Financijsko odlučivanje

Financijsko Financijsko odlučivanjeodlučivanje

Martina BrišMartina Briš

Rješenje pomoću LINDO programaRješenje pomoću LINDO programa Računala skoro uvijek rješavaju realne linearne programe pomoću Računala skoro uvijek rješavaju realne linearne programe pomoću

simpleks metode. Koeficijenti u funkciji cilja poznati su pod nazivom simpleks metode. Koeficijenti u funkciji cilja poznati su pod nazivom koeficijenti troškova (jer se za vrijeme drugog svijetskog rata , prvi koeficijenti troškova (jer se za vrijeme drugog svijetskog rata , prvi program iz LP bavio problemom minimalizacije troškova). Uz funkciju program iz LP bavio problemom minimalizacije troškova). Uz funkciju cilja u modelu se nalaze tehnološki koeficijenti i vrijednosti desne strane.cilja u modelu se nalaze tehnološki koeficijenti i vrijednosti desne strane.

Rasprostranjeni software za LP je LINDO paket. Ime LINDO je Rasprostranjeni software za LP je LINDO paket. Ime LINDO je izvedenica iz izvedenica iz LLinear inear ININteractive teractive DDiscrete iscrete OOptimizationptimization. Riječ “discret” . Riječ “discret” znači skakanje s jednog na drugo bazično rješenje umjesto da se kruži u znači skakanje s jednog na drugo bazično rješenje umjesto da se kruži u okviru dopuštenog područja u potrazi za optimalnim rješenjem (ako ono okviru dopuštenog područja u potrazi za optimalnim rješenjem (ako ono postoji).postoji).

LINDO koristiu simpleks metodu. Uz rješenje problema ovaj program LINDO koristiu simpleks metodu. Uz rješenje problema ovaj program daje običnu analizu osjetljivosti funkcije cilja (Objective Function daje običnu analizu osjetljivosti funkcije cilja (Objective Function Coefficients (zvanu Cost Coefficients) i desne strane (Right- hand- side Coefficients (zvanu Cost Coefficients) i desne strane (Right- hand- side RHS) ograničenja.RHS) ograničenja.

Riješimo problem stolara pomoću LINDO paketa. U prozor (window) Riješimo problem stolara pomoću LINDO paketa. U prozor (window) utipkajmo:utipkajmo:

MAX 5X1 + 3X2MAX 5X1 + 3X2S.T. 2X1 + X2 ≤ 40S.T. 2X1 + X2 ≤ 40X1 + 2X2 ≤ 50X1 + 2X2 ≤ 50End End

Formulacija i primjena linearnih Formulacija i primjena linearnih modela modela

Model alokacijeModel alokacije

Jedan od najjednostavnijih oblika linearnog Jedan od najjednostavnijih oblika linearnog modela koji se pojavljuje često u praksi mogao bi modela koji se pojavljuje često u praksi mogao bi se nazvati model alokacije. Glavni problem leži u se nazvati model alokacije. Glavni problem leži u raspodjeli vrijednog resursa na konkurentne raspodjeli vrijednog resursa na konkurentne potrebe. resurs može biti zemlja, vrijeme, potrebe. resurs može biti zemlja, vrijeme, kapital, nafta ili bilo što drugo s ograničenim kapital, nafta ili bilo što drugo s ograničenim kapacitetom.kapacitetom.

Primjer: Financijsko planiranje Primjer: Financijsko planiranje Banka daje četiri vrste kredita svojim klijentima zaračunavajući im Banka daje četiri vrste kredita svojim klijentima zaračunavajući im

slijedeće godišnje kamate: slijedeće godišnje kamate: Prvi hipotekarni kredit 14%Prvi hipotekarni kredit 14% Drugi hipotekarni kredit 20%Drugi hipotekarni kredit 20% Kredit za domaćinstvo 20%Kredit za domaćinstvo 20% Osobna potrošnja 10%Osobna potrošnja 10%

Banka ima na raspolaganju za kreditiranje maksimalno 250 milijuna Banka ima na raspolaganju za kreditiranje maksimalno 250 milijuna novčanih jedinica (NJ). Daljnja ograničenja su: novčanih jedinica (NJ). Daljnja ograničenja su: Prvi hipotekarni kredit mora biti barem 55% od svih hipotekarnih Prvi hipotekarni kredit mora biti barem 55% od svih hipotekarnih

kredita koji se koriste i barem 25% od ukupne sume predviđene kredita koji se koriste i barem 25% od ukupne sume predviđene za kreditiranje. za kreditiranje.

