FAKTOR DENGAN TARAF KUALITATIF

DAN KUANTITATIF

Dibuat untuk memenuhi tugas

Desain Eksperimen

Disusun :

Lies Kurnia N (0510670035)

Ananda Dharma W (0610670005)

Ifan Hadi P (0610670025)

Pramadita Y (0610670036)

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK MESIN

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI

2009

FAKTOR DENGAN TARAF KUALITATIF

DAN KUANTITATIF

Telah kita pelajari beberapa macam desain disertai cara analisisnya baik yang

menyangkut sebuah factor maupun lebih. Factor atau factor-faktor yang terlibat,

umumnya terdiri atas beberapa buah taraf yang apabila kita perhatikan, taraf-taraf itu

mungkin berbentuk kualitatif dan kuantitatif. Factor temperature misalnya, jika

eksperimen dilakukan dalam 50,60,70, maka kita berhadapan dengan taraf kuantitatif.

Dan apabila temperature dinyatakan dengan rendah,sedang dan tinggi maka factor

temperature berbentuk kualitatif.

Masih banyak contoh lain yang dapat diambil untuk factor-faktor yang terdiri

atas taraf kualitatif dan kuantitatif.

Didalam bab ini akan dibahas cara analisis yang menyangkut factor-faktor

dengan taraf kualitatif maupun kuantitatif. Akan tetapi sebelumnya perlu diuraikan

terlebih dahulu mengenai regresi lengkung dan poloinom ortoghonal yang akan

digunakan kemudian.

1. Regresi Linier dan Berganda

Pengertian Regresi

Regresi yaitu kecenderungan suatu pengamatan tentang pengaruh satu

variabel bebas (independent variable) terhadap variabel tak bebas (dependent

variable)

Metode Model Regresi

a. Enter

Memasukkan atau memilih semua variabel independen dalam persamaan

regresi

b. Remove

Untuk mengeluarkan satu persatu variabel independen dalam persamaan

regresi

c. Backward

Untuk mengeluarkan satu persatu variabel independen dalam persamaan

regresi

d. Forward

Untuk memasukkan satu persatu variabel independen dalam persamaan

regresi

e. Stepwise

Metode ini memilih dan mengeluarkan variabel independen dalam

persamaan berdasarkan nilai signifikansi yang ada pada options

Kriteria Statistik

1. Uji R2 (koef. determinansi)

nilai R2 mempunyai interval 0 ≤ R2 ≤ 1. Semakin besar nilai R2 semakin baik

model regresi tersebut

2. Uji F

nilai F dipakai untuk pengaruh variabel independen secara keseluruhan terhadap

variabel dependen. Pengujian denan membandingkan Ftabel dengan Fhitung

yaitu :

• bila Fhit > Ftabel =maka H0 ditolak

• bila Fhit < Ftabel =maka H0 diterima

3. Uji t

nilai t dipakai untuk melihat signifikansi pengaruh variabel independen secara

individu dengan variabel dependen dengan menganggap variabel lain konstan.

Uji t dengan membandingkan t tabel dengan t hitung yaitu :

• bila t hit > t tabel = maka H0 ditolak

• bila t hit < t tabel = maka H0 diterima

Asumsi-Asumsi regresi :

1. Linier atau aditif

Nilai harapan pengamatan-pengamatan variabel dependen dari suatu variabel

independen tertentu dengan variabel independen lainnya dan membentuk suatu

garis lurus. Dalam hal ini fungsi linearnya berada dalam parameter variabel

independen. Apabila sifat keaditifan tidak dipenuhi maka model tersebut

sebenarnya salah jumlah

2. Homogen dalam variansi

Tingkat variansi atau keseragaman nilai variabel dependen pada suatu variabel

independen tertentu dengan variabel independen lainnya cenderung sama. Uji

homogenitas variansi biasanya dilakukan dengan uji Barlett. Apabila tingkat

keseragaman tidak homogen maka penduga model tidak stabil dan variansi

penduganya akan mempunyai nilai yang benar

3. Kenormalan

Sebaran variabel respon untuk variabel penjelas tertentu mengikuti distribusi

normal. Sifat kenormalan ini dapat diuji dengan uji kebaikan suai.

4. Independen / kebebasan antar pengamatan

Pengamatan yang satu dengan pengamatan yang lain tidak saling

mempengatuhi. Memeriksa kebebasan antar pengamatan ini dapat dilakukan

dengan uji independensi

Langkah-langkah dalam uji regresi :

1. Menentukan formula hipotesis

2. Menentukan taraf nyata dan nilai t tabel

3. Menentukan kriteria pengujian

4. Menghitung koefisien regresi, dan standar baku regresi maupun koefisien

regresi

5. Menentukan nilai uji statistik

6. Membuat kesimpulan

Regresi Linear

Untuk mengukur besarnya pengaruh variabel bebas terhadap variabel

tergantung dan memprediksi variabel tergantung dengan menggunakan variabel

bebas. Gujarati (2006) mendefinisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap

hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the

explained variabel) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the

explanatory). Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan

variabel kedua disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari

satu, maka analisis regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda

karena pengaruh beberapa variabel bebas akan dikenakan kepada variabel

tergantung.

Persamaan Regresi Linier

dimana:

y = variabel tak bebas (terikat)

x = variabel bebas

a = kelandaian (slope) kurva garis lurus

b = perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’ atau sumbu tegak

Atau dengan kata lain α dan β adalah parameter yang nilainya tidak diketahui

sehingga diduga melalui statistik sampel. (Sambas dan Maman)

Nilai koefisien dari persamaan regresi dapat dihitung dengan cara sebagai

berikut:

Multikolinearitas

Secara implisit, intepretasi model (persamaan regresi berganda) bergantung

pada asumsi bahwa variabel-variabel bebas dalam persamaan tersebut tidak

saling berkorelasi. Jika dalam model yang dibentuk terdapat korelasi antara

variabel bebas, maka permasalahan multikolinearitas (hubungan yang linear)

antara regresor akan muncul. Model regresi yang benar semestinya tidak

mengandung unsure multikolinearitas (tidak ada korelasi antara variabel bebas),

karena akan mengakibatkan intepretasi terhadap permasalahan yang ada menjadi

tidak benar.

