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Exp. 05 Etude du pendule - owl-ge.ch · PDF file2.2. Le pendule simple C'est le cas idéal du pendule composé d'un point de masse m suspendu à un fil sans poids de longueur ... (voir

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    Exprience no 5

    ETUDE DU PENDULE

    1. RAPPEL

    Les lois fondamentales de la dynamique sont:

    - la loi d'inertie: un corps soumis aucune force est en mouve-ment rectiligne uniforme

    - la loi d'action = raction: tout corps agissant sur un autrecorps par une force est soumis de la part de celui-ci uneforce gale, oppose en direction

    - la loi du mouvement: postule par Newton, elle s'exprime ainsil'acclration

    produite par une force F agissant sur un

    mobile de masse m, est inversement proportionnelle la masse:

    a = 1m F ou:

    d2 r dt2

    =1m F

    d'o l'on tire l'quation du mouvement:

    m d2 r

    dt2= F

    Dans le cas d'un solide rigide possdant un point fixe, on dfi-nit:

    A: point d'attache de la forceforce

    O: centre fixe

    le moment d'une force extrieure F par rapport au point 0, comme

    M 0 =

    r F

    produit vectoriel de la force

    F et du vecteur support (entre le

    centre fixe et le point d'application de la force)

    M 0 = F r sin,

    M 0 est au plan contenant

    r et

    F .

    Ce moment de force

    M va engendrer (ou faire varier) une

    rotation de ce corps, donc de son moment cintique

    B .

  • 2

    Le thorme du moment cintique:

    d B 0dt

    = M 0

    montre que la variation du moment cintique est gale la sommedes moments extrieurs.

    Rappel: Dans le cas simple d'une masse ponctuelle tournantautour d'un centre 0, le moment cintique vaut:

    b 0 =

    r m v

    Pour un solide rigide, en rotation autour d'un axe z fixe lavitesse angulaire , le moment cintique vaut:

    b i = r i mi

    v i

    M = mi

    B =

    b i

    i = r i mi v i

    i

    comme

    v i = r i on peut crire:

    B = r i mi

    r i( )[ ]

    i

    Sous certaines conditions de symtrie qui sont ralises danscette exprience, on trouve que:

    B = Bz = z z

    o

    z = moment d'inertie par rapport l'axe z.

    Le moment cintique

    B est donc parallle

    (ce qui n'a pas

    lieu dans le cas gnral).

  • 3

    2. APPLICATION AU PENDULE

    Dfinition: Un pendule est un corps solide pouvant tournerautour d'un axe horizontal et qui oscille sous l'effet de lagravitation autour d'une position d'quilibre stable.

    2.1. Le pendule physique

    axe de rotation

    G: centre de gravit

    : moment d'inertie du solide parrapport l'axe de rotation.

    Le thorme du moment cintique nous donne:

    d B odt

    = M o =>

    = - Mgsin

    ou +

    Mg

    sin = 0 (I)

    quation diffrentielle du mouvement du pendule physique d'ol'on tire l'quation horaire du mouvement: = (t)

    La solution de l'quation (I) est difficile si peut tregrand; dans ce cas, la priode des oscillations varie avecl'amplitude. En revanche, si est petit, sin , et l'quation(I) devient:

    +

    Mg

    = 0 (II)

    Cette quation diffrentielle est du type:

    x +2x = 0 quation diffrentielle de l'oscillateur harmonique.

    2.2. Le pendule simple

    C'est le cas idal dupendule compos d'un pointde masse m suspendu un filsans poids de longueur (pendule mathmatique).

  • 4

    Ici, on a :

    0 = m2 moment d'inertie

    M0 = mgsin moment de force

    et l'quation du mouvement devient:

    d B 0dt

    = M 0 ou:

    ddt

    ( ) = mgsin

    d'o:

    + g

    sin = 0

    Si petit, sin , alors:

    + g = 0 (III) (oscillateur harmonique)

    2.3. Rsolution des quations

    Les quations II et III sont du mme type; l'intgration de cesquations permet de trouver la solution gnrale pour = (t):

    t( ) = A sin(t + )

    (on peut vrifier en introduisant cette solution dans les qua-tions).

    avec:

    2 =g

    pour le cas du pendule simple

    2 =Mg

    pour le cas du pendule physique

    A et sont des constantes d'intgration qui dpendent desconditions initiales.Par exemple, si le pendule est lch vitesse nulle avec unangle de dpart o, on obtient:

