60
Malmö högskola Lärarutbildningen Natur, miljö, samhälle Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie med ett etnomatematiskt perspektiv. A cultural visit in mathematics education: Action research with an ethnomathematical perspective. Annica Andersson Magisterutbildning 20p i Utbildningsvetenskap med inriktning mot matematik Datum för slutseminarium: 2007-06-07 Examinator: Malin Ideland Handledare: Tine Wedege

Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

Malmö högskola Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Ett kulturellt besök i matematikundervisning:

En aktionsstudie med ett etnomatematiskt perspektiv.

A cultural visit in mathematics education:

Action research with an ethnomathematical perspective.

Annica Andersson

Magisterutbildning 20p i Utbildningsvetenskap med inriktning mot matematikDatum för slutseminarium: 2007-06-07

Examinator: Malin Ideland Handledare: Tine Wedege

Page 2: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

2

Page 3: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

3

SAMMANFATTNING

I denna magisteruppsats har jag, inspirerad av etnomatematik, redovisat en teoretisk

litteraturgenomgång som beskriver dels vad etnomatematik är och dels innehållet i det

etnomatematiska forskningsfältet. Innebörden av en etnomatematisk forskningsdiskurs

finns också beskriven.

Därefter har jag sökt besvara frågan om etnomatematik kan vara ett möjligt sätt att

uppnå det programmål i matematik för det samhällsvetenskapliga programmet som

säger att skolan i sin undervisning ska sträva efter att eleverna får insikt om hur

matematiken har skapats av människor i olika kulturer och om hur matematiken

utvecklats och fortfarande utvecklas. Med aktionsforskning som metod genomförde jag

en studie med gymnasieelever på ett samhällsvetenskapligt program, åk 2, på en

gymnasieskola i södra Sverige. Aktionsstudien bestod av två delar. Den första delen

innehöll ett längre lektionspass med en introduktion till etnomatematik med bl.a.

exempel på andra kulturers matematik. Inledningen följdes av en diskussion kring

globala frågor, urbefolkningars matematik och rättvisefrågor. Den andra delen av

aktionsstudien bestod av ett studiebesök på utställningen ”Dreamtime” på Arken i

Köpenhamn där eleverna fick möjlighet att studera exempel på den australiska

urbefolkningens matematik i form av kartor som konstverk.

Aktionsstudien visade att etnomatematik kan vara en möjlig ingång för att uppnå

ovanstående programmål i matematik. Etnomatematik kan även vara en möjlig väg att

anlägga en alternativ diskurs i matematikundervisningen som främjar diskussioner om

globala frågor, global rättvisa och matematikens roll i samhället.

Förord Ett stort varmt tack till dig, Tine, för handledning under arbetes gång.

Jag vill också rikta en varm tanke till eleverna som deltog på studieresan och vars

diskussioner och svar jag här fått möjlighet att reflektera mera över. Tack ska ni ha!

Page 4: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

4

ABSTRACT

Inspired of ethnomathematics I have, in this masters paper, presented a theoretical

review of literature describing both what ethno mathematics is as a concept and the

content of the ethnomathematical research field.

After that I have tried to answer the question if an ethno mathematic approach can be a

way to achieve the goal in the social science education programs mathematical

education which says that the students shall deepen their insight into how mathematics

has been influenced by people from many different cultures, and how mathematics has

developed and still continues to develop. With action research as a method I carried out

a study with students in the second grade in an upper secondary school in Sweden. The

action research study contains of two parts. The first part is a longer lesson in school

with an introduction to ethno mathematics with examples i.e. of other cultures

mathematics. The introduction was followed by a discussion in class on topics like

global issues, indigenous people’s mathematics and questions about mathematics,

global fairness and power. The second part of the study contains of a study visit to the

exhibition “Dreamtime” at Arken in Copenhagen where the students got the opportunity

to study examples of the Australian aboriginals mathematics as maps as art.

The research showed that ethno mathematics can be a possible way to reach the above

described goal in mathematics education. It also showed that ethno mathematics can be

a possible way to build an alternative discourse in mathematics education that promotes

discussions about global issues, global fairness and the roll of mathematics in society.

Page 5: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

5

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

Sammanfattning 3

Förord 3

Abstract 3

Innehållsförteckning 5

1. Inledning 6

2. Syfte och frågeställningar 10

3. Litteraturgenomgång 11

3.1 Etnomatematik 11

3.2 Det etnomatematiska forskningsområdet 16

3.3 Matematikundervisning – varför och för vem? 18

3.4 De aboriginiska kartorna 24

4. Aktionsforskning som metod 27

4.1 Uppsatsens placering inom en aktionsforskningsmodell 27

4.2 Studiebesöket på Dreamtime-utställningen på Arkens museum for kunst 40

4.3 Etiska hänsyn 41

5. Resultat 42

5.1 Klassrumsintroduktionen 42

5.2 Elevernas skriftliga svar på frågan och mina iakttagelser under studiebesöket 45

5.3 Aktionsforskning som metod – en kvalitetsdiskussion 50

6. Konklusioner 53

7. Referenslista 58

Page 6: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

6

1. INLEDNING

En värld full av ockerröda slätter, porlande vattendrag,

Byar fulla av liv och drömmar om liv och död trängde fram, framför våra ögon.

Vi såg topografiska kartor som visade vägar till byar och viktiga vattenhål samt

mer abstrakta kartor som visar skilda vägar genom livet

Elevers poetiska beskrivning av Dreamtimeutställningen.

Ett av programmålen i matematik för det samhällsvetenskapliga programmet är

formulerat på följande sätt:

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om

hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken

utvecklats och fortfarande utvecklas. (Skolverket, 2000)

Detta programmål har varit en givande utmaning för mig som matematiklärare på en

mindre gymnasieskola att uppfylla. Med olika klasser har jag genom åren gjort

exempelvis studiebesök på Kulturen i Lund och tittat på modernismen samt på äldre

byggnader och hus från olika delar av Sverige och från olika tidsperioder för att för

eleverna tydliggöra konst och arkitektur ur ett matematiskt perspektiv. År 2004 hade

Louisiana, Museum for Moderne Kunst i Humlebeck, en utställning om den danske

arkitekten Jörn Utzon som jag besökte med två klasser. Detta studiebesök var så

uppskattat och gav så goda diskussioner och ökad motivation i

matematikundervisningen för den elevgruppen att jag önskat kunna göra det igen.

Reflektionerna efteråt över den positiva reaktionen har fått mig som lärare att fundera

över hur ovanstående programmål både kan uppfyllas och samtidigt utnyttjas på ett

positivt sätt i matematikundervisningen.

Ett stipendium gjorde det möjligt för mig att resa till Auckland, Nya Zeeland och delta i

den internationella konferensen ”the Third Conference on Ethnomatematic, ICEM-3” i

februari 2006. Kunskaperna från denna konferens inspirerade mig att anlägga ett

etnomatematiskt och kulturellt perspektiv i min matematikundervisning (Andersson,

2007). Ett moment blev att göra en studieresa med matematikelever som går andra året

Page 7: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

7

på det internationella/samhällsvetenskapliga programmet och det är erfarenheterna från

denna studieresa jag redovisar i denna uppsats. Studieresans mål var Arken, Statens

museum för Kunst, i Köpenhamn, Danmark där eleverna studerade utställningen

”Dreamtime, Aboriginal art from the Ebes Collection”. Utställningen omfattade mer än

100 aboriginiska konstverk och visade bl.a. exempel på aboriginiska kartor (för mer

information om utställningen se www.arken.dk/exhibition). Denna utställning visade

exempel på en annan kulturs matematik och därmed andra uttrycksformer för

matematik än svenska elever är traditionellt vana vid. Eleverna fick under studiebesöket

besvara frågor som syftade till tydliggörande av att matematik kan ses ur andra

perspektiv än vårt västerländska perspektiv. Med denna studieresa uppfylldes målen att

sammankoppla matematikundervisningen med kultur som finns i programmålen för det

samhällsvetenskapliga programmet på gymnasiet och i kursplanen för deras

matematikundervisning.

Som forskare inom det matematikdidaktiska problemfältet söker man bl.a. att besvara

frågorna Varför; anledning till matematikundervisning, Vad; undervisningens och

lärandets mål, Vem; agenter i undervisning och lärande och Hur; kontext för

undervisande och lärande (Wedege, 2000). Dessa ord har inspirerat mig i planeringen av

denna undervisningssekvens. Wedege (2006) argumenterar för att det är ett tecken på

kvalitet när matematikdidaktiker deklarerar vad han eller hon uppfattar som matematiskt

vetande och samtidigt tydliggör uppfattningar om varför man lär matematik och varför

det bör undervisas i matematik. Wedege skriver också att

En matematikdidaktisk problematique tematiserer relationen lærer-elev-matematik og

problematiquen konstitueres bl.a. ved explicitering af hvad der menes med ”matematik” og

”matematiklæring” (Wedege, 2000:38).

Vad är då matematik? Matematik definieras av Nationalencyklopedin som ”en abstrakt

och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling”

(Nationalencyklopedin, 2007). Encyklopedia Brittanica definierar matematik som

…the science of structure, order, and relation that has evolved from elemental practices of

counting, measuring, and describing the shapes of objects. It deals with logical reasoning and

Page 8: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

8

quantitative calculation, and its development has involved an increasing degree of

idealization and abstraction of its subject matter. (Encyclopedia Brittanica, 2007).

Vidare står det i artikeln att matematiken har utvecklats av praktiska behov och för

särskilda ändamål exempelvis inom handel och jordbruk.”This growth has been greatest

in societies complex enough to sustain these activities and to provide leisure for

contemplation and the opportunity to build on the achievements of earlier

mathematicians. “ (Encyclopedia Brittanica, 2007). I den svenska kursplanen för

matematik på det samhällsvetenskapliga programmet inleds beskrivningen av

matematikämnets karaktär på följande sätt:

Matematiken har genom en mångtusenårig utveckling bidragit till det kulturella

arvet. Matematiken är en förutsättning för stora delar av samhällets utveckling och

den genomsyrar hela samhället, ofta på ett sätt som är osynligt för den ovane

betraktaren. (Skolverket, 2000)

Denna inledning i skolverkets karaktärsbeskrivning av matematikämnet tydliggör

dilemmat med matematik som begrepp – matematik ”genomsyrar hela samhället” men

ofta på ett sätt som inte är uppenbart för alla och envar. Ur mitt lärarperspektiv ser jag

det som en del av mina arbetsuppgifter att tydliggöra matematik som finns i vår

omvärld för eleverna. Min övertygels är att om matematik tydliggörs och sätts i ett

sammanhang blir ämnet både mer greppbart och elevernas motivation att lära matematik

ökar då ämnet får en verklighetsförankring utanför skolmiljön. Skolverkets text

fortsätter sedan att beskriva matematik som utvecklad ur praktiska behov och

människans nyfikenhet. Matematiska begrepp och metoder har växt fram inom olika

kulturer. Det står också att matematik är en internationell vetenskap, vars metoder,

begrepp och kunskapsområden ständigt utvecklas. Matematikämnet beskrivs vidare som

en mänsklig tankekonstruktion och matematisk problemlösning kan ses som en

skapande aktivitet. Inom matematikämnet arbetar man med definierade begrepp, och

teorier byggs upp genom strikt bevisföring. De fyra aspekterna som enligt skolverket

ska genomsyra undervisningen på samhällsvetenskapliga programmet är

problemlösning, kommunikation, användning av matematiska modeller och

matematikens idéhistoria (Skolverket, 2000).

Page 9: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

9

Ordet matematik består av två delar; mathema från grekiskans förståelse och förklaring

samt tics som härstammar ur teknik, tekniker och konst/hantverk (se t.ex. D’Ambrosio,

2006 och Nationalencyklopedin, 2007). När matematik kopplas ihop med ordet etno

med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det

etnomatematik som denna uppsats fokuserar på. Ovanstående tydliggörande av

matematik och skolverkets beskrivning av matematikämnets karaktär ska i denna

uppsats ses som definitioner av vad matematik är och vad matematikundervisning

innebär. Denna bakgrund gör det intressant för mig som matematiklärare att ur ett

matematikdidaktiskt perspektiv tydliggöra för eleverna matematiken i vår egen och

andras kultur. Via en etnomatematisk undervisning vill jag genom aktionsforskning

prova och se vad som sker i klassrummet. Hur ser eleverna på matematik? Det blir då

intressant att ge eleverna möjlighet att lära och förstå matematik med stöd av ett

kulturellt perspektiv (gäller både ur vår egen kultur eller andra kulturers perspektiv) i

undervisningen. Men, min nyfikenhet på hur eleverna själva kan uppfatta matematik i

en annan kultur är en av grundstenarna för mig i undervisningssekvensen som redovisas

i denna uppsats.

Page 10: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

10

2. SYFTEN OCH FRÅGESTÄLLNINGAR

Denna uppsats har två syften. Det första syftet är att göra en presentation av ett

teoretiskt perspektiv på etnomatematik, det etnomatematiska forskningsområdet och en

etnomatematisk forskningsdiskurs. Det andra syftet är att genom aktionsforskning

besvara frågan om, och i så fall hur etnomatematik vara ett möjligt sätt att i en

gymnasieklass på samhällsvetenskapliga programmet i Sverige uppfylla programmålet:

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om

hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken

utvecklats och fortfarande utvecklas. (Skolverket, 2000)

Med bakgrund av mina erfarenheter från undervisningssekvensen önskar jag

även diskutera följande fråga: Hur kan en diskussion om etnomatematik och

globala frågor berika matematikundervisningen i en gymnasieklass i Sverige

och samtidigt uppfylla ett av syftena för matematikundervisning på

gymnasieskolans samhällsvetenskapliga program? Syftet för

matematikundervisning är formulerat på följande sätt:

Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna

analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor,

som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor.

