FICHAS DIDACTICAS: MODULO OPERACIONES AVANZADAS

Amigo asesor, estimado educando el material que se presenta a continuación fue elaborado por

el equipo de trabajo de la coordinación de zona 03 Zacatelco, mismo que lo puedes utilizar de

acuerdo a las recomendaciones siguientes:

1.-Como complemento a reforzar los contenidos que presenten alguna dificultad al estudiar tu

módulo físico, virtual o en línea.

2.-Como apoyo al aprendizaje sobre temas específicos en caso de no aprobar este examen.

3.-Para afianzar más los contenidos estudiados con apoyo de guías o con exámenes de práctica.

4.- Para generar tu aprendizaje, cuando no cuentes con algún material para estudiar este módulo.

La forma en que se presentan las fichas didácticas es muy sencilla,:

a).- Se parte de un problema asociado al entorno del ama de casa.

b).- Un apartado para las explicaciones necesarias para resolver el problema

c).- La solución del problema.

d).- Ejercicios para practicar lo aprendido.

Este trabajo fue hecho pensando en ti, esperamos que te ayude en tu aprendizaje.

Con afecto: Instituto Tlaxcalteca para la Educación de los Adultos

GUÍA DIDÁCTICA

1

MODULO: OPERACIONES AVANZADAS UNIDAD: 1 NÚMEROS CON SIGNO

EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO DE LA GUIA:

Resolverá problemas utilizando Números con Signo

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual Puedes usar tu calculadora

Tiempo aproximado de: 40 minutos.

1. Resuelva el siguiente problema: Doña Lucia recibe de su esposo $100.00 diarios para el gasto de la comida de su familia, el lunes gasta $ 80.00, el martes $ 90.00, el miércoles $ 75.00, el jueves $ 88.00, el viernes $ 95.00, el sábado $ 100.00 y el domingo $ 75.00. Del dinero del gasto también toma $ 50.00 para abonar semanalmente el pago de una licuadora que compró en abonos. ¿Cuánto dinero recibe en una semana para el gasto familiar? ¿Cuánto gasta en comida en la semana? ¿Cuánto dinero le sobra para pagar la deuda semanal de la licuadora? y al final de todos los gastos ¿le sobra o le falta dinero para todo lo anterior? tome en cuenta las operaciones de número con signo positivo y negativo. Debemos ordenar la información conocida e identificar lo que debemos encontrar o calcular.

INFORMACION CONOCIDA

OPERACIONES A REALIZAR PARA DETERMINAR: INFORMACION DESCONOCIDA O POR DETERMINAR

1.-LUCIA RECIBE $ 100.00 DIARIOS PARA EL GASTO DE LA SEMANA DE SU FAMILIA

DIAS DE LA SEMANA Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

DINERO RECIBIDO POR DIA $ +100.00 $ +100.00 $ +100.00 $ +100.00 $ +100.00 $ +100.00 $ +100.00

SE REALIZA UNA SUMA O MULTIPLICACION +100 +100 +100 +100 +100 +100 +100 MULTIPLICAMOS: $+100x7 DIAS IGUAL $ +700

EL TOTAL DE DINERO QUE RECIBE EN UNA SEMANA DE GASTO= $ +700.00 ó $ 700.00

GUÍA DIDÁCTICA

2

INFORMACION CONOCIDA

OPERACIONES A REALIZAR PARA DETERMINAR: INFORMACION DESCONOCIDA O POR DETERMINAR

2.- LO QUE GASTA LUCIA POR CADA DIA PARA HACER LA COMIDA

DIAS DE LA SEMANA Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

DINERO QUE GASTA POR DIA $ -80.00 $ -90.00 $ -75.00 $ -88.00 $ -95.00 $-100.00 $ -75.00

SE REALIZA UNA SUMA -80.00 -90.00 -75.00 -88.00 -95.00 -100.00 -75.00 TOTAL=-603.00 DINERO QUE GASTA EN UN SEMANA EN LA COMIDA

LO QUE GASTA LUCIA PARA HACER LA COMIDA DE SU FAMILIA EN LOS 7 DIAS DE LA SEMANA= -603.00

3.-EL ABONO SEMANAL DE LA LICUADORA = $ 50.00 UNA RESTA PARA SABER SI LE SOBRA DINERO PARA PAGAR EL ABONO SEMANAL DE LA LICUADORA:

SUMA DEL DINERO QUE RECIBE EN UNA SEMANA PARA LA COMIDA $ +700.00 OPERACIÓN TRADICIONAL: 700.00 - 603.00 97.00

MENOS -

SUMA DEL DINERO QUE GASTA EN UNA SEMANA $ -603.00 OPERACIÓN CON NUMEROS CON SIGNO: + 700.00-603.00= + 97.00

SOBRANTE $ +97.00

SI LE SOBRA DINERO DEL GASTO DE LA COMIDA PARA PAGAR EL ABONO DE LA LICUADORA= LE SOBRAN $ +97.00

SOBRANTE DEL GASTO DE LA COMIDA$ +97.00 ABONO SEMANAL DE LA LICUADORA$ 50.00

UN RESTA PARA SABER CUANTO LE SOBRA DE DINERO.

$ +97.00 - $ 50.00 $ +47.00 LE SOBRAN

OPERACIÓN CON NUMEROS CON SIGNO: +97-50=+47

DINERO QUE LE SOBRA O LE FALTA, UNA VEZ QUE PAGO EL ABONO DE LA LICUADORA: LE SOBRAN $ 47.00

GUÍA DIDÁCTICA

3

2. Repasemos lo Aprendido.

Los números positivos se representan con el signo + (mas). Puede ser +5 ó 5. En la vida diaria lo que ganamos con nuestro trabajo se representa con signo positivo +. Los números negativos los antecede siempre el signo – (menos), ejemplo -4, lo que gastamos se representa con signo -. Con números positivos y negativos podemos sumar, restar, multiplicar y dividir para resolver problemas de nuestra vida diaria.

Para sumar y restar números con signo hay que tomar en cuenta las siguientes reglas:

REGLAS PARA SUMAR O RESTAR

EXPLICACION EJEMPLOS DE LA SUMA Y RESTA

EJEMPLO GRAFICO OBSERVACIONES

Para sumar dos números con el mismo signo:

Se suman ambos números y se deja el mismo signo

+10+5=+15 -10-5=-15

+ = tengo $ +15 pesos

+ =perdí $ -15 pesos

El +15 representa ganancias. El -15 representa pérdidas.

Para sumar o restar dos números con diferente signo:

Se efectúa una resta con los dos números y se coloca el signo del número mayor

+10-5=+5 -10+5=-5

Tengo $ 10.00 y pago $ 5 + Me quedan $ +5.00 Debo $ 10 y tengo $5, - + Quedo a deber 5

El 10 es positivo y es más grande que el 5. El 10 es negativo y es más grande que el 5.

-

GUÍA DIDÁCTICA

4

Para multiplicar y dividir números con signo hay que tomar en cuenta la ley de los signos:

La multiplicación se puede representar con paréntesis( )( ) en lugar de por “x”, ejemplo 3x4 es igual (3) (4)

LEY DE SIGNOS EXPLICACION EJEMPLOS DE LA SUMA

OBSERVACIONES

PARA MULTIPLICAR (+)(+)=+ (-)(-)=+ (+)(-)=- (-)(+)=-

Se efectúa la multiplicación y el resultado lleva el signo que indica la regla.

(+10)(+5)=+50 (-10)(-5)=+50 (+10)(-5)=-50 (-10)(+5)=-50

Cuando los signos son iguales el resultado siempre es positivo y cuando son diferentes signos el resultado es negativo.

PARA DIVIDIR (+)÷(+)=+ (-)÷(-)=+ (+)÷(-)=- (-)÷(+)=-

Se efectúa la división y el resultado lleva el signo que indica la regla.

(+10)÷(+5)=+2 (-10)÷(-5)=+2 (+10) ÷(-5)=-2 (-10) ÷(+5)=-2

Cuando los signos son iguales el resultado siempre es positivo y cuando son diferentes signos el resultado es negativo.

3. Ejercicios de reforzamiento:

1. Doña Amparo va hacer un pastel para el cumpleaños de su hijo Roberto, revisa la receta y anota la cantidad que requiere de cada ingrediente: 2 kilos de harina, ½ kilo de huevo, 500 gramos de azúcar, 250 mililitros de leche, 250 mililitros de vainilla, 20 gramos de royal, 125 mililitros de aceite vegetal, 50 gramos de pasas y 50 gramos de almendra, para el decorado necesita 300 gramos de betún de chocolate.

Revisa su alacena y cuenta con los siguientes ingredientes: ½ kilo de harina de trigo, ¼ de kilo de huevo, 100 gramos de azúcar, 500 mililitros de leche, vainilla no tiene, 50 gramos de royal, una botella de aceite de 500 mililitros, pasas no tiene, de almendras tiene 100 gramos, de betún tiene un recipiente con 500 gramos.

GUÍA DIDÁCTICA

5

Mediante operaciones de números con signo, determinar las cantidades de cada ingrediente que le sobran o le faltan para realizar el pastel para su hijo.

2 .La señora Margarita organizó un fiesta para su hijo Andrés, comprando los dulces y caramelos que se detallan: una bolsa de dulces Tomy que tiene 50 piezas, una caja de chocolates Carlos quinto que contiene 25 piezas, 1 caja de mazapanes de la rosa que tiene 100 piezas, una caja de chicles Adams la cual tiene 75 piezas, si estima que llegaran 15 niños. Se solicita determinar con operaciones de números con signo cuantos dulces le tocaran a cada niño haciendo un reparto igual para cada uno y cuantas piezas le sobraran en cada golosina.

4. Autoevaluación.

Realice las siguientes operaciones:

A) (+9) + (-5) = B) (-16)+ (-35) =

C) (-3)+ (+9) = D) (+9) – (-18) =

E) (-61)- (-35) = F) (+96) – (+25) =

G) (-41) X (-5) = H) (+9) X (+8)=

I) (-10) X (+30) = J) (-60) / (+3) =

K) (+100) / (+25) = L) (-90) / (-30) =

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6

Módulo: Operaciones Avanzadas

Unidad: 2 Notación Científica

Eje: Matemáticas

Nivel: Avanzado

Objetivo: El adulto utilizará la notación científica con exponentes enteros positivos y negativos en problemas de su vida diaria y

en el campo científico.

Instrucciones: Lea atentamente

Trabaje de manera individual

Puede usar su calculadora

Tiempo aproximado 30min.

LEA LA INFORMACION Y RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA:

El hijo de Doña Hortencia ha decidido casarse, por lo tanto ella ha iniciado con los preparativos. Por esa razón visitó a la señora Leticia,

que hace tortillas y le pidió que le ayudara a calcular cuántas mazorcas debería desgranar para obtener el maíz necesario para la boda,

para ello investigó que una mazorca tiene 450 granos de maíz y pesa 200 gramos aproximadamente, por lo tanto doña Leticia calculando la

cantidad de personas que asistirán le pide a doña Hortencia y a su hijo Felipe que desgranen mazorcas obteniendo 40 kilos de maíz. Felipe

quiso saber cuántos granos de maíz se ocuparán en los 40 kilos de maíz, y recordó que en la secundaria lo podía resolver con el tema de

notación científica.

Para encontrar las respuestas, es necesario saber qué información es la que se busca, siendo esta:

1.- ¿Cuántas Mazorcas se deben desgranar para obtener los 40 kilos de maíz?

2.- El número total de granos de maíz que se ocuparán en los 40 kilos de maíz.

3.- Representar la información obtenida en notación científica.

