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ºðºì²Ü 2007
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1
ÔàôÈÔ²¼²ðÚ²Ü ¶.è. ÔàôÈÔ²¼²ðÚ²Ü È.¶.
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ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆ, ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ
Ê Ý ¹ ñ ³ · Ç ñ ù – å ñ ³ Ï ï Ç Ï á õ Ù
àõëáõÙÝ³Ï³Ý Ó»éݳñÏ
Մ Ա Ն Կ Ա Վ Ա Ր Ժ 2007
2
ՀՏԴ 517 (07) Հաստատված է ՀՀ կրթության և գիտության ԳՄԴ 22.16ց7 նախարարության կողմից որպես ուսումնական ձեռնարկ Ղ 942 մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար: Հրատարակության է երաշխավորել Խ. Աբովյանի անվան ՀՊՄՀ գիտական խորհուրդը: Ղ 942 Ղուլղազարյան Գ.Ռ., Ղուլղազարյան Լ.Գ. Մաթեմատիկական անալիզ, բազմություն, Հաջորդականություն: Խնդրագիրք-
պրակտիկում:-Երևան:-<<Մանկավարժ>> հրատ: - 2007: - 204 էջ:
Ձեռնարկը նախատեսված է մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար: Այն կարող է օգտակար լինել նաև տեխնիկական բուհերի, բնագիտական ֆակուլտետների, <<Մաթեմատիկական անալիզ>> դասընթացն անցնող սովորողների, ինչպես նաև մաթեմատիկա դասավանդող ուսուցիչների համար:
Ձեռնարկում բերված առաջադրանքները և դրանցից կազմված տարբերակները կարելի է օգտագործել որպես ստուգողական աշխատանքներ հեռակա և առկա ուսուցման ուսանողների համար:
Ղ2007)01(714
16020700002007թ. ԳՄԴ 22.16ց 7
ISBN 978 - 999411 – 69 – 07 - 8
©Մանկավարժ 2007թ.:
Մ Ա Ն Կ Ա Վ Ա Ր Ժ 2 0 0 7
3
¢ 1 . î ñ³ Ù ³ µ³ Ýá õ ÃÛ³ Ý ¨ µ³ ½ Ùá õ ÃÛ á õ ÝÝ» ñ Ç ï » ëá õ à ۳ Ý ï³ ñ ñ»ñ
1. ²ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ
²ëáõÛà ѳëϳóáõÃÛáõÝÁ ݳËÝ³Ï³Ý Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝ ¿, áõëïÇ ³ÛÝ ³í»ÉÇ å³ñ½ ѳëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ë³ÑÙ³Ý»É Ñݳñ³-íáñ ã¿: êáíáñ³µ³ñ, ³ëáõÛà ³ë»Éáí` ѳëϳÝáõÙ »Ý ³Ù»Ý ÙÇ åݹáõÙ, áñÇ Ù³ëÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñëï³Ïáñ»Ý Ýß»É, áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ ϳ٠ϻÕÍ:
¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÁª −1A §27-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ǧ, −2A §4-Á
µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç ¦, −3A §ó³Ýϳó³Í »é³ÝÏÛ³Ý ³ñï³ùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ Ù»Í ¿ Çñ»Ý
áã ÏÇó Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÇó¦: лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ 21 , AA ¨ 3A åݹáõÙÝ»ñÝ ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý, Áݹ áñáõÙª 1A -Á
¨ 3A -Á ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý, ÇëÏ 2A -Á` Ï»ÕÍ:
A ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` A , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³ëáõÛÃÁ, áñÁ Ï»ÕÍ ¿, »ñµ A -Ý ×ßÙ³ñÇï ¿, ¨ ×ßÙ³ñÇï ¿, »ñµ A -Ý Ï»ÕÍ ¿: A -Ý Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿` §×ßÙ³ñÇï ã¿ A -ݦ ϳ٠§ áã A ¦:
A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ÏáÝÛáõÝÏódz, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` A ∧ B , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³ëáõÛÃÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ×ßÙ³ñÇï »Ý A ¨ B ³ëáõÛÃ-Ý»ñÁ: A ∧ B ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ∧ å³ÛٳݳÝß³ÝÁ ÏñáõÙ ¿ §¨¦ ß³ÕϳåÇ ëáíá-ñ³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ:
A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ¹Ç½ÛáõÝÏódz, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` A ∨ B , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³ëáõÛÃÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »Ã» ×ßÙ³ñÇï ¿ A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ: A ∨ B ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ∨ å³ÛٳݳÝß³ÝÁ ϳï³ñáõÙ ¿ §Ï³Ù¦ ß³ÕϳåÇ ¹»ñÁ,
áñÝ û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ÙdzÛÝ ³Ýµ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý ÇÙ³ëïáí: A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ÇÙåÉÇϳódz, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` BA⇒ , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ
³ëáõÛÃÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ÙÇßï, µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ ³ÛÝ ¹»åùÇ, »ñµ A -Ý ×ßÙ³ñÇï ¿, ÇëÏ B -Ý` Ï»ÕÍ: BA⇒ ·ñ³éáõÙÁ ϳñ¹³óíáõÙ ¿` § A -Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿ B -ݦ:
àõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¹³ñÓÝ»Ýù ³ÛÝ µ³ÝÇ íñ³, áñ »Ã» A -Ý Ï»ÕÍ ³ëáõÛà ¿, ³å³ BA⇒ ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, áñï»Õ B -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ëáõÛà ¿:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1 : ¸Çóáõù BA⇒ ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ A
³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ B ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»Éáõ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý, ÇëÏ B ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»Éáõ ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³Ý:
A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` BA⇔ , ÏáãíáõÙ
¿ ³ÛÝ ³ëáõÛÃÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »ñµ A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇó »ñÏáõëÝ ¿É ×ßÙ³ñÇï »Ý Ï³Ù »ñÏáõëÝ ¿É` Ï»ÕÍ:
4
ä³Ûٳݳíáñí»Ýù ó³Ýϳó³Í ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃÇÝ Ïó»É t ¨ ѳٳñ»É ×ßÙ³-
ñÇï ³ëáõÛÃÇ ³ñÅ»ù, ÇëÏ ó³Ýϳó³Í Ï»ÕÍ ³ëáõÛÃÇÝ Ïó»É f , ѳٳñ»Éáí Ï»ÕÍ
³ëáõÛÃÇ ³ñÅ»ù: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` A , A ∧ B , A ∧ B , BA⇒ , BA⇔ ³ëáõÛÃ-Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»É Çñ, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÇ Ñ»ï, áñÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë ïíÛ³É ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñÇï ϳ٠ϻÕÍ ÉÇÝ»ÉÁ` ϳËí³Í A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ×ßÙ³ñÇï ϳ٠ϻÕÍ ÉÇÝ»Éáõó: ²Û¹ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ-Ý»ñÇ (å³ÛٳݳÝß³ÝÝ»ñÇ) Ó¨³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ.
A B A ∧ B A ∨ B BA⇒ BA⇔ A A t t
t f
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t t t
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Ð³×³Ë µ³ñ¹ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ·ñ³é»ÉÇë ³í»ÉÇ å³ñ½ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ Ý»ñ³éáõÙ »Ý
÷³Ï³·Í»ñÇ Ù»ç, áñáÝù ϳï³ñáõÙ »Ý ÝáõÛÝ ·áñͳéáõÛÃÁ, ÇÝãåÇëÇÝ ¿ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·ñ³é»ÉÇë: ö³Ï³·Í»ñÁ ËݳÛá-Õ³µ³ñ û·ï³·áñÍ»Éáõ ѳٳñ å³ÛٳݳíáñíáõÙ »Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ñ-ó·³ÛáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É ϳñ·Á`
, ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ : (1)
²ÛëåÇëÇ å³Ûٳݳíáñí³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ûñÇݳÏ` A ∧ B ∨ C ⇒ D
³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ í»ñͳÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ((( A )∧ B )∨ C )⇒ D , ÇëÏ
A ∨ B ⇒ C í»ñͳÝíáõÙ ¿ ³Ûëå»ëª ( A ∨ B )⇒ C , µ³Ûó á㪠A ∨ ( B ⇒ C ): ²ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÁ: ²ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßÇíÁ »Ý-
óñÏíáõÙ ¿ áñáß ûñ»ÝùÝ»ñÇ, áñáÝù ß³ï ÝÙ³Ý »Ý ï³ññ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ßíáõÙ ÏÇñ³éíáÕ ûñ»ÝùÝ»ñÇÝ.
A ∨ B ⇔ B ∨ A – ¸Ç½ÛáõÝÏódzÛÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù, (2)
A ∧ B ⇔ B ∧ A – ÎáÝÛáõÝÏódzÛÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù, (3)
A ∨ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∨ B )∨ C – ¸Ç½ÛáõÝÏódzÛÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù, (4)
A ∧ ( B ∧ C )⇔ ( A ∧ B )∧ C – ÎáÝÛáõÝÏódzÛÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù, (5)
A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B )∨ ( A ∧ C ) – ³é³çÇÝ µ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýù, (6)
A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B )∧ ( A ∨ C ) – »ñÏñáñ¹ µ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýù, (7)
( A ∨ B )⇔ A ∧ B , ( A ∧ B )⇔ A ∨ B –¸° Øáñ·³ÝÇ ûñ»ÝùÝ»ñÁ, (8)
A ⇔ A – ÏñÏݳÏÇ ÅËïÙ³Ý ûñ»Ýù, (9)
A ∨ A ⇔ A , A ∧ A ⇔ A – Ùdz½áñáõÃÛ³Ý (ǹ»Ùåáï»ÝïáõÃÛ³Ý) ûñ»Ýù: (10)
5
¸Çóáõù X -Á, Y -Á, Z -Á, U -Ý, V -Ý, W -Ý,… Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý: (1) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ϳñáÕ »Ýù ³Û¹ ³ëáõÛÃÝ»ñÇó ϳ½Ù»É µ³ñ¹ ³ëáõÛÃÝ»ñ`
)4,)3,)2,)1 YXYXYX ⇒∨∧ X , 5) YX ⇔ , 5) VU ∨ : êï³óí³Í ³ëáõÛÃ-
Ý»ñÇó, û·ï³·áñÍ»Éáí ÝáõÛÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ϳñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É Ýáñ` µ³ñ¹ ³ëáõÛÃÝ»ñ, ûñÇݳÏ` ),( ZYX ∨⇒ )( YX ∨ , )( YX ⇒ ⇒ ⇔X( ))( VU ∧ ¨ ³ÛÉÝ:
²Ù»Ý ÙÇ µ³ñ¹ ³ëáõÛÃ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ áñáß »É³Ï»ï³ÛÇÝ ³ëáõÛÃÝ»ñÇó (1) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇñ³éٳٵ, ÏáãíáõÙ ¿ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ µ³Ý³Ó¨ ϳ٠å³ñ½³å»ë µ³Ý³Ó¨:
ºÉ³Ï»ï³ÛÇÝ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ, ³ÛëÇÝùÝ` áõÝ»Ý³Ý áñáß³ÏÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ` t ϳ٠f : ²Ûë ¹»åùáõÙ »É³Ï»ï³ÛÇÝ ³ëáõÛÃÝ»ñÝ
³Ýí³ÝáõÙ »Ý ï³ññ³Ï³Ý ѳëï³ïáõÝ ³ëáõÛÃÝ»ñ: ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ »É³Ï»-ï³ÛÇÝ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ãáõÝ»Ý áñáß³ÏÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ, Ýñ³Ýó Ý߳ݳÏáõÙ »Ý ɳïÇ-Ý³Ï³Ý ³Ûµáõµ»ÝÇ Ù»Í³ï³é»ñáí ¨ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñ (ϳ٠³ëáõÛóÛÇÝ ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñ) : ºÃ» ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñÇÝ ï³Ýù ³ñÅ»ùÝ»ñ ( t ϳ٠f ), ³å³ ϳñ»ÉÇ ¿ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý áñáß»É
¹ñ³ÝóÇó ϳ½Ùí³Í ó³Ýϳó³Í µ³Ý³Ó¨Ç ³ñÅ»ùÁ (ÏÉÇÝÇ t ϳ٠f ):
²ÛëåÇëáí, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³Ý³Ó¨ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ (´áõÉÛ³Ý) üáõÝÏódz, áñÇ ³ñ·áõÙ»ÝïÝ»ñÁ ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý, ÇëÏ ó³Ýϳó³Í Ù³ëݳÏÇ ³ñÅ»ù t ¿ ϳ٠f :
ÀݹáõÝí³Í ¿ nXXX ...,,, 21 ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í
µ³Ý³Ó¨Á (ýáõÝÏódzÝ) Ý߳ݳϻÉ, ûñÇݳÏ, )...,,,( 21 nXXXAA = , )...,,,( 21 nXXXBB =
å³ÛٳݳÝß³ÝÝ»ñáí: ÜáõÛݳµ³ñ ×ßÙ³ñÇï (Ï»ÕÍ) µ³Ý³Ó¨ ³ë»Éáí ѳëϳÝáõÙ »Ý ³ÛÝ µ³Ý³Ó¨Á,
áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ (Ï»ÕÍ ¿) µáÉáñ ¹»åù»ñáõÙ, ³ÝÏ³Ë Ýñ³ÝÇó ×ßÙ³ñÇï »Ý, û Ï»ÕÍ µ³Ý³Ó¨Á ϳ½ÙáÕ µ³ÕϳóáõóÇã ³ëáõÛÃÝ»ñÁ: ºÃ» A -Ý ÝáõÛݳµ³ñ ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛà ¿, ³å³ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý |= A å³ÛٳݳÝß³Ýáí: úñÇݳÏ` ∨A A µ³Ý³-Ó¨Á ÝáõÛݳµ³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿` |= ∨A A , ÇëÏ ∧A A µ³Ý³Ó¨Á ÝáõÛݳµ³ñ` Ï»ÕÍ:
ºñÏáõ A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñ, áñáÝù ϳ½Ùí³Í »Ý ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝ
nXXX ...,,, 21 ³ëáõÛÃÝ»ñÇó, ÏáãíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñ³½áñ, »Ã» 1X -Ç, 2X -Ç nX...,, -Ç
ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñÁ ëï³ÝáõÙ »Ý ÝáõÛÝ ³ñ-Å»ùÝ»ñÁ (Ýñ³Ýù Ý»ñϳ۳óÝáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ µáõÉÛ³Ý ýáõÝÏódz):
Üϳï»Ýù, áñ ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñÇ áñáß Ù³ëÁ ϳñáÕ ¿ ÙïÝ»É Ñ³í³ë³ñ³½áñ µ³Ý³Ó¨»ñÇó ÙdzÛÝ Ù»ÏÇ Ù»ç: úñÇݳÏ`
∧1(X 21) XX ∨ ѳí³ë³ñ³½áñ ¿ 2X -ÇÝ,
∨1X 1X ѳí³ë³ñ³½áñ ¿ ∨2X 2X -ÇÝ:
гí³ë³ñ³½áñáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇ ¨ ѳٳñÅ»ùáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇ ÙÇç¨ ·á-
6
ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ϳåÁ. »Ã» A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñÁ ѳí³ë³ñ³½áñ »Ý, ³å³ BA⇔ µ³Ý³Ó¨Á ÝáõÛݳµ³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿, ¨ ѳϳé³ÏÁ, »Ã» BA⇔ µ³Ý³Ó¨Á
ÝáõÛݳµ³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿, ³å³ A -Ý Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ B -ÇÝ:
úñÇÝ³Ï 1: ²å³óáõó»É, áñ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÁ ÝáõÛݳµ³ñ ×ßÙ³ñÇï »Ý.
³) )()( BABAF ∨⇔⇒= ; (11)
µ) )()( ABBAG ⇒⇔⇒= ; (12)
·) ))()(()( BABABAH ∧∨∧⇔⇔= ; (13)
¹) ))()(()( ABBABAL ⇒∧⇒⇔⇔= : (14)
²å³óáõÛó: ²å³óáõó»Éáõ ѳٳñ ϳ½Ù»Ýù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³Ý³Ó¨Ç ×ßÙ³ñ-ï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ ¨ ѳÙá½í»Ýù, áñ ³ÝÏ³Ë A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ýßí³Í µáÉáñ µ³Ý³Ó¨»ñÝ áõÝ»Ý ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ Ù»Ï ³ñÅ»ù` t :
F µ³Ý. ×ßÙ³ñï . ³Õ. ³Õ. 1 G µ³Ý. ×ßÙ³ñï . ³Õ. ³Õ. 2
BA, BA ⇒ BA ∨ F BA, BA⇒ AB ⇒ G
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H µ³Ý³Ó¨Ç ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ ³Õ. 3
BA, BA∧ BA∧ BA ⇔ )()( BABA ∧∨∧ H
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L µ³Ý³Ó¨Ç ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ ³Õ. 4
BA, BA ⇔ BA⇒ AB ⇒ )()( ABBA ⇒∧⇒ L
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7
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1. ºÃ» BA⇒=| ¨ AB ⇒=| , ³å³ BA ⇔=| (î»ë. ³Õ. (4)):
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2 : ¸Çóáõù BA⇒ ¨ AB ⇒ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ×ßÙ³ñÇï »Ý: ²Û¹
¹»åùáõÙ, A ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý B ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»Éáõ ѳٳñ ¨ ѳϳé³ÏÁ` B ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý A ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»Éáõ ѳٳñ:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2. àñå»ë½Ç BA⇒ ³ëáõÛÃÁ ÉÇÝÇ ×ßÙ³ñÇï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨
µ³í³ñ³ñ, áñ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝÇ AB ⇒ ³ëáõÛÃÁ (î»ë. ³Õ. (2)):
ì»ñçÇÝ åݹáõÙÁ ÑÇÙù ¿ ͳé³ÛáõÙ ³å³óáõóÙ³Ý, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, §Ñ³Ï³-ëáÕ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý Ù»Ãá¹Çݦ:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3. ÜϳïÇ áõݻݳÉáí (11) ¨ (13) µ³Ý³Ó¨»ñÇ ÝáõÛݳµ³ñ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝ»ÉÁ` ϳñ»ÉÇ ¿ åݹ»É, áñ ⇔⇒, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ñáõݳÏáÕ
ó³Ýϳó³Í µ³Ý³Ó¨ Ñݳñ³íáñ ¿ µ»ñ»É ÙÇ Ýáñ µ³Ý³Ó¨Ç, áñÁ å³ñáõݳÏÇ
ÙdzÛÝ ∨∧ ,, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
ºñϳÏÇáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÁ: ¸Çóáõù A µ³Ý³Ó¨Á ϳ½Ùí³Í ¿ nXXX ...,,, 21 ³ëáõÛ-
óÛÇÝ ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇó ÙdzÛÝ ∨∧ ,, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: ∗A
µ³Ý³Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ A µ³Ý³Ó¨Ç »ñϳÏÇÝ, »Ã» ³ÛÝ ëï³óíáõÙ ¿` A µ³Ý³Ó¨Çó ∧ -Ý ÷á˳ñÇÝ»Éáí ∨ -áí ¨ ∨ -Ý ÷á˳ñÇÝ»Éáí ∧ -áí:
гëϳݳÉÇ ¿, áñ »ñϳÏÇáõÃÛ³Ý ³éÝãáõÃÛáõÝÁ ÷á˳¹³ñÓ ¿:
»áñ»Ù 1 : ¸Çóáõù A µ³Ý³Ó¨Á ϳ½Ùí³Í ¿ nXXX ...,,, 21 ³ëáõÛóÛÇÝ
÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇó, ¨ û·ï³·áñÍí³Í »Ý ÙdzÛÝ ∨∧ ,, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸Ç-
óáõù ∗∗A µ³Ý³Ó¨Á ëï³óíáõÙ ¿ A µ³Ý³Ó¨Çó` ∧ -Ý ÷á˳ñÇÝ»Éáí ∨ -áí ¨ ∨ -Ý
÷á˳ñÇÝ»Éáí ∧ -áí ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ iX ³ëáõÛóÛÇÝ ÷á÷áË³Ï³Ý ÷á˳ñÇ-
Ý»Éáí Çñ ÅËïáõÙáí` iX : ²Û¹ ¹»åùáõÙ A µ³Ý³Ó¨Ç ÅËïáõÙÁ` A ѳí³ë³-
ñ³½áñ ¿ ∗∗A -ÇÝ.
∗∗⇔= AA| ϳ٠)...,,,()...,,,(| 2121 nn XXXAXXXA ⇔= ∗ :
»áñ»Ù 2 (ºñϳÏÇáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÁ): ¸Çóáõù A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñÁ ϳ½Ùí³Í
»Ý nXXX ...,,, 21 ³ëáõÛóÛÇÝ ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇó ¨ û·ï³·áñÍí³Í »Ý ÙdzÛÝ
∨∧ ,, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ºÃ» A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñÁ ѳí³ë³ñ³½áñ »Ý, ³å³
¹ñ³Ýó ∗A ¨ ∗B »ñϳÏÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ѳí³ë³ñ³½áñ »Ý.
»Ã» BA ⇔=| , ³å³ ∗∗ ⇔= BA| :
8
úñÇÝ³Ï 2: γ½Ù»É Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÇ »ñϳÏÇÝ»ñÁ.
³) ZYXA ∧∨= )( ; µ) ))(()( ZYXYXB ∧∨∧∨= :
ÈáõÍáõÙ: ³) ZYXZYXA ∨∧⇔∨∧=∗ )( ;
µ) )()())(()( ZYXYXZYXYXB ∨∧∨∧⇔∨∧∨∧=∗ :
2. äñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ
äñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ Ñ³ßÇíÝ Áݹ·ñÏáõÙ ¿ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßÇíÁ: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇó` ³ÛÝ ¹Çï³ñÏáõÙ ¿ ³é³ñϳݻñÇÝ í»ñ³µ»ñáÕ ³ëáõÛÃÝ»ñ:
¸Çóáõù M -Á áñáß ûµÛ»ÏïÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ¨ dcba ,,, ûµÛ»Ïï-
Ý»ñÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñ »Ý: ²Û¹ ûµÛ»ÏïÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ
Ý߳ݳÏáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå ),(),(),( dcRbQaP ¨ ³ÛÉÝ: )(aP -Ý ³ëáõÛà ¿ a
ûµÛ»ÏïÇ í»ñ³µ»ñÛ³É, )(bQ -Ý ³ëáõÛà ¿ b ûµÛ»ÏïÇ í»ñ³µ»ñÛ³É, ),( dcR -Ý
³ëáõÛà ¿ c ¨ d ûµÛ»ÏïÝ»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É ¨ ³ÛÉÝ:
úñÇÝ³Ï 3: ¸Çóáõù N -Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ¨ P -Ý Ý߳ݳÏáõÙ ¿
µÝ³Ï³Ý ÃíÇ å³ñ½ ÉÇÝ»Éáõ ѳïÏáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ § a µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½
¿¦ ³ëáõÛÃÁ ·ñíáõÙ ¿ )(aP ï»ëùáí: ²Ûë ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç a -Ý ûµÛ»Ïï ¿, ÇëÏ P -Ý`
åñ»¹Çϳï. (å³ñ½ ÃÇí ÉÇÝ»Éáõ åñ»¹Çϳï): γËí³Í a -Çó` )(aP ³ëáõÛÃÁ
ÏÉÇÝÇ ×ßÙ³ñÇï ϳ٠ϻÕÍ: úñÇݳÏ` fPfPtPtP ==== )4(,)1(,)3(,)2( : Àëï
¿áõÃÛ³Ý P åñ»¹ÇϳïÁ ÙÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, áñÁ N -Á ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿
»ñÏáõ ï³ññ»ñÇó µ³Õϳó³Í , ftB = µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³` BNP →: :
úñÇÝ³Ï 4: ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ¨ ),( baS -Ý
Ý߳ݳÏáõÙ ¿ § a -Ý ÷áùñ ¿ b -Çó¦ ³ëáõÛÃÁ: ²Û¹ ³ëáõÛÃÁ ¹³éÝáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ, »ñµ
a -Ý ¨ b -Ý ÷á˳ñÇÝíáõÙ »Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí. fStS == )2,5(,)3,1( ¨ ³ÛÉÝ: Àëï
¿áõÃÛ³Ý S åñ»¹ÇϳïÁ ÙÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, áñÁ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ñ-
·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇó
µ³Õϳó³Í , ftB = µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3 : M µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇó ϳ½Ùí³Í µáÉáñ Ñݳñ³íáñ
ϳñ·³íáñí³Í ),...,,( 21 naaa ѳí³ù³ÍáõÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ M µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ëïÇ׳Ý, ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ nM -áí.
,1,);,..,,( 21 niMaaaaM inn =∈= :
9
سëݳíáñ³µ³ñ` 2,1,:),(, 2121 =∈== iMaaaMMM i ¨ ³ÛÉÝ (ï»ë Ï»ï 3-Á):
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : ¸Çóáõù n -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹Çϳï ÏáãíáõÙ ¿ ³Ù»Ý ÙÇ ÙdzñÅ»ù P ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÁ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ëïÇ×³Ý ³ñ-
ï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇó µ³Õϳó³Í , ftB = µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³`
BMP n →: : n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇϳïÁ, ÇÝãå»ë n ÷á÷á˳ϳÝÇ ýáõÝÏódzÝ, Ý߳ݳÏáõÙ
»Ý, ûñÇݳÏ, ),..,,( 21 nxxxP å³ÛٳݳÝß³Ýáí (ï»’ë Ï»ï 3, ¿ç 16 ): M µ³½Ùáõ-
ÃÛ³ÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ïÇñáõÛÃ: ºÃ» P ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»å-ùáõÙ ),...,,( 21 naaa ѳí³ù³ÍáõÇ Ï»ñå³ñÁ t -Ý ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý`
taaaP n =),..,,( 21
¨ ³ëáõÙ »Ý` P åñ»¹ÇϳïÇ ³ñÅ»ùÁ ),...,,( 21 naaa ѳí³ù³ÍáõÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³-
ñÇï ¿: ºÃ» P ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»åùáõÙ ),...,,( 21 naaa ѳí³ù³ÍáõÇ Ï»ñ-
å³ñÁ f -Ý ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý`
faaaP n =),..,,( 21
¨ ³ëáõÙ »Ý` P åñ»¹ÇϳïÇ ³ñÅ»ùÁ ),...,,( 21 naaa ѳí³ù³ÍáõÇ Ñ³Ù³ñ Ï»ÕÍ ¿:
n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇϳïÁ, »ñµ 1=n ÏáãíáõÙ ¿ §Ù»Ï ï»Õ³ÝÇ åñ»¹Çϳï¦, 2=n ¹»åùáõÙ` §»ñÏï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï¦ ¨ ³ÛÉÝ: n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇϳïÇÝ ³Ý-
í³ÝáõÙ »Ý ݳ¨ n -ï»Õ³ÝÇ ³Ýáñáß ³ëáõÛà ϳ٠n ÷á÷á˳ϳÝÇ ïñ³Ù³µ³-Ý³Ï³Ý ýáõÝÏódz:
ÎÇñ³é»Éáí ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ (1) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ` ëï³ÝáõÙ »Ý Ýáñ åñ»¹ÇϳïÝ»ñ: úñÇݳÏ` ¹Çóáõù )(xP -Á ¨ )(xQ -Á
M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í Ù»Ï ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇϳïÝ»ñ »Ý: )(xP ¨ )(xQ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ ÏáÝÛáõÝÏódz (Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` )()( xQxP ∧ )
ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ åñ»¹ÇϳïÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó ѳٳñ ×ßÙ³ñÇï »Ý )(xP ¨ )(xQ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÁ:
)(xP ¨ )(xQ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ ¹Ç½ÛáõÝÏódz (Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` )()( xQxP ∨ )
ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ åñ»¹ÇϳïÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó ѳٳñ ×ßÙ³ñÇï ¿ )(xP ¨ )(xQ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ:
)(xP åñ»¹ÇϳïÇ ÅËïáõÙ (Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` )(xP ) ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ åñ»¹Çϳ-
ïÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó ѳٳñ Ï»ÕÍ ¿ )(xP åñ»¹ÇϳïÁ ¨ Ï»ÕÍ ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ,
áñáÝó ѳٳñ ×ßÙ³ñÇï ¿ )(xP åñ»¹ÇϳïÁ : ÜÙ³Ý Ó¨áí Ý»ñÙáõÍíáõÙ »Ý
10
)()( xQxP ⇒ , )()( xQxP ⇔ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÁ (Ý»ñÙáõÍáõÙÁ ÃáÕÝáõÙ »Ýù ÁÝûñóá-
ÕÇÝ): ´³½Ù³ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³ëáõÛñÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý ÝÙ³Ý Ó¨áí: ²Ûëï»Õ å»ïù ¿ ѳßíÇ ³éÝ»É` ÷á÷á˳-ϳÝÝ»ñÁ Ý߳ݳÏí³±Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ ï³éáí, û± áã: úñÇݳÏ, ¹Çóáõù ïñí³Í »Ý
),( yxP ¨ ),( yxQ »ñÏï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÁ, áñáÝù áñáßí³Í »Ý M µ³½Ùáõ-
ÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` ),(),( zyQyxP ∨ -Á M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í »ñ»ù
ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï ¿: ºÃ» )(xP -Á ¨ )(xQ -Á M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í Ù»Ï
ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇϳïÝ»ñ »Ý, ³å³ )()( xQxP ∨ -Á M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í
Ù»Ï ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï ¿, ÇëÏ )()( yQxP ∨ -Á M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í
»ñÏï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï ¿ :
ø í ³ Ý ï á ñ Ý » ñ : äñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ Ñ³ßíáõÙ, ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ·áñÍáÕáõÃ-ÛáõÝÝ»ñÇ ÏáÕùÇÝ, ϳñ¨áñ ¹»ñ »Ý ϳï³ñáõÙ, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ÁݹѳÝñáõÃ-Û³Ý`∀ ¨ ·áÛáõÃÛ³Ý` ∃ ùí³ÝïáñÝ»ñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
¸Çóáõù )(xP åñ»¹ÇϳïÁ áñáßí³Í ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
)(xxP∀ (15)
·ñ³éÙ³Ý ï³Ï ѳëϳÝáõÙ »Ý ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃ, »Ã» )(xP -Á ×ßÙ³ñÇï ¿ M
µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ¨ Ï»ÕÍ ³ëáõÛÃ, »Ã» M µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ
å³ïϳÝáÕ ·áÝ¿ Ù»Ï x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ )(xP -Á Ï»ÕÍ ¿:
(15) ·ñ³éáõÙÁ ϳñ¹³óíáõÙ ¿` §µáÉáñ x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ )(xP ¦ ϳÙ
§ó³Ýϳó³Í x -Ç Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ )(xP ¦:
¸Çóáõù )(xP åñ»¹ÇϳïÁ áñáßí³Í ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
)(xxP∃ (16)
·ñ³éÙ³Ý ï³Ï ѳëϳÝáõÙ »Ý ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M µ³½-ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ ·áÝ» Ù»Ï x ï³ññ áñÇ Ñ³Ù³ñ )(xP -Á ×ßÙ³ñÇï ¿, Ï»ÕÍ
³ëáõÛÃ, »Ã» M µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ )(xP -Á Ï»ÕÍ ¿:
(16) ·ñ³éáõÙÁ ϳñ¹³óáõÙ ¿` §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x , áñ ï»ÕÇ áõÝÇ )(xP ¦ :
úñÇÝ³Ï 5: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ N µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑٳݻÝù åñ»¹Çϳï
Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` taP =)( ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ a -Ý å³ñ½ ÃÇí ¿:
²Ûë ûñÇݳÏáõÙ )(xxP∀ ³ëáõÛÃÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ §ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí
å³ñ½ ÃÇí ¿¦, ÇëÏ )(xxP∃ ³ëáõÛÃÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ å³ñ½ µÝ³Ï³Ý
ÃÇí ¦: ²Ûë ³ëáõÛÃÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ Ï»ÕÍ ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` ×ßÙ³ñÇï: ²ÛëåÇëáí, )(xxP∀ ¨ )(xxP∃ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ í»ñ³µ»ñáõÙ »Ý áã û ³é³ÝÓÇÝ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ,
11
³ÛÉ ³ÙµáÕç µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: ¸ñ³Ýó ×ßÙ³ñÇï ϳ٠ϻÕÍ ÉÇÝ»ÉÁ ϳËí³Í ã¿ ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝÇ Ý߳ݳÏÙ³Ý ï³éÇó:
∀∃, ùí³ÝïáñÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ »ñϳÏÇÝ: ∧ ¨ ∨ å³Ûٳݳ
Ýß³ÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ »ñϳÏÇÝ:
»áñ»Ù 3 : ¸Çóáõù )(xP åñ»¹ÇϳïÁ áñáßí³Í ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹
¹»åùáõÙ ∀∃, ùí³ÝïáñÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
)())((| xPxxxP ∃⇔∀= ; (17)
)())((| xPxxxP ∀⇔∃= : (18)
úñÇݳÏ, (17)-Á Ý߳ݳÏáõÙ ¿ §×ßÙ³ñÇï ã¿, áñ µáÉáñ x -»ñÝ ûÅïí³Í »Ý )(xP
ѳïÏáõÃÛ³Ùµ¦ ѳí³ë³ñ³½áñ ¿ §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x ï³ññ, áñÇ Ñ³-
Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ã¿ )(xP -Á¦:
Üϳï»Ýù, áñ (17) ¨ (18) ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñáí ïñíáõÙ ¿ ٻ˳ÝǽÙ, áñáí ϳ-éáõóíáõÙ ¿ )(xxP∀ ï»ëùÇ ¨ )(xxP∃ ï»ëùÇ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ÅËïáõÙÁ. ¹ñ³ ѳٳñ
µ³í³Ï³Ý ¿ ·ñí³Í ùí³ÝïáñÁ ÷á˳ñÇÝ»É Çñ »ñϳÏÇáí ¨ )(xP ѳïÏáõÃÛáõÝÝ
Çñ ÅËïáõÙáí: ¸Çóáõù M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹Çϳï` ),..,,( 21 nxxxP
(n>1): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, 1x ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝÇ Ýϳïٳٵ (ÁݹѳÝáõñ
¹»åùáõÙ nixi ,1, = ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝÇ Ýϳïٳٵ) ∀ ¨ ∃ ùí³Ý-
ïáñÝ»ñÇ ÏÇñ³éáõÙÁ ),..,,( 21 nxxxP åñ»¹ÇϳïÇÝ, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ѳ-
Ù³å³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç »Ý ¹ÝáõÙ ),..,,( 211 nxxxPx∀ (19)
åñ»¹ÇϳïÇ ¨ ),..,,( 211 nxxxPx∃ (20)
åñ»¹ÇϳïÇ Ñ»ï: ²Û¹ åñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ nxxx ,...,, 32 ³-
é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ë¨»éí³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõ٠ѳٳå³ï³ë-˳ݳµ³ñ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.
=∈∃=∈∀
=∀:),...,,(,,
;),...,,(,,),...,,,(
211
2113211 faaaPMaf
taaaPMataaaxPx
n
nn »Ã»
»Ã»
=∈∀=∈∃
=∃:),...,,(,,
;),...,,(,,),...,,,(
211
2113211 faaaPMaf
taaaPMataaaxPx
n
nn »Ã»
»Ã»
(19) ¨ (20) åñ»¹ÇϳïÝ»ñÁ ϳËí³Í ã»Ý 1x ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÇó,
ݳ¨ »ñµ 1>n ¨ Çñ»ÝóÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ »Ý 1−n ï»Õ³ÝÇ nxxx ,...,, 32 ³é³ñϳ-
12
Û³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇó ϳËí³Í åñ»¹ÇϳïÝ»ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÝáñÇó ϳ-ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ùí³Ýïáñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ¨ ëï³Ý³É Ýáñ åñ»¹Çϳï: úñÇݳÏ` (19)-Çó Ïëï³Ý³Ýù`
)),..,,(( 2112 nxxxPxx ∀∀ : (21)
ºÃ» 2>n , ³å³ (21)-Á 2−n ï»Õ³ÝÇ nxxx ,...,, 43 ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳-
ϳÝÝ»ñÇó ϳËí³Í åñ»¹ÇÏ³ï ¿: Üñ³ Ýϳïٳٵ ϳñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ùí³Ýïáñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ: OñÇݳÏ` (21)-Çó Ïëï³Ý³Ýù`
))),..,,((( 21123 nxxxPxxx ∀∀∃ : (22)
ÀݹѳÝáõñ ¹»åùáõÙ, »Ã» kn ≥ , ³å³ ùí³Ýïáñ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÏÇñ³éáõÙÁ
ϳñ»ÉÇ ¿ ÏñÏÝ»É k ³Ý·³Ù (ùí³ÝïáñÇ ÏÇñ³éÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Á ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ó³Ýϳó³Í` µ³ó³é»Éáí ÙdzÛÝ ÏñÏÝáõÃÛáõÝÁ) ¨ ëï³Ý³É`
))...),...,,,..,,(...(( 1212211 nkkkk xxxxxPxxx +δδδ , (23)
áñï»Õ iδ -áí Ý߳ݳÏí³Í ¿ ÁݹѳÝñáõÃÛ³Ý (∀ ) ϳ٠·áÛáõÃÛ³Ý ( ∃ ) ùí³Ý-
ïáñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: (23) åñ»¹ÇϳïáõÙ kxxx ,..,, 21 ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳-
ϳÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ϳåí³Í, ÇëÏ nkk xxx ,..,, 21 ++ ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳-
ϳÝÝ»ñÁ` ³½³ï: (23) åñ»¹ÇϳïÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ×ßÙ³ñÇï ϳ٠ϻÕÍ ³ëáõÛÃ, »Ã»
nkk xxx ,..,, 21 ++ ³½³ï ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝÝ»ñÁ ÷á˳ñÇÝíÇ M µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñáí: ºñµ nk = , ³å³ (23) åñ»¹ÇϳïÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ³ëáõÛÃ: ÀݹáõÝí³Í ¿ (23) ï»ëùÇ åñ»¹ÇϳïÁ (³ëáõÛÃÁ) ·ñ»É ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇ`
),...,,,..,,(... 1212211 nkkkk xxxxxPxxx +δδδ . (24)
»áñ»Ù 4: ¸Çóáõù n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇϳïÁ` ),...,,,..,,( 121 nkk xxxxxP + áñáß-
í³Í ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÁ.
),,...,,,..,,(...),...,,,..,,(...| 12122111212211 nkkkknkkkk xxxxxPxxxxxxxxPxxx ++ ′′′⇔= δδδδδδ (25)
áñï»Õ iδ ′ ùí³ÝïáñÁ iδ ùí³ÝïáñÇ »ñϳÏÇÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝ` iδ ′ -Á ÁݹѳÝ-
ñáõÃÛ³Ý Ï³Ù ·áÛáõÃÛ³Ý ùí³Ýïáñ ¿, »Ã» iδ -Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ ·á-
ÛáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÁݹѳÝñáõÃÛ³Ý ùí³Ýïáñ ¿:
Üϳï»Ýù, áñ (25) ³éÝãáõÃÛáõÝáí ïñíáõÙ ¿ ٻ˳ÝǽÙ, áñáí ϳéáõóíáõÙ ¿ (24) ï»ëùÇ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ÅËïáõÙÁ. µ³í³Ï³Ý ¿ ·ñí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ùí³Ýïáñ ÷á˳ñÇÝ»É Çñ »ñϳÏÇáí ¨ ),...,,,...,,( 121 nkk xxxxxP + ѳïÏáõÃÛáõÝÝ Çñ ÅËïáõÙáí:
úñÇÝ³Ï 6: ¸Çóáõù N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ 2: ND , ft→ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý åñ»¹ÇϳïÁ. taaD =),( 21 ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ
¹»åùáõÙ, »ñµ 1a -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2a -Ç: ÀݹѳÝñáõÃÛ³Ý ¨ ·áÛáõÃÛ³Ý ùí³Ý-
13
ïáñÝ»ñÇ ÏÇñ³éٳٵ ëï³Ý³É åñ»¹ÇϳïÝ»ñ ¨ ³ëáõÛÃÝ»ñ. 1) ),( 211 xxDx∀ - §ó³Ýϳó³Í 1x -Ç Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ),( 21 xxD ¦: ²Ûë åñ»-
¹ÇϳïÁ ëï³ÝáõÙ ¿ ×ßÙ³ñÇï ³ñÅ»ù` t ÙdzÛÝ 12 =x -Ç Ñ³Ù³ñ:
2) ),( 211 xxDx∃ - §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 1x , áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2x -Ǧ: ²Ûë åñ»-
¹ÇϳïÁ ëï³ÝáõÙ ¿ ×ßÙ³ñÇï ³ñÅ»ù` t , 2x ³½³ï ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷á˳-
ϳÝÇ ó³Ýϳó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ: 3) ),( 2121 xxDxx ∀∀ - §ó³Ýϳó³Í 1x -Ç ¨ ó³Ýϳó³Í 2x -Ç Ñ³Ù³ñ 1x -Á µ³-
ųÝíáõÙ ¿ 2x -Ç ¦: ²ëáõÛÃÁ Ï»ÕÍ ¿:
4) ),( 2112 xxDxx ∀∀ - §ó³Ýϳó³Í 1x -Ç ¨ ó³Ýϳó³Í 2x -Ç Ñ³Ù³ñ 2x -Á 1x -Ç
µ³Å³Ý³ñ³ñ ¿¦: ²ëáõÛÃÁ Ï»ÕÍ ¿: 5) ),( 2121 xxDxx ∀∃ - §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 1x , áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ó³Ýϳó³Í 2x -Ǧ:
²ëáõÛÃÁ Ï»ÕÍ ¿: 6) ),( 2112 xxDxx ∃∀ - § ó³Ýϳó³Í 2x -Ç Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 1x , áñ 1x -Á
µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2x -Ç ¦: ²ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿:
7) ),( 2121 xxDxx ∃∀ - § ó³Ýϳó³Í 1x -Ç Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 2x ³ÛÝåÇëÇÝ,
áñ 1x -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2x -Ç ¦: ²ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿:
8) ),( 2112 xxDxx ∀∃ - §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 2x , áñÁ ó³Ýϳó³Í 1x -Ç µ³Å³Ý³ñ³ñ
¿¦: ²ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ¸Çï³ñÏí³Í ûñÇݳÏÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ ùí³ÝïáñÝ»ñÇ ÏÇñ³éÙ³Ý Ñ³çáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ϳñáÕ ¿ ÷áËí»É ³ëáõÛÃÇ µáí³Ý¹³ÏáõÃÛáõÝÁ, ѻ勉å»ë ݳ¨ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ:
úñÇÝ³Ï 7: îñí³Í »Ý CBA ,, ³ëáõÛÃÝ»ñÁ. −A §27-Á ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 2-Ǧ,
−B §·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ½áõÛ· å³ñ½ ÃÇí¦, −C §5<9¦: ³) Ò¨³Ï»ñå»É ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÁ, µ) å³ñ½»É` ïñí³Í ³ëáõ±ÛÃÝ ¿ ×ßÙ³ñÇï,
û± ¹ñ³ ÅËïáõÙÁ, ·) ϳ½Ù»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ëáõÛÃÇ ÏñÏݳÏÇ ÅËïáõÙÁ ¨ ѳÙá½í»É, áñ ³ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Çñ»Ý:
ÈáõÍáõÙ: ³) −A §27-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ǧ, −B §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ½áõÛ· å³ñ½ ÃÇí¦, −C §5≥ 9¦: µ) ÖßÙ³ñÇï »Ýª A , B ¨ C ³ëáõÛÃÝ»ñÁ, Ï»ÕÍ »Ýª A , B ¨
C ³ëáõÛÃÝ»ñÁ: ·) ø³ÝÇ áñ −A §27-Á ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 2-Ǧ, −B §·áÛáõÃÛáõÝ
ãáõÝÇ ½áõÛ· å³ñ½ ÃÇí¦, −B §5<9¦, ³å³ ÇÝãå»ë ï»ëÝáõÙ »Ýùª ⇔A A ,
⇔B B , ⇔C C :
úñÇÝ³Ï 8: ∀ ¨ ∃ ùí³ÝïáñÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ·ñ»É A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ¨ ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÁ.
−A §ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ x µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y
14
µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ yx + -Á å³ñ½ ÃÇí ¿¦,
−B §ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ x Ï»ïÁ l áõÕÕÇ íñ³, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Û¹ áõÕÕÇ íñ³ y Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ x ¨ y Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ ¿ 3-Çó¦:
ÈáõÍáõÙ: ))(( NyNxA ∈∃∈∀− yx + -Á å³ñ½ ÃÇí ¿,
))(( NyNxA ∈∀∈∃− yx + -Á å³ñ½ ÃÇí ã¿,
3||))(( <−∈∃∈∀− yxlylxB ,
3||))(( ≥−∈∀∈∃− yxlylxB :
3. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ¹ñ³Ýó Ñ»ï: ´³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝ
´³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ Ýñ³ ï³ññÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý ݳËݳϳÝ
ѳëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ß³ñùÇÝ, ¨ ¹ñ³Ýù ÁݹáõÝíáõÙ »Ý Ý»ñÁÙµáÝáÕ³µ³ñ: ´³½ÙáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí` ϳñ»ÉÇ Ñ³ëÏ³Ý³É ï³ñµ»ñ ï³ññ»ñÇ Ñ³í³ù³Íáõ,
ѳٳËáõÙµ, áñáÝù ïíÛ³É ¹»åùáõÙ ¹ÇïíáõÙ »Ý áñå»ë Ù»Ï ³ÙµáÕçáõÃÛáõÝ: ´³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ »Ý` ïíÛ³É Ñ³Ù³Éë³ñ³ÝÇ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ µ³½Ùáõ-
ÃÛáõÝÁ, ѳñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ÛÉÝ: ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý áñ¨¿ ³Ûµáõµ»ÝÇ Ù»Í³ï³é»ñáí, ѳ׳Ë`
ɳïÇÝ³Ï³Ý ³Ûµáõµ»ÝÇ ï³é»ñáí` ,...,, CBA , ÇëÏ Ýñ³Ýó ï³ññ»ñÁ` ÷áùñ³-
ï³é»ñáíª ,...,, cba :
§ a -Ý å³ïϳÝáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ¦ ³ëáõÛÃÁ ϳñ× ·ñáõÙ »Ý Aa∈ å³ÛÙ³-
ݳÝß³Ýáí, ÇëÏ Ýñ³ ÅËïáõÙÁ` § a -Ý ãÇ å³ïϳÝáõÙ A µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ¦ ·ñáõÙ »Ý
Aa∉ å³ÛٳݳÝß³Ýáí:
ºÃ» A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ï³ññ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ ¿ , ³å³ ·ñáõÙ »Ýª BA⊂ ¨ ³ëáõÙ »Ý, áñ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: гëϳݳÉÇ ¿, áñª AA⊂ :
A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳí³ë³ñ ¨ ·ñáõÙ »Ý BA = , »Ã» ¹ñ³Ýù µ³Õϳó³Í »Ý ÙǨÝáõÛÝ ï³ññ»ñÇó, ³ÛëÇÝùÝ` BA⊂ ¨ AB ⊂ .
)()()( ABBABA ⊂∧⊂⇔= :
§ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ ã»Ý¦ ³ëáõÛÃÁ ·ñíáõÙ ¿` BA ≠ ï»ëùáí: ºÃ» BA⊂ ¨ BA ≠ , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý
ϳÝáݳíáñ Ù³ëÝ ¿, ϳ٠ë»÷³Ï³Ý »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: A µ³½ÙáõÃÛ³Ý »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ï³ññ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý )(xP
ѳïÏáõÃÛ³ÝÁ, ·ñ³éíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëù»ñÇó Ù»Ïáíª )(: xPAx∈ ϳ٠)(| xPAx∈ : (26)
15
¸³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí ѳëϳÝáõÙ »Ý µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ ãÇ å³ñáõ-
ݳÏáõÙ áã ÙÇ ï³ññ: ¸³ï³ñÏ ¿, ûñÇݳÏ, 012 =+x ѳí³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ³ñ-
Ù³ïÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ¸³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý Ø å³Ûٳݳ-Ýß³Ýáí: ø³ÝÇ áñ ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ûñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ, ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ-Û³óÝ»É Ø : xxMx ≠∈= ï»ëùáí, áñï»Õ M -Á ó³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿,
³å³ ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É, áñ Ø M⊂ : ²ÛëÇÝùÝ` ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ »Ýó-µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ó³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:
A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ùdzíáñáõ٠ϳ٠·áõÙ³ñ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý BA∪ , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`
)()(: BxAxxBA ∈∨∈=∪ : (27)
²ÛëÇÝùÝ` BA∪ -Ý ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÇ ó³Ýϳó³Í ï³ññ å³ïϳÝáõÙ ¿ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÇÝ (ÝÏ.1):
A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõ٠ϳ٠³ñï³¹ñÛ³É, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý BA∩ , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`
)()(: BxAxxBA ∈∧∈=∩ : (28)
²ÛëÇÝùÝ` BA∩ -Ý ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÇ ó³Ýϳó³Í ï³ññ å³ïϳÝáõÙ ¿ ÇÝãå»ë A -ÇÝ, ³ÛÝå»ë ¿É B -ÇÝ (ÝÏ.2):
A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý BA \ , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`
∉∧∈= xAxxBA ()(:\ )B : (29)
²ÛëÇÝùÝ` BA \ -Ý ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÇ µáÉáñ ï³ññ»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý
A -ÇÝ ¨ ã»Ý å³ïϳÝáõÙ B -ÇÝ (ÝÏ.3.): ¸Çóáõù A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ U -Ç Ñ³Ù³ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ
AU \ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óáõÙ ÙÇÝ㨠U µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ¨
Ý߳ݳÏáõÙ »Ý ACU : ºÃ» ѳÛïÝÇ ¿, û áñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ýϳïٳٵ ¿ áñáÝíáõÙ
A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óáõÙÁ, ³å³ ACU -Ç ÷á˳ñ»Ý ·ñáõÙ »Ý CA (ÝÏ.4.):
A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ã³÷ (ëÇÙ»ïñÇÏ) ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ, áñÁ Ýß³-
ݳÏáõÙ »Ý BA∆ , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª
)\()\( ABBABA ∪=∆ : (30)
A
BA∪ ÝÏ.1.
B A B
BA∩ ÝÏ.2.
B A
BA \ ÝÏ.3. ACU ÝÏ.4.
A U
16
¸Çóáõù Aa∈ ¨ Bb∈ : a ¨ b ï³ññ»ñÇ ½áõÛ·Á` ·ñí³Í ),( ba ï»ëùáí, Ïáã-
íáõÙ ¿ ϳñ·³íáñí³Í ½áõÛ·, Áݹ áñáõÙª ),( 11 ba ¨ ),( 22 ba ½áõÛ·»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý
ѳí³ë³ñ, »Ã» 21 aa = , 21 bb = :
A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áõÕÇÕ Ï³Ù ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É, áñÁ Ý߳ݳ-
ÏáõÙ »Ý BA× , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª
)()(:),( BbAabaBA ∈∧∈=× : (31)
²ÛëÇÝùÝ` BA× -Ý µáÉáñ Ñݳñ³íáñ ),( ba ϳñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ µ³½ÙáõÃ-
ÛáõÝÝ ¿, áñÇ ³é³çÇÝ a µ³Õ³¹ñÇãÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ b µ³-
Õ³¹ñÇãÁ` B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ: гݷáõݳå»ë ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ª
,,,:),,,( 22112121 nnnn AaAaAaaaaAAA ∈∈∈=××× (32)
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: Àݹ áñáõÙ ·ñáõÙ »Ýª nAAAA =××× :
´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý N -áí`
,,,3,2,1 nN = :
²ÙµáÕç Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý Z -áíª
,,,3,2,1,0,1,2,3,,, nnZ −−−−= :
ü á õ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç Ñ ³ ë Ï ³ ó á õ Ã Û á õ Ý Á : ¸Çóáõù A -Ý ¨ B -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ: ºÃ» A
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññ ÇÝã-áñ f ûñ»Ýùáí ѳٳå³ï³ë˳Ýáõ-
ÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñíáõÙ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Ï y ï³ññ, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ïñí³Í ¿
ýáõÝÏódz, áñÇ Ñ³Ù³ñ A -Ý áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛà ¿, ÇëÏ B -ݪ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃ:
êáíáñ³µ³ñ ³ÛÝ ÙÇ³Ï y -Á, áñÁ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ Ax∈ ï³ññÇÝ,
Ý߳ݳÏáõÙ »Ý )(xf : Ð³×³Ë x -ÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ݳ˳å³ïÏ»ñ ϳ٠³ñ-
·áõÙ»Ýï, ÇëÏ )(xf -Áª x ï³ññÇ å³ïÏ»ñ ϳ٠ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ù:
üáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ÁݹáõÝí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñÁ`
BAf →: ϳ٠)(xfy = : (33)
ÀݹáõÝí³Í ¿ ݳ¨ BAf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³Ý»É A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ñï³-
å³ïÏ»ñáõÙ B -Ç Ù»ç: Üϳï»Ýù, áñ ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ãÇ Ñ»ï¨áõÙ, áñ
ó³Ýϳó³Í By∈ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ù ¿ª )(xfy = , Ax∈ , ¨ x -Ç ï³ñµ»ñ ³ñ-
Å»ùÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ y -Ç ï³ñµ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñ: :)( AxxfE f ∈=
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
ºÃ» BAf →: ¨ fEB = , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ f -Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ A -Ý
B -Ç íñ³ ϳ٠f -Á íñ³¹ñáÕ ýáõÝÏódz ¿ ( ëáõñÛ»ÏïÇí ¿):
17
ºÃ» BAf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ )()(),( 212121 xfxfxxAxx ≠≠∈∀ ,
³å³ f -Á ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³¹ñáõÙ (ÇÝÛ»ÏïÇí ýáõÝÏódz);
ìñ³¹ñáõÙ ¨ ï³ñ³¹ñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³¹ñáõ٠ϳ٠µÇ»Ïódz ϳÙ
÷áËÙdzñÅ»ù ýáõÝÏódz: Üϳï»Ýù, áñ BAf →: µÇ»ÏïÇí ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áË-
ÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ ¿ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ññ»ñÇ ÙÇç¨:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳٳñÅ»ù, »Ã» A ¨
B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ññ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³-
ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛëÇÝùÝ` ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ µÇ»ÏïÇí ýáõÝÏódz` BAf →: :
ºÃ» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳٳñÅ»ù »Ý, ³å³ ·ñáõÙ »Ý A ~ B , ÇëÏ »Ã»
ѳٳñÅ»ù ã»Ýª A B :
´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ³éÝãáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨-
Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇݪ
1) A ~ A – ³Ý¹ñ³¹³ñÓáõÃÛáõÝ,
2) A ~ B ¨ B ~ A – ѳٳã³÷áõÃÛáõÝ,
3) ºÃ» A ~ B ¨ B ~ C , ³å³ A ~ C – ï»Õ³÷á˳ϳÝáõÃÛáõÝ:
ºÃ» A ~ B , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ñ½á-
ñáõÃÛáõÝÁ: A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý A -áí:
ºÃ» A B , µ³Ûó A ~ BB ⊂1 , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ
÷áùñ ѽáñáõÃÛáõÝ, ù³Ý B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ϳ٠B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ Ù»Í Ñ½á-
ñáõÃÛáõÝ, ù³Ý A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
≠A Ø µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Nn∈ ÃÇí,
áñ A ~ ,,3,2,1 n : ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ n
¿, ϳ٠A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ n -Ǫ nA = : ¸³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃ-
ÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ѳٳñíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ¸ñ³ ѽáñáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí`
ѳëϳÝáõÙ »Ý ½ñá ÃÇíÁª 0=Ø : ºÃ» µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ã¿, ³å³ ³ÛÝ
ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç: ²Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ѽáñáõÃÛáõÝ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ
“ï³ññ»ñÇ ÃÇí” Ñ³ëϳóáõÃÛ³Ý ÁݹѳÝñ³óáõÙÝ ¿:
ºÃ» A ~ N , ³å³ A -Ý ÏáãíáõÙ ¿ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: гßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý
ѽáñáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ѳßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝ ¨ Ý߳ݳÏáõÙ »Ýª a -áí:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5 : ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í XNf →: ýáõÝÏ-
óÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³í»ÉÇ ×Çßï X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇó
ϳ½Ùí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:
18
Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ nxnf =)( ³ñÅ»ùÁ ÏáãíáõÙ ¿ XNf →: ѳ-
çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³Ù (³í»ÉÇ ×Çßï n -ñ¹ ³Ý¹³Ù): ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³-
Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñÁ` nnnn xNnxNnxx ;,);:(; ∈∈ :
ºñµ»ÙÝ Ñ³ñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñÁ`
,,,, 21 nxxx ; ,,,, 21 nxxx : (34)
Üß»Ýù, áñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ å³ñï³¹Çñ ã¿ ï³ñµ»ñ ÉÇÝ»Ý:
²Û¹ å³ï׳éáí ¿É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳñáÕ ¿
ÉÇÝ»É í»ñç³íáñ:
ø³ÝÇ áñ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í
÷áËÙdzñÅ»ù ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ³Ù»Ý ÙÇ Ñ³ßí»ÉÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É áñå»ë ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ÜϳïÇ áõݻݳÉáí ³Û¹` ³ëáõÙ »Ý` »Ã» A -Ý Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ¹ñ³ ï³ññ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ §¹³ë³íáñ»É ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ¦.
,,,,, 321 naaaaA = (35)
úñÇÝ³Ï 9: ²å³óáõó»É, áñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` Z -Á ѳßí»ÉÇ ¿:
²å³óáõÛó: ´³í³Ï³Ý ¿ Z µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ûñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ, Ý»ñϳ۳óÝ»É
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï»ëùáí Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` ,,,,3,3,2,2,1,1,0 nnZ −−−−= : ∆
´³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýѳßí»ÉÇ, »Ã» ¹ñ³ ѽáñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿, ù³Ý
µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ:
¸Çóáõù ïí³Í ¿ S µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Çݹ»ùëÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃ-
ÛáõÝ, ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ss∈ Çݹ»ùëÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í
sA µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
: SsAs ∈ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ï³ññ»ñ »Ý ѳݹÇë³ÝáõÙ SsAs ∈,
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÏáãíáõÙ ¿ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù:
ºñÏáõ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ ë³ÑÙ³Ýí³Í ÙdzíáñÙ³Ý ¨ ѳïÙ³Ý
·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ ÁݹѳÝñ³óíáõÙ »Ý µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñç³íáñ ¨ ³Ýí»ñç
ÁÝï³ÝÇùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
: SsAs ∈ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙdzíáñáõÙ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý
sSs
A∈ , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ µáÉáñ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ
å³ïϳÝáõÙ ¿ ÁÝï³ÝÇùÇ ·áÝ» Ù»Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý:
سëݳíáñ³µ³ñ, »Ã» µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳß-
í»ÉÇ, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ·ñáõÙ »Ý`
19
:
,
211
211
∪∪∪∪=
∪∪∪=
∞
=
=
nkk
nk
n
k
AAAA
AAAA (36)
: SsAs ∈ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÇ Ñ³ïáõÙ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý sSs
A∈ ,
ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ µáÉáñ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ å³ïϳ-
ÝáõÙ ¿ ÁÝï³ÝÇùÇ µáÉáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:
سëݳíáñ³µ³ñ, »Ã» µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳß-
í»ÉÇ, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ·ñáõÙ »Ý`
:
,
211
211
∩∩∩∩=
∩∩∩=
∞
=
=
nkk
nk
n
k
AAAA
AAAA (37)
ºñϳÏÇáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÁ: ¸Çóáõù` SUA ∈∀⊂ αα , : ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ï»ëáõÃÛ³Ý Ù»ç ¨ ¹ñ³ ÏÇñ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ß³ï ϳñ¨áñ ¹»ñ ¿ ϳï³ñáõÙ, ³Ûë-
å»ë Ïáãí³Í, »ñϳÏÇáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÁ, áñÁ ÑÇÙÝí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ³éÝ-
ãáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³.
