Exercitii Si Probleme Rezolvate

Friday, June 08, 2012

Page 1 of 37 Document1 6/14/2013 12:18 AM Document1

Exercitii si probleme rezolvate

1. Se arunc o moned de trei ori. S se determine

a) Spatiul al probelor,

b) probele care favorizeaz aparitia evenimentelor: - ca la prima aruncare sa se obtin marca, - la

ultimele dou aruncri s se obtin marca, respectiv - marca s apar o singur dat in cele trei aruncri,

c) c)evenimentele , , , , , , , , , , ,

d) probabilittile evenimentelor precizate la punctele precedente.

Solutie. a) Dac notm prin aparitia fetei cu marca (valoarea monedei) la o aruncare si prin aparitia

fetei opuse, atunci spatiul al probelor este

.

Asadar, spatiul are 8 probe.

b) Probele care favorizeaz aparitia evenimentului , care inseamn c la prima aruncare apare marca

sunt: , , , , adic

.

In mod analog, avem c

.

c) Evenimentul inseamn c marca apare la prima aruncare sau o singur dat in cele trei aruncri, adic

.

Evenimentul este evenimentul ca marca s apar in toate cele trei aruncri,

adic .

Evenimentul inseamn aparitia mrcii numai la prima aruncare, adic

Evenimentul este evenimentul imposibil, deci , adic evenimentele si sunt incompatibile.



Deoarece , rezult c .

Evenimentele, , , si , inseamn respectiv c la prima aruncare se obtine , la ultimele dou

aruncri se obtine cel putin odat , marca nu apare o singur dat in cele trei aruncri. Astfel, putem scrie

Evenimentul diferent inseamn c la prima aruncare apare marca si c marca apare cel putin de dou ori, adic

Evenimentul diferenta inseamn c la prima aruncare apare marca si c marca apare cel mult dou ori, adic

Evenimentul diferent inseamn c marca apare o singur dat, dar nu la prima aruncare, deci

d) Folosim definitia calasic a probabilittii. Pentru aceasta avem c numrul cazurilor posibile este dat de

numrul probelor lui , adic 8.

Numrul cazurilor favorabile evenimentului este 4, prin urmare se obtine c

Analog avem c

De asemenea avem c



sau folosind formula

In mod analog,

La fel, avem c si

2. Un aparat este format din trei componenete. Se noteaz cu , si respectiv evenimentele ca prima,

a doua si a treia component s fie defect. S se exprime cu ajutorul evenimentelor , si evenimentul ca:

a) cel putin o component este defect,

b) exact o component este defect,

c) nici o componenta nu este defect,

d) toate componentele sunt defecte.

Solutie. a) Dac este evenimentul ca cel putin o component s fie defect, atunci , adic sau prima component este defect, sau a doua component s fie defect, sau a treia component s fie defect, ceea ce nu exclude c dou sau trei componente sunt defecte.

b) Evenimentul ca exact o component s fie defect se realizeaz dac prima component este defect si celelalte dou nu sunt defecte, sau a doua component este defect si celelalte dou nu sunt defecte, sau a treia este defect si celelale dou nu sunt defecte, adic

c) Evenimentul ca nici o component s nu fie defect, adic fiecare component s fie bun, se poate

exprima prin sau

d) Evenimentul ca toate cele trei componente s fie defecte are exprimarea

3. Pe un raft sunt asezate la intamplare 10 crti, dintre care trei reprezint cele trei volume ale aceluiasi roman. S se calculeze probabilitatea ca:

a) cele trei volume ale romanului s fie asezate unul langa altul in ordinea natural (vol.1,2,3),

b) cele trei volume ale romanului s fie asezate unul lang altul in orice ordine,

c) cele trei volume ale romanului s fie asezate unul lang altul in ordinea natural, la inceputul raftului.