(Skolverket, 2000)

Page 11: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

11

3. LITTERATURGENOMGÅNG

Etnomatematik är ett forskningsområde som beskriver hur matematik utvecklas inom

olika kulturer och subkulturer. Forskare inom det etnomatematiska fältet diskuterar bl.a.

urinvånares matematik, vilket detta paper delvis fokuserar på, men även andra kulturella

gruppers matematik. En förutsättning för denna diskussion är att man finner acceptens

för tesen att matematik utvecklas i alla kulturer, men inte nödvändigtvis på samma sätt

(Bishop, 1991). Etnomatematik kan även ses som en undervisningsdiskurs med

undervisning som präglas av bl.a. frågor om global utveckling och rättvisa,

utvecklingsländernas problematik, kunskap och makt och där eleverna utvecklar en

förståelse för matematikens betydelse i samhället. Etnomatematiker visar på möjligheter

att utveckla matematikundervisning som baseras på en redan etablerad etnomatematisk

kompetens.

The International Study Group of Ethnomathematics/ISGEm bildades för snart 15 år

sedan med ett brett internationellt deltagande och intresse. Den första internationella

kongressen i etnomatematik (ICEM) hölls i Granada 1998 och återkommer sedan dess

vart fjärde år (D’Ambrosio, 2001). Den senaste konferensen hölls i Auckland 2006.

I kapitel 3.1 definieras och beskrivs begreppet etnomatematik som ett kulturellt

fenomen ytterligare. I kapitel 3.2 beskrivs det etnomatematiska forskningsområdet och i

kapitel 3.3 diskuteras den etnomatematiska undervisningsdiskursen. Teoridelen avslutas

med en presentation av de australiska aboriginernas kartor som konstverk och en kort

förklaring av Dreamtimebegreppet. Detta avsnitt i teorikapitlet motiveras av

utställningen vi besökte på Arkens Museum for Kunst i Köpenhamn.

3.1 Etnomatematik

D’Ambrosio (1985), matematiker och etnomatematiker från Sao Paolo i Brasilien

definierade begreppet etnomatematik som den matematik man finner i olika

identifierbara kulturella grupper. Dessa kulturella grupper ser vi bl.a. hos urinvånare,

exempelvis aboriginerna, men de kan även definieras i olika arbetsgrupper (se

exempelvis Wedege, 2000 som beskrivit matematikanvändandet i arbetsgrupper med

korttidsutbildade vuxna; och FitzSimons, 2000) och bland barn och ungdomsgrupper

(Nunes et all, 1993). Nunes, lektor vid Institute of Education vid London University

Page 12: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

12

definierar begreppet streetmathematics som den matematik som lärs och används av

barn och ungdomar utanför skolan. I Brasilien är det vanligt att arbetarklassens barn och

ungdomar tidigt börjar arbeta i föräldrarnas affärer eller själva startar upp

gatuförsäljning av varor som jordnötter, kokosnötter, popcorn eller majs. Denna

försäljning kräver aritmetiska beräkningar, framför allt addition och multiplikation för

att beräkna priser, men även division för att kalkylera kilopriser. Nunes och hennes

medforskares studier visade att dessa barn utvecklade strategiska informella metoder att

utföra beräkningarna och behärskade dessa metoder på ett bättre sätt än de formella de

lärt sig i skolan. Forskningen visade också att barnen/ungdomarna utvecklade både

informella och formella metoder parallellt då de räknade både i skolan och på gatorna.

Lean, tidigare antropolog och forskare på Papua Nya Guinea besökte under många år de

olika folkgrupperna på Papua Nya Guinea och kartlade befolkningens olika

räknesystem. Papua Nya Guinea är ett land där invånarna enligt senaste räkning talar

867 olika språk och Lean har kartlagt över 50 olika sätt att räkna och räknesystem.

Dessa olika räknesystem har utvecklats inom slutna klaner parallellt med alla de

enskilda klanspråken. Vissa grupper av Papua Nya Guineas befolkning använder

bodytallingsystems (en engelsk term som på svenska skulle kunna översättas till

kroppsräkningsystem) och använder därmed namn på olika kroppsdelar, exempelvis de

olika fingrarna, händer, armar och ansiktets delar som namn för räkneord. Andra

grupper visar siffervärden genom att använda och visa korrekt antal fingrar, händer och

fötter. Ytterligare andra folkgrupper på Papua Nya Guinea räknar i cykler med baser

om två, fem, sex, tio eller 20 (Lean, 1992).

De matematiska idéerna och hur de uttrycks varierar mellan olika kulturer och hittas i

skilda kontexter som exempelvis konst, spel och religion. Ett exempel är kalendrar och

almanackor. Även om vi sedan 1582 har en internationellt gemensam kalender används

idag cirka 40 olika kalendrar runt om i världen. Beräkningar och tidsregistrering är ett

ypperligt exempel på etnomatematik (D’Ambrosio, 2001). Ett annat exempel är

rumsuppfattning, rumsorientering och kartritning (Harris, 1991).

Page 13: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

13

D’Ambrosio (1985) diskuterar även begreppet kreativitet och skriver att kreativiteten

och därmed elevernas lärande stärks om de upplever en känsla av kulturell tillhörighet.

Han resonerar kring en alternativ pedagogisk diskurs som tydliggör elevernas kulturella

bakgrund och låter den ligga till grund i undervisningen. Kultur ska här ses i ett vidare

begrepp:

The main fact of interest … is the recognition that culture is a broad concept and goes

beyond the traditional view of regarding it as associated with ethnic or geographic

parameters. (D’Ambrosio, 1985:42).

D’Ambrosio definierar kulturbegreppet specifikt till matematik på följande sätt: En

kulturell grupp är en grupp som utvecklat gemensamma kunskaper, koder och praxis.

D'Ambrosios forskning visar även exempel på att sociala grupper, exempelvis olika

åldersgrupper, har sin egen kultur med avseende på symboler, jargonger och koder för

uppträdande och förväntningar. Dessa grupper utvecklar sin egen matematik, vad

D’Ambrosio beskriver med termen ”mathematizing”. Detta står i kontrast till den

akademiska matematiken, den som undervisas i skolor. Denna alternativa pedagogiska

diskurs i matematikundervisningen beskriver D’Ambrosio genom en liknelse med en

planta – insikt och kreativitet behöver en god jord och måste skötas om: ”Here, fertility

is determined by motivation, curiosity and initiative” (D’Ambrosio, 1985:80).

D’Ambrosio ifrågasätter inte om den akademiska och formella matematiken verkligen

utvecklar dessa egenskaper hos eleverna. Hans resonemang visar istället att den till

vissa delar motverkar dessa egenskaper.

En brittisk, dock numera bosatt i Australien, matematikdidaktiker är Bishop. Bishop

(1991) definierade begreppet kultur som ”a set of shared understandings”. Han

diskuterar kultur utifrån fyra olika kategorier av kulturbegrepp: ideologiska

(övertygelser), sociologiska (sedvänjor), sentimentala (attityder) och teknologiska

(verktyg). Bishop har studerat likheterna och sambanden mellan olika kulturella grupper

med avseende på matematiska idéer och aktiviteter. Likheterna lär oss om

kulturfenomenet matematik och möjliggör enligt Bishop en förståelse för det

matematiska tänkandets rötter. De matematiska idéerna och aktiviteterna beskrivs av

Bishop inom de matematiska områdena räkna, lokalisera, mäta, designa, spela och att

Page 14: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

14

finna förklaringsmodeller till fenomen. Dessa sex aktiviteter ser Bishop som

tvärkulturella, de går alltså att finna oberoende av vilken kultur vi befinner oss inom.

Likheterna kan också uppfattas som en rekonstruktion av urbefolkningars matematiska

tankar, begrepp och principer. Etnomatematiker söker matematiken i produkter och

artefakter från olika kulturer t.ex. brukshantverk och brukskonst, redskap, arkitektur och

konst. Bishop visar med andra ord på olika forskningsingångar med fokus i den

etnomatematiska forskningen.

Att begreppet kultur är subtilt och mångfacetterat diskuteras av amerikanskan Ascher

(1998). Då hon analyserat ett antal definitioner av begreppet kultur kom hon fram till att

ur ett etnomatematiskt perspektiv finns signifikans i att i alla kulturer delar människor

ett språk, en plats; med traditioner, organisering, föreställningar och tolkningar för att ge

orden en fysisk och social innebörd. Detta påverkar de matematiska idéerna. Olika

kulturer delar vissa idéer, men inte alla. Även om vissa idéer är lika eller liknande

uttrycks de på olika sätt i olika kulturer. Detta påstående gäller matematiska idéer precis

som andra idéer. Siffror och numeriska beräkningar (se exempelvis Lean, 1992 och

Owens, 2001), logiska resonemang, spatiala konfigurationer, strukturer och system tar

sig olika uttryck i olika kulturer enligt Ascher. Hon påpekar att då vi studerar andra

kulturers matematiska idéer är det troligen lättare för oss att upptäcka mönster och idéer

som påminner om de som finns i vår egen kultur. Detta beror på att vi är begränsade av

våra egna kulturella och matematiska begrepp. Då vi diskuterar med andra människor

med annan kulturell bakgrund tvingas vi relatera till vår egen (västerländska) modell

(Ascher, 1998).

Konst och konsthantverk innehåller till viss del matematik, det som allmänt benämns

allmän- eller vardagsmatematik eller det den norske matematikern Mellin-Olsen

definierar som folkmatematik (Mellin-Olsen, 1987). Materialberäkning, beräkningar

under tillverkningsprocessen och ekonomiska beräkningar kan ses som exempel på

detta. Men det finns också en stor del av tillverkningen som inte är matematisk, men

som kan efterkonstrueras som matematik och/eller matematiska

tillämpningar/former/abstraktioner. Harris (1987), lärarutbildare och forskare vid

University of North Texas diskuterar två begrepp av intresse i detta sammanhang.

Page 15: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

15

Begreppen definierades av Gerdes (1982 i Gerdes, 1996) nämligen frosted mathematics

och defrosted mathematics. Harris (1987) och Gerdes (1996) använder begreppet

frosted, fruset, om matematik som är gömd i kulturella artefakter. Ett exempel Harris

använder är traditionella mönstervävnader:

A glance at any piece of traditional weaving reveals a huge range of obvious geometry to

anyone who chooses to notice. How could it have got there without mathematical thinking?

(Harris, 1987:27)

Begreppet defrost, upptining, beskrivs av Gerdes (1996) på följande sätt:

… one may try to identify, reconstruct, and thereby ”unfreeze” the mathematical thinking

that which is “hidden” or “frozen” in old techniques (like , for example, basket making).

(Gerdes, 1982 i Gerdes, 1996)

Upptiningsbegreppet är däremot mer komplicerat enligt Harris. Hon ser en fara i att

förutfattade meningar om vad som finns i det frusna kan begränsa vad vi ser vid

upptiningen:

We need a term that implies hatching or germination of undefined potential, as well as

defrosting, because much of the mathematical thinking that has become frozen in an artefact

has been put there by someone who has not been reared on North American textbooks or a

standard Western mathematics education with all its attitudes and prejudices. (Harris,

1987:27)

Harris ger i sin artikel ett mycket konkret exempel på frusen/tinad matematik. Hon

jämför ett vinkelrätt cylinderformat rör som används inom den kemiska industrin

eller inom viss VVS. Problemet vid tillverkningen av dessa vinkelräta rör är att

tillverka vinkeln så att den kan rätas ut till 180 grader då slaggprodukter som

fastnat i rörvinkeln ska sköljas ur effektivt. Inom industrin ses detta som ett typiskt

matematiskt problem. Jämförelsevis ses inte designen vid stickning av hälpartiet på

en raggsocka i allmänhet som ett matematiskt problem enligt Harris som undrar:

Vari ligger skillnaden? ”Dare it be suggested that the reason is that socks are

Page 16: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

16

traditionally knitted by Granny – and nobody expects her to be mathematical.

What, dear old gran?” (Harris, 1987:28). Detta som ett exempel på att våra

begränsningar i tanken och förutfattade meningar och kunskaper ibland begränsar

oss i möjligheten att upptäcka matematik i artefakter och därmed blir problemet

med begreppet ”defrosting” tydliggjort.

D’Ambrosios (1985) och Bishops (1991) definitioner av kulturbegreppet och dess

relation till matematik och matematikundervisning ska ses som en definition av hur

dessa begrepp ska uppfattas i denna uppsats.

3.2 Det etnomatematiska forskningsområdet

Gerdes, etnomatematiker och forskare från Moçambique, definierar det

etnomatematiska forskningsområdet som ”the cultural anthropology of mathematics and

mathematical education” (Gerdes, 1996:915). Det etnomatematiska forskningsområdet

beskrivs vidare av Gerdes (1996) som accepterande och reflekterande över en

medvetenhet om flera olika matematikers existens. Gerdes karaktäriserar vidare

etnomatematiker som forskare med bl.a. acceptens för matematik i vid bemärkelse (jfr

Bishops matematiska aktiviteter ovan). Etnomatematiker betonar, framhåller och

analyserar hur sociokulturella faktorer påverkar matematikundervisningen på alla olika

skolnivåer. Matematiken ses enligt Gerdes som en ”universal, pan-human activity” och

etnomatematiska forskare argumenterar för att matematiska tekniker och sanningar är

kulturella produkter i olika samhällen. Ytterligare exempel på detta är etnomatematiker

som i tredje världen söker efter matematiska traditioner och aktiviteter. Målet med

denna forskning är att underlätta matematiklärandet för barnen i dessa länder genom att

utnyttja barnens kulturella bakgrund och kunskaper i undervisningen. Gerdes skriver att

i undervisningssammanhang söker etnomatematiker möjligheter att använda kulturella

aktiviteter för att utveckla matematikundervisning och lärande i klassrummen.

Kontexten kan enligt Gerdes ofta bli sociokritisk och stimulerar därmed eleverna att

även reflektera över bl.a. samhällsfrågor (Gerdes, 1996).

Page 17: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

17

Barton (1996), lärarutbildare och forskare inom etnomatematik med inriktning mot

språk och matematik i Auckland, Nya Zeeland har konstruerat en skala i sju steg där

olika typer av forskning om matematik och kultur kan placeras in. Denna skala

tydliggör det etnomatematiska forskningsområdet inom det större forskningsområdet

matematisk forskning. Barton definierar här kultur genom att hänvisa till D’Ambrosios

och Bishops definitioner av kulturbegreppet inom matematik. I denna linjära skala

anlägger Barton även ett antropologiskt perspektiv för att tydliggöra antropologins

betydelse för forskning inom detta område.

