etapele rezolvarii problemelor

7/24/2019 etapele rezolvarii problemelor

1/24

Etapele rezolvarii probelmelor matematice

I.INTRODUCERE

In cadrul complexului de obiective pe care le implica predarea-invatarea

matematicii in ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezinta o activitate de profunzime,

cu caracter de analiza i inteza uperioara. Ea imbina eforturile mintale de intele!ere a

celor invatate i aplicare a al!oritmilor cu tructurile conduitei creative, inventive,

totul pe fondul tapanirii unui repertoriu de cunotinte matematice olide "notiuni,

definitii, re!uli, te#nici de calcul$, precum i deprinderi de aplicare a acetora.

%aloarea formativa a rezolvarilor de probleme porete pentru ca participarea

i mobilizarea intelectuala a elevilor la o atfel de activitate ete uperioara altor

demeruri matematice, elevii fiind pui in ituatia de a

decoperii ei inii modalitatile de rezolvare i olutia, a formuleze ipoteze

i apoi a le verifice, a faca aociatii de idei i corelatii inedite, etc. Rezolvarea problemelor pune la incercare in cel mai inalt !rad

capacitatile intelectuale ale elevilor, le olicita acetora toate diponibilitatile pi#ice,

in pecial inteli!enta.

Notiunea de problema are un continut lar! i cuprinde o !amalar!a

de preocupari i actiuni din domenii diferite.

In en pi#olo!ic,&&o problema &&ete orice ituatie, dificultate,

obtacol intampinat de !andire in activitatea practica au teoretica pentru

care nu exita un rapun !ata formulat.

In !eneral, orice c#etiune de natura practica au teoretica care

reclama o olutionare , o rezolvare, poarta numele de problema.

Referindu-ne la matematica, prin problema e intele!e o ituatiea carei olutionare e poate obtine eential prin procee de !andire i

calcul.'roblema de matematica reprezinta tranpunerea unei ituatii

practice au unui complex de ituatii practice in relatii cantitative i in care

pe baza valorilor numerice date i aflate intr-o anumita

dependenta unele fata de altele i fata de una au mai multe valori

numerice necunocute, e cere determinarea acetor valori necunocute.

In activitatea teoretica i practica omul intalnete atit ituatii identice ,

in a caror rezolvare aplica metode i procedee tandardizate de tip al!oritmic,

dar i ituatii noi pentru care nu !aete olutii in experienta dobandita au intre m

i(loacele de(a invatate.Cind ituatia poate fi

rezolvata pe baza cunotintelor au deprinderilor anterior formate, deci a unor olutii

exitente in experienta cati!ata, elevul nu mai

ete confruntat cu o problema noua.In cazul ituatiilor-problema ete nevoie de expl

orarea ituatiei prin aplicarea creatoare a cunotintelor i te#nicilor de

care dipune rezolvitorul in momentul repectiv, copul fiind acela al

decoperirii implicatiei acune, a necunocutei, a elaborarii rationale a olutiei.

Rezolvarea problemelor de matematica contribue la clarifi- carea,

aprofundarea i fixarea cunotintelor invatate la acet obiect de tudiu.In

acelai timp, explicarea multora dintre problemele teoretice e face prin

rezolvarea uneia au mai multor probleme in cadrul carora e ubliniaza o

proprietate, definitie au re!ula ce urmeaza a fi invatate. 'rin rezolvarea problemelor de matematica elevii ii formeaza deprinderi

eficiente de munca intelectuala,

care e vor reflecta pozitiv i intudiul altor dicipline de invatamant, ii

educa i cultiva calitatile moral-volitive.In acelai timp, activitatile


2/24


3/24

cunotinte in rezolvarea problemelor, cat i o

!ama variata de deprinderi i abilitati intelectuale neceare in proceul rezolvarii pro

blemelor.Diferitele ipoteze "enunturi ipotetice care ne vin in minte

in le!atura cu problema pua$nu

apare la intamplare.Ele iau natere pe baza aociatiilor,

pe baza cunotintelor aimilate anterior.Cu cat acete cunotinte unt mai lar!i i

mai profunde, cu atat unt mai mari anele ca ipotezele care e nac in mintea

rezolvitorului a il conduca mai repede la o olutie, cu cat fondul din care unt alee

ipotezele ete mai bo!at, cu atat ale!erea ete mai buna.De aceea in ori-

ce domeniu, capacitatea de a rezolva probleme complexe ete conditionata

de o olida pre!atire de pecialitate, dar i de cultura !enerala.

In rezolvarea problemelor intervin o erie de te#nici, procedee,

moduri de actiune, deprinderi i abilitati de munca intelectuala independenta.

)tfel unt neceare unele deprinderi i abilitati cu caracter mai !eneral cum unt

orientarea activitatii mintale aupra datelor problemei,punerea in le!atura lo!ica a

datelor, capacitatea de a izola ceea ce ete cunocut de ceea ce ete necunocut,

extra!erea acelor cunotinte care ar putea ervi la rezolvarea problemei pre-

cum i unele deprinderi pecifice referitoare la detaliilor actiunii

"cum ant cele de !enul deprinderilor de calcul$. Cu toata varietatea lor, problemele de matematica nu unt independente,

izolate,ci fiecare problema e incadreaza intr-o anumita cate!orie.

'rin rezolvarea unor probleme care e incadreaza in aceeai cate!orie,avand

acelai mod de or!anizare a (udecatilor,deci acelai rationament,in

mintea copiilor e contureaza c#ema mintala de rezol-vare, ce e fixeaza ca un

al!oritm au emial!oritm de lucru, care e invata, e tranfera i e aplica

la fel ca re!ulile de calcul.

)flarea caii de rezolvare a unei probleme ete mult mai uu- rata

in cazul in care e poate ubuma problema noua unei cate!o- rii, unui tipdeterminat de probleme, de(a cunocute.Dar aceata ub- umare

e poate face corect numai daca au fot intelee particularita-

tile tipice ale cate!oriei repective, rationamentul rezolvarii ei,

daca e decopera i recunoate in orice conditii concrete -ar prezenta problema

"domeniul la care e refera, marimea i natura datelor etc.$.

