Embed Size (px)
DESCRIPTION
Expected Shortfall e Misure Spettrali di Rischio: Un’ indagine critica sul concetto di rischio finanziario. PASSEPARTOUT – Milano Bicocca – 18 Giugno 2002. Schema della presentazione. De finire una Misura di Rischio : Value at Risk ( VaR ) Expected Shortfall ( ES ) - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Expected Shortfall e Misure Spettrali di Rischio:
Un’ indagine critica sul concetto di rischio finanziario
PASSEPARTOUT – Milano Bicocca – 18 Giugno 2002
Schema della presentazione
1. Definire una Misura di Rischio:
i. Value at Risk (VaR)
ii. Expected Shortfall (ES)
iii. Misure Coerenti di Rischio
iv. Definizione Coerente di ES: alcune sottigliezze matematiche
2. Misure Spettrali di Rischio
i. “Subjective Risk Aversion” e Misure Coerenti.
ii. La “Risk Aversion Function”
Argomento: solo finanza (e un po’ di statistica)
Le domande del Risk Manager
Finanziarie StatisticheProbabilistic
heComputazion
ali
Che cosa misuro ?
Come stimo la misura ?
Che ipotesi devo fare ?
Che computer mi serve ?
La nostra indagine è dedicata solo a temi finanziari e statistici.
I risultati saranno peraltro assolutamente generali
Parte 1:
Definire una Misura di Rischio
Value at Risk (VaR): come funziona
Per calcolare il VaR di un portafoglio si deve fissare:
Un orizzonte temporale: ad esempio un giorno.
Rappresenta il periodo futuro di osservazione.
Un livello di confidenza: ad esempio una probabilità del
5%. Rappresenta la frazione scelta di “casi peggiori” per il
portafoglio.
Il VaR è definito da
“Il VaR di un portafoglio è la perdita minima che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori”
O analogamente,
“Il VaR di un portafoglio è la perdita massima che esso può subire in un giorno nel 95% di casi migliori”
Per quanto sembri strana
questa è la più frequente domanda
nella gestione del rischio finanziario
Value at Risk (VaR): come funziona
L’Expected Shortfall come evoluzione del VaR
Definizione di Expected Shortfall:
“L’ ES di un portafoglio è la perdita media che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori”
Mentre
“Il VaR di un portafoglio è la perdita minima che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori”
ES = la media dei casi peggiori
VaR = il migliore dei casi peggiori
Expected Shortfall: come funziona
... ma cambia
poi
così tanto ?
Rischi diversi ma stesso VaR
Il VaR non si preoccupa
di che cosa succeda oltre la soglia.
Io invece mi preoccupo !
Protection Selling ...
Possiamo classificare gli strumenti o portafogli finanziari in due
categorie:
Protection Seller Position: è una posizione finanziaria tipicamente
soggetta a rischi molto elevati ma di probabilità molto bassa,
con profitti relativamente modesti ma molto probabili.
es: una compagnia di assicurazione che percepisce una polizza
annua ma garantisce l’indennizzo dei danni derivanti da una
catastrofe.
es: un investitore che compra un bond soggetto a rischio di default,
scommettendo in interessi vantaggiosi ma incorrendo nel rischio che
l’emittente fallisca.
es: una posizione “corta in opzioni” (Put o Call che siano).
es: tutte le posizioni in derivati cosiddette “corte di volatilità”
... e Protection Buying
Il viceversa è costituito da ...
Protection Buying Position: è una posizione finanziaria tipicamente
soggetta a rischi limitati ma di probabilità relativamente alta,
con profitti molto elevati o anche potenzialmente illimitati ma
dall’eventualità remota.
es: il sottoscrittore della polizza assicurativa a protezione di un
rischio da catastrofe
es: un giocatore di totocalcio che compri una schedina a due
colonne.
es: un investitore che compri un Warrant (Call o Put che sia ...)
es: tutte le posizioni in derivati “lunghe di volatilità”
Un confronto tra VaR ed ES: rischi estremi
Il Protection Seller rischia sempre più del Protection Buyer se hanno lo stesso VaR !!!!
1997: qualcuno comincia a sollevare pesanti critiche al VaR
“Can VaR be used to allocate capital? This question is much related to the non-subadditivity of VaR (…) VaR is more than questionable”
P. Embrechts, “Extreme Value Theory: potential and limitations as an integrated Risk Management Tool”, 1999, see http://www.math.ethz.ch/~embrechts
“(…) The basic reasons to reject the value at risk measure of risks are the following:
(a) value at risk does not behave nicely with respect to addition of risks (…) creating severe aggregation problems.
