Eym3e Dipolo Plejanos - UPM · • Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, polarización de materiales. • Método de las imágenes. • Sistemas

Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011

Campo y potencial eléctrico en puntos alejados:

dipolo, momento dipolar, polarización de materiales 1

Electrostática

• Definición

• Los conductores en electrostática.

• Campo de una carga puntual.

• Aplicaciones de la Ley de Gauss

• Integrales de superposición.

• Potencial electrostático

– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.

– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condicionesde regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.

• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, polarización de materiales.

• Método de las imágenes.

• Sistemas de conductores. Condensadores.

• Energía y Fuerzas.

EyM 3c-1J.L. Fernández Jambrina

• Se denomina dipolo a una configuración de doscargas iguales y de signos opuestos.

– Considérese la configuración de la figura.Por superposición el potencial será

– En cartesianas:

Dipolo

−=Φ

−+ rr

q 11

4πε

( ) ( )

+++−

−++=Φ

2222222

1

2

1

4 dzyxdzyx

q

πε

:

d/2

d/2

q

-qx

y

z

rr++++

rr−−−−

r

d

θθθθ

P


• En realidad el par de cargas iguales y de signo opuestode la situación anterior se denomina dipolo cuando se observan sus efectos a distancias mucho mayores que la separación entre las cargas, d.

• Para aproximar el potencial en dicha situación:

• Por tanto:

• y llamando al vector que une -q y +q queda:

Potencial y Campo Lejanos

21

21

cos2

1cos2

22

22

2

−

+=

−

+=+ θθr

d

r

dr

dr

drr

21

21

cos2

1cos2

22

22

2

+

+=

+

+=− θθr

d

r

dr

dr

drr

+≈+

θcos2

111

r

d

rr

−≈−

θcos2

111

r

d

rr

24

coscos

1

4

11

4 r

qd

r

d

r

q

rr

q

πεθ

=

θπε

≈

−

πε=Φ

−+

( )32

44

ˆ

r

rdq

r

rdqr r

rrr

r

πε

⋅=

πε⋅

=Φdr

d/2

d/2

q

-qx

y

z

rr++++

rr−−−−

r

d

θθθθ

P


• El vector es una constante propia de la distribución de cargas que se denomina momento dipolar o potencia del dipolo.

• En función del momento dipolar:

• Y el campo:

– Como

• Resulta:

Momento Dipolar

dqprr

=

34 r

rpr

rr

πε

⋅=Φ

( ) ( ) ( )

∇⋅+⋅∇−=

⋅∇−=−∇=

333

11

4

1

4

1

rrprp

rr

rpE

rrrrrr

r

πεπεφ

( ) ( ) ( ) ( )pzpypxpz

zy

yx

xzpypxprp zyxzyx

r44 844 76

rr=++=

•+

•+

•=

•++∇=⋅∇ ˆˆˆˆˆˆ

∂∂

∂∂

∂∂

533

3ˆ

11

r

rr

rrr

r−

=

=

∇∂∂

( )

−⋅

= pr

rrp

rE

rrrr

r

23

3

4

1

πεEyM 3c-4

J.L. Fernández Jambrina

• Si:

– Por simetría el campo no tiene componente φ.

–

–

• El potencial y el campo varían con r como 1/r2 y 1/r3

respectivamente.

• Satisfacen las condiciones de regularidad en el infinito:

Componentes del Campo

( )θ

πεπεπεcos

24

ˆ2ˆ

3

4

1ˆ

3323 r

p

r

rprp

r

rrp

rrEE z

r =⋅

=⋅

−⋅

=⋅=r

rrrr

r

( )θ

πεπεθ

θπε

θθ sen44

ˆˆ3

4

1ˆ3323 r

p

r

pp

r

rrp

rEE z=

⋅−=⋅

−⋅

=⋅=r

rrrr

r

( ) 01

limlim2

=

=∞→∞→ rrrr

rrφ ( ) 0

1limlim

3

22 =

=∞→∞→ rrrEr

rr

zpzqdp zˆˆ ==

r

$ cos $ sen $z r= −θθθθ θθθθθθθθ


Representación gráfica del potencial y campo creados por un dipolo eléctrico.

Er

1 0.5 0 0.5 1

1

0.5

0

0.5

1

Φ

+1

+2

+0

-1-2

1 0.5 0 0.5 1

1

0.5

0

0.5

1

zppzˆ=

r Se ha cubierto la zona del origen porque

en ella los resultados no son válidos.EyM 3c-6

J.L. Fernández Jambrina




+σ

−σ

θθθθ0R

z

x

y

S1

S2

( ) 0cos2cos22

0

2

0=⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅= RRq θπσθπσ

( )∫∫∫∫∫∫ −+==21 SS

S dSrdSrdSrprrrr

σσρ

ϕθθθϕθϕθ ddRdSzRyRxRr senˆcosˆsensenˆcossen2=++=

r

0

230

2

3

2

0

3

0

2

0

3

sen2ˆ2

sen22ˆ

sencossencosˆ0

0

θπσθ

πσ

φθθθφθθθσπ

θπθ

π

φ

θ

θ

π

φ

RzRz

ddRddRzp

=⋅⋅=

−= ∫ ∫∫ ∫ −= == =

r

( ) ( )[ ]zr

RE

r

Rr ˆ1cos3ˆsencos3

2

sen

2

cossen 2

3

0

23

2

0

23

−+==Φ θρθθε

θσε

θθσ rr

Ejemplo: Dos casquetes de carga de signo opuesto.

