Exercicios de Madeiras [UFPR]

7/23/2019 Exercicios de Madeiras [UFPR]

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[email protected] UFPR-2009 Estruturas de Madeira CAP.2 pg.1/2

EEEXXXEEERRRCCCCCCIIIOOOSSSCCCAAAPPP222AAAEEESSSEEESSSEEEGGGUUURRRAAANNNAAANNNAAASSSEEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSSDDDEEEMMMAAADDDEEEIIIRRRAAA

EEExxxeeerrrcccccciiiooosssrrreeesssooolllvvviiidddooosss

Exerccio 2.1 : Combinao de Aes : Determinar as combinaes das aes para a

barra indicada de uma tesoura de madeira, de acordo com o critrio da NBR-7190.

Considerar Estados Limites ltimos e Combinaes Ultimas Normais.

Esforos internos caractersticos na barra :

NG,k= 5 kN (peso prprio + telhas + acessrios)NQ,k= 8 kN (carga acidental vertical)

Nw1,k= 12 kN (vento = sobrepresso)

Nw2,k= -15 kN (vento = suco)

Soluo :

Usa-se a conveno de valores positivos para esforos de trao e negativos para

esforos de compresso.

Observando-se os valores dos esforos caractersticos nas barras, pode-se imaginar que

das vrias combinaes possveis, haver uma delas que apresentar o mximo esforo

de trao, e outra que apresentar o mximo esforo de compresso.

Utilizaremos a expresso genrica para Estados Limites ltimos, Combinaes Normais

(equao 2.2) :

==== ====

++++++++====

m

1i

n

2jk,Qjj0k,1QQk,GiGid F.F.F.F

a) combinao 1:

G desfavorvel + Q (ao varivel principal) + w1 (vento sobrepresso):

kN60,26)12.5,08(.4,15.4,1)N.N(.N.N k,1w0k,QQk,GG1d ====++++++++====++++++++====

b) combinao 2:

G desfavorvel + Q + w1 (vento sobrepresso = ao varivel principal):

w1w2 Q

G


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kN08,24)8.4,012.75,0(.4,15.4,1)N.N.75,0(.N.N k,Q0k,1wQk,GG2d ====++++++++====++++++++====

c) combinao 3 :

G favorvel + w2 (vento suco = ao varivel principal) :

kN25,11)15(.75,0.4,15.9,0N.75,0.N.N k,2wQk,GG3d ====++++====++++====

Resposta : a) mxima solicitao de trao : Nd= 26,60 kN.

b) mxima solicitao de compresso : Nd= - 11,25 kN.


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EEExxxeeerrrcccccciiiooosssrrreeesssooolllvvviiidddooosss:::

Exerccio 3.1 : Determinao das propriedades mecnicas : determinar os valores das

propriedades mecnicas das seguintes madeiras :

1- Confera pertencente classe de resistncia C-30.

2- Dicotilednea pertencente classe de resistncia C-30.

3- Madeira de Eucalipto Dunnii.

4- Madeira de Itaba.

Soluo

a) Valores caractersticos das propriedades mecnicas :

fc0k(MPa) fv0k(MPa) Ec0m(MPa)

Confera C-30 30 6 14.500

Dicotilednea C-30 30 5 14.500

Eucalipto Dunnii 0,7 x 48,9 = 34,2 0,54 x 9,8 = 5,3 18.029

Itaba 0,7 x 78,9 = 55,2 0,54 x 11,0 = 5,9 22.613

b) Uniformizao de unidades (kN,cm) :

fc0k(kN/cm2) fv0k(kN/cm

2) Ec0m(kN/cm2)

Confera C-30 3,00 0,60 1.450,0

Dicotilednea C-30 3,00 0,50 1.450,0

Eucalipto Dunnii 3,42 0,53 1.802,9

Itaba 5,52 0,59 2.261,3


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c) Valor de modk :

1mod,k = 0,7 classe de carregamento : longa durao / madeira serrada.

2mod,k = 1,0 classe de umidade 1 / madeira serrada.

3mod,k = 0,8 madeira de 2a. categoria.

3mod,2mod,1mod,mod k.k.kk ==== ; 56,08,0.0,1.7,0kmod ======== .

d) Valores de clculo das propriedades mecnicas :

w

kmodd

X.kX

==== ;c

k,0c

modd,0c

f.kf

==== ;c

k,0c

modd,90c

f.25,0.kf

==== ;

d,0ck,0c

mod

t

k,0cmodd,0t f

39,1f.k

)8,1(77,0/f.kf ====

========

;

v

k,0vmodd,0v f.kf

==== ;

4,1c ==== ; 8,1vt ======== ; m,0cmodef,0c E.kE = .

(kN/cm2) fc0d~ ft0d fc90d fv0d

Confera C-30 1,20 0,30 0,18

Dicotilednea C-30 1,20 0,30 0,16

Eucalipto Dunnii 1,37 0,34 0,17

Itaba 2,21 0,55 0,19

(kN/cm2) Ec0ef

Confera C-30 812,0

Dicotilednea C-30 812,0

Eucalipto Dunnii 1.009,6

Itaba 1.266,3


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EEEXXXEEERRRCCCCCCIIIOOOSSSCCCAAAPPP444SSSOOOLLLIIICCCIIITTTAAAEEESSSNNNAAASSSBBBAAARRRRRRAAASSSDDDAAASSSEEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSSDDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA

EEExxxeeerrrcccccciiiooosssrrreeesssooolllvvviiidddooosss:::

Exerccio 4.1 : Elemento tracionado : Verificar a condio de segurana da barra tracionada

de uma tesoura de madeira indicada nas figuras :

1- Confera pertencente classe de resistncia C-30.

2- Parafusos = 3/8, com furo prvio de 10 mm de

dimetro.

3- Dimenses indicadas em centmetros.

4- Critrio da NBR-7190/ 1997.

5- Esforos atuantes : Nk= NGk+ NQk;

NGk= 3 kN (permanente), e NQk= 8 kN (sobrecarga).

Soluoa) Valores de clculo das propriedades mecnicas :

Tomamos os valores j determinados no exerccio 3.1 : fc0,d= ft0,d= 1,2 kN/cm2.

b) Combinao de aes :

E.L.U.: Td= 1,4 x (TGk+ TQk) =

1,4 x (3 + 8) = 15,4 kN

Determinao da rea livre :

Aliv= (((( ))))[[[[ ]]]]{{{{ }}}} 2cm400,1.210.5,2.2 ====

c) Verificao da condio de segurana :

d,0t*

livre

dd,0t f5,1.A

T==== ; 2d,0t

*d,0t cm

kN2,1f58,05,1.

404,15

====


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que a pea dupla. A considerao da excentricidade levaria a verificao para o caso

de flexo-trao. Isto desnecessrio nas aplicaes correntes, visto que os efeitos da

mesma so de pequena intensidade.

Se, no entanto, ao fazer a verificao da condio de segurana, so atingidos valores

prximos do limite, convm refaz-la, atravs do critrio de flexo-trao.

Exerccio 4.2 : Elemento comprimido (pea curta) e Compresso normal s fibras :

Verificar a condio de segurana da pea comprimida de madeira, indicada nas figuras :

1- Dicotilednea, pertencente classe de resistncia C-30.



4- Reao de apoio : R; Rk= RGk+ RQk;

RGk= 2 kN (permanente), e RQk= 15 kN (sobrecarga).

Soluo

a) Valores de clculo das propriedades mecnicas :

Tomamos os valores j determinados no exerccio 3.1 : fc0,d = 1,2 kN/cm2 ;

fc90,d = 0,25 . fc0,d= 0,25 . 1,2 = 0,3 kN/cm2 ;


E.L.U.: Rd= Nd= 1,4 x (RGk+ RQk) = 1,4 x (2 + 15) = 23,8 kN ;

c) Verificao da pea vertical (elemento comprimido : pea curta) :

c.1) grau de esbeltez :

imin= iX= iY= cm44,15.512

5.5

AI

3

X ======== ; 3544,150

iL

MIN

0MAX ============ ;

a pea curta : 40


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2d,0c

2d,0c cm/kN2,1fcm/kN95,05.5

8,23====


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IY= 125,7.10 3 = 352 cm4;

IMIN= IY;

imin= iY= cm17,210.5,7

352AIY ======== ;

6917,2

150iL

MIN

0MAX ============ a pea medianamente esbelta : 8040


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Exerccio 4.4 : Elemento comprimido (pea esbelta) : Verificar a condio de segurana do

pilar de madeira indicado nas figuras, submetido ao esforo de compresso Nk :

1- Madeira dicotilednea, de Itaba.



4- Nk= NGk+ NQk;

NGk= 5 kN (permanente),

e NQk= 15 kN (sobrecarga).

Soluo


Tomamos os valores j determinados no exerccio 3.1 : fc0,d = 2,21 kN/cm2

, eEc0,ef= 1.266,3 kN/cm

2 .


E.L.U.: Nd= 1,4 x (NGk+ NQk) = 1,4 x (5 + 15) = 28 kN .

c) Grau de esbeltez :

c.1) considerando o eixo X (L0= 280 cm) :

IX= 1210.5 3 = 417 cm4; iX= cm89,2

10.5417

AIX ======== ; 97

89,2280

iL

X

XX ============ .

c.2) considerando o eixo Y (L0= 160 cm) :

IY= 125.10 3

= 104 cm4

; iY= cm44,110.5

104

A

IY======== ; 11144,1

160

i

L

Y

YY ============ .

c.3) grau de esbeltez mximo :

111YMAX ======== ; a pea esbelta : 14080


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cm17,0305

30h

0280

NM

e Yd

d1i ==================== ; cm53,0300

160300L

e 0a ============ ;

kN8,50160

104.3,1266.L

I.E.F 2

2

20

Yef,0c2

E ============

; = 0,8 (tabela 18) ;

NGk= 5 kN ; NQk= 15 kN ; 1= 0,3 ; 2= 0,2

(((( ))))

(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkEqk21gk

N.NF

N.N.c

++++++++

++++++++==== =

(((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))[[[[ ]]]]

261,015.2,03,058,50

15.2,03,05.8,0====

++++++++

++++++++ ;

(((( ))))(((( ))))1e.eee caigc ++++==== (((( )))) cm21,01e.53,017,0 261,0 ====++++==== ;

e1ef= ei+ ea+ ec= 0,17 + 0,53 + 0,21 = 0,91 cm ;

cm.kN8,56288,50

8,50.91,0.28

NFF

.e.NMdE

Eef,1dd ====

====

==== .

e) Determinao das tenses MdNd e :

2dNd cm/kN56,010.5

28AN

============ ;

222

Y

dMd cm/kN36,1

65.10

8,56

6h.bW

M========

====

==== .

f) Verificao da segurana (equao 4.4) :

0,187,021,236,1

21,256,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd


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5) esforo normal : Nk= Ngk+ Nqk; Ngk= 5 kN (permanente) ;

Nqk= 8 kN (vento de sobrepresso).

