23
31 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas Remigijus Leipus Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos institutas Naugarduko g. 24 LT-03225 Vilnius El. p. [email protected] Rimas Norvaiša Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos institutas Naugarduko g. 24 LT-03225 Vilnius El. p. [email protected] Straipsnyje toliau apþvelgiama modernioji finansø rinkos teorija ir keletas kitø naujausiø teorijø. Matematiniai finansø inþinerijos aspektai atskleidþiami aptariant pasirinkimo pirkti sandorio sàþiningosios kainos problemà. Daugiausia dëmesio skiriama F. Black ir M. Scholes pasiûlytam ðios problemos sprendimui. Finansø ekonometrijos uþdaviniai grindþiami rinkos stilizuotais faktais, aptariami jø modeliavimo bûdai ir problemos. Straipsnio pabaigoje apþvelgiamos efektyviosios rinkos hipotezës adekvatumo problemos ir galimi jø sprendimai. Pagrindiniai þodþiai: modernioji finansø rinkos teorija; efektyviosios rinkos hipotezë; finansø inþinerija; Black-Scholes formulë; finansø ekonometrija; finansø rinkos anomalijos; elgsenos finansø teorija; finansø rinkos veikëjø teorija. Ávadas Antrame straipsnyje, skirtame finansø rinkos teorijoms, aptariamos tos jø dalys, kurios yra tiesiogiai susijusios su taikymu. Pirmame straipsnyje (Leipus, Norvaiða 2003) aptarta finansø rinkos matematinio modelio samprata ir efektyviosios rinkos hipotezë (ERH). Aiðkintos akcijos kainos ir gràþos sàvokos, sàþiningojo loðimo hipotezë, aptarta analitinë ERH forma ir fundamentaliosios vertës sàvoka. Ypaè daug dëmesio skirta diskretaus ir tolydaus laiko modeliavimo ypatybëms iðryðkinti bei problemoms, susijusioms su tolydaus laiko kainos kitimo apraðymu. Nagrinëta, kaip akcijos kainos kitimas apraðomas geometriniu Wiener procesu ir keliais alternatyviais procesais. Straipsnyje siekta iðdëstyti pagrindinius finansø matematikos rezultatus. Pristatant arbitraþo teorijà, paaiðkintos pirmoji ir antroji fundamenta- liosios vertybiø ákainojimo teoremos bei pagrindinës sàvokos: bearbitraþë rinka, rizikai neutralus matas ir pilnoji rinka. Aptariant portfelio teorijà, atskleista, kaip kapitalo vertybiø ákainojimo modelá nusako efektyviojo portfelio savybës. Ðiame straipsnyje, vartojant tas paèias sàvokas ir sutartinius þenklus, modernioji finansø rinkos teorija apþvelgiama toliau. Pirmame skyriuje aptariami finansø inþinerijos matematiniai aspektai. Nagrinëjant pasirinkimo pirkti sandorá, nurodomas sàþiningosios kainos problemos sprendimas, t. y. Black-Scholes formulë (straipsnio priede pateikiamas vienas pirmøjø ðios formulës árodymø). Be to, aiðkinama, kaip ði formulë iðvedama remiantis rizikai neutralaus mato egzistavimu. Pirmo skyriaus pabaigoje trumpai apþvelgiamos ir kitos finansø inþinerijos kryptys. Remigijus Leipus – profesorius, fiziniø mokslø habilituotas daktaras, Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto Ekonometrinës analizës katedra, Matematikos ir informatikos instituto vyriausiasis mokslo darbuotojas. Veiklos sritys: laiko eiluèiø analizë, finansø ekonometrika, finansø matematika. Darbas ið dalies remiamas Lietuvos valstybinio mokslo ir studijø fondo pagal programà „Lietuvos ekonomikos matematiniai modeliai makroekonominiams procesams prognozuoti“ (registracijos Nr. C-03004). Rimas Norvaiða – profesorius, fiziniø mokslø habilituotas daktaras, Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto Ekonometrinës analizës katedra, Matematikos ir informatikos instituto vyriausiasis mokslo darbuotojas, Bachelier finansø draugijos narys. Veiklos sritys: ðiurkðèiøjø funkcijø analizë, finansø matematika ir matematinë ekonomika. FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS

FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

31

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

Remigijus Leipus

Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos institutasNaugarduko g. 24LT-03225 VilniusEl. p. [email protected]

Rimas Norvaiša

Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos institutasNaugarduko g. 24LT-03225 VilniusEl. p. [email protected]

Straipsnyje toliau apþvelgiama modernioji finansø rinkos teorija ir keletas kitø naujausiø teorijø.Matematiniai finansø inþinerijos aspektai atskleidþiami aptariant pasirinkimo pirkti sandoriosàþiningosios kainos problemà. Daugiausia dëmesio skiriama F. Black ir M. Scholes pasiûlytam ðiosproblemos sprendimui. Finansø ekonometrijos uþdaviniai grindþiami rinkos stilizuotais faktais,aptariami jø modeliavimo bûdai ir problemos. Straipsnio pabaigoje apþvelgiamos efektyviosios rinkoshipotezës adekvatumo problemos ir galimi jø sprendimai.Pagrindiniai þodþiai: modernioji finansø rinkos teorija; efektyviosios rinkos hipotezë; finansø inþinerija;Black-Scholes formulë; finansø ekonometrija; finansø rinkos anomalijos; elgsenos finansø teorija;finansø rinkos veikëjø teorija.

Ávadas

Antrame straipsnyje, skirtame finansø rinkos teorijoms, aptariamos tos jø dalys,kurios yra tiesiogiai susijusios su taikymu. Pirmame straipsnyje (Leipus, Norvaiða2003) aptarta finansø rinkos matematinio modelio samprata ir efektyviosios rinkoshipotezë (ERH). Aiðkintos akcijos kainos ir gràþos sàvokos, sàþiningojo loðimohipotezë, aptarta analitinë ERH forma ir fundamentaliosios vertës sàvoka. Ypaèdaug dëmesio skirta diskretaus ir tolydaus laiko modeliavimo ypatybëms iðryðkintibei problemoms, susijusioms su tolydaus laiko kainos kitimo apraðymu. Nagrinëta,kaip akcijos kainos kitimas apraðomas geometriniu Wiener procesu ir keliaisalternatyviais procesais. Straipsnyje siekta iðdëstyti pagrindinius finansø matematikosrezultatus. Pristatant arbitraþo teorijà, paaiðkintos pirmoji ir antroji fundamenta-liosios vertybiø ákainojimo teoremos bei pagrindinës sàvokos: bearbitraþë rinka,rizikai neutralus matas ir pilnoji rinka. Aptariant portfelio teorijà, atskleista, kaipkapitalo vertybiø ákainojimo modelá nusako efektyviojo portfelio savybës.

Ðiame straipsnyje, vartojant tas paèias sàvokas ir sutartinius þenklus, moderniojifinansø rinkos teorija apþvelgiama toliau. Pirmame skyriuje aptariami finansøinþinerijos matematiniai aspektai. Nagrinëjant pasirinkimo pirkti sandorá, nurodomassàþiningosios kainos problemos sprendimas, t. y. Black-Scholes formulë (straipsniopriede pateikiamas vienas pirmøjø ðios formulës árodymø). Be to, aiðkinama, kaip ðiformulë iðvedama remiantis rizikai neutralaus mato egzistavimu. Pirmo skyriauspabaigoje trumpai apþvelgiamos ir kitos finansø inþinerijos kryptys.

Remigijus Leipus – profesorius, fiziniø mokslø habilituotas daktaras, Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikosfakulteto Ekonometrinës analizës katedra, Matematikos ir informatikos instituto vyriausiasis mokslo darbuotojas.Veiklos sritys: laiko eiluèiø analizë, finansø ekonometrika, finansø matematika. Darbas ið dalies remiamas Lietuvosvalstybinio mokslo ir studijø fondo pagal programà „Lietuvos ekonomikos matematiniai modeliai makroekonominiamsprocesams prognozuoti“ (registracijos Nr. C-03004).

Rimas Norvaiða – profesorius, fiziniø mokslø habilituotas daktaras, Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikosfakulteto Ekonometrinës analizës katedra, Matematikos ir informatikos instituto vyriausiasis mokslo darbuotojas,Bachelier finansø draugijos narys.Veiklos sritys: ðiurkðèiøjø funkcijø analizë, finansø matematika ir matematinë ekonomika.

FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS

Page 2: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

32

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

Antrame skyriuje, skirtame finansø ekonometrijai, aptariami pagrindiniaifinansø rinkos stilizuoti faktai, o jø modeliavimo ypatumai atskleidþiami laiko eiluèiømodeliais. Skyriaus pabaigoje pristatoma nauja finansø ekonometrijos kryptis, kuriorientuojasi á atsitiktinio proceso, pasirenkamo modeliuojant kainos kitimà,trajektorijos statistiná vertinimà.

Treèiame skyriuje apþvelgiamos naujausios finansø rinkos teorijos. Daugiausiadëmesio skiriama ERH problemoms, kylanèioms, kai mëginama paaiðkinti finansørinkos anomalijas. Atskleidþiama, kaip ðias problemas ketina spræsti dvi toliausiaipaþengusios teorijos: elgsenos finansø teorija ir finansø rinkos veikëjø teorija. Beto, apþvelgiama ir keletas kitø naujausiø finansø rinkos teorijø.

1. Finansø inþinerija

Tarkime, kad rizikingas vertybinis popierius (akcija, portfelis ar kt.) aprašomasatsitiktiniu procesu ( ) TttSS ≤≤= 0: , apibrëþtu tikimybinëje erdvëje ( P , ,FΩ ).Dabarties laiko momentu t = 0 bûsimoji ðio vertybinio popieriaus kaina ( )TS

neþinoma, nes priklauso nuo dabar neþinomo ateities scenarijaus Ω. Ðineþinomybë sukuria rizikà. Norint jà sumaþinti, galima pirkti iðvestinæ finansinæpriemonæ, vadinamà pasirinkimo sandoriu (option).

Panagrinëkime pasirinkimo pirkti sandorá (call option). Jis suteikia teisæ pirktivertybiná popieriø S laiko momentu t = T uþ ið anksto sutartà vykdymo kainà K. Taireiškia, kad sandorio išmoka laiko momentu t = T yra tokia:

( ) ( )[ ] ( ) .,0,,max:,: Ωωωωω ∈−=−=+

KTSKTSH (1)

Kokia yra šio sandorio sàþiningoji kaina (fair price) pradiniu momentu t = 0, kai jofinansinë iðmoka H yra neþinoma? Paþymëkime ðià kainà V.

Iki 1973 m., kol nebuvo iðspausdinti fundamentalûs Fisher Black ir MyronScholes (1973) bei Robert C. Merton (1973) straipsniai, visuotinai priimto atsakymoá ðá klausimà nebuvo. Tradiciniu aktuarijø poþiûriu, sàþiningoji kaina (ji galëjo bûtiþinoma dar Christiaan Huygens 1657 m. ir Jacob Bernoulli 1713 m.) bûtø atsitiktiniodydþio H vidurkis tikimybinio mato P atþvilgiu:

( ) ( ).∫==Ω

ωω dPHEHV

Jei toks atsakymas tenkina, belieka pasirinkti vertybinio popieriaus S kainos kitimànusakantá atsitiktiná procesà. Jo pasirinkimas yra viena ið pagrindiniø moderniosiosfinansø rinkos teorijos problemø, nes tenka rinktis tarp modelio adekvatumo ir jomatematinio sudëtingumo.

Pirmame straipsnyje (Leipus, Norvaiða 2003: 7) minëjome, kad 1900 m. LouisBachelier pasiûlë akcijos kainà S modeliuoti taikant matematinæ konstrukcijà, kurivëliau buvo pavadinta Wiener procesu, ir gerokai pastûmëjo á prieká jau ilgus amþiustrukusias pasirinkimo sandorio sàþiningosios kainos paieðkas. Po penkeriø metø,nieko neþinodamas apie L. Bachelier pasiûlymà, Albert Einstein sugalvojo beveiktokià paèià matematinæ konstrukcijà, kuri jam leido ávertinti dalelës judëjimo tamtikra trajektorija tikimybæ. 1921 m. suteikiant A. Einstein Nobelio fizikos moksløpremijà, ðis jo atradimas buvo paminëtas kartu su reliatyvumo ir kvantine teorijomis,o L. Bachelier aukðto ávertinimo negavo net uþ disertacijà „Spekuliacijos teorija“*.

Pagal moderniàjà finansø rinkos teorijà, akcijos kaina S paprastai aprašomageometriniu Wiener procesu, apibrëþtu (I.14)** sàryðiu:

( ) ( ) ( ) ,0,2

1exp0

2TtttWStS ≤≤

−+= σµσ (2)

*Apie L. Bachelier moksliniodarbo aplinkybes rašomaM. S. Taqqu (2001) straips-nyje.**Èia ir toliau (I, ×) nurodo(×) formulæ R. Leipaus irR. Norvaišos (2003) straips-nyje.

