Fenomene de Transfer 1 Subteran

8/13/2019 Fenomene de Transfer 1 Subteran

1/152

Lucian Gavril

FENOMENE

DE

TRANSFER

Vol. ITRANSFER DE IMPULS

Editura ALMA MATER

Bacu 2000


2/152

Copyright 1999 Lucian Gavril

Toate drepturile rezervate. Nici o parte a acestei lucrri nu poate fireprodus sau transmis sub nici o form i prin nici un fel de mijloc electronic sau mecanic inclusiv prin fotocopiere, nregistrare magneticsauprin alt sistem de stocare i redare a informaiei, frpermisiunea scris adeintorului de Copyright.

Refereni tiinifici:

Prof. dr. ing. STELIAN PETRESCU, Facultatea de ChimieIndustrial, Universitatea TehnicGh. Asachi Iai

Prof. dr. ing. ABDELKRIM AZZOUZ, Facultatea de Inginerie,Universitatea Bacu

Lucrarea FENOMENE DE TRANSFER a fost discutati avizatn cadrul Catedrei de Chimia i Tehnologia Produselor Alimentare Facultatea de Inginerie, Universitatea Bacu.

Tehnoredactare computerizat, grafica i coperta:Lucian Gavril

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale

GAVRILLUCIANFenomene de transfer/Lucian Gavril.-Bacu: Alma Mater, 2000-3 vol.: cm. 18,2 x 25,7ISBN 973-99487-6-6Vol. I; Transfer de impuls.-2000,-p.151.- bibliogr.-ISBN 973-99487-7-4

CZU 532.5

ISBN 973-99487-6-6 (Fenomene de transfer vol. I-III)

ISBN 973-99487-7-4 (Fenomene de transfer vol. I: Transfer de impuls)


3/152

III

CUVNT NAINTE

Lucrarea de fa, prevzutsaparn trei volume, are la bazprelegeriledin cadrul cursului de FENOMENE DE TRANSFERpredat studenilor din anulIII ingineri, cursuri de zi, specializarea Tehnologia i Controlul Calitii Produselor

Alimentare.Disciplina FENOMENE DE TRANSFER a fost introdus n planul de

nvmnt al specializrii TCCPA cu scopul de a pregti terenul pentrudisciplinele care asigurviitorilor specialiti din industria alimentaraprofundareacunotinelor n domeniul ingineriei proceselor fizice, chimice i biochimice.

Plasat temporal dupstudiul calculului diferenial i integral, al fizicii i alchimiei fizice, i nainte de studiul operaiilor unitare, aparatelor, utilajelor itehnologiilor din industria alimentar, cursul de FENOMENE DE TRANSFERreprezintprimul contact pe care studenii l au cu ingineria chimic(ne place saunu, inginerul de industrie alimentareste i va rmne probabil, un inginer chimistspecializat n domeniul cercetrii, conceperii, producerii, prelucrrii, dezvoltrii ioptimizrii produselor alimentare).

Acest curs are rolul de a introduce noiunile de baz referitoare latransferul i transportul de proprietate: impuls (moment, cantitate de micare),energie (cldur), mas. Abordarea ntr-o concepie unitar a fenomenelor detransfer permite ulterior un studiu sistematic al operaiilor unitare din industriaalimentar i al proceselor de transformare, chimice sau biochimice, suferite demateriile prime n procesele tehnologice de prelucrare pn la produse alimentaresau conexe.

Lucrarea a fost structuratn trei volume:

Volumul Iconine noiunile de bazreferitoare la analiza dimensionaliteoria similitudinii precum i problematica transferului de impuls: noiuni dereologie, tipuri de fluide, statica i dinamica fluidelor, curgeri n sisteme omogenei eterogene.

Volumul II trateazproblemele legate de transferul termic, transferul demas, precum i analogia dintre fenomenele de transfer. n final se fac o serie dereferiri la posibilitile de intensificare a proceselor de transfer.


4/152

IV

Volumul III vine n completarea primelor doucu o selecie de aplicaiipractice, parte rezolvate integral, parte propuse ca exerciiu pentru seminarii ipregtirea individual a studenilor. Aplicaiile practice completeaz iaprofundeaz latura teoretic a expunerii, rezolvarea lor familiarizndu-i pestudeni cu calculele de ingineria proceselor fizice i chimice.

Avnd n vedere publicul cruia i este destinatlucrarea, s-au accentuat oserie de subiecte (proprieti reologice ale corpurilor, fluide nenewtoniene icomportarea specifica acestora n curgere i n procesele de transfer de clduride mas), n detrimentul unor subiecte de interes mai restrns. Nefiind vorba despre

o lucrare de cercetare tiinific, citarea n text a surselor bibliografice primare afost intenionat neglijat, preferndu-se enumerarea, la sfritul fiecrui capitol, aunor lucrri de referin pe baza crora se poate aprofunda tematica abordat nrespectivul capitol.

Dei este dedicat n primul rnd studenilor care se specializeaz ningineria produselor alimentare, lucrarea este util i studenilor de la altespecializri din domeniul ingineriei chimice i biochimice, precum i studenilor dela seciile de utilaj tehnologic n industrii de proces.

Convins fiind de imperfeciunea lucrrii, dar i de faptul c o ediieulterioar ar putea fi mult mbuntit, autorul rmne deschis oricror sugestiireferitoare la subiectele abordate i la modul de tratare al acestora.

Septembrie 1999, Bacu dr. ing. Lucian Gavril


5/152

V

CUPRINS

1. INTRODUCERE 1

2. SIMILITUDINE I ANALIZDIMENSIONAL 62.1. Verificarea ecuaiilor pe baza omogenitii dimensionale 6

2.2. Stabilirea formei generale a ecuaiilor 7

2.3. Teorema a lui Buckingham 9

2.4. Deducerea ecuaiilor criteriale din ecuaiile difereniale ale

fenomenelor 122.5. Similitudine i modele 15

2.6. Criterii de similitudine 16

2.7. Ecuaii criteriale 17

2.8. Modele. Similitudine completi parial 17

2.9. Avantaje i limitri n utilizarea criteriilor de similitudine 20

2.10. Bibliografie recomandatpentru aprofundare 21

3. TRANSFERUL DE IMPULS 22

3.1. Noiuni generale despre fluide. Elemente de reologie 22

3.1.1. Proprieti reologice fundamentale 23

3.1.2. Tipuri de solicitri. Parametrii solicitrii 24

3.1.3. Corpuri cu proprieti unitare i comportare ideal 27

3.1.3.1. Solidul lui Hooke 27

3.1.3.2. Fluidul lui Newton 28

3.1.3.3. Plasticul lui St. Venant 30

3.1.4. Fluide cu comportare nenewtonian 33

3.1.4.1. Clasificarea fluidelor nenewtoniene 34

3.1.4.2. Fluide viscoase nenewtoniene 35

3.1.4.3. Fluide viscoelastice 38

3.1.4.4. Fluide viscoplastice 39

3.1.5. Reprezentarea generalizata comportrii reologice a fluidelor 42

3.2. Statica fluidelor 44

3.2.1. Fore care acioneazn fluide 44

3.2.1.1. Fore de mas 443.2.1.2. Fore de suprafa 44

3.2.2. Presiunea static 45

3.2.3. Ecuaia fundamentala staticii fluidelor 47

3.2.4. Fluide n echilibru absolut 49

3.2.4.1. Echilibrul absolut al fluidelor n cmpul de fore gravitaional 49

3.2.4.2. Principiul lui Arhimede. Fora de plutire 50

3.2.5. Fluide n echilibru relativ 51


6/152

VI

3.2.5.1. Echilibrul relativ al lichidelor n cmp gravitaional 513.2.5.2. Echilibrul relativ al lichidelor aflate n micare de rotaie

uniform 52

3.2.6. Fore de presiune hidrostatic 55

3.3. Dinamica fluidelor 58

3.3.1. Noiuni i mrimi caracteristice micrii fluidelor 58

3.3.2. Clasificarea micrii fluidelor 61

3.3.3. Stratul limit 65

3.3.4. Ecuaii de conservare n curgerea fluidelor 68

3.3.4.1. Ecuaiile de conservare a masei 68

3.3.4.2. Ecuaiile de conservare a impulsului 71

3.3.4.3. Ecuaiile de conservare a energiei 75

3.4. Curgerea n sisteme omogene 783.4.1. Frecarea i cderea de presiune 78

3.4.1.1. Coeficientul cderii de presiune prin frecare 80

3.4.1.2. Coeficientul cderii de presiune prin rezistene locale 84

3.4.1.3. Curgerea fluidelor compresibile 86

3.4.2. Curgerea prin conducte 89

3.4.2.1. Curgerea fluidelor newtoniene 89

3.4.2.2. Curgerea fluidelor nenewtoniene 93

3.4.3. Curgerea cu suprafaliber 97

3.4.3.1. Curgerea prin canale 98

3.4.3.2. Curgerea pelicular 100

3.4.4. Curgerea prin orificii, ajutaje, baraje, deversoare, preaplinuri 103

3.4.4.1. Orificii 103

3.4.4.2. Ajutaje 105

3.4.4.3. Baraje 106

3.4.4.4. Deversoare 108

3.5. Curgerea n sisteme eterogene 108

3.5.1. Curgerea bifazicsub presiune 109

3.5.2. Curgerea peste corpuri solide 112

3.5.2.1. Curgerea unui fluid peste corpuri solide imersate 112

3.5.2.2. Micarea particulelor solide printr-un fluid 114

3.5.3. Curgerea prin straturi granulare i umpluturi 120

3.5.3.1. Umpluturi i corpuri de umplere 120

3.5.3.2. Proprietile sistemelor granulare 1263.5.3.3. Straturi granulare strbtute de un singur fluid 130

3.5.3.4. Straturi granulare strbtute de doufluide 137

3.5.4. Curgerea peste fascicule de evi 140

3.6. Bibliografie recomandatpentru aprofundare 144


7/152

INTRODUCERE

1

1. INTRODUCERE

Industriile de proces (industria chimic, industria petrochimic,industria metalurgic, industria alimentar, industria farmaceutic, industriacelulozei i hrtiei, etc.) sunt industrii bazate pe procese tehnologice nurma crora materiile prime (naturale, artificiale sau sintetice) sunttransformate, printr-o succesiune de procese mecanice, fizice, chimice i

biochimice, n produse finite comercializabile sau n semifabricate utilizatedrept materii prime n alte ramuri prelucrtoare. Un proces tehnologic, orictde complex, poate fi descompus ntr-o succesiune de procese componentedistincte, n care materialele intrate sufer modificri de form i/saudimensiuni (procese mecanice), de presiune, temperatur, concentraie, starede agregare (procese fizice), sau de specii moleculare (procese chimice i

biochimice). Procesele mecanice, fizice, chimice (biochimice) componenteau loc n utilaje denumite respectiv maini, aparate, reactoare (bioreactoare).Ordonarea liniar reprezentat grafic sau numai mental, a proceselor(operaiilor) de la intrarea n sistem a materiilor prime i pnla ieirea dinsistem a produselor finite poart denumirea de flux tehnologic.Reprezentarea grafica proceselor care alctuiesc fluxul tehnologic poartdenumirea de schemtehnologic(schembloc)a procesului tehnologic.

