RANGKUMAN BAB VII

SETENGAH PUTARANDisusun untuk memenuhi tugas mata Kuliah Geometri Transformasi Dosen Pengampu : Drs. Iwan Junaedi, M.Si

Disusun Oleh 1. Ana Wahyuni 2. Feri Sulistianingrum 3. Sri Hesti Wahyuningsih (4101406040) (4101406041) (4101406042)

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2009

BAB VII

SETENGAH PUTARANSetengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik. Definisi Sebuah setengah putaran pada suatu titik adalah suatu padanan didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : 1. Apabila 2. Setengah putaran adalah suatu transformasi Bukti: Akan dibuktikan Bijektif. Untuk membuktikan Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu Surjektif dan Injektif. 1) Akan dibuktikan Surjektif Untuk menunjukkan Ambil sebarang Surjektif, akan ditunjukkan maka sehingga titik tengah ruas garis yang .

Jadi, Jika maka A menjadi sumbu ruas garis Jadi, Surjektif 2) Akan dibuktikan Injektif Missal 3) 4) 5) 6) 7) Kasus I Untuk maka Untuk maka Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh

, berarti

..1*) 2*)

P'(-x,y) g

Y

P(x,y) X

A P''(-x,-y) 8) Kasus II Ambil sebarang h dan

9) 10) Sehingga 11) Andaikan 12) Karena Maka

13) Sehingga diperoleh dan 14) Menurut teorama, Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis 15) Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa 16) Pengandaian harus dibatalkan. 17) Jadi, 18) Jadi Injektif 19) Dari (1) dan (2) maka diperoleh Surjektif dan Injektif Karena Surjektif dan Injektif, maka Bijektif Karena Bijektif, maka adalah suatu transformasi. Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi. Teorema 7.1 Andaikan Maka sebuah titik, . dan dua garis tegak lurus yang berpotongan di . dan dua garis tegak lurus yang berpotongan di

Bukti : Diketahui sebuah titik, a) Kasus I : Karena

maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan sebagai sumbu Y. sebagai titik asal.

sebagai sumbu X dan Ambil titik Perhatikan Gambar 7.2

Ditunjukkan bahwa untuk setiap berlaku Andaikan dan Karena maka titik tengah sehingga

Diperoleh Artinya Komposisi pencerminan = = Artinya

dan (1)

(2) .

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Jadi, b) Kasus II : Menurut Definisi,

(1*) .(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh Jadi, Teorema 7.2 Jika dan dua garis yang tegak lurus maka .

.

Bukti a) Kasus I : Karena , maka . .

diperoleh Jadi, b) Kasus II : Karena , maka . .

Sehingga diperoleh Jadi, Teorema 7.3 Jika Bukti Andaikan dan setengah putaran, maka

. dengan

dua garis yang tegak lurus maka dan . .

titik potong antara

Karena Karena

dan

maka

. .

, maka menurut teorema 7.2, . .

Sedangkan menurut teorema 7.1, Sehingga diperoleh Jadi, . Teorema 7.4 Jika Bukti a) Kasus I : Misalkan diperoleh dan dan maka

.

maka

titik tengah

sehingga

Maka

dan

sehingga diperoleh ..(1*)

(2*) Dari persamaan (1*) dan (2*) maka Karena , maka Jadi, . b) Kasus II : Karena , maka artinya dan .

Jadi, 7.2 Lanjutan Setengah Putaran

.

Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan. Definisi refleksi atau pencerminan ialah 1. 2. M g ( A) = A, A g M g ( P ) = P'

, yang bersifat g adalah sumbu ruas garis PP '

Jelas bahwa A g yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi. Definisi A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya titik varian adalah P, sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = X dengan X P dan P titik tengah ruas garis XX ' .

Definisi Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi Definisi Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi jika untuk setiap garis g berlaku sifat Teorema 7.5 Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila .

Diketahui

: SA sebuah garis g, A g

Buktikan bahwa Bukti : Misal karena karena maka A titik tengah maka A titik tengah dengan dengan

Perhatikan Untuk membuktikan bahwa adalah kongruen. maka harus ditunjukkan

(sudut bertolak belakang) ( karena A titik tengah ) ( karena A titik tengah ) Menurut definisi kekongruenan (S Sd S) sehingga

Karena Karena Jadi, Contoh

maka maka

Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik tengah ruas garis XY . Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar A g, A h Ditanya Jawab : tentukan semua X g , Y h A titik tengah XY : Ambil P g Jika P ' = S A ( P ) maka g ' = S A ( g ) melalui P dan PA=AP, g//g Jika g memotong h di Y Tarik YA memotong g di X Maka X dan Y pasangan titik yang dicari Ilustrasi :

Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan g ' = S A ( g ) tapi h' ' = S A ( h ) apakah akan memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar A g, A h , Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan.