1. ØdzíáñÙ³Ý Éñ³óáõÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ Éñ³óáõÙÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³ÝÁ `
)(\ αα
αα
AUAUSS
−=∈∈ : (38)
2. гïÙ³Ý Éñ³óáõÙÁ ѳí³ë³ñ ¿ Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ÙdzíáñÙ³ÝÁ`
)(\ αα
αα
AUAUSS
−=∈∈ : (39)
3. ºÃ» βα AA ⊂ , ³å³ βα AUAU \\ ⊃ : (40)
(38) ¨ (39) µ³Ý³Ó¨»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ¸’Øáñ·³ÝÇ µ³Ý³Ó¨»ñ:
ºñϳÏÇáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÝ ³ÛÝ ¿, áñ ÙǨÝáõÛÝ U µ³½ÙáõÃÛ³Ý »Ýóµ³½-
ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í ó³Ýϳó³Í ×ßÙ³ñÇï ³éÝãáõÃÛáõÝÇó, áñÁ å³ñáõ-
ݳÏáõÙ ¿ ⊂⊃= ,, Ýß³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ¨ Ýß³ÝÝ»ñÁ, ϳñ»ÉÇ
¿ ëï³Ý³É Ù»Ï ³ÛÉ ×ßÙ³ñÇï ³éÝãáõÃÛáõÝ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` µáÉáñ »Ýó-
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷á˳ñÇÝ»Éáí Çñ»Ýó Éñ³óáõÙáí, Ýß³ÝÁ ÷á˳ñÇÝ»Éáí
Ýß³Ýáí ¨ ѳϳé³ÏÁ, ⊃ Ýß³ÝÁ ÷á˳ñÇÝ»Éáí ⊂ Ýß³Ýáí ¨ ѳϳé³ÏÁ, =
Ýß³ÝÁ ÃáÕÝ»Éáí ³Ý÷á÷áË:
20
4. ä³ñ½³·áõÛÝ Ã»áñ»ÙÝ»ñ ѳßí»ÉÇ ¨ ³Ýѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É
»áñ»Ù 5 : гßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý ÙÇ ³Ýí»ñç »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ Ñ³ß-
í»ÉÇ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ,,,, 21 naaaA = ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ¨
B -Ý Ýñ³ ³Ýí»ñç »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý
Ù»ç áõÝ»Ý Çñ»Ýó ѳٳñÝ»ñÁ: ¸³ë³íáñ»Ýù B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ѳٳñ-Ý»ñÇ ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí`
)(,,,,, 321321 <<<<<= knnnn nnnnaaaaB
k: (41)
ÜáñÇó ϳñáÕ »Ýù ³Û¹ ï³ññ»ñÁ ѳٳñ³Ï³É»É µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí` Áëï
Ýñ³Ýó ¹³ë³íáñí³ÍáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Ç (Ýáñ ѳٳñÇ ¹»ñáõÙ ÏÉÇÝÇ k Çݹ»ùëÁ):
л勉µ³ñ, B -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ∆
»áñ»Ù 6 : ²Ù»Ý ÙÇ M ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ѳßí»ÉÇ
³ÛÝåÇëÇ 0M »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ 0\ MM -Ý ³Ýí»ñç ¿:
²å³óáõÛó: ì»ñóÝ»Ýù M µ³½ÙáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ï³ññ»ñ ¨
Ý߳ݳϻÝù 1a -áí ¨ 1b -áí: ø³ÝÇ áñ M -Ý ³Ýí»ñç ¿, ³å³ ݳ ãÇ ëå³éíáõÙ 1a
¨ 1b ï³ññ»ñáí, ¨ Ýñ³ÝáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 1a -Çó ¨ 1b -Çó ï³ñµ»ñ 2a ¨ 2b
Çñ³ñÇó ÝáõÛÝå»ë ï³ñµ»ñ ï³ññ»ñ: ø³ÝÇ áñ M -Ý ³Ýí»ñç ¿, ³å³ ݳ ãÇ
ëå³éíáõÙ 1a , 1b , 2a , 2b ï³ññ»ñáí, ѻ勉µ³ñ Ýñ³ÝáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 3a
¨ 3b Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ï³ññ»ñ, áñáÝù ï³ñµ»ñ »Ý ݳ¨ 1a , 1b , 2a , 2b ï³ññ»-
ñÇó: ²Ûë åñáó»ëÁ ³Ýí»ñç ß³ñáõݳϻÉáí` Ïëï³Ý³Ýù M µ³½ÙáõÃÛ³Ý »ñÏáõ
ѳßí»ÉÇ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ`
,,,,, 3210 naaaaM = , ,,,,, 3211 nbbbbM = (42)
ø³ÝÇ áñ 01 \ MMM ⊂ , ѻ勉µ³ñ` 0MM − -Ý ³Ýí»ñç ¿: ∆
»áñ»Ù 6-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ µáÉáñ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³Ù»Ý³÷áùñ
ѽáñáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
²Ýѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, áñÇÝ Ï³Ý¹ñ³¹³éݳÝù § 2-Ç 8 Ï»ïáõÙ:
»áñ»Ù 7: гßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ½áõÛ½ ³é ½áõÛ· Çñ³ñ ãѳïáÕ í»ñç³íáñ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ,...),,2,1( nkAk = µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñç³íáñ »Ý ¨ ½áõÛ·
21
³é ½áõÛ· Çñ³ñ ã»Ý ѳïáõÙª
,,,,
,,,,
,,,,
)3()3(2
)3(13
)2()2(2
)2(12
)1()1(2
)1(11
3
2
1
n
n
n
aaaA
aaaA
aaaA
=
=
=
(43)
àñå»ë½Ç ∞
=
=1n
nAA ÙdzíáñáõÙÁ Ý»ñϳ۳óíÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï»ëùáí,
µ³í³Ï³Ý ¿ ëϽµÇó ѳٳñ³Ï³É»É 1A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁª ÝáõÛÝ Ï³ñ·³íáñ-
í³ÍáõÃÛ³Ùµ, ³ÛÝáõÑ»ï¨` 2A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ¨ ³Û¹å»ë ß³ñáõݳÏ: ∆
»áñ»Ù 8: ì»ñç³íáñ ϳ٠ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: úñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ѳßí»ÉÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùÁ: ¸Çóáõù, ,,,, 21 nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³-
ù³ÝãÛáõñÁ ѳßí»ÉÇ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ,,,, 21 nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³-
ù³ÝãÛáõñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï»ëùáíª
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,
444342414
343332313
242322212
141312111
aaaaAaaaaAaaaaA
aaaaA
====
(44)
∞
=
=1n
nAA µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ¹³ë³íáñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ϳñ·³íáñí³-
ÍáõÃÛ³Ùµª
,,,,,,,,,, 14233241132231122111 aaaaaaaaaaA = , (45)
³ÛëÇÝùÝ` ѳٳñ³Ï³É»Ýù Áëï ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ ï³ññ»ñÇ, Áݹ áñáõÙ` ëɳù-
Ý»ñÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: àñáß iA ¨ jiAj ≠, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ϳñáÕ »Ý áõݻݳÉ
ÁݹѳÝáõñ ï³ññ»ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ýñ³Ýù ѳßí³éíáõÙ »Ý Ù»Ï ³Ý·³Ù:
²Ûë Ó¨áí A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ѳٳñ³Ï³É»É, ³ÛëÇÝùÝ` ÷áË-
ÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»É µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N µ³½ÙáõÃÛ³Ý
Ñ»ï: ∆ »áñ»Ù 9 : ºÃ» A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í ï³ññ áñáßíáõÙ ¿ n ѳï
Çݹ»ùëÝ»ñáí, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÙÛáõëÝ»ñÇó ³ÝÏ³Ë ÁݹáõÝáõÙ ¿ ѳßí»ÉÇ
22
µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ³ñÅ»ùÝ»ñ`
),...,3,2,1,...;,...,,(, )2()1(,...,, 21
kmppppaA immmmppp k
=== , (46)
³å³ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
²å³óáõÛó: ÀݹѳÝñáõÃÛáõÝÁ ã»Ýù ˳ËïÇ, »Ã» ÁݹáõÝ»Ýù, áñ Çݹ»ùëÝ»ñÇ
ÁݹáõÝ»ÉÇë ³ñÅ»ùÝ»ñÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý:
Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Aakppp ∈,...,, 21
ï³ññ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»Ýù
kpppan ++= 21)( µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ»ï: гëϳݳÉÇ ¿, áñ )(an -Ý Ï³ñáÕ ¿
ÉÇÝ»É k -Çó áã ÷áùñ µÝ³Ï³Ý ÃÇí: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ kn ≥ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
nA -áí Ý߳ݳϻÝù A -Ç µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ѳٳñ
nan =)( : гëϳݳÉÇ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ nA í»ñç³íáñ ¿, ÇëÏ ∞
=
=kn
nAA :
л勉µ³ñ ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 7-Ç` A -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ∆
л勉Ýù 1: ´áÉáñ ³ÙµáÕç ·áñͳÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`
P -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿:
²å³óáõÛó: Ü³Ë µáÉáñ n ³ëïÇ׳ÝÇ ³ÙµáÕç ·áñͳÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³Ù-
Ý»ñÇ`
niZcccxcxcxp innn ,...,2,1,0,),0()( 0
110 =∈≠+++= −
nP µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³ßí»ÉÇáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ ݳËáñ¹ ûáñ»ÙÇó (³Ûëï»Õ
Çݹ»ùëÝ»ñÇ ¹»ñ »Ý ϳï³ñáõÙ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ):
ø³ÝÇ áñ ∞
=
=0n
nPP , ³å³ ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 8-Ç` P -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ∆
»áñ»Ù 10 : îñí³Í M ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ í»ñç³íáñ ϳ٠ѳßí»ÉÇ A
µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙdzíáñáõÙÁ` AM ∪ áõÝÇ ÝáõÛÝ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ, ÇÝã áñ ïñí³Í M
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` AM ∪ ~ M :
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù M -Á ïñí³Í ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ A -Ý í»ñ-
ç³íáñ ϳ٠ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ´³í³Ï³Ý ¿ ¹Çï³ñÏ»É ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñµ
=∩ AM Ø : гٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 6-Ç` M µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ³é³ÝÓݳóÝ»Ýù ³ÛÝ-
åÇëÇ B ѳßí»ÉÇ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ BMC \= -Ý ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç: àõÝ»Ýù
BCM ∪= ¨ )( BACAM ∪∪=∪ : (47)
ø³ÝÇ áñ C ~ C ¨ B ~ BA∪ , ³å³ M ~ AM ∪ : ∆
»áñ»Ù 11 : ºÃ» M -Ý ³Ýѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ 0M -Ý ¹ñ³ í»ñç³-
23
íáñ ϳ٠ѳßí»ÉÇ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ 0\ MM ~ M :
²å³óáõÛó: àõÝ»Ýù =M 00 )\( MMM ∪ : ä³ñ½ ¿, áñ 0\ MM -Ý ÏÉÇÝÇ ³Ý-
ѳßí»ÉÇ, ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ M -Á ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ ϳ٠ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,
áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` 0\ MM ~ M ³éÝãáõÃÛáõÝÁ
Ñ»ï¨áõÙ ¿ ûáñ»Ù 10-Çó: ∆
´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÁ (γÝïáñ-´»éÝßï»ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ):
»áñ»Ù 12 : ºÃ» CBA ⊂⊂ , Áݹ áñáõÙ` CA ~ , ³å³` BA ~ :
»áñ»Ù 13 : ºÃ» A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý áñ¨¿ »Ýó-µ³½ÙáõÃÛ³Ý, ÇëÏ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý áñ¨¿ »Ýóµ³½-ÙáõÃÛ³Ý, ³å³` BA ~ :
úñÇÝ³Ï 10: ²å³óáõó»É (38) ³éÝãáõÃÛáõÝÁ:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` Ss
sAUx∈
∈ \ : ²Û¹ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ Ss
sAx∈
∉ , ÇëÏ í»ñ-
çÇÝë Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ SsAx s ∈∀∉ , : л勉µ³ñ SsAUx s ∈∀∈ ,\ , áõñ»ÙÝ
Ss
sAUx∈
∈ )\( : ²ÛëåÇëáí`
Ss Ss
ss AUAU∈ ∈
⊂ )\(\ (48)
гϳé³ÏÁ, ¹Çóáõù Ss
sAUx∈
∈ )\( : ²Û¹ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ SsAUx s ∈∀∈ ,\ :
л勉µ³ñ SsAx s ∈∀∉ , , áõñ»ÙÝ Ss
sAx∈
∉ : àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ
Ss
sAUx∈
∈ \ : ²ÛëåÇëáí`
Ss Ss
ss AUAU∈ ∈
⊂ \)\( (49)
гٻٳï»Éáí (48) ¨ (49) Ý»ñ³éáõÙÝ»ñÁ` Ïëï³Ý³Ýù (38) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ÀÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É (39) ³éÝãáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃ-
ÛáõÝÁ:
úñÇÝ³Ï 11: ¸Çóáõù UCBA ⊂,, : ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
³) )()()()( CABACBCAA ∩∪∩=∪∩∪∩ (50)
µ) )()()()( CABACBCAA ∪∩∪=∩∪∩∪ (51)
²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù )()( CBCAAx ∪∩∪∩∈ : ²Û¹ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ
24
Ax∈ ¨ CAx ∪∈ ¨ CBx ∪∈ , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ax∈ ¨ ( Bx∈ ϳÙ
Cx∈ ), ѻ勉µ³ñ, BAx ∩∈ ϳ٠CAx ∩∈ : àõñ»ÙÝ )()( CABAx ∩∪∩∈ :
²ÛëåÇëáí`
)()()()( CABACBCAA ∩∪∩⊂∪∩∪∩ (52)
гϳé³ÏÁ, ¹Çóáõù )()( CABAx ∩∪∩∈ : ²Û¹ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ BAx ∩∈
ϳ٠CAx ∩∈ : ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ` Ax∈ ¨ Bx∈ , áñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ax∈ ¨
CAx ∪∈ ¨ CBx ∪∈ : àõñ»ÙÝ )()( CBCAAx ∪∩∪∩∈ : ºñÏñáñ¹ ¹»å-
ùáõÙ` Ax∈ ¨ Cx∈ , áñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ax∈ ¨ CAx ∪∈ ¨ CBx ∪∈ :
àõñ»ÙÝ )()( CBCAAx ∪∪∪∩∈ : ²ÛëåÇëáí`
)()()()( CBCAACABA ∪∩∪∩⊂∩∪∩ (53)
гٻٳï»Éáí (52) ¨ (53) Ý»ñ³éáõÙÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù (50) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
µ) ÎÇñ³é»Ýù »ñϳÏÇáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÁ (50) ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýϳïٳٵ`
)()()()( CCACBCACCCBCCCACAC UUUUUUUUU ∪∩∪=∩∪∩∪ : (54)
ø³ÝÇ áñ (50) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ó³Ýϳó³Í UCBA ⊂,, µ³½Ùáõ-
ÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ (54) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ×ßÙ³ñÇï ¿ U µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ACU , BCU , CCU »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
úñÇÝ³Ï 12: ²å³óáõó»É, áñ
³) ;)())( ACCBACBA ⊂⇔∪∩=∪∩ µ) BABABA =⇒∩=∪ :
²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù )())( CBACBA ∪∩=∪∩ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` )( CBAC ∪∩⊂ ,
áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ AC ⊂ : ¸Çóáõù AC ⊂ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` ∩∪=∪∩ )())( CACBA
)()( CBACB ∪∩=∪ :
µ) ¸Çóáõù BABA ∩=∪ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` BA ⊂ ¨ AB ⊂ , ѻ勉µ³ñ` BA = :
úñÇÝ³Ï 13: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ³é³ÝÓݳóÝ»Ýù
í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ³å³ Ùݳó³Í »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù A -Ý Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ýñ³ µáÉáñ
ï³ññ»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ѳٳñ³Ï³É»É µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí` ,...,...,, 21 naaaA = :
A -Çó Ñ»é³óÝ»Ýù áñ¨¿ í»ñç³íáñ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ, ûñÇݳÏ` ,...,, 21 naaaB = :
²Û¹ ¹»åùáõÙ ,...,...,,\ 21 knnn aaaBA +++= µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ, ù³ÝÇ
áñ ¹ñ³ ï³ññ»ñÇ ¨ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÙÇç¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï»ÕÍ»É ÷áËÙdzñÅ»ù
ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ, ûñÇݳÏ` Ñ»ï¨Û³É Ó¨áí` Nkka kn ∈∀↔+ , :∆
25
¢ 2 . Æ ñ ³ Ï ³ Ý Ã í » ñ Ç µ ³ ½ Ù á õ Ã Û á õ Ý
1. è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
è³óÇáÝ³É ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ nm / ï»ëùáí, áñï»Õ
Zm∈ , ÇëÏ Nn∈ : è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý Q -áí`
NnZmnmQ ∈∈= ,:/ : (1)
гëϳݳÉÇ ¿, áñ QZN ⊂⊂ :
Üß»Ýù é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (ëïáñ¨, ϳñ×áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, §é³óÇáÝ³É ÃÇí¦ ï»ñÙÇÝÇ ÷á˳ñ»Ý û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ §ÃÇí¦ ï»ñÙÇÝÁ).
I γñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³Ýϳó³Í a ¨ b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿
Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÙdzÛÝ Ù»ÏÁ` ba < ( a -Ý ÷áùñ ¿ b -Çó), ba >
( a -Ý Ù»Í ¿ b -Çó), ba = ( a -Ý Ñ³í³ë³ñ ¿ b -ÇÝ): Àݹ áñáõÙ` ba < ¨
cb < ca <⇒ ; abba >⇔< ; baba <⇔≤ ϳ٠ba = ; baba >⇔≥ ϳÙ
ba = : ≥≤>< ,,, Ýß³ÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ:
I I ¶áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³Ýϳó³Í a ¨ b Ãí»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳-
ÝáõÙ ¿ Ù»Ï` Qba ∈+ ÃÇí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ: Àݹ áñáõÙ,
×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` 1. abbaQba +=+∈∀ ),( :
2. cbacbacbaQcba ++=++=++∈∀ )()(),,( :
3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ½ñá` 0 , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
aaQa =+∈∀ 0)( :
4. ))(()( QaQa ∈−∃∈∀ ( a -Ç Ñ³Ï³¹ÇñÁ), ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0)( =−+ aa :
5. ºÃ» ba < ¨ c -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³` cbca +<+ :
I I I ´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³Ýϳó³Í a ¨ b Ãí»ñÇÝ Ñ³Ù³å³-
ï³ë˳ÝáõÙ ¿ Ù»Ï` Qba ∈⋅ ÃÇí (ϳ٠å³ñ½³å»ë ab ), áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b
Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É: Àݹ áñáõÙ, ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` 1. ),( Qba ∈∀ abba ⋅=⋅ :
2. ),,( Qcba ∈∀ abccbacba =⋅⋅=⋅⋅ )()( :
3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ù»Ï` 1 , ³ÛÝå»ë áñ )( Qa∈∀ aa =⋅1 :
26
4. ò³Ýϳó³Í 0≠a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¹ñ³ ѳϳ¹³ñÓ ÃÇíÁ` a1
,
³ÛÝå»ë áñ 11=⋅
aa :
5. ºÃ» ba < ¨ 0>c , ³å³ bcac < , ÇëÏ »Ã» ba < ¨ 0<c , ³å³ bcac > :
IV ´³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ : ),,( Qcba ∈∀ acabcba +=+ )( :
V ²ñùÇÙ»¹Û³Ý ѳïÏáõÃÛáõÝ (²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÇáÙÁ) : ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ a ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ µÝ³Ï³Ý n ÃÇí, áñ an > :
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ í»ñÁ Ýßí³Í ϳÝáÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.
I ³) »Ã» ,0/ 11 ≥= nma 0/ 22 ≥= nmb , ³å³ ⇔< ba 1221 nmnm < ;
⇔> ba 1221 nmnm > : µ) »Ã» 0,0 << ba , ³å³ |||| abba <⇔< ;
·) ºÃ» 0,0 ≥< ba ³å³ ba < ;
II 21
2121
2
2
1
1
nnmnnm
nm
nm
ba+
=+=+ : III 21
21
2
2
1
1
nnmm
nm
nm
ba⋅⋅
=⋅=⋅ :
2. Âí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ã³÷Ù³Ý Ñ³Ù³ñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ³Ýµ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ
Âí³ÛÇÝ ³é³Ýóù ³ë»Éáí` ѳëϳÝáõÙ »Ý ³ÛÝ áõÕÇÕÁ, áñÇ íñ³ ÁÝïñí³Í ¿ O Ï»ïÁ (ѳßí³ñÏÙ³Ý ëϽµÝ³Ï»ïÁ), Ù³ßï³µ³ÛÇÝ OE ѳïí³ÍÁ, áñÇ »ñϳñáõ-ÃÛáõÝÝ ÁݹáõÝíáõÙ ¿ ѳí³ë³ñ 1-Ç ¨ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ (ëáíáñ³µ³ñ O -Çó ¹»åÇ E ):
ØÇçݳϳñ· ¹åñáóÇ ¹³ëÁÝóóÇó ѳÛïÝÇ ¿, û ÇÝãå»ë ϳñ»ÉÇ ¿ ϳéáõó»É OE ѳïí³ÍÇ n/1 Ù³ëÁ Nn∈∀ : л勉µ³ñ, ϳñáÕ »Ýù ϳéáõó»É ݳ¨ ѳï-í³Í, áñÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý ¨ Ù³ßï³µ³ÛÇÝ Ñ³ïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³µ»ñáõ-ÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ nm / ¹ñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇÝ: î»Õ³¹ñ»Éáí ³Û¹å»ë ϳéáõóí³Í
ѳïí³ÍÁ O Ï»ïÇó ³ç (Ó³Ë)` Ïëï³Ý³Ýù` nm / )/( nm− é³óÇáÝ³É Ïáïá-
ñ³ÏÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý )( 21 MM Ï»ïÁ (ÝÏ. 5):
−
nmM 2
nmM1
E O ÝÏ. 5.
27
²ÛëåÇëáí, ³Ù»Ý ÙÇ é³óÇáÝ³É ÃíÇÝ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ѳٳå³ï³ë-˳ÝáõÙ ¿ Ù»Ï Ï»ï: Üϳï»Ýù, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ áã µáÉáñ Ï»ï»ñÇÝ ¿ ѳٳ-å³ï³ë˳ÝáõÙ é³óÇáÝ³É ÃÇí:
¸Çóáõù M Ï»ïÝ ÁÝïñí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ OM ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ OE ÏáÕÙ áõÝ»óáÕ ù³é³Ïáõëáõ ³ÝÏÛáõݳ·ÍÇ »ñϳñáõÃÛ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ OE ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1-Ç, ³å³ OM ѳïí³ÍÇ »ñϳ-
ñáõÃÛáõÝÁ, ѳٳӳÛÝ äÛáõó·áñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ` 22 =x ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿: ÆÝãå»ë ѳÛïÝÇ ¿, ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ñÙ³ï ãáõÝÇ: л勉µ³ñ, ¹Çï³ñÏíáÕ M Ï»ïÇÝ ãÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ é³óÇáÝ³É ÃÇí:
´Ý³Ï³Ý³µ³ñ, å³Ñ³Ýç ¿ ³é³ç³ÝáõÙ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ Áݹ-ɳÛÝ»É ³ÛÝå»ë, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝÇ ³Û¹ ÁݹɳÛÝí³Í µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïϳÝáÕ áñ¨¿ ÃÇí (ϳÙ, áñ ÝáõÛÝÝ ¿ ³ë»É ³Û¹ ÁݹɳÛÝí³Í Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ñݳñ³íáñ ÉÇÝÇ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ó³Ýϳó³Í OM ѳïí³ÍÇÝ í»ñ³·ñ»É »ñϳñáõÃÛáõÝ):
²ÛÅ٠ѳÙá½í»Ýù, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ó³Ýϳó³Í M Ï»ïÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ѳ-Ù³å³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»É Ù»Ï áñáß³ÏÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïá-ñ³Ï: ¸Çóáõù M -Á Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿: àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»Ýù û ³ÛÝ ·ïÝíáõÙ ¿ O Ï»ïÇó ³ç: OM ѳïí³ÍÇ ã³÷áõÙÝ Çñ³·áñÍ»Ýù OE Ù³ßï³µ³ÛÇÝ Ñ³ïí³ÍÇ ÙÇçáóáí: Ü³Ë å³ñ½»Ýù, û OE
ѳïí³ÍÁ ù³ÝÇ ³Ý·³Ù ³ÙµáÕç³å»ë Ïï»Õ³íáñíÇ OM ѳïí³ÍÇ Ù»ç∗):
Ðݳñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù` 1) OE ѳïí³ÍÁ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ OM ѳïí³ÍáõÙ 0a ³ÙµáÕç ÃÇí ³Ý·³Ù
³é³Ýó Ùݳóáñ¹Ç: ²Ûë ¹»åùáõÙ 0a -Ý Ñ³Ù³ñáõÙ »Ý OM ѳïí³ÍÇ »ñϳ-
ñáõÃÛáõÝ: γñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ OM ѳïí³ÍÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-
˳ÝáõÙ ¿` ...0...000,0a ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, áñÁ ÝáõÛݳóíáõÙ ¿
0a ³ÙµáÕç ÃíÇ Ñ»ï:
)2 OE ѳïí³ÍÁ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ OM ѳïí³ÍáõÙ 0a ³ÙµáÕç ÃÇí ³Ý·³Ù
NM Ùݳóáñ¹áí, áñÁ ÷áùñ ¿ OE -Çó: ²Û¹ ¹»åùáõÙ 0a -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿
OM ѳïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ³ñ¹ÛáõÝù` å³Ï³ëáñ¹áí ÙÇÝ㨠1-Ç ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ:
ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ, å³ñ½»Ýù, û OE ѳïí³ÍÇ 10/1 Ù³ëÁ ù³ÝÇ ³Ý·³Ù ¿
ï»Õ³íáñíáõÙ NM ѳïí³ÍáõÙ: ÜáñÇó Ñݳñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù`
∗) гïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÇáÙÇ áõÅáí, ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý AB ¨ CD ѳïí³ÍÝ»ñÁ, ³Û¹ ѳïí³ÍÝ»ñÇó Ù»ÏÁ áñå»ë ·áõÙ³ñ»ÉÇ ÏñÏÝ»Éáí áñáß ù³Ý³Ïáí, Ïëï³Ý³Ýù ÙÇ Ýáñ ѳïí³Í, áñÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿ »ñÏñáñ¹ ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó:
28
1) OE ѳïí³ÍÇ 10/1 Ù³ëÁ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ NM ѳïí³ÍáõÙ )90( 11 ≤≤ aa
³ÙµáÕç ÃÇí ³Ý·³Ù ³é³Ýó Ùݳóáñ¹Ç: ²Ûë ¹»åùáõÙ` 10
, 1010
aaaa += é³óÇáÝ³É ÃÇ-
íÁ ѳٳñáõÙ »Ý OM ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝ: Ò¨³Ï³Ýáñ»Ý ϳñáÕ »Ýù åݹ»É,
áñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ, OM ѳïí³ÍÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿` ...0...000, 10 aa ³Ý-
í»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, áñÁ ÝáõÛݳóíáõÙ ¿ 10 , aa é³óÇáÝ³É ÃíÇ Ñ»ï:
)2 OE ѳïí³ÍÇ 10/1 Ù³ëÁ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ NM ѳïí³ÍáõÙ )90( 11 ≤≤ aa
³ÙµáÕç ÃÇí ³Ý·³Ù áñáß PM Ùݳóáñ¹áí, áñÁ ÷áùñ ¿ OE -Ç 10/1 Ù³ëÇó: ²Ûë
¹»åùáõÙ` 10 ,aa é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ OM ѳïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý
³ñ¹ÛáõÝù` å³Ï³ëáñ¹áí ÙÇÝ㨠10/1 -Ç ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ: Þ³ñáõݳϻÉáí ¹³ï»É Ýßí³Í Ó¨áí, ѳݷáõÙ »Ýù »ñÏáõ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ`
)1 OM ѳïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ÁÝóóùÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ n -ñ¹ ù³ÛÉáõÙ, áñÇ Ñ»ï¨³Ý-
ùáí M Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿` nn
naaaaaaaa
10...
1010..., 2
210210 ++++=
),...,2,1,90( niai =≤≤ é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ (³Û¹ ¹»åùáõÙ M Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-
˳ÝáõÙ ¿` ...0...000..., 210 naaaa ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, áñÁ ÝáõÛݳó-
íáõÙ ¿ naaaa ..., 210 é³óÇáÝ³É ÃíÇ Ñ»ï):
)2 OM ѳïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ÁÝóóùÁ ãÇ í»ñç³ÝáõÙ áã ÙÇ ù³ÛÉáõÙ ¨ ëï³ÝáõÙ
»Ýù é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`
...;...,;...;,;,; 2103210100 naaaaaaaaaaa , (2)
áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý OM ѳïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ å³-
ϳëáñ¹áí, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ÙÇÝ㨠,...10/1,...,10/1,10/1,1 2 n ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1 : ¸ñ³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï (ϳ٠ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý ß³ñù) ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ`
...10
...1010 2
210 +++++ n
naaaa , (3)
áñï»Õ Niai ∈, Ãí»ñÝ ³ÙµáÕç »Ý ¨ 90 ≤≤ ia , ÇëÏ 0a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ÙµáÕç áã
µ³ó³ë³Ï³Ý ÃÇí ¿, Áݹ áñáõÙ` ,...2,1,0, =iai Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ñ³í³ë³ñ ã»Ý
0 -Ç (ï»ë §3, Ï»ï 7): ÀݹáõÝí³Í ¿ (3) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ·ñ»É ³Ûëå»ë`
......, 3210 naaaaa (4)
´³ó³ë³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï ³ë»Éáí ѳëϳÝáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ`
......, 3210 naaaaa− (5)
29
Üϳï»Ýù, áñ (2) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù ϳñ»ÉÇ ¿ ëï³-Ý³É (4) ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇó ¹»Ý Ý»ï»Éáí (ϳ٠÷á˳ñÇÝ»Éáí 0 –Ý»ñáí) ѳٳå³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÇó Ñ»ïá ·ñí³Í Ãí»ñÁ:
²ÛëåÇëáí, Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ` O Ï»ïÇó ³ç ·ïÝíáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ïÇ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»É áñáß³ÏÇ ¹ñ³Ï³Ý ³Ýí»ñç ï³ë-Ýáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï:
´»ñí³Í ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÇñ³é»ÉÇ »Ý ݳ¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ M Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ O Ï»ïÇó Ó³Ë: ²Ûë ¹»åùáõÙ (2) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ ѳٳÝÙ³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ãí»ñÝ áõÝ»Ý µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³Ý ¨ ëï³óíáõÙ »Ý (5) ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇó` ¹»Ý Ý»ï»Éáí (ϳ٠÷á˳ñÇÝ»Éáí 0 –Ý»ñáí) ѳٳå³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÇó Ñ»ïá ·ñí³Í Ãí»ñÁ: O Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-
˳ݻóíáõÙ ¿ ...000,00 = ÃÇíÁ (ÁݹáõÝáõÙ »Ý, áñ` )000 =−=+ :
´áÉáñ ¹ñ³Ï³Ý áõ µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï-Ý»ñÁ, ...000,00 = ½ñá ÃÇíÁ, ÙdzëÇÝ í»ñóñ³Í, å³ÛٳݳϳÝáñ»Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý
Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ (³Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ϳñÇù áõÝÇ Éñ³óÙ³Ý, áñÁ Ïϳï³ñíÇ ëáõÛÝ å³ñ³·ñ³ýÇ 6 –ñ¹ Ï»ïáõÙ):
´áÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý R -áí: ¼ñáÛÇó ï³ñµ»ñ Çñ³Ï³Ý ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¹ñ³Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ Ý»ñϳ۳ó-
íáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí ¨ µ³ó³ë³-ϳÝ, »Ã» ³ÛÝ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí:
²ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù ¹ñ³Ï³Ý ã»Ý, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý áã ¹ñ³Ï³Ý, ÇëÏ ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³ó³ë³Ï³Ý ã»Ý, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2: OM ѳïí³ÍÇ ã³÷áõÙÁ å³ñï³¹Çñ ã¿ Çñ³Ï³Ý³óÝ»É ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ÙÇçáóáí: ²ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Çñ³Ï³Ý³óÝ»É Ý³¨, ûñÇݳÏ, ³Ýí»ñç »ñÏáõ³Ï³Ý ϳ٠³Ýí»ñç »ñ»ù³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ÙÇçáóáí:
3. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·³íáñáõÙÁ
ò³Ýϳó³Í n± ³ÙµáÕç ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ »ñÏáõ Ó¨áí Ý»ñϳ۳óÝ»É ³Ýí»ñç
ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí` ...0...000,nn ±=± ϳ٠...9...999),1( −±=± nn :
ò³Ýϳó³Í í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï ÝáõÛÝå»ë ϳñ»ÉÇ ¿ »ñÏáõ Ó¨áí Ý»ñϳ۳óÝ»É ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí ( 0 - å³ñµ»-ñáõÃÛ³Ùµ ¨ 9 - å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ).
...0...000...,..., 1321013210 nnnn aaaaaaaaaaaad −− ±=±=± ,
...9...999)1(..., 13210 −±=± − nn aaaaaad , áñï»Õ 0>na :
´Ý³Ï³Ý³µ³ñ, ³ÛëåÇëÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ, áñáÝù Ý»ñ-ϳ۳óÝáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, ѳٳñáõÙ »Ý
30
Çñ³ñ ѳí³ë³ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ:
Üϳï»Ýù, áñ ó³Ýϳó³Í é³óÇáÝ³É ÃÇí Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ mn
k52
± ϳÙ
pk
mn52± ³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏÇ ï»ëùáí, áñï»Õ n -Á, m -Á ¨ k -Ý áã
µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ p -Ý 2 -Ç ¨ 5 -Ç íñ³ 㵳ųÝíáÕ µÝ³Ï³Ý ÃÇí
¿: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç å³ñµ»ñ³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí`
..................,52 3213213213210 kkkrmn aaaaaaaaaaaacccca
pk
±=± ,
áñï»Õ rcccc ...321 -Á ÙÇÝ㨠å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ »Õ³Í Ù³ëÝ ¿, ÇëÏ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ
kaaaa ...321 ѳí³ù³ÍáõÝ` å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:
²ÛëåÇëáí, ó³Ýϳó³Í é³óÇáÝ³É ÃÇí Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç å³ñµ»ñ³-Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí, ѻ勉µ³ñ` RQ ⊂ :
´áÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù é³óÇáÝ³É ã»Ý, ÏáãíáõÙ »Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñ: Æé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý I –áí` QRI \= :
л勉µ³ñ, ³Ù»Ý ÙÇ ³Ýí»ñç áã å³ñµ»ñ³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿:
¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý (µ³ó³ë³Ï³Ý) Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý`
...)...,...,...,(
......,...,...,
32103210
32103210
nn
nn
bbbbbbaaaaaabbbbbbaaaaaa
−=−===
(6)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: ØǨÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ѳí³-
ë³ñ, ·ñáõÙ »Ý` ba = , »Ã» ¹ñ³Ýó ѳٳå³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÝ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý.
,...,...,,, 221100 nn babababa ==== , (7)
ϳ٠Çñ»ÝóÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï³ñµ»ñ Ý»ñϳ۳óáõÙÝ»ñ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3: a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ùá¹áõÉ ³ë»Éáí ѳëϳÝáõÙ »Ý ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý
ÃÇíÁ (Ý߳ݳÏáõÙ »Ý a -áí), áñÝ áõÝÇ ÝáõÛÝ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ
ï»ëùÁ, ÇÝã-áñ a -Ý, µ³Ûó í»ñóñ³Í ¹ñ³Ï³Ý Ýß³Ýáí: ²ÛëåÇëáí, a -Ý áã µ³ó³-
ë³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿:
31
¸Çóáõù ïñí³Í »Ý Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ê³ÑٳݻÝù ϳñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝ, áñÁ µ³ó³Ñ³ÛïáõÙ ¿, û ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý < ϳ٠> Ýß³ÝÝ»ñÇó áñÝ ¿ ϳåáõÙ ³Û¹ Ãí»ñÇÝ: øÝݳñÏ»Ýù »ñ»ù ¹»åù»ñ`
)1 a -Ý ¨ b -Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, )2 a -Ý ¨ b -Ý µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, )3 a ¨ b
Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ÇëÏ ÙÛáõëÁ` µ³ó³ë³Ï³Ý: )1 ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݳµ³ñ áõÝ»Ý (6) ï»ëù»ñÁ: ø³ÝÇ áñ
a -Ý Ñ³í³ë³ñ ã¿ b -ÇÝ (·ñáõÙ »Ý ba ≠ ), ³å³ ˳ËïíáõÙ ¿ (7) ѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ¿ Ù»ÏÁ: ¸Çóáõù k -Ý ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ ѳٳñÝ ¿, áñ
kkkk babababa ≠=== −− ,...,,, 111100 :
²Û¹ ¹»åùáõ٠ѳٳñáõÙ »Ý` ba > , »Ã» kk ba > ¨` ba < , »Ã» kk ba < :
2) ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõ٠ѳٳñáõÙ »Ý` ba > , »Ã»
ba < ¨ ba < , »Ã» ba > :
3) ¸Çóáõù a -Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ÇëÏ b -Ý µ³ó³ë³Ï³Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ
ѳٳñáõÙ »Ý ba > : ²Ûë Ó¨áí ë³ÑÙ³Ýí³Í ϳñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ ÏÇñ³é»ÉÇ ¿ ݳ¨ ó³Ýϳó³Í
í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ Ýϳïٳٵ, ³ÝÏ³Ë Ýñ³ÝÇó ³ÛÝ Ý»ñϳ-Û³óí³Í ¿ 0 , û 9 å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: ²Û¹ ¿ íϳÛáõÙ Ñ»ï¨Û³É É»ÙÙÇ Çñ³í³óÇáõÃÛáõÝÁ [10]:
È»ÙÙ 1: ºÃ» ......, 3210 naaaaaa = -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý
ÃÇí ¿, ÇëÏ ...000..., 3210 nbbbbbb =′ -Á ¨ ...9...999)1...(, 3210 −=′′ nbbbbbb -Á )0( >nb
ÙǨÝáõÛÝ` nbbbbbb ..., 3210= í»ñç³íáñ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³-
ÏÇ ï³ñµ»ñ Ý»ñϳ۳óáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ba ′< å³ÛÙ³ÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ ba ′′<
å³ÛÙ³ÝÇÝ, ÇëÏ ba ′> å³ÛÙ³ÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ ba ′′> å³ÛÙ³ÝÇÝ: Üϳï»Ýù, áñ ³Ûë Ó¨áí ë³ÑÙ³Ýí³Í Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ
ÏÇñ³é»Éáí »ñÏáõ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ýϳïٳٵ, áñáÝù Ý»ñϳ۳óí³Í »Ý ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ï»ëùáí, ï³ÉÇë »Ý ÝáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÁ, ÇÝã-áñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ, »ñµ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ Ý»ñϳ۳óí³Í »Ý »ñÏáõ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí (ï»ë ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1-Á):
»áñ»Ù 1: ò³Ýϳó³Í ba, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É
»ñ»ù ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó` bababa =>< ,, ÙdzÛÝ Ù»ÏÁ: Àݹ áñáõÙ` ba < ¨
cacb <⇒< ; abba >⇔< ; baba <⇔≤ ϳ٠bababa >⇔≥= ; ϳÙ
ba = ; ba = ¨ cacb =⇒= : ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ºÃ» a -Ý ¹ñ³Ï³Ý, áã µ³ó³ë³Ï³Ý, µ³ó³ë³Ï³Ý, áã ¹ñ³-
Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ·ñáõÙ »Ý` 0,0,0,0 ≤<≥> aaaa :
32
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 4: a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ùá¹áõÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`
<−≥
=:0,0
aaaa
a (8)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, Áݹ áñáõÙ`
ba ≤ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ a -Ý ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ ¨ Ý߳ݳÏáõÙ
»Ý` baa ,min= , ÇëÏ b -Ý ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇó ٻͳ·áõÛÝÁ ¨ Ý߳ݳÏáõÙ
»Ý` bab ,max= :
ÆݹáõÏïÇí »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý í»ñç³íáñ ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùµ Ãí»ñÇ Ñ³í³ù³ÍáõÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ¨ ٻͳ·áõÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
:,,...,,maxmax,...,,max
,,,...,,minmin,...,,min
12121
12121
nnn
nnn
aaaaaaaaaaaaaa
−
−
==
(9)
ºÉÝ»Éáí ÃíÇ Ùá¹áõÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó` ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É`
aaa −= ,max , (10)
áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 0≥a ¨ aa =− :
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5 : Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁݹɳÛÝí³Í R µ³½ÙáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí` ѳë-ϳÝáõÙ »Ý µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ¨ »ñÏáõ` ∞− ¨ ∞ å³ÛٳݳÝß³ÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ∞− -ÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÙÇÝáõë ³Ýí»ñçáõÃÛáõÝ, ÇëÏ ∞ -Á` åÉÛáõë ³Ýí»ñçáõÃÛáõÝ: ∞ -å³ÛٳݳÝß³ÝÁ Ñ³×³Ë ·ñáõÙ »Ý ݳ¨ ³Ûëå»ë` ∞+ : Àݹ áñáõÙ, ³Û¹ å³ÛٳݳÝß³ÝÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ϳñ·³íáñ-í³ÍáõÃÛ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÇÝ` ∞<∞− ¨ ∞<<∞−∈∀ aRa )( :
4. ì»ñ¨Çó ϳ٠ݻñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: Öß·ñÇï »½ñ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ
¸Çóáõù E -Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, áñÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ÃÇí:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6: RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³ÑÙ³-ݳ÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ )(mM Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ`
)( mxMx ≥≤ : (11)
)(mM ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6-Á ùí³ÝïáñÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí` ))()(()()( mxExRmMxExRM ≥∈∀∈∃≤∈∀∈∃ : (12)
33
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6-Ç ÅËïáõÙÁ ÏÓ¨³Ï»ñåíÇ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ó³Ýϳó³Í )(mM Çñ³Ï³Ý
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Ex ∈′ , áñ` )( mxMx <′>′ .
))()(()()( mxExRmMxExRM <∈′∃∈∀>′∈′∃∈∀ : (13)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 7 : RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ³ÛÝ ¨′ í»ñ¨Çó ¨′ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 7-Á ϳñ»ÉÇ ¿ Ó¨³Ï»ñå»É ݳ¨ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` RE ⊂ µ³½Ùáõ-ÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0>A ÃÇí, áñ
ExAx ∈∀≤ , .
AxExRA ≤∈∀∈∃ )()( : (14)
Üϳï»Ýù, áñ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ³Ù»Ý ÙÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ í»ñÇÝ »½ñ»ñ, ÇëÏ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³½Ùáõ-ÃÛáõÝ áõÝÇ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ëïáñÇÝ »½ñ»ñ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 8 : ì»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ í»ñÇÝ »½ñ»ñÇó ³Ù»Ý³÷áùñÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ, ¨ Ý߳ݳ-ÏáõÙ »Ý Esup å³ÛٳݳÝß³Ýáí: Ü»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý
µáÉáñ ëïáñÇÝ »½ñ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ, ¨ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý Einf å³ÛٳݳÝß³Ýáí:
ºÃ» Ex sup= , ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` ³ÛÝ ÉÇáíÇÝ µÝáñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É
»ñÏáõ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` εε −>′∈′∃>∀≤∈∀ xxExxxEx )()0(.2,)(.1 (15)
²Ûëï»Õ 1. ѳïÏáõÃÛáõÝÁ åݹáõÙ ¿, áñ x -Á E µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿: 2. ѳïÏáõÃÛáõÝÁ åݹáõÙ ¿, áñ x -Ý ³Ù»Ý³÷áùñ í»ñÇÝ »½ñÝ ¿:
ºÃ» Ex inf= , ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` ³ÛÝ ÉÇáíÇÝ µÝáñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É
»ñÏáõ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` εε +<′∈′∃>∀≥∈∀ xxExxxEx )()0(.2,)(.1 : (16)
²Ûëï»Õ 1. ѳïÏáõÃÛáõÝÁ åݹáõÙ ¿, áñ x -Á E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ »½ñ»ñÇó
Ù»ÏÝ ¿: 2. ѳïÏáõÃÛáõÝÁ åݹáõÙ ¿, áñ x -Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ëïáñÇÝ »½ñÝ ¿:
ºñµ»ÙÝ Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ýßí³Í ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ, ·ñ³é»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. »Ã» Ex sup= , ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` ³ÛÝ ÉÇáíÇÝ
µÝáñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` axExxaxxEx >′∈′∃<∀′≤∈∀′ )()(.2,)(.1 ,
»Ã» Ex inf= , ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` ³ÛÝ ÉÇáíÇÝ µÝáñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ
ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí`
34
axExxaxxEx <′∈′∃>∀′≥∈∀′ )((.2,)(.1 :
´Ý³Ï³Ý³µ³ñ ѳñó ¿ ³é³ç³ÝáõÙ, û ³ñ¹Ûáù í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï Ûáõñ³-ù³ÝãÛáõñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝDZ ³Ù»Ý³÷áùñ í»ñÇÝ »½ñ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝDZ ³ñ¹Ûáù ³Ù»Ý³Ù»Í ëïáñÇÝ »½ñ: ²Û¹ ѳñóÇÝ å³ï³ëË³Ý ¿ ï³ÉÇë Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ`
»áñ»Ù 2 : ºÃ» Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ å³ñáõݳÏáõÙ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ ¨ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñ:
ºÃ» E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿, ³å³ å³Ûٳݳ-íáñíáõÙ »Ý ·ñ»É` )(inf,sup −∞=+∞= EE :
5. Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ»ï
Ü³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a Çñ³Ï³Ý ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ ó³Ýϳó³Í ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ Ùáï³ñÏ»É é³óÇáÝ³É Ãíáí: àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»Ýù
0≥a ¨ ......, 3210 naaaaaa = : ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ`
naaaaa ..., 32101 =α , nnaaaaa −+= 10..., 32102α , áñáÝó ѳٳå³ï³ë˳ݳ-
µ³ñ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ëïáñ³Ï»ïÇó Ñ»ïá n -Ãí³Ýß³ÝÇ ×ß·Áñ-ïáõÃÛ³Ùµ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ùáï³ñÏáõÙ å³Ï³ëáñ¹áí ¨ a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ëïá-ñ³Ï»ïÇó Ñ»ïá n -Ãí³Ýß³ÝÇ ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ùáï³ñÏáõ٠ѳí»-Éáñ¹áí: гٳӳÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ ó³Ýϳó³Í n ѳ-Ù³ñÇ ¹»åùáõÙ, áõÝ»Ýù`
2321032101 10...,..., αα =+<<= −nnn aaaaaaaaaaa , (17)
Áݹ áñáõÙ` n−<− 1012 αα : ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ 0>∀ε é³óÇáÝ³É ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
Nn ∈∃ 0 , áñ 0nn >∀ ï»ÕÇ áõÝÇ ε<−n10 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
Æñáù, ²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÇáÙÇ áõÅáí, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝù ã»Ý ·»ñ³½³ÝóáõÙ ε/1 ÃíÇÝ: ì»ñóÝ»Ýù ³Ù»Ý³Ù»Í Nn ∈0
ÃÇíÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ε/110 0 ≤n ϳ٠ε≥− 010 n : Øݳó³Í µáÉáñ 0nn > µÝ³Ï³Ý
Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ Ïáõݻݳ ε<−n10 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí, ³å³-óáõóí»ó Ñ»ï¨Û³É É»ÙÙÁ:
È»ÙÙ 2: ò³Ýϳó³Í a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ó³Ýϳó³Í 0>ε é³óÇáݳÉ
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 1α ¨ 2α é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ 21 αα << a
¨ εαα <− 12 :
35
È»ÙÙ 3: ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ba < ,
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ α é³óÇáÝ³É ÃÇí, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ Ýñ³Ýó ÙÇç¨, ³ÛëÇÝùÝ` ba <<α
(ѻ勉µ³ñ a -Ç ¨ b -Ç ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ) :
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` ......, 3210 naaaaaa = ¨ ......, 3210 nbbbbbb = Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ
¹ñ³Ï³Ý »Ý ¨ ba < : ä³Ûٳݳíáñí»Ýù, »Ã» b -Ý é³óÇáÝ³É ¿, ³ÛÝ Ý»ñϳ۳-óÝ»Ýù 9 å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: ²Û¹
¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ k ¨ ks > ѳٳñÝ»ñ, áñ ,00 ba = ,11 ba =
kkkk baba <= −− ,..., 11 ¨ 0>sb : Üϳï»Ýù, áñ ..., 210 aaa=α skk bba ...1− é³óÇáݳÉ
ÃÇíÁ ϵ³í³ñ³ñÇ ba <<α ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ: È»ÙÙ 3-Ç ³å³óáõÛóÁ a -Ç ¨
b -Ç Ùݳó³Í ¹»åù»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¹Åí³ñáõÃÛáõÝ ãÇ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ: ∆
È»ÙÙ 4 : ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ºÃ» 0>∀ε é³óÇáݳÉ
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 1γ ¨ 2γ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ`
221211 , γγγγ <<<< xx ¨ εγγ <− 12 , ³å³` 21 xx = :
²å³óáõÛó: ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù ѳϳëáÕ ÁݹáõÝ»ÉáõÃÛ³Ý Ù»Ãá¹áí:
ºÝó¹ñ»Ýù, ûñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ, 21 xx < : гٳӳÛÝ É»ÙÙ 3-Ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý
»ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ 1α ¨ 2α é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ`
2211 xx <<< αα : (18)
ºÝó¹Ã»Ýù 1γ -Á ¨ 2γ -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, áñáÝù µ³í³-
ñ³ñáõÙ »Ý 221211 , γγγγ <<<< xx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ
ï»ÕÇ ÏáõݻݳÝ` 2211 γααγ <<< ¨ 1212 ααγγ −>− ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ: л勉µ³ñ` 12 γγ − ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÷áùñ ÉÇÝ»É, ûñÇݳÏ`
12 ααε −= é³óÇáÝ³É ÃíÇó, áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ É»ÙÙÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ: ∆
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 9 : a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ x Çñ³Ï³Ý
ÃÇíÁ, áñÁ ó³Ýϳó³Í 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³-
ñ³ñáõÙ »Ý 2121 , ββαα ≤≤≤≤ ba ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
2211 βαβα +≤≤+ x (19)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹ x ÃÇíÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý ba + å³ÛٳݳÝß³Ýáí:
»áñ»Ù 3 (Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý Ã»áñ»ÙÁ): ò³Ýϳó³Í a ¨
b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ:
36
²å³óáõÛó: ¸Çï³ñÏ»Ýù ë³ÑÙ³ÝáõÙ 9-ÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ Ñݳñ³íáñ
11 βα + é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` 11 βα + : ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó
ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ûñÇݳÏ, 22 βα + ï»ëùÇ ó³Ýϳó³Í é³óÇáÝ³É Ãíáí: гٳ-
Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç, 11 βα + µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ x »½ñ`
11sup βα +=x :
òáõÛó ï³Ýù, áñ x -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (19) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: Ò³Ë
Ù³ëÇ` x≤+ 11 βα ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ x -Á 11 βα + µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÝ ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÇ` 22 βα +≤x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ
µËáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ 22 βα + ÃÇíÁ 11 βα + µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿
¨ x -Ý ³Ù»Ý³÷áùñ í»ñÇÝ »½ñÝ ¿: ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 5: ÜÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ 22 βα + µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñÁ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿:
гñó ¿ ³é³ç³ÝáõÙ, ³ñ¹Ûá±ù a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÙdzÏÝ ¿:
»áñ»Ù 4 (ºñÏáõ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ÙdzÏáõÃÛ³Ý Ã»áñ»ÙÁ): a ¨ b
Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÙdzÏÝ ¿:
²å³óáõÛó: ºÝó¹ñ»Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý »ñÏáõ 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ
ó³Ýϳó³Í 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`
2121 , ββαα ≤≤≤≤ ba (20)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ݳ¨`
22111 βαβα +≤≤+ x , 22211 βαβα +≤≤+ x (21)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ì»ñóÝ»Ýù 0>∀ε é³óÇáÝ³É ÃÇí: îñí³Í a ¨ b Ç-
ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ѳٳӳÛÝ É»ÙÙ 2-Ç, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ
2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ`
2121 , ββαα ≤≤≤≤ ba ¨ 2
,2 1212
εββεαα ≤−≤− : (22)
ºÃ» (20) – (21) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ í»ñóÝ»Ýù Ýßí³Í` 2121 ,,, ββαα
é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù, áñ 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`
2221111 γβαβαγ =+≤≤+= x , 2222111 γβαβαγ =+≤≤+= x (23)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, Áݹ áñáõÙ` εγγ <− 12 : гٳӳÛÝ É»ÙÙ 4-Ç` 21 xx = :
»áñ»Ù 5 : ÎÇñ³é»Éáí ë³ÑÙ³ÝáõÙ 9-Á a ¨ b é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ýϳïٳٵ`
ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ·áõÙ³ñÁ, ÇÝã áñ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1-Ç Ï³ÝáÝÇ ÙÇçáóáí:
37
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý: ¸Çóáõù`
rba )( + -Á ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÝ ¿` ѳٳӳÛÝ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1-Ç Ï³ÝáÝÇ, ÇëÏ ba + -Ý
ÝáõÛÝ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿ ѳٳӳÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ³Û-
ëÇÝùÝ` ( ) rba 11sup βα +=+ , áñï»Õ 1α -Á ¨ 1β -Á ó³Ýϳó³Í é³óÇáÝ³É Ãí»ñ
»Ý, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ba ≤≤ 11 , βα ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ä»ïù ¿
³å³óáõó»É áñ rbaba )( +=+ ϳ٠( ) ( )rr ba +=+ 11sup βα : ¸ñ³ ѳٳñ,
ѳٳӳÛÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÇ µÝáõó·ñÇã ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, å»ïù ¿ óáõÛó ï³É, áñ`
( )( ) ( ) :~)()()()(~.2
;)()()()(.1
111111
111111
abaaba
rrrr
rrrr
>++∈+∃+<∀
+≤++∈+∀
βαβαβα
βαβαβα
ø³ÝÇ áñ ba ≤≤ 11 , βα , ³å³ rr ba )()( 11 +≤+ βα (é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³-
Ù³ñ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ³Û¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÁ ѳÛïÝÇ ¿): л勉µ³ñ 1 ѳï-
ÏáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ: òáõÛó ï³Ýù, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ 2 ѳïÏáõÃÛáõÝÁ:
¸Çóáõù` a~ -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ rbaa )(~ +< :
¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ α é³óÇáÝ³É ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ rbaa )(~ +<<α (ï»ë É»ÙÙ 3):
ì»ñóÝ»Ýù 0)( >−+= αδ rba é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ (ѳÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ ϳ-
ï³ñíáõÙ ¿ ѳٳӳÛÝ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1-Ç Ï³ÝáÝÇ): ²Û¹ δ -Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝÇ n µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ δ<n/2 :
¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ` n
bn
a 1,111 −=−= βα : ø³ÝÇ áñ
ba ≤≤ 11 , βα , ³å³ rr )()( 1111 βαβα +∈+ : Àݹ áñáõÙ, −+=+ rr ba )()( 11 βα
αδ =−+>− rban
)(2, ù³ÝÇ áñ` δ<
n2
: л勉µ³ñ, ar~)( 11 >>+ αβα , ³ÛëÇÝùÝ`
ar~)( 11 >+ βα : ²ÛëåÇëáí ï»ÕÇ áõÝÇ 2 ѳïÏáõÃÛáõÝÁ: ∆
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 10: a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ
x Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ ó³Ýϳó³Í 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 2121 0,0 ββαα ≤≤<≤≤< ba ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ,
µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
2211 βαβα ≤≤ x (24)
38
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹ x ÃÇíÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý ba ⋅ (ϳ٠å³ñ½³å»ë
ab )å³ÛٳݳÝß³Ýáí: Î³Ù³Û³Ï³Ý Ýß³ÝÇ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³Ñ-
Ù³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.
1) 000 =⋅=⋅ aa , Ra∈∀ ;
2)
⋅−
⋅=⋅
:Ýß³ÝÝ»ñ ï³ñµ»ñ áõÝ»ÝÝ- áõÝ- »Ã»
Ýß³ÝÁ, ÝáõÛÝ áõÝ»ÝÝ- áõÝ- »Ã»
baba
bababa
,
, (25)
Ødzݷ³Ù³ÛÝ ÝáõÛÝ Ó¨áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ ïñí³Í »ñÏáõ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñ-ï³¹ñÛ³ÉÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ: гëϳݳÉÇ ¿, áñ µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É
»ñÏáõ a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ:
àñå»ë½Ç ³å³óáõó»Ýù a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ·áÛáõ-
ÃÛáõÝÁ, í»ñóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝáõÙ 10-ÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ Ñݳñ³íáñ 11βα ³ñï³-
¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ 11βα µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿,
ûñÇݳÏ, 22βα ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáí: гٳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç`
11βα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ` 11sup βα=x : гëϳݳÉÇ ¿, áñ
x -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (24) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²ÛëÇÝùÝ, x -Á a ¨ b
¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ¿:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6: ÜÙ³Ý Ó¨áí ϳñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý
Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 22βα µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñÝ ¿:
àñå»ë½Ç ³å³óáõó»Ýù a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ùdz-
ÏáõÃÛáõÝÁ, »Ýó¹ñáõÙ »Ýù, û ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý »ñÏáõ 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ
ó³Ýϳó³Í 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`
MbMa ≤≤≤<≤≤≤< 2121 0,0 ββαα (26)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ *), µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ݳ¨`
22111 βαβα ≤≤ x , 22211 βαβα ≤≤ x (27)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ì»ñóÝ»Ýù 0>∀ε é³óÇáÝ³É ÃÇí ¨ ïñí³Í a ¨ b Çñ³-
Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ѳٳӳÛÝ É»ÙÙ³ 2-Ç` ÁÝïñ»Ýù (26) – (27) ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ï»ÕÇ
áõÝ»Ý³Ý Ý³¨ )2/(),2/( 1212 MM εββεαα ≤−≤− ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
ÜϳïÇ áõݻݳÉáí, áñ 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`
2221111 γβαβαγ =≤≤= x , 2222111 γβαβαγ =≤≤= x (28)
*) γñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É, ûñÇݳÏ, )(2 baM += :
39
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, Áݹ áñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý`
εεααβββαβαβαγγ =⋅<−+−=−=− )2/(2)()( 121122112212 MM :
³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³å³ ѳٳӳÛÝ É»ÙÙ 4-Ç` ϳñáÕ »Ýù åݹ»É, áñ 21 xx = :
6. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
I γñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³Ýϳó³Í a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÙdzÛÝ Ù»ÏÁ ba < , ba > , ba = :
Àݹ áñáõÙ` ba < ¨ cb < ca <⇒ ; abba >⇔< ; baba <⇔≤ ϳÙ
ba = ; baba >⇔≥ ϳ٠ba = ; ba = ¨ cb = ca =⇒ :
I I ¶áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³Ýϳó³Í a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ½áõÛ·ÇÝ
ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ Ù»Ï` Rba ∈+ ÃÇí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ:
Àݹ áñáõÙ, ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
1. abbaRba +=+∈∀ ),( :
2. cbacbacbaRcba ++=++=++∈∀ )()(),,( :
3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ½ñá` 0 , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
aaRa =+∈∀ 0)( :
4. ))(()( RaRa ∈−∃∈∀ ( a -Ç Ñ³Ï³¹ÇñÁ), ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ` 0)( =−+ aa :
5. ºÃ» ba < ¨ c -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ cbca +<+ :
I I I ´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³Ýϳó³Í a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ½áõÛ-
·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ Ù»Ï Rba ∈⋅ ÃÇí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇ
³ñï³¹ñÛ³É: Àݹ áñáõÙ, ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
1. ),( Rba ∈∀ abba ⋅=⋅ :
2. ),,( Rcba ∈∀ abccbacba =⋅⋅=⋅⋅ )()( :
3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ù»Ï` 1 , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
aaRa =⋅∈∀ 1)( :
4. ò³Ýϳó³Í 0≠a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¹ñ³ ѳϳ¹³ñÓ ÃÇíÁ` a1
,
³ÛÝå»ë, áñ` 11=⋅
aa :
5. ºÃ» ba < ¨ 0>c , ³å³ bcac < , ÇëÏ »Ã» ba < ¨ 0<c , ³å³ bcac > :
IV ´³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ : ),,( Rcba ∈∀ acabcba +=+ )( :
40
V ²ñùÇÙ»¹Û³Ý ѳïÏáõÃÛáõÝ (²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÇáÙÁ) : ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ a Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ an > :
VI Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ ¨ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ
)( Aa∈∀ )( Bb∈∀ ba < : (29)
²Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Rc∈ ÃÇí, áñ` bca ≤≤ .
²Ûë ѳïÏáõÃÛ³Ùµ ûÅïí³Í c ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ë³Ñٳݳ½³ïáÕ: Üϳï»Ýù, áñ ë³Ñٳݳ½³ïáÕ ÃÇíÁ ϳñáÕ ¿ ÙdzÏÁ ãÉÇÝ»É: γñ·³íáñí³ÍáõÃÛ³Ý Ï³ÝáÝÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ óáõÛó ¿ ïñí³Í ëáõÛÝ
å³ñ³·ñ³ýÇ 3-ñ¹ Ï»ïáõÙ: ¶áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ 1-5-ñ¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ ëï³ó-
íáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ¨ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³Û¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÇó: úñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³óáõó»Ýù ·áõ-Ù³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ 4-ñ¹ ¨ 5-ñ¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
4. ѳïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÁ: ¸Çóáõù a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: àñá-
ß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýó¹ñ»Ýù` 0......, 210 >= naaaaa : àñå»ë a -Ç Ñ³Ï³¹Çñ
ÃÇí í»ñóÝ»Ýù a ÃÇíÁ µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³Ýáí` a− -Ý: ¸Çóáõù 1α -Á ¨ 1β -Á
³ÛÝåÇëÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, áñ aa −≤≤ 11 , βα : ²Û¹åÇëÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇó
ϳ½Ù»Ýù 11 βα + é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ä»ïù ¿ ³å³óáõó»É, áñ
0sup 11 =+ βα ϳ٠ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.
1111 )(.1 βαβα +∈+∀ ï»ÕÇ áõÝÇ 011 ≤+ βα ,
11*1
*1 )(,0~.2 βαβα +∈+∃<∀a , áñ ï»ÕÇ áõÝÇ a~*
1*1 >+ βα :
ø³ÝÇ áñ a−≤1β , ³å³ a≥− 1β (¹ñ³Ýáõ٠ϳñ»ÉÇ ¿ ѳÙá½í»É, û·ï³·áñ-
Í»Éáí Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³Õ¹³ïÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ): л勉µ³ñ, a≤1α ¨ 1β−≤a
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 11 βα −≤ ϳ٠011 ≤+ βα : ²ÛëåÇëáí
ï»ÕÇ áõÝÇ .1 å³ÛÙ³ÝÁ: òáõÛó ï³Ýù, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ .2 å³ÛÙ³ÝÁ:
¸Çóáõù a~ -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý µ³ó³ë³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ø³ÝÇ áñ 0~ >− a -Ý,
³å³ ѳٳӳÛÝ ²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÛáÙ³ÛÇ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n µÝ³Ï³Ý ÃÇí ³ÛÝåÇ-
ëÇÝ, áñ an ~10/1 −< ϳ٠an ~10/1 >− : Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³Õ¹³ïÙ³Ý Ï³ÝáÝÇó
Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ`
41
aaaaaaaaaa nnn −≤−−=≤=10
1...,,..., 210*
1210*1 βα :
ø³ÝÇ áñ 11*1
*1 βαβα +∈+ , Áݹ áñáõÙ` an ~10/1*
1*1 >−=+ βα , ³å³ ï»ÕÇ
áõÝÇ .2 å³ÛÙ³ÝÁ:
5. ѳïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÁ: ø³ÝÇ áñ ba < , ³å³ 3-ñ¹ É»ÙÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ`
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ <<<< 121 βαα a
2β<< b : Àëï 2-ñ¹ É»ÙÙÇ, ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ Rc∈ ÃÇíÁ, 21 αβε −= é³óÇáݳÉ
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 1γ ¨ 2γ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ 21 γγ ≤≤ c ,
Áݹ áñáõÙ`
2112 αβεγγ −=<− : (30)
гٳӳÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` áõÝ»Ýù`
22112211 , γβγβγαγα +<+<++<+<+ cbca :
àñå»ë½Ç óáõÛó ï³Ýù, áñ cbca +<+ , µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ
2211 γαγβ +>+ : ì»ñçÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ (30) ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÇó:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 11 : a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ c
Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñ` abc =+ :
²å³óáõó»Ýù, áñ )( bac −+= , áñï»Õ b− -Ý b ÃíÇ Ñ³Ï³¹ÇñÝ ¿: Æñáù,
û·ïí»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ .4.2 − ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó` ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É`
aabbabbabc =+=+−+=+−+=+ 0))(())(( :
²å³óáõó»Ýù, áñ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ÙdzÏÝ ¿: ¸Çóáõù,
µ³óÇ )( bac −+= ÃíÇó, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ ³ÛÝåÇëÇ d ÃÇí, áñ abd =+ :
²Û¹ ¹»åùáõÙ` ÙÇ ÏáÕÙÇó cbabbd =−+=−++ )()()( , ÙÛáõë ÏáÕÙÇó` =−++ )()( bbd
ddbbd =+=−++= 0))(( , ѻ勉µ³ñ` dc = :
a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý ba − å³Ûٳݳ-
Ýß³Ýáí: л勉µ³ñ` )( baba −+=− :
´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ 1-5-ñ¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ ëï³óíáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ¨ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÝÙ³ÝûñÇÝ³Ï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÇó:
4-ñ¹ ѳïÏáõÃÛ³Ý Ù»ç a1
ѳϳ¹³ñÓ ÃÇíÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå:
42
¸Çóáõù 0>a ¨ 1α -Ý áõ 2α -Á ³ÛÝåÇëÇ ¹ñ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, áñ
210 αα ≤≤< a : ²Û¹ ¹»åùáõÙ a1
ѳϳ¹³ñÓ ÃÇí ³ë»Éáí` ѳëϳÝáõÙ »Ý ³ÛÝ
Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 12
111αα
≤≤a
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:
àñå»ë a ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ ÃÇí` ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É
2
1α
é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÁ ¨ óáõÛó ï³É, áñ ³ÛÝ ÙdzÏÝ ¿: ºÃ» 0<a
)( aa −= ÁݹáõÝáõÙ »Ýù` aa11
−= : л勉µ³ñ ÏáõݻݳÝù` 111=⋅=⋅
aa
aa :
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 12 : a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ýáñ¹ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ c Çñ³Ï³Ý
ÃÇíÁ, áñ` abc =⋅ :
ú·ïí»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÇ 2-4-ñ¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, ó³Ýϳ-
ó³Í a ¨ 0≠b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` ³ÛÝ
¿É ÙdzÏ` c Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñ abc =⋅ : a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ýáñ¹Á Ýß³-
ݳÏáõÙ »Ý` ba
å³ÛٳݳÝß³Ýáí:
ø³Ýáñ¹Ç ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 0≠b Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ 1 -Ç ¨
b -Ç ù³Ýáñ¹Ý ¿` b1
, ÇëÏ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ýáñ¹Ç ѳٳñ ×ßÙ³ñÇï ¿`
ba
ba 1
⋅= ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
´³ß˳ϳÝáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó ¨ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³Û¹ ѳïÏáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÇó:
²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÛáÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ³) ¸Çóáõù
0<a , ³Û¹ ¹»åùáõÙ a>1 : µ) ¸Çóáõù 0≥a ¨ ......, 210 naaaaa = , ³Û¹ ¹»åùáõÙ
µ³í³Ï³Ý ¿ í»ñóÝ»É` 20 += an :
Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÁ: ø³ÝÇ áñ )( Aa∈∀ baBb <∈∀ )( , ³å³ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿
(ûñÇÝ³Ï Bb∈∀ Ãíáí), ÇëÏ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿
(ûñÇݳÏ, Aa∈∀ Ãíáí): л勉µ³ñ, A µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ`
Asup=ξ , ÇëÏ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ` Binf=η : ²å³óáõó»Ýù,
43
áñ ηξ ≤ : Æñáù, ù³ÝÇ áñ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Bb∈∀
Ãíáí, ѻ勉µ³ñ` BbbA ∈∀≤= ,supξ : ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ B µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÁ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ξ Ãíáí, ѻ勉µ³ñ` =≤= BA infsupξ η :
²ÛëåÇëáí, áõÝ»Ýù` baBbAa ≤≤≤∈∀∈∀ ηξ)()( :
àõñ»ÙÝ, ξ -Ç ¨ η -Ç ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ ó³Ýϳó³Í Çñ³Ï³Ý c ÃÇí (ûñÇݳÏ
2/)( ηξ +=c ) ϵ³í³ñ³ñÇ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ`
bcaBbAa ≤≤≤≤∈∀∈∀ ηξ)()( : (31)
л勉µ³ñ, c ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³Ñٳݳ½³ïáÕ:
»áñ»Ù 6 (ê³Ñٳݳ½³ïáÕ Ï»ïÇ ÙdzÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ): ¸Çóáõù Çñ³-Ï³Ý Ãí»ñÇ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ ¨ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ )( Aa∈∀ baBb <∈∀ )( ( A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÁÝÏ³Í ¿ B
µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ó³Ë): àñå»ë½Ç ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³Ñٳݳ½³ïí»Ý ÙdzÛÝ Ù»Ï Çñ³Ï³Ý Ãíáí,
³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõݻݳ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ` ò³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Ý Aa∈ ¨ Bb∈ ³ÛÝåÇëÇÝ,
áñ ε<− ab .
