´³½ÙáõÃÛáõÝ Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ analiz_1.pdf · 3 ¢1. îñ³Ù³µ³ÝáõÃÛ³Ý ¨ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ï³ññ »ñ 1

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ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆ, ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

Ê Ý ¹ ñ ³ · Ç ñ ù – å ñ ³ Ï ï Ç Ï á õ Ù

àõëáõÙÝ³Ï³Ý Ó»éÝ³ñÏ

Մ Ա Ն Կ Ա Վ Ա Ր Ժ 2007

2

ՀՏԴ 517 (07) Հաստատված է ՀՀ կրթության և գիտության ԳՄԴ 22.16ց7 նախարարության կողմից որպես ուսումնական ձեռնարկ Ղ 942 մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար: Հրատարակության է երաշխավորել Խ. Աբովյանի անվան ՀՊՄՀ գիտական խորհուրդը: Ղ 942 Ղուլղազարյան Գ.Ռ., Ղուլղազարյան Լ.Գ. Մաթեմատիկական անալիզ, բազմություն, Հաջորդականություն: Խնդրագիրք-

պրակտիկում:-Երևան:-<<Մանկավարժ>> հրատ: - 2007: - 204 էջ:

Ձեռնարկը նախատեսված է մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար: Այն կարող է օգտակար լինել նաև տեխնիկական բուհերի, բնագիտական ֆակուլտետների, <<Մաթեմատիկական անալիզ>> դասընթացն անցնող սովորողների, ինչպես նաև մաթեմատիկա դասավանդող ուսուցիչների համար:

Ձեռնարկում բերված առաջադրանքները և դրանցից կազմված տարբերակները կարելի է օգտագործել որպես ստուգողական աշխատանքներ հեռակա և առկա ուսուցման ուսանողների համար:

Ղ2007)01(714

16020700002007թ. ԳՄԴ 22.16ց 7

ISBN 978 - 999411 – 69 – 07 - 8

©Մանկավարժ 2007թ.:

Մ Ա Ն Կ Ա Վ Ա Ր Ժ 2 0 0 7

3

¢ 1 . î ñ³ Ù ³ µ³ Ýá õ ÃÛ³ Ý ¨ µ³ ½ Ùá õ ÃÛ á õ ÝÝ» ñ Ç ï » ëá õ Ã Û³ Ý ï³ ñ ñ»ñ

1. ²ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ

²ëáõÛÃ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ Ý³ËÝ³Ï³Ý Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝ ¿, áõëïÇ ³ÛÝ ³í»ÉÇ å³ñ½ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ë³ÑÙ³Ý»É ÑÝ³ñ³-íáñ ã¿: êáíáñ³µ³ñ, ³ëáõÛÃ ³ë»Éáí` Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ³Ù»Ý ÙÇ åÝ¹áõÙ, áñÇ Ù³ëÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñëï³Ïáñ»Ý Ýß»É, áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ï³Ù Ï»ÕÍ:

¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÁª −1A §27-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç¦, −2A §4-Á

µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç ¦, −3A §ó³ÝÏ³ó³Í »é³ÝÏÛ³Ý ³ñï³ùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ Ù»Í ¿ Çñ»Ý

áã ÏÇó Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÇó¦: Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ 21 , AA ¨ 3A åÝ¹áõÙÝ»ñÝ ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙª 1A -Á

¨ 3A -Á ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý, ÇëÏ 2A -Á` Ï»ÕÍ:

A ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` A , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³ëáõÛÃÁ, áñÁ Ï»ÕÍ ¿, »ñµ A -Ý ×ßÙ³ñÇï ¿, ¨ ×ßÙ³ñÇï ¿, »ñµ A -Ý Ï»ÕÍ ¿: A -Ý Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿` §×ßÙ³ñÇï ã¿ A -Ý¦ Ï³Ù § áã A ¦:

A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ÏáÝÛáõÝÏóÇ³, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` A ∧ B , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³ëáõÛÃÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ×ßÙ³ñÇï »Ý A ¨ B ³ëáõÛÃ-Ý»ñÁ: A ∧ B ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ∧ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÁ ÏñáõÙ ¿ §¨¦ ß³ÕÏ³åÇ ëáíá-ñ³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ:

A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ¹Ç½ÛáõÝÏóÇ³, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` A ∨ B , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ³ëáõÛÃÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »Ã» ×ßÙ³ñÇï ¿ A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ: A ∨ B ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç ∨ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÁ Ï³ï³ñáõÙ ¿ §Ï³Ù¦ ß³ÕÏ³åÇ ¹»ñÁ,

áñÝ û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ ³Ýµ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý ÇÙ³ëïáí: A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ÇÙåÉÇÏ³óÇ³, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` BA⇒ , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ

³ëáõÛÃÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ÙÇßï, µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ ³ÛÝ ¹»åùÇ, »ñµ A -Ý ×ßÙ³ñÇï ¿, ÇëÏ B -Ý` Ï»ÕÍ: BA⇒ ·ñ³éáõÙÁ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿` § A -Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿ B -Ý¦:

àõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¹³ñÓÝ»Ýù ³ÛÝ µ³ÝÇ íñ³, áñ »Ã» A -Ý Ï»ÕÍ ³ëáõÛÃ ¿, ³å³ BA⇒ ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, áñï»Õ B -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ëáõÛÃ ¿:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1 : ¸Çóáõù BA⇒ ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ A

³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ B ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»Éáõ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý, ÇëÏ B ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»Éáõ ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³Ý:

A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` BA⇔ , ÏáãíáõÙ

¿ ³ÛÝ ³ëáõÛÃÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »ñµ A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇó »ñÏáõëÝ ¿É ×ßÙ³ñÇï »Ý Ï³Ù »ñÏáõëÝ ¿É` Ï»ÕÍ:

4

ä³ÛÙ³Ý³íáñí»Ýù ó³ÝÏ³ó³Í ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃÇÝ Ïó»É t ¨ Ñ³Ù³ñ»É ×ßÙ³-

ñÇï ³ëáõÛÃÇ ³ñÅ»ù, ÇëÏ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ÕÍ ³ëáõÛÃÇÝ Ïó»É f , Ñ³Ù³ñ»Éáí Ï»ÕÍ

³ëáõÛÃÇ ³ñÅ»ù: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` A , A ∧ B , A ∧ B , BA⇒ , BA⇔ ³ëáõÛÃ-Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»É Çñ, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÇ Ñ»ï, áñÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë ïíÛ³É ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñÇï Ï³Ù Ï»ÕÍ ÉÇÝ»ÉÁ` Ï³Ëí³Í A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ×ßÙ³ñÇï Ï³Ù Ï»ÕÍ ÉÇÝ»Éáõó: ²Û¹ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ-Ý»ñÇ (å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ»ñÇ) Ó¨³Ï³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ.

A B A ∧ B A ∨ B BA⇒ BA⇔ A A t t

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Ð³×³Ë µ³ñ¹ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ·ñ³é»ÉÇë ³í»ÉÇ å³ñ½ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ Ý»ñ³éáõÙ »Ý

÷³Ï³·Í»ñÇ Ù»ç, áñáÝù Ï³ï³ñáõÙ »Ý ÝáõÛÝ ·áñÍ³éáõÛÃÁ, ÇÝãåÇëÇÝ ¿ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·ñ³é»ÉÇë: ö³Ï³·Í»ñÁ ËÝ³Ûá-Õ³µ³ñ û·ï³·áñÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³ÛÙ³Ý³íáñíáõÙ »Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ñ-Ã³·³ÛáõÃÛ³Ý Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ·Á`

, ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ : (1)

²ÛëåÇëÇ å³ÛÙ³Ý³íáñí³ÍáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ûñÇÝ³Ï` A ∧ B ∨ C ⇒ D

³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ í»ñÍ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñåª ((( A )∧ B )∨ C )⇒ D , ÇëÏ

A ∨ B ⇒ C í»ñÍ³ÝíáõÙ ¿ ³Ûëå»ëª ( A ∨ B )⇒ C , µ³Ûó áãª A ∨ ( B ⇒ C ): ²ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý ûñ»ÝùÝ»ñÁ: ²ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßÇíÁ »Ý-

Ã³ñÏíáõÙ ¿ áñáß ûñ»ÝùÝ»ñÇ, áñáÝù ß³ï ÝÙ³Ý »Ý ï³ññ³Ï³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíáõÙ ÏÇñ³éíáÕ ûñ»ÝùÝ»ñÇÝ.

A ∨ B ⇔ B ∨ A – ¸Ç½ÛáõÝÏóÇ³ÛÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù, (2)

A ∧ B ⇔ B ∧ A – ÎáÝÛáõÝÏóÇ³ÛÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý ûñ»Ýù, (3)

A ∨ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∨ B )∨ C – ¸Ç½ÛáõÝÏóÇ³ÛÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù, (4)

A ∧ ( B ∧ C )⇔ ( A ∧ B )∧ C – ÎáÝÛáõÝÏóÇ³ÛÇ ½áõ·áñ¹³Ï³Ý ûñ»Ýù, (5)

A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B )∨ ( A ∧ C ) – ³é³çÇÝ µ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýù, (6)

A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B )∧ ( A ∨ C ) – »ñÏñáñ¹ µ³ßË³Ï³Ý ûñ»Ýù, (7)

( A ∨ B )⇔ A ∧ B , ( A ∧ B )⇔ A ∨ B –¸° Øáñ·³ÝÇ ûñ»ÝùÝ»ñÁ, (8)

A ⇔ A – ÏñÏÝ³ÏÇ ÅËïÙ³Ý ûñ»Ýù, (9)

A ∨ A ⇔ A , A ∧ A ⇔ A – ÙÇ³½áñáõÃÛ³Ý (Ç¹»Ùåáï»ÝïáõÃÛ³Ý) ûñ»Ýù: (10)

5

¸Çóáõù X -Á, Y -Á, Z -Á, U -Ý, V -Ý, W -Ý,… Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý: (1) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí Ï³ñáÕ »Ýù ³Û¹ ³ëáõÛÃÝ»ñÇó Ï³½Ù»É µ³ñ¹ ³ëáõÛÃÝ»ñ`

)4,)3,)2,)1 YXYXYX ⇒∨∧ X , 5) YX ⇔ , 5) VU ∨ : êï³óí³Í ³ëáõÛÃ-

Ý»ñÇó, û·ï³·áñÍ»Éáí ÝáõÛÝ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É Ýáñ` µ³ñ¹ ³ëáõÛÃÝ»ñ, ûñÇÝ³Ï` ),( ZYX ∨⇒ )( YX ∨ , )( YX ⇒ ⇒ ⇔X( ))( VU ∧ ¨ ³ÛÉÝ:

²Ù»Ý ÙÇ µ³ñ¹ ³ëáõÛÃ, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ áñáß »É³Ï»ï³ÛÇÝ ³ëáõÛÃÝ»ñÇó (1) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇñ³éÙ³Ùµ, ÏáãíáõÙ ¿ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ µ³Ý³Ó¨ Ï³Ù å³ñ½³å»ë µ³Ý³Ó¨:

ºÉ³Ï»ï³ÛÇÝ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ Ï³ñáÕ »Ý ÉÇÝ»É Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ, ³ÛëÇÝùÝ` áõÝ»Ý³Ý áñáß³ÏÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ` t Ï³Ù f : ²Ûë ¹»åùáõÙ »É³Ï»ï³ÛÇÝ ³ëáõÛÃÝ»ñÝ

³Ýí³ÝáõÙ »Ý ï³ññ³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ³ëáõÛÃÝ»ñ: ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ »É³Ï»-ï³ÛÇÝ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ãáõÝ»Ý áñáß³ÏÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ, Ýñ³Ýó Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý É³ïÇ-Ý³Ï³Ý ³Ûµáõµ»ÝÇ Ù»Í³ï³é»ñáí ¨ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñ (Ï³Ù ³ëáõÛÃ³ÛÇÝ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñ) : ºÃ» ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñÇÝ ï³Ýù ³ñÅ»ùÝ»ñ ( t Ï³Ù f ), ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáß»É

¹ñ³ÝóÇó Ï³½Ùí³Í ó³ÝÏ³ó³Í µ³Ý³Ó¨Ç ³ñÅ»ùÁ (ÏÉÇÝÇ t Ï³Ù f ):

²ÛëåÇëáí, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³Ý³Ó¨ Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ (´áõÉÛ³Ý) üáõÝÏóÇ³, áñÇ ³ñ·áõÙ»ÝïÝ»ñÁ ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý, ÇëÏ ó³ÝÏ³ó³Í Ù³ëÝ³ÏÇ ³ñÅ»ù t ¿ Ï³Ù f :

ÀÝ¹áõÝí³Í ¿ nXXX ...,,, 21 ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í

µ³Ý³Ó¨Á (ýáõÝÏóÇ³Ý) Ýß³Ý³Ï»É, ûñÇÝ³Ï, )...,,,( 21 nXXXAA = , )...,,,( 21 nXXXBB =

å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ»ñáí: ÜáõÛÝ³µ³ñ ×ßÙ³ñÇï (Ï»ÕÍ) µ³Ý³Ó¨ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ µ³Ý³Ó¨Á,

áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ (Ï»ÕÍ ¿) µáÉáñ ¹»åù»ñáõÙ, ³ÝÏ³Ë Ýñ³ÝÇó ×ßÙ³ñÇï »Ý, Ã» Ï»ÕÍ µ³Ý³Ó¨Á Ï³½ÙáÕ µ³ÕÏ³óáõóÇã ³ëáõÛÃÝ»ñÁ: ºÃ» A -Ý ÝáõÛÝ³µ³ñ ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃ ¿, ³å³ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý |= A å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí: úñÇÝ³Ï` ∨A A µ³Ý³-Ó¨Á ÝáõÛÝ³µ³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿` |= ∨A A , ÇëÏ ∧A A µ³Ý³Ó¨Á ÝáõÛÝ³µ³ñ` Ï»ÕÍ:

ºñÏáõ A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñ, áñáÝù Ï³½Ùí³Í »Ý ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý

nXXX ...,,, 21 ³ëáõÛÃÝ»ñÇó, ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ³½áñ, »Ã» 1X -Ç, 2X -Ç nX...,, -Ç

ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñÁ ëï³ÝáõÙ »Ý ÝáõÛÝ ³ñ-Å»ùÝ»ñÁ (Ýñ³Ýù Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ µáõÉÛ³Ý ýáõÝÏóÇ³):

ÜÏ³ï»Ýù, áñ ï³ññ³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Ý ³ëáõÛÃÝ»ñÇ áñáß Ù³ëÁ Ï³ñáÕ ¿ ÙïÝ»É Ñ³í³ë³ñ³½áñ µ³Ý³Ó¨»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÇ Ù»ç: úñÇÝ³Ï`

∧1(X 21) XX ∨ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ 2X -ÇÝ,

∨1X 1X Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ ∨2X 2X -ÇÝ:

Ð³í³ë³ñ³½áñáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇ ¨ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇ ÙÇç¨ ·á-

6

ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ï³åÁ. »Ã» A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ »Ý, ³å³ BA⇔ µ³Ý³Ó¨Á ÝáõÛÝ³µ³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿, ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» BA⇔ µ³Ý³Ó¨Á

ÝáõÛÝ³µ³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿, ³å³ A -Ý Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ B -ÇÝ:

úñÇÝ³Ï 1: ²å³óáõó»É, áñ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÁ ÝáõÛÝ³µ³ñ ×ßÙ³ñÇï »Ý.

³) )()( BABAF ∨⇔⇒= ; (11)

µ) )()( ABBAG ⇒⇔⇒= ; (12)

·) ))()(()( BABABAH ∧∨∧⇔⇔= ; (13)

¹) ))()(()( ABBABAL ⇒∧⇒⇔⇔= : (14)

²å³óáõÛó: ²å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ï³½Ù»Ýù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³Ý³Ó¨Ç ×ßÙ³ñ-ï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ ¨ Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ ³ÝÏ³Ë A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ýßí³Í µáÉáñ µ³Ý³Ó¨»ñÝ áõÝ»Ý ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ Ù»Ï ³ñÅ»ù` t :

F µ³Ý. ×ßÙ³ñï . ³Õ. ³Õ. 1 G µ³Ý. ×ßÙ³ñï . ³Õ. ³Õ. 2

BA, BA ⇒ BA ∨ F BA, BA⇒ AB ⇒ G

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H µ³Ý³Ó¨Ç ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ ³Õ. 3

BA, BA∧ BA∧ BA ⇔ )()( BABA ∧∨∧ H

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L µ³Ý³Ó¨Ç ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ ³Õ. 4

BA, BA ⇔ BA⇒ AB ⇒ )()( ABBA ⇒∧⇒ L

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7

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1. ºÃ» BA⇒=| ¨ AB ⇒=| , ³å³ BA ⇔=| (î»ë. ³Õ. (4)):

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2 : ¸Çóáõù BA⇒ ¨ AB ⇒ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ×ßÙ³ñÇï »Ý: ²Û¹

¹»åùáõÙ, A ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý B ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ` B ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»ÉÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý A ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³óÇ ÉÇÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2. àñå»ë½Ç BA⇒ ³ëáõÛÃÁ ÉÇÝÇ ×ßÙ³ñÇï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨

µ³í³ñ³ñ, áñ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝÇ AB ⇒ ³ëáõÛÃÁ (î»ë. ³Õ. (2)):

ì»ñçÇÝ åÝ¹áõÙÁ ÑÇÙù ¿ Í³é³ÛáõÙ ³å³óáõóÙ³Ý, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, §Ñ³Ï³-ëáÕ »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý Ù»Ãá¹ÇÝ¦:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3. ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí (11) ¨ (13) µ³Ý³Ó¨»ñÇ ÝáõÛÝ³µ³ñ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝ»ÉÁ` Ï³ñ»ÉÇ ¿ åÝ¹»É, áñ ⇔⇒, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ñáõÝ³ÏáÕ

ó³ÝÏ³ó³Í µ³Ý³Ó¨ ÑÝ³ñ³íáñ ¿ µ»ñ»É ÙÇ Ýáñ µ³Ý³Ó¨Ç, áñÁ å³ñáõÝ³ÏÇ

ÙÇ³ÛÝ ∨∧ ,, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

ºñÏ³ÏÇáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÁ: ¸Çóáõù A µ³Ý³Ó¨Á Ï³½Ùí³Í ¿ nXXX ...,,, 21 ³ëáõÛ-

Ã³ÛÇÝ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ ∨∧ ,, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: ∗A

µ³Ý³Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ A µ³Ý³Ó¨Ç »ñÏ³ÏÇÝ, »Ã» ³ÛÝ ëï³óíáõÙ ¿` A µ³Ý³Ó¨Çó ∧ -Ý ÷áË³ñÇÝ»Éáí ∨ -áí ¨ ∨ -Ý ÷áË³ñÇÝ»Éáí ∧ -áí:

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ »ñÏ³ÏÇáõÃÛ³Ý ³éÝãáõÃÛáõÝÁ ÷áË³¹³ñÓ ¿:

Â»áñ»Ù 1 : ¸Çóáõù A µ³Ý³Ó¨Á Ï³½Ùí³Í ¿ nXXX ...,,, 21 ³ëáõÛÃ³ÛÇÝ

÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó, ¨ û·ï³·áñÍí³Í »Ý ÙÇ³ÛÝ ∨∧ ,, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸Ç-

óáõù ∗∗A µ³Ý³Ó¨Á ëï³óíáõÙ ¿ A µ³Ý³Ó¨Çó` ∧ -Ý ÷áË³ñÇÝ»Éáí ∨ -áí ¨ ∨ -Ý

÷áË³ñÇÝ»Éáí ∧ -áí ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ iX ³ëáõÛÃ³ÛÇÝ ÷á÷áË³Ï³Ý ÷áË³ñÇ-

Ý»Éáí Çñ ÅËïáõÙáí` iX : ²Û¹ ¹»åùáõÙ A µ³Ý³Ó¨Ç ÅËïáõÙÁ` A Ñ³í³ë³-

ñ³½áñ ¿ ∗∗A -ÇÝ.

∗∗⇔= AA| Ï³Ù )...,,,()...,,,(| 2121 nn XXXAXXXA ⇔= ∗ :

Â»áñ»Ù 2 (ºñÏ³ÏÇáõÃÛ³Ý ûñ»ÝùÁ): ¸Çóáõù A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñÁ Ï³½Ùí³Í

»Ý nXXX ...,,, 21 ³ëáõÛÃ³ÛÇÝ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó ¨ û·ï³·áñÍí³Í »Ý ÙÇ³ÛÝ

∨∧ ,, ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ºÃ» A ¨ B µ³Ý³Ó¨»ñÁ Ñ³í³ë³ñ³½áñ »Ý, ³å³

¹ñ³Ýó ∗A ¨ ∗B »ñÏ³ÏÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁ ÝáõÛÝå»ë Ñ³í³ë³ñ³½áñ »Ý.

»Ã» BA ⇔=| , ³å³ ∗∗ ⇔= BA| :

8

úñÇÝ³Ï 2: Î³½Ù»É Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÇ »ñÏ³ÏÇÝ»ñÁ.

³) ZYXA ∧∨= )( ; µ) ))(()( ZYXYXB ∧∨∧∨= :

ÈáõÍáõÙ: ³) ZYXZYXA ∨∧⇔∨∧=∗ )( ;

µ) )()())(()( ZYXYXZYXYXB ∨∧∨∧⇔∨∧∨∧=∗ :

2. äñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ

äñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ Ñ³ßÇíÝ ÁÝ¹·ñÏáõÙ ¿ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßÇíÁ: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇó` ³ÛÝ ¹Çï³ñÏáõÙ ¿ ³é³ñÏ³Ý»ñÇÝ í»ñ³µ»ñáÕ ³ëáõÛÃÝ»ñ:

¸Çóáõù M -Á áñáß ûµÛ»ÏïÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ¨ dcba ,,, ûµÛ»Ïï-

Ý»ñÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñ »Ý: ²Û¹ ûµÛ»ÏïÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ

Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå ),(),(),( dcRbQaP ¨ ³ÛÉÝ: )(aP -Ý ³ëáõÛÃ ¿ a

ûµÛ»ÏïÇ í»ñ³µ»ñÛ³É, )(bQ -Ý ³ëáõÛÃ ¿ b ûµÛ»ÏïÇ í»ñ³µ»ñÛ³É, ),( dcR -Ý

³ëáõÛÃ ¿ c ¨ d ûµÛ»ÏïÝ»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É ¨ ³ÛÉÝ:

úñÇÝ³Ï 3: ¸Çóáõù N -Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ¨ P -Ý Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿

µÝ³Ï³Ý ÃíÇ å³ñ½ ÉÇÝ»Éáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ § a µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ å³ñ½

¿¦ ³ëáõÛÃÁ ·ñíáõÙ ¿ )(aP ï»ëùáí: ²Ûë ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç a -Ý ûµÛ»Ïï ¿, ÇëÏ P -Ý`

åñ»¹ÇÏ³ï. (å³ñ½ ÃÇí ÉÇÝ»Éáõ åñ»¹ÇÏ³ï): Î³Ëí³Í a -Çó` )(aP ³ëáõÛÃÁ

ÏÉÇÝÇ ×ßÙ³ñÇï Ï³Ù Ï»ÕÍ: úñÇÝ³Ï` fPfPtPtP ==== )4(,)1(,)3(,)2( : Àëï

¿áõÃÛ³Ý P åñ»¹ÇÏ³ïÁ ÙÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, áñÁ N -Á ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿

»ñÏáõ ï³ññ»ñÇó µ³ÕÏ³ó³Í , ftB = µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³` BNP →: :

úñÇÝ³Ï 4: ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ¨ ),( baS -Ý

Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ § a -Ý ÷áùñ ¿ b -Çó¦ ³ëáõÛÃÁ: ²Û¹ ³ëáõÛÃÁ ¹³éÝáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ, »ñµ

a -Ý ¨ b -Ý ÷áË³ñÇÝíáõÙ »Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí. fStS == )2,5(,)3,1( ¨ ³ÛÉÝ: Àëï

¿áõÃÛ³Ý S åñ»¹ÇÏ³ïÁ ÙÇ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿, áñÁ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ñ-

·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇó

µ³ÕÏ³ó³Í , ftB = µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3 : M µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇó Ï³½Ùí³Í µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ

Ï³ñ·³íáñí³Í ),...,,( 21 naaa Ñ³í³ù³ÍáõÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ M µ³½-

ÙáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ëïÇ×³Ý, ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ nM -áí.

,1,);,..,,( 21 niMaaaaM inn =∈= :

9

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ` 2,1,:),(, 2121 =∈== iMaaaMMM i ¨ ³ÛÉÝ (ï»ë Ï»ï 3-Á):

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : ¸Çóáõù n -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï ÏáãíáõÙ ¿ ³Ù»Ý ÙÇ ÙÇ³ñÅ»ù P ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ, áñÁ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ëïÇ×³Ý ³ñ-

ï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ »ñÏáõ ï³ññ»ñÇó µ³ÕÏ³ó³Í , ftB = µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³`

BMP n →: : n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ïÁ, ÇÝãå»ë n ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ýáõÝÏóÇ³Ý, Ýß³Ý³ÏáõÙ

»Ý, ûñÇÝ³Ï, ),..,,( 21 nxxxP å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí (ï»’ë Ï»ï 3, ¿ç 16 ): M µ³½Ùáõ-

ÃÛ³ÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ïÇñáõÛÃ: ºÃ» P ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»å-ùáõÙ ),...,,( 21 naaa Ñ³í³ù³ÍáõÇ Ï»ñå³ñÁ t -Ý ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý`

taaaP n =),..,,( 21

¨ ³ëáõÙ »Ý` P åñ»¹ÇÏ³ïÇ ³ñÅ»ùÁ ),...,,( 21 naaa Ñ³í³ù³ÍáõÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³-

ñÇï ¿: ºÃ» P ³ñï³å³ïÏ»ñÙ³Ý ¹»åùáõÙ ),...,,( 21 naaa Ñ³í³ù³ÍáõÇ Ï»ñ-

å³ñÁ f -Ý ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý`

faaaP n =),..,,( 21

¨ ³ëáõÙ »Ý` P åñ»¹ÇÏ³ïÇ ³ñÅ»ùÁ ),...,,( 21 naaa Ñ³í³ù³ÍáõÇ Ñ³Ù³ñ Ï»ÕÍ ¿:

n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ïÁ, »ñµ 1=n ÏáãíáõÙ ¿ §Ù»Ï ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï¦, 2=n ¹»åùáõÙ` §»ñÏï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï¦ ¨ ³ÛÉÝ: n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ïÇÝ ³Ý-

í³ÝáõÙ »Ý Ý³¨ n -ï»Õ³ÝÇ ³Ýáñáß ³ëáõÛÃ Ï³Ù n ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ïñ³Ù³µ³-Ý³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³:

ÎÇñ³é»Éáí ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ (1) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ` ëï³ÝáõÙ »Ý Ýáñ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñ: úñÇÝ³Ï` ¹Çóáõù )(xP -Á ¨ )(xQ -Á

M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í Ù»Ï ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñ »Ý: )(xP ¨ )(xQ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ ÏáÝÛáõÝÏóÇ³ (Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` )()( xQxP ∧ )

ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ åñ»¹ÇÏ³ïÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï »Ý )(xP ¨ )(xQ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÁ:

)(xP ¨ )(xQ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ ¹Ç½ÛáõÝÏóÇ³ (Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` )()( xQxP ∨ )

ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ åñ»¹ÇÏ³ïÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ )(xP ¨ )(xQ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ:

)(xP åñ»¹ÇÏ³ïÇ ÅËïáõÙ (Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` )(xP ) ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ åñ»¹ÇÏ³-

ïÁ, áñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ Ï»ÕÍ ¿ )(xP åñ»¹ÇÏ³ïÁ ¨ Ï»ÕÍ ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³Ù³ñ,

áñáÝó Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ )(xP åñ»¹ÇÏ³ïÁ : ÜÙ³Ý Ó¨áí Ý»ñÙáõÍíáõÙ »Ý

10

)()( xQxP ⇒ , )()( xQxP ⇔ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÁ (Ý»ñÙáõÍáõÙÁ ÃáÕÝáõÙ »Ýù ÁÝÃ»ñóá-

ÕÇÝ): ´³½Ù³ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³ëáõÛñÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ-

Ý»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý ÝÙ³Ý Ó¨áí: ²Ûëï»Õ å»ïù ¿ Ñ³ßíÇ ³éÝ»É` ÷á÷áË³-Ï³ÝÝ»ñÁ Ýß³Ý³Ïí³±Í »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ ï³éáí, Ã»± áã: úñÇÝ³Ï, ¹Çóáõù ïñí³Í »Ý

),( yxP ¨ ),( yxQ »ñÏï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÁ, áñáÝù áñáßí³Í »Ý M µ³½Ùáõ-

ÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` ),(),( zyQyxP ∨ -Á M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í »ñ»ù

ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï ¿: ºÃ» )(xP -Á ¨ )(xQ -Á M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í Ù»Ï

ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñ »Ý, ³å³ )()( xQxP ∨ -Á M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í

Ù»Ï ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï ¿, ÇëÏ )()( yQxP ∨ -Á M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í

»ñÏï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï ¿ :

ø í ³ Ý ï á ñ Ý » ñ : äñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ Ñ³ßíáõÙ, ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ·áñÍáÕáõÃ-ÛáõÝÝ»ñÇ ÏáÕùÇÝ, Ï³ñ¨áñ ¹»ñ »Ý Ï³ï³ñáõÙ, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ÁÝ¹Ñ³ÝñáõÃ-Û³Ý`∀ ¨ ·áÛáõÃÛ³Ý` ∃ ùí³ÝïáñÝ»ñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

¸Çóáõù )(xP åñ»¹ÇÏ³ïÁ áñáßí³Í ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

)(xxP∀ (15)

·ñ³éÙ³Ý ï³Ï Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃ, »Ã» )(xP -Á ×ßÙ³ñÇï ¿ M

µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ ¨ Ï»ÕÍ ³ëáõÛÃ, »Ã» M µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ

å³ïÏ³ÝáÕ ·áÝ¿ Ù»Ï x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ )(xP -Á Ï»ÕÍ ¿:

(15) ·ñ³éáõÙÁ Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿` §µáÉáñ x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ )(xP ¦ Ï³Ù

§ó³ÝÏ³ó³Í x -Ç Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ )(xP ¦:

¸Çóáõù )(xP åñ»¹ÇÏ³ïÁ áñáßí³Í ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

)(xxP∃ (16)

·ñ³éÙ³Ý ï³Ï Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M µ³½-ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ ·áÝ» Ù»Ï x ï³ññ áñÇ Ñ³Ù³ñ )(xP -Á ×ßÙ³ñÇï ¿, Ï»ÕÍ

³ëáõÛÃ, »Ã» M µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í x ï³ññÇ Ñ³Ù³ñ )(xP -Á Ï»ÕÍ ¿:

(16) ·ñ³éáõÙÁ Ï³ñ¹³óáõÙ ¿` §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x , áñ ï»ÕÇ áõÝÇ )(xP ¦ :

úñÇÝ³Ï 5: ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ N µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ý»Ýù åñ»¹ÇÏ³ï

Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` taP =)( ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ a -Ý å³ñ½ ÃÇí ¿:

²Ûë ûñÇÝ³ÏáõÙ )(xxP∀ ³ëáõÛÃÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ §ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí

å³ñ½ ÃÇí ¿¦, ÇëÏ )(xxP∃ ³ëáõÛÃÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ å³ñ½ µÝ³Ï³Ý

ÃÇí ¦: ²Ûë ³ëáõÛÃÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ Ï»ÕÍ ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á` ×ßÙ³ñÇï: ²ÛëåÇëáí, )(xxP∀ ¨ )(xxP∃ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ í»ñ³µ»ñáõÙ »Ý áã Ã» ³é³ÝÓÇÝ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ,

11

³ÛÉ ³ÙµáÕç µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: ¸ñ³Ýó ×ßÙ³ñÇï Ï³Ù Ï»ÕÍ ÉÇÝ»ÉÁ Ï³Ëí³Í ã¿ ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÇ Ýß³Ý³ÏÙ³Ý ï³éÇó:

∀∃, ùí³ÝïáñÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ »ñÏ³ÏÇÝ: ∧ ¨ ∨ å³ÛÙ³Ý³

Ýß³ÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ »ñÏ³ÏÇÝ:

Â»áñ»Ù 3 : ¸Çóáõù )(xP åñ»¹ÇÏ³ïÁ áñáßí³Í ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹

¹»åùáõÙ ∀∃, ùí³ÝïáñÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

)())((| xPxxxP ∃⇔∀= ; (17)

)())((| xPxxxP ∀⇔∃= : (18)

úñÇÝ³Ï, (17)-Á Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ §×ßÙ³ñÇï ã¿, áñ µáÉáñ x -»ñÝ ûÅïí³Í »Ý )(xP

Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ¦ Ñ³í³ë³ñ³½áñ ¿ §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x ï³ññ, áñÇ Ñ³-

Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ã¿ )(xP -Á¦:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (17) ¨ (18) ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñáí ïñíáõÙ ¿ Ù»Ë³ÝÇ½Ù, áñáí Ï³-éáõóíáõÙ ¿ )(xxP∀ ï»ëùÇ ¨ )(xxP∃ ï»ëùÇ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ÅËïáõÙÁ. ¹ñ³ Ñ³Ù³ñ

µ³í³Ï³Ý ¿ ·ñí³Í ùí³ÝïáñÁ ÷áË³ñÇÝ»É Çñ »ñÏ³ÏÇáí ¨ )(xP Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ

Çñ ÅËïáõÙáí: ¸Çóáõù M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ï` ),..,,( 21 nxxxP

(n>1): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, 1x ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ (ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

¹»åùáõÙ nixi ,1, = ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ) ∀ ¨ ∃ ùí³Ý-

ïáñÝ»ñÇ ÏÇñ³éáõÙÁ ),..,,( 21 nxxxP åñ»¹ÇÏ³ïÇÝ, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ñ³-

Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç »Ý ¹ÝáõÙ ),..,,( 211 nxxxPx∀ (19)

åñ»¹ÇÏ³ïÇ ¨ ),..,,( 211 nxxxPx∃ (20)

åñ»¹ÇÏ³ïÇ Ñ»ï: ²Û¹ åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ nxxx ,...,, 32 ³-

é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇ ë¨»éí³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³å³ï³ë-Ë³Ý³µ³ñ áñáßíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

=∈∃=∈∀

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;),...,,(,,),...,,,(

211

2113211 faaaPMaf

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;),...,,(,,),...,,,(

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2113211 faaaPMaf

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n

nn »Ã»

»Ã»

(19) ¨ (20) åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÁ Ï³Ëí³Í ã»Ý 1x ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³Çó,

Ý³¨ »ñµ 1>n ¨ Çñ»ÝóÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ »Ý 1−n ï»Õ³ÝÇ nxxx ,...,, 32 ³é³ñÏ³-

12

Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇó Ï³Ëí³Í åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÝáñÇó Ï³-ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ùí³Ýïáñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ ¨ ëï³Ý³É Ýáñ åñ»¹ÇÏ³ï: úñÇÝ³Ï` (19)-Çó Ïëï³Ý³Ýù`

)),..,,(( 2112 nxxxPxx ∀∀ : (21)

ºÃ» 2>n , ³å³ (21)-Á 2−n ï»Õ³ÝÇ nxxx ,...,, 43 ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³-

Ï³ÝÝ»ñÇó Ï³Ëí³Í åñ»¹ÇÏ³ï ¿: Üñ³ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ùí³Ýïáñ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ: OñÇÝ³Ï` (21)-Çó Ïëï³Ý³Ýù`

))),..,,((( 21123 nxxxPxxx ∀∀∃ : (22)

ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, »Ã» kn ≥ , ³å³ ùí³Ýïáñ ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ÏÇñ³éáõÙÁ

Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏñÏÝ»É k ³Ý·³Ù (ùí³ÝïáñÇ ÏÇñ³éÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇ ÁÝïñáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Á Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ó³ÝÏ³ó³Í` µ³ó³é»Éáí ÙÇ³ÛÝ ÏñÏÝáõÃÛáõÝÁ) ¨ ëï³Ý³É`

))...),...,,,..,,(...(( 1212211 nkkkk xxxxxPxxx +δδδ , (23)

áñï»Õ iδ -áí Ýß³Ý³Ïí³Í ¿ ÁÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛ³Ý (∀ ) Ï³Ù ·áÛáõÃÛ³Ý ( ∃ ) ùí³Ý-

ïáñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ: (23) åñ»¹ÇÏ³ïáõÙ kxxx ,..,, 21 ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³-

Ï³ÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ï³åí³Í, ÇëÏ nkk xxx ,..,, 21 ++ ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³-

Ï³ÝÝ»ñÁ` ³½³ï: (23) åñ»¹ÇÏ³ïÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ×ßÙ³ñÇï Ï³Ù Ï»ÕÍ ³ëáõÛÃ, »Ã»

nkk xxx ,..,, 21 ++ ³½³ï ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÁ ÷áË³ñÇÝíÇ M µ³½-

ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñáí: ºñµ nk = , ³å³ (23) åñ»¹ÇÏ³ïÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ³ëáõÛÃ: ÀÝ¹áõÝí³Í ¿ (23) ï»ëùÇ åñ»¹ÇÏ³ïÁ (³ëáõÛÃÁ) ·ñ»É ³é³Ýó ÷³Ï³·Í»ñÇ`

),...,,,..,,(... 1212211 nkkkk xxxxxPxxx +δδδ . (24)

Â»áñ»Ù 4: ¸Çóáõù n -ï»Õ³ÝÇ åñ»¹ÇÏ³ïÁ` ),...,,,..,,( 121 nkk xxxxxP + áñáß-

í³Í ¿ M µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÁ.

),,...,,,..,,(...),...,,,..,,(...| 12122111212211 nkkkknkkkk xxxxxPxxxxxxxxPxxx ++ ′′′⇔= δδδδδδ (25)

áñï»Õ iδ ′ ùí³ÝïáñÁ iδ ùí³ÝïáñÇ »ñÏ³ÏÇÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝ` iδ ′ -Á ÁÝ¹Ñ³Ý-

ñáõÃÛ³Ý Ï³Ù ·áÛáõÃÛ³Ý ùí³Ýïáñ ¿, »Ã» iδ -Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ·á-

ÛáõÃÛ³Ý Ï³Ù ÁÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛ³Ý ùí³Ýïáñ ¿:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (25) ³éÝãáõÃÛáõÝáí ïñíáõÙ ¿ Ù»Ë³ÝÇ½Ù, áñáí Ï³éáõóíáõÙ ¿ (24) ï»ëùÇ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ÅËïáõÙÁ. µ³í³Ï³Ý ¿ ·ñí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ùí³Ýïáñ ÷áË³ñÇÝ»É Çñ »ñÏ³ÏÇáí ¨ ),...,,,...,,( 121 nkk xxxxxP + Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ Çñ ÅËïáõÙáí:

úñÇÝ³Ï 6: ¸Çóáõù N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ¿ 2: ND , ft→ µ³Å³Ý»ÉÇáõÃÛ³Ý åñ»¹ÇÏ³ïÁ. taaD =),( 21 ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ

¹»åùáõÙ, »ñµ 1a -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2a -Ç: ÀÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛ³Ý ¨ ·áÛáõÃÛ³Ý ùí³Ý-

13

ïáñÝ»ñÇ ÏÇñ³éÙ³Ùµ ëï³Ý³É åñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñ ¨ ³ëáõÛÃÝ»ñ. 1) ),( 211 xxDx∀ - §ó³ÝÏ³ó³Í 1x -Ç Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ),( 21 xxD ¦: ²Ûë åñ»-

¹ÇÏ³ïÁ ëï³ÝáõÙ ¿ ×ßÙ³ñÇï ³ñÅ»ù` t ÙÇ³ÛÝ 12 =x -Ç Ñ³Ù³ñ:

2) ),( 211 xxDx∃ - §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 1x , áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2x -Ç¦: ²Ûë åñ»-

¹ÇÏ³ïÁ ëï³ÝáõÙ ¿ ×ßÙ³ñÇï ³ñÅ»ù` t , 2x ³½³ï ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý ÷á÷áË³-

Ï³ÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ: 3) ),( 2121 xxDxx ∀∀ - §ó³ÝÏ³ó³Í 1x -Ç ¨ ó³ÝÏ³ó³Í 2x -Ç Ñ³Ù³ñ 1x -Á µ³-

Å³ÝíáõÙ ¿ 2x -Ç ¦: ²ëáõÛÃÁ Ï»ÕÍ ¿:

4) ),( 2112 xxDxx ∀∀ - §ó³ÝÏ³ó³Í 1x -Ç ¨ ó³ÝÏ³ó³Í 2x -Ç Ñ³Ù³ñ 2x -Á 1x -Ç

µ³Å³Ý³ñ³ñ ¿¦: ²ëáõÛÃÁ Ï»ÕÍ ¿: 5) ),( 2121 xxDxx ∀∃ - §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 1x , áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ ó³ÝÏ³ó³Í 2x -Ç¦:

²ëáõÛÃÁ Ï»ÕÍ ¿: 6) ),( 2112 xxDxx ∃∀ - § ó³ÝÏ³ó³Í 2x -Ç Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 1x , áñ 1x -Á

µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2x -Ç ¦: ²ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿:

7) ),( 2121 xxDxx ∃∀ - § ó³ÝÏ³ó³Í 1x -Ç Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 2x ³ÛÝåÇëÇÝ,

áñ 1x -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2x -Ç ¦: ²ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿:

8) ),( 2112 xxDxx ∀∃ - §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 2x , áñÁ ó³ÝÏ³ó³Í 1x -Ç µ³Å³Ý³ñ³ñ

¿¦: ²ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ¸Çï³ñÏí³Í ûñÇÝ³ÏÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ ùí³ÝïáñÝ»ñÇ ÏÇñ³éÙ³Ý Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó Ï³ñáÕ ¿ ÷áËí»É ³ëáõÛÃÇ µáí³Ý¹³ÏáõÃÛáõÝÁ, Ñ»ï¨³å»ë Ý³¨ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ:

úñÇÝ³Ï 7: îñí³Í »Ý CBA ,, ³ëáõÛÃÝ»ñÁ. −A §27-Á ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 2-Ç¦,

−B §·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ½áõÛ· å³ñ½ ÃÇí¦, −C §5<9¦: ³) Ò¨³Ï»ñå»É ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÁ, µ) å³ñ½»É` ïñí³Í ³ëáõ±ÛÃÝ ¿ ×ßÙ³ñÇï,

Ã»± ¹ñ³ ÅËïáõÙÁ, ·) Ï³½Ù»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ëáõÛÃÇ ÏñÏÝ³ÏÇ ÅËïáõÙÁ ¨ Ñ³Ùá½í»É, áñ ³ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Çñ»Ý:

ÈáõÍáõÙ: ³) −A §27-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç¦, −B §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ½áõÛ· å³ñ½ ÃÇí¦, −C §5≥ 9¦: µ) ÖßÙ³ñÇï »Ýª A , B ¨ C ³ëáõÛÃÝ»ñÁ, Ï»ÕÍ »Ýª A , B ¨

C ³ëáõÛÃÝ»ñÁ: ·) ø³ÝÇ áñ −A §27-Á ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 2-Ç¦, −B §·áÛáõÃÛáõÝ

ãáõÝÇ ½áõÛ· å³ñ½ ÃÇí¦, −B §5<9¦, ³å³ ÇÝãå»ë ï»ëÝáõÙ »Ýùª ⇔A A ,

⇔B B , ⇔C C :

úñÇÝ³Ï 8: ∀ ¨ ∃ ùí³ÝïáñÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ·ñ»É A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ¨ ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÁ.

−A §ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ x µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ y

14

µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ yx + -Á å³ñ½ ÃÇí ¿¦,

−B §ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ x Ï»ïÁ l áõÕÕÇ íñ³, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Û¹ áõÕÕÇ íñ³ y Ï»ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ x ¨ y Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ ¿ 3-Çó¦:

ÈáõÍáõÙ: ))(( NyNxA ∈∃∈∀− yx + -Á å³ñ½ ÃÇí ¿,

))(( NyNxA ∈∀∈∃− yx + -Á å³ñ½ ÃÇí ã¿,

3||))(( <−∈∃∈∀− yxlylxB ,

3||))(( ≥−∈∀∈∃− yxlylxB :

3. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ¹ñ³Ýó Ñ»ï: ´³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝ

´³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ Ýñ³ ï³ññÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý Ý³ËÝ³Ï³Ý

Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ß³ñùÇÝ, ¨ ¹ñ³Ýù ÁÝ¹áõÝíáõÙ »Ý Ý»ñÁÙµáÝáÕ³µ³ñ: ´³½ÙáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí` Ï³ñ»ÉÇ Ñ³ëÏ³Ý³É ï³ñµ»ñ ï³ññ»ñÇ Ñ³í³ù³Íáõ,

Ñ³Ù³ËáõÙµ, áñáÝù ïíÛ³É ¹»åùáõÙ ¹ÇïíáõÙ »Ý áñå»ë Ù»Ï ³ÙµáÕçáõÃÛáõÝ: ´³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³ÏÝ»ñ »Ý` ïíÛ³É Ñ³Ù³Éë³ñ³ÝÇ áõë³ÝáÕÝ»ñÇ µ³½Ùáõ-

ÃÛáõÝÁ, Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ÛÉÝ: ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý áñ¨¿ ³Ûµáõµ»ÝÇ Ù»Í³ï³é»ñáí, Ñ³×³Ë`

É³ïÇÝ³Ï³Ý ³Ûµáõµ»ÝÇ ï³é»ñáí` ,...,, CBA , ÇëÏ Ýñ³Ýó ï³ññ»ñÁ` ÷áùñ³-

ï³é»ñáíª ,...,, cba :

§ a -Ý å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ¦ ³ëáõÛÃÁ Ï³ñ× ·ñáõÙ »Ý Aa∈ å³ÛÙ³-

Ý³Ýß³Ýáí, ÇëÏ Ýñ³ ÅËïáõÙÁ` § a -Ý ãÇ å³ïÏ³ÝáõÙ A µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ¦ ·ñáõÙ »Ý

Aa∉ å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí:

ºÃ» A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ ¿ , ³å³ ·ñáõÙ »Ýª BA⊂ ¨ ³ëáõÙ »Ý, áñ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñª AA⊂ :

A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¨ ·ñáõÙ »Ý BA = , »Ã» ¹ñ³Ýù µ³ÕÏ³ó³Í »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ ï³ññ»ñÇó, ³ÛëÇÝùÝ` BA⊂ ¨ AB ⊂ .

)()()( ABBABA ⊂∧⊂⇔= :

§ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ ã»Ý¦ ³ëáõÛÃÁ ·ñíáõÙ ¿` BA ≠ ï»ëùáí: ºÃ» BA⊂ ¨ BA ≠ , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý

Ï³ÝáÝ³íáñ Ù³ëÝ ¿, Ï³Ù ë»÷³Ï³Ý »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: A µ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ï³ññ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý )(xP

Ñ³ïÏáõÃÛ³ÝÁ, ·ñ³éíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëù»ñÇó Ù»Ïáíª )(: xPAx∈ Ï³Ù )(| xPAx∈ : (26)

15

¸³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ ãÇ å³ñáõ-

Ý³ÏáõÙ áã ÙÇ ï³ññ: ¸³ï³ñÏ ¿, ûñÇÝ³Ï, 012 =+x Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ³ñ-

Ù³ïÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ¸³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Ø å³ÛÙ³Ý³-Ýß³Ýáí: ø³ÝÇ áñ ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ûñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³-Û³óÝ»É Ø : xxMx ≠∈= ï»ëùáí, áñï»Õ M -Á ó³ÝÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿,

³å³ Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É, áñ Ø M⊂ : ²ÛëÇÝùÝ` ¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ »ÝÃ³-µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ ó³ÝÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ:

A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ Ï³Ù ·áõÙ³ñ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý BA∪ , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`

)()(: BxAxxBA ∈∨∈=∪ : (27)

²ÛëÇÝùÝ` BA∪ -Ý ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÇÝ (ÝÏ.1):

A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙ Ï³Ù ³ñï³¹ñÛ³É, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý BA∩ , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`

)()(: BxAxxBA ∈∧∈=∩ : (28)

²ÛëÇÝùÝ` BA∩ -Ý ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ÇÝãå»ë A -ÇÝ, ³ÛÝå»ë ¿É B -ÇÝ (ÝÏ.2):

A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý BA \ , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`

∉∧∈= xAxxBA ()(:\ )B : (29)

²ÛëÇÝùÝ` BA \ -Ý ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÇ µáÉáñ ï³ññ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý

A -ÇÝ ¨ ã»Ý å³ïÏ³ÝáõÙ B -ÇÝ (ÝÏ.3.): ¸Çóáõù A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ U -Ç Ñ³Ù³ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ

AU \ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óáõÙ ÙÇÝã¨ U µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ¨

Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý ACU : ºÃ» Ñ³ÛïÝÇ ¿, Ã» áñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ ¿ áñáÝíáõÙ

A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óáõÙÁ, ³å³ ACU -Ç ÷áË³ñ»Ý ·ñáõÙ »Ý CA (ÝÏ.4.):

A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ã³÷ (ëÇÙ»ïñÇÏ) ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ, áñÁ Ýß³-

Ý³ÏáõÙ »Ý BA∆ , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª

)\()\( ABBABA ∪=∆ : (30)

A

BA∪ ÝÏ.1.

B A B

BA∩ ÝÏ.2.

B A

BA \ ÝÏ.3. ACU ÝÏ.4.

A U

16

¸Çóáõù Aa∈ ¨ Bb∈ : a ¨ b ï³ññ»ñÇ ½áõÛ·Á` ·ñí³Í ),( ba ï»ëùáí, Ïáã-

íáõÙ ¿ Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·, ÁÝ¹ áñáõÙª ),( 11 ba ¨ ),( 22 ba ½áõÛ·»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý

Ñ³í³ë³ñ, »Ã» 21 aa = , 21 bb = :

A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ áõÕÇÕ Ï³Ù ¹»Ï³ñïÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³É, áñÁ Ýß³Ý³-

ÏáõÙ »Ý BA× , ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª

)()(:),( BbAabaBA ∈∧∈=× : (31)

²ÛëÇÝùÝ` BA× -Ý µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ ),( ba Ï³ñ·³íáñí³Í ½áõÛ·»ñÇ µ³½ÙáõÃ-

ÛáõÝÝ ¿, áñÇ ³é³çÇÝ a µ³Õ³¹ñÇãÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ b µ³-

Õ³¹ñÇãÁ` B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ: Ð³Ý·áõÝ³å»ë ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ª

,,,:),,,( 22112121 nnnn AaAaAaaaaAAA ∈∈∈=××× (32)

µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ÀÝ¹ áñáõÙ ·ñáõÙ »Ýª nAAAA =××× :

´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý N -áí`

,,,3,2,1 nN = :

²ÙµáÕç Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Z -áíª

,,,3,2,1,0,1,2,3,,, nnZ −−−−= :

ü á õ Ý Ï ó Ç ³ Û Ç Ñ ³ ë Ï ³ ó á õ Ã Û á õ Ý Á : ¸Çóáõù A -Ý ¨ B -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý

µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ: ºÃ» A

µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññ ÇÝã-áñ f ûñ»Ýùáí Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ýáõ-

ÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñíáõÙ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Ï y ï³ññ, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ïñí³Í ¿

ýáõÝÏóÇ³, áñÇ Ñ³Ù³ñ A -Ý áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿, ÇëÏ B -Ýª ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃ:

êáíáñ³µ³ñ ³ÛÝ ÙÇ³Ï y -Á, áñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ax∈ ï³ññÇÝ,

Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý )(xf : Ð³×³Ë x -ÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ý³Ë³å³ïÏ»ñ Ï³Ù ³ñ-

·áõÙ»Ýï, ÇëÏ )(xf -Áª x ï³ññÇ å³ïÏ»ñ Ï³Ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ù:

üáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ`

BAf →: Ï³Ù )(xfy = : (33)

ÀÝ¹áõÝí³Í ¿ Ý³¨ BAf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³Ý»É A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ñï³-

å³ïÏ»ñáõÙ B -Ç Ù»ç: ÜÏ³ï»Ýù, áñ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ãÇ Ñ»ï¨áõÙ, áñ

ó³ÝÏ³ó³Í By∈ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ù ¿ª )(xfy = , Ax∈ , ¨ x -Ç ï³ñµ»ñ ³ñ-

Å»ùÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ y -Ç ï³ñµ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñ: :)( AxxfE f ∈=

µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ:

ºÃ» BAf →: ¨ fEB = , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ f -Ý ³ñï³å³ïÏ»ñáõÙ ¿ A -Ý

B -Ç íñ³ Ï³Ù f -Á íñ³¹ñáÕ ýáõÝÏóÇ³ ¿ ( ëáõñÛ»ÏïÇí ¿):

17

ºÃ» BAf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ )()(),( 212121 xfxfxxAxx ≠≠∈∀ ,

³å³ f -Á ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³¹ñáõÙ (ÇÝÛ»ÏïÇí ýáõÝÏóÇ³);

ìñ³¹ñáõÙ ¨ ï³ñ³¹ñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ³¹ñáõÙ Ï³Ù µÇ»ÏóÇ³ Ï³Ù

÷áËÙÇ³ñÅ»ù ýáõÝÏóÇ³: ÜÏ³ï»Ýù, áñ BAf →: µÇ»ÏïÇí ýáõÝÏóÇ³Ý ÷áË-

ÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ ¿ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ññ»ñÇ ÙÇç¨:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù, »Ã» A ¨

B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ññ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³-

ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ, ³ÛëÇÝùÝ` ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ µÇ»ÏïÇí ýáõÝÏóÇ³` BAf →: :

ºÃ» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý, ³å³ ·ñáõÙ »Ý A ~ B , ÇëÏ »Ã»

Ñ³Ù³ñÅ»ù ã»Ýª A B :

´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý ³éÝãáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨-

Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝª

1) A ~ A – ³Ý¹ñ³¹³ñÓáõÃÛáõÝ,

2) A ~ B ¨ B ~ A – Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ,

3) ºÃ» A ~ B ¨ B ~ C , ³å³ A ~ C – ï»Õ³÷áË³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:

ºÃ» A ~ B , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ñ½á-

ñáõÃÛáõÝÁ: A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý A -áí:

ºÃ» A B , µ³Ûó A ~ BB ⊂1 , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ

÷áùñ Ñ½áñáõÃÛáõÝ, ù³Ý B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, Ï³Ù B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ Ù»Í Ñ½á-

ñáõÃÛáõÝ, ù³Ý A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

≠A Ø µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Nn∈ ÃÇí,

áñ A ~ ,,3,2,1 n : ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ÃÇíÁ n

¿, Ï³Ù A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ n -Çª nA = : ¸³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃ-

ÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ¸ñ³ Ñ½áñáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí`

Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ½ñá ÃÇíÁª 0=Ø : ºÃ» µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ã¿, ³å³ ³ÛÝ

ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç: ²Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ñ½áñáõÃÛáõÝ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÁ

“ï³ññ»ñÇ ÃÇí” Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÝ ¿:

ºÃ» A ~ N , ³å³ A -Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: Ð³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý

Ñ½áñáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ñ³ßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝ ¨ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ýª a -áí:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5 : ´Ý³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í XNf →: ýáõÝÏ-

óÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³í»ÉÇ ×Çßï X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇó

Ï³½Ùí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:

18

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ nxnf =)( ³ñÅ»ùÁ ÏáãíáõÙ ¿ XNf →: Ñ³-

çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³Ù (³í»ÉÇ ×Çßï n -ñ¹ ³Ý¹³Ù): Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³-

Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ` nnnn xNnxNnxx ;,);:(; ∈∈ :

ºñµ»ÙÝ Ñ³ñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É Ñ»ï¨Û³É Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ`

,,,, 21 nxxx ; ,,,, 21 nxxx : (34)

Üß»Ýù, áñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ å³ñï³¹Çñ ã¿ ï³ñµ»ñ ÉÇÝ»Ý:

²Û¹ å³ï×³éáí ¿É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³ñáÕ ¿

ÉÇÝ»É í»ñç³íáñ:

ø³ÝÇ áñ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í

÷áËÙÇ³ñÅ»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ³Ù»Ý ÙÇ Ñ³ßí»ÉÇ

µ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É áñå»ë ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí ³Û¹` ³ëáõÙ »Ý` »Ã» A -Ý Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ¹ñ³ ï³ññ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ §¹³ë³íáñ»É Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ¦.

,,,,, 321 naaaaA = (35)

úñÇÝ³Ï 9: ²å³óáõó»É, áñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` Z -Á Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

²å³óáõÛó: ´³í³Ï³Ý ¿ Z µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ûñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ, Ý»ñÏ³Û³óÝ»É

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï»ëùáí Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` ,,,,3,3,2,2,1,1,0 nnZ −−−−= : ∆

´³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÑ³ßí»ÉÇ, »Ã» ¹ñ³ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿, ù³Ý

µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ:

¸Çóáõù ïí³Í ¿ S µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÇÝ¹»ùëÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃ-

ÛáõÝ, ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ss∈ ÇÝ¹»ùëÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í

sA µ³½ÙáõÃÛáõÝ:

: SsAs ∈ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ï³ññ»ñ »Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ SsAs ∈,

µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÏáãíáõÙ ¿ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù:

ºñÏáõ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ ë³ÑÙ³Ýí³Í ÙÇ³íáñÙ³Ý ¨ Ñ³ïÙ³Ý

·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óíáõÙ »Ý µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñç³íáñ ¨ ³Ýí»ñç

ÁÝï³ÝÇùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

: SsAs ∈ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÇ ÙÇ³íáñáõÙ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý

sSs

A∈ , ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ µáÉáñ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ

å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ÁÝï³ÝÇùÇ ·áÝ» Ù»Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý:

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ í»ñç³íáñ ¿ Ï³Ù Ñ³ß-

í»ÉÇ, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ·ñáõÙ »Ý`

19

:

,

211

211

∪∪∪∪=

∪∪∪=

∞

=

=

nkk

nk

n

k

AAAA

AAAA (36)

: SsAs ∈ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÇ Ñ³ïáõÙ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý sSs

A∈ ,

ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ µáÉáñ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ å³ïÏ³-

ÝáõÙ ¿ ÁÝï³ÝÇùÇ µáÉáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ í»ñç³íáñ ¿ Ï³Ù Ñ³ß-

í»ÉÇ, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ·ñáõÙ »Ý`

:

,

211

211

∩∩∩∩=

∩∩∩=

∞

=

=

nkk

nk

n

k

AAAA

AAAA (37)

ºñÏ³ÏÇáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùÁ: ¸Çóáõù` SUA ∈∀⊂ αα , : ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

ï»ëáõÃÛ³Ý Ù»ç ¨ ¹ñ³ ÏÇñ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ß³ï Ï³ñ¨áñ ¹»ñ ¿ Ï³ï³ñáõÙ, ³Ûë-

å»ë Ïáãí³Í, »ñÏ³ÏÇáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùÁ, áñÁ ÑÇÙÝí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ³éÝ-

ãáõÃÛáõÝÝ»ñÇ íñ³.