Bukti

:

Ambil Karena akan memotong karena di titik , sehingga , maka

Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong, Maka dan satu-satunya pasangan . sehingga jadi, dan satu-satunya pasangan. : garis g dan h tidak sejajar A g , A h , h' ' = S A ( h ) : Apakah ada pasangan lain yang memenuhi persyaratan selain X dan Y. Bukti :

Dipunyai Ditanya

Teorema 7.6 Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetap Bukti : Misal A, B V , A B Akan dibuktikan S A S B tidak memiliki titik tetap Misal g = AB h AB di A, k AB di B

Akan ditunjukkan S A S B = M h M k Karena S A = M g M h SB = M g M k ,

Maka S A S B =

( M M )( M M ) = [( M M ) M ]M = [ M M M ]M = [ M M M ]M = [ M ( M M )]Mg h g k g h g g h g g k k h h g

k

= ( M hI )M k = M hM k

g

g

k

Akan ditunjukkan S A S B tidak memiliki titik tetap Misal X titik varian S A S B

( )( ) Jadi S A S B (X) = X sehingga M h M k X = XJadi M h [ ( M h M k ) ]( X ) = M h ( X ) ... (1)

[ ( M h M h ) M k ]( X ) = M h ( X ) ...( 2)Dari (1) dan (2) diperoleh M h ( X ) = IM k ( X ) M h ( X ) = M k ( X )

( ) Misal M k X = X 1i) Kasus 1 ( X X 1 ) Misal X X 1 h k Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya memiliki satu sumbu maka h=k Hal ini tidak mungkin sebab A B ii) Kasus 2 ( X = X 1 ) Misal X = X 1 Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X Jadi X k , X h h, k berpotongan di X

Hal ini tidak mungkin sebab h//k Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga M h ( X ) = M k ( X ) atau S A S B ( X ) = X . Jadi, S A S B tidak memiliki titik tetap. Ilustrasi teorema 7.6

Teorema 7.7 Jika A B adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A pada B Bukti : Dipunyai A B Akan dibuktikan ST ( A) = B dengan T titik tengah ruas garis AB Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga S D ( A) = B dan SE ( A) = B Jadi S D ( A) = SE ( A)1 1 Maka S D [ S D ( A) ] = S D [ SE ( A) ]

Karena S-1D=SD maka A = S D [ SE ( A) ] Jadi jika D E , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari S D S E Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah ruas garis AB

Teorema 7.8 Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik Dipunyai titik P V Akan dibuktikan 1) g sebuah garis S P ( g ) // g 2) S P S P = I dengan I transformasi identitas Bukti : 1) Jelas SP(g) = g suatu garis. Misal A g , B g Maka A g ' , B g ' dan PA = PA, PB = PB Karena PA = PA, PB = PB, dan m( APB ) = m( A' PB ') sehingga

PAB PA' B (s sd s) Jelas m( B ' A' P ) = m( BAP ) Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi 2) Karena S p S p ( A) = S p ( A') = A , maka A g S P S P ( g ) = I ( g )

Jadi, S P S P = I . Hal ini berarti SP bersifat involuntorik Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat involuntorik. Atau dengan kata lain suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik. Ilustrasi :

Teorema 7.9 Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik,1 maka A T ( H ) T ( A) H

Bukti

:

Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik1 Akan dibuktikan A T ( H ) T ( A) H

( )

Ambil A T ( H ) Jadi X H A = T ( X )1 1 1 maka T ( A) = T [T ( X ) ] = T T ( X ) = I ( X ) = X 1 Jadi, T ( A) H

(

)

( )

1 Ambil T ( A) H

1 Hal ini berarti T T ( A) T ( H ) atau A T( H )

[

]

Contoh : Dipunyai :

E = ( x, y ) x 2 + 4 y 2 = 16

{

}

Misal A = (4,-3) dan C = (3,1) g adalah sumbu X Ditanya Jawabg

: Selidiki apakah :1 c

A M g Sc ( E )