Matrisens sju steg är formulerade på följande sätt:

1. Pure Mathematics: pure mathematicians tend to record their work in formally approved

ways in mathematical journals and conference proceedings.

2. Applied Mathematics: this form of writing uses mathematics explicitly, in the

form of mathematical models which are intended to assist analysis and to enable

predictions to be made within other subjects… Writings are also formal, and

appear in journals or conference proceedings of subjects or disciplines.

3. Mathematical Studies: forms of writing in this category might be described as

mathematical, but are not usually identified as such (as in, for example, articles

on design and navigation)

4. Mathematics in Cultural Settings: descriptions of activities which are particular to

a cultural grouping, but which might be described as ‘mathematical’ (like, for

example, weaving systems, counting procedures, sporting statistics).

5. Descriptions of the Culture of Mathematics: writing which has mathematics as

the subject but which is in another mode (like, for example, history of

mathematics, sociology of mathematics, anthropology of mathematics).

6. The Cultural System of Mathematics: writing which describes the way in whioch

mathematics is itself a system or a culture, and which describes its cultural

characteristics.

7. Mathematics as a Cultural Phenomenon: writing which describes mathematics as

a way of knowing, or places it in relation to other cultural forms such as art or

religion (like, for example, the historiography of mathematics – how we write

about the development of mathematics. (Barton 1996:1037-1038)

Page 18: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

18

Modellen ses som linjär, med ren (pure) matematik som punkt ett och då man förflyttas

längs skalan mot punkt sju behandlar forskningen mer och mer forskningsbegrepp om

matematik. Skalan stödjer och pekar på en viktig skillnad som Barton formulerar som

”to distinguish between the anthropology of mathematics and an anthropological

perspective on mathematics” (Barton, 1996:1039). Ungefär vid den fjärde punkten går

en distinkt skiljelinje. Ur en antropologisk synvinkel berör punkterna fyra och fem

forskning ur ett antropologiskt perspektiv av matematik emedan punkterna sex och sju

ger ett antropologiskt perspektiv på matematik. I punkt sex ses matematik som ett eget

kulturellt system och om matematikforskningen ser matematiken som en del av kulturen

befinner sig forskaren under den sjunde punkten. Det etnomatematiska

forskningsområdet placeras oftast runt punkt fyra, t.ex. Aschers och Gerdes forskning

men flera forskare kan även placeras under punkt sju. D’Amdrosios senare arbeten är

enligt Barton exempel på detta. Denna uppsats, som för svenska elever beskriver

aboriginernas matematik i form av kartritning torde placeras under punkt fyra. Men, det

är också möjligt att placera den under punkt sju eftersom vi studerade matematikens

utveckling hos de Aboriginiska folken. Ser vi till programmålet för matematik

(Skolverkat, 2000), att skolan i sin undervisning i matematik ska sträva efter att

eleverna fördjupar sin insikt om hur matematiken har skapats av människor i många

olika kulturer och om hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas, kan

forskning kring detta programmål placeras både under punkt fyra och under punkt sju.

Barton påpekar också att möjligheter finns att konstruera flera liknande modeller

parallellt för forskning i matematikens historia, filosofi och sociologi. På så sätt skulle

man kunna konstruera en teoretisk matris för all forskning inom matematikämnet.

3.3 Matematikundervisning – varför och för vem?

Då jag sökt och läst litteratur om ”the justification problem”, - varför

matematikundervisning och för vem -, är det svårt att finna litteratur och forskare som

inte är normativa. Därför kan detta avsnitt i min uppsats uppfattas som normativt. Den

litteratur jag läst och det urval jag senare gjort för att skriva detta kapitel är gjorda med

ett etnomatematiskt perspektiv så till vida att dessa forskare tar ställning för att globala

frågor och frågor om global utveckling och rättvisa bör vara ett (av många andra) inslag

i matematikundervisningen i våra skolor. Tanken med detta är att både göra

Page 19: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

19

matematikundervisningen mer intressant för eleverna men även att visa på

matematikens roll som ett kraftfullt verktyg att använda vid diskussioner om

samhällsfrågor.

Frågorna i rubriken är centrala frågor inom den matematikdidaktiska forskningen idag.

De nationella styrdokumenten tydliggör vad undervisningen ska innehålla, vilka

moment som ska genomgås och vilka bedömningskriterier lärare ska använda i sin

undervisning (Skolverket, 2000). Ascher (1991) argumenterar i detta sammanhang för

att styrdokument inom matematikundervisning även bör ha en multikulturell tyngdpunkt

och att matematikundervisningen bör organiseras även med historiska och kulturella

perspektiv.

Let us take a step toward a global, multicultural view of mathematics. To do this, we will

introduce the mathematical ideas of people who have generally been excluded from

discussions of mathematics. (Ascher, 1991:1).

Ernest är en brittisk forskare och professor i matematikens filosofi med ett

socialkonstruktivistiskt perspektiv i sin forskning om matematik och

matematikundervisning. Ernest (1998) tar som alternativ i sina diskussioner

utgångspunkt i de förväntningar och uppfattningar som han uppfattar finns i

matematikundervisningen. Han föreslår följande sju punkter i ett försök till en bred

tolkning om varför det ska finnas matematikundervisning och vad

matematikundervisningen bör innehålla:

1. Having a qualitative understanding some of the big ideas of mathematics such as

infinity, symmetry, structure, recursion, proof, chaos, randomness, etc.

2. Being able to understand the main branches and concepts of mathematics and

having a sense of their interconnections, interdependencies, and the overall unity of

mathematics;

3. Understanding that there are multiple views of the nature of mathematics and that

there is controversy over its philosophical foundations;

4. Being aware of how and the extent to which mathematical thinking permeates

everyday and shopfloor life and current affairs, even if it is not called mathematics;

Page 20: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

20

5. Critically understanding the uses of mathematics in society: to identify, interpret,

evaluate and critique the mathematics embedded in social and political systems and

claims, from advertisements to government and interest-group pronouncements;

6. Beeing aware of the historical development of mathematics, the social contexts of

the origins of mathematical concepts, symbolism, theories and problems;

7. Having a sense of mathematics as a central element of culture, art and life, present

and past, which permeates and underpins science, technology and all aspects of

human culture. (Ernest, 1998:50)

De tre danska didaktikerna Höjgaard, Niss och Wedege har konstruerat en ”justification

matris” för att grafisk åskådliggöra deras tolkning av termen ”justification”. Denna

matris tydliggör genom placering i matrisen objektiva som subjektiva skäl för

matematiklärande på både en global och lokal nivå. Ernst m.fl. forskare diskuterar dessa

begrepp med objektiva ( eller materiella, institutionella) skäl på en global nivå. Som

lärare i matematik på en gymnasieskola i Sverige verkar även jag objektivt,

institutionellt, men på en lokal nivå, i skolan.

Agent level

Extent

Objective (’system’)

reasons

Subjective ’individual’

reasons

Global

reasons

The objective reasons for the very

existence of studies involving

mathematics or physics.

The subjective reasons for

engaging in studies involving

mathematics and physics at all.

Local

reasons

The objective reasons for the specific

design, organisation and implementation

of specific programs.

The subjective reasons for

engaging in particular aspects and

activities of a programme in

particular ways.

(Wedege et all, 1998:10)

Enligt Ernest (1998) bör förväntningar på matematikundervisning vara att den ska ge

förståelse för olika synsätt av matematikens skiftande natur och även ge insikt i den

filosofiska grunden matematiken vilar på. Den bör också tydliggöra matematiken i allas

vår vardag, både den synliga och den osynliga. Vi bör också förvänta oss att

matematikundervisningen ska ge ett kritiskt förhållningssätt till användandet av

matematiken i samhället. Elever och studenter bör lära sig identifiera, utvärdera och

Page 21: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

21

kritisera matematik som används i allt från reklam till samhällsstyrning och olika

intressegruppers särintressen. Dessa punkter överensstämmer väl med den danske

filosofen och matematikdidaktikern Skovsmoses (1994) intentioner i förslaget att skapa

”Critical Mathematics Education”, en kritisk matematikundervisning. Han pekar på

undervisningstraditionen i vår västerländska kulturella och filosofiska tradition att

separera begreppen undervisning (education) och kritik. Så länge dessa bägge begrepp

förblir separerade handlar undervisning om att leverera information och socialisering av

elever. Användes begreppet kritik tillsammans med matematik diskuteras enligt

Skovsmose samhällsfrågor, demokratisk kompetens etc.

Tillsammans med Nielsen har Skovsmose (1996) utvecklat begreppet kritisk

matematikundervisning ytterligare. De har fokuserat på några intressepunkter: att

medborgerlighet innebär att utbildning krävs för att bli aktiv i det politiska livet, att

matematik kan ses som ett verktyg för identifiering och analysering av egenskaper i

samhället - både globala och lokala. Vidare skriver Nielsen och Skovsmose att kritisk

matematikundervisning fokuserar på så sätt samspelet i klassrummet som inriktas på

kommunikation mellan lärare och elever för att ”acknowledge the importance of

developing critiqueas as an ongoing educational task with a broad cultural and political

scope” (Skovsmose och Nielsen, 1996:1261). I sin sammanfattning argumenterar Ernest

(1998) för att den traditionella reproducerande matematikundervisningen inte bara

medför reproducerade kunskaper och färdigheter hos elever, utan att den även

reproducerar sociala orättvisor. Vissa elever gynnas, andra missgynnas med denna typ

av undervisning. Denna ståndpunkt tar, som tidigare sagt, även D’Ambrosio. ” Critical

Mathematics Education must strive to provide equal opportunities and outcomes for

all.” (Skovsmose och Nielsen, 1996:1271).

Om kritisk matematikundervisningsperspektivets tyngdpunkt ligger i kommunikationen

mellan lärare och elever bör som komplement fokus även läggas på

undervisningsmaterial och läroböcker och hur dessa utformas. Läroböckernas och andra

undervisningsmaterials karaktär och kontext har även de stor betydelse för elevernas

motivation och lärande i matematik. Boaler (1993), tidigare gymnasielärare i

matematik, numera forskare vid Stanfords University i Kalifornien, anser att graden av

Page 22: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

22

hur matematikuppgifternas eller problemens kontext påverkar elever är vida

undervärderat. Resultaten av den stora skillnaden mellan kontexter i

problemlösningsuppgifter och klassrumsexempel i försök att relatera till ”verkliga livet”

- uppgifter eller vardagsuppgifter för att göra matematiken mer motiverande och

intressant är svårt. Hon frågar sig vems vardag – vems verklighet är det som används i

dessa textuppgifter? Strategin med vardagsuppgifter och s.k. verklighetsbaserade

uppgifter ignorerar enligt Boaler komplexiteten, omfånget och elevernas erfarenheter,

bakgrund och kultur så väl som sambanden mellan individernas tidigare erfarenheter

och matematiska mål och övertygelser (Boaler, 1993).

Den danske forskaren Niss (1996) beskriver utvecklingen av motiven för

matematikundervisning, (the justificationproblem) mellan olika länder och under olika

tidsperioder. Sammanfattningsvis visar hans forskning att länder med traditioner av

demokratiskt styre och kontroll och en något centralt kontrollerad ekonomi (t.ex. de

Skandinaviska länderna och Holland) tenderar att lägga större vikt på utbildningsmål

formulerade som kompetens, aktivitet, empati och ett aktivt kritiskt medborgarskap. I

Sverige beskrivs idag ett av de tre syftena för matematikundervisning på gymnasiets

samhällsvetenskapliga program på följande sätt:

Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna

analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor,

som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor.

Skolverket (2000)

Denna formulering stämmer någorlunda väl överens med innehållet i

utbildningsmålen Niss beskriver. Som kontrast till dessa ord nämner Niss länder

med auktoritärt styrelseskick som främst motiverar matematikundervisning dels

till ett färre antal personer, dels med mål som beskrivs av en teknisk- och

socioekonomisk utveckling.

Den brittiska forskaren Benn, som studerat aboriginernas kultur men som troligen är

mest känd för sin forskning om vuxna och matematiklärande, deltog i ett projekt år

2001 vars mål var att kartlägga hur australiska aboriginer lär matematik och utvecklar

Page 23: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

23

numeralitet. Projektets namn var” Numeracy as a social-cultural construct: an

investigation of how Aboriginal learners engage with and make sense of mathematics

curricula” (Benn, 2002). Hennes studier visar att föräldrar till aboriginiska barn önskar

att barnen ska studera akademisk matematik för att “gain access to the powerfull and

prestigious discourse of western mathematics” (Benn 2002:55). Detta förklarar enligt

Benn varför så många aboriginer inte är intresserade av att bygga vidare på sin egen

vardagsmatematiska diskurs – den är inte lika högt värderad av samhället som den

västerländska matematiken är. Föräldrarna är övertygade om att deras barn får större

social makt och större kontroll över sina liv om de lär matematik med en västerländsk

diskurs. Benn argumenterar för att detta sätt att se på matematik sammankopplar

matematik med de olika maktstrukturerna som finns i ett samhälle. Några av de punkter

hon föreslår att lärarna måste beakta för att underlätta aboriginernas lärande i matematik

är följande:

• To see through the ”commonsenseness” of their own mathematics to the recognition

that other mathematics exist and that they are valuable

• To have at least some awareness of the Aboriginal locale (including language,

interests and customs) and everyday mathematics

• To be able and confident in western academic mathematics

• To be able to construct a pathway from the everyday mathematics to academic

mathematics by use of appropriate language and metaphors (Benn, 2002:57)

Vad jag undrar är – vad skiljer dessa punkter från de reflektioner en lärare borde göra

vid planering av matematikundervisning i ett svenskt klassrum? Genom att byta ut

ordet Aboriginal i ovanstående citat mot ordet barn, ungdomar, en specifik yrkesgrupp

eller vilken annan kulturell grupp man som lärare ska undervisa kan kanske underlätta

lärandet i matematik och planeringen av matematiklektionerna även hos oss i Sverige.