6) vinculao das extremidades da pea :

ponto 1 : indeslocvel no plano vertical , deslocvel no plano horizontal .

ponto 2 : indeslocvel no plano vertical , indeslocvel no plano horizontal .

Soluo :a) Valores de clculo das propriedades mecnicas :

fcom= 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2;

fcok= 0,7. fcom= 0,7. 3,15 MPa = 2,21 kN/cm2;

2

c

k0cmodd0c cm/kN88,04,1

21,2.56,0

f.kf ==

= ;

Ecom= 8058 MPa = 805,8 kN/cm2;

Ecoef= kmod. Ecom= 0,56. 805,8 = 451,2 kN/cm2 .


E.L.U.: Nd= 1,4 x (NGk+ NQk) = 1,4 x (5 + 0,75. 8) = 15,4 kN .


c.1) considerando o eixo X (L0= L = 150 cm = dois extremos indeslocveis) :

IX= 125,7.10 3 = 351,6 cm4;

A = 10 . 7,5 = 75 cm2;

iX= cm17,275

6,351AIX == ;

6917,2

150iL

X

XX === (pea medianamente esbelta).

c.2) considerando o eixo Y (L0= 2 L = 2. 150 = 300 cm ; um extremo deslocvel) :

IY= 1210.5,7 3 = 625 cm4;

iY= cm89,2

75

625

A

IY == ;


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10489,2

300iL

Y

YY === (pea esbelta).


104YMAX == ; a pea esbelta : 14080


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Exerccio 4.6 : Elemento comprimido (pea medianamente esbelta) (1oTE/2006) : Verificar a

condio de segurana da barra de madeira comprimida, indicadas nas figuras.

Dados :

1) E.L.U. = Combinao normal.

2) Critrio da NBR-7190/1997.

3) Dimenses em centmetros.

4) Madeira TATAJUBA, 2a. categoria ;

qualidade estrutural.

5) Esforos atuantes :

Nk= NGk+ NQk; NGk= 20 kN (permanente) ; NQk= 75 kN (sobrecarga).

6) Vinculos dos extremos da barra : Indeslocveis nos dois planos.

Soluo :


fcom= 79,5 MPa = 7,95 kN/cm2;


2

c


57,5.56,0

f.kf ==

= ;

Ecom= 19.583 MPa = 1958,3 kN/cm2;

Ecoef= kmod. Ecom= 0,56. 1958,3 = 1.096,6 kN/cm2.

b) Combinao de aes :E.L.U.: Nd= 1,4 x (NGk+ NQk) = 1,4 x (20 + 75) = 133 kN .


c.1) considerando o eixo X :

IX= 1210.15 3 = 1250 cm4;

A = 15 . 10 = 150 cm2;

iX= cm89,21501250

AIX == ;

7,7989,2230

iL

X

X,0X === (pea medianamente esbelta) ;

WX= 610.15

6h.b 22 = = 250 cm3.

c.2) considerando o eixo Y :

IY= 1215.103

= 2.812,5 cm4;

15

XY

10

L

=230

Nk

NkSeo

Elevao


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iY= cm33,41505,2812

AIY == ;

1,5333,4230

iL

Y

Y,0Y === (pea medianamente esbelta).


7,79XMAX == ; a pea medianamente esbelta : 8040


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Nk= NGk+ NQk; NGk= 10 kN (permanente) ;

NQk= 30 kN (sobrecarga).

6) Vinculos dos extremos da barra :

ponto : indeslocvel nos dois planos (X e Y).

ponto : deslocvel no plano Y.

Soluo :a) Valores de clculo das propriedades mecnicas :

fcok= 40 MPa = 4,0 kN/cm2;

2

c


0,4.56,0

f.kf ==

= ;

Ecom= 19.500 MPa = 1950 kN/cm2;

Ecoef= kmod. Ecom= 0,56. 1950 = 1.092 kN/cm2.




c.1) considerando o eixo X (L0= L = 240 cm ; dois extremos indeslocveis) :

IX= IY= 6415. 4 = 2.485 cm4;

A = 415. 2 = 176,6 cm2;

WY=3Y cm3,3315,7

2485x

I== ;

iX= iY= cm75,36,1762485

AIX == ;

6475,3240

iL

X

X,0X === (pea medianamente esbelta).


12875,3480

iL

Y

Y,0Y === (pea esbelta).

c.3) 128YMAX == ; a pea esbelta : 14080


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cm6,1300480

300L

e 0a === ;

20

Yef,0c2

E L

I.E.F

= ; kN3,116

4802485.1092.

F 22

E =

= ;

= 0,8(tabela 18) ;

NGk= 10 kN ; NQk= 30kN ;

1= 0,3 ; 2= 0,2 ;

(((( ))))

(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkEqk21gk

N.NF

N.N.c

++++++++

++++++++==== =

( )[ ]( )[ ]

219,030.2,03,0103,116

30.2,03,010.8,0=

++

++;

1e.eee caigc ++++==== ( ) cm51,01e.6,15,0219,0 =+= ;

e1ef= ei+ ea+ ec; e1ef= 0,5+1,6+0,51 = 2,61 cm ;

cm.kN0,282

563,116

3,116.61,2.56

NF

F.e.NM

dE

Eef,1dd =

=

=

d.2) Determinao das tenses MdNd e :

2dNd cm/kN32,07,176

56AN

=== ;

2

Y

dMd cm/kN85,05,331

282WM

=== .

d.3) Verificao da segurana (equao 4.4) :

0,173,06,185,0

6,132,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd


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Eixo X: 2 extremos indeslocveis. Eixo Y: 1 extremo indeslocvel.

Soluo :



2

c

k0cmodd0c cm/kN00,1

4,1

5,2.56,0

f.kf ==

= ;

Ecom= 8.500 MPa = 850 kN/cm2;

Ecoef= kmod. Ecom= 0,56. 850 = 476 kN/cm2.



c) Grau de esbeltez :c.1) considerando o eixo X (L0= L = 180 cm ; dois extremos indeslocveis) :

IX= IY=12

10.5.21220.10 33

= 7.500 cm4;

A = (20. 20) 4. (5. 5) = 300 cm2;

WY=3Y cm750)2/20(

7500x

I== ;

iX= iY= cm0,53007500

AIX

== ;

360,5180

iL

X

X,0X === (pea curta).


720,5360

iL

Y

Y,0Y === (pea medianamente esbelta).

c.3) 72YMAX == ; a pea medianamente esbelta : 8040


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e1= ei+ ea= 0,67+1,2 = 1,87 cm ;

cm18,31129,2719,271

.87,1NF

F.ee

dE

E1d =

=

= ;

== ddd e.NM 112. 3,18 = 356,1 kN.cm .


2dNd cm/kN37,0300

112AN === ;

2

Y

dMd cm/kN48,0750

1,356WM

=== .


0,185,00,148,0

0,137,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd


19/138



A = (20. 30) (10. 10) = 500 cm2;

c.1) eixo X :

L0= L = 600 cm : dois extremos indeslocveis ;

IX=1210.10

1230.20 33

= 44166,7 cm4;

iX= cm44,95007,44166

AIX == ;

64~44,9600

iL

X

X,0X == (pea medianamente esbelta).

c.2) eixo Y :

L0= L = 600 cm ; dois extremos deslocveis ;

IY=

12

10.10

12

20.30 33 = 19166,7 cm4;

IY= cm19,65007,19166

AIY == ;

9719,6600

iL

Y

Y,0Y === (pea esbelta).

WY=3Y cm7,1916)2/20(

7,19166x

I== ;

c.3) 97YMAX == ; a pea esbelta : 14080


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e1ef= ei+ ea+ ec; e1ef= 0,67+ 2,0+ 0,57 = 3,24 cm ;

cm.kN5,12792246,5176,517

.24,3.224NF

F.e.NM

dE

Eef,1dd =

=

= .


2dNd cm/kN45,0

500

224

A

N=== ;

2

Y

dMd cm/kN67,07,1916

5,1279WM

=== .


0,182,036,167,0

36,145,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd


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considerando o eixo X = eixo Y ;

lados do quadrado = 21,2. sen 45o= 15 cm ;

IX= IY=

= 4218,8 cm4;

A = 15. 15 = 225 cm2;

iX= iY=

== ;

==== (pea medianamente esbelta) ;

WX=

= = 562,5 cm3.

d) Verificao da segurana :

Ser verificado apenas um eixo (X) ( MAX= 64,7) , pois trata-se de compresso simples.d.1) Determinao de Md(equaes 4.8 a 4.16) :

===== ;

=== ;

e1= ei+ ea= 0,5 + 0,93 = 1,43 cm ;

=== ;

ed=

dE

E1 NF

F.e =

= 2,09 cm ;

=== .


=== ;

=== .



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Exerccio 4.11: Elemento comprimido (pea esbelta) (1.TE-2008)- Verificar a segurana da

barra de madeira macia, submetida compresso simples, indicada nas figuras :

Considerar :

1- Critrio da NBR-7190/1997.

2- Dimenses indicadas em cm.

3- ELU - Combinao normal.

4- Madeira Dicotilednea CLASSE C-40,

2a. categoria, qualidade estrutural.

5- Esforos atuantes : Nk= NGk+ NQk ,

NGk= 15 kN (permanente), NQk= 80 kN (sobrecarga).

6- Vinculao dos extremos da barra :

Eixo X e Y: 2 extremos indeslocveis.

Soluo :



==

= ;

Ecom= 19.500 MPa = 1950,0 kN/cm2;

Ecoef= kmod. Ecom= 0,56. 1950,0 = 1.092,0 kN/cm2.




considerando o eixo X = eixo Y ;

IX= IY=

= 4218,8 cm4;

A = 15. 15 = 225 cm2;

iX= iY=

== ;

==== (pea esbelta) ;

WX=

= = 562,5 cm3.

d) Verificao da segurana :Ser verificado apenas um eixo (X) ( MAX= 87,8) , pois trata-se de compresso simples.