De o mare importanta in rezolvarea problemelor ete intele-

!erea tructurii problemei i a lo!icii rezolvarii ei.'entru a a(un!e

la !eneralizarea rationamentului comun unei cate!orii de probleme, trebuie a fie

formate capacitatile de a analiza i de a intele!e datele problemei, de a

eiza conditia problemei i de a orienta lo!ic irul de (udecati

catre intrebarea problemei. Cand e rezolva o problema compua, aparent e rezolva pe rand

mai multe probleme imple. In eenta, nu ete vorba de probleme imple

care e rezolva izolat. )cetea fac parte din tructura problemei compue,

rezolvarea fiecareia dintre ele facandu-e in directia aflarii necunocutei,

fiecare problema impla rezolvata reprezentand un pa inainte, o veri!a pe calea

rationamentului problemei compue, de natura a reduca treptat numarul datelor

necunocute.

0a luam drept exemplu problema 1 O !opodina a cumparat 23!

de za#ar a 45 666 lei 3ilo!ramul i 7l de ulei a 48 666 lei litrul. Ce ret a

primit de la 466 666 lei 9 :

23!;;45 666lei


4/24

1 O !opodina a cumparat za#ar de 57 666 lei i 7l de ulei a 48 666

lei litrul.Ce ret a primit de la 466 666 lei 9 :

57 666 lei;;7l;;..48 666lei< l;;..466 666 lei;; 9

Dupa rezolvarea celei de a doua probleme imple " a cumparat 7 litri de ulei a

48 666 lei litrul, cat cota uleiul 9 $, problema e reformuleaza atfel

1 O !opodina a cumparat za#ar de 57 666 lei i ulei de 2= 666 lei. Ce ret a primit de

la 466 666 lei 9 1 ,problema e reformuleaza, in final, ca o

problema impla >O !opodina a cumparat za#ar i ulei de ?8 666 lei.

Ce ret a primit de la 466 666 lei 9 :

?8 666 lei;;;;.466 666 lei;;.. 9

0c#ematic, proceul de reformulare a problemei i de reducere treptata a datelor nec

unocute -ar prezenta atfel

23!;;;45666lei


5/24

oricarei probleme. Rezolvitorul trebuie a afle care unt datele problemei, cum e

lea!a intre ele, care ete necunocuta problemei.

-Intele!erea enuntului problemei

Nu ete poibil ca elevul a formuleze ipoteze i a con-

truiaca rationamentul rezolvarii problemei decat in maura in care cunoate

termenii in care e pune problema. Enuntul problemei contine un minim

necear de informatii.Datele i conditia problemei reprezinta termenii de

orientare a ideilor, a analizei i intezei, precum i a !eneralizarilor ce e fac treptat

pe maura ce e inainteaza pre olutie.Intrebarea problemei indica directia in

care trebuie a e orienteze formularea ipotezelor.)cet

minim de informatii trebuie re- ceptionat in mod optimal de catre

elevi princitirea textului problemei, prin ilutrarea cu ima!ini au c#iar cu actiuni

cand ete cazul.

De exemplu, problema 1 Intr-o tabara au fot in prima erie 768

elevi iar in eria a doua cu 7@6 de elevi mai multi decat in prima erie.

Cati copii au fot in ambele erii 9

'rin dicutii cu elevii,trebuie retinute elementele matematice importante

datele problemei, relatiile dintre date, intrebarea proble-

mei.Nereceptionarea corecta a enuntului problemei !enereaza multe dificultati inactivitatea de rezolvare,cum ar fi c#imbarea enului unor date"in loc de 1 mai mult cu

7@6 de copii : in eria a doua unii elevi retin ca 1 au fot 7@6 de elevi :$, ne!li(area

unor date, luarea in conideratie a unor numere care nu au functie de 1 date :

ale problemei etc.

C-)naliza problemei i intocmirea planului lo!ic

Ete etapa in care e produce eliminarea apectelor ce nu au emni-

ficatie matematica i e elaboreaza reprezentarea matematica a enuntului problemei.

)ceata ete faza in care e 1 contruiete :rationamentul prin

care e rezolva problema, adica drumul de le!atura intre datele problemei i

necunocuta. 'rin exercitiile de analiza a datelor, a emnificatiei lor, a relatiilor dintre ele i

a celor dintre date i necunocute e a(un!e a ne ridicam de la ituatiile concrete pe

care le prezinta problema "1 a parcur;;. 3ilometri :, 1 a cumparat;3ilo!rame :,a;

lei 3ilo!rame .a.$ la nivelul abtract care vizeaza relatiile dintre parte i intre! / viteza,

ditanta i timp / cantitate, pret, valoare etc.

Tranpunand problema intr-un deen, intr-o ima!ine au intr-o c#ema criind

datele cu relatiile dintre ele intr-o coloana .a., evidentiem eenta matematica a

problemei, adica reprezentarea matematica a continutului ei.

0e eizeaza cum ete cazul problemei cu cumparaturile mai inainte prezentata,

ca ete vorba de uma a doua produe .

In cazul celei de a doua probleme " cu elevii$ mai u amintita,ete vorba de o uma de doi termeni in care al doilea termen nu ete

exprimat numeric, ci reprezinta uma a doua numere.

In momentul in care ete tranpua problema in relatii matematice,

olutia ete ca i decoperita.

D-)le!erea i efectuarea operatiilor

corepunzatoare ucceiunii din planul lo!ic.

)ceata etapa conta in ale!erea i efectuarea calculelor din planul de rezolvare, in

contientizarea emnificatiei rezultatelor partiale ce e obtin prin calcule repective

i, evident, a rezultatului final.

De o importanta ma(ora in formarea abilitatilor, a priceperilor i de-

prinderilor de a rezolva probleme il are etapa urmatoare. E-)ctivitati uplimentare dupa rezolvarea problemei


6/24

Ea conta in verificarea olutiei problemei, in !airea i a altor

metode de rezolvare i de ale!ere (utificata a celei mai bune.Ete etapa

prin care e realizeaza i autocontrolul aupra felului in care -a

inuit enuntul problemei, aupra rationamentului realizat i a demer-

ului de rezolvare parcur.

III. C*)0IAIC)RE) 'RO*EE*OR

DE ARITMETICA

'roblemele de aritmetica ar putea fi claificate dupa mai multe criterii

4.Dupa continut, ele e claifica in practice "probleme referitoare la numere$

i teoretice "probleme referitoare la numere, operatii i proprietatile operatiilor$.

7.Dupa complexitate, ele e claifica in probleme imple "in !eneral cu o

in!ura operatie au cu un !rup dat de operatii$ i probleme

complexe, cu doua au mai multe operatii le!ate intre ele.

