Faktory a jejich uspodnFaktor (kvalitativn promnn) factor (= categorial variable = categorical v.)Hladina faktoru factor levelMme-li dva nebo vce faktor, zle sprvn volba modelu ANOVA na jejich vzjemnm vztahu (uspodn, design)Faktoriln (factorial design) x hierarchick (nested = hierarchical design)

Faktoriln uspodnKad hladina uritho faktoru je kombinovna s kadou hladinou ostatnch faktorMaj-li nae faktory jen 2 hladiny, pak pi 2 faktorech mme 4 kombinace pi 3 faktorech mme 8 kombinac ...Obecn, maj-li faktory A, B, C,... a, b, c,... hladin, pak je poet kombinac a*b*c*...

Hierarchick uspodnti lokalityna kad lokalit ti kytkyna kad pt menFaktor Kytka je vloen do faktoru Lokalita (Kytka is nested in Lokalita)Kytka 1 (kyt1) z prvn lokality nem nic spolenho s kytkou 1 z druh lokality

Faktoriln uspodn: vyvenostJe nejlep, pokud mme pro kadou kombinaci hladin faktor stejn poet pozorovn, dostvme pak nejsilnj a nejvce robustn testPinejmenm bychom ale mli mt proporn uspodn

Dvoucestn ANOVAbez interakceNejprve zaneme s modelem, ve kterm pedpokldme, e vlivy hnojen a kosen jsou aditivn: Xijk = m + ai + bj + eijk m je celkov (spolen) prmr (nap. 22.5) a je vliv kosen (nap. a1=-5.0, a2=+5.0) b je vliv hnojen (nap. b1=+2.5, b2=-2.5) e je nhodn variabilita, nezvisl na hodnotch faktor

Dvoucestn ANOVAbez interakceAditivitu faktor asto nememe pedpokldat a priori, ovujeme ji pouitm neaditivnho modelu (s interakc): test interaknho lenu a interaction plotH0A: a1=a2=0 hnojen nem vlivH0B: b1=b2=0 kosen nem vlivH0AB: g11=g12=g21=g22=0 nen interakceSSTotal=SShnojeno+SSkoseno+SShnojeno*koseno+SSerror

Dvoucestn ANOVA s interakcModel bez interakce: Xijk = m + ai + bj + eijkPidme-li interakci: Xijk = m + ai + bj + gij + eijkInterakce mezi faktory je symetrick, a tak nm k bu: velikost (ppadn i smr) vlivu hnojen zvis na tom, zda je plocha kosen nebo ne nebo velikost (ppadn i smr) vlivu kosen zvis na tom, zda je plocha hnojen nebo neSpeciln ppad: kosen m vliv jen u nehnojench ploch

Dvoucestn ANOVA s interakcNen interakce:Je interakce:Kdy popisuji vsledky, nesta ct, e interakce je prkazn, musm uvst pro (kde a jak je odchylka od aditivity)Je teba zdraznit, e spojovn prmr tady nen interpolac: jde nm o zobrazen interakce pomoc (ne)rovnobnosti arHlavn efekt (main effect)

Mn ast typ interakceVliv 2 lk (A a B) na snen teploty testovn faktorilnm experimentemHlavn efekt lku A vyel neprkazn, hlavn efekt lku B tak, ale vyla prkazn interakceInteraction plot vypad takto:Vsledek neznamen, e by lky nebyly inn!Jejich inek se pi spolenm podn ru.

F statistika v dvoucestn ANOVAfaktory s pevnm efektemFhnojeno, Fkoseno, Fhnojeno*koseno jsou vechny potny dlenm pslunho MS hodnotou MSErrorNapklad: Fhnojeno=352.8/8.025 = 43.963Nen tomu ale tak v ppad faktor s nhodnm efektem!

Mnohonsobn porovnnVe faktoriln analze variance (s 2 a vce faktory) provdm obdobn jako ve one-way ANOVAV naem pkladu nem smysl: mme jen dv hladiny pro kad z faktorMohu porovnvat bu pro hlavn efekty nebo i pro interakci (tj. vechny faktoriln vytvoen skupiny mezi sebou)Co budu porovnvat rozhoduji j (ovem s ohledem na vsledky testu)

F statistika v dvoucestn ANOVAmixed effects (nhodn+pevn)Zkoumm vliv kosen na druhovou bohatost, mme ti lokality, na kad mm ti kosen a ti nekosen plochyFkoseno = MSkoseno / MSlokalita*koseno tj. 206.72 / 5.39

Experimentln uspodn:1 pln znhodnnMme experiment se 4 zsahy (K, Z1, Z2, Z3) a se 4 opakovnmi pro kad typ zsahu (= pro kadou hladinu faktoru)Je-li vech 16 ploch rozmstno zcela nhodn (completely randomised design), hodnotm jednocestnou analzou variance