Drugi hipotekarni kredit ne smije premašiti 25 % od svih kredita.Drugi hipotekarni kredit ne smije premašiti 25 % od svih kredita. Da bi se izbjeglo javno nezadovoljstvo i uvođenje novih taksa, Da bi se izbjeglo javno nezadovoljstvo i uvođenje novih taksa,

prosječna stopa kamata na sve kredite ne smije premašiti 15 %.prosječna stopa kamata na sve kredite ne smije premašiti 15 %.

Formulirajmo problem alokacije kredita kao problem linearnog Formulirajmo problem alokacije kredita kao problem linearnog programiranja u kojemu banka maksimizira svoj interes kroz kamate programiranja u kojemu banka maksimizira svoj interes kroz kamate uz zadovoljavanje postavljenih ograničenja. Uočimo da ograničenja uz zadovoljavanje postavljenih ograničenja. Uočimo da ograničenja koja se odnose na kreditnu politiku banke ograničavaju s jedne koja se odnose na kreditnu politiku banke ograničavaju s jedne strane profit, ali isto tako i smanjuju njeno izlaganje riziku strane profit, ali isto tako i smanjuju njeno izlaganje riziku alocirajući novac na različita područja. alocirajući novac na različita područja.

RješenjeRješenjeOdredimo:Odredimo:

VarijableVarijable Ograničenja Ograničenja Cilj Cilj

Verbalnu deskripciju pretvaramo u ekvivalentnu matematički Verbalnu deskripciju pretvaramo u ekvivalentnu matematički formulaciju. Prije nego se postavi matematička formulacija linearnog formulaciju. Prije nego se postavi matematička formulacija linearnog programiranja (LP) korisno je izraziti varijable, ograničenja i cilj. programiranja (LP) korisno je izraziti varijable, ograničenja i cilj.

VarijableVarijable U biti smo zainteresirani za svotu kojom banka kreditira klijente u U biti smo zainteresirani za svotu kojom banka kreditira klijente u

svakoj od četiri različitih kategorija (ne aktualne nositelje takvih svakoj od četiri različitih kategorija (ne aktualne nositelje takvih kredita)kredita)

Neka jeNeka jexi = količina kredita u području i (gdje i =1 odgovara prvom xi = količina kredita u području i (gdje i =1 odgovara prvom hipotekarnom kreditu, i =2 drugom, itd.) uzimajući u obzir xi hipotekarnom kreditu, i =2 drugom, itd.) uzimajući u obzir xi 0 0 (i=1,2,3,4). (i=1,2,3,4).

Zapazimo da su u konvencionalnom LP-u sve varijable Zapazimo da su u konvencionalnom LP-u sve varijable 0. Svaka 0. Svaka varijabla (recimo x) koja može biti pozitivna ili negativna može se varijabla (recimo x) koja može biti pozitivna ili negativna može se zapisati kao x1 - x2 (razlika između dvije nove varijable) gdje jezapisati kao x1 - x2 (razlika između dvije nove varijable) gdje jex1 x1 0 i x2 0 i x2 0. 0.

OgraničenjaOgraničenja Ograničena količina kredita jeOgraničena količina kredita je

x1 + x2 + x3 + x4 x1 + x2 + x3 + x4 250 250

Ovdje smo uveli ograničenje tipa Ovdje smo uveli ograničenje tipa radije nego = da bi bili fleksibilniji u radije nego = da bi bili fleksibilniji u optimalizaciji funkcije cilja. optimalizaciji funkcije cilja.