Untuk menguji ada tidaknya masalah multikolinearitas dalam permodelan

tersebut dapat digunakan uji terhadap besaran korelasi antar variabel bebas.

Adapun batasan-batasan yang digunakan dalam pengujian Multikolinearitas

(Levin : 2002) adalah sebagai berikut:

Jika korelasi lebih besar dari 0,5, hubungan antara variabel bebas tersebut

mempunyai korelasi yang kuat.

Jika korelasi lebih kecil dari 0,5, hubungan antara variabel bebas tersebut

mempunyai korelasi yang lemah.

Uji multikolinearitas dilakukan guna menghindari sebagai berikut:

Variansi besar (dari taksiran OLS)

Interval kepercayaan lebar (variansi besar→standard error→besar

interval kepercayaan lebar)

Uji-t (t rasio) tidak signifikan. Suatu variabel bebas yang signifikan baik

secara substansi, maupun secara statistik jika dibuat regresi sederhana, bisa

tidak signifikan karena variansi besar akibat kolinearitas.

R2 yang tinggi tetapi tidak banyak variabel yang signifikan dari uji-t.

Terkadang taksiran koefisien yang dihasilkan mempunyai nilai yang tidak sesuai

dengan substansi, sehingga dapat menyesatkan intepretasi.

Akibat Adanya Multikolinearitas

Jika antara X1, dan X2 terjadi multikolinear, misalnya secara sempurna seluruh

data menunjukkan bahwa X1=2 X2, maka nilai b1 dan b2 tidak dapat ditentukan

hasilnya karena dari formula OLS sebagaimana dibahas terdahulu,

bi=

akan menghasilkan bilangan pembagian, b1 =

Dengan demikian hasilnya tidak menentu. Demikian juga standar error (Sb1)

akan menjadi sangat besar. Jika multikolinearitas tidak begitu sempurna tetapi

tetap tinggi akibatnya adalah parameter estimate b1 yang diperoleh tetap valid,

tetapi Sb1 akan bias membesar. Akibatnya uji t yang rumusannya berupa, t =

b1/Sb1 akan cenderung kecil.

Autokorelasi

Uji Autokorelasi digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya

penyimpangan asumsi klasik autokorelasi, yaitu korelasi yang terjadi antar

residual pada satu pengamatan dengan pengamatan lain model regresi. Prasyarat

yang harus terpenuhi adalah tidak adanya autokorelasi dalam model regresi.

Metode pengujian yang sering digunakan adalah dengan uji Durbin-Watson

dengan ketentuan sebagai berikut :

1. Jika d lebih kecil dari dL atau lebih besar dari (4-dL) maka hipootesis nol

ditolak, yang berarti terdapat autokorelasi.

2. Jika d terletak antar dU dan (4-dU) dL maka hipootesis nol diterima, yang

berarti tidak terdapat autokorelasi.

3. Jika d terletak antara dL dan dU atau di antara (4-dU) dan (4-dL) maka tidak

menghasilkan kesimpulan yang pasti

Nilai dL dan dU diperolah dari tabel statistik Ddurbin Watson yang

bergantung banyaknya observasi dan banyaknya variabel yang menjelaskan

Rumus uji Durbin Watson adalah sebagai berikut :

Keterangan

d = nilai durbin watson

e = residual

studi kasus regresi linier

Untuk regresi linier, yang diperlukan disini sebaiknya akan langsung

dijelaskan dalam contoh. Misalkan bahwa untuk mendapatkan endapan semacam

zat,dinyatakan dengan Y, lama waktu mengaduk larutan telah ditentukan enam

macam, ialah 5,8,11,14,17,20 menit. Untuk setiap keadaan digunakan tiga kali

percobaan yang dilakukan secara acak sempurna. Hasilnya, dengan

menggunakan vlume percobaan yang sama, diberikan daftar VII (1).

Penyajian data dalam daftarVII (1), bentuk umumnya telah disajikan dalam

daftar II (1), Bab II. Jadi semua hasil pengamatan untuk unit eksperimen ke j

karena perlakuan ke i dinyatakan dengan Yij.

Dengan menggunakan model II (1) dalam Bab II, yakni

Yij = µ + τi + € ………………………………VII (1)

Dengan i = 1,2,….,6

J = 1,2,3

Yij = berat endapan zat

µ = rata-rata umum

τi = efek waktu mengaduk larutan

€ij =efek unit eksperimen ke j karena pengadukan ke i

ENDAPAN SEMACAM ZAT KARENA LAMANYA PENGADUKAN

(dalam gram)

TEMPO MENGADUK ( menit) Jumla

h5 8 1

1

14 17 20

Berat

endapa

n

22

23

20

26

28

29

3

0

3

1

2

9

35

34

34

38

36

34

37

40

38

Jumlah 65 83 9

0

103 10

8

115 564

Rata-

rata

21,

7

27,

7

3

0

34,

3

36 38,

3

31,3

DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DIATAS

Sumber

variansi

dk JK KT F

Rata-rata 1

15

12

17.672

565,3

24,7

17.672

113,06

2,06

54,88Antar waktu

Kekeliruan

jumlah 28 18.262 - -

Dengan harga statistik F = 54,88 dan nilai F table =2,62 maka F hitung >

f table,

54,88 > 2,62 jadi Ho ditolak maka hasil pengujian sangat berarti sehingga tempo

melakukan pengadukan mempunyai pengaruh yang sangat jelas terhadap

terjadinya endapan.

Dalam praktek sering diinginkan untuk dapat memperkirakan atau menaksir

endapan yang terjadi apabila lama waktu melakukan pengadukan diketahui.

