio jga 1F

, ir knas suksis apie

a00/

jgdvejeto dka. Jgos momentomodulis lygus:

M F r= , (1.15.3)

ia r atstumas nuo sukimosi aies iki ta-koA.

1.15.1 pav.

1.15.2 pav.

1F


32/137

31

1.16. Besisukanio kno kinetinenergija. Inercijos momentas. Pilnutinenergija

Besisukantis apie a00/knas sudarytas i daug labai maelement, kurimass

1 2, ,..

nm m m (1.15.2 pav.). ie elementai juda linijiniais greiiais

1 2, ,...

n . Besisukanio

kno kinetinenergija lygi viselementkinetinienergijsumai:2 22 2

1 1 2 2

1

...2 2 2 2

nn n i i

ki

m mm mW

=

= + + + = .

inome, kad tarp kampinio ir linijinio greiigalioja priklausomyb:

1 1 2 2; ;... n nr r r = = = .

Tuomet

2 22 2 221 1

1

...2 2 2

nn n

k i ii

m rm rW m r

=

= + + = . (1.16.1)

Takinio elemento mass ir nuotolio iki sukimosi aies kvadrato sandauga mr2va-dinama jo inercijos momentuI

inagrinjamos sukimosi aies atvilgiu. Vadinasi, (1.16.1)

lygybje suma reikia viso kno inercijos moment:

2

1

n

i ii

I m r=

= , (1.16.2)

o (1.16.1) formultampa tokia:

2 / 2kW I= (1.16.3)

I ia matome, kad inercijos momentas, esant sukamajam judjimui, atitinkamas, t.y. yra jos analogas, o kampinis greitis linijingreit. Knas, kurio masmirinercijos momentas I, kartu su sukimusi atlieka slenkamjjudes. Tuomet jo pilnutinkinetinenergija tokia:

2 2

2 2km I

W

= + (1.16.4)

Tai pilnutins energijos iraika.

1.17. Pagrindinsukamojo judjimo dinamikos lygtis

Tai ryys tarp knveikianio sukimo momento, kno inercijos momento ir jo kam-pinio pagreiio. Turime kn, galintsuktis apie nejudama00/ (Pav.1.15. 2). Jo -tjelementliestins kryptimi veikia jgaF

i. Pritaikome i-tajam elementui II Niutono dsn:

i i iF m a= , arba


33/137

32

i i iF m r= , nes i ia r= ,

ia ia i tojo elemento linijinis pagreitis, kno kampinis pagreitis.Padauginame abi puses i ir:

2i i i iF r m r= arba .i iM I=

Susumav visus elementus, gausime pagrindin kietojo kno sukimosi dinamikoslygt:

1 1

n n

i ii i

M I= =

= .

M I= arba .M

I = (1.17.1)

Kampinis pagreitis yra tiesiog proporcingas kno jgos (sukimo) momentui iratvirkiai proporcingas pastarojo inercijos momentui. Taiau inercijos momentasesant sukamajam judjimui skiriasi nuo mass esant slenkamajam judjimui tuo, kadinercijos momentas priklauso nuo atstumo iki sukimosi aies, o masklasikinje me-

chanikoje yra nekintamas kno parametras.Jei knas sukasi apie a 0/ 0

1/, neinani per

jo mass centr(1.17.1 pav.), jo inercijos momentastoks (Heigenso ir teinerio teorema):

2

c

I I md= + , (1.17.2)

ia cI - kno inercijos momentas 100aies, einan-

ios per kno mass centrir lygiagreios aiai / /10 0 ,atvilgiu; d atstumas tarp ai / /10 0 ir 100 ,

2md kno inercijos momentas aies / /10 0 atvilgiu, jeiguvisa kno masbtsutelkta jo mass centre.

1.18. Judesio kiekio momento tverms dsnis

Turime apie a /00 besisukant kn (1.15.2 pav.). Jo i-tasis takinis elementas,esantis atstumu irnuo sukimosi aies, turi linijingreit i . Tokio elemento judesio kiekis

i im . judesio kiekpadauginame i ri. Gausime judesio kiekio (impulso) moment:

2i i i i i i iL m r m r I= = = .