GUÍA DIDÁCTICA

7

Para ayudarle a Felipe a encontrar las respuestas usted debe conocer la información siguiente:

Cómo se hace:

1. Para el ejemplo 3,190,000, el

procedimiento es el siguiente: se escribe la

primera cifra del número, el punto decimal

y después las cifras significativas

(diferentes de cero) según sea el caso,

finalmente se indica la multiplicación por

10 de dicho número y el exponente es igual

al número de cifras del número inicial

menos uno, en este ejemplo son 7 cifras

menos uno, entonces el exponente es 6 o

bien se cuenta el número de posiciones que

se recorrió el punto decimal a la derecha

que en este caso son 6 y ese es el

exponente = 3.19x106, es positiva la potencia

2. Para el caso de una cantidad pequeña en

notación científica el procedimiento es el

siguiente: en el ejemplo del número

.00002205 se mueve el punto decimal a la

derecha hasta delante de la primera cifra

significativa (diferente de cero), se

escribe la primera cifra del número, el

punto y después las cifras (diferentes de

cero) según sea el caso, finalmente se

indica la multiplicación por 10 de dicho

número y el exponente es igual al número

de ceros que hay entre el punto del número

inicial y la primera cifra significativa más

uno. Otra forma es contando el número de

espacios que se recorrió el punto y ese es

el exponente = 2.205x10-5 es negativa la

potencia

GUÍA DIDÁCTICA

8

REPRESENTACION GRAFICA Y SU TRADUCCION A GRANOS DE MAIZ Y CANTIDAD

EN GRAMOS DE MAIZ POR MAZORCA:

…. 1 mazorca tiene 450 granos de maíz = 200gramos

….. 2 mazorcas 900 granos de maíz = 400gramos

….. 3 mazorcas 1350 granos de maíz = 600 gramos

….. 4 mazorcas 1800 granos de maiz = 800 gramos

….5 mazorcas 2250 granos de maíz = 1000 gramos

….6 mazorcas 2700 granos de maíz = 1200 gramos

….7 mazorcas 3150granos = 1400 gramos

…8 mazorcas de maíz 3600= 1600 gramos, así hasta llegar a 200 mazorcas, de

conformidad con el análisis siguiente:

una mazorca tiene 450 granos o semilla de maíz y éstos

pesan 200 gramos entonces para conocer cuántas mazorcas necesito desgranar para tener un kilo de maíz debo hacer la cuenta siguiente: hay que dividir los 1000 gramos de un kilo entre

los 200 gramos que pesan las semillas de una mazorca, quedando

asi: = 1000 gramos/200 gramos= 5 mazorcas para cada kilo

de maíz y como necesito 40 kilos de maíz debo multiplicar los 40 kilos por las 5 mazorcas que se necesitan por kilo de maíz y me da

como resultado , igual a 200 mazorcas. Con esto doy respuesta

a la pregunta de cuantas mazorcas se requieren para los 40 kilos de maíz

Para responder , ¿ cuántos granos( o semillas ) de maíz se ocuparán por los 40 kilos de maíz, tengo que hacer las

cuentas siguientes: si cada mazorca tiene 450 granos o semillas de maíz y se que para los 40 kilos de

maíz debo desgranar 200 mazorcas, entonces multiplico asi: 200 marzorcas x 450 granos o semillas de cada marzorca y obtengo el total de granos , siendo:90,000 el resultado

CONVERTIR EL

RESULTADO A

NOTACION

CIENTIFICA:

90,000 granos de maíz es

igual a:

9x104

CON LO APRENDIDO RESOLVAMOS LO SOLICITADO

GUÍA DIDÁCTICA

9

REPASEMOS LO APRENDIDO

Ejemplo: se ha medido el orificio de una aguja

para pegar chaquira, el cual tiene una anchura

de 0,00000014m, longitud de 0,00000256m

y altura 0,000275m.

¿Cuál es su volumen?

Primero las convertimos a notación científica

para hacerlo más sencillo, quedando así:

longitud: 0,000 002 56m = 2,56×10-6

anchura: 0,000 000 14m = 1,4×10-7

altura: 0,000 275m = 2,75×10-4

Después multiplicamos las cifras diferentes de

cero (dejando pendiente la base 10 con

exponente) así:

2,56 × 1,4 × 2,75 = 9,856

Ahora sumamos los exponentes sin alterar la

base 10:

10-6 × 10-7 × 10-4 = 10-17 (es decir, debo

sumar -6, -4 y -7 = -17)

Quedando como resultado final 9,856×10-

17 m3

Que es lo mismo que:

0.00000000000000009856

Nota importante:

En una cantidad grande, siempre que recorremos el punto decimal hacia la izquierda el exponente de la base 10 será positivo. En una cantidad pequeña, siempre que recorremos el punto decimal hacia la derecha el exponente de la base 10 será negativo.

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO

EJERCITACION: 1.-Al hijo de la señora Mary le piden que elabore una mosaico de flores, donde cada flor sea rellenada

con semillas, para esto ella utilizará aproximadamente 476,000,000 semillas de arroz, 599,000,000

semillas de lenteja, ajonjolí 7,077,000,000 semillas de ajonjolí. ¿Cuántas semillas utilizará en total?,

exprese el resultado en notación científica

UN REPASO

GUÍA DIDÁCTICA

10

Semillas Notación decimal Notación científica

Arroz 476 000 000

Lenteja 599 000 000

Ajonjolí 7 077 000 000

2.-Represente en notación científica los siguientes números decimales

a) 0.000718

b) 0.0000075

c) 0.0409

d) 0.000000098

3.- La velocidad de la luz en el vacío es de 300000 kilómetros por segundo. Escribe en notación

científica esta cifra pasada a metros por segundo.

GUÍA DIDÁCTICA

11

MODULO: OPERACIONES AVANZADAS UNIDAD: 2 APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS CON SIGNO POTENCIAS

EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO DE LA GUIA:

Resolverá problemas utilizando potencias.

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual Puedes usar tu calculadora

Tiempo aproximado de: 40 minutos.

1. Resuelve el siguiente problema:

1. Doña Carmen se dio cuenta que en su casa había cucarachas, por lo que decidió investigar en un libro como eliminarlas. Mientras estaba leyendo encontró que una cucaracha hembra se reproduce 27 en un año (aproximadamente). Calcula la cantidad de cucarachas que se reproducen al año. Imagínate que en la casa de Doña Carmen hay 20 cucarachas hembra, ¿Cuántas cucarachas habitarían su casa en caso de no eliminarlas?

¿Qué debo conocer?

Factor= al número base que debemos multiplicar. Exponente

Número Base 39 = 19 683 Potencia

Número grande (3) es la base, número pequeño ( 9 ) es el exponente y al resultado se le llama potencia. Cuando los factores de una multiplicación son iguales se pueden escribir como potencia. En una potencia, la base indica el factor y el exponente indica cuántas veces se toma la base como factor. Ejemplo: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 =65 65 se lee como “seis elevado al exponente cinco” Todo número elevado al exponente cero es igual a 1. Ejemplo: 50 = 1 Es una ley convencional para las potencias. La multiplicación se puede representar con un · (punto) o usando paréntesis. Ejemplo: 5 x 5 x 5 = 5 · 5 · 5 = (5) (5) (5) = 125 La Potencia es el resultado que se obtiene después de usar el factor tantas veces como lo indica el exponente. Ejemplo: 39 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 19 683

GUÍA DIDÁCTICA

12

INFORMACION CONOCIDA

OPERACIONES A REALIZAR PARA DETERMINAR: RESULTADO DE LAS OPERACIONES

Una cucaracha se reproduce 27 anualmente

En el ejercicio nos pregunta sobre 20 cucarachas.

Sabemos que cada cucaracha se reproduce anualmente 27. 27=(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) De manera gráfica podemos ver que:

20 21 22 23 … Hasta llegar a 7

4 8 … Hasta llegar a 8 Al obtener el resultado de la reproducción de cucarachas en 1 año (128) se multiplica por la cantidad de cucarachas que nos marca el problema(20) 128 x 20 =

Cada cucaracha se reproduce 27anualmente por lo que: 20=1 21=2 22=(2) (2)=4 23=(2) (2) (2)=8 24=(2) (2) (2) (2)=16 25=(2) (2) (2) (2) (2)=32 26=(2) (2) (2) (2) (2) (2)=64 27=(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)=128 Tenemos que anualmente una cucaracha se reproduce 27=128 Como inicialmente son 20 cucarachas se multiplica el resultado de la potencia por 20. (128)(20)=2560 cucarachas.

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13

2. Repasemos lo aprendido:

1. En un hotel antiguo, exclusivo para la gente con fortuna, cobraban cada noche una cantidad diferente. El cobro por día estaba definido por potencias de 4. La primera noche cobraban 44 monedas de oro, la segunda 43, la tercera 42, la cuarta 41, la quinta 40 y volvían a empezar con el costo de la primera noche; así hasta que salía el huésped. Vamos a determinar cuántas monedas cobran por la primera noche, por la segunda y por la quinta noche.

Primera noche es igual a 44 = 4. 4 . 4 . 4 = 4 . 4 =16 . 4= 64 . 4= 256, pagan 256 monedas de oro por hospedarse.

Segunda noche es igual a 43= 4 . 4 . 4 = 4 . 4 =16 . 4= 64 monedas de oro. Quinta noche es igual a 40= 1, quiere decir que cobran una moneda de oro.

3. Ejercicio de reforzamiento:: María va a vender una pulsera de oro, que tiene 10 eslabones, cuando le preguntan cuál es su valor contesto: El primer eslabón cuesta 2 pesos, el segundo cuatro, el tercero 8 y así sucesivamente. ¿Cuál es el valor de la pulsera?

5. Autoevaluación. Escriba las siguientes multiplicaciones como potencias. Calcule los resultados.

1. (4) (4) (4) (4) = 2. 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3. 12 x 12 x 12 x 12 = 4. (-6) (-6) (-6) =

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MODULO: OPERACIONES AVANZADAS (3ra Edición)

UNIDAD: 2 JERARQUIA DE OPERACIONES

EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO FUNDAMENTAL:

Utilizará la jerarquía de operaciones en la solución de problemas

OBJETIVO DE LA GUIA:

El educando comprenderá en qué aspectos de la vida cotidiana aplicará la jerarquía de operaciones (potencias, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas).

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual Tienes 40 min para trabajar Puedes usar tu calculadora

En nuestra vida diaria encontramos diversos problemas que nos plantean la utilización de diferentes operaciones aritméticas: como es la potencia, multiplicación, división, suma y resta. 1.- A continuación la señora Rosaura, nos pide que le ayudemos a resolver el problema que tiene con el cultivo de los búlgaros: Su comadre Joaquina le regaló dos frascos de medio litro que contienen cada uno una colonia de búlgaros, si se sabe que al alimentarlos con leche de manera diaria en una semana los 2 frascos de búlgaros producirán 5 frascos de búlgaros de medio litro. En un mes cuántos frascos de búlgaros producirán los que le regalaron. Si además al finalizar el mes llegó su hija Guadalupe y le pidió que le regalara tres frascos de búlgaros, como buena mamá se los obsequia, en ese mismo día ella toma un frasco para el desayuno de su familia. Una vez que terminan de desayunar tocan a la puerta, siendo su comadre Joaquina quien le lleva otro frasco de medio litro más. ¿Cuántos frascos de búlgaros le quedaron a la señora Rosaura?,¿ qué cantidad de litros de búlgaros le sobraron. ? Para ayudarla ella debe conocer la información siguiente:

GUÍA DIDÁCTICA

15

Para resolver el problema anterior es necesario ordenar la información y la operación que debe realizarse y después unir en secuencia( en orden) las operaciones aritméticas a realizar para llegar al resultado final, que es el número de frascos que le quedan y sus medidas y la cantidad de litros de leche de búlgaros que le sobra, como se aprecia en seguida:

INFORMACIÓN DEL PROBLEMA OPERACIÓN A EFECTUAR OBSERVACIONES Y/O COMENTARIOS

Recibe de obsequio 2 frascos de medio litro de búlgaros, que producen en una semana 5 frascos de medio litro Obsequia 3 frascos a su hija Guadalupe, al finalizar el mes, con un contenido de .50 litro cada uno

Debemos conocer el total de frascos y litros que se producen en un mes. Para los frascos: es una multiplicación queda indicada así:

5 frascos en una semanax4 semanas Para los litros se realiza una multiplicación , 5 frascos producidos por medio litro de cada uno, según se aprecia:

5 frascosx.50 litro por cada uno x 4 semanas Hay que tomar en cuenta los 3 frascos que le da a su hija para determinar al final con cuántos frascos se queda Para los frascos se refleja una resta

asi: -3

Para los litros hay que considerar el contenido de cada uno, que es medio litro y multiplicar para saber cuánto representa en litros lo que le obsequió, esto es:

.50x3

El total de frascos que se producen en una semana se multiplica por las 4 semanas de un mes para así conocer el número de frascos producidos en ese período. Aquí se multiplica los 5 frascos por el contenido de leche que le cabe a cada frasco .50 litro, para saber el total de litros producidos en una semana y mes Hay que restar los tres frascos para determinar los que le quedan Hay que restar el contenido de los tres frascos de leche de búlgaros para encontrar al final la cantidad de litros que le queda consumieron

GUÍA DIDÁCTICA

17

1 frasco que toma para el desayuno con un contenido de .50 litros

1 frasco de medio litro que le

obsequia al fin de mes su Comadre

Por último debe tener en cuenta

los 2 frascos iniciales que recibe de

Se debe considerar el frasco que

consumió para que al final

encontremos los frascos que le

quedan y se indica así:

-1 Hay que tomar en cuenta el

contenido del frasco que

consumieron , para que al final se

determinen los litros que sobran, y

se indica la operación de esta

forma:

- .50 Se debe considerar el frasco que

recibe de obsequio para encontrar

al final el total de frascos que le

quedan, la operación queda así:

+ 1 Debe tener presente el contenido

del frasco, para conocer al final los

litros que le quedaron, la

operación se indica de la forma

siguiente:

+ .5

Hay que restar el frasco que

consumieron

Se debe restar el contenido del

frasco que desayunaron.

