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Estudo e estado da arte dos provadores automticos de teoremas Provadores Automticos de Teoremas Everton Marques egm2@cin.ufpe.br

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Agenda Introduo Provadores automticos de teoremas: fundamentos tericos Estado da arte: Provadores automticos de teoremas em lgica de primeira ordem Estado da arte: Outros tipos de provadores Concluses

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Introduo As pesquisas direcionadas rea de teoria da prova estudam os conceitos de provas formais e os fundamentos relacionados Provas formais podem ser classificadas como: Prova dirigida por humanos Prova automatizada O uso de provadores bastante difundido na rea de construo de provas formais Diversas lgicas Lgica de primeira ordem Lgica clssica proposicional...

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Introduo Utilizao de diversos mtodos Resoluo Tableaux Anis booleanos Deduo Natural... Provador automtica de teoremas: um programa computacional que mostra se a conjectura apresentada uma conseqncia lgica de um conjunto de sentenas (os axiomas e hipteses) Linguagem formal sem ambigidades Sentena produzida: prova

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Provadores automticos de teoremas: fundamentos tericos Herbrand: desenvolveu a base dos provadores automticos de teoremas em 1930. Seu mtodo era impraticvel de se aplicar at a inveno do computador digital. S aps o artigo de Robinson em 1965, junto com o desenvolvimento do princpio da resoluo, foi possvel o desenvolvimento dos provadores.

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Fundamentos tericos: Teorema de Herbrand Por definio, uma frmula vlida uma frmula que verdade sobre todas as interpretaes. Herbrand desenvolveu um algoritmo para encontrar uma interpretao que pode falsificar uma dada frmula. Se a dada frmula mantm-se vlida, no pode existir nenhuma interpretao e seu algoritmo ir parar depois de um nmero finito de tentativas. Desta forma, ao invs de provar se uma frmula vlida, o algoritmo de Herbrand prova que a negao da frmula inconsistente

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Fundamentos tericos: Teorema de Herbrand Com base no teorema de Herbrand, Gilmore foi um dos primeiros a implementar o procedimento de Herbrand em um computador. Seu programa foi desenvolvido para detectar a inconsistncia da frmula dada, mas encontrou dificuldades com frmulas no simples. Estudos do seu programa revelaram que o seu mtodo era ineficiente. O seu mtodo foi melhorado por Davis e Putnam (1960). O procedimento de prova por resoluo muito mais eficiente que os outros mtodos anteriores.

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Estado da arte: Provadores em lgica de primeira ordem CADE Conference on Automated Deduction Principal frum internacional para a apresentao de pesquisas em todos os aspectos da deduo automtica. 1 vez em 1974. Era bienal at 1996, aps anual Em 2001 uniu-se a outras conferncias e virou International Joint Conference on Automated Reasoning CASC CADE ATP System Competition Foi criada para estimular a pesquisa e desenvolvimento de sistemas na rea dos provadores Foi criada tambm para expor sistemas de provas para a comunidade dos provadores e para fora dela

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Estado da arte: Provadores em lgica de primeira ordem Avalia o desempenho dos provadores em termos de: Nmero de problemas resolvidos com ou sem soluo de sida Mdia de tempo de execuo dos problemas resolvidos No contexto de: Um nmero limitado de problemas qualificados, escolhidos da TPTP Problem Library um determinado tempo limite para cada tentativa de soluo A CASC divide-se em classes e na ltima edio foram 6: FOF axiomtica FOF com uma conjectura provvel CNF conjunto de clusulas insatisfatveis FNT axiomas FOF com conjecturas que no podem ser provadas SAT conjunto de clusulas satisfatveis EPR conjunto de clusulas finitas UEQ clusulas de unidade equitativas insatisfatveis

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Estado da arte: Vampire Baseado na CASC possvel falar dos melhores provadores em lgica de primeira ordem: Vampire Desenvolvido na universidade Uppsala pelo PhD Andrei Voronkov e pelo doutor Alexandre Riazanov Utiliza mtodos de resoluo e paramodulao para encontrar bons resultados de prova Ganhou muitos prmios na CASC, e na ltima competio, a verso 8.1 venceu a diviso CNF e a verso 9.0 venceu a diviso FOF

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Estado da arte: Paradox Paradox Desenvolvido na Chalmers University of Technology por Koen Lindstrm Claessen e Niklas Srensson um provador baseado no mtodo MACE O mtodo MACE basicamente transforma o conjunto de clusulas e um domnio em um conjunto de clusulas em lgica proposicional atravs da introduo de variveis proposicionais Venceu a classe SAT do CASC de 2003 at 2006 Em 2007 venceu tanto a classe SAT quanto a FNT Foi desenvolvido na linguagem Haskell e um software livre

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Estado da arte: Darwin Darwin O Darwin a primeira implementao do clculo de evoluo de modelos Possui algumas das tcnicas mais eficazes de busca desenvolvidas pela comunidade SAT A abordagem semelhante a outros buscadores de modelos finitos como o Paradox, mas, em vez de transformar um problema em lgica proposicional, ele convertido em lgica de primeira ordem livre de funo. A verso 1.3 venceu a classe EPR em 2006 e uma variante do Darwin conseguiu o terceiro lugar na classe SAT No CASC-21 venceu a classe EPR