Fig. 1.1. Schema bloc a unui proces tehnologic

Aceasta (fig. 1.1) are la bazprincipiul cutiei negre, fiecare procesfiind reprezentat printr-un dreptunghi n care intri din care ies fluxuri demateriale i/sau energie. Dacn locul proceselor componente sunt schiateutilajele cu care se realizeaz operaiile procesului tehnologic, se obineschema instalaiei sauschia tehnologic a instalaiei. n aceasta, utilajelesunt reprezentate fie prin simboluri convenionale (fig. 1.2), fie prin formalor caracteristic simplificat. Nu exist reguli generale pentru alctuireaunei schie tehnologice: n unele cazuri se prefer schie simple, n altele,dimpotriv, schia trebuie s fie ct mai complet, coninnd i valorile

Materieprim1

Materieprim2

PROCESMECANIC 1

PROCESMECANIC 2

PROCESFIZIC 1

PROCES

(BIO)CHIMIC

PROCESFIZIC 2

PROCESFIZIC 3

PROCESMECANIC 3

PRODUS FINIT


8/152

FENOMENE DE TRANSFER

2

prescrise ale parametrilor tehnologici principali (debite, concentraii,

temperaturi, presiuni), respectiv regimul tehnological instalaiei schiate.

Fig. 1.2. Simboluri convenionale utilizate n schiele tehnologice

n fig. 1.3. este redat schema bloc a procesului de obinere aconcentratelor proteice din zer, iar n fig. 1.4 este redatschema instalaiei

de obinere a proteinelor din zer prin procedeul Centri-Whey (Alfa-Laval).Analiznd schemele din fig. 1.3 i 1.4, se pot observa urmtoarele:

ntr-un proces tehnologic exist relativ puine procese chimice(biochimice) majoritatea proceselor fiind de naturfizicsau mecanic;

puine operaii sunt strict specifice unui anumit proces tehnologic (ex:tierea tieilor de sfeclla fabricarea zahrului);

pompacentrifuga compresor

decantorcentrifugafiltranta

filtru electricpreincalzitor racitor schimbator de caldura

cu fascicul tubular

evaporator coloana cu umplutura vas cu agitator


9/152

INTRODUCERE

3

Reglare pH

Incalzire directacu abur Reglare pH

Racire

Centrifugare

Concentrare

Uscare

ZER

CONCENTRAT PROTEIC

Sol.reziduala

Fig. 1.3. Schema bloc a procesului de obinere a concentratelor

proteice din zer

Fig. 1.4. Schema instalaiei de obinere a proteinelor din zer prin

procedeul Centri-Whey (Alfa-Laval)marea majoritate a proceselor fizice i mecanice sunt comune multor

procese tehnologice asemntoare sau total diferite (ex: filtrarea,centrifugarea, concentrarea, uscarea, etc. ntlnim procesul deconcentrare prin evaporare att n procesul de fabricare a zahruluidar i n tehnologia fabricrii acidului fosforic, a unor ngrminteminerale (azotat de amoniu, uree) n procesele de recuperare a

sulfatului de amoniu de la fabricarea caprolactamei, n procesele de

Zer

Abur

CONCENTRATPROTEIC

1

2 2 2

3

4 4

5

6 7

1 - rezervor intermediar; 2 - schimbator de caldura cu placi; 3 - injector; 4 - celulatubulara de mentinere; 5 - rezervor de acid; 6 - clarificator centrifugal; 7 - rezervor


10/152


4

regenerare a leiilor reziduale de la fabricarea celulozei, n unele

procese hidrometalurgice, la fabricarea hidroxidului de sodiu, ntehnologia srurilor minerale, n fabricarea medicamentelor etc.);exist puine utilaje specifice unui singur proces tehnologic ( ex:tietoare de sfecl, cojitoare de lemn), majoritatea utilajelor intrnd ncomponena instalaiilor multor procese tehnologice (ex: filtre,evaporatoare, schimbtoare de cldur, usctoare, coloane de distilare,etc.).

Cele cteva zeci de operaii unitare care alctuiesc mareamajoritate a fazelor proceselor tehnologice din industriile de proces au la

baz trei procese fundamentaleprincipale: transferul de impuls (moment,cantitate de micare), transferul de cldur (de energie termic), transferulde mas(cantitate de substan). Pe lngacestea, ntr-un proces tehnologicexist i o serie de operaii de naturmecanic: depozitarea i transportulmaterialelor solide, dozarea materialelor granulare, mrunirea i clasarea(cernerea) materialelor solide. Principalele operaii unitare grupate pecriteriul proceselor fundamentale, sunt redate n fig. 1.5.

depozitarea si transportul solidelordozarea materialelor granularemaruntirea mater ialelor solideclasarea (cernerea)

transportul lichidelorcomprimarea si transportul gazeloramestecarea (agitarea)sedimentareafiltrareacentrifugarea

incalzirea si racireafierberea si condensareavaporizarea (conc. solutiilor)

uscareacristalizarea si sub limareadistilarea si rectificareaadsorbtiaabsorbtiaextractia

OPERATII

MECANICE

OPERATII

HIDRODINAMICE

(cu transfer de impuls)

OPERATII TERMICE

(cu transfer de caldura)

OPERATIIDIFUZIONALE

(cu transfer de masa)

Fig. 1.5. Clasificarea operaiilor unitare


11/152

INTRODUCERE

5

Dupcum se observmulte operaii unitare sunt manifestri ale mai

multor procese fundamentale. n majoritatea cazurilor unul din acesteprocese fundamentale este dominant; principiul dominant se poate schimban condiiile cazurilor concrete.

Studiul operaiilor unitare a evoluat ctre forme superioare desistematizare i sintez: n locul studierii celor cteva zeci de operaii unitarese studiazcele trei procese fundamentale de transfer, insistndu-se asupramecanismului acestora, asupra fenomenelor din stratul limit, asupranelegerii mai profunde a cauzelor i efectelor primare care motiveaz iexplicparticularitile i utilitatea fiecrei operaii unitare.

La ora actual, tendina este de a ngloba toate fenomenele detransfer ntr-o concepie unitar a fenomenului general de transport.Aceast tendin este justificat prin analogia formal (asemnareastructural a ecuaiilor difereniale care le descriu) ntre proceselefundamentale.


12/152


6

2. SIMILITUDINE I ANALIZDIMENSIONAL

Analiza dimensionaleste ansamblul de cunotine i metode pentrutratarea unor probleme de inginerie de proces, utiliznd formuleledimensionale ale mrimilor fizice. Principalele aplicaii ale analizeidimensionale sunt: convertirea unitilor de msurdintr-un sistem n altul,verificarea ecuaiilor pe baza omogenitii dimensionale, stabilirea formeigenerale a ecuaiilor.

2.1. VERIFICAREA ECUAIILOR PE BAZA OMOGENITIIDIMENSIONALE

Analiza dimensionalse bazeazpe principiul conform cruia oriceecuaie sau relaie ntre variabile trebuie s fie dimensional consistent(fiecare termen al ecuaiei trebuie s aib aceleai dimensiuni). Dac, deexemplu, o ecuaie constdintr-un numr de termeni, fiecare reprezentndlungimi, toi aceti termeni vor trebui saibdimensiunile unei lungimi. Nueste permis adunarea lungimilor cu, s zicem, viteze. Corolarul acestui

principiu este cdacntreaga ecuaie este mpritla oricare din termeniisi, toi termenii rmai n ecuaie vor trebui sfie adimensionali. Utilizareagrupurilorsaunumerelor adimensionaleeste de o importandeosebitn

tratarea problemelor ingineriei de proces.Deoarece ecuaiile fizice trebuie s fie valabile n orice sistemcoerent de uniti de msur, verificarea lor dimensionalpoate fi fcutnorice sistem coerent de uniti de msur.

Exemplu

S se gseasc unitatea de msur n SI a coeficientului global detransfer de cldur, K.

Fluxul termic transferat n regim staionar ntre dou fluidedesprite printr-un perete este dat de relaia:

m

TAKQ =

Semnificaiile notaiilor i unitilor de msur(n SI) sunt:Q - cantitatea de cldurtransferat, J/s;A - aria suprafeei de transfer de cldur, m2;Tm - potenialul mediu al transferului termic, K (kelvini);K - coeficientul global de transfer de cldur, ?.

Pentru ca ecuaia sfie dimensional consistent, trebuie ca produsulKATmsaibdimensiunile unui flux termic (J/s), deci:


13/152

SIMILITUDINE I ANALIZDIMENSIONAL

7

[ ] =

=

= Km

WKm

s

J

TAQK

m

22

Coeficientul global de transfer termic se va exprima, n SI, n W.m-2.K-1.

Aplicaia 2.1.Sse determine unitatea de msurSI a presiunii hidrostatice.

Aplicaia 2.2.Sse determine unitatea de msura coeficientului de frecare din

ecuaia lui Fanning:

=2

2vdLP

ecuaie care red expresia pierderilor de presiune prin frecare, P, lacurgerea unui fluid de densitate i avnd viteza medie v printr-oconductde diametru di lungimeL.

2.2. STABILIREA FORMEI GENERALE A ECUAIILOR

Forma general a unei ecuaii fizice poate fi stabilit fie pe cale

teoretic, prin aplicarea legilor de bazale fizicii i chimiei i a aparatuluimatematic n studierea unui proces sau fenomen, fie pe cale experimentaln cazul studierii unor fenomene complexe sau n cazul obinerii unor relaiisau legi mai generale. Analiza dimensional este o metod intermediarntre metoda teoretici cea experimentalcu ajutorul creia pot fi stabilitecorelaiile dintre mrimile care caracterizeaz un fenomen sau proces ntermeni de numere sau grupuri adimensionale.

Utilizarea analizei dimensionale n stabilirea formei ecuaiilor fiziceeste posibildatoritcelor douproprieti de bazale acestora: consistena(omogenitatea) dimensional i invariana formei lor la trecerea dintr-unsistem (coerent) de uniti de msur n alt sistem (coerent) de uniti de

msur. Este astfel posibil organizarea mai multor mrimi care intervinntr-o ecuaie fizic ntr-un numr restrns de grupuri (numere)adimensionale, valorile numerice ale acestor grupuri, n orice situaie datfiind independent de sistemul de uniti de msur utilizat (cu condiiafolosirii unui sistem coerent).

Aplicarea analizei dimensionale poate fi neleas mai uor daclum n considerare urmtorul


14/152


8

Exemplu

S-a constatat experimental c diferena (cderea) de presiune, P,ntre extremitile unei conducte prin care curge un fluid este o funcie dediametrul conductei, d, lungimea conductei, l, viteza fluidului, v, densitateafluidului,i viscozitatea fluidului, .Ecuaia cderii de presiune se poatescrie:

( ),,,,1 vldfP= (2.1)Forma funciei este necunoscut dar ntruct orice funcie poate fi

dezvoltatntr-o serie de puteri, funcia poate fi privitca suma unui numrde termeni, fiecare constnd din produsul puterilor variabilelor luate nconsiderare. Cea mai simplforma unei astfel de relaii va fi aceea n care

se ia n considerare numai primul termen al seriei de puteri:54321const nnnnn vldP = (2.2)Pentru ca ecuaia (2.2) sfie dimensional consistenteste necesar ca

termenul din membrul drept saibaceleai dimensiuni ca i termenul dinmembrul stng, deci va trebui saibdimensiunile unei presiuni.