Judesio kiekio momentas yra vektorinis dydis, kurio kryptis sutampa su kampiniogreiio vektoriaus kryptimi. Viso kietojo kno judesio kiekio momentas yra lygus visjsudaranitakinielementjudesio kiekio momentsumai:

1.17.1 pav.0

/ 0

0/ 0

1

d


34/137

33

1 1

n n

i ii i

L L I I= =

= = = . (1.18.1)Turime udarjknsistem. Pagrindinje kietojo kno sukimosi dinamikos lygtyje

raome kampinio pagreiio iraik:

0M I It

= = arba 0Mt I I L= = . (1.18.2)

Matome, kad jgos momento impulsasMtyra lygus judesio kiekio momento poky-iui. I (1.18.2) lygties matome, kad jei udarsistemveikianiiorini jgsukimomomentas 0,M= tai jos judesio kiekio momentas sukimosi aies atvilgiu nekinta. Tai

judesio kiekio momento tverms dsnis:

I const = . (1.18.3)

I ia matome, kad jeigu sistema keiia savo inercijos moment, tai keiiasi ir kam-pinis greitis taip, kad jsandauga btpastovi.

1.19. Darbas ir galia esant sukamajam judjimui

Rasime darbo matematiniraikesant sukamajam judjimui. Knas, veikiamas j-gos F( )

, take B sukasi apie a OO , sutampanisu staiakamps Dekarto atskaitos

sistemos z aimi (1.19.1 pav.). Atstumas tarp tako B ir sukimosi aies OO yra r

. ino-me, kad jgos F( )

atliktas darbas yra toks:

dA F dr = ( ) . (1.19.1)

Pasisukus knui labai mau kampu d , tako B poslinkis lygus sinds r d rd = ir (1.19.1) tampa:

sindA F r d = ( ) (1.19.2)

Kadangi sinF r M = ( ) ( ) , tai(1.19.2) tampa:

dA M d = ( ) (1.19.3)

Pasisukus knui kampu d , j-gos atliktas darbas yra lygus sukimomomento M ir poskio kampo d sandaugai. Jei knas pasisuka kampu , tuokart visas darbas yra toks:

0

A M d

=

( ) . (1.19.4)

1.19.1 pav.


35/137

34

Norint surasti darbpagal iiraik, reikia inoti sukimo momento priklausomybnuo poskio kampo. Galia, vykstant sukamajam, kaip ir tiesiaeigiam judjimui, yra lygi:

dAP

dt= . (1.19.5)

ra(1.19.5) iraik(1.19.3) gauname:

( ) ( )M d

P Mdt

= = . (1.19.6)

Jeigu knveikianti jga yra pastovaus dydio, tai jos ivystoma galia tokia:

dP M M

dt

= = , (1.19.7)

t.y. galia esant sukamajam judjimui yra lygi knveikianio sukimo momento ir kampi-

nio greiio sandaugai.

1.20. Laisvosios ays. Giroskopas

Ays, apie kurias knas, sukdamasis neveikiant iorinms jgoms, nekeiia savo orientaci-jos, yra vadinamos laisvosiomis aimis. inoma, kad kiekvienas knas turi tris laisvsias ais. Josyra tarpusavyje statmenos ir susikerta viename take kno mass centre. Pavyzdiui, vienalyiocilindro viena laisvoji ais eina jo simetrijos aimi, o kitos dvi jai yra statmenos, staiakampiogretasienio pro prieais viena kitesaniploktumcentrus. Laisvosios ays, kuriatvilgiukno inercijos momentai yra didiausi arba maiausi, yra vadinamos pastoviomis, o ays, kuriatvilgiu inercijos momentai yra vidutins verts, nepastoviomis. Staiakampgretasiennume-tus taip, kad jis suktsi, jis skries sukdamasis apie pastovisias ais (1.20.1 pav.).