εε <−∈∃∈∃>∀ abBbAa )()()0( : (32)
²å³óáõÛó: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÝó¹ñ»Ýù, û ï»ÕÇ áõÝÇ (32) å³ÛÙ³ÝÁ, µ³Ûó A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³Ñٳݳ½³ïíáõÙ »Ý »ñÏáõ` c ¨ d , áñï»Õ
dc < , Ãí»ñáí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Aa∈∀ ¨ Bb∈∀ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÏáõݻݳÝù`
bdca ≤<≤ , áñï»ÕÇó cdab −>− : ì»ñçÇÝë ѳϳëáõÙ ¿ (32) å³ÛÙ³ÝÇÝ
(µ³í³Ï³Ý ¿ í»ñóÝ»É cd −=ε ):
²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³Ñٳݳ½³ïíáõÙ »Ý Ù»Ï c Ãíáí ¨ ¹Çóáõù` 0>ε : ø³ÝÇ áñ c -Ý ÙÇ³Ï ë³Ñٳݳ½³ïáÕ Ï»ïÝ ¿,
³å³ 2ε
−c ÃÇíÁ ãÇ µ³Å³ÝáõÙ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` ãÝ³Û³Í Bb∈∀ ï»ÕÇ
áõÝÇ bc ≤−2ε
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ å³ï׳éáí Aa ∈∃ * ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
2* ε
−> ca : ÜÙ³Ý Ó¨áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ Bb ∈∃ * ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
2* ε
+< cb : ²Û¹ ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù` εεε=
−−+<−
22** ccab , áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ
¿` ï»ÕÇ áõÝÇ (32) å³ÛÙ³ÝÁ:
44
²Ù÷á÷áõÙ: ²ÛÅ٠ϳñáÕ »Ýù ×ß·ñï»É Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ·³Õ³÷³ñÁ. ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí Ý»ñϳ۳óíáÕ Ãí»ñÁ ϳÝí³Ý»Ýù Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, ³ÛÝ å³ÛÙ³Ýáí, áñ ³Û¹ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ í»ñáÑÇßÛ³É »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ ϳñ·³íáñí³ÍáõÃÛ³Ý, ·áõÙ³ñÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
Æ í»ñçá ѳÙá½í»óÇÝù, áñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ÉñÇí å³Ñå³Ý-
íáõÙ »Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ µáÉáñ ÑÇÙݳϳÝ
ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù í»ñ³µ»ñáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ãáñë ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÇÝ ¨ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³ÏóáÕ Ñ³ï-
ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ (ѳٻٳï»É 1-ÇÝ ¨ 6-ñ¹ Ï»ï»ñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ): Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ñݳñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë
ëï»ÕÍ»É ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ¨ Çñ³Ï³Ý
Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨:
Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ϳéáõó»É »ñÏáõ³Ï³Ý, »ñ»ù³Ï³Ý ¨ ³ÛÉ
ѳٳϳñ·»ñÇ ³Ýí»ñç Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóÝ»ñáí, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í` é³óÇáݳÉ
Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ¸»¹»ÏÇÝ¹Û³Ý Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ¨ ³ÛÉÝ: Üϳï»Ýù,
áñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ýßí³Í Ó¨»ñáí ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ Ó¨³Ï³Ý ï»ë³Ï»ïÇó Çñ³ñÇó
ã»Ý ï³ñµ»ñíáõÙ: ²Û¹ ¿ íϳÛáõÙ I-VI ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýǽÙÇ í»ñ³µ»ñÛ³É Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ:
»áñ»Ù 7 : ¸Çóáõù ,...,baE = -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ µáÉáñ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ-
¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ ,..., baE ′′=′ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
ë³ÑÙ³Ýí³Í »Ý` Ù»Í (§ > ¦), ÷áùñ (§ < ¦) ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ·áõÙ³ñ (§ + ¦),
³ñï³¹ñÛ³É (§ ⋅ ¦) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù ûÅïí³Í »Ý I-VI ѳïÏáõÃÛáõÝ-
Ý»ñáí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ E ¨ E ′ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áË-
ÙdzñÅ»ù ³ÛÝåÇëÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ, áñ Ýßí³Í ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨
·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ ѳëϳóáõÃÛ³Ý Ýϳïٳٵ
ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ǽáÙáñýǽÙ:
²Û¹ Ý߳ݳÏáõÙ ¿` E ~ E ′ ¨, »Ã» bbaa ′↔′↔ , , ³å³
)0(;; ≠′′
↔′⋅′↔⋅′±′↔± bba
bababababa ,
Áݹ áñáõÙ, »Ã» ba < , ³å³ ba ′<′ : ì»ñç³å»ë, »Ã» E -Ý ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ-
¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³
EEEaEa
′↔′∈′∈
supsup :
45
7. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÛÉ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ
سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Á: àñå»ë½Ç ³å³óáõó»Ýù µÝ³Ï³Ý n ÷á÷á˳ϳÝÇó ϳËí³Í áñ¨¿ åÝ¹Ù³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ µáÉáñ
0nn ≥ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, µ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ`
³) ³Û¹ åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ 0nn = -Ç Ñ³Ù³ñ.
µ) »Ã» ³Û¹ åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ÇÝã-áñ 0nn ≥ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³
³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ ݳ¨ ¹ñ³Ý ѳçáñ¹áÕ 1+n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:
²å³óáõóÙ³Ý ³Ûë Ù»Ãá¹Á ÏáãíáõÙ ¿ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹:
ÜÛáõïáÝÇ »ñϳݹ³ÙÇ (µÇÝáÙÇ) µ³Ý³Ó¨Á: ÜÛáõïáÝÇ »ñϳݹ³Ù
ÏáãíáõÙ ¿ nax )( + ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ NnRxa ∈∈ ;, :
ÜÛáõïáÝÇ »ñϳݹ³ÙÇ µ³Ý³Ó¨ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á` nnn
nkknk
nn
nn
nnn axaCaxCaxCaxCxax ++++++=+ −−−−− 1122211 ...)( : (33)
knC -Ý ÏáãíáõÙ ¿ µÇÝáÙ³ÛÇÝ ·áñͳÏÇó ¨ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí`
nkk
knnnnCkn ...,,2,1,
!)1)...(2()1(
=+−−−
= : (34)
´ÇÝáÙ³ÛÇÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ »Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÁ`
1. Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` 1,0!0 0 == nC ;
2. nkCC knn
kn ...,,2,1,0, == − ;
3. kn
kn
kn CCC 1
1+
− =+ ; (35)
²å³óáõó»Ýù (33) µ³Ý³Ó¨Á` ÏÇñ³é»Éáí ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Á:
ºñµ 1=n , ³å³ (33) µ³Ý³Ó¨Á ÁݹáõÝáõÙ ¿` axax +=+ ï»ëùÁ:
ºÝó¹ñ»Ýù, û (33) µ³Ý³Ó¨Á ×ßÙ³ñÇï ¿ ÇÝã-áñ n -Ç Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»Ýù,
áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ ݳ¨ 1+n -Ç Ñ³Ù³ñ:
:)(...)(...)()())(...()()()(
1111
212110111
222111
+−−+−
−+−−
−−−+
++++++
++++++=+++
+++++=++=+
nnnn
nn
kknkn
kn
nnn
nnn
nnnnn
kknkn
nn
nn
nnn
aaxCCaxCCaxCCaxCCxaxaxaCaxCaxCaxCxaxaxax
ø³ÝÇ áñ kn
kn
kn CCC 1
1+
− =+ , ³å³ ÏáõݻݳÝù`
11
11
2121
11
11 ...)( ++
−++
−++
++ ++++++=+ nnnn
kknkn
nn
nn
nn axaCaxCaxCaxCxax ,
46
áñÁ ÝáõÛÝ (33) µ³Ý³Ó¨Ý ¿ )1( +n -Ç Ñ³Ù³ñ: л勉µ³ñ, (33) µ³Ý³Ó¨Á ×ßÙ³-
ñÇï ¿ ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ:
ÜÛáõïáÝÇ »ñϳݹ³ÙÇ (33) µ³Ý³Ó¨ ϳñ× ·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`
∑ =
−=+n
kkknk
nn axCax
0)( : (36)
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 7: n ï³ññ å³ñáõݳÏáÕ µ³½ÙáõÃÛ³Ý k -³Ï³Ý ï³ññ»ñ å³-
ñáõݳÏáÕ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝÝ»ñ n ï³ññ»-
ñÇó k -³Ï³Ý:
n ï³ññ»ñÇó µáÉáñ Ñݳñ³íáñ k -³Ï³Ý ½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ý߳ݳ-
ÏáõÙ »Ý knC (ýñ³Ýë»ñ»Ý combinaison-½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝ µ³éÇ ëϽµÝ³ï³éÝ ¿):
knC -Ý áñáßíáõÙ ¿ (34) µ³Ý³Ó¨áí: ²Û¹ å³ï׳éáí, ѳ׳Ë, µÇÝáÙ³ÛÇÝ
·áñͳÏÇóÁ` knC -Ý, ϳñ¹³óíáõÙ ¿ §½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝ n ï³ññ»ñÇó k -³Ï³Ý¦:
²ñÙ³ïÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ: è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç áñáß å³ñ½³-
·áõÛÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (ûñÇÝ³Ï )22 =x ÉáõÍáõÙ ãáõݻݳÉÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý
ÁݹɳÛÝÙ³Ý ³éÇÃÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿: ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½-ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ó³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý a -Ç ¨ ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç
ѳٳñ ax n = ѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:
»áñ»Ù 8: ò³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý a -Ç ¨ ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç
ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ÛÝåÇëÇ ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý x ÃÇí, áñ axn = : ²Û¹ x
ÃÇíÁ ·ñ³éíáõÙ ¿` n a ϳ٠na1
ï»ëùáí:
²å³óáõÛó: ØdzÏáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ 210 xx << ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÇó µËáõÙ ¿ nn xx 21 < ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù E -Ý µáÉáñ ³ÛÝåÇëÇ
¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý t Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñ at n < : ºÃ» )1/( aat += , ³å³
10 << t , áõñ»ÙÝ` att n <≤ , ³ÛÝå»ë, áñ E-Ý ¹³ï³ñÏ ã¿: ì»ñóÝ»Ýù at +=10 ,
³Û¹ ¹»åùáõÙ` 10 >≥ tt ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó µËáõÙ ¿, áñ att n >≥ : ²Û¹
å³ï׳éáí Et∉ ¨ 0t -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿: л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ
ûáñ»Ù 2-Ç` E µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ: ¸Çóáõù Ex sup= : òáõÛó
ï³Ýù, áñ ax n < ¨ ax n > ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áã Ù»ÏÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ:
ÀݹáõÝ»Ýù, áñ ax n < : ÀÝïñ»Ýù h -Ý ³ÛÝå»ë, áñ 10 << h ¨
47
nn
n
xxxah−+
−<
)1(: (37)
²Û¹ ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù`
[ ][ ] :)()1(
......)( 221111
axaxxxhxCxCxChxhChxCxhx
nnnnn
nn
nn
nn
nnnn
nn
nn
=−+<−++=
=++++≤+++=+ −−−
²ÛëåÇëáí, Ehx ∈+ , áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ ³ÛÝ µ³ÝÇÝ, áñ Ex sup= :
ÀݹáõÝ»Ýù, áñ ax n > : ÀÝïñ»Ýù h -Ý ³ÛÝå»ë, áñ 10 << h , xh < ¨
nn
n
xxaxh−+
−<
)1(: (38)
²Û¹ ¹»åùáõÙ hxt −≥ -Ç Ñ³Ù³ñ ÏáõݻݳÝù`
[ ] [ ][ ] :)()1(
...)1(...)1(...)(
221112211
22211
aaxxxxhxChxCxChxhChxCxCh
xhChxChxCxhxt
nnnnn
nn
nn
nn
nnnn
nnn
nn
nnnn
nnn
nn
nnn
=−−>−+−=
=+++−≥−−+−−
−=−+−+−=−≥−−−−−
−−
²ÛëåÇëáí, hx − -Á E µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿, ÇëÏ ¹³ ѳϳëáõÙ ¿ ³ÛÝ
µ³ÝÇÝ, áñ Ex sup= : л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý
ϳÝáÝÇ` ax n = : ∆
ºñµ ³ñ¹»Ý ³ñÙ³ïÇ ·áÛáõÃÛáõÝÝ áõ ÙdzÏáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿, ϳñ»ÉÇ ¿
ë³ÑÙ³Ý»É ó³Ýϳó³Í r é³óÇáÝ³É óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÇ ·³Õ³÷³ñÁ: ¸Çóáõù
nmr /= , áñï»Õ m -Á ¨ n -Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ¨ 0>a : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
( )mn
m
nnm
r aaaa =
==
1
: (39)
´³óÇ ¹ñ³ÝÇó, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` r
r
aaa
== − 1,10 , »ñµ 0>r : (40)
è³óÇáÝ³É óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ »Ý ѳÝñ³Ñ³ßíÇ ¹Áå-
ñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝóóáõÙ ·áñͳÍíáÕ ëáíáñ³Ï³Ý ϳÝáÝÝ»ñÁ`
( ) ( ) r
rrsrsrrrrrssrsrsr
ba
baaaabaabaaaaa =
=⋅===⋅ −+ ;:;;; : (41)
48
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» nmr /= Ïáïáñ³ÏÝ áõÝÇ Ï»Ýï ѳÛï³ñ³ñ, ³å³ é³óÇáÝ³É óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ݳ¨ µ³ó³ë³Ï³Ý ÑÇÙùÇ Ñ³Ù³ñ, Áݹ áñáõÙ, »ñµ 0>a , ³å³`
( ) rr aa =− , »Ã» m ½áõÛ· ¿, (42)
( ) rr aa −=− , »Ã» m Ï»Ýï ¿:
»áñ»Ù 9: ºÃ» 1>a ¨ nmr /= é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ³å³ 1>ra :
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù, ѳϳé³ÏÁ` 1≤= nm
r aa : ²Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù µ³½Ù³-
å³ïÏ»Éáí ³Û¹åÇëÇ n ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ, Ïëï³Ý³Ýù` 1≤ma : ´³Ûó ³Ûë
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ѳϳëáõÙ ¿ 1>ma ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, áñÁ ëï³óíáõÙ
¿ m ѳï 1>a ï»ëùÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù µ³½Ù³-
å³ïÏáõÙÇó: ∆ »áñ»Ù 10: ºÃ» 1>a ¨ 21 , rr é³óÇáÝ³É Ãí»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ 21 rr < ,
³å³ 21 rr aa < : ²å³óáõÛó: àõÝ»Ýù`
( )112112 −=− −rrrrr aaaa : (43)
ø³ÝÇ áñ 012 >− rr ¨ 1>a , ³å³ Áëï ûáñ»Ù 9-Ç` 112 >− rra : ²ÛëåÇëáí,
(43)-Ç ³ç Ù³ëÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿: л勉µ³ñ` 012 >− rr aa , ³ÛëÇÝùÝ` 12 rr aa > : ∆
Î³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳Ý: ¸Çóáõù x -Á ¨ a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý
Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý ¨ 1>a : ¸Çï³ñÏ»Ýù µáÉáñ α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ, áñáÝù
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ` βα << x : (44)
a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ x óáõóÇãáí ³ëïÇ×³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ y Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ,
áñÁ (44) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í α ¨ β é³óÇáݳÉ
Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
βα aya ≤≤ : (45)
»áñ»Ù 11: ò³Ýϳó³Í x ¨ 1>a Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ (44) ³Ýѳ-
í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï y Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (45) ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõÛó: Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù ³Û¹åÇëÇ y ÃíÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ: ¸Çï³ñÏ»Ýù
αa Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x<α : ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³-
49
ݳ÷³Ï ¿, ûñÇݳÏ, ó³Ýϳó³Í βa ³ëïÇ׳Ýáí: гٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç` ³ÛÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ, Ý߳ݳϻÝù ³ÛÝ y -áí`
α
αay
x<= sup : (46)
òáõÛó ï³Ýù, áñ y -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (45) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: гٳ-
Ó³ÛÝ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` y -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (45) ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ó³Ë Ù³ëÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ÇëÏ ³ç Ù³ëÇ ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ βa ³ëïÇ׳ÝÁ αa µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ»ñÇó
Ù»ÏÝ ¿ ¨ y -Ý ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ í»ñÇÝ »½ñÝ ¿:
²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ³Û¹ y ÃÇíÁ ÙdzÏÝ ¿: ¸ñ³ ѳٳñ µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó
ï³É, áñ 0>∀ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý (44) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ
µ³í³ñ³ñáÕ ³ÛÝåÇëÇ α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ εαβ <− aa : ²Û¹ ¹»åùáõÙ,
ѳٳӳÛÝ É»ÙÙ 4-Ç, ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý 1y ¨ 2y Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý
(45) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ѳÙÁÝÏÝáõÙ »Ý:
ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí ¨ 먻é»Ýù ³ÛÝåÇëÇ 0β é³óÇáÝ³É ÃÇí, áñ
µ³í³ñ³ñÇ (44) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³ç Ù³ëÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ù³ÝÇ áñ 0βα aa < , ³å³
( ) ( )11 0 −<−=− −− αββαβααβ aaaaaa : (47)
Ø»ñ Ýå³ï³ÏÇÝ Ñ³ëÝ»Éáõ ѳٳñ, µ³í³Ï³Ý ¿ ÁÝïñ»É (44) ³Ýѳí³ë³ñáõÃ-ÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ³ÛÝåÇëÇ α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõݻݳ
( ) 0/1 βαβ ε aa <−− ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
гٳӳÛÝ É»ÙÙ 2-Ç` Nn∈∀ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý (44) ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ³ÛÝåÇëÇ α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ n/1<−αβ :
²ÛëåÇëáí, µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý n -Ç ·áÛáõÃÛáõÝÁ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ`
0
1/1β
εa
a n <− : (48)
¸Çóáõù nna δ+=1/1 : ø³ÝÇ áñ 1/1 >na , ³å³ 0>nδ : ä³Ñå³Ý»Éáí ÙdzÛÝ
ÜÛáõïáÝÇ »ñϳݹ³ÙÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ »ñÏáõ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ` Ïëï³Ý³Ýù`
( ) ( ) nn
nnn naa δδ +>+== 11/1 : àñï»ÕÇó ëï³óíáõÙ »Ý nna δ>−1 ϳÙ
naa n 110 /1 −
<−< ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²ÛÅÙ n -Á í»ñóÝ»Ýù ³ÛÝù³Ý Ù»Í,
50
áñ ï»ÕÇ áõݻݳ 0
1β
εan
a<
− ϳÙ
ε
β0)1( aan −> ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹
¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù`
( ) ( ) ( ) εββαββαβααβ <−
<−<−<−=− −−
naaaaaaaaaa n 1111 000 /1 : (49)
»áñ»Ù 11-Ý ³å³óáõóí³Í ¿: ∆ ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 10 << a , ³å³ ÁݹáõÝáõÙ »Ý`
xx
aa
−
=
1: (50)
лßï ¿ ëïáõ·»É, áñ ó³Ýϳó³Í Çñ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý (41) ϳÝáÝÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ: γݷ ³éÝ»Ýù, ûñÇݳÏ, ÙǨÝáõÛÝ ÑÇÙùáí ³ëïÇ׳ÝÝ»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ¹»åùáõÙ óáõóÇãÝ»ñÁ ·áõÙ³ñ-íáõÙ »Ý ϳÝáÝÇ íñ³:
ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ¨ y Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ¸Çóáõù ε -Á ϳٳ۳ϳÝ
¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿, 1>a ¨ 0β -Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0β<x ¨ 0β<y :
ì»ñóÝ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñ»Ý Ñ»ï¨Û³É
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ`
0
120
12
2,
2,, 021021 β
βββ
αα εεββββααa
aaa
aayx <−<−≤<<≤<< : (51)
¶áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ`
2211 βαβα +<+<+ yx , (52)
ÇëÏ ³ëïÇ׳ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, áõÝ»Ýù`
22112121 ,, βαβαββαα +++ ≤≤≤≤≤≤ aaaaaaaaa yxyx : (53)
²é³çÇÝ »ñÏáõ ÏñÏݳÏÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù µ³½-Ù³å³ïÏ»Éáí (ѳßíÇ ³éÝ»Éáí é³óÇáÝ³É óáõóÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (41)-Ç ³é³çÇÝ Ï³ÝáÝÁ), Ïëï³Ý³Ýù`
2211 βαβα ++ ≤⋅≤ aaaa yx : (54)
²ÛëåÇëáí, yxa + ¨ yx aa ⋅ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ 11 βα +a áõ
22 βα +a Ãí»ñÇ ÙÇç¨, Áݹ áñáõÙ`
( ) ( )( ) ( ) :120120
1211221122
εααββββ
ααβββαβαβα
<−+−≤
≤−+−=− ++
aaaaaaaaaaaaaa
л勉µ³ñ ѳٳӳÛÝ É»ÙÙ 4-Ç` ³Û¹ Ãí»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý`
yxyx aaa +=⋅ : (55)
51
êïáõ·»Ýù ݳ¨, áñ 1>a ¹»åùáõÙ, xa ³ëïÇ׳ÝÁ x Çñ³Ï³Ý óáõóãÇ ³×Ù³Ý
Ñ»ï ÙdzëÇÝ ³×áõÙ ¿: ¸Çóáõù yx < : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 1α ¨ 2α
é³óÇáÝ³É Ãí»ñ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ` yx <<< 21 αα : Æñ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÇ
ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` ÏáõݻݳÝù` 1αaa x ≤ ¨ yaa ≤2α : (56)
ø³ÝÇ áñ 21 αα < , ³å³ 21 αα aa < : гٻٳï»Éáí 1αaa x ≤ , 21 αα aa < ¨ yaa ≤2α ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
yx aa < : (57) »Ã» 10 << a , ³å³ û·ïí»Éáí (50) Ý»ñϳ۳óáõÙÇó` Ïëï³Ý³Ýù` (55)
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ¨, »ñµ yx < , Ïëï³Ý³Ýù ³Ûë ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
yx aa > : (58)
²ÛëåÇëáí, xa ³ëïÇ׳ÝÁ ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý a ÑÇÙùÇ ¹»åùáõÙ áñáßí³Í ¿
µáÉáñ Çñ³Ï³Ý x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Áݹ áñáõÙ, +∈∀ Rba, (ï»ë Ï»ï 8.-Á) ¨
Ryx ∈∀ , , ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
( ) ( )
;)5;)4
;)3;)2;)1
x
xxyx
y
x
xxxxyyxyxyx
ba
baa
aa
baabaaaaa
=
=
⋅===⋅
−
+
(59)
,)6 yx aayx <⇔< »ñµ 1>a ;
,)7 yx aayx >⇔< »ñµ 10 << a :
Èá·³ñÇÃÙÝ»ñ: ¸Çóáõù 0>a ¨ 1≠a : y Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ x ¹ñ³Ï³Ý
Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Éá·³ñÇÃÙ a ÑÇÙùáí, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` xy alog= (ϳñ¹³óíáõÙ
¿ Éá·³ñÇÃÙ a ÑÇÙùáí x ), »Ã» xa y = : ²ÛëåÇëáí, ѳٳӳÛÝ Éá·³ñÇÃÙÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý`
+∈∀= Rxxa xa ,log : (60)
(60) µ³Ý³Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ: ²ÛÝ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ`
ya axyx =⇔=log : (61)
»áñ»Ù 12 : ò³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý 1≠a ÑÇÙùÇ ¨ ó³Ýϳó³Í
¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý x -Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ xalog -Á ¨ ³ÛÝ ÙdzÏÝ ¿:
52
²å³óáõÛó: ³) ¹»åù: ¸Çóáõù 1>a : ¸Çï³ñÏ»Ýù µáÉáñ α ¨ β é³óÇáݳÉ
Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ`
βα axa ≤≤ : (62)
α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¹³ï³ñÏ ã»Ý:
Æñáù, ÁݹáõÝ»Éáí λ+=1a , áñï»Õ 0>λ , ÏáõݻݳÝù`
nnn nnna λλλλ ++−
++=+= ...2
)1(1)1( 2 : (63)
ø³ÝÇ áñ ³ç Ù³ëÇ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý, áõëïÇ`
)1()1( −=>+= anna nn λλ , ³ÛëÇÝùÝ` )1( −> anan : (64)
ì»ñóÝ»Ýù n -Ý ³ÛÝù³Ý Ù»Í, áñ ï»ÕÇ áõݻݳÝ`
)1()1(
1−<<
−anx
an (65)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³Ý Ý³¨` nn axa <<− (66)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: л勉µ³ñ, α∈− n , ÇëÏ β∈n :
¸Çóáõù` αsup=y : ²Ûë ¹»åùáõÙ` αα ∈∀ ¨ ββ ∈∀ ï»ÕÇ áõÝ»Ý`
βα ≤≤ y ¨ βα aaa y ≤≤ (67)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²ëïÇ׳ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` ya ÃÇíÁ ÙdzÏÝ ¿, áñÁ µ³í³ñ³ñõÙ ¿ (67) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: л勉µ³ñ`
xa y = ϳ٠xy alog= : (68)
²å³óáõóí»ó Éá·³ñÇÃÙÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ, »ñµ 1>a : µ) ¹»åù: ¸Çóáõù 10 << a : ²Ûë ¹»åùáõÙ, ѳßíÇ ³éÝ»Éáí ³ëïÇ׳ÝÇ (50)
Ý»ñϳ۳óáõÙÁ, ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É`
+∈∀−= Rxxx aa ,loglog /1 (69)
л勉µ³ñ ³Ûë ¹»åùáõÙ ÝáõÛÝå»ë x Çñ³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ Éá·³ñÇÃÙÁ ·á-
ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¨ ÙdzÏÝ ¿: ∆ ú·ïí»Éáí Çñ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÇ (59) ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ ÑÇÙݳ-
Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý (60) ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó` ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ +∈∀ Ryxcba ,,,, ,
Áݹ áñáõÙ` 1,, ≠cba , ×ßÙ³ñÇï »Ý Éá·³ñÇÃÙÇ Ñ»ï¨Û³É ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
;logloglog)5;logloglog)4
;,log)3;1log)2;01log)1
yxyxyxxy
Raa
aaaaaa
aaa
−=+=
∈∀=== ααα
53
;0,,log1log)7;,loglog)6 ≠∈∀=∈∀= βββ
αα βα RbbRbb aaaa
;log
1log)11;0,,loglog)10
;loglog
log)9;0,,,loglog)8
bbRbb
bb
bRbb
aaaa
c
caaa
=≠∈∀=
=≠∈∀=
αα
ββαβα
α
α
α
β
(70)
yxyx aa loglog)12 <⇔< , »ñµ 1>a ;
yxyx aa loglog)13 >⇔< , »ñµ 10 << a :
8. Âí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸ñ³Ýó ÁݹѳÝáõñ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
´³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ï³ññ»ñÁ Ãí»ñ »Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: Âí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇÝ Ñ³×³Ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ï»ï»ñ:
سûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉǽáõÙ ³é³í»É Ñ³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáÕ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃ-ÛáõÝÝ»ñÇó »Ý`
...,,...,3,2,1 nN = –µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,
...,...,,2,1,0,1,2,...,..., nnZ −−−= –³ÙµáÕç Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,
∈∈= NqZpqpQ ,: –é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,
),( ∞−∞=R –Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³Ù Ãí³ÛÇÝ ³é³Ýóù,
QRI \= –Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,
0: >∈=+ xRxR – Çñ³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,
bxaRxba ≤≤∈= :];[ ab− ѳïí³Í,
abbxaRxba −<<∈= :);( ÇÝï»ñí³É,
abxaRxba −<≤∈= :);[ Ï»ïÁ Áݹ·ñÏáÕ ab ÏÇë³ÇÝï»ñí³É
bbxaRxba −≤<∈= :];( Ï»ïÁ Áݹ·ñÏáÕ ab ÏÇë³ÇÝï»ñí³É
∞<≤∈=∞ xaRxa :);[ –ÏÇë³áõÕÇÕ,
∞<<∈=∞ xaRxa :);( – µ³ó ÏÇë³áõÕÇÕ,
axRxa ≤<∞−∈=−∞ :];( – ÏÇë³áõÕÇÕ,
axRxa <<∞−∈=−∞ :);( –µ³ó ÏÇë³áõÕÇÕ:
54
гïí³Í, ÇÝï»ñí³É, ÏÇë³ÇÝï»ñí³É, ÏÇë³áõÕÇÕ, ¨ Ãí³ÛÇÝ ³é³Ýóù µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ݳ¨ Ãí³ÛÇÝ ÙÇç³Ï³Ûù ϳ٠å³ñ-
½³å»ë ÙÇç³Ï³Ûù:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 13 : Ra∈ Ï»ïÁ Áݹ·ñÏáÕ ó³Ýϳó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É Ïáã-
íáõÙ ¿ a Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûù: سëݳíáñ³µ³ñ );( δδ +− aa ÇÝï»ñí³ÉÁ, áñï»Õ
0>δ , ÏáãíáõÙ ¿ a Ï»ïÇ δ –ßñç³Ï³Ûù:
»áñ»Ù 13 : è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` Q -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿:
²å³óáõÛó: Ü³Ë Ýϳï»Ýù, áñ ó³Ýϳó³Í ³ÙµáÕç 0≠k ÃíÇ Ñ³Ù³ñ qp /
¨ qkpk / é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý: ²Û¹ å³ï׳éáí ó³Ýϳó³Í r
é³óÇáÝ³É ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿, ÙÇ³Ï Ó¨áí, ·ñ»É qpr /= ³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³ÏÇ
ï»ëùáí: ä³Ûٳݳíáñí»Ýù 0 -Ý Ý»ñϳ۳óÝ»É Ù»Ï ï»ëùáí` 1/00 = :
qp / é³óÇáÝ³É ÃíÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí` ѳëϳÝáõÙ »Ý` qph += µÝ³-
Ï³Ý ÃÇíÁ: гëϳݳÉÇ ¿, áñ ïñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ
í»ñç³íáñ ¿: è³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ ѳٳñ³Ï³É»Ýù µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí` Áëï
µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí, ÇëÏ ÙǨÝáõÛÝ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ãí»ñÁ ѳßí³é»Ýù,
ûñÇݳÏ, ѳÛï³ñ³ñÝ»ñÇ ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí, Áݹ áñáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹ñ³Ï³Ý
é³óÇáÝ³É ÃíÇó Ñ»ïá ѳßí³é»Ýù Çñ ѳϳ¹ÇñÁ: ²ÛëåÇëáí, ëϽµÇó ѳٳ-
ñ³Ï³É»Ýù 1=h µ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ãí»ñÁ: ²Û¹åÇëÇ ÃÇí ¿ ÙdzÛÝ 0 -Ý: ²Û¹ å³ï׳éáí
Ýñ³Ý í»ñ³·ñ»Ýù 1 Çݹ»ùë, ³ÛëÇÝùÝ` Ýñ³Ý ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç
¹Ý»Ýù 1 µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ»ï: ²ÛÝáõÑ»ï¨ Ñ³Ù³ñ³Ï³É»Ýù 2=h µ³ñÓñáõÃÛ³Ý
é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ: ²Û¹åÇëÇ Ãí»ñ »ñÏáõëÝ »Ý` 1/11= ¨ 1/11 −=− : êñ³ÝóÇó
³é³çÇÝÇÝ í»ñ³·ñ»Ýù 2 Çݹ»ùë, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ÇÝ` 3 Çݹ»ùë: ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá
ѳٳñ³Ï³É»Ýù 3=h µ³ñÓñáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ ¨ ³ÛÉÝ: ²Ûë Ó¨áí
µáÉáñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ ѳٳñ³Ï³ÉíáõÙ »Ý µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí, Áݹ áñáõÙ
Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ é³óÇáÝ³É ÃíÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
Ù»ç Çñ ϳñ·³Ñ³Ù³ñÇÝ (Çݹ»ùëÇÝ).
−−−−−−−−−=
====
=
...,41,
41,
32,
32,
23,
23,4,4,
31,
31,3,3,
21,
21,2,2,1,1,0
5432
1 kkk
kh
Q : (71)
л勉Ýù 1: ò³Ýϳó³Í )(];[ baba < ѳïí³ÍÇ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÇ µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
55
²å³óáõÛóÁ µËáõÙ ¿ §1-Ç Ã»áñ»Ù 5-Çó: ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Ýѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
»áñ»Ù 14 (γÝïáñÇ Ã»áñ»ÙÁ): [0;1] ѳïí³ÍÝ ³Ýѳßí»ÉÇ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çï³ñÏ»Ýù )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÁ, áñÁ [0;1] ѳïí³ÍÇó ï³ñ-
µ»ñíáõÙ ¿ ÙdzÛÝ 0 ¨ 1 Ï»ï»ñÁ ãå³ñáõݳϻÉáí: гٳӳÛÝ §1, ûáñ»Ù 11-Ç ³Û¹
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳٳñÅ»ù »Ý` )1;0( ~ ]1;0[ : ²å³óáõó»Ýù, áñ )1;0( ÇÝï»ñ-
í³ÉÝ ³Ýѳßí»ÉÇ ¿, áñáí ¨ ³å³óáõó³Í ÏÉÇÝ»Ýù [0;1] ѳïí³ÍÇ ³Ýѳß-
í»ÉÇáõÃÛáõÝÁ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ )1;0( N :
ºÝó¹ñ»Ýù ѳϳé³ÏÁ, )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ µáÉáñ Ãí»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ѳٳ-
ñ³Ï³É»É` ,...,...,, 321 nxxxx : ¶ñ»Ýù )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇí ³Ýí»ñç
ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí`
−−−−−−−−−−−−−=
−−−−−−−−−−−−−===
,......,0
,......,0,......,0
,......,0
321
33332313
22322212
11312111
nnnnnn
n
n
n
aaaax
aaaaxaaaax
aaaax
(72)
¸Çï³ñÏ»Ýù )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ` ......,0 321 nbbbbx = Ï»ïÁ, áñï»Õ 1b -Á 9,0,11a
Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ï³ñµ»ñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ýß³Ý ¿, 2b -Á 9,0,22a Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó
ï³ñµ»ñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ýß³Ý ¿, …, nb -Á 9,0,nna Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ï³ñµ»ñ ϳ-
Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ýß³Ý ¿ ¨ ³ÛÉÝ: ´³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ x ÃÇíÁ ãÇ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ
,...,...,, 321 nxxxx Ãí»ñÇó áã Ù»ÏÇÝ: Ü³Ë x ÃÇíÁ ëïáñ³Ï»ïÇó Ñ»ïá ãÇ å³ñáõ-
ݳÏáõÙ 0 ¨ 9 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ: ¸³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ x -Á í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý
Ïáïáñ³Ï ã¿: л勉µ³ñ x -Á Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿, ÙÇ³Ï Ó¨áí, ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ-
¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: гٳӳÛÝ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ ³ÛÝ ãÇ Ñ³ÙÁÝÏ-
ÝáõÙ ,...,...,, 321 nxxxx Ãí»ñÇó áã Ù»ÏÇÝ, ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ, ûñÇݳÏ, »Ã» nxx = ,
³å³ ³Û¹ ÏÝ߳ݳϻñ nnn ab = , áñÝ ³Û¹å»ë ã¿: ²ÛëåÇëáí, )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÝ,
ÇÝãå»ë ݳ¨ [0;1] ѳïí³ÍÁ ѳٳñÅ»ù ã»Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ`
)1;0( N , [0;1] N : ø³ÝÇ áñ
N ~ ]1;0[,...1,...,31,
21,1* ⊂
=
nu , (73)
56
³å³ [0;1] ѳïí³ÍÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÝ Ù»Í ¿ ù³Ý ѳßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ`
aN =>]1;0[ : ∆
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 14: ´³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ѳٳñÅ»ù ¿ [0;1] ѳïí³ÍÇÝ, ÏáãíáõÙ
¿ ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽáñáõÃÛ³Ý µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
[0;1] ѳïí³ÍÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` c -áí` c=]1,0[ : ²ÛëåÇëáí,
ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽáñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿ ù³Ý ѳßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ` ac > :
سëݳíáñ³µ³ñ, ûáñ»Ù 14-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ [0;1] ѳïí³ÍáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝ»Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñ, Áݹ áñáõÙ, [0;1] ѳïí³ÍÇ µáÉáñ Çé³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³Ýѳßí»ÉÇ ¿, ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ (»Ã» ³ÛÝ ÉÇÝ»ñ í»ñç³íáñ ϳÙ
ѳßí»ÉÇ) Çé³óÇáÝ³É ¨ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÁ, ѳٳӳÛÝ §1 ûáñ»Ù 10-Ç, ÙdzëÇÝ Ïϳ½Ù»ÇÝ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
»áñ»Ù 15: ò³Ýϳó³Í ];[ ba ѳïí³Í, ó³Ýϳó³Í );( ba ÇÝï»ñí³É
)( ba < ¨ ó³Ýϳó³Í );[ ba ϳ٠];( ba ÏÇë³ÇÝï»ñí³É áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽá-
ñáõÃÛáõÝ:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` ];[ bay = ¨ ]1;0[=x : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, xabay )( −+=
µ³Ý³Ó¨áí, ];[ ba ¨ ]1;0[ ѳïí³ÍÝ»ñÇ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ ëï»ÕÍíáõÙ ¿ ÷áËÙdzñÅ»ù
ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ, áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ];[ ba ѳïí³ÍÇ Ñ½á-
ñáõÃÛáõÝÁ ÏáÝïÇÝáõáõÙ ¿: гٳӳÛÝ §1 ûáñ»Ù 11-Ç, );( ba , );[ ba ¨ ];( ba
ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ѳٳñÅ»ù »Ý ];[ ba ѳïí³ÍÇÝ: л勉µ³ñ, ³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ
ÝáõÛÝå»ë áõÝ»Ý ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽáñáõÃÛáõÝ:
»áñ»Ù 16 : Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨, ó³Ýϳó³Í
µ³ó ϳ٠÷³Ï ÏÇë³áõÕÇÕ áõÝ»Ý ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽáñáõÃÛáõÝ:
²å³óáõÛó: ø³ÝÇ áñ
−=
2;
2ππE ÇÝï»ñí³ÉÇ ¨ );( ∞−∞=R Çñ³Ï³Ý Ãí»-
ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨, ),( RyExtgxy ∈∈= ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇçáóáí, ëï»ÕÍíáõÙ ¿
÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ, ¨, ù³ÝÇ áñ cE = , ³å³ cR = : лßï
¿ ѳÙá½í»É, ûñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ,
=
2; πarctgaA ÇÝï»ñí³ÉÇ ¨ );( ∞= aB ÏÇë³áõÕÕÇ
ÙÇç¨, ),( ByAxtgxy ∈∈= ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇçáóáí, ëï»ÕÍíáõÙ ¿ ÷áËÙdzñÅ»ù
ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ cA = , ³å³ cB = :
57
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 15: Æñ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý
ÃÇíÁ, áñÁ áñ¨¿ ³ÙµáÕç ·áñͳÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿:
úñÇݳÏ, 2 -Á ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿ ù³ÝÇ áñ` 022 =−x ѳí³ë³ñÙ³Ý
³ñÙ³ïÝ ¿:
»áñ»Ù 17: ´áÉáñ Çñ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` A -Ý
ѳßí»ÉÇ ¿:
²å³óáõÛó: гٳӳÛÝ §1, ѻ勉Ýù 1-Ç, µáÉáñ ³ÙµáÕç ·áñͳÏÇóÝ»ñáí
µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` P -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Û¹åÇëÇ
µ³½Ù³Ý¹³Ù áõÝÇ í»ñç³íáñ Ãíáí Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ (áã ß³ï ù³Ý µ³½-
ٳݹ³ÙÇ ³ëïÇ׳ÝÁ): A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ ѳßí»ÉÇ µ³½-
ÙáõÃÛ³Ùµ í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙ: ²Û¹ í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ ϳñáÕ »Ý ѳïí»É (ï³ñµ»ñ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ ϳñáÕ »Ý áõÝ»Ý³É Ñ³í³ë³ñ
³ñÙ³ïÝ»ñ): гٳӳÛÝ §1, ûáñ»Ù 7-Ç, A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ã¿
ѳßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÇó: ø³ÝÇ áñ A -Ý ³Ýí»ñç ¿, ѻ勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ §1,
ûáñ»Ù 5-Ç, A -Ç Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ Ý³¨ ÷áùñ ÉÇÝ»É Ñ³ßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÇó:
àõñ»ÙÝ aA = : ∆
л勉Ýù 2: ò³Ýϳó³Í )(];[ baba < ѳïí³ÍÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
´áÉáñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: ¸Çóáõù` nmr /= -Á
Ï³Ù³Û³Ï³Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: ²ÛÝ` 0=−mnx ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿:
´áÉáñ Çñ³Ï³Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ, áñáÝù ³é³ç³ÝáõÙ »Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇó
³ñÙ³ï ѳݻÉáõ ÙÇçáóáí, ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý :
¸Çóáõù, ûñÇݳÏ, nmr /= -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: лßï ¿
ѳÙá½í»É, áñ k rx = ÃÇíÁ 0=− mnxk ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿ )( Nk ∈ :
ÀݹѳÝñ³å»ë, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñíáÕ
ó³Ýϳó³Í ÃÇí (³ÛëÇÝùÝ, ÃÇí, áñÝ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñÇ áñ-
ù³Ý ϳٻݳÝù µ³ñ¹ ÏáÙµÇݳódzÛáí) ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿:
úñÇݳÏ, óáõÛó ï³Ýù, áñ n m k rrrx 321 ++= ÃÇíÁ, áñï»Õ 321 ,, rrr ¹ñ³Ï³Ý
é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿ ),,( Nkmn ∈ : Æñáù, Ñ»ßï ¿ ѳÙá½-
í»É, áñ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿`
0])[( 321 =−−− rrrx kmn (74)
58
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï, ÇëÏ (74) ѳí³ë³ñáõÙÁ µ»ñíáõÙ ¿ knmm ⋅⋅=1 ³ëïÇ-
׳ÝÇ ³ÙµáÕç ·áñͳÏÇóÝ»ñáí, ѳٳñÅ»ù, ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ѳí³ë³ñÙ³Ý`
0...11
111
110 =++++ −
−mm
mm axaxaxa (75)
ê³Ï³ÛÝ, å»ïù ¿ Ýß»É, áñ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñíáÕ Çñ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ß-
í³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Çñ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý
ϳÝáݳíáñ Ù³ë ¿: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í 5≥n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ,
ϳñ»ÉÇ ¿ Ýᯐ n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ, áñáÝù
ÉáõÍ»ÉÇ ã»Ý ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí: ²Û¹åÇëÇÝ »Ý, ûñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ.
³) 0245 =−− xx , µ) 015 =−− xx
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ: ²Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ )2;1( ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ
áõÝÇ Çé³óÇáÝ³É ³ñÙ³ï: ²Û¹ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ù³ÝÇ áñ
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 16: Æñ³Ï³Ý ïñ³ëó»Ý¹»Ýï (áã ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý) ÃÇí
³ë»Éáí` ѳëϳÝáõÙ »Ý ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ áã ÙÇ ³ÙµáÕç
·áñͳÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï:
»áñ»Ù 18 : ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Çñ³Ï³Ý ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñ, Áݹ áñáõÙ,
Çñ³Ï³Ý ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ T µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽáñáõÃÛáõÝ:
²å³óáõÛó: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 16-Ç, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽáñáõÃÛáõÝ, ÇëÏ Çñ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 17-Ç, áõÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝ: л勉µ³ñ,
Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý áã ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ,
Áݹ áñáõÙ, ³Û¹ áã ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿
Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ Çñ³Ï³Ý ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý
ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ` TAR =\ : л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ §1 ûáñ»Ù 11-Ç, Çñ³Ï³Ý
ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽáñáõÃÛáõÝ:
л勉Ýù 3: ò³Ýϳó³Í )(];[ baba < ѳïí³ÍÇ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõ٠ѽáñáõÃÛáõÝ:
âÝ³Û³Í Ýñ³Ý, áñ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõÙ
ѽáñáõÃÛáõÝ, ÙdzÛÝ 1873 Ãí³Ï³ÝÇÝ` ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù, ýñ³ÝëdzÛÇ ¶² ³Ý¹³Ù
Þ³éÉ ¾ñÙÇïÇÝ (1822-1901) ѳçáÕí»É ¿ ѳÛïݳ·áñÍ»É ïñ³ëó»Ý¹»Ýï ÃÇí,
³í»ÉÇ ×Çßï` ݳ ³å³óáõó»É ¿ e ÃíÇ ïñ³ëó»Ý¹»ÝïáõÃÛáõÝÁ:
59
²ÛÝáõÑ»ï¨, 1882 Ãí³Ï³ÝÇÝ ø»ÝÇ·ëµ»ñ·Ç (ѻﳷ³ÛáõÙ ØÛáõÝË»ÝÇ) ѳٳÉ-
ë³ñ³ÝÇ åñáý»ëëáñ` ü»ñ¹Çݳݹ ÈÇݹ»Ù³ÝÇÝ (1852-1939) ѳçáÕí»É ¿ ³å³-
óáõó»É π ÃíÇ ïñ³ëó»Ý¹»ÝïáõÃÛáõÝÁ:
1934 Ãí³Ï³ÝÇÝ êêÐØ ¶² ÃÕóÏÇó ³Ý¹³Ù ².ú. ¶»ÉýáÝ¹Ý ³å³óáõó»É ¿
Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ:
»áñ»Ù 19: ºÃ» a -Ý 0 -Çó ¨ 1 -Çó ï³ñµ»ñ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÇëÏ
w -Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Çé³óÇáÝ³É ÃÇí, ³å³ wa ï»ëùÇ ÃÇíÁ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï
¿:
سëݳíáñ³µ³ñ, ûáñ»Ù 19-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿`
³) 3 72 ¨
5 27 Ãí»ñÁ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñ »Ý:
µ) ºÃ» n µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ãÇ Ý»ñϳ۳óÝáõÙ 10 -Ç áñ¨¿ ³ÙµáÕç ³ëïÇ׳Ý,
³å³ nlg ¨ nlg/1 ï»ëùÇ Ãí»ñÁ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï »Ý:
úñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»Ýù, áñ 2lg -Á ¨ 2lg/1 -Á ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñ
»Ý: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ 2lg -Á é³óÇáÝ³É ÃÇí ã¿: ºÝó¹ñ»Ýù ѳϳé³ÏÁ`
2lg -Á é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` Nnmnm ∈= ,,/2lg , ѻ勉µ³ñ`
210 / =nm ϳ٠nm 210 = : êï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿
5 -Ç, ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëÁ` áã: àõñ»ÙÝ, »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÁ Ï»ÕÍ ¿ñ, ѻ勉µ³ñ 2lg -Á
Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿:
²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ã¿: ºÝó¹ñ»Ýù ѳ-
ϳé³ÏÁ` 2lg -Á ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: Ü߳ݳϻÝù` w=2lg ,
ѻ勉µ³ñ` 210 =w : êï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ, Áëï ûáñ»Ù 19-Ç`
ïñ³ëó»Ý¹»Ýï ÃÇí ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÁ` ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý: àõñ»ÙÝ, »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÁ
Ï»ÕÍ ¿ñ, ѻ勉µ³ñ 2lg -Á ïñ³ëó»Ý¹»Ýï ÃÇí ¿:
гϳëáÕ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ùµ ³å³óáõó»Ýù, áñ 2lg/1 -Á ïñ³ëó»Ý¹»Ýï ÃÇí ¿:
¸Çóáõù` q=2lg/1 , áñï»Õ q -Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
q/12lg = : êï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÇëÏ
Ó³Ë Ù³ëÁ` ïñ³ëó»Ý¹»Ýï: êï³óí»ó ѳϳëáõÃÛáõÝ, áõñ»ÙÝ` 2lg/1 -Á ïñ³ë-
ó»Ý¹»Ýï ÃÇí ¿:
¸ñ³Ýáí ÇëÏ Ñ³ëï³ïí»ó )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇÝ å³ïϳÝáÕ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃ-
Û³Ùµ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ ( )0,10,,lg/1 ∪∈≠∈ NmnNnn m ³éϳÛáõÃÛáõÝÁ:
60
ê³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï: ö³Ï ¨ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿
RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 17: Rx ∈0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ
(Ïáõï³ÏÙ³Ý) Ï»ï, »Ã» 0x Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ E -ÇÝ
å³ïϳÝáÕ ·áÝ» Ù»Ï Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 0x -Çó:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 8: 1 0x ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÁ ϳñáÕ ¿ å³ïÏ³Ý»É Ï³Ù ãå³ï-
Ï³Ý»É E µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: 2 ºÃ» Ex ∈0 , µ³Ûó E -Ç ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ã¿, ³å³ 0x Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E
µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï:
3 ºÃ» 0x Ï»ïÁ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿, ³å³ 0x Ï»ïÁ Áݹ-
·ñÏáÕ ó³Ýϳó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É å³ñáõݳÏáõÙ ¿ E -Çó ³Ýí»ñç µ³½-
ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñ:
²å³óáõó»Ýù 3 Ï»ïÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ: ÀݹáõÝ»Ýù ѳϳé³ÏÁ` 0x Ï»-
ïÁ Áݹ·ñÏáÕ );( βα ÇÝï»ñí³ÉÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ E -Çó í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñ`
mxxx ...,,, 21 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, 0000201 ,,...,,,min xxxxxxxx m −−−−−= βαδ ¹ñ³Ï³Ý
ÃíÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý δ –ßñç³Ï³ÛùÁ` );( 00 δδ +− xx 0x -Çó µ³óÇ E -Çó
Ï»ï ãÇ å³ñáõݳÏÇ, áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ Ýñ³Ý, áñ 0x -Ý E -Ç ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿:
»áñ»Ù 20 (´áÉó³Ýá–ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ): ò³Ýϳó³Í ³Ýí»ñç ë³Ñ-ٳݳ÷³Ï E µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï (áñÁ ϳñáÕ ¿ ãå³ïÏ³Ý»É E -ÇÝ):
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` m ¨ M Ãí»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ ExMxm ∈∀≤≤ , :
¸Çï³ñÏ»Ýù Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ξ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ξ Ï»ï»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ
ξ -Çó ³ç E µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ³Ù»Ý³ß³ïÁ í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñ: ξ µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³ï³ñÏ ã¿, ûñÇݳÏ` ξ∈M : ²ÛÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó,
ûñÇÝ³Ï m -áí` ξ∉m , ù³ÝÇ áñ m -Çó ³ç E -Ý áõÝÇ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ
Ï»ï»ñ: гٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç ξ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áõÝÇ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ`
ξinf0 =x : òáõÛó ï³Ýù, áñ 0x -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿: гٳ-
Ó³ÛÝ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñÁ µÝáõó·ñáÕ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ` 0>∀ε ξξ ∈∃ ,
áñ εξ +<≤ 00 xx , Áݹ áñáõÙ` ξε ∉−0x : л勉µ³ñ 0x Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í
ε -ßñç³Ï³Ûù` );( 00 εε +− xx å³ñáõݳÏáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ³Ýí»ñç µ³½-
61
ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñ: àõñ»ÙÝ, 0x Ï»ïÁ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿ ( 0x -Ý
E -Ç ³Ù»Ý³Ù»Í ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÝ ¿: ²å³óáõó»É ³Ûë åݹáõÙÁ:): Ü»ñÙáõÍ»Ýù ÙÇ ù³ÝÇ, ϳñ¨áñ, ѳëϳóáõÃÛáõÝÝ»ñ: E µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, Ý߳ݳÏáõÙ »Ý`
E′ -áí ¨ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝ: E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷³Ï, »Ã» ³ÛÝ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ ë³Ñ-
ٳݳÛÇÝ Ï»ï»ñÁ` EE ⊂′ :
EEE ′∪= µ³½ÙáõÃÛ³ÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙ:
ºÃ» EE ′⊂ , ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» E µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ï»ï»ñÁ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï»ñ »Ý, ³å³ E µ³½ÙáõÃÛ³ÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï: ÆÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ½áõñÏ ¿ Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñÇó:
ºÃ» EE ′= , ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ ¨ ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ϳï³ñÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
EEEnE ⊂′=′= :0,...,/1...,,3/1,2/1,1,0.1 E⇒ -Ý ÷³Ï ¿, µ³Ûó
ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï ã¿:
EEbaEbaE ′⊂=′= :];[),;(.2 );( ba⇒ -ÇÝï»ñí³ÉÝ ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï ¿:
EEbaEbaE ′==′= :];[],;[.3 ];[ ba⇒ -ѳïí³ÍÁ ϳï³ñÛ³É ¿:
EERERE ′==′= :,.4 R⇒ -Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳï³ñÛ³É ¿:
EEREQE ′⊂=′= :,.5 Q⇒ -é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ÇÝùÝ Çñ
Ù»ç ËÇï ¿, µ³Ûó ÷³Ï ã¿:
OEEOEOE /=′=/=′/= :,.6 O/⇒ -¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳï³ñÛ³É ¿:
naaaE ...,,.7 21= (E-Ý í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿), EEOE ⊂′/=′ : ⇒
í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿, µ³Ûó ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï ã¿:
»áñ»Ù 21 : ò³Ýϳó³Í E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝ` E′ -Á, ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: »áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝѳÛï ¿, »Ã» OE /=′ ϳÙ
í»ñç³íáñ ¿: ¸Çóáõù E′ -Á ³Ýí»ñç ¿ ¨ 0x -Ý E′ -Ç ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿: ²Û¹
¹»åùáõÙ 0x -Ý Áݹ·ñÏáÕ ó³Ýϳó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É E′ -Çó å³ñáõݳÏáõÙ ¿
·áÝ¿ Ù»Ï` Ez ′∈ Ï»ï: ø³ÝÇ áñ z -Á E -Ç ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿, ѻ勉µ³ñ );( βα ÇÝï»ñí³ÉÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ E -Çó ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñ:
²ÛëåÇëáí, 0x Ï»ïÝ Áݹ·ñÏáÕ ó³Ýϳó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É å³ñáõݳÏáõÙ ¿ E -
Çó ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñ, áõñ»ÙÝ 0x -Ý E -Ç ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿:
л勉µ³ñ` Ex ′∈0 , áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ áñ E′ -Á å³ñáõݳÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ
ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï»ñÁ: àõñ»ÙÝ` E′ -Á ÷³Ï ¿` EE ′⊂′′)( : ∆
62
»áñ»Ù 22 : ºÃ» BA ⊂ , ³å³ BA ′⊂′ :
»áñ»Ù 23 : Æñ³í³óÇ ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
BABA ′∪′=′∪ )( : (76)
л勉Ýù 4: ò³Ýϳó³Í E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ` E -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: л勉Ýù 5: àñå»ë½Ç E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ÷³Ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³-
ñ³ñ, áñ E -Ý Ñ³ÙÁÝÏÝÇ Çñ ÷³ÏÙ³Ý Ñ»ï` EE = :
»áñ»Ù 24 : ì»ñç³íáñ Ãíáí ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ ÷³Ï
µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù 1F -Á ¨ 2F -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý ¨ 21 FF ∪=Φ :
гٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 23-Ç, áõÝ»Ýù` 21 FF ′∪′=Φ′ : ´³Ûó, ù³ÝÇ áñ 11 FF ⊂′ ,
22 FF ⊂′ , ³å³ Φ⊂Φ′ , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ûáñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ:
ÀݹѳÝáõñ ¹»åùÁ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 9: ²Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ
ϳñáÕ ¿ ÷³Ï ãÉÇÝ»É: úñÇݳÏ, ¹Çóáõù` Nnn
bn
aFn ∈
−+= ,1;1
:
²Ûë ¹»åùáõÙ µáÉáñ nF µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷³Ï »Ý, µ³Ûó ¹ñ³Ýó ÙdzíáñáõÙÁ
÷³Ï ã¿` );(1
baFn n =∞
= :
»áñ»Ù 25 : ò³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ
÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿` SF ∈αα : ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù ¨
SFD
∈=
α α : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` SFD ∈∀⊂ αα , , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿` ,αFD ′⊂′
S∈∀α , ³é³í»É ¨ë` SFD ∈∀⊂′ αα , : л勉µ³ñ, SFD
∈⊂′
α α ϳÙ
DD ⊂′ , áñÝ ¿É ³å³óáõóáõÙ ¿ ûáñ»ÙÁ: ∆
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 18: 0x Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï, »Ã»
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0x Ï»ïÝ Áݹ·ñÏáÕ ³ÛÝåÇëÇ );( βα ÇÝï»ñí³É, áñ ³ÛÝ ³Ù-
µáÕçáõÃÛ³Ùµ Ý»ñ³éí³Í ¿ E -Ç Ù»ç` Ex ⊂∈ );(0 βα :
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 19: E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ¹ñ³
µáÉáñ Ï»ï»ñÁ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñ »Ý:
63
Üϳï»Ýù, áñ ó³Ýϳó³Í ),( ba ÇÝï»ñí³É, R -Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
¨ O/ -¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý:
»áñ»Ù 26: ò³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ
µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿` SG ∈αα : µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù ¨
SGG
∈=
α α : ¸Çóáõù Gx ∈0 , ³Û¹ ¹»åùáõÙ 0α∃ , áñ 00 αGx ∈ : ø³ÝÇ áñ
0αG -
Ý µ³ó ¿, áõñ»ÙÝ );( βα∃ ÇÝï»ñí³É, áñ ,);(00 αβα Gx ⊂∈ µ³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ
×Çßï ¿ ݳ¨ Gx ⊂∈ );(0 βα Ý»ñ³éáõÙÁ: л勉µ³ñ 0x -Ý G µ³½ÙáõÃÛ³Ý
Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿: ø³ÝÇ áñ 0x -Ý G -Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, ѻ勉µ³ñ G -Ý µ³ó
µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ∆
л勉Ýù 6: ò³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ
ÙdzíáñÙ³Ý ï»ëùáí, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
»áñ»Ù 27 : ì»ñç³íáñ Ãíáí µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ µ³ó
µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` n
k kGG1=
= , áñï»Õ µáÉáñ kG µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ó »Ý:
ºÃ» OG /= , ³å³ ûáñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝѳÛï ¿: ¸Çóáõù` OG /≠ ¨
Gx ⊂0 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ nkGx k ,...,2,1,0 =∈ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ k -Ç Ñ³Ù³ñ
);( kk βα∃ ÇÝï»ñí³É ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ`
kkk Gx ⊂∈ );(0 βα , nk ,...,2,1= :
ì»ñóÝ»Ýù nαααα ...,,,max 21= ¨ nββββ ...,,,min 21= Ãí»ñÁ: ²ÏÝѳÛï
¿, áñ ,);(0 Gx ⊂∈ βα ѻ勉µ³ñ, 0x -Ý G -Ç Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿: ∆
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 10: ²Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ
ϳñáÕ ¿ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ãÉÇÝ»É: úñÇݳÏ, ¹Çóáõù`
Nnn
bn
aGn ∈
+−= ,1;1
:
²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ nG µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ó »Ý, µ³Ûó ¹ñ³Ýó ѳïáõÙÁ`
];[1
baGn n =∞
= , ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
»áñ»Ù 28 : ºÃ» G µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ó ¿, ³å³ ¹ñ³ Éñ³óáõÙÁ` GRCG \= ,
÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
64
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` Gx ∈0 , ²Û¹ ¹»åùáõÙ );( βα∃ ÇÝï»ñí³É, áñ
Gx ⊂∈ );(0 βα : ²Û¹ ÇÝï»ñí³ÉÁ CG µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ï»ï ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ,
ѻ勉µ³ñ 0x -Ý CG µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ã¿: ²ÛëåÇëáí, CG
µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÁ ãÇ Ï³ñáÕ å³ïÏ³Ý»É G µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:
л勉µ³ñ, CG -Ý å³ñáõݳÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï»ñÁ: ∆
»áñ»Ù 29: ºÃ» F µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿, ³å³ ¹ñ³ Éñ³óáõÙÁ` FRCF \= ,
µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` CFx ∈0 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ 0x -Ý F µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³-
ݳÛÇÝ Ï»ï ã¿, ѻ勉µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0x -Ý Áݹ·ñÏáÕ );( βα ÇÝï»ñí³É,
áñÁ 0x -Çó ï³ñµ»ñ ¨ F -ÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï»ï ãáõÝÇ: ´³Ûó, ù³ÝÇ áñ 0x -Ý ¨ë ãÇ
å³ïϳÝáõÙ F -ÇÝ, ѻ勉µ³ñ );( βα ÇÝï»ñí³ÉÁ ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ F -Ç áã ÙÇ
Ï»ï: àõñ»ÙÝ` CFx ⊂∈ );(0 βα , ѻ勉µ³ñ 0x -Ý CF -Ç Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿: ∆
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 20: ¸Çóáõù` RE ⊂ , ÇëÏ );( βα=Ω -Ý áñáß ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ
ѳٳϳñ· ¿: ºÃ» Ex∈∀ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ω∈);( βα ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
);( βα∈x , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ͳÍÏí³Í ¿ Ω ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ
ѳٳϳñ·áí:
»áñ»Ù 30 (´áñ»ÉÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» F ÷³Ï ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
ͳÍÏí³Í ¿ Ω ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ ³Ýí»ñç ѳٳϳñ·áí, ³å³ ÙÇßï ϳñ»ÉÇ ¿ ³Û¹
ѳٳϳñ·Çó ³é³ÝÓݳóÝ»É ³ÛÝåÇëÇ *Ω í»ñç³íáñ ѳٳϳñ·, áñÁ ÝáõÛÝå»ë
ͳÍÏÇ F µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
Ω ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ Ñ³×³Ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý F µ³½ÙáõÃÛ³Ý µ³ó
ͳÍÏáõÛÃ, ÇëÏ *Ω -ÇÝ` µ³ó í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 21 : E µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñÇ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÁ,
áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý E - áí, ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñë:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 22 : Rx ∈0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï, »Ã»
0x Ï»ïÝ Áݹ·ñÏáÕ ó³Ýϳó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ¨’ E -ÇÝ
å³ïϳÝáÕ, ¨’ E -ÇÝ ãå³ïϳÝáÕ Ï»ï»ñ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 23 : E µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
65
ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ ¨ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý` E∂ :
»áñ»Ù 31 : ò³Ýϳó³Í RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñëÁ` E -Ý µ³ó µ³½-
ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ Ex ∈0 : ä»ïù ¿ ³å³-
óáõó»É, áñ 0x -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿: ø³ÝÇ áñ 0x -Ý E -Ç Ý»ñùÇÝ Ï»ï
¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( βα ÇÝï»ñí³É, áñ Ex ⊂∈ );(0 βα : ²Û¹ å³ï-
׳éáí );( βα∈∀x ÝáõÛÝå»ë E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿, ù³ÝÇ áñ ϳñ»ÉÇ ¿
í»ñóÝ»É );( µλ ÇÝï»ñí³É ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ⊂∈ );( µλx E⊂);( βα : ²ÛëåÇëáí,
Exx ∈∈∀ ));(( βα : л勉µ³ñ, 0x -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿:
»áñ»Ù 32 (´³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³éáõóí³ÍùÁ): ò³Ýϳó³Í RG ⊂ ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ï, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ` í»ñç³íáñ ϳÙ
ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñ Ñ»ï ãѳïíáÕ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ
ÙdzíáñáõÙ ¿, áñáÝó ͳÛñ³Ï»ï»ñÁ ã»Ý å³ïϳÝáõÙ G -ÇÝ.