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Estado da arte: WALDMEISTER WALDMEISTER Foi desenvolvido na University of Kaiserslautern por Buch e Hillenbrand e foi implementado em C um provador de teoremas para lgica equacional de primeira ordem Tem como objetivo principal ser eficiente em todo o processo de busca da prova dividido em 3 nveis lgicos: nvel mais alto corresponde escolha dos parmetros reduo ordenada e heurstica de busca, nvel intermedirio corresponde uma mquina de inferncia e o nvel mais baixo fornece algoritmos e estruturas de dados para a execuo das operaes bsicas Vem vencendo a classe UEQ do CASC desde 1997 e a sua ltima verso a WALDMEISTER 806

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Estado da arte: E-SETHEO E-SETHEO um provador composicional com estratgia paralela. Combina uma variedade de provadores de alto desempenho e procedimentos de deciso especializados Deixa diferentes procedimentos de busca de provas competirem por recursos para resolver um determinado problema Seu sucesso parcialmente explicado pelo uso de estratgias paralelas e pela fcil adaptao a um determinado domnio exigido. Outra importante razo o uso de excelentes mquinas de inferncia para as diferentes estratgias. Usa estratgias de cooperao baseadas no lema de intercmbio entre os diferentes sistemas Venceu o CASC-17 nas classes MIX e SEM. J no CASC-JC venceu nas classes FOF, MIX e EPR.

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Estado da arte: Outros tipos de provadores Um Provador Automtico de Teoremas para a Lgica Modal, Baseado em Anis Booleanos Desenvolvido no IME-SP por Fabio Campos Tisovec Tem como objetivo principal ser um provador com um bom grau de eficincia na prova de problemas SAT Usa a teoria de anis booleanos para apoiar a resoluo de problemas de satisfatibilidade Basicamente pega a expresso trabalhada e subdividi-a em inmeras mini-expresses, compara-as duas a duas, e verifica a existncia de contradies entre elas. Caso encontre contradio, sabe-se que a expresso no vlida, caso contrrio ela aceita Possui uma estrutura dividida em mdulos A linguagem de programao utilizada foi a C++

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Estado da arte: Outros tipos de provadores Kems Um provador de teoremas multi-estratgia Foi desenvolvido na USP como tese de doutorado de Adolfo Neto. um provador multi-estratgia baseado no mtodo de tableaux KE. capaz de provar teoremas em trs sistemas lgicos: lgica clssica proposicional, mbC e mCi Pode ser utilizado com 3 objetivos: educacional, exploratrio e adaptativo Possui uma arquitetura modularizada

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Estado da arte: Outros tipos de provadores Dada a entrada, retorna uma prova de sada que contm: O status do tableau A rvore tableau de prova O tamanho do problema O tempo gasto para construir a prova O tamanho da prova A verso atual implementada em Java 1.5 e na linguagem AspectJ Foi avaliado com vrias instncias de famlias de problemas e nenhuma configurao do KEMS obteve resultados incorretos.

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Estado da arte: Outros tipos de provadores

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Isabelle Desenvolvido pela University of Cambridge (PhD Larry Paulson) e Technical University of Munich (PhD Tobias Nipkow) A principal aplicao a formalizao de provas matemticas e em particular verificao formal, incluindo provar propriedades de protocolos e linguagens computacionais Boa interface visual para o usurio Ampla documentao, incluindo um tutorial de como usar o sistema Vrias interfaces com outros sistemas Vem com uma grande biblioteca terica de matemticas Foi utilizado para formalizar muitos teoremas da matemtica e da cincia da computao, como o teorema da completude de Gdel um software livre

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Estado da arte: Outros tipos de provadores

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Ergo Comeou o seu desenvolvimento em 2006 na Universidade de Paris um provador dedicado a verificao de programas baseado no CC(X), um algoritmo de concluso de congruncia e no clculo de seqentes implementado em Qu-Prolog Sua arquitetura modular um software livre ARA um provador para vrios tipos de relaes algbricas Pode provar muitos teoremas em diversas lgebras Foi implementado em Haskell

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Estado da arte: Outros tipos de provadores PLLIC - Provador para as Lgicas Linear, Intuicionista e Clssica Foi desenvolvido no ano de 2006 na universidade UFMG Foi desenvolvido com a linguagem de programao Java e -Prolog Analisa quando seqentes do tipo L tem resposta: sim ou no, e caso positivo exibe a prova Trabalha com 3 tipos de lgica: linear, intuicionista e clssica acessado via web e em portugus Possui tutoriais, exemplos e fundamentao terica tambm em portugus fcil de usar e possui uma interface com o usurio agradvel Tem como objetivo principal ser uma ferramenta de fcil manuseio, podendo ser acessado remotamente para o ensino de lgica em cursos de graduao

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Estado da arte: Outros tipos de provadores ~((~ A)/\(~B)) |- A\/B A |- ~(~A) - Dupla negao

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Concluses Consideraes finais Embasamento terico Estado da arte dos provadores Estudo de muitos provadores Dificuldades Encontradas Escolha de escopo Dificuldade em encontrar bibliografia Dificuldade na execuo dos programas

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Concluses Trabalhos Futuros Implementar um provador automtico de teorema Uma tese de mestrado na rea Desenvolver um provador para competir na CASC

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Referncias MARQUES, Everton. Estudo e estado da arte dos provadores automticos de teoremas. Trabalho de Graduao, Bacharelado em Cincia da Computao, Universidade Federal de Pernambuco. 2008.

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Estudo e estado da arte dos provadores automticos de teoremas Provadores Automticos de Teoremas Everton Marques egm2@cin.ufpe.br