Maka untuk ini perlu ditentukan hubungan antara lama waktu hubungan ,

dinyatakan dengan Xj, dengan endapan yang terjadi dinyatakan dengan Yij. Untuk

melihat bentuk hubungan yang mungkin ada, sebaiknya diagram pencarnya

digambarkan. Dengan jalan memperhatikan letak titik-titik dalam diagram pencar

yang diperoleh kita bias memperkirakan apakah hubunganya berbentuk linier

(lurus) atau non linier (lengkung). Diagram pencar untuk data dapat dilihat

seperti gambar berikut

Memperhatikan letak titik-titik dalam gambar diatas, adanya hubungan

liniersudah dapat diduga. Model linier untuk populasi adalah

Yx = bo + b1 Xj ……………………………………..VII(2)

Dengan Yx = harga prediksi Y apabila harga diketahui

Xj = waktu mengaduk ke j

bo = potongan pada sumbu vertical oleh karena garis regresi.

b1 = koefisien arah garis regresi

harga-harga bo dan b1 dihitung dari system persamaan normal berikut

∑ ∑ Y ij = bo n + b1 r ∑ Xj

∑ ∑ X i Y ij = bo r ∑ Xj + b1 r ∑ Xj2 ……………………………………..VII(3)

dengan n = banyak observasi keseluruhan sedangkan r = replikasi atau banyak observasi

untuk tiap taraf factor.

jika harga-harga yang diperlukan dihitung dari data diatas maka,

∑ ∑ Y ij = 564

∑ Xj = 5+8+11+…+20 = 75

∑ Xj2 = 52 + 82 +….+202 = 1.095

∑ ∑ X i Y ij = 5(22+23+20) +…..+ 20(37+40+38) = 5775

n = 18 dan r = 3

maka didapat system persamaan normal

564 = 18bo + 225 b1

5775 = 225bo + 3285b1

setelah diselesaikan didapat b0 = 17921 dan b1 = 1073 , sehingga regresinya

mempunyai persamaaan

Yx = 17921 + 1073 Xj

Apabila ke dalam persamaan regersi diatas disubtitusikan harga-harga Xj maka

didapatlah prediksi rata-rata Yx. Prediksi rata-rata ini kita bandingkan dengan

rata-rata nilai respon untuk melihat berapa jauh adanya penyimpangan prediksi

dari yang sebenarnya. Daftar berisikan harga-harga yang dimaksud

PENYIMPANGAN PREDIKSI BERDASARKAN REGRESI LINIER

Xj Yx Yj Yj - Yx

5

8

11

14

17

23,3

26,5

29,7

32,9

36,2

21,7

27,7

30

34,3

36

1,6

-1,2

-0,3

-1,4

0,2

20 39,4 38,3 1,1

Untuk melihat apakah penyimpangan ini cukup wajar ataukah tidak, perlu

dilakukan pengujian khusus dengan menggunakan ANAVA. Ini bias dilakukan

dengan jalan memecah jumlah kuadrat-kuadrat (JK) sumber variansi perlakuan

(dalam hal ini : antar waktu) menjadi JK (regresi linier) dan JK (penyimpangan

dari regresi linier).

Rumus-rumusnya adalah

JK (regresi linier) = rb12 { ∑ Xj

2 – ( ∑ Xj )2 / k }………..VII(4)

JK (penyimpangan) = JK (perlakuan) – JK (reg lin)

Dengan k = menyatakan banyak taraf factor. Derajat kebebasan untuk JK ini

sama dengan satu sedangkan dk bagi JK untuk penyimpangan merupakan

sisanya.

Dengan harga-harga yang diberikan dan k = 6 kita peroleh

JK (regresi linier)= 3(1073)2 {1095 – (75)2/6}

= 544

JK (penyimpangan) = 565,3 – 544

= 21,3

Dengan harga-harga diatas kita peroleh ANAVA sebagai berikut

DAFTAR ANAVA UNTUK REGRESI LINIER

Sumber variasi dk JK KT F

Antar waktu

Regresi linier

Penyimpangan

kekeliruan

5

1

4

12

565,3

544

21,3

24,7

544

5,33

2,06

264,08

2,59

jumlah 17 590 - -

Statistic F untuk regresi linier = 544/2,06 = 264,08 > F table; 230,2 jadi sangat

berarti. Dan F untuk penyimpangan = 5,33/2,06 = 2,59 < F table ; 7,71 jadi tidak

berpengaruh

Tampak bahwa efek linier sangat berarti sedangkan penyimpangan dari

regresi linier sama sekali tidak berarti. Karenanya model non linier(lengkung)

tidak diperlukan.

Jika diperoleh uji penyimpangan yang signifikan, maka regresi lengkung

harus dicari. Beberapa hasil statistic dari ANAVA untuk regresi linier yang dapat

dikemukakan adalah:

1. Koefisien korelasi person, dinyatakan dengan r atau ryx, merupakan akar dari

bagian JK yang dimiliki oleh regresi linier. Untuk ANAVA diatas, maka

r2yx = 544/490=0.9222 atau ryx = 0,96

suatu korelasi sangat tinggi yang dapat dijelaskan melalui regresi linier.

karena itulah bentuk regresi lengkung tidak diperlukan.

2. Kekeliruan baku taksiran, dinyatakan dengan sy.x, untuk model linier,

merupakan akar dari KTyang didapat apabila JK penyimpangan dari regresi

linier digabungkan dengan JK kekeliruan. JK yang dihasilkan dari

penjumlahan ini dinamakan JK kekeliruan taksiran. Untuk contoh kita, maka

JK (kekeliruan taksiran) = 21,3 + 24,7 = 46

Dengan dk = 4+12 = 16

Jadi sy.x = = 1,696

Penggunaan sy.x misalnyauntuk menentukan batas-bataskonfiden koefisien arah

dan batas-batas prediksi

studi kasus regresi lengkung

Dalam contoh diatas tentang regresi linier, sebagai hasil pengujian dengan

ANAVA, diperoleh bahwa hipotesis nol tidak terdapat penyimpangan dari regresi

linier telah diterima. Jika ternyata hipotesis nol itu ditolak, maka regresi linier perlu

diganti dan regresi lengkung perlu ditentukan. Cukup banyak macam regresi

lengkung, tetapi disini hanyalah akan ditinjau secara singkat mengenai regresi order

m, dan khususnya regresi order dua atau regresi kuadratik.