(M S ) JelasJelas

= S 1c M 1g = Sc M g

Ambil P = (x,y) P = ( x, y ) M g ( P ) = ( x, y )

( ) (( ) ( ) ) ( ) Jelas Sc P = 2.3 x, 2.1 y = 6 x,2 y

Jadi

( M S ) ( P ) = S M ( P ) = S ( x, y ) = ( 6 x, 2 + y )1 g c c g c

Sehingga Karena Jadi,

( M S ) ( A) = ( M S ) ( 4,3) = ( 6 4,2 3) = ( 2,1)1 1 g c g c 1 g c

( M S ) ( A) = ( 2,1) E

A ( M g Sc )( E )

maka berarti bahwa

A ( M g Sc )( E )

Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan apabila persamaan himpunan tela diketahui.1 Menurut teorema 7.9, A T ( H ) T ( A) H . Jika

transformasi T adalah

M g Sc ( E )

dengan1

E = ( x, y ) x 2 + 4 y 2 = 16

{

},

maka

P M g Sc ( E ) ( M g Sc )

( P ) E . Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan1

( M g Sc ) sebelumnya, jika P = ( x, y ) maka1 g c

( P ) = ( 6 x, 2 + y )2

( M S ) ( P ) E ( 6 x,2 + y ) {( x, y ) x Jadi,Jadi haruslah ( 6 x ) + 4( 2 + y ) = 162 2

+ 4 y 2 = 16

}}

Hal ini berarti bahwa

P M g Sc ( E ) P( x, y ) x 2 + 4 y 2 12 x + 16 y + 36 = 0

{

2 2 Sehingga diperoleh fakta bahwa x + 4 y 12 x + 16 y + 36 = 0 adalah persamaan

peta E oleh transformasi

M g Sc

.

Latihan Soal halaman 68 1. Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda. Lukis : a.

SASBP

A AA A P P

A SBSAP SAP B B B

SAP SAP B B

R

R

P P P

Lukisan : a.

b.

c.

d.

e.

= = SA2(P)

2. Diket

: garis

dan titik ,

Ditanya : a) Lukisan garis sebuah garis? b) Buktikan bahwa Jawab : a. . dan mengapa

Karena sebuah garis, maka (isometri). b. Bukti : karena g karena

juga merupakan sebuah garis

maka A titik tengah maka A titik tengah

dengan dengan

Perhatikan Untuk membuktikan bahwa adalah kongruen. ( karena A titik tengah ( karena A titik tengah

maka harus ditunjukkan (sudut bertolak belakang) ) )

W

Z

B

X

Y K

C

B

A

A

C Menurut definisi kekongruenan (S Sd S) sehingga Karena maka Karena maka

3. Diket :

dan jajargenjang

, K terletak diluar daerah

dan diluar jajargenjang Ditanya : a) Lukisan 4. Titik J Jawab : a) Lukisan

b)

5. Diket : titik-titik A, B, C tak segaris Lukis : Garis Garis dan sehingga MgB=B dan dan

dan sehingga Lukisan : a) dan

b) 6. Diket : A = (2,3) Ditanya:

dan

a. SA( C ) apabila C = (2,3) b. SA( D ) apabila D = (-2,7) c. SA( E ) apabila E= (4,-1) d. SA( P ) apabila P = (x,y) Jawab: a. C = (2,3) SA( C ) = (2.2 - 2, 2.3 - 3) = (2,3) b. D = (-2,7) SA( D ) = (2.2-(-2), 2.3-7) = (6,-1) c. E= (4,-1) SA( E ) = (2.2-4, 2.3-(-1)) = (0,7) d. P = (x,y) SA( P ) = (2.2-x, 2.3-y) = (4-x, 6-y) 7. Diket Tentukan : B = (1, -3) : a. SB(D) apabila D (-3, 4) b. E apabila SB(E) = (-2, 5) c. SB(P) apabila P = (x, y)

Jawab a. D (-3, 4)

