1

Controlli Industriali

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Polo Scientifico Didattico di Terni

A.A. 2013-2014

2

Prerequisiti:

• Analisi matematica I, Analisi matematica II, Fisica I,Fisica generale II,

• (Analisi dei Sistemi ?)

Sistemi di Controllo ed Automazione

(A.A. 2013-2014)

Obiettivi formativi:

• Comprendere i principi generali e le modalità di funzionamento dei sistemi di

controllo.

• Comprendere i fondamenti della teoria del controllo allo scopo di saper scegliere

ed utilizzare i principali strumenti per L’ANALISI e la SINTESI dei sistemi di controllo

Docente: Dot. Mario Luca Fravolini

• E-mail: fravolin@diei.unipg.it

• http://www.diei.unipg.it/

Articolazione del corso

Lezioni ed Esercitazioni in aula

Orario lezioni

• Mercoledì: (9-13), Mercoledì: (15-16)

• Ricevimento studenti: ……

3

Testo consigliato:

Fondamenti di controlli automatici 3/ed

Mc Graw-Hill, 2008

P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni

Materiale didattico:

•Lucidi delle Lezioni (disponibili elettronico presso la pagina web del corso).

•Files Matlab e Simulink relativi ad esempi trattati a lezione.

•Dispense Integrative.

4

Modalità d’Esame Prova scritta:

o 1-2 esercizi su ANALISI e SINTESI dei Sistemi di Controllo

Punteggio massimo prova scritta : 30 punti

Tempo a disposizione prova scritta: 2.5-3 ore

(alla prova scritta non sono ammessi appunti di alcun genere)

Prova orale:

• A scelta del Docente nel caso in cui si ritenga necessario un

approfondimento in seguito alla valutazione della prova scritta (Colloquio

esteso a tutti gli argomenti trattati nel corso)

5

Problema del Controllo

6

Problema del Controllo • Imporre a certe variabili di “processo o di sistema” y(t) un andamento desiderato.

Variabile Controllata y(t) = Segnale di Riferimento r(t)

Obbiettivo “ideale” del Controllo

•Funzionamento Desiderato: Si desidera che alcune variabili di processo seguano un andamento temporale assegnato chiamato segnale di riferimento r(t)

• Processo o Sistema: Oggetto su cui viene posto il problema del controllo

7 Settori Applicativi dei Sistemi di Controlli

Automatico

8

9

10

11

12

13

14

15

Il sistema di controllo “Uomo” in base alla misura visiva del livello di liquido decide

di quanto aprire o di quanto chiudere il rubinetto. Lo scopo è quello di mantenere il

livello del liquido ad un valore desiderato.

Esempio di azioni di controllo eseguite dall'uomo

Controllo (manuale) di livello

Misura dal sistema

“retroazione”

“Feedback”

Cervello Umano

“legge di controllo”

Segnale di

controllo

Trasformazione del

segnale di comando

nell’azione di controllo

“attuatore”

Occhio: Sensore di misura

da controllare

h

r(t)

16 Schematizzazione del controllo manuale di velocità di una vettura

( )desv t

( )e t

Sensore di misura

Attuatore Algoritmo

Di controllo Sistema da

Controllare

RETROAZIONE

( )v t( )desv t

17

Controllo Automatico

•Sistemi di Controllo Automatico: dispositivi (controllori, regolatori) mediante i quali si attua l’azione di controllo (elettronici, software, meccanici, pneumatici ….)

• Controllo di un sistema:Insieme delle azioni volte a far variare nel modo desiderato una grandezza

•Controllo Automatico: l’azione di controllo è svolta da dispositivi capaci di sostituire l’intervento umano

Andamento Desiderato

SITEMA DI CONTROLLO

AUTOMATICO

(CONTROLLORE) SISTEMA

Azione di Controllo

Variabile controllata

Disturbi

Misure dal Sistema

18

• Progetto Dispositivi di Controllo Sintesi

• Definizione Obbiettivi Specifiche di Progetto

• Analisi Sistema da Controllare Analisi

Fasi di progetto di un Controllo Automatico

Andamento Desiderato

SITEMA DI CONTROLLO

AUTOMATICO

(CONTROLLORE) SISTEMA

Azione di Controllo

Variabile controllata

Disturbi

Misure dal Sistema

19

• La differenza viene quantificata definendo un segnale di errore e(t)