2.Dupa !radul de !eneralitate, ele e claifica in

probleme tipice i probleme compue obinuite.

5.Dupa metoda de rezolvare, ele e claifica in probleme cu aplicare directa a

operatiilor i probleme reductibile la o metoda " fala ipotezamerul inver,metoda !rafica, etc. $.

I%. ETODO*OBI) )CTI%IT)TII

DE RE+O*%)RE ) 'RO*EE*OR

Or!anizarea activitatii de rezolvare aproblemelor e fundamenteaza pe cele cinci

principale etape i momentul de efort mintal pe care il parcur! elevii, i anume

cunoaterea enuntului problemei

intele!erea enuntului problemei

analiza i c#ematizarea problemei

rezolvarea propriu-zia a problemei

verificarea rezolvarii problemei i punerea rezolvarii ub forma de exercitiu,

formularea de alte probleme ce e rezolva dupa acelai exercitiu,!eneralizarea etc.

I% .4.Rezolvarea problemelor imple

'rimele probleme imple unt acelea pe care i le pune co-

pilul zilnic in coala, in familie, in timpul (ocului i care unt ilu-

trate cu exemple familiare lui. 'entru ai face a vada inca din claa

intai utilitatea activitatii de rezolvare a problemelor ete necear ca mi-

cii colari a intelea!a faptul ca in viata de toate zilele unt ituatii

cand trebuie !ait un rapun la diferite intrebari. Rezolvarea primelor probleme e realizeaza la un nivel con-

cret, ca actiuni de viata " au mai venit;fetite, -au part;.baloane, au

plecat;ratute, i-a dat creioane colorate, au mancat; bomboane$, ilu-

trate prin ima!ini au c#iar prin actiuni executate de copii" elevul vine

la ma!azin, cumpara, platete au elevul ete la coala i primete car-

ti au creioane $.In aceata faza, activitatea de rezolvare a problemelor e

afla foarte aproape de aceea de calcul. Introducerea in rezolvarea problemelor

imple e face inca din perioada pre!atitoare primelor operatii.

Rezolvarea problemei simple reprezinta un proces de analiza si

sinteza in cea mai simpla forma. Problema cuprinde valorile nume - rice

(datele cunoscute si intrebarea . !a cea mai simpla analiza a intre-


7/24

barii problemei e a(un!e la valorile numerice, i la cea mai impla in-teza a valorilor numerice e

a(un!e la intrebarea problemei. Elevul trebuie a tranpuna relatia dintre valorile numerice "din ?

paarele au

zburat 7$ intr-o operatie de cadere.

El nu va putea a eizeze relatia (uta care duce la rezolvarea problemei,

nu va putea decoperi olutia problemei, decat in maura in care va fi contient

de emnificatia valorilor numerice i de rezolvarea problemei.

A rezolva in mod constient o problema simpla" inseammna a cunoaste

bine punctul de plecare ( valorile numerice si relatia dintre ele si punctul la care

trebuie sa se a#un$a (intrebarea problemei" inseamna a stabili intre acestea o

relatie #usta" adica a ale$e operatia aritmetica pentru rezolvarea problemei.

Dei rezolvarile de probleme imple par uoare, trebuie a e

aduca in atentia copiilor toate !enurile de probleme care e rezolva printr-

o in!ura operatie aritmetica. )cete tipuri unt

'robleme imple bazate pe adunare

- de aflare a umei a doi termeni/ - de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati

decat un numar dat /

- probleme de !enul 1 cu atat mai mult :.

'robleme imple bazate pe cadere

- de aflare a retului /

- de aflare a unui numar care a aiba cu un numar

de unitati mai putine decat un numar dat /

- de aflare a unui termen atunci cand e cunoc uma i un

termen al umei /

- probleme de !enul 1 cu atat mai putin :

'robleme imple bazate pe inmultire - de repetare de un numar de ori a unui numar dat /

- de aflare a produui /

- de aflare a unui numar care a fie de un numar de ori mai

mare decat un numar dat /

'robleme imple bazate pe impartire

- de impartire a unui numar dat in parti e!ale /

- de impartire prin cuprindere a unui numar prin altul /

)'*IC)TII

1. Daniela a cules 5 ciuperci, iar Irina a cules 10 ciuperci.

Cate ciuperci au cules impreuna ?

Rezolvare :

Cate ciuperci au cules impreuna ?

5+10=15(ciuperci)

Raspuns :15ciuperci

. !"la numerele cu 1 mai mari #ecat : $5, %& si 15.

Rezolvare :

$5+1=5'

%&+1='5

15+1='

Raspuns : 5', '5 si '


8/24

&.Intrun cos sunt 1& mere,

iar in alt cos sunt cu 1 mai multe mere #ecat in primul.

Cate mere sunt in al #oilea cos ?

Rezolvare:

Cate mere sunt in al #oilea cos ?

4274F22"mere)

Raspuns:&&mere

$.Ionel avea o cutie cu 0 omoane.*l a mancat 10 omoane.

Cate omoane iau mai ramas ?

Rezolvare :

Cate omoane iau mai ramas ?

010=10(omoane)

Rapun 46 bomboane

5.!"la numerele cu &0 mai mici #ecat :'0, 0, 0.

Rezolvare :

'0&0=$0

G6-26F=6 0&0=50

Raspuns :$0, %0, 50.

6.Ce numar treuie a#unat cu $0 ca sa otinem 0 ?

Rezolvare : a+$0=0

a=0$0

a=50

Rapun@6

%.!na a rezolvat 1& proleme, iar cole-a ei, Ina,cu trei proleme mai putine.

Cate proleme a rezolvat Ina ?Rezolvare:

Cate proleme a rezolvat Ina ?

1&&=10(proleme)

Rapun46 probleme

8.ama a cumparat ' /ilo-rame #e mere, platin# 5000 lei

pentru "iecare /ilo-ram.

Cati lei a #at pe toata cantitatea ?

Rezolvare :

Cati lei a #at pe toata cantitatea ?

?H@ 666F2@ 666

Rapun 2@ 666 lei9.Intrun parc treuie sa#iti %& #e tran#a"iri asezati pe ' ran#uri.

Cati tran#a"iri vor "i sa#iti pe "iecare ran# ?

Rezolvare :

Cati tran#a"iri vor "i sa#iti pe "iecare ran# ?

