EVALUAREA CALITIIEVALUAREA CALITII LUCRRILORLUCRRILOR TOPOGRAFICE ITOPOGRAFICE I GEODEZICEGEODEZICE20101EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE1.1. PROBLEME DE BAZ ALE TEORIEI ERORILOR PROBLEME DE BAZ ALE TEORIEI ERORILOR DE MSURARE DE MSURARE1.1. SCOPUL TEORIEI ERORILOR DE MSURAREDac o mrime se msoar de mai multe ori, de fiecare dat, se obine o alt valoare chiar dac msurtorile se desfoar n aceleai condiii de ctre acelai operator i cu instrumente de mare precizie.Cauza acestor nepotriviri de valori se datoreaz erorilor care afecteaz ntotdeauna o msurtoare, fcnd ca valoarea adevrat a mrimii msurate s nu poat fi cunoscut niciodat.Practic neputnd fi determinat valoarea adevrat a mrimii msurate se caut (se determin) o valoare apropiata de cea adevrat ntr-un grad mai mare sau mai mic funcie de scopul pentru care se execut msurtorile.Apropierea mrimii determinate fa de valoarea adevrat a acesteia caracterizeaz precizia determinrii .Ca urmare, prelucrarea msurtorilor efectuate asupra unei mrimi urmrete obinerea celei mai bune valori a acesteia si a diferenei maxime ntre valoarea determinat i valoarea adevrat.1.2. IMPORTANA TEORIEI ERORILOR DE MSURARE Informaiile, careconstituiebazaconcretdedatenecesarrezolvrii problemelor geodezice, fotogrammetrice i topografice, provin din observaiile de msurare efectuate asupra unor mrimi cu care se lucreaz frecvent i care, n principal, sunt unghiuri i distante. Calitatea informaiilor obinute din msurtori este funcie direct de volumul observaiilor i precizia aparatelor i instrumentelor de msurat.Seimpuneaadar, caporninddelascopul pentrucaresunt efectuatemsurtorilesse stabileascvalorilecorespunztoarecamrimei precizie, lundnconsiderareaspectuleconomic referitor la volumul observaiilor, necesar i suficient, care se impune.Teoria erorilor de msurare sau teoria prelucrrii msurtorilor intervine cu succes i rezolv favorabil aceste aspecte.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE1.3. CLASIFICAREA ERORILOR Erorilecareacioneazntotdeaunaasupramsurtorilorefectuateasupraunei mrimi sunt complexe, iar o analiz a acestora impune individualizarea lor dup anumite criterii.1.3.1. ERORI DUP CAUZELE LORCauzele erorilor sunt multiple i se datoreaz: - aparatelor si instrumentelor de msurat, numite eroriinstrumentale; - operatorului care efectueaz msurtorile, numite erori personale; - influenei mediului, numite erori de mediu, precum i variaiile acestor cauze.1.3.2. ERORI DUP VALOAREA DE REFERINModul general dedefinireaerorilorconstndeterminareadiferenelordintreobservaiile efectuate asupra unei mrimi si valoarea mrimii respective. Dac aceast valoare se noteaz cu M0 observaiile cu O1 i erorile ei , atunci :ei = O1 - M0;i =1,2...,nValoarea M0, ca valoare de referin n definirea erorilor poate fi valoarea adevrat a mrimii msurate, sau valoarea care se determin fiind apropiat de valoarea adevrat.n acest sens se disting :-erori adevrate sau realei se noteaz cu erorile care rezult din diferenele observaiilor fa de valoarea adevrat X;-erori aparente saurezidualesi se noteaz cu v, erori care rezulta din diferentele observaiilor fata de valoarea determinata M (exemplu din media observaiilor).Estesimpludenelescaerorileadevratenupot fi cunoscute, iarerorileaparentepot fi determinate deci cunoscute.1.3.3. ERORI DUP MRIMEA LORPrivind erorile din punctul de vedere al mrimii lor, putem avea: - erori mici sau tolerabile (admise) - erori mari sau netolerabile (neadmise) numite si greeli.Aceste erori se constata dintr-o prima analiza a msurtorilor. Astfel, daca asupra unui unghi orizontal au fost obinute din msurtori, observaiile:O1 = 85.93.47O2 = 85.93.42O3 = 85.93.51O4 = 85.93.24O5 = 85.93.48Se constata ca asupra observaiei O4 a crei valoare este mult diferita de valorile observaiilor O1,O2,O3si O5aacionat oeroaremarecarenuseadmitesi inconsecinaceastaobservaiese elimina, rmnnd a fi prelucrate numai celelalte patru.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE1.3.4. ERORI DUP MODUL LOR DE ACIONAREDinpunct devedereal modului incareacioneaz(sepropaga) erorilesedisting:erori sistematice i erori accidentale .a). Erorile sistematice, sunt erori provocate de cauze permanente si au in fiecare caz o mrime constanta sau variabila dup o lege cunoscuta. Erorile sistematice sunt erorile controlabile ale aparatelor de msurat , ale metodelor de msurare, precum si ale influentelor controlabile ale mediului in care se fac msurtorile. Au acelai sens de propagare, deci algebric au acelai semn.Unexempludeeroaresistematicaesteeroareaceafecteazmsurareaunei distantecuun instrument (ruleta, panglicadeotel etc)acrui lungimeestealtadect ceastabilitasi marcatala etalonare. Fie in acest sens o ruleta de 50 m, care in urma operaiei de reetalonare s-a constatat ca are o lungime de 50,03m(evident mai mare, pentru ca instrumentul dup o perioada de folosire se deformeaz - in sensul ca se alungete).Cuaceastaruletas-amsurat odistantaegalacu200mceeacenseamncas-aproduso eroare sistematica.es = (50,00 - 50,03)20050 = -0,12 mIn general, erorile sistematice sunt controlabile, pot fi deci determinate si prin urmare efectul lor poate fi anulat prin calcule sau prin metode de lucru.Cu referire la exemplul considerat efectul erorii sistematice se anuleaz prin aplicarea unei corecii (Cs) asupra distantei msurate care evident este egala si de semn contrar cu eroarea sistematica.Cs = - es = 0,12mdeci distanta msurat (fr eroare sistematica) va fi 200,120m.b) Erorile accidentale, sau probabile, sau ntmpltoare sunt erori care se produc accidental si se datoreaz unor cauze diferite (aleatoare) ce nu pot fi cunoscute.Aceste erori necunoscute, deci necontrolabile permit insa a face asupra lor urmtoarele afirmaii : sunt mici, variaz ntmpltor cnd intr-un sens cnd in altul, adic algebric pot fi pozitive si negative.Din aceste afirmaii rezulta ca la un numr mare de msurtori efectul lor poate fi micorat.Un exemplu de erori accidentale l constituie cele care afecteaz observaiile efectuate asupra unei direcii materializata cu un teodolit prin vizarea repetata a unui semnal geodezic.Punctareasemnalului neputndfiperfecta(realizndu-seinstngasauindreaptaacestuia) lecturile (observaiile) la cercul gradat orizontal vor fi influenate de erori pozitive si erori negative.Astfel, daca valoarea lecturii la punctarea neeronata (corecta) a semnalului este de 17g.35c.91cc pentru diferite alte punctri putem obine lecturi cu valori diferite care determina diferentele : +5cc, -7cc , +6cc , -4cc etc.Neputndcunoatevaloarealecturii corespunztoareunei punctri corecte, evident canici diferentele fata de aceasta (erorile accidentale) nu pot fi cunoscute , chiar daca ele practic exista.Dei erorile accidentale nusunt controlabile, s-a constatat totui ca poseda urmtoarele caracteristici :- erorile mici, in valoare absoluta, sunt mai frecvente dect cele mari (principiul cazualistic) ;- toate erorile sunt mai mici dect o anumita limita (principiul limitativ);- la un numr foarte mare de msurtori se obin tot attea erori pozitive cate erori negative (principiul distributiv) ;- probabilitatea de a avea o anumita eroare este in funcie numai de mrimea erorii (principiul probalistic).Aceste caracteristici ale erorilor accidentale, permit studiul lor prin aplicarea calculului probabilitilor.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEAadar, erorile accidentale nu pot fi anulate, insa pot fi micorate prin prelucrarea corespunztoare a lor. Este important insa de reinut, ca prelucrarea erorilor accidentale este posibila dup ce in prealabil au fost eliminate erorile sistematice.Metodele si procedeele privind prelucrarea erorilor accidentale alctuiesc in ansamblul lor teoria erorilor de msurare.1.4. CLASIFICAREA MSURTORILORMsurtorile, ale cror erori constituie obiectul de studiu al prezentei teorii difer dup modul lor de prezentare si in raport cu condiiile in care sunt executate.Astfel, dup modul lor de prezentare sunt grupate in msurtori directe, msurtori indirecte, msurtori directecucondiii(condiionate),msurtoriindirectecumaimulte mrimi msurate si msurtori indirecte supuse la relaii de condiie.Dup condiiile in care sunt executate, msurtorile pot fi de aceeai precizie si de precizii diferite.a) Msurtorile directe, se caracterizeaz prinaceea ca observaiile sunt efectuate cu instrumentul direct asupra mrimii care se msoar(se determina).Astfel, msurarea unei distante, a unui unghi sau a unei nlimi, constituie exemple frecvente de msurtori directe.b) Msurtori indirecte, se caracterizeaz prin aceea ca observaiile sunt efectuate cu instrumentul nu asupra mrimilor care se determina ci asupra altor mrimi. Mrimile care se determina rezulta prin prelucrarea observaiilor efectuate pe baza unor anumite metode de calcul.Astfel, determinarea coordonatelor punctelor geodezice folosind distante sau direcii msurate, determinarea cotelor punctelor de nivelment folosind diferente de nivel msurate constituie exemple de msurtori indirecte.c)Msurtoridirectecu condiii,numitesimsurtoricondiionate, secaracterizeaz prin aceea ca mrimile care se determina sunt rezultatul direct al observaiilor ce se efectueaz, insa acestea trebuie sa ndeplineasc anumite restricii. Un exemplu de msurtori directe cu condiii l constituie unghiurile dintr-un triunghi, care sunt mrimi asupra crora se fac observaii directe, dar care unghiuri se obin in aa fel nct suma lor sa fie egala cu 200g.d) Msurtori indirecte cumai multe mrimi msurate, reprezint un caz general al msurtorilor indirectecarediferdecel particular prinmodul incaresestabilesclegaturi intre mrimile care se determina si coreciile mrimilor msurate. Un exemplu de astfel de msurtori l constituie rezolvarea reelelor de nivelment pe zone si metode diferite.e) Msurtori indirecte supuse la relaii de condiie, se caracterizeaz prin aceea ca mrimile care se determina folosind observaiile efectuate direct asupra altor mrimi trebuie sa ndeplineasc anumite condiii. Un exemplu care aparine acestei categorii de msurtori l constituie determinarea unghiurilor ncadrate intr-un unghi fix pe baza direciilor msurate prin metoda seriilor binare.f) Msurtori de aceeai precizie, se caracterizeaz prin faptul ca asupra lor observaiile sunt efectuate cu acelai instrument si in aceleai condiii, deci astfel spus au acelai grad de ncredere. Astfel observaiileefectuatecuoruletametalicainaceleai condiii, pot fi consideratecaavnd aceeai precizie.g) Msurtori de precizii diferite, sunt efectuate in condiii diferite, metode diferite de lucru sauinstrumentediferite. Astfel, observaiilecarerezultadinserii diferite(numeric)demsurtori efectuate asupra unui unghi nu pot fi considerate ca avnd aceeai precizie.1.5. REPARTIIA ERORILOR ACCIDENTALEAdmitem ca asupra unei mrimi s-au efectuat n observaii si ca o eroare de mrime 1s-a produs de n1 ori.Cu aceste elemente probabilitatea p1 de a se produce eroarea 1 se exprima astfel :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEp1 =nn1(1.1)Evident ca pentru o eroare de alta mrime, fie 2 , in cele n observaii vor exista n2 apariii, iar probabilitatea p2 va fi :p2 = nn2(1.1)Se constata ca probabilitatea depinde valoric de mrimea erorii deci este o funcie de aceasta. In consecina p = f( ) (1.2)Formafunciei din(relaie) exprimadefapt legeadedistribuieaerorilor, cunoscutasub numele de distribuia normala stabilita de Gauss.In scopul determinrii acestei funcii, Gauss face ipoteze ca valorile unei serii de observaii se grupeazinjurul valoriimedieiaritmetice, care(dupcumsevademonstraulterior)esteceamai apropiatadevaloareaadevratamrimii msurate, respectivceamai probabilavaloareaacestei mrimi.NotamcuO1, O2, O3,...,Onobservaiileefectuatedirect si cuaceeai precizieasupraunei mrimi.Daca M este media lor aritmetica, putem scrie :M =nO O O On+ + + + ........3 2 1(1.3)fata de care obinem :vi = Oi - M;i = 1,2,...n (1.4)Probabilitatea prezentei fiecrei din aceste erori va fi respectiv p1= f1(v1), p2= f2(v2),...pn= fn(vn), iar probabilitatea P ca toate erorile sa se fi produs este conform teoriei probabilitii compuse, produsul probabilitilor, respectiv :p = f1(v1).f2(v2)......fn(vn)=p1.p2....pn(1.5)Pentrucaerorilevsafiemici si deci valoarealui Msafieceamai bunaseimpuneca probabilitatea P sa fie maxima, deci :P= f1(v1).f2(v2)......fn(vn) = maxim (1.6)Extremul expresiei (1.6) se obine pentruvalorile care anuleaz derivata ei sau,este acelai lucru, derivata logaritmului in raport cu variabila V.Deci putem scrie, aplicnd logaritmii naturali :( )( )( )( )( )( )0 ..........'2 22'21 11'1 + + +n nn nv fv fv fv fv fv f(1.7)sau :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE( )( )( )( )( )( )0 .. ..........'2 22'2221 11'111 + + +n nn nnnv fv fvvv fv fvvv fv fvv(1.8)Dar, nsumnd egalitatea (1.4) si innd seama de (1.3) rezulta:v1+v2+..........+vn=0 (1.9)Aadar relaia (1.8) exista numai atunci cnd:( )( )( )( ) ( )Kv fv fv v fv fv v fv fvn nn nn ) ( 1.. ..........1 1'2 22'22 1 11'11am prescurtat :( )( )f vf vv Ki ii ii' (1.10)nmulind cu dvi egalitatea (1.10) se obine:( )( )i i ii ii idv Kv dvv fv f'i :( )( )i i ii ii idv v k dvv fv f de unde :( )022ln CvK v fii i+ sau :( )02ln2ln CvK v fii i+ Rezulta ca in final avem :( )22iK vi iC e v f (1.11)In consecina, introducem in locul lui K2 pe -h2 si obinem forma generala a funciei :f(v) =Ce h v2 2(1.12)Deci legea de distribuie a erorilor accidentale se exprima prin funcia probabilistica :p = Ceh v 2 2(1.13)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE1.6. INDICELE DE PRECIZIE AL UNEI MSU-RTORI. PONDEREA MSURTORIIDacasereprezintgraficfunciaseobinecurbadedistribuiecunoscutasubnumelede clopotul lui Gauss (fig.1)Graficul funciei a fost obinut repre-zentnd pe axa absciselor erorile v, iar pe axa ordonatelor probabili-tile p.Probabilitatea va fi vitezimal dp de a avea o eroare cuprinsa geometric prin suprafaadreptunghiului haurat dinfigura mprit la suprafaa cuprinsa intre curba si axa v.Figura 1Considernd aceasta din urma suprafaa egala cu unitatea avem :dp Ce dvh v2 2(1.14)Integrnd obinem :p = Ce dvh v 2 2(1.15)Probabilitatea de a avea eroarea cuprinsa intre - si + este 1, adic certitudinea, respectiv :p= Ce dvh v +2 21(1.16)Efectund o schimbare de variabila prin : t = hv de unde rezulta cdt = hdvp =Che dtt +21(1.17)Este cunoscuta integrala lui Poisson :e dtt +2(1.18)Cu care obinem conform egalitii (1.17) :Ch 1 (1.19)de unde valoarea constantei de integrareC =h(1.20)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE h - indice de preciziePentru determinarea valorii lui h consideram expresia (1.14) in care vom nlocui constantaC cu expresia (1.20), respectiv :dp = heh vdv2 2(1.21)Egalitatea este valabila si in cazul in care consideram erorile adevrate , ceea ce putem scrie :dp = he dh 2 2(1.22)Lund in consideraremodul de definire al probabilitii rezulta :he dh 2 2 numarul erorilor de marimenumarul total al erorilor(1.23)nmulim egalitatea cu 2 si putem scrie :he dh 2 22suma patratelor erorilor de marimenumarul total al erorilor(1.24)Integrnd intre -si + avem :he d mh +2 2202 (1.25)in care m02 este media ptratelor erorilor , care poate fi scrisa sub forma :m02 = 1222 2+ + + ....nn(1.26)i care prin definiie reprezint eroarea medie ptratica a unei singure msurtori.Revenind la egalitatea (1.16) putem scrie :he dh +2 21(1.27)sau dup derivare in raport cu h:22 222h e dhh + (1.28)Lund in considerare egalitatea (1.25),(1.28) devine:211222mhhmoo(1.29)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEFcnd abstracie de constanta se putem scrie:hm2021(1.30)Seobservadinegalitatea(1.30) cahreprezintunindicedeprecizie, acestafiindinvers proporional cu eroarea medie ptratica a unei singure msurtori.Practic, se noteaz p = h2 , deci :p = 102m(1.31)Numrul p fiind ntotdeauna pozitiv si poarta numele de ponderea msurtorii efectuate.1.7. EROARE PROBABIL, EROARE LIMIT, EROARE RELATIV, TOLERANEroarea probabila epa unei singure msurtori este acea eroare pentru care numrul erorilor mai mari ca ea este egal cu numrul erorilor mai mici ca ea. Dac se ordoneaz un ir de observaii in succesiunea cresctoare a valorilor erorilor accidentale eroarea probabila se va gsi in mijlocul acestui ir si corespunde observaiei respective.Astfel, daca asupra unei lungimi au fost efectuate 9 observaii cu valorile:O1 = 38,245 m O6 = 38,248 m O2 = 38,243 m O7 = 38,242 mO3 = 38,247 m O8 = 38,249 mO4 = 38,246 m O9 = 38,241 mO5 = 38,244 mMedia lor aritmetica este M = 38,245 m fata de care erorile vor fi :v1 = O1 - M = 0 v6 = O6 - M = +3v2 = O2 - M =-2 v7 = O7 - M =-3v3 = O3 - M = +2 v8 = O8 - M = +4v4 = O4 - M = +1 v9 = O9 - M =-4v5 = O5 - M =-1Se ordoneaz observaiile in succesiunea cresctoare a valorilor erorilor si obinem :- observaia O1 cu eroarea 0- observaiile O4 si O5 cu eroarea t 1- observaiile O2 si O3 cu eroarea t 2- observaiile O6 si O7 cu eroarea t 3- observaiile O8 si O9 cu eroarea t 4.Se observa ca eroarea egala cu t 2 reprezint eroarea probabila, pentru ca numrul erorilor mai mari este egal cu numrul erorilor mai mici ca aceasta.Utiliznd calculul probabilitilor se poate stabili o legtur intre eroarea unei singure msurtori si eroarea probabila de forma :ep = 230m (1.32)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEDe asemenea, tot pe baza calculului probabilitilor se deduce ca probabilitatea ca eroarea unei singure msurtori sa nu depeasc 3m0este de 1500ceea ce nseamn 0,2 cazuri la o suta cazuri favorabile, adic practic nici un caz.S-a convenit sa se ia eroarea a crei valoare este 3m0drept eroare maxima sau eroare limita, notata cu elim0Deci :elim = 3m0(1.33)egalitate valabila cnd numrul de msurtori nu depete 100, ceea ce practic este ndeplinit.Daca notam cu ecartul valorilor msurtorilor (diferena intre doua observaii), rezulta ca va conduce la producerea a doua erori, caz in care probabilitatea va fi de 0,4deci practic tot nici un caz favorabil dintr-o suta de msurtori.Ovaloaremaximaaacestui ecartmax(diferenaintrevalorileextreme) carereprezint toleranta msurtorilor T nu va depi 3m0.Deci :max 3m0(1.34)Practic se verifica daca :max T (1.35)iar :T = 3 m0(1.36)Eroriledefinitepanaacum-eroareamedieptraticaaunei singuremsurtori,eroare probabila,eroarelimita, provindinmsurareaunormrimi concretesi seexprimaprinaceleai uniti de msur ca si mrimile respective.Acolo unde precizia msurtorilor este funcie de mrimea care se msoar, cum este cazul msurtorilor de distante, erorile ce caracterizeaz complet rezultatul msurtorii in ceea ce privete gradul de precizie, sunt erorile relative.Prin definiie eroarea relativa notata cu er este un raport intre una din erorile definite mai sus si valoarea mrimii msurate L.De exemplu :er = mL0(1.37)Rezultatul este un numr si practic se prezint in procente astfel :er = 100mL0% (1.38)1.8. PREZENTAREA REZULTATULUI MSURTORILORRezultatul msurtorilor efectuate asupra unei mrimi se prezint sub forma :X = M te (1.39)in care :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE- X - este valoarea adevrat a mrimii msurate ;- M - este valoarea medie sau valoarea probabila determinata ;- e - este una din erorile definite (m0 , ep , elim) sau m.S-a notat cu m, eroarea medieptraticaa valoriimedii,asupracreiase vorface referirile corespunztore in paragrafele urmtoare.Este de menionat ca pot fi mrimi asupra crora se efectueaz o singura msurtoare. Pentru aceste cazuri in relaia (1.39) M este valoarea msurat (dup eliminarea erorilor sistematice), iar e este eroarea observaiei respective (eroarea instrumentului in principal). Semnificaia egalitii (1.39) consta in aceea ca valoarea adevrat se afla intr-un interval de precizie dat de inegalitile :M-e kPentru liniarizarea funciilor din (5.9) notm cux x xk 1020 0, ,........., valorile aproximative ale necunoscutelor.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEx x xx x xx x xk k k1 1012 2020 + + +...................(5.10)Se constat c prin determinarea creterilor x1, x2, .........., xkdup metodologia care va urma, exist posibilitatea determinrii necunoscutelor x1 , x2 , .......................,xk cu relaiile (5.10).Introducem n ecuaiile (5.9) expresiile necunoscutelor date de egalitile (5.10) i obinem :( )( )f x x x x x x l vf x x x x x x l vf x x x x xk kk kn k1 101 20201012 101 2020202101 2020+ + + + + + + + , ,.........,, ,.........,.................................................................., ,.........,( )+ x l vk n n0(5.11)Creterilenecunoscutelor fiindmici funciiledin(5.11) pot fi dezvoltatenserieTaylor. Reinem din dezvoltare pn la termenii la puterea nti i avem :f x x xfxxfxxfxx l vkkk 1 1020 0 1111221101( , ,.........., ) ...................................................................................................+