( ) ( ) ( ) dese t y t y t

Specifiche di Progetto • Obbiettivo “PRATICO” del progetto di un sistema di controllo:

VARIABILE CONTROLLATA SEGNALE DI RIFERIMENTO

( ) ( ) ( ) d desK r t y t y t Kd=costante di regolazione

•Il segnale e(t) si deve mantenere piccolo in tutte le condizioni operative

SISTEMA

controllato

Kd ( )r t

( )desy t

( )y t

( )e t

• Definizione di errore Andamento desiderato per l’uscita y(t).

20

• SPECIFICHE: grandezze caratteristiche che riassumono in maniera sintetica e completa gli obbiettivi del progetto

Frontiera della regione ammissibile

Specifiche di Progetto

• L’ingegnere “SISTEMISTA” deve progettare un sistema di controllo in grado di soddisfare le specifiche.

• EX. Garantire che la risposta del sistema ad un segnale di riferimento a gradino sia confinata in una regione ammissibile, lo stesso deve valere per un disturbo a gradino.

21

•1) STABILITA’ DEL SISTEMA CONTROLLATO

• L'uscita deve rimanere comunque limitata, nei limiti di sicurezza di funzionamento del sistema

• Ingresso limitato - Uscita limitata

• Zero input stability

Classificazione Specifiche di Progetto Andamento tipico della risposta e dell’errore

y(t) Disturbo

( )desy t

ess

e(t) specifiche Dinamiche

specifiche Statiche

( ) ( ) ( )dese t y t y t

22

•2) FEDELTA’ DI RISPOSTA STATICA: ess(t)

•In seguito alla variazione del Set-Point (Es: all'accensione dell'impianto) l'errore deve tendere a zero, oppure tendere ad un valore piccolo che può essere calcolato ed imposto dal sistema di controllo.

Classificazione Specifiche di Progetto

y(t) Disturbo

( )desy t

ess

e(t) specifiche

Dinamiche

specifiche Statiche

( ) ( ) ( )dese t y t y t

23 Classificazione Specifiche di Progetto

y(t) Disturbo

( )desy t

ess

e(t) specifiche

Dinamiche

specifiche Statiche

( ) ( ) ( )dese t y t y t

•3) FEDELTA’ DI RISPOSTA DINAMICA: e(t)

• Alcuni parametri che caratterizzano la risposta durante il

transitorio devono assumere dei valori di specifica assegnati

(tipicamente si fa riferimento alla risposta al gradino )

• TEMPO DI RISPOSTA

• SOVRAELONGAZIONE

•TEMPO DI ASSESTAMENTO

24

•4) “REIEZIONE” DEI DISTURBI

•Il sistema di controllo deve essere in grado di minimizzare l’effetto dei disturbi. (Ex. Minimizzare l’effetto del “vento” su una nave che deve navigare seguendo una ben definita direzione).

• Esistono disturbi Aleatori e disturbi Deterministici

Classificazione Specifiche di Progetto

y(t) Disturbo

( )desy t

ess

e(t) specifiche

Dinamiche

specifiche Statiche

( ) ( ) ( )dese t y t y t

25

•5) ROBUSTEZZA DELLE PRESTAZIONI:

• Il sistema di controllo deve essere in grado di garantire le prestazioni 1,2,3,4 anche nel caso in cui ci siano delle variazioni nella dinamica del processo (usura dei componenti,guasti parziali,……).

•Un sistema di controllo che garantisce queste proprietà si dice “ROBUSTO”

Classificazione Specifiche di Progetto

y(t) Disturbo

( )desy t

ess

e(t) specifiche

Dinamiche

specifiche Statiche

( ) ( ) ( )dese t y t y t

26

Modelli Matematici di Sistemi (ruolo della modellistica matematica)

•Per affrontare il problema di analisi e quindi di progetto del

dispositivi di controllo automatico è necessario formulare il

problema in termini matematici. A questo proposito è

necessario:

Modello Matematico del Sistema da Controllare

• 2) Sviluppare una descrizione matematica del comportamento del sistema da controllare