ELEVAO

SEO

15

Nk

L=

38

0

15


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d.1) Determinao de Md(equaes 4.8 a 4.16) :

===== ;

=== ;

=

=

= ;

= 0,8 (tabela 18) ;

NGk= 15 kN ; NQk= 80 kN ;

1= 0,3 ; 2= 0,2 ;

(((( ))))

(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkEqk21gk

N.NF

N.N.c

++++++++

++++++++==== =

( )[ ]( )[ ]

=

++

++;

(( )) 1e.eee caigc

++++==== ( )( ) =+= ;

e1ef= ei+ ea+ ec; e1ef= 0,5+ 1,27+ 0,33 = 2,1 cm ;

=

=

= .


=== ;

=== .



24/138


Soluo

a) Solues para o encaixe :

a.1) soluo clssica :

Esta soluo teoricamente a mais indicada : a seo

crtica para a compresso a pequena rea de contato AB,

em que a resistncia compresso fc(90-),d igual nas

peas horizontal e inclinada.

a.2) soluo corrente :

Esta soluo mais prtica, do ponto de vista executivo.

menos econmica porque a resistncia de calculo na rea

AB (a mais crtica), menor na pea inclinada. Esta

soluo ser adotada no presente exerccio.a.3) construo do encaixe :

A confeco do encaixe no deve aprofundar o recorte na

pea alm de 25% de sua altura.

Alm de enfraquecer muito a pea recortada, cria-se uma

excentricidade alta para o esforo de trao na mesma (a

fora de trao na barra horizontal faz parte do equilbrio

esttico entre os esforos Nke a reao de apoio).


E.L.U.: Nd= 1,4 x (NGk+ NQk) = 1,4 x (5 + 8) = 18,2 kN ;

c) Esforos gerados nas reas respectivas criadas coma confeco do encaixe :

A fora Nd , aplicada na barra inclinada do banzo

superior (asna) da tesoura, transmite-se ao n de

extremidade atravs das reas de contato AB e BC.

O ngulo diferente, mas parecido com 90o. Por simplicidade

de calculo, adota-se :

.kN1,17240

cos.2,182

40cos.NN

oo

dd,AB ========

= (180 - ) / 2

CB

A

3,75

CBA

50 90

40o

NAB,d

NBC,dNd

40o

= (90 - )

CB

A

90

Ndx

3,75C

B

A

Rd


25/138


A componente da fora NBC,d, desconsiderada no calculo : sua

intensidade pequena, e a rea de contato BC muito grande,

gerando tenses muito baixas, absorvidas com facilidade pelas

peas de madeira.

Por outro lado, o apoio da tesoura no pilar indicado, gera tenses

de contato que solicitaro normalmente as fibras da peahorizontal :

.kN7,1140sen.2,1840sen.NR oodd ============

.kN0,1440cos.2,1840cos.NH oodd ============

d) Caractersticas mecnicas do Eucalipto Dunnii:

Tomamos os valores j determinados no exerccio 3.1 :

fc0,d = 1,37 kN/cm2; fV0,d = 0,17 kN/cm

2; fc90,d = 0,34 kN/cm2;

2222

d,90,c2

d,0,c

d,90,cd,0,cd,40,c cm/kN61,040cos.34,040sen.37,1

34,0.37,140cos.f40sen.f

f.ff ====

++++====

++++==== .

e) Verificao das tenses de contato na rea AB :

2

d,40,cAB

d,AB

ABcm/kN61,0f60,0

5,7.75,3

1,17

A

N====


26/138


Observao :

Se no houvessem sido verificadas as tenses atuantes na face AB, poder-se-ia lanar

mo do recurso de executar dentes duplos. Com esta providncia, as tenses de contato caem

pela metade, por dispor-se de duas reas AB.

A tcnica para realizao do encaixe segue o critrio anterior :

A componente de fora NAB absorvida nas duas reas AB, e a componente Hd

absorvida na rea b.x .

Quando se optar pelos dois encaixes, h a possibilidade de reduzir a profundidade do

encaixe e.

Exerccio 4.13 : Encaixe entre peas de madeira (2oTE/2006) : Determinar, pela condio de

segurana, o mximo valor do esforo NQk que pode ser aplicado ao n de extremidade datesoura de madeira, indicado nas figuras.

Em seguida, para este mximo valor de NQk,determinar o mnimo valor de x.

1- Madeira : CANELA 2a. categoria

qualidade estrutural.



4- Esforo Atuante : Nk= NGk+ NQk;

NGk= 10 kN (permanente), e

NQk= ? kN (sobrecarga).

5- Estado Limite ltimo : Combinao Normal.

Soluoa) Caractersticas mecnicas da Canela:

fc0,m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm2,

fc0,k = 0,7 x 4,87 = 3,41 kN/cm2,

2

c


41,3.56,0

f.kf ==

= ;

2d0cd,90,c cm/kN34,036,1.25,0f.25,0f === ;

2222

d,90,c2

d,0,c


34,0.36,130cos.f30sen.f

f.ff =

+=

+= ;

10

Nk

530

15

Nk 10

ElevaoSeo

S

S

A

BC

x = ?


27/138


fV0,m = 9,6 MPa = 0,96 kN/cm2,

fV0,k = 0,54 x 0,96 = 0,52 kN/cm2,

2

V

k0Vmodd0V cm/kN16,08,1

52,0.56,0

f.kf ==

= .

b) Combinao das aes :

E.L.U.: Nd= 1,4 x (NGk+ NQk) = 1,4 x (10 + NQk).

c) Esforos gerados em AB:

od

o

dd,AB 15cos.N230

cos.NN =

dd,AB N.9659,0N

do

dd N.8666,030cos.NH ==

d) Verificao das tenses de contato na rea AB :

2d,30,c

dd

AB

d,ABAB cm/kN78,0f765,51

N10.5

N.9659,0A

N=====

Nd= 40,3 kN.

e) Valor mximo de NQk:

Nd= 40,3 = 1,4 x (10 + NQk)

NQk= 18,8 kN.

f) Valor mnimo de x :

d,0vd

vd fx.10H

= cm22~8,2116,0.10

3,40.8666,0f.10

Hx

d,0V

d ==

Exerccio 4.14 : Encaixes (2o. TE 2007) : Determinar o mximo valor caracterstico (Gk) do

esforo permanente aplicado barra inclinada do n indicado nas figuras :

NAB,d

NBC,dNd

30o

Hd

90oRd

Nd

30o


28/138


a) em funo do cisalhamento na barra horizontal.

b) Em funo das tenses de contato no encaixe (rea AB).

Considerar :




4- Madeira de CEDRO DOCE,


5- Esforo atuante : Gk= ? kN (permanente).

Soluo

a) Caractersticas mecnicas do CEDRO DOCE:

fc0,m = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2,

fc0,k = 0,7 x 3,15 = 2,21 kN/cm2,

2

c


21,2.56,0

f.kf ==

= ;

2d0cd,90,c cm/kN22,088,0.25,0f.25,0f === ;

2222

d,90,c2

d,0,c


22,0.88,035cos.f35sen.f

f.ff =

+=

+= ;

fV0,m = 5,6 MPa = 0,56 kN/cm2

,fV0,k = 0,54 x 0,56 = 0,30 kN/cm

2,

2

V


30,0.56,0

f.kf ==

= .


E.L.U.: Gd= 1,4 x Gk.

c) Esforos gerados nos encaixes :

ok

o

dd,AB 5,17cos.G.4,1235

cos.GG = = 1,335. Gk,

.G147,135cos.G.4,135cos.GH ko

ko

dd ===


S

Seo

7,5

Gk

7,52,5

Elevao

7,5

35

10

Gk

10

Gd10

2,5 CB

A

GAB,d

Hd

Gd35o


29/138


2d,35,c

kd,AB

AB

d,ABAB cm/kN44,0f5,7.5,2

G.335,15,7.5,2

G

A

G=====

Gk= 6,18 kN.

e) Verificao do encaixe ao cisalhamento horizontal :

2d,0v

kdvd cm/kN09,0f10.5,7

G.147,110.5,7

H=== ;

.kN89,5147,1

10.5,7.09,0Gk =

Resposta : Gk= 5,89 kN.

Exerccio 4.15 : Encaixe entre peas de madeira (2oTE/2008) : Projetar a ligao (por encaixe)

entre as peas 1e 2, indicada nas figuras, estabelecendo o valor do encaixe (e), pelas tenses

decorrentes do contato entre elas.

Considerar :




4- Madeira : PINUS ELLIOTTII,


5- Esforos atuantes : Nk= NGk+ NQk ,

NGk= 5 kN (permanente), NQk= 3 kN (sobrecarga).

Soluo

a) Caractersticas mecnicas do PINUS ELIOTTII:

fc0,m = 40,4 MPa = 4,04 kN/cm2

;fc0,k = 0,7 x 4,04 = 2,83 kN/cm

2;

==

= ;

=== ;

=

+=

+= ;

fV0,m = 7,4 MPa = 0,74 kN/cm2;

fV0,k = 0,54 x 0,74 = 0,40 kN/cm2;

Hd

Gd10

15

750

Nk450

600

e=?

Elevao Seo

2,5

Nk

2,5

7,5

1

2


30/138


==

= .

b) Combinao das aes :

E.L.U.: Nd= 1,4 x (NGk+ NQk) = 1,4 x (5 + 3) = 11,2 kN.

c) Esforos gerados em AB:

=

= .


===

e 3,7 cm ;

Considerando que o mximo valor indicado para o recorte da pea (e) h/4 = 15/4 = 3,75 cm,

um encaixe simples pode resolver a ligao com segurana.

Exerccio 4.16 : Flexo simples : Determinar o valor mnimo da altura h da viga de madeira

indicada nas figuras, para que sejam respeitadas as condies de segurana.

1- Madeira confera, Classe de Resistncia C-30.



4- Cargas aplicadas :

gk= 1,0 kN/m (permanente), e

Qk= 2,0 kN (sobrecarga).

Soluo

A soluo deste exerccio pode ser dada calculando-se teoricamente a altura h em funo

dos critrios da NBR-7190/ 1997. uma soluo matematicamente trabalhosa, razo pela

qual, na prtica, e neste exemplo, ser feita por tentativa, arbitrando-se uma altura inicial

h

h=?

5

gk

QkL/2

L

400 2020

NAB,dNBC,d

Nd

60o15

750 450

600

Detalhe

e AB C


31/138


h e fazendo-se as verificaes. Em caso de fracasso, novas tentativas sero feitas

sucessivamente, at uma soluo adequada.