Solutie. Numrul cazurilor posibile este dat de numrul total al modurilor de aranjare a celor 10 crti de pe raft, adic 10!.

a) Dac este evenimentul ca cele trei volume s fie asezate unul dup altul in ordine natural, atunci pentru a stabili cazurile favorabile, considerm cele trei volume ca o singur carte. In acest fel, numrul cazurilor

favorabile evenimentului este dat de numrul modurilor de aranjare a celor 8 crti pe raft (cele 7 rmase la care

se adaug una format din cele trei volume), adic 8! Prin urmare, avem c

b) Notm cu evenimentul ca cele trei volume s fie asezate unul lang altul in orice ordine. Se repet rationamentul de la punctul precedent, cu observatia c 8! se va inmulti cu 3!, ceea ce reprezint in cate moduri se

pot aseza cele trei volume unul lang altul. Asadar obtinem, c

c) Fie evenimentul ca cele trei volume s fie asezate la inceputul raftului, in ordine natural. Deoarece cartea format din cele trei volue este asezat la inceputul raftului, numrul cazurilor favorabile

evenimentului este dat de numrul modurilor de aranjare pe raft a celor 7 crti rmase, adic 7!. Astfel, rezult

c

4. Cu ocazia srbtorilor de iarn, la un magazin cu dulciuri sunt pregtite pachete pentru copii. Stiind c pentru pregtirea unui pachet se dispune de ciocolat in 6 sortimente, cutii cu bomboane in 10 sortimente si cutii cu biscuiti in 9 sortimente si c in fiecare pachet se pun la intamplare 5 sortimente de dulciuri(ciocolat, bomboane, biscuiti), s se determine probabilitatea ca un pachet luat la intamplare s contin

a) dou ciocolate, dou cutii cu bomboane si o cutie cu biscuiti(toate de sortimente diferite),

b) trei ciocolate si dou cutii cu bomboane.

Solutie. Numrul total de sortimente de dulciuri de care se dispune pentru formarea unui pachet este 25, iar pentru fiecare pachet se ia la intamplare 5 sortimente de dulciuri. Prin urmare, numrul total a modurilor de formare

a unui pachet este si care reprezint numrul cazurilor posibile.

a) Dac este evenimentul ca pachetul s contin dou ciocolate, dou cutii de bomboane si o cutie de

biscuiti, atunci numrul cazurilor favorabile acestui eveniment este . Intr-adevr, cele dou ciocolate de

sortimente diferite se pot lua din cele 6 sortimente in . La fel se rationeaz pentru cele dou sortimente de bomboane si pentru cutia de biscuiti. Rezult c

b) Fie evenimentul ca pachetul s contin trei ciocolate de sortimente diferite si dou cutii cu bomboane de sortimente diferite. Rationand ca mai inainte, se obtine c



5. Se arunc trei zaruri, fiecare avand o fata colorat alb, una colorat negru si cate dou colorate in rosu si respectiv in galben. S se determine probabilitatea ca:

a) cel putin un zar s arate culoarea rosie,

b) cel putin dou zaruri s arate culoarea alb.

Solutie. Fie evenimentul ca cel putin unul din cele trei zaruri s arate culoarea rosie. Dac se noteaz

cu evenimentul ca zarul arat culoarea rosie, atunci , unde evenimentele reuniunii sunt independente. Prin urmare, folosind formula lui Poincar, se obtine c

Deoarece zarurile sunt identice, avem , deci

b) Fie evenimentul ca cel putin dou zaruri s arate culoarea alb, atunci este evenimentul ca cel putin

un zar s arate culoarea alb. Daca notm cu evenimentul ca nici un zar s nu arate culoarea alb, respectiv

prin evenimentul ca exact un zar din cele trei s arate culoarea alb, atunci . Deoarece

evenimentele si sunt incompatibile, avem c

Pe de alt parte, se obtine c , iar . Prin urmare, avem

c , de unde

Dac o familie are 5 copii, se cere s se calculeze probabilitatea ca:

a) patru din cei cinci copii s fie bieti,

b) b)cel putin doi din cei cinci copii s fie bieti.



Solutie. Pentru rezolvarea problemei se aplic schema lui Bernoulli cu bila intoars, unde

, .

a) Fie evenimentul ca familia s aib exact patru bieti. Luand in schema lui Bernoulli cu bila intoars, rezult c

b) Dac notm cu evenimentul ca familia s aib cel putin doi bieti, atunci este evenimentul ca familia s aib un biat sau nici unul. Prin urmare, se poate scrie

Asadar, avem c

7. La un magazin se gsesc articole de imbrcaminte dintre care 90% satisfac standardele, 7% prezint defectiuni retusabile, iar 3% prezint defectiuni neretusabile. S se calculeze probabilitatea ca din sase articole luate la intamplare, trei s satisfac standardele, dou s fie retusabile si unul s fie neretusabil.

