Estudios Generales - virtual.senati.edu.pevirtual.senati.edu.pe/pub/CD_TO/89001292_Matematica_01_TO.pdf · matemÁtica t.o. estudios generales-nivel tÉcnico operativo. 3 indice unidad

Estudios

Generales

CÓDIGO: 89001292

SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

Matemática T.O.

Parte 01

DIRECCIÓN NACIONAL

GERENCIA ACADÉMICA

MATEMÁTICA T.O.

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO. 2

MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO

CICLO : ESTUDIOS GENERALES

CURSO : MATEMÁTICA BÁSICA T.O. PARTE 01

Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo de

Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento continuo,

se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito referido a

MATEMÁTICA BÁSICA T.O. PARTE 01

Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los

responsables de su difusión y aplicación oportuna.

AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN

DOCUMENTO APROBADO POR EL

GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI

N° de Páginas:….............213.…...........…..

Firma: ………………………………….…..

Lic. Jorge Chávez Escobar

Fecha: …………………………...……….

MATEMÁTICA T.O.


INDICE

UNIDAD 01. Números Naturales .............................................................................. 4

UNIDAD 02. MCM y MCD ....................................................................................... 43

UNIDAD 03. NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES ................................................ 75

UNIDAD 04. FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN .......... 93

UNIDAD 05. Números Decimales .......................................................................... 123

UNIDAD 06. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ......................................................... 160

UNIDAD 07. TRIGONOMETRÍA BÁSICA ................................................................. 192

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UNIDAD 01

NÚMEROS NATURALES

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1.1. Número Natural.

Definición. Un número natural es

cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3...

que se pueden usar para contar los

elementos de un conjunto. Reciben ese

nombre porque fueron los primeros que

utilizó el ser humano para contar

objetos de la naturaleza.

Numeral. Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentes

de los numerales romanos "I, II, III, IV, V,..." pero ambos representan los

mismos números.

Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11

es el tres binario pero el once decimal.

1.2. Lectura y escritura de números naturales.

En la escritura de un número natural se debe tener en cuenta que la cifra

forma un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases,

forman un período.

http://es.wikipedia.org/wiki/Numerable

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal

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ENTE

RO

S 4

° P

erío

do

8° Clase

24° Orden Centenas de millar de trillón.

23° Orden Decenas de millar de trillón.

22° Orden Unidades de millar de trillón.

7° Clase

21° Orden Centenas de trillón.

20° Orden Decenas de trillón.

19° Orden Unidades de trillón. 3

° P

erío

do

6° Clase

18° Orden Centenas de millar de billón.

17° Orden Decenas de millar de billón.

16° Orden Unidades de millar de billón.

5° Clase

15° Orden Centenas de billón.

14° Orden Decenas de billón.

13° Orden Unidades de billón.

2°

Per

íod

o 4° Clase

12° Orden Centenas de millar de millón.

11° Orden Decenas de millar de millón.

10° Orden Unidades de millar de millón.

3° Clase

9° Orden Centenas de millón.

8° Orden Decenas de millón.

7° Orden Unidades de millón.

1°

Per

íod

o 2° Clase

6° Orden Centenas de millar.

5° Orden Decenas de millar.

4° Orden Unidades de millar.

1° Clase

3° Orden Centenas simples.

2° Orden Decenas simples.

1° Orden Unidades simples.

Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a

partir de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin

usar ningún otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:

79 142 031 789 358.

TRILLONES BILLONES MILLONES UNIDADES

MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD

C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U

24º 23º 22º 21º 20º 19º 18º 17º 16º 15º 14º 13º 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8

Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un

millones, setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho

unidades.”

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Aplicaciones:

1: Aún recordando, se realizarán los ejercicios siguientes:

Escribir cómo se lee cada número:

a) 4 121

..................................................................................................................

b) 20 305

................................................................................................................

c) 2 000 000

...........................................................................................................

d) d) 5 001 008

......................................................................................................

2: Leer y escribir con cifras cada número:

a) Tres mil cinco ..................................................................................................

b) Cien mil cuarenta y dos................................................................................

c) Un millón trescientos mil ...............................................................................

d) Dieciocho millones tres mil uno .......................................................................

e) Seis millones quince mil ..................................................................................

f) Doscientos tres millones cuatro mil uno …….................................................

3: ¿Qué número está formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM?

a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014

4: Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es:

a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763

5: ¿Cuántas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM?

a) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560

6: ¿Cuántas Decenas forman Dos Millares?

a) 20 b) 200 c) 2000 d) 2 e) 0,2

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7:¿Cómo se puede escribir el producto de: 345x11?

a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA

1.3. Operaciones en el conjunto de números naturales.

1.3.1. Adición.

Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cual

se denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S.

Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares

de números naturales (a ; b) su suma a + b.

Ejemplo 1:

15 + 17 = 32 Ejemplo 2:

7 + 8 + 13 = 28 Aplicación 1:

Si: a + b + c = 15, hallar: abc + bca + cab

Rpta: 1665

Aplicación 2:

Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal.

Rpta: 494550

Sumandos Suma

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Suma notables:

I) Suma de los “n” primeros números naturales.

S = 1+2+3+4+ ....+n 2

)1n(nS

Ejemplo:

1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25

3252

12525S

II) Suma de los “n“ primeros impares.

S = 1 + 3 + 5 + …….... + n

2

2

1nS

Ejemplo:

1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39 4002

139S

2

III) Suma de los “n” primeros pares.

S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n 1nnS

Ejemplo:

2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20 11011010S

1.3.2. Sustracción.

Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la

cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D.

Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos

pares de números naturales (a ; b) su diferencia a - b.

n = 25

n = 39

n = 10

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Ejemplo 1: 235 - 140 = 95 Aplicación 1: Si, a4b - 3c5 = 418; Hallar: a + b – c

Rpta: 6

Propiedades de la sustracción:

1. Si se suma o resta un mismo número natural al MINUENDO y al

SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.

2. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO, la

DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.

3. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL SUSTRAENDO, la

DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad.

4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.

S + D = M

5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL

MINUENDO.

M + S + D = 2M

Aplicación 1:

La diferencia de dos números es 305, si al menor se le quita 20 y al mayor se le

aumenta 85 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 410

Aplicación 2:

La diferencia de dos números es 157, si al menor se le aumenta 48 y al mayor

se le quita 31 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 78

Aplicación 3:

La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?

Rpta. : 239

MINUENDO ( M )

SUSTRAENDO ( S )

DIFERENCIA ( D )

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1.3.3. Multiplicación.

Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la

cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.

Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos

pares de números naturales (a ; b) su producto a.b.

Ejemplo 1:

18 x 15 = 270 Ejemplo 2:

Aplicación 1:

El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al

multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de

cifras del multiplicador? Rpta. 7.

Aplicación 2:

El producto de dos factores es 74495, si se aumenta en 23 unidades al

multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del

multiplicador? Rpta. 11.

Multiplicando Multiplicador Producto

7 3 4 x

4 6

4 4 0 4

2 9 3 6

3 3 7 6 4

Multiplicando

Multiplicador

Productos

parciales

Producto final

7 3 4 x 6

7 3 4 x 4

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Potenciación. Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.

an = a x a x a x .………a = P Potencia de exponente cero: a0 = 1 siempre que a ≠ 0 Nota: 00 = no está definido. Ejercicio mental: Resolver las siguientes operaciones mentalmente.

23 = ….. 34 = ….. 112 = ….. 162 = …..

33 = ….. 54 = ….. 122 = ….. 172 = …..

43 = ….. 25 = ….. 132 = ….. 182 = …..

53 = ….. (14+17)0 = ….. 142 = ….. 192 = …..

24 = ….. (2X3 – 6)0 = …. 152 = ….. 202 = …..

“n” veces a

Elementos de la potenciación,

donde:

a: es la base

n: es el exponente

P: es la potencia perfecta de

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1.3.4. División. Definición. Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,

se denota b

a , al número natural c, si existe, tal que a = b.c.

Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares

de números naturales (a; b) su cociente b

a.

Elementos de una división: Dividir 104 entre 11 Además: 104 = 11. (9) + 5 Clases de división:

Exacta (residuo = 0).

Inexacta (residuo ≠ 0).

En donde : 9 + 2 = 11

r(defecto) + r(exceso) = divisor

104 11

99 9

5

Dividendo (D) Divisor (d)

Residuo (r)

Cociente (q)

Algoritmo de la división

28 7

0 4

D d

0 q

28 = 7. (4) D = d.q

75 = 11.(6) + 9

75 11

9 6

75 11

2 7

75 = 11.(7) - 2

Defecto: Exceso:

Residuo por defecto Residuo por exceso

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En general: Propiedades de la división:

Si: r = 0, la división es exacta.

Algoritmo de la división: D = d. (q) + r

Residuo máximo : r(máx) = ( d - 1 )

Residuo mínimo : r(min) = 1

r(defecto) + r(exceso) = divisor

residuo < divisor

Si se multiplica o divide el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un mismo

número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA, pero el

RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número natural.

Aplicación 1:

El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo

y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el

residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

Rpta.: 16

Aplicación 2:

El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo

y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo

disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?

Rpta: 6

Defecto: Exceso:

D d

r q

D d

r* q + 1

D = d.(q) + r D = d.(q + 1) - r*

D d

r q

D.k d.k

r.k q

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1.3.5. Radicación.

Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que

dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número

llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así

se tiene:

Resolver los siguientes ejercicios:

64 3 8 4 16 1600

81 3 64 4 81 3 27000

144 3 125 4 625 4 810000

169 3 1000 4 1210 3 278

1.3.6. OPERACIONES COMBINADAS.

Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los

signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.)

Ejemplo:

63338

= 6335

= 6315

= 618

= 3

TÉRMINOS

DE LA

RADICACIÓN

KRRK nn

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Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en

el siguiente orden :

o Primero: La potenciación o radicación.

o Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que aparecen)

“de izquierda a derecha”

o Tercero: Adición o Sustracción.

Ejemplo:

32 : 8 + 6 x 5 = Observar, con atención, las operaciones indicadas.

4 + 30 = Fueron efectuados: la división (32:8) y la multiplicación (6 x 5).

34 = Finalmente, fue efectuada la suma (4 + 30).

Resolver la expresión:

45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =

La respuesta debe haber sido 231; sino, corregir lo que hizo. No olvidar que

cero veces cualquier numeral es cero.

7 + 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 = Observar paréntesis.

= 7 + 3 x ( 40 – 36 ) – 23 = Fue efectuada la multiplicación contenida en los paréntesis (9 x4).

= 7 + 3 x 4 – 23 = También fue hecha la resta: (40 – 36)

= 7 + 3 x 4 – 8 = Fue efectuada la potencia 23.

= 7 + 12 – 8 = Fue realizada la multiplicación: (3 x 4)

= 19 – 8 = Se realizó la suma ( 7 + 12 )

= 11 Finalmente, fue hecha la resta: (19 – 8)

EJERCICOS

Resolver las siguientes operaciones combinadas:

OPERACIÓN COMBINADA RESPUESTA

( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =

6 x 8 + 13 - 9 =

250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 =

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12 x 22 + 32 x 42 + 52 =

PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS.

Ejemplo:

Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de

5 m se podrán obtener?

20m 5

m 100pedazos de Nº pedazos de 5 m c/u

Número de cortes Número de estacas

LÍNEA ABIERTA

Nº cortes = 1unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = 1

unitaria Longitud

total Longitud

LÍNEA CERRADA

Nº cortes = unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = unitaria Longitud

total Longitud

Ejemplo (LINEA ABIERTA):

1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si

cada árbol están separados 50 m?

unitaria Longitud

Total Longitudpartes

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº árboles =

= 4 + 1

(estacas)

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2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios

realizar para obtener trozos de 50 m?

Ejemplo (LINEA CERRADA): 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro

es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m?

2. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán

necesarios realizar, para obtener trozos de 5 m?

Nº de cortes = 5

20 = 4

cortes

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº cortes =

= 4 - 1

1º 2º 3º

CORTES

50 m

50 m 50 m

50 m Perímetro = 200 m

(Longitud total)

Nº de árboles = = 4 árboles

(estacas)

5 m 5 m

5 m 5 m

1º 3º

2º

4º cortes

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PROBLEMAS:

1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde

cada corte pierde 64

1 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?

a) 193 b) 235 c) 195 d) 425 e) 194

2. Dividir una barra de Hierro 8

"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada

corte 32

1 “¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 3” b) 5” c) 2” d) 4” e) 1” 3. Dividir una barra de bronce de 120m en trozos iguales de 35 cm.,

perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto

material sobra?

a) 342; 30cm b) 142; 30cm c) 342; 20cm d) 352; 30cm e) 12; 30cm

4. Dividir una barra de cobre 8

"110 en trozos iguales de 2”, se pierde en cada

corte 32

1 ”. ¿Cuántos cortes se obtiene?

a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1

Número de = Número - 1

Cortes de partes

Número de = Número - 1

espacios de puntos

LÍNEA ABIERTA

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1.4. PLANTEO DE ECUACIONES. Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje

matemático, por ello es que debe detenerse a reflexionar sobre algunos

aspectos de este lenguaje.

El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje

conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones.

El lenguaje matemático está conformado por diversos símbolos. A través de la

combinación de estos se puede representar diversidad de situaciones

SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; esto quiere decir

que no todo aquello que pasa diariamente puede ser representado en forma

matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda está alegre, no puede

representarse de la manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de

Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de

ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es

para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y

CUANTIFICABLE.

Ejemplo:

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18,

y dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado?

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre? x

si al multiplicarlo por cuatro 4x

añadirle 18 4x + 18

y dividir dicha suma entre 19 19

184 x

se obtiene

19

184x

2 como resultado? 219

184

x

Resolviendo la ecuación:

219

184

x

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)19.(2184 x

18384 x 204 x 5x

TEORÍA ADICIONAL:

Operaciones fundamentales con fracciones:

a. Conversión de un número mixto a Fracción: D

NDE

D

NE

b. Suma de Fracciones:

usqMCMM

tuMrsMpqM

u

t

s

r

q

p

,,

c. Número natural.

d. Ejemplos: 2 y 5 son números naturales.

Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o

partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las

operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

NOTA. Si se da cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas

estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que

÷

x

=

+ 5+1,000 x b0 =

5

+1

Exponente +1

Se completa con ceros la parte decimal

Parte variable

El denominador es +1

Signo +

+ 2+1

,000 x a0 =

2

+1

La coma divide la parte entera de la parte decimal.

MATEMÁTICA T.O.


representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo,

a la derecha de la coma redondear con CEROS y al último parte variable

elevado a la potencia CERO que equivale a uno.

En esta época, siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar

sumas, restas, multiplicar y/o dividir.

e. Reducción de fracción de fracciones : Ejemplos:

a. 8

1

24

1

64

13

1

64

3

6

4

3

b. 5,4

2

14

2

9

41

63

6

41

3

6

4

3

c. 5,72

17

2

15

42

203

20

42

3

Problemas que tengan relación Parte – Todo: Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras?

*¿Qué parte de 27 es 9? 9 / 27 <> 1 / 3

*¿Qué fracción de b es c? c / b

*¿M representa que fracción de N? M / N

*¿Q que fracción representa respecto de P? Q / P

Es importante esta teoría base para hacer las 4

operaciones de fracciones.

( ,,, ) cb

da

d

cb

a

Cantidad de partes iguales

que se han tomado. Cantidad de partes iguales

en que se han dividido a la unidad

f = Qué Fracción

o

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*¿Qué fracción es 24 respecto de 60? 24 / 60 <> 2 / 5

*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”? a / b

*¿Qué fracción de “b” respecto de “a”? b / a

*¿Qué parte de representa 11 de 33? 11 / 32 <> 1 / 3

ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA:

Enunciados Expresión Matemática

Forma verbal Forma Simbólica

1) La suma de 2 números consecutivos más 3. 31 xx

2) Yo tengo 20 más que tú Yo: 20 + x

Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes Tu: x

3) A es el doble de B A = 2B

A es 2 veces B A = 2K

B es la mitad de A B = K

A tiene una vez más de lo que posee B B = K ; A = 2K

4) A es 2 veces más que B ó A = 3B A = 3X

A es 2 veces mayor que B B = X

5) A es a B como 3 es a 5 ó 5

3

B

A

La relación entre A y B es 3/5 ó A = 3k

A y B están en la razón de 3 a 5 ó B = 5k

A es a 3 como B es a 5

6) El cuadrado de la suma de 2 números 2yx

7) La suma de los cuadrados de 2 números 22 yx

8) El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20 204 y

Tengo : y

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9) El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20 204 y

Tengo : y

10) A excede a B en 4 ó 4 BA

A es mayor que B en 4 ó 4 xA

El exceso de A sobre B es 4 xB

11) Tres menos 2 veces un número X x23

12) Tres menos de 2 veces un número X 32 x

13) El producto de 5 números consecutivos es m. mxxxx 421 ó

maaaaa 2112

14)

Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules. 4

3

A

R

kR 3 ; kA 4

1.4.1. ECUACIONES DE 1ER GRADO.

Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se

verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas.