(b) the use of value at risk does not encourage and, indeed, sometimes prohibits diversification, because value at risk does not take into account the economic consequences of the events the probabilities of which it controls”
P. Artzner, F. Delbaen, et al, 1999, “Coherent Measures of Risk”, see http://www.math.ethz.ch/~delbaen
Il principio di diversificazione dei rischi
L’ aggregazione di due portafogli ha sempre l’effetto di ridurre o al più di lasciare inalterato il rischio complessivo.
+
=
Port
folio
A
Port
folio
B
Port
folio
A +
B
Il rischio di ( A + B )
è inferiore o uguale a
rischio di (A) + rischio di (B)
Misure Coerenti di Rischio
(Monotonicità) se allora
(Omogeneità Positiva) se allora
(Invarianza Translazionale)
(Subadditività)
)()(
)()()(
0 )()( aa )()(
In un celebre articolo “Coherent measures of Risk” (Artzner, Delbaen, Eber, Heath
Mathematical Finance, Luglio 1999) venne proposto un insieme di assiomi per
definire i requisiti fondamentali di una “misura coerente di rischio”.
Il VaR vìola questo assioma
Il principio di diversificazione finisce qui
Ma che cosa significa “misura coerente di rischio” ?
Una misura è coerente se attribuisce sempre
valori maggiori a rischi più elevati
Una misura che non sia coerente può quindi aumentare al diminuire del rischio e viceversa. Quindi ....
... una misura non coerente
non è una misura di rischio
Una violazione di subadditività del VaR
Consideriamo un Bond A e supponiamo che, a maturità, ci siano tre possibilità:
1) No default: rimborsa il nominale (100 Euro) e la cedola (8
Euro)
2) Soft default: rimborsa solo il nominale (100 Euro)
3) Hard Default: non rimborsa nulla
Una violazione di subadditività del VaR
Consideriamo un altro Bond B identico ad A, ma di diverso emittente
Supponiamo inoltre che i rischi di default dei due bond siano
mutuamente esclusivi e cioè che i due emittenti A e B non facciano
mai default assieme.
Caso tipico:
RISCHI ANTICORRELATI =
RIDUZIONE DEL RISCHIO IN CASO DI DIVERSIFICAZIONE
Misura del Rischio
Final Event Probability Bond A Bond B Bond A + Bond BHard default B 3% 108 0 108Soft Default B 2% 108 100 208Hard default A 3% 0 108 108Soft Default A 2% 100 108 208
No default 90% 108 108 216
Rimborso Finale
Bond A Bond B Bond A + Bond B
104,6 104,6 209,2
Valore Iniziale
Risk Variable Bond A Bond B Bond A + Bond B Subadditivity5% VaR 4,6 4,6 101,2 violated5% ES 64,6 64,6 101,2 not violated
Misura del Rischio
Risk Variable Bond A Bond B Bond A + Bond B Convexity1000 Euro VaR 44 44 484 violated1000 Euro ES 618 618 484 not violated
Misura del Rischio su un portafoglio di 1000 Euro
Il VaR sconsiglia la diversificazione !L’ES suggerisce la diversificazione
Non-coerenza del VaR
L’esempio precedente mette in luce i tipici problemi del VaR
Il VaR può scoraggiare la diversificazione (non è subadditivo)
Il VaR, fornisce un valore inferiore (44) per un portafoglio più rischioso
(1000 Euro di bond A) e un valore maggiore (484) per un portafoglio
meno rischioso (1000 Euro di A+B diversificati).
Il VaR non è coerente
Un portafoglio prototipo
Si consideri un portafoglio di n bonds rischiosi tutti con probabilità di default del 2% e si supponga per semplicità che tutte le probabilità di default siano tra loro indipendenti.
Portfolio = { 100 Euro investiti in n Bonds indipendenti ugualmente rischiosi}
Bond payoff = Nominale (o 0 con probabilità del 2%)
Domanda: si scelga n in modo da minimizzare il rischio del portafoglio
Proviamo a vedere come rispondono a questa domanda il VaR, l’ES e TCE con livello di confidenza al 5% e orizzonte temporale uguale alla maturità del bond.