1. ØÇ³íáñÙ³Ý Éñ³óáõÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Éñ³óáõÙÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³ÝÁ `

)(\ αα

αα

AUAUSS

−=∈∈ : (38)

2. Ð³ïÙ³Ý Éñ³óáõÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Éñ³óáõÙÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³ÝÁ`

)(\ αα

αα

AUAUSS

−=∈∈ : (39)

3. ºÃ» βα AA ⊂ , ³å³ βα AUAU \\ ⊃ : (40)

(38) ¨ (39) µ³Ý³Ó¨»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ¸’Øáñ·³ÝÇ µ³Ý³Ó¨»ñ:

ºñÏ³ÏÇáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùÝ ³ÛÝ ¿, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ U µ³½ÙáõÃÛ³Ý »ÝÃ³µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í ó³ÝÏ³ó³Í ×ßÙ³ñÇï ³éÝãáõÃÛáõÝÇó, áñÁ å³ñáõ-

Ý³ÏáõÙ ¿ ⊂⊃= ,, Ýß³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ¨ Ýß³ÝÝ»ñÁ, Ï³ñ»ÉÇ

¿ ëï³Ý³É Ù»Ï ³ÛÉ ×ßÙ³ñÇï ³éÝãáõÃÛáõÝ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` µáÉáñ »ÝÃ³-

µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷áË³ñÇÝ»Éáí Çñ»Ýó Éñ³óáõÙáí, Ýß³ÝÁ ÷áË³ñÇÝ»Éáí

Ýß³Ýáí ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, ⊃ Ýß³ÝÁ ÷áË³ñÇÝ»Éáí ⊂ Ýß³Ýáí ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, =

Ýß³ÝÁ ÃáÕÝ»Éáí ³Ý÷á÷áË:

20

4. ä³ñ½³·áõÛÝ Ã»áñ»ÙÝ»ñ Ñ³ßí»ÉÇ ¨ ³ÝÑ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É

Â»áñ»Ù 5 : Ð³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý ÙÇ ³Ýí»ñç »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ Ñ³ß-

í»ÉÇ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ,,,, 21 naaaA = Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ¨

B -Ý Ýñ³ ³Ýí»ñç »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý

Ù»ç áõÝ»Ý Çñ»Ýó Ñ³Ù³ñÝ»ñÁ: ¸³ë³íáñ»Ýù B µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ Ñ³Ù³ñ-Ý»ñÇ ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí`

)(,,,,, 321321 <<<<<= knnnn nnnnaaaaB

k: (41)

ÜáñÇó Ï³ñáÕ »Ýù ³Û¹ ï³ññ»ñÁ Ñ³Ù³ñ³Ï³É»É µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí` Áëï

Ýñ³Ýó ¹³ë³íáñí³ÍáõÃÛ³Ý Ï³ñ·Ç (Ýáñ Ñ³Ù³ñÇ ¹»ñáõÙ ÏÉÇÝÇ k ÇÝ¹»ùëÁ):

Ð»ï¨³µ³ñ, B -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ∆

Â»áñ»Ù 6 : ²Ù»Ý ÙÇ M ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Ñ³ßí»ÉÇ

³ÛÝåÇëÇ 0M »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ 0\ MM -Ý ³Ýí»ñç ¿:

²å³óáõÛó: ì»ñóÝ»Ýù M µ³½ÙáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ï³ññ»ñ ¨

Ýß³Ý³Ï»Ýù 1a -áí ¨ 1b -áí: ø³ÝÇ áñ M -Ý ³Ýí»ñç ¿, ³å³ Ý³ ãÇ ëå³éíáõÙ 1a

¨ 1b ï³ññ»ñáí, ¨ Ýñ³ÝáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 1a -Çó ¨ 1b -Çó ï³ñµ»ñ 2a ¨ 2b

Çñ³ñÇó ÝáõÛÝå»ë ï³ñµ»ñ ï³ññ»ñ: ø³ÝÇ áñ M -Ý ³Ýí»ñç ¿, ³å³ Ý³ ãÇ

ëå³éíáõÙ 1a , 1b , 2a , 2b ï³ññ»ñáí, Ñ»ï¨³µ³ñ Ýñ³ÝáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 3a

¨ 3b Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ï³ññ»ñ, áñáÝù ï³ñµ»ñ »Ý Ý³¨ 1a , 1b , 2a , 2b ï³ññ»-

ñÇó: ²Ûë åñáó»ëÁ ³Ýí»ñç ß³ñáõÝ³Ï»Éáí` Ïëï³Ý³Ýù M µ³½ÙáõÃÛ³Ý »ñÏáõ

Ñ³ßí»ÉÇ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ`

,,,,, 3210 naaaaM = , ,,,,, 3211 nbbbbM = (42)

ø³ÝÇ áñ 01 \ MMM ⊂ , Ñ»ï¨³µ³ñ` 0MM − -Ý ³Ýí»ñç ¿: ∆

Â»áñ»Ù 6-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ µáÉáñ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³Ù»Ý³÷áùñ

Ñ½áñáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

²ÝÑ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ, áñÇÝ Ï³Ý¹ñ³¹³éÝ³Ýù § 2-Ç 8 Ï»ïáõÙ:

Â»áñ»Ù 7: Ð³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ½áõÛ½ ³é ½áõÛ· Çñ³ñ ãÑ³ïáÕ í»ñç³íáñ

µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ,...),,2,1( nkAk = µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ í»ñç³íáñ »Ý ¨ ½áõÛ·

21

³é ½áõÛ· Çñ³ñ ã»Ý Ñ³ïáõÙª

,,,,

,,,,

,,,,

)3()3(2

)3(13

)2()2(2

)2(12

)1()1(2

)1(11

3

2

1

n

n

n

aaaA

aaaA

aaaA

=

=

=

(43)

àñå»ë½Ç ∞

=

=1n

nAA ÙÇ³íáñáõÙÁ Ý»ñÏ³Û³óíÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï»ëùáí,

µ³í³Ï³Ý ¿ ëÏ½µÇó Ñ³Ù³ñ³Ï³É»É 1A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁª ÝáõÛÝ Ï³ñ·³íáñ-

í³ÍáõÃÛ³Ùµ, ³ÛÝáõÑ»ï¨` 2A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ¨ ³Û¹å»ë ß³ñáõÝ³Ï: ∆

Â»áñ»Ù 8: ì»ñç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ-

Ý»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: úñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏ»Ýù Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ñ³ßí»ÉÇ

µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùÁ: ¸Çóáõù, ,,,, 21 nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³-

ù³ÝãÛáõñÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ,,,, 21 nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³-

ù³ÝãÛáõñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï»ëùáíª

,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,

444342414

343332313

242322212

141312111

aaaaAaaaaAaaaaA

aaaaA

====

(44)

∞

=

=1n

nAA µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ¹³ë³íáñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ·³íáñí³-

ÍáõÃÛ³Ùµª

,,,,,,,,,, 14233241132231122111 aaaaaaaaaaA = , (45)

³ÛëÇÝùÝ` Ñ³Ù³ñ³Ï³É»Ýù Áëï ³ÝÏÛáõÝ³·Í»ñÇ ï³ññ»ñÇ, ÁÝ¹ áñáõÙ` ëÉ³ù-

Ý»ñÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: àñáß iA ¨ jiAj ≠, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ Ï³ñáÕ »Ý áõÝ»Ý³É

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï³ññ»ñ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ýñ³Ýù Ñ³ßí³éíáõÙ »Ý Ù»Ï ³Ý·³Ù:

²Ûë Ó¨áí A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³ñ³Ï³É»É, ³ÛëÇÝùÝ` ÷áË-

ÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»É µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N µ³½ÙáõÃÛ³Ý

Ñ»ï: ∆ Â»áñ»Ù 9 : ºÃ» A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í ï³ññ áñáßíáõÙ ¿ n Ñ³ï

ÇÝ¹»ùëÝ»ñáí, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÙÛáõëÝ»ñÇó ³ÝÏ³Ë ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ Ñ³ßí»ÉÇ

22

µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ³ñÅ»ùÝ»ñ`

),...,3,2,1,...;,...,,(, )2()1(,...,, 21

kmppppaA immmmppp k

=== , (46)

³å³ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

²å³óáõÛó: ÀÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛáõÝÁ ã»Ýù Ë³ËïÇ, »Ã» ÁÝ¹áõÝ»Ýù, áñ ÇÝ¹»ùëÝ»ñÇ

ÁÝ¹áõÝ»ÉÇë ³ñÅ»ùÝ»ñÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý:

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Aakppp ∈,...,, 21

ï³ññ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»Ýù

kpppan ++= 21)( µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ»ï: Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ )(an -Ý Ï³ñáÕ ¿

ÉÇÝ»É k -Çó áã ÷áùñ µÝ³Ï³Ý ÃÇí: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ kn ≥ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ

nA -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù A -Ç µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ

nan =)( : Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ nA í»ñç³íáñ ¿, ÇëÏ ∞

=

=kn

nAA :

Ð»ï¨³µ³ñ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 7-Ç` A -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ∆

Ð»ï¨³Ýù 1: ´áÉáñ ³ÙµáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`

P -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

²å³óáõÛó: Ü³Ë µáÉáñ n ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÙµáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³Ù-

Ý»ñÇ`

niZcccxcxcxp innn ,...,2,1,0,),0()( 0

110 =∈≠+++= −

nP µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³ßí»ÉÇáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇó (³Ûëï»Õ

ÇÝ¹»ùëÝ»ñÇ ¹»ñ »Ý Ï³ï³ñáõÙ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ):

ø³ÝÇ áñ ∞

=

=0n

nPP , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 8-Ç` P -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ∆

Â»áñ»Ù 10 : îñí³Í M ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ í»ñç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ A

µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇ³íáñáõÙÁ` AM ∪ áõÝÇ ÝáõÛÝ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ, ÇÝã áñ ïñí³Í M

µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` AM ∪ ~ M :

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù M -Á ïñí³Í ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ÇëÏ A -Ý í»ñ-

ç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ´³í³Ï³Ý ¿ ¹Çï³ñÏ»É ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñµ

=∩ AM Ø : Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 6-Ç` M µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ³é³ÝÓÝ³óÝ»Ýù ³ÛÝ-

åÇëÇ B Ñ³ßí»ÉÇ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñ BMC \= -Ý ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç: àõÝ»Ýù

BCM ∪= ¨ )( BACAM ∪∪=∪ : (47)

ø³ÝÇ áñ C ~ C ¨ B ~ BA∪ , ³å³ M ~ AM ∪ : ∆

Â»áñ»Ù 11 : ºÃ» M -Ý ³ÝÑ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ÇëÏ 0M -Ý ¹ñ³ í»ñç³-

23

íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ 0\ MM ~ M :

²å³óáõÛó: àõÝ»Ýù =M 00 )\( MMM ∪ : ä³ñ½ ¿, áñ 0\ MM -Ý ÏÉÇÝÇ ³Ý-

Ñ³ßí»ÉÇ, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ M -Á ÏÉÇÝÇ í»ñç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` 0\ MM ~ M ³éÝãáõÃÛáõÝÁ

Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ã»áñ»Ù 10-Çó: ∆

´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÁ (Î³Ýïáñ-´»éÝßï»ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÝ»ñÁ):

Â»áñ»Ù 12 : ºÃ» CBA ⊂⊂ , ÁÝ¹ áñáõÙ` CA ~ , ³å³` BA ~ :

Â»áñ»Ù 13 : ºÃ» A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ B µ³½ÙáõÃÛ³Ý áñ¨¿ »ÝÃ³-µ³½ÙáõÃÛ³Ý, ÇëÏ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý áñ¨¿ »ÝÃ³µ³½-ÙáõÃÛ³Ý, ³å³` BA ~ :

úñÇÝ³Ï 10: ²å³óáõó»É (38) ³éÝãáõÃÛáõÝÁ:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` Ss

sAUx∈

∈ \ : ²Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ Ss

sAx∈

∉ , ÇëÏ í»ñ-

çÇÝë Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ SsAx s ∈∀∉ , : Ð»ï¨³µ³ñ SsAUx s ∈∀∈ ,\ , áõñ»ÙÝ

Ss

sAUx∈

∈ )\( : ²ÛëåÇëáí`

Ss Ss

ss AUAU∈ ∈

⊂ )\(\ (48)

Ð³Ï³é³ÏÁ, ¹Çóáõù Ss

sAUx∈

∈ )\( : ²Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ SsAUx s ∈∀∈ ,\ :

Ð»ï¨³µ³ñ SsAx s ∈∀∉ , , áõñ»ÙÝ Ss

sAx∈

∉ : àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ

Ss

sAUx∈

∈ \ : ²ÛëåÇëáí`

Ss Ss

ss AUAU∈ ∈

⊂ \)\( (49)

Ð³Ù»Ù³ï»Éáí (48) ¨ (49) Ý»ñ³éáõÙÝ»ñÁ` Ïëï³Ý³Ýù (38) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ÀÝÃ»ñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É (39) ³éÝãáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃ-

ÛáõÝÁ:

úñÇÝ³Ï 11: ¸Çóáõù UCBA ⊂,, : ²å³óáõó»É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

³) )()()()( CABACBCAA ∩∪∩=∪∩∪∩ (50)

µ) )()()()( CABACBCAA ∪∩∪=∩∪∩∪ (51)

²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù )()( CBCAAx ∪∩∪∩∈ : ²Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ

24

Ax∈ ¨ CAx ∪∈ ¨ CBx ∪∈ , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ax∈ ¨ ( Bx∈ Ï³Ù

Cx∈ ), Ñ»ï¨³µ³ñ, BAx ∩∈ Ï³Ù CAx ∩∈ : àõñ»ÙÝ )()( CABAx ∩∪∩∈ :

²ÛëåÇëáí`

)()()()( CABACBCAA ∩∪∩⊂∪∩∪∩ (52)

Ð³Ï³é³ÏÁ, ¹Çóáõù )()( CABAx ∩∪∩∈ : ²Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ BAx ∩∈

Ï³Ù CAx ∩∈ : ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ` Ax∈ ¨ Bx∈ , áñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ax∈ ¨

CAx ∪∈ ¨ CBx ∪∈ : àõñ»ÙÝ )()( CBCAAx ∪∩∪∩∈ : ºñÏñáñ¹ ¹»å-

ùáõÙ` Ax∈ ¨ Cx∈ , áñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ax∈ ¨ CAx ∪∈ ¨ CBx ∪∈ :

àõñ»ÙÝ )()( CBCAAx ∪∪∪∩∈ : ²ÛëåÇëáí`

)()()()( CBCAACABA ∪∩∪∩⊂∩∪∩ (53)

Ð³Ù»Ù³ï»Éáí (52) ¨ (53) Ý»ñ³éáõÙÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù (50) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

µ) ÎÇñ³é»Ýù »ñÏ³ÏÇáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùÁ (50) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ`

)()()()( CCACBCACCCBCCCACAC UUUUUUUUU ∪∩∪=∩∪∩∪ : (54)

ø³ÝÇ áñ (50) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í UCBA ⊂,, µ³½Ùáõ-

ÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³ (54) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ×ßÙ³ñÇï ¿ U µ³½-

ÙáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ACU , BCU , CCU »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

úñÇÝ³Ï 12: ²å³óáõó»É, áñ

³) ;)())( ACCBACBA ⊂⇔∪∩=∪∩ µ) BABABA =⇒∩=∪ :

²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù )())( CBACBA ∪∩=∪∩ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` )( CBAC ∪∩⊂ ,

áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ AC ⊂ : ¸Çóáõù AC ⊂ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` ∩∪=∪∩ )())( CACBA

)()( CBACB ∪∩=∪ :

µ) ¸Çóáõù BABA ∩=∪ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` BA ⊂ ¨ AB ⊂ , Ñ»ï¨³µ³ñ` BA = :

úñÇÝ³Ï 13: ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ³é³ÝÓÝ³óÝ»Ýù

í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ³å³ ÙÝ³ó³Í »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù A -Ý Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ýñ³ µáÉáñ

ï³ññ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³ñ³Ï³É»É µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí` ,...,...,, 21 naaaA = :

A -Çó Ñ»é³óÝ»Ýù áñ¨¿ í»ñç³íáñ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ûñÇÝ³Ï` ,...,, 21 naaaB = :

²Û¹ ¹»åùáõÙ ,...,...,,\ 21 knnn aaaBA +++= µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ, ù³ÝÇ

áñ ¹ñ³ ï³ññ»ñÇ ¨ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÙÇç¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï»ÕÍ»É ÷áËÙÇ³ñÅ»ù

Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ, ûñÇÝ³Ï` Ñ»ï¨Û³É Ó¨áí` Nkka kn ∈∀↔+ , :∆

25

¢ 2 . Æ ñ ³ Ï ³ Ý Ã í » ñ Ç µ ³ ½ Ù á õ Ã Û á õ Ý

1. è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

è³óÇáÝ³É ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ nm / ï»ëùáí, áñï»Õ

Zm∈ , ÇëÏ Nn∈ : è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Q -áí`

NnZmnmQ ∈∈= ,:/ : (1)

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ QZN ⊂⊂ :

Üß»Ýù é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (ëïáñ¨, Ï³ñ×áõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, §é³óÇáÝ³É ÃÇí¦ ï»ñÙÇÝÇ ÷áË³ñ»Ý û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ §ÃÇí¦ ï»ñÙÇÝÁ).

I Î³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿

Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁ` ba < ( a -Ý ÷áùñ ¿ b -Çó), ba >

( a -Ý Ù»Í ¿ b -Çó), ba = ( a -Ý Ñ³í³ë³ñ ¿ b -ÇÝ): ÀÝ¹ áñáõÙ` ba < ¨

cb < ca <⇒ ; abba >⇔< ; baba <⇔≤ Ï³Ù ba = ; baba >⇔≥ Ï³Ù

ba = : ≥≤>< ,,, Ýß³ÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ:

I I ¶áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b Ãí»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³-

ÝáõÙ ¿ Ù»Ï` Qba ∈+ ÃÇí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ: ÀÝ¹ áñáõÙ,

×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` 1. abbaQba +=+∈∀ ),( :

2. cbacbacbaQcba ++=++=++∈∀ )()(),,( :

3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ½ñá` 0 , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

aaQa =+∈∀ 0)( :

4. ))(()( QaQa ∈−∃∈∀ ( a -Ç Ñ³Ï³¹ÇñÁ), ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0)( =−+ aa :

5. ºÃ» ba < ¨ c -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³` cbca +<+ :

I I I ´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b Ãí»ñÇÝ Ñ³Ù³å³-

ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ù»Ï` Qba ∈⋅ ÃÇí (Ï³Ù å³ñ½³å»ë ab ), áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b

Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É: ÀÝ¹ áñáõÙ, ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` 1. ),( Qba ∈∀ abba ⋅=⋅ :

2. ),,( Qcba ∈∀ abccbacba =⋅⋅=⋅⋅ )()( :

3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ù»Ï` 1 , ³ÛÝå»ë áñ )( Qa∈∀ aa =⋅1 :

26

4. ò³ÝÏ³ó³Í 0≠a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¹ñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓ ÃÇíÁ` a1

,

³ÛÝå»ë áñ 11=⋅

aa :

5. ºÃ» ba < ¨ 0>c , ³å³ bcac < , ÇëÏ »Ã» ba < ¨ 0<c , ³å³ bcac > :

IV ´³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ : ),,( Qcba ∈∀ acabcba +=+ )( :

V ²ñùÇÙ»¹Û³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ (²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÇáÙÁ) : ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ a ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ µÝ³Ï³Ý n ÃÇí, áñ an > :

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ í»ñÁ Ýßí³Í Ï³ÝáÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

I ³) »Ã» ,0/ 11 ≥= nma 0/ 22 ≥= nmb , ³å³ ⇔< ba 1221 nmnm < ;

⇔> ba 1221 nmnm > : µ) »Ã» 0,0 << ba , ³å³ |||| abba <⇔< ;

·) ºÃ» 0,0 ≥< ba ³å³ ba < ;

II 21

2121

2

2

1

1

nnmnnm

nm

nm

ba+

=+=+ : III 21

21

2

2

1

1

nnmm

nm

nm

ba⋅⋅

=⋅=⋅ :

2. Âí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ã³÷Ù³Ý Ñ³Ù³ñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ³Ýµ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ

Âí³ÛÇÝ ³é³Ýóù ³ë»Éáí` Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ áõÕÇÕÁ, áñÇ íñ³ ÁÝïñí³Í ¿ O Ï»ïÁ (Ñ³ßí³ñÏÙ³Ý ëÏ½µÝ³Ï»ïÁ), Ù³ßï³µ³ÛÇÝ OE Ñ³ïí³ÍÁ, áñÇ »ñÏ³ñáõ-ÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝíáõÙ ¿ Ñ³í³ë³ñ 1-Ç ¨ ¹ñ³Ï³Ý áõÕÕáõÃÛáõÝÁ (ëáíáñ³µ³ñ O -Çó ¹»åÇ E ):

ØÇçÝ³Ï³ñ· ¹åñáóÇ ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ ¿, Ã» ÇÝãå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³éáõó»É OE Ñ³ïí³ÍÇ n/1 Ù³ëÁ Nn∈∀ : Ð»ï¨³µ³ñ, Ï³ñáÕ »Ýù Ï³éáõó»É Ý³¨ Ñ³ï-í³Í, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ¨ Ù³ßï³µ³ÛÇÝ Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý Ñ³ñ³µ»ñáõ-ÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ nm / ¹ñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇÝ: î»Õ³¹ñ»Éáí ³Û¹å»ë Ï³éáõóí³Í

Ñ³ïí³ÍÁ O Ï»ïÇó ³ç (Ó³Ë)` Ïëï³Ý³Ýù` nm / )/( nm− é³óÇáÝ³É Ïáïá-

ñ³ÏÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý )( 21 MM Ï»ïÁ (ÝÏ. 5):

−

nmM 2

nmM1

E O ÝÏ. 5.

27

²ÛëåÇëáí, ³Ù»Ý ÙÇ é³óÇáÝ³É ÃíÇÝ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ñ³Ù³å³ï³ë-Ë³ÝáõÙ ¿ Ù»Ï Ï»ï: ÜÏ³ï»Ýù, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ áã µáÉáñ Ï»ï»ñÇÝ ¿ Ñ³Ù³-å³ï³ëË³ÝáõÙ é³óÇáÝ³É ÃÇí:

¸Çóáõù M Ï»ïÝ ÁÝïñí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ OM Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ OE ÏáÕÙ áõÝ»óáÕ ù³é³Ïáõëáõ ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ OE Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Ç, ³å³ OM Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³-

ñáõÃÛáõÝÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ äÛáõÃ³·áñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ` 22 =x Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿: ÆÝãå»ë Ñ³ÛïÝÇ ¿, ³Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ñÙ³ï ãáõÝÇ: Ð»ï¨³µ³ñ, ¹Çï³ñÏíáÕ M Ï»ïÇÝ ãÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ é³óÇáÝ³É ÃÇí:

´Ý³Ï³Ý³µ³ñ, å³Ñ³Ýç ¿ ³é³ç³ÝáõÙ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹-É³ÛÝ»É ³ÛÝå»ë, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝÇ ³Û¹ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáÕ áñ¨¿ ÃÇí (Ï³Ù, áñ ÝáõÛÝÝ ¿ ³ë»É ³Û¹ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý û·ÝáõÃÛ³Ùµ ÑÝ³ñ³íáñ ÉÇÝÇ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ó³ÝÏ³ó³Í OM Ñ³ïí³ÍÇÝ í»ñ³·ñ»É »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ):

²ÛÅÙ Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ó³ÝÏ³ó³Í M Ï»ïÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³-Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»É Ù»Ï áñáß³ÏÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïá-ñ³Ï: ¸Çóáõù M -Á Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿: àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »ÝÃ³¹ñ»Ýù Ã» ³ÛÝ ·ïÝíáõÙ ¿ O Ï»ïÇó ³ç: OM Ñ³ïí³ÍÇ ã³÷áõÙÝ Çñ³·áñÍ»Ýù OE Ù³ßï³µ³ÛÇÝ Ñ³ïí³ÍÇ ÙÇçáóáí: Ü³Ë å³ñ½»Ýù, Ã» OE

Ñ³ïí³ÍÁ ù³ÝÇ ³Ý·³Ù ³ÙµáÕç³å»ë Ïï»Õ³íáñíÇ OM Ñ³ïí³ÍÇ Ù»ç∗):

ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù` 1) OE Ñ³ïí³ÍÁ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ OM Ñ³ïí³ÍáõÙ 0a ³ÙµáÕç ÃÇí ³Ý·³Ù

³é³Ýó ÙÝ³óáñ¹Ç: ²Ûë ¹»åùáõÙ 0a -Ý Ñ³Ù³ñáõÙ »Ý OM Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³-

ñáõÃÛáõÝ: Î³ñáÕ »Ýù ³ë»É, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ OM Ñ³ïí³ÍÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-

Ë³ÝáõÙ ¿` ...0...000,0a ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, áñÁ ÝáõÛÝ³óíáõÙ ¿

0a ³ÙµáÕç ÃíÇ Ñ»ï:

)2 OE Ñ³ïí³ÍÁ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ OM Ñ³ïí³ÍáõÙ 0a ³ÙµáÕç ÃÇí ³Ý·³Ù

NM ÙÝ³óáñ¹áí, áñÁ ÷áùñ ¿ OE -Çó: ²Û¹ ¹»åùáõÙ 0a -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿

OM Ñ³ïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ³ñ¹ÛáõÝù` å³Ï³ëáñ¹áí ÙÇÝã¨ 1-Ç ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ:

ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ, å³ñ½»Ýù, Ã» OE Ñ³ïí³ÍÇ 10/1 Ù³ëÁ ù³ÝÇ ³Ý·³Ù ¿

ï»Õ³íáñíáõÙ NM Ñ³ïí³ÍáõÙ: ÜáñÇó ÑÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù`

∗) Ð³ïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÇáÙÇ áõÅáí, ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý AB ¨ CD Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ, ³Û¹ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇó Ù»ÏÁ áñå»ë ·áõÙ³ñ»ÉÇ ÏñÏÝ»Éáí áñáß ù³Ý³Ïáí, Ïëï³Ý³Ýù ÙÇ Ýáñ Ñ³ïí³Í, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿ »ñÏñáñ¹ Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó:

28

1) OE Ñ³ïí³ÍÇ 10/1 Ù³ëÁ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ NM Ñ³ïí³ÍáõÙ )90( 11 ≤≤ aa

³ÙµáÕç ÃÇí ³Ý·³Ù ³é³Ýó ÙÝ³óáñ¹Ç: ²Ûë ¹»åùáõÙ` 10

, 1010

aaaa += é³óÇáÝ³É ÃÇ-

íÁ Ñ³Ù³ñáõÙ »Ý OM Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝ: Ò¨³Ï³Ýáñ»Ý Ï³ñáÕ »Ýù åÝ¹»É,

áñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ, OM Ñ³ïí³ÍÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿` ...0...000, 10 aa ³Ý-

í»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, áñÁ ÝáõÛÝ³óíáõÙ ¿ 10 , aa é³óÇáÝ³É ÃíÇ Ñ»ï:

)2 OE Ñ³ïí³ÍÇ 10/1 Ù³ëÁ ï»Õ³íáñíáõÙ ¿ NM Ñ³ïí³ÍáõÙ )90( 11 ≤≤ aa

³ÙµáÕç ÃÇí ³Ý·³Ù áñáß PM ÙÝ³óáñ¹áí, áñÁ ÷áùñ ¿ OE -Ç 10/1 Ù³ëÇó: ²Ûë

¹»åùáõÙ` 10 ,aa é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ OM Ñ³ïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý

³ñ¹ÛáõÝù` å³Ï³ëáñ¹áí ÙÇÝã¨ 10/1 -Ç ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ: Þ³ñáõÝ³Ï»Éáí ¹³ï»É Ýßí³Í Ó¨áí, Ñ³Ý·áõÙ »Ýù »ñÏáõ ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ`

)1 OM Ñ³ïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ÁÝÃ³óùÁ í»ñç³ÝáõÙ ¿ n -ñ¹ ù³ÛÉáõÙ, áñÇ Ñ»ï¨³Ý-

ùáí M Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿` nn

naaaaaaaa

10...

1010..., 2

210210 ++++=

),...,2,1,90( niai =≤≤ é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ (³Û¹ ¹»åùáõÙ M Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-

Ë³ÝáõÙ ¿` ...0...000..., 210 naaaa ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, áñÁ ÝáõÛÝ³ó-

íáõÙ ¿ naaaa ..., 210 é³óÇáÝ³É ÃíÇ Ñ»ï):

)2 OM Ñ³ïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ÁÝÃ³óùÁ ãÇ í»ñç³ÝáõÙ áã ÙÇ ù³ÛÉáõÙ ¨ ëï³ÝáõÙ

»Ýù é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`

...;...,;...;,;,; 2103210100 naaaaaaaaaaa , (2)

áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý OM Ñ³ïí³ÍÇ ã³÷Ù³Ý ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ å³-

Ï³ëáñ¹áí, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ÙÇÝã¨ ,...10/1,...,10/1,10/1,1 2 n ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1 : ¸ñ³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï (Ï³Ù ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý ß³ñù) ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ`

...10

...1010 2

210 +++++ n

naaaa , (3)

áñï»Õ Niai ∈, Ãí»ñÝ ³ÙµáÕç »Ý ¨ 90 ≤≤ ia , ÇëÏ 0a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ÙµáÕç áã

µ³ó³ë³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ` ,...2,1,0, =iai Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ñ³í³ë³ñ ã»Ý

0 -Ç (ï»ë §3, Ï»ï 7): ÀÝ¹áõÝí³Í ¿ (3) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ·ñ»É ³Ûëå»ë`

......, 3210 naaaaa (4)

´³ó³ë³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ`

......, 3210 naaaaa− (5)

29

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³-Ý³É (4) ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇó ¹»Ý Ý»ï»Éáí (Ï³Ù ÷áË³ñÇÝ»Éáí 0 –Ý»ñáí) Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÇó Ñ»ïá ·ñí³Í Ãí»ñÁ:

²ÛëåÇëáí, Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ` O Ï»ïÇó ³ç ·ïÝíáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý M Ï»ïÇ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¹Ý»É áñáß³ÏÇ ¹ñ³Ï³Ý ³Ýí»ñç ï³ë-Ýáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï:

´»ñí³Í ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÇñ³é»ÉÇ »Ý Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ M Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ O Ï»ïÇó Ó³Ë: ²Ûë ¹»åùáõÙ (2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ãí»ñÝ áõÝ»Ý µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³Ý ¨ ëï³óíáõÙ »Ý (5) ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇó` ¹»Ý Ý»ï»Éáí (Ï³Ù ÷áË³ñÇÝ»Éáí 0 –Ý»ñáí) Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÇó Ñ»ïá ·ñí³Í Ãí»ñÁ: O Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-

Ë³Ý»óíáõÙ ¿ ...000,00 = ÃÇíÁ (ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý, áñ` )000 =−=+ :

´áÉáñ ¹ñ³Ï³Ý áõ µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï-Ý»ñÁ, ...000,00 = ½ñá ÃÇíÁ, ÙÇ³ëÇÝ í»ñóñ³Í, å³ÛÙ³Ý³Ï³Ýáñ»Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý

Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ (³Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ Ï³ñÇù áõÝÇ Éñ³óÙ³Ý, áñÁ ÏÏ³ï³ñíÇ ëáõÛÝ å³ñ³·ñ³ýÇ 6 –ñ¹ Ï»ïáõÙ):

´áÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý R -áí: ¼ñáÛÇó ï³ñµ»ñ Çñ³Ï³Ý ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¹ñ³Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ Ý»ñÏ³Û³ó-

íáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí ¨ µ³ó³ë³-Ï³Ý, »Ã» ³ÛÝ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³ÝÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí:

²ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù ¹ñ³Ï³Ý ã»Ý, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý áã ¹ñ³Ï³Ý, ÇëÏ ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³ó³ë³Ï³Ý ã»Ý, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2: OM Ñ³ïí³ÍÇ ã³÷áõÙÁ å³ñï³¹Çñ ã¿ Çñ³Ï³Ý³óÝ»É ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ÙÇçáóáí: ²ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Çñ³Ï³Ý³óÝ»É Ý³¨, ûñÇÝ³Ï, ³Ýí»ñç »ñÏáõ³Ï³Ý Ï³Ù ³Ýí»ñç »ñ»ù³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ÙÇçáóáí:

3. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·³íáñáõÙÁ

ò³ÝÏ³ó³Í n± ³ÙµáÕç ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ñÏáõ Ó¨áí Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ³Ýí»ñç

ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí` ...0...000,nn ±=± Ï³Ù ...9...999),1( −±=± nn :

ò³ÝÏ³ó³Í í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï ÝáõÛÝå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ »ñÏáõ Ó¨áí Ý»ñÏ³Û³óÝ»É ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí ( 0 - å³ñµ»-ñáõÃÛ³Ùµ ¨ 9 - å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ).

...0...000...,..., 1321013210 nnnn aaaaaaaaaaaad −− ±=±=± ,

...9...999)1(..., 13210 −±=± − nn aaaaaad , áñï»Õ 0>na :

´Ý³Ï³Ý³µ³ñ, ³ÛëåÇëÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ, áñáÝù Ý»ñ-Ï³Û³óÝáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, Ñ³Ù³ñáõÙ »Ý

30

Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í é³óÇáÝ³É ÃÇí Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ mn

k52

± Ï³Ù

pk

mn52± ³ÝÏñ×³ï»ÉÇ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏÇ ï»ëùáí, áñï»Õ n -Á, m -Á ¨ k -Ý áã

µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ p -Ý 2 -Ç ¨ 5 -Ç íñ³ ãµ³Å³ÝíáÕ µÝ³Ï³Ý ÃÇí

¿: ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç å³ñµ»ñ³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí`

..................,52 3213213213210 kkkrmn aaaaaaaaaaaacccca

pk

±=± ,

áñï»Õ rcccc ...321 -Á ÙÇÝã¨ å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ »Õ³Í Ù³ëÝ ¿, ÇëÏ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ

kaaaa ...321 Ñ³í³ù³ÍáõÝ` å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ:

²ÛëåÇëáí, ó³ÝÏ³ó³Í é³óÇáÝ³É ÃÇí Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç å³ñµ»ñ³-Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí, Ñ»ï¨³µ³ñ` RQ ⊂ :

´áÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù é³óÇáÝ³É ã»Ý, ÏáãíáõÙ »Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñ: Æé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý I –áí` QRI \= :

Ð»ï¨³µ³ñ, ³Ù»Ý ÙÇ ³Ýí»ñç áã å³ñµ»ñ³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿:

¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý (µ³ó³ë³Ï³Ý) Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý`

...)...,...,...,(

......,...,...,

32103210

32103210

nn

nn

bbbbbbaaaaaabbbbbbaaaaaa

−=−===

(6)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: ØÇ¨ÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý Ñ³í³-

ë³ñ, ·ñáõÙ »Ý` ba = , »Ã» ¹ñ³Ýó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý.

,...,...,,, 221100 nn babababa ==== , (7)

Ï³Ù Çñ»ÝóÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï³ñµ»ñ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÝ»ñ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3: a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ùá¹áõÉ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý

ÃÇíÁ (Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý a -áí), áñÝ áõÝÇ ÝáõÛÝ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ

ï»ëùÁ, ÇÝã-áñ a -Ý, µ³Ûó í»ñóñ³Í ¹ñ³Ï³Ý Ýß³Ýáí: ²ÛëåÇëáí, a -Ý áã µ³ó³-

ë³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿:

31

¸Çóáõù ïñí³Í »Ý Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ê³ÑÙ³Ý»Ýù Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝ, áñÁ µ³ó³Ñ³ÛïáõÙ ¿, Ã» ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý < Ï³Ù > Ýß³ÝÝ»ñÇó áñÝ ¿ Ï³åáõÙ ³Û¹ Ãí»ñÇÝ: øÝÝ³ñÏ»Ýù »ñ»ù ¹»åù»ñ`

)1 a -Ý ¨ b -Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, )2 a -Ý ¨ b -Ý µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, )3 a ¨ b

Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ÇëÏ ÙÛáõëÁ` µ³ó³ë³Ï³Ý: )1 ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý (6) ï»ëù»ñÁ: ø³ÝÇ áñ

a -Ý Ñ³í³ë³ñ ã¿ b -ÇÝ (·ñáõÙ »Ý ba ≠ ), ³å³ Ë³ËïíáõÙ ¿ (7) Ñ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ¿ Ù»ÏÁ: ¸Çóáõù k -Ý ³ÛÝ ³Ù»Ý³÷áùñ Ñ³Ù³ñÝ ¿, áñ

kkkk babababa ≠=== −− ,...,,, 111100 :

²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³ñáõÙ »Ý` ba > , »Ã» kk ba > ¨` ba < , »Ã» kk ba < :

2) ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³ñáõÙ »Ý` ba > , »Ã»

ba < ¨ ba < , »Ã» ba > :

3) ¸Çóáõù a -Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ÇëÏ b -Ý µ³ó³ë³Ï³Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ

Ñ³Ù³ñáõÙ »Ý ba > : ²Ûë Ó¨áí ë³ÑÙ³Ýí³Í Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ ÏÇñ³é»ÉÇ ¿ Ý³¨ ó³ÝÏ³ó³Í

í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ, ³ÝÏ³Ë Ýñ³ÝÇó ³ÛÝ Ý»ñÏ³-Û³óí³Í ¿ 0 , Ã» 9 å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: ²Û¹ ¿ íÏ³ÛáõÙ Ñ»ï¨Û³É É»ÙÙÇ Çñ³í³óÇáõÃÛáõÝÁ [10]:

È»ÙÙ 1: ºÃ» ......, 3210 naaaaaa = -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý

ÃÇí ¿, ÇëÏ ...000..., 3210 nbbbbbb =′ -Á ¨ ...9...999)1...(, 3210 −=′′ nbbbbbb -Á )0( >nb

ÙÇ¨ÝáõÛÝ` nbbbbbb ..., 3210= í»ñç³íáñ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³-

ÏÇ ï³ñµ»ñ Ý»ñÏ³Û³óáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ba ′< å³ÛÙ³ÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ ba ′′<

å³ÛÙ³ÝÇÝ, ÇëÏ ba ′> å³ÛÙ³ÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ ba ′′> å³ÛÙ³ÝÇÝ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ ³Ûë Ó¨áí ë³ÑÙ³Ýí³Í Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ

ÏÇñ³é»Éáí »ñÏáõ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ, áñáÝù Ý»ñÏ³Û³óí³Í »Ý ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ï»ëùáí, ï³ÉÇë »Ý ÝáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÁ, ÇÝã-áñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ, »ñµ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ Ý»ñÏ³Û³óí³Í »Ý »ñÏáõ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí (ï»ë ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1-Á):

Â»áñ»Ù 1: ò³ÝÏ³ó³Í ba, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É

»ñ»ù ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó` bababa =>< ,, ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁ: ÀÝ¹ áñáõÙ` ba < ¨

cacb <⇒< ; abba >⇔< ; baba <⇔≤ Ï³Ù bababa >⇔≥= ; Ï³Ù

ba = ; ba = ¨ cacb =⇒= : ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ºÃ» a -Ý ¹ñ³Ï³Ý, áã µ³ó³ë³Ï³Ý, µ³ó³ë³Ï³Ý, áã ¹ñ³-

Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ·ñáõÙ »Ý` 0,0,0,0 ≤<≥> aaaa :

32

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 4: a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ùá¹áõÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`

<−≥

=:0,0

aaaa

a (8)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

ba ≤ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ a -Ý ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ ¨ Ýß³Ý³ÏáõÙ

»Ý` baa ,min= , ÇëÏ b -Ý ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇó Ù»Í³·áõÛÝÁ ¨ Ýß³Ý³ÏáõÙ

»Ý` bab ,max= :

ÆÝ¹áõÏïÇí »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý í»ñç³íáñ ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùµ Ãí»ñÇ Ñ³í³ù³ÍáõÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ¨ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññ»ñÇ Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

:,,...,,maxmax,...,,max

,,,...,,minmin,...,,min

12121

12121

nnn

nnn

aaaaaaaaaaaaaa

−

−

==

(9)

ºÉÝ»Éáí ÃíÇ Ùá¹áõÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó` Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É`

aaa −= ,max , (10)

áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 0≥a ¨ aa =− :

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5 : Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÁÝ¹É³ÛÝí³Í R µ³½ÙáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí` Ñ³ë-Ï³ÝáõÙ »Ý µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ¨ »ñÏáõ` ∞− ¨ ∞ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ∞− -ÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÙÇÝáõë ³Ýí»ñçáõÃÛáõÝ, ÇëÏ ∞ -Á` åÉÛáõë ³Ýí»ñçáõÃÛáõÝ: ∞ -å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÁ Ñ³×³Ë ·ñáõÙ »Ý Ý³¨ ³Ûëå»ë` ∞+ : ÀÝ¹ áñáõÙ, ³Û¹ å³ÛÙ³Ý³Ýß³ÝÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï³ñ·³íáñ-í³ÍáõÃÛ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÇÝ` ∞<∞− ¨ ∞<<∞−∈∀ aRa )( :

4. ì»ñ¨Çó Ï³Ù Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: Öß·ñÇï »½ñ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ

¸Çóáõù E -Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Çñ³Ï³Ý ÃÇí:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6: RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³ÑÙ³-Ý³÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ )(mM Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ï³ññ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ`

)( mxMx ≥≤ : (11)

)(mM ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6-Á ùí³ÝïáñÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí` ))()(()()( mxExRmMxExRM ≥∈∀∈∃≤∈∀∈∃ : (12)

33

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6-Ç ÅËïáõÙÁ ÏÓ¨³Ï»ñåíÇ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í )(mM Çñ³Ï³Ý

ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Ex ∈′ , áñ` )( mxMx <′>′ .

))()(()()( mxExRmMxExRM <∈′∃∈∀>′∈′∃∈∀ : (13)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 7 : RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ³ÛÝ ¨′ í»ñ¨Çó ¨′ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 7-Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ó¨³Ï»ñå»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå` RE ⊂ µ³½Ùáõ-ÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0>A ÃÇí, áñ

ExAx ∈∀≤ , .

AxExRA ≤∈∀∈∃ )()( : (14)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ³Ù»Ý ÙÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ í»ñÇÝ »½ñ»ñ, ÇëÏ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³½Ùáõ-ÃÛáõÝ áõÝÇ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ëïáñÇÝ »½ñ»ñ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 8 : ì»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ í»ñÇÝ »½ñ»ñÇó ³Ù»Ý³÷áùñÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ, ¨ Ýß³Ý³-ÏáõÙ »Ý Esup å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí: Ü»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý

µáÉáñ ëïáñÇÝ »½ñ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ, ¨ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Einf å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí:

ºÃ» Ex sup= , ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` ³ÛÝ ÉÇáíÇÝ µÝáñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É

»ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` εε −>′∈′∃>∀≤∈∀ xxExxxEx )()0(.2,)(.1 (15)

²Ûëï»Õ 1. Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ åÝ¹áõÙ ¿, áñ x -Á E µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿: 2. Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ åÝ¹áõÙ ¿, áñ x -Ý ³Ù»Ý³÷áùñ í»ñÇÝ »½ñÝ ¿:

ºÃ» Ex inf= , ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` ³ÛÝ ÉÇáíÇÝ µÝáñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É

»ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` εε +<′∈′∃>∀≥∈∀ xxExxxEx )()0(.2,)(.1 : (16)

²Ûëï»Õ 1. Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ åÝ¹áõÙ ¿, áñ x -Á E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ »½ñ»ñÇó

Ù»ÏÝ ¿: 2. Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ åÝ¹áõÙ ¿, áñ x -Ý ³Ù»Ý³Ù»Í ëïáñÇÝ »½ñÝ ¿:

ºñµ»ÙÝ Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ýßí³Í Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ, ·ñ³é»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. »Ã» Ex sup= , ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` ³ÛÝ ÉÇáíÇÝ

µÝáñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí` axExxaxxEx >′∈′∃<∀′≤∈∀′ )()(.2,)(.1 ,

»Ã» Ex inf= , ³å³ Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` ³ÛÝ ÉÇáíÇÝ µÝáñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí`

34

axExxaxxEx <′∈′∃>∀′≥∈∀′ )((.2,)(.1 :

´Ý³Ï³Ý³µ³ñ Ñ³ñó ¿ ³é³ç³ÝáõÙ, Ã» ³ñ¹Ûáù í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ûáõñ³-ù³ÝãÛáõñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ± ³Ù»Ý³÷áùñ í»ñÇÝ »½ñ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù ³Ù»Ý³Ù»Í ëïáñÇÝ »½ñ: ²Û¹ Ñ³ñóÇÝ å³ï³ëË³Ý ¿ ï³ÉÇë Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ`

Â»áñ»Ù 2 : ºÃ» Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ ¨ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) »½ñ:

ºÃ» E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ã¿, ³å³ å³ÛÙ³Ý³-íáñíáõÙ »Ý ·ñ»É` )(inf,sup −∞=+∞= EE :

5. Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ»ï

Ü³Ë Ñ³Ùá½í»Ýù, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a Çñ³Ï³Ý ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ó³ÝÏ³ó³Í ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ Ùáï³ñÏ»É é³óÇáÝ³É Ãíáí: àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »ÝÃ³¹ñ»Ýù

0≥a ¨ ......, 3210 naaaaaa = : ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ`

naaaaa ..., 32101 =α , nnaaaaa −+= 10..., 32102α , áñáÝó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³-

µ³ñ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ëïáñ³Ï»ïÇó Ñ»ïá n -Ãí³Ýß³ÝÇ ×ß·Áñ-ïáõÃÛ³Ùµ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ùáï³ñÏáõÙ å³Ï³ëáñ¹áí ¨ a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ëïá-ñ³Ï»ïÇó Ñ»ïá n -Ãí³Ýß³ÝÇ ×ß·ñïáõÃÛ³Ùµ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ùáï³ñÏáõÙ Ñ³í»-Éáñ¹áí: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í n Ñ³-Ù³ñÇ ¹»åùáõÙ, áõÝ»Ýù`

2321032101 10...,..., αα =+<<= −nnn aaaaaaaaaaa , (17)

ÁÝ¹ áñáõÙ` n−<− 1012 αα : ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ 0>∀ε é³óÇáÝ³É ÃíÇ Ñ³Ù³ñ

Nn ∈∃ 0 , áñ 0nn >∀ ï»ÕÇ áõÝÇ ε<−n10 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

Æñáù, ²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÇáÙÇ áõÅáí, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñáÝù ã»Ý ·»ñ³½³ÝóáõÙ ε/1 ÃíÇÝ: ì»ñóÝ»Ýù ³Ù»Ý³Ù»Í Nn ∈0

ÃÇíÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ ε/110 0 ≤n Ï³Ù ε≥− 010 n : ØÝ³ó³Í µáÉáñ 0nn > µÝ³Ï³Ý

Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ ε<−n10 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí, ³å³-óáõóí»ó Ñ»ï¨Û³É É»ÙÙÁ:

È»ÙÙ 2: ò³ÝÏ³ó³Í a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε é³óÇáÝ³É

ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 1α ¨ 2α é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ 21 αα << a

¨ εαα <− 12 :

35

È»ÙÙ 3: ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ba < ,

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ α é³óÇáÝ³É ÃÇí, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ Ýñ³Ýó ÙÇç¨, ³ÛëÇÝùÝ` ba <<α

(Ñ»ï¨³µ³ñ a -Ç ¨ b -Ç ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ) :

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` ......, 3210 naaaaaa = ¨ ......, 3210 nbbbbbb = Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ

¹ñ³Ï³Ý »Ý ¨ ba < : ä³ÛÙ³Ý³íáñí»Ýù, »Ã» b -Ý é³óÇáÝ³É ¿, ³ÛÝ Ý»ñÏ³Û³-óÝ»Ýù 9 å³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: ²Û¹

¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ k ¨ ks > Ñ³Ù³ñÝ»ñ, áñ ,00 ba = ,11 ba =

kkkk baba <= −− ,..., 11 ¨ 0>sb : ÜÏ³ï»Ýù, áñ ..., 210 aaa=α skk bba ...1− é³óÇáÝ³É

ÃÇíÁ Ïµ³í³ñ³ñÇ ba <<α ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ: È»ÙÙ 3-Ç ³å³óáõÛóÁ a -Ç ¨

b -Ç ÙÝ³ó³Í ¹»åù»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¹Åí³ñáõÃÛáõÝ ãÇ Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ: ∆

È»ÙÙ 4 : ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ºÃ» 0>∀ε é³óÇáÝ³É

ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 1γ ¨ 2γ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ`

221211 , γγγγ <<<< xx ¨ εγγ <− 12 , ³å³` 21 xx = :

²å³óáõÛó: ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ñ³Ï³ëáÕ ÁÝ¹áõÝ»ÉáõÃÛ³Ý Ù»Ãá¹áí:

ºÝÃ³¹ñ»Ýù, ûñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ, 21 xx < : Ð³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 3-Ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý

»ñÏáõ ³ÛÝåÇëÇ 1α ¨ 2α é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ`

2211 xx <<< αα : (18)

ºÝÃ³¹Ã»Ýù 1γ -Á ¨ 2γ -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, áñáÝù µ³í³-

ñ³ñáõÙ »Ý 221211 , γγγγ <<<< xx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ

ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³Ý` 2211 γααγ <<< ¨ 1212 ααγγ −>− ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ-

Ý»ñÁ: Ð»ï¨³µ³ñ` 12 γγ − ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ ÷áùñ ÉÇÝ»É, ûñÇÝ³Ï`

12 ααε −= é³óÇáÝ³É ÃíÇó, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ É»ÙÙÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ: ∆

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 9 : a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ x Çñ³Ï³Ý

ÃÇíÁ, áñÁ ó³ÝÏ³ó³Í 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³-

ñ³ñáõÙ »Ý 2121 , ββαα ≤≤≤≤ ba ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

2211 βαβα +≤≤+ x (19)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹ x ÃÇíÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý ba + å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí:

Â»áñ»Ù 3 (Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ·áÛáõÃÛ³Ý Ã»áñ»ÙÁ): ò³ÝÏ³ó³Í a ¨

b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ:

36

²å³óáõÛó: ¸Çï³ñÏ»Ýù ë³ÑÙ³ÝáõÙ 9-ÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ

11 βα + é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` 11 βα + : ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ûñÇÝ³Ï, 22 βα + ï»ëùÇ ó³ÝÏ³ó³Í é³óÇáÝ³É Ãíáí: Ð³Ù³-

Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç, 11 βα + µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ x »½ñ`

11sup βα +=x :

òáõÛó ï³Ýù, áñ x -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (19) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: Ò³Ë

Ù³ëÇ` x≤+ 11 βα ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ x -Á 11 βα + µ³½-

ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÝ ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÇ` 22 βα +≤x ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ

µËáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ 22 βα + ÃÇíÁ 11 βα + µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿

¨ x -Ý ³Ù»Ý³÷áùñ í»ñÇÝ »½ñÝ ¿: ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 5: ÜÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ 22 βα + µ³½-

ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñÁ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿:

Ð³ñó ¿ ³é³ç³ÝáõÙ, ³ñ¹Ûá±ù a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÙÇ³ÏÝ ¿:

Â»áñ»Ù 4 (ºñÏáõ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý Ã»áñ»ÙÁ): a ¨ b

Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÙÇ³ÏÝ ¿:

²å³óáõÛó: ºÝÃ³¹ñ»Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý »ñÏáõ 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ

ó³ÝÏ³ó³Í 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`

2121 , ββαα ≤≤≤≤ ba (20)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ý³¨`

22111 βαβα +≤≤+ x , 22211 βαβα +≤≤+ x (21)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ì»ñóÝ»Ýù 0>∀ε é³óÇáÝ³É ÃÇí: îñí³Í a ¨ b Ç-

ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 2-Ç, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ

2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ`

2121 , ββαα ≤≤≤≤ ba ¨ 2

,2 1212

εββεαα ≤−≤− : (22)

ºÃ» (20) – (21) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ í»ñóÝ»Ýù Ýßí³Í` 2121 ,,, ββαα

é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù, áñ 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`

2221111 γβαβαγ =+≤≤+= x , 2222111 γβαβαγ =+≤≤+= x (23)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ÁÝ¹ áñáõÙ` εγγ <− 12 : Ð³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 4-Ç` 21 xx = :

Â»áñ»Ù 5 : ÎÇñ³é»Éáí ë³ÑÙ³ÝáõÙ 9-Á a ¨ b é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ`

ëï³óíáõÙ ¿ ÝáõÛÝ ·áõÙ³ñÁ, ÇÝã áñ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1-Ç Ï³ÝáÝÇ ÙÇçáóáí:

37

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù a -Ý ¨ b -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý: ¸Çóáõù`

rba )( + -Á ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÝ ¿` Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1-Ç Ï³ÝáÝÇ, ÇëÏ ba + -Ý

ÝáõÛÝ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ³Û-

ëÇÝùÝ` ( ) rba 11sup βα +=+ , áñï»Õ 1α -Á ¨ 1β -Á ó³ÝÏ³ó³Í é³óÇáÝ³É Ãí»ñ

»Ý, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ba ≤≤ 11 , βα ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ä»ïù ¿

³å³óáõó»É áñ rbaba )( +=+ Ï³Ù ( ) ( )rr ba +=+ 11sup βα : ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ,

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÇ µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, å»ïù ¿ óáõÛó ï³É, áñ`

( )( ) ( ) :~)()()()(~.2

;)()()()(.1

111111

111111

abaaba

rrrr

rrrr

>++∈+∃+<∀

+≤++∈+∀

βαβαβα

βαβαβα

ø³ÝÇ áñ ba ≤≤ 11 , βα , ³å³ rr ba )()( 11 +≤+ βα (é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³-

Ù³ñ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³Û¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÛïÝÇ ¿): Ð»ï¨³µ³ñ 1 Ñ³ï-

ÏáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ: òáõÛó ï³Ýù, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ 2 Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ:

¸Çóáõù` a~ -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ rbaa )(~ +< :

¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ α é³óÇáÝ³É ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ rbaa )(~ +<<α (ï»ë É»ÙÙ 3):

ì»ñóÝ»Ýù 0)( >−+= αδ rba é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ (Ñ³ÝÙ³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÁ Ï³-

ï³ñíáõÙ ¿ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1-Ç Ï³ÝáÝÇ): ²Û¹ δ -Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ n µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ δ<n/2 :

¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ` n

bn

a 1,111 −=−= βα : ø³ÝÇ áñ

ba ≤≤ 11 , βα , ³å³ rr )()( 1111 βαβα +∈+ : ÀÝ¹ áñáõÙ, −+=+ rr ba )()( 11 βα

αδ =−+>− rban

)(2, ù³ÝÇ áñ` δ<

n2

: Ð»ï¨³µ³ñ, ar~)( 11 >>+ αβα , ³ÛëÇÝùÝ`

ar~)( 11 >+ βα : ²ÛëåÇëáí ï»ÕÇ áõÝÇ 2 Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ: ∆

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 10: a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ

x Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ ó³ÝÏ³ó³Í 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù

µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 2121 0,0 ββαα ≤≤<≤≤< ba ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ,

µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

2211 βαβα ≤≤ x (24)

38

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û¹ x ÃÇíÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý ba ⋅ (Ï³Ù å³ñ½³å»ë

ab )å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí: Î³Ù³Û³Ï³Ý Ýß³ÝÇ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ë³Ñ-

Ù³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå.

1) 000 =⋅=⋅ aa , Ra∈∀ ;

2)

⋅−

⋅=⋅

:Ýß³ÝÝ»ñ ï³ñµ»ñ áõÝ»ÝÝ- áõÝ- »Ã»

Ýß³ÝÁ, ÝáõÛÝ áõÝ»ÝÝ- áõÝ- »Ã»

baba

bababa

,

, (25)

ØÇ³Ý·³Ù³ÛÝ ÝáõÛÝ Ó¨áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ ïñí³Í »ñÏáõ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñ-ï³¹ñÛ³ÉÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ: Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É

»ñÏáõ a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ:

àñå»ë½Ç ³å³óáõó»Ýù a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ·áÛáõ-

ÃÛáõÝÁ, í»ñóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝáõÙ 10-ÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ 11βα ³ñï³-

¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ 11βα µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿,

ûñÇÝ³Ï, 22βα ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáí: Ð³Ù³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç`

11βα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ` 11sup βα=x : Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ

x -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (24) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²ÛëÇÝùÝ, x -Á a ¨ b

¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É ¿:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6: ÜÙ³Ý Ó¨áí Ï³ñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý

Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 22βα µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñÝ ¿:

àñå»ë½Ç ³å³óáõó»Ýù a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÙÇ³-

ÏáõÃÛáõÝÁ, »ÝÃ³¹ñáõÙ »Ýù, Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý »ñÏáõ 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ

ó³ÝÏ³ó³Í 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`

MbMa ≤≤≤<≤≤≤< 2121 0,0 ββαα (26)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ *), µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ý³¨`

22111 βαβα ≤≤ x , 22211 βαβα ≤≤ x (27)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ì»ñóÝ»Ýù 0>∀ε é³óÇáÝ³É ÃÇí ¨ ïñí³Í a ¨ b Çñ³-

Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ³ 2-Ç` ÁÝïñ»Ýù (26) – (27) ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ï»ÕÇ

áõÝ»Ý³Ý Ý³¨ )2/(),2/( 1212 MM εββεαα ≤−≤− ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ 1x ¨ 2x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`

2221111 γβαβαγ =≤≤= x , 2222111 γβαβαγ =≤≤= x (28)

*) Î³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É, ûñÇÝ³Ï, )(2 baM += :

39

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ÁÝ¹ áñáõÙ ï»ÕÇ áõÝ»Ý`

εεααβββαβαβαγγ =⋅<−+−=−=− )2/(2)()( 121122112212 MM :

³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 4-Ç` Ï³ñáÕ »Ýù åÝ¹»É, áñ 21 xx = :

6. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

I Î³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É »ñ»ù ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁ ba < , ba > , ba = :

ÀÝ¹ áñáõÙ` ba < ¨ cb < ca <⇒ ; abba >⇔< ; baba <⇔≤ Ï³Ù

ba = ; baba >⇔≥ Ï³Ù ba = ; ba = ¨ cb = ca =⇒ :

I I ¶áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ½áõÛ·ÇÝ

Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ù»Ï` Rba ∈+ ÃÇí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ:

ÀÝ¹ áñáõÙ, ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

1. abbaRba +=+∈∀ ),( :

2. cbacbacbaRcba ++=++=++∈∀ )()(),,( :

3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ½ñá` 0 , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

aaRa =+∈∀ 0)( :

4. ))(()( RaRa ∈−∃∈∀ ( a -Ç Ñ³Ï³¹ÇñÁ), ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ` 0)( =−+ aa :

5. ºÃ» ba < ¨ c -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ cbca +<+ :

I I I ´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝ: ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ½áõÛ-

·ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ù»Ï Rba ∈⋅ ÃÇí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ a ¨ b Ãí»ñÇ

³ñï³¹ñÛ³É: ÀÝ¹ áñáõÙ, ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

1. ),( Rba ∈∀ abba ⋅=⋅ :

2. ),,( Rcba ∈∀ abccbacba =⋅⋅=⋅⋅ )()( :

3. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÃÇí, áñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ù»Ï` 1 , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

aaRa =⋅∈∀ 1)( :

4. ò³ÝÏ³ó³Í 0≠a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¹ñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓ ÃÇíÁ` a1

,

³ÛÝå»ë, áñ` 11=⋅

aa :

5. ºÃ» ba < ¨ 0>c , ³å³ bcac < , ÇëÏ »Ã» ba < ¨ 0<c , ³å³ bcac > :

IV ´³ßË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ : ),,( Rcba ∈∀ acabcba +=+ )( :

40

V ²ñùÇÙ»¹Û³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ (²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÇáÙÁ) : ÆÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ a Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ an > :

VI Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ ¨ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ

)( Aa∈∀ )( Bb∈∀ ba < : (29)

²Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Rc∈ ÃÇí, áñ` bca ≤≤ .

²Ûë Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ ûÅïí³Í c ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

ë³ÑÙ³Ý³½³ïáÕ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ ë³ÑÙ³Ý³½³ïáÕ ÃÇíÁ Ï³ñáÕ ¿ ÙÇ³ÏÁ ãÉÇÝ»É: Î³ñ·³íáñí³ÍáõÃÛ³Ý Ï³ÝáÝÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ óáõÛó ¿ ïñí³Í ëáõÛÝ

å³ñ³·ñ³ýÇ 3-ñ¹ Ï»ïáõÙ: ¶áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ 1-5-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ ëï³ó-

íáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ¨ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³Û¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÇó: úñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³óáõó»Ýù ·áõ-Ù³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ 4-ñ¹ ¨ 5-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

4. Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÁ: ¸Çóáõù a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: àñá-

ß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »ÝÃ³¹ñ»Ýù` 0......, 210 >= naaaaa : àñå»ë a -Ç Ñ³Ï³¹Çñ

ÃÇí í»ñóÝ»Ýù a ÃÇíÁ µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³Ýáí` a− -Ý: ¸Çóáõù 1α -Á ¨ 1β -Á

³ÛÝåÇëÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, áñ aa −≤≤ 11 , βα : ²Û¹åÇëÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇó

Ï³½Ù»Ýù 11 βα + é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ä»ïù ¿ ³å³óáõó»É, áñ

0sup 11 =+ βα Ï³Ù ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É »ñÏáõ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ.

1111 )(.1 βαβα +∈+∀ ï»ÕÇ áõÝÇ 011 ≤+ βα ,

11*1

*1 )(,0~.2 βαβα +∈+∃<∀a , áñ ï»ÕÇ áõÝÇ a~*

1*1 >+ βα :

ø³ÝÇ áñ a−≤1β , ³å³ a≥− 1β (¹ñ³ÝáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ùá½í»É, û·ï³·áñ-

Í»Éáí Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³Õ¹³ïÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ): Ð»ï¨³µ³ñ, a≤1α ¨ 1β−≤a

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 11 βα −≤ Ï³Ù 011 ≤+ βα : ²ÛëåÇëáí

ï»ÕÇ áõÝÇ .1 å³ÛÙ³ÝÁ: òáõÛó ï³Ýù, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ .2 å³ÛÙ³ÝÁ:

¸Çóáõù a~ -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý µ³ó³ë³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ø³ÝÇ áñ 0~ >− a -Ý,

³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÛáÙ³ÛÇ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ n µÝ³Ï³Ý ÃÇí ³ÛÝåÇ-

ëÇÝ, áñ an ~10/1 −< Ï³Ù an ~10/1 >− : Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³Õ¹³ïÙ³Ý Ï³ÝáÝÇó

Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ`

41

aaaaaaaaaa nnn −≤−−=≤=10

1...,,..., 210*

1210*1 βα :

ø³ÝÇ áñ 11*1

*1 βαβα +∈+ , ÁÝ¹ áñáõÙ` an ~10/1*

1*1 >−=+ βα , ³å³ ï»ÕÇ

áõÝÇ .2 å³ÛÙ³ÝÁ:

5. Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÁ: ø³ÝÇ áñ ba < , ³å³ 3-ñ¹ É»ÙÙÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ`

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ <<<< 121 βαα a

2β<< b : Àëï 2-ñ¹ É»ÙÙÇ, ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ Rc∈ ÃÇíÁ, 21 αβε −= é³óÇáÝ³É

ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ 1γ ¨ 2γ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ 21 γγ ≤≤ c ,

ÁÝ¹ áñáõÙ`

2112 αβεγγ −=<− : (30)

Ð³Ù³Ó³ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` áõÝ»Ýù`

22112211 , γβγβγαγα +<+<++<+<+ cbca :

àñå»ë½Ç óáõÛó ï³Ýù, áñ cbca +<+ , µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ

2211 γαγβ +>+ : ì»ñçÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ (30) ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÇó:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 11 : a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ c

Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñ` abc =+ :

²å³óáõó»Ýù, áñ )( bac −+= , áñï»Õ b− -Ý b ÃíÇ Ñ³Ï³¹ÇñÝ ¿: Æñáù,

û·ïí»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ .4.2 − Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó` Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É`

aabbabbabc =+=+−+=+−+=+ 0))(())(( :

²å³óáõó»Ýù, áñ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³ÏÝ ¿: ¸Çóáõù,

µ³óÇ )( bac −+= ÃíÇó, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ ³ÛÝåÇëÇ d ÃÇí, áñ abd =+ :

²Û¹ ¹»åùáõÙ` ÙÇ ÏáÕÙÇó cbabbd =−+=−++ )()()( , ÙÛáõë ÏáÕÙÇó` =−++ )()( bbd

ddbbd =+=−++= 0))(( , Ñ»ï¨³µ³ñ` dc = :

a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý ba − å³ÛÙ³Ý³-

Ýß³Ýáí: Ð»ï¨³µ³ñ` )( baba −+=− :

´³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ 1-5-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ ëï³óíáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ¨ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÝÙ³ÝûñÇÝ³Ï Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÇó:

4-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý Ù»ç a1

Ñ³Ï³¹³ñÓ ÃÇíÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå:

42

¸Çóáõù 0>a ¨ 1α -Ý áõ 2α -Á ³ÛÝåÇëÇ ¹ñ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, áñ

210 αα ≤≤< a : ²Û¹ ¹»åùáõÙ a1

Ñ³Ï³¹³ñÓ ÃÇí ³ë»Éáí` Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ

Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 12

111αα

≤≤a

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:

àñå»ë a ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ ÃÇí` Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É

2

1α

é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ

µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÁ ¨ óáõÛó ï³É, áñ ³ÛÝ ÙÇ³ÏÝ ¿: ºÃ» 0<a

)( aa −= ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ýù` aa11

−= : Ð»ï¨³µ³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù` 111=⋅=⋅

aa

aa :

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 12 : a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ýáñ¹ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ c Çñ³Ï³Ý

ÃÇíÁ, áñ` abc =⋅ :

ú·ïí»Éáí µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÇ 2-4-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, ó³ÝÏ³-

ó³Í a ¨ 0≠b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` ³ÛÝ

¿É ÙÇ³Ï` c Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñ abc =⋅ : a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ýáñ¹Á Ýß³-

Ý³ÏáõÙ »Ý` ba

å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí:

ø³Ýáñ¹Ç ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 0≠b Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ 1 -Ç ¨

b -Ç ù³Ýáñ¹Ý ¿` b1

, ÇëÏ a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³Ýáñ¹Ç Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿`

ba

ba 1

⋅= Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

´³ßË³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÇó ¨ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³Û¹ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÇó:

²ñùÇÙ»¹Ç ³ùëÛáÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ³) ¸Çóáõù

0<a , ³Û¹ ¹»åùáõÙ a>1 : µ) ¸Çóáõù 0≥a ¨ ......, 210 naaaaa = , ³Û¹ ¹»åùáõÙ

µ³í³Ï³Ý ¿ í»ñóÝ»É` 20 += an :

Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý ³å³óáõÛóÁ: ø³ÝÇ áñ )( Aa∈∀ baBb <∈∀ )( , ³å³ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿

(ûñÇÝ³Ï Bb∈∀ Ãíáí), ÇëÏ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿

(ûñÇÝ³Ï, Aa∈∀ Ãíáí): Ð»ï¨³µ³ñ, A µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ`

Asup=ξ , ÇëÏ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ` Binf=η : ²å³óáõó»Ýù,

43

áñ ηξ ≤ : Æñáù, ù³ÝÇ áñ A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Bb∈∀

Ãíáí, Ñ»ï¨³µ³ñ` BbbA ∈∀≤= ,supξ : ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ B µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÁ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ ξ Ãíáí, Ñ»ï¨³µ³ñ` =≤= BA infsupξ η :

²ÛëåÇëáí, áõÝ»Ýù` baBbAa ≤≤≤∈∀∈∀ ηξ)()( :

àõñ»ÙÝ, ξ -Ç ¨ η -Ç ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ ó³ÝÏ³ó³Í Çñ³Ï³Ý c ÃÇí (ûñÇÝ³Ï

2/)( ηξ +=c ) Ïµ³í³ñ³ñÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ`

bcaBbAa ≤≤≤≤∈∀∈∀ ηξ)()( : (31)

Ð»ï¨³µ³ñ, c ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³Ý³½³ïáÕ:

Â»áñ»Ù 6 (ê³ÑÙ³Ý³½³ïáÕ Ï»ïÇ ÙÇ³ÏáõÃÛ³Ý å³ÛÙ³ÝÁ): ¸Çóáõù Çñ³-Ï³Ý Ãí»ñÇ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ ¨ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ )( Aa∈∀ baBb <∈∀ )( ( A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÁÝÏ³Í ¿ B

µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ó³Ë): àñå»ë½Ç ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³Ý³½³ïí»Ý ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï Çñ³Ï³Ý Ãíáí,

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÁ` ò³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Ý Aa∈ ¨ Bb∈ ³ÛÝåÇëÇÝ,

áñ ε<− ab .