Page 3: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

33

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

èia ( ) 0: ≥= ttWW – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas skaièius,vadinamas kintamumu (volatility). Áraðæ ( )TS iðraiðkà á (1) formulæ ir suskaièiavævidurká EH, gautume Huygens-Bernoulli kainà. Taèiau F. Black ir M. Scholes (1973)pasiûlë visiðkai kitoká sàþiningosios kainos problemos sprendimà – tikimybiná matàP reikia pakeisti tokiu tikimybiniu matu P*, kad geometrinis Wiener procesas S taptømartingalu. Tada finansinës iðmokos H sàþiningoji kaina bûtø tokia:

( ) ( )∫==Ω

ωω .dPHHEV **

Ši formulë taikoma tuo atveju, kai rinkoje yra toks nerizikingas vertybinis popieriusS0, kurio kaina visada lygi 1. Jei rinkos nerizikingo vertybinio popieriaus kaina

nusakoma tolydþiøjø sudëtiniø palûkanø norma 0>r , tai sàþiningàjà kainà galimauþrašyti taip:

( ) ( ) ( ),0 TdKedSHeEVrTrT

σΦΦ −−==−−

* (3)

èiaΦ – standartinis normalusis skirstinys, t. y. kiekvienam xR

( ) ,2

1 2/2

∫∞−

=

xu

duexπ

Φ o ( )( ) ( )

.2//0ln

2

T

TrKSd

σ

σ++=

Kodël Black-Scholes kainà reikëtø laikyti „sàþiningesne“ uþ Huygens-Bernoulli kainà?Pirmiausia dël to, kad kiekviena kaina, besiskirianti nuo Black-Scholes kainos, sukuriaarbitraþo galimybæ sandorio pirkëjui arba pardavëjui. F. Black ir M. Scholes (1973),be sàþiningosios kainos nustatymo, numato ir finansavimosi portfelio strategijà,leidþianèià sandorio pardavëjui sukaupti sandorio iðmokai bûtinà pinigø sumà bepapildomø iðlaidø. Dël to maþëja rizika, susijusi su sandorio kaina. Tokia apsauganuo rizikos (hedging), vadinama rizikos draudimu, yra antroji prieþastis Black-Scholes

kainà laikyti „sàþiningesne“ uþ Huygens-Bernoulli kainà.F. Black ir M. Scholes sprendþiant sàþiningosios kainos problemà, daug átakos

turëjo Franco Modigliani ir Merton Miller (1958) straipsnis. Jame autoriai, sumaniaipasirëmæ arbitraþo argumentu, árodë teiginá, kuris prieðtaravo iki tol vyravusiampoþiûriui, kad ámonës vertë priklauso nuo kapitalo struktûros ir dividendø politikos.F. Black ir M. Scholes, pasirëmæ tuo paèiu arbitraþo argumentu, árodë, kad sandoriokaina nepriklauso nuo vertybinio popieriaus S tikëtinos gràþos normos . Tuo jøgauti rezultatai labiausiai ir skyrësi nuo ankstesniø rezultatø.

1.1. Black-Scholes formulë

Pasirinkimo pirkti sandorio sàþiningoji kaina (þr. (3) formulæ) vadinama Black-

Scholes formule. Mark P. Kritzman (2000: 99) jà ávertino taip: „Black-Scholes formulësatradimas reiðkë ne tik tai, kad iðspræsta sudëtinga problema. Tai reiðkë ir iðsamesnáekonomikos suvokimà – sukurti analitiniai finansiniø iðmokø ákainojimo metodai irið pagrindø pakeista rizikos valdymo praktika bei finansø inþinerija“. ToliauM. P. Kritzman (2000: 100) raðë: „<...> be jokios abejonës, [Black-Scholes formulë]yra vienas didþiausiø laimëjimø ekonomikos istorijoje“. Ðis atradimas neliko nepa-stebëtas ir Nobelio premijos atrankos komiteto. 1997 m. spalá M. Scholes kartu suR. C. Merton uþ naujà iðvestiniø finansiniø priemoniø ákainojimo metodà buvo ap-dovanotas Nobelio ekonomikos mokslø premija. Nors Nobelio premija paprastai nërasuteikiama po mirties, buvo nukrypta nuo tradicijos ir ja tiesiogiai paþymëtas 1995 m.mirusio F. Black indëlis sprendþiant pasirinkimo sandoriø ákainojimo problemà.

Black-Scholes formulë (þr. priedà) árodoma tais atvejais, kai:- rizikingos akcijos S kainos kitimas nusakomas tam tikro pavidalo atsitiktiniu

procesu (þr. (2) formulæ), kintamumas þinomas ir yra pastovus visà laikotarpá [0, T ];

Page 4: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

34

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

- nerizikingo vertybinio popieriaus S0 palûkanø norma 0>r þinoma ir yra

pastovi visà laikotarpá [0, T];- uþ rizikingà akcijà S nemokami dividendai, sandorio finansinës operacijos

(transactions) nemokamos;- galima laisvai skolintis arba skolinti bet koká akcijos S kieká.Kas atsitinka tais atvejais, kai bent viena ðiø sàlygø nëra patenkinama, pavyzdþiui,

kai visos sandorio finansinës operacijos yra mokamos? Kadangi akcijos kaina S, okartu ir F. Black bei M. Scholes sukurta finansavimosi strategija kinta be galo daþnai,atrodytø, kad rizikos draudimo reali kaina turëtø bûti begalinë. Tokie klausimai vertëieškoti Black-Scholes formulës apibendrinimø. Tø paieðkø rezultatas – pirmamestraipsnyje aptarta arbitraþo teorija (Leipus, Norvaiða 2003: 17–20), pagal kuriàsandorio ákainojimas grindþiamas pradinio tikimybinio mato P keitimu jamekvivalenèiu ir rizikai neutraliu tikimybiniu matu P*. Remiantis (I.21) formule, kurt = 0, sandorio sàþiningoji kaina apraðoma sàryðiu ( )[ ]

00/ HTSHEV == * , kai

finansinë iðmoka H0 apibrëþta (I.20) lygybe. Ar H

0 reikðmë sutampa su (3) Black-

Scholes formulës deðiniàja puse? Kaip paaiðkës, atsakymas yra teigiamas. Jei tuotikite, galite praleisti ðá kiek matematizuotà árodymà ir pereiti prie naujos temos.

Kad atsakytume á iðkeltà klausimà, reikia gauti (I.20) formulës iðraiðkà tuo atveju,kai finansinë iðmoka H apibrëþta (1) lygybe. Apibrëþkime funkcijà f lygybe( ) ( )[ ]+−= TSKxxf

0/: , kur x – realusis skaièius. Tada finansinë iðmoka (þr. (1)

lygybæ) ágyja toká pavidalà:

( ) ( )( ),0

TSfTSH *=

èia 0

/ SSS =* yra diskontuotos kainos kitimo procesas. Mato P* atþvilgiu S* yradifuzinis procesas su atitinkamu generatoriumi L*. Tarkime, kad ( )txhh ,= yraCauchy uþdavinio

( ) ,,,0 fThht

L =⋅=

∂+*

sprendinys. Pritaikius Itô formulæ, sprendiniui h galioja toks sàryðis:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) .0,,0,0,0

TtsdSssSx

hShttSh

t

≤≤∂

∂+= ∫ ****

Taigi (I.19) lygybë teisinga, kai ( ) ( ) ( )( )ssSxhsH

,/ *∂∂=α ir ( )( )0,00

*ShH = .Naudodamiesi Feynman-Kac sprendinio išraiðka, gauname tokià lygybæ:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ).

2//ln2//ln

2

1,

22

2/2/22

−−+−

−++=

==

∞+

∞−

−−−−

tT

tTrTKxKe

tT

tTrTKxx

duexeftxh

rT

utTtTu

σ

σΦ

σ

σΦ

π

σσ

Dabar jau akivaizdu, kad finansinës iðmokos H0 reikðmë sutampa su (3) Black-Scholes

formulës deðiniàja puse, nes ( ) ( )00 SS =* .

1.2. Kitos finansø inþinerijos kryptys

Pirmiausia reikëtø pasakyti, kad pagal (1) formulæ apskaièiuota sandorio iðmokayra tik viena ið daugelio galimø. Labai panaðiai galima ákainoti pasirinkimo parduotisandorá, kai ateities momento t = T finansinë iðmoka ( )[ ] +−= TSKH . Tokiepasirinkimo pirkti ir parduoti sandoriai dar vadinami europietiðkaisiais pasirinkimosandoriais. Kur kas sudëtingesnio ákainojimo metodo reikia, kai rizika maþinama

Page 5: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

35

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

vadinamuoju amerikietiðkuoju pasirinkimo sandoriu. Jis skiriasi nuo europietiðkojotuo, kad ágyjama teisë pirkti ar parduoti vertybiná popieriø S uþ kainà K bet kuriuomomentu nuo t = 0 iki t = T. Europietiðkojo ir amerikietiðkojo sandoriø kainos galibûti skirtingos. Sunkumø atsiranda tais atvejais, kai finansinë iðmoka yra sudëtingesnënei paprasta maksimumo funkcija. Pavyzdys – vadinamasis vidurkinis, arbaazijietiðkasis, sandoris, kurio finansinë iðmoka momentu t = T yra tokia:

( ) .1

0

+

−= ∫ KdssS

TH

T

Svarbûs tie finansø inþinerijos darbai, kuriuose, apraðant vertybinio popieriausS kainos kitimà, geometriná Wiener procesà (þr. (2) formulæ) siekiama pakeisti kitu,kiek galima realià rinkà labiau atitinkanèiu, atsitiktiniu procesu. Ðiuo metu jau visøpripaþástama, kad prielaida, jog pagrindinis neþinomasis Black-Scholes formulësparametras – kintamumas yra pastovus ir nepriklauso nuo laiko, yra nesuderinamasu daugeliu realioje rinkoje pasitaikanèiø reiðkiniø. Paskutiniu deðimtmeèiu buvosukurta daug teorijø ir modeliø, kuriais siekta kaip nors iðspræsti ðià problemà ar josiðvengti. Visos ðios teorijos paprastai vadinamos stochastinio kintamumo (stochastic

volatility) teorijomis. Kai kurias ið jø aptarsime kitame skyriuje, o èia tik pasakysime,kad paprasèiausia yra nagrinëti gerokai bendresnio pobûdþio kainos kitimà, apraðomàðia stochastine integraline lygtimi:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ,0,00 0 0

TtWddssduSStSt u u

≤≤++= ∫ ∫ ∫ σµ

èia ( ) Ttt ≤≤= 0:µµ ir ( ) Ttt ≤≤= 0:σσ yra tokie atsitiktiniai procesai, sukuriais egzistuoja vienintelis šios lygties sprendinys

( ) ( ) ( )( )

.2

exp000

2

+

−+= ∫∫

tt

Wddss

sStS σσ

µ (4)

Be to, atsitiktinis procesas , vadinamas kintamumo funkcija, turi bûti grieþtaiteigiamas. Toká ðios funkcijos pavadinimà pateisina tolydaus laiko gràþos proceso,apibrëþto (I.31) lygybe, išraiška:

( ) ( ) .0,:0 00

TtWddssS

dStR

t tt

≤≤+== ∫ ∫∫ σµ (5)

Tuo atveju, kai ( ) µµ ≡t , o ( ) σσ ≡t , vertybinio popieriaus kaina S yra tas patsgeometrinis Wiener procesas (þr. (2) formulæ). Europietiðkojo pasirinkimo sandoriosàþiningàjà kainà nustatyti tuo atveju, kai vertybinio popieriaus S kainos kitimasnusakomas (4) lygybe, galima modifikuojant ankðèiau apraðytà metodà. Tuo tikslutenka apibendrinti arbitraþo, pilnosios rinkos ir sandorio dinamiðkojo atkartojimosàvokas (Shiryaev 1999). Tai, kad (4) lygybës kintamumo funkcija gali bûtiatsitiktinë, leidþia adekvaèiau modeliuoti kainø pokyèius.

2. Finansø ekonometrija

Finansø ekonometrija yra ekonometrijos mokslo ðaka, ðio mokslo metodustaikanti finansø rinkai tirti. Finansø ekonometrijos tyrimai apima ne tik finansiniøduomenø savybes, bet ir tai, kaip finansø rinkos modeliai atitinka realià rinkà. Ðiuometu pagal tyrimo objektà galima skirti bent dvi finansø ekonometrijos kryptis. Vienaið jø orientuojasi á ekonometriniø modeliø, leidþianèiø apraðyti tiriamø finansiniøduomenø savybes, paieðkà. Paprastai tokie modeliai kuriami iðskiriant keletàkintamøjø ir juos susiejant funkcine priklausomybe, pasiþyminèia pageidaujamomis

Page 6: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

36

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

savybëmis. Tais atvejais, kai finansiniai duomenys stebimi vienodais laiko tarpais,pagrindiniai ekonometriniai modeliai yra finansiniø laiko eiluèiø modeliai. Taèiaukuriami ir skirtingiems laiko tarpams bûdingas finansiniø duomenø savybes leidþian-tys atskleisti modeliai. Kaip tokiø ekonometriniø modeliø pavyzdá galima nurodytiávairius tolydaus laiko atsitiktinius procesus.

Pirmame straipsnyje aptarta finansø rinkos modelio samprata (Leipus, Norvaiða2003: 10–16) skiriasi nuo ðiame skyriuje minimo ekonometrinio modelio sampratos –pastarasis ið esmës grindþiamas statistiniais metodais. Kuriant finansø rinkos modelá,daromos ávairios teorinës prielaidos: ERH, arbitraþo nebuvimo, atsitiktinioklaidþiojimo hipotezës ir pan. Statistinis vertinimas, kaip tokios teorinës prielaidosatitinka realius finansinius duomenis, ir yra kitos finansø ekonometrijos kryptiespagrindas*.

Reikëtø paminëti, kad paskutinájá deðimtmetá á finansø ekonometrijos tyrimusypaè aktyviai ásitraukë fizikai. Jie ne tik ëmë taikyti naujus tyrimo metodus, bet irpirmieji pradëjo kaupti bei tirti duomenis, dabar vadinamus labai aukðto daþnioduomenimis (keliø sekundþiø trukmës laiko intervalai). Tai leido aptikti naujas kainøkitimo savybes ir empiriðkai tirti tolydaus laiko finansø rinkos modelius. Ði veiklossritis sparèiai plëtojasi. Ji daþnai vadinama statistine finansø teorija, finansø rinkosstatistine mechanika arba tiesiog ekonofizika, o ðios srities tyrëjai – „kvantais“(quants = quantitative analysts). Ekonofizika apima ne tik statistinæ finansiniø duomenøanalizæ. Kaip raðo vienas ðios srities pradininkø ir lyderiø Jean-Philippe Bouchaud(2002: 238), remdamasi naujausiais empiriniais duomenimis, ekonofizika siekiatobulinti rizikos modelius, iðvestiniø finansiniø priemoniø ákainojimo metodus ir kurtinaujus kainos susidarymo mechanizmø modelius, kurie leistø geriau paaiðkinti rinkøanomalijas**.