Propiedades de las ecuaciones:

1. Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación una cantidad

constante, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera.

2. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por una

cantidad constante diferente de cero, la ecuación que se obtiene es

EQUIVALENTE a la primera.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X

MATEMÁTICA T.O.


Solución: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X 2X + 3X + 1X = 140 – 20 6X = 120

X = 120 / 6 X = 20

Ejemplos de aplicación: Resolver las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:

1. 414 xx

2. 631209740 xx

3. )3(2)5(5)12(4)1(3 xxxx

4. xx

2

1

21

5. 24

3

5

2

4

1 xx

6. 65

22

3

2

xx

7. 2)12(3

12)1(

2

1 xx

8.

303

1

7

554

3

2

xxxx

9. 463

25

2

3

2

1

xxx

10. 12261142313 xx

Problemas de Aplicación:

Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de

primer grado. Es importante leer el problema 2 o 3 veces hasta

comprenderlo, hacer el planteamiento y resolver.

MATEMÁTICA T.O.


1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para

seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno

habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/.

13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?

2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Hallar esos números.

3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro

en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en

alcanzarle?

Comprobando respuestas:

1. El autobús tenía 39 asientos.

2. Los números son 18, 20 y 22.

3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos.

SISTEMAS DE ECUACIONES.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más

ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe

proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las

ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el

valor que se reemplaza en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del

sistema.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.

Método de Sustitución:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones

cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a

continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser

sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la

se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Contradicci%C3%B3n

MATEMÁTICA T.O.


una incógnita menos que el inicial, en la que se podrá seguir aplicando este

método reiteradamente.

Por ejemplo, suponiendo que se quiere resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, se selecciona la incógnita por ser la de menor

coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja,

obteniendo la siguiente ecuación:

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra

ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación se obtiene el resultado , y si ahora se substituye

esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se obtendrá

, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Método de Igualación.

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método

de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y

a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de

sustitución, si se despeja la incógnita en ambas ecuaciones queda de la

siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte

izquierda, por lo que se puede afirmar que las partes derechas también son

iguales entre sí.

MATEMÁTICA T.O.


Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y se puede obtener

el valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de

las ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra

despejada.

Método de Reducción. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,

siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El

procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas,

consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante

productos), de manera que se obtengan dos ecuaciones en la que una

misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A

continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o

cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola

incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema

no se tiene más que multiplicar la primera ecuación por para poder

cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación queda así:

Si se suma esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una

nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, da

directamente el valor de la incógnita :

+

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

MATEMÁTICA T.O.


El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en

cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así

que el valor de es igual a 3

17.

Ejercicios de Aplicación:

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos.

1) 52

152

yx

yx 2)

6843

4

yx

yx

3) 1132

514

ba

ba 4)

01135

03427

nm

nm

5) yx

yx

9397

35

6) 121

8)2()2(

xyx

yxyx

7)

32172

25127

yxy

xxy 8)

4314

5,102743

yx

yxyx

1.4.2. ECUACIONES DE 2DO GRADO. Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma.

02 cbxax . Donde no se anula a

Si se observan los coeficientes b y c, se pueden clasificar en incompletas si

se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Número de soluciones:

Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o

valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una

MATEMÁTICA T.O.


identidad.

Se denomina discriminante acb 42 , en función del signo del

discriminante se conocerá el número de soluciones de la ecuación, así:

Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.

Si el discriminante es 0 hay una solución.

Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

Ejemplo de Aplicación 1:

¿Cuántas raíces tiene la ecuación 0898 2 xx ?

a) Ninguna solución b) Una solución: x =

c) Dos soluciones: x1 = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0. Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0, despejando se llega:

Ejemplos:


La ecuación 092 x

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0.

Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.

Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que

MATEMÁTICA T.O.


x=0; ax + b = 0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.

Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las

soluciones es x=0

Ejemplo:


Resolver la ecuación

Soluciones x1= x2= Ecuación de segundo grado completa.

Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no

nulos.

Para resolver estas ecuaciones se aplica la fórmula:

Ejemplo:


La ecuación 0962 xx

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 =

MATEMÁTICA T.O.


PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO. 1. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y

su área es 286m2.

El lado mayor mide m y el menor m

2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la

edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y

el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años 3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese

caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la

misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

El deportista ha caminado horas 4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la

edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y

el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años 5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber

comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos.

¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?

Compró objetos a un precio de euros 6. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y

su área es 144m2.

El lado mayor mide m y el menor m

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Comprobando respuestas:

1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m

2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años

3) Ha estado caminando 8 horas

4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años

5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros

6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m

Resolver:

1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un

par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía S/ 1 000?.

Rpta. S/. 232

2. Se gastó S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún

se tiene el doble de la cantidad que se gastó?

Rpta. S/. 579

3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos

decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás?

Rpta. 5 cajas

4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial de

S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de

cada letra?

Rpta. S/. 540

5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació?

Rpta. 1922

6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el

triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo?

Rpta. 416

7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 177. ¿Cuántos cuadernos se

podrán comprar con S/ 78?

Rpta. 8 cuadernos

MATEMÁTICA T.O.


8. Se dio un cheque de S/. 200, para pagar 9 metros de alambre, se

recibió de vuelto S/ 20. ¿Cuánto se pagó por el metro de alambre?

Rpta. S/. 20

9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los

75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones

recibió cada uno si aún sobran 15 bombones?

Rpta. 3 bombones

10. Con S/. 2 340 se podrán comprar 4 casacas ó 9 camisas. ¿Cuál es la

diferencia de precio entre una casaca y una camisa ?

Rpta. S/.

325

11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los

pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia

la pérdida de corte).

Rpta. 172 mm

12. Un aprendiz hizo 58 tornillos en una semana y 49 tornillos en otra, en total,

29 estaban con defecto ¿Cuántos tornillos perfectos entregados al final?

Rpta. 78 tornillos

13. En cierta fábrica hay 10 máquinas .Cada Máquina produce 30 piezas

por hora. ¿Cuál es la producción de esa fábrica en 8 horas?

Rpta. 2 400 piezas

14. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 48 y 36.

Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división,

el cociente queda multiplicado por 26 y el resido no se altera. ¿Cuál

fue el dividendo inicial?

Rpta. 900

PROBLEMAS RESUELTOS

MATEMÁTICA T.O.


1) Si reparto mis S/. 250 entre mis hijos, sólo me queda S/. 2; pero si

accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/. 126;

¿Cuántos hijos tengo?

A) 10 B)1 C)6 D)4 E)8

2) Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144

contiene a dicho número. Calcular el doble del número.

A) 96 B) 48 C) 24 D) 12 E)

192

3) Andrés sube hasta el 5° piso de un edificio, luego baja al 2° y vuelve

a subir al 4° piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12

peldaños

¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés?

A)60 B)90 C)72 D)84

E)108

4) Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar

frente a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la

longitud del túnel.

A)5 000 m B)6 000 m C)5 800 m D)3 800 m E)4

500m

5) En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo

que debía, costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal.

¿Cuántos artículos compró?

A)10 B)8 C)12 D)16 E)20

6) Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar

un túnel de 500 m?

A)35 s B)14 s C)10 s D)16 s

E)12 s

MATEMÁTICA T.O.


7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132

cabezas y 420 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

A)10 y 25 B)54 y 78 C)98 y 34 D)13 y 22 E)200 y

32

8) Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar

cada uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el

segundo S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado?

A)S/.11 B)S/13 C)S/.5 D)S/.12 E)S/.8

9) Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54

monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe

intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones

adquieran el mismo peso.

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene

como residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar

como respuesta la suma de cifras de dicho número.

A)9 B)10 C)8 D)7 E)6

SOLUCIÓN

1) C/U : S/ .x

Sobrarían: S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126

8 31

2250 º

31 x 126 2 4x

hijosdeN Clave: E

2) Sea “ x” el numero , entonces :

96 2(48) : es número del doble El

48 x

304 2 x144

28

2

x

x

Clave: A

MATEMÁTICA T.O.


3) * Cuando asciende al 5to piso sube: 12 x 4 = 48 peldaños

* Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 4 = 36

peldaños

* Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24

peldaños

* Finalmente, lo que ha subido en total será:

48 + 24 = 72 peldaños Clave: C

MATEMÁTICA T.O.


4)

Clave: C

5) pagar debía que lo : n x a Sea

Costo por Nº de artículos cada artículo

Luego a x n + 24, lo que pagó.

12 n 2 a n

24

n

an

artículo cada costó que lo 24

n

na

artículos 12 Compro Clave: C

6) túnel + tren = para que pase por el túnel

500 + 200 =700

s 14

sm 50

m 700t Clave: B

7) Nº de cabezas = 132 Suponiendo que los 132 son conejos patas 528 x4132

Se observa un exceso de patas de 108

veces 54 2 108 , para convertir ese exceso en gallinas

Finalmente: Número de gallinas: 54

Número de conejos: 132 – 54 = 78 Clave: B

8) 1er obrero = S/.143 recibe S/.55 más que el 2do

2do obrero = S/. 88 Nº de días trabajados será: S/.55 S/.5 = 11

1er obrero = S/.143 11 = S/.13

2do obrero = S/. 88 11 = S/.8 Clave: E

9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g

Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g

m 800 5 X

600 200 x 60s

200 2

s

MATEMÁTICA T.O.


Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g

Al intercambiar el mismo número de monedas, cada montón

debe pesar: 2190 2 = 1095g

Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en: 25 – 10 = 15g

Luego, para que aumente: 1095- 840 = 255g

Se debe intercambiar: 255 15 = 17 monedas Clave: D

10) Sea N el número, entonces:

N 83 3q q

2786 27 " q"

para obtiene se N número mayor El

27,6 q q 86 N

83 3q 383

xN

qqN

N = 2322

Clave: A

92232 cifrasdeSuma

MATEMÁTICA T.O.


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES I. Ejercicios: 1. Resolver x:

a) 6 + x = 18 b) 18 - x = 14 c) x - 6 = 24

d) b + x = 18 e) d - x = 14 f) x - 3 = 24

g) b + x = a h) d - x = c i) x - e = a

2.

a) 14 = 7 + x b) 10 = x + 14 c) 1 = 6 - x

d) m = 7 + x e) r = x + 4 f) z = 6 - x

g) m = k + x h) r = x + v i) z = 1 - x

3. Resolver cada una de las letras:

a) a + b = c b) k - d = v c) 1 + m = - d

d) l1 + l 2 = L e) g1 + g2 = G f) F1 + F 2 =

F3

g) R1 = R – R2 h) C2 = C – C2 i) t = t1 + t2

4. a) a + b = 86 b) c - t = - 65 c) F - G = 80

d) 684 - G = 65 + K e) 456 + H = Z - 65 f) W - 45 = 32 + 14

g) -24 + F = 36 + x h) V – 18 = - 42 + L i) -16 + W = Z + 36

5. Un cuarto tiene una longitud de 4,25 m. Otro cuarto es 1,12 m. más

corto. ¿Qué longitud tiene éste?

6. Los tres lados de un triangulo tiene una longitud total de 318 mm.

Calcular la base cuando los otros dos lados tienen una longitud de 114

mm y 62 mm respectivamente.

7. Antes de comenzar un viaje, el cuentakilómetros de un automóvil marca

312,4 km. Terminado el viaje indica 618,7 km. ¿Cuántos kilómetros se

ha viajado?

MATEMÁTICA T.O.


.TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES II.

1. Resolver x:

a) 3x = 24 b) 9x = 36 c) 56 = 7x d) 3x = A

e) 9x = F f) 56 = F . x g) b . x = A h) p . x = F

2.

a) 0,3 x = 3 4

b) 9x = 36 4 c) 51 = 17x

3 d) 0,2 x = A

e) 9x = R 4 f) 51 = G . x

L g) B . x = A h) Q . x = R

4

3. Hay que cortar un hierro plano de 1,85m de longitud en una relación de

2:3. Calcular las longitudes parciales.

4. La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10

del diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro?

5. Un trecho es 12 m más largo que otro; la suma de ambos es de 48m

¿Cuál es la longitud de los trechos?

MATEMÁTICA T.O.


1. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces

el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál

es el cociente de dicha división?

A)26 B)15 C)5 D)10 E)20

2. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al

dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 más que el

anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32

3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a

cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría

S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?

A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280 E)S/.310

4. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta

S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de

personas .¿Cuántos participaron en la compra?

A)18 personas B)36 personas

C)6 personas D) 12 personas

E)20 personas

5. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14

soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza

para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?

A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9

MATEMÁTICA T.O.


UNIDAD 02

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

MATEMÁTICA T.O.


2. NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros se pueden clasificar en:

Números enteros negativos Z - = 1;2;3......

El cero y Números enteros positivos Z+ = ;.........4;3;2;1

2.1. DIVISIBILIDAD. Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si al

dividirlos, el cociente resulta exacto.

Si A B 0 k

entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además,

por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un

número entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “

MATEMÁTICA T.O.


1) ¿20 es divisible por 4? Sí, porque: 20 4 0 5 luego, se cumple que : * 20 es divisible por 4. * 4 es un divisor de 20. * 4 es un factor de 20. * 20 es un múltiplo de 4. 2) ¿0 es divisible por 3? Sí es, porque: 0 3 0 0 luego, se cumple que : * 0 es divisible por 3. * 3 es un divisor de 0. * 3 es un factor de 0. * 0 es un múltiplo de 3. 3) ¿- 42 es divisible por 7? Sí es, porque: - 42 7 0 - 6 luego, se cumple que : * - 42 es divisible por 7. * 7 es un divisor de – 42. * 7 es un factor de - 42. * - 42 es un múltiplo de 7. 4) 15 no es divisible por 0. (V) (F) Verdadero, porque por definición el divisor debe ser diferente de cero. 5) 36 no es divisible por - 9

(V) (F) Verdadero, porque el divisor debe ser positivo.

MATEMÁTICA T.O.


Ej. Hallar todos los divisores de: 8 y 18 D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8 D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18

2.2. MULTIPLICIDAD.

Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si se

cumple que A = B . K donde K es un número entero.

Ej. Responder las siguientes preguntas.

1) ¿15 es múltiplo de 3?

Sí, porque 15 = 3 5 y 5 es un número entero.

2) ¿- 12 es múltiplo de 4?

Sí, porque - 12 = 4 - 3 y - 3 es un número entero.

3) ¿Cero es múltiplo de 5?

Sí, porque 0 = 5 0 y 0 es un entero.

4) ¿5 es múltiplo de cero?

No, porque 5 = 0 K, no hay ningún número entero que multiplicado por cero nos de 5.

5) ¿8 es múltiplo de - 2?

No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un entero negativo.

Si un número A es múltiplo de B, su notación será:

A = B.K donde K es un número entero ó A = 0B y se leerá “A es

múltiplo de B “.

Ej. 1) 20 = 0

5 ó 20 = 5.K

MATEMÁTICA T.O.


2) 18 = 0

3 ó 18 = 3.K

3) 0 = 0

2 ó 0 = 2.K

donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..

Ej. Hallar los múltiplos de 3 y de 5.

Eso se escribirá 3K y 5K, entonces:

M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ……..

M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………

Relación entre un múltiplo y un divisor:

MATEMÁTICA T.O.


Cuando un número no es divisible por otro.

Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B ,

entonces , eso se puede expresar de dos maneras :

A = 0

B + rd ó A = 0

B - re

Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de

la división de A entre B, además, recordar que:

rd + re = divisor

Ejemplo:

1) 15 no es divisible por 2 porque

15 2

1 7

Entonces:

15 = + 1

ó 1 + 1 = 2

15 = - 1


26 7

5 3

Entonces:

26 = 0

7 + 5

ó 5 + 2 = 7

15 = 0

7 - 2


23 5

3 4

Entonces:

23 = 0

5 + 3

ó 3 + 2 = 5

15 = 0

5 - 2


520 12

4 43

Entonces:

520 = 0

12 + 4

ó 4 + 8 = 12

520 = 0

12 - 8

0

2

0

2

MATEMÁTICA T.O.