• 1) Esprimere le specifiche di progetto in termini formali

27

Modello Matematico del Sistema da Controllare

• Un modello matematico di un sistema viene costruito sulla base delle

leggi fisiche che regolano il rapporto di causa-effetto tra le variabili che

descrivono il sistema

•Un modello matematico è quindi un rappresentazione più o meno fedele

della realtà

•Grado di accuratezza del modello adeguato alle richieste del problema

•Sistemi molto diversi possono essere descritti da modelli matematici

con struttura MATEMATICA simile ciò facilita la trattazione unitaria del

problema del controllo

•Teoria del controllo automatico (AUTOMATICA)

28 Rappresentazione di un sistema con modello Linearizzato

( ) ( ( ), ( ), )

( ) ( ( ), ( ), )

x t f x t u t t

y t g x t u t t

Equazioni diff. Non lineari

Linearizzazione intorno ad un

punto di lavoro (x0,u0)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

f(x,u,t) y(t) u(t)

Schema a Blocchi

u1(t) SISO

y1(t)

u1(t) Sistema

MIMO u2(t) y2(t)

y1(t)

•Classi di Modelli Lineari

P(s) y(t) u(t)

1

1 0

1

1 0

...( )

...m

n

n

m

m

a s aP s

s b s b

Trasformata di Laplace

1( ) ( )P s C sI A B D

29 Relazione tra f.d.t. e rappresentazione nello spazio degli stati

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

sX s x AX s BU s

Y s CX s DU s

1 1( ) ( ) (0) ( ) ( )Y s C sI A x C sI A B D U s

Risposta Libera Risposta

Forzata

1( ) ( ) G s C sI A B Dindipendente dalla

particolare forma di stato

utilizzata

30

[ u1(t), u2(t), . . ., un(t)] = Variabili manipolabili (Ingressi o Cause). Tali variabili sono “imposte” dal sistema di controllo

[ x1(t), x2(t), . . ., xp(t)] = Variabili di Stato del modello del sistema

[ y1(t), y2(t), . . ., ym(t)] = Variabili di Uscita (effetti), alcune sono misurate

[ d1(t), d2(t), . . ., ds(t)] =Variabili non Manipolabili (Disturbi) che agiscono indipendentemente in funzione di cause esterne (non desiderate)

1 2( ) ( ) ( )sd t d t d t

SISTEMA

DA CONTROLLARE

1

2

( )

( )

( )m

y t

y t

y t

1

2

( )

( )

( )n

u t

u t

u t1 2( ) ( ) ( )px t x t x t

Modelli Matematici: (schematizzazione)

32

STRUTTURE BASE

DEI SISTEMI DI CONTROLLO

33

• Il controllore utilizza solo informazioni sul segnale di riferimento r(t) e disturbo

d(t) (se misurabile) per generare il segnale di comando u(t). Tale strategia quindi

non utilizza alcuna misura di variabili di sistema ( non c’è feedback dal sistema)

• CARATTERISTICHE PRINCIPALI

• La classificazione è fatta in base alle INFORMAZIONI di cui dispone il

CONTROLLORE durante il funzionamento

Controllo in ANELLO APERTO o ad azione diretta

Variabile di Controllo

SISTEMA CONTROLLORE

Variabile di Riferimento

y(t)

Variabile Controllata

u(t) r(t)

d(t) Disturbo

34

•Tale strategia è detto anche Controllo Predittivo o Controllo in Avanti o feedforward

• Sensibile ai Disturbi non misurabili (non “si accorge” dei disturbi )

•Molto sensibile alle variazioni dei parametri (non “si accorge” di eventuali variazioni che si possono verificare sui parametri del sistema

• CARATTERISTICHE PRINCIPALI

Controllo in ANELLO APERTO o ad azione diretta

Variabile di Controllo

SISTEMA CONTROLLORE

Variabile di Riferimento

y(t)

Variabile Controllata

u(t) r(t)

d(t) Disturbo

•Vantaggio: è richiesta “poca” Strumentazione

35

Schema Generale

di un sistema di Controllo

in anello aperto

38 Controllo in ANELLO CHIUSO o in RETROZIONE (feedback)

SISTEMA CONTROLLORE y(t) u(t) r(t)

Disturbo

+ -

e(t)