Solutie. Rezolvarea se bazeaz pe schema lui Bernoulli cu bila intoars cu mai multe stri (trei), unde

, , , , , , .

Astfel se obtine probabilitatea cerut ca fiind

8. Pe un raft, intr-un magazin, se afl 50 de piese de acelasi tip, care provin de la dou fabrici, respectiv 20 de la una dintre ele si 30 de la cealalt. Intr-o zi s-au vandut sase astfel de piese. S se calculeze probabilitatea s se fi vandut acelasi numr (cate trei) de piese de la cele dou fabrici.

Solutie. Se aplic schema lui Bernoulli cu bila neintoars, unde , , , . Prin urmare, probabilitatea cerut este

9. Intr-o cutie sunt 12 bile marcate cu 1, 8 sunt marcate cu 3 si 6 cu 5. O persoan extrage la intamplare din cutie 4 bile. S se calculeze probabilitatea ca suma obtinut s fie cel mult 13.



Solutie. Dac notm cu evenimentul ca suma obtinut pe cele patru bile s fie cel mult 13, atunci

evenimentul contrar este evenimentul ca cele patru bile s fie cel putin 14. Se vede c suma maxim ce se poate obtine este 45=20. De asemenea, avem c 35+13=18, 35+11=16, 25+23=16, 25+13+11=14, 15+33=14. Alte posibilitti de a obtine suma cel putin 14 din patru bile nu exist.

Asadar, pentru a obtine suma 14 trebuie luate dou bile marcate cu 5 din cele sase existente, una marcat cu 3 din cele opt si respectiv una marcat cu 1 din cele 12, respectiv una marcat cu 5 si 3 marcate cu 3. Folosind schema lui Bernoulli cu bila neintoars cu trei stri se obtine c

Analog, avem c

Asadar, avem c , de

unde

10. Cinci masini, care produc acelasi tip de piese, dau rebuturi in procente 2%, 1%, 5%, 4%, 6% respectiv. Se

ia cate o pies produs de la fiecare. S se calculeze probabilitatea ca din cele cinci piese luate, exact dou s fie rebut, precum si probabilitatea ca cel putin una s fie rebut.

Solutie. Se aplic schema lui Poisson, unde , iar

Probabilitatea ca din cele cinci piese dou s fie rebut se obtine ca fiind coeficientul lui al polinomului



adic

Dac este evenimentul ca cel putin una din cele cinci piese s fie rebut, atunci este evenimentul ca

nici o pies s nu fie defect. Deci , de unde

11. Doi juctori sunt angrenati intr-un joc format din mai multe partide. Primul juctor castig o partid cu

probabilitatea si o pierde cu probabilitatea . S se calculeze probabilitatea ca:

a) prima partid castigat de primul juctor s se produc dup cinci partide pierdute,

b) a treia partid castigat de primul juctor s se produc dup un total de sase partide pierdute.

Solutie. a) Se aplic schema geometric. Prin urmare, probabilitatea cerut este dat prin

b) Se utilizeaz schema lui Pascal (binomial cu exponent negativ),unde , , , . Astfel probabilitatea cerut este

12. Intr-o cutie se afl 15 mingi de tenis, din care 9 sunt noi. Pentru primul joc sunt luate la intamplare trei mingi, dup care se depun in cutie. Pentru al doilea joc sunt luate din nou trei mingi la intamplare. S se calculeze probabilitatea ca:

a) pentru jocul al doilea s fie luate trei mingi noi,

b) pentru primul joc s se fi luat trei mingi noi, dac se stie c la jocul al doilea au fost luate trei mingi noi.