Antras bandymas: prie strypo galo pritvirtiname virvutir sukame japie vertikalia, einaniper strypo simetrijos a 00 . Pasiekus strypo sukimosi greiiui tam tikrvert, strypas pakils auktyn ir prads suktis apie vertikalia, einaniper strypo vidurir statmenstrypo simetrijos aiai. Jeigu virvutatsargiai atkabinsime nuo sukimo taiso,tai strypo sukimosi ais nekeis savo padties (1.20.2 pav.).

1.20.1 pav. 1.20.2 pav.


36/137

35

Treias bandymas: sukame rat, kurio sukimosi aies abu galai tvirtinti. Kai pa-siekiamas pakankamas sukimosi greitis, vienaies galatpalaiduojame. Ratas tam tikrlaiksuksis nekeisdamas savo sukimosi aies padties. Masyviknsukimosi apie pa-stovias ais efektas yra plaiai naudojamas technikoje. Vienas i panaudojamrengini

giroskopas. Tai masyvus knas, besisukantis apie pastovija. Giroskopai plaiai nau-dojami gaminant laiv, lktuvautopilotus ir kt.

1.21. Kndeformacija

Kndeformacija, inykstanti nustojus knveikti jga, yra vadinama tamprioji de-formacija. Kno deformacija, pasiliekanti inykus knveikianiai jgai, yra vadinama

plastine deformacija. Daniausiai deformacijos visos yra plastins, taiau jeigu deformaci-jos yra neymios, tai jas galime vadinti tampriosiomis. Deformacijos pagal kno matmen

kitimyra skirstomos tempimo (suspaudimo) ir lyties. Paimamevienalytilgio lstryp. Jo skerspjvio plotas yra S(1.21.1 pav.). Vie-njo galpritvirtiname, kitveikiame jga F

. Veikiamas ios jgos,

strypas pailgja dydiu l . Jga, tenkanti skerspjvio ploto vienetui,yra vadinama tempiu:

F

S = (1.21.1)

tempio matavimo vienetas SI yra paskalis (Pa). Kai knvei-kianti jga yra statmena veikiamam paviriui, tempis yra normalinis(statmenasis), o kai ji sutampa su paviriaus liestine, tangentinis(liestinis).

Deformacija yra vertinama santykine deformacija . Esant iilginei deformacijai,

l

l

= , (1.21.2)

o esant skersinei deformacijai,

d

d

= , (1.21.3)

ia d strypo skersmuo. Anglmokslininkas R.Hukas nustat, kad tempis yra proporcin-gas santykinei deformacijai:

E = , (1.21.4)

iaE Jungo modulis. Jis savo skaitine verte lygus tempiui, kuriam esant knas pailgjadvigubai (santykindeformacija lygi vienetui).

I (1.21.1), (1.21.2) ir (1.21.4) gauname, kad

l Fl E ES = = = arba lF ES ES k ll= = = , (1.21.5)

1.21.1.pav.


37/137

36

ia k kno tamprumo koeficientas. I(1.21.5) matome, kad kno pailgjimasyra proporcingas knveikianiai jgai.Tai tinka maoms deformacijoms. Di-djant deformacijai, is proporcingumas

inyksta. Rytarp tempio ir santykinsdeformacijos nusako tempidiagrama(1.21.2 pav.). tempis, iki kurio galiojaHuko dsnis, yra vadinamas propor-cingumo riba p

(takas A). Toliaudidinant tempiki tamprumo ribos t (takas B), proporcingumas inyksta,taiau deformacija yra tampri nusto-

jus veikti deformuojaniai jgai, knasgrta pradinpadt. Virijus tampru-mo rib, kne atsiranda liekamosiosdeformacijos, t.y. nustojus veikti kndeformuojaniai jgai, knas grta

pradinpadtatkarpa CF, o ne kreive CO. Kai liekamoji deformacija yra apie 0,2%, pasie-kiama takumo riba tak (takas C). Priklausomybs ( )f = dalis CD yra vadinama taku-mo sritimi (ia vyksta plastindeformacija). Takumo srities plotis priklauso nuo mediagossavybi. Mediagos, kurii sritis labai siaura, yra vadinamos trapiomis, o mediagos, kurii sritis plati, plastikomis. Didiausias tempis, kuriam esant mediaga dar nesuyra, yravadinama atsparumo riba

