Fisica

Facoltà di Ingegneria, Architettura e delle Scienze Motorie

Lezione 15 aprile 2013

Architettura (corso magistrale a ciclo unico quinquennale)

Prof. Lanzalone Gaetano

Sommario

• Quantità di moto e Momento Angolare

• Moto di puro rotolamento

• Cenni sulla struttura microscopica della materia

La quantità di moto Data una particella di massa m che si muove con velocità v

Definiamo quantità di moto il vettore : q =mvvm

v mq =

–  È un vettore •  Prodotto di uno scalare positivo, m, per un vettore, . •  Stessa direzione e verso di •  Il modulo è m volte quello di .

–  Le dimensioni: [q]=[m][v]=[M][LT-1] –  Nel SI si misurerà in kg m s -1

•  Se sul punto materiale agisce una forza, –  la sua velocità cambierà, –  ma cambierà anche la sua quantità di moto

Infatti per m costante ( ) Favv

==== m

dtdm

dtmd

dtqd F

=

dtqd

3

vvv

Quando si conserva la quantità di moto ? Data una particella di massa m che si muove con velocità v

•  La q. di moto si conserva quando essa non varia nel tempo; matematicamente implica che la derivata rispetto al tempo della q. di moto deve essere nulla. Dal risultato precedente ricordiamo che e quindi dq

dt=F dq

dt= 0 allora! →!!

F =

Fi

i=1

N

∑ = 0

•  La q. di moto si conserva quando la risultante delle forze agenti sul punto è nulla. :

F =

Fi

i=1

3

∑ = 0F3

F1

F2

F3

F1F2

v

m

Esempio Calcolare l’energia e la quantità di moto di un’automobile di massa M=1000Kg e per un volatile di massa m=100g per le velocità 10km/h, 20Km/h, 100Km/h.

Energia (J)

Q (kg m s -1)

M m M m

10Km/h

20Km/h

100Km/h

Prodotto vettoriale���definizione

Dati i vettori a e b , si definisce prodotto vettoriale

ba

×=c

il vettore c così individuato:

–  Il modulo del vettore c è dato da:

–  La direzione è perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b.

–  Il verso è determinato con la regola della mano destra: •  I formulazione:

–  Si dispone il pollice della mano destra lungo il primo vettore –  Si dispone l’indice della mano destra secondo il secondo vettore –  Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale

•  II formulazione –  Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice –  Si dispone la mano destra in maniera che le dita chiuse a pugno indichino il verso in cui bisogna

far ruotare il primo vettore per sovrapporlo al secondo percorrendo l’angolo φ minore di 180° –  Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale.

c = absenφ dove l’angolo φ è l’angolo (minore di 180°) compreso tra i due vettori

Prodotto vettoriale���proprietà

•  Il prodotto vettoriale non è commutativo: a×b ≠b×a

a×b = −

b×a•  Infatti:

θ

h = b sin θ

a

b

Area = ah = absinθ = a × b

!

•  Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale

•  Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all’area del parallelogramma formato dai due vettori.

•  Vettori paralleli o antiparalleli hanno un prodotto vettoriale nullo

7

Ulteriori richiami sulle proprietà del prodotto vettoriale

•  Prodotto vettoriale attraverso le componenti cartesiane:

i ×i = 0

i ×j =ki ×k = −

j

j×j = 0

j×k =ij×i = −k

k×k = 0

k×i =jk×j = −i

Vale la Proprietà distributiva

a×b =

ijk

ax ay azbx by bz

=

=i aybz − byaz( )−

j axbz − bxaz( )+

k axby − bxay( )

a×b+c( ) = a×

b+a×c

Il momento di un vettore generico

Dato un vettore w qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si chiama “polo”, si definisce momento del vettore V rispetto al polo O la quantità:

MO =r× w r posizione rispetto ad O del punto di

applicazione del vettore w. r V

r r

θ

θ

Posto b=rsenθ (braccio)

Il modulo del momento, MO, è uguale al modulo del vettore w per il braccio del vettore w rispetto al polo O

•  Il braccio è la distanza della retta di azione del vettore w dal polo O

•  Spostando il vettore w sulla sua retta di azione il momento resta invariato.

x

y

O

È importante l’ordine! Prima r poi V!