Bentuk umum dari model lengkung order m, apabila kita berbicara taksiranya,

adalah

Yx = b0 + b1 Xj + ….+ bmXjm …………………VII(5)

Dan untuk m=2, diperoleh model kuadratik

Yx = b0 + b1 Xj + b2Xj2 ……………………..VII (6)

(Untuk m = 3 diperoleh model kubik, m = 4 model kuartik dan untuk m = 5

merupakan model kuintik; model order yang lebih tinggi dalam prakteknya

tidak terlalu sering digunakan)

Dalam hal model kuadratik yang digunakan, model seperti dalam persamaan

maka koefisien b0,b1,dan b2 dapat dihitung dengan jalan menyelesaikan system

persamaan normal

∑ ∑ Y ij = b0 n + b1 r ∑Xj + b2 r ∑ Xj2

∑ ∑ Xj Yij = b0 r ∑Xj + b1 r ∑ Xj2+ b2 r ∑ Xj

3

∑ ∑ Xj2 Y ij = b0 r ∑ Xj

2+ b1 r ∑Xj3 + b2 r ∑ Xj

4…………VII(7)

Dengan Y ij = variable respon (nilai pengamatan)

Xj = nilai taraf factor

n = ukuran sampel

apabila jarak atau beda nilai antara dua taraf factor X berurutan sama, (dalam

hal ini dikatakan bahwa factor X berinterval sama) maka perhitungan untuk mencari

b0,b1,dan b2 dapat disederhanakan dengan jalan menggunakan tranformasi

uj = Xj –

dengan X = rata-rata nilai untuk taraf factor X

d = jarak antara dua nilai taraf yang berurutan (panjang interval taraf)

dengan variable uj ini system persamaan menjadi

∑ ∑ Y ij = b’0 n + b’2 r ∑ uj2

∑ ∑ uj Yij = b’1 r ∑u2j …….VII(8)

∑ ∑ uj2Yij = b’0 r ∑ uj

2 + b’2 r ∑ uj4

Dengan b’0, b’1, dan b’2 berasal dari model

Yx = b’0 + b’1 uj + b’2 uj2 ……………..VII(9)

Dengan jalan mengganti kembali uj oleh Xj akan diperoleh model kuadratik dalam Xj

dengan persamaan VII (6)

Contoh soal.

Observasi secara acak terhadap pengembangan volume semacam zat karena

adanya perubahan temperaturtelah dilakukan. Hasilnya diperoleh sebagai berikut

PENGEMBANGAN ZAT AKIBAT PERUBAHAN TEMPERATUR

jumlah

20 25 30 35 40

Pengembangan

(%)

10 18 25 27 23

8 16 20 26 20

9 16 24 25 18

10 15 23 29 20

jumlah 37 65 92 107 81 382

Untuk melihat bentuk regresinya, sebaiknya diagram pencarnya digambarkan.

Dari grafik dibawah ini tampak adanya kecenderungan bentuk regresi lengkung.

Jika regresi kuadratik akan kita tentukan, maka sebaiknya kita gunakan rumus VII (8)

karena taraf-taraf untuk factor temperature (X) berjarak sama ( yakni 20,25,30,35,40

yang memiliki beda taraf 5 dan = 30). Dengan menggunakan tranformasi

uj = , maka didapat pasangan

untuk perhitungan selanjutnya diperoleh harga-harga

Σ Σ Y ij = 382 n = 20 r = 4

Σ Σ uj Yij = (-2)(37) + (-1)(65) +(0)(92) + (1)(107) + (2)(81)

= 130

Σ Σ uj2 Yij = (-2)2(37) + (-1)2(65) +(0)2(92) + (1)2(107) + (2)2(81)

= 644

Σ uj2 = (-2)2+ (-1)2 +(0)2+ (1)2 + (2)2 = 10

Σ uj4 = (-2)4 + (-1)4 +(0)4 + (1)4 + (2)4 = 34

Mensubstansikan harga-harga ini kedalam rumus VII(8) diperoleh system

persamaan sebagai berikut:

382 = 20 b`0 + 40 b`2

130 = 40 b`1

644 = 40 b`0 + 136 b`2

Setelah diselesaikan didapat b`0 = 23,38 ; b`1 = 3,25 dan b`2 = -2,14

Dalam Xj, dengan menggunakan rumus persamaan VII(9) dan

Xj 20 25 30 35 40

uj -2 -1 0 1 2

Uj = maka regresi yang sedang dicari adalah

Yx = -73,16 + 5,79 Xj - 0,09 Xj2

Apakah model kuadratik diatas dapat digunakan ataukah tidak, masih perlu

diselidiki mengenai kemungkinan terjadinya penyimpangan dari bentuk kuadratik.

Untuk itu digunakan ANAVA regresi dan perlu ditentukan harga-harga JK untuk

sumber-sumber variasi: antar temperature, regresi linier, kuadratik terhadap linier,

penyimpangan dari kuadratik dan kekeliruan. JK (regresi linier) dapat dihitung

dengan rumus VII (4), tetapi untuk itu diperlukan dulu persamaan regresi liniernya;

dan ini cukup memakan waktu. Karenanya JK ini bias juga ditentukan oleh

JK (reg. linier) = …………………………..VII(10)

JK(kuadratik terhadap linier) dengan dk = 1 didapat apabila ……VII(11)

JK(reg kuadratik) = r(b2`)2 Σ (uj2 - )2 + r(b1`)2 Σ (uj

2 dikurangi JK (reg linier))

JK (penyimpangan dari kuadratik) merupakan sisa dari JK (perlakuan)setelah

dikurangi JK (reg linier) dan JK (kuadratik terhadap linier). Menggunakan rumus-

rumus untuk JK ini dan harga-harga yang telah dihitung, diperoleh

JK (linier) = = 422,5

JK (kuadratik) = 4(-2,14)2(14) + 4(3,25)2 (10)