Fiecare variabildin ecuaia (2.2) poate fi exprimat n termeni demas(M) lungime (L) i timp (T). Dimensional:

21 TLP Ld Ll 1 TLv 3 LM 11 TLM

i: ( ) ( ) ( ) 54321 113121 nnnnn TLMLMTLLLTLM Condiia consistenei dimensionale trebuie s fie ndeplinit i de

ctre fiecare din variabilele fundamentale mas, lungime timp:pentru M: 541 nn +=+

pentru L: 54321 31 nnnnn ++=

pentru T: 531 nn =

Sistemul de 3 ecuaii cu 5 necunoscute (n1n5) poate fi rezolvat n funciede oricare 2 din cele 5 necunoscute. Rezolvnd n funcie de n2 i n5obinem:

54 1 nn = (din ecuaia n M)

53 2 nn = (din ecuaia n T)Substituind expresiile lui n3i n4n ecuaia n L obinem:( ) ( ) 55521 1321 nnnnn ++=

sau: 5210 nnn ++=

sau: 521 nnn =

Revenind i efectund acum substituirile n ecuaia (2.2) obinem:555252 12const nnnnnn vldP =


15/152


16/152


10

Pentru gsirea funciei cutate, teorema se aplic n modul

urmtor:1. Se niruiesc toate mrimile fizice i constantele dimensionale care

din consideraii mecanice, termodinamice, etc. se apreciaz cinflueneazfenomenul studiat;

2. Se scrie formula dimensionalpentru fiecare dintre mrimile fizice iconstantele dimensionale considerate la (1);

3. Se aleg cele n mrimi fundamentale dintre mrimile fizice iconstantele dimensionale care intervin n problem. Alegerea se face n aafel, nct totalitatea mrimilor i constantelor alese s conin cel puinodattoate mrimile fundamentale ale problemei.

4. Se formeazgrupurile 1, 2, 3, ,I, constnd fiecare din produsulcelor n mrimi alese la (3), plus cte una dintre celelalte mrimi iconstante; se asociazcte un exponent arbitrar fiecrei mrimi i constantedimensionale din fiecare grup .

5. Se determinvaloarea acestor exponeni, punnd condiia ca fiecaregrup sfie adimensional.

Exemplu

Cu ajutorul teoremei , sse gseascgrupurile adimensionale careintervin n curgerea izoterm a fluidelor. Se apreciaz c fenomenul esteinfluenat de mrimile prezentate n tab. 2.1.

Tab. 2.1. Mrimi care influeneazcurgerea fluidelor

Mrime Simbol Formuldimensionallungime l Lviteza de curgere v LT-1

densitatea fluidului ML-3

viscozitatea fluidului ML-1T-1

cderea de presiune P ML-1T-2

acceleraia gravitaional g LT-2

Sunt decim = 6

mrimi fizice i constante dimensionale in = 3

mrimi fundamentale (M, L, T). Rezult i = m n = 3 grupuri adimensio-nale . Relaia cutat, conform teoremei , va fi:

( ) const.,, 321 =f (2.7)Pentru grupare, se aleg primele trei mrimi, l, v, ca mrimi comune, lacare se adaug, pe rnd, cte una din celelalte, toate afectate de exponen iiai, bi, ci, di.

11111

dcba gvl = (2.8)


17/152


11

Dimensional,

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111111111 23231

1dbdcbacdcba TLMLTMLLTL ++ == (2.9)

Pentru ca 1 s fie adimensional, este necesar ca exponenii mrimilorfundamentaleM, L, Tsfie nuli, deci:

02

03

0

11

1111

1

=

=++

=

db

dcba

c

(2.10)

Sistemul (2.10) de 3 ecuaii cu 4 necunoscute se rezolvn raport cud1, considerat egal cu unitatea. Se obine: a1= 1; b1= -2; c1= 0; d1= 1.nlocuind n (2.8) rezult:

Fr21021

1 === vglgvl (2.11)

Grupul adimensional (lg)/v2 poart denumirea de numrul (criteriul) luiFroude, simbolizat Fr.

n mod similar,

( ) 22222dcba Pvl = (2.12)

[ ] ( ) ( ) ( )22222222 232dbdcbadc

TLM ++ = (2.13)

Deoarece i 2este adimensional, se obine sistemul:

02

03

0

22

2222

22

=

=+

=+

db

dcba

dc

(2.14)

Impunnd d2= 1, se obine: a2= 0; b2= 2; c2= -1; i relaia (2.13) devine:

( ) Eu2

1202 =

==

v

PPvl

(2.15)

Grupul adimensional (P)/v2poartdenumirea de numrul (criteriul) luiEuler, cu simbolul Eu.

n mod similar,3333

3dcba

vl = (2.16)

sau dimensional:

[ ] ( ) ( ) ( )33333333 33 dbdcbadc TLM ++ = (2.17)Punnd condiia de adimensionalitate a lui 3se obine sistemul:

0

0

03

33

33

3333

=+

=

=+

dc

db

dcba

(2.18)

Impunnd d3 = 1, se obine: a3 = -1; b3 = -1; c3 = -1, iar relaia (2.17)devine:


18/152


12

Re

11

1113 =

==

lvvl (2.19)

Grupul adimensional (vl)/ poartdenumirea de numrul (criteriul) luiReynolds, cu simbolul Re [vezi i relaia (2.4)].

Formula general a funciei care descrie curgerea fluidelor(depinznd doar de variabilele l, v,, g, i P) are forma:

f(Fr, Eu, Re) = const (2.20)

Aplicaia 2.3.Sse gseascgrupurile adimensionale ale ecuaiei criteriale pentru

transferul termic de la un fluid n convecie forat la peretele interior al

unei conducte. Mrimile fizice care intervin n acest fenomen sunt redaten tab. 2.2.

Tab. 2.2. Mrimi care influeneaztransferul termic n convecie forat

Mrime Simbol Formuldimensionalcoeficient parial de transfertermic

MT-3-1

cldura masica fluidului Cp L2T-2-1

densitatea fluidului ML-3

conductivitatea termica fluidului MLT-31

viscozitatea fluidului ML-1

T-1

viteza fluidului n conduct v LT-1

diametrul conductei D L

n cazul n care numrul variabilelor mi al mrimilor fundamentalen este mare, modul de stabilire a grupurilor adimensionale prezentatanterior devine greoi, din acest motiv cutndu-se, de la nceput, micorareanumrului de variabile.

n cazul fenomenelor complexe, se poate ajunge la sisteme de ecuaiialgebrice cum sunt (2.10), (2.14), (2.18), dar cu mult mai multe ecuaii inecunoscute. n aceste cazuri, sistemele obinute pot fi rezolvate folosindmetoda lui Cramer.

2.4. DEDUCEREA ECUAIILOR CRITERIALE DIN ECUAIILEDIFERENIALE ALE FENOMENELOR

n cazul n care se cunoate ecuaia diferenial care descrie unfenomen sau un proces, aceasta poate fi utilizatpentru stabilirea grupuriloradimensionale (criteriilor de similitudine) care descriu fenomenul sau


19/152


13

procesul respectiv. Aceastmetodeste de preferat, ntruct pe de o parte se

pune n eviden semnificaia fizic a grupurilor adimensionale, iar pe dealt parte se evit dificultile analizei dimensionale. Deducerea criteriilorde similitudine din ecuaiile difereniale ale proceselor este deosebit de util,ntruct n majoritatea cazurilor aceste ecuaii difereniale nu pot fisoluionate analitic.

ExempluSe consider ecuaiile difereniale Navier-Stokes care descriu

curgerea izoterma unui fluid newtonian. ntruct toate cele trei ecuaii suntde aceeai form, este suficient considerarea uneia dintre ele, cea pentrudireciax:

03

12

2

2

2

2

2

=

+

+

+

+

+

+

+

+

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

x

x

Pg

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

xxxzyx

xx

zx

yx

xx

(2.21)

Ecuaia (2.21) este omogen, iar fiecare termen al su reprezint o forraportatla unitatea de volum. Dacdin ecuaie se omit semnele diferenialei constanta numeric1/3, se poate scrie ecuaia diferenialgeneralizat:

[ ] 02

2

=

+

+

l

v

l

Pg

l

v

t

v

(2.22)

I II III IV V, VIn care leste o mrime liniar. Termenii V i VI sunt identici i din aceastcauz s-au scris mpreun. Termenii I i II sunt echivaleni: nmulind imprind primul termen cu v, rezult identitatea lor. n consecin, dinecuaia (2.22) se pot obine trei grupuri adimensionale independente. Numrul Reynolds (II/V) reprezint raportul dintre forele ineriale i

cele de viscozitate:

ReV

II2

2

===

vl

lv

lv (2.23)

Numrul Froude (II/III) reprezint raportul dintre forele ineriale icele gravitaionale:Fr

III

II 22=

==

gl

v

g

lv

(2.24)

Numrul Euler(IV/II), sau coeficientul de presiune, este raportul dintrepresiune i forele ineriale:

EuII

IV22

=

=

=v

P

lv

lP

(2.25)


20/152


14

Ecuaia criterialse scrie sub forma:

( ) constEuFr,Re, =f (2.26)identic cu aceea a ecuaiei (2.20) obinut prin metoda analizeidimensionale.

Aplicaia 2.4.S se deduc forma ecuaiei criteriale care descrie transferul de

cldurprin convecie forat, pornind de la ecuaia difereniala energiei:

02

2

2

2

2

2

=

+

+

+

+

+

tTc

zT

yT

xT

z

Tv

y

Tv

x

Tvc

p

zyxp

(2.27)

Aplicaia 2.5.Sse deducforma ecuaiei criteriale care descrie transferul de mas

prin convecie forat, pornind de la ecuaia difereniala difuziunii:

02

2

2

2

2

2

=

+

+

+

+

+

+

+

t

C

z

C

y

C

x

CD

z

Cv

y

Cv

x

Cv zyx

(2.28)

Dezavantajul metodei de stabilire a ecuaiilor criteriale din ecuaiiledifereniale constn faptul cse neglijeazunele variabile care nu apar necuaia diferenialele neaprnd nici n ecuaia criterial.

Aplicaia 2.6.Folosind metoda analizei dimensionale, s se gseasc ecuaia

criterial care descrie curgerea fluidelor, considernd c, pe lngmrimile prezentate n tab. 2.1, intervine suplimentar asupra fenomenuluii tensiunea superficial, cu formula dimensional[MT-2].

Cteva grupuri adimensionale (criterii de similitudine) mai frecventntlnite n operaiile unitare caracteristice industriei alimentare i

biotehnologiilor sunt redate n tab. 2.3. La ora actualsunt cunoscute ctevasute de astfel de criterii de similitudine.


21/152


15

Tab. 2.3. Criterii de similitudine uzualeCriteriul Expresie Criteriul Expresie

Reynolds

vl=Re Nusselt

l=Nu

Froude 2Frv

gl= Grashof Tgl =

3

3

Gr

Euler 2Eu vP

= Sherwood

D

kl=Sh

Weber

lvd2

We = SchmidtD

=Sc

Arhimede( )

3

3

Arm

mmp gd

= Stanton

(termic) PrReNu

St termic =

Prandtl

pc=PrStanton(difuzional) ScRe

ShSt difuzional

=

2.5. SIMILITUDINE I MODELE

Similitudinea se ocupcu relaiile dintre sistemele fizice de diversemrimi, n scopul transpunerii la scarmai micsau mai mare a proceselorfizice, chimice i biochimice.