Solutie. a) Notm cu evenimentul ca la jocul al doilea s fie l;uate trei mingi noi si cu evenimentul ca

la primul joc s fie luate mingi noi. Evenimentele , , , formeaz un sistem complet de evenimente. Folosim formula probabilittii totale



Pe de alt parte, folosind schema lui Bernoulli cu bila neintoars se obtine:

, ,

,

Deoarece cele trei mingi folosite la primul joc s-au uzat si sunt puse inapoi in cutie, structura cutiei se schimb, cu exceptia cazului cand la primul joc s-au folosit numai mingi uzate. Asadar, probabilittile conditionate din formula probabilittii totale se calculeaz tot cu schema lui Bernoulli cu bila neintoars, adic

, ,

,

Prin urmare avem c

b) Cu notatiile de la punctul precedent, se cere calculat probabilitate conditionat . Pentru aceasta se foloseste formula lui Bayes, anume

Astfel, se obtine c

13. Un motor genereaz energie electric ce este folosit intermitent de ctre 10 muncitori, care lucreaz

independent. Fiecare muncitor utilizeaz energie timp de 12 minute intr-o or. Se noteaz cu numrul

muncitorilor ce utilizeaz energie la un moment dat. S se scrie distributia variabilei aleatoare .



Solutie. Valorile pe care le ia variabila aleatoare sunt 0,1,,10, adic la un moment dat se poate ca nici unul din muncitori s nu foloseasc energie, sau unul, sau asa mai departe 10 muncitori s foloseasc energie electric produs de motor.

Prin urmare, distributia variabilei aleatoare este

sau prescurtat ,

unde

Pentru a calcula probabilitatea , avem in vedere c un muncitor, la un moment dat, foloseste energie

electric cu probabilitatea (12 minute dintr-o or), iar aceast probabilitate este aceeasi pentru fiecare

din cei 10 muncitori. Prin urmare, probabilitatea se calculeaz cu ajutorul schemei lui Bernoulli cu bila intoars, adic

, , , sau

,

Retinem, deci, c variabila aleatoare urmeaz legea binomial.

14. La o unitate hotelier clientii doresc camere dotate cu televizor sau nu cu aceeasi probabilitate. Se

consider primii patru clienti ai zilei si se noteaz cu si respectiv respectiv numrul clientilor ce solicit camer cu televizor si numrul maxim ai clientilor consecutiv inregistrati, care solicit camer cu televizor. S se scrie distributiile

a) variabilelor aleatoare si ,

b) vectorul aleator ,

c) variabilelor aleatoare si .

Solutie. Pentru a calcula probabilittile din distributiile variabilelor aleatoare considerate, vom scrie pentru

inceput spatiul probelor. Dac marcm prin si respectiv prin N faptul c un client solicit, respectiv nu solicit

camer cu televizor, atunci spatiul al probelor este



Deoarece, clientii prefer sau nu televizor cu aceeasi probabilitate, avem c probabilitatea ca un client s solicite

televizor este si s nu solicite televizor este

a) Valorile pe care le ia variabila aleatoare sunt 0, 1, 2, 3, 4, adic din cei patru clienti pot dori camer cu televizor 0, 1, 2, 3, respectiv 4 clienti. Asadar avem c

, unde ,

si care se calculeaz cu schema lui Bernoulli cu bila intoars. Prin urmare, se obtine c

, pentru

Calculand pe rand aceste probabilitti, rezult c

Variabila aleatoare poate s ia una din valorile 0, 1, 2, 3, 4, adic din cei patru clienti se poate ca 0, 1, 2, 3, 4 s fie numrul maxim al clientilor consecutivi ce solicit camer cu televizor. Distributia variabilei

aleatoare este

, unde

Pentru a calcul probabilitatile distributiei lui , urmarim spatiul al probelor.

De exemplu, evenimentul ( ) este favorizat de proba , deci . Apoi, evenimentul (

) este favorizat de probele , , , , , , deci .

Analog, se obtine ca si . Prin urmare, distributia variabilei aleatoare este

b) Distributia vectorului este dat prin tabloul



unde . Pentru a calcula aceste probabilitti, urmr,im in spatiul al probelor acele probe

care favorizeaz evenimentele .

Astfel, evenimentul este favorizat de proba , deci . Apoi,

evenimentul nu este favorizat de nici o prob, deci .