O valor adotado para a primeira tentativa h = 25 cm.

a) Vo de clculo :

L = cm4202

20

4002

20====++++++++ , ou L = 400 + 25 ( cm10 ) = 400 + 10 L = 410 cm.

b) Valores de clculo das propriedades mecnicas :


fc0,d= ft0,d= 1,2 kN/cm2; fv0,d= 0,18 kN/cm

2; Ec0,ef= 812 kN/cm2;

c) Combinaes de Aes :

E.L.U.: Fd= .kN8,2cmkN

014,00,2.4,101,0.4,1FFF.F. QdGdQQGG +=+=+=+ ;

E.L.Uti.: Fd= .kN0,2.2,0cmkN

01,00,2.01,0F.FF.F 2Qd2GdQ2G ++++====++++====++++====++++

d) Tenses normais de flexo (ELU) :

d.1) momentos fletores :

Md= cm.kN2,5814410.8,2

8410.014,0

4L.Q

8L.g

2

d2

d ====++++====++++

d.2) Verificao das tenses de flexo (equaes 4.23 a 4.26) :

W =3

22

cm8,5206

25.5

6

h.b======== ; 2

d

d,t/c cm

kN

20,112,18,520

2,581

W

M


32/138


e.2) Verificao das tenses de cisalhamento (equaes 4.20 e 4.32) :

2d

vd cmkN

18,0051,025.527,4

.23

h.bV

.23


33/138


(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))7,18

63,05

5.5,3

63,0bh

bh

.5,32

1

23

21

23

M ====

====

==== ;

362,1.7,18

812f.

E

d,0cM

ef,0c ========

;

L1/b = 82 > 36 ;

M1

ef,0cd,1c

.bLE

ou seja : 53,07,18.82

81212,1 => no verifica !

Exerccio 4.17 : (EF-2005) Flexo simples reta : Determinar o valor mnimo de h (mltiplo de

2,5 cm), na seo transversal da viga de madeira indicada nas figuras, atendendo s

condies de segurana previstas na NBR-7190.



3) Madeira MOGNO, de 2a. categoria :

fc,0,m= 53,6 MPa , fv,0,m= 10,0 MPa ,

Ec,0,m= 14.487 MPa .

4) ELU = Combinao Normal.

5) Cargas aplicadas :

gk= 1 kN/m (permanente), Qk= 2 kN (sobrecarga).

Soluo

a) combinao das aes :

E.L.U.: m/kN4,1kN8,21.4,12.4,1Q.4,1g.4,1F kkd +=+=+=rrr

rr

;

E.L.Uti.: Fd=

+=+=+

b) propriedades mecnicas do MOGNO:

fcom= 53,6 MPa = 5,36 kN/cm2;


2

c


75,3.56,0

f.kf ==

= .

fvom= 10,0 MPa = 1,0 kN/cm2;

fvok= 0,54. fvom= 0,54. 1,0 = 0,54 kN/cm2;

gkQk

300

Qk

100 100 100

Es uema5

h=?

Se o


34/138


2

c

vokmodd0v cm/kN17,08,1

54,0.56,0

f.kf ==

= .

c) altura h determinada pela condio de segurana flexo :

c.1) determinao do mximo momento fletor :

Mgd= (1,4. 10-2. 3002) / 8 = 157,5 kN.cm

MQd= (2,8. 100. 200 / 300) / 8 = 186,7 kN.cm

MQ1d= MQ2d= MQd. 150 / 200 = 140,0 kN.cm

Md,MAX= Mgd+ MQ1d+ MQ2d

Md,MAX= 157,5 + 140 + 140 = 437,5 kN.cm

c.2) verificao da condio de segurana flexo :

2d

d,t/c cmkN

50,1W

5,437WM

== ,

W 437,5 / 1,5 = 291,7 cm3,

W =6h.5

6h.b 22

= 291,7 h 18,7 cm.

d) altura h determinada pela condio de segurana ao cisalhamento :

d.1) determinao do mximo esforo cortante :

Vd= kN9,48,22

300.10.4,1Q2

L.g2

dd =+=+

d.2) verificao da condio de segurana ao esforo cortante :

17,0h.59,4

.23

h.bV

.23 d

vd == h 8,75 cm.

e) altura h determinada pela deformao :

cm5,1200300

200L

I.3,811.2,28300.0,2

.2,0I.3,811.384

300.01,0.5*

I.E.2,28L.Q

.I.E.384

L.g.5u

X

3

X

4

Xef

3k

2Xef

4k ==+=

+=

* Esta expresso refere-se mxima flecha proporcionada por um par de cargas

concentradas aplicadas nos teros do vo da viga.

IX,MIN= 1181 cm41181,4

12h.5

12h.b 33

= h 14,2 cm.

h (18,7 ; 8,75 ; 14,2) Resposta : h = 20 cm.

gd

Qd

Mgd

Qd

100 50

+

50

MQ1d

MQ2d

MQd

100

Md,MAX

+

=

Vgd

+

VQ2d

Vd,MAX

=


35/138


Exerccio 4.18 : (2O.TE-2006) : Flexo simples reta : Determinar, para a viga de madeira

indicada nas figuras, o mximovalor da carga uniforme distribuda qk que pode ser aplicada,

em funo das condies de segurana (flexo, cisalhamento e deformao). Considerar

travamento lateral da regio comprimida da seo, ao longo de todo o vo (sem instabilidade

lateral).

Considerar :

1) Madeira DICOTILEDNEA, classe de resistncia C-60, 2a. categoria ; qualidade

estrutural.

2) Dimenses indicadas em centmetros.


4) Cargas aplicadas :

gk= 2 kN/m(permanente);

qk= ? kN/m(sobrecarga).

5) E.L.U. = Combinao Normal.

E.L.Uti.= Combinao de Longa Durao.

Soluo :

a) Caractersticas mecnicas da Dicotilednea C-60:

fc0,k = 60 MPa = 6,0 kN/cm2,

2

d0c

cm/kN4,24,1

0,6.56,0f == ;

fV0,k = 8 MPa = 0,8 kN/cm2,

2d0V cm/kN25,08,1

8,0.56,0f == ;

Ec0,m = 24.500 MPa = 2.450 kN/cm2,

2ef,0c cm/kN13722450.56,0E == .

b) ESTADOS LIMITES LTIMOS :

b.1) Tenses de Flexo :

Md=8

400.)q02,0(.4,1

8L.q

8L.g

2

k2

d2

d +=+ = 28.000 . )q02,0( k+ ;

W = 322

cm67,666620.10

6h.b

== ;

67,666)q02,0.(28000

WM kd

d,t/c+

== = 2,4

gk

400

10

20

Esquema

Seo

qk= ?

Md


36/138


qk= 0,0371 kN/cm = 3,71 kN/m.

b.2) Tenses de Cisalhamento :

Vd=2

400.)q02,0(.4,1

2L.q

2L.g kdd +=+ = 280. )q02,0( k+ ;

25,020.10

)q(0,02280..

2

3

h.b

V.

2

3 kdvd

=+

== ;

qk= 0,099 kN/cm = 9,90 kN/m.

c) ESTADO LIMITE de UTILIZAO :

IX=4

3

cm7,66661220.10

= ;

cm0,2200400

200L

7,6666.1372.384400.q.5

.20,07,6666.1372.384

400.02,0.5u

4k

4

d ==+= ;

qk= 0,1744 kN/cm = 17,44 kN/m.

d) RESPOSTA :

qk,MAX= 3,71 kN/m.

Exerccio 4.19 : (2o. TE - 2007) : Flexo simples reta - Determinar o dimetro mnimo d da

escora de madeira rolia sujeita flexo simples, conforme indicado nas figuras. Considerar

apenas o critrio das tenses de flexo e deformaes (omitir o clculo pelo cisalhamento).

Considerar :



3- ELU - combinao normal,

e ELUTI combinao de longa durao.

4- Madeira de EUCALIPTO CITRIODORA,


5- Esforos atuantes :

Pk= 5 kN (sobrecarga), e

gk= 3 kN/m (permanente).

Soluo

a) Propriedades mecnicas do EUCALIPTO CITRIODORA:

Vd

gk

d =?Pk

H=300

150

SEO

ELEVAO


37/138


fc0m= 62,0 MPa = 6,20 kN/cm2;

fc0k= 0,7. fc0m= 0,7. 6,20 = 4,34 kN/cm2;

2

c


34,4.56,0

f.kf ==

= ;

fv0m= 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2;

fv0k= 0,54. fv0m= 0,54. 1,07 = 0,58 kN/cm2;

2

V


58,0.56,0

f.kf ==

= ;

Ec,0,m= 18421 MPa = 1842,1 kN/cm2;

Ec,0,ef= .kmod Ec,0,m= 0,56. 1842,1 = 1031,6 kN/cm2.

b) combinao das aes :

b.1) E.L.U.: kN7m/kN042,05.4,103,0.4,1Q.4,1g.4,1F kkd +=+=+=

r

rr

b.2) E.L.Uti.: Fd= .kN0,1cm/kN03,00,5.2,003,0F.F Q2G +=+=+

c) Esforos atuantes :

Md= cm.kN5,9974300.7

8300.042,0

4L.P

8L.g 2d

2d =+=+ .

d) Tenses normais de flexo (ELU) :

;fWM

d0cd

Md = 32d.

2d

64d.

yI

W3

4

X =

== ;

;74,1f

32d.

5,997d0c3Md =

= d 18 cm

a) Deformaes :

uef= ug+ uP;

cm5,1200300

I.6,1031.48300.0,5

.2,0I.6,1031.384

300.03,0.5u

34

ef =


38/138


d 15 cm

Resposta : d = 18 cm.

Exerccio 4.20 : (2O.TE-2008) : Flexo simples reta :

Determinar o mximo valor do vo L da viga de madeira

indicada nas figuras, sujeita flexo simples reta, para que

sejam respeitadas as condies de segurana.

Considerar :




4- Madeira Dicotilednea CLASSE C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural.

5- Esforos atuantes : gk= 0,4 kN/m (permanente), qk= 2,4 kN/m (sobrecarga).

Soluo :

a) Caractersticas mecnicas da Dicotilednea C-60:

fc0,k = 40 MPa = 4,0 kN/cm2,

== ;

fV0,k

= 6 MPa = 0,6 kN/cm2;

== ;

Ec0,m = 19.500 MPa = 1.950 kN/cm2;

== .

b) Propriedades Geomtricas da Seo Transversal :

IX=

= ;

WX=

== .

c) ESTADOS LIMITES LTIMOS :

gk= 0,4 kN/m = 0,004 kN/cm ;

qk= 2,4 kN/m = 0,024 kN/cm.

c.1) Verificao da segurana pelas Tenses de Flexo :

gkL=?