Legile obiective, fizice sau chimice, cunoscute sau (deocamdat)necunoscute care guverneazfenomenele pot fi deduse fie prin investigaiiexperimentale directe, fie prin aplicarea unor raionamente asupra unuimodel fizic. Un astfel de model reprezinto simplificare i o idealizare afenomenului, n care sunt neglijate implicaiile adiacente fenomenului. nfuncie de gradul de complexitate al modelului ales, modelul reproduce cu oacuratee mai mare sau mai micfenomenul studiat. Ca exemple de modelefizice se pot meniona: gazul ideal lichidul ideal, soluia ideal, corpulabsolut negru, etc.

Doufenomene (procese), M (model)i P (prototip)sunt similaredac ele sunt guvernate de aceleai legiti i dac au condiiile deunivocitate similare, respectiv ndeplinesc concomitent condiiile desimilitudine geometric, similitudine a constantelor fizice, similitudinedinamici similitudine a condiiilor la limit.

Similitudinea geometric ntre model i prototip este ndeplinitdac:

Gn

M

n

P

M

P

M

P

M

P SL

L

L

L

L

L

L

L=====

2

2

1

1

0

0

(2.29)


22/152


16

Similitudinea constantelor fizice ntre model i prototip este

ndeplinitdac:

Kn

M

n

P

M

P

M

P

M

P SC

C

C

C

C

C

C

C=====

2

2

1

1

0

0

(2.30)

Similitudinea dinamic ntre model i prototip este ndeplinitdac:

tn

M

n

P

M

P

M

P

M

P St

t

t

t

t

t

t

t=====

2

2

1

1

0

0

(2.31)

Similitudinea condiiilor la limit este ndeplinit dac suntndeplinite condiiile de similitudine geometric, a constantelor fizice i

dinamic, la starea iniiali finalale sistemelor model i prototip.n relaiile (2.29) (2.31) indiciiMiPse referrespectiv la modeli prototip, Lj, Cj i tj reprezint respectiv: dimensiuni, constante fizice,durate pentru parcurgerea traiectoriilor, iar SG, SKi Streprezintconstantede similitudine geometric, a constantelor fizice i respectiv dinamic.

2.6. CRITERII DE SIMILITUDINE

Similitudinea ntre sisteme poate fi exprimatn termeni de rapoarteintrinseci ale parametrilor ce caracterizeaz sistemele. Aceste rapoarte

poart denumirea de criterii de similitudine sau invariani desimilitudine. Dac invarianii de similitudine sunt rapoarte ntre doumrimi de aceeai natur vezi ecuaiile (2.29) (2.31) ei se numescsimpleci de similitudine. Dac invarianii de similitudine sunt rapoartentre mai multe mrimi, ei poartdenumirea de multipleci de similitudine;criteriile Re, Eu, Fr, Nu, etc., sunt exemple de astfel de multipleci.

Criteriile de similitudine sunt grupuri adimensionale iar valorile lorcaracterizeazsistemele similare. Criteriile de similitudine pot fi deduse: cu ajutorul ecuaiilor care descriu fenomenul; cu ajutorul ecuaiilor difereniale care descriu fenomenul (vezi exemplul

de la pag. 13);

cu ajutorul analizei dimensionale (vezi exemplele de la pag. 8 i 10).Deducerea criteriilor de similitudine este uneori inutil, de exemplu

n cazul n care ecuaiile difereniale ce descriu o clasde fenomene pot fisoluionate. n acest caz, comportarea unui sistem la orice scar, este directcalculabil prin rezolvarea ecuaiilor difereniale. Pentru fenomenele alecror ecuaii difereniale nu pot fi integrate, criteriile de similitudine se obindirect din forma diferenial a ecuaiilor. Cnd ecuaiile difereniale caredescriu comportarea unui sistem sunt necunoscute, dar se cunosc variabilele


23/152


17

care l pot influena, criteriile de similitudine se pot deduce cu ajutorul

analizei dimensionale.

2.7. ECUAII CRITERIALE

Criteriile de similitudine se exprimsub forma unor funcii n carevariabilele i constantele dimensionale sunt nlocuite cu criterii desimilitudine. Aceste funcii sunt funcii criteriale:

( ) const,...,, 21 =if (2.32)Consideraiile de analizdimensionali de similitudine conduc la formarea

criteriilor de similitudine, dar nu furnizeaz informaii asupra formeiecuaiei (2.32). n majoritatea cazurilor, funciile criteriale pot fi puse subforma unor ecuaii criteriale:

= cbai k 321 (2.33)

n care Ieste criteriul de primimportan(determinant) pentru un anumitproces, criteriu ce conine parametrul necunoscut ce urmeaza fi calculat,iar criteriile 1, 2, 3, sunt determinate, coninnd numai mrimicunoscute. Coeficientul ki exponenii a, b, c, , urmeaza fi determinai

pe cale experimental. Astfel de ecuaii criteriale sunt folosite pe larg ningineria proceselor fizice, cu ajutorul lor rezolvndu-se problemeimportante referitoare la transferul de impuls, de clduri de mas.

2.8. MODELE. SIMILITUDINE COMPLETI PARIAL

Una din problemele majore ale ingineriei de proces este transpunerearezultatelor obinute ntr-o instalaie experimental(modelul) la o altscar

uzual mai mare pentru proiectarea unei instalaii industriale (prototipul).Transpunerea model prototip (scale-up) se realizeaz cu ajutorul teorieisimilitudinii (denumit uneori i teoria modelelor) pe baza a trei teoreme

generale:1. Dacdoufenomene fizice sunt similare ntre ele criteriile respective desimilitudine au aceeai valoare numeric;

2. Ecuaiile care descriu fenomene fizice pot fi scrise n forma unor relaiintre criterii de similitudine;

3. Pentru ca doufenomene sfie similare, este necesar i suficient ca eles fie calitativ identice (adic s fie descrise prin ecuaii matematiceidentice excepie fcnd constantele dimensionale coninute n ele), iar


24/152


18

criteriile lor determinate (care conin numai mrimile cunoscute)

corespunztoare saibvalori numerice identice.

Exemplu

Dacun fenomen este reprezentat prin relaia:( )dlf Pr,Re,Nu = (2.34)

condiiile pentru existena similitudinii ntre modelul M i prototipul P vor fidate de identitile:

( ) ( )PMPMPM

dldl === ;PrPr;ReRe (2.35)

Evident, dac vor fi respectate condiiile stabilite prin ecuaiile (2.35), nmod automat va fi ndepliniti condiia:

PM NuNu = (2.36)

Similitudinea absolut (ideal) ntre dou sisteme (model iprototip) va exista numai n condiiile asigurrii unei corespondene deplinea tuturor dimensiunilor geometrice ale sistemelor implicate i a tuturormrimilor care variaz n timp i spaiu, adic a proceselor care sedesfoarn aceste sisteme. Noiunea este abstract, neexistnd fenomenesimilare n toatedetaliile.

Similitudinea complet este similitudinea acelor procese care sedesfoar n timp i spaiu i care determinn esenfenomenul studiat.n acest caz condiiile de similitudine se refer numai la procesele saufenomenele fundamentale, neglijndu-se unele fore a cror pondere estenesemnificativasupra fenomenului studiat. De exemplu criteriul Fr se ia nconsiderare doar n cazul fluidelor n micare care prezint una sau maimulte suprafee libere neorizontale, asupra crora forele gravitaionale au o

pondere nsemnat n desfurarea procesului respectiv; criteriul Re nuintervine n condiiile n care pierderea de presiune a unui fluid n curgeresub presiune printr-o conductnu este dependentde Re (curgere puternicturbulent), etc.

Similitudinea parial (incomplet) se realizeaz n cazulmodelrii incomplete fie datorit dificultilor de modelare fie datorit

imposibilitii realizrii unei similitudini complete.Spresupunem csimilitudinea ntre dousisteme este condiionatde identitatea simultana trei criterii de similitudine: Re, Fr i We. n acestecondiii, dependenele dintre viteza fluidului i caracteristica geometricvorfi de forma:

v ~ l-1 pentru criteriul Reynoldsv ~ l1/2 pentru criteriul Froude (2.37)v ~ l-1/2 pentru criteriul Weber


25/152


19

Evident, viteza fluidului nu poate fi proporionalsimultan cu l1 , l i cu

l1 cele trei criterii de similitudine fiind incompatibile, fcnd astfelimposibiltranspunerea la scara procesului controlat simultan de cele treicriterii.

Chiar dac similitudinea a dou sisteme este controlat doar deidentitatea simultana numai doucriterii (Re i Fr; Re i We; Fr i We de exemplu), pentru a putea respecta doudin proporionalitile redate derelaia (2.37) trebuie s se experimenteze n model cu fluide avndviscozitatea diferit de aceea a fluidului care va fi utilizat n prototip. nacest caz, scara la care se va face transpunerea va fi limitatde existenaunor fluide (ce se vor folosi n model) a cror viscozitate sfie de 10SGori

mai micdect viscozitatea fluidului din prototip (SGreprezentnd valoarearaportului geometric de scar) dac trebuie ndeplinite simultanidentitile:

ReP= ReM i FrP= FrM (2.38)

Aplicaia 2.7.Micarea unui fluid este reprezentatde ecuaia criterial:

( )FrRe,Eu f= Se cere s se stabileasc condiiile pentru care acest proces poate fimodelat la scarde laborator. Dacfluidul care va fi folosit n prototip esteglicerina care va fi raportul de transpunere la scarmaxim realizabil, dacfluidul utilizat n model este: a) glicerina; b) apa; c) eterul etilic (seconsidercatt n prototip, ct i n model, procesul decurge la 293 K).

Pentru ocolirea dificultilor sau incompatibilitilor care potinterveni n transpunerea la scarse poate apela fie la folosirea domeniilorde automodelare, fie la folosirea distorsiunilor geometrice sauhidrodinamice.

Prin domeniu de automodelare n raport cu un anumit criteriu senelege intervalul de variaie a valorii criteriului respectiv n caremodificarea valorii lui nu influeneaz fenomenele a cror similitudine

dinamic trebuie asigurat. De exemplu, n domeniul curgerii puternicturbulente, cderea de presiune la curgerea unui fluid printr-o conductsauconsumul de putere ntr-un agitator prevzut cu icane nu mai depind deasigurarea identitii numerice pentru Re, ci numai de realizareasimilitudinii geometrice a celor dousisteme (M i P), evident cu asigurareadesfurrii proceselor la valori Re mai mari dect limita inferioarla carencepe regimul turbulent.

Utilizarea distorsiunilor geometrice sau hidrodinamice nseamnrenunarea la similitudinea geometric i/sau dinamic complet, cu


26/152


20

corecturile necesare (de regulefectul unei distorsiuni este compensat prin

introducerea unei alte distorsiuni) pentru realizarea transpunerii la scar.n unele cazuri, cnd dimensiunile modelului sunt mult diferite de

cele ale prototipului procesul din model poate fi influenat de mrimi fizicenesemnificative pentru desfurarea procesului n prototip i viceversa,aprnd aa-numitele efecte de scar. De exemplu, efectele tensiuniisuperficiale sunt mult mai pronunate n modelele de dimensiuni mici.Pentru eliminarea efectelor de scarse recomandrealizarea, pe ct posibil,a modelelor la dimensiuni ct mai apropiate de cele ale prototipului.