= 256,46 + 422,5 = 678,96

JK (kuadratik thd linier) = 678,96 – 422,5 = 256,46

JK (penyimpangan dari kuadratik) = 720,8 – 678,96 = 41,84

JK (kekeliruan) = 43

Dari hasil-hasil diatas diperoleh daftar ANAVA sebagai berikut

DAFTAR ANAVA REGRESI ORDER DUA

Sumber variasi dk JK JK

Antar temperature

Regresi linier

Kuadratik thd linier

Penyimpangan

kekeliruan

4

1

1

2

15

720,8

422,5

256,46

41,84

43

180,2

422,5

256,46

20,92

2,87

Jumlah 19 763,8 -

Jika dilakukan uji F, tampak bahwa efek-efek linier dan kuadratik sangat

berarti. Teteapi tampak juga bahwa penyimpangan dari model kuadratik sangat

berarti, sehingga model order yang lebih tinggi masih diperlukan. Persamaan dengan

order yang lebih tinggi tidak akan ditentukan dengan cara ini tetapi akan digunakan

polinom orthogonal yang akan dijelaskan pada bab berikut.

Sementara itu, bagian dari jumlah variasi yang dimiliki oleh model regresi

dengan order tertinggi dinamakan indeks korelasi dinyatakan dengan R2. untuk soal di

atas, dengan memisalkan model regresi tertinggi berorder dua, maka R2 = =

0,889 yang berarti 88,9% dari variasi Yij dapat dijelaskan oleh Xj melalui regresi order

dua.

Polinom Ortogonal adalah salah satu usaha untuk menentukan regresi

berorder tinggi.

Dalam bagian-bagian sebelumnya telah diberikan contoh-contoh variabel X dengan

harga-harga yang berurutan berjarak sama. Untuk contoh regresi linier , tempo

mengaduk (variabel X) berharga 5,8,11,14,17,20 menit; bedanya sama, ialah 3 menit.

Demikian pula untuk contoh dalam bab regresi lengkung , variabel X (temperatur

dalam derajat celcius) berbeda sama, ialah 5 derajat dengan harga 20,25,30,35,dan 40.

Penentuan harga-harga X berbeda sama atau berinterval sama seperti nin memberikan

keuntungan tertentu, antara lain memudahkan analisis, khususnya bagian regresi

lengkung. Hal ini disebabkan oleh memungkinkanya dilakukan tranformasi dari Xj ke

uj sedemikian sehinnga Σ uj = 0 (demikian pula jumlah harga-harga uj berpangkat

ganjil) yang menyebabkan perhitungan menjadi lebih sederhana.

Keuntungan ini akan sangat terasa apabila yang harus kita tentukan itu menyangkut

kurva dengan persamaan berorder tinggi seperti diberikan dalam persamaan VII(5)

Misalkan Yx sebuah polinom dalam X yang berorder m dapat ditulis dalam bentuk:

Yx =Aoξo + A1ξ1 + A2ξ2 + .........+Amξm ................................VII(12)

Di mana:

...........................VII(13)

Untuk keperluan praktek, beberapa harga , ∑, îr^2, dan ë dicantumkan dalam

Lampiran, Daftar F, untuk tiap bentuk polinom îi, dimulai dari bentuk linier sampai

dengan paling tinggi bentuk kuintik, dengan banyak taraf k = 3, 4, ...., 10

............................................VII(14)

( u4 - (3k2 – 13) + ( k2-1 )( k2-9))

( u5 - (k2 – 7) + ( 15k4 - 230k + 407))

Harga-harga besaran dalam daftar tersebut telah diturunkan dari rumus-rumus

diatas sampai dengan variabel X berskala 10 dengan nilai-nilai berinterval yang sama.

Dari daftar F dalam lampiran yang ada tampak bahwa kita bisa menentukan

lebih dari sebuah polinom untuk tiap k. Permasalahanya adalah, yang mana diantara

polinom itu yang berlaku untuk sesuatu persoalan? Untuk menentukannya, pengujian

statistik perlu dilakukan terhadap tiap bentuk polinom. Oleh karena sekarang tiap

polinom orthogonal membentuk kontras, maka pengujian dapat dilakukan dengan

menggunakan sifat-sifat kontras ini. Karenanya kita perlukan jumlah kuadrat-kuadrat

(JK) untuk tiappolinom yang dapat dihitung dengan rumus

JK (polinom) =

Sedangkan penjumlahan dilakukan untuk semua j. Selanjutnya daftar ANAVA dapat

disusun dan untuk pengujian polinom setiap bentuk polinom mempunyai derajat

kebebasan dk = 1

Contoh Soal:

Observasi secara acak terhadap pengembangan volume semacam zat karena adanya

perubahan temperatur telah dilakukan. Hasilnya diperoleh seperti berikut:

Pengembangan

(%)

Temperatur Jumlah

20 25 30 35 40

10 18 25 27 23

8 16 20 26 20

9 16 24 25 18

10 15 23 29 20

Jumlah 37 65 92 107 81 382

Dalam hal ini kita mempunyai harga-harga X = 20,25,30,35,40, yang berinterval

sama dengan k=5. Melihat ke dalam Daftar F, dari Lampiran, kita peroleh koefisien-

koefisien untuk polinom ortogonal yang linier, kuadratik, kubik dan kuartik sebagai

berikut.

k Polinom 20 25 30 35 40 ∑ξi^2 λ

Skala X

1 2 3 4 5

5

linier -2 -1 0 1 2 10 1

kuadratik 2 -1 -2 -1 2 14 1

kubik -1 2 0 -2 1 10 5/6

kuartik 1 -4 6 -4 1 70 35/12

∑ 37 65 92 107 81

a. Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) untuk tiap polinom:

b. Daftar Anava untuk model polinomial dengan k=5

Sumber Variasi dk JK KT F

Antar Temperatur 4 720,8 180,2

linier 1 422,5 422,5 147,21

kuadratik 1 257,14 257,14 89,60

kubik 1 40 40 13,94

kuartik 1 1,16 1,16 0,40

Kekeliruan 15 43 2,87

Jumlah 19 763,8 -

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa uji F untuk bentuk-bentuk linier,

kuadratik, dan kubik ternyata sangat nyata; sedangkan bentuk kuartik tidak

nyata. Ini berarti bahwa model oeder tiga diperlukan untuk analisis data.

c. Membuat bentuk persamaan model orde tiga

Karena model signifikan pada order tiga maka cukuplah dihitung sampai dengan .