ograničenje 1ograničenje 1x1 x1 0.55(x1 + x2) 0.55(x1 + x2)Prvi hipotekarni kredit Prvi hipotekarni kredit 0.55 (ukupno izdani i hipotekarni krediti) ali 0.55 (ukupno izdani i hipotekarni krediti) ali i i x1 x1 0.25(x1 + x2 + x3 + x4) 0.25(x1 + x2 + x3 + x4)tj. prvi hipotekarni krediti tj. prvi hipotekarni krediti 0.25 ( ukupne svote kredita) 0.25 ( ukupne svote kredita)

ograničenje 2ograničenje 2x2 x2 0.25(x1 + x2 + x3 + x4) 0.25(x1 + x2 + x3 + x4)

ograničenje 3ograničenje 3 – znamo da je ukupni godišnji interes 0.14x1 + 0.20x2 – znamo da je ukupni godišnji interes 0.14x1 + 0.20x2 +0.20x3 +0.10x4 na ukupno izdani kredit +0.20x3 +0.10x4 na ukupno izdani kredit (x1 +x2 +x3 +x4). Zato ograničenje u vezi relacije u uvjetu (3) glasi (x1 +x2 +x3 +x4). Zato ograničenje u vezi relacije u uvjetu (3) glasi 0.14x1 + 0.20x2 + 0.20x3 + 0.10x4 0.14x1 + 0.20x2 + 0.20x3 + 0.10x4 0.15(x1 + x2 + x3 + x4) 0.15(x1 + x2 + x3 + x4)

Opaska: ograničenja se moraju preurediti prije nego se počne rješavati Opaska: ograničenja se moraju preurediti prije nego se počne rješavati problem.problem.

Funkcija ciljaFunkcija cilja

Treba maksimizirati prihod od kamata Treba maksimizirati prihod od kamata

max 0.14x1 +0.20x2 +0.20x3 +0.10x4max 0.14x1 +0.20x2 +0.20x3 +0.10x4

U ovom slučaju optimalno rješenje linearnog U ovom slučaju optimalno rješenje linearnog programiranja ( rješenje pomoću softwearskog paketa) jeprogramiranja ( rješenje pomoću softwearskog paketa) je

x1 =208.33, x2 = 41.67 i x3 = x4 = 0.x1 =208.33, x2 = 41.67 i x3 = x4 = 0.

ZADATAK:ZADATAK:

max 0.14x1 +0.20x2 +0.20x3 +0.10x4max 0.14x1 +0.20x2 +0.20x3 +0.10x4

x1 + x2 + x3 + x4 x1 + x2 + x3 + x4 250 250 x1 x1 0.55(x1 + x2) 0.55(x1 + x2)

x1 x1 0.25(x1 + x2 + x3 + x4) 0.25(x1 + x2 + x3 + x4) x2 x2 0.25(x1 + x2 + x3 + x4) 0.25(x1 + x2 + x3 + x4) 0.14x1 + 0.20x2 + 0.20x3 + 0.10x4 0.14x1 + 0.20x2 + 0.20x3 + 0.10x4 0.15(x1 + x2 + x3 + x4) 0.15(x1 + x2 + x3 + x4)

x1, x2, x3, x4 x1, x2, x3, x4 0 0

Odnosno, nakon sređivanja:Odnosno, nakon sređivanja:

max 0.14x1max 0.14x1 ++ 0.20x20.20x2 ++ 0.20x30.20x3 ++ 0.10x40.10x4

x1x1 ++ x2x2 ++ x3x3 ++ x4<250x4<250 0.45x10.45x1 -- 0.55x20.55x2 >0>0 0.75x10.75x1 -- 0.25x20.25x2 -- 0.25x30.25x3 -- 0.25x4>00.25x4>0 -0.25x1-0.25x1 + + 0.75x20.75x2 -- 0.25x30.25x3 -- 0.25x4<00.25x4<0 -0.01x1-0.01x1 ++ 0.05x20.05x2 ++ 0.05x30.05x3 -- 0.05x4<00.05x4<0

x1, x2, x3, x4 x1, x2, x3, x4 0 0

Primjer: Analiza investicijaPrimjer: Analiza investicija Financijski analitičar u jednoj kompaniji treba preporučiti Financijski analitičar u jednoj kompaniji treba preporučiti