2.9. AVANTAJE I LIMITRI N UTILIZAREA CRITERIILORDE SIMILITUDINE

Utilizarea criteriilor de similitudine i a ecuaiilor criteriale prezinto serie de avantaje importante, cum ar fi: Un proces se poate transpune de la o scarla alta prin simpla pstrare a

valorii numerice a criteriilor de similitudine. Prin nlocuirea celor m variabile i constante dimensionale din

ecuaiile obinuite cu m-n criterii de similitudine din ecuaiilecriteriale, se micoreaz(n general cu n) numrul variabilelor efectiveale problemei.

Criteriile de similitudine fiind adimensionale, ele sunt independente desistemul de uniti de msurn care se lucreaz.Dintre limitrile teoriei similitudinii se pot meniona:

Analiza dimensional i consideraiile de similitudine nu furnizeazdirect ecuaia criterial care descrie fenomenul oferind doar formageneral a funciei. Coeficientul k i exponenii a, b, c, din ecuaia(2.33) trebuie determinai experimental.

Transpunerea la scara rezultatelor experimentale obinute pe un modelnu este ntotdeauna posibil, fie datorit incompatibilitii unor criteriide similitudine fie datorit efectelor de scar, fie datorit restriciilorreferitoare la alegerea rapoartelor de scar.

Cu toate dezavantajele sale, teoria similitudinii este la ora actualindispensabiln tratarea multor aspecte legate de fenomenele de transfer.


27/152


21

2.10. BIBLIOGRAFIE RECOMANDATPENTRU

APROFUNDARE

1. Bratu, A.E., Operaii unitare n ingineria chimic, vol. I, Ed. Tehnic,Bucureti, 1984;

2. Coulson, J.M i Richardson, J.F., Chemical Engineering, vol. I,Pergamon Press, Oxford, 1993;

3. Franks, R.G.E., Modelarea i simularea n ingineria chimic, Ed.Tehnic, Bucureti 1979;

4. Vasilescu, A.A., Analiza dimensionali teoria similitudiniiEd.Academiei, Bucureti, 1969;

5. Zlokarnik, M., Dimensional Analysis and Scale-up in ChemicalEngineering, Springer Verlag, Berlin, 1991;

6. * * * Sistemul Internaional de uniti SI, Ed. DidacticiPedagogic, Bucureti, 1982;


28/152


22

3. TRANSFERUL DE IMPULS

3.1. NOIUNI GENERALE DESPRE FLUIDE. ELEMENTE DE

REOLOGIE

Din punct de vedere macroscopic, corpurile materiale pot ficlasificate n corpuri solide i corpuri fluide.

Solidele sunt corpuri cu dimensiuni i forme bine definite, a crorprincipal caracteristic este rigiditatea. Aceste corpuri sunt obiect destudiu al mecanicii corpurilor rigide, modificat prin legile elasticitii

pentru corpurile care nu pot fi considerate perfect rigide.Fluidelesunt corpuri caracterizate prin mobilitate mare, rezistenla

rupere practic nul i deformaie uoar (sunt lipsite de form proprie).Principala proprietate a acestor corpuri este fluiditatea. Sub aciunea uneitensiuni tangeniale constante, fluidul se deformeaz. Dactensiunea nu estendeprtat, deformaia poate atinge orice valoare. Viteza de deformare esteconstanti depinde de viscozitatea fluidului. Deformarea continua unuifluid sub aciunea unei tensiuni poart denumirea de curgere. n practic

prezint interes comportarea corpurilor supuse la solicitri mecaniceexterne. Curgerea fluidelor prezinto importandeosebitpentru proceseletehnologice din industria alimentari nu numai.

Fluidele pot fi clasificate fie dup modul lor de comportare laaplicarea unei presiuni exterioare, fie dup efectele pe care le produceasupra lor aciunea unei tensiuni tangeniale.

Lichidelesunt fluide foarte puin compresibile, care au proprietateade a forma o suprafa liber n contact cu un gaz, sau o suprafa deseparare n contact cu un alt lichid nemiscibil.

Gazelesunt acele fluide care ocupntreg volumul n care se aflisunt foarte compresibile. Pentru gaze se face distincie ntre gazepermanente (necondensabile) i vapori, dup cum temperatura lor estesuperioarsau inferioartemperaturii critice.

Comportarea macroscopicdiferita gazelor i lichidelor se explic

prin diferena dintre forele de atracie intermoleculare i distana mediedintre molecule. Diferena ntre un lichid i un gaz nu este foarte distinct;modificnd parametrii de stare (presiunea i temperatura) se poate trece unlichid n fazde vapori, frapariia unei suprafee libere i fra-l fierbe.Acest fenomen are loc n punctul critic, caracterizat de parametrii critici(Pcr, Tcr), punct n care proprietile lichidului i vaporilor sunt identice.


29/152

TRANSFERUL DE IMPULS

23

3.1.1. Proprieti reologice fundamentale

Reologiase ocupcu studiul solicitrilor i a rspunsului corpurilorla solicitri, stabilind modelele matematice care formeazfuncia de rspunsa unui corp supus la solicitri. Aplicnd asupra unui corp o for sau unsistem de fore corpul va fi pus n micare, micarea constnd n deplasrii/sau deformri (fig. 3.1). O deplasare poate consta din translaia sau/irotaia corpului n timp ce o deformare constn modificarea formei sau/ivolumuluicorpului. Deplasrile nu modificpoziia relativa elementelorconstitutive ale unui corp, modificnd doar poziia corpului n raport cu unsistem de referinexterior, n timp ce deformaiile modificpoziia relativa elementelor constitutive ale unui corp.

Fig. 3.1. Micri caracteristice ale unui corp supus solicitrilor

n cazul solidelor, deformarea are loc pn la echilibrarea forelorinterne cu cele externe; dup ndeprtarea solicitrilor deformaia serecupereaz. Aceast proprietate de recuperare a deformaiei dupndeprtarea solicitrii care a produs-o poartdenumirea de elasticitate.

Fluidele opun rezisten redus la deformare, iar deformarea nuajunge la echilibru, ea crete continuu i nu se mai recupereaz dupndeprtarea solicitrii: apare fenomenul de curgere. Proprietatea fluidelorde a opune rezisten la schimbarea ireversibil a poziiei elementelor de

yy

x

xx xx

a - translatie

x

yx

yx

b - rotatie

y

x

xx xx

c - compresiune

x

yx

yx

d - forfecare


30/152


24

volum constituente, disipnd energia mecanicsub formde cldur, poart

denumirea de viscozitate.Elasticitatea i viscozitatea sunt proprieti intrinseci, fundamentale

ale corpurilor. Extrem de puine corpuri reale manifest o singurproprietate. Majoritatea materialelor prezint att elasticitate (specificsolidelor), ct i viscozitate (specificfluidelor). Dacambele proprieti semanifest concomitent, corpul se numete viscoelastic sau elastoviscos,dup cum preponderent este viscozitatea, respectiv elasticitatea. Dac

proprietile se manifest succesiv la o solicitare continuu cresctoare,corpul se numete plastic. Un corp plastic se comportla solicitri reduse caun solid (rigid sau elastic) iar peste o anumitvaloare a solicitrii (solicitarecritic, prag de curgere) se comport ca un fluid (curge), deformndu-seireversibil. Dei plasticitatea nu este o proprietate intrinseca corpurilor, cidoar un mod de comportare a acestora, ea este considerat practic a treia

proprietate reologic (alturi de elasticitate i viscozitate) a corpurilordeformabile.

Din punct de vedere reologic nu existo delimitare netntre stareasolid, lichid i gazoas. Indiferent de starea de agregare, toate corpurilecurg, trecerea de la o stare la alta presupunnd doar o schimbarecantitativa raportului dintre componenta elastici cea viscoas. Strile deagregare solid, lichidi gazoaspot fi considerate drept cazuri particulareale unei stri fluide generalizate. Generalizarea are la baz faptul c

atributul esenial al strii lichide viscozitatea existi la starea gazoasi, nedemonstrat, la starea solid.

3.1.2. Tipuri de solicitri. Parametrii solicitrii

Dac o for sau un sistem de fore acioneaz asupra unui corpspunem c respectivul corp este solicitat. Forele care acioneaz asupracorpului (fore exterioare, concentrate sau repartizate, fore sau momentevolumice, fore de inerie, fore centrifugale sarcini produse de un cmptermic, electromagnetic etc.) se numesc solicitri, iar totalitatea acestora

formeazstarea de solicitaresau starea de tensiunea corpului. Ansamblulforelor aplicate unui corp l pot solicita la traciune, compresiune,forfecare, torsiuneincovoiere, primele trei tipuri de solicitri prezentndo importandeosebitdin punct de vedere reologic, forfecarea stnd la bazacurgerii fluidelor.

Pentru deformarea unui corp (incluznd i curgerea) este necesaraciunea unei tensiuni (efort unitar), care va produce o deformaiespecific cu o anumit vitez de deformare. Acetia sunt principalii

parametrii ai unei solicitri.


31/152


25

Tensiunea sau efortul unitar reprezint limita raportului dintre

fora aplicati suprafaa pe care este aplicatcnd aria suprafeei tinde lazero:

dA

Fd

A

Frr

r=

= lim (3.1)

Pe cele ase fee aleunui paralelipiped (fig. 3.2) potaciona cte trei tensiuni dupdireciile axelor de coordonate,dintre care dou sunt tangen-iale (solicitnd corpul la forfe-

care) i una este normal(solicitnd corpul la ntinderesau compresiune). Din conside-rente de simetrie (tensiunilecare acioneaz pe feele opuseale paralelipipedului suntidentice), starea de tensiune estedefinit de nou componente,componente care formeaztensorul simetric al tensiunilor:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

== letangentiasiuni ten

normalesiuni ten

ji

ji

= (3.2)

Deformaiaeste rezultatul aciunii unei tensiuni. Tensiunile normaleacioneaz asupra volumului corpurilor, provocnd comprimarea saudilatarea acestora n timp ce tensiunile tangeniale acioneazasupra formeicorpurilor. Deformaia, ca i tensiunea, este o mrime tensorial definit

prin relaii de forma (3.3) (3.4), n care XI este o mrime vectorial cecaracterizeaz deplasarea relativ a unui punct din corpul considerat, nurma solicitrii. Starea de deformare este definit de nou componente.Datorit simetriei deformaiilor specifice de forfecare, starea de deformareeste datde numai ase componente: xx; yy; zz; xy; xz; yz.

zx

X

y

X

x

X zzz

y

yyx

xx

=

=

= (3.3)

xx

zz

xy xzzy

yz

yx

yy

Fig. 3.2. Tensiuni normalei tangeniale

care acioneazasupra unui element de

volum


32/152


26

+

==

+

==

+

==

y

X

z

X

x

X

z

X

x

X

y

X

zy

yx

zxzx

yxyx

2

1

2

1

2

1

xy

xz

xy

(3.4)

Viteza de deformare, se exprimprin derivata deformaiei n raportcu timpul:

( )dj

dv

t

X

jj

X

tdt

d iiiijij =

=

== & (3.5)

Dac ji , viteza de deformare devine vitez de forfecare.Conform relaiei (3.5) rezultcviteza de deformare i gradientul de vitezsunt noiuni identice, dar care nu se pot substitui reciproc. De exemplu,aplicarea a doutensiuni tangeniale asupra unui corp (fig. 3.1.b) pentru carese poate scrie:

x

v

y

v yx

=

(3.6)

are drept efect o rotaie rigida corpului. Pe de altparte, aplicarea a doutensiuni tangeniale ca n fig. 3.1.d, pentru care se poate scrie:

x

v

y

v yx

=

(3.7)

conduce la deformarea prin forfecare pur. Numai gradienii de vitez nupot constitui o msura vitezei de forfecare. Msura vitezei de forfecare oconstituie media gradienilor de vitez:

+

==i

v

j

v jijiij 2

1 && (3.8)

Viteza de deformare volumicse poate scrie:

vv

z

v

y

v

x

v zyxv ==

+

+

= div& (3.9)

Ecuaiile care coreleaz tensiunile cu deformaiile (n cazulsolidelor), sau tensiunile cu vitezele de deformare (n cazul fluidelor) poartdenumirea de ecuaii reologice. Reprezentarea grafic a acestor ecuaii ncoordonate tensiune deformaie, respectiv tensiune vitezde deformare,

poartdenumirea de reograme. Toate ecuaiile reologice conin un numrde coeficieni de material. Pentru mediile anizotrope i neomogene suntnecesari 81 de coeficieni de material. Numrul lor se reduce la 21 n cazulcorpurilor neomogene i la 2 n cazul corpurilor omogene i izotrope. Astfel


33/152


27

de coeficieni de material sunt, de ex.: modulul de elasticitate al lui Young,

modulul de elasticitate la forfecare coeficientul de viscozitate la forfecaresimpl (viscozitatea dinamic), pragul de elasticitate (limita de elasticitate

pragul de curgere) etc.