_, +

_, + +

_, ...( , ,.........., ) ...... f x x xfxxfxxfxx l vn kn n nkk n n 1020 011220+

_, +

_, + +

_, (5.12)Expresiile derivatelor din (5.12) se calculeaz pentru xi=xi0 (i=1,2,...,k).Introducem n ecuaiile (5.12) notaiile :1010 0201 11 1 ) ,... ( kx x x ff x x xk 2 1020 02021 1 ( , ,..., ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - n n k nx x x f 1 1 ) ,..., , (0 0 0201 ai,bi,...,ki(i=1,2,...n) coeficienii creterilor x x xk 1 2, ,...,i avem :a x b x k x vk 1 1 1 2 1 1 11 + + + + ...a x b x k x vk 2 1 2 2 2 2 21 + + + + ...(5.13) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -a x b x k x vn n n k n n 1 21 + + + + ...Sistemul de ecuaii (5.13) reprezint forma general de definire a msurtorilor indirecte i poart numele de sistemul ecuaiilor de erori sau sistemul de ecuaii al coreciilor.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEScrierea n forma general a sistemului ecuaiilor de erori este posibil i n cazul funciilor liniare.Astfel pornind de la sistemul particular (5.3) putem scrie:a x b x k x vk 1 1 1 2 1 1 11 + ++ + ...a x b x k x vk 2 1 2 2 2 2 21 + + + + ... (5.14)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -a x b x k x vn n n k n n 1 21 + + + + ...Pentruarezolvacuuurinsistemul (5.14)sefolosetepracticprocedeul introducerii de valori aproximative exprimate ca n (5.10), ceea ce conduce la un sistem de ecuaii identic cu (5.13).1.23. PONDERILE ECUAIILOR DE ERORIS-a artat c egalitile (5.8) practic nu pot exista datorit erorilor care afecteaz ntotdeauna msurtorile fcnd ca valorile mrimilor msurate s nu fie cele reale, adevrate.Mrimile msurate sunt, n exemplele considerate, diferenele de nivel i distanele ntre punctele geodezice.Se constat c n fiecare ecuaie a sistemului (5.3) sau a sistemului (5.7) exist o singur mrime msurat.Eroarea mrimii respective reprezint i eroarea ecuaiei.Acest lucru rmne valabil i la forma general de exprimare a sistemului de ecuaii al coreciilor n care termenii liberi l1,l2...ln sunt formai dintr-o sum de constante i mrimile msurate 0 0201,..., ,nl l l .Dacnotmeroriletermenilor liberi cuml1,ml2,...mln,si erorileecuaiilor cumv1,mv2,...mvn, putem scrie :m1 1l Vm m2 2l Vm (5.15)- - - - - - - - mn nl Vm sau :m2 21 1l vm m2 22 2l vm (5.15)- - - - - - - 2 2n nl vm m Lund n considerare egalitile (3.10), egalitile (5.15) devin :1 12020l vpmpm1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE- - - - - - - - (5.16)n nl vpmpm2020sau :1 1l vp p 2 2l vp p (5.16)- - - - - - -n nl vp p Sepoatetrageconcluziacponderileecuaiilordeerori sunt datedeponderilemrimilor msurate sau de ponderile termenilor liberi.n funcie de erorile, respectiv ponderile ecuaiilor, exist doua cazuri de msurtori indirecte i anume :a) cnd ponderile ecuaiilor sunt egale, msurtorile indirecte sunt de aceeai precizie;b) cnd ponderile ecuaiilor sunt diferite, msurtorile indirecte sunt de precizii diferite.1.24. MSURTORI INDIRECTE DE ACEEAI PRECIZIE1.3.10. SISTEMUL DE ECUAII NORMALEConsiderm un sistem de ecuaii de erori format din n ecuaii cu trei necunoscute. Un astfel de sistem conform formei generale (5.14) se scrie astfel:a1x1 + b1x2 + c1x3 +l1 = v1a2x1 +b2x2 + c2x3 + l2 = v2(5.17)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -anx1 +bnx2 + cnx3 + ln = vnAlgebric sistemul (5.17) este nedeterminat ntruct conine n+3 necunoscute (erorile aparente v1,v2,...,vn i mrimile care se determin x1,x2,x3) i n ecuaii.Rezolvarea unui astfel de sistemeste posibil n sensul n care pentru necunoscutele (principale) x1,x2,x3 se urmrete determinarea valorilor lor probabile.Pentru aceasta, la sistemul (5.17) se ataeaz condiia :[vv] = minimErorileaparentev1,v2,...vndupcumrezultdinsistemul ecuaiilordeerori suntfuncii de x1,x2,x3, deci putem scrie :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE minim) l x c x b x (a .... ) l x c x b x (a) l x c x b x (a v ... v v ) ,x ,x F(xn 3 n 2 n 1 n22 3 2 2 2 1 221 3 1 2 1 1 12n2221 3 2 1+ + + ++ + + + + ++ + + + + + + (5.18)Este cunoscut caextremul unei funcii se aflpentruvalorilevariabilelor care anuleaz derivatele pariale ale funciei n raport cu acestea, deci pentru valorile care sunt soluii ale sistemului :Fx10 ;Fx20 ;Fx30 ; (5.19)Procednd la derivarea parial a funciei (5.18) sistemul (5.19) devine :2(a1x1 +b1x2 + c1x3 + l1)a1 + 2(a2x1 + b2x2 +c2x3 + l2)a2 + ...++2(anx1 +bnx2 + cnx3 + ln)an =02(a1x1 +b1x2 + c1x3 + l1)b1 + 2(a2x1 +b2x2 + c2x3 +l2)b2 +....+ +2(anx1 +bnx2 +cnx3 +ln)bn = 02(a1x1 + b1x2 + c1x3 + l1)c1 + 2(a2x1 + b2x2 + c2x3 + l2)c2 +....+ +2(anx1 + bnx2 + cnx3 + ln)cn =0sau :[aa] x1 + [ab] x2 + [ac] x3 + [a1] = 0[ab] x1 + [bb] x2 + [bc] x3 + [b1] = 0 (5.20)[ac] x1 + [bc] x2 + [cc] x3 + [c1] = 0Sistemul (5.20) poart numele de sistemul ecuaiilor normale. O caracteristic a acestui sistem este simetria, respectiv coeficienii necunoscutelor simetrici fa de diagonala principal sunt egali.Sub forma simplificat sistemul de ecuaii normale se scrie astfel :[aa]x1 + [ab]x2 + [ac]x3 + [a1] = 0 [bb]x2 + [bc]x3 + [b1] = 0(5.20) [cc]x3 + [c1] = 01.3.11. PROPRIETILE ERORILOR APARENTEConsideram sistemul (5.17) pe care-l scriem astfel :aix1 + bix2 + cix3 + 1i = vi ;i = 1,2,...,n (5.21)nmulim sistemul (5.21) succesiv cuai,bi,cidup care adunm pe coloane, rezult :[aa]x1 + [ab]x2 + [ac]x3 + [al] = [av] = 0[ab]x1 + [bb]x2 + [bc]x3 + [bl] = [bv] = 0 (5.22)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE[ac]x1 + [bc]x2 + [cc]x3 + [cl ] = [cv] = 0Proprietile eroriloraparentencazul msurtorilorindirecte deaceeaiprecizie se enun prin egalitile :[av] = 0 ;[bv] = 0 ;[cv] = 0 (5.23)O utilizareimportanta a acestorproprieti sevantlnila calculul preciziei msurtorilor indirecte de aceeai precizie.1.3.12. CALCULUL COEFICIENILOR NECUNOSCUTELOR I AL TERMENILOR LIBERI DIN SISTEMUL ECUAIILOR NORMALEnainte de rezolvarea sistemului de ecuaii normale este necesar s se calculeze coeficienii necunoscutelor i termenii liberi care-i aparin.Mrimile care intr n calcul sunt coeficienii necunoscutelor i termenii liberi din sistemul ecuaiilor de erori.Metodologia care se utilizeaz urmrete ca valorile care se obinpentrucoeficienii i termenii liberi din sistemul ecuaiilor normale s fie corecte, ceea ce impune introducerea unor relaii de control (de verificare).Astfel, dac n cazul unui sistem de erori cu n ecuaii i trei necunoscute avem coeficienii ai,bi,cii termenii liberi li(i = 1,2,...,n) atunci putem obine n prima etap sumele si cu relaiile :ai + bi + ci +li = si(5.24)Adunnd pe coloane termenii din egalitile (5.24)rezult :[a] + [b] + [c] + [l] = s (5.25)nmulind succesiv relaiile (5.24) cu ai,bi,ci,li i si dup care adunm pe coloane i obinem :[aa] + [ab] + [ac] + [a l] = [as][ab] + [bb] + [bc] + [b l] = [bs][ac] + [bc] + [cc] + [c l] =[cs] (5.26)[a l] + [b l] + [c l] + [l l] = [l s][as] + [bs] +[cs] + [l s]= [ss]Relaiile (5.25) i (5.26) sunt de control i se folosesc n scopul verificrii mrimilor care se determin.Pentru calculul coeficienilor i termenilor liberi din sistemul ecuaiilor normale se folosete schema 1 n care se vor face i verificrile corespunztoare.n schema pe coloana pe care figureaz numrul curent se trece numrul n ordine crescnd al fiecreiecuaiidinsistemulecuaiilordeerori.nurmtoareletreicoloanenotatecua,b,csetrec coeficienii necunoscutelor corespunztori ecuaiilor precizate n prima coloan.Analog, termenii liberi ncoloana notatcu l.ncoloana sfigureazsumelestabilitepeliniile schemei conform relaiilor (5.24).Odat completat aceast parte a schemei se adun pe coloane i se obin [a], [b], [c] , [1] , [s] ale cror mrimi trebuie s verifice egalitatea (5.25).1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICESe continu cu coloanele notate cu aa , ab , ac , al, as , pe care se trec mrimi ce se obin conform notaiilor din schem.Se adun pe coloane i rezult sumele care trebuie s verifice prima egalitate din (5.26).Operaiile se succed mai departe n acelai mod.Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi din sistemul de ecuaii normale poate fi efectuat cu ajutorul unei scheme simplificate (schema 2) .Se observ c n schem nu mai figureaz produsele ntre coeficieni i termeni liberi, ci direct sumele lor, care pot fi obinute cu ajutorul unui calculator simplu.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICESCHEMA 1NR.CRT.a b c l s aa ab ac al as bb bc bl bs cc cl cs ll ls ss123\\\\\\\\\\\\\na1a2a3\\\\\\\\\\\\\anb1b2b3\\\\\\\\\\\\\bnc1c2c3\\\\\\\\\\\\\cnL1L2L3\\\\\\\\\\\\\lns1s2s3\\\\\\\\\\\\\sna1a1a2a2a3a3\\\\\\\\\\\\\anana1b1a2b2a3b3\\\\\\\\\\\\\anbna1c1a2c2a3c3\\\\\\\\\\\\\ancna1l1a2l2a3l3\\\\\\\\\\\\\anlna1s1a2s2a3s3\\\\\\\\\\\\\ansnb1b1b2b2b3b3\\\\\\\\\\\\\bnbnb1c1b2c2b3c3\\\\\\\\\\\\\bncnb1l1b2l2b3l3\\\\\\\\\\\\\bnlnb1s1b2s2b3s3\\\\\\\\\\\\\bnsnc1c1c2c2c3c3\\\\\\\\\\\\\cncnc1l1c2l2c3l3\\\\\\\\\\\\\cnlnc1s1c2s2c3s3\\\\\\\\\\\\\cnsnl1l1l2l2l3l3\\\\\\\\\\\\\lnlnl1s1l2s2l3s3\\\\\\\\\\\\\lnsns1s1s2s2s3s3\\\\\\\\\\\\\snsn[] [a] [b] [c] [l] [s] [aa] [ab] [ac] [al] [as] [bb] [bc] [bl] [bs] [cc] [cl] [cs] [ll] [ls] [ss]1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICESchema 2Nr.crt.a b c l s123----na1a2a3----anb1b2b3----bnc1c2c3----cnl1l2l3----lnS1S2S3----Sn[ ] [ a ] [ b ] [ c ] [ l ] [ S ][ aa ] [ ab ] [ ac ] [ al ] [ aS ][ bb ] [ bc ] [ bl ] [ bS ][ cc ] [ cl ] [ cS ][ l l ] [ l S ][ SS ]Exemplu : Exemplu :45. Considerm n punctul geodezicP0 direciileP0P1 , P0P2 , P0P3si P0P4.ntre aceste direcii se msoar unghiurile ^ ^ ^, , , , ,1 2 6 dup metoda seriilor binare (fig.14).Se obin din msurtori valorile :^* *16 31 58 1 g c c c^* *21 0 8 2 22 9 ^* *31 6 3 1 33 9 ^* *44 50 64 5 1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE^* *59 99 75 1 ^* *65 49 11 7 Figura 14S se formeze sistemul ecuaiilor de erori i s se calculeze coeficienii i termenii liberi ai sistemului de ecuaii normale.Vom scrie cte o ecuaie pentru fiecare mrime msurat. n acest scop notm cux1 , x2 , x3 valorile probabile ale unghiurilor formate de cele patru direcii i avem :x1 - ^1 =v1x1 + x2 - ^2 = v2x1 + x2 +x3 - ^3 =v3 x2 - ^4 = v4x2 + x3 - ^5 =v5 x3 - ^6 = v61EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEConsiderm valorile aproximativex x x1020301 4 6 ^ ^ ^, , si x x x1 2 3, , coreciile lor probabile. Cu acestea putem scrie :101 1x x x + 202 2x x x + 303 3x x x + iar sistemul devine :x1 - 0= v1 x1+ x2 - 3cc = v2 x x xcc1 2 34 + + += v3 x2 +0 = v4 x xcc2 311 + + = v5 x30 += v6Coeficienii necunoscutelor i termenii liberi dinsistemul deecuaii normaleseobincu schemele de mai jos (completa 3 i simplificata 4). Schema 3Nr.crt. A b c l s aa ab ac al as bb bc bl bs cc cl cs Ll ls ss1234561110000111100010110-3401101-1711311110000110000010000-340001-170000111100010100-340100-1711300010110040110007419091601210032801430114911691[] 3 4 3 12 22 3 2 1 1 7 4 2 1 20 3 15 2 146 174 222Schema 4Nr.crt. a b c L S1231110110010-341-171EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE45600011001101101131[] 3 4 3 12 223 2 1 1 74 2 12 203 15 21146 174222Sistemul de ecuaii normale este : 3 2 1 01 2 3 x x x + + + 0 12 2 43 2 + + x x 3 15 03x + 46. Se cunosc coordonatele punctelor geodezice P1 , P2 , P3 , i P4(fixe) i distanele msurate de la aceste puncte la punctul geodezic P0(variabil) , care urmeaz s se determine.Valorile acestor mrimi sunt trecutentabelul 8. ntabel sunt trecutei coordonateleprovizorii alepunctului P0 stabilite prin metoda interseciei liniare nainte.S se formeze sistemele de ecuaii ale coreciilor i de ecuaii normale.Tabel 8PunctVariabilPunctFixCoordonateX(m)CoordonateY(m)DistantaMsurat (m)Pe 3.250.338 1.500.825P15.000.281 875.644 1.858.266P24.500.328 2.750.557 1.767.568P33.625.224 3.875.196 2.403.751P42.000.776 2.750.124 2.573.139Sistemul ecuaiilor de erori se stabilete pornind de la forma sistemului (5.7).Astfel avem :S S S vm c10 10 10 10 ( )S S S vm c20 20 20 20 ( )S S S vm c30 30 30 30 ( )S S S vm c40 40 40 4 ( )Dar : Sx xSxy ySyc c100 11000 1100+sau :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE S a x b y10 10 0 10 0 +n care :ax xSc100 110 ; by ySc100 110Aadar, literar sistemul ecuaiilor de erori are forma :a x b y v10 0 10 0 10 101 + + a x b y v20 0 20 0 20 201 + + a x b y v30 0 30 0 30 301 + + a x b y v40 0 40 0 40 401 + + S-a notat :- x0 , y0- coreciile probabile ale coordonatelor provizorii ;- a , b- coeficienii coreciilor probabile ;- 1=-(sm-sc) - termenii liberi dai de diferenele ntre distanele msurate i distanele calculate.Valorile coeficienilor i ale termenilor liberi pentru sistemul ecuaiilor de erori se obin astfel (tabelul 9). Tabel 9PunctvariabilPunctfixX0 - X(m)Yo - Y(m)sm(m)sc(m)a B l(mm)PoP1-1749.9 625.18 1858.2 1858.2 -0.942 10.36 0P2-1249.9 -1249.7 1767.5 1767.5 -0.707 -7.707 2P3-374.88 -2374.3 2403.7 2403.7 -0.156 -0.988 33P42249.5 -1249.2 2573.1 2573.1 0.874 -0.458 45Sistemul ecuaiilor de erori, numeric se scrie : + + 0 942 0 366 00 0 10, , x y v + 0 707 0 707 20 0 20, , x y v + 0 156 0 988 330 0 30, , x y v + 0 874 0 485 450 0 40, , x y vCoeficienii necunoscutelor i termenii liberi ai sistemului de ecuaii normaleseafln schema 5.Schema 5Nr.crt. a b L S1 -0.942 0.366 0 -0.5761EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE2 -0.707 -0.707 2 0.5863 -0.156 -0.988 33 31.8564 0.874 -0.485 45 45.389[] -0.931 -1.814 80 77.2552.175 -0.115 32.768 34.8291.845 -55.843 -54.1133.118 3.094.9253.075.641Sistemul de ecuaii normale se scrie :2 175 0 115 32 768 00 0, , , x y + 1 845 55 843 00, , y 1.3.13. REZOLVAREA SISTEMULUI DE ECUAII NORMALESistemul deecuaii normale, dupformancareseprezint(numrul deecuaii egal cu numrul necunoscutelor) este compatibil i bine determinat. Metodele de rezolvare sunt numeroase, fiecare urmrind n esen reducerea timpului de lucru prin reducerea numrului de operaii necesar a se efectua.n lucrarea de fa sunt dezvoltate metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaii normale cu larga utilizare n prelucrarea msurtorilor geodezice.Este vorba de :- metoda reducerii succesive ;- metoda matriciala ;- metoda rdcinilor ptrate ;- metoda aproximaiilor succesive ;- metoda Seidel ;- metoda relaxrii ;- metoda eliminrii pariale .1.3.13.1. METODA REDUCERII SUCCESIVEEste frecvent utilizat n cazul sistemelor de ecuaii cu numr mic de ecuaii.n principiu, metoda nu difer de metoda algebric a substituiilor, dar pornind de la aceasta Gauss introduce algoritmi de calcul care se dovedesc foarte utili i eseniali n reducerea volumului de operaii i n conducerea corect a calculelor. Din acest motiv metoda reducerii succesive se numete i metoda reducerii Gauss.Considerm pentru uurin un sistem de ecuaii normale cu trei ecuaii i trei necunoscute, pe care-l scriem simplificat astfel ;[aa]x1 + [bb]x2 + [ac]x3 + [a1] = 0[bb]x2 + [bc]x3 + [b1] = 0(5.27)[cc]x3 + [b1] = 0Eliminmnecunoscutax1dinsistemul (5.27) ncarescopdinprimaecuaieasistemului obinem :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICExabaaxacaaxaaa1 2 31 [ ][ ][ ][ ][ ][ ](5.28)Introducem expresia lui x1 din (5.28) n ecuaiile a doua i a treia a sistemului (5.27) i grupm termenii dup necunoscutele x2ix3 .Obinem : 0] [] 1 ][ [] 1 [] [] ][ [] [] [] ][ [] [3 2)' +)' +)'aaa abb xaaac abbc xaaab abbb[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]bcab acaax ccac acaax cac aaa')+ ')+ ')2 3110Notm :[ ][ ][ ][ ][ . ] bbab abaabb 1 ;[ ][ ][ ][ ][ . ] ccac acaacc 1] 1 . [] [] ][ [] [ bcaaac abbc ; ] 1 . [] [] ][ [] [ claaal accl (5.29)[ ][ ][ ][ ][ . ] blab aaabl 11Notaiile (5.29) reprezint algoritmii lui Gauss dup prima eliminare (reducere) a sistemului (5.27).Cualgoritmii lui Gausssistemul deecuaii normale(5.27)setransformantr-unsistemde ecuaii normale echivalent de forma :[bb.1]x2 + [bc.1]x3 + [b1.1] = 0 (5.30)[bc.1]x2 + [cc.1]x3 + [c1.1] = 0n continuare se elimin a doua necunoscuta x2 , din sistemul de ecuaii (5.30).Pentru aceasta vom scrie :xbcbbxbbb2 311111 [ . ][ . ][ . ][ . ](5.31)Expresia luix2din (5.31) se introduce n a doua ecuaie a sistemului (5.30) i obinem :[ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . [ . ][ . ]ccbc bcbbx cbc bbb11 11111 11103')+ ')notm :[ . ][ . ][ . ][ . ][ . ] ccbc bcbbcc 11 112 1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE[ . ][ . ][ . ][ . ][ . ] cbc bbbc 111 11112 (5.32)Notaiile (5.32) reprezint algoritmii lui Gauss dup a doua reducere a sistemului de ecuaii (5.27) i cu acetia se obine un sistem echivalent de forma :[cc.2]x3 + [c1.2] = 0 (5.33)Ecuaia (5.33) este rezultatul eliminrii a doua (eliminarea necunoscutei x2).Din (5.33) rezult :xccc3122 [ . ][ . ](5.34)Se observ c prin procedeul eliminrii aplicat n mod succesiv s-au obinut ecuaiile (5.28) , (5.34) , cunoscutesubnumeledeecuaii eliminatorii i cuajutorul crorasepot obinevalorile necunoscutelor.Ordinea de determinare a acestora este invers, respectivse determin mai nti necunoscutax3 folosind ecuaia (5.34), urmeaz determinarea necunoscutei x2 folosind ecuaia (5.31) i n cele din urm se determin necunoscutax1folosind ecuaia (5.28).Procedeul descris i aplicat la rezolvarea sistemului de ecuaii normale, format din trei ecuaii cu trei necunoscute, poate fi generalizat pentru un sistem de ecuaii normale format dintr-un numr oarecare de ecuaii.Algoritmii Gauss corespunztori reducerilor efectuatepentruunanumit sistemdeecuaii normale, pot fi uor de stabilit cu ajutorul unor reguli de scriere.Daca notm ordinea necunoscutelor din sistemul ecuaiilor de erori cu 1, 2, 3 (pentru cazul sistemului cutrei necunoscute) atunci aceeai ordine este valabil i pentru coeficienii necunoscutelor a, b, c.Oanumitreduceresevaobineprintr-oexpresiencarefigureazelementecureducerea anterioar.Expresia este o diferena ntre elementul pentru care se stabilete reducerea i un raport care are la numitor elementul format din coeficientul corespunztor numrului de ordine dat de reducerea care se determin iar la numrtor o combinaie ntre elementele scrise.Astfel pentru ordinea x1 , x2 , x3corespunztoare ordini numerice 1, 2, 3 avem corespondena :lui 1 i corespunde coeficientul a al lui x1 ;lui 2 i corespunde coeficientul b al lui x2 ;lui 3 i corespunde coeficientul c al lui x3 .Conform celor precizate exemplificm :[ . ] [ ][ ][ ][ ]bb bbab abaa1 [ . ] [ ][ ][ ][ ]aa aaaa aaaa1 0 (nu exist)[ . ] [ . ][ . ][ . ][ . ]cc ccbc bcbb2 11 11 1.3.13.1.1. STABILIREA RELAIILOR DE CONTROL1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICELarezolvareasistemelor deecuaii normaleoimportandeosebitseacorddesfurrii corecte a calculelor, astfel nct valorile care se obin pentru necunoscute s fie certe. n acest scop sunt utilizatecorespunztordiferiteloretapedecalcul relaii decontrol. Acestealarndullorsunt grupate n relaii pentru controlul facultativ i relaii pentru controlul obligatoriu.a) Relaii pentru control facultativAceste relaii au scopul de a verifica coeficienii i termenii liberi din ecuaiile eliminatorii.Relaianr.1pentruprimul control facultativcorespunztor primei ecuaii eliminatorii se obine scriind :[aa] + [ab] + [ac] + [a1] = [as] (5.35)dup care se mparte la - [aa] i rezult : 11 [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]abaaacaaaaaasaa(5.36)Relaia nr.2pentru al doilea control facultativ corespunztor celei de a doua ecuaii eliminatorii se obine de la relaia (care se va verifica ulterior) [bb.1] + [bc.1] + [b1.1] = [bs.1] (5.37)i prin mprire cu -[bb.1] rezult : 11111111[ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ]bcbbbbbbsbb(5.38)Relaia nr.3pentru al treilea control facultativ corespunztor celei de a treia ecuaii eliminatorii se obine pornind de la relaia (care se va verifica ulterior):[cc.2] + [c1.2] = [cs.2] (5.39)i prin mprire cu -[cc.2] rezult : 112222[ . ][ . ][ . ][ . ]ccccscc(5.40)b) Relaii de control obligatoriuControlul obligatoriu se realizeaz prin relaiile (5.37) i (5.39) care corespund primei i celei de a doua reducere a sistemului de ecuaii normale.Relaianr.1(5.37) , pentruprimul control obligatoriu, sedemonstreazcestevalabil procednd la scrierea relaiilor de reducere astfel :[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]bbab abaabcab acaabab aaabsab asaa + + 11(5.41)nlocuindn(5.41) expresiilesumelor [as] i [bs] din(5.26) seconstat, dupreducerea termenilor asemenea, valabilitatea relaiei (5.37).Relaia nr.2(5.39), pentru controlul al doilea obligatoriu, se demonstreaz procednd ca n cazul relaiei anterioare.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEAstfel putem scrie :[ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ]ccbc bcbbcbc bbbcsbc bsbb11 11111 11111 11 + sau :[ ][ ][ ][ ][ . ][ . ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]ccac asaabcbbbcab acaaba aaa +