2.1. Stilizuoti faktai

Empiriðkai tiriant finansø rinkà, faktus neretai siekiama paaiðkinti ekonominës,politinës ar kitokios informacijos pasirodymo aplinkybëmis. Atrodytø, kad tokiøskirtingø finansiniø priemoniø, kaip grûdø ateities pardavimo sandoriai, IBM akcijosar valiutos kursai, kitimo savybës turëtø bûti skirtingos, nes yra lemiamos nevienodøaplinkybiø. Bet paskutiniojo ðimtmeèio kainø kitimo tyrimai rodo, kad statistiniupoþiûriu visi ðie vertybiniai popieriai turi daug bendrø bruoþø. Bendros skirtingørinkø vertybiniø popieriø kitimo savybës paprastai vadinamos stilizuotais faktais(stylized facts).

Bene patys paprasèiausi finansiniø, kaip ir kitø ekonominiø, duomenø stilizuotifaktai yra pastovus didëjimas ir sezoniðkumas. Pirmasis ið jø – tai vertybiniø popieriøkainø didëjimas, o antrasis – kainø priklausomumas nuo tokiø veiksniø, kaip metølaikai, Kalëdos ir pan. Sezoniðkumas apraðomas periodine funkcija ir paprastaipaðalinamas ið kainos taikant standartinius metodus. Taigi akcijos kaina priklausonuo veiksniø, lemianèiø jos didëjimo tendencijà, ekonometrijoje vadinamà trendum(t), ir nuo ávairiausiø atsitiktiniø poveikiø, kurie vadinami „triukšmu“ X(t) arbaatsitiktinius svyravimus atitinkanèia ciklo dalimi. Paprastai tariama, kad

( ) TttXX ≤≤= 0: yra stacionarusis atsitiktinis procesas. Remiantis ekonominiaisargumentais, vertybinio popieriaus kainos ( ) TttSS ≤≤= 0: elgsena aprašomafunkcija ( ) ( )

( )X t

S t m t e= . Trendo funkcija m modeliuojama dviem pagrindiniaisbûdais. Vienu bûdu trendas nusakomas neatsitiktine funkcija ( ) t

Aetmµ

= , èia irA yra konstantos. Tokiu atveju kainos logaritmas yra tokio pavidalo:

( ) ( ),ln tXttS ++= µα

èia Aln:=α . Trendo funkcijà m modeliuojant antruoju bûdu, remiamasi buvusiakainos reikðme ( )∆−tS ir parametru taip, kad ( ) ( ) ∆µ

∆ etStm −= . Šiuo atveju

*Kai kuriuos ðios krypties dar-bø rezultatus paminëjome, ap-tardami atskiras finansø rin-kos teorijos dalis, o iðsamiàðios krypties darbø apþvalgàgalima rasti, pavyzdþiui,J. Y. Campbell, A. W. Lo,A. C. MacKinlay (1997) irA. W. Lo, A. C. MacKinlay(1999) knygose. Ðiame skyriu-je apþvelgsime tik finansiniøduomenø savybiø tyrimà.**Daþniausiai ekonofizikos ty-rimø rezultatai skelbiami tikfizikø þurnaluose, jø veiklaplëtojasi atskirai nuo finansøekonomistø veiklos. Pavyz-dþiui, J.-P. Zigrand (2001: 11)paþymi: „atrodo, kad daugelisautoriø [fizikø] ignoruoja gau-sià finansø literatûrà, kuriojejau buvo sprendþiamos tos pa-èios problemos, ir apskritaivengia kontaktø su finansøekonomistø bendruomene“. Ovienas ið ekonofizikos pradi-ninkø J. D. Farmer (1999: 26),dirbantis Santa Fe institute,raðo: „Ne be pagrindo dauge-lis ekonomistø mano, kad fizi-kø pasirodymas jiems priklau-sanèiame pasaulyje yra tiesiogfizikø áþûlumo, puikybës irarogancijos atspindys. Fizikainiekada nepasiþymëjo kuklu-mu, o kai kurie ið jø taip pa-teikia savo mintis, kad tik darlabiau sustiprina ðá stereotipà.Bus sunku áveikti kultûrinábarjerà, skiriantá ðias dvi gru-pes“. Apie ekonofizikos iðta-kas, keliamus uþdavinius ir pa-vojus, kylanèius, kai fizikosmetodai taikomi ekonomiko-je, daugiau paskaityti galimaZ. Burda, J. Jurkiewicz irM. Nowak (2003) straipsnyje.

Page 7: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

37

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

trendas aprašomas atsitiktine funkcija, todël modelis vadinamas stochastinio trendomodeliu. Esant stochastiniam trendui, kainos logaritmas yra tokio pavidalo:

( ) ( ) ( ).lnln tXtStS ++−= ∆µ∆

Kuris ið ðiø dviejø bûdø labiau tinka finansø rinkos stilizuotiems faktams modeliuoti,paaiðkëja, patikrinus atitinkamas statistines hipotezes.

Finansiniø duomenø savybëms analizuoti paprastai taikomas stochastinio trendomodelis, nes realûs duomenys neprieðtarauja, kad ( ) ( )∆−− tStS lnln transformacija„elgiasi“ kaip stacionaraus atsitiktinio proceso trajektorija. Be to, tokia transforma-cija nepriklauso nuo kainos matavimo vienetø. Tolesnei kainos analizei reikëtø taikytisubtilesnius metodus „triukðmo“ komponentei X tirti.

Tam tikram laiko intervalui ],0( T∈∆ logaritmine gràþa, arba tiesiog gràþa (jeiaiðku ið konteksto), vadinama tokia kainos transformacija:

( ) ( ) ( )( ) [ ] ;//:, ..., ,1,1lnln:, ∆∆∆∆∆ TTNNttStStr ≤==−−= (6)

èia [x] þymi realiojo skaièiaus x sveikàjà dalá. Toliau ∆/1 vadinsime daþniu. Daugelyjeekonometriniø modeliø, panaðiai kaip ir diskretaus laiko finansø rinkos modelyje,

1=∆ . Tokiu atveju gràþà þymësime ( )1,: trrt= , Tt ..., ,1= . Daþniausiai skaièiuo-

jamos kasdieniø duomenø logaritminës gràþos. Paskutiniuoju deðimtmeèiu atsiradotechniniø galimybiø kaupti bei analizuoti ir vadinamuosius aukðto daþnio duomenis.Kaip bus raðoma toliau, empirinës logaritminiø gràþø savybës priklauso nuo daþnio.Be þemo daþnio duomenø, kai ∆ yra metai ar mënesiai, nagrinëjami ir aukðto daþnioduomenys, kai ∆ yra valandos ar minutës, bei labai aukðto daþnio duomenys, kai∆ yra sekundës, ar net nuosekliai fiksuojami visi kainø pokyèiai, t. y. duomenysneagreguojami.

Kaupiamø aukðto daþnio duomenø statistinei analizei imamos taikyti ðiuolaikinësmatematikos teorijos. Kaip pavyzdá galima nurodyti sparèiai populiarëjanèiusfunkcinës duomenø analizës metodus, kai aukðto daþnio duomenys aproksimuojamiatsitiktine funkcija su reikðmëmis atitinkamoje funkcinëje erdvëje (Laukaitis 2001;Laukaitis, Raèkauskas 2002).

Viena ið svarbiausiø finansiniø duomenø empirinës analizës sàlygø yra statistiniøsavybiø invariantiðkumas laiko atþvilgiu. Jei praeities duomenø savybës neturi niekobendra su dabarties ir ateities kainø kitimu, tai tirti tokius duomenis beprasmiðka.Todël svarbi statistinës analizës prielaida yra funkcijos ( )∆,⋅r stacionarumo hipotezë:kiekvienam

ktt ...,,

1 ir s atitinkamø vektoriø ( ) ( ) ∆∆ , ..., ,,

1 ktrtr ir

( ) ( ) ∆∆ , ..., , ,1

strstrk++ tikimybiniai skirstiniai yra lygûs. Jei ði prielaida teisinga,

tai nuo t nepriklauso nei funkcija ( ) ( )( )utrPuF >= ∆∆

,: , 0>u , vadinama gràþosskirstinio uodega, nei kovariacija vadinama funkcija ( ) ( ) ( )( )∆∆

∆,,,Cov: strtrsC += *.

Stacionarumo prielaida nëra vienintelë bûtina „triukðmo“ komponentës statis-tinio tyrimo sàlyga. Bûtina tikrinti ir tai, ar naudojami statistiniai áverèiai konverguojaá atitinkamas „triukðmo“ charakteristikas, nes prieðingu atveju tos charakteristikosgali ir neegzistuoti. Pavyzdþiui, jei tokia charakteristika yra ( )( )∆ ,trEf , pagal sta-cionarumo prielaidà – nepriklausanti nuo t, tai reikëtø ásitikinti, kad, didinant N,suma ( ) ( )( )∑

=

N

ttrfN

1 ,/1 ∆ kuria nors prasme artëja prie baigtinio skaièiaus.

Stilizuoti faktai sietini su ávairiais reiðkiniais. Svarbiausi ið jø – skirstinio uodegair kovariacijos elgsena.

Skirstinio sunkios uodegos. Dideli kainø pokyèiai rinkoje vyksta daug daþniaunei tuo atveju, jei logaritminës gràþos bûtø apibûdinamos normaliuoju skirstiniu.Ðis efektas galëtø bûti paaiðkinamas tuo, kad logaritminës gràþos skirstinys turi sunkiàuodegà, t. y. kuriam nors baigtiniam skaièiui a > 0 galioja sàryðis ( ) a

uuF−

≈∆

, kai∞→u . Paþymëtina, kad Wiener proceso W pokyèiai ( ) ( )∆−− tWtW turi normaløjá

skirstiná, kurio uodega vadinama lengva. Vienas pirmøjø sunkiø uodegø efektà pa-

*Èia ir toliau visiems baigtinædispersijà turintiems atsitikti-niams dydþiams ηξ , þymëtinaudojame tokius standarti-nius kovariacijos ir koreliaci-jos þymenis:

( ) ( )( )ηηξξηξ EEE −−=:,Cov

ir ( ) ( ) ./,Cov:,Corr ηξηξηξ DD=

Page 8: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

38

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

stebëjo Benoit Mandelbrot (1963, 1997). Jis pasiûlë W keisti simetriniu -stabiliuojuprocesu

αX . Priminsime, kad

αX pokyèiø skirstiniai turi sunkias uodegas, kuriø

2<=αa . Taèiau vëlesni tyrimai parodë, kad finansiniø duomenø logaritmines gràþasgeriau aproksimuoja tie sunkias uodegas turintys skirstiniai, kuriø parametras yra

42 << a . Be to, pastebëta, kad skirtingø logaritminës gràþos daþniø uodegø savy-bës yra nevienodos. Kol kas iðsamiausiai iðtirtos kasdieniø duomenø logaritminësgràþos.

Asimetrija. To paties absoliutinio dydþio logaritminës gràþos eina su nevienododydþio kintamumo reikðmëmis – kintamumas bûna didesnis po neigiamos gràþos,t. y. kritus kainai. Ðis reiðkinys paprastai aiðkinamas jautresniu investuotojø reagavimuá neigiamà nei á teigiamà informacijà. Dël tokios asimetrijos kovariacija tarp gràþosir bûsimø kintamumo reikðmiø yra neigiama. Ði kovariacijos savybë dar vadinamasverto efektu (leverage effect) (Black 1976).

Kintamumo klasterizacija. Tikëtina, kad finansiniø duomenø didelio kintamumolaikotarpiai ir maþo kintamumo laikotarpiai eina vienas paskui kità, t. y. galima matytikintamumo klasterizacijà.

Taylor efektas. Paèios gràþos rt yra beveik nekoreliuotos, o jø absoliutiniø dydþiø

laipsniø δ

tr ( )0>δ koreliacija yra nenulinë. Stipriausia koreliacija pasitaiko abso-

liutiniø gràþø atveju, kai 1=δ . Ðià savybæ pirmà kartà paminëjo Stephen J. Taylor(1986), todël ji kartais vadinama Taylor efektu.

Ilgalaikë atmintis. Koreliacijos tarp δ

tr ir

δ

sr ávertis, didëjant st − , „gæsta“

lëtai – panaðiai kaip laipsninë funkcija. Tas pat pasakytina ir apie kintamumo áverèiøkoreliacijà. Dar sakoma, kad ðie dydþiai pasiþymi stipriu pastovumu (persistence).Gràþø kvadratø ar absoliutiniø dydþiø ilgalaikæ atmintá mëginama pagrásti ávairiomishipotezëmis, kuriø daugelis remiasi ávairiø nestacionarumø (trendø, ðuoliø ir pan.)egzistavimu (Lobato, Savin 1998). Taèiau tebëra daug neaiðkumø, o paaiðkinti ðáilgalaikës atminties fenomenà – vienas aktualiausiø ðiuolaikinës finansø ekonomet-rijos uþdaviniø.