at (takas E). tempidiagrama priklauso nuo iorinislyg,

pvz., temperatros ir kt. tempiui didjant staigiai, kai kuriuose knuose gali vykti tampriojideformacija, o jeigu ltai plastin.1.21.3 pav. pavaizduota lyties

deformacija. Brinyje pavaizduotaskubas, kurio pagrindas AD pritvir-tintas, o virus BC, veikiamas jgosF, pasislenka padtB

1C

1, t.y. kubas

deformuojasi. ia susidaro tangentinis(liestinis) tempis, jrandame kubo pa-viriBC veikianijgF padalijito paviriaus ploto S:

F

S = . (1.21.6)

Pritaikome Huko dsn:

xG G

x

= = , (1.21.7)

ia G- lyties modulis, x kubo virutinio paviriaus poslinkis,x kubo kratins ilgis,

santykindeformacija. I 1.21.3 pav. matyti, kad esant maiems poslinkiams

1.21.3 pav.

1.21.2 pav.


38/137

37

x x tg = . (1.21.8)

Iraik(1.21.8) ra(1.21.7), gauname:

FGS

=

, (1.21.9)

ia lyties kampas. Naudodamiesi ia iraika, apibriame lyties modul. Jis savoskaitine verte yra lygus vidiniam tangentiniam (liestiniam) tempiui, kai lyties kampasyra lygus vienam radianui.


39/137

38

HIDRODINAMIKA

1.22. Slgis dujose ir skysiuose

Realiosiose dujose ir skysiuose tarp molekuliveikia stmos ir traukos jgos. Ta-iau kai dujos ar skysiai yra rimties bvio, ias jgas galima neatsivelgti, t.y. nagrintiidealjatvej. Nagrinjant idealiuosius skysius ir dujas laikomasi teiginio, kad jie yranespds, t.y. tankis visomis kryptimis yra vienodas ir nekinta laike. Molekuls juda vi-sas puses, perduodamos savo impulsus kaimynms. Jga, veikianti statmenai paviriaus

ploto vienet, yra vadinama slgiu:

Fp

S= . (1.22.1)

Slgio matavimo vienetas tarptautinje vienetsistemoje SI yra paskalis (Pa). Tai toksslgis, kursukelia vieno niutono jga, statmenai veikianti vieno kvadratinio metro plot( 21 1 /Pa N m= ). Taip pat yra nesisteminiai slgio matavimo vienetai: baras, atmosfera, kt.Galioja ryys 3 5 2 31 10 10 10 10 750.2 . . 1 .bar mbar Pa kPa hPa mmHg st tech at = = = = = .

Skysiui arba dujoms esant rimties bvio, iorinis slgis visas puses persiduoda vieno-dai (Paskalio dsnis). Slgis, kursukelia skysio (duj) vertikalaus stulpo svoris, nukreiptaspagrindo horizontalpaviriaus ploto vienet, yra vadinamas hidrostatiniu slgiu:

P mg V g Sh gp gh

S S S S

= = = = = , (1.22.2)

ia , , , ,P m V h atitinkamai skysio (duj) stulpo svoris, mas, tris, auktis ir tankis, g laisvojo kritimo pagreitis. Pagal formul(1.22.2) galime daryti ivad, kad hidrostatinisslgis tiesiog proporcingas stulpo aukiui.

Kn, panardint skyst (dujas), veikia auktyn kelianioji jga. Ji savo skaitineverte yra lygi kno istumto skysio (duj) svoriui (Archimedo dsnis):

AF gV= , (1.22.3)

ia - skysio (duj) tankis, V kno tris.