εε <−∈∃∈∃>∀ abBbAa )()()0( : (32)

²å³óáõÛó: ´³í³ñ³ñáõÃÛáõÝ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ (32) å³ÛÙ³ÝÁ, µ³Ûó A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³Ý³½³ïíáõÙ »Ý »ñÏáõ` c ¨ d , áñï»Õ

dc < , Ãí»ñáí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Aa∈∀ ¨ Bb∈∀ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

bdca ≤<≤ , áñï»ÕÇó cdab −>− : ì»ñçÇÝë Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ (32) å³ÛÙ³ÝÇÝ

(µ³í³Ï³Ý ¿ í»ñóÝ»É cd −=ε ):

²ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ: ¸Çóáõù A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³Ý³½³ïíáõÙ »Ý Ù»Ï c Ãíáí ¨ ¹Çóáõù` 0>ε : ø³ÝÇ áñ c -Ý ÙÇ³Ï ë³ÑÙ³Ý³½³ïáÕ Ï»ïÝ ¿,

³å³ 2ε

−c ÃÇíÁ ãÇ µ³Å³ÝáõÙ A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` ãÝ³Û³Í Bb∈∀ ï»ÕÇ

áõÝÇ bc ≤−2ε

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ å³ï×³éáí Aa ∈∃ * ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

2* ε

−> ca : ÜÙ³Ý Ó¨áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ Bb ∈∃ * ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

2* ε

+< cb : ²Û¹ ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù` εεε=

−−+<−

22** ccab , áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ

¿` ï»ÕÇ áõÝÇ (32) å³ÛÙ³ÝÁ:

44

²Ù÷á÷áõÙ: ²ÛÅÙ Ï³ñáÕ »Ýù ×ß·ñï»É Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ·³Õ³÷³ñÁ. ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí Ý»ñÏ³Û³óíáÕ Ãí»ñÁ Ï³Ýí³Ý»Ýù Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, ³ÛÝ å³ÛÙ³Ýáí, áñ ³Û¹ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ í»ñáÑÇßÛ³É »Õ³Ý³Ïáí ë³ÑÙ³Ýí³Í ¿ Ï³ñ·³íáñí³ÍáõÃÛ³Ý, ·áõÙ³ñÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

Æ í»ñçá Ñ³Ùá½í»óÇÝù, áñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ÉñÇí å³Ñå³Ý-

íáõÙ »Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ µáÉáñ ÑÇÙÝ³Ï³Ý

Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù í»ñ³µ»ñáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ãáñë ·áñÍáÕáõÃÛáõÝ-

Ý»ñÇÝ ¨ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³ÏóáÕ Ñ³ï-

ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ (Ñ³Ù»Ù³ï»É 1-ÇÝ ¨ 6-ñ¹ Ï»ï»ñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ): Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÁ ÑÝ³ñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë

ëï»ÕÍ»É ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ ¨ Çñ³Ï³Ý

Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨:

Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³éáõó»É »ñÏáõ³Ï³Ý, »ñ»ù³Ï³Ý ¨ ³ÛÉ

Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ³Ýí»ñç Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ÙÇçáóÝ»ñáí, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í` é³óÇáÝ³É

Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ¸»¹»ÏÇÝ¹Û³Ý Ñ³ïáõÛÃÝ»ñÇ ÙÇçáóáí ¨ ³ÛÉÝ: ÜÏ³ï»Ýù,

áñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ýßí³Í Ó¨»ñáí ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ Ó¨³Ï³Ý ï»ë³Ï»ïÇó Çñ³ñÇó

ã»Ý ï³ñµ»ñíáõÙ: ²Û¹ ¿ íÏ³ÛáõÙ I-VI Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ç½áÙáñýÇ½ÙÇ í»ñ³µ»ñÛ³É Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ:

Â»áñ»Ù 7 : ¸Çóáõù ,...,baE = -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ µáÉáñ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ-

¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ ,..., baE ′′=′ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ

ë³ÑÙ³Ýí³Í »Ý` Ù»Í (§ > ¦), ÷áùñ (§ < ¦) ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ·áõÙ³ñ (§ + ¦),

³ñï³¹ñÛ³É (§ ⋅ ¦) ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝù ûÅïí³Í »Ý I-VI Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ-

Ý»ñáí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ E ¨ E ′ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áË-

ÙÇ³ñÅ»ù ³ÛÝåÇëÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ, áñ Ýßí³Í ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨

·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ

Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ç½áÙáñýÇ½Ù:

²Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿` E ~ E ′ ¨, »Ã» bbaa ′↔′↔ , , ³å³

)0(;; ≠′′

↔′⋅′↔⋅′±′↔± bba

bababababa ,

ÁÝ¹ áñáõÙ, »Ã» ba < , ³å³ ba ′<′ : ì»ñç³å»ë, »Ã» E -Ý ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ-

¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³

EEEaEa

′↔′∈′∈

supsup :

45

7. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÛÉ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ

Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Á: àñå»ë½Ç ³å³óáõó»Ýù µÝ³Ï³Ý n ÷á÷áË³Ï³ÝÇó Ï³Ëí³Í áñ¨¿ åÝ¹Ù³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ µáÉáñ

0nn ≥ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, µ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É, áñ`

³) ³Û¹ åÝ¹áõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ 0nn = -Ç Ñ³Ù³ñ.

µ) »Ã» ³Û¹ åÝ¹áõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ÇÝã-áñ 0nn ≥ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ³å³

³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ý³¨ ¹ñ³Ý Ñ³çáñ¹áÕ 1+n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõóÙ³Ý ³Ûë Ù»Ãá¹Á ÏáãíáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹:

ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ (µÇÝáÙÇ) µ³Ý³Ó¨Á: ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³Ù

ÏáãíáõÙ ¿ nax )( + ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ NnRxa ∈∈ ;, :

ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨ ÏáãíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨Á` nnn

nkknk

nn

nn

nnn axaCaxCaxCaxCxax ++++++=+ −−−−− 1122211 ...)( : (33)

knC -Ý ÏáãíáõÙ ¿ µÇÝáÙ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇó ¨ áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí`

nkk

knnnnCkn ...,,2,1,

!)1)...(2()1(

=+−−−

= : (34)

´ÇÝáÙ³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ »Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñÁ`

1. Àëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` 1,0!0 0 == nC ;

2. nkCC knn

kn ...,,2,1,0, == − ;

3. kn

kn

kn CCC 1

1+

− =+ ; (35)

²å³óáõó»Ýù (33) µ³Ý³Ó¨Á` ÏÇñ³é»Éáí Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Á:

ºñµ 1=n , ³å³ (33) µ³Ý³Ó¨Á ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿` axax +=+ ï»ëùÁ:

ºÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» (33) µ³Ý³Ó¨Á ×ßÙ³ñÇï ¿ ÇÝã-áñ n -Ç Ñ³Ù³ñ: ²å³óáõó»Ýù,

áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ý³¨ 1+n -Ç Ñ³Ù³ñ:

:)(...)(...)()())(...()()()(

1111

212110111

222111

+−−+−

−+−−

−−−+

++++++

++++++=+++

+++++=++=+

nnnn

nn

kknkn

kn

nnn

nnn

nnnnn

kknkn

nn

nn

nnn

aaxCCaxCCaxCCaxCCxaxaxaCaxCaxCaxCxaxaxax

ø³ÝÇ áñ kn

kn

kn CCC 1

1+

− =+ , ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

11

11

2121

11

11 ...)( ++

−++

−++

++ ++++++=+ nnnn

kknkn

nn

nn

nn axaCaxCaxCaxCxax ,

46

áñÁ ÝáõÛÝ (33) µ³Ý³Ó¨Ý ¿ )1( +n -Ç Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³µ³ñ, (33) µ³Ý³Ó¨Á ×ßÙ³-

ñÇï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ:

ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ (33) µ³Ý³Ó¨ Ï³ñ× ·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`

∑ =

−=+n

kkknk

nn axCax

0)( : (36)

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 7: n ï³ññ å³ñáõÝ³ÏáÕ µ³½ÙáõÃÛ³Ý k -³Ï³Ý ï³ññ»ñ å³-

ñáõÝ³ÏáÕ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝÝ»ñ n ï³ññ»-

ñÇó k -³Ï³Ý:

n ï³ññ»ñÇó µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ k -³Ï³Ý ½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ýß³Ý³-

ÏáõÙ »Ý knC (ýñ³Ýë»ñ»Ý combinaison-½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝ µ³éÇ ëÏ½µÝ³ï³éÝ ¿):

knC -Ý áñáßíáõÙ ¿ (34) µ³Ý³Ó¨áí: ²Û¹ å³ï×³éáí, Ñ³×³Ë, µÇÝáÙ³ÛÇÝ

·áñÍ³ÏÇóÁ` knC -Ý, Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §½áõ·áñ¹áõÃÛáõÝ n ï³ññ»ñÇó k -³Ï³Ý¦:

²ñÙ³ïÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ: è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç áñáß å³ñ½³-

·áõÛÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ (ûñÇÝ³Ï )22 =x ÉáõÍáõÙ ãáõÝ»Ý³ÉÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý

ÁÝ¹É³ÛÝÙ³Ý ³éÇÃÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ¿: ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½-ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ó³ÝÏ³ó³Í ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý a -Ç ¨ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç

Ñ³Ù³ñ ax n = Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ:

Â»áñ»Ù 8: ò³ÝÏ³ó³Í ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý a -Ç ¨ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç

Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ÛÝåÇëÇ ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý x ÃÇí, áñ axn = : ²Û¹ x

ÃÇíÁ ·ñ³éíáõÙ ¿` n a Ï³Ù na1

ï»ëùáí:

²å³óáõÛó: ØÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ 210 xx << ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÇó µËáõÙ ¿ nn xx 21 < ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù E -Ý µáÉáñ ³ÛÝåÇëÇ

¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý t Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñ at n < : ºÃ» )1/( aat += , ³å³

10 << t , áõñ»ÙÝ` att n <≤ , ³ÛÝå»ë, áñ E-Ý ¹³ï³ñÏ ã¿: ì»ñóÝ»Ýù at +=10 ,

³Û¹ ¹»åùáõÙ` 10 >≥ tt ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó µËáõÙ ¿, áñ att n >≥ : ²Û¹

å³ï×³éáí Et∉ ¨ 0t -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

Ã»áñ»Ù 2-Ç` E µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ: ¸Çóáõù Ex sup= : òáõÛó

ï³Ýù, áñ ax n < ¨ ax n > ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áã Ù»ÏÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ:

ÀÝ¹áõÝ»Ýù, áñ ax n < : ÀÝïñ»Ýù h -Ý ³ÛÝå»ë, áñ 10 << h ¨

47

nn

n

xxxah−+

−<

)1(: (37)

²Û¹ ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù`

[ ][ ] :)()1(

......)( 221111

axaxxxhxCxCxChxhChxCxhx

nnnnn

nn

nn

nn

nnnn

nn

nn

=−+<−++=

=++++≤+++=+ −−−

²ÛëåÇëáí, Ehx ∈+ , áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ³ÛÝ µ³ÝÇÝ, áñ Ex sup= :

ÀÝ¹áõÝ»Ýù, áñ ax n > : ÀÝïñ»Ýù h -Ý ³ÛÝå»ë, áñ 10 << h , xh < ¨

nn

n

xxaxh−+

−<

)1(: (38)

²Û¹ ¹»åùáõÙ hxt −≥ -Ç Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

[ ] [ ][ ] :)()1(

...)1(...)1(...)(

221112211

22211

aaxxxxhxChxCxChxhChxCxCh

xhChxChxCxhxt

nnnnn

nn

nn

nn

nnnn

nnn

nn

nnnn

nnn

nn

nnn

=−−>−+−=

=+++−≥−−+−−

−=−+−+−=−≥−−−−−

−−

²ÛëåÇëáí, hx − -Á E µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿, ÇëÏ ¹³ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ ³ÛÝ

µ³ÝÇÝ, áñ Ex sup= : Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý

Ï³ÝáÝÇ` ax n = : ∆

ºñµ ³ñ¹»Ý ³ñÙ³ïÇ ·áÛáõÃÛáõÝÝ áõ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿, Ï³ñ»ÉÇ ¿

ë³ÑÙ³Ý»É ó³ÝÏ³ó³Í r é³óÇáÝ³É óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÇ ·³Õ³÷³ñÁ: ¸Çóáõù

nmr /= , áñï»Õ m -Á ¨ n -Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ¨ 0>a : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

( )mn

m

nnm

r aaaa =

==

1

: (39)

´³óÇ ¹ñ³ÝÇó, Áëï ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` r

r

aaa

== − 1,10 , »ñµ 0>r : (40)

è³óÇáÝ³É óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ »Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹Áå-

ñáó³Ï³Ý ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ ·áñÍ³ÍíáÕ ëáíáñ³Ï³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ`

( ) ( ) r

rrsrsrrrrrssrsrsr

ba

baaaabaabaaaaa =

=⋅===⋅ −+ ;:;;; : (41)

48

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» nmr /= Ïáïáñ³ÏÝ áõÝÇ Ï»Ýï Ñ³Ûï³ñ³ñ, ³å³ é³óÇáÝ³É óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÁ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ µ³ó³ë³Ï³Ý ÑÇÙùÇ Ñ³Ù³ñ, ÁÝ¹ áñáõÙ, »ñµ 0>a , ³å³`

( ) rr aa =− , »Ã» m ½áõÛ· ¿, (42)

( ) rr aa −=− , »Ã» m Ï»Ýï ¿:

Â»áñ»Ù 9: ºÃ» 1>a ¨ nmr /= é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ³å³ 1>ra :

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù, Ñ³Ï³é³ÏÁ` 1≤= nm

r aa : ²Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù µ³½Ù³-

å³ïÏ»Éáí ³Û¹åÇëÇ n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñ, Ïëï³Ý³Ýù` 1≤ma : ´³Ûó ³Ûë

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ 1>ma ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, áñÁ ëï³óíáõÙ

¿ m Ñ³ï 1>a ï»ëùÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù µ³½Ù³-

å³ïÏáõÙÇó: ∆ Â»áñ»Ù 10: ºÃ» 1>a ¨ 21 , rr é³óÇáÝ³É Ãí»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ 21 rr < ,

³å³ 21 rr aa < : ²å³óáõÛó: àõÝ»Ýù`

( )112112 −=− −rrrrr aaaa : (43)

ø³ÝÇ áñ 012 >− rr ¨ 1>a , ³å³ Áëï Ã»áñ»Ù 9-Ç` 112 >− rra : ²ÛëåÇëáí,

(43)-Ç ³ç Ù³ëÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿: Ð»ï¨³µ³ñ` 012 >− rr aa , ³ÛëÇÝùÝ` 12 rr aa > : ∆

Î³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³Ý: ¸Çóáõù x -Á ¨ a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý

Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý ¨ 1>a : ¸Çï³ñÏ»Ýù µáÉáñ α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ, áñáÝù

µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ` βα << x : (44)

a Çñ³Ï³Ý ÃíÇ x óáõóÇãáí ³ëïÇ×³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ y Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ,

áñÁ (44) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í α ¨ β é³óÇáÝ³É

Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

βα aya ≤≤ : (45)

Â»áñ»Ù 11: ò³ÝÏ³ó³Í x ¨ 1>a Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ (44) ³ÝÑ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï y Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (45) ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²å³óáõÛó: Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù ³Û¹åÇëÇ y ÃíÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ: ¸Çï³ñÏ»Ýù

αa Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x<α : ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³-

49

Ý³÷³Ï ¿, ûñÇÝ³Ï, ó³ÝÏ³ó³Í βa ³ëïÇ×³Ýáí: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç` ³ÛÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ, Ýß³Ý³Ï»Ýù ³ÛÝ y -áí`

α

αay

x<= sup : (46)

òáõÛó ï³Ýù, áñ y -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (45) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: Ð³Ù³-

Ó³ÛÝ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý` y -Á µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (45) ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ó³Ë Ù³ëÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ÇëÏ ³ç Ù³ëÇ ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Ýñ³ÝÇó, áñ βa ³ëïÇ×³ÝÁ αa µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ»ñÇó

Ù»ÏÝ ¿ ¨ y -Ý ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý³÷áùñ í»ñÇÝ »½ñÝ ¿:

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ³Û¹ y ÃÇíÁ ÙÇ³ÏÝ ¿: ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó

ï³É, áñ 0>∀ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý (44) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ

µ³í³ñ³ñáÕ ³ÛÝåÇëÇ α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ εαβ <− aa : ²Û¹ ¹»åùáõÙ,

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 4-Ç, ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý 1y ¨ 2y Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý

(45) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý:

ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí ¨ ë¨»é»Ýù ³ÛÝåÇëÇ 0β é³óÇáÝ³É ÃÇí, áñ

µ³í³ñ³ñÇ (44) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³ç Ù³ëÇÝ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ù³ÝÇ áñ 0βα aa < , ³å³

( ) ( )11 0 −<−=− −− αββαβααβ aaaaaa : (47)

Ø»ñ Ýå³ï³ÏÇÝ Ñ³ëÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ, µ³í³Ï³Ý ¿ ÁÝïñ»É (44) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃ-ÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ³ÛÝåÇëÇ α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³

( ) 0/1 βαβ ε aa <−− ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

Ð³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 2-Ç` Nn∈∀ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý (44) ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ³ÛÝåÇëÇ α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñ n/1<−αβ :

²ÛëåÇëáí, µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý n -Ç ·áÛáõÃÛáõÝÁ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ`

0

1/1β

εa

a n <− : (48)

¸Çóáõù nna δ+=1/1 : ø³ÝÇ áñ 1/1 >na , ³å³ 0>nδ : ä³Ñå³Ý»Éáí ÙÇ³ÛÝ

ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ í»ñÉáõÍáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ »ñÏáõ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ` Ïëï³Ý³Ýù`

( ) ( ) nn

nnn naa δδ +>+== 11/1 : àñï»ÕÇó ëï³óíáõÙ »Ý nna δ>−1 Ï³Ù

naa n 110 /1 −

<−< ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²ÛÅÙ n -Á í»ñóÝ»Ýù ³ÛÝù³Ý Ù»Í,

50

áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ 0

1β

εan

a<

− Ï³Ù

ε

β0)1( aan −> ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹

¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù`

( ) ( ) ( ) εββαββαβααβ <−

<−<−<−=− −−

naaaaaaaaaa n 1111 000 /1 : (49)

Â»áñ»Ù 11-Ý ³å³óáõóí³Í ¿: ∆ ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 10 << a , ³å³ ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý`

xx

aa

−

=

1: (50)

Ð»ßï ¿ ëïáõ·»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í Çñ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý (41) Ï³ÝáÝÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ: Î³Ý· ³éÝ»Ýù, ûñÇÝ³Ï, ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÑÇÙùáí ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý ¹»åùáõÙ óáõóÇãÝ»ñÁ ·áõÙ³ñ-íáõÙ »Ý Ï³ÝáÝÇ íñ³:

ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ¨ y Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: ¸Çóáõù ε -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý

¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿, 1>a ¨ 0β -Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0β<x ¨ 0β<y :

ì»ñóÝ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ 2121 ,,, ββαα é³óÇáÝ³É Ãí»ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñ»Ý Ñ»ï¨Û³É

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ`

0

120

12

2,

2,, 021021 β

βββ

αα εεββββααa

aaa

aayx <−<−≤<<≤<< : (51)

¶áõÙ³ñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ`

2211 βαβα +<+<+ yx , (52)

ÇëÏ ³ëïÇ×³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, áõÝ»Ýù`

22112121 ,, βαβαββαα +++ ≤≤≤≤≤≤ aaaaaaaaa yxyx : (53)

²é³çÇÝ »ñÏáõ ÏñÏÝ³ÏÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù µ³½-Ù³å³ïÏ»Éáí (Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí é³óÇáÝ³É óáõóÇãÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (41)-Ç ³é³çÇÝ Ï³ÝáÝÁ), Ïëï³Ý³Ýù`

2211 βαβα ++ ≤⋅≤ aaaa yx : (54)

²ÛëåÇëáí, yxa + ¨ yx aa ⋅ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ 11 βα +a áõ

22 βα +a Ãí»ñÇ ÙÇç¨, ÁÝ¹ áñáõÙ`

( ) ( )( ) ( ) :120120

1211221122

εααββββ

ααβββαβαβα

<−+−≤

≤−+−=− ++

aaaaaaaaaaaaaa

Ð»ï¨³µ³ñ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ 4-Ç` ³Û¹ Ãí»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý`

yxyx aaa +=⋅ : (55)

51

êïáõ·»Ýù Ý³¨, áñ 1>a ¹»åùáõÙ, xa ³ëïÇ×³ÝÁ x Çñ³Ï³Ý óáõóãÇ ³×Ù³Ý

Ñ»ï ÙÇ³ëÇÝ ³×áõÙ ¿: ¸Çóáõù yx < : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý 1α ¨ 2α

é³óÇáÝ³É Ãí»ñ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ` yx <<< 21 αα : Æñ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÇ

ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` ÏáõÝ»Ý³Ýù` 1αaa x ≤ ¨ yaa ≤2α : (56)

ø³ÝÇ áñ 21 αα < , ³å³ 21 αα aa < : Ð³Ù»Ù³ï»Éáí 1αaa x ≤ , 21 αα aa < ¨ yaa ≤2α ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

yx aa < : (57) »Ã» 10 << a , ³å³ û·ïí»Éáí (50) Ý»ñÏ³Û³óáõÙÇó` Ïëï³Ý³Ýù` (55)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ¨, »ñµ yx < , Ïëï³Ý³Ýù ³Ûë ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

yx aa > : (58)

²ÛëåÇëáí, xa ³ëïÇ×³ÝÁ ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý a ÑÇÙùÇ ¹»åùáõÙ áñáßí³Í ¿

µáÉáñ Çñ³Ï³Ý x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÁÝ¹ áñáõÙ, +∈∀ Rba, (ï»ë Ï»ï 8.-Á) ¨

Ryx ∈∀ , , ×ßÙ³ñÇï »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

( ) ( )

;)5;)4

;)3;)2;)1

x

xxyx

y

x

xxxxyyxyxyx

ba

baa

aa

baabaaaaa

=

=

⋅===⋅

−

+

(59)

,)6 yx aayx <⇔< »ñµ 1>a ;

,)7 yx aayx >⇔< »ñµ 10 << a :

Èá·³ñÇÃÙÝ»ñ: ¸Çóáõù 0>a ¨ 1≠a : y Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ x ¹ñ³Ï³Ý

Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Éá·³ñÇÃÙ a ÑÇÙùáí, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` xy alog= (Ï³ñ¹³óíáõÙ

¿ Éá·³ñÇÃÙ a ÑÇÙùáí x ), »Ã» xa y = : ²ÛëåÇëáí, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Éá·³ñÇÃÙÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý`

+∈∀= Rxxa xa ,log : (60)

(60) µ³Ý³Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ: ²ÛÝ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ`

ya axyx =⇔=log : (61)

Â»áñ»Ù 12 : ò³ÝÏ³ó³Í ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý 1≠a ÑÇÙùÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í

¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý x -Ç Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ xalog -Á ¨ ³ÛÝ ÙÇ³ÏÝ ¿:

52

²å³óáõÛó: ³) ¹»åù: ¸Çóáõù 1>a : ¸Çï³ñÏ»Ýù µáÉáñ α ¨ β é³óÇáÝ³É

Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ`

βα axa ≤≤ : (62)

α ¨ β é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¹³ï³ñÏ ã»Ý:

Æñáù, ÁÝ¹áõÝ»Éáí λ+=1a , áñï»Õ 0>λ , ÏáõÝ»Ý³Ýù`

nnn nnna λλλλ ++−

++=+= ...2

)1(1)1( 2 : (63)

ø³ÝÇ áñ ³ç Ù³ëÇ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý, áõëïÇ`

)1()1( −=>+= anna nn λλ , ³ÛëÇÝùÝ` )1( −> anan : (64)

ì»ñóÝ»Ýù n -Ý ³ÛÝù³Ý Ù»Í, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³Ý`

)1()1(

1−<<

−anx

an (65)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³Ý Ý³¨` nn axa <<− (66)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, α∈− n , ÇëÏ β∈n :

¸Çóáõù` αsup=y : ²Ûë ¹»åùáõÙ` αα ∈∀ ¨ ββ ∈∀ ï»ÕÇ áõÝ»Ý`

βα ≤≤ y ¨ βα aaa y ≤≤ (67)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²ëïÇ×³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` ya ÃÇíÁ ÙÇ³ÏÝ ¿, áñÁ µ³í³ñ³ñõÙ ¿ (67) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: Ð»ï¨³µ³ñ`

xa y = Ï³Ù xy alog= : (68)

²å³óáõóí»ó Éá·³ñÇÃÙÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ ¨ ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ, »ñµ 1>a : µ) ¹»åù: ¸Çóáõù 10 << a : ²Ûë ¹»åùáõÙ, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí ³ëïÇ×³ÝÇ (50)

Ý»ñÏ³Û³óáõÙÁ, Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É`

+∈∀−= Rxxx aa ,loglog /1 (69)

Ð»ï¨³µ³ñ ³Ûë ¹»åùáõÙ ÝáõÛÝå»ë x Çñ³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ Éá·³ñÇÃÙÁ ·á-

ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¨ ÙÇ³ÏÝ ¿: ∆ ú·ïí»Éáí Çñ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÇ (59) Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ ÑÇÙÝ³-

Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý (60) ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó` ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ +∈∀ Ryxcba ,,,, ,

ÁÝ¹ áñáõÙ` 1,, ≠cba , ×ßÙ³ñÇï »Ý Éá·³ñÇÃÙÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

;logloglog)5;logloglog)4

;,log)3;1log)2;01log)1

yxyxyxxy

Raa

aaaaaa

aaa

−=+=

∈∀=== ααα

53

;0,,log1log)7;,loglog)6 ≠∈∀=∈∀= βββ

αα βα RbbRbb aaaa

;log

1log)11;0,,loglog)10

;loglog

log)9;0,,,loglog)8

bbRbb

bb

bRbb

aaaa

c

caaa

=≠∈∀=

=≠∈∀=

αα

ββαβα

α

α

α

β

(70)

yxyx aa loglog)12 <⇔< , »ñµ 1>a ;

yxyx aa loglog)13 >⇔< , »ñµ 10 << a :

8. Âí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸ñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

´³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ï³ññ»ñÁ Ãí»ñ »Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: Âí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇÝ Ñ³×³Ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ï»ï»ñ:

Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½áõÙ ³é³í»É Ñ³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáÕ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃ-ÛáõÝÝ»ñÇó »Ý`

...,,...,3,2,1 nN = –µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,

...,...,,2,1,0,1,2,...,..., nnZ −−−= –³ÙµáÕç Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,

∈∈= NqZpqpQ ,: –é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,

),( ∞−∞=R –Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ Ï³Ù Ãí³ÛÇÝ ³é³Ýóù,

QRI \= –Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,

0: >∈=+ xRxR – Çñ³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ,

bxaRxba ≤≤∈= :];[ ab− Ñ³ïí³Í,

abbxaRxba −<<∈= :);( ÇÝï»ñí³É,

abxaRxba −<≤∈= :);[ Ï»ïÁ ÁÝ¹·ñÏáÕ ab ÏÇë³ÇÝï»ñí³É

bbxaRxba −≤<∈= :];( Ï»ïÁ ÁÝ¹·ñÏáÕ ab ÏÇë³ÇÝï»ñí³É

∞<≤∈=∞ xaRxa :);[ –ÏÇë³áõÕÇÕ,

∞<<∈=∞ xaRxa :);( – µ³ó ÏÇë³áõÕÇÕ,

axRxa ≤<∞−∈=−∞ :];( – ÏÇë³áõÕÇÕ,

axRxa <<∞−∈=−∞ :);( –µ³ó ÏÇë³áõÕÇÕ:

54

Ð³ïí³Í, ÇÝï»ñí³É, ÏÇë³ÇÝï»ñí³É, ÏÇë³áõÕÇÕ, ¨ Ãí³ÛÇÝ ³é³Ýóù µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ý³¨ Ãí³ÛÇÝ ÙÇç³Ï³Ûù Ï³Ù å³ñ-

½³å»ë ÙÇç³Ï³Ûù:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 13 : Ra∈ Ï»ïÁ ÁÝ¹·ñÏáÕ ó³ÝÏ³ó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É Ïáã-

íáõÙ ¿ a Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûù: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ );( δδ +− aa ÇÝï»ñí³ÉÁ, áñï»Õ

0>δ , ÏáãíáõÙ ¿ a Ï»ïÇ δ –ßñç³Ï³Ûù:

Â»áñ»Ù 13 : è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` Q -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

²å³óáõÛó: Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ³ÙµáÕç 0≠k ÃíÇ Ñ³Ù³ñ qp /

¨ qkpk / é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý: ²Û¹ å³ï×³éáí ó³ÝÏ³ó³Í r

é³óÇáÝ³É ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿, ÙÇ³Ï Ó¨áí, ·ñ»É qpr /= ³ÝÏñ×³ï»ÉÇ Ïáïáñ³ÏÇ

ï»ëùáí: ä³ÛÙ³Ý³íáñí»Ýù 0 -Ý Ý»ñÏ³Û³óÝ»É Ù»Ï ï»ëùáí` 1/00 = :

qp / é³óÇáÝ³É ÃíÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝ ³ë»Éáí` Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý` qph += µÝ³-

Ï³Ý ÃÇíÁ: Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ ïñí³Í µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ù³Ý³ÏÁ

í»ñç³íáñ ¿: è³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ Ñ³Ù³ñ³Ï³É»Ýù µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí` Áëï

µ³ñÓñáõÃÛ³Ý ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí, ÇëÏ ÙÇ¨ÝáõÛÝ µ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ãí»ñÁ Ñ³ßí³é»Ýù,

ûñÇÝ³Ï, Ñ³Ûï³ñ³ñÝ»ñÇ ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí, ÁÝ¹ áñáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹ñ³Ï³Ý

é³óÇáÝ³É ÃíÇó Ñ»ïá Ñ³ßí³é»Ýù Çñ Ñ³Ï³¹ÇñÁ: ²ÛëåÇëáí, ëÏ½µÇó Ñ³Ù³-

ñ³Ï³É»Ýù 1=h µ³ñÓñáõÃÛ³Ý Ãí»ñÁ: ²Û¹åÇëÇ ÃÇí ¿ ÙÇ³ÛÝ 0 -Ý: ²Û¹ å³ï×³éáí

Ýñ³Ý í»ñ³·ñ»Ýù 1 ÇÝ¹»ùë, ³ÛëÇÝùÝ` Ýñ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç

¹Ý»Ýù 1 µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ»ï: ²ÛÝáõÑ»ï¨ Ñ³Ù³ñ³Ï³É»Ýù 2=h µ³ñÓñáõÃÛ³Ý

é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ: ²Û¹åÇëÇ Ãí»ñ »ñÏáõëÝ »Ý` 1/11= ¨ 1/11 −=− : êñ³ÝóÇó

³é³çÇÝÇÝ í»ñ³·ñ»Ýù 2 ÇÝ¹»ùë, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ÇÝ` 3 ÇÝ¹»ùë: ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá

Ñ³Ù³ñ³Ï³É»Ýù 3=h µ³ñÓñáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ ¨ ³ÛÉÝ: ²Ûë Ó¨áí

µáÉáñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ Ñ³Ù³ñ³Ï³ÉíáõÙ »Ý µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí, ÁÝ¹ áñáõÙ

Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ é³óÇáÝ³É ÃíÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

Ù»ç Çñ Ï³ñ·³Ñ³Ù³ñÇÝ (ÇÝ¹»ùëÇÝ).

−−−−−−−−−=

====

=

...,41,

41,

32,

32,

23,

23,4,4,

31,

31,3,3,

21,

21,2,2,1,1,0

5432

1 kkk

kh

Q : (71)

Ð»ï¨³Ýù 1: ò³ÝÏ³ó³Í )(];[ baba < Ñ³ïí³ÍÇ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÇ µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

55

²å³óáõÛóÁ µËáõÙ ¿ §1-Ç Ã»áñ»Ù 5-Çó: ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÝÑ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ:

Â»áñ»Ù 14 (Î³ÝïáñÇ Ã»áñ»ÙÁ): [0;1] Ñ³ïí³ÍÝ ³ÝÑ³ßí»ÉÇ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çï³ñÏ»Ýù )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÁ, áñÁ [0;1] Ñ³ïí³ÍÇó ï³ñ-

µ»ñíáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ 0 ¨ 1 Ï»ï»ñÁ ãå³ñáõÝ³Ï»Éáí: Ð³Ù³Ó³ÛÝ §1, Ã»áñ»Ù 11-Ç ³Û¹

µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý` )1;0( ~ ]1;0[ : ²å³óáõó»Ýù, áñ )1;0( ÇÝï»ñ-

í³ÉÝ ³ÝÑ³ßí»ÉÇ ¿, áñáí ¨ ³å³óáõó³Í ÏÉÇÝ»Ýù [0;1] Ñ³ïí³ÍÇ ³ÝÑ³ß-

í»ÉÇáõÃÛáõÝÁ: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ )1;0( N :

ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ, )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ µáÉáñ Ãí»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³Ù³-

ñ³Ï³É»É` ,...,...,, 321 nxxxx : ¶ñ»Ýù )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇí ³Ýí»ñç

ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí`

−−−−−−−−−−−−−=

−−−−−−−−−−−−−===

,......,0

,......,0,......,0

,......,0

321

33332313

22322212

11312111

nnnnnn

n

n

n

aaaax

aaaaxaaaax

aaaax

(72)

¸Çï³ñÏ»Ýù )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ` ......,0 321 nbbbbx = Ï»ïÁ, áñï»Õ 1b -Á 9,0,11a

Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ï³ñµ»ñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ýß³Ý ¿, 2b -Á 9,0,22a Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó

ï³ñµ»ñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ýß³Ý ¿, …, nb -Á 9,0,nna Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó ï³ñµ»ñ Ï³-

Ù³Û³Ï³Ý Ãí³Ýß³Ý ¿ ¨ ³ÛÉÝ: ´³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ x ÃÇíÁ ãÇ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ

,...,...,, 321 nxxxx Ãí»ñÇó áã Ù»ÏÇÝ: Ü³Ë x ÃÇíÁ ëïáñ³Ï»ïÇó Ñ»ïá ãÇ å³ñáõ-

Ý³ÏáõÙ 0 ¨ 9 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ: ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ x -Á í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý

Ïáïáñ³Ï ã¿: Ð»ï¨³µ³ñ x -Á Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿, ÙÇ³Ï Ó¨áí, ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ-

¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ï³ñ·³íáñÙ³Ý Ï³ÝáÝÇ ³ÛÝ ãÇ Ñ³ÙÁÝÏ-

ÝáõÙ ,...,...,, 321 nxxxx Ãí»ñÇó áã Ù»ÏÇÝ, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, ûñÇÝ³Ï, »Ã» nxx = ,

³å³ ³Û¹ ÏÝß³Ý³Ï»ñ nnn ab = , áñÝ ³Û¹å»ë ã¿: ²ÛëåÇëáí, )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÝ,

ÇÝãå»ë Ý³¨ [0;1] Ñ³ïí³ÍÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ã»Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ N µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ`

)1;0( N , [0;1] N : ø³ÝÇ áñ

N ~ ]1;0[,...1,...,31,

21,1* ⊂

=

nu , (73)

56

³å³ [0;1] Ñ³ïí³ÍÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÝ Ù»Í ¿ ù³Ý Ñ³ßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ`

aN =>]1;0[ : ∆

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 14: ´³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ [0;1] Ñ³ïí³ÍÇÝ, ÏáãíáõÙ

¿ ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½áñáõÃÛ³Ý µ³½ÙáõÃÛáõÝ:

[0;1] Ñ³ïí³ÍÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` c -áí` c=]1,0[ : ²ÛëåÇëáí,

ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿ ù³Ý Ñ³ßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ` ac > :

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, Ã»áñ»Ù 14-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ [0;1] Ñ³ïí³ÍáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝ»Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñ, ÁÝ¹ áñáõÙ, [0;1] Ñ³ïí³ÍÇ µáÉáñ Çé³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÇ

µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³ÝÑ³ßí»ÉÇ ¿, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ (»Ã» ³ÛÝ ÉÇÝ»ñ í»ñç³íáñ Ï³Ù

Ñ³ßí»ÉÇ) Çé³óÇáÝ³É ¨ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ §1 Ã»áñ»Ù 10-Ç, ÙÇ³ëÇÝ ÏÏ³½Ù»ÇÝ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ:

Â»áñ»Ù 15: ò³ÝÏ³ó³Í ];[ ba Ñ³ïí³Í, ó³ÝÏ³ó³Í );( ba ÇÝï»ñí³É

)( ba < ¨ ó³ÝÏ³ó³Í );[ ba Ï³Ù ];( ba ÏÇë³ÇÝï»ñí³É áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½á-

ñáõÃÛáõÝ:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` ];[ bay = ¨ ]1;0[=x : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, xabay )( −+=

µ³Ý³Ó¨áí, ];[ ba ¨ ]1;0[ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ ëï»ÕÍíáõÙ ¿ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù

Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ, áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇ Ñ½á-

ñáõÃÛáõÝÁ ÏáÝïÇÝáõáõÙ ¿: Ð³Ù³Ó³ÛÝ §1 Ã»áñ»Ù 11-Ç, );( ba , );[ ba ¨ ];( ba

ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇÝ: Ð»ï¨³µ³ñ, ³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ

ÝáõÛÝå»ë áõÝ»Ý ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½áñáõÃÛáõÝ:

Â»áñ»Ù 16 : Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨, ó³ÝÏ³ó³Í

µ³ó Ï³Ù ÷³Ï ÏÇë³áõÕÇÕ áõÝ»Ý ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½áñáõÃÛáõÝ:

²å³óáõÛó: ø³ÝÇ áñ

−=

2;

2ππE ÇÝï»ñí³ÉÇ ¨ );( ∞−∞=R Çñ³Ï³Ý Ãí»-

ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨, ),( RyExtgxy ∈∈= ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙÇçáóáí, ëï»ÕÍíáõÙ ¿

÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ, ¨, ù³ÝÇ áñ cE = , ³å³ cR = : Ð»ßï

¿ Ñ³Ùá½í»É, ûñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ,

=

2; πarctgaA ÇÝï»ñí³ÉÇ ¨ );( ∞= aB ÏÇë³áõÕÕÇ

ÙÇç¨, ),( ByAxtgxy ∈∈= ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙÇçáóáí, ëï»ÕÍíáõÙ ¿ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù

Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ cA = , ³å³ cB = :

57

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 15: Æñ³Ï³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý

ÃÇíÁ, áñÁ áñ¨¿ ³ÙµáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿:

úñÇÝ³Ï, 2 -Á Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿ ù³ÝÇ áñ` 022 =−x Ñ³í³ë³ñÙ³Ý

³ñÙ³ïÝ ¿:

Â»áñ»Ù 17: ´áÉáñ Çñ³Ï³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` A -Ý

Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

²å³óáõÛó: Ð³Ù³Ó³ÛÝ §1, Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç, µáÉáñ ³ÙµáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí

µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ` P -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Û¹åÇëÇ

µ³½Ù³Ý¹³Ù áõÝÇ í»ñç³íáñ Ãíáí Çñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ (áã ß³ï ù³Ý µ³½-

Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ): A µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½-

ÙáõÃÛ³Ùµ í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ: ²Û¹ í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ-

Ý»ñÁ Ï³ñáÕ »Ý Ñ³ïí»É (ï³ñµ»ñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ Ï³ñáÕ »Ý áõÝ»Ý³É Ñ³í³ë³ñ

³ñÙ³ïÝ»ñ): Ð³Ù³Ó³ÛÝ §1, Ã»áñ»Ù 7-Ç, A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ã¿

Ñ³ßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÇó: ø³ÝÇ áñ A -Ý ³Ýí»ñç ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ §1,

Ã»áñ»Ù 5-Ç, A -Ç Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ Ý³¨ ÷áùñ ÉÇÝ»É Ñ³ßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝÇó:

àõñ»ÙÝ aA = : ∆

Ð»ï¨³Ýù 2: ò³ÝÏ³ó³Í )(];[ baba < Ñ³ïí³ÍÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ

µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

´áÉáñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý: ¸Çóáõù` nmr /= -Á

Ï³Ù³Û³Ï³Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: ²ÛÝ` 0=−mnx Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿:

´áÉáñ Çñ³Ï³Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÁ, áñáÝù ³é³ç³ÝáõÙ »Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇó

³ñÙ³ï Ñ³Ý»Éáõ ÙÇçáóáí, Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý :

¸Çóáõù, ûñÇÝ³Ï, nmr /= -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: Ð»ßï ¿

Ñ³Ùá½í»É, áñ k rx = ÃÇíÁ 0=− mnxk Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿ )( Nk ∈ :

ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñíáÕ

ó³ÝÏ³ó³Í ÃÇí (³ÛëÇÝùÝ, ÃÇí, áñÝ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñÇ áñ-

ù³Ý Ï³Ù»Ý³Ýù µ³ñ¹ ÏáÙµÇÝ³óÇ³Ûáí) Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿:

úñÇÝ³Ï, óáõÛó ï³Ýù, áñ n m k rrrx 321 ++= ÃÇíÁ, áñï»Õ 321 ,, rrr ¹ñ³Ï³Ý

é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿ ),,( Nkmn ∈ : Æñáù, Ñ»ßï ¿ Ñ³Ùá½-

í»É, áñ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿`

0])[( 321 =−−− rrrx kmn (74)

58

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï, ÇëÏ (74) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ µ»ñíáõÙ ¿ knmm ⋅⋅=1 ³ëïÇ-

×³ÝÇ ³ÙµáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí, Ñ³Ù³ñÅ»ù, Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý`

0...11

111

110 =++++ −

−mm

mm axaxaxa (75)

ê³Ï³ÛÝ, å»ïù ¿ Ýß»É, áñ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñíáÕ Çñ³Ï³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ß-

í³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Çñ³Ï³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý

Ï³ÝáÝ³íáñ Ù³ë ¿: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í 5≥n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ,

Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ýß»É n -ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ, áñáÝù

ÉáõÍ»ÉÇ ã»Ý ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí: ²Û¹åÇëÇÝ »Ý, ûñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ.

³) 0245 =−− xx , µ) 015 =−− xx

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ: ²Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ )2;1( ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ

áõÝÇ Çé³óÇáÝ³É ³ñÙ³ï: ²Û¹ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ù³ÝÇ áñ

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 16: Æñ³Ï³Ý ïñ³ëó»Ý¹»Ýï (áã Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý) ÃÇí

³ë»Éáí` Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ áã ÙÇ ³ÙµáÕç

·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï:

Â»áñ»Ù 18 : ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý Çñ³Ï³Ý ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñ, ÁÝ¹ áñáõÙ,

Çñ³Ï³Ý ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ T µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½áñáõÃÛáõÝ:

²å³óáõÛó: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 16-Ç, Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½áñáõÃÛáõÝ, ÇëÏ Çñ³Ï³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ

µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 17-Ç, áõÝÇ Ñ³ßí»ÉÇ Ñ½áñáõÃÛáõÝ: Ð»ï¨³µ³ñ,

Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý áã Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñ,

ÁÝ¹ áñáõÙ, ³Û¹ áã Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿

Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ Çñ³Ï³Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý

ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ` TAR =\ : Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ §1 Ã»áñ»Ù 11-Ç, Çñ³Ï³Ý

ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½áñáõÃÛáõÝ:

Ð»ï¨³Ýù 3: ò³ÝÏ³ó³Í )(];[ baba < Ñ³ïí³ÍÇ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ

µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõÙ Ñ½áñáõÃÛáõÝ:

âÝ³Û³Í Ýñ³Ý, áñ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÏáÝïÇÝáõáõÙ

Ñ½áñáõÃÛáõÝ, ÙÇ³ÛÝ 1873 Ãí³Ï³ÝÇÝ` ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù, ýñ³ÝëÇ³ÛÇ ¶² ³Ý¹³Ù

Þ³éÉ ¾ñÙÇïÇÝ (1822-1901) Ñ³çáÕí»É ¿ Ñ³ÛïÝ³·áñÍ»É ïñ³ëó»Ý¹»Ýï ÃÇí,

³í»ÉÇ ×Çßï` Ý³ ³å³óáõó»É ¿ e ÃíÇ ïñ³ëó»Ý¹»ÝïáõÃÛáõÝÁ:

59

²ÛÝáõÑ»ï¨, 1882 Ãí³Ï³ÝÇÝ ø»ÝÇ·ëµ»ñ·Ç (Ñ»ï³·³ÛáõÙ ØÛáõÝË»ÝÇ) Ñ³Ù³É-

ë³ñ³ÝÇ åñáý»ëëáñ` ü»ñ¹ÇÝ³Ý¹ ÈÇÝ¹»Ù³ÝÇÝ (1852-1939) Ñ³çáÕí»É ¿ ³å³-

óáõó»É π ÃíÇ ïñ³ëó»Ý¹»ÝïáõÃÛáõÝÁ:

1934 Ãí³Ï³ÝÇÝ êêÐØ ¶² ÃÕÃ³ÏÇó ³Ý¹³Ù ².ú. ¶»ÉýáÝ¹Ý ³å³óáõó»É ¿

Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ:

Â»áñ»Ù 19: ºÃ» a -Ý 0 -Çó ¨ 1 -Çó ï³ñµ»ñ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÇëÏ

w -Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Çé³óÇáÝ³É ÃÇí, ³å³ wa ï»ëùÇ ÃÇíÁ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï

¿:

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, Ã»áñ»Ù 19-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿`

³) 3 72 ¨

5 27 Ãí»ñÁ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñ »Ý:

µ) ºÃ» n µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ ãÇ Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ 10 -Ç áñ¨¿ ³ÙµáÕç ³ëïÇ×³Ý,

³å³ nlg ¨ nlg/1 ï»ëùÇ Ãí»ñÁ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï »Ý:

úñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»Ýù, áñ 2lg -Á ¨ 2lg/1 -Á ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñ

»Ý: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ 2lg -Á é³óÇáÝ³É ÃÇí ã¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ`

2lg -Á é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` Nnmnm ∈= ,,/2lg , Ñ»ï¨³µ³ñ`

210 / =nm Ï³Ù nm 210 = : êï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿

5 -Ç, ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëÁ` áã: àõñ»ÙÝ, »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ Ï»ÕÍ ¿ñ, Ñ»ï¨³µ³ñ 2lg -Á

Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿:

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ã¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³-

Ï³é³ÏÁ` 2lg -Á Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: Üß³Ý³Ï»Ýù` w=2lg ,

Ñ»ï¨³µ³ñ` 210 =w : êï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ, Áëï Ã»áñ»Ù 19-Ç`

ïñ³ëó»Ý¹»Ýï ÃÇí ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÁ` Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý: àõñ»ÙÝ, »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ

Ï»ÕÍ ¿ñ, Ñ»ï¨³µ³ñ 2lg -Á ïñ³ëó»Ý¹»Ýï ÃÇí ¿:

Ð³Ï³ëáÕ »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ùµ ³å³óáõó»Ýù, áñ 2lg/1 -Á ïñ³ëó»Ý¹»Ýï ÃÇí ¿:

¸Çóáõù` q=2lg/1 , áñï»Õ q -Ý Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

q/12lg = : êï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ÃÇí ¿, ÇëÏ

Ó³Ë Ù³ëÁ` ïñ³ëó»Ý¹»Ýï: êï³óí»ó Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ, áõñ»ÙÝ` 2lg/1 -Á ïñ³ë-

ó»Ý¹»Ýï ÃÇí ¿:

¸ñ³Ýáí ÇëÏ Ñ³ëï³ïí»ó )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃ-

Û³Ùµ ïñ³ëó»Ý¹»Ýï Ãí»ñÇ ( )0,10,,lg/1 ∪∈≠∈ NmnNnn m ³éÏ³ÛáõÃÛáõÝÁ:

60

ê³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï: ö³Ï ¨ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿

RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 17: Rx ∈0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ

(Ïáõï³ÏÙ³Ý) Ï»ï, »Ã» 0x Ï»ïÇ ó³ÝÏ³ó³Í ßñç³Ï³Ûù å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ E -ÇÝ

å³ïÏ³ÝáÕ ·áÝ» Ù»Ï Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 0x -Çó:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 8: 1 0x ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÁ Ï³ñáÕ ¿ å³ïÏ³Ý»É Ï³Ù ãå³ï-

Ï³Ý»É E µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ: 2 ºÃ» Ex ∈0 , µ³Ûó E -Ç ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ã¿, ³å³ 0x Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E

µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï:

3 ºÃ» 0x Ï»ïÁ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿, ³å³ 0x Ï»ïÁ ÁÝ¹-

·ñÏáÕ ó³ÝÏ³ó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ E -Çó ³Ýí»ñç µ³½-

ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñ:

²å³óáõó»Ýù 3 Ï»ïÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ: ÀÝ¹áõÝ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁ` 0x Ï»-

ïÁ ÁÝ¹·ñÏáÕ );( βα ÇÝï»ñí³ÉÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ E -Çó í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñ`

mxxx ...,,, 21 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, 0000201 ,,...,,,min xxxxxxxx m −−−−−= βαδ ¹ñ³Ï³Ý

ÃíÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý δ –ßñç³Ï³ÛùÁ` );( 00 δδ +− xx 0x -Çó µ³óÇ E -Çó

Ï»ï ãÇ å³ñáõÝ³ÏÇ, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ Ýñ³Ý, áñ 0x -Ý E -Ç ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿:

Â»áñ»Ù 20 (´áÉó³Ýá–ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ): ò³ÝÏ³ó³Í ³Ýí»ñç ë³Ñ-Ù³Ý³÷³Ï E µ³½ÙáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï (áñÁ Ï³ñáÕ ¿ ãå³ïÏ³Ý»É E -ÇÝ):

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` m ¨ M Ãí»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ ExMxm ∈∀≤≤ , :

¸Çï³ñÏ»Ýù Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ξ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ξ Ï»ï»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ

ξ -Çó ³ç E µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ³Ù»Ý³ß³ïÁ í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñ: ξ µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÁ ¹³ï³ñÏ ã¿, ûñÇÝ³Ï` ξ∈M : ²ÛÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó,

ûñÇÝ³Ï m -áí` ξ∉m , ù³ÝÇ áñ m -Çó ³ç E -Ý áõÝÇ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ

Ï»ï»ñ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 2-Ç ξ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áõÝÇ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ`

ξinf0 =x : òáõÛó ï³Ýù, áñ 0x -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿: Ð³Ù³-

Ó³ÛÝ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñÁ µÝáõÃ³·ñáÕ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ` 0>∀ε ξξ ∈∃ ,

áñ εξ +<≤ 00 xx , ÁÝ¹ áñáõÙ` ξε ∉−0x : Ð»ï¨³µ³ñ 0x Ï»ïÇ ó³ÝÏ³ó³Í

ε -ßñç³Ï³Ûù` );( 00 εε +− xx å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ³Ýí»ñç µ³½-

61

ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñ: àõñ»ÙÝ, 0x Ï»ïÁ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿ ( 0x -Ý

E -Ç ³Ù»Ý³Ù»Í ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÝ ¿: ²å³óáõó»É ³Ûë åÝ¹áõÙÁ:): Ü»ñÙáõÍ»Ýù ÙÇ ù³ÝÇ, Ï³ñ¨áñ, Ñ³ëÏ³óáõÃÛáõÝÝ»ñ: E µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý`

E′ -áí ¨ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝ: E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÷³Ï, »Ã» ³ÛÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ ë³Ñ-

Ù³Ý³ÛÇÝ Ï»ï»ñÁ` EE ⊂′ :

EEE ′∪= µ³½ÙáõÃÛ³ÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙ:

ºÃ» EE ′⊂ , ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» E µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ï»ï»ñÁ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï»ñ »Ý, ³å³ E µ³½ÙáõÃÛ³ÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï: ÆÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ½áõñÏ ¿ Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñÇó:

ºÃ» EE ′= , ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ ¨ ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ï³ï³ñÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝ:

EEEnE ⊂′=′= :0,...,/1...,,3/1,2/1,1,0.1 E⇒ -Ý ÷³Ï ¿, µ³Ûó

ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï ã¿:

EEbaEbaE ′⊂=′= :];[),;(.2 );( ba⇒ -ÇÝï»ñí³ÉÝ ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï ¿:

EEbaEbaE ′==′= :];[],;[.3 ];[ ba⇒ -Ñ³ïí³ÍÁ Ï³ï³ñÛ³É ¿:

EERERE ′==′= :,.4 R⇒ -Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³ï³ñÛ³É ¿:

EEREQE ′⊂=′= :,.5 Q⇒ -é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ÇÝùÝ Çñ

Ù»ç ËÇï ¿, µ³Ûó ÷³Ï ã¿:

OEEOEOE /=′=/=′/= :,.6 O/⇒ -¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³ï³ñÛ³É ¿:

naaaE ...,,.7 21= (E-Ý í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿), EEOE ⊂′/=′ : ⇒

í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿, µ³Ûó ÇÝùÝ Çñ Ù»ç ËÇï ã¿:

Â»áñ»Ù 21 : ò³ÝÏ³ó³Í E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝ` E′ -Á, ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: Â»áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, »Ã» OE /=′ Ï³Ù

í»ñç³íáñ ¿: ¸Çóáõù E′ -Á ³Ýí»ñç ¿ ¨ 0x -Ý E′ -Ç ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿: ²Û¹

¹»åùáõÙ 0x -Ý ÁÝ¹·ñÏáÕ ó³ÝÏ³ó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É E′ -Çó å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿

·áÝ¿ Ù»Ï` Ez ′∈ Ï»ï: ø³ÝÇ áñ z -Á E -Ç ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ );( βα ÇÝï»ñí³ÉÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ E -Çó ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñ:

²ÛëåÇëáí, 0x Ï»ïÝ ÁÝ¹·ñÏáÕ ó³ÝÏ³ó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ E -

Çó ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñ, áõñ»ÙÝ 0x -Ý E -Ç ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿:

Ð»ï¨³µ³ñ` Ex ′∈0 , áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ áñ E′ -Á å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ

ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï»ñÁ: àõñ»ÙÝ` E′ -Á ÷³Ï ¿` EE ′⊂′′)( : ∆

62

Â»áñ»Ù 22 : ºÃ» BA ⊂ , ³å³ BA ′⊂′ :

Â»áñ»Ù 23 : Æñ³í³óÇ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

BABA ′∪′=′∪ )( : (76)

Ð»ï¨³Ýù 4: ò³ÝÏ³ó³Í E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ` E -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: Ð»ï¨³Ýù 5: àñå»ë½Ç E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ÷³Ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³-

ñ³ñ, áñ E -Ý Ñ³ÙÁÝÏÝÇ Çñ ÷³ÏÙ³Ý Ñ»ï` EE = :

Â»áñ»Ù 24 : ì»ñç³íáñ Ãíáí ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ ÷³Ï

µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù 1F -Á ¨ 2F -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý ¨ 21 FF ∪=Φ :

Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 23-Ç, áõÝ»Ýù` 21 FF ′∪′=Φ′ : ´³Ûó, ù³ÝÇ áñ 11 FF ⊂′ ,

22 FF ⊂′ , ³å³ Φ⊂Φ′ , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ã»áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ:

ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùÁ ³å³óáõóíáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 9: ²Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ

Ï³ñáÕ ¿ ÷³Ï ãÉÇÝ»É: úñÇÝ³Ï, ¹Çóáõù` Nnn

bn

aFn ∈

−+= ,1;1

:

²Ûë ¹»åùáõÙ µáÉáñ nF µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÷³Ï »Ý, µ³Ûó ¹ñ³Ýó ÙÇ³íáñáõÙÁ

÷³Ï ã¿` );(1

baFn n =∞

= :

Â»áñ»Ù 25 : ò³ÝÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ

÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿` SF ∈αα : ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù ¨

SFD

∈=

α α : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` SFD ∈∀⊂ αα , , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿` ,αFD ′⊂′

S∈∀α , ³é³í»É ¨ë` SFD ∈∀⊂′ αα , : Ð»ï¨³µ³ñ, SFD

∈⊂′

α α Ï³Ù

DD ⊂′ , áñÝ ¿É ³å³óáõóáõÙ ¿ Ã»áñ»ÙÁ: ∆

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 18: 0x Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï, »Ã»

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0x Ï»ïÝ ÁÝ¹·ñÏáÕ ³ÛÝåÇëÇ );( βα ÇÝï»ñí³É, áñ ³ÛÝ ³Ù-

µáÕçáõÃÛ³Ùµ Ý»ñ³éí³Í ¿ E -Ç Ù»ç` Ex ⊂∈ );(0 βα :

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 19: E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ¹ñ³

µáÉáñ Ï»ï»ñÁ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñ »Ý:

63

ÜÏ³ï»Ýù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ),( ba ÇÝï»ñí³É, R -Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

¨ O/ -¹³ï³ñÏ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý:

Â»áñ»Ù 26: ò³ÝÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ

µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿` SG ∈αα : µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù ¨

SGG

∈=

α α : ¸Çóáõù Gx ∈0 , ³Û¹ ¹»åùáõÙ 0α∃ , áñ 00 αGx ∈ : ø³ÝÇ áñ

0αG -

Ý µ³ó ¿, áõñ»ÙÝ );( βα∃ ÇÝï»ñí³É, áñ ,);(00 αβα Gx ⊂∈ µ³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ

×Çßï ¿ Ý³¨ Gx ⊂∈ );(0 βα Ý»ñ³éáõÙÁ: Ð»ï¨³µ³ñ 0x -Ý G µ³½ÙáõÃÛ³Ý

Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿: ø³ÝÇ áñ 0x -Ý G -Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ G -Ý µ³ó

µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ∆

Ð»ï¨³Ýù 6: ò³ÝÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ

ÙÇ³íáñÙ³Ý ï»ëùáí, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

Â»áñ»Ù 27 : ì»ñç³íáñ Ãíáí µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ µ³ó

µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` n

k kGG1=

= , áñï»Õ µáÉáñ kG µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ó »Ý:

ºÃ» OG /= , ³å³ Ã»áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿: ¸Çóáõù` OG /≠ ¨

Gx ⊂0 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ nkGx k ,...,2,1,0 =∈ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ k -Ç Ñ³Ù³ñ

);( kk βα∃ ÇÝï»ñí³É ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ`

kkk Gx ⊂∈ );(0 βα , nk ,...,2,1= :

ì»ñóÝ»Ýù nαααα ...,,,max 21= ¨ nββββ ...,,,min 21= Ãí»ñÁ: ²ÏÝÑ³Ûï

¿, áñ ,);(0 Gx ⊂∈ βα Ñ»ï¨³µ³ñ, 0x -Ý G -Ç Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿: ∆

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 10: ²Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ

Ï³ñáÕ ¿ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ãÉÇÝ»É: úñÇÝ³Ï, ¹Çóáõù`

Nnn

bn

aGn ∈

+−= ,1;1

:

²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ nG µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ó »Ý, µ³Ûó ¹ñ³Ýó Ñ³ïáõÙÁ`

];[1

baGn n =∞

= , ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

Â»áñ»Ù 28 : ºÃ» G µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ó ¿, ³å³ ¹ñ³ Éñ³óáõÙÁ` GRCG \= ,

÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

64

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` Gx ∈0 , ²Û¹ ¹»åùáõÙ );( βα∃ ÇÝï»ñí³É, áñ

Gx ⊂∈ );(0 βα : ²Û¹ ÇÝï»ñí³ÉÁ CG µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ï»ï ãÇ å³ñáõÝ³ÏáõÙ,

Ñ»ï¨³µ³ñ 0x -Ý CG µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ã¿: ²ÛëåÇëáí, CG

µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÁ ãÇ Ï³ñáÕ å³ïÏ³Ý»É G µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:

Ð»ï¨³µ³ñ, CG -Ý å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï»ñÁ: ∆

Â»áñ»Ù 29: ºÃ» F µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿, ³å³ ¹ñ³ Éñ³óáõÙÁ` FRCF \= ,

µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù` CFx ∈0 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ 0x -Ý F µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³-

Ý³ÛÇÝ Ï»ï ã¿, Ñ»ï¨³µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0x -Ý ÁÝ¹·ñÏáÕ );( βα ÇÝï»ñí³É,

áñÁ 0x -Çó ï³ñµ»ñ ¨ F -ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ï»ï ãáõÝÇ: ´³Ûó, ù³ÝÇ áñ 0x -Ý ¨ë ãÇ

å³ïÏ³ÝáõÙ F -ÇÝ, Ñ»ï¨³µ³ñ );( βα ÇÝï»ñí³ÉÁ ãÇ å³ñáõÝ³ÏáõÙ F -Ç áã ÙÇ

Ï»ï: àõñ»ÙÝ` CFx ⊂∈ );(0 βα , Ñ»ï¨³µ³ñ 0x -Ý CF -Ç Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿: ∆

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 20: ¸Çóáõù` RE ⊂ , ÇëÏ );( βα=Ω -Ý áñáß ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ

Ñ³Ù³Ï³ñ· ¿: ºÃ» Ex∈∀ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ω∈);( βα ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

);( βα∈x , ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Í³ÍÏí³Í ¿ Ω ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ

Ñ³Ù³Ï³ñ·áí:

Â»áñ»Ù 30 (´áñ»ÉÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» F ÷³Ï ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

Í³ÍÏí³Í ¿ Ω ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ ³Ýí»ñç Ñ³Ù³Ï³ñ·áí, ³å³ ÙÇßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³Û¹

Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ³é³ÝÓÝ³óÝ»É ³ÛÝåÇëÇ *Ω í»ñç³íáñ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÁ ÝáõÛÝå»ë

Í³ÍÏÇ F µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

Ω ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ Ñ³×³Ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý F µ³½ÙáõÃÛ³Ý µ³ó

Í³ÍÏáõÛÃ, ÇëÏ *Ω -ÇÝ` µ³ó í»ñç³íáñ »ÝÃ³Í³ÍÏáõÛÃ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 21 : E µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ý»ñùÇÝ Ï»ï»ñÇ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ,

áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý E - áí, ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñë:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 22 : Rx ∈0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï, »Ã»

0x Ï»ïÝ ÁÝ¹·ñÏáÕ ó³ÝÏ³ó³Í );( βα ÇÝï»ñí³É å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ¨’ E -ÇÝ

å³ïÏ³ÝáÕ, ¨’ E -ÇÝ ãå³ïÏ³ÝáÕ Ï»ï»ñ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 23 : E µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

65

ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ ¨ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý` E∂ :

Â»áñ»Ù 31 : ò³ÝÏ³ó³Í RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñëÁ` E -Ý µ³ó µ³½-

ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ Ex ∈0 : ä»ïù ¿ ³å³-

óáõó»É, áñ 0x -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿: ø³ÝÇ áñ 0x -Ý E -Ç Ý»ñùÇÝ Ï»ï

¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( βα ÇÝï»ñí³É, áñ Ex ⊂∈ );(0 βα : ²Û¹ å³ï-

×³éáí );( βα∈∀x ÝáõÛÝå»ë E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿, ù³ÝÇ áñ Ï³ñ»ÉÇ ¿

í»ñóÝ»É );( µλ ÇÝï»ñí³É ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ⊂∈ );( µλx E⊂);( βα : ²ÛëåÇëáí,

Exx ∈∈∀ ));(( βα : Ð»ï¨³µ³ñ, 0x -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿:

Â»áñ»Ù 32 (´³ó µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³éáõóí³ÍùÁ): ò³ÝÏ³ó³Í RG ⊂ ë³Ñ-

Ù³Ý³÷³Ï, µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ` í»ñç³íáñ Ï³Ù

Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñ Ñ»ï ãÑ³ïíáÕ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ

ÙÇ³íáñáõÙ ¿, áñáÝó Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ ã»Ý å³ïÏ³ÝáõÙ G -ÇÝ.

