Click here to load reader

ff.unze.ba Trostruk...Trostruki integrali 1. Izračunaj trostruki integral . 2 0 1 1 1 (4 ) 2 I dx dy z dz x Rješenje: 3 40 3 4) 10 3 2) 10(2 3 10 (1 ) 10((8 2) 10 2 (4 ) 4 1 1 3

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of ff.unze.ba Trostruk...Trostruki integrali 1. Izračunaj trostruki integral . 2 0 1 1 1 (4 ) 2 I dx...

  • 71

  • Trostruki integrali

    1. Izračunaj trostruki integral .

    2

    0

    11

    1

    )4(2

    dzzdydxIx

    Rješenje:

    340

    3410)

    322(10)

    3(10)1(10

    10)28(2

    4)4(

    1

    1

    31

    1

    1

    1

    2

    11

    1

    1 1

    1

    2

    0

    2

    0

    1

    1

    22

    0

    111

    1 2222

    xxdxx

    dxydydxdyzzdxdzzdydxIxxxx

    2. Izračunaj trostruki integral G yxdxdydz

    1, gdje je G ograničena ravnima :

    a) x+y+z=1, x=0, y=0, z=0; b) x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4. Rješenja:

    a) G yxdxdydz

    1 x=0, y=0, z=0

    Skicirajmo oblast G (vidi sliku desno).

    x+y+z=1 1111

    zyx

    x= 0 je yOz ravan y= 0 je xOz ravan z= 0 je xOy ravan Odredimo projekciju oblasti na xOy ravan: Nacrtati sliku (uputa: pogledati xoy ravan sa slike desno). x+y+z=1 z= 0

  • x+y=1 z= 1-x-y

    yxzxy

    x

    101010

    Sa slike projekcije odredimo granice:

    21

    211

    2

    )1())1(1

    1(

    11

    11

    1

    0

    21

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    xx

    dxxdxydydxdyyxyx

    dx

    dyzyx

    dxdzyx

    dydxyx

    dxdydz

    xxx

    yx xyx

    x

    G

    b) G yxdxdydz

    1 x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.

    Skicirajmo oblast G (vidi sliku).

    dxxdxx

    dxxxttdtdx

    xtyxty

    dtdytyx

    yxdydx

    yxdyzdxdz

    yxdydx

    x

    x

    x

    x1

    0

    1

    0

    1

    0

    4

    1

    1

    0

    1

    0

    4

    1

    1

    0

    5

    2

    4

    2

    1

    0

    5

    2

    4

    2

    1

    0

    5

    2

    1ln24ln2

    1ln4ln2ln22

    4512

    1

    12

    11

  • Trostruki integrali.pdfRacunanje trostrukih integrala uvodjenjem sfernih i cilindricnih koordinata.pdf