b=r senθ

Il cui modulo è MO=rwsenθ

Si ha MO =w(rsenϑ ) =b ⋅w MO=b ⋅w

Momento della quantità di moto o momento angolare

•  Data la particella di massa m, –  la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore

posizione r, –  che al tempo t si muove con velocità v –  E quindi possiede una quantità di moto q=mv

•  Si definisce momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O, la grandezza:

p

r

θ

y

O qO

×= rIl modulo vale: O = r ⋅mv ⋅senθ = bmv

Le dimensioni: O[ ] = r[ ] m[ ] v[ ] senθ[ ] = LMLT −1"# $%= ML2T −1"# $%

Le unità di misura: kgm2s-1

b = r senθ x θ r

b

Momento della forza •  Data la particella di massa m,

–  la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore posizione r,

–  che al tempo t subisce l’azione della forza F •  Si definisce momento della forza F rispetto al polo

O, la grandezza: r F

r r

θ

MO =

r×F

Il modulo vale: dove

MO = rFsenθ = bF

Le dimensioni: MO[ ]= r[ ] F[ ] sen θ[ ]= LMLT −2[ ]= ML2T−2[ ]Le unità di misura: kg m2 s-2

Da non confondere con il lavoro che ha le stesse dimensioni (il lavoro è uno scalare, il momento della forza un vettore: sono due grandezze completamente diverse)

b = r senθ = r sen 180°−θ( )

b

y

O x

m

11

Relazione tra il momento della quantità di moto ed il momento della forza

•  Durante il moto di una particella, sia la sua posizione r che la sua velocità cambiano con il tempo,

–  È lecito aspettarsi che anche il momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O vari con il tempo.

–  Valutiamo a quanto è uguale la sua variazione (calcoliamo la derivata):

( )dtqdq

dtd

dtqd

dtd O

×+×=×

= rrr

•  Attenzione a non cambiare il posto dei vettori, il prodotto vettoriale non commuta.

•  Il primo termine è nullo: i due vettori sono paralleli

drdt×q = v× q = v×mv = 0 ⇒

dOdt

=r× dqdt

=r×F =MO

•  La variazione del momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O è uguale al momento della forza applicata valutato rispetto allo stesso polo!

(è una diretta conseguenza della II legge di Newton)

Quando si conserva la quantità di moto ? Data una particella di massa m che si muove con velocità v, rispetto al polo O

•  Il momento della q. di moto si conserva quando esso non varia nel tempo; matematicamente implica che la derivata rispetto al tempo del momento della q. di moto deve essere nulla. Dal risultato precedente ricordiamo si ottiene :

dl0dt

= 0 allora! →!!MO = 0

•  Il momento della q. di moto si conserva quando la risultante dei momenti delle forze agenti sul punto è nulla. :

M =

Mi

i=1

N

∑ = 0

Forze centrali •  Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le

seguenti proprietà: –  la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio,

detto centro della forza centrale, –  e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro

stesso (sarà F=F(r) ). Esempi di forza centrale:

la forza di gravitazione universale.

r r

r F

x

y

O=S

P

F = −G mM

r2ur = −G

mMr2rr

•  la forza di Coulomb è centrale

F = 1

4πεoq1q2r2ur

•  la forza elastica (lungo l’asse x)

F = −kxi

Le forze centrali sono conservative

Moto di puro rotolamento

Moto di puro rotolamento •  Con questo moto si intende il moto caratteristico delle ruote

–  Quando un veicolo si muove, anche le ruote si muovono.

–  Naturalmente il moto delle ruote non è di pura traslazione

–  Né una semplice rotazione attorno ad un asse fisso –  Può essere immaginato come un moto di

rototraslazione

•  Qual è la peculiarità di questo moto? –  I punti della ruota a contatto con l’asfalto sono fermi rispetto all’asfalto (non

scorrono, non strisciano sull’asfalto) Per cui si dice “rotolamento senza strisciamento” (oppure “puro rotolamento”).

•  Consideriamo due istanti successivi t1 e t2. –  Lo spostamento subito dal centro della ruota Δx è pari alla distanza tra i punti di

contatto della ruota agli istanti t1 e t2. –  Nello stesso tempo la ruota avrà subito anche uno rotazione e quindi uno

spostamento angolare Δθ. •  Se il moto è di puro rotolamento esiste una relazione SEMPLICE tra questi due spostamenti:

Δx = RΔθ Condizione di puro rotolamento

t1 à t2

Le condizioni di puro rotolamento Abbiamo stabilito che in condizioni di puro rotolamento vale la seguente relazione tra i moduli dello spostamento angolare e quello lineare.