Maka diperoleh persamaan model order tiga dalam u

Satu Faktor Kuantitatif dan Satu Faktor Kualitatif

Studi Kasus :

Suatu eksperimen diadakan untuk menentukan hasil latihan ketrampilan

anak–anak berumur 8 tahun dalam hal tertentu. Latihan ini diberikan pada tiga

kelompok anak, yaitu laki-laki, perempuan, dan campuran. Waktu latihan diberikan

pada pagi hari dengan empat macam periode, yaitu 90 menit, 100 menit, 110 menit

dan 120 menit. Untuk tiap kombinasi kedua perlakuan diambil empat anak, sehingga

akan terbentuk desain factorial 4 x 3 dengan 4 replikasi.

Asumsi yang digunakan diantaranya adalah guru yang mengajar memiliki

kualitas yang sama dalam segala hal, materi yang diberikan memiliki bobot sama,

cara penilaian yang digunakan sama dan pengambilan sampel dilakukan secara acak.

Model yang digunakan :

Yijk = µ + Ki + Pj + KPij + єk(ij)

i = 1, 2, 3, 4

j = 1, 2, 3, 4

k = 1, 2, 3, 4

dengan :

Yijk = hasil penilaian yang diperoleh dari anak ke k yang ada dalam kelompok ke i

dan mengikuti periode latihan ke j

µ = rata-rata yang sebenarnya

Ki = efek kelompok anak pada taraf kualitatif ke i

Pj = efek periode latihan pada taraf kuantitatif ke j

KPij = efek interaksi dikarenakan taraf ke i kelompok K dan taraf ke j periode P

єk(ij) = efek unit eksperimen (anak) ke k dalam kombinasi perlakuan taraf (ij)

Periode Latihan Kelompok Anak (Ki)

(Pj) Laki-laki (K1) Perempuan (K2) Campuran (K3)

90 menit (P1)

78

81

74

80

73

69

75

78

75

72

70

69

100 menit (P2)

79

78

81

79

74

78

79

72

74

70

79

80

110 menit (P3)

80

82

79

84

78

79

80

74

76

75

80

80

120 menit (P4)

83

85

90

88

79

80

82

79

80

79

76

82

Disederhanakan dengan dijurangi 75

Periode

(Pj)

(Ki)J0j0

(K1) (K2) (K3)

(P1)

3

6

-1

5

(13)

-2

-6

0

3

(-5)

0

-3

-5

-6

(-14)

-6

(P2) 4

3

-1

3

-1

-5

23

6

4

(17)

4

-3

(3)

4

5

(3)

(P3)

5

7

4

9

(25)

3

4

5

-1

(11)

1

0

5

5

(11)

47

(P4)

8

10

15

13

(46)

4

5

7

4

(20)

5

4

1

7

(17)

83

Ji00 101 29 17 J000 = 147

∑ Y2 = (3)2 + 62 + (-1)2 + 52 + … + 52 + 42 + 12 + 72 = 1.397

Ry = (147)2 / (48) = 450,19

Py = JK (periode)

=

= 355,06

Ky = JK (Kelompok)

=

= 258,00

Jab =

= 642,06

KPy = JK (interaksi antara K dan P)

= 642,06 – 355,06 – 258,00

= 29,00

Ey = 1.397 - 450,19 - 355,06 - 258,00 - 29,00

= 304,75

Berikut ini tabel anovanya:

Sumber

Variasidk JK KT F

Rata-rata

Kelompok

Periode

Interaksi

Kekeliruan

1

2

3

6

36

450,19

258,00

355,06

29,00

304,75

-

129,00

118,35

4,83

8,47

15,23

13,97

0,57

Jumlah 48 1,397 - -

Karena periode bertaraf kuantitatif, maka dapat dicari efek linier, kuadratik, dan

kubik sebagai berikut:

Dengan menggunakan k = 4, didapat koefisien seperti pada tabel koefisien polinom

orthogonal sebagai berikut:

PolinomSkala Periode

∑ξ λ1 2 3 4

Linier

Kuadratik

Kubik

-3

1

-1

-1

-1

3

1

-1

-3

3

1

1

20

4

20

2

1

10/3

Jojo -6 23 47 83 - -

JK (linier) =

= 352,84

JK (kuadratik) =

= 1,02

JK (kubik) =

= 1,20

JK periode = JK (linier) + JK (kuadratik) + JK (kubik)

= 352,84 + 1,02 + 1,20

= 355,06

Selain efek regresi tersebut, dapat juga dihitung efek regresi antara efek linier periode

dengan kelompok (PL x K), efek kuadratik periode dengan kelompok (PD x K) dan

efek kubik periode dengan kelompok (PT x K).

PolinomSkala Periode

∑ξ λ1 2 3 4

Linier

Kuadratik

Kubik

-3

1

-1

-1

-1

3

1

-1

-3

3

1

1

20

4

20

2

1

10/3

J1jo 13 17 25 46

- -J2jo -5 3 11 20

J3jo -14 3 11 17

Menghitung JK (PL x K)

K1 = (-3 x 13) + (-1 x 17) +(1 x 25) +(1 x 46)

= 107

K2 = (-3 x -5) + (-1 x 3) +(1 x 11) +(3 x 20)

= 83

K3 = (-3 x -14) + (-1 x 3) +(1 x 11) +(3 x 17)

= 101

K1 + K2 + K3 =107 + 83 + 101

= 291

JK (PL x K) =

= 3,90

Menghitung JK (PD x K)

K1 = (1 x 13) + (-1 x 17) +(-1 x 25) +(1 x 46)

= 17

K2 = (1 x -5) + (-1 x 3) +(-1 x 11) +(1 x 20)