7,5

15

qk

SEO

ELEVAO


39/138


Md=

+=+ = 0,0049. L2(kN. cm)

====

L 303 cm.

c.2) Verificao da segurana pelas Tenses de Cisalhamento :

Vd=

+=+ =0,020 . L ;

===

L 712 cm.

d) ESTADO LIMITE de UTILIZAO :

gd= gk; qd=

. qk

d.1) Verificao da flecha :

+=

L 462 cm.

e) RESPOSTA :

LMAX= 300 cm.

Exerccio 4.21 : (Nv.Av. - 2008) Flexo simples reta : Verificar as condies de segurana da

viga de madeira indicadas nas figuras.




4) Madeira DICOTILEDNEA C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural.


gk= 1,5 kN/m (permanente), Pk= 1 kN (sobrecarga).

Soluo

Md

Vd

20

7,5

SEO

X

ELEVA O

gkPk

450

Pk

150 150 150


40/138


a) propriedades mecnicas da DICOTILEDNEA C-40:


==

= .

fvok= 6 MPa = 0,6 kN/cm2;

=== ;

Ec,0,m= 19500 MPa = 1950 kN/cm2;

Ec,0,ef= .kmod Ec,0,m= 0,56. 1950 = 1092kN/cm2.

b) Propriedades Geomtricas da Seo Transversal :

IX=

= ;

WX=

== .

c) Determinao dos esforos solicitantes de clculo :

c.1) determinao do mximo momento fletor :

Md,MAX=

+

;

Md,MAX= 741,6 kN.cm .

c.2) determinao do mximo esforo cortante :

Vd,MAX=

+

;

Vd,MAX= 5,43 kN.

d) Verificao das condies de segurana :

d.1) verificao da condio de segurana flexo :

==== . Verifica!

d.2) verificao da condio de segurana ao cisalhamento :

==== . Verifica!

d.3) verificao das deformaes :

gd

Pd

Mgd

Pd

150 75

+

75

MP1d

MP2d

MPd

150

Md,MAX

+

=

Vgd

+

VP2d

Vd,MAX

=


41/138


+=

+=

===+= . Verifica !

* Esta expresso refere-se mxima flecha proporcionada por um par de cargas

concentradas aplicadas nos teros do vo da viga.

Concluso : a viga suporta com segurana as cargas previstas.

Exerccio 4.22 : Flexo oblqua : Verificar as condies de segurana da tera de madeira

indicada nas figuras.

1- Madeira dicotilednea, Classe de Resistncia C-30.



4- Cargas atuantes :

gk= 0,80 kN/m2(permanente= peso

prprio + telhas),

qk= 0,50 kN/m2(sobrecarga).

Soluo

a) Combinaes de Aes :

a.1) cargas atuantes na tera :

gk= 0,8 kN/m2. 1,13 m = 0,904 kN/m = 0,00904 kN/cm ;

qk= 0,5 kN/m2. 1,13 m = 0,565 kN/m = 0,00565 kN/cm .

a.2) decomposio das aes nas direes X e Y :

gk,X= 0,00904 . cos 200= 0,0085 kN/cm ;

gk,Y= 0,00904 . sen 200= 0,0031 kN/cm ;

qk,X= 0,00565 . cos 200= 0,0053 kN/cm ;

qk,Y= 0,00565 . sen 200= 0,0020 kN/cm ;

a.3) combinaes de aes :

ELU: M + V : QQGGd F.F.F +=

15

120

113

113

20o

7,5

113113

Planta telhado

qk

gk

L = 200


42/138


ELUti: f : Q2Gd F.FF += ; onde 2,02= .

b) Caractersticas geomtricas da seo transversal :

A = 7,5 . 15 = 112,5 cm2; IX=

12

15.5,73

= 2109 cm4; IY=

12

5,7.153

= 527 cm4;

WX= b.h2/ 6 = 7,5.152/6 = 281 cm3; WY= h.b

2/ 6 = 15.7,52/6 = 141 cm3.

c) Valores de clculo das propriedades mecnicas :

Tomamos os valores j determinados no exerccio 3.1 : fco,d = 1,2 kN/cm2 ;

fvo,d = 0,16 kN/cm2 ; Ec0,ef= 812 kN/cm

2.

d) Verificao das tenses de flexo (ELU) :

d.1) Eixo X :

cm.kN6,968

200.0,0053.1,48

200.0,0085.1,4M

22

Xd, =+= .

d.2) Eixo Y :

cm.kN7,358

200.0,0020.1,48

200.0,0031.1,4M

22

Yd, =+= .

d.3) Verificao :

2

X

d,Xd,X,M cm/kN35,0281

6,96W

M=== ;

2

Y

d,Yd,Y,M cm/kN25,01417,35WM

=== ;

140,020,125,0

.5,020,135,0

f.k

f wd

d,MYM

wd

d,Mx


43/138


e.1) Eixo X :

kN93,12

002.0,0053.1,42

002.0,0085.1,4V Xd, =+= ;

e.2) Eixo Y :

kN72,02

002.0,0020.1,4

2

002.0,0031.1,4V

Yd,

=+= ;

e.3) Verificao :

2d,0V

d,Xd,X cm/kN16,0f03,015.5,7

93,1.

23

h.b

V.

23

====


44/138


g.1.2) Eixo Y :

cm.kN7,454

002.)20sen.(1.1,48

200.0,0031.1,4M

02

Yd, =+= .

g.1.3) Verificao :

2

X

d,Xd,X,M cm/kN45,0281

3,125W

M=== ;

2

Y

d,Yd,Y,M cm/kN32,0141

7,45W

M===

151,020,132,0

.5,020,145,0

f.k

f wd

d,MYM

wd

d,Mx


45/138


Exerccio 4.23 : Flexo-trao: Verificar a condio de segurana da barra horizontal da tesoura

de madeira, indicada no exerccio 4.3, supondo-se que no possvel apoiar o respectivo n

diretamente sobre o pilar.

1- Madeira dicotilednea, Eucalipto Dunnii.



4- Esforo normal no banzo superior :

Nd= 18,2 kN (exerccio 4.12)

Soluo

a) Esforos gerados na barra :

a.1) equilbrio do n :

Nd= 18,2 kN ; Rd= 18,2.sen 400= 11,7 kN ;

Td= 18,2.cos 400= 14,0 kN .

a.2) momento fletor gerado na barra horizontal :

a.2.1) apoio deslocado :

Md,1= Rd.10 = 11,7 . 10 = 117 kN.cm ;

a.2.2) excentricidade gerada pelo encaixe :

Md,2= Td.275,3

= 14,0 . 1,875 = 26,25 kN.cm ;

Md= Md,1+ Md,2= 117,0 + 26,25 =143,25 kN.cm

a.3) esforos gerados na barra horizontal :

Td= 14,0 kN ; Md= 143,25 kN.cm :

Observar que a seo sujeita ao momento fletor mximo, corresponde ao ponto

onde se realizou o encaixe do banzo superior, ou seja, est enfraquecida em 25%

de sua altura.

b) Caractersticas mecnicas do Eucalipto Dunnii:


ft0,d = 1,37 kN/cm2; Ec0,ef = 1009,6 kN/cm2.

15

115

Td

ElevaoSeo

10 7,5

Nd

40

10

S

SNd

90o

Td

RdNd

40o

Md

10

Rd

115

e/2 Td

e


46/138


c) Verificao da segurana (equaes 4.44 e 4.45) :

No h momento fletor em torno do eixo Y, razo pela qual, as expresses de

verificao da segurana referidas ficam reduzidas equao 4.44 :

2

livre

dd,Nt cm/kN17,025,11.5,7

0,14AT

============ ;

22

X

d,Xd,X,M cm/kN91,0

625,11.5,7

25,143W

M============ ;

178,037,191,0

37,117,0

f

0.)5,0k(

ff d,0t

d,MYM

d,0t

d,Mx

d,0t

d,Nt


47/138


b.2) ao varivel (carga distribuda qwYk) :

qwYd= 1,05 . 0,05 = 0,053 kN/cm ;

Mw,y,d= qwYd. L2/ 8 = 0,053 . 3002/ 8 = 590,6 kN.cm .

c) Propriedades mecnicas da Itaba :fc0,d = 2,21 kN/cm

2; Ec0,ef = 1266,3 kN/cm2.

d) Caractersticas geomtricas do pilar :

d.1) Eixo X :

A = 20 . 15 = 300 cm2;

IX=1215.20

3

= 5625 cm4;

cm33,43005625

AI

i XX ============ ;

6933,4

300iL

X

0X ============ ;

322

X cm750615.20

6h.b

W ============ .

d.2) Eixo Y :

IY=1220.15

3

= 10000 cm4;

cm77,5

300

10000

A

Ii YY ============ ;

5277,5

300iL

Y

0Y ============ ;

322

Y cm1000620.15

6h.b

W === .

e) 1A

. verificao : Verificao da resistncia :e.1) determinao das tenses atuantes :


48/138


2dNcd cm/kN37,0300

112AG

============ ;

2

X

XdMXd cm/kN75,0750

560WM

============ ;

2

Y

YdMYd cm/kN59,0

1000

3,596

W

M=== ;

e.2) Verificao (equaes 4.48 e 4.49) :

====++++++++

d,0c

d,MYM

d,0c

d,MX

2

d,0c

d,Nc

f.k

ff

150,0

21,259,0

.5,021,275,0

21,237,0

2

>>============ ;

cm1300300

300L

e 0a ============ ;

e1= ei+ ea = 5 + 1 = 6 cm ;

kN2,781300

5625.3,1266.L

I.E.F 2

2

20

eixoef,0c2

E =

=

= ;

cm71122,781 2,781.6NF F.ee dEE1d =

=

= ;

Md= Nd. ed= 112 . 7 = 784,5 kN.cm

f.1.2) determinao das tenses Nd e Md :

2dNd cm/kN37,0300

112AN

============ ;

2

X

dMd cm/kN05,17505,784WM=== .


49/138


f.1.3) verificao :

0,164,021,205,1

21,237,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd


50/138


4) ELU = Combinao Normal.

5) Esforos aplicados : Nk= Ngk+ Nqk; Ngk= 4 kN (permanente) ;

Nqk= 8 kN (sobrecarga) ; gkY= 3,0 kN/m (permanente).