Δx = −RΔθ

Con il sistema di riferimento scelto osserviamo che se Δx è positivo, come in figura, allora Δθ è negativo (rotazione oraria)

Tenendo conto dei segni la condizione di puro rotolamento diventa:

Dividendo per Δt, e valutando il limite per Δt che tende a zero:

La velocità lungo l’asse x del centro della ruota (CM) è uguale all’opposto del prodotto del raggio della ruota per la sua velocità angolare. Con una seconda derivazione, si ottiene

Queste tre condizioni (1,2,3) sono verificate contemporaneamente (dipendono l’una dall’altra) Esse vengono indicate come “condizioni di puro rotolamento”

N.B.:Il segno meno presente nelle condizioni di puro rotolamento dipende dal sistema di riferimento usato. Una diversa scelta del SR potrebbe non richiedere tale segno

(1)

(2)

(3) L’accelerazione lungo l’asse x del centro della ruota (CM) è uguale all’opposto del prodotto del raggio della ruota per la sua accelerazione angolare.

Ruolo della forza di attrito nel moto di puro rotolamento

Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto della ruota con l’asfalto è fermo rispetto all’asfalto. Il compito di mantenere fermo rispetto al piano di appoggio il punto (o i punti) di contatto è affidato alla forza di attrito Naturalmente si tratta di una forza di attrito statica proprio perché il punto di contatto non scivola sulla superficie di appoggio

•  Senza attrito questo tipo di moto non è realizzabile (al massimo è possibile un moto uniforme: velocità del centro di massa costante e velocità angolare costante, non appena si vuole cambiare una delle due velocità e fare in modo che il moto continui ad essere di puro rotolamento è necessaria la presenza della forza di attrito)

•  Naturalmente, poiché la forza di attrito statico è limitata superiormente, non sempre è garantito il moto di puro rotolamento.

–  Si pensi alle frenate brusche fatte con l’automobile in cui si bloccano le ruote che scivolano sull’asfalto

–  Oppure alle accelerazioni brusche in cui le ruote girano, ma slittano sull’asfalto e non producono l’avanzamento dell’automobile.

–  Occorre verificare caso per caso se la forza di attrito statico sia sufficiente per garantire il moto di puro rotolamento

•  Si osservi infine che la forza di attrito statico compie lavoro nullo (punto di applicazione fermo). (Lo stesso vale anche per la Normale).

1) pura rotazione attorno ai punti di contatto

2) sovrapposizione del moto del centro di massa più una rotazione attorno al centro di massa

Risoluzione del moto di rotolamento :

N.B. : Entrambi devono condurre al medesimo risultato

Moto di puro rotolamento di un cilindro •  Consideriamo un cilindro di massa M e raggio R che si può

muovere su di un piano orizzontale sotto l’azione di una forza F applicata nel suo centro di massa.

•  Le altre forze agenti sul cilindro sono –  La forza peso applicata al centro di massa –  La normale N applicata nel punto di contatto –  La forza di attrito anch’essa applicata nel punto di

contatto. x

y

r P

r N

r F as

r F

•  Sia la normale N che la forza di attrito statico sono distribuite su tutti i punti della generatrice del cilindro a contatto con il piano

–  Facendo ricorso a questioni di simmetria possiamo renderci conto che l’insieme di queste forze è equivalente ad un’unica forza applicata nel punto di mezzo del segmento costituito dai punti di contatto tra cilindro e piano orizzontale

–  Nella figura le forze risultanti, sia per quanto riguarda la Normale che per la forza di attrito statico, sono state applicate proprio nel punto precedentemente determinato (esso si trova infatti sulla sezione del cilindro che contiene il centro di massa).

NB: in generale non si può stabilire a priori il verso della forza di attrito statico Ragioni di simmetria ci dicono che deve essere parallela alla forza applicata F, però potrebbe andare verso destra o verso sinistra. In figura abbiamo scelto a caso (quasi) uno dei due versi: se risolvendo il problema determiniamo un modulo negativo, non vuol dire che abbiamo raggiunto un risultato assurdo, solo che abbiamo sbagliato la scelta del verso che, pertanto, andrà corretta.