• Il controllore “vede” i disturbi in seguito al loro effetto sull’uscita y(t)

•Il Controllore utilizza non solo il segnale di riferimento r(t) ma anche la

VARIABILE CONTROLLATA y(t) per calcolare la variabile di controllo u(t)

• CARATTERISTICHE PRINCIPALI

•Tale strategia di controllo è chiamata esplorativa

•Il controllore “vede” eventuali var. parametriche in seguito al loro effetto sulla var. di uscita y(t)

39

SISTEMA Controllore y(t)

u1(t)

r(t)

Disturbo

+ -

e(t)

Compensatore

u2(t)

+

• Nel caso in cui la variabile di disturbo sia MISURABILE si può aggiungere al controllore in retroazione un regolatore feedforward che COMPENSA l’effetto del disturbo.

Controllo in RETROAZINE CON COMPENSAZIONE DEI DISTURBI

• CARATTERISTICHE PRINCIPALI

40 Controllo in RETROAZINE+FEEDFORWARD

•E’ presente nel contempo sia una azione di controllo in feedback sia

feedforward

• CARATTERISTICHE PRINCIPALI

•Presenta i vantaggi di entrambe le strategie ma è più complessa la

progettazione dei controllori

SISTEMA CONTROLLER

FEEDBACK

CONTROLLER

FEEDFORWARD

+

-

azione in avanti

retroazione

y(t)

r(t) e(t) u1(t)

u2(t) d(t)

r(t)

41

....percorso ventmot om a v F FFb

Si applica una legge di controllo PROPORZIONALE: la forza erogata dal

dispositivo di controllo/attuazione automatico deve essere proporzionale

all’errore di Velocità

mot desF vk v

E’ necessario determinare il legame tra le forze che agiscono sulla vettura

1 2 .... nm a F F F

Esempio di Controllo in Retroazione

Regolazione automatica della velocità di una vettura (moto rettilineo)

X

42

0a

E’ interessante analizzare il comportamento a regime, cioè quando la vettura viaggia ad una velocità costante. Se la velocità è costante allora l’accelerazione è uguale a zero:

Comportamento della vettura controllata

mot desF vk v

0 des percorso ventob v k v v F F

percorso ve tdes n ok v vm a b v F F

Equazione della dinamica controllata

43

( ) des percorso ventok b v k v F F

0 des percorso ventob v k v v F F

percorso vento

ss des

k F

k k

Fv v

b b

E’ ora possibile analizzare quale è la relazione tra la velocità desiderata e la velocità effettiva a regime:

Al crescere del valore del guadagno k si nota:

• La velocità della vettura a regime tende al valore desiderato

• L'effetto dei disturbi e delle variazioni dei parametri è attenuato

• Tale “comportamento favorevole ” è “indipendente” dai valori di m

44

0 2 4 6 8 10 -0.5

0

0.5

1

1.5

effetto del distrurbo

K=15

v d e s

(t)

v(t)

0 2 4 6 8 10 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

effetto del distrurbo

K=1

v d e s

(t)

v(t)

desv

k

e v

Sensore di

velocità

Schema a blocchi del sistema di controllo della velocità Disturbo deterministico

Rumore di misura

Parametri di simulazione m=1, b=1

motu

mot desu vk v

45 Sistema di controllo ANALOGICO completo di Strumentazione

+ Attuatore

Misura del disturbo

+

CONTROLLORE FEEDBACK

Errore Variabile di

controllo

Compensatore

disturbo

+

-

Variabile controllata

Processo

Trasduttore di Misura

Trasduttore segnale

riferimento Trasduttore di disturbo

Disturbo di processo

segnale di Riferimento

Variabile manipolabile

Misura segnale di Riferimento

Variabile uscita misurata

( )r t

( )m t( )u t

( )y t

( )d t

•C’è un Attuatore per ogni variabile di controllo

•C’è un Trasduttore per ogni variabile misurata

49

desv

( )R s

e

v

Blocchi costitutivi un regolatore per controllo in retroazione

m

Regolatore

elaborazione analogica segnale

di errore

Amplificatore

Potenza Attuatore

desv

misv

m

Regolatore misv

Sorgente Alimentazione

Primaria

50 Sistema di controllo DIGITALE completo di Strumentazione

Attuat.