3.1.3. Corpuri cu proprieti unitare i comportare idealDac un corp este solicitat, funcie de proprietile corpului,

rspunsul la solicitare poate fi:1. Deformaie nul; corpul este neelastic (pur rigid);2. Deformaie temporar, recuperabil; corpul este perfect elastic;3. Deformaie permanent, nerecuperabil; corpul este pur viscos;4. Deformaie parial temporar, parial permanent; corpul este

simultan elastic i viscos;5. Deformaie temporarsau/i permanent; corpul este succesiv elastic

i viscos (plastic);6. Deformaie permanentpentru solicitare nul; corpul este neviscos

(inviscid).Rspunsurile (1) i (6) sunt caracteristice pentru dou corpuri

ipotetice ideale: solidul perfect rigid (solidul lui Euclid), respectiv fluidulinviscid (fluidul lui Pascal). Pe baza acestor corpuri ipotetice s-a dezvoltat

mecanica clasica solidului i teoria clasica dinamicii fluidelor. Din punctde vedere reologic, cele dou corpuri nu prezint importan, neposedndnici una din nsuirile specifice materiei reale: solidul lui Euclid este lipsitde elasticitate, iar fluidul lui Pascal este lipsit de viscozitate. Aceste doucorpuri formeazdouextreme ntre care se ncadreaztoate corpurile reale.

Cele mai simple corpuri studiate de reologie posed o singurproprietate. Comportarea lor este descris cu ajutorul unor legi liniare.Aceste corpuri sunt denumite corpuri reologice particulare, sau corpuricu proprieti unitare cu comportare ideal. Acestea sunt: solidul lui Hooke(perfect elastic), fluidul lui Newton(pur viscos), plasticul lui St. Venant(perfect plastic).

3.1.3.1. Solidul lui Hooke

Acest corp (corpul perfect elastic) posed numai elasticitate. Subaciunea unei tensiuni aplicate sub form de impact, se deformeazinstantaneu, iar la descrcare recupereaz ntreaga deformaie. Este elastic

pe ntregul domeniu al solicitrii. Forma corpului depinde exclusiv de


34/152


28

solicitare i este independentde factorul timp. Ecuaia reologica acestui

corp (cunoscuti ca legea lui Hooke) supus la forfecare simplare forma:yxyx G = (3.10)

n care G reprezint modulul de elasticitate la forfecare (modulul derigiditate).

Modelul analog mecanic al acestui corp este arcul elicoidal sauresortul (fig. 3.3). Dac asupra unui arc de lungime L acioneaz o forainstantaneeF1, arcul se deformeazinstantaneu cu L1. Sub aciunea forei

F1deformaia se menine constantn timp. Dupndeprtarea forei, arculrevine la starea lui natural. Recuperarea deformaiei este instantanee. ntrefori deformaie existo proporionalitate direct:

11 LkF = (3.11)Comparnd ecuaiile (3.10) i (3.11) i fcnd identitatea ntre

parametrii solicitrii, rezultcarcul este analogul mecanic al solidului luiHooke.

Fig. 3.3. Solidul lui Hookea modelul mecanic; b reograma corpului solicitat la forfecare simpl

3.1.3.2. Fluidul lui NewtonAcest corp (corpul pur viscos) posed numai viscozitate. Sub

aciunea unei solicitri, curge. Legea care descrie comportarea reologicinclude coeficienii de viscozitate i este valabil numai n curgerealaminar. Deformaia viscoasdepinde de mrimea i durata solicitrii. Laefort constant curgerea este continuu ntreinut, deformaia este continuucresctoare i viteza de deformare este constant. Din acest motiv, n cazulfluidelor viscoase, tensiunea se coreleaz cu viteza de deformare. Ecuaia

solidul lui Euclid solidul lui Hooke

yx

tg = Gyx

x

y

X=

L

L1

F1

a b


35/152


29

reologicgenerala acestui corp exprimdependena liniardintre tensorul

tensiunilor i tensorul vitezelor de deformare:[ ] ijijvijij && 322 += (3.12)

n care ij este tensorul unitate sau simbolul lui Kronecker, care arevaloarea 1 pentru i = j, respectiv 0 pentru ji . Cei doi coeficieni de

material din ecuaie, (viscozitatea dinamic) i v(viscozitatea volumic)reprezintrespectiv o msura rezistenei corpului la modificrile de formi de volum. Aceti doi coeficieni se determinexperimental iar valoare lornu depinde de mrimea i durata solicitrii i nici de viteza de deformare.

Pentru fluide incompresibile cnd deformarea volumiceste exclus( 0=ii& ), sau pentru fluide compresibile solicitate numai la forfecare ( ji

i ij= 0), ecuaia (3.12) devine:'2 ijij &= (3.13)

sau dac lum n considerare solicitrile pe direciile xi y iar corpul estesupus la forfecare simpldupdireciax(vy= 0):

yxxyx

yxy

v

x

v

y

v &=

=

+

= (3.14)

cunoscutca legea de frecare a lui Newton.Dei ecuaia (3.14) este consideratn mod curent ecuaia reologic

a fluidelor newtoniene, ea reprezint doar un caz particular al ecuaiei

(3.12), fiind valabilnumai pentru curgerea cu forfecare simpl.Modelul analog mecanic al fluidului lui Newton este amortizorul(fig. 3.4.a). Acesta se compune dintr-un recipient cilindric umplut cu unlichid newtonian, n care se deplaseazun piston ntr-o maniercare excludeapariia turbulenei. ntre partea fixi cea mobila amortizorului nu exist

puncte de contact, ceea ce evitapariia unor fore de frecare. Sistemul esteastfel construit nct efectele ineriale, gravitaionale i de capt suntneglijabile.

Fora F1 aplicat tijei determin deplasarea pistonului i trecerealichidului din fan spate, prin spaiul dintre piston i cilindru. Deplasareacrete continuu n timp iar viteza de deplasare este constant. La aplicarea

unei fore sub form de impact, amortizorul nu reacioneaz instantaneu.Viteza de deplasare este constantatta timp ct fora este constant. ntrefora aplicati viteza de deplasare existo proporionalitate direct:

dt

dLkF =1 (3.15)

n care kreprezintconstanta amortizorului, iar dL/dtviteza de deplasare. Seobservanalogia dintre ecuaiile (3.14) i (3.15).


36/152


30

Fig. 3.4. Fluidul lui Newtona modelul mecanic; b reograma corpului solicitat la forfecare simpl

Reograma fluidului cu comportare newtonian supus la forfecaresimpl (n condiii izoterme) este o dreapt a crei pant este o msur aviscozitii (fig. 3.4.b). n fluidele viscoase, deformaia duce la cretereaforelor de frecare intern, care disipeaz o parte din energia cinetic afluidului i o face saparsub formde cldur. La viteze mici de forfecare,n fluide cu viscozitate mic, fenomenul este minor, creterea temperaturii

fluidului datoritdisiprii energiei fiind neglijabil. Fluidele cu viscozitatemare pot ns genera cantiti apreciabile de cldur, fapt care duce lamodificarea proprietilor fluidului.

3.1.3.3. Plasticul lui St. Venant

Denumit i corpul pur plastic, acest corp posednumai plasticitate.Pnla pragul de tensiune se comportca un solid, dupcare se comportca un lichid.

Proprietile de elasticitate i viscozitate la corpurile viscoelastice

solicitate la forfecare se manifestconcomitent n toate punctele corpului.Materialele elastoplastice manifest succesiv comportare elastic icomportare plastic (fig. 3.5.a). Exist i corpuri lichide cu comportare

plastic(suspensii, vopsele, soluii, etc.). Acestea ncep scurgnumai dupce solicitarea egaleazpragul de curgere.

Segmentele OA din fig. 3.5.a corespund deformrilor perfectelastice, iar segmentele AB corespund deformrii plastice. Curba 1corespunde unui corp elastoplastic ecruisabil, iar curba 2 corespunde unuicorp elasto- perfect plastic.

fluidul lui Pascal

fluidul lui Newton

yx

tg = yx

x

y

X&=

dL

F1

a b


37/152


31

n cazul unor corpuri, deformaiile elastice sunt foarte mici

comparativ cu deformaia total, deformaiile elastice putndu-se astfelneglija. Aceste corpuri sunt denumite rigid-plastice sau, mai simplu,plastice.

Fig. 3.5. Moduri de comportare plastic(curbe idealizate)a comportare elasto-plastic; b comportare rigid-plastic

Curba 1 din fig. 3.5.b descrie comportarea unui corp rigid-plasticecruisabil, iar curba 2 pe aceea a unui corp rigid-perfect plastic. Pn la

pragul de tensiune corespunztor punctelor A, ambele corpuri sunt perfectrigide (au comportare de solid euclidian), iar peste acest prag se deformeazireversibil (curg), avnd comportare de fluid newtonian (curba 1), respectivde fluid pascalian (curba 2). Corpul a crui comportare este descris decurba 2 este tocmai plasticul St. Venant, acesta avnd ca unicproprietatereologic, plasticitatea.

Ecuaia reologica plasticului St. Venant supus la forfecare simplare forma:

fyx 0 = (3.16)

n care f0 reprezintpragul de tensiune la forfecare.

Pentru fyx 0 < , corpul se comportca un solid rigid. n momentuln care solicitarea egaleaz pragul de tensiune conform ecuaiei (3.16),corpul se deformeaziar deformaia este nerecuperabil.

Modelul analog mecanic al plasticului St. Venant este corpul cufrecare sau patina(fig. 3.6.a). Un corp solid, aezat pe o suprafaplan,orizontal, asupra cruia acioneazforaF1, este pus n micare numai cndfora aplicategaleazfora de frecare,Ff, datde ecuaia:

gmF ff = (3.17)

yx

a b

yx

O

A

B

1

2

O

A

A

A

BB

B

2

1

yx yx


38/152


32

n care m este masa corpului, gacceleraia gravitaionali fcoeficientul

de frecare. Pentru condiia de deplasare se poate scrie:fFF =1 (3.18)

Fig. 3.6. Plasticul lui St. Venanta modelul mecanic; b reograma corpului solicitat la forfecare simpl

Comparnd ecuaiile (3.16) i (3.18) i fcnd identitatea ntreparametrii solicitrii, rezult cpatina este analogul mecanic al plasticului

St. Venant. Dacse dau coeficientului de frecare din ecuaia (3.17) valorileextreme se ajunge la corpurile ideale:Pentru =f se obine =1F , ecuaie analogcu ecuaia reologica

solidului euclidian: 0sau == .Pentru 0=f se obine 01=F , ecuaie analogcu ecuaia reologica

fluidului pascalian: == &sau0 .O sumarizare a corpurilor cu comportare ideal este prezentat n

tabelul 3.1 i n reogramele din fig. 3.7.