PROPIEDADES:

1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.

2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.

3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número.

4) El cero es divisible por todo número entero positivo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Divisibilidad por 2n.

Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número

debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.

Divisibilidad por 21 = 2:

Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser

divisible por 2, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es

divisible por 2.

b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.

c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.

Divisibilidad por 22 = 4:

Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe

ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y

24 es divisible por 4.

b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es

divisible por 4.

MATEMÁTICA T.O.


c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible

por 4.

Divisibilidad por 23 = 8.

Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número

debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.

Ejemplos.

a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y


b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero

es divisible por 8.

c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es

divisible por 8.

Divisibilidad por 5n.

Para que un número sea divisible por 5n, las “n” últimas cifras del número

debe de ser múltiplo de 5n, o terminar en “n” ceros.


Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser

múltiplo de 5, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es

divisible por 5.

b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.

c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5,

además 7 = 05 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como

residuo 2.

MATEMÁTICA T.O.



Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número

debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son

ceros.

b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es

divisible por 25.

c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es

divisible por 25, además 88 = 0

25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre

25, se obtendrá como residuo 13.

Divisibilidad por 3.

Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un

número que es divisible por 3.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.

1) 2 358, 2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 03 por lo tanto, si es divisible por 3.

2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3.

Además, 13 = 03 + 1 lo que significa que al dividir 283 entre 3 el

residuo debe ser 1.

3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 = 03 + 2 lo

que significa que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como residuo 2.


Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos

dé un número que es divisible por 9.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.

MATEMÁTICA T.O.


1) 9 558, 9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 =

0

9 por lo tanto, sÍ es divisible por 9.

2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 = 0

9 + 4 lo

que significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.

3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 = 0

9 + 8 lo que significa que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8.


Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la

derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego

realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)

Ejemplos.

Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso contrario

hallar su residuo1).

1) 3 738

8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y

28 = 07 , si es.

3) 99 148

8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14

y -14 = 07 , si es .

2) 35 266

6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y

14 = 07 , si es.

4) 264

4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 07 + 5

no es , y su residuo es igual a 5


Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de

las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un

número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…)

a b c d e f g = g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a =

1 2 3 1 2 3 1 + +

MATEMÁTICA T.O.


Para el número:

Ejemplos: Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.

1) 539

9 + 5 – 3 = 11 = 0

11 , entonces


4) 8 074

4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 0

11 , entonces

8 074 es divisible por 11.

2) 5379

9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 0

11 , entonces

5 379 es divisible por 11

5) 7 364

4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 0

11 , entonces

7 364 no es divisible por 11 ya que al dividir 7 364 entre 11 dejará como residuo por exceso 6 y por defecto será 5

7 364 = 0

11 - 6 = 0

11 + 5

3) 381 909

9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 0

11 ,

Entonces 381 909 es 0

11

6) 579

9 + 5 – 7 = 7 ≠ 0

11 entonces 579 no es divisible por 11. El residuo por defecto es 7 y por exceso es 4.


Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez.

Ejemplos.

a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible

por 6.

a b c d e f g

Lugares impares

Lugares pares

(g + e + c + a) – (f + d + b) =

MATEMÁTICA T.O.



Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez

Ejemplos.

a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 12.


Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.

Ejemplos.

a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero.

b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero.

PRÁCTICA

Marcar con un aspa (X), si el número N de la columna izquierda es divisible

por alguno de los números de la fila horizontal superior.

Número N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

324 X X X X X X

570

1 120

3 240

1 540

20 310

1 120

8 690

9 372 189

MATEMÁTICA T.O.


2.3. OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros, también se pueden clasificar según la cantidad

de divisores que tenga el número como:

a) NÚMEROS SIMPLES.

Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.

Ej. Son números simples:

1) 1, D ( 1 ) : 1

2) 5, D ( 5 ) : 1 y 5

3) 11, D ( 11 ) : 1 y 11

b) NÚMEROS PRIMOS.

Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad y

el mismo número.

Ej.

1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo.

2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo.

NOTA: “El menor número primo es 2”

c) NÚMEROS COMPUESTOS.

Son aquellos que tienen dos o más divisores.

Ej.

1) D (6): 1, 2, 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.

2) D (9): 1, 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.

NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 123, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . .

MATEMÁTICA T.O.


1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50?

Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5.

2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen?

Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8.

3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77.

(V) (F)

La suma de los números primos menores a 19 es:

2+3+5+7+11+13+17 = 58

2.4. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO

O NO.

1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número.

2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la

raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el

número será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto

entonces el número no será primo .

Ej. Verificar si 97 es primo.

Paso 1 : 97 9,…. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera

y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer la raíz

cuadrada en forma aproximada “.

Paso 2 : dividir a 97 entre los números primos menores a la raíz hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisiones son inexactas por lo que se concluye que 97 es primo . Ej. Verificar si 163 es primo.

Paso 1 : 163 12,… es 12 y algo más, se trabaja sólo con 12.

Paso 2 : divide a 163 entre todos los números primos menores a 12 , que son : 2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es inexacto por lo que concluye que 163 es primo .

MATEMÁTICA T.O.


Ej. 91 no es primo. (V) (F) Solución:

Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9.

Paso 2 : Números primos menores a 9: 2; 3; 5 y 7. 91 es divisible por 7 por lo tanto, no es primo. Ej. 247 es primo. (V) (F) Solución:

Paso 1: 247 en forma aproximada es 15. Paso 2: Números primos menores a 15: 2; 3; 5; 11 y 13. 247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero sí es divisible por 13, entonces 247 no es primo. 2.5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI). Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común

la unidad.

Ej. Verificar si 4 y 9 son PESI.

Solución. D (4): 1 ; 2 y 4 D (9): 1 ; 3 y 9 Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad,

por lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI.

Ej. Verificar si 6; 14 y 25 son PESI.

Solución.

D (6) : 1 ; 2; 3 y 6.

D (14) : 1 ; 2; 7 y 14.

D (25) : 1 ; 5 y 25

Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números

es la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI.

MATEMÁTICA T.O.


Ej. 15; 12 y 18 son PESI. (V) (F)

Solución.

D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15. D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12. D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18. Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI. 2.6. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES

PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.

Todo número se puede descomponer como producto de sus factores

primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos.

Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene:

N = Aa x Bb x Cc x Dd

Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c

y d , son los exponentes de los factores primos .

Ej. Descomponer en sus factores primos los números: 1) 90 2) 120

90 2 120 2

45 3 60 2

15 3 30 2

5 5 15 3

1 5 5

1

90 = 232

5 120 = 23

35

MATEMÁTICA T.O.


2.7. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N (CD(N)).

Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la

descomposición del número en sus factores primos.

Para la descomposición del número N = Adcba

DCB se cumple, que

la cantidad de divisores de N será :

CD ( N ) = 1111 dcba

donde: a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número.

También la cantidad de divisores se puede con las siguientes fórmulas:

CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos

ó CD = CDsimples + CDcompuestos

Ej. ¿Cuántos divisores tiene 60? Solución.

Como 60 = 2 532

entonces CD (60) = 111112 = 12.

Ej. Hallar la cantidad de divisores de 1 008. Solución.

Como 1 008 = 24

32

7 entonces CD (1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30. SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N (SD (N)). Dada la descomposición de un número N en sus factores primos: N = Aa

BbCc

Dd , entonces :

SD (N) =

1

11

1

11

1

11

1

11

D

dD

C

cC

B

bB

A

aA

MATEMÁTICA T.O.


Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 60. Solución.

Como 60 = 22

35 entonces

SD (60) = 15

15

13

13

12

12223

x = 746 = 168.

Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 504. Solución.

Como 504 = 23

32

7 entonces,

SD (504) = 17

17

13

13

12

12234

= 15137 = 1 365.

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1. ¿Cuántos divisores primos tiene 700? Solución.

Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 22 5

2 7

y sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá 3.

Problema 2. Hallar la suma de todos los divisores primos de 644. Solución.

Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =22

7

23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32.

Problema 3. ¿Cuántos divisores pares tiene 252? Solución.

Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto

de la descomposición del número en sus factores primos, se extrae el factor 2.

.252 = 2 7322 = 2 732

2 , entonces,

CD pares = 111211 = 12

MATEMÁTICA T.O.


Problema 4. ¿Cuántos divisores impares tiene 360? Solución.

Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces

de la descomposición de 360 en sus factores primos, se va a eliminar el

factor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que

resulten serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .

360 = 2 5323 = 2

3

( 32

5) entonces la cantidad de divisores

impares será igual a la cantidad de divisores del número que está entre

paréntesis .

CD( 360 )

impares = (2+1)(1+1) = 6 .

Problema 5. ¿Cuántos divisores impares tiene 1404?

Solución. 1404 = 22 3

3 13 = 2

2

(33 13), entonces CD

impares= (3+1)(1+1)= 8.

Problemas Propuestos

1. De las siguientes afirmaciones :

I 3 es divisor de - 18

II - 4 es un divisor de 12

III 20 es un divisor de 5

IV 72 es un múltiplo de 9

V 4 es un múltiplo de 12

VI 8 no es múltiplo de cero

¿Cuáles son falsas?

A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI

2. Del siguiente grupo de números : 53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71 ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número primo? A) 118 B) 134 C) 72 D)110

3. Calcular la suma de los números primos comprendidos entre 40 y 50. A)84 B)90 C)93 D)131 E)120

MATEMÁTICA T.O.


4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120. A) 3 B) 16 C) 10 D) 8 E)12

5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24? A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4

2.8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD).

De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de

los divisores comunes.

Ej. Hallar el MCD de 12 y 18.

D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6.

Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son

los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de

un grupo de números son los divisores del MCD.

Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del

MCD de dichos números.

Propiedades:

1) El MCD está contenido en los números.

2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD.

MATEMÁTICA T.O.


2.9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes. Ej. Hallar el MCM de 4 y 6. M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;….. M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,…………. Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 ,

por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .

Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , …

que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos

comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos

números .

Métodos para calcular el MCD y MCM. 1) Por descomposición simultanea.

Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24.

18 - 24 2 18 - 24 2 9 12 3 9 12 3 3 4 3 4 3 1 4 4 1 1 mcd = 23= 6 mcm = 2334= 72 2) Por descomposición de los números en sus factores primos.

El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a

su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores

primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente.

Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60.

Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene:

18 = 2x32

y 60 = 2 532

. Luego se aplica la propiedad.

MCD = 2x3 = 6 y MCM = 2 52

32

= 180.

MATEMÁTICA T.O.


3) Por divisiones sucesivas.

Este método sólo se aplicará para calcular el MCD de dos números.

Ej. Calcular el MCD de 144 y 56.

MCD=8 Ej. Calcular el MCD de 480 y 572.

MCD = 4. Propiedades.

1) El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su

MCD.

Ej. Para los números 6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces se

cumple que 6 9 es igual que 3 x 18.

2) Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual

al producto de dichos números .

Ej. Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su

MCM = 4 x 9 = 36.

3) Si un número está contenido dentro de otro entonces el MCD de

dichos números será el menor de los números.

Ej. Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menor

de los números.

Cocientes 2 1 1 3

144 56 32 24 8

residuos 32 24 8 0

cocientes

1

5

4

1

1

2

572 480

92

20

12

8

4

residuos

92

20

12

8

4

0

MATEMÁTICA T.O.


4) Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidad

entonces su MCD ó MCM también quedará multiplicado o

dividido por esta misma cantidad.

Ej. Para los números 8; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120.

Si a los números se dividen entre 2 se tendrá 4; 6 y 10 y su nuevo MCD

será igual a 2 y su MCM = 60.

5) Si un número N es:

a0

N b0

c0

entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si :

a0

r

N b0

r

c0

r

entonces N = mcm( a ; b ; c ) r Ej. Si un número N es divisible por 2; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es

divisible?

Solución.

Por propiedad, N = 0

)4;3;2(MCM = 0

12

Ej.

¿Cuál es el menor número que es: 30

+2; 70

- 5 y 60

- 4?

Solución.

Ese número N que se busca debe de ser:

MATEMÁTICA T.O.


0

3 + 2

N 70

- 5 = 70

+ 2

60

- 4 = 60

+ 2

Por lo tanto, por propiedad se sabe que:

N = 3;7;6mcm0

+ 2 = 420

+ 2,

como se pide el menor valor, este sería 44.

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1.

¿Cuántos divisores comunes tienen: 14, 28 y 42?

Solución.

Por teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupo

de números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos

números.

Por lo tanto, MCD (14; 28; 42) = 14

D (14): 1, 2, 7 y 14 Entonces tendrán 4 divisores comunes. Problema 2.

¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se

desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ?

Solución.

La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos

para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos

comunes queremos el menor.

Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.

MATEMÁTICA T.O.


Problema 3.

¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para

construir un cuadrado?

Solución. Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado.

X X De la figura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común

de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor

porque se quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que :

X = mcm (34; 18) = 306

La cantidad de losetas es igual a:

34

306 x

18

306 = 153

Problema 4.

De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea

obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre

material. ¿Cuántos pedazos se obtendrán?

Solución. Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada.

96 cm 72 cm Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe

de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad

34cm

18 cm

X

X

MATEMÁTICA T.O.


de pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por

esto que :

X = MCD (96; 72) = 24 cm El número de pedazos que se obtendrán será:

# pedazos = 24

96 x

24

72 = 4 x 3 = 12

Problema 5 Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista

circular con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y

medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas

vueltas habrá dado el ciclista A ?

Solución.

MATEMÁTICA T.O.


Transformando las medidas a segundos A : 3 min = 180 s B : 3 min y medio = 210 s C : 4 min = 240 s El tiempo que debe transcurrir para que un ciclista vuelva a pasar nuevamente por el punto de partida será un múltiplo de los tiempos empleado en dar una vuelta . Para que los tres ciclistas vuelvan a pasar por el punto de partida , el tiempo a transcurrir será un múltiplo común de los 3 tiempos dados . # vueltas que habrá dado el ciclista A

= 180

5040 = 28.

PARTIDA

MATEMÁTICA T.O.

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO 70

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I.

1. Hallar el M.C.M. y el M.C.D. de: 7532532 222 ..... QP

a) 630 y 45 b) 900 y 70 c) 900 y 210 d) 600 y 12 e) 6300 y 30 2. Si el M.C.M. de 2 números es 1050, ¿Cuál será su M.C.D., si su producto

es 5250?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M. sea

5148.

a) 143 b) 396 c) 468 d) 684 e) 639

4. Si x2x.53N , tiene 15 divisores, hallar N.

a) 2000 b) 2075 c) 3196 d) 2025 e) 2184 5. Si 5.412By12.45A nn , hallar “n” para que su MCM presente 90

divisores. a) 5 b) 2 c) 8 d) 6 e) 3 6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero

más de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12,

siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno.

¿Cuántos alumnos eran?

a) 600 b) 605 c) 660 d) 671 e) 796 7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y de

noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en 12

o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18 no

sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche?

a) 20 b) 24 c) 32 d) 126 e) 36

MATEMÁTICA T.O.


8. El número de páginas de un libro esta comprendido entre 400 y 500. Si se

cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en

7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?

a) 417 b) 419 c) 420 d) 463 e) 472

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.

1. Hallar la suma de las cifras del menor número que tenga como divisores:

4; 9 y 12.

A) 6 B) 8 C) 10 D)9 E) 5

2. El MCM de dos números es 48. Si el producto de los mismos es 864. ¿Cuál es su MCD? A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 9

3. Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27. Hallar la suma

de A más B.

A)27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40

4. El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los

números.

A) 900 B) 720 C)3 600 D)3 240 E) 2 400

5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3 780; 3 360 y 2 520 cm.

Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor longitud posible,

¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla de menor longitud?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 420 E) 8

6. Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede dividir

una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por 210 cm.

A) 30 B)19 C) 84 D) 48 E) 30

MATEMÁTICA T.O.


7. Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades: 50; 75; 100 y 80 litros respectivamente. ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un balde de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad exacta de veces?

A)10 lt B)5 lt C)8 lt D)25lt E) 12 lt

8. Un terreno rectangular de medidas 255 m. por 225 m. se quiere dividir en el

menor número de parcelas cuadradas e iguales. Si se va a colocar una

estaca en cada vértice de las parcelas, ¿Cuántas estacas se necesitarán?