Hay que sumar el frasco que le dan

al final del mes

Hay que sumar el contenido del

frasco que le obsequian a fin de mes

Los dos frascos con los que inicia se

suman

GUÍA DIDÁCTICA

17

obsequio y su contenido que es de

medio litro cada uno

Los frascos con los que inicia, son

los que le obsequian, se

representan así:

+2 Para los litros que contienen los

búlgaros con lo que inicia se va a

considerar esta operación:

+(.50x2)

De igual forma el contenido de los

dos frascos con los que inicia deben

sumarse

Antes de ordenar la secuencia de las operaciones hay que considerar estas reglas para resolver las operaciones

aritméticas de forma jerarquizada( primero una operación , luego otra y así hasta encontrar el resultado final )

ORDEN DE SOLUCION DE

OPERACIONES ARITMETICAS

EJEMPLO DE LA OPERACION CONDICION

Primero: potencias 4² desarrollo 4x4 igual a 16 Si la hay en la operación a

realizar

Segundo: operaciones entre

paréntesis

5+(10/2+3) solución(10/2igual a 5

y sumamos 3 y el resultado es 8,

quedando al final 5+8 igual a 13

Si se presentan en la operación a

realizar

Tercero: divisiones y

multiplicaciones

20-12/6x2 solución(12/6 igual a 2

y este resultado lo( x )multiplico por

2 y me da 4, quedando al final 20-4

igual a 16

Antes de restar debo dividir y luego

multiplicar, tomar en cuenta si esto

se presenta en la operación a

realizar

Cuarto: sumas y restas 25-6+5 solución sumo 6+5 igual a

11 y se lo resto a 25, quedando así:

25-11 igual a 14

Primero sumo y al final resto

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18

Con la información anterior del problema, procedemos a unir las operaciones para resolver el problema

PARA LOS FRASCOS PARA LOS LITROS

(5x4)-3-1+1+2=

Se procede a resolver conforme a las reglas, en este

caso primero las operaciones dentro del

paréntesis(5x4) que me da 20, quedando la operación

asi: 20-3-1+1+2, ahora resto a 20 el 3 y el 1 y la

operación ahora queda de esta forma: 16+1+2, lo que

sigue es sumar a 16 el 1 y el 2; siendo el resultado final

19 frascos que le quedan a la señora Rosaura

SOLUCION GRAFICA:

X 4 SEMANAS

IGUAL A :

(.50x5x4)-(.50x3)-.50+.50+(.50x2)=

Se inicia la solución resolviendo las multiplicaciones

que están entre paréntesis, quedando ahora la

operación asi: 10-1.5-.50+.50+1, ahora restamos al 10

el 1.5 y el .50, un vez realizada la operación ahora

queda asi: 8+.50+1, se procede a sumar y nos da como

resultado 9.5 litros que le quedan

SOLUCION GRAFICA

X 4 SEMANAS

IGUAL :

RESTAMOS::

RESTAMOS:

5 FRASCOS PRODUCIDOS A

LA SEMANA

20

FRA

SCO

S PR

OD

UC

IDO

S EN

UN

MES

TRES FRASCOS QUE LE

OBSEQUIO A SU HIJA

.50 LITROS POR CADA

FRASCCO

10

LITR

OS

, A C

AD

A FR

ASC

O LE

CA

BE

ME

DIO

LITR

O D

E

BU

LGA

RO

S

EL CONTENIDO DE TRES

FRASCOS QUE LE OBSEQUIO A

SU HIJA QUE ES .50 X 3 IGUA A

1.5 LITROS

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19

RESTAMOS

RESTAMOS:

SUMAMOS

SUMAMOS:

SUMAMOS

SUMAMOS:

EL FRASCO QUE LE

OBSEQUIA SU COMADRE

A FIN DE MES

EL FRASCO QUE CONSUMIO

EN EL DESAYUNO

LOS DOS FRASCOS QUE LE

DA SU COMADRE AL

PRINCIPIO

EL CONTENIDO DEL FRASCO QUE

CONSUMIO EN EL DESAYUNO,

QUE .50 LITROS

EL CONTENIDO DEL FRASCO. QUE LE

OBSEQUIA SU COMADRE A FIN DE MES QUE

ES DE. 50 LITROS

EL CONTENIDO DE LOS DOS FRASCOS QUE

LE DA SU COMADRE AL PRINCIPIO QUE ES

DE UN LITRO Y AL FINAL LE QUEDAN:

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20

AL FINAL LE QUEDAN:

19 FRASCOS

19 frascos de .50 litros cada uno

igual a 9.50 litros de leche de

búlgaros

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21

2.- Ejercicio de reforzamiento:

1.-La señora Esther acude a una papelería a comprar 10 libretas profesionales de forma francesa, cuyo valor de cada una

es de $ 15.00, la tienda tiene una promoción que al comprar 5 libretas de este tipo les obsequia la tercera parte del valor

de una elevada a la segunda potencia. Por otro lado compra 10 lapiceros marca bic a razón de $ 5.00 cada uno, adquiere

8 paquetes de hojas tamaño carta de 500 hojas a razón de $ 60.00 cada uno, también compra 25 gomas de migajón a

razón de $ 3.00 cada una. Si paga con un billete de $ 1000.00 Plantea la secuencia de operaciones, resuélvelas y

responde las siguientes preguntas: ¿Cuánto gasta en total? ¿Cuánto dinero de cambio recibe? ¿ Qué cantidad de

dinero le descuentan por la compra de sus 10 libretas?

3-. Autoevaluación:

Resuelve los ejercicios que se indican en seguida, utilizando lo que aprendiste de la jerarquía de

operaciones:

1.- 5²- (10/2x5-4)+ 2 5 x2=

2.- (28-4+6/4)-3²-3+10/2=

3.- 60/6x4-5+12+(5x4/2-3+8/2+4)-3=

4.- 12-3/3+6x5/5-3x4=

5.- 100/10-10² +8-2x(50/5-4+3)

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22

MODULO: OPERACIONES AVANZADAS UNIDAD: 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO FUNDAMENTAL:

PERMITIR AL EDUCANDO ADQUIRIR Y COMPRENDER CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA ASI COMO SU APLICACIÓN EN EJERCICIOS BASADOS EN ACTIVIDADES RELACIONADAS CON SU VIDA DIARIA.

OBJETIVO DE LA GUIA:

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual Tienes 40 min. Para trabajar Puedes usar tu calculadora

1.- Lo que debemos saber:

.

Es importante conocer la siguiente información: LENGUAJE ALGEBRAICO: Es la relación que existe entre números, letras y signos para representar operaciones matemáticas.

LITERALES (letras del abecedario a, b, c, … , x, y, z) En ALGEBRA se utilizan literales (letras) para representar: números, objetos, cosas, unidades de medida, etcétera.

Cuando se tienen las mismas literales, se dice que son términos semejantes; y se pueden realizar operaciones matemáticas; como sumar, restar, multiplicar o dividir, en este caso sumaremos y restaremos; cuando no son semejantes se pasan tal como estén.

Representamos con el signo negativo (-) cuando hablamos de: resta, diferencia, sustraer, vender, perder, disminuir, decremento, atrás, abajo, pagar, etc.

Representamos con el signo positivo (+) cuando hablamos de: suma, adición, ganar, recibir, aumentar, arriba, adelante, comprar, acumular, etc.

Representamos con los signos de paréntesis ( ), ∙ , x o nada a la multiplicación o producto.

Representamos con los signos de /, ÷, -, a la división o cociente.

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23

2. Resuelva el siguiente problema: Doña Mary recibe su gasto todos los sábados pero la cantidad varía porque su esposo es obrero y le pagan de acuerdo a su producción semanal, por lo que ella tiene que distribuir su gasto con anticipación independientemente de lo que le de su esposo. Aun cuando no sabe cuál será su gasto de la semana lo va a distribuir de la siguiente manera, utilizando la letra g para representarlo:

Situación Forma común Representación en Lenguaje Algebraico La mitad del gasto lo destinará para alimentos.

Gasto entre 2 g/2 , ½ g, 0.5g, 50%g

La cuarta parte lo destinará para el pago de servicios (luz, teléfono, agua)

Gasto entre 4 g/4

De su gasto dará un abono de $100 para el pago de una plancha

Gasto menos $100 g - 100

La semana pasada no llevó su pago de $80 de su crédito por lo que le cobraron un recargo del doble

Gasto menos el doble de $80 g – 2(80)

Su esposo le comentó que le dará el doble de lo que le dio la semana pasada,

Gasto más gasto igual a gasto semanal

g +g = 2g

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24

Ejercicios de Repaso

En una visita al mercado, doña Mary compró y observó que también se puede aplicar el lenguaje algebraico en las frutas, verduras y flores:

Imagen Lenguaje común Representación algebraica

Una calabaza c Media docena de calabazas 6c Una docena de calabazas menos tres calabazas 12c-3c Cuatro calabazas más tres calabazas 4c+3c

Un xoconostle x Veinte xoconostles 20x Un xoconostle más otro xoconostle x + x La mitad de una docena de xoconostles

12x/2

Una rosa r Una docena de rosas 12r Dos docenas de rosas menos diez rosas 24r-10r El doble de una docena de rosas 2 (12r) El triple de una rosa 3r

Una manzana m La mitad de una manzana m/2 Una manzana para cuatro personas m/4 Tres kilos de manzanas: un kilo tiene 9 manzanas

3 (9m)

Cinco manzanas más tres manzanas

5m + 3m

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25

Autoevaluación

Lenguaje común Lenguaje algebraico Un número La suma de dos números diferentes El triple de un número La adición de un número con la mitad del mismo número Un número más 3 La diferencia de dos números distintos Un número entre 2 El producto de dos números diferentes 20 menos un número Un número divido entre otro número

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26

MODULO: OPERACIONES AVANZADAS UNIDAD: 4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO FUNDAMENTAL:

APLICARA LA NOCIÓN DE ECUACION DE PRIMER GRADO E INCOGNITA

OBJETIVO DE LA GUIA:

TRABAJAR CON EJERCICIOS APEGADOS A LAS ACTIVIDADES COTIDIANAS DE LOS EDUCANDOS.

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual Puedes usar tu calculadora

Lo que necesitamos saber para entender el tema

Una Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en las cuales las literales representan incógnitas; es decir datos que desconocemos cuál es su valor.