S mai considerm, de exemplu evenimentul , care este favorizat de probele

, , , prin urmare . Prin rationament analog se obtine tabloul distributional al vectorului

aleator :



Prin calcul direct, se vede c

, , , .

c) Dac variabilele aleatoare si iau valorile 0, 1, 2, 3 si 4, atunci variabila aleatoare poate lua una din valorile 0, 1, , 8. Mai trebuie precizate probabilittile cu care sunt luate aceste valori. Aceste probabilitti se calculeaz dup cum urmeaz:

In acest fel se obtine distributia variabilei aleatoare , anume



Deoarece si , deci este imposibil ca s aib aceste valori, acestea se elimin din tabloul distributional obtinandu-se

Pentru a scrie distributia variabilei aleatoare , se procedeaz in mod analog, anume poate lua una din valorile 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 1 De asemenea, probabilittile se calculeaz dup cum urmeaz:

s.a.m d.

Se obtine in acest fel distributia vectorului aleator produs

sau

15. La trei unitti se gsesc articole ce provin de la dou fabrici, in urmtoarele proportii: la prima

unitate de la prima fabric, la a doua unitate de la prima fabric, iar la a treia unitate de la prima fabric.

Un client cumpr cate un articol de la fiecare unitate. Fie numrul articolelor cumprate de client si care provin

de la fabric. S se scrie distributia variabilei aleatoare , functia de repartitie corespunztoare lui , iar apoi s se reprezinte grafic functia de repartitie.

Solutie. Variabila aleatoare poate lua una din valorile 0, 1, 2, 3, iar probabilittile cu care sunt luate aceste

valori sunt date de schema lui Poisson, unde , , , , , , .

Prin urmare, variabila aleatoare are distributia



,

unde .

Avem pe rand c

deci distributia variabilei aleatoare este

Pornind de la definitia functiei de repartitie se obtine c:

Modul cum a fost determinat expresia functiei de repartitie il exemplificm prin cazul . Astfel avem c

Graficul functiei de repartitie este dat in fig.1.



Fig.1

1 Un sofer amator intentioneaz s circule cu masina neinmatriculat pan cand va ajunge la a treia

sanctiune primit din partea agentilor de circulatie. Fie numrul zileler in care circul pan la a treia sanctiune.

S se scrie distributia variabilei aleatoare , stiind c soferul poate fi controlat in fiecare zi cu aceeasi

probabilitate , iar apoi s se scrie functia de repartitie corespunztoare variabilei aleatoare

Solutie. Variabila aleatoare poate lua una din valorile 0, 1, Prin urmare, variabila aleatoare are distributia

sau prescurtat

unde . Probabilitatea se calculeaz folosind schema lui Pascal cu , , adic

De exemplu, avem c

, ,



Functia de repartitie se scrie pornind de la definitie. Dac , atunci

Dac , atunci

Dac , atunci

In general, dac , avem c

17. Se consider variabila aleatoare de tip continuu, care are densitatea de probabilitate ,

pentru orice , unde este un parametru real. S se determine

a) parametrul real ,

b) functia de repartitie a variabilei aleatoare ,

c) probabilittile si

Solutie. a) Deoarece functia este o densitate de probabilitate, rezult c , de unde

De asemenea, se impune ca

Observm c functia care se integreaz este functie par, iar intervalul de integrare este simetric fata de origine, astfel c



Dac se inlocuieste mai sus, avem c , .

b) Intre densitatea de probabilitate si functia de reartitie

avem relatia

Dac , atunci implicit avem c , deci

Dac , integrala se descompune in suma a dou integrale, anume:

Prin urmare, avem functia de repartitie

c)Folosind functia de repartitie avem c

A doua probabilitate este o probabilitate conditionat, prin urmare

Ca mai inainte, avem c



Prin urmare, se obtine c

18. Vectorul aleator are densitatea de probabilitate

Se cere:

a) s se determine constanta ,

b) densittile de probabilitate pentru variabilele aleatoare componente si ,

c) probabilittile si

Solutie. a) Din propriettile densittii de probabilitate, avem c , de unde, in mod

necesar,

Pe de alt parte se impune ca

Pentru calculul acestei integrale duble scriem succesiv



Asadar, avem c , de unde

b) Pentru determinare densitti de probabilitate a variabilei aleatoare , folosim formula

, pentru .