1 0 0 1 1

0 0 1 1 1

1 0 0 01

D/A Calcolat.

Digitale

Variabile controllata

Processo

Trasduttore di Misura

Sistema tempo discreto

segnale di Riferimento

A/D

Clock (T) 1 0 1 1 0

01 1 1 0

1 0 0 01

( )m t( )u t

( )m t

( )u t

( )u kT

( )u kT( )e kT

51

CALCOLO DI F.D.T. di

SISTEMI DI CONTROLLO ELEMENTARI

52

R= Guad. Regolatore

P= Guad. Processo

H= Guad. Trasduttore

U= Segnale di Ingresso

E=Segnale di errore

Y=segnale di Uscita

D=Disturbo

N =Rumore di misura

Schema a blocchi di un sistema controllato

U R

H

EP

DN

Y

53

E U HY

Y RPE

(1 )Y RPH RPU

1

RPY U

RPH

( )Y RP U HY

• La f.d.t del sistema in retroazione ha come:

• NUMERATORE il prodotto delle f.d.t del ramo diretto

• DENOMINATORE 1 il prodotto delle f.d.t presenti nell’anello di retroazione (il segno a denominatore dipende dal segno della retroazione)

Legame tra ingresso U ed uscita Y

Si suppone N=D=0

U R

H

E PDN

Y

54

E HY

Y RPHY D

(1 )Y RPH D

1

1Y D

RPH

Y RPE D

Si suppone U=N=0

Legame tra Disturbo D ed uscita Y

U R

H

E PDN

Y

55

E HY

(1 )Y RPH RPN

1

RPY N

RPH

( )Y RP E N

Si suppone U=D=0

Legame tra Rumore di Misura N e uscita Y

U R

H

E PDN

Y

( )Y RP HY N

56

1

RPHY N

RPH

Si suppone U=D=0

Legame tra Rumore di Misura N e uscita Y

U R

H

EP

D Y

N

57 Confronto tra Funzioni di interesse per il sistema in retroazione

U R

E PDN

Y

1

RPY U

RP

1

RPY N

RP

1

1Y D

RP

Legame tra ingresso e uscita

Legame tra disturbo e uscita

Legame tra rumore e uscita

Si suppone che H sia circa uguale ad 1, cioè è accettabile nel caso in cui H sia un

trasduttore

58

Cenni Analisi Armonica

59

60

61

I coefficienti a0 ed rn e jn si possono calcolare in modo esplicito

risolvendo delle opportune formule basate su integrali dipendenti

dalla funzione periodica f(t)

63

0

0

2 2

2T

k k

2secT

64

65

66

67

RISPOSTA ARMONICA

68

Risposta di un sistema a segnali Sinusoidali

0 10 20 30 40 50-1

0

1

0 10 20 30 40 50-1

0

1

69

fase

Risposta a regime

Risposta di un sistema a segnali sinusoidali

• Come è fatta la risposta a regime di un Sistema Lineare G(s) (asintoticamente

stabile) comandato con ingresso sinusoidale ?

70

MODULO di F() : ( ) /Y X

Esaurito il transitorio, anche l’uscita y(t) varia con legge sinusoidale, caratterizzata dalla

stessa pulsazione . L’ampiezza Y() e l’angolo di fase j sono funzioni della

pulsazione di ingresso . Vale quindi:

Definizione di Risposta Armonica

FASE di F() : ( )j

( ) sin u t X t ( ) ( )sin ( )y t Y t j ( )G s

E’ una funzione in campo complesso F() di variabile reale . Questa descrive l’uscita a

regime di un sistema lineare sollecitato con ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria

e pulsazione variabile da 0 ad .