Una Igualdad indica que dos expresiones representan un mismo número. Ejemplos:

4 = 2 +2 20 =5 x 4 60=120/2

Una ecuación (igualdad) está formada por el signo (igual) = y dos miembros, el primer miembro se encuentra a la izquierda del signo igual y el segundo, a la derecha.

8x = 40

= +

Primer miembro Segundo miembro

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27

Las ecuaciones nos sirven para encontrar la respuesta a un problema, sólo necesitamos plantearla bien, para ello es necesario:

1. Leer con detenimiento el problema 2. Analizar cómo están relacionados los datos del problema. 3. Encontrar cuál es la pregunta que se quiere responder y elegir una letra que represente la cantidad

desconocida o incógnita. 4. Plantear una ecuación que represente la situación 5. Asegurarse que la ecuación representa las relaciones que indica el problema y que los miembros

de la ecuación son equivalentes. 6. Resolver la ecuación y verificar que la respuesta obtenida cumple las condiciones del problema. 7. Además, existen una regla que debemos seguir para resolver las ecuaciones: todo valor que se

sume, reste, multiplique o divida al primer miembro, debe aplicarse al segundo miembro para mantener la Igualdad, es decir, si yo tengo: 7 + 8 = 10 + 5 y quiero sumar 12 al primer miembro, también debo sumarlo al segundo miembro para mantener mi igualdad, veamos:

7 + 8 = 10 + 5 7 + 8 + 12 = 10 + 5 + 12

27 = 27 Con la información anterior ya podemos resolver un problema.

1. Problema: Juana fue al mercado a comprar frutas, había varias ofertas, los plátanos costaban 3 kilos por $21, las naranjas 4 kilos por $20, los mangos 2 kilos por $30. Ella quiere saber cuánto le costará el kilo de cada fruta; para esto vamos a plantear nuestras ecuaciones o igualdades: Lenguaje común Ecuación o igualdad Pasos para resolverlo 3 kilos de plátano por $21

3 (p) = 21 3p=21

3p=21, tenemos que encontrar el valor de “p” (kilo de plátano. Para eso tenemos que despejar a “p”, es decir, dejarla solita del lado del primer miembro. Como “p” está acompañada del 3, vamos a dividir entre 3 a ambos miembros: 3p = 21 3 3, después resolvemos la división 3 entre 3 a 1 y 21 entre 3 a 7. Quedando p=7 Cada Kilo de plátano le cuesta 7 pesos.

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4 kilos de naranja por $20

4 (n) = 20 4 n = 20

Realizamos el mismo procedimiento que con los plátanos, 4 n = 20 4 n = 20 4 4 n = 5 Por cada kilo de naranja estaría pagando 5 pesos.

2 kilos de mango por $30.

2 (m) = 30 2 m = 30

2 m = 30 2 m = 30 2 2 m = 15 Un kilo de mango cuesta 15 pesos.

Ahora, Juana quiere comprar los 4 kilos de naranja por $20 más 1 kilo, pero le dicen que un kilo cuesta $7. ¿Cuánto pagará por los 5 kilos de naranja? Ecuación o igualdad Solución 4 n = 20 1 n = 7 4 n + n = 20 + 7

4 n + n = 20 + 7, primero sumamos los datos del primer miembro 4 “n” + una “n” es igual a 5 “n”; y después los datos del segundo miembro 20 más 7 igual a 27. 5 n = 27, Juana pagará 27 pesos por los 5 kilos de naranja. Resolviendo la ecuación, 5 n = 27 5 5 n = 27 5 n = 5.40; ella pagará por cada kilo de naranja 5. 40 pesos.

Juana pago 135 pesos por la compra de frutas y verduras, ella sabe que por las verduras pago 75 pesos pero quiere saber cuánto pago por las frutas.

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Ecuación o igualdad Solución

f + 75 = 135 Debemos encontrar el valor de “f” para saber cuánto pago por las frutas.

f + 75 = 135, primero debemos despejar a “f” (dejarla solita), como está acompañada por el 75, vamos a restarle 75 a ambos miembros para que quede sola f + 75 - 75 = 135 – 75, quedando f = 135 – 75, ahora realicemos la resta en el segundo miembro f = 60 Lo que nos dice que Juana pago $60 por la fruta.

Aun cuando las operaciones parecieran muy sencillas, por tratarse de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones; lo importante es saber plantear la ecuación para llegar al resultado. Repasemos lo aprendido. Estela fue al tianguis de ropa y vio una oferta de blusas. Esta oferta consistía en que los productos estaban al dos por uno. Ella al aprovechar esta oferta pago $158.00 por las dos blusas y quiere saber cuánto se ahorró si el precio real de cada blusa es de $110.00. Debemos ordenar la información conocida e identificar lo que debemos encontrar o calcular. Es muy importante apoyarte de las ecuaciones.

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30

Autoevaluación.

Resuelve las siguientes ecuaciones.

m + 12 = 18

2 n = 22

f + 15 =

5 g = 70

6m – 3m = 33

189 – y = 39

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MODULO: OPERACIONES AVANZADAS 3ra Edición UNIDAD 5: APLICACIÓNES DE LOS NUMEROS CON SIGNO EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO DE LA GUIA:

El educando aprenderá a ubicar puntos dentro de un plano cartesiano a partir de sus coordenadas.

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual

Tiempo aproximado de: 40 minutos.

1. Resuelve el siguiente problema. Doña Lety va a bordar una servilleta con 4 figuritas infantiles en una tela de dominó para el cumpleaños de su hija, quiere bordarle un barco, una casa, un helado y un payaso; pero quiere que queden centradas en cada cuarto de la servilleta. Se da cuenta que los dibujos son de diferente tamaño y no sabe por dónde empezar. Con apoyo del plano cartesiano, expliquémosle a Doña Lety como hacerlo.

Ella necesita saber lo siguiente:

Plano Cartesiano: El plano cartesiano es un sistema de referencias que se encuentra conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto. La principal función o finalidad de este plano será el de describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares ordenados. Para iniciar el bordado, doña Lety tiene que dividir su servilleta en cuatro partes iguales, imaginariamente quedaría de la siguiente forma: Puede verificar si quedo dividida exactamente contando los cuadritos que hay partiendo del punto donde se cruzan las líneas hacia los cuatro extremos. En este caso hay 10 cuadritos del centro a todos los extremos. Este trazo representaría un plano cartesiano. El siguiente paso es conocer cuántos cuadros abarcan cada figura, para saber esto, es necesario poner el dibujo sobre la tela y contar los cuadritos que abarca:

0X-X

Y

-Y

10

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32

A cada cuarto de la servilleta los llamaremos cuadrantes 1, 2, 3 y 4. En el cuadrante 1 bordara el barco, en el cuadrante 2 el payaso, en el cuadrante 3 el helado y en el cuadrante 4 la casa. La línea horizontal es el eje de las “x” (equis) o abscisas y la línea vertical es el eje de las “y” (yes) u ordenadas. El punto donde se cruzan ambos ejes es el origen representado con el 0 (cero). Partiendo del 0 a la derecha son números positivos y del cero a la izquierda números negativos. Y del cero hacia arriba son números positivos y del cero hacia abajo números negativos. Recordemos que son dos rectas numéricas. En las coordenadas de un punto siempre va primero la “x”

(abscisa) y después la “y” (ordenada). Para ubicar un punto (x, y) en el plano cartesiano, se inicia en el origen y se cuentan tantas unidades como lo indica la abscisa (x), a la derecha si es positiva o a la izquierda si es

El barco ocupa 4

cuadros de base y 4 de

altura

El payaso ocupa 3

cuadros de base y 4 de

altura

El helado ocupa 3

cuadros de base y 4 de

altura

La casa ocupa 4

cuadros de base y 3 de

altura

X-X

Y

-Y

Cuadrante 1 Cuadrante 2

Cuadrante 3 Cuadrante 4

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negativa. De ahí se cuentan tantas unidades como lo indique la ordenada (y), hacia arriba si es positiva o hacia abajo si es negativa. Iniciemos con el bordado, indicándole a doña Lety donde debe iniciar el bordado de algunas partes de las figuras :

Observamos que la proa del barco está en las coordenadas (3,4) y la punta de la vela en las (5,7), con esta información doña Lety no tendrá problema para bordar el barco en el cuadrante 1. En el cuadrante 2 algunas de las coordenadas para bordar al payaso son: la punta del gorro debe quedar en las coordenadas (-5,7) y la barbilla en (-5,3)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

X-X

Y

-Y

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34

En el cuadrante 3, la punta del cono del helado en las coordenadas (-6,-7) y la bola de helado de coco debe pasar por la coordenada (-4,-3). En el cuadrante 4 la casa debe iniciar en la coordenada (3,-6), la punta del techo en (5, -3) y debe terminar en (7, -6). Con estos puntos de referencia doña Lety podrá verificar si está bordando sus figuras en el lugar correcto. Finalmente la servilleta de doña Lety quedaría así:

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35

3. Ejercicio de reforzamiento:

1. Doña Tere va a colorear la figura de un payasito en un mantel que mide 100 cm de largo por 100 cm de ancho. ¿En qué coordenadas debe comenzar a colorear su cabello del lado izquierdo y del lado derecho? ¿En qué coordenadas se debe comenzar a colorear la punta del gorro? ¿En qué coordenadas se ubica la parte media de la boca? ¿En qué coordenadas se debe comenzar a colorear la barbilla?

Y

X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

Solución:

Figura a colorear

Eje de la

X

Eje de la

Y Cabello lado izquierdo

-4 -2

Cabello lado derecho

4 -2

Punta del gorro

0 3

Parte media de la boca

0 -3

Parte media de la barbilla

0 -4

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4. Autoevaluación.

Ubicar las siguientes coordenadas en el plano cartesiano:

A. ( 2, 3)

B. (-4, 2)

C. ( 4,-5)

D. (-5, 0)

E. (-1,-3)

5

4

3

2

1

0

-5 -4 -3 -2 -1-1

1 2 3 4 5

-2

-3

-4

-5

Y

X

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MODULO: OPERACIONES AVANZADAS 3ra Edición UNIDAD: 6 SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO DE LA GUIA:

El educando comprenderá en que aspectos de la vida cotidiana podrá aplicar el sistema de ecuaciones con 2 incógnitas.

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual Puedes usar tu calculadora

Tiempo aproximado de: 40 minutos.

2. Resuelve el siguiente problema. Apoyemos a Doña María a resolver el siguiente ejercicio:

Doña María salió y dejo un billete de $ 200 a su hija para comprar pan, al regresar encontró que había 12 piezas en una bolsa. Sabemos que las tortas valen $ 2 y el pan de dulce $ 4. ¿Cuánto pago en total si le sobraron $162? ¿Cuántos panes de dulce y tortas compró? ¿Cuánto pago por el pan de dulce y cuanto por las tortas?

Para resolver este problema, ella necesita saber lo siguiente:

Con apoyo del lenguaje algebraico, plantear las dos ecuaciones(IGUALDADES O COMO UNA BASCULA LO QUE HAY DE PESO EN UN LADO DEBE SER IGUAL A LO QUE MARCAN LAS PESAS DEL OTRO LADO): En una ecuación las letras representan datos desconocidos. Se puede utilizar cualquier letra del abecedario pero para no confundirnos en este ejemplo tomamos la primera letra de la palabra para representarla. Así que: t = tortas d = pan de dulce Para plantear la primera ecuación conocemos que en total son 12 piezas de pan pero desconocemos cuantas piezas de cada una. Por lo que la ecuación queda planteada de la siguiente forma: primera ecuación t + d = 12

Una vez que definimos nuestras variables (letras) elaboramos la segunda ecuación. Sabemos primero que dejó a su hija 200 pesos y que sobraron 162 pesos, restamos los 2 valores y obtenemos: 200 – 162 = 38 pesos ,cantidad de dinero que pagó su hija por la compra del pan

12 piezas de pan

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38

Una vez que conocemos la cantidad que gastó en total, y además sabems que una torta vale 2 pesos y un pan de dulce vale 4 pesos, planteamos la segunda ecuación para determinar cuánto gastó por las tortas y cuánto gastó por el pan de dulce, quedando asi: Segunda ecuación 2t + 4d = 38. Ecuación de forma gráfica

Ahora sí ya tenemos nuestras 2 ecuaciones planteadas para resolver el problema quedando de la siguiente manera: Ecuación 1: t + d = 12 Ecuación 2: 2t + 4d = 38 Existen diferentes formas (métodos) para resolver este sistema de ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. El más comunes es:

Método de sustitución

El método que usaremos para este ejercicio será el método de sustitución. Para resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas de primer grado se inicia despejando una

variable (letra) y encontrando su valor en términos de la otra. En el problema se dijo que:

Ecuación 1 t + d = 12 Despejamos (dejar sola) la variable de la que deseamos conocer su valor y tenemos: t + d = 12 1.Vamos a dejar sola a la t, observamos que hay que quitar +d 2. La pasamos del otro lado del signo igual, realizando la operación contraria a la que indica, es decir menos d (-d)

?