financijskom odboru investicijski projekt za koji je predviđeno $ 2 financijskom odboru investicijski projekt za koji je predviđeno $ 2 000 000. Odbor je preporučio da se investicija treba raspodjeliti na 000 000. Odbor je preporučio da se investicija treba raspodjeliti na slijedeće vrste investiranja: certifikati depozita, srednjeročna slijedeće vrste investiranja: certifikati depozita, srednjeročna državna obveznica, prvorazredna dionica (blue chip, npr. dionica), državna obveznica, prvorazredna dionica (blue chip, npr. dionica), špekulacijske dionice, obveznice poduzeća, nekretnine. Za svaku špekulacijske dionice, obveznice poduzeća, nekretnine. Za svaku vrstu investicija analitičar je predvidio godišnji prinos i za svaku vrstu investicija analitičar je predvidio godišnji prinos i za svaku vrstu investicija je razvio faktor rizika koji pokazuje vjerojatnost da vrstu investicija je razvio faktor rizika koji pokazuje vjerojatnost da će aktualni prinos investicije određene vrste biti manji od očekivanog će aktualni prinos investicije određene vrste biti manji od očekivanog prinosa. Analitičar je još predvidio prosječan broj godina kroz koje će prinosa. Analitičar je još predvidio prosječan broj godina kroz koje će se realizirati odnosne vrste investicija. Podaci su dani u tablici.se realizirati odnosne vrste investicija. Podaci su dani u tablici.

Financijski odbor želi imati Financijski odbor želi imati vagani vagani investicijski period barem kroz pet investicijski period barem kroz pet godina. Odbor je također preporučio da vagani prosječni faktor rizika godina. Odbor je također preporučio da vagani prosječni faktor rizika ne bi trebao biti veći od 0.20. Regulative zabranjuju da višene bi trebao biti veći od 0.20. Regulative zabranjuju da više od 25% od 25% investicija kompanije bude uloženo u nekretnine i špekulacijske investicija kompanije bude uloženo u nekretnine i špekulacijske dionice.dionice.

Što bi se trebalo preporučiti ako se želi maksimalizirati očekivani Što bi se trebalo preporučiti ako se želi maksimalizirati očekivani povrat od povrat od $ 2 000 000 ?$ 2 000 000 ?

Vrsta investicije Očekivani godišnji prinos (%)

Faktor rizika Prosječno vrijeme investiranja (godine)

Certifikat depozita Srednjoročna državna obveznica Prvorazredna dionicaŠpekulacijske obvezniceObveznica poduzećaNekretnine

8.5

9.0

8.5

14.3

6.713.0

0.02

0.01

0.38

0.45

0.070.35

8

2

5

6

24

Tablica: Očekivani pronosi i faktori rizika

RješenjeRješenje

Cilj (verbalno)Cilj (verbalno) Cilj je odrediti udio od $ 2 000 000 koji se treba investirati u Cilj je odrediti udio od $ 2 000 000 koji se treba investirati u

svaku od šest vrsta investicija a da je kod svakog investiranja svaku od šest vrsta investicija a da je kod svakog investiranja godišnji povrat maksimalan. Dolarsko investiranje u svaku godišnji povrat maksimalan. Dolarsko investiranje u svaku respektivnu kategoriju investicija može se odrediti nakon respektivnu kategoriju investicija može se odrediti nakon rješavanja optimalnog miksa, jednostavnim množenjem rješavanja optimalnog miksa, jednostavnim množenjem vrijednosti varijabli odlučivanja s $ 2 000 000.vrijednosti varijabli odlučivanja s $ 2 000 000.

Ograničenja (verbalno)Ograničenja (verbalno) Sva raspoloživa sredstva ($2 000 000) moraju se investirati u Sva raspoloživa sredstva ($2 000 000) moraju se investirati u

jednu ili više vrsta investicija. jednu ili više vrsta investicija. Vagani prosječni faktor rizika, to je, vjerojatnost da se neće Vagani prosječni faktor rizika, to je, vjerojatnost da se neće

postići očekivani prinos, ne smije biti veći od 0.20. postići očekivani prinos, ne smije biti veći od 0.20. Vagani prosječni period investiranja mora biti barem pet Vagani prosječni period investiranja mora biti barem pet

godina. godina. Najviše 25% investicija kompanije može se uložiti u nekretnine Najviše 25% investicija kompanije može se uložiti u nekretnine

i špekulacijske dionice. i špekulacijske dionice.