),();( GGG kkk

kk ∉∉= βαβα (77)

Â»áñ»Ù 33 (ö³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³éáõóí³ÍùÁ): ò³ÝÏ³ó³Í RF ⊂ ë³Ñ-

Ù³Ý³÷³Ï, ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ, Çñ»ÝÇó Ý»ñ-

Ï³Û³óÝáõÙ ¿ Ï³Ù Ñ³ïí³Í, Ï³Ù ëï³óíáõÙ ¿ ÙÇ áñáß Ñ³ïí³ÍÇó` Ñ»é³óÝ»Éáí

í»ñç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñ Ñ»ï ãÑ³ïíáÕ

ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñ, áñáÝó Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý F -ÇÝ:

Â»áñ»Ù 34 (Î³ï³ñÛ³É µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³éáõóí³ÍùÁ): ò³ÝÏ³ó³Í RP ⊂

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, Ï³ï³ñÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ï³ññ, Çñ»ÝÇó

Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ Ï³’Ù Ñ³ïí³Í, Ï³’Ù ëï³óíáõÙ ¿ ÙÇ áñáß Ñ³ïí³ÍÇó, Ñ»é³ó-

Ý»Éáí í»ñç³íáñ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñ Ñ»ï ãÑ³ïíáÕ

ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñ, áñáÝù ãáõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Í³Ûñ³Ï»ï»ñ ¨’ Çñ³ñ Ñ»ï, ¨’ Ñ³ïí³ÍÇ

Ñ»ï: ÀÝ¹Ñ³Ï³é³ÏÁ, ó³ÝÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ, áñÝ ëï³óíáõÙ ¿ Ýßí³Í Ó¨áí,

Ï³ï³ñÛ³É ¿:

úñÇÝ³Ï 1: ²å³óáõó»É, áñ ³) 3log2 ; µ) 3 ; ·) 3 3/2 ; ¹) 32 + Ãí»ñÁ

Çé³óÇáÝ³É »Ý:

²å³óáõÛó: ³) ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ñ³Ï³ëáÕ ÁÝ¹áõÝ»ÉáõÃÛ³Ý Ù»Ãá¹áí:

¸Çóáõù` nm

=3log2 , áñï»Õ Nnm ∈, : ²Û¹ ¹»åùáõÙ nm

23 = : àñï»ÕÇó Ïëï³-

66

Ý³Ýù` mn 23 = : ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç , ÇëÏ ³ç

Ù³ëÁ` áã: Ð»ï¨³µ³ñ, »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ, áñ 3log2 -Á é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿` Ï»ÕÍ ¿:

µ) ¸Çóáõù` nm /3 = , áñï»Õ nm / -Ý ³ÝÏñ×³ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿: ºñÏáõ Ù³ëÁ

µ³ñÓñ³óÝ»Éáí ù³é³ÏáõëÇ, Ïëï³Ý³Ýù` 22 /3 nm= Ï³Ù 22 3nm = : ø³ÝÇ áñ 2m -ÇÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç, ³å³ m -Á ÝáõÛÝå»ë å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ 3-Ç` 13mm = :

ÎáõÝ»Ý³Ýù` 221 3)3( nm = Ï³Ù 22

13 nm = : ²Ûëï»ÕÇó, Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ n -Á ÝáõÛÝå»ë

å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ 3-Ç, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ nm / Ïáïáñ³ÏÇ ³ÝÏñ×³ï»ÉÇáõÃÛ³ÝÁ:

·) ¸Çóáõù` nm /3/23 = , áñï»Õ nm / -Ý ³ÝÏñ×³ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï ¿: ºñÏáõ Ù³-

ëÁ µ³ñÓñ³óÝ»Éáí Ëáñ³Ý³ñ¹` Ïëï³Ý³Ýù 33 /3/2 nm= Ï³Ù 33 32 mn = : êï³ó-

í³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç, Ñ»ï¨³µ³ñ ³ç Ù³ëÁ

ÝáõÛÝå»ë å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ 2-Ç: ì»ñçÇÝë ÑÝ³ñ³íáñ ¿ ÙÇ³ÛÝ, »ñµ 12mm = :

ÎáõÝ»Ý³Ýù` 31

3 )2(32 mn ⋅= Ï³Ù 31

3 43 mn ⋅= : àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ n -Á ÝáõÛÝ-

å»ë å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ 2-Ç, áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ nm / Ïáïáñ³ÏÇ ³ÝÏñ×³ï»-

ÉÇáõÃÛ³ÝÁ:

¹) ¸Çóáõù` nm /32 =+ : ¶áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ï³Ý»Ýù ³ç Ù³ëÁ ¨

µ³ñÓñ³óÝ»Ýù ù³é³ÏáõëÇ, Ïëï³Ý³Ýù`

( )mn

nmn

nmnm

nm

222223

22

2

2222 −

=⇔−

=⇔

−= :

ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿, ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëÁ` 2 -Á

é³óÇáÝ³É ÃÇí ã¿: Ð»ï¨³µ³ñ, »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ, Áëï áñÇ 32 + -Á é³óÇáÝ³É

ÃÇí ¿, Ï»ÕÍ ¿:

úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»É µáÉáñ Ï³ÝáÝ³íáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý`

nmNnmnmA <∈= ,,:/ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ ¨ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ»ñÁ: òáõÛó

ï³É, áñ A-Ý ãáõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ»ñ:

ÈáõÍáõÙ: ø³ÝÇ áñ 0/),( >∈∀ nmNnm , ³å³ 0-Ý A µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ

ëïáñÇÝ »½ñ ¿: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇó`

xaAax ~)()0~( <∈∃>∀ : (78)

Æñáù, »Ã» 1~ ≥x , ³å³ ûñÇÝ³Ï, 2/1=a é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (78)

å³ÛÙ³ÝÇÝ: ºÃ» 1~0 << x , ³å³ x~ -Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý

Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí`

67

......,0~21 kxxxx = , (79)

ÁÝ¹ áñáõÙ` )1( >∃k 0>kx : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

)1(...,0 121 −= − kk xxxxa

é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 1~0 <<< xa ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ: ²Û-

ëÇÝùÝ, a -Ý Ï³ÝáÝ³íáñ Ïáïáñ³Ï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (78) å³ÛÙ³ÝÇÝ:

²ÛëåÇëáí, 0 ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ

ÉÇÝ»Éáõ »ñÏáõ µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, Ñ»ï¨³µ³ñ` 0inf =A :

ø³ÝÇ áñ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ Ï³ÝáÝ³íáñ Ïáïáñ³ÏÝ»ñ »Ý, ³å³

1/ <nm : ²ÛëÇÝùÝ 1-Á A µ³½ÙáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ »½ñ ¿: ´³óÇ ¹ñ³ÝÇó`

xnmAnmx ~/)/()1~( >∈∃<∀ : (80)

Æñáù, »Ã» 0~ ≤x , ³å³ 2/1/ =nm é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (80) å³Û-

Ù³ÝÇÝ: ºÃ» 1~0 << x , ³å³ x~ -Á ÑÝ³ñ³íáñ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É (79) ï»ëùáí, ÁÝ¹

áñáõÙ 90)1( <≤>∃ ixi : ²Ûë ¹»åùáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Ñ»ï¨Û³É é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ`

kii xxxxnm 10/1...,0/ 121 += − ,

áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ 1/~0 <<< nmx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:

²ÛëåÇëáí, 1 ÃÇíÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ A µ³½ÙáõÃÛ³Ý ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ ÉÇÝ»Éáõ

»ñÏáõ µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, Ñ»ï¨³µ³ñ` 1sup =A :

ÜÏ³ï»Ýù, áñ AA ∉= 0inf ¨ AA ∉= 1sup : Æñáù, ù³ÝÇ áñ 00/ =⇔= mnm ,

µ³Ûó N∉0 ¨ nmnm =⇔=1/ , µ³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ` Anm ∉/ : àõñ»ÙÝ A

µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ãáõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ¨ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññ»ñ:

úñÇÝ³Ï 3: îñí³Í ¿ ...],;/1[...,],3;2/1[],2;1[ 21 nnAAA n === Ñ³ïí³ÍÝ»-

ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ¶ïÝ»É` ∞

=1n nA ¨ ∞

=1n nA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

ÈáõÍáõÙ: àôÝ»Ýù µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`

......21 ⊂⊂⊂⊂ nAAA :

¸Çï³ñÏ»Ýù ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ó³Ë ¨ ³ç Í³Ûñ³Ï»ï»ñÇ` n/1 , n

Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ø³ÝÇ áñ` 1/1sup,0/1inf == nn , 2inf =n ,

+∞=nsup ¨ 0-Ý n/1 µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ ã¿, ÇëÏ 1-Á ¨ 2-Á Ñ³Ù³å³-

ï³ëË³Ý³µ³ñ n/1 ¨ n µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ññ»ñ »Ý, Ñ»ï¨³µ³ñ`

);0(1

+∞=∞

=n nA ¨ ]2;1[1

=∞

=n nA :

68

úñÇÝ³Ï 4: îñí³Í ¿ NnnbnaAn ∈+−= ],/1;/1[ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ¶ïÝ»É` ∞

=1n nA ¨ ∞

=1n nA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

ÈáõÍáõÙ: àõÝ»Ýù µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`

......21 ⊃⊃⊃⊃ nAAA :

¸Çï³ñÏ»Ýù ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ó³Ë ¨ ³ç Í³Ûñ³Ï»ï»ñÇ` na /1− ,

nb /1+ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ø³ÝÇ áñ` ,1/1inf −=− ana ana =− /1sup ,

bnb =+ /1inf , 1/1sup +=+ bnb ¨ NnAba n ∈∀⊂ ,],[ áõ ]1,1[ +−⊂ aaAn ,

Nn∈∀ , ³å³ `

]1;1[1

+−=∞

=baA

n n ¨ ];[1

baAn n =∞

= :

úñÇÝ³Ï 5: ²å³óáõó»É, áñ A ~ B :

³) dxcRxA <≤∈= : ¨ byaRyB <≤∈= : ;

µ) dxcRxA ≤≤∈= : ¨ byaRyB ≤≤∈= : ;

·) dxcRxA ≤<∈= : ¨ byaRyB ≤<∈= : ;

¹) dxcRxA <<∈= : ¨ byaRyB <<∈= : :

ÈáõÍ»Ýù ÙÇ³ÛÝ ³) ï³ñµ»ñ³ÏÁ, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í ï³ñµ»ñ³ÏÝ»ñÁ ÉáõÍíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ »Õ³Ý³Ïáí:

ÈáõÍáõÙ: îñí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ ëï»ÕÍ»Ýù ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³-

ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ, ûñÇÝ³Ï, ³Ûëå»ë. ¹Çï³ñÏ»Ýù` )( cxcdabay −

−−

+= ýáõÝÏóÇ³Ý

(áñÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ 1M ¨ 2M Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ)

(ÝÏ.6): ºÃ» )( dxcAx <≤∈ , ³å³ ¹ñ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý` )( byaBy <≤∈

¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ, »Ã» )( byaBy <≤∈ , ³å³ ¹ñ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý`

)( ayabcdcx −

−−

+= å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ A -ÇÝ (ï»ë ÝÏ. 6): Ð»ï¨³µ³ñ` A ~ B :

ÝÏ.6.

b

a ),( yxM

),(2 bdM

d c x

),(1 acM

y

69

úñÇÝ³Ï 6: ²å³óáõó»É, áñ )1;0( ~ R :

²å³óáõÛó: )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ ¨ R -Ç ÙÇç¨ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï»ÕÍ»É ÷áËÙÇ³ñÅ»ù

Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ, ûñÇÝ³Ï, xctgy π−= ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙÇçáóáí:

úñÇÝ³Ï 7: êï»ÕÍ»É ÷³ËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ ]1;0[ Ñ³ïí³-

ÍÇ ¨ )1;0( ÇÝï»ñí³ÉÇ ÙÇç¨:

²å³óáõÛó: )1;0( ÇÝï»ñí³ÉáõÙ í»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý, ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³-

ñÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ûñÇÝ³Ï`

...,1

1...,,41,

31,

21

321 +====

nxxxx n :

²ÛÅÙ Ï³éáõó»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝÁ.

:...),1;0(]1;0[...,),1;0(]1;0[),1;0(]1;0[),1;0(]1;0[1),1;0(]1;0[0

242

3121

∈→∈∈→∈∈→∈∈→∈∈→∈

+nn xxxxxxxx

ØÝ³ó³Í Ï»ï»ñÇó, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ` ]1;0[∈x Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»ó-

Ý»Ýù ÝáõÛÝ )1;0(∈x Ï»ïÇ Ñ»ï: êï³óí³Í Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝÁ ÷áË-

ÙÇ³ñÅ»ù ¿ (ÝÏ. 7):

ÜáõÛÝ Ù»Ãá¹áí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ]1;0( ~ ]1;0[ ¨ )1;0[ ~ ]1;0[ : ²å³óáõÛóÁ

ÃáÕÝíáõÙ ¿ ÁÝÃ»ñóáÕÇÝ:

úñÇÝ³Ï 8: ³) ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

babababababa −≥−+≤+⋅=⋅ )3,)2,)1 :

µ) ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í naaa ...,,, 21 Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý

Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

1) nn aaaaaa +++≤+++ ...... 2121 , (81)

2) nn aaaaaa −−−≥−−− ...... 2121 : (82)

ÝÏ.7.

3x

5x 0 1

1 0

4x 6x

3x 1x

5x

2x

4x 2x 1x

x

x

70

²å³óáõÛó: ³) ÜÏ³ï»Ýù, áñ 1) ³éÝãáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿

»ñÏáõ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó (ï»ë Ï»ï 5): 2) ³éÝãáõÃÛáõÝÝ

³å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ÝÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» a ¨ b Ãí»ñÁ á’ã µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý Ï³Ù

á’ã ¹ñ³Ï³Ý, ³å³ 2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ ÃíÇ

Ùá¹áõÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó:

ºÃ», ûñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ` 0≥a , ÇëÏ 0≤b , ³å³`

+≤=−≤−−

+=+≤≤+

:

,

babbba

babaaba

àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ`

babababa +≤−−+=+ ,max :

3) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ÝÏ³ï»Ýù, áñ

bbabbaa +−≤+−= )( ¨ aabaabb +−≤+−= )( ,

áñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

−<−

−<−

baab

babababa −≤−⇔ :

µ) ²å³óáõó»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí: Ü³Ë ³å³óáõ-

ó»Ýù 1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ºñÏáõ` 1a ¨ 2a Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ (81) ³ÝÑ³í³-

ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù, Ï³Ù³Û³Ï³Ý n Ñ³ï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³-

Ù³ñ (81) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿

Ý³¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý 1+n Ñ³ï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: Æñáù, û·ïí»Éáí ÇÝ¹áõÏ-

ïÇí »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÇó Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É`

:......

)...(...

121121

121121

++

++

++++≤++++≤

≤++++=++++

nnnn

nnnn

aaaaaaaa

aaaaaaaa

Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Ç (81) ³ÝÑ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:

²å³óáõó»Ýù 2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ »ñÏáõ` 1a ¨ 2a Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ (82) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóí³Í ¿: ºÝÃ³¹ñ»Ýù, Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý

n Ñ³ï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ (82) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿: ²å³óáõ-

71

ó»Ýù, áñ ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ý³¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý 1+n Ñ³ï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

Æñáù, û·ïí»Éáí ÇÝ¹áõÏïÇí »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÇó Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É`

:......

)...(...

1321121

13211321

++

++

−−−−−≥−−−−≥

≥−−−−−=−−−−−

nnnn

nnnn

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Ç (82)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ:

úñÇÝ³Ï 9: ÎÇñ³é»Éáí Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ ëÏ½µáõÝùÁ, ³å³-

óáõó»É, áñ`

³) ò³ÝÏ³ó³Í Nn∈ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í Çñ³Ï³Ý 1−>x Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ

áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

nxx n +≥+ 1)1( (´»éÝáõÉÇÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ) : (83)

µ) ò³ÝÏ³ó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ 121 1211 −+ + nn ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133-Ç:

²å³óáõÛó: ³) ºÃ» 1=n , ³å³ áõÝ»Ýù xx +=+ 11 : ºÝÃ³¹ñ»Ýù (83)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ n µÝ³Ï³Ý ¨ 1−>∀x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

ø³ÝÇ áñ 1−>x , ³å³ 01 >+ x : ´³½Ù³å³ïÏ»Ýù (83) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý

»ñÏáõ Ù³ëÁ x+1 -áí, Ïëï³Ý³Ýù` 21 1)1( nxxnxx n +++≥+ + (84)

êï³óí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÇ 2nx áã µ³ó³ë³Ï³Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ

¹»Ý Ý»ï»Éáí, Ïëï³Ý³Ýù`

xnx n )1(1)1( 1 ++≥+ +

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, (83) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Ù³ñÇï ¿ Ý³¨

1+n µÝ³Ï³Ý ¨ 1−>∀x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ: ¸ñ³Ýáí ³å³óáõóí»ó, áñ

(83) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Ù³ñÇï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý` n ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý

Çñ³Ï³Ý` 1−>x Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

µ) ºÃ» 1=n , ³å³ áõÝ»Ýù` 1331211 12 =+ : ºÝÃ³¹ñ»Ýù, áñ ³ÛÝ ×Çßï ¿ n -Ç

Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝ` 121 1211 −+ + nn -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç: ²å³óáõó»Ýù, áñ 122 1211 ++ + nn -Á ÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç: ø³ÝÇ áñ

( ) 121211221122 12133121111121211111211 −−+−+++ ⋅++=⋅+⋅=+ nnnnnnn ,

72

³å³ åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ¿ Ý³¨ 1+n -Ç Ñ³Ù³ñ: Æñáù, ëï³óí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý

³é³çÇÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç Áëï ÇÝ¹áõÏïÇí »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, ÇëÏ

»ñÏñáñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 133 ³ñï³¹ñÇã, Ñ»ï¨³µ³ñ, ³ÛÝ ÝáõÛÝå»ë

µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç: àõñ»ÙÝ ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç: Ð»ï¨³µ³ñ, ++111n

1212 −+ n ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ó³ÝÏ³ó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 133 -Ç:

úñÇÝ³Ï 10: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ n Ñ³ï` nyyy ,...,, 21 Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý

Ãí»ñ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

1...21 =⋅⋅⋅ nyyy : (85)

²å³óáõó»É, áñ`

nyyy n ≥+++ ...21 : (86)

²å³óáõÛó: ²å³óáõÛóÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá-

¹áí: ºÃ» 1=n , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (85) å³ÛÙ³ÝÇ 11 =y : àõëïÇ (86) ³éÝãáõÃÛáõÝÁ

ï»ÕÇ áõÝÇ, »ñµ 1=n :

ºÝÃ³¹ñ»Ýù (85) å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ n Ñ³ï ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ

ï»ÕÇ áõÝÇ (86) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ¸Çóáõù 1+n Ñ³ï Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý`

121 ,,...,, +nn yyyy Ãí»ñ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý`

1... 121 =⋅⋅⋅⋅ +nn yyyy (87)

å³ÛÙ³ÝÇÝ: ÐÝ³ñ³íáñ ¿ »ñÏáõ ¹»åù.

1) 1... 121 ===== +nn yyyy ,

2) ³Û¹ Ãí»ñÇ Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï ÃÇí, áñÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ 1-Ç:

²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ, Ïëï³Ý³Ýù`

1... 121 +=++++ + nyyyy nn :

ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ÛÉ ÃÇí, áñÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ 1-Ç, ÁÝ¹

áñáõÙ` »Ã» ¹ñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ Ù»Í ¿ 1-Çó, ³å³ ÙÛáõëÁ ÷áùñ ¿ 1-Çó: ÀÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛáõÝÁ

ã»Ýù Ë³ËïÇ, »Ã» ÁÝ¹áõÝ»Ýù` 1>ny , ÇëÏ 11 <+ny : ¸Çï³ñÏ»Ýù n Ñ³ï Ãí»ñ`

)(,,...,, 1121 +− nnn yyyyy :

Ð³Ù³Ó³ÛÝ (87) å³ÛÙ³ÝÇ ³Û¹ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Ç,

Ñ»ï¨³µ³ñ, Áëï ÇÝ¹áõÏïÇí »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý`

nyyyyy nnn ≥++++ +− 1121 ... : (88)

73

¶áõÙ³ñ»Éáí (88) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÇÝ` 1++ nn yy ¨ ³ç Ù³ë

ï»Õ³÷áË»Éáí` 1+nn yy ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ, Ïëï³Ý³Ýù`

:1)1)(1(111...

111

111121

+≥−−++=−−++++=++−≥+++++

+++

+++−

nyynyyyynyyyynyyyyy

nnnnnn

nnnnnnn

²ÛëåÇëáí, (86) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ 1+n Ñ³ï Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ: Ð»ï¨³µ³ñ, ó³ÝÏ³ó³Í n Ñ³ï Ãí»ñ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (85) å³Û-

Ù³ÝÇÝ, µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ý³¨ (86) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ` Ñ³í³-

ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ` 1...21 ==== nyyy :

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» í»ñóÝ»Ýù`

,...

...,,...

,... 2121

22

21

11

nn

nn

nn

nn xxx

xy

xxxx

yxxx

xy === (89)

áñï»Õ 1x -Á, 2x -Á,…, 3x -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, ³å³ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³`

1...21 =⋅⋅⋅ nyyy Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ñ»ï¨³µ³ñ, ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³ Ý³¨`

,...

......... 2121

2

21

1 nxxx

xxxx

xxxx

xn

n

n

nn

nn

≥+++

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

nn

n xxxn

xxx...

...21

21 ≥+++

(90)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ` Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ

¹»åùáõÙ, »ñµ` nxxx === ...21 :

úñÇÝ³Ï 11: ²å³óáõó»É áñ »Ã» RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ

Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í ¿ 1-Çó, ³å³ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

í»ñç³íáñ ¿ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ:

²å³óáõÛó: Âí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÁ ,......,,2,1,0 n±±± Ï»ï»ñáí ïñáÑ»Ýù Ñ³ß-

í»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ: ²Û¹ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ E

µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ï³ñáÕ ¿ å³ñáõÝ³Ï»É Ù»ÏÇó áã ³í»ÉÇ Ï»ï»ñ: Ð»ï¨³µ³ñ, E µ³½-

ÙáõÃÛ³Ý ¨ Ï³éáõóí³Í Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý` áñáß »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ: àõñ»ÙÝ, E µ³½ÙáõÃ-

ÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿ Ï³Ù Ñ³ßí»ÉÇ:

74

úñÇÝ³Ï 12: Î³Ýïáñ–´»éÝßï»ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ³å³óáõó»É, áñ

Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ïñí³Í ÝáõÛÝ ß³é³íÕáí µ³ó ¨ ÷³Ï ßñç³ÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý:

²å³óáõÛó: ÀÝ¹Ñ³ÝñáõÃÛáõÝÁ ã»Ýù Ë³ËïÇ, »Ã» ÁÝ¹áõÝ»Ýù, áñ ³Û¹ ßÁñ-

ç³ÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ï»ÝïñáÝ: ¸Çóáõù` 222 )()(:),( rbyaxyxA ≤−+−= -Ý

),( ba Ï»ÝïñáÝáí ¨ r ß³é³íÕáí ÷³Ï ßñç³ÝÝ ¿, 222 )()(:),( rbyaxyxB <−+−= -Ý

ÝáõÛÝ Ï»ÝïñáÝáí ¨ ÝáõÛÝ ß³é³íÕáí µ³ó ßñç³ÝÁ, ÇëÏ +−= 2)(:),( axyxC

22 )2/()( rby ≤−+ -Ý ÝáõÛÝ Ï»ÝïñáÝáí ¨ 2/r ß³é³íÕáí ÷³Ï ßñç³ÝÁ: ²Û¹

¹»åùáõÙ` CBA ⊃⊃ : ø³ÝÇ áñ A ~ C (¹ñ³Ýó ÙÇç¨ ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³-

å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ ëï»ÕÍíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí): Ð»ï¨³µ³ñ

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Î³Ýïáñ–´»éÝßï»ÛÝÇ Ã»áñ»ÙÇ A ~ B :

úñÇÝ³Ï 13: ²å³óáõó»É, áñ`

³) ò³ÝÏ³ó³Í RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ` E ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

µ) ò³ÝÏ³ó³Í RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³·ÇÍÁ` E∂ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: ³) I »Õ³Ý³Ï: Â»áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÝ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, »Ã»

OE /=′ : ¸Çóáõù OE /≠′ ¨ a -Ý EEE ′∪= µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿,

ÇëÏ );( βα -Ý a Ï»ïÝ ÁÝ¹·ñÏáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÇÝï»ñí³É: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³-

Ó³ÛÝ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý );( βα∩∈∃ Eb ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ab ≠ :

ì»ñóÝ»Ýù b Ï»ïÇ );( µλ ßñç³Ï³Ûù ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ );();( βαµλ ⊂∈b ¨

);( µλ∉a : ø³ÝÇ áñ Eb∈ , ³å³ );( µλ ÙÇç³Ï³ÛùÁ (Ñ»ï¨³µ³ñ Ý³¨ );( βα

ÙÇç³Ï³ÛùÁ) å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ a -Çó ï³ñµ»ñ c Ï»ï E -Çó: Æñáù, »Ã» Eb∈ ,

³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É bc = , »Ã» Eb ′∈ , ³å³ E -áõÙ ÁÝ¹·ñÏíáÕ c Ï»ïÇ

·áÛáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: ²ÛëåÇëáí, a Ï»ïÇ

Ï³Ù³Û³Ï³Ý );( βα ßñç³Ï³Ûù å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ E -ÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ¨ a -Çó

ï³ñµ»ñ c Ï»ï, ³ÛëÇÝùÝ` EEa ⊂′∈ : Ð»ï¨³µ³ñ, E -Á ÁÝ¹·ñÏáõÙ ¿ Çñ µáÉáñ

ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ E -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿:

II »Õ³Ý³Ï: ø³ÝÇ áñ EEEEEEEEE ⊂′=′∪′⊂′′∪′=′′∪=′ )()()(

Ñ»ï¨³µ³ñ EE ⊂′)( : àõñ»ÙÝ E ÷³Ï ¿:

µ) I »Õ³Ý³Ï: Â»áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ CEEE ∩=∂ Ñ³í³-

75

ë³ñáõÃÛáõÝÇó ¨ E áõ CE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÷³ÏáõÃÛáõÝÇó:

II »Õ³Ý³Ï: Â»áñ»ÙÇ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ý³¨ EEE \=∂ Ñ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: ø³ÝÇ áñ E -Á ÷³Ï ¿, ÇëÏ E -Ý µ³ó (Ñ»ï¨³µ³ñ` CE -Ý

÷³Ï), ³å³ CEEEEE ∩==∂ \ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³Ï ¿ :

²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ EEE \=∂ : ¸Çóáõù a -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý »½ñ³ÛÇÝ

Ï»ï ¿, ³Û¹ ¹»åùáõÙ a Ï»ïÝ ÁÝ¹·ñÏáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý );( βα ÇÝï»ñí³É å³ñáõ-

Ý³ÏáõÙ ¿ Ï»ï ÇÝãå»ë` E -Çó ( Ñ»ï¨³µ³ñ` Ea∈ ), ³ÛÝå»ë ¿É` CE -Çó (Ñ»ï¨-

³µ³ñ` Ea∉ ): àõñ»ÙÝ` EEE \=∂ :

úñÇÝ³Ï 14: ³) îñí³Í ¿ ...,2/1...,,4/1,2/1,1,0 nE = µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹

µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ Í³ÍÏáõÙ ¿ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á`

( ) ( ) ...,2

1;2

1...,,4

1;4

1,2

1;2

1,1;1,;

+−

+−

+−

+−− nn

εεεεεεεεεε ,

áñï»Õ ε -Á ïñí³Í ÃÇí ¿` 2/10 << ε : ²Û¹ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó

³é³ÝÓÝ³óÝ»É í»ñç³íáñ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÁ ÝáõÛÝå»ë Í³ÍÏÇ E µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:

µ) îñí³Í ¿ ...,2/1...,,4/1,2/1,1 nE = µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ

Í³ÍÏáõÙ ¿ ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á`

( ) ...,2

1;2

1...,,4

1;4

1,2

1;2

1,1;1

+−

+−

+−

+− nn

εεεεεεεε ,

áñï»Õ ε -Á ïñí³Í ÃÇí ¿` 3/10 << ε : Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ³é³ÝÓ-Ý³óÝ»É í»ñç³íáñ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÁ ÝáõÛÝå»ë Í³ÍÏÇ E µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ:

ÈáõÍáõÙ: ³) ¸Çóáõù 0n -Ý ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ε<02/1 n : ²Û¹ ¹»åùáõÙ 0 -Ý ¨

...,2/1,2/1,2/1 21 000 ++ nnn Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ Ï»ï»ñÁ Í³ÍÏíáõÙ »Ý Ù»Ï`

);( εε− ÇÝï»ñí³Éáí: ØÝ³ó³Í í»ñç³íáñ Ãíáí Ï»ï»ñÁ Í³ÍÏíáõÙ »Ý`

( ) 1...,,1,0,2/)1(;2/)1( 0 −=+− nkkk εε ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñáí:

µ) ø³ÝÇ áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ï Í³ÍÏí³Í ¿ ïñí³Í ÇÝï»ñ-

í³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ÇÝï»ñí³Éáí ¨ E -Ý ³Ýí»ñç ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ

³ÝÑÝ³ñ ¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É E µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Í³ÍÏáÕ í»ñç³íáñ Ñ³Ù³Ï³ñ·:

76

¢3. Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¨ ¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ: Ü³ËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³ÛÇÝ ß³ñùÇ í»ñ³µ»ñÛ³É

1. ¶³Õ³÷³ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ: Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï

ÐÇß»Ýù Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ñ³ëÏ³óáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1 : µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í XNf →:

ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ³í»ÉÇ ×Çßï X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ñ-

ñ»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:

²Ûëï»Õ Ù»Ýù ¹Çï³ñÏ»Éáõ »Ýù ÙÇ³ÛÝ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ-

Ý»ñ` RNf →: :

Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ï³É µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

)(nfxn = , (1)

áñï»Õ nx -Ý ³ñï³Ñ³Ûïí³Í ¿ n Ñ³Ù³ñÇ (ÇÝ¹»ùëÇ) ÙÇçáóáí, Ï³Ù Ñ»ï¨Û³É

ï»ëùáí`

Nnnfxn ∈= ),( : (2)

Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý Ý³¨ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³-

Ý³Ó¨, ³ÛëÇÝùÝ µ³Ý³Ó¨, áñï»Õ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÝ ³ñï³Ñ³Ûïí³Í ¿ n -Çó ÷áùñ

Ñ³Ù³ñÝ»ñ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí (ï»ë ¢4.):

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2 : nx ¨ ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ, ï³ñµ»-

ñáõÃÛáõÝ, ³ñï³¹ñÛ³É, ù³Ýáñ¹ ³ë»Éáí Ñ³ëÏ³ÝáõÙ »Ý, Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ,

Ñ»ï¨Û³É h³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` nnnnnnnn yxyxyxyx /,,, −+ : ì»ñ-

çÇÝ ¹»åùáõÙ »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿, áñ Nnyn ∈∀≠ ,0 :

úñÇÝ³Ï 1: ³) na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí`

Nnaaa nnn ∈+= ++ ),(21

12 :

¶ïÝ»É n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ` ³ñï³Ñ³Ûïí³Í 1a -áí ¨ 2a -áí:

µ) na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí`

Nnan

na nn ∈++

=+ ,n1 1

1 :

77

¶ïÝ»É n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ` ³ñï³Ñ³Ûïí³Í 1a -áí:

ÈáõÍáõÙ: ³) Î³Ù³Û³Ï³Ý Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù`

2,...,

2,

2,

21

243

532

421

3+

+

+=

+=

+=

+= nn

n

aaa

aaa

aaa

aaa

àñï»ÕÇó`

2,...,

2,

2,

21

1243

4532

3421

23+

++−

=−−

=−−

=−−

=− nnnn

aaaaaaaaaaaaaaaa :

Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ`

nkaa

aa kk

kk ,...,4,3,2,2

)1( 2122

1 =−

−=−−

−− :

ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù ·áõÙ³ñ»Éáí, Ïëï³Ý³Ýù`

( ) ( )

( ) :23

)1(32

211

211

21...

21

211

2)1(...

22

2121

12

1

12

2

212

2122

21212

121

−−

−

−

−−

⋅−

−−−=

=+

−−

−=

−+−+−−=

=−

−+−−

+−

−−=−

nn

n

n

nn

n

aaaa

aaaa

aaaaaaaaaa

Ð»ï¨³µ³ñ`

21212

23)1(

32

−⋅−

−++

= nn

n

aaaaa :

µ) Ð»ßï ¿ ÝÏ³ï»É, áñ

:11

11121

1...)1(

1)1(

1

...1)1(

1)1(

1)1(

11

111

11

an

nan

annnn

na

nnnnna

nnna nnn

++

=++

−=+⋅

++−

++

=

==−

+−

++

=++

=+

−+

Ð»ï¨³µ³ñ`

)1(11 ++=+ nanan , áñï»ÕÇó` Nnanan ∈−+= ,1)1( 1 :

úñÇÝ³Ï 2: ¸Çóáõù

+=

= 22

31,1nn

yn

x nn : Î³½Ù»É ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñ,

ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ, ³ñï³¹ñÛ³É ¨ ù³Ýáñ¹ h³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

78

ÈáõÍáõÙ: Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ`

+=

+=

−−=−

+

=+3

1,31,21,44322 ny

xnn

yxnn

yxn

nyxn

nnnnnnn

:

2. ê³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¨ ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ

ÐÇß»Ýù, áñ ïñí³Í nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ

Ï³½ÙáõÙ »Ý ÙÇ áñáß³ÏÇ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝ: ºÉÝ»Éáí Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛ³Ý

í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³ÑÙ³Ý³÷³ÏáõÃÛ³Ý ¨ ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³ÏáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñ-

Ý»ñÇó, ï³Ýù Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ñ³Ù³ÝÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÝ»ñÇ ë³ÑÙ³-

ÝáõÙÝ»ñÁ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3: nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó)

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ )(mM ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

))(()( mxNnMxNn nn ≥∈∀≤∈∀ : (3)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã»

³ÛÝ í»ñ¨Çó ¨ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿: ²ÛëÇÝùÝ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ

M ¨ m Ãí»ñ, áñ`

MxmNn n ≤≤∈∀ )( : (4)

ì»ñçÇÝ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³ÉÇÝ. nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ

ÏáãíáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí, áñ

AxNn n ≤∈∀ )( : (5)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3-Ç ÅËïáõÙÁ ÏÉÇÝÇ` nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ í»ñ-

¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ )(mM ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0n µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ )(00

mxMx nn <> :

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4-Ç ÅËïáõÙÁ ÏÉÇÝÇ` nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ý-

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ 0>A ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0n

µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ :0

Axn >

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ »Ã» Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýë³Ñ-

Ù³Ý³÷³Ï ¿, ³å³ ³ÛÝ Ï³Ù í»ñ¨Çó ¿ ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, Ï³Ù Ý»ñù¨Çó ¿ ³Ý-

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, Ï³Ù ÇÝãå»ë í»ñ¨Çó ³ÛÝå»ë ¿É Ý»ñù¨Çó ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

79

úñÇÝ³Ï 3: ä³ñ½»É, ïñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, áñáÝù »Ý` 1) í»ñ¨Çó

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, 2) Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, 3)ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, 4) í»ñ¨Çó ³Ýë³Ñ-

Ù³Ý³÷³Ï, 5) Ý»ñù¨Çó ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï.

³)

+−213

nn

, µ) nn )1(− , ·) nn)1(− , ¹)

++

2cos

11

nn

n π:

ÈáõÍáõÙ: ³) Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ Nnnn ∈∀<+−< ,3)2/()13(0 :

Ð»ï¨³µ³ñ, Ýßí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

µ) Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Nnnn

∈∀>− ,0)1( : ¸Çóáõù A -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý

¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ì»ñóÝ»Ýù mn 20 = ï»ëùÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Am >2 :

ì»ñóñ³Í 0n -Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ammnmn

>== −− 2)2(20 )1()1(

0 ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛ³ÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, nn )1(− Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿,

ÇëÏ í»ñ¨Çó` ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï:

·) ¸Çóáõù A -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ

mn 20 = ¨ 120 +=′ kn µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ AnAn >′> 00 , : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, áõÝ»Ýù`

Ammn mn >=−=− 22)1()1( 20

0 ¨ Akkn kn −<+−=+−=′− +′ )12()12()1()1( 120

0 :

Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ ¨ í»ñ¨Çó ¨ Ý»ñù¨Çó:

¹) ø³ÝÇ áñ Nnn

nnn

n∈∀>

+−≥

++ ,0

11

2cos

11 π

¨ ,21

12

cos1

1 <+

+≤+

+n

nnn

n π

Nn∈∀ , ³å³ Nnnn

n∈∀<

++< ,2

2cos

110 π

: Ð»ï¨³µ³ñ, Ýßí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

3. ¼áõ·³Ù»ï, ï³ñ³Ù»ï, ³Ýí»ñç ÷áùñ ¨ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5 : Ra∈ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ,

»Ã» ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí*), áñ

µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ε<− axn ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÁ: ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5-Á ùí³ÝïáñÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`

*) ø³ÝÇ áñ N Ñ³Ù³ñÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³éÙ³Ùµ Ï³Ëí³Í ¿ ε -Çó , ³å³ »ñµ»ÙÝ ·ñáõÙ »Ý` N=N( ε ) :

80

∃>∀ )(0( ε N )N∈ ≥∈∀ nNn( N ) ε<− axn : (6)

ºÃ» Ra∈ ÃÇíÁ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý`

axnn=

∞→lim Ï³Ù axn → , »ñµ ∞→n : (7)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 5-Ç ÅËïáõÙÁ. Ra∈ ÃÇíÁ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ

ã¿, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0>ε ÃÇí, áñ ó³ÝÏ³ó³Í N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ≥n N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ε≥− axn .

∀>∃ )(0( ε N )N∈ ≥∈∃ nNn( N ) ε≥− axn : (8)

Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý, ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï: Ð³çáñ¹³-Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ãáõÝÇ ë³ÑÙ³Ý, ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³Ù»ï: ²ÛëåÇëáí`

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6: nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, »Ã»

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Ra∈ ÃÇí, áñ ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·á-

ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ, áñÁ

µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ≥n N ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ï»ÕÇ áõÝÇ ε<− axn ³ÝÑ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

)( Ra∈∃ ∃>∀ )(0( ε N )N∈ ≥∈∀ nNn( N ) ε<− axn : (9)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 6-Ç ÅËïáõÙÁ. nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, »Ã»

ó³ÝÏ³ó³Í Ra∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ 0>ε ÃÇí, áñ ó³Ý-

Ï³ó³Í N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ≥n N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ

ε≥− axn .

)( Ra∈∀ ∀>∃ )(0( ε N )N∈ ≥∈∃ nNn( N ) ε≥− axn : (10)

ø³ÝÇ áñ` ε<− axn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿

εε +<<− axa n (11)

ÏñÏÝ³ÏÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ, ÇëÏ í»çÇÝë Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ nx -Á å³ïÏ³ÝáõÙ

¿ a Ï»ïÇ ε -ßñç³Ï³ÛùÇÝ` );( εε +−∈ aaxn , ³å³ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

ë³ÑÙ³ÝÇ ¨ ½áõ·³Ù»ïáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ï³ñ»ÉÇ

¿ ï³É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`

a ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã» ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ

a Ï»ïÇ ε -ßñç³Ï³ÛùÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñÝ»ñÁ ÷áùñ ã»Ý N-Çó

81

( ≥n N), ·ïÝíáõÙ »Ý ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùáõÙ (³Û¹ ßñç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë Ï³ñáÕ »Ý ·ïÝí»É

ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ` 121 ,...,, −Nxxx ):

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝ-

åÇëÇ Ra∈ ÃÇí, áñ ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ a Ï»ïÇ ε -ßñç³Ï³ÛùÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñáÝó

Ñ³Ù³ñÝ»ñÁ ÷áùñ ã»Ý N-Çó ( ≥n N), ·ïÝíáõÙ »Ý ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùáõÙ (³Û¹

ßñç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë Ï³ñáÕ »Ý ·ïÝí»É ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ`

121 ,...,, −Nxxx ):

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2: Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ¨ ½áõ·³Ù»ïáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³-

ÝáõÙÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ½áõ·³Ù»ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó í»ñç³íáñ Ãíáí

³Ý¹³ÙÝ»ñ ¹»Ý Ý»ï»Éáí ãÇ Ë³ËïíáõÙ ¹ñ³ ½áõ·³Ù»ïáõÃÛáõÝÁ ¨ ãÇ ÷áËíáõÙ

¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÇ Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» mx ¨ Nnx mn ∈+ ,

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ Ý³¨ ÙÛáõëÁ ¨

ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

mnmmmxx +∞→∞→

= limlim : (12)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 7: nα Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñ, »Ã»

ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N

µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` εα <n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

∃>∀ )(0( ε N )N∈ ≥∈∀ nNn( N ) εα <n : (13)

²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í` nα Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñ, »Ã»

0lim =∞→ nnα :

Â»áñ»Ù 1: àñå»ë½Ç nα Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ,

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ` 0lim =∞→ nnα : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

0limlim ==∞→∞→ nnnnαα : (14)

Â»áñ»Ù 2: àñå»ë½Ç Ra∈ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ,

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ axn − Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç

÷áùñ:

82

Â»áñ»Ù 2-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ áñå»ë½Ç Ra∈ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃ-

Û³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ Ý»ñÏ³Û³óíÇ

Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

,nn ax α+= áñï»Õ` 0lim =∞→ nnα : (15)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 8 : nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç Ù»Í, »Ã»

ó³ÝÏ³ó³Í 0>A ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N

µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³` Axn > ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ *).

∃>∀ )(0( A N )N∈ ≥∈∀ nNn( N ) Axn > : (16)

²Û¹ ¹»åùáõÙ ·ñáõÙ »Ý`

∞=∞→ nn

xlim Ï³Ù ∞→nx »ñµ ∞→n : (17)

Î³ñ¨áñ »Ý Ý³¨ ³ÛÝ Ù³ëÝ³íáñ ¹»åù»ñÁ, »ñµ nx ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ·áÝ» ÇÝã-áñ N Ñ³Ù³ñÇó ëÏë³Í, å³Ñå³ÝáõÙ »Ý

¹ñ³Ï³Ý (µ³ó³ë³Ï³Ý) Ýß³Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ·ñáõÙ »Ý`

∞=∞→ nn

xlim Ï³Ù ∞→nx »ñµ ∞→n : (18)

( −∞=∞→ nn

xlim Ï³Ù −∞→nx »ñµ )∞→n :

²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í` ∞=∞→ nn

xlim ( )−∞=∞→ nn

xlim , »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í 0>A ÃíÇ

Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

ï»ÕÇ áõÝÇ ( )AxAx nn −<> ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

²Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

Â»áñ»Ù 3 : ò³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ nα ¨ nβ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃ-

ÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ` nn βα + ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:

Â»áñ»Ù 4 : ò³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ nα ¨ nβ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃ-

ÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ` nn βα − ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:

Ð»ï¨³Ýù 1: ì»ñç³íáñ Ãíáí ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ·áõÙ³ñÁ, ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:

*) ø³ÝÇ áñ N Ñ³Ù³ñÁ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³éÙ³Ùµ Ï³Ëí³Í ¿ A -Çó , ³å³ »ñµ»ÙÝ ·ñáõÙ »Ý` N=N( A ) :

83

Â»áñ»Ù 5: ²Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:

Â»áñ»Ù 6 : ²Ù»Ý ÙÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

Ð»ï¨³Ýù 2: ì»ñç³íáñ Ãíáí ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³-

¹ñÛ³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:

Â»áñ»Ù 7 : ºÃ» nα ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ

Ñ³í³ë³ñ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ c ÃíÇÝ` Nncn ∈∀= ,α , ³å³ 0=c :

Â»áñ»Ù 8: ºÃ» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, ³å³ áñáß Ñ³-

Ù³ñÇó ëÏë³Í, áñáßí³Í ¿ nx/1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ÛÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:

ºÃ» nα ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ

ã»Ý 0 -Ç, ³å³ nα/1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:

²å³óáõÛó: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù Ã»áñ»ÙÇ ³é³çÇÝ Ù³ëÁ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ nx

³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý-

¹³ÙÝ»ñ, áñáÝù Ñ³í³ë³ñ »Ý 0 -Ç: Æñáù, Áëï ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ûñÇÝ³Ï 1=A ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N* Ñ³Ù³ñ,

áñ 1>nx , »ñµ ≥n N*: Ð»ï¨³µ³ñ, »ñµ ≥n N*, ³å³ 0≠nx : àõñ»ÙÝ, ëÏë³Í

N* Ñ³Ù³ñÇó áñáßí³Í ¿ nx/1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ²å³óáõó»Ýù, áñ ³Û¹

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿:

ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý ε/1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N>N* µÝ³Ï³Ý

ÃÇí, áñ ε/1>nx , »ñµ ≥n N, Ï³Ù ε<= nn xx /1/1 , »ñµ ≥n N: ì»ñçÇÝë Ýß³Ý³-

ÏáõÙ ¿, áñ nx/1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿*):

Â»áñ»ÙÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëÝ ³å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ, í»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>A

ÃÇí: ø³ÝÇ áñ nα -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ A/1 ÃíÇ

Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N Ñ³Ù³ñ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ An /1<α , »ñµ ≥n N, Ï³Ù

Ann >= αα /1/1 , »ñµ ≥n N: ì»ñçÇÝë Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ nα/1 Ñ³çáñ¹³Ï³-

*) ÐÝ³ñ³íáñ ¿, áñ nx/1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ÉÇÝÇ Ý³¨ áñáß <n N* Ñ³Ù³ñÝ»ñÇ

Ñ³Ù³ñ, ³Ûëï»Õ, µáÉáñ ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ½ñá ë³ÑÙ³Ý:

84

ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿: ²ÛëåÇëáí, Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³Ý-

Ý»ñáõÙ`

:1lim0lim

,01limlim

∞=⇔=

=⇔∞=

∞→∞→

∞→∞→

nnnn

nnnn x

x

αα

(19)

úñÇÝ³Ï 4: ú·ïí»Éáí Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó ¨ í»ñá-

ÑÇßÛ³É Ã»áñ»ÙÝ»ñÇó` ³å³óáõó»É, áñ`

³) 21

12lim =

−∞→ nn

n: Üß»É ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ »ñµ ≥n N ï»ÕÇ áõÝ»Ý³

001.021

12<−

−nn

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

µ) 0)1(2lim =−+

∞→ n

n

n: Üß»É ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ »ñµ ≥n N ï»ÕÇ

áõÝ»Ý³ ( ) 0001.0/)1(2 <−+ nn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

· ) ( )0,01lim >=∞→

knkn

; ¹) 1,lim >∞=∞→

qqn

n»Ã» ;

») 1,0lim <=∞→

qqn

n»Ã» ; ½) 0

12sin1lim =

∞→

nnn

π:

²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù` 12 −

=nnxn : àõÝ»Ýù`

)12(21

21

1221

−=−

−=−

nnnxn : ì»ñó-

Ý»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ä»ïù ¿ óáõÛó ï³É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ

N N∈ ÃÇí, áñ »ñµ ≥n N ï»ÕÇ áõÝÇ ε<−21

nx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ì»ñçÇÝ

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³, »Ã» ε<− )12(2

1n

Ï³Ù ε41

21+>n :

àñå»ë N Ñ³Ù³ñ í»ñóÝ»Ýù áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Nε41

21+>

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ Ï³Ù ε<− )12(2

1N

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ (ûñÇÝ³Ï, í»ñó-

85

Ý»Ýù N 141

21

+

+=

ε, áñï»Õ [ ]x -Á x ÃíÇ ³ÙµáÕç Ù³ëÝ ¿): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ

≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` <−

=−)12(2

121

nxn ε<

− )12(21N

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿` 21

12lim =

−∞→ nn

n: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »ñµ

001.0=ε , ³å³ N 251141

21

=+

+=

ε:

µ) I »Õ³Ý³Ï: ò³ÝÏ³ó³Í` Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù` nnn

nn 3)1(2)1(2<

−+=

−+ :

ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ÀÝïñ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ N Ñ³Ù³ñ, áñ ε<N3

Ï³Ù Nε3

> (ûñÇÝ³Ï N= [ ] 1/3 +ε ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` ε<<<−+

=−−+

N33)1(20)1(2

nnn

nn

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ

Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿` 0)1(2lim =−+

∞→ n

n

n: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »ñµ 0001.0=ε , ³å³ N=

= [ ] 300011/3 =+ε :

II »Õ³Ý³Ï: ÜÏ³ï»Ýù, áñ ( ) nn /)1(2 −+ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³-

Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý` n)1(2 −+ ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý`

n/1 ³ñï³¹ñÛ³É ¿: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 5-Ç, ³ÛÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` 0)1(2lim =−+

∞→ n

n

n:

·) I »Õ³Ý³Ï: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ø³ÝÇ áñ kk nn101

=− ,

³å³ µ³í³Ï³Ý ¿ ÉáõÍ»É ε<kn1

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿` knε1

>

³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, áñå»ë N N∈ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É` N= 11+

kε

:

86

²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` ε<<=− kkk Nnn1101

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿` 01lim =∞→ kn n

:

II »Õ³Ý³Ï: ÜÏ³ï»Ýù, áñ kn Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿: Æñáù,

ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ 0>A ÃÇíÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Nn ∈0 , áñ An k >0 (áñå»ë 0n

Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É` [ ] 10 += k An ÃÇíÁ): Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 8-Ç,

kn1

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` 01lim =∞→ kn n

:

¹) q -Ý Ý»ñÏ³Û³óÝ»Ýù` δ+=1q ï»ëùáí, áñï»Õ 0>δ : ú·ïí»Éáí ´»é-

ÝáõÉÇÇ (§2-Ç (83)) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

δδδ NNq NN>+≥+= 1)1( : (20)

ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>A ÃÇí ¨ ÁÝïñ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ`

N A>δ : (21)

úñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ñáÕ »Ýù í»ñóÝ»É` N= 11

1 +

−=+

qAA

δ: ø³ÝÇ áñ

1>q , ³å³ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÁ` Nn qq ≥ : (22)

Ð³Ù»Ù³ï»Éáí (20)-(22) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ ó³ÝÏ³-

ó³Í 0>A ÃÇíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` N= 11

+

−qA

Ñ³Ù³ñ, áñ µáÉáñ ≥n N

µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ Aqq nn >= ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹

Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ nq -Á, ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` ∞=∞→

n

nqlim :

») ºÃ» 0=q , ³å³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ 0lim =∞→

n

nq :

ºÝÃ³¹ñ»Ýù` 10 << q : Üß³Ý³Ï»Ýù` bq /1= : Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ 1>b :

ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ø³ÝÇ áñ nb Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³Ýí»ñç

Ù»Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ε/1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N

Ñ³Ù³ñ, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ ε/1>nb Ï³Ù

87

ε<nb/1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³-

Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

ε<=

== n

nnn

bbqq 11

:

²Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ nq -Á ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿`

0lim =∞→

n

nq :

½) I »Õ³Ý³Ï: ò³ÝÏ³ó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù` n

nn

nn

112

sin112

sin1≤=

ππ:

ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí: ÀÝïñ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ N Ñ³Ù³ñ, áñ ε<N1

Ï³Ù Nε1

> (ûñÇÝ³Ï N= [ ] 1/1 +ε ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ, µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` επ

<≤≤N11

12sin1

nn

n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ

¿` 012

sin1lim =∞→

nnn

π:

II »Õ³Ý³Ï: ÜÏ³ï»Ýù, áñ

12sin1 n

nπ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñ-

Ï³Û³óÝáõÙ ¿ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý`

12sin

nπ ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý` n/1 ³ñï³¹ñÛ³É: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 5-Ç,

³ÛÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` 012

sin1lim =∞→

nnn

π :

úñÇÝ³Ï 5: ²å³óáõó»É, áñ a ÃÇíÁ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ã¿.

³) 3,cos2cos2

=+−

= ann

xn ππ

; µ) 0,922

2

2

=−−

= ann

xn :

²å³óáõÛó: ³) Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ Nkx k ∈∀= ,31

2 ¨ Nkx k ∈∀=− ,312 :

ºÃ» í»ñóÝ»Ýù 1=ε , ³å³ Nkx k ∈∀>=−=− ,1383

3132 : Ð»ï¨³µ³ñ, ·áÛáõ-

ÃÛáõÝ áõÝÇ )1(0 => εε ÃÇí, áñ ∀ N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥0n N

88

µÝ³Ï³Ý ÃÇí >= kn 2( 0 N), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ` ε>−30nx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

àõñ»ÙÝ, 3-Á nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ã¿:

µ) ¶Ý³Ñ³ï»Ýù 0−nx ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÁ Ý»ñù¨Çó`

21

)92(25

210

9220 22

2

>−

+=−−−

=−nn

nxn , »ñµ 3≥n :

Ð»ï¨³µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>ε , ûñÇÝ³Ï 2/1=ε , áñ ó³ÝÏ³ó³Í 3≥n

µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` 210 >−nx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: àõñ»ÙÝ, 0-Ý

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ã¿:

úñÇÝ³Ï 6: ²å³óáõó»É, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, »Ã»`

³) ( )1

1+

+−=n

nx nn ; µ)

32cos

1n

nnxn

π+

= :

²å³óáõÛó: ³) ²å³óáõó»Ýù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í Ra∈ ÃÇí nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ã¿: Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ ½áõÛ· Ñ³Ù³ñ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ

Ù»Í »Ý 23

-Çó` Nkk

x k ∈∀>+

−= ,23

12122 , ÇëÏ Ï»Ýï Ñ³Ù³ñ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³Ù-

Ý»ñÁ ÷áùñ »Ý 0 -Çó` Nkk

x k ∈∀<−=− ,021

12 : Ð»ï¨³µ³ñ, »ñÏáõ ³ÝÙÇç³Ï³Ý

Ñ³ñ¨³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ¿ 2/3 -ÇÝ`

Nnxx nn ∈∀>− + ,2/31 :

¸Çóáõù` a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ì»ñóÝ»Ýù a Ï»ïÇ 4/1=ε -ßñç³-

Ï³ÛùÁ` ( )4/1;4/1 +− aa : ò³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ ³ÝÙÇç³Ï³Ý Ñ³ñ¨³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ`

nx -Á ¨ 1+nx -Á ÙÇ³ëÇÝ ã»Ý Ï³ñáÕ ·ïÝí»É a Ï»ïÇ Ýßí³Í ßñç³Ï³ÛùáõÙ, ù³ÝÇ áñ

Ýñ³Ýó ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ¿ 2/1 -ÇÝ` ßñç³Ï³ÛùÇ »ñÏ³-

ñáõÃÛ³ÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, Ýñ³ÝóÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùÇó

¹áõñë: ²ÛëåÇëáí, ó³ÝÏ³ó³Í a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>ε ÃÇí, ûñÇÝ³Ï

4/1=ε , áñ ó³ÝÏ³ó³Í N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥0n N µÝ³Ï³Ý ÃÇí

(N Ï³Ù N+1 Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ` ε=>− 4/10

axn ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

89

µ) Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ` Nkk

kx k ∈∀+

= ,13

33

¨ Nkk

kx k ∈∀−

−=− ,3

1321

13:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ 1 Ï»ïÇ ó³ÝÏ³ó³Í ε -ßñç³Ï³Ûù å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ kx3 ï»ëùÇ

³Ýí»ñç Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ, ÇëÏ 2/1− Ï»ïÇ ó³ÝÏ³ó³Í ε -ßñç³Ï³Ûù å³ñáõÝ³-

ÏáõÙ ¿ 13 −kx ï»ëùÇ ³Ýí»ñç Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ: ØÛáõë ÏáÕÙÇó`

Nkkk

kxx kk ∈∀>++

−=− + ,21

)13(619

23

133:

¸Çóáõù` a -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ì»ñóÝ»Ýù a Ï»ïÇ 8/1=ε -ßñç³-

Ï³ÛùÁ` ( )8/1;8/1 +− aa : ò³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ` kx3 ¨ 13 −kx ï»ëùÇ Ñ³ñ¨³Ý ³Ý¹³Ù-

Ý»ñ ÙÇ³ëÇÝ ã»Ý Ï³ñáÕ ·ïÝí»É a Ï»ïÇ Ýßí³Í ßñç³Ï³ÛùáõÙ, ù³ÝÇ áñ Ýñ³Ýó

ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ñ³½³ÝóáõÙ ¿ 4/1 -ÇÝ` ßñç³Ï³ÛùÇ »ñÏ³-ñáõÃÛ³ÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, Ýñ³ÝóÇó ³éÝí³½Ý Ù»ÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³Û¹ ßñç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë: ²ÛëåÇëáí, ó³ÝÏ³ó³Í Ra∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>ε ÃÇí,

ûñÇÝ³Ï 8/1=ε , áñ ó³ÝÏ³ó³Í N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥0n N µÝ³-

Ï³Ý ÃÇí ( ≥−13k N Ï³Ù ≥k3 N Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ` ε=>− 8/10

axn

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ ï³ñ³-

Ù»ï ¿:

úñÇÝ³Ï 7: òáõÛó ï³É, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿ , »Ã»`

³) 3213 2

−+

=n

nxn; µ) ( ) nx n

n 1−= :

ÈáõÍáõÙ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 10>A ÃÇí ¨ ÉáõÍ»Ýù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ`

Axn > , (23)

»ÝÃ³¹ñ»Éáí, áñ 1>n : (23) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³-

ë³ñÙ³ÝÁ` 01323 2 >++− AnAn : ì»ñçÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý

+∞

−−+ ;3

392 AAA (24)

ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, áñå»ë N Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿

í»ñóÝ»É` 13/392 +

−−+=Ν AAA µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ: ²ÛÅÙ, »Ã» í»ñóÝ»Ýù

≥n N, ³å³ ³ÛÝ Ïµ³í³ñ³ñÇ (23) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí, ó³ÝÏ³ó³Í 10>A ÃÇíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` N∈Ν ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (23) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: ²Û¹ Ýß³-

Ý³ÏáõÙ ¿, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ` ∞=∞→ nn

xlim :

90

µ) ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>A ÃÇí ¨ ÉáõÍ»Ýù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ`

Annx nn >=−= )1( :

àñå»ë N Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí` Ù»Í A -Çó, ûñÇÝ³Ï` N= = [ ] 1+A : ²ÛëåÇëáí, ó³ÝÏ³ó³Í 0>A ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý

ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ Axn > ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÁ: àõñ»ÙÝ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿` ∞=∞→

nn

xlim :

4. ¼áõ·³Ù»ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

Â»áñ»Ù 9 : ¼áõ·³Ù»ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ë³ÑÙ³Ý:

Â»áñ»Ù 10 : ¼áõ·³Ù»ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ axnn=

∞→lim :

ì»ñóÝ»Ýù áñáß³ÏÇ 0>ε ÃÇí: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ë³Ñ-Ù³ÝÙ³Ý, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ »ñµ ≥n N ï»ÕÇ áõÝÇ

εε +<<− axa n (25)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: (25) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ Ï³ñáÕ »Ý ãµ³í³ñ³ñ»É

ÙÇ³ÛÝ 121 ...,,, −Nxxx Ãí»ñÁ: Üß³Ý³Ï»Ýù` εε +−= − aaxxxA N ,,,...,,max 121 :

²Û¹ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

NnAxn ∈∀≤ , : (26)

Ð»ï¨³µ³ñ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿: ∆

Â»áñ»Ù 11: ºÃ» nx ¨ ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨

axnn=

∞→lim áõ bynn

=∞→

lim , ³å³ nnnnnn yxyxyx ,, −+ ¨ nn yx / Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï »Ý (í»ñçÇÝë ï»ÕÇ áõÝÇ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ

Nnyn ∈∀≠ ,0 ¨ 0≠b ), ÁÝ¹ áñáõÙ`

( ) ;limlimlim.1 bayxyx nnnnnnn+=+=+

∞→∞→∞→ (27)

( ) ;limlimlim.2 bayxyx nnnnnnn−=−=−

∞→∞→∞→ (28)

91

( ) ;limlimlim.3 abyxyx nnnnnnn=⋅=

∞→∞→∞→ (29)

:lim

limlim.4

ba

y

x

yx

nn

nn

n

n

n==

∞→

∞→

∞→ (30)

Ð»ï¨³Ýù 3: ºÃ» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í

R∈α ÃíÇ Ñ³Ù³ñ`

( ) :limlim nnnnxx

∞→∞→=αα (31)

Â»áñ»Ù 12 : ¸Çóáõù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ`

cxnn=

∞→lim : ºÃ» ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³ñÇó` )( bxbx nn ≤≥ , ³å³ )( bcbc ≤≥ :

Ð»ï¨³Ýù 4: ºÃ» nx ¨ ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨

ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³ñÇó ï»ÕÇ áõÝÇ` nn yx ≤ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³

nnnnyx

∞→∞→≤ limlim : (32)

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ºÃ» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ëÏë³Í áñáß

Ñ³Ù³ñÇó ï»ÕÇ áõÝÇ` )( bxbx nn <> ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿

ÙÇ³ÛÝ åÝ¹»É, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ )( bcbc ≤≥ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

úñÇÝ³Ï, »Ã» nxn /1= , ³å³ Nnxn ∈∀> ,0 : ´³Ûó cnxnnn

===∞→∞→

0/1limlim ,

áñÁ ãÇ µ³í³ñ³ñáõÙ` 0>c ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ:

Ð»ï¨³Ýù 5: ¸Çóáõù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ`

cxnn=

∞→lim : ºÃ» ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³ñÇó` bxa n ≤≤ , ³å³ bca ≤≤ :

Â»áñ»Ù 13: (ºñÏÏáÕÙÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³÷³ÏáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùÁ): ºÃ» nx ,

ny , nz Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ nx , ny Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ` cyx nnnn==

∞→∞→limlim ¨ ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³-

ñÇó ï»ÕÇ áõÝ»Ý`

nnn yzx ≤≤ , (33)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³å³ nz Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï

¿ ¨ cznn=

∞→lim :

úñÇÝ³Ï 8: ¶ïÝ»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã»`

92

³) nnn

nnxn +−+−

= 34

24

10158

; µ) 1613

121 22

++

−++

=nn

nnxn ;

·) 22

...21 nn

nxn −+

+++= ; ¹)

( )( ) 11

1

615561

++

+

−−−−

=nnn

nnn

nx :

ÈáõÍáõÙ: ³) àñå»ë½Ç Ï³ñáÕ³Ý³Ýù ÏÇñ³é»É Ã»áñ»Ù 11-Á, Ó¨³÷áË»Ýù nx

³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ, µ³Å³Ý»Éáí Ñ³Ù³ñÇãÁ ¨ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ 4n -Ç íñ³ ( n -Ç ³Ù»Ý³µ³ñÓñ óáõóÇãáí ³ëïÇ×³ÝÇ íñ³)

3

42

34

24

1101

158

10158

nn

nnnnn

nnxn

+−

+−=

+−+−

= :

Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ

01lim10lim1lim5lim 342 ====∞→∞→∞→∞→ nnnn nnnn

¨ 11lim,88lim ==∞→∞→ nn

¨ ÏÇñ³é»Éáí Ã»áñ»Ù 11-Á, Ïëï³Ý³Ýù`

81lim10lim1lim

1lim5lim8lim

1101lim

158lim

1101

158limlim

3

42

3

42

3

42=

+−

+−=

+−

+−

=+−

+−=

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

∞→

∞→

∞→∞→

nn

nn

nn

nn

nn

nnx

nnn

nnn

n

n

nnn

µ) ÜÏ³ï»Ýù, áñ`

1812122

1613

121

2

222

++++

−=++

−++

=nnnn

nn

nnxn :

Ð»ï¨³µ³ñ`

61

1812

122lim

1812122limlim

2

2

2

2

−=++

++−=

++++

−=∞→∞→∞→

nn

nnnnnnx

nnnn:

·) ú·ïí»Éáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ µ³Ý³Ó¨Çó, Ïëï³Ý³Ýù`

)2(2222

)1(

22...21

+−=−

+

+

=−+

+++=

nnn

n

nnn

nnxn :

Ð»ï¨³µ³ñ `

93

21

21

1lim21

)2(2limlim −=

+−=

+−=

∞→∞→∞→

nn

nxnnnn

:

¹) Ò¨³÷áË»Ýù nx ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ`

( )( )

( )( )

665

6551

6556

615561

1

1

11

1

+

−

−−

=−−−−

=−−

−−=

+

+

++

+

n

n

nn

nn

nnn

nnn

nx :

ø³ÝÇ áñ 065lim =

−

∞→

n

n ( ï»ë ûñÇÝ³Ï 4, »)), ³å³ ÏÇñ³é»Éáí Ã»áñ»Ù 11-Á,

Ïëï³Ý³Ýù`

61

665

6551

limlim =

+

−

−−

=∞→∞→ n

n

nnnx :

úñÇÝ³Ï 9: ¶ïÝ»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã»`

³) )0( >= aax nn ; µ) n

n nx = ;

·) )1( >= aanx nn ; ¹) )1(log

>= an

nx an :

») nnnn

xn+

+++

++

=222

1...2

1

1

1; ½)

1!sin++

=nnnnnxn :

ÈáõÍáõÙ: ³) ¸Çóáõù 1>a : Üß³Ý³Ï»Ýù` nn a α=−1 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ 0>nα ¨ Ñ³-

Ù³Ó³ÛÝ ´»éÝáõÉÇÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý, ÏáõÝ»Ý³Ýù` >+≥+= nn

n na αα 1)1( nnα :

àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù` Nnna

n ∈∀<< ,0 α : ø³ÝÇ áñ 0lim =∞→ n

an

, ³å³ Ñ³Ù³-

Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 13-Ç , ÏáõÝ»Ý³Ýù` 0lim =∞→ nnα : ²ÛëåÇëáí, áõÝ»Ýù`

1lim1)1(limlim =+=+=∞→∞→∞→ nnnn

n

na αα Ï³Ù 1lim =

∞→

n

na :

¸Çóáõù` 10 << a : ²Û¹ ¹»åùáõÙ 11>=

ab , Ñ»ï¨³µ³ñ, í»ñ¨áõÙ ³å³-

94

óáõó³ÍÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ` 1lim =∞→

n

nb : Ð»ï¨³µ³ñ`

1lim

11lim1limlim ====∞→

∞→∞→∞→ n

n

nnn

n

n

n bbba :

ºÃ» 1=a , ³å³ Nnan ∈∀= ,1 , Ñ»ï¨³µ³ñ` 1lim =∞→

n

na :

µ) Üß³Ý³Ï»Ýù` nn n α=−1 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` 0≥nα ¨ ++=+= n

nn nn αα 1)1(

22

2)1(...

2)1(

nnnn

nnnnααα

−≥++

−+ , »ñµ 2≥n : ø³ÝÇ áñ

21 nn ≥− , »ñµ 2≥n ,

³å³ Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É` 22

4 nnn α> : àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

nn20 <<α , »ñµ 2≥n :

ÎÇñ³é»Éáí Ã»áñ»Ù 13-Á Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù, áñ 0lim =∞→ nnα : ²ÛëåÇëáí, áõÝ»Ýù`

1lim1)1(limlim =+=+=∞→∞→∞→ nnnn

n

nn αα Ï³Ù 1lim =

∞→

n

nn :

·) ø³ÝÇ áñ 1>a , ³å³ ï»ÕÇ áõÝ»Ý` 22

2 )1(4

)1(2

)1()11( −≥−−

≥−+= anannaa nn

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, »ñµ 2≥n : àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ` 2)1(40−

≤≤ana

nn :

ø³ÝÇ áñ 0)1(

4lim 2 =−∞→ ann

, ³å³ ÏÇñ³é»Éáí Ã»áñ»Ù 13-Á, Ïëï³Ý³Ýù`

0lim =∞→ nn a

n:

¹) ¸Çóáõù ε -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ´Ý³Ï³Ý n Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ ε<n

nalog ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿` ( )nan ε< ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ 1>εa , ³å³ Áëï Ý³Ëáñ¹ ËÝ¹ñÇ` ( ) 0lim =∞→ nn a

nε

: Ð»ï¨³µ³ñ,

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ≥n N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ

Ñ³Ù³ñ` ( ) 1<nanε

Ï³Ù nan ε< : ²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ≥n N

µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ ε<≤n

nalog0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ì»ñçÇÝë

95

Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ` 0log

lim =∞→ n

na

n:

») Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ` Nnn

nxnn

nn ∈∀

+≤≤

+,

122: ø³ÝÇ áñ`

111

1limlim2

=

+

=+ ∞→∞→

nnn

nnn

¨ 111

1lim1

lim

2

2=

+

=+ ∞→∞→

nn

nnn

,

³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 13-Ç` 1lim =∞→ nn

x :

½) Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ` Nnnnn

nxnnn

nn ∈∀

++≤≤

++− ,

11: ø³ÝÇ

áñ` 01

lim1

lim =++

=++

−∞→∞→ nnn

nnnn

nnn

, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 13-Ç`

0lim =∞→ nn

x :

5. ØáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ: e ÃÇíÁ

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 9 : nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³×áÕ, »Ã» µáÉáñ n

µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ` 1+< nn xx .

1)( +<∈∀ nn xxNn : (34)

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ãÝí³½áÕ, »Ã» µáÉáñ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ` 1+≤ nn xx .

1)( +≤∈∀ nn xxNn : (35)

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ýí³½áÕ, »Ã» µáÉáñ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ` 1+> nn xx .

1)( +>∈∀ nn xxNn : (36)

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ã³×áÕ, »Ã» µáÉáñ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ` 1+≥ nn xx .

1)( +≥∈∀ nn xxNn : (37)

´áÉáñ ³Ûë ãáñë ïÇåÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇ³íáñáõÙ »Ý Ù»Ï ÁÝ¹Ñ³-

Ýáõñ ³Ýí³Ý ï³Ï` ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ:

96

Â»áñ»Ù 14 (ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ): àñå»ë½Ç ÙáÝáïáÝ nx Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ë³ÑÙ³-

Ý³÷³Ï:

²å³óáõÛó: ²å³óáõÛóÁ Ï³ï³ñ»Ýù ÙÇ³ÛÝ ãÝí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³-

Ù³ñ: ø³ÝÇ áñ ½áõ·³Ù»ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï »Ý (ï»ë

Ã»áñ»Ù 10-Á), ³å³ µ³í³Ï³Ý ¿ ³å³óáõó»É Ã»áñ»ÙÇ µ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ:

Àëï Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿

(ãÝí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙÇßï Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï »Ý, ûñÇÝ³Ï

1x ³Ý¹³Ùáí), Ñ»ï¨³µ³ñ ³ÛÝ áõÝÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ »½ñ` nxa sup= : Àëï ×Áß-

·ñÇï í»ñÇÝ »½ñÁ µÝáõÃ³·ñáÕ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ` ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Nx ³Ý¹³Ù ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ axa ≤<− Nε : ø³ÝÇ áñ nx Ñ³-

çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ ¿, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í ≥n N Ñ³Ù³ñÇ ¹»åùáõÙ áõ-

Ý»Ýù` axxa n ≤≤<− Nε , ³ÛëÇÝùÝ` ε<−=− nn xaax , »ñµ ≥n N: àõñ»ÙÝ`

nNn

nnxax

∈∞→== suplim : (38)

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ ã³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

nNnnnxx

∈∞→= inflim : ∆ (39)

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 4: Â»áñ»Ù 14-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »Ã» nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ Ï³Ù ³×áÕ ¿ ¨ ½áõ·³Ù»ï, ÁÝ¹ áñáõÙ` axnn=

∞→lim , ³å³

Nnaxn ∈∀≤ , , ÇëÏ »Ã» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ã³×áÕ Ï³Ù Ýí³½áÕ ¿ ¨

½áõ·³Ù»ï, ÁÝ¹ áñáõÙ` axnn=

∞→lim , ³å³ Nnaxn ∈∀≥ , :

Â»áñ»Ù 15 : ¸Çóáõù ïñí³Í nx ãÝí³½áÕ ¨ ny ã³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃ-

ÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ `

Nnyx nn ∈∀< , : (40)

ºÃ» 0)(lim =−∞→ nnn

xy , ³å³ nx ¨ ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý

Ù»Ï ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ë³ÑÙ³Ý` cxy nnnn==

∞→∞→limlim :

²å³óáõÛó: ÜÏ³ï»Ýù, áñ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ

Nnyyxx nn ∈∀≤<≤ ,11 : (41)

Ð»ï¨³µ³ñ, nx ¨ ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ý³¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï »Ý:

97

Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 14-Ç ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: ¸Çóáõù

cxnn=

∞→lim , cynn

′=∞→

lim : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 11-Ç, áõÝ»Ýù`

),(lim nnnyxcc −=′−

∞→ (42)

áñÁ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ 0-Ç: àõñ»ÙÝ` :cc =′ ∆ ²å³óáõó³Í Ã»áñ»ÙÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É áõñÇß Ó¨³Ï»ñåáõÙ, áñÝ ³í»ÉÇ Ñ³×³Ë

¿ ÏÇñ³éíáõÙ: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`

[ ] [ ] [ ] ...,;...,,;,; 2211 nn bababa (43)

Î³ë»Ýù, áñ (43) Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ý»ñ¹ñí³Í ¿, »Ã»

ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ` [ ] [ ]nnnn baba ;; 11 ⊂++ : ì»ñçÇÝë Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿,

áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

Nnbbaa nnnn ∈∀≤<≤ ++ ,11 : (44)

Â»áñ»Ù 16 (Ü»ñ¹ñí³Í Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ëÏ½µáõÝùÁ): ¸Çóáõù [ ] nn ba ; -Á

Ý»ñ¹ñí³Í Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ³ÛÝåÇëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áñ ³Û¹ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ

»ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝÁ, »ñµ ∞→n Ñ³í³ë³ñ ¿ 0 -Ç` 0)(lim =−∞→ nnn

ab :

²Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï c ÃÇí, áñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ µáÉáñ ³Û¹

Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇÝ` [ ]∞

=∈

1;

n nn bac , ÁÝ¹ áñáõÙ` nnnnbac

∞→∞→== limlim :

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 5: Ü»ñ¹ñí³Í Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ëÏ½µáõÝùÝ, Ñ³×³Ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý

Ý³¨ §Ü»ñ¹ñí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ É»ÙÙ³¦: ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½-

ÙáõÃÛ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³ÝÁ:

e ÃÇíÁ: ¸Çï³ñÏ»Ýù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ`

n

n nx

+=

11 : (45)

ÎÇñ³é»Éáí ÜÛáõïáÝÇ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

:!

111...2111...

!111...2111...

!2111111

!)1(...)1(

...1!

)1(...)1(...1!2

)1(1111 2

nnn

nn

knk

nnnnnnnnn

nkknnn

nnn

nn

nx

n

k

n

n

−−⋅⋅

−

−++

+

−−⋅⋅

−

−++

−++=

+−⋅⋅−+

+++−⋅⋅−

++−

+⋅+=

+=

(46)

ÜÙ³Ý Ó¨áí Ïëï³Ý³Ýù`

98

( ) :!1

11

1...1

211

11!

1111...

121

111

...!

1111...

121

111...

!21

111111

+

+−⋅⋅

+−

+−+

+−

−⋅⋅

+−

+−+

++

+−

−⋅⋅

+−

+−++

+−++=+

nnn

nnnnn

nn

knk

nnnxn

ø³ÝÇ áñ nx -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ·áõÙ³ñ»ÉÇ ÷áùñ ¿ 1+nx -Ç Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý

·áõÙ³ñ»ÉÇÇó ¨ 1+nx -Ý áõÝÇ Ù»Ï ¹ñ³Ï³Ý ·áõÙ³ñ»ÉÇ ³í»ÉÇ ù³Ý nx -Á (í»ñçÇÝ ·áõ-

Ù³ñ»ÉÇÝ), ³å³ Nnxx nn ∈∀< + ,1 : ²ÛëÇÝùÝ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿:

ØÛáõë ÏáÕÙÇó, ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ Nkk k ∈∀≤

−,

21

!1

1 ¨ 11 <−nk

),...,3,2( nk = ,

Ïëï³Ý³Ýù`

3122

1...21

212

!1...

!31

!212 12 =+<++++<=++++<

−nnn yn

x : (47)

²ÛëåÇëáí, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿ ¨ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï: Ð³-

Ù³Ó³ÛÝ ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ ³ÛÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: Ð»ï¨»Éáí È. ¾ÛÉ»ñÇÝ` ³Û¹

ë³ÑÙ³ÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý e -áí: ²ÛëåÇëáí`

n

n ne

+=

∞→

11lim : (48)

e -ÃíÇ Ùáï³íáñ Ñ³ßíáõÙÁ ¨ ¹ñ³ Çé³óÇáÝ³ÉÇáõÃÛáõÝÁ: (46) µ³Ý³Ó¨Ç Ù»ç

ë¨»é»Ýù k -Ý ¨, Ñ³Ù³ñ»Éáí kn > , ¹»Ý Ý»ï»Ýù 1+k -ñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÇÝ Ñ³çáñ¹áÕ

µáÉáñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ`

!111...2111...

!21112

knk

nnnxn

−−⋅⋅

−

−++

−+> : (49)

(49) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ ∞→n : Ð³Ù³Ó³ÛÝ

Ñ»ï¨³Ýù 4-Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

kyk

e =++++≥!

1...!3

1!2

12 : (50)

(50) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í Nk ∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, Ñ»ï¨³-

µ³ñ, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí Ý³¨ (47) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ` Ïëï³Ý³Ýù`

eyx nn ≤< : (51)

ÎÇñ³é»Éáí Ã»áñ»Ù 13-Á` Ïëï³Ý³Ýù`

exy nnnn==

∞→∞→limlim (52)

99

²ÛëåÇëáí, ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

++++=

∞→ !1...

!31

!212lim

ne

n: (53)

²ÛÅÙ ·Ý³Ñ³ï»Ýù nye − ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ Ýå³ï³Ïáí Ý³Ë ¹Çï³ñ-

Ï»Ýù ny -ÇÝ Ñ³çáñ¹áÕ áñ¨¿ mny + -Ç ¨ ny -Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ`

,mnn yy +< Nnm ∈∀ , , ³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

+

+++

++

+=

+++

++

+=−< + 32

12

11!1

1!

1...!2

1!1

10nnnnmnnn

yy nmn

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )<

+++

++

++

+<

+⋅⋅++

++ −12 21...

21

211

!11

...321... mnnnnmnnn

( ) ( ):

!1

12

!1

211

1!1

12 nnn

nn

nn

<++

⋅=

+−

⋅+

<

Ð»ï¨³µ³ñ, Nmn ∈∀ , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

( )Nmn

nnnn

nyy nmn ∈∀<

++

⋅<−< + ,,!1

12

!10 2

: (54)

(54) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç n -Á ë¨»é»Ýù ¨ ³ÝóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ

∞→m : Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2-Á ¨ nmn yy −+ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

³×áÕ ÉÇÝ»ÉÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

Nnnn

ye n ∈∀<−< ,!10 : (55)

êï³óí³Í (55) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí Ï³ñ»ÉÇ ¿

·ñ»É`

nnnye n !

)(Θ=− , áñï»Õ Nnn ∈∀<Θ< ,1)(0 : (56)

î»Õ³¹ñ»Éáí ny -Ç ³ñÅ»ùÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

Nnnnn

ne ∈∀+++++= ,

!)(

!1...

!31

!212 Θ

: (57)

(57) µ³Ý³Ó¨Á »É³Ï»ï ¿ Í³é³ÛáõÙ e -ÃíÇ Ùáï³íáñ Ñ³ßíÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:

¸Çóáõù å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ n µÝ³Ï³Ý ÃÇíÝ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ e -Ý ny -áí ÷áË³-

ñÇÝ»Éáõó ÃáõÛÉ ïñí³Í ëË³ÉÁ ã·»ñ³½³ÝóÇ 0>ε ÃÇíÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ n µÝ³Ï³Ý

100

ÃÇíÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ε<nn!

1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó:

Ð³ßí³ñÏÝ»ñÁ óáõÛó »Ý ï³ÉÇë, áñ ...597182818284.2=e : Üß»Ýù Ý³¨, áñ (57)

Ý»ñÏ³Û³óáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ e -Ý Çé³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: Æñáù, »Ã» »ÝÃ³¹ñ»Ýù, áñ

Nmnnme ∈= ,, , ³å³ (57) µ³Ý³Ó¨Á ·ñ»Éáí ³Û¹ n -Ç Ñ³Ù³ñ, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

nnn

nnm

!)(

!1...

!31

!212 Θ

+++++= (58)

(58) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Éáí !n -áí, Ïëï³Ý³Ýù`

Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëáõÙ ³ÙµáÕç ÃÇí, ÇëÏ ³ç Ù³ëáõÙ` ³ÙµáÕç ÃÇí ·áõÙ³-

ñ³Í nn)(Θ

Ïáïáñ³ÏÁ, áñÝ ³ÝÑÝ³ñ ¿: êï³óí³Í Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝÝ ³å³óáõóáõÙ

¿, áñ e -Ý é³óÇáÝ³É ÃÇí ã¿:

Ð³×³Ë nx ¨ ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ýáñ¹ Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý` nn yx / ë³ÑÙ³ÝÁ áñáß»ÉÇë û·ï³Ï³ñ ¿ ÉÇÝáõÙ Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ:

Â»áñ»Ù 17 (ÞïáÉóÇ Ã»áñ»ÙÁ): ¸Çóáõù ny -Á ³×áÕ ¨ ³Ýí»ñç Ù»Í Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿` ∞=∞→ nn

ylim : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

,limlim1

1

−

−

∞→∞→ −−

=nn

nn

nn

n

n yyxx

yx

(59)

»Ã» ÙÇ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ç ÏáÕÙÇ ë³ÑÙ³ÝÁ (³ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É Ý³¨ ∞− Ï³Ù ∞ ):

úñÇÝ³Ï 10: ³) ¸Çóáõù na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ a ë³ÑÙ³Ý`

aann

=∞→

lim ( a -Ý Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É Ý³¨ ∞− Ï³Ù ∞ ): ²å³óáõó»É, áñ

aan

aaann

n

n==

+++∞→∞→

lim...lim 21 : (60)

µ) ºÃ» na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý ¨ aann=

∞→lim , ³å³

aaaaa nnn

nn==⋅⋅

∞→∞→lim...lim 21 (61)

·) ºÃ» np Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

Lp

p

n

nn

=+∞→

1lim

101

ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ý³¨ nnn

p∞→

lim ë³ÑÙ³ÝÁ ¨ ï»ÕÇ áõÝÇ`

Lp

pp

n

n

nn

nn== +

∞→∞→

1limlim (62)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

ÈáõÍáõÙ: ³) ÞïáÉóÇ Ã»áñ»ÙÇ Ù»ç ÁÝ¹áõÝ»Éáí nn aaax +++= ...21 , nyn = ,

Ïëï³Ý³Ýù`

aayyxx

yx

naaa

nnnn

nn

nn

n

n

n

n==

−−

==+++

∞→−

−

∞→∞→∞→limlimlim...lim

1

121 :

µ) ÜÏ³ï»Ýù, áñ aann=

∞→lim Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿` =

∞→ nnalnlim

nna

∞→= limln aln= Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ( xln ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý áõÅáí

[27]): Ð»ï¨³µ³ñ`

aan

aaaaaa nn

n

nn

nnlnlnlimln...lnlnlim...lnlim 21

21 ==+++

=⋅⋅∞→∞→∞→

:

(ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ Ý³¨, »ñµ 0=a , ³Û¹ ¹»åùáõÙ`

−∞=aln ): òáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý áõÅáí [27], Ïëï³Ý³Ýù`

aeeaaa aaaa

nn

nn

nn ===⋅⋅ ⋅⋅

∞→∞→

ln...ln21

21lim...lim :

(²Û¹ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ×Çßï »Ý Ý³¨, »ñµ 0=a ):

·) Üß³Ý³Ï»Ýù` ,...,...,,,12

33

1

2211

−

====n

nn p

pa

pp

app

apa : Ð³Ù³Ó³ÛÝ (61)

µ³Ý³Ó¨Ç ¨ ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2-Ç, Ïëï³Ý³Ýù`

Lp

ppp

pp

pp

pp

ppn

n

nn

n

nn

n

n

nn

nn===⋅⋅⋅⋅= +

∞→−

∞→−

∞→∞→

1

112

3

1

21 limlim...limlim :

úñÇÝ³Ï 11:¶ïÝ»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã»

³) )(!

Ranax

n

n ∈= ; µ) 12 4...

43

421

−++++= nn

nx ;

·) Nnxxx nn ∈+== + ,12,13 11 ; ¹) nn nnx !

= :

ÈáõÍáõÙ: ³) ò³ÝÏ³ó³Í Ra∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N

µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` 1+< na

102

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ`

,,11 Nn

naxx nn ∈+

⋅=+ , (63)

³å³ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` nn xx <+1 ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëÇÝùÝ` ëÏë³Í N Ñ³Ù³ñÇó nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿:

ø³ÝÇ áñ nx -Á ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ûñÇÝ³Ï 0-áí, ³å³

Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 14-Ç nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

¸Çóáõù` cxnn=

∞→lim : ÜÏ³ï»Ýù, áñ (63)-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿`

,,11 Nn

na

xx nn ∈+

⋅=+ (64)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ

∞→n ¨ Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2-Á, Ïëï³Ý³Ýù`

01

lim =+

⋅=∞→ n

acc

n:

²ÛëåÇëáí` nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³-

Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 1-Ç, áõÝ»Ýù`

Rana

na

n

n

n

n∈∀==

∞→∞→,0

!lim

!lim :

µ) ø³ÝÇ áñ` nnnn xnxx >+

+=+ 41

1 , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿:

²å³óáõó»Ýù, áñ ³ÛÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó: Æñáù, »Ã» 3≥n , ³å³

)2)(1(293

!3)2)(1()31(4 3 −−=

−−>+= nnnnnnnn :

Ð»ï¨³µ³ñ`

3,)2)(1(

198

40 1 ≥∀

−−<<

−n

nnnn

: (65)

Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí (65)-Á, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

103

:,25

11

212

11

21

...31

21

211

211

)2)(1(1...

231

121

421

Nnnnn

nnxn

∈∀<−

−+=−

−−

+

++−+−++=−−

++⋅

+⋅

++≤

Ð»ï¨³µ³ñ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ý³¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó:

Ð³Ù³Ó³ÛÝ ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²ÛÅÙ ·ïÝ»Ýù ¹ñ³ ë³Ñ-Ù³ÝÁ, »ñµ ∞→n : Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ

=−−

−−−−−++++=−−− nnnnn

nnnxx44

1...43

42

41

4...

43

421

41

13212

nnn

n

nn

nnn44

1134

4411

411

441...

41

411 12 −

−=−

−

−=−++++=

−:

àñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù`

nnnnx

434

411

916

⋅−

−= : (66)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (65) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó (ï»ë Ý³¨ ûñÇÝ³Ï 9, ·)) Ñ»ï¨áõÙ ¿

04

lim =∞→ nn

n Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ñ»ï¨³µ³ñ, (66) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ëáõÙ

³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ ∞→n , Ïëï³Ý³Ýù` 9

16lim =∞→ nn

x :

·) Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ Nnxn ∈∀> ,0 : ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ nx Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿: ²å³óáõÛóÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏ-

óÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí: ø³ÝÇ áñ 513122 =+=x , Ñ»ï¨³µ³ñ 12 xx < : ²ÛÅÙ »ÝÃ³¹-

ñ»Ýù` 1−< nn xx : ²å³óáõó»Ýù, áñ nn xx <+1 : Æñáù, Ýßí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨Çó

Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ nnnnnn xxxxxx <⇔+<+⇒< +−− 111 1212 : Ð»ï¨³µ³ñ, nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï: ì³Û»ñßïñ³ëÇ

Ã»áñ»ÙÇ h³Ù³Ó³ÛÝ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: ¸Çóáõù =∞→

nnxlim

0≥= c : ²Û¹ ¹»åùáõÙ nn xx +=+ 121 Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ,

»ñµ ∞→n , Ïëï³Ý³Ýù` cc += 12 : àñï»ÕÇó 4=c , ³ÛëÇÝùÝ 4lim =∞→ nn

x :

¹) Ü³Ë óáõÛó ï³Ýù, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿: Æñáù`

104

n

n

n

n

nnn xn

nn

nnn

nnx ⋅

+=

+⋅=

++

= ++ 1)1(!

)1()!1(

11 Ï³Ù n

n

n xn

nx ⋅

+=+ 11 (67)

ø³ÝÇ áñ` Nnnn nn ∈∀<+ ,1)1/( , ³å³ (67)-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ nn xx <+1 :

ø³ÝÇ áñ Nnxn ∈∀> ,0 , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨

Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, áõñ»ÙÝ ³ÛÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: ¸Çóáõù 0lim ≥=∞→

cxnn:

ø³ÝÇ áñ cxnn=+∞→ 1lim ¨

ennn n

n

n

n

111lim/11

lim =

+=

+ ∞→∞→, Ñ»ï¨³µ³ñ (67)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ ∞→n , Ïëï³Ý³Ýù` ecc /= :

àñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ 0=c , ³ÛëÇÝùÝ` 0!lim =∞→ nn n

n:

6. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³Ý: Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý

ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ

Â»áñ»Ù 18 : àñå»ë½Ç Rx ∈0 Ï»ïÁ ÉÇÝÇ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ

Ï»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ÑÝ³ñ³íáñ ÉÇÝÇ ³é³ÝÓ-

Ý³óÝ»É Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ³ÛÝåÇëÇ ,...,....,, 21 nxxx Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñ 0lim xxnn=

∞→:

²å³óáõÛó: Â»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ µ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ Ñ³çáñ¹³Ï³-ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: ²å³óáõó»Ýù ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝÁ:

¸Çóáõù Rx ∈0 Ï»ïÁ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿: nx Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³éáõó»Ýù ÇÝ¹áõÏïÇí Ù»Ãá¹áí: ( )1;1 00 +− xx ÇÝï»ñí³ÉáõÙ í»ñó-

Ý»Ýù Ex ∈1 Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 0x -Çó: ²ÛÝáõÑ»ï¨ ( )2/1;2/1 00 +− xx ÇÝï»ñ-

í³ÉáõÙ í»ñóÝ»Ýù Ex ∈2 Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿ 0x -Çó ¨ 1x -Çó: ²Ûë åñáó»ëÇ n -ñ¹

ù³ÛÉáõÙ` ( )nxnx /1;/1 00 +− ÇÝï»ñí³ÉáõÙ í»ñóÝ»Ýù Exn ∈ Ï»ï, áñÁ ï³ñµ»ñ ¿

110 ,...,, −nxxx Ï»ï»ñÇó: Þ³ñáõÝ³Ï»Éáí ³Ûë ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÁ, E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó

³é³ÝÓÝ³óíáõÙ ¿ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ,...,....,, 21 nxxx Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ` Nnnxxnx n ∈∀+<<− ,/1/1 00 : Ð»ï¨³µ³ñ,

ÏÇñ³é»Éáí Ã»áñ»Ù 13-Á, Ïëï³Ý³Ýù` 0lim xxnn=

∞→: ∆

²Ûë Ã»áñ»ÙÁ ÑÇÙù ¿ Í³é³ÛáõÙ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÇ Ñ³çáñ¹ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³ñ:

105

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 10: Rx ∈0 Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ

(Ïáõï³ÏÙ³Ý) Ï»ï, »Ã» E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó ÑÝ³ñ³íáñ ¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É Çñ³ñÇó

ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ,...,....,, 21 nxxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

0lim xxnn=

∞→:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 11: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ,...,....,, 21 nxxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨

µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ` ,...,....,, 21 knnn : nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ³é³ÝÓÝ³óÝ»Ýù .......21 <<<< knnn Ñ³Ù³ñÝ»ñ áõÝ»-

óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ`

,...,....,,11 knnn xxx : (68)

êï³óí³Í knx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

»ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» knx -Ý »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³å³ Nkknk ∈∀> , , ¨, Ñ»ï¨³µ³ñ` ∞=∞→ kk

nlim :

Â»áñ»Ù 19 : ºÃ» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ 0lim xxnn=

∞→,

³å³ ¹ñ³ ó³ÝÏ³ó³Í knx »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿ áõ

0lim xxknk=

∞→:

Â»áñ»Ù 20 : (´áÉó³Ýá–ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ): ò³ÝÏ³ó³Í ë³ÑÙ³Ý³-÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É ½áõ·³Ù»ï »ÝÃ³Ñ³çáñ-¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nx ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

¸Çï³ñÏ»Ýù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í E

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ºÃ» E -Ý í»ñç³íáñ ¿, ³å³ ¹ñ³ ï³ññ»ñÇó ·áÝ¿ Ù»ÏÁ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ÏñÏÝíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÃÇí ³Ý·³Ù: ¸Çóáõù

³Û¹åÇëÇ ï³ññ ¿ 0x -Ý ¨ 0.......11

xxxxknnn ===== : ²Û¹ ¹»åùáõÙ

knx -Ý

áñáÝ»ÉÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ` 0lim xxknk=

∞→: ºÃ» E µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ

³Ýí»ñç ¿, ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ §2 Ã»áñ»Ù 20-Ç, E -Ý áõÝÇ ·áÝ¿ Ù»Ï ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï: ¸Çóáõù 0x -Ý E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ³-

Ù³Ó³ÛÝ, Ã»áñ»Ù 18-Ç E µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ï³ñáÕ »Ýù ³é³ÝÓÝ³óÝ»É Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»ñ áõÝ»óáÕ ¨ 0x -ÇÝ ½áõ·³ÙÇïáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ`

,...,....,,21 kmmm xxx : (69)

106

Üß³Ý³Ï»Ýù 11 mn = ¨ 2n -áí ,...,....,, 21 kmmm Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó 1n -Çó

Ù»Í ³é³çÇÝ Ñ³Ý¹Çå³Í ÃÇíÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨, 3n -áí Ýß³Ý³Ï»Ýù ³Û¹ ÝáõÛÝ Ãí»ñÇ

µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó 2n -Çó Ù»Í ³é³çÇÝ Ñ³Ý¹Çå³Í ÃÇí ¨ ³ÛÉÝ: Þ³ñáõÝ³Ï»Éáí ³Ûë

åñáó»ëÁ, Ï³éáõóáõÙ »Ýù` ,...,....,,11 knnn xxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ

¹³ë³íáñí³Í »Ý nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç Çñ»Ýó áõÝ»ó³Í Ñ³Ù³ñÝ»ñÇ

³×Ù³Ý Ï³ñ·áí: ø³ÝÇ áñ knx -Ý

kmx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ 0lim xxknk=

∞→: ∆

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 12: Rx ∈0 ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³-

Ý³ÛÇÝ Ï»ï (Ï³Ù Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³Ý), »Ã» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÑÝ³ñ³-

íáñ ¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É knx »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0lim xx

knk=

∞→:

Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É ³ÛÉ Ñ³Ù³ñ-

Å»ù ë³ÑÙ³ÝáõÙ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 13: Rx ∈0 ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³-

Ý³ÛÇÝ Ï»ï, »Ã» 0x Ï»ïÇ ó³ÝÏ³ó³Í ε -ßñç³Ï³Ûù å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ³Ýí»ñç Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6: Â»áñ»Ù 19-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ½áõ·³Ù»ï Ñ³çáñ¹³Ï³-ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï, áñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÇ Ñ»ï:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 7: Â»áñ»Ù 20-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ³Ù»Ý ÙÇ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³-çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³éÝí³½Ý Ù»Ï ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï:

¸Çóáõù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿: ²Û¹

¹»åùáõÙ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï»ñÇó Ù»Í³·áõÛÝÁ (÷áùñ³-

·áõÛÝÁ) ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ (ëïáñÇÝ) ë³ÑÙ³Ý ¨ Ýß³Ý³-

ÏáõÙ »Ý`

∞→∞→ nn

nnxx limlim å³ÛÙ³Ý³Ýß³Ýáí:

ºÃ» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ í»ñ¨Çó (Ý»ñù¨Çó) ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ³å³

ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý`

−∞=∞=

∞→∞→ nn

nnxx limlim :

Â»áñ»Ù 21 : ò³ÝÏ³ó³Í ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ í»ñÇÝ ¨

107

ëïáñÇÝ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ, Ù³ëÝ³íáñ³µ³ñ` áõÝÇ ·áÝ¿ Ù»Ï ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï:

´ÝáõÃ³·ñÇã Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ: àñå»ë½Ç Rx∈ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ ë³ÑÙ³Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³-

Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ >n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ ε+≤ xxn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ¨ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ

n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ ε−≥ xxn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

àñå»ë½Ç Rx∈ ÃÇíÁ ÉÇÝÇ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ ë³ÑÙ³Ý, ³Ý-

Ññ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³

³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³

ε−≥ xxn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ¨ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ ε+≤ xxn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

Ð»ï¨³Ýù 6: ºÃ» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ ¨ nn

xx∞→

= lim ,

nnxx

∞→= lim , ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí

³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ` εε +≤≤− xxx n

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

Ð»ï¨³Ýù 7: ¸Çóáõù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ ¨ ,lim nn

xx∞→

=

nnxx

∞→= lim : ºÃ» );( ba ÇÝï»ñí³ÉÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ¹ñ³ÝÇó ¹áõñë nx Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ, ³å³

);();( baxx ⊂ : Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ` abxx −≤− :

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 8: ´áÉó³Ýá–ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ã»áñ»Ù

21-Ç Ñ»ï¨³ÝùÁ:

Â»áñ»Ù 22 : àñå»ë½Ç nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³-

Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, ¨ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ Ñ»ï¨Û³É

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

=≡∞→

nn

xx lim xxnn≡

∞→lim : (70)

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 14 : nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É

(Ï³Ù ÎáßÇÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ), »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ Nmn ∈, Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù

108

µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ≥n N, ≥m N ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ, ï»ÕÇ áõÝÇ

ε<− nm xx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

)N)(0( N∈∃>∀ε N( ≥∈∀ nNn ) N( ≥∈∀ mNm ) ε<− nm xx : (71)

²Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³ÉÇÝ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 15 : nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É, »Ã»

ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í Np∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ

áõÝÇ` ε<−+ npn xx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

)N)(0( N∈∃>∀ε N( ≥∈∀ nNn ) )( Np∈∀ ε<−+ npn xx : (72)

üáõÝ¹³Ù»Ýï³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ûÅïí³Í »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³ï-

ÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí`

1. ºÃ» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ¿, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε

ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÛÝåÇëÇ Nx ³Ý¹³Ù, áñ

Nx -Ç ε -ßñç³Ï³ÛùÁ` );( εε +− NN xx å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñáÝó n Ñ³Ù³ñÝ»ñÁ ÷áùñ ã»Ý N-Çó: ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í ï»ÕÇ áõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

≥∀+<<− nxxx NnN ,εε N: (73)

àõñ»ÙÝ, (73) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ Ï³ñáÕ »Ý ãµ³í³ñ³ñ»É ÙÇ³ÛÝ`

121 ,...,, −Nxxx ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ:

2. ò³ÝÏ³ó³Í ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

3. Â»áñ»Ù 23 (Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛ³Ý ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ):

àñå»ë½Ç nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³-

ñ³ñ, áñ ³ÛÝ ÉÇÝÇ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É:

ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ áñå»ë½Ç nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ

ï³ñ³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, ³ÛÝ ãÉÇÝÇ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É, ³ÛëÇÝùÝ`

µ³í³ñ³ñÇ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³ÉáõÃÛ³Ý ÅËïÙ³ÝÁ`

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ã¿, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>ε ÃÇí

³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ó³ÝÏ³ó³Í N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý >mn, N

µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ` ε≥− nm xx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

)N)(0( N∈∀>∃ε N( ≥∈∃ nNn ) N( ≥∈∃ mNm ) ε≥− nm xx : (74)

109

ÀÝÃ»ñóáÕÇÝ ³é³ç³ñÏíáõÙ ¿ µ³é»ñáí ¨ ùí³ÝïáñÝ»ñÇ ÙÇçáóáí Ó¨³Ï»ñå»É ë³ÑÙ³ÝáõÙ 15-Ç ÅËïáõÙÁ:

úñÇÝ³Ï 12: ¶ïÝ»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ M

µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ,lim nn

x∞→

nnx

∞→lim , nxsup , nxinf , »Ã»

³) 1

12

sin2

+

+=

n

nn

xn

π

; µ) 2

)1(1)1( nn

n nx −+

+−

= :

ÈáõÍáõÙ: ³) ºñµ kn 4= , áõÝ»Ýù 14

14 +=

kx k : Ð»ï¨³µ³ñ 0lim 4 =

∞→ kkx ¨

510 4 ≤< kx , ÁÝ¹ áñáõÙ`

51

4 =x :

ºñµ 14 −= kn , áõÝ»Ýù kx k 4214 −=− : Ð»ï¨³µ³ñ −∞=−∞→ 14lim kkx , ¨

214 −≤<∞− −kx , ÁÝ¹ áñáõÙ` 23 −=x :

ºñµ 24 −= kn , áõÝ»Ýù 14

124 −=− k

x k : Ð»ï¨³µ³ñ 0lim 24 =−∞→ kkx , ¨

310 24 ≤< −kx , ÁÝ¹ áñáõÙ`

31

2 =x :


1)34( 2

34 −+−

=− kkx k : Ð»ï¨³µ³ñ ∞=−∞→ 34lim kk

x , ¨

+∞<≤ −341 kx , ÁÝ¹ áñáõÙ` 11 =x :

¸Çï³ñÏí³Í 3424144 ,,, −−− kkkk xxxx »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

ÙÇ³ëÇÝ Ï³½ÙáõÙ »Ý nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ·áÝ¿ Ù»ÏÇ Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÁ: ²Û¹ å³ï×³éáí nx Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ M µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ Ýßí³Í »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³-

íáñáõÙÁ: ²ÛëåÇëáí` −∞=∞∞−=∞→

nn

xM lim;,0, ; +∞=∞→ nn

xlim ; −∞=nxinf ;

+∞=nxsup :

110

µ) ºñµ kn 2= , áõÝ»Ýù k

x k 2112 += : Ð»ï¨³µ³ñ 1lim 2 =

∞→ kkx , ¨

231 2 ≤< kx ,

ÁÝ¹ áñáõÙ`23

2 =x :


112 −

−=− kx k : Ð»ï¨³µ³ñ 0lim 12 =−∞→ kk

x , ¨

01 12 ≤≤− −kx , ÁÝ¹ áñáõÙ` 11 −=x :

ø³ÝÇ áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ M µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ 122 , −kk xx »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ, ³å³ 1,0=M :

ÜÏ³ï»Ýù, áñ 0lim =∞→

nn

x ; 1lim =∞→ nn

x ; 1inf −=nx ; 23sup =nx :

úñÇÝ³Ï 13: ú·ïí»Éáí ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇó` å³ñ½»É` nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»±ï ¿, Ã»± ï³ñ³Ù»ï:

³) ∑ = +=

n

kn kkkx

1 )1(sin α

; µ) ∑ −=

n

knk

x1

1; ·) ( )

nn

n nx

+−=

111 ;

¹) ∑ ==

n

kk

kn qax0

, áñï»Õ 1<q ¨ 0,, >∈∀≤ MNkMak :

ÈáõÍáõÙ: ³) ¶Ý³Ñ³ï»Ýù npn xx −+ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÁ`

:1

111

11

11

)1(1

)1(sin

)1(sin

1

111

+<

+−

+=

+−=

=+

≤+

≤+

=−

∑

∑∑∑

+

+=

+

+=

+

+=

+

+=+

npnnkk

kkkkk

kkkxx

pn

nk

pn

nk

pn

nk

pn

nknpn

αα

²ÛëåÇëáí, ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç ¨ p -Ç Ñ³Ù³ñ áõÝ»Ýù`

1

1+

<−+ nxx npn :

¸Çóáõù` 0>ε Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: ø³ÝÇ áñ 01

1lim =+∞→ nn

, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ N N∈ ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, ûñÇÝ³Ï` N

=ε1

, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ≥n N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ

111

Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ` ε<+11

n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, ó³ÝÏ³ó³Í`

≥n N ¨ ó³ÝÏ³ó³Í` Np∈ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

ε<+

<−+ 11

nxx npn :

²ÛëåÇëáí` nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ¿: àõñ»ÙÝ, ³ÛÝ ½áõ·³-

Ù»ï ¿:

µ) òáõÛó ï³Ýù, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ã¿: ²Û¹ Ýå³-

ï³Ïáí, ·Ý³Ñ³ï»Ýù` npn xx −+ -Á: àõÝ»Ýù`

Npnpn

pk

xx pn

nknpn ∈∀+

≥=− ∑ +

+=+ ,,11

:

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »ñµ np = ÏáõÝ»Ý³Ýù`

Nnnxx nn ∈∀≥≥− ,2

12

2 :

²Ûëï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ýáõÝ¹³-

Ù»Ýï³ÉáõÃÛ³Ý ÅËïÙ³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: Æñáù, í»ñóÝ»Ýù 2

1=ε : ò³ÝÏ³ó³Í

N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥n N (ûñÇÝ³Ï` =n N) ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

Np∈ (ûñÇÝ³Ï` =p N), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ ε≥−+ npn xx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

àõñ»ÙÝ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ã¿, Ñ»ï¨³µ³ñ` ï³ñ³Ù»ï ¿:

·) ¶Ý³Ñ³ï»Ýù` nn xx −+1 ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÁ`

Nnnn

xxnn

nn ∈∀=+≥

++

++=−

+

+ ,422111

111

1 :

²ÛÅÙ í»ñóÝ»Ýù 4=ε : ò³ÝÏ³ó³Í N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ≥n N (ûñÇÝ³Ï` =n N) ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Np∈ (ûñÇÝ³Ï` =p 1), áñ ï»ÕÇ áõÝÇ

ε≥−+ nn xx 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: àõñ»ÙÝ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ-

¹³Ù»Ýï³É ã¿, Ñ»ï¨³µ³ñ` ï³ñ³Ù»ï ¿:

¹) ¶Ý³Ñ³ï»Ýù` npn xx −+ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ùá¹áõÉÁ`

112

:,,11

1 11

111

Npnq

qM

qq

qM

qMqaqaxxnp

n

pn

nk

kkpn

nk kpn

nkk

knpn

∈∀−

<−

−⋅=

=≤≤=−

++

+

+=

+

+=

+

+=+ ∑∑∑

¸Çóáõù 0>ε Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: ø³ÝÇ áñ 0lim 1=

+

∞→

n

nq , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ`

Mqq n /)1(1−<

+ ε ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛëåÇëáí, »Ã» ≥n N, ÇëÏ p -Ý

Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³`

[ [ ε<−

<−+

+ qq

Mxxn

npn 1

1

:

àõñ»ÙÝ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ` ½áõ·³Ù»ï ¿:

7. Ü³ËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ ß³ñù»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É

¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ,...,...,, 21 naaa Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ñ»ï¨Û³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ

∑∞

==+++++

1321 ......n nn aaaaa (75)

ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³ÛÇÝ ß³ñù Ï³Ù å³ñ½³å»ë ß³ñù:

na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñ: na

ï³ññÁ ÏáãíáõÙ ¿ ß³ñùÇ n -ñ¹ ³Ý¹³Ù: Þ³ñùÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ï³½Ù³Í ·áõÙ³ñÁ ÏáãíáõÙ ¿ ß³ñùÇ n -ñ¹

Ù³ëÝ³ÏÇ ·áõÙ³ñ ¨ Ýß³Ý³ÏíáõÙ ¿ nS -áí`

∑ ==++++=

n

k knn aaaaaS1321 ... : (76)

Þ³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ½áõ·³Ù»ï ¿ Ýñ³ Ù³ëÝ³ÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇó

Ï³½Ùí³Í nS Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

Þ³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³Ù»ï, »Ã» ï³ñ³Ù»ï ¿ Ýñ³ Ù³ëÝ³ÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇó

Ï³½Ùí³Í nS Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

ºÃ» (75) ß³ñùÇ Ù³ëÝ³ÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ nS Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³-

Ù»ï ¿ ¨ SS nn=

∞→lim , ³å³ S -Á ÏáãíáõÙ ¿ (75) ß³ñùÇ ·áõÙ³ñ ¨ ·ñíáõÙ ¿`

......321 +++++= naaaaS Ï³Ù ∑∞

==

1n naS (77)

²ÛëåÇëáí, (75) ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ ¹ñ³ Ù³ëÝ³ÏÇ

113

·áõÙ³ñÝ»ñÇ nS Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÇÝ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ

ÇÝãåÇëÇ na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿É í»ñóÝ»Ýù, ¹ñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ

Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿`

...)(...)()( 123121 +−++−+−+ −nn aaaaaaa (78)

ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÇÝ, áñÇ Ñ³Ù³ñ Ù³ëÝ³ÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ` nS Ñ³-

çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ»ï: àõñ»ÙÝ, (78)

ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ·áÛáõÃÛáõÝ

áõÝ»Ý Ï³Ù áã: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³Éáõ ¹»åùáõÙ ¹ñ³Ýù Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý:

ÎÇñ³é»Éáí (75) ß³ñùÇ nS Ù³ëÝ³ÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

ÝÏ³ïÙ³Ùµ ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ` Ïëï³Ý³Ýù Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ:

Â»áñ»Ù 24 (Þ³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): àñå»ë½Ç

∑∞

=1n na ß³ñùÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³

ÎáßÇÇ å³ÛÙ³ÝÁ. ó³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ ³ÛÝåÇëÇ N

µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í Np∈ ÃíÇ

Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝ»Ý³` ε<∑ +

+=

pn

nk ka1


øí³ÝïáñÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ÎáßÇÇ å³ÛÙ³ÝÁ ·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå`

)N)(0( N∈∃>∀ε N( ≥∈∀ nNn ) )( Np∈∀ ε<∑ +

+=

pn

nk ka1

: (79)

ºÃ» (79) å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, ³ÛëÇÝùÝ`

)N)(0( N∈∀>∃ε N( ≥∈∃ nNn ) )( Np∈∃ ε≥∑ +

+=

pn

nk ka1

, (80)

³å³ ∑∞

=1n na ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

Ð»ï¨³Ýù 8: àñå»ë½Ç ∑∞

=1n na ß³ñùÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿, áñ na

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ, ³ÛëÇÝùÝ` 0lim =∞→ nn

a :

ºÃ» (75) ß³ñùáõÙ ¹»Ý Ý»ï»Ýù ³é³çÇÝ m ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù

Ñ»ï¨Û³É ß³ñùÁ`

∑∞

+=+++ =+++++1321 ......

mn nnmmm aaaaa , (81)

áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ (75) ß³ñùÇ ÙÝ³óáñ¹ m -ñ¹ ³Ý¹³ÙÇó Ñ»ïá:

Ð»ï¨³Ýù 9: ºÃ» (75) ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ½áõ·³Ù»ï ¿ Ý³¨ ¹ñ³ (81)

ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ: Ð³Ï³é³ÏÁ, (81) ÙÝ³óáñ¹Ý»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ

114

½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ (75) ëÏ½µÝ³Ï³Ý ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:

úñÇÝ³Ï 14: ³) Ð»ï³½áï»É ³Ýí»ñç »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³Ù-Ý»ñÇó Ï³½Ùí³Í ß³ñùÇ`

...... 12 +++++ −naqaqaqa (82)

½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: µ) ²å³óáõó»É, áñ ³Ù»Ý ÙÇ ³Ýí»ñç ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ`

∑∞

==

03210 10......,

n nn

n

aaaaaa (83)

ß³ñùÁ (áñï»Õ` Nnan ∈, Ãí»ñÁ ³ÙµáÕç »Ý ¨ 90 ≤≤ na , ÇëÏ 00 ≥a Ï³Ù³Û³-

Ï³Ý ³ÙµáÕç ÃÇí ¿) ½áõ·³Ù»ï ¿ (ï»ë §2-Ç ë³ÑÙ³ÝáõÙ 1-Á): ·) ²å³óáõó»É Ñ³ñÙáÝÇÏ (Ý»ñ¹³ßÝ³Ï) ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.

...1...31

211 +++++

n (84)

ÈáõÍáõÙ: ³) ø³ÝÇ áñ nn qq = , ³å³ »ñµ 1≥q ÏáõÝ»Ý³Ýù` Nnqn ∈∀≥ ,1 ,

Ñ»ï¨³µ³ñ, ³Ûë ¹»åùáõÙ ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ

ãáõÝÇ` 0lim ≠∞→

n

nq , áõñ»ÙÝ, ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: ¸Çóáõù` 1<q : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

q

qaaqaqaqaSn

nn −

−=++++= −

11... 12 : (85)

ø³ÝÇ áñ 0lim =∞→

n

nq , »ñµ 1<q , ³å³

qaS nn −

=∞→ 1

lim :

²ÛëåÇëáí, ∑∞

=0nnaq ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ

1<q , ÁÝ¹ áñáõÙ, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

......1

12 +++++=−

−naqaqaqaq

a : (86)

µ) ²å³óáõÛó: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý Npn ∈, Ãí»ñ ¨ ·Ý³Ñ³ï»Ýù`

∑ +

+=

pn

nk kka

1 10 ·áõÙ³ñÁ: ø³ÝÇ áñ Nkak ∈∀≤≤ ,90 , ³å³ Ïëï³Ý³Ýù`

n

p

np

pn

nk nk

pn

nk kka

102

1011

1011

101

101...

1011

101

101

100 11 11

<−

−⋅=

+++=<≤ −

+

+= −

+

+= ∑∑ :

115

ò³ÝÏ³ó³Í 0>ε ÃíÇ Ñ³Ù³ñ í»ñóÝ»Ýù` N 12lg +

=

ε: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ÇÝã-

åÇëÇÝ ¿É ÉÇÝ»Ý Np∈ ¨ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý`

ε<<≤∑ +

+= n

pn

nk kka

102

100

1

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ, ,101∑∞

=n nna

( Nnan ∈∀≤≤ ,90 ) ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

·) Þ³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í

n1

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ

¿` 01lim =∞→ nn

, µ³Ûó ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: Æñáù, ó³ÝÏ³ó³Í N µÝ³Ï³Ý ÃíÇ

Ñ³Ù³ñ í»ñóÝ»Ýù =n N, =p N : ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

=+++ +++ pnnn aaa ...21 21

211...

21

11

=⋅>+

+++

++

NNNNNN

: (87)

²ÛëÇÝùÝ` ï»ÕÇ áõÝÇ ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛ³Ý (80) å³ÛÙ³ÝÁ, »ñµ 2/1=ε :

Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³ñÙáÝÇÏ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿: ²ÛëåÇëáí, Ñ³ñÙáÝÇÏ ß³ñùÁ ï³ñ³-

Ù»ï ß³ñùÇ ÙÇ ûñÇÝ³Ï ¿, áñÇ Ñ³Ù³ñ` 0lim =∞→ nn

a : Ð»ï¨³µ³ñ, ∑∞

=1n na ß³ñùÇ

½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ` 0lim =∞→ nn

a å³ÛÙ³ÝÁ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿, µ³Ûó áã µ³í³-

ñ³ñ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 16: ∑∞

=1n na ß³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ½áõ-

·³Ù»ï ¿ ¹ñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í ∑∞

=1n na ß³ñùÁ:

∑∞

=1n na ß³ñùÁ ÏáãíáõÙ ¿ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý (áã µ³ó³ñÓ³Ï) ½áõ·³Ù»ï, »Ã» ³Û¹

ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, µ³Ûó ¹ñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í

∑∞

=1n na ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï:

ø³ÝÇ áñ pnnnpnnn aaaaaa ++++++ +++≤+++ ...... 2121 , ³å³ Ã»áñ»Ù 24-Çó

Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »Ã» ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿: Ð³-Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ã¿:

´³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ß³ñù»ñÝ ûÅïí³Í »Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï»Õ³÷áË³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ`

116

Â»áñ»Ù 25 (ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ∑∞

=1n na ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿

¨ a -Ý ¹ñ³ ·áõÙ³ñÝ ¿, ³å³ Ýñ³ÝáõÙ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ñåáí ï»Õ³-

÷áËáõÙÇó ëï³óí³Í ß³ñùÁ ÝáõÛÝå»ë µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ ÝáõÛÝ a

·áõÙ³ñÁ: ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ß³ñù»ñÁ ûÅïí³Í ã»Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï»Õ³÷áË³-

Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ: î»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ`

Â»áñ»Ù 26 (èÇÙ³ÝÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ∑∞

=1n na ß³ñùÁ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³-

Ù»ï ¿, ³å³ ÇÝãåÇëÇ RL∈ ï³ññ ¿É í»ñóÝ»Ýù, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³Û¹ ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ ³ÛÝå»ë ï»Õ³÷áË»É, áñ Ó¨³÷áËí³Í ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ L :

Â»áñ»Ù 27 (¸ÇñÇËÉ»Ç Ã»áñ»ÙÁ): ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ∑∞

=1n nnba ß³ñùÁ: ºÃ»

na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ã³×áÕ ¿ ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñ` Nnaa nn ∈∀≥ + ,1 ¨

0lim =∞→ nn

a , ÇëÏ ∑∞

=1n nb ß³ñùÇ Ù³ëÝ³ÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ` NnbB n

k kn ∈= ∑ =,

1

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ³å³ ∑∞

=1n nnba ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

Ð»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ, áñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ¸ÇñÇËÉ»Ç Ã»áñ»ÙÇ Ñ»ï¨³ÝùÁ, ÑÝ³-ñ³íáñáõÃÛáõÝ ¿ ï³ÉÇë Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ëïáõ·»É, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, Ýß³Ý³Ñ»ñÃ (Ýß³Ý³Ñ³çáñ¹) ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:

Üß³Ý³Ñ»ñÃ »Ý ÏáãíáõÙ ³ÛÝåÇëÇ ß³ñù»ñÁ, áñáÝó ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ñ»ñÃáí áõÝ»Ý Ù»Ï ¹ñ³Ï³Ý, Ù»Ï µ³ó³ë³Ï³Ý Ýß³ÝÝ»ñ:

Â»áñ»Ù 28 (È³ÛµÝÇóÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ»`

),0(,)1(...)1(... 111

4321 Nnaaaaaaa nn nn

nn ∈∀>−=+−++−+− ∑∞=

−− (88)

Ýß³Ý³Ñ»ñÃ ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ` ,...,...,, 21 naaa ÙáÝáïáÝ Ýí³½áõÙ ¿` Nnaa nn ∈∀<+ ,1 ¨ 0lim =∞→ nn

a ,

³å³ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: È³ÛµÝÇóÇ Ã»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ß³ñùÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý É³Ûµ-

ÝÇóÛ³Ý ïÇåÇ ß³ñù:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 9: ¸Çóáõù (88) ß³ñùÁ É³ÛµÝÇóÛ³Ý ïÇåÇ ¿, ¨ ¹ñ³ ·áõÙ³ñÁ

Ñ³í³ë³ñ ¿ S -Ç, ³Û¹ ¹»åùáõÙ` ¹ñ³ ÙÝ³óáñ¹ ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÝ áõÝÇ Çñ ³é³çÇÝ

³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÁ ¨ µ³ó³ñÓ³Ï Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ÷áùñ ¿ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÇ µ³ó³ñÓ³Ï

Ù»ÍáõÃÛáõÝÇó`

117

111

11 )1()1( +

∞

+=

−

=

− <−=−− ∑∑ nnk kkn

k kk aaaS : (89)

²Ûë ¹ÇïáÕáõÃÛáõÝÁ Ñ³×³Ë ¿ û·ï³·áñÍíáõÙ Ùáï³íáñ Ñ³ßíáõÙÝ»ñÇ Å³Ù³-Ý³Ï:

Â»áñ»Ù 29 (²µ»ÉÇ Ã»áñ»ÙÁ): ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nn nba∑∞

=1 ß³ñùÁ: ºÃ» na

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, ÇëÏ ∑∞

=1n nb ß³ñùÁ ½áõ·³-

Ù»ï ¿, ³å³ nn nba∑∞

=1 ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

Â»áñ»Ù 30 : àñå»ë½Ç áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí` ( Nnan ∈∀≥ ,0 )

ß³ñùÁ` ∑∞

=1n na ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ¹ñ³ Ù³ëÝ³ÏÇ

·áõÙ³ñÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï:

Â»áñ»Ù 31 (´³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý

³Ý¹³ÙÝ»ñáí ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ß³ñù»ñÁ: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈

ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ nn ba ≤ ³ÝÑ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ∑∞

=1n nb ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ∑∞

=1n na

ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ ∑∞

=1n na ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿

∑∞

=1n nb ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:

Ð»ï¨³Ýù 10: Â»áñ»Ù 31-Ç åÝ¹áõÙÁ ÙÝáõÙ ¿ ×Çßï, »Ã» ¹ñ³ å³ÛÙ³ÝáõÙ »Õ³Í

nn ba ≤ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÷áË³ñÇÝíÇ` nn cba ≤ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝáí,

áñï»Õ c -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿:

Ð»ï¨³Ýù 11: ºÃ» ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ß³ñù»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí »Ý ¨

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

ï»ÕÇ áõÝÇ`

n

n

n

n

bb

aa 11 ++ ≤ (90)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ∑∞

=1n nb ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿

∑∞

=1n na ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ ∑∞

=1n na ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÇó

118

Ñ»ï¨áõÙ ¿ ∑∞

=1n nb ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:

Ð»ï¨³Ýù 12 (Þ³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ñ³Ûï³-

ÝÇßÁ): ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý` ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ( Nnbn ∈∀≥ ,0 ) ß³ñù»ñÁ: ºÃ»

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

ï»ÕÇ áõÝÇ nn ba ≤ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ∑∞

=1n nb ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇ-

ïáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ∑∞

=1n na ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:

Ð³×³Ë ∑∞

=1n nb ß³ñùÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ∑∞

=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ Ù³Åáñ³Ýï

ß³ñù:

ú·ï³·áñÍ»Éáí Ñ»ï¨³Ýù 11-áõÙ ∑∞

=1nnq ß³ñùÁ, áñÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ

10 <≤ q ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1≥q , Ïëï³Ý³Ýù`

Ð»ï¨³Ýù 13 (¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ¸Çóáõù ∑∞

=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ`

Da

a

n

n

n=+

∞→

1lim ¨ da

a

n

n

n=+

∞→

1lim : (91)

ºÃ» 1<D , ³å³ ∑∞

=1n na ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿:

ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N N∈ ÃÇí, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ

Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ 11 ≥+

n

n

aa

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ù³ëÝ³íáñ³µ³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ

1≥d ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

¶áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ Ñ³×³Ë û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ³í»ÉÇ ËÇëï å³ÛÙ³Ý` »Ã»

∑∞

=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` Da

a

n

n

n=+

∞→

1lim ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ∑∞

=1n na

ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1<D ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1>D :

Ð»ï¨³Ýù 14 (ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ): ¸Çóáõù ∑∞


Kannn=

∞→lim : (92)

ºÃ» 1<K , ³å³ ∑∞

=1n na ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿:

ºÃ» 1>K , ³å³ ∑∞

=1n na ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

119

¶áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ, Ñ³×³Ë, û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ³í»ÉÇ ËÇëï å³ÛÙ³Ý` »Ã»

∑∞

=1n na ß³ñùÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ` Kannn=

∞→lim ë³ÑÙ³ÝÁ, ³å³ ∑∞

=1n na

ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1<K ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ 1>K : Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí ûñÇÝ³Ï 10-Ç ·) ËÝ¹ÇñÁ, Ï³ñáÕ »Ýù åÝ¹»É, áñ, »Ã» ï»ÕÇ áõÝÇ

¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ áñ¨¿ å³ÛÙ³Ý, ³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý å³ÛÙ³ÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ ÏÇñ³é»ÉÇ ¿ ³í»ÉÇ É³ÛÝ ¹³ëÇ ß³ñù»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

Ð»ï¨³Ýù 15: ¸Çóáõù ∑∞

=1n na ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý`

Nnan ∈∀≥ ,0 , ÇëÏ ∑∞

=1n nb ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý` Nnbn ∈∀> ,0 :

ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ`

Lba

n

n

n=

∞→lim (93)

ë³ÑÙ³ÝÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ` 0>L , ³å³ ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ß³ñù»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï

½áõ·³Ù»ï »Ý Ï³Ù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³Ù»ï: ØáÝáïáÝ Ýí³½áÕ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñù»ñÇ Ñ³Ù³ñ ½áõ·³ÙÇ-

ïáõÃÛ³Ý §Ñ³ñÙ³ñ¦ (ÏÇñ³é³Ï³Ý ï»ë³Ï»ïÇó` Ñ»ßï ëïáõ·íáÕ) Ñ³Ûï³ÝÇß ¿ Ñ»ï¨Û³É Ã»áñ»ÙÁ:

Â»áñ»Ù 32 (ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» na Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ã³×áÕ ¿, ÁÝ¹

áñáõÙ` 0......21 ≥≥≥≥≥ naaa , ³å³ ∑∞

=1n na ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ

³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ½áõ·³Ù»ï ¿ Ñ»ï¨Û³É ß³ñùÁ`

...2...82228210 2+++++=∑∞

= kk aaaaa kk

k : (94)

²å³óáõÛó: ø³ÝÇ áñ`

,2...2

,44,22

,

2222122

487658

2434

122

11 nnnnn aaaaa

aaaaaaaaaa

aaa

nn ≤+++≤

−−−−−−−−−−−−−−−−≤+++≤

≤+≤≤≤

++ ++

(95)

³å³ ·áõÙ³ñ»Éáí ³Û¹ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

nn SaAaS n ≤−≤− + 121 1)(21

, (96)

120

áñï»Õ` naaaSaaaA nnkk 22121 2...2,... +++=+++= Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý ¹Çï³ñÏ-

íáÕ ß³ñù»ñÇ Ù³ëÝ³ÏÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ: kA ¨ nS Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

ãÝí³½áÕ »Ý, Ñ»ï¨³µ³ñ, (96) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ¹ñ³Ýù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ï³Ù ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï »Ý Ï³Ù ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï: Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 30-Ç ¹ñ³Ýù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ½áõ·³Ù»ï »Ý Ï³Ù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ï³ñ³Ù»ï:

Ð»ï¨³Ýù 16: ∑∞

=1

1n pn

ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, »ñµ 1>p ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »ñµ

1≤p :

²å³óáõÛó: ºÃ» 0≥p , ³å³, Áëï Ý³Ëáñ¹ Ã»áñ»ÙÇ, Ýßí³Í ß³ñùÁ ½áõ·³-

Ù»ï ¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ½áõ·³Ù»ï ¿ Ñ»ï¨Û³É ß³ñùÁ`

( )( )∑∑

∞

=

−∞

=

=0

1

0

22

12k

kppk

k

k : (97)

´³Ûó (97) ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ

121 <= − pq , ³ÛëÇÝùÝ 1>p : ºÃ» 0<p , ³å³ ∑∞

=1

1n pn

ß³ñùÇ µáÉáñ ³Ý¹³Ù-

Ý»ñÁ Ù»Í »Ý 1-Çó, Ñ»ï¨³µ³ñ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

Ð»ï¨³Ýù 17: ¸Çóáõù, áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ∑∞


can np

n=

∞→lim : (98)

ºÃ» 1>p ¨ ∞<≤ c0 , ³å³ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

ºÃ» 1≤p ¨ ∞≤< c0 , ³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ½áõ·³Ù»ï ß³ñù»ñÇ Ñ»ï

Â»áñ»Ù 33: ºÃ» ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ Ñ³Ù³å³-

ï³ëË³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý a ¨ b ·áõÙ³ñÝ»ñ, ³å³ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñ` ( )∑∞

=+

1n nn ba ¨

ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ` ( )∑∞

=−

1n nn ba ß³ñù»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ Ñ³Ù³å³ï³ë-

Ë³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý ba + ¨ ba − ·áõÙ³ñÝ»ñÁ` ( ) baban nn +=+∑∞

=1, ( ) baba

n nn −=−∑∞

=1:

Ð»ï¨³Ýù 18: ºÃ» ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ß³ñù»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³ ó³ÝÏ³-

ó³Í R∈βα , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ½áõ·³Ù»ï ¿ ( )∑∞

=+

1n nn ba βα ß³ñùÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

121

( ) ∑∑∑ ∞

=

∞

=

∞

=+=+

111 n nn nn nn baba βαβα (99)

Â»áñ»Ù 34 (ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ß³ñù»ñÁ µ³ó³ñÓ³Ï

½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý a ¨ b ·áõÙ³ñÝ»ñ, ³å³

,...)2,1,...,2,1( == lkba lk ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í ß³ñùÁ, í»ñóñ³Í ó³Ý-

Ï³ó³Í Ï³ñ·áí, ÝáõÛÝå»ë µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ïñí³Í ß³ñù»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ` ab :

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 10: ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ß³ñù»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï³Ï Ñ³×³Ë

Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ñ³ëÏ³Ý³É, ³Ûëå»ë Ïáãí³Í, ÎáßÇÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ`

( )( )

:...)...(

...)()(

1121

13223112211111

++++

+++++++=

−

∞

=

∞

= ∑∑bababa

bababababababa

nnn

n nn n (100)

Â»áñ»Ù 35 (Ø»ñï»ÝëÇ Ã»áñ»ÙÁ): ºÃ» ∑∞

=1n na ¨ ∑∞

=1n nb ½áõ·³Ù»ï ß³ñ-

ù»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï³Ï Ñ³ëÏ³Ý³Ýù (100) ß³ñùÁ, ³å³ ¹ñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ µ³í³Ï³Ý ¿, áñ Ýßí³Í ß³ñù»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ÉÇÝÇ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï: ²Û¹ ¹»åùáõÙ (100) ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³ñï³¹ñÇã ß³ñù»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ:

úñÇÝ³Ï 15: ²å³óáõó»É, áñ ∑∞

=1n na ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É ¹ñ³

·áõÙ³ñÁ, »Ã»

³) )(

1mnn

an += ; µ) 1, <= qnqa n

n ; ·) !

1n

an = :

ÈáõÍáõÙ: ³) ÀÝ¹áõÝ»Éáí` mn > ¨ û·ï³·áñÍ»Éáí`

+−=

+ mkkmmkk111

)(1

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

,111

1111111)(

1

1 1

1 1 11 11

−=

=

−+=

+−=

+=

∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑∑

=

+

+=

= +=

+

+== ==

m

k

nm

nk

m

k

n

mk

nm

mk

n

k

n

k

n

kn

kkm

kkkmmkkmmkkS

áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ∑ =∞→=

m

knn kmS

1

11lim , ³ÛëÇÝùÝ`

122

+++=

+∑∞

= mmmnnn

1...2111

)(1

1

: (101)

µ) ø³ÝÇ áñ ∑ ==

n

kk

n kqS1

, ³å³ (Ñ³Ù»Ù³ï»É ûñÇÝ³Ï 11, µ)-Ç Ñ»ï)

:...))1(...2()...2(

12

1322

+

+

−+++=

=+−+++−+++=−nn

nnnnn

nqqqqnqqnqqnqqqqSS

àñï»ÕÇó`

11

1)1( +

+

−−−

=− nn

n nqq

qqSq Ï³Ù q

nqq

qq

qSnn

n −−

−−

−=

++

1)1()1(

1

2

1

2:

ø³ÝÇ áñ 1<q , ³å³ 0lim 1 =+

∞→

n

nq ¨ 0lim 1 =+

∞→

n

nnq (ï»ë` ûñÇÝ³Ï 4-Á ¨

ûñÇÝ³Ï 9-Á): Ð»ï¨³µ³ñ`

2)1(

limq

qS nn −=

∞→ Ï³Ù 2

1 )1( qqnq

n

n

−=∑

∞

=

: (102)

·) ø³ÝÇ áñ !

1...!3

1!2

11n

S n ++++= , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (53) µ³Ý³Ó¨Ç áõÝ»Ýù`

eSnn=

∞→lim : Ð»ï¨³µ³ñ`

...!

1...!3

1!2

11 +++++=n

e : (103)

úñÇÝ³Ï 16: ³) ú·ïí»Éáí ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÇó, óáõÛó ï³É ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ`

1) ( )∑∞

= +++

−1

2

2

124321

n

n

nnn

; 2) 2

1arcsin31

21

3

+++∑

∞

= nnn

n

:

µ) ºÉÝ»Éáí ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùÇó, ³å³óáõó»É ß³ñùÇ ½áõ·³-ÙÇïáõÃÛáõÝÁ`

1) ∑∞

=

+−

1

)1cos(cosn n

xnnx ; 2) ∑

∞

=122sin

n nn

:

·) ºÉÝ»Éáí ÎáßÇÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùÇó, ³å³óáõó»É ß³ñùÇ ï³ñ³-ÙÇïáõÃÛáõÝÁ`

1) ∑∞

= +1 )1(1

n nn ; 2) ∑

∞

=

+

1

11lnn n

:

¹) Ð»ï³½áï»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ`

123

1) ( )∑∞

=

−1

!1n

nn

nn

; 2) ∑∞

= −−

1 ln)1(

n

n

nn:

ÈáõÍáõÙ: ³) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ø³ÝÇ áñ`

( ) 112

432lim12

4321lim 2

2

2

2

=+++

=+++

−∞→∞→ n

nnn

nnn

n

n,

Ñ»ï¨³µ³ñ, ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ: àõñ»ÙÝ

ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ø³ÝÇ áñ`

,12

1arcsin)2()2)(3(

1lim2

1arcsin31lim 2

22

3

2

3

=+

+⋅++

+=

+++

∞→∞→ nn

nnn

nnn

nn

³å³ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

µ) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ÜÏ³ï»Ýù, áñ Npn ∈∀ , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝ»Ý `

+

+−

++

+≤

+++

−+−+

+−

−−++

+−

++

=+−∑

+

+=

21

11

11)1cos(

))(1()cos(

...)2)(1(

)2cos(1

)1cos()1cos(cos1

nnnpnxpn

pnpnxpn

nnxn

nxn

kxkkxpn

nk

1

2111

1...3

12

1+

=+

+

+

−−+

++

+−

++

npnpnpnnn

³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí ¨ N N∈ ÃÇíÝ ÁÝïñ»Ýù`

ε<+12

n ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÇó, ûñÇÝ³Ï` N [ ]ε/2= : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ó³ÝÏ³ó³Í

µÝ³Ï³Ý ≥n N ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í Np∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ`

ε<+−∑+

+=

pn

nk kxkkx

1

)1cos(cos

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ Npn ∈∀ , Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝ»Ý`

:11111

1...2

11

11

11

11

1)1(

112sin2sin111

21

21

2

npnnpnpnnnnn

kkkkkkk

kk pn

nk

pn

nk

pn

nk

pn

nk

pn

nk

<+

−=+

−−+

+++

−+

++

−=

=

−

−=

−<≤≤ ∑∑∑∑∑

+

+=

+

+=

+

+=

+

+=

+

+=

³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý 0>ε ÃÇí ¨ N N∈ ÃÇíÝ ÁÝïñ»Ýù`

124

ε<n1

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÇó, ûñÇÝ³Ï` N [ ] 1/1 += ε : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³-

Ï³Ý ≥n N ÃíÇ ¨ ó³ÝÏ³ó³Í Np∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ

ε<∑+

+=

pn

nk kk

112

2sin

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ·³Ù»ï ¿:

·) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý N N∈ ÃÇí ¨ áñ¨¿ ≥n N

µÝ³Ï³Ý ÃÇí áõ 1+= np : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, áõÝ»Ýù`

:21

)1(21)1(

)1(21...

31

21

11

)1(

1)1(

111 21

=+

+>

>+

+++

++

=+

=+

>+

∑∑∑+

+=

+

+=

+

+=

nn

nnnkkkk

pn

nk

pn

nk

pn

nk

ì»ñóÝ»Ýù :2/1=ε ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÏáõÝ»Ý³Ýù. Ï³Ù³Û³Ï³Ý N N∈ ÃíÇ Ñ³-

Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ ≥n N ¨ 1+= np µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ

ε>+

∑+

+=

pn

nk kk1 )1(1

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ì»ñóÝ»Ýù Ï³Ù³Û³Ï³Ý N N∈ ÃÇí: ø³ÝÇ áñ 111lnlim =

+

∞→ kk

n,

Ñ»ï¨³µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ >0n N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ µáÉáñ 0nn ≥

Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ 2111ln ≥

+

nn ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ,

»ñµ 0nn ≥ ¨ np = , ÏáõÝ»Ý³Ýù

:41

21

21

21...

21

11

21

12111ln111ln

111

=⋅⋅>

++

++

+=

=≥

+⋅=

+ ∑∑∑

+

+=

+

+=

+

+=

nn

nnn

kkk

kk

pn

nk

pn

nk

pn

nk

ì»ñóÝ»Ýù :4/1=ε ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ÏáõÝ»Ý³Ýù. Ï³Ù³Û³Ï³Ý N N∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ³ÛÝåÇëÇ >≥ 0nn N ¨ np = µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, áñ ï»ÕÇ áõÝÇ`

125

ε>

+∑

+

+=

pn

nk k1

11ln

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

¹) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ø³ÝÇ áñ`

nnn!

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨

0!lim =∞→ nn n

n (ï»’ë ûñÇÝ³Ï 11), ¨ ( )∑

∞

=

−1

!1n

nn

nn

ß³ñùÁ Ýß³Ý³Ñ»ñÃ ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ

³ÛÝ É³ÛµÝÇóÛ³Ý ïÇåÇ ¿: àõñ»ÙÝ, ¹Çï³ñÏíáÕ ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù

ïñí³Í ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í ß³ñùÁ` ∑∞

=1

!n

nnn

:

ÎÇñ³é»Ýù ¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ: ø³ÝÇ áñ`

n

nnn

n

nn

nn

nn

aa

+=

++

=+

+

1!:

)1()!1(

11 ,

³å³ 111

limlim 1 <=

+=

∞→

+

∞→ enn

aa n

nn

n

n: àõñ»ÙÝ, ïñí³Í ß³ñùÁ µ³ó³ñÓ³Ï ½áõ-

·³Ù»ï ¿:

2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ nn ln− Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³×áÕ ¿: òáõÛó

ï³Ýù, áñ ³ÛÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿: ø³ÝÇ áñ` 0lnlim =∞→ n

nn

(ï»ë` ûñÇÝ³Ï 9), ³å³

∃N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ` 21ln

<nn

: Ð»ï¨³µ³ñ, »ñµ

≥n N, ï»ÕÇ áõÝÇ 2/2/ln nnnnn =−>− ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: àõñ»ÙÝ, nn ln−

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç Ù»Í ¿: Ð»ï¨³µ³ñ )ln/(1 nn − Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿, ¨ 0))ln/(1(lim =−∞→

nnn

: ²ÛëåÇëáí, ïñí³Í ß³ñùÁ É³ÛµÝÇó-

Û³Ý ïÇåÇ ¿: àõñ»ÙÝ, ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ø³ÝÇ áñ` nnn1

ln1

≥−

¨ ∑∞

=1

1n n

ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ µ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÇ ïñí³Í

ß³ñùÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÇó Ï³½Ùí³Í ß³ñùÁ` ∑∞

= −1 ln1

n nn ï³-

ñ³Ù»ï ¿: àõñ»ÙÝ, ïñí³Í ß³ñùÁ å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³Ù»ï ¿:

126

úñÇÝ³Ï 17: ³) ÎÇñ³é»Éáí ¸³É³Ùµ»ñÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ` Ñ»ï³½áï»É`

1) ∑∞

=1 !2

sin

n

nn

n

n π

; 2) ∑∞

=1

3

3nn

n

ß³ñù»ñÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:

µ) ÎÇñ³é»Éáí ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ` Ñ»ï³½áï»É`

1) ∑∞

=

+1

2

12

n

nn

nn

; 2) ∑∞

=

−+

12 7

))1(8(n

n

nn

n

ß³ñù»ñÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ:

ÈáõÍáõÙ: ³) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ÜÏ³ï»Ýù, áñ`

n

nn

nn

nn

n

n

nn

n

n

n

n

aa

2sin

2sin1

!2

sin:

)!1(2

sin)1( 111

1

π

πππ++

+

+

+

=+

+= :

ø³ÝÇ áñ 12

lim 1 >=+

∞→

ea

a

n

n

n: àõñ»ÙÝ, ïñí³Í ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ` 33

1

31 1

31

3:

3)1(

+

=+

= ++

nnnn

aa

nnn

n :

ø³ÝÇ áñ 131lim 1 <=+

∞→n

n

n aa

, ³å³ ïñí³Í ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

µ) Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù 1)-Á: ÜÏ³ï»Ýù, áñ

nn

nn nn

na

+=

+=

11/21

2 :

ø³ÝÇ áñ` 1/2lim <=∞→

eannn

, ³å³ ïñí³Í ß³ñùÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

2)-Ç ÉáõÍáõÙÁ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ`

2)(7)1(8

n

nn

nn

a −+= ¨ 1

79lim >=

∞→n

nna :

àõñ»ÙÝ, ïñí³Í ß³ñùÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

127

¢4. ²Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ

î»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É:

¸Çóáõù X -Á , Y -Á ¨ Z -Á Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: YXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³×áÕ (Ýí³½áÕ, ãÝí³½áÕ, ã³×áÕ), »Ã» Xxx ∈∀ 21 , ¨

21 xx < å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ )()( 21 xfxf < (Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ` )()( 21 xfxf > ,

)()( 21 xfxf ≤ , )()( 21 xfxf ≥ ): ²Ûë ãáñë ïÇåÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÙÇ³íáñíáõÙ »Ý Ù»Ï ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

³Ýí³Ý ï³Ï` ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ: ¸Çóáõù 0x -Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿:

b ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ RXf →: ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³Ý 0x Ï»ïáõÙ, »Ã» 0x -ÇÝ ½áõ·³ÙÇïáÕ

ó³ÝÏ³ó³Í nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0, xxXx nn ≠∈ , ýáõÝÏóÇ³ÛÇ

³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý )( nxf Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ b -ÇÝ:

²ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ b -Ý f ý áõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÝ ¿ 0x Ï»ïáõÙ ·ñíáõÙ »Ý ³Ûëå»ë`

bxfxx

=→

)(lim0

( Ï³Ù bxf →)( , »ñµ 0xx → ):

RXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï Xx ∈0 Ï»ïáõÙ, »Ã» ³Û¹ Ï»ïáõÙ

ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý, ¨ ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÇÝ 0x Ï»ïáõÙ`

)()(lim 00

xfxfxx

=→

:

ºÃ» RXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïáõÙ,

³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï X -Ç íñ³: ¸Çóáõù RXf →: ¨ RXg →: ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý Xx ∈0 Ï»ïáõÙ: ²Û¹

¹»åùáõÙ gfgf ,± ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ gf / ýáõÝÏóÇ³Ý (»Ã» 0)( 0 ≠xg )

³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý 0x Ï»ïáõÙ:

ºÃ» YXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Xx ∈0 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ ZYg →: ýáõÝÏóÇ³Ý

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Yxfy ∈= )( 00 Ï»ïáõÙ, ³å³ ))(( xfgz = µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿

0x Ï»ïáõÙ:

¸Çóáõù Rbaf →],[: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

³) »Ã» 0)()( <bfaf , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ );( bac∈ Ï»ï ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ 0)( =cf

(´áÉó³Ýá-ÎáßÇÇ Ã»áñ»ÙÁ): µ) f -Á ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ Ï»ï,

áñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ Çñ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ï»ï, áñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ (ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ)

·) ºÃ» f -Á ³×áÕ (Ýí³½áÕ) ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³å³ f -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÁ )])(),(([)](),([ afbfbfaf Ñ³ïí³ÍÝ ¿ ¨ 1−f (Ñ³Ï³¹³ñÓ) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹

Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: RXf →: ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï

ýáõÝÏóÇ³, »Ã» ( ) :)()(,)0)(0( 121221 εδδε <−<−∈∀>∃>∀ xfxfxxXxx

128

Î ³ÝïáñÇ Ã»áñ»ÙÁ . ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇ íñ³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³í³ë³ñ³-ã³÷ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:

¸Çóáõù )(0 fDx ∈ Ï»ïÁ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿:

ò³ÝÏ³ó³Í )( fDx∈ Ï»ïÇ ¹»åùáõÙ 0xxx −=∆ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³ñ-

·áõÙ»ÝïÇ ³× 0x Ï»ïáõÙ, ÇëÏ =∆ )( 0xf )()()()( 000 xfxxfxfxf −∆+=− ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ`

x∆ ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×: ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ í»ñç³íáñ, −∞ Ï³Ù +∞ ë³ÑÙ³Ý.

,)()(lim)(lim)()(0

0

0

0

0

00 xx

xfxfxxf

dxxdfxf

xxx −−

=∆

∆==′

→∆→

³å³ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Í³ÝóÛ³É 0x Ï»ïáõÙ:

²Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ. ¸Çóáõù c -Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿, ÇëÏ )(xuu = ¨ )(vv x=

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ 0x Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý (áõÝ»Ý ³Í³ÝóÛ³É): ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

;v)v(.3;v)v(.2;)(.1 ′−′=′−′+′=′+′=′ uuuuuccu

);0v(,v

vvv

.5;vv)v(.4 2 ≠′−′

=′

′+′=′

uuuuuu

.6 ºÃ» )(tx ϕ= ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0t Ï»ïáõÙ, ÇëÏ )(xfy = ýáõÝÏóÇ³Ý

³Í³Ýó»ÉÇ ¿ )( 00 tx ϕ= Ï»ïáõÙ, ³å³ ϕf µ³ñ¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ 0t Ï»ïáõÙ, ¨

)()()()( 000 txftf ϕϕ ′′=′ :

èáÉ ÉÇ Ã»áñ»ÙÁ. »Ã» Rbaf →];[: ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ,

³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ )()( bfaf = , ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ );( ba∈ξ

Ï»ï, áñ 0)( =′ ξf :

È³·ñ³ÝÅÇ Ã»áñ»ÙÁ. (ì»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Á). »Ã» Rbaf →];[: ýáõÝÏóÇ³Ý

³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

³ÛÝåÇëÇ );( ba∈ξ Ï»ï, áñ

))(()()( abfafbf −′=− ξ :

¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

f ýáõÝÏóÇ³Ý );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ñ³ëï³ïáõÝ ¿ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ

);(,0)( baxxf ∈∀=′ :

f ýáõÝÏóÇ³Ý );( ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ãÝí³½áÕ ¿ (ã³×áÕ ¿) ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ

));(,0)(();(,0)( baxxfbaxxf ∈∀≤′∈∀≥′ :

Ü » ñ ³ Í á õ Ã Û á õ Ý : Î³ë»Ýù, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ³Ý-

¹ñ³¹³ñÓ (é»Ïáõñ»Ýï) µ³Ý³Ó¨áí, »Ã» ïñí³Í ¿ ¹ñ³ ³é³çÇÝ k ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨

ïñí³Í ¿ f ýáõÝÏóÇ³, áñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ nkx + -Á áñáßíáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»-

ñáí`

Nnxxxnfx nnknknk ∈∀= −+−++ ),...,,,,( 21 : (1)

129

Ð³×³Ë, (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¿ k -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-

ë³ñáõÙ, ÇëÏ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÁ` k -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ïñí³Í kk axaxax === ,...,, 2211 Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñáí,

(1) µ³Ý³Ó¨Ç ÙÇçáóáí ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý áñáßíáõÙ ¿ ÙÝ³ó³Í ,...,...,, 21 nkkk xxx +++

³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙáí ¨ k Ñ³ï

Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñáí`

kk axaxax === ,...,, 2211 (2)

áñáßíáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ Ï³Ëí³Í ¿ kaaa ...,,, 21

Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇó`

)...,,,,( 21 kn aaanpx = : (3)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» áõÝ»Ýù ( ) nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇù, ³ÛÝåÇ-

ëÇÝ, áñ )...,,,,( 21 kn cccnpx = , áñï»Õ 1c -Á, 2c -Á, …, kc -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ë-

ï³ïáõÝÝ»ñ »Ý, ³å³ ³ñï³ùë»Éáí kccc ...,,, 21 Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñÁ`

+=

+==

+

+

)...,,,,(.........................................)...,,,,1(

)...,,,,(

21

211

21

kkn

kn

kn

cccknpx

cccnpxcccnpx

(4)

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó, Ïëï³Ý³Ýù (1) ï»ëùÇ, k -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Ý-

¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙ:

ÈáõÍ»É (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ (Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ), áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ

µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

²ÛëåÇëáí, (1)-Ý` k -ñ¹ Ï³ñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ï³Ëí³Í »Ý k Ñ³ï Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³-

ïáõÝÝ»ñÇó:

nx : Nncccnpx kn ∈= ,)...,,,,( 21 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ (1) -

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙ, »Ã» ³Û¹ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-

ë³ñÙ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í ÉáõÍáõÙ ëï³óíáõÙ ¿ nx -Çó kccc ...,,, 21 Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñÇ

áñáß ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ:

130

º½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝ: àñå»ë½Ç (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ áñáßíÇ

ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ï³É k Ñ³ï Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ:

1. Æï»é³óÇáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ

¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Çñ )( fD áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ, ÇëÏ

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ )( fD -áõÙ (³ÛëÇÝùÝ` ),(11 fDax ∈=

∈=+ )(1 nn xfx ),( fD Nn∈∀ ) Ñ»ï¨Û³É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí`

Nnxfxaxx nnn ∈∀== + ),(,: 111 : (5)

êáíáñ³µ³ñ (5) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Çï»é³-

óÇáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: Æï»é³óÇáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ÁÝ¹Ñ³Ýñ³-

å»ë ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ É³ÛÝáñ»Ý ÏÇñ³éíáõÙ »Ý Ùáï³íáñ

Ñ³ßíÙ³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñáõÙ [5,7,22]:

ºÃ» (5) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ )( fDc∈ ÃíÇÝ, ³å³ f

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿

xxf =)( (6)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï. (6) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÇÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f ýáõÝÏ-

óÇ³ÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï:

²ÛëåÇëáí, (5) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã» ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ

)( fD -áõÙ, å»ïù ¿ ÷Ýïñ»É f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (6) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ùáï³íáñ ÉáõÍÙ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÇó ¿

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Á (Ï³Ù å³ñ½ Çï»é³óÇ³ÛÇ Ù»-

Ãá¹Á), Áëï áñÇ, »ÉÝ»Éáí )(1 fDa ∈ ³ñÅ»ùÇó, Ñ³çáñ¹³µ³ñ áñáßíáõÙ »Ý (5) Ñ³-

çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñáÝù, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³éÙ³Ùµ, Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý (6)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÇ Ùáï³ñÏáõÙÝ»ñÁ:

ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë ³ë³Í` (5) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý Ñ³ñóÁ (³-

é³í»É ¨ë f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ ½áõ·³ÙÇï»Éáõ Ñ³ñóÁ) Ï³Ëí³Í ¿

ÇÝãå»ë f ýáõÝÏóÇ³ÛÇó, ³ÛÝå»ë ¿É 11 ax = ëÏ½µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇó:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 1 : f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ 1x -Ç µáÉáñ ³ñÅ»ù-

Ý»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ (5) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ c -

ÇÝ, ÏáãíáõÙ ¿ c Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 2: f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ó·áÕ, »Ã» ·á-

ÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûù` áñÝ ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ ÁÝÏ³Í ¿ ¹ñ³ ½áõ·³ÙÇ-

131

ïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ ¨ ÏáãíáõÙ ¿ í³ÝáÕ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ c Ï»ïÇ ßñç³Ï³Ûù,

áñÁ ãÇ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¹ñ³ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇó áã ÙÇ Ï»ï, µ³ó³-

éáõÃÛ³Ùµ Çñ»ÝÇó:

ºÉÝ»Éáí f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáß å³ñ½ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó` Ï³ñ»ÉÇ ¿ å³ñ½»É`

³) (5) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 1x -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï ¨ á±ñ

³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ` ï³ñ³Ù»ï:

µ) 1x -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ (5) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ f

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ:

Â»áñ»Ù 1 : ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ RF ⊂ ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ,

FFf ⊂)( ¨ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÈÇåßÇóÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ`

,,,)()( Fxxxxqxfxf ∈′′′∀′−′′≤′−′′ (7)

áñï»Õ` 10 <≤ q :

²Û¹ ¹»åùáõÙ F ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ xxf =)( Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ñÙ³ï ¨

,),(,: 10 NnxfxFxx nnn ∈∀=∈ − (8)

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ ³Û¹ ³ñÙ³ïÇÝ:

²å³óáõÛó: Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³Ù-

Ý»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý F -ÇÝ: ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý

ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí: ¸Çóáõù 1=n , ³Û¹ ¹»åùáõÙ` Fxfx ∈= )( 01 , ù³ÝÇ áñ

FFf ⊂)( : ºÝÃ³¹ñ»Ýù Fxn ∈ , ³Û¹ ¹»åùáõÙ` Fxfx nn ∈=+ )(1 , ù³ÝÇ áñ

FFf ⊂)( : Ð»ï¨³µ³ñ, NnFxFx n ∈∀∈∈ ,,0 :

ø³ÝÇ áñ )(),( 11 −+ == nnnn xfxxfx , ³å³ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (7) ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛ³Ý, Ïëï³Ý³Ýù`

Nnxxqxx nnnn ∈∀−≤− −+ ,11 : (9)

Ð³çáñ¹³µ³ñ û·ï³·áñÍ»Éáí (9) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ ÝÙ³ÝûñÇÝ³Ï ³ÝÑ³-

í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` Ïëï³Ý³Ýù`

Nnxxqxx nnn ∈∀−≤−+ ,011 : (10)

ú·ïí»Éáí (10) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó` ó³ÝÏ³ó³Í Np∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ,

ÏáõÝ»Ý³Ýù`

( ) )1/(...

...

010121

1211

qxxqxxqqq

xxxxxxxxnnpnpn

nnpnpnpnpnnpn

−−≤−+++≤

≤−++−+−≤−−+−+

+−+−+−+++

132

Ï³Ù

Npnqxxqxx nnpn ∈∀−−≤−+ ,),1/(01 : (11)

ø³ÝÇ áñ ,0lim =∞→

n

nq ³å³ (11) ·Ý³Ñ³ï³Ï³ÝÇó »½ñ³Ï³óÝáõÙ »Ýù, áñ (8)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝ¹³Ù»Ýï³É ¿: Ð»ï¨³µ³ñ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿:

Üß³Ý³Ï»Ýù` cxnn=

∞→lim : ø³ÝÇ áñ F -Á ÷³Ï ¿, ³å³`

Fcxnn∈=

∞→lim : (12)

ºÃ» (11) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç ³ÝóÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ ∞→p , Ïëï³-

Ý³Ýù`

Nnqxxqxc nn ∈∀−−≤− ),1/(01 : (13)

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ

.),1/(2

)()()()(0

011

1

111

Nnqxxqcxqxc

cfxfxccfxxccfcn

nn

nnnn

∈∀−−≤−+−≤

≤−+−=−+−≤−≤+

+

+++

Ï³Ù`

Nnqxxqcfc n ∈∀−−≤−≤ + ),1/(2)(0 011 (14)

(14) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ »ñÏáõ Ù³ë»ñáõÙ ³ÝóÝ»Éáí ë³ÑÙ³ÝÇ, »ñµ

∞→n , Ïëï³Ý³Ýù`

0)( =− cfc Ï³Ù ccf =)( : (15)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ xxf =)( Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý ÙÇ³ÏáõÃÛáõÝÁ ¨ë Ñ»ï¨áõÙ ¿

(7) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó: Æñáù, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý³ñ Ù»Ï ³ÛÉ c′ ³ñÙ³ï,

³å³ ÏáõÝ»Ý³ÛÇÝù`

ccqcfcfcc ′−≤′−=′− )()( : (16)

ì»ñçÇÝë ÑÝ³ñ³íáñ ¿ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ cc ′= : ∆

¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ F µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¨ FFf ⊂)( : ºÃ» ³ÛÝ

F µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ý³¨ (7) å³ÛÙ³ÝÇÝ, áñï»Õ` 10 << q , ³å³

³ëáõÙ »Ý, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿ F µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³:

²ÛëåÇëáí, Ã»áñ»Ù 1-Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ó¨³Ï»ñå»É Ý³¨ ³Ûëå»ë. »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý

ë»ÕÙáÕ ¿ F ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³å³ ³ÛÝ F -áõÙ áõÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï` ³ÛÝ ¿É ÙÇ³ÏÁ:

133

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 1: (13) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝáí áñáßíáõÙ ¿ ³ÛÝ µ³ó³ñÓ³Ï

ëË³É³ÝùÁ, »ñµ xxf =)( Ñ³í³ë³ñÙ³Ý c ³ñÙ³ïÇ ÷áË³ñ»Ý í»ñóíáõÙ ¿

¹ñ³Ý ½áõ·³ÙÇïáÕ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý nx ³Ý¹³ÙÁ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 2 : ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý F ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ³Í³ÝóÛ³É ¨

Fxqxf ∈∀<≤′≤ ,1)(0 , ³å³ ï»ÕÇ áõÝÇ (7) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 3: ¸Çóáõù Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ 0)( =xg Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ];[ baF =

ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ³ñÙ³ï ¨ :,)(0 21 Fxkxgk ∈∀≤′≤< Ü»ñÙáõÍ»Ýù

)()( xgxxf λ−= ýáõÝÏóÇ³Ý: ºÃ» 0≠λ , ³å³ 0)( =xg Ñ³í³ë³ñáõÙÁ

Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ xxf =)( Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ: ø³ÝÇ áñ` −=′ 1)(xf ),(xg ′λ ³å³

Fxkxfk ∈∀−≤′≤− ,1)(1 12 λλ ¨ +∈∀ Rλ : (17)

àõñ»ÙÝ, λ -Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÁÝïñ»É ³ÛÝå»ë, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ];[ ba ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ

ÉÇÝÇ ë»ÕÙáÕ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ xxf =)( Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ

Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»Ãá¹Á:

f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë»ÕÙáÕ ÉÇÝ»ÉÁ )( fDF ⊂ ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ µ³í³ñ³ñ,

µ³Ûó áã ³ÝÑñ³Å»ßï, å³ÛÙ³Ý ¿ áñå»ë½Ç (5) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïÇ

xxf =)( Ñ³í³ë³ñÙ³Ý` Fc∈ ³ñÙ³ïÇÝ:

Î³ñ»ÉÇ ¿ µ»ñ»É ³ÛÝåÇëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝù RF ⊂ ÙÇç³-

Ï³ÛùáõÙ ë»ÕÙáÕ ã»Ý, µ³Ûó Fx ∈0 ¹»åùáõÙ, ëÏë³Í áñáß N Ñ³Ù³ñÇó (5)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý áñáß FF ⊂0 ÷³Ï

ÙÇç³Ï³ÛùÇ, áñÇ íñ³ f -Á ë»ÕÙáÕ ¿ (ï»ë 3-ñ¹ ¨ 4-ñ¹ ûñÇÝ³ÏÝ»ñÁ): Æñ³í³óÇ ¿

Ã»áñ»Ù 1-Ç Ñ»ï¨Û³É ÁÝ¹Ñ³Ýñ³óáõÙÁ:

Â»áñ»Ù 2 : ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿` RF ⊂ ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ,

FFf ⊂)( , ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ k µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ =kf

k

fff ...

ýáõÝÏóÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿ F -Ç íñ³, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï` Fc∈ Ï»ï

³ÛÝåÇëÇÝ, áñ :)( ccf = ÀÝ¹ áñáõÙ`

,),(,: 10 NnxfxFxx nknn ∈∀=∈ − ¨ ,),(,: 100 Nnxfxxxx nnn ∈∀′=′=′′ − (18)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ :limlim cxx nnnn=′=

∞→∞→

134

²å³óáõÛó: ¸Çóáõù c -Ý kf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿. Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

Ã»áñ»Ù 1-Ç`

ccf k =)( ¨ :lim cxnn=

∞→ (19)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ`

))((...))(...()( cffffcffffcfn

kkk

n

kkk

==

Ð»ï¨³µ³ñ`

ccffffcfn

kkkn==

∞→))((...lim)(

, (20)

ù³ÝÇ áñ kf ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë»ÕÙáÕ ÉÇÝ»Éáõó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ó³ÝÏ³ó³Í`

...),(......,),(),( 000 xfffxffxf kkkkkk (21)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ( Fx ∈0 ) ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ:

²ÛëåÇëáí, ccf =)( : ì»ñçÇÝë ÙÇ³ÏÝ ¿, ù³ÝÇ áñ f -Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³Ýß³ñÅ

Ï»ï, ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿ Ý³¨ kf -Ç Ñ³Ù³ñ, µ³Ûó kf -Ý, ÉÇÝ»Éáí ë»ÕÙáÕ, áõÝÇ Ù»Ï

³Ýß³ñÅ Ï»ï` c -Ý:

nx′ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáÛÝå»ë ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ c -ÇÝ: Æñáù, ù³ÝÇ áñ

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ nx′ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »ÝÃ³Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áõñ»ÙÝ c -Ý nx′ -Ç Ñ³Ù³ñ ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï ¿: ØÛáõë ÏáÕÙÇó,

nx′ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áõñÇß ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ï áõÝ»Ý³É ãÇ Ï³ñáÕ, áñ¨Ñ»ï¨

í»ñçÇÝë f -Ç Ñ³Ù³ñ ÝáõÛÝå»ë ÏÉÇÝÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¨ ÏË³ËïíÇ f -Ç Ù»Ï

³Ýß³ñÅ Ï»ï áõÝ»Ý³Éáõ Ñ³Ý·³Ù³ÝùÁ: ²ÛëåÇëáí, nx′ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

Ñ³Ù³ñ c -Ý ÙÇ³Ï ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÝ ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ` cxnn=′

∞→lim : ∆

Â»áñ»Ù 3 : ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ];[ baF = Ñ³ïí³ÍáõÙ, FFf ⊂)(

¨ ï»ÕÇ áõÝÇ

xxFxxxxxfxf ′′≠′∈′′′∀′−′′<′−′′ ,,,)()( (22)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³`

³) xxf =)( Ñ³í³ë³ñáõÙÝ F -áõÙ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ³ñÙ³ï` :Fc∈

µ) ,),(,: 10 NnxfxFxx nnn ∈∀=∈ − Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ¨ :lim cxnn=

∞→

135

²å³óáõÛó: ³) Â»áñ»ÙÇ å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï

¿ F -Ç íñ³: ¸Çï³ñÏ»Ýù )()( xfxx −=ϕ ûÅ³Ý¹³Ï ýáõÝÏóÇ³Ý: ø³ÝÇ áñ ϕ

ýáõÝÏóÇ³Ý F -Ç íñ³ ÝáõÛÝå»ë ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Fc∈ Ï»ï,

áñ xxfccfcFx

−=−=∈

)(min)()(ϕ :

¸Çóáõù` :0)( >cϕ ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ù³ÝÇ áñ Fcf ∈)( , ³å³ (22) ³ÝÑ³í³ë³-

ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ

),(min)()()())(())(( xcccfcfcffcfFxϕ=ϕ=−<−=ϕ

∈ (23)

áñÁ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ )(min)( xcFxϕϕ

∈= å³ÛÙ³ÝÇÝ: ²ÛëåÇëáí`

0)()( =−=ϕ ccfc Ï³Ù ccf =)( :

ºÝÃ³¹ñ»Ýù Fc ∈1 ÝáõÛÝå»ë f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

,)()( 111 cccfcfcc −<−=− áñÁ ï»ÕÇ ãáõÝÇ, »Ã» cc ≠1 : àõñ»ÙÝ` cc =1 :

µ) Ü³Ë ÝÏ³ï»Ýù, áñ FFf ⊂)( å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ,Fxn ∈

:Nn∈∀ ø³ÝÇ áñ ccf =)( , ³å³ cxcfxfcx nnn −<−=−≤ −− 11 )()(0 :

Ð»ï¨³µ³ñ` cxn − Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³-

÷³Ï: àõëïÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ, ³ÛÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý: ¸Çóáõù`

=−∞→

cxnnlim : òáõÛó ï³Ýù, áñ 0= :

Üß³Ý³Ï»Ýù Ε -áí ......21 <<<< innn µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ`

,...,...,, 21 innn=Ε , áñáÝó Ñ³Ù³ñ` Ε∈∀≥− iin ncx ,0 : ºÃ» Ε -Ý ³Ýí»ñç ¿,

³å³ inx -ÝÁ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ ¨

Ε∈∀≥− in ncxi

,0 å³ÛÙ³ÝÇó, ÏáõÝ»Ý³Ýù` =− cxin cx

in − : Ð»ï¨³µ³ñ,

cxin − Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñå»ë cxn − Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý »ÝÃ³Ñ³-

çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áõÝÇ ÝáõÛÝå»ë ë³ÑÙ³ÝÁ: àõñ»ÙÝ` inx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ áõÝÇ +c ë³ÑÙ³Ý: ºÃ» Ε -Ý í»ñç³íáñ ¿ ¨ Ε= max0n , ³å³ µáÉáñ

0nn > µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ÏáõÝ»Ý³Ýù` 0<− cxn ¨ =− cxn - cxn − : ²Ûë

¹»åùáõÙ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ −c ë³ÑÙ³ÝÁ: ²Ûë-

åÇëáí, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó ÙÇßï Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É »ÝÃ³Ñ³çáñ-

136

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÁ ½áõ·³ÙÇïÇ ε+c ÃíÇÝ, áñï»Õ 1=ε Ï³Ù 1−=ε : ø³ÝÇ áñ

ε+c ÃÇíÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ inx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, áñÇ

³Ý¹³ÙÝ»ñÁ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇÝ, ³å³ ];[ bac ∈+ ε : ε+c

Ï»ïáõÙ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí, ÏáõÝ»Ý³Ýù, áñ )(inxf

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ áõÝÇ )( lcf ε+ ë³ÑÙ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí`

=−=−=−+ +∞→∞→cxcxfccf

ii nini 1lim)(lim)( ε : (24)

( 1

cxin −+

-Ý ÉÇÝ»Éáí cxn − Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ

áõÝÇ ë³ÑÙ³ÝÁ): ºÃ» ÁÝ¹áõÝ»Ýù` 0> , ³å³ (22) ¨ (24) ³éÝãáõÃÛáõÝÝ»ñÇó

ÏÑ»ï¨Ç , áñ`

=ε<−ε+=−ε+= )()()( cfcfccf : (25)

êï³óí»ó` < Ñ³Ï³ë³Ï³Ý ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ, Ñ»ï¨³µ³ñ` 0= :

²ÛëåÇëáí` ccf =)( ¨ cxnn=

∞→lim : ∆

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 4: Â»áñ»Ù 3-áõÙ ];[ baF = Ñ³ïí³ÍÁ ãÇ Ï³ñ»ÉÇ ÷áË³ñÇÝ»É

³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³Ûùáí: Æñáù, ¹Çóáõù`

Rxarctgxxxf ∈∀π+−= ,2/)( : (26)

Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ f -Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï ãáõÝÇ, µ³Ûó ï»ÕÇ áõÝÇ`

212121212

2

2121 ,,,1

)()()( xxRxxxxxxu

uxxufxfxf ≠∈∀−<−+

=−′=−

³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ u -Ý 1x ¨ 2x Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨ áñáß³ÏÇ Ï»ï ¿:

Â»áñ»Ù 4 : ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ];[ baF = Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨

³Û¹ Ñ³ïí³ÍáõÙ áñáßí³Í ¿ NnxfxFxx nnn ∈∀=∈ − ),(,: 10 Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ:

²Û¹ ¹»åùáõÙ`

³) ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ F Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ Fc∈ ë³ÑÙ³Ý, áñ ccf =)( :

µ) ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ F Ñ³ïí³ÍáõÙ, ³å³ 2kx ¨ 12 −kx »ÝÃ³-

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý, áõÝ»Ý ë³ÑÙ³ÝÝ»ñ, ¨ ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ

µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý xxff =))(( Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

137

²å³óáõÛó: ³) ¸Çóáõù` 01 xx ≥ : Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí

³å³óáõó»Ýù, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ ¿, ³ÛëÇÝùÝ` ,1 nn xx ≤−

Nn∈∀ : ºÃ» 1=n , ³å³ 01 xx ≥ , Áëï å³ÛÙ³ÝÇ: ºÝÃ³¹ñ»Ýù 12 −− ≤ nn xx :

ø³ÝÇ áñ f -Ý ³×áÕ ¿, ³å³

nnnnnn xxfxfxxx =≤=⇒≤ −−−−− )()( 12112 : (27)

àõñ»ÙÝ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ ¿ ¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ,( 0 bxx n ≤≤

)Nn∈∀ : Ð»ï¨³µ³ñ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ c ë³ÑÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

bcxa ≤≤≤ 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:

ÜÙ³Ý Ó¨áí ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »Ã» 10 xx ≥ , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ã³×áÕ ¿: ²Ûë ¹»åùáõÙ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿

Ý»ñù¨Çó` a -áí, Ñ»ï¨³µ³ñ, ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ c ë³ÑÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿

bxca ≤≤≤ 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ:

ø³ÝÇ áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Fc∈ Ï»ïáõÙ, ³å³ )( nxf Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ )(cf ë³ÑÙ³ÝÁ: ²ÛëåÇëáí, 1+nx ¨ )( nxf Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý,

áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ë³ÑÙ³ÝÁ: àõñ»ÙÝ` )(cfc = :

êï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÇÝ ï³Ýù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÝ:

¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ 0x ³µëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë-

Ë³ÝáõÙ ¿ 1x ûñ¹ÇÝ³ï: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³ÝÏÛáõÝÁ ÏÇëáÕ` xy =

áõÕÕÇ 1x ûñ¹ÇÝ³ï áõÝ»óáÕ Ï»ïÝ áõÝÇ 1x ³µëóÇë, áñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý

Ï»ïÁ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ áõÝÇ` )( 12 xfx = ûñ¹ÇÝ³ïÁ: ì»ñóÝ»Ýù 2x

ûñ¹ÇÝ³ï áõÝ»óáÕ Ï»ïÁ xy = áõÕÕÇ íñ³: ¸ñ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ï»ïÁ f

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ áõÝÇ` )( 23 xfx = ûñ¹ÇÝ³ïÁ ¨ ³ÛÉÝ: ÜÏ³ñ 8-Á

Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ³ÛÝ ¹»åùÇÝ, »ñµ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿,

ÇëÏ ÝÏ³ñ 9-Á , »ñµ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿:

138

µ) ø³ÝÇ áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ Ýí³½áÕ ];[ baF = Ñ³ïí³ÍáõÙ

(ÝÏ10.), ³å³ F -Ç Ï»ñå³ñÁ` )]();([)( afbfFf = , ¨ë ÏÉÇÝÇ Ñ³ïí³Í ¨ Áëï

å³ÛÙ³ÝÇ` Nnafbfxn ∈∀∈ )],();([ : ff ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ³×áÕ

];[ ba Ñ³ïí³ÍáõÙ: Æñáù, ó³ÝÏ³ó³Í ∈′′′ xx , ];[ ba Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛÝåÇëÇÝ,

áñ xx ′′<′ , áõÝ»Ýù`

)()()()()()( xffyfyfxffyxfxfyxx ′′=′′<′=′⇒′′=′′>′=′⇒′′<′ : (28)

Ð»ï¨³µ³ñ, ff ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙÇçáóáí Ï³éáõóí³Í ó³ÝÏ³ó³Í ³Ý¹ñ³-

¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ëáõÛÝ Ã»áñ»ÙÇ ³)

Ù³ëÁ: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, Ñ»ï¨Û³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ`

:,)(,:

,,)(,:

1212112

22202

Nkxffxxx

NkxffxFxx

kkk

kkk

∈=

∈=∈

−++

−

(29)

Üßí³Í` (29) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý ¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, Ñ»ï¨³-

µ³ñ` ½áõ·³Ù»ï »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ, »Ã» cx kk′=

∞→ 2lim , cx kk′′=+∞→ 12lim , ³å³

ccff ′=′))(( ¨ ccff ′′=′′ ))(( :

Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ »Ã» ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ãÝí³½áÕ ¿,

³å³ ÙÛáõëÁ ã³×áÕ ¿: úñÇÝ³Ï`

Nkxxfxfxxx nnnnnn ∈∀=≤=⇒≥ −−+− ,)()( 1222212222 : (30)

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñå»ë½Ç nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï,

³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ cc ′′=′ : ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ`

ccc =′′=′ -Ý Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ xxff =)( Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ: ∆

a 0 c 3x 2x 1x 0x b x

y

ÝÏ.8.

a 0 c 3x 2x 1x 0x b x

y

ÝÏ.9.

139

Ð»ï¨³Ýù 1: ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ áõ ³Í³Ýó»ÉÇ ];[ baF =

Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨ xxf =)( Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Fc∈ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ïÁ` ccf =)( :

¸Çóáõù` NnxfxFxx nnn ∈∀=∈ − ),(,: 10 : ²Û¹ ¹»åùáõÙ`

³) ºÃ» Fxxf ∈∀≤′≤ ,1)(0 , ³å³ NnFxn ∈∀∈ , , nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿ ¨ áõÝÇ c ë³ÑÙ³ÝÁ ( F -Á ÙïÝáõÙ ¿ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ c

³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ù»ç):

µ) ºÃ» Fxxf ∈∀≤′≤− ,0)(1 ¨ Fxfx ∈= )( 01 , ³å³ NnFxn ∈∀∈ , , 2kx ¨

12 +kx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý ¨ ½áõ·³ÙÇïáõÙ »Ý`

xxff =)( (31)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ:

·) ºÃ» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ δ -ßñç³Ï³Ûù`

);( δδ +− cc ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ );(,1)( δδ +−∈∀≥′ ccxxf , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ ½áõ·³ÙÇïáõÙ c -ÇÝ ( c Ï»ïÁ í³ÝáÕ ¿):

²å³óáõÛó: ³) Ð³Ù³Ó³ÛÝ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Ç, áõÝ»Ýù`

:)()(01)(0),()()()()()(cafaacafcuf

cuaufacafcfafc≤≤⇒−≤−≤⇒≤′≤

<<′−=−=− (32)

ÜáõÛÝ Ó¨áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ bbfc ≤≤ )( : ø³ÝÇ áñ f -Á ãÝí³½áÕ ¿ F -Ç

íñ³, Ñ»ï¨³µ³ñ` ];[)]();([)( babfafFf ∈= : àñï»ÕÇó Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ-

¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ NnFxn ∈∀∈ , : ÎÇñ³é»Éáí Ã»áñ»Ù 4-Á`

Ïëï³Ý³Ýù, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿, ë³ÑÙ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿

];[ ba Ñ³ïí³ÍÇÝ ¨ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ xxf =)( Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ: ø³ÝÇ áñ

a 0 c 3x 2x 1x 0x b x

y

ÝÏ10.

)(xfy =

140

Áëï å³ÛÙ³ÝÇ` ³Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ F -áõÙ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ c ³ñÙ³ïÁ, Ñ»ï¨³µ³ñ

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ c -Ý ¿:

µ) àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ, »ÝÃ³¹ñ»Ýù 10 xx < : Àëï å³ÛÙ³ÝÇ Fxx ∈10 , :

Ð³Ù³Ó³ÛÝ í»ñç³íáñ ³×»ñÇ µ³Ý³Ó¨Ç, áõÝ»Ýù`

:00)(1),()()()()(

1200121

10101021

xxxxxxxufxuxxxufxfxfxx

≤≤⇒−≤−≤⇒≤′≤−<<−′=−=−

(33)

ø³ÝÇ áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ F -Ç íñ³, Ñ»ï¨³µ³ñ` =]);([ 10 xxf

];[];[)]();([ 101201 xxxxxfxf ∈= : ²ÛëåÇëáí, ff ýáõÝÏóÇ³Ý ],[ 10 xx Ñ³ï-

í³ÍáõÙ áñáßí³Í ¿, ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ ³Í³Ýó»ÉÇ`

];[),())(()( 10 xxxxfxffxff ∈∀′′=′ : (34)

],[ 10 xx Ñ³ïí³ÍáõÙ (Ù³ëÝ³íáñ³µ³ñ x ¨ )(xf Ï»ï»ñáõÙ) f ′ ³Í³ÝóÛ³É

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÁÝ¹áõÝ³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý -1-Ç ¨ 0-Ç ÙÇç¨: Ð»ï¨³µ³ñ`

];[,1)(0 10 xxxxff ∈∀≤′< : (35)

êï³ó³Ýù, áñ ff ýáõÝÏóÇ³Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ëáõÛÝ Ñ»ï¨³ÝùÇ ³) Ù³ëÇ

å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ëáõÛÝ Ñ»ï¨³ÝùÇ ³) Ù³ëÇ

:,)(,:,,)(,:

1212112

22202

NkxffxxxNkxffxxx

kkk

kkk

∈=∈=

−++

−

(36)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, Ïëï³Ý³Ýù` kx2 , ,12 Fx k ∈+ 0∪∈∀ Nk (Ñ»ï¨-

³µ³ñ` NnFxFx n ∈∀∈∈ ,,0 ), kx2 ¨ 12 +kx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ùá-

ÝáïáÝ »Ý, ½áõ·³Ù»ï »Ý ¨ ¹ñ³Ýó ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ »Ý (31) Ñ³í³ë³ñ-

Ù³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ:

·) ¸Çóáõù` ):(];[ δδβα +−⊂ cc ¨ βα << c : ºÃ» ÁÝ¹áõÝ»Ýù, áñ nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ c -ÇÝ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ ÏáõÝ»Ý³ N N∈

ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³Ý`

βα << nx ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ`

cxcxcxufcfxfcx nnnnn −≥−⇒−′=−=− ++ 11 ))(()()( (37)

êï³óí³Í (37) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ ½áõ·³ÙÇïáõÙ c -ÇÝ, Ñ³Ï³é³Ï Ù»ñ ÁÝ¹áõÝ»ÉáõÃÛ³ÝÁ (Ñ³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿,

áñ µ³ó³éáõÃÛáõÝ ¿ Ï³½ÙáõÙ ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñµ =c ......10 ==== nxxx ): ∆

141

úñÇÝ³Ï 1: 1x -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Nnxfxxx nnn ∈=+ ),(,: 11 Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿.

³) Nnxxx nxnn ∈= −+ ,2,: 1

11 , µ) Nnarctgxxxxx nnnn ∈++=+ ,4/,: 11 π ,

·) ( ) ( ) 2,0,,,)1(,: 111 ≥>∈−+= −

+ kaNnkkxxkaxxx kn

knnn :

ÈáõÍáõÙ: ³) I »Õ³Ý³Ï: Üßí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áõÙ 12)( −= xxf : Ð»ßï ¿

Ñ³Ùá½í»É áñ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÝ »Ý` 2,1 21 == cc : ¸Çï³ñÏ»Ýù

»ñ»ù ¹»åù»ñ` 1) ¸Çóáõù` ]1;(1 −∞∈x : òáõÛó ï³Ýù, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿ ¨ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï`1-áí: ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí:

¸Çóáõù` 1=n , Ïëï³Ý³Ýù` 211

1 2 xx x =≤ − : ºÝÃ³¹ñ»Ýù` nn xx <−1 , óáõÛó ï³Ýù,

áñ 1+< nn xx : Æñáù, ù³ÝÇ áñ f -Á ³×áÕ ¿, ³å³ <⇒< −−

− 11

12 nxnn xx ⇔−12 nx

1+< nn xx : Ð»ï¨³µ³ñ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿: òáõÛó ï³Ýù, áñ ³ÛÝ

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó 1-áí: Æñáù, ÝáñÇó û·ïí»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý

ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Çó: ¸Çóáõù` 1=n , Ïëï³Ý³Ýù` 12 12

1 ≤= −xx : ºÝÃ³¹ñ»Ýù`

11 ≤−nx , Ïëï³Ý³Ýù` 12 11 ≤= −−nxnx : àõñ»ÙÝ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ`

Nnxn ∈∀≤ ,1 : Ð»ï¨³µ³ñ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý ¨ ³Û¹

ë³ÑÙ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ]1;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ: ø³ÝÇ áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f

ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇ³Ï` 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ, Ñ»ï¨³µ³ñ` 1lim =∞→ nn

x :

2) ¸Çóáõù` )2;1(1 ∈x : òáõÛó ï³Ýù áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨

ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó 1-áí: ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý

ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí: ¸Çóáõù` 1=n , ÏáõÝ»Ý³Ýù` 111

2 2 xx x <= − : ºÝÃ³¹ñ»Ýù`

nn xx >−1 , óáõÛó ï³Ýù, áñ 1+> nn xx : Æñáù, ù³ÝÇ áñ f -Á ³×áÕ ¿, ³å³

>⇒> −−−

111 2 nx

nn xx 112 +− >⇔ nn

nx xx : Ð»ï¨³µ³ñ, nx -Á Ýí³½áÕ ¿: òáõÛó

ï³Ýù, áñ ³ÛÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó 1-áí: ²å³óáõóáõÙÁ Ï³ï³ñ»Ýù Ù³Ã»-

Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí: ¸Çóáõù` 1=n , Ïëï³Ý³Ýù` 122 0112 =≥= −xx :

ºÝÃ³¹ñ»Ýù` 11 ≥−nx , Ïëï³Ý³Ýù` ≥= −− 112 nxnx 120 = : àõñ»ÙÝ, nx Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³ÑÙ³Ý áõÝÇ, ¨ ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ );1[ 1x ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ:

ø³ÝÇ áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇ³Ï` 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ,

Ñ»ï¨³µ³ñ` 1lim =∞→ nn

x :

3) ¸Çóáõù` );2(1 +∞∈x : òáõÛó ï³Ýù, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿:

142

ÜáñÇó û·ïí»Ýù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Çó: ¸Çóáõù` 1=n ,

Ïëï³Ý³Ýù` 111

2 2 xx x ≥= − : ºÝÃ³¹ñ»Ýù` nn xx <−1 , óáõÛó ï³Ýù, áñ 1+< nn xx :

Æñáù, ù³ÝÇ áñ f -Á ³×áÕ ¿, ³å³ 1111

1 22 +−−−

− <⇔<⇒< nnnxnx

nn xxxx : Ð»ï¨³-

µ³ñ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ );2( +∞ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ë³ÑÙ³Ý ãáõÝÇ:

º½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝ: )2;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý

ïÇñáõÛÃÝ ¿, 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ Ó·áÕ ¿: 22 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ í³ÝáÕ ¿,

Nnxxx nxnn ∈=+∞∈ −+ ,2),;2(: 1

11 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

II »Õ³Ý³Ï: ¸Çóáõù` );2loglog1( 2 ∞+−∈x : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` 1)( >′ xf , Ñ»ï¨³-

µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç, 22 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÁ í³ÝáÕ ¿: àõñ»ÙÝ, »Ã»

);2loglog1( 2 ∞+−∈x ¨ 21 cx ≠ , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ ½áõ·³ÙÇ-

ïáõÙ 2c -ÇÝ: ºÃ» 21 cx = , ³å³ Nncxn ∈∀= ,2 , Ñ»ï¨³µ³ñ` 2lim 2 ==∞→

cxnn:

¸Çóáõù a -Ý 11 =c -Çó ÷áùñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ f -Á

³×áÕ ¿ ];[ 2ca Ñ³ïí³ÍáõÙ ¨ ];[]);([ 22 cacaf ⊂ : Ð»ï¨³µ³ñ` ],;[: 21 caxxn ∈

Nnx nxn ∈= −+ ,2 11 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ ];[ 2ca Ñ³ïí³ÍáõÙ: Ð³Ù³-

Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 4-Ç ³ÛÝ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ 11 =c ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ, »Ã» 21 cx ≠ ( 2c -Á

í³ÝáÕ ¿!): ø³ÝÇ áñ í»ñáÑÇßÛ³É åÝ¹áõÙÝ»ñÁ ×Çßï »Ý Ý³¨ ó³ÝÏ³ó³Í

µ³ó³ë³Ï³Ý a -Ç Ñ³Ù³ñ, Ñ»ï¨³µ³ñ );( 2c−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ 11 =c Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ

½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃ ¿: ²ÛëåÇëáí, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï

¿, »Ã» ];( 21 cx −∞∈ ¨ ï³ñ³Ù»ï ¿, »Ã» );( 21 +∞∈ cx (ÝÏ. 11.):

0 1 3x 2x 1x 2 x

y

ÝÏ.11.

12 −= xy

143

µ) ²Ûë ûñÇÝ³ÏáõÙ` ,01

)(;)(;4

)( 2

2

>+

=′=+−=x

xxfRfDarctgxxxf π

Rx∈∀ : f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÁ ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ÉáõÍ»Ýù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ`

144

)( =⇔=⇔+−=⇔= xarctgxarctgxxxxxf ππ:

²ÛëåÇëáí 1=x Ï»ïÁ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ïÝ ¿: ø³ÝÇ áñ

Rxxf ∈∀<′≤ ,1)(0 , ³å³ 21212121 ,,,)()( xxRxxxxxfxf ≠∈∀−<− :

¸Çóáõù 1>r Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿ ¨ ];[1 rrx −∈ : ²Û¹ ¹»åùáõÙ` =− ]);([ rrf

];[)]();([ rrrfrf −⊂−= : Ð»ï¨³µ³ñ, ó³ÝÏ³ó³Í ];[1 rrx −∈ ³ñÅ»ùÇ ¹»å-

ùáõÙ áñáßí³Í ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 3-Ç, ½áõ·³ÙÇ-

ïáõÙ ¿ 1=x ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ:

ø³ÝÇ áñ r -Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É ó³ÝÏ³ó³Í ã³÷áí Ù»Í, ³å³ 1=x ³Ýß³ñÅ

Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ÏÉÇÝÇ );( +∞−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÁ (ÝÏ. 12.):

·) ¸Çóáõù k -Ý ½áõÛ· ¿: ÜÏ³ï»Ýù, áñ`

:11)(,)1()( 1

−

−=′−+

=− kk

k

xa

kkxf

xkxkaxf

f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³Ýß³ñÅ Ï»ï»ñÝ »Ý` kk acac =−= 21 , : àõÝ»Ýù Ý³¨`

+∞<≤

−≤<∞−⇔

−≤′≤

xa

axk

kxfk

k1)(0 : (38)

ø³ÝÇ áñ ( ) ( ) );[);[,];(];( +∞⊂+∞−−∞⊂−−∞ kkkk aafaaf , ³å³ f ýáõÝÏ-

óÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿ ];( k a−−∞ ¨ );[ +∞k a ÷³Ï ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ:

ÝÏ. 12.

x

y

3x 1

2x 0

1x

144

Ð³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 1-Ç, »Ã» ];(1k ax −−∞∈ , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ

½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac −=1 -ÇÝ, ÇëÏ »Ã» );[1 +∞∈ k ax , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac =2 -ÇÝ:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» )0;(1k ax −∈ , ³å³ ];(2

k ax −−∞∈ , ÇëÏ »Ã» );0(1k ax ∈ ,

³å³ );[2 +∞∈ k ax : ø³ÝÇ áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿ ];( k a−−∞ ¨ );[ +∞k a

÷³Ï ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ, ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ

Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac −=1 -ÇÝ Ï³Ù k ac =2 -ÇÝ:

²ÛëåÇëáí, »Ã» )0;(1 −∞∈x , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ

¿ k ac −=1 -ÇÝ, ÇëÏ »Ã» );0(1 +∞∈x , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ

½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac =2 -ÇÝ (ÝÏ. 13.):

¸Çóáõù k -Ý Ï»Ýï ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ù»Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ï`

k ac = : Ü³Ëáñ¹ ¹»åùÇ ÝÙ³Ý óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ë»ÕÙáÕ ¿

);[ +∞k a ÷³Ï ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ »Ã» );0(1k ax ∈ , ³å³ );[2 +∞∈ k ax : Ð»ï¨³-

µ³ñ, »Ã» );0(1 +∞∈x , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ k ac = -ÇÝ:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ )0;(−∞ ÙÇç³Ï³ÛùÇ áã µáÉáñ Ï»ï»ñÝ »Ý, áñ å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý

k ac = ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ: úñÇÝ³Ï, »Ã» )0;(1 −∞∈x

0 1x 2x x k a

k a−

ÝÏ. 13.

145

³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ 0)(... 1 == xfffxn

n , ³å³ 1x -Á

ãÇ å³ïÏ³ÝáõÙ k ac = ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ (ÝÏ. 14.):

úñÇÝ³Ï 2: Ð»ï³½áï»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ, »Ã»`

³) Nnxxxxx

n

nnn ∈

++

== + ,21,0: 11 ; µ) Nn

xxaxx

nnn ∈

+=−>= + ,

11,1: 11 ;

·) Nnxxxx nnn ∈−== + ,)1(,2/1: 211 :

ÈáõÍáõÙ: ³) ²Ûëï»Õ`21)(

++

=xxxf , áñÁ [0;1] Ñ³ïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³×áÕ

¿ ¨ ( ) ]1;0[]1;0[ ⊂f : Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí Ñ»ßï ¿ óáõÛó ï³É,

áñ Nnxn ∈∀<≤ ,10 : Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 1-Ç nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿`

21

++

=xxx Ï³Ù 012 =++ xx

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇÝ` ( ) 2/15 −=c :

µ) ²Ûëï»Õ`1

1)(+

=x

xf : Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ f -Á Ýí³½áõÙ ¿ );1( +∞− ÙÇ-

ç³Ï³ÛùáõÙ: ²Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f -Ý áõÝÇ Ù»Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ï` ( ) 2/15 −=c : 12 +kx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿, »ñµ ),1( ca −∈ ¨ Nkx k ∈∀<< + ,10 12 , ÇëÏ

2kx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨ 22 xxc k ≤< : Ð»ï¨³µ³ñ, ³Û¹ »ÝÃ³-

0 2x x k a

ÝÏ. 14.

1x

146

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý: ¸Çóáõù` xxxx kkkk′′=′=

∞→+∞→ 212 lim,lim :

²Û¹ ¹»åùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛ³Ý ßÝáñÑÇí, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

′+=′′

′′+′+′′−′

=′′−′⇔

′+=′′

′′+=′

xx

xxxxxx

xx

xx

11

)1)(1(

11

11

:

ø³ÝÇ áñ 1)1)(1( >′′+′+ xx , ³å³ xx ′′−′ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ

ÉÇÝ»É ãÇ Ï³ñáÕ: àõñ»ÙÝ` nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 12 +kx ¨ 2kx »ÝÃ³-

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ë³ÑÙ³ÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ( ) 2/15lim −=∞→ nn

x : ÜáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ïëï³Ý³Ýù, »ñµ

);( +∞∈ ca : ²Ûë ¹»åùáõÙ 12 +kx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿, ÇëÏ 2kx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ` ³×áÕ: ºÃ» ( ) 2/15 −=a , ³å³ Nnaxn ∈∀= , , Ñ»ï¨³-

µ³ñ, axnn=

∞→lim :

·) ²Ûëï»Õ` 2)1()( xxf −= , áñÁ [0;1] Ñ³ïí³ÍáõÙ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ¨ Ýí³½áÕ:

Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí Ñ»ßï ¿ óáõÛó ï³É, áñ ,10 <≤ nx

Nn∈∀ : 12 −kx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ` 13 2/116/9 xx =>= :

ø³ÝÇ áñ ³ÛÝ Ý³¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ, áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý` x′ ( ≤16/9

1≤′x ): 2kx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿, ¹ñ³ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ

¿` 4/12 =x : ø³ÝÇ áñ ³ÛÝ Ý³¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, Ñ»ï¨³µ³ñ, áõÝÇ ë³ÑÙ³Ý` x ′′

( 4/10 ≤′′≤ x ) : x′ ¨ x ′′ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ ã»Ý: Ð»ï¨³µ³ñ, nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ x′ -Á ¨ x ′′ -Á áñáßíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³-Ï³ñ·Çó`

=′′=′

⇒

=′′′=′′+′

⇔

′−=′′

′′−=′

;0,1

;0,1

;)1(,)1(

2

2

xx

xxxx

xxxx

:

úñÇÝ³Ï 3: a -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ` ,22

,2

:2

10

−+== nnn

xaxaxx Nn∈

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿:

ÈáõÍáõÙ: ²Ûëï»Õ`22

)(2xaxf += ¨ =−⇔=+⇔= 2

2

)1(22

)( xxxaxxf

147

a−1 : Ð»ï¨³µ³ñ, »Ã» 1>a , ³å³ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýß³ñÅ Ï»ï ãáõÝÇ ¨ ÙÇ³Å³-

Ù³Ý³Ï nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

øÝÝ³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ¹»åù»ñÁ` I ¹»åù. 10 ≤< a : ÜÏ³ï»Ýù, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ]1;0[ Ñ³ïí³ÍáõÙ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ

Ù»Ï ³Ýß³ñÅ Ï»ï` ac −−= 111 : Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ ]1;0[])1;0([ ⊂f ¨ »ñµ

]1;0[∈x , ³å³ 1)(0 ≤′≤ xf : Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí Ñ»ßï ¿

óáõÛó ï³É, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ ]1;0[ Ñ³ïí³ÍáõÙ:

²ÛëåÇëáí, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç , ³) Ï»ïÇ µáÉáñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ: Ð»ï¨³µ³ñ,

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿` ac −−= 111 ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ:

II ¹»åù. 03 <≤− a : ²Ûë ¹»åùáõÙ` ]0;2/[])0;2/([,01 1 aafc ⊂<≤− ¨ f -Á

Ýí³½áõÙ ¿ [a/2;0] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ã»áñ»Ù 4-Ç, 12 −kx ¨

2kx »ÝÃ³Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý, ½áõ·³Ù»ï ¨ ¹ñ³Ýó ë³ÑÙ³Ý-

Ý»ñÁ` xxxx kkkk′′=′=

∞→−∞→ 212 lim,lim µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³-

Ù³Ï³ñ·ÇÝ`

′+=′′

′′+′′−′′=′′−′⇔

′+=′′

′′+=′

;22

),)((21

;22

,22

22

2

xax

xxxxxx

xax

xax , (39)

áñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ñ³Ù³ËÙµÇÝ`

=+′′−′

′′=′

;02,

2 axxxx

Ï³Ù

=+′′−′

−=′′+′

;02,2

2 axxxx

; (40)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (40) Ñ³Ù³ËÙµÇ ³é³çÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ ¿` 1cxx =′′=′ :

ºñÏñáñ¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ ÉáõÍáõÙ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 3−=a : ²Û¹ ¹»å-

ùáõÙ` 11 cxx =−=′′=′ : ²ÛëåÇëáí, (39) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ ¿` 1cxx =′′=′ :

III ¹»åù. 3−<<∞− a : ²Ûë ¹»åùáõÙ` 11 −<c ¨ ∈∀>=′ xxxf ,1)( )1;( −−∞ :

Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ñ»ï¨³Ýù 1-Ç ·) Ï»ïÇ, nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÇ

½áõ·³ÙÇïáõÙ` ac −−= 111 ³Ýß³ñÅ Ï»ïÇÝ ( 1c Ï»ïÁ í³ÝáÕ ¿):

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »ñµ 20 2/ cax −== , áñï»Õ ac −+= 112 -Á f -Ç ÙÛáõë

³Ýß³ñÅ Ï»ïÝ ¿, ³å³ Nncxn ∈∀= ,2 : Ð»ï¨³µ³ñ` 2lim cxnn=

∞→: ì»ñçÇÝë

ÑÝ³ñ³íáñ ¿, »ñµ 8−=a :

148

º½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝ: ºÃ» 13 <≤− a , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ-

·³Ù»ï ¿ ¨ acxnn−−==

∞→11lim 1 , »Ã» 8−=a , ³å³ 4lim 2 ==

∞→cxnn

: a -Ç

ÙÝ³ó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñáõÙ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñ³Ù»ï ¿:

2. öá÷áË³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 3 : nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ ·Í³ÛÇÝ

Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ`

,,),()(...)()( 011 NkNnnfxnaxnaxna nnkknkk ∈∈∀=+++ −+−+ (41)

áñï»Õ )(),...,(),( 10 nanana k ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ ¨ )(nf -Á µÝ³Ï³Ý ³ñ·áõÙ»ÝïÇ

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙ` Nnna ∈∀≠ ,0)(0 ¨ Nnnak ∈∀≠ ,0)( , ÏáãíáõÙ ¿

k -ñ¹ Ï³ñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙ, ÇëÏ

Nnxnaxnaxna nnkknkk ∈∀=+++ −+−+ ,0)(...)()( 011 (42)

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ` (41) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³-Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙ:

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» ïñí³Í ¿ (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý k Ñ³ï Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áÕ Ñ³Ù³ñÝ»ñ

áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ`

,,,...,, 1211 Nmaxaxax kkmmm ∈=== −++ (43)

³å³ ³Û¹ ³ñÅ»ùÝ»ñáí, ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý, áñáßíáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: Æñáù, ù³ÝÇ áñ` Nnnak ∈∀≠ ,0)( , ³å³ (41) -Çó Ïëï³Ý³Ýù`

Nnnanfx

nana

xnana

xk

nk

knk

kkn ∈+−−−= −+

−+ ,

)()(

)()(

...)()( 0

11 : (44)

Ð³çáñ¹³µ³ñ (4)-áõÙ ï»Õ³¹ñ»Éáí ,...1, +== mnmn ÏáõÝ»Ý³Ýù` nx Ñ³-

çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ 1−m -Çó Ù»Í Ñ³Ù³ñÝ»ñ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ: ÜÙ³Ý

Ó¨áí, ù³ÝÇ áñ Nnna ∈∀≠ ,0)(0 , ³å³ (41)-Çó Ïëï³Ý³Ýù`

Nnnanfx

nana

xnana

x nknk

n ∈+−−−= ++ ,)()(

)()(

...)()(

01

0

1

0

: (45)

Ð³çáñ¹³µ³ñ (45)-áõÙ ï»Õ³¹ñ»Éáí ,1,...2,1 −=−= mnmn Ïëï³Ý³Ýù`

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÝ³ó³Í ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ` ,, 21 −− mm xx 1..., x :

149

ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» (1) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç 0)(0 =na , µ³Ûó

Nnnak ∈∀≠ ,0)( , ³å³ Ï³ï³ñ»Éáí nn ′=+1 ï»Õ³¹ñáõÙ, (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ µ»ñ»É 1−k Ï³ñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý:

¸Çóáõù å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ nx

ÉáõÍáõÙÁ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ (43) Ý³ËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ: ²Ûë ¹»åùáõÙ, ³ëáõÙ »Ý, áñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ÉáõÍ»É (41), (43) ÎáßÇÇ ËÝ¹ÇñÁ: ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (41),

(43) ÎáßÇÇ ËÝ¹ñÇ ÉáõÍáõÙÁ, ÙÇ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿, áñÇ nx n -ñ¹

³Ý¹³ÙÁ Ï³Ëí³Í ¿ (43) Ý³ËÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇó` =nx ),...,,,( 21 kaaanp :

¶Í³ÛÇÝ Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍÙ³Ý ï»ëùÁ:

Â»áñ»Ù 5 : ºÃ» ,...,, )()2()1( pnnn xxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42) ³Ý¹-

ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³`

Nnxcxcxcx pnpnnn ∈+++= ,... )()2(

2)1(

1 (46)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ 1c -Á, 2c -Á, pc..., -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ

»Ý, ÝáõÛÝå»ë (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿:

Üß³Ý³Ï»Ýù ( ),...,, )()2()1( knnnn xxx∆ –áí Ñ»ï¨Û³É áñáßÇãÁ`

( ))(

1)(1

)(

)2(1

)2(1

)2(

)1(1

)1(1

)1(

)()2()1(

...

