Filtre numerice - iota.ee.tuiasi.roiota.ee.tuiasi.ro/~tns/Filtre.pdf · Pentru a obtine un raspuns finit, h(n) se truncheaza prin inmultirea cu o fereastra de lungime N+1 (cat este

Prelucrarea numerica a semnalelor Filtre numerice

Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 5.1

Filtre numerice

Filtru numeric

h(n); H(z)

)(nx )(ny

Filtru numeric: sistem digital care are drept scop modificarea spectrului

semnalului de intrare.

Aplicatii:

• Extragerea din semnal a unui anumit domeniu de frecventa

• Eliminarea din spectru a unor frecvente nedorite (zgomote,

perturbatii, riplu)

Filtre analogice: sunt circuite electrice sau electronice. Frecventele

sunt fixe. Se leaga direct la proces.

Filtre numerice: sunt algoritmi rulati pe calculator. Necesita interfata cu

procesul.

Digitizor

(ADC) DAC

)(tx )(ty



Exemple de filtre

RCssH

1

1)(

Filtru analogic pasiv trece jos

R

C u(t) ue(t)

)()(

)( tudt

tduRCtu e

e

Filtru analogic activ trece jos

R1 R2

C

u(t) ue(t)

CsRR

RsH

21

2

1

1)(

)()(

)(2

11 tu

R

R

dt

tduCRtu e

e

-

+



Exemple de filtre

4321 25,0128,014,0128,025,0)( zzzzzH

Filtru numeric de tip RFI

)4(25,0)3(128,0)2(14,0)1(128,0)(25,0)( nxnxnxnxnxny

321

2

18,055,078,01

12,146,0)(

zzz

zzH

Filtru numeric de tip RII

)3(18,0)2(55,0)1(78,0)2(12,1)(46,0)( nynynynxnxny



Filtre numerice

Avantaje fata de filtrele analogice

• Caracteristicile sunt usor de modificat prin simpla schimbare a

coeficientilor in program

• Sunt usor de sintetizat, testat si implementat pe orice calculator de uz

general, microcontroler sau procesor de semnal

• Caracteristicile nu sunt influentate de conditiile de mediu si nici de timp

• Nu necesita componente hardware de precizie. Precizia este asigurata

doar de lungimea cuvantului prelucrat

• Permit implementarea unor caracteristici care nu pot fi realizate cu filtre

analogice (de ex. cu faza liniara)

• Semnalele de intrare si de iesire pot fi stocate sau transmise la distanta

• Utilizand tehnicile VLSI raportul performanta/pret ajunge foarte ridicat



Filtre numerice

Dezavantaje fata de filtrele analogice

• Datorita operatiilor legate de digitizarea semnalului de intrare, viteza

este scazuta, iar banda de frecventa pe care o prelucreaza este mult

mai ingusta decat la filtrele analogice.

• Caracteristicile sunt influentate de lungimea cuvintelor digitale pe care

sunt reprezentate semnalele.

• Pentru implementarea practica sunt necesare elemente hardware

aditionale (interfete A/D si D/A).



Filtre numerice

Ecuatia generala cu diferente

1

0

1

0

)()(M

i

i

N

k

k inyaknxby(n)

Functia de transfer

MM

NN

zazaza

zbzbzbbzH

...1

...)(

22

11

22

110



Filtre numerice. Clasificari

|H(ejωT)|

fn

0,5 ft

Filtru trece jos

|H(ejωT)|

fn

0,5 ft

Filtru trece sus

|H(ejωT)|

fn

0,5 ftj

Filtru trece banda

Dupa forma caracteristicii amplitudine – frecventa ideale

fts

|H(ejωT)|

fn

0,5 ftj

Filtru opreste banda

fts

|H(ejωT)|

fn

0,5

Filtru multibanda




Dupa ordin

Filtru de ordinul I

)1()1()()( 110 nyanxbnxbny

Filtru de ordinul II

)2()1()2()1()()( 21210 nyanyanxbnxbnxbny

Filtru de ordin superior

Se poate descompune intr-o serie de filtre de ordin I si II




Dupa raspunsul la impuls

Filtre cu rapuns finit la impuls (RFI)

10)( Nnpentrunh

Filtre cu rapuns infinit la impuls (RII)

00)( nnh

cu exceptia eventual al unui numar finit de termeni pentru care h(n) = 0




Dupa valorile anterioare de care depinde iesirea

Filtre recursive (cu reactie): iesirea la un moment dat depinde de intrare

si de iesire la momente anterioare. Filtrele RII sunt recursive.

Filtre nerecursive (fara reactie): iesirea la un moment dat depinde doar

de intrare. Filtrele RFI sunt nerecursive.

1

0

1

0

)()(M

i

i

N

k

k inyaknxby(n)

1

0

)(N

k

k knxby(n)



Calculul raspunsului la un stimul oarecare

Iesirea y (n) se obtine prin convolutia secventei de intrare x(n) cu

raspunsul la impuls h(n).

