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Preface to Volume 2............................................

General problems in solid mechanics andnon-linearity.........................................................

Introduction........................................................Small deformation non-linear solid mechanicsproblems............................................................Non-linear quasi-harmonic field problems.........Some typical examples of transientnon-linear calculations.......................................Concluding remarks..........................................

Solution of non-linear algebraic equations......Introduction........................................................Iterative techniques...........................................

Inelastic and non-linear materials.....................Introduction........................................................Viscoelasticity - history dependence ofdeformation.......................................................Classical time-independent plasticity theory.....Computation of stress increments.....................Isotropic plasticity models.................................Generalized plasticity - non-associative case...Some examples of plastic computation.............Basic formulation of creep problems.................Viscoplasticity - a generalization.......................Some special problems of brittle materials........Non-uniqueness and localization inelasto-plastic deformations................................Adaptive refinement and localization(slip-line) capture...............................................Non-linear quasi-harmonic field problems.........

Plate bending approximation: thin(Kirchhoff) plates and C1 continuityrequirements........................................................

Introduction........................................................The plate problem: thick and thinformulations.......................................................Rectangular element with corner nodes (12degrees of freedom)..........................................Quadrilateral and parallelograpm elements......Triangular element with corner nodes (9degrees of freedom)..........................................Triangular element of the simplest form (6degrees of freedom)..........................................The patch test - an analytical requirement........Numerical examples..........................................General remarks................................................Singular shape functions for the simpletriangular element..............................................An 18 degree-of-freedom triangular elementwith conforming shape functions.......................Compatible quadrilateral elements....................Quasi-conforming elements..............................Hermitian rectangle shape function...................The 21 and 18 degree-of-freedom triangle........Mixed formulations - general remarks...............Hybrid plate elements........................................Discrete Kirchhoff constraints............................Rotation-free elements......................................Inelastic material behaviour...............................Concluding remarks - which elements?............

Thick Reissner - Mindlin plates - irreducibleand mixed formulations......................................

Introduction........................................................The irreducible formulation - reducedintegration..........................................................

Mixed formulation for thick plates......................The patch test for plate bending elements........Elements with discrete collocation constraints..Elements with rotational bubble or enhancedmodes................................................................Linked interpolation - an improvement ofaccuracy............................................................Discrete exact thin plate limit...........................Performance of various thick plate elements- limitations of twin plate theory.........................Forms without rotation parameters....................Inelastic material behaviour...............................Concluding remarks - adaptive refinement........

Shells as an assembly of flat elements............Introduction........................................................Stiffness of a plane element in localcoordinates........................................................Transformation to global coordinates andassembly of elements........................................Local direction cosines......................................Drilling rotational stiffness - 6degree-of-freedom assembly............................Elements with mid-side slope connectionsonly....................................................................Choice of element.............................................Practical examples............................................

Axisymmetric shells............................................Introduction........................................................Straight element................................................Curved elements...............................................Independent slope - displacementinterpolation with penalty functions (thick orthin shell formulations)......................................

Shells as a special case ofthree-dimensional analysis -Reissner-Mindlin assumptions..........................

Introduction........................................................Shell element with displacement and rotationparameters........................................................Special case of axisymmetric, curved, thickshells.................................................................Special case of thick plates...............................Convergence.....................................................Inelastic behaviour............................................Some shell examples........................................Concluding remarks..........................................

Semi-analytical finite element processes -use of orthogonal functions and finite stripmethods...............................................................

Introduction........................................................Prismatic bar.....................................................Thin membrane box structures..........................Plates and boxes and flexure............................Axisymmetric solids with non-symmetricalload....................................................................Axisymmetric shells with non-symmetricalload....................................................................Finite strip method - incomplete decoupling......Concluding remarks..........................................

Geometrically non-linear problems - finitedeformation..........................................................

Introduction........................................................Governing equations.........................................Variational description for finitite deformation...A three-field mixed finite deformationforumation.........................................................

A mixed-enhanced finite deformationforumation.........................................................Forces dependent on deformation - pressureloads..................................................................Material constitution for finite deformation.........Contact problems..............................................Numerical examples..........................................Concluding remarks..........................................

Non-linear structural problems - largedisplacement and instability..............................

Introduction........................................................Large displacement theory of beams................Elastic stability - energy interpretation...............Large displacement theory of thick plates.........Large displacement theory of thin plates...........Solution of large deflection problems................Shells.................................................................Concluding remarks..........................................