),();( GGG kkk
kk ∉∉= βαβα (77)
»áñ»Ù 33 (ö³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³éáõóí³ÍùÁ): ò³Ýϳó³Í RF ⊂ ë³Ñ-
ٳݳ÷³Ï, ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ, Çñ»ÝÇó Ý»ñ-
ϳ۳óÝáõÙ ¿ ϳ٠ѳïí³Í, ϳ٠ëï³óíáõÙ ¿ ÙÇ áñáß Ñ³ïí³ÍÇó` Ñ»é³óÝ»Éáí
í»ñç³íáñ ϳ٠ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñ Ñ»ï ãѳïíáÕ
ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñ, áñáÝó ͳÛñ³Ï»ï»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý F -ÇÝ:
»áñ»Ù 34 (γï³ñÛ³É µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³éáõóí³ÍùÁ): ò³Ýϳó³Í RP ⊂
ë³Ñٳݳ÷³Ï, ϳï³ñÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ, Çñ»ÝÇó
Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ ϳ’٠ѳïí³Í, ϳ’Ù ëï³óíáõÙ ¿ ÙÇ áñáß Ñ³ïí³ÍÇó, Ñ»é³ó-
Ý»Éáí í»ñç³íáñ ϳ٠ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñ Ñ»ï ãѳïíáÕ
ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñ, áñáÝù ãáõÝ»Ý ÁݹѳÝáõñ ͳÛñ³Ï»ï»ñ ¨’ Çñ³ñ Ñ»ï, ¨’ ѳïí³ÍÇ
Ñ»ï: Àݹѳϳé³ÏÁ, ó³Ýϳó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ ëï³óíáõÙ ¿ Ýßí³Í Ó¨áí,
ϳï³ñÛ³É ¿:
úñÇÝ³Ï 1: ²å³óáõó»É, áñ ³) 3log2 ; µ) 3 ; ·) 3 3/2 ; ¹) 32 + Ãí»ñÁ
Çé³óÇáÝ³É »Ý:
²å³óáõÛó: ³) ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù ѳϳëáÕ ÁݹáõÝ»ÉáõÃÛ³Ý Ù»Ãá¹áí:
¸Çóáõù` nm
=3log2 , áñï»Õ Nnm ∈, : ²Û¹ ¹»åùáõÙ nm
23 = : àñï»ÕÇó Ïëï³-
66
ݳÝù` mn 23 = : ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç , ÇëÏ ³ç
Ù³ëÁ` áã: л勉µ³ñ, »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÁ, áñ 3log2 -Á é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿` Ï»ÕÍ ¿:
µ) ¸Çóáõù` nm /3 = , áñï»Õ nm / -Ý ³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿: ºñÏáõ Ù³ëÁ
µ³ñÓñ³óÝ»Éáí ù³é³ÏáõëÇ, Ïëï³Ý³Ýù` 22 /3 nm= ϳ٠22 3nm = : ø³ÝÇ áñ 2m -ÇÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç, ³å³ m -Á ÝáõÛÝå»ë å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ 3-Ç` 13mm = :
ÎáõݻݳÝù` 221 3)3( nm = ϳ٠22
13 nm = : ²Ûëï»ÕÇó, Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ n -Á ÝáõÛÝå»ë
å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ 3-Ç, áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ nm / Ïáïáñ³ÏÇ ³ÝÏñ׳ï»ÉÇáõÃÛ³ÝÁ:
·) ¸Çóáõù` nm /3/23 = , áñï»Õ nm / -Ý ³ÝÏñ׳ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿: ºñÏáõ Ù³-
ëÁ µ³ñÓñ³óÝ»Éáí Ëáñ³Ý³ñ¹` Ïëï³Ý³Ýù 33 /3/2 nm= ϳ٠33 32 mn = : êï³ó-
í³Í ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç, ѻ勉µ³ñ ³ç Ù³ëÁ
ÝáõÛÝå»ë å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ 2-Ç: ì»ñçÇÝë Ñݳñ³íáñ ¿ ÙdzÛÝ, »ñµ 12mm = :
ÎáõݻݳÝù` 31
3 )2(32 mn ⋅= ϳ٠31
3 43 mn ⋅= : àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ n -Á ÝáõÛÝ-
å»ë å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ 2-Ç, áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ nm / Ïáïáñ³ÏÇ ³ÝÏñ׳ï»-
ÉÇáõÃÛ³ÝÁ:
¹) ¸Çóáõù` nm /32 =+ : ¶áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ï³Ý»Ýù ³ç Ù³ëÁ ¨
µ³ñÓñ³óÝ»Ýù ù³é³ÏáõëÇ, Ïëï³Ý³Ýù`
( )mn
nmn
nmnm
nm
222223
22
2
2222 −
=⇔−
=⇔
−= :
ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿, ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëÁ` 2 -Á
é³óÇáÝ³É ÃÇí ã¿: л勉µ³ñ, »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÁ, Áëï áñÇ 32 + -Á é³óÇáݳÉ
ÃÇí ¿, Ï»ÕÍ ¿:
úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»É µáÉáñ ϳÝáݳíáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý`
nmNnmnmA <∈= ,,:/ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ ¨ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ»ñÁ: òáõÛó
ï³É, áñ A-Ý ãáõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ»ñ:
ÈáõÍáõÙ: ø³ÝÇ áñ 0/),( >∈∀ nmNnm , ³å³ 0-Ý A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
ëïáñÇÝ »½ñ ¿: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇó`
xaAax ~)()0~( <∈∃>∀ : (78)
Æñáù, »Ã» 1~ ≥x , ³å³ ûñÇݳÏ, 2/1=a é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (78)
å³ÛÙ³ÝÇÝ: ºÃ» 1~0 << x , ³å³ x~ -Á ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý
Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí`
67
......,0~21 kxxxx = , (79)
Áݹ áñáõÙ` )1( >∃k 0>kx : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
)1(...,0 121 −= − kk xxxxa
é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 1~0 <<< xa ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û-
ëÇÝùÝ, a -Ý Ï³Ýáݳíáñ Ïáïáñ³Ï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (78) å³ÛÙ³ÝÇÝ:
²ÛëåÇëáí, 0 ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ
ÉÇÝ»Éáõ »ñÏáõ µÝáõó·ñÇã ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ѻ勉µ³ñ` 0inf =A :
ø³ÝÇ áñ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ϳÝáݳíáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñ »Ý, ³å³
1/ <nm : ²ÛëÇÝùÝ 1-Á A µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇó`
xnmAnmx ~/)/()1~( >∈∃<∀ : (80)
Æñáù, »Ã» 0~ ≤x , ³å³ 2/1/ =nm é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (80) å³Û-
Ù³ÝÇÝ: ºÃ» 1~0 << x , ³å³ x~ -Á Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É (79) ï»ëùáí, Áݹ
áñáõÙ 90)1( <≤>∃ ixi : ²Ûë ¹»åùáõ٠ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Ñ»ï¨Û³É é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ`
kii xxxxnm 10/1...,0/ 121 += − ,
áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 1/~0 <<< nmx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:
²ÛëåÇëáí, 1 ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ ÉÇÝ»Éáõ
»ñÏáõ µÝáõó·ñÇã ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ѻ勉µ³ñ` 1sup =A :
Üϳï»Ýù, áñ AA ∉= 0inf ¨ AA ∉= 1sup : Æñáù, ù³ÝÇ áñ 00/ =⇔= mnm ,
µ³Ûó N∉0 ¨ nmnm =⇔=1/ , µ³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ` Anm ∉/ : àõñ»ÙÝ A
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ãáõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ¨ ٻͳ·áõÛÝ ï³ññ»ñ:
úñÇÝ³Ï 3: îñí³Í ¿ ...],;/1[...,],3;2/1[],2;1[ 21 nnAAA n === ѳïí³ÍÝ»-
ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ¶ïÝ»É` ∞
=1n nA ¨ ∞
=1n nA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
ÈáõÍáõÙ: àôÝ»Ýù µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`
......21 ⊂⊂⊂⊂ nAAA :
¸Çï³ñÏ»Ýù ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ó³Ë ¨ ³ç ͳÛñ³Ï»ï»ñÇ` n/1 , n
Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ø³ÝÇ áñ` 1/1sup,0/1inf == nn , 2inf =n ,
+∞=nsup ¨ 0-Ý n/1 µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ ã¿, ÇëÏ 1-Á ¨ 2-Á ѳٳå³-
ï³ë˳ݳµ³ñ n/1 ¨ n µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ññ»ñ »Ý, ѻ勉µ³ñ`
);0(1
+∞=∞
=n nA ¨ ]2;1[1
=∞
=n nA :
68
úñÇÝ³Ï 4: îñí³Í ¿ NnnbnaAn ∈+−= ],/1;/1[ ѳïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ: ¶ïÝ»É` ∞
=1n nA ¨ ∞
=1n nA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
ÈáõÍáõÙ: àõÝ»Ýù µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`
......21 ⊃⊃⊃⊃ nAAA :
¸Çï³ñÏ»Ýù ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ó³Ë ¨ ³ç ͳÛñ³Ï»ï»ñÇ` na /1− ,
nb /1+ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ø³ÝÇ áñ` ,1/1inf −=− ana ana =− /1sup ,
bnb =+ /1inf , 1/1sup +=+ bnb ¨ NnAba n ∈∀⊂ ,],[ áõ ]1,1[ +−⊂ aaAn ,
Nn∈∀ , ³å³ `
]1;1[1
+−=∞
=baA
n n ¨ ];[1
baAn n =∞
= :
úñÇÝ³Ï 5: ²å³óáõó»É, áñ A ~ B :
³) dxcRxA <≤∈= : ¨ byaRyB <≤∈= : ;
µ) dxcRxA ≤≤∈= : ¨ byaRyB ≤≤∈= : ;
·) dxcRxA ≤<∈= : ¨ byaRyB ≤<∈= : ;
¹) dxcRxA <<∈= : ¨ byaRyB <<∈= : :
ÈáõÍ»Ýù ÙdzÛÝ ³) ï³ñµ»ñ³ÏÁ, ÇëÏ Ùݳó³Í ï³ñµ»ñ³ÏÝ»ñÁ ÉáõÍíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí:
ÈáõÍáõÙ: îñí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ ëï»ÕÍ»Ýù ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³-
ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ, ûñÇݳÏ, ³Ûëå»ë. ¹Çï³ñÏ»Ýù` )( cxcdabay −
−−
+= ýáõÝÏódzÝ
(áñÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ 1M ¨ 2M Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ)
(ÝÏ.6): ºÃ» )( dxcAx <≤∈ , ³å³ ¹ñ³Ý ѳٳå³ï³ë˳Ý` )( byaBy <≤∈
¨ ѳϳé³ÏÁ, »Ã» )( byaBy <≤∈ , ³å³ ¹ñ³Ý ѳٳå³ï³ë˳Ý`
)( ayabcdcx −
−−
+= å³ïϳÝáõÙ ¿ A -ÇÝ (ï»ë ÝÏ. 6): л勉µ³ñ` A ~ B :
ÝÏ.6.
b
a ),( yxM
),(2 bdM
d c x
),(1 acM
y
69
úñÇÝ³Ï 6: ²å³óáõó»É, áñ )1;0( ~ R :
²å³óáõÛó: )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ ¨ R -Ç ÙÇç¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï»ÕÍ»É ÷áËÙdzñÅ»ù
ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ, ûñÇݳÏ, xctgy π−= ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇçáóáí:
úñÇÝ³Ï 7: êï»ÕÍ»É ÷³ËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ ]1;0[ ѳïí³-
ÍÇ ¨ )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ ÙÇç¨:
²å³óáõÛó: )1;0( ÇÝï»ñí³ÉáõÙ í»ñóÝ»Ýù ϳٳ۳ϳÝ, ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³-
ñÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ûñÇݳÏ`
...,1
1...,,41,
31,
21
321 +====
nxxxx n :
²ÛÅ٠ϳéáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝÁ.
:...),1;0(]1;0[...,),1;0(]1;0[),1;0(]1;0[),1;0(]1;0[1),1;0(]1;0[0
242
3121
∈→∈∈→∈∈→∈∈→∈∈→∈
+nn xxxxxxxx
Øݳó³Í Ï»ï»ñÇó, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ` ]1;0[∈x Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻó-
Ý»Ýù ÝáõÛÝ )1;0(∈x Ï»ïÇ Ñ»ï: êï³óí³Í ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝÁ ÷áË-
ÙdzñÅ»ù ¿ (ÝÏ. 7):
ÜáõÛÝ Ù»Ãá¹áí ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ]1;0( ~ ]1;0[ ¨ )1;0[ ~ ]1;0[ : ²å³óáõÛóÁ
ÃáÕÝíáõÙ ¿ ÁÝûñóáÕÇÝ:
úñÇÝ³Ï 8: ³) ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
babababababa −≥−+≤+⋅=⋅ )3,)2,)1 :
µ) ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í naaa ...,,, 21 Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý
Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
1) nn aaaaaa +++≤+++ ...... 2121 , (81)
2) nn aaaaaa −−−≥−−− ...... 2121 : (82)
ÝÏ.7.
3x
5x 0 1
1 0
4x 6x
3x 1x
5x
2x
4x 2x 1x
x
x
70
²å³óáõÛó: ³) Üϳï»Ýù, áñ 1) ³éÝãáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿
»ñÏáõ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó (ï»ë Ï»ï 5): 2) ³éÝãáõÃÛáõÝÝ
³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ Ýϳï»Ýù, áñ »Ã» a ¨ b Ãí»ñÁ á’ã µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý ϳÙ
á’ã ¹ñ³Ï³Ý, ³å³ 2) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ ÃíÇ
Ùá¹áõÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó:
ºÃ», ûñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ` 0≥a , ÇëÏ 0≤b , ³å³`
+≤=−≤−−
+=+≤≤+
:
,
babbba
babaaba
àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ`
babababa +≤−−+=+ ,max :
3) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ Ýϳï»Ýù, áñ
bbabbaa +−≤+−= )( ¨ aabaabb +−≤+−= )( ,
áñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`
−<−
−<−
baab
babababa −≤−⇔ :
µ) ²å³óáõó»Ýù ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí: Ü³Ë ³å³óáõ-
ó»Ýù 1) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ºñÏáõ` 1a ¨ 2a Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ (81) ³Ýѳí³-
ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ºÝó¹ñ»Ýù, Ï³Ù³Û³Ï³Ý n ѳï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³-
Ù³ñ (81) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿
ݳ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý 1+n ѳï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, û·ïí»Éáí ÇݹáõÏ-
ïÇí »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÇó ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É`
:......
)...(...
121121
121121
++
++
++++≤++++≤
≤++++=++++
nnnn
nnnn
aaaaaaaa
aaaaaaaa
л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Ç (81) ³Ýѳ-
í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:
²å³óáõó»Ýù 2) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Üϳï»Ýù, áñ »ñÏáõ` 1a ¨ 2a Ãí»ñÇ
ѳٳñ (82) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ºÝó¹ñ»Ýù, û ϳٳ۳ϳÝ
n ѳï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ (82) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ²å³óáõ-
71
ó»Ýù, áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ ݳ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý 1+n ѳï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
Æñáù, û·ïí»Éáí ÇݹáõÏïÇí »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÇó ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É`
:......
)...(...
1321121
13211321
++
++
−−−−−≥−−−−≥
≥−−−−−=−−−−−
nnnn
nnnn
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Ç (82)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:
úñÇÝ³Ï 9: ÎÇñ³é»Éáí ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ ëϽµáõÝùÁ, ³å³-
óáõó»É, áñ`
³) ò³Ýϳó³Í Nn∈ ¨ ó³Ýϳó³Í Çñ³Ï³Ý 1−>x Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ
áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
nxx n +≥+ 1)1( (´»éÝáõÉÇÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ) : (83)
µ) ò³Ýϳó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ 121 1211 −+ + nn ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133-Ç:
²å³óáõÛó: ³) ºÃ» 1=n , ³å³ áõÝ»Ýù xx +=+ 11 : ºÝó¹ñ»Ýù (83)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ n µÝ³Ï³Ý ¨ 1−>∀x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
ø³ÝÇ áñ 1−>x , ³å³ 01 >+ x : ´³½Ù³å³ïÏ»Ýù (83) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý
»ñÏáõ Ù³ëÁ x+1 -áí, Ïëï³Ý³Ýù` 21 1)1( nxxnxx n +++≥+ + (84)
êï³óí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÇ 2nx áã µ³ó³ë³Ï³Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ
¹»Ý Ý»ï»Éáí, Ïëï³Ý³Ýù`
xnx n )1(1)1( 1 ++≥+ +
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ, (83) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Ù³ñÇï ¿ ݳ¨
1+n µÝ³Ï³Ý ¨ 1−>∀x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸ñ³Ýáí ³å³óáõóí»ó, áñ
(83) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Ù³ñÇï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý` n ¨ ϳٳ۳ϳÝ
Çñ³Ï³Ý` 1−>x Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
µ) ºÃ» 1=n , ³å³ áõÝ»Ýù` 1331211 12 =+ : ºÝó¹ñ»Ýù, áñ ³ÛÝ ×Çßï ¿ n -Ç
ѳٳñ, ³ÛëÇÝùÝ` 121 1211 −+ + nn -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç: ²å³óáõó»Ýù, áñ 122 1211 ++ + nn -Á ÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç: ø³ÝÇ áñ
( ) 121211221122 12133121111121211111211 −−+−+++ ⋅++=⋅+⋅=+ nnnnnnn ,
72
³å³ åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ ݳ¨ 1+n -Ç Ñ³Ù³ñ: Æñáù, ëï³óí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý
³é³çÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç Áëï ÇݹáõÏïÇí »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý, ÇëÏ
»ñÏñáñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ 133 ³ñï³¹ñÇã, ѻ勉µ³ñ, ³ÛÝ ÝáõÛÝå»ë
µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç: àõñ»ÙÝ ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç: л勉µ³ñ, ++111n
1212 −+ n ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ó³Ýϳó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç:
úñÇÝ³Ï 10: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ n ѳï` nyyy ,...,, 21 Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý
Ãí»ñ, Áݹ áñáõÙ`
1...21 =⋅⋅⋅ nyyy : (85)
²å³óáõó»É, áñ`
nyyy n ≥+++ ...21 : (86)
²å³óáõÛó: ²å³óáõÛóÁ ϳï³ñ»Ýù ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá-
¹áí: ºÃ» 1=n , ³å³ ѳٳӳÛÝ (85) å³ÛÙ³ÝÇ 11 =y : àõëïÇ (86) ³éÝãáõÃÛáõÝÁ
ï»ÕÇ áõÝÇ, »ñµ 1=n :
ºÝó¹ñ»Ýù (85) å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ n Ñ³ï ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ
ï»ÕÇ áõÝÇ (86) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù 1+n ѳï Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý`
121 ,,...,, +nn yyyy Ãí»ñ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`
1... 121 =⋅⋅⋅⋅ +nn yyyy (87)
å³ÛÙ³ÝÇÝ: Ðݳñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù.
1) 1... 121 ===== +nn yyyy ,
2) ³Û¹ Ãí»ñÇ Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï ÃÇí, áñÁ ѳí³ë³ñ ã¿ 1-Ç:
²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ, Ïëï³Ý³Ýù`
1... 121 +=++++ + nyyyy nn :
ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ÛÉ ÃÇí, áñÁ ѳí³ë³ñ ã¿ 1-Ç, Áݹ
áñáõÙ` »Ã» ¹ñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ Ù»Í ¿ 1-Çó, ³å³ ÙÛáõëÁ ÷áùñ ¿ 1-Çó: ÀݹѳÝñáõÃÛáõÝÁ
ã»Ýù ˳ËïÇ, »Ã» ÁݹáõÝ»Ýù` 1>ny , ÇëÏ 11 <+ny : ¸Çï³ñÏ»Ýù n ѳï Ãí»ñ`
)(,,...,, 1121 +− nnn yyyyy :
гٳӳÛÝ (87) å³ÛÙ³ÝÇ ³Û¹ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ѳí³ë³ñ ¿ 1-Ç,
ѻ勉µ³ñ, Áëï ÇݹáõÏïÇí »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý`
nyyyyy nnn ≥++++ +− 1121 ... : (88)
73
¶áõÙ³ñ»Éáí (88) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÇÝ` 1++ nn yy ¨ ³ç Ù³ë
ï»Õ³÷áË»Éáí` 1+nn yy ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ, Ïëï³Ý³Ýù`
:1)1)(1(111...
111
111121
+≥−−++=−−++++=++−≥+++++
+++
+++−
nyynyyyynyyyynyyyyy
nnnnnn
nnnnnnn
²ÛëåÇëáí, (86) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ 1+n ѳï Ãí»ñÇ
ѳٳñ: л勉µ³ñ, ó³Ýϳó³Í n ѳï Ãí»ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (85) å³Û-
Ù³ÝÇÝ, µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ݳ¨ (86) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, Áݹ áñáõÙ` ѳí³-
ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ` 1...21 ==== nyyy :
سëݳíáñ³µ³ñ, »Ã» í»ñóÝ»Ýù`
,...
...,,...
,... 2121
22
21
11
nn
nn
nn
nn xxx
xy
xxxx
yxxx
xy === (89)
áñï»Õ 1x -Á, 2x -Á,…, 3x -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ³å³ ï»ÕÇ Ïáõݻݳ`
1...21 =⋅⋅⋅ nyyy ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ѻ勉µ³ñ, ï»ÕÇ Ïáõݻݳ ݳ¨`
,...
......... 2121
2
21
1 nxxx
xxxx
xxxx
xn
n
n
nn
nn
≥+++
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`
nn
n xxxn
xxx...
...21
21 ≥+++
(90)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Áݹ áñáõÙ` ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙdzÛÝ ³ÛÝ
¹»åùáõÙ, »ñµ` nxxx === ...21 :
úñÇÝ³Ï 11: ²å³óáõó»É áñ »Ã» RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í »ñÏáõ
Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿ 1-Çó, ³å³ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ:
²å³óáõÛó: Âí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÁ ,......,,2,1,0 n±±± Ï»ï»ñáí ïñáÑ»Ýù ѳß-
í»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ѳïí³ÍÝ»ñÇ: ²Û¹ ѳïí³ÍÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ E
µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ϳñáÕ ¿ å³ñáõÝ³Ï»É Ù»ÏÇó áã ³í»ÉÇ Ï»ï»ñ: л勉µ³ñ, E µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý ¨ ϳéáõóí³Í ѳïí³ÍÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý` áñáß »Ýóµ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ: àõñ»ÙÝ, E µ³½ÙáõÃ-
ÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿ ϳ٠ѳßí»ÉÇ:
74
úñÇÝ³Ï 12: γÝïáñ–´»éÝßï»ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ³å³óáõó»É, áñ
ѳñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ÝáõÛÝ ß³é³íÕáí µ³ó ¨ ÷³Ï ßñç³ÝÝ»ñÁ ѳٳñÅ»ù »Ý:
²å³óáõÛó: ÀݹѳÝñáõÃÛáõÝÁ ã»Ýù ˳ËïÇ, »Ã» ÁݹáõÝ»Ýù, áñ ³Û¹ ßÁñ-
ç³ÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÁݹѳÝáõñ Ï»ÝïñáÝ: ¸Çóáõù` 222 )()(:),( rbyaxyxA ≤−+−= -Ý
),( ba Ï»ÝïñáÝáí ¨ r ß³é³íÕáí ÷³Ï ßñç³ÝÝ ¿, 222 )()(:),( rbyaxyxB <−+−= -Ý
ÝáõÛÝ Ï»ÝïñáÝáí ¨ ÝáõÛÝ ß³é³íÕáí µ³ó ßñç³ÝÁ, ÇëÏ +−= 2)(:),( axyxC
22 )2/()( rby ≤−+ -Ý ÝáõÛÝ Ï»ÝïñáÝáí ¨ 2/r ß³é³íÕáí ÷³Ï ßñç³ÝÁ: ²Û¹
¹»åùáõÙ` CBA ⊃⊃ : ø³ÝÇ áñ A ~ C (¹ñ³Ýó ÙÇç¨ ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳ-
å³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ ëï»ÕÍíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí): л勉µ³ñ
ѳٳӳÛÝ Î³Ýïáñ–´»éÝßï»ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÇ A ~ B :
úñÇÝ³Ï 13: ²å³óáõó»É, áñ`
³) ò³Ýϳó³Í RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ` E ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
µ) ò³Ýϳó³Í RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³·ÇÍÁ` E∂ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: ³) I »Õ³Ý³Ï: »áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝѳÛï ¿, »Ã»
OE /=′ : ¸Çóáõù OE /≠′ ¨ a -Ý EEE ′∪= µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿,
ÇëÏ );( βα -Ý a Ï»ïÝ Áݹ·ñÏáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÇÝï»ñí³É: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ѳٳ-
Ó³ÛÝ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý );( βα∩∈∃ Eb ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ab ≠ :
ì»ñóÝ»Ýù b Ï»ïÇ );( µλ ßñç³Ï³Ûù ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ );();( βαµλ ⊂∈b ¨
);( µλ∉a : ø³ÝÇ áñ Eb∈ , ³å³ );( µλ ÙÇç³Ï³ÛùÁ (ѻ勉µ³ñ ݳ¨ );( βα
ÙÇç³Ï³ÛùÁ) å³ñáõݳÏáõÙ ¿ a -Çó ï³ñµ»ñ c Ï»ï E -Çó: Æñáù, »Ã» Eb∈ ,
³å³ ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É bc = , »Ã» Eb ′∈ , ³å³ E -áõÙ Áݹ·ñÏíáÕ c Ï»ïÇ
·áÛáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: ²ÛëåÇëáí, a Ï»ïÇ
Ï³Ù³Û³Ï³Ý );( βα ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ E -ÇÝ å³ïϳÝáÕ ¨ a -Çó
ï³ñµ»ñ c Ï»ï, ³ÛëÇÝùÝ` EEa ⊂′∈ : л勉µ³ñ, E -Á Áݹ·ñÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ
ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï»ñÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ E -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:
II »Õ³Ý³Ï: ø³ÝÇ áñ EEEEEEEEE ⊂′=′∪′⊂′′∪′=′′∪=′ )()()(
ѻ勉µ³ñ EE ⊂′)( : àõñ»ÙÝ E ÷³Ï ¿:
µ) I »Õ³Ý³Ï: »áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ CEEE ∩=∂ ѳí³-
75
ë³ñáõÃÛáõÝÇó ¨ E áõ CE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÷³ÏáõÃÛáõÝÇó:
II »Õ³Ý³Ï: »áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ ݳ¨ EEE \=∂ ѳ-
í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: ø³ÝÇ áñ E -Á ÷³Ï ¿, ÇëÏ E -Ý µ³ó (ѻ勉µ³ñ` CE -Ý
÷³Ï), ³å³ CEEEEE ∩==∂ \ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ :
²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ EEE \=∂ : ¸Çóáõù a -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ
Ï»ï ¿, ³Û¹ ¹»åùáõÙ a Ï»ïÝ Áݹ·ñÏáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý );( βα ÇÝï»ñí³É å³ñáõ-
ݳÏáõÙ ¿ Ï»ï ÇÝãå»ë` E -Çó ( ѻ勉µ³ñ` Ea∈ ), ³ÛÝå»ë ¿É` CE -Çó (Ñ»ï¨-
³µ³ñ` Ea∉ ): àõñ»ÙÝ` EEE \=∂ :
úñÇÝ³Ï 14: ³) îñí³Í ¿ ...,2/1...,,4/1,2/1,1,0 nE = µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹
µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ ͳÍÏáõÙ ¿ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ѳٳϳñ·Á`
( ) ( ) ...,2
1;2
1...,,4
1;4
1,2
1;2
1,1;1,;
+−
+−
+−
+−− nn
εεεεεεεεεε ,
áñï»Õ ε -Á ïñí³Í ÃÇí ¿` 2/10 << ε : ²Û¹ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó
³é³ÝÓݳóÝ»É í»ñç³íáñ ѳٳϳñ·, áñÁ ÝáõÛÝå»ë ͳÍÏÇ E µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:
µ) îñí³Í ¿ ...,2/1...,,4/1,2/1,1 nE = µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ
ͳÍÏáõÙ ¿ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É ѳٳϳñ·Á`
( ) ...,2
1;2
1...,,4
1;4
1,2
1;2
1,1;1
+−
+−
+−
+− nn
εεεεεεεε ,
áñï»Õ ε -Á ïñí³Í ÃÇí ¿` 3/10 << ε : γñ»ÉDZ ¿ ³Û¹ ѳٳϳñ·Çó ³é³ÝÓ-ݳóÝ»É í»ñç³íáñ ѳٳϳñ·, áñÁ ÝáõÛÝå»ë ͳÍÏÇ E µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:
ÈáõÍáõÙ: ³) ¸Çóáõù 0n -Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ε<02/1 n : ²Û¹ ¹»åùáõÙ 0 -Ý ¨
...,2/1,2/1,2/1 21 000 ++ nnn ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñÁ ͳÍÏíáõÙ »Ý Ù»Ï`
);( εε− ÇÝï»ñí³Éáí: Øݳó³Í í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñÁ ͳÍÏíáõÙ »Ý`
( ) 1...,,1,0,2/)1(;2/)1( 0 −=+− nkkk εε ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñáí:
µ) ø³ÝÇ áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ï ͳÍÏí³Í ¿ ïñí³Í ÇÝï»ñ-
í³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙdzÛÝ Ù»Ï ÇÝï»ñí³Éáí ¨ E -Ý ³Ýí»ñç ¿, ѻ勉µ³ñ
³ÝÑݳñ ¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ͳÍÏáÕ í»ñç³íáñ ѳٳϳñ·:
76
¢3. Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¨ ¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ: ܳËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³ÛÇÝ ß³ñùÇ í»ñ³µ»ñÛ³É
1. ¶³Õ³÷³ñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ: Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï
ÐÇß»Ýù ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ñ³ëϳóáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1 : µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í XNf →:
ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³í»ÉÇ ×Çßï X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ñ-
ñ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:
²Ûëï»Õ Ù»Ýù ¹Çï³ñÏ»Éáõ »Ýù ÙdzÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ-
Ý»ñ` RNf →: :
гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ϳñ»ÉÇ ï³É µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`
)(nfxn = , (1)
áñï»Õ nx -Ý ³ñï³Ñ³Ûïí³Í ¿ n ѳٳñÇ (Çݹ»ùëÇ) ÙÇçáóáí, ϳ٠ѻï¨Û³É
ï»ëùáí`
Nnnfxn ∈= ),( : (2)
гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³Éáõ ѳٳñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý ݳ¨ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³-
ݳӨ, ³ÛëÇÝùÝ µ³Ý³Ó¨, áñï»Õ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÝ ³ñï³Ñ³Ûïí³Í ¿ n -Çó ÷áùñ
ѳٳñÝ»ñ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí (ï»ë ¢4.):
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2 : nx ¨ ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ, ï³ñµ»-
ñáõÃÛáõÝ, ³ñï³¹ñÛ³É, ù³Ýáñ¹ ³ë»Éáí ѳëϳÝáõÙ »Ý, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ,
Ñ»ï¨Û³É h³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` nnnnnnnn yxyxyxyx /,,, −+ : ì»ñ-
çÇÝ ¹»åùáõÙ »Ýó¹ñíáõÙ ¿, áñ Nnyn ∈∀≠ ,0 :
úñÇÝ³Ï 1: ³) na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí`
Nnaaa nnn ∈+= ++ ),(21
12 :
¶ïÝ»É n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ` ³ñï³Ñ³Ûïí³Í 1a -áí ¨ 2a -áí:
µ) na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí`
Nnan
na nn ∈++
=+ ,n1 1
1 :
77
¶ïÝ»É n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ` ³ñï³Ñ³Ûïí³Í 1a -áí:
ÈáõÍáõÙ: ³) Î³Ù³Û³Ï³Ý Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù`
2,...,
2,
2,
21
243
532
421
3+
+
+=
+=
+=
+= nn
n
aaa
aaa
aaa
aaa
àñï»ÕÇó`
2,...,
2,
2,
21
1243
4532
3421
23+
++−
=−−
=−−
=−−
=− nnnn
aaaaaaaaaaaaaaaa :
سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ`
nkaa
aa kk
kk ,...,4,3,2,2
)1( 2122
1 =−
−=−−
−− :
ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ·áõÙ³ñ»Éáí, Ïëï³Ý³Ýù`
( ) ( )
( ) :23
)1(32
211
211
21...
21
211
2)1(...
22
2121
12
1
12
2
212
2122
21212
121
−−
−
−
−−
⋅−
−−−=
=+
−−
−=
−+−+−−=
=−
−+−−
+−
−−=−
nn
n
n
nn
n
aaaa
aaaa
aaaaaaaaaa
л勉µ³ñ`
21212
23)1(
32
−⋅−
−++
= nn
n
aaaaa :
µ) лßï ¿ Ýϳï»É, áñ
:11
11121
1...)1(
1)1(
1
...1)1(
1)1(
1)1(
11
111
11
an
nan
annnn
na
nnnnna
nnna nnn
++
=++
−=+⋅
++−
++
=
==−
+−
++
=++
=+
−+
л勉µ³ñ`
)1(11 ++=+ nanan , áñï»ÕÇó` Nnanan ∈−+= ,1)1( 1 :
úñÇÝ³Ï 2: ¸Çóáõù
+=
= 22
31,1nn
yn
x nn : γ½Ù»É ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñ,
ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ, ³ñï³¹ñÛ³É ¨ ù³Ýáñ¹ h³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
78
ÈáõÍáõÙ: лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ`
+=
+=
−−=−
+
=+3
1,31,21,44322 ny
xnn
yxnn
yxn
nyxn
nnnnnnn
:
2. ê³Ñٳݳ÷³Ï ¨ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ
ÐÇß»Ýù, áñ ïñí³Í nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ
ϳ½ÙáõÙ »Ý ÙÇ áñáß³ÏÇ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ºÉÝ»Éáí Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý
í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛ³Ý ¨ ³Ýë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñ-
Ý»ñÇó, ï³Ýù ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ѳٳÝÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÝ»ñÇ ë³ÑÙ³-
ÝáõÙÝ»ñÁ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3: nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó)
ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ )(mM ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
))(()( mxNnMxNn nn ≥∈∀≤∈∀ : (3)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã»
³ÛÝ í»ñ¨Çó ¨ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²ÛëÇÝùÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ
M ¨ m Ãí»ñ, áñ`
MxmNn n ≤≤∈∀ )( : (4)
ì»ñçÇÝ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³ÉÇÝ. nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
ÏáãíáõÙ ¿ ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí, áñ
AxNn n ≤∈∀ )( : (5)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3-Ç ÅËïáõÙÁ ÏÉÇÝÇ` nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ-
¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ )(mM ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0n µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ )(00
mxMx nn <> :
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4-Ç ÅËïáõÙÁ ÏÉÇÝÇ` nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ý-
ë³Ñٳݳ÷³Ï, »Ã» ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ 0>A ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0n
µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ :0
Axn >
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ »Ã» ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýë³Ñ-
ٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ ³ÛÝ Ï³Ù í»ñ¨Çó ¿ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï, ϳ٠ݻñù¨Çó ¿ ³Ý-
ë³Ñٳݳ÷³Ï, ϳ٠ÇÝãå»ë í»ñ¨Çó ³ÛÝå»ë ¿É Ý»ñù¨Çó ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
79
úñÇÝ³Ï 3: ä³ñ½»É, ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, áñáÝù »Ý` 1) í»ñ¨Çó
ë³Ñٳݳ÷³Ï, 2) Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï, 3)ë³Ñٳݳ÷³Ï, 4) í»ñ¨Çó ³Ýë³Ñ-
ٳݳ÷³Ï, 5) Ý»ñù¨Çó ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï.
³)
+−213
nn
, µ) nn )1(− , ·) nn)1(− , ¹)
++
2cos
11
nn
n π:
ÈáõÍáõÙ: ³) лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ Nnnn ∈∀<+−< ,3)2/()13(0 :
л勉µ³ñ, Ýßí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
µ) Ü³Ë Ýϳï»Ýù, áñ Nnnn
∈∀>− ,0)1( : ¸Çóáõù A -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý
¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ì»ñóÝ»Ýù mn 20 = ï»ëùÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Am >2 :
ì»ñóñ³Í 0n -Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ammnmn
>== −− 2)2(20 )1()1(
0 ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛ³ÝÁ: л勉µ³ñ, nn )1(− ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿,
ÇëÏ í»ñ¨Çó` ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï:
·) ¸Çóáõù A -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ
mn 20 = ¨ 120 +=′ kn µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ AnAn >′> 00 , : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, áõÝ»Ýù`
Ammn mn >=−=− 22)1()1( 20
0 ¨ Akkn kn −<+−=+−=′− +′ )12()12()1()1( 120
0 :
л勉µ³ñ, ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ í»ñ¨Çó ¨ Ý»ñù¨Çó:
¹) ø³ÝÇ áñ Nnn
nnn
n∈∀>
+−≥
++ ,0
11
2cos
11 π
¨ ,21
12
cos1
1 <+
+≤+
+n
nnn
n π
Nn∈∀ , ³å³ Nnnn
n∈∀<
++< ,2
2cos
110 π
: л勉µ³ñ, Ýßí³Í ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
3. ¼áõ·³Ù»ï, ï³ñ³Ù»ï, ³Ýí»ñç ÷áùñ ¨ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5 : Ra∈ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ,
»Ã» ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí*), áñ
µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ε<− axn ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5-Á ùí³ÝïáñÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`
*) ø³ÝÇ áñ N ѳٳñÝ ÁݹѳÝáõñ ³éٳٵ ϳËí³Í ¿ ε -Çó , ³å³ »ñµ»ÙÝ ·ñáõÙ »Ý` N=N( ε ) :
80
∃>∀ )(0( ε N )N∈ ≥∈∀ nNn( N ) ε<− axn : (6)
ºÃ» Ra∈ ÃÇíÁ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý`
axnn=
∞→lim ϳ٠axn → , »ñµ ∞→n : (7)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5-Ç ÅËïáõÙÁ. Ra∈ ÃÇíÁ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ
ã¿, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0>ε ÃÇí, áñ ó³Ýϳó³Í N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ≥n N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ε≥− axn .
∀>∃ )(0( ε N )N∈ ≥∈∃ nNn( N ) ε≥− axn : (8)
гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý, ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï: гçáñ¹³-ϳÝáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ãáõÝÇ ë³ÑÙ³Ý, ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³Ù»ï: ²ÛëåÇëáí`
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6: nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, »Ã»
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Ra∈ ÃÇí, áñ ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·á-
ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ, áñÁ
µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ≥n N ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ï»ÕÇ áõÝÇ ε<− axn ³Ýѳ-
í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
)( Ra∈∃ ∃>∀ )(0( ε N )N∈ ≥∈∀ nNn( N ) ε<− axn : (9)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6-Ç ÅËïáõÙÁ. nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, »Ã»
ó³Ýϳó³Í Ra∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0>ε ÃÇí, áñ ó³Ý-
ϳó³Í N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ≥n N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ
ε≥− axn .
)( Ra∈∀ ∀>∃ )(0( ε N )N∈ ≥∈∃ nNn( N ) ε≥− axn : (10)
ø³ÝÇ áñ` ε<− axn ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿
εε +<<− axa n (11)
ÏñÏݳÏÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ÇëÏ í»çÇÝë Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ nx -Á å³ïϳÝáõÙ
¿ a Ï»ïÇ ε -ßñç³Ï³ÛùÇÝ` );( εε +−∈ aaxn , ³å³ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
ë³ÑÙ³ÝÇ ¨ ½áõ·³Ù»ïáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ϳñ»ÉÇ
¿ ï³É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`
a ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã» ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ
a Ï»ïÇ ε -ßñç³Ï³ÛùÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñáÝó ѳٳñÝ»ñÁ ÷áùñ ã»Ý N-Çó
81
( ≥n N), ·ïÝíáõÙ »Ý ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùáõÙ (³Û¹ ßñç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë ϳñáÕ »Ý ·ïÝí»É
ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ` 121 ,...,, −Nxxx ):
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝ-
åÇëÇ Ra∈ ÃÇí, áñ ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ a Ï»ïÇ ε -ßñç³Ï³ÛùÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñáÝó
ѳٳñÝ»ñÁ ÷áùñ ã»Ý N-Çó ( ≥n N), ·ïÝíáõÙ »Ý ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùáõÙ (³Û¹
ßñç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë ϳñáÕ »Ý ·ïÝí»É ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ`
121 ,...,, −Nxxx ):
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2: гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ¨ ½áõ·³Ù»ïáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³-
ÝáõÙÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó í»ñç³íáñ Ãíáí
³Ý¹³ÙÝ»ñ ¹»Ý Ý»ï»Éáí ãÇ Ë³ËïíáõÙ ¹ñ³ ½áõ·³Ù»ïáõÃÛáõÝÁ ¨ ãÇ ÷áËíáõÙ
¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ: سëݳíáñ³µ³ñ, »Ã» mx ¨ Nnx mn ∈+ ,
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨ ÙÛáõëÁ ¨
ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
mnmmmxx +∞→∞→
= limlim : (12)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 7: nα ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñ, »Ã»
ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N
µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` εα <n ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
∃>∀ )(0( ε N )N∈ ≥∈∀ nNn( N ) εα <n : (13)
²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í` nα ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñ, »Ã»
0lim =∞→ nnα :
»áñ»Ù 1: àñå»ë½Ç nα ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ,
³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ` 0lim =∞→ nnα : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
0limlim ==∞→∞→ nnnnαα : (14)
»áñ»Ù 2: àñå»ë½Ç Ra∈ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ,
³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ axn − ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç
÷áùñ:
82
»áñ»Ù 2-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ áñå»ë½Ç Ra∈ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃ-
Û³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ Ý»ñϳ۳óíÇ
Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`
,nn ax α+= áñï»Õ` 0lim =∞→ nnα : (15)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 8 : nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ù»Í, »Ã»
ó³Ýϳó³Í 0>A ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N
µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõݻݳ` Axn > ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ *).
∃>∀ )(0( A N )N∈ ≥∈∀ nNn( N ) Axn > : (16)
²Û¹ ¹»åùáõÙ ·ñáõÙ »Ý`
∞=∞→ nn
xlim ϳ٠∞→nx »ñµ ∞→n : (17)
γñ¨áñ »Ý ݳ¨ ³ÛÝ Ù³ëݳíáñ ¹»åù»ñÁ, »ñµ nx ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³-
ϳÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ·áÝ» ÇÝã-áñ N ѳٳñÇó ëÏë³Í, å³Ñå³ÝáõÙ »Ý
¹ñ³Ï³Ý (µ³ó³ë³Ï³Ý) Ýß³Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ·ñáõÙ »Ý`
∞=∞→ nn
xlim ϳ٠∞→nx »ñµ ∞→n : (18)
( −∞=∞→ nn
xlim ϳ٠−∞→nx »ñµ )∞→n :
²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í` ∞=∞→ nn
xlim ( )−∞=∞→ nn
xlim , »Ã» ó³Ýϳó³Í 0>A ÃíÇ
ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
ï»ÕÇ áõÝÇ ( )AxAx nn −<> ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
²Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
»áñ»Ù 3 : ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ nα ¨ nβ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃ-
ÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ` nn βα + ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
»áñ»Ù 4 : ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ nα ¨ nβ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃ-
ÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ` nn βα − ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
л勉Ýù 1: ì»ñç³íáñ Ãíáí ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ·áõÙ³ñÁ, ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
*) ø³ÝÇ áñ N ѳٳñÁ ÁݹѳÝáõñ ³éٳٵ ϳËí³Í ¿ A -Çó , ³å³ »ñµ»ÙÝ ·ñáõÙ »Ý` N=N( A ) :
83
»áñ»Ù 5: ²Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
»áñ»Ù 6 : ²Ù»Ý ÙÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
л勉Ýù 2: ì»ñç³íáñ Ãíáí ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³-
¹ñÛ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
»áñ»Ù 7 : ºÃ» nα ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ
ѳí³ë³ñ »Ý ÙǨÝáõÛÝ c ÃíÇÝ` Nncn ∈∀= ,α , ³å³ 0=c :
»áñ»Ù 8: ºÃ» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, ³å³ áñáß Ñ³-
Ù³ñÇó ëÏë³Í, áñáßí³Í ¿ nx/1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ÛÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
ºÃ» nα ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ
ã»Ý 0 -Ç, ³å³ nα/1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
²å³óáõÛó: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù ûáñ»ÙÇ ³é³çÇÝ Ù³ëÁ: Üϳï»Ýù, áñ nx
³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý-
¹³ÙÝ»ñ, áñáÝù ѳí³ë³ñ »Ý 0 -Ç: Æñáù, Áëï ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ûñÇÝ³Ï 1=A ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N* ѳٳñ,
áñ 1>nx , »ñµ ≥n N*: л勉µ³ñ, »ñµ ≥n N*, ³å³ 0≠nx : àõñ»ÙÝ, ëÏë³Í
N* ѳٳñÇó áñáßí³Í ¿ nx/1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³Û¹
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:
ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: гٳӳÛÝ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý ε/1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N>N* µÝ³Ï³Ý
ÃÇí, áñ ε/1>nx , »ñµ ≥n N, ϳ٠ε<= nn xx /1/1 , »ñµ ≥n N: ì»ñçÇÝë Ý߳ݳ-
ÏáõÙ ¿, áñ nx/1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿*):
»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÝ ³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ, í»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>A
ÃÇí: ø³ÝÇ áñ nα -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ A/1 ÃíÇ
ѳٳñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N ѳٳñ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ An /1<α , »ñµ ≥n N, ϳÙ
Ann >= αα /1/1 , »ñµ ≥n N: ì»ñçÇÝë Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ nα/1 ѳçáñ¹³Ï³-
*) Ðݳñ³íáñ ¿, áñ nx/1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ÉÇÝÇ Ý³¨ áñáß <n N* ѳٳñÝ»ñÇ
ѳٳñ, ³Ûëï»Õ, µáÉáñ ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ½ñá ë³ÑÙ³Ý:
84
ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿: ²ÛëåÇëáí, ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³Ý-
Ý»ñáõÙ`
:1lim0lim
,01limlim
∞=⇔=
=⇔∞=
∞→∞→
∞→∞→
nnnn
nnnn x
x
αα
(19)
úñÇÝ³Ï 4: ú·ïí»Éáí ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ¨ í»ñá-
ÑÇßÛ³É Ã»áñ»ÙÝ»ñÇó` ³å³óáõó»É, áñ`
³) 21
12lim =
−∞→ nn
n: Üᯐ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ »ñµ ≥n N ï»ÕÇ áõݻݳ
001.021
12<−
−nn
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
µ) 0)1(2lim =−+
∞→ n
n
n: Üᯐ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ »ñµ ≥n N ï»ÕÇ
áõݻݳ ( ) 0001.0/)1(2 <−+ nn ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
· ) ( )0,01lim >=∞→
knkn
; ¹) 1,lim >∞=∞→
qqn
n»Ã» ;
») 1,0lim <=∞→
qqn
n»Ã» ; ½) 0
12sin1lim =
∞→
nnn
π:
²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù` 12 −
=nnxn : àõÝ»Ýù`
)12(21
21
1221
−=−
−=−
nnnxn : ì»ñó-
Ý»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ä»ïù ¿ óáõÛó ï³É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ
N N∈ ÃÇí, áñ »ñµ ≥n N ï»ÕÇ áõÝÇ ε<−21
nx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ì»ñçÇÝ
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ Ïáõݻݳ, »Ã» ε<− )12(2
1n
ϳ٠ε41
21+>n :
àñå»ë N ѳٳñ í»ñóÝ»Ýù áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Nε41
21+>
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ ϳ٠ε<− )12(2
1N
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ (ûñÇݳÏ, í»ñó-
85
Ý»Ýù N 141
21
+
+=
ε, áñï»Õ [ ]x -Á x ÃíÇ ³ÙµáÕç Ù³ëÝ ¿): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ
≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` <−
=−)12(2
121
nxn ε<
− )12(21N
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿` 21
12lim =
−∞→ nn
n: سëݳíáñ³µ³ñ, »ñµ
001.0=ε , ³å³ N 251141
21
=+
+=
ε:
µ) I »Õ³Ý³Ï: ò³Ýϳó³Í` Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù` nnn
nn 3)1(2)1(2<
−+=
−+ :
ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ÀÝïñ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ N ѳٳñ, áñ ε<N3
ϳ٠Nε3
> (ûñÇÝ³Ï N= [ ] 1/3 +ε ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ѳٳñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` ε<<<−+
=−−+
N33)1(20)1(2
nnn
nn
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ
Ý߳ݳÏáõÙ ¿` 0)1(2lim =−+
∞→ n
n
n: سëݳíáñ³µ³ñ, »ñµ 0001.0=ε , ³å³ N=
= [ ] 300011/3 =+ε :
II »Õ³Ý³Ï: Üϳï»Ýù, áñ ( ) nn /)1(2 −+ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³-
ݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý` n)1(2 −+ ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý`
n/1 ³ñï³¹ñÛ³É ¿: л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 5-Ç, ³ÛÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` 0)1(2lim =−+
∞→ n
n
n:
·) I »Õ³Ý³Ï: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ø³ÝÇ áñ kk nn101
=− ,
³å³ µ³í³Ï³Ý ¿ ÉáõÍ»É ε<kn1
³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ, áñÁ ѳٳñÅ»ù ¿` knε1
>
³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: л勉µ³ñ, áñå»ë N N∈ ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É` N= 11+
kε
:
86
²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` ε<<=− kkk Nnn1101
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿` 01lim =∞→ kn n
:
II »Õ³Ý³Ï: Üϳï»Ýù, áñ kn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿: Æñáù,
ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ 0>A ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Nn ∈0 , áñ An k >0 (áñå»ë 0n
ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É` [ ] 10 += k An ÃÇíÁ): л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 8-Ç,
kn1
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` 01lim =∞→ kn n
:
¹) q -Ý Ý»ñϳ۳óÝ»Ýù` δ+=1q ï»ëùáí, áñï»Õ 0>δ : ú·ïí»Éáí ´»é-
ÝáõÉÇÇ (§2-Ç (83)) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ÏáõݻݳÝù`
δδδ NNq NN>+≥+= 1)1( : (20)
ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>A ÃÇí ¨ ÁÝïñ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ`
N A>δ : (21)
úñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ ϳñáÕ »Ýù í»ñóÝ»É` N= 11
1 +
−=+
qAA
δ: ø³ÝÇ áñ
1>q , ³å³ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÁ` Nn qq ≥ : (22)
гٻٳï»Éáí (20)-(22) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ ó³Ýϳ-
ó³Í 0>A ÃÇíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` N= 11
+
−qA
ѳٳñ, áñ µáÉáñ ≥n N
µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ Aqq nn >= ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹
Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ nq -Á, ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` ∞=∞→
n
nqlim :
») ºÃ» 0=q , ³å³ ³ÏÝѳÛï ¿, áñ 0lim =∞→
n
nq :
ºÝó¹ñ»Ýù` 10 << q : Ü߳ݳϻÝù` bq /1= : гëϳݳÉÇ ¿, áñ 1>b :
ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ø³ÝÇ áñ nb ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³Ýí»ñç
Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ε/1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N
ѳٳñ, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ ε/1>nb ϳÙ
87
ε<nb/1 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ, µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³-
Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
ε<=
== n
nnn
bbqq 11
:
²Û¹ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ nq -Á ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿`
0lim =∞→
n
nq :
½) I »Õ³Ý³Ï: ò³Ýϳó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù` n
nn
nn
112
sin112
sin1≤=
ππ:
ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ÀÝïñ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ N ѳٳñ, áñ ε<N1
ϳ٠Nε1
> (ûñÇÝ³Ï N= [ ] 1/1 +ε ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ѳٳñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` επ
<≤≤N11
12sin1
nn
n ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ
¿` 012
sin1lim =∞→
nnn
π:
II »Õ³Ý³Ï: Üϳï»Ýù, áñ
12sin1 n
nπ
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñ-
ϳ۳óÝáõÙ ¿ ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý`
12sin
nπ ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñ
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý` n/1 ³ñï³¹ñÛ³É: л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 5-Ç,
³ÛÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` 012
sin1lim =∞→
nnn
π :
úñÇÝ³Ï 5: ²å³óáõó»É, áñ a ÃÇíÁ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ã¿.
³) 3,cos2cos2
=+−
= ann
xn ππ
; µ) 0,922
2
2
=−−
= ann
xn :
²å³óáõÛó: ³) лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ Nkx k ∈∀= ,31
2 ¨ Nkx k ∈∀=− ,312 :
ºÃ» í»ñóÝ»Ýù 1=ε , ³å³ Nkx k ∈∀>=−=− ,1383
3132 : л勉µ³ñ, ·áÛáõ-
ÃÛáõÝ áõÝÇ )1(0 => εε ÃÇí, áñ ∀ N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥0n N
88
µÝ³Ï³Ý ÃÇí >= kn 2( 0 N), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ` ε>−30nx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
àõñ»ÙÝ, 3-Á nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ã¿:
µ) ¶Ý³Ñ³ï»Ýù 0−nx ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÁ Ý»ñù¨Çó`
21
)92(25
210
9220 22
2
>−
+=−−−
=−nn
nxn , »ñµ 3≥n :
л勉µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>ε , ûñÇÝ³Ï 2/1=ε , áñ ó³Ýϳó³Í 3≥n
µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` 210 >−nx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: àõñ»ÙÝ, 0-Ý
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ã¿:
úñÇÝ³Ï 6: ²å³óáõó»É, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, »Ã»`
³) ( )1
1+
+−=n
nx nn ; µ)
32cos
1n
nnxn
π+
= :
²å³óáõÛó: ³) ²å³óáõó»Ýù, áñ ó³Ýϳó³Í Ra∈ ÃÇí nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ã¿: лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ ½áõÛ· ѳٳñ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ
Ù»Í »Ý 23
-Çó` Nkk
x k ∈∀>+
−= ,23
12122 , ÇëÏ Ï»Ýï ѳٳñ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³Ù-
Ý»ñÁ ÷áùñ »Ý 0 -Çó` Nkk
x k ∈∀<−=− ,021
12 : л勉µ³ñ, »ñÏáõ ³ÝÙÇç³Ï³Ý
ѳñ¨³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ¿ 2/3 -ÇÝ`
Nnxx nn ∈∀>− + ,2/31 :
¸Çóáõù` a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ì»ñóÝ»Ýù a Ï»ïÇ 4/1=ε -ßñç³-
ϳÛùÁ` ( )4/1;4/1 +− aa : ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ ³ÝÙÇç³Ï³Ý ѳñ¨³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ`
nx -Á ¨ 1+nx -Á ÙdzëÇÝ ã»Ý ϳñáÕ ·ïÝí»É a Ï»ïÇ Ýßí³Í ßñç³Ï³ÛùáõÙ, ù³ÝÇ áñ
Ýñ³Ýó ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ¿ 2/1 -ÇÝ` ßñç³Ï³ÛùÇ »ñϳ-
ñáõÃÛ³ÝÁ: л勉µ³ñ, Ýñ³ÝóÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùÇó
¹áõñë: ²ÛëåÇëáí, ó³Ýϳó³Í a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>ε ÃÇí, ûñÇݳÏ
4/1=ε , áñ ó³Ýϳó³Í N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥0n N µÝ³Ï³Ý ÃÇí
(N ϳ٠N+1 Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ` ε=>− 4/10
axn ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
89
µ) лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ` Nkk
kx k ∈∀+
= ,13
33
¨ Nkk
kx k ∈∀−
−=− ,3
1321
13:
Üϳï»Ýù, áñ 1 Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í ε -ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ kx3 ï»ëùÇ
³Ýí»ñç Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ, ÇëÏ 2/1− Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í ε -ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳ-
ÏáõÙ ¿ 13 −kx ï»ëùÇ ³Ýí»ñç Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó`
Nkkk
kxx kk ∈∀>++
−=− + ,21
)13(619
23
133:
¸Çóáõù` a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ì»ñóÝ»Ýù a Ï»ïÇ 8/1=ε -ßñç³-
ϳÛùÁ` ( )8/1;8/1 +− aa : ò³Ýϳó³Í »ñÏáõ` kx3 ¨ 13 −kx ï»ëùÇ Ñ³ñ¨³Ý ³Ý¹³Ù-
Ý»ñ ÙdzëÇÝ ã»Ý ϳñáÕ ·ïÝí»É a Ï»ïÇ Ýßí³Í ßñç³Ï³ÛùáõÙ, ù³ÝÇ áñ Ýñ³Ýó
ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ¿ 4/1 -ÇÝ` ßñç³Ï³ÛùÇ »ñϳ-ñáõÃÛ³ÝÁ: л勉µ³ñ, Ýñ³ÝóÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë: ²ÛëåÇëáí, ó³Ýϳó³Í Ra∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>ε ÃÇí,
ûñÇÝ³Ï 8/1=ε , áñ ó³Ýϳó³Í N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥0n N µÝ³-
Ï³Ý ÃÇí ( ≥−13k N ϳ٠≥k3 N Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ` ε=>− 8/10
axn
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ ï³ñ³-
Ù»ï ¿:
úñÇÝ³Ï 7: òáõÛó ï³É, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿ , »Ã»`
³) 3213 2
−+
=n
nxn; µ) ( ) nx n
n 1−= :
ÈáõÍáõÙ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 10>A ÃÇí ¨ ÉáõÍ»Ýù ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ`
Axn > , (23)
»Ýó¹ñ»Éáí, áñ 1>n : (23) ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³-
ë³ñÙ³ÝÁ` 01323 2 >++− AnAn : ì»ñçÇÝ ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý
+∞
−−+ ;3
392 AAA (24)
ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: л勉µ³ñ, áñå»ë N ѳٳñ ϳñ»ÉÇ ¿
í»ñóÝ»É` 13/392 +
−−+=Ν AAA µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ: ²ÛÅÙ, »Ã» í»ñóÝ»Ýù
≥n N, ³å³ ³ÛÝ Ïµ³í³ñ³ñÇ (23) ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí, ó³Ýϳó³Í 10>A ÃÇíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` N∈Ν ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (23) ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: ²Û¹ Ýß³-
ݳÏáõÙ ¿, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, Áݹ áñáõÙ` ∞=∞→ nn
xlim :
90
µ) ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>A ÃÇí ¨ ÉáõÍ»Ýù ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ`
Annx nn >=−= )1( :
àñå»ë N ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí` Ù»Í A -Çó, ûñÇݳÏ` N= = [ ] 1+A : ²ÛëåÇëáí, ó³Ýϳó³Í 0>A ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý
ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ Axn > ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÁ: àõñ»ÙÝ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿` ∞=∞→
nn
xlim :
4. ¼áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
»áñ»Ù 9 : ¼áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï ë³ÑÙ³Ý:
»áñ»Ù 10 : ¼áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ axnn=
∞→lim :
ì»ñóÝ»Ýù áñáß³ÏÇ 0>ε ÃÇí: гٳӳÛÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ë³Ñ-Ù³ÝÙ³Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ »ñµ ≥n N ï»ÕÇ áõÝÇ
εε +<<− axa n (25)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: (25) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ Ï³ñáÕ »Ý ãµ³í³ñ³ñ»É
ÙdzÛÝ 121 ...,,, −Nxxx Ãí»ñÁ: Ü߳ݳϻÝù` εε +−= − aaxxxA N ,,,...,,max 121 :
²Û¹ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
NnAxn ∈∀≤ , : (26)
л勉µ³ñ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ∆
»áñ»Ù 11: ºÃ» nx ¨ ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨
axnn=
∞→lim áõ bynn
=∞→
lim , ³å³ nnnnnn yxyxyx ,, −+ ¨ nn yx / ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï »Ý (í»ñçÇÝë ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
Nnyn ∈∀≠ ,0 ¨ 0≠b ), Áݹ áñáõÙ`
( ) ;limlimlim.1 bayxyx nnnnnnn+=+=+
∞→∞→∞→ (27)
( ) ;limlimlim.2 bayxyx nnnnnnn−=−=−
∞→∞→∞→ (28)
91
( ) ;limlimlim.3 abyxyx nnnnnnn=⋅=
∞→∞→∞→ (29)
:lim
limlim.4
ba
y
x
yx
nn
nn
n
n
n==
∞→
∞→
∞→ (30)
л勉Ýù 3: ºÃ» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í
R∈α ÃíÇ Ñ³Ù³ñ`
( ) :limlim nnnnxx
∞→∞→=αα (31)
»áñ»Ù 12 : ¸Çóáõù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, Áݹ áñáõÙ`
cxnn=
∞→lim : ºÃ» ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³ñÇó` )( bxbx nn ≤≥ , ³å³ )( bcbc ≤≥ :
л勉Ýù 4: ºÃ» nx ¨ ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨
ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³ñÇó ï»ÕÇ áõÝÇ` nn yx ≤ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³
nnnnyx
∞→∞→≤ limlim : (32)
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ºÃ» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ëÏë³Í áñáß
ѳٳñÇó ï»ÕÇ áõÝÇ` )( bxbx nn <> ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ϳñ»ÉÇ ¿
ÙdzÛÝ åݹ»É, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ )( bcbc ≤≥ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
úñÇݳÏ, »Ã» nxn /1= , ³å³ Nnxn ∈∀> ,0 : ´³Ûó cnxnnn
===∞→∞→
0/1limlim ,
áñÁ ãÇ µ³í³ñ³ñáõÙ` 0>c ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ:
л勉Ýù 5: ¸Çóáõù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, Áݹ áñáõÙ`
cxnn=
∞→lim : ºÃ» ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³ñÇó` bxa n ≤≤ , ³å³ bca ≤≤ :
»áñ»Ù 13: (ºñÏÏáÕÙÛ³Ý ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÁ): ºÃ» nx ,
ny , nz ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ nx , ny ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, Áݹ áñáõÙ` cyx nnnn==
∞→∞→limlim ¨ ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³-
ñÇó ï»ÕÇ áõÝ»Ý`
nnn yzx ≤≤ , (33)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³å³ nz ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï
¿ ¨ cznn=
∞→lim :
úñÇÝ³Ï 8: ¶ïÝ»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã»`
92
³) nnn
nnxn +−+−
= 34
24
10158
; µ) 1613
121 22
++
−++
=nn
nnxn ;
·) 22
...21 nn
nxn −+
+++= ; ¹)
( )( ) 11
1
615561
++
+
−−−−
=nnn
nnn
nx :
ÈáõÍáõÙ: ³) àñå»ë½Ç ϳñáճݳÝù ÏÇñ³é»É ûáñ»Ù 11-Á, Ó¨³÷áË»Ýù nx
³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ, µ³Å³Ý»Éáí ѳٳñÇãÁ ¨ ѳÛï³ñ³ñÁ 4n -Ç íñ³ ( n -Ç ³Ù»Ý³µ³ñÓñ óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÇ íñ³)
3
42
34
24
1101
158
10158
nn
nnnnn
nnxn
+−
+−=
+−+−
= :
гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ
01lim10lim1lim5lim 342 ====∞→∞→∞→∞→ nnnn nnnn
¨ 11lim,88lim ==∞→∞→ nn
¨ ÏÇñ³é»Éáí ûáñ»Ù 11-Á, Ïëï³Ý³Ýù`
81lim10lim1lim
1lim5lim8lim
1101lim
158lim
1101
158limlim
3
42
3
42
3
42=
+−
+−=
+−
+−
=+−
+−=
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
∞→
∞→
∞→∞→
nn
nn
nn
nn
nn
nnx
nnn
nnn
n
n
nnn
µ) Üϳï»Ýù, áñ`
1812122
1613
121
2
222
++++
−=++
−++
=nnnn
nn
nnxn :
л勉µ³ñ`
61
1812
122lim
1812122limlim
2
2
2
2
−=++
++−=
++++
−=∞→∞→∞→
nn
nnnnnnx
nnnn:
·) ú·ïí»Éáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ µ³Ý³Ó¨Çó, Ïëï³Ý³Ýù`
)2(2222
)1(
22...21
+−=−
+
+
=−+
+++=
nnn
n
nnn
nnxn :
л勉µ³ñ `
93
21
21
1lim21
)2(2limlim −=
+−=
+−=
∞→∞→∞→
nn
nxnnnn
:
¹) Ò¨³÷áË»Ýù nx ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ`
( )( )
( )( )
665
6551
6556
615561
1
1
11
1
+
−
−−
=−−−−
=−−
−−=
+
+
++
+
n
n
nn
nn
nnn
nnn
nx :
ø³ÝÇ áñ 065lim =
−
∞→
n
n ( ï»ë ûñÇÝ³Ï 4, »)), ³å³ ÏÇñ³é»Éáí ûáñ»Ù 11-Á,
Ïëï³Ý³Ýù`
61
665
6551
limlim =
+
−
−−
=∞→∞→ n
n
nnnx :
úñÇÝ³Ï 9: ¶ïÝ»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã»`
³) )0( >= aax nn ; µ) n
n nx = ;
·) )1( >= aanx nn ; ¹) )1(log
>= an
nx an :
») nnnn
xn+
+++
++
=222
1...2
1
1
1; ½)
1!sin++
=nnnnnxn :
ÈáõÍáõÙ: ³) ¸Çóáõù 1>a : Ü߳ݳϻÝù` nn a α=−1 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ 0>nα ¨ ѳ-
Ù³Ó³ÛÝ ´»éÝáõÉÇÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý, ÏáõݻݳÝù` >+≥+= nn
n na αα 1)1( nnα :
àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù` Nnna
n ∈∀<< ,0 α : ø³ÝÇ áñ 0lim =∞→ n
an
, ³å³ ѳٳ-
Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 13-Ç , ÏáõݻݳÝù` 0lim =∞→ nnα : ²ÛëåÇëáí, áõÝ»Ýù`
1lim1)1(limlim =+=+=∞→∞→∞→ nnnn
n
na αα ϳ٠1lim =
∞→
n
na :
¸Çóáõù` 10 << a : ²Û¹ ¹»åùáõÙ 11>=
ab , ѻ勉µ³ñ, í»ñ¨áõÙ ³å³-
94
óáõó³ÍÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` 1lim =∞→
n
nb : л勉µ³ñ`
1lim
11lim1limlim ====∞→
∞→∞→∞→ n
n
nnn
n
n
n bbba :
ºÃ» 1=a , ³å³ Nnan ∈∀= ,1 , ѻ勉µ³ñ` 1lim =∞→
n
na :
µ) Ü߳ݳϻÝù` nn n α=−1 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` 0≥nα ¨ ++=+= n
nn nn αα 1)1(
22
2)1(...