A) 255 B) 288 C) 300 D) 260 E) 280

9. Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. se desea envasarlas en

la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma cantidad de cada

artículo. ¿Cuántas bolsas más habrán de bombones que de chocolates?

A) 16 B) 6 C) 9 D) 25 E) 34

10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/

810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuantos trabajadores

hay en cada taller si el salario es el mayor posible?

A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35 D) 54 y 35 E) 30 y 40

MATEMÁTICA T.O.


UNIDAD 03

NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES

MATEMÁTICA T.O.


3. FRACCIÓN.

3.1. FRACCIÓN: Elementos.

Se llama fracción a un número racional a/b donde: a Z, b Z, b 0, å b

- Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de dos

números enteros con denominador diferente de cero.

- Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o fracción.

- Toda fracción tiene 3 signos.

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES:

El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad.

b

aFracción =

Numerador

Denominador

MATEMÁTICA T.O.


El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad.

Ejemplo Aplicativo:

Del gráfico que se muestra:

a) ¿Qué fracción es la parte sombreada?

Fsombrada= Total

sombrada.Parte Fsombrada=

k8

k3 =

8

3

b) ¿Qué fracción es la parte no sombreada?

S =

S = ¼

S = 1/12

S =

k

k

k k k

k

k

k Parte sombreada = 3k

Parte no sombrada = 5k

MATEMÁTICA T.O.


Fno sombrada= Total

sombrada.no.Parte Fno sombrada=

k8

k5 =

8

5

c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?

Fsombrada de la no sombrada = sombrada.no.Parte

sombrada.Parte Fsombrada=

k5

k3 =

5

3

d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?

Fno sombrada de la sombrada = sombrada.Parte

sombrada.no.Parte Fsombrada=

k3

k5 =

3

5

3.2. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES.

1) POR COMPARACION DE SUS TÉRMINOS. .

Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor de

una fracción propia es menor que la unidad.

ba1b

a Ejemplos: ,...

3

2,

23

17,

7

5,

3

1

denominador

denominador

MATEMÁTICA T.O.


Fracción Impropia:. El numerador es mayor de que el denominador. El valor de

una fracción propia es mayor que la unidad.

ba1b

a Ejemplos: ,...

3

11,

9

14,

3

4,

2

7

2) POR SUS DENOMINADORES.

Fracción Ordinaria ó común: Es aquella cuyo denominador es diferente a una

potencia de 10.

b

a= es ordinaria, si: b 10

n ,...

23

52,

25

17,

7

5,

5

1

Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

b

a= es decimal, si: b = 10

n ,...

10000

57,

1000

12,

100

5,

10

1

3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE VARIAS FRACCIONES.

Fracciones Homogéneas: Igual denominador.

,...3

2,

3

17,

3

5,

3

1

Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.

,...3

1,

9

4,

5

4,

2

7

4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.

MATEMÁTICA T.O.


Fracción irreductible. b

a= es irreducible, si a y b son PESI.

Fracción reductible. b

a= es reductible, si a y b tiene divisores comunes a parte

de la unidad.

5) FRACCIÓN EQUIVALENTE. Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor pero

sus términos son diferentes. Su representación gráfica es por ejemplo:

3.3. CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA.

De Fracción a número mixto: b

a =

b

pn ; donde ; p < b

Ejemplo: convertir 5

17 a número mixto

Primero dividir 17 entre 5.

MATEMÁTICA T.O.


De un número mixto a fracción:

nb

pbn

b

p

. =

b

a (Fracción Impropia) ; p < b

Ejemplo: convertir 5

23

a fracción.

3.4. MCM Y MCD DE FRACCIONES.

MCD );;(

);;(;;

fdbMCM

ecaMCD

f

e

d

c

b

a

MCM );;(

);;(;;

fdbMCD

ecaMCM

f

e

d

c

b

a

Nota: donde las fracciones

f

e;

d

c;

b

a, deben ser fracciones irreductible “si no lo son,

se tienen que simplificar”.

17 5

2 3 Parte Entera

denominador

numerador 5

23

x

= +

5

23

5

17

MATEMÁTICA T.O.


Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20.

1º. Simplificar 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, se obtiene 2/7 y

3/4.

2º. Hallar el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:

MCD 28

1

)4;7(MCM

)3;2(MCD

4

3;

7

2

MCM 61

6

)4;7(MCD

)3;2(MCM

4

3;

7

2

3.5. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.

Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez,

IRREDUCTIBLE.

Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos

(numerador y denominador) se dividen entre su MCD.

MATEMÁTICA T.O.


Ejemplo: ¿Simplificar la fracción 24/180?

Solución:

1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores

comunes hasta lograr una fracción irreducible.

Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.

2º Forma: Dividir al numerador y denominador entre su MCD:

15

2

12180

1224

)180;24(MCD180

)180;24(MCD24

180

24

3.5.1. PROPIEDADES:

1.

Ejemplo:

Simplificar: 777

333

777

333 =

7

3

180

2412

90

6

45

2

2

15

= 15

b

a

bbb

aaa

MATEMÁTICA T.O.


Porque: 777

333=

1117

1113

=

7

3

2.

Ejemplo:

Simplificar: 3737

1212

3737

1212 =

37

12

Porque: 3737

1212 =

10137

10112

; se elimina 101 y queda

37

12

3.6. FRACCIONES EQUIVALENTES.

Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.

....20

8

30

12

10

4

5

2

....3,2,1k,bk

ak

b

a donde

cd

ab

cdcd

abab

MATEMÁTICA T.O.


3.7. HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DE FRACCIONES.

Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:

1. Reducir a su más simple expresión.

2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.

3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se

multiplica con cada numerador correspondiente.

Ejemplo: Homogenizar los denominadores de las fracciones: 6

4 ;

10

5 ;

8

6

Solución:

Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión:

6

4;

10

5 ;

8

6 ; < >

3

2 ;

2

1 ;

4

3

Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12. Luego,

se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de cada uno

se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo:

12

8 ;

12

6 ;

12

9

Esquemáticamente:

12

9 ;

12

6 ;

12

8

4

3 ;

2

1 ;

3

2

MCM (3, 2, 4 ) = 12

MATEMÁTICA T.O.


3.8. COMPARACIÓN DE FRACCIONES.

Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción positiva y

menor la fracción negativa.

Ejemplo: 7

2>

2

3

Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será mayor

el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor numerador.

Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:

3

1 ;

3

8 ;

3

7 ;

3

2

Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 3

8 ;

3

7 ;

3

2 ;

3

1

Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será mayor el

que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor denominador.


13

7 ;

9

7 ;

2

7 ;

3

7

Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 2

7 ;

3

7 ;

9

7 ;

13

7

Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se procederá a

homogenizar los denominadores y se luego se procederá como en el caso

anterior.


6

5 ;

9

1 ;

2

3 ;

3

7

Solución: Primero se homogenizan denominadores (MCM).

MATEMÁTICA T.O.


Ordenando de menor a mayor se obtiene:

18

81 ;

18

42 ;

18

27 ;

18

15 que son las fracciones equivalentes a

9

1 ;

3

7 ;

2

3 ;

6

5 respectivamente.

Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá

realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.

Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:9

7 y

8

5

Solución:

Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:8

5 y

5

4

MCM (3, 2, 9, 6) = 18 6

5 ;

9

1 ;

2

3 ;

3

7

18

15 ;

18

81 ;

18

27 ;

18

42

Fracciones

Equivalentes

Fracciones

Homogéneas

8

5

9

7

56 45 > Entonces

8

5

9

7>

MATEMÁTICA T.O.


Solución:

EJERCICIOS NIVEL I

1. Completar:

24

8

3 h.

32

4

1 g.

12

16

3 f.

128

8

5

16

3 d.

8

1 c.

32

8

5 b.

.e

64

8

16

12

4

3.a

2. Reducir a un mismo denominador (homogenizar denominadores):

Respuesta 4

1 ;

16

5 ;

Respuesta 4

3 ;

Respuesta 8

5 ;

8

3.c

2

1.b

8

5;

8

2

4

1.a

3. Completar los espacios vacíos adecuadamente:

a) Dadas varias fracciones de igual denominador es mayor la que

tiene…......................…......... numerador

b) Dadas varias fracciones de igual numerador, es mayor la que

tiene…........................…......denominador

4. Colocar los signos > ó < como en los ejemplos:

a. 5/8 < 7/8 b. 3/8 1/ 8 c. 3/4 5/4 d. 1/4 5/4

25 32 < Entonces

< 8

5

5

4

8

5

5

4

MATEMÁTICA T.O.


e. 3/7 < 3/5 f. 1/2 1/3 g. 2/5 > 2/7 h. 4/5 4/6

5. Reducir a un mismo denominador las siguientes fracciones; y colocarlas en el

orden solicitado:

3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8 --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente)

4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4 --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)

6. Completar los espacios en blanco:

a. Simplificar una fracción es encontrar otra cuyos términos

sean…................................. que los de la primera.

b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo número

diferente de cero y diferente de ….................................................................

c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción

…...................... ser simplificada.

d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador posible

…...........................................

e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número, son

llamadas fracciones …............................................

A continuación se puede comparar las respuestas.

4. b. > c < d. < f. < h. >

5. a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16 R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4

b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60 R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12

6.

a. más simples b. uno. c. no puede d. 63 e. equivalentes

MATEMÁTICA T.O.


7. Reducir a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):

4

2=

128

96 =

64

48=

16

8=

15

12=

128

120=

32

24=

20

15=

9

6=

128

100=

32

4 =

18

15=

8

40=

64

60=

100

25=

8. Colocar falso (F) o verdadero (V)

a. 4/5 > 3/5 ( ) b. 3 > 15/3 ( ) c. 2/5 < 3/7 ( )

d 1/3 < 34/72 ( ) e. 2/5 > 2/7 ( ) d. 7/8 > 6/7 ( )

9. Completar las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos

(cinco fracciones equivalentes):

a. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12

b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----

c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----

d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----

Tratar de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes:

MATEMÁTICA T.O.


7. =1/2 = 3/4 = 3/4 =1/2 = 4/5

=60/64 =3/4 = 3/4 = 2/3

=25/32

= 1/8 =5/6 =5 = 15/16

= ¼

8. a. (V) b. (F) c. (V) d. (V) e . (V)

9. a) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12

b) 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 12/18

c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32 = 15/40 = 18/48

d) 3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20 = 18/24

10. Marcar con (X) las fracciones irreductibles:

2/3 ( X ) 3/5 ( ) 4/8 ( ) 4/6 ( ) 7/8 ( )

5/6 ( X ) 1/3 ( ) 6/2 ( ) 4/12 ( ) 9/10 ( )

MATEMÁTICA T.O.


1 EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL II

1. Distribuir en el cuadro las fracciones en orden creciente:

a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64

b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16

c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128

A

B

C

2. Al simplificar una fracción se obtuvo 1/7. Sabiendo que la suma de los términos es

40, Calcular la diferencia de los mismos.

A.30 B.15 C.8 D.1 E.13

3. ¿Cuántas fracciones propias tienen denominador 32 y son mayores que 1/6?

A.3 B.15 C 2 D. 4 E.13

4. ¿Cuántas son las fracciones irreductibles con denominador 10 comprendidos entre

1/2 y 4/3?

A.30 B.5 C 8 D. 4 E.13

MATEMÁTICA T.O.


5. ¿Cuántas fracciones propias y irreductibles de denominador 720 existen?

A.192 B.13 C.24 D.15 E.2

6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada?

A. 5/7 B.3/4 C.4/7 D.3 E.1/4

7. Simplificar las fracciones:

9240 / 6930 y 4158 / 43 68

Rpta: 4/3; 99/104

8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco; 2/9 del

resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le dieron para

repartir?

A. 10 B.108 C.23 D.25 E.19

9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará llena

hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla?

MATEMÁTICA T.O.


A. 2400 B.2700 C.234 D.1235 E. 1300

10. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros de

mezcla ¿Cuántos litros de leche salen?

A.13 B. 15 C. 10 D.14 E.5

11. Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado?

A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3

MATEMÁTICA T.O.


UNIDAD 04

FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN,

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

MATEMÁTICA T.O.


4.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:

a) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA.

Observar el siguiente gráfico:

Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los numeradores

y se escribe el mismo denominador:

Ejemplo:

Efectuar: 13

9

13

37258

13

3

13

7

13

2

13

5

13

8

Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria.

Ejemplo:

Efectuar: 13

17

13

5271483

13

54

13

2

13

78

13

13

La parte sombreada es:

6

4

6

3

6

1

6

3

6

1

b

dca

b

d

b

c

b

a

c

gebfda

c

gf

c

ed

c

ba

MATEMÁTICA T.O.


b) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS.

Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca transformarlas

a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo denominador y se

procede de la forma anteriormente vista.

Considerando los siguientes casos:

1. DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS.

Ejemplo 1. Efectuar:


12

28

12

14115

12

14

12

1

12

15

26

27

12

1

34

35

6

7

12

1

4

5

2. MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).

Se seguirá el siguiente procedimiento:

Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como DENOMINADOR

del resultado.

Multiplicar por un factor a ambos términos de la

fracción, tal que los denominadores sean iguales.

8

1

8

643

8

6

8

4

8

3

24

23

42

41

8

3

4

3

2

1

8

3

¡Fracciones Equivalentes!

MATEMÁTICA T.O.


Segundo: Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por cada

numerador; luego efectuar la suma de estos resultados.


3. REGLA DE PRODUCTO CRUZADO.

Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños.


Ejemplo 2: Efectuar

EJERCICIOS

I. Resolver con el método de “Denominadores múltiplos de otros”.

a) 12

5

6

7 b)

10

3

60

7

c) 3

1

5

2

45

41 d)

16

7

8

5

4

3

2

1

II. Resolver con el método de “Mínimo Común Múltiplo”.

24

13

240

130

240

569096

30

7

8

3

5

2

MCM(5;8;30) = 240

=

40

2524

85

5583

8

5

5

3

17

3

7

2

7

2

17

334 21

119

13

MATEMÁTICA T.O.


a) 5

4

4

1

2

1

10

3

b) 5

1

4

1

3

1

2

1

c) 8

7

6

5

4

3

III. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”.

a) 3

2

9

5 b)

5

3

3

5 c)

2

9

7

5

d) 3

1

2

1 e)

2

1

8

3 f)

12

1

13

1

MATEMÁTICA T.O.


4.2. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:

Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se

encuentran al interior de los signos de agrupación.

Ejemplo: resolver la siguiente operación:

También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.

60

87

60

2012153040

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

EJERCICIO

Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.

1.

5

1

2

1

5

1

7

2

6

1 =

2.

2

3

5

21

3

2

6

12

5

13 =

3.

7

11

2

5

3

1

2

12

7

11 =

4.

6

5

2

1

4

3

8

3

6

5

3

1 =

60

87

60

47

3

2

3

1

20

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

MATEMÁTICA T.O.


5.

2

4

3

7

52

7

5

2

1 =

4.3. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE FRACCIONES:

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los

denominadores entre sí.

db

ca

d

c

b

a

Ejemplos:

a) 63

10

79

25

7

2

9

5

b)

Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los términos de

la fracción, al exponente indicado.

n

nn

b

a

b

a

35

2

7109

362

7

3

10

6

9

2

3

3 5

MATEMÁTICA T.O.


Ejemplos:

a) 49

4

7

2

7

22

22

b)

81

1

3

1

3

14

44

EJERCICIO

1. Escribir en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican:

X 53

41

75

32

94

21

57

76 7

4

21

2. Multiplicar:

a) 53

12 =

3

355

3

7 b)

3

254 c)

5

11

4

13

d) 4

15

3

2 e)

2

12

5

3 f)

3

11

2

11

3. Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

b

a

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

MATEMÁTICA T.O.


2

1

8

1

2

3

5

2

5

3

4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que indica que se debe multiplicar.

Teniendo en cuenta este criterio, resolver los siguientes problemas:

a) Hallar los 3/5 de 20 b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?

c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 de 400 soles?

d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45 kg?.

e) ¿Los 3/5 de que número es 120?

f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3 de que número?

4.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES.

Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción divisor

invertida.

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

Fracción inversa

MATEMÁTICA T.O.