Dac , atunci , deci

Dac , atunci avand in vedere c , pentru , putem scrie

Prin urmare, avem c

Analog se obtine c



d)Avand in vedere c densitatea de probabilitate a vectorului aleator , putem calcula probabilitatea cerut cu formula

, unde

Astfel avem

de unde

Folosind definitia probabilittii conditionate, avem c

Pe de o parte, avem succesiv



Pe de alt parte avem c

Folosind aceste dou probabilitti calculate, avem c

19. Se consider variabila aleatoare ce urmeaza legea normal , adic are densitatea de probabilitate

, pentru orice

S se determine densitatea de probabilitate pentru variabilele aleatoare ,

( , ) si



Solutie. Se stie c dac intre dou variabile aleatoare de tip continuu exist o legtur liniar,

adic ( ), atunci intre densittile corespunztoare exist relatia

Deoarece, in cazul de fata, , iar , avem c

deci variabila aleatoare urmeaz legea normal

Pentru a determina densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare , determinm, prima dat functia

de repartitie pentru aceasta. Se porneste de la definitia functiei de repartitie, adic

Deoarece , rezult c pentru avem

Dac , putem scrie c

Prin derivarea functiei de repartitie se obtine densitatea de probabilitate, adic

Asadar, s-a obtinut c

20. La patru unitti de oras consumul de ap este normal cu probabilittile 0,9, 0,8, 0,85 si respectiv 0,7. Se noteaz

cu numrul unittilor, din cele patru, la care consumul este

normal intr-o zi fixat din sptman. S se scrie distributia variabilei aleatoare , iar apoi s se calculeze valoarea

medie, dispersia, abaterea standard, mediana si modul variabilei aleatoare .

Solutie. Variabila aleatoare poate s ia una din valorile 0, 1, 2, 3, 4, dup cum numrul unittilor la care consumul este normal, in ziua precizat, este normal in 0, 1, 2, 3,respectiv 4 unitti. Prin urmare, variabila

aleatoare are distributia



, unde ,

Probabilittile se calculeaz cu schema lui Poisson. Pentru aceasta avem , ,

, , , , , , , adic este probabilitatea s fie

consumul normal la unitatea , iar este probabilitatea s fie consum anormal la unitatea

In acest fel se obtine:

Astfel, distributia variabilei aleatoare este

Valoarea medie a variabilei aletoare se calculeaz cu formula

Pentru a calcula dispersia, folosim formula

Dar avem c

deci si de asemenea, avem imediat abaterea

standard

Mediana este dat de dubla inegalitate



Avem c

si in consecint se obtine

Modul este definit ca fiind punctul de extrem local al distributiei lui , adic , deoArece

variabila aleatoare ia valoarea 4 cu probabilitatea maxim

21. O persoan, de fiecare dat cand se deplaseaz in orasul apeleaz la serviciile unittii hoteliere

. Se stie c serviciile unittii sunt ireprosabile in 80% din cazuri. Persoana respectiv intentioneaz s apeleze la

serviciile unittii pan cand este servit ireprosabil. Fie numrul de zile cat a fost servit persoana respectiv

ireprosabil. S se scrie distributia aleatoare , iar apoi s se determine valoarea medie, dispersia, mediana si

modul variabilei aleatoare .

Solutie. Probabilitatea ca o persoan care face apel la serviciile unittii s fie servit ireprosabil

este , iar probabilitatea ca s nu fie servit in mod ireprosabil este

Deoarece este numrul servirilor ireprosabile pan la o servire nemultumitoare pentru clientul respectiv,

avem c aceasta este o variabil aleatoare ce urmeaz legea geometric. Distributia variabilei aleatoare este

sau

Cateva din primele probabilitti sunt:

Valoarea medie a variabilei aleatoare este



Seria care apare in calculul valorii medii este o serie geometric, avand ratia , deci este convergent. Prin urmare, se poate scrie

Deoarece si , rezult c . Aceasta ne spune s ne asteptm ca o persoan s fie servit ireprosabil de patru ori consecutiv.