1

0

)()(N

k

knxkhy(n)

Filtru numeric

h(n); H(z)

)(nx )(ny

Pentru filtre RFI

0

)()(k

knxkhy(n)

Pentru filtre RII



Filtre numerice

Sinteza (proiectarea) filtrelor: ansamblul de operatii efectuate in scopul

obtinerii coeficientilor filtrului (a ecuatiei cu diferente si/sau a functiei de

transfer) pornind de la specificatiile de frecventa.

Analiza filtrelor: determinarea caracteristicilor de frecventa cunoscand

coeficientii filtrului



Filtre numerice. Caracteristica reala

|H(ejω

)|

1

1+δ1

1-δ1

δ2

fn

ft fo

b.t. b.tr. b.o.

0,5

Specificatii de frecventa

• Tipul filtrului

• Ordinul filtrului

• Frecventele de taiere

• Riplul in banda de trecere

• Atenuarea in banda de oprire

• Metoda de proiectare

)1lg(20 1R

2lg20 A



Filtre cu raspuns finit la impuls (RFI)

)(...)1()()( 10

0

Nnxbnxbnxbknxby(n) N

N

k

k

N

N

NNN

Nz

bzbzbzbzbzbbzH

...

...)()1(

102

2

1

10

Ecuatia cu diferente

Functia de transfer

1

0

)()()(*)()(N

k

knxkhnxnhny

Din (1) si (2) rezulta

)(khbk

(1)

(2)



Filtre RFI

Proprietati

• Caracteristica de faza este liniara

• Deoarece poseda un pol multiplu numai in origine, sunt intotdeauna

sisteme stabile

• Implementarea simpla si eficienta a algortimilor pe calculator, chiar in

cazul ordinelor ridicate

• Posibilitatea de a avea coeficienti pogramabili, pentru implementarea

filtrarii adaptive

• Proiectarea simpla a filtrelor multidimensionale pornind de la filtre

unidimensionale

• Dezavantaj: volumul mare de calcul (numarul mare de coeficienti)

pentru obtinerea unei benzi de tranzitie inguste.



Liniaritatea caracteristicii de faza a filtrelor RFI

unde

Considerand si domeniul frecventelor negative, caracteristica de frecventa

a unui filtru ideal (trece jos) este:

|H(jω)|

ω

π ωt -π

restin

ptjH

t

0

||.1)(

n

nj

ezenhzHjH j

)(|)()(

n

ndejHnh

t

ttnj

sin)(

2

1)(

nf 2 este pulsatia (frecventa unghiulara) normalizata

-ωt

1




)2

(N

nh

h(n)

n

Conditia ca filtrul sa aiba faza liniara este ca h(n) sa fie simetric (functie para)

h(n) = h(N-n) sau antisimetric (functie impara) h(n) = - h(N-n)

2

N

2

N

Pentru ca h(n) sa fie cauzala, aceasta trebuie sa fie deplasata cu N/2

esantioane spre dreapta (inarziere cu N/2 esantioane), care se traduce printr-o

intarziere de faza de ωN/2 radiani.

2)(

Nj

ejH

TFD

Faza liniara

n

nnh

t

tt

sin)(




arg H(jω) fn

Faza liniara

ft 0,5

(ω) (π) (ωt)

Functia de transfer devine

21 )()(

N

zzHzH



Proiectarea filtrelor RFI

Metoda seriilor Fourier (a ferestrelor)

n

njenhjH )()(

dejHnh nj)(2

1)(

Se porneste de la specificatiile de frecventa si caracteristica ideala a filtrului de proiectat

Se determina raspunsul la impuls cu relatia:

|H(jω)|

ω

π ωt -π

restin

ptjH

t

0

||.1)(

-ωt




Metoda seriilor Fourier (a ferestrelor)

h(n) rezulta de lungime infinita.

Pentru a obtine un raspuns finit, h(n) se truncheaza prin inmultirea cu o fereastra de

lungime N+1 (cat este ordinul filtrului), dupa care se intarzie cu N/2 esantioane pentru

ca filtrul sa fie cauzal.

)()()( nwnhnhw

fereastra dreptunghiulara

fereastra Hanning

fereastra Barlett

fereastra Blackman

|H(jω)|

ω

ωt -ωt




Metoda esantionarii in frecventa

n

N

nkj

enHN

kh2

)(1

)(

Principiu: se esantioneaza caracteristica ideala in frecventa si se aplica TFD-1

|H(jω)|

ω

π ωt -π -ωt

|H(n)|

fn

0,5 ft -0,5 -ft

esantionare

h(n)

n N

N

TFD-1

N

fk

T

kfk

0




Metoda esantionarii in frecventa

|H(jω)|

|H(n)|

n π

|H(jω)| coincide cu |H(n)| doar in punctele de esantionare k/T. Intre puncte, |H(jω)|

prezinta oscilatii.

Erorile de aproximare intre punctele de esantionare se atenueaza prin cresterea

frecventei de esantionare (scaderea lui T).