$2( ) $38 ?

$4( )

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t + d = 12 - d 3. Una vez hecho lo anterior tenemos lo siguiente: t = 12 – d • Posteriormente, se sustituye valor de t= (12-d) en la ecuación 2 y se obtiene una ecuación con una incógnita. Tenemos la ecuación 2 2t + 4d = 38 Sustituimos el valor de t en dicha ecuación: 2(12 – d) + 4d = 38 Y realizamos las operaciones, que es una multiplicación, : 2 (12 – d) + 4d = 38 Aplicando la ley de signos de la multiplicación y división donde nos dice que: signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo; entonces multiplicamos el 2 con signo + por 12 con signo + obtenemos 24 con signo + y multiplicamos 2 con signo + por d con signo – obtenemos 2d con signo -. Se obtiene: 24 – 2d + 4d = 38 Y reducimos términos semejantes: 24 – 2d + 4d = 38 Utilizando la ley de signos de sumas y restas donde nos dice: si los números tienen el mismo signo se suman se deja el mismo signo, si los números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto, entonces: -2+4, como tienen diferente signo se restan: a 4 le quito 2 y quedan 2 con signo positivo ya que el 4 es el número con mayor valor absoluto. Quedando así: -2d + 4d = +2d Y obtenemos nuestra ecuación reducida: 24 + 2d = 38

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Ahora, vamos a despejar la variable(letra) d:

1. Primero pasamos el 24 con signo contrario, tiene + y pasa con -, del lado derecho del signo igual 24 + 2d = 38 - 24

2. Obtenemos 2d = 38 -24 3. Realizamos la operación indicada( que es una resta) 2d = 14 4. Ahora quitamos el 2,

2d = 14

5. Como el 2 se encuentra multiplicando a la letra d, vamos a pasarla realizando la operación contraria, que es la división, quedando:

d=

6. Una vez realizada la división, el resultado es d=7, el cual corresponde al total de panes de dulce que compró

• Una vez encontrado el valor de la incógnita d en la ecuación 2, se sustituye su valor en la ecuación 1 para encontrar el número total de tortas que compró, quedando una ecuación con una incógnita, según se aprecia a continuación: Ecuación 1 t+d=12 Valor de la letra d encontrado al resolver la ecuación 2, d=7, que es el total de piezas de pan de dulce que compró, la sustitución se realiza así:

14 2

= 7

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t+7=12, ahora dejamos sola la letra t ( despejamos) pasando el 7 al otro lado de la ecuación con signo contrario al de la suma que es la resta, siendo: t+7=12 -7 se hace la resta y queda así: t=12-7 t=5, que corresponde al total de tortas que compró • Finalmente, se comprueba, sustituyendo el valor encontrado para cada incógnita (letra) en las dos ecuaciones iniciales, y haciendo las operaciones se debe cumplir la igualdad. Valor de la letra d= 7 total de piezas de pan de dulce que compró Valor de la letra t=5 total de piezas de torta que compró Se sustituyen su valores en la ecuación 1 para comprobar que los resultados son correctos, esto se hace así: Ecuación 1 t+d=12 7+5=12 Se realiza la suma y tenemos que se cumple la igualdad, por lo tanto los resultados son correctos 12=12 Ahora comprobamos con la ecuación 2, cambiando la letra t por su valor 5 y la letra d por su valor 7, según se aprecia a continuación: Ecuación 2 2t+4d=38 2(5)+4(7)=38 Realizamos las multiplicaciones: 10+28=38 Ahora llevo a cabo la suma: 38=38 Se cumple la igualdad por lo que los resultados son correctos, lo que significa que: El precio de cada torta es de $ 2.00 y al comprar 5 paga $ 10.00 El precio de cada pan de dulce es de $ 4.00 y al comprar 7 paga $ 28.00 Al sumar las dos cantidades que pagó da un total de $ 38.00 por la compra de todo el pan.

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2.- Repasemos lo aprendido. Doña Sofía confecciona uniformes para sus hijas. Compró 2 tipos de tela: popelina y escocesa y sumados fueron 18 metros. El precio por metro de popelina es de $ 21.00 y el metro de tela escocesa cuesta $ 35.00 pagando en total $ 518.00. ¿Cuántos metros compró de cada tela? ¿Cuánto pagó por la popelina? ¿Cuánto pago por la tela escocesa?

INFORMACION CONOCIDA OPERACIONES A REALIZAR PARA DETERMINAR: INFORMACION DESCONOCIDA O POR DETERMINAR

Total de metros: 18 Precio por metro de Popelina: $21.00 Precio por metro de escocesa: $35.00 Pago total de la compra de tela: $518.00

Se plantean las 2 ecuaciones: Ecuación 1: p + e = 18 Ecuación 2: 21p + 35e = 518

Número de metros de tela popelina.

Número de metros de tela escocesa

Pago total de la compra de tela popelina.

Pago total de la compra de tela escocesa.

Se resuelve este problema por el método de sustitución: Se toma la ecuación 1 y se despeja p y obtenemos: p + e = 18 p = 18 –e Se sustituye en la ecuación 2 y se resuelve: 21(18-e) + 35e = 518 378 – 21e + 35e = 518 378 + 14e = 518 14e = 518 – 378 14e = 140

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INFORMACION CONOCIDA OPERACIONES A REALIZAR PARA DETERMINAR: INFORMACION DESCONOCIDA O POR DETERMINAR

e = 140 / 14

e = 10 -> Por lo que determinamos que se compraron 10 metros de escocesa. Una vez que tenemos el valor de e (tela escocesa) se sustituye en la ecuación 1:

p + e = 18

p + 10 = 18

p = 18 – 10

p = 8 -> Por lo que determinamos que se compraron 8 metros de popelina.

Ya que tenemos los valores de las variables (e y p). Realizamos la comprobación en ambas ecuaciones:

Ecuación 1: p + e = 18

8 + 10 = 18

18 = 18

Ecuación 2: 21p + 35e = 518

21(8) + 35(10) = 518

168 + 350 = 518

518 = 518

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INFORMACION CONOCIDA OPERACIONES A REALIZAR PARA DETERMINAR: INFORMACION DESCONOCIDA O POR DETERMINAR

Contestando a las preguntas: ¿Cuántos metros compró de cada tela? Se compraron 8 metros de tela popelina y 10 metros de tela escocesa. ¿Cuánto pagó por la popelina? Por la popelina se pagó 168 pesos ¿Cuánto pago por la tela escocesa? Por la tela escocesa se pagó 350 pesos.

3. Ejercicios de reforzamiento:

1. La entrada al circo cuesta $65.00 para adulto y $35.00 para niño. Hoy recaudaron $ 18 995.00 por 439 boletos vendidos. ¿Cuántos boletos para adulto vendieron y cuántos para niño? 2. Gabriela es tesorera de la cooperativa Yoloxóchitl, que elabora tapetes sólo de dos

tamaños. El precio de los tapetes chicos es de $250.00 y de los grandes de $450.00. Al hacer su relación de ventas de ayer, le dijeron que en total habían vendido 12 piezas de tapetes de los dos tamaños y reunido $4 000.00. ¿Cuántos tapetes vendió de cada tamaño?

3. En la unidad residencial Bosques del Oriente viven 229 personas que pertenecen a familias de 3 o 5 integrantes. ¿Cuántas familias de 3 integrantes hay en la unidad y cuántas de 5, si se sabe que ahí viven 65 familias?

4. Autoevaluación. : Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con el método de sustitución.

12m+8z=20 3m+4z=28

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45

MODULO: OPERACIONES AVANZADAS UNIDAD: 7 MONOMIOS Y POLINOMIOS EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO DE LA GUIA:

Realizará sumas, restas y multiplicaciones con monomios y polinomios.

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual Puedes usar tu calculadora

Tiempo aproximado: 40 minutos.

1. Resuelve el siguiente problema: 1. Doña Lulú estrenó su casa pero se dio cuenta que sus 3 ventanas no tenían cortinas por lo que decidió medir el tamaño de cada una. Como no tenía cinta para medir, decidió utilizar un trozo de madera y un trozo de cable. La primera ventana midió 3 veces el trozo de madera y 2 veces el trozo de cable de ancho por 5 veces el trozo de cable de alto. La segunda ventana midió 1 vez el trozo de madera y 2 veces el cable de ancho por 4 veces el trozo de cable de alto y en la tercera ventana midió 5 veces el trozo de madera y 4 veces el trozo de cable de ancho por 7 veces el trozo de cable de alto.

Representa las expresiones algebraicas utilizando la literal “m” para el trozo de madera y la literal “c” para el trozo de cable.

Realiza la suma o reducción de términos semejantes de los binomios anteriores para saber cuánta tela necesitará para sus cortinas.

¿Qué debo conocer?

Literal. Usamos letras para representar números desconocidos o que varían, los cuales pueden ser positivos o negativos.

Coeficiente y exponente. En el producto 8x2 el número 8 es el coeficiente de x, x es la literal y está elevada al exponente 2.

Exponente

Coeficiente 8x2 Literal

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46

Cuando el coeficiente es 1, no se escribe, de igual manera cuando el exponente es 1 no se escribe. Una expresión algebraica compuesta por un solo término se llama monomio.

Ejemplos: 4a, 15xy

Una expresión algebraica compuesta por dos o más términos se llama polinomio: Ejemplos:

a + b, 4x3 + y + 2z2

A una expresión algebraica compuesta por dos términos también se le denomina binomio. Términos semejantes. Cuando dos términos tienen las mismas literales con los mismos

exponentes se dice que son semejantes: Ejemplos: a y 4a Tienen la misma letra “a” y por lo tanto son semejantes x2 y 3x2 Tienen la misma letra “x” elevada a la misma potencia “2” y también son

semejantes Reducción o suma de términos semejantes. Un polinomio puede reducirse al sumar o restar los

términos semejantes que lo forman: Ejemplo:

-9x + 21x + 2y – y = 12x + y

A veces los polinomios están dentro de un paréntesis, dicho paréntesis puede estar antecedido por un signo de más o de menos (+ o –). Eliminación de paréntesis

Si el signo que le antecede es positivo, se quita el paréntesis sin cambiar el signo de los sumandos del polinomio encerrado dentro del paréntesis.

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47

Ejemplo: (2n + 4n) + (45mn - 7mn2 + 8n) 2n + 4n + 45mn - 7mn2 + 8n

Si el signo que le antecede es negativo, se cambia el signo a los sumandos del polinomio encerrado

dentro del paréntesis y se quita el paréntesis. Ejemplo:

(2n + 4n) - (45mn - 7mn2 + 8n) 2n + 4n - 45mn + 7mn2 - 8n 45mn queda con signo negativo ya que dentro del

paréntesis es positivo y cambiando el signo conforme a la regla queda negativo.