Soluo :

a) Combinao de aes (ELU) :

MgdY= 1,4. 3,0. 10-2. 2202/ 8 = 254,1 kN.cm ;

Nd= 1,4. (4 + 8) = 16,8 kN.

b) Propriedades mecnicas da CONFERA C-25:

fco,k = 25 MPa = 2,5 kN/cm2;

fco,d = 4,15,2

.56,0f

.k ccok

mod = = 1,0 kN/cm2

;

Eco,m = 8500 Mpa = 850 kN/cm2;

Ec0,ef = 850.56,0E.k commod = = 476 kN/cm2.

c) Caractersticas geomtricas do pilar :

c.1) Eixo X :

A = 10 . 15 = 150 cm2;

IX=1210.15

3

= 1250 cm4;

cm89,21501250

AI

i XX === ;

7689,2220

iL

X0X === ;

3

22

X cm250610.15

6h.b

W === .

c.2) Eixo Y :

IY=1215.10

3

= 2812,5 cm4;

cm33,4150

5,2812AI

i YY === ;

Nd= 16,8 kN

MgYd= 254,1 kN.cm

10

15

Y

Seo

220


51/138


5133,4

220iL

Y

0Y === ;

3

22

Y cm375615.10

6h.b

W === .

Obs.: os dois eixos devero ser verificados, pois somente um deles tem Momento fletor

aplicado.

d) 1A. verificao : Verificao da resistncia :

d.1) determinao das tenses atuantes :

2dNcd cm/kN11,0150

8,16AN

=== ;

0MXd= ;

2

Y

YdMYd cm/kN68,0375

1,254WM

=== .

d.2) Verificao (equaes 4.46 e 4.47) :

====++++++++

d,0c

d,MY

d,0c

d,MXM

2

d,0c

d,Nc

ff.k

f

169,0

0,168,0

0.5,00,111,0

2

=== ;

cm73,0300220

300L

e 0a === ;

e1= ei+ ea = 0,33 + 0,73 = 1,06 cm ;

kN3,121

220

1250.476.

L

I.E.F 2

2

2

0

eixoef,0c2

E =

=

= ;


52/138


cm23,18,163,121

3,121.06,1

NFF

.eedE

E1d =

=

= ;

Md= Nd. ed= 16,8. 1,23 = 20,7 kN.cm .

e.1.2) determinao das tenses

e Md :

2dNd cm/kN11,0

150

8,16

A

N===

;2

X

dXMd cm/kN08,0250

7,20WM

===

.e.1.3) verificao :

0,119,00,108,0

0,111,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd === ;

cm73,0300220

300L

e 0a === ;

e1= ei+ ea = 15,13 + 0,73 = 15,86 cm ;

kN0,273220

5,2812.476.L

I.E.F 2

2

20

eixoef,0c2

E =

=

= ;

cm9,168,16273

273.86,15

NFF

.eedE

E1d =

=

= ;

Md= Nd. ed= 16,8. 16,9 = 283,9 kN.cm

e.2.2) determinao das tenses Nd e Md :

2dNd cm/kN11,0150

8,16AN

=== ;

2

Y

dMd cm/kN76,0375

9,283WM

=== .

e.2.3) verificao :

0,187,00,176,0

0,111,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd


53/138


Exerccio 4.26 : (Nova Avaliao/2005) Verificar a condio de segurana da barra de

madeira, flexo-comprimida, indicadas nas figuras.




4) Madeira DICOTILEDNEA C-60, 2a. categoria :


Nk= NGk+ NQk;

NGk= 40 kN (permanente), eXG= 3 cm ;

NQk= 50 kN (sobrecarga), eYQ= 2 cm ; e = excentricidades das cargas normais

Soluo :a) Combinao de aes (ELU) :

Nd= 1,4. (40+50) = 126 kN ,

MGXd= 1,4. 40. 3 = 168 kN.cm ,

MQYd= 1,4. 50. 2 = 140 kN.cm .

b) Propriedades mecnicas da dicotilednea C-60 :

fco,k = 60 MPa = 6,0 kN/cm

2

;fco,d =

4,10,6

.56,0f

.kc

cokmod =

= 2,4 kN/cm2;

Eco,m = 24500 MPa = 2450 kN/cm2;

Ec0,ef = 2450.56,0E.k commod = = 1372 kN/cm2.

c) Caractersticas geomtricas da barra :

A = 20. 15 = 300 cm

2

.c.1) Eixo X :

IX=1215.20

3

= 5625 cm4;

cm33,43005625

AI

i XX ============ ;

6933,4

300iL

X

0X ============ ;

3

22

X cm750615.20

6h.b

W ============ .

20

eYQ=2

X

Y

15

eXG=3

L=Lo=300

Nk

Nk

Seo Elevao


54/138


c.2) Eixo Y :

IY=1220.15

3

= 10000 cm4;

cm77,5300

10000AI

i YY ============ ;

5277,5300iLY0Y ============ ;

322

Y cm1000620.15

6h.b

W === .



2d

Nd cm/kN42,0300

126

A

N=== ;

2

X

XdMXd cm/kN22,0750

168WM

=== ;

2

Y

YdMYd cm/kN14,01000

140WM

=== .

d.2) Verificao:

====+

++++

+++

d,0c

d,MY

Md,0c

d,MX

2

d,0c

d,Nc

f.k

ff

115,0

4,2

14,0.5,0

4,2

22,0

4,2

42,02


55/138


cm74,21263,8463,846

.33,2NF

F.ee

dE

E1d =

=

= ;

Md= Nd. ed= 126. 2,74 = 345 kN.cm .


2dNd cm/kN42,0

300

126

A

N=== ;

2

X

dMd cm/kN46,0750

345WM

=== .

e.1.3) verificao :

0,137,04,2

46,04,242,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd === ;

cm1300300

300L

e 0a ============ ;

e1 = ei + ea = 1,11 + 1 = 2,11 cm;

kN5,1504300

10000.1372.

L

I.E.

F 2

2

20

eixoef,0c2

E =

=

= ;

cm3,21265,15045,1504

.11,2NF

F.ee

dE

E1d =

=

= ;

Md= Nd. ed= 126. 2,3 = 290 kN.cm .


2dNd cm/kN42,0300

126AN

=== ;

2

Y

dMd cm/kN29,01000

290WM

=== .

e.2.3) verificao :

0,130,04,2

29,04,242,0

ff d,0cMd

d,0c

Nd


56/138





4- Madeira : CONFERA-C20,



NGk= 20 kN (permanente), eYG= 7,5 cm (Esforo Normal);

MQk= 250 kN.cm (sobrecarga) (Momento Fletor).

Soluo

a) Combinao de aes (ELU) :

= = 1,4. 20 = 28 kN ;

MQXd= . MXk= 1,4. 250 = 350 kN. cm ;

MGYd= Nd. eYG = 28. 7,5= 210 kN. cm .

b) Propriedades mecnicas da CONFERA C-20 :

fco,k = 20 MPa = 2,0 kN/cm2;

fco,d =

=

= 0,8 kN/cm2;

Eco,m = 3500 MPa = 350 kN/cm2;

Ec0,ef =

= = 196 kN/cm2.

c) Caractersticas geomtricas do pilar :

d.1) Eixo X :

A = 15 . 20 = 300 cm2;

IX=

= 10000 cm4;

=== ;

=== ;

Nd= 28 kNMGYd= 210 kN.cm

XMQXd= 350 kN.cm

20

15

Y

SEO

L=Lo=380cm

Nk

Nk

7,5

MQX

ELEVAO

X

YeYG= 7,5cm

15

20

MQXk

SEO

Nk


57/138


=== .

d.2) Eixo Y :

IY=

= 5625 cm4;

=== ;

=== ;

=== .


e.1) determinao das tenses atuantes :

=== ;

=== ;

=== ;

e.2) Verificao (equaes 4.48 e 4.49) :

====++++++++

d,0c

d,MYM

d,0c

d,MX

2

d,0c

d,Nc

f.k

ff


58/138


=== ;

e1= ei+ ea = 12,5 + 1,27 = 13,77 cm ;

=

=

= ;

=

=

= ;

Md= Nd. ed= 28. 17,4 = 487,3 kN.cm


=== ;

=== .

f.1.3) verificao :

=== ;

=== ;

e1= ei+ ea = 7,5 + 1,27 = 8,77 cm ;

=

=

= ;

= 0,8 (tabela 18) ;

NGk= 20 kN ; NQk= 0 kN ;

1= 0,3 ; 2= 0,2 ;

(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]qk21gkE

qk21gk

N.NFN.N.c

++++++++

++++++++==== = ( )[ ]

( )[ ]

=

++

++;


59/138


(( ))(( ))1e.eee caigc ++++==== ( )( ) =+= ;

e1ef= ei+ ea+ ec; e1ef= 7,5+ 1,27+ 2,93 = 11,7 cm ;

=

=

= .


=== ;

=== .

f.2.3) verificao :


60/138


c) Caractersticas geomtricas da barra :

A = 10. 15 = 150 cm2.

c.1) Eixo X :

IX=

= 2812,5 cm4;

=== ;

=== ;

=== .

c.2) Eixo Y :

IY=

= 1250 cm4;

=== ;

=== ;

=== .



=== ;

=== ;

=== .

d.2) Verificao:

====++++++++

d,0c

d,MYM

d,0c

d,MX

2

d,0c

d,Nc

f.k

ff


61/138


e) 2A. verificao : Verificao da estabilidade :

e.1) eixo X :

X= 51 (pea medianamente esbelta) :

e.1.1) determinao de Md:

==>=== ;

=== ;

e1 = e i+ ea = 12 + 0,73 = 12,73 cm;

=

=

= ;

=

=

= ;

Md= Nd. ed= 17,5. 13,65 = 239,0 kN.cm .


=== ;

=== .

e.1.3) verificao :

=== ;

=== ;

e1 = ei + ea = 7,2 + 0,73 = 7,93 cm;

=

=

= ;

=

=

= ;

Md= Nd. ed= 17,5. 9,36 = 163,7 kN.cm .e.2.2) determinao das tenses Nd e Md :


62/138


=== ;

=== .

e.2.3) verificao :


63/138


EEExxxeeerrrcccccciiiooosssppprrrooopppooossstttooosss:::

Exerccio 4.29 : Resolver o exerccio 4.2, aumentando a dimenso c= 5 cm para 10cm e

para 15 cm, respectivamente, em duas tentativas. A soluo s aparece na terceira

tentativa, com c = 20 cm (Ateno para a variao de n , conforme varia c).

Exerccio 4.30 : Resolver o exerccio 4.3, reduzindo a seo da pea para 7,5 X 7,5 cm2,

verificando a possibilidade da pea ter assim mesmo a condio de segurana

estabelecida.

Exerccio 4.31 : Resolver o exerccio 4.3, mantendo a seo da pea em 7,5 X 10 cm2 ,

determinando o mximo valor de Nd, para que a mesma tenha a condio de segurana

estabelecida.