1) Risoluzione del moto di rotolamento come ���pura rotazione attorno ai punti di contatto

L’equazione del moto è:

x

y

r P

r N

r F as

r F •  I è il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione

•  Mz è il momento assiale risultante delle forze applicate. Nel nostro caso (il polo è il punto di contatto):

αIM zi =∑

I = I *+Mh2Steiner =

12MR2 +MR2 = 3

2MR2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

−=

000

4

3

2

1

zas

z

z

z

MFMNMP

FRMF

−FR= Iα

•  Utilizzando la condizione di puro rotolamento ax = −Rα

−FR = −I axR ax =

FR 2

Iax =

FR2

I=FR232MR2

=2F3M

NB:In questo caso non abbiamo avuto alcuna informazione sulla forza di attrito.

MFax 32

=

con

2) Risoluzione del moto di rotolamento come sovrapposizione ���del moto del centro di massa più una rotazione attorno al centro di massa .

x

y

r P

r N

r F as

r F

L’equazione del moto di rotazione attorno ad un asse fisso nel SR del CM: Mz* = I*α

Fas = I* aCMxR2

F − I* aCMxR2

=MaCMx ⇒ aCMx =F

M +I*

R2

MF

MM

F

R

MRM

F

RIM

FaCMx 32

21

21

2

22

* =+

=

+

=+

=

r F +

r P +

r N +

r F as =M

r a CM

⎩⎨⎧

==−

=−

0::

CMy

CMxas

MaMgNyMaFFx

I* = 12MR2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

=

=

RFMFMNMPMF

aszas

Nz

Pz

Fz

:0:0:0:

−FasR = I*α

Fas = I* aCMxR2

=12MR2 2F

3MR2=F3

MgNFss µµ =≤⇔

3rotol. puro sul Info :NB

Sostituendo in (*)

⎩⎨⎧

=

=−

MgNyMaFFx CMxas

::

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=−

=−

α

α

RaIRFRotazioneMaFFeTraslazion

CMx

as

CMxas

orotolament puro di condizione

*

(*)

Dove è finita l’energia ?

Con attrito –  Moto di puro rotolamento

Senza attrito –  Pura traslazione

F P

N

Fas F

P

N

ax =2F3M ax =

FM

•  Se la forza opera per un tratto Δx: vf2 − vo

2 = 2axΔxx

MFv f Δ=+ 3222

xMFv f Δ=− 22

Solo i due terzi del quadrato della velocità del caso senza attrito

F

fif

LxFxMFM

MvKKK

=Δ=Δ=

==−=Δ=

221

21 2

0

Si consideri anche l’energia cinetica del moto di rotazione

22

32

ff vv −+ =

ΔK = K f −Ki=0 =

12Mv+ f

2 +12I *ω+ f

2 =

=12Mv+ f

2 +1212M R2ω+ f

2

v+ f2

=

=12M2 2F

3MΔx 1+ 1

2#

$%

&

'(= FΔx = LF

Esercizio: Un corpo di massa m e raggio R rotola senza strisciare a velocità v su un piano orizzontale. Prosegue rotolando su per una rampa fino ad una altezza massima h=3v2/(4g). Qual è il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse passante per il centro di massa? Di che tipo di corpo si tratta?

Le forze agenti sono: il peso, la normale e la forza di attrito. Possiamo applicare la conservazione dell’energia

Da cui:

I* = m 32−1⎛

⎝ ⎞ ⎠ R

2 =12mR2 Si tratta di un cilindro !

mghIMv

UKUK ffii

+=++

+=+

0021

21 2*2 ω

12mv2 + 1

2I*v2

R2= mg

3v2

4gm + I* 1

R2= m 3

2

h v

ESERCIZIO: Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale, e l’accelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s2. Quali sono l’intensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota? Qual è il momento di inerzia della ruota intorno all’asse di rotazione passante per il suo centro?