= 1

K3 = (1 x -14) + (-1 x 3) +(-1 x 11) +(1 x 17)

= -11

K1 + K2 + K3 =17 + 1 - 11

= 7

JK (PDx K) =

= 24,66

Menghitung JK (PT x K)

K1 = (-1 x 13) + (3 x 17) +(-3 x 25) +(1 x 46)

= 9

K2 = (-1 x -1) + (3 x 3) +(-3 x 11) +(1 x 20)

= 1

K3 = (-1 x -14) + (3 x 3) +(-3 x 11) +(1 x 17)

= 7

K1 + K2 + K3 =9 + 1 + 7

= 17

JK (PT x K) =

= 0,44

JK interaksi = JK (PL x K) + JK (PD x K) + JK (PT x K)

= 3,90 + 24,66 + 3,90 + 0,44

= 29,00

Sumber variasi dk JK KT

Rata-rata

Periode P

Linier

Kuadratik

Kubik

Kelompok K

Interaksi KP

K x PL

K x PD

K x PT

Kekeliruan

1

3

1

1

1

2

6

2

2

2

36

450,19

355,06

352,84

1,02

1,02

258,00

29,00

3,90

24.66

0.44

304,75

-

118,35

352,84

1,02

1,02

129,00

4,83

1,95

12,33

0,22

8,47

Jumlah 48 1.397 -

Untuk memprediksi hasil latihan berdasarkan periode latihan, perlu dibuat model

regresinya.

A0 = = = 3,06

A1 =

= 1,21 ξ0= 1 dan ξ1 = 2u (untuk λ1 = 2)

Sehingga persamaan regresi linier dalam u adalah:Yu=3,06 + 2,42uJika ditulis dalam periode latihan (dinyatakan dengan X)u = dalam Yx = 52,65 + 0,242 X

dari persamaan tersebut,dimasukkan periode X=90, 100, 110 dan 120, sehingga

didapat nilai seperti berikut :

X YX

90

100

110

120

74,43

76,85

79,27

81,69

74,50

76,92

78,92

81,92

Kedua Faktor Kuantitatif

Studi kasus :

Sebuah eksperimen untuk mengetahui respon Y yang disebabkan oleh faktor A

dan faktor B dilakukan. Faktor A bertaraf kuantitatif dengan skala 5, 10, 15 dan 20.

Faktor B bertaraf kuantitatif dengan skala 0, 5, 10 dan 15. Nilai respon Y diukur

dengan menggunakan alat atau parameter tertentu. Tiap kombinasi perlakuan

dilakukan 3 replikasi sehingga ada 48 unit eksperimen (4x4x3)

Model persamaannya

Yijk = µ + Ai + Bj + ABij + єk(ij)

i = 1, 2, 3, 4

j = 1, 2, 3, 4

k = 1, 2, 3, 4

dengan :

Yijk = hasil penilaian yang diperoleh dari unit eksperimen ke k yang dipengaruhi

faktor A ke i dan faktor B ke j

µ = rata-rata yang sebenarnya

Ai = efek faktor A pada taraf kuantitatif ke i

Bj = efek faktor B pada taraf kuantitatif ke j

ABij = efek interaksi dikarenakan taraf ke i faktor A dan taraf ke j faktor B

єk(ij) = efek unit eksperimen ke k dalam kombinasi perlakuan taraf (ij)

misalkan data yang diperoleh dari eksperimen tersebut sebagai berikut:

Faktor B

0 5 10 15

Faktor A

5

20

30

29

98

128

67

81

44

77

100

84

63

10

26

16

22

35

80

29

53

93

59

90

103

98

15

17

18

11

68

49

61

103

59

128

80

91

77

20

31

38

21

68

74

47

87

116

90

113

86

81

Sebagai langkah awal, akan dilakukan analisa tanpa memperhatikan jenis faktornya.

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Faktor BJojo

0 (B1) 5 (B2) 10 (B3) 15 (B4)

Faktor A 5 20 98 81 100 821

(A1)

30

29

(79)

128

67

(293)

44

77

(202)

84

63

(247)

10

(A2)

26

16

22

(64)

35

80

29

(144)

53

93

59

(205)

90

103

98

(291)

704

15

(A3)

17

18

11

(46)

68

49

61

(178)

103

59

128

(289)

80

91

77

(248)

761

20

(A4)

31

38

21

(90)

68

74

47

(189)

87

116

90

(293)

113

86

81

(280)

852

Jijo 279 804 989 1.066 3.138

∑ Y2 = 202 + 302 + 292 + … + 1132 + 862 + 812

= 254.656

Ry = (3.138)2 / (48)

= 205.146,75

Ay = JK (faktor A)

=

= 1.706,75

By = JK (faktor B)

=

= 31.414,42

Jab =

= 38.965,25

ABy = JK (interaksi antara A dan B)

= 38.965,25 - 1.706,75 - 31.414,42

= 6.474,08

Ey = 254.656 - 205.146,75 - 1.706,75 - 31.414,42 - 6.474,08

= 10.544,00

Sumber Variasi dk JK KT F

Faktor A

Faktor B

Interaksi AB

Kekeliruan

3

3

9

32

1.076,75

31.414,42

6.474,08

10.544,00

358,92

10.471,47

719,34

329,50

1,09

31,78

2,18

Jumlah 47 49.509,25 - -

*karena tidak pernah dilakukan pengujian terhadap rata-rata, maka rata-rata tidak

dicantumkan pada sumber variasi

Dari tabel tersebut dapat diketahui bahwa faktor B memiliki pengaruh yang

nyata terhadap respon Y, sedangkan faktor A dan interaksi keduanya tidak

memberikan pengaruh terhadap respon Y secara nyata.

Berikutnya akan dilakukan analisa dengan memperhatikan jenis faktornya.

Karena kedua faktor bertaraf kuantitaif, maka masing-masing akan dipecah menjadi

efek linier, kuadratik dan kubik.