Varijable (matematička struktura)Varijable (matematička struktura)

Model ima šest varijabli odlučivanja jer postoji šest vrsta Model ima šest varijabli odlučivanja jer postoji šest vrsta investiranja:investiranja:

x1 = udio portfelja investiranog u x1 = udio portfelja investiranog u certifikate depozitacertifikate depozita x2 = udio portfelja investiranog u x2 = udio portfelja investiranog u srednjerosrednjeroččne drne držžavne avne obvezniceobveznice x3 = udio portfelja investiranog u , prvorazredne dionicex3 = udio portfelja investiranog u , prvorazredne dionicex4 = udio portfelja investiranog u šx4 = udio portfelja investiranog u špekulacijske dionicepekulacijske dionice x5 = udio portfelja investiranog u x5 = udio portfelja investiranog u špekulacijske dionicešpekulacijske dionice x6 = udio portfelja investiranog u nekretninex6 = udio portfelja investiranog u nekretnine

Funkcija cilja (matematička struktura) Funkcija cilja (matematička struktura)

Na temelju verbalne postavke moglo bi se pomisliti da je Na temelju verbalne postavke moglo bi se pomisliti da je funkcija cilja izražena u dolarima budući da je cilj funkcija cilja izražena u dolarima budući da je cilj maksimizirati očekivani prihod; to ipak nije istina. Koeficijenti maksimizirati očekivani prihod; to ipak nije istina. Koeficijenti cj u problemu su očekivani prinosi za određene vrste cj u problemu su očekivani prinosi za određene vrste investicijainvesticija

c1 = 8.5, c2 = 9.0, c3 = 8.5, c4 = 14.3, c5 = 6.7 i c6 = c1 = 8.5, c2 = 9.0, c3 = 8.5, c4 = 14.3, c5 = 6.7 i c6 = 13.0.13.0.

Budući da su varijable xj razlomljene vrijednosti, izraz cj x j je Budući da su varijable xj razlomljene vrijednosti, izraz cj x j je jednostavno postotak. Kada se to zbroji imamo vagani jednostavno postotak. Kada se to zbroji imamo vagani postotak. Funkciju cilja možemo izraziti u obliku: postotak. Funkciju cilja možemo izraziti u obliku:

max Z = 8.5x1 + 9.0x2 + 8.5x3 + 14.3x4 + 6.7x5 + max Z = 8.5x1 + 9.0x2 + 8.5x3 + 14.3x4 + 6.7x5 + 13.0x613.0x6

U tom slučaju maksimiziramo očekivani prinos iz investiranja. U tom slučaju maksimiziramo očekivani prinos iz investiranja. Nezavisno o veličini koja stoji na raspolaganju za investiranje Nezavisno o veličini koja stoji na raspolaganju za investiranje (u našem slučaju $ 2 000 000), model će biti strukturiran tako (u našem slučaju $ 2 000 000), model će biti strukturiran tako da se postigne optimalan portfelj.da se postigne optimalan portfelj.

Ograničenja (matematička struktura)

(1) Ograničenja ukupnog investiranja: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1Budući da se moraju investirati sva sredstva, razlomljeni dio mora dati sumu 1.

(2) Ograničenja faktora rizika: Budući da su varijable xj (razlomljenog oblika) udio od ukupne investicije u respektivnoj vrsti investicije, umnožak faktora rizika i pridružene varijable dati će vaganu rizik investicije. Vagani faktor rizika svih investicija je suma individualno vaganih faktora rizika u tablici 0.02x1 + 0.01x2 + 0.38x3 + 0.45x4 + 0.07x5 + 0.35x6 0.20

(3) Ograničenja investicijskog perioda: Logika za ova ograničenja je slična onoj za ograničenja rizičnog faktora:[(8 godina) · x1] + [(2 godine) ·x2] + [(5godina) · x3] + [(6godina) · x4] + [(2godine) · x5] + [(4godine) · x6] 5 godina