Suminë Gauso savybë. Esant þemesniems daþniams, logaritminiø gràþø ( )∆,tr

skirstinys (ávairiø jis yra skirtingas) tampa vis labiau panaðus á normaløjá skirstiná.Tai, kad kai kurie stilizuoti faktai nevienodi esant skirtingiems daþniams, rodo,

kad diskretaus laiko finansø rinkos modeliai nëra pakankamai tobuli.Finansø rinkos stilizuotiems faktams modeliuoti taikomi ávairûs laiko eiluèiø

metodai. Ið kitø ðiam tikslui skirtø metodø paminësime ekonofizikos metodus,pagrástus neseniai aptikta analogija tarp turbulencijos reiðkinio, bûdingo hidrodina-mikai, ir valiutos kursø kitimo (Mantegna, Stanley 2000; Voit 2001). Dar vienasmetodas, leidþiantis modeliuoti finansø rinkos stilizuotus faktus, yra finansø rinkosveikëjø teorija, kurià aptarsime paskutiniame skyriuje.

2.2. Ekonometriniai laiko eiluèiø modeliai

Vienas ið pagrindiniø finansø ekonometrijos uþdaviniø – sukurti tokiusekonometrinius modelius, kurie leistø kiek galima tiksliau apraðyti aptinkamusstilizuotus faktus. Kai empiriniai duomenys nepriklauso nuo laiko intervalo,daþniausiai taikomi laiko eiluèiø modeliai. Modeliø pavadinimas rodo, kad duomenysinterpretuojami kaip kryptinga atsitiktiniø dydþiø seka X

t, t = 0, 1, 2, ..., kur t indek-

sas yra diskretaus laiko kintamasis. Tokios sekos narius susiejæ funkcine priklau-somybe, turësime laiko eilutës modelio pavyzdá.

Gráþkime prie finansø rinkos stilizuotø faktø. Silpna logaritminiø gràþø kore-liacija lyg ir reikðtø, kad gràþas galima laikyti nepriklausomais ar beveik nepriklauso-mais atsitiktiniais dydþiais. Jei taip, tai silpna koreliacija turëtø bûti ir tarp bet kuriølogaritminës gràþos funkcijø. Tai nëra áprastiniø laiko eiluèiø savybë. Pavyzdþiui, jeiXt, t = 0, 1, ..., yra stacionarus Gauss procesas, kur kovariacinë funkci ja

Page 9: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

39

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

( ) 1–2

0~,Cov

d

tCtXX , 2/10 << d , tai 2

tX kovariacija ekvivalenti funkcijai 24 −d

t ,kuri yra maþesnë uþ funkcijà 12 −d

t su visais t = 2, 3, ... . Taèiau tai prieðtarauja Taylor

efektui, pagal kurá logaritminiø gràþø koreliacija nusveriama kintamumo koreliacijos.Matematiðkai ði savybë paprasèiausia išreiškiama taip:

( ) ( ) ,,,t

ttr ε∆σ∆ =

èiat

ε – nepriklausomi vienodai pasiskirstæ (daþniausiai – standartiniai normalieji)atsitiktiniai dydþiai, o ( ) 0 , >∆σ t – atsitiktinis dydis. Daþniausiai ( )∆σ ,t yra gràþossàlyginis vidutinis kvadratinis nuokrypis ( ) ( )( )

∆∆

1|,

−ttrD F , kai

τF þymi informacijà,

prieinamà iki momento imtinai. Toliau aptarsime tik toká atvejá, kai 1=∆ :

..., ,2 ,1 ,0, == trttt

εσ (7)

èia ( )1,: trrt= ir ( )1,: t

tσσ = . Siekdami atskleisti šio modelio savybes, tarkime, kad

kiekvienam ... ,2 ,1=t Ft yra generuota atsitiktiniø dydþiø tsr

ss≤,, ε , o

t yra

Ft–1

– matus atsitiktinis dydis. Jei ( ) 0|1=

−ttE Fε ir ( ) 1|

1

2=

−ttE Fε , tai gràþos r

t sà-

lyginis vidurkis lygus 0, o sàlyginë dispersija lygi 2

tσ :

( ) 0|1=

−ttrE F ir ( ) .| 2

1 tttrD σ=

F

Tokia savybë vadinama sàlyginiu heteroskedastiðkumu (gr. hetero – skirtinga,

skédasis – dispersija).

Kadangi atsitiktinis dydis t

σ nëra stebimas, jo kitimui nusakyti reikia pasirinkti

ekonometriná modelá. Daþniausiai kintamumo kvadratas 2

tσ modeliuojamas dviem

bûdais. Vienu atveju tariama, kad 2

tσ tiesiðkai priklauso nuo baigtinio skaièiaus

ankstesniø gràþos kvadrato reikðmiø ...,,

2

2

2

1 −− ttrr ir galbût baigtinio skaièiaus anks-

tesniø reikðmiø ...,,

2

2

2

1 −− ttσσ . Tai yra apibendrinto autoregresinio sàlyginio hetero-

skedastiðkumo, arba GARCH, modelis. Kitu atveju tariama, kad 2

tσ priklauso nuo

kito atsitiktinio dydþio – tai stochastinio kintamumo modelis.

GARCH modeliai. Kai p, q – sveikieji skaièiai, kintamumo GARCH(p,q) modelis

reiškia, kad kiekvienam t galioja tokia lygybë:

,

1

2

1

2

0

2

∑∑=

=

−++=

q

jjtj

p

iitit rασβασ (8)

èia 00>α , ( ) ( )pjqj jj ...,,10,...,,10 =≥=≥ βα . Pirmasis ðá modelá, kur

p = 0, pasiûlë Robert F. Engle (1982)*, o vëliau já apibendrino Tim Bollerslev (1986).

Taikant GARCH modelá, galima modeliuoti tokius stilizuotus faktus, kaip kintamumo

klasterizacija, Taylor efektas ir sunkios uodegos. Pastaruosius du efektus apima ir

ARCH(1) modelis. Tiksliau, jei 2

110

2

+=ttrαασ ir 2

tr yra stacionarioji seka, tai:

( ) ( ) .,Corr,01

22 st

ststrrrrE

== α

Be to, jei t yra standartiniai normalieji atsitiktiniai dydþiai ir ( ) 11/

10

2=−= αα

tEr ,

tai ( ) ( ) 331/132

1

2

1

4≥−−= αα

tEr su sàlyga 13

2

1≤α . Taigi matyti, kad apimamas ir

sunkiø uodegø efektas.

Nagrinëjant gràþas, kuriø kintamumas apraðomas GARCH(p,q) modeliu, gràþos

kvadratà patogu 2

tr uþrašyti klasikiniu autoregresijos-slenkamojo vidurkio, arba

ARMA, proceso pavidalu. Priminsime, kad tv yra baltojo triukšmo seka, jei

0=t

Ev , 02

>= constDvt

ir ( ) 0 ,Cov =stvv , kai st ≠ . Sakoma, kad atsitiktinis pro-

cesas Xt tenkina ARMA(p,q) lygtá baltojo triukðmo sekos

tv atþvilgiu, jeigu:

,......1111 qtqttptptt

vvvXXX−−−−

+++++++= θθφφµ (9)

èia – realusis skaièius, o parametrai p

φφ ..., ,1

, q

θθ ..., ,1

parinkti taip, kad lygtis

turëtø stacionarø sprendiná. ARMA lygties sprendinys egzistuoja, jeigu daugianariai

*Uþ ðá ir kitus sàlyginio hete-

roskedastiðkumo laiko eiluèiø

srities darbus 2003 m. R. Engle

buvo áteikta Nobelio ekonomi-

kos mokslø premija (þr. Pini-

gø studi jos 2003, Nr. 4, p.

82–104).

Page 10: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

40

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

( ) p

pzzz φφφ −−−≡ ...1

1ir ( ) q

qzzz θθθ +++≡ ...1

1neturi bendrø nuliø ir ( ) 0≠zφ

su visais z iš apskritimo 1=z .

Jei 2

tσ apibrëþta (8) lygtimi ir qpm ,max= , tai gràþos kvadratas 222

tttr εσ=

tenkina ARMA(m,p) lygtá baltojo triukðmo sekos ( )122−=

tttv εσ atþvilgiu. Be to,

matyti, kad vt sudaro martingaliniø skirtumø sekà. Pailiustruosime tai paprastu

GARCH(1,1) modelio atveju. Ið tikrøjø, jei 2

11

2

110

2

−−

++=ttt

r σβαασ , tai

( ) ( ) ,11

2

1110

2

11

2

110

2222

−−−−

−+++=+++=−+=ttttttttttvvrvrrr ββαασβαασσ

t. y. 2

tr tenkina ARMA(1,1) lygtá.

(9) lygtimi apibrëþto atsitiktinio proceso Xt kovariacinë funkcija „gæsta“

eksponentiniu greièiu. Tokia savybë vadinama trumpalaike atmintimi. Kadangi

ARMA seka negali turëti ilgalaikës atminties efekto, naudojama ARMA modelio

atmaina – FARIMA modelis, sukurtas Clive W. J. Granger* ir Roselyne Joyeux

(1980). Sakoma, kad atsitiktinis procesas Xt tenkina FARIMA(0,d,0) lygtá, jeigu

( )tt

dvXL =−1 :

( ) ,10

∑∞

=

=−=

jt

jjt

d

t vLbvLX

kur – 1/2 < d < 1/2, L – skirtuminis operatorius, apibrëþtas lygybe jtt

jvvL

= , o bj –

nario z j koeficientas, gaunamas funkci jà (1 – z)–d skleidþiant Taylor eilute.

FARIMA(p, d, q) procesas bûtø gaunamas átraukiant atitinkamas autoregresijos ir

slenkamojo vidurkio dalis. FARIMA lygtá tenkinantis atsitiktinis procesas Xt pasiþy-

mi laipsniðkai „gæstanèia“ kovariacine funkcija ( ) 1–2

0~ ,Cov

d

tCtXX , taigi yra ilga-

laikës atminties procesas. FARIMA modelio analogas gràþø kvadratams modeliuotivadinamas FIGARCH modeliu. Ðis Richard T. Baillie, Tim Bollerslev ir HansO. Mikkelsen (1996) pasiûlytas modelis paprasèiausiu atveju uþraðomas taip:

( ) ,12

tt

dvrL +=− α

èia, kaip ir anksèiau, 22

tttrv σ−= . Nors ðis modelis plaèiai taikomas, jo teorinës

savybës dar nepakankamai nuodugniai iðtirtos (Kazakevièius, Leipus 2003).Dar vienas GARCH modelio trûkumas yra susijæs su asimetrijos efekto

nebuvimu: kintamumas vienodai reaguoja ir á teigiamas, ir á neigiamas to patiesabsoliutinio dydþio gràþas. Robert F. Engle ir Victor K. Ng (1993) þodþiais, naujienøátakos kreivë, grafiðkai perteikianti sàryðá ( )

1

2

=ttrfσ , yra simetriðka. Ðiai problemai

spræsti sukurtos ávairios ARCH modeliø atmainos: GJR-ARCH (Glosten ir kt. 1993),TARCH (Zakoian 1994), HARCH (Müller ir kt. 1997) modeliai. Jais, be kitø savybiø,galima apraðyti ir sverto efektà, nusakytà nelygybe ( ) 0,Cov

2

1<

− ttr σ . Problemos,

susijusios su asimetrijos efektu ir ilgalaike atmintimi, iš dalies išsprendþiamos tiesiniuARCH (LARCH) modeliu (Giraitis ir kt. 2000, 2004). LARCH modelyje

t tiesiðkai

priklauso nuo praeities gràþø rt–1

, rt–2

, ..., skirtingai nei ARCH tipo modeliuose, kurpriklauso 2

tσ nuo praeities gràþø kvadratø**.

Stochastinio kintamumo modeliai. Stochastinio kintamumo modeliu paprastaivadinamas toks gràþos modelis (þr. (7) lygybæ), kuriame

t – nepriklausomi vienodai

pasiskirstæ atsitiktiniai dydþiai, o kintamumas t yra ðio pavidalo:

( ) ..., ,1 ,0, == tftt

ησ (10)

kai f – neneigiama funkcija, o t – stacionarus atsitiktinis procesas. Funkcijos f

kintamasis t vadinamas paslëptuoju, arba latentiniu, kintamuoju. Skirtingai nei

ARCH tipo modeliuose, kur kintamumas „valdomas stebëjimø“, stochastiniokintamumo modeliuose kintamumas yra „valdomas parametro“. Ðá paslëptà kintamàjágalima interpretuoti kaip tam tikrà atsitiktiná informacijos srautà, patenkantá á finansø

*C. W. J. Granger 2003 m.

buvo apdovanotas Nobelio

ekonomikos mokslø premija

uþ kointegravimo metodø

iðplëtojimà (þr. Pinigø studijos

2003, Nr. 4, p. 82–104).

**Išsamiai ARCH modeliai

aprašomi T. Bollerslev,

R. Y. Chou, K. F. Kroner (1992),

T. Bollerslev, R. E. Engle,

D. B. Nelson (1994) ir N. Shep-

hard (1996) straipsniuose.

Page 11: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

41

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

rinkà ið ðalies. Daþniausiai funkcija f yra eksponentinë. Tuomet, be kitø savybiø,

taikant ávairias stochastinio kintamumo modelio atmainas, galima gana paprastai

modeliuoti atsitiktiniø dydþiø lnt asimetrijos efektà ir ilgalaikæ atmintá.

Daþniausiai (10) modelyje figûruojantis procesas laikomas Gauss arba ARMA

tipo procesu. Kaip parodë Peter M. Robinson (2001), Gauss tipo procesas leidþia

naudotis gana didele netiesiniø funkcijø f klase ir modeliuoti daugelá stilizuotø faktø,

tarp jø ir ilgalaikæ atmintá. Kitas populiarus stochastinio kintamumo modelis yra

( ) teft

ηη = , kai t yra ARMA arba FARIMA tipo slenkamojo vidurkio procesas.