Ejemplo:

a) 9

8

33

42

3

4

3

2

4

3

5

2

b)

2

1

143

37

14

3

3

7

3

14

3

12

Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de

fracción:

cb

da

d

cb

a

Ejemplo:

a) 16

7

224

37

3

224

7

b)

5

7

120

47

4120

7

EJERCICIOS

1. Escribir en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican:

53

41

75

32

94

21

57

76 7

9

Producto de

extremos

Producto de

medios

MATEMÁTICA T.O.


2. Escribir la expresión más simple equivalente a:

a)

4

13

1

2

1

= b)

23

14

5

2

4

34

1

5

1

c)

24

1

3

1

2

1

4

1

d)

30

72

1

3

1

5

2

=

e)

28

3

1

35

65

19

7

3

7

10

5

2

= f) 3

2

1

2

3

1

1

114

12

1

7

1

=

4.5. RADICACIÓN DE FRACCIONES:

Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de la

fracción.

n

n

n

b

a

b

a

Ejemplo:a) 5

1

125

1

125

13

3

3 b) 11

8

121

64

121

64

EJERCICIO

1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas

fracciones dadas.

MATEMÁTICA T.O.


a) 25

162

b)

9

12

c)

25

362

d) 64

492

e)

81

42

f)

49

1002

g) 100

12

h)

81

162

i)

121

252

2. Hallar la raíz en cada caso:

a) 3

8

27 b) 3

8

1 c) 3

1000

8

d) 25

16 e) 5

243

32 f) 4

625

16

g) 49

36 h) 3

125

27 i) 4

1000

81

4.6. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES.

1.

2

41

61

10

3

3

76

1

5

6

=

MATEMÁTICA T.O.


2.

3

31

1

51

1

31

1

21

1

91

1

=

3. 7

1411

135

21

121

81

81

612

31

21

=

4.

6

1

4

13

1

2

1

8

1

1

=

5.

1

56

93

2

1

6

14

1

3

7

4

32

1

4

3

=

6.

5

7

3

1

5

3

13

2

1

5

2

1

=

MATEMÁTICA T.O.


7.

211

9

1

36

25

781

716

Comprobar respuestas:

Pregunta Nº 1 2 3 4 5 6 7

Respuesta 1 -4 1 4 1 1 85

PROBLEMAS APLICATIVOS

La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que equivalía a

la longitud de un pulgar.

1” representa una PULGADA

1´ representa un PIE

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_ingl%C3%A9s

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_de_medida

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_dimensional

http://es.wikipedia.org/wiki/Pulgar_%28dedo%29

MATEMÁTICA T.O.


Equivalencia:

1 pulgada = 2,54 cm.

1 pulgada = 25,4 mm

1 pie = 12 pulgadas

1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas

Ejemplo:

8

"73 Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.

Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie.

32 Representa dos pies y 3 pulgadas.

La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro país

principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso industrial.

MATEMÁTICA T.O.


GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS.

Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8;

16; … 2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128

divisiones (27= 128).

Si se divide una pulgada en dos

partes iguales, cada parte es 1/2

pulgada.

Si se divide una pulgada en cuatro


pulgada.

Si se divide una pulgada en ocho


pulgada.

Si se divide una pulgada en

dieciséis partes iguales, cada

parte es 1/16 pulgada.

Si se divide una pulgada en treinta

y dos partes iguales, cada parte es

1/32 pulgada.

MATEMÁTICA T.O.


A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la

pulgada, pie, yarda.

Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla esta

graduada en pulgadas.

MATEMÁTICA T.O.


Escribir en el siguiente cuadro las lecturas realizadas:

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

8

71

Realizar las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:

a) + - =

b) x =

01 02 03

07 10

01 02 03 04 05 06 07

08 09 10 11 12 13 14

MATEMÁTICA T.O.


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A

1. Determinar la cota “Y” en la pieza representada.

2. Calcular “X” en la pieza.

3. Determinar la longitud C del tornillo, dibujado.

a) 616

11 ”

b) 532

1 ”

c) 16

3 ”

d) 6”

a) 17

49 ”

b) 16

17 ”

c) 316

1 “

d) 46

14”

e)

a) 432

31 ”

b) 332

31 ”

c) 64

12 ”

d) 332

13 ”

c)

d)

e)

MATEMÁTICA T.O.


4. ¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela?

5. Completar el cuadro conforme las indicaciones del dibujo.

D c D

1” 8

"5

4

"3

32

"15

64

"35

32

311

16

"1

64

9

6. Un agujero de diámetro 8

"7 debe ser agrandado en

32

"5 más. ¿Cuál será el nuevo

diámetro?

a) 18

5 ”

b) 17

3 ”

c) 25

3 ”

d) 1”

e)

MATEMÁTICA T.O.


a) 132

4 ” b) 132

1 ” c) 2” d) 2 641 ” e) 3/4”

7. Una barra de bronce tiene 2

"132 de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden,

respectivamente 2

"16 ,

16

"138 ,

16

"910 y

4

"15 . Despreciando por pérdida de corte,

¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado?

a) 318

1 ” b) 315

2 ” c) 3116

1 ” d) 38

1 ”

e) 8

1 ”

8. Una barra de hierro mide 2632

"25, si se divide en partes iguales de 2

32

"1 y se

pierde en cada corte 32

"1 ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

9. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18

trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de

cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)

a) 1¾” b) 1½” c) 22½” d) 2” e) 1¼”

MATEMÁTICA T.O.


Calcular la medida del diámetro interno de la arandela, representada.

10. Determinar las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C – D.

11. Una barra de cobre mide 2632

"25, si se divide en partes iguales de 2

32

"1 y se

pierde en cada corte 32

"1 ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

12. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18

trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de

cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra).

a) 1¾” b) 1½” c) 2½” d) 2” e) 1¼”

a) 4

1 ”

b) 3

1 ”

c) 7

2 ”

d) 1/2” 2

1

21

21

e)

a) 3”

b) 2”

c) 1”

d) 4”

e) 5”

MATEMÁTICA T.O.


13. Dividir una barra de aluminio 8

"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada corte

32

1 “¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 1 32

7 ” b) 1” c) 2 32

5 ” d) 16

7 ”

e) 4

3 ”

14. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha:

Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas, etc., los

agujeros son equidistantes y simétricos.

a) 124

1 ”

b) 134

1 ”

c) 122

1 ”

d) 128

1 ”

MATEMÁTICA T.O.


15. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes:

16. Calcular “a” en la siguiente placa

17. La longitud de la circunferencia puede ser calculada, aproximadamente,

multiplicando su diámetro por ( = 3.14 = 7

13 ). Siendo así, completar el cuadro

siguiente, conforme el ejemplo.

Lc = Donde:

r : radio de la circunferencia

D : Diámetro de la circunferencia

3,14 Lc =

a) 19 ½”

b) 13”

c) 14”

d) 13 ¼”

e) 7 1/8”

a) 2 1/64”

b) 2 1/32”

c) 2 3/64”

d) 3 ½”

e) 3 1/64”

MATEMÁTICA T.O.


DIÁMETRO CÁLCULOS

LONGITUD

DE CIRCUNFERENCIA

2

13

"

117

22

2

7

7

13

2

13

"

11”

8

11

"

7

67

1pie 2pulg

18. Completar el cuadro, usando:

Lc = D D = 2.r

“Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14 veces

la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.”

D

LC

La circunferencia ha girado una vuelta completa

MATEMÁTICA T.O.


LC = Longitud de

circunferencia Cálculos D = diámetro r = radio

4

35

"

88

731

88

161

22

7

4

23

7

13:

4

35

"

x 88

731

"

176

161"

2

12

"

6

515

"

4

3"

4

1"

19. ¿Cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el radio de

la rueda es de 21 cm?

Fórmula:

Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 5

20. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12

ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcular la resistencia total.

a) 347

29 b) 3

47

39 c) 1 d)

47

39 e) 4

47

39

MATEMÁTICA T.O.


Fórmula: n321t R

1

R

1

R

1

R

1

R

1 . . .

21. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le iba

quedando, ¿Con cuánto se queda?

Solución:

30234

12023120

2

1

3

2

4

3

Se tiene al inicio

Se pierde 1/2 queda 1/2


R. Se quedó con S/. 30.


Donde:

Rt: Resistencia Total

R1 = 15

R1 = 12

R1 = 9

A B

MATEMÁTICA T.O.


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-B

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

MATEMÁTICA T.O.


1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los

instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son

casados. ¿Cuál es el número de docentes?

a) 70 b) 120 c) 60 d) 56 e) 90

2. Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le

confió. ¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido.

a)1/8 b) 1/3 c)1/6 d)1/7 e)1/9

3. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco

más dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18

hojas en blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona?

a) 56 b) 57 c) 55 d) 54 e) 75

4. Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que

posee y 8 hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se

queda con 61 hojas, ¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al

primer salón?

a) 800 b) 500 c) 600 d) 400 e) 700

5. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6

horas, y el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a

la vez, estando el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque?

a) 3 1/7 h b) 3 2/7 h c) 3 3/7 h d) 2 ½ e) 3 1/4

6. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12

horas y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6

horas, ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren

las tres llaves a la vez?

a) 8h b) 7h c) 6h d) 5h e) 4h

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7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja

caer desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer

rebote?

a) 50cm b) 64 cm c) 24cm d) 62cm e) 72 cm

8. Si dejamos caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura,

sabiendo que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada

rebote se eleva 2/3 de la altura anterior?

a) 81cm b) 162cm c) 324cm d) 62cm e) 72cm

9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3?

a) 5 1/5 b) 5 7/9 c) 5 2/5 d) 5 1/9 e) 5 1/3

10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me

deben?

a)S/80 b)S/100 c)S/120 d)S/140 e)S/125

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UNIDAD 05

NÚMEROS DECIMALES

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5.1. NÚMERO DECIMAL.

Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se

obtiene al dividir el numerador por el denominador.

Ejemplos:

(1) 37508

3, Resulta de dividir 3 entre 8.

(2) .....,44409

4 Resulta de dividir 4 entre 9.

(3) ....,233030

7 Resulta de dividir 7 entre 30.

5.2. TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO

DECIMAL.

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

Ce

nte

na

s d

e M

illa

r

De

cen

as d

e M

illa

r

Un

idad

es d

e M

illa

r

Ce

nte

na

s

De

cen

as

Un

idad

es

décim

os

ce

nté

sim

os

milé

sim

os

Dé

cim

os d

e m

ilésim

os

o d

iezm

ilésim

os

Ce

nté

sim

os d

e

milé

sim

os

o c

ien

milé

sim

os

Mill

oné

sim

o

7 1 , 0 7 3 9

La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a

derecha a partir del coma decimal:

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1° Orden decimal décimos.

2° Orden decimal centésimos.

3° Orden decimal milésimos.

etc.

5.3. LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES.

La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Se lee la

parte entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte

decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.

Los ejemplos siguientes esclarecerán cómo hacer la lectura de un número

decimal. Completar:

a) 12,7 doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos.

b) 3,125 tres ......................... y ciento veinticinco .......................................

c) 0,000 4 ........................ diez milésimos.

d) 3,1416 ..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos.

e) 8,30 ocho ......................... y....................................................................

f) 12,005 ...........................................................................................................

5.3.1. ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL:

Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el

orden que le corresponde.

Observemos los ejemplos:

(1) Quince enteros y veintiséis milésimos : 15,26

(2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos : 6,002 3

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Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0).

(1) 12 milésimos : 0,012

(2) 50 millonésimo : 0,000 050

Completar:

(1) Quince enteros y seis centésimos : .............................................

(2) Cuatro centésimos : .............................................

(3) Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................

(4) Veinticinco milésimos : ..............................................

Escribir como se lee, observando el ejemplo, y asociar las UNIDADES.

(1) 3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas)

(2) 0,50 soles ........................................................................

(3) 5,4 metros ........................................................................

(4) 2,5 pulgadas ....................................................................

(5) 3,175 centímetros ............................................................

(6) 8,0025 segundos .............................................................

Observar cómo se pueden resolver los siguientes problemas:

(1) ¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos? Representación

Literaria

1000

x =

100

54 Representación

Matemática

Despejando “x”: x = 540 “Rpta: hay 540 milésimos en 54

centésimos”

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(2) ¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de

centésimos?

100

x .

10

1 =

10000

20000 .

100

1

x = 20

Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de

centésimos.

(3) ¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos?

(4) ¿Cuántos cienmillonésimos de centésimos hay en 4,52

diezmilésimos?

(5) ¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000

diezmillonésimos de milésimo?

5.4. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES:

1º. Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime

CEROS A SU DERECHA.

Ejemplos: 4,8 = 4,80

(1) 4,8 = 4,800 000 0

(2) 312,240 000 00 = 312,24

(3) 7,500 0 = 7,50

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2º. Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o

más lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad

seguida de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal.

Ejemplos:

(1) 0,253 100

3252530

,,

210

3252530

,,

2103252530 ,,

(2) 0,000002 10000

0200000020

,,

410

0200000020

,,

4100200000020 ,,

(3) 0,0075 = 41075

2 lugares

Potencia de 10

con exponente

2 lugares

4 lugares

Potencia de 10

4 lugares

4 lugares Potencia de 10

4 lugares

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EJERCICIOS:

(1) 0,007 = 7 x 10.....

(2) 0,00016 = 16 x 10.....

(3) 0,000064 = 64 x 10.....

(4) 0,0025 = 250 x 10.....

(5) 0,06 = 6000 x 10.....

3º. Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o

más lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la

unidad seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.

Ejemplos:

(1) 70002,5 = 10000000257 ,

= 410000257 ,

(2) 2000 = 10002

= 3102

(3) 50000000 = 61050

4 lugares

Potencia de 10 con

exponente positivo

4 lugares

3 lugares

Potencia de 10 con

exponente positivo

3 lugares

6 lugares

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EJERCICIOS:

(1) 8302,5 = 83,025 x 10.....

(2) 160,5 = 0,1605 x 10.....

(3) 6400000000= 6,4 x 10.....

(4) 25000000000 = 25 x 10.....

(5) 3200000000000 = 32 x 10.....

5.5. COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo

negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica.

Ejemplo: Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser

negativo.

2º. Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente

modo: se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma

decimal y comparar como si fueran números enteros.

Ejemplos:

(1) Comparar 3,2 con 3,574

Como el primer número tiene sólo un decimal, se le agrega DOS CEROS

para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno:

3,200 3,574

Ahora, se elimina la coma decimal en ambos números:

3 200 3 574

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Como 3200 es menor que 3574, entonces:

3,2 3,574

(2) Comparar -2,31 con - 2,310 000

Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la

derecha del segundo número dado:

Entonces ambos números quedarán así:

-2,31 = -2,31

5.6. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES:

NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad

limitada de cifras decimales.

Ejemplos: 0,25 ; 2,75 ; 1,2

- Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el

denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2

ó de 5 ó de ambos (la fracción tiene que ser irreductible).

NÚMERO

DECIMAL

NÚMERO

DECIMAL

PERIÓDICO

PURO

PERIÓDICO

MIXTO

NÚMERO DECIMAL

IRRACIONAL.-

NÚMERO

DECIMAL

NÚMERO DECIMAL

INEXACTO

(Se pueden escribir como

Fracción; tienen Generatriz)

(tienen Período)

Números decimales inexactos que no tienen período;

resultan de las raíces inexactas.

Ejemplo: = 1,414213562373095 . . . .

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Ejemplos:

(1) La fracción 32

17 ¿Equivale a un número decimal exacto?

La fracción debe ser irreductible 32

17

Descomponiendo el denominador: 52

17

32

17

Entonces 32

17 da origen a un número decimal exacto:

32

17 =

0,53125

(2) La fracción 375



8

375

24

Se descompone el denominador: 35

8

125

8

Entonces 375


375

24

= 0,064

(3) La fracción 80



13


13

80

134

Entonces 80


80

13 =

0,1625

¿Se puede saber cuántas cifras decimales tendrá el

número decimal resultante antes de efectuar la

división?

Potencia de 2

Potencia de 5

Potencia de 2 y 5

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Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5

en el denominador de la fracción irreductible.

Ejemplo:


13

80

134

Entonces 80

13 al convertirlo en número decimal, tendrá solamente 4

cifras decimales. Comprobar con 500

2071.

NÚMERO DECIMAL INEXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad

ilimitada de cifras decimales.

A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO: Es aquel en cuya parte decimal aparece una

o un grupo de cifras llamado período que se repite indefinidamente a

partir de la coma decimal.