Exerccio 4.32 : Resolver o exerccio 4.3, reduzindo a seo da pea para 5 X 10 cm2 ,

verificando a possibilidade da pea ter assim mesmo a condio de seguranaestabelecida.

Exerccio 4.33 : Resolver o exerccio 4.4, mantendo a seo da pea em 5 X 10 cm2 ,

determinando o mximo valor de Nd, para que a mesma tenha a condio de segurana

estabelecida. (Fixar o valor de NGk, variando o valor de NQk)

Exerccio 4.34 : Resolver o exerccio 4.4, reduzindo a seo da pea para 5 X 7,5 cm2 ,


estabelecida.

Exerccio 4.35: Resolver o exerccio 4.4, reduzindo a seo da pea para 7,5 X 7,5 cm2,


estabelecida.

Exerccio 4.36 : Resolver o exerccio 4.22, reduzindo a seo da pea para 5 X 15 cm2 ,

em uma primeira tentativa, e 7,5 X 10 cm2, em uma segunda tentativa.

Exerccio 4.37 : Resolver o exerccio 4.24, reduzindo a sua seo para 15 X 15 cm2.

Exerccio 4.38 : Resolver o exerccio 4.26, reduzindo a sua seo para 15 X 15 cm2.


64/138


EEEXXXEEERRRCCCCCCIIIOOOSSSCCCAAAPPP666LLLIIIGGGAAAEEESSSNNNAAASSSPPPEEEAAASSSEEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAAIIISSSDDDEEEMMMAAADDDEEEIIIRRRAAA

666...111EEExxxeeerrrcccccciiiooosssrrreeesssooolllvvviiidddooosssExerccio 6.1 : Projetar a emenda entre as peas de

madeira indicadas nas figuras, usando parafusos

como meio ligante.

1- Madeira : Garapa Roraima.

2- Dimenses em centmetros.

3- Critrio da NBR-7190.4- Esforos atuantes :

Tk= TGk+ TQk;

TGk= 12 kN (permanente) ;

TQk= 15 kN (vento de sobrepresso).

Soluo :

a) montagem da emenda :

ser feita uma tentativa adotando-se

duas peas laterais (cobre-juntas,

tambm denominadas mata-juntas, na

obra) de 2,5 X 15 cm2.

O dimensionamento destas peas pode ser feito como j realizado no exerccio 4.1.

b) combinao das aes :

Td= 1,4. (12 + 0,75. 15) = 32,6 kN.

c) propriedades mecnicas da Garapa Roraima :

fc0m= 78,4 MPa = 7,84 kN/cm2;

fc0k= 0,7. fc0m= 0,7. 7,84 = 5,48 kN/cm2;

2

c


48,5.56,0

f.kf ==

= .

d) escolha do dimetro do parafuso :

2,52,57,5

15

Tk

ElevaoSeo7,5

Tk15


65/138


Uma sugesto razovel, que costuma trazer bons resultados finais, tomar o dimetro

do parafuso situado entre 1/6 e 1/5 da espessura da pea mais grossa.

Sendo assim : 50,1d25,1;5,7.51

d5,7.61

; ou seja : d = 1/2 ou 5/8;

Adotaremos d = 5/8 (1,6 cm), esperando uma maior capacidade do pino, em relao a d

= 1/2.

e) resistncia do parafuso na ligao :

Como todas as peas envolvidas na ligao tm esforo paralelo s fibras, basta

verificar as peas laterais, onde t = 2,5 cm (mais delgada).

t = t1= t3= 2,5 cm ;

56,16,15,2

dt

=== : este dimetro no pode ser usado, pois t < 2d !

re-escolhendo o dimetro, tomamos d = 1/2 (1,27 cm) ;

0,2~27,15,2

dt

== verifica ! ;

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;

fed= fc0d= 2,20 kN/cm2;

93,3

20,2

8,21.25,1

f

f.25,1

ed

ydlim === ;

lim


66/138


EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3 . 1,27 = 3,9 ~ 5 cm

h) croquis :

Exerccio 6.2 : Projetar a ligao entre as peas de

madeira indicadas nas figuras, usando parafusos

como meio ligante.

1- Madeira : Dicotilednea C-40.


3- Critrio da NBR-7190.


Tk= TGk+ TQk;


TQk= 6 kN (sobrecarga).

Soluo :

O dimensionamento das peas de madeira pode ser feito como j realizado no cap. 4.


Td= 1,4 . (6 + 6) = 16,8 kN.

b) propriedades mecnicas da dicotiledneaC-40:fc0k= 40 MPa = 4 kN/cm

2;

2

c


4.56,0

f.kf ==

= .

c) escolha do dimetro do parafuso :

sendo e a espessura da pea mais grossa envolvida na ligao :

0,2d6,1;10.51d10.

61;e.

51de.

61 ;

ou seja : d = 5/8 ou 3/4;

2,5

5

5

2,5

101010 1/2"

20130mm

12 parafusos = 6 cada ligao

25

10 3,753,75

25

Tk

Elevao

Seo

15

Tk


67/138


Adotaremos d = 3/4 (1,9 cm), esperando uma maior capacidade do pino.

Verifica-se a condio d2t , j que o menor valor de t ser 3,75 cm .

d) resistncia do parafuso na ligao :

d.1) peas laterais :

t = t1= t

3= 3,75 cm ;

00= ;

2~9,175,3

dt

==

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;


61,460,1 8,21.25,1ff.25,1 edyd

lim === ;

lim


68/138


RVd2= 2. RVd1= 2. 2,13 = 4,25 kN .

d.3) capacidade efetiva do pino :

prevalece o menor valor : RVd2= 4,25 kN .

e) nmero de parafusos necessrios :

=== 4~9,325,48,16

RT

n 2Vdd

.

f) disposio dos parafusos :

f.1) direo paralela carga :

BC = bordo carregado = 7.d = 7. 1,9 = 13,3 ~ 15 cm ;

4.d = 4. 1,9 = 7,60 ~ 8 cm ;

EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,9 = 11,4 ~ 12 cm ;

BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,9 = 2,9 ~ 5 cm

f.2) direo normal carga :

BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5. 1,9 = 2,9 ~ 3,75 cm ;

EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,9 = 5,79 ~ 7,5 cm

g) croquis :

Observaes :

Em ligaes entre peas no paralelas entre si, as distncias exigidas para dimetros

adotados muito grandes, quase sempre so excessivas. Estas so , sem dvida, as maiores

dificuldades encontradas no projeto de estruturas de madeira.

mais conveniente, tendo-se escolha, optar em tais ligaes por dimetros no toaltos, e que apesar de oferecerem uma capacidade menor, podem adaptar-se melhor s

dimenses das peas de madeira.

3/4"

20180mm

4d

1,5d

6d

7d

7,5

10

Elevao

5

8

12

3,753,75Seo

4 parafusos = 3/4


69/138


Percebe-se com clareza que, no projeto de estruturas de madeira treliadas, as

dimenses finais das peas de madeira quase sempre obedecem s necessidades construtivas

das ligaes, ao invs de satisfazer aos esforos a elas aplicados.

Isto pode ser constatado na verificao trao do montante vertical tracionado desta ligao.

Exerccio 6.3 : Projetar a ligao proposta no exerccio 6.2, usando parafusos com d = 5/8.

1- Madeira : Dicotilednea C-40.




Tk= TGk+ TQk;



Soluo :


Td= 1,4 . (6 + 6) = 16,8 kN.

b) propriedades mecnicas da dicotiledneaC-40:

fc0k= 40 MPa = 4 kN/cm2;

2

c

k0c

modd0ccm/kN60,1

4,1

4.56,0

f.kf ==

= .


Adotaremos d = 5/8 (1,6 cm) .

Verifica-se a condio d2t , qual seja : t = 3,75 > 2.1,6 = 3,2 .


d.1) peas laterais :t = t1= t3= 3,75 cm ;

00= ;

34,26,175,3

dt

===

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;


25

Elevao

Tk

15

25

10 3,753,75

Tk

Seo


70/138


61,460,1

8,21.25,1

f

f.25,1

ed

ydlim === ;

lim


71/138




BC = bordo carregado = 7.d = 7. 1,6 = 11,2 ~ 12,5 cm ;

4.d = 4. 1,6 = 6,4 ~ 7,5 cm ;


BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,6 =2,4 adotado: 7,5 cm (sobrou espao)



EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,6 = 4,8 ~ 5 cm .

g) croquis :

Observaes :

Como resultado das especulaes sobre a convenincia da adoo de um dimetro

menor, constata-se que a troca de 4 3/4"por 5 5/8"resultou em uma ligao mais

compacta (a parte das peas verticais que sobressaem linha inferior da estrutura menor). Resta estabelecer se o custo dos 5 5/8" menor do que 4 3/4".

Exerccio 6.4 : Projetar a ligao entre as peas de madeira indicadas nas figuras, usando

parafusos como meio ligante.

1- Madeira : Pinho do Paran.


3- Critrio da NBR-7190.4- Esforos atuantes :

5

5

5

Elevao

7,5

7,5

10

2,52,5

Seo

5

5

5/8"

20180mm

5

57,5

7,5

10

2,52,5 5

2a. soluo

5 parafusos = 5/8


72/138


Tk= TGk+ TQk;



Soluo :


Td= 1,4 . (10 + 10) = 28 kN.

b) propriedades mecnicas do Pinho do Paran :

fc0m= 40,9 MPa = 4,09 kN/cm2;

fc0k= 0,7 . fc0m= 0,7. 4,09 = 2,86 kN/cm2;

2

c


86,2.56,0

f.kf ==

= .


sendo e a espessura da pea mais grossa envolvida na ligao :

0,3d5,2;15.51

d15.61

;e.51

de.61

;

Adotaremos d = 5/8 (1,6 cm), j que os dimetros recomendados so muito grossos.J se constatou nos exemplos anteriores que dimetros grossos exigem distncias muito

grandes entre pinos, e aos bordos das peas.

Verifica-se a condio d2t , j que o menor valor de t ser 5 cm .



t = t1= t3= 5 cm ;00= ;

13,36,15

dt

===

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;


47,514,1 8,21.25,1ff.25,1 edyd

lim === ;

5

60

15

20

15 5

Tk

Elevao Seo

Tk


73/138


lim


74/138


4.d = 4. 1,6 = 6,4 ~ 7,5 cm ;


BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,6 = 2,4 ~ 2,5 cm



EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,6 = 4,8 ~ 5 cm

g) croquis :

Exerccio 6.5 (4oTE-2005) Projetar a ligao entre as peas de madeira indicadas nas figuras,

solicitada compresso, usando parafusos (d = 5/8= 1,6cm) como meio ligante :

1- E.L.U.=Combinao normal.