: SB(D) = (2.1-(-3), 2.(-3)-4) = (5, -10)

b. SB(E) = (-2, 5) Misal E = (x, y) Maka, 2.1 - x = -2 2 x = -2 c. P= (x, y) SB(P) = (2.1- x, 2.(-3) - y) = (2 - x, - 6 - y) 8. Diket : D = (0, -3) dan B = (2, 6) a. SB(B) = (2.2 - 2, 2.6 - 6) = (2, 6) SDSB(B) = SD(2,6) = (2.0 - 2, 2.(-3) 6) = (-2, -12) b. K = (1, -4) SB(K) = (2.2-1, 2.6 - (-4) = (3, 16) SDSB(K) = SD(3,16) = (2.0 - 3, 2.(-3) - 16) = (-3, -22) c. SD(K) = (2.0 - 1, 2.(-3) - (-4)) = (-1, -2) SBSD(K) =SB(-1, -2) = (2.2 - (-1), 2.6 - (-2)) = (5, 14) x=4 jadi, E = (4, -11) 2.(-3) - y = 5 -6 - y = 5 y = -11

d. Menurut teorema 7.3 jika SA setengah putaran, maka S-1A = SA maka, SD-1 (K) = SD(K) = (-1,-2) Dan, SB-1(K) = SB(K) Sehingga, (SDSB)-1 (K) = SB-1SD-1 (K) = SB-1(-1, -2) = SB(-1, -2) = (2.2 - (-1), 2.6 - (-2)) = (5, 14) e. P = (x, y) SB(P) = (2.2 x, 2.6 y) = (4 x, 12 y) SDSB(P) = SD(4 x, 12 y) = (2.0 (4 x), 2.(-3) (12 y)) = ( - 4 + x, - 6 12 + y) =(x - 4, y - 18) 9. Diket :

Tentukan : a. jika Jawab a. , apakah : ?

b.

c. Berdasarkan teorema 7.3 dan 6.3 diperoleh dan , sehingga diperoleh

10. a. Misal

Karena

sehingga

dan

Sehingga Jadi b. Misal

Karena maka diperoleh

dan

SB S B ( P) A A

Karena Maka Jadi dapat ditarik suatu akibat yaitu

c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. 11. a) Jawab

Karena diperoleh

maka

dan

Sehingga Jadi Dipunyai : = S A ( 2c x,2d y ) : A B, S A S B = S B S A

Ditanya

: selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Ambil A( a, b ) V , B( c, d ) V , P ( x, y ) = ( 2a ( 2c x ) ,2b ( 2d y ) ) = ( 2a 2c + x,2b 2d + y ) = S B ( 2a x,2b y )

...(1)

= ( 2c ( 2a x ) ,2d ( 2b y ) ) = ( 2c 2a + x,2d 2b + y ) = ( 2a + 2c + x,2b + 2d + y ) Dari (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa

...( 2 )

( 2a 2c + x,2b 2d + y ) ( 2a + 2c + x,2b + 2d + y )S ASB SB S A Jadi, A B, S A S B = S B S A merupakan pernyataan yang salah b) Dipunyai Ditanya Jawab Menurut definisi : setiap setengah putaran adalah suatu isometric : selidiki apakah pernyataan tersebut benar : suatu transformasi isometric langsung apabila langsung

transformasi itu mengawetkan orientasi. Ambil tiga titik tak segaris A( a, b ) , B( c, d ) , C ( e, f ) dan tiga titik tersebut membentuk segitiga ABC Akan ditunjukan ABC orientasinya sama dengan ABC dengan A=T(A),B=T(B), C=T(C) Misal P(x,y) titik pusat setengah putaran

c)

Dipunyai Ditanya Jawab :

: g h S ASB ( g ) S ASB ( h) : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

d)

Dipunyai Ditanya Jawab :

: A1 = S B ( A) , B1 = S A ( B ) A1 B1 = 2 AB : selidiki apakah pernyataan tersebut benar

Ambil A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) AB =

( x1 x2 ) 2 + ( y1 y2 ) 2

B1 = S A ( B ) = S A ( x2 , y2 ) = ( 2 x1 x2 ,2 y1 y2 )

A1 = S B ( A) = S B ( x1 , y1 ) = ( 2 x2 x1 ,2 y2 y1 )

A1B1 = = =

( ( 2 x2 x1 ) ( 2 x1 x2 ) ) 2 + ( ( 2 y2 y1 ) ( 2 y1 y2 ) ) 2 ( 2 x2 x1 2 x1 + x2 ) 2 + ( 2 y2 y1 2 y1 + y2 ) 2 ( 3x2 3x1 ) 2 + ( 3 y2 3 y1 ) 22 2

= 9( x2 x1 ) + 9( y2 y1 ) =3

( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2

= 3 AB Jadi, A1 = S B ( A) , B1 = S A ( B ) A1B1 = 3 AB Jadi, A1 = S B ( A) , B1 = S A ( B ) A1 B1 = 2 AB merupakan pernyataan salah : A g, P g, A P S A ( g ) = g, S A ( P) = P : selidiki apakah pernyataan tersebut benar :

e)