Pseudo-rigid and rigid-flexible bodies..............Introduction........................................................Pseudo-rigid motions.........................................Rigid motions.....................................................Connecting a rigid body to a flexible body.........Multibody coupling by joints..............................Numerical examples..........................................

Computer procedures for finite elementanalysis................................................................

Introduction........................................................Description of additional program features........Solution of non-linear problems.........................Restart option....................................................Solution of example problems...........................Concluding remarks..........................................

Appendix A..........................................................

A1 Principal invariants.......................................A2 Moment invariants........................................A3 derivatives of invariants...............................

Author index........................................................

Subject index.......................................................

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50

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Pa)

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Computational model

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50

0

50

100Dev

iato

ric s

tres

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Pa)

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50

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50

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Experimental

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0.8

0.6

0.4

0.2

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E (y/y)

mea

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T3 MisesExperimental

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2000

1500

1000

500

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Step number

Axi

al lo

ad

T3 DisplQ4 DisplQ9 Displ

(a)

2500

2000

1500

1000

500

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Step number

Axi

al lo

ad

Q4/1 MixedQ9/3 Mixed

(b)

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900

1080

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900

60

Weldregion

1000

1080

0.545C

B

A

Contours for plastic zoneat different pressures (lb/in2)

E = 29120000 lb/in2

= 0.3y = 40540 lb/in2

No strain hardening

760

(a)

1.60 in

19.3

0in

0.125 in

2.8125 in

0.25 in

8.687 in

Pressure P

EA

B

0

1400

1200

1000

800

600

400

200

010 20 30 40 50

Vertical deflection of point A (x 103 in)

Pre

ssur

ep

(lb/in

2 )

Experimental results Dinno and Gill76

Finite element analysis

(b)

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Prescribedload q

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1

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Stiff platen

(a)

Material propertiesc = 10 kN/m2

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= 0.25

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

App

lied

pres

sure

q (

kN/m

2 )

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0Displacement (m x 104)

= 45, = 3.52 = 30, = 3.35 = 15, = 3.11 = 00, = 2.77

Smooth platen(associated and non-associated)

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c N

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Associated ( = = 45) Non-associated ( =0, = 45)

(b)

(c)

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5

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(b)

(a)

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1234

1020

3040

5

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C

C

B

B

A

A

CL68 in

P

(a) Mesh used Cracking at maximum load2 in2 steel reinforcement

12in

10in

02400 01200 0150

Uncracked section

ElasticElastic

Compression Tension

(b) (c) (d)

x (lb/in2)

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(a)

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u

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EH

1

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1

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(a)

u1 u2

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Localizedfailure

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1

Work dissipated in failureper unit volume

y

(b)

(c)

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2 cm

A

P

P

8 cm

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100000 kg/cm2

0.3

1000 kg/cm2

(Von Mises criterion)

(a)

Fine mesh

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1200

1000

800

600

400

200

00 0.01 0.02 0.03 0.04

Displacement

Rea

ctio

nExact

Adaptive

(c)

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Direction ofprincipalvariation

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(a)

(b)

(c)

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Rigid andrough footing

10m

10 m

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F

u x =

0ty

= 0

t x =

0ty

= 0

B = 5 m

(a) (b)

(c) (d)

2.50

2.25

2.20

1.75

1.50

FB

Cu

2 4 6 8

theoretical limitingF

BCuload = 2.0 [31]

mesh 6 (adaptive mesh)6C/3C, H = 0.0mesh 3 (coarse bad mesh)6C/3C, H = 0.0

EBCu(e)

2.50

2.25

2.20

1.75

1.50

FB

Cu

2 3 4 5 6

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EBCu(f)

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3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Displacement

P

coarse meshfine meshadaptive

adaptive and optimal

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(b)

(c)

(a)

F

Rigid andrough footing

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20 m

10m

uy = 0 tx = 0

u x =

0ty

= 0

u x =

0ty

= 0

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1

2

(a)

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

00 0.2 0.6 1.0

C

entr

e 0 crit

= 1

.23

y

xLower solution

y

xUpper solution

= 0.06

= 0

= 0

= 0.5

= 0.41

= 0.36

= 0.18

= 0.17 = 0.24 = 0.30

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= 3.41

= 3.0

(b)

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