Daniel B. Nelson (1991) pasiûlytas eksponentinis GARCH (EGARCH) modelis yra

toks:

( ) ,exp,

1

+== ∑∞

=

jjtjtttt gbar εσεσ (11)

èia ( ) ( )0

εγθ Ezzzg −+= , o parametrai γθ , parenkami atsiþvelgiant á asimetrijà,

pasitaikanèià tarp finansiniø duomenø. EGARCH(p,q) modelis atitinka atvejá, kai

ttση ln= yra ARMA(p,q) seka. Pavyzdþiui, EGARCH(1,1) modelis nusakomas

tokiomis lygtimis:

( ).lnln,11 −−

++==tttttt

gr εσβασεσ

Toks (11) modelis, kai koeficientai bj atitinka FARIMA modelio svorius, vadina-

mas FIEGARCH modeliu. T. Bollerslev ir H. O. Mikkelsen (1996) atskleidë, kad, be

asimetrijos efekto, jis leidþia modeliuoti ilgalaikæ atmintá tarp logaritminiø kintamumø.

Kitas svarbus stochastinio kintamumo modelis (Breidt ir kt. 1998, Harvey 1998)

aprašomas šia formule:

,exp,

1

+== ∑∞

=

jjtjtttt bar ξσεσ (12)

èia t

ξ – nepriklausomi vienodai pasiskirstæ atsitiktiniai dydþiai su nuliniu vidurkiu

ir vienetine dispersija, nepriklausomi nuo sekos t

ε , o bj atitinka ARMA arba

FARIMA modelá. Donatas Surgailis ir Marie-Claudie Viano (2002) nagrinëjo toká

(12) modelá, kur sekos t

ξ ir t

ε nebûtinai nepriklausomos, ir kartu apibendrino

daugelá ankðèiau minëtø EGARCH ir SV modeliø. Jie iðtyrë tokias modelio savybes,

kaip ilgalaikë atmintis, momentø egzistavimas, asimetrija, ribinës teoremos*.

R. F. Engle ir V. K. Ng (1993) teigë, kad dël eksponentinës struktûros

EGARCH(1,1) modelio t reikðmës per daug iðkraipomos, esant didelëms gràþø rt–1reikðmëms. Dël ðio trûkumo, bûdingo eksponentiniams modeliams, ir dël kompli-

kuotesnio nei ARCH modeliuose parametrø vertinimo jie nëra patys tinkamiausi

gràþoms modeliuoti.

2.3. Ekonometriniai tolydaus laiko modeliai

Skyriaus apie finansø inþinerijà pabaigoje buvo uþsiminta apie tolydaus laiko

procesø klasæ (þr. (4) lygybæ), apibendrinanèià geometriná Wiener procesà. Dabar

tarsime, kad ðià klasæ apibrëþiant naudojamas atsitiktinis procesas yra konstanta,

þymima ta paèia raide. Tada atsitiktinis procesas

( ) ( )( )

,0,2

exp000

2

TtdWduu

StStt

≤≤

+

−= ∫∫ σσ

µ (13)

ið esmës priklauso tik nuo kintamumo funkcijos ( ) Ttt ≤≤= 0:σσ . Kiekvie-

nam ] ,0( T∈∆ tolydaus laiko proceso S reikðmës (þr. (6) lygybæ) apibrëþia logarit-

*Detaliau ARCH ir stochas-

tinio kintamumo modeliø sa-

vybës apraðomos L. Giraièio,

R. Leipaus ir D. Surgailio (2003)

apþvalgoje.

Page 12: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

42

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

minæ gràþà ) ,( ∆tr diskretaus laiko momentais Nt ..., ,1= , kai [ ] ∆∆ // TTN ≤= . Ar

taip apibrëþta gràþa turi savybiø, panaðiø á anksèiau iðvardintus stilizuotus faktus, ir

kaip tos savybës priklauso nuo kintamumo funkcijos ? Tai vienas ið pagrindiniø

finansø ekonometrijos klausimø, já jau aptarëme raðydami apie gràþà ),( ∆tr ,

modeliuojamà (7) sàryðiu.

Taigi, áraðæ (13) lygybe apibrëþto tolydaus laiko proceso S reikðmes á logaritminës

gràþos (6) formulæ, gauname, kad kiekvienam t = 1, ..., N galioja tokia lygybë:

( ) ( )( ) ( )

.2

1,

11

2dWduutr

t

t

t

t ∫∫−−

+−=∆

∆σσ∆µ∆ (14)

(Paþymëtina, kad ði logaritminës gràþos iðraiðka skiriasi nuo ( ) ( )( )∆∆ 1−− tRtR , kaiR yra tolydaus laiko gràþa, apraðoma (5) formule.) Jei kintamumo funkcija yrakonstanta, tai ( )∆,tr yra seka nepriklausomø atsitiktiniø dydþiø, pasiskirsèiusiø pagalnormaløjá dësná. Tokiu atveju logaritminës gràþos nesutampa su daugeliu realiosrinkos stilizuotø faktø. Tai reiðkia, kad geometrinis Wiener procesas nëra adekvatusrealios kainos apraðymo bûdas. Todël imta ieðkoti kitø kainos apraðymo bûdø.

Svarbiausias (14) formulëje yra paskutinis narys, priklausantis nuo stochastiniointegralo ( ) ∫=

t

WdtM0

: σ , 0≥t . Tarkime, kad atsitiktiniai procesai ir Wiener pro-cesas W yra nepriklausomi, o kintamumo funkcija – toks procesas, kad integralas

( ) ( )∫ ∞→=t

duut0

22: σσ kartu su ∞→t . Tada, apibrëþus atsitiktiná procesà

( ) ( ) tuut >=2

:inf: σγ , 0≥t , kompozicija ( ) ( )( )tMtW γ=: , 0≥t yra kitas Wiener

procesas, nepriklausantis nuo 2σ , ir lygybë

( ) ( )( ) 0

2

0 ≥≥=

tttWtM σ (15)

reiðkia procesø skirstiniø lygybæ. Atlikus nesudëtingus skaièiavimus, matyti, kad (7)lygybe apibrëþto diskretaus laiko modelis ir atsitiktiniø dydþiø seka

( ) ( ) , ..., ,1,11

TttMtMWdt

t=−−=∫

σ

turi tas paèias charakteristikas. Todël galima tikëtis, kad (7) diskretaus laiko modelisir èia nagrinëjamas (14) modelis, o kartu ir tolydaus laiko (13) modelis ekonometriniupoþiûriu yra panaðûs.

Peter K. Clark (1973) pastebëjo, kad (15) skirstiniø lygybë leidþia tolydaus laikomodelá finansiðkai interpretuoti. Wiener proceso laiko pakeitimas ( )( )tW

2σ gali bûti

suprantamas kaip kainos kitimo priklausomumas nuo prekybos aktyvumo (apimties)skirtingais laikotarpiais: tomis dienomis, kai investuotojas negauna naujos informa-cijos, prekyba yra vangi ir kainos keièiasi lëtai, o kai pasirodo nauja informacija,prekyba tampa aktyvesnë ir kainos keièiasi sparèiau. Vadinasi, kaina turëtø bûti ste-bima finansiniø operacijø laiko, kuris yra natûrali skalë, atþvilgiu. Toks procesui 2

σ

priskiriamas „chronometro“ vaidmuo paskatino modeliuoti kainas tolydaus laikoatsitiktiniais procesais su pakeistu laiku.

Kaip minëjome, atsitiktinio proceso, nusakyto (13) formule, savybës ir tai, arjos atitinka finansø rinkos stilizuotus faktus, ið esmës priklauso tik nuo kintamumofunkcijos . Ðios funkcijos kitimà ir jos priklausomumà nuo papildomo neapibrëþtiesðaltinio galima nusakyti tokia integraliniø lygèiø sistema:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+=

+=

∫ ∫

∫ ∫t t

t t

Wdbduuat

WdSduuStS

0 0

2222

0 0

1

,

,

σσσ

σµ

kai , a, b, – realiosios konstantos, o W (1), W (2) – Wiener procesai su bet kokiatarpusavio priklausomybe. Tokia kainos modeliavimo forma, pasiûlyta John Hull ir

Page 13: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

43

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

Alan White (1987), vadinama tolydaus laiko stochastinio kintamumo modeliu. Ðismodelis tinkamas analizei, nes galima paprastai ávertinti pasirinkimo sandorio kainà.Vis dëlto jo savybës sunkiai suderinamos su finansø rinkos stilizuotais faktais.

Kitai tolydaus laiko stochastinio kintamumo modeliø klasei priklauso tokiemodeliai, kai kintamumo funkcijos kvadratas modeliuojamas Ornstein-Uhlenbeck

lygties sprendiniu:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+−=

++=

∫ ∫t

t t

tZduut

WSdduuStS

0

22

0 0

2

,

,exp0

λσλσ

σβσµ

(16)

èia , – realieji skaièiai, > 0, o Z – Lévy procesas su teigiamais pokyèiais,nepriklausantis nuo Wiener proceso W. Svarbi tokio kintamumo funkcijos apraðymosavybë yra tai, kad Ornstein-Uhlenbeck lygties sprendinys

( ) ( ) ( ) ( ) ,0,00

22TtsdZeet

t stt≤≤+= ∫

−−−

λσσλλ

yra stacionarus su fiksuotu (nepriklausanèiu nuo ) vienmaèiu marginaliuoju skirstiniuF tada ir tik tada, kai F yra saviskaidus (selfdecomposable). Ole E. Barndorff-Nielsenir Neil Shephard (2001) mano, kad tinkamiausias skirstinys F yra apibendrintasisGauss atvirkštinis (generalized inverse Gaussian) skirstinys GIG(v,,), kurio tankis:

( ) ,0,2

1expConst

2121 >

+− −−

xxxxv γδ

èia 0≥δ , 0≥γ ir ∞<<∞− v yra parametrai. Ið galimø parametro reikðmiølabiausiai autoriø populiarinamas atvejis, kai 2/1−=v , t. y. F yra Gauss atvirkštinisnormalusis (normal inverse Gaussian) skirstinys. Teigiama (16) stochastinio kin-tamumo modelio savybë yra jo tinkamumas analizei – toks modelis leidþia nesunkiaisuskaièiuoti ar ávertinti daug sprendinio charakteristikø. Be to, ðis stochastiniokintamumo modelis yra pakankamai lankstus ir ekonometrine prasme, jis pasiþymitokiais stilizuotais faktais, kaip sunkios uodegos, kintamumo klasterizacija ir Taylor

efektas. Galiausiai nagrinëjant n nepriklausomø Ornstein-Uhlenbeck lygties sprendiniøsumas ( )∑

=

n

j jj tw1

2σ ir pereinant prie ribos, kai ∞→n , galima aptikti ir ilgalaikës

atminties reiðkiná.

2.4. Trajektorijø savybës

Be statistiniø kainos proceso savybiø, paskutiniais metais pradëtos tirti irvertybiniø popieriø kainos proceso trajektorijø savybës. Kadangi tokia trajektorijarealiai nëra stebima, gali kilti klausimas, kas ið tikrøjø tiriama. Ðiuo atveju daromaprielaida, kad stebima tik ásivaizduojamos trajektorijos aproksimacija. Toks poþiûrispatogus ta prasme, kad leidþia tikrinti tolydaus laiko finansø rinkos modelius ir jøryðá su rizika. Galima numanyti, kad, kuo ásivaizduojamoji kainos kreivë vingiuotesnë,tuo labiau kainos svyravimai susijæ su rizika.

Atsitiktinio proceso ( ) Ωωω ∈≤≤= ,0:,: TttXX , apibrëþto tikimybinëje erd-vëje ( )P , ,FΩ , trajektorija yra kiekviena funkcija ( ) ( ) TttXX ≤≤= 0:,ωω , jei

Ωω∈ . Tikimybinio mato P atþvilgiu beveik visos trajektorijos pasiþymi tik tam atsi-tiktiniam procesui bûdingomis trajektorijø savybëmis. Kaip minëjome (Leipus, Nor-vaiða 2003: 16), beveik kiekviena Wiener proceso trajektorija pasiþymi tokia -Hölder

savybe, kur yra bet kuris skaièius, grieþtai maþesnis nei 1/2. Ðia savybe pasiþymi irgeometrinis Wiener procesas. Tiriant tokias savybes, susiduriama su problema, kadjos priklauso nuo trajektorijos visuose bet kurio intervalo taðkuose, o realûs duo-menys rodo tokios trajektorijos elgsenà tik baigtinëje taðkø aibëje. Todël tiesiogiai

Page 14: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

44

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

tokiø savybiø tirti daþniausiai neámanoma, tai ámanoma padaryti tik netiesiogiai –susiejant skirtingas atsitiktinio proceso savybes. Pavyzdþiui, paskutiniais metais tapopopuliaru tirti taðkø, kuriø aplinkoje trajektorija turi -Hölder savybæ, aibës struktûrà.Tokios aibës yra labai sudëtingos, jø (fraktalinë) dimensija vadinama trajektorijossinguliarumo spektru, o jø tyrimas – multifraktaline analize. Netiesiogiai singuliarumospektrà galima tirti empiriðkai, jei tarsime, kad gràþos procesas yra Lévy atsitiktinisprocesas. Nors daugumos minëtø procesø trajektorijos yra trûkios, taèiau jos yrapakankamai „reguliarios“, kad tokiø procesø pokyèiø empiriniø momentø elgsenaleistø ávertinti singuliarumo spektrà (þr. Cont 2001).