2)1(
nnnn
nnnnααα
−≥++
−+ , »ñµ 2≥n : ø³ÝÇ áñ
21 nn ≥− , »ñµ 2≥n ,
³å³ ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É` 22
4 nnn α> : àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`
nn20 <<α , »ñµ 2≥n :
ÎÇñ³é»Éáí ûáñ»Ù 13-Á ѳÙá½íáõÙ »Ýù, áñ 0lim =∞→ nnα : ²ÛëåÇëáí, áõÝ»Ýù`
1lim1)1(limlim =+=+=∞→∞→∞→ nnnn
n
nn αα ϳ٠1lim =
∞→
n
nn :
·) ø³ÝÇ áñ 1>a , ³å³ ï»ÕÇ áõÝ»Ý` 22
2 )1(4
)1(2
)1()11( −≥−−
≥−+= anannaa nn
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, »ñµ 2≥n : àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ` 2)1(40−
≤≤ana
nn :
ø³ÝÇ áñ 0)1(
4lim 2 =−∞→ ann
, ³å³ ÏÇñ³é»Éáí ûáñ»Ù 13-Á, Ïëï³Ý³Ýù`
0lim =∞→ nn a
n:
¹) ¸Çóáõù ε -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ´Ý³Ï³Ý n Ãí»ñÇ
ѳٳñ ε<n
nalog ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿` ( )nan ε< ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ 1>εa , ³å³ Áëï ݳËáñ¹ ËݹñÇ` ( ) 0lim =∞→ nn a
nε
: л勉µ³ñ,
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ó³Ýϳó³Í ≥n N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ
ѳٳñ` ( ) 1<nanε
ϳ٠nan ε< : ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í ≥n N
µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ε<≤n
nalog0 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ì»ñçÇÝë
95
Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ` 0log
lim =∞→ n
na
n:
») лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ` Nnn
nxnn
nn ∈∀
+≤≤
+,
122: ø³ÝÇ áñ`
111
1limlim2
=
+
=+ ∞→∞→
nnn
nnn
¨ 111
1lim1
lim
2
2=
+
=+ ∞→∞→
nn
nnn
,
³å³ ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 13-Ç` 1lim =∞→ nn
x :
½) лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ` Nnnnn
nxnnn
nn ∈∀
++≤≤
++− ,
11: ø³ÝÇ
áñ` 01
lim1
lim =++
=++
−∞→∞→ nnn
nnnn
nnn
, ³å³ ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 13-Ç`
0lim =∞→ nn
x :
5. ØáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ: e ÃÇíÁ
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 9 : nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³×áÕ, »Ã» µáÉáñ n
µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ` 1+< nn xx .
1)( +<∈∀ nn xxNn : (34)
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ãÝí³½áÕ, »Ã» µáÉáñ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ѳٳñ` 1+≤ nn xx .
1)( +≤∈∀ nn xxNn : (35)
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ýí³½áÕ, »Ã» µáÉáñ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ѳٳñ` 1+> nn xx .
1)( +>∈∀ nn xxNn : (36)
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ã³×áÕ, »Ã» µáÉáñ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ѳٳñ` 1+≥ nn xx .
1)( +≥∈∀ nn xxNn : (37)
´áÉáñ ³Ûë ãáñë ïÇåÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙdzíáñáõÙ »Ý Ù»Ï Áݹѳ-
Ýáõñ ³Ýí³Ý ï³Ï` ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ:
96
»áñ»Ù 14 (ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ): àñå»ë½Ç ÙáÝáïáÝ nx ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ë³ÑÙ³-
ݳ÷³Ï:
²å³óáõÛó: ²å³óáõÛóÁ ϳï³ñ»Ýù ÙdzÛÝ ãÝí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³-
Ù³ñ: ø³ÝÇ áñ ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý (ï»ë
ûáñ»Ù 10-Á), ³å³ µ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É ûáñ»ÙÇ µ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ:
Àëï ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿
(ãÝí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇßï Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý, ûñÇݳÏ
1x ³Ý¹³Ùáí), ѻ勉µ³ñ ³ÛÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ` nxa sup= : Àëï ×Áß-
·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÁ µÝáõó·ñáÕ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ` ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Nx ³Ý¹³Ù ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ axa ≤<− Nε : ø³ÝÇ áñ nx ѳ-
çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í ≥n N ѳٳñÇ ¹»åùáõÙ áõ-
Ý»Ýù` axxa n ≤≤<− Nε , ³ÛëÇÝùÝ` ε<−=− nn xaax , »ñµ ≥n N: àõñ»ÙÝ`
nNn
nnxax
∈∞→== suplim : (38)
гëϳݳÉÇ ¿, áñ ã³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏáõݻݳÝù`
nNnnnxx
∈∞→= inflim : ∆ (39)
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 4: »áñ»Ù 14-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »Ã» nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ Ï³Ù ³×áÕ ¿ ¨ ½áõ·³Ù»ï, Áݹ áñáõÙ` axnn=
∞→lim , ³å³
Nnaxn ∈∀≤ , , ÇëÏ »Ã» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ã³×áÕ Ï³Ù Ýí³½áÕ ¿ ¨
½áõ·³Ù»ï, Áݹ áñáõÙ` axnn=
∞→lim , ³å³ Nnaxn ∈∀≥ , :
»áñ»Ù 15 : ¸Çóáõù ïñí³Í nx ãÝí³½áÕ ¨ ny ã³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃ-
ÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ `
Nnyx nn ∈∀< , : (40)
ºÃ» 0)(lim =−∞→ nnn
xy , ³å³ nx ¨ ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý
Ù»Ï ÁݹѳÝáõñ ë³ÑÙ³Ý` cxy nnnn==
∞→∞→limlim :
²å³óáõÛó: Üϳï»Ýù, áñ ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ
Nnyyxx nn ∈∀≤<≤ ,11 : (41)
л勉µ³ñ, nx ¨ ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ݳ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý:
97
гٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 14-Ç ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: ¸Çóáõù
cxnn=
∞→lim , cynn
′=∞→
lim : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 11-Ç, áõÝ»Ýù`
),(lim nnnyxcc −=′−
∞→ (42)
áñÁ ûáñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ 0-Ç: àõñ»ÙÝ` :cc =′ ∆ ²å³óáõó³Í ûáñ»ÙÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É áõñÇß Ó¨³Ï»ñåáõÙ, áñÝ ³í»ÉÇ Ñ³×³Ë
¿ ÏÇñ³éíáõÙ: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ѳïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`
[ ] [ ] [ ] ...,;...,,;,; 2211 nn bababa (43)
γë»Ýù, áñ (43) ѳïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ý»ñ¹ñí³Í ¿, »Ã»
ó³Ýϳó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ` [ ] [ ]nnnn baba ;; 11 ⊂++ : ì»ñçÇÝë Ý߳ݳÏáõÙ ¿,
áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
Nnbbaa nnnn ∈∀≤<≤ ++ ,11 : (44)
»áñ»Ù 16 (Ü»ñ¹ñí³Í ѳïí³ÍÝ»ñÇ ëϽµáõÝùÁ): ¸Çóáõù [ ] nn ba ; -Á
Ý»ñ¹ñí³Í ѳïí³ÍÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áñ ³Û¹ ѳïí³ÍÝ»ñÇ
»ñϳñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝÁ, »ñµ ∞→n ѳí³ë³ñ ¿ 0 -Ç` 0)(lim =−∞→ nnn
ab :
²Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï c ÃÇí, áñÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ µáÉáñ ³Û¹
ѳïí³ÍÝ»ñÇÝ` [ ]∞
=∈
1;
n nn bac , Áݹ áñáõÙ` nnnnbac
∞→∞→== limlim :
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 5: Ü»ñ¹ñí³Í ѳïí³ÍÝ»ñÇ ëϽµáõÝùÝ, Ñ³×³Ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý
ݳ¨ §Ü»ñ¹ñí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ É»ÙÙ³¦: ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½-
ÙáõÃÛ³Ý ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³ÝÁ:
e ÃÇíÁ: ¸Çï³ñÏ»Ýù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ`
n
n nx
+=
11 : (45)
ÎÇñ³é»Éáí ÜÛáõïáÝÇ »ñϳݹ³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`
:!
111...2111...
!111...2111...
!2111111
!)1(...)1(
...1!
)1(...)1(...1!2
)1(1111 2
nnn
nn
knk
nnnnnnnnn
nkknnn
nnn
nn
nx
n
k
n
n
−−⋅⋅
−
−++
+
−−⋅⋅
−
−++
−++=
+−⋅⋅−+
+++−⋅⋅−
++−
+⋅+=
+=
(46)
ÜÙ³Ý Ó¨áí Ïëï³Ý³Ýù`
98
( ) :!1
11
1...1
211
11!
1111...
121
111
...!
1111...
121
111...
!21
111111
+
+−⋅⋅
+−
+−+
+−
−⋅⋅
+−
+−+
++
+−
−⋅⋅
+−
+−++
+−++=+
nnn
nnnnn
nn
knk
nnnxn
ø³ÝÇ áñ nx -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·áõÙ³ñ»ÉÇ ÷áùñ ¿ 1+nx -Ç Ñ³Ù³å³ï³ë˳Ý
·áõÙ³ñ»ÉÇÇó ¨ 1+nx -Ý áõÝÇ Ù»Ï ¹ñ³Ï³Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇ ³í»ÉÇ ù³Ý nx -Á (í»ñçÇÝ ·áõ-
Ù³ñ»ÉÇÝ), ³å³ Nnxx nn ∈∀< + ,1 : ²ÛëÇÝùÝ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿:
ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ÝϳïÇ áõݻݳÉáí, áñ Nkk k ∈∀≤
−,
21
!1
1 ¨ 11 <−nk
),...,3,2( nk = ,
Ïëï³Ý³Ýù`
3122
1...21
212
!1...
!31
!212 12 =+<++++<=++++<
−nnn yn
x : (47)
²ÛëåÇëáí, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿ ¨ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï: г-
Ù³Ó³ÛÝ ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ ³ÛÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: л層Éáí È. ¾ÛÉ»ñÇÝ` ³Û¹
ë³ÑÙ³ÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý e -áí: ²ÛëåÇëáí`
n
n ne
+=
∞→
11lim : (48)
e -ÃíÇ Ùáï³íáñ ѳßíáõÙÁ ¨ ¹ñ³ Çé³óÇáݳÉÇáõÃÛáõÝÁ: (46) µ³Ý³Ó¨Ç Ù»ç
먻é»Ýù k -Ý ¨, ѳٳñ»Éáí kn > , ¹»Ý Ý»ï»Ýù 1+k -ñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÇÝ Ñ³çáñ¹áÕ
µáÉáñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ`
!111...2111...
!21112
knk
nnnxn
−−⋅⋅
−
−++
−+> : (49)
(49) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ ∞→n : гٳӳÛÝ
ѻ勉Ýù 4-Ç, ÏáõݻݳÝù`
kyk
e =++++≥!
1...!3
1!2
12 : (50)
(50) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ó³Ýϳó³Í Nk ∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ѻ勉-
µ³ñ, ѳßíÇ ³éÝ»Éáí ݳ¨ (47) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ` Ïëï³Ý³Ýù`
eyx nn ≤< : (51)
ÎÇñ³é»Éáí ûáñ»Ù 13-Á` Ïëï³Ý³Ýù`
exy nnnn==
∞→∞→limlim (52)
99
²ÛëåÇëáí, ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
++++=
∞→ !1...
!31
!212lim
ne
n: (53)
²ÛÅÙ ·Ý³Ñ³ï»Ýù nye − ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí Ý³Ë ¹Çï³ñ-
Ï»Ýù ny -ÇÝ Ñ³çáñ¹áÕ áñ¨¿ mny + -Ç ¨ ny -Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ`
,mnn yy +< Nnm ∈∀ , , ³å³ ÏáõݻݳÝù`
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
+
+++
++
+=
+++
++
+=−< + 32
12
11!1
1!
1...!2
1!1
10nnnnmnnn
yy nmn
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )<
+++
++
++
+<
+⋅⋅++
++ −12 21...
21
211
!11
...321... mnnnnmnnn
( ) ( ):
!1
12
!1
211
1!1
12 nnn
nn
nn
<++
⋅=
+−
⋅+
<
л勉µ³ñ, Nmn ∈∀ , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõݻݳÝù`
( )Nmn
nnnn
nyy nmn ∈∀<
++
⋅<−< + ,,!1
12
!10 2
: (54)
(54) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç n -Á 먻é»Ýù ¨ ³ÝóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ
∞→m : гßíÇ ³éÝ»Éáí ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2-Á ¨ nmn yy −+ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
³×áÕ ÉÇÝ»ÉÁ, Ïëï³Ý³Ýù`
Nnnn
ye n ∈∀<−< ,!10 : (55)
êï³óí³Í (55) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí ϳñ»ÉÇ ¿
·ñ»É`
nnnye n !
)(Θ=− , áñï»Õ Nnn ∈∀<Θ< ,1)(0 : (56)
î»Õ³¹ñ»Éáí ny -Ç ³ñÅ»ùÁ, Ïëï³Ý³Ýù`
Nnnnn
ne ∈∀+++++= ,
!)(
!1...
!31
!212 Θ
: (57)
(57) µ³Ý³Ó¨Á »É³Ï»ï ¿ ͳé³ÛáõÙ e -ÃíÇ Ùáï³íáñ ѳßíÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:
¸Çóáõù å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ n µÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ e -Ý ny -áí ÷á˳-
ñÇÝ»Éáõó ÃáõÛÉ ïñí³Í ë˳ÉÁ ã·»ñ³½³ÝóÇ 0>ε ÃÇíÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ n µÝ³Ï³Ý
100
ÃÇíÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ε<nn!
1 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó:
гßí³ñÏÝ»ñÁ óáõÛó »Ý ï³ÉÇë, áñ ...597182818284.2=e : Üß»Ýù ݳ¨, áñ (57)
Ý»ñϳ۳óáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ e -Ý Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: Æñáù, »Ã» »Ýó¹ñ»Ýù, áñ
Nmnnme ∈= ,, , ³å³ (57) µ³Ý³Ó¨Á ·ñ»Éáí ³Û¹ n -Ç Ñ³Ù³ñ, ÏáõݻݳÝù`
nnn
nnm
!)(
!1...
!31
!212 Θ
+++++= (58)
(58) ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Éáí !n -áí, Ïëï³Ý³Ýù`
ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëáõÙ ³ÙµáÕç ÃÇí, ÇëÏ ³ç Ù³ëáõÙ` ³ÙµáÕç ÃÇí ·áõÙ³-
ñ³Í nn)(Θ
Ïáïáñ³ÏÁ, áñÝ ³ÝÑݳñ ¿: êï³óí³Í ѳϳëáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóáõÙ
¿, áñ e -Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ã¿:
Ð³×³Ë nx ¨ ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ýáñ¹ ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛ³Ý` nn yx / ë³ÑÙ³ÝÁ áñáß»ÉÇë û·ï³Ï³ñ ¿ ÉÇÝáõÙ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ:
»áñ»Ù 17 (ÞïáÉóÇ Ã»áñ»ÙÁ): ¸Çóáõù ny -Á ³×áÕ ¨ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` ∞=∞→ nn
ylim : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
,limlim1
1
−
−
∞→∞→ −−
=nn
nn
nn
n
n yyxx
yx
(59)
»Ã» ÙdzÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ç ÏáÕÙÇ ë³ÑÙ³ÝÁ (³ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É Ý³¨ ∞− ϳ٠∞ ):
úñÇÝ³Ï 10: ³) ¸Çóáõù na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ a ë³ÑÙ³Ý`
aann
=∞→
lim ( a -Ý Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É Ý³¨ ∞− ϳ٠∞ ): ²å³óáõó»É, áñ
aan
aaann
n
n==
+++∞→∞→
lim...lim 21 : (60)
µ) ºÃ» na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý ¨ aann=
∞→lim , ³å³
aaaaa nnn
nn==⋅⋅
∞→∞→lim...lim 21 (61)
·) ºÃ» np ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
Lp
p
n
nn
=+∞→
1lim
101
ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ nnn
p∞→
lim ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ï»ÕÇ áõÝÇ`
Lp
pp
n
n
nn
nn== +
∞→∞→
1limlim (62)
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
ÈáõÍáõÙ: ³) ÞïáÉóÇ Ã»áñ»ÙÇ Ù»ç ÁݹáõÝ»Éáí nn aaax +++= ...21 , nyn = ,
Ïëï³Ý³Ýù`
aayyxx
yx
naaa
nnnn
nn
nn
n
n
n
n==
−−
==+++
∞→−
−
∞→∞→∞→limlimlim...lim
1
121 :
µ) Üϳï»Ýù, áñ aann=
∞→lim ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿` =
∞→ nnalnlim
nna
∞→= limln aln= ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ( xln ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý áõÅáí
[27]): л勉µ³ñ`
aan
aaaaaa nn
n
nn
nnlnlnlimln...lnlnlim...lnlim 21
21 ==+++
=⋅⋅∞→∞→∞→
:
(ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ ݳ¨, »ñµ 0=a , ³Û¹ ¹»åùáõÙ`
−∞=aln ): òáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý áõÅáí [27], Ïëï³Ý³Ýù`
aeeaaa aaaa
nn
nn
nn ===⋅⋅ ⋅⋅
∞→∞→
ln...ln21
21lim...lim :
(²Û¹ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ×Çßï »Ý Ý³¨, »ñµ 0=a ):
·) Ü߳ݳϻÝù` ,...,...,,,12
33
1
2211
−
====n
nn p
pa
pp
app
apa : гٳӳÛÝ (61)
µ³Ý³Ó¨Ç ¨ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2-Ç, Ïëï³Ý³Ýù`
Lp
ppp
pp
pp
pp
ppn
n
nn
n
nn
n
n
nn
nn===⋅⋅⋅⋅= +
∞→−
∞→−
∞→∞→
1
112
3
1
21 limlim...limlim :
úñÇÝ³Ï 11:¶ïÝ»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã»
³) )(!
Ranax
n
n ∈= ; µ) 12 4...
43
421
−++++= nn
nx ;
·) Nnxxx nn ∈+== + ,12,13 11 ; ¹) nn nnx !
= :
ÈáõÍáõÙ: ³) ò³Ýϳó³Í Ra∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N
µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` 1+< na
102
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ`
,,11 Nn
naxx nn ∈+
⋅=+ , (63)
³å³ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` nn xx <+1 ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëÇÝùÝ` ëÏë³Í N ѳٳñÇó nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿:
ø³ÝÇ áñ nx -Á ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ûñÇÝ³Ï 0-áí, ³å³
ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 14-Ç nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
¸Çóáõù` cxnn=
∞→lim : Üϳï»Ýù, áñ (63)-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿`
,,11 Nn
na
xx nn ∈+
⋅=+ (64)
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ
∞→n ¨ ѳßíÇ ³éÝ»Éáí ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2-Á, Ïëï³Ý³Ýù`
01
lim =+
⋅=∞→ n
acc
n:
²ÛëåÇëáí` nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: л勉µ³ñ, ѳٳ-
Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 1-Ç, áõÝ»Ýù`
Rana
na
n
n
n
n∈∀==
∞→∞→,0
!lim
!lim :
µ) ø³ÝÇ áñ` nnnn xnxx >+
+=+ 41
1 , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿:
²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó: Æñáù, »Ã» 3≥n , ³å³
)2)(1(293
!3)2)(1()31(4 3 −−=
−−>+= nnnnnnnn :
л勉µ³ñ`
3,)2)(1(
198
40 1 ≥∀
−−<<
−n
nnnn
: (65)
гßíÇ ³éÝ»Éáí (65)-Á, ÏáõݻݳÝù`
103
:,25
11
212
11
21
...31
21
211
211
)2)(1(1...
231
121
421
Nnnnn
nnxn
∈∀<−
−+=−
−−
+
++−+−++=−−
++⋅
+⋅
++≤
л勉µ³ñ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ݳ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó:
гٳӳÛÝ ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²ÛÅÙ ·ïÝ»Ýù ¹ñ³ ë³Ñ-Ù³ÝÁ, »ñµ ∞→n : лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ
=−−
−−−−−++++=−−− nnnnn
nnnxx44
1...43
42
41
4...
43
421
41
13212
nnn
n
nn
nnn44
1134
4411
411
441...
41
411 12 −
−=−
−
−=−++++=
−:
àñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù`
nnnnx
434
411
916
⋅−
−= : (66)
Üϳï»Ýù, áñ (65) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó (ï»ë ݳ¨ ûñÇÝ³Ï 9, ·)) Ñ»ï¨áõÙ ¿
04
lim =∞→ nn
n ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ѻ勉µ³ñ, (66) ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ëáõÙ
³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ ∞→n , Ïëï³Ý³Ýù` 9
16lim =∞→ nn
x :
·) Ü³Ë Ýϳï»Ýù, áñ Nnxn ∈∀> ,0 : ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ nx ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿: ²å³óáõÛóÁ ϳï³ñ»Ýù ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏ-
ódzÛÇ Ù»Ãá¹áí: ø³ÝÇ áñ 513122 =+=x , ѻ勉µ³ñ 12 xx < : ²ÛÅÙ »Ýó¹-
ñ»Ýù` 1−< nn xx : ²å³óáõó»Ýù, áñ nn xx <+1 : Æñáù, Ýßí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨Çó
Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ nnnnnn xxxxxx <⇔+<+⇒< +−− 111 1212 : л勉µ³ñ, nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï: ì³Û»ñßïñ³ëÇ
ûáñ»ÙÇ h³Ù³Ó³ÛÝ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: ¸Çóáõù =∞→
nnxlim
0≥= c : ²Û¹ ¹»åùáõÙ nn xx +=+ 121 ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ,
»ñµ ∞→n , Ïëï³Ý³Ýù` cc += 12 : àñï»ÕÇó 4=c , ³ÛëÇÝùÝ 4lim =∞→ nn
x :
¹) Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿: Æñáù`
104
n
n
n
n
nnn xn
nn
nnn
nnx ⋅
+=
+⋅=
++
= ++ 1)1(!
)1()!1(
11 ϳ٠n
n
n xn
nx ⋅
+=+ 11 (67)
ø³ÝÇ áñ` Nnnn nn ∈∀<+ ,1)1/( , ³å³ (67)-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ nn xx <+1 :
ø³ÝÇ áñ Nnxn ∈∀> ,0 , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨
Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï, áõñ»ÙÝ ³ÛÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: ¸Çóáõù 0lim ≥=∞→
cxnn:
ø³ÝÇ áñ cxnn=+∞→ 1lim ¨
ennn n
n
n
n
111lim/11
lim =
+=
+ ∞→∞→, ѻ勉µ³ñ (67)
ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ ∞→n , Ïëï³Ý³Ýù` ecc /= :
àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 0=c , ³ÛëÇÝùÝ` 0!lim =∞→ nn n
n:
6. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý: гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý
ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ
»áñ»Ù 18 : àñå»ë½Ç Rx ∈0 Ï»ïÁ ÉÇÝÇ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ
Ï»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ñݳñ³íáñ ÉÇÝÇ ³é³ÝÓ-
ݳóÝ»É Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ³ÛÝåÇëÇ ,...,....,, 21 nxxx ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñ 0lim xxnn=
∞→:
²å³óáõÛó: »áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ µ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ ѳçáñ¹³Ï³-ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: ²å³óáõó»Ýù ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ:
¸Çóáõù Rx ∈0 Ï»ïÁ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿: nx ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ ϳéáõó»Ýù ÇݹáõÏïÇí Ù»Ãá¹áí: ( )1;1 00 +− xx ÇÝï»ñí³ÉáõÙ í»ñó-
Ý»Ýù Ex ∈1 Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 0x -Çó: ²ÛÝáõÑ»ï¨ ( )2/1;2/1 00 +− xx ÇÝï»ñ-
í³ÉáõÙ í»ñóÝ»Ýù Ex ∈2 Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 0x -Çó ¨ 1x -Çó: ²Ûë åñáó»ëÇ n -ñ¹
ù³ÛÉáõÙ` ( )nxnx /1;/1 00 +− ÇÝï»ñí³ÉáõÙ í»ñóÝ»Ýù Exn ∈ Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿
110 ,...,, −nxxx Ï»ï»ñÇó: Þ³ñáõݳϻÉáí ³Ûë ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÁ, E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó
³é³ÝÓݳóíáõÙ ¿ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ,...,....,, 21 nxxx ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ` Nnnxxnx n ∈∀+<<− ,/1/1 00 : л勉µ³ñ,
ÏÇñ³é»Éáí ûáñ»Ù 13-Á, Ïëï³Ý³Ýù` 0lim xxnn=
∞→: ∆
²Ûë ûáñ»ÙÁ ÑÇÙù ¿ ͳé³ÛáõÙ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÇ Ñ³çáñ¹ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:
105
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 10: Rx ∈0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ
(Ïáõï³ÏÙ³Ý) Ï»ï, »Ã» E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ñݳñ³íáñ ¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É Çñ³ñÇó
ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ,...,....,, 21 nxxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
0lim xxnn=
∞→:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 11: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ,...,....,, 21 nxxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨
µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ` ,...,....,, 21 knnn : nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ³é³ÝÓݳóÝ»Ýù .......21 <<<< knnn ѳٳñÝ»ñ áõÝ»-
óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ`
,...,....,,11 knnn xxx : (68)
êï³óí³Í knx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
»Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» knx -Ý »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ Nkknk ∈∀> , , ¨, ѻ勉µ³ñ` ∞=∞→ kk
nlim :
»áñ»Ù 19 : ºÃ» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ 0lim xxnn=
∞→,
³å³ ¹ñ³ ó³Ýϳó³Í knx »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿ áõ
0lim xxknk=
∞→:
»áñ»Ù 20 : (´áÉó³Ýá–ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ): ò³Ýϳó³Í ë³Ñٳݳ-÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É ½áõ·³Ù»ï »Ýóѳçáñ-¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nx ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:
¸Çï³ñÏ»Ýù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í E
ë³Ñٳݳ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» E -Ý í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ¹ñ³ ï³ññ»ñÇó ·áÝ¿ Ù»ÏÁ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ÏñÏÝíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÃÇí ³Ý·³Ù: ¸Çóáõù
³Û¹åÇëÇ ï³ññ ¿ 0x -Ý ¨ 0.......11
xxxxknnn ===== : ²Û¹ ¹»åùáõÙ
knx -Ý
áñáÝ»ÉÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ¿, Áݹ áñáõÙ` 0lim xxknk=
∞→: ºÃ» E µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ
³Ýí»ñç ¿, ³å³ ѳٳӳÛÝ §2 ûáñ»Ù 20-Ç, E -Ý áõÝÇ ·áÝ¿ Ù»Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï: ¸Çóáõù 0x -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõ٠ѳ-
Ù³Ó³ÛÝ, ûáñ»Ù 18-Ç E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ϳñáÕ »Ýù ³é³ÝÓݳóÝ»É Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ¨ 0x -ÇÝ ½áõ·³ÙÇïáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`
,...,....,,21 kmmm xxx : (69)
106
Ü߳ݳϻÝù 11 mn = ¨ 2n -áí ,...,....,, 21 kmmm Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó 1n -Çó
Ù»Í ³é³çÇÝ Ñ³Ý¹Çå³Í ÃÇíÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨, 3n -áí Ý߳ݳϻÝù ³Û¹ ÝáõÛÝ Ãí»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó 2n -Çó Ù»Í ³é³çÇÝ Ñ³Ý¹Çå³Í ÃÇí ¨ ³ÛÉÝ: Þ³ñáõݳϻÉáí ³Ûë
åñáó»ëÁ, ϳéáõóáõÙ »Ýù` ,...,....,,11 knnn xxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ
¹³ë³íáñí³Í »Ý nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç Çñ»Ýó áõÝ»ó³Í ѳٳñÝ»ñÇ
³×Ù³Ý Ï³ñ·áí: ø³ÝÇ áñ knx -Ý
kmx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý »Ýóѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ 0lim xxknk=
∞→: ∆
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 12: Rx ∈0 ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³-
ݳÛÇÝ Ï»ï (ϳ٠ٳëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý), »Ã» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó Ñݳñ³-
íáñ ¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É knx »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0lim xx
knk=
∞→:
гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ ϳñ»ÉÇ ¿ ï³É ³ÛÉ Ñ³Ù³ñ-
Å»ù ë³ÑÙ³ÝáõÙ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 13: Rx ∈0 ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³-
ݳÛÇÝ Ï»ï, »Ã» 0x Ï»ïÇ ó³Ýϳó³Í ε -ßñç³Ï³Ûù å³ñáõݳÏáõÙ ¿ nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ³Ýí»ñç Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6: »áñ»Ù 19-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³-ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï, áñÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÇ Ñ»ï:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 7: »áñ»Ù 20-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ³Ù»Ý ÙÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳ-çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï:
¸Çóáõù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²Û¹
¹»åùáõÙ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï»ñÇó ٻͳ·áõÛÝÁ (÷áùñ³-
·áõÛÝÁ) ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) ë³ÑÙ³Ý ¨ Ý߳ݳ-
ÏáõÙ »Ý`
∞→∞→ nn
nnxx limlim å³ÛٳݳÝß³Ýáí:
ºÃ» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³
ÁݹáõÝáõÙ »Ý`
−∞=∞=
∞→∞→ nn
nnxx limlim :
»áñ»Ù 21 : ò³Ýϳó³Í ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ í»ñÇÝ ¨
107
ëïáñÇÝ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ, Ù³ëݳíáñ³µ³ñ` áõÝÇ ·áÝ¿ Ù»Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï:
´Ýáõó·ñÇã ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ: àñå»ë½Ç Rx∈ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ ë³ÑÙ³Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³-
Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ >n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ѳٳñ ï»ÕÇ áõݻݳ ε+≤ xxn ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ¨ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ
n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõݻݳ ε−≥ xxn ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
àñå»ë½Ç Rx∈ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ ë³ÑÙ³Ý, ³Ý-
Ññ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ
³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõݻݳ
ε−≥ xxn ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ¨ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ѳٳñ ï»ÕÇ áõݻݳ ε+≤ xxn ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
л勉Ýù 6: ºÃ» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ nn
xx∞→
= lim ,
nnxx
∞→= lim , ³å³ ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí
³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` εε +≤≤− xxx n
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
л勉Ýù 7: ¸Çóáõù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ ,lim nn
xx∞→
=
nnxx
∞→= lim : ºÃ» );( ba ÇÝï»ñí³ÉÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ¹ñ³ÝÇó ¹áõñë nx ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ, ³å³
);();( baxx ⊂ : سëݳíáñ³µ³ñ` abxx −≤− :
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 8: ´áÉó³Ýá–ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ûáñ»Ù
21-Ç Ñ»ï¨³ÝùÁ:
»áñ»Ù 22 : àñå»ë½Ç nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³-
Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï, ¨ ï»ÕÇ áõݻݳ Ñ»ï¨Û³É
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
=≡∞→
nn
xx lim xxnn≡
∞→lim : (70)
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 14 : nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ýáõݹ³Ù»Ýï³É
(ϳ٠ÎáßÇÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ), »Ã» ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ Nmn ∈, Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù
108
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ≥n N, ≥m N ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ï»ÕÇ áõÝÇ
ε<− nm xx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
)N)(0( N∈∃>∀ε N( ≥∈∀ nNn ) N( ≥∈∀ mNm ) ε<− nm xx : (71)
²Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³ÉÇÝ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 15 : nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ýáõݹ³Ù»Ýï³É, »Ã»
ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ó³Ýϳó³Í Np∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ
áõÝÇ` ε<−+ npn xx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
)N)(0( N∈∃>∀ε N( ≥∈∀ nNn ) )( Np∈∀ ε<−+ npn xx : (72)
üáõݹ³Ù»Ýï³É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ûÅïí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳï-
ÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí`
1. ºÃ» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõݹ³Ù»Ýï³É ¿, ³å³ ó³Ýϳó³Í 0>ε
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÛÝåÇëÇ Nx ³Ý¹³Ù, áñ
Nx -Ç ε -ßñç³Ï³ÛùÁ` );( εε +− NN xx å³ñáõݳÏáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñáÝó n ѳٳñÝ»ñÁ ÷áùñ ã»Ý N-Çó: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
≥∀+<<− nxxx NnN ,εε N: (73)
àõñ»ÙÝ, (73) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ Ï³ñáÕ »Ý ãµ³í³ñ³ñ»É ÙdzÛÝ`
121 ,...,, −Nxxx ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ:
2. ò³Ýϳó³Í ýáõݹ³Ù»Ýï³É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
3. »áñ»Ù 23 (гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛ³Ý ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ):
àñå»ë½Ç nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³-
ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ýáõݹ³Ù»Ýï³É:
ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ áñå»ë½Ç nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ
ï³ñ³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, ³ÛÝ ãÉÇÝÇ ýáõݹ³Ù»Ýï³É, ³ÛëÇÝùÝ`
µ³í³ñ³ñÇ ýáõݹ³Ù»Ýï³ÉáõÃÛ³Ý ÅËïÙ³ÝÁ`
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõݹ³Ù»Ýï³É ã¿, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>ε ÃÇí
³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³Ýϳó³Í N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý >mn, N
µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ` ε≥− nm xx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
)N)(0( N∈∀>∃ε N( ≥∈∃ nNn ) N( ≥∈∃ mNm ) ε≥− nm xx : (74)
109
ÀÝûñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏíáõÙ ¿ µ³é»ñáí ¨ ùí³ÝïáñÝ»ñÇ ÙÇçáóáí Ó¨³Ï»ñå»É ë³ÑÙ³ÝáõÙ 15-Ç ÅËïáõÙÁ:
úñÇÝ³Ï 12: ¶ïÝ»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ M
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ,lim nn
x∞→
nnx
∞→lim , nxsup , nxinf , »Ã»
³) 1
12
sin2
+
+=
n
nn
xn
π
; µ) 2
)1(1)1( nn
n nx −+
+−
= :
ÈáõÍáõÙ: ³) ºñµ kn 4= , áõÝ»Ýù 14
14 +=
kx k : л勉µ³ñ 0lim 4 =
∞→ kkx ¨
510 4 ≤< kx , Áݹ áñáõÙ`
51
4 =x :
ºñµ 14 −= kn , áõÝ»Ýù kx k 4214 −=− : л勉µ³ñ −∞=−∞→ 14lim kkx , ¨
214 −≤<∞− −kx , Áݹ áñáõÙ` 23 −=x :
ºñµ 24 −= kn , áõÝ»Ýù 14
124 −=− k
x k : л勉µ³ñ 0lim 24 =−∞→ kkx , ¨
310 24 ≤< −kx , Áݹ áñáõÙ`
31
2 =x :
ºñµ 34 −= kn , áõÝ»Ýù 24
1)34( 2
34 −+−
=− kkx k : л勉µ³ñ ∞=−∞→ 34lim kk
x , ¨
+∞<≤ −341 kx , Áݹ áñáõÙ` 11 =x :
¸Çï³ñÏí³Í 3424144 ,,, −−− kkkk xxxx »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ÙdzëÇÝ Ï³½ÙáõÙ »Ý nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ »Ýóѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ¿ Ù»ÏÇ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÁ: ²Û¹ å³ï׳éáí nx ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ M µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ Ýßí³Í »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ùdz-
íáñáõÙÁ: ²ÛëåÇëáí` −∞=∞∞−=∞→
nn
xM lim;,0, ; +∞=∞→ nn
xlim ; −∞=nxinf ;
+∞=nxsup :
110
µ) ºñµ kn 2= , áõÝ»Ýù k
x k 2112 += : л勉µ³ñ 1lim 2 =
∞→ kkx , ¨
231 2 ≤< kx ,
Áݹ áñáõÙ`23
2 =x :
ºñµ 12 −= kn , áõÝ»Ýù 12
112 −
−=− kx k : л勉µ³ñ 0lim 12 =−∞→ kk
x , ¨
01 12 ≤≤− −kx , Áݹ áñáõÙ` 11 −=x :
ø³ÝÇ áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ M µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ 122 , −kk xx »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ, ³å³ 1,0=M :
Üϳï»Ýù, áñ 0lim =∞→
nn
x ; 1lim =∞→ nn
x ; 1inf −=nx ; 23sup =nx :
úñÇÝ³Ï 13: ú·ïí»Éáí ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇó` å³ñ½»É` nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»±ï ¿, û± ï³ñ³Ù»ï:
³) ∑ = +=
n
kn kkkx
1 )1(sin α
; µ) ∑ −=
n
knk
x1
1; ·) ( )
nn
n nx
+−=
111 ;
¹) ∑ ==
n
kk
kn qax0
, áñï»Õ 1<q ¨ 0,, >∈∀≤ MNkMak :
ÈáõÍáõÙ: ³) ¶Ý³Ñ³ï»Ýù npn xx −+ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÁ`
:1
111
11
11
)1(1
)1(sin
)1(sin
1
111
+<
+−
+=
+−=
=+
≤+
≤+
=−
∑
∑∑∑
+
+=
+
+=
+
+=
+
+=+
npnnkk
kkkkk
kkkxx
pn
nk
pn
nk
pn
nk
pn
nknpn
αα
²ÛëåÇëáí, ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¨ p -Ç Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù`
1
1+
<−+ nxx npn :
¸Çóáõù` 0>ε Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: ø³ÝÇ áñ 01
1lim =+∞→ nn
, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝÇ N N∈ ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, ûñÇݳÏ` N
=ε1
, áñ ó³Ýϳó³Í ≥n N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ
111
ѳٳñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` ε<+11
n ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ, ó³Ýϳó³Í`
≥n N ¨ ó³Ýϳó³Í` Np∈ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
ε<+
<−+ 11
nxx npn :
²ÛëåÇëáí` nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõݹ³Ù»Ýï³É ¿: àõñ»ÙÝ, ³ÛÝ ½áõ·³-
Ù»ï ¿:
µ) òáõÛó ï³Ýù, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõݹ³Ù»Ýï³É ã¿: ²Û¹ Ýå³-
ï³Ïáí, ·Ý³Ñ³ï»Ýù` npn xx −+ -Á: àõÝ»Ýù`
Npnpn
pk
xx pn
nknpn ∈∀+
≥=− ∑ +
+=+ ,,11
:
سëݳíáñ³µ³ñ, »ñµ np = ÏáõݻݳÝù`
Nnnxx nn ∈∀≥≥− ,2
12
2 :
²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ýáõݹ³-
Ù»Ýï³ÉáõÃÛ³Ý ÅËïÙ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: Æñáù, í»ñóÝ»Ýù 2
1=ε : ò³Ýϳó³Í
N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥n N (ûñÇݳÏ` =n N) ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
Np∈ (ûñÇݳÏ` =p N), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ ε≥−+ npn xx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
àõñ»ÙÝ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõݹ³Ù»Ýï³É ã¿, ѻ勉µ³ñ` ï³ñ³Ù»ï ¿:
·) ¶Ý³Ñ³ï»Ýù` nn xx −+1 ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÁ`
Nnnn
xxnn
nn ∈∀=+≥
++
++=−
+
+ ,422111
111
1 :
²ÛÅÙ í»ñóÝ»Ýù 4=ε : ò³Ýϳó³Í N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥n N (ûñÇݳÏ` =n N) ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Np∈ (ûñÇݳÏ` =p 1), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ
ε≥−+ nn xx 1 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: àõñ»ÙÝ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ-
¹³Ù»Ýï³É ã¿, ѻ勉µ³ñ` ï³ñ³Ù»ï ¿:
¹) ¶Ý³Ñ³ï»Ýù` npn xx −+ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÁ`
112
:,,11
1 11
111
Npnq
qM
qM
qMqaqaxxnp
n
pn
nk
kkpn
nk kpn
nkk
knpn
∈∀−
<−
−⋅=
=≤≤=−
++
+
+=
+
+=
+
+=+ ∑∑∑
¸Çóáõù 0>ε Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: ø³ÝÇ áñ 0lim 1=
+
∞→
n
nq , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ`
Mqq n /)1(1−<
+ ε ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí, »Ã» ≥n N, ÇëÏ p -Ý
Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³`
[ [ ε<−
<−+
Mxxn
npn 1
1
:
àõñ»ÙÝ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõݹ³Ù»Ýï³É ¿, ѻ勉µ³ñ` ½áõ·³Ù»ï ¿:
7. ܳËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ ß³ñù»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É
¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ,...,...,, 21 naaa Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í Ñ»ï¨Û³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ
∑∞
==+++++
1321 ......n nn aaaaa (75)
ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³ÛÇÝ ß³ñù ϳ٠å³ñ½³å»ë ß³ñù:
na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñ: na
ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ß³ñùÇ n -ñ¹ ³Ý¹³Ù: Þ³ñùÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó ϳ½Ù³Í ·áõÙ³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ß³ñùÇ n -ñ¹
Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñ ¨ Ý߳ݳÏíáõÙ ¿ nS -áí`
∑ ==++++=
n
k knn aaaaaS1321 ... : (76)
Þ³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ½áõ·³Ù»ï ¿ Ýñ³ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇó
ϳ½Ùí³Í nS ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:
Þ³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³Ù»ï, »Ã» ï³ñ³Ù»ï ¿ Ýñ³ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇó
ϳ½Ùí³Í nS ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:
ºÃ» (75) ß³ñùÇ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ nS ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³-
Ù»ï ¿ ¨ SS nn=
∞→lim , ³å³ S -Á ÏáãíáõÙ ¿ (75) ß³ñùÇ ·áõÙ³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿`
......321 +++++= naaaaS ϳ٠∑∞
==
1n naS (77)
²ÛëåÇëáí, (75) ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ ѳٳñÅ»ù ¿ ¹ñ³ Ù³ëݳÏÇ
113
·áõÙ³ñÝ»ñÇ nS ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÇÝ: Üϳï»Ýù, áñ
ÇÝãåÇëÇ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿É í»ñóÝ»Ýù, ¹ñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ
ѳٳñÅ»ù ¿`
...)(...)()( 123121 +−++−+−+ −nn aaaaaaa (78)
ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÇÝ, áñÇ Ñ³Ù³ñ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ` nS ѳ-
çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ï: àõñ»ÙÝ, (78)
ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ·áÛáõÃÛáõÝ
áõÝ»Ý Ï³Ù áã: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳÉáõ ¹»åùáõÙ ¹ñ³Ýù Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý:
ÎÇñ³é»Éáí (75) ß³ñùÇ nS Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
Ýϳïٳٵ ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ` Ïëï³Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ:
»áñ»Ù 24 (Þ³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç
∑∞
=1n na ß³ñùÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõݻݳ
ÎáßÇÇ å³ÛÙ³ÝÁ. ó³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ ³ÛÝåÇëÇ N
µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ó³Ýϳó³Í Np∈ ÃíÇ
ѳٳñ, ï»ÕÇ áõݻݳ` ε<∑ +
+=
pn
nk ka1
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
øí³ÝïáñÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ÎáßÇÇ å³ÛÙ³ÝÁ ·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`
)N)(0( N∈∃>∀ε N( ≥∈∀ nNn ) )( Np∈∀ ε<∑ +
+=
pn
nk ka1
: (79)
ºÃ» (79) å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, ³ÛëÇÝùÝ`
)N)(0( N∈∀>∃ε N( ≥∈∃ nNn ) )( Np∈∃ ε≥∑ +
+=
pn
nk ka1
, (80)
³å³ ∑∞
=1n na ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
л勉Ýù 8: àñå»ë½Ç ∑∞
=1n na ß³ñùÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿, áñ na
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ, ³ÛëÇÝùÝ` 0lim =∞→ nn
a :
ºÃ» (75) ß³ñùáõÙ ¹»Ý Ý»ï»Ýù ³é³çÇÝ m ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù
Ñ»ï¨Û³É ß³ñùÁ`
∑∞
+=+++ =+++++1321 ......
mn nnmmm aaaaa , (81)
áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ (75) ß³ñùÇ Ùݳóáñ¹ m -ñ¹ ³Ý¹³ÙÇó Ñ»ïá:
л勉Ýù 9: ºÃ» (75) ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ ݳ¨ ¹ñ³ (81)
Ùݳóáñ¹Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ: гϳé³ÏÁ, (81) Ùݳóáñ¹Ý»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ
114
½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ (75) ëϽµÝ³Ï³Ý ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
úñÇÝ³Ï 14: ³) лﳽáï»É ³Ýí»ñç »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³Ý¹³Ù-Ý»ñÇó ϳ½Ùí³Í ß³ñùÇ`
...... 12 +++++ −naqaqaqa (82)
½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: µ) ²å³óáõó»É, áñ ³Ù»Ý ÙÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ`
∑∞
==
03210 10......,
n nn
n
aaaaaa (83)
ß³ñùÁ (áñï»Õ` Nnan ∈, Ãí»ñÁ ³ÙµáÕç »Ý ¨ 90 ≤≤ na , ÇëÏ 00 ≥a ϳٳ۳-
Ï³Ý ³ÙµáÕç ÃÇí ¿) ½áõ·³Ù»ï ¿ (ï»ë §2-Ç ë³ÑÙ³ÝáõÙ 1-Á): ·) ²å³óáõó»É ѳñÙáÝÇÏ (Ý»ñ¹³ßݳÏ) ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.
...1...31
211 +++++
n (84)
ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ nn qq = , ³å³ »ñµ 1≥q ÏáõݻݳÝù` Nnqn ∈∀≥ ,1 ,
ѻ勉µ³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ
ãáõÝÇ` 0lim ≠∞→
n
nq , áõñ»ÙÝ, ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: ¸Çóáõù` 1<q : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
q
qaaqaqaqaSn
nn −
−=++++= −
11... 12 : (85)
ø³ÝÇ áñ 0lim =∞→
n
nq , »ñµ 1<q , ³å³
qaS nn −
=∞→ 1
lim :
²ÛëåÇëáí, ∑∞
=0nnaq ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
1<q , Áݹ áñáõÙ, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
......1
12 +++++=−
−naqaqaqaq
a : (86)
µ) ²å³óáõÛó: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý Npn ∈, Ãí»ñ ¨ ·Ý³Ñ³ï»Ýù`
∑ +
+=
pn
nk kka
1 10 ·áõÙ³ñÁ: ø³ÝÇ áñ Nkak ∈∀≤≤ ,90 , ³å³ Ïëï³Ý³Ýù`
n
p
np
pn
nk nk
pn
nk kka
102
1011
1011
101
101...
1011
101
101
100 11 11
<−
−⋅=
+++=<≤ −
+
+= −
+
+= ∑∑ :
115
ò³Ýϳó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ í»ñóÝ»Ýù` N 12lg +
=
ε: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ÇÝã-
åÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý Np∈ ¨ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý`
ε<<≤∑ +
+= n
pn
nk kka
102
100
1
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ, ,101∑∞
=n nna
( Nnan ∈∀≤≤ ,90 ) ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
·) Þ³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í
n1
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ
¿` 01lim =∞→ nn
, µ³Ûó ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: Æñáù, ó³Ýϳó³Í N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ
ѳٳñ í»ñóÝ»Ýù =n N, =p N : ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáõݻݳÝù`
=+++ +++ pnnn aaa ...21 21
211...
21
11
=⋅>+
+++
++
NNNNNN
: (87)
²ÛëÇÝùÝ` ï»ÕÇ áõÝÇ ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛ³Ý (80) å³ÛÙ³ÝÁ, »ñµ 2/1=ε :
л勉µ³ñ, ѳñÙáÝÇÏ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: ²ÛëåÇëáí, ѳñÙáÝÇÏ ß³ñùÁ ï³ñ³-
Ù»ï ß³ñùÇ ÙÇ ûñÇÝ³Ï ¿, áñÇ Ñ³Ù³ñ` 0lim =∞→ nn
a : л勉µ³ñ, ∑∞
=1n na ß³ñùÇ
½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ` 0lim =∞→ nn
a å³ÛÙ³ÝÁ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿, µ³Ûó áã µ³í³-
ñ³ñ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 16: ∑∞
=1n na ß³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ½áõ-
·³Ù»ï ¿ ¹ñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ∑∞
=1n na ß³ñùÁ:
∑∞
=1n na ß³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý (áã µ³ó³ñÓ³Ï) ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ³Û¹
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, µ³Ûó ¹ñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í
∑∞
=1n na ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï:
ø³ÝÇ áñ pnnnpnnn aaaaaa ++++++ +++≤+++ ...... 2121 , ³å³ ûáñ»Ù 24-Çó
Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »Ã» ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿: г-ϳé³Ï åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ã¿:
´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ß³ñù»ñÝ ûÅïí³Í »Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ`
116
»áñ»Ù 25 (ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ∑∞
=1n na ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿
¨ a -Ý ¹ñ³ ·áõÙ³ñÝ ¿, ³å³ Ýñ³ÝáõÙ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ñåáí ï»Õ³-
÷áËáõÙÇó ëï³óí³Í ß³ñùÁ ÝáõÛÝå»ë µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ ÝáõÛÝ a
·áõÙ³ñÁ: ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ß³ñù»ñÁ ûÅïí³Í ã»Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï»Õ³÷á˳-
Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ: î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ`
»áñ»Ù 26 (èÇÙ³ÝÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ∑∞
=1n na ß³ñùÁ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³-
Ù»ï ¿, ³å³ ÇÝãåÇëÇ RL∈ ï³ññ ¿É í»ñóÝ»Ýù, ϳñ»ÉÇ ¿ ³Û¹ ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ ³ÛÝå»ë ï»Õ³÷áË»É, áñ Ó¨³÷áËí³Í ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ L :
»áñ»Ù 27 (¸ÇñÇËÉ»Ç Ã»áñ»ÙÁ): ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ∑∞
=1n nnba ß³ñùÁ: ºÃ»
na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ã³×áÕ ¿ ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñ` Nnaa nn ∈∀≥ + ,1 ¨
0lim =∞→ nn
a , ÇëÏ ∑∞
=1n nb ß³ñùÇ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ` NnbB n
k kn ∈= ∑ =,
1
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ ∑∞
=1n nnba ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
лï¨Û³É ûáñ»ÙÁ, áñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ¸ÇñÇËÉ»Ç Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨³ÝùÁ, Ñݳ-ñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ëïáõ·»É, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, Ý߳ݳѻñà (Ý߳ݳѳçáñ¹) ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
Ü߳ݳѻñà »Ý ÏáãíáõÙ ³ÛÝåÇëÇ ß³ñù»ñÁ, áñáÝó ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ñ»ñÃáí áõÝ»Ý Ù»Ï ¹ñ³Ï³Ý, Ù»Ï µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³ÝÝ»ñ:
»áñ»Ù 28 (ȳ۵ÝÇóÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ»`
),0(,)1(...)1(... 111
4321 Nnaaaaaaa nn nn
nn ∈∀>−=+−++−+− ∑∞=
−− (88)
Ý߳ݳѻñà ߳ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ` ,...,...,, 21 naaa ÙáÝáïáÝ Ýí³½áõÙ ¿` Nnaa nn ∈∀<+ ,1 ¨ 0lim =∞→ nn
a ,
³å³ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ȳ۵ÝÇóÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ß³ñùÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ɳ۵-
ÝÇóÛ³Ý ïÇåÇ ß³ñù:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 9: ¸Çóáõù (88) ß³ñùÁ ɳ۵ÝÇóÛ³Ý ïÇåÇ ¿, ¨ ¹ñ³ ·áõÙ³ñÁ
ѳí³ë³ñ ¿ S -Ç, ³Û¹ ¹»åùáõÙ` ¹ñ³ Ùݳóáñ¹ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÝ áõÝÇ Çñ ³é³çÇÝ
³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÁ ¨ µ³ó³ñÓ³Ï Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ÷áùñ ¿ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÇ µ³ó³ñÓ³Ï
Ù»ÍáõÃÛáõÝÇó`
117
111
11 )1()1( +
∞
+=
−
=
− <−=−− ∑∑ nnk kkn
k kk aaaS : (89)
²Ûë ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝÁ Ñ³×³Ë ¿ û·ï³·áñÍíáõÙ Ùáï³íáñ ѳßíáõÙÝ»ñÇ Å³Ù³-ݳÏ:
»áñ»Ù 29 (²µ»ÉÇ Ã»áñ»ÙÁ): ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nn nba∑∞
=1 ß³ñùÁ: ºÃ» na
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï, ÇëÏ ∑∞
=1n nb ß³ñùÁ ½áõ·³-
Ù»ï ¿, ³å³ nn nba∑∞
=1 ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
»áñ»Ù 30 : àñå»ë½Ç áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí` ( Nnan ∈∀≥ ,0 )
ß³ñùÁ` ∑∞
=1n na ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ¹ñ³ Ù³ëݳÏÇ
·áõÙ³ñÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ë³Ñٳݳ÷³Ï:
»áñ»Ù 31 (´³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý
³Ý¹³ÙÝ»ñáí ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ß³ñù»ñÁ: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈
ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ nn ba ≤ ³Ýѳ-
í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ∑∞
=1n nb ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ∑∞
=1n na
ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ ∑∞
=1n na ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿
∑∞
=1n nb ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
л勉Ýù 10: »áñ»Ù 31-Ç åݹáõÙÁ ÙÝáõÙ ¿ ×Çßï, »Ã» ¹ñ³ å³ÛÙ³ÝáõÙ »Õ³Í
nn ba ≤ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÷á˳ñÇÝíÇ` nn cba ≤ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝáí,
áñï»Õ c -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿:
л勉Ýù 11: ºÃ» ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ß³ñù»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí »Ý ¨
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
ï»ÕÇ áõÝÇ`
n
n
n
n
bb
aa 11 ++ ≤ (90)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ∑∞
=1n nb ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿
∑∞
=1n na ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ ∑∞
=1n na ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó
118
Ñ»ï¨áõÙ ¿ ∑∞
=1n nb ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
л勉Ýù 12 (Þ³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ñ³Ûï³-
ÝÇßÁ): ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý` ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ( Nnbn ∈∀≥ ,0 ) ß³ñù»ñÁ: ºÃ»
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
ï»ÕÇ áõÝÇ nn ba ≤ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ∑∞
=1n nb ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇ-
ïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ∑∞
=1n na ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
Ð³×³Ë ∑∞
=1n nb ß³ñùÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ∑∞
=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ Ù³Åáñ³Ýï
ß³ñù:
ú·ï³·áñÍ»Éáí ѻ勉Ýù 11-áõÙ ∑∞
=1nnq ß³ñùÁ, áñÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ
10 <≤ q ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1≥q , Ïëï³Ý³Ýù`
л勉Ýù 13 (¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ¸Çóáõù ∑∞
=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ`
Da
a
n
n
n=+
∞→
1lim ¨ da
a
n
n
n=+
∞→
1lim : (91)
ºÃ» 1<D , ³å³ ∑∞
=1n na ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿:
ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ
ѳٳñ ï»ÕÇ áõÝÇ 11 ≥+
n
n
aa
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ù³ëݳíáñ³µ³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ
1≥d ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
¶áñÍݳϳÝáõÙ Ñ³×³Ë û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ³í»ÉÇ ËÇëï å³ÛÙ³Ý` »Ã»
∑∞
=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` Da
a
n
n
n=+
∞→
1lim ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ∑∞
=1n na
ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1<D ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1>D :
л勉Ýù 14 (ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ¸Çóáõù ∑∞
=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ`
Kannn=
∞→lim : (92)
ºÃ» 1<K , ³å³ ∑∞
=1n na ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿:
ºÃ» 1>K , ³å³ ∑∞
=1n na ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
119
¶áñÍݳϳÝáõÙ, ѳ׳Ë, û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ³í»ÉÇ ËÇëï å³ÛÙ³Ý` »Ã»
∑∞
=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` Kannn=
∞→lim ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ∑∞
=1n na
ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1<K ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1>K : гßíÇ ³éÝ»Éáí ûñÇÝ³Ï 10-Ç ·) ËݹÇñÁ, ϳñáÕ »Ýù åݹ»É, áñ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ
¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ áñ¨¿ å³ÛÙ³Ý, ³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý å³ÛÙ³ÝÁ: л勉µ³ñ, ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ ÏÇñ³é»ÉÇ ¿ ³í»ÉÇ É³ÛÝ ¹³ëÇ ß³ñù»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
л勉Ýù 15: ¸Çóáõù ∑∞
=1n na ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý`
Nnan ∈∀≥ ,0 , ÇëÏ ∑∞
=1n nb ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý` Nnbn ∈∀> ,0 :
ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ`
Lba
n
n
n=
∞→lim (93)
ë³ÑÙ³ÝÁ, Áݹ áñáõÙ` 0>L , ³å³ ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ß³ñù»ñÁ ÙdzųٳݳÏ
½áõ·³Ù»ï »Ý ϳ٠ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³Ù»ï: ØáÝáïáÝ Ýí³½áÕ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñù»ñÇ Ñ³Ù³ñ ½áõ·³ÙÇ-
ïáõÃÛ³Ý §Ñ³ñÙ³ñ¦ (ÏÇñ³é³Ï³Ý ï»ë³Ï»ïÇó` Ñ»ßï ëïáõ·íáÕ) ѳÛï³ÝÇß ¿ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ:
»áñ»Ù 32 (ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» na ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ã³×áÕ ¿, Áݹ
áñáõÙ` 0......21 ≥≥≥≥≥ naaa , ³å³ ∑∞
=1n na ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ
³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ½áõ·³Ù»ï ¿ Ñ»ï¨Û³É ß³ñùÁ`
...2...82228210 2+++++=∑∞
= kk aaaaa kk
k : (94)
²å³óáõÛó: ø³ÝÇ áñ`
,2...2
,44,22
,
2222122
487658
2434
122
11 nnnnn aaaaa
aaaaaaaaaa
aaa
nn ≤+++≤
−−−−−−−−−−−−−−−−≤+++≤
≤+≤≤≤
++ ++
(95)
³å³ ·áõÙ³ñ»Éáí ³Û¹ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù`
nn SaAaS n ≤−≤− + 121 1)(21
, (96)
120
áñï»Õ` naaaSaaaA nnkk 22121 2...2,... +++=+++= ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý ¹Çï³ñÏ-
íáÕ ß³ñù»ñÇ Ù³ëݳÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ: kA ¨ nS ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ãÝí³½áÕ »Ý, ѻ勉µ³ñ, (96) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ¹ñ³Ýù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ï³Ù ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý ϳ٠³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï: гٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 30-Ç ¹ñ³Ýù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½áõ·³Ù»ï »Ý ϳ٠ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³Ù»ï:
л勉Ýù 16: ∑∞
=1
1n pn
ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1>p ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ
1≤p :
²å³óáõÛó: ºÃ» 0≥p , ³å³, Áëï ݳËáñ¹ ûáñ»ÙÇ, Ýßí³Í ß³ñùÁ ½áõ·³-
Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ½áõ·³Ù»ï ¿ Ñ»ï¨Û³É ß³ñùÁ`
( )( )∑∑
∞
=
−∞
=
=0
1
0
22
12k
kppk
k
k : (97)
´³Ûó (97) ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ
121 <= − pq , ³ÛëÇÝùÝ 1>p : ºÃ» 0<p , ³å³ ∑∞
=1
1n pn
ß³ñùÇ µáÉáñ ³Ý¹³Ù-
Ý»ñÁ Ù»Í »Ý 1-Çó, ѻ勉µ³ñ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
л勉Ýù 17: ¸Çóáõù, áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ∑∞
=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ`
can np
n=
∞→lim : (98)
ºÃ» 1>p ¨ ∞<≤ c0 , ³å³ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
ºÃ» 1≤p ¨ ∞≤< c0 , ³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ½áõ·³Ù»ï ß³ñù»ñÇ Ñ»ï
»áñ»Ù 33: ºÃ» ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ ѳٳå³-
ï³ë˳ݳµ³ñ áõÝ»Ý a ¨ b ·áõÙ³ñÝ»ñ, ³å³ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñ` ( )∑∞
=+
1n nn ba ¨
ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ` ( )∑∞
=−
1n nn ba ß³ñù»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ ѳٳå³ï³ë-
˳ݳµ³ñ áõÝ»Ý ba + ¨ ba − ·áõÙ³ñÝ»ñÁ` ( ) baban nn +=+∑∞
=1, ( ) baba
n nn −=−∑∞
=1:
л勉Ýù 18: ºÃ» ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³ ó³Ýϳ-
ó³Í R∈βα , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ½áõ·³Ù»ï ¿ ( )∑∞
=+
1n nn ba βα ß³ñùÁ, Áݹ áñáõÙ`
121
( ) ∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=+=+
111 n nn nn nn baba βαβα (99)
»áñ»Ù 34 (ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ß³ñù»ñÁ µ³ó³ñÓ³Ï
½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ áõÝ»Ý a ¨ b ·áõÙ³ñÝ»ñ, ³å³
,...)2,1,...,2,1( == lkba lk ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ß³ñùÁ, í»ñóñ³Í ó³Ý-
ϳó³Í ϳñ·áí, ÝáõÛÝå»ë µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿ ïñí³Í ß³ñù»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ` ab :
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 10: ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ß³ñù»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï³Ï ѳ׳Ë
ѳñÙ³ñ ¿ ѳëϳݳÉ, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ÎáßÇÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ`
( )( )
:...)...(
...)()(
1121
13223112211111
++++
+++++++=
−
∞
=
∞
= ∑∑bababa
bababababababa
nnn
n nn n (100)
»áñ»Ù 35 (Ø»ñï»ÝëÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ∑∞
=1n na ¨ ∑∞
=1n nb ½áõ·³Ù»ï ß³ñ-
ù»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï³Ï ѳëϳݳÝù (100) ß³ñùÁ, ³å³ ¹ñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ µ³í³Ï³Ý ¿, áñ Ýßí³Í ß³ñù»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ÉÇÝÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï: ²Û¹ ¹»åùáõÙ (100) ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿ ³ñï³¹ñÇã ß³ñù»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:
úñÇÝ³Ï 15: ²å³óáõó»É, áñ ∑∞
=1n na ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É ¹ñ³
·áõÙ³ñÁ, »Ã»
³) )(
1mnn
an += ; µ) 1, <= qnqa n
n ; ·) !