%& :'= (tran#a"iri)

Raspuns : tran#a"iri

10.n calator are #e parcurs o #istanta #e 1 /ilometri.

*l a parcurs #in aceasta #istanta .

Cati /ilometri a parcurs calatorul ?

Rezolvare :

Cati /ilometri a parcurs calatorul ?

&21 :$=


9/24

=&% :$

=(/ilometri)

Rapun G 3ilometri

I&.'.RE)!&AREA PR)*!EME!)R

CO'U0E

0pre deoebire de rezolvarea problemelor imple, rezolvarea

problemelor compue reprezinta un fenomen pi#ic mai complex.

'roblema compua fiind alcatuita din mai multe probleme imple, cuprinde un

complex de ituatii concrete, de relatii in care e cere a e determine o valoare

numerica necunocuta pe baza unor valori numerice date, care e !aec intr-o

anumita dependenta una de alta i toate fata de marimea cautata.

'roblema compua ete alcatuita din mai multe probleme imple,

care e ucced intr-o inlantuire lo!ica. Continutul problemei compue are nu

numai doua valori numerice, ci mai multe.

'entru rezolvarea problemelor trebuie a e alea!a din toate

valorile numerice perec#i de valori care e lea!a intre ele printr-o relatie determinata.

)ceata e o activitate dificila, care cere un anumit efort al !andirii i

o anumita experienta. De altfel, aceata ale!ere a

valorilor numerice nu e face numai in copul itematizarii lor,ci contituie deprinderea problemelor imple din cadrul problemei compue. E vorba de un proce de

analiza, care trebuie orientat catre inteza ce urmeaza, catre intrebarea problemei.

Citam o problema compua cu 2 operatii, pentru a ilutra

problemele imple componente, precum i intrebarile itermediare.

ama a cumparat 2m de pan!lica cu 7 666 lei metrul i 5m de elatic cu 2

666 lei metrul. Cati lei a c#eltuit mama 9

Cati lei cota pan!lica 9 Cati lei cota elaticul9

2m

7666lei

5m

2 666lei

Cati lei a c#eltuit mama9


10/24

Etapele metodice in rezolvarea problemelor compue unt

4. Inuirea enuntului problemei/

7. Examinarea problemei/

2. )lcatuirea planului de rezolvarea problemei

5. Rezolvarea propriu-zia /

Intre acete etape exita o trina le!atura.

4.Inuirea enuntului problemei ineamna cunoaterea continutului

problemei, a tematicii, au a

domeniului din realitatea obiectiva la care e refera datele problemei,

precum i cunoaterea acetor date i a intrebarii problemei.

)adar, inuirea enuntului problemei nu ineamna cunoaterea i

reproducerea textului ei, ci ineamna patrunderea treptata in continutul problemei.

)ceata e realizeaza prin

-expunerea au citirea problemei /

-dicutii in le!atura cu continutul problemei/

-concretizarea ei prin diferite mi(loace intuitive/

-explicarea cuvintelor i a expreiilor necunocute/ -c#ematizarea problemei prin dicutii, c#eme/

-crierea enuntului problemei/

7.Examinarea problemei contituie activitatea cea mai

importanta in rezolvarea problemelor.

Examinarea problemei e face pe cale analitica au intetica.

Calea intetica, reprezentand drumul de la valorile numerice cunocute

catre intrebarile problemei,

de la cunocut la necunocut ete mai uoara decat calea analitica.

Examinarea analitica a problemei,

pornind de la intrebare catre valorile numerice cunocute, deductia, de la necuno-

cut la cunocut ete mai !rea, obli!a elevul la un efort mai mare. In practica, -a demontrat ca metoda intezei ete mai acceibila,

dar nu olicita prea mult !andirea elevilor. ai mult, e contata ca unii elevi pierd

din vedere intrebarea problemei i unt tentati a calculeze valori de marimi care nu

unt neceare in !airea olutiei problemei.

etoda analitica pare mai dificila, dar olicita mai mult !andirea elevilor.

)'*IC)TII

'roblema.3 "erma a-ricola a contractat pre#area a 45 #in pro#uctia

sa #e -rau, restul #istriuin#use asociatilor sai..a se calculeze cantitatea #e -rau ce

revine unui asociat pentru un 6ectar, #aca supra"ata totala insamantata a "ost #e %$

6a, pro#uctia me#ie la 6ectar "iin# #e & 00 /- .

Rezolvare :etoda intactica

a)Cunoscan# supra"ata insamantata si pro#uctie me#ie la 6ectar

se poate a"la pro#uctia totala .

%$2& 00= $% $00 ( /-)

)Cunoscan# pro#uctia totala si ce parte #in ea a "ost con

tractata se poate a"la cantitatea #e -rau ce treuie pre#ata con"ormcontractului .

$% $002 :5=

= $ $ 00 :5

= $ %0 ( /-)

c)Cunoscan# pro#uctia totala si cantitatea #e -rau ce tre uie pre#ata

se poate a"la cantitatea #e -rau ce se repartizeaza asociatilor.

$% $00$ %0=1 $'' $$0 (/-)

#)Cunoscan# intrea-a cantitate #e -rau ce se repartizea za asociatilor se

poate a"la cantitatea #e -rau ce revine unui asociat pentru un 6ectar .


11/24

1 $'' $$0 :%$=0 (/-)

etoda analitica

a)7entru a a"la ce cantitate #e -rau revine unui asociat pen tru un 6ectar,

ar treui sa stim intrea-a cantitate ce se repartizeaza asociatilor.

8ie 9 C cantitatea #e -rau ce se repartizeaza asociatilor si 9 ;

cantitatea #e -rau ce revine unui asociat pentru un 6ectar.

;=C :%$

)7entru a a"la cantitatea #e -rau ce se repartizeaza asociati lor, ar

treui sa "acem o operatie #e sca#ere.

8ie 9 < cantitatea totala .

C=


12/24

#)Ca sa -asim costul a 1& /- #e orez #e calitatea a IIIa ,a#i ca D, va treui sa

sca#em anii #ati pe primele #oua calitati #in suma totala.

8ie >C suma platita pentru tot orezul. !tunci :

D=C($' 500+'& 000)

e)Cat costa toata cantitatea #e orez ?(sintactic)

$5++1&=50 (/-)

00250= &00 000 (lei)

")Cat costa cel 50 /- #e orez "ara transport?(sintactic)

&00 000$$ 000= 5% 000(lei)

C= 5% 000 lei

-)Cat costa 1& /- #e orez #e calitatea a IIIa ?