    A = o et = /2 (sachant que (t=O) = o et

    (t=0) = 0) soit:

    = 0 cos(t)

    C'est une oscillation harmonique sinusodale dont la priodevaut:

    T = 2

    = 2 g

    dans le cas du pendule simple

    T = 2

    = 2 Mg

    dans le cas du pendule physique

  • 5

    Remarque: On appelle longueur rduite du pendule physique lalongueur L du pendule simple ayant la mme priode, soit:

    Mg

    =Lg

    L = M

    et la priode vaut alors:

    T = 2 Lg

    2.4. Exemple de pendule physique

    Considrons le cas dun pen-dule compos dune sphre Kde rayon R suspendue un filde masse ngligeable. Lemoment dinertie

    0 de lasphre par rapport laxe 0sobtient par la rgle deSteiner

    0 = G +M2

    G tant le moment dinertiepar rapport un axe passantpar le centre de gravit(voir lintroduction du TPgyroscope). Pour une sphre

    G = 2MR2 /5 (dmonstration

    voir appendice). Dans cesconditions:

    L = 25MR2 +M2

    1M

    L = + 25R2

    = +

    3. EXERCICES

    1) Dterminer la priode du petit pendule en fonction de lampli-tude pour des amplitudes comprises entre 0 et 90. Mesurertrois fois la dure de 20 oscillations pour la mme amplitude.Soit To la priode pour une petite amplitude; on a vu quil ya un dfaut disochronisme si lamplitude augmente. On peutexprimer cette variation par une srie (voir appendice):

    T() = T0 1+12

    2sin2

    2+1 32 4

    2sin4

    2+ ...

    T() /T0 = 1+12

    2sin2

    2+1 32 4

    2sin4

    2+ ...

    Calculer et tracer la courbe

    T() /T0 en fonction de et compa-rer avec la courbe dtermine par les mesures

    T() /T(5) enfonction de .

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    2) Dterminer la longueur rduite du grand pendule en mesurant lalongueur = OB + R et en ajoutant , aprs avoir mesur Ravec le pied coulisse. On fait varier entre 70 cm et 1.20m et on mesure pour chaque longueur la priode T du pendule.Dterminer au chronomtre la dure de 20 oscillationscompltes et rpter trois fois cette mesure. Tracer legraphique

    T2 = f(L) et en tirer g. Comparer la valeur trouve la valeur g = 980,65 cm s-2, valable pour Neuchtel.

    APPENDICE

    A) Pour l'tude exacte de la priode en fonction del'amplitude (dfaut d'isochronisme), on a avantage partird'une relation quivalente l'quation du mouvement qu'onobtient par le thorme de l'nergie:

    Epot =

    12 mv2

    Epot = mgh = mg (cos-coso)

    or: v =

    ddt

    donc: (

    ddt

    )2 =

    2g (cos-coso)

    On en tire:

    dt =

    2g

    dcos cos o

    La priode T s'obtient en intgrant de = 0 o, ce qui corres-pond T/4 donc:

    T = 4

    2g

    dcos cos oo

    o

    (1)

    L'intgrale se simplifie par la substitution:

    sin

    2 = sin

    o2sin (2)

    avec comme nouvelle variable d'intgration prendre entre leslimites 0 et /2. En appliquant la formule trigonomtriqueconnue

    sin2

    2 =

    1 cos 2

  • 7

    On obtient d'abord:

    1 cos 2

    = sin2

    o2sin2 et

    1 cos o2

    = sin2

    o2

    En soustrayant la premire de la seconde relation:

    cos - coso = 2sin2

    o2 (1 - sin2) = 2sin2

    o2 cos2

    D'autre part, en diffrenciant (2):

    12cos

    2d= sin

    o2 cosd

    et

    d =

    2 sino2cos

    1 sin22

    d =

    2 sino2cos

    1 sin2o2sin2

    d

    Avec ces substitutions (1) devient:

    T = 4

    g

    d

    1 sin2o2sin2 o

    /2

    L'intgrale s'obtient sous forme d'une srie de termessuccessifs si l'on remarque que l'intgrant

    (1-sin2

    o2sin2)-1/2

    est un binme (1-x)-1/2 o x

  • 8

    Cette formule montre bien que T dpend de l'amplitude et permetde calculer les dviations de l'isochronisme. En prenant laformule simple:

    T = 2

    g

    on commet une erreur ne dpassant pas 1% pour o

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