Teorin har påverkat mig att reflektera över planering och innehåll i min matematik-

undervisning och fundera över hur dessa nya kunskaper kan utnyttjas direkt i

undervisningen. D’Ambrosios och Bishops teorier om elevers matematiska kreativitet

och hur den kan påverkas i olika riktningar då hänsyn tas till elevers kulturella bakgrund

är intressant ur ett matematikdidaktiskt perspektiv. Självklart önskar jag som lärare att

elever ska uppleva kreativitet i matematiklärandet. Målet för mig är att göra

Page 24: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

24

undervisningen intressant för eleverna och sätta den i ett sammanhang som tydliggör

matematikens möjligheter för olika människor med olika kulturell bakgrund.

Skovsmoses, Ernests m.fl. diskussioner om kritisk matematikundervisning är didaktiskt

intressant. Detta perspektiv, att diskutera samhällsfrågor ur ett matematiskt perspektiv i

matematikundervisningen gör mig nyfiken på om och i så fall hur det kan påverka

elevernas motivation och resultat i positiv riktning.

3.4 De Aboriginiska kartorna

Dreamtime är ett begrepp inom den australiska aboriginiska kulturen som beskriver en

spirituell dimension av de australiska aboriginernas existens och länkar samman nutid

med tiden då världen skapades. Dreamtime representeras av sånger, danser och

målningar men även kartor som visar spår i naturen av de allra första urinvånarna i form

av bäckar, sjöar och berg (The Oxford Companion to Australian History). En australisk

forskare som under många år forskat inom det etnomatematiska forskningsområdet ur

en kulturell kontext och speciellt inom aboriginisk kultur, Harris, beskriver

aboriginernas rumsuppfattning och spatiala förmåga så här:

If Aboriginal people were to set up their own mathematics programs uninfluenced by white

Australian traditions of what is important in a school mathematics program… the highest

priority would certainly go to the space strand. (Harris, 1991:19)

Harris beskriver aboriginernas förmåga att var de än befinner sig kunna beskriva

riktningarna för väderstrecken även på för dem nya platser och i nya omgivningar, både

ute i öknarna och inomhus i byggnader. Då (vi) västerlänningar skulle använda

begreppen höger/vänster utnyttjar aboriginer väderstrecken som riktningsangivelser.

Harris använder de aboriginiska kartorna som exempel då hon förklarar aboriginernas

uttryck för abstraktioner. De västerländska kartorna är fyllda av abstraktioner i form av

likartade symboler och ekvidistanslinjer. De aboriginiska kartorna är även de fyllda med

abstraktioner – beroende på om kartan är ”bara en karta” för exempelvis en resa eller

om den även har ett mytiskt eller heligt ändamål. Det är inte ovanligt att aboriginiska

kartor är fyllda med mytologiska symboler för olika platser.

Page 25: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

25

De stora konstverken som visades på Dreamtimeutställningen är figurativa bilder som

visar specifika landskap, heliga platser, vegetation och djurspår som har både symbolisk

så väl som praktisk innebörd för den australiska urbefolkningens livsföring i

vildmarken. Aboriginiska kartor visades här som stilfull konst med symboler och bilder

för exempelvis de heliga platserna. På Dreamtimeutställningen studerade eleverna

cirklar och prickar som symboler för platser, men även för vandraren, alltså människan,

och tiden. För att ge sig ut i den okända australiska terrängen krävs att man kan tolka

tecken och symboler för exempelvis vattenhål och träd. Antalet cirklar i konstverken,

kartorna, kan också uppfattas som tid. Fem cirklar före en stor kan tydas som ”fem

dagar senare kommer du fram till ett stort träd”. En bild som föreställer fem män kan

återge en mans resa under fem dagar i landskapet (Ebes, 2006).

Nedanstående bilder är exempel på två konstverk och samtidigt två kartor som visades

på Arkens Museum under Dreamtime-utställningen. Ytligt sett påminner dessa bilder

med punkter, cirklar och streck mest om abstrakta kompositioner. Men, det är figurativa

bilder som fungerar som en slags kommunikation. Med målningarna vidarebefordrar

aboriginer information om sitt levnadssätt, sina förfäder och ritualer till

gruppmedlemmarna. Denna konst är äldre än de egyptiska pyramiderna och kulturen

anses vara den äldsta levande i världen. Däremot är framställandet på duk en relativt ny

företeelse. Ursprungligen målades bilderna på bark, klippor, i trä, sand eller rent av på

marken. Kroppsmålningar förekom också. Först på 70-talet började aboriginerna

tillverka bilder som inte var fysiskt bundna till platser eller kroppar. Holländaren Hank

Ebes var en av dem som med hjälp av ockra- och akrylfärger inspirerade och

uppmuntrade aboriginerna att uppföra sina bilder på duk istället. Denna historik fanns

att läsa på informationsblad på Arkens Museum för Kunst (www.arken.dk).

Page 26: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

26

Bild 1. Love story, målad 1972 av Clifford Possum Tjapaltjarri. Syntetiskt polymer på board,

61x45 cm. Målningen föreställer en drömsång, “Dreamsong” vid berget Ngarlu, även kallat

Red Hill. Symbolerna i bilden visar en vandring till Ngarlu som startar i målningens nedre

vänstra hörn. Promenerar man runt i tavlan motsols träffar man på gränserna till Ngarlu, en

utsikts- och riktningsbeskrivning från Ngarlu, en älskares fotsteg och bumeranger som

symboler för kärleksmusik och i slutet regnsymboler. (Exihibitionguide, 2006:40, min

översättning)

Bild 2. Tjirilpatja Dreaming, målad 1992 av Tommy Skeen. Akryl på canvas, 178x119 cm.

Denna målning föreställer Emu och ”Bush Carrot” (Tjirilpatja) som drömsånger vid en plats

med namnet Lirrwarti, nära Balgo. Bush carrot omger tavlan. Fötterna representerar

vandringen mellan olika geografiska platser och samtidigt mellan olika ”ancestors”,

föregångares aktiviteter och ceremonier som associeras med Tingari ancestors.

(Exihibitionguide, 2006:51, min översättning)

Page 27: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

27

4. AKTIONSFORSKNING SOM METOD

I kapitel 4.1 presenteras inledningsvis aktionsforskning som metod och därefter placeras

denna undersökning in i en aktionsforskningmodell och beskrivs mer detaljerat.

Studiebesöket på Dreamtimeutställningen presenteras under 4.2. Etiska hänsyn

diskuteras under punkt 4:3. En kvalitetsdiskussion av aktionsforskning finns längre fram

i uppsatsen, i kapitel 5.3.

4:1 Uppsatsens placering inom en aktionsforskningsmodell

Enligt Mertens (2005) förklaringar av de olika forskningsparadigmen bör denna

forskningsrapport placeras inom ett transformativt paradigm under ”Participatory

theory”. Det transformativa paradigmets ontologi beskrivs bl.a. av sociala, kulturella

och etniska värderingar. Epistemologin karaktäriseras av ett nära samarbete mellan

forskare och forskningsdeltagare med en kunskap som är både socialt och historiskt

situerad. Metoder som används är oftast kvalitativa (som i denna undersökning) men

även andra metoder används beroende på forskningens syfte och mål (Mertens, 2005).

Aktionsforskning är en forskningsmetod som ofta används för att utvärdera en

förändring av praxis i exempelvis undervisning, men även inom andra sociala

verksamheter är aktionsforskning vanlig för att utvärdera förändringsarbete. Robson

(2002) skriver att aktionsforskning medverkar till beskrivning, förklaring och förståelse

av förändringar. Improvement och involvement (förbättring och engagemang) är enligt

Robson centrala begrepp inom aktionsforskning. Robson ger följande beskrivning av

aktionsforskning:

There is, first, the improvement of a practice of some kind; second, the improvement of the

understanding of a practice by its practitioners; and third, the improvement of the situation

in which practice takes place. (Robson, 2002:215)

I Mertens definieras begreppet practical participatory evaluation i kontexter som

handlar om utvärdering och som samtidigt involverar de deltagande i forskningen.

Specifikt inom undervisning benämns detta ”classroom action research” (Mertens

2005:243) där lärare, ibland – men inte alltid - med stöd av akademiker genomför

forskning i det egna klassrummet för att utvärdera och förbättra undervisningen.

Page 28: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

28

Aktionsforskning beskrivs även av en svensk forskare, Rönneman (2004) som en ansats

med utgångspunkt i den praktiska verkligheten och som verkar för en forskning som

leder till förändring. Den handlar om att utveckla och förändra en verksamhet, men

också om att skaffa sig kunskap om hur förändring sker och vad som händer under

arbetes gång. Praktikern, i detta fall läraren, är delaktig i vad som sker och kan därmed

åstadkomma en bättre grund att agera från.

Förloppet gör att aktionsforskning kan ses ur ett ‘bottom-up’- perspektiv, vilket innebär att

det är praktikern själv som ställer frågorna och agerar för en förändring. (Rönneman,

2004:14)

Detta till skillnad från när någon annan utifrån bestämmer vad som ska ske eller forskar

i verksamheten, ett ”top-down”-perspektiv. Rönneman beskriver aktionsforskningens

historia utifrån en amerikansk forskare, Lewins, modell. En liknande modell finns

beskriven av Robson (2002). Lewins modell beskrivs som cyklisk, Robsons som

spiralisk men stadierna i de olika modellerna är i princip de samma. Bägge modellerna

beskriver olika stadier av aktionsforskning t.ex. reflektion över nuvarande situation,

planering av en aktion utifrån dessa erfarenheter, genomförandet, observationer under

genomförandet samt ett resultat som i sin tur blir föremål för ny reflektion. Denna

reflektion leder vidare till en ny planering, föder nya frågor och därmed ny aktion.

Enligt denna modell planerade jag den nya undervisningssekvensen utifrån nya

kunskaper och inspiration jag fick på ICEM-3 i Auckland samt erfarenheter från tidigare

studiebesök med elever. Undervisningen och studiebesöket genomfördes och

observationerna skedde dels genom elevernas skriftliga reflektioner och svar på

frågorna, dels genom mina observationer i klassrummet och under studiebesöket.

Resultaten beskrivs i denna rapport som förhoppningsvis ska leda vidare till nya frågor

och ny forskning.

Skovsmose och Borba (2000) beskriver en modell för aktionsforskning inom

matematikundervisning och påvisar samband mellan den nuvarande situationen (NS),

den arrangerade situationen (AS) och föreställningen om en ny tänkbar situation (TS)

som visas i figur 1. Den nuvarande situationen, NS, beskriver den rådande

klassrumssituationen och undervisningsmetoder före undervisningsexperimentet. Denna

Page 29: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

29

situation initierar en föreställning om att förändra, att göra annorlunda vilket så

småningom blir en föreställning om en ny tänkbar situation, TS. Denna består endast av

olika hypoteser och idéer och ingår i undervisningsdiskursen. Då förändringar i

undervisningen genomförs övergår de tänkbara situationerna till att bli arrangerade

situationer, AS.

AS

NS TS

Figur 1. Modell som visar samband mellan nuvarande situation (NS), den tänkbara

situationen (TS) och den arrangerade situationen (AS). (Skovsmose och Borba, 2000:11)

Förändringarna är inte statiska, som triangeln kan ge sken av, utan förflyttningarna

mellan de olika situationerna är en pågående process. Sambandet som visas i figur 2

mellan den nuvarande situationen och den tänkbara situationen benämns av Skovsmose

och Borba för den Pedagogisk föreställningen, PF, och beskrivs som en process som ger

stöd för att skapa de nya, tänkbara situationerna. Processen innebär också att som lärare

komma till insikt om att undervisningen skulle kunna förändras och göras annorlunda.

Sambandet mellan den nuvarande situationen och den arrangerade situationen beskrivs

av Skovsmose och Borba som en process för planering av aktiviteter och praktisk

organisation, PO. Slutligen, sambandet mellan den tänkbara situationen och

arrangerade situationen handlar om en analytisk och reflekterande process av de nya

erfarenheterna, RP.

Page 30: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

30

AS

PO RP

NS PF TS

Figur 2. Figuren visar sambandet mellan den pedagogiska föreställningen (PF), praktisk

organisation (PO) och den reflekterande processen (RP) i förhållande till nuvarande situation

(NS), den tänkbara situationen (TS) och den arrangerade situationen (AS). (Skovsmose och

Borba, 2000:12)

Denna undersökning placeras inom Skovsmoses och Borbas modell på följande sätt:

Den nuvarande situationen som jag ville förändra var den vardagliga

matematikundervisningen i klassrummet vad gällde programmålet

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om

hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken

utvecklats och fortfarande utvecklas (Skolverket, 2000).

Eleverna som deltog i denna studiesekvens gick andra terminen i åk 2 på gymnasiet och

var 17-18 år gamla. De var sammanlagt 16 stycken, 14 flickor och 2 pojkar.

Gymnasieprogrammet de valt är i grunden ett samhällsprogram som är

universitetsförberedande med kommunikation och språk som speciell inriktning. I

Sverige startar eleverna på gymnasiet med Matematik A som innehåller grundläggande

aritmetik och geometri, fortsätter i Matematik B med sannolikhetslära och funktionslära

av första och andra graden som huvudsakligt innehåll. Därefter följer Matematik C

bestående av derivata och exponentialfunktioner och avslutas i Matematik D som

behandlar momenten trigonometri och integraler och som ger behörighet att söka till

naturvetenskapligt- och tekniskt universitet/högskola i Sverige. Eleverna som deltog i

denna undersökning befann sig i mitten av kurs C. Den vanliga dagliga undervisningen i

klassen baseras till stor del på undervisningslitteraturens innehåll som i sin tur väl följer

Skolverkets uppsatta mål i matematikämnet. De matematiska momenten genomgås

Page 31: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

31

noga och undervisningsmetoderna varierar beroende på vilket matematiskt avsnitt som

är i fokus under pågående lektion. Min strävan i undervisningssituationen är en hög

både muntlig och skriftlig elevaktivitet under lektionerna. Under genomgångar när jag

som lärare står vid whiteboarden och beskriver/förklarar nya moment i kusen är det

viktigt för mig som lärare att eleverna stannar upp, reflekterar och ställer frågor så att

budskapet blir klart och tydligt. Eleverna är aktiva både genom att skriva, ställa frågor

och genom ”bikupor”, där vi tar en paus och eleverna själva diskuterar den

genomgångna teorin eller metoden. De får sedan lösa uppgifter tillsammans med den de

sitter bredvid som sedan löses gemensamt från tavlan. På så sätt ökar jag

elevaktiviteten och att alla frågor och oklarheter reds ut innan eleven börjar lösa bokens

uppgifter och problem på egen hand. Det didaktiska kontraktet jag strävar efter under

mina lektioner med elever präglas alltså till stor del av samtal och diskussioner.