4- Madeira ANGELIM PEDRA, 2a. categoria :

fc,0,m= 59,8 MPa.5- Esforos atuantes :

Ck = Cgk + Cqk, Cgk = 10 kN (permanente),

Cqk = 4 kN ;(vento de sobrepresso).

Soluo :


Cd= 1,4 . (10 + 0,75 . 4) = 18,2 kN.

b) propriedades mecnicas de ANGELIM PEDRA :

fc0m= 59,8 MPa = 5,98 kN/cm2;

7,5

2,5

2,5

7d

Seo

7,5

Elevao

2,5

106d

4d

1,5d

5 5

5/8"

20250mm

6 parafusos = 5/8

Elevao

120o

16,59

Ck

6,56,59

5

Seo


75/138


fc0k= 0,7 . fc0m= 0,7 . 5,98 = 4,19 kN/cm2;

2

c


19,4.56,0

f.kf ==

= .

c) resistncia do parafuso na ligao :

a escolha do dimetro do parafuso j foi estabelecida no enunciado : d = 5/8.

c.1) verificao da condio da NBR-7190 :

d2)tmenor(t , ou seja : t = 4,5 > 2 . 1,6 = 3,2 .

c.2) peas laterais :

t = t1= 6,5 cm ; 060= ;

feod= fc0d= 1,67 kN/cm2;

fe90d= 0,25. fc0d. E ; E =1,52 para d = 5/8

fe90d= 0,25. 1,67. 1,52 = 0,64 kN/cm2

;

+= 2

d,90,e2

d,0,e

d,90,ed,0,ede cos.fsen.f

f.ff ;

222d,60,e cm/kN75,060cos.64,060sen.67,1

64,0.67,1f =

+= ;

06,46,15,6

dt

=== ;

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff === ;

73,675,08,21

.25,1f

f.25,1

ed

ydlim === ;

lim


76/138


lim


77/138


Cqk= 7 kN (sobrecarga).

Soluo :


Cd= 1,4 . (3 + 7) = 14,0 kN.

b) propriedades mecnicas de DICOTILEDNEA C-20:

fcok= 20 MPa = 2,0kN/cm2;

2

c


0,2.56,0

f.kf ==

= .

c) resistncia do parafuso na ligao :

a escolha do dimetro do parafuso j foi estabelecida no enunciado : d = 1/2 (1,27 cm) .

c.1) verificao da condio da NBR-7190 :

d2)tmenor(t , ou seja : t = t2/2 = 6,5/2 = 3,25 > 2. 1,27 = 2,54. verifica !

c.2) peas laterais :

t = t1= 4 cm ; 050= ;

feod= fc0d= 0,8 kN/cm2;

fe90d= 0,25. fc0d. E ; E =1,68 p/d=1/2

fe90d= 0,25. 0,8. 1,68 = 0,34 kN/cm2;

+= 2

d,90,e2

d,0,e

d,90,ed,0,ede cos.fsen.f

f.ff ;

222d,50,e cm/kN45,050cos.34,050sen.8,0

34,0.8,0f =

+= ;

15,327,14

dt

=== ;

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;

74,845,08,21

.25,1f

f.25,1

ed

ydlim === .

lim


78/138


56,227,125,3

dt

=== ;

2yd cm/kN8,21f = ;

fe0d= fc0d= 0,8 kN/cm2;

53,6

8,0

8,21.25,1

f

f.25,1

ed

ydlim === ;

lim


79/138


2A. categoria, qualidade estrutural.


Tk= TGk+ TQk; TGk= 3 kN (permanente) ; TQk= 3,3 kN (sobrecarga).

Soluo :


Td= 1,4 . (3 + 3,3) = 8,82 kN.

b) propriedades mecnicas do EUCALIPTO GRANDIS :

fc0m= 40,3 MPa = 4,03 kN/cm2;

fc0k= 0,7 . fc0m= 0,7 . 4,03 = 2,82 kN/cm2;

2

c


82,2.56,0

f.kf ==

= .


Adotado d = 1/2 (1,27 cm), como estabelecido no enunciado.

Verifica-se a condio d2t , j que o menor valor de t ser 3,25 cm :

tMIN= 3,25 cm > 2 . 1,27 = 2,54.



t = t1= t3= 3,25 cm ;00= ;

56,227,125,3

dt

===

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;


5,513,1

8,21.25,1

f

f.25,1

ed

ydlim === ;

lim


80/138


090= ;

74,327,175,4

dt

=== ;

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;

fe0d= fc0d= 1,13 kN/cm

2

;fe90d= 0,25 . fc0d. E ;

E = 1,68 , para d = 1,27 cm ;

fe90d= 0,25. 1,13. 1,68 = 0,47 kN/cm2;

48,847,08,21

.25,1f

f.25,1

ed

ydlim === ;

lim


81/138


Tk2

Tk1 Tk,RES

Exerccio 6.8 (EX.FINAL 2006) : Projetar a ligao entre as peas (1) e (2) do n de uma

trelia de madeira indicado nas figuras, usando parafusos como meio ligante, segundo o

critrio da NBR-7190, considerando ;

1- Dimetro do parafuso d = 5/8 (1,6cm).


3- Madeira : AROEIRA DO SERTO,

2A. categoria, qualidade estrutural.


Tk1= TGk1+ TQk1; Tk2= TGk2+ TQk2

TGk1= 30 kN; TGk2= 18 kN(permanentes) ;

TQk1= 50 kN; TQk2= 35 kN(sobrecargas) .

Soluo :a) combinao das aes : E.L.U. : Combinao normal :

Tk,RESULTANTE= Tk1- Tk2= (TGk1 TGk2) + (TQk1 TQk2) ;

Tk,RESULTANTE= (30 18) + (50 35) kN ;

Tk,RESULTANTE= 12 kN + 15 kN ;

Td= 1,4 . (12 + 18) = 37,8 kN.

b) propriedades mecnicas da AROEIRA DO SERTO :fc0m= 101,7 MPa = 10,17 kN/cm

2;

fc0k= 0,7 . fc0m= 0,7 . 10,17 = 7,12 kN/cm2;

2

c


12,7.56,0

f.kf ==

= .

c) parafuso d = 5/8 = 1,6 cm. :

Verifica-se a condio d2t , j que o menor valor de t ser 4,5 cm :

tMIN= 4,5 cm > 2 . 1,6 = 3,2.

Tk2

Tk1

2,5

Tk2

24

,5

ELEVAO

12

2,5

Tk1

19,5

4,5

SEO

9,54,5

2

1

3

3

33

3

19,5

6,52,5

2,5

6,58,0

2,5 2,54,5

4 arafusos = 1/2


82/138




t = t1= t3= 4,5 cm ;00= ;

81,26,15,4

dt

=== ;

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;


46,385,28,21

.25,1f

f.25,1

ed

ydlim === ;

lim


83/138


e) nmero de parafusos necessrios :

=== 6~7,558,6

8,37RT

n2Vd

d .



BC = bordo carregado = 4.d = 4. 1,6 = 6,4 cm ;

EP = entre parafusos consecutivos = 6.d = 6. 1,6 = 9,6 cm ;

BD = bordo descarregado = 1,5.d = 1,5. 1,6 = 2,4 cm


BE = bordo externo = 1,5 . d = 1,5. 1,6 = 2,4 cm ;

EP = entre linhas de parafusos = 3.d = 3. 1,6 = 4,8 cm.

g) croquis :

Exerccio 6.9 : Projetar a ligao entre o montante e

o banzo superior (asna) da tesoura composta por

troncos de madeira, indicada nas figuras.

1- Madeira : EUCALIPTO CITRIODORA,



3- ELU : Combinao normal.

4- Dimenses em centmetros.5- Esforos atuantes : Tk= TGk+ TQk;

TGk= 10 kN (permanente);

TQk= 15 kN (vento de sobrepresso).

Soluo :

A soluo usual para este tipo de ligao o

uso de parafusos e cintas de ao, de pequena

largura. A figura ao lado mostra esta soluo.

2,524,5

2,519,5

710

2,5

2,5 2,5

2x 7,25

6 parafusos = 5/8

Seo

Tk

Elevao

=10

=10

=15

Tk

=10

=15

1

2

3

4

1

2

L


84/138


O dimensionamento da mesma ser executado considerando-se o apoio dos

parafusos na pea 2, e nas cintas de ao.

Dever ser feita a verificao das tenses de apoio da cinta de ao na pea 1, ao

esmagamento.

Tambm no deve deixar de ser ressaltado, o clculo da capacidade dos parafusos, em

contato com as tiras de ao : este clculo ser executado luz da Norma NBR-8800. Estes

mesmo procedimentos tambm foram indicados na soluo do exerccio proposto 6.19.

As tenses de trao geradas na cinta de ao devero ser verificadas para o esforo de

trao respectivo.


Td= 1,4. (10 + 0,75*. 15) = 29,8 kN. *reduo da ao do vento, que de curta

durao, para transformar o resultado em efeito de longa durao.

b) propriedades mecnicas do EUCALIPTO CITRIODORA:

fc0m= 62,0 MPa = 6,2 kN/cm2;

fc0k= 0,7. fc0m= 0,7. 6,2 = 4,34 kN/cm2;

2

c


34,4.56,0

f.kf ==

= ;

fc90d= 0,25. fc0d= 0,25. 1,74 = 0,43 kN/cm2;

+= 2

d,90,c2

d,0,c

d,90,cd,0,cdc cos.fsen.f

f.ff ;

222d,60,c cm/kN53,060cos.43,060sen.74,1

43,0.74,1f =

+= .


sendo o dimetro da pea a ser ligada (2) :

0,2d6,1;10.51d10.

61;.

51d.

61 ;

ou seja : d = 5/8 ou 3/4;

Adotaremos d = 5/8 (1,6 cm) ;

Verifica-se a condio d2t , j que o valor de t ser 5,0 cm.

( )cm2,36,1.2d.25t ==>= .

d) resistncia do parafuso na ligao :d.1) no contato com a chapa de ao (3) :

clculo de acordo com a NBR-8800 : >> 11,12 kN .


85/138


d.2) no contato com a pea central (2):

===2

102t

t 2 5,0 cm ;

00= ;

13,36,10,5

dt

=== ;

2

s

ykyd cm/kN8,2110,1

0,24ff ==

= ;


43,474,1

8,21.25,1

f

f.25,1

ed

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Exercicios de Madeiras [UFPR]