Para sumar polinomios, se localizan los términos que son semejantes y se realiza la suma de sus coeficientes. Ejemplo:

(2n - 9mn2) (4n - 5mn2)

6n - 14mn2

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48

Para restar polinomios, se cambia el signo a todos los términos que forman el sustraendo y después se suma. Ejemplo:

(3a3 - 6ab) ( 3a3 - 6ab)

(7a3 - 8ab) (-7a3 + 8ab)

-4a3 + 2ab

Para multiplicar un monomio por otro monomio, hay que multiplicar los coeficientes de ambos y después las literales. Ejemplos:

(2m) (8m) = 16m2

(3x) (6y) = 18xy

Como puede usted ver, al multiplicar la misma literal se suman sus exponentes. Ejemplos:

(m) (m) = m2 (5m) (8m) = 40m2

(2x2y3) (4x2y2) = 8x4y5

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

+ Se cambia el signo y

se realiza la suma

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49

Ejemplo:

8x + 2xy - y X 5x

40x2 + 10x2y - 5xy

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio. Después se simplifica. Ejemplo:

7x + 4m X - 25x + 3m

21xm + 12m2

-175 x2 - 100xm

-175x2 - 79xm + 12m2

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50

7 veces el trozo de cable

7 ( )

7c

Solución:

Representa las expresiones algebraicas utilizando la literal “m” para el trozo de madera y la literal “c” para el trozo de cable

Tenemos que existen 3 ventanas de diferente tamaño

3 veces el trozo de madera de alto y 2 veces el trozo de cable

1 vez el trozo de madera y 2 veces el cable

5 veces el trozo de madera y 4 veces el trozo de cable

Ventana 1

3( ) + 2 ( )

Representación:

3m + 2c Ventana 3

5( ) + 4 ( )

Representación:

5m + 4c

5 veces el trozo de cable

5 ( )

5c

4 veces el trozo de cable

4 ( )

4c

Ventana 2

1( ) + 2 ( )

Representación:

m + 2c

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51

Representando: Ventana 1 (3m + 2c) (5c) Ventana 2 ( m + 2c) (4c) Ventana 3 (5m + 4c) (7c)

Realiza la suma o reducción de términos semejantes de los binomios anteriores para saber cuánta tela necesitará para

sus cortinas. Primero realizamos la suma de términos semejantes de cada una de las ventanas; por lo que tenemos: Ventana 1 ( 3m + 2c ) ( 5c ) Ventana 2 ( m + 2c ) ( 4c ) Ventana 3 ( 5m + 4c ) ( 7c ) ( 9m + 8c ) (16c ) Por lo que en total se requieren de 9 veces un trozo de madera más 8 veces el trozo de cable de ancho por 16 veces el trozo de cable de alto.

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52

2. Repasemos lo aprendido:

Para el ejemplo anterior podemos realizar la multiplicación de un monomio por un binomio y quedaría: Tenemos: ( 9m + 8c ) (16c ) Se multiplica el monomio (16c) por cada uno de los términos del polinomio (9m y 8c):

( 16c ) ( 9m ) = 144 cm

( 16c ) ( 8c ) = 128 c2

Por lo que nos resulta el binomio: 144 cm + 128 c2

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53

3. Ejercicio de reforzamiento:: Doña Mary va al mercado y realiza la siguiente compra: 3 kg de jitomate, 2 kg de tomate, 5 kg de mandarina, 10 kg de naranja. A la semana siguiente compra: 5 kg de tomate, 4 kg de papa, y 8 kg de naranja. Se da cuenta que le faltan algunas cosas y regresa a comprar: 5 kg de jitomate, 4 kg de mandarina y otros 6 kg de naranja.

Representa las expresiones algebraicas. Realiza la suma o reducción de términos semejantes de los binomios anteriores para saber

cuánto compró en total durante sus visitas al mercado. 4. Autoevaluación. Reduce los siguientes polinomios:

5. 4b + 6b + x2 – 4bx + 5x2 = 6. (5ab + 4ab2 ) – (6ab + 6ab2 + 5ab2 – 5) = 7. 2x2 + 6y + 3xy + 3x2 - 5xy - x = 8. (4x+3y-8z) + (7x-8y+5z) =

Realice las siguientes multiplicaciones:

1. (6a + 5a2 + 6b) (2 n) = 2. (9m2 + 12n + n) (3m2) = 3. (3x2) (2x3 − 3x2 + 4x − 2) =

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54

Módulo: Operaciones Avanzadas

UNIDAD 7:

CALCULO DE ÁREAS CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

Eje: Matemáticas

Nivel:

Avanzado

Objetivo: Aplicar los conocimientos del cálculo de áreas y perímetros de figuras geométricas utilizando monomios y polinomios en diversos aspectos de su vida diaria

Instrucciones: Lee atentamente Trabaje de manera individual Puedes usar tu calculadora

Tiempo aproximado 60 minutos indicativo

LEE EL SIGUIENTE PROBLEMA: La señora Guadalupe tiene a su hijo en el jardín de niños y su maestra le dejó que forrara de papel lustre el dibujo de un robot como el siguiente:

La cabeza de color rojo

El tronco de color verde

Sus piernas color amarillo

Su base color azul

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55

Para adornarlo le debe poner papel paspartú en las orillas en forma ondulada en las partes que se indican. Sólo que no tiene una regla para medir las figuras (el cuadrado, rectángulo, triángulos y círculo) y debe calcular cuántos centímetros cuadrados necesita de papel para forrar al muñeco y cuántos centímetros lineales de papel paspartú requiere para adornarlo de las orillas señaladas. Su hijo Guillermo que está estudiando la secundaria escolarizada en tercer grado y está viendo el tema de cálculo de áreas y perímetros, decide explicarle a su mamá este tema, para lo cual hace lo siguiente: Para su tarea le piden calcular el área y el perímetro de las figuras usando el lenguaje algebraico, las medidas son:

4a-4

5a

2a

6a-2

8a-6

4a-3

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56

En el siguiente cuadro le explica como de calcula el área de cada figura de la siguiente forma: FIGURA L= 5cm FIGURA: CUADRADO A=6cm L=10cm FIGURA: RECTANGULO

FORMULA PARA CALCULAR EL AREA ES: AREA DEL CUADRADO= L2

EXPLICACION DE LA FORMULA:

ES LO QUE MIDE UN LADO ELEVADO AL

CUADRADO

AREA DEL RECTANGULO= LxA EXPLICACION DE LA FORMULA: MULTIPLICAR LO QUE MIDE DE LARGO POR LO QUE MIDE DE ANCHO

COMENTARIOS Y OBSERVACIONES

EL CUADRADO TIENE SUS 4 LADOS IGUALES, ES DECIR MIDEN LO MISMO, EN ESTE EJEMPLO CADA LADO MIDE 5 CM.

RECORDEMOS QUE ELEVAR UNA CANTIDAD AL CUADRADO ES MULTIPLICARLA POR SI MISMA , ASI 5X5

AREA ES IGUAL AL ESPACIO QUE OCUPA LA FIGURA EN EL PLANO, TODO EL COLOR ROJO

TODAS LAS MEDIDAS DE AREA SE EXPRESAN CON EXPONENTE 2 QUE SIGNIFICA QUE ES UNA MEDIDA DE SUPERFICIE

ESTA FIGURA TIENE DOS LADOS IGUALES, EL ANCHO DE UN LADO ES IGUAL AL ANCHO DEL OTRO LADO, DE IGUAL FORMA EL LARGO DE UN LADO ES IGUAL AL LARGO DEL OTRO LADO DE LA FIGURA. EL AREA DE ESTA FIGURA ES EL ESPACIO QUE OCUPA EL COLOR VERDE

OPERACIONES

RESULTADO AL CALCULAR EL AREA ES EL SIGUIENTE:

5X5= 25CM2

EL AREA DE ESTA FIGURA ES : 10x6= 60cm2

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57

B=4cm A=3cm FIGURA: TRIANGULO

FORMULA: BXA 2 EXPLICACION DE LA FORMULA: SE MULTIPLICA LO QUE MIDE DE BASE POR LO QUE MIDE DE ALTURA Y EL RESULTADO SE DIVIDE ENTRE 2

ESTA FIGURA ESTA FORMADA POR TRES LINEAS UNIDAS. Y SE DIVIDE ENTRE DOS PORQUE SE OBTIENE EL AREA DE UN RECTANGULO O CUADRADO, SEGÚN SEA EL CASO Y LA MITAD DE ESA AREA LA OCUPA EL TRIANGULO, VEAMOLOS DE FORMA GRAFICA SU AREA ES LO QUE OCUPA EL COLOR AMARILLO

EL AREA DEL

TRIANGULO ES:

4X3

2

IGUAL A 6 CM2

FIGURA: CIRCULO

LA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA DE UN CIRCULO ES:

Πxr2

EXPLICACION :SE MULTIPLICA EL VALOR DE LA

LETRA PI QUE ES DE 3.1416 CONSIDERANDO

HASTA 4 DECIMALES POR LO QUE MIDE EL

RADIO ELEVADO AL CUADRADO

EL AREA DEL CIRCULO ES LA PARTE DE ADENTRO, ILUMINADA EN AZUL. EL RADIO ES LA LINEA QUE VA DEL CENTRO DEL CIRCULO A UN EXTREMO DEL MISMO.ELEVARLO AL CUADRADO ES MULTIPLICARLO POR SI MISMO, EJEMPLO 5X5=25 CM2

EL VALOR DE LA LETRA PI (Π) se obtiene de la siguiente forma: es una constante que nos indica que el diámetro (línea que

EL AREA DEL CIRCULO ES:

3.1416X52 IGUAL A:

3.1416X25

78.74CM2

RADO IGUAL A

5 CM.

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58

atraviesa el circulo de lado a lado pasando por el centro de un circulo) cabe en el perímetro (orilla) tres veces y un pedazo más en cualquier circulo sin importar sus medidas. Ejemplo gráfico:

DIAMETRO

SE CORTA LA

ORILLA DEL

CIRCULO Y SE

PONE DE

FORMA ORILLA DEL CIRCULO DE

FORMA HORIZONTAL

DIAMETRO, CABE EN LA

ORILLA DEL CIRCULO 3 VECES

Y UN PEDACITO MAS

GUÍA DIDÁCTICA

59

AHORA LE ENSEÑA COMO CALCULAR EL PERIMETRO U ORILLA DE CADA FIGURA Y LE EXPLICA ESTA INFORMACION EN EL CUADRO SIGUIENTE:

FIGURA FORMULA PARA CALCULAR EL

PERIMETRO

COMENTARIOS Y OBSERVACIONES OPERACIONES

5 CMS FIGURA: CUADRADO

COMO SUS 4 LADOS MIDEN LO MISMO UNA FORMULA ES MULTIPLICAR SUS 4 LADOS POR LO QUE MIDE UNO, ASI:

P=4XL (L IGUAL A LA MEDIDA DE UN LADO) O BIEN SUMANDO LO QUE MIDE CADA LADO, :

P=L1+L2+L3+L4

RECORDEMOS QUE LA PARTE QUE OCUPAN LAS ESTRELLAS ES EL PERIMETRO, ES DECIR LO QUE MIDEN SUS CUATRO ORILLAS

LAS MEDIDAS SON DE LONGITUD POR LO TANTO SON CENTIMETROS LINEALES.