Experimentln uspodn:2 zcela nesprvnVliv zsahu nelze v datech zskanch z tohoto patnho uspodn odliit od vlivu umstn v prostoruPojem pseudoreplikace (pseudoreplication)

Experimentln uspodn:3 znhodnn blokyRandomised blocks, ale pozor, nkdy t jako Completely randomised blocks!Nhodn faktor Blok, two-way ANOVA bez interakce. Silnj test, pokud se bloky li

Experimentln uspodn:4 Latinsk tverecLatin squareZnme smry prostorov variability a bu je jen jeden (nap. vlhkost) nebo jsou kolm3-way ANOVA, nhodn fak. dek a sloupec

Friedmanv testNeparametrick test, zobecnn Wilcoxonova testuZaloeno na poad hodnot (pro jednotliv hladiny faktoru) uvnit bloka je poet hladin studovanho faktorub je poet blokRi je souet hodnot poad pro i-tou hladinu

Transformace: problmy s aditivitou 1Porovnvm vky sedmikrsek a slunenic a jejich odpov na pidn ivinFaktoriln uspodn, 2 faktory s pevnm efektem a 2 hladinami (druh a iviny)Ti testovateln hypotzy (2 hlavn efekty plus interakce):vka sedmikrsek a slunenic se nelivka rostlin se mn po pidn ivinvliv pidn ivin je stejn pro oba druhy

Transformace: problmy s aditivitou 2Lze oekvat heterogenitu varianc (hodnoty vky budou mt asi vt varianci u slunenic ne u sedmikrsek) S.D. bude linern zvisl na prmru (CV bude konstantn)Interakce v ANOVA modelu testuje aditivitu, a tedy nrst vky dky pidn ivin stejn (v cm) u obou druh nap. 10 cm:

Transformace: problmy s aditivitou 3Takov aditivita ale neodpovd biologick realit lze spe oekvat nrst proporn, nap. o 100%Odpovdajc model pro vliv druhu (slunenice je 10-krt vy ne sedmikrska; hnojen zv vku 2-krt) je:Chceme-li dostat model ANOVA, musme logaritmovatTabulka logaritm prmrnch vek pak vypad takto:

Logaritmick transformacePokud byla v pvodnch datech S.D. linern zvisl na prmru, vede k homogenit var.Mn multiplikativn efekty na aditivnMn lognormln rozdlen e na normlnProblm s nulami: v biologickch datech ast (pokryvnost i poetnost druhu ve vzorku)X = log(X+c), c by mlo odpovdat kle hodnot X (c=1 vhodn pro poty, procenta)Piten c naruuje pevod multiplikativity na aditivitu

Jin transformace Pedpokldme-li pro zvislou promnnou Poissonovu distribuci: Pro procenta a podly (na kle 0 1):

Hierarchick uspodn(nested design)V pklad je faktor Kytka jasn s nhodnm efektem, u faktoru Lokalita si lze pedstavit ob monosti. Takto vypadaj nejastj ppady hierarchick analzy varianceVyrovnanost potu pozorovn je i zde velmi dleitti lokalityna kad lokalit ti kytkyna kad pt men

Hierarchick uspodnpklad s dlkou trubky 1123

Hierarchick uspodnpklad s dlkou trubky 2Pi rozkladu sumy tverc (SS) potme tverce rozdl kadho pozorovn (prmru) od jeho hierarchicky nejbliho vyho pslunho prmruJsou-li hierarchicky ni efekty nhodn, je F statistikou pomr MS efektu a MS nejbliho hierarchicky niho efektu

Nejastj pouithierarchick analzy varianceRozklad variability znak mezi jednotliv hierarchick rovn (taxonomick / prostorov)asto mne zajm pedevm hierarchicky nejve postaven faktor, podazen faktory umouj oddlen variability na nich rovnch zven sly testu Pklad: vliv pastvy 6 ohrad: 3 + 3 ale v kad 5 ploch (zachyt variabilitu uvnit ohrad), z kad plochy 3 vzorky pro analzy (zachyt variabilitu v biomase a v anal. metod)

Pseudoreplikace jet jednouPozor na smsn vzorky: umon zprmrovat nezajmavou variabilitu, ale ztrc se nezvislost pozorovn v nich zahrnutch vzork!Tohle nejsou nezvisl pozorovn !!

Sloitj modely ANOVAFaktoriln a hierarchicky uspodan faktory se mohou rzn kombinovat, nkter s pevnm a nkter s nhodnm efektemSplit-plot design: whole-plots vs. split-plotsOpakovan pozorovn (repeated measures)BACI: before-after control-impact