Dipunyai Ditanya Jawab Jelas AP g

Ambil A(a,b), P(x,y) Akan ditunjukan bahwa S A ( g ) = g , S A ( P ) = P Jadi, S A ( P ) P( x, y ) S A ( P ) = ( 2a x,2b y ) = P' g

Karena A g , maka S A ( A) = A g , S A ( P ) = P ' g S A ( g ) = g Jadi, salah. A g, P g, A P S A ( g ) = g, S A ( P) = P merupakan pernyataan

11. Diket: Ditanya: Tentukan persamaan garis-garis dan Jawab: dan sehingga

misal

titik potong dan ada di titik potong dan Sehingga dan Persamaaan garis

melalui

dan

Karena

dan dan bergradien -1

Jadi 13. Diketahui : titik A, B V , garis g Titik R,S,T berbeda dan tak segaris sehingga ganda (R,S,T) memiliki orientasi positif Ditanya transformasi : a. SA b. SA SB c. MgSA d. SAMgSB e. S-1A f. (MgSB)-1 Selesaian : : Apakah dapat dikatakan tentang peta ganda tersebut oleh

14. Diketahui:tiga titik A, B, C

Buktikan: Bukti: Adb Menurut teorema 7.3 Jadi Karena Maka Jadi, terbukti bahwa 15. Diketahui : MgSA, MgSAMh, SAMh,SB, T-1SA dengan T suatu transformasi sebarang Ditanya Selesaian a) b) c) : tentukan dan sederhanakan balikannya :1 1 1 1 1

(M (M

g

S A ) = S A M g = S AM g = M h M g M g = M h I = M h S AM h ) = ( M g M h S A ) = ( S AS A ) = S A S A = S AS A = I1 1 1 1 1 1

g

( S A M h S B ) 1 = ( ( S A M h ) S B ) 1 = S B 1 ( S A M h ) 1 = S B 1M h 1S A1 = S B M h 1S A S B M h 1S A = S B M h1M h M g = S B M g

( S A M h S B ) 1 = S B M g Jadi,

(T

1

SA

)

1

= S A T 1

1

( )

1

= S AT

16. a.

Apabila A=(0,0), B=(-4,1), tentukanlah K sehinga

Apabila koordinat R Penyelesaian: f. Diket

, nyatakan kootdinat P dengan koordinat-

: A=(0,0), B=(-4,1)

Ditanya : tentukanlah K sehinga

Jawab

: Misal

Jadi,

g. Diket R Jawab :

:

Ditanya : nyatakan kootdinat P dengan koordinat-koordinat

17. Diket: Titik Garis Garis Ditanya: a. Persamaan Persamaan Persamaan Apakah titik Jawab: ? terletak pada ? jelaskan ! ?

a. Ambil titik

Maka

Menurut teorema 7.5 maka sehingga jadi, persamaan melalui dengan =2

Jadi, b. Kasus I Ambil titik

Maka

Menurut teorema 7.5 maka sehingga jadi, persamaan melalui

dengan

Jadi, Kasus II Ambil titik

Maka

Menurut teorema 7.5 maka sehingga jadi, persamaan melalui

dengan

Jadi,

c. Sumbu Ambil titik Maka Sehingga Karena Persamaan himpunan melalui Jadi, persamaan himpunan d. adalah dan

dengan

Jadi 18. Diket:

tidak terletak pada

Ditanya: Apakah Jawab:

?

dengan pusat

dan berjari-jari 2

adalah lingkaran dengan pusat Sehingga

, jari-jari 2

Jadi Jadi, Jika Maka

adalah pusat lingkaran

Jadi, 20. Diket :

g'=SA??B(g) B

A g Ditanya : Jawab: Ambil sebarang titik Misal ?

SB(g)

Jadi, Tugas halaman 74 1. Diketahui Lukis : a. Garis Garis Lukisan : a. : titik A dan B, garis

SB(k) g=SASB(k) A A

h B ???

k

b. Garis

c. Garis

2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis g dan h. Lukis : a. Lukisan : a.

g

b. 3. Diketahui : Ditanya : a. apakah 4. persamaan Jawab : dan

a. Karena dan maka menurut teorema 7.5, maka harus dicari .