La Funzione di Risposta Armonica

( )( ) ( ) j FF F e

71 TEOREMA: (regime sinusoidale di sistemi lineari stazionari)

Un sistema lineare stazionario G(s) con poli a parte reale

negativa soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a

regime, una risposta avente la stessa frequenza

dell’eccitazione. La risposta armonica F() è legata alla

funzione di trasferimento G(s) dalla relazione:

(( ) ( ))s j

G sF G j

( ) sinu t X t ( ) ( )sin ( )y t Y t j ( )G s

( ) ( ) sin ( )Gy t X G j t j j

72 TEOREMA: (regime sinusoidale di sistemi lineari stazionari)

( ) ( ) ( )

s j

F G s G j

DIM. ( ) sin( )u t X t

2 2( )s XU

s

1

1

...( )

...

n

o n

m

o m

a a s a sG s

b b s b s

Evoluzione forzata del sistema ( a partire da condizioni iniziali nulle)

2

1

2

1

...( )

...

n

o n

m

o m

a a s a sY s

b b s

X

s sb

2 2( ) ( )

X

sY s G s

( ((

))

)

X

s jG

j ss

73

1

*1 1

()

( ) ( ) )(

mi

ii

A A

s jY s

s j

K

s p

Modi dovuti al sistema Modo dovuto all’ingresso

*1 1

1

( ) i

mp t j t j t

i

i

y t K e A e A e

1atL es a

L’evoluzione forzata del sistema contiene sia i modi propri del sistema G(s) sia quelli

dell’ingresso. Ciò si evidenzia sviluppando Y(s) in frazioni parziali. Nel caso particolare

di poli semplici si ha:

1 2

( )( )

( )( ).... ( )( )( )m

N sY s

s p s p s p

X

s j s j

74

*

1 1( ) j t j t

PERMANENTEy t Ae A e

•Per ipotese il sistema è asintoticamente stabile (tutti i poli di G(s) hanno parte reale negativa) quindi la corrispondente porzione della risposta tende a zero.

•La risposta a regime contiene quindi solo il modo dovuto all’ingresso sinusoidale

Comportamento a Regime:

*1 1

1

( ) i

mp t j t j t

i

i

y t K e A e A e

()

))

)(( (

X

sY s G

j ss

j

1 ( )2

XA G j

j

*

1 ( )2

XA G j

j

75

( ) ( ) ( )perm Gy t X G j sen t j

Calcolando i residui e ricombinando le esponenziali si è quindi dimostrato che

( ) ( ) F G jPer confronto, dalla definizione di F(), si ha:

1 1( ) ( ) ( )

2 ( ) 2 ( )perm

X Xy s G j G j

j s j j s j

( ) | | | |2

G Gj jj t j t

perm

Xy s G e e G e e

j

j j

( ) | | ( )perm Gy t X G sen t j

76

1

3

2

77

si applica all’ingresso una sinusoide di ampiezza unitaria e frequenza molto bassa

1) si aspetta che il sistema esaurisca il transitorio

2) si registrano l’ampiezza e lo sfasamento dell’uscita

3) si torna al punto 1 con una frequenza più elevata

4) ci si ferma quando l’ampiezza dell’uscita è trascurabile

5) si graficano separatamente per i diversi valori di :

•I valori delle fasi alle varie frequenze forniscono

•I valori delle ampiezze alle varie frequenze forniscono

( )( ) ( ) ( ) j jF G j G j e

Determinazione sperimentale della risposta armonica

( )G j

( ) ( )G j j

78 Esempio: Calcolo analitico della risposta armonica

2

4( )

0.4 4

sG s

s s

2 2

4 4( )

( ) 0.4 4 4 0.4

j jG j

j j j

2

2

2 3

2 2 2 2

4 0.4

4 0

4 (16 3.6 ) (2.4 )( )

4 0.4 (4 ) 0.16.4

j jG j

jj

j

10 -1

10 0

10 1

0

2

4

6

rad/sec

mo

du

lo

10 -1

10 0

10 1

-150

-100

-50

0

50

rad/sec

fase

(gra

di)

•E’ conveniente rappresentare l’asse delle

frequenze su scala logaritmica 0.1<w<10

2 2( ) Re ( ) Im ( ) ;

( ) atan Im ( ) / Re ( )

G j G j G j

G j G j G j

•RAPPRESENTAZIONE POLARE

2

2 2 2

3

2 2 2

(16 3.6 )Re ( ) ;

(4 ) 0.16

(2.4 )Im ( )

(4 ) 0.16

G j

G j

•RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

79

(0.1 )

1.0028 (0.1 0.8

;

°)

0.1

dy sen t

y sen t

(1 )

1.3623 (1 6.4°

1

)

;

dy sen t

y sen t

1 (0.01 )

1.0000 (0

0.01

.01 0.0 °)

;

8

dy sen t

y sen t

(2 )

5.5902 (2 -63.