Ið tikrøjø multifraktaline procesø prigimtimi finansø matematika tiesiogiainesiremia, o susidomëti ja, atrodo, bus paskatinusi skysèiø tekëjimo turbulencijosteorija. Mûsø nuomone, kur kas reikðmingesnis tolydaus laiko finansø rinkos teorijaiyra gràþos proceso trajektorijos p-variacijos baigtinumas (þr. (I.27) formulæ). Ðiasavybe jau rëmëmës, aiðkindami tolydaus laiko finansø rinkos modelá. Be to, skirtingainegu -Hölder savybë, dydis

( )( ) ( ) [ ]( ) ∞<>= TXpXp

,0;:0inf: ωυωυ

yra korektiðkai apibrëþtas ir lygus konstantai beveik su visais Ωω∈ , kai patenkintosminimalios sàlygos. Tokiu atveju ( )Xυ yra vadinamas p-variacijos indeksu. Ði sa-vybë prieðinga minëtam multifraktaliðkumui ta prasme, kad visiems iki ðiol finansømatematikos naudotiems atsitiktiniams procesams X, ( )Xυ yra konstanta, priklausan-ti tik nuo X, bet ne nuo trajektorijos. Pavyzdþiui, tikimybinio mato P atþvilgiu beveikvisada ( ) 2=Xυ Wiener procesui W, ( ) αυ

α=X simetriniam -stabiliam procesui

αX ,

]2,0(∈α , ir ( ) HBH

/1=υ fraktaliniam Brown judesiui BH, )1,0(∈H (èia W, X2 irB1/2 yra tas pats Wiener procesas). Teorinë akcijos kainø kitimo analizë labai priklau-so nuo to, ar gràþos proceso R p-variacijos indeksas ( )Rυ yra lygus 2, ar maþesnisnei 2. Taigi bûtø ádomu, naudojantis akcijos kainos kitimo duomenimis, ðias alter-natyvas skirti statistiðkai. Tokia tyrimø kryptis buvo argumentuojama Rimo Norvaiðosir Donna M. Salopek (2000, 2002) darbuose, kur pasiûlyti du p-variacijos indeksovertinimo metodai, pritaikyti Olsen & Associates finansiniams duomenims tirti.

3. Postmodernizmas: teorinës alternatyvos

Modernioji finansø rinkos teorija, pagrásta ERH, vis daþniau kritikuojama, nesjos nepakanka paaiðkinti daugeliui finansø rinkose vykstanèiø reiðkiniø, vadinamørinkos anomalijomis. Ankstesniame straipsnyje minëta, kad empiriniø rezultatø, prieð-taraujanèiø ERH ar jos iðvadoms, atsirado apie 1980 m. (Leipus, Norvaiða 2003: 9).Tie rezultatai paskatino ERH vertinti kritiškiau.

3.1. Teorinës ERH problemos

Nesunku suvokti, kodël prielaida apie racionalø investuotojø elgesá yra kriti-kuotina. Net pavirðutiniðki investuotojø elgesio tyrimai rodo, kad daugelis jø kreipiadëmesá á ðalutinæ informacijà. Galima sakyti, kad investuotojai prekiauja remdamiesi„triukðmu“, o ne informacija (Black 1986). Taèiau dar svarbiau, kad nukrypimainuo racionalaus elgesio yra ne atsitiktiniai, o sistemingi. D. Kahneman ir M. Riepe(1998) skyrë tris tokiø sistemingø nukrypimø rûðis: nukrypimus, susijusius su poþiû-riu á rizikà, ateities neapibrëþtumo vertinimà nusiþengiant Bayes taisyklëms irsprendimø priklausomumà nuo problemos pateikimo formos.

Pirma, rizikos vertinimas daþnai neatitinka von Neumann-Morgenstern raciona-lumo sampratos, nusakomos tikëtino naudingumo teorija (expected utility theory).Pagal ðià teorijà, naudingumas sietinas tik su tikëtino turto lygiu. Tyrimai rodo, kadsprendimus kartais gali lemti padëtis rinkoje ir(ar) turto pokyèiai. Be to, á teigiamus

Page 15: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

45

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

turto pokyèius reaguojama kitaip nei á neigiamus – turto praradimø vengiama. Ðiasavybe galima paaiðkinti faktà, kad investuotojai nenoriai parduoda akcijas, kuriøkainos pradeda kristi. Tokie investuotojø teikiamø pirmenybiø tyrimai apibendrinamiD. Kahneman ir A. Tversky (1979, 1992) perspektyvø teorijoje (prospect theory),kuri sukurta kaip alternatyva tikëtino naudingumo teorijai.

Antra, numatydami ateities ávykius, kasdieniniame gyvenime þmonës daþniausiaivadovaujasi labai trumpa informacija apie praeities ávykius. Ta informacija gali bûtiatsitiktinë, neiðsami, ji gali neturëti átakos ateities ávykiams. Paprastai vienø ateitiesávykiø galimumo vertinimas priklauso nuo kitø ávykiø ir iðreiðkiamas sàlygine tiki-mybe, kuri su besàlygine tikimybe siejama formule ( ) ( ) ( )BPBAPBAP |=I . Tokspirminës reikðmës suteikimas sàlyginëms tikimybëms vadinamas Bayes taisykle arbaBayes poþiûriu. Praktiðkai sàlyginës tikimybës nëra ávertinamos tiksliai, o klaidø,padaromø numatant ateities kainø pokyèius, padariniai ypaè skaudûs, kaip pavyz-dþiui, kai trumpa akcijos kurso kitimo duomenø eilutë klaidingai ekstrapoliuojamaá ateitá*.

Treèia, investuotojø sprendimai gali priklausyti nuo to, kaip pateikiama ar jøsuvokiama problema. Pavyzdþiui, didesnë portfelio dalis bus investuojama á rizikingasakcijas tada, kai investuotojas turës þiniø apie ilgo laikotarpio rizikingø akcijø gràþas,o ne apie obligacijø gràþas. Kai investuotojas turës þiniø tik apie trumpo laikotarpiorizikingø akcijø kintamumà, á rizikingas akcijas bus investuojama maþiau (Benartzi,Thaler 1995).

Investuotojø elgesys, labiau lemiamas jø psichologijos, o ne ekonominiø motyvø,paaiðkina daugelá rinkoje naudojamø strategijø, vadinamø rinkos „sentimentais“. JeiERH teorinis pagrindimas priklausytø tik nuo to, ar investuotojai elgiasi racionaliai,tai jø iracionalumo pripaþinimo faktas akivaizdþiai paneigtø moderniàjà finansø rinkosteorijà. Taèiau, kaip minëta ankstesniame straipsnyje (Leipus, Norvaiða 2003: 9),iracionaliø investuotojø buvimas neprieðtarauja ERH, jei kiekvieno jø poveikiskainoms yra atsitiktinis. Vis dëlto, pagal D. Kahneman ir A. Tversky, investuotojøveiksmai, nukrypstantys nuo racionalaus elgesio, yra ne atsitiktiniai, o lemiantys vienaskità. Investuotojø iracionalumas sietinas su priimamø sprendimø klaidomis, kuriasnuolatos kartoja daugelis investuotojø. Tokios nuolatinës klaidos bûdingos ne tikprivatiems, bet ir institucinams investuotojams, valdantiems ávairiø fondø investicijas.

Svarbiausias argumentas ERH teorijai pagrásti – arbitraþo negalimumas efekty-viojoje rinkoje. Kitais þodþiais, dël nuolatiniø iracionaliø investuotojø veiksmø rea-lioje rinkoje galimi akcijø kainø nukrypimai nuo jø pusiausvyros kainos racionaliøinvestuotojø yra atsveriami arbitraþu. Ðis argumentas yra problemiðkas tada, kairealioje rinkoje arbitraþas yra ir rizikingas, ir brangus. Taèiau tai jau ne arbitraþas, otai, kas daþnai vadinama ribotu arbitraþu (limited arbitrage). Šie argumentai rodo,kad implikacija

rinka yra efektyvi ⇒ rinka yra bearbitraþë

nëra apverèiama, t. y.

rinka yra bearbitraþë ⇒/ rinka yra efektyvi.

Taigi rinkoje, kur nëra arbitraþo galimybiø, akcijø kainos gali skirtis nuo pusiausvyroskainø. Skirti efektyviàjà rinkà ir arbitraþo galimybiø nebuvimà yra svarbu, nes, kaipmatëme, moderniojoje finansø rinkos teorijoje arbitraþo negalimumu remiamasi tie-siogiai, suteikiant ðiai savybei iðskirtiná vaidmená. Vis dëlto ekonominiu poþiûriusvarbesnis atrodo rinkos efektyvumas, leidþiantis tikëtis optimalaus iðtekliø pa-skirstymo per akcijø pusiausvyros kainas.

*Iracionalaus investuotojø el-

gesio ir jo psichologiniø moty-

vø tyrinëjimo pradininkai buvo

D. Kahneman ir A. Tversky

(1973).

Page 16: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

46

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

3.2. Finansø rinkos anomalijos

Akivaizdþiausios ir daþniausiai svarstomos finansø rinkos anomalijos yraperteklinis kintamumas ir finansiniai burbulai.

Perteklinis kintamumas. Akcijø kainø kintamumas gali gerokai pranokti kin-tamumà, kuris aiðkinamas remiantis moderniàja finansø rinkos teorija. Kaip per-teklinio kintamumo pavyzdys daþnai nurodoma 1987 spalio 19 d. prasidëjusi finansøkrizë. Tà dienà Dow Jones Industrial Average indeksas nukrito 22,6 procento – taididþiausias finansø istorijoje per dienà ávykæs kainø pokytis. Ðios ir kitø finansø rinkoskriziø tyrimai* parodë, kad nauja informacija kainai neturi didelës átakos (Cutler ir kt.1989). Tokia iðvada prieðtarauja ERH, pagal kurià akcijø kainø kitimà lemia tik nau-ja informacija. Tirdamas akcijø rinkà, Robert J. Shiller (1981) nustatë, kad rinkoskintamumas gali 5–13 kartø virðyti naujos informacijos lemiamà kintamumà. Panaðiasiðvadas padarë ir tuo paèiu metu obligacijø rinkà tyræ Stephen F. LeRoy ir RichardD. Porter (1981). Vertinant ðià anomalijà nesutariama, kas svarbiau – ekonominës arpsichologinës prieþastys. Ðis klausimas aktualus ir investuotojams – jei nusveriapsichologinës prieþastys, prognozuojant akcijø kursà techninë ir fundamentaliojianalizë maþai teturi reikðmës.

Finansiniai burbulai. Finansø rinkai, kaip ir kitoms ekonominës struktûrossudedamosioms dalims, bûdinga, kad kainø lygis ir jø kilimo sparta kartais „nenor-maliai“ padidëja. Tie pakilimai, trunkantys keletà mënesiø ar net metø, neiðvengiamaibaigiasi staigiu kainø kritimu iki „normalaus“ lygio. Tokie reiðkiniai vadinami finan-siniais burbulais. Be 1987 m. finansø krizës, minëtina Japonijos finansø rinkos irvisos jos ekonomikos bûklë maþdaug iki 1990 m. – vadinamoji Japonijos burbuloekonomika. Pagal numanomas susidarymo prieþastis finansiniai burbulai skirstomiá racionaliuosius ir iracionaliuosius.

Sakoma, kad finansinis burbulas yra racionalus, kai atotrûkis tarp akcijos kainosir fundamentaliosios vertës yra atsiradæs ne dël naujos informacijos, o gali bûti paaið-kinamas racionaliu rinkos veikëjø elgesiu. Analitiðkai racionalus burbulas paaið-kinamas iðvedant fundamentaliosios vertës formulæ (I.10). Jei transversalumo sàlyganëra patenkinta, tai analitinë ERH forma (þr. (I.6) lygtá), kaip lygtis akcijos kainosS atþvilgiu, turi be galo daug sprendiniø. Bendras tos lygties sprendinio pavidalasyra „stebima akcijos kaina = fundamentalioji vertë + racionalusis burbulas“, arba( ) ( ) ( )tbtStS += . Nesunku pastebëti, kad taip apibrëþtam atsitiktiniam procesui

( ) ... ,1 ,0: == ttbb teisinga tokia lygybë:

( ) ( )[ ].|1

11

1−+

=−t

tbEtb Fµ

Jei ( ) 00 ≠b , tai ðis sàryðis reiðkia burbulo b stochastiná didëjimà, interpretuojamàkaip kainø kilimo lûkesèiø didëjimà (þr. Blanchard, Fischer 1989). Kartais teigiama,kad racionaliojo burbulo egzistavimas nesuderinamas su kitomis ERH iðvadomis(Diba, Grossman 1988).

Kita finansiniø burbulø aiðkinimo kryptis remiasi prielaida, kad dalies rinkosveikëjø lûkesèiai nëra racionalûs – jie priklauso nuo uþgaidø, madø, gandø ir kitokio„triukðmo“. Ðis poþiûris iðpopuliarëjo, pasirodþius Robert J. Shiller (1989) darbui.Remdamasis savo paties atliktais empiriniais perteklinio kintamumo tyrimais,R. J. Shiller kainø nukrypimus daugiausia aiðkino visuomenës psichologija. Akcijøkainos kitimo teorija, grindþiama rinkos veikëjø psichologija, kartais vadinama tiesioguþgaidø modeliu (fads model). Uþgaida vadinamas bet koks kainos nuokrypis nuofundamentaliosios vertës, atsirandantis dël socialiniø ar psichologiniø veiksniønulemto investuotojø strategijø pasikeitimo. Formaliai toks akcijos kainos S kitimasperteikiamas Lawrence H. Summers (1986) pasiûlytu sàryðiu:

( ) ( ) ( )tFtStS += lnln ir ( ) ( ) ,1t

tFtF ελ +−=

*Apie finansø rinkos krizes

raðoma vieno ið ekonofizikos

pradininkø D. Sornette (2003)

knygoje.

Page 17: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

47

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

èia S – fundamentalioji vertë, F – akcijos kainos uþgaida, 10 ≤≤ λ – parametras,reguliuojantis uþgaidà, o

tε – atsitiktiniø dydþiø su nuliniu vidurkiu seka.