_,

1111 1

_,

[ ][ ][ ][ ][ . ][ . ][ ][ ][ ][ ]csac asaabcbbbsab asaa11(5.42)nlocuindn(5.42) expresiile sumelor [as], [bs] i [cs] din(5.26) i reducndtermenii asemenea se constat valabilitatea relaiei (5.39).Evident, c n cazul unui sistem de ecuaii normale cu mai multe necunoscute vor exista mai multe relaii de control (facultativ i obligatoriu) corespunztoare ecuaiilor eliminatorii i reducerilor care apar la rezolvarea sistemului respectiv.1.3.13.1.2. REZOLVAREA SCHEMATICA A SISTEMULUI DE ECUAII NORMALEPentru a avea posibilitatea obinerii cu uurin a algoritmilor ce intervin la rezolvarea unui sistem de ecuaii normale i cu care sunt stabilite valorile necunoscutelor, au fost concepute scheme de calcul mai mult sau mai puin dezvoltate, mai simple sau mai complexe. Se va prezenta n cele ce urmeaz o schem de calcul (schema 6) n care elementele ce le conin pstreaz ordinea crescut la rezolvarea algebric a sistemului de ecuaii normale cu trei necunoscute.Se va observa c n schem apar elementele de calcul iniiale respectiv, coeficienii necunoscutelori termenii liberi dinsistemul ecuaiilornormale, coeficienii i termenii liberi din ecuaiile eliminatorii i ecuaiile reduse, precum i elemente intermediare de calcul.Schemadecalcul mai conineocoloannecesarpentruefectuareaverificrilor carese impun, n care figureaz elementele ce intervin i aparin relaiilor de control.Pentruaurmricuuurinmoduldentocmireaschemei, ndreaptaacesteiasevorface precizrile necesare.Evident, c elementele din schem figureaz n scrierea lor literar, urmnd ca prin utilizarea ei practic s se apeleze la efectuarea calculelor numerice corespunztoare.Lantocmireaschemei derezolvareasistemului deecuaii normale, conformindicaiilor precizate, se va avea n vedere i faptul c operaiile de calcul trebuiesc verificate la diferite etape. Ne vomfolosi nacest scopderelaiiledecontrol (facultativi obligatoriu)stabilitemai sus. Astfel, conform relaiilor (5.36), (5.38) i (5.40) sunt efectuate verificrile pe rndurile 2, 6 i 11, iar conform relaiilor (5.37) i (5.39) seefectueazobligatoriucontrol perndurile5i 10.nacest fel exist convingereacdinpunct devedereal calculelor schemaestecorect ntocmit. Urmeazcalculul necunoscutelor, n care scop sunt folosite elementele din rndurile scrise n rou. Se vor folosi mai nti elementele din rndul 11 pentru calculul necunoscutei x3, n continuare elementele din rndul 6, pentru calculul necunoscutei x2i n cele din urm elementele din rndul 2 pentru calculul necunoscutei x1.Care anume elemente din rndurile menionate trebuiesc folosite, rezult din ecuaiile eliminatorii (5.34) , (5.31) i (5.28) (n ordinea folosirii lor).Schema 6Smb a] b] c]l] s] R Explicaii [a[b] [] ][ [] [] ][ [] [] ][ [] [ ] [ ] [] [] [] [] [] [] [1] [ ] [ ] [ ] [aaal abaaac abaaab abbl bc bbaaalaaacaaabal ac ab aa ] [] ][ [] [] [] [] [aaas asbsaaasas1234nrndul1figureazcoeficienii itermenulliberdinprimaecuaie normalElementele din rndul 2 se obin prin mprirea elementelor din rndul 1 la primul i schimbnd semnul (se scriu n rou)nrndul 3figureazcoeficienii itermenul liberdina2aecuaie normalRndul 4 se completeaz nmulind elementele din rndul 2 (scrise n rou) cu elementul de deasupra lui i din coloana lui [bb][c ] 1 . [] 1 . ][ 1 . [] 1 . [] 1 . ][ 1 . [] [] ][ [] [] ][ [] [ ] [] 1 . [] 1 . [] 1 . [] 1 . [1] 1 . [ ] 1 . [ ] 1 . [bbbl bcbbbc bcaaal acaaac accl ccbbblbbbcbl bc bb ] 1 . [] 1 . ][ 1 . [] [] ][ [] [] 1 . [] 1 . [] 1 . [bbbc bcaaac acccbbbcbc56789Se adun pe coloane elementele dinrndurile 3i 4i analogn continuareSe mpart elementele din rndul 5 la primul i se schimb semnul (se scriu n rou)Coeficienii i termenul liber din a 3 a ecuaie normalSe nmulesc elementele din rndul 2 cu cel de deasupra lui i situat pe coloana lui [cc]Se nmulesc elementele din rndul 6 cu cel de deasupra lui i situat pe coloana lui [cc] ] 2 . [] 2 . [1] 2 . [ ] 2 . [ccclcl cc ] 2 . [] 2 . [] 2 . [cccscs1011Se adun pe coloane elementele din rndurile 7, 8 i 9Se mpart elementele din rndul 10 la primul i se schimb semnul (se scriu n rou)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE1.3.13.1.3. VERIFICAREA NECUNOSCUTELOR DIN SISTEMUL ECUAIILOR NORMALEDac toate calculele cu privire la stabilirea coeficienilor necunoscutelor i termenii liberi din sistemul ecuaiilor normale cu privire la stabilirea algoritmilor necesari n determinarea necunoscutelor au fost verificate prin relaiile de control stabilite, nu acelai lucru se poate spune n legtur cu calculele privind obinerea valorilor necunoscutelor.Este , aadar, necesar s se stabileasc o relaie de control corespunztoare i pentru aceasta nmulim sistemul ecuaiilor de erori cu li i adunnd pe coloane obinem :[a l]x1+ [b l]x2 + [c l]x3 +[ l l ] = [ l v] (5.43)Atand ecuaia (5.43) la sistemul (5.27) i procednd la eliminarea succesiv a necunoscutelorx1, x2, x3obinem :[ l l.3] = [ l v] (5.44)Pe de alta parte, nmulind sistemul ecuaiilor de erori cuvi i adunnd pe coloane obinem :[av]x1 + [bv]x2 + [cv]x3 +[ l v] = [vv] (5.45)Egalitatea (5.45) n baza egalitilor (5.22) devine :[ l v] = [vv] (5.46)Din egalitile (5.44) i (5.46) rezult :[vv] = [ l v] = [ l l.3] (5.47)Egalitile (5.47) au o deosebit importan din dou motive i anume :- scriind:[ l v] = [ l l.3]sau:[a l]x1 + [b l]x2 + [c l]x3 + [ l l ] = [ l l.3] (5.48)exist posibilitatea verificrii necunoscutelor :- scriind :[vv] = [ l l.3] (5.49)existposibilitateadeterminrii erorii medii ptraticeaunei singuremsurtori (dupcumseva vedea) n condiii mai avantajoase din punct de vedere al volumului de calcul.O singur problem rmne ns de rezolvat i anume aceea a determinrii elementului [ l l.3].Pentruaceasta se dezvolt schema 6ntocmit pentrurezolvarea unui sistemde ecuaii normalecutrei necunoscute. Dezvoltareavaavealocpecoloanatermenilor liberi (ncarevom introduceelementul [ll])i coloanade control n care vom introduce elementul [ls].Prin aplicarea metodologiei cunoscute rezult o completare la schema 6.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICESchema 6 (completare)[l [ll] [ls] 12 Elementele introduse pentru dezvoltarea schemei[ ][ ][ ] aaal al[ ][ ][ ] 1 .1 . 1 .bbbl bl[ ][ ][ ] 2 .2 . 2 .cccl cl[ ll.3 ][ ][ ][ ] aaas al[ ][ ][ ] 1 .1 . 1 .bbbl bl[ ][ ][ ] 2 .2 . 2 .cccl cl[ ls.3 ]13141516Se nmulesc elementele din rndul 2 cu cel de deasupra lui i situat pe coloana lui [ll]Se nmulesc elementele din rndul 6 cu cel de deasupra lui i situat pe coloana lui [ll]Se nmulesc elementele din rndul 11 cu cel de deasupra lui i situat pe coloana lui [ll]Se aduna pe coloane elementele din rndurile 12,13,14,15.Se obin pe ultimul rnd (16) elementele [ll.3] i [ls.3] pentru care exist urmtoarea relaie de control :[ll.3] = [ls.3] (5.50)Relaia (5.50) se demonstreaz identic cu relaiile (5.37) i (5.39).Att n schem, dar i dup regula artat se poate scrie :[ . ] [ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ]ll llcl clccllbl blbbcl clcc3 22 2211 112 22 [ ][ ][ ][ . ][ . ][ . ][ . ]llalaablbbclcc2 2 21122Exemplu : Exemplu :47. Se consider urmtorul sistem de ecuaii al coreciilor :x1- 3 = v1x1 + x2+ 3= v2x1 + x2 + x3 + 4 = v3 x2- 2= v4 x2 + x3- 5= v5 x3 + 2 = v6Ssestabileasci sserezolveprinmetodareducerii lor succesivesistemul deecuaii normale.n acest scop se ntocmesc schemele7i8.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICESchema 73x1 + 2x2 + x3 + 4 = 04x2 + 2x3 + 0 = 03x3 + 1 = 0Schema 8Simbol a ] b ] c ] l ] s ][ a[ b3-1x1 = -22-0.66664-1.33321-0.33332-0.66664-1.33330-2.666610-3.33338-6.6666[ c x2 = 1.252.6668-11.3334-0.50003-0.3333-0.6666-2.66661.00001-1.33331.33341.3334-0.50007-3.3333-0.6666[ l x3 = -0.52-11-0.567-5.3332-2.6666-0.50003-1.572-13.3321.3333-1.5000Control : 58.5000 58.50001.3.13.2. METODA MATRICIALReconsiderm sistemul ecuaiilor de erori pe care-l scriem sub forma :v1 = a1x1 + b1x2 +...+ h1xh - l1v2 = a2x1 + b2x2 +...+ h2xh -l2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5.51)vn = anx1 + bnx2 +...+ hnxh - ln n>hMatricial sistemul (5.51) se poate scrie :v = Ax - 1 (5.52)Nr.crt.a b c l s1 1 0 0 -3 -22 1 1 0 3 53 1 1 1 4 74 0 1 0 -2 -15 0 1 1 -5 -36 0 0 1 2 3[] 3 2 1 4 104 2 0 83 1 767 72971EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEn care :vvvvn