Il “rischio” come funzione del numero di bonds del portafoglio
ES vs VaR vs TCE
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 20 40 60 80 100 120
Number of Bonds
ES VaR TCEVaR suggerisce di NON COMPRARE il 6o, 36o o 83o
bond perché aumenta il rischio del portafoglio .... (!!! ???)
La superficie di rischio dell’ES ha un solo minimo globale a n= e nessun minimo locale.
L’ES ti dice semplicemente: “compra più bonds che puoi”
Forse le cose migliorano per n maggiore ???...
Portafogli grandi ... il problema permane !
ES vs VaR vs TCE
0.0000000.0020000.0040000.0060000.0080000.0100000.0120000.0140000.0160000.0180000.020000
200 250 300 350 400 450 500 550
Number of Bonds
ES VaR TCE
Su portafogli più grandi si riscontra lo stesso schema caotico ...Si noti che il portafoglio con 320 bonds ha un VaR inferiore di quello con 400 bonds.
...forse c’è davvero qualche problema nel 36o bond ?!
ES vs VaR vs TCE
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0 20 40 60 80 100 120
ES VaR TCE
Se usiamo un VaR al 3% invece che al 5% il “bond pericoloso” non è più il 36o bensì il 28o.... (!?... Nonsense !)
Subadditività e allocazione del capitale
BANCA
business unit: Fixed
Income
business unit:
Equities
business unit: Forex
L’assenza di subadditività rende il VaR inadatto per allocare capitale.
In una banca costituita da più centri di rischio, è comune (o inevitabile per ragioni pratiche) misurare i rischi in ciascuna entità separata, riportando i valori ad un ufficio centrale di gestione dei rischi
VaR = 5
VaR = 3
VaR = 2
Riserve come se VaR = 10 ?
Subadditività e vigilanza bancaria
Disponendo dei singoli valori di VaR per le diverse Business Units, è consuetudine provvedere ad accantonamenti ai fini della Vigilanza bancaria per ciascuno di questi Valori di VaR.
Ma questo equivale a credere che il VaR sia SUBADDITIVO !
VaR Equity = 5
VaR Forex = 3
VaR Bonds = 2
Riserve per un VaR =
10 ?
... ma il VaR della banca può essere anche molto
superiore a 10
E l’Expected Shortfall è coerente ?
)()()( XVaRXXEXES OLD
La definizione originale di Expected Shortfall (anche nota come TCE, CVaR o Expected Loss) è
Anche questa misura NON è SUBADDITIVA in generale e quindi NON è COERENTE.
Si può mostrare che è subadditiva se la distribuzione delle perdite è continua. Nel caso di distribuzioni generali tuttavia essa non gode di subadditività.
2001: una definizione coerente di Expected Shortfall
Febbraio 2001: nuova definizione di Expected Shortfall
duXFES uNEW )(
1
0
)(
Dimostrazione generale di coerenza: C.Acerbi, C.Nordio and C.Sirtori,
“Expected Shortfall as a Tool of Financial Risk Management”
http://www.aifirm.com/archivio/Pubblicazioni/Expected%20Shortfall%20as.pdfNel caso di distribuzioni continue essa coincide con
La dimostrazione di coerenza vale senza alcuna ipotesi sulla distribuzione.
)(OLDES
Stimare l’Expected Shortfall
][
1:
)(
][
1)(
N
iNi
N XN
XES
Si può dimostrare (Acerbi, Tasche 2001) che l’ES è effettivamente stimabile in modo consistente tramite il semplice stimatore “Media dei 100% casi peggiori”.
Ordered statistics
(= dati ordinati dal peggiore al migliore)
)()()( XESXESN
N
Parte 2:
Misure Spettrali di Rischio
Una domanda naturale
L’ Expected Shortfall è un caso isolato o esiste una classe più ampia di misure coerenti di rischio ?
E’ possibile costruire nuove misure coerenti
a partire da misure coerenti note ?
La risposta è semplice e consente di generare un’intera CLASSE di misure coerenti.
Date n misure di rischio coerenti 1, 2,... n
qualsiasi combinazione lineare convessa
= 1 1 + 2 2 + ...+ n n ( con k k = 1 e k>0 )
è una MISURA COERENTE
Interpretazione Geometrica
Se ogni punto rappresenta una misura coerente nota ...
... Allora ogni altro punto nel “poligono convesso” generato è una nuova misura coerente
Date n misure coerenti note, la loro combinazione convessa più generale, è uno qualsiasi dei punti dello spazio di misure di rischio racchiuse nel “poligono convesso” generato.