Pentru calculul dispersiei folosim formula Pentru aceasta, calculm

Din nou avem o serie geometric cu ratia , deci convergent, drept urmare se poate scrie

adic . Astfel se ajunge la

In cazul de fat, avand si ,se obtine

Mediana o determinm din conditia

adic va fi cel mai mic intreg, pentru care Deoarece, avem c



in conditiile problemei va trebui s calculm cel mai mic astfel ca sau Astfel

se obtine

Se vede din distributia variabilei aleatoare c cea mai mare probabilitate este 0,2, deci modul

este

22. Timpul de de asteptare intr-o statie de servire urmeaz legea exponential de parametru S

se determine valoarea medie, dispersia, abaterea medie ptratic si mediana pentru variabila aleatoare .

Solutie.Dac variabila aleatoare urmeaz legea exponential de parametru , atunci are densitatea de probabilitate

Valoarea medie se obtine din

Deci timpul mediu de asteptare in statia de servire este

Pentru dispersie folosim formula

Dac, mai jos, se integreaz de dou ori prin prti, se obtine c

prin urmare, , iar

Pentru a determina mediana , determinm mai intai functia de repartitie, anume

Pentru , avem , deoarece , cand .



Pentru obtinem

Asadar, rezult c

Mediana este dat de ecuatia , deci sau , de unde

23. Variabila aleatoare urmeaz legea gamma. S se calculeze momentele initiale, iar apoi valoarea

medie, disp[ersia, asimetria si excesul variabilei aleatoare .

Solutie. Dac variabila aleatoare urmeaz legea gamma, atuncia are densitatea de probabilitate

unde parametrii , iar este functia lui Euler de speta a doua.

Pentru calculul momentelor initiale scriem

Aducem aceast integral la functia gamma, prin schimbarea de variabil , astfel rezult c

Aplicm formula de recurenta pentru functia gamma sia avem



Avand momentele initiale se obtin

Pentru a calcula asimetria si excesul, trebuie s calculm momentele centrate de ordinele 3 si 4. Dar avem c

momentul centrat de ordin , se exprim cu momentele initiale prin formula

de unde si

Astfel, in cazul de fat, rezult c

Obtinem, in acest fel, asimetria si excesul variabilei aleatoare

24. Dac este numrul mrcilor aprute in trei aruncri cu o moned, iar este numrul maxim de mrci consecutive aprute in cele trei aruncri, s se determine coeficientul de corelatie dintre variabilele

aleatoare si .

Solutie. Scriem la inceput distributiile variabilelor aleatoare si , precum si a vectorului aleator



Pentru variabila aleatoare avem distributia de la legea binomial cu si ,

adic , iar prin calcul direct, se obtine distributia variabilei aleatoare

, anume

De asemenea, distributia vectorului aleator este

Coeficientul de corelatie il calculm cu formula

unde noteaz corelatia dintre variabilele aleatoare X si Y.

Pentru aceasta avem c si in mod analog

Pentru dispersie folosim formula In primul rand

avem ,deci dispersia va fi



In mod analog, avem , deci

Valoarea medie a variabilei aleatoare produs se obtine

prin

Prin urmare, pentru coeficientul de corelatie se obtine

25. Variabila aleatoare urmeaz legea normal si fie variabial aleatoare S se

determine coeficientul de corelatie dintre variabilele aleatoare si

Solutie. Pentru a calcula coeficientul de corelatie dintre variabilele aleatoare si , folosim formula

Se stie c o variabil aleatoare ce urmeaz legea normal are valoarea medie . In cazul de

fat , deci Prin urmare, avem c , si de

asemenea Asadar, se obtine c

Avem nevoie de momentele initiale ale variabilei aleatoare , motiv pentru care calculm toate momentele initiale. Pentru aceasta scriem

Dac este impar, atunci functia ce se integreaz este functie impar, iar intervalul de integrare fiind simetric fat de origine, rezult c integrala este zero. Prin urmare, momentele initiale de ordin impar sunt zero, deci

si

In cazul in care este par, adic , atunci functia ce se integreaz este o functie par, deci



Efectum schimbarea de variabil dat prin , deci Astfel, rezult c

Dac se are in vedere c integrala la care s-a ajuns este functia gamma si dac se aplic in mod repetat formula de recurent pentru funtia gamma, rezult c

Dac avem c si dac notm se obtine c

Prin urmare, avem ca , si Astfel, coeficientul de corelatie dintre variabilele

aleeatoare si este

2 Folosind inegalitatea lui Cebisev, s se calculeze probabilitatea ca o variabil aleatoare ce urmeaz legea normal s se abat de la valoarea medie:

a) mai putin de trei ori abaterea medie ptratic,

b) mai mult de patru ori abaterea medie ptratic.