(4) Ograničenja zabrane: x4 + x6 0 .25

Matematička formulacijaMatematička formulacija

max Z = 8.5x1 + 9.0x2 + 8.5x3 + 14.3x4 + 6.7x5 + 13.0x6max Z = 8.5x1 + 9.0x2 + 8.5x3 + 14.3x4 + 6.7x5 + 13.0x6uz ograničenja: uz ograničenja:

x1 + x2 + x3 +x4 + x5 + x6 = 1x1 + x2 + x3 +x4 + x5 + x6 = 18x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 + 2x5 + 4x6 8x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 + 2x5 + 4x6 5 5x4 + x6 x4 + x6 0.25 0.25 0.02x1 + 0.01x2 + 0 .38x3 + 0 .45x4 + 0.07x5 + 0.35x6 0.02x1 + 0.01x2 + 0 .38x3 + 0 .45x4 + 0.07x5 + 0.35x6 20 20

x1, x2, x3, x4, x5, x6 x1, x2, x3, x4, x5, x6 0 0

Optimalno rješenje je x1 = 0.33, x2 = 0.42, x3 = 0.0, x4 = Optimalno rješenje je x1 = 0.33, x2 = 0.42, x3 = 0.0, x4 = 0.25, x5 = 0.0, x6 = 0.0. Da bi se odredila suma dolara koja se 0.25, x5 = 0.0, x6 = 0.0. Da bi se odredila suma dolara koja se ulaže u različite alternative, jednostavno pomnožimo vrijednosti ulaže u različite alternative, jednostavno pomnožimo vrijednosti varijabla odlučivanja s $ 2 000 000. Prinos iz optimalnog varijabla odlučivanja s $ 2 000 000. Prinos iz optimalnog portfelja je 10.16%.portfelja je 10.16%.

Primjer je dobro ilustrirao jedno od područja primjene linearnog Primjer je dobro ilustrirao jedno od područja primjene linearnog programiranja, naime analize investicija. Problem je pokazao da programiranja, naime analize investicija. Problem je pokazao da se linearno programiranje može primijeniti u problemu selekciji se linearno programiranje može primijeniti u problemu selekciji portfelja. Ta vrsta problema ima primjenu u osiguravajućim portfelja. Ta vrsta problema ima primjenu u osiguravajućim organizacijama, bankama, kreditnim ustanovama.organizacijama, bankama, kreditnim ustanovama.

PrimjerPrimjer Jedna kompanija se suočila s problemom određivanja projekata Jedna kompanija se suočila s problemom određivanja projekata

«rasta» koji bi se trebali poduzeti u slijedeće 4 godine. Kompanija ima «rasta» koji bi se trebali poduzeti u slijedeće 4 godine. Kompanija ima ograničenu sumu kapitala predviđenog za investiranje; zato se ne ograničenu sumu kapitala predviđenog za investiranje; zato se ne mogu potpomognuti svi projekti. Svaki se projekt može karakterizirati mogu potpomognuti svi projekti. Svaki se projekt može karakterizirati sa sadašnjom vrijednošću projekta i pripadajućem zahtjevom za sa sadašnjom vrijednošću projekta i pripadajućem zahtjevom za kapitalom (troškovi). Svaki projekt ima različiti zahtjev za kapitalom kapitalom (troškovi). Svaki projekt ima različiti zahtjev za kapitalom kroz slijedeće 4 godine. Tablica pokazuje procijenjenu sadašnju kroz slijedeće 4 godine. Tablica pokazuje procijenjenu sadašnju vrijednost, potražnju za kapitalom i raspoloživi kapital za projekte.vrijednost, potražnju za kapitalom i raspoloživi kapital za projekte.

Vrsta projekta Procijenjena sadašnja vrijednost

Potražnja kapitalaGodina 1 Godina2 Godina3 Godina 4

Proširenje tvorniceNovi stroj Istraživanje novog proizvodaProširenje skladištaRaspoloživi kapital

$180000 20000 72000 80000

$30000 12000 30000 20000 $65000

$ 40000 8000 20000 30000 $80000

$40000 0 20000 40000$80000

30000 400020000 1000050000

Management želi razviti plan kapitalnog budžetiranja koji bi pokazao troškove koji nastaju svake godine u roku od 4 godine i čiji bi projekt bio potpomognut ukupnim planom.

Funkcija cilja (matematička struktura) Funkcija cilja (matematička struktura)

Budući da se varijabla xj ne izražava u jedinici Budući da se varijabla xj ne izražava u jedinici mjere, razvoj funkcije cilja jednostavno zahtjeva mjere, razvoj funkcije cilja jednostavno zahtjeva zbrajanje umnoška cjxj gdje su:zbrajanje umnoška cjxj gdje su:

c1 = $180000, c2 = $20000, c3 = $72000, i c4 = c1 = $180000, c2 = $20000, c3 = $72000, i c4 = $80000. $80000.