Kedua faktor memiliki 4 taraf, sehingga didapatkan koefisien sebagai berikut:

PolinomSkala Faktor

∑ξ λ1 2 3 4

Linier

Kuadratik

-3

1

-1

-1

1

-1

3

1

20

4

2

1

Kubik -1 3 -3 1 20 10/3

JK (AL) =

= 93,75

JK (AD) =

= 901,33

JK (AT) =

= 81,67

JK (BL) =

= 27.088,82

JK (BD) =

= 4.181,33

JK (BT) =

= 224,27

JK (AL) + JK (AD) + JK (AT) = 93,75 + 901,33 + 81,67

=1.076,75

JK (BL) + JK (BD) + JK (BT) = 27.088,82 + 4.181,33 + 224,27

= 31.414,42

Setiap macam efek regresi di atas dapat dijabarkan lagi untuk megetahui

kontribusinya terhadap respon Y

AL x BL AL x BD AL x BT

AD x BL AD x BD AD x BT

AT x BL AT x BD AT x BT

semua komponen tersebut memiliki nilai dk=1

JK(AL x BL)

A

(linier)

B (linier)

-3 -1 1 3

-39

79

3

293

-3

202

-9

247

-13

64

1

144

-1

205

-3

291

1-3

46

-1

178

1

289

3

248

3-9

90

-3

189

3

293

9

280

AL x BL = 9(79) + 3(64) - 3(46) – 9(90) + 3(29) + 1(44) – 1(178) – 3(189) – 3(202)

– 1(205) + 1(289) + 3(293) – 9(247) – 3(291) + 3(248) + 9(280)

= 758

JK(AL x BL) =

= 478,80

JK(AL x BD)

A

(linier)

B (kuad)

1 -1 -1 1

-3-3

79

3

293

3

202

-3

247

-1 -1 1 1 -1

64 144 205 291

11

46

-1

178

-1

289

1

248

33

90

-3

189

-3

293

3

280

AL x BD = -3(79) - 1(64) + 1(46) +…+ 1(248) + 3(280)

= -8

JK(AL x BD) =

= 0,27

JK(AL x BT)

A

(linier)

B (kubik)

-1 3 -3 1

-3 3 -9 9 -3

-1 1 -3 3 -1

1 -1 3 -3 1

3 -3 9 -9 3

Jumlah kuadrat koefisien kontras = 400

AL x BT = 3(79) + 1(64) +…+ 1(248) + 3(280)

= -1.864

JK(AL x BT) =

= 2.895,41

JK(AD x BL)

A

(kuad)

B (linier)

-3 -1 1 3

1 -3 -1 1 3

-1 3 1 -1 -3

-1 3 1 -1 -3

1 -3 -1 - 3

Jumlah kuadrat koefisien kontras = 80

AD x BL = -3(79) + 3(64) +…+ (-3)(248) + 3(280)

= -372

JK(AD x BL) =

= 576,60

JK(AD x BD)

A

(kuad)

B (kuad)

1 -1 -1 1

1 1 -1 -1 1

-1 -1 1 1 -1

-1 -1 1 1 -1

1 1 -1 -1 1

Jumlah kuadrat koefisien kontras = 16

AD x BD = 1(79) - 1(64) +…+ (-1)(248) + 1(280)

= -144

JK(AD x BD) =

= 270,75

JK(AD x BT)

A

(kuad)

B (kubik)

-1 3 -3 1

1 -1 3 -3 1

-1 1 -3 3 -1

-1 1 -3 3 -1

1 -1 3 -3 1

Jumlah kuadrat koefisien kontras = 80

AD x BT = -1(79) + 1(64) +…+ 1(248) + 1(280)

= 406

JK(AD x BD) =

= 686,80

JK(AT x BL)

A

(kubik)

B (linier)

-3 -1 1 3

-1 3 1 -1 -3

3 -9 -3 3 9

-3 9 3 -3 -9

1 3 -1 1 3

Jumlah kuadrat koefisien kontras = 400

AT x BL = 3(79) - 9(64) +…+ (-9)(248) + 3(280)

= 336

JK(AT x BL) =

= 94,08

JK(AT x BD)

A

(kubik)

B (kuad)

1 -1 -1 1

-1 -1 1 1 1

3 3 -3 -3 3

-3 -3 3 3 -3

1 1 -1 -1 1

Jumlah kuadrat koefisien kontras = 80

AT x BD = -1(79) + 3(64) +…+ (-3)(248) + 1(280)

= 594

JK(AT x BD) =

= 1.470,15

JK(AT x BT)

A

(kubik)

B (kubik)

-1 3 -3 1

-1 1 -3 -3 -1

3 -3 9 -9 3

-3 3 -9 9 -3

1 -1 3 -3 1

Jumlah kuadrat koefisien kontras = 400

AT x BT = 1(79) - 3(64) +…+ (-3)(248) + 1(280)

= -38

JK(AT x BT) =

= 1,20

Tabel ANOVA

Sumber variasi dk JK KT F

Faktor A

A lin

A kuad

A kubik

Faktor B

B lin

B kuad

B kubik

Interaksi A x B

AL x BL

AL x BD

AL x BT

AD x BL

AD x BD

AD x BT

AT x BL

AT x BD

AT x BT

Kekeliruan

3

1

1

1

3

1

1

1

9

1

1

1

1

1

1

1

1

1

32

1.076,75

31.414,42

6.474,08

10.544,00

93,75

901,33

81,67

27.008,82

4.181,33

224,27

478,80

0,27

2.895,41

576,60

270,75

686,82

94,08

1.470,15

1,20

93,75

901,33

81,67

27.008,82

4.181,33

224,27

478,80

0,27

2.895,41

576,60

270,75

686,82

94,08

1.470,15

1,20

0,28

2,74

0,25

81,97

12,69

0,68

1,45

0,00

8,79

1,75

0,82

2,08

0,29

4,46

0,00

Jumlah 47 49.509,25 - - -

Dari tabel tersebut, dapat diketahui faktor B linier, B kuadratik, AL x BT dan AT x BD

memberikan pengaruh yang nyata terhadap respon Y.