PARA ESTE CASO EL PERIMETRO LO CALCULAMOS ASI:

FORMULA: P=4XL, PONIENDO VALORES:

4X5=20 CENTIMETROS

O ASI

FORMULA: P=L1+L2+L3+L4, SUSTITUYENDO VALORES:

5+5+5+5=20 CENTIMETROS

A=6cm A =5CM L=10CM

FIGURA: RECTANGULO

ESTA FIGURA TIENE 2 LADOS IGUALES, EL LARGO DE UN LADO ES IGUAL AL LARGO DEL OTRO LADO Y EL ANCHO DE UN LADO ES IGUAL AL ANCHO DEL OTRO LADO, UNA FORMA DE CALCULAR SU PERIMETRO U ORILLA ES:

P=2(L+A), O

P=L+L+A+A

SU PERIMETRO ES LO QUE MIDEN SUS 4 ORILLAS, COMO SE MUESTRA EN LA IMAGEN CON LAS ESTRELLAS

EL PERIMETRO ES DE ESTA FORMA:

FORMULA: P=2(L+A), PONIENDO VALORES:

P=2(10+5) , 2(15), IGUAL A 30 CENTIMETROS, O DE ESTA FORMA:

FORMULA:P=L+L+A+A

SUSTITUYENDO VALORES:

P=10+10+5+5, IGUAL 30 CENTIMETROS

GUÍA DIDÁCTICA

60

FIGURA FORMULA PARA CALCULAR EL

PERIMETRO

COMENTARIOS Y OBSERVACIONES OPERACIONES

FIGURA: TRIANGULO EQUILATERO, TRES LADOS IGUALES

LA FORMULA DEL PERIMETRO DEL

TRIANGULO ES SUMAR LA MEDIDA DE CADA

LADO, SIENDO

P=L1+L2+L3

EL TRIANGULO EQUILATERO TIENES SUS 3 LADOS IGUALES, ES

DECIR MIDEN LO MISMO

PARA ENCONTRAR EL PERIMETRO SUMAMOS SUS 3

LADOS:

P=L1+L2+L3

SUSITUYO SU VALORES:

P=4+4+4

IGUAL A 12 CENTIMETROS

4 CMS

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61

FIGURA FORMULA PARA CALCULAR EL PERIMETRO

COMENTARIOS Y OBSERVACIONES OPERACIONES

FIGURA: CIRCULO

LA FORMULA PARA CALCULAR EL PERIMETRO DEL CIRCULO ES:

MULTIPLICAR EL DIAMETRO POR EL VALOR DE LA LETRA Π , SIENDO:

P=ΠxD

EL PERIMETRO (ORILLA) DEL CIRCULO ES LO QUE MIDE DE LONGITUD LAS ESTRELLAS QUE RODEAN LA CIRCULO, COMO SE APRECIA EN EL DIBUJO DEL CIRCULO AZUL.

RECORDEMOS QUE EL VALOR DE

LA LETRA Π es 3.1416 y QUE EL DIÁMETRO CABE 3 VECES Y UN PEDACITO EN LA ORILLA DE LA CIRCUNFERENCIA

AHORA SUSTITUIMOS LOS VALORES DE LA FORMULA

PARA ENCONTRAR EL RESULTADO:

P=ΠxD

P=3.1416X10

IGUAL A: 31.41

Tomando como referencia los conocimientos de suma, multiplicación de monomios y polinomios, así como lo explicado con anterioridad, Le enseña como calcular las áreas y perímetros usando los datos algebraicos (números y letras) de la figura que se presentó al principio, en los cuadros siguientes:

DIAMETRO= 10 CM

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62

FIGURA : CUADRADO

AREA DEL CUADRADO= L2 o BIEN LXL

EL CUADRADO TIENE SUS 4 LADOS IGUALES Y LA FORMULA INDICA QUE DEBO ELEVAR AL CUADRADO LO QUE MIDE UN LADO, QUEDANDO ASI :( 4a-4)2, , O BIEN LO EXPRESO DE ESTA FORMA: (4a-4) (4a-4)

REALIZO LA MULTIPLICACION DE LOS BINOMIOS, ASI:

4a-4

X

4a-4

16a2-16a

-16a+16

16a2-32a+16 que es la medida del área del cuadrado.

FIGURA RECTANGULO

AREA DEL RECTANGULO=LXA

EL RECTANGULO TIENE DOS LADOS IGUALES Y LA FORMULA SEÑALA QUE HAY QUE MULTIPLICAR EL LARGO POR EL ANCHO

REALIZO LA MULTIPLICACION DEL BINOMIO POR EL MONOMIO:

8a-6

X

5a

40a2-30a, esta es la medida del área del rectángulo.

4a-4

Simplifico

Términos

semejantes

8a-6

5a

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63

FIGURA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA Y/O PERIMETRO

RECORDATORIO DE TEMAS DEL ESTUDIO DE FICHA ANTERIORES

OPERACIONES

FIGURA: TRIANGULO

AREA DEL TRIANGULO= BXA

2

AQUÍ DEBEMOS MULTIPLICAR LO QUE MIDE DE BASE POR LA MEDIDA DE LA ALTURA Y DIVIDIR EL RESULTADO ENTRE DOS

REALIZO LA MULTIPLICACION DEL BINOMIO POR EL MONOMIO, QUEDANDO ASI:

4a-3

X

2a

8a2-6a divido entre 2

2 4a2-3a Esta es el área de una de sus piernas por lo que debemos multiplicar por dos este resultado, quedando

así: ( 4a2-3a)(2)= 8a2-6a siendo esta el área de sus dos piernas

4a-3

2a

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64

FIGURA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA Y/O PERIMETRO

RECORDATORIO DE TEMAS DEL ESTUDIO DE FICHA ANTERIORES

OPERACIONES

FIGURA: CIRCULO

FORMULA PARA CALCULAR EL AREA DE UN CIRCULO= Πxr2

EN ESTE CASO DEBEMOS ELEVAR AL CUADRADO EL VALOR DEL RADIO Y MULTIPLICAR EL RESULTADO POR EL VALOR DE LA LETRA Π( PI), QUE ES 3.14

ELEVO AL CUADRADO EL VALOR DEL RADIO, SIENDO ASI:

(6a-2)2 ESTO ES MULTIPLICAR EL BINOMIO POR SI MISMO, ENTONCES ES DE ESTA FORMA:

6a-2

X

6a-2

36a2-12a

-12a+4

36a2-24a+4

Ahora multiplico este resultado por el valor de Π, que es 3.14, hacemos la operación para obtener el resultado:

(36a2-24a+4)(3.14)

113.04a2-75.31a+12.56, esta es el área del círculo.

6a-2

Simplifico

términos

Semejantes

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65

AHORA VA A CALCULAR LAS ORIILAS O PERIMETROS DE LAS FIGURAS PARA DETERMINAR CUANTO MIDEN DE FORMA ALGEBRAICA, USANDO SUMAS Y/O MULTIPLICACIONES, Y QUEDA DE LA FORMA SIGUIENTE:

FIGURA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA Y/O PERIMETRO

RECORDATORIO DE TEMAS DEL ESTUDIO DE FICHA ANTERIORES

OPERACIONES

FIGURA: CUADRADO

LA FORMULA PARA OBTENER EL PERIMETRO DEL CUADRADO ES:

P=L4, O BIEN SUMAR SUS CUATRO LADOS, L1+L2+L3+L4

EL CUADRADO TIENE SUS CUATRO LADOS IGUALES, ES DECIR MIDEN LO MISMO

DEBO MULTIPLICAR EL VALOR DE UN LADO POR

4, SIENDO:

4a-4

X

4

16a-16 este es el perímetro del cuadrado.

TAMBIEN LO PUEDO ENCONTRAR SUMADO SUS CUATRO LADOS DE ESTA FORMA:

4a-4

+ 4a-4

4a-4

4a-4

16a-16

4a-4

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66

FIGURA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA Y/O PERIMETRO

RECORDATORIO DE TEMAS DEL ESTUDIO DE FICHA ANTERIORES

OPERACIONES

FIGURA: RECTANGULO

LA FORMULA PARA CALCULAR EL PERIMETRO DEL RECTANGULO

ES:

P=2(L+A) o L+L+A+A

ESTA FIGURA TIENE DOS LADOS IGUALES

DEBO MULTIPLICAR LA SUMA DE LA MEDIDA DEL LARGO Y EL ANCHO POR

2, QUEDANDO ASI:

8a-6+5a

x

2

16a-12+10a 26a-12 esta es la medida del perímetro. O BIEN SUMANDO LAS MEDIDAS DE SUS 4 LADOS: 8a-6 + 8a-6 5a 5a 26a-12, medida del perímetro.

5a

8a-6 SE REDUCEN

TERMINOS

SEMEJANTES

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67

FIGURA FORMULA PARA CALCULAR EL AREA Y/O PERIMETRO

RECORDATORIO DE TEMAS DEL ESTUDIO DE FICHA ANTERIORES

OPERACIONES

FIGURA: TRIANGULO, EQUILATERO, SUS 3

LADOS MIDEN LO MISMO

LA FORMULA PARA EL PERIMETRO DEL TRIANGULO ES:

P= L1+L2+L3

DEBEMOS SUMAR LA MEDIDA DE SUS TRES LADOS, PARA ESTE TRIANGULO QUE TIENE SUS TRES LADOS IGUALES, MIDEN LO MISMO CADA UNO DE ELLOS.

DEBO SUMAR LOS TRES LADOS, QUEDANDO ASI:

4a-3

+ 4a-3

4a-3

12a--9 QUE ES LA MEDIDA DEL PERIMETRO

FIGURA: CIRCULO

LA FORMULA PARA CALCULAR EL PERIMETRO DE LA

CIRCUNFERENCIA ES:

P=DxΠ

EL VALOR DEL DIAMETRO ES DOS VECES SU RADIO Y LA FORMULA SEÑALA QUE DEBO MULTIPLICAR LO QUE MIDE EL DIAMETRO POR EL VALOR DE LA CONSTANTE QUE LA LETRA Π (PI)

PRIMERO DEBO ENCONTRAR EL

DIAMETRO A PARTIR DEL RADIO, ENTONCES

MULTIPLICO EL VALOR DEL RADIO POR 2,

SIENDO ASI:

6a-2

X 2

12a-4 ESTA ES LA MEDIDA DEL DIAMETRO AHORA APLICO LA FORMULA DEL PERIMETRO DEL CIRCULO:

4a-3

6a-2

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68

P=Dx Π

12a-4 X

3.14 37.68a-12.56 , QUE ES LA MEDIDA DEL PERIMETRO

Le explica que a partir de los resultados de las medidas de área y perímetro de cada figura que determinó de forma algebraica ahora debe encontrar la cantidad de centímetros cuadrados que debe comprar de papel lustre para forrar el muñeco y el tanto

de centímetros de adorno para las orillas, diciéndole que el valor de la letra a es de 3 centímetros, de tal forma que poniendo en práctica sus conocimientos de multiplicación de monomios y polinomios y otros temas llegue a los resultados, para lo cual se apoya con la tabla siguiente:

FIGURA AREA RESULTADO ALGEBRAICO OPERACIONES PARA ENCONTRAR LAS MEDIDAS

CUADRADO

64 CM2

DE PAPEL

LUSTRE

ROJO

16a2-32a+16 16(3)2-32(3)+16, ELEVO AL CUADRADO EL 3 Y ES 9, AHORA QUEDA LA OPERACIÓN DE ESTA FORMA:

16(9)-32(3)+16, REALIZO LAS MULTIPLICACIONES Y LA OPERACIÓN QUE RESULTA ES ASI:

144-96+16, HAGO LA RESTA Y SUMA Y EL RESULTADO FINAL ES: 64 CM2

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69

FIGURA AREA RESULTADO ALGEBRAICO OPERACIONES PARA ENCONTRAR LAS MEDIDAS

RECTANGULO

270 CM2

DE PAPEL

LUSTRE

VERDE

40a2-30a 40(3)2-30(3), ELEVO AL CUADRADO EL 3 Y ES 9, AHORA QUEDA LA OPERACIÓN DE ESTA FORMA:

40(9)-30(3), REALIZO LAS MULTIPLICACIONES Y LA OPERACIÓN QUEDA ASI:

360-90, REALIZO LA RESTA EL AREA DEL RECTANGULO ES DE : 270CM2

TRIANGULO

64 CM2

DE PAPEL

LUSTRE

AMARILLO

PARA LAS

DOS

PIERNAS

8a2-6a, AREA DE LAS 2 PIERNAS

8(3)2-6(3), ELEVO AL CUADRADO EL 3 Y ES 9, AHORA LA OPERACIÓN QUEDA ASI:

8(9)-6(3), REALIZO LAS MULTIPLICACIONES Y LA OPERACIÓN QUEDA DE ESTA FORMA:

72-18, REALIZO LA RESTA Y EL RESULTADO ES DE

64 CM2

CIRCULO

803.99CM2

DE PAPEL

LUSTRE

AZUL

113.04a2-75.31a+12.56 113.04(3)2-75.31(3)+12.56, ELEVO AL CUADRADO EL 3 Y ME DA 9, Y LA OPERACIÓN QUEDA ASI:

113.04(9)-75.31(3)+12.56, REALIZO LAS MULTIPLICACIONES Y AHORA LA OPERACIÓN ES ASI:

1017.36-225.93+12.56, EFECTUO LAS RESTAS Y LA SUMA Y EL RESULTADO QUEDA ASI:

803.99 CM2

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70

FIGURA PERIMETRO RESULTADO ALGEBRAICO OPERACIONES PARA ENCONTRAR LAS MEDIDAS

CUADRADO

24 CM DE ADORNO PARA LOS 3 LADOS DE LA FIGURA

16a-16 16(3)-16, REALIZO LA MULTIPLICACION Y ENTONCES LA OPERACIÓN QUEDA:

48-16, EFECTUO LA RESTA Y DETERMINO EL TANTO DE ADORNO QUE REQUIERE PARA LAS 4 ORILLAS SIENDO ASI:

32 CM, PERO EL MUÑECO SOLO SE ADORNARA EN 3 LADOS POR LO QUE DIVIDO 32/4 IGUAL 8 CMS POR LADO Y LO MULTIPLICO POR 3,SIENDO EL

RESULTADO FINAL 24 CMS DE ADORNO

RECTANGULO

42 CM DE ADORNO PARA LOS LADOS DEL CUADRADO QUE LO LLEVAN

26a-12 26(3)-12, REALIZO LA MULTIPLICACION QUEDANDO LA OPERACIÓN, ASI:

78-12, REALIZO LA RESTA Y EL PERIMETRO DEL

RECTANGULO DE SUS 4 LADOS ES DE 66 CM, AHORA

BIEN DEBO DETERMINAR LA MEDIDA DEL LARGO DEL RECTANGULO, PARA ESTO E APOYO DE LO QUE MIDE DE BASE EL TRIANGULO QUE ES DE :

4a-3, SUSTITUYO EL VALOR DE a Y QUEDA ASI:

4(3)-3, EFECTUO LA MULTIPLICACION Y LA RESTA Y EL RESULTADO ES: 9 ES LO QUE MIDE DE BASE UN TRIANGULO LO MULTIPLICO POR 2 EN RAZON DE QUE LA BASE DE LOS DOS TRIANGULOS ES IGUAL A

LARGO DEL RECTANGULO, QUEDANDO ASI: 9x2:

18 CMS, AHORA DEBO ENCONTRAR LA MEDIDA DE

ADORNO QUE LLEVA LA PARTE DE ARRIBA DEL RECTANGULO Y LO HAGO DE DE ESTA FORMA: EL LARGO MIDE 18CMS, LE RESTO LO QUE MIDE UN LADO DEL CUADRADO QUE LO OBTENGO ASI, SUS 4 LADOS MIDEN 24CM/4 IGUAL A 6 CM , ENTONCES EL ADORNO DE ARRIBA DEL RECTANGULO ES 18-6 IGUAL 12 CMS.

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PARA DETERMINAR EL ADORNO DE LA ORILLA DEL RECTANGULO SERIA ASI:

PERIMETRO DEL RECTANGULO:

66, MENOS LO QUE MIDEN LOS 2 LADOS DE LARGO UNO QUE NO LLEVA ADORNO Y EL OTRO QUE SOLO LLEVA UNA PARTE, ENTONCES LA OPERACIÓN QUEDA ASI:

66-36 IGUAL 30 Y LE SUMO LA PARTE DE ARRIBA DE ADORNO QUE SE DETERMINO CON APOYO DEL LADO DEL CUADRADO SIENDO LA OPERACIÓN Y EL RESULTADO ESTE:

30 +12= 42 CM DE ADORNO PARA EL RECTANGULO

FIGURA PERIMETRO RESULTADO ALGEBRAICO OPERACIONES PARA ENCONTRAR LAS MEDIDAS

CIRCULO

100.48 CM DE ADORNO PARA LA ORILLA DEL CIRCULO

37.68a-12.56 37.68(3)-12.56, REALIZO LA MULTIPLICACION Y LA OPERACIÓN QUEDA:

113.04-12.56, EFECTUO LA RESTA Y EL RESULTADO ES:

100.48 CM DE ADORNO PARA LA ORILLA DEL

CIRCULO

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EJERCICIOS DE PRÁCTICA:

1.-DON JOSE VA PINTAR UNA MESA CIRCULAR DE LA FORMA QUE SE MUESTRA A CONTINUACION Y REQUIERE SABER CUANTOS METROS CUADRADOS ABARCARA CADA SUPERFICIE YA QUE PAGARA AL PINTOR A RAZON DE $ 50.00 METRO CUADRADO, SOLO QUE LAS MEDIDAS ESTAN FIJADAS COM EXPRESIONES ALGEBRAICAS, ENTONCES LE PIDE A SU HIJO QUE LE AYUDE A CALCULAR LOS METROS CUADRADOS POR CADA CIRCULO Y EN TOTAL, DANDOLE EL VALOR DE X QUE ES IGUAL 2, Y LE INDIQUE CUANDO VA A PAGAR POR EL TRABAJO.

USAR EL VALOR DE PI= 3.14 a) CIRCULO AZUL=116.26MTS2, CIRCULO ROJO= 660.18MTS2, TOTAL DE METROS= 776.44 MTS2 Y PAGARA $ 38,822.00 b) CIRCULO AZUL= 113.04 MTS2, CIRCULO ROJO 547.14 MTS2, TOTAL DE METROS = 660.18MTS2, Y PAGARA $ 33,009.00

c) CIRCULO AZUL=547MTS2,, CIRCULO ROJO=113.04 MTS2, TOTAL DE METROS 660.18MTS2 ,Y PAGARA, $ 33,009.00 d) CIRCULO AZUL=653.12MTS2, CIRCULO ROJO=547.1 4MTS2, TOTAL DE METROS 1200.26 MTS2, Y PAGARA $ 60,013.00

2.- CALCULAR EL PERIMETRO DE LA SIGUIENTE FIGURA: a) 41a+8 b) 29a+12 c) 41a-8 d) 12a-4

2x+2

16x-3

3a+2

9a-3

6a+4

3a-1 10a+4 3a

3a+2

4a

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3.-ENCUENTRA EL AREA DE LA SIGUIENTE FIGURA:

a) 228a2+40a-12 b) 55.50a2+37.68a+6.28 c) 283.50a2+40a-18.28 d) 283.50a2+77.68a-5.72 4.- ESTHER VA FORRAR UNA PARED CON AZULEJO Y DEBE CALCULAR CUANTOS METROS CUADRADOS REQUIERE DE ESTE MATERIAL, REVISANDO EL LIBRO DE SU HIJA ANTONIA QUE VA A LA SECUNDARIA VE UN DIBUJO CON LAS MEDIDAS QUE SE SEÑALAN, SU HIJA LE DICE QUE SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y QUE LA LETRA REPRESENTA UN VALOR DESCONOCIDO, LE EXPRESA QUE ELLA RESOLVIO ESE PROBLEMA Y EL VALOR DE LA LETRA Y ES 4, CON LOS DATOS ANTES SEÑALADOS AYUDA A DOÑA ESTHER A DETERMINAR CUANTOS METROS REQUIERE DE AZULEJO Y CUAL ES EL AREA DE LA FIGURA EN EXPRESION ALGEBRAICA. a) 1024MTS2, 64y2-64y+32 b) 906 MTS2, 64y2-32y-16 c) 906MTS2, 64y2-32y+4 d) 1024MTS2, -64y2+64-32

12a+4

19a-3

8y-4+2

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5.- FERNADO VA A CERCAR CON ALAMBRE DE PÚAS UN TERRENO COMO EL QUE SE OBSERVA EN LA IMAGEN SIGUIENTE: SE PIDE CALCULAR CUANTOS METROS DE ALAMBRE NECESITA, SI EL VALOR DE LA X ES 3 a) 36 METROS b) 40 METROS c) 20 METROS d) 100 METROS

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MODULO: OPERACIONES AVANZADAS UNIDAD: 8 TEOREMA DE PITAGORAS EJE: MATEMÁTICAS NIVEL: AVANZADO OBJETIVO DE LA GUIA:

El educando comprenderá la utilidad del teorema de Pitágoras en situaciones de la vida cotidiana.

INSTRUCCIONES Lee atentamente esta guía Trabaja de manera individual Tienes 40 min. Para trabajar Puedes usar tu calculadora

1.- Lo que debemos saber:

.

Teorema de Pitágoras:

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90°). Entendiéndose como ángulo a la abertura entre dos líneas que se unen en un punto. El lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa y los dos lados que forman el ángulo recto son llamados catetos.

Triángulo Rectángulo-------------->

Con referencia a dicho triangulo, se cumple el teorema de Pitágoras: “en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados que forman el ángulo recto (catetos) “. Algebraicamente, lo anterior, puede expresarse como:

c2= a2 + b2 donde:

c2= hipotenusa al cuadrado a2=cateto al cuadrado b2=cateto al cuadrado

Elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por sí mismo.

Cateto

Cateto

Hipotenusa

90°

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2. Resuelva el siguiente problema: La señora Guadalupe va a elaborar dos banderines que le pidieron a sus hijos para el desfile del día 20 de noviembre, en la escuela le dijeron que deberían tener la forma de un triángulo rectángulo, pero sólo le dieron dos medidas: 30 cm de ancho y 40 cm de largo. Doña Guadalupe no sabe cuánto debe medir el otro lado de cada banderín.

Para resolver la duda de Doña Guadalupe nos apoyaremos del Teorema de Pitágoras. Sabemos las dos medidas de los catetos, lo que tenemos que descubrir es cuánto mide la hipotenusa, es decir, el lado más largo del banderín.

Lo primero que debemos hacer es sustituir los datos que conocemos en la fórmula para calcular la hipotenusa:

c2= a2 + b2 c2= 302 + 402 Después realizar las operaciones:

c2= 900 + 1600

c2= 2500 Recordemos que para quitar el cuadrado a un valor, debemos sacar la raíz cuadrada, en este caso a ambos datos:

c2 = 2500 c = 50

a=30

b=40 cm

c=?

90°

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Después de obtener este resultado, Doña Guadalupe sabe que el otro lado del banderín debe medir 50 cm.

Con esta información doña Guadalupe podrá elaborar los 2 banderines.

Ejercicio de Repaso.

Imelda va a colocar un listón como adorno a sus servilletas que tienen la forma de un cuadrado y miden de cada lado 49.5 cm, ella quiere que el listón atraviese su servilleta de esquina a esquina, ¿Cuánto listón va a ocupar para decorar cada servilleta?

Si observamos la imagen de cómo quiere que queden sus servilletas, al momento de atravesar el listón en la servilleta se forman dos triángulos rectángulos. Entonces lo que nos pide calcular es la medida de la hipotenusa.

30 cm

40 cm

50 cm

90°

49.5 cm

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Sabemos que cada lado del cuadrado mide 49.5 cm, por lo que el primer paso es sustituir las medidas de cada lado (catetos) en la fórmula antes conocida, para encontrar el valor de la hipotenusa:

c2= a2 + b2 c2= 49.52 + 49.52

Después realizar las operaciones:

c2= 2450.25 + 2450.25

c2= 4900.5 Recordemos que para quitar el cuadrado a un valor, debemos sacar la raíz cuadrada, en este caso a ambos datos:

c2 = 4900.5 c = 70.00

Después de obtener el resultado sabemos que Doña Imelda utilizara 70 cm de listón para cada una de sus servilletas.

AUTOEVALUACION

1. ¿Cuál es la longitud de una escalera que se encuentra apoyada en una pared de 2.50 m de alto y separada de la misma 1.50 m?

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2. Calcula la hipotenusa del siguiente triangulo rectángulo:

12 cm

16 cm

?