Funkciju cilja možemo izraziti u obliku: Funkciju cilja možemo izraziti u obliku:

max Z = 180000x1 + 20000x2 + 72000x3 + max Z = 180000x1 + 20000x2 + 72000x3 + 80000x480000x4

OgraničenjaOgraničenja1. Zahtjev za kapitalom, godina 1: 1. Zahtjev za kapitalom, godina 1:

[(30000 dolara) · x1] + [(12000 dolara) · x2] + [(30000 [(30000 dolara) · x1] + [(12000 dolara) · x2] + [(30000 dolara) · x3] +[(20000 dolara) · x4] dolara) · x3] +[(20000 dolara) · x4] 65000 dolara 65000 dolara

2. Zahtjev za kapitalom, godina 2:2. Zahtjev za kapitalom, godina 2:[(40000 dolara) · x1] + [(8000 dolara) · x2] + [(20000 dolara) · [(40000 dolara) · x1] + [(8000 dolara) · x2] + [(20000 dolara) · x3] + [(30000 dolara) · x4] x3] + [(30000 dolara) · x4] 80000 dolara 80000 dolara



5. Potpora projektu, godina po godinu:5. Potpora projektu, godina po godinu:Izabiranjem/definiranjem varijable xj osiguravamo da će vrijednost Izabiranjem/definiranjem varijable xj osiguravamo da će vrijednost x1 koja predstavlja rezultat u godini 1 biti jednaka vrijednosti x1 za x1 koja predstavlja rezultat u godini 1 biti jednaka vrijednosti x1 za godinu 2, godinu 3 i godinu 4. Isto će vrijediti za x2, x3, i x4. Zato godinu 2, godinu 3 i godinu 4. Isto će vrijediti za x2, x3, i x4. Zato nije potrebna matematička struktura koja bi postavljala ta nije potrebna matematička struktura koja bi postavljala ta ograničenja. ograničenja.

6. Razlomljena ograničenja:6. Razlomljena ograničenja:Ne možemo garantirati da će varijable biti cjelobrojne, ali Ne možemo garantirati da će varijable biti cjelobrojne, ali vrijednosti možemo ograničiti tako da projekt ne dobije više od vrijednosti možemo ograničiti tako da projekt ne dobije više od 100% sredstava. Četiri ograničenja glase100% sredstava. Četiri ograničenja glasex1x1 1, x2 1, x2 1, x3 1, x3 1, x4 1, x4 1 1

Matematička formulacijaMatematička formulacijamax Z = 180000x1 + 20000x2 + 72000x3 + 80000x4max Z = 180000x1 + 20000x2 + 72000x3 + 80000x4

uz ograničenja: uz ograničenja:

30000x1 + 12000x2 + 30000x3 + 20000x4 30000x1 + 12000x2 + 30000x3 + 20000x4 65000 6500040000x1 + 8000x2 + 20000x3 + 30000x4 40000x1 + 8000x2 + 20000x3 + 30000x4 80000 8000040000x1 + 0x2 + 20000x3 + 40000x4 40000x1 + 0x2 + 20000x3 + 40000x4 80000 8000030000x1 + 4000x2 + 20000x3 + 10000x4 30000x1 + 4000x2 + 20000x3 + 10000x4 50000 50000x1 x1 1 1x2 x2 1 1x3 x3 1 1x4 x4 1 1x1, x2, x3, x4 x1, x2, x3, x4 0 0

Optimalno rješenje je x1 = 1.0, x2 = 1.0, x3 = .15 i x4 Optimalno rješenje je x1 = 1.0, x2 = 1.0, x3 = .15 i x4 = .92.= .92.

Budući da su na temelju postavljenih zahtjeva realne samo Budući da su na temelju postavljenih zahtjeva realne samo vrijednosti 0 ili 1 u obzir se uzima projekt 1 (proširenje vrijednosti 0 ili 1 u obzir se uzima projekt 1 (proširenje tvornice) i 2 (novi stroj). tvornice) i 2 (novi stroj).

Documents

Financijsko odlučivanje