Tab. 3.1. Corpuri cu comportare ideal

LICHID SOLIDcurgere deformare

inviscid viscid plastic elasticrigid

Corpul PASCAL NEWTON ST. VENANT HOOKE EUCLIDConstanta deforfecare

0 0 G

Ecuaiareologic

0= &= 0= = G

0=

yx

a b

yx

solidul lui Euclid

plasticul lui St. Venant

fluidul lui Pascal

0f

F1Ff

Gc= mg


39/152


33

Fig. 3.7. Reogramele corpurilor cu comportare ideal

supuse la forfecare simpl

3.1.4. Fluide cu comportare nenewtonian

Diversitatea comportrii corpurilor reale apare ca urmare a asocierii n diverse proporii a mai multor proprieti reologice. Sugestiv,comportarea unui corp real poate fi vizualizat n triunghiul comportrilorreologice (fig. 3.8). n vrfurile unui triunghi echilateral sunt amplasatecorpurile care prezint o singur proprietate reologic. Pe laturiletriunghiului sunt amplasate corpurile care posed cte dou proprieti

reologice. Acestor laturi lecorespund comportrile: visco-

plastic, visco-elastic i elasto-plastic.

Punctele din interiorultriunghiului reprezint corpuri ce

posed toate cele trei proprietireologice, fiind corpuri cucomportare visco-elasto-plastic.

n industria alimentar, pelng fluidele cu comportarenewtonian (ap, are, gaze, soluiii lichide cu mas molecularmic) ntlnim multe fluide a crorcomportare la forfecare simpl nu

yxyx

yx yx.

SolidulluiEuclid

Solid

ulluiH

ooke

Fluidul lui Pascal

Flui

dullui

Newto

n

Fluidul lui Pascal

Plasticul lui St. Venant

SOLIDUL

HOOKE

PLASTICUL

ST. VENANT

FLUIDUL

NEWTON

VIS

COELASTI

C

EL

ASTOPLASTIC

VISCOPLASTIC

VISCOELASTOPLASTICE

Fig. 3.8.Triunghiul

comportrilor reologice


40/152


34

respectlegea de frecare a lui Newton.

nelegerea comportrii fluidelor nenewtoniene este importantpentru specialistul din industria alimentardin cel puin doumotive:1. n mod frecvent proprietile nenewtoniene sunt caracteristici ceruteanumitor produse: mutarul, maioneza, sosurile i alte produse ambalate ntuburi flexibile sunt fluide cu prag de curgere. Ele nu trebuie scurgliberdin tub, ci s ias numai la presarea acestuia (deci dup ce tensiuneaaplicat a depit limita de curgere). Elaborarea produselor alimentare(creme, paste, sosuri, aluaturi, etc.) necesit cunoaterea temeinic acomportrii fluidelor nenewtoniene.

2. La proiectarea utilajelor, instalaiilor i traseelor de conducte esteabsolut necesar sse inseama de comportarea nenewtoniana fluidelor.Coeficienii de transfer de clduri de massunt considerabil afectai decomportarea fluidului. O deosebitatenie va trebui de asemenea acordatalegerii echipamentelor adecvate pentru amestecare i pompare.

3.1.4.1. Clasificarea fluidelor nenewtoniene

Fluidele pot fi clasificate, funcie de dependena dintre efortul unitarde forfecare i viteza de forfecare n fluide newtoniene (pentru caredependena este liniar) i fluide nenewtoniene (pentru care dependena este

neliniar). n categoria fluidelor nenewtoniene sunt incluse att fluidele careposed numai viscozitate, ct i fluidele care prezint dou sau chiar treiproprieti reologice fundamentale.

n funcie de numrul i tipul proprietilor reologice fundamentalepe care le posedun fluid, putem clasifica fluidele n modul urmtor:

Fluide fr nici o proprietate reologic. n aceast categorie sencadreaz fluidul inviscid al lui Pascal, care este un fluid ideal. Nuexistun corespondent real al unui astfel de corp.Fluide avnd o singur proprietate reologic viscozitatea. n

aceast categorie se ncadreaz fluidul newtonian precum i fluidelepentru care dependena tensiune vitezde deformare este neliniar, iarviscozitatea este dependentde parametrii solicitrii sau de timp. Acestedin urmfluide sunt numite fluide cu viscozitate de structursau fluideviscoase nenewtoniene.Fluide avnd dou proprieti reologice. n aceast categorie suntincluse fluidele viscoelastice i fluidele viscoplastice (fluide cu prag detensiune sau cu prag de curgere).


41/152


35

Fluide avnd trei proprieti reologice. Sunt fluidele care posedconcomitent elasticitate viscozitate i plasticitate, denumite fluide visco-elasto-plastice.

n cazul fluidelor nenewtoniene, viscozitatea dinamic nu esteconstant nici n condiii izobar-izoterme. Funcie de parametrii careinflueneazmodificarea vitezei de forfecare, aceste fluide pot fi mprite ndoucategorii:

Fluide independente de timp (dependente de forfecare), pentru careviteza de forfecare ntr-un punct depinde exclusiv de tensiunea deforfecare n punctul respectiv;Fluide dependente de timp, pentru care viteza de forfecare este ofuncie de mrimea i durata efortului de forfecare, precum i de istoriaforfecrii.

n funcie de modul n care variaia vitezei de forfecare influeneazviscozitatea, fluidele att cele pur viscoase, ct i cele viscoplastice sauviscoelastice pot fi clasificate n:

Fluide pentru care valoarea viscozitii este independent de viteza deforfecare:

- fluide newtoniene;-

fluide tip plastic Bingham;Fluide a cror viscozitate crete cu creterea vitezei de forfecare:- fluide dilatante (independente de timp);- fluide reopexice (dependente de timp);

Fluide a cror viscozitate scade cu creterea vitezei de forfecare:- fluide pseudoplastice (independente de timp);- fluide tixotrope (dependente de timp);

3.1.4.2. Fluide viscoase nenewtoniene

Pentru aceste fluide, a cror dependen tensiune vitez dedeformare (n condiii izoterme) este neliniar, iar viscozitatea depinde deparametrii solicitrii, se poate defini o viscozitate aparent:

ij

ij

a

&= (3.19)

Factorul principal al abaterii acestor fluide de la comportarea newtonianlconstituie modificarea structurii fluidului sub aciunea forelor de forfecare.


42/152


36

Dac viteza de modificare a structurii este mare, insesizabil

experimental, viscozitatea fluidului se modific numai dac se modificparametrii solicitrii. Aceast comportare este caracteristic fluidelorindependente de timp (fig. 3.9). Sensul de variaie a viscozitii aparentedepinde de comportarea reologic a fluidelor: fluidele pseudoplastice

prezintfenomenul de fluidificare (viscozitatea scade la creterea vitezei deforfecare), n timp ce fluidele dilatante prezint fenomenul de ngroare(viscozitatea crete la creterea vitezei de forfecare), aa cum reiese din fig.3.10.

Dacviteza de modificare a structurii este suficient de micpentru afi sesizabil experimental, fluidul i modific viscozitatea n timp, dei

parametrii solicitrii rmn constani. Aceastcomportare este caracteristicfluidelor dependente de timp. Fluidele reopexice prezint fenomenul dengroare, n timp ce fluidele tixotropeprezint fenomenul de fluidificare(fig. 3.11). Comportarea dependentde timp a acestor fluide se datoreazmodificrii lente a structurii prin forfecare. Modificnd continuu viteza deforfecare n sens cresctor i apoi n sens descresctor, se obin curbe cuhisterezis (fig. 3.12).

Comportarea neliniar la solicitare la forfecare simpl a fluidelorviscoase newtoniene independente de timp este descris cu ajutorul unormodele reologice semiempirice. Cel mai simplu dintre acestea este modelulOstwald de Waele, cunoscut i sub denumirea de legea puterii:

n

k &= (3.20)n care cele douconstante de material sunt:k - indice de consisten[ML-1Tn-2];n - indice de curgere [adimensional].

Combinnd ecuaia (3.19) cu ecuaia (3.20), prin eliminarea tensiuniide forfecare, se obine:

1= na k & (3.21)innd cont de ecuaia de definiie a viscozitii dinamice (3.14), din

(3.20) rezult:

an = (3.22)

Funcie de valoarea indicelui n, modelul Ostwald de Waele poatereproduce comportarea reologica urmtoarelor fluide:Fluide newtoniene: n = 1 ; a= k;Fluide pseudoplastice: n < 1 ; ascade cu creterea vitezei de

forfecare;Fluide dilatante: n > 1 ; acrete cu creterea vitezei de

forfecare.Cteva fluide viscoase nenewtoniene ntlnite frecvent n industria

alimentari n biotehnologii sunt prezentate n tabelul 3.2.


43/152


37

Tab. 3.2. Fluide viscoase nenewtonieneFluide pseudoplastice fluide biologice, maionez, suspensii de amidonFluide dilatante soluii de zahr, amidon, finde porumbFluide tixotropice soluii de gelatin, albude ou, grsimi, untFluide reopexice soluii diluate de oleat de amoniu

yx

yx

.

Fluidne

wtonian

Fluidps

eudoplas

tic

Flu

iddilatant

Fig. 3.9. Reogramele fluidelorviscoase independente de timp

a

yx.

Fluid newtonian

Fluid pseudoplastic

Fluid dilatant0

0

inf

inf

Fig. 3.10. Dependena viscozitii

de viteza de forfecare

yx

Fluid independent de timp

Fluid tixotropic

Fluidreopexic

yx= const..

timp

Fig. 3.11. Variaia n timp a

tensiunii de forfecare

yx

yx

.

Fluidtixotropic

Fluidreopexic

Fig. 3.12. Reograme ale fluidelor

viscoase dependente de timp


44/152


38

3.1.4.3. Fluide viscoelastice

Fluidele viscoelastice posed dou proprieti reologicefundamentale: viscozitate i elasticitate. Ele disipeaz numai o parte dinenergia care li se furnizeaz, respectiv componenta viscoas iar o parte componenta elastic o conserv i, dup ndeprtarea solicitrii, orecupereaz. Datorit componentei elastice, n comportarea acestor fluideapar fenomene speciale, cum ar fi: efectul de ridicare a lichidului pe tij,fenomenul de ngroare a jetului la ieirea dintr-un tub circular, apariiarecirculrii curenilor la ngustarea brusca seciunii de curgere, etc.

Comportarea acestor fluide poate fi descris prin intermediul unormodele analoge mecanice constituite din resorturi (care descriu componentaelastic) i amortizoare (care descriu componenta viscoas). Cele maisimple modele, reprezentate n fig. 3.13, sunt alctuite dintr-un resort i unamortizor legate n serie (corpul Maxwell), sau n paralel (corpul Voigt Kelvin). Aceste modele descriu comportarea liniar a corpurilor visco-elastice, dar existi modele care descriu comportarea neliniar.