...

...

,...,,

kkn

kn

kn

knnn

knnn

knnnn

xxx

xxx

xxx

xxx

−++

−++

−++

−−−−−−−−−=∆ (47)

È»ÙÙ³ 1 : ¸Çóáõù` ,...,, )()2()1( knnn xxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42)

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, (47) áñáßÇãÁ Ï³Ù ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ n -Ç ó³ÝÏ³ó³Í ÃáõÛÉ³ïñ»ÉÇ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ:

ê³ÑÙ³ÝáõÙ 4 : ,...,, )()2()1( knnn xxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ

»Ý (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ, »Ã» ¹ñ³Ýù

µ³í³í³ñáõÙ »Ý (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ ¨ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý ,, 21 cc

kc..., ³ÛÝåÇëÇ Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ (áñáÝù áã µáÉáñÝ »Ý Ñ³í³ë³ñ ½ñáÛÇ), áñå»ë½Ç

0)()2(2

)1(1 =+++ k

nknn xcxcxc (48)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³ µáÉáñ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

È»ÙÙ³ 2 : ºÃ» ,...,, )()2()1( knnn xxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ( ),...,, )()2()1( knnnn xxx∆

150

áñáßÇãÁ ó³ÝÏ³ó³Í ÃáõÛÉ³ïñ»ÉÇ n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Ñ³í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ:

Ð³Ï³é³ÏÁ, »Ã» (42) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ,...,, )()2()1( knnn xxx ÉáõÍáõÙ-

Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ ( ),...,, )()2()1( knnnn xxx∆ áñáßÇãÁ ·áÝ» Ù»Ï n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Ñ³-

í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ, ³å³ ,...,, )()2()1( knnn xxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42)

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý:

Â»áñ»Ù 6: ºÃ» ,...,, )()2()1( knnn xxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (42)

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ³å³ ³Û¹ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

,,... )()2(2

)1(1 Nnxcxcxcx k

nknnn ∈+++= (49)

áñï»Õ, 1c -Á, 2c -Á,…, kc -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý:

¶Í³ÛÇÝ ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍÙ³Ý ï»ëùÁ:

Â»áñ»Ù 7: (41) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Éáõ-ÍáõÙÝ Çñ»ÝÇó Ý»ñÏ³Û³óÝáõÙ ¿ ¹ñ³ áñ¨¿ Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍÙ³Ý ¨ (42) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍÙ³Ý ·áõÙ³ñÁ`

Nnxxx nnn ∈+= , : (50)

(50)-áõÙ nx -Á (41) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ Ù³ëÝ³ÏÇ

ÉáõÍáõÙ ¿, ÇëÏ nx -Á (42) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

ÉáõÍáõÙÝ ¿: Ð»ï¨³Ýù 2: Â»áñ»Ù 6-Çó ¨ Ã»áñ»Ù 7-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (41) ³ÝÑ³Ù³ë»é

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ

Nnxxcxcxcx nk

nknnn ∈++++= ,... )()2(2

)1(1 , (51)

ï»ëùÁ, áñï»Õ` 1c -Á, 2c -Á kc,..., -Ý Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý, )1(nx -Á,

)2(nx -Á ,..., )(k

nx -Ý (42) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë

ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, ÇëÏ nx -Á (41) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿

Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙ ¿: Ð»ï¨³Ýù 3: ºÃ» (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ç Ù³ëÇ )(nf ýáõÝÏ-

óÇ³Ý Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿` )()()( 21 nfnfnf += ï»ëùáí, ³å³ (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³-

í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ý»ñÏ³Û³óÝ»É Nnxxx nnn ∈+= ,)2()1(

ï»ëùáí, áñï»Õ )(inx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (41) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý

Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙ ¿, »ñµ ³ç Ù³ëáõÙ )(nf i ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ ( 2,1=i ):

151

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (41) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ, ëáíáñ³µ³ñ, ·ïÝáõÙ »Ý ³Ûëå»ë Ïáãí³Í Ñ³ëï³ïáõÝÇ í³ñÇ³óÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí, áñÇ ¿áõÃÛáõÝÁ Ï³Û³ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³ÉáõÙ:

¸Çóáõù Ï³éáõó»É »Ýù (42) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (49)

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ: ²ÛÅÙ kccc ,...,, 21 Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñÁ ÷áË³ñÇÝ»Ýù n µÝ³-

Ï³Ý ÃíÇó Ï³Ëí³Í` )(...,),(),( 21 ncncnc k ³ÝÑ³Ûï ýáõÝÏóÇ³Ý»ñáí ¨ ¹ñ³Ýù

ÁÝïñ»Ýù ³ÛÝå»ë, áñ`

Nnxncxncxncxncx ln

k

l lk

nknnn ∈=+++= ∑ =,)()(...)()( )(

1)()2(

2)1(

1 (52)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ (41) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ë-

Ý³ÏÇ ÉáõÍáõÙ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ )(ncl ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ·áõ-

Ù³ñ»ÉÇÇ ×ßïáõÃÛ³Ùµ, ù³ÝÇ áñ ,, )2()1(nn xx ..., )(k

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (42) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ`

klNnxnaxnaxna ln

lknk

lknk ,...2,1,0,,0)(...)()( )(

0)(

11)( =∈=+++ −+−+ : (53)

(52) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï»Õ³¹ñ»Ýù (41) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

[ ]:),()()]()([)(

)()()]()([)(

)()()]()([)(

)()()()(

1)(

10

)(01

)(10

)(10

)(10

)(100

Nnndnaxncjncna

xnancxncjncna

xncnaxncjncna

xjncnaxnanf

jk

j jl

jnlk

l lk

j j

ljn

k

j jk

l ll

jnlk

l lk

j j

ljn

k

l lk

j jl

jnlk

l lk

j j

ljn

k

l lk

j jjnk

j j

∈∀=−+=

=+−+=

=+−+=

=+==

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

=+==

+==+==

+==+==

+==+=

(54)

áñï»Õ`

kjNnxncjncnd ljn

k

l llj ,...,2,1.0,,)]()([)( )(1

=∈−+= +=∑ : (55)

²ÛëåÇëáí`

Nnndnanf jk

j j ∈∀=∑ =),()()(

1: (56)

²Ûëï»Õ Ñ³ßíÇ ¿ ³éÝíáõÙ, áñ 0)(0 ≡nd : (56) ³éÝãáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ÏáõÝ»Ý³

ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ, »Ã» )(),...,(),( 21 ncncnc k ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ

µ³í³ñ³ñ»Ý Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ`

Nnnanfndkjnd kkj ∈∀=−== ),(/)()(,1...,,2,1,0)( : (57)

Üß³Ý³Ï»Ýù` klncncnb lll ...,,2,1),()1()( =−+= ¨ Ó¨³÷áË»Ýù (57) Ñ³-

í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á: ºÉÝ»Éáí (55) µ³Ý³Ó¨Çó ÏáõÝ»Ý³Ýù`

152

:,...,2,1,)()]1()([

)]()([)1()()(

1)(

1

)(11

kjxnbxncjnc

xncjncndndl

jnk

l ll

jnk

l ll

ljn

k

l lljj

==+−+−

−−+=+−

+=+=

+=−

∑∑∑

(58)

(57) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ó¨³÷áËíáõÙ ¿ klnbl ...,,2,1),( =

ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç`

=+++

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=+++

=+++

+++

+++

+++

:)(/)()(...)()(

,0)(...)()(,0)(...)()(

)()2(2

)1(1

)(2

)2(22

)1(21

)(1

)2(12

)1(11

nanfxnbxnbxnb

xnbxnbxnbxnbxnbxnb

kk

knkknkn

knknn

knknn

(59)

(59) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç áñáßÇãÝ ¿` ( ),...,, )()2()1(1

knnnn xxx+∆ , áñÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ

ù³ÝÇ áñ ,...,, )()2()1( knnn xxx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý: ²Û¹

å³ï×³éáí (59) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ Ù»Ï ÉáõÍáõÙ ¨ Áëï Îñ³Ù»ñÇ µ³Ý³Ó¨Ç, Ïáõ-Ý»Ý³Ýù`

klnDnD

nanfncncnb l

k

lklll ...,,2,1,

)()(

)()(

)1()()1()( =−=−+= + , (60)

áñï»Õ ( ),...,,)( )()2()1(1

knnnn xxxnD +∆= , ÇëÏ

)(1

)1(1

)1(1

)1(1

)(2

)1(2

)1(2

)1(2

)(1

)1(1

)1(1

)1(1

......

......

......

)(

kkn

lkn

lknkn

kn

ln

lnn

kn

ln

lnn

l

xxxx

xxxx

xxxx

nD

−++−+

−−+−+

+++

−++

+++

−++

−−−−−−−−−−−−−−−−−= : (61)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ )(nDl -Á ëï³óíáõÙ ¿ )(nD -Çó çÝç»Éáí í»ñçÇÝ ïáÕÁ ¨ l -ñ¹

ëÛáõÝÁ: ÈáõÍ»Éáí (60) ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ` kl ...,,2,1=

³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ( n -ÇÝ ï³Ýù 1...,,1, −+ nmm ³ñÅ»ùÝ»ñ ¨ ³Ý¹³Ù ³é ³Ý¹³Ù

·áõÙ³ñ»Ýù ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ), Ïëï³Ý³Ýù`

kliDiD

iaifmcnc l

n

mi k

lkll ...,,2,1,

)()(

)()()1()()(

1

=−+= ∑−

=

+ : (62)

Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ )(ncl -Á áñáßíáõÙ ¿ Ñ³ëï³ïáõÝ ·áõÙ³ñ»ÉÇ ×ßïáõÃÛ³Ùµ,

Ï³ñáÕ »Ýù í»ñóÝ»É`

kliDiD

iaifnc l

n

mi k

lkl ...,,2,1,

)()(

)()()1()(

1

=−=∑−

=

+ : (63)

153

î»Õ³¹ñ»Éáí (63)-Á (52)-Ç Ù»ç ¨ Ï³ï³ñ»Éáí ·áõÙ³ñÙ³Ý Ï³ñ·Ç ÷á÷á-ËáõÃÛáõÝ, Ïëï³Ý³Ýù`

:)()(

)()()1(

)()(

)()()1()(

1)(

1

1

)(1

)(

1

∑ ∑

∑ ∑∑−

= =

+

=

−

=

+

=

−=

=

−==

n

mi k

lnl

k

l

lk

k

l

ln

ln

mi k

lkln

k

lln

iDiaifxiD

xiDiD

iaifxncx

(64)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ`

)()2()1(

)(1

)2(1

)1(1

)(2

)2(2

)1(2

)(1

)2(1

)1(1

)(

1

......

......

)()1(

knnn

kkikiki

kiii

kiii

lnl

k

l

lk

xxxxxx

xxxxxx

xiD

−+−+−+

+++

+++

=

+ −−−−−−−−−−−−=−∑ (65)

¨ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, »ñµ 1...,,2,1 +−=−=−= kninini :

²ÛëåÇëáí, (1) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

,0...,,0,0 11 === −++ kmmm xxx

,,,)()(.

...

...

...

...

...

...

)()(2

)(1

)1()1(2

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)()2()1(

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)(2

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)1(2

)(1

)2(1

)1(1

Nnkmniaif

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xk

kn

mi

kki

ki

ki

kiii

knnn

kkikiki

kiii

kiii

n ∈+≥

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

=∑−

=

+++

+++

−+−+−+

+++

+++

(66)

áñï»Õ m -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿: Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, ³é³çÇÝ Ï³ñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-

ë³ñÙ³Ý`

Nnnfxnaxna nn ∈=++ ),()()( 011 (67)

Ñ³Ù³ñ (66) Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏÝ¹áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

154

Nnmniaif

xx

xxn

mi i

nnm ∈+≥== ∑

−

= +

,1,)()(,0

1

1

)1(1

)1(

(68)

ºñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý`

Nnnfxnaxnaxna nnn ∈=++ ++ ),()()()( 01122

¹»åùáõÙ, (66) Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏÝ¹áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

Nnmniaif

xxxx

xxxx

xxxn

mi

ii

ii

nn

ii

nmm ∈+≥=== ∑−

=

++

++

++

+ ,2,)()(,0,0

2

2

)2(2

)2(1

)1(2

)1(1

)2()1(

)2(1

)1(1

1: (69)

úñÇÝ³Ï 4 : ÈáõÍ»É Ñ»ï¨Û³É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ`

³) Nnxnpx nn ∈=+ ,)(1 ;

µ) NnnQxnpx nn ∈+=+ ),()(1 ,

áñï»Õ )(np -Á ¨ )(nQ -Á n -Çó Ï³Ëí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ »Ý:

ÈáõÍáõÙ: ³) nn xnpx )(1 =+ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç n -ÇÝ ï³Ýù

1,...,2,1 −n ³ñÅ»ùÝ»ñ, Ïëï³Ý³Ýù`

,)1( 12 xpx =

:)1(

,)2(

1

23

−−=

−−−−−−

=

nn xnpx

xpx

´³½Ù³å³ïÏ»Éáí ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ µ³Å³Ý»Éáí ëï³óí³Í

Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ` 132 .... −nxxx ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³, Ïëï³Ý³Ýù

áñáÝ»ÉÇ ÉáõÍáõÙÁ`

2,,)1()...2()1( 1 ≥∈−= nNnxnpppxn Ï³Ù ∏−

=

≥∈=1

11 2,),(

n

in nNnipxx : (70)

ºÃ» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 1x ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ïñí³Í ¿, ³å³ nx

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý:

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» qnp =)( , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Ç-

ë³ÝáõÙ ¿ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³`

Nnqxx nn ∈=+ ,1 : (71)

ÎÇé³ñ»Éáí (70) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù` 2,,11 ≥∈= − nNnqxx n

n :

155

µ) I »Õ³Ý³Ï: NnnQxnpx nn ∈+=+ ),()(1 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Éáõ-

ÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù »ñÏáõ` ny ¨ nz Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ

ï»ëùáí`

Nnzyx nnn ∈= , (72)

î»Õ³¹ñ»Ýù (72)-Á ¹Çï³ñÏíáÕ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ¨ Ï³ï³ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÁ`

NnnQynpyzzzy nnnnnn ∈=−+− +++ ),())(()( 111 : (73)

ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝïñ»Ýù ³ÛÝå»ë, áñ ³ÛÝ Ñ³Ý¹Çë³Ý³

Nnynpy nn ∈=−+ ,0)(1 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áã ïñÇíÇ³É ÉáõÍáõÙ: Ð³-

Ù³Ó³ÛÝ (70)-Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù` ∏−

=

=1

11 )(

n

in ipyy : ²Û¹ ¹»åùáõÙ, (73)-Á ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿

Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

NnnQzzy nnn ∈=−++ ),()( 11 Ï³Ù Nnipy

nQzz n

i

nn ∈=−∏=

+ ,)(

)(

11

1 : (74)

(74) ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç n -ÇÝ ï³Éáí 1,...,2,1 −n ³ñÅ»ùÝ»ñ,

Ïëï³Ý³Ýù`

,)(

)2(,)1(

)1(2

11

231

12

∏=

=−=−i

ipyQzz

pyQzz

------------------------------------------------------------------- (75)

,)(

)2(2

11

21

∏ −

=

−−

−=− n

i

nnipy

nQzz :)(

)1(1

11

1

∏ −

=

−

−=− n

i

nnipy

nQzz

¶áõÙ³ñ»Éáí (75) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù`

Nnipy

jQzzn

jj

i

n ∈=− ∑∏

−

==

,)(

)(1

111

1 Ï³Ù Nnipy

jQzzn

jj

i

n ∈+= ∑∏

−

==

,)(

)(1

111

1 : (76)

²ÛëåÇëáí, ¹Çï³ñÏíáÕ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿`

2,,)(

)()(,1

111

1

1

11111 ≥∈

+== ∑

∏∏

−

==

−

=

nNnipy

jQzipyxzyxn

jj

i

n

in

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù

2,,)(

)()(,1

11

1

1

11 ≥∈

+= ∑

∏∏

−

==

−

=

nNnip

jQxipxxn

jj

i

n

in

(77)

156

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, NnnQxnpx nn ∈+=+ ),()(1 ³ÝÑ³Ù³ë»é

·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ Ï³Ëí³Í ¿ Ù»Ï Ï³Ù³Û³Ï³Ý 1x

Ñ³ëï³ïáõÝÇó: ºÃ» Ñ³ÛïÝÇ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 1x ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÇ

³ñÅ»ùÁ, ³å³ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ áñáßíáõÙ ¿ ÙÇ³ñÅ»ùáñ»Ý:

Ø³ëÝ³íáñ³µ³ñ, »Ã» NndnQnp ∈∀== ,)(,1)( , ³å³ nx Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ ¿`

Nndxx nn ∈+=+ ,1 (78)

ÎÇñ³é»Éáí (77) µ³Ý³Ó¨Á, Ïëï³Ý³Ýù`

Nndnxxn ∈−+= ,)1(1 : (79)

II »Õ³Ý³Ï: ø³ÝÇ áñ NnnQxnpx nn ∈+=+ ),()(1 ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý` nx ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ nnn xxx += ï»ëùÁ, áñï»Õ nx -Á

³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙ ¿, ÇëÏ nx -Á

Nnxnpx nn ∈=−+ ,0)(1 Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Éáõ-

ÍáõÙ, ³å³ ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ ),()(),()(,1)( 01 nQnfnpnana =−== nx -Ç

Ñ³Ù³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (70) µ³Ý³Ó¨Ç, Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É`

,2,,)(1

11 ≥∈= ∏ −

=nNnipxx n

in (80)

áñï»Õ 1x -Á áñáÝ»ÉÇ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ ¿: nx -Ç

Ñ³Ù³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ (68) µ³Ý³Ó¨Ç, ÏáõÝ»Ý³Ýù`

NnnjQxx

xxn

j j

nn ∈≥== ∑

−

= +

,2,)(,01

1)1(1

)1(

1 , (81)

áñï»Õ` )1(nn xx = : î»Õ³¹ñ»Éáí )1(

nx -Ç ¨ )1(1+jx -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (81)-áõÙ, Ïëï³-

Ý³Ýù`

2),()(

)()(

)(

)( 1

11

1

11

111

1

11≥== ∑

∏∏∑

∏∏ −

==

−

=−

==

−

= njQip

ipjQ

ipx

ipxx

n

jj

i

n

in

jj

i

n

in : (82)

Ð»ï¨³µ³ñ, ¹Çï³ñÏíáÕ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

2),()(

)()(,

1

11

1

11

111 ≥+= ∑

∏∏∏

−

==

−

=−

=

njQip

ipipxxx

n

jj

i

n

in

in , (83)

áñï»Õ 1x -Á nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ ¿ ¨ Ï³ñáÕ ¿ ÉÇÝ»É

Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí:

157

3. Ð³ëï³ïáõÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ

¸Çóáõù ïñí³Í ¿ k -ñ¹ Ï³ñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³-

ñáõÙ`

,,),(... 011 NkNnnfxaxaxa nnkknkk ∈∈∀=+++ −+−+ (84)

áñï»Õ Nk ∈ -Ý ë¨»éí³Í ÃÇí ¿, kaaa ,...,, 10 ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý Ñ³ëï³-

ïáõÝ Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ )(nf -Á µÝ³Ï³Ý ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ýáõÝÏóÇ³ ¿, ÁÝ¹ áñáõÙ`

0,0 ≠kaa :

Ð³ëï³ïáõÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ Ñ»ßï³ÝáõÙ ¿ Ýñ³Ýáí, áñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-ë³ñÙ³Ý`

Nnxaxaxa nknkknk ∈=+++ −+−+ ,0... 011 (85)

·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ·ïÝ»ÉÁ µ³í³Ï³Ý³ã³÷ Ñ»ßï ¿: (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù`

Nnqx nn ∈= , (86)

ï»ëùáí, áñï»Õ q -Ý áñáÝÙ³Ý »ÝÃ³Ï³ ÃÇí ¿: î»Õ³¹ñ»Éáí (86) Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù`

0)...( 011

1 =++++ −− aqaqaqaq k

kk

kn : (87)

ø³ÝÇ áñ áñáÝáõÙ »Ýù áã ïñÇíÇ³É ÉáõÍáõÙ, Ñ»ï¨³µ³ñ, µ³Å³Ý»Éáí (87)-Ç

»ñÏáõ Ù³ë»ñÁ nq -Ç íñ³, Ïëï³Ý³Ýù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙ`

0...)( 011

1 =++++= −− aqaqaqaqP k

kk

k : (88)

(88) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý

µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñáõÙ: (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý kqqq ,...,, 21 ³ñ-

Ù³ïÝ»ñÁ Ï³ñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÇÝãå»ë å³ñ½, ³ÛÝå»ë ¿É µ³½Ù³å³ïÇÏ: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹»åù ³é³ÝÓÇÝ:

ä³ñ½ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ¹»åù: ¸Çóáõù (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý` kqqq ,...,, 21

³ñÙ³ïÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý: ²Ûë ¹»åùáõÙ`

NnqxNnqxNnqx nk

kn

nn

nn ∈=∈=∈= ,...;;,;, )(

2)2(

1)1( (89)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý: Æñáù, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ É»ÙÙ³ 2-Ç, µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ

n -Ç ·áÝ» Ù»Ï ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ` ( ) 0,...,, )()2()1( ≠∆ knnnn xxx : ì»ñóÝ»Ýù, ûñÇÝ³Ï

1=n , Ïëï³Ý³Ýù`

158

( )1

122

111

21

2

2222

1211

)()2()1(1

...1

...1...1

...

...

......

,...,,

−

−

−

−−−−−−−=

−−−−−−−=∆

kkk

k

k

k

kkkk

k

k

knnn

qq

qqqq

qqq

qqq

qqqqqq

xxx : (90)

ø³ÝÇ áñ kqqq ,...,, 21 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý ¨

Ñ³í³ë³ñ ã»Ý ½ñáÛÇ, ÇëÏ í»ñçÇÝ áñáßÇãÁ ì³Ý¹»ñÙáÝ¹Ç áñáßÇãÝ ¿, áñÁ Ñ³í³-

ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ, ³å³ ( ) 0,...,, )()2()1(1 ≠k

nnn xxx∆ : ²ÛëåÇëáí, (89) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ-

Ý»ñÁ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý:

Ð»ï¨³µ³ñ, (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ

Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

Nnqcqcqcx nkk

nnn ∈+++= ,...2211 , (91)

áñï»Õ kccc ,...,, 21 ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ºÃ» ,1q

kqq ,...,2 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ (91)-áõÙ kccc ,...,, 21 Ñ³ëï³ïáõÝ-

Ý»ñÁ í»ñóÝ»Éáí Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ãí»ñ, Ïëï³Ý³Ýù (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³-

¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ:

ºÝÃ³¹ñ»Ýù (88) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ Ù»ç ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ÏáÙåÉ»ùë

³ñÙ³ïÝ»ñ: ø³ÝÇ áñ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ

Çñ³Ï³Ý »Ý, ³å³ (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Ñ³Ý¹»ë

»Ý ·³ÉÇë Ñ³Ù³ÉáõÍ ½áõÛ·»ñáí: ¸Çóáõù, ûñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ, )sin(cos1 ϕϕρ iq += ,

)sin(cos2 ϕϕρ iq −= )1( −=i ³ñÙ³ïÝ»ñÁ (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý

Ñ³Ù³ÉáõÍ ½áõÛ· ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ` nq1 ¨ nq2 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý

(85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÏáÙåÉ»ùë Ñ³Ù³ÉáõÍ ÉáõÍáõÙÝ»ñ`

Nnninq nn ∈+= ),sin(cos1 ϕϕρ , Nnninq nn ∈−= ),sin(cos2 ϕϕρ : (92)

Ð»ï¨³µ³ñ, ³Û¹ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ Ù³ë»ñÁ`

Nnqq nn

n ∈+

= ,2

cos 21ϕρ , Nniqq nn

n ∈−

= ,2

sin 21ϕρ : (93)

ÝáõÛÝå»ë (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý:

²ÛëåÇëáí, (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý )sin(cos2,1 ϕϕρ iq ±= Ñ³Ù³ÉáõÍ

½áõÛ· ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ïÝ»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³-

¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ` ϕρ nn cos ¨ ϕρ nn sin :

ÜÙ³Ý Ó¨áí í³ñí»Éáí Ý³¨ (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÙÝ³ó³Í ÏáÙåÉ»ùë

159

Ñ³Ù³ÉáõÍ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ (»Ã» ³Û¹åÇëÇÝ»ñ Ï³Ý) ³é³ÝÓÝ³óíáõÙ ¿

(85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý k Ñ³ï Çñ³Ï³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë

ÉáõÍáõÙÝ»ñ: ²ÛÝáõÑ»ï¨, (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ Ï³éáõóíáõÙ ¿ áñå»ë ³Û¹ ³é³ÝÓÝ³óí³Í k Ñ³ï Çñ³Ï³Ý

ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ ÏáÙµÇÝ³óÇ³, áñÇ kccc ,...,, 21 Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý

Ãí»ñ »Ý:

úñÇÝ³Ï 5: ¶ïÝ»É ïñí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ¨

ïñí³Í Ý³ËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ.

³) 1,1,, 2112 ==∈+= ++ xxNnxxx nnn (üÇµáÝ³ãÇÇ Ãí»ñÁ):

µ) 4,0,1,1,,04232 43211234 ====∈=−++− ++++ xxxxNnxxxxx nnnnn :

ÈáõÍáõÙ: ³) ´ÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñáõÙÝ` 12 += qq áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñÙ³ï-

Ý»ñÁ` )51(5,01 +=q ¨ )51(5,02 −=q : ÀÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

( )[ ] ( )[ ] Nnccxnn

n ∈−++= ,515,0515,0 21 :

Ø³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ, áñáß»Ýù 1c ¨ 2c Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñÁ

û·ï³·áñÍ»Éáí ëÏ½µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ`

( ) ( )( ) ( )

=−++=

=−++=

:15125,05125,0

,1515,0515,0

2

2

1

2

2

211

ccx

ccx

àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù` 51,51 21 −== cc : ²ÛëåÇëáí, ÎáßÇÇ ËÝ¹ñÇ

ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

Nnxnn

n ∈

−−

+= ,

251

51

251

51

:

µ) ´ÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñáõÙÝ` 04232 234 =−++− qqqq áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ñ-

Ù³ïÝ»ñÁ`

−=

+=−==

3sin

3cos2,

3sin

3cos2,1,1 4321

ππππ iqiqqq :

Ð»ï¨³µ³ñ, Çñ³Ï³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý` ,1)1( =nx

( )

=

=−=

3sin2,

3cos2,1 )4()3()2( ππ nxnxx n

nn

nn

n Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ:

àõñ»ÙÝ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ`

160

Nnncncccx nnn ∈

++−+= ,

3sin

3cos2)1( 4321

ππ :

ä³Ñ³ÝçíáÕ Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ëï³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ 321 ,, ccc ¨ 4c Ñ³ëï³-

ïáõÝÝ»ñÁ áñáß»Ýù û·ï³·áñÍ»Éáí ëÏ½µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ`

=−−+

=−−=+−+

=++−

⇔

=+++=

=++−=

=+++=

=++−=

:4388

,08,1322

,13

:43

4sin163

4cos16

,0sin8cos8

,13

2sin43

2cos4

,13

sin23

cos2

4321

321

4321

4321

43214

43213

43212

43211

cccc

ccccccc

cccc

ccccx

ccccx

ccccx

ccccx

ππππ

ππ

ππ

:

ÈáõÍ»Éáí ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, Ïëï³Ý³Ýù` ,3/51 =c

,7/32 =c ,84/133 =c 84/3114 −=c : ²ÛëåÇëáí, Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

( ) Nnnnx nnn ∈

−+−+= − ,

3sin

21311

3cos

211321

73

35 2 ππ

:

´³½Ù³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ¹»åùÁ: ¸Çóáõù (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñ-

Ù³Ý` sqqq ...,,, 21 , ½áõÛ· ³é ½áõÛ· Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ, ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ë-

Ë³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý snnn ...,,, 21 å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñ` knnn s =+++ ...21 : Î³éáõó»Ýù (85)

Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý k Ñ³ï ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ: ø³-

ÝÇ áñ ³Ûë ¹»åùáõÙ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë

ns

nn qqq ...,,, 21 (94)

ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÷áùñ ¿ k -Çó, ³å³ å³Ï³ëÁ Éñ³óÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³-

·áñÍíáõÙ ¿ (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ÏÇó Ù»Í å³ïÇÏáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ Ï³éáõóíáõÙ ¿ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ýáñ

ÉáõÍáõÙÝ»ñ, áñáÝù (94) ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï ÙÇ³ëÇÝ Ï³½ÙáõÙ »Ý k Ñ³ï ·Íáñ»Ý

³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·:

È»ÙÙ³ 3: ºÃ» (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý` sqqq ...,,, 21 , ½áõÛ· ³é ½áõÛ·

Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ, ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý snnn ...,,, 21

å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñ` +1n knn s =++ ...2 , ³å³ Ñ»ï¨Û³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ`

slqnqnnqq nl

nnl

nl

nl

l ...,,2,1,,...,,, 12 =− (95)

(85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý:

161

Â»áñ»Ù 8: ºÃ» (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý` sqqq ...,,, 21 , ½áõÛ· ³é

½áõÛ· Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ, ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý snnn ...,,, 21

å³ïÇÏáõÃÛáõÝÝ»ñ` +1n knn s =++ ...2 , ³å³ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

( ) Nnqncnccx nl

s

ln

llnl

l∈+++=∑ =

− ,...1

1ln21 , (96)

áñï»Õ ljl njslc ...,,2,1;...,,2,1, == ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³-

ïáõÝ Ãí»ñ »Ý:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 5: ºÃ» )sin(cos llll iq ϕϕρ += ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ (88) µÝáõÃ³·ñÇã

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ln -å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ ¿ (³Ûë ¹»åùáõÙ, ûñÇÝ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ,

)sin(cos1 lllll iqq ϕϕρ −==+ ÏáÙåÉ»ùë ÃÇíÁ ÝáõÛÝå»ë (88) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñ-

Ù³Ý ln -å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ ¿), ³å³ áñå»ë½Ç Ï³éáõó»Ýù lq ¨ ll qq =+1 ÏáÙåÉ»ùë

Ãí»ñÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý

ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ µ³í³Ï³Ý ¿ (95) ÉáõÍáõÙÝ»ñáõÙ , nl

nl qnqn αα ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÷áË³-

ñÇÝ»É 1,...,1,0,cos −= llnl nnn αϕρα ¨ sin l

nl nn ϕρα =α 1...,,1,0 −ln Çñ³-

Ï³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñáí, áñáÝù nlqnα ÉáõÍÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ¨ Ï»ÕÍ

Ù³ë»ñÝ »Ý: ²Û¹å»ë í³ñí»Éáí µáÉáñ ÏáÙåÉ»ùë ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ»ï Ï³½ÙáõÙ »Ýù k

Ñ³ï ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·: ÜÏ³ï»Ýù, áñ (85) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

ÉáõÍáõÙÁ Ï³éáõó³Í ÏÉÇÝ»Ýù, »Ã» Ï³½Ù»Ýù k Ñ³ï Çñ³Ï³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ·Í³ÛÇÝ

ÏáÙµÇÝ³óÇ³Ý, áñÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ó¨áí Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

( )( ) ,,sin...

cos...

11

ln21

11

ln21

Nnnncncc

nncnccx

lnl

s

ln

ll

lnl

s

ln

lln

ll

ll

∈′′++′′+′′+

+′++′+′=

∑∑

′

=

−

′

=

−

ϕρ

ϕρ (97)

áñï»Õ licss ′′= ,2 , lli nislc ,...,2,1,,...,2,1, ==′′ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³-

Ï³Ý Ãí»ñ »Ý:

OñÇÝ³Ï 6: ¶ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¨ ïñí³Í Ý³ËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ.

³) 16,4,0;,08126 321123 ===∈=−+− +++ xxxNnxxxx nnnn :

µ) 32,8,4,0;,0168 432124 ====∈=++ ++ xxxxNnxxx nnn :

ÈáõÍáõÙ: ³) ´ÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñáõÙÝ` =−+− 8126 23 qqq 0)2( 3 =−q

áõÝÇ 2=q »é³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÁ: Ð»ï¨³µ³ñ, ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ

162

Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

( ) Nnncnccx nn ∈++= ,22

321 :

Ø³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ïí»Ýù Ý³ËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó`

=++=++

=++⇔

=++==++=

=++=

293142

0

168)93(44)42(

02)(

321

321

321

3213

3212

3211

cccccc

ccc

cccxcccx

cccx:

ÈáõÍ»Éáí ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, Ïëï³Ý³Ýù` ,11 −=c

0,1 32 == cc : Ð»ï¨³µ³ñ, Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

( ) Nnnx nn ∈−= ,21 :

µ) ´ÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñáõÙÝ` 0)4(168 2224 =+=++ qqq áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É

ÏñÏÝ³å³ïÇÏ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ` )2/sin2/(cos21 ππ iq += , )2/sin2/(cos22 ππ iq −= :

Ð»ï¨³µ³ñ, Çñ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

( ) ( ) Nnnnccnnccx nnn ∈+++= ,

2sin2

2cos2 4321

ππ:

Ø³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ïí»Ýù Ý³ËÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó`

=+−=+−=+

=+

⇔

=+==+−==+−=

=+=

241312

0

32)4(168)3(84)2(4

0)(2

21

43

21

43

214

433

212

431

cccccc

cc

ccxccxccx

ccx

:

ÈáõÍ»Éáí ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, Ïëï³Ý³Ýù` ,41 −=c

,2/32 =c 2/1,2/1 43 −== cc : Ð»ï¨³µ³ñ, Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

( ) Nnnnnnx nnn ∈−+

−= − ,

2sin21

2cos24

23 1 ππ

:

4. Ð³ëï³ïáõÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ

Ð³ëï³ïáõÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí »ñÏñáñ¹ Ï³ñ·Ç ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³-

ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

0,;),( 2001122 ≠∈=++ ++ aaNnnfxaxaxa nnn : (98)

Ü³Ë ÉáõÍ»Ýù (98) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ë-

Ë³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ`

163

Nnxaxaxa nnn ∈=++ ++ ,001122 : (99)

¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»Ýù (99) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µÝáõÃ³·ñÇã

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý`

0012

2 =++ aqaqa (100)

³ñÙ³ïÝ»ñÁ`

2

20211

22

20211

1 24

,2

4a

aaaaq

aaaaa

q−−−

=−+−

= : (101)

Ð³Ù³Ó³ÛÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï»ëáõÃÛ³Ý (ï»ë 3. Ï»ïÁ) (99) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÝ »Ý` nq1 ¨ nq2 Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ ¨ nq1 áõ nnq1 Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ, »ñµ

2021 4 aaa = :

²ÛëåÇëáí, (99) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ ¿`

Nnqcqcx nnn ∈+= ,2211 (102)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ ¨

( ) Nnqnccx nn ∈+= ,121 (103)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ, »ñµ 2021 4 aaa = , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý

Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ²Ûëï»Õ, Ñ³Ù³ÝÙ³Ý Ó¨áí ÇÝãå»ë 3-ñ¹ Ï»ïáõÙ, ³é³ÝÓ-

Ý³óíáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ:

¶áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ , Ñ³ñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É (99) Ñ³Ù³ë»é

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ»ï¨Û³É ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ`

Nnqqqq

xNnqq

qqqqx

nn

n

nn

n ∈−−

=∈−−

=−−−−

,;,12

11

12)2(

12

121

112)1( , (104)

áñáÝù, »ñµ 1=n ¨ 2=n , Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É

³ñÅ»ùÝ»ñÁ`

1,0;0,1 )2(2

)1(2

)2(1

)1(1 ==== xxxx : (105)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (104) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ ·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë »Ý, ù³ÝÇ áñ`

( ) 11001

,)2(

2)2(

1

)1(2

)1(1)2()1(

1 ===∆xxxx

xx nn : (106)

164

Ð»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ (99) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (104) ÉáõÍáõÙ-

Ý»ñÁ, ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ 2021 4 aaa = : Æñáù, (104)-áõÙ ³ÝóÝ»Ýù

ë³ÑÙ³ÝÇ »ñµ 2q -Á Ó·ïáõÙ ¿ 1q -ÇÝ, Ïëï³Ý³Ýù`

NnqnxNnqnx nn

nn ∈−=∈−−= −− ,)1(;,)2( 2

1)2(1

1)1( : (107)

(107) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÝ»ñÁ (99) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý

·Íáñ»Ý ³ÝÏ³Ë ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý, »ñµ 2021 4 aaa = :

ÜÏ³ï»Ýù, áñ (104)-Ç )1(nx ¨ )2(

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Çñ³Ï³Ý »Ý,

Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ (100) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ÏáÙåÉ»ùë

»Ý: ì»ñçÇÝ Ñ³Ý·³Ù³ÝùÁ ÃáõÛÉ ¿ ï³ÉÇë ³é³ÝÓÇÝ ãùÝÝ³ñÏ»É (100) µÝáõÃ³·ñÇã

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÏáÙåÉ»ùë ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ¹»åùÁ:

²ÛëåÇëáí, (99) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Çñ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

ÉáõÍáõÙÁ, »ñµ 21 qq ≠ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

Nnqqqq

cqq

qqqqcxcxcx

nnnn

nnn ∈−−

+−−

=+=−−−−

,12

11

12

212

121

112

1)2(

2)1(

1 , (108)

áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí

(105)-Á Ï³ñáÕ »Ýù ·ñ»É`

2211 , cxcx == : (109)

ºÃ» 21 qq = , ³å³ (99) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

ÉáõÍáõÙÁ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ý³¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

Nnqncqncx nnn ∈−+−−= −− ,)1()2( 2

121

11 : (110)

ÜÏ³ï»Ýù, áñ ³Ûëï»Õ ¨ë 2211 , cxcx == :

²ÛÅÙ Ï³éáõó»Ýù (98) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ

ÉáõÍáõÙÁ: Ð³Ù³Ó³ÛÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï»ëáõÃÛ³Ý, (98) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý` nx ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

Nnxxx nnn ∈+= , , (111)

áñï»Õ nx -Á (99) Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ ¿,

ÇëÏ nx -Á (98) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙ:

nx Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù Ñ³ëï³ïáõÝÇ í³ñÇ³óÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹áí:

àõÝ»Ýù`

165

2,,)(,0,02

2

1

)2(2

)2(1

)1(2

)1(1

)2()1(

)2(1

)1(1

21 >∈⋅=== ∑−

=

++

++

++

nNna

jf

xx

xxxx

xx

xxxn

j

jj

jj

nn

jj

n: (112)

àñï»ÕÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

2,,)(,0,02

2

1 12

11

12

21 >∈⋅−−

=== ∑−

=

−−−−

nNna

jfqqqq

xxxn

j

jnjn

n (113)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ ¨

2,,)()1(,0,02

11

2

121 >∈⋅−−=== −−

−

=∑ nNn

ajfqjnxxx jn

n

jn (114)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa = : ²ÛëåÇëáí, (98) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³-

¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ ¿`

,,)(

2

2

1 12

11

12

2211 Nna

jfqqqq

qcqcxn

j

jnjnnn

n ∈⋅−−

++= ∑−

=

−−−−

(115)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³-

ïáõÝÝ»ñ »Ý ¨

( ) Nna

jfqjnqnccx jnn

j

nn ∈⋅−−++= −−

−

=∑ ,)()1(

2

11

2

1121 (116)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛáõÝÁ, »ñµ 2021 4 aaa = , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³-

ïáõÝÝ»ñ »Ý:

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 6: ºñµ 1=n ¨ 2=n , ³å³ (115) ¨ (116) Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ∑ Ýß³Ýáí ·ñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÷áË³ñ»Ý í»ñóíáõÙ

»Ý ½ñá:

ÜÙ³Ý Ó¨áí, ÇÝãå»ë ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ¹»åùáõÙ, ³Ûëï»Õ ÝáõÛÝå»ë ³é³ÝÓÝ³óíáõÙ

¿ Çñ³Ï³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ, ÙÇ³ÛÝ ÝÏ³ï»Ýù, áñ (113) ¨ (114) Ù³ëÝ³ÏÇ

ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÙÇßï Çñ³Ï³Ý »Ý, »Ã» 2/)( anf ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Çñ³Ï³Ý ¿:

¶áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ, »ñµ 2021 4 aaa ≠ , Ñ³ñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É (99) Ñ³Ù³ë»é

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý (104) ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, ÇëÏ »ñµ 2021 4 aaa = , û·ï³·áñ-

Í»É (107) ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ: ²Ûë ¹»åùáõÙ (98) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñ-

Ù³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ·ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí`

166

,,)(

2

2

1 12

11

12

12

11

12

212

121

112

1 Nna

jfqqqq

qqqqc

qqqqqqcx

n

j

jnjnnnnn

n ∈⋅−−

+−−

+−−

= ∑−

=

−−−−−−−−

(117)

»ñµ 2021 4 aaa ≠ , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý ¨

Nna

jfqjnqncqncx jnn

j

nnn ∈⋅−−+−+−−= −−

−

=

−− ∑ ,)()1()1()2(2

11

2

1

212

111 (118)

»ñµ 2021 4 aaa = , áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý:

Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ »Ã» å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É (98) ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ, »ñµ ïñí³Í ¿ bxax == 21 , ëÏ½µÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ,

³å³ ÏáõÝ»Ý³Ýù`

,,)(

2

2

1 12

11

12

12

11

12

12

121

112 Nn

ajf

qqqq

qqqq

bqq

qqqqax

n

j

jnjnnnnn

n ∈⋅−−

+−−

+−−

= ∑−

=

−−−−−−−−

(119)

»ñµ 2021 4 aaa ≠ ¨ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ, »ñµ 20

21 4 aaa = :

Nna

jfqjnqnbqnax jnn

j

nnn ∈⋅−−+−+−−= −−

−

=

−− ∑ ,)()1()1()2(2

11

2

1

21

11 : (120)

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ 7: ºñµ 1=n ¨ 2=n , ³å³ (117)–(120) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ-

Ý»ñáõÙ ∑ Ýß³Ýáí ·ñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÷áË³ñ»Ý í»ñóíáõÙ »Ý ½ñá:

úñÇÝ³Ï 7: ¶ïÝ»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõñÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã»

³) ,,,,;,,, 1221 RdcbaNndxcxxbxax nnn ∈∈+=== ++

µ) ,,,,,;,,, 1221 RrdcbaNnrdxcxxbxax nnn ∈∈++=== ++

·) ,,,,;,,, 1221 RdcbaNnndxcxxbxax nnn ∈∈++=== ++

ÈáõÍáõÙ: ³) îñí³Í Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µÝáõÃ³·ñÇã

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿`

dcqq +=2 (121)

I ¹»åù. 042 ≠+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ (121) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï-

Ý»ñÝ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý` 21 qq ≠ : Ð»ï¨³µ³ñ, ïñí³Í Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ

Nnqcqcx nnn ∈+= ,2211 (122)

ï»ëùÁ, áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ú·ïí»Éáí ëÏ½µÝ³-

Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, Ï³½Ù»Ýù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·`

167

=+=

=+=

:,

222

2112

22111

bqcqcxaqcqcx

²Ûë Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó áñáß»Ýù 1c ¨ 2c Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñÁ`

)(

,)( 212

12

121

21 qqq

baqc

qqqbaq

c−−

=−−

=

¨ ï»Õ³¹ñ»Ýù (122)-Ç Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù`

Nnqqqbaq

qqqbaq

x nnn ∈

−−

+−−

= −− ,)()(

12

21

111

12

2

Ï³Ù (Ñ³Ù»Ù³ï»É (108)-Ç Ñ»ï)

Nnqqqqb

qqqqqqax

nnnn

n ∈−−

+−−

=−−−−

,12

11

12

12

121

112 : (123)

II ¹»åù. 042 =+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ (121) µÝáõÃ³·ñÇã Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï

ÏñÏÝ³å³ïÇÏ ³ñÙ³ï` 2/1 cq = : Ð»ï¨³µ³ñ, ïñí³Í Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ

Nnqnccx nn ∈+= ,)( 121 (124)

ï»ëùÁ, áñï»Õ 1c -Á ¨ 2c -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³ëï³ïáõÝÝ»ñ »Ý: ú·ïí»Éáí ëÏ½µÝ³-

Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, Ï³½Ù»Ýù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·`

−=

−=⇔

=+=

=+=2112

2111

21212

1211

/)(/)2(

)2()(

qaqbcqbaqc

bqccxaqccx

:

î»Õ³¹ñ»Éáí 1c -Ç ¨ 2c -Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (124)-áõÙ, Ïëï³Ý³Ýù`

Nnqnaqbbaqx nn ∈−+−= ,))(2( 111

Ï³Ù (Ñ³Ù»Ù³ï»É (110)-Ç Ñ»ï)

Nnqnbqnax nnn ∈−+−−= −− ,))1()2( 2

11

1 : (125)

µ) îñí³Í ³ÝÑ³Ù³ë»é Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý-

¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ Ý³Ëáñ¹ ËÝ¹ñÇ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñ-

Ù³Ý Ñ»ï:


Ý»ñÝ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý` 21 qq ≠ : îñí³Í ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñ-

Ù³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù α=nx ï»ëùáí, áñï»Õ α -Ý ³ÝÑ³Ûï

Ñ³ëï³ïáõÝ ¿: ÎáõÝ»Ý³Ýù`

168

rdc ++= ααα Ï³Ù rdc =−− )1(α :

ºÃ» 1≠+ dc , ³å³ )1/( dcrxn −−= Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ë-

Ý³ÏÇ ÉáõÍáõÙ: Ð»ï¨³µ³ñ, ïñí³Í ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý

ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

Nndcrqcqcx nnn ∈−−++= ),1/(2211 : (126)

ú·ïí»Éáí ëÏ½µÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, Ï³½Ù»Ýù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³-

Ï³ñ·`

=−−++=

=−−++=

bdcrqcqcxadcrqcqcx

)1/()1/(

222

2112

22111,

áñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù`

))1/(()(

)()(,)(

)()(

212

12

121

21 dcr

qqqbqac

qqqbqac −−=

−−−−

=−

−−−= ααααα

:

²Ûë ¹»åùáõÙ, ¹Çï³ñÏíáÕ ÎáßÇÇ ËÝ¹ñÇ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

Nnqqq

bqaqqq

bqax nnn ∈+

−−−−

+−

−−−= −− ,

)()()(

)()()( 1

221

111

12

2 ααααα

(127)

Ï³Ù (Ñ³Ù»Ù³ï»É (119)-Ç Ñ»ï, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ dcxx −−=−− 1)1)(1( 21 ¨

rjf =)( )

( ) ( )

)1/((

,12

11

12

12

121

112

dcr

Nnqqqq

bqq

qqqqax

nnnn

n

−−=

∈+−−

−+−−

−=−−−−

α

ααα : (128)

ºÃ» 1=+ dc , ³å³ nx Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù` nxn α= ï»ëùáí:

ÎáõÝ»Ý³Ýù`

rndncn +++=+ ααα )1()2( Ï³Ù rc =− )2(α :

ø³ÝÇ áñ 2≠c (Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ` 121 == qq ), ³å³ )2/( cnrxn −=

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙ: Ð»ï¨³µ³ñ, ¹Çï³ñÏíáÕ ¹»åùáõÙ,

ïñí³Í ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

Nncnrqcqcx nnn ∈−++= ),2/(2211 : (129)

ÜÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ 1,1 21 −== cqq ¨ û·ïí»Éáí ëÏ½µÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³Ý-

Ý»ñÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

169

))2/((

,)1(22

)2()1)(( 1

cr

Nnncc

abc

bcax nn

−=

∈+−−−−

+−

−−−−= −

α

αααα (130)

Ï³Ù (Ñ³Ù»Ù³ï»É (117)-Ç Ñ»ï, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ 1,1 21 −== cqq )

Nnnc

ccc

cbc

ccaxnnn

n ∈+−−+−

−−

−−+

−−−−

=−−−

,2

)1(32

1)1(2

)1()1( 111

αα : (131)

II ¹»åù. 042 =+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ` 2/21 cqq == : îñí³Í ³ÝÑ³Ù³ë»é

³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ ÷Ýïñ»Ýù α=nx ï»ëùáí,

áñï»Õ α -Ý ³ÝÑ³Ûï Ñ³ëï³ïáõÝ ¿: ÎáõÝ»Ý³Ýù`

rcc +−= ααα4

2

Ï³Ù rc 4)2( 2 =−α :

ºÃ» 2≠c , ³å³ 2)2/(4 crxn −= Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ

ÉáõÍáõÙ: Ð»ï¨³µ³ñ, ¹Çï³ñÏíáÕ ¹»åùáõÙ, ïñí³Í ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

Nncrqnccx nn ∈−++= ,)2/(4)( 2

121 (132)

ú·ïí»Éáí ëÏ½µÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

( )

=−++=

=−++=

:)2/(4

,)2/(422

222112

2¿211

bcrqcqcx

acrqccx

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñï»ÕÇó ÏáõÝ»Ý³Ýù`

( )221

122

1

11 )2/(4

)()(,

)()(2−=

−−−=

−−−= cr

qaqb

cq

baqc α

αααα :


( ) Nnqaqbnbaqx nn ∈+−−−+−−−= − ,))(()()(2 2

111 ααααα (133)

Ï³Ù (Ñ³Ù»Ù³ï»É (120) µ³Ý³Ó¨áí ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÇ Ñ»ï)

( ) Nnqnqnqnbqnax nnnnn ∈−−−++−+−−= −−−− ,)1()2(1)1()2( 2

11

12

11

1 α , (134)

áñï»Õ 2)2/(4 −= crα :

ºÃ» 2=c , ³å³ 121 == qq : ²Ûë ¹»åùáõÙ nx Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÁ

÷Ýïñ»Ýù` 2nxn α= ï»ëùáí: ÎáõÝ»Ý³Ýù`

rnnn +−+=+ 222 )1(2)2( ααα Ï³Ù r=α2 :

170

àõñ»ÙÝ` 2/2nrxn = Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙ: Ð»ï¨³-

µ³ñ, ïñí³Í ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ÉáõÍáõÙÁ ÏÉÇÝÇ`

Nnnrnccxn ∈++= ,2/221 : (135)

ú·ïí»Éáí ëÏ½µÝ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇó, Ïëï³Ý³Ýù`

−−=+−=

⇔

=++==++=

:2/3,2

:22,2/

2

1

212

211

rabcrbac

brccxarccx


Nnnrnrbrbaxn ∈+−−−+−= ,2/)2/3(2 2α (136)

Ï³Ù (Ñ³Ù»Ù³ï»É (120) µ³Ý³Ó¨áí ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÇ Ñ»ï)

)2/(,)2)(1()1()2( rNnnnnbnaxn =∈−−+−+−−= αα : (137)

·) ÜÏ³ï»Ýù, áñ ïñí³Í ³ÝÑ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³-

å³ï³ëË³Ý Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ³) Ï»ïÇ

ËÝ¹ñÇ Ñ³Ù³ë»é ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ»ï:


Ý»ñÝ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý` 21 qq ≠ : Ð³Ù³Ó³ÛÝ (119) µ³Ý³Ó¨Ç, ¹Çï³ñÏíáÕ

ÎáßÇÇ ËÝ¹ñÇ ÉáõÍáõÙÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ï»ëùÁ`

,,2

1 12

11

12

12

11

12

12

121

112 Nnj

qqqq

qqqq

bqq

qqqqax

n

j

jnjnnnnn

n ∈⋅−−

+−−

+−−

= ∑−

=

−−−−−−−−

(138)

Ï³Ù

:,)1)((

)2()1()1)((

)2()1(

2112

1211

2112

2222

12

11

12

12

121

112

Nnqqq

qnqnqqqq

qnqnqqqqq

bqq

qqqqax

n

nnnnn

n

∈−−−+−−

−

−−−−+−−

+−−

+−−

=−−−−

(139)

II ¹»åù. 042 =+ dc : ²Ûë ¹»åùáõÙ` 2/21 cqq == : Ð»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ

(120) µ³Ý³Ó¨Ç áõÝ»Ýù`

Nnjqjnqnbqnax jnn

j

nnn ∈⋅−−+−+−−= −−

−

=

−− ∑ ,)1()1()2( 11

2

1

21

11

Ï³Ù

Nnq

nnqnqqnqnbqnaxnn

nnn ∈

−+−+−−

+−+−−=−

−− ,)1(

2)2()1()2( 31

11

1121

11 : (140)

171

§6 . êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹1

1. Î³Ù³Û³Ï³Ý A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛáõÝÁ`

³) ⇔∧ )( BA ∨A B ; µ) ⇔∨ )( BA ∧A B ;

·) ⇔⇒ )( BA BA∨ ; ¹) ∧⇔⇒ ABA )( B :

2. Î³Ù³Û³Ï³Ý A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ï³½Ù»É S µ³Ý³Ó¨Ç ×ßÙ³ñ-ï³ÛÇÝ ³ÕÛáõë³ÏÁ.

³) =S ∨A B ; µ) =S )( BA∧ ; ·) ∧= AS ⇒∨ BB ( )A ;

¹) CBAS ∨⇒= ; ») ∨= AS ⇒B CA∧ ; ½) )()( BABAS ∧⇒⇔= ;

¿) ∨⇒∧= ))(( ABAS A ; Á) ⇔⇒∧= )( CBAS ∧∧ BA( )C :

3. ¸Çóáõù P ³ëáõÛÃÝ ¿` § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ b -Ç¦, Q ³ëáõÛÃÁ` § a ÃÇíÁ

µ³Å³ÝíáõÙ ¿ c -Ç¦ ¨ R ³ëáõÛÃÁ` § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ b ¨ c Ãí»ñÇ ³ñï³-¹ñÛ³ÉÇ íñ³¦: ´³é»ñáí Ó¨³Ï»ñå»É ïñí³Í µ³Ý³Ó¨áí Ý»ñÏ³Û³óíáÕ ³ëáõÛÃÁ.

³) QP ∧ ; µ) ∧P Q ; ·) ∧P Q ; ¹) )( QP ∧ ; ») QP ∨ ;

½) QP ∨ ; ¿) RQP ⇒∧ ; Á) RQP ⇒∨ ; Ã) ⇒∨QP R :

4. ²å³óáõó»É, áñ S µ³Ý³Ó¨Á ÝáõÛÝ³µ³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿.

³) )()( ABBAS ⇒∨⇒= ; µ) );()( BABAS ⇒∨⇒=

·) )()( ABBAS ⇒⇒⇒= ; ¹) )( BAAS ⇒⇒= :

5. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý UCBA ,,, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ` UCBA ⊂,, ¨

AUACu \= : òáõÛó ï³É, áñ

³) 1) ,)()( CBACBA ∪∪=∪∪ 2) CBACBA ∩∩=∩∩ )()( ;

µ) 1) ,ABBA ∪=∪ 2) ABBA ∩=∩ ;

·) 1) AØA =∪ , 2) AUA =∩ ; ¹) 1) UACA u =∪ , 2) ØACA u =∩ :


AUACu \= : òáõÛó ï³É, áñ

³) 1) )()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ , 2) )()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ ;

µ) 1) AAA =∪ , 2) AAA =∩ ; ·) 1) UUA =∪ , 2) ØØA =∩ ;

¹) 1) ABAA =∩∪ )( , 2) ABAA =∪∩ )( ; ») 1) UØCu = , 2) ØUCu = :

172


BUBCAUAC uu \,\ == : ²å³óáõó»É, áñ

³) )()()( CBCACBA ⊂∧⊂⇔⊂∪ ; µ) )()()( CABACBA ⊂∧⊂⇔∩⊂ ;

·) )\()\()( CBCABA ⊂⇒⊂ ; ¹) )()( ACBCBA uu ⊂⇒⊂ ;

») )())\(( ABABBA ⊂⇔=∪ ; ½) )()( CBCACBA u ∪⊂⇔⊂∩ ;

¿) )()( CBCACBA u ⊂∩⇔∪⊂ ; Á) )()( CBCABA ∪⊂∪⇒⊂ ;


AUACu \= : ²å³óáõó»É, áñ

³) )()()(( CABACBA ∩∆∩=∆∩ ; µ) BBAA =∆∆ )(( ;

·) ABBA ∆=∆ ; ¹) ))()( CBACBA ∆∆=∆∆ ;

») )( BABABA ∩∆∆=∪ ; ½) )(\ BAABA ∩∆= ;

¿) ACUA u=∆ )( ; Á) )()( BABABA ∩∪∆=∪ :

9. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý 2121 ,,,,, BBAABA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ²å³óáõó»É, áñ

³) )()( CBBABA ∆∪∆⊂∆ ; µ) )()()()( 22!12121 BABABBAA ∆∪∆⊂∪∆∪ ;

·) )()()()( 22!12121 BABABBAA ∆∩∆⊂∩∆∩ ; ¹) )(\)()\()\( 22112121 BABABBAA ∆∆⊂∆ ;

10. ³) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nAAA ,...,, 21 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÁ:

Üß³Ý³Ï»Ýù` n

i in AS1=

= : ²å³óáõó»É, áñ

)\(...)\()\( 1231211 −=∪∪∪∪== nn

n

i in SASASAAAS :

µ) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ,...,...,, 21 nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ßí»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÁ:

Üß³Ý³Ï»Ýù` n

i in AS1=

= : ²å³óáõó»É, áñ

...)\(...)\()\( 1231211∪∪∪∪∪== −

∞

= nni i SASASAAAS :

11. ³) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nAAA ,...,, 21 µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñç³íáñ ÁÝï³ÝÇùÁ

( 2≥n ): ²å³óáõó»É, áñ

)...()()\(...)\()\( 211132211 nnnnn

i i AAAAAAAAAAAA ∩∩∩∪−∪∪∪∪= −= :

µ) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ ......21 ⊃⊃⊃⊃ nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýí³½áÕ Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ²å³óáõó»É, áñ

( ) NkAAAAAAAAn nnnkkkkk ∈∀∪∪∪∪∪=∞

=−+++ ,...)\(...)\()\(11211 :

173

12. ¸Çóáõù ïñí³Í »Ý CBA ,, µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ÁÝ¹ áñáõÙ` CBA ⊂⊂ :

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á`

³)

=∪=∩

:,

CXABXA

µ)

=∪=

:,\

CAXBXA

13. ³) ¸Çóáõù A -Ý ¨ B -Ý í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ )()()()( BANBNANBAN ∩−+=∪ ,

áñï»Õ )(XN -Á X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ÃÇíÝ ¿:

µ) ¸Çóáõù ïñí³Í ¿ nAAA ,...,, 21 n Ñ³ï í»ñç³íáñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ

ÁÝï³ÝÇùÁ ( 2≥n ): ²å³óáõó»É, áñ

( ) ( ) ( ) ( )

( ),...)1(

...