Ejemplo: 0,27272...... = 0,27

¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por

un DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Se simplifica la fracción hasta que sea irreductible.

2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.

3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los

factores del denominador son distintos a 2 y 5.

Por ejemplo: 1/7; 2/3; 5/63

B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO: Es aquel cuyo período empieza luego de

una cifra o grupo de cifras después del coma decimal. A esta cifra o grupo

de cifras se denomina parte no periódica.

Ejemplo: 0,7312512512........ = 0,73125

Potencia de 2 y 5.

El mayor exponente

es 4

PERÍODO

(2 cifras)

Parte No Periódica

MATEMÁTICA T.O.


¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por

un DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Simplificar la fracción hasta que sea irreductible.

2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.

3º. El número decimal correspondiente será periódico mixto si los

factores del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros

factores primos distintos de 2 y 5.

Por Ejemplo: 2/15 ; 6/35 ; 5/24

5.7. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL.

Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La

fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.

A. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO:

1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal.

2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros

como cifras tenga la parte decimal

Ejemplos:

a) 0,75 = 100

75

b) 2,058 = 1000

2058

2 cifras decimales

2 ceros

3 cifras decimales

3 ceros

MATEMÁTICA T.O.


B. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO :

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA

PARTE ENTERA NULA :

1º. En el numerador escribimos el período.

2º. En el denominador se escribe tantos nueves como cifras tenga

el período.

Ejemplo:

a) 0,54 = 99

54 =

11

6

b) 0,1 = 9

1

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA

PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO:

1º. Se desdobla la parte entera de la decimal, así:

3,54 = 3 + 0,54

2º. Escribir la fracción generatriz de la parte decimal :

3,54 = 3 + 99

54

3º. Finalmente, volver a sumar, pero ahora como una suma de

fracciones:

3,54 = 3 + 99

54

= 3 + 11

6

= 11

39

C. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:

2 CIFRAS 2 NUEVES

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CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA

NULA:

1º. En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el

número decimal sin el coma y se resta la PARTE NO

PERIÓDICA.

2º. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras

tenga el PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga

la PARTE NO PERIÓDICA.

Ejemplos:

(1) 0,235 = 990

2235

0,235 = 990

233

(2) 0,372 = 900

37372

0,372 = . . . Completar.

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO

NULA :

Se procede a desdoblar la parte entera del decimal.

Ejemplo:

3,254 = 3 + 0,254

3,254 = 3 + 900

25254

3,254 = 3 + 900

229

3,254 = 900

2999

2 cifras

1 cifra

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5.8. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

Si se trata de decimales exactos, se busca que tenga la misma cantidad de

cifras en la parte decimal completando con ceros.

Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma

decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de

números enteros.

En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical

que las demás.

Ejemplos:

(1) Efectuar: 0,3 12,78 3,2057

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

0,3000

12,7800

3,2057

16,2857

(2) Efectuar: 78,13 9,087

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

78,130

9,087

69,043

Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices:

Ejemplos:

(1) Efectuar: 0,3 2,5 1,6

Se efectúa como si fueran enteros :

La coma conserva el

lugar de los demás

Efectuando como si fueran enteros :

La coma conserva el

lugar de los demás

MATEMÁTICA T.O.


Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus

fracciones generatrices:

= 9

61

9

52

9

3

= 9

143

= ....,55549

41

Respuesta: 0,3 2,5 1,6 = 4,5

(2) Efectuar: 31,62 - 7,36

Solución: Reemplazar los decimales periódicos mixtos por sus fracciones

generatrices:

=

90

3367

90

66231

Suprimiendo los paréntesis

= 90

337

90

5631

= 90

2324

= 90

2183 = 24,25 =24,2555…

5.8.1. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

DE DECIMALES.

Viendo un ejemplo:

Efectuar:

2202501011350251 ,,,,,,

Eliminando paréntesis = 2202501011350251 ,,,,,,

Suprimiendo corchetes = 2202501011350251 ,,,,,,

Suprimiendo llaves = 2202501011350251 ,,,,,,

MATEMÁTICA T.O.


Se suman los positivos y negativos por separado:

= 0250502210113251 ,,,,,,

= 16,65 – 0,525

= 16,125

Ahora, resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento:

(1) 1525407625518 ,,,,,

A) 41,75 B) 31,75 C) 41,57 D) 75,41 E) 75,31

(2) 12750400320080 ,,,,,

A) 2,75 B) 3,50 C) 1,578 D) 2,498 E) 5,310

(3) 1020850238502010 ,,,,,,,

A) 4,6 B) 3,50 C) - 1,5 D) 2,4 E) - 3,2

(4) ...,...,...,..., 330221110220

A) 2/9 B) –11/9 C) –5/9 D) 1 E) 2

(5) ...,,...,,...,, 44075022050330250

A) 11/18 B) –11/18 C) 7/9 D) 12/7 E) 1

(6) 3 décimos 85 milésimos + 458 centésimos

A) 4,965 centésimos B) 496,5 milésimos C) 49,65 centésimos

D) 496,5 centésimos E) 49,65 milésimos

(7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos

A) 7363 centésimos B) 7363 milésimos C) 736,3 décimos

D) 73,63 centésimos E) 736,3 milésimos

(8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos

A) 0,24 B) 2,4 C) 1,5 D) 4,24 E) 3,2

MATEMÁTICA T.O.


(9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene Oswaldo?

A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50

Comprobar respuestas: 1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C

5.9. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS

DECIMALES.

5.9.1. Multiplicación y División por potencias de 10.

Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia

la derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta

correr la coma decimal para la izquierda.

Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó

aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir

el valor:

Ejemplo 1:

Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102. Basta correr la coma decimal

dos órdenes hacia la derecha.

Entonces: 47,235 x 100 = 4723,5 El valor relativo de 7 pasó ser 700 Corre 2 espacios a la derecha

Además: 38,31152 x 1000 = 38311,52 8 pasa a ser 8000 Corre 3 espacios a la derecha

MATEMÁTICA T.O.


Completar a simple vista:

a) 0,2356 x 1000 = _______

b) 0,7568565 x 100000 = ______

c) 0,012021 x 100000 = ______

d) 1,2 x 1000 = ________

e) 0,26 x 102 = ________

f) 0,000005 x 105 = ________

g) 2,58 x 104 = ________

h) 10,3 x 103 = ________

0,5 x 105 = ___________

Ejemplo 2:

Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres

órdenes hacia la izquierda.

Así: 13,235 1000 = 0,013235 El valor relativo de 13 enteros pasa a ser

0,013 (trece milésimos).

“Corre 3 espacios a la izquierda”

O también: 352,7 100 = 3,527 El valor relativo de 300 pasa a ser 3. “Corre 2 espacios a la izquierda”

MATEMÁTICA T.O.


Completar a simple vista, según el ejemplo:

a) 385,2 100 = 3,852

b) 2500 10000 =

c) 2335,8 100000 =

d) 25000000 105 =

e) 3,20 104 =

f) 3002,4 107 =

g) 30000000 109 =

Verificar la respuesta:

b) 0,25

c) 0,023358

d) 250

e) 0,00032

f) 0,00030024

g) 0,03

5.9.2. Multiplicación Por Números Diferentes de Potencias de 10.

Recordar que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales,

entonces 6,33 puede efectuarse como sigue:

Por tanto, para multiplicar números decimales:

Se multiplican los números como si fuesen enteros, y en el producto se separan tantos decimales, como tengan los

factores.

MATEMÁTICA T.O.


Ejemplos:

a) 5 x 1,41 = 7,05

b) 1,732 x 5 = 8,660 8,66

c) 0,012 x 1,2 = 0,0144

1,25 x 1,4 = 1,750 1,75

Observar cómo se forman los resultados en los dos últimos ejemplos:

Observar el primer ejemplo y escribir la respuesta (a simple vista) de los

ejercicios de reforzamiento que continúan.

a) 0,005 x 0,06 = b) 0,15 x 0,05 = c) 5 x 0,0054 = d) 2,48 x 0,005 = e) 0,5 x 0,624 = f) 3,20 x 0,5 = g) 3,4 x 0, 11 = h) 2,5 x 1,1

MATEMÁTICA T.O.


i) 0,071 x 0,011 j) 1,2 x 1,1 x 0,01 = k) 0,03 x 0,002 x 0,1 = l) 4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 = Comprobar las respuestas: a) 0,00030 b) 0,0075 c) 0,0270 d) 0,01240 e) 0,3120 f) 1,60 g) 0,374 h) 2,75 i) 0,000781 j) 0,0132 k) 0,000006 l) 0,00040

5.9.3. Potenciación de Números Decimales. Por definición de potenciación, se sabe que:

(0.2)3 = (0.2) (0.2) (0.2) = 0.008

Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de

una forma práctica, por ejemplo:

(0,03)4 = 0.00000081

Resolver mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro

siguiente:

1. (0.003)2 = 2. (0.07)2 = 3. (0.2)5 =

4. (0.05)3 = 5. (0.012)2 = 6. (0.13)2 =

MATEMÁTICA T.O.


5.10. DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10.

Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo

será:

Propiedad:

Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K”, y se

repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el

verdadero residuo varía quedando multiplicado por el número “K”.

Comprobando, multiplicar al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por 4 y

volver a dividir:

Comprobando otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por

100, y volviendo a dividir:

Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones

con números decimales.

Tomando por ejemplo, la división 39,276 0,5. Observar que el divisor se

convierte en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo

y al divisor (recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número

decimal, se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:

MATEMÁTICA T.O.


El verdadero residuo es 0,01 10 = 0,001.

Respuesta: Al dividir 39,276 0,5 se obtiene Cociente: 78,55 Residuo: 0,001 Comprobando, utilizando el Algoritmo de la división:

Dividendo = divisor x cociente + residuo

39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001

Desarrollar los siguientes cálculos como comprobación:

Luego, se llega a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en

el divisor, se sigue la siguiente regla:

Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10.

Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número

(Potencia de 10).

El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el

mismo número (Potencia de 10).

MATEMÁTICA T.O.


Realizar la división de 38,49 entre 0,6 y confirmar el resultado como se hizo

con el ejemplo anterior.

EJERCICIOS:

1. Convertir en enteros los divisores, como el ejemplo:

2. Dividir siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en

milésimos y además indicar cual es el verdadero residuo.

a) 0,17 15 =

b) 0,1 0,03 =

c) 0,325 0,19 =

d) 25,0087 3,02 =

MATEMÁTICA T.O.


Corregir los ejercicios 1 y 2 :

EJERCICIOS: 3. Calcular la distancia “x” de la pieza.

MATEMÁTICA T.O.


4. Halla la medida de la distancia de “x”.

5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente.

Calcular el valor de “x”.

Comprobando respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5:

3. 1,9

4. 0,865

5. 1,95

5.11. RADICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Definición de una radicación:

nnn a b b a

n : índice radical a : radicando b : raíz

MATEMÁTICA T.O.


Reconociendo qué números decimales tienen raíz exacta a simple vista.

Por ejemplo, hallar la raíz cúbica de 0,000064: 3 000064,0

Primero, analizar si la cifra significativa del

número decimal tiene raíz exacta.

Bien, ahora se tiene que contar la cantidad de

cifras decimales. Esta debe ser múltiplo o

divisible por el índice radical.

Si cumple estas dos condiciones, entonces se puede afirmar con seguridad que

el número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta.

Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera:

Hallar la raíz de la parte significativa.

Dividir la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este cociente

indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la raíz.

Ejemplo, hallar: 4 06250,00000000

3 000064,0

4643

3 000064,0

6 cifras decimales y es divisible

por el índice radical que es 3

MATEMÁTICA T.O.


EJERCICIOS

I. Completar el siguiente cuadro a simple vista, no usar calculadora.

¿Tiene

raíz exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es?

¿Tiene raíz

exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es?

1,44 sí 1,2 3 0,000008

0,0625 3 0,125

0,000049 3 0,027

1,21 3 0,0001

0,00000036 4 0,00000081

0,00009 5 0,00001

II. Resolver las siguientes operaciones combinadas con números decimales

1. 8

3 0,360,0270,09

Rpta: 0

2.

0,5

0,000010,1250,008 533

Rpta: 1,2

3. 4000,95 0,00000001 - 0,0270,000064 436

Rpta: 2

4. 0,0001- 0,000000250,000004

Rpta: 0,2

MATEMÁTICA T.O.


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una rueda de 0,12 m de longitud

¿Cuántas vueltas dará al recorrer

1,80 m?

Solución: Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia)

Distancia recorrida = # vueltas x Lc.

1,80 m = # vueltas.(0,12 m)

15 = # de vueltas

2. Para comprar 20 tornillos

faltarían 8 céntimos de sol, si se

compran 15 tornillos, sobraría

S/. 0,12. ¿Cuánto vale cada

tornillo en soles?

Solución: Se tiene : T Precio de cada tornillo : P

20P = T + 0,08 15P = T - 0,12

5P = 0,20 P = 0,04

3. ¿En cuántos ochentavos es mayor

0,32 que 0,1325?

Solución:

15 x

)80.(0,1875 x

0,1325 - 0,3280

x

4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y

el aceite vale S/. 3,75 más que el

frasco; entonces el precio del frasco

es:

Solución: Frasco : F Perfume : P

F + P = 4,75 P - F = 3,75 2F = 1 F = 0,50

5. Efectuar:

333266697

3555243555924E

,...,

...,...,

Solución:

100

900E

= 3

Restar miembro a

miembro.

Restando miembro

a miembro.

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6. En el dibujo hallar a - b + c

Solución:

3R = 19,50 R = 6,50 a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 = 8,75 b = 2R = 13 c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 =

16,25 a - b + c = 8,75 - 13 +

16,25 a - b + c = 12 mm

7. Guido da a un mendigo tantas veces

15 centavos como soles llevaba en

la billetera. Si aún le queda

S/. 170.00 ¿Cuánto llevaba en la

billetera?

Solución: Soles que llevaba en la billetera : x x - 0,15 x = 170 0,85x = 170 x = 200

8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el

ciento; se echan a perder 20 y los

restantes los vendo a S/. 0,84 la

docena. ¿Cuánto se gana?

Solución: Quedan por vender 180 alfileres que es igual a : 180/12 = 15 docenas Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/. 12,60 Se Invirtió: S/. 10 por los dos cientos. Ganancia: S/.12,60 - S/. 10,00 = S/. 2,60

MATEMÁTICA T.O.


9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas

por S/.160,72 sabiendo que en los

40 primeros kg ha ganado S/. 0,60

por kg y en los restantes ha perdido

S/.0,35 por kg ¿Cuál fue el precio de

compra?

Solución: En los 40 kg., ganó = 40.(0,60) = S/. 24 En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg perdió = 20,80.(0,35) = 7,28 Ganancia liquida: 24 – 7,28 = S/. 16,72 P. de Compra = P. de Venta - Ganancia P. de Compra = 160,72 - 16,72 = S/.144

10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205?

Solución:

Fracción = 025,6

205,1

= 1/5


1. Tres cajas contienen diferentes artículos. La primera con segunda pesan

76,58 Kg., la segunda con la tercera 90,751 Kg. y la primera con tercera

pesan 86,175 Kg. ¿Cuánto pesa la segunda caja?

a) 40,84 Kg. b) 50,17 Kg. c) 40,578 Kg .d) 42,57 Kg e) 48,25 Kg.

2. Un depósito de 425,43 litros de capacidad, se puede llenar con dos caños

.La primera vierte 25,23 litros en 3min. y la segunda 31,3 litros en 5min. Si

trabajan los dos juntos, ¿en cuánto tiempo podrán llenar el depósito?

a) 27min b) 28min c) 29min d) 30min e) 8min

3. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de

un terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?

a) 60,254 m b) 62,558 m c) 54,058 m d) 56,915 m e) 52,128

m

MATEMÁTICA T.O.


4. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro

cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 e) S/. 70

5. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la

recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió,

subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

6. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?

a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000

7. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para

comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada

uno le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos?

a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162

8. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería

S/. 0,6. ¿Cuántos lápices tengo?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

9. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de

pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto

sobrará de la barra en cm?

a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28

10. En el recorrido de un micro se observo que en total Viajaron 63 personas

entre adultos y universitarios. Si el pasaje de un adulto es S/. 1,25 y el de

un Universitarios S/.0,75. ¿Cuántos adultos viajaron, si en total se recaudó

S/. 64,75?