Untuk mengetahui apakah lalu diselidiki apakah Menurut teorema 7.4 maka

Maka diperoleh Substitusikan nilai dan Diperoleh Karena

ke persamaan maka maka dan diambil

tidak memenuhi persamaan

b. Untuk menentukan persamaan salah satu titik Maka , misalnya

maka dihitung gradien

Karena

dan maka gradient

maka adalah maka gradien

.

sehingga //g'

gradien

Jadi, persamaan garis

adalah

. dan

5. Diketahui : Ditanya : a. 6. Persamaan 7. Persamaan Jawab : a. Untuk menentukan maka diambil titik

sehingga

b. Substitusikan pada persamaan maka

Maka Karena dan maka menurut teorema 7.4 maka

Sehingga diperoleh c. Untuk menentukan persamaan Karena gradien maka gradien adalah

maka harus ditentukan gradien sehingga gradien

maka menurut teorema 7.5

sehingga gradien

Berdasarkan jawaban soal a, maka Sehingga persamaan adalah

Jadi, persamaan d.

adalah maka

. sehingga artinya yaitu . dan titik sehingga diperoleh

Menurut teorema 7.3 Dari jawaban soal b, maka persamaan persamaan Jadi, persamaan adalah

8. Diketahui : kurva

Ditanya : a. Apakah 9. Persamaan kurva Jawab : a. Untuk menyelidiki apakah dihitung Misalkan sehingga menurut teorema 7.4 diperoleh maka harus

Maka Substitusikan ke persamaan diperoleh memenuhi persamaan maka Karena dan maka Jadi, b. Untuk menentukan persamaan maka harus ditentukan koordinat titik puncak kurva Karena fokus kurva Misalkan titik puncak teorema 7.4, Karena titik puncak adalah adalah titik maka sehingga menurut maka titik puncak adalah dan titik

dan maka adalah

maka titik puncak maka

dan karena .

adalah

Misalkan titik fokus teorema 7.4,

sehingga menurut

Karena

dan

maka

dan karena

adalah titik

fokus

maka

titik fokus adalah adalah

Sehingga diperoleh titik puncak adalah dan titik puncak maka kurva menghadap ke bawah sehingga persamaan kurva

Jadi, persamaan kurva

adalah

.

6. Diketahui : Ditanya Selesaian

k = ( x, y ) y = 1 , A( 2,0 ) , g = {( x, y ) y = 0}, C ( x,6 ) , k ' = M g S A ( k ) x : a) nilai x sehingga C k ' ; b) persamaan k ' :

{

}

a) Ambil P(m,n) M g S A ( P ) = M g S A ( m, n ) = M g ( 2( 2) m, n ) = M g ( 4 m,n ) = ( 4 m, n ) Hal ini berarti bahwa 1 1 1 1 M g S A ( k ) = M g S A x, = M g 2( 2 ) x, = M g 4 x, = 4 x, x x x x Maka yc = 1 1 1 23 =6 x= xc = 4 = x 6, 6 6

23 Jadi, nilai x sehingga C k ' adalah 6 b) Misal D k ' 1 D = 4 1, = ( 3,1) k ' 1 Untuk nilai x = 1, maka Maka untuk mencari persaman k ' dapat diperoleh dari dua titik yaitu C ( 23 ,6) dan D( 3,1) 6

y y1 x x1 = y2 y1 x2 x1 23 y6 6 = 1 6 3 23 6 6 x 23 y6 6 = 18 23 5 6 y 6 6 x 23 = 5 5 y 6 = 6 x 23 y = 6 x 17 x

7. Diketahui : Q titik tengah PR Ditanya Bukti : Ambil A(x,y), P(a,b), R(c,d), Q(e,f) Karena Q titik tengah PR , maka e =1 2

: Buktikan bahwa

SQ S P = S R SQ

( a c), f

=

1 2

(b d )

SQ S P ( A) = SQ S P ( x, y ) = SQ ( 2a x,2b y ) = ( 2( 1 ) ( a c ) ( 2a x ) ,2( 1 ) ( b d ) ( 2b y ) ) 2 2 = ( a c + x , b d + y ) a. S R SQ ( A) = S R SQ ( x, y ) = S R ( 2( 1 ) ( a c ) x,2( 1 ) ( b d ) y ) = ( 2c a + c + x,2d b + d + y ) 2 2 = ( a + 3c + x,b + 3d + y ) Nilai Persamaan Jawab : a. Untuk menyelidiki apakah diambil b. Untuk mencari persamaan maka maka harus