1.23. Srovs tolydumo ir Bernulio lygtys

Kreiv, kurios kiekvieno tako liestin laiko momentu t sutampa su skysio dale-ls greiio

kryptimi tame take, yra vadinama srovs linija. Skysio srov, kurios pa-

rametrai laikui bgant nekinta (pvz., = const,p= constir t.t.), vadinama stacionaria. iuoatveju srovs linijos sutampa su skysio dalelijudjimo trajektorija.

Srovs vamzdelis tai tekanio skysio dalis, apribota paviriaus, kursudaro srovslinijos, einanios per visus mao udaro kontro tekaniame skystyje takus. Skystis srovs

vamzdelyje sudaro iurkl. Srovs vamzdelio forma nekinta, kai tekjimas nusistovi.


40/137

39

Plono srovs vamzdelio (1.23.1 pav.) skerspjvyje S visos skysio dalels juda tuopaiu greiiu. Tuomet pro skerspjvSper t teka S t skysio tris. Per laiko vienet S .Turime kintamo diametro srovs vamzdel(1.23.2 pav.). Tarkim, skystis nesusispau-dia, t.y. visur jo tankis vienodas. Tuomet skysio kiekis, pratekjs pro skerspjvS

2, turi

bti lygus skysio kiekiui, pratekjusiam pro skerspjv1

S per tpatlaikt:1 1 2 2

S t S t = .Per laiko vienet 1 1 2 2S S = . Vadinasi, tame paiame srovs vamzdelyje galioja:

S const = . (1.23.1)Tai srovs tolydumo lygtis. Pagal j, horizontaliame srovs vamzdelyje didesnio

skerspjvio vietoje greitis maesnis, o slgis didesnis, lyginant su maesnio skerspjviovieta. i lygtis tinka visoms dujoms bei skysiams, kai j judjimo greitis maesnis ugarso greit. (iuo atveju galima teigti, kad visoje erdvje tankis nekinta).

1.23.1 pav. 1.23.2 pav.

Skystis, kurio vidin trintis lygi 0, laikomas idealiuoju. Tame paiame plonamesrovs vamzdelyje (1.23.3 pav.) per laik t skerspjvis S

1pasislenka padt /1S , o

/2 2S S . Pagal srovs tolygumo lygt, 1 2 .V V V = = Kiekvienos dalels energija,

kuriji turi dl visuotins ems traukos, susideda i kinetins ir potencins energij.Sakysim, kad V labai maas. Tuomet kiekvienutrichuoto trelio takgalima ap-rayti tuo paiu slgiup,greiiu ir aukiu h. Tuomet energijos prieaugis:

2 22 1

2 12 2

V VE Vgh Vgh

= + +

, (1.23.2)

ia - skysio tankis.Idealiajame skystyje trinties nra.

Slgis srovs vamzdelio sieneles dar-

bo neatlieka (nra poslinkio). Darbatlieka tik jga, pastumianti /1 1S S ir /2 2.S S is darbas yra toks:

1 1 1 2 2 2 1 2 ,A p S p S p p V= = ( ) (1.23.3)

Jga F2, veikianti priein-

ga skysio tkmei kryptimi, at-lieka jo atvilgiu neigiam darb:

1 2 1 2A A A p V p V= + = .1.23.3 pav.

1p

2p

1S

/

1S

1l1E

1V

2V

2S

1h

2h

/

2S

2l

2E


41/137

40

.E A = Kadangi (1.23.2) ir (1.23.3) kairiosios puss lygios, tai ir jdeiniosios pusslygios. Perkeliame dydius su tuo paiu indeksu vienpusir viskpadaliname i :V

2 21 2

1 2 2.2 2gh p gh p

+ + = + +

I ia iplaukia Bernulio lygtis: idealiojo skysio stacionarios iurkls srovei tinkaslyga:

2

2 gh p const

+ + = , (1.23.4)

ia2

2

hidrodinaminis slgis, gh hidrostatinis slgis, p statinis slgis.

i lygtis, nors gauta idealiajam skysiui, gerai tinka ir realiesiems skysiams, kurividintrintis maa. Horizontaliame srovs vamzdelyje

2 21 2

1 22 2p p + = + .