MATEMÁTICA T.O.


L

r R

13,6m

2

52

0000040

00200060

,

,,

a) 28 b) 53 c) 35 d) 45 e) 42

11. Si tiene 5 cajas y en cada caja hay 2,5 docenas de paquetes de medio

ciento de lápices cada uno. Si en total se pagó s/.9 975. ¿A cómo tiene que

vender cada ciento de lápices para ganar S/. 0,65 en cada lápiz?

a) 140 b) 192 c) 190 d) 198 e) 178

12. Calcular la suma de cifras de M.

Si:

611

22521025040M

,

,,,

a) 14 b) 11 c) 10 d) 19 e) 9

13. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su

capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos

litros de vino se extrajo?

a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 e) 60 14. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m

a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m

15. Efectuar la siguiente operación.

MATEMÁTICA T.O.


35218T ,

2636910

,,

a) 21072 b) 1 c) 41036 d) 41063 , e) 21018

16. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, hallar la raíz cuadrada de “M”

a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4

17. Hallar el valor de “E”

31380375032E

,,,,

a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333…

18. Hallar el decimal equivalente a:

a) 6,4 b) 12 c) 8 d) 8,25 e) 5,444…

MATEMÁTICA T.O.



1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se venden 4 pernos por S/0,50 ¿Cuántas docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40? A) 12 B) 10 C) 8 D) 18 E) 24

2. Efectuar :

1

55504441

31414031448B

...,...,

...,...,

A) 1/2 B) 2/3 C) 4 D) 1/4 E) 2

3. Se vio una muestra de bronce que pesaba 4,55 kg, contenía 3,18 kg de cobre y 1,37 kg de zinc. ¿En 500 kg de bronce cuánto cobre habrá? (Nota: la razón de cobre a bronce será constante en cualquier cantidad de bronce) A) 300 kg B) 250 kg C) 324 kg D) 349 kg E) 180 kg

4. En una tienda hay arroz de dos calidades cuyos precios son S/. 2,00 y S/. 1,50 el kg. ¿Cuántos kg de arroz de mayor precio se deben poner para obtener una mezcla de 50 kg de arroz de S/ 1,80 el Kg? A) 30 kg B) 25 kg C) 32 kg D) 49 kg E) 18 kg

5. Se quiere formar un cubo sólido con ladrillos cuyas dimensiones sean 0,12m; 0,10m; y 0,18m. ¿Calcule el menor número de ladrillos? A) 3000 B) 2500 C) 3240 D) 2700 E) 2800

6. ¿Cuántas de las siguientes fracciones generan números decimales inexactos periódicos mixtos?

47

43

16

5

30

301

41

17

900

9

60

23;;;;;

A) 1/2 B) 2 C) 4 D) 3 E) 1

MATEMÁTICA T.O.


7. Hallar 3

R, si:

),)(,)(,(

),)(,)(,(

00701500020

2520000500280R

A) 1,20 B) 2,50 C) 1,50 D) 0,80 E) 0,50

MATEMÁTICA T.O.


UNIDAD 06

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

MATEMÁTICA T.O.


6.1. POTENCIACIÓN.

Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como

factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta

operación potencia.

Ejemplos:

a. 625555554 b. 2733333

c. 7771 d. 322222225

e. 27

8

3

2

3

2

3

2

3

23

f. 125,05,05,05,05,0

3

6.2. SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN.

El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.

a. PositivoPositivo impar o Par

b. PositivoNegativo Par

c. NegativoNegativo Impar

P bn

b : base

n : exponente

P : potencia

P b....bbb bn

“n” veces

MATEMÁTICA T.O.


Ejemplos:

a. (+2)4 = +16 b. (+2)5 = +32

c. (-2)4 = +16 d. (-3)2 = +9

e. (-2)5 = -32 f. (-3)3 = -27

g. 81

16

3

24

h.

64

1

4

13

NOTA: Observar el siguiente ejemplo:

81 - 3333 - 3- 4 “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que:

81 3333 - 3-4

“El exponente afecta al signo y al número 3”

Por lo tanto: -34 ≠ (-3)4

6.2.1. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLO

Exponente

cero

a0 = 1; (a ≠ 0)

00 = Indeterminado

a) 177 00

b) 0

2173 Indeterminado

Producto de

potencias de igual

base

an x am = an+m 83535

222x2

MATEMÁTICA T.O.


Cociente de potencias

de igual base m-n

m

n

aa

a

538

3

8

222

2

Exponente negativo

n

n

n

a

1

a

1a

n

nnn

a

b

a

b

b

a

22

3

4

4

3

Potencia de un

producto nnn

baba 44 444 x25x25

Potencia de un

cociente n

nn

b

a

b

a

2

22

4

3

4

3

Potencia de una

potencia bccb aa 15x5353

222

Exponente de

exponente cc bb aa

9x333 2222

Potencia de la unidad 1n = 1 a) 18 = 1

b) 115 = 1

EJERCICIOS

Completar el número que falta en el casillero correspondiente:

1) (-5)3 = 2) (+7)2 = 3) (-1)715 =

4) (-10)3 = 5) (-9)2 = 6) (-4)3 =

7) (+5)3 = 8) (+1)17 = 9) (-7)3 =

10) (-4)4 = 11) (-1)13 = 12) -113 =

MATEMÁTICA T.O.


13) (-1)80 = 14) -180 = 15) (-5+5)3 ─ 3 =

16)

3

5

2

= 17)

3

5

2

= 18)

3

3

2 =

19)

4

5

2

= 20)

4

5

2

= 21)

4

3

2 =

Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades

1) 77777327

2)

17

17

1717373

125250

3) 33279278583

4)

882137

5)

19

13

19

1369

6) 1313..5.3.2.

7) 5..2..35233.564

8) 3.0.58.

57.77.20.19253

9) 15153155615915

10) 9987..........9.

9517

MATEMÁTICA T.O.


11) 15535312.27.3.9.4.

12)

2

7

7

28

3.

13)

2

5

3

14) 2

13

15)

11111111

3

11

11

7

7

5

5

3

=

Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

b

a

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

2

1

3

2

2

1

2

3

5

2

MATEMÁTICA T.O.


6.3. RADICACIÓN.

La RADICACION es una operación inversa de la potenciación.

En la potenciación se vio que:

23 = 2 x 2 x 2 = 8.

Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente se tiene:

3 8 =3 32 =2

Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Se dice que 2 es la raíz ………………de 16.

La notación será:

....................164

O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2.

Al trabajo de sacar raíz se denomina RADICACIÓN, que es una operación inversa

de la POTENCIACIÓN.

OBSERVACIONES:

A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CÚBICA.

A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA.

Así mismo:

23 = 8 3 8 = 2 (se lee RAÍZ CÚBICA DE OCHO)

MATEMÁTICA T.O.


15 = 1 5 = 1 (se lee RAÍZ……………………………………………… )

32 = 9 2 = 3 ( se lee……………………………………………………)

51 = 5 …...= 5 (se lee RAÍZ PRIMERA DE CINCO RAIZ……………

Ver los nombres de los términos de la radicación

Luego:

La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b |R y n |N, un

número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota n b

Radicación: |R x |N* |R

(b, n) n b = a an = b

Donde:

Si b> 0, entonces a > 0

Si b >0 entonces a< 0 (si existe)

Ejemplos:

a) 3,0027,03

b) 36 = no existe en el conjunto de números reales (R)

ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA.

Se va a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar cómo se hace.

MATEMÁTICA T.O.


Suponiendo que se quiere hallar la raíz cuadrada de 59074

En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a

izquierda así:

5.90.74

Buscando un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2.

Se escribimos el 2 en la caja de la derecha:

Se eleva 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1:

Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la derecha,

o sea el cero.

MATEMÁTICA T.O.


Se pone el doble de 2 debajo, o sea un 4:

Y se divide 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se

multiplica por 4 el 44:

Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la derecha del

2:

Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la derecha:

MATEMÁTICA T.O.


Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48:

Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483 por

3:

Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto:

De tal forma que: 59074252432 “Donde 25 es el residuo de la radicación.”

Si el número del que se quiere hallar la raíz es decimal la separación de las cifras de

dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda.

MATEMÁTICA T.O.


Si en la raíz cuadrada anterior se quiere sacar decimales, se bajan dos ceros a la

derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo

procedimiento.

EJERCICIOS.

Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números e indicar su raíz cuadrada, el

residuo y realizar su comprobación.

Número Raíz cuadrada Residuo Comprobación

58708 242 144 14424258708 2

99500

734449

1522756

RAIZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES

PRIMOS.

Se va a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método descomposición en

sus factores primos.

Primero. Descomponer en sus factores primos el número 435600.

2224 11532435600

Segundo. Extraer la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de radicales

(Raíz de una multiplicación indicada).

MATEMÁTICA T.O.


660115321153211532435600 222242224

Entonces 660435600

Otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000.

60532532216000 23 3363

EJERCICIOS

Calcular la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilizar le método de

descomposición de factores primos.

Número Procedimiento Respuesta

3 2744 1472722744 3 333 14

7744

4 50625

18225

6.3.1. SIGNOS DE LA RADICACIÓN.

SIGNOS DE LA RADICACIÓN EJEMPLOS

MATEMÁTICA T.O.


a) Impar o Par

1) 381 4

2) 232 5

3) 11 724

4) 11 725

b) - Impar

1) 464 3

2) 11 547

c) Par No existe en el conjunto

de números reales (R)

1) 4 16 No existe en R.

2) 540 1 No existe en R.

6.3.2. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLOS

Raíz de un

Producto nnn b.aab

1) 1243 333 642764x27

2) 30103 4444 1000811000081810000

Raíz de un

Cociente .

n

n

n

b

a

b

a

1) 10

16

10000

256

10000

2564

4

4

MATEMÁTICA T.O.


2) 77

30

117

65

12149

3625

12149

3625

Raíz de una

Potencia n

bb

a aa nn b

1) 4 ) (2 2 2

33 2 88

2) 27333 335105

35 105 ¡Se simplifica el exponente

fraccionario!

3) 255125125125 2233 215 10

¡ Se simplifica el

índice radical con el exponente!

4) 5

56

5

78

5

492

5

492

5

72 23

6 6

6 36 18

66

318

Raíz de una

raíz n.mn a.a m

1) 204 5 77

2) 7777 132 328 4 32

3)

169

6

169

23

13

83

13

83

13

832

31

120 240

120 40120 120

3 8240

40120

5

MATEMÁTICA T.O.


Consecuencia

de las

propiedades

anteriormente

mencionadas

n m baba mnn

1) 63 233 525858

2)

623

168116811681 44

n nn baba

1) 753535 2

2) 33 33 80102102

p.m.nn m p cba xx.x

c ).p b m . a (

x

Ejemplo:

6

13

12

26

232

22)333(

3 233 2222248.8

32

6.3.3. RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES SEMEJANTES.

Radicales Homogéneos. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical.

Ejemplos:

x + x +

MATEMÁTICA T.O.


a) 7 ; 8 ; 65 ; 5

23 “Todos son raíces cuadradas”

b) 3 25 ; 5

33

; 3 7 ; 3 5 “Todos son raíces cúbicas”

Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical y la

misma cantidad subradical.

Ejemplos:

a) 7 ; 5

73; 72 “Todos son raíces cuadradas de siete”

b) 3 25 ; 5

23

; 3 2 ; 3 24 “Todos son raíces cúbicas de dos”

6.3.4. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.

Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener

factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz.

Ejemplos:

1) Simplificar 720

Se descompone 720 en sus

factores primos: 532720 24

MATEMÁTICA T.O.


Algunos factores tienen

exponentes divisibles por el

índice radical; se procede a

extraer esos factores:

512532532720 224

2) Simplificar 3 17280

Se descompone 8640 en sus

factores primos: 53217280 37

Algunos factores tienen

exponentes mayores que el

índice radical, se descomponen

de tal forma que tengan

exponentes divisibles por el

índice radical. 3

32

33 33 6

3 363

1012

5232

5232

532217280

3) Simplificar 50

Se puede simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de la

habilidad del ejecutor, observar con cuidado:

252 25 2 25 50

3) Simplificar 327

2282472167327 2167

Se buscan 2 números cuyo producto sea 50 y

uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta.

MATEMÁTICA T.O.


EJERCICIOS

Simplificar los siguientes radicales:

a) 3 7 27 332333 63 6 1449277277277

b) 3 875

c) 3 54

d) 5 12500

e) 5 1080

f) 7 1920

6.3.5. OPERACIONES CON RADICALES.

ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES.

Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes. Algunos ejemplos:

1) Efectuar: 2428223

2624813

2428223

Sumar y restar sólo los coeficientes.

2) Efectuar: 6356852 33

MATEMÁTICA T.O.


6115

6368552

6356852

3

33

33

Se suman y restan solo los radicales semejantes.

2) Efectuar: 3250223

Se tiene que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales

semejantes):

2924210233250223

MULTIPLICACION DE RADICALES.

Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos.

n dbcadcba nn

Ejemplos:

1) Multiplicar: 333 742352

33333 7024725432742352

MATEMÁTICA T.O.


2) Multiplicar: 55 37

34

5

3

5555 1235

934

7

3

5

33

7

34

5

3

DIVISIÓN DE RADICALES.

Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos.

n. dbcadcba nn

Ejemplos:

1) Dividir: 33612 24312 3633612

2) Dividir: 3

3

3672

7224 33

3

3

23

1

36

72

72

24

3672

7224

6.3.6. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES.

Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener

fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este

proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

MATEMÁTICA T.O.


Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el

proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

CASO I:

Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En

este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si se quiere racionalizar el denominador de la fracción 2

5, se

multiplicará numerador y denominador por 2

2

25

2

25

22

25

2

52

Otro ejemplo. Racionalizar 18

32

Si antes de racionalizar se extraen los factores que se puedan en el radical del

denominador, se tiene:

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por 2 para eliminar la raíz del

denominador:

3

6

23

62

223

232

23

32

2

2 3 2 3 2 3

18 3 22.3

MATEMÁTICA T.O.


También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por

Y ahora se extraen factores de la raíz del numerador y se simplifica.

3

6

9

323

9

32

9

54 3

, como se ve da el mismo resultado.

CASO II:

Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los

dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado

del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo35

7

, multiplicar numerador y denominador por 35

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una

diferencia, o sea una expresión del tipo 22 bababa

Otro ejemplo:73

2

, ahora multiplicar numerador y denominador por 73

18

2 3 2 3. 18 2 54 54

18 918 18. 18

7 5 37

5 3 5 3 5 3

2 2

7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 37

5 3 25 3 5 3 5 3 5 3

MATEMÁTICA T.O.


CASO III:

Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se

multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una

potencia de exponente “n”.

Por ejemplo: 3 25

1

Se factoriza el radicando del denominador: 3 23

5

1

25

1 y como 553 3 , se va a

multiplicar numerador y denominador por 3 5 para completar la potencia de 5:

Otro ejemplo: 4 2

2,

Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta

multiplicar por

2 3 7 2 3 7 2 3 723 7

9 7 23 7 3 7 3 7

3 3 3

3 3 3 32 2 33

1 1 5 5 5

525 5 5 5 5

4 32

4 4 43 3 34 3

4 4 43 44

2 2 2 2 2 2 22

22 2 2 2

MATEMÁTICA T.O.


EJERCICIOS NIVEL I

1. Extraer la raíz de: a) 2916 b) 45796 c) 2401 d) 63,845 e) 0,8436

2. Valor de potencias:

a) (-3)2 = b) (-2)2 + 24 = c) (-4)2 - (-3)2 = d) (-4)3 -2(-4)3 =

3. Suma y resta de potencias:

a) 2. 32 + 4.32 = b) 4.33 – 2.33 = c) 2. (-4)2 - 52 = d) (-4)3 +33 -2(-4)3 =

4. Multiplicación de potencias con bases iguales:

a) 2. 22 .22.2 2 = b) 3.33 . 3.33 = c) 4. 42 . 42 = d) 2b.23 .2 3 .2b3 =

5. Multiplicación de potencias con exponentes iguales:

a) 42 .32.5 2 = b) 23. (0,3)3 = c) 2. 33. 43 = d) 2b3.3b3 .5b 3 =

6. Potencias con exponentes negativos:

a) 5 -2 = b) 2-3. 3-2= c) 2-3. 3-2. 4-3 = d) -2-3 +( -3)-3 =

7. División de potencias con bases iguales:

a) 25 :22 = b) 33 : 31 = c) 46 : 42 = d) 6n4x5 : 2n4 x3

8. División de potencias con exponentes iguales:

a) 45 :25 = b) 63 : 33 = c) 166 : 46 = d) 6n5x3 : 2n5 x3

MATEMÁTICA T.O.