La nostra strategia ....
Insieme di Expected Shortfalls con (0,1]
Poligono Convesso =
Nuovo spazio di misure coerenti
Ma noi conosciamo già infinite misure coerenti di rischio, date da tutte le possibili -Expected Shortfalls per ogni valore di compreso tra 0 e 1
Perciò possiamo generare un nuovo spazio di misure coerenti.
Questa classe verrà definita
“Misure Spettrali di Rischio”
Misure Spettrali:
La classe di Misure Spettrali di Rischio può essere facilmente parametrizzata come
imponendo opportune condizioni sullo Spettro di Rischio definito
sull’intervallo [0,1].
Si noti che questa parametrizzazione contiene sia il VaR che l’ES:
ES: Funzione a Gradino di
Heaviside
VaR: Delta di Dirac
1
0
)()()( dppFpXM X
)( p
)(1
)( ppES
)()( ppVaR
Misure Spettrali di Rischio
Teorema: (Acerbi 2001) la Misura Spettrale di Rischio
è coerente se e solo se il suo Spettro di Rischio soddisfa
1. è positivo
1. è decrescente
1.
1
0
)()()( dppFpXM X
)( p
)( p
)( p
1)(1
0
dpp
La “Risk Aversion Function” (p)
Ogni ammissibile (p) rappresenta un possibile legittimo atteggiamento razionale verso il rischio
Un investitore razionale può esprimere la propria soggettiva avversione verso il rischio mediante la sua soggettiva (p) ottenendo la sua
misura coerente spettrale M
(p): Risk Aversion Function
Casi miglioriCasi peggiori
Può essere pensata come una funzione che “pesa” tutti i casi dal peggiore al
migliore
“(p) decrescente” spiega l’essenza di coerenza:
...una misura è coerente solo se assegna
“pesi maggiori ai casi via via peggiori”
La Risk Aversion Function (p) per l’ES e il VaR
Expected Shortfall:
Funzione a Gradino
• positiva
• decrescente
• 1)(1
0
dpp
Value at Risk:
Funzione a Picco• positiva
• non decrescente
• 1)(
1
0
dpp
Stimare le Misure Spettrali di Rischio
N
iiNi
N XXM1
:)( )(
Si può dimostrare (Acerbi 2001) che ogni misura spettrale ha il seguente stimatore consistente:
Funzione discretizzata
Ordered statistics
(= dati ordinati dal peggiore al migliore)
)()()( XMXMN
N
Ci vuole un quinto e un sesto assioma ?
Si può mostrare che le misure spettrali M sono tutte e sole le
misure coerenti che soddisfano due ulteriori assiomi: (Kusuoka
2001 e Acerbi, Tasche, working paper)
La prima condizione può essere espressa in due modi equivalenti:
La seconda condizione è data da:
c. (“Additività Comonotona”)
Se X e Y sono rischi comonotoni, allora (X+Y) = (X) + (Y)
a. (“First Stochastic Dominance”)
Se Prob(X a) Prob(Y a), aR allora (Y) (X)
b. (“Stimabilità da dati empirici” o “law invariance”)
Dev’essere possibile stimare (X) da estrazioni empiriche di X
Se X e Y sono “perfettamente correlati”, allora il rischio della somma X+Y dev’essere esattamente pari alla somma dei rischi di X e Y.
(X+Y) = (X) + (Y)
Se in un certo senso “X è peggiore di Y in probabilità”, allora il suo rischio dev’essere più elevato.La misura di rischio dipende SOLO dalla distribuzione di probabilità di X e ciò consente di stimarla da dati empirici di X.
Conclusioni
Lo spazio delle Misure Spettrali M fornisce la
rappresentazione di tutte le misure coerenti di rischio che si prestano ad applicazioni concrete.
Ogni misura coerente di questo spazio è in corrispondenza biunivoca con ogni forma razionale di avversione al rischio di un investitore.
Per ogni misura spettrale M è disponibile uno stimatore
empirico consistente.
L’applicazione concreta di qualsiasi misura spettrale è elementare.
L’ES non gioca alcun ruolo privilegiato all’interno delle Misure Spettrali.
Il Value at Risk da questo punto di vista risulta del tutto inadeguato per la descrizione e misurazione dei rischi di un portafoglio. E’ associabile ad un atteggiamento al rischio non razionale.
Riferimenti
Riferimenti