Deformaia total a corpului Maxwell este dat de suma dintredeformaia elastic(e) i deformaia viscoas(v):

ve += (3.23)

La forfecare simpl, ei vrezultrespectiv din:

( )ttGdydX

G yxx

yx ,0 == (3.24)

( )tdy

dvyx

xyx &== (3.25)

Fig. 3.13. Modele analog mecanice ale fluidelor viscoelastice

G

F

corpul Maxwell

F

G

corpul Voigt - Kelvin


45/152


39

n care vxeste viteza fluidului n direciaxiXxeste deplasarea fluidului n

aceeai direcie, din poziia de echilibru corespunztoare timpului t0.Derivnd (3.23) n raport cu timpul i substituind n ea vitezele dedeformare, se obine:

yx

yx

yxtG

&=

+ (3.26)

care este ecuaia reologica corpului Maxwell. Pentru forfecare n regimstaionar ecuaia (3.26) se reduce la ecuaia reologica fluidului newtonian(3.14). La modificarea rapid a tensiunii, al doilea termen din membrulstng al ecuaiei devine predominant i, integrnd (3.26) se obine ecuaiareologica solidului lui Hooke (3.10).

n cazul corpului Voigt Kelvin deformaiile ambelor elementecomponente (resortul i amortizorul) sunt egale, iar solicitarea total estedatde suma:

ve += (3.27)Substituind termenii din membrul drept al relaiei (3.27) cu componentelecorespunztoare din legea lui Hooke (3.10) i legea lui Newton pentru cazulforfecrii simple (3.14), se obine:

dt

dGG

yx

yxyxyxyx

+=+= & (3.28)

care este ecuaia reologica corpului Voigt Kelvin.

Dacunui corp Voigt Kelvin i se ataeazn serie un amortizor seobine corpul Letherisch, care manifestcurgere pur viscoasi elasticitatentrziat, i descrie comportarea unor suspensii i emulsii a unor soluii de

polimeri i a bitumurilor.Un corp Voigt Kelvin nseriat cu un resort formeaz un corp

Zener, model reologic cu elasticitate instantanee i elasticitate ntrziat,care descrie comportarea fibrelor de sticli a unor metale.

Corpul Burgers se obine nseriind un corp Voigt Kelvin cu uncorp Maxwell. Acest model reologic care prezint viscozitate, elasticitateinstantanee i elasticitate ntrziat, reproduce comportarea betoanelor i a

polimerilor amorfi liniari.

3.1.4.4. Fluide viscoplastice

Fluidele viscoplastice sunt cunoscute i sub denumirea de fluide cuprag de tensiune. Ele ncep s curg numai dup ce solicitarea atingevaloarea 0, care reprezintpragul de tensiune (pragul de curgere, limita decurgere). n domeniul tensiunilor care satisfac condiia < 0au comportare


46/152


40

de solid, iar pentru > 0au o comportare viscoas, prezentnd fenomenul

de curgere.Cel mai simplu model reologic al unui fluid viscoplastic se obine

prin nserierea unui amortizor cu o patin (fig. 3.14.a). Pn la pragul decurgere 0, corpul are comportare de lichid newtonian:

yxyx &= (3.29)

Dupegalarea tensiunii yx= 0, viteza de forfecare poate lua orice valoaremai mare dect 0& . n acest caz patina are rolul unui limitator al solicitrii;

corpul nu poate suporta tensiuni mai mari dect 0(fig. 3.14.b).

Fig. 3.14. Modelul corpului viscoelastic cu elemente nseriate

a modelul analog mecanic; b reograma corpului

Un alt model poate fi obinut prin legarea n paralel a unui amortizorcu o patin(fig. 3.15.a). Acest model, cunoscut ca plasticul Bingham, subaciunea unei fore cresctoare se manifestiniial ca un solid rigid, iar peste

pragul 0are comportare de lichid newtonian (fig. 3.15.b).

Fig. 3.14. Plastic Bingham (corp viscoplastic cu elemente legate n paralel)a modelul analog mecanic; b reograma corpului

F

yx

0

yxx

dy

dv&=0

&

a. b.

a.

yx

0

yxx

dy

dv&=

b.

F


47/152


41

Ecuaia reologica plasticului Bingham are forma:

00 pentru >= yxx

pyxdy

dv (3.30)

n care peste viscozitatea plastic(mobilitatea).Modelul plasticului Bingham conine dou constante de material:

pragul de curgere 0 i viscozitatea plastic p. Prin analogie cu fluideleviscoase nenewtoniene se definete o viscozitate aparent a plasticuluiBingham:

dy

dv

dy

dv xx

yx

p0

+== (3.31)

a crei valoare descrete cu creterea vitezei de forfecare. Pentru valori miciale lui 0 i valori mari ale vitezei de forfecare, al doilea termen dinmembrul drept al ecuaiei (3.31) se poate neglija astfel nct =p .

Principalele tipuri de comportri viscoplastice sunt redate nreogramele din fig. 3.15. Toate corpurile sunt cu prag de curgere 0. Curba(1) corespunde plasticului Bingham. Curbele (2) i (3) reprezintcomportri

plastice neliniare cu fluidificare, respectiv cu ngroare. Curba (4) reprezintcomportarea unui lichid viscoplastic tixotrop.

Aceste reogramesunt valabile numai

pentru forfecarea simpl.Plasticul Bingham

are comportare liniarviteza de forfecare fiind ofuncie liniarde tensiune.Aceast comportare estecaracteristic unor sus-

pensii, margarinei, unorgrsimi, pastei de dini,unor suspensii despunuri i detergeni,unor paste de hrtie etc.

Pentru descriereacomportrii materialeloral cror rspuns lasolicitri este neliniar, sefolosesc modele neliniare.

yx

yxx

dy

dv&=

1

23

4

Fig. 3.15. Reogramele corpurilor viscoplastice


48/152


42

Modelul Herschel Bulkley, cu ecuaia:m

xyx

dy

dv1

0 '

= (3.32)

are o formechivalentcu modelul Ostwald de Waele [vezi ec. (4.20)],dar conine trei constante reologice (0, i m), ale cror valori se obin dindatele experimentale. Funcie de valorile exponentului m, se obincomportrile corespunztoare curbelor (1) (3) din fig. 3.15:

pentru m = 1 comportare liniar(plastic Bingham curba (1));pentru m< 1 comportare dilatant(curba (3));pentru m> 1 comportare fluidificant(curba (2)).

Modelul Cassonavnd ecuaia:

dy

dvk xyx = 0 (3.33)

conine dou constante empirice, 0 i k ale cror valori se obin prinprelucrarea grafic a datelor experimentale. Modelul descrie comportareareologica cernelurilor tipografice, a sngelui, sucului de portocale, pastelorde tomate, ciocolatei topite.

3.1.5. Reprezentarea generalizata comportrii reologice a fluidelor

Comportarea reologica fluidelor viscoase nenewtoniene, a fluidelorviscoelastice i a fluidelor viscoplastice permite stabilirea unor concluziigeneralizatoare pe baza crora poate fi neleas i explicat comportareafluidelor reale.

n fig. 3.16 sunt redate doucurbe generalizate de curgere. Curba (1)reprezintcurba de curgere a lui Ostwald, iar curba (2) reprezintcurbageneralizatde curgere. Pe curba (1) se disting patru domenii:

dreapta OA, corespunztoare primului domeniu newtonian;curba AB, corespunztoare comportrii pseudoplastice;curba BC, corespunztoare comportrii dilatante;

dreapta CD, corespunztoare celui de-al doilea domeniu newtonian.Curba (2), care reprezint o generalizare a curbei (1), conine treidomenii de comportare newtonian (OA, B1B2, CD), ntre care seintercaleazun domeniu pseudoplastic (AB1) i unul dilatant (B2C).

Pe baza curbei generalizate de curgere, precum i prin posibilitatearestrngerii, lrgirii sau contopirii domeniilor, se pot explica toate tipurile decomportri reologice:


49/152


43

Fluidul newtonian: Un

corp cu o curb generali-zat de curgere, la caremodificarea comportriidup punctul A, apare laviteze de forfecare foartemari, nerealizabile experi-mental.

Lichidul pseudoplastic:Corpul la care curbageneralizat de curgere

poate fi stabilit pe caleexpe-rimental pn la olimitsituatntre puncteleA i B2, n condiii decurgere laminar.

Lichidul dilatant: Ma-terialul cu curb genera-lizat de curgere, pentru

care primul domeniu newtonian, domeniul pseudoplastic i uneori o partedin al doilea domeniu newtonian, apar succesiv la viteze de forfecare mici inu pot fi separate pe cale experimental.

Corpul plastic: Materialul cu curb generalizat de curgere la careprimul domeniu newtonian se suprapune pe axa tensiunilor de forfecare,dupcare urmeazdomeniul pseudoplastic i, posibil, o parte din al doileadomeniu newtonian.

Plasticul Bingham: Corpul cu curb generalizat de curgere, la careprimul domeniu newtonian coincide cu axa tensiunilor, domeniul decomportare pseudoplastic este att de restrns, nct primul domeniunewtonian pare s fie urmat de cel de-al doilea domeniu newtonian, iardomeniul dilatant nu mai poate fi obinut pe cale experimental.

Lichidul Ostwald: Un material cu curbgeneralizatde curgere, la careal doilea domeniu newtonian este att de restrns nct se reduce la un punct

de inversiune ce marcheaz trecerea de la domeniul pseudoplastic la celdilatant.Conceptul de curb generalizat de curgere este important att

pentru comportarea reologic a fluidelor, ct i pentru comportareareologica solidelor.

yx

yxx

dy

dv&=

(1)

(2)

D

C

B

A

O

D

C

B2B1

A

Fig. 3.16. Curbe generalizate de curgere


50/152


44

3.2. STATICA FLUIDELOR

Statica fluidelor se ocup cu legile repausului fluidelor i cuinteraciunile dintre fluide i suprafeele solide cu care acestea vin ncontact. Un fluid este n echilibru (repaus) atunci cnd rezultanta forelorcare acioneaz asupra masei de fluid este nul. Echilibrul este consideratabsolut dac fluidul este n repaus fa de un sistem de referin fix (ex:repausul unui fluid dintr-un rezervor static), respectiv relativ dac fluiduleste n repaus fade un sistem de referinmobil (ex: repausul unui fluiddintr-o cisternn deplasare, repausul unui lichid dintr-o centrifugaflatnmicare de rotaie).

3.2.1. Fore care acioneazn fluide

Forele care acioneazasupra unei mase de fluid pot fi grupate nfore masice i fore de suprafa(superficiale).

3.2.1.1. Fore de mas

Sunt acele fore care acioneaz n fiecare punct al masei de fluid,sunt determinate de cmpul de fore externe n care se afl fluidul (cmp

gravitaional, centrifugal, electric, etc.) i sunt proporionale cu masafluidului. Astfel de fore sunt: fora gravitaional, fora centrifug, forainerial, fora electromagnetic, etc.

Forele unitare de masse definesc prin relaia:

dV

Fd

V

FF mm

Vm =

=

rr

r

0lim (3.34)

i au formula dimensional 2Masa

eAcceleratiMasa

Masa

Forta =

== TLFmr

.

Din punct de vedere matematic sunt mrimi vectoriale (tensori de ordinul 1).

3.2.1.2. Fore de suprafa

Documents

Fenomene de Transfer 1 Subteran