D=C1 10 500

D= 5% 0001 10 500

D=1 0$5 500 (lei)

6)Cat costa un /- #e orez #e calitatea a IIIa ?

;=1 0$5 500 :1&

;= 500 (lei)

Raspuns : 500leiI%.2 RE+O*%)RE) 'RO*EE*OR-TI'

'rin problema tipica intele!em acea contructie matematica a

carei rezolvare e realizeaza pe baza unui anumit al!oritm pecific fiecarui tip.

O aemenea problema e conidera teoretic rezolvata in momentul in care i-

am tabilit tipul i untem in poeia al!oritmului de rezolvare.

I%.2.4'robleme care e rezolva prin

metoda fi!urativa"metoda !rafica$

etoda fi!urativa ete o metoda ce conta in reprezen ta- rea printr-

o fi!ura a marimilor necunocute i fixarea in acet deen a relatiilor intre ele

i marimile date in problema.

Ai!ura reprezinta o c#ematizare a enuntului, pentru a epatra in atentie relatiile matematice i nu toate apectele concret. Rezolvitorul

de probleme de aritmetica imte nevoia a-i1 apropie : datele problemei, precum i

relatiile dintre acetea din textul enuntului. 'entru aceata realizeaza un deen, o

fi!ura, un model, care a o!lindeaca datele problemei.Daca rezolvitorul

ete 1 la inceput de drum : deenul au ete cat mai detaliat, iar pe maura ce el ii

formeaza unele priceperi i deprinderi, fi!ura devine cat mai abtracta, cat mai

c#ematica, ea 1 prinzand : in cadrul modelului numai eentialul.

'roblemele care e rezolva prin metoda fi!urativa le putem

imparti in doua mari cate!orii i anume

).Cu date au marimi 1 dicrete : intele!and prin aceata ca marimile pot finumarate cate una i ca e pot pune in corepondenta dupa anumite criterii.

In acet caz marimile le fi!uram> prin imboluri.

.Cu date au marimi 1 continui :,caz in care, le fi!uram

prin e!mente.

)'*IC)TII

'roblema 4.Daca se asaza cate un elev intro anca raman 1$ elevi

in picioare. Daca asezam cate elevi intro anca ra man & anci liere.

Cati elevi si cate anci sunt ?

criem #atele :

1elev.@@@@1anca@@1$elevi@elevi@@1anca@..&anci@. @@..?elevi@?anci.

3servam ca #atele prolemei sunt marimi carora leam zis 9 #iscrete (ancisi elevi),marim care se pot pune in corespon#en

ta #upa criterii #esprinse #in analiza teAtului. Deci #in analiza primei

parti a enuntului #esprin#em ca multimea elevilor si multi mea ancilor pot "i


13/24

in asa "el 9 privite incat elementele lor sa "ie or-anizate ast"el: "iecarui

elev ii corespun#e o anca, situatie in care 1$ elevi raman in picioare,

#eci nu au loc.

8i-uram anca cu si elevul cu e. !sezam cate un elev intro anca.

3tinem -rupe #e "orma :

e e e e e;..e 1$ elevi

;.

!cum, le-atura cu partea a #oua a enuntului sar "ace ast"el :cei 1$ elevi ce

erau in picioare vor completa 1$ anci pana la #oi elevi.

e e e e e;;e;;e e;;;.e

;;; ;;;

e e e e e;;e;;.e

1$ nu stim cate

Deoarece enuntul mentioneaza ca asezan#ui cate #oi intro anca raman & anci liere, inseamna ca #in aceste anci sau mai ri#icat

& elevi ( initial "iecare anca avea cate un elev ) care au completat

ca si ceilalti cole-i ai lor inca trei anci cu #oi elevi.

e e e e;;;e e e e

;;

e e e e;;;e e e e

1$ & &

a recapitulam #eci : avem 1$ anci cu cate #oi elevi com

pletate #e cei 1$ elevi ce erau in picioare si inca & anci cu #oi

elevi completate ast"el prin ri#icarea #in & anci care treuie sa

ramana liere si, in "ine, raman & anci liere.

Deci in acea clasa erau :

1$+&+&=0 (anci) !"larea numarului #e elevi, in continuare, nu mai constituie o -reutate.

Il putem a"la #in prima parte a enuntului :

0+1$=&$ (elevi)

Raspuns :0 #e anci si &$ #e elev

'roblema 7.Intro curte alear-a -aini si purcei.In total sunt $0 #e

capete si 100 #e picioare. Cate -aini si cati purcei erau ?

Comentan# enuntul, la prima ve#ere sar parea ca acesta

este incomplet #eoarec nu se eApliciteaza cate picioare are o -aina si cate picioare

are un purcel.

Dar, in mo# normal, aceste #ate se suintele- ( toata lumea stie ca o -aina are

picioare si un purcel are$ piciore).

a "i-uram cele $0 #e vietati prin niste ovale.


14/24

@@@@

$0

!cum le #esenam picioarele. Dar un#e asezam picioare si un#e $ ?

3servam ca oricum #oua picioare are

"iecare vietate sile #esenam.8i-ura apare ast"el :

@@@@

$0

!m 9 "olosit $02=0 (picioare) si neau mai ramas :

1000=0 (picioare).

!cum asezam picioarele ramase cate #oua la "iecare vie tate care are #eBa

cate #oua picioare. 8ormam ast"el >purcei. !sezam

#oua picioare la prima, #oua picioare la a#oua vietate si asa mai #eparte

pana terminam cele 0 picioare ramase. asim ast"el, numarul #e purcei.

@@@@@@..

10 purcei

;;;.

&0 -aini

Deci numarul #e purcei este 0 :=10 (purcei).Restul #e

vietati ramase cu #oua picioare sunt -aini :$010=&0 (-aini)

Raspuns+in curte erau 10 purcei si&0 -aini

e va realiza proa :

102$+&02=100 (picioare)


15/24

In continuare vom rezolva probleme tot prin metoda fi!urativa cu marimi e e preteaza a

fi ilutrate prin e!mente.

Problema ,.n tractor pleaca pe sosea #e la /ilometrul 0, mer-an# cu

aceeasi viteza. Dupa ore #e mers, nu aBunsese la canton mai avea pana acolo 1$

/ilometri. Dupa 5 ore #e mers trecuse #e acel canton cu 5 #e /ilometri.