Statinio ir hidrodinaminio slgio suma yra vadinama pilnutiniu slgiu:2

02p p

+ = . (1.23.5)

Skysio (duj) statinio slgio ir j srauto greiio atvirktin priklausomyb pa-naudojama skysio ar dujtekjimo greiimatuokliir siurbligamyboje.

Dujsrauto greiiui matuoti naudojamasBrantlio Pito vamzdelis (1.24 pav.). Jsudarodu vamzdeliai, vienas i j kitas kit, ir jvieni galai sulituoti. Kiti jgalai prijungti priemanometro. Ioriniame vamzdelyje onuoseyra skyluts. Vidinis vamzdelis matuoja pilnu-tin slg, iorinis statin slg. Manometrasrodo islgiskirtum:

0 skp p gh = . (1.23.6)

I (1.23.5)gauname:

2

0 2p p

= , (1.23.7)

o i (1.23.7) ir (1.23.6) gauname:2 / 2skgh = arba

2 skgh =

. (1.23.8)

1.23.4 pav.

p

p


42/137

41

Statinio slgio sumajimo vie-tose, kur srauto greitis didesnis, efektu

pagrstas dujsiurbliveikimas. Siur-blys veikia taip. Vamzdio, kuriuo tekavanduo, galas yra susiaurjs. Dl tovandens greitis ioje vietoje yra dides-nis, o slgis maesnis negu likusiojevamzdio dalyje (1.25 pav.). staiusi susiaurint vamzdio dal kitvamzd, statymo vietoje oras iretja.itokiu siurbliu galima gauti apie 7,5 karto maesnslgnegu atmosferos slgis.

Bernulio lygtis taip pat leidia apskaiiuoti skysio, itekanio pro skyl, esanital-pos one arba dugne. iuo atveju skylyra skysio talpos one (1.26 pav.). Skysio talposskerspjvio plotas S

1,o skyls plotas S

2. Skysio judjimo greiiai atitinkamai, 1 ir 2 .

Skyls centro auktis h2, o skysio viraus auktis h1.Uraome Bernulio lygt:2 21 2

1 1 2 22 2gh p gh p

+ + = + + .

Statiniai slgiai apytiksliaip1irp

2yra lygs 1 2p p p= = . Tuomet

2 21 2

1 22 2gh gh

+ = + .

Padalijame abi puses i tankio :2 21 2

1 22 2gh gh

+ = + .

Uraome tolydumo lygt abiems pa-viriams

1 1 2 2S S = .

I ia

1 2

2 1

S

S

=

.

Jei galioja slyga: 1 2S S , tuomet 2 1 , ir nar2

1

2

galime atmesti:

22

1 22gh gh

= + .

Perraome:

22 1 22g h h = ( ) .

1.23.5 pav.

1.23.6 pav.


43/137

42

Ir itekanio pro skylskysio greitis toks:

2 1 22 ( )g h h = . (1.23.9)

Jeigu skylyra talpos dugne, tuomet

2 12gh = . (1.23.10).Gauta formulyra vadinama Torielio formule.Tekanio skysio kinetin energija yra panaudojama

skysisiurbliams sukti. Vieno i j smginio siurblio vei-kimo schema pateikta 1.27 pav. Siurblys veikia taip. Vandenleidiame vamzdiu 2 emyn. Vandeniui pasiekus maksimalgreit, udarome sklend3. Dl inercijos skystis kyla auktynir atidaro sklend 4. Vanduo kyla tol, kol jo kinetinenergi-

ja yra didesnu potencinenergij. Energijoms isilyginus

sklend4 usidaro, o sklend3 atsidaro. Vanduo vl teka e-myn ir t.t. iuo siurbliu galime pakelti vandenaukiau vandens lygio vandens telkinyje.