• Se desea obtener el potencial y el campo lejanos (r>>R) de dos casquetes de carga sobre una esferade radio R como se indica en la figura.

– La carga neta es nula:

– El momento dipolar se calcula así:

» Al integrar en j se cancelan las componentes x e y (simetría):

– Y los resultados pedidos se obtiene por sustitución en las expresiones:


• Se denomina cuadripolo a la asociación de tres cargas de valores -q, -q y 2q dispuestas como se muestra:

– Esta configuración es equivalente a dos dipolos de sentidos contrarios.

– Con la aproximación del dipolo el potencial es nulo.

– Tomando más términos en el desarrollo:

– El potencial en puntos lejanos será:

Cuadripolo

d

d

-q

-q

x

y

z

rrθθθθ

P

+2q

rp

rp

rr1

rr2

3344 r

rp

r

rp

πεπε

rrrr⋅−

+⋅

=Φ

−

++≈ 1cos2

3cos

21

11 2

2

1

θθr

d

r

d

rr

−

+−≈ 1cos2

3cos

21

11 2

2

2

θθr

d

r

d

rr

( ) ( )θπεπεπεπε

2

3

2

21

cos314444

2−=

−+

−+=Φ

r

qd

r

q

r

q

r

qrr


Desarrollo multipolar del Potencial.

• Partiendo del potencial de una distribución de dimensiones finitas:

• En puntos lejanos:

– El potencial en puntos lejanos está controlado por la carga total.

– Si la carga total es nula, por el momento dipolar:

– Si el momento dipolar también es nulo, por momentos de orden superior.

( ) ( )Vd

rr

rr

V′

′−

′=Φ ∫∫∫ rr

rr ρ

πε41

( ) ( )[ ] [ ]

+′⋅

+≈

′⋅−

′+=

=′⋅−′+=′−⋅′−=′−−

−−−

L

rrrr

rrrrrrrr

22

2

221

112

11

2

21

21

21

r

rr

rr

rr

r

r

r

rrrrrrrrrr

( ) ( ) ( )

( ) ( ) L

rr

L

44 344 21r

rrr

43421

r

L

rrr

rr

rr

+⋅

+=+′′⋅+′≈

+′⋅

+′

≈′−

′=Φ

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

33

2

4

1

4

1'

4

1'

1

4

1

'14

1'

4

1

r

rp

r

q

p

dvrrr

r

q

dvrr

dvr

rr

r

rdv

rr

rr

VV

VV

πεπερ

περ

πε

ρπε

ρπε

( )∫∫∫ ′′′=V

Vdrrprrr

ρ


Condición de punto lejano.

• Se ha supuesto que un punto es lejano si:

• Esta condición depende claramentedel origen de coordenadas.

• Solución:

– Hacer los cálculos con unorigen de coordenadas próximo a la distribución y hacer un cambio de origen:

– La nueva condición es:

– es un vector de posición un punto arbitrario de la distribución.

– La expresión resultante para el campo eléctrico es:

rr ′>>rr

( ) ( ) ( )

−

−⋅+

−=Φ

−=→

⋅+=Φ

3

1

3

1

1

1

114

1

4

1

d

d

d

d

rr

rrp

rr

qr

rrr

r

rp

r

qr

rr

rrr

rrr

rrr

r

rr

rr

πεπε

( ) ( ) ( )[ ]( )

−−

−

−−⋅+

−

−=

353

3

4

1

dd

dd

d

d

rr

p

rr

rrrrp

rr

rrqrE rr

r

rr

rrrrr

rr

rrrr

πε

ondistribuci la dedimension maxima1

>>−= drrrrrr

O1

O

rr

r′r1

r′r

rr1

rrd

drr


Invarianza del momento dipolar.

• El momento dipolar no depende del origen de coordenadas escogido siempre que la carga total de la distribución sea nula.

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) 111

11111

111

1

11111

11111

111

11

1

prqp

q

dVrrpdVrr

p

dVrr

dVrrrdVrr

r

rrdVrrp

dV

dV

dV

Vd

Vdd

V

rrr

4434421

rrrrr

44 344 21r

rr

rrrrr

43421r

rrrrr

=+=+=+=

=+=++==

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

ρρρ

ρ

ρ

ρρ

O1

Odrrrrrr

+=1

1rr

drr


Cargas ligadas.

• Si representa un dieléctrico neutro por las cargas que existen en su interior en el vacío: Las cargas ligadas.

• En presencia de un campo eléctrico las cargas se desplazan: el dieléctrico se polariza.

• Cada elemento básico del dieléctrico: átomo, molécula, dominio...se convierte en un dipolo eléctrico

– Se puede definir una densidad de momento dipolar por unidad de volumen: el vector polarización.

+-

+-

+-

+-

+-

+-

r

E = 0 +-r

E ≠ 0

+-

+-

+-

+-

+-

dV

pd

V

p

VlimP

rrr

=∆∆

→∆=

0





Cargas ligadas. (2)

• El potencial creado por las cargas ligadas se puedeexpresar como la integral de superposición:

• Donde se ha aplicado que:

• Como:

• Resulta:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ′

′−∇′⋅′=′

′−

′−⋅′=Φ

VVVd

rrrPVd

rr

rrrPr rr

rr

rr

rrrr

r 1

4

1

4

1

0

3

0πεπε

′−−∇=

′−

′−=

′−∇′

rrrr

rr

rrrrrr

rr

rr11

3

( ) ( ) ( )

′−∇′⋅′+

′−

′⋅∇′=

′−

′⋅∇′

rrrP

rr

rP

rr

rPrr

rr

rr

rr

rr

rr

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

′′−

′⋅∇−+′

′−

′⋅′=

=′′−

′⋅∇′−+

′−

′⋅′=

=′′−

′⋅∇′−+′

′−

′⋅∇′=Φ

VS

VS

VV

Vdrr

rPSd

rr

nrP

Vdrr

rP

rr

SdrP

Vdrr

rPVd

rr

rPr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rrr

rr

rr

rr

rr

r

00

00

00

4

1ˆ

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

πεπε

πεπε

πεπε

Vε0

r

Pε0

O

rr

r′r

dV’


Cargas ligadas. (3)

• Interpretación:

– Las cargas ligadas del dieléctrico son equivalentes a:

» Una densidad volumétrica de carga ligada:

» Una densidad superficial de carga ligadasituada en su superficie:

( ) ( )( )

( )( )

∫∫∫∫∫ ′′−

′

′⋅∇−+′

′−

′

′⋅′=Φ

VS

S

Vdrr

r

rPSd

rr

r

nrPr rr

48476

r

rr

rr

48476

r

rr

r

ρ

πε

ρ

πε 00 4

1ˆ

4

1

SLigadaS nP ˆ, ⋅=

r

ρ

PLigada

r

⋅−∇=ρ

Nota: El efecto de las cargas ligadas queda representado por ε

Vε0

r

Pε0

Vε0

ρ = −∇ ⋅r

P

ρSS

n P= ⋅$r

ε0

Vε

ε0


Cargas ligadas. (4)

• El desarrollo anterior es válido para puntos exteriores al dieléctrico.Para puntos interiores se puede dividir el volumen de integración en dos:

– Una esfera de radio δ centrada en el punto de evaluación.

– El resto.

• La dificultad está en la esfera de radio δ: puede no converger.– Escogiendo un origen de coordenadas en el centro de la esfera:

– Tomando módulos:

– Calculando el límite cuando δ →0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ′

′−

′−⋅′+′

′−

′−⋅′=Φ

− δδ πεπε VVVVd

rr

rrrPVd

rr

rrrPr

3

0

3

04

1

4

1rr

rrrr

rr

rrrr

r

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ′′′′′

′

′⋅′−−′=′

→′′−

′−⋅′δδ

ϕϑθπεπε V

ppppp

p

ppp

Vddrdr

r

rrPrrr

Vdrr

rrrPsen

4

1

4

1 2

3

0

3

0

r

r

rrrrrr

rr

rrrr

( ) ( )( )p

Vpppp

p

pp

Vppppp

p

pprPmaxddrd

r

rrPmaxddrdr

r

rrP′=′′′′

′

′′≤′′′′′

′

′⋅′∫∫∫∫∫∫

rr

r

rrr

r

r

rrr

πδϕϑθϕϑθδδ

4sensen2

3


Cargas ligadas. (5)

– Calculando el límite cuando δ →0:

– Luego la integral converge y por tanto:

– Por lo que resultados también son válidos para el interior del dieléctrico.

( )( ) 04

0sen

0

2

3=′

→≤′′′′′

′

′⋅′

→ ∫∫∫ rPmaxlimddrdrr

rrPlim

Vppppp

p

pp rrr

r

rrr

πδδ

ϕϑθδ δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

′′−

′−⋅′=′

′−

′−⋅′

→=

=

′

′−

′−⋅′+′

′−

′−⋅′

→=Φ

−

−

VVV

VVV

Vdrr

rrrPVd

rr

rrrPlim

Vdrr

rrrPVd

rr

rrrPlimr

3

0

3

0

3

0

3

0

4

1

4

1

0

4

1

4

1

0

rr

rrrr

rr

rrrr

rr

rrrr

rr

rrrr

r

πεπεδ

πεπεδ

δ

δδ


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