2

4°)

;

dy sen t

y sen t

(10 )

0.112

1

1 (10 -109. )

0

4

;

°

dy sen t

y sen t

(100 )

0.0100 (100 -92.0613°

;

)

100

dy sen t

y sen t

La risposta a regime del sistema è una copia

fedele del segnale d’ingresso nella “banda” di frequenze in cui G(iw) 1 ed arg(G(jw)) 0

Calcolo della risposta a regime

( ) ( ) ( )dr t y t sen t ( ) ( ) ( ( ))y t G j sen t G j

2

4

0.4 4

s

s s

( )r t

10-1

100

101

102

0

2

4

6

100

101

102

-100

-50

0

Modulo

Fase (gradi)

rad/sec

rad/sec

80

2 22 3

2 2 2 2 2 2

(16 3.6 ) (2.4 ) 1

(4 ) 0.16 (4 ) 0.16 2

3.3550 rad/secB

Banda passante La frequenza che determina la banda passante B è definita come quella frequenza

per la quale il modulo di G(jw) (di tipo passa basso) scende al 70.7% del valore che

la G(jw) assume a frequenza zero G(j0)

2

2

( ) 1

2( 0)B

G j

G j

10 -1

10 0

10 1

10 2

0

1

2

3

4

5

6

w B

w rad/sec

( ) 10.701

( 0) 2

B

B

G j

G j

0 B Banda passante B

Picco di

risonanza

81 Impiego della risposata armonica per il calcolo della risposta a regime di un

sistema con ingresso composto da più sinusoidi

( ) 3 (10 ) sin(50 )r t sen t t ( ) ......y t2

2500

( 50)s

2 2

2500( )

( 50)W s

s

Il sistema è asintoticamente stabile quindi

esiste la risposta a regime sinusoidale

50 50;t te te

Modi propri del

sistema

Sfruttando le proprietà della risposta armonica si ha la seguente risposta a regime:

2 2

2 2

( ) 3 (10) sin 10 (10)

1 (50) sin 50 (50)

y t W t W

W t W

100 20 log (1)

1020 20 log (10)

2

1040 20 log (10 )

1020 20 log (0.1)

2

1040 20 log (10 )

103 20 log (0.707)

1020 log ( )dBM M

-20

-10

0

10

20

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0P

hase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

83

-80

-60

-40

-20

0

Magnitu

de (

dB

)

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

2

2

( 10) 0.9615;

( 50) 0.5

W j

W j

2

2

( 10) -22.6

( 50) -90

W j

W j

2 2

2 2

( ) 3 (10) sin 10 (10)

1 (50) sin 50 (50)

y t W t W

W t W

1020 log ( )dBM M

84

17 17.5 18 18.5 19 19.5 20

-4

-2

0

2

4

SEGNALE D'INGRESSO U(t)

17 17.5 18 18.5 19 19.5 20

-4

-2

0

2

4

SEGNALE D'USCITA y(t)

Si riscontra una alterazione della forma d’onda

d’uscita rispetto a quella d’ingresso dovute alle

diverse proprietà filtranti della W2(s) nei riguardi delle

due componenti sinusoidali di diversa pulsazione.

2

2

(10) 0.9615;

(50) 0.5

W

W

2 2

2500( )

( 50)W s

s

2

2

( 10) -22.6

( 50) -90

W j

W j

2 2

2 2

( ) 3 (10) sin 10 (10)

1 (50) sin 50 (50)

y t W t W

W t W

85

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

0

5

B3 = 1 RAD/SEC

B3 = 5 RAD/SEC

B3 = 10 RAD/SEC

B3 = 50 RAD/SEC

B3 = 100 RAD/SEC

USCITA AL VARIARE DELLA BANDA PASSANTE DEL SISTEMA

0 2 4 6 8 10-4

-2

0

2

4

sec

ING

RE

SS

O

Influenza della Banda passante sulla risposta

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2U- tot

uscita

H(jw)

U1(jw)

U2(jw)

U3(jw)

U-tot=U1+U2+U3

Proprietà filtranti di una FDT H(s)