1n
an = :
ÈáõÍáõÙ: ³) ÀݹáõÝ»Éáí` mn > ¨ û·ï³·áñÍ»Éáí`
+−=
+ mkkmmkk111
)(1
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ïëï³Ý³Ýù`
,111
1111111)(
1
1 1
1 1 11 11
−=
=
−+=
+−=
+=
∑ ∑
∑ ∑ ∑∑ ∑∑
=
+
+=
= +=
+
+== ==
m
k
nm
nk
m
k
n
mk
nm
mk
n
k
n
k
n
kn
kkm
kkkmmkkmmkkS
áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ∑ =∞→=
m
knn kmS
1
11lim , ³ÛëÇÝùÝ`
122
+++=
+∑∞
= mmmnnn
1...2111
)(1
1
: (101)
µ) ø³ÝÇ áñ ∑ ==
n
kk
n kqS1
, ³å³ (ѳٻٳï»É ûñÇÝ³Ï 11, µ)-Ç Ñ»ï)
:...))1(...2()...2(
12
1322
+
+
−+++=
=+−+++−+++=−nn
nnnnn
nqqqqnqqnqqnqqqqSS
àñï»ÕÇó`
11
1)1( +
+
−−−
=− nn
n nqq
qqSq ϳ٠q
nqq
qSnn
n −−
−−
−=
++
1)1()1(
1
2
1
2:
ø³ÝÇ áñ 1<q , ³å³ 0lim 1 =+
∞→
n
nq ¨ 0lim 1 =+
∞→
n
nnq (ï»ë` ûñÇÝ³Ï 4-Á ¨
ûñÇÝ³Ï 9-Á): л勉µ³ñ`
2)1(
limq
qS nn −=
∞→ ϳ٠2
1 )1( qqnq
n
n
−=∑
∞
=
: (102)
·) ø³ÝÇ áñ !
1...!3
1!2
11n
S n ++++= , ³å³ ѳٳӳÛÝ (53) µ³Ý³Ó¨Ç áõÝ»Ýù`
eSnn=
∞→lim : л勉µ³ñ`
...!
1...!3
1!2
11 +++++=n
e : (103)
úñÇÝ³Ï 16: ³) ú·ïí»Éáí ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÇó, óáõÛó ï³É ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ`
1) ( )∑∞
= +++
−1
2
2
124321
n
n
nnn
; 2) 2
1arcsin31
21
3
+++∑
∞
= nnn
n
:
µ) ºÉÝ»Éáí ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÇó, ³å³óáõó»É ß³ñùÇ ½áõ·³-ÙÇïáõÃÛáõÝÁ`
1) ∑∞
=
+−
1
)1cos(cosn n
xnnx ; 2) ∑
∞
=122sin
n nn
:
·) ºÉÝ»Éáí ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ëϽµáõÝùÇó, ³å³óáõó»É ß³ñùÇ ï³ñ³-ÙÇïáõÃÛáõÝÁ`
1) ∑∞
= +1 )1(1
n nn ; 2) ∑
∞
=
+
1
11lnn n
:
¹) лﳽáï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ`
123
1) ( )∑∞
=
−1
!1n
nn
nn
; 2) ∑∞
= −−
1 ln)1(
n
n
nn:
ÈáõÍáõÙ: ³) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ø³ÝÇ áñ`
( ) 112
432lim12
4321lim 2
2
2
2
=+++
=+++
−∞→∞→ n
nnn
nnn
n
n,
ѻ勉µ³ñ, ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ: àõñ»ÙÝ
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ø³ÝÇ áñ`
,12
1arcsin)2()2)(3(
1lim2
1arcsin31lim 2
22
3
2
3
=+
+⋅++
+=
+++
∞→∞→ nn
nnn
nnn
nn
³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
µ) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: Üϳï»Ýù, áñ Npn ∈∀ , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝ»Ý `
+
+−
++
+≤
+++
−+−+
+−
−−++
+−
++
=+−∑
+
+=
21
11
11)1cos(
))(1()cos(
...)2)(1(
)2cos(1
)1cos()1cos(cos1
nnnpnxpn
pnpnxpn
nnxn
nxn
kxkkxpn
nk
1
2111
1...3
12
1+
=+
+
+
−−+
++
+−
++
npnpnpnnn
³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí ¨ N N∈ ÃÇíÝ ÁÝïñ»Ýù`
ε<+12
n ³Ýѳí³ë³ñáõÙÇó, ûñÇݳÏ` N [ ]ε/2= : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ó³Ýϳó³Í
µÝ³Ï³Ý ≥n N ÃíÇ ¨ ó³Ýϳó³Í Np∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ`
ε<+−∑+
+=
pn
nk kxkkx
1
)1cos(cos
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ, ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: Üϳï»Ýù, áñ Npn ∈∀ , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝ»Ý`
:11111
1...2
11
11
11
11
1)1(
112sin2sin111
21
21
2
npnnpnpnnnnn
kkkkkkk
kk pn
nk
pn
nk
pn
nk
pn
nk
pn
nk
<+
−=+
−−+
+++
−+
++
−=
=
−
−=
−<≤≤ ∑∑∑∑∑
+
+=
+
+=
+
+=
+
+=
+
+=
³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí ¨ N N∈ ÃÇíÝ ÁÝïñ»Ýù`
124
ε<n1
³Ýѳí³ë³ñáõÙÇó, ûñÇݳÏ` N [ ] 1/1 += ε : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ó³Ýϳó³Í µÝ³-
Ï³Ý ≥n N ÃíÇ ¨ ó³Ýϳó³Í Np∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ
ε<∑+
+=
pn
nk kk
112
2sin
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ, ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿:
·) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý N N∈ ÃÇí ¨ áñ¨¿ ≥n N
µÝ³Ï³Ý ÃÇí áõ 1+= np : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, áõÝ»Ýù`
:21
)1(21)1(
)1(21...
31
21
11
)1(
1)1(
111 21
=+
+>
>+
+++
++
=+
=+
>+
∑∑∑+
+=
+
+=
+
+=
nn
nnnkkkk
pn
nk
pn
nk
pn
nk
ì»ñóÝ»Ýù :2/1=ε ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáõݻݳÝù. Ï³Ù³Û³Ï³Ý N N∈ ÃíÇ Ñ³-
Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ≥n N ¨ 1+= np µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ
ε>+
∑+
+=
pn
nk kk1 )1(1
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý N N∈ ÃÇí: ø³ÝÇ áñ 111lnlim =
+
∞→ kk
n,
ѻ勉µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ >0n N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ 0nn ≥
Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ 2111ln ≥
+
nn ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ,
»ñµ 0nn ≥ ¨ np = , ÏáõݻݳÝù
:41
21
21
21...
21
11
21
12111ln111ln
111
=⋅⋅>
++
++
+=
=≥
+⋅=
+ ∑∑∑
+
+=
+
+=
+
+=
nn
nnn
kkk
kk
pn
nk
pn
nk
pn
nk
ì»ñóÝ»Ýù :4/1=ε ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ÏáõݻݳÝù. Ï³Ù³Û³Ï³Ý N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ >≥ 0nn N ¨ np = µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ`
125
ε>
+∑
+
+=
pn
nk k1
11ln
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
¹) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ø³ÝÇ áñ`
nnn!
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨
0!lim =∞→ nn n
n (ï»’ë ûñÇÝ³Ï 11), ¨ ( )∑
∞
=
−1
!1n
nn
nn
ß³ñùÁ Ý߳ݳѻñà ¿, ѻ勉µ³ñ
³ÛÝ É³ÛµÝÇóÛ³Ý ïÇåÇ ¿: àõñ»ÙÝ, ¹Çï³ñÏíáÕ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù
ïñí³Í ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ß³ñùÁ` ∑∞
=1
!n
nnn
:
ÎÇñ³é»Ýù ¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: ø³ÝÇ áñ`
n
nnn
n
nn
nn
nn
aa
+=
++
=+
+
1!:
)1()!1(
11 ,
³å³ 111
limlim 1 <=
+=
∞→
+
∞→ enn
aa n
nn
n
n: àõñ»ÙÝ, ïñí³Í ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ-
·³Ù»ï ¿:
2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ²ÏÝѳÛï ¿, áñ nn ln− ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³×áÕ ¿: òáõÛó
ï³Ýù, áñ ³ÛÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿: ø³ÝÇ áñ` 0lnlim =∞→ n
nn
(ï»ë` ûñÇÝ³Ï 9), ³å³
∃N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ` 21ln
<nn
: л勉µ³ñ, »ñµ
≥n N, ï»ÕÇ áõÝÇ 2/2/ln nnnnn =−>− ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: àõñ»ÙÝ, nn ln−
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿: л勉µ³ñ )ln/(1 nn − ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿, ¨ 0))ln/(1(lim =−∞→
nnn
: ²ÛëåÇëáí, ïñí³Í ß³ñùÁ ɳ۵ÝÇó-
Û³Ý ïÇåÇ ¿: àõñ»ÙÝ, ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ø³ÝÇ áñ` nnn1
ln1
≥−
¨ ∑∞
=1
1n n
ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, ѻ勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ µ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ ïñí³Í
ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó ϳ½Ùí³Í ß³ñùÁ` ∑∞
= −1 ln1
n nn ï³-
ñ³Ù»ï ¿: àõñ»ÙÝ, ïñí³Í ß³ñùÁ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿:
126
úñÇÝ³Ï 17: ³) ÎÇñ³é»Éáí ¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ` ѻﳽáï»É`
1) ∑∞
=1 !2
sin
n
nn
n
n π
; 2) ∑∞
=1
3
3nn
n
ß³ñù»ñÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
µ) ÎÇñ³é»Éáí ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ` ѻﳽáï»É`
1) ∑∞
=
+1
2
12
n
nn
nn
; 2) ∑∞
=
−+
12 7
))1(8(n
n
nn
n
ß³ñù»ñÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:
ÈáõÍáõÙ: ³) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: Üϳï»Ýù, áñ`
n
nn
nn
nn
n
n
nn
n
n
n
n
aa
2sin
2sin1
!2
sin:
)!1(2
sin)1( 111
1
π
πππ++
+
+
+
=+
+= :
ø³ÝÇ áñ 12
lim 1 >=+
∞→
ea
a
n
n
n: àõñ»ÙÝ, ïñí³Í ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: Üϳï»Ýù, áñ` 33
1
31 1
31
3:
3)1(
+
=+
= ++
nnnn
aa
nnn
n :
ø³ÝÇ áñ 131lim 1 <=+
∞→n
n
n aa
, ³å³ ïñí³Í ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
µ) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: Üϳï»Ýù, áñ
nn
nn nn
na
+=
+=
11/21
2 :
ø³ÝÇ áñ` 1/2lim <=∞→
eannn
, ³å³ ïñí³Í ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: Üϳï»Ýù, áñ`
2)(7)1(8
n
nn
nn
a −+= ¨ 1
79lim >=
∞→n
nna :
àõñ»ÙÝ, ïñí³Í ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
127
¢4. ²Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ
î»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³ÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É:
¸Çóáõù X -Á , Y -Á ¨ Z -Á Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: YXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³×áÕ (Ýí³½áÕ, ãÝí³½áÕ, ã³×áÕ), »Ã» Xxx ∈∀ 21 , ¨
21 xx < å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ )()( 21 xfxf < (ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ` )()( 21 xfxf > ,
)()( 21 xfxf ≤ , )()( 21 xfxf ≥ ): ²Ûë ãáñë ïÇåÇ ýáõÝÏódzݻñÁ ÙdzíáñíáõÙ »Ý Ù»Ï ÁݹѳÝáõñ
³Ýí³Ý ï³Ï` ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏódzݻñ: ¸Çóáõù 0x -Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿:
b ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ RXf →: ýáõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³Ý 0x Ï»ïáõÙ, »Ã» 0x -ÇÝ ½áõ·³ÙÇïáÕ
ó³Ýϳó³Í nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0, xxXx nn ≠∈ , ýáõÝÏódzÛÇ
³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý )( nxf ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ b -ÇÝ:
²ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ b -Ý f ý áõÝÏódzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÝ ¿ 0x Ï»ïáõÙ ·ñíáõÙ »Ý ³Ûëå»ë`
bxfxx
=→
)(lim0
( ϳ٠bxf →)( , »ñµ 0xx → ):
RXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï Xx ∈0 Ï»ïáõÙ, »Ã» ³Û¹ Ï»ïáõÙ
ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý, ¨ ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÇÝ 0x Ï»ïáõÙ`
)()(lim 00
xfxfxx
=→
:
ºÃ» RXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ,
³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï X -Ç íñ³: ¸Çóáõù RXf →: ¨ RXg →: ýáõÝÏódzݻñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý Xx ∈0 Ï»ïáõÙ: ²Û¹
¹»åùáõÙ gfgf ,± ýáõÝÏódzݻñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ gf / ýáõÝÏóÇ³Ý (»Ã» 0)( 0 ≠xg )
³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý 0x Ï»ïáõÙ:
ºÃ» YXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Xx ∈0 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ ZYg →: ýáõÝÏódzÝ
³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Yxfy ∈= )( 00 Ï»ïáõÙ, ³å³ ))(( xfgz = µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿
0x Ï»ïáõÙ:
¸Çóáõù Rbaf →],[: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba ѳïí³ÍáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
³) »Ã» 0)()( <bfaf , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( bac∈ Ï»ï ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0)( =cf
(´áÉó³Ýá-ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): µ) f -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ];[ ba ѳïí³ÍáõÙ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ];[ ba ѳïí³ÍáõÙ Ï»ï,
áñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ Çñ ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï, áñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ (ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ)
·) ºÃ» f -Á ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ¿ ];[ ba ѳïí³ÍáõÙ, ³å³ f -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÁ )])(),(([)](),([ afbfbfaf ѳïí³ÍÝ ¿ ¨ 1−f (ѳϳ¹³ñÓ) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹
ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: RXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ѳí³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁݹѳï
ýáõÝÏódz, »Ã» ( ) :)()(,)0)(0( 121221 εδδε <−<−∈∀>∃>∀ xfxfxxXxx
128
Î ³ÝïáñÇ Ã»áñ»ÙÁ . ];[ ba ѳïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³-ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:
¸Çóáõù )(0 fDx ∈ Ï»ïÁ f ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿:
ò³Ýϳó³Í )( fDx∈ Ï»ïÇ ¹»åùáõÙ 0xxx −=∆ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ñ-
·áõÙ»ÝïÇ ³× 0x Ï»ïáõÙ, ÇëÏ =∆ )( 0xf )()()()( 000 xfxxfxfxf −∆+=− ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ`
x∆ ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ³×: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ í»ñç³íáñ, −∞ ϳ٠+∞ ë³ÑÙ³Ý.
,)()(lim)(lim)()(0
0
0
0
0
00 xx
xfxfxxf
dxxdfxf
xxx −−
=∆
∆==′
→∆→
³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³É 0x Ï»ïáõÙ:
²Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ. ¸Çóáõù c -Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿, ÇëÏ )(xuu = ¨ )(vv x=
ýáõÝÏódzݻñÁ 0x Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý (áõÝ»Ý ³Í³ÝóÛ³É): ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
;v)v(.3;v)v(.2;)(.1 ′−′=′−′+′=′+′=′ uuuuuccu
);0v(,v
vvv
.5;vv)v(.4 2 ≠′−′
=′
′+′=′
uuuuuu
.6 ºÃ» )(tx ϕ= ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0t Ï»ïáõÙ, ÇëÏ )(xfy = ýáõÝÏódzÝ
³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )( 00 tx ϕ= Ï»ïáõÙ, ³å³ ϕf µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0t Ï»ïáõÙ, ¨
)()()()( 000 txftf ϕϕ ′′=′ :
èáÉ ÉÇ Ã»áñ»ÙÁ. »Ã» Rbaf →];[: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba ѳïí³ÍáõÙ,
³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ )()( bfaf = , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ );( ba∈ξ
Ï»ï, áñ 0)( =′ ξf :
ȳ·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÁ. (ì»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á). »Ã» Rbaf →];[: ýáõÝÏódzÝ
³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba ѳïí³ÍáõÙ, ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
³ÛÝåÇëÇ );( ba∈ξ Ï»ï, áñ
))(()()( abfafbf −′=− ξ :
¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:
f ýáõÝÏóÇ³Ý );( ba ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ѳëï³ïáõÝ ¿ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
);(,0)( baxxf ∈∀=′ :
f ýáõÝÏóÇ³Ý );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ãÝí³½áÕ ¿ (ã³×áÕ ¿) ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ
));(,0)(();(,0)( baxxfbaxxf ∈∀≤′∈∀≥′ :
Ü » ñ ³ Í á õ Ã Û á õ Ý : γë»Ýù, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ³Ý-
¹ñ³¹³ñÓ (é»Ïáõñ»Ýï) µ³Ý³Ó¨áí, »Ã» ïñí³Í ¿ ¹ñ³ ³é³çÇÝ k ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨
ïñí³Í ¿ f ýáõÝÏódz, áñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ nkx + -Á áñáßíáõÙ ¿ ݳËáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»-
ñáí`
Nnxxxnfx nnknknk ∈∀= −+−++ ),...,,,,( 21 : (1)
129
г׳Ë, (1) ѳí³ë³ñáõÙÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¿ k -ñ¹ ϳñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-
ë³ñáõÙ, ÇëÏ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ` k -ñ¹ ϳñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:
²ÏÝѳÛï ¿, áñ ïñí³Í kk axaxax === ,...,, 2211 ݳËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñáí,
(1) µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí ÙdzñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ Ùݳó³Í ,...,...,, 21 nkkk xxx +++
³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: л勉µ³ñ, (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙáí ¨ k ѳï
ݳËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñáí`
kk axaxax === ,...,, 2211 (2)
áñáßíáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ ϳËí³Í ¿ kaaa ...,,, 21
ݳËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇó`
)...,,,,( 21 kn aaanpx = : (3)
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» áõÝ»Ýù ( ) nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù, ³ÛÝåÇ-
ëÇÝ, áñ )...,,,,( 21 kn cccnpx = , áñï»Õ 1c -Á, 2c -Á, …, kc -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ë-
ï³ïáõÝÝ»ñ »Ý, ³å³ ³ñï³ùë»Éáí kccc ...,,, 21 ѳëï³ïáõÝÝ»ñÁ`
+=
+==
+
+
)...,,,,(.........................................)...,,,,1(
)...,,,,(
21
211
21
kkn
kn
kn
cccknpx
cccnpxcccnpx
(4)
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó, Ïëï³Ý³Ýù (1) ï»ëùÇ, k -ñ¹ ϳñ·Ç ³Ý-
¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙ:
ÈáõÍ»É (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, Ý߳ݳÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ (ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ), áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:
²ÛëåÇëáí, (1)-Ý` k -ñ¹ ϳñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ϳËí³Í »Ý k ѳï Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³-
ïáõÝÝ»ñÇó:
nx : Nncccnpx kn ∈= ,)...,,,,( 21 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ (1) -
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙ, »Ã» ³Û¹ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-
ë³ñÙ³Ý ó³Ýϳó³Í ÉáõÍáõÙ ëï³óíáõÙ ¿ nx -Çó kccc ...,,, 21 ѳëï³ïáõÝÝ»ñÇ
áñáß ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ:
130
º½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝ: àñå»ë½Ç (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ áñáßíÇ
ÙdzñÅ»ùáñ»Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ï³É k ѳï ݳËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ:
1. Æï»é³óÇáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ
¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Çñ )( fD áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ, ÇëÏ
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ )( fD -áõÙ (³ÛëÇÝùÝ` ),(11 fDax ∈=
∈=+ )(1 nn xfx ),( fD Nn∈∀ ) Ñ»ï¨Û³É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí`
Nnxfxaxx nnn ∈∀== + ),(,: 111 : (5)
êáíáñ³µ³ñ (5) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Çï»é³-
óÇáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: Æï»é³óÇáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ÁݹѳÝñ³-
å»ë ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ɳÛÝáñ»Ý ÏÇñ³éíáõÙ »Ý Ùáï³íáñ
ѳßíÙ³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñáõÙ [5,7,22]:
ºÃ» (5) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ )( fDc∈ ÃíÇÝ, ³å³ f
ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿
xxf =)( (6)
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï. (6) ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f ýáõÝÏ-
ódzÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï:
²ÛëåÇëáí, (5) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ
)( fD -áõÙ, å»ïù ¿ ÷Ýïñ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç:
Üϳï»Ýù, áñ (6) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ùáï³íáñ ÉáõÍÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÇó ¿
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Á (ϳ٠å³ñ½ Çï»é³ódzÛÇ Ù»-
Ãá¹Á), Áëï áñÇ, »ÉÝ»Éáí )(1 fDa ∈ ³ñÅ»ùÇó, ѳçáñ¹³µ³ñ áñáßíáõÙ »Ý (5) ѳ-
çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñáÝù, ÁݹѳÝáõñ ³éٳٵ, ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý (6)
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ùáï³ñÏáõÙÝ»ñÁ:
ÀݹѳÝñ³å»ë ³ë³Í` (5) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ (³-
é³í»É ¨ë f ýáõÝÏódzÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ ½áõ·³ÙÇï»Éáõ ѳñóÁ) ϳËí³Í ¿
ÇÝãå»ë f ýáõÝÏódzÛÇó, ³ÛÝå»ë ¿É 11 ax = ëϽµÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇó:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1 : f ýáõÝÏódzÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ 1x -Ç µáÉáñ ³ñÅ»ù-
Ý»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ (5) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ c -
ÇÝ, ÏáãíáõÙ ¿ c Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: f ýáõÝÏódzÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ó·áÕ, »Ã» ·á-
ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûù` áñÝ ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ ÁÝÏ³Í ¿ ¹ñ³ ½áõ·³ÙÇ-
131
ïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ í³ÝáÕ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûù,
áñÁ ãÇ å³ñáõݳÏáõÙ ¹ñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇó áã ÙÇ Ï»ï, µ³ó³-
éáõÃÛ³Ùµ Çñ»ÝÇó:
ºÉÝ»Éáí f ýáõÝÏódzÛÇ áñáß å³ñ½ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó` ϳñ»ÉÇ ¿ å³ñ½»É`
³) (5) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 1x -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï ¨ á±ñ
³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ` ï³ñ³Ù»ï:
µ) 1x -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ (5) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f
ýáõÝÏódzÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ:
»áñ»Ù 1 : ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ RF ⊂ ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ,
FFf ⊂)( ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ`
,,,)()( Fxxxxqxfxf ∈′′′∀′−′′≤′−′′ (7)
áñï»Õ` 10 <≤ q :
²Û¹ ¹»åùáõÙ F ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ xxf =)( ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ñÙ³ï ¨
,),(,: 10 NnxfxFxx nnn ∈∀=∈ − (8)
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ ³Û¹ ³ñÙ³ïÇÝ:
²å³óáõÛó: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³Ù-
Ý»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý F -ÇÝ: ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù ٳûٳïÇϳϳÝ
ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí: ¸Çóáõù 1=n , ³Û¹ ¹»åùáõÙ` Fxfx ∈= )( 01 , ù³ÝÇ áñ
FFf ⊂)( : ºÝó¹ñ»Ýù Fxn ∈ , ³Û¹ ¹»åùáõÙ` Fxfx nn ∈=+ )(1 , ù³ÝÇ áñ
FFf ⊂)( : л勉µ³ñ, NnFxFx n ∈∀∈∈ ,,0 :
ø³ÝÇ áñ )(),( 11 −+ == nnnn xfxxfx , ³å³ ѳٳӳÛÝ (7) ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛ³Ý, Ïëï³Ý³Ýù`
Nnxxqxx nnnn ∈∀−≤− −+ ,11 : (9)
гçáñ¹³µ³ñ û·ï³·áñÍ»Éáí (9) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ ÝÙ³ÝûñÇÝ³Ï ³Ýѳ-
í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` Ïëï³Ý³Ýù`
Nnxxqxx nnn ∈∀−≤−+ ,011 : (10)
ú·ïí»Éáí (10) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó` ó³Ýϳó³Í Np∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ,
ÏáõݻݳÝù`
( ) )1/(...
...
010121
1211
qxxqxxqqq
xxxxxxxxnnpnpn
nnpnpnpnpnnpn
−−≤−+++≤
≤−++−+−≤−−+−+
+−+−+−+++
132
ϳÙ
Npnqxxqxx nnpn ∈∀−−≤−+ ,),1/(01 : (11)
ø³ÝÇ áñ ,0lim =∞→
n
nq ³å³ (11) ·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÇó »½ñ³Ï³óÝáõÙ »Ýù, áñ (8)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõݹ³Ù»Ýï³É ¿: л勉µ³ñ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿:
Ü߳ݳϻÝù` cxnn=
∞→lim : ø³ÝÇ áñ F -Á ÷³Ï ¿, ³å³`
Fcxnn∈=
∞→lim : (12)
ºÃ» (11) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ ∞→p , Ïëï³-
ݳÝù`
Nnqxxqxc nn ∈∀−−≤− ),1/(01 : (13)
²ÏÝѳÛï ¿, áñ
.),1/(2
)()()()(0
011
1
111
Nnqxxqcxqxc
cfxfxccfxxccfcn
nn
nnnn
∈∀−−≤−+−≤
≤−+−=−+−≤−≤+
+
+++
ϳÙ`
Nnqxxqcfc n ∈∀−−≤−≤ + ),1/(2)(0 011 (14)
(14) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ »ñÏáõ Ù³ë»ñáõÙ ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ
∞→n , Ïëï³Ý³Ýù`
0)( =− cfc ϳ٠ccf =)( : (15)
Üϳï»Ýù, áñ xxf =)( ѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ ¨ë Ñ»ï¨áõÙ ¿
(7) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳñ Ù»Ï ³ÛÉ c′ ³ñÙ³ï,
³å³ ÏáõݻݳÛÇÝù`
ccqcfcfcc ′−≤′−=′− )()( : (16)
ì»ñçÇÝë Ñݳñ³íáñ ¿ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ cc ′= : ∆
¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ F µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ FFf ⊂)( : ºÃ» ³ÛÝ
F µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ݳ¨ (7) å³ÛÙ³ÝÇÝ, áñï»Õ` 10 << q , ³å³
³ëáõÙ »Ý, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿ F µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:
²ÛëåÇëáí, ûáñ»Ù 1-Á ϳñ»ÉÇ ¿ Ó¨³Ï»ñå»É ݳ¨ ³Ûëå»ë. »Ã» f ýáõÝÏódzÝ
ë»ÕÙáÕ ¿ F ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³å³ ³ÛÝ F -áõÙ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï` ³ÛÝ ¿É ÙdzÏÁ:
133
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: (13) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝáí áñáßíáõÙ ¿ ³ÛÝ µ³ó³ñÓ³Ï
ë˳ɳÝùÁ, »ñµ xxf =)( ѳí³ë³ñÙ³Ý c ³ñÙ³ïÇ ÷á˳ñ»Ý í»ñóíáõÙ ¿
¹ñ³Ý ½áõ·³ÙÇïáÕ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý nx ³Ý¹³ÙÁ:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2 : ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý F ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ³Í³ÝóÛ³É ¨
Fxqxf ∈∀<≤′≤ ,1)(0 , ³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ (7) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ¸Çóáõù ѳÛïÝÇ ¿, áñ 0)( =xg ѳí³ë³ñáõÙÁ ];[ baF =
ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ³ñÙ³ï ¨ :,)(0 21 Fxkxgk ∈∀≤′≤< Ü»ñÙáõÍ»Ýù
)()( xgxxf λ−= ýáõÝÏódzÝ: ºÃ» 0≠λ , ³å³ 0)( =xg ѳí³ë³ñáõÙÁ
ѳٳñÅ»ù ¿ xxf =)( ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ` −=′ 1)(xf ),(xg ′λ ³å³
Fxkxfk ∈∀−≤′≤− ,1)(1 12 λλ ¨ +∈∀ Rλ : (17)
àõñ»ÙÝ, λ -Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ];[ ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ
ÉÇÝÇ ë»ÕÙáÕ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ xxf =)( ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ
ϳñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Á:
f ýáõÝÏódzÛÇ ë»ÕÙáÕ ÉÇÝ»ÉÁ )( fDF ⊂ ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ µ³í³ñ³ñ,
µ³Ûó áã ³ÝÑñ³Å»ßï, å³ÛÙ³Ý ¿ áñå»ë½Ç (5) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïÇ
xxf =)( ѳí³ë³ñÙ³Ý` Fc∈ ³ñÙ³ïÇÝ:
γñ»ÉÇ ¿ µ»ñ»É ³ÛÝåÇëÇ ýáõÝÏódzݻñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ, áñáÝù RF ⊂ ÙÇç³-
ϳÛùáõÙ ë»ÕÙáÕ ã»Ý, µ³Ûó Fx ∈0 ¹»åùáõÙ, ëÏë³Í áñáß N ѳٳñÇó (5)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý áñáß FF ⊂0 ÷³Ï
ÙÇç³Ï³ÛùÇ, áñÇ íñ³ f -Á ë»ÕÙáÕ ¿ (ï»ë 3-ñ¹ ¨ 4-ñ¹ ûñÇݳÏÝ»ñÁ): Æñ³í³óÇ ¿
ûáñ»Ù 1-Ç Ñ»ï¨Û³É ÁݹѳÝñ³óáõÙÁ:
»áñ»Ù 2 : ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿` RF ⊂ ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ,
FFf ⊂)( , ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ =kf
k
fff ...
ýáõÝÏóÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿ F -Ç íñ³, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï` Fc∈ Ï»ï
³ÛÝåÇëÇÝ, áñ :)( ccf = Àݹ áñáõÙ`
,),(,: 10 NnxfxFxx nknn ∈∀=∈ − ¨ ,),(,: 100 Nnxfxxxx nnn ∈∀′=′=′′ − (18)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ :limlim cxx nnnn=′=
∞→∞→
134
²å³óáõÛó: ¸Çóáõù c -Ý kf ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿. ѳٳӳÛÝ
ûáñ»Ù 1-Ç`
ccf k =)( ¨ :lim cxnn=
∞→ (19)
Üϳï»Ýù, áñ ó³Ýϳó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ`
))((...))(...()( cffffcffffcfn
kkk
n
kkk
==
л勉µ³ñ`
ccffffcfn
kkkn==
∞→))((...lim)(
, (20)
ù³ÝÇ áñ kf ýáõÝÏódzÛÇ ë»ÕÙáÕ ÉÇÝ»Éáõó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³Ýϳó³Í`
...),(......,),(),( 000 xfffxffxf kkkkkk (21)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ( Fx ∈0 ) ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ:
²ÛëåÇëáí, ccf =)( : ì»ñçÇÝë ÙdzÏÝ ¿, ù³ÝÇ áñ f -Ç ó³Ýϳó³Í ³Ýß³ñÅ
Ï»ï, ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ ݳ¨ kf -Ç Ñ³Ù³ñ, µ³Ûó kf -Ý, ÉÇÝ»Éáí ë»ÕÙáÕ, áõÝÇ Ù»Ï
³Ýß³ñÅ Ï»ï` c -Ý:
nx′ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáÛÝå»ë ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ c -ÇÝ: Æñáù, ù³ÝÇ áñ
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ nx′ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýóѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áõñ»ÙÝ c -Ý nx′ -Ç Ñ³Ù³ñ ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï ¿: ØÛáõë ÏáÕÙÇó,
nx′ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áõñÇß ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ï áõÝ»Ý³É ãÇ Ï³ñáÕ, áñ¨Ñ»ï¨
í»ñçÇÝë f -Ç Ñ³Ù³ñ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¨ Ï˳ËïíÇ f -Ç Ù»Ï
³Ýß³ñÅ Ï»ï áõݻݳÉáõ ѳݷ³Ù³ÝùÁ: ²ÛëåÇëáí, nx′ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
ѳٳñ c -Ý ÙÇ³Ï ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÝ ¿, ѻ勉µ³ñ` cxnn=′
∞→lim : ∆
»áñ»Ù 3 : ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ];[ baF = ѳïí³ÍáõÙ, FFf ⊂)(
¨ ï»ÕÇ áõÝÇ
xxFxxxxxfxf ′′≠′∈′′′∀′−′′<′−′′ ,,,)()( (22)
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³`
³) xxf =)( ѳí³ë³ñáõÙÝ F -áõÙ áõÝÇ ÙdzÛÝ Ù»Ï ³ñÙ³ï` :Fc∈
µ) ,),(,: 10 NnxfxFxx nnn ∈∀=∈ − ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ¨ :lim cxnn=
∞→
135
²å³óáõÛó: ³) »áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁݹѳï
¿ F -Ç íñ³: ¸Çï³ñÏ»Ýù )()( xfxx −=ϕ ûųݹ³Ï ýáõÝÏódzÝ: ø³ÝÇ áñ ϕ
ýáõÝÏóÇ³Ý F -Ç íñ³ ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Fc∈ Ï»ï,
áñ xxfccfcFx
−=−=∈
)(min)()(ϕ :
¸Çóáõù` :0)( >cϕ ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ù³ÝÇ áñ Fcf ∈)( , ³å³ (22) ³Ýѳí³ë³-
ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ
),(min)()()())(())(( xcccfcfcffcfFxϕ=ϕ=−<−=ϕ
∈ (23)
áñÁ ѳϳëáõÙ ¿ )(min)( xcFxϕϕ
∈= å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²ÛëåÇëáí`
0)()( =−=ϕ ccfc ϳ٠ccf =)( :
ºÝó¹ñ»Ýù Fc ∈1 ÝáõÛÝå»ë f ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
,)()( 111 cccfcfcc −<−=− áñÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, »Ã» cc ≠1 : àõñ»ÙÝ` cc =1 :
µ) Ü³Ë Ýϳï»Ýù, áñ FFf ⊂)( å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ,Fxn ∈
:Nn∈∀ ø³ÝÇ áñ ccf =)( , ³å³ cxcfxfcx nnn −<−=−≤ −− 11 )()(0 :
л勉µ³ñ` cxn − ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ-
÷³Ï: àõëïÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ, ³ÛÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: ¸Çóáõù`
=−∞→
cxnnlim : òáõÛó ï³Ýù, áñ 0= :
Ü߳ݳϻÝù Ε -áí ......21 <<<< innn µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`
,...,...,, 21 innn=Ε , áñáÝó ѳٳñ` Ε∈∀≥− iin ncx ,0 : ºÃ» Ε -Ý ³Ýí»ñç ¿,
³å³ inx -ÝÁ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ ¨
Ε∈∀≥− in ncxi
,0 å³ÛÙ³ÝÇó, ÏáõݻݳÝù` =− cxin cx
in − : л勉µ³ñ,
cxin − ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñå»ë cxn − ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý »Ýóѳ-
çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÝáõÛÝå»ë ë³ÑÙ³ÝÁ: àõñ»ÙÝ` inx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ áõÝÇ +c ë³ÑÙ³Ý: ºÃ» Ε -Ý í»ñç³íáñ ¿ ¨ Ε= max0n , ³å³ µáÉáñ
0nn > µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÏáõݻݳÝù` 0<− cxn ¨ =− cxn - cxn − : ²Ûë
¹»åùáõÙ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ −c ë³ÑÙ³ÝÁ: ²Ûë-
åÇëáí, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÙÇßï ϳñ»ÉÇ ¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É »Ýóѳçáñ-
136
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÁ ½áõ·³ÙÇïÇ ε+c ÃíÇÝ, áñï»Õ 1=ε ϳ٠1−=ε : ø³ÝÇ áñ
ε+c ÃÇíÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ inx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, áñÇ
³Ý¹³ÙÝ»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý ];[ ba ѳïí³ÍÇÝ, ³å³ ];[ bac ∈+ ε : ε+c
Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí, ÏáõݻݳÝù, áñ )(inxf
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ )( lcf ε+ ë³ÑÙ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí`
=−=−=−+ +∞→∞→cxcxfccf
ii nini 1lim)(lim)( ε : (24)
( 1
cxin −+
-Ý ÉÇÝ»Éáí cxn − ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ
áõÝÇ ë³ÑÙ³ÝÁ): ºÃ» ÁݹáõÝ»Ýù` 0> , ³å³ (22) ¨ (24) ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó
ÏÑ»ï¨Ç , áñ`
=ε<−ε+=−ε+= )()()( cfcfccf : (25)
êï³óí»ó` < ѳϳë³Ï³Ý ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ, ѻ勉µ³ñ` 0= :
²ÛëåÇëáí` ccf =)( ¨ cxnn=
∞→lim : ∆
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 4: »áñ»Ù 3-áõÙ ];[ baF = ѳïí³ÍÁ ãÇ Ï³ñ»ÉÇ ÷á˳ñÇÝ»É
³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³Ûùáí: Æñáù, ¹Çóáõù`
Rxarctgxxxf ∈∀π+−= ,2/)( : (26)
лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ f -Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï ãáõÝÇ, µ³Ûó ï»ÕÇ áõÝÇ`
212121212
2
2121 ,,,1
)()()( xxRxxxxxxu
uxxufxfxf ≠∈∀−<−+
=−′=−
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ u -Ý 1x ¨ 2x Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ áñáß³ÏÇ Ï»ï ¿:
»áñ»Ù 4 : ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ baF = ѳïí³ÍáõÙ ¨
³Û¹ ѳïí³ÍáõÙ áñáßí³Í ¿ NnxfxFxx nnn ∈∀=∈ − ),(,: 10 ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ:
²Û¹ ¹»åùáõÙ`
³) ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ F ѳïí³ÍáõÙ, ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Fc∈ ë³ÑÙ³Ý, áñ ccf =)( :
µ) ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ F ѳïí³ÍáõÙ, ³å³ 2kx ¨ 12 −kx »Ýó-
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý, áõÝ»Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ, ¨ ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý xxff =))(( ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ:
137
²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù` 01 xx ≥ : سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí
³å³óáõó»Ýù, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ ¿, ³ÛëÇÝùÝ` ,1 nn xx ≤−
Nn∈∀ : ºÃ» 1=n , ³å³ 01 xx ≥ , Áëï å³ÛÙ³ÝÇ: ºÝó¹ñ»Ýù 12 −− ≤ nn xx :
ø³ÝÇ áñ f -Ý ³×áÕ ¿, ³å³
nnnnnn xxfxfxxx =≤=⇒≤ −−−−− )()( 12112 : (27)
àõñ»ÙÝ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ ¿ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ,( 0 bxx n ≤≤
)Nn∈∀ : л勉µ³ñ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ c ë³ÑÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
bcxa ≤≤≤ 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:
ÜÙ³Ý Ó¨áí ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »Ã» 10 xx ≥ , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ã³×áÕ ¿: ²Ûë ¹»åùáõÙ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿
Ý»ñù¨Çó` a -áí, ѻ勉µ³ñ, ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ c ë³ÑÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿
bxca ≤≤≤ 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:
ø³ÝÇ áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Fc∈ Ï»ïáõÙ, ³å³ )( nxf ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ )(cf ë³ÑÙ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí, 1+nx ¨ )( nxf ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝó ѳٳå³ï³ëË³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý,
áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ë³ÑÙ³ÝÁ: àõñ»ÙÝ` )(cfc = :
êï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇÝ ï³Ýù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»Ïݳµ³ÝáõÃÛáõÝ:
¸Çóáõù f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 0x ³µëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-
˳ÝáõÙ ¿ 1x ûñ¹Çݳï: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ ÏÇëáÕ` xy =
áõÕÕÇ 1x ûñ¹Çݳï áõÝ»óáÕ Ï»ïÝ áõÝÇ 1x ³µëóÇë, áñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳Ý
Ï»ïÁ f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ áõÝÇ` )( 12 xfx = ûñ¹ÇݳïÁ: ì»ñóÝ»Ýù 2x
ûñ¹Çݳï áõÝ»óáÕ Ï»ïÁ xy = áõÕÕÇ íñ³: ¸ñ³Ý ѳٳå³ï³ëË³Ý Ï»ïÁ f
ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ áõÝÇ` )( 23 xfx = ûñ¹ÇݳïÁ ¨ ³ÛÉÝ: Üϳñ 8-Á
ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ³ÛÝ ¹»åùÇÝ, »ñµ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿,
ÇëÏ Ýϳñ 9-Á , »ñµ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿:
138
µ) ø³ÝÇ áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ Ýí³½áÕ ];[ baF = ѳïí³ÍáõÙ
(ÝÏ10.), ³å³ F -Ç Ï»ñå³ñÁ` )]();([)( afbfFf = , ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³ïí³Í ¨ Áëï
å³ÛÙ³ÝÇ` Nnafbfxn ∈∀∈ )],();([ : ff ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ³×áÕ
];[ ba ѳïí³ÍáõÙ: Æñáù, ó³Ýϳó³Í ∈′′′ xx , ];[ ba Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛÝåÇëÇÝ,
áñ xx ′′<′ , áõÝ»Ýù`
)()()()()()( xffyfyfxffyxfxfyxx ′′=′′<′=′⇒′′=′′>′=′⇒′′<′ : (28)
л勉µ³ñ, ff ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇçáóáí ϳéáõóí³Í ó³Ýϳó³Í ³Ý¹ñ³-
¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ýϳïٳٵ ϳñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ëáõÛÝ Ã»áñ»ÙÇ ³)
Ù³ëÁ: سëݳíáñ³µ³ñ, Ñ»ï¨Û³É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ`
:,)(,:
,,)(,:
1212112
22202
Nkxffxxx
NkxffxFxx
kkk
kkk
∈=
∈=∈
−++
−
(29)
Üßí³Í` (29) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï, ѻ勉-
µ³ñ` ½áõ·³Ù»ï »Ý, Áݹ áñáõÙ, »Ã» cx kk′=
∞→ 2lim , cx kk′′=+∞→ 12lim , ³å³
ccff ′=′))(( ¨ ccff ′′=′′ ))(( :
лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ »Ã» ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ãÝí³½áÕ ¿,
³å³ ÙÛáõëÁ ã³×áÕ ¿: úñÇݳÏ`
Nkxxfxfxxx nnnnnn ∈∀=≤=⇒≥ −−+− ,)()( 1222212222 : (30)
гëϳݳÉÇ ¿, áñå»ë½Ç nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï,
³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ cc ′′=′ : ²ÏÝѳÛï ¿, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ`
ccc =′′=′ -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ xxff =)( ѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ: ∆
a 0 c 3x 2x 1x 0x b x
y
ÝÏ.8.
a 0 c 3x 2x 1x 0x b x
y
ÝÏ.9.
139
л勉Ýù 1: ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ áõ ³Í³Ýó»ÉÇ ];[ baF =
ѳïí³ÍáõÙ ¨ xxf =)( ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Fc∈ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ïÁ` ccf =)( :
¸Çóáõù` NnxfxFxx nnn ∈∀=∈ − ),(,: 10 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`
³) ºÃ» Fxxf ∈∀≤′≤ ,1)(0 , ³å³ NnFxn ∈∀∈ , , nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ áõÝÇ c ë³ÑÙ³ÝÁ ( F -Á ÙïÝáõÙ ¿ f ýáõÝÏódzÛÇ c
³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ù»ç):
µ) ºÃ» Fxxf ∈∀≤′≤− ,0)(1 ¨ Fxfx ∈= )( 01 , ³å³ NnFxn ∈∀∈ , , 2kx ¨
12 +kx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý ¨ ½áõ·³ÙÇïáõÙ »Ý`
xxff =)( (31)
ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ:
·) ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f ýáõÝÏódzÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ δ -ßñç³Ï³Ûù`
);( δδ +− cc ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ );(,1)( δδ +−∈∀≥′ ccxxf , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ ½áõ·³ÙÇïáõÙ c -ÇÝ ( c Ï»ïÁ í³ÝáÕ ¿):
²å³óáõÛó: ³) гٳӳÛÝ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Ç, áõÝ»Ýù`
:)()(01)(0),()()()()()(cafaacafcuf
cuaufacafcfafc≤≤⇒−≤−≤⇒≤′≤
<<′−=−=− (32)
ÜáõÛÝ Ó¨áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ bbfc ≤≤ )( : ø³ÝÇ áñ f -Á ãÝí³½áÕ ¿ F -Ç
íñ³, ѻ勉µ³ñ` ];[)]();([)( babfafFf ∈= : àñï»ÕÇó ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ-
¹áõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ NnFxn ∈∀∈ , : ÎÇñ³é»Éáí ûáñ»Ù 4-Á`
Ïëï³Ý³Ýù, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿, ë³ÑÙ³ÝÁ å³ïϳÝáõÙ ¿
];[ ba ѳïí³ÍÇÝ ¨ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ xxf =)( ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ: ø³ÝÇ áñ
a 0 c 3x 2x 1x 0x b x
y
ÝÏ10.
)(xfy =
140
Áëï å³ÛÙ³ÝÇ` ³Û¹ ѳí³ë³ñáõÙÁ F -áõÙ áõÝÇ ÙdzÛÝ c ³ñÙ³ïÁ, ѻ勉µ³ñ
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ c -Ý ¿:
µ) àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, »Ýó¹ñ»Ýù 10 xx < : Àëï å³ÛÙ³ÝÇ Fxx ∈10 , :
гٳӳÛÝ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Ç, áõÝ»Ýù`
:00)(1),()()()()(
1200121
10101021
xxxxxxxufxuxxxufxfxfxx
≤≤⇒−≤−≤⇒≤′≤−<<−′=−=−
(33)
ø³ÝÇ áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ F -Ç íñ³, ѻ勉µ³ñ` =]);([ 10 xxf
];[];[)]();([ 101201 xxxxxfxf ∈= : ²ÛëåÇëáí, ff ýáõÝÏóÇ³Ý ],[ 10 xx ѳï-
í³ÍáõÙ áñáßí³Í ¿, ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ`
];[),())(()( 10 xxxxfxffxff ∈∀′′=′ : (34)
],[ 10 xx ѳïí³ÍáõÙ (Ù³ëݳíáñ³µ³ñ x ¨ )(xf Ï»ï»ñáõÙ) f ′ ³Í³ÝóÛ³É
ýáõÝÏódzÛÇ ÁݹáõÝ³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý -1-Ç ¨ 0-Ç ÙÇç¨: л勉µ³ñ`
];[,1)(0 10 xxxxff ∈∀≤′< : (35)
êï³ó³Ýù, áñ ff ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ëáõÛÝ Ñ»ï¨³ÝùÇ ³) Ù³ëÇ
å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ ëáõÛÝ Ñ»ï¨³ÝùÇ ³) Ù³ëÇ
:,)(,:,,)(,:
1212112
22202
NkxffxxxNkxffxxx
kkk
kkk
∈=∈=
−++
−
(36)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Ïëï³Ý³Ýù` kx2 , ,12 Fx k ∈+ 0∪∈∀ Nk (Ñ»ï¨-
³µ³ñ` NnFxFx n ∈∀∈∈ ,,0 ), kx2 ¨ 12 +kx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ùá-
ÝáïáÝ »Ý, ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ ¹ñ³Ýó ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý (31) ѳí³ë³ñ-
Ù³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ:
·) ¸Çóáõù` ):(];[ δδβα +−⊂ cc ¨ βα << c : ºÃ» ÁݹáõÝ»Ýù, áñ nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ c -ÇÝ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ Ïáõݻݳ N N∈
ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ÏáõݻݳÝ`
βα << nx ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ`
cxcxcxufcfxfcx nnnnn −≥−⇒−′=−=− ++ 11 ))(()()( (37)
êï³óí³Í (37) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ ½áõ·³ÙÇïáõÙ c -ÇÝ, ѳϳé³Ï Ù»ñ ÁݹáõÝ»ÉáõÃÛ³ÝÁ (ѳëϳݳÉÇ ¿,
áñ µ³ó³éáõÃÛáõÝ ¿ ϳ½ÙáõÙ ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñµ =c ......10 ==== nxxx ): ∆
141
úñÇÝ³Ï 1: 1x -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Nnxfxxx nnn ∈=+ ),(,: 11 ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿.
³) Nnxxx nxnn ∈= −+ ,2,: 1
11 , µ) Nnarctgxxxxx nnnn ∈++=+ ,4/,: 11 π ,
·) ( ) ( ) 2,0,,,)1(,: 111 ≥>∈−+= −
+ kaNnkkxxkaxxx kn
knnn :
ÈáõÍáõÙ: ³) I »Õ³Ý³Ï: Üßí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áõÙ 12)( −= xxf : лßï ¿
ѳÙá½í»É áñ f ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÝ »Ý` 2,1 21 == cc : ¸Çï³ñÏ»Ýù
»ñ»ù ¹»åù»ñ` 1) ¸Çóáõù` ]1;(1 −∞∈x : òáõÛó ï³Ýù, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿ ¨ í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï`1-áí: ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí:
¸Çóáõù` 1=n , Ïëï³Ý³Ýù` 211
1 2 xx x =≤ − : ºÝó¹ñ»Ýù` nn xx <−1 , óáõÛó ï³Ýù,
áñ 1+< nn xx : Æñáù, ù³ÝÇ áñ f -Á ³×áÕ ¿, ³å³ <⇒< −−
− 11
12 nxnn xx ⇔−12 nx
1+< nn xx : л勉µ³ñ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿: òáõÛó ï³Ýù, áñ ³ÛÝ
ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó 1-áí: Æñáù, ÝáñÇó û·ïí»Ýù ٳûٳïÇϳϳÝ
ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Çó: ¸Çóáõù` 1=n , Ïëï³Ý³Ýù` 12 12
1 ≤= −xx : ºÝó¹ñ»Ýù`
11 ≤−nx , Ïëï³Ý³Ýù` 12 11 ≤= −−nxnx : àõñ»ÙÝ, ѳٳӳÛÝ ÇݹáõÏódzÛÇ`
Nnxn ∈∀≤ ,1 : л勉µ³ñ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý ¨ ³Û¹
ë³ÑÙ³ÝÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ]1;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ: ø³ÝÇ áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f
ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙdzÏ` 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ, ѻ勉µ³ñ` 1lim =∞→ nn
x :
2) ¸Çóáõù` )2;1(1 ∈x : òáõÛó ï³Ýù áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨
ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó 1-áí: ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù ٳûٳïÇϳϳÝ
ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí: ¸Çóáõù` 1=n , ÏáõݻݳÝù` 111
2 2 xx x <= − : ºÝó¹ñ»Ýù`
nn xx >−1 , óáõÛó ï³Ýù, áñ 1+> nn xx : Æñáù, ù³ÝÇ áñ f -Á ³×áÕ ¿, ³å³
>⇒> −−−
111 2 nx
nn xx 112 +− >⇔ nn
nx xx : л勉µ³ñ, nx -Á Ýí³½áÕ ¿: òáõÛó
ï³Ýù, áñ ³ÛÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó 1-áí: ²å³óáõóáõÙÁ ϳï³ñ»Ýù ٳû-
Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí: ¸Çóáõù` 1=n , Ïëï³Ý³Ýù` 122 0112 =≥= −xx :
ºÝó¹ñ»Ýù` 11 ≥−nx , Ïëï³Ý³Ýù` ≥= −− 112 nxnx 120 = : àõñ»ÙÝ, nx ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý áõÝÇ, ¨ ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ );1[ 1x ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ:
ø³ÝÇ áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙdzÏ` 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ,
ѻ勉µ³ñ` 1lim =∞→ nn
x :
3) ¸Çóáõù` );2(1 +∞∈x : òáõÛó ï³Ýù, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿:
142
ÜáñÇó û·ïí»Ýù ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Çó: ¸Çóáõù` 1=n ,
Ïëï³Ý³Ýù` 111
2 2 xx x ≥= − : ºÝó¹ñ»Ýù` nn xx <−1 , óáõÛó ï³Ýù, áñ 1+< nn xx :
Æñáù, ù³ÝÇ áñ f -Á ³×áÕ ¿, ³å³ 1111
1 22 +−−−
− <⇔<⇒< nnnxnx
nn xxxx : л勉-
µ³ñ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ );2( +∞ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ë³ÑÙ³Ý ãáõÝÇ:
º½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝ: )2;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý
ïÇñáõÛÃÝ ¿, 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ Ó·áÕ ¿: 22 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ í³ÝáÕ ¿,
Nnxxx nxnn ∈=+∞∈ −+ ,2),;2(: 1
11 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
II »Õ³Ý³Ï: ¸Çóáõù` );2loglog1( 2 ∞+−∈x : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` 1)( >′ xf , ѻ勉-
µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç, 22 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ í³ÝáÕ ¿: àõñ»ÙÝ, »Ã»
);2loglog1( 2 ∞+−∈x ¨ 21 cx ≠ , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ ½áõ·³ÙÇ-
ïáõÙ 2c -ÇÝ: ºÃ» 21 cx = , ³å³ Nncxn ∈∀= ,2 , ѻ勉µ³ñ` 2lim 2 ==∞→
cxnn:
¸Çóáõù a -Ý 11 =c -Çó ÷áùñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ f -Á
³×áÕ ¿ ];[ 2ca ѳïí³ÍáõÙ ¨ ];[]);([ 22 cacaf ⊂ : л勉µ³ñ` ],;[: 21 caxxn ∈
Nnx nxn ∈= −+ ,2 11 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ ];[ 2ca ѳïí³ÍáõÙ: гٳ-
Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 4-Ç ³ÛÝ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ, »Ã» 21 cx ≠ ( 2c -Á
í³ÝáÕ ¿!): ø³ÝÇ áñ í»ñáÑÇßÛ³É åݹáõÙÝ»ñÁ ×Çßï »Ý Ý³¨ ó³Ýϳó³Í
µ³ó³ë³Ï³Ý a -Ç Ñ³Ù³ñ, ѻ勉µ³ñ );( 2c−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ 11 =c Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ
½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛà ¿: ²ÛëåÇëáí, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï
¿, »Ã» ];( 21 cx −∞∈ ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »Ã» );( 21 +∞∈ cx (ÝÏ. 11.):
0 1 3x 2x 1x 2 x
y
ÝÏ.11.
12 −= xy
143
µ) ²Ûë ûñÇݳÏáõÙ` ,01
)(;)(;4
)( 2
2
>+
=′=+−=x
xxfRfDarctgxxxf π
Rx∈∀ : f ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ ÉáõÍ»Ýù ѳí³ë³ñáõÙÁ`
144
)( =⇔=⇔+−=⇔= xarctgxarctgxxxxxf ππ:
²ÛëåÇëáí 1=x Ï»ïÁ f ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ïÝ ¿: ø³ÝÇ áñ
Rxxf ∈∀<′≤ ,1)(0 , ³å³ 21212121 ,,,)()( xxRxxxxxfxf ≠∈∀−<− :
¸Çóáõù 1>r Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿ ¨ ];[1 rrx −∈ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` =− ]);([ rrf
];[)]();([ rrrfrf −⊂−= : л勉µ³ñ, ó³Ýϳó³Í ];[1 rrx −∈ ³ñÅ»ùÇ ¹»å-
ùáõÙ áñáßí³Í ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 3-Ç, ½áõ·³ÙÇ-
ïáõÙ ¿ 1=x ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ:
ø³ÝÇ áñ r -Á ϳñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É ó³Ýϳó³Í ã³÷áí Ù»Í, ³å³ 1=x ³Ýß³ñÅ
Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ÏÉÇÝÇ );( +∞−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ (ÝÏ. 12.):
·) ¸Çóáõù k -Ý ½áõÛ· ¿: Üϳï»Ýù, áñ`
:11)(,)1()( 1
−
−=′−+
=− kk
k
xa
kkxf
xkxkaxf
f ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÝ »Ý` kk acac =−= 21 , : àõÝ»Ýù ݳ¨`
+∞<≤
−≤<∞−⇔
−≤′≤
xa
axk
kxfk
k1)(0 : (38)
ø³ÝÇ áñ ( ) ( ) );[);[,];(];( +∞⊂+∞−−∞⊂−−∞ kkkk aafaaf , ³å³ f ýáõÝÏ-
óÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿ ];( k a−−∞ ¨ );[ +∞k a ÷³Ï ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ:
ÝÏ. 12.
x
y
3x 1
2x 0
1x
144
гٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 1-Ç, »Ã» ];(1k ax −−∞∈ , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac −=1 -ÇÝ, ÇëÏ »Ã» );[1 +∞∈ k ax , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac =2 -ÇÝ:
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» )0;(1k ax −∈ , ³å³ ];(2
k ax −−∞∈ , ÇëÏ »Ã» );0(1k ax ∈ ,
³å³ );[2 +∞∈ k ax : ø³ÝÇ áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿ ];( k a−−∞ ¨ );[ +∞k a
÷³Ï ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ, ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac −=1 -ÇÝ Ï³Ù k ac =2 -ÇÝ:
²ÛëåÇëáí, »Ã» )0;(1 −∞∈x , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ
¿ k ac −=1 -ÇÝ, ÇëÏ »Ã» );0(1 +∞∈x , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ
½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac =2 -ÇÝ (ÝÏ. 13.):
¸Çóáõù k -Ý Ï»Ýï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ù»Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ï`
k ac = : ܳËáñ¹ ¹»åùÇ ÝÙ³Ý óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿
);[ +∞k a ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ »Ã» );0(1k ax ∈ , ³å³ );[2 +∞∈ k ax : л勉-
µ³ñ, »Ã» );0(1 +∞∈x , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac = -ÇÝ:
Üϳï»Ýù, áñ )0;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÇ áã µáÉáñ Ï»ï»ñÝ »Ý, áñ å³ïϳÝáõÙ »Ý
k ac = ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ: úñÇݳÏ, »Ã» )0;(1 −∞∈x
0 1x 2x x k a
k a−
ÝÏ. 13.
145
³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ 0)(... 1 == xfffxn
n , ³å³ 1x -Á
ãÇ å³ïϳÝáõÙ k ac = ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ (ÝÏ. 14.):
úñÇÝ³Ï 2: лﳽáï»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ, »Ã»`
³) Nnxxxxx
n
nnn ∈
++
== + ,21,0: 11 ; µ) Nn
xxaxx
nnn ∈
+=−>= + ,
11,1: 11 ;
·) Nnxxxx nnn ∈−== + ,)1(,2/1: 211 :
ÈáõÍáõÙ: ³) ²Ûëï»Õ`21)(
++
=xxxf , áñÁ [0;1] ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³×áÕ
¿ ¨ ( ) ]1;0[]1;0[ ⊂f : سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí Ñ»ßï ¿ óáõÛó ï³É,
áñ Nnxn ∈∀<≤ ,10 : л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 1-Ç nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿`
21
++
=xxx ϳ٠012 =++ xx
ѳí³ë³ñÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇÝ` ( ) 2/15 −=c :
µ) ²Ûëï»Õ`1
1)(+
=x
xf : лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ f -Á Ýí³½áõÙ ¿ );1( +∞− ÙÇ-
ç³Ï³ÛùáõÙ: ²Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f -Ý áõÝÇ Ù»Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ï` ( ) 2/15 −=c : 12 +kx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿, »ñµ ),1( ca −∈ ¨ Nkx k ∈∀<< + ,10 12 , ÇëÏ
2kx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨ 22 xxc k ≤< : л勉µ³ñ, ³Û¹ »Ýó-
0 2x x k a
ÝÏ. 14.
