Estrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II

Aula 7: Árvores

Árvores Conceitos e terminologia Árvores binárias Árvores-B Inclusão e Exclusão Introdução aos grafos

Árvores As listas ligadas usualmente fornecem

maior flexibilidade do que as matrizes, mas são estruturas lineares e é difícil usá-las para organizar uma representação hierárquica de objectos.

Pilhas e Filas limitam-se a somente uma dimensão.

A árvore consiste de nós e arcos, que ao inverso das árvores naturais são representadas de cima para baixo, com a raiz no topo e as folhas na base.

Árvores A raiz é um nó que não possui ancestrais;

ele só possui nós filhos. As folhas não possuem nós filhos, ou seus

filhos são estruturas vazias. Exemplo:

Árvores Mais exemplos:

Árvores Cada nó tem que ser atingível a partir da

raiz através de uma sequência única de arcos, chamada de caminho.

O número de arco de um caminho é chamado de comprimento do caminho.

O nível de um nó é o comprimento do caminho da raiz ao nó mais 1, que é o número de nós no caminho.

A altura de uma árvore não vazia é o nível máximo de um nó na árvore.

Árvores O número de filhos

permitido por nó e as informações armazenadas em cada nó diferenciam os diversos tipos de árvores existentes.

Exemplo: na árvore da expressão (3+6)*(4-1)+5 os nós folhas possuem valores e os nós intermediários possuem operações

Árvores O número de filhos de um nó é chamado grau

de saída desse nó. Um nó folha é aquele com grau de saída nulo,

ou também nó terminal. Um nó que não é folha (isto é, possui grau de

saída diferente de zero) é chamado nó interior ou nó interno, ou também nó não-terminal.

O grau de uma árvore é o máximo entre os graus de seus nós.

Uma floresta é um conjunto de zero ou mais árvores.

Percurso em Árvores O percurso em árvores é o processo de

visitar cada nó da árvore exactamente uma vez.

O percurso pode ser interpretado como colocar todos os nós em uma linha.

Mas qual a ordem? Existem n! percursos diferentes, quase

todos caóticos. Os básicos são percurso em profundidade e

percurso em extensão (largura).

Percurso em Árvores Um percurso em extensão é visitar cada nó

começando do menor nível e move-se para os níveis mais altos nível após nível, visitando cada nó da esquerda para a direita.

Sua implementação é directa quando uma fila é utilizada.

Depois que um nó é visitado, seus filhos, se houver algum, são colocados no final da fila e o nó no início da fila é visitado.

Assim, os nós do nível n+1 serão visitados somente depois de ter visitados todos os nós do nível n.

Percurso em Árvores Breadth - First Search (BFS)

13

10 25

20 31

29

2 12

Fila: 13

Fila: 10, 25

Fila: 25, 2, 12

Fila: 2, 12, 20, 31

Fila: 12, 20, 31

Fila: 20, 31

Fila: 31

Fila: 29

Percurso: 13, 10, 25, 2, 12, 20, 31, 29

Percurso em Árvores O percurso em profundidade prossegue

tanto quanto possível à esquerda (ou direita), então se move para trás até a primeira encruzilhada, vai um passo para a direita (ou esquerda) e novamente, tanto quanto possível, para a esquerda (ou direita).

Repete-se este processo até que todos os nós sejam visitados.

Percurso em Árvores Depth - First Search (DFS)

13

10 25

20 31

29

2 12

V – Visitar um nóL – Percorrer à esquerdaR – Percorrer à direita

VLR VRLLVR RVLLRV RLV

Percurso em Árvores

a b

c d

V h

e

i

f g

e

V

a b

c

d i

f g h

j k

j

k

l

m

Árvores Binárias Uma árvore binária é uma árvore cujos nós

têm 2 filhos (possivelmente vazios) e cada filho é designado como filho à esquerda ou filho à direita.

O número de folhas é uma importante característica das árvores binárias para mensurar uma eficiência esperada de algoritmos.

Uma árvore binária é conhecida como completa se todos os nós em todos os níveis, excepto o último, tiverem 2 filhos.

Árvores Binárias Assim haveria, 20 = 1 nós no nível 1, 21 = 2

nós no nível 2, 22 = 4 nós no nível 3 e, na forma geral, 2i nós no nível i+1.

Para todas as árvores binárias não-vazias cujos nós terminais tenham exactamente 2 filhos não-vazios, o número de folhas m será o número de nós não-terminais k mais 1. (m = k + 1)

Se uma árvore tem somente uma raiz, essa observação é trivialmente válida.

Árvores Binárias Se ela for válida para uma certa árvore,

então, depois de anexar 2 folhas a uma das folhas já existentes, essa folha se torna um nó não-terminal (m é subtraído de 1 e k é adicionado de 1).

No entanto, 2 novas folhas são enxertadas na árvore (m é adicionado de 2).

Árvores Binárias

k nós não-terminais k+1 nós não-terminais

m folhas m+1 folhas

Árvores Binárias de Busca Para cada nó da árvore, todos os valores

armazenados em sua sub-árvore à esquerda são menores que o valor armazenado no próprio nó, e todos os valores armazenados na sub-árvore à direita são maiores que o próprio nó.

K

A P

N R

13

10 25

20 31

29

2 12

Árvores Binárias de Busca Um algoritmo para localizar um elemento

nessa árvore é bastante directo. Para cada nó, compare a chave com o valor

armazenado no nó correntemente apontado. Se for menor, vá para a sub-árvore à

esquerda. Se for maior, vá para a sub-árvore à direita. Se for a mesma, a busca chegou ao fim. Se não houver como continuar, a chave não

está na árvore.

Percurso em Árvores Binárias

void BreadthFirst() { Queue q; Node *p = root; if (p != 0) { q.enqueue(p); while (!q.empty()){ p = q.dequeue(); visit(p); if (p->left != 0) q.enqueue(p->left); if (p->right != 0) q.enqueue(p->right); } } }

Percurso em Árvores Binárias

void inorder(Node *p) { if (p != 0) { inorder(p->left); visit(p); inorder(p->right); } }

void preorder(Node *p) { if (p != 0) { visit(p); preorder(p->left); preorder(p->right); } }

void postorder(Node *p) { if (p != 0) { postorder(p->left); postorder(p->right); visit(p); } }

Árvores Binárias de Busca Como será a inserção em uma árvore

binária de busca? E como será a remoção em uma árvore

binária de busca? No nó folha? No nó raiz? No nó intermediário?