3.3. Elgsenos finansø teorija

Finansø rinkos teorija, nukrypimus nuo ERH aiðkinanti investuotojø iracionaliuelgesiu, vadinama elgsenos finansø (behavioral finance) teorija. Ði teorija paaiðkina,kaip iracionalus investuotojø elgesys lemia akcijø kainas ir kitus vertybiniø popieriørinkos aspektus. Beje, manoma, kad daugeliu atvejø rinka nëra efektyvi. Rinkosefektyvumas traktuojamas tik kaip specialus ar ekstremalus atvejis.

Elgsenos finansø teorija grindþiama dviem idëjomis. Viena ið jø – arbitraþo ribo-tumo idëja. Manoma, kad realioje rinkoje dalis akcijø gali ir neturëti tobulø pakai-talø, bûtinø arbitraþui ágyvendinti. Arbitraþo ribotumas padeda paaiðkinti, kodëlnauja informacija ne visada turi átakos akcijø kainoms arba kodël rinkos pokyèiai,nesusijæ su nauja informacija, turi átakos akcijø kainoms. Taèiau ribotu arbitraþubeveik neámanoma paaiðkinti neefektyvios rinkos.

Elgsenos finansø teorija grindþiama ir investuotojø iracionalumo idëja, kai orien-tuojamasi á investuotojø ásitikinimus ir teikiamas pirmenybes. Riboto arbitraþo irinvestuotojø iracionalumo idëjos papildo viena kità ir leidþia prognozuoti akcijøkainø ir jø gràþø elgsenà. Jei arbitraþas nebûtø ribotas, tai visi akcijø kainø nukry-pimai nuo pusiausvyros kainos turëtø bûti tuoj pat panaikinami ir rinka bûtø efektyvinet tuo atveju, kai veikia iracionalûs investuotojai. Kita vertus, jei nebûtø „sentimen-taliø“ investuotojø, nebûtø në akcijø kainø nukrypimø nuo pusiausvyros kainos.

3.4. Finansø rinkos veikëjø teorija

Teorija, kuri orientuojasi á rinkos veikëjus, dar neturi nusistovëjusio pavadinimo.Ji daþnai vadinama veikëjais grindþiamu modeliavimu (agent based modelling) arbaveikëjais grindþiama skaièiuojamàja finansø teorija (agent based computational

finance) (LeBaron 2000)*. Kaþin ar ið viso tokià tyrimø kryptá galima vadinti teorija,turinèia vyraujantá metodà (Hommes 2001: 1). Ðios krypties tyrimus sieja kritiðkaspoþiûris á moderniosios finansø rinkos teorijos prielaidà, kad racionalûs rinkos vei-këjai dël savo racionaliø lûkesèiø yra homogeniðki. Teigiama, kad rinkos veikëjaiyra heterogeniðki. Pagal moderniàjà finansø rinkos teorijà, tai reiðkia, kad tikimybinismatas P yra skirtingas kiekvienam rinkos dalyviui, todël (I.6) sàryðiu nusakoma pu-siausvyros kaina yra skirtinga kiekvienam rinkos veikëjui, nors informacijos aibëvisiems yra vienoda. Kai kainos nustatomos skirtingai, matematiðkai apraðyti rinkoskainas tampa per daug sudëtinga. Todël finansø rinkos veikëjø teorija paprastaigrindþiama kompiuterinio modeliavimo metodais. Kadangi svarbiausia ávairiarûðiøveikëjø savybe laikoma jø sàveika, daugelyje darbø kalbama apie heterogeniðkø vei-këjø hipotezæ (interacting agents hypothesis) arba heterogeniðkos rinkos hipotezæ(heterogeneous market hypothesis) kaip ERH alternatyvà.

Pagal finansø rinkos veikëjø teorijà, visi investuotojai, atsiþvelgiant á jø ásitiki-nimus ar lûkesèius, skirstomi á dvi grupes. Pirmàjà sudaro racionalûs veikëjai, arbafundamentalistai, manantys, kad vertybiniø popieriø kainas lemia ekonominiaiveiksniai. Antrajai grupei priklauso vadinamieji èartistai, arba techniniai analitikai,manantys, kad vertybiniø popieriø ateities kainas galima prognozuoti remiantis jøpraeities kainomis ir prekybos apimtimi. Ðiø dviejø investuotojø grupiø veikla, be-siskirianti investavimo strategijomis, modeliuojama darant labai skirtingas prielaidasir taikant nevienodus metodus. Pavyzdþiui, Williams B. Brock ir Cars H. Hommes(1998) strategijos pasirinkimà laiko momentu Tt ..., ,1∈ modeliuoja pasitelkdamiatsitiktines naudingumo funkcijas, kurios priklauso nuo strategijos iki momentot – 1 rezultatø. Pagal ðá modelá, rinkos veikëjai renkasi tà strategijà, kuri iki pasirin-

*Plaèiau su ðia teorija galima

susipaþinti L. Tesfatsion tink-

lapyje adresu http://

www.econ.iastate.edu/tesfatsi

ir B. LeBaron tinklapyje

adresu http://www.unet.

brandeis.edu/ ~blebaron/

Page 18: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

48

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

kimo momento davë didþiausià pelnà. Todël ðis modelis dar vadinamas prisitaikanèiøásitikinimø sistema (adaptive belief systems). Akcijø kainø kitimas priklauso nuo to,kuri rinkos veikëjø grupë vyrauja. Prisitaikanèiø ásitikinimø sistema taip pat numatoERH atitinkantá tobulà visø rinkos veikëjø racionalumà, o riboto racionalumo dydispriklauso nuo modelio parametrø. Pagal ðá modelá, ilgà laikà gali gyvuoti abi rinkosveikëjø grupës, t. y. fundamentalistø strategija ne visada laimi prieð èartistø strategijà,o tai prieðtarauja ERH. Be to, prisitaikanèiø ásitikinimø sistemos modelis gebageneruoti kai kuriuos finansø rinkos stilizuotus faktus: sunkiø uodegø savybæ,kintamumo klasterizacijà ir ilgalaikæ atmintá (Kirman, Teyssière 2002).

3.5. Kitos finansø rinkos teorijos

Kaip matome, ávairiø finansø rinkos tyrimo krypèiø atsiradimà ið esmës lëmëprieðtaravimai, susijæ su ERH. Kai kurios tø krypèiø plëtojamos kuriant vis sudëtin-gesnius matematinius modelius, kurie leistø racionaliai paaiðkinti rinkos anomalijas,kiti tyrimai ið viso neigia racionalaus aiðkinimo galimybæ. Pati ERH galëtø bûtitiriama ávairiais naujais aspektais. Pavyzdþiui, ERH galima laikyti idealizacija,suteikianèia vertinimams atskaitos taðkà. Tai reiðkia, kad galima kalbëti apie santykináskirtingø rinkø tarpusavio efektyvumà. (Analogiðka efektyvumo sàvoka vartojamafizikoje.) Tokio poþiûrio svarstymas sudaro vienos ið naujausiø finansø rinkos teorijoskrypèiø esmæ. ERH dar gali bûti apibendrinama, numatant garantuotà pelnà tuoatveju, kai remiamasi technologijos naujovëmis, t. y. kai kuriais atvejais numatantfinansiná arbitraþà. Toká poþiûrá taip pat galima pagrásti lyginant finansø rinkà su kaikuriomis nefinansø rinkomis (Farmer, Lo 1999). Taèiau paèiu perspektyviausiulaikomas biologinis poþiûris á finansø rinkas (Farmer, Lo 1999). Ðiuo poþiûriu, finansørinkos, jø priemonës, ávairios institucijos ir investuotojai, sàveikaudami tarpusavyje,evoliucionuoja pagal ekonominës atrankos dësnius. Finansø rinkos veikëjaikonkuruoja ir prisitaiko, bet nebûtinai paèiu geriausiu bûdu.

Išvados

Pirmiausia, moderniosios finansø rinkos teorijos taikymas sietinas su Black-Scholes

formule. Platus ðios formulës taikymas finansø rinkos praktikoje buvo svarbiausiasmoderniosios finansø rinkos teorijos plëtojimosi stimulas.

Antra, sudëtingø ðiuolaikiniø matematikos metodø taikymas, iðvedantBlack-Scholes formulæ, pritraukë matematikø dëmesá. Siekis pritaikyti pasirinkimosandorio sàþiningosios kainos sampratà kaip galima didesnei kainos procesø klaseipaskatino stochastinës analizës teorijos plëtojimàsi.

Treèia, mokslo srièiø sàveika matyti ir finansø ekonometrijoje. Ðioje srityje netik taikomi tradiciniai statistikos metodai, bet ir aktyviai ieðkoma ekonometriniømodeliø, kurie kaip galima adekvaèiau perteiktø finansø rinkos stilizuotus faktus.Paskutiniu deðimtmeèiu ypaè aktyviai á tokias paieðkas ásitraukë fizikai.

Ketvirta ir svarbiausia iðvada reikëtø laikyti didëjanèià skirtingø poþiûriø áfinansø rinkas sàveikà. Ðià sàveikà skatina finansø rinkos anomalijø paaiðkinimo irmoderniosios finansø rinkos teorijos rezultatø suderinamumas.

Page 19: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

49

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

Priedas

Black-Scholes formulës árodymas

Tarkime, kad, be rizikingo vertybinio popieriaus S1, nusakyto geometriniu Wiener

procesu

( ) ( ) ( ) ,0,2

1exp0

2

11TtttWStS ≤≤

−+= σµσ

rinkoje yra ir nerizikingas vertybinis popierius S0, kurio kaina nusakoma tolydþiøjø

palûkanø norma r > 0, t. y. ( ) rtetS =

0, Tt ≤≤0 . Taip pat tarkime, kad pasirinkimo

pirkti sandoris yra vertybinis popierius, kurio kaina H(t), [ ]Tt ,0∈ . Tada ( ) VH =0 –ieðkoma sàþiningoji kaina, o ( ) HTH = – sandorio iðmoka (þr. (1) sàryðá). Árodysime,kad egzistuoja tokia finansavimosi strategija ( )βα , , kad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0,10

TttHtSttSt ≤≤=+ βα (17)

Tada V ir bus F. Black ir M. Scholes siûloma sàþiningoji kaina. Ið tikrøjø sandoriopardavëjas, gavæs pradinæ ámokà ( )0HV = , toliau tolydþiai keisdamas portfelá

( ) ( )( )tt βα , , laikotarpio pabaigoje turës sukaupæs bûtinà pagal sandorio sutartáiðmokà ( )THH = , t. y. strategija ( )βα , sukuria rizikos draudimà. Jei sandoriopardavëjas gautø ámokà VV −′ , tai laikotarpio pabaigoje jis turëtø garantuotà pelnà

0>−′ VV . Jei sandorio pardavëjas paimtø ámokà VV <′ , tai tà patá „bizná“ galëtøpadaryti pirkëjas, perpardavæs sandorá. Taigi kiekviena kaina, nelygi V, sukuriaarbitraþà.

Norëdami árodyti finansavimosi strategijos egzistavimà, tarkime, kad egzistuojatokia tolydþioji funkci ja ( )xtC , , ( ) [ ] ( )∞×∈ ,0 ,0 , Txt , kuri yra glodi aibëje

( )∞× ,0) ,0[ T ir ( ) ( )( )tStCtH ,= su visais ( ) [ ]Txt ,0 , ∈ (toliau matysime, kad tokiafunkcija ið tikrøjø egzistuoja). Jei funkcija ( )xtF , , ( ) [ ] RTxt ×∈ ,0 , yra glodi, o to-lydþioji funkcija ( )tf , [ ]Tt ,0∈ turi kvadratinæ -variacijà [ ]

λf , apibrëþtà (I.26)

sàlyga, tai kiekvienam [ ]Tt ,0∈ teisinga ši Itô formulë:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ,,2

1,,0,0,

000 ∫∫∫ ⋅+⋅++=t

xx

t

x

t

tfdfFfdfFdssfsFfFtftF

λλ

èia Ft, Fx, Fxx þymi dalines iðvestines pagal nurodytus kintamuosius. Kadangi pagal(I.29) formulæ [ ] ( ) ( )∫=

t

dssStS0

2

1

2

λ ir pagal (I.30) formulæ S

1 yra integralinës

lygties sprendinys, tai, pritaikæ Itô formulæ, gauname tokià lygybæ:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,0,,00 110

TtsWdsSsSsCdssAHtHt

x

t

≤≤++= ∫∫ λσ (18)

èia ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .,2

,,:2

11

2

111tStStCtStStCtStCtA

xxxt

σµ ++=

Remdamiesi (17) lygybe, finansavimosi strategijos ( )βα , sàlyga ir tuo, kad S1

yra (I.30) integralinës lygties sprendinys, gauname tokià lygybæ:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] .0

0

0 10 10

0 10 0

∫∫

∫∫

+++=

=++=

tt

tt

WdSdssSssSsrH

SddSHtH

λ

λ

σβµβα

βα

(19)

Finansavimosi strategijà apibrëþkime taip: ( ) 0:=Tβ ir

Page 20: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

50

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

∈−=

∈=

].[0, jei/,,:

),[0, jei,:

0111

1

TttStStStCtStCt

TttStCt

x

x

α

β

Palyginæ sandorio iðmokos ( )tH išraiškas (þr. (18) ir (19) formules), matome, kadfunkcija C privalo tenkinti lygtá dalinëmis iðvestinëmis:

( )

( ) ( )

∈=

∞+∈−=

∞+×=+∂

],[0, visiems00,

),0,( visiems ,0max,

,0,)[0,ant 0

Tttu

xKxxTu

TLut

u

kai ( ) ( ) ( ) ( )xtruxtx

urxxt

x

uxxtLu , , ,

2:,

2

2

2

2

−∂

∂+

∂=σ

.