1x
146
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý: ¸Çóáõù` xxxx kkkk′′=′=
∞→+∞→ 212 lim,lim :
²Û¹ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí, ÏáõݻݳÝù`
′+=′′
′′+′+′′−′
=′′−′⇔
′+=′′
′′+=′
xx
xxxxxx
xx
xx
11
)1)(1(
11
11
:
ø³ÝÇ áñ 1)1)(1( >′′+′+ xx , ³å³ xx ′′−′ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ
ÉÇÝ»É ãÇ Ï³ñáÕ: àõñ»ÙÝ` nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 12 +kx ¨ 2kx »Ýó-
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ë³ÑÙ³ÝÁ: л勉µ³ñ, nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ( ) 2/15lim −=∞→ nn
x : ÜáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ïëï³Ý³Ýù, »ñµ
);( +∞∈ ca : ²Ûë ¹»åùáõÙ 12 +kx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿, ÇëÏ 2kx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ` ³×áÕ: ºÃ» ( ) 2/15 −=a , ³å³ Nnaxn ∈∀= , , ѻ勉-
µ³ñ, axnn=
∞→lim :
·) ²Ûëï»Õ` 2)1()( xxf −= , áñÁ [0;1] ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ Ýí³½áÕ:
سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí Ñ»ßï ¿ óáõÛó ï³É, áñ ,10 <≤ nx
Nn∈∀ : 12 −kx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿, Áݹ áñáõÙ` 13 2/116/9 xx =>= :
ø³ÝÇ áñ ³ÛÝ Ý³¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ѻ勉µ³ñ, áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý` x′ ( ≤16/9
1≤′x ): 2kx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿, ¹ñ³ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ
¿` 4/12 =x : ø³ÝÇ áñ ³ÛÝ Ý³¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ѻ勉µ³ñ, áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý` x ′′
( 4/10 ≤′′≤ x ) : x′ ¨ x ′′ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ ã»Ý: л勉µ³ñ, nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
Üϳï»Ýù, áñ x′ -Á ¨ x ′′ -Á áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³-ϳñ·Çó`
=′′=′
⇒
=′′′=′′+′
⇔
′−=′′
′′−=′
;0,1
;0,1
;)1(,)1(
2
2
xx
xxxx
xxxx
:
úñÇÝ³Ï 3: a -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ` ,22
,2
:2
10
−+== nnn
xaxaxx Nn∈
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:
ÈáõÍáõÙ: ²Ûëï»Õ`22
)(2xaxf += ¨ =−⇔=+⇔= 2
2
)1(22
)( xxxaxxf
147
a−1 : л勉µ³ñ, »Ã» 1>a , ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï ãáõÝÇ ¨ Ùdzų-
Ù³Ý³Ï nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
øÝݳñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ¹»åù»ñÁ` I ¹»åù. 10 ≤< a : Üϳï»Ýù, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ]1;0[ ѳïí³ÍáõÙ áõÝÇ ÙdzÛÝ
Ù»Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ï` ac −−= 111 : лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ ]1;0[])1;0([ ⊂f ¨ »ñµ
]1;0[∈x , ³å³ 1)(0 ≤′≤ xf : سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí Ñ»ßï ¿
óáõÛó ï³É, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ ]1;0[ ѳïí³ÍáõÙ:
²ÛëåÇëáí, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç , ³) Ï»ïÇ µáÉáñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ: л勉µ³ñ,
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿` ac −−= 111 ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ:
II ¹»åù. 03 <≤− a : ²Ûë ¹»åùáõÙ` ]0;2/[])0;2/([,01 1 aafc ⊂<≤− ¨ f -Á
Ýí³½áõÙ ¿ [a/2;0] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ã»áñ»Ù 4-Ç, 12 −kx ¨
2kx »Ýóѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý, ½áõ·³Ù»ï ¨ ¹ñ³Ýó ë³ÑÙ³Ý-
Ý»ñÁ` xxxx kkkk′′=′=
∞→−∞→ 212 lim,lim µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³-
ٳϳñ·ÇÝ`
′+=′′
′′+′′−′′=′′−′⇔
′+=′′
′′+=′
;22
),)((21
;22
,22
22
2
xax
xxxxxx
xax
xax , (39)
áñÁ ѳٳñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳٳϳñ·»ñÇ Ñ³Ù³ËÙµÇÝ`
=+′′−′
′′=′
;02,
2 axxxx
ϳÙ
=+′′−′
−=′′+′
;02,2
2 axxxx
; (40)
Üϳï»Ýù, áñ (40) ѳٳËÙµÇ ³é³çÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ ¿` 1cxx =′′=′ :
ºñÏñáñ¹ ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ ÉáõÍáõÙ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 3−=a : ²Û¹ ¹»å-
ùáõÙ` 11 cxx =−=′′=′ : ²ÛëåÇëáí, (39) ѳٳϳñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ ¿` 1cxx =′′=′ :
III ¹»åù. 3−<<∞− a : ²Ûë ¹»åùáõÙ` 11 −<c ¨ ∈∀>=′ xxxf ,1)( )1;( −−∞ :
л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç ·) Ï»ïÇ, nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ
½áõ·³ÙÇïáõÙ` ac −−= 111 ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ ( 1c Ï»ïÁ í³ÝáÕ ¿):
Üϳï»Ýù, áñ »ñµ 20 2/ cax −== , áñï»Õ ac −+= 112 -Á f -Ç ÙÛáõë
³Ýß³ñÅ Ï»ïÝ ¿, ³å³ Nncxn ∈∀= ,2 : л勉µ³ñ` 2lim cxnn=
∞→: ì»ñçÇÝë
Ñݳñ³íáñ ¿, »ñµ 8−=a :
148
º½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝ: ºÃ» 13 <≤− a , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ-
·³Ù»ï ¿ ¨ acxnn−−==
∞→11lim 1 , »Ã» 8−=a , ³å³ 4lim 2 ==
∞→cxnn
: a -Ç
Ùݳó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñáõÙ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:
2. öá÷áË³Ï³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3 : nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ ·Í³ÛÇÝ
Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÁ`
,,),()(...)()( 011 NkNnnfxnaxnaxna nnkknkk ∈∈∀=+++ −+−+ (41)
áñï»Õ )(),...,(),( 10 nanana k ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ ¨ )(nf -Á µÝ³Ï³Ý ³ñ·áõÙ»ÝïÇ
ýáõÝÏódzݻñ »Ý, Áݹ áñáõÙ` Nnna ∈∀≠ ,0)(0 ¨ Nnnak ∈∀≠ ,0)( , ÏáãíáõÙ ¿
k -ñ¹ ϳñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙ, ÇëÏ
Nnxnaxnaxna nnkknkk ∈∀=+++ −+−+ ,0)(...)()( 011 (42)
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ` (41) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ѳ-Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙ:
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» ïñí³Í ¿ (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý k ѳï Çñ³ñ ѳçáñ¹áÕ Ñ³Ù³ñÝ»ñ
áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ`
,,,...,, 1211 Nmaxaxax kkmmm ∈=== −++ (43)
³å³ ³Û¹ ³ñÅ»ùÝ»ñáí, ÙdzñÅ»ùáñ»Ý, áñáßíáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: Æñáù, ù³ÝÇ áñ` Nnnak ∈∀≠ ,0)( , ³å³ (41) -Çó Ïëï³Ý³Ýù`
Nnnanfx
nana
xnana
xk
nk
knk
kkn ∈+−−−= −+
−+ ,
)()(
)()(
...)()( 0
11 : (44)
гçáñ¹³µ³ñ (4)-áõÙ ï»Õ³¹ñ»Éáí ,...1, +== mnmn ÏáõݻݳÝù` nx ѳ-
çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ 1−m -Çó Ù»Í Ñ³Ù³ñÝ»ñ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: ÜÙ³Ý
Ó¨áí, ù³ÝÇ áñ Nnna ∈∀≠ ,0)(0 , ³å³ (41)-Çó Ïëï³Ý³Ýù`
Nnnanfx
nana
xnana
x nknk
n ∈+−−−= ++ ,)()(
)()(
...)()(
01
0
1
0
: (45)
гçáñ¹³µ³ñ (45)-áõÙ ï»Õ³¹ñ»Éáí ,1,...2,1 −=−= mnmn Ïëï³Ý³Ýù`
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ùݳó³Í ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ` ,, 21 −− mm xx 1..., x :
149
Üϳï»Ýù, áñ »Ã» (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç 0)(0 =na , µ³Ûó
Nnnak ∈∀≠ ,0)( , ³å³ ϳï³ñ»Éáí nn ′=+1 ï»Õ³¹ñáõÙ, (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ µ»ñ»É 1−k ϳñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý:
¸Çóáõù å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ nx
ÉáõÍáõÙÁ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (43) ݳËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, ³ëáõÙ »Ý, áñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ÉáõÍ»É (41), (43) ÎáßÇÇ ËݹÇñÁ: ²ÏÝѳÛï ¿, áñ (41),
(43) ÎáßÇÇ ËݹñÇ ÉáõÍáõÙÁ, ÙÇ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áñÇ nx n -ñ¹
³Ý¹³ÙÁ ϳËí³Í ¿ (43) ݳËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇó` =nx ),...,,,( 21 kaaanp :
¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍÙ³Ý ï»ëùÁ:
»áñ»Ù 5 : ºÃ» ,...,, )()2()1( pnnn xxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42) ³Ý¹-
ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³`
Nnxcxcxcx pnpnnn ∈+++= ,... )()2(
2)1(
1 (46)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ 1c -Á, 2c -Á, pc..., -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ
»Ý, ÝáõÛÝå»ë (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿:
Ü߳ݳϻÝù ( ),...,, )()2()1( knnnn xxx∆ –áí Ñ»ï¨Û³É áñáßÇãÁ`
( ))(
1)(1
)(
)2(1
)2(1
)2(
)1(1
)1(1
)1(
)()2()1(
...
...
...
,...,,
kkn
kn
kn
knnn
knnn
knnnn
xxx
xxx
xxx
xxx
−++
−++
−++
−−−−−−−−−=∆ (47)
È»ÙÙ³ 1 : ¸Çóáõù` ,...,, )()2()1( knnn xxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42)
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, (47) áñáßÇãÁ ϳ٠ó³Ýϳó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ϳ٠ѳí³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ n -Ç ó³Ýϳó³Í ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:
ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : ,...,, )()2()1( knnn xxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ
»Ý (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ, »Ã» ¹ñ³Ýù
µ³í³í³ñáõÙ »Ý (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý ,, 21 cc
kc..., ³ÛÝåÇëÇ Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ (áñáÝù áã µáÉáñÝ »Ý ѳí³ë³ñ ½ñáÛÇ), áñå»ë½Ç
0)()2(2
)1(1 =+++ k
nknn xcxcxc (48)
ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõݻݳ µáÉáñ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:
È»ÙÙ³ 2 : ºÃ» ,...,, )()2()1( knnn xxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ( ),...,, )()2()1( knnnn xxx∆
150
áñáßÇãÁ ó³Ýϳó³Í ÃáõÛɳïñ»ÉÇ n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ѳí³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ:
гϳé³ÏÁ, »Ã» (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ,...,, )()2()1( knnn xxx ÉáõÍáõÙ-
Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ ( ),...,, )()2()1( knnnn xxx∆ áñáßÇãÁ ·áÝ» Ù»Ï n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ѳ-
í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ, ³å³ ,...,, )()2()1( knnn xxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42)
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý:
»áñ»Ù 6: ºÃ» ,...,, )()2()1( knnn xxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42)
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ³Û¹ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
,,... )()2(2
)1(1 Nnxcxcxcx k
nknnn ∈+++= (49)
áñï»Õ, 1c -Á, 2c -Á,…, kc -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý:
¶Í³ÛÇÝ ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍÙ³Ý ï»ëùÁ:
»áñ»Ù 7: (41) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ Éáõ-ÍáõÙÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñϳ۳óÝáõÙ ¿ ¹ñ³ áñ¨¿ Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍÙ³Ý ¨ (42) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍÙ³Ý ·áõÙ³ñÁ`
Nnxxx nnn ∈+= , : (50)
(50)-áõÙ nx -Á (41) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ Ù³ëݳÏÇ
ÉáõÍáõÙ ¿, ÇëÏ nx -Á (42) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ
ÉáõÍáõÙÝ ¿: л勉Ýù 2: »áñ»Ù 6-Çó ¨ Ã»áñ»Ù 7-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (41) ³Ýѳٳë»é
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ
Nnxxcxcxcx nk
nknnn ∈++++= ,... )()2(2
)1(1 , (51)
ï»ëùÁ, áñï»Õ` 1c -Á, 2c -Á kc,..., -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý, )1(nx -Á,
)2(nx -Á ,..., )(k
nx -Ý (42) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝϳË
ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ÇëÏ nx -Á (41) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿
Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙ ¿: л勉Ýù 3: ºÃ» (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ç Ù³ëÇ )(nf ýáõÝÏ-
óÇ³Ý Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿` )()()( 21 nfnfnf += ï»ëùáí, ³å³ (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³-
í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É Nnxxx nnn ∈+= ,)2()1(
ï»ëùáí, áñï»Õ )(inx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý
Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙ ¿, »ñµ ³ç Ù³ëáõÙ )(nf i ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ ( 2,1=i ):
151
Üϳï»Ýù, áñ (41) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ, ëáíáñ³µ³ñ, ·ïÝáõÙ »Ý ³Ûëå»ë Ïáãí³Í ѳëï³ïáõÝÇ í³ñdzódzÛÇ Ù»Ãá¹áí, áñÇ ¿áõÃÛáõÝÁ ϳ۳ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³ÉáõÙ:
¸Çóáõù ϳéáõó»É »Ýù (42) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (49)
ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ: ²ÛÅÙ kccc ,...,, 21 ѳëï³ïáõÝÝ»ñÁ ÷á˳ñÇÝ»Ýù n µÝ³-
Ï³Ý ÃíÇó ϳËí³Í` )(...,),(),( 21 ncncnc k ³ÝѳÛï ýáõÝÏódzݻñáí ¨ ¹ñ³Ýù
ÁÝïñ»Ýù ³ÛÝå»ë, áñ`
Nnxncxncxncxncx ln
k
l lk
nknnn ∈=+++= ∑ =,)()(...)()( )(
1)()2(
2)1(
1 (52)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ (41) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ë-
ݳÏÇ ÉáõÍáõÙ: Üϳï»Ýù, áñ )(ncl ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý ѳëï³ïáõÝ ·áõ-
Ù³ñ»ÉÇÇ ×ßïáõÃÛ³Ùµ, ù³ÝÇ áñ ,, )2()1(nn xx ..., )(k
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (42) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ`
klNnxnaxnaxna ln
lknk
lknk ,...2,1,0,,0)(...)()( )(
0)(
11)( =∈=+++ −+−+ : (53)
(52) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï»Õ³¹ñ»Ýù (41) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç, ÏáõݻݳÝù`
[ ]:),()()]()([)(
)()()]()([)(
)()()]()([)(
)()()()(
1)(
10
)(01
)(10
)(10
)(10
)(100
Nnndnaxncjncna
xnancxncjncna
xncnaxncjncna
xjncnaxnanf
jk
j jl
jnlk
l lk
j j
ljn
k
j jk
l ll
jnlk
l lk
j j
ljn
k
l lk
j jl
jnlk
l lk
j j
ljn
k
l lk
j jjnk
j j
∈∀=−+=
=+−+=
=+−+=
=+==
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑
=+==
+==+==
+==+==
+==+=
(54)
áñï»Õ`
kjNnxncjncnd ljn
k
l llj ,...,2,1.0,,)]()([)( )(1
=∈−+= +=∑ : (55)
²ÛëåÇëáí`
Nnndnanf jk
j j ∈∀=∑ =),()()(
1: (56)
²Ûëï»Õ ѳßíÇ ¿ ³éÝíáõÙ, áñ 0)(0 ≡nd : (56) ³éÝãáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ Ïáõݻݳ
ó³Ýϳó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ, »Ã» )(),...,(),( 21 ncncnc k ýáõÝÏódzݻñÁ
µ³í³ñ³ñ»Ý Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ`
Nnnanfndkjnd kkj ∈∀=−== ),(/)()(,1...,,2,1,0)( : (57)
Ü߳ݳϻÝù` klncncnb lll ...,,2,1),()1()( =−+= ¨ Ó¨³÷áË»Ýù (57) ѳ-
í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á: ºÉÝ»Éáí (55) µ³Ý³Ó¨Çó ÏáõݻݳÝù`
152
:,...,2,1,)()]1()([
)]()([)1()()(
1)(
1
)(11
kjxnbxncjnc
xncjncndndl
jnk
l ll
jnk
l ll
ljn
k
l lljj
==+−+−
−−+=+−
+=+=
+=−
∑∑∑
(58)
(57) ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ó¨³÷áËíáõÙ ¿ klnbl ...,,2,1),( =
ýáõÝÏódzݻñÇ Ýϳïٳٵ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç`
=+++
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=+++
=+++
+++
+++
+++
:)(/)()(...)()(
,0)(...)()(,0)(...)()(
)()2(2
)1(1
)(2
)2(22
)1(21
)(1
)2(12
)1(11
nanfxnbxnbxnb
xnbxnbxnbxnbxnbxnb
kk
knkknkn
knknn
knknn
(59)
(59) ѳٳϳñ·Ç áñáßÇãÝ ¿` ( ),...,, )()2()1(1
knnnn xxx+∆ , áñÁ ѳí³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ
ù³ÝÇ áñ ,...,, )()2()1( knnn xxx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý: ²Û¹
å³ï׳éáí (59) ѳٳϳñ·Ý áõÝÇ Ù»Ï ÉáõÍáõÙ ¨ Áëï Îñ³Ù»ñÇ µ³Ý³Ó¨Ç, Ïáõ-ݻݳÝù`
klnDnD
nanfncncnb l
k
lklll ...,,2,1,
)()(
)()(
)1()()1()( =−=−+= + , (60)
áñï»Õ ( ),...,,)( )()2()1(1
knnnn xxxnD +∆= , ÇëÏ
)(1
)1(1
)1(1
)1(1
)(2
)1(2
)1(2
)1(2
)(1
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)1(1
)1(1
......
......
......
)(
kkn
lkn
lknkn
kn
ln
lnn
kn
ln
lnn
l
xxxx
xxxx
xxxx
nD
−++−+
−−+−+
+++
−++
+++
−++
−−−−−−−−−−−−−−−−−= : (61)
Üϳï»Ýù, áñ )(nDl -Á ëï³óíáõÙ ¿ )(nD -Çó çÝç»Éáí í»ñçÇÝ ïáÕÁ ¨ l -ñ¹
ëÛáõÝÁ: ÈáõÍ»Éáí (60) ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ` kl ...,,2,1=
³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ( n -ÇÝ ï³Ýù 1...,,1, −+ nmm ³ñÅ»ùÝ»ñ ¨ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù
·áõÙ³ñ»Ýù ëï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ), Ïëï³Ý³Ýù`
kliDiD
iaifmcnc l
n
mi k
lkll ...,,2,1,
)()(
)()()1()()(
1
=−+= ∑−
=
+ : (62)
гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ )(ncl -Á áñáßíáõÙ ¿ ѳëï³ïáõÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇ ×ßïáõÃÛ³Ùµ,
ϳñáÕ »Ýù í»ñóÝ»É`
kliDiD
iaifnc l
n
mi k
lkl ...,,2,1,
)()(
)()()1()(
1
=−=∑−
=
+ : (63)
153
î»Õ³¹ñ»Éáí (63)-Á (52)-Ç Ù»ç ¨ ϳï³ñ»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ñ·Ç ÷á÷á-ËáõÃÛáõÝ, Ïëï³Ý³Ýù`
:)()(
)()()1(
)()(
)()()1()(
1)(
1
1
)(1
)(
1
∑ ∑
∑ ∑∑−
= =
+
=
−
=
+
=
−=
=
−==
n
mi k
lnl
k
l
lk
k
l
ln
ln
mi k
lkln
k
lln
iDiaifxiD
xiDiD
iaifxncx
(64)
Üϳï»Ýù, áñ`
)()2()1(
)(1
)2(1
)1(1
)(2
)2(2
)1(2
)(1
)2(1
)1(1
)(
1
......
......
)()1(
knnn
kkikiki
kiii
kiii
lnl
k
l
lk
xxxxxx
xxxxxx
xiD
−+−+−+
+++
+++
=
+ −−−−−−−−−−−−=−∑ (65)
¨ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, »ñµ 1...,,2,1 +−=−=−= kninini :
²ÛëåÇëáí, (1) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
,0...,,0,0 11 === −++ kmmm xxx
,,,)()(.
...
...
...
...
...
...
)()(2
)(1
)1()1(2
)1(1
)()2()1(
)(1
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)1(1
)(2
)2(2
)1(2
)(1
)2(1
)1(1
Nnkmniaif
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xk
kn
mi
kki
ki
ki
kiii
knnn
kkikiki
kiii
kiii
n ∈+≥
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
=∑−
=
+++
+++
−+−+−+
+++
+++
(66)
áñï»Õ m -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿: سëݳíáñ³µ³ñ, ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-
ë³ñÙ³Ý`
Nnnfxnaxna nn ∈=++ ),()()( 011 (67)
ѳٳñ (66) Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏݹáõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
154
Nnmniaif
xx
xxn
mi i
nnm ∈+≥== ∑
−
= +
,1,)()(,0
1
1
)1(1
)1(
(68)
ºñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý`
Nnnfxnaxnaxna nnn ∈=++ ++ ),()()()( 01122
¹»åùáõÙ, (66) Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏݹáõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
Nnmniaif
xxxx
xxxx
xxxn
mi
ii
ii
nn
ii
nmm ∈+≥=== ∑−
=
++
++
++
+ ,2,)()(,0,0
2
2
)2(2
)2(1
)1(2
)1(1
)2()1(
)2(1
)1(1
1: (69)
úñÇÝ³Ï 4 : ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ`
³) Nnxnpx nn ∈=+ ,)(1 ;
µ) NnnQxnpx nn ∈+=+ ),()(1 ,
áñï»Õ )(np -Á ¨ )(nQ -Á n -Çó ϳËí³Í ýáõÝÏódzݻñ »Ý:
ÈáõÍáõÙ: ³) nn xnpx )(1 =+ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç n -ÇÝ ï³Ýù
1,...,2,1 −n ³ñÅ»ùÝ»ñ, Ïëï³Ý³Ýù`
,)1( 12 xpx =
:)1(
,)2(
1
23
−−=
−−−−−−
=
nn xnpx
xpx
´³½Ù³å³ïÏ»Éáí ëï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ µ³Å³Ý»Éáí ëï³óí³Í
ѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ` 132 .... −nxxx ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³, Ïëï³Ý³Ýù
áñáÝ»ÉÇ ÉáõÍáõÙÁ`
2,,)1()...2()1( 1 ≥∈−= nNnxnpppxn ϳ٠∏−
=
≥∈=1
11 2,),(
n
in nNnipxx : (70)
ºÃ» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 1x ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ïñí³Í ¿, ³å³ nx
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý:
سëݳíáñ³µ³ñ, »Ã» qnp =)( , ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇ-
ë³ÝáõÙ ¿ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz`
Nnqxx nn ∈=+ ,1 : (71)
ÎÇé³ñ»Éáí (70) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù` 2,,11 ≥∈= − nNnqxx n
n :
155
µ) I »Õ³Ý³Ï: NnnQxnpx nn ∈+=+ ),()(1 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Éáõ-
ÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù »ñÏáõ` ny ¨ nz ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ
ï»ëùáí`
Nnzyx nnn ∈= , (72)
î»Õ³¹ñ»Ýù (72)-Á ¹Çï³ñÏíáÕ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ¨ ϳï³ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ`
NnnQynpyzzzy nnnnnn ∈=−+− +++ ),())(()( 111 : (73)
ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝïñ»Ýù ³ÛÝå»ë, áñ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³Ý³
Nnynpy nn ∈=−+ ,0)(1 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áã ïñÇíÇ³É ÉáõÍáõÙ: г-
Ù³Ó³ÛÝ (70)-Ç, ÏáõݻݳÝù` ∏−
=
=1
11 )(
n
in ipyy : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, (73)-Á ÁݹáõÝáõÙ ¿
Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
NnnQzzy nnn ∈=−++ ),()( 11 ϳ٠Nnipy
nQzz n
i
nn ∈=−∏=
+ ,)(
)(
11
1 : (74)
(74) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç n -ÇÝ ï³Éáí 1,...,2,1 −n ³ñÅ»ùÝ»ñ,
Ïëï³Ý³Ýù`
,)(
)2(,)1(
)1(2
11
231
12
∏=
=−=−i
ipyQzz
pyQzz
------------------------------------------------------------------- (75)
,)(
)2(2
11
21
∏ −
=
−−
−=− n
i
nnipy
nQzz :)(
)1(1
11
1
∏ −
=
−
−=− n
i
nnipy
nQzz
¶áõÙ³ñ»Éáí (75) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù`
Nnipy
jQzzn
jj
i
n ∈=− ∑∏
−
==
,)(
)(1
111
1 ϳ٠Nnipy
jQzzn
jj
i
n ∈+= ∑∏
−
==
,)(
)(1
111
1 : (76)
²ÛëåÇëáí, ¹Çï³ñÏíáÕ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿`
2,,)(
)()(,1
111
1
1
11111 ≥∈
+== ∑
∏∏
−
==
−
=
nNnipy
jQzipyxzyxn
jj
i
n
in
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ϳÙ
2,,)(
)()(,1
11
1
1
11 ≥∈
+= ∑
∏∏
−
==
−
=
nNnip
jQxipxxn
jj
i
n
in
(77)
156
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: л勉µ³ñ, NnnQxnpx nn ∈+=+ ),()(1 ³Ýѳٳë»é
·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ ϳËí³Í ¿ Ù»Ï Ï³Ù³Û³Ï³Ý 1x
ѳëï³ïáõÝÇó: ºÃ» ѳÛïÝÇ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 1x ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÇ
³ñÅ»ùÁ, ³å³ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙdzñÅ»ùáñ»Ý:
سëݳíáñ³µ³ñ, »Ã» NndnQnp ∈∀== ,)(,1)( , ³å³ nx ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿`
Nndxx nn ∈+=+ ,1 (78)
ÎÇñ³é»Éáí (77) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`
Nndnxxn ∈−+= ,)1(1 : (79)
II »Õ³Ý³Ï: ø³ÝÇ áñ NnnQxnpx nn ∈+=+ ),()(1 ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý` nx ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ nnn xxx += ï»ëùÁ, áñï»Õ nx -Á
³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙ ¿, ÇëÏ nx -Á
Nnxnpx nn ∈=−+ ,0)(1 ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ Éáõ-
ÍáõÙ, ³å³ ÝϳïÇ áõݻݳÉáí, áñ ),()(),()(,1)( 01 nQnfnpnana =−== nx -Ç
ѳٳñ, ѳٳӳÛÝ (70) µ³Ý³Ó¨Ç, ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É`
,2,,)(1
11 ≥∈= ∏ −
=nNnipxx n
in (80)
áñï»Õ 1x -Á áñáÝ»ÉÇ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ ¿: nx -Ç
ѳٳñ, ѳٳӳÛÝ (68) µ³Ý³Ó¨Ç, ÏáõݻݳÝù`
NnnjQxx
xxn
j j
nn ∈≥== ∑
−
= +
,2,)(,01
1)1(1
)1(
1 , (81)
áñï»Õ` )1(nn xx = : î»Õ³¹ñ»Éáí )1(
nx -Ç ¨ )1(1+jx -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (81)-áõÙ, Ïëï³-
ݳÝù`
2),()(
)()(
)(
)( 1
11
1
11
111
1
11≥== ∑
∏∏∑
∏∏ −
==
−
=−
==
−
= njQip
ipjQ
ipx
ipxx
n
jj
i
n
in
jj
i
n
in : (82)
л勉µ³ñ, ¹Çï³ñÏíáÕ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
2),()(
)()(,
1
11
1
11
111 ≥+= ∑
∏∏∏
−
==
−
=−
=
njQip
ipipxxx
n
jj
i
n
in
in , (83)
áñï»Õ 1x -Á nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ ¿ ¨ ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É
Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí:
157
3. гëï³ïáõÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ
¸Çóáõù ïñí³Í ¿ k -ñ¹ ϳñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³-
ñáõÙ`
,,),(... 011 NkNnnfxaxaxa nnkknkk ∈∈∀=+++ −+−+ (84)
áñï»Õ Nk ∈ -Ý ë¨»éí³Í ÃÇí ¿, kaaa ,...,, 10 ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý ѳëï³-
ïáõÝ Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ )(nf -Á µÝ³Ï³Ý ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ýáõÝÏódz ¿, Áݹ áñáõÙ`
0,0 ≠kaa :
гëï³ïáõÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ Ñ»ßï³ÝáõÙ ¿ Ýñ³Ýáí, áñ ѳٳå³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-ë³ñÙ³Ý`
Nnxaxaxa nknkknk ∈=+++ −+−+ ,0... 011 (85)
·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ·ïÝ»ÉÁ µ³í³Ï³Ý³ã³÷ Ñ»ßï ¿: (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù`
Nnqx nn ∈= , (86)
ï»ëùáí, áñï»Õ q -Ý áñáÝÙ³Ý »Ýóϳ ÃÇí ¿: î»Õ³¹ñ»Éáí (86) ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù`
0)...( 011
1 =++++ −− aqaqaqaq k
kk
kn : (87)
ø³ÝÇ áñ áñáÝáõÙ »Ýù áã ïñÇíÇ³É ÉáõÍáõÙ, ѻ勉µ³ñ, µ³Å³Ý»Éáí (87)-Ç
»ñÏáõ Ù³ë»ñÁ nq -Ç íñ³, Ïëï³Ý³Ýù ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙ`
0...)( 011
1 =++++= −− aqaqaqaqP k
kk
k : (88)
(88) ѳí³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý
µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙ: (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý kqqq ,...,, 21 ³ñ-
Ù³ïÝ»ñÁ ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÇÝãå»ë å³ñ½, ³ÛÝå»ë ¿É µ³½Ù³å³ïÇÏ: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹»åù ³é³ÝÓÇÝ:
ä³ñ½ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ¹»åù: ¸Çóáõù (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý` kqqq ,...,, 21
³ñÙ³ïÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý: ²Ûë ¹»åùáõÙ`
NnqxNnqxNnqx nk
kn
nn
nn ∈=∈=∈= ,...;;,;, )(
2)2(
1)1( (89)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý: Æñáù, ѳٳӳÛÝ É»ÙÙ³ 2-Ç, µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ
n -Ç ·áÝ» Ù»Ï ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ` ( ) 0,...,, )()2()1( ≠∆ knnnn xxx : ì»ñóÝ»Ýù, ûñÇݳÏ
1=n , Ïëï³Ý³Ýù`
158
( )1
122
111
21
2
2222
1211
)()2()1(1
...1
...1...1
...
...
......
,...,,
−
−
−
−−−−−−−=
−−−−−−−=∆
kkk
k
k
k
kkkk
k
k
knnn
qqqq
qqq
qqq
qqqqqq
xxx : (90)
ø³ÝÇ áñ kqqq ,...,, 21 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý ¨
ѳí³ë³ñ ã»Ý ½ñáÛÇ, ÇëÏ í»ñçÇÝ áñáßÇãÁ ì³Ý¹»ñÙáÝ¹Ç áñáßÇãÝ ¿, áñÁ ѳí³-
ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ, ³å³ ( ) 0,...,, )()2()1(1 ≠k
nnn xxx∆ : ²ÛëåÇëáí, (89) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ-
Ý»ñÁ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý:
л勉µ³ñ, (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ
ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`
Nnqcqcqcx nkk
nnn ∈+++= ,...2211 , (91)
áñï»Õ kccc ,...,, 21 ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ºÃ» ,1q
kqq ,...,2 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ (91)-áõÙ kccc ,...,, 21 ѳëï³ïáõÝ-
Ý»ñÁ í»ñóÝ»Éáí Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, Ïëï³Ý³Ýù (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³-
¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ:
ºÝó¹ñ»Ýù (88) ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÏáÙåÉ»ùë
³ñÙ³ïÝ»ñ: ø³ÝÇ áñ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ
Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ѳݹ»ë
»Ý ·³ÉÇë ѳٳÉáõÍ ½áõÛ·»ñáí: ¸Çóáõù, ûñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ, )sin(cos1 ϕϕρ iq += ,
)sin(cos2 ϕϕρ iq −= )1( −=i ³ñÙ³ïÝ»ñÁ (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý
ѳٳÉáõÍ ½áõÛ· ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` nq1 ¨ nq2 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý
(85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÏáÙåÉ»ùë ѳٳÉáõÍ ÉáõÍáõÙÝ»ñ`
Nnninq nn ∈+= ),sin(cos1 ϕϕρ , Nnninq nn ∈−= ),sin(cos2 ϕϕρ : (92)
л勉µ³ñ, ³Û¹ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ Ù³ë»ñÁ`
Nnqq nn
n ∈+
= ,2
cos 21ϕρ , Nniqq nn
n ∈−
= ,2
sin 21ϕρ : (93)
ÝáõÛÝå»ë (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý:
²ÛëåÇëáí, (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý )sin(cos2,1 ϕϕρ iq ±= ѳٳÉáõÍ
½áõÛ· ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ïÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³-
¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ` ϕρ nn cos ¨ ϕρ nn sin :
ÜÙ³Ý Ó¨áí í³ñí»Éáí ݳ¨ (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý Ùݳó³Í ÏáÙåÉ»ùë
159
ѳٳÉáõÍ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ (»Ã» ³Û¹åÇëÇÝ»ñ ϳÝ) ³é³ÝÓݳóíáõÙ ¿
(85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý k ѳï Çñ³Ï³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝϳË
ÉáõÍáõÙÝ»ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý
ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ϳéáõóíáõÙ ¿ áñå»ë ³Û¹ ³é³ÝÓݳóí³Í k ѳï Çñ³Ï³Ý
ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙµÇݳódz, áñÇ kccc ,...,, 21 ѳëï³ïáõÝÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý
Ãí»ñ »Ý:
úñÇÝ³Ï 5: ¶ïÝ»É ïñí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ¨
ïñí³Í ݳËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ.
³) 1,1,, 2112 ==∈+= ++ xxNnxxx nnn (üǵáݳãÇÇ Ãí»ñÁ):
µ) 4,0,1,1,,04232 43211234 ====∈=−++− ++++ xxxxNnxxxxx nnnnn :
ÈáõÍáõÙ: ³) ´Ýáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÝ` 12 += qq áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñÙ³ï-
Ý»ñÁ` )51(5,01 +=q ¨ )51(5,02 −=q : ÀݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
( )[ ] ( )[ ] Nnccxnn
n ∈−++= ,515,0515,0 21 :
سëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ, áñáß»Ýù 1c ¨ 2c ѳëï³ïáõÝÝ»ñÁ
û·ï³·áñÍ»Éáí ëϽµÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ`
( ) ( )( ) ( )
=−++=
=−++=
:15125,05125,0
,1515,0515,0
2
2
1
2
2
211
ccx
ccx
àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù` 51,51 21 −== cc : ²ÛëåÇëáí, ÎáßÇÇ ËݹñÇ
ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
Nnxnn
n ∈
−−
+= ,
251
51
251
51
:
µ) ´Ýáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÝ` 04232 234 =−++− qqqq áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ-
Ù³ïÝ»ñÁ`
−=
+=−==
3sin
3cos2,
3sin
3cos2,1,1 4321
ππππ iqiqqq :
л勉µ³ñ, Çñ³Ï³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý` ,1)1( =nx
( )
=
=−=
3sin2,
3cos2,1 )4()3()2( ππ nxnxx n
nn
nn
n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:
àõñ»ÙÝ, ÁݹѳÝáõñ Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ`
160
Nnncncccx nnn ∈
++−+= ,
3sin
3cos2)1( 4321
ππ :
ä³Ñ³ÝçíáÕ Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ëï³Ý³Éáõ ѳٳñ 321 ,, ccc ¨ 4c ѳëï³-
ïáõÝÝ»ñÁ áñáß»Ýù û·ï³·áñÍ»Éáí ëϽµÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ`
=−−+
=−−=+−+
=++−
⇔
=+++=
=++−=
=+++=
=++−=
:4388
,08,1322
,13
:43
4sin163
4cos16
,0sin8cos8
,13
2sin43
2cos4
,13
sin23
cos2
4321
321
4321
4321
43214
43213
43212
43211
cccc
ccccccc
cccc
ccccx
ccccx
ccccx
ccccx
ππππ
ππ
ππ
:
ÈáõÍ»Éáí ëï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, Ïëï³Ý³Ýù` ,3/51 =c
,7/32 =c ,84/133 =c 84/3114 −=c : ²ÛëåÇëáí, Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
( ) Nnnnx nnn ∈
−+−+= − ,
3sin
21311
3cos
211321
73
35 2 ππ
:
´³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ¹»åùÁ: ¸Çóáõù (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñ-
Ù³Ý` sqqq ...,,, 21 , ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ, ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë-
˳ݳµ³ñ áõÝ»Ý snnn ...,,, 21 å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñ` knnn s =+++ ...21 : γéáõó»Ýù (85)
ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý k Ñ³ï ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ: ø³-
ÝÇ áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝϳË
ns
nn qqq ...,,, 21 (94)
ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÷áùñ ¿ k -Çó, ³å³ å³Ï³ëÁ Éñ³óÝ»Éáõ ѳٳñ û·ï³-
·áñÍíáõÙ ¿ (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ÏÇó Ù»Í å³ïÇÏáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ ϳéáõóíáõÙ ¿ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ýáñ
ÉáõÍáõÙÝ»ñ, áñáÝù (94) ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï ÙdzëÇÝ Ï³½ÙáõÙ »Ý k Ñ³ï ·Íáñ»Ý
³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·:
È»ÙÙ³ 3: ºÃ» (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý` sqqq ...,,, 21 , ½áõÛ· ³é ½áõÛ·
Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ, ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ áõÝ»Ý snnn ...,,, 21
å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñ` +1n knn s =++ ...2 , ³å³ Ñ»ï¨Û³É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`
slqnqnnqq nl
nnl
nl
nl
l ...,,2,1,,...,,, 12 =− (95)
(85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý:
161
»áñ»Ù 8: ºÃ» (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý` sqqq ...,,, 21 , ½áõÛ· ³é
½áõÛ· Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ, ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ áõÝ»Ý snnn ...,,, 21
å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñ` +1n knn s =++ ...2 , ³å³ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
( ) Nnqncnccx nl
s
ln
llnl
l∈+++=∑ =
− ,...1
1ln21 , (96)
áñï»Õ ljl njslc ...,,2,1;...,,2,1, == ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³-
ïáõÝ Ãí»ñ »Ý:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 5: ºÃ» )sin(cos llll iq ϕϕρ += ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ (88) µÝáõó·ñÇã
ѳí³ë³ñÙ³Ý ln -å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ ¿ (³Ûë ¹»åùáõÙ, ûñÇݳÏÇ Ñ³Ù³ñ,
)sin(cos1 lllll iqq ϕϕρ −==+ ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÝáõÛÝå»ë (88) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñ-
Ù³Ý ln -å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ ¿), ³å³ áñå»ë½Ç ϳéáõó»Ýù lq ¨ ll qq =+1 ÏáÙåÉ»ùë
Ãí»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý
ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ µ³í³Ï³Ý ¿ (95) ÉáõÍáõÙÝ»ñáõÙ , nl
nl qnqn αα ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÷á˳-
ñÇÝ»É 1,...,1,0,cos −= llnl nnn αϕρα ¨ sin l
nl nn ϕρα =α 1...,,1,0 −ln Çñ³-
Ï³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñáí, áñáÝù nlqnα ÉáõÍÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ
Ù³ë»ñÝ »Ý: ²Û¹å»ë í³ñí»Éáí µáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ »Ýù k
Ñ³ï ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·: Üϳï»Ýù, áñ (85) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ÁݹѳÝáõñ
ÉáõÍáõÙÁ ϳéáõó³Í ÏÉÇÝ»Ýù, »Ã» ϳ½Ù»Ýù k ѳï Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ
ÏáÙµÇݳódzÝ, áñÝ ÁݹѳÝáõñ Ó¨áí ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`
( )( ) ,,sin...
cos...
11
ln21
11
ln21
Nnnncncc
nncnccx
lnl
s
ln
ll
lnl
s
ln
lln
ll
ll
∈′′++′′+′′+
+′++′+′=
∑∑
′
=
−
′
=
−
ϕρ
ϕρ (97)
áñï»Õ licss ′′= ,2 , lli nislc ,...,2,1,,...,2,1, ==′′ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³-
Ï³Ý Ãí»ñ »Ý:
OñÇÝ³Ï 6: ¶ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ¨ ïñí³Í ݳËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ.
³) 16,4,0;,08126 321123 ===∈=−+− +++ xxxNnxxxx nnnn :
µ) 32,8,4,0;,0168 432124 ====∈=++ ++ xxxxNnxxx nnn :
ÈáõÍáõÙ: ³) ´Ýáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÝ` =−+− 8126 23 qqq 0)2( 3 =−q
áõÝÇ 2=q »é³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÁ: л勉µ³ñ, ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ
162
Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
( ) Nnncnccx nn ∈++= ,22
321 :
سëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ û·ïí»Ýù ݳËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó`
=++=++
=++⇔
=++==++=
=++=
293142
0
168)93(44)42(
02)(
321
321
321
3213
3212
3211
cccccc
ccc
cccxcccx
cccx:
ÈáõÍ»Éáí ëï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, Ïëï³Ý³Ýù` ,11 −=c
0,1 32 == cc : л勉µ³ñ, Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
( ) Nnnx nn ∈−= ,21 :
µ) ´Ýáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÝ` 0)4(168 2224 =+=++ qqq áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É
ÏñÏݳå³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ` )2/sin2/(cos21 ππ iq += , )2/sin2/(cos22 ππ iq −= :
л勉µ³ñ, Çñ³Ï³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
( ) ( ) Nnnnccnnccx nnn ∈+++= ,
2sin2
2cos2 4321
ππ:
سëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ û·ïí»Ýù ݳËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó`
=+−=+−=+
=+
⇔
=+==+−==+−=
=+=
241312
0
32)4(168)3(84)2(4
0)(2
21
43
21
43
214
433
212
431
cccccc
cc
ccxccxccx
ccx
:
ÈáõÍ»Éáí ëï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, Ïëï³Ý³Ýù` ,41 −=c
,2/32 =c 2/1,2/1 43 −== cc : л勉µ³ñ, Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
( ) Nnnnnnx nnn ∈−+
−= − ,
2sin21
2cos24
23 1 ππ
:
4. гëï³ïáõÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñáí »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ
гëï³ïáõÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñáí »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-
ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
0,;),( 2001122 ≠∈=++ ++ aaNnnfxaxaxa nnn : (98)
Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù (98) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ѳٳå³ï³ë-
Ë³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ`
163
Nnxaxaxa nnn ∈=++ ++ ,001122 : (99)
¸ñ³ ѳٳñ ·ïÝ»Ýù (99) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µÝáõó·ñÇã
ѳí³ë³ñÙ³Ý`
0012
2 =++ aqaqa (100)
³ñÙ³ïÝ»ñÁ`
2
20211
22
20211
1 24
,2
4a
aaaaq
aaaaa
q−−−
=−+−
= : (101)
гٳӳÛÝ ÁݹѳÝáõñ ï»ëáõÃÛ³Ý (ï»ë 3. Ï»ïÁ) (99) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÝ »Ý` nq1 ¨ nq2 ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ ¨ nq1 áõ nnq1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ, »ñµ
2021 4 aaa = :
²ÛëåÇëáí, (99) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ ¿`
Nnqcqcx nnn ∈+= ,2211 (102)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ ¨
( ) Nnqnccx nn ∈+= ,121 (103)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ, »ñµ 2021 4 aaa = , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á ϳٳ۳ϳÝ
ѳëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ²Ûëï»Õ, ѳٳÝÙ³Ý Ó¨áí ÇÝãå»ë 3-ñ¹ Ï»ïáõÙ, ³é³ÝÓ-
ݳóíáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ:
¶áñÍݳϳÝáõÙ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ , ѳñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É (99) ѳٳë»é
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ`
Nnqqqq
xNnqq
qqqqx
nn
n
nn
n ∈−−
=∈−−
=−−−−
,;,12
11
12)2(
12
121
112)1( , (104)
áñáÝù, »ñµ 1=n ¨ 2=n , ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ÁݹáõÝáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É
³ñÅ»ùÝ»ñÁ`
1,0;0,1 )2(2
)1(2
)2(1
)1(1 ==== xxxx : (105)
Üϳï»Ýù, áñ (104) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý, ù³ÝÇ áñ`
( ) 11001
,)2(
2)2(
1
)1(2
)1(1)2()1(
1 ===∆xxxx
xx nn : (106)
164
лßï ¿ ѳÙá½í»É, áñ (99) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (104) ÉáõÍáõÙ-
Ý»ñÁ, ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý ݳ¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 2021 4 aaa = : Æñáù, (104)-áõÙ ³ÝóÝ»Ýù
ë³ÑÙ³ÝÇ »ñµ 2q -Á Ó·ïáõÙ ¿ 1q -ÇÝ, Ïëï³Ý³Ýù`
NnqnxNnqnx nn
nn ∈−=∈−−= −− ,)1(;,)2( 2
1)2(1
1)1( : (107)
(107) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ (99) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý
·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, »ñµ 2021 4 aaa = :
Üϳï»Ýù, áñ (104)-Ç )1(nx ¨ )2(
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý,
ݳ¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ (100) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ÏáÙåÉ»ùë
»Ý: ì»ñçÇÝ Ñ³Ý·³Ù³ÝùÁ ÃáõÛÉ ¿ ï³ÉÇë ³é³ÝÓÇÝ ãùÝݳñÏ»É (100) µÝáõó·ñÇã
ѳí³ë³ñÙ³Ý ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ¹»åùÁ:
²ÛëåÇëáí, (99) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ÁݹѳÝáõñ
ÉáõÍáõÙÁ, »ñµ 21 qq ≠ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ݳ¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`
Nnqqqq
cqq
qqqqcxcxcx
nnnn
nnn ∈−−
+−−
=+=−−−−
,12
11
12
212
121
112
1)2(
2)1(
1 , (108)
áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ѳëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: гßíÇ ³éÝ»Éáí
(105)-Á ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É`
2211 , cxcx == : (109)
ºÃ» 21 qq = , ³å³ (99) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ
ÉáõÍáõÙÁ, ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ݳ¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`
Nnqncqncx nnn ∈−+−−= −− ,)1()2( 2
121
11 : (110)
Üϳï»Ýù, áñ ³Ûëï»Õ ¨ë 2211 , cxcx == :
²ÛÅ٠ϳéáõó»Ýù (98) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ
ÉáõÍáõÙÁ: гٳӳÛÝ ÁݹѳÝáõñ ï»ëáõÃÛ³Ý, (98) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý` nx ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
Nnxxx nnn ∈+= , , (111)
áñï»Õ nx -Á (99) ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ ¿,
ÇëÏ nx -Á (98) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙ:
nx Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù ѳëï³ïáõÝÇ í³ñdzódzÛÇ Ù»Ãá¹áí:
àõÝ»Ýù`
165
2,,)(,0,02
2
1
)2(2
)2(1
)1(2
)1(1
)2()1(
)2(1
)1(1
21 >∈⋅=== ∑−
=
++
++
++
nNna
jf
xx
xxxx
xx
xxxn
j
jj
jj
nn
jj
n: (112)
àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`
2,,)(,0,02
2
1 12
11
12
21 >∈⋅−−
=== ∑−
=
−−−−
nNna
jfqqqq
xxxn
j
jnjn
n (113)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ ¨
2,,)()1(,0,02
11
2
121 >∈⋅−−=== −−
−
=∑ nNn
ajfqjnxxx jn
n
jn (114)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa = : ²ÛëåÇëáí, (98) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³-
¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ ¿`
,,)(
2
2
1 12
11
12
2211 Nna
jfqqqq
qcqcxn
j
jnjnnn
n ∈⋅−−
++= ∑−
=
−−−−
(115)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³-
ïáõÝÝ»ñ »Ý ¨
( ) Nna
jfqjnqnccx jnn
j
nn ∈⋅−−++= −−
−
=∑ ,)()1(
2
11
2
1121 (116)
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa = , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³-
ïáõÝÝ»ñ »Ý:
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6: ºñµ 1=n ¨ 2=n , ³å³ (115) ¨ (116) ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ∑ Ýß³Ýáí ·ñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÷á˳ñ»Ý í»ñóíáõÙ
»Ý ½ñá:
ÜÙ³Ý Ó¨áí, ÇÝãå»ë ÁݹѳÝáõñ ¹»åùáõÙ, ³Ûëï»Õ ÝáõÛÝå»ë ³é³ÝÓݳóíáõÙ
¿ Çñ³Ï³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ, ÙdzÛÝ Ýϳï»Ýù, áñ (113) ¨ (114) Ù³ëݳÏÇ
ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÙÇßï Çñ³Ï³Ý »Ý, »Ã» 2/)( anf ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Çñ³Ï³Ý ¿:
¶áñÍݳϳÝáõÙ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ , ѳñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É (99) ѳٳë»é
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (104) ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, ÇëÏ »ñµ 2021 4 aaa = , û·ï³·áñ-
Í»É (107) ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ: ²Ûë ¹»åùáõÙ (98) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñ-
Ù³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`
166
,,)(
2
2
1 12
11
12
12
11
12
212
121
112
1 Nna
jfqqqq
qqqqc
qqqqqqcx
n
j
jnjnnnnn
n ∈⋅−−
+−−
+−−
= ∑−
=
−−−−−−−−
(117)
»ñµ 2021 4 aaa ≠ , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý ¨
Nna
jfqjnqncqncx jnn
j
nnn ∈⋅−−+−+−−= −−
−
=
−− ∑ ,)()1()1()2(2
11
2
1
212
111 (118)
»ñµ 2021 4 aaa = , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý:
гëϳݳÉÇ ¿, áñ »Ã» å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É (98) ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ, »ñµ ïñí³Í ¿ bxax == 21 , ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ,
³å³ ÏáõݻݳÝù`
,,)(
2
2
1 12
11
12
12
11
12
12
121
112 Nn
ajf
qqqq
qqqq
bqq
qqqqax
n
j
jnjnnnnn
n ∈⋅−−
+−−
+−−
= ∑−
=
−−−−−−−−
(119)
»ñµ 2021 4 aaa ≠ ¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ, »ñµ 20
21 4 aaa = :
Nna
jfqjnqnbqnax jnn
j
nnn ∈⋅−−+−+−−= −−
−
=
−− ∑ ,)()1()1()2(2
11
2
1
21
11 : (120)
¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 7: ºñµ 1=n ¨ 2=n , ³å³ (117)–(120) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ-
Ý»ñáõÙ ∑ Ýß³Ýáí ·ñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÷á˳ñ»Ý í»ñóíáõÙ »Ý ½ñá:
úñÇÝ³Ï 7: ¶ïÝ»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõñÛ³Ý ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã»
³) ,,,,;,,, 1221 RdcbaNndxcxxbxax nnn ∈∈+=== ++
µ) ,,,,,;,,, 1221 RrdcbaNnrdxcxxbxax nnn ∈∈++=== ++
·) ,,,,;,,, 1221 RdcbaNnndxcxxbxax nnn ∈∈++=== ++
ÈáõÍáõÙ: ³) îñí³Í ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µÝáõó·ñÇã
ѳí³ë³ñáõÙÝ ¿`
dcqq +=2 (121)
I ¹»åù. 042 ≠+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ (121) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï-
Ý»ñÝ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý` 21 qq ≠ : л勉µ³ñ, ïñí³Í ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ
Nnqcqcx nnn ∈+= ,2211 (122)
ï»ëùÁ, áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ú·ïí»Éáí ëϽµÝ³-
Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, ϳ½Ù»Ýù ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·`
167
=+=
=+=
:,
222
2112
22111
bqcqcxaqcqcx
²Ûë ѳٳϳñ·Çó áñáß»Ýù 1c ¨ 2c ѳëï³ïáõÝÝ»ñÁ`
)(
,)( 212
12
121
21 qqq
baqc
qqqbaq
c−−
=−−
=
¨ ï»Õ³¹ñ»Ýù (122)-Ç Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù`
Nnqqqbaq
qqqbaq
x nnn ∈
−−
+−−
= −− ,)()(
12
21
111
12
2
ϳ٠(ѳٻٳï»É (108)-Ç Ñ»ï)
Nnqqqqb
qqqqqqax
nnnn
n ∈−−
+−−
=−−−−
,12
11
12
12
121
112 : (123)
II ¹»åù. 042 =+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ (121) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï
ÏñÏݳå³ïÇÏ ³ñÙ³ï` 2/1 cq = : л勉µ³ñ, ïñí³Í ѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ
Nnqnccx nn ∈+= ,)( 121 (124)
ï»ëùÁ, áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ú·ïí»Éáí ëϽµÝ³-
Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, ϳ½Ù»Ýù ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·`
−=
−=⇔
=+=
=+=2112
2111
21212
1211
/)(/)2(
)2()(
qaqbcqbaqc
bqccxaqccx
:
î»Õ³¹ñ»Éáí 1c -Ç ¨ 2c -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (124)-áõÙ, Ïëï³Ý³Ýù`
Nnqnaqbbaqx nn ∈−+−= ,))(2( 111
ϳ٠(ѳٻٳï»É (110)-Ç Ñ»ï)
Nnqnbqnax nnn ∈−+−−= −− ,))1()2( 2
11
1 : (125)
µ) îñí³Í ³Ýѳٳë»é ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ ѳٳå³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý-
¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ݳËáñ¹ ËݹñÇ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñ-
Ù³Ý Ñ»ï:
I ¹»åù. 042 ≠+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ (121) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï-
Ý»ñÝ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý` 21 qq ≠ : îñí³Í ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñ-
Ù³Ý Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù α=nx ï»ëùáí, áñï»Õ α -Ý ³ÝѳÛï
ѳëï³ïáõÝ ¿: ÎáõݻݳÝù`
168
rdc ++= ααα ϳ٠rdc =−− )1(α :
ºÃ» 1≠+ dc , ³å³ )1/( dcrxn −−= ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ë-
ݳÏÇ ÉáõÍáõÙ: л勉µ³ñ, ïñí³Í ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý
ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
Nndcrqcqcx nnn ∈−−++= ),1/(2211 : (126)
ú·ïí»Éáí ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, ϳ½Ù»Ýù ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³-
ϳñ·`
=−−++=
=−−++=
bdcrqcqcxadcrqcqcx
)1/()1/(
222
2112
22111,
áñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù`
))1/(()(
)()(,)(
)()(
212
12
121
21 dcr
qqqbqac
qqqbqac −−=
−−−−
=−
−−−= ααααα
:
²Ûë ¹»åùáõÙ, ¹Çï³ñÏíáÕ ÎáßÇÇ ËݹñÇ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
Nnqqq
bqaqqq
bqax nnn ∈+
−−−−
+−
−−−= −− ,
)()()(
)()()( 1
221
111
12
2 ααααα
(127)
ϳ٠(ѳٻٳï»É (119)-Ç Ñ»ï, ѳßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ dcxx −−=−− 1)1)(1( 21 ¨
rjf =)( )
( ) ( )
)1/((
,12
11
12
12
121
112
dcr
Nnqqqq
bqq
qqqqax
nnnn
n
−−=
∈+−−
−+−−
−=−−−−
α
ααα : (128)
ºÃ» 1=+ dc , ³å³ nx Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù` nxn α= ï»ëùáí:
ÎáõݻݳÝù`
rndncn +++=+ ααα )1()2( ϳ٠rc =− )2(α :
ø³ÝÇ áñ 2≠c (ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙ` 121 == qq ), ³å³ )2/( cnrxn −=
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙ: л勉µ³ñ, ¹Çï³ñÏíáÕ ¹»åùáõÙ,
ïñí³Í ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
Nncnrqcqcx nnn ∈−++= ),2/(2211 : (129)
ÜϳïÇ áõݻݳÉáí, áñ 1,1 21 −== cqq ¨ û·ïí»Éáí ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³Ý-
Ý»ñÇó, Ïëï³Ý³Ýù`
169
))2/((
,)1(22
)2()1)(( 1
cr
Nnncc
abc
bcax nn
−=
∈+−−−−
+−
−−−−= −
α
αααα (130)
ϳ٠(ѳٻٳï»É (117)-Ç Ñ»ï, ѳßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ 1,1 21 −== cqq )
Nnnc
ccc
cbc
ccaxnnn
n ∈+−−+−
−−
−−+
−−−−
=−−−
,2
)1(32
1)1(2
)1()1( 111
αα : (131)
II ¹»åù. 042 =+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ` 2/21 cqq == : îñí³Í ³Ýѳٳë»é
³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù α=nx ï»ëùáí,
áñï»Õ α -Ý ³ÝѳÛï ѳëï³ïáõÝ ¿: ÎáõݻݳÝù`
rcc +−= ααα4
2
ϳ٠rc 4)2( 2 =−α :
ºÃ» 2≠c , ³å³ 2)2/(4 crxn −= ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ëݳÏÇ
ÉáõÍáõÙ: л勉µ³ñ, ¹Çï³ñÏíáÕ ¹»åùáõÙ, ïñí³Í ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
Nncrqnccx nn ∈−++= ,)2/(4)( 2
121 (132)
ú·ïí»Éáí ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, Ïëï³Ý³Ýù`
( )
=−++=
=−++=
:)2/(4
,)2/(422
222112
2¿211
bcrqcqcx
acrqccx
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñï»ÕÇó ÏáõݻݳÝù`
( )221
122
1
11 )2/(4
)()(,
)()(2−=
−−−=
−−−= cr
qaqb
cq
baqc α
αααα :
²Ûë ¹»åùáõÙ, ¹Çï³ñÏíáÕ ÎáßÇÇ ËݹñÇ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
( ) Nnqaqbnbaqx nn ∈+−−−+−−−= − ,))(()()(2 2
111 ααααα (133)
ϳ٠(ѳٻٳï»É (120) µ³Ý³Ó¨áí ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÇ Ñ»ï)
( ) Nnqnqnqnbqnax nnnnn ∈−−−++−+−−= −−−− ,)1()2(1)1()2( 2
11
12
11
1 α , (134)
áñï»Õ 2)2/(4 −= crα :
ºÃ» 2=c , ³å³ 121 == qq : ²Ûë ¹»åùáõÙ nx Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙÁ
÷Ýïñ»Ýù` 2nxn α= ï»ëùáí: ÎáõݻݳÝù`
rnnn +−+=+ 222 )1(2)2( ααα ϳ٠r=α2 :
170
àõñ»ÙÝ` 2/2nrxn = ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ëݳÏÇ ÉáõÍáõÙ: л勉-
µ³ñ, ïñí³Í ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁݹѳÝáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`
Nnnrnccxn ∈++= ,2/221 : (135)
ú·ïí»Éáí ëϽµÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, Ïëï³Ý³Ýù`
−−=+−=
⇔
=++==++=
:2/3,2
:22,2/
2
1
212
211
rabcrbac
brccxarccx
²Ûë ¹»åùáõÙ, ¹Çï³ñÏíáÕ ÎáßÇÇ ËݹñÇ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
Nnnrnrbrbaxn ∈+−−−+−= ,2/)2/3(2 2α (136)
ϳ٠(ѳٻٳï»É (120) µ³Ý³Ó¨áí ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÇ Ñ»ï)
)2/(,)2)(1()1()2( rNnnnnbnaxn =∈−−+−+−−= αα : (137)
·) Üϳï»Ýù, áñ ïñí³Í ³Ýѳٳë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ѳٳ-
å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ѳÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ³) Ï»ïÇ
ËݹñÇ Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ»ï:
I ¹»åù. 042 ≠+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ (121) µÝáõó·ñÇã ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï-
Ý»ñÝ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý` 21 qq ≠ : гٳӳÛÝ (119) µ³Ý³Ó¨Ç, ¹Çï³ñÏíáÕ
ÎáßÇÇ ËݹñÇ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`
,,2
1 12
11
12
12
11
12
12
121
112 Nnj
qqqq
qqqq
bqq
qqqqax
n
j
jnjnnnnn
n ∈⋅−−
+−−
+−−
= ∑−
=
−−−−−−−−
(138)
ϳÙ
:,)1)((
)2()1()1)((
)2()1(
2112
1211
2112
2222
12
11
12
12
121
112
Nnqqq
qnqnqqqq
qnqnqqqqq
bqq
qqqqax
n
nnnnn
n
∈−−−+−−
−
−−−−+−−
+−−
+−−
=−−−−
(139)
II ¹»åù. 042 =+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ` 2/21 cqq == : л勉µ³ñ, ѳٳӳÛÝ
(120) µ³Ý³Ó¨Ç áõÝ»Ýù`
Nnjqjnqnbqnax jnn
j
nnn ∈⋅−−+−+−−= −−
−
=
−− ∑ ,)1()1()2( 11
2
1
21
11
ϳÙ
Nnq
nnqnqqnqnbqnaxnn
nnn ∈
−+−+−−
+−+−−=−
−− ,)1(
2)2()1()2( 31
11
1121
11 : (140)
171
§6 . êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹1
1. Î³Ù³Û³Ï³Ý A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É ѳٳñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ`
³) ⇔∧ )( BA ∨A B ; µ) ⇔∨ )( BA ∧A B ;
·) ⇔⇒ )( BA BA∨ ; ¹) ∧⇔⇒ ABA )( B :
2. Î³Ù³Û³Ï³Ý A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ϳ½Ù»É S µ³Ý³Ó¨Ç ×ßÙ³ñ-ï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ.
³) =S ∨A B ; µ) =S )( BA∧ ; ·) ∧= AS ⇒∨ BB ( )A ;
¹) CBAS ∨⇒= ; ») ∨= AS ⇒B CA∧ ; ½) )()( BABAS ∧⇒⇔= ;
¿) ∨⇒∧= ))(( ABAS A ; Á) ⇔⇒∧= )( CBAS ∧∧ BA( )C :
3. ¸Çóáõù P ³ëáõÛÃÝ ¿` § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ b -Ǧ, Q ³ëáõÛÃÁ` § a ÃÇíÁ
µ³Å³ÝíáõÙ ¿ c -Ǧ ¨ R ³ëáõÛÃÁ` § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ b ¨ c Ãí»ñÇ ³ñï³-¹ñÛ³ÉÇ íñ³¦: ´³é»ñáí Ó¨³Ï»ñå»É ïñí³Í µ³Ý³Ó¨áí Ý»ñϳ۳óíáÕ ³ëáõÛÃÁ.
³) QP ∧ ; µ) ∧P Q ; ·) ∧P Q ; ¹) )( QP ∧ ; ») QP ∨ ;
½) QP ∨ ; ¿) RQP ⇒∧ ; Á) RQP ⇒∨ ; Ã) ⇒∨QP R :
4. ²å³óáõó»É, áñ S µ³Ý³Ó¨Á ÝáõÛݳµ³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿.
³) )()( ABBAS ⇒∨⇒= ; µ) );()( BABAS ⇒∨⇒=
·) )()( ABBAS ⇒⇒⇒= ; ¹) )( BAAS ⇒⇒= :
5. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý UCBA ,,, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ` UCBA ⊂,, ¨
AUACu \= : òáõÛó ï³É, áñ
³) 1) ,)()( CBACBA ∪∪=∪∪ 2) CBACBA ∩∩=∩∩ )()( ;
µ) 1) ,ABBA ∪=∪ 2) ABBA ∩=∩ ;
·) 1) AØA =∪ , 2) AUA =∩ ; ¹) 1) UACA u =∪ , 2) ØACA u =∩ :
6. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý UCBA ,,, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ` UCBA ⊂,, ¨
AUACu \= : òáõÛó ï³É, áñ
³) 1) )()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ , 2) )()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ ;
µ) 1) AAA =∪ , 2) AAA =∩ ; ·) 1) UUA =∪ , 2) ØØA =∩ ;
¹) 1) ABAA =∩∪ )( , 2) ABAA =∪∩ )( ; ») 1) UØCu = , 2) ØUCu = :
172
7. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý UCBA ,,, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ` UCBA ⊂,, ¨
BUBCAUAC uu \,\ == : ²å³óáõó»É, áñ
³) )()()( CBCACBA ⊂∧⊂⇔⊂∪ ; µ) )()()( CABACBA ⊂∧⊂⇔∩⊂ ;
·) )\()\()( CBCABA ⊂⇒⊂ ; ¹) )()( ACBCBA uu ⊂⇒⊂ ;
») )())\(( ABABBA ⊂⇔=∪ ; ½) )()( CBCACBA u ∪⊂⇔⊂∩ ;
¿) )()( CBCACBA u ⊂∩⇔∪⊂ ; Á) )()( CBCABA ∪⊂∪⇒⊂ ;
8. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý UCBA ,,, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ` UCBA ⊂,, ¨
AUACu \= : ²å³óáõó»É, áñ
³) )()()(( CABACBA ∩∆∩=∆∩ ; µ) BBAA =∆∆ )(( ;
·) ABBA ∆=∆ ; ¹) ))()( CBACBA ∆∆=∆∆ ;
») )( BABABA ∩∆∆=∪ ; ½) )(\ BAABA ∩∆= ;
¿) ACUA u=∆ )( ; Á) )()( BABABA ∩∪∆=∪ :
9. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý 2121 ,,,,, BBAABA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²å³óáõó»É, áñ
³) )()( CBBABA ∆∪∆⊂∆ ; µ) )()()()( 22!12121 BABABBAA ∆∪∆⊂∪∆∪ ;
·) )()()()( 22!12121 BABABBAA ∆∩∆⊂∩∆∩ ; ¹) )(\)()\()\( 22112121 BABABBAA ∆∆⊂∆ ;
10. ³) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nAAA ,...,, 21 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÁ:
Ü߳ݳϻÝù` n
i in AS1=
= : ²å³óáõó»É, áñ
)\(...)\()\( 1231211 −=∪∪∪∪== nn
n
i in SASASAAAS :
µ) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ,...,...,, 21 nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÁ:
Ü߳ݳϻÝù` n
i in AS1=
= : ²å³óáõó»É, áñ
...)\(...)\()\( 1231211∪∪∪∪∪== −
∞
= nni i SASASAAAS :
11. ³) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nAAA ,...,, 21 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÁ
( 2≥n ): ²å³óáõó»É, áñ
)...()()\(...)\()\( 211132211 nnnnn
i i AAAAAAAAAAAA ∩∩∩∪−∪∪∪∪= −= :
µ) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ......21 ⊃⊃⊃⊃ nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýí³½áÕ Ñ³çáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ²å³óáõó»É, áñ
( ) NkAAAAAAAAn nnnkkkkk ∈∀∪∪∪∪∪=∞
=−+++ ,...)\(...)\()\(11211 :
173
12. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý CBA ,, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ` CBA ⊂⊂ :
ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á`
³)
=∪=∩
:,
CXABXA
µ)
=∪=
:,\
CAXBXA
13. ³) ¸Çóáõù A -Ý ¨ B -Ý í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ )()()()( BANBNANBAN ∩−+=∪ ,
áñï»Õ )(XN -Á X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ÃÇíÝ ¿:
µ) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nAAA ,...,, 21 n ѳï í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
ÁÝï³ÝÇùÁ ( 2≥n ): ²å³óáõó»É, áñ
( ) ( ) ( ) ( )
( ),...)1(
...