Klassrumsklimatet ska vara tryggt och tillåtande. De flesta elever är inte vana vid detta

sätt att arbeta under matematiklektioner när de kommer till vårt gymnasium från olika

högstadieskolor. Det tar ungefär en termin för dem att vänja sig – och att våga - ställa

frågor och öppet diskutera matematik och matematiska frågeställningar. En del moment

lärs helt och hållet i grupp och examineras därefter. Exempel på moment i

matematikundervisningen när denna metod fungerar bra i min undervisning är

procentberäkningar, ränteberäkningar, statistik och sannolikhetslära. Ibland får eleverna

gå ut och söka faktiska exempel på de moment som är nya eller nyligen genomgångna i

skolans närområde– detta för att ge eleverna en känsla av att matematiken verkligen

finns utanför skolan (dock brukar vi då upptäcka att matematiken ofta förekommer på

andra sätt än i undervisningsböckernas problemformuleringar).

Ett programmål som varit en givande utmaning att uppnå är målet att eleverna ska

fördjupa sina insikter i hur matematiken utvecklats och utvecklas av människor i olika

kulturer. Detta mål är jämfört med de matematiska målen inte lika tydligt utan kan

upplevas som diffust. Det är heller inget mål som testas vid exempelvis nationella prov.

I läroböckerna kan man ibland finna faktarutor som behandlar detta mål, men de

upplevs enligt min erfarenhet mest som kuriosa av eleverna och tillför inte lärandet i

matematik någon extra dimension. För att nå en annan bild av matematikundervisningen

med en ny diskurs och en ökad samhällsvetenskaplig programinfärgning av

Page 32: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

32

matematikundervisningen och med en undervisning med elever och matematik

placerade i en kulturell kontext utvecklade jag en pedagogisk föreställning om en ny

undervisningssituation där vi under matematiklektioner skulle diskutera kulturella och

globala frågor ur ett matematiskt perspektiv. Frågor jag ställde mig under denna period

var av typen: Hur skulle jag få in min idé på ett naturligt sätt i undervisningen? Vilka

moment i matematikundervisningen skulle passa in? Vilka möjligheter såg eleverna

med sina egna olika kulturella bakgrunder?

Under denna tid besökte jag privat utställningen Dreamtime på Arkens Museum i

Köpenhamn och insåg att här fanns en möjlighet att realisera mina idéer och

pedagogiska föreställningar. Jag skulle kanske kunna ta med eleverna till utställningen

och låta dem söka matematiken i de australiska aboriginernas kartor och konstverk?

De praktiska arrangemangen och organisering av studieresan tog vid. Idéerna

förankrades hos skolans rektor både till sitt innehåll och vad gällde ekonomin. Elever

fick en dag ledigt från andra ämnen för att kunna åka på studiebesöket. Buss bokades.

Jag planerade introduktionslektionen och satte ihop en PowerPoint-presentation med

bilder att använda som diskussionsunderlag vid introduktionslektionen. Den nya

arrangerade situationen bestod alltså av en undervisningssekvens i två delar – dels en

längre matematiklektion med introduktion till etnomatematik och dels studiebesöket på

Dreamtime-utställningen där eleverna fick möjlighet att studera en annan

befolkningsgrupps, de australiska aboriginernas, matematik i form av deras kartor,

konstverk och artefakter.

Vid det längre lektionstillfället drygt två veckor före studiebesöket introducerades

eleverna till området etnomatematik med en PowerPoint-presentation av mig.

Presentationen bestod av bilder av maorikonst och hantverk och bilder av intressant

arkitektur ifrån Nya Zeeland och Australien. Bilderna tog jag dels under ICEM -

konferensen i Auckland och dels i Sydney. Exempel på bilder från presentationen finns

nedan, se bild 3-10. Under presentationen berättade jag bl.a. om D’Ambrosio, vem han

är och om hans definition och beskrivning om etnomatematik. Jag beskrev de olika

delarna av matematik man kan studera för att hitta etnomatematik med utgångspunkt i

Bishops definition av etnomatematik. Vi tittade på arkitektur, bl.a. Utzons verk

Page 33: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

33

Operahuset i Sydney. PowerPoint presentationen kompletterades efteråt med frågor och

efterföljande diskussioner i klassen om globala frågor, rättvisefrågor samt om vad

urbefolkningar egentligen är. Matematik, makt, vem ska lära matematik och vems

matematik är den riktiga är exempel på problem som diskuterades. Diskussionen leddes

i helklass, men delar av den arrangerades i mindre grupper som sedan redovisade sina

samtal i helkass. Med detta upplägg tänkte jag att så många som möjligt skulle få

möjlighet att diskutera frågorna. De elever som inte önskade uttrycka sina reflektioner

och tankar i den stora gruppen fick möjlighet att göra det i de mindre grupperna.

Frågorna som vi diskuterade i anslutning till presentationen var formulerade på följande

sätt:

• Jag visade en privat flätad korg med en rund cirkulär form och med

geometriska mönster (romber) i olika färger. Korgen är tillverkad i Afrika. Frågan

eleverna fick var: Vilken matematik behövs för att tillverka den här korgen?

Tror du kvinnan som tillverkat den kan denna matematik?

• Orättvisorna i världen – hur kan de kopplas till matematiska kunskaper?

• På Papua Nya Guinea använder man ett bodytallingsystem – man räknar och

visar siffror med kroppen. Kan du tänka dig det? Vilket är det rätta sättet?

• Jag beskrev bakgrunden för ”A settlement of the Brazilian Landless

Movement”, en reform för ockupation av mark i Brasilien, och redogjorde för den

brasilianska professorn och lärarutbildaren Knijniks (Knijnik, 1999 och Knijnik, 2006)

beskrivningar av barnens konkreta matematikundervisning i dessa områden, exempelvis

i forma av salladsodlingar. Eleverna fick sedan diskutera kring detta tema.

Den större diskussionen i helklass leddes av mig och eleverna fick demokratiskt begära

ordet som jag sedan fördelade efter hand. Under tiden eleverna diskuterade i mindre

grupper om tre till fem elever förflyttade jag mig runt i klassrummet och lyssnade på de

olika samtalen som pågick. Dessa samtal redovisades sedan muntligt i den stora

gruppen. En mindre grupp redovisade vad de diskuterat och sedan fick de besvara

eventuella följdfrågor från oss andra innan nästa grupp fick redovisa. Efter lektionens

slut satt jag kvar i klassrummet och antecknade vad som diskuterats och vilka som varit

mer aktiva under diskussionerna än under ordinarie matematiska diskussioner i

Page 34: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

34

klassrummet. Dessa anteckningar ligger till grund för mina reflektioner i redovisningen

av klassrumsdiskussionen.

Exempel på bilder från PowerPoint-presentationen kommer nedan:

Bild 3. Exempel på repknytningsteknik som byggteknik i Pacific Ocean House i Auckland, Nya

Zeeland.

Page 35: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

35

Bild 4. En bild inifrån ett Maori meeting house, ett whare whakairo med namnet Tane-Nui-A-

Rangi i Auckland. Huset är byggt på så sätt att det är”conceptualized metaphorically as a human

body, usually representing the eponymous ancestor of a tribe” (University of Auckland, 1988).

Vid denna bild diskuterade vi geometri och symmetrier samt vilka matematiska kunskaper som

krävs för att tillverka detta kostverk.

Page 36: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

36

Bild 5. Ett annat exempel på mattor och träsnidesarbete från Tane-Nui-A-Rangi. Träsniderierna

och vävnaderna/mattorna beskriver berättelser och myter från respektive maoriklans historia.

Här diskuterades också mönster, symmetrier och geometri.

Page 37: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

37

Bild 6. Två inuitiska lärare för yngre barn; Evelyn Yanez och Dora Andrew-Ihrke från

Yup’ikfolket i Alaska visar en traditionell anorak. Förr tillverkade de yngre kvinnorna dessa

anoraker till en hemgift. Skinn var, och är, en dyr vara så det är viktig att lära sig hushålla och

inte slösa med skinn. Hur kan man tillverka dessa bårder och kanter med så lite material som

möjligt? Hur viker man och klipper en perfekt kvadrat direkt utan att slösa med sälskinn?

Bild 7. Denna bild visar en detalj från en anorak hos Yup’ikfolket. Dessa mönster pryder

anorakerna. Barn i de lägre årskurserna använder dessa mönster i geometriundervisning och lär

Page 38: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

38

sig språket, hur man ritar och klipper ut jämna fina former utan att slösa med material. I dessa

klasser tar man tillvara de äldres kunskaper genom att de är närvarande och sitter och arbetar

med mönstren i klassrummet. Man arbetar tillsammans men var och en gör sitt eget arbete.

����������� ������

������������

����������������������������

�����������������������������

����������

���������������������������������������

����������������������

Bild 8. Yup'ik Border Patterns (Lipka, 2006:9). Exempel på olika mönster som pryder kanterna

på de Yu’pikska anorakerna.

Page 39: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

39

Bild 9. Operahuset i Sydney, Australien ritat av den danske arkitekten Jörn Utzon. Anledningen

till att operahuset upplevs som harmoniskt lär vara att de ingående ”skalen” tillsammans bildar

ett klot vilket ögat uppfattar som en helhet.

Bild 10. Darling Harbour i Sydney, Australien. Darling Harbour färdigställdes i sin nuvarande

form till de Olympiska Spelen som hölls i Sydney år 2000. Arkitekturen med alla dess

geometriska former är intressant. Hur många olika geometriska former hittar du i bilden?

Page 40: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

40

4.2 Studiebesöket på Dreamtime-utställningen på Arkens Museum for kunst

Vid studiebesöket på Dreamtime-utställningen fick eleverna som uppgift att besvara tre

frågor under tiden de vistades på utställningen. Observera att i denna uppsats redovisas

och diskuteras endast resultaten från den första frågan. Anledningen till detta är att det

är denna fråga som knyter an till uppsatsens teoriavsnitt.

Den fråga eleverna besvarade under dagen de vistades på utställningen och som alltså

redovisas i denna uppsats var formulerad på följande sätt:

1. Vilka matematikkunskaper tror du kan ligga bakom de respektive

konstverken? Välj ut några av konstverken och reflektera mer över dem.

De matematikkunskaper som underförstås i denna fråga är de kunskaper som de fått

tidigare i sin skolgång – alltså de matematiska kunskaper som beskrivits av Skolverket

(2000) och som ligger till grund för skolundervisningen i matematik.

De två frågorna som inte redovisas i denna uppsats men som eleverna också funderade

på och resonerade kring var följande:

2. Kan du se någon möjlighet att använda urinvånares konst och hantverk i vår

matematikundervisning? Vilka moment i matematiken skulle kunna förstås bättre ur

detta perspektiv?

3. Våra egna svenska konst- och hantverkstraditioner, ser du någon möjlighet för

hur vi skulle kunna använda dem i matematikundervisningen?

Frågorna jag ställde till eleverna besvarades enskilt, individuellt, men eleverna var fria

att studera konstverken tillsammans i mindre, självvalda grupper och även att diskutera

tavlorna och uppgifterna med varandra. Väggtidningar på museet i anslutning till

utställningen gav tillgång till information om de olika konstverken och vad mönstren

och symbolerna i de respektive konstverken betydde samt myterna och historierna

bakom konstverken. Eleverna svarade enskilt på frågorna och skrev ner sina svar under

tiden de befann sig på utställningen och 13 av dem lämnade dem sedan direkt till mig.

Tre elever valde att renskriva sina svar och istället maila dem till mig två dagar senare.

Elevernas skriftliga svar och olika synpunkter genomlästes därefter flera gånger och

sorterades sedan i tre olika grupper som naturligt framkom ur materialet. Två av dessa

grupper definierar olika matematiska kunskaper som ingått i den tidigare

Page 41: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

41

undervisningen: geometri, grafer, derivering och talföljder. Den tredje gruppen

representeras av kommentarer som ifrågasätter om det finns någon matematik i

konstverken. Observera att det är kommentarer och reflektioner, och inte enskilda elever

som delats in i grupperna. Exempelvis kan en elev som funnit geometriska former även

ifrågasätta den matematiska bakgrunden och då finns denne elevs kommentarer i bägge

grupperna.

Under studiebesöket gick jag runt och lyssnade på elevernas samtal samtidigt som jag

noterade punkter ur deras samtal och diskussioner på ett medhavt block. Jag valde oftast

att inte delta i samtalen utan satte/ställde mig lite avsides så det inte var uppenbart att

jag lyssnade på deras konversationer. I några av samtalen deltog jag genom att svara på

vissa konkreta kunskapsfrågor men avstod från att direkt delta i samtalen som berörde

frågeställningarna. Noteringarna jag gjorde under studiebesöket ligger till grund för

mina personliga lärarkommentarer i resultatkapitlet.

4:3 Etiska hänsyn

Eleverna informerades före studiebesöket om att deras svar troligen skulle användas i

min magisteruppsats, och i samband med att uppsatsen skrevs vidtalades de en gång till.

Informationen gavs under ordinarie matematiklektion i skolan. Alla elever sa OK, men

en av eleverna med tillägget ”bara man inte kan se vad jag skrivit”. Hänsyn har tagits

till denna elevs önskemål och personens svar har inte citerats i uppsatsen.

Alla namngivna elever i resultatdelen har fått fingerade namn. De två elever som skrev

det inledande poemet i inledningskapitlet på s. 6 tillfrågades speciellt och de gav bägge,

med glädje, sitt samtycke.

Page 42: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

42

5. RESULTAT

När vi nu återgår till Skovsmoses och Borbas modell om aktionsforskning återstår enligt

figur 2 reflektionsprocessen och en kritisk granskning av undervisningssekvensen som

beskrivits ovan. Denna reflektion och granskning diskuteras i detta kapitel. I detta

kapitel redovisas klassrumsintroduktionen först i 5.1. Därefter redovisar jag

studiebesöket på Arken i 5.2 för att slutligen diskutera kvalité inom aktionsforskning i

5.3.