Ea ce /ilometru era situat cantonul ?

Din analiza enuntului treuie sa retinem o in"ormatie esentiala si anume a

ceea ca tractorul se #eplasa cu o viteza constanta.Constatarea ne

su-ereaza realizarea unei "i-uri in care #istantele

parcurse in "iecare ora sa le putem #esena prin se- mente e-ale, puse

cap la cap.8i-uram mai intai soseaua pe care neo ima-inam rectilinie.

6

7rin sa-eata in#icam sensul #e #eplasare. 7unctul 0 sa "ie /ilometrul

0(zero) #e un#e incepe #eplasarea tractorului.Fu stim un#e treuie plasat cantonul.

7rolema ne spune ca #upa ore #e mers,tractorul nu aBunsese la canton.

Convenin# ca spatiul parcurs intro ora sal "i-uram prin

se-mentul ,asezam #oua asemenea se-mente cap la cap

incepan# cu punctul 0. 8i-ura #evine :

1$ Gm

O ) C

Deci #upa ore tractorul aBun-e la punctul !. Cantonul va "i situat

la #reapta lui ! si il materializam prin punctul C, iar pozitia tractorului #upa 5 ore #e

la plecare in punctul H.

!cum oservam pe -ra"ic ca #istanta #e la ! la C este #e 1$ /m, iar

#istanta #e la C la H este #e 5 /ilometri. ra"icul arata ast"el :

#upa 6

3 ! C H

1$ /m 5 /m

Rezolvarea prolemei apare #in citirea -ra"icului.

4.In cate ore parcur-e tractorul #istanta !H ? 5=& (ore)

7.Ce #istanta parcur-e tractorul in acest timp ?

1$+5=& (/ilometri)

2.Care este viteza tractorului ?


16/24

& :&=1& (/ilom

5.Ce #istanta parcur-e tractorul in ore ?

1&2=% (/ilome

@.Ea ce /ilometru era situat cantonul ?

%+1$=$0 (/ilometri)

Raspuns :viteza tractorului era #e 1& /m46

iar tractorul se a"la la #istanta #e $0 /ilometri.

Probleme de aflare a numerelor cunoscand suma si diferenta lor

Problemele de aflare a numerelor cand se cunoaste sumasi

diferenta lor"se rezolva prin metoda fi$urativa.

Exemplu

Problema. !"lati #oua numere #aca: suma lor este $0, iar #i"erenta$%0.

Rezolvare:

om reprezenta cele #oua marimi care intervin in prolema prin #oua se-m

ente.

$%0 $0

Di"erenta #intre lun-imile celor #oua se-mente este c6iar

#i"erenta #intre cele #oua numere, iar suma celor #oua numere este reprezentata #e#oua se-mente #e aceeasi lun-ime si inca un se-ment

ce reprezinta tocmai #i"erenta #e $%0. !tunci putem #etermina numarul mai mic ast"el:

($0$%0) :=10,iar numarul mare va "i:

10+$%0=%50

Raspuns :numarul mic este 10 iar numarul mare este %50.

Probleme de aflare a doua numere cunoscand

suma sau diferenta lor si raportul lor

'rin raportul a doua numere, in ipoteza ca ele e impart exact,intele!em catul lor. )ceta "catul$ ne arata de cate ori un numar ete mai

mare decat celalalt. 'roblemele de aflare a doua numere

cand cunocand uma au diferenta lor i raportul lor,

e rezolva tot prin metoda fi!urativa.

0a analizam problema urmatoare

Problema.!"lati #oua numere #aca suma lor este $0,

iar unul #intre ele este #e cinci ori mai mare #ecat celalalt.

Rezolvare :

8i-ura acestei proleme este asemanatoare cu cea #e la prolema prece

#enta, cu oservatia ca se-mentul mai mare este "ormat #in 5 se-mente mici,

care reprezinta numarul mic, iar suma celor #oua numere este

practic reprezentata #e % se-mente reprezentan# numarul mic.


17/24

$0

7entru a a"la numarul mic vom e"ectua :

$0 :%=0

"ie $00=$00

Fumarul mare poate "i a"lat :

"ie 520=$00

Raspuns:numarul mic este 0 iar numarul mare este $00.,.'. Probleme de e$alare a datelor.

Metoda aducerii la acelasi termen de comparatie.

'roblemele care

e rezolva foloind aceata metoda e caracterizeaza prin faptul ca

e dau doua marimi " care unt comparate "1 in acelai mod : $

i le!atura care exita intre ele. )cete

doua marimi unt caracterizate prin cate doua valori fiecare i de fiecare data

e cunoate le!atura dintre ele. etoda conta in a face ca una din cele doua marimi a

aiba aceeai valoarei atfel pro-blema devine mai impla, avand o in!ura necunocuta.

Din aceata cauza e i numete aducerea la acelai termen de comparatie.

AP!ICATII Problema.tiin# ca carti si % caiete costa &$ 000 lei, respectiv $

carti si & caiete costa 1$% 000 lei, a"lati care este pretul unei carti si al unui caiet.

Rezolvare :c6ematic, enuntul prolemei este:

carti@@@@@.% caiete@@@@@@.&$ 000 lei

$ carti@@@@@.& caiete@@@@@@.1$% 000 lei

e oserva ca, #aca a #oua oara sar "i cumparat #e#oua ori mai m

ult, cantitatea #e caiete cumparate #e "iecare #ata ar "i "ost aceeasi,

a#ica sc6ematic am avea:

carti@@@@@% caiete@@@@@.&$ 000 lei

carti@@@@@..% caiete@@@@@ 000 lei

7lanul #e rezolvare :

4.Cate carti a cumparat mai mult prima #ata ?

=1 (carti)

7.Cat costa o carte?( cu cat a platit mai mult prima #ata ?)


18/24

&$ 000 000=& 000 (lei)

2.Cat costa carti ?

& 0002= 000 (lei)

5.Cat costa % caiete ?

&$ 000 000= &% 000 (lei)

@.Cat costa 1 caiet ?

&% 000 :%= % 000(lei)

Raspuns :o carte costa &% 000 lei, iar un caiet % 000 lei

Problema '.1 pa6are si 10 "ar"urii au costat 10% 000 lei.15

pa6are si 5 "ar"urii au costat 0 000 lei.

Cat costa un pa6ar si cat costa o "ar"urie ?