8. Diketahui :

Ditanya : persamaan garis c. Jawab : Ambil titik d. Maka e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. Karena Maka Mencari titik potong garis dan garis : : Titik potong garis dan garis adalah

Maka, Jadi, titik potong garis

dan garis

adalah di

q. Karena r. Maka s. Sehingga garis t. u. v. w. x. y. z. Jadi persamaan aa. Ambil titik bb. Maka cc. dd. ee. Karena ff. Atau

melalui titik

dan titik

gg. Maka hh. Sehingga ii. jj. kk. ll. mm. nn. Jadi persamaan garis oo. 9.a)Diketahui : garis g dan h Ditanya titik tetap Bukti : Misal A' ' = A Jelas M g M h ( A) = M g ( A') = A' ' .

: buktikan jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki

M M ( A) A' Karena g//h maka A' ' A sehingga g h Hal ini sebuah kontradiksi Maka pengandaian harus dibatalkan. Karena menurut definisi A dinamakan titik tetap transformasi T apabila berlaku T(A)=A dan sebuah setengah putar SA hanya memiliki satu titik tetap yaitu A, sedangkan jika g//h diperoleh fakta bahwa M g M h ( A) S A M g M h ( A) A' dan

maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap.

Jadi, jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap. 9.b)Diketahui : garis g, titik A g Ditanya Bukti : : buktikan SAMg tidak memiliki titik tetap

10. Diketahui : diluar daerah Tentukan semua pasangan titik titik tengah Jawab: ? dan

, garis . dengan

dan sebuah titik

sehingga

11. Diketahui

: lingkaran

dan

. Salah satu titik

potongnya adalah . dan Ditanya Jawab : : Lukisan ruas garis sehingga A titik tengah ruas garis ?

Jelaskan lukisan tersebut?

A titik tengah

, berarti 12. Jadi, atau lingkaran pertama sama dengan lingkaran kedua. 13. Diketahui: titik dan garis

Ditanya : a. Buktikan bahwa transformasi refleksi ini? b. Jika tegak lurus buktikan bahwa Jawab : di titik dan ? tegak lurus di titik B, adalah sebuah refleksi

pada suatu garis dan garis mana yang menjadi sumbu

a. Ambil sebarang titik Diperoleh Tarik garis yang melalui A

Tarik garis yang memotong garis dititik B, sehingga Lihat (berhimpit) (Refleksi) (Siku-Siku) Berdasarkan teorema kekongruenan (S, Sd, S) Sehingga dapat disimpulkan Salah satu akibatnya Lihat (berhimpit) (setengah putaran)

Karena , maka Berdasarkan teorema kekongruenan (S, S, S) Maka dapat disimpulkan Akibatnya Karena O merupakan titik tengah , maka merupakan refleksi dari P dengan sumbu refleksi adalah garis yang melalui titik . Jadi, merupakan sebuah refleksi pada suatu garis, dan garis itu adalah garis yang melalui A tegak lurus dengan b. Ambil garis tegak lurus di titik dan tegak lurus di titik . Adb

Menurut teorema 7.1 : andaikan A sebuah titik, dan tegak lurus yang berpotongan di A, maka Maka Sehingga Karena Sehingga Jadi terbukti bahwa 14. Diketahui : Ditanya: a. Pilih sebuah titik ! b. Jika titik tengah , lukislah c. Perhatikan hubungan antara dan kita mengenai jenis transformasi Jawab: a. dan lukislah titik tak segaris , maka diperoleh: dan

dua garis

! . Apakah dugaan ?

b. d. Karena maka transformasi merupakan transformasi identitas.

15. Diketahui :

e. Diketahui : Ditanya : a) jika

b) jika c) Apa yang dapat kami katakan tentang Jawab : a) Menurut teorema 7.4 maka

d) e) f) g) h) i) Jadi, b) Menurut teorema 7.4 maka

j) k) l) m) n) o) Jadi, c) Karena Maka persamaan : dan

Karena

dan

Untuk tidak membuat rancu, dimisalkan titik dan Maka persamaan :

Karena Maka persamaan

:

Dari persamaanpersamaan di atas, dapat dikatakan bahwa persamaan dan mempunyai gradien yang sama, yaitu 16. Buktikan : Diketahui : Lukis : di dalam dan sebuah titik , sebuah yang kelilingnya paling pendek