5.1 Klassrumsintroduktionen.

Det som fascinerade mig som lärare under introduktionslektionen var den högre

elevaktiviteten och elevernas intresse kring frågorna som väcktes både under

PowerPoint-presentationen och under passet efter själva presentationen då vi

diskuterade några globala rättvisefrågor. Det var även andra elever som tog plats och

uttryckte sina synpunkter än vad det brukar vara under en vanlig matematiklektion.

Den flätade afrikanska korgen med en rund cirkulär form och romber i olika färger

väckte geometriska frågor. För att mönstret ska bli jämt måste man ha räknat ut

omkretsen, och då måste man veta vad en radie eller diameter är resonerade eleverna.

För att sedan få ett jämt antal romber som var lika stora måsta man dividera omkretsen

med antalet romber man önskar i mönstret och markera detta. Resonemanget fortsatte

på detta vis och elever som var intresserade och kunniga i geometri hördes flest gånger

men även andra som inte upplever geometri som något intressant tidigare var aktiva. Ett

exempel på detta var Irina som sitter längst bak i klassrummet och sällan räcker upp

handen nu var framme och visade och pekade ut sina idéer på korgen. Eleverna var

tveksamma till om kvinnan som tillverkat korgen behärskade dessa geometriska

begrepp som krävdes för att tillverka korgens mönster. Hur vet vi om hon gått i skola?

Eller ritar hon eller gör på något annat sätt? Är det matte i så all? Vi fann inte svar på

alla frågor, istället formulerades nya följdfrågor.

Frågan om orättvisor i världen kan kopplas till matematiska kunskaper var svår att svara

på då det är en mycket stor fråga. Eleverna diskuterade fram förutsättningen att om man

kan matte har man troligen gått i skola, och då har man en utbildning och lättare att få

jobb. En elevgrupp diskuterade reklam och om man inte kan räkna eller läsa diagram är

det lätt att bli lurad och utnyttjad. Att det fanns andra sätt att räkna än vårt västerländska

Page 43: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

43

var det inte många som visste, och att det finns bodytallingsystems visste ingen av

eleverna. De provade några olika sätt tal med kroppsspråk men tyckte generellt att det

var svårt, framför allt med större tal. Vi diskuterade för- och nackdelar med de bägge

systemen och enades om att vårt hade mest möjligheter – med brasklappen som jag la

till att det kan bero på att vi behärskar vårt eget system bäst.

Diskussionen kring Knijniks arbete ”A settlement of the Brazilian Landless Movement”

var den diskussion som berörde eleverna mest emotionellt av de frågor vi diskuterade.

Det var också denna fråga som eleverna tog upp emellanåt senare under kursen. Här

värderade eleverna ockupationen av mark och lärarnas sätt att arbeta ute i områdena.

Eleverna ansåg generellt det var bra att matematik kunde läras ute i de ockuperade

områdena men funderade också på hur mycket matematik man egentligen kunde lära sig

på detta vis eller om man kunde göra på andra sätt. Som lärare reflekterade jag efteråt

att det kunde ha varit intressant att diskutera denna fråga ämnesövergripande då det är

en viktig fråga ur flera perspektiv, inte bara matematiskt. Ett samarbete med en

ämneslärare i samhällskunskap och/eller historia kunde ha lagt ytterligare en dimension

i denna fråga.

Några av eleverna visade enligt min uppfattning en högre aktivitet även under

matematiklektionerna som följde studiebesöket. Processen som pågick i klassrummet

berörde frågor som gav insikt i att det inte är självklart för alla att de får lära matematik

och att matematik faktiskt används även utanför skolans dörrar. En elev uttryckte det så

här långt efteråt: -Annica, nu ser jag matte överallt t.o.m. när jag går på stan… En annan

sa: - Kolla broderiet på mina jeans! Det har jag aldrig tänkt på tidigare att det kan vara

matte!

En kommentar som jag utnyttjade direkt i undervisningen när den kom mitt under en

lektion med genomgång i derivataberäkningar var följande:

– Skulle de Brasilianska barnen ha nytta av att kunna derivata?

– Vad tror du själv? svarade jag och sedan gick debatten med hög intensitet

resten av den lektionen. Eleverna diskuterade betydelsen av att kunna matematik, om

matematikkunskaper behövs för att förändra barnens situation och i så fall vilka

matematikkunskaper. Olika åsikter framkom och diskuterades. När dessa perspektiv lyfs

Page 44: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

44

under pågående lektion och eleverna ges möjlighet att fritt diskutera upplever jag som

lärare att fler elever är aktiva och har åsikter om matematik jämfört med en ordinarie

matematiklektion. Åsikterna är, enligt min upplevelse, av en annan mer reflekterande

karaktär än de åsikterna om matematikämnet jag annars brukar höra. Exempelvis kan

elever som tidigare tydligt uttalat att matematik är inget för dem vända i sina tankar och

exempelvis resonera om hur viktigt det är för brasilianska barn att lära sig matematik för

att få arbete och lön i Brasilien. Jag upplever också en större koncentration på

matematikuppgifterna i klassrummet efter en diskussion eller ett samtal av denna typ.

Detta är en tråd jag gärna skulle vilja ta upp och forska vidare i när

aktionsforskningsspiralen senare byggs på. Med dessa diskussioner berör eleverna ”the

justification problem”, varför matematikundervisning ska finnas och för vem. Frågorna

som diskuterades överensstämmer med Skovsmoses (1994) intentioner med kritisk

matematikundervisning. Under dessa resonemang sammankopplas begreppen

undervisning och kritik istället för att separeras. Enligt Skovsmose diskuteras då

samhällsfrågor, demokratisk kompetens etc. och det var verkligen vad vi gjorde under

introduktionslektionen men även vid andra tillfällen senare. Kommunikationen mellan

lärare och elever för att i matematikundervisningen erkänna och diskutera global

problematik, beskriven av Skovsmose och Nielsen (1996) utvecklades också under

denna period. Eleverna fick en insikt i att man får, kan och bör ta upp frågor som berör

matematik även om det inte berör det matematiska innehåll som planerats för just den

lektionen. Eriks kommentar är i detta sammanhang helt underbar: - Vad kul med en

mattelärare som kan mer än bara matte! Min lärarupplevelse är att dessa lektioner blev

mer varierade än vanligt och att det var mer aktivitet under lektionstid. Det skulle vara

mycket intressant att följa upp denna upplevelse och mäta aktiviteten för att på sätt se

både vilken typ av aktivitet som ökas och vad som sekundärt sker vad gäller elevernas

motivation och den matematiska kunskapsnivån.

Ett fenomen som jag noterade under denna arbetsperiod var att alla hann med de avsnitt

och uppgifter som skulle räknas i boken. Tidsplanen för kursen påverkades alltså inte

vare sig av studiebesöket eller av diskussionerna som lyftes emellanåt.

Matematikskrivningen i derivata vi hade en månad efter studiebesöket visade ingen

större skillnad resultatmässigt i matematik jämfört med tidigare skrivningar i klassen.

Page 45: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

45

Tiden vi lade på denna undervisningssekvens påverkade alltså inte elevernas

skrivningsresultat negativt om man kan förutsätta att eleverna håller en individuellt

relativt jämn nivå under en kurs. Skrivningsresultaten påverkades inte heller i positiv

riktning. Det skulle vara mycket intressant att följa upp detta och ta reda på om ett

skrivningsupplägg där uppgifterna knöt an till denna undervisningssekvens hade

påverkat elevernas resultat i någon riktning, och i så fall vilka elever kunde ha fått

förändrade resultat?

5.2 Elevernas skriftliga svar på frågan och mina iakttagelser under studiebesöket

Elevernas svar på frågan om det kan finnas, och i så fall vilka matematikkunskaper som

finns i de respektive konstverken divergerade i tre skilda spår, här benämnda A, B och

C. Vad de inte svarade redovisas under punkt D.

A. Elever som fann matematik i form av geometri och grafer.

Majoriteten av eleverna återkopplade till tidigare geometriundervisning och sökte

geometriska kunskaper i form av mönster och geometriska figurer i konstverken. De

fann geometriska former som cirklar, rektanglar och trianglar. Karin konstaterade:

”Former och geometri tycks vara viktiga för aboriginerna.” I de olika mönstren på

tavlorna fann eleverna exempel på symmetrier. Katrin konstaterar om tavlan ”Efter

eldarna” att ”på något vis måste han (konstnären) ha räknat fram tre ganska jämnstora

cirklar som består av olika prickcirklar inuti”. I aboriginernas konst symboliserar dessa

former människor och fenomen i naturen. Saga skriver om tavlan Purnululu:

”Matematikkunskaper som krävs för att göra denna tavla är att kunna avläsa kurvors

former med samma antal linjer och prickar”. Hon fortsätter om tavlan Tingari

Dreaming: Matematikkunskaper som krävs här är att kunna ”avbilda cirklar med jämna

avstånd. Ser cirklar och halvcirklar samt upprepade matematiska mönster”. Saga skissar

sedan exempel på ett av mönstren. Saga avslutar med följande reflektion:

Olika geometriska former som t.ex. cirklar, linjer, rektanglar o.s.v. finns i naturen och det är

härifrån aboriginerna hämtar sin inspiration. Det blir som ett verktyg i varje individ att

upptäcka föremåls former.

Page 46: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

46

En elevgrupp fann bilder av funktioner. Dessa beskrev punkter som såg ut att bilda

grafer. Exempelvis skriver Amanda om tavlan ”Kängurumän drömmer”: ”Det där ser ut

som x2 -kurvor i ett koordinatsystem”. Hon fortsätter:

Det finns tre cirklar diagonalt över tavlan med ett fläckigt, färgat mönster som bakgrund. Ett

”L” går fram och tillbaka genom tavlan, som kurvor. Är det streck som visar där Kängurun

hoppat?

Ovanstående elevsvar visar exempel på problematiken kring frusen matematik

och upptining av den samma. Enligt Harris (1987), och även Ascher (1998) är vi

bundna till våra egna erfarenheter och ser det vi förväntar oss att se. Eleverna har

räknat mycket geometri i matematikundervisningen under hela deras skolgång.

Därför blir det naturligt för dem att söka, och finna, geometri även i dessa

konstverk.

Fatima hittade detaljer i bilder som liknades vid tangenter till kurvor med olika

lutningar. Som lärare fann jag det mycket intressant att lyssna till ett samtal mellan två

elever som diskuterade begreppen fart och förändring i detta sammanhang. Både utifrån

idén om tangenterna till kurvor och en konstnärlig diskussion kring färgval och

skuggningarna diskuterade dessa elever hur man bäst visade fart och

förändringshastigheter. Att dessa bägge elever hade begreppet derivata klart för sig

fanns det ingen tvekan om, det bekräftades tydligt av deras samtal. Vad som var

intressant för mig som lärare att lyssna till i deras diskussion var den nya kontexten

detta samtal om derivata utspelade sig och hur fart- och förändringsbegreppen användes

i denna nya kontext. Tänk att begreppet derivata ur elevernas perspektiv kan beskrivas

med olika streck eller olika färger när de befinner sig på en konstutställning.

Som avslutande kommentar till geometri- och grafavsnittet väljer jag att återge ett

längre avsnitt ur Maries reflektioner, där hon diskuterar konstverken utifrån ett

perspektiv hon fått under en lektion i filosofi:

På filosofilektionen fick vi i uppdrag att rita det gräsligaste mönster vi kunde komma på.

Slutsatsen av experimentet blev att vår fantasi är inramad! Vi kan inte skapa något nytt! Allt

vad vi målar är klipp och klistrande av saker och mönster vi tidigare sätt.

Page 47: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

47

Samma sak gäller med aboriginernas konst. De föremål och former de målar är sådant de sett

i t.ex. naturen. En apelsin/sol blir en cirkel, en kakaoböna en oval, en orm blir en x2 – kurva

o.s.v.

Naturen följer ett visst mönster och vissa är återkommande och målas ner och bildar

konstverk. Det finns matematiska mönster i naturen! I naturen kan dock avvikelser ske

(mutationer). Helt plötsligt blir treklövern en treklöver med fyra blad. Sådana avvikelser

förekommer dock aldrig inom matematiken!

B. Elever som fann matematik i form av talföljder

En grupp om tre elever fann talföljder då de började räkna prickar och cirklar i de olika

konstverken: ”… och så upptäckte vi ett mönster i tavlorna. Talen 4, 5, 8 och 10 tycktes

dyka upp överallt i tavlorna. Var det en slump eller låg det något bakom? ”undrade Lisa

som sedan, mycket engagerat fortsatte att räkna och fann att talföljden fortsatte. Enligt

dessa flickor bestod cirklarna av prickar som växte i antal enligt följande serie: 4, 5,

8,10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 128, 160…

Hon skrev:” Till vår förtjusning upptäckte vi ytterligare ett samband. Efter sju steg har

det första talet 10-dubblats” och denna grupp elever fann även sambandet: ” Om man

multiplicerar två tal som följer efter varandra som t.ex. 4x5 = 20 och 5x8 = 40 så blir

det ett tal som ligger längre fram i talföljden” och de avslutar käckt muntligt: - Inom

detta område behövs mera forskning!!

Denna elevgrupp fick under besöket en för dem annorlunda upplevelse av matematiken.

Det var intressant för mig som lärare att iaktta dem räkna prickar och cirklar och prova

olika räknesätt för att kunna hitta eventuella samband i och mellan de olika tavlorna. I

vanliga fall under lektionstid är en av dessa elever en mycket ambitiös flicka som

exempelvis räknar alla tal i boken för att säkert förstå allt och lyckas i matematik. Enligt

Skemps (1976) beskrivning av matematiklärande och matematisk förståelse skulle jag

beskriva henne som en relationellt lärande elev – alltså en elev som både förstår vad hon

ska göra när och varför. En av de andra eleverna som hon arbetade med denna dag är

mycket olik henne i sitt lärande. Denna andra elev är inte speciellt intresserad av

matematik under våra vanliga matematiklektioner och jag som lärare upplever att hon

föredrar ett instrumentellt lärande (Skemp, 1976). Hon lär sig nya matematiska metoder

relativt snabbt dock utan att reflektera över frågorna varför och när. Denna flicka

kommer under lektionstid med frågor av typen: Kan du inte bara lära oss reglerna så vi

Page 48: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

48

kan börja räkna direkt? Hon räknar därefter undan de lättaste uppgifterna i boken och är

nöjd med detta lärande i matematik. Matematiska förklaringar är för henne onödigt

utnyttjande av tiden enligt vad jag som lärare förstår. Samtidigt, även denna flicka

lyckas i sitt matematiklärande utifrån de egna mål hon satt upp för sitt eget

matematiklärande.