Rezolvare: criem #atele:

1 pa6are@@@@@@10 "ar"urii@@@@@@@10% 000 lei

4@ pa#are;;;;;;7@ farfurii;;;;;;;776 666 lei

*-alam numarul #e "ar"urii. 3servam ca acest lucru sepoate "ace impartin# #atele #e pe primul sir la , iar cel #e pe al #oileasir la 5.

3tinem :

% pa6are@@@@@@.5 "ar"urii@@@@@@@@5& 000 lei

& pa6are@@@@@@.5 "ar"urii@@@@@@@@.$$ 000lei

7rolema a #evenit : si prima #ata si a #oua oara sa cumparat un

acelasi numar #e "ar"urii(5).Fu am platit aceeasi suma #e ani #eoarece prima

#ata sau luat mai multe pa6are. Rezolvarea urmeaza

simplu con"orm rationamentului si operatiilor #e mai Bos.

4.Cate pa6are sau cumparat mai mult prima oara ?

%&=& (pa6are)

7.Cat costa & pa6are(cu cat sa platit mai mult prima oara)? 5& 000$$ 000= 000 (lei)

2.Cat costa un pa6ar ?

000 :&=& 000 (lei)

5.Cat costa 5 "ar"urii ?

$$ 000 000=&5 000 (lei)

@.Cat costa o "ar"urie ?

&5 000:5=' 000 (lei)

Raspuns:un pa6ar costa & 000 lei, iar o "ar"urie costa ' 000 lei.

I&.,.,.Probleme de presupunere.

etoda falei ipoteze

'roblemele din aceata cate!orie unt foarte numeroae .Oriceproblema ale carei date unt marimi proportionale poate fi

rezolvata prin metoda falei ipoteze. De re!ula, e pleaca de la intrebarea problemei,

in enul ca aupra marimii ce o cautam facem o preupu- nere complet arbitrara.

Dupa aceea, refacem problema pe baza preupunerii facute.

Deoarece marimile unt proportionale, rezultatele obtinute pe

baza preupunerii e 1 tranlateaza : in plu au in minu, dupa cum preupunerea

facuta ete mai mare, repectiv mai mica, decat rezultatul real. Refacand problema,

a(un!em la un rezultat care nu concorda cu cel real din problema. Ete,

fie mai mare, fie mai mic decat aceta.

In acet moment e compara rezultatul pe baza preupunerii cu cel real,

din punct de vedere al catului i obervam de cate ori am !reit cand

am facut preupunerea .Obtinem, aadar, un numar cu a(utorul caruia corectam>

preupunerea facuta in enul ca o micoram au o marim de acet numar de ori.


19/24

APICATII

Problema .7e un vapor sau van#ut 1$ ilete pentru clasele I si a IIa

iletul #e clasa I costa 5% 000 lei, iar iletul #e clasa a IIa &% 000 lei, incasan#u

se in total suma #e $ $ 000 lei.

Cate ilete #e "iecare clasa sau van#ut ?

Rezolvare

7resupunem ca toate cele 1$ #e ilete au "ost #e clasa I.

*vi#ent ca aceasta ipoteza este "alsa, #eoarece in numarul total #eilete(1$)

intrau si cele #e clasa I si cele #e clasa a IIa.Deci, presupunem ca toate cele 1$

ilete ar "i #e clasa I.

7lanul #e rezolvare este urmatorul :

1.!"lam cat costa iletele :

1$25% 000=% $$ 000 (lei) 8.

In realitate iletele au costat numai $ $$ 000 lei.

7.!"lam cu cati lei am otinut mai mult pe aza presupunerii

"acute.

% $$ 000$ $$ 000= 000 000 (lei)

!cum, in mo# "iresc, ne intream #e un#e provine aceasta ilet #i"erenta. *a

provine #in "aptul ca au eAistat si ilete #e clasa a IIa si pentru "iecare #e clasa a II

a am socotit cu :

5% 000&% 000=0 000 (lei) mai mult presupunan#ul #e

clasa I.In continuare Bu#ecam ast"el:

2.Cu cati lei am socotit mai scump un ilet #e clasa a IIa ?

5% 000&% 000=0 000 (lei)7entru cate asemenea ilete #e clasa a IIa am socotit in plus cate

0 000 lei ?7entru atatea ilete, #e cate ori 0 000 lei se cuprin#e in #i"erenta totala #e

000 000 lei.

5.Cate ilete #e clasa a IIa sau van#ut ?

000 000 :0 000=100 (ilete #e clasa a IIa)

@.Cate ilete #e clasa I sau van#ut ?

1$100=$ (ilete #e clasa I )

Raspuns :sau van#ut $ ilete #e clasa I si

100 ilete #e clasa a IIa Problema '.7entru "iecare prolema rezolvata ine un elev primeste & puncte si i

se sca# puncte pentru "iecare prolema -resita. In total, un elev a rezolvat 5$

#e proleme si a primit #e puncte.

Cate proleme a rezolvat ine si cate nu ?

Rezolvare:

4.'reupunem ca elevul a rezolvat bine toate cele @5 probleme i primete

5$2&=1% (puncte) A

In realitate el a primit #e puncte.

.Cu cate puncte a otinut elevul mai mult #ecat in realitate ?

1%='0(puncte)


20/24

7e aza ipotezei "acute nea #at o #i"erenta #e punctaB #e '0

puncte. !ceasta #i"erenta provine #in "aptul ca "iecare prolema

rezolvata -resit am socotito ine rezolvata.

7entru o prolema -resita elevul a primit in plus 5 puncte:

puncte treuie sa le acopere pe cele care nu sau scazut si a primit inca & puncte

consi#eran# prolema una. !m acor#at 5 puncte in plus pentru atatea proleme

#e cate ori se cuprin#e 5 in '0.

&.Cate proleme a rezolvat -resit elevul ?

'0:5=1$ (proleme)

$.Cate proleme a rezolvat ine ?

5$1$=$0 (proleme)

Rapunelevul a rezolvat ine $0 proleme si

-resit 1$ proleme.

I&.,..Probleme de rest din rest.

Metoda mersului invers

)ceata metoda conta in faptul ca enuntul unei probleme

trebuie urmarit de la farit pre inceput. )nalizand operatiile facute in problema i

cele pe care le facem noi in rezolvarea problemei, contatam ca de fiecare data,

pentru fiecare etapa, facem operatia invera celei facute in problema. Deci, nu numai

merul ete inver, ci i operatiile pe care le facem pentru rezolvare unt operatiile

invere celor din problema.