3211
1,,1,11
nn
n
kji kjin
ji jin
i in
i i
AAAAN
AAANAANANAN
∩∩∩∩−+
+−∩∩+∩−=
−
==== ∑∑∑
áñï»Õ )(XN -Á X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ÃÇíÝ ¿:
14. ³) ²å³óáõó»É, áñ ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ ,...,...,, 21 nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ß-
í»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ãѳïíáÕ µ³½ÙáõÃÛáõÝ-Ý»ñÇ ÁÝï³ÝÇù, áñ
∞
=
∞
==
11 n nn n BA ¨ nn AB ⊂ :
µ) ¶ïÝ»É :4 NkkA ∈= ¨ :6 NkkB ∈= µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ:
15. îñí³Í ¿ : SA ∈αα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
²å³óáõó»É, áñ
³) ( ) ( ) α αα α BABA ∩=∩ ; µ) ( ) ( ) α αα α BABA ∪=∪ :
16. îñí³Í ¿ : SA ∈αα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
²å³óáõó»É, áñ
³) ºÃ» ,, BAS ⊂∈∀ αα ³å³ BA ⊂α α ,
µ) ºÃ» ,, αα ABS ⊂∈∀ ³å³ α αAB ⊂ :
17. îñí³Í ¿ : SA ∈αα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ: ²å³óáõó»É, áñ
³) α αA µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ µáÉáñ αA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ
Áݹ·ñÏáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
174
µ) α αA µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÝ
Áݹ·ñÏíáõÙ ¿ µáÉáñ αA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ç:
18. ³) îñí³Í ¿ ,: , TSA ∈∈ βαβα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ: ²å³-
óáõó»É, áñ α β βαα β βα ,, AA ⊂ :
µ) îñí³Í ¿ : SA ∈αα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:
²å³óáõó»É, áñ ( ) α αα α BABA \\ = :
19. ³) nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ ë³ÑÙ³Ý, Ý߳ݳ-
ÏáõÙ »Ý` nElim , ÏáãíáõÙ ¿ µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù å³ïϳÝáõÙ
»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ: ²å³óáõó»É, áñ` ∞
=
∞
==
1lim
n nk kn EE :
µ) nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ ë³ÑÙ³Ý, Ý߳ݳÏáõÙ
»Ý` nElim , ÏáãíáõÙ ¿ µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù ϳñáÕ »Ý
ãå³ïÏ³Ý»É ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ: ²å³óáõó»É, áñ`
∞
=
∞
==
1lim
n nk kn EE :
20. ³) ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ËݹñÇó, ³å³óáõó»É, áñ` nn EE limlim ⊂ :
µ) ´»ñ»É nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ ³ÛÝ-
åÇëÇù, áñ 1) nn EE limlim ≠ , 2) nn EE limlim = :
21. îñí³Í »Ý nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ U µ³½-
ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ UENn n ⊂∈∀ , : ²å³óáõó»É, áñ`
³) )(limlim\ nn EXEU −= ; µ) )\(limlim\ nn EXEU = :
22. ²å³óáõó»É, áñ` ³) ºÃ» nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³×áÕ ¿
),( 1 NnEE nn ∈∀⊂ + , ³å³ nn nn EEE limlim1
==∞
= :
µ) ºÃ» nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿
),( 1 NnEE nn ∈∀⊃ + , ³å³ nn nn EEE limlim1
==∞
= :
23. ²å³óáõó»É`
175
³) µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ í»ñç³íáñ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
µ) ó³Ýϳó³Í ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ í»ñç³íáñ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
24. è³óÇáÝ³É ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ Ý»ñϳ۳óíáõÙ ¿ nm / Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí, áñï»Õ NnZm ∈∈ , : è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ »Ý`
,:/ NnZmnmQ ∈∈= :
³) ú·ïí»Éáí 1 ûáñ»Ù 8-Çó, ³å³óáõó»É, áñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
ѳßí»ÉÇ ¿:
µ) ú·ïí»Éáí 1 ûáñ»Ù 8-Çó, ³å³óáõó»É, áñ 0 -Ç ¨ 1 -Ç ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ
é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
25. ³) ²å³óáõó»É, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (³ÛëÇÝùÝ ³ÛÝåÇëÇ Ï»ï»ñÇ, áñáÝó »ñÏáõ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý) ѳßí»ÉÇ ¿:
µ) ²å³óáõó»É, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ßñç³Ý³·Í»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ß³é³íÇÕÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨, Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, ѳßí»ÉÇ ¿:
26. ³) ²å³óáõó»É, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, ѳßí»ÉÇ ¿:
µ) ²å³óáõó»É, áñ µáÉáñ é³óÇáÝ³É ýáõÝÏódzݻñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ѳٳñÇãÇ ¨ ѳÛï³ñ³ñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áñͳÏÇóÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, ѳßí»ÉÇ ¿:
27. ³) ²å³óáõó»É, áñ µáÉáñ í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
µ) ²å³óáõó»É, áñ µáÉáñ )52/( pk nm ï»ëùÇ Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ k -
Ý, m -Á, n -Á áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ p -Ý 2 ¨ 5 ³ñï³¹ñÇã
ãå³ñáõݳÏáÕ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, ѳßí»ÉÇ ¿:
28. ³) гßí»É n ï³ññ å³ñáõݳÏáÕ µ³½ÙáõÃÛ³Ý, µáÉáñ »Ýóµ³½ÙáõÃÛáõÝ-Ý»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ:
µ) êï»ÕÍ»É ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ µáÉáñ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ ѳñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨, áñáÝó »ñÏáõ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý:
176
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹2
1. ³) ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ.
1) 3,1,8,9,7,4,3,2,9 −−=−= BA ; 2) );15;1(],4;0[ == BA
3) );5[),5;( +∞=−∞= BA ; 4) :12,:2 NkkBNkkA ∈−=∈= :
µ) ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ. 1) 12,11,8,6,5,11,9,6,5,4 =−= BA ; 2) );9;8(],12;1[ == BA
3) );15[, +∞−== BZA ; 4) 2:],2,( <∈=−∞= xRxBA :
·) ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñõÃÛáõÝÁ.
1) 2,27,4,3,5,2,9,7,6,5 −=−= BA ; 2) ;7,8,1,11,8,7 =−= BA
3) ]4;5(),9;2[ −== BA ; 4) );10(, +∞−== BZA :
¹) ¶ïÝ»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óáõÙÁ.
1) )1;0( ; 2) ]3;(−∞ ; 3) )3;1()0;2( ∪− ; 4) 2: >∈ xRx :
2. ä³ñ½»É, Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, áñáÝù »Ý µ³ó, áñáÝù` ÷³Ï ¨ áñáÝù á’ã µ³ó ¨ á’ã ¿É ÷³Ï.
³) );4()1;0( +∞∪ ; µ) ]9;4()2;5( ∪− ; ·) ]8;3[]2;5[ ∪− ;
¹) ]3;7[)4;1( −∩ ; ») ]6;0()1;4[ ∩− ; ½) 5,4,3− ;
3. ²å³óáõó»É, áñ
³) ∞
=
∞
=
−
=
−
=12
1;11;1)1;0(nn n
nnn
nn
; µ) 01;01
=
∞
=n n;
·) ∞
=
∞
=
+−=
+−=
11
1;11;1]1;0[nn n
nnn
nn
; ¹) Ønn
=
∞
= 1
1;0 ;
») ∞
==+∞
1);[
nØn ; ½) Rnn
n=−
∞
= 1);( :
4. RM ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³Ý»Ýù ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ Çñ ó³Ýϳó³Í 21 xx < ï³ññ»ñÇ Ñ»ï ÙdzëÇÝ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ];[ 21 xx ÙÇç³Ï³ÛùÁ:
³) ²å³óáõó»É, áñ R -áõ٠ϳå³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý ÙdzÛÝ µáÉáñ µ³ó, ÷³Ï, ÏÇë³µ³ó, í»ñç³íáñ ¨ ³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ:
µ) ²å³óáõó»É, áñ RM ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ϳå³Ïóí³Í ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ
¹»åùáõÙ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ 1G ¨ 2G
µ³ó ÙÇç³Ï³Ûù»ñ.
212121 ,,, GGMØGGØMGØMG ∪⊂=∩≠∩≠∩ :
177
5. ³) ¶ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ ¨ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ»ñÁ.
1) Nnn ∈, ; 2) Nnn
∈
,1
; 3) Nnn
n
∈
−+ ,)1(1 ;
4) Nnn
kk ∈
∑
=
,21
1
; 5) Nnn
n∈
+,
42
2
; 6) 43: <−∈= xRxM :
µ) ¸Çóáõù RM ⊂ ¨ MxRxM ∈−∈=− : : ²å³óáõó»É, áñ
MMMM sup)inf(,inf)sup( −=−−=− :
6. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Qr∈ ¨ I∈α , ³å³ IrIr ∈−∈+ αα , ¨ »Ã»
0≠r , ³å³ Ir ∈α ( I -Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿): µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» I∈βα , , ³å³ βα + ¨ βα − Ãí»ñÇó ·áÝ¿ Ù»ÏÁ
Çé³óÇáÝ³É ¿: ·) ²å³óáõó»É, áñ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÝ Çé³óÇáÝ³É »Ý`
5)4;15)3;18log)2;32)1 43 tgtg+ :
¹) ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ r é³óÇáÝ³É ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
017)4;013)3;7)2;5)1 3232 =+−=++== rrrrrr :
7. ÎÇé³ñ»Éáí ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Á` ³å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
³) 2
)1(...21 +=+++
nnn ; µ) )12()12(...31 22333 −=−+++ nnn
;
·) 3
)12)(12()12(...31 222 +−=−+++
nnnn ; ¹) 2
333
2)1(...21
+
=+++nnn ;
»)6
)2)(1(...21 222 ++=+++
nnnn ; ½) 2)12(...31 nn =−+++ ;
¿) 22
2)1(
11...911
411 2 +
+=
+
−⋅⋅
−
−
nn
n;
Á) 12)12()12(
1...53
131
1+
=+⋅−
++⋅
+⋅ n
nnn
:
8. ÎÇé³ñ»Éáí ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Á` ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
³) )1(13
12
12...65
43
21
>+
<−
⋅⋅⋅⋅ nnn
n; µ) )2(122 >+> nnn ;
178
·) )3(!2 2)1(
≥>+
nnnn
; ¹) nnn >2)!( ;
») )1(12
1...31
211
2><
−++++< nnn
n ; ½) )3(,)1(1 ≥+>+ nnn nn ;
¿) )1(1...3
12
11 >>++++ nnn
; Á) n
nn 211 +<< :
9. ÎÇé³ñ»Éáí ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Á` ³å³óáõó»É, áñ ó³Ý-ϳó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ.
³) ( )122 87 ++ + nn -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 57-Ç;
µ) ( )1154 −+ nn - Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9-Ç;
·) ( )nn 53 + - Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç;
¹) ( )67403 12 −++ nn - Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 64-Ç:
10. ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í naaa ,...,, 21 ¨ nbbb ,...,, 21 Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³-
Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
³) ∑∑ ==≤
n
k kn
k k aa11
; µ) ( ) ( )( )∑∑∑ ===≤
n
k kn
k kn
k kk baba1
21
22
1 ;
·) ( ) ∑∑ ==≤
n
k kn
k k ana1
22
1; ¹) ( ) ∑∑∑ ===
+≤+n
k kn
k kn
k kk baba1
21
21
2 :
11. ³) ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í ¹ñ³Ï³Ý naaa ,...,, 21 Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ
×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
( ) 2
2121
1...11... naaa
aaan
n ≥
++++++ :
µ) ²å³óáõó»É, áñ 1...21 =⋅⋅⋅ naaa å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³Ýϳó³Í
naaa ,...,, 21 ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
( )( ) ( ) nnaaa 21...11 21 ≥+⋅⋅++ :
·) ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í naaa ,...,, 21 , nbbb ,...,, 21 Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¨ 0>α
ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`
∑∑∑ ===+≤
n
k kn
k kn
k kk baba1
21
21 4
1 αα
:
¹) ¸Çóáõù ),...,2,1(1 niai =−> ¨ ia Ãí»ñÁ ÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ
ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ` ( )( ) ( ) nn aaaaaa ++++≥+⋅⋅++ ...11...11 2121 :
179
12. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ѳßí»ÉÇ »Ý` ...,...,, 21 naaaA = ¨ ,...,...,, 21 nbbbB = ,
³å³ µáÉáñ ,...)2,1,(),( =nkba nk ½áõÛ·»ñÇó ϳ½Ùí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë
ѳßí»ÉÇ ¿: êï»ÕÍ»É ÷áËÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨:
µ) ²å³óáõó»É, áñ ѳñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó »ñÏáõ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: êï»ÕÍ»É ÷áË-ÙdzñÅ»ù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÃÛáõÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½-ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨:
13. ³) E′ -Á E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ´»ñ»É µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛ³ÝÁ`
EEEE ⊂′′= )2;)1 ¨ ;\ ØEE ≠′ EE ′⊂)3 ¨ ØEE ≠′ \
ØEE ≠′ \)4 ¨ ØEE ≠′\ ; ;sup)6;)5 EEØEE ∈=′∩
;sup)7 EE∉ EEE ′∈ \sup)8 :
µ) ´»ñ»É E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñ
1) E -Ý áõݻݳ Ù»Ï ë³ÑÙ³ÝÛÇÝ Ï»ï:
2) E -Ý áõݻݳ í»ó ë³ÑÙ³ÝÛÇÝ Ï»ï:
3) E -Ý Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, µ³Ûó ØE ≠′ :
4) E -Ý ÉÇÝÇ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ØE ≠′′ , ÇëÏ ØE =′′′ , áñï»Õ ( ) ( )′′′=′′′′′=′′ EEEE , :
14. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» EE ′⊂ , ³å³ E -Ý ãáõÝÇ Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï: µ) ²å³óáõó»É, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ïÁ, ÇÝãå»ë ݳ¨ ³ÛÝ
ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»ïÁ, áñÁ ãÇ å³ïϳÝáõÙ E -ÇÝ, »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï ¿:
15. ³) ¶ïÝ»É ]1;0[ ѳïí³ÍÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ
Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ]1;0[ ѳïí³ÍÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³±Ï
µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ û áã: µ) ¶ïÝ»É 2 -Çó Ù»Í µáÉáñ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑٳݳÛÇÝ Ï»-
ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ´»ñ»É ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï µ³ó ¨ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ:
16. ³) ¸Çóáõù n
k kEE1=
= : ²å³óáõó»É, áñ n
k kEE1=
′=′ :
µ) ¸Çóáõù n
k kEE1=
= : ²å³óáõó»É, áñ n
k kEE1=∂=∂ :
17. ³) ¶ïÝ»É` Nqpqp ∈,,2 / µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ:
180
µ) ¶ïÝ»É` Nnnn
∈
+,
12 3
3
µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ:
18. ³) ²å³óáõó»É, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ` E -Á ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ E -Ý Áݹ·ñÏáÕ µáÉáñ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ:
µ) ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ ¿
...... )( ⊃⊃⊃′′′⊃′′⊃′ nEEEE Ý»ñ³éáõÙÝ»ñÁ:
19. ³) ²å³óáõó»É, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý` E -Ý»ñëÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ E -Ç Ù»ç Áݹ·ñÏí³Í µáÉáñ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ:
µ) ²å³óáõó»É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` ( ) ( ) ( ) CEECCEEC == , :
20. ³) ÆÝãåÇëÇ±Ý ¿ ѳñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý:
µ) ÆÝãåÇëÇ±Ý ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ·Ý¹³ÛÇÝ áÉáñïÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ß³é³íÇÕÝ»ñÁ ¨ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý:
21. ³) гÛïÝÇ ¿, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É` E′ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ѳßí»ÉÇ ¿: ²å³óáõó»É, áñ E -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿:
µ) ¸Çóáõù ∞
==
1n nEE ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ nE å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ÙdzÛÝ Ù»Ïáõë³ó-
í³Í Ï»ï»ñ: ²å³óáõó»É, áñ E -Ý ³Ù»Ý³ß³ïÁ ѳßí»ÉÇ ¿:
22. ³) ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í x ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ
·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ra∈ ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Øxax =∩+ :
µ) ¸Çóáõù E -Ý áñ¨¿ ³Ýѳßí»ÉÇ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>α ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ );( +∞∩ αE µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³Ýѳß-
í»ÉÇ ¿:
23. ³) ²å³óáõó»É, áñ ѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ï»ï»ñÁ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñ »Ý:
µ) ÖDZßï ¿ ³ñ¹Ûáù åݹáõÙÁ. ,, »Ã» E -Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>α ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ );( +∞∩ αE µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ
³Ýí»ñç ¿”:
24. ³) ´»ñ»É ³ÛÝåÇëÇ Ý»ñ¹ñí³Í ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñ ¹ñ³Ýó ѳïáõÙÁ ÉÇÝÇ Ù»Ï Ï»ïÇó µ³Õϳó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
181
µ) ´»ñ»É ³ÛÝåÇëÇ Ý»ñ¹ñí³Í ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ, áñ ¹ñ³Ýó ѳïáõÙÁ ÉÇÝÇ Ñ³ïí³Í:
25. ³) ²å³óáõó»É, áñ ó³Ýϳó³Í Nnba nn ∈],;[ Ý»ñ¹ñí³Í ѳïí³ÍÝ»ñÇ
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý` ∞
=1];[
n nn ba ѳïáõÙÁ ϳ٠ѳïí³Í ¿ Ï³Ù Ù»Ï Ï»ïÇó
µ³Õϳó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ:
µ) îñí³Í ¿` ,...,...,2,1 nN = µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ );( εε +− nn ,
2/10,...;2,1 <<= εn ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñÁ ͳÍÏáõÙ ¿ N -ÇÝ: γ-
ñ»ÉDZ ¿ ³Û¹ ѳٳϳñ·Çó ³é³ÝÓݳóÝ»É N -Á ͳÍÏáÕ í»ñç³íáñ »Ýóѳٳ-ϳñ·:
26. ³) ´»ñ»É );( ba ÙÇç³Ï³ÛùÇ ³ÛÝåÇëÇ µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇ ûñÇݳÏ, áñÇó
Ñݳñ³íáñ ã¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ:
µ) ´»ñ»É );( +∞a ÙÇç³Ï³ÛùÇ ³ÛÝåÇëÇ µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇ ûñÇݳÏ, áñÇó
Ñݳñ³íáñ ã¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ:
27. ³) γë»Ýù ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ` : SF ∈αα ÁÝï³ÝÇùÁ ͳÍÏáõÙ ¿ E
µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ, »Ã» Ex∈∀ , ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ S∈α , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ αFx∈ :
γéáõó»É ];[ ba ѳïí³ÍÇ ÷³Ï ͳÍÏáõÛÃ, áñÇó Ñݳñ³íáñ ã¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É
í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ:
µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³Ýϳó³Í µ³ó ͳÍÏáõÛÃÇó Ñݳ-ñ³íáñ ¿ ³é³ÝÓݳóÝ»É í»ñç³íáñ »ÝóͳÍÏáõÛÃ, ³å³ E -Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:
28. ³) ¸Çóáõù` ∞
==
1];[
n nFba , áñï»Õ nF -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É,
áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ];[];[ ba⊂βα ѳïí³Í ¨ Nn ∈0 ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ
];[];[0
βαβα =∩nF :
µ) ´»ñ»É Ý»ñ¹ñí³Í ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý` Nnba nn ∈),;(
ûñÇݳÏ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Øban nn =∞
= 1);( : ÆÝãåÇëDZ Éñ³óáõóÇã å³ÛÙ³ÝáõÙ
ϳñ»ÉÇ ¿ åݹ»É, áñ Ý»ñ¹ñí³Í ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ å³ñáõݳÏáõÙ ¿ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Ï»ï:
182
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹3
лï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÇó áñá±Ýù »Ý ×ßÙ³ñÇï nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³-
Ù³ñ. ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó, ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó, ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, µ³Ûó ³Ýí»ñç Ù»Í ã¿, ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, »Ã»
1.
−−
=:¿½áõÛ·Á»Ã»
¿,Ï»ÝïÁ»Ã»
nnn
xn ,,0
2. 12
1−
=nnx :
3. ³) 2
)12sin(1 π−= n
nxn : µ)
11
2 +
−
nnxn :
4. ³) 10,log <<= anx an : µ) n
nn
nx251
25 12
−+
=+
:
5. ³) ( )nnx 1−= : µ) ( ) 1,0,1/1 ≠>−= aaanx nn :
6. ³) 1, ≤= qnqx nn : µ) n
kkx
n
kn −
+
= ∑ =1
21:
7. ³) )1lg( 2 += nxn : µ) nn
nnxxxxx2
,1,1 1221 +=== ++ :
8. ³) πnnxn cos2lg += : µ) ( ) 21
11 kx
kn
kn
+
=∑ −= :
9. ³) nn n
x−
=1
2: µ) nnn xxxbxax 6,, 1221 +=== ++ :
10. ³) ( )
112/sin2
++
=nnnxnπ
: µ) nnn xxxxx43,3,4 1221 +==−= ++ :
11. ³) ( )n
xn
n11 −−
= : µ) ( ) 1,1/1 <−= ∑ αα nn nnx :
12. ³) 2
cos2 πnnxn = : µ) nnnxn lg12lg 2 −
−+= :
13. ³) 3213 2
−+
=nnxn : µ) 1||,
1
<=∑=
qkqxn
k
kn :
14. ³) ( )
2sin1 πn
nx
n
n−
= : µ) n
nn x
xxx
51
,24
11+
== + :
183
15. 12
2−
=n
xn : 16. ( )2/sin1 πnnnxn +
= :
17. 1, ≤= qnqx
n
n : 18. ( ) nn
n nx
−+=
11 :
19. 232
nnxn+
= : 20. ( )n
nn n
x
+−=
111 :
21. 2
5 nxn −= : 22. ( )( )
nnnx
n
n111 2 ++−−
= :
23. Npnx pn ∈= ,/1 : 24. ( )( )n
n nx 11 −−= :
25. ( )
11arcsin+
−=
nnx
n
n : 26. ( )( )
2lg11 nx
n
n−−
= :
27. !sin nxn = : 28. ( ) nx nn 1−= :
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹4
îñí³Í nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ å³ñ½»É`
1) a ÃÇíÁ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, û` áã:
2) »Ã» a -Ý nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, ³å³ ·ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ
N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõݻݳ` 001.0<− axn
³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:
3) nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»±ï ¿, û± ï³ñ³Ù»ï:
1. ³) 1,12
=+
= an
nxn : µ) 3,23 =+= anx n nnn :
2. ³) 3,342
2
=++
= annnnxn : µ) 5,
25125 12
−=−+
=+
ax n
nn
n :
3. ³) 2,3=
+= a
nnxn : µ)
21,
1825.0
3 =+
+= a
nnxn :
4. ³) 23,
123
=−
= an
nxn : µ) 1,22 =−−+= annnnxn :
5. ³) 1,12
2
=+
= an
nxn : µ) 27,3232 32
=++
=++
ax nn
nn
n :
184
6. ³) 2,5.012
=+−
= an
nxn : µ) ( )
( )1,
615561
11
1
=−−
−−=
++
+
axnnn
nnn
n :
7. ³) 5,1
353
23
=+−
= an
nnxn : µ) ( )
( ) 53,
53.05.03
=+
+= ax n
n
n :
8. ³) 1,1212
=+−
= annxn : µ)
( )( )
1,1
12
1
−=−−+−
=−
−
an
nx n
n
n :
9. ³) ( ) 0,9.0 == ax nn : µ) ( ) 2/1,3/cos == anxn π :
10. ³) 0,1, =<= aqqx nn : µ) ( ) 0,2 1 == − ax nn
n :
11. ³) ( ) 1,1
=−
= an
xn
n : µ) 0,2)1(12
=++
= an
nx nn :
12. ³) 74,
57134
2
2
=−−=
= an
nnxn : µ) 0,sin== a
nnxn :
13. ³) ( ) 0,
2sin1
=
−
= ann
xn
nπ
: µ) ( ) 1,1 −=−= ax nn :
14. ³) 3,cos2cos2
=+−
= annxn ππ
: µ) 65,
7635
3
3
=++
= annxn :
15. 32,
323
2
2
=+
= an
nxn : 16. ( ) 0,2
12sin1=−= an
nxn
π:
17. 3,919 =+= axn : 18.
32,
4312
=+−
= annxn :
19. 32,
332
2
2
=++
= annxn : 20. 0,
11
=−
= an
xn :
21. 0,2
12 =+−
= annxn : 22.
21,...21
2 =+++
= an
nxn :
23. 1,5
4=
+−
= an
nxn : 24. 32,
5312
2
2
=+−
= annxn :
25. 65,
726135
2
2
=+++−
= annnnxn : 26. 3,
2113 2
=+
−+= a
nnxn :
27. 2,312 =−= ax nn : 28. 1,
11
112
2
=++
−+= a
n
nxn :
185
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹5
гßí»É` nnx
∞→lim -Á, »Ã»
1. ³) n
xn19 += : µ)
3/1
218
−
−=
nxn :
·) )1(...2 2 <+++= qnqqqx nn :
2. ³) 1825.0
++
=n
nxn : µ) 1
12 +
+=
n
nxn :
·) )1(
1...32
121
1+
++⋅
+⋅
=nn
xn :
3. ³) 2
3 2
++
=n
nnxn : µ) nnn
nnnxn++
++=
3 3
2
:
·)
++
−⋅⋅
⋅−
⋅−=
)1)(1(21...
4321
3221
nnxn :
4. ³) nnnxn −+= 3 22 2 : µ)
−+= 121
23
nnxn :
·)
−⋅⋅
−
−= 222
11...311
211
nxn :
5. ³) 1913
−−
=n
n
nx : µ) 1218
−−
=n
n
nx : ·) ∑ ∑= ==
n
i
i
jn njx
1 1 3 :
6. ³) 12
12++
=n
n
n nx : µ) n
n nnnx1
3525
2
++−
= :
·) ( ) Npnn
x ppppn ∈+++= + ,...211
1 :
7. ³) nn nx 23 −= : µ)
1ln2 −
=n
nnxn :
·) ( ) Npp
nnn
x ppppn ∈
+−+++= ,
1...211
:
8. ³) 1!
13++
=n
nxn
n : µ) 1,1
−≠+
= aa
ax n
n
n :
186
·) )2)(1(
1...432
1321
1++
++⋅⋅
+⋅⋅
=nnn
xn :
9. ³) 0,1 2 ≠+
= aa
ax n
n
n : µ) 11 22 −−+= nnxn :
·)
++−++
++
+=
12121...
531
3111
nnnxn :
10. ³) 1
424
2
−+−
=nn
nxn : µ) ( )24
2
!124
nnn
xnn
n+
−+= :
·)
+
+++=n
nnnn
xn 4)12(cos...
43cos
4cos1 πππ
:
11. ³) 33 11 −−+= nnxn : µ) )1()1)(2( +−++= nnnnxn :
·) ,1...11
13221 +
+++=nn
n aaaaaax áñï»Õ na -Á ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»-
ñáí ¨ 0≠d ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
12. ³) ( )nnnnxn 2112/3 −−++= : µ) n nnnx 23 −= :
·) ,1...111
13221
+++
++
+=
+nnn aaaaaan
x áñï»Õ na -Á
¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ¨ 0≠d ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿:
13. ³)
−+= 131
33
3
3
nnxn : µ) n
n nnx
2312
3
3
−+
= :
·)
+++=
nnxn
1...2
111:
14. ³) ( ) 10,1 <<−+= ααα nnxn : µ) nnnxn +−= 3 32 :
·) nnnx2
12...23
21
2−
+++= :
15. ³) 3)12(...531
nnxn−++++
= : µ) nnnnnxn
−+−+
=1
2
:
187
16. ³) 1
2)12(...3212 +
−−+−+−=
n
nnxn : µ)
−+
=nnn
xn1
12
:
17. ³) 3
...212
222 nn
nxn −+++
= : µ) 3
222 )12(...31n
nxn−+++
= :
18. ³)
−
+++
++
+=
222 1...211n
nan
an
an
xn :
µ) 2,11...311
211,1 2221 ≥
−⋅⋅
−
−== n
nxx n :
19. ³) 11618−−
=n
n
nx : µ) Nmkaa
axn k
n m
n ∈>−
−= ,,1,
1
1:
20. ³) n nn nnx 122 2 −+= : µ) n
nn nx
211
−= :
21. ³) 2
4532
2
+++
=n
nnxn : µ) 1124
23252
23
+−+−+
=nn
nnnxn :
22. ³) )1(
1...32
121
1+⋅
++⋅
+⋅
=nn
xn : µ)
3
2
2
72423
++−+
=nn
nnxn :
23. ³) 4523cos
21
2
23
++
−=nnn
nxn : µ)
nnnxn +++−+
=...21
232
:
24. ³) ( )
1135lg 2
+++
=n
nnxn : µ) 0,1,0,log>≠>= αα aa
nnx a
n :
25. ³) ( ) ( )( ) ( )2222
44
1111−−+
−−+=
nnnnxn : µ)
nnxn 2
2
lg)10(lg
= :
26. ³) Nqpnq
npnx
pq
n ∈
+−
+= ,,112 : µ)
11 2
32
+−
+=
nn
nnxn :
27. ³) ( )( )1ln
1ln10
2
+++−
=nnnnxn : µ)
22 −=
narctgnnxn :
28. ³) 3
2
3
2
3
2 )12(...31n
nnn
xn−
+++= : µ) nn n
nx)1,1(1
110
+−
= :
188
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹6
ú·ïí»Éáí ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÇó, å³ñ½»É`
nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, û` ï³ñ³Ù»ï.
1. ³) 129...
311
110
−+
⋅⋅⋅=n
nxn : µ) ∑ = +=
n
k k
k
nx1 221
2:
2. ³)
+⋅⋅
+
+= nnx
211...
411
211 : µ)
−⋅⋅
−
−= nnx
211...
411
211 :
3. ³) nn n
x!
1= : µ) Ranaaax nn ∈+++= ,
2sin...
22sin
2sin
2 :
4. ³) nnn
xn 21...
111
+++
+= : µ) ∑ = ++=n
k kknx1 11 2
3cos2
1sin :
5. ³) 222 )1(...
32
21
+++=
nnxn : µ)
)2)(1(1...
4321
3211
+++
⋅⋅+
⋅⋅=
nnnxn :
6. ³) Nkaanx n
k
n ∈>= ,1, : µ) )1(
!sin...32!2sin
21!1sin
+++
⋅+
⋅=
nnnxn :
7. ³) n
nx nn +++
++
+=
3sin...
232sin
131sin
2 : µ) 12
1...51
31
++++=
nxn :
8. ³) !)!12(
!+
=n
nxn : µ) )1(
1...6
12
1+
+++=nn
xn :
9. ³) )12)(12(
!cos...53
!2cos31
!1cos+−
++⋅
+⋅
=nn
nxn: µ)
41...
83
52
2 ++
+++=nnxn :
10. ³) ( )∑ =
−−=n
kkn
n kn
x1
11: µ)
++++=
nxn
11ln...23ln2ln :
11. ³) nn
xn )1(1...
321
2111
−++
⋅+
⋅+= : µ) 22
cos...2
2cos1
1cosn
nxn +++= :
12. ³) ( )∑ =
−−=n
kk
n kn
x1
111: µ)
( )∑ =
−=
n
k
k
n kx
1 31
:
13. ³) )!1(
...!3
2!2
1+
++=n
nxn : µ) ( )[ ]
∑ =
−=
n
k
k
n kkx
1 2
ln !sin1:
189
14. ³) ∑ ==
n
kn knx
1
11: µ) ∑ = +
+=
n
kn kkx
1 132
:
15. n
nn
nx6
23...65
61
2−
+++= : 16. ∑ ==
n
kn kx
1 21
:
17. ( )nn
xn +++= ...211 : 18. Nkaax k
n
k kk
n ∈∀≤≤=∑ =,90,
101:
19. Rxnxxxx
n
n ∈++++= ,!
...!21
12
: 20. nnnx4
...42
411
2
2
22
++++= :
21. 1,)1(...)1)(1( 2 >
+⋅⋅++= a
aaaax n
n
n : 22. nnnxn 2
1cos −=
π:
23. nnnx
2sin...
22sin
21sin
2 +++= : 24. n
xn1...
31
21
+++= :
25. nxn cos= : 26. nxn sin= :
27. ( )
)1(1...
321
211 1
+−
++⋅
−⋅
=−
nnx
n
n : 28. ( )∑ =
−=
n
k
k
n kx
1 21
:
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹7
¶ïÝ»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ` M µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ,
nnx
∞→lim -Á, n
nx
∞→lim -Á, nxsup -Á ¨ nxinf -Á.
1. ³) ( )n
nxn
n11 −+
= : µ) ( )
−= 2sin n
n nxπ
:
2. ³) ( )
( ) 1
1
3232+
+
+−−−
=nn
nn
nx : µ) 1
2cos
+
=
n
nnx π
:
3. ³) 2
sin1 nn
xnπ
+= : µ) ( )nn
nx 24 1 += − :
4. ³) ( )
3212)1(1
++−−
= n
nn
nx : µ) 3
sin1 nn
xnπ
+= :
5. ³) ( )nn
nx 24 1 += − : µ) ( ) ( ) ]12[1 nn
n nx −+−= :
6. ³) ( ) nx nn
n.2 1−= : µ)
4sin2 nnxn
π= :
190
7. ³) n
xn11−= : µ)
( ) ( )2
111 nn
n nx −+
+−
= :
8. ³) ( )
+−= −
nx n
n321 1 : µ) ( )
2131
+−
−=nnx n
n :
9. ³) ( ) nx nn 1−= : µ)
( )1
12/sin2
++
=n
nnxnπ
:
10. ³) 2
cos1
1 nn
nxnπ
++= : µ)
( )( )n
nnxn
n111 2 ++−−
= :
11. ³) ( ) ( ) 2)1(1 13121
++ −⋅+−+=
nnnnx : µ)
( )( )n
nnnxn 2lglgcos1 ++
=π
:
12. ³) 3
2cos11 n
nnxn
π+−
= : µ) ( ) 1,0,12log2
≠>
−+= aax n
an :
13. ³) ( )( )nn nx 12 −+−= : µ)
( )1
1arcsin+
−=
nnx
n
n :
14. ³) 2
sin1 nnxnπ
+= : µ) ( )nnxn1−= :
15. ³) 3
2cos1 2
2 nn
nxnπ
+= : µ) ( )n n
nn
x 121 −+= :
16. ³) 3
2cos nx nn
π= : µ) ( )
4sin111 n
nx n
n
nπ
+−⋅
+= :
17. ³) 4
sin1
2 nn
nxnπ
+= : µ) ( )nn n
x 12113 −⋅+
−⋅= :
18. ³) ( ) ( ) ( )( )babax nn −−++= 1
21
: µ) 4
cos1 2 nn
nxnπ+
= :
19. ³) ( ) ( )121 +−= nx nn : µ) 2,
3sin
21
>−+
= nnnnxn
π:
20. ³) ( )
nx
n
n1
212
−−+
= : µ) ( )
21arcsin
n
nx −= :
21. ³) ( )( )n
n
nx1212
−−−+
= : µ) ( )
−+=
nnx
n
n11ln :
22. ³)
−
+=
6cos1
4sin1 nnxn
ππ: µ)
( )nn nnnx
111−⋅++
+= :
191
23. ³) 2
sin1 nn
nxnπ+
= : µ) 6
cos1 nn
nxnπ+
= :
24. ¸Çóáõù na -Á ¨ ns -Á ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý
åñá·ñ»ëdzÛÇ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÝ ¨ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿, áñÇ ï³ñ-
µ»ñáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ` 0≠d : ¶ïÝ»É`
)0(lim)2,lim)1 22 ≠∞→∞→ n
n
nn
nn
aas
ns
:
25. ¸Çóáõù np -Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ ¨ ¹Çóáõù`
Nnppp
Sn
n ∈+++= ,1...11
21
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ
Nnppp
Gn
n ∈
+⋅⋅
+
+= ,11...1111
21
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿:
26. ¸Çóáõù` byax nnnn==
∞→∞→lim,lim : ²å³óáõó»É, áñ
abn
yxyxyx nnnn
=+++ −
∞→
1121 ...lim :
27. ¸Çóáõù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ axx nnn=−+∞→
)(lim 1 :
²å³óáõó»É, áñ anxn
n=
∞→lim :
28. ¸Çóáõù nx -Á ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, 0)(lim 1 =−+∞→ nnnxx , bxnn
=∞→
lim , axnn
=∞→
lim ,
ba ≠ : ²å³óáõó»É, áñ ];[ ba ѳïí³ÍÇ ó³Ýϳó³Í Ï»ï nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý ¿:
192
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹8
îñí³Í ûñÇݳÏÇ ³) Ï»ïáõÙ` ѳßí»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ ϳ٠û·ïí»Éáí ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÇó, óáõÛó ï³É ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ; µ) Ï»ïáõÙ` û·ïí»Éáí áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñù»ñÇ µ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Û-ï³ÝÇßÝ»ñÇó, ³å³óáõó»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ ϳ٠ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ; ·) Ï»ïáõÙ` ³å³óáõó»É ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï Ï³Ù å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ :
1. ³) ( )∑∞
= −
−−1 1
1
31
n n
n
; µ) ∑∞
= ++
1 3523
n nn
nn
; ·) ( )∑∞
= +−
1 21
n
n
n:
2. ³) ∑∞
=12 5ln
n
n
; µ) ∑∞
=
+1 )!3(
)!12(!n n
nn; ·)
( )∑∞
=
+
+−
−1 2
1
14
1n
n
nn:
3. ³) 0,)1)((
11
>+++∑∞
=α
ααn nn ; µ) ∑∞
=1 3!n n
n
nn
; ·) ( )∑∞
=
−1
25ln1n
n
nn
:
4. ³) ∑∞
= ++1 )2)(1(1
n nnn ; µ) ∑∞
=1 !2
sinn
nn
n
n π
; ·) n
nn
1sin4
sin1∑∞
=
+ππ :
5. ³) ∑∞
= −
−
−1 12
12n nn
nn ; µ) ( )∑∞
=+−
112
nnn
; ·) ∑∞
=
+
12cos
nnnπ :
6. ³) ∑∞
= ++
1 22 )1(12
n nnn
; µ) ( )( )∑∞
= ⋅−−
1 2 415
n n
nn
n; ·)
( )∑∞
= +−
1 22 sin1
n
n
nn:
7. ³) ∑∞
= −+1 2 3441
n nn ; µ) ∑∞
=
−
−⋅
1
)1(12n
nnn
nn
; ·) ( )∑∞
=
+
+−
11 11ln1
nn
n:
8. ³) 2ln1
2∑∞
=nn ; µ) ∑∞
=
+
+⋅
1
)1(
1223
n
nnn
nn
; ·) ( )∑∞
=−
11
nn
narctgn
:
9. ³) ∑∞
= +++
1 2
2
15432
n nnn
; µ) ∑∞
=
+⋅
1
2
13
n
nn
nn ; ·) ∑∞
=1 2
2sinn n
n:
10. ³) 1,1
2 <∑∞
=qqn
nn ; µ) ( )∑∞
= +1 22n nnn
; ·) ( ) 0,111
>−∑∞
=p
ntg
npn :
11. ³) ∑∞
= +++
++1 2
22
313ln)43(
n nnnnnn ; µ) ∑∞
= +1 )2(1
n nn; ·) ( )∑∞
=
−+
−1 23
121n
nn
nn :
12. ³) ( )∑∞
=
−+
1 61
51
n n
n
n ; µ) ∑∞
=1 ln1
n n; ·) ( )∑∞
=
+
−−
1 3
1
21
n
n
nn:
13. ³) ∑∞
=
+⋅
1
2
113
n n
nn
en ; µ)
( )∑∞
=
+−⋅+1
1
2135
n n
n
; ·) ∑∞
= +
+
1 3 24
2sin
n nn
n π
:
193
14. ³) ∑∞
=1 3,01
n n ; µ) ∑∞
= +1 2 1n narctgn
; ·) ( )∑∞
= ++
−1 4 6 132n
n
nn
narctg:
15. ³) Zmmnn
∈≠∑∞
=,,sin
1παα ; µ) ∑∞
= +++
1 3 3512sin
n nnn
; ·) ( )∑∞
= +−
1 3 11
n
n
n:
16. ³) ∑∞
=
+
1
11lnn n
; µ) ∑∞
= ++
1 2 43
n nn
; ·) ( )∑∞
=
+−1
1 ln1n
n
nn
:
17. ³) ∑∞
= +
+1 3 3 58
12n n
n; µ) ∑∞
= +−−+
1 211
n nnn
; ·) n
nn
1sin4
cos1∑∞
=
+ ππ :
18. ³) ∑∞
=12cos
nn ; µ)
32
1
2
65
3516
n
n
n
nn
−+∑∞
=; ·)
( )∑∞
= +−
1
2
1321
n n
nn n:
19. ³) ∑∞
=1
1n n n
; µ) ∑∞
=1
!n nn
n; ·)
( )∑∞
=
+
+−
1
1
)1ln(1
n
n
nn:
20. ³) ∑∞
= +++
1 33
2
)1(133
n nnnn
; µ)( )∑∞
=1 2
!n n
n
nn
; ·)∑∞
=
+
+
1
11ln6
cosn n
n ππ :
21. ³) ( )∑∞
=
+−
1 22 11ln2
n nn ; µ)
( )∑∞
=1 2!n
n
nn
; ·) ( )∑∞
=
+
++
⋅−1 320
91
14
1n
n
nn
n:
22. ³) ( )∑∞
=
++
1 33 11ln1
n nn ; µ)
( ) 1,!21
>∑∞
=a
an
n n ; ·) ( )∑∞
=
−−1
1
!51
n
nn
n:
23. ³) ( )∑∞
=
+
++1
2
)1(11ln5
n nnn ; µ) ∑∞
=
⋅1
!3n n
n
nn
; ·) ( )∑∞
=
+
+
−1
1,31
21
n n
n
nn
:
24. ³) ∑∞
= +1 )2(!1
n nn; µ)
( )( )∑∞
= ⋅−
1 2!3!12
n n nn
; ·) ( ) ( )( )∑∞
= +−
1 1!!21
n n
n
nn
:
25. ³) ∑∞
=1 221
n narctg ; µ)
( )∑∞
= ⋅+
1 !3!!12
n n nn
; ·) ( )∑∞
=
+
+−
11 1sin1
nn
nn:
26. ³) ( )∑∞
=
++
1 2
22 1ln2
n nnn ; µ)
( )∑∞
= ⋅1 !3!!2
n n nn
; ·) ∑∞
=1 2!cos
n nn
:
27. ³) ∑∞
= −1 2 41
n n; µ) ∑∞
=1 2n
n
nn
; ·) ( )∑∞
=
+
+−
1
2)1(
ln1
n
nn
nn:
28. ³) ∑∞
=1 22
n narctg ; µ) ∑∞
=
+1
3 2
1332
n
nn
nn
; ·)∑∞
=>
−+1
0,cos1cosn p p
nnn :
194
²é³ç³¹ñ³Ýù ¹9 1. ³) ¸Çóáõù` Nnxaxaxa nn ∈+==> + ,,,0 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx ѳçáñ-
¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á:
µ) ¸Çóáõù` Nnxqxaax nn ∈+=<<= + ,1,10, 211 : ÆÝãåÇëDZ ]1;0[∈q -Ç ¹»å-
ùáõÙ ¿ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï:
2. ²Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í` nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁݹѳÝáõñ ³Ý-¹³ÙÝ ³ñï³Ñ³Ûï»É n -áí ¨ ѻﳽáï»É ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛáõÝÁ.
³) ;,2
3,1,0 1221 Nnxxxxx nn
n ∈−
==> ++ µ) Nn
xxx
nn ∈
−== + ,
21,
21
11 :
3. лﳽáï»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.
³) 0,,,,0 11 >∈+=> + baNnbxaxx
nn µ) Nnxxxx nnn ∈−== + ,
34,
21 2
11 :
4. ³) ¸Çóáõù` Nnx
xxxn
nn ∈
+=> + ,1252
31,0 211 : ²å³óáõó»É, áñ nx ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á:
µ) ¸Çóáõù` Nnxxx nn ∈+== + ,2,2 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx ѳçáñ¹³-
ϳÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á:
5. лﳽáï»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.
³) Nnx
xxn
n ∈+=−= + ,16,3 11 ; µ) Nnx
xxn
n ∈−== + ,34,76
11 :
6. a -Ç ¨ b -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ DZÝã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ` ï³ñ³Ù»ï:
³) Nnxxxbxax nnn ∈−−=== ++ ,2,, 1221 ; µ) Nnxxxbxax nnn ∈+=== ++ ,2,, 1221 :
7. a -Ç ¨ b -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ DZÝã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ` ï³ñ³Ù»ï: ³) Nnxxxbxax nnn ∈−=== ++ ,2,, 1221 ; µ) Nnxxxbxax nnn ∈−=== ++ ,34,, 1221 :
8. ³) ¸Çóáõù` Nnxxxax nnn ∈−== + ),4/(, 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á, »Ã»
:45,3)2:30)1 <<<< aa
195
µ) ¸Çóáõù` Nnxxxax nnn ∈−== + ),4/(, 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á, »Ã»
:01)3:2)2:0)1 <<−−<< aaa
9. ³) ¸Çóáõù` Nnxxxxx nnn ∈+=== ++ ,,1,1 1221 (üǵáݳãÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃ-
ÛáõÝ): ²å³óáõó»É, áñ nn xx /1+ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É ¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ: µ) лﳽáï»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.
10,,1, 211 <<∈−== + aNnxxax nn :
10. ³) ¸Çóáõù` Nnpxpxxax nnn ∈+−+== + ,)21(, 2211 : ¶ïÝ»É a -Ç ¨ p -Ç µáÉáñ
³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ :
µ) ¸Çóáõù` Nnxbxax nn ∈+== + ,/1, 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á, »Ã» 04/1 <<− b :
11. ³) ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áñÁ µ³í³-
ñ³ñáõÙ ¿` Nnxxxxx nnnn ∈>+== ++ ,0,,1 211 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:
²å³óáõó»É, áñ ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á:
µ) nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ Nnxxxax nnn ∈+== ++ ,5,2, 121 :
ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ í»ñóÝ»É 2x –Á, áñå»ë½Ç nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ
½áõ·³Ù»ï: ¶ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á:
12. ¶ïÝ»É nx ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á.
³) ( ) Nnnxxxxx nnn ∈++=== ++ ,5,0,1,0 1221 ; µ) Nnxxx nn ∈−== + ),3/(2,2/1 11 :
13. ³) ¸Çóáõù` ( ) Nnxxxbxax nnn ∈+=== ++ ,5,0,, 1221 : ¶ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á:
µ) ¸Çóáõù` NnxxRx nn ∈=∈ + ,sin, 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx ѳçáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á:
14. ²å³óáõó»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛáõÝÁ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á.
³) NkNnaxxax knn
k ∈∈== + ,,, 11 ; µ) Nnxxx nn ∈+== + ,ln1,2 11 :
15. ²å³óáõó»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛáõÝÁ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á.
³) Nnxxxx nnn ∈−== + ,74,
67 2
11 ; µ) Nnxxxx nnn ∈−== + ,74,
61 2
11 :
196
16. ²å³óáõó»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛáõÝÁ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á.
³) Nnxxx nn ∈+== + ,12,3 11 ; µ) RbaNnxbxxax nnn ∈∈+== + ,,),/(, 11 :
17. ²å³óáõó»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛáõÝÁ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á.
³) RdcbaNndxcbxxax nnn ∈∈+== + ,,,,),/(, 11 ; µ) Nnx
xxn
n ∈−== + ,12,2 11 :
18. ²å³óáõó»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛáõÝÁ ¨ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á.
³) Nnxxxx nnn ∈−+== + ,21cos,
2 11π
; µ) 0,,,,0 11 >∈+=> + baNnxabxx
nn :
19. ¶ïÝ»É ïñí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ. ³) Nnnxxx nn ∈++== + ),1/()1(,0 11 ; µ) Nnxnxax nn ∈++== + ),1)(1(, 11 :
20. ¶ïÝ»É ïñí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ.
³) RaNnxxax nnn ∈≠∈⋅+== + βααβα ,,,0,,2, 11 ;
µ) Nnxxxxx nnn ∈++=== ++ ,22,1,1 1221 :
21. ä³ñ½»É` nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ û ï³ñ³Ù»ï: ¼áõ·³Ù»-
ïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ·ïÝ»É` nnx
∞→lim -Á.
³) Nnxxxx nnn ∈++=−= + ,13,25,1 211 ; µ) Nnxxx nn ∈== + ,cos,0 11 :
22. ¶ïÝ»É nx ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n –ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á.
³) Nnxx
xaxn
nn ∈
++
== + ,, 11 δγβα
; µ) Nnxxxxx nnn ∈−=== ++ ,65,1,0 1221 :
23. ³) ¸Çóáõù` Nnxn
nxnnxxx nnn ∈
+−
++
=== ++ ,11
12,1,0 1221 : ¶ïÝ»É` nnn
x∞→
lim -Á:
µ) ¸Çóáõù` Nnxxxn
nn ∈
+== + ,
32
31,1 11 : ¶ïÝ»É` n
n
nx
∞→ 23lim -Á:
24. ¶ïÝ»É nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ` nnx
∞→lim -Á.
³) Nnnnn
nxnnx
nxxx nnn ∈
+++
+++
++
=== ++ ,)2)(1(
1221
21,
23,1 1221 ;
µ) ( )
( ) Nnn
nnxxxx nn ∈+
+++−=== + ,
!312,
31,
32 2
221 :
197
25. ³) ¸Çóáõù` RbaNnxxxbxax nnn ∈∈−=== ++ ,,,65,, 1221 : ¶ïÝ»É` nnn
x∞→
lim -Á:
µ) ¸Çóáõù` Nnxxxxx nnn ∈+=== ++ ,,1,1 1221 (üǵáݳãÇ Ñ³çáñ¹³Ï³-
ÝáõÃÛáõÝ): ¶ïÝ»É` nnn
x∞→
lim -Á:
26. ³) ²å³óáõó»É ÞïáÉóÇ Ã»áñ»ÙÁ. ¹Çóáõù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ` ëÏë³Í
áñáß Ñ³Ù³ñÇó ³×áÕ ¿ ¨ +∞=∞→ nn
xlim , ÇëÏ ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝåÇëÇÝ
¿, áñ axxyy
nn
nnn
=−−
+
+
∞→1
1lim : ²å³óáõó»É, áñ axy
n
nn
=∞→
lim :
µ) ¸Çóáõù nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³ñÇó Ýí³½áÕ ¿ ¨
0lim =∞→ nn
x : ¸Çóáõù` 0lim =∞→ nn
y ¨ axxyy
nn
nnn
=−−
+
+
∞→1
1lim , áñï»Õ Ra∈ : ²å³óáõó»É, áñ
axy
n
nn
=∞→
lim :
27. ³) ²å³óáõó»É, áñ
( )
( ) :limlimlimlimlim)2
,limlimlimlimlim)1
nnnnnnnnnnn
nnnn
nnn
nn
nn
yxyxyx
yxyxyx
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
+≤+≤+
+≤+≤+
µ) ¸Çóáõù Nnyx nn ∈∀≥≥ ,0,0 : ²å³óáõó»É, áñ
( )
( ) :limlimlimlimlim)2
,limlimlimlimlim)1
nnnnnnnnnnn
nnnn
nnn
nn
nn
yxyxyx
yxyxyx
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
⋅≤≤⋅
⋅≤≤⋅
28. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» nx ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ÇÝãåÇ-
ëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ ny ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.
( ) :limlimlim)1 nnnnnnnyxyx
∞→∞→∞→+=+
( ) nnnnnnnyxyx
∞→∞→∞→⋅= limlimlim)2 (»ñµ 0lim >
∞→ nnx ):
µ) ¸Çóáõù Nnxn ∈∀> ,0 : ²å³óáõó»É, áñ
n
nn
nnn
nn
nn
n
n xxxx
xx 11 limlimlimlim +
∞→∞→∞→
+
∞→≤≤≤ :
198
êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2(³,µ) 28(³,µ) 1 21 21(³,µ) 28 27 3(³,µ) 21(³)
2 3(»,½) 7(³,µ) 28 10(³) 1(µ,·) 1(³) 1(³) 28(µ,·) 1(µ)
3 6(·,¹) 26(³,µ) 3(³) 23 23(³,µ) 26 25 5(³,µ) 23(³)
4 8(³,Á) 7(¿,Á) 27 12(µ) 2(·) 2(µ) 9(µ) 26(µ,·) 3(³)
5 1(³,µ) 24(³,µ) 4(³) 8(³) 25(³,µ) 24 23 7(³,µ) 25(µ)
6 10(³,µ) 6(³,·) 26 14(µ) 3(·) 3(³) 10(µ) 24(³,·) 9(³)
7 3(³,µ) 22(³,µ) 5(µ) 9(µ) 27(³,µ) 22(µ) 21 9(³,µ) 27(³)
8 12(³,µ) 5(³,µ) 25 7(³) 4(·) 4(µ) 11(µ) 22(³,µ) 11(µ)
9 5(³,µ) 20(³,µ) 6(³) 28 2(³,µ) 20(³) 19 11(µ,·) 2(³)
10 14(³,µ) 3(³,µ) 24 18 5(·) 5(³) 2(³) 20(³,µ) 12(µ)
11 7(·,¹) 18(³,µ) 7(µ) 2(³) 4(³,µ) 18(µ) 17 1(³,·) 4(µ)
12 16(³,µ) 1(µ,¹) 23 20 13(·) 6(³) 3(³) 18(µ,·) 13(µ)
13 9(·,¹) 16(³,µ) 8(³) 4(µ) 6(³,µ) 16(³) 15 13(³,µ) 6(µ)
14 28(³,µ) 1(³,µ) 22 22 14(·) 7(µ) 4(µ) 16(µ,·) 14(³)
15 11(³,µ) 14(³,µ) 9(µ) 6(³) 8(³,µ) 14(µ) 13(µ) 14(³,µ) 25(µ)
16 23(³,µ) 3(·,¹) 2 14(³) 12(·) 8(³) 5(³) 14(³,·) 25(³)
17 13(³,µ) 12(³,µ) 10(µ) 8(µ) 10(³,µ) 12(³) 11(³) 17(µ,·) 10(³)
18 22(³,µ) 3(»,½) 20 26 11(·) 9(µ) 6(µ) 12(µ,·) 27(µ)
19 2(·,¹) 10(·,¹) 11(³) 10(µ) 12(³,µ) 10(³) 9(³) 19(³,µ) 12(³)
20 3(·,¹) 7(·,¹) 21 19 10(·) 11(µ) 7(µ) 10(µ,·) 8(³)
21 4(³,µ) 8(³,½) 12(³) 8(³) 2(·) 8(µ) 7(³) 21(³,·) 1(³)
22 27(³,µ) 8(Á,¿) 3(µ) 1(µ) 14(³,µ) 13(µ) 10(³) 3(·)
28(³) 14(µ)
23 5(·,¹) 6(µ,¹) 13(³) 6(µ) 3(³,µ) 6(µ) 5(µ) 23(³,·) 3(µ)
24 26(³,Á) 8(¹,») 12(µ) 3(³) 16(³,µ) 27 12(³) 5(µ)
26(³) 14(³)
25 6(³,µ) 4(³,µ) 14 24 5(³,µ) 4(³) 3(µ) 25(³,µ) 5(µ)
26 25(³,µ) 8(µ,·) 4(µ) 5(³) 18(³,µ) 13(³) 14 7(·)
24(µ) 16(³)
199
êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï
1 2 3 4 5 6 7 8 9
27 7(³,µ) 2(µ,¹) 15 4(³) 7(³,µ) 2(³) 1(µ) 27(µ,·) 7(³)
28 24(³,µ) 9(³,µ) 5(³) 7(µ) 20(³,µ) 25 16 9(µ)
22(·) 18(µ)
29 8(·,½) 27(³,µ) 16 25 9(³,·) 3(³) 2(µ) 8 (³,µ) 9(µ)
30 21(³,µ) 9(·,¹) 12(µ) 9(³) 22(³,µ) 23(³) 18 11(³)
20(·) 20(³)
31 9(³,µ) 25(³,µ) 17 27 11(³,µ) 5(µ) 4(³) 6(³,µ) 11(³)
32 20(³,µ) 10(³,µ) 11(µ) 11(³) 24(³,µ) 21(µ) 20 1(µ)
18(³) 22(³)
33 1(·,¹) 23(³,µ) 18 2(µ) 13(³,µ) 7(³) 6(³) 4(µ,·) 13(³)
34 19(³,µ) 11(³,µ) 6(µ) 13(³) 26(³,µ) 19(³) 22 13(·)
16(³) 24(µ)
35 2(¿,Á) 21(³,µ) 19 2(³) 15(³,µ) 9(³) 8(³) 2(³,·) 15(µ)
36 14(³,µ) 11(·,¹) 7(³) 15 28(³,µ) 17(µ) 24 14(µ)
15(·) 26(³)
37 11(³,µ) 19(³,µ) 8(µ) 11(µ) 17(³,µ) 10(µ) 8(µ) 17(³)
19(·) 17(³)
38 8(µ,¹) 13(³,µ) 9(³) 17 7(·) 15(³) 26 12(³)
21(µ) 28(³)
39 2(»,½) 17(³,µ) 10(³) 16 19(³,µ) 11(³) 13(³) 10(³)
25(·) 19(µ)
40 18(³,µ) 15(³,µ) 13(µ) 12(³) 6(·) 12(µ) 28 23(µ)
27(³) 28(µ)
200
ú·ï³·áñÍí³Í ·ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ
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31. Ð.ê. ØÇù³Û»ÉÛ³Ý, ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝóó, 1, §¾¹Çà äñÇÝæ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ, ºñ¨³Ý, 2004, 245 ¿ç:
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202
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¢1. îñ³Ù³µ³ÝáõÃÛ³Ý ¨ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñ……………….... 3 1 ²ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ………………………………...................................... 3 2 äñ»¹ÇϳïÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ……………………………………………............8
3. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ¹ñ³Ýó Ñ»ï: ´³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝ..14 4. ä³ñ½³·áõÛÝ Ã»áñ»ÙÝ»ñ ѳßí»ÉÇ ¨ ³Ýѳßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñ³µ»ñ۳Ʌ...............................................................................................…… 20
¢2. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ..................………………………………………....25 1. è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ……………………………. 25 2. Âí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ã³÷Ù³Ý Ñ³Ù³ñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ
³Ýµ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ...................................................………………………….26 3. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·³íáñáõÙÁ.………………………………... 29 4. ì»ñ¨Çó ϳ٠ݻñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: Öß·ñÇï »½ñ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ………………………………………………...... 32 5. Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ»ï…………………… 34 6. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ................................................ 39
7. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÛÉ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ............................................................... 45
8. Âí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸ñ³Ýó ÁݹѳÝáõñ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ................. 53
¢3. Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¨ ¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ: ܳËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³ÛÇÝ ß³ñù»ñÇ í»ñ³µ»ñ۳Ʌ…………………………...76
1. ¶³Õ³÷³ñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ: Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï……………………….......76
2. ê³Ñٳݳ÷³Ï ¨ ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ…………… 78
3. ¼áõ·³Ù»ï, ï³ñ³Ù»ï, ³Ýí»ñç ÷áùñ ¨ ³Ýí»ñç Ù»Í
ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ…............................................................................…. 79
4. ¼áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ……….90
5. ØáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ: e ÃÇíÁ.................................................... 95
6. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëݳÏÇ ë³ÑÙ³Ý: гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý
½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ...............................................................104
7. ܳËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³ÛÇÝ ß³ñù»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É..................... 112
¢4. ²Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ...................…………………………...127
Ü»ñ³ÍáõÃÛáõÝ......................................................................................................128
1. Æï»ñ³óÇáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ………………………………………. 130
2. öá÷áË³Ï³Ý ·áñͳÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ…..148
3. гëï³ïáõÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ…....157
203
4. гëï³ïáõÝ ·áñͳÏÇóÝ»ñáí »ñÏñáñ¹ ϳñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ
ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ.................................................................................................162
¢6. êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ…………………………………………….171
1. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 1 ……………………………………...……………………171 2. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 2……………………………………….…………………...176
3. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 3……………………………………………………………182
4. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 4……………………………………….…………………...183
5. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 5……………………………………….…………………...185
6. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 6……………………………………….…………………...188
7. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 7..…………………………………… …………………… 189
8. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 8……………………………………...……………………. 192
9. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 9……………………………………...……………………. 194
êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï……………………………………. 198
ú·ï³·áñÍí³Í ·ñ³Ï³ÝáõÃÛáõÝ…………………………………………………..200
´áí³Ý¹³ÏáõÃÛáõÝ..................................................................................................... 202
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ՂՈՒԼՂԱԶԱՐՅԱՆ ԳՈՒՐԳԵՆ ՌՈՒԲԵՆԻ ՂՈՒԼՂԱԶԱՐՅԱՆ ԼՈՒՍԻՆԵ ԳՈՒՐԳԵՆԻ
ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԱՆԱԼԻԶ
ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆ. ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ Խնդրագիրք-պրակտիկում
Ուսումնական ձեռնարկ մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար (Հաստատված է ՀՀ կրթության և գիտության նախարարության կողմից)
Տպագրական բնօրինակը հրատարակչությանն են տրամադրել հեղինակները
Համակարգչային մասնակի աշխատանքները՝ Լիլիթ Ավագյանի Բնագրի մոնտաժը՝
Տաթևիկ Ավագյանի
Ստորագրված է տպագրության 07.02.07 Թուղթ՝ գրելու (A4) Տպագրությունը՝ <<Ռիզոգրաֆ>> եղանակով: Տպագր. 12.75, հրապ. 10.8 մամուլ:
ISBN 978 - 999411 – 69 – 07 - 8
Տպաքանակը՝ 300 Գինը՝ պայմանագրային Խ. Աբովյանի անվ. ՀՊՄՀ <<Մանկավարժ>> հրատարակչություն: Երևան, Կենտրոն, Տ. Մեծի 17: