Extensions non gaussiennes du filtre SEEK pour l’assimilation de données dans les modèles couplés physico-biogéochimiques de l’océan

P. Brasseur, D. Béal, J.-M. Brankart, G. Broquet, F.

Castruccio, E. Cosme, M. Doron, C. Lauvernet, M. Lévy, Y. Ourmières, J. Verron

LEGI – LOCEAN – LSEET

Colloque National sur l’Assimilation de Données

Paris, 1-2 décembre 2008

The Biological PumpLa production primaire océanique premier maillon du fonctionnement biogéochimique

des océans et des écosystèmes marins

Éléments nutritifs (N, P, Si, Fe)

Production primaire = transformation de matière inorganique en matière organique par le processus de photosynthèse.

2222 0 nOCHOnHnCO n PHOTOSYNTHESE : production MO

OnHnCOnOCH n 22220 RESPIRATION : Dégradation MO

Couplage physico-biogéochimique ?Observations: chlorophylle de surface (Aqua-

MODIS)

Mars 2005

LOBSTER: adaptation to North Atlantic basin

Fixed C/Chl ratio

Variable C/Chl ratio + T lim

Variable C/Chl ratio

+ T, mixing and light lim

LOBSTER initial(Lévy et al., 2003)

LOBSTER amélioré(Ourmières et al., 2008)

SeaWifs

Mai 1998

Etape préliminaire: ajustement paramétrique pour améliorer l’ébauche

du modèle (avant assimilation) par rapport aux observations de couleur de l’eau

Validation à la station INDIA (59°N 65°W)

Difficultés de la modélisation biogéochimique

Variational MethodsRemarques préliminaires concernant l’assimilation de données en biogéochimie

marine

• Pas de principe fondamental décrivant le fonctionnement de la biologie dans l’océan (équivalent des équations de Navier-Stokes)

• Etat de l’art en modélisation moins avancé que pour la physique (modèles de circulation)

• Observations peu abondantes et incertaines (erreur ~ signal), opérateurs d’observations complexes

• Multiples sources d’incertitude, notamment au niveau des mécanismes de couplage

Assimilation de données pour la modélisation couplée physico-biogéochimique:

multiples sources d’incertitude !

Hydrodynamique(u)

u~uu

u.uu

Dzz

p1

fez

wt

hz

h

Λ

0z

wh

u.

)(~

.u TQz

T

zz

TwT

t

T h

z

S

zz

SwS

t

S h ~.u

gz

p

zz

fu

,)~,~(

N1iccSz

c

zz

cwc

t

cnji

iii

hi ,),,(~

.u

Biologie

~,,u wic

2. Estimations de l’état physique Berline et al., 2006

3. Estimation d’état biologiqueOurmières et al. 2008

1. Estimation de paramètres Faugeras et al., 2003 ; Doron et al.

Propagation d’erreurs dans les modèles couplés

Simulations d’ensemble d’un modèle 1D de couche de mélange (~ 1000 membres) avec perturbation des forçages (vent +

Tair)

(Lauvernet et al., 2008, OMOD)

l’ensemble des prévisions à 10 jours respecte la stabilité hydrostatique (par construction du modèle)

Problèmes d’estimation sous contraintes d’inégalité

• Estimation de l’état physique (T,S,u,v): sous contrainte d’équilibre hydrostatique, mélange non-convectif:

• Estimation de l’état biogéochimique: traceurs définis positifs:

• Estimation de paramètres biologiques: à l’intérieur d’intervalles admissibles (taux de croissance, mortalité, broutage)

0

dz

df

~

ic

maxmin ,

)H(R)H()(B)()( xyxyxxxxx 11 TbTbJ

)H(R)(HBHBH)( bTTbJ xyxxxx 10

sous contraintes bx A:I

Le SEEK: un filtre de Kalman de rang réduit

• Etape de prévision :

Réduction d’ordre :

ai

ai

P

x QMMPP

Tai

fi

ai

fi M

1

1 xxForecast

Tai

ai

ai SSP Tf

1if

1i

Tai

ai

f1i SSQMSMSP

aij

ai

aij

f1i MM xx SˆS

1

Ensemble qui décrit l’incertitude de la prévision

autour de l’ébauche

Le SEEK: un filtre de Kalman de rang réduit

• Etape d’analyse :

f

iiai

fiii

fi

ai H

111

11111

PHKIP

K xyxx

Tf1i

f1i

f1i SSP

1Tf1i

1f

1i1Tf

1if

1i

1Tf1i

Tf1i1i

RHSHSRHSIS

R)H(HPHPK

...

ne satisfait pas les contraintes d’inégalité

Après analyse

Exemple d’analyse gaussienne avec (T,S) observés en surface

Avant analyse

Integrated system: assimilation schemes

Bilan de sels nutritifs dans la couche euphotique (Berline et al., 2005)

Free run

Assimilation

FREE ASSIM

Intensification artificielle de l’apport de nitrate en surface Production primaire irréaliste

KzKz

Impact d’une analyse gaussienne de l’état physique sur l’état biogéochimique

Hypothèse de distribution gaussienne tronquée (TG)

• Définition :

bx

bxCxCx)(

)()~~()

~~(A

A,I;,0

1NTN

: vecteur de localisation

: matrice d’échelle

: espérance mathématique x

C

x~~

Probabilité maximale près de la contrainte !