1.24. Klampa

Tarp skysio sluoksni, judani skirtingais greiiais, pasireikia vidin trintis klampa. Sluoksnis, judantis greiiau, veria greiiau judti liau judantsluoksn. Liaujudantis sluoksnis stabdo greiiau judantsluoksn. Atsirandanios poveikio jgos yra nu-kreiptos sluoksniliestins kryptimi. ios jgos yra vadinamos vidins trinties, arba klam-

pos, jgomis. Niutonas nustat, kad i jga yra proporcinga skysio sluoksni judjimogreiigradientui ir sluoksnisusilietimo plotui:

F S

=

, (1.24.1)

ia

greiigradientas, S sluoksnislyio plotas, dinaminklampa (1.24.1 pav.).

Dinamin klampa savo skaitine verte yralygi vidins trinties jgai, kuri veikia tarp

skysio sluoksni, kurisusilietimo plotas1m2 ir greiigradientas tarp jyra lygusvienetui. Dinamin klampa SI sistemojematuojama Pa s (paskalsekund), CGSsistemoje puazas (P), 10 1P Pa s= .

.

F

S =

,2

2. .

N Ns Pa s

m mms m

= =

(1.24.2)

Kinematinklampa dinaminklampa, padalinta i skysio tankio. SI sistemoje jomatavimo vienetas m2/s. CGS stoksas (St): 104St = 1m2/s.

1.23.7 pav.

1.24.1 pav.


44/137

43

Didjant temperatrai, skysiklampa maja, o duj didja. Tai rodo, kad skysiaiir dujos turi skirtingus trinties mechanizmus.

Dujir skysiklampai matuoti danai naudo-jami Stokso ir Puazeilio metodai.

Stokso metodo esm tokia. cilindro formosinde esantskystmetamas rutuliukas (1.24.2 pav.).Indo spindulys R yra daug kartdidesnis u rutuliukospindul r. Rutuliuk veikia trys jgos: sunkio jga

P, nukreipta emyn, ir trinties ir Archimedo jgos,nukreiptos auktyn. (1.22.3) ra rutuliuko trioiraikgauname Archimedo jgos iraik:

34

3AF gV g r = = , (1.24.3)

ia - skysio, kuriame krinta rutuliukas, tankis.Rutuliukveikianti sunkio jga yra tokia:

34

3P mg r g= = . (1.24.4)

Trinties jga randama pagal Stokso formul:

6F r= , (1.24.5)

ia rutuliuko kritimo greitis. Prajus tam tikram laiko tarpui nuo to, kai rutuliukaskrito skyst, rutuliukas pradeda kristi pastoviu greiiu. Tuomet sunkio jga yra lygi Ar-chimedo ir trinties jgsumai:

AP F F= + (1.24.6)

(1.24.6) rajgiraikas gauname:

3 34 4 63 3

r g r g r = + .

Abi ios lygties puses padaugini 3 2 r ir atlikkitus veiksmus gauname:

2

2 9r g = ( ) .I ia ireikiame dinaminklamp:

22

9

gr =

( )

. (1.24.7)

Puazeilio metodo esmatsispindi 1.24.3 paveiksle. Kapilia-ru dl slgiskirtumo p teka skystis arba dujos. Kapiliaro ilgisl ir spindulys R. Per laik tpro kapiliarprateka skysio arbadujtris V. Tuomet jdinaminklampa randama pagal iPu-

azeilio formul:

R

p

1.24.3 psv.

1.24.2 pav.


45/137

44

4

8

R t p

Vl

= . (1.24.8)

Prietaisai, kuriais yra matuojama klampa, yra vadinami klampamaiais (visko-

zimetrais).

1.25. Skysitekjimo laminarinis ir turbulentinis reimai

Tekjimas, kuomet skysio sluoksniai vienas su kitu nesimaio, yra vadinamas lami-nariniu. is tekjimas yra stacionarus. Padidjus iurkls greiiui arba padidjus iurklsskerspjviui, tekjimo pobdis gali pakisti. Sluoksniai pradeda maiytis tarpusavyje. Taiturbulentinis tekjimas. Skysio judjimo greitis kinta chaotikai. Tai nestacionarus jud-

jimas. Reinoldsas nustat, kad tekjimo pobdis apibdinamas bedimensiu dydiu:

Re =

, (1.25.1)

ia skysio arba dujtankis, vidutinis srauto greitis, dinaminklampa, l skerspjvio bdingasis parametras (apskritimo spindulys, kvadrato oninkratin),Re Reinoldso skaiius. Reinoldso skaiius parodo, kad, esant tam tikrai jo reikmei,laminarinis tekjimas virsta turbulentiniu. Pvz., apskritame vamzdyje Re = 1000.