_,

12... ;xxxxh

_,

12... ; 112

_,

llln... ;Aa b ha b ha b hn n n

_,

1 1 12 2 2, ... ,, ............. ....., ...(5.53)Principiul micilor ptrate n scriere matricial este :F = vxv = minim (5.54)vx - este transpus matricei v din (5.53).nlocuim relaia matriciala (5.52) n (5.54). Obinem :F = ( xxAx - lx)(Ax - l) = xxAxAx - 2xxAxl - lxl = minim (5.55)- xx, Ax, lx sunt transpusele matricilor din (5.53).Condiia de minim a funciei din (5.54) este ndeplinit atunci cnd :120Fx (5.56)Prin derivare rezult :AxAx - Axl = 0 (5.57)de unde :x A A A lx x( )1(5.58)- (AxA)-1 - este inversa matricei AxA.Sistemul (5.57) este sistemul de ecuaii normale.Exemplu : Exemplu : 48. Se reconsider sistemul de ecuaii de erori :x1 - 3 = v1x1 + x2 + 3 = v2x1 + x2 + x3+ 4 = v3x2 - 2 = v4 x2 + x3 - 5 = v5 x3 + 2 = v61EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICES se stabileasc i s se rezolve prin metoda matriciala sistemul de ecuaii normale.n acest scop vom scrie :A

_,

1 0 01 1 01 1 10 1 00 1 10 0 1; Ax

_,

1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 1 0 1 1;l

_,

334252A Ax

_,

3 2 12 4 21 2 3 ;A lx

_,

401Sistemul de ecuaii normale se scrie :3 2 12 4 21 2 3

_,

xxx123

_,

-

_,

4010Pentru rezolvare se calculeaz (Ax A)-1Se stabilete mai nti :(AxA)x = 3 2 12 4 21 2 3

_,

n continuare se stabilete reciproca matricei(Ax A)x.Vom scrie :4 22 32 21 32 41 22 12 33 11 23 21 22 14 23 12 23 22 48 4 04 8 40 4 8

_,

_,

n final se obine :(Ax A)-1 = 18 4 04 8 40 4 8D

_,

n care D este determinantul format din elementele matriceiAxA, respectiv :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICED 3 2 12 4 21 2 316Avem :( ), ,, , ,, ,A Ax

_,

10 5 0 25 00 25 0 5 0 250 0 25 0 5Matricea necunoscutelor este :xxx1230 5 0 25 00 25 0 5 0 250 0 25 0 5401

_,

_,

_,

, ,, , ,, ,Dup efectuarea calculelor obinem :xxx12321 250 5

_,

_,

,,Deci :x1 = -2x2 = 1,25x3 = -0,51.3.13.3. METODA RDCINILOR PTRATE REZOLVAREA ALGEBRICMetoda rdcinilor ptrate sau metoda Cholesky este recomandabil n practic pentru rezolvareasistemului deecuaii normaledatoritpreciziei decalcul mai marefademetodalui Gauss.Principial metoda const n introducerea unor ecuaii particulare cu necunoscute auxiliare i cu coeficieni nedeterminai.Pentru simplitate,fie de rezolvat un sistem de trei ecuaii normale,scrise sub forma prescurtat astfel :[aa]x1 + [ab]x2 + [ac]x3 + [a1] = 0 [bb]x2 + [bc]x3 + [b1] = 0 (5.59) [cc]x3 + [c1] = 0Considerm un sistem de ecuaii de forma special scris astfel :t11y1+ h1 = 01EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEt12y1 + t22y2 + h2 = 0 (5.60)t13y1 + t23y2 + t33y3 + h3 = 0n care : y1, y2, y3sunt necunoscutele auxiliare , iar t11, t12, ..., t33, h1, h2, h3 sunt coeficienii i termenii liberi nedeterminai.Coeficienii nedeterminai din sistemul (5.60) pot fi utilizai i pentru exprimarea necunoscutelor auxiliare n funcie de necunoscutele sistemului (5.59). Astfel :y1 = t11x1 + t12x2 + t13x3y2 =t12x2 + t23x3(5.61)y3 =t33x3Se observ c dac sunt cunoscui coeficienii i termenii liberi nedeterminai pot fi determinate necunoscutele auxiliare folosind sistemul (5.60) i cu acestea din urma pot fi determinate necunoscutele sistemului (5.59) folosind sistemul de ecuaii (5.61).Pentruaobinecoeficienii i termenii liberi nedeterminai nlocuimmai nti nsistemul (5.60) necunoscutele auxiliare cu expresiile lor din (5.61).Obinem :t x t t x t t x h1121 11 12 2 11 13 3 10 + + + t t x t t x t t t t x h11 12 1 1222222 12 13 22 23 3 20 + + + + + ( ) ( ) (5.62)t t x t t t t x t t t x h11 13 1 12 13 22 23 2 1322323323 30 + + + + + + ( ) ( )n continuare punem condiia de echivalen a sistemelor (5.59) i (5.62).Rezult :t aa11 [ ] ; tabt1211[ ]; tact1311[ ] ; h1 = [a l ]t bb t22 122 [ ] ; tbc t tt2312 1322 [ ]; h2 = [b l ] (5.63)t cc t t33 132232 [ ] ; h3 = [c l ]Cu expresiile coeficienilor i termenilor liberi date de egalitile (5.63) obinem necunoscutele auxiliare folosind sistemul (5.60).Rezult :yht1111101

111011[ ] atyh t yt22 12 122201 + 11 120 12 1022 [ ] b tt(5.64)yh t y t yt33 13 1 23 233301 + + 11 1 130 13 1023 2033 [ ] c t tt1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICECu aceste rezultate sistemul de ecuaii (5.61) devine :t x t x t x l11 1 12 2 13 3 100 + + + t x t x l22 2 23 3 200 + + (5.65)t x l33 3 300 + Dinsistemul(5.65)obinemnordineinversnecunoscutelesistemului deecuaii normale (5.59). Astfel :xlt33033 ;xl t xt22023 322 + ; xl t x t xt11012 2 13 311 + +(5.66)Calculul practic se realizeaz utiliznd schema 9.Schema 9X1x2x3l s Control Formule1 2 3 4 5 6 71 [aa] [ab] [ac] [al] s1xltxl t xt3303322023 322 +;2 [bb] [bc] [bl] s2xl t x t xt11012 2 13 311 + +3 [cc] [cl] s3t aa tabttact11 12111311 [ ];[ ];[ ]1 t11t12t13l1s1Control 1t bb t tbc t tt22 1222312 1322 [ ] ;[ ]2 x1 =.. t22t23l2s2Control 2t cc t t lalt33 1322321011 [ ] ;[ ]3 x2=.. t33l3s3Control 3lbl t ltlcl t l t lt20 12 102230 13 1023 2033 [ ];[ ]x3 = .....n schem i pe coloana 5 se trec sumele S1 ,S2 ,S3date de egalitile :[aa] + [ab] + [ac] + [a1] = S1[ab] + [bb] + [bc] + [b1] = S2(5.67)[ac] + [bc] + [cc] + [c1]= S3Pe liniile1 ,2 ,3se scriu coeficienii i termenii liberi ai sistemului echivalent de ecuaii (5.65) calculai cu formulele din coloana 7.Legea general de formare a coeficienilor t i termenilor liberi 10ai sistemului echivalent de ecuaii este urmtoarea :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE- un coeficient tii de pe diagonala principal a ecuaiilor transformate (5.65) de exemplu t33 este rdcin ptrat din coeficientul corespunztor [cc] de pe diagonala principal i aceeai coloan a sistemului deecuaii normale, mai puinsumaptratelor coeficienilor deacelai fel t132, t232 calculai anterior i situai deasupra :- un coeficient tij situat deasupra diagonalei principale i termenii liberi 10 de exemplu130 este egal cu termenul corespunztor [c1] din sistemul de ecuaii normale mai puin suma produselor t13 110, t23 120 a termenilor situai pe coloanele lui 130i a primului termen al ecuaiei transformate t33i deasupra acestora i mprit totul prin primul termen al ecuaiei transformate.Pentru efectuarea controlului sunt nscriitermenii n coloana 5 liniile1 , 2 , 3 notate cu S1 , S2 , S3 care se obin valoric ca i termenii liberi 10 i coeficienii tij.Astfel :SSt1111 ; SS t St22 12 122 ;SS t S t St32 13 1 23 233 (5.68)Operaiile de control constau n a verifica egalitile :t11 + t12 + t13 +110 = S1 t t S22 23 2021 + + (5.69) 303 331 S t +Egalitatea de control 1 se demonstreaz scriind :[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]aaabaaacaaaaaaa ab ac alaa+ + + + + + 1(5.70)nmulim egalitatea (5.70) cu[ ] aai observm c aceasta este evident.Pentru a demonstra egalitatea de control 2 procedm dup cum urmeaz : - nlocuim termenii din egalitatea de control cu expresiile lor i obinem :[ ][ ][ ][ ][ ] [ ]bb tbc t tbb tb tbb tS t Sbb t ++122 12 1312212 101222 12 11221 1sau :[ ] [ ] [ ][ ]bb t bc t t bl talt + + 12212 13 1211 == [ ] [ ] [ ] [ ] ([ ] [ ] [ ] [ ]) ab bb bc blttaa ab ac al + + + + + +1211 - reducem termenii asemenea dup care rezult : + + + t t t taltabttaa ab ac al12212 13 12111211[ ][ ] ([ ] [ ] [ ] [ ])1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEsau : + + +[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ][ ]([ ] [ ] [ ] [ ])abtab actab altababtaa ab ac al211 112112112- reducem n continuare termenii asemenea i avem :- [ab]2= [ab][aa] - [ab][aa] - [ab][ab] (5.71)Egalitatea (5.71) este evident.Exemplu : Exemplu :49. S se rezolve sistemul de ecuaii normale :x1 - 0,1 x2 + 0,1x3 + 1 = 0 0,1x1 +2x2 + 0,2x3- 1 = 0 0,1x1 + 0,2x2 +4x3 + 2 = 0Folosim n scopul desfurrii calculelor schema 9.Obinem rezultatele din schema 10.Schema 10X1x2x3l S Control Formule1 2 3 4 5 6 71 1 -0.1 0.1 1 2xltxl t xt3303322023 322 +;2 2 0.2 -1 1.1xl t x t xt11012 2 13 333 + +3 4 2 6.3t aa tabttact11 12111311 [ ];[ ];[ ]1 1 -0.1 0.1 1 2 1 --------------------------------------2 x1=-0.899 1.411 0.14 -0.6 0.9 2 --------------------------------------3 x2=0.505 1.9 1.0 2.9 3 --------------------------------------X3 = -0.503 Rezolvarea matricialMatricea coeficienilor necunoscutelor din sistemul de ecuaii normale (5.59) poate fi descompus intr-un produs de dou matrici triunghiulare astfel :[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]aa ab acab bb bcac bc cctt tt t tt t tt tt