Dal teorema del centro di massa:

N =Mg

CMas MaFNPF =+++=R

⎩⎨⎧

==−

=−

0::

CMy

CMxas

MaMgNyMaFFx

NMaFF CMxas 0.460.1010 =×−=−=

F

P

N

Fas

Fas = I* aCMxR2

Mz* = I*α

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

=

=

RFMFMNMPMF

aszas

z

z

z

000

−FasR = I*α

per la rotazione

222

* 60.060.036.0

60.043.0 kgm

aFRICMx

as ==×

==

ax = −Rα

x

y

NFas 0.4=

2* 60.0 kgmI =

Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a un cilindro di massa M=10kg e raggio R=0.20 m, attraverso una corda avvolta sul cilindro nel modo come indicato in figura. Il cilindro rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale. Determinare: • l’accelerazione del suo centro di massa. • l’intensità ed il verso della forza di attrito necessario per assicurare il moto di puro rotolamento • il minimo coefficiente di attrito tra il cilindro e il piano orizzontale .

Dal teorema del centro di massa: F

P

N

Fas N =Mg

r F +

r P +

r N +

r F as =M

r a CM

⎩⎨⎧

==−

=−

0::

CMy

CMxas

MaMgNyMaFFx

Supponiamo che la forza di attrito statico sia diretta in verso opposto alla forza applicata F, salvo ricrederci se risolvendo il problema ci risultasse una componente negativa.

La rotazione attorno al centro di massa: Mz* = I*α I* = 1

2MR2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

=

−=

RFMFMNMP

FRMF

aszas

z

z

z

00

−FR − FasR = I*α

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=−−

=−

α

α

RaIRFFRRotazione

MaFFeTraslazion

CMx

as

CMxas

orotolament puro di condizione

*

x

y

aCMx = −Rα = −0.2× −33.3( ) = 6.66 ms2

Fas = F+MRα =10+2 ×0.2 −33.3( ) = −3.32N

17.081.9232.3

=×

==≥⇒≤MgF

NFNF asas

ssas µµ

Esercizio: Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di di 30 ° • Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa? • La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano?

00

=+==Δ

=

fermo punto appl.

aFNnc LLLE

ffiifi UKUKEE +=+⇒=

L i

f

U=0

2*2*2

21

21

21

ωIMvKMvKK CMCMff +=+=⇒Konig di T. ilper

Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto Le forze agenti sono la forza peso, la Normale, la forza di attrito statico. Possiamo trovare la velocità finale utilizzando la conservazione dell’energia meccanica totale

•  La condizione di puro rotolamento:

vCM = Rω vCM2 = R2ω2

L

Ki +Ui = Kf +Uf

0 +MgLsen 30° = 12MvCM2 +

12I*ω2 + 0

•  Il momento di inerzia del Cilindro: I* = 12MR2

MgLsen30° = 12MR2ω2 +

1212MR2ω2

ω =4gLsen 30°3R2

=4 × 9.81× 6 × 0.5

3 × .12= 3924 = 62.6 rad

s smRvCM 26.66.621.0 =×== ω

Affrontiamo ora la seconda parte del problema. Dobbiamo innanzitutto calcolarci il modulo della velocità del CM; Usiamo la condizione di puro rotolamento:

xo = 0m vxo = −6.26cos30° = −5.42 msyo = 5m vyo = −6.26sen 30° = −3.13 ms

La velocità è diretta come mostrato in figura. Quando il cilindro abbandona il tetto, il moto del suo centro di massa è come il moto del proiettile. Facendo ripartire l’orologio al momento del distacco,le condizioni iniziali sono:

x = vxoty = yo + vyot − 1

2 gt2

v

x

y

U=0

Determiniamo l’istante di impatto al suolo imponendo che y sia nulla:

La soluzione negativa è da scartare. La distanza a cui atterrerà:

v

x

y

x = vxot = −5.42 × .74 =−4.01m

yo + vyot − 12 gt

2 = 0 ⇒ 4.9 t2 + 3.13t − 5= 0

t1,2 =−b ± b2 − 4ac

2a=−3.13± 3.132 + 4× 4.91× 5

9.81=−3.13±10.39

9.81=−1.37+0.74

•  Si osservi che la velocità di rotazione attorno all’asse passante per il centro di massa rimane costante dal momento del distacco fino all’impatto al suolo.

–  L’unica forza esterna agente, la forza peso, essendo applicata al CM, ha momento assiale nullo rispetto all’asse di rotazione.

Cenni sulla struttura microscopica della materia

Di cosa siamo fatti •  Gli oggetti che ci circondano si presentano come se fossero costituiti

da mattoni elementari (atomi o molecole)

La struttura dell’atomo!•  Modello di Thomson: gli atomi sono sfere permeabili

complessivamente neutre, in cui le particelle di carica negativa (elettroni) erano immerse in una massa gelatinosa di carica positiva (modello dell’uva passa nel panettone).

•  Esperimento di Rutherford:

ATOMO Z elettroni con carica –Ze mNucleo/mZe ≈ 4000

Nucleo con carica +Ze rNucleo/re ≈ 10-4

Evoluzione del Modello Atomico

Thomson

Considerazioni sulla struttura atomica

•  L’atomo è essenzialmente vuoto. –  Ci sono 4-5 ordini di grandezza tra le dimensioni dell’atomo (il raggio del

volume occupato dagli elettroni) e le dimensioni del nucleo atomico. –  L’elettrone è estremamente piccolo (forse elementare)

•  La massa dell’atomo è “concentrata” nel nucleo –  Gli elettroni hanno una massa circa 2000 volte più piccola di quella dei protoni ( o dei neutroni)

•  Il nucleo atomico è costituito da protoni (carichi positivamente) e da neutroni (particelle neutre). –  In ogni atomo ci sono tanti elettroni quanti protoni in maniera tale che l’atomo

sia complessivamente neutro.

Stati di aggregazione della materia •  Solido atomi e molecole sono legati da forze sufficientemente intense tali che il moto

termico, sempre presente, salvo che allo zero assoluto, non è in grado di modificare permanentemente le mutue posizioni.

–  La forma ed il volume sono praticamente definiti; •  Liquido i legami interatomici e intermolecolari hanno una minore intensità, permettendo

così una certa mobilità di atomi e molecole, ma non l'allontanamento definitivo. –  il volume resta perciò praticamente definito, mentre non lo è più la forma;

•  Gassoso: le particelle, avendo una energia termica molto superiore all'energia di interazione interatomica e intermolecolare, tendono ad allontanarsi l'una dall'altra e praticamente non si influenzano tra loro.

–  si ha perciò la massima espansione nello spazio disponibile.

Cenni sulle proprietà dei corpi solidi Corpo solido ç è corpo rigido

In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole deformazioni Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e dalle forze molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione all’interno del reticolo L’intensità elevatissima tra gli atomi fa rassomigliare i solidi a corpi rigidi.

•  Gli atomi sono in continua oscillazione attorno alla posizione di equilibrio

•  Con una ampiezza che dipende dalla temperatura

I diversi tipi di sollecitazione

a)   Trazione a)  Produce un allungamento del campione

b)  Compressione a)  Produce una accorciamento del campione

c)   Taglio a)  Produce lo scorrimento di una sezione del campione

sull’altra d)  Compressione idrostatica

a)  La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del campione ed è perpendicolare alla superficie stessa

b)  Produce una diminuzione del volume del campione

L

r F

−r F

r F

r F

−r F −

r F a) b) c)

•  Sforzo –  Forza applicata diviso la sezione del campione

•  Deformazione relativa –  La deformazione prodotta diviso per il valore della

grandezza originaria

Φ =FA

ΔLL

d)

Il comportamento dei materiali

•  I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2

Φ =FA= E ΔL

LE =modulo di Young (trazioni o compressioni)

Φ =FA=G ΔL

LG =modulo di taglio (per sollecitazioni di taglio)

Sperimentalmente si ottiene Φ ∝ ΔL/L sforzo = modulo di elaticità × deformazione relativa

Il comportamento dei materiali

Esercizio: Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza L=81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 N lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo nel tondino? Quanto l’allungamento e la sua deformazione?

La sezione del tondino è data da: ( ) 26232 10280105.914.3 mRA −− ×=××==π

Lo sforzo: 28

6

4

102.210280102.6

mN

AF

×=×

×==Φ

−

La deformazione: 0011.010200102.2

9

8

=×

×=

Φ=

Δ

ELL

L’allungamento: mmmLE

L 89.000089.081.00011.081.010200102.2

9

8

==×=××

×=

Φ=Δ

•  Compressione •  Trazione

SF

Ehh =Δ

Forza esercitata dal materiale verso l’esterno fh è uguale ed opposta a F su di esso applicata

Hooke di Legge hKhhESfh Δ−=Δ−=

Nota: Microscopicamente si hanno le forze atomiche di richiamo.