Nesunku patikrinti, kad ði lygtis turi (vienintelá) sprendiná:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

×∈

∞+×∈−

∞+×∈−

=

−−

,0][0,, jei,0

),0,(, jei,,0max

,0,)[0,, jei, ,,

:,

21

Txt

TxtKx

TxtxtdKextdx

xtC

tTrΦΦ

kai ( )( ) ( ) ( )

tT

tTrKxxtd

−++=

σ

σ 2//ln:,

2

1 ir ( ) ( ) tTxtdxtd −−= σ,,

12.

Black-Scholes formulë (3) árodyta, kadangi ( ) ( )( )0 ,001SCHV == . Pateikto

árodymo esmë yra (17) lygybæ tenkinanèios finansavimosi strategijos ( )βα ,

egzistavimo árodymas. Tokia strategija vadinama sandorio dinamiðkuoju atkartojimu.Ðá árodymà pasiûlë R. C. Merton (1977). Jis skiriasi nuo F. Black ir M. Scholesárodymo. F. Black ir M. Scholes konstravo tokià finansavimosi strategijà ( )δ−,1 ,kurià atitinkantis portfelis CS δ−

1 bûtø nerizikingas. Kitaip tariant, jie konstravo

dinamiðkàjá obligacijos atkartojimà. Deja, jø pasiûlytas árodymo metodas turëjotechniniø trûkumø, bet juos neseniai paðalino Ioanid Rosu ir Dan Stroock (2004).

Literatûra

Baill ie R. T., Bollerslev T., Mikkelsen H. O. 1996: Fractionally Integrated GeneralizedAutoregressive Conditional Heteroskedasticity. – Journal of Econometrics 74, 3–30.

Barndorff-Nielsen O. E., Shephard N. 2001: Non-Gaussian Ornstein–Uhlenbeck-basedModels and Some of their Uses in Financial Economics (with discussion). – Journal of theRoyal Statistical Society/ Series B 63, 167–241.

Benartzi S., Thaler R. 1995: Myopic Loss-Aversion and the Equity Premium Puzzle. – QuarterlyJournal of Economics 110, 73–92.

Black F. 1976: Studies in Stock Price Volatility Changes. – Proceedings of the American StatisticalAssociation, Business and Economic Statistics Section, 177–181.

Black F. 1986: Noise. – Journal of Finance 41, 529–543.

Black F., Scholes M. 1973: The Pricing of Options and Corporate Liabilities. – Journal ofPolitical Economy 81, 637–659.

Blanchard O., Fischer S. 1989: Lectures in Macroeconomics. Cambridge Mass.: M.I.T. Press.

Bollerslev T. 1986: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. – Journal ofEconometrics 31, 307–327.

Bollerslev T., Chou R. Y., Kroner K. F. 1992: ARCH Modeling in Finance: a Review of theTheory and Empirical Evidence. – Journal of Econometrics 52, 5–59.

Bollerslev T., Engle R. F., Nelson D. B. 1994: ARCH Models. – Handbook of Econometrics4, 2961—3031.

Page 21: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

51

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

Bollerslev T., Mikkelsen H. O. 1996: Modeling and Pricing Long Memory in Stock MarketVolatility. – Journal of Econometrics 73, 151–184.

Bouchaud J.-P. 2002: An Introduction to Statistical Finance. – Physica A 313, 238–251.Breidt F. J. , Crato N., de Lima P. 1998: On the Detection and Estimation of Long Memory

in Stochastic Volatility. – Journal of Econometrics 83, 325–348.Brock W. A., Hommes C. H. 1998: Heterogeneous Beliefs and Routes to Chaos in a Simple

Asset Pricing Model. – Journal of Economic Dynamics and Control 22, 1235–1274.Burda Z., Jurkiewicz J. , Nowak M. A. 2003: Is Econophysics a Solid Science? – Acta Physica

Polonica B, 34, 87–131.Campbell J. Y., Lo A. W., MacKinlay A. C. 1997: The Econometrics of Financial Markets.

Princeton: University Press.Clark P. K. 1973: A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative

Prices. – Econometrica 41, 135–155.Cont R. 2001: Empirical Properties of Asset Returns: Stylized Facts and Statistical Issues. –

Quantitative Finance 1, 223–236.Cutler D. M., Poterba J. M., Summers L. H. 1989: What Moves Stock Prices? – Journal of

Portfolio Management 15, 4–12.Diba B., Grossman H. 1988: The Theory of Rational Bubbles in Stock Prices. – Economic

Journal 98, 746–754.Engle R. F. 1982: Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance

of United Kingdom Inflation. – Econometrica 50, 987–1008.Engle R. F. , Ng V. K. 1993: Measuring and Testing the Impact of News on Volatility. – Journal

of Finance 48, 1749–1778.Farmer J. D. 1999: Physicists Attempt to Scale the Ivory Towers of Finance. – Computing in

Science and Engineering 1, 36–39.Farmer J . D. , Lo A. W. 1999: Frontiers of Finance: Evolution and Efficient Markets. –

Proceedings of the National Academy of Science 96, 9991–9992.Giraitis L., Leipus R., Robinson P. M., Surgailis D. 2004: LARCH, Leverage and Long

Memory. – Journal of Financial Econometrics 2, 177–210.Giraitis L., Leipus R., Surgailis D. 2003: Recent Advances in ARCH Modelling. – Long

Memory in Economics (spausdinama).Giraitis L., Robinson P. M., Surgailis D. 2000: A Model for Long Memory Conditional

Heteroskedasticity. – Annals of Applied Probability 10, 1002–1024.Glosten L. R., Jagannathan R., Runkle D. 1993: Relationship between the Expected Value

and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks. – Journal of Finance 48,1779–1802.

Granger C. W. J. , Joyeux R. 1980: An Introduction to Long-Memory Time Series Modelsand Fractional Differencing. – Journal of Time Series Analysis 1, 15–30.

Harvey A. 1998: Long Memory in Stochastic Volatility. – Forecasting Volatility in the FinancialMarkets, Oxford: Butterworth & Heineman, 307–320.

Hommes C. H. 2001: Financial Markets as Nonlinear Adaptive Evolutionary Systems. –Quantitative Finance 1, 149–167.

Hull J. , White A. 1987: The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities. – Journalof Finance 42, 281–300.

Kahneman D. , Riepe M. 1998: Aspects of Investor Psychology. – Journal of PortfolioManagement 24, 52–65.

Kahneman D., Tversky A. 1973: On the Psychology of Prediction. – Psychological Review 80,237–251.

Kahneman D., Tversky A. 1979: Prospect Theory of Decisions under Risk. – Econometrica 47,263–291.

Kazakevièius V., Leipus R. 2003: A New Theorem on Existence of Invariant Distributionswith Applications to ARCH Processes. – Journal of Applied Probability 40, 147–162.

Kirman A., Teyssière G. 2002: Microeconomic Models for Long-memory in the Volatility ofFinancial Time Series. – Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics 5, 281–302.

Kritzman M. P. 2000: Puzzles of Finance. Six Practical Problems and Their Remarkable Solutions.New York: John Wiley & Sons.

Laukait is A. 2001: Funkcionalinës duomenø analizës taikymai pinigø srautø prognozei. –Pinigø studijos 4, 17–28.

Laukaitis A., Raèkauskas A. 2002: Functional Data Analysis of Payment Systems. – NonlinearAnalysis: Modelling and Control 7, 53–68.

Page 22: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

52

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2004 1

LeBaron B. 2000: Agent-Based Computational Finance: Suggested Readings and EarlyResearch. – Journal of Economic Dynamics and Control 24, 679–702.

Leipus R., Norvaiša R. 2003: Finansø rinkos teorijø pagrindai. – Pinigø studijos 4, 5–28.LeRoy S. F., Porter R. D. 1981: The Present-Value Relation: Tests Based on Implied Variance

Bounds. – Econometrica 49, 555–574.Lo A. W., MacKinlay A. C. 1999: A Non-Random Walk Down Wall Street. Princeton: University

Press.Lobato I. N., Savin N. E. 1998: Real and Spurious Long-Memory Properties of Stock-Market

Data (with comments). – Journal of Business & Economic Statistics 16, 261–283.Mandelbrot B. 1963: The Variation of Certain Speculative Prices. – Journal of Business 36,

394–419.Mandelbrot B. 1997: Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk. New

York: Springer.Mantegna R. N., Stanley H. E. 2000: An Introduction to Econophysics: Correlations and

Complexity in Finance. Cambridge: Cambridge University Press.Merton R. C. 1973: Theory of Rational Option Pricing. – Bell Journal of Economics and

Management Science 4, 141–183.Merton R. C. 1977: On the Pricing of Contingent Claims and the Modigliani-Miller Theorem. –

Journal of Financial Economics 5, 241–249.Modigliani F. , Miller M. 1958: The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of

Investment. – American Economic Review 48, 261–297.Müller U. A., Dacorogna M. M., Davé R., Olsen R. B., Pictet O. V., von Weizsäc-

ker J. E. 1997: Volatilities of Different Time Resolutions – Analyzing the Dynamics of MarketComponents. – Journal of Empirical Finance 4, 213–240.

Nelson D. B. 1991: Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: a New Approach. –Econometrica 59, 347–370.

Norvaiša R., Salopek D. M. 2000: Estimating the Orey Index of a Gaussian Stochastic Processwith Stationary Increments: an Application to Financial Data Set. – Stochastic Models, Proc.Int. Conf., Otawa, Canada, June 10–13, 1998, 26, 353–374.

Norvaiša R., Salopek D. M. 2002: Estimating the p-variation Index of a Sample Function:An Application to Financial Data Set. – Methodology and Computing in Applied Probability 4,27–53.

Robinson P. M. 2001: The Memory of Stochastic Volatility Models. – Journal of Econometrics101, 195–218.

Rosu I. , Stroock D. 2004: On the Derivation of the Black-Scholes Formula. – Séminaire deProbabilités XXXVII. Lecture Notes in Mathematics, 1832, 399–414.

Shephard N. 1996: Statistical Aspects of ARCH and Stochastic Volatility. – Time Series Modelsin Econometrics, Finance and Other Fields, 1–55.

Shiller R. J. 1981: Do Stock Prices Move too much to be Justified by Subsequent Changes inDividends? – The American Economic Review 71, 421–435.

Shiller R. J. 1989: Market Volatility. Cambridge Mass.: M.I.T. Press.Shiryaev A. N. 1999: Essentials of Stochastic Finance. Singapore: World Scientific.Sornette D. 2003: Why Stock Markets Crash. Critical Events in Complex Financial Systems.

Princeton: Princeton University Press.Summers L. H. 1986: Does the Stock Market Rationally Reflect Fundamental Values? – Journal

of Finance 41, 591–601.Surgailis D., Viano M.-C. 2002: Long Memory Properties and Covariance Structure of the

EGARCH Model. – ESAIM: Probability and Statistics 6, 311–329.Taqqu M. S. 2001: Bachelier and his Times: A Conversation with Bernard Bru. – Finance and

Stochastics 5, 3–22.Taylor S. 1986: Modelling Financial Time Series. New York: Wiley.Tversky A., Kahneman D. 1992: Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation

of Uncertainty. – Journal of Risk Uncertainty 5, 297–323.Voit J. 2001: The Statistical Mechanics of Financial Markets. Berlin: Springer.Zakoian J.-M. 1994: Threshold Heteroskedastic Models. – Journal of Economic Dynamics and

Control 18, 931–955.Zigrand J.-P. 2001: On Physics and Finance. – London School of Economics. Special Paper 128.

Gauta 2003 m. rugsëjo mën.Priimta spaudai 2003 m. lapkrièio mën.

Page 23: FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS · 33 R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas èia W ={}W()t :t ≥0 – Wiener procesas, – realusis skaièius, – teigiamas

53

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø taikymas

Summary

Remigijus Leipus, Rimas Norvaiša

This is the second part of the review of the modern theory of financial marketand of its several recent developments, continued since its previous issue. The firstpart introduced the concept of the efficient market hypothesis and highlighted itsrelationship with the basic concepts of the theory. The first part focussed on thearbitrage theory and the portfolio theory.

The present part of the review, again, consists of three sections. The firstpart deals with the mathematical aspects of financial engineering. The problem ofa fair price of a contingent claim is discussed in some length. Then a solution to theproblem in the case of the European call option, suggested by F. Black andM. Scholes, is presented. A derivation of the fair prices formula as suggested byR. C. Merton is given in the appendix. Whereas in the main body of the paper,some comments on the use of a risk-neutral measure to derive the Black-Scholesformula are given. The section on financial engineering ends with the mention ofother kinds of options and the underlying stock price processes.

The second section of the paper is devoted to financial econometrics. Morespecifically, a discussion of problems related to adequate modelling of stylized factsof financial data is given. The section begins with a motivation for analysinglogarithms of stock prices rather than prices themselves. Then a list of basic stylizedfacts is presented with a few comments. Discrete-time econometric modellingproblems are illustrated on the time series models of GARCH type and on stochasticvolatility models. The latter are also discussed in the case of continuous time. Thesection ends with some comments on a relatively new trend of econometric analysis,related to estimating several indices characterizing the roughness of the trajectoriesof stochastic processes used to model stock prices.

The last section of the overview focuses on discussing new trends in financialtheories. The efficient market hypothesis in this context is discussed again bypresenting those features of financial markets that are termed as anomalies. Namely,excess volatility and financial bubbles are the most famous examples. As far astheoretical trends are concerned, behavioural finance and agent-based modellingare presented as alternatives to, and/or further developments of, the modern financialmarket theory. A wide area of agent-based modelling in this section is illustrated bya model of financial markets based on Adaptive Belief Systems, advocated byW. A. Brock and C. H. Hommes. The overview ends with some thoughts ofJ. D. Farmer and A. W. Lo concerning the frontiers of finance.

APPLICATION OF FINANCIAL MARKET THEORIES