_,

_,

_,

1112 2213 23 3311 12 1322 23330 00 00 0(5.72)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEEfectum nmulirea matricilor din (5.72) i identificm elementele corespunzatoare.Obinem :t aa11 [ ]; tabt1211[ ] ; tact1311[ ] ;t bb t22 122 [ ]; tbc t tt2312 1322 [ ] ; t cc t t33 132232 [ ] (5.73)Se constat c egalitile (5.73) sunt identice cu egalitile (5.63), cum de altfel era de ateptat.Forma matriciala a sistemului (5.59) este :(AxA)x = Ax l = 0 (5.74)n care : -xeste matricea coloan a necunoscutelor x1 , x2 , x3 ;-Ax l este matricea coloan a termenilor liberi[a l] , [b l] , [c l] ; - AxA este matricea coeficienilor necunoscutelor.Ecuaia matriciala (5.74) , innd seama de egalitatea (5.72) poate fi scris sub forma :tt tt t t1112 2213 23 330 00

_,

t t tt ttxxxalblcl11 12 1322 233312300 00

_,

_,

+

_,

[ ][ ][ ](5.75)Notm :t t tt ttxxxyyy11 12 1322 233312312300 0

_,

_,

_,

(5.76)i (5.75) devine :tt tt t tyyyalblcl1112 2213 23 331230 00 0

_,

_,

+

_,

[ ][ ][ ](5.77)Din ecuaia matriciala (5.77) rezult :yaltl11110 [ ]ybl t ytbl t ltl212 12212 102220 + [ ] [ ](5.78)ycl t y t ytcl t l t ltl313 1 23 23313 1023 203330 + + [ ] [ ]Din ecuaia (5.76) rezult :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEy1 = t11x1 + t12x2 + t13x3y2 = t22x2 + t23x3(5.79)y3 = t33 x3Sistemul de ecuaii (5.79) cu egalitile (5.78) este de aceeai form cu sistemul (5.65). Deci soluia sistemului de ecuaii normale (5.59) este dat de egalitile (5.66).Exemplu : Exemplu :50. S se rezolve sistemul de ecuaii normale : x1 -0,1x2 + 0,1x3 + 1 = 0-0,1x1 +2x2 + 0,2x3 - 1 =00,1x1 + 0,2x2 + 4x3 + 2 = 0Fiind acelai cu sistemul de ecuaii de la exemplul 46, rezult c se pot utiliza coeficienii t determinani.Conform egalitii (5.77) putem scrie :0211992 , 1 149 , 0 1 , 00 411 , 1 1 , 00 0 1321

,_

+

,_

,_

yyydin care obinem :y1 + 1 = 0-0,1y1 + 1,411y2 - 1 = 0 0,1y1 + 0,149y2+ 1,992y3 + 2 = 0i n continuare :y1 = -1y21 0 1 11 4111 0 11 4110 91 4110 638 + , ( ),,,,,,y3 = 2 0 1 1 0 149 0 6381 9921 001, ( ) , ( , ),,Folosim egalitatea (5.76) i obinem :x1 - 0,1x2 + 0,1x3 =-1 1,411x2 + 0,149x3 = 0,6381,992x3 = -1,0011EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEValorile necunoscutelor se stabilesc n ordine invers.Rezult :x3 = -0,503x2 = 0,505x1 = -0,899Metode iterativeMetodele reducerii succesive i rdcinile ptrate pot fi aplicate cu mult eficien n cazul sistemelor de ecuaii normale cu puine necunoscute.Pentru sistemele de ecuaii normale cu multe necunoscute, numrul de operaii devine mare, chiar foarte mare, care sunt efectuate cu dificultate i n cazul utilizrii tehnicii electronice de calcul. Din acest motiv se impune folosirea altor metode de rezolvare a sistemelor de ecuaii normale, care se bazeaz pe aproximri de calcul ncadrate n anumite limite.Aceste metode se numesc iterative i sunt numeroase.Se vor prezenta n continuare metodele iterative mai frecvent utilizate.1.3.13.4. METODA APROXIMAIILOR SUCCESIVEPentruafi mai uor denelesconsidermdinnouunsistemdeecuaii normalecutrei necunoscute, sistemul (5.59). Acesta poate fi scris sub forma :xalaaabaaxacaax1 2 3 [ ][ ][ ][ ][ ][ ]xblbbabbbxbcaax2 1 3 [ ][ ][ ][ ][ ][ ](5.80)xclccacccxbcccx3 1 2 [ ][ ][ ][ ][ ][ ]Introducem n egalitile (5.80) notaiile :ralaarblbbrclcc1 2 3 [ ][ ];[ ][ ];[ ][ ]tabaatacaa12 13 [ ][ ];[ ][ ](5.81)tabbbtbcbb21 23 [ ][ ];[ ][ ]taccctbccc31 32 [ ][ ];[ ][ ]i obinem :x1 = - r1 - t12x2 - t13x3x2 = - r2 - t21x1 - t23x3(5.82)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEx3 = - r3 - t31x1 - t32x2Sistemul (5.82) poate fi scris matricial astfel :x = r + tx (5.83)n care :xxxx

_,

123;rrrrrrr

_,

_,

123123(5.84)tt tt tt t

_,

00012 1321 2331 32Admitem intr-o prim aproximaie necunoscutele x1 , x2 , x3 date de egalitatea :x1 = r (5.85)Cu aceste valori obinem dup (5.83) necunoscutele x2 n a doua aproximaie astfel :x2 = r + tx1(5.86)Urmeaz n continuare :x3 = r + tx2(5.86)pn la :xn-1 = r + txn-2xn = r + txn-1(5.86)Numrul de aproximaii n necesar rezult prin condiia care se impune i anume :xn - xn-1 Ln care :L - este limita de aproximaie.Metoda aproximaiilor succesive se aplic atunci cnd valorile coeficienilor necunoscutelor depediagonalaprincipalasistemului deecuaii normalesunt mai mari dect valorilecelorlali coeficieni.Exemplu :Exemplu : 51. Relum sistemul de ecuaii normale :x1 - 0,1x2 + 0,1x3 + 1 = 0 -0,1x1 + 2x2 + 0,2x3 - 1 = 0 0,1x1 + 0,2x2 + 4x3 + 2 = 01EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICES se rezolve sistemul prin metoda aproximaiilor succesive.Se stabilesc coeficienii titermeniiliberi r.Obinem :r1 = 1 ; r2 = -0,5 ; r3 = 0,5t12 = -0,1 ; t13 = 0,1 ; t21 = -0,05 ; t23 = 0,1 ; t31 = 0,025 ; t32 = 0,05n prima aproximaie (egalitatea 5.85) valorile necunoscutelor sunt :x x r112131 0 5 0 5 ; , ; ,Cu acestea vom scrie conform egalitii (5.86) :xxx12223210 50 50 0 1 0 10 05 0 0 10 025 0 05 010 50 5

_,

_,

_,

_,

,,, ,, ,, ,,,Rezult valorile necunoscutelor n aproximaia a doua astfel :xxx1222321 0 05 0 05 0 90 05 0 05 0 05 0 50 5 0 025 0 025 0 5 + + + + , , ,, , , ,, , , ,n continuare vom scrie :xxx13233310 50 50 0 1 0 10 05 0 0 10 025 0 05 00 90 50 5

_,

_,

_,

_,

,,, ,, ,, ,,,,xxx1323331 0 05 0 05 0 90 5 0 045 0 05 0 5050 5 0 0225 0 025 0 5025 + + + + + , , ,, , , ,, , , ,xxx14243410 50 50 0 1 0 10 05 0 0 10 025 0 05 00 90 5050 5025

_,

_,

_,

_,

,,, ,, ,, ,,,,xxx1424341 0 0505 0 0500 0 8990 5 0 045 0 05 0 5050 5 0 0225 0 025 0 5025 + + + + , , ,, , , ,, , , ,Se constat, c valorile necunoscutelor stabilite n aproximaia a patra difer fa de valorile stabilite n aproximaia a treia la a treia zecimal.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEConsidernd c aceast limit este corespunztoare valorilex x x142434, ,reprezint soluie a sistemului de ecuaii normale.1.3.13.5. METODA SEIDELEste similar cu metoda aproximaiilor succesive, cu deosebirea c ntr-o aproximaie oarecare o necunoscut se calculeaz funcie de valorile celorlalte necunoscute stabilite n aproximaia imediat anterioar.Prezentm coninutul metodei reconsidernd sistemul :[aa]x1 + [ab]x2 + [ac]x3 + [a1] = 0[bb]x2 + [bc]x3 + [b1] = 0 (5.87)[cc]x3 = [c1] = 0Cu notaiile (5.81) sistemul (5.87) se scrie : x1 + t12x2 + t13x3 + r1 = 0 t21x1 + x2 + t23x3 + r2 = 0 (5.88)t31x1 + t32x3 + x3 + r3 = 0Notm :A = 1112 121 231 32 3123t rt rt t rxxxx

_,

_,

; (5.89)i sistemul (5.88) se scrie :Ax = 0 (5.90)Admitem c matricea A este o sum a doua matrici B i C , astfel :A = B + C (5.91)cu care (5.90) se scrie :(B + C)x = 0sau :Bx = - Cx (5.92)Considerm egalitatea (5.91) sub forma :1111 0 0 01 0 01 000 00 0 012 1321 2331 321232131 3212 13 123 23t tt tt trrrtt tt t rt rr

_,

_,

+

_,

(5.93)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEDeci :B tt t

_,

1 0 0 01 0 01 02131 32; Ct t rt rr

_,

00 00 0 012 13 123 23Cu acestea (5.92) se scrie :1 0 0 01 0 01 000 00 0 02131 3212312 13 123 23123tt txxxt t rt rrxxx

_,

_,

_,

_,

(5.94)Admitem n matricea necunoscutelor din dreapta semnului egal a egalitii (5.94) valorile : x r x r x r101 202 303 ; ; . innd seama de principiul metodei avem valorile n prima aproximaie a necunoscutelor :x t x t x rx t x t x rx t x t x r1112 2013 3012121 1123 3023131 1132 213 + + + + + +( )( )( )(5.95)n a doua aproximaie avem egalitile :x t x t x rx t x t x rx t x t x r1212 2113 311221 1223 3123231 1232 223 + + + + + +( )( )( )(5.95)Continund n acelai mod se obin n final :x t x t x rx t x t x rx t x t x rn n nn n nn x n1 12 2113 3112 21 1 23 3123 31 1 32 2 3 + + + + + + ( )( )( )(5.95)Valorile necunoscutelor obinute cu egalitile (5.95) sunt definitive dac diferenele fa de valorile lor precedente nu depesc limitele de aproximaie impuse.Exemplu :Exemplu : 52. Considerm din nou sistemul de ecuaii normale : x1 - 0,1x2 + 0,1x3 + 1 = 0-0,1x1 + 2x2 + 0,2x3 - 1 = 00,1x1 + 0,2x2 + 4x3 + 2 = 0S se rezolve sistemul prin metoda Seidel.Datele iniiale sunt :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEt12=-0,1 ; t13=0,1 ; r1=1t21=-0,0 ; t23=0,1 ; r2=-0,5t31=0,025 ; t32=0,05 ; r3=0,5Admitem :x x x1020301 0 5 0 5 ; , ; ,Conform relaiilor (5.95) , (5.95) obinem :xxx1121310 1 0 5 0 1 0 5 1 110 05 11 0 1 0 5 0 5 0 3950 025 11 0 05 0 395 0 5 0 492 + + + + + [ , ( , ) , ( , ) ] ,[ , ( , ) , ( , ) , ] ,[ , ( , ) , ( , ) , ] ,xxx1222320 1 0 395 0 1 0 492 1 0 9110 05 0 911 0 1 0 492 0 5 0 5040 025 0 911 0 05 0 504 0 5 0 5024 + + + + + [ , ( , ) , ( , ) ] ,[ , ( , ) , ( , ) , ] ,[ , ( , ) , ( , ) , ] ,xxx1323330 1 0 504 0 1 0 5024 1 0 8990 05 0 899 0 1 0 5024 0 5 0 5050 025 0 899 0 05 0 505 0 5 0 5027 + + + + + [ , ( , ) , ( , ) ] ,[ , ( , ) , ( , ) , ] ,[ , ( , ) , ( , ) , ] ,Se observ c primele doua zecimale ale valorilor necunoscutelorstabilite n aproximaiile 2 i 3 sunt aceleai.n cadrul acestei limite valorile x x x132333, ,sunt definitive.n general metoda Seidel este mai rapid convergent fa de metoda aproximaiilor succesive.1.3.13.6. METODA RELAXRIIConsiderm sistemul de ecuaii normale (5.59) sistemul poate fi scris sub forma :- x1 + t12x2 + t13x3 + r1 = 0t21x1 - x2 + t23x3 + r2 = 0(5.96)t31x1 + t32x2 - x3 + r3 = 0n sistemul (5.96) s-a notat :tabaatacaaraaatabbbtbcbbrbbbtaccctbcccrccc12 13 121 23 231 32 3111 [ ][ ];[ ][ ];[ ][ ][ ][ ];[ ][ ];[ ][ ][ ][ ];[ ][ ];[ ][ ]1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEAnaliznd sistemul (5.96) se observ c pentru anumite valori ale necunoscutelor, fie acestea x x x102030, ,diferite de cele care reprezint soluia sistemului, n dreapta semnului egal nu vom avea valori egale cu zero, ci anumite valori notate cu R1 , R2 , R3 i anumite discordante.Aadar, putem scrie :R x t x t x rR t x x t x rR t x t x x r1 1012 2013 3012 21 102023 3023 31 1032 20303 + + + + + +(5.97)Putemfacecaoanumitdiscordansdevinegalcuzeroacionndasupramrimii necunoscutei care are acelai indice cu discordana.De exemplu, pentru a obine discordana R2 egal cu zero se mretex20 cu cantitatea R2. n acelai timp discordanele R1 i R2 se vor mri cu cantitile t12R2i t32R2.Procesul de relaxare n continuare const n faptul c se anuleaz toate discordanele pe rnd i succesiv variind corespunztor necunoscutele x.Pentru a ajunge ct mai repede la sfrit (toate discordanele nule) se recomand ca la fiecare etap a procesului de relaxare s se modifice necunoscuta creia i corespunde discordana cea mai mare n valoare absolut.Se recomand de asemenea pentru uurina calculelor s se ntocmeasc o schem (schema 11) care s conin cte doua coloane pentru fiecare necunoscut.Este vorba de coloanele necunoscutelor i de coloanele discordanelor.Valorile finale ale necunoscutelor se obin prin nsumarea discordanelor corespunztoare la valorile iniiale.Exemplu : Exemplu :53. S se rezolve sistemul de ecuaii normale de mai jos prin metoda relaxrii :x1 -0,1x2 +0,1x3 + 1 = 0-0,1x1 +2x2 + 0,2x3- 1 = 00,1x1 + 0,2x2 + 4x3 + 2 = 0Transformm acest sistem pentru a obine sistemul de ecuaii similar cu (5.96) Obinem :-x1 +0,1x2 - 0,1x3 - 1 = 0 0,05x1 -x2 - 0,1x3 + 0,5 = 0-0,025x1 - 0,05x2 -x3 -0,5 = 0ntocmim schema de calcul, n care pe prima linie se scriu valorile necunoscutelor egale cu ale termenilor liberi. Astfel: x x x1020301 0 5 0 5 ; , ; , . . Pot fi considerate i alte valori.Schema 111EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEX1R1X2R2X3R3-10.10.1-0.10.5 -0.5 0-0.002500.0005 0.0050.005-0.005-0.0025-0.000250.0005-0.0007750.0000.000275 -0.00275-0.002750.00275-0.000275 0.000275 0.000-0.9 0.505 -0.50275Se calculeaz discordanele i se scriu tot pe prima linie. Astfel :R1 = -1(-1) + 0.1(0.5) - 0.1(-0.5) -1 = 0.1R2 = 0.05(-1) - 1(0.5) - 0.1(-0.5) + 0.5 = 0R3 = -0.025(-1) - 0.05(0.5) - 1(-0.5) - 0.5 = 0Seanuleazdiscordanaceamai marecareestede0,1. PentruaceastasescadedinR1 cantitatea 0,1, care rezult de fapt din creterea lui x1 cu 0,1.n acelai timp la discordanele R2 i R3 se adaug cantitile :0.05 (0.1) = 0.0050.025 (0.1) = - 0.0025Deci, noile valori ale discordanelor vor fi :R2 = 0 + 0.005 + 0.005R3 = - 0.0025 + 0 = - 0.0025Din noile discordane se observ c R2 este cea mai mare. Se scade din R2 cantitatea de 0.005, care rezult de fapt din creterea lui x2 cu aceast cantitate. n acelai timp la discordanele R1 i R3 se adaug cantitile.0.1(0.005) = 0.00050.05(0.005) = -0.00025Deci, noile valori ale discordanelor vor fi :R1 = 0 + 0.0005 = 0.0005R3 = - 0.0025 - 0.00025 = - 0.00275DinnoilediscordaneseobservcR3esteceamai mare. SeadauglaR3cantitateade 0.00275, care rezult de fapt din scderea lui x3 cu aceast cantitate. n acelai timp din discordanele R1 i R2 se scad cantitile.- 0.1(0.00275) = - 0.000275- 0.1(-0.00275) = 0.000275Deci, noile valori ale discordanelor vor fi :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICER1 =0.0005 + 0.000275 = 0.000775R3 =0.000 - 0.000275 = - 0.0002751.3.13.7. METODA ELIMINRII PARIALEPentrunelegereamaiuorametodeiconsidermunsistemformatdintreiecuaiicutrei necunoscute scris astfel :[ aa ] x1 + [ ab ] x2 + [ ac ] x3 = [ al ][ ab ] x1 + [ bb ] x2 + [ bc ] x3 = [ bl ] (5.98)[ ac ] x1+ [ bc ] x2 + [ cc ] x3 = [ cl ]Folosind metoda eliminrii pariale, prima ecuaie rmne neschimbat, din ecuaia a doua se eliminx1, iardinecuaiaatreiaseschimbx1i x2. nacest scopsescriematriceacompleta sistemului i se transform intr-o matrice triunghiular .Matricea complet a sistemului de ecuaii (5.98) se scrie sub forma :[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]A Aa aa ba c a la bb bb c b la cb cc c c lL