9. Multiplicación y división de potencias:

a)5.3.2

5.4.2 2

b) 5.3.2

5.6.42

c) b6.b4.b3

b5.b3.b23

5

d) d9.b5.16

d6.b7.b802

10. Potencia de potencias:

a) 23.5 b) (3-4)-2 c) (-2-3)-2 d) (2-2.2-4.32.5-3)-2

11. Potencia de sumas:

a) (2+3).(2+3) b) (1+6).(1+6) c) (3a-1)2 = d) (3-2b).(3+2b) =

12. Conversión en factores de potencias:

a) 4-4a+a2 b) 25 + 30b +9b2 c) x2 +8x + 15 d) (25-c2)/ (5+c)

EXTRACIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-

A

1. Extraer la raíz de:

a) 2916 b) 45796 c) 8,2944 d) 4,53 e) 2401

f) 88,36 g) 6,3504 h) 7,569 i) 63,845 j) 0,8436

2. Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de 15,9

cm2 ¿Qué longitud tienen los lados?

3. La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9 cm2.

Calcular el diámetro de la cadena.

MATEMÁTICA T.O.


4. La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un

12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de

émbolo?

5. La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6 cm2.

¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo?

MATEMÁTICA T.O.


PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA NIVEL I-A

Problema 1.- VER FIGURA

Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2 de superficie.

Calcular la longitud de los lados

a) 45 mm b) 17 mm c) 15 mm d) 24 mm e) 35 mm


La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2

Calcular el diámetro de la cadena.

a) 5 mm b) 7 mm c) 15 mm d) 12 mm e) 13 mm


MATEMÁTICA T.O.


La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o es de

16 mm2. Calcule la longitud de los catetos.

a) 5,65 mm b) 7,1 mm c) 1,5 mm d) 1,25 mm e) 1,36 mm


1. Determinar la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres

cuartas partes se obtenga un cubo perfecto.

a) 1 b) 16 c) 8 c) 27 d) 9 e) 25

2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878?

a) 10 b) 87 c) 98 c) 27 d) 39 e) 55

3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si se

desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261 árboles

más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m. ¿Hallar el

lado del terreno?

a) 36 b) 17 c) 48 c) 27 d) 39 e) 35

MATEMÁTICA T.O.


4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha construido un

almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m2 con las esquinas de los

límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de 361 m2. ¿Cuál es el

área de toda la propiedad?

a) 1089 m2 b) 1024 m2 c) 2420 m2 d) 1280 m2 e) 1325 m2

5. Un terreno esta sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en el

interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en total?

a) 625 b) 676 c) 576 d) 729 e) 616

6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742

a) 318 b) 0,1 c) 0,318 d) 0,0318 e) 4,5742

7. Reducir: 231898

3283502

a) 12 b) 6/7 c) 12/7 d) 5/7 e) 6

MATEMÁTICA T.O.


8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones:

I. 0x ; 1x.xn22n

II. 282- 51

52

.

III. 9

1273

n2 nn .

IV. xx

nn 2

2

a) VVFV b) FVVF c) VVVV d) VFVV e) FFFV

9. Efectuar: 5 45 4 133133 E .

a) 5 3 b) 10 3 c) 5 9 d) 1 e) -1

10. Efectuar: 7

2

2

2

7

3

2

1

7

3

a) 9/7 b) 7 c) 1 d) 2/7 e) 8

11. Efectuar: 6

3232

a) 16 b) 64 c) 8 d) 128 e) 256

12. : a equiv ale 273

2108

a) 3

1319 b) 333 c) –2 d) 2726 e) 1084

13. El Factor racionalizante de : 5 64813

7, es a b hallar a + b :

a) 17 b) 37 c) 12 d) 784 e) 1

MATEMÁTICA T.O.


14. Simplificar : 3510

7512

1085416

61224

..

..

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Efectuar: 3333 2505416

a) 256 b) 216 c) 212 d) 144 e) 128

16. Efectuar: 5,2.4,06,08,0 32323232 E

a) 4 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

MATEMÁTICA T.O.


UNIDAD 07

TRIGONOMETRÍA BÁSICA

MATEMÁTICA T.O.


7.1. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES.

Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida alguna

fracción del ángulo de una vuelta.

Principales sistema de medidas angulares:

* Sistema Sexagesimal (inglés) : Sº

* Sistema Centesimal (francés) : Cg

* Sistema Radial o Circular : R rad

7.1.1. SISTEMA SEXAGESIMAL ( S ).

La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte del

ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 360º

Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1) y el

Segundo Sexagesimal (1), donde:

1º equivale a 60

1 equivale a 60

1º equivale a (60x60) ó 3600

90

180

MATEMÁTICA T.O.


7.1.2. SISTEMA CENTESIMAL ( C ).

La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del

ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 400g

Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el Segundo

Centesimal (1s), donde:

1g equivale a 100m

1m equivale a 100s

1g equivale a (100x100)s ó 10000s

7.1.3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR ( R ).

La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de un

ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud del arco

de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.

100g

200g

R

L

“Si L R entonces la medida del , es igual a

un radián o simplemente 1 rad.”

MATEMÁTICA T.O.


El ángulo de una vuelta mide 2 rad.

7.1.4. RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS.

Sea un angulo donde:

S representa la medida de en grados Sexagesimales.

C representa la medida de en grados Centesimales.

R representa la medida de en Radianes.

Donde la fórmula de Conversión es:

R

200

C

180

S

Observaciones:

S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos).

Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se emplea sólo:

200

C

180

S ; simplificando se obtiene:

10

C

9

S

Donde:

10

9.CS

9

10.SC

MATEMÁTICA T.O.


Otras equivalencias importantes:

Ejemplos:

1) Convertir 45 a grados centesimales.

Como S = 45, remplazar en la siguiente fórmula:

9

S.10C

g509

º45.10C

2) Convertir 125g a radianes.

Como C = 125g, remplazar en la siguiente fórmula:

200

CR

200

125R

rad

8

5R

3) Convertir 5

3 radianes a grados sexagesimales.

Como R = 5

3rad, remplazar en la siguiente fórmula:

R

180

S

5

3

180

S

5

3180S º108S

9 = 10g

27 = 50m

81 = 250s

180 = rad

200g = rad

MATEMÁTICA T.O.


OTRA FORMA:

Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está conformado

por una fracción equivalente a la unidad.

En el denominador de tal fracción se escribe la unidad a eliminar y en el numerador

la unidad que se busca.

Por ejemplo para convertir 5

3rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente

manera:

rad.

º180

5

rad.31

5

rad.3

Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION) sabiendo

que: 180 = rad.

Luego : º1085

º1803

rad.

º180

5

rad.3rad

5

3

4) Convertir 0,621 a segundos centesimales.

Solución:

Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN.

No olvidar que:

9=10g 1g=100m 1m=100s

MATEMÁTICA T.O.


s

m

s

g

mg

69001

100

1

100

º9

10º621,0º621,0

5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales.

5́,4060

1́

250

8175007500

"s

"ss

EJERCICIOS

1. Completar el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido:

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) RADIAL ( R rad )

1 30º

2 60º

3 90º

4 45º

5 27º

6 53º

7 16º

8 74º

Recordar que:

81” = 250s

MATEMÁTICA T.O.


9 8º

10 91 1/9g

11 16 2/3g

12 83 1/3g

13 25g

14 75g

15 20 5/9g

16 79 4/9g

17 29 4/9g

18 127

360

19 2

3

20 5

4

21 27

36

MATEMÁTICA T.O.


1. SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) RADIAL ( R rad )

1 30º 33 1/3g 1 rad

6

2 60º 66 2/3g 1 rad

3

3 90º 100g 1 rad

2

4 45º 50g 1 rad

4

5 27º 41 219g 37 rad

180

6 53º 58 8/9g 53 rad

180

7 16º 17 7/9g 4 rad

45

8 74º 82 2/9g 37 rad

90

9 8º 8 8/9g 2 rad

45

10 82º 91 1/9g 41 rad

90

11 15º 16 2/3g 1 rad

12

12 75º 83 1/3g 5 rad

MATEMÁTICA T.O.


12

13 22,5º 25g 1 rad

8

14 67,5º 75g 3 rad

8

15 18,5º 20 5/9g 37 rad

360

16 71,5º 79 4/9g 143 rad

360

17 26,5º 29 4/9g 53 rad

360

18 63,5º 70 5/9g 127 rad

360

19 120º 133 1/3g 2 rad

3

20 225º 250g 5 rad

4

21 135º 150g 3 rad

4

7.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.

Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo

rectángulo respecto a un ángulo agudo.

En el triángulo rectángulo que se muestra, los catetos

son los lados a y b; la hipotenusa es c, además:

b

a

c

MATEMÁTICA T.O.


Cateto opuesto de es “a”

Cateto adyacente de es “b”

Cateto opuesto de es “b”

Cateto adyacente de es “a”

Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “” serian:

Hipotenusa

opuesto Cateto

c

a Seno

opuesto Cateto

adyacente Cateto

a

b Cotangente

Hipotenusa

adyacente Cateto

c

b Coseno

adyacente Cateto

Hipotenusa

b

c Secante

adyacente Cateto

opuesto Cateto

b

a Tangente

opuesto Cateto

Hipotenusa

a

c Cosecante

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES.

30º

60º 2k k

k

37º

53º 5k 3k

4k

45º k k

k

45º

16º

74º 25k 7k

24k

8º

82º 10k k

k

15º

75º 4k

( )k

( )k

MATEMÁTICA T.O.


TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

F.T. 8º 15º 16º 37/2º 53/2º 30º 37º 45º 53º 60º

Sen 10

2

4

26

25

7

10

1

5

1

1

2

3

5 2

1

4

5 2

3

Cos 10

27

4

26

25

24

10

3

5

2

2

3

4

5 2

1

3

5

1

2

Tng 7

1

26

26

24

7

3

1

1

2 3

1

3

4

1

1

4

3 1

3

Ctg 1

7

26

26

7

24

1

3

2

1 1

3

4

3

1

1

3

4 3

1

Sec 27

10

26

4

24

25

3

10

2

5

3

2

5

4 1

2

5

3

2

1

Csc 2

10

26

4

7

25

1

10

1

5

2

1

5

3 1

2

5

4 3

2

k k

3k

37º

2

k

2k

k

53º

2

75

4k

15

k

MATEMÁTICA T.O.


7.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES.

Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los semiejes

del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL.

Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º; 360º. Las razones

trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente tabla:

ND: “No definido”

Ejemplos de aplicación:

Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:

1. º53cos

º16cos6º45cos2 2 =

5

3

25

246

2

12

2

=

5

3

25

144

2

12

=

5

35

121

=

5

35

17

= 3

17

sen cos tg cotg sec cosec

0º ó 360º 0 1 0 ND 1 ND

90º 1 0 ND 0 ND 1

180º 0 -1 0 ND -1 ND

270º -1 0 ND 0 ND -1

0

90

180

360

MATEMÁTICA T.O.


2. 322

3sec3

6ctg5

= 3 22 º60sec3º30ctg5 = 3 22

2335

= 3 4335 = 3 27

= 3

7.4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a partir de

dos datos, uno de los cuales debe ser lado.

Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos:

I. Los datos conocidos son: dos lados.

II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.

Ejemplos:

1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución:

Como datos se tienen la medida de dos lados, “este

problema corresponde al caso I.”

Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el

Teorema de Pitágoras.

28 m

35 m a

β

MATEMÁTICA T.O.


Razón Trigonométrica de

21a

441a

441a

2835a

3528a

2

222

222

El ángulo se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione lados

conocidos.

º37β

""

;

53º - 90º

:tanto lo por ,"" de ocomplement el es

53ºα :Entonces 5

4Cos53 el Pero ;

5

4

35

28Cosα o


Solución:

Como datos se tienen la medida de un ángulo agudo

y un lado, “este problema corresponde al caso II.”

Hallando β, que es el complemento de 16

β = 90 - 16

β = 74

Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16, que relacione el dato

con la incógnita.

)( RT conocido Lado

odesconocid Lado

b

50cm a

16

β

MATEMÁTICA T.O.


cm 14 a

25

7

cm 50

a

16º sen cm 50

a

Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene

trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16.

cm 48 a

25

24

cm 50

a

16º Cos cm 50

b

7.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS.

“En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos”

b

50cm a

16

β

b

50cm a

16

β

β

a b

c

Sen

c

Sen

b

Sen

a

MATEMÁTICA T.O.


Ejemplo:


Solución:

Resolver el triángulo consiste en hallar la

medida de sus lados y sus ángulos

internos. Se tiene que hallar las medidas

de “L”, “β” y “”.

Primero hallar el valor de “” aplicando la ley de senos:

30º : Entonces ; 2

1

70

37º Sen70

θ Sen

70m

37º Sen

84m

Sen

84

5

3

Sen

84Sen

Ahora hallar el valor de “β”:

37º + 30º + β = 180º

β = 113º

Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”:

37º

β

70 m

84 m

L

37º

30 113

70 m

84 m

L

MATEMÁTICA T.O.


m 128,87 L : Entonces

Tablas) (Por 0,9205 67º Sen ;

2

1

0,9205m 70

30º Sen

67º Senm 70 L

Cuadrante) I (Reducción Sen67º113º Sen :Pero

30º Sen

113º Senm 70 L

30º Sen

70m

113º Sen

L

7.6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS.

“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a

la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble

producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.

2ab.Cosθbac 222

Ejemplo:

1. Hallar la medida del lado “x”

Solución:

a

b

c

37º

20 m

12 m

x

MATEMÁTICA T.O.


cos37º201222012x 222

5

4480400144x2

384544x2

m. 104 160x


1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 10 N hacia arriba, una fuerza hacia la

izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal?

a) 18,1° b) 33,7° c) 25° d) 27,5° e) 20,8°

2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar la

normal en N?

a) 298 b) 537 c) 706 d) 593 e) 785

3. Convertir 5° a radiantes.

a) 8

b) 7

c) 6

d) 3

e) 36

4. Convertir 0.5 radiantes a grados sexagesimales:

a) 35° b) 44,1° c) 50° d) 28,64° e) 39°

MATEMÁTICA T.O.


5. Hallar el valor de 2 radiantes en grados:

a) 77° 47´ 45 ´´ b) 57° 37´ 45 ´´ c) 27° 17´ 25 ´´ d) 114° 35´ 29 ´´ e) 58° 17´ 45 ´´

6. Encontrar el valor del cos , si el 5.0sen

a) 0.78 b) 0.86 c) 0.5 d) 0.63 e) 0.83

7. Hallar el valor de la tan , si la 4sec .

a) 0.31 b) 0.20 c) 0,25 d) 0.34 e) 0.60

8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de 53°

¿Cuál es la altura del árbol?

a) 85m b) 33m c) 125m d) 37m e) 29m

9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo de

depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de 15m/seg ¿A

qué distancia del edificio se encontrará el auto en 2 segundos?

a) 75m b) 57m c) 115m d) 50m e) 250m

10. ¿A qué es equivalente 5

4 rad?

a) 130° b) 124° c) 136° d) 124° e) 164°

MATEMÁTICA T.O.


11. Expresar 150° en radianes.

a) rad 54

b) rad 45

c) rad 34

d) rad 65

e) rad 6

12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es 90 cm y el coseno de uno de los

ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de su hipotenusa.

a) 13 b) 26 c) 39 d) 52 e) 65

13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la

tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo

a) 2

b) 22

c) 23 d) 2 e) 4

14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:

SenCsenACalcularMA ..12

5cot

a) 3/13 b) 5/13 c) 7/13 d) 9/13 e) 11/13

15. Si Tg . Hallar. Sen ( Es un ángulo agudo)

a) 2

2 b)

2

23 c)

4

2 d)

8

2 e) 2

MATEMÁTICA T.O.



1. Hallar “ x” a) 4

b) 4 2

c) 4 3

d) 4 6

e) 6

2. Hallar AF si AM= 2 5

a) 3.873 b) 7.746

c) 5

d) 3

5

e) 10

3. Hallar (X + Y):

a) 35 b) 30 c) 40 d) 20 e) 25

4. Hallar R:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

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