Denna sistnämnda flicka visade däremot en stor aktivitet och intensitet under deras

prövande av olika talföljdsteorier på studiebesöket. Detta var mycket intressant för mig

som lärare att iaktta. Hon provade och testade och kom med flera nya uppslag och idéer

om hur antalet prickar och cirklar i konstverken skulle, med olika räknesätt, kunna

kombineras för att hitta matematiska samband mellan dem. Detta är dessutom ingen

matematik vi sysslat med under gymnasiet, däremot förstod jag av deras samtal att söka

mönster var sådant hon tyckt var roligt under tidigare matematikundervisning i

grundskolans mellanstadium. Hade resurser funnits hade jag intervjuat henne för att ta

reda på hur hon uppfattade matematiklärande innan hon började på gymnasiet.

C. Elever som var tveksamma till om det finns matematik i konstverken.

Denna sista grupp elever karaktäriseras av de elever som var tveksamma och ifrågasatte

om det verkligen finns dold matematik i konstverken. Linda skrev exempelvis: Ӏr

detta matte eller avbildas en form som finns i naturen?” Hon svarade själv på sin fråga

genom att skriva så här:

Jag vet inte riktigt, men människan är ju född till en logisk varelse och matte består av logik

så på ett sätt kan man nog en slags matte innan man lär sig ”vår” matematik.

Detta är en intressant kommentar om hon ur sitt perspektiv likställer ”vår”

matematik med skolmatematik. Självklart är det så för henne då det är den kultur

hon växt upp i. Anneli reflekterade på följande vis:

Frågan är om det verkligen ligger matematik bakom konstverken. Matten finns där men när

konstverken gjordes tänkte man antagligen inte på matte…

Page 49: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

49

Annelis kommentar sammankopplar jag med Harris (1987) begrepp om

upptining av matematik som är frusen i artefakter. Varför tror Anneli att man

inte tänkte på matematiska problem när konstverket tillverkades? Ändå säger

hon att matematiken finns i konstverket. Problematiken kring begreppet

defrosting/upptining av dold matematik tydliggörs här av Annelis kommentar.

Anneli skrev också då hon studerade tavlan ”Kvinnofigurer”: ”Jag ser mest en

stor noggrannhet, snarare än särskilda matematikkunskaper”. Tora gav följande

kommentar:

Jag stirrade på dom (tavlorna) och försökte komma på det matematiska, vilket var ganska

svårt, och fortsätter: Aboriginerna inspirerades av formerna de såg i naturen, men vad är

matematiken i det?

Tora avslutar sina tankegångar med reflektionen:

Är det jag som är så fjättrad vid det traditionella tänkandet att matematik kräver en fråga,

svarsuppställning och lösning?

Tora visar i denna mening en (nyfunnen?) insikt om att det finns matematik i

olika kulturer och i olika kontexter och frågar sig själv om det är hennes egen

kulturella bakgrund som hindrar henne från att se och uppleva matematik i just

dessa konstverk.

D. Vad har då eleverna inte tagit upp i sina redovisningar?

Denna fråga ställde jag mig då jag studerade elevernas skriftliga svar.

Exempelvis finner jag inga elever som funderat över matematik som liknar

våra läroböckers textuppgifter. Aritmetikuppgifter som de är vana vid i skolan

t.ex. Hur mycket kostade det att tillverka en tavla? Beräkna hur mycket trä som

gick åt till ramen? Hur många procent av tavlan är röd? Denna matematik finns

inte representerad bland svaren hos någon elev. Kanske hade jag fått denna typ

av svar om eleverna inte lyssnat till presentationen av etnomatematik som

föregick besöket på utställningen. Men det kan även finnas andra orsaker.

Page 50: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

50

Boaler (1993) diskuterar kontexten i matematikklassrummet och visar exempel på

dikotomin mellan s.k. verklighetsuppgifter, matematikuppgifter ofta satta i en

kontext som ignorerar komplexiteten och omfattningen av elevernas erfarenheter och

övertygelser och som därmed inte alltid upplevs som verklighetsanknuten i elevernas

värld. Då vi nu befann oss utanför klassrumsmiljön med dess inbyggda kultur och

kontext hade eleverna friheten att använda sina egna metoder som ett alternativ till

skolmatematiken. Det var intressant för mig som lärare att notera framför allt

instrumentellt lärande elevers matematiskt fördjupade diskussioner och resonemang.

… if students are encouraged to use their own methods and explore their usefulness, general

mathematical understanding will be deepened. (Boaler, 1993:16)

5.3 Aktionsforskning som metod – en kvalitetsdiskussion.

Feldman (2007) utvecklar i sin artikel ”Validity and quality in action research”

vikten av validitet inom aktionsforskning. Han ställer frågan hur man mäter

validitet inom kvalitativ forskning, speciellt aktionsforskning och ställer detta i

relation till validitet inom kvantitativa studier. Dilemmat Feldman lyfter fram

är att då man söker definitioner av begreppet validitet kopplas dessa ofta till

kvantitativa studier. Feldman citerar en bred, allmänt accepterad definition på

validitet inom kvalitativforskning:

An account is valid or true if it represents accurately those features of the phenomena that it

is intended to describe, explain, or theorise. ( Hammersley in Feldman 2007:23).

Feldmans åsikt är att denna definition av validitet inom kvalitativ forskning öppnar

upp en validitetsdiskussion för andra metoder inom forskning som är kvalitativa och

inte kvantitativa. Feldman påpekar vidare att aktionsforskning inom

undervisningssektorn ska medföra till positiv förändring för lärare, elever och

studenter. Därför skriver Feldman om vikten att tydliggöra i vilken riktning

undervisning skall förändras och det i sig är en politisk och/eller moralisk fråga att ta

ställning till som aktionsforskare. I forskningsrapporten ska det framgå vilka

Page 51: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

51

principer som ligger bakom just denna forskningsrapport och hur dessa principer

ledde fram till forskningsresultatet. Jag citerar avslutningen i Feldmans artikel:

…it is when we, as action researchers, pay attention to validity that our action research can

become good. I believe that we should be concerned with validity because action research is

moral and political work. Because our practice affects other people, we have a moral

obligation that any change in our practice is good for others. Action research is also political

wok because it has a normative, teleological component. Not only must the change be good

for those who are affected by the changes, the knowledge embedded in the nature of the

change and why it is good should be presented in ways that affect the political context of

schooling. (Feldman 2007:31)

Forskning bör beskrivas i termer av opartiskhet, förmåga till distans och kritisk

reflektion. Forskaren bör ha en distans till det/de som studeras. Enligt Berlin,

refererad i Rönneman (2004) skiljer sig aktionsforskning markant från det

traditionella forskningsidealet då det är aktionsforskaren som tar initiativ, väcker

frågor och driver sina förändringsförslag. Ett annat problem i sammanhanget som

beskrivs är att händelseförloppet kan vara svårt att förutsäga och kan utvecklas i

oförutsedda riktningar inom en aktionsforskningsprocess. Frågan om reliabilitet blir

därmed problematisk. I denna studie finns uppenbart en relation till eleverna då jag

är den undervisande läraren i klassen. Opartiskheten ligger i att eleverna inte

bedömdes under denna undervisningssekvens. Elevnärvaro var självklart obligatorisk

vilket medförde att alla deltog – både de elever som var intresserade och de som var

ifrågasättande. Detta framgår också av resultatet. Vill man upprepa denna

undersökning får det ske i andra klasser och på andra utställningar då dessa klasser

nu slutat på skolan och utställningen på Arken är stängd. Ändå, det vore en poäng i

att upprepa studien med andra klasser och på andra utställningar eller liknande med

ett matematiskt innehåll som inte tillhör klassrumsvardagen för våra elever och se

vad dessa resultat ger. Det kunde också vara intressant, om det vore möjligt, att visa

t.ex. aboriginernas tavlor i klassrummet på skolan och se om elevernas svar blev

annorlunda. Skulle ovan beskrivna frågor som inte eleverna redovisade i denna

undersökning finnas med om vi befann oss inom skolans undervisningskontext?

Page 52: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

52

Kvaliteten inom aktionsforskning är beroende av forskarens reflexiva sensitivitet då all

datainsamling, analys och reflektioner görs av forskaren själv och kommer att påverkas

av forskarens självuppfattning och identitet skriver Somekh (2006). Somekh påpekar att

man som aktionsforskare inom läraryrket måste tydliggöra varför man forskar och

vilken roll som ska tydliggöras – om det är rollen som lärare, undervisningen i sig eller

rentav för egen personlig del. Hon skriver också:

In more recent years I have come to see that conceptualizing the self as socially constructed

and multiple rather than unitary provides many useful insights into the nature of action in

action research. Somekh (2006:15)

Page 53: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

53

6. KONKLUSIONER

Målet med denna uppsats har varit att svara på frågan om, och i så fall hur,

etnomatematik kan vara ett möjligt sätt att i en svensk gymnasieklass på

samhällsvetenskapliga programmet uppfylla programmålet

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om

hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken

utvecklats och fortfarande utvecklas (Skolverket, 2000)

Etnomatematik fungerade mycket bra i denna samhällsvetenskapliga klass för att

uppfylla ovanstående programmål. Etnomatematik förutsätter en insikt och acceptens

för att matematik har skapats av människor i många olika kulturer och fortfarande

utvecklas. Undervisningsmetoden som använts i denna uppsats – att visa bilder och

diskutera matematik ur ett kulturellt och globalt perspektiv via etnomatematik var en

framkomlig väg. Vi genomförde också en studieresa för att studera en annan kulturs

matematik i form av kartor/konst. Ernest (1998) synpunkter på att skolornas

matematikundervisning ska tydliggöra både den synliga och osynliga matematiken i vår

omvärld och att matematikundervisningen bör ge ett kritiskt förhållningssätt till hur

matematik används i samhället och Skovsmoses (1994) intentioner i kritisk

matematikundervisning är också en framkomlig väg för att uppfylla ovanstående

programmål. Eleverna visar efter denna undervisningssekvens en större medvetenhet

om dessa frågor vilket uttryckts emellanåt under matematiklektionerna även lång tid

efteråt.

Att undervisa med en etnomatematisk diskurs kan även vara ett sätt att nå och motivera

några av de elever som inte är intresserade av matematikämnet av den anledningen att

de inte sett eller fått uppleva möjligheterna med matematik utanför skolklassrummet. I

skolverkets (2000) beskrivning av matematikämnets karaktär påpekas det faktum att

matematiken i vårt samhälle inte alltid är synlig för den ovana betraktaren. Att visa

eleverna, eller att låta dem själva söka, matematik i vår omgivning ger dem insikt att

matematik finns, genomsyrar och praktiskt används i samhället. Studiebesöket vi gjorde

visade matematik i andra människors kultur och i konst. Att titta på arkitektur; på

omgivande bebyggelse, torg och parker, att samverka med andra ämnes- och yrkeslärare

Page 54: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

54

på skolan och att diskutera ekonomi, miljö och politik ur ett matematiskt perspektiv är

andra förslag på undervisningsteman för att förankra matematikämnet utanför

matematikklassrummet. Som en följd av denna undersökning önskar jag även lyfta

frågan om en diskussion om etnomatematik i en klass på samhällsvetenskapliga

programmet kan vara ett möjligt sätt att uppnå syftet

Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna

analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor,

som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor.

(Skolverket, 2000)

För att uppnå ovanstående syfte ser jag etnomatematik som en möjlig väg, bland

flera andra möjligheter. Diskussionerna vi hade i klassrummet vid

introduktionstillfället berörde definitivt etiska frågor i form av globala frågor,

frågor om global rättvisa och makt och frågor om urbefolkningar och deras

matematik. Intensiteten i diskussionerna tydde på att eleverna upplevde frågorna

som viktiga för dem och ur mitt lärarperspektiv, viktiga även som samhällsfrågor.

Boaler (1993) problematiserar matematiklärares begränsade syn på etnomatematik och

nyttjandet av kulturen i klassrummet på följande sätt:

Unfortunately it seems that mathematics educators’ acceptance of ethnomathematics in the

classroom has taken a restricted view of culture and of cultural mathematics and therefore of

its relevance for all students” (Boaler, 1993:16).

Ur en matematikdidaktisk synvinkel kan undervisningen berikas med diskussioner

intressanta för eleverna med målet att sätta matematiken i en kontext, utanför skolan,

i ett sammanhang för eleverna och därmed vidga deras syn på matematik och dess

tillämpning i enlighet med Skolverkets (2000) intentioner. I andra ämnen i skolan

diskuteras globala frågor och jämförelser görs mellan olika kulturer och länder i

samhälls-, sociala-, historiska-, filosofiska-, språk- och religionsämnen. Detta borde

vara av intresse även i matematikämnet. Kanske som ämnesövergripande teman?

Kulturbegreppet öppnar upp för nya möjligheter och alternativa didaktiska

undervisningsmetoder i undervisningen då det berör andra frågeställningar än de vi

Page 55: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

55

traditionellt arbetar med exempelvis i läroböckerna i matematik. D’Ambrosio (1985

och 2006) diskuterar vikten av att utnyttja kulturbegreppet i undervisningen, liksom

Ernest (1998) och Skovsmose och Nielsen (1996). Boaler (1993) har synpunkter på

läroböcker som hon anser ignorerar komplexiteten och omfånget av elevernas

erfarenheter, bakgrund och kultur. Jag ser med glädje framemot att få undervisa med

en lärobok i matematik som tar hänsyn till dessa aspekter fullt ut och inte endast i

form av instuckna små faktarutor som enligt min erfarenhet upplevs mest som

kuriosa av lärare och elever i en bokstyrd matematikundervisning. Undervisnings-

sekvensen som presenterats i denna uppsats visar på ett försök att i

matematikundervisning diskutera frågor i en matematikundervisningskontext likt

kritisk matematikundervisning beskriven av Skovsmose och Nielsen (1996).