'roba "verificarea$ e face aplicand aupra rezultatului obtinut peratiile

indicate de problema. 'entru a urprinde metoda, care- ia

ii punem metoda merului inver, analizam urmatorul exemplu.

Problema .am -an#it la un numar. Il impart la ', catului otinut ii a#un $,

suma -asita o inmultim cu , iar #in pro#usul otinut sca# 1, otinan# %0.Ea cenumar mam -an#it ?

Rezolvare :

Fotan# cu A numarul cautat, enuntul se scrie prescurtat ast"el :

(A :'+$)21=%0

!m otinut oe-alitate care in al-era se numeste ecuatie. a o rezolvam prin

rationament aritmetic, urmarin# enuntul #e la s"arsit spre inceput, a#ica invers, #e un#e

meto#a mersului inver

4.Care este ultuma operatie "acuta pentru a otine %0 ?

ltima operatie este o sca#ere in care necunoscuta "i-ureaza la #escazut. Deci:

D=R+, un#e D#escazut, scazator si Rrest.

D=%0+1='

7rolema #evine: (A:'+$)2='

.Care este ultima operatie "acuta pentru a otine pe '?

Inmultirea.Fecunoscuta se a"la la #einmultit. Deci :

D=7 :I, D#einmultitul, Iinmultitorul, 7pro#usul.

D=' :=

7rolema #evine :

A :'+$ =

Cautarile continua in acelasi mo#.

&.Care este ultima operatie "acuta pentru a otine pe ?

!#unarea. Fecunoscuta "i-ureaza la unul #in termeni.


21/24

Deci :


22/24

Inumand vom !ai

a1+a+@@@+an=(a1+a+@@..+an)2p, #e un#e

a1+a+@@@+an

= p

1++@@..+n

adica raportul intre uma numaratorilor

i uma numitorilor are tot valoareapca i toate rapoattele din ir.

Daca avem irul de rapoarte e!ale "4$, punem ca numerele

a4,a7,;;,an untproportionale,repectiv, cu numerele b4,b7,;..,bn,

au ca lui a4 ii corepund b42p lui a7 ii corepund b72p,@@,lui an ii

corepund bn2p parti.

Exemplul 4-In irul de rapoarte e!ale

46


23/24

8ie a,,c,# numerele cautate, parti ale numarului 0%. criem ca ele

sunt #irect proportionale cu numerele 4& 1410 si 14$ a#ucan# toto#ata aceste "ractii

la acelasi numitor.

a c #

4& 14 &410 14$ sau

a4$0=4&0=c41=#415=p

a++c+#=p($0+&0+1+15)

0%=p210&

p= Deci: a=$02=0

=&02=%0

c=12=&%

#=152=&0

I&.,.0.Probleme rezolvabile cu re$ula

de trei simpla.Metoda proportiilor

aze teoretice

Definitia 4Doua marimi care #epin# una #e alta se numesc#irect proportionale #aca in#eplinesc con#itiile :

Daca una crete i cealalta crete

Daca una crete de n ori, atunci cealalta crete de

acelai numar de ori.


24/24

7e al #oilea sir

(ran#) se scrie o valoare #ata a uneia #in marimi si valoarea corespunzatoare

,necunoscuta, a celeilalte marimi.

Deoarece cele #oua marimi sunt #irect proportionale, con"orm teoremei

1 putem scrie:

50 /- 10 lazi

&'5/- A lazi

Deoarece raportul a #oua valori ale unei marimi este e-al cu raportul

numerelor care le masoara, avem:

50 10

&'5 A A=&'5210:50=15(lazi)

&. C1!TI&AREA CREATI&ITATII E!E&I!)R

I2 ACTI&ITATEA DE RE)!&ARE 3I

C)MP12ERE A PR)*!EME!)R

)ctivitatea de rezolvare i compunere a problemelor ofera terenul cel mai fertil

din domeniul activitatilor matematice pentru cultivarea i educarea creativitatii i a

invetivitatii. Diferenta dintre a invata rezolvarea unei probleme> i a ti> "a putea$ a

rezolvi o problema noua ineamna,in eenta, creativitate, dar de niveluri diferite.Rezolvarea unei probleme 1 invatate : ofera mai putin teren pentru creativitate

decat rezolvarea unei probleme noi care, la randul ei, ete depaita de alcatuirea

unor probleme noi.

)ceata nu ineamna ca in activitatea de rezolvare de probleme

avem de-a face numai cu probleme creative, renuntand in totalitate la cele reproductive.

Opozitia dintre al!oritm i euritic, dintre deprindere i abilitatea de rationament ete

numai aparenta. Creativitatea !andirii, micarea ei libera, nu e poate produce decat pe

baza unor deprinderi corect formate, tabilizate i eficient tranferate.

In rezolvarea problemelor, deprinderile i abilitatile e refera in pecial la

analiza datelor, a conditiei, la capacitatea de a intele!e intrebarea problemei i a orienta

intrea!a defaurare a rationamentului in directia decoperirii olutiei problemei. In copul cultivarii creativitatii, adica a !andirii, inteli!entei i ima!inatiei elevilor in

activitatea de rezolvare a problemelor e foloec

variate procedee, cum ar fi

Complicarea problemei prin introducerea de noi date au prin modificarea intrebarii.

Rezolvarea problemei prin doua au mai multe procedee.

&I. *I*!I)4RA5IE

4.ETODIC) 'RED)RII )TE)TICII *) C*)0E*E I-I%

)UTORI

*ector univ. dr. IO)N NE)C0U-coordonator

'rof. JORI) R)DU

7. ETODE 'ENTRU RE+O*%)RE) 'RO*EE*OR DE

)RITETIC)

EK'UNERI-'RE*EBERI-CON0U*T)TII

)UTOR

'rof. CORIO*)N TE'I)N

2.'RO*EE DE )TE)TIC) 'ENTRU C*)0E*E 7-5

EDITUR) DID)CTIC) 0I 'ED)BOBIC) L UCURE0TI

5.)NU)* 'ENTRU C*)0) a %-a

EDITUR) DID)CTIC) 0I 'ED)BOBIC) LUCURE0TI 4G??

)UTORI

'rof. )RI)N) I)NCU 'rof. )*IN) IRT)

Documents

etapele rezolvarii problemelor