3211

1,,1,11

nn

n

kji kjin

ji jin

i in

i i

AAAAN

AAANAANANAN

∩∩∩∩−+

+−∩∩+∩−=

−

==== ∑∑∑

áñï»Õ )(XN -Á X µ³½ÙáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÇ ÃÇíÝ ¿:

14. ³) ²å³óáõó»É, áñ ÇÝãåÇëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ ,...,...,, 21 nAAA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ß-

í»ÉÇ ÁÝï³ÝÇùÁ, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ ½áõÛ· ³é ½áõÛ· ãÑ³ïíáÕ µ³½ÙáõÃÛáõÝ-Ý»ñÇ ÁÝï³ÝÇù, áñ

∞

=

∞

==

11 n nn n BA ¨ nn AB ⊂ :

µ) ¶ïÝ»É :4 NkkA ∈= ¨ :6 NkkB ∈= µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ:

15. îñí³Í ¿ : SA ∈αα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

²å³óáõó»É, áñ

³) ( ) ( ) α αα α BABA ∩=∩ ; µ) ( ) ( ) α αα α BABA ∪=∪ :

16. îñí³Í ¿ : SA ∈αα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

²å³óáõó»É, áñ

³) ºÃ» ,, BAS ⊂∈∀ αα ³å³ BA ⊂α α ,

µ) ºÃ» ,, αα ABS ⊂∈∀ ³å³ α αAB ⊂ :

17. îñí³Í ¿ : SA ∈αα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ: ²å³óáõó»É, áñ

³) α αA µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ µáÉáñ αA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ

ÁÝ¹·ñÏáÕ ³Ù»Ý³÷áùñ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

174

µ) α αA µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñÝ

ÁÝ¹·ñÏíáõÙ ¿ µáÉáñ αA µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ç:

18. ³) îñí³Í ¿ ,: , TSA ∈∈ βαβα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ: ²å³-

óáõó»É, áñ α β βαα β βα ,, AA ⊂ :

µ) îñí³Í ¿ : SA ∈αα µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝï³ÝÇùÁ ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

²å³óáõó»É, áñ ( ) α αα α BABA \\ = :

19. ³) nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý í»ñÇÝ ë³ÑÙ³Ý, Ýß³Ý³-

ÏáõÙ »Ý` nElim , ÏáãíáõÙ ¿ µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù å³ïÏ³ÝáõÙ

»Ý ³Ýí»ñç Ãíáí nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ: ²å³óáõó»É, áñ` ∞

=

∞

==

1lim

n nk kn EE :

µ) nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ëïáñÇÝ ë³ÑÙ³Ý, Ýß³Ý³ÏáõÙ

»Ý` nElim , ÏáãíáõÙ ¿ µáÉáñ ³ÛÝ ï³ññ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝù Ï³ñáÕ »Ý

ãå³ïÏ³Ý»É ÙÇ³ÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ: ²å³óáõó»É, áñ`

∞

=

∞

==

1lim

n nk kn EE :

20. ³) ú·ïí»Éáí Ý³Ëáñ¹ ËÝ¹ñÇó, ³å³óáõó»É, áñ` nn EE limlim ⊂ :

µ) ´»ñ»É nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ ³ÛÝ-

åÇëÇù, áñ 1) nn EE limlim ≠ , 2) nn EE limlim = :

21. îñí³Í »Ý nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ¨ U µ³½-

ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ UENn n ⊂∈∀ , : ²å³óáõó»É, áñ`

³) )(limlim\ nn EXEU −= ; µ) )\(limlim\ nn EXEU = :

22. ²å³óáõó»É, áñ` ³) ºÃ» nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³×áÕ ¿

),( 1 NnEE nn ∈∀⊂ + , ³å³ nn nn EEE limlim1

==∞

= :

µ) ºÃ» nE µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿

),( 1 NnEE nn ∈∀⊃ + , ³å³ nn nn EEE limlim1

==∞

= :

23. ²å³óáõó»É`

175

³) µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ í»ñç³íáñ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ


µ) ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ í»ñç³íáñ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ


24. è³óÇáÝ³É ¿ ÏáãíáõÙ ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ Ý»ñÏ³Û³óíáõÙ ¿ nm / Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí, áñï»Õ NnZm ∈∈ , : è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý`

,:/ NnZmnmQ ∈∈= :

³) ú·ïí»Éáí 1 Ã»áñ»Ù 8-Çó, ³å³óáõó»É, áñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

µ) ú·ïí»Éáí 1 Ã»áñ»Ù 8-Çó, ³å³óáõó»É, áñ 0 -Ç ¨ 1 -Ç ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ

é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

25. ³) ²å³óáõó»É, áñ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (³ÛëÇÝùÝ ³ÛÝåÇëÇ Ï»ï»ñÇ, áñáÝó »ñÏáõ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý) Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

µ) ²å³óáõó»É, áñ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ßñç³Ý³·Í»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ß³é³íÇÕÝ»ñÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨, Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

26. ³) ²å³óáõó»É, áñ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

µ) ²å³óáõó»É, áñ µáÉáñ é³óÇáÝ³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñÇãÇ ¨ Ñ³Ûï³ñ³ñÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

27. ³) ²å³óáõó»É, áñ µáÉáñ í»ñç³íáñ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

µ) ²å³óáõó»É, áñ µáÉáñ )52/( pk nm ï»ëùÇ Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ k -

Ý, m -Á, n -Á áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý, ÇëÏ p -Ý 2 ¨ 5 ³ñï³¹ñÇã

ãå³ñáõÝ³ÏáÕ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

28. ³) Ð³ßí»É n ï³ññ å³ñáõÝ³ÏáÕ µ³½ÙáõÃÛ³Ý, µáÉáñ »ÝÃ³µ³½ÙáõÃÛáõÝ-Ý»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ:

µ) êï»ÕÍ»É ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ Ãí³ÛÇÝ áõÕÕÇ µáÉáñ é³óÇáÝ³É Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨, áñáÝó »ñÏáõ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý:

176

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹2

1. ³) ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ.

1) 3,1,8,9,7,4,3,2,9 −−=−= BA ; 2) );15;1(],4;0[ == BA

3) );5[),5;( +∞=−∞= BA ; 4) :12,:2 NkkBNkkA ∈−=∈= :

µ) ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ. 1) 12,11,8,6,5,11,9,6,5,4 =−= BA ; 2) );9;8(],12;1[ == BA

3) );15[, +∞−== BZA ; 4) 2:],2,( <∈=−∞= xRxBA :

·) ¶ïÝ»É A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï³ñµ»ñõÃÛáõÝÁ.

1) 2,27,4,3,5,2,9,7,6,5 −=−= BA ; 2) ;7,8,1,11,8,7 =−= BA

3) ]4;5(),9;2[ −== BA ; 4) );10(, +∞−== BZA :

¹) ¶ïÝ»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Éñ³óáõÙÁ.

1) )1;0( ; 2) ]3;(−∞ ; 3) )3;1()0;2( ∪− ; 4) 2: >∈ xRx :

2. ä³ñ½»É, Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇó, áñáÝù »Ý µ³ó, áñáÝù` ÷³Ï ¨ áñáÝù á’ã µ³ó ¨ á’ã ¿É ÷³Ï.

³) );4()1;0( +∞∪ ; µ) ]9;4()2;5( ∪− ; ·) ]8;3[]2;5[ ∪− ;

¹) ]3;7[)4;1( −∩ ; ») ]6;0()1;4[ ∩− ; ½) 5,4,3− ;

3. ²å³óáõó»É, áñ

³) ∞

=

∞

=

−

=

−

=12

1;11;1)1;0(nn n

nnn

nn

; µ) 01;01

=

∞

=n n;

·) ∞

=

∞

=

+−=

+−=

11

1;11;1]1;0[nn n

nnn

nn

; ¹) Ønn

=

∞

= 1

1;0 ;

») ∞

==+∞

1);[

nØn ; ½) Rnn

n=−

∞

= 1);( :

4. RM ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³Ý»Ýù Ï³å³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ, »Ã» ³ÛÝ Çñ ó³ÝÏ³ó³Í 21 xx < ï³ññ»ñÇ Ñ»ï ÙÇ³ëÇÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ];[ 21 xx ÙÇç³Ï³ÛùÁ:

³) ²å³óáõó»É, áñ R -áõÙ Ï³å³Ïóí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý ÙÇ³ÛÝ µáÉáñ µ³ó, ÷³Ï, ÏÇë³µ³ó, í»ñç³íáñ ¨ ³Ýí»ñç ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ RM ⊂ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ï³å³Ïóí³Í ¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ

¹»åùáõÙ, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝ»Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ 1G ¨ 2G

µ³ó ÙÇç³Ï³Ûù»ñ.

212121 ,,, GGMØGGØMGØMG ∪⊂=∩≠∩≠∩ :

177

5. ³) ¶ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ß·ñÇï í»ñÇÝ ¨ ×ß·ñÇï ëïáñÇÝ »½ñ»ñÁ.

1) Nnn ∈, ; 2) Nnn

∈

,1

; 3) Nnn

n

∈

−+ ,)1(1 ;

4) Nnn

kk ∈

∑

=

,21

1

; 5) Nnn

n∈

+,

42

2

; 6) 43: <−∈= xRxM :

µ) ¸Çóáõù RM ⊂ ¨ MxRxM ∈−∈=− : : ²å³óáõó»É, áñ

MMMM sup)inf(,inf)sup( −=−−=− :

6. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» Qr∈ ¨ I∈α , ³å³ IrIr ∈−∈+ αα , ¨ »Ã»

0≠r , ³å³ Ir ∈α ( I -Ý Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿): µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» I∈βα , , ³å³ βα + ¨ βα − Ãí»ñÇó ·áÝ¿ Ù»ÏÁ

Çé³óÇáÝ³É ¿: ·) ²å³óáõó»É, áñ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÝ Çé³óÇáÝ³É »Ý`

5)4;15)3;18log)2;32)1 43 tgtg+ :

¹) ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ r é³óÇáÝ³É ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

017)4;013)3;7)2;5)1 3232 =+−=++== rrrrrr :

7. ÎÇé³ñ»Éáí Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Á` ³å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

³) 2

)1(...21 +=+++

nnn ; µ) )12()12(...31 22333 −=−+++ nnn

;

·) 3

)12)(12()12(...31 222 +−=−+++

nnnn ; ¹) 2

333

2)1(...21

+

=+++nnn ;

»)6

)2)(1(...21 222 ++=+++

nnnn ; ½) 2)12(...31 nn =−+++ ;

¿) 22

2)1(

11...911

411 2 +

+=

+

−⋅⋅

−

−

nn

n;

Á) 12)12()12(

1...53

131

1+

=+⋅−

++⋅

+⋅ n

nnn

:

8. ÎÇé³ñ»Éáí Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Á` ³å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

³) )1(13

12

12...65

43

21

>+

<−

⋅⋅⋅⋅ nnn

n; µ) )2(122 >+> nnn ;

178

·) )3(!2 2)1(

≥>+

nnnn

; ¹) nnn >2)!( ;

») )1(12

1...31

211

2><

−++++< nnn

n ; ½) )3(,)1(1 ≥+>+ nnn nn ;

¿) )1(1...3

12

11 >>++++ nnn

; Á) n

nn 211 +<< :

9. ÎÇé³ñ»Éáí Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ Ù»Ãá¹Á` ³å³óáõó»É, áñ ó³Ý-Ï³ó³Í Nn∈ ÃíÇ Ñ³Ù³ñ.

³) ( )122 87 ++ + nn -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 57-Ç;

µ) ( )1154 −+ nn - Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9-Ç;

·) ( )nn 53 + - Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç;

¹) ( )67403 12 −++ nn - Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 64-Ç:

10. ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í naaa ,...,, 21 ¨ nbbb ,...,, 21 Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³-

Ù³ñ ×ßÙ³ñÇï ¿ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

³) ∑∑ ==≤

n

k kn

k k aa11

; µ) ( ) ( )( )∑∑∑ ===≤

n

k kn

k kn

k kk baba1

21

22

1 ;

·) ( ) ∑∑ ==≤

n

k kn

k k ana1

22

1; ¹) ( ) ∑∑∑ ===

+≤+n

k kn

k kn

k kk baba1

21

21

2 :

11. ³) ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ¹ñ³Ï³Ý naaa ,...,, 21 Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

( ) 2

2121

1...11... naaa

aaan

n ≥

++++++ :

µ) ²å³óáõó»É, áñ 1...21 =⋅⋅⋅ naaa å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ó³ÝÏ³ó³Í

naaa ,...,, 21 ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

( )( ) ( ) nnaaa 21...11 21 ≥+⋅⋅++ :

·) ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í naaa ,...,, 21 , nbbb ,...,, 21 Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¨ 0>α

ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ`

∑∑∑ ===+≤

n

k kn

k kn

k kk baba1

21

21 4

1 αα

:

¹) ¸Çóáõù ),...,2,1(1 niai =−> ¨ ia Ãí»ñÁ ÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ »Ý: ²å³óáõó»É, áñ

ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ` ( )( ) ( ) nn aaaaaa ++++≥+⋅⋅++ ...11...11 2121 :

179

12. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» A ¨ B µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³ßí»ÉÇ »Ý` ...,...,, 21 naaaA = ¨ ,...,...,, 21 nbbbB = ,

³å³ µáÉáñ ,...)2,1,(),( =nkba nk ½áõÛ·»ñÇó Ï³½Ùí³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë

Ñ³ßí»ÉÇ ¿: êï»ÕÍ»É ÷áËÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨:

µ) ²å³óáõó»É, áñ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó »ñÏáõ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: êï»ÕÍ»É ÷áË-ÙÇ³ñÅ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛáõÝ ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ¨ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½-ÙáõÃÛ³Ý ÙÇç¨:

13. ³) E′ -Á E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ´»ñ»É µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ³éÝãáõÃÛ³ÝÁ`

EEEE ⊂′′= )2;)1 ¨ ;\ ØEE ≠′ EE ′⊂)3 ¨ ØEE ≠′ \

ØEE ≠′ \)4 ¨ ØEE ≠′\ ; ;sup)6;)5 EEØEE ∈=′∩

;sup)7 EE∉ EEE ′∈ \sup)8 :

µ) ´»ñ»É E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï, áñ

1) E -Ý áõÝ»Ý³ Ù»Ï ë³ÑÙ³ÝÛÇÝ Ï»ï:

2) E -Ý áõÝ»Ý³ í»ó ë³ÑÙ³ÝÛÇÝ Ï»ï:

3) E -Ý Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, µ³Ûó ØE ≠′ :

4) E -Ý ÉÇÝÇ ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ ØE ≠′′ , ÇëÏ ØE =′′′ , áñï»Õ ( ) ( )′′′=′′′′′=′′ EEEE , :

14. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» EE ′⊂ , ³å³ E -Ý ãáõÝÇ Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ï: µ) ²å³óáõó»É, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»Ïáõë³óí³Í Ï»ïÁ, ÇÝãå»ë Ý³¨ ³ÛÝ

ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»ïÁ, áñÁ ãÇ å³ïÏ³ÝáõÙ E -ÇÝ, »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï ¿:

15. ³) ¶ïÝ»É ]1;0[ Ñ³ïí³ÍÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ

Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ]1;0[ Ñ³ïí³ÍÇ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÷³±Ï

µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿ Ã» áã: µ) ¶ïÝ»É 2 -Çó Ù»Í µáÉáñ Çé³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý³ÛÇÝ Ï»-

ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ: ´»ñ»É ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï µ³ó ¨ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³ÏÝ»ñ:

16. ³) ¸Çóáõù n

k kEE1=

= : ²å³óáõó»É, áñ n

k kEE1=

′=′ :

µ) ¸Çóáõù n

k kEE1=

= : ²å³óáõó»É, áñ n

k kEE1=∂=∂ :

17. ³) ¶ïÝ»É` Nqpqp ∈,,2 / µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ:

180

µ) ¶ïÝ»É` Nnnn

∈

+,

12 3

3

µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ:

18. ³) ²å³óáõó»É, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ÷³ÏáõÙÁ` E -Á Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ E -Ý ÁÝ¹·ñÏáÕ µáÉáñ ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í E µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Çñ³í³óÇ ¿

...... )( ⊃⊃⊃′′′⊃′′⊃′ nEEEE Ý»ñ³éáõÙÝ»ñÁ:

19. ³) ²å³óáõó»É, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý` E -Ý»ñëÁ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ ¿ E -Ç Ù»ç ÁÝ¹·ñÏí³Í µáÉáñ µ³ó µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ:

µ) ²å³óáõó»É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ` ( ) ( ) ( ) CEECCEEC == , :

20. ³) ÆÝãåÇëÇ±Ý ¿ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý:

µ) ÆÝãåÇëÇ±Ý ¿ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ ·Ý¹³ÛÇÝ áÉáñïÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó ß³é³íÇÕÝ»ñÁ ¨ Ï»ÝïñáÝÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý:

21. ³) Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ E µ³½ÙáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³É` E′ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿: ²å³óáõó»É, áñ E -Ý Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

µ) ¸Çóáõù ∞

==

1n nEE ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ nE å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ïáõë³ó-

í³Í Ï»ï»ñ: ²å³óáõó»É, áñ E -Ý ³Ù»Ý³ß³ïÁ Ñ³ßí»ÉÇ ¿:

22. ³) ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í x Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ

·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ra∈ ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Øxax =∩+ :

µ) ¸Çóáõù E -Ý áñ¨¿ ³ÝÑ³ßí»ÉÇ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>α ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ );( +∞∩ αE µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ³ÝÑ³ß-

í»ÉÇ ¿:

23. ³) ²å³óáõó»É, áñ Ñ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ Ï»ï»ñÁ »½ñ³ÛÇÝ Ï»ï»ñ »Ý:

µ) ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù åÝ¹áõÙÁ. ,, »Ã» E -Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³Ýí»ñç µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ 0>α ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ );( +∞∩ αE µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ

³Ýí»ñç ¿”:

24. ³) ´»ñ»É ³ÛÝåÇëÇ Ý»ñ¹ñí³Í ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï, áñ ¹ñ³Ýó Ñ³ïáõÙÁ ÉÇÝÇ Ù»Ï Ï»ïÇó µ³ÕÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ:

181

µ) ´»ñ»É ³ÛÝåÇëÇ Ý»ñ¹ñí³Í ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï, áñ ¹ñ³Ýó Ñ³ïáõÙÁ ÉÇÝÇ Ñ³ïí³Í:

25. ³) ²å³óáõó»É, áñ ó³ÝÏ³ó³Í Nnba nn ∈],;[ Ý»ñ¹ñí³Í Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý` ∞

=1];[

n nn ba Ñ³ïáõÙÁ Ï³Ù Ñ³ïí³Í ¿ Ï³Ù Ù»Ï Ï»ïÇó

µ³ÕÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝ:

µ) îñí³Í ¿` ,...,...,2,1 nN = µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ );( εε +− nn ,

2/10,...;2,1 <<= εn ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, áñÁ Í³ÍÏáõÙ ¿ N -ÇÝ: Î³-

ñ»ÉÇ± ¿ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ³é³ÝÓÝ³óÝ»É N -Á Í³ÍÏáÕ í»ñç³íáñ »ÝÃ³Ñ³Ù³-Ï³ñ·:

26. ³) ´»ñ»É );( ba ÙÇç³Ï³ÛùÇ ³ÛÝåÇëÇ µ³ó Í³ÍÏáõÛÃÇ ûñÇÝ³Ï, áñÇó

ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É í»ñç³íáñ »ÝÃ³Í³ÍÏáõÛÃ:

µ) ´»ñ»É );( +∞a ÙÇç³Ï³ÛùÇ ³ÛÝåÇëÇ µ³ó Í³ÍÏáõÛÃÇ ûñÇÝ³Ï, áñÇó

ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É í»ñç³íáñ »ÝÃ³Í³ÍÏáõÛÃ:

27. ³) Î³ë»Ýù ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ` : SF ∈αα ÁÝï³ÝÇùÁ Í³ÍÏáõÙ ¿ E

µ³½ÙáõÃÛ³ÝÁ, »Ã» Ex∈∀ , ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ S∈α , ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ αFx∈ :

Î³éáõó»É ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇ ÷³Ï Í³ÍÏáõÛÃ, áñÇó ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É

í»ñç³íáñ »ÝÃ³Í³ÍÏáõÛÃ:

µ) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» RE ⊂ µ³½ÙáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í µ³ó Í³ÍÏáõÛÃÇó ÑÝ³-ñ³íáñ ¿ ³é³ÝÓÝ³óÝ»É í»ñç³íáñ »ÝÃ³Í³ÍÏáõÛÃ, ³å³ E -Ý ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

28. ³) ¸Çóáõù` ∞

==

1];[

n nFba , áñï»Õ nF -Á ÷³Ï µ³½ÙáõÃÛáõÝ ¿: ²å³óáõó»É,

áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ];[];[ ba⊂βα Ñ³ïí³Í ¨ Nn ∈0 ÃÇí ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ

];[];[0

βαβα =∩nF :

µ) ´»ñ»É Ý»ñ¹ñí³Í ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý` Nnba nn ∈),;(

ûñÇÝ³Ï, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ Øban nn =∞

= 1);( : ÆÝãåÇëÇ± Éñ³óáõóÇã å³ÛÙ³ÝáõÙ

Ï³ñ»ÉÇ ¿ åÝ¹»É, áñ Ý»ñ¹ñí³Í ÇÝï»ñí³ÉÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³ïáõÙÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ ³éÝí³½Ý Ù»Ï Ï»ï:

182

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹3

Ð»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÝ»ñÇó áñá±Ýù »Ý ×ßÙ³ñÇï nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³-

Ù³ñ. ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó, ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó, ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ³Ýí»ñç Ù»Í ¿, ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, µ³Ûó ³Ýí»ñç Ù»Í ã¿, ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, »Ã»

1.

−−

=:¿½áõÛ·Á»Ã»

¿,Ï»ÝïÁ»Ã»

nnn

xn ,,0

2. 12

1−

=nnx :

3. ³) 2

)12sin(1 π−= n

nxn : µ)

11

2 +

−

nnxn :

4. ³) 10,log <<= anx an : µ) n

nn

nx251

25 12

−+

=+

:

5. ³) ( )nnx 1−= : µ) ( ) 1,0,1/1 ≠>−= aaanx nn :

6. ³) 1, ≤= qnqx nn : µ) n

kkx

n

kn −

+

= ∑ =1

21:

7. ³) )1lg( 2 += nxn : µ) nn

nnxxxxx2

,1,1 1221 +=== ++ :

8. ³) πnnxn cos2lg += : µ) ( ) 21

11 kx

kn

kn

+

=∑ −= :

9. ³) nn n

x−

=1

2: µ) nnn xxxbxax 6,, 1221 +=== ++ :

10. ³) ( )

112/sin2

++

=nnnxnπ

: µ) nnn xxxxx43,3,4 1221 +==−= ++ :

11. ³) ( )n

xn

n11 −−

= : µ) ( ) 1,1/1 <−= ∑ αα nn nnx :

12. ³) 2

cos2 πnnxn = : µ) nnnxn lg12lg 2 −

−+= :

13. ³) 3213 2

−+

=nnxn : µ) 1||,

1

<=∑=

qkqxn

k

kn :

14. ³) ( )

2sin1 πn

nx

n

n−

= : µ) n

nn x

xxx

51

,24

11+

== + :

183

15. 12

2−

=n

xn : 16. ( )2/sin1 πnnnxn +

= :

17. 1, ≤= qnqx

n

n : 18. ( ) nn

n nx

−+=

11 :

19. 232

nnxn+

= : 20. ( )n

nn n

x

+−=

111 :

21. 2

5 nxn −= : 22. ( )( )

nnnx

n

n111 2 ++−−

= :

23. Npnx pn ∈= ,/1 : 24. ( )( )n

n nx 11 −−= :

25. ( )

11arcsin+

−=

nnx

n

n : 26. ( )( )

2lg11 nx

n

n−−

= :

27. !sin nxn = : 28. ( ) nx nn 1−= :

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹4

îñí³Í nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ å³ñ½»É`

1) a ÃÇíÁ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, Ã»` áã:

2) »Ã» a -Ý nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, ³å³ ·ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ

N N∈ , áñ µáÉáñ ≥n N µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³` 001.0<− axn


3) nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»±ï ¿, Ã»± ï³ñ³Ù»ï:

1. ³) 1,12

=+

= an

nxn : µ) 3,23 =+= anx n nnn :

2. ³) 3,342

2

=++

= annnnxn : µ) 5,

25125 12

−=−+

=+

ax n

nn

n :

3. ³) 2,3=

+= a

nnxn : µ)

21,

1825.0

3 =+

+= a

nnxn :

4. ³) 23,

123

=−

= an

nxn : µ) 1,22 =−−+= annnnxn :

5. ³) 1,12

2

=+

= an

nxn : µ) 27,3232 32

=++

=++

ax nn

nn

n :

184

6. ³) 2,5.012

=+−

= an

nxn : µ) ( )

( )1,

615561

11

1

=−−

−−=

++

+

axnnn

nnn

n :

7. ³) 5,1

353

23

=+−

= an

nnxn : µ) ( )

( ) 53,

53.05.03

=+

+= ax n

n

n :

8. ³) 1,1212

=+−

= annxn : µ)

( )( )

1,1

12

1

−=−−+−

=−

−

an

nx n

n

n :

9. ³) ( ) 0,9.0 == ax nn : µ) ( ) 2/1,3/cos == anxn π :

10. ³) 0,1, =<= aqqx nn : µ) ( ) 0,2 1 == − ax nn

n :

11. ³) ( ) 1,1

=−

= an

xn

n : µ) 0,2)1(12

=++

= an

nx nn :

12. ³) 74,

57134

2

2

=−−=

= an

nnxn : µ) 0,sin== a

nnxn :

13. ³) ( ) 0,

2sin1

=

−

= ann

xn

nπ

: µ) ( ) 1,1 −=−= ax nn :

14. ³) 3,cos2cos2

=+−

= annxn ππ

: µ) 65,

7635

3

3

=++

= annxn :

15. 32,

323

2

2

=+

= an

nxn : 16. ( ) 0,2

12sin1=−= an

nxn

π:

17. 3,919 =+= axn : 18.

32,

4312

=+−

= annxn :

19. 32,

332

2

2

=++

= annxn : 20. 0,

11

=−

= an

xn :

21. 0,2

12 =+−

= annxn : 22.

21,...21

2 =+++

= an

nxn :

23. 1,5

4=

+−

= an

nxn : 24. 32,

5312

2

2

=+−

= annxn :

25. 65,

726135

2

2

=+++−

= annnnxn : 26. 3,

2113 2

=+

−+= a

nnxn :

27. 2,312 =−= ax nn : 28. 1,

11

112

2

=++

−+= a

n

nxn :

185

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹5

Ð³ßí»É` nnx

∞→lim -Á, »Ã»

1. ³) n

xn19 += : µ)

3/1

218

−

−=

nxn :

·) )1(...2 2 <+++= qnqqqx nn :

2. ³) 1825.0

++

=n

nxn : µ) 1

12 +

+=

n

nxn :

·) )1(

1...32

121

1+

++⋅

+⋅

=nn

xn :

3. ³) 2

3 2

++

=n

nnxn : µ) nnn

nnnxn++

++=

3 3

2

:

·)

++

−⋅⋅

⋅−

⋅−=

)1)(1(21...

4321

3221

nnxn :

4. ³) nnnxn −+= 3 22 2 : µ)

−+= 121

23

nnxn :

·)

−⋅⋅

−

−= 222

11...311

211

nxn :

5. ³) 1913

−−

=n

n

nx : µ) 1218

−−

=n

n

nx : ·) ∑ ∑= ==

n

i

i

jn njx

1 1 3 :

6. ³) 12

12++

=n

n

n nx : µ) n

n nnnx1

3525

2

++−

= :

·) ( ) Npnn

x ppppn ∈+++= + ,...211

1 :

7. ³) nn nx 23 −= : µ)

1ln2 −

=n

nnxn :

·) ( ) Npp

nnn

x ppppn ∈

+−+++= ,

1...211

:

8. ³) 1!

13++

=n

nxn

n : µ) 1,1

−≠+

= aa

ax n

n

n :

186

·) )2)(1(

1...432

1321

1++

++⋅⋅

+⋅⋅

=nnn

xn :

9. ³) 0,1 2 ≠+

= aa

ax n

n

n : µ) 11 22 −−+= nnxn :

·)

++−++

++

+=

12121...

531

3111

nnnxn :

10. ³) 1

424

2

−+−

=nn

nxn : µ) ( )24

2

!124

nnn

xnn

n+

−+= :

·)

+

+++=n

nnnn

xn 4)12(cos...

43cos

4cos1 πππ

:

11. ³) 33 11 −−+= nnxn : µ) )1()1)(2( +−++= nnnnxn :

·) ,1...11

13221 +

+++=nn

n aaaaaax áñï»Õ na -Á ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ³Ý¹³ÙÝ»-

ñáí ¨ 0≠d ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ ¿:

12. ³) ( )nnnnxn 2112/3 −−++= : µ) n nnnx 23 −= :

·) ,1...111

13221

+++

++

+=

+nnn aaaaaan

x áñï»Õ na -Á

¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ¨ 0≠d ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ ¿:

13. ³)

−+= 131

33

3

3

nnxn : µ) n

n nnx

2312

3

3

−+

= :

·)

+++=

nnxn

1...2

111:

14. ³) ( ) 10,1 <<−+= ααα nnxn : µ) nnnxn +−= 3 32 :

·) nnnx2

12...23

21

2−

+++= :

15. ³) 3)12(...531

nnxn−++++

= : µ) nnnnnxn

−+−+

=1

2

:

187

16. ³) 1

2)12(...3212 +

−−+−+−=

n

nnxn : µ)

−+

=nnn

xn1

12

:

17. ³) 3

...212

222 nn

nxn −+++

= : µ) 3

222 )12(...31n

nxn−+++

= :

18. ³)

−

+++

++

+=

222 1...211n

nan

an

an

xn :

µ) 2,11...311

211,1 2221 ≥

−⋅⋅

−

−== n

nxx n :

19. ³) 11618−−

=n

n

nx : µ) Nmkaa

axn k

n m

n ∈>−

−= ,,1,

1

1:

20. ³) n nn nnx 122 2 −+= : µ) n

nn nx

211

−= :

21. ³) 2

4532

2

+++

=n

nnxn : µ) 1124

23252

23

+−+−+

=nn

nnnxn :

22. ³) )1(

1...32

121

1+⋅

++⋅

+⋅

=nn

xn : µ)

3

2

2

72423

++−+

=nn

nnxn :

23. ³) 4523cos

21

2

23

++

−=nnn

nxn : µ)

nnnxn +++−+

=...21

232

:

24. ³) ( )

1135lg 2

+++

=n

nnxn : µ) 0,1,0,log>≠>= αα aa

nnx a

n :

25. ³) ( ) ( )( ) ( )2222

44

1111−−+

−−+=

nnnnxn : µ)

nnxn 2

2

lg)10(lg

= :

26. ³) Nqpnq

npnx

pq

n ∈

+−

+= ,,112 : µ)

11 2

32

+−

+=

nn

nnxn :

27. ³) ( )( )1ln

1ln10

2

+++−

=nnnnxn : µ)

22 −=

narctgnnxn :

28. ³) 3

2

3

2

3

2 )12(...31n

nnn

xn−

+++= : µ) nn n

nx)1,1(1

110

+−

= :

188

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹6

ú·ïí»Éáí Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛ³Ý Ñ³Ûï³ÝÇßÝ»ñÇó, å³ñ½»É`

nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, Ã»` ï³ñ³Ù»ï.

1. ³) 129...

311

110

−+

⋅⋅⋅=n

nxn : µ) ∑ = +=

n

k k

k

nx1 221

2:

2. ³)

+⋅⋅

+

+= nnx

211...

411

211 : µ)

−⋅⋅

−

−= nnx

211...

411

211 :

3. ³) nn n

x!

1= : µ) Ranaaax nn ∈+++= ,

2sin...

22sin

2sin

2 :

4. ³) nnn

xn 21...

111

+++

+= : µ) ∑ = ++=n

k kknx1 11 2

3cos2

1sin :

5. ³) 222 )1(...

32

21

+++=

nnxn : µ)

)2)(1(1...

4321

3211

+++

⋅⋅+

⋅⋅=

nnnxn :

6. ³) Nkaanx n

k

n ∈>= ,1, : µ) )1(

!sin...32!2sin

21!1sin

+++

⋅+

⋅=

nnnxn :

7. ³) n

nx nn +++

++

+=

3sin...

232sin

131sin

2 : µ) 12

1...51

31

++++=

nxn :

8. ³) !)!12(

!+

=n

nxn : µ) )1(

1...6

12

1+

+++=nn

xn :

9. ³) )12)(12(

!cos...53

!2cos31

!1cos+−

++⋅

+⋅

=nn

nxn: µ)

41...

83

52

2 ++

+++=nnxn :

10. ³) ( )∑ =

−−=n

kkn

n kn

x1

11: µ)

++++=

nxn

11ln...23ln2ln :

11. ³) nn

xn )1(1...

321

2111

−++

⋅+

⋅+= : µ) 22

cos...2

2cos1

1cosn

nxn +++= :

12. ³) ( )∑ =

−−=n

kk

n kn

x1

111: µ)

( )∑ =

−=

n

k

k

n kx

1 31

:

13. ³) )!1(

...!3

2!2

1+

++=n

nxn : µ) ( )[ ]

∑ =

−=

n

k

k

n kkx

1 2

ln !sin1:

189

14. ³) ∑ ==

n

kn knx

1

11: µ) ∑ = +

+=

n

kn kkx

1 132

:

15. n

nn

nx6

23...65

61

2−

+++= : 16. ∑ ==

n

kn kx

1 21

:

17. ( )nn

xn +++= ...211 : 18. Nkaax k

n

k kk

n ∈∀≤≤=∑ =,90,

101:

19. Rxnxxxx

n

n ∈++++= ,!

...!21

12

: 20. nnnx4

...42

411

2

2

22

++++= :

21. 1,)1(...)1)(1( 2 >

+⋅⋅++= a

aaaax n

n

n : 22. nnnxn 2

1cos −=

π:

23. nnnx

2sin...

22sin

21sin

2 +++= : 24. n

xn1...

31

21

+++= :

25. nxn cos= : 26. nxn sin= :

27. ( )

)1(1...

321

211 1

+−

++⋅

−⋅

=−

nnx

n

n : 28. ( )∑ =

−=

n

k

k

n kx

1 21

:

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹7

¶ïÝ»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ` M µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ,

nnx

∞→lim -Á, n

nx

∞→lim -Á, nxsup -Á ¨ nxinf -Á.

1. ³) ( )n

nxn

n11 −+

= : µ) ( )

−= 2sin n

n nxπ

:

2. ³) ( )

( ) 1

1

3232+

+

+−−−

=nn

nn

nx : µ) 1

2cos

+

=

n

nnx π

:

3. ³) 2

sin1 nn

xnπ

+= : µ) ( )nn

nx 24 1 += − :

4. ³) ( )

3212)1(1

++−−

= n

nn

nx : µ) 3

sin1 nn

xnπ

+= :

5. ³) ( )nn

nx 24 1 += − : µ) ( ) ( ) ]12[1 nn

n nx −+−= :

6. ³) ( ) nx nn

n.2 1−= : µ)

4sin2 nnxn

π= :

190

7. ³) n

xn11−= : µ)

( ) ( )2

111 nn

n nx −+

+−

= :

8. ³) ( )

+−= −

nx n

n321 1 : µ) ( )

2131

+−

−=nnx n

n :

9. ³) ( ) nx nn 1−= : µ)

( )1

12/sin2

++

=n

nnxnπ

:

10. ³) 2

cos1

1 nn

nxnπ

++= : µ)

( )( )n

nnxn

n111 2 ++−−

= :

11. ³) ( ) ( ) 2)1(1 13121

++ −⋅+−+=

nnnnx : µ)

( )( )n

nnnxn 2lglgcos1 ++

=π

:

12. ³) 3

2cos11 n

nnxn

π+−

= : µ) ( ) 1,0,12log2

≠>

−+= aax n

an :

13. ³) ( )( )nn nx 12 −+−= : µ)

( )1

1arcsin+

−=

nnx

n

n :

14. ³) 2

sin1 nnxnπ

+= : µ) ( )nnxn1−= :

15. ³) 3

2cos1 2

2 nn

nxnπ

+= : µ) ( )n n

nn

x 121 −+= :

16. ³) 3

2cos nx nn

π= : µ) ( )

4sin111 n

nx n

n

nπ

+−⋅

+= :

17. ³) 4

sin1

2 nn

nxnπ

+= : µ) ( )nn n

x 12113 −⋅+

−⋅= :

18. ³) ( ) ( ) ( )( )babax nn −−++= 1

21

: µ) 4

cos1 2 nn

nxnπ+

= :

19. ³) ( ) ( )121 +−= nx nn : µ) 2,

3sin

21

>−+

= nnnnxn

π:

20. ³) ( )

nx

n

n1

212

−−+

= : µ) ( )

21arcsin

n

nx −= :

21. ³) ( )( )n

n

nx1212

−−−+

= : µ) ( )

−+=

nnx

n

n11ln :

22. ³)

−

+=

6cos1

4sin1 nnxn

ππ: µ)

( )nn nnnx

111−⋅++

+= :

191

23. ³) 2

sin1 nn

nxnπ+

= : µ) 6

cos1 nn

nxnπ+

= :

24. ¸Çóáõù na -Á ¨ ns -Á Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý

åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÝ ¨ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ¿, áñÇ ï³ñ-

µ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ` 0≠d : ¶ïÝ»É`

)0(lim)2,lim)1 22 ≠∞→∞→ n

n

nn

nn

aas

ns

:

25. ¸Çóáõù np -Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¿ ¨ ¹Çóáõù`

Nnppp

Sn

n ∈+++= ,1...11

21

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ²å³óáõó»É, áñ

Nnppp

Gn

n ∈

+⋅⋅

+

+= ,11...1111

21

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿:

26. ¸Çóáõù` byax nnnn==

∞→∞→lim,lim : ²å³óáõó»É, áñ

abn

yxyxyx nnnn

=+++ −

∞→

1121 ...lim :

27. ¸Çóáõù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ axx nnn=−+∞→

)(lim 1 :

²å³óáõó»É, áñ anxn

n=

∞→lim :

28. ¸Çóáõù nx -Á ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, 0)(lim 1 =−+∞→ nnnxx , bxnn

=∞→

lim , axnn

=∞→

lim ,

ba ≠ : ²å³óáõó»É, áñ ];[ ba Ñ³ïí³ÍÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ï nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³Ý ¿:

192

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹8

îñí³Í ûñÇÝ³ÏÇ ³) Ï»ïáõÙ` Ñ³ßí»É ß³ñùÇ ·áõÙ³ñÁ Ï³Ù û·ïí»Éáí ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³ÝÇó, óáõÛó ï³É ß³ñùÇ ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ; µ) Ï»ïáõÙ` û·ïí»Éáí áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ß³ñù»ñÇ µ³Õ¹³ïÙ³Ý Ñ³Û-ï³ÝÇßÝ»ñÇó, ³å³óáõó»É ß³ñùÇ ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù ï³ñ³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ; ·) Ï»ïáõÙ` ³å³óáõó»É ß³ñùÇ µ³ó³ñÓ³Ï Ï³Ù å³ÛÙ³Ý³Ï³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ :

1. ³) ( )∑∞

= −

−−1 1

1

31

n n

n

; µ) ∑∞

= ++

1 3523

n nn

nn

; ·) ( )∑∞

= +−

1 21

n

n

n:

2. ³) ∑∞

=12 5ln

n

n

; µ) ∑∞

=

+1 )!3(

)!12(!n n

nn; ·)

( )∑∞

=

+

+−

−1 2

1

14

1n

n

nn:

3. ³) 0,)1)((

11

>+++∑∞

=α

ααn nn ; µ) ∑∞

=1 3!n n

n

nn

; ·) ( )∑∞

=

−1

25ln1n

n

nn

:

4. ³) ∑∞

= ++1 )2)(1(1

n nnn ; µ) ∑∞

=1 !2

sinn

nn

n

n π

; ·) n

nn

1sin4

sin1∑∞

=

+ππ :

5. ³) ∑∞

= −

−

−1 12

12n nn

nn ; µ) ( )∑∞

=+−

112

nnn

; ·) ∑∞

=

+

12cos

nnnπ :

6. ³) ∑∞

= ++

1 22 )1(12

n nnn

; µ) ( )( )∑∞

= ⋅−−

1 2 415

n n

nn

n; ·)

( )∑∞

= +−

1 22 sin1

n

n

nn:

7. ³) ∑∞

= −+1 2 3441

n nn ; µ) ∑∞

=

−

−⋅

1

)1(12n

nnn

nn

; ·) ( )∑∞

=

+

+−

11 11ln1

nn

n:

8. ³) 2ln1

2∑∞

=nn ; µ) ∑∞

=

+

+⋅

1

)1(

1223

n

nnn

nn

; ·) ( )∑∞

=−

11

nn

narctgn

:

9. ³) ∑∞

= +++

1 2

2

15432

n nnn

; µ) ∑∞

=

+⋅

1

2

13

n

nn

nn ; ·) ∑∞

=1 2

2sinn n

n:

10. ³) 1,1

2 <∑∞

=qqn

nn ; µ) ( )∑∞

= +1 22n nnn

; ·) ( ) 0,111

>−∑∞

=p

ntg

npn :

11. ³) ∑∞

= +++

++1 2

22

313ln)43(

n nnnnnn ; µ) ∑∞

= +1 )2(1

n nn; ·) ( )∑∞

=

−+

−1 23

121n

nn

nn :

12. ³) ( )∑∞

=

−+

1 61

51

n n

n

n ; µ) ∑∞

=1 ln1

n n; ·) ( )∑∞

=

+

−−

1 3

1

21

n

n

nn:

13. ³) ∑∞

=

+⋅

1

2

113

n n

nn

en ; µ)

( )∑∞

=

+−⋅+1

1

2135

n n

n

; ·) ∑∞

= +

+

1 3 24

2sin

n nn

n π

:

193

14. ³) ∑∞

=1 3,01

n n ; µ) ∑∞

= +1 2 1n narctgn

; ·) ( )∑∞

= ++

−1 4 6 132n

n

nn

narctg:

15. ³) Zmmnn

∈≠∑∞

=,,sin

1παα ; µ) ∑∞

= +++

1 3 3512sin

n nnn

; ·) ( )∑∞

= +−

1 3 11

n

n

n:

16. ³) ∑∞

=

+

1

11lnn n

; µ) ∑∞

= ++

1 2 43

n nn

; ·) ( )∑∞

=

+−1

1 ln1n

n

nn

:

17. ³) ∑∞

= +

+1 3 3 58

12n n

n; µ) ∑∞

= +−−+

1 211

n nnn

; ·) n

nn

1sin4

cos1∑∞

=

+ ππ :

18. ³) ∑∞

=12cos

nn ; µ)

32

1

2

65

3516

n

n

n

nn

−+∑∞

=; ·)

( )∑∞

= +−

1

2

1321

n n

nn n:

19. ³) ∑∞

=1

1n n n

; µ) ∑∞

=1

!n nn

n; ·)

( )∑∞

=

+

+−

1

1

)1ln(1

n

n

nn:

20. ³) ∑∞

= +++

1 33

2

)1(133

n nnnn

; µ)( )∑∞

=1 2

!n n

n

nn

; ·)∑∞

=

+

+

1

11ln6

cosn n

n ππ :

21. ³) ( )∑∞

=

+−

1 22 11ln2

n nn ; µ)

( )∑∞

=1 2!n

n

nn

; ·) ( )∑∞

=

+

++

⋅−1 320

91

14

1n

n

nn

n:

22. ³) ( )∑∞

=

++

1 33 11ln1

n nn ; µ)

( ) 1,!21

>∑∞

=a

an

n n ; ·) ( )∑∞

=

−−1

1

!51

n

nn

n:

23. ³) ( )∑∞

=

+

++1

2

)1(11ln5

n nnn ; µ) ∑∞

=

⋅1

!3n n

n

nn

; ·) ( )∑∞

=

+

+

−1

1,31

21

n n

n

nn

:

24. ³) ∑∞

= +1 )2(!1

n nn; µ)

( )( )∑∞

= ⋅−

1 2!3!12

n n nn

; ·) ( ) ( )( )∑∞

= +−

1 1!!21

n n

n

nn

:

25. ³) ∑∞

=1 221

n narctg ; µ)

( )∑∞

= ⋅+

1 !3!!12

n n nn

; ·) ( )∑∞

=

+

+−

11 1sin1

nn

nn:

26. ³) ( )∑∞

=

++

1 2

22 1ln2

n nnn ; µ)

( )∑∞

= ⋅1 !3!!2

n n nn

; ·) ∑∞

=1 2!cos

n nn

:

27. ³) ∑∞

= −1 2 41

n n; µ) ∑∞

=1 2n

n

nn

; ·) ( )∑∞

=

+

+−

1

2)1(

ln1

n

nn

nn:

28. ³) ∑∞

=1 22

n narctg ; µ) ∑∞

=

+1

3 2

1332

n

nn

nn

; ·)∑∞

=>

−+1

0,cos1cosn p p

nnn :

194

²é³ç³¹ñ³Ýù ¹9 1. ³) ¸Çóáõù` Nnxaxaxa nn ∈+==> + ,,,0 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx Ñ³çáñ-

¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á:

µ) ¸Çóáõù` Nnxqxaax nn ∈+=<<= + ,1,10, 211 : ÆÝãåÇëÇ± ]1;0[∈q -Ç ¹»å-

ùáõÙ ¿ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï:

2. ²Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í` nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý-¹³ÙÝ ³ñï³Ñ³Ûï»É n -áí ¨ Ñ»ï³½áï»É ë³ÑÙ³Ý³÷³ÏáõÃÛáõÝÁ.

³) ;,2

3,1,0 1221 Nnxxxxx nn

n ∈−

==> ++ µ) Nn

xxx

nn ∈

−== + ,

21,

21

11 :

3. Ð»ï³½áï»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.

³) 0,,,,0 11 >∈+=> + baNnbxaxx

nn µ) Nnxxxx nnn ∈−== + ,

34,

21 2

11 :

4. ³) ¸Çóáõù` Nnx

xxxn

nn ∈

+=> + ,1252

31,0 211 : ²å³óáõó»É, áñ nx Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á:

µ) ¸Çóáõù` Nnxxx nn ∈+== + ,2,2 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx Ñ³çáñ¹³-

Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á:

5. Ð»ï³½áï»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.

³) Nnx

xxn

n ∈+=−= + ,16,3 11 ; µ) Nnx

xxn

n ∈−== + ,34,76

11 :

6. a -Ç ¨ b -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ` ï³ñ³Ù»ï:

³) Nnxxxbxax nnn ∈−−=== ++ ,2,, 1221 ; µ) Nnxxxbxax nnn ∈+=== ++ ,2,, 1221 :

7. a -Ç ¨ b -Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ` ï³ñ³Ù»ï: ³) Nnxxxbxax nnn ∈−=== ++ ,2,, 1221 ; µ) Nnxxxbxax nnn ∈−=== ++ ,34,, 1221 :

8. ³) ¸Çóáõù` Nnxxxax nnn ∈−== + ),4/(, 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á, »Ã»

:45,3)2:30)1 <<<< aa

195

µ) ¸Çóáõù` Nnxxxax nnn ∈−== + ),4/(, 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-


∞→lim -Á, »Ã»

:01)3:2)2:0)1 <<−−<< aaa

9. ³) ¸Çóáõù` Nnxxxxx nnn ∈+=== ++ ,,1,1 1221 (üÇµáÝ³ãÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃ-

ÛáõÝ): ²å³óáõó»É, áñ nn xx /1+ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É ¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ: µ) Ð»ï³½áï»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ.

10,,1, 211 <<∈−== + aNnxxax nn :

10. ³) ¸Çóáõù` Nnpxpxxax nnn ∈+−+== + ,)21(, 2211 : ¶ïÝ»É a -Ç ¨ p -Ç µáÉáñ

³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ :

µ) ¸Çóáõù` Nnxbxax nn ∈+== + ,/1, 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-


∞→lim -Á, »Ã» 04/1 <<− b :

11. ³) ²å³óáõó»É, áñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Ù»Ï nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ áñÁ µ³í³-

ñ³ñáõÙ ¿` Nnxxxxx nnnn ∈>+== ++ ,0,,1 211 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ:

²å³óáõó»É, áñ ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á:

µ) nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ Nnxxxax nnn ∈+== ++ ,5,2, 121 :

ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ í»ñóÝ»É 2x –Á, áñå»ë½Ç nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÉÇÝÇ

½áõ·³Ù»ï: ¶ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á:

12. ¶ïÝ»É nx ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á.

³) ( ) Nnnxxxxx nnn ∈++=== ++ ,5,0,1,0 1221 ; µ) Nnxxx nn ∈−== + ),3/(2,2/1 11 :

13. ³) ¸Çóáõù` ( ) Nnxxxbxax nnn ∈+=== ++ ,5,0,, 1221 : ¶ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á:

µ) ¸Çóáõù` NnxxRx nn ∈=∈ + ,sin, 11 : ²å³óáõó»É, áñ nx Ñ³çáñ¹³Ï³-


∞→lim -Á:

14. ²å³óáõó»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³Ù»ïáõÃÛáõÝÁ ¨ ·ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á.

³) NkNnaxxax knn

k ∈∈== + ,,, 11 ; µ) Nnxxx nn ∈+== + ,ln1,2 11 :


∞→lim -Á.

³) Nnxxxx nnn ∈−== + ,74,

67 2

11 ; µ) Nnxxxx nnn ∈−== + ,74,

61 2

11 :

196


∞→lim -Á.

³) Nnxxx nn ∈+== + ,12,3 11 ; µ) RbaNnxbxxax nnn ∈∈+== + ,,),/(, 11 :


∞→lim -Á.

³) RdcbaNndxcbxxax nnn ∈∈+== + ,,,,),/(, 11 ; µ) Nnx

xxn

n ∈−== + ,12,2 11 :


∞→lim -Á.

³) Nnxxxx nnn ∈−+== + ,21cos,

2 11π

; µ) 0,,,,0 11 >∈+=> + baNnxabxx

nn :

19. ¶ïÝ»É ïñí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ. ³) Nnnxxx nn ∈++== + ),1/()1(,0 11 ; µ) Nnxnxax nn ∈++== + ),1)(1(, 11 :

20. ¶ïÝ»É ïñí³Í ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ.

³) RaNnxxax nnn ∈≠∈⋅+== + βααβα ,,,0,,2, 11 ;

µ) Nnxxxxx nnn ∈++=== ++ ,22,1,1 1221 :

21. ä³ñ½»É` nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ Ã» ï³ñ³Ù»ï: ¼áõ·³Ù»-

ïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ ·ïÝ»É` nnx

∞→lim -Á.

³) Nnxxxx nnn ∈++=−= + ,13,25,1 211 ; µ) Nnxxx nn ∈== + ,cos,0 11 :

22. ¶ïÝ»É nx ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n –ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á.

³) Nnxx

xaxn

nn ∈

++

== + ,, 11 δγβα

; µ) Nnxxxxx nnn ∈−=== ++ ,65,1,0 1221 :

23. ³) ¸Çóáõù` Nnxn

nxnnxxx nnn ∈

+−

++

=== ++ ,11

12,1,0 1221 : ¶ïÝ»É` nnn

x∞→

lim -Á:

µ) ¸Çóáõù` Nnxxxn

nn ∈

+== + ,

32

31,1 11 : ¶ïÝ»É` n

n

nx

∞→ 23lim -Á:

24. ¶ïÝ»É nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ` nnx

∞→lim -Á.

³) Nnnnn

nxnnx

nxxx nnn ∈

+++

+++

++

=== ++ ,)2)(1(

1221

21,

23,1 1221 ;

µ) ( )

( ) Nnn

nnxxxx nn ∈+

+++−=== + ,

!312,

31,

32 2

221 :

197

25. ³) ¸Çóáõù` RbaNnxxxbxax nnn ∈∈−=== ++ ,,,65,, 1221 : ¶ïÝ»É` nnn

x∞→

lim -Á:

µ) ¸Çóáõù` Nnxxxxx nnn ∈+=== ++ ,,1,1 1221 (üÇµáÝ³ãÇ Ñ³çáñ¹³Ï³-

ÝáõÃÛáõÝ): ¶ïÝ»É` nnn

x∞→

lim -Á:

26. ³) ²å³óáõó»É ÞïáÉóÇ Ã»áñ»ÙÁ. ¹Çóáõù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ` ëÏë³Í

áñáß Ñ³Ù³ñÇó ³×áÕ ¿ ¨ +∞=∞→ nn

xlim , ÇëÏ ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³ÛÝåÇëÇÝ

¿, áñ axxyy

nn

nnn

=−−

+

+

∞→1

1lim : ²å³óáõó»É, áñ axy

n

nn

=∞→

lim :

µ) ¸Çóáõù nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ëÏë³Í áñáß Ñ³Ù³ñÇó Ýí³½áÕ ¿ ¨

0lim =∞→ nn

x : ¸Çóáõù` 0lim =∞→ nn

y ¨ axxyy

nn

nnn

=−−

+

+

∞→1

1lim , áñï»Õ Ra∈ : ²å³óáõó»É, áñ

axy

n

nn

=∞→

lim :

27. ³) ²å³óáõó»É, áñ

( )

( ) :limlimlimlimlim)2

,limlimlimlimlim)1

nnnnnnnnnnn

nnnn

nnn

nn

nn

yxyxyx

yxyxyx

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

+≤+≤+

+≤+≤+

µ) ¸Çóáõù Nnyx nn ∈∀≥≥ ,0,0 : ²å³óáõó»É, áñ

( )

( ) :limlimlimlimlim)2

,limlimlimlimlim)1

nnnnnnnnnnn

nnnn

nnn

nn

nn

yxyxyx

yxyxyx

∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

⋅≤≤⋅

⋅≤≤⋅

28. ³) ²å³óáõó»É, áñ »Ã» nx Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ³å³ ÇÝãåÇ-

ëÇÝ ¿É ÉÇÝÇ ny Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

( ) :limlimlim)1 nnnnnnnyxyx

∞→∞→∞→+=+

( ) nnnnnnnyxyx

∞→∞→∞→⋅= limlimlim)2 (»ñµ 0lim >

∞→ nnx ):

µ) ¸Çóáõù Nnxn ∈∀> ,0 : ²å³óáõó»É, áñ

n

nn

nnn

nn

nn

n

n xxxx

xx 11 limlimlimlim +

∞→∞→∞→

+

∞→≤≤≤ :

198

êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2(³,µ) 28(³,µ) 1 21 21(³,µ) 28 27 3(³,µ) 21(³)

2 3(»,½) 7(³,µ) 28 10(³) 1(µ,·) 1(³) 1(³) 28(µ,·) 1(µ)

3 6(·,¹) 26(³,µ) 3(³) 23 23(³,µ) 26 25 5(³,µ) 23(³)

4 8(³,Á) 7(¿,Á) 27 12(µ) 2(·) 2(µ) 9(µ) 26(µ,·) 3(³)

5 1(³,µ) 24(³,µ) 4(³) 8(³) 25(³,µ) 24 23 7(³,µ) 25(µ)

6 10(³,µ) 6(³,·) 26 14(µ) 3(·) 3(³) 10(µ) 24(³,·) 9(³)

7 3(³,µ) 22(³,µ) 5(µ) 9(µ) 27(³,µ) 22(µ) 21 9(³,µ) 27(³)

8 12(³,µ) 5(³,µ) 25 7(³) 4(·) 4(µ) 11(µ) 22(³,µ) 11(µ)

9 5(³,µ) 20(³,µ) 6(³) 28 2(³,µ) 20(³) 19 11(µ,·) 2(³)

10 14(³,µ) 3(³,µ) 24 18 5(·) 5(³) 2(³) 20(³,µ) 12(µ)

11 7(·,¹) 18(³,µ) 7(µ) 2(³) 4(³,µ) 18(µ) 17 1(³,·) 4(µ)

12 16(³,µ) 1(µ,¹) 23 20 13(·) 6(³) 3(³) 18(µ,·) 13(µ)

13 9(·,¹) 16(³,µ) 8(³) 4(µ) 6(³,µ) 16(³) 15 13(³,µ) 6(µ)

14 28(³,µ) 1(³,µ) 22 22 14(·) 7(µ) 4(µ) 16(µ,·) 14(³)

15 11(³,µ) 14(³,µ) 9(µ) 6(³) 8(³,µ) 14(µ) 13(µ) 14(³,µ) 25(µ)

16 23(³,µ) 3(·,¹) 2 14(³) 12(·) 8(³) 5(³) 14(³,·) 25(³)

17 13(³,µ) 12(³,µ) 10(µ) 8(µ) 10(³,µ) 12(³) 11(³) 17(µ,·) 10(³)

18 22(³,µ) 3(»,½) 20 26 11(·) 9(µ) 6(µ) 12(µ,·) 27(µ)

19 2(·,¹) 10(·,¹) 11(³) 10(µ) 12(³,µ) 10(³) 9(³) 19(³,µ) 12(³)

20 3(·,¹) 7(·,¹) 21 19 10(·) 11(µ) 7(µ) 10(µ,·) 8(³)

21 4(³,µ) 8(³,½) 12(³) 8(³) 2(·) 8(µ) 7(³) 21(³,·) 1(³)

22 27(³,µ) 8(Á,¿) 3(µ) 1(µ) 14(³,µ) 13(µ) 10(³) 3(·)

28(³) 14(µ)

23 5(·,¹) 6(µ,¹) 13(³) 6(µ) 3(³,µ) 6(µ) 5(µ) 23(³,·) 3(µ)

24 26(³,Á) 8(¹,») 12(µ) 3(³) 16(³,µ) 27 12(³) 5(µ)

26(³) 14(³)

25 6(³,µ) 4(³,µ) 14 24 5(³,µ) 4(³) 3(µ) 25(³,µ) 5(µ)

26 25(³,µ) 8(µ,·) 4(µ) 5(³) 18(³,µ) 13(³) 14 7(·)

24(µ) 16(³)

199

êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï

1 2 3 4 5 6 7 8 9

27 7(³,µ) 2(µ,¹) 15 4(³) 7(³,µ) 2(³) 1(µ) 27(µ,·) 7(³)

28 24(³,µ) 9(³,µ) 5(³) 7(µ) 20(³,µ) 25 16 9(µ)

22(·) 18(µ)

29 8(·,½) 27(³,µ) 16 25 9(³,·) 3(³) 2(µ) 8 (³,µ) 9(µ)

30 21(³,µ) 9(·,¹) 12(µ) 9(³) 22(³,µ) 23(³) 18 11(³)

20(·) 20(³)

31 9(³,µ) 25(³,µ) 17 27 11(³,µ) 5(µ) 4(³) 6(³,µ) 11(³)

32 20(³,µ) 10(³,µ) 11(µ) 11(³) 24(³,µ) 21(µ) 20 1(µ)

18(³) 22(³)

33 1(·,¹) 23(³,µ) 18 2(µ) 13(³,µ) 7(³) 6(³) 4(µ,·) 13(³)

34 19(³,µ) 11(³,µ) 6(µ) 13(³) 26(³,µ) 19(³) 22 13(·)

16(³) 24(µ)

35 2(¿,Á) 21(³,µ) 19 2(³) 15(³,µ) 9(³) 8(³) 2(³,·) 15(µ)

36 14(³,µ) 11(·,¹) 7(³) 15 28(³,µ) 17(µ) 24 14(µ)

15(·) 26(³)

37 11(³,µ) 19(³,µ) 8(µ) 11(µ) 17(³,µ) 10(µ) 8(µ) 17(³)

19(·) 17(³)

38 8(µ,¹) 13(³,µ) 9(³) 17 7(·) 15(³) 26 12(³)

21(µ) 28(³)

39 2(»,½) 17(³,µ) 10(³) 16 19(³,µ) 11(³) 13(³) 10(³)

25(·) 19(µ)

40 18(³,µ) 15(³,µ) 13(µ) 12(³) 6(·) 12(µ) 28 23(µ)

27(³) 28(µ)

200

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27. ¶.è. ÔáõÉÕ³½³ñÛ³Ý, È.¶. ÔáõÉÕ³½³ñÛ³Ý, Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½. Ãí³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³, ë³ÑÙ³Ý, ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛáõÝ: ÊÝ¹ñ³·Çñù–åñ³Ï-ïÇÏáõÙ, ºñ¨³Ý, 2005, 120 ¿ç:

28. ¶.è. ÔáõÉÕ³½³ñÛ³Ý, È.¶. ÔáõÉÕ³½³ñÛ³Ý, Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½. ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É Ñ³ßÇí: ÊÝ¹ñ³·Çñù–åñ³ÏïÇÏáõÙ, ºñ¨³Ý, 2005, 152 ¿ç:

29. ¶.è. ÔáõÉÕ³½³ñÛ³Ý, ¶Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ // Ø³Ã»-Ù³ïÇÏ³Ý µ³ñÓñ³·áõÛÝ ¹åñáóáõÙ, 2005, Ñ³ïáñ 1, 4, ¿ç 26-56:

30. ¶.è. ÔáõÉÕ³½³ñÛ³Ý, ê.ì. ê³ñ·ëÛ³Ý, ²Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³çáñ¹³Ï³Ýáõ-ÃÛáõÝÝ»ñÇ áõëáõÙÝ³ëÇñáõÙÁ // Ð³Ù³Ï³ñ·í³Í Ùáï»óáõÙ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³-Ï³Ý ÏñÃáõÃÛ³Ý µáí³Ý¹³ÏáõÃÛ³Ý ¨ Ù»Ãá¹Ý»ñÇ Ï³ï³ñ»É³·áñÍÙ³ÝÁ, ·Çï³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ Ã»Ù³ïÇÏ ÅáÕáí³Íáõ, ºñ¨³Ý, 1990, ¾ç 49-64:

31. Ð.ê. ØÇù³Û»ÉÛ³Ý, ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³ó, 1, §¾¹ÇÃ äñÇÝÃ¦ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ, ºñ¨³Ý, 2004, 245 ¿ç:

32. Ð.ê. ØÇù³Û»ÉÛ³Ý, ´³ñÓñ³·áõÛÝ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³ó, 2, §¾¹ÇÃ äñÇÝÃ¦ Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ, ºñ¨³Ý, 2004, 294 ¿ç:

33. èáõ¹ÇÝ àõ., Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ÑÇÙáõÝùÝ»ñÁ, §ÈáõÛë¦ Ññ³-ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ, ºñ¨³Ý, 1975, 368 ¿ç:

202

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¢1. îñ³Ù³µ³ÝáõÃÛ³Ý ¨ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñ……………….... 3 1 ²ëáõÛÃÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ………………………………...................................... 3 2 äñ»¹ÇÏ³ïÝ»ñÇ Ñ³ßíÇ ï³ññ»ñ……………………………………………............8

3. ´³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ¹ñ³Ýó Ñ»ï: ´³½ÙáõÃÛ³Ý Ñ½áñáõÃÛáõÝ..14 4. ä³ñ½³·áõÛÝ Ã»áñ»ÙÝ»ñ Ñ³ßí»ÉÇ ¨ ³ÝÑ³ßí»ÉÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É…...............................................................................................…… 20

¢2. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝ..................………………………………………....25 1. è³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ……………………………. 25 2. Âí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ã³÷Ù³Ý Ñ³Ù³ñ é³óÇáÝ³É Ãí»ñÇ

³Ýµ³í³ñ³ñáõÃÛáõÝÁ...................................................………………………….26 3. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ï³ñ·³íáñáõÙÁ.………………………………... 29 4. ì»ñ¨Çó Ï³Ù Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: Öß·ñÇï »½ñ»ñÇ ·áÛáõÃÛáõÝÁ………………………………………………...... 32 5. Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ»ï…………………… 34 6. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ................................................ 39

7. Æñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ÛÉ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ............................................................... 45

8. Âí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ: ¸ñ³Ýó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ................. 53

¢3. Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ¨ ¹ñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ: Ü³ËÝ³Ï³Ý ï»Õ»ÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³ÛÇÝ ß³ñù»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É……………………………...76

1. ¶³Õ³÷³ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ: Âí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï……………………….......76

2. ê³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¨ ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ…………… 78

3. ¼áõ·³Ù»ï, ï³ñ³Ù»ï, ³Ýí»ñç ÷áùñ ¨ ³Ýí»ñç Ù»Í

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ…............................................................................…. 79

4. ¼áõ·³Ù»ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ……….90

5. ØáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ: e ÃÇíÁ.................................................... 95

6. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÝ³ÏÇ ë³ÑÙ³Ý: Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý ÎáßÇÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ...............................................................104

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2. öá÷áË³Ï³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ…..148

3. Ð³ëï³ïáõÝ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ…....157

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Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ.................................................................................................162

¢6. êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ…………………………………………….171

1. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 1 ……………………………………...……………………171 2. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 2……………………………………….…………………...176

3. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 3……………………………………………………………182

4. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 4……………………………………….…………………...183

5. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 5……………………………………….…………………...185

6. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 6……………………………………….…………………...188

7. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 7..…………………………………… …………………… 189

8. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 8……………………………………...……………………. 192

9. ²é³ç³¹ñ³Ýù ¹ 9……………………………………...……………………. 194

êïáõ·áÕ³Ï³Ý ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³Ï……………………………………. 198

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ՂՈՒԼՂԱԶԱՐՅԱՆ ԳՈՒՐԳԵՆ ՌՈՒԲԵՆԻ ՂՈՒԼՂԱԶԱՐՅԱՆ ԼՈՒՍԻՆԵ ԳՈՒՐԳԵՆԻ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԱՆԱԼԻԶ

ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆ. ՀԱՋՈՐԴԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ Խնդրագիրք-պրակտիկում

Ուսումնական ձեռնարկ մանկավարժական բուհերի ուսանողների համար (Հաստատված է ՀՀ կրթության և գիտության նախարարության կողմից)

Տպագրական բնօրինակը հրատարակչությանն են տրամադրել հեղինակները

Համակարգչային մասնակի աշխատանքները՝ Լիլիթ Ավագյանի Բնագրի մոնտաժը՝

Տաթևիկ Ավագյանի

Ստորագրված է տպագրության 07.02.07 Թուղթ՝ գրելու (A4) Տպագրությունը՝ <<Ռիզոգրաֆ>> եղանակով: Տպագր. 12.75, հրապ. 10.8 մամուլ:

ISBN 978 - 999411 – 69 – 07 - 8

Տպաքանակը՝ 300 Գինը՝ պայմանագրային Խ. Աբովյանի անվ. ՀՊՄՀ <<Մանկավարժ>> հրատարակչություն: Երևան, Կենտրոն, Տ. Մեծի 17:

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