Resultatet av denna undervisningssekvens visar på en hög elevaktivitet under den

inledande diskussionen samt att elever som i vanliga fall inte har så hög

ambitionsnivå i matematik visade större intresse och aktivitet både under

introduktionslektionen och vid utställningsbesöket.

Brittiska forskaren Benn (2001) argumenterar för en undervisning i matematik som

genomgående bygger på en social, ekonomisk, politisk och kulturell medvetenhet. En

sådan undervisning skulle enligt Benn transformera matematikundervisningen och göra

matematiken tillgänglig för fler människor. Detta blev min erfarenhet under denna

undervisningssekvens. Jag som lärare registrerade ett nytt, eller annorlunda, positivt

intresse för matematik hos några av de elever som inte brukar visa så stor aktivitet under

ordinarie matematiklektioner i skolan. Det viktiga för barn och ungdomar är att de var

och en får förståelse för att matematik finns och används i deras eget liv och i andras liv,

oberoende av vilken bakgrund de har eller i vilken kultur de är uppväxta. Matematik är

ju absolut inte ett fenomen som bara ska finnas i läroböcker, i skolans mål eller i

huvudet på deras lärare. Etnomatematik i undervisningen öppnade för diskussioner och

reflektioner kring flera av de punkter Ernest (1998) tolkat om vad

matematikundervisning bör innehålla. Geometriska kunskaper, graftolkningar och

derivatabegreppet diskuterades av eleverna på utställningen. Både under

klassrumsdiskussionen och på utställningen visade eleverna att de hade kunskaper om

att det finns flera olika sätt att se på matematiken, de visade en medvetenhet om att

Page 56: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

56

matematiskt tänkande används i samhället även om det inte konkret benämns

matematik, de påbörjade diskussioner och att utvärdera matematik ur ett

samhällsperspektiv och därmed började de få ett kritiskt förhållningssätt till matematik i

vår omvärld. Fem av Ernests sju punkter (se s. 19) om vad matematikundervisning ska

innehålla uppfylldes, i olika grad, med denna undervisningssekvens.

Hur kan vi då använda etnomatematik som en väg att uppnå några av Skolverkets mål

och syften för det samhällsvetenskapliga programmet? Mina funderingar är om det är

möjligt att i matematikundervisningen, med den akademiska matematiken (definierad

bl.a. av Barton, 1996 ; D’Ambrosio, 1985 och i delar av Skolverkets (2000) mål för

matematikundervisning) som självklar bas, lägga in undervisningsperioder med en

etnomatematisk undervisningsdiskurs. Denna formulering ska tolkas brett – här får

elever arbeta med, diskutera och lära sig hur matematiken växt fram i olika kulturer,

vilket starkt verktyg matematiken är i samhället och vilken roll matematiken har och har

haft i världen. Idén med detta är att även syften och mål som formuleras som kritiskt

matematiskt tänkande, reflektioner, matematikens roll i samhället, matematik och aktivt

medborgarskap o.s.v. ska uppnås. Teman som kan vara intressanta att fokusera på beror

på undervisningsgruppens sammansättning, mål, ålder o.s.v. På detta vis kan en

etnomatematisk undervisningsdiskurs användas som stöd i planering och genomförande

av undervisning i matematik för att förhoppningsvis göra matematikundervisningen mer

intressant för flera.

Ytterligare en aspekt av undervisning med etnomatematik som tema är att i

klassrummet diskutera den matematik som finns i den eller de identifierade

kulturen/kulturerna i undervisningsgruppen (enligt D’Ambrosios, 1985, definition av

etnomatematik som den matematik man finner i kulturella grupper) och nyttja dessa i

matematikundervisningen. Jag tolkar styrdokumentens formuleringar om

programinfärgning i matematik som ett exempel på detta. Ett annat exempel kan vara att

i matematikundervisningen nyttja de olika erfarenheter som finns i klasser med elever

med olika bakgrund eller från skilda kulturer.

Page 57: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

57

Aktionsforskning innebär som tidigare beskrivits en spiral eller en cirkel som fortsätter

efter reflektionsprocessen med nya tänkbara situationer och därmed nya pedagogiska

föreställningar och forskningsfrågor. Några idéer har presenterats tidigare i arbetet. En

pedagogisk föreställning jag ser som angelägen att arbeta vidare med är att planera en

undervisnings- och lärandeperiod med en tydlig etnomatematisk diskurs alternativt att

lyfta fram ett av de matematiska momenten ur kursen och därefter låta eleverna arbeta

med detta moment helt ur ett etnomatematiskt perspektiv. Att därefter följa upp en

sådan undervisningsperiod med utvärdering och bedömning av de matematiska

kunskaperna och även jämföra dessa elevers matematikkunskaper och resultat med

elever som lär samma moment utan en etnomatematisk undervisning vore intressant.

Med matematikkunskaper avses här de kunskaper som Skolverket (2000) definierar som

mål i matematikundervisningen. De frågeställningar som jag önskar studera är att mäta

om, och i så fall hur de matematiska resultaten påverkas eller förändras. Lika intressant

vore det att studera om, och i så fall på vilket sätt elevernas intresse för matematikämnet

och motivation för matematiklärande påverkas. Om motivation och resultat påverkas –

vilka elevers resultat och motivation är det som förändras? I vilken riktning sker

eventuell förändring? Passar denna undervisningsdiskurs elever bättre på vissa

gymnasieprogram än andra, eller bättre i vissa elevgrupper än andra? Kan det finnas en

genusskillnad?

Etnomatematik är ett relativt ungt, men viktigt och spännande forskningsfält att

upptäcka. Det ger nya didaktiska frågor att reflektera över i undervisningen och nya

möjligheter att utforma lektioner i matematik. Min erfarenhet har blivit att

etnomatematik tillfört en ny dimension i min matematikundervisning och därmed gjort

den mer varierad och intressant för fler av mina elever. Etnomatematik ger också

upphov till nya frågeställningar att fundera över vilket jag med glädje ser framemot.

Jag ser många möjligheter med etnomatematik och en etnomatematisk

undervisningsdiskurs som ett komplement till de didaktiska möjligheter och kunskaper

vi redan har i matematikundervisningen ute på våra skolor. Jag hoppas innerligt att fler

lärare provar att arbeta med etnomatematik, och därefter redovisar sina erfarenheter så

vi får möjligheter att jämföra våra resultat. Det kommer att ge nya spännande

diskussioner att se framemot!

Page 58: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

58

7. REFERENSLISTA

Andersson, Annica (2007). A Cultural Visit in Mathematics Education. Accepterad vid MACAS 2 – The Second International Symposium of Mathematics and its Connections to the Arts and Sciences i Odense, Denmark 20070529-0531. Arkens Exibitionguide (2006). Dreamtime - Aboriginal art from the Ebes collection 11 february-11 juni 2006. Danmark: Arken, Museum for Moderne Kunst. Ascher, Maria (1998).Ethnomatematics. A Multicultural View of Mathematical Ideas. California, Belmont: Wadsworth, Inc. Barton, Bill (1996). Anthropological Perspectives on Mathematics and Mathematics Education. I A.J. Bishop, International Handbook of Mathematics Education (pp.1035-1054). Dordrecht: Kluwer Academic Publichers. Benn, Roseanne (2002). Secret knowledge: Indigenous Australians and learning mathematics in Östergaard, Lene, Wedege, Tine, I Numeracy for Empowerment and democracy? ALM 8. (pp.50-59). Roskilde: Roskilde University printing. Bishop, Alan J (1991). Mathematical Enculturation. A cultural perspective on Mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Boaler, Jo (1993). The role of contexts in mathematical classrooms. For the learning of Mathematics, 13(2),12-17. Croom, Lucille (1997). Mathematics for All Students: Access, Excellence and Equity. I J. Trenatacosta and M. J. Kenney, Multicultural and Gender Equity in the Mathematics Classroom. The Gift of Diversity. 1997 Yearbook (pp.1-9). America: The National Council of Teachers of Mathematics, INC. D’Ambrosio, Ubiritan (1985). Socio-cultural bases for Mathematics Education. Unicamp, Campinas, Brazil. D’Ambrosio, Ubiritan (2001). Ethnomathematics. Link between Traditions and Modernity. Rotterdam: Sence Publichers. D’Ambrosio, Ubiritan (2006). The scenario 30 years after. Hämtad 20070808 från www.math.auckland.ac.nz/~poisard/ICEm3/1.Keynote/D'Ambrosio-plenary-prez..ppt Ebes, Hank (2006). Arken Museum of Modern Art. Dreamtime-Aboriginal art from the Ebes collection 11 february-11 june 2006. Ishöj: Arken. Encyclopedia Brittanica. Hämtad 20070808 från http://search.eb.com.support.mah.se/eb/article-9109827 Ernest, Paul (1998). Why teach mathematics? I J.H.Jensen, M.Niss och T. Wedege (red) Justification and Enrolment Problems in Education Involving Mathematics and Physics. Roskilde: Roskilde University Press. Feldman, Allan (2007). Validity and quality in action research. Educational Action Research, 15(1),21-31.

Page 59: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

59

FitzSimons, Gail, E. (2000) Mathematics for Vocational and Lifelong Learning: Cultural Diversity and Co-operation in Workplace and Adult Education. In A. Ahmed, H. Williams and J.M. Kraemer, Cultural Diversity in Mathematics Education: CIEAEM 51 (pp97-102). Chichester: Horwood Publishing. Gerdes, Paul (1996). Ethnomathematics and Mathematics Education. I A.J. Bishop, International Handbook of Mathematics Education (pp 909-944). Dordrecht: Kluwer Academic Publichers Harris, Mary (1987). An Example of Traditional Womens Work as a Mathematics Resource. For the Learning of Mathematics (7, 3) 26-28. FLM Publishing Association, Montreal, Quebec, Canada. Harris, Pam (1991). Mathematics in a cultural context. Aboriginal perspectives on space, time and money. Geelong: Deakin University Press. Knijnik, Gelsa (1999). Ethnomathematics and the Brazilian Landless People Education. ZDM 99:3. Hämtad 20070514 från http://www.emis.de/journals/ZDM/zdm993a3.pdf Knijnik, Gelsa (2006). Ethnomathematics and the Brazilian Landless People Education. Föreläsning vid ICEM-3 I Auckland, New Zealand 20060215. Abstract från denna föreläsning finns 20070512 att hämta på ICEM-3s hemsida: http://www.math.auckland.ac.nz/~poisard/ICEm3/1.Keynote/Knijnik-plenary-prez.pdf Lean, Glendon (1992). Countingsystems of Papua New Guinea and Oceania. Thesis submitted toward fulfillment of the degree of doctor of Philosophy. Papua New Guinea, University of Technoligy. Hämtad 20070512 från http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm Lipka, Jerry, Yanez, Evelyn and Andrew-Ihrke, Dora (2006). A Two Way Process for Developing Culturally Based Math: Examples from Math in a Cultural Context. For Submission to the Third International Conference on Ethnomathematics New Zealand, February 2006. Hämtad 20070220 från http://www.math.auckland.ac.nz Mellin-Olsen, Stieg. (1987). The Politics of Mathematical Education. Hingham, MA, USA: Kluwer Academic Publishers. Mertens, Donna M. (2005). Research and Evaluation in Education and Psychology: Integrating Diversity with Quantitative, Qualitative and Mixed Methods, 2nd Edition. Thousand Oaks: Sage Publications, Inc. Niss, Mogens (1996). Goals of Mathematics Teaching. I A.J. Bishop et al (red). International Handbook of Mathematics Education (pp 11-48). Dordrecht: Kluwer Academic Publichers. Nationalencyklopedin. Hämtad 20070212 och 20070808 från www.ne.se/ Nunes, Terezinha; Schliemann; Analucia D; Carraher, David W (1993). Street mathematics and schoolmathematics. Cambridge: Cambridge University Press. Owens, Kay: 2001. Indigenous Mathematics – A Rich Diversity. I Matehematics: Shaping Australia. Proceedings of the Eighteenth Biennal Conference of the Australian Associaltion of Mathematics Teachers Inc, pp 151-167.

Page 60: Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie … · med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det etnomatematik som denna uppsats

60

Robson, Colin (2002). Real World Research, 2nd Edition. Oxford: Blackwell Publishing. Rönnerman, Karin (2004). Aktionsforskning i praktiken – erfarenheter och reflektioner. Lund: Studentlitteratur. Skemp, Richard R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics teaching, Bulletin of the association of Teachers of Mathematics,77, 20-26. Skolverket (2000). Matematikämnet på samhällsvetenskapliga programmet. Mål att sträva mot. Hämtad 20070314 från www.skolverket.se. Skovsmose, Ole (1994). Towards a philosophy of critical mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Skovsmose, Ole; Borba, Marcelo (2000). Research Methodology and Critical Mathematics Education. Roskilde: Centre for Research in Learning Mathematics. Skovsmose, Ole, Nielsen, Lene (1996). Critical Mathematics Education. I A. J. Bishop. International Handbook of Mathematics Education (pp 1257-1288). Dordrecht: Kluwer Academic Publichers. Somekh, Bridget (2006). Action Research: a Methodology for Change and Development. Glasgow: Bell & Bain Ltd. The Oxford Companion to Australian History. Hämtad 20061025 från http://www.oxfordreference.com University of Auckland (1988). TANE-NUI-A-RANGI. Auckland: University Printing Services Ltd. Wedege, Tine (red); J.H.Jensen; M.Niss (1998). Justification and Enrolment Problems in Education Involving Mathematics and Physics. Roskilde: Roskilde University Press. Wedege, Tine (2000). Matematikviden og teknologiske kompetencer hos kortuddannede voksne. Roskilde: IMFUFA. Wedege, Tine (2006). Hvorfor stave problematik med q? - hvad, hvordan og hvorfor i matematikkens didaktik. Kapitel 16 i Skovsmose, O. og Blomhøj, M. (red.), Kunne det tænkes? - om matematiklæring. København: Malling Beck.