Captulo 25

250 Diferencia de potencial y potencial elctrico Captulo 7. Diferencia de potencial y potencial elctrico 249

RESUMENPotencial elctricoComo la fuerza electrosttica dada por la ley de Coulomb es conservativa, es posible discutir de manera conveniente los fenmenos electrostticos en trminos de una energa potencial elctrica.

Esta idea permite definir una cantidad escalar llamada potencial elctrico. Debido a que el potencial es una funcin escalar de la posicin, ofrece una manera ms sencilla de describir los fenmenos electrostticos que la que presenta el Campo Elctrico.

Energa potencial y potencial elctrico.Cuando una carga de prueba positiva q0 se mueve entre los puntos A y B en un campo electrosttico E, el cambio de la energa potencial est dada por

La diferencia de potencial V entre los puntos A y B en un campo electrosttico E se define como el cambio de energa potencial dividido por la carga de prueba q0:

Donde el potencial elctrico V es un escalar y tiene unidades de J/C, definido como un voltio (V).La diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un campo elctrico uniforme E est dado por

Donde d es el desplazamiento en la direccin paralela a E.Potencial debido a varias distribuciones de carga

Anillo uniformemente cargado de radio a

A lo largo del eje del anillo a una distancia x de su centro

Disco uniformemente cargado de radio aA lo largo del eje del disco a una distancia x de su centro

Esfera aislante uniformemente cargada de radio R y carga total Q

Esfera conductora aislada de carga total Q y radio R

Superficies equipotenciales son las superficies sobre las cuales el potencial elctrico permanece constante. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las lneas del campo elctrico.

El potencial debido a una carga puntual q a una distancia r de la carga est dado por

El potencial debido a un grupo de cargas puntuales se obtiene sumando los potenciales debidos a cada carga individualmente. Siendo V un escalar, la suma es una simple operacin algebraica.

La energa potencial de un par de cargas puntuales separadas una distancia r12 est dada por

sta representa el trabajo requerido para traer las cargas desde una separacin infinita hasta una separacin r12. La energa potencial de una distribucin de cargas puntuales se obtiene sumando los trminos obtenidos por la ecuacin para cada par de partculas.El potencial elctrico debido a una distribucin continua de carga est dado por

Si el potencial elctrico es conocido como una funcin de las coordenadas x, y, z, las componentes del campo elctrico pueden ser obtenidas al sacar la derivada negativa del potencial con respecto a las coordenadas. Por ejemplo, la componente x del campo elctrico est dada por

Todos los puntos sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio electrosttico estn al mismo potencial. Adems, el potencial es constante en cualquier lugar dentro del conductor e igual a su valor en la superficie.

PREGUNTAS7.1. Una carga negativa se mueve en direccin de un campo elctrico uniforme. La energa potencial de la carga aumenta o disminuye? Esta se mueve a una posicin de potencial mayor o menor?

El cambio en la energa potencial de una carga es el negativo del trabajo hecho por el campo elctrico sobre la carga. Entonces, cuando una carga negativa se mueve del punto a al punto b en la direccin de un campo elctrico uniforme, su energa potencial aumenta.

El potencial elctrico es una caracterstica escalar de un campo elctrico, independiente de las cargas que pueden estar localizadas en el campo. La diferencia potencial Va Vb entre los puntos a y b iguala el trabajo por unidad de carga que un agente externo debe realizar para mover una carga de prueba (la cual es positiva) de b a a sin cambiar la energa cintica de la carga de la prueba. As pues, el punto a est en un potencial ms alto. Es decir, la carga negativa se mueve a una posicin de un potencial ms bajo.

7.2. Si E es igual a cero en un punto. V debe ser igual a cero en ese punto? D algunos ejemplos para ilustrar su opcin.

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7.3. Proporcione una explicacin fsica del hecho de que la energa potencial de un par de cargas iguales es positiva mientras que la energa potencial de un par de cargas diferentes es negativa.

La fuerza entre dos cargas iguales es repulsiva. Se necesita un trabajo positivo para mover las cargas desde una separacin infinita hasta una cierta separacin r. Por lo tanto, la energa potencial de un par de cargas iguales es positiva. Ya que cargas diferentes se atraen y tienden a acelerarse una hacia la otra, trabajo negativo se requiere para ubicar las cargas. Por lo tanto, la energa potencial de un par de cargas opuestas es negativa.

7.4. Dos esferas conductoras cargadas y muy distantes se conectan por un hilo conductor. Al alcanzarse el equilibrio electrosttico, cmo son sus potenciales?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7.5. Un campo elctrico uniforme es paralelo al eje x. En qu direccin puede desplazarse una carga en este campo sin que se haga ningn trabajo externo sobre la misma?

Cuando una carga se desplaza en direccin perpendicular a la de un campo elctrico, no se hace ningn trabajo externo sobre la carga.

7.6. Una carga elemental est en este momento a una distancia r de una carga fija q. Si se permite al electrn moverse libremente de modo que se aleje bajo la repulsin del campo elctrico. Cul ser su energa cintica cuando se haya alejado mucho?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7.7. Explique por qu las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las lneas de campo elctrico.

Si las lneas de campo elctrico no fueran perpendiculares a las superficies equipotenciales, el campo elctrico debe tener una componente en esta superficie. Entonces trabajo debe hacerse para mover una carga de prueba sobre la superficie. Pero trabajo no puede ser hecho si la superficie es equipotencial, entonces lneas de campo elctrico deben estar en ngulo recto a las superficies equipotenciales. (Vea la respuesta a la Pregunta 7.1)

7.8. El campo elctrico dentro de una cavidad esfrica uniformemente cargada es cero, esto implica que el potencial es cero dentro de la esfera?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7.9. Describa las superficies equipotenciales para (a) una lnea infinita de carga y (b) una esfera con carga uniforme.(a) Las superficies equipotenciales para una lnea infinita de carga son una familia de superficies cilndricas cuyos ejes coinciden con la lnea de carga.

(b) Las superficies equipotenciales de una esfera uniformemente cargada consisten en una familia de superficies esfricas concntricas con la esfera cargada.

7.10. Explique la diferencia entre potencial elctrico y energa potencial elctrica.

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7.11. El campo elctrico dentro de una esfera hueca con carga uniforme es cero. Esto significa que el potencial es cero en el interior de la esfera? Explique.

Cuando el campo elctrico es cero en una cierta regin, uno puede concluir solamente que el potencial V en esa regin es constante. Entonces, si el campo elctrico dentro de una esfera elctricamente cargada hueca es cero, esto no implica que el potencial sea cero dentro de la esfera. El potencial dentro de la esfera cargada es constante e igual al potencial en la superficie de la esfera.

7.12. Un positrn acelerado por una diferencia de potencial adquiere una velocidad de 0.3 c (c es la velocidad de la luz en el vaco). Qu velocidad adquirir un protn acelerado por la misma diferencia de potencial?

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7.13. Dos esferas conductoras cargadas de diferentes radios se conectan por medio de un alambre conductor, como se muestra en la figura. Cul de las esferas tiene la mayor densidad de carga?Cuando dos esferas conductoras cargadas de diferentes radios son conectadas por un alambre conductor, ambas esferas estn al mismo potencial, y el cociente de sus cargas es q1/q 2 = r1/r2. Sin embargo, el cociente de sus densidades de carga es inversamente proporcional al cociente de sus radios. Por lo tanto, la esfera ms pequea tiene la mayor densidad de la carga.7.14. Si un protn se abandona en reposo en un campo elctrico uniforme, su energa potencial aumenta o disminuye? Y su potencial?

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7.15. Por qu es importante evitar los bordes o puntos afilados sobre los conductores utilizados en equipo de alto voltaje?

Es importante evitar los bordes o puntos agudos en los conductores usados en el equipo de alto voltaje porque el campo elctrico alrededor de tales puntos es muy intenso y podra conducir a la descarga elctrica a tierra.7.16. De una interpretacin fsica del hecho de que la energa potencial de un par de cargas de igual signo es positiva, mientras que la energa potencial de un par de cargas de distinto signo es negativa.

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7.17. Por qu es relativamente seguro permanecer en un automvil con una carrocera metlica durante una intensa tormenta elctrica?

Durante una intensa tormenta elctrica, es relativamente seguro permanecer en auto con carrocera metlica. Esto es porque el auto, siendo conductor, sirve como un escudo. Incluso si una lnea de energa cada golpea el coche, sigue siendo recomendable permanecer en el auto hasta que la potencia sea apagada.7.18. Si el campo elctrico es constante en una regin, Qu puede decir del potencial en dicha regin?

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PREGUNTAS ADICIONALES7.19. Pueden intersecarse dos superficies equipotenciales diferentes? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7.20. Si V es igual a una constante en toda una regin del espacio Qu puede usted decir respecto de E en esa regin?

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7.21. Dos puntos P1 y P2, estn al mismo potencial electrosttico. Significa esto que no se efecta trabajo al llevar la carga desde P1 hasta P2? Es cierto que los campos elctricos en P1 y P2 son iguales?

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7.22. Un campo elctrico uniforme es paralelo al eje x. En qu direccin puede una carga ser desplazada en este campo sin hacer trabajo externo sobre la carga. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7.23. Porqu, en condiciones estticas, todos los puntos de un conductor deben estar al mismo potencial?

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7.24. Dos esferas conductoras de distinto radio, poseen carga elctrica y estn conectadas a travs de un hilo conductor. Cul tendr mayor densidad superficial de carga?

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7.25. El potencial elctrico, a mucha distancia de una distribucin de cargas con simetra esfrica, se considera cero. Se adopta la misma convencin si la distribucin de cargas tiene simetra cilndrica o plana? Por qu?

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7.26. En qu tipo de clima se descargar ms fcilmente la batera de un automvil?

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7.27. Explique el principio de funcionamiento del generador electrosttico de Van de Graaff.

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7.28. Por qu se dice que un conductor cargado y en equilibrio en electrosttico es equipotencial?

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PROBLEMAS7.1. Cunto trabajo se realiza (por una batera, generador u otra fuente de energa elctrica) al mover un nmero de Avogadro de electrones a partir de un punto inicial donde el potencial elctrico es 9.00 V hasta un punto donde el potencial es (5.00 V? (El potencial en cada caso se mide en relacin con un punto de referencia comn.)

Datos: q = NA (e) = (6.02 1023) (1.60 1019 C) = 9.63 104 C

Solucin:

La diferencia potencial elctrica entre cualquier par de puntos a y b en un campo elctrico, es el trabajo por unidad de carga requerida para mover una partcula cargada desde el punto a al punto b sin causar un cambio neto en la energa cintica de la partcula. Es decir,

Entonces, el trabajo hecho por una fuente de la energa elctrica en mover la carga q desde un punto inicial a, que se encuentra a un potencial elctrico Va, a un punto final b, que est a un potencial elctrico Vb, es

Wb = q(Vb Va)

= (9.63 104 C)(5.00 V 9.00 V) = 1.35 106 J

Wa b = 1.35 MJ

Observe que el trabajo positivo se hace al mover una carga negativa desde un punto de un potencial ms alto a uno de un potencial ms bajo.

7.2. Una carga de 2 ( 108 C se coloca en un campo elctrico vertical dirigido hacia arriba, cuya intensidad es 5 ( 104 N/C.

(a) Calcule el trabajo realizado por el campo cuando la carga se mueve: 5 cm hacia la derecha.

(b) 8 cm hacia abajo.

(c) 10 cm formando un ngulo de 45( hacia arriba con respecto a la horizontal.

7.3. (a) Calcule la rapidez de un protn que es acelerado desde el reposo a travs de una diferencia de potencial de 120 V. (b) Calcule la rapidez de un electrn que se acelera a travs de la misma diferencia de potencial.

Datos: Dos partculas (un protn y un electrn) se aceleran a travs de una diferencia potencial.

= 120 V = diferencia potencial a travs de la cual las partculas son aceleradas

va = velocidad inicial de las partculas = 0

Encontrar: v = vb = la velocidad final de las partculas

Solucin:

Del principio de la conservacin del trabajo - energa sabemos que el trabajo hecho por la fuerza elctrica en una partcula cargada en un campo elctrico, es igual al cambio en la energa cintica de la partcula. Para una partcula, saliendo del reposo,

Wa b = Kb Ka(1)

donde q es la carga de la partcula, m es su masa, v es su velocidad final, y VbVa es la diferencia potencial con la cual se acelera. De la Ecuacin (1),

(a) Despus de ser acelerada desde el reposo a travs de una diferencia potencial de 120 V, el protn, de carga q = 1.60 1019C y masa m = 1.67 1027 kg, adquiere una velocidad

vp = 152 km/s

(b) Para el electrn, de carga q = 1.60 1019 C y masa m = 9.11 1031 kg, esta velocidad es

ve = 6.49 103 km/s

El electrn y el protn estn bajo accin de la misma fuerza elctrica. Sin embargo, las dos partculas se mueven en direcciones opuestas. El protn, que lleva una carga positiva, se mueve desde un potencial alto a un potencial ms bajo (a partir 120 V a 0 V), mientras que el electrn, que lleva una carga negativa, se mueve desde el potencial ms bajo a un potencial ms alto (a partir de 0V a 120V). Tambin, puesto que la masa del electrn es mucho menos que la del protn, se espera que la velocidad final del electrn sea mayor que la del protn.

7.4. La diferencia de potencial entre los puntos en que se produce la descarga en un relmpago tpico es aproximadamente 1.0 ( 109 V, y la cantidad de carga que se transfiere es de alrededor de 30 C. Cul ser la variacin de temperatura que experimentar una masa correspondiente a 200 000 L de agua si toda la energa del relmpago se utilizara para calentarla?

7.5. Suponga que un electrn es liberado desde el reposo en un campo elctrico uniforme cuya magnitud es de 5.90 103 V/m. (a) A travs de qu diferencia de potencial habr pasado despus de moverse 1.00 cm? (b) Cun rpido estar movindose el electrn despus de que haya viajado 1.00 cm?

Datos: Un electrn se lanza desde el reposo (va = 0) en un campo elctrico uniforme. qe = carga del electrn = 1.60 1019 Cd = 1.00 cm = distancia que se movi el electrn despus de ser acelerado a travs de una diferencia de potencial Vb Va . (me = masa del electrn = 9.11 1031 kg)Encontrar:

(a) VbVa = la diferencia potencial a travs de la cual el electrn pasa despus de moverse una distancia d

(b) vb = v = velocidad del electrn despus de moverse esta distancia d

Solucin:

(a) La diferencia de potencial entre dos puntos a y b cualesquiera en un campo elctrico est dado por

Entonces, la diferencia potencial a la cual el electrn pasa, despus de moverse una distancia d en una direccin opuesta a la del campo elctrico constante (vase la figura), es

*(1)

Por lo tanto,

Vb Va = E d = (5.90 103 V/m)(0.0100 m)Vb Va = 59.0 V

(b) El electrn se mueve en un campo conservativo, entonces su energa se conserva. Por el principio de conservacin de la energa, E=K + U = 0, o

K = U mev2 0 = qe (Vb Va)

donde Ka = 0 porque el electrn empieza desde el reposo.

Por lo tanto, la velocidad del electrn despus de que haya viajado 1.00 cm es

v = 4.55 106 m/s

* El electrn no toma necesariamente el camino del punto a al punto b, como se muestra en la figura de la derecha, y se ve de la ecuacin (1). Para demostrar esto, considere otra trayectoria posible de a a b, digamos el camino a c b. No hay una diferencia de potencial a lo largo del camino ac, entonces

( se llama una lnea equipotencial). La trayectoria cb se puede dividir pequeos desplazamientos antiparalelos y perpendiculares al campo, segn se muestra en la figura. Para todos los segmentos de la trayectoria para la cual el desplazamiento del electrn es perpendicular al campo . Concluimos que la diferencia de potencial depende solamente del desplazamiento antiparalelo del electrn al campo.

7.6. Calcule la diferencia de potencial elctrico entre dos puntos ubicados a las distancias r1 y r2 de un hilo muy largo, cargado con densidad lineal de carga (. Cul es el trabajo realizado por este campo elctrico sobre una carga positiva q, que se desplaza desde un punto ubicado a la distancia r del hilo, hasta otro ubicado a la distancia 2 r?7.7. Una partcula que tiene una carga +2.00 C y una masa de 0.0100 kg est conectada a una cuerda cuya longitud es L = 1.50 m y que a su vez est amarrada al punto pivote P como se ve en la figura. La partcula, la cuerda y el punto de pivote todos se encuentran sobre una mesa horizontal. La partcula se suelta desde el reposo cuando la cuerda forma un ngulo ( = 60.0 con un campo elctrico uniforme de magnitud E = 300 V/m. Determine la rapidez de la partcula cuando la cuerda es paralela al campo elctrico (punto b en la figura).

Encontrar: vb = v = la velocidad de la partcula cuando la cuerda es paralela al campo elctrico

Solucin:

La diferencia de potencial entre dos puntos a y b cualesquiera en un campo elctrico est dado por

donde el ngulo est dado entre el campo elctrico y el desplazamiento (vea la figura). En nuestro caso, la partcula se mueve a travs de la trayectoria curva s = Ldesde a=0 ab=60. El ngulo est relacionado al ngulo por =+30, para a=30, b = 90, y ds=Ld = Ld. Por lo tanto, la diferencia de potencial a travs de la cual la partcula pasa, despus de moverse a travs de esta trayectoria, es

Asumimos que no hay friccin entre la partcula y la tabla horizontal. Adems, la fuerza que la cuerda ejerce en la partcula no hace ningn trabajo sobre ella puesto que es siempre perpendicular al desplazamiento de la partcula. Entonces, la nica fuerza que hace el trabajo sobre la partcula es sa debido al campo elctrico, que es una fuerza conservativa. Por lo tanto, la energa mecnica total de la partcula se conserva. Es decir, E=K + U = 0, o

K = U mv2 = q (Vb Va)

lo cual es equivalente a decir que una disminucin de la energa potencial elctrica de la partcula da lugar a un aumento en su energa cintica.

Por lo tanto, la velocidad de la partcula despus de que haya viajado de a a b es

v = 0.300 m/s

7.8. Una esfera metlica de radio a = 0.1 m, est cargada con una carga Q1 = 10 (C. El cascarn esfrico de radios interior b = 0.2 m y exterior c = 0.25 m, posee un exceso de carga Q2 = 20 (C. (a) Obtenga la densidad superficial de carga de la esfera interior.(b) Halle la densidad superficial de carga en las superficies interior y exterior del cascarn esfrico.(c) Obtenga la expresin del campo elctrico en funcin de la distancia al centro de las esferas. (d) Obtenga la expresin del potencial elctrico en funcin de la distancia al centro de las esferas.

7.9. El modelo de Bohr del tomo de hidrgeno establece que el electrn puede existir slo en ciertas rbitas permitidas alrededor del protn. El radio de cada rbita de Bohr es rn = n2 (0.0529 nm) donde n = 1,2,3,... Calcule la energa potencial elctrica de un tomo de hidrgeno cuando el electrn est en (a) la primera rbita permitida, n = 1; (b) la segunda rbita permitida, n = 2; y (c) cuando el electrn ha escapado del tomo (r = ). Exprese su respuesta en electrn-voltios (eV.)

Datos: El modelo de Bohr del tomo del hidrgeno indica que el electrn slo puede existir en ciertas rbitas permitidas alrededor del protn.

Radio de cada rbita de Bohr = rn = n2(0.0529 nm) donde n = 1, 2, 3...

(qe = carga del electrn = 1.60 1019 C, qp = carga del protn = 1.60 1019 C,

1 eV = 1.60 1019 J)Solucin:

La energa potencial asociada con un par de cargas puntuales separadas por una distancia rn est dada por

(a) Para la primera rbita permitida de Bohr (n = 1), donde r1 = 12(0.0529 nm),

U1 = 27.2 eV

(b) Para la segunda rbita permitida (n = 2), donde r2 = 2 2 (0.0529 nm) = 4 r1,

U2 = 6.80 eV

(c) Cuando el electrn se ha escapado del tomo (rn = ),

U = 0

7.10. El campo elctrico entre dos placas separadas 1.8 cm tiene un valor uniforme de 2.4 ( 104 N/C. Encuentre la diferencia de potencial entre las dos placas. Cunta energa cintica puede ganar un deutern al ser acelerado desde la placa positiva hasta la negativa?

7.11. Las tres cargas de la figura estn en los vrtices de un tringulo issceles. Calcule el potencial elctrico en el punto medio de la base, considerando q = 7.00 C.

Solucin:

El potencial elctrico total en el punto P (el punto medio de la base del tringulo) debido a las tres cargas puntuales es la suma de los potenciales debido a las cargas individuales. Es decir,

VP = 1.10 107 V

7.12. Una partcula de carga q = 109 C est ubicada en un campo elctrico uniforme dirigido de derecha a izquierda. Al mover dicha carga hacia la derecha una distancia de 5 cm, el trabajo que la fuerza externa realiza es de 6 ( 105 J, y la variacin de energa cintica de la carga es 4.5 ( 105 J.

(a) Cul es el trabajo de la fuerza elctrica?(b) Cul es la magnitud del campo elctrico?7.13. Demuestre que la cantidad de trabajo necesario para agrupar cuatro cargas puntuales idnticas de magnitud Q en las esquinas de un cuadrado de lado s es 5.41 ke Q2/s.

Solucin:

Deseamos encontrar el trabajo total W requerido para montar las cuatro cargas, trayendo cada carga desde el infinito a su posicin en las esquinas del cuadrado. Debemos imaginar, como se muestra en la figura, que q1 est ya en una esquina del cuadrado y que q2, q3 y q4 todava estn en el infinito y en reposo. El trabajo total es el trabajo requerido para traer q2 del infinito a su posicin cerca de q1, ms el trabajo requerido para traer q3 del infinito a su posicin cerca de q1 y de q2, ms el trabajo requerido para traer q4 del infinito a su posicin cerca de q1, de q2 y de q3.

El trabajo requerido para traer q2 del infinito al punto A, a una distancia s de q1, es

El trabajo requerido para traer q3 del infinito al punto B, a una distancia de q1, y a una distancia s de q2 (que est ya en el punto A), es

+

EMBED Equation.3 Igualmente, el trabajo requerido para traer q4 del infinito al punto C, a una distancia s de q1, a una distancia de q2, y a una distancia s de q3, es

Por lo tanto el trabajo total requerido para montar arreglo de cargas es

7.14. Dos esferas huecas metlicas, concntricas, sin cargas, de radios R1 y R2 (R1 < R2) estn unidas por un alambre muy fino que pasa por un pequeo orificio de otra esfera hueca de radio R3. Esta ltima es concntrica con las otras dos, y posee un exceso de carga +Q. Despreciando la influencia del alambre de unin, halle la carga inducida en la esfera interna.

7.15. Sobre una cierta regin del espacio el potencial elctrico es V = 5x 3x2y + 2 yz2. Encontrar las expresiones para las componentes x, y y z del campo elctrico sobre esa regin. Cul es la magnitud del campo en el punto P, de coordenadas (1, 0, 2) m?Solucin:

(a) Cuando el potencial elctrico en una regin del espacio se conoce, podemos determinar el campo elctrico en esa regin usando la ecuacin

(Note que en esta expresin debemos considerar y y z constantes cuando se toma la derivada parcial de V con respecto a x. Igualmente, considere x y z constantes cuando toma la derivada parcial de V con respecto a y; y considere x y y constantes cuando toma la derivada parcial de V con respecto a z.)

Por lo tanto, las componentes x, y, y z del campo elctrico son

Con la asuncin que la expresin dada para V es tal que V est en voltios y las coordenadas estn en metros, el campo elctrico es

(b) El campo elctrico en P (1, 0, 2) m es

Por lo tanto, la magnitud del campo elctrico en P es

E = 7.07 N/C

7.16. Dos conductores muy largos formando una corteza cilndrica coaxial poseen carga igual y opuesta. La corteza interior tiene un radio a y una carga +q; la exterior tiene un radio b y una carga q. La longitud de cada corteza es L. Hallar la diferencia de potencial entre las dos capas de la corteza.Resp. V = (q/20L) ln(b/a).

7.17. Considere un anillo de radio R con carga total Q distribuida uniformemente sobre su permetro. Cul es la diferencia de potencial entre el punto en el centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia 2 R del centro?

Solucin:

La figura muestra el anillo con su plano perpendicular al eje x que pasa a travs de su centro. El punto a est en el centro del anillo, y el punto b est en el eje x en una distancia 2R del centro.

El potencial en el punto b debido a un elemento de carga dq es

(1)

donde r es la distancia del elemento al punto b. Para obtener el potencial total en el punto b, integramos la ecuacin (1) para incluir contribuciones de todos los elementos de la distribucin de la carga. Ya que todos los elementos estn a la misma distancia del punto b, y ya que ke es una constante, podemos expresar Vb como

(2)

donde.

Por lo tanto,.

Igualmente, el potencial en el punto a es

Por lo tanto, la diferencia potencial entre los puntos a y b es

7.18. Se establece una diferencia de potencial de 2 000 V entre dos lminas conductoras paralelas. Sabiendo que el aire se vuelve conductor cuando la intensidad del campo elctrico excede los 3 ( 106 N/C, cul puede ser la mnima distancia entre las placas sin que se produzca descarga?7.19. Una barra de longitud L se encuentra a lo largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y tiene una densidad de carga no uniforme = x (donde es una constante positiva). (a) Cules son las unidades de ? (b) Calcule el potencial elctrico en A.Solucin:

(a) De la ecuacin (1), = /x. Es decir, las unidades de son las de/x, donde es la carga por unidad de longitud de la barra. Por lo tanto, las unidades de son

(b) Dividimos la barra en segmentos de longitud dx, cada segmento tiene una carga dq = dx, donde es la carga por unidad de longitud de la barra. Puesto que este segmento est a la distancia r = x + d del punto A, podemos expresar el potencial en A debido a este elemento como

Para conseguir el potencial total en A, integramos esta expresin sobre los lmites x = 0 a x = L. Observando que ke y son constantes, encontramos

7.20. Cuando el uranio 235U captura un neutrn, se descompone en dos ncleos (y emite varios neutrones que pueden producir la divisin de otros ncleos de uranio). Suponer que los productos de fisin son ncleos con cargas igual a +46 e y que estos ncleos estn en reposo justo despus de la fisin y estn separados en el doble de su radio 2 R = 1.3 1014 m. (a) Calcular la energa potencial electrosttica de los fragmentos de la fisin. Este valor es aproximadamente el de la energa liberada por fisin. (b) Cuntas fisiones por segundo se necesitan para producir 1.0 MW de potencia en un reactor?Resp. (a) 234 MeV, (b) 2.67 1016 fisiones por segundo.

7.21. Dos conductores esfricos cargados se conectan mediante un largo alambre conductor, y una carga de 20.0 C se pone en la combinacin. (a) Si una esfera tiene un radio de 4.00 cm y el radio de la otra es de 6.00 cm, cul es la magnitud del campo elctrico cerca de la superficie de cada esfera? (b) Cul es el potencial elctrico de cada esfera?

Solucin:

Primero determinaremos la carga q1 en la esfera ms pequea, y la carga q2 en la esfera ms grande.

Sabemos que si un conductor aislado lleva una carga, la carga reside en su superficie. Puesto que para los puntos fuera de una esfera uniformemente cargada la distribucin de la carga se comporta como si toda la carga estuviera concentrada en el centro de la esfera, el potencial elctrico de la esfera ms pequea es V1 = keq1/r1 y el de la esfera ms grande es V2 = keq2/r2.

Ya que las esferas son conectadas por un alambre conductor, la combinacin forma un solo conductor. Cada punto en la superficie de este solo conductor en equilibrio electrosttico debe estar en el mismo potencial elctrico (de otra manera, los electrones en el conductor se moveran desde puntos de un potencial ms bajo a los puntos de un potencial ms alto). Por lo tanto, V1 = V2, o

y,

q2 = 1.50 q1

Sustituir este valor q2 en la ecuacin (1) da

q1 + q2 = q1 + 1.50 q1 = 2.50 q1 = 20.0 Cq1 = 8.00 C

q2 = 20.0 C 8.00 C q2 = 12.0 C

(a) Ya que para los puntos fuera de una esfera uniformemente cargada la distribucin de la carga se comporta como si toda la carga estuviera concentrada en el centro de la esfera, y como las esferas estn muy separadas entre s, la magnitud de los campos elctricos en sus superficies sonE1 = 4.50 107 N/C

E2 = 3.00 107 N/C

(b) Segn lo explicado arriba,V1 = V2 = 1.80 106 V

7.22. Un can de electrones dispara estas partculas contra la pantalla de un tubo de televisin. Los electrones parten del reposo y se aceleran dentro de una diferencia de potencial de 30.0 kV. Cul es la energa de los electrones al chocar contra la pantalla, expresada en (a) eV, (b) J. (c) Cul es la rapidez de los electrones al chocar con la pantalla del tubo de televisin?Resp. (a) 30.0 keV, (b) 4.8 1015 J, (c) 1.03 108 m/s.

7.23. Calcule el trabajo que debe efectuarse para cargar un cascarn esfrico de radio R hasta una carga total Q.

Solucin:

La figura muestra el cascarn esfrico en un momento en que una cantidad infinitesimal de carga dq se est trayendo a su superficie. En el instante mostrado en la figura, el cascarn tiene una carga q ya presente en su superficie. El cascarn, por lo tanto, est al potencial

.

El elemento de carga dq se trae desde el infinito. El trabajo requerido dW para traer un elemento adicional de carga dq al cascarn con potencial V es

El trabajo requerido para acumular una carga total Q es

7.24. Tres cargas puntuales estn en el eje x, q1 en el origen, q2 en x = 3.0 m y q3 en x = 3.0 m. Calcular el potencial elctrico en el punto x = 0, y = 3.0 m si (a) q1 = q2 = q3 = 2.0 C, (b) q1 = q2 = 2.0 C y q3 = 2.0 C, (c) q1 = q3 = 2.0 C y q2 = 2.0 C.Resp. (a) 1.45 104 V, (b) 6.00 103 V, (c) 6.00 103 V.

7.25. Un contador Geiger-Mller es un detector de radiacin que se compone de un cilindro hueco (el ctodo) de radio interior ra y un alambre cilndrico coaxial (el nodo) de radio rb. La carga por unidad de longitud del nodo es , en tanto que la carga por unidad de longitud del ctodo es . (a) Demuestre que la magnitud de la diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro sensible del detector es

(b) Demuestre que la magnitud del campo elctrico sobre esa regin est dada por

donde r es la distancia desde el centro del nodo al punto donde se va a calcular el campo.

Solucin:

(a) Primero utilizaremos la ley de Gauss para determinar el campo elctrico en la regin sensible del detector. Para esto construimos una superficie gaussiana cilndrica de longitud h y del radio r, con rb a), el potencial elctrico es

donde p = 2qa. Calcule las componentes radial Er y perpendicular Edel campo elctrico asociado. Advierta que E(1/r)(V/(). Estos resultados parecen razonables para ( = 90 y 0(?, para r = 0?

Solucin:

Figura 1. (a) Componentes de en coordenadas polares. (b) Componentes de en coordenadas rectangulares.

(a) Las componentes radial Er y tangencial E deen P son, respectivamente,

Para =90(: y

Para = 0:y

Figura 2.

(a) Cuando = 90,

E = E y Er = 0.(b) Cuando =0,

Er = E y E = 0.

Como se muestra en la figura 2, los resultados para = 90 y para = 0 son segn lo esperado.

Sin embargo, para r = 0, Er = y E = ; estos resultados no son razonables.

(b) Para expresar V en coordenadas rectangulares (ms bien que en coordenadas polares) debemos primero sustituir r y cos (vea la figura 1) en la ecuacin (1) pory

Con estas substituciones la ecuacin (1) se convierte en

de modo que las componentes x e y de en P son

7.28. Consideremos una bola de densidad volumtrica de carga uniforme de radio R y carga total Q. El centro de la bola est en el origen. Utilizar el componente radial Er para calcular el potencial suponiendo que V = 0 en infinito, en (a) cualquier punto exterior a la carga, r > R, y en (b) cualquier punto del interior a la carga, r < R. (c) Cul es el potencial en el origen? (d) Dibujar a V en funcin de r.Resp. (a) V = Q/40r, (b) V = (Q/80R)(3 r2/R2), (c) V = 3Q/80R.

7.29. Una esfera slida de radio R tiene una densidad de carga uniforme y una carga total Q. Derive una expresin para su energa potencial elctrica total (Sugerencia: imagine que la esfera se construye aadiendo capas sucesivas de cascarones concntricos de carga dq = (4 ( r2 dr)( y use dU = V dq.)

Solucin:

La energa potencial elctrica de la esfera cargada es el trabajo hecho al ir aadiendo capas sucesivas de cascarones concntricos de carga dq tradas del infinito.

Imagnese que montamos la esfera acumulando una sucesin de capas de cascarones esfricos finos de un grueso infinitesimal dr a una distancia radial r. En cada etapa del proceso, recolectamos una cantidad pequea de carga dq y la ponemos en una capa delgada de r a r + dr. Continuamos el proceso hasta que llegamos el radio final R. Si q es la carga de la esfera cuando se ha aumentado hasta el radio r, el trabajo hecho en traer dq de carga es

(1)

La carga de la esfera del radio r es

(2)

y el diferencial de carga dq es

dq = dV = (4r2dr)(3)

donde dV = A dr = 4r2 dr es el volumen del cascarn de rea superficial A = 4r2 y grueso dr.

Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1) obtenemos

La energa total requerida para montar la esfera es el integral de dU de r = 0 a r = R, o

o, si deseamos expresar el resultado en trminos de la carga total Q de la esfera, donde

7.30. Calcule el potencial que genera un disco de radio R y densidad superficial de carga ( constante, en un punto ubicado sobre su eje, hallando primero el potencial que produce un anillo de radio r en el punto, y luego integrando este resultado para obtener el potencial que produce el disco.

7.31. La diferencia de potencial elctrico entre puntos de descarga durante una tormenta elctrica en particular es de 1.23 ( 109 V. Cul es la magnitud del cambio en la energa potencial elctrica de un electrn que se mueva entre estos puntos? D su respuesta en (a) Joules, y (b) electrn-voltios (1 eV = 1.60 ( 1019 J).

7.32. Tres cargas de +122 mC cada una, estn colocadas en las esquinas de un tringulo equiltero de 1.72 m de lado. Si se abastece energa a razn de 831 W, cuntos das se necesitarn para mover a una de las cargas al punto medio de la lnea que une a las otras dos?

Resp. 2.17 das.7.33. Dos placas conductoras paralelas y grandes estn separadas por 12.0 cm y portan cargas iguales pero opuestas sobre las superficies que estn encaradas. Un electrn situado a medio camino entre las dos placas experimenta una fuerza de 3.90 ( 1015 N.(a) Calcule el campo elctrico en la posicin del electrn. (b) Cul es la diferencia de potencial entre las placas?

7.34. Al moverse desde A hasta B a lo largo de una lnea de un campo elctrico, este realiza un trabajo de 3.94 ( 10(19 J sobre un electrn en el campo ilustrado en la figura. Cules son las diferencias en el potencial elctrico (a) VB VA (b) VC VA y (c) VC ( VB?

7.35. Dos placas metlicas paralelas y grandes estn separadas por 1.48 cm. y contienen cargas iguales pero opuestas sobre sus superficies enfrentadas. La placa negativa hace tierra y se considera que su potencial es cero. Si el potencial en medio de las placas es de + 5.52 V, cul es el campo elctrico en esta regin?7.36. En un tubo de rayos catdicos el potencial acelerador de los electrones es 60 kV. Determine la energa cintica mxima de los electrones. Busque informacin y describa el efecto que se produce cuando estos electrones acelerados impactan sobre una pantalla de wolframio.

7.37. Un campo elctrico uniforme de valor 2.0 kN/C est en la direccin x. Se deja en libertad una carga puntual Q = 3.0 C inicialmente en reposo en el origen. (a) Cul es la energa cintica de la carga cuando est en x = 4.0 m? (b) Cul es la variacin en la energa potencial de la carga desde x = 0 hasta x = 4.0 m? (c) Cul es la diferencia de potencial V(4.0 m) V(0)? Calcular el potencial V(x) si se toma a V(x) como (d) cero para x = 0, (e) 4.0 kV para x = 0, y (f) cero para x = 1.Resp. (a) 2.4 102 J, (b) 8.0 kV.

7.38. Dos placas conductoras paralelas poseen densidades de carga iguales y opuestas de modo que el campo elctrico entre ellas es uniforme. La diferencia de potencial entre las placas es de 500 V y estn separadas 10.0 cm. Se deja en libertad un electrn desde el reposo en la placa negativa. (a) Cul es el valor del campo elctrico entre las placas? Cul placa est a un potencial ms elevado? (b) Hallar el trabajo realizado por el campo elctrico cuando el electrn se mueve desde la placa negativa hasta la placa positiva. Expresar el resultado en eV y en J. (c) Cul es la variacin en la energa potencial del electrn cuando se mueve desde la placa negativa hasta la positiva? Cul es la energa cintica cuando llega a la placa positiva?

7.39. Una carga positiva de valor 2.0 C est en el origen. (a) Cul es potencial elctrico en un punto a 4.0 m del origen respecto el valor V = 0 en el infinito? (b) Cunto trabajo debe ser realizado por un agente externo para llevar la carga de 3.0 C desde el infinito hasta r = 4.0 m, considerando que se mantiene fija a la carga de 2.0 C en el origen? (c) Cunto trabajo debe ser realizado por un agente externo para llevar la carga de 2.0 C desde el infinito hasta el origen, considerando que la carga de 3.0 C se coloca primeramente en r = 4.0 m y se mantiene fija?

7.40. Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450 V en su superficie. A una distancia radial de 20.0 cm de esta superficie, el potencial es 150 V. Cul es el radio de la esfera y cul es la carga de sta?7.41. Considrense dos esferas conductoras separadas por una gran distancia, 1 y 2, teniendo, la segunda, el doble del dimetro que el de la primera. La esfera ms pequea tiene inicialmente una carga positiva q y la ms grande est inicialmente sin carga. Se conectan ahora las esferas con un alambre delgado y largo. (a)Cmo se relacionan los potenciales finales V1 y V2 de las esferas? (b) Halle las cargas finales q1 y q2 sobre las esferas en trminos de q.

7.42. En el modelo de Bohr del tomo de hidrgeno el electrn se mueve en una rbita circular de radio a0 alrededor del protn. (a) Hallar una expresin de la energa cintica del electrn en funcin de r. Demostrar que a una distancia cualquiera r la energa cintica es la mitad del valor de la energa potencial. (b) Calcular las energas cintica, potencial, y mecnica en eV para a0 = 0.529 1010 m, conocido como el radio de Bohr. La energa que debe suministrarse al tomo para extraer al electrn se llama energa de ionizacin.7.43. Una barra aislada tiene una densidad lineal de carga de ( = 40 (C/m y una densidad lineal de masa de ( = 0.1 kg/m se suelta desde el reposo en un campo elctrico uniforme E = 100 V/m directamente perpendicular a la barra.Determinar la rapidez de la barra despus de que viaja una distancia de 2 m.

7.44. Los puntos A, B, y C estn en los vrtices de un tringulo equiltero de 3.0 m de lado. Cargas iguales positivas de 2.0 C estn en A y B. (a) Cul es el potencial en el punto C? (b) Cunto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5.0 C desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas? (c) Responder las partes (a) y (b) se la carga situada en B se sustituye por una carga de 2.0 C.7.45. Un dipolo est formado por las cargas q en z = a, y +q en z = +a. (a) Demostrar que el potencial en un punto fuera del eje a una distancia grande r desde el origen viene dado aproximadamente por.

Resp..

7.46. Una carga puntual de 3.0 C se encuentra en el origen. (a) Determinar el potencial V sobre el eje x en x = 3.00 m y en x = 3.01 m. (b) Crece o decrece el potencial cuando x crece? Calcular V/x, desde x = 3.00 m hasta x = 3.01 m. (c) Determinar el campo elctrico en x = 3.00 m, y comparar su valor con el de V/x hallado en la parte (b). (d) Determinar el potencial en el punto x = 3.00 m, y = 0.01 m y comparar el resultado con el potencial sobre el eje x en x = 3.00 m. Discutir el significado de este resultado.Resp. (a) V (x = 3.00 m) = 9.00 103 V, V (x = 3.01 m) = 8.97 103 V, (b) El potencial disminuye cuando x aumenta, V/x = 3.00 103 V/m, (c) E = 3.00 103 V/m, (d) V (x = 3.00 m, y = 0.01 m) = 9.00 103 V, V tiene prcticamente el mismo valor en los dos puntos porque se encuentran aproximadamente sobre una superficie equipotencial.

APLICACIONESCdigo de barras.

El cdigo de barras es un mtodo de identificacin automtica de un grupo de datos. La primera patente para un cdigo de barras (US Patent # 2,612,994) fue emitida a los inventores Joseph Woodland y Bernard Silver el 7 de octubre de 1952. Sin embargo para su implementacin se necesit la aparicin de mejores escneres y computadores, utilizndose por primera vez de manera funcional en junio de 1974.

EMBED Equation.3

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Lneas del campo elctrico

Equipotenciales

C

A

B

EMBED PBrush

q2 en (

q3 en (

q4 en (

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

Anodo

Ctodo

Superficie Gaussiana

tapa izquierda

tapa derecha

superficie curva

superficie curva

(

b

a

b

2q

3q

-2q

+q

c

b

a

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