Lauvernet et al., 2008, OMOD (in press)

On suppose à présent que l’ensemble de prévisions est un échantillon issu d’une distribution gaussienne tronquée (TG) plutôt qu’une distribution gausienne « classique »

Hypothèse de distribution gaussienne tronquée (TG)

On peut montrer que, si la pdf a priori est une TG, la pdf a posteriori reste une TG caractérisée par un vecteur de localisation et une matrice d’échelle obtenus au moyen des formules d’estimation linéaires:

f

1i1ia

1i

f1iii

f1i

a1i

P~

HK~

IP~

~HK~~~ xyxx 11

1 R)HP

~(HHP

~K~ Tf

1iTf

1i1i

Cycle d’assimilation sous hypothèse TG

4 étapes:

1. Echantillonnage de la distribution initiale supposée TG: peut être réalisé efficacement au moyen d’un échantillonneur de Gibbs

2. Calcul de la prévision d’ensemble: sous l’hypothèse (discutable) que la nature gaussienne tronquée soit préservée par la dynamique du modèle

3. Estimation du vecteur de localisation et de la matrice d’échelle de la distribution TG de l’ensemble de prévisions: par exemple au moyen d’une méthode de maximum de vraisemblance

4. Calcul de la distribution TG de l’état analysé: en utilisant l’algorithme d’analyse linéaire classique (gain de Kalman)

Le filtre SEEK avec contraintes d’inégalité

• La seule différence par rapport à l’analyse gaussienne est la troncature des distributions de probabilité selon la condition d’équilibre hydrostatique.

• Les contraintes imposées sont

• L’estimation non-linéaire (par rapport aux données) obtenue par analyse TG respecte rigoureusement les contraintes physiques, dans le cadre d’hypothèses statistiques maîtrisées.

Exemple d’analyse gaussienne tronquée dans un modèle 1D avec (T,S) observés en surface (comme

précédemment)

Avant analyse Après analyse

0 1kk

Le filtre SEEK avec contraintes d’inégalité

• Les contraintes imposées sont

• L’efficacité de la méthode permet d’envisager des applications d’assimilation aux systèmes de grande taille .

Exemple d’assimilation de SST dans un modèle de circulation 3D (HYCOM) du Golfe de Gascogne

Cas gaussien

)(Hpp;pp; minkk1kk1kk 0

Cas gaussien tronqué

Comportement statistique des variables d’état des modèles couplés ?

Simulations d’ensemble (~ 100-200 membres) avec

perturbation des forçages (vent)

Ecart-type de la concentration en surface du phytoplancton après

15 jours de simulations

(Béal et al., 2008, submitted)

Ocean Colour data assimilation: complexityDispersion des prévisions d’ensemble

BATS

Gulf Stream

INDIA

Béal et al., 2008 (submitted)

Toward Ocean Colour data assimilationTransformation anamorphique des variables d’état basées sur les distributions d’ensemble

Impact sur l’écart-type de l’ensemble a posteriori obtenu pour des observations du phytoplancton en surface

(normalisé par l’écart-type de l’ensemble a priori)

MLD NO3 ZOO

lin

éair

ean

am

orp

hosé

Contrôlabilité par observation du phytoplancton de surface à différentes échéances (1, 2, 4, 8 et 15 jours):

cas linéaire vs anamorphosé

MLD NO3 ZOO

Fraction du domaine (axe X) pour laquelle le facteur de réduction d’erreur induit par l’analyse est inférieur à une valeur spécifiée

(axe Y).

15 j

1 j

Variational MethodsConclusions

• Les applications aux modèles couplés physico-biogéochimiques nécessitent des méthodes d’assimilation compatibles avec les non-linéarités des modèles et les comportements non-gaussiens des ensembles.

• Des adaptations du SEEK ont été développées: alternatives efficaces à des approches plus générales (mais aussi plus coûteuses) comme les filtres particulaires. La question de l’efficacité numérique reste centrale pour nos applications.

• Démarche « bottom-up » : applications de méthodes d’assimilation standard (KF, SEEK), identification des limitations pratiques, formalisation de problèmes méthodologiques nouveaux, et développements algorithmiques adaptés.

• Nécessité de poursuivre la validation des approches proposées (intégrer la dimension temporelle) pour la mise en œuvre dans des modèles couplés plus réalistes