Esant skysio laminariniam judjimuiapskritame vamzdyje, jo greitis kinta pagal

parabolindsn(1.25.1 pav.):

2

0 21

rr

R

=

( ) , (1.25.2)

ia 0 srauto greitis vamzdio centre, r

koordinatskersai vamzdio.Ties sienele skysio greitis lygus 0. Pratekjusio apvaliu vamzdiu skysio kiekis per

laiko vienettoks:4

1 2

8

p p RQ

=

( )

, (1.25.3)

ia - vamzdio ilgis. Tai Puazeilio formul. Pagal j, srauto dydis yra proporcin-gas slgio kritimui vamzdio ilgio vienete

( 1 2p p

), vamzdio spindulio ketvirtajam

laipsniui ir atvirkiai proporcingas dina-minei klampai.

Turbulentinje tkmje srauto greitis la-biausiai kinta ties sienelmis, o toliau kintamaiau (1.25.2 pav.).1.25.2 pav.

1.25.1 pav.


46/137

45

1.26. Knjudjimas skysiuose ir dujose

Bet kur kn, judant skystyje, veikia jgos, kuri atstojamoji, sakykime, yraR

(1.26.1 pav.). Jgalima suskaidyti keliamj

P

ir pasiprieinimo .Q

Kaip matome, simetrinknveiks tiktai pasiprieinimo jga. Idealiaja-me skystyje tolygusis kno judjimas vyksta be

pasiprieinimo jgos. Idealusis skystis aptekaknbe pasiprieinimo, nes jo klampa lygi nu-liui. Srovilinijos yra isidsiusios simetrikaitakABir CDatvilgiu (1.26.2 pav.). Takuose

AB slgis didesnis, nes maiau srovs linij, otakuoseDCslgis maesnis negu stacionariameskystyje. Vadinasi, pasiprieinimo bei keliamoji

jga simetrikam knui judant idealiajame skys-tyje lygi nuliui. Pasiprieinimo jga lygi nuliuiir kitokios formos knuose. Judant knui realiame skystyje tai vyksta kitaip. Skysiosluoksnelis prilimpa prie kno ir juda kar-tu, su juo kartu vilkdamas paskui save ki-tus sluoksnius. Kuo sluoksniai toliau nuokno, tuo liau jis juos velka. Susidaroskysio sluoksni judjimo greii gradi-entas. is sluoksnis yra vadinamas pasieniosluoksniu. iame sluoksnyje veikia trinties

jgos, kurios sukelia pasiprieinimo jg.Be to, trinties jgos pakeiia kno ap-

tekjimo pobd. U kno skystis atitrks-ta nuo kno paviriaus, sukeldamas sku-rius (1.26.3 pav.). Skuriai yra nuneamitoliau, ir dl trinties jie isilygina. Skurienergija virsta ilumine. Skurivietojeslgis sumaintas, o tai savo ruotu padidina pasiprieinimo jg. Vadinasi, pasipriei-

nimo jgsukelia trintis tarp skysiosluoksniir slgiskirtumas takuo-

seAB. Pasiprieinimo jgdl slgiskirtumo galima sumainti, paren-kant knui lao form. Tokia formayra suteikiama lktuv sparnams irkitoms dalims.

Keliamoji jga atsiranda dlsrovs linijskirtingtanki(1.26.4

pav.). Jei srovs linij tankiau yraviruje, tai knas juda auktyn, ir

atvirkiai. Optimalisparno formatrado Nikolajus ukovskis 1906 m. Pasiprieinimo

Documents

Fizika 1 dalis, mokomoji medziaga