Dezavantaj: frecventa de taiere poate fi doar multiplu de

T

1

T

2

T

3

T

k

T

1

N

fk

T

kfk

0



Filtre cu raspuns infinit la impuls (RII)

1

0

1

0

)()(M

i

i

N

k

k inyaknxby(n)

Ecuatia cu diferente

Functia de transfer

MM

NN

zazaza

zbzbzbbzH

...1

...)(

22

11

22

110

Sinteza (proiectarea): determinarea coeficientilor ai si bk pornind de la

specificatiile de frecventa.

Analiza: determinarea caracteristicilor de frecventa cunoscand ecuatia

cu diferente (functia de transfer).



Metode directe de proiectare a filtrelor RII Metoda invariantei raspunsului la impuls

)()( 0nThnh ad

Principiu: raspunsul la impuls al filtrului digital, h(n) este acelasi cu raspunsul

la impuls al unui filtru analogic cu aceleasi specificatii de frecventa, ha(n),

esantionat.

T0 este perioada de esantionare a raspunsului la impuls analogic

ha(t)

t

Ha(jω)

ω




hd(n)

t

Hd(n)

n

T0

hd(n)

t

Hd(n)

n

T’0>T0

0

1

T0

1

T

0'

1

T 0'

2

T0'

2

T

0'

1

T




Etapele algoritmului

1. Se descompune functia de transfer Ha(s) in fractii simple

N

i i

ia

ps

ksH

1

)(

2. Se determina raspunsul la impuls ha(t) al filtrului analogic

N

i

tpia tuekth i

1

)()(

3. Se determina raspunsul la impuls hd(n) al filtrului digital

N

i

nTpinTtad

iekthnh1

0

0|)()(

4. Se determina functia de transfer H(z) a filtrului digital

N

iTp

id

iez

zkzH

10

)(



Principiu: se porneste de la proiectarea unui filtru analogic prototip cu

aceleasi caracteristici ca si cel digital, dupa care acesta este supus unor

transformari pentru digitizarea lui.

Filtre prototip:

- Butterworth

- Cebisev

- Eliptic

Filtrele prototip sunt de tip trece jos. Din ele se poate obtine orice alt tip de

filtru analogic utilizand transformari adecvate.

Metode indirecte de proiectare a filtrelor RII Metoda transformatei biliniare




Filtrul prototip Butterworth

|H(jω)|

[dB]

f

n = 3

n = 5

n = 7

0

-3

ft

n

t

jH2

1

1)(

pentru

2

1)(

jH

t

Nu prezinta ondulatii nici in banda de trecere, nici in cea de oprire.

Polii lui H(s) sunt plasati pe un cerc de raza ωt.




tnC

jH

221

1)(

Filtrul prototip Cebisev

|H(jω)|

[dB]

f

n = 3

n = 5

n = 7

ft

Cn este polinomul Cebisev de ordin n

0 -δ1

C0(x) = 1

C1(x) = x

Cn(x) = 2xCn-1(x) – Cn-2(x)

Prezinta ondulatii fie in banda de trecere, fie in cea de oprire.

Polii lui H(s) sunt plasati pe o elipsa in spatiul s.




Gn

jH221

1)(

Filtrul prototip eliptic

|H(jω)|

[dB]

f

n = 3

n = 5

n = 7

ft

Gn(ω) este functia eliptica a lui Jacobi.

0

-δ1

Prezinta ondulatii si in banda de trecere, si in cea de oprire.

Are banda de tranzitie mai ingusta decat filtrul Cebisev.




Transformata biliniara

1

12

0

z

z

Ts

sT

sT

z

0

0

2

2

Dupa ce s-a determinat functia de transfer Ha(s) a filtrului analogic

prototip, se realizeaza digitizarea acesteia prin trecerea de la planul s la

planul z cu relatia:

sau

1

1)(

z

zzFFunctia este functia biliniara

|1

12

0

)()(

z

z

Tsa sHzH




Etapele algoritmului

1. Determinarea functiei de transfer Ha(s) a filtrului analogic pornind de la

specificatiile de frecventa

2. Determinarea pulsatiei de taiere ωtd a filtrului digital

2

0Ttg td

ta

4. Realizarea in H(s) a substitutiei

ta

ss

5. Aplicarea transformatei biliniare si determinarea lui H(z)

3. Determinarea pulsatiei de taiere ωta a filtrului analogic cu relatia:

|1

12

0

)()(

z

z

Tsa sHzH




Avantajele metodei

1. Erorile de alias sunt eliminate deoarece intreaga axa s = jω se transforma

in conturul cercului unitate |z| = 1.

2. Transforma sisteme anlogice stabile in sisteme digitale stabile.

3. Este o transformare algebrica simpla, care duce direct la functia de transfer

digitala prin

|1

12

0

)()(

z

z

Tsa sHzH

Dezavantaj

1. Neliniaritatea transformatei

Documents

Filtre numerice - iota.ee.tuiasi.roiota.ee.tuiasi.ro/~tns/Filtre.pdf · Pentru a obtine un raspuns finit, h(n) se truncheaza prin inmultirea cu o fereastra de lungime N+1 (cat este