_,

............(5.99)Transformareamatricei (5.99)serealizeazefectundoperaii (pai) prezentatencelece urmeaz :Pasul 1.Seconsider[ aa] 0capivot. Elementelesituatepeliniapivotului rmn neschimbate. Elementelesituatepeliniaadouasenmulesccu[aa]i sescaddinprimalinie nmulit cu [ ac ].Se observ c elementele situate pe liniile 2 i 3 dup primul pas vor fi date de aa numita regul a dreptunghiului fr a mprii la pivot.- elementele de pe linia a doua vor fi :[ ab ] [ aa ] - [ aa] [ ab ] = 0[ bb ] [ aa ] - [ ab] [ ab ] = [ bb ] 1[ bc ] [ aa ] - [ ac] [ ab ] = [ bc ] 1(5.100)[ bl] [ aa ] - [ al ] [ ab ] = [ bl] 1- elementele de pe linia a treia vor fi :[ ac ] [ aa ] - [ aa] [ ac ] = 01EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE[ bc ] [ aa ] - [ ab] [ ac ] = [ bc ] 1[ cc ] [ aa ] - [ ac] [ ac ] = [ cc ] 1(5.101)[ cl] [ aa ] - [ al ] [ ac ] = [ cl] 1Situaia dup primul pas este :[ ]a a a b a c a la b b b b c b la c b c c c c la a a b a c a lb b b c b lb c c c c l[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

_,

_,

001 1 11 1 1(5.102)Pasul 2Se procedeaz n mod analog cu matricea obinut dup primul pas, suprinind linia i coloana pivotului considerat n acest pas. Considerm un nou pivot [ bb ]1 0.1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]b b b c b lb c c c c lb b b c b lc c c l1 1 11 1 11 1 12 20

_,

_,

(5.103)Se observ c elementele situate pe linia pivotului au rmas aceleai, iar elementele din linia a doua s-au obinut astfel :[ bc ]1[ bb ]1- [ bb ]1 [ bc ]1=0[ cc ]1[ bb ]1- [ bc ]1 [ bc ]1=[ cc ]2 (5.104)[ c l ]1[ bb ]1- [ bc ]1 [ bl]1=[ c l ]2 n consecin, matricea complet s-a transformat ntr-o matrice triunghiular .1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE[ ]a a a b a c a la b b b b c b la c b c c c c la a a b a c a lb b b c b lc c c l[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

_,

_,

00 01 1 12 2(5.105)Din matricea triunghiular obinut n pasul 2 se deduce soluia sistemului de ecuaii normale.Avem:Ax Alx = 0sau, n baza corespondenei (5.105) :[ ]a a a b a c a lb b b c b lc c c lxxx[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]00 001 1 12 2123

_,

_,

(5.106)Dezvoltnd egalitatea (5.106) rezult :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE[ aa ] x1 + [ ab ] x2 + [ ac ] x3 = [ al ] [ bb ]1 x2 + [ bc ]1 x3 = [ bl ]1(5.107) [ cc ]2x3= [ cl ]2Din sistemul de ecuaii (5.107) se obine :xclccxbcbbxblbbbc x blbbxabaaxacaaxalaaab x ac x alaa32221131113111 2 32 3 + + + +[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] [ ] [ ][ ](5.108)Avantajele metodei :-Liniai coloanapivotului dinfiecarepassepot suprima, nemai fiindnecesarepentru calculele din paii urmtori ;- Se pot face simplificri pe linii n fiecare pas ;-Deoareceun elementoarecarealunuipas oarecare se obinedup reguladreptunghiului, calculele sunt mai puin laborioase, evitnd operaiile cu funcii ;- Dac intr-un anumit caz se cere numai valoarea unei necunoscute anumite nu este necesar s se rezolve ntreg sistemul. Este ns necesar s schimbm coloana format din coeficienii lui x1cu ultimacoloanformatdincoeficieniiluix3, celelaltecoloanermnndneschimbate. Evident c metoda se extinde pentru orice sistem de ecuaii normale .Exemplu : Exemplu :54. S se rezolve prin metoda eliminrii pariale urmtorul sistem de ecuaii normale : x1 - 0.1 x2 + 0.1 x3 + 1 = 0-0.1 x1 + 2 x2 + 0.2 x3- 1 = 00.1 x1 - 0.2 x2 + 4 x3 + 2 = 0Sub forma matricial sistemul se scrie :1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE

,_

+

,_

+

,_

+ 9 7 . 3 8 9 4 . 7 0 09 . 0 2 1 . 0 9 9 . 1 01 1 . 0 1 . 0 12 9 9 . 3 2 1 . 0 09 . 0 2 1 . 0 9 9 . 1 01 1 . 0 1 . 0 12 4 2 . 0 1 . 01 2 . 0 2 1 . 01 1 . 0 1 . 0 1Valorile necunoscutelor se obin n ordine invers :xxx1233977894050309 021 050319905051 01 0505 01 050310899 + + + .... . * .... * . . * ..1.3.14. ERORI MEDII PTRATICECai ncazul msurtorilor directedeaceeai preciziecndaufost stabilite, valoarea probabilamrimii msurate, eroareamedieptraticaunei singureobservaii i eroareamedie ptratic a valorii probabile, i n cazul msurtorilor indirecte de aceeai precizie se pun probleme 1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEprivind determinarea valorilor probabile ale mrimilor ce se obin indirect, a erorii medii ptratice a unei singure msurtori i a erorilor medii ptratice corespunztoare valorilor probabile.Metodologiadeobinereavalorilorprobabilencazul atreinecunoscuteimplicatentr-un sistem de n observaii a fost analizat n paragrafele anterioare. Rmne de stabilit n continuare modul de obinere a erorilor medii ptratice aferente.1.3.14.1. EROAREA MEDIE PTRATIC A UNEI SINGURE MSURTORIConsiderm din nou un caz particular i anume acela care conduce la sistemul de ecuaii de erori (5.17).Prineliminareanecunoscutelorx2i x3dinacest sistemseobineunsistemechivalent de forma :A1x1 + L1 = v1A2x1 + L2 = v2(5.109)- - - - - - - - - - An-2x1 + Ln-2 = vn-2adic un sistem de ecuaii care are fa de cel iniial mai puine ecuaii cu cte necunoscute au fost eliminate, respectiv cu K-1 (K fiind numrul total de necunoscute), deci cu 2 ecuaii.Dar sistemul (5.109) este de aceeai form cu sistemul (2.2), ceea ce nseamn c msurtorile indirecte au fost reduse la msurtori directe.n consecin, pentru eroarea medie a unei singure observaii poate fi folosit relaia (2.18) cu observaia c sistemul (5.109) are n - (K - 1) ecuaii, deci putem scrie :m0= t [ ]( )vvn K 1 1sau:m0= t[ ] vvn K(5.110)Pentru calculul expresiei [vv] se utilizeaz egalitatea (5.49).Evident, c [vv] se poate obine i direct folosind sistemul ecuaiilor de erori, dar practic acest procedeu nu se folosete din cauza volumului mare de calcul.1.3.14.2. ERORILE MEDII PTRATICE ALE VALORILOR PROBABILEDac am notat cu x1, x2, x3valorile probabile determinate prin rezolvarea unui sistem de n ecuaii cu trei necunoscute, atunci vom nota cu mx1, mx2, mx3 erorile medii ptratice ale acestora.Expresiile de calcul ale acestor erori le obinem pornind de la ideea ca x1, x2, x3 sunt funcii de mrimile msurate direct, respectiv:x1 = f1(l1,l2,l3 ...,ln)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEx2 = f2(l1,l2,l3,...,ln) (5.111)x3 = f3(l1,l2,l3,...,ln)Acest lucru este uor de constatat, dac rezolvm i sistemul de ecuaii (5.20) dup regula lui Cramer (cu ajutorul determinanilor).Astfel putem scrie:x1 = ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [cc bc acbc bb abac ab aacc bc clbc bb blac ab al;x2 = ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [cc bc acbc bb abac ab aacc cl acbc bl abac al aa;x3 = ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [cc bc acbc bb abac ab aacl bc acbl bb abal ab aa(5.112)Dezvoltnddeterminanii delanumrtorul expresiilor(5.112)dupmrimilemsuratel1, l2,...,ln,, se constat c funciile f1, f2,..., fn sunt liniare i pot fi scrise dup cum urmeaz :x1 = - (1l1 + 2l2 + ...+ nln)x2 = - (1l1 + 2l2 + ...+ nln) (5.113)x3 = - (1l1 + 2l2 + ...+ nln)Coeficienii I, I, I (i=1,2,...,n) rezult din (5.112) i sunt mrimi constante.Aplicndlegeadepropagareaerorilorlafuncii demrimi msuratedirect i deaceeai precizie se revine la utilizarea relaiei (2.40) pentru cazul din (5.113), astfel:202] [1m mx 202] [2m mx (5.114)202] [3m mx n care:m0 - este eroarea medie ptratic a unei singure msurtori.Din (5.114) obinem:] [01 m mxt ] [02 m mxt (5.114.)] [03 m mxt Pentru calculul expresiilor [ ], [ ], [ ] se pot utiliza nmoddirect, valorile coeficienilor I, I, I care rezult din egalitile (5.112), dar pentru c necesit un volum mare de calcul practic se aplic o metodologie mai simpl.Artm acest lucru considernd sistemul ecuaiilor de erori scris sub forma:aix1 + bix2 + cix3 + li = vi(5.115)i funcia:1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEx1 = - (1l1 + 2l2 +...+nln) (5.116)nmulim cu I sistemul de ecuaii (5.115) i adunm pe coloane. Obinem:[a ]x1 + [b ]x2 + [c ]x3 + [l ]= [v ] (5.117)Pentru c egalitatea (5.117) s fie echivalent cu (5.116) se pun condiiile:[a ] = 1[b ] = 0[c ] = 0 (5.118)[v ] = 0Pe de alt parte introducem relaiile:1 = a1Q11 + b1Q12 + c1Q132 = a2Q11 + b2Q12 + c2Q13(5.119)- - - - - - - - -- - - - - - - - - n = anQ11 + bnQ12 + cnQ13nmulind relaiile (5.119) cu I, adunnd i innd seama de (5.118), rezult:[ ] = Q11(5.120)i deasemenea, nmulind succesiv aceleai relaii cu ai, bi, ci, adunnd i innd seama de (5.118) se formeaz sistemul:[aa]Q11 + [ab]Q12 + [ac]Q13 = 1[ab]Q11 + [bb]Q12 + [bc]Q13 = 0 (5.121)[ac]Q11 + [bc]Q12 + [cc]Q13 = 0Se constat simplu, c relaiile (5.119) nu sunt formate ntmpltor. Dac le nmulim cuv1, v2,...,vn i adunm pe coloane, n baza egalitilor (5.23) rezult:[v ] = 0adic ultima condiie din (5.118).n concluzie, expresia [ ] este dat valoric de Q11, care se obine prin rezolvarea sistemului de ecuaii normale (5.121). Se constat c sistemul (5.121) se obine din sistemul (5.20) prin nlocuirea necunoscutelor x1, x2, x3 cu Q11, Q12, Q13 i a termenilor liberi cu -1,0,0.n continuare se consider pe lng sistemul de ecuaii (5.115) funciile:x2 = - (1l1 + 2l2 + ... + nln)x3 = - (1l1 + 2l2 + . + nln) (5.122)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICESe nmulete sistemulecuaiilor de erori mai nti cu I i ulterior cuI dup care adunnd obinem:[a ]x1 + [b ]x2 + [c ]x3 + [l ] = vi:[a ]x1 + [b ]x2 + [c ]x3 + [l ] = v (5.123)Pentru ca egalitile (5.123) s fie echivalente cu (5.122) se pun condiiile:[a ] = 0[a ] = 0[b ] = 1 [b ] = 0 (5.124)[c ] = 0 [c ] = 1[v ] = 0 [v ] = 0Se introduc relaiile:1 = a1Q21 + b1Q22 + c1Q232 = a2Q21 + b2Q22 + c2Q23(5.125)- - - - - - -- - - - - - - - - - - n = anQ21 + bnQ22 + cnQ23i:1 = a1Q31 + b1Q32 + c1Q332 = a2Q31 + b2Q32 + c2Q33(5.126)- - - - - - - - - - - - - - - - - -n = anQ31 + bnQ32+ cnQ33Se nmulesc relaiile (5.125) cu I i (5.126) cu I, se adun pe coloane i innd seama de condiiile (5.124. rezult:[ ] = Q22(5.127)[ ] = Q33(5.128)De asemenea,nmulind relaiile (5.125)i (5.126) cu ai,bi,ciadunndi innd seama de (5.124) rezult:[aa]Q21 + [ab]Q22 + [ac]Q23 = 0[ab]Q21 + [bb]Q22 + [ac]Q23 = 1 (5.129)[ac]Q21 + [bc]Q22 + [cc]Q23 = 0i:1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE[aa]Q31 + [ab]Q32 + [ac]Q33 = 0[ab]Q31 + [bb]Q32 + [bc]Q33 = 0 (5.130)[ac]Q31 + [bc]Q32 + [cc]Q33 = 1Sistemele de ecuaii normale (5.129) i (5.130) se formeaz ca i sistemul (5.121) cu coeficienii necunoscutelor din sistemul de ecuaii normale (5.121) cu coeficienii necunoscutelor din sistemuldeecuaiinormale(5.20)icutermeniiliberi0,-1,0i0,0,-1. Prinrezolvareaacestorase obine Q22, Q33, care conform relaiilor (5.127), (5.128) reprezint valorile expresiilor [ ] i [ ].Se constat c relaiile (5.125), (5.126) sunt astfel stabilite nct respect condiiile [ v] = 0, [ v] = 0.Egalitile (5.120), (5.127) i (5.128) pot fi generalizate n sensul c putem scrie:[ ] = Q12[ ] = Q13(5.131)[ ] = Q23Pentru a demonstra prima egalitate din (5.131) nmulim egalitile (5.119) cu Ii adunm pe coloane, obinem:[ ] = [a ]Q11 + [b ]Q12 + [c ]Q13care conform condiiilor (5.124) devine:[ ] = Q12n acelai mod, pentru egalitatea a doua din (5.131) se nmulesc egalitile (5.126) cu I i se adun pe coloane. Se obine:[ ] = [a ]Q31 + [b ]Q32 + [c ]Q33Conform condiiilor (5.118) rezult:[ ] = Q31Deasemenea, pentruegalitateaatreiadin(5.131)relaiile(5.125)senmulesccuI, se adun pe coloane i rezult:[ ] [ ] [ ] [ ] + + a Q b Q c Q21 22 23care conform condiiilor (5.124) devine:[ ] Q23Revenind la egalitile (5.114), pe baza concluziilor stabilite, putem scrie:11 01Q m mxt 22 02Q m mxt (5.132)33 03Q m mxt 1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEEgalitile (5.132) sunt utilizate pentru calculul erorilor medii ptratice ale valorilor probabile determinate prin msurtori indirecte.Pentru a constata semnificaia mrimilor Q11, Q22, Q33 vom scrie egalitile (5.132) astfel:201111

,_

xmmQ202221

,_

xmmQ(5.133)203331

,_

xmmQsau conform egalitii (3.10):11201;1 11Qp pmmx xx

,_

22201;2 22Qp pmmx xx

,_

(5.134)3301;3 33Qp pmmx xx

,_

Rezult, c inversele mrimilor Q11, Q22, Q33 definesc ponderile mrimilor obinute indirect x1, x2, x3.Pentru acest motiv Q11, Q22, Q33 se numesc coeficieni de pondere.Analiznd sistemele de ecuaii normale (5.121), (5.129) i (5.130) se constat c intervin i ali coeficieni de pondere, fapt explicabil prin aceea c x1, x2, x3nu sunt mrimi independente ci legate ntre ele prin sistemul ecuaiilor de erori (5.17).Aceti coeficieni prezint interes numai n cazul n care intereseaz modul de corelare ntre mrimile dependente.1.3.14.3. EROAREA MEDIE PTRATIC A UNEI FUNCII DE MRIMI MSURATE INDIRECTConsiderm funcia liniara:F = A1X1 + A2X2 + A3X3(5.135)n care:x1, x2, x3 - sunt mrimile obinute prin msurtori indirecte;A1, A2, A3 - coeficieni constani.Sepuneproblemadeterminrii erorii medii ptraticeafunciei Fi cuaceastaaponderii funciei respective.De la nceput este necesar s precizm c formula stabilit pentru eroarea medie ptratic a unei funcii de mrimi obinute prin observaii directe nu este valabil n cazul funciei F. n cazul msurtorilordirecte, variabileledinfuncieerauindependente, ntimpcencazul msurtorilor 1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEindirectevariabilelenusunt independente, sunt legateprinsistemul ecuaiilor deerori sauprin sistemul ecuaiilor normale.nconsecin, pentruaaplicaformula(2.40)estenecesarcanfuncia(5.135)ssefac trecerea de la variabile dependente la variabile independente.ncazul msurtorilorindirecte, mrimileindependentesuntobservaiileefectuatedirect i notate cu l1,l2,...,ln.Aadar, se poate obine funcia F de mrimi independente prin nlocuirea variabilelor dependente x1, x2, x3 cu variabilele independente l1,l2,...ln.Pentru aceasta, nlocuim n (5.135) pe x1, x2, x3 cu expresiile din (5.113) i avem:F = - A1(1l1 + 2l2 + ... + nln) - A2(1l1 + 2l2 +...+ nln) - A3(1l1 + 2l2 + ... + nln) (5.136)Ordonnd n (5.136) termenii dup mrimile msurate obinem:n n n nl A A Al A A Al A A A F) () () (3 2 12 2 3 2 2 2 11 1 3 1 2 1 1 + + + + + + (5.137)Mrimile din paranteze fiind constante, iar variabilele l1, l2, ..., ln fiind independente, pentru a stabili eroarea medie ptratica a funciei F se poate aplica formula (2.40).Astfel, avem:20 3 2 1 122 3 2 2 2 121 3 1 2 1 12) (... ) ( ) (m A A AA A A A A A mn nF + + ++ + + + + + (5.138)m0 - este eroarea medie ptratic a unei singure observaii.Procedamncontinuarelatransformareaexpresiei dinparantezaptratpecareo notm cu E.Dezvoltm ptratele i obinem:] [ ] [ 2 ] [] [ 2 ] [ 2 ] [3 3 3 2 2 23 1 2 1 1 1 A A A A A AA A A A A A E+ + ++ + + (5.139)sau:]) [ ] [ ] [ ( ]) [] [ ] [ ( ]) [ ] [ ] [ (3 2 1 3 32 1 2 2 2 1 1 A A A A AA A A A A A A E+ + + + ++ + + + + (5.139)Notm:n A A An A A An A A A1 1 2 32 1 2 33 1 2 3 + + + + + +[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] (5.140)nlocuim expresiile din (5.140) n (5.139) i obinem:E=A1n1+A2n2+A3n3(5.141)1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEnmulind expresiile (5.140) cu [aa], [ab], [ac], adunnd pe coloane i innd seama de (5.121), (5.120., (5.127), (5.128), (5.129), (5.130. i (5.131) rezult:[aa]n1+[ab]n2+[ac]n3 = A1(5.142)n mod similar, nmulind expresiile (5.140) cu [ab], [bb], [bc] i n cele din urm cu [ac], [bc], [cc] conduce la egalitile:[ab]n1+[bb]n2+[bc]n3=A2[ac]n1+[bc]n2+[cc]n3= A3(5.143)Sistemul de ecuaii normale format din egalitile (5.142) i(5.143) dup reduceri succesive conduce la:[bb.1]n2+[bc.l]n3 = [A2.l]prima reducere (5.144)[bc.l]n2+[cc.l]n3= [A3.l][cc.2]n3 = [A3.2] a doua reducere (5.145)n care expresiile de reducere pentru [A2.l] , [A3.l] i [A3.2] sunt:] 1 . .[] . [] . [] 1 . [ ] 2 . [;] [] [] 1 . [ ;] [] [A .l] [A. 2 3 31 3 3 1 2 2Al bbl bcA AAaaacA A Aaaab (5.146)nlocuind n expresia (5.141) egalitile (5.142) i (5.143) obinem:E=[aa]n12+2[ab]n1n2+2[ac]n1n3+[bb]n2+2[bc]n2n3+[cc]n32(5.147)Se poate uor verifica egalitatea:] 2 . [) ] 2 . ([] . [) ] . [ ] . ([] [) ] [ ] [ ] ([] [ ] [ 2 ] [ ] [ 2 ] [ 2 ] [2323 223 2 123 3 222 3 1 2 121ccn ccl bbn l bc n l bbaan ac n ab n aan cc n n bc n bb n n ac n n ab n aa++++ + + + + + +(5.148)Lund n considerare egalitatea (5.148) i innd seama de relaiile (5.142), (5.144) i (5.145) expresia E devine:] 2 . [] 2 . [] 1 . [] 1 . [] [2322ccAbbAaaAE + + (5.149)Revenind la relaia (5.138) putem scrie:

,_

+ + ] 2 . [] 2 . [] 1 . [] 1 . [] [232221 202ccAbbAaaAm mF(5.150)Expresia(5.150) reprezintformuladecalcul aerorii medii ptraticepentruofunciede mrimi obinute din msurtori indirecte.Pentru a obine formula ponderii funciei (5.135) vom scrie:1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICEpmmFF022sau coeficientul de pondere:] 2 . [] 2 . [] 1 . [] 1 . [] [123222120ccAbbAaaAQmmpFFFF+ +

,_

(5.151)Cu notaia din (5.151) formula (5.150) poate fi scris:m m QF FF0identic cu formula (5.132), ca form.1.3.14.4. CALCULUL COEFICIENILOR DE PONDERECoeficienii de pondere necesari la stabilirea erorilor medii ptratice corespunztoare valorilor probabilealenecunoscutelor i aerorii medii ptraticecorespunztoareunei funcii demrimi obinute prin msurtori indirecte pot fi calculate folosind procedeul direct. Acesta const n rezolvarea sistemelor de ecuaii normale (5.121), (5.129), (5.130) pentru cazul a trei necunoscute i n calcularea expresiei (5.151).Evident c se impune unvolummare de calcul, ceea ce determin renunarea la acest procedeu.Coeficienii deponderepot fi nsmult maisimplucalculaidacseutilizeazschemade reducere folosit la calculul necunoscutelor unui sistem de ecuaii normale.Pentru a constata ns c acest lucru este posibil, vom considera un sistem de ecuaii normale cu trei necunoscute (5.20) pe baza cruia poate fi creat sistemul (5.121) de exemplu.ntre aceste sisteme de ecuaii pot fi scrise urmtoarele corespondente:x1Q11[al]=-1x2Q12[bl]= 0 (5.153)x3Q13[cl]= 0Introducem mrimile care rezult din corespondena (5.153) n egalitatea (5.48) i avem:-Q11 + [ll] = [ll.3]sau:Qa aaabl blbbcl clcc111 1 1 112 22 + +[ ][ ][ ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ][ . ]Sub alta form:Qlaablbbclcc112 21122 + +[ ][ . ][ . ][ . ][ . ](5.154)Dar, dezvoltnd reducerile i innd seama de corespondena (5.153) putem scrie:1EVALUAREA CALITII LUCRRILOR TOPOGRAFICE I GEODEZICE[bl.1]=[ ][ ][ ][ ][ ][ ]blab alaaabaa [cl.2]=[cl]-[ ][ ][ ][ . ][ . ][ . ][ ][ ][ . ][ . ][ ][ ]ac alaabc blbbacaabcbbabaa 1 1111(5.155)Cu algoritmii obinui n egalitile (5.155) se calculeaz coeficientul de pondere Q11.n continuare procedm analog i considerm sistemele de ecuaii normale (5.20) i (5.129) pentru care avem corespondena:x1Q21 [al]= 0x2Q22 [bl]=-1 (5.156)x3Q23 [cl]= 0Introducem mrimile care rezult din corespondena (5.156) n egalitatea (5.48) i avem: + Q ll ll223 [ ] [ . ]sau:Qbbclcc2221122 +[ . ][ . ][ . ](5.157)n care:[cl.2]=[ . ][ . ]bc lbb l(5.158)n cele din urma pentru sistemele de ecuaii normale (5.20) i (5.130) exist corespondena:x1Q31 [al]= 0x2Q32 [bl]= 0 (5.159)x3Q33 [cl]=-1i cu aceasta egalitatea (5.48) devine:-Q33 + [ll] = [ll.3]sau:Q33=12 [ . ] cc(5.160)Expresiile de calcul (5.154), (5.157), (5.160) ale coeficienilor de ponder