Solitie. a) Variabila aleatoare urmand legea normal , se stie

c si , iar abaterea medie ptratic este Prin urmare, inegalitatea lui Cebisev devine

pentru orice

Dac se ia , rezult c



b) Dac se consider cealalt form a inegalittii lui Cebisev, avem c pentru

orice care pentru devine

27. Se cunoaste c o unitate de desfacere a produselor alimentare poate deservi zilnic un numr de 3000

clienti, Stiind c un client care intr in unitate devine cumprtor cu probabilitatea s se evalueze probabilitatea ca

a) numrul cumprtorilor s fie cuprins intre 1800 si 2400,

b) numrul cumprtorilor s fie mai mic decat 2150.

Solutie. a)Numrul cumprtorilor este o variabil aleatoare ce urmeaz legea binomial cu

parametrii si . Se cunoaste c

iar

Folosind inegalitatea lui Cebisev obtinem

pentru orice

sau

Dac se ia rezult c

De asemenea, se poate folosi teorema Moivre-Laplace, adic

adic



este functia lui Laplace definit prin care este tebelat in Anexa I. In cazul de fat de

gseste c prin urmare

b) Folosim din nou teorema Moivre-Laplace si avem

Din tabele avem c

iar

prin urmare

28. Se iau la intamplare persoane din populatia unui oras pentru a determina fractia a fumtorilor.

Fie numrul fumtorilor gsiti intre cele persoane considerate si frecventa relativ a fumtorilor

intalniti. S se determine cat de mare trebuie s fie numrul al persoanelor considerate, astfel

incat cu o probabilitate mai mare decat 0,95. De asemenea s se determine dac se stie

c

Solutie. Variabila aleatoare urmeaz legea binomial, adic are distributia

Din inegalitatea lui Cebisev, deoarece si avem

c pentru orice Aceast inegalitate se mai poate scrie sub forma

Dac lum rezult c



Dar se cere s calculm pe astfel ca aceast probabilitate s fie mai mare decat 0,95, adic

sau

Pe de alt parte, avem c deci il determinm pe din inecuatia

adic

Dac se stie c atunci iar se determin din

inegalitate obtinandu-se

Rezultate mai bune se obtin dac se foloseste teorema Moivre-Laplace.

In primul rand, avem c

Determinm valoarea lui n din inegalitatea

sau



Din Anexa I se afl c deci avem de rezolvat inecutia Dac se tine

seama de faptul c avem c sau de unde

Dac se stie c atunci avem inecuatia

sau adic de unde se obtine

29. Se consider sirul de variabile aleatoare independente dou cate dou si care au distributiile

S se verifice dac sirul de variabile aleatoare se supune legii numerelor mari.

Solutie. Din propriettile unei distributii rezult c

De asemenea avem c

Dispersiile nefiind egal mrginite, nu se poate aplica teorema lui Cebisev.

Incercm s aplic teorema lui Markov. Pentru aceasta, folosind faptul c variabilele aleatoare sunt independente dou cate dou, putem scrie



Dac avem Prin urmare se poate scrie

Din acest sir de relatii rezult c , deci conditia din teorema lui Markov este indeplinit. In consecint sirul de variabile aleatoare se supune legii numerelor mari.

30. Fie sirul de variabile aleatoare de variabile aleatoare independente, carea au

distributiile pentru iar S se arate c sirul de variabile aleatoare considerat urmeaz legea numerelor mari.

Solutie. Se vede imediat c Pentru dispersie avem

dac , iar Prin urmare pentru orice deci dispersiile sunt egal mrginite. Se poate aplica teorema lui Cebisev, drept urmare sirul de variabile aleatoare considerat urmeaz legea numerelor mari, adic

pentru